*Caso não funcione, verifique o arquivo está com as permissões de execução através do menu "propriedades", clicando com o botão direito sobre ele e observando a aba "permissões.
Ao abrir o software pela primeira vez você poderá fazer um "setup" inicial, configurando algumas das suas preferências, como local onde deseja armazenar os seus arquivos de mídia, configuração de padrões da teclas de atalho (usar as do Adobe Premiere, FinalCut e Avid Media Composer são algumas opções), além de fazer uma verificação de se o hardware instalado está adequado para o trabalho e a configuração dos padrões dos seus projetos, como a resolução.
No Linux o DaVinci Resolve não tem decoração nas janelas, talvez isso seja alterado no futuro, talvez não, mas de toda forma, apesar de ser um software que você sempre vai querer trabalhar em tela cheia, é possível manipular a janela segurando a tecla "Alt+Clique do botão esquerdo do mouse" para movimentá-la, ou "Alt+F7", você também pode usar "Alt+F8" para redimencioná-la se quiser.
Para saber mais sobre essa ferramenta, basta acessar este artigo: "Convertendo vídeos para trabalhar no Davinci Resolve no Linux".
E observe o erro que aparecer, no meu caso era a ausência da "libOpenCL", bastando instalar, neste caso pela loja do Mint, o pacote "ocl-icd-libopencl1", que foi encontrado pesquisando simplesmente por "libopencl". Depois da instalação o DaVinci Resolve iniciou normalmente.