A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y - PDF Free Download
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José Escobar Almada
1 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas aparecem de forma evidenciada, tornando-se necessário, na maioria das vezes, construí-las a partir dos dados do problema. Outras vezes, as equações envolvidas podem não representar uma função na forma explícita. Em ambos os casos a derivada poderá ser usada depois de feitas as devidas adaptações. Para o caso em que as funções não estão explicitadas podemos fazer o uso da regra da cadeia para estabelecer um método de derivação para essas funções. Esse método será abordado em seguida. 5.1 Derivação Implícita A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y referência a circunferência de centro na origem e raio cuja expressão analítica é a seguinte: 1 (2,1) 0 2 x cujo gráfico está exibido ao lado. duas imagens. -1 (2,-1) Como sabemos a circunferência não é gráfico de função. Basta observar que para correspondem dois valores para y: e, isto é, a encontram-se em correspondência Associadas à circunferência dada podem ser definidas duas funções: ambas com domínio no intervalo [ ]. e, Neste caso o gráfico da primeira função é a parte que está no semiplano superior e o gráfico da segunda função está no semiplano inferior. As funções obtidas são deriváveis no intervalo ] [ e suas derivadas, obtidas com aplicação da regra da cadeia, são respectivamente:
2 Taxa de Variação Cálculo Diferencial e Integral Para, por exemplo, encontrar a equação da reta tangente à circunferência dada, em um dado ponto, deve-se localizar em qual semiplano encontra-se o ponto e considerar a função correspondente. Assim, se o ponto escolhido for (2,1) toma-se a função e calcula-se, através da sua derivada, o coeficiente da reta tangente para. Usando a derivada, dada anteriormente, obteremos:. A equação da reta que passa por (2,1) com coeficiente angular igual a equação:. tem por Caso o ponto dado seja (2,-1) usaremos a função definida por que para tem-se. Portanto a equação da reta que passa por (2,-1) e tem coeficiente angular igual a 2 é dada por:. Os gráficos das duas funções e suas respectivas retas tangentes nos pontos indicados são: y y 1 (2,1) 0 2 x 0 2 x -1 (2,-1) O processo de derivação implícita abrevia o caminho utilizado, tornando-se desnecessária a explicitação das duas funções como anteriormente. Na equação da dada circunferência devemos considerar a variável y como função de e usar a regra da cadeia para derivar como sendo o quadrado de uma função de, pensando na seguinte composição: que pela regra da cadeia teremos: ou, de acordo com (1), segue-se que
3 Cálculo Diferencial e Integral Taxa de Variação Portanto, usando a relação anterior e regras de derivação, teremos: Assim, conseguimos obter a derivada da função implícita na equação sem que tivéssemos o trabalho de explicitá-la, como foi feito no início do parágrafo. Mesmo que a variável y apareça na expressão da derivada ela deve ser entendida como função da variável. Nesse caso ao se tomar um ponto para calcular a derivada deve-se ter o par. Exercício 5.1 Dada a equação e, usando derivação implícita: 1) Mostre que 2) Mostre que O processo de derivação implícita se aplica a uma equação do tipo, onde se considera uma das variáveis como função da outra, por exemplo,. Assim a equação passa a ser interpretada na forma ( ) que, então, é derivada em relação a Exemplo 5.1 Dada a equação em ambos os lados da igualdade. e considerando vamos encontrar a derivada de em relação a, usando o processo de derivação implícita. Para tanto, vamos observar as seguintes passagens:
4 Taxa de Variação Cálculo Diferencial e Integral Para calcular a derivada, por exemplo, em teremos: Exercício 5.2 1) Encontre a equação da reta tangente à: a) Elipse no ponto ( b) Hipérbole no ponto ) c) Circunferência no ponto ( ) d) Elipse no ponto 2) Encontre na função definida implicitamente em: a) b) c) d) e) f)
5 Cálculo Diferencial e Integral Taxa de Variação 5.2 Problemas de Taxa de Variação Já vimos que a derivada de uma função poder ser interpretada como velocidade instantânea e como o coeficiente angular da reta tangente a uma curva. Outra maneira de interpretar a derivada é através de uma taxa de variação. Neste sentido introduzimos uma nova definição. Definição 5.1 Se é uma função derivável em, o valor de mede o número de unidades de variação de por unidade de variação de no instante e, por esse motivo, é chamada de taxa de variação de y em relação à em. Exemplo 5.2 A que taxa de variação cresce a área de um círculo em relação ao seu raio, quando o raio é igual a 2? Sabemos que a área de um círculo é função do seu raio através da fórmula. Daí, teremos que: Portanto, quando encontraremos: Logo é igual a 2. é o valor da taxa de crescimento da área em relação ao raio, quando este Algumas vezes lidamos com a composição e em que se deseja calcular a taxa de variação em relação a t, num instante, conhecendo a taxa de variação de em relação a t, no mesmo instante. Problema desse tipo ou como o do Exemplo 5.2 é chamado de problema de taxa de variação. Exemplo 5.3 A que taxa cresce o volume de uma bola de neve esférica, sabendo-se que o raio cresce à razão de, no instante em que ele mede 10 cm? Sabemos que o volume da esfera de raio é e que
6 Taxa de Variação Cálculo Diferencial e Integral Usando a regra da cadeia para derivar V em relação a t teremos: e, portanto ] Logo, o volume da esfera cresce a. Observação: A notação ] é usada para indicar que está sendo calculada para Exemplo 5.5 Dois carros partem de um cruzamento no mesmo momento. Um viaja para o norte a e outro viaja para o leste a. A que taxa aumenta a distância entre os dois carros 2 horas após a partida? Sejam y a distância em relação ao ponto de partida P do carro que foi para o norte e a distância do outro carro que foi para o leste, conforme figura ao lado. Logo e podem ser colocados em função do tempo através das equações: e. Suas velocidades são, respectivamente, Seja a distância entre os dois carros. Já que o triângulo da figura é retângulo em P, podemos relacionar com e usando o Teorema de Pitágoras, ou seja Para encontrar a taxa de variação de S em relação a t deveremos derivar implicitamente a expressão (1) em relação a t e, assim, teremos: Logo, ou y S P x
7 Cálculo Diferencial e Integral Taxa de Variação Para, teremos,, e. Portanto, duas horas após a partida, a distância entre os dois carros aumenta a uma velocidade de. Exercícios 5.4 1) Uma escada de 3m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sabendo-se que a extremidade inferior afasta-se do muro à razão de, com que rapidez desce a extremidade superior, quando a inferior dista do muro 2m? 2) Qual a taxa de variação da área do círculo em relação ao seu diâmetro? 3) Uma piscina tem a forma como mostra a figura ao lado. Sabe-se que sua largura mede 25m, o comprimento 50m e que a sua parte mais funda mede 4m de profundidade e, a mais rasa, 1m de profundidade. Tem-se, também, que o comprimento de sua parte mais rasa (AB) possui o mesmo comprimento da parte mais funda (CD) de forma que. Sabendo-se que a água entra na piscina a uma razão de, a que taxa sobe o nível h da água quando: a) b) A B C D 4) Um carro parte de um cruzamento a na direção norte. Um outro carro, situado a a oeste do cruzamento, parte na direção leste a. A que taxa varia a distância entre os dois carros, quando se passou 1h? E quando se passaram 3h? 5) Um ponto P de uma polia de raio 3, conforme figura ao lado, se move no sentido horário a partir do ponto Q conforme a equação horária. Encontre a velocidade angular quando. O Â P Q 6) Considere uma engrenagem formada por duas rodas dentadas, conforme figura ao lado, de raio e, respectivamente. Sabendo-se que a velocidade angular da primeira roda é constante e igual a, encontre a velocidade angular da segunda roda. P3 P P2
8 Taxa de Variação Cálculo Diferencial e Integral 7) Um ponto se move na parábola. Sabendo-se que é igual a 5 calcule para. 8) Um monte de areia, em forma de um cone, aumenta de volume à razão de. Se o raio da base é sempre igual à metade da altura, a que taxa cresce essa altura quando 9) Em um tanque em forma de cilindro despeja-se água à razão de. Sabendo-se que o diâmetro da base mede, com que rapidez varia o nível da água quando mede 50 centímetros? 10) Um homem de de altura caminha na direção de um poste de luz de de altura a uma velocidade de. Com que velocidade se move a extremidade de sua sombra quando estiver a do poste? Com que velocidade varia o comprimento de sua sombra nesse mesmo instante? 11) Se o raio da base de um cilindro circular reto é qual é a taxa de variação do volume em relação à altura, quando esta for de? 12) Determine a equação da reta tangente à curva, no ponto de coordenadas. 13) Um ponto se move ao longo da curva de forma que a sua distância à origem aumenta de 2 unidades por segundo. Determine, quando. 14) O comprimento da aresta de um cubo está crescendo a. A que taxa estará crescendo o volume quando a aresta for igual a? 15) Um balão está subindo a uma velocidade de quando se encontra a de um observador. A que taxa aumentará o ângulo de visão do observador quando o balão estiver a do solo?