Cone: elementos, área total, volume, exercícios - Mundo Educação
O cone é um importante sólido geométrico, que é estudado na geometria espacial. Ele é classificado como um corpo redondo ou sólido de revolução por ter um círculo como base e por ser construído a partir da rotação de um triângulo.
Ele pode ser classificado como um cone oblíquo ou cone reto, e este poder ser equilátero ou não. Em todos os sólidos geométricos, vale ressaltar a importância do cálculo da área total, ou seja, a soma da área das figuras que fazem parte do sólido que o compõe, e de seu volume, que é o espaço ocupado pelo corpo. Vale ressaltar que, no cone, existem formas específicas para o cálculo da área total e do volume, as quais serão apresentadas no decorrer deste texto.
Os cones são sólidos geométricos formados a partir da rotação de um triângulo.
Rotação de um triângulo para a construção de um cone.
Por ter uma base circular (C), na geometria plana, devemos considerar o seu raio (r), que é um elemento importantíssimo para os cálculos e estudos do cone. Além do raio da base, a altura (h) também é um elemento importante, pois ela liga o vértice (V) à base de forma perpendicular.
Cone de raio r e altura h
Outro elemento bastante importante no cone são as suas geratrizes (g), que são semirretas que ligam o vértice às extremidades da circunferência. Elas são infinitas. Veja algumas delas:
Geratrizes de um cone
Para calcular a geratriz de um cone reto, usamos o teorema de Pitágoras, a partir da altura (h), raio (r) e geratriz (g).
Triângulo retângulo no cone.
Analisando o triângulo pelo teorema de Pitágoras, podemos afirmar que g é a hipotenusa do triângulo, h e r são os catetos desse triângulo, logo, temos que:
g2=h2+r2
Veja também: Semelhança de triângulos – teorema e casos
Classificação de um cone
O reconhecimento do cone é fundamental para a resolução de problemas na matemática. Um cone pode ser classificado como oblíquo ou reto – este, por sua vez, pode ser também equilátero.
Cone oblíquo: quando o vértice não está alinhado com o centro da base, logo o segmento que liga o vértice ao centro da circunferência não é mais a altura, como acontece no cone reto.
Cone reto: quando o vértice e o centro do círculo formam um ângulo reto, ou seja, a altura desse cone é o segmento que liga o vértice do cone e o centro do círculo da base.
Cone equilátero: precisa ser necessariamente reto e é classificado como equilátero porque o diâmetro da base é igual à geratriz. Quando acontece uma secção nesse cone, ela forma um triângulo equilátero (triângulo que possui todos os lados iguais).
Note que, na imagem, o triângulo AVB é equilátero.
Para calcular a área total de qualquer sólido geométrico, devemos calcular a área das figuras planas que formam o sólido, logo é importante conhecer a planificação do cone.
Podemos ver que a área da base (Ab) é a área de um círculo de raio r e que a área lateral (Al) é a área de um arco. Vamos calcular cada uma delas separadamente para chegarmos à área total.
At =Al+Ab
Área da base: como a base é um círculo, então é igual a πr²:
Ab = πr²
Área lateral: a área de um setor circular, que é dada por:
Conhecendo as fórmulas da área lateral e da área da base, podemos reescrever a área total do cone, que pode ser calculada por:
At= πr (r + g)
Leia também: Volume da esfera – como calcular?
Cálculo de grande importância, assim como a área total, o volume do cone é calculado a partir de uma fórmula que leva em consideração a área da base e a altura do cone. Vale ressaltar que cones com mesma altura e mesmo raio possuem a mesma área, ou seja, se houver um cone reto de altura h e raio r e um cone oblíquo com mesma altura e raio, o volume deles será o mesmo. O volume é dado pela multiplicação da área da base (como a base é um círculo: ) e a altura dividida por três.
→ Relação entre o volume do cilindro e do cone
Um problema bastante comum em provas de vestibulares e concursos é a comparação entre o volume do cilindro e o volume do cone. Vale ressaltar que o volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro que possui mesma altura e mesmo raio. Para saber mais sobre esse cálculo, acesse nosso texto: Volume do cilindro.
A secção do cone forma uma figura conhecida como tronco de cone, que é a base do cone sem o vértice.
Secção do cone
Com a secção do cone, teremos a seguinte figura:
O volume do tronco de cone é calculado por:
R: raio maior
r: raio menor
Acesse também: Quais são os critérios para se classificar um triângulo?
Questão 1 - Um reservatório foi construído no formato de um cone reto, com raio de 4 m e altura de 3 m. Para a conservação do reservatório, foi contratado um pintor que cobra R$3,00 por m² para pintar a área externa. Diante dessa situação, qual será o valor gasto para pintar o reservatório todo? (Use π = 3,14)
a) R$ 340,98
b) R$500,00
c) R$75,00
d) R$ 113,04
e) R$ 339,12
Para calcular a área a ser pintada, precisamos calcular a área total do cone:
Porém, não conhecemos a geratriz do cone, que é dada por:
Agora é possível calcular a área total:
At = 3,14 . 4 (4+5)
At = 12,56 . 9 = 113,04 m²
Sabendo que cada metro quadrado tem um custo de R$ 3,00, o valor gasto será de:
113,04 . 3 = 339,12
Questão 2 - Qual a capacidade de um reservatório que possui raio igual a 10 m e altura igual a 15 m?
b) 1500π
d) 150π
e)1500
Para calcular o volume, temos que:
Entenda o que é tronco de um cone e saiba como calcular seu volume e sua área total. Conheça os elementos desse sólido geométrico e resolva exercícios sobre o tema.