Hoje vamos ver uma aula de geometria plana, vamos estudar tudo sobre os polígonos.
Pessoal, nessa videoaula de geometria plana sobre polígonos são estudadas suas classificações, propriedades, número de diagonais, ângulos internos e externos. Aula fundamental e introdutória ao assunto de geometria. Bons estudos!
E se você quiser um aprofundamento maior sobre o conteúdo, assine a plataforma Professor Ferretto. Na plataforma você terá acesso a um curso completo de matemática para o Enem e para o vestibular. Com videoaulas, exercícios resolvidos, material didático e muito mais! Assine lá, para você aprender muita matemática com o Professor Ferretto.
1. POLÍGONO CÔNCAVO E POLÍGONO CONVEXO
Estão desenhados na figura acima dois polígonos, cada um deles com 5 lados.
Para diferenciar um polígono côncavo de um convexo, basta desenhar uma reta e verificar:
– se essa reta interceptar o polígono em mais de dois pontos, nós temos um polígono côncavo;
– se essa reta interceptar em no máximo dois pontos, nós temos um polígono convexo.
Por exemplo, vamos traçar retas no polígonos vistos:
Se nós traçarmos uma reta no polígono da esquerda ela irá interceptar o polígono em 4 pontos, isso porque nós temos uma concavidade no polígono, caracterizando esse polígono, como sendo um polígono côncavo.
Se traçarmos uma reta no polígono convexo ela irá cruzar em no máximo dois pontos, por isso este é um exemplo de polígono convexo.
Para nós o mais importante é apenas o estudo acerca dos polígonos convexos, apenas a parte teórica sobre o que é um polígono côncavo é importante. Mas para a parte de cálculo na matemática do ensino médio o mais importante é o estudo dos polígonos convexos. Então, vamos ver agora a nomenclatura dos polígonos:
Pessoal, o nome do polígono está diretamente relacionado com o número de lados desse polígono. Por exemplo, se o polígono possui 3 lados, então ele possui 3 vértices e o nome dele é triângulo, também chamado de trilátero. Além disso, o polígono que tem n lados terá n vértices.
Vamos ver agora o que é a diagonal de um polígono e como calcular o número de diagonais de um polígono.
2. NÚMEROS DE DIAGONAIS
Diagonal de um polígono é o segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono.
Por exemplo, o pentágono tem 5 lados e, consequentemente, 5 vértices. Se eu unir dois vértices consecutivos eu vou ter um lado do polígono. Mas se eu unir dois vértices não consecutivos, nós temos uma diagonal deste polígono.
Vejam que no polígono acima temos as diagonais traçadas. É importante destacar que no pentágono o número de lados é 5 e o número de diagonais também é 5. O pentágono é o único polígono que o número de diagonais é exatamente igual ao número de lados. No entanto, quando o polígono tiver mais de 5 lados, não vale a pena sair desenhando e contanto as diagonais.
Por isso, o número de diagonais de um polígono de n lados é dado por:
Por exemplo, no pentágono, se nós substituirmos n = 5, nós teremos o número de diagonais:
Vamos fazer exercícios para vocês aprenderem direitinho sobre o número de diagonais do polígono.
1) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.
Conforme informa a questão, o número de diagonais (d) é 4 vezes o número de lados (n), ou seja, d = 4n. Logo:
Como o polígono tem 11 lados ele é denominado de undecágono.
2) Determine o número de lados de um polígono convexo, sabendo que de um dos seus vértices partem 15 diagonais.
Nessa questão, não sabemos quantos lados tem esse polígono, mas vamos desenhar alguns lados para entender melhor o que está acontecendo. Temos a informação de que do vértice A, por exemplo, partem 15 diagonais. Assim, sabendo que cada uma delas é ligada à um vértice, teremos 15 vértices.
No entanto, como você pode ver na imagem abaixo, dois vértices não recebem diagonais, pois ao ligarmos o vértice A com estes dois vértices, formam-se lados e não diagonais. E se contarmos mais o vértice em que partem as 15 diagonais, temos um total de 18 vértices.
Como vimos anteriormente, o número de vértices é exatamente igual ao número de lados, assim, este polígono tem 18 lados.
Fácil né!? Pessoal, vamos ver agora a soma dos ângulos internos e externos de um polígono.
3. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS
Vejam só, nós temos na figura abaixo um pentágono. Reparem que ele tem 5 lados e, consequentemente, 5 vértices. Então, se ele tem 5 vértices, ele também tem 5 ângulos internos. Mas como descobrir a soma desses 5 ângulos internos deste polígono?
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por:
É importante vocês perceberem o seguinte, tanto a soma dos ângulos internos quanto o número de diagonais elas não dependem do formato e sim do número de lados. Então, como temos um polígono de 5 lados, basta substituir o n = 5 e teremos a soma dos ângulos internos deste polígono:
Vejam que, nesse mesmo item nós temos a soma dos ângulos externos. No entanto, é preciso ter muita atenção, pois a maioria das pessoas pensam que a soma dos ângulos externos é tudo o que está do lado de fora do polígono. Mas, para encontrar o ângulo externo nós devemos prolongar os lados do polígono e aí então, nós conseguiremos visualizar os ângulos externos. Vejam a ilustração a seguir:
Cada ângulo interno possui um ângulo externo. Agora reparem o seguinte, em cada um desses vértices, a soma do ângulo interno com o ângulo externo representam um ângulo de 180°, ou seja, um ângulo raso.
Quando nós temos dois ângulos que se complementam e essa complementação resulta em 180°, então, nós temos ângulos suplementares. Então pessoal, em qualquer polígono, o ângulo interno somado ao seu respectivo ângulo externo, resultará em ângulos suplementares, ou seja, a soma será sempre 180°.
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é dada por:
Desta forma, a soma dos ângulos externos é sempre 360°, independentemente do número de lados.
Vamos fazer um exercício pra ficar mais clara essa ideia da soma dos ângulos de um polígono.
1) Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulo externos.
A questão está informando que:
Como sabemos a soma dos ângulos externos é sempre 360°, e a soma dos ângulos internos é:
Então, basta substituirmos na informação dada pela questão e descobrir o número de lados.
Dessa forma, como são 10 lados, o polígono se chama decágono.
Chegamos ao final de mais um texto, e eu espero que tenha sido muito proveitoso para vocês! É muito importante que vocês refaçam os exercícios dados para aprender direitinho o conteúdo e saber tudo na prova do Enem e do vestibular.
Além disso, vejam o vídeo anexado abaixo e acompanhem o texto e as explicações. Também vejam mais exercícios sobre a soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo e refaçam os exercícios dados para fixar bem o conteúdo. Certo pessoal?