Hoje vamos falar sobre o coeficiente angular da função afim ou, também conhecida como, função polinomial do 1º grau. Um assunto muito importante e muito cobrado nos vestibulares e principalmente no Enem, que pode ajudar muito você na resolução de determinadas questões que possam cair em uma dessas provas.
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Vou começar usando um exemplo para ficar mais fácil o entendimento da função afim. Vamos analisar a seguinte tabela com alguns valores que descrevem a temperatura y interna de uma caldeira (em graus Celsius), em função do tempo x (em minutos), a partir do instante em que a caldeira foi ligada (x = 0), quando sua temperatura interna era 30°C.
Notem que existe uma variação dos valores de y, e ela é diretamente proporcional à variação dos correspondentes valores de x. Ou seja, quando x varia de 0 a 1, a variação correspondente de y é de 30 a 40, ou então, quando x varia de 2 a 5, a variação em y é de 50 a 80.
Percebam que a temperatura inicial do forno era de 30°C e que, a cada minuto, houve um acréscimo de 10°C na temperatura, então, podemos escrever a lei de associação entre x e y desta função, que será y = 30 + 10x, ou então, f(x) = 10x + 30.
Fácil né?! Podemos dizer então que o aumento da temperatura desta caldeira em função do tempo representa uma função afim.
Vamos lembrar o seguinte, a função afim pode ser escrita da seguinte maneira:
A função escrita acima possui dois coeficientes, o coeficiente angular a, que é o coeficiente que está junto da incógnita, e o coeficiente linear b, ou então, termo independente. Nesse texto iremos abordar apenas o coeficiente angular da função afim, que nos traz muita informação acerca da função e da representação gráfica dela.
1. O COEFICIENTE ANGULAR DE UMA FUNÇÃO AFIM
Na função afim o coeficiente angular, ou declividade, é representado pela letra a, e é muito simples identificar ele. Para isso, basta olhar para a forma matemática da função afim, o valor que estiver junto ao x é o coeficiente angular. Vou fazer alguns exemplos para que vocês vejam como é fácil:
f(x) = 2x +3 a = 2
f(x) = 4 – 3x a = -3
Como a gente sabe, o gráfico na função afim é uma reta, isso caracteriza a variação sendo sempre constante. No gráfico da função afim, o coeficiente angular está relacionado diretamente com a inclinação da reta no plano cartesiano. Ele irá determinar se essa reta é crescente ou decrescente.
Isto ocorre porque o valor do coeficiente angular a pode ser um valor positivo ou um valor negativo, e irá indicar a inclinação da reta. Deixa eu explicar melhor:
– caso o valor de a seja maior do que zero (a > 0), o gráfico da função é uma reta crescente;
– caso o valor de a seja menor do que zero (a < 0), o gráfico da função é uma reta decrescente.
Outra coisa importante: a não pode ser um valor nulo, pois dessa forma não teríamos o termo em x e a reta seria constante, ou seja, uma reta horizontal.
Esse valor do coeficiente angular a está diretamente relacionado com a tangente do ângulo alfa. Vou exemplificar melhor, vejam a imagem abaixo:
Com a imagem podemos ver que o ângulo alfa é o ângulo que a reta faz com o eixo x, que é o chamado eixo das abscissas. Notem que para calcular o ângulo alfa basta fechar um triângulo em dois pontos da reta e calcular a variação do eixo y (cateto oposto) pela variação do eixo x (cateto adjacente). Logo a pode ser calculado por:
Vou exemplificar melhor calculando o coeficiente angular do gráfico apresentado abaixo, que tem como função f(x)= -2x + 3. Neste caso, temos uma reta decrescente, então, calculamos o ângulo suplementar de alfa, como por exemplo, o ângulo teta:
Pessoal, ângulo suplementares são aqueles em que a soma deles resulta em 180°.
Neste caso, o coeficiente angular é -2 e, consequentemente, o gráfico da função é uma reta decrescente, pois o valor do coeficiente angular a é menor que zero.
Agora, vamos montar o gráfico do exemplo usado anteriormente, o aumento da temperatura de uma caldeira em função do tempo, representado pela função f(x) = 30 + 10x.
Vejam que neste exemplo temos uma reta crescente pois o coeficiente angular (10), que está junto à incógnita, é positivo. Analisando o gráfico, podemos perceber que a medida que x cresce uma unidade y cresce 10 unidades. Pessoal, essa variação constante, que é de 10°C a cada minuto, é uma característica da função afim, conhecida como taxa média de variação e que é determinada pelo coeficiente angular da função afim.
Vamos ver agora o que é a taxa de variação de uma função afim e como calcular ela. Vamos lá!
2. TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM
A taxa de variação da função afim nada mais é do que a divisão entre a variação no eixo y e a variação correspondente no eixo x.
Vou calcular a taxa de variação da função afim f(x) = 5x + 6, para x variando de xA a xB, para que vocês vejam como é feito:
Pessoal, notem que a taxa de variação da função, para qualquer variação de x, é a constante 5, que é exatamente o coeficiente de x da função afim f(x) = 5x + 6. Então, como podemos ver, em toda função da forma y = ax + b, com a e b reais e a ≠ 0, a taxa de variação de y em relação a x, quando x varia em qualquer intervalo, é igual a constante a, que é o coeficiente de x na função afim.
Então, podemos escrever a taxa de variação de uma função afim como sendo:
Logo, o parâmetro a de uma função afim f(x) = ax + b, é a taxa de variação de y por unidade de variação de x, chamado de taxa de variação (ou taxa de crescimento). Essa taxa de variação a é sempre constante para cada função afim, e isso é uma característica importante das funções afins. Por exemplo, a taxa de variação da função afim f(x) = 5x + 2 é 5 e a da função f(x) = -2x + 3 é -2.
Podemos encontrar a taxa de variação a de duas formas, uma graficamente e a outra através de dois pontos quaisquer, porém distintos, da função considerada. Vou mostrar as duas formas para vocês aprenderem direitinho.
1º. Graficamente: quando temos uma reta crescente ou decrescente, podemos escolher dois pontos aleatórios desta reta e ver a variação de y pela de x, e, assim, descobrir a taxa de variação. Vamos fazer um exemplo pra ficar mais fácil, vejamos o gráfico abaixo, da função f(x) = 2x + 1.
Neste caso, podemos ver que enquanto y varia 2 unidades x varia 1 unidade, ou seja, a taxa de variação desta função é:
Simples né pessoal! A taxa de variação nada mais é do que a razão da variação na vertical pela variação na horizontal.
2º. Dadas as coordenadas de dois pontos: com dois pontos distintos que passam pela reta, podemos descobrir o coeficiente angular da função, usando a variação de y e x dos pontos dados.
Vamos calcular a taxa de variação do gráfico cuja reta passa pelos pontos A (4, 2) e B (2, 8). Um ponto importante é que as diferenças devem ser calculadas sempre em um mesmo sentido, ou de A para B ou de B para A.
Assim, a taxa de variação da função cujo gráfico é a reta AB é -3.
Finalizamos mais um texto, e eu espero que tenha sido muito proveitoso e que ajude vocês na prova do Enem e nos vestibulares. Para que vocês fixem bem e exercitem o conteúdo aprendido hoje, deixo algumas questões que caíram no Enem e em alguns vestibulares. Bons estudos, e até mais!
1) (ENEM) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo.