CAPÍTULO II COLETANDO DADOS EXPERIMENTAIS - PDF
CAPÍTULO II COLETANDO DADOS EXPERIMENTAIS
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Eduardo Palhares Almeida
1 CAPÍTULO II COLETANDO DADOS EXPERIMENTAIS II.1 A Comunicação em Ciência e Tecnologia A comunicação torna-se ainda mais perfeita, mais objetiva, se a questão envolver a definição da igualdade ou não de duas percepções da mesma espécie. Como transmitir a informação? i - estabelecimento de um padrão. Atividade: 2 estudantes medem a largura da sala em passos Padrão - comprimento de um passo Resultado - bem diferentes Conclusão - o padrão passo não é reprodutível ii Estabelecer um padrão imutável Atividade: um estudante dá um passo e outro marca a distância entre os seus pés Padrão:Cortar um barbante com o mesmo tamanho e guarda-lo. Resultado de duas medidas: iguais, ou quase. Conclusão: temos um instrumento de medida. Um instrumento de medida nada mais é que a codificação simbólica da percepção sensorial, permitindo a transferência de informação de forma objetiva. Porque é necessário codificar a impressão sensorial em símbolos? i- É muito mais fácil diferenciar símbolos (determiná-los corretamente) do que diferenciar impressões sensoriais próximas. Por exemplo: os dois segmentos ao lado, são iguais? Qual o seu comprimento? ii- O resultado de uma observação é transportável e o símbolo que o codifica pode ser comunicado mesmo a quem não domina a técnica de medição. Que símbolos utilizar? Utilizam-se símbolos matemáticos, porque: i- Os valores numéricos são naturalmente ordenados ou hierarquizados, o que é útil na codificação de intensidades variáveis das percepções; ii- Há uma correspondência entre operações matemáticas e a composição ( operações com) de impressões sensoriais.
2 II.2 Algarismos Significativos em Medidas Diretas Uma estória ilustrativa: Vou a uma loja e peço 2m de tecido, e como boa brasileira, peço a nota fiscal para a devida cobrança de impostos! Ao chegar em casa vou conferir a mercadoria e descubro que o balconista me forneceu 1,99 m de tecido. Vou ao PROCON reclamar. Tenho direito a indenização? O advogado do PROCON, me responde o seguinte: - Caso na nota fiscal conste 2,0 m a senhora não tem direito, mas caso conste 2,00 m sim! Como vocês explicam isto? É tudo uma questão de precisão, de significância de informação! Esta estória mostra que a codificação de uma noção sensorial deve ser feita com cuidado. Como foi dito acima, ao associar um símbolo à uma noção sensorial, usamos um padrão. Para medir é necessário se fazer uma comparação e transformar isto em um código numérico. A comparação em uma escala analógica é feita em duas etapas: i- Contagem: quando o valor a medir corresponde a um número inteiro de padrões. Neste caso, todos os algarismos resultantes da comparação tem significado, pois correspondem a uma informação exata! Exemplo: A escala ao lado representa um instrumento que mede o grau de antipatia de um político, em unidades Bush. O segmento AB representa uma medida da antipatia de Hitler. O resultado é 3 Bushs! ii- Interpolação: quando o valor a medir corresponde a uma fração do padrão. Embora o dígito resultante do processo de interpolação seja ligeiramente subjetivo, ele carrega uma informação que exclui algumas possibilidades e portanto é significativo também. Vejamos um exemplo: Por contagem CD= 5 Bushs Por interpolação 0,2 ou 0,3 ou ainda 0,25 Bushs Esses algarismos são significativos porque embora sejam subjetivos, excluem os demais! Resultado da medida CD = 5,2 unidades! Medida direta: é o resultado da leitura de valores, diretamente de um instrumento de medição e não envolve qualquer operação aritmética na sua obtenção. Em uma medida direta são significativos - todos os algarismos resultantes da comparação por contagem com o padrão;
3 - Um, eventualmente dois, algarismos decorrentes do processo de interpolação. Observações importantes: Todas medidas na mesma escala são significativas até a mesma ordem decimal final, embora a quantidade de algarismos significativos possa variar. Assim.218,4 mm e 3,2 mm podem Ter sido obtidos a partir de um mesmo instrumento, mas 2,68 mm e 3,2 mm não! O nome do padrão é parte integrante da medida, por exemplo: Um aluno mediu uma distância e apresentou seu resultado d = 1. Mas o que é isto? - distância Terra-Sol : 1 UA (unidade astronômica)? - raio da órbita do elétron no H: 1 A? - largura de um polegar: 1 pol? O processo de interpolação é subjetivo: a mesma pessoa ou pessoas diferentes obtém valores diferentes mas próximos entre si. Assim, o último algarismo significativo pode flutuar. O dígito de interpolação pode ser nulo, mas tem que ser obrigatoriamente escrito. Sendo assim, jamais acrescente ou remova arbitrariamente os zeros à direita em resultados de medição. II.3 Arredondamento Objetivo: exprimir com k algarismos, um valor que apresente n dígitos (n>k) Como fazer: Desprezar o resíduo, ou seja, as frações da ordem decimal que se quer arredondar e: Aumentar essa ordem de 1 unidade, caso o resíduo seja maior que 5/10 da mesma, ou Manter a ordem, caso o resíduo seja menor que 5/10, ou Aumentar a ordem, se o dígito for ímpar, se o resíduo for exatamente igual a 5/10 da ordem, ou Manter a ordem, se o dígito for par, se o resíduo for exatamente igual a 5/10 da ordem. Estas regras podem ser melhor visualizadas na figura ao lado Todas estas regras foram estabelecidas para que se minimize o erro de arredondamento. Em particular, as duas últimas regras foram estabelecidas para alternar o erro de arredondamento, ora para mais ora para menos. O exemplo a seguir ilustra a sua utilidade: 2,5 + 3,5 = 6,0 arredondando o resultado para a ordem de unidade = = 6 arredondando com as regras, antes da operação = 5 arredondando sempre para menos = 7 arredondando sempre para mais
4 Exemplos 1. Arredondar para ordem de centésimos resíduo 2,3648 = 2,36 0,0048 2,3539 = 2,35 0,0039 2,212 = 2,21 0,002 0,280 = 2,80 0,000 0,004 = 0,00 0, Arredondar para ordem de milésimos Resíduo 2,6406 = 2,641 0,0006 2,64973 = 2,650 0, ,00051 = 2,001 0, ,00092 = 0,001 0, Arredondar para a ordem de unidade Resíduo 2,5 = 2 0,5 3,500 = 4 0,500 9,5 = 10 0,5 0,5 = 0 0,5 4. Arredondar para a ordem de dezena Resíduo 253 = 2, = 4, = 1, = 1, = = II.4 Notação Científica Objetivos: Evitar o aparecimento de ZEROS não-significativos. Destaca e preserva os A.S.! Facilitar escrever valores muito grandes ou muito pequenos; Facilitar a mudança de unidades. Como fazer: Colocar a vírgula após o primeiro algarismo não-nulo, a partir da esquerda; Multiplicar por uma potência de 10, para indicar a real posição da vírgula - andando com a virgula para a esquerda n casas, 10 n.
5 - andando com a vírgula para a direita n casas, 10 -n. Exemplos: Corretos: 1) 0, m 3, m 2) ,26 kg 3, x10 5 kg 3) 4500,0 o C x10 3 o C 4) 0, m 3,52.(10-6 m) = 3,52 m Errados 1) 0, m 3, m falta o. ou o x gerando confusão 2) 0, m 35, m apenas um A.S.antes da vírgula 3) 4500,0 kg 4, kg zeros à direita são significativos 4) 4500,0 kg 4,5 toneladas zeros à direita são significativos Casos Especiais 1) 493,8 4, é mais fácil escrever em notação usual: opte sempre pelo mais simples! 2)1, Não é possível escrever este número em notação comum. 3) Não é a mesma coisa que ZERO! Conseqüências - A notação científica resolve qualquer problema de conversão de unidades, sem exigir acréscimo de zeros não-significativos. - É comum a substituição de potências de 10 por prefixos do S.I.: 10 3 por k 10-3 por m 10 6 por M 10-6 por - Permite a introdução do conceito de Ordem de Grandeza. Quando se tem apenas uma idéia do valor de uma grandeza, podemos expressá-la através de uma potência de 10 com unidade e eventualmente acompanhada de um único A.S. Por exemplo: A distância de Itajubá a Florianópolis é da ordem de 10 3 km. II.5 Algarismos Significativos em Medições Indiretas Medidas são informações e não meros valores aritméticos. Operar com medidas exige cuidados. Assim quando uma medida não pode ser feita diretamente, mas tem que ser obtida a partir de cálculos que envolvam outras medidas diretas, devemos saber até que ponto o resultado das operações matemáticas envolvidas é significativo (confiável) Por exemplo 1. Determinar a velocidade média a partir de medidas de distância percorrida e tempo de percurso
6 2. Determinar o volume de uma esfera com base na medida de seu diâmetro Tomemos o último exemplo. Se o diâmetro da esfera é conhecido de forma limitada, ao se calcular o volume, não se pode imaginar que ele seja conhecido perfeitamente, e sim de forma limitada. Mas qual é este limite? A questão do grau de aproximação (conhecimento) do valor de uma medida indireta, obtida a partir de operações matemáticas, é determinada a partir das duas regras abaixo: OPERAÇÃO NÃO É SIGNIFICATIVO O QUE ESTIVER ALÉM : Soma/Subtração da ordem decimal final mais elevada que houver entre as medidas participantes. Outras operações e todas as funções matemáticas da quantidade de algarismos significativos da medida participante mais pobre Nota: Em quaisquer resultados, finais ou intermediários, escreva sempre, entre parênteses, o primeiro algarismo não-significativo, e use-o em todos os cálculos posteriores. Exemplos 1. 2,53 + 0, ,34112 = 452,99(112) = 452,99(1) O resultado é significativo até a ordem decimal de centésimos. Esta é a última ordem decimal mais elevada dentre as parcelas ( no caso, a parcela 2,53). O resultado foi arredondado até a ordem decimal de milésimos, para se poder apresentar um algarismo não-significativo, colocado entre parênteses. 2,53??? + 0,120?? 450, ,99??? 2. 4,1432 x 2,3 = 9,5(2936) = 9,5(3) O resultado tem 2 algarismos significativos, a mesma quantidade que a parcela mais pobre em A.S., no caso 2,3. O resultado foi arredondado foi arredondado de forma a apresentar mais um algarismo, colocado entre parênteses, para que se deixe bem claro que não se trata de um algarismo significativo. 4,1432? x 2,3??????? ? ?00 9,5?????? Note que em cada caso, apenas após efetuado o cálculo é que se arredonda o resultado, observando-se as regras acima. O arredondamento das parcelas pode levar ao acúmulo de erros no resultado final! Note também a importância do dígito de arredondamento.
7 Ao mantê-lo, todos os erros resultantes de arredondamento ficam restritos a este dígito, evitando a contaminação dos algarismos significativos. Mais exemplos: 1. x = 2,43 x 0,2 x 450,320 = 227,86192 = 2,(3) Se a quantidade de algarismos significativos não permite chegar à ordem de unidade, não complete com zeros à direita. Use notação científica! 2. (21,3) 2 x log 2,0 0, , (6), Note que não se deve arredondar resultados intermediários, quando todas as operações envolvidas obedecem à mesma regra. 3. z = 4,1 x 3,33 45,2 = 13,(653) 45,2 = 13,(7) 45,2 = -31,(5) Note que quando há mudança de regra, faz-se necessário o arredondamento de cálculos intermediários. 4. y = 28, ,520 = 0,018(3) Note que houve uma imensa perda de informação. De 6 e 5 A.S, respectivamente, ficou-se com apenas 2 A.S. Isto ocorre freqüentemente em subtrações. Assim, sempre que possível, procure adiar o cálculo de diferenças. Em situações como a.(b-c), ao invés de: calcular b c, arredondar o resultado calcular o produto por a e arredondar o resultado faça a.(b-c) = a.b a.c e só então efetue as contas e arredondamentos necessários. Observações: o O algarismo duvidoso deve ser utilizado para a execução de cálculos posteriores, vide exemplo 3 acima! o O algarismo duvidoso não é significativo, portanto não conte com ele para descobrir quantas casas decimais ou quantos A.S. seu resultado final deve apresentar. A medida 4,92(6) m tem 3 A.S. e 2 Casas Decimais, embora seja grafada com 4 dígitos. II.6 Casos Especiais de Operações com Algarismos Significativos 1. Constantes racionais em expressões teóricas são números exatos e tem infinitos algarismos significativos. Por exemplo, na expressão para energia cinética de um corpo: E c = ½ mv 2 Tanto o ½ como o 2 do expoente de v são números exatos (1/2 = 0, ) 2. Constantes irracionais ou físicas devem entrar nos cálculos com pelo menos 1 algarismo a mais do que a medida mais pobre em algarismos significativos. Por exemplo, no cálculo da
8 área de um círculo: A =. r 2, o expoente tem infinitos A.S.. Se a medida do raio tiver 5 A.S., então o valor de a ser adotado deve ter, no mínimo, 6 A.S., ou seja, = 3,14159, no mínimo! II.6 Comparando Informações Em muitas ocasiões é necessário se fazer comparações de valores. Para se comparar dois número positivos e, existem algumas maneiras, definidas no quadro a seguir: Valor Relativo Desvio ou Desvio ou Variação Absoluta Variação Relativa De em relação a / - ( - )/ De em relação a / - ( - )/ Possui sinal? Sempre positivo Sim Sim valores iguais Calcula-se %?(x100) sim não Sim Tanto o valor relativo, como a variação relativa, podem ser expressos como porcentagens, e para tanto basta multiplicar o valor obtido usando-se as expressões acima por 100.
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