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Wilson Derek Lacerda Marinho
1 2 Transformador de impedância em linha de transmissão 2.1.Introdução A utilização de estruturas de adaptação de impedância capazes de acoplar os sinais elétricos, de modo eficiente, a dispositivos optoeletrônicos, tais como lasers semicondutores e fotodetectores tipo PIN, proporciona um melhor aproveitamento da energia e um aumento da banda passante do sistema. Tipicamente, a impedância ativa de um laser semicondutor é da ordem de 5 Ω. Ao utilizar-se uma linha de transmissão convencional de 50 Ω de impedância para fornecer sinais elétricos ao laser, a maior parte da potência elétrica é refletida de volta para a linha. É possível introduzir dentro do encapsulamento do laser uma resistência, da ordem de 45 Ω, em série com o laser, de modo a promover o casamento de impedâncias. Esta prática é comum até os dias atuais, como mostram os catálogos de diversos fabricantes de lasers semicondutores. Apesar de melhorar o casamento de impedâncias, a maior parte da energia não é bem aproveitada para o fim a que se destina, sendo dissipada sob forma de calor na resistência. Convém ressaltar que, embora a impedância de entrada de um laser semicondutor não seja puramente resistiva, já foi demonstrado pelos trabalhos de Carvalho (1991a, 1991b, 1991c, 1992), que o casamento puramente resistivo proporciona uma melhoria significativa no desempenho dos acoplamentos. Esta questão será abordada em maiores detalhes na seção da presente tese. Outra desvantagem do uso de linhas de transmissão com impedância muito superior a do laser é a elevada constante RC, que faz com que o tempo de descarga das capacitâncias parasitas seja elevado e o tempo de resposta do laser torne-se lento (Carvalho & Margulis, 1991a, 1991b). Com o intuito de avaliar os benefícios da introdução do TLT, o desempenho de um laser semicondutor foi comparado ao desempenho obtido quando o acoplamento é feito das formas convencionais, sem casamento ou com o resistor de casamento.
2 Transformador de impedância em linha de transmissão 35 A figura 1 mostra um diagrama esquemático que ilustra as diferentes possibilidades consideradas de acoplamento entre um gerador de tensão com resistência interna de 50 Ω e um laser semicondutor. Figura 1 - Diagrama esquemático do sistema de alimentação de um laser semicondutor com diferentes possibilidades de acoplamento entre o gerador e o laser, utilizando: um TLT, ou uma linha de transmissão (LT) convencional ou uma LT associada a um resistor de resistência R. Quando o laser é conectado diretamente à linha de transmissão de 50 Ω, apenas um quarto da máxima potência disponível é entregue ao laser. A situação de máxima potência disponível é aquela em que o laser é substituído por uma carga casada com a impedância do gerador (que seria uma outra carga de 50 Ω). Essa situação de máxima potência disponível poderia também ser obtida num caso hipotético de considerar um transformador ideal de impedância, capaz de transformar a impedância de 50 Ω no valor exato da impedância do laser para todas as freqüências. Quando se introduz uma resistência em série com o laser, com o valor dado pela diferença entre os 50 Ω e a resistência interna do laser, menos de 10 % da máxima potência disponível é entregue ao laser. O casamento de impedâncias é alcançado às custas de um enorme desperdício. Quando é introduzido um circuito passivo sem perdas, ou com níveis toleráveis de perdas, representado na figura 1 pelo TLT, é possível obter o casamento de impedâncias e ainda fazer melhor uso da potência disponível pelo gerador. Com o uso do TLT é possível fornecer ao laser pelo menos duas vezes
3 Transformador de impedância em linha de transmissão 36 mais potência em relação à situação sem casamento, e aproximadamente dez vezes mais potência em relação ao circuito com o resistor em série. A estrutura de adaptação mais adequada é aquela que realiza simultaneamente o casamento de impedâncias e faz o melhor uso possível da potência disponível. Além disso, essa estrutura deve possuir uma resposta em freqüência adequada. Quando sinais elétricos de alta freqüência (ou pulsos elétricos ultra-curtos) são utilizados, é imperativo que a estrutura possua uma larga banda passante, de muitos gigahertz, para que a mesma não limite o desempenho do sistema. Os transformadores de impedância em linha de transmissão (TLT) afilada atendem a todos os requisitos mencionados. São evidentes os benefícios trazidos pelo casamento de impedâncias. Existem na literatura inúmeros trabalhos que demonstram melhorias significativas no desempenho dos circuitos quando o casamento de impedâncias é introduzido. Grande parte dos trabalhos, porém, realiza o casamento apenas numa faixa relativamente estreita de freqüências (Music et al., 2003). Carvalho & Margulis (1991 a e 1991 b) demonstrou experimentalmente que o desempenho de um laser semicondutor melhorou substancialmente com o uso de um TLT banda larga devido à melhoria na eficiência do acoplamento elétrico. Entretanto, os TLTs apresentados nestes trabalhos possuem dois inconvenientes, que são: fabricação bastante complexa, pois diversas combinações de diferentes tipos de linhas foram associadas; e tamanho (5 cm de comprimento) demasiadamente grande para serem introduzidos dentro do encapsulamento de um laser semicondutor. Em 1990, Ghiasi (1990) apresentou o projeto teórico de um circuito microstrip para o casamento de impedâncias entre um diodo laser de 2 Ω e os sistemas de 50 Ω. Apesar deste transformador de impedância Chebyshev de três seções possuir uma especificação bastante interessante (operação na freqüência central de 10.5 GHz, largura de banda de 9 GHz, perda de inserção de 1.5 db e coeficiente de reflexão na banda melhor do que -10 db), sua implementação é extremamente problemática. A motivação da presente tese foi, então, desenvolver um TLT planar banda larga, de fácil implementação e compacto, que superasse todas as restrições mencionadas.
4 Transformador de impedância em linha de transmissão 37 Neste capítulo são apresentadas as vantagens e desvantagens da utilização de um transformador de impedância banda larga em linha de transmissão para realizar o acoplamento do sinal de RF, proveniente do gerador de 50 Ω, ao laser semicondutor.
5 Transformador de impedância em linha de transmissão Transformadores de impedância com perfil Chebyshev Em microondas, existem vários tipos de linhas de transmissão capazes de realizar o casamento de impedâncias entre duas terminações puramente resistivas numa faixa de freqüências pré-estabelecida (Collin, 1992). O transformador de quarto de onda multi-seções e o transformador com linha afilada, são exemplos de linha de transmissão que possibilitam o casamento de impedâncias numa determinada faixa de freqüências. Esses transformadores diferenciam-se entre si pela resposta em freqüência do coeficiente de reflexão na entrada da estrutura, e resultam dos diferentes tipos de variação do nível de impedância ao longo da linha. O transformador de quarto de onda multi-seções é composto, como o nome diz, por sucessivas seções de quarto de onda, cada uma com um determinado nível de impedância. A variação do nível de impedância em cada seção ao longo deste transformador se dá em um número de níveis discretos. O coeficiente de reflexão resultante apresenta uma resposta em freqüência do tipo passa-faixa, com um número infinito de bandas de passagem separadas entre si por bandas de atenuação. A freqüência central de cada banda de passagem é pré-estabelecida e a largura de banda é função do número de seções. Quanto maior o número de seções, maior a largura de banda. Se o comprimento total da estrutura for mantido fixo e o número de seções for aumentado indefinidamente, cada seção passará a ter comprimento infinitesimal. Neste caso limite, a largura de banda torna-se infinitamente grande e a freqüência central desloca-se para o infinito. Como cada seção é muito curta e existe um número enorme de sucessivos níveis discretos de impedância, é possível dizer, neste caso, que a variação de impedância se dá de forma continua. A transição contínua no nível da impedância característica ao longo do transformador é o que caracteriza uma linha afilada. O coeficiente de reflexão na entrada de uma linha afilada apresenta, então, uma resposta em freqüência do tipo passa-alta. A freqüência de corte, característica de uma resposta em freqüência passa-alta, é função do comprimento da linha, e é definida como sendo a menor freqüência para a qual o coeficiente de reflexão assume o máximo valor tolerado na banda. O comportamento passa-alta das linhas afiladas é o mais adequado para os objetivos da presente tese, por isso elas foram escolhidas.
6 Transformador de impedância em linha de transmissão 39 Na figura 2 encontra-se um esquema de uma linha de transmissão afilada utilizada como estrutura de adaptação para casar uma linha de impedância normalizada unitária, Z c = 1, a uma carga de impedância normalizada Z L (considerada puramente resistiva). A impedância característica normalizada da linha, Z, varia continuamente ao longo do comprimento y da linha. L Z c = 1 Z(y) y Z L Figura 2 - Representação de uma linha afilada, de comprimento L, na qual a impedância normalizada Z(y) varia continuamente ao longo da linha. Para uma linha afilada qualquer, a resposta em freqüência do coeficiente de reflexão na entrada da estrutura, Γ i, pode ser obtida a partir do comportamento da impedância ao longo da linha, Z(y), de acordo com a eq. (2.1) (Collin, 1992): Γ i = 1 2 L 0 e j 2β y d dy ( ln Z) d y (2.1), onde L é o comprimento total da estrutura, β é a constante de propagação e y o eixo ao longo da linha representado na figura 2. Analogamente ao problema de análise, que consiste na determinação da resposta do Γ i em função de Z(y) conhecido, o problema de síntese pode ser resolvido. Neste caso, para uma determinada resposta em freqüência do coeficiente de reflexão da estrutura, Γ i, determina-se a variação Z(y) necessária. A variação contínua na impedância característica de uma linha afilada pode seguir diferentes comportamentos dando origem aos diversos tipos de linha afilada, tais como: a linha exponencial, a seção hiperbólica, a linha Chebyshev, a seção de Bessel e a linha Gaussiana (Collin, 1992). Numa linha afilada exponencial, por exemplo, a impedância característica varia exponencialmente com a distância ao longo do comprimento da linha. A resposta em freqüência do coeficiente de reflexão resultante deste tipo de variação
7 Transformador de impedância em linha de transmissão 40 da impedância apresenta, na banda passante, uma oscilação (ou lóbulos) cuja amplitude máxima diminui à medida que a freqüência aumenta. Diferentemente, a variação da impedância numa linha afilada Chebyshev é tal que, a resposta em freqüência do coeficiente de reflexão possui, na banda passante, uma oscilação (lóbulos) de amplitude constante. A figura 3 mostra o gráfico do módulo do coeficiente de reflexão normalizado, em relação a ln(z L )/2, em função do produto βl para uma linha afilada Chebyshev. À medida que βl cresce no sentido de β c L (onde β c é a constante de propagação na freqüência de corte), o coeficiente de reflexão vai progressivamente melhorando (diminuindo) até atingir o máximo valor tolerado na banda para o coeficiente de reflexão na banda ρ (denominado tolerância na banda passante). A partir de então, o coeficiente de reflexão irá oscilar e nunca excederá o valor máximo tolerado. O comportamento em freqüência passa-alta da linha afilada é nitidamente observado nesta figura. Figura 3 - Resposta em freqüência do coeficiente de reflexão de uma linha afilada Chebyshev. O Γ i de uma linha afilada Chebyshev pode ser obtido através da seguinte relação (Collin, 1992):
8 Transformador de impedância em linha de transmissão 41 Γ i 1 = e 2 j β L ln Z L cos L β 2 cosh β L c β 2 c (2.2), onde β c é o valor de β no limite inferior da banda passante, tal como ilustrado na figura 3, e Z L é a impedância de carga normalizada (que corresponde à razão de transformação de impedância). Para isto, a impedância ao longo da linha afilada Chebyshev deve variar de acordo com a eq. (2.3): p ln Z = + 2π 1 2 ln Z L + π coshπ u p 2π coshπ u c n= 1 cosπ n c 2 ln Z u n 2 c L + cos nπ sin np (2.3) onde p=2π(y -L/2)/L, u c =β c L/π e n é um número inteiro. Collin (1992) apresenta as demais equações que descrevem o comportamento do coeficiente de reflexão de outras linhas afiladas. Utilizando tais equações, que se baseiam na propagação do modo TEM puro, as linhas afiladas Chebyshev, exponencial e Gaussiana, foram comparadas entre si em termos do desempenho do coeficiente de reflexão na banda passante, e do compromisso entre o comprimento total do transformador e a freqüência de corte (Carvalho et al., 2003). A figura 4 mostra a relação entre o produto β c L (constante propagação na freqüência de corte multiplicada pelo comprimento) e a tolerância na banda passante ρ normalizada em relação a ln(z L ), para as três linhas afiladas analisadas. Como pode ser observado através da figura, para as linhas exponencial e Gaussiana, a curva consiste apenas de um ponto. Isto ocorre porque, para estas linhas, o valor de ρ está univocamente determinado pelos valores de Z L e do produto β c L. Por outro lado, para a linha Chebyshev, dado um certo valor de Z L, existe um conjunto de valores de ρ e do produto β c L contidos na reta do gráfico que são permitidos. A linha Chebyshev proporciona, então, uma maior flexibilidade para o projeto em relações às demais linhas. Através desta análise, foi possível verificar que, conforme previsto na literatura (Collin, 1992), a linha afilada Chebyshev apresenta um projeto ótimo no sentido de que fornece a menor tolerância na banda passante para um dado comprimento do transformador, ou de outra forma, para uma dada tolerância é o
9 Transformador de impedância em linha de transmissão 42 tipo de linha que resulta no menor comprimento da estrutura. Isto pode ser verficado através dos resultados mostrados na figura 4. Para um determinado valor de tolerância na banda passante e uma dada razão de transformação, o comprimento da linha Chebyshev é o menor de todos em comparação com as demais linhas afiladas. Quando se busca miniaturizar o dispositivo este aspecto é bastante relevante. Figura 4 - Produto β c.l (constante propagação na freqüência de corte vezes o comprimento L do TLT) em função da tolerância na banda ρ normalizada em relação à razão de transformação (Z L ), para diferentes perfis de linha afilada: Chebyshev, exponencial e Gaussiano. A figura 5 mostra o comportamento do produto β c L para a linha Chebyshev em função da razão de transformação Z L para diferentes valores de tolerâncias ρ. Neste gráfico, os valores da tolerância são dados em termos da máxima perda de retorno na banda passante (perda de retorno (db)=-20.logρ). Observa-se através da figura que, à medida que a razão de transformação aumenta, o valor do produto β c L também aumenta. Além disso, para uma mesma razão de transformação, à medida que o valor da tolerância na banda diminui (ou seja, o módulo da perda de retorno aumenta), o valor do produto β c L aumenta. Aumentar o valor de β c L requer uma estrutura de comprimento elétrico maior.
10 Transformador de impedância em linha de transmissão 43 Na presente tese, os projetos dos transformadores de impedância envolveram uma razão de transformação de impedâncias elevada (da ordem de 10) e uma perda de retorno máxima na banda passante de 20 db (ρ=0.1). βc L 2.0 π 1.6 π 1.2 π 0.8 π 0.4 π 0.0 π 15dB 20dB 25dB 30dB 35dB Razão de transformação Z L Figura 5 - Produto β c.l (constante propagação na freqüência de corte vezes o comprimento L do TLT) para um linha afilada Chebyshev em função da razão de transformação para diferentes valores de tolerância na banda passante. Outra vantagem da linha Chebyshev, é o fato de que devido à sua construção, existe um efeito de descontinuidade dos valores das impedâncias das extremidades da linha em relação aos valores das impedâncias das cargas acopladas (Collin, 1992). Isto significa que, quando se deseja projetar uma estrutura de adaptação para realizar o casamento entre 50 Ω e 5 Ω, por exemplo, na realidade deve-se projetar uma estrutura que tenha de um lado uma impedância inferior a 50 Ω e do outro lado, superior a 5 Ω. Esta propriedade contribui para facilitar os projetos das linhas, pois como será visto nesta tese os valores extremos, principalmente os de baixa impedância, são os mais difíceis de serem realizados fisicamente. Os resultados teóricos apresentados nesta seção foram publicados em Carvalho et al. (2003). Os transformadores de impedância podem ser realizados em linhas de transmissão planares tal como será mostrado na próxima seção.
11 Transformador de impedância em linha de transmissão Transformador de impedância em linha de transmissão planar e a utilização de filmes dielétricos Nesta seção serão apresentadas algumas alternativas para a realização do transformador de impedância em linha de transmissão planar. As linhas de transmissão planares são amplamente utilizadas como elemento de um circuito integrado, tanto em microondas quanto em dispositivos optoeletrônicos, pois possuem geometria compatíveis com a desses dispositivos. Em linhas de transmissão planares, a impedância característica é determinada pelas dimensões transversais e pelas características do meio de propagação (caracterizado pelo tipo de linha, pelo substrato sobre o qual a mesma foi confeccionada, suas dimensões e encapsulamento). Alterando-se ligeiramente a geometria da linha de transmissão planar, alargando a fita condutora central ou aumentando a espessura do substrato, por exemplo, é possível modificar lentamente a impedância característica da linha. Desta forma, o transformador de impedância em linha de transmissão planar pode ser construído simplesmente ajustando os parâmetros geométricos da linha ao longo do seu comprimento. Desde que esta alteração seja suficientemente lenta, o coeficiente de reflexão de cada transição é pequeno e a estrutura comporta-se como um transformador banda larga. Conforme visto na seção anterior, os valores dos níveis de impedância ao longo da linha determinarão o tipo de comportamento da resposta em freqüência do coeficiente de reflexão da estrutura. Especificamente nesta tese, a variação gradual na impedância (ou alternativamente na geometria) foi escolhida de modo a se obter uma linha afilada Chebyshev. Existem vários tipos clássicos de linhas de transmissão planares, tais como: microstrip, stripline, slot-line, CPW (CoPlanar Waveguide) e CPS (CoPlanar Strip) (Collin, 1992, Gupta et al., 1979 e 1996). Além desses, é possível, projetar uma mesma estrutura que contenha diversas combinações de diferentes tipos de linhas, conforme apresentado no trabalho de Carvalho et al. (1992). A linha de transmissão planar CPW é a mais adequada para a integração do transformador de impedância aos dispositivos optoeletrônicos MMIC (Monolithic Microwave/Millimeter Integrated Circuits).
12 Transformador de impedância em linha de transmissão 45 Na figura 6 (a) encontra-se a seção transversal de uma linha de transmissão planar CPW de largura A. Como pode ser observado, a fita condutora central, de largura W, encontra-se afastada dos semi-planos de terra laterais por um espaçamento G, e ambos os materiais condutores, que possuem espessura t, são coplanares e localizam-se sobre um substrato bulk de constante dielétrica relativa, ε r, e de espessura H. Uma forma de variar a impedância característica de uma linha CPW consiste em alterar lentamente o valor da separação, G, entre a linha condutora central e os semi-planos de terra laterais. Aproximando-se progressivamente a linha condutora central dos semi-planos de terra, é possível diminuir lentamente o nível de impedância de linhas coplanares (Collin, 1992). G W G t ε r H A (a) (b) Figura 6 - Seção transversal de uma linha de transmissão planar CPW (a) e seu diagrama com as linhas de campo (b). Apesar do diagrama da figura 6 não ilustrar, os semi-planos de terra laterais são aterrados à caixa e o sinal eletromagnético é transportado pela fita condutora central. O modo de propagação em uma linha de transmissão planar CPW, não pode ser considerado TEM devido à presença de uma componente longitudinal do campo magnético (Collin, 1992). Principalmente em alta freqüência, a natureza não TEM dos modos de propagação deve ser considerada. É fundamental, neste caso, utilizar o método de análise de onda completa, que considera a dependência
13 Transformador de impedância em linha de transmissão 46 não linear da constante de propagação com a freqüência e as variações da impedância característica da linha com a freqüência. Este foi o método empregado nas análises teóricas no domínio da freqüência realizadas na presente tese e será tratado na seção Como mostra o esquema da figura 6 (b), numa linha CPW, uma parcela do campo eletromagnético penetra no substrato e outra no ar (Gupta et al.,1996). A existência de meios dielétricos diferentes ao redor do condutor central dá origem, então, ao mecanismo de dispersão e à definição da permissividade efetiva, ou constante dielétrica efetiva, ε eff (f), que é função da freqüência. A constante dielétrica efetiva depende das características do substrato (ε r e H), do meio ao redor da fita condutora central, da geometria da estrutura e no modo de propagação não TEM, depende ainda, da freqüência. Os valores mínimo e máximo de impedância característica da linha que podem ser obtidos na prática estão limitados às restrições impostas pela fabricação da geometria correspondente. Quando se deseja obter uma estrutura com elevada razão de transformação, os substratos convencionais de alumina (ε r =9.8), ou de GaAs (ε r =13), não são adequados. Isto porque, a geometria necessária para realizar o lado de baixa impedância, com estes substratos é muito crítica e requer uma combinação de diferentes tipos de linhas, conforme demonstrado em trabalhos anteriores (Carvalho et al.,1992). Além disso, a estrutura resultante com estes substratos é excessivamente longa (comprimento superior a 5 cm) e não atende aos objetivos da presente tese. Neste sentido, os substratos bulk disponíveis comercialmente que possuem constantes dielétricas bem mais elevadas (superior a 30) são os mais indicados, pois são adequados para a realização da geometria do lado de baixa impedância e para a obtenção de TLTs curtos. A redução no comprimento do TLT quando fabricado sobre substrato de elevada constante dielétrica (ε r >30) é drástica. Por exemplo, quando se utiliza um substrato com ε r =38, ao invés de um de ε r =9.8, a redução no comprimento do TLT é da ordem de 50 %. Quando se utiliza um substrato com constante dielétrica ainda superior, de ε r =80, a redução é de 70 %. Esta redução substancial das dimensões da estrutura, viabiliza a confecção de TLTs de comprimentos inferiores a 2 cm.
14 Transformador de impedância em linha de transmissão 47 No trabalho de Seixas et al. (2002) foram analisados diferentes substratos de elevada constante dielétrica. Os resultados desta análise mostraram que, a realização prática de um transformador de impedância CPW realizado sobre substrato bulk de elevada constante dielétrica satisfazendo às restrições de se ter uma largura da fita central de no mínimo 20 µm, e um espaçamento entre a linha condutora central e os planos de terra laterais de no mínimo 10 µm, limitam ambos, o valor da constante dielétrica e a razão de transformação a até, 80 e 6.5, respectivamente. A razão de transformação limitada a 6.5 permite adaptar 50 Ω a no mínimo 7.7 Ω. Uma variação da configuração CPW pode ser obtida, conforme ilustrado na figura 7, depositando-se uma camada de filme dielétrico entre o plano inferior determinado pela fita condutora central e os semi-planos de terra laterais e o plano superior do substrato e/ou acima do plano superior da fita condutora. A figura 7 ilustra a seção transversal de uma linha CPW com uma camada de filme de constante dielétrica relativa, ε f, e espessura d depositado acima da fita condutora, bem como uma outra camada de filme (ε f e d ) depositado diretamente sobre o substrato dielétrico abaixo da fita condutora central e dos semi-planos de terra laterais. G W G ε f d t ε f d ε r H A Figura 7 - Seção transversal de uma linha de transmissão planar CPW com filmes depositados acima e abaixo da fita condutora central e dos semi-planos de terra laterais. Na configuração CPW com filme depositado acima da metalização, uma parcela do campo eletromagnético penetra no substrato e outra no filme. Já na configuração com o filme depositado abaixo da metalização, uma parcela do
15 Transformador de impedância em linha de transmissão 48 campo penetra no filme e no substrato, enquanto outra parcela se propaga pelo ar. Portanto, a deposição de filmes de elevada constante dielétrica relativa (da ordem de 100) sobre substratos dielétricos bulk e/ou sobre as camadas condutoras metálicas, como ilustrado na figura 7, gera uma série de modificações no comportamento de uma linha de transmissão, sobretudo CPW. No trabalho de Tanabe (2001), foi demonstrada a viabilidade de confecção de um transformador de quarto-de-onda CPW de uma seção, depositando-se uma camada de filme fino de 1 µm de titanato de estrôncio (SrTiO 3 ), com ε f da ordem de 150, imediatamente acima do substrato de arseneto de gálio (GaAs), com ε r =12.85, e sobre o filme de SrTiO 3, a fita condutora e os semi-planos de terra laterais foram depositados. A geometria da seção transversal desse dispositivo corresponde ao desenho da figura 7, para o caso em que ε f =150, d =1 µm e a camada de ε f é removida. Os resultados desse trabalho demonstraram que o uso do filme trouxe uma maior flexibilidade para o projeto da linha CPW, pois para as mesmas dimensões físicas (largura da fita condutora e dos espaçamentos entre a fita condutora e os semi-planos de terra laterais) valores menores de impedância característica da linha de transmissão puderam ser obtidos. Em média, foi obtida uma redução de 10 Ω no valor da impedância apenas com a introdução do filme. Utilizando o método de análise de onda completa, é possível demonstrar que uma linha CPW confeccionada sobre uma camada de 1 µm de um filme dielétrico de ε f =150 depositado diretamente sobre um substrato bulk de GaAs (ε r =12.85), possui as mesmas impedância característica e constante de propagação que uma linha CPW confeccionada sobre um material bulk equivalente de constante dielétrica relativa igual a 33. É possível demonstrar ainda que, quando se deposita uma camada de 1 µm de espessura de um filme dielétrico de ε f =150 sobre o plano superior da fita condutora central a estrutura (fabricada com substrato bulk de GaAs) passa a ter as mesmas impedância característica e constante de propagação que uma linha CPW confeccionada sobre um material bulk equivalente de constante dielétrica relativa igual a 84. Esses resultados foram os pontos de partida para a obtenção das duas configurações propostas para a realização do transformador em linha de transmissão planar apresentadas no capítulo 3.
16 Transformador de impedância em linha de transmissão Análise teórica dos transformadores de impedância Serão apresentados nesta seção os métodos empregados para realizar as análises teóricas das linhas de transmissão planares tratadas na presente tese. Foram feitas análises tanto no domínio do tempo quanto no da freqüência. Para realizar as análises no domínio da freqüência utilizou-se o método de análise de onda completa, pois este é o método mais adequado para analisar as estruturas não-tem consideradas aqui. Uma ferramenta baseada na análise de onda completa, e no método de elementos finitos, que se mostrou adequada às necessidades foi o aplicativo comercial HFSS 5.6 (High-Frequency Structure Simulator) (HP Agilent Technologies, 2000). O aplicativo HFSS é indicado para o modelamento eletromagnético de estruturas tridimensionais passivas de forma arbitrária, e foi utilizado tanto para projetar as estruturas apresentadas nesta tese, quanto para analisá-las no domínio da freqüência. Apesar de ser uma ferramenta bastante poderosa, o HFSS não realiza análises no domínio do tempo. Para isto, foi necessário buscar uma outra ferramenta. Para realizar a análise no domínio do tempo, foi utilizado o software MARTINS (Conrado, 1996), que será apresentado na seção O software MARTINS também é uma ferramenta bastante poderosa porque, fazendo uso da transformada de Fourier do sinal, permite que o problema seja analisado tanto no domínio da freqüência, quanto no do tempo. Com a análise no domínio do tempo é possível simular a resposta de um TLT a pulsos de excitação e analisar os efeitos gerados pelo TLT. Com o intuito de avaliar o desempenho de um sistema óptico digital de altas taxas quando um transformador de impedância banda larga é utilizado para acoplar o sinal de RF ao laser foi feita também uma análise da resposta do sistema completo. Para realizar esta análise do sistema foi utilizado o MARTINS, pois ele permite, também, modelar todos os componentes, eletrônicos e optoeletrônicos, de um sistema óptico, desde o transmissor até o receptor. Entretanto, não é possível, com o MARTINS, incluir os efeitos próprios das estruturas planares com a mesma abrangência e fidelidade com a qual o HFSS faz. Desta forma, o MARTINS e o HFSS são ferramentas complementares.
17 Transformador de impedância em linha de transmissão 50 No caso mais geral, é possível inserir no MARTINS a matriz de espalhamento S do transformador de impedância planar obtida através do HFSS, e analisar o comportamento da estrutura planar também no domínio do tempo HFSS e a análise no domínio da freqüência Para o dimensionamento, e a análise no domínio da freqüência, das linhas de transmissão planares, apresentadas neste trabalho, foi empregado o aplicativo comercial HFSS 5.6 (High-Frequency Structure Simulator) da HP AGILENT TECHNOLOGIES (HP Agilent Technologies, 2000), para modelamento eletromagnético de estruturas tridimensionais passivas de forma arbitrária. Os resultados obtidos para as linhas de transmissão afiladas Chebyshev, a partir das equações apresentadas na seção 2.2, podem ser tomados apenas como ponto de partida, pois assumem o modo de propagação TEM e não consideram os efeitos da implementação do perfil através de uma estrutura planar. A constante de propagação (β) das linhas de transmissão depende da constante dielétrica efetiva ε eff da estrutura que é função da geometria e da freqüência. Ao considerar a aproximação de propagação do modo TEM (Transverso EletroMagnético) assume-se que a constante de propagação varia linearmente com a freqüência e que a impedância independa da freqüência. Nem sempre essas considerações são válidas, sobretudo em altas freqüências e nas estruturas planares com substrato de alta constante dielétrica consideradas nesta tese. Na análise de onda completa, a natureza híbrida dos modos que se propagam é levada em consideração, de modo que, o efeito da dispersão é incluído na análise e os resultados obtidos são mais fiéis à realidade. Além dos efeitos da dispersão da constante dielétrica, esta análise considera também os efeitos da variação da impedância com a freqüência e com as dimensões transversais. O aplicativo HFSS utiliza o método de elementos finitos para gerar uma solução de campo elétrico, a partir do qual os parâmetros S podem ser calculados. Em geral, no método de elementos finitos o espaço do problema é dividido em milhares de pequenas regiões e o campo em cada sub-região, denominada de elemento, é representado como uma função local. No programa HFSS, o modelo geométrico, que representa a estrutura a ser analisada, é automaticamente dividido em um grande número de tetraedros, onde
18 Transformador de impedância em linha de transmissão 51 um único tetraedro é formado por quatro faces triangulares, sendo os triângulos equiláteros. Essa coleção de tetraedros é denominada de malha (mesh) do elemento finito. O valor do vetor campo elétrico (ou campo magnético), nos pontos internos a cada tetraedro é interpolado a partir dos valores obtidos nos vértices do tetraedro. Em cada vértice, o aplicativo HFSS armazena as componentes do campo que são tangenciais às três arestas do tetraedro. Além disso, a componente do campo vetorial no ponto intermediário das arestas selecionadas que for tangencial à face e normal à aresta pode também ser armazenada. O campo dentro de cada tetraedro é então interpolado a partir desses valores, denominados nodais. Representando os campos desta forma, as equações de Maxwell podem ser transformadas em equações matriciais, as quais são resolvidas usando métodos numéricos tradicionais. Existe um compromisso entre o tamanho da malha (mesh), o nível desejado de precisão e a quantidade de recursos computacionais disponíveis. Por um lado, soluções baseadas em malhas que se utilizam de um grande número de elementos são mais precisas do que as soluções baseadas numa malha com poucos elementos. Por outro lado, a geração de uma solução de campo para malhas com um número demasiadamente grande de elementos requer um grande esforço computacional. Para gerar uma descrição satisfatória da intensidade do campo, cada tetraedro deve ocupar uma região que seja pequena o bastante para que o campo seja adequadamente interpolado a partir dos valores nodais. Para gerar a malha ótima, o aplicativo HFSS utiliza um processo iterativo no qual a malha é automaticamente refinada nas regiões críticas. Primeiramente, gera-se uma solução baseada numa malha inicial com poucos elementos. Depois, faz-se um refinamento da malha baseado em critérios de erros adequados, e gerase uma nova solução. Quando os parâmetros S selecionados convergem para o limite desejado, o processo iterativo termina. Antes de calcular o campo eletromagnético tridimensional completo dentro da estrutura, é necessário determinar o padrão de campo de excitação em cada porta. São computados os modos (ou padrões de campos naturais) que podem existir dentro de uma estrutura de transmissão com a mesma seção transversal que aquela de cada porta da estrutura de interesse. O padrão de campo bidimensional resultante em cada porta serve como condição de contorno para o problema tridimensional completo.
19 Transformador de impedância em linha de transmissão 52 Assume-se, então, que cada porta seja conectada a um guia de onda uniforme que possua a mesma seção transversal que a porta. Considerando os eixos x, y, e z, posicionados em relação à estrutura, de tal forma que, x e z pertençam à seção transversal da porta, o eixo y indique a direção de propagação e a interface da porta localize-se no plano y=0, o campo de excitação associado às ondas propagantes que viajam ao longo deste guia de onda conectado à porta é dado por: E( x, y, z, t) = Re[ E( x, z) e jωt γy (2.4) onde Re é a parte real do número complexo, E ( x, z) é o campo elétrico fasorial, j é o unitário imaginário, ω é a freqüência angular (2πf), e γ=α+jβ é a constante de propagação complexa. Sendo α a constante de atenuação da onda e β a constante de propagação associada à onda. A solução para o campo magnético, H, é obtida a partir do campo elétrico E através da seguinte relação: E H = (2.5), jωµ onde ω é a freqüência angular (2πf) e µ é a permeabilidade do meio. Portanto, para calcular a matriz S associada a uma estrutura tridimensional são seguidos os seguintes procedimentos: (1) a estrutura é dividida numa malha de elementos finitos, (2) a forma de onda do campo elétrico suportado por cada porta da estrutura é obtida, (3) o diagrama de campo eletromagnético completo dentro da estrutura é obtido de modo a satisfazer às condicões de contorno impostas por cada porta, (4) a matriz S generalizada é obtida, então, a partir da relação entre as potências refletida e transmitida. Para estruturas recíprocas, a matriz S é simétrica (S 12 =S 21 ), e o aplicativo HFSS calcula, pelo procedimento descrito acima, apenas metade dos elementos da matriz S, poupando esforço computacional desnecessário. Da mesma forma, sempre que a geometria do problema permitir convém trabalhar com a metade da estrutura, pois são obtidos resultados idênticos com esforço computacional reduzido à metade. No aplicativo HFSS, toda a superfície do modelo geométrico de interesse que faz fronteira com o plano de fundo é automaticamente definida pelo programa ]
20 Transformador de impedância em linha de transmissão 53 como sendo uma fronteira de um condutor perfeito. Quando o problema já é fechado por natureza, como é o caso de problemas de guias de onda coaxiais, a região dentro da qual o campo será calculado já está bem definida e é igual à própria região do modelo geométrico. Quando a geometria da estrutura é aberta, como é o caso, por exemplo, de uma linha CPW, é necessário delimitar a região do problema dentro da qual será obtida a solução de campo. Neste caso, deve-se fornecer, além do modelo geométrico de interesse, as condições de contorno ao redor de toda a estrutura. Para uma estrutura CPW, por exemplo, convém definir espaços preenchidos por ar nas seguintes regiões: acima do plano definido pela fita condutora central, entre a fita condutora central e os semi-planos de terra laterais, e abaixo do plano definido pelo substrato. O aplicativo HFSS é bastante flexível pois permite analisar uma infinidade de formas geométricas, constituídas de materiais cujas características (condutividade, permeabilidade, permissividade, perdas e outras) podem ser definidas pelo próprio usuário. A impedância característica em cada porta da estrutura utilizada para renormalizar as matrizes: S, Z e Y pode ser calculada de três formas. Durante o processo de renormalização é permitido ao usuário escolher com qual das três impedâncias resultantes se deseja trabalhar, são elas: Z pi, Z pv e Z vi. A impedância Z pi é a impedância calculada a partir da potência P e da corrente I através da seguinte relação: Z 2P = pi I. (2.6) I A potência e a corrente são calculadas diretamente a partir dos campos simulados. A potência que passa através da porta é obtida pela integral de superfície sobre a superfície da porta, e dada por: 1 P = E H ds (2.7) 2 S A corrente é obtida pela lei de Ampère, através da seguinte integral de linha, onde a linha contorna a porta: I = H. dl (2.8) l A corrente líquida calculada deste modo será próxima de zero. Entretanto, a corrente de interesse é aquela que flui para dentro da estrutura, ou aquela que sai