OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS EXATOS
Os números decimais exatos correspondem a frações decimais.
Por exemplo, o número 1,27 corresponde à fração127/100.
Em particular, os inteiros são números decimais:
Nesta perspectiva, as operações com decimais exatos reduzem-se a operações com frações decimais.
Adição de números na forma decimal finita
Ao adicionar números decimais exatos, estamos adicionando as frações decimais que os representam. O resultado é um número decimal exato.
Mas, para adicionar frações, é preciso reduzi-las a frações equivalentes com mesmo denominador. A soma será uma fração decimal, que por sua vez pode ser representada na forma decimal:
Outro modo de ver:
Sabemos operar com inteiros, com o algoritmo das colunas.
Escrevemos os números observando, fazendo as colunas coincidirem: unidades com unidades, dezenas com dezenas , centenas com centenas, etc.
Ao operar 12 + 3,54, obedecemos à mesma regra, colocando a vírgula separando a unidade do décimo, fazendo coincidir: décimo com décimo, centésimo com centésimo, milésimo com milésimo, etc.
Subtração de números na forma decimal finita
O mesmo raciocínio pode ser estendido à subtração. O resultado é um número na forma decimal finita.
Multiplicação de números na forma decimal finita
Analogamente, podemos multiplicar dois números forma decimal transformando cada um deles em frações decimais e realizar a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador. O resultado é um número forma decimal.
Podemos também multiplicar os números forma decimal como se fossem inteiros, encontrar o produto, voltar a escrevê-lo como fração decimal e logo após na forma decimal .
Fazemos isto utilizando o algoritmo da multiplicação de inteiros.
O algoritmo da multiplicação por inteiros é justificado com a aplicação das propriedades associativa e comutativa da adição e a distributiva da multiplicação com relação à adição:
225×35 = 225 x ( 3.10 + 5) =
(225 x 3 x 10) + (225 x 5) =
(225x5) + (225 x 30) =
1125 + 6570 = 7875
Para evitar esta posterior divisão por 1000, costuma-se contar e somar o número de casas decimais de cada fator, colocando-se a vírgula no lugar correspondente: 3 casas implica que a vírgula vai separar 3 dígitos.
Divisão de números na forma decimal finita
Esta operação é a mais difícil de justificar, pois ainda não sabemos dividir números inteiros cujo quociente não é inteiro. Nem sempre o resultado da divisão de dois números na forma decimal finita resulta com a mesma forma. Vamos mostrar que pode-se obter como quociente um número na forma decimal infinita, com período.
m/n, m e n inteiros e m múltiplo de n
Considerando que os inteiros são números decimais, sabemos calcular:
Mas não sabemos, ainda, calcular, em números decimais, divisões cujo quociente não é inteiro:
36 : 5 = ?
36 : 7 = ?
m/n, m e n decimais inteiros, m não é múltiplo de n, mas n é divisor de alguma potência de 10.
Neste caso, a divisão pode ser solucionada com auxílio das frações decimais e da adição com números decimais.
m/n, m e n decimais inteiros, m não é múltiplo de n e não é divisor de qualquer potência de 10.
Neste caso, não é possível transformar a fração resultante da divisão em fração decimal.
7 = 1/7
Adotamos sucessivas multiplicações por 10, buscando expressar esta fração como uma soma de potências de 1/10, para ao final obter um número decimal. Salientamos em azul, a primeira divisão que gera um número inteiro não nulo mais um resto: 10/7. Salientamos em amarelo a coleção de restos que gera uma coleção de divisões.
Até este momento, na divisão, obtemos o seguinte:
Observe que temos uma coleção de restos das divisões:
3, 2, 6, 4...
Se continuarmos neste processo, em algum momento o resto vai se repetir, de tal modo que a coleção de dígitos que forma o quociente na sua forma decimal, também comece a se repetir?
A resposta é sim: a coleção de restos só pode percorrer os valores 1,2,3,4,5,6. Não existe resto igual a 7 ou maior do que 7, quando dividimos por 7.
Vamos completar os cálculos para exemplificar o que queremos dizer:
Alguma coisa está acontecendo. Encontramos novamente o quociente (10/7).
Vamos voltar a procurar o resultado da divisão como soma de potências de 1/10:
O primeiro dígito ( 1) corresponde à primeira divisão (10/7) e o último que foi computado, também corresponde à divisão (10/7).
Quais são os dígitos que seguem o último, completando os pontinhos?
A coleção de dígitos que forma o quociente, se repetirá:
0,1428571428571428571....
Forma-se um período de 6 dígitos: 142857.
Os restos também se repetem: 3, 2, 6, 4,5,1.
Observe que obtivemos 6 valores diferentes para o resto, de 1 a 6. Impossível encontrar mais do que isto, pois o divisor é 7.
A técnica de divisão aplicada acima justifica o conhecido "algoritmo da chave":
Esta técnica pode ser estendida para quaisquer outros pares de números, inteiros ou decimais.Veja animação:Transformação de fração em decimal (AP)
A divisão envolve dois números da forma decimal
Se os números estiverem em forma decimal, estendemos a definição de fração para estes números e transformamos a fração resultante numa fração equivalente com inteiros.
Como visto anteriormente, se multiplicarmos tanto o dividendo como o divisor pelo mesmo número ( no caso, por 10, 100 ou 1000) o quociente não se alterará. Utilizando essas informações poderemos efetuar divisões como se fossem com números inteiros.
A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números.
Números com partes inteiras diferentes
O maior número é aquele que tem a parte inteira maior.
(b) 3,7 < 5,4, pois 3 é menor do que 5.
Números com partes inteiras iguais
Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, teremos dois números com a mesma parte inteira, mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles.