Sabe-se que determinar se um determinado coletor triangular 3 é uma esfera tridimensional está em NP, através do trabalho de Saul Schleimer em 2004: "O reconhecimento da esfera está em NP" arXiv: math / 0407047v1 [math.GT] . Gostaria de saber se isso foi estabelecido para ser NP-completo nos últimos cinco ou seis anos? Problemas análogos, como o problema do gênero com três núcleos, foram demonstrados como NP completos.
Agora, sabe-se que o problema também está em co-NP, veja o anúncio em J. Hass, Novos resultados sobre a complexidade do reconhecimento da 3-esfera, Oberwolfach Rep. 9 (2012), n. 2, 1425 {1426.
@ Arnaud: Alguma atualização sobre isso? Não consegui encontrar nada de Hass desde então sobre o problema. O melhor que eu poderia encontrar é o resultado coNP condicionando a GRH que eu coloquei na minha nova resposta, e que parece não fazer menção de Hass :(.
@ JoshuaGrochow Desculpe, meu comentário foi impreciso e a alegação de Joel Hass (eu também esqueci de dizer que isso era com G. Kuperberg) estava assumindo o GRH também. Até onde eu sei, ainda não apareceu uma redação completa.
Se for NP-completo, você não teria provado que nenhum conjunto de invariantes computáveis ​​em tempo polinomial (uniformemente) de 3 variedades distingue 3 esferas de outras 3 variedades. Eu ficaria muito surpreso se isso fosse conhecido.
Em particular, um resultado de dureza NP provaria que a esfera tridimensional não pode ser distinguida de outras esferas tridimensionais de homologia no tempo polinomial.
Apenas para acrescentar à resposta de Peter: o problema sem nós dos nós nas três esferas mostrou-se em NP por Hass, Lagarias e Pippenger. Ian Agol provou que o problema do unknotting está no co-NP (mas veja seus comentários no MathOverflow). Parece, pelo menos para mim, que o problema do reconhecimento de três esferas é muito mais parecido com o desatamento do que com o nó do gênero em geral com três manifolds. (Porque é certificado pela presença de uma superfície característica positiva de Euler.)
Assim, eu apostaria que o reconhecimento em três esferas também está em co-NP. Um passo nessa direção seria mostrar que o reconhecimento de coletores toroidais irredutíveis está em NP, diretamente após Agol. Um pouco mais forte seria mostrar que o reconhecimento múltiplo de Haken está em NP. Separar a esfera tridimensional dos coletores irredutíveis e não toroidais é mais difícil. Mas talvez a coisa a fazer lá seja usar Geometrização - se o coletor estiver fechado, orientável, irredutível e atoroidal, ele terá uma das oito geometrias de Thurston. Talvez seja fácil certificar todos os manifolds geométricos, mas não hiperbólicos, digamos através de splits Heegaard quase normais. (Embora os limites de complexidade de Hass, Lagarias e Pippenger precisassem ser substituídos, de alguma forma.)
Este artigo mostra (embora eu não o tenha verificado) que o reconhecimento em 3 esferas * está no coNP assumindo GRH:
SL ( 2 , C )Seu(2,C)
(De interesse possível: um artigo de acompanhamento arXiv: 1610.04092 [math.GT] usa isso para desenvolver um algoritmo usando bases de Grobner.)
* Tecnicamente, afirma-se que o reconhecimento da 3-esfera entre as 3 esferas da homologia inteira está no coNP assumindo GRH. Eu não sou especialista nesta área, mas parece claro para mim que se pode calcular a homologia inteira, dada uma triangulação no tempo poli, e se a homologia inteira não corresponder à de uma 3-esfera, então definitivamente não é a 3-esfera.