: Stoodi | Saiba mais sobre a teoria dos conjuntos numéricos!
Saiba tudo sobre conjuntos numéricos. Confira a definição e faça exercícios para praticar!
Exercícios: conjuntos numéricos
Para muitos vestibulandos, a Matemática é a matéria mais difícil — seja por dificuldade na hora de aplicar o conhecimento, pelas inúmeras fórmulas ou por problemas no momento de interpretar o enunciado, uma coisa é fato: a grande maioria dos estudantes não curte muito essa disciplina. No entanto, ela é fundamental para o vestibular e, para entendê-la, precisamos começar pela base: os conjuntos numéricos.
Essa é uma das primeiras matérias a ser estudada em cursinhos, por ser considerada de extrema importância para a compreensão de muitos conceitos que virão a seguir. Por isso, não podemos negligenciá-la. Compreender todos os seus aspectos é essencial para avançarmos no estudo da Matemática.
A seguir, discutiremos o que são conjuntos numéricos e mostraremos quais são os grupos que os caracterizam e como são feitas as operações básicas com o seu uso. Por fim, listaremos alguns exercícios para que você possa conferir se realmente entendeu o conteúdo. Vamos lá?
Os conjuntos numéricos são, por definição, um agrupamento de números que têm características semelhantes entre si. Eles são essenciais para a resolução de uma série de cálculos e auxiliam bastante na visualização de problemas, contribuindo, evidentemente, para a sua esquematização.
Há vários conjuntos numéricos, cada um deles contendo números que apresentam alguma lógica ou semelhança. A seguir, descobriremos um pouco mais sobre cada um deles, abordando suas principais características. Tudo pronto? Então, fique atento!
O conjunto dos números naturais foi o primeiro a ser elaborado e é, portanto, o mais simples. Isso não quer dizer que reconhecê-lo não seja algo importante, já que ele pode ser utilizado na resolução de uma grande variedade de problemas (especialmente os que envolvem alguma lógica ou interpretação textual).
A sua representação padrão é pela letra N, de naturais. A sua representação matemática é dada por N = {x є N/ x > 0} (ou N* = {x є N/ x ≠ 0}, no caso de o conjunto não conter o número zero). Os números contidos nesse grupo são:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}
Os números inteiros são, como o próprio nome já indica, aqueles que não são fracionados ou com vírgula. Esse grupo, portanto, inclui tanto os valores positivos quanto os negativos, além de, claro, o zero.
A sua representação é dada pela letra Z e ele fica mais ou menos desta forma:
Z = {… -3, -1, 0, 1, 5, 13, 24, …}
Em seguida, precisamos mencionar o grupo dos números racionais, obtido por meio da união entre os números naturais e inteiros. A sua representação é dada pela letra Q e nele estão contidos:
números inteiros positivos;
números com fração;
A representação matemática do conjunto é dada por Q = {x = , com a є Z e b є z*}. Além disso, há as representações Q + (quando ele contém o número zero e os maiores que zero), Q *+ (quando se exclui o zero) e Q– (quando são os números menores que zero e o próprio zero).
Os números irracionais, representados pela letra I, formam um conjunto no qual estão inseridos os decimais infinitos não periódicos. São aqueles que têm muitas casas após a vírgula, mas que não são uma dízima periódica.
O exemplo mais comum de número pertencente a esse grupo, é, sem dúvidas, o Pi. Como sabemos, embora ele seja normalmente simplificado para 3,14 (ou até mesmo 3, em alguns vestibulares), seu real valor é de 3,14159265…
O grupo dos números reais é, por fim, o conjunto que engloba todos os conjuntos mencionados acima. Por isso, ele contém elementos dos números inteiros, racionais, irracionais, naturais e assim por diante.
A sua representação é dada pela letra R. Conhecê-lo bem é fundamental para que possamos entender todo o conteúdo de conjuntos, já que os seus diagramas são bem definidos para entendermos a relação entre os grupos numéricos.
Os intervalos numéricos são representações que respeitam, como o próprio nome já indica, um período determinado. Eles são representados na reta numérica e o valor obtido pode nos ajudar a determinar um conjunto ou subconjuntos.
Nesta representação, uma "bolinha não preenchida" nos mostra um intervalo aberto, ou seja, onde o extremo não faz parte desse período. Isso é dado pela seguinte afirmação:
(a,b)= {x ∈|R/ a<x<b}
Já a "bolinha não preenchida" nos mostra que os extremos pertencem ao período. A representação é a seguinte:
= {x ∈ |R / a ≤ x ≤ b}
Por fim, podemos também ter a representação com apenas uma bolinha em uma das extremidades. Isso diz que o intervalo é ilimitado e que a outra ponta tende ao infinito.
[a, + ∞[ ou [a,+∞)
As operações com conjuntos são muito úteis para podermos resolver uma grande variedade de exercícios, presentes em todos os exames do Brasil, incluindo os mais concorridos, como o Enem e a Fuvest.
As operações mais comuns serão vistas a seguir!
Atua, de certa forma, como a soma entre dois conjuntos. Ela é representada pela letra U. Aqui, os elementos que se repetirem nos conjuntos que fazem parte da união serão contabilizados apenas uma vez.
B = {1, 5, 6}
A U B = {1, 2, 3, 5, 6}
A intersecção é a operação que identifica quais são os elementos comuns aos conjuntos envolvidos na equação. Ela é representada pelo símbolo ∩.
A diferença, por fim, é uma operação que pode ser comparada à subtração. Ela é, inclusive, representada pelo símbolo –. Aqui, o conjunto da operação será composto pelos elementos que não aparecem no outro grupo.
A seguir, listaremos as propriedades que fazem parte do estudo de conjuntos numéricos. Para compreendê-las, você precisa aprofundar o conhecimento e realizar muitos exercícios para a fixação!
os conjuntos N, Q, I e Z são subconjuntos dos números reais (R);
o conjunto N é um subconjunto de Z.
Ao entendermos essas relações, fica muito mais fácil dar continuidade aos estudos!
Confira, a seguir, alguns exemplos de exercícios com conjuntos que podem estar em seu vestibular!
UFMG (2004)
Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2.520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é:
FUVEST (2005)
A) 37.
ITA (2004)
Seja o conjunto S = {r Æ Q: r μ 0 e r£ ́ 2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:
I. 5/4 Æ S e 7/5 Æ S.
II. {x Æ IR: 0 ́ x ́ Ë2} º S = ¹
III. Ë2 Æ S.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas:
Não é tão difícil, não é mesmo? Lembre-se de que, na Matemática, o conhecimento é como a construção de uma casa e que cada disciplina é o equivalente a um tijolo colocado na edificação. Por isso, construir bases fortes é fundamental. Não passe para o próximo assunto a menos que tenha, de fato, compreendido o anterior.
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