Tópico IV –A MECÂNICA ONDULATÓRIA DE SCHROEDINGER
TÓPICO IV – A MECÂNICA ONDULATÓRIA DE SCHROEDINGER
O tempo disponível é insuficiente para o tratamento dos itens (*). Tal informação será dada aos professores de Física Moderna 2.
IV.1 Significado de função de onda para as partículas na interpretação de Max Born. O (novo) conceito de estatística na mecânica ondulatória de uma partícula.
IV.2.As grandezas físicas de uma partícula e suas representações na mecânica ondulatória no espaço-tempo. Interpretação física dos valores médios e desvio padrão de grandezas físicas de uma partícula, e suas relações com as medidas destas grandezas.
IV.3 A equação de Schroedinger para a função de onda da partícula no espaço das configurações: a equação dependente do tempo e a equação independente do tempo e o significado dos estados estacionários.
IV.4 As equações de auto-funções de uma grandeza física. O significado físico das auto-funções e dos auto-valores.
IV.5 Soluções da equação de auto-estados de energia em potenciais unidimensionais para estados ligados da partícula: o potencial unidimensional infinito e finito, o oscilador hamônico unidimensional. O efeito de penetração em regiões classicamente proibidas nos potenciais unidimensionais. As condições sobre os auto-estados de energia e a possibilidade de normalização e sua relação com a quantização da energia.
IV.6 A solução da equação de auto estado para uma partícula livre: discussão da impossibilidade de normalização e a conservação da partícula. Os auto-estados de energia de potenciais não ligados unidimensionais – o efeito túnel.
IV.7 (*) Os estados não estacionários e as transições entre estados.
IV.8 (*) A equação de Schroedinger para potenciais tridimensionais centrais: a conservação e quantização do momento angular orbital e uma de suas componentes.
IV.9 (*) A equação de Schroedinger para o potencial coulombiano atrativo na descrição do átomo de hidrogênio: a parte radia da onda e a quantização da energia; a degenerescência nos auto-estados de energia do átomo de hidrogênio: estados de diferentes momentos angulares com a mesma energia; comparação dos resultados da mecânica quântica com o modelo de Bohr e os resultados experimentais
1. Modern Physics for scientists and engineers de Thornton & Rex; Copyright Ó2000 by Saunders College Publishing; Cap. 6 e parte do Cap. 7.
2. Física Quântica do Eisberg e Resnick; Editora Campus,Cap.3 (IV.3) e Cap.5,6 e 7
3. Física Moderna de Paul Tipler e Ralph A . Llewellyn; Copyright Ó 2001 da LTC. Capítulo 6 início do cap. 7
4. Introduction to Atomic Physics de Enge, Wehr e Richards; Copyright Ó1972 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc.; Cap. 5 (IV.1), Cap. 6 e parte do Cap. 7
3. Modern Physics de Serway, Moses e Moyer; 2º edição CopyrightÓ2000 da Saunders College Publishing; parte do Cap. 5, Cap. 6 e parte do Cap. 7 (IV.4).
Segue uma lista mínima de questões para serem trabalhadas pelos estudantes. Há outras questões de interesse no final dos capítulos citados nas referências.
QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO IV
Obs. As questões (*) se referem aos temas que não serão abordados adequadamente no tempo disponível.
â As funções de onda da partícula no espaço-tempo, operadores diferenciais e funções que representam grandezas físicas.
J Compreender é indispensável!!! L Calcular faz parte do processo para se chegar à compreensão.
1. A função de onda Y(x,t) de uma partícula em movimento unidimensional tem sentido físico, segundo a interpretação de Max Born?
(b) Diga, em palavras, o significado físico da função ôY(x,t)ô2.
(c) Se Y(x,t) for uma função de onda, AY(x,t) também representar a função de onda de uma partícula? Justifique.
(d) Qual a diferença mais fundamental entre a distribuição de posições que descreve estatisticamente um sistema clássico, e a densidade de probabilidade na mecânica quântica?
(e) Pode-se prever o resultado da medida da posição x da partícula no instante t num sistema bem descrito pela física clássica? E num sistema quântico? Justifique
(f) O que você entende por "determinismo" na física clássica? Este determinismo vale na mecânica ondulatória de partícula? Justifique.
2. Quando se trabalha com as funções de onda no espaço-tempo Y(x,t) quais as grandezas físicas que devem ser representadas por "operadores diferenciais" na mecânica quântica de Schroedinger? Quais devem ser representados por funções? Por que? Justifique.
3. Se Y(x,t) é função de onda de uma partícula de massa m, dê o significado físico das seguintes expressões:
a) Y*Ydx b) c) d)
4. Uma partícula tem funções de onda em termos da posição x e do instante t dadas por:
para 0≤x≤a
para x£o e x³a
a é constante conhecida com dimensão de comprimento, n são números inteiros maiores ou igual a 1, e A é uma constante.
(a) Você pode dizer, a partir da informação dada, se o movimento da partícula é uni, bi ou tridimensional? Justifique.
(b) Determine a constante A em termos dos dados da questão.
(c) Faça um gráfico de ïY(x,t)ô2 versus a posição x para n=1 e n=2. Qual o valor numérico e o significado físico da área sob as curvas?
(d) Quais os valores mais prováveis, os menos prováveis e os valores médio da posição da partícula nos quando n=1 e n=2? Justifique.
(e) Em termos de medidas experimentais, o que significa o valor mais provável da posição, o valor menos provável da posição, e valor médio da posição de uma partícula?
(f) Os valores do item (e) variam com o tempo? Justifique.
(g) Qual a probabilidade de encontrar a partícula na posição mais provável? E na menos provável?
(h) Determine a probabilidade de encontrar a partícula entre a posição x = a/4 e a posição x=a/2 para n=1. Esta probabilidade depende do tempo? Comente.
(i) Seria a quantidade de movimento desta partícula uma constante de movimento? Se sua resposta for positiva, determine este valor para n=1. Se for negativa determine o valor médio (para n=1).
(j) Seria a energia cinética desta partícula uma constante de movimento? Se sua resposta for positiva, determine este valor para n=1. Se for negativa, determine o valor médio.
5. A auto função de energia de uma partícula de massa m tem sua parte espacial dada pela função:
w é uma constante conhecida.
a) Calcule <x>, <x2> e Dx desta partícula. Diga o significado físico de cada um destes valores.
b) Determine os seguintes valores associados ao momento linear: <p2>,<p>2 e Dp
c) Mostre que os resultados dos itens (a) e (b) são compatíveis com o princípio de incerteza.
6. Uma partícula de massa m está em um auto-estado de energia em seu movimento unidimensional não relativístico, cuja função de onda é dada por:
w é constante conhecida, x é a posição que pode tomar valores positivos e negativos, e t o instante.
a) Determine a constante C Justifique as razões físicas do seu cálculo.
b) Diga todas as propriedades que a função acima tem e que permitem que ela represente a função de onda de uma partícula de massa m.
c) Determine o valor da densidade linear de probabilidade da partícula. Esboce um gráfico desta densidade linear de probabilidade.
d) Qual é a(s) posição(ões) mais provável(eis) da partícula neste estado quântico? O que significa posição mais provável em termos de medidas experimentais?
e) Seria o da partícula uma constante? Se for constante, determine o valor de px. Se não for constante, determine o chamado valor médio ou valor esperado de .
f) Seria a energia da partícula constante neste estado quântico? Se sua resposta for positiva, determine o valor da energia. Se for negativo, determine o valor médio da energia. Justifique a resposta e a determinação.
g) O que a mecânica quântica pode prever como resultado de uma única medida experimental da posição x da partícula no instante t? E sobre a energia da partícula? E sobre o momento linear? Justifique.
(h) A mecânica quântica pode fazer alguma previsão do resultado de cem (100) medidas da posição da partícula? Da energia? Do momento linear? Justifique.
(i) Use a equação de Schroedinger para determinar a energia potencial dessa partícula.
â A dinâmica das partículas na mecânica de Schroedinger – movimentos unidimensionais e alguns fenômenos impossíveis na mecânica clássica
7. Uma partícula de massa m e velocidade não relativística está confinada em uma caixa unidimensional de largura L e paredes infinitas (impenetráveis). Coloque um extremo da caixa em x=0 e o outro em x=L. A partícula tem uma energia E constante.
a. Faça um gráfico o potencial dado;
b. Como seria o movimento desta partícula, segundo a mecânica clássica? Responda em termos do tipo de movimento, posições ocupadas, valor de energia e quantidade de movimento.
c. Determine as auto-funções de energia e os valores das energias segundo a mecânica quântica.
d. Esboce as funções de onda e as densidades de probabilidade determinadas para os dois estados de energia mais baixa.
e. Seria a quantidade de movimento da partícula uma constante de movimento num dos estados possíveis? e o módulo da quantidade de movimento? Justifique.
f. Compare os seus resultados sobre a posição que a partícula ocupa segundo a mecânica quântica e a clássica(item b).
8. Se a caixa da partícula da questão anterior tem as paredes finitas em x=-L/2 e x=+L/2, quais as respostas do item anterior que mudam? Quais permanecem as mesmas? Justifique.
9. Uma partícula se encontra em um poço como do item anterior porém finito, ou seja, entre x=0 e x=L o potencial tem valor zero, e fora deste intervalo o potencial tem valor positivo e finito Vo.
(a) Esboce um gráfico da energia potencial;
(b) Escreva a equação de Schroedinger e determine as auto-funções de energia para todo x em função de constantes. Diga quais das constantes são necessariamente nulas, e quais são não nulas, e as razões físicas disto;
(c) Faça um esboço das funções de onda em um instante t=0 em um gráfico;
(d) Determine a densidade de probabilidade das partículas versus x. Elas dependem do tempo? Justifique;
(e) Escreva todas as condições físicas que as auto-funções de energia devem obedecer. Dê a razão física para cada uma das imposições que você fez sobre as funções de onda.
(f) As energias deste sistema são quantizadas? Justifique.
10. O que você entende por "penetração da partícula quântica na parede"? Justifique .
11. Considere uma partícula livre de massa m.
(g) Determine a solução da auto-função de energia desta partícula quando vai no sentido positivo de x, e quando vai no sentido negativo de x.
(h) Estas funções de onda são normalizáveis? Justifique.
(i) Qual o seu entendimento do princípio de incerteza no movimento da partícula livre? Justifique.
12. Considere um poço unidimensional dado no gráfico abaixo. O potencial tem valor tendendo a infinito em x 0 (barreira impenetrável).
a) Discuta os movimentos possíveis, em função do valor da energia mecânica E constante, segundo a física clássica.
b) Para o caso E<V0 obtenha as soluções da Equação de Schroedinger para todos os valores de x. Dê as razões físicas para as constantes nulas e não nulas que você adotar em sua solução.
c) Faça o mesmo para o caso de E>V0.
d) Calcule os coeficientes de transmissão T e de reflexão R na situação do item (c). Verifique a validade da conservação da partícula.
e) Calcule R nos casos limites: E®V0 e E®¥.
f) Esboce os gráficos das funções de onda determinadas nos itens (b) e (c).
g) Compare as posições ocupadas pela partícula segundo a mecânica quântica e a clássica.
13. Um elétron caminha da esquerda para a direita, ao longo do eixo x, sujeito ao potencial esquematizado abaixo e com energia total menor que V0.
a) Discuta qualitativamente o movimento do elétron em função da energia, se for válida a física clássica.
b) Determine a função de onda deste elétron em todo o espaço. Diga o significado físico de cada termo da função de onda, para x>0 e para x<0.
c) A função de onda desse sistema é normalizável? Justifique.
d) Calcule o coeficiente de reflexão. Qual o significado físico desse resultado?
e) Suponha que E=10eV e V0=20eV. Qual a probabilidade por unidade de comprimento de se encontrar o elétron em x=5Å? e em x=-5 Å? E em x=0? Compare esses resultados com os da física clássica.
14. Todas as funções de onda são normalizáveis na mecânica quântica de Schroedinger? Justifique.
15. Qual a origem da quantização da energia no formalismo de Schroedinger? Em todos os tipos de movimentos as energias das partículas são quantizadas? Justifique.
16. Considere uma partícula se movendo sob ação de um potencial V(x) como o da figura abaixo. Diga se há valores possíveis de energia total E, se estes valores são discretos ou contínuos nas seguintes condições:
a) E<V0
b) V0<E<V1
a) V1<E<V2
b) V2<E<V3
c) E>V3
17. O que você entende por "efeito túnel"? Você conhece algum processo físico que só pode ser entendido segundo esse efeito?
â A dinâmica das partículas na mecânica de Schroedinger em movimentos tridimensionais – o átomo de hidrogênio. A degenerescência em energia, as funções de onda mistas, as transições entre auto-estados de energia...
18. (*) Considere uma caixa cúbica (espaço tridimensional) de lado L com paredes infinitas.
(a) Escreva a equação de Schroedinger para uma partícula de massa m presa nessa caixa;
(b) Determine a função de onda em todo o espaço para a partícula.
(c) Determine os valores de energia da partícula.
(d) Há estados diferentes com o mesmo valor de energia? Justifique.
19. (*) Quais são os números quânticos que caracterizam um estado quântico de uma partícula sujeita a um potencial central com energia constante? Diga a que grandezas físicas estão associadas cada um destes números, e que valores eles podem ter.
20. (*) No caso do átomo de hidrogênio descrito pela interação atrativa coulombiana quais os valores da energia, módulo do momento angular orbital e componente z do momento angular orbital pode ter o segundo estado excitado, segundo a mecânica ondulatória de Schroedinger? Compare o resultado desta teoria com o do modelo de Bohr e da onda de de Broglie.
21. (*)Quantos diferentes estados atômicos existem com a mesma energia no estado com número quântico principal n no átomo de hidrogênio, segundo a mecânica quântica? Justifique.
22. (*)Um dos estados excitados do átomo de hidrogênio tem uma função de onda dada pela relação:
y(r,q, j) = Ar2 e-r/3a senq cosq e-ij
onde A é uma constante e as coordenadas são esféricas.
(a) Determine os valores do módulo do momento angular, de sua componente no eixo z, e da energia do estado representado por esta função de onda.
(b) Determine a constante A. Diga a razão física do seu procedimento.
23. (*) Segundo a mecânica quântica pode existir um estado atômico do hidrogênio cuja função de onda seja do tipo:
y(r,q,f,t) = a1y100(r,q,f,t) + a2y 210(r,q,f,t)
onde a1 e a2 são constantes e as funções y100(r,q,f,t) e y 210(r,q,f,t) são autofunções de energia?
(b) Os valores das constantes a1 e a2 são arbitrários? Em caso negativo diga qual é a relação que eles devem obedecer.
(c) O que se pode afirmar sobre a energia, o módulo do momento angular e a componente z do momento angular do átomo no estado representado pela função de onda y(r,q,f,t)? Justifique.