FATOS MATEMÁTICOS: Álgebra Elementar Versus OBMEP
As Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) é um projeto que tem como objetivo estimular o estudo da matemática e revelar talentos na área. Criada em 2004, a OBMEP é uma competição matemática destinada aos alunos do ao ano e do ensino médio com questões nas áreas geometria, aritmética, combinatória e probabilidade. Neste post, apresentaremos algumas questões da fase da OBMEP de aplicada aos alunos do ao ano nível . Para cada questão apresentada, iremos resolver o problema usando Álgebra Elementar e em seguida apresentaremos a solução da OBMEP. Questão 1: As ruas de Quixajuba formam uma malha de retângulos iguais. A figura abaixo mostra, em parte do mapa de Quixajuba, os caminhos percorridos por Alfredo, Bela e Cecília de suas casas até a praia. Nesses caminhos Alfredo e Bela percorrem respectivamente, e . Qual a distância em metros, que Cecília percorre?
A) B) C) D) E) Resolução 1: (Através da Álgebra) Sejam e as dimensões de cada quarteirão. Para Alfredo, temos a seguinte expressão e para Bela
Fazendo , temos , de modo que . Logo, Cecília percorreu .
Resolução 2: (Solução da OBMEP) Os caminhos de Alfredo, Bela e Cecília consistem de segmentos horizontais, todos de mesmo comprimento, e segmentos verticais, também todos de mesmo comprimento. Todos percorrem o mesmo número de segmentos horizontais. Alfredo percorreu dois segmentos verticais e metros a mais do que Bela; logo, cada segmento vertical equivale a de metros. Como o caminho de Bela tem apenas um segmento vertical, o comprimento total dos segmentos horizontais é metros. Finalmente, o caminho de Cecília tem dois segmentos verticais; ela percorreu então até a praia. Questão 2: A balança da figura está equilibrada. Os copos são idênticos e contém, ao todo, gramas de farinha. Os copos do prato da esquerda estão cheios até a metade de sua capacidade. Qual é o peso, em gramas, de um copo vazio?
A) B) C) D) E) Resolução 1: (Através da Álgebra) Seja a quantidade de farinha em um dos copos dmo prato da direita e o peso de cada copo. Assim, pelo enunciado temos o seguinte sistema linear: Da primeira equação, segue que e da segunda equação, obtemos . Logo, o peso em gramas de um copo vazio é igual a . Resolução 2: (Solução da OBMEP) No prato da direita temos três metades de copo de farinha; no prato da esquerda temos dois copos cheios, o que é o mesmo que quatro metades de copo de farinha. Como ao todo temos gramas de farinha, o que equivale a sete metades de copos, cada metade equivale a gramas de farinha. Logo, no prato da esquerda temos gramas de farinha e no da direita temos gramas de farinha, ou seja, há gramas de farinha a mais no prato da direita. Por outro lado, há um copo a mais no prato da esquerda; como os copos são idênticos, esse copo extra equilibra a farinha extra equilibra a farinha extra do prato da esquerda; concluímos que um copo vazio pesa gramas. Questão 3: João fez uma viagem de ida e volta entre Pirajuba e Quixajuba em seu carro, que pode rodar com álcool e com gasolina. Na ida, apenas com álcool no tanque, seu carro fez por litro e na volta, apenas com gasolina no tanque, fez por litro. No total, João gastou litros de combustível nessa viagem. Qual a distância entre Pirajuba e Quixajuba?
A) B) C) D) E) Resolução 1: (Através da Álgebra) Seja a distância entre as cidades. Note que
é a quantidade de álcool consumido na ida e que é a quantidade de gasolina consumido na volta. Como foi gasto no total de combustível, então
ou seja, . Resolução 2: (Solução da OBMEP) Vamos chamar de a distância entre Pirajuba e Quixajuba. Qualquer que seja o combustível utilizado, temos que litros consumidos quilômetros por litro. Isso mostra que as grandezas "litros consumidos" e "quilômetros por litro" são inversamente proporcionais (pois seu produto é constante). Desse modo, podemos escrever
Basta então achar uma fração equivalente a na qual a soma do numerador com o denominador seja . Essa fração é ; ou seja, João gastou litros de álcool na ida e litros de gasolina na volta. Logo a distância entre Pirajuba e Quixajuba é .
Comentário: As soluções destas questões apresentadas pela OBMEP segue uma linha em que prioriza exclusivamente o raciocínio lógico em detrimento aos métodos tradicionais, econômicos e de amplo alcance oriúndos da Álgebra Elementar. A preferência ao raciocínio lógico é importante, mas não reflete a matemática que ensina-se nas escolas públicas e poucos professores estão preparados para tal método. Além disso, esta forma de pensamento é uma qualidade inata a poucos estudantes e muitos podem sentir-se frustrados após um baixo rendimento nesta competição. Particularmente, tenho preferência pelo raciocínio algébrico a qual contribui para o desenvolvimento do formalismo matemático. Tenho dúvidas se a OBMEP com esta política irá de fato estimular o estudo da matemática e revelar talentos nesta ciência. Recomendo aulas de reforço com lições de Álgebra Elementar para as escolas que desejam aumentar o desempenho de seus alunos na OBMEP.
"Tem-se o mito de que o talento matemático desenvolve-se apenas nos jovens, mas vale a pena lembrar que Karl Weierstrass, o maior analista do século XIX publicou seu primeiro artigo que lhe trouxe fama mundial aos 39 anos de idade."
- Comentários Sobre a OBMEP;
- A Álgebra do Omar Khayyam;
- Matemática Elementar por Isaac Newton.
Anônimo8 de junho de 2012 04:08Olá. Muito boas as resoluções, porém discordo quando fala que as escolas devem dar uma aula de reforço de Álgebra aos interessados na OBMEP. Quer dizer, para ir bem na OBMEP isso é algo positivo. Mas na OBM você raramente vai bem com um pensamento "mecanizado" e "automatizado" que a álgebra por muitas vezes providencia, pois a álgebra, em uma terceira fase de OBM, é algo que é comum a todos. "Ganha" quem for capaz da maior inventividade, do maior poderio de raciocínio. Então, deixo aqui meu contra-argumento: Podemos fazer, através do reforço em Álgebra Elementar, alunos melhores na OBMEP, mas será que isso vale tanto a pena para formar um aluno realmente competente em PENSAR matematicamente? Enfim, apenas essa contestação que gostaria de fazer, pois o post foi impecável. Abraços, Antônio.ResponderExcluirAnônimo8 de junho de 2012 15:39Gostaria de manifestar minha opinião.- De acordo com sua figura, a resposta da questão 1 é a letra (B). - Como o professor mesmo menciona, o pré-requisito necessário para solucionar o problema a seu modo é álgebra elementar. Em contra partida, para solucionar ao modo da OBMEP o pré-requisito é aritmética elementar. Isto significa que não é NECESSÁRIO saber álgebra para resolvê-los. As soluções podem ser alcançadas de maneira mais simples. Talvez é por isto que a OBMEP resolve publicá-las, por se tratar de ensino fundamental.- O professor diz que "A preferência ao raciocínio lógico é importante, mas não reflete a matemática que ensina-se nas escolas públicas e poucos professores estão preparados para tal método". Eu não creio que seja sensato a OBMEP se pautar nas deficiências das escolas para publicar suas soluções (sim, ao meu ver isto é uma deficiência).- O prof. também diz que "esta forma de pensamento é uma qualidade inata a poucos estudantes e muitos podem sentir-se frustrados após um baixo rendimento nesta competição". Em primeiro lugar, tenho dúvidas a este respeito. Para quem não conhece álgebra (como a maioria dos alunos do nível ao qual a prova se destina) a solução da OBMEP é certamente mais natural. É evidente que para aqueles que possuem raciocínio mecanizado, as soluções algébricas surgem mais espontaneamente. Em segundo lugar, creio que é justamente os "poucos que possuem esta qualidade inata" que a OBMEP está querendo encontrar. Em 3º lugar, frustração faz parte da vida, e as crianças têm que aprender a lidar com isso desde cedo. Não quer se frustar? Faça por merecer. Entretanto, eu não creio que elas se frustem por isso e, mesmo que eu estiver errado, seria muito mais frustrante para a criança ver que OBMEP apresenta uma solução cujos pré-requisitos ela não possui. Em 4º lugar, a solução que a OBMEP publica, ao menos na 1º fase, não influi na nota; o que importa por enquanto é colocar o x no local certo.- Não entendo sua dúvida sobre se a OBMEP vai conseguir "revelar talentos", pois como o professor mesmo vem enfatizando, são poucos os aptos a resolverem a prova nos moldes das soluções da OBMEP. Portanto, sem dúvidas, eles se tratam de talentos em comparação com a maioria.- Creio que sua recomendação é a maneira mais fácil de contribuir para melhorar o desempenho dos alunos, afinal é mais fácil ensinar álgebra do que ensinar a pensar logicamente (embora esta segunda alternativa seja, talvez, mais fundamental).- Não estou dizendo que a solução algébrica não exige esforço de raciocínio. Estou dizendo que exige uma forma diferente de pensamento. Do modo da OBMEP, tem-se que pensar logicamente do inicio ao fim; eu diria até que o aluno tem que estar plenamente consciente da interpretação física da situação. Do modo do professor, tem-se que interpretar o problema a fim de extrair e relacionar as incógnitas fornecidas e, após isto, tudo não passa de manipulação algébrica (na qual se extraí por completo os significados dos objetos que estão sendo tratados).- Para encerrar, saliento que, segundo entendo, as habilidades desenvolvidas em ambas as soluções são necessárias para qualquer um que intente prosseguir carreira na área das exatas. Talvez a OBMEP peque em ñ divulgar soluções alternativas, mas o seu post ajudou a suprir esta carência.ResponderExcluirProf. Paulo Sérgio8 de junho de 2012 16:30Caro leitor o qual não quis identificar-se, não tenho mais as provas em minhas mãos, realmente houve um erro na confecção da figura da questão 1 acima o qual já foi corrigida para ficar de acordo com a solução.Quando o leitor diz que "as soluções podem ser alcançadas de maneira mais simples", não concordo que em geral a Aritmética seja mais simples que a Álgebra, podemos dizer que são duas formas de pensar distintas. Além disso, o termo "mais simples"é relativo a experiência de cada um, isto serve para mim e também para as outras pessoas. Não se deixa de usar o raciocínio lógico usando Álgebra Elementar para resolver as questões. Temos que lembrar também que a prova é aplicada aos alunos do sexto ao nono ano, de modo que muitos deles já tiveram contato com a Álgebra.Ao que parece, para a OBMEP somente aqueles alunos que possuem qualidades acima da média ou um talento inato terão o privilégio de estudar seriamente matemática. Mesmo que isso seja verdade, pode ser este talento aparece em alguns alunos anos mais tarde, o próprio Einstein era considerado pelos seus professores um aluno mediano.Um dos objetivos deste post é realmente mostrar a falha da OBMEP de não apresentar soluções alternativas para alguns problemas e também alertar que qualquer um pode prosseguir carreira nas áreas exatas, desde que seja esforçado.Indiferente das divergências de pensamento, agradeço aos leitores pelos comentários acima.ResponderExcluirRespostasAnônimo10 de junho de 2012 02:20Não quero me identificar, pois imagino que meu comentário pode ser mal interpretado. Concordo que, em determinados contextos, a expressão "solução mais simples" pode ser relativa à experiência, entretanto, no meu discurso ela significou exatamente "solução com menos conhecimento prévio necessário". A propósito, "ter contato" com álgebra é diferente de ter facilidade para resolver questões utilizando álgebra.Como o professor, não acho que só esta classe de alunos mencionada terá o privilégio de estudar seriamente (se eu pensasse assim já teria desistido faz tempo. Mas ainda estou lutando contra o sistema e espero conseguir algo antes de desistir). Por outro lado creio que é sim somente eles que o OBMEP quer e , por hora, só eles desfrutarão dos privilégios de bolsa da OBMEP e etc (o que é um erro gravíssimo a meu ver). Mas o restante pode se esforçar e até se sair melhor do que estes no futuro. Concordo totalmente e apoio o seu último parágrafo.Por fim quero me retratar por ter dito "Não quer se frustrar? Faça por merecer". Quando escrevi isso não tinha em mente alunos que sentem prazer na matemática e que podem realmente se frustar por irem mal na prova. Por incrível que pareça tinha em mente os "que não querem nada com nada" e que são obrigados a fazer a prova (algumas escolas obrigam os alunos!). Eu mesmo poderia me enquadrar na categoria dos frustrados, pois apesar de nunca me faltar dedicação na época da escola ñ me destaquei em nenhuma OBMEP. Entretanto, mesmo assim, entrei num curso de matemática. Talvez o Brasil realmente saísse ganhando mais se, em vez de beneficiar somente uns poucos seletos, os incentivos da OBMEP estivessem disponíveis a todos que tem vontade de estudar matemática. Mas por enquanto este tipo de coisa só existe na nossa idealização.Parabéns pela coragem de publicar este post com esta crítica.Anônimo 8 de junho de 2012 15:39ExcluirResponderAnônimo8 de junho de 2012 22:04Olá, professor. Concordo quanto ao ponto de cada aluno manifestar habilidades em determinado ponto do percurso. Tive um aluno há alguns anos que não ia bem na OBMEP, até que no ano seguinte tirou medalha de ouro, e hoje em dia disputa em alto nível (OBM e internacionais).Porém, a OBMEP, como iniciativa, dá dicas de seu verdadeiro propósito: Revelar talentos para garantir ao Brasil medalhas (e, portanto, prestígio) em competições internacionais. Talvez por isso a preferência pelos mais "novos", pois assim poderiam ter mais chance de acerto e mais tempo para lapidá-los, de modo a torná-los excelentes. Concordo também na última coisa que falou: Qualquer um pode, com esforço, ter sucesso em exatas, e a OBMEP deveria também dar outras soluções a alguma questões; entretanto, como disse em meu primeiro comentário, isso foge à motivação implícita da OBMEP de criar alunos excelentes para competições de alto nível, por isso à preferência pelo pensamento lógico e não pela utilização de álgebra. Abraços,Antônio.ResponderExcluirAnônimo17 de julho de 2012 21:11Juntemos os seguintes ingredientes: professores sem capacitação ou desmotivados e alunos desinteressados (devido ao sistema educacional) ou sem quase nenhuma habilidade ou competência. O quadro já é imaginável, com certeza. Numa classe de 40 alunos do 9º ano, creio que no máximo 5 deles conseguiriam resolver usando apenas Raciocínio, sem muitas intervenções, e a partir disso compreender a formalização utilizando-se a Álgebra. Os demais, ah, os demais ...ResponderExcluirAnônimo23 de agosto de 2012 01:38Desafio o qual não entendi. pode ajudar?*Você tem 10 copos, cada um preenchido com 10 bolinhas de metal. Em um dos copos as bolinhas pesam 9gr no restante dos copos pesam 10gr.Você não pode sentir, nem ver a diferença.Para resolver esse problema você tem um copo vazio de qualquer tamanho e pode usar uma vez a balança.Qual é o processo para descobrir em que copo estão as bolinhas de 9 gramas.ResponderExcluirRespostasProf. Paulo Sérgio25 de agosto de 2012 10:39Pensei sobre este assunto e não encontrei solução. Espero que algum leitor saiba a solução. ExcluirResponderAdicionar comentárioCarregar mais...