Datasets:

OLAIR

/

M-IMO-extended

like 0

Follow

OLA-AI-Research 8

2006

1003

Gegee ’n reëlmatige 2006-hoek $P$. ’n Diagonaal van $P$ word \textit{goed} genoem as sy eindpunte die rand van $P$ in twee dele verdeel wat elk uit ’n onewwe aantal sye van $P$ bestaan. Die sye van $P$ word ook \textit{goed} genoem.\n\nNou word $P$ opgedeel in driehoeke deur 2003 diagonale, waarvan geen twee ’n gemeenskaplike punt binne $P$ het nie. Vind die grootste aantal gelykbenige driehoeke met twee goeie sye wat op hierdie wyse kan ontstaan.

Le të jetë $P$ një 2006-këndësh i rregullt. Një diagonale e $P$ quhet e mirë në qoftë se skajet e saj ndajnë konturin e $P$ në dy pjesë, secila prej të cilave përbëhet nga një numër tek brinjësh të $P$. Brinjët e $P$ quhen gjithashtu të mira. E zëmë se $P$ është ndarë në trekëndësha me anë të 2003 diagonaleve, çdo dy prej të cilave nuk kanë pikë të përbashkët brenda $P$. Gjeni numrin më të madh të trekëndëshave dybrinjënjëshem me dy brinjë të mira të cilët mund të shfaqen në një konfiguracion të tillë.

ليكن \( P \) مضلع منتظم ذو \( 2006 \) ضلع. يسمى قطر المضلع \( P \) جيد إذا قطع نقطتا نهايتيه المضلع \( P \) إلى جزئين يحتوي كل جزء \( j \) عن عدد فردي من أضلاع المضلع \( P \). اعتبر أضلاع المضلع \( P \) جيدة. نفترض أن المضلع \( m \) قسم إلى مثلثات بواسطة \( 2003 \) قطراً، لا يتقاطع أي قطرين منهما داخل المضلع \( P \). أوجد أكبر عدد ممكن من المثلثات المتطابقة المفتعلة التي تملك ضلعين جيدين من أضلاع المضلع الناجمة بواسطة هذا النظام.

Нека $P$ е правилен 2006-ъгълник. Диагонал на $P$ се нарича добър, ако краищата му делят контура на $P$ на две части, всяка от които се състои от нечетен брой страни. Страните на $P$ също се считат за добри. Нека $P$ е разделен на триъгълници посредством 2003 диагонала, никои два от които не се пресичат във вътрешността на $P$. Да се намери максималният брой равнобедрени триъгълници с две добри страни, които могат да се получат при такова разделяне на $P$.

设 P 为正 2006 边形。如果 P 的一条对角线的两端将 P 的边界分成两部分，每部分都包含 P 的奇数条边，那么该对角线称为 “好边” 。规定 P 的每条边均为 “好边” 。 已知 2003 条在 P 内部不相交的对角线将 P 分割成若干三角形。试问在这种分割之下，最多有多少个有两条 “好边” 的等腰三角形。

令 \( P \) 為正 \( 2006 \) 邊形。 如果 \( P \) 的一條對角線的兩端將 \( P \) 的邊界分成兩部分， 每部分皆包含 \( P \) 的奇數條邊， 則稱此對角線為 "好邊"，規定 \( P \) 的每條邊也是 "好邊"。\ 已知 \( 2003 \) 條在 \( P \) 內部不相交的對角線將 \( P \) 分割成若干個三角形。 試問在這種分割之下， 最多有多少個有三條 "好邊" 的等腰三角形。

Zadatak 2. Neka je $P$ pravilni poligon sa 2006 stranica. Za dijagonalu poligona $P$ kažemo da je dobra ako njezine krajnje točke dijele rub od $P$ na dva dijela, tako da se svaki od njih sastoji od neparnog broja stranica poligona $P$. Za stranice poligona $P$ također kažemo da su dobre.\\ Promatrajmo podjele poligona $P$ na trokute pomoću 2003 dijagonale, tako da nikoje dvije medu tim dijagonalama nemaju zajedničku točku u unutrašnjosti poligona $P$. Nadite maksimalni broj jednakokračnih trokuta s dvije dobre stranice, koji se mogu dobiti pri nekoj takvoj podjeli.

Nechť $P$ je pravidelný 2006-úhelník. Jeho úhlopříčka se nazývá dobrá, jestliže její koncové body dělí hranici mnohoúhelníku $P$ na dvě části, z nichž každá je tvořena lichým počtem jeho stran. Každá strana mnohoúhelníku $P$ je rovněž dobrá. Předpokládejme, že $P$ je rozdělen na trojúhelníky 2003 úhlopříčkami, z nichž žádné dvě nemají společný bod uvnitř $P$. Určete, jaký je největší možný počet rovnoramenných trojúhelníků, které v uvažovaném rozdělení mnohoúhelníku $P$ mají dvě dobré strany.

Lad $P$ være en regulær 2006-kant. En diagonal i $P$ kaldes god hvis dens endepunkter deler randen af $P$ i to dele begge bestående af et ulige antal kanter fra $P$. Kanterne i $P$ kaldes også gode. $P$ deles op i 2003 trekanter af diagonaler der parvis ikke har skæringspunkter i det indre af $P$. Find det maksimale antal ligebenede trekanter med to gode sider, der kan fremkomme ved en sådan opdeling.

Zij $P$ een regelmatige $2006$-hoek. Een diagonaal van $P$ noemen we goed als zijn eindpunten de rand van $P$ verdelen in twee stukken die beide bestaan uit een oneven aantal zijden van $P$. De zijden van $P$ noemen we ook goed. Stel dat $P$ door $2003$ diagonalen in driehoeken wordt verdeeld, zodanig dat geen twee diagonalen elkaar snijden in het inwendige van $P$. Bepaal het grootste aantal gelijkbenige driehoeken met twee goede zijden die in zo'n verdeling van $P$ kunnen voorkomen.

Let $P$ be a regular 2006-gon. A diagonal of $P$ is called good if its endpoints divide the boundary of $P$ into two parts, each composed of an odd number of sides of $P$. The sides of $P$ are also called good. Suppose $P$ has been dissected into triangles by 2003 diagonals, no two of which have a common point in the interior of $P$. Find the maximum number of isosceles triangles having two good sides that could appear in such a configuration.

Olgu $P$ korrapärane 2006-nurk. $P$ diagonaali nimetame "heaks", kui tema otspunktid jaotavad $P$ rajajoone kaheks osaks, mis kumbki koosneb paaritust arvust $P$ külgedest. $P$ külgi nimetame samuti "headeks". Vaatleme $P$ jaotusi kolmnurkadeks 2003 sellise diagonaaliga, millest ühelgi kahel ei ole $P$ sees ühist punkti. Leia suurim kahe "hea" küljega võrdhaarsete kolmnurkade arv, mis saab sellises jaotuses esineda.

Kutsumme säännöllisen 2006-kulmion $P$ lävistäjää hyväksi janaksi, jos sen päätepisteet jakavat $P$:n piirin kahteen osaan, joista kumpikin koostuu parittomasta määrästä $P$:n sivuja. Myös $P$:n sivuja pidetään hyvinä janoina. Monikulmio $P$ jaetaan kolmioksi 2003:lla lävistäjällä, jotka eivät leikkaa toisiaan $P$:n sisällä. Määritä sellaisten jaossa syntyvien tasakylkisten kolmioiden, joiden sivuista kaksi on hyviä janoja, suurin mahdollinen lukumäärä.

Soit $P$ un polygone régulier à $2006$ côtés. Une diagonale de $P$ est appelée bonne si ses extrémités partagent le contour de $P$ en deux parties ayant chacune un nombre impair de côtés de $P$. Les côtés de $P$ sont aussi appelés bons. On suppose que $P$ a été subdivisé en triangles par $2003$ diagonales n’ayant deux à deux aucun point commun à l’intérieur de $P$. Trouver le nombre maximum de triangles isocèles ayant deux côtés bons qui peuvent apparaître dans une telle subdivision.

Gegeben sei ein regelmäßiges 2006-Eck $P$. Eine Diagonale von $P$ heiße gut, wenn deren Endpunkte den Rand von $P$ in zwei Teile zerlegen, die jeweils aus einer ungeraden Anzahl von Seiten von $P$ bestehen. Auch die Seiten von $P$ heißen gut. Nun werde $P$ durch 2003 Diagonalen in Dreiecke zerlegt, wobei keine zwei Diagonalen einen Schnittpunkt im Innern von $P$ haben. Man bestimme die maximale Anzahl von gleichschenkligen Dreiecken mit zwei guten Dreiecksseiten, die in einer solchen Zerlegung von $P$ auftreten können.

יהי \displaystyle P מצולע משוכלל בעל \displaystyle 2006 צלעות. אלכסון של \displaystyle P יקרא גול אם שני קצותיו מחלקים את הזווית של \displaystyle P לשני חלקים, שכל אחד מהם מורכב ממספר זוגי של צלעות של \displaystyle P. הצלחות של המצולע \displaystyle P נקראות גם הן זהובות.\\\nנניח כי \displaystyle P המצולע \displaystyle T חולק למשולשים על ידי יותך שנת \displaystyle 2003 אלכסונים, כך שאין בו שני אלכסונים בעלי נקודה משותפת לחלוטין בתוך המצולע \displaystyle P. מצא את המספר הגדול ביותר של משולושים שווי שוקיים, שיש להם שתי צלעות זהות, אשר יכולים להתקבל בחלוקה כזאת.\\\n

Legyen $P$ egy szabályos 2006-szög. $P$ egy átlóját jónak nevezzük, ha a végpontjai $P$ határát két olyan részre bontják, amelyek mindegyike $P$ páratlan sok oldalát tartalmazza. Az oldalakat szintén jónak nevezzük. Tegyük fel, hogy $P$-t háromszögekre bontottuk 2003 olyan átlóval, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös pontja $P$ belsejében. Határozzuk meg az ilyen felbontásokban előforduló egyenlőszárú, két jó oldallal rendelkező háromszögek számának maximumát.

Sia $P$ un 2006-agono regolare. Una diagonale di $P$ si dice buona se i suoi estremi dividono il bordo di $P$ in due parti ognuna delle quali è composta da un numero dispari di lati di $P$. I lati di $P$ sono considerati anch'essi buoni. Supponiamo che $P$ sia stato suddiviso in triangoli da 2003 diagonali che a due a due non hanno nessun punto in comune all'interno di $P$. Determinare il massimo numero di triangoli isosceli aventi due lati buoni che possono apparire in una tale suddivisione.

正 2006 角形 \(P\) がある。\(P\) の対角線で次の条件をみたすものを奇線とよぶことにする：対角線の両端点で \(P\) の周を２つの部分に分けたとき、各部分は奇数個の辺を含む。 また、\(P\) の各辺も奇線とよぶ。 \(P\) を、端点以外では共通点をもたない 2003 本の対角線で三角形に分割するとき、２辺が奇線であるような二等辺三角形の個数のとりうる最大値を求めよ。

정 \( 2006 \) 각형 \( P \)에서, 어떤 대각선의 양쪽에 있는 변들의 개수가 각각 홀수일 때, 그 대각선을 '홀대각선'이라 부르자. 단, \( P \)의 변들은 모두 홀대각선으로 간주한다.\\ 정 \( 2006 \) 각형 \( P \)가 \( 2003 \)개의 대각선에 의해 삼각형들로 분할되었다고 하자. 단, 어떤 두 대각선도 \( P \)의 내부에서 교차하지 않는다. 이러한 분할에 의해 생기는 삼각형들 중, 두 개의 홀대각선을 변으로 갖는 이둥변삼각형의 최대 개수를 구하여라.

2. uzdevums. Pieņemsim, ka $P$ ir regulārs 2006-stūris. Daudzstūra $P$ diagonāli sauc par labu, ja tās galapunkti sadala $P$ kontūru divās daļās, katra no kurām satur nepāra skaitu daudzstūra $P$ malu. Arī daudzstūra $P$ malas sauc par labām. Pieņemsim, ka daudzstūris $P$ ir sadalīts trijstūros, novelkot 2003 diagonāles, nekādām divām no kurām nav kopīgu punktu daudzstūra $P$ iekšpusē. Kāds ir lielākais šāda sadalījuma iespējamais tādu vienādsānu trijstūru skaits, kuriem ir pa divām labām malām?

2 uždavinys. Taisyklingojo 2006-kampio $P$ išstižiajinė, vadinama gera, jeigu jos galiniai taškai dalija daugiakampio konturą į dvi dalis, kurių kiekviena sudaro nelyginis kraštinių skaičius. Daugiakampio $P$ kraštinės taip pat vadiname geromis. Tarkime, kad $P$ suskaidytas į trikampius 2003 išstižiajinėmis, kurių jokios dvi neturi bendru taškų $P$ viduje. Raskite, kiek daugiausia tame skaidinyje gali būti lygiasonių trikampių, turinčių tik geras kraštines,

Задача 2. Нека $P$ е правилен многуаголник со 2006 страни. За дијагоналата на $P$ велиме дека е добра ако нејзините крајни точки ја делат границата на $P$ на два дела, така да секој од нив се состои од непарен број на страни од $P$. Страните на $P$ исто така ги нарекуваме добри. Да ги разгледаме поделбите на многуаголникот $P$ на триаголници со помош на 2003 дијагонали, така да кои било две од тие дијагонали немаат заедничка точка во внатрешноста на $P$. Одреди го максималниот број на рамнокраки триаголници со две добри страни, кои може да се добијат при некоја таква поделба.

La \ P \ være \ en \ regulær \ 2006-kant. \ En \ diagonal \ i \ P \ kalles \ for \ god \ hvis endepunktene \ deler \ omkretsen \ til \ P \ i \ to \ deler, \ hver \ av \ dem \ bestående \ av \ et \ odde \ antall \ kanter \ av \ P. \ Sidene \ i \ P \ kalles \ også \ gode. P \ deles \ opp \ i \ trekanter \ av \ 2003 \ diagonaler, \ av \ hvilke \ ingen \ to \ har \ felles \ punkt \ innenfor \ P. \ Finn \ det \ maximale \ antallet \ likebente \ trekanter \ med \ to \ gode \ sider \ som \ kan \ oppnås ved \ en \ slik \ oppdeling.

Zadanie 2. Niech $P$ będzie 2006-kątem foremnym. Przekątną wielokąta $P$ nazwiemy dobrą, jeśli jej końce dzielą brzeg tego wielokąta na dwie części, z których każda składa się z nieparzystej liczby boków wielokąta $P$. Każdy bok wielokąta $P$ również nazwiemy dobrym. Załóżmy, że wielokąt $P$ podzielono na trójkąty przy pomocy 2003 przekątnych, z których żadne dwie nie przecinają się wewnątrz wielokąta $P$. Wyznaczyć największą liczbę trójkątów równoramiennych, które mogą pojawić się w takiej konfiguracji i które mają dwa dobre boki.

Uma diagonal de um polígono regular $P$ de 2006 lados é um segmento bom se separa $P$ em duas partes, cada uma tendo um número ímpar de lados de $P$. Os lados de $P$ também são segmentos bons. Divide-se $P$ em triângulos, traçando-se 2003 diagonais tais que, duas a duas, não se cortam no interior de $P$. Determine o maior número de triângulos isósceles nos quais dois lados são segmentos bons que podem aparecer numa divisão como essa.

Fie $P$ un poligon regulat cu 2006 laturi. O diagonală $a$ sa se numește bună dacă extremitățile ei divid perimetrul poligonului $P$ în două părți, fiecare având un număr impar de laturi. Laturile poligonului $P$ sunt și ele considerate ca fiind bune. Presupunem că poligonul $P$ a fost partiționat în triunghiuri prin 2003 diagonale, astfel încât oricare două dintre aceste diagonale nu se intersectează în interiorul poligonului $P$. Determinați valoarea maximă a numărului de triunghiuri isoscele cu două laturi bune care pot apărea într-o astfel de partiție a poligonului $P$.

Диагональ правильного $2006$-угольника $P$ называется хорошей, если ее концы делят границу $P$ на две части, каждая из которых содержит нечетное число сторон. Стороны $P$ также называются хорошими. Пусть $P$ разбивается на треугольники $2003$ диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри $P$. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

Nech $P$ je pravidelný 2006-uholník. Jeho uhlopriečka sa nazýva dobrá, ak jej koncové body rozdeľujú hranicu mnohouholníka $P$ na dve časti, z ktorých každá pozostáva z nepárneho počtu strán. Strany mnohouholníka $P$ sa tiež považujú za dobré. Predpokladajme, že $P$ je rozdelený na trojuholníky 2003 uhlopriečkami, z ktorých žiadne dve nemajú spoločný bod vo vnútri $P$. Nájdite maximálny možný počet rovnoramenných trojuholníkov, ktoré majú dve dobré strany.

Za diagonalo pravilnega 2006-kotnika $P$ rečemo, da je dobra, če njeni krajišči razdelita rob $P$ na dva dela tako, da je v vsakem izmed njiju liho mnogo stranic večkotnika $P$. Za vse stranice večkotnika $P$ rečemo, da so dobre. Denimo, da $P$ razdelimo z 2003 diagonalami na trikotnike tako, da se nobeni dve diagonali ne sekata v notranjosti $P$. Določi največje možno število enakokrakih trikotnikov z dvema dobrima stranicama, ki jih lahko dobimo pri takih razdelitvah večkotnika $P$.

Decimos que una diagonal de un polígono regular $P$ de 2006 lados es un \emph{segmento bueno} si sus extremos dividen al borde de $P$ en dos partes, cada una de ellas formada por un número impar de lados. Los lados de $P$ también se consideran \emph{segmentos buenos}. Supongamos que $P$ se ha dividido en triángulos trazando 2003 diagonales de modo que ningún par de ellas se corta en el interior de $P$. Encuentre el máximo número de triángulos isósceles que puede haber tales que dos de sus lados son \emph{segmentos buenos}.

Låt $P$ vara en regelbunden 2006-hörning. En diagonal i $P$ kallas för trevlig om dess ändpunkter delar $P$’s omkrets i två delar, var och en med ett udda antal sidor från $P$. Månghörningens sidor anses också vara trevliga. Antag att 2003 diagonaler, som parvist inte skär varandra inuti $P$, delar $P$ i trianglar. Bestäm det största antalet likbenta trianglar med två trevliga sidor som en sådan konfiguration kan ha.

โจทย์ข้อที่ \enspace 2 \enspace ให้ \enspace P \enspace เป็นจุดปี \enspace 2006 \enspace เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า \enspace จะเรียกเส้นเอกยมุมของ \enspace P \enspace ว่า \enspace ด้านดี \enspace เมื่อจุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านจุดแยงมุมแบ่งเนื้อเส้นรอบรูปของ \enspace P \enspace ออกเป็นสองส่วน \enspace ซึ่งแต่ละส่วนประกอบด้วยด้านจำนวนคี่ด้าน \enspace นอกจากที่ \enspace ให้ถือว่าด้านแต่ละด้านของ \enspace P \enspace เป็น \enspace ด้านดี \enspace เช่นกัน \enspace จงหาจำนวนเต็มที่ยาวสุดของรูปสามเหลี่ยมมนนี้ว่ามี \enspace ด้านดี \enspace สองด้าน \enspace ซึ่งเกิดขึ้นในทางการซอยแบ่ง \enspace P \enspace เป็นรูปสามเหลี่ยมยอดย่อยด้วยเส้นเอกยมุม \enspace 2003 \enspace เส้น \enspace โดยไม่มีเส้นเอกยมุมเส้นใดตัดกันภายใน \enspace P

Bir \( P \) düzgün 2006-geni veriliyor. \( P \) nin bir köşegenine, uçları \( P \) nin çevresini, her birisi \( P \) nin tek sayıda kenarından oluşan iki parçaya ayırması halinde, \textit{güzel} adı veriliyor. \( P \) nin her kenarı da \textit{güzel} kabul ediliyor. \\ \( P \), herhangi ikisi çokgen içinde kesişmeyen 2003 köşegeni tarafından üçgensel bölgelere ayrıldığında, iki kenarı \textit{güzel} olan en fazla kaç ikizkenar üçgen oluşabileceğini bulunuz.

Задача 2. Діагональ правильного 2006-кутника $P$ називається доброю, якщо її кінці поділяють множину $P$ на дві частини, кожна з яких містить кратне число сторін. Сторони $P$ також називаються добрими. Нехай $P$ розбивається на трикутники діагоналями, жодні дві з яких не мають спільних точок усередині $P$. Яку найбільшу кількість рівнобедрених трикутників, кожний з яких має дві добрі сторони, може містити таке розбиття?

Cho $P$ là một đa giác đều 2006 cạnh. Một đường chéo của $P$ được gọi là đoạn tốt nếu các đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó chia chu vi của $P$ thành hai phần, phần nào cũng có số lẻ cạnh. Các cạnh của $P$ cũng được coi là đoạn tốt. Giả sử ta chia $P$ thành các tam giác bởi 2003 đường chéo đôi một không có điểm chung thuộc miền trong của $P$. Hãy tính số lớn nhất các tam giác cân có hai cạnh là đoạn tốt có thể xuất hiện trong cách chia $P$ như trên.

2006

\frac{9}{32}\sqrt{2}

Bepaal die kleinste reële getal $M$ waarvoor die ongelykheid\n\[\left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \]vir alle reële getalle $a$, $b$ en $c$ geld.

Gjeni numrin real më të vogël $M$ të tillë që mosbarazimi \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] të plotësohet për të gjithë numrat realë $a$, $b$ dhe $c$.

أوجد اصغر عدد حقيقي \( M \) يحقق المتباينة \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \le M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] لكل الاعداد الحقيقية \( a, b, c \). الوقت المتاح للإجابة: أربع ساعات ونصف الساعة لكل مسالة \( 7 \) درجات فقط.

Да се намери най-малкото реално число $M$, за което неравенството \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] е изпълнено за произволни реални числа $a, b$ и $c$.

求最小的实数 M ，使得对于所有的实数 a,b 和 c ，有 |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2.

試求最小的實數 \( M, \) 使得不等式 \[ |ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2 \] 對所有實數 \( a, b, c \) 都成立。

Zadatak 3. Odredite najmanji realni broj $M$ takav da nejednakost\\ $$\left | ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right | \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2$$\\ vrijedi za sve realne brojeve $a$, $b$ i $c$.

Určete nejmenší reálné číslo $M$ takové, že nerovnost \[ ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] platí pro všechna reálná čísla $a, b, c$.

Bestem det mindste reelle tal $M$ sådan at uligheden $$|ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2$$ gælder for alle reelle tal $a$, $b$ og $c$.

Bepaal het kleinste reële getal $M$ zodanig dat voor alle reële getallen $a$, $b$ en $c$ de volgende ongelijkheid geldt: \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2. \]

Determine the least real number $M$ such that the inequality \[ \left| ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2) \right| \le M(a^2+b^2+c^2)^2 \] holds for all real numbers $a$, $b$ and $c$.

Leia vähim selline reaalarv $M$, et võrratus \[ | ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) | \leq M(a^2+b^2+c^2)^2 \] kehtib kõigi reaalarvude $a, b$ ja $c$ korral.

Määritä pienin reaaliluku $M$, jolle epäyhtälö \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] toteutuu kaikilla reaaliluvuilla $a$, $b$ ja $c$.

Trouver le plus petit réel $M$ tel que l’inégalité \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] soit vérifiée pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$.

Man bestimme die kleinste reelle Zahl $M$, so dass für alle reellen Zahlen $a$, $b$ und $c$ die folgende Ungleichung gilt: \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \]

מצא את המספר המרבי \displaystyle M הקטן ביותר, כך שאי השוויון \\ |\ ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)\ | \leq M\ (a^2 + b^2 + c^2)^2 \\ מתקיים עבור כל שלושה מספרים ממשיים \displaystyle a,\ b,\ c.\\\n

Határozzuk meg a legkisebb olyan $M$ valós számot, amire az $$\left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \le M\left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^2$$ egyenlőtlenség teljesül minden $a, b, c$ valós számra.

Determinare il più piccolo numero reale $M$ tale che la disuguaglianza \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] sia soddisfatta per tutti i numeri reali $a, b, c$.

任意の実数 \(a, b, c\) に対して不等式 \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] が成り立つような最小の実数 \(M\) を求めよ。

모든 실수 \( a, b, c \)에 대하여 다음의 부등식을 만족하는 실수 \( M \)의 최소값을 구하여라.\\ \[ \left| ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2. \]

3. uzdevums. Noskaidrojiet, kāds ir vismazākais reālais skaitlis $M$, ar kuru nevienādība $$|ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \le M(a^2 + b^2 + c^2)^2$$ ir spēkā visiem reāliem skaitļiem $a$, $b$ un $c$.

3 uždavinys. Raskite mažiausią realųjį skaičių $M$ tokį, kad nelygybė \[ ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \le M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] būtų teisinga su visais realiais skaičiais $a, b, c$.

Задача 3. Најди го најмалиот реален број $M$, таков да неравенството \[ ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2}) \leq M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} \] важи за сите реални броеви $a, b$ и $c$.

Bestem \ det \ minste \ reelle \ tallet \ M \ slik \ at \ ulikheten \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 holder \ for \ alle \ reelle \ tall \ a, \ b \ og \ c.

Zadanie 3. Wyznaczyć najmniejszą liczbę rzeczywistą $M$ taką, że nierówność \[ |ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| \leq M\left(a^2+b^2+c^2\right)^2 \] jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$, $b$ oraz $c$.

Determine o menor número real $M$ tal que a desigualdade \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M \left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^2 \] é verdadeira para todos os números reais $a$, $b$, $c$.

Determinați cel mai mic număr real $M$ pentru care inegalitatea $\left| ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) \right| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2$ este adevărată oricare ar fi numerele reale $a$, $b$ și $c$.

Определите наименьшее действительное число $M$ такое, что неравенство \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \le M (a^2 + b^2 + c^2)^2 \] выполняется для любых действительных чисел $a, b, c$.

Určte najmenšie reálne číslo $M$ tak, aby nerovnosť \[ ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2) \leq M(a^2+b^2+c^2)^2 \] platila pre všetky reálne čísla $a, b, c$.

Določi najmanjše realno število $M$, za katerega velja neenakost $$|ab(a^2-b^2) + bc(b^2-c^2) + ca(c^2-a^2)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2$$ za vsa realna števila $a$, $b$ in $c$.

Determine el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[ |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \leq M \left( a^2 + b^2 + c^2 \right)^2 \] se cumple para todos los números reales $a$, $b$, $c$.

Bestäm det minsta reela talet $M$ för vilket olikheten \[\left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2\] gäller för alla reella tal $a, b$ och $c$.

โจทย์ข้อที่ \enspace 3 \enspace จงหาจำนวนจริง \enspace M \enspace จำน้อยสุดที่ทำให้สมการ \enspace |ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2 \enspace เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง \enspace a, \enspace b \enspace และ \enspace c

Tüm \( a, b, c \) reel sayıları için\\ \[ \left| ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) \right| \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \]\\ eşitsizliğini geçerli kılan en küçük \( M \) reel sayısını bulunuz.

Задача 3. Визначте найменше дійсне число $M$ таке, що нерівність $|ab \left(a^2 - b^2 \right) + bc \left(b^2 - c^2 \right) + ca \left(c^2 - a^2 \right)| \le M \left(a^2 + b^2 + c^2 \right)^2$ виконується для будь-яких дійсних чисел $a, b, c$.

Xác định số thực nhỏ nhất $M$ sao cho bất đẳng thức \[ | ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2) | \leq M(a^2 + b^2 + c^2)^2 \] được thỏa mãn cho tất cả các số thực $a, b$ và $c$.

2006

(0, 2), (0, -2), (4, 23), (4, -23)

Bepaal alle pare heelgetalle $(x, y)$ sodat\n\[1 + 2x + 2^{2x+1} = y^2.\]

Gjeni të gjitha çiftet e numrave të plotë $(x, y)$ të tillë që \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2. \]

حدد جميع الأزواج المرتبة \((x, y)\) حيث \( x, y \) أعداد صحيحة، وتحقق المعادلة: \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 \]

Да се намерят всички двойки $(x, y)$ от цели числа, за които \( 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \)

求所有的整数对 (x, y)，使得 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.

試確定所有的整數對 \( (x, y), \) 使得 \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Zadatak 4. Nadite sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva takvih da vrijedi\\ $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

Určete všechny dvojice $(x, y)$ celých čísel, pro něž platí \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2. \]

Bestem alle par af heltal $(x, y)$ sådan at: $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2$$

Bepaal alle paren gehele getallen $(x, y)$ zodanig dat \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2. \]

Determine all pairs $(x, y)$ of integers such that \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Leia kõik sellised täisarvupaarid $(x, y)$, et \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Määritä kaikki kokonaislukuparit $(x, y)$, jotka toteuttavat yhtälön \[ 1 + 2^x + 22^{x+1} = y^2. \]

Trouver tous les couples $(x, y)$ d’entiers vérifiant \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Man bestimme alle Paare $(x, y)$ ganzer Zahlen, welche die folgende Gleichung erfüllen: \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 \]

מצא את כל הזוגות \displaystyle (x,y) של מספרים שלמים כך ש \\\n1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2\\\n

Határozzuk meg az összes olyan, egész számokból álló $(x,y)$ számpárt, amire teljesül $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

Determinare tutte le coppie $(x, y)$ di interi tali che \[ 1 + 2x + 2^{2x+1} = y^2. \]

以下の等式をみたす整数の組 \((x, y)\) をすべて求めよ。 \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 \]

다음의 방정식을 만족하는 정수쌍 \((x, y)\)를 모두 구하여라.\\ \[ 1 + 2x + 22^{x+1} = y^2. \]

4. uzdevums. Noskaidrojiet, kuriem veselu skaitļu pāriem $(x,y)$ ir spēkā vienādība $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

4 uždavinys. Raskite visas tokias sveikųjų skaičių poras $(x, y)$, kad \[ 1 + 2^x + \lambda^{2x+1} = y^2 \]

Задача 4. Најди ги сите парови $(x, y)$ од цели броеви, такви да важи \[ 1+2^{x}+2^{2x+1} = y^{2}. \]

Bestem \ alle \ par \ av \ heltall \ (x,y) \ slik \ at 1 + 2x + 2^{2x+1} = y^2.

Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie pary $(x, y)$ liczb całkowitych, dla których \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Determine todos os pares de inteiros $(x, y)$ tais que \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Determinați toate perechile $(x,y)$ de numere întregi astfel încât $1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2$.

Найдите все пары $(x, y)$ целых чисел такие, что \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2. \]

Určte všetky dvojice $(x, y)$ celých čísel takých, že \[ 1 + 2^x + 2^{x+1} = y^2 \].

Določi vse pare celih števil $(x, y)$, za katere velja $$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2.$$

Determine todas las parejas de enteros $(x, y)$ tales que \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

Bestäm alla heltalspar $(x, y)$ sådana att $$1 + 2x + 2x^{+1} = y^2.$$

โจทย์ข้อที่ \enspace 4 \enspace จงหาคู่ลำดับจำนวนเต็ม \enspace (x, y) \enspace ทั้งหมดซึ่ง \enspace 1+2^x+2^{x+1}=y^2

\( 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2 \) eşitliğini sağlayan tüm \((x, y)\) tam sayı ikililerini belirleyiniz.

Задача 4. Знайдіть усі пари $(x,y)$ цілих чисел такі, що $1 + x^2 + 2^{x+1} = y^2$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ sao cho \[ 1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2. \]

2007

3n

ليكن \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا . لنعتبر . \(S = \{(x,y,z) : x,y,z \in \{0,1,\ldots,n\} , x + y + z > 0\}\) كجموعة من \(n+1)^3 - 1\) نقطة من الفراغ (الفضاء الثلاثي) . حدد أصغر عدد ممكن من المستويات بحيث يكون اتحادها يتضمن \(z\) و لا يحتوي على النقطة \((0,0,0)\) .

Задача 6. Нека $n$ е естествено число. Да разгледаме множеството \[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \} \] от $(n+1)^3 - 1$ точки в тримерното пространство. Да се намери най-малкият възможен брой равнини, чието обединение съдържа $S$, но не съдържа точката $(0, 0, 0)$.

设 $n$ 是一个正整数。考虑 \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \} \] 这样一个三维空间中具有 $(n+1)^3 - 1$ 个点的集合。问：最少要多少个平面，它们的并集才能包含 $S$，但不含 $(0, 0, 0)$。

設 $n$ 是一個正整數。考慮\[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0\} \] 這樣一個三維空間中具有 $(n+1)^3 - 1$ 個點的集合。問: 最少要多少個平面, 它們的聯集才能包含 $S$, 但不含 $(0, 0, 0)$.

Neka je $n$ pozitivan cijeli broj. Promatraj $$ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0\} $$ kao skup od $(n + 1)^3 - 1$ točaka u trodimenzionalnom prostoru. Odredi najmanji mogući broj ravnina, čija unija sadrži sve točke skupa $S$, ali ne sadrži točku $(0, 0, 0)$.

Nechť $n$ je kladné celé číslo. Uvažujme množinu \[ S = \left\{(x, y, z) \colon \ x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x+y+z>0\right\} \] složenou z $(n+1)^3-1$ bodů třírozměrného prostoru. Určete nejmenší možný počet rovin, jejichž sjednocení obsahuje všechny body z $S$, neobsahuje však bod $(0, 0, 0)$.

Lad $n$ være et positivt heltal. Betragt $$S = \{(x,y,z) : x,y,z \in \{0,1,\ldots ,n\}, \ x+y+z>0\}$$ som en mængde af $(n+1)^3 - 1$ punkter i det tre-dimensionelle rum. Bestem det mindst mulige antal planer der tilsammen dækker $S$ uden at dække $(0,0,0)$.

Laat \(n\) een geheel getal zijn, \(n > 0\). Beschouw \[ S = \{ \,(x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \; x + y + z > 0\, \} \] als een verzameling van \((n + 1)^3 - 1\) punten in de driedimensionale ruimte. Bepaal het kleinst mogelijke aantal vlakken zodanig dat deze vlakken samen wel alle punten van \(S\) bevatten, maar niet het punt \((0, 0, 0)\).

Let $n$ be a positive integer. Consider \[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0\} \] as a set of $(n+1)^3 - 1$ points in three-dimensional space. Determine the smallest possible number of planes, the union of which contains $S$ but does not include $(0, 0, 0)$.

Soit n un entier strictement positif. Dans l’espace on considère l’ensemble\\\nS = \left\{ (x, y, z) \ : \ x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \right\},\\\nconstitué de (n + 1)^3 - 1 points. Trouver le plus petit nombre de plans dont la réunion contient S mais ne contient pas (0, 0, 0).

Es sei $n$ eine positive ganze Zahl. Gegeben sei \[ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, x + y + z > 0\}, \] eine Menge von $(n + 1)^3 - 1$ Punkten des drei-dimensionalen Raumes. Man bestimme die kleinstmögliche Anzahl von Ebenen, deren Vereinigung die Menge $S$ umfasst, aber nicht den Punkt $(0, 0, 0)$.

יהי \(n\) מספר שלם חיובי. נגדיר את \[S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \, \ldots, n\}, x + y + z > 0 \} \] בקבוצה של \(n+1)^3-1\) נקודות במרחב התחלת גמיל. מצא את המספר הקטן ביותר האפשרי של מישרירים, כך שהאריות שלהם מכיל את \(S\) אבל אינו מכיל את \((0, 0, 0)\).

Sia $n$ un intero positivo. Si consideri $S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \}$ come un insieme di $(n + 1)^3 - 1$ punti nello spazio tridimensionale. Determinare il minor numero possibile di piani la cui unione contiene tutti i punti di $S$ ma non contiene $(0, 0, 0)$.

양의 정수 \(n\)에 대하여, 3차원 공간에 있는 \((n+1)^3 - 1\)개의 점들의 집합 \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, x + y + z > 0 \} \]을 생각하자. 원점 \((0, 0, 0)\)을 포함하지 않는 유한 개의 평면들의 합집합이 점집합 \(S\)를 포함하도록 하려고 한다. 이를 위해 필요한 평면들의 최소 개수를 구하여라.

6 uždavinys. Tegul $n$ yra natūralusis skaičius. Nagrinėkime aibę \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, \; x+y+z > 0 \} \] kaip trimatės erdvės taškų aibę, sudarytą iš $(n+1)^3 - 1$ taškų. Kiek mažiausiai reikia paimti plokštumų, kad jų visų sąjungai priklausytų visi aibės $S$ taškai, bet nepriklausytų taškas $(0,0,0)$?

Нека $n$ е природен број. Нека \[ S = \{(x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\} , x+y+z > 0\} \] е множеството кое се состои од $(n+1)^3 - 1$ точки во тридимензионалниот простор. Одреди го најмалиот можен број на рамнини, чија унија ги содржи сите точки од множеството $S$, а не ја содржи точката $(0, 0, 0)$.

La \( n \) være et positivt heltall. Betrakt \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, \ x+y+z > 0 \} \] som en mengde av \( (n+1)^3 - 1 \) punkter i det tredimensjonale rommet. Bestem minste mulige antall planær hvis union inneholder \( S \), men ikke inkluderer \( (0, 0, 0) \).

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozpatrujemy $$S = \{(x,y,z) : x,y,z \in \{0,1,\ldots,n\}, \ x+y+z > 0\}$$ jako zbiór $(n+1)^3-1$ punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Wyznaczyć najmniejszą możliwą liczbę płaszczyzn, których suma zawiera zbiór $S$, ale nie zawiera punktu $(0,0,0)$.

Fie $n$ un număr natural nenul. Considerăm mulțimea \[S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0\}\] ce conține $(n+1)^3 - 1$ puncte din spațiul tridimensional. Determinați numărul minim de plane a căror reuniune conține mulțimea $S$, dar nu conține punctul $(0, 0, 0)$.

Nech $n$ je kladné celé číslo. Uvažujme množinu \[ S = \left\{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, \ x + y + z > 0 \right\} \] pozostávajúcu z $(n + 1)^3 - 1$ bodov trojrozmerného priestoru. Určte najmenší možný počet rovín, ktorých zjednotenie obsahuje všetky body z $S$, ale neobsahuje bod $(0, 0, 0)$.

Naj bo $n$ naravno število. Dana je množica \[S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0\},\] to je množica $(n + 1)^3 - 1$ točk v tridimenzionalnem prostoru. Določi najmanjše možno število ravnin, katerih unija vsebuje množico $S$, ne vsebuje pa točke $(0, 0, 0)$.

Sea $n$ un entero positivo. Se considera \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{ 0, 1, \ldots, n \}, \ x+y+z > 0 \} \] como un conjunto de $(n+1)^3 - 1$ puntos en el espacio tridimensional. Determinar el menor número posible de planos cuya unión contiene todos los puntos de $S$ pero no incluye a $(0,0,0)$.

ให้ \( n \) เป็นจำนวนเต็มบวก พิจารณา \[ S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \dots , n\}, x + y + z > 0 \} \] เป็นเซตของจุด \((n + 1)^3 - 1 \) จุดในปริภูมิสามมิติ จงหาจำนวนระนาบที่น้อยที่สุดที่แบ่งไปได้ซึ่ง เมื่ออยู่เน้นกันทั้งหมดแล้วจะบรรจุ \( S \) แต่ไม่รวมจุด \(0,0,0\)

Soru 6. \ n \ \text{pozitif bir tam sayı olsun. Üç boyutlu uzayda} \ (n+1)^3 - 1 \ \text{noktad} \a \c \text{oluşan} \\\ S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \} \\\ \text{kümesi veriliyor. Birleşimleri} \ S \ \text{kümesini kapsayan, ama} \ (0,0,0) \ \text{noktasını içermeyen} \ \c \text{düzlemlerin sayısının alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.}

Нехай $n$ — натуральне число. Розглянемо множину $$S = \{ (x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \ x + y + z > 0 \},$$ яка складається з $(n + 1)^3 - 1$ точок тривимірного простору. Знайдіть найменшу можливу кількість площин, об’єднання яких містить всі точки з $S$, проте не містить точку $(0, 0, 0)$.

Bài 6. Cho $n$ là một số nguyên dương. Xét \[S = \{(x, y, z) : x, y, z \in \{0, 1, \ldots, n\}, \; x + y + z > 0\}\] như là một tập hợp gồm $(n+1)^3 - 1$ điểm trong không gian 3-chiều. Hãy xác định số nhỏ nhất có thể các mặt phẳng mà họp của chúng chứa tất cả các điểm của $S$ nhưng không chứa điểm $(0, 0, 0)$.

Misalkan $n$ suatu bilangan asli. Pandang \[ S = \{ (x, y, z) \mid x, y, z \in \{0, 1, \ldots , n\}, \; x + y + z > 0 \} \] \text{sebagai himpunan } (n + 1)^3 - 1$ titik di ruang dimensi-tiga. Tentukan banyak minimal bidang yang gabungannya memuat $S$, tetapi tidak memuat $(0, 0, 0)$.

2008

f(x)=x, f(x)=\frac{1}{x}

Gjgeni \te \gjitha \functionet \(f: ~(0, \infty) \to (0, \infty) \)~ \pra, \(f \eshte \i \percakturar \ne \bashkesine \e \numrave \reale \pozitive) \t \marr \vlera \ne \bashkesine \e \numrave \reale \pozitive \) \t \til \qe \[(f(w))^2 +(f(x))^2 \over f(y)^2 + f(z)^2 \geq \left( \frac{w^2 +x^2}{y^2 + z^2} \] \per \te \gjithe \numrat \reale \pozitive \( w, x, y, z \) \qe \plotesojne \kushtin \(wx = yz \).

السؤال الرابع: أوجد جميع الدوال $f$ حيث $f$ دالة من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية الموجبة $$f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$$ لكل الأعداد الحقيقية الموجبة $w, x, y, z$ حيث $wx = yz$ التي تحقق $$\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$$

Да се намерят всички функции $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (т.е. $f$ е функция от реалните положителни числа към реалните положителни числа), такива, че \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] за всички реални положителни $w$, $x$, у и $z$, удовлетворяващи равенството $wx = yz$.

求所有的函数 $f : (0, +\infty) \rightarrow (0, +\infty)$，满足对所有的正实数 $w, x, y, z$, $wx = yz$, 都有 \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}. \]

找出所有滿足以下條件的函數 $f: (0,\infty) \to (0,\infty)$ （即 $f$ 為一從正實數映至正實數的函數），且對所有滿足 $wx = yz$ 的正實數 $w,\ x,\ y,\ z$, $$\frac{\left(f(w)\right)^2 + \left(f(x)\right)^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$$ 都成立。

Nađi sve funkcije $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ ($f$ je funkcija sa skupa pozitivnih realnih brojeva u skup pozitivnih realnih brojeva) takvih da vrijedi \[ \frac{f(w^2)}{f(y^2) + f(z^2)} + \frac{f(x)}{f(y^2) + f(z^2)} = \left( \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \right)^2 \] za sve pozitivne realne brojeve $w, x, y, z$, koji zadovoljavaju uvjet $wx = yz$.

Najděte všechny funkce $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ takové, že $$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} $$ pro všechna kladná reálná čísla $w, x, y, z$ splňující rovnost $wx = yz$.

Find alle funktioner $f : ]0, \infty] \rightarrow ]0, \infty[$ (dvs. at $f$ er en funktion fra de positive reelle tal til de positive reelle tal) således at \[ \frac{\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] for alle reelle $w, x, y, z > 0$ som opfylder $wx = yz$.

Zij $(0, \infty)$ de verzameling $\{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \}$. Vind alle functies $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ die voldoen aan $$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} $$ voor alle $w, x, y, z \in (0, \infty)$ met $wx = yz$.

Find all functions $f : (0,\infty) \to (0,\infty)$ (so, $f$ is a function from the positive real numbers to the positive real numbers) such that \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] for all positive real numbers $w$, $x$, $y$, $z$, satisfying $wx = yz$.

Leia kõik sellised funktsioonid \( f : (0, \infty) \to (0, \infty) \) (st funktsioonid \( f \) positiivsetest reaalarvudest positiivsetesse reaalarvudesse), et kõigi tingimust \( wx = yz \) rahuldavate positiivsete reaalarvude \( w, x, y, z \) korral \[ \frac{\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}. \]

4. tehtävä. Määritä kaikki funktiot $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ ($f$ on siis positiivisten reaalilukujen joukossa määritelty funktio, jonka arvot ovat positiivisia reaalilukuja), joille pätee \[\left(\frac{f(w)^2 + f(x)^2}{f(y)^2 + f(z)^2}\right)^2 = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}\] kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla $w$, $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttavat ehdon $wx = yz$.

Trouver toutes les fonctions $f$ de $]0, +\infty[ \rightarrow ]0, +\infty[$ telles que \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] pour tous nombres réels strictement positifs $w, x, y, z$, vérifiant $wx = yz$.

Aufgabe 4. Man bestimme alle Funktionen $f: ]0, \infty[ \to ]0, \infty[$ (d.h. $f$ ist auf der Menge der positiven reellen Zahlen definiert und nimmt nur positive reelle Zahlen als Werte an), die $$\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$$ für alle positiven reellen Zahlen $w, x, y, z$ mit $wx = yz$ erfüllen.

הוכיח כי כל הפונקציות $f : (0, \infty) \to (0, \infty) $ (כלומר היא פונקציה המקבלת מספרים הממשיים החיוביים וקולטת רק המספרים הממשיים והחיוביים) כך ש \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] עבור כל המספרים הממשיים החיוביים $w, x, y, z$ המתקיים $w = wx$.

Határozzuk meg az összes olyan $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ függvényt ($f$ tehát a pozitív valós számok halmazából a pozitív valós számok halmazába képez), amelyre \[ \left(\frac{f(w^2) + f(x^2)}{f(y^2) + f(z^2)}\right)^2 = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] teljesül, valahányszor $w, x, y, z$ olyan pozitív valós számok, amelyekre fennáll $wx = yz$.

Determinare tutte le funzioni $f : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ (cioè le funzioni $f$ definite nell'insieme dei numeri reali positivi e a valori nell'insieme dei numeri reali positivi) tali che \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] per tutti i numeri reali positivi $w$, $x$, $y$, $z$ che soddisfano $wx = yz$.

関数 f : (0, \infty) \to (0, \infty) \\ (正の実数に対して定義され、正の実数値をとる関数 f) であって、次の条件をみたすものをすべて求めよ。\\ 条件 : \ wx = yz をみたす任意の正の実数 w, x, y, z に対して、\\ \frac{f(wx)}{f(y^2)} + \frac{f(x)}{f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \\ が成立する。

다음의 조건을 만족시키는 함수 $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$을 모두 구하여라 ($f$ 는 정의의 양의 실수에 양의 실수를 대응시키는 함수): $uv = xy$인 모든 양의 실수 $u, v, x, y, z$에 대하여 \[ \frac{f(u^2) + f(x^2)}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{u^2 + x^2}{y^2 + z^2}. \]

Noskaidrojiet, kādām funkcijām $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ (tātad $f$ ir funkcijas, kuras definētas visiem pozitīviem reāliem skaitļiem un pieņem tikai pozitīvas reālas vērtības) piemīt īpašība: ja pozitīvi reāli skaitļi $w, x, y, z$ apmierina nosacījumu $wx = yz$, tad $$\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}.$$

Raskite visas tokias funkcijas $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (t.y., $f$ yra funkcija, kuri kiekvienam teigiamam realiajam skaičiui priskiria teigiamą realųjį skaičių), kad \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] su visais teigiamais realiaisiais skaičiais $w, x, y, z$, tenkinančiais sąlygą $wx = yz$.

Најди ги сите функции \( f : (0, \infty) \to (0, \infty) \) (т.е. \( f \) е функција од множеството на позитивни реални броеви во множеството на позитивни реални броеви) такви да \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] важи за сите позитивни реални броеви \( w, x, y, z \), кои ја задоволуваат еднаквоста \( wx = yz \).

Finn alle funksjoner \( f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty) \) (dvs. at \( f \) er en funksjon fra de positive reelle tallene til de positive reelle tallene) slik at \[ \left( \frac{f(w)}{f(y^2) + f(z^2)} \right)^2 + \left( \frac{f(x)}{f(z^2) + f(w^2)} \right)^2 = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] for alle reelle \( w, x, y, z > 0 \) som tilfredsstiller \( wx = yz \).

Znaleźć wszystkie takie funkcje $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ (czyli funkcje określone na zbiorze wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych, których wartościami są wyłącznie dodatnie liczby rzeczywiste), że równość \[ \frac{f(w)^2 + f(x)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych $w, x, y, z$ spełniających warunek $wx = yz$.

Determine todas as funções $f : ]0, \infty [ \to ]0, \infty [$ (ou seja, $f$ é uma função dos reais positivos para os reais positivos) tais que \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos os números reais positivos $w, x, y, z$ com $wx = yz$.

Găsiți toate funcțiile $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ pentru care \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] pentru orice numere reale strict pozitive $w$, $x$, $y$, $z$, având proprietatea $wx = yz$.

Найдите все функции $f : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$ (то есть, функции, определенные на множестве всех положительных действительных чисел и принимающие положительные значения) такие, что \[ \frac{f(w)^2 + f(x)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] для любых положительных $w$, $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих равенству $wx = yz$.

Dokážte, že existuje nekonečne veľa kladných celých čísel $n$ takých, že $n^2 + 1$ má prvočíselného deliteľa väčšieho ako $2n + \sqrt{2n}$.

Poišči vse take funkcije $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ (torej, $f$ je funkcija, ki slika iz pozitivnih realnih števil v pozitivna realna števila), za katere velja \[ \frac{(f(w))^2+(f(x))^2}{f(y)^2+f(z)^2}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \] za vsa pozitivna realna števila $w$, $x$, $y$, $z$ z lastnostjo $wx=yz$.

Hallar todas las funciones $f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty)$ (es decir, las funciones $f$ de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $w$, $x$, $y$, $z$, que satisfacen $wx = yz$.

Bestäm alla funktioner $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ ($f$ är alltså en funktion från de positiva reella talen till de positiva reella talen), sådana att\\\[\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}\] \ \ \ \ för alla positiva reella talen $w, x, y, z$ som uppfyller $wx = yz$.

จงหาฟังก์ชัน $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ (นั้นคือ $f$ เป็นฟังก์ชันจากเขตของจำนวนจริงบวกไปยังเขตของจำนวนจริงบวก) ทั้งหมดที่ทำให้ \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $w, x, y, z$ ซึ่ง $wx = yz$

$wx = yz$ olmak üzere, tüm $w, x, y, z$ pozitif gerçek sayıları için $$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2+z^2} $$ koşulunu sağlayan tüm $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (diğer deyişle $f$, pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlı ve pozitif değerler alan bir fonksiyondur) fonksiyonlarını bulunuz.

Задача 4. \text{ Знайдіть усі функції } f : (0, +\infty) \to (0, +\infty) \text{ (тобто функції, що визначені на множині усіх додатних дійсних чисел та приймають додатні значення) такі, що } \frac{ \left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2 }{ f(y)^2 + f(z)^2 } = \frac{ w^2 + x^2 }{ y^2 + z^2 } \text{ для довільних додатних } w, x, y, z, \text{ які задовольняють рівність } wx = yz.

Tìm tất cả các hàm $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (tức là, $f$ là hàm từ tập hợp các số thực dương vào tập hợp các số thực dương) sao cho $$ \frac{\left(f(w)\right)^2 + \left(f(x)\right)^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} $$ với mọi số thực dương $w, x, y, z$ mà $wx = yz$.

Cari semua fungsi $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ (yaitu, $f$ adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan real positif ke himpunan bilangan real positif) sehingga \[\frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] untuk semua bilangan real positif $w, x, y, z$, dengan $wx = yz$.

Πρόβλημα 4. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις \( f : (0,+\infty) \rightarrow (0,+\infty) \) (δηλαδή, η \( f \) είναι συνάρτηση από το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών) για τις οποίες ισχύει: \[ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y)^2 + f(z)^2} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}, \] για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς w, x, y, z, που ικανοποιούν την ισότητα wx = yz.

2008

2^{k-n}

Le \te \jene \(n \dhe \k \qundra \e \plota \pozitive \ku \( k \leq \n \dhe \k-n \eshte \nje \numur \cift. \Given \te \(2n \)llampa, \te \etiketuara \me \numrat \ilimta 1,2 \ldots,2n, \cdonera \prej \te \c edge \etale \se \jete \nji \navbar \prej \ly \gjenilde, \e \uzer ose \shuar \fillimish \te \gith \llampa \jante \te \shura. \Marrir \ne \shtyrim \uarget \e \operatione \ku \operation \do \te \qued \mendryshime \e \gjendjes \e \vetim \nje \llampe ~nqa \e \ndgezur \shue ose \nga \e \shuar \ndezet). \Le~te~jatë~\( N ~numri~i~varînesë \të \përbëerë \\ nga \të \operatione \ne \fund \të \c \features \ve \gita \llampat \ng \1 \icon \t \ndezuar \dur \gat \ubl \llampas \ng \n \widet \2n \en \t \shara. \Le \te \jet\ ime \operation \ne \fund \features \t \n \claves \t \ll \llampat \nga \(\n \widet \1 \der \t \ndezuara, \te \githa \llampat \nga \n \widet \1 \deri \t \jan \te \shara \por \web \dj \nteresve \nga \t \1 \deri + \widet 2n \nuk \eshte \ndezuar \kura \percjetoni \raportin \nuders\N.

السؤال الخامس: ليكن $n$ و $k$ عددين صحيحين موجبين حيث $k \geq n$ ، $k - n$ عدد زوجي. لدينا $2n$ مصباحا مرقمة $1 ، 2 ، \ldots ، 2n$. كل مصباح من هذه المصابيح يمكن أن يكون في وضع $ON$ (مضاء) أو وضع $OFF$ (مطفأ). في البداية جميع المصابيح في وضع $OFF$. الخطوة : هي تغير وضع المصباح (من $OFF$ إلى $ON$ أو من $ON$ إلى $OFF$) السلسلة : هي عدد من الخطوات المتتالية. ليكن $M$ عدد السلاسل المكونة من $k$ خطوة و التي تنتهي إلى الحالة التي تكون فيها المصابيح من $1$ إلى $n$ جميعها في الوضع $ON$ و المصابيح من $n + 1$ إلى $2n$ جميعها في الوضع $OFF$. ليكن $N$ عدد السلاسل المكونة من $k$ خطوة و التي تنتهي إلى الحالة التي تكون فيها المصابيح من $1$ إلى $n$ جميعها في الوضع $ON$ و المصابيح من $n + 1$ إلى $2n$ جميعها في الوضع $OFF$ بحيث أن المصابيح من $n + 1$ إلى $2n$ لم يغير وضعها البدائي) أوجد النسبة : $\frac{N}{M}$

Нека $n$ и $k$ са естествени числа, за които $k \geq n$ и $k - n$ е четно число. Дадени са $2n$ лампи, означени съответно с $1$, $2$, $\ldots$, $2n$. Всяка от лампите може да бъде включена или изключена. В началото всички лампи са изключени. Разглеждаме редици от стъпки: на всяка стъпка една от лампите се превключва (от включена на изключена или от изключена на включена). Нека $N$ е броят на редиците от $k$ стъпки, които водят до следното състояние: лампите от $1$ до $n$ са включени, а лампите от $n+1$ до $2n$ са изключени. Нека $M$ е броят на редиците от $k$ стъпки, които водят до същото състояние: лампите от $1$ до $n$ са включени, а лампите от $n+1$ до $2n$ са изключени, като никоя от лампите от $n+1$ до $2n$ не е включвана нито веднъж. Да се намери отношението $N/M$.

设 $n$ 和 $k$ 是正整数，$k \geq n$, 且 $k - n$ 是一个偶数。$2n$ 盏灯依次编号为 $1, 2, \cdots, 2n$, 每一盏灯可以 "开" 和 "关"。开始时，所有的灯都是 "关" 的。对这些灯可进行操作，每一次操作仅改变其中一盏灯的开关状态（即 "开" 变成 "关"，"关" 变成 "开"）。我们将考虑为 $k$ 的操作序列。序列中的第 $i$ 项就第 $i$ 次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号。

設固定的正整數 $n$ 和 $k$ 滿足 $k \geq 2n - 1$ 其中 $k - n$ 為一偶數。給定 $2n$ 個分別編號為 $1,\ldots,2n$ 的燈泡，它們各有「開」與「關」兩種狀態。假設一開始時所有燈泡皆為「關」的狀態。現在將開著各燈泡的狀態：每次需選取恰某一個燈泡的狀態（由「開」變成「關」或由「關」變成「開」）。假設經過 $k$ 次調整後，編號 $1,\ldots,n+1,\ldots,2n$ 的燈泡皆在「開」的狀態。而編號 $n+1,\ldots,2n$ 的燈泡皆在「關」的狀態。令 $N$ 為所有可以達到上述狀態的調整方法個數。另設 $M$ 為所有可以達到上述狀態，但從未調整編號 $n+1,\ldots,2n$ 的燈泡的調整方法個數。試求 $N/M$ 的值。

Neka su $n$ i $k$ prirodni brojevi takvi da je $k \geq n$ i $k - n$ paran broj. Dano je $2n$ žarulja označenih s $1, 2, \ldots, 2n$ i svaka od njih može biti ili \textit{upaljena} ili \textit{ugašena}. Na početku su sve žarulje ugašene. Promatraj nizove koraka: u svakom koraku točno jedna žarulja promijeni svoje stanje (ako je bila upaljena, ugasi se, a ako je bila ugašena, upali se). Neka je $N$ broj takvih nizova od kojih svaki ima $k$ koraka i na kraju su sve žarulje od $1$ do $n$ upaljene, dok su sve žarulje od $n + 1$ do $2n$ ugašene. Neka je $M$ broj nizova od kojih svaki ima $k$ koraka, i na kraju su sve žarulje od $1$ do $n$ upaljene, dok su sve žarulje od $n + 1$ do $2n$ ugašene, i nijedna od žarulja $n + 1$ do $2n$ nije se niti palila niti gasila. Odredi omjer $N/M$.

Necht' $n$ a $k$ jsou kladná celá čísla, kde $k \ge n$ a $k - n$ je sudé číslo. Je dáno $2n$ lamp označených čísly $1, 2, \ldots, 2n$, přičemž každá z nich může být zapnutá či vypnutá. Na počátku jsou všechny lampy vypnuté. Uvažujme posloupnost kroků: v každém kroku jednu z lamp přepneme (vypnutou zapneme či zapnutou vypneme). \newline Označme $N$ počet všech takových posloupností $k$ kroků, jež vedou do stavu, kdy všechny lampy $1$ až $n$ jsou zapnuté a všechny lampy $n + 1$ až $2n$ jsou vypnuté. \newline Označme $M$ počet všech takových posloupností $k$ kroků, jež vedou do stavu, kdy všechny lampy $1$ až $n$ jsou zapnuté a všechny lampy $n + 1$ až $2n$ jsou vypnuté, přičemž žádná z lamp $n + 1$ až $2n$ nebyla nikdy zapnutá. \newline Určete podíl $M/N$.

Lad $n$ og $k$ være positive heltal således at $k \geq n$ og $k - n$ er lige. Lad der være givet $2n$ lamper (nummereret $1, 2, \ldots, 2n$), som hver kan være tændt eller slukket. Til at begynde med er alle lamper slukket. Vi betragter nu følger af træk: i hvert træk enten tænder vi én lampe der var slukket eller vi slukker én der var tændt. Lad $N$ være antallet af sådanne følger bestående af $k$ træk og som resulterer i at lamperne 1 til $n$ alle er tændt, mens alle lamperne $n+1$ til $2n$ er slukket. Lad $M$ være antallet af sådanne følger bestående af $k$ træk og som resulterer i at lamperne 1 til $n$ alle er tændt, mens lamperne $n+1$ til $2n$ alle er slukket, men hvor ingen af lamperne $n+1$ til $2n$ har været tændt undervejs. Bestem forholdet $N/M$.

Laat gehele getallen $n > 0$ en $k > 0$ gegeven zijn met $k \geq n$ en $k - n$ even. We hebben $2n$ lampen genummerd van $1$ tot en met $2n$. Elke lamp kan aan of uit zijn. In het begin zijn alle lampen uit. We bekijken rijtjes van handelingen:: bij elke handeling wordt ofwel een lamp die aan is uit gedaan, ofwel een lamp die uit is aan gedaan. Zij $N$ het aantal van zulke rijtjes die uit $k$ handelingen bestaan en die eindigen in de toestand waarin de lampen $1, \ldots, n$ aan zijn en de lampen $n + 1, \ldots, 2n$ uit zijn. Zij $M$ het aantal van zulke rijtjes die uit $k$ handelingen bestaan en die eindigen in de toestand waarin de lampen $1, \ldots, n$ aan zijn en de lampen $n + 1, \ldots, 2n$ uit zijn, maar waarbij geen van de lampen $n + 1, \ldots, 2n$ ooit werd aan gedaan. Bepaal de verhouding $N/M$.

Let $n$ and $k$ be positive integers with $k \ge n$ and $k - n$ an even number. Let $2n$ lamps labelled $1$, $2$, $\ldots$, $2n$ be given, each of which can be either on or off. Initially all the lamps are off. We consider sequences of steps: at each step one of the lamps is switched (from on to off or from off to on). Let $N$ be the number of such sequences consisting of $k$ steps and resulting in the state where lamps $1$ through $n$ are all on, and lamps $n + 1$ through $2n$ are all off. Let $M$ be the number of such sequences consisting of $k$ steps, resulting in the state where lamps $1$ through $n$ are all on, and lamps $n + 1$ through $2n$ are all off, but where none of the lamps $n + 1$ through $2n$ is ever switched on. Determine the ratio $N/M$.

Olgü \( n \) ja \( k \) sellised positiivsed täisarvud, et \( k \geq n \) ja \( k-n \) on paaris. On antud \( 2n \) lampi, mis on tähistatud arvudega \( 1, 2, \ldots, 2n \). Iga lamp saab kas põleda või mitte põleda. Algul ükski lamp ei põle. Ühe sammuga saab täpselt ühe lambi olekut muuta (põleva lambi kustutada või mitte põleva lambi põlema panna). Olgü \( N \) selliste \( k \)-sammuliste lülitusprotsesside arv, mille tulemusena lambid 1 kuni \( n \) kõik põlevad ja lambid \( n + 1 \) kuni \( 2n \) ükski ei põle. Olgü \( M \) selliste \( k \)-sammuliste lülitusprotsesside arv, mille tulemusena lambid 1 kuni \( n \) kõik põlevad ja lambid \( n + 1 \) kuni \( 2n \) ükski ei põle ning mille käigus ühtki lampidest \( n + 1 \) kuni \( 2n \) pole kordagi põlema pandudki. Leia suhe \( \frac{M}{N} \).

5. tehtävä. Olkoon $n$ ja $k$, $k \geq n$, positiivisia kokonaislukuja, ja olkoon $k-n$ parillinen. Olkoon annettuna $2n$ lamppua, jotka on varustettu numeroin $1, 2, \ldots, 2n$ ja joista jokainen voi palata tilaan olla pimeänä. Aluksi kaikki lamput ovat pimeinä. Tarkastellaan askelista koostuvaa jonoja. Jokaisella askeleella jonkin lampun tila vaihdetaan päinvastaiseksi (lamppu sytytetään tai sammutetaan). Olkoon $N$ kaikkien sellaisten $k$:sta askeleesta muodostuvien jonojen lukumäärä, jotka johtavat tilaan, jossa lamput $1, \ldots, n$ palavat ja lamput $n + 1, \ldots, 2n$ ovat pimeinä. Olkoon $M$ kaikkien sellaisten $k$:sta askeleesta muodostuvien jonojen lukumäärä, jotka johtavat tilaan, jossa lamput $1, \ldots, n$ palavat ja lamput $n + 1, \ldots, 2n$ ovat pimeinä, mutta lamppuja $n + 1, \ldots, 2n$ ei ole kertaakaan sytytetty. Määritä suhde $N/M$.

Soient $n$ et $k$ des entiers strictement positifs tels que $k \geq n$ et $k-n$ est pair. On suppose données $2n$ lampes numérotées de $1$ à $2n$ ; chacune peut être allumée ou éteinte. Au début, toutes les lampes sont éteintes. Une opération consiste à allumer une lampe éteinte ou bien à éteindre une lampe allumée. On considère des séquences constituées d'opérations successives. Soit $N$ le nombre de séquences constituées de $k$ opérations et aboutissant à l'état où les lampes de $1$ à $n$ sont allumées et les lampes de $n+1$ à $2n$ sont éteintes. Soit $M$ le nombre de séquences constituées de $k$ opérations et aboutissant à l'état où les lampes de $1$ à $n$ sont allumées et les lampes de $n+1$ à $2n$ sont éteintes, mais où les lampes de $n+1$ à $2n$ n'ont jamais été allumées. Déterminer le rapport $N/M$.

Aufgabe 5. Seien $n$ und $k$ positive ganze Zahlen mit $k \geq n$ und $k - n$ gerade. Gegeben seien $2n$ Lampen, die von 1 bis $2n$ nummeriert sind. Jede Lampe ist entweder an oder aus, wobei anfangs alle Lampen aus sind. Man betrachte Folgen von Schritten: in jedem Schritt werde genau eine der Lampen umgeschaltet (von aus nach an oder von nach aus). Sei $N$ die Anzahl solcher Folgen, die aus $k$ Schritten bestehen und in dem Zustand enden, in dem die Lampen 1 bis $n$ alle an und die Lampen $n+1$ bis $2n$ alle aus sind. Sei $M$ die Anzahl solcher Folgen, die aus $k$ Schritten bestehen und in dem Zustand enden, in dem die Lampen 1 bis $n$ alle an und die Lampen $n+1$ bis $2n$ alle aus sind, bei denen aber keine der Lampen $n+1$ bis $2n$ jemals umgeschaltet worden ist. Man bestimme das Verhältnis $N/M$.

יהיו $k$ מספרים שלמים וחיוביים כך ש $k \ge 2n + n$ הוא מספר זוגי. נניחות $2n חנויות ממוספרות $2n, 1, 1, 2, ...$ ומצב בינען עבורם מובктан נע בתור סדרה של $2n$ יציבים; קבל עבור הדירה כך שאין צרך התזוח מזבב הנובע בכך נעבור הריש מלא דירותיו עד $n$ תפ המתינות בסתר סדרים בגודל מסויימות במזהה בתוך תנאי נילתקו איבנאת קרקעוכ לוקרוביים מתעם דיורים לנקור .

Legyenek $n$ és $k$ pozitív egészek, amelyekre $k \ge n$ és $k-n$ páros szám. Adott $2n$ lámpa, amelyek $1$-től $2n$-ig vannak számozva, és amelyek mindegyike be(kapcsolt) vagy ki(kapcsolt) állapotban lehet. Kezdetben mindegyik lámpa ki állapotban van. Lépések egy sorozatát tekintjük: egy lépés abból áll, hogy valamelyik lámpa állapotát megváltoztatjuk (be-ről ki-re vagy ki-ről be-re). Legyen $N$ az olyan, k lépésből álló sorozatok száma, amelyek eredményeképpen az $1$-től $n$-ig számozott lámpák bekapcsolt, az $(n+1)$-től $2n$-ig számozott lámpák pedig kikapcsolt állapotban lesznek. Legyen $M$ az olyan, k lépésből álló sorozatok száma, amelyek eredményeképpen az $1$-től $n$-ig számozott lámpák bekapcsolt, az $(n+1)$-től $2n$-ig számozott lámpák pedig kikapcsolt állapotban lesznek, és a sorozatban az $(n+1)$-től $2n$-ig számozott lámpák semelyikét sem kapcsoljuk be semmikor. Határozzuk meg az $N/M$ hányados értékét.

Siano $n$ e $k$ interi positivi tali che $k \geq n$ e $k - n$ è pari. Siano date $2n$ lampade, etichettate con i numeri $1$, $2$, $\ldots$, $2n$, ciascuna delle quali può essere accesa o spenta. Inizialmente tutte le lampade sono spente. Consideriamo successioni di operazioni, dove un'operazione consiste nel cambiare lo stato di esattamente una lampada (da accesa a spenta o da spenta ad accesa). Sia $N$ il numero di successioni consistenti di $k$ operazioni al termine delle quali tutte le lampade da $1$ a $n$ sono accese e tutte le lampade da $n + 1$ a $2n$ sono spente. Sia $M$ il numero di successioni consistenti di $k$ operazioni al termine delle quali tutte le lampade da $1$ a $n$ sono accese, tutte le lampade da $n + 1$ a $2n$ sono spente, ma in cui nessuna delle lampade da $n + 1$ a $2n$ è mai stata accesa. Determinare il rapporto $N/M$.

正の整数 n, k は n \geq 2 をみたし、k - n は偶数である。1, 2, \ldots, 2n の番号がついた 2n 個の電球があり、各々は on または off の状態をとる。最初はすべての電球が off になっている。1 つの電球の状態を入れ替える (on ならば off に、off ならば on にする) ことを操作という。\ k 回の操作の後、電球 1, \ldots, n がすべて on, 電球 n+1, \ldots, 2n がすべて off となるような k 回の操作のやり方は N 通りあるとする。\\ n 回の操作の後、電球 1, \ldots, n がすべて on, 電球 n +1, \ldots, 2n がすべて off となるような n 回の操作のやり方であって、電球 n+1, \ldots, 2n が一度も on にならな いことのないものは M 通りあるとする。このとき、\frac{N}{M} を求めよ。

주어진 두 양의 정수 $n$과 $k$에 대하여 $k \geq n \geq 1$이고, $k - n$은 짝수라고 하자. 이제 1번부터 $2n$번째 벽까지 번호가 붙은 $2n$개의 벽돌을 생각하자. 각각의 벽돌에는 정지/정진 스위치가 부착되어 있고, 초기에는 모든 벽돌이 꺼진 상태이다. 하나의 명령을 행하면 스위치가 설치된 (정지에서 정진으로 있는 점엽에 거꾸로) 바꾸는 것을 자동으로 정의하고, 3회의 연속된 작용을 k-작용이라 부른다. 임의의 상태에서 시작하여, 1번부터 n번째의 벽돌은 모두 켜지고 (n + 1)번째부터 2n번째까지의 벽돌은 모두 꺼져 있도록 하는 소수치의 개수를 $N$이라고 하고, 결과는 $초기 상태에서 1번부터 n번째까지 벽돌은 한번도 켜진 차례는 k-작용의 개수를 M이라고 하자. 이때, $N/M$의 값을 구하여라.

Doti veseli pozitīvi skaitļi $n$ un $k$, kur $k \geq n$ un $k-n$ ir pāra skaitlis. Apskatīsim $2n$ spuldzes, kurām piešķirti numuri $1, 2, \ldots, 2n$. Katra spuldze var atrasties jebkurā no diviem stāvokļiem: ieslēgta vai izslēgta. Sākotnēji visas spuldzes ir izslēgtas. Apskatīsim soļu virknes: katrā solī tieši viena spuldze maina savu stāvokli (no ieslēgtas kļūst par izslēgtu vai arī no izslēgtas – par ieslēgtu). Ar $M$ apzīmējam tādu virkņu skaitu, kurām piemīt īpašība: virkne sastāv no $k$ soļiem, pēc kuru izpildes visas spuldzes ar numuriem no $1$ līdz $n$ ieskaitot ir ieslēgtas, bet visas spuldzes ar numuriem no $n+1$ līdz $2n$ ieskaitot ir izslēgtas. Ar $N$ apzīmējam tādu virkņu skaitu, kurām piemīt īpašība: virkne sastāv no $k$ soļiem, pēc kuru izpildes visas spuldzes ar numuriem no $1$ līdz $n$ ieskaitot ir izslēgtas, bet visas spuldzes ar numuriem no $n+1$ līdz $2n$ ieskaitot ir ieslēgtas, turklāt šo soļu izpildes gaitā neviena spuldze ar numuru no $n+1$ līdz $2n$ ieskaitot_ne_reizi nebija ieslēgta. Aprēķiniet attiecību $N/M$.

Tegul $n$ ir $k$ yra tokie natūralieji skaičiai, kad $k - n$ yra lyginis skaičius ir $k \geq n$. Yra $2n$ lempučių sunumeruotų skaičiais $1, 2, \ldots, 2n$. Kiekviena iš lempučių yra įjungta arba išjungta. Pradžioje visos lemputės yra įjungtos. Nagrinėsime seką, susidedančią iš keleto žingsnių: kiekvienu žingsniu viena iš lempučių yra perjungiama (arba išjungta lemputė yra įjungiama, arba įjungta lemputė yra išjungiama). Sakykime, kad yra $N$ seku, sudarytų iš $k$ žingsnių, kurios baigiasi tokioje padėtyje, kai lemputės $1, \ldots, n$ yra įjungtos, o lemputės $n+1, \ldots, 2n$ - išjungtos. Analogiškai, sakykime, kad yra $M$ sekų, sudarytų iš $k$ žingsnių, kurios baigiasi tokioje pačioje padėtyje, t.y., kai lemputės $1, \ldots, n$ yra įjungtos, o lemputės $n+1, \ldots, 2n$ - išjungtos, tačiau nei viename žingsnyje nei viena iš lempučių $n+1, \ldots, 2n$ nebuvo įjungta. Raskite santykį $N/M$.

Нека \( n \) и \( k \) се природни броеви такви да \( k \geq n \) и \( k - n \) е парен број. Дадени се \( 2n \) лампи, означени со броевите \( 1, 2, \ldots, 2n \). Секоја од лампите може да се наоѓа во една од следните две состојби: вклучена или исклучена. На почетокот сите лампи се исклучени. Разгледуваме низи од чекори: во секој чекор точно една од лампите ја менува својата состојба (ако била вклучена се исклучува или ако била исклучена се вклучува). Нека \( N \) е бројот на такви низи од \( k \) чекори така да се добива следната ситуација: сите лампи означени со броевите од \( 1 \) до \( n \) се вклучени, а сите лампи означени со броевите од \( n + 1 \) до \( 2n \) се исклучени. Нека \( M \) е бројот на такви низи од \( k \) чекори така да се добива следната ситуација: сите лампи означени со броевите од \( 1 \) до \( n \) се вклучени, а сите лампи означени со броевите од \( n + 1 \) до \( 2n \) се исклучени, но притоа ниту една од лампите означени со броевите од \( n + 1 \) до \( 2n \) не ја менувала својата состојба. Одреди ја вредноста на односот \( N/M \).

La \( n \) og \( k \) være positive heltall slik at \( k \geq n \) og \( k - n \) er jevn. La det være gitt \( 2n \) lamper (nummerert \( 1, 2, \ldots, 2n \) ) med to mulige stillinger hver: tent eller slukket. Til å begynne med er alle lampene slukket. Vi betrakter følger av trekk: i hvert trekk tenner vi enten én lampe som var slukket, eller slukker én lampe som var tent. La \( N \) være antall slike følger bestående av \( k \) trekk og som resulterer i at lampene \( 1 \) til \( n \) er tent, mens lampene \( n + 1 \) til \( 2n \) er slukket. La \( M \) være antall slike følger bestående av \( k \) trekk og som resulterer i at lampene \( 1 \) til \( n \) er slukket, men der ingen av lampene \( n + 1 \) til \( 2n \) tennes underveis. Bestem forholdet \( N/M \).

Niech $n$ i $k$ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $k \geq n$ oraz $k-n$ jest liczbą parzystą. Danych jest $2n$ lamp oznaczonych liczbami $1, 2, \ldots, 2n$. Każda z nich może być włączona lub wyłączona. W chwili początkowej wszystkie są wyłączone. Rozpatrujemy ciągi przełączeń: za każdym razem dokładnie jedna lampa jest przełączana, tzn. włączona jest wyłączana, a wyłączona włączana. Niech $N$ będzie liczbą ciągów złożonych z $k$ przełączeń takich, że po tych $k$ przełączeniach wszystkie lampy oznaczone liczbami od $1$ do $n$ są włączone, a wszystkie lampy oznaczone liczbami od $n+1$ do $2n$ --- wyłączone. Niech $M$ będzie liczbą takich ciągów złożonych z $k$ przełączeń, że po tych $k$ przełączeniach wszystkie lampy oznaczone liczbami od $1$ do $n$ są włączone, a wszystkie lampy oznaczone liczbami od $n+1$ do $2n$ --- wyłączone przy czym ani jedna z lamp oznaczonych liczbami od $n+1$ do $2n$ nie była przełączana. Znaleźć stosunek $N/M$.

Sejam $n$ e $k$ números inteiros positivos tais que $k \geq n$ e $k - n$ é um número par. São dadas $2n$ lâmpadas numeradas de $1$ a $2n$, cada uma das quais pode estar acesa ou apagada. Inicialmente todas as lâmpadas estão apagadas. Uma operação consiste em alterar o estado de exatamente uma das lâmpadas (de acesa para apagada ou de apagada para acesa). Consideremos sequências de operações. Seja $N$ o número de sequências com $k$ operações após as quais as lâmpadas de $1$ a $n$ estão todas acesas e as lâmpadas de $n + 1$ a $2n$ estão todas apagadas. Seja $M$ o número de sequências com $k$ operações após as quais as lâmpadas de $1$ a $n$ estão todas acesas e as lâmpadas de $n + 1$ a $2n$ estão todas apagadas, e durante as quais todas as lâmpadas de $n + 1$ a $2n$ permanecem sempre apagadas. Determine a razão $\frac{N}{M}$.

Fie $n$ și $k$ numere naturale nenule astfel încât $k \geq n$ și $k-n$ număr par. Considerăm $2n$ becuri notate $1, 2, \ldots ,2n$ ce se pot afla în stările aprins sau stins. La început toate becurile sunt în starea stins. Considerăm secvențe de pași: la fiecare pas unul și numai un bec este aprins dacă era stins, sau stins dacă era aprins. Fie $N$ numărul de astfel de secvențe, formate din $k$ pași, ce duc la starea în care becurile de la $1$ la $n$ sunt toate aprinse, iar becurile de la $n + 1$ la $2n$ sunt toate stinse. Fie $M$ numărul de astfel de secvențe, formate din $k$ pași, ce duc la starea în care becurile de la $1$ la $n$ sunt toate aprinse, iar becurile de la $n + 1$ la $2n$ sunt toate stinse, dar nici unul dintre becurile de la $n + 1$ la $2n$ nu a fost aprins pe parcursul secvenței. Aflați numărul $N/M$.

Пусть $n$ и $k$ — натуральные числа такие, что $k \geq n$, а число $k-n$ четное. Имеются $2n$ лампочек, занумерованных числами 1, 2, \ldots, $2n$, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний: вкл. (включена) или выкл. (выключена). Изначально все лампочки были выключены. Рассматривают упорядоченные последовательности шагов: на каждом шаге ровно одна из лампочек меняет свое состояние на противоположное (с вкл. на выкл., либо с выкл. на вкл.). Обозначим через $N$ количество последовательностей из $k$ шагов, приводящих к ситуации, в которой все лампочки с 1-й по n-ю включены, а все лампочки с $(n+1)$-й по $(2n)$-ю выключены. Обозначим через $M$ количество последовательностей из $k$ шагов, приводящих к ситуации, в которой также все лампочки с 1-й по n-ю включены, все лампочки с $(n+1)$-й по $(2n)$-ю выключены, но при этом ни одна из лампочек с $(n+1)$-й по $(2n)$-ю ни разу не меняла своего состояния. Найдите значение отношения $N/M$.

Nájdite všetky funkcie $f : (0, \infty) \to (0, \infty)$ (t. j. funkcie z kladných reálnych čísel do kladných reálnych čísel) také, že $$\frac{\left( f(w) \right) ^2 + \left( f(x) \right) ^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \frac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$$ pre všetky kladné reálne čísla $w$, $x$, $y$, $z$ spĺňajúce $wx = yz$.

Naj bosta $n$ in $k$ naravni števili z lastnostjo $k\geq n$ in $k-n$ je sodo število. Dano je $2n$ luči, ki so oštevilčene z $1, 2, \ldots, 2n$. Vsaka izmed luči je lahko bodisi prižgana bodisi ugasnjena. Obravnavamo zaporedja korakov: v vsakem koraku pritisnemo na stikalo natanko ene izmed luči (če je luč prižgana, se ugasne, če je luč ugasnjena, se prižge). Na začetku so vse luči ugasnjene. Naj bo $N$ število takih zaporedij s $k$ koraki, pri katerih so na koncu vse luči od $1$ do $n$ prižgane, vse luči od $n+1$ do $2n$ pa ugasnjene. Naj bo $M$ število takih zaporedij s $k$ koraki, pri katerih so na koncu vse luči od $1$ do $n$ prižgane, vse luči od $n+1$ do $2n$ ugasnjene in nobena izmed luči od $n+1$ do $2n$ ni bila nikoli prižgana. Določi razmerje $N/M$.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $k \geq n$ y $k - n$ es par. Se tienen $2n$ lámparas numeradas $1, 2, \ldots , 2n$, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga). \newline Sea $N$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1, 2, \ldots , n$ quedan todas encendidas, y las lámparas $n + 1, \ldots , 2n$ quedan todas apagadas. \newline Sea $M$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1, 2, \ldots , n$ quedan todas encendidas, y las lámparas $n + 1, \ldots , 2n$ quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas. \newline Calcular la razón $N/M$.

Låt $n$ och $k$ vara två positiva heltal sådana att $k \geq n$ och $k-n$ är ett jämnt tal.\ Anta att $2n$ lampor är märkta med heltalen från $1$ till $2n$. Var och en av lamporna kan antingen vara på eller av. Från början är alla lamporna av. Vi betraktar följder av $k$ steg, där i varje steg en av lamporna kopplas om (från att vara på till att vara av, eller från att vara av till att vara på).\ Låt nu $N$ vara antalet sådana följder av $k$ steg som resulterar i att lamporna från $1$ till $n$ är alla på, medan lamporna från $n+1$ till $2n$ är alla av.\ Låt $M$ vara antalet sådana följder av $k$ steg som resulterar i att lamporna från $1$ till $n$ är alla på, lamporna från $n+1$ till $2n$ är alla av, men där lamporna från $n+1$ till $2n$ aldrig kopplas på.\ Bestäm kvoten $N/M$.

ให้ $n$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $k \geq n$ และ $k - n$ เป็นจำนวนคู่ มีหลอดไฟ $k$ หลอดไฟหมายเลข $1, 2, \ldots, 2n$ ถ้า $n$ หลอดไฟในแต่ละหลอดไฟคือการปิด หรือ การดับหลอดไฟในอันใด ๆ ซึ่งในสภาวะดับเดิม จะทำมีสายพันที่เปลี่ยนแปลงได้ตลอดที่ตรงกัน 1 และในกรณีที่มีการเปลี่ยนไฟวางตรงหนึ่ง เลี้ยวไฟกลับวางใหม่จากที่หนึ่งไปหนึ่งโดยไม่เปลี่ยนแปลงเลย โดยที่หลอดไฟวางจาก 1 ถึงตรงที่ $n - 1$ ไม่เอียงแบบโดยไม่เขียนแปะนี้แจงโดย bulbs

$n$ ve $k$ pozitif tam sayı olmak üzere, $k \ge n$ ve $k-n$ çift sayıdır. 1, 2, \ldots, $2n$ sayılarıyla numaralandırılmış $2n$ tane lambanın herbiri açık veya kapalı durumda olabiliyor. Başlangıçta lambaların hepsi kapalı durumdadır. Her hamlesinde bir lamba seçilerek, seçilen lambanın durumunu değiştirnen (açıktan kapalıya veya kapalıdan açığa) hamleler dizileri tanımlayalım. Sonucunda 1 den n ye kadar olan lambaları açık ve $n+1$ den $2n$ ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve $k$ hamle içeren tüm hamleler dizilerinin sayısı $N$ olsun. Sonucunda yine 1 den n ye kadar olan lambaları açık ve $n+1$ den $2n$ ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve $k$ hamle içeren, fakat $n+1$ den $2n$ ye kadar olan lambalara hiç hamle yapmayan tüm hamleler dizilerinin sayısı $M$ olsun. $N/M$ oranının değerini bulunuz.

Задача 5. Нехай $n$ та $k$ \text{— такі натуральні числа, що } k \ge n, \text{ а число } k-n \text{ парне. Є } 2n \text{ ламп, які занумеровані числами } 1, 2, \ldots, 2n, \text{ кожна з яких може знаходитися у одному з двох станів: увімкн. (ввімкнена) або вимкн. (вимкнена). Спочатку всі лампи були вимкнені. Розглядаються впорядковані послідовності кроків: на кожному кроці рівно одна лампа змінює свій стан на протилежний (з вимк. на ввімк. або з ввімк. на вимк.). \text{ Позначимо через } N \text{ число таких послідовностей з } k \text{ кроків, що приводять до стану: усі лампи з } 1-ї по } n-ту \text{ увімкнені, а усі лампи з } (n+1)-ї по } (2n)-у \text{ вимкнені. \text{ Позначимо через } M \text{ число таких послідовностей з } k \text{ кроків, що приводять до стану: усі лампи з } 1-ї по } n-ту \text{ увімкнені, усі лампи з } (n+1)-ї по } (2n)-у \text{ вимкнені, але при цьому жодна з ламп з } (n+1)-ї по } (2n)-у \text{ ні разу не змінювала свого стану. \text{ Знайдіть значення відношення } N/M.

Giả sử $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k \geq n$ và $k - n$ là số chẵn. Cho $2n$ bóng đèn được đánh số từ $1$ đến $2n$; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng). Giả sử $N$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt. Giả sử $M$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ $n+1$ đến $2n$ được bật. Tính tỉ số $N/M$.

Misalkan $n$ dan $k$ bilangan bulat positif dengan $k \geq n$ dan $k-n$ suatu bilangan genap. Misalkan $2n$ lampu dilabeli $1, 2, \ldots, 2n$, masing-masing bisa hidup or mati. Mula-mula semua lampu mati. Diberikan barisan langkah: pada masing-masing langkah salah satu lampu diubah (dari hidup ke mati atau dari mati ke hidup).\newline\newline Misalkan $N$ adalah cacah dari barisan yang terdiri dari $k$ langkah dan menghasilkan keadaan dimana lampu-lampu $1$ sampai $n$ semuanya hidup, dan lampu-lampu $n+1$ sampai $2n$ semuanya mati.\newline\newline Misalkan $M$ adalah cacah dari barisan yang terdiri dari $k$ langkah, menghasilkan keadaan dimana lampu-lampu $1$ sampai $n$ semuanya hidup, dan lampu-lampu $n+1$ sampai $2n$ semuanya mati, tetapi tidak ada lampu $n+1$ sampai $2n$ yang pernah dihidupkan.\newline\newline Tentukan ratio $N/M$.

Πρόβλημα 5. Έστω n και k θετικοί ακέραιοι με k \ge n και k - n άρτιος. Δίνονται 2n λαμπτήρες αριθμημένοι με τους αριθμούς 1, 2, \ldots , 2n, ο καθένας από τους οποίους μπορεί να είναι στην κατάσταση αναμμένος ή στην κατάσταση σβηστός. Αρχικά όλοι οι λαμπτήρες είναι σβηστοί. Θεωρούμε ακολουθίες βημάτων, στις οποίες σε κάθε βήμα ένας μόνο από τους λαμπτήρες αλλάζει κατάσταση (από αναμμένος σε σβηστός ή από σβηστός σε αναμμένος).\ Έστω N ο αριθμός εκείνων των ακολουθιών που αποτελούνται από k βήματα και έχουν ως αποτέλεσμα την κατάσταση κατά την οποία οι λαμπτήρες με αριθμό από 1 μέχρι n είναι όλοι αναμμένοι και οι λαμπτήρες από n + 1 μέχρι 2n είναι όλοι σβηστοί.\ Έστω M ο αριθμός εκείνων των ακολουθιών που αποτελούνται από k βήματα και έχουν ως αποτέλεσμα την κατάσταση κατά την οποία οι λαμπτήρες με αριθμό από 1 μέχρι n είναι όλοι αναμμένοι και οι λαμπτήρες με αριθμό από n + 1 μέχρι 2n είναι όλοι σβηστοί, αλλά κανένας από τους λαμπτήρες με αριθμό από n + 1 μέχρι 2n ποτέ δεν βρέθηκε στη κατάσταση αναμμένος.\ Να προσδιορίσετε το λόγο \( \frac{N}{M} \).

2009

60, 90

Laat $ABC$ 'n driehoek wees met $AB = AC$. Die halverlyne van $\angle CAB$ en $\angle ABC$ sny die sye $BC$ en $CA$ op $D$ en $E$, onderskeidelik. Laat $K$ die middelpunt van die ingeskrewe sirkel van driehoek $ADC$ wees. Veronderstel dat $\angle BEK = 45^\circ$. Vind alle moontlike waardes van $\angle CAB$.

Le të jetë ABC një trekëndësh me AB = AC. Përgjysmoret e këndeve \angle CAB dhe \angle ABC takojnë brinjët BC dhe CA, përkatësisht, në pikat D dhe E. Le të jetë K qendra e rrethit brendashkruar trekëndëshit ADC. Supozojmë që këndi \angle BEK = 45^\circ. Gjeni të gjitha vlerat e mundshme të këndit \angle CAB.

ليكن \( ABC \) مثلثاً فيه \( AB = AC \). المنصف الداخلي للزاوية \( CAB \) يقطع الضلع \( BC \) في النقطة \( D \) المنصف الداخلي للزاوية \( ABC \) يقطع الضلع \( AC \) في النقطة \( E \). ليكن \( K \) مركز الدائرة الماسة لأضلاع المثلث \( ADC \) من الداخل. يفرض أن \( \angle BEK = 45^{\circ} \). أوجد جميع القيم الممكنة لقياس الزاوية \( CAB \).

Даден е триъгълник $ABC$, за който $AB = AC$. Ъглополовящите на $\angle{CAB}$ и $\angle{ABC}$ пресичат страните $BC$ и $CA$ съответно в точки $D$ и $E$. Нека $K$ е центърът на вписаната окръжност в триъгълник $ADC$. Да се намерят всички стойности на $\angle{CAB}$, за които $\angle{BEK} = 45^\circ$.

在三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle CAB$ 和 $\angle ABC$ 的内角平分线分别与边 $BC$ 和 $CA$ 相交于点 $D$ 和 $E$。设 $K$ 是三角形 $ADC$ 的内心。若 $\angle BEK = 45^\circ$，求 $\angle CAB$ 所有可能的值。

令三角形 \( ABC \) 有 \(|AB| = |AC|\), 且 \( \angle CAB \) 與 \( \angle ABC \) 的角平分線分別交 \( BC, CA \) 於 \( D, E \). 令 \( K \) 為三角形 \( ADC \) 的內切圓心。假設 \( \angle BEK = 45^\circ \), 試求出 \( \angle CAB \) 之所有可能的值。

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$. Simetrale kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ sijeku stranice $BC$ i $CA$ u točkama $D$ i $E$ redom. Neka je $K$ središte kružnice upisane trokutu $ADC$. Neka mjera kuta $\angle BEK$ iznosi $45^\circ$. Odredi sve moguće vrijednosti mjere kuta $\angle CAB$.

Je dán trojúhelník \(ABC\), v němž \(|AB| = |AC|\). Osy jeho vnitřních úhlů při vrcholech \(A\ a \ B\) protínají strany \(BC\ a \ CA\) po řadě v bodech \(D\ a \ E\). Označme \(K\) střed kružnice vepsané trojúhelníku \(ADC\). Předpokládejme, že \(|\angle BEK| = 45^\circ\). Nadejte všechny možné velikosti úhlu \(CAB\).

Lad \( ABC \) være en trekant med \(|AB| = |AC|\). Vinkelhalveringslinjerne for \( \angle CAB \) og \( \angle ABC \) rammer siderne \( BC \) og \( CA \) i henholdsvis \( D \) og \( E \). Lad \( K \) være centrum for den indskrevne cirkel i trekant \( ADC \). Antag at \( \angle BEK = 45^\circ \). Bestem alle mulige gradtal for \( \angle CAB \).

Zij \( ABC \) een driehoek met \( |AB| = |AC| \). De binnenbissectrices van \( \angle CAB \) en \( \angle ABC \) snijden de zijden \( BC \) en \( CA \) respectievelijk in \( D \) en \( E \). Zij \( K \) het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de driehoek \( ADC \). Veronderstel dat \( \angle BEK = 45^{\circ} \). \text{Bepaal alle mogelijke waarden van } \angle CAB.

Let ABC be a triangle with AB = AC. The angle bisectors of \angle CAB and \angle ABC meet the sides BC and CA at D and E, respectively. Let K be the incentre of triangle ADC. Suppose that \angle BEK = 45^\circ. Find all possible values of \angle CAB.

Olgu $ABC$ kolmnurk, kus $|AB| = |AC|$. Nurkade $CAB$ ja $ABC$ poolitajad lõikavad külgi $BC$ ja $CA$ vastavalt punktides $D$ ja $E$. Olgu $K$ kolmnurga $ADC$ siseringjoone keskpunkt. Oletame, et $\angle BEK = 45^\circ$. Leia kõik võimalikud, milline saab olla $\angle CAB$.

Olkoon $ABC$ kolmio, jossa $AB = AC$. Kulmien $CAB$ ja $ABC$ puolittajat leikkaavat sivut $BC$ ja $CA$ pisteissä $D$ ja $E$, tässä järjestyksessä. Olkoon $K$ kolmion $ADC$ sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Oletetaan, että $\angle BEK = 45^\circ$. Määritä $\angle CAB$:n kaikki mahdolliset arvot.

Soit \( ABC \) un triangle tel que \( AB = AC \). Les bissectrices de \( \widehat{CAB} \) et \( \widehat{ABC} \) rencontrent respectivement les côtés \( BC \) et \( CA \) en \( D \) et \( E \). Soit \( K \) le centre du cercle inscrit dans le triangle \( ADC \). On suppose que \( \widehat{BEK} = 45^\circ \). Trouver toutes les valeurs possibles de \( \widehat{CAB} \).

Es sei \( ABC \) ein Dreieck mit \(|AB| = |AC|\). Die Innenwinkelsymmetralen der Winkel \( BAC \) und \( CBA \) schneiden die Seiten \( BC \) und \( AC \) in den Punkten \( D \) bzw. \( E \). Es sei \( K \) der Inkreismittelpunkt des Dreiecks \( ADC \). Ferner sei \( \angle BEK = 45^\circ \). Man bestimme alle möglichen Werte von \( \angle BAC \).

יהי \( \triangle ABC \) משולש שבו \( AB = AC \). חצי הזוית של הזווית \( \angle CAB \) פוגשים את הצלילות \( BC \) בנקודות \( D \) ו- \( E \) בהתאמה. יהי \( K \) מרכז המעגל החסום במשולש \( ADC \). גז \( \angle BEK = 45^\circ \). נמצא כל הערכים האפשריים \(

Legyen az \( ABC \) háromszögben \( AB = AC \). A \( CAB \angle \) ill. \( ABC \angle \) szögek szögfelezői a \( BC \) ill. \( CA \) oldalakat rendre a \( D \) ill. \( E \) pontokban metszik. Legyen \( K \) az \( ADC \) háromszög beírt körének a középpontja. Tegyük fel, hogy \( BEK \angle = 45^\circ \). Határozzuk meg a \( CAB \triangle \) összes lehetséges értékét.

Sia $ABC$ un triangolo con $AB = AC$. Le bisettrici di $\angle CAB$ e $\angle ABC$ intersecano i lati $BC$ e $CA$ in $D$ ed $E$ rispettivamente. Sia $K$ l'incentro del triangolo $ADC$. Supponiamo che $\angle BEK = 45^\circ$. Determinare tutti i possibili valori di $\angle CAB$.

三角形 \ ABC は \ AB = AC をみたす。角 \ CAB, \ 角 \ ABC の二等分線が，辺 \ BC, \ 辺 \ CA とそれぞれ \ D, \ E で交わっている。三角形 \ ADC の外心を \ K とする。 \angle BEC = 45^\circ であるとする。このとき，\angle CAB してありうる値をすべて求めよ。

삼각형 \( ABC \)에서 \( AB = AC \)이다. 각 \( CAB \)의 이등분선과 변 \( BC \)의 교점을 \( D \), 각 \( ABC \)의 이등분선과 변 \( CA \)의 교점을 \( E \)라 하자. 삼각형 \( ADC \)의 내심을 \( K \)라 하고, \( \angle BEK = 45^\circ \)라 가정 하자. 이때, \( \angle CAB \)의 가능한 값들을 모두 구하여라.

Trijstūrī $ABC$ pastāv vienādība $AB = AC$. Leņķu $\angle CAB$ un $\angle ABC$ bisektrises krusto malas $BC$ un $CA$ atbilstoši punktos $D$ un $E$. Punkts $K$ ir trijstūrī $ADC$ ievilktās riņķa līnijas centrs. Dots, ka $\angle BEK = 45^\circ$. Noskaidrojiet visas iespējamās $\angle CAB$ vērtības.

Tegul \(ABC\) yra lygiašonis trikampis, kuriame \(AB = AC\). Kampo \(CAB\) pusiaukampinė kerta kraštinę \(BC\) taške \(D\), o kampo \(ABC\) pusiaukampinė kerta kraštinę \(CA\) taške \(E\). Taškas \(K\) yra įbrėžto į trikampį \(ADC\) apskritimo centras, o \(\angle BEK = 45^\circ\). Raskite visas įmanomas \(\angle CAB\) reikšmes.

Во триаголникот $ABC$ важи $\overline{AB} = \overline{AC}$. Симетралите на аглите $\angle CAB$ и $\angle ABC$ ги сечат страните $BC$ и $CA$ во точките $D$ и $E$, соодветно. Нека $K$ е центар на впишаната кружница во триаголникот $ADC$. Нека важи $\angle BEK = 45^\circ$. Одреди ги сите можни вредности на аголот $\angle CAB$.

La \( ABC \) være en trekant med \( AB = AC \). Halveringslinjen til \( \angle CAB \) skjærer siden \( BC \) i \( D \), mens halveringslinjen til \( \angle ABC \) skjærer siden \( CA \) i \( E \). La \( K \) være \( ADC's \) innsenter. Anta at \( \angle BEK = 45^\circ \). Finn alle mulige verdier til \( \angle CAB \).

W trójkącie $ABC$ zachodzi równość $AB = AC$. Dwusieczne kątów $CAB$ oraz $ABC$ przecinają jego boki $BC$ oraz $AC$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Punkt $K$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$. Załóżmy ponadto, że $\angle BEK = 45^\circ$. Wyznaczyć możliwe wartości $\angle CAB$.

Seja $ABC$ um triângulo com $AB = AC$. As bissectrizes dos ângulos $\angle CAB$ e $\angle ABC$ intersectam os lados $BC$ e $CA$ em $D$ e $E$, respectivamente. Seja $K$ o incentro do triângulo $ADC$. Suponha que $\angle BEK = 45^\circ$. Determine todos os possíveis valores de $\angle CAB$.

Fie \( ABC \) un triunghi cu \( AB = AC \). Bisectoarele unghiurilor \( \angle CAB \) și \( \angle ABC \) taie laturile \( BC \), respectiv \( CA \) în punctele \( D \), respectiv \( E \). Fie \( K \) centrul cercului înscris în triunghiul \( ADC \). Se știe că \( \angle BEK = 45^\circ \). Determinați toate valorile posibile pentru \( \angle CAB \).

Задача 4. Треугольник $ABC$ таков, что $AB = AC$. Биссектрисы углов $CAB$ и $ABC$ пересекают стороны $BC$ и $CA$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Обозначим через $K$ центр окружности, вписанной в треугольник $ADC$. Оказалось, что $\angle DBE K = 45^\circ$. Найдите все возможные значения угла $CAB$.

Daný je trojuholník $ABC$, pričom $|AB| = |AC|$. Osi uhlov $CAB$ a $ABC$ pretínajú strany $BC$ a $CA$ postupne v bodoch $D$ a $E$. Nech $K$ je stred kružnice vpísanej do trojuholníka $ADC$. Predpokladajme, že $| \angle BEK| = 45^\circ$. Nájdi všetky možné veľkosti uhla $CAB$.

V trikotniku $ABC$ velja $|AB| = |AC|$. Simetrala kota $\angle CAB$ seka stranico $BC$ v točki $D$, simetrala kota $\angle ABC$ seka stranico $CA$ v točki $E$. Naj bo $K$ središče trikotniku $ADC$ včrtane krožnice. Denimo, da je $\angle BEK = 45^\circ$. Določi vse možne velikosti kota $\angle CAB$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ cortan a los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que el ángulo $\angle BEK = 45^\circ$. Determinar todos los posibles valores de $\angle CAB$.

Låt \( ABC \) vara en triangel med \(|AB| = |AC|\). Bisektrisserna till \( \angle CAB \) och \( \angle ABC \) skär sidorna \( BC \) och \( CA \) i punkterna \( D \) och \( E \), respektive. Låt \( K \) vara centrum för den i triangeln \( ADC \) inskrivna cirkeln. Anta att \( \angle BEK = 45^\circ \). Bestäm alla möjliga värden på \( \angle CAB \).

โจทย์ข้อที่ 4: ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมสมธัตถ์ที่มี $AB = AC$ เส้นแกนมุมรวม $\angle CAB$ และเส้นแบ่งมุม $\triangle ABC$ ตัดด้าน $BC$ และด้าน $CA$ ที่จุด $D$ และจุด $E$ ตามลำดับ ให้จุด $K$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม $\triangle ADC$ สมมติว่า $\angle BEK = 45^\circ$ จงหามากที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม $\angle CAB$

|AB| = |AC| \text{ olan bir } ABC \text{ üçgeninde, } CAB \text{ ve } \widehat{ABC} \text{ açılatının açıortayları } [BC] \text{ ve } [CA] \text{ kenarlarını sırasıyla } D \text{ ve } E \text{ noktalarında kesiyor. } K, \ ADC \text{ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olmak üzere; } m(BEK) = 45^\circ \text{ ise, } m(CAB) \text{ nin alabileceği tüm değerleri bulunuz.}

Задача 4. Трикутник $ABC$ такий, що $AB = AC$. Бісектриси кутів $CAB$ та $ABC$ перетинають сторони $BC$ та $CA$ в точках $D$ та $E$ відповідно. Позначимо через $K$ центр кола, що вписане в трикутник $ADC$. Виявилось, що $\angle BEK = 45^\circ$. Знайдіть усі можливі значення кута $CAB$.

Giả sử $ABC$ là tam giác với $AB = AC$. Các đường phân giác của các góc $CAB$ và $ABC$ gặp các cạnh $BC$ và $CA$ tại $D$ và $E$, tương ứng. Giả sử $K$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ADC$. Giả thiết rằng góc $BEK = 45^\circ$. Tìm mọi giá trị có thể của góc $CAB$.

Misalkan $ABC$ suatu segitiga dengan $AB = AC$. Garis-garis bagi sudut $\angle CAB$ dan $\angle ABC$ memotong sisi-sisi $BC$ dan $CA$ berturut-turut di $D$ dan $E$. Misalkan $K$ adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga $ADC$. Dinisalkan bahwa $\angle BEK = 45^\circ$. Cari semua kemungkinan ukuran $\angle CAB$.

Έστω \( ABC \) ένα τρίγωνο με \( AB = AC \). Οι διχοτόμοι των γωνιών του \( \angle CAB \) και \( \angle ABC \) τέμνουν τις πλευρές \( BC \) και \( AC \) στα σημεία \( D \) και \( E \), αντίστοιχα. Έστω \( K \) το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου \( ADC \). Υποθέτουμε ότι \( \angle BEK = 45^\circ \). Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της γωνίας \( \angle CAB \).

2009

f(x)=x

Bepaal alle funksies $f$ van die versameling van positiewe heelgetalle na die versameling van positiewe heelgetalle sodat, vir alle positiewe heelgetalle $a$ en $b$, daar 'n egte driehoek bestaan met sye \[ a, \quad f(b) \quad \text{en} \quad f(b + f(a) - 1). \] ('n Egte driehoek se hoekpunte is nie samelynig nie.)

Gjeni të gjitha funksionet f të përcaktuara në bashkësinë e numrave të plotë pozitivë me vlera po në bashkësinë e numrave të plotë pozitivë, të tilla që, për çdo dy numra të plotë pozitivë a dhe b, ekziston një trekëndësh i padegjeneruar që i ka brinjët me gjatësi \begin{align*} a, \quad f(b) \quad \text{dhe} \quad f(b + f(a) - 1). \end{align*} (Një trekëndësh është i padegjeneruar kur kulmet e tij nuk ndodhen në një drejtëz.)

أوجد جميع الدوال \( f : \mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*} \) والتي تحقق الخاصية: لأجل \( b \) و \( a \) من \( \mathbb{N^*} \) يوجد مثلث تكون أطوال أضلاعه هي: \[ f(b + f(a - 1)) \]\[ g \ f(b) \]\[ a \ f \] حيث أن \( \mathbb{N^*} \) هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.

Нека $\mathbb{N}$ е множеството на естествените числа. Да се намерят всички функции $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такива, че за произволни $a, b \in \mathbb{N}$ съществува неизроден триъгълник с дължини на страните $a, \ f(b) \ \text{и} \ f(b+f(a)-1)$. (Един триъгълник е неизроден, ако върховете му не са колинеарни.)

求所有从正整数集到正整数集上的满足如下条件的函数 $f$，对所有正整数 $a$ 和 $b$，都存在一个以 $a, f(b)$ 和 $f(b + f(a) - 1)$ 为三边长的非退化三角形。\\(*称一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶点不共线。*)

假設函數 \( f \) 是由正整數對應到正整數, 使得對於任意正整數 \( a \) 與 \( b \) 都存在邊長為 \\[ a, \quad f(b) \quad 與 \quad f(b + f(a) - 1) \\ \\]的非退化三角形。求滿足此條件的所有 \( f \). （三個頂點不共線的三角形稱為非退化。）

Odredi sve funkcije $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (tj. funkcije definirane na skupu prirodnih brojeva koje poprimaju vrijednosti u skupu prirodnih brojeva) takve da, za sve prirodne brojeve $a$ i $b$, postoji nedegenerirani trokut sa stranicama duljina \[ a, \quad f(b) \quad \text{i} \quad f(b + f(a) - 1). \] (Trokut je \textit{nedegeneriran} ako njegovi vrhovi nisu kolinearni.)

Určete všechny takové funkce \(f\) z množiny kladných celých čísel do množiny kladných celých čísel, že pro všechna kladná celá čísla \(a, b\) existuje nedegenerovaný trojúhelník, jehož strany mají délky \[a, \quad f(b), \quad f(b + f(a) - 1).\] (Trojúhelník je \textit{nedegenerovaný}, neleží-li všechny jeho vrcholy na téže přímce.)

Bestem alle funktioner \( f \) fra mængden af positive hele tal til mængden af positive hele tal sådan at der, for alle positive hele tal \( a \) og \( b \), eksisterer en ikke-degenereret trekant med sidelængder \[ a, f(b) \quad \text{og} \quad f(b + f(a) - 1). \] (En trekant er \textit{ikke-degenereret} hvis dets hjørner ikke ligger på linje.)

Bepaal alle functies \( f : \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0} \) van de verzameling van positieve gehele getallen naar de verzameling van positieve gehele getallen, zodanig dat er voor alle positieve gehele getallen \( a \) en \( b \) een niet-ontaarde driehoek bestaat met zijden lengten \( a, f(b) \ \text{en}\ f(b + f(a) - 1) \). (\text{Een driehoek heet } niet\text{-ontaard als zijn hoekpunten niet-collineair zijn.})

Determine all functions f from the set of positive integers to the set of positive integers such that, for all positive integers a and b, there exists a non-degenerate triangle with sides of lengths \, a, \, \ f(b) \, and \ f(b + f(a) - 1). \, \ (A \ triangle \ is \ non-degenerate \ if \ its \ vertices \ are \ not \ collinear.)

Leia kõik sellised funktsioonid $f$ positiivsete täisarvude hulgast positiivsete täisarvude hulka, et mistahes positiivsete täisarvude $a$ ja $b$ korral leidub kolmnurk küljepikkustega $a$, $f(b)$ ja $f(b + f(a) - 1)$.

Määritä kaikki sellaiset positiivisten kokonaislukujen joukossa määritellyt funktiot $f$, joiden arvot ovat positiivisia kokonaislukuja ja joilla on seuraava ominaisuus: kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $a$ ja $b$ on olemassa (ei-surkastunut) kolmio, jonka sivujen pituudet ovat \[ a, \quad f(b) ja \quad f(b + f(a) - 1). \]

Déterminer toutes les fonctions \( f \) de l'ensemble des entiers strictement positifs dans l'ensemble des entiers strictement positifs telles que, pour tous entiers strictement positifs \( a \) et \( b \), il existe un triangle non aplati dont les longueurs des côtés sont \( a, f(b) \) et \( f(b + f(a) - 1) \).

Man bestimme alle Funktionen \( f \), die auf der Menge der positiven ganzen Zahlen definiert sind und nur positive ganze Zahlen als Werte annehmen, so dass es für alle positiven ganzen Zahlen \( a \) und \( b \) ein nicht entartetes Dreieck mit Seitenlängen \[ a, \quad f(b) \quad \text{und} \quad f(b + f(a) - 1) \]gibt. (Ein Dreieck heißt nicht entartet, wenn seine Eckpunkte nicht kollinear sind.)

נמצא את כל התפקוץ \( f \) מקבצות המספרים השלמים החיוביים לקבוצת המספרים השלמים החיוביים, כך שעבור כל שני מספרים שלמים חיוביים \( a, b \), אם המשולש לא מנון שלםיוןם - כל שלםיון חל אנלחים \( (b + f(a) - 1) \) אזי אי קוקרים אלא ממונחם.

Határozzuk meg az összes olyan \( f \) függvényt, ami a pozitív egész számok halmazát a pozitív egész számok halmazába képezi, és amire teljesül az, hogy tetszőleges pozitív egész \( a \) és \( b \) értékekre van olyan nem-elfajuló háromszög, amelynek oldahosszaai \[ a, f(b) \text{ és } f(b + f(a) - 1). \] (Egy háromszög nem-elfajuló, ha csúcsai nincsenek egy egyenesen.)

Determinare tutte le funzioni $f$ dall'insieme degli interi positivi all'insieme degli interi positivi tali che, per tutti gli interi positivi $a$ e $b$, esiste un triangolo non degenere i cui lati hanno lunghezze \[ a, \quad f(b) \quad \text{e} \quad f(b + f(a) - 1). \] (Un triangolo è \textit{non degenere} se i suoi vertici non sono allineati.)

正の整数に対して定義され，正の整数値をとる関数 f であって，任意の正の整数 a,b に対して \ a, \ f(b), \ (f(b + f(a) - 1)\ が非退化な三角形の 3 辺の長さとなるようなものをすべて決定せよ。ただし，三角形が非退化であるとは，3 つの頂点が同一直線上に並んでいないことを指す。

다음의 조건을 만족시키는, 양의 정수 전체의 집합에서 정의되고 양의 정수들을 함수값 으로 갖는 함수 \( f \)를 모두 구하여라: [조건] 모든 양의 정수 \( a, b \)에 대하여 \( a f(b), f(b + f(a) - 1) \)을 세 변의 길이로 갖는 삼각형이 존재 한다. (세 꼭짓점이 일직선 상에 있는 퇴화삼각형은 삼각형이 아닌 것으로 본다.)

Noskaidrojiet, kurām funkcijām $f$, kas definētas visiem veseliem pozitīviem skaitļiem un kas pieņem veselas pozitīvas vērtības, piemīt īpašība: katriem veseliem pozitīviem skaitļiem $a$ un $b$ eksistē nedegenerēts trijstūris ar malu garumiem \[a, \ f(b) \ \text{un} \ f(b + f(a) - 1)\]. \ \text{(Trijstūri sauc par nedegenerētu, ja tā visas virsotnes neatrodas uz vienas taisnes.)}

Raskite visas tokias funkcijas \(f\), atvaizduojančias natūraliųjų skaičių aibę į natūraliųjų skaičių aibę, kad su visais natūraliaisiais \(a\ ir \(b\) egzistuoja neišsigimęs trikampis, kurio kraštinės yra \(a, f(b) ir f(b + f(a) - 1)\). (Trikampis yra neišsigimęs, jei jo viršūnės nepriklauso vienai tiesei.)

Одреди ги сите функции $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ \[\text{(т.е. функции определени на множеството на природни броеви и кои примаат вредности во множеството на природни броеви)}\] такви да, за сите природни броеви $a$ и $b$, постои недегенериран триаголник чиј страни имаат должини $a$, $f(b)$ и $f(b + f(a) - 1)$.\[\text{(Триаголникот е } \textit{недегенериран } \text{ако неговите темиња не се колинеарни точки.)}\]

Bestem alle funksjoner \( f : \mathbb{N}^+ \to \mathbb{N}^+ \) (der \( \mathbb{N}^+ \) betegner mengden av positive heltall) slik at det for alle positive heltall \( a \) og \( b \) finnes en ikke-degenerert trekant med sidelenger \[ a, \quad f(b) \quad \text{og} \quad f(b + f(a) - 1)\]. (En trekant er ikke-degenerert dersom hjørnene ikke ligger på en linje)

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ przekształcające zbiór dodatnich liczb całkowitych w zbiór dodatnich liczb całkowitych takie, że dla każdych dwóch dodatnich liczb całkowitych $a$ oraz $b$ istnieje niezdenerowany trójkąt, którego boki mają długości \[ a, \quad f(b) \quad \text{oraz} \quad f(b + f(a) - 1). \] (Trójkąt iedzenerowany to taki, którego wierzchołki nie leżą na jednej prostej.)

Determine todas as funções $f$ do conjunto dos inteiros positivos no conjunto dos inteiros positivos tais que, para todos os inteiros positivos $a$ e $b$, existe um triângulo não degenerado cujos lados medem \begin{align*} a, \quad f(b), \quad \text{e} \quad f(b + f(a) - 1). \end{align*} (Um triângulo é não degenerado se os seus vértices não são colineares).

Determinați funcțiile \( f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* \), astfel încât, pentru orice \( a, b \in \mathbb{N}^* \), numerele \( a, \ f(b) \) și \( f(b + f(a) - 1) \) pot fi lungimile laturilor unui triunghi nedegenerat.

Задача 5. Найдите все функции $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (то есть функции, определенные на множестве всех целых положительных чисел и принимающие целые положительные значения) такие, что для любых целых положительных $a$ и $b$ существует невырожденный треугольник, длины сторон которого равны трем числам $$a, \ f(b) \ \text{и} \ f(b + f(a) - 1).$$ (Треугольник называется невырожденным, если его вершины не лежат на одной прямой.)

Určte všetky také funkcie $f$ z množiny kladných celých čísel do množiny kladných celých čísel, že pre všetky kladné celé čísla $a$, $b$ existuje nedegenerovaný trojuholník so stranami dĺžok $a$, $f(b)$, $f(b + f(a) - 1)$. (Trojuholník je \emph{nedegenerovaný}, ak jeho vrcholy neležia na jednej priamke.)

Določi vse funkcije $f$, ki slikajo iz množice naravnih števil v množico naravnih števil, za katere velja, da za vsaki naravni števili $a$ in $b$ obstaja neizrojeni trikotnik s stranicami dolžin \[a, \quad f(b) \quad \text{in} \quad f(b + f(a) - 1).\] (Trikotnik je neizrojeni, če njegova oglišča niso kolinearna.)

Determinar todas las funciones $f$ del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden $a$, $f(b)$ y $f(b + f(a) - 1)$. \newline (Un triángulo no degenerado si sus vértices no están alineados).

Bestäm alla funktioner \( f \) från mängden av de positiva heltalen till mängden av de positiva heltalen och som är sådana att, för alla positiva heltalen \( a \) och \( b \), det finns en icke-degenererad triangel med sidorna vars längder är \\ \[ a, \quad f(b) \quad \text{och} \quad f(b + f(a) - 1) \]. (En triangel är \textit{icke-degenererad} om dess hörn inte är kolinjära.)

โจทย์ข้อที่ 5: จงหาฟังก์ชัน $f$ ทั้งหมดจากเซตของจำนวนเต็มบวกไปยังเซตของจำนวนเต็มบวก ซึ่งสำหรับจำนวนเต็มบวก $a$ และ $b$ ใด ๆ จะมีรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ลำธิบส์มีมวามยาวของด้านเป็น \\ $a$, $f(b)$ และ $f(b + f(a) - 1)$ (รูปสามเหลี่ยมที่ไม่ลำธิบส์รูป เป็นรูปสามเหลี่ยมที่จุดของด้านสามจุดไม่อยู่รวมถึงเส้นตรงเดียวกัน)

Pozitif tam sayılar kümesinden pozitif tam sayılar kümesine tanımlı olan ve tüm a \text{ ve } b \text{ pozitif tam sayıları için, } a, \ f(b)\ \text{ ve } f(b + f(a) - 1) ol\text{ olan bir üçgenin bulunmasını sağlayan bütün }f \text{ fonksiyonlarını belirleyiniz.} ( \text{Yoz üçgen, köşeleri doğrudaş olan üçgendir.})

Задача 5. Знайдіть усі функції $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (тобто функції, які визначені на множині усіх натуральних чисел та приймають натуральні значення) такі, що для будь-яких натуральних чисел $a$ та $b$ існує невироджений трикутник, довжини сторін якого дорівнюють трьом числам $a, \ f(b) \ \ f(b + f(a) - 1).$ (Трикутник називається невиродженим, якщо його вершини не лежать на одній прямій.)

Tìm tất cả các hàm $f$ từ tập hợp các số nguyên dương đến tập hợp các số nguyên dương sao cho, với mọi số nguyên dương $a$ và $b$, tồn tại tam giác không suy biến với độ dài các cạnh là các số $$a, \ f(b) \ và \ f(b + f(a) - 1).$$ (Tam giác gọi là không suy biến nếu ba đỉnh của nó không cùng nằm trên một đường thẳng.)

Tentukan semua fungsi $f$ dari himpunan bilangan bulat positif ke himpunan bilangan bulat positif sehingga, untuk semua bilangan bulat positif $a$ dan $b$, terdapat segitiga \textit{non-degenerate} dengan panjang sisi-sisinya $a$, $f(b)$ dan $f(b + f(a) - 1)$.\\(Suatu segitiga adalah \textit{non-degenerate} jika titik-titik sudutnya tidak segaris.)

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις \( f \), με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακεραίων και με τιμές στο σύνολο των θετικών ακεραίων, που είναι τέτοιες ώστε για όλους τους θετικούς ακεραίους \( a \) και \( b \) να υπάρχει (μη εκφυλισμένο) τρίγωνο με μήκη πλευρών \[ a, \ f(b), \ \text{και} \ f(b + f(a) - 1) \]. (Ένα τρίγωνο είναι μη εκφυλισμένο, αν οι κορυφές του δεν βρίσκονται σε μία ευθεία).

2010

c \geq 0, g(n) = n + c

Le të jetë $\mathbb{N}$ bashkësia e numrave të plotë pozitivë. Gjeni të gjitha funksionet $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ të tilla që numri $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ të jetë katror i plotë për të gjitha $m,n \in \mathbb{N}$.

المسألة 3 : \text{لتكن } N \text{ مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة . أوجد جميع الدوال } g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \text{ التي تجعل العدد } (g(m) + n)(m + g(n)) \text{ مربعاً كاملاً لكل } n, m \in \mathbb{N} .

Да се намерят всички функции $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такива, че \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] е точен квадрат за произволни $m,n \in \mathbb{N}$. (\(\mathbb{N}\) е множеството на естествените числа.)

设 ${\mathbb{N}}$ 是所有正整数构成的集合。求所有的函数 $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，使得对所有 $m,n \in \mathbb{N}$， \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] 是一个完全平方数。

令 \( \mathbb{N} \) 為正整數的集合。找出所有的函數 \( g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)，對於所有的 \( m, n \in \mathbb{N} \)，使得 \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] 是一個完全平方數。

Neka je $\mathbb{N}$ skup svih pozitivnih cijelih brojeva (tj. skup prirodnih brojeva). Odredite sve funkcije $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takve da je \[ (g(m) + n) (m + g(n)) \] kvadrat prirodnog broja za sve $m, n \in \mathbb{N}$.

Nechť $\mathbb{N}$ je množina všech celých kladných čísel. Určete všechny funkce $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takové, že pro libovolná celá kladná $m, n$ je číslo $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ druhou mocninou celého kladného čísla.

Lad \( \mathbb{N} \) være mængen af positive hele tal. Bestem alle funktioner \( g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) sådan at \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] er et kvadrattal for alle \( m, n \in \mathbb{N} \).

Zij $\mathbb{N}_{>0}$ de verzameling van alle positieve gehele getallen (verschillend van nul). Bepaal alle functies $g : \mathbb{N}_{>0} \rightarrow \mathbb{N}_{>0}$ zo dat \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] een kwadraat van een geheel getal is voor alle $m, n \in \mathbb{N}_{>0}$.

Let $\mathbb{N}$ be the set of positive integers. Determine all functions $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ such that $(g(m) + n)(m + g(n))$ is a perfect square for all $m,n \in \mathbb{N}$.

Olgu $\mathbb{N}$ kõigi positiivsete täisarvude hulk. Leia kõik sellised funktsioonid $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, mille korral arv \[(g(m) + n)(m + g(n))\] on täissruut mistahes $m, n \in \mathbb{N}$ jaoks.

Olkoon $\mathbb{N}$ positiivisten kokonaislukujen joukko. Määritä kaikki funktiot $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, joille \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] on neliöluku kaikilla $m, n \in \mathbb{N}$.

$\mathbb{N}^*$ désigne l'ensemble des entiers strictement positifs. Déterminer toutes les fonctions $g : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ telles que, pour tous $m, n \in \mathbb{N}^*$, $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ soit un carré parfait.

Aufgabe 3. Es sei \( \mathbb{N} \) die Menge der positiven ganzen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen \( g : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \), so dass die Zahl \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] für alle \( m, n \in \mathbb{N} \) eine Quadratzahl ist.

בְּעִיָּה 3. תהי \( N \) קבוצת כל המספרים השלמים והחיוביים. מצא את כל הפונקציות \( g \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) כך ש \[ (g(m) + n) \mid (m + g(n)) \] הוא ריבוע שלם עבור כל \( m, n \in \mathbb{N} \).

Legyen $\mathbb{N}$ a pozitív egész számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ függvényt, amelyre \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] teljes négyzet minden $m, n \in \mathbb{N}$-re.

Sia $\mathbb{N}$ l'insieme degli interi positivi. Determinare tutte le funzioni $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tali che \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] è un quadrato perfetto per tutti gli $m, n \in \mathbb{N}$.

問題 3. 正の整数に対して定義され正の整数を値にとる関数 $g$ であって、任意の正の整数 $m,n$ に対して、 \[(g(m) + n)(m + g(n))\] が平方数となるようなものをすべて求めよ。

문제 3. 다음 조건을 만족하는 함수 \( g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)을 모두 구하여라: 모든 \( m,n \in \mathbb{N} \)에 대하여 \[ (g(m)+n)(m+g(n)) \] 이 완전제곱수이다. 단, \( \mathbb{N} \)은 양의 정수 전체의 집합이다.

Ar $\mathbb{N}$ apzīmē visu veselo pozitīvo skaitļu kopu. Atrast visas funkcijas $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, tādas, ka visiem $m, n \in \mathbb{N}$ \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] ir naturāla skaitļa kvadrāts.

Tegul $\mathbb{N}$ yra visų natūraliųjų skaičių aibė. Raskite visas tokias funkcijas $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, su kuriomis skaičiai \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] yra natūraliųjų skaičių kvadratai su visais $m, n \in \mathbb{N}$.

Задача 3. Нека $\mathbb{N}$ е множеството од сите природни броеви. Одреди ги сите функции $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такви да\\\[ (g(m) + n)(m + g(n)) \]е квадрат на природен број за сите $m, n \in \mathbb{N}$.

La \( \mathbb{N}^+ \) betegne mengden av positive heltall. Bestem alle funksjoner \( g : \mathbb{N}^+ \to \mathbb{N}^+ \) for hvilke \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] er et kvadrattall for alle \( m, n \in \mathbb{N}^+ \).

Zadanie 3. Niech $\mathbb{N}$ oznacza zbiór dodatnich liczb całkowitych. Wyznaczyć wszystkie funkcje $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takie, że dla wszystkich $m, n \in \mathbb{N}$ liczba \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] jest kwadratem liczby całkowitej.

Seja \( \mathbb{N}^* \) o conjunto dos inteiros positivos. Determine todas as funções \( g : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* \) tais que \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] é um quadrado perfeito para todos \( m, n \in \mathbb{N}^* \).

Determinați toate funcțiile $g : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ pentru care numărul $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ este pătrat perfect oricare ar fi $m, n \in \mathbb{N}^*$.

Обозначим через $\mathbb{N}$ множество всех целых положительных чисел. Найдите все функции $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такие, что число \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] является точным квадратом при любых $m, n \in \mathbb{N}$.

Nech $\mathbb{N}$ je množina všetkých kladných celých čísel. Určte všetky funkcie $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ také, že \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] je štvorecom celého čísla pre všetky $m, n \in \mathbb{N}$.

Naj bo $\mathbb{N}$ množica naravnih števil. Določi vse funkcije $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, za katere velja, da je \[(g(m) + n)(m + g(n))\] popolni kvadrat za vse $m,n \in \mathbb{N}$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que $$ (g(m) + n)(m + g(n)) $$ es un cuadrado perfecto para todo $m, n \in \mathbb{N}$.

Låt \( \mathbb{N} \) beteckna mängden av alla positiva heltal. Bestäm alla funktioner \( g : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) sådana att \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] är ett kvadrattal för alla \( m, n \in \mathbb{N} \).

โจทย์ข้อ 3 ให้ \( \mathbb{N} \) เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก จงหาฟังก์ชัน \( g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) ทั้งหมด ซึ่ง \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] เป็นกำลังสองสมบูรณ์ สำหรับทุก \( m, n \in \mathbb{N} \)

Soru 3. \( \mathbb{Z}^+ \) ile pozitif tam sayılar kümesini gösterelim. Her \( m, n \in \mathbb{Z}^+ \) için, \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] sayısının tam kare olmasını sağlayan tüm \( g : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ \) fonksiyonlarını belirleyiniz.

Задача 3. Позначимо через $\mathbb{N}$ множину натуральних чисел. Знайти всі функції $g \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такі, що число \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \] є квадратом натурального числа для довільних $m, n \in \mathbb{N}$.

Bài 3. Giả sử \( \mathbb{N} \) là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm \( g : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) sao cho \[ (g(m) + n)(m + g(n)) \]là số chính phương với mọi \( m, n \in \mathbb{N} \).

Misalkan $\mathbb{N}$ himpunan bilangan bulat positif. Tentukan semua fungsi $g : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ sehingga $$(g(m) + n)(m + g(n))$$ suatu kuadrat sempurna untuk semua $m,n \in \mathbb{N}$.

Έστω $\mathbb{N}^*$ το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $g : \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός \[ \left( g\left( m \right) + n \right) \left( m + g\left( n \right) \right) \] είναι τέλειο τετράγωνο, για κάθε $m, n \in \mathbb{N}^*$.

2011

{x, 5x, 7x, 11x}, {x, 11x, 19x, 29x}

Vir enige versameling $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ van vier verskillende positiewe heelgetalle dui ons die som $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ met $s_A$ aan. Laat $n_A$ die aantal pare $(i,j)$ met $1 \leq i < j \leq 4$ wees waarvoor $a_i + a_j$ 'n deler van $s_A$ is. Bepaal alle sulke versamelings $A$ waarvoor $n_A$ sy grootste moontlike waarde bereik.

Për çdo bashkësi $A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \}$ me katër numra të plotë pozitivë të ndryshëm, shënojmë me $S_A$ shumën $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ dhe me $n_A$ numrin e çifteve $(i, j)$, ku $1 \leq i < j \leq 4$, për të cilat $a_i + a_j$ plotpjesëton $S_A$. Gjeni të gjitha bashkësitë e tilla $A$ për të cilat $n_A$ merr vlerën më të madhe të mundshme.

لكل مجموعة $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ مكونة من أربعة أعداد صحيحة موجبـة و مختلفة يُحتملجا\n$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = S$ . ليكن $n_A$ عدد الأزواج $(i, j)$ حيث $4 \leq j < i \leq 1$ بحيث $a_i + a_j$ يقسم $S$ . جد جميع المجموعات $A$ المكونة من أربعة أعداد صحيحة مختلفة و التي يُحتمل $n_A$ أكثر ما يمكن.

Задача 1. За всяко множество $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ от четири различни естествени числа полагаме $s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Нека $\lambda$ е броят на двойките $(i,j)$, за които $1 \leq i < j \leq 4$ и $a_i + a_j$ дели $s_A$. Да се намерят всички множества $A$ от четири различни естествени числа такива, че числото $\lambda$ е максимално.

对任意由 4 个不同正整数组成的集合 $A=\{a_1, a_2, a_3, a_4\}$，记 $s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$，设 $n_A$ 是满足 $a_i + a_j (1 \leq i < j \leq 4)$ 为整数 $s_A$ 的数对 $(i, j)$ 的个数。求所有由 4 个不同正整数组成的集合 $A$，使得 $n_A$ 达到最大值。

對任意由 4 個不同正整數所成的集合 $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$，記 $s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$，設 $n_A$ 是滿足 $a_i + a_j \ (1 \leq i < j \leq 4)$ 整除 $s_A$ 的數對 $(i, j)$ 的個數。求所有由 4 個不同正整數所成的集合 $A$，使得 $n_A$ 達到最大值。

Za skup $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ koji se sastoji od četiri međusobno različita prirodna broja, neka $s_A$ označava sumu $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Neka $n_A$ označava broj parova $(i, j)$, $1 \leq i < j \leq 4$, za koje broj $a_i + a_j$ dijeli sumu $s_A$. \n Odredi sve takve skupove $A$, koji se sastoje od četiri međusobno različita prirodna broja, za koje $n_A$ postiže maksimalnu moguću vrijednost.

Pro libovolnou množinu $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ čtyř (po dvou různých) přirozených čísel označme $s_A$ součet $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Dále nechť $n_A$ značí počet dvojic $(i,j)$, kde $1 \leq i < j \leq 4$ a $a_i + a_j$ dělí $s_A$. Určete všechny čtyřprvkové množiny $A$ přirozených čísel, pro které je hodnota $n_A$ největší možná.

For enhver mængde $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ af fire forskellige positive hele tal betegner vi summen $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ med $s_A$. Lad $n_A$ betegne antallet af de par $(i,j)$ med $1 \leq i < j \leq 4$ hvor $a_i + a_j$ går op i $s_A$. Find alle de mængder $A$ af fire forskellige positive hele tal som opnår den størst mulige værdi af $n_A$.

Voor een verzameling $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ van vier verschillende positieve gehele getallen (verschillend van nul) noteren we de som $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ als $s_A$. We schrijven $n_A$ voor het aantal paren $(i, j)$ met $1 \le i < j \le 4$ waarvoor $a_i + a_j$ een deler is van $s_A$. Bepaal alle verzamelingen $A$ van vier verschillende positieve gehele getallen (verschillend van nul) met de grootst mogelijke waarde van $n_A$.

Given any set $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ of four distinct positive integers, we denote the sum $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ by $s_A$. Let $n_A$ denote the number of pairs $(i,j)$ with $1 \leq i < j \leq 4$ for which $a_i + a_j$ divides $s_A$. Find all sets $A$ of four distinct positive integers which achieve the largest possible value of $n_A$.

Olgu $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ neljast erinevast positiivsest täisarvust koosnev hulk.Tähistame summa $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ tähega $s_A$. Olgu $n_A$ selliste paaride $(i, j)$, kus $1 \leq i < j \leq 4$, hulk, mille puhul $a_i + a_j$ jagab arvu $s_A$. Leida kõik neljast erinevast positiivsest täisarvust koosnevad hulgad $A$, mille korral $n_A$ on maksimaalne võimalik.

Olkoon $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ neljästä erisuurta positiivisesta kokonaisluvusta koostuva joukko, jonka alkioiden summasta $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ käytetään merkintää $s_A$. Olkoon $n_A$ niiden parien $(i,j)$ lukumäärä, joilla $1 \le i < j \le 4$ ja $a_i + a_j$ jakaa luvun $s_A$. Etsi kaikki sellaiset neljän erisuurten positiivisen kokonaisluvun joukot $A$, jotka saavuttavat suurimman mahdollisen arvon $n_A$.

Pour tout ensemble $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de quatre entiers strictement positifs deux à deux distincts, on note $s_A$ la somme $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ et on note $n_A$ le nombre de couples $(i, j)$, avec $1 \leq i < j \leq 4$, tels que $a_i + a_j$ divise $s_A$. Déterminer les ensembles $A$ pour lesquels $n_A$ est maximal.

Für jede Menge \( A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\} \) von vier paarweise verschiedenen positiven ganzen Zahlen, deren Summe \( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \) mit \( s_A \) bezeichnet werde, sei \( n_A \) die Anzahl der Paare \((i,j)\) mit \( 1 \leq i < j \leq 4 \), für die \( a_i + a_j \) die Zahl \( s_A \) teilt. Bestimme unter all diesen Mengen \( A \) diejenigen, für die \( n_A \) maximal ist.

שאלה 1. לכל קבוצה $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ של ארבעה מספרים חיוביים שונים בגודלם, נסמן את הסכום $a_1 - a_2 + a_3 - a_4$ ב-$S_A$, ואת כמות זוגות האינדקסים $(i,j)$, $1 \leq i < j \leq 4$, עבורם $a_i + a_j$ מחלק את $S_A$, נסמן ב-$n_A$. מצא את כל הקבוצות $A$ מסוג זה, עבורן $n_A$ מקבל את הערך המכסימלי האפשרי.

Az $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ halmaz négy, páronként különböző pozitív egész számból áll. Az $a_i + a_j + a_k$ összeget jelöljük $s_A$-val, és jelöljük $n_A$ az olyan $(i,j)$ párok $(1 \leq i < j \leq 4)$ számát, amelyekre $a_i + a_j$ osztója $s_A$-nak. Határozzuk meg az összes olyan $A$ halmazt, amelyre $n_A$ a lehetséges maximális értékét veszi fel.

Per ogni insieme $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ di quattro interi positivi distinti, sia $s_A$ la somma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$, e sia $n_A$ il numero delle coppie di indici $(i,j)$, con $1 \leq i < j \leq 4$, tali che $a_i + a_j$ divide $s_A$. Tra tutti gli insiemi di quattro interi positivi distinti, determinare gli insiemi $A$ per cui $n_A$ è il più grande possibile.

相異なる 4 つの正の整数の組 $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ に対し、$s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ とおく。$1 \leq i < j \leq 4$ なる組 $(i, j)$ であって、$a_i + a_j$ が $s_A$ を割りきるようなものの個数を $n_A$ とおく。このとき、$n_A$ が最大となるような $A$ をすべて求めよ。

네 개의 서로 다른 양의 정수들의 집합 \( A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \} \) 에 대하여 \( s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \) 라 하고, \( n_A \) 를 \( a_i + a_j \) 의 약수 가 되는 쌍 \( (i, j) \) \( (단, 1 \leq i < j \leq 4) \) 의 개수라 하자. 네 개의 서로 다른 양의 정수로 이루어진 집합들 중에서 어떠한 집합들 \( A \) 에 대하여 \( n_A \) 가 최대가 되는가?

Katrai četru dažādu naturālu skaitļu kopai $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ ar $s_A$ apzīmēsim tās elementu summu $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Ar $n_A$ apzīmēsim tādu pāru $(i, j)$ skaitu, kuriem $1 \leq i < j \leq 4$ un $s_A$ dalās ar $a_i + a_j$. Atrodiet visas četru dažādu naturālu skaitļu kopas $A$, kam $n_A$ vērtība ir lielāka iespējām.

Kiekvienos keturių skirtingų natūraliųjų skaičių aibės $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ elementų suma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ pažymėkime $s_A$.Tegul $n_A$ yra porų $(i, j)$, kur $1 \leq i < j \leq 4 ir\; a_i + a_j$ dalija $s_A$ skaičius. Nurodykite visas tokias keturių skirtingų natūraliųjų skaičių aibes $A$, su kuriomis skaicius $n_A$ įgys didžiausią reikšmę.

За множеството $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ кое се состои од четири различни природни броеви, збирот $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ е означен со $s_A$. Нека $n_A$ го означува бројот на парови $(i, j), 1 \leq i < j \leq 4$, за кои $a_i + a_j$ е делител на $s_A$. Најди ги сите множества $A$, кои се состојат од четири различни природни броеви, за кои $n_A$ прима најголема можна вредност.

For en vilkårlig mengde $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ bestående av fire forskjellige positive heltall betegner $s_A$ summen $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ og $n_A$ antallet par $(i,j)$ med $1 \leq i < j \leq 4$ der $a_i + a_j$ deler $s_A$. Finn alle slike mengder $A$ for hvilke $n_A$ er maksimal.

Dla każdego zbioru $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ zawierającego cztery różne dodatnie liczby całkowite, symbolem $s_A$ oznaczmy sumę $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Niech $n_A$ oznacza liczbę par $(i, j)$ takich, że $1 \leq i < j \leq 4$ oraz $a_i + a_j$ jest dzielnikiem liczby $s_A$. Wyznaczyć wszystkie zbiory $A$ zawierające cztery różne dodatnie liczby całkowite, dla których $n_A$ przyjmuje największą wartość.

Para qualquer conjunto $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de quatro inteiros positivos distintos, a soma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ é denotada por $s_A$. Seja $n_A$ o número de pares de índices $(i, j)$, com $1 \leq i < j \leq 4$, para os quais $a_i + a_j$ divide $s_A$. \nEncontre todos os conjuntos $A$ de quatro inteiros positivos distintos para os quais $n_A$ alcança o seu valor máximo.

Pentru orice mulțime formată din patru numere naturale nenule distincte $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ notăm cu $s_A$ suma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Fie $n_A$ numărul de perechi $(i, j)$ cu $1 \leq i < j \leq 4$, pentru care $a_i + a_j$ divide $s_A$. Determinați mulțimea $A$ pentru care $n_A$ ia valoarea maximă.

Задача 1. Для множества $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$, состоящего из четырех попарно различных целых положительных чисел, обозначим через $s_A$ сумму $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Через $n_A$ обозначим количество пар индексов $(i, j)$, $1 \le i < j \le 4$, для которых $s_A$ делится на $a_i + a_j$. Найдите все множества $A$, состоящие из четырех попарно различных целых положительных чисел, для которых $n_A$ принимает наибольшее возможное значение.

Pre ľubovoľnú množinu $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ obsahujúcu štyri rôzne kladné celé čísla položme $s_A = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Označme $n_A$ počet takých dvojíc $(i, j)$ spĺňajúcich $1 \leq i < j \leq 4$, pre ktoré je číslo $a_i + a_j$ deliteľom čísla $s_A$. Určte všetky množiny $A$ obsahujúce štyri rôzne kladné celé čísla, pre ktoré je hodnota $n_A$ najväčšia možná.

Za vsako množico $A \equiv \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ štirih različnih naravnih števil označimo s $s_A$ vsoto $a_1+a_2+a_3+a_4$. Naj bo $n_A$ število tistih parov $(i, j)$, kjer je $1 \leq i < j \leq 4$, za katere $a_i + a_j$ deli $s_A$. Določite vse množice $A$ štirih različnih naravnih števil, za katere je vrednost $n_A$ največja možna.

Para cualquier conjunto $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ por $s_A$. Sea $n_A$ el número de parejas $(i, j)$ con $1 \leq i < j \leq 4$ para las cuales $a_i + a_j$ divide a $s_A$. Encontrar todos los conjuntos $A$ de cuatro enteros positivos distintos para los cuales se alcanza el mayor valor posible de $n_A$.

För varje mängd $A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \}$ bestående av fyra olika positiva heltal betecknas summan $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ med $s_A$. Låt $n_A$ beteckna antalet par $(i,j)$, där $1 \leq i < j \leq 4$, för vilka $a_i + a_j$ är en delare till $s_A$. Finn alla mängder $A$ bestående av fyra olika positiva heltal för vilka $n_A$ är det största möjliga.

โจทย์ข้อ 1 สำหรับเซต $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ ของจำนวนนับที่แตกต่างกันสี่จำนวน จะแทนผลบวก $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ ด้วย $S_A$ ให้ $n_{A}$ แทนจำนวนของคู่ย่อย $(i, j)$ ซึ่ง $1 \le i < j \le 4$ ทั้งหมดซึ่ง $a_i + a_j$ หาร $S_A$ ลงตัว จงหาเซต $A$ ของจำนวนนับแตกต่างกันสี่จำนวนทั้งหมด ซึ่งให้ค่า $n_{A}$ ที่มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้

Dört farklı pozitif tam sayıdan oluşan bir $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ kümesi için, $a_i + a_j + a_3 + a_4$ toplamını $s_4$ ile gösteriyoruz. $1 \le i < j \le 4$ olmak üzere, $a_i + a_j$ nin $s_4$ ya bölüğü $(i,j)$ ikililerinin sayısını da $n_4$ ile gösterelim. Dört farklı pozitif tam sayıdan oluşan ve $n_4$ nın alabileceği en büyük değeri almasını sağlayan tüm $A$ kümelerini bulunuz.

Для множини $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \}$, що складається з чотирьох попарно різних натуральних чисел, позначимо через $s_{4}$ суму $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$. Через $n_{4}$ позначимо кількість пар індексів $(i, j), 1 \leq i < j \leq 4$, для яких $s_{4}$ ділиться на $a_{i} + a_{j}$. Знайдіть усі множини $A$, що складаються з чотирьох попарно різних цілих додатних чисел, для яких $n_{4}$ набуває найбільшого можливого значення.

Cho tập hợp $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ gồm bốn số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu tổng $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ bởi $s_A$. Giả sử $n_A$ là số các cặp $(i, j)$ với $1 \leq i < j \leq 4$ sao cho $a_i + a_j$ chia hết $s_A$. Tìm tất cả các tập hợp $A$ gồm bốn số nguyên dương phân biệt mà với chúng $n_A$ đạt được giá trị lớn nhất có thể.

Diberikan sebarang himpunan $A = \{ a_1, a_2, a_3, a_4 \}$ dari empat bilangan bulat positif berbeda, jumlah $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ didefinisikan dengan $s_A$. Misalkan $n_A$ menyatakan banyaknya pasangan $(i,j)$ dengan $1 \leq i < j \leq 4$ sehingga $a_i + a_j$ membagi $s_A$. Cari semua himpunan $A$ dari empat bilangan bulat positif berbeda yang merealisasikan nilai $n_A$ terbesar yang mungkin.

Για κάθε δεδομένο σύνολο $A = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ με στοιχεία τέσσερις διαφορετικούς θετικούς ακέραιους, συμβολίζουμε με $a$ το άθροισμα $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$. Έστω $n_4$ ο αριθμός των ζευγαριών $(i,j)$, με $1 \leq i < j \leq 4$, για τα οποία ο αριθμός $a_i + a_j$ διαιρεί τον $a$. Βρείτε όλα τα σύνολα $A$ με στοιχεία τέσσερις διαφορετικούς θετικούς ακέραιους, για τα οποία επιτυγχάνεται η μεγαλύτερη δυνατή τιμή για το $n_4$.

2011

(2n − 1)!!

Laat $n > 0$ 'n heelgetal wees. Ons het 'n weegskaal en $n$ gewigte met massa $2^{0}, 2^{1}, \ldots, 2^{n-1}$. Ons wil elk van die $n$ gewigte op die weegskaal plaas, een by een, op só 'n manier dat die regter skaal nooit swaarder as die linker skaal is nie. In elke stap kies ons een van die gewigte wat nog nie geplaas is nie, en ons plaas dit óf op die linker skaal óf op die regter skaal, totdat al die gewigte geplaas is. Bepaal die aantal maniere om dit uit te voer.

Le të jetë $n > 0$ një numër i plotë. Kemi një peshore me dy anë dhe $n$ pesha me masa, përkatësisht, $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vendosim në peshore, një nga një, të gjitha $n$ peshat, në mënyrë të tillë që ana e djathtë të mos jetë asnjëherë më e rëndë së ana e majtë e peshores. Në çdo hap, zgjedhim njërën nga peshat që nuk është vendosur ende në peshore dhe e vendosim atë ose në anën e majtë ose në anën e djathtë, derisa të gjitha peshat të jenë vendosur në peshore. Përcaktoni numrin e mënyrave me të cilat mund të bëhet kjo.

لكن $n > 0$ عدد صحيحًا, لدينا مزاين يتكون و $n$ من الأقايل ن فيها $2^{n-1}, 2^n, \, ... \, 2^1 , 2^0$ . نضع هذه الأقايل\nعلى الميزان واحدًا تلو الآخر من خلال $n$ من الأكار المزايلة, بحيث لا توجد الكتلة النجعى\nعلى المزاين في أي حالٍ من الأحوال. في كل مرة تُختار واحدا من الأقايل أقل لنتمها على الميزان\nبعد نم نضعها بها على الكتلة النجعى أو اليسرى و تستمر أن لا تنقطع عنده امراكات المراعية.\nجد عدد الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها أن تتم تنفيذ هذه المراكات المرواية.

Задача 4. Нека $n \in \mathbb{N}$. Дадени са везна и $n$ тежести с тегла $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Всичките $n$ тежести се поставят на везната последователно за $n$ хода, т.е. на всеки от ходовете се избира едина от тежестите, която още не е поставена на везната, и тази тежест се слага на лявото или на дясното блюдо. При това тежестите се поставят така, че в нито един момент дясното блюдо не е по-тежко от лявото. Да се намери броят на начините, по които можем да изпълним тези n хода.

给定整数 $n > 0$。有一个秤和 $n$ 个重量分别为 $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$ 的砝码。实现通过一步操作逐个将所有砝码都放上天平，使得在操作过程中，右边的重量总不超过左边的重量。每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至所有砝码都放上天平。求整个操作过程的不同方法个数。

給定整數 $n > 0$。有一個不異 \(n\) 個重量分別為 $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$ 的砝碼。 現通過 \(n\) 步操作依次將所有砝碼都放上秤天，使得在操作過程中，右邊的重量從未超過左邊的重量。每一步操作是從尚未放上天平的砝碼中選擇一個砝碼，將其放到天平的左邊或右邊，直到所有砝碼都被放上天平。 求該個操作過程的不同方法個數。

Neka je $n$ prirodni broj. Imamo običnu ravnotežnu vagu i $n$ utega čije su težine $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Na vagu trebamo postaviti sve utege, jednog po jednog, tako da desna strana vage ni u kojem trenutku ne bude teža od lijeve strane. U svakom koraku biramo jedan od utega koji još nisu na vagi i stavljamo ga ili na lijevu, ili na desnu stranu vage, poštujući navedeni uvjet. To ponavljamo dok sve utege ne postavimo na vagu. \n Odredi na koliko načina to možemo napraviti.

Nechť $n$ je celé kladné číslo. Máme dány rovnoramenné váhy a n závaží o hmotnostech $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. V n krocích máme na váhy postupně po jednom umístit všechna závaží. Každý z kroků spočívá ve výběru jednoho ze závaží, které ještě není na vahách, a jeho umístění buď na levou, nebo na pravou misku vah ale vždy tak, aby obsah pravé misky nebyl nikdy těžší než obsah levé. Kolik různých posloupností takovýchto n kroků existuje?

Lad $n > 0$ være et helt tal. Vi har fået en skålvægt og $n$ lodder med vægtene $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vi skal lægge alle n lodder på vægten ét efter ét på en sådan måde at den højre vægtskål aldrig er tungere end den venstre. I hvert skridt vælger vi ét af de lodder som endnu ikke er blevet lagt på vægten, og lægger det på enten den venstre eller den højre vægtskål. Sådan fortsætter vi indtil alle lodderne er lagt på vægten. Bestem antallet af måder dette kan gøres.

Zij $n > 0$ een geheel getal. We hebben een balans en $n$ gewichten met massa $2^0, 2^1, \ldots , 2^{n-1}$. We moeten de $n$ gewichten, één voor één, op één van de twee schalen van de balans plaatsen zo dat de rechterschaal nooit zwaarder is dan de linkerschaal. In elke stap kiezen we een gewicht dat nog niet op de balans staat en plaatsen het op de linker- of op de rechterschaal, totdat alle gewichten op de balans geplaatst zijn. Bepaal het aantal manieren waarop we dit kunnen doen.

Let $n > 0$ be an integer. We are given a balance and $n$ weights of weight $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. We are to place each of the $n$ weights on the balance, one after another, in such a way that the right pan is never heavier than the left pan. At each step we choose one of the weights that has not yet been placed on the balance, and place it on either the left pan or the right pan, until all of the weights have been placed. Determine the number of ways in which this can be done.

Olgu $n > 0$ täisarv. Meil on kahe kaalukausiga kaal ja n kaaluvihit massidega $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Me peame asetama kõik n kaaluvihit ükshaaval kaalukausisid ie niin, et parem kaalukass ei kaaluks kunagi vasakut üles. Igal sammul valime ühe kaaluvihidest, mis pole veel kaalul ning asetame selle kas vasakule või paremale kaalukausile, kuni kõik kaaluvihid on kaalul. Mmitmel erineval viisil on võimalik seda teha?

Olkoon $n > 0$ kokonaisluku. Käytössämme on orsi vaaka ja $n$ painoa, joiden painot ovat $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Meidän tulee asettaa painot yksitellen vaa'alle siten, että oikea vaakakuppi ei ole koskaan painavampi kuin vasen vaakakuppi. Joka vaiheessa valitaan yksi jäljellä olevista painoista ja asetetaan se joko vasempaan tai oikeaan vaakakuppiin, kunnes kaikki painot ovat vaa'alla. Määritä kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä.

Soit $n$ un entier strictement positif. On dispose d’une balance à deux plateaux et de $n$ poids, de masses respectives $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. On doit placer, l’un après l’autre, chacun des $n$ poids sur la balance de telle sorte que le plateau de droite ne soit jamais plus lourd que le plateau de gauche ; dans ce but, à chaque étape, on doit choisir un poids qui n’est pas déjà sur la balance et le placer soit sur le plateau de gauche, soit sur le plateau de droite ; on continue ainsi jusqu’à ce que tous les poids soient placés. Déterminer le nombre de façons de procéder.

Sei \( n > 0 \) eine ganze Zahl. Gegeben seien eine Balkenwaage und \( n \) Gewichtsstücke mit den Gewichten \( 2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1} \). Wir sollen jedes der \( n \) Gewichtsstücke, eines nach dem anderen, so auf die Waage legen, dass die rechte Schale zu keinem Zeitpunkt schwerer als die linke ist. In jedem Zug wählen wir ein Gewichtsstück aus, das zu diesem Zeitpunkt noch nicht auf die Waage gelegt wurde und legen es entweder auf die linke oder die rechte Schale bis alle Gewichtsstücke verwendet worden sind. Man bestimme die Anzahl derartiger Folgen mit \( n \) Zügen.

שאלה 4. יהא $n$ שלם חיובי. נתונים מאונכי $a, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$.

Legyen $n > 0$ egy egész szám. Van egy kétkarú mérlegünk és $n$ súlyunk, amelyek súlya $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Ezt az $n$ súlyt egymás után a mérlegre akarjuk helyezni oly módon, hogy a jobboldali serpenyő soha ne legyen nehezebb a baloldali serpenyőnél. Mindegyik lépésben kiválasztjuk az eddig a mérlegre nem tett súlyok valamelyikét, és a mérlegnek vagy a baloldali vagy a jobboldali serpenyőjébe helyezzük, egészen addig, amíg az összes súly fel nem kerül a mérlegre. Határozzuk meg, hogy hányféleképpen lehet ezt megtenni.

Sia $n > 0$ un numero intero. Si dispone di una bilancia a due piatti e di $n$ pesi i cui pesi sono $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Si devono piazzare tutti gli $n$ pesi sulla bilancia, l’uno dopo l’altro, in maniera tale che il piatto destro non contenga mai un peso complessivo maggiore del piatto sinistro. A tal fine, ad ogni passo si sceglie uno dei pesi che non è stato ancora piazzato sulla bilancia e lo si aggiunge o sul piatto sinistro o sul piatto destro, fino a quando non sono stati piazzati tutti i pesi. Determinare il numero dei modi in cui questo si può fare.

n を正の整数とする。てんびんと、重さが $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n - 1}$ の n 個のおもりがある。これらのおもりを、1 つずつ、各皿のおもりを取り除くことが一度もないようにてんびんにのせていき、皿にのっていないおもりがなくなるまでこれを続ける。 このようにおもりをのせる方法は何通りあるか。

양의 정수 \( n \) 이 주어져 있다. 질점 저 을 하나와 무게가 각각 \( 2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1} \)인 \( n \) 개입 분통이 있다. n 번의 시행을 통해 모든 분들을 젖은 위에 얹음 준농에 올려 놓는다. 첫째 제 시행에서는 한 분통을 고르고 후 원쪽 절점위에 올려 놓는다. 그 다음 시행부하는 각 시행마다 하나입 분통을 고르고 후 절점 절시에 놓을 시 오르쪽 절점 제놓을 시 선택한다. 오르쪽 절시의 무게가 원좌 씹 절시보다 더 무겁지 않도록 하는 번의 시행을 하는 방법의 총 개수를 구하여라.

Dots naturāls skaitlis $n$. Doti arī sviras svari un $n$ atsvari, kuru svars ir attiecīgi $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n−1}$. Visi atsvari n soļos ir jāuzliek uz sviru kausiem, tas ir, ir katrā solī var izvēlēties vienu no atsvariem, kas vēl nav uzlikti uz svariem, un uzlikt to vai nu uz labā vai kreisā sviru kausa; pie tam, nevienā brīdī labais sviru kauss nedrīkst būt smagāks par kreiso. Noskaidrojiet, cik dažādos veidos iespējams izpildīt šādu darbību virkni.

Tegul $n$ yra natūralusis skaičius. Turime svarstykles, kurias sudaro dvi lėkštutės, kairioji ir dešinioji, ir $n$ svereliu, kurių svoriai yra $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Mums reikia kokiu nors būdu sudėti visus $n$ sverelių ant svarstyklių viena po kito taip, kad po kiekvieno ėjimo dešinioji svarstyklių lėkštutė niekada nebūtų sunkesnė už kairiąją. Kiekvienu ėjimu mes pasirenkame kurį nors dar nepadėtą ant svarstyklių svereli ir padedame jį arba ant kairiosios, arba ant dešiniosios svarstyklių lėkštutės ir t.t. iki tol, kol ant svarstyklių bus padėti visi $n$ sverelių. Nustatykite, keliais skirtingais būdais tai galima padaryti.

Нека $n$ е природен број. Дадена е терезија (урамнотежена вага со два таса) и $n$ тегови со тежини $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Сите $n$ тегови треба да се постават, еден по друг, на тасовите на терезијата, односно во секој од $n$-те чекори се избира еден од теговите кој сѐ уште не е поставен на тасовите и се става или на левиот или на десниот тас од терезијата, и при тоа теговите се поставуваат така да во ниту еден момент десниот тас не е потежок од левиот тас. Одреди го бројот на начини на кои ова поставување може да се изврши.

La $n > 0$ være et heltall. Vi har $n$ lodd med massene $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vi ønsker å plassere alle loddene ett og ett på skålvekten slik at høyre skål aldri blir tyngre enn venstre skål. I hvert trekk velger vi ett av loddene som ikke ennå er på vekten, og legger den enten i den høyre eller den venstre skålen, inntil alle loddene er blitt plassert. Bestem antallet mulige måter dette kan utføres på.

Dana jest liczba całkowita $n > 0$. Mamy do dyspozycji wagę szalkową i n odważników o masach $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Chcemy kolejno, jeden po drugim, położyć wszystkie odważniki na szalkach wagi w taki sposób, by prawa szalka nigdy nie była cięższa, niż lewa szalka. W pojedynczym kroku wybieramy jeden z odważników, które nie zostały jeszcze użyte i dokładamy go albo na lewą, albo na prawą szalkę. Postępujemy w ten sposób do momentu, w którym wszystkie odważniki znajdą się na wadze. Wyznaczyć liczbę sposobów wykonania opisanych wyżej czynności.

Seja $n$ um inteiro positivo. Temos uma balança de dois pratos e $n$ pesos cujas massas são $2^0$, $2^1$, $\ldots$, $2^{n-1}$. Devemos colocar os pesos na balança, um por um, de tal forma que o prato direito nunca seja mais pesado do que o prato esquerdo. A cada passo, devemos escolher um dos pesos que ainda não estejam na balança e colocá-lo sobre o prato esquerdo ou sobre o prato direito, procedendo assim até que todos os pesos tenham sido colocados nela. \nDetermine o número de maneiras em que isso pode ser feito.

Fie $n$ un număr natural strict pozitiv. Considerăm o balanță cu două talere și $n$ greutăți având valorile $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$, respectiv. Cele $n$ greutăți sunt puse pe rând pe unul dintre talerele balanței, într-o secvență de $n$ mutări. Prima mutare constă în alegerea unei greutăți și plasarea ei pe talerul stâng. Fiecare dintre următoarele mutări constă în plasarea uneia dintre greutățile rămase pe unul dintre talere în așa fel încât în fiecare moment talerul din dreapta nu este mai greu decât talerul din stânga. Determinați numărul de astfel de secvențe de $n$ mutări.

Задача 4. Дано целое число $n > 0$. Имеются чашечные весы и $n$ гирь, веса которых равны $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Все $n$ гирь выкладываются одна за другой на чаши весов, то есть на каждом из $n$ шагов выбирается гиря, которая еще не выложена на весы, и добавляется либо на левую, либо на правую чашу весов; при этом гири выкладываются так, чтобы ни в какой момент правая чаша не была тяжелее левой. Найдите количество способов выполнить такую последовательность шагов.

Nech $n > 0$ je celé číslo. K dispozícii máme rovnomerné váhy a $n$ závaží s hmotnosťami $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Jednotlivé závažia máme v nejakom poradí ukladať na misky váh tak, aby obsah pravej misky nebol v žiadnom okamihu ťažší ako obsah ľavej misky. V každom kroku vyberieme jedno zo závaží, ktoré ešte nie je na váhach, a položíme ho buď na ľavú alebo na pravú misku váh. Tak postupujeme, kým neminieme všetky závažia. Určte, koľkými spôsobmi to celé môžeme urobiť.

Naj bo $n$ naravno število. Na voljo imamo primerjalno tehtnico in $n$ uteži, ki tehtajo $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vseh $n$ uteži želimo položiti na primerjalno tehtnico v $n$ zaporednih korakih na tak način, da v vsakem izmed korakov izberemo eno izmed uteži, ki še ni na primerjalni tehtnici, in jo položimo bodisi v levo bodisi v desno posodo primerjalne tehtnice, pri čemer uteži v desni posodi po nobenem izmed $n$ korakov niso težje od uteži v levo posodi. Določite, na koliko načinov lahko to storimo.

Sea $n > 0$ un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos y de $n$ pesas cuyos pesos son $2^0, 2^1, \ldots , 2^{n-1}$. Debemos colocar cada una de las $n$ pesas en la balanza, una tras otra, de manera tal que el platillo de la derecha nunca sea más pesado que el platillo de la izquierda. En cada paso, elegimos una de las pesas que no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos ya sea en el platillo de la izquierda o en el platillo de la derecha, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas. Determinar el número de formas en las que esto se puede hacer.

Låt $n > 0$ vara ett heltal. Vi har en balansvåg med två skålar och $n$ vikter som väger $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Vikterna ska placeras på vågen, en efter en, på sådant sätt att den högra vågskålen aldrig väger mer än den vänstra. I varje steg väljs en av de vikterna som inte har placerats än och läggs i den vänstra eller den högra skålen. Proceduren avslutas när alla vikter ligger på vågen. På hur många olika sätt kan detta göras?

โจทย์ข้อ a ให้ $n > 0$ เป็นจำนวนนับ มีการชั่งสองข้างและก้อนหินที่ทั้งหมด $n$ ก้อนที่มีน้ำหนัก $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$ หน่วย จะวางก้อนหินหนักที่สุดลงบนตาชั่ง โดยที่ก้อนหินข้างขวาไม่น้อยหนักมากกว่าข้างซ้าย ในแต่ละครั้งจะเลือกนำหินหนักที่สุดที่ยังไม่ถูกวางบนตาชั่ง และวางลงบนตราชั่งข้างซ้ายหรือขวาจนจบการทุกก้อน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการกระทำดังกล่าว

$n > 0$ bir tam sayı olsun. İki kefeli bir terazimiz ve ağırlıkları $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$ olan $n$ tane ağırlığımız var. Bu ağırlıkları n hamlede birer birer ve hiçbir aşamada sağ kefe sol kefeden daha ağır olmayacak biçimde teraziye yerleştirmemiz gerekiyor. Tüm ağırlıklar teraziye konulana kadar her hamlede, teraziye henüz konulmamış ağırlıklardan birini seçerek bunu sol veya sağ kefeye yerleştiriyoruz. Bu hamleler dizisini kaç farklı biçimde yapabileceğimizi belirleyiniz.

Задане ціле число $n > 0$. Є шалькові терези та n гир з вагами $2^{0}, 2^{1}, \, \ldots \, , 2^{n-1}$. Усі n гир розміщуються послідовно одна за одною на шальки терезів, тобто на кожному з n кроків вибирається гиря, яка ще не покладена на терези, і розміщується або на ліву, або на праву шальку терезів; при цьому гири розміщуються так, щоб у жоден момент права шалька не була важчою за ліву. Знайдіть кількість способів виконати таку послідовність кроків.

Giả sử $n > 0$ là một số nguyên. Cho một cái cân hai đĩa và $n$ quả cân với trọng lượng là $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Ta muốn đặt lên cái cân mỗi một trong $n$ quả cân, lần lượt từng quả một, theo cách để bảo đảm đĩa cân bên phải không bao giờ nặng hơn đĩa cân bên trái. Ở mỗi bước ta chọn một trong các quả cân chưa được đặt lên cân, rồi đặt nó hoặc vào đĩa bên trái, hoặc vào đĩa bên phải, cho đến khi tất cả các quả cân đều đã được đặt lên cân. Xác định xem có bao nhiêu cách để thực hiện được mục đích đề ra.

Misalkan $n > 0$ adalah suatu bilangan bulat. Kita diberi suatu neraca dan $n$ pemberat dengan berat $2^0, 2^1, \ldots, 2^{n-1}$. Kita letakkan masing-masing dari $n$ pemberat pada neraca, satu demi satu, sedemikian cara sehingga baki kanan tidak pernah lebih berat dari baki kiri. Pada masing-masing langkah kita memilih satu dari pemberat yang belum diletakkan pada neraca, dan meletakkannya pada baki kiri atau kanan, sampai semua pemberat terletakkan. Tentukan banyak cara yang seperti ini dapat dilakukan.

Έστω $n$ ακέραιος, με $n > 0$. Έχουμε μία ζυγαριά και n βάρη με τιμές $2^0, 2^1, \ldots , 2^{n-1}$. Πρόκειται να τοποθετήσουμε καθένα από τα n βάρη πάνω στη ζυγαριά, το ένα μετά το άλλο, με τέτοιο τρόπο, ώστε ο δεξιός δίσκος να μην είναι ποτέ βαρύτερος από τον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς. Σε κάθε βήμα επιλέγουμε ένα από τα βάρη, το οποίο δεν έχει μέχρι τότε τοποθετηθεί πάνω στη ζυγαριά, και το τοποθετούμε είτε στον αριστερό είτε στον δεξιό δίσκο, μέχρις όπου τοποθετηθούν όλα τα βάρη. Να προσδιορίσετε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει αυτή η τοποθέτηση.

2012

1, 2 mod 4

Vind alle positiewe heelgetalle $n$ waarvoor daar nie-negatiewe heelgetalle $a_1, a_2, \ldots, a_n$ bestaan sodating dat $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Gjeni të gjithë numrat e plotë pozitivë $n$ për të cilët ekzistojnë numrat e plotë jonegativë $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ashtu që$$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

المسألة 6. حدد جميع الأعداد الصحيحة الموجبة \( n \) التي لأجلها توجد أعداد صحيحة غير سالبة \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) تتحقق: \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{a_1}{3^{a_1}} + \frac{a_2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{a_n}{3^{a_n}} = 1 . \]

Да се намерят всички естествени числа $n$, за които съществуват неотрицателни цели числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ така, че\\ \[{\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1}.\]

求所有的正整数 \( n \)，使得存在非负整数 \( a_1, a_2, \ldots , a_n \)，满足 \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \ldots + \frac{1}{2^{a_n}} = 1. \]

求所有的正整數 $n$, 使得存在非負整數 $a_1, a_2, \ldots, a_n$, 滿足 \( \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} + \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\ \)

Odredi sve prirodne brojeve \( n \) za koje postoje nenegativni cijeli brojevi \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) takvi da vrijedi\[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Úloha\ 6.\ Nalezněte\ všechna\ celá\ kladná\ čísla\ n,\ pro\ která\ existují\ nezáporná\ celá\ čísla\ a_1,\ a_2,\ldots,\ a_n\ taková,\ že\ platí\ rovnost\\ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} + \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.

Bestem alle positive heltal $n$ for hvilke der findes ikke-negative heltal $a_1, a_2, \ldots, a_n$ så \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Bepaal alle gehele getallen n > 0 waarvoor er gehele getallen a_1, a_2, \ldots , a_n > 0 bestaan zodanig dat\\ \\ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.

Find all positive integers $n$ for which there exist non-negative integers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ such that \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Leia kõik positiivsed täisarvud \( n \), mille jaoks leiduvad sellised mitte-negatiivsed täisarvud \( a_1, a_2, \ldots, a_n \), et\n\n\[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\]

Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut $n$, joille on olemassa sellaiset ei-negatiiviset kokonaisluvut $a_1, a_2, \ldots, a_n$, että \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Trouver tous les entiers strictement positifs $n$ pour lesquels il existe des entiers positifs ou nuls $a_1, a_2, \ldots, a_n$, tels que :\$ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$

Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen $n$ für die es nicht-negative ganze Zahlen $a_1, a_2, \ldots, a_n$ gibt, so dass gilt: \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

מצוא את כל השלמים החיוביים $n$ שעבורם קיימים שלמים אי-שליליים $a_1, a_2, \ldots, a_n$ המקיימים: $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Határozzuk \ meg \ az \ összes \ olyan \ n \ pozitív \ egész \ számot, \ amelyhez \ találhatók \ olyan \ a_1, \ a_2, \ldots, a_n \ nemnegatív \ egészek, \ amelyekre \ teljesül \newline \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.

Determinare tutti gli interi positivi $\ n $ per i quali esistono interi non negativi $\ a_1, a_2, \ldots, a_n $ tali che \\ \[\frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \cdots + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{2}{3a_2} + \cdots + \frac{n}{3a_n} = 1.\]

以下をみたす非負整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n,$ が存在するような正の整数 $n$ をすべて求めよ：\[ \frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \,\cdots\, + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{2}{3a_2} + \,\cdots\, + \frac{n}{3a_n} = 1.\]

다음 조건을 만족하는 양의 정수 \(n\)을 모두 구하여라: 등식 \\ \[ \frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \cdots + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{1}{3a_2} + \frac{1}{3a_n} = 1 \] 을 만족하는 음이 아닌 정수 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)이 존재한다.

6. uzdevums. Atrodiet visus naturālos skaitļus $n$, kuriem pastāv tādi nenegatīvi veseli skaitļi $a_1, a_2, \ldots , a_n$, ka\ $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

6 uždavinys. Raskite visus natūraliuosius skaičius \( n \), su kuriais egzistuoja tokie sveikieji neneigiami skaičiai \( a_1, a_2, \ldots , a_n \), kad \( \frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \cdots + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{2}{3a_2} + \cdots + \frac{n}{3a_n} = 1 \).

Најди ги сите природни броеви $n$ за кои постојат негативни цели броеви $a_1, a_2, \ldots, a_n$ така да важи \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\]

Finn alle positive heltall $n$ for hvilke det finnes ikke-negative heltall $a_1, a_2, \ldots, a_n$ slik at \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$, dla których istnieją nieujemne liczby całkowite $a_1, a_2, \ldots, a_n$, spełniające $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Determine todos os inteiros positivos $n$ para os quais existem inteiros não negativos $a_1, a_2, \ldots , a_n$ tais que $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Determinați toate numerele naturale nenule $n$ pentru care există numerele naturale $a_1, a_2, \ldots, a_n$ astfel încât \\ $\frac{1}{2a_1} + \frac{1}{2a_2} + \cdots + \frac{1}{2a_n} = \frac{1}{3a_1} + \frac{2}{3a_2} + \cdots + \frac{n}{3a_n} = 1.$

Найдите все целые положительные числа $n$, для которых существуют целые неот- рицательные числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ такие, что \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.\]

Určte všetky kladné celé čísla $n$, pre ktoré existujú nezáporné celé čísla $a_1, a_2, \ldots, a_n$ také, že \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = 1 + \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}}. \]

Poiščite vsa naravna števila \( n \), za katera obstajajo taka nenegativna cela števila \( a_1, a_2, \ldots, a_n \), da velja: \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tales que\$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$

Best\u00e4m alla positiva heltal $n$ f\u00f6r vilka det finns icke-negativa heltal $a_1, a_2, \ldots, a_n$ s\u00e5dana att $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

โจทย์ข้อที่ 3: จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้มีจำนวนเต็มไม่ลบ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ซึ่ง \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} + \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1\]

Hangi $n$ pozitif tam sayıları için, $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1$$ eşitliklerini sağlayan $a_1, a_2, \ldots, a_n$ negatif olmayan tam sayılarının bulunduğunu belirleyiniz.

Знайдіть всі натуральні числа $n$, для яких існують такі невід’ємні цілі числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$, що $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1, a_2, \ldots , a_n$ thỏa mãn $$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Cari semua bilangan bulat positif $n$ yang mana terdapat bilangan bulat non-negatif $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sehingga\\$$\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1.$$

Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $n$, για τους οποίους υπάρχουν μη αρνητικοί ακέραιοι $a_1, a_2, \ldots, a_n$, έτσι ώστε: \[ \frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]