Questão de Matemática na Operação Lava Jato - DESAFIO | Ponto dos Concursos
Questão de Matemática na Operação Lava Jato - DESAFIO
Ao folhear um livro de Matemática hoje pela manhã (Álgebra Moderna - Domingues/Iezzi - Atual Editora), deparei-me com um problema muito interessante. O problema tem a aparência de ser muito fácil de ser resolvido, mas na verdade é bem difícil (bem difícil mesmo!).
Veja o enunciado original.
"Um bando de 17 piratas, ao tentar dividir igualmente entre si as moedas de uma arca, verificou que haveria uma sobra de 3 moedas. Seguiu-se uma discussão, na qual um pirata foi morto. Na nova tentativa de divisão, já com um pirata a menos, verificou-se que haveria uma sobra de 10 moedas. Nova confusão, e mais um pirata foi morto. Então, por fim, eles conseguiram dividir igualmente as moedas entre si. Qual o menor número de moedas que a arca poderia conter?"
Para deixar o problema mais adequado aos nosso dias, fiz uma adaptação no enunciado. Rs...
Um bando de 17 funcionários, ao tentar dividir igualmente entre si os pacotes de dinheiro do esquema de corrupção da Petrobras, verificou que haveria uma sobra de 3 pacotes. Seguiu-se uma discussão por telefone entre o dono da empreiteira e um dos funcionários. Como os telefones estavam grampeados, a Polícia Federal conseguiu prender o tal funcionário. Na nova tentativa de divisão, já com um funcionário a menos - e que já estava fechando acordo de delação premiada - verificou-se que haveria uma sobra de 10 pacotes. Antes que os pacotes de dinheiro fossem distribuídos, outro funcionário foi preso após a delação premiada do primeiro. Então, por fim, eles conseguiram dividir igualmente os pacotes de dinheiro entre si.
Sabendo que cada pacote continha R$ 2.000,00 e que havia entre 5.000 e 10.000 pacotes, calcule a quantia total distribuída entre os funcionários.
A solução deste super desafio de Matemática segue em anexo.
Que tal fazer um artigo sobre esse tal de " Teorema Chinês dos Restos!
Oi, Érika!! Que bom que você se interessou!!!
Infelizmente, não tenho como abordar apenas nos artigos, pois precisaríamos falar em muitos tópicos de aritmética (congruências, equações diofantinas, etc...). Como estes assuntos não são cobrados em concursos, não faria muito sentido ocupar este espaço aqui. Entretanto, caso você se interesse em aprender estes assuntos, mande um email para mim: guilherme@pontodosconcursos.com.br . Com muito prazer enviarei materiais para você sobre isto. Agora só vá ler depois que passar no concurso, viu? Bons estudos!!!
01/04/2016 - Francisco Eugênio
Bom dia prof. gostei da questão, além do mais por se tratar de assunto eminentemente verídico....sob a questão, eu resolvi assim: procurei o múltiplo (MMC) de 17, 16,15 = 4.080 (sei que esse não é número pois temos restos), mas esse número deve está entre 5.000 e 10.000, conforme a questão, logo multipliquei por dois, pois o número deve ser bem próximo desse múltiplo, no caso o 8.160, então, agora é a hora das tentativas pois o número está entre 8.000 e 8.160. pegando 8.000/17 (peguei o maior) temos Q=470, tomei esse número como base para os próximos...então multipliquei 17 por 471 e encontrei 8.007, logo vi que tirei 3 do número que quero: 8.010. assim, testei os outros e tudo ok....agora só pegar 8.010 x 2.000 e fim de papo. avalie minha resolução, obg.
Opa, Francisco!! Parabéns, amigo!! Sua solução está correta. Numa prova objetiva, poderíamos obviamente usar tentativa e erro para acertar mais rápido a questão. Só uma curiosidade: como você inferiu que o número está entre 8.000 e 8.160? De onde você tirou o 8000?
Viu que eu disse que este problema é chamado de Problema Chinês do Resto? Pois bem, a sua ideia é mais ou menos o resultado do Teorema Chinês do Resto. Este é um problema difícil de Matemática e a depender dos números do enunciado, fazer por tentativa pode não ser tão agradável.
O problema é que para explicar detalhadamente e "sem tentativas" usando a sua ideia eu teria que explicar este Teorema.
O outro problema é que para explicar este teorema, eu teria que falar em um assunto que não é cobrado em concursos públicos e não é ensinado no nível médio: aritmética modular.
O que fiz foi, na verdade, uma adaptação do teorema para a linguagem "concurseira". E para não usar "tentativas" eu tive que fazer uma abordagem algébrica.
Vou escrever aqui a solução pelo Teorema Chinês do Resto.
x = 3 (mod 17)
x = 10 (mod 16)
x = 0 (mod 15)
Da primeira equação, temos que x = 17a+3. Substituindo na segunda equação.
17a+3 = 10 (mod 16)
17a=7 (mod 16)
a=7 (mod 16)
Portanto, a = 16b+7.
Mas x = 17 a + 3, portanto, x = 17 (16b+7) + 3. Assim, x = 272b+122
Vamos agora substituir na terceira equação.
272b+122 = 0 (mod 15)
272b = -122 (mod15)
2b = -2(mod 15)
b = -1 (mod 15)
Assim, b = 15c - 1.
Vamos substituir na equação x = 272b+122.
x = 272 (15c - 1) + 122
x = 4080c - 150
Primeira solução para c = 1: x = 3930
Segunda solução pra c = 2: x = 8010
... Temos infinitas soluções.
Como você pode ver, a solução do problema usando o Teorema Chinês do Resto utiliza uma simbologia que é muito específica e a grande maioria das pessoas não conhece. O resultado por trás do Teorema Chinês do Resto realmente fala no produto dos números 15, 16 e 17, como você utilizou. Então, meu parabéns pelo brilhante raciocínio que você teve. Continue firme nos estudos. Um forte abraço, Guilherme Neves
Deduzi que o número está entre 8.000 e 8.160, assim! pensei o seguinte: como o primeiro múltiplo foi 4.080, então multiplicando por dois o menor valor possível seria 8.000, já que é o dobro de quatro mil e alguma coisa...no caso, 4.080.
31/03/2016 - Italo Peixoto
Pra descontrair um pouco...Rs.. Abraços!
31/03/2016 - Margarida
Professor, como é que faz para ter uma mente como a sua??? Fico impressionada com os raciocínios que vc desenvolve nas suas aulas e aqui nos artigos. Visitar o Ponto para ler seus textos já faz parte da minha rotina kkkk... Parabéns!!!
Oi, Margarida! Muito obrigado pelo elogio. Fico muito feliz que minhas aulas têm sido proveitosas para você. Bons estudos!!!