A Geometria das Médias - Guia do Professor
Nessa atividade apresentam-se animações que ilustram a construção geométrica das médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática de dois números. Exploram-se, nessas animações, propriedades de triângulos, trapézios e círculos, que levam ao estabelecimento das relações entre as diversas médias.
Essa atividade pode ser usada como um exercício de aplicação de congruência e semelhança de triângulos e trapézios, bem como no estudo da relação entre as médias.
Dada a natureza da atividade, composta por diversos filmes, é aconselhável que os alunos trabalhem individualmente em um laboratório ou em casa, preenchendo um Formulário de Acompanhamento. Sugerimos o seguinte modelo (sinta-se livre para modificá-lo de acordo com suas necessidades):
geomedias-aluno.rtf.
A atividade pode ser acessada usando a internet, através dos links http://www.uff.br/cdme/geomedias/, http://www.cdme.im-uff.mat.br/geomedias/ ou, se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da escola instale a atividade para acesso offline, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet. Neste caso, não será possível o acesso a links externos.
A atividade pode ser executada em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para executá-la, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada, bem como o Adobe Flash Player.
Como o aluno deverá trabalhar inidividualmente nessa atividade, talvez seja interessante repassar propriedades e conceitos importantes para a resolução da mesma:
1) Critérios de congruência e semelhança de triângulos
2) Proporcionalidade entre lados, alturas e áreas de triângulos semelhantes
3) Propriedades de triângulos retângulos
4) Ângulos inscritos em um círculo
É importante destacar a relação entre as médias nos diferentes contextos. Nos círculos, essa relação é decorrente da própria construção e da relação entre catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Para as médias no trapézio, você pode baixar aqui um arquivo em formato pdf com a demonstração.
Na referência [4], Anexo 1 do Capítulo 3, há uma demonstração da relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica para o caso geral de n números não negativos.
A demonstração de que a média quadrática é maior que a média aritmética segue dos seguintes resultados, em que μ é a média aritmética dos números x1, x2, ..., xn:
∑(xi − μ)2 ≥ 0
∑(xi − μ)2 = ∑xi2 − nμ2
[1] Boyer, C.B. História da Matemática, 2a. edição. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 1996
[2] Silva, T. R.; Almeida, D. M. As desigualdades entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática de dois números reais. FAMAT em Revista, no. 6, maio 2006, pp. 62-74. Download em outubro de 2009 a partir de http://www.famat.ufu.br/revista/revistamai2006/artigos/Artigo_Thiago_Dulce.pdf
[3] Faradj, M. K. Which means do you mean? An exposition on means. Dissertação de mestrado, Louisiana State University, download em outubro 2009 a partir de http://etd.lsu.edu/docs/available/etd-07082004-091436/unrestricted/Faradj_thesis.pdf
[4] Farias, A. M. L.; Laurencel, L. C. Estatística Descritiva. Apostila. Departamento de Estatística. Niterói: UFF 2008 (versão para download em http://www.professores.uff.br/anafarias/estdesc_2008.pdf