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Cristina Katsumata, Sinuê Dayan Barbero Lodovici
Os números complexos surgiram na tentativa de encontrar soluções para equações polinomiais. Tais estudos nos levaram ao Teorema Fundamental da Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo dos números complexos. A importância dos números complexos não é só na Matemática, mas em outras áreas do conhecimento, aparecendo no estudo de circuitos elétricos, corrente alternada, astronomia e motores. O estudo dos complexos envolve elementos da álgebra linear, teoria de grupos, geometria analítica e um pouco de cálculo e topologia.
Neste trabalho nos dedicamos ao aspecto geométrico do plano complexo. Desse modo, nos dedicamos ao estudo da inversa de pontos em relação a círculos (estes identificados com matrizes hermitianas), à inversão de círculos e às transformações de Moebius.
O objetivo deste projeto foi estudar a representação de círculos por matrizes hermitianas, além de inversões, projeções estereográficas, e um pouco sobre as transformações de Moebius.
Para a execução do projeto, dois livros serviram como base: "Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry", de Hans Schwerdtfeger e "Euclidean and non-Euclidean geometries: Development and history", de Martin Jay Greenberg. E, durante a execução do projeto, foram realizados encontros semanais para esclarecimento de eventuais dúvidas e discussões sobre o mesmo.
Como resultados deste projeto, obtivemos demonstrações de teoremas importantes no assunto "inversão de círculos" tanto de forma geométrica, como é tratado no livro de Greenberg, quanto analiticamente, mais abordado pelo livro de Hans Schwerdtfeger. Além disso, o projeto apresenta um pouco sobre a projeção estereográfica e suas propriedades, incluindo um teorema sobre o inverso de pontos em relação à círculos na esfera. Por último, apresentamos uma breve introdução às transformações de Moebius e algumas propriedades simples deste tipo de transformação.
Com este projeto, pudemos unir um assunto de conhecimento básico do Ensino Médio, que são os números complexos, com o estudo novos assuntos para um ingressante à faculdade, que são a inversão de círculos, a projeção estereográfica e as transformações de Moebius. Com isso, foi possível aprender, interpretar e desenvolver melhor as demonstrações de proposições e teoremas presentes nos livros estudados, melhorando assim, o entendimento dos assuntos tratados. Além disso, foi possível uma introdução ao LaTeX para redigir os relatórios parcial e final, algo importante não só para este projeto, mas para futuros trabalhos acadêmicos.