Filho de Miguel Arcoverde Vieira e Augusta Mendes Arcoverde. Estudou em Belém e depois foi residir na capital fluminense como pensionista da União Nacional dos Estudantes até formar-se em Medicina na Universidade Federal do Rio de Janeiro sendo depois professor no Instituto de Educação Antonino Freire e na Universidade Federal do Piauí.
Secretário de Saúde durante o primeiro governo Alberto Silva, possuía vínculos com a UDN e foi apontado pelas lideranças da ARENA como alternativa às eleições de 1974 numa postura onde o grupo de Petrônio Portela visava recuperar o comando político do estado o qual perdera devido à escolha de Alberto Silva pelo presidente Emílio Garrastazu Médici há quatro anos graças aos apelos de políticos cearenses como Virgílio Távora e também com o fito de contemplar as várias correntes políticas abrigadas na ARENA de modo a impedir defecções.
Preterido em sua intenção de indicar o governador do estado em 1970, Petrônio Portela assumiu a presidência nacional da ARENA após a morte de Filinto Müller e foi encarregado pelo presidente Ernesto Geisel de coordenar a escolha dos governadores de estado a serem eleitos indiretamente em 1974. Em relação ao Piauí sua escolha fixou-se em um nome de sua confiança e que ao mesmo tempo conhecesse as estratégias políticas de Alberto Silva, o que resultou em Dirceu Arcoverde.[2] Eleito governador em 3 de outubro de 1974 e empossado à 15 de março do ano seguinte, Arcoverde ocupou o Palácio de Karnak até 14 de agosto de 1978 quando renunciou em prol do vice-governador Djalma Veloso.[3][4][5]
Candidato a senador numa sublegenda da ARENA em 1978, Dirceu Arcoverde derrotou Alberto Silva que concorreu na outra sublegenda do partido governista. Tão logo assumiu o mandato, foi escolhido 2º vice-presidente do Senado Federal na chapa de Luís Viana Filho.[6] Contudo sua estadia no parlamento foi abreviada no dia 16 de março de 1979 quando morreu vítima de um derrame cerebral que o acometera durante sua estreia na tribuna alguns dias antes.[7][8][9][10][11][nota 1][nota 2]