A sua pergunta é general e nao tem nada a haver com leis específicas do mercado português. estou movendo a sua pergunta para a secao Geral do Fórum.
Se vc. quiser usar um domínio, vc. terá que pagar por este.Independente se for pessoa física ou jurídica. Vc. pode até registar o seu nome como domínio (pessoa física ou seja privada). Domínios estao sujeitos à regras mundiais ICANN. Pormenores vc. encontra no Dr. Google.
O que você paga pelo domínio não é um imposto, mas uma taxa anual. Impostos vêm de eventuais transações comerciais.
geralmente quando se têm uma loja virtual, precisa de CNPJ para emitir Notas Fiscais dos produtos/serviços oferecidos.
Ter um domínio não te dá propriedade sobre uma marca. No Brasil, a pessoa física ou jurídica que tiver o registro da marca no INPI (http://www.inpi.gov.br/) tem os direitos legais sobre a marca e pode inclusive solicitar que o domínio com o mesmo nome da marca dele seja desativado ou removido o registro.