Desenvolvimento Pessoal e Fé Cristã: "A Razão Áurea" versus "A Função Exponencial Natural" - PARTE II - Os "divinos" objetos da matemática.
Atenção: A primeira parte desta dissertação se encontra em:
No artigo anterior eu fiz uma introdução sobre a constante e denominada número de Euler, e, na sequência, explanei brevemente sobre uma outra constante, denominada razão áurea, relacionando-a com as formas geométricas do pentágono e do pentagrama, bem como as associações metafísicas alegadas por determinadas sociedades humanas para tais formas geométricas.
Preciso aqui externar que eu deveras lamento, que a excessivamente inconveniente associação desses objetos geométricos com o exoterismo, tendam a ofuscar-lhes a real beleza e a ofende-lhes a natureza científica pura.
Todavia, para a nossa felicidade, o mesmo tipo de desenvolvimento de associação mística, não ocorreu, até o presente momento, com o que vamos tratar agora: o número e (da constante de Euler) e a sua principal conexão, que é com a função exponencial natural.
A principal característica de uma função exponencial qualquer é o aparecimento da variável no expoente. Esse tipo de função expressa situações onde ocorre grandes variações em períodos curtos. As exponenciais, como são conhecidas, possuem diversas aplicações no cotidiano, na Matemática financeira está presente nos cálculos relacionados aos juros compostos, pois ocorre acumulação de capital durante o período da aplicação.
Não obstante o fato de que, matematicamente, a base do expoente pode assumir qualquer valor, existe um tipo de função exponencial que é muito especial, que é a função exponencial natural. As funções exponenciais naturais, são modelos matemáticos envolvendo potências de e (número de Euler) e ocorrem em muitos campos das ciências naturais, mas também encontra interessantes aplicações nas ciências humanas. Tais modelos envolvem, por exemplo, as leis de crescimento e decaimento, e surgem quando a taxa de variação de uma dada quantidade em relação a um intervalo de tempo é proporcional à quantidade previamente existente num dado instante inicial daquele intervalo.
O número de Euler e é um número irracional e positivo e em função da definição desta função exponencial, temos que:
A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logaritmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita (série de Taylor); a segunda, como limite de uma seqüência:
Aqui, o n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo. O valor de e1 é, aproximadamente, igual a 2,718281828
Os modelos matemáticos envolvendo potências de base e podem ser observadas na forma:
as quais envolvem crescimento exponencial, ou podem ser observadas na forma:
as quais envolvem decrescimento exponencial (com a e k positivos).
No entanto, como foi proposto desde o início, definições formais, ou mesmo propriedades e significados formais, não são o nosso foco aqui pois, muito mais interessante é que, as funções exponenciais naturais desempenham papéis fundamentais, não apenas na matemática, mas, sobretudo, nas ciências envolvidas com ela, como a física, a química, a engenharia, a astronomia, a economia, biologia, psicologia e outras.
Vamos apresentar alguns exemplos de aplicações deste tipo de função.
A radioatividade: Em uma amostra de um radionuclídeo que sofre decaimento radioativo para um estado diferente, o número de átomos no estado original segue decaimento exponencial (desde que o número restantes de átomos seja grande). O produto é denominado "decaimento de nuclídeos radiogênicos" e tem aplicação prática, inclusive, na determinação das idades absolutas, de processos e eventos geológicos (idade de minerais, rochas, fósseis, eventos tectônicos), na geocronologia e em traçadores de geoquímica.
O conceito de "Meia-vida", por exemplo, abreviado t ½, é o período de tempo que leva para que uma dada quantidade de uma substância sofra o decaimento para diminuir para metade. O nome foi originalmente usado para descrever uma característica de átomos instáveis (decaimento radioativo), mas podem ser aplicadas a qualquer quantidade que se segue uma taxa de decaimento conjunto.
O termo original, que data de 1907, foi "período de meia-vida", que mais tarde foi encurtado para "meia-vida" no início dos anos 1950.
Meias-vidas são usados para descrever quantidades submetidos a decaimento exponencial, como por exemplo, decaimentos radioativos, onde a meia-vida é constante ao longo de toda a vida do decaimento, e é uma unidade característica (uma unidade natural de escala) para a equação de decaimento exponencial.
O método do carbono 14: Um dos métodos mais apurados para determinar idades de achados arqueológicos é o método do Carbono 14 (C14). Descoberto em 1949, este método é, na verdade, bastante simples:
A atmosfera terrestre é continuamente bombardeada por raios cósmicos. Estes raios cósmicos arrastam nêutrons que colidem com átomos de Nitrogênio, existentes em grande concentração, nas camadas mais externas da atmosfera. Estas colisões produzem o C14. Existe uma pré-suposição fundamental, de que a taxa de bombardeamento da atmosfera terrestre por raios cósmicos tem sido sempre constante, em média.
O C14 é incorporado por Dióxido de Carbono e encontra-se na atmosfera para ser absorvido pelas plantas. A quantidade de átomos de C14 presente nos tecidos de animais provém da ingestão de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingestão de C14 é igual à quantidade de C14 desintegrado, pois o C14 é uma molécula instável, que se desintegra espontaneamente numa taxa proporcional ao número de moléculas de C14 presentes na amostra. Quando um organismo morre, cessa de ingerir C14 portanto, sua concentração nos tecidos tende apenas a ir diminuindo, devido à desintegração (decaimento β).
Consequentemente, se a taxa de desintegração de C14 numa amostra de madeira viva, por exemplo, fosse medida há 10.000 anos atrás, o resultado teria que ser igual à taxa de desintegração, numa amostra equivalente, medida hoje. Essa suposição permite-nos determinar a idade de uma amostra de carvão natural.
Seja N ( t ) a quantidade de C14 presente numa amostra num dado instante t e N0 a quantidade de C14 presente no instante t = 0, quando a amostra foi formada, isto é, imediatamente antes da madeira ser queimada. Se k é a constante de desintegração radioativa de C14 , então, temos que:
A taxa atual R(t) de desintegração de C14, que é proporcional à quantidade de C14 presente na amostra, é dada por: R ( t ) = K . N ( t ) = K . N0 . e - k . t
e a taxa original é: R(0) = K . N0 , assim: (R ( t ) / R0) = e - k . t de modo que:
Através de experimentos, determinou-se que a "meia-vida" do C14 é de 5730 anos, de modo que a sua constante K equivale então a:
Exemplo de cálculo: Em 1950, nas escavações em Nippon, uma cidade da Babilônia, o carvão de um telhado de madeira produziu uma média de 4,09 desintegrações por minuto, por grama. Madeira viva, numa amostra equivalente, produziu, tipicamente, 6,68 desintegrações por minuto. Supondo que o carvão foi formado durante o reinado de Hammurabi, faça uma estimativa da época em que ele reinou na Babilônia.
1950 – 4055 = 2105 a.C. (de fato, Hammurabi reinou entre 1800 a.C. e 1750 a.C, provavelmente tal amostra seja anterior ao reinado de Hammurabi)
A transferência de calor: Se um objeto a uma dada temperatura é exposta a um meio ambiente com outra temperatura, a diferença de temperatura entre o objeto e o meio segue o decaimento exponencial (no limite de processos lentos; equivalente a uma boa condução de calor dentro do objeto, de modo que a sua temperatura permanece relativamente uniforme através do volume do objeto). Veja também a "lei do resfriamento de Newton".
Suponhamos que temos um litro de água num recipiente aberto a 80°C (graus Celsius) e estamos num inverno rigoroso onde a temperatura ambiente é de 0°C. Colocamos então a água em contato com o ambiente e um termômetro mergulhado nela e começamos a contar o tempo a partir deste momento. Depois de cinco minutos, podemos notar que a temperatura da água está em 40°C, ou seja, está a meio-caminho entre a temperatura inicial e a temperatura do ambiente, que também é a temperatura final. E assim se sucede que passados mais cinco minutos, ela terá a temperatura entre os quarenta graus e o zero, ou seja, no instante dez minutos contados a partir do momento em que a água foi posta em contato com o ambiente, ela terá como temperatura a metade da metade da diferença entre sua temperatura e a temperatura do meio. E assim progressivamente. Podemos a partir destes dados fazer um gráfico da temperatura em função do tempo, teremos:
A temperatura instantânea do objeto pode também ser calculada pela seguinte equação apoiada na função de decaimento exponencial:
Onde: Tm → Temperatura do meio ambiente;
T0 → Temperatura inicial do objeto;
k → Constante que depende do material com que o corpo foi construído.
As reações químicas: As taxas de certos tipos de reações químicas dependem da concentração de um ou outro reagente . Reações cuja taxa depende apenas da concentração de um reagente (conhecido como reações de primeira ordem) consequentemente seguem decaimento exponencial. Por exemplo, muitas reações de catalização de enzimas comportam dessa forma. Sabe-se, também, experimentalmente, que a taxa de decaimento do rádio é proporcional à quantidade de rádio existente num dado momento.
Geofísica e Meteorologia: pressão atmosférica diminui aproximadamente exponencialmente com a o crescimento da altitude acima do nível do mar, a uma taxa de cerca de 12% por 1000m, desde que a temperatura do ar possa ser considerada contante.
Por exemplo, ao nível do mar (altitude relativa zero e pressão padronizada de 1 atm ou 101.3 kPa) a água pura ferve a 100 ºC. No topo do Monte Everest (a 8850m de altitude, com uma pressão de 0.3 atm ou 30 kPa) a água pura ferve a apenas 68 ºC.
Do mesmo modo, a temperatura do ar na atmosfera faz variar os valores de pressão atmosférica. Isso acontece porque o ar frio se encontra mais concentrado e, portanto, pesa mais que o ar quente.
Eletrostática: A carga elétrica (ou, equivalentemente, a diferença de potencial) armazenada em um capacitor (capacitância C) decai exponencialmente, se o capacitor experimenta uma constante carga externa (resistência R). O τ constante de tempo de exponencial para o processo é o produto RxC, e a semi-vida é, por conseguinte, RxCxln2.
Além disso, um o caso particular de um capacitor em descarga, através de vários resistores em paralelo, consiste num exemplo interessante de processos de decomposição múltiplas, com cada resistor representando um processo separado. Na verdade, a expressão para a resistência equivalente de duas resistências em espelhos paralelos a equação para o semi-vida com dois processos de decomposição.)
O transitório de decrescimento e crescimento de campos eletromagnéticos que ocorrem com o chaveamento de indutores, também respeita a mesma função de decaimento / crescimento exponencial / logarítmico. Mais detalhes sobre processos de carga e de descarga de capacitores e sua constante de tempo, ver artigo específico sobre o assunto, no link:
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAnkcAB/capacitor-transitorio-cc-constante-tempo-funcao-queda-exponencial
Vibrações: vibrações podem decair exponencialmente, esta característica é frequentemente encontrado em oscilações mecânicas amortecidas, e também utilizadas na criação de envelopes ADSR em sintetizadores de som.
ADSR é um acrónimo do termo em inglês "Attack, Decay, Sustain, Release", que podemos verter para o português "Ataque, Decaimento, Sustentação e Repouso" (alguns textos chamam o tempo R de Relax ou Relaxamento). ADSR é uma das formas mais comumente utilizadas para aplicar um envelope de amplitude a um som para produzir um timbre característico de um instrumento musical. Também podemos usar o ADSR para analisar o envelope de sons produzidos por um instrumento real.
Farmacologia e toxicologia: Verifica-se que muitas substâncias administradas são distribuídas e metabolizadas (ver depuração) de acordo com padrões de decaimento exponencial. A meia-vida biológica "meia vida alfa" e "meia-vida beta" de uma substância é a medida de rapidez com que a tal substância é distribuída e eliminada.
Óptica físicas: A intensidade da radiação electromagnética tal como a luz ou raios X ou raios gama em um meio absorvente, segue uma diminuição exponencial com a distância para o meio de absorção.
Óptica físicas 2: Tal como no caso dos números reais, a função exponencial pode ser definida no também no plano dos números complexos em várias formas equivalentes. Uma tal definição, paralela à definição de séries de potência para números reais, é onde ocorre da variável real ser substituída por um complexo.
Um exemplo de função exponencial no plano dos complexos: A transição cores de escuro para claras mostra que a magnitude da função exponencial está a aumentar para a direita. As bandas periódicas horizontais indicam que a função exponencial é periódica na parte imaginária de seu argumento.
Termeletricidade: A diminuição da resistência de um termistor com coeficiente de temperatura negativo, quando a temperatura é aumentada.
Ciências Sociais: Em glotocronologia simples, o pressuposto (discutível) de uma taxa constante de decaimento em um idiomas permite estimar a idade de idiomas individuais. (Para calcular o tempo de separação entre duas línguas requer pressupostos adicionais, que nada têm a ver com decaimento exponencial).
Na história da ciência, em geral, muitos acreditam que o corpo de conhecimento de qualquer ciência em particular é refutada gradualmente de acordo com um padrão de decaimento exponencial (ver meia-vida do conhecimento ).
Ciência da Computação: BGP (Border Gateway Protocol), o protocolo do núcleo de roteamento da Internet, tem de manter uma tabela de roteamento, a fim de lembrar os caminhos para um pacote poder ser desviado. Quando um desses caminhos, repetidamente, muda o seu estado de disponível para não disponível (e vice-versa), o BGP router, para controlar esse caminho, teria que, repetidamente, adicionar e remover o registro deste caminho, de sua tabela de roteamento. Com isso, portanto, gastaria recursos locais, tais como, CPU e memória RAM e, ainda mais, transmitindo informação inútil para "espiar" roteadores.
Para evitar este comportamento indesejado, um algoritmo evita oscilações na rede por atribuir a cada rota um peso que:
Aumenta a cada vez a rota muda seu estado (disponível / não disponível);
Decai exponencialmente com o tempo.
Quando o peso atinge um certo limite, o percurso é suprimindo. Com isso obtém-se um efeito de amortecimento, conseguido com o auxílio de constantes de tempo que agem em conformidade com o sucedido. Se um caminho de repente ficar indisponível, ele sai das tabelas de roteamento, mas se em seguida tal caminho voltar a estar acessível, aguarda-se um tempo determinado, pois caso ele caia novamente, não terá influência sobre a nova configuração. Se se mantiver operacional após esse tempo então é colocado novamente nas tabelas de roteamento. As quebras consecutivas de disponibilidade é que fazem com que o tempo de espera cresça exponencialmente.
Este amortecimento também se torna útil quando a rede fica sujeita a um ataque do tipo Denial of Service, em que as ligações não são estabelecidas por alegada falta de recursos.
Biossociologia: Por exemplo, é possível que a taxa de crescimento da população de uma comunidade seja proporcional à população existente num dado instante. Em Biologia, sob certas circunstâncias, a taxa de crescimento de uma cultura de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias presentes em qualquer instante dado.
Em 1798, o inglês Thomas Malthus, no seu trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Ele considerou a função N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:
onde: N0 é a população presente no instante inicial t = 0; r é uma constante que varia conforme "a espécie" de população e t é o intervalo de tempo. O gráfico correto desta função depende dos valores de N0 e de r , todavia, sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função:
Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. De fato, a seu tempo, Malthus, de certo modo, colocou o mundo em polvorosa, quando afirmou que, uma vez que as populações crescem geometricamente e a produção de alimentos cresce aritmeticamente, isso não era bom e levaria a humanidade ao caos pois, com o passar dos anos haveria mais pessoas do que a quantidade de alimentos necessários para a sobrevivência da espécie humana.
Malthus errou, não apenas por limitar demais a capacidade produtiva e a sustentabilidade natural da terra, bem como ignorou o fenômeno da racionalidade da raça humana, capaz, não apenas causar modificações limitadas, porém consideráveis, no seu próprio meio ambiente, como, por exemplo, a que ocorreu com o impacto da intensa mecanização da produção agrícola e pecuária, mas também de agir naturalmente, de modo consciente, no seu próprio controle populacional. Tal impacto, adveio, sobretudo, dos efeitos da revolução industrial da qual, o princípio, ele próprio foi contemporâneo.
Algumas pessoas, mais inseguras e mais abertas às "teorias de conspirações" alegam que foi a partir da teoria de Malthus que os "Illuminatis" passaram a dispor do respaldo científico para os seus empreendimentos de redução da população mundial.
O fato é que Deus colocou "Sistemas de Controle Naturais" em toda a sua criação, mas alguns seres humanos, renitentes, teimam em não querer reconhecer isso. O que eu quero dizer que, Deus criou tudo o que existe com uma perfeição tal que, lhe permitiu deixar o "universo todo", simplesmente, rodando no "modo automático". Ele está, sim, no controle de tudo mas, principalmente sem precisar "causar" nada mais no universo físico, simplesmente "deixando rolar naturalmente", pelas leis de interação que ele mesmo estabeleceu desde o princípio.
Assim, "o problema de Deus", o qual exige dele constantes manobras é, tanto no "mundo espiritual" como no "mundo físico" com respeito a parte da sua criação que "raciocina", ou seja, no mundo físico, com o "livre arbítrio inteligente" dos seres humanos.
Muito embora a aplicação da teoria de Malthus funcione bem quando se trata de avaliar populações de seres vivos que são micro-organismos, como as bactérias, ela passou a ser apenas mais uma ferramenta indicadora do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.
Alguns aqui poderão alegar que tanto as técnicas agrárias modernas, quanto domesticação de animais e plantas em larga escala é um fator histórico de degradação da biodiversidade, gerando a seleção artificial de espécies, onde alguns seres vivos são selecionados e protegidos pelo homem em detrimento de outros, todavia eu tão somente desejo lembrar-lhes que isso ocorre, não apenas pela permissão de Deus, mas também por ordem dada por Ele, desde o princípio.
Para o nosso próprio bem, nós jamais devemos tratar com descaso, quaisquer dos indicadores de cuidados e de atenção que se façam necessários da nossa parte, para que todo o sistema produtivo de alimentos transcorra em ótima segurança.
Todos os esforços no sentido de melhorias dos processos são sempre bem vindos, principalmente aqueles voltados a sustentabilidade e defesa do meio ambiente terrestre. No entanto, o essencial a nós, ainda é e sempre será, estarmos dotados de bons princípios e de fé no nosso criador e, simplesmente, obedecê-lo, sempre.
Administração: Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentual sobre o valor cedido / tomado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos. Uma aplicação da função exponencial ocorre quando os juros são compostos continuamente.
Um investidor mais exigente desejará que os juros sejam capitalizados a cada instante. Este tipo de transação, em que os juros são capitalizados continuamente, é o que se chama de juros compostos ou juros continuamente compostos.
Se tomarmos uma fracção 1/n do ano, empregando-se o capital (capital inicial C0), com juros capitalizados (a uma taxa de juros de r), no final de um ano teremos um capital total de:
Para, a partir dessa fórmula, obter uma outra que nos forneça o capital resultante de um investimento empregue a juros compostos, é necessário tomar sucessivamente fracções cada vez menores do ano. Isto, em matemática, é feito por um processo de limite.
Assim, dizemos que o capital resultante de uma aplicação feita a juros compostos será dado por:
Como o número da constante de Euler e, também pode ser definido por:
A expressão acima significa que, fazendo-se sucessivamente n = 1, 2, 3, 4, ..., a resultante aproxima-se cada vez mais do número e, e mais do que isso, podemos tornar o desvio cometido nessa aproximação, tão pequeno quando quisermos, bastando para isso considerar n grande o suficiente.
Levando-se em conta a definição acima, temos que um capital empregue a uma taxa de r por cento ao ano, a juros compostos a cada instante, será transformado, depois de t anos, em:
O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe a compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).
Na República Romana, no ano do consulado de Marco Fábio Ambusto e Marco Popílio, a taxa de juros foi reduzida para 8 1/3 por cento, mesmo assim, os plebeus continuavam sem conseguir pagar suas dívidas. Na Idade Média, considerava-se crime (chamado crime de usura), alguém emprestar dinheiro pretendendo receber uma quantia maior do que o valor emprestado após um tempo.
Vários provérbios bíblicos apontam para a necessidade de se economizar para o futuro. O crédito fácil tem levado muitos a viver à beira da falência. O desejo de manter as aparências e consumir mais leva as pessoas a gastar cada centavo que ganham e a usar o seu crédito até o limite. Mas o que gasta tudo o que tem consome mais do que pode dispor. Uma pessoa sábia separa uma parte de seu dinheiro para os imprevistos. Deus aprova a precaução e a moderação. Aqueles que buscam a Deus precisam examinar seu estilo de vida, para verificar se seus gastos são supérfluos ou não. O desperdício não agrada a Deus.
O desperdício, aliado a ganância, são as verdadeiras causas da fome no seio da humanidade. Portanto, vede prudentemente como andais, não como néscios, e, sim, como sábios, remindo o tempo, porque os dias são maus. A mesma elite sócio-econômica humana ocultista, que viu nas grandes guerras do século XX uma oportunidade necessária para se evitar o "desastre" da teoria de Malthus, é aquela que hoje fomenta o negócio de crédito facilitado, a juros exorbitantes, e estabelece um sistema opressor sobre as nações e sobre os indivíduos. Portanto, se queres permanecer amigo do verdadeiro Deus, dai a Cesar o que é de Cesar e faça todo esforço que puder para ficar alheio a isso, e aquele, pois, que pensa estar em pé, cuida para que não caia.
Se as conclusões que Galileo Galilei (1564 - 1642) apregoou, a saber, "O livro do mundo está escrito em linguagem matemática" e "A matemática foi o alfabeto com o qual Deus construiu o universo", endossadas por Johannes Kepler (1571 - 1630), quando afirma que "As leis da Natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus", então, sem ter se contaminado com questões metafísicas e exotéricas, sem sombra de dúvidas, as funções exponenciais naturais, com a sua base na constante de Euler e = 2,71828, podem, agora e no futuro, contribuir muito mais, para que possamos compreender os fenômenos naturais da criação, até bem mais do que a cultuada razão áurea.
Se o ser humano souber desenvolver esse trabalho, mantendo-se cônscio da sua real condição, isso só poderá contribuir muito para o engrandecimento da glória de Deus Jeová. "O temor do Senhor é odiar o mal; a soberba, e a arrogância, e o mau caminho, e a boca perversa, eu os odeio.", diz o sábio Senhor, arquiteto do universo.
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