Esperança matemática | Notas de aula
Publicado em 23/06/2011 por jairdonadelli
Se é uma v.a. então valor médio (ou valor esperado, ou esperança) da v.a. é dado por
se é discreta e assume valores e tem função de massa de probabilidade então
se é contínua e tem função de densidade de probabilidade então
Exemplo 43 (variável aleatória indicadora) Seja variável aleatória indicadora da ocorrência do evento , i.e., se ocorre e se ocorre, ou ainda, para todo
Observação 3 (uma justificativa informal para (15)) A definição de valor médio no caso discreto é intuitiva. No caso contínuo podemos justificar, ingenuamente, da seguinte maneira: Sejam , para todo , uma coleção de intervalos centrados em que particiona a reta e que, por simplicidade, supomos de mesmo comprimento . Definimos a v.a. discreta sobre o mesmo espaço amostral dada por
que assume os valores ( ). Assim e a esperança de é
Notemos que se , então e , logo
Portanto, a definição de esperança para a variável deve satisfazer , logo quando , i.e.
pois ; (lembremos que ).
Exemplo 44 Seja o resultado de um lançamento de um dado,
Qual a probabilidade ?
Exemplo 45 Num jogo de azar você ganha com probabilidade e com probabilidade . O ganho médio de uma aposta é
No caso de , temos , qual é a probabilidade de você ganhar numa aposta?
Exemplo 46 Num jogo com 3 moedas, você ganha se ocorrerem três caras ou coroas, você perde se ocorrer uma ou duas caras, se é o ganho então o ganho médio é
Exemplo 47 Seja o tempo de vida útil de um equipamento eletrônico. tem f.d.p.
O tempo médio de vida é
O seguinte resultado é muito útil. A prova do caso discreto é bem fácil e fica como exercício, a prova do caso contínuo é difícil e pulamos.
Teorema 9 Seja uma variável aleatório com função de probabilidade . Seja uma função real. Então é uma variável aleatória cuja média é
onde a soma é sobre todo real tal que ; caso seja uma v.a.discreta, e cuja média é
caso seja uma v.a.contínua.
Exemplo 48 Seja o resultado do lançamento de um dado, como no exemplo 44.
Notemos que, com o resultado do exemplo 44 podemos concluir que ; em geral não vale para v.a.'s quaisquer.
Exemplo 49 Seja o número de carros lavados num lava-rápido em 1 hora
Para carros lavados o atendente recebe reais do gerente. O ganho médio é
Exemplo 50 Se é uma v.a.com f.d.p
e é dada por então
Corolario 10 Para quaisquer e v.a.
Demonstração: Usando o teorema anterior com temos, no caso discreto, somando-se sobre todo tal que
e no caso contínuo
Exemplo 51 Reconsiderando o exemplo 49, podemos usar o corolário e calcular
No caso do exemplo 50
Exemplo 52 Numa urna estão 1 bola branca e 1 bola preta; uma bola é escolhida ao acaso, se for preta ela é devolvida e mais uma bola preta é colocada na urna e o sorteio é repetido, se sair bola branca o experimento termina. Se é o número de rodadas até terminar então e média é (essa é a série harmônica).
Exemplo 53 Seja uma variável com f.d.p.
Observação 4 No caso dos dois últimos exemplos dizemos que a variável aleatória não tem esperança finita.
Exercício 44 Prove o caso discreto do teorema acima, i.e., .
— Variância —
A variância da v.a. é uma medida de quão dispersos estão os valores que a variável assume com relação ao valor médio, é dada pelo valor esperado da v.a.
O seguinte exercício fornece um modo, em geral, mais fácil para computar a variância.
Exercício 45 Prove que
O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da variância
Suponhamos que é, por exemplo, a quantidade de refrigerante engarrafada por uma máquina de uma fábrica em ( ). Então é a dispersão dos valores de com respeito a média em , o desvio padrão é uma medida de dispersão em .
Exemplo 54 A variância no valor resultante de um lançamento de dado é (veja os exemplos 44 e 48) ( ). O desvio padrão é .
Exemplo 55 Qual é o valor médio da soma dos pontos no lançamento de dois dados? O espaço amostral é composto por 36 eventos elementares igualmente prováveis
Se é o resultado da soma dos lançamentos, então sua função de massa de probabilidade é
O valor esperado da soma é
e o da variância é
o desvio padrão vale , aproximadamente. Notemos que no intervalo está concentrado da massa de probabilidade.
Exemplo 56 Um canal digital transmite informação em pacotes de 4 bits. Os bit podem ser recebidos com erro e denota o número de bits errados num pacote, com função de distribuição acumulada
e o valor médio do número de bits errados é
e a variância
portanto o desvio padrão é .
— Propriedades da esperança —
A esperança de uma variável aleatória satisfaz as seguintes propriedades enunciadas como exercícios. Convém ressaltar que o caso contínuo tem, em geral, maior dificuldade, mas que o caso discreto é simples na maioria dos casos.
Exercício 46 Para fixado e ( ), vale e .
Exercício 47 Prove que se então .
Exercício 48 Prove que se (i.e., ) então .
Exercício 49 Se é uma v.a. contínua que assume valores não-negativos então . Se além de não-negativa é inteira (portanto discreta), então .
Exercício 50 (soma de variáveis aleatórias) Sejam e v.a.'s sobre o mesmo espaço amostral e a soma delas é a função dada por . Então
Prove que se então
Exercício 51 Para , .
Exercício 52 Se é real positivo e uma v.a. então
(Dica: Defina por se , caso contrário . Determine e use o exercício 48)
Exercício 53 (desigualdade de Chebyshev) Se é real positivo e uma v.a. de esperança finita então
(Dica: use o exercício anterior com .)
Se fizermos em (17) obtemos a probabilidade de desviar de por pelo menos desvios padrão
Exercício 54 (desigualdade de Markov) Se é real positivo e uma v.a. então
Exercício 55 Se e então .
Exemplo 57 Consideremos lançamentos de uma moeda com os resultados independentes. Seja a variável indicadora (exemplo 43) do evento "ocorre cara". A v.a.
é a quantidade de ocorrência de cara e é o número médio de ocorrência de cara.
A esperança de é, usando o exercício 50
e a variância é , assim precisamos calcular .
e se então
De volta à variância de temos
A esperança de é, usando linearidade da esperança (corolário 10)
e a variância é, pelo exercício 51,
Usando a desigualdade de Chebyshev, eq.~(17), para qualquer
Por exemplo, fazendo temos que o número médio de caras está no intervalo com probalidade maior que .
Mais que isso, a probabilidade tende a quando . Esse resultado foi provado pela primeira vez em 1713, por Jacob Bernoulli, sem usar a desigualdade de Chebyshev, desconhecida na época.
Teorema 11 (Lei Fraca dos Grandes Números) Sejam v.a.'s independentes e identicamente distribuídas, cada uma com média finita e com variância finita. Então para todo
A Lei Forte dos Grandes Números estabelece que, sob as mesmas hipóteses da lei fraca,
Demostração do teorema 9. Vamos provar a parte referente a v.a. contínua. Primeiro, provaremos que se assume valores não-negativos então
na segunda igualdade trocamos a ordem de integração.
Segundo, assumiremos que para todo . Então,
que é o estabelecido no enunciado para não negativa.
Pra finalizar, se assume valores reias então definimos as v.a.'s não negativas
e temos que , portanto,
Prova da desigualdade de Chebyshev Para demonstrar a desigualdade de Chebyshev, primeiro mostramos a seguinte desigualdade de Markov: Se é uma variável aleatória não-negativa e então
Demonstracao: Dados e como no enunciado defina ( ) por
Então e portanto
donde concluímos (23).
Agora, se é uma variável aleatória qualquer com então logo para todo temos por (23) com
e de temos a seguinte desigualdade de Chebyshev
Demonstração da Lei Fraca dos Grande Números Sejam uma seqüência de variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas e todas com valor esperado e variância finitos.
Usando a desigualdade de Chebyshev (17), concluímos para todo
Problema: Pedro e Paula ambos querem cortar um pedaço de papel retangular. Como ambos são probabilistas eles determinam a forma exata do retângulo utilizando realizações de uma v.a. positiva, digamos , como se segue. Pedro é preguiçoso e gera apenas uma única realização dessa v.a.; então ele corta um quadrado que tem comprimento e largura igual a esse valor. Paula gosta de diversidade e gera duas realizações independentes de . Ela, então, corta um retângulo com largura igual a primeira realização e comprimento igual ao da segunda realização. Serão as áreas cortadas por Pedro e Paula diferentes em média? se forem, Pedro ou Paula deverá ter um retângulo com área maior?
Esse post foi publicado em IPE e marcado desigualdade de Chebyshev, desigualdade de Markov, desvio padrão, esperança, Lei dos Grandes Números, valor esperado, valor médio, variância por jairdonadelli. Guardar link permanente.