Tudo sobre análise combinatória | Mundo Vestibular e Enem
Tudo sobre análise combinatória
Aprenda as principais fórmulas de análise combinatória e aplicações em contas do cotidiano que podem cair no vestibular
A análise combinatória é um ramo muito estudado na Matemática, com aplicações tanto para situações simples no cotidiano quanto para determinar probabilidades e combinações em casos mais complexos onde seja necessário descobrir todas as implicações de um caso.
Em nosso cotidiano, é normal contarmos diretamente as combinações possíveis. Por exemplo: se você vai sair de casa, quando vai escolher algo para vestir vê em seu armário duas camisetas e dois shorts diferentes. Logo, você tem até quatro combinações possíveis de 'looks' para escolher.
Entretanto, quando as combinações são mais complexas e envolvem números maiores, fica mais difícil descobrir os resultados de cabeça. Para isso, a análise combinatória conta com fórmulas e diferentes arranjos para que possamos realizar esses cálculos.
À primeira vista, as fórmulas podem assustar, mas ao trazer os números para situações mais cotidianas fica mais fácil de entender.
Os matemáticos definem o princípio fundamental da contagem (PFC), ou princípio multiplicativo, como um método ou meio para definir o número de possibilidades de fazer "x" ações diferentes e independentes, por meio da multiplicação da quantidade de modos possíveis para fazer cada uma delas.
Ou seja, as possibilidades totais de um evento com diferentes opções são multiplicadas entre si. Vamos a um exemplo prático.
Você ganhou uma promoção de uma loja de roupas em que pode escolher uma camiseta, um sapato e um acessório. Para cada um deles, a loja oferece para você escolher:
uma camiseta azul ou uma camiseta verde ou uma camiseta branca
um tênis ou um sapato social
uma gravata, um lenço, um boné ou uma pulseira
Quantas combinações são possíveis?
Você deve multiplicar os números de possibilidades entre si, usando a seguinte fórmula:
P é o número total de combinações que buscamos. Então, se temos três camisetas (p1), dois sapatos (p2) e quatro acessórios (p3), temos nossos elementos para fazer a conta.
O resultado dessa conta mostra que existem exatamente 24 combinações diferentes possíveis para escolher como prêmio na loja! Viu como é fácil?
Arranjos, combinações e permutações
Como os cálculos nem sempre envolvem situações simples como a anterior, foi necessário desenvolver mais métodos para saber o resultado de outras contas de formas de uma forma um pouco menos complicada para que a conta não ocupe todo o seu caderno.
Nos arranjos, combinações e permutações são utilizados os números fatoriais (x!). Por exemplo, a conta para "3!" é igual a multiplicação de 3x2x1. Ou seja 3!=6.
Nos arranjos, a ordem dos elementos tem relevância na hora de calcular o resultado.
A fórmula simples dos arranjos é a seguinte:
Em um exemplo prático, em um hotel existem seis quartos diferentes disponíveis (n) para reserva e quatro pessoas interessadas (p). A ordem nesse caso importa pois os quartos não são iguais. De quantas formas diferentes (A) os quartos podem ser ocupados?
Ou seja, existem 360 arranjos diferentes para combinar os hóspedes nos quartos disponíveis.
Entretanto, existem algumas modificações na fórmula se quisermos impor regras para o resultado.
Para calcular arranjos onde a ordem importa, mas não é necessário impedir a repetição dos elementos é utilizada a seguinte fórmula:
Um exemplo: Se o seu banco te der a possibilidade de escolher uma senha de 4 dígitos (p), e a senha pode conter números repetidos, existem dez (n) números diferentes de 0 a 9. A ordem aqui também importa, pois a senha 1234 é diferente de 4321. Ou seja:
As permutações são um caso especial de arranjo onde o número de elementos é o mesmo do ao número de agrupamentos, onde:
Os elementos nas permutações também só podem aparecer só uma vez em cada combinação. Você pode usar esse cálculo para saber, por exemplo, para calcular como quatro pessoas podem se sentar em quatro lugares.
Nas combinações a ordem dos elementos não importa para o cálculo. A fórmula utilizada para calcular é a seguinte:
A prefeitura de uma cidade pede para associação de moradores com 8 membros (p) eleger uma comissão com três pessoas (n). Como não há cargos diferentes, tanto faz a ordem das pessoas nessa comissão. Logo:
Portanto, são 56 as formas de compor a comissão.
Exercícios para estudar análise combinatória
Precisa estudar mais este assunto? Confira aqui uma lista de exercícios de análise combinatória com questões que já caíram em diferentes vestibulares do país nos últimos anos.
Ao compreender por completo a análise combinatória, é possível também entender como se dão os cálculos de probabilidade. A probabilidade determina qual é a chance de um evento ocorrer.
Por exemplo, todo fim de ano muitas pessoas apostam na Mega-Sena da Virada. A Caixa, organizadora do sorteio, diz que a chance de uma pessoa acertar por completo uma aposta simples de seis números é de uma em 50.063.860. Qual é o valor dessa possibilidade?
Antes, é importante saber que a fórmula básica da probabilidade é a seguinte:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A
n (A): número de resultados favoráveis
n (Ω): número total de resultados possíveis
Agora, vamos ao cálculo da Mega-Sena. São 60 números disponíveis (elementos) e seis números diferentes escolhidos pelo apostador. A ordem da escolha não faz diferença, portanto usaremos a fórmula de combinação.
Agora, vamos aplicar este número na fórmula de probabilidade:
Ou seja, o apostador tem 0,000002% de chance de ficar milionário com a aposta simples.
A análise combinatória é uma matéria que cai bastante nos vestibulares e você deu um importante passo vindo procurar mais informações sobre esse assunto. Aliás, informação é o que é mais necessário na hora de escolher um curso e a faculdade certa.
Você sabia que toda instituição de ensino superior precisa ser reconhecida pelo Ministério da Educação (MEC)? Isto é essencial para que o seu diploma seja válido e você possa fazer estágios durante o curso. Sem o reconhecimento, não é possível ingressar no mercado de trabalho na sua área de forma legal.
O reconhecimento do MEC também garante que a faculdade tem a estrutura, professores e disciplinas avaliadas com a qualidade necessária para formar um bom profissional.
Já que estamos falando de análise combinatória, vamos diminuir a zero a possibilidade de você errar na hora de escolher sua universidade! Separamos uma lista com faculdades presentes em todo o Brasil e que contam com o reconhecimento do MEC que falamos anteriormente.
Tem alguns outros detalhes muito bons nessa lista: uma ampla variedade de cursos em todas as áreas do conhecimento (humanas, exatas, biológicas), mensalidades com preço justo e adequadas a realidade da maioria dos jovens e trabalhadores, ingresso facilitado por vestibular próprio ou apenas apresentando a nota do Enem e oportunidades únicas de bolsas de estudo disponíveis o ano todo!
Aproveite para conferir cada detalhe da grade curricular do curso desejado, o turno e horário de aulas e a modalidade que você quer: presencial ou ensino à distância. Confira uma lista completa de cursos e faculdades aqui.
Leia também: Conheça os 10 macetes de matemática para o vestibular e Enem
Gostou de aprender mais sobre análise combinatória? Comente pra gente na caixa abaixo outros assuntos de matemática que você gostaria de ver aqui no Mundo Vestibular.