Revisão - Números, sequências e funções - Funções clássicas e
Funções clássicas e limite de uma função - Teoria
Funções Clássicas, movimentos de gráfico, limite de uma função.
Dando continuidade aos nossos tópicos que foram abordados, vamos falar a respeito de algumas funções clássicas muito importantes para o Cálculo I. A primeira delas é a função y igual a ax.
Ela pode ser escrita de duas maneiras. Quando esse termo a, daqui, que representa essa ax uma função afim de primeiro grau, quando esse a for positivo, a nossa função é sempre crescente.
Agora, quando nosso a for negativo, aí, sim, a função é sempre decrescente. Tem essa inclinação.
OK? Essas daqui são as funções de primeiro grau.
OK? Outra função importante é a y igual a ax² mais bx mais c.
Essas funções são representadas num formato de parábolas. São funções de segundo grau.
Quando a é positivo, a parábola tem concavidade para cima. E quando a é negativo, a parábola tem concavidade para baixo.
A função y igual a exponencial de x também é muito importante de ser estudada e tem esse jeitão. A seno e a cosseno são funções trigonométricas.
Lembrando que seno de zero é zero, então sempre parte aqui do zero. Tem mais ou menos esse jeito.
Enquanto que a cosseno parte sempre do 1, né? Porque cosseno de zero é 1.
Então, fazendo mais ou menos esse jeitão daqui. E a ln de x, que tem como principal formato esse jeitão, cortando sempre aqui no 1, ln de 1 é sempre zero.
Vamos definir o que são funções crescentes e decrescentes. Uma função f é chamada de crescente em um intervalo I, perceba, se f de x1 é menor do que f de x2 quando x1 é menor do que x2 em I.
Repare que f de x1 equivale a este ponto daqui e f de x2 equivale a este ponto daqui. Como, em y, f de x2 é maior do que x1, por mais que x2 seja maior do que x1, observe que o gráfico vai crescendo.
O sentido da seta vai sendo sempre na direção crescente da curva. Portanto, neste intervalo entre x1 e x2, a função f que eu tenho aqui é uma função crescente.
Agora, perceba que entre x2 e x3 essa função vai decrescendo. Ela vai diminuindo de tamanho.
Ela sai de f de x2 em y, de valor grande, e chega até f de x3 quando nós temos aqui em x3, que é um valor menor do que f de x2. Portanto, a função é dita descrescente.
Vamos tratar agora sobre alguns movimentos no gráfico, que dizem respeito a translações, reflexões e etc. do gráfico.
Para isso, considere a função y igual a f de x desenhada em preto aqui no nosso gráfico. Se eu estou deslocando algumas unidades para a direita, eu estou fazendo f de x menos c.
Repare um segredo aqui. Toda vez que eu tô mexendo em elementos dentro do x, eu estou trabalhando com mudanças no domínio da função.
Então, toda vez que eu mexo f de x mais ou menos vou colocar um valor aqui, c, que é o que tá igual ao desenho se eu tô mexendo aqui dentro, eu estou mexendo no meu domínio. Portanto, a função ou vai andar para a direita ou vai andar pra esquerda.
Nesse caso daqui, quando eu tenho um sinal de menos, eu posso pegar esse x menos c, igualar a zero e verificar que x é igual a +c. Eu estou andando no sentido positivo do eixo x quando eu tô andando pra onde?
Pra esquerda ou pra direita? Números positivos estão sempre tendendo à direita, concorda?
Conforme nos afirma esse termo daqui. Portanto, a função está deslocada para a direita.
Quando é o contrário, quando eu tenho x mais c igual a zero, x igual a -c, repare que o sinal de menos nos indica que a função está tendendo a valores menores, que, no caso da reta real, estão mais à esquerda da curva. Então, isso daqui é só um macetezinho pra você tentar entender a respeito dessa diferença entre as funções, entre essas translações.
Agora, quando eu estou mexendo do lado de fora, ou seja, quando eu estou acrescentando ou subtraindo à função f um termo c, quando eu mexo aqui do lado de fora, eu estou mexendo com relação à imagem da minha função. Portanto, ou eu subo ou eu desço com relação a ela.
É o caso daqui. Eu tinha y igual a f de x, e portanto eu subi ela de c unidades, ela saiu daqui e subiu em y repare que em x ela ficou sobre o mesmo ponto, não mudou, em x ela continua a mesma, só o que ela mudou foi em y e quando eu diminuo, ela parte aqui e vai pra cá.
Existem também as chamadas reflexões. Eu tenho a função y igual a f de x e vou ter uma c vezes f de x de novo, eu estou mexendo do lado de fora, portanto estou alterando a imagem da função, a imagem da função é multiplicada c vezes pra cima.
Ou, quando ela é dividida, no caso, ela tava aqui, ela é dividida c unidades de novo, eu mexo do lado de fora, eu mexo na imagem eu acabo que desço com essa função. Ou ela pode ser refletida de duas formas.
Se ela é refletida ao redor do eixo y, significa que eu viro ela em relação ao eixo y. Portanto, ela espelha pra esse outro lado.
Ou, quando eu tenho essa e giro ao redor do eixo x, eu espelho e chego com uma função igual a essa. Ela tá refletida com relação ao eixo.
Nesse sentido, nós temos as expansões e reflexões do gráfico de f. O limite de uma função vai finalizar a nossa aula de hoje.
Considere uma função y igual a f de x desenhada daqui. Nós temos num ponto 2, aleatório, um valor de imagem igual a 4.
Repare que eu posso afirmar que, para cada valor de x tendendo a 2, eu tenho o limite equivalente a 4. Então, eu posso reescrever este gráfico como limite quando x tende a 2 de f de x igual a 4.
Perceba, a cada vez que eu me aproximo mais de 2, eu subo até a função e verifico que esse valor, cada vez mais, é próximo de 4. Portanto, tende a 4.
A mesma coisa aqui nesse caso. Repare: eu posso reescrever, né, que cada vez mais perto que eu chego de x1, a função chega mais perto de y1.
Portanto, posso reescrever que o limite, quando x tende a x1 de f de x, é igual a y1. Repare que esse valor não precisa necessariamente ser y1.
Ele tende a x1. Por exemplo, qual vai ser o limite da função f, que tá desenhada aqui, quando x tende a 2, por exemplo?
Repare, é só vindo aqui, pra cada valor bem próximo de 2, a função vai chegando bem perto do número 3. Muito simples, né?
Portanto, o limite quando x tende a 2, a valores bem próximos de 2, da função f, equivale a 3 unidades. Portanto, pessoal, essa foi a nossa aula de hoje.
Nós terminamos por aqui. Na próxima aula, nós vamos falar um pouquinho a respeito de limites laterais.
Ou seja, vamos dar continuidade a essa teoria de limite, falando ainda sobre alguns limites infinitos e algumas propriedades fundamentais, começando o estudo do cálculo diferencial. Até a próxima!