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# Funciones trigonométricas
## Trigonometría de triángulos rectángulos
Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto del círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo:
En esta sección, veremos otra forma de definir las funciones trigonométricas mediante las propiedades de los triángulos rectángulos.
### Usar triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas
En secciones anteriores, hemos utilizado un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas. En esta sección, ampliaremos esas definiciones para aplicarlas a los triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de
es su valor en
radianes. En primer lugar, tenemos que crear nuestro triángulo rectángulo. La muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto
al eje x, tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene longitud
y cuyo lado horizontal tiene una longitud
Podemos utilizar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las demás funciones trigonométricas como cocientes de los lados de un triángulo rectángulo.
Sabemos que
Asimismo, sabemos que
Estas relaciones se siguen aplicando a los lados de un triángulo rectángulo cuando no hay ningún círculo unitario y cuando el triángulo no está en posición estándar y no se grafica con las coordenadas
. Para utilizar estas relaciones libremente, daremos a los lados designaciones más genéricas: En lugar de
llamaremos lado adyacente al ángulo al lado del ángulo dado
(Adyacente significa “junto a”). En lugar de
llamaremos lado opuesto al ángulo dado al lado más distante del ángulo
Finalmente, en lugar de
llamaremos hipotenusa al lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Estos lados están marcados en la .
### Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos
Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de
Una mnemotecnia común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formada por las primeras letras de "Seno es opuesto sobre la hipotenusa, Coseno es adyacente sobre la hipotenusa, Tangente es opuesto sobre el adyacente”.
### Relacionar los ángulos y sus funciones
Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas, independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos del triángulo en la . El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo y viceversa.
Se nos pide que hallemos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es hallar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos hallar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es la cosecante, el recíproco del coseno es la secante y el recíproco de la tangente es la cotangente.
### Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando las longitudes de los lados
Ya hemos hablado de las funciones trigonométricas en su relación con los ángulos especiales del círculo unitario. Ahora, podemos utilizar esas relaciones para evaluar los triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en las funciones trigonométricas, estos tienen valores relativamente amigables, valores que no contienen ninguna o solo una raíz cuadrada en el cociente. Por lo tanto, estos son los ángulos que se utilizan a menudo en los problemas matemáticos y científicos. Utilizaremos múltiplos de
y
sin embargo, recuerde que, cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a los ángulos entre
Supongamos que tenemos un triángulo de
, que también puede describirse como un triángulo de
. Los lados tienen longitudes en la relación
Los lados de un triángulo de
, que también puede describirse como un triángulo de
, tienen longitudes en la relación
Estas relaciones se muestran en la .
A continuación, podemos utilizar el cociente de las longitudes laterales para evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales.
### Usar la cofunción igual de los complementos
Si observamos más detenidamente la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales con respecto al círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de
y
vemos que el seno de
a saber
es también el coseno de
mientras que el seno de
a saber
es también el coseno de
Vea la
Este resultado no debería sorprender porque, como observamos en la , el lado opuesto al ángulo de
es también el lado adyacente a
por lo que
y
son exactamente la misma proporción de los mismos dos lados,
y
De la misma manera,
y
también son la misma proporción con los mismos dos lados,
y
La interrelación entre el seno y el coseno de
y
también es válida para los dos ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo, ya que en todos los casos, el cociente de los dos mismos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Ya que los tres ángulos de un triángulo suman
y el ángulo rectángulo es
los dos ángulos restantes también deberán sumar
Esto significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos cualesquiera que sumen
; es decir, dos ángulos complementarios cualesquiera. Por lo tanto, podemos afirmar una identidad de la cofunción: Si dos ángulos cualesquiera son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Esta identidad se ilustra en la .
Con esta identidad podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de
es igual al coseno de
y que el seno de
es igual al coseno de
También podemos afirmar que si, para un determinado ángulo
entonces
también.
### Usar las funciones trigonométricas
En los ejemplos anteriores, hemos evaluado el seno y el coseno en triángulos en los que conocíamos los tres lados. No obstante, la verdadera potencia de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando observamos los triángulos en los que conocemos un ángulo, pero no conocemos todos los lados.
### Usar la trigonometría de triángulos rectángulos para resolver problemas aplicados
La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo permite hallar la altura de un objeto alto sin necesidad de subir a la parte superior o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Para ello, medimos la distancia desde la base del objeto hasta un punto del suelo situado a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión angular desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. Del mismo modo, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto por debajo de un observador con respecto a este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. Vea la .
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Podemos definir las funciones trigonométricas como cociente de las longitudes laterales de un triángulo rectángulo. Vea el .
2. Las mismas longitudes laterales pueden utilizarse para evaluar las funciones trigonométricas de cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Vea el .
3. Podemos evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales si conocemos las longitudes laterales de los triángulos en los que se producen. Vea el .
4. Dos ángulos complementarios cualesquiera podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
5. Si dos ángulos son complementarios, las identidades de la cofunción establecen que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa. Vea el .
6. Podemos utilizar las funciones trigonométricas de un ángulo para calcular las longitudes laterales desconocidas.
7. Seleccione la función trigonométrica que representa el cociente del lado desconocido con el lado conocido. Vea el .
8. La trigonometría del triángulo rectángulo permite medir alturas y distancias inaccesibles.
9. La altura o distancia desconocida se determina al crear un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida sea uno de los lados, en tanto que se conocen el otro lado y un ángulo. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, utilice cofunciones de ángulos complementarios.
En los siguientes ejercicios, halle longitudes laterales que faltan si el lado
es el ángulo opuesto
el lado
es el ángulo opuesto
y el lado
es la hipotenusa.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica del ángulo
En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica de ángulo
En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para medir la longitud de cada lado a cuatro decimales.
### Extensiones
### Aplicaciones en el mundo real
### Ejercicios de repaso
### Ángulos
En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en grados.
En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en radianes.
En los siguientes ejercicios, halle el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal con el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y
en radianes, que es coterminal con el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, dibuje el ángulo proporcionado en posición estándar en el plano cartesiano.
### Círculo unitario: funciones seno y coseno
### Las otras funciones trigonométricas
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión dada.
### Trigonometría de triángulos rectángulos
En los siguientes ejercicios, utilice las longitudes laterales para evaluar.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para medir las longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo.
En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica.
En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado.
### Prueba de práctica
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# Funciones periódicas
## Introducción
El sol ha desempeñado un papel fundamental en muchas religiones. La antigua cultura egipcia representaba al dios del sol, Ra (a veces escrito como Re), realizando un viaje diario en dos partes, una de ellas en el cielo (día) y la otra en el inframundo (noche). Surya, el dios hindú del sol, traza un camino similar a través del cielo en un carro tirado por siete caballos. Aunque sus orígenes y narrativas asociadas son bastante diferentes, tanto Ra como Surya son deidades primarias y se les considera creadores y preservadores de la vida. En muchas culturas indígenas, el sol es fundamental para la práctica espiritual y religiosa, pero no siempre es una deidad. La Danza del Sol, que realizan de forma diferente muchas tribus indígenas estadounidenses, era una ceremonia que generalmente rendía homenaje al sol y, en muchos casos, ponía a prueba o expresaba la fuerza de la tribu.
Como uno de los fenómenos naturales más prominentes y con su estrecha asociación a dar vida, el sol era un tema obvio de reverencia. Además, su regularidad, incluso en la antigüedad, lo convirtió en el principal determinante del tiempo. Cada día, el sol sale por el este, se aproxima a una altura máxima respecto al ecuador celeste y se pone por el oeste. El ecuador celeste es una línea imaginaria que divide el universo visible en dos mitades, del mismo modo que el ecuador de la Tierra es una línea imaginaria que divide el planeta en dos mitades. La trayectoria exacta que parece seguir el sol depende de la ubicación exacta en la Tierra, pero cada lugar observa un patrón predecible a lo largo del tiempo.
El patrón de movimiento del sol a lo largo de un año es una función periódica. Crear una representación visual de una función periódica en forma de gráfico nos permite analizar las propiedades de la función. En este capítulo, investigaremos los gráficos del seno, el coseno y otras funciones trigonométricas. |
# Funciones periódicas
## Gráficos de las funciones seno y coseno
La luz blanca, como la del sol, no es realmente blanca. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Cada uno de los colores se ve únicamente cuando la luz blanca pasa por un prisma óptico que separa las ondas según sus longitudes de onda para formar un arco iris.
Las ondas luminosas se representan gráficamente mediante la función seno. En el capítulo sobre Funciones trigonométricas, hemos examinado funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficos de las funciones seno y coseno.
### Graficar funciones seno y coseno
Recordemos que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas de la x y de la y de un punto en el círculo unitario. ¿Qué aspecto tienen en un gráfico en un plano de coordenadas? Empecemos con la función seno. Podemos crear una tabla de valores y utilizarla para dibujar un gráfico. La enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario.
Al trazar los puntos de la tabla y continuar a lo largo del eje x se obtiene la forma de la función seno. Vea la .
Obsérvese que los valores del seno son positivos entre 0 y
que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II del círculo unitario, y los valores del seno son negativos entre
y
que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV del círculo unitario. Vea la .
Ahora echemos un vistazo a la función coseno. Una vez más, podemos crear una tabla de valores y utilizarlos para trazar un gráfico. La enumera algunos de los valores de la función coseno en un círculo unitario.
Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear un gráfico de la función coseno como en la .
Dado que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores del seno y del coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, es evidente que el rango de ambas funciones deberá ser el intervalo
En ambos gráficos, la forma se repite después de
lo que significa que las funciones son periódicas con un período de
La función periódica es una función para la que un determinado desplazamiento horizontal, P, da como resultado una función igual a la función original
para todos los valores de
en el dominio de
Cuando esto ocurre, llamamos el menor desplazamiento horizontal de este tipo
, que es el periodo de la función. La muestra varios periodos de las funciones seno y coseno.
Observar de nuevo las funciones seno y coseno en un dominio centrado en el eje y sirve para revelar las simetrías. Como podemos ver en la , la función seno es simétrica respecto al origen. Recordemos que en Las otras funciones trigonométricas determinamos a partir del círculo unitario que la función seno es una función impar porque
Ahora podemos ver claramente esta propiedad en el gráfico.
La muestra que la función coseno es simétrica respecto al eje y. De nuevo, determinamos que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en el gráfico que
### Investigar funciones sinusoidales
Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y un rango regulares. Si observamos las olas del mar o las ondas de un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticas. Algunas son más altas o más largas que otras. Una función con la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal. Las formas generales de las funciones sinusoidales son:
### Determinar el periodo de las funciones sinusoidales
Al observar las formas de las funciones sinusoidales, nos damos cuenta de que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las transformaciones para determinar el periodo.
En la fórmula general,
se relaciona con el periodo por
Si
entonces el periodo es menor que
y la función sufre una compresión horizontal, mientras que, si
entonces el periodo es mayor que
y la función sufre un estiramiento horizontal. Por ejemplo,
por lo que el periodo es
que ya conocíamos. Si los valores de
entonces
por lo que el periodo es
y el gráfico se comprime. Si los valores de
entonces
por lo que el periodo es
y el gráfico se estira. Observe en la cómo el periodo se relaciona indirectamente con
### Determinar la amplitud
Volviendo a la fórmula general de una función sinusoidal, hemos analizado cómo la variable
se refiere al periodo. Ahora pasemos a la variable
por lo que podemos analizar cómo se relaciona con la amplitud, o mayor distancia desde el reposo.
representa el factor de estiramiento vertical, y su valor absoluto
es la amplitud. El máximo local será una distancia
por encima de la línea media horizontal del gráfico, que es la línea
porque
en este caso, la línea media, es el eje x. Los mínimos locales estarán a la misma distancia por debajo de la línea media. Si los valores de
la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de
es el doble de la amplitud de
Si
la función se comprime. La compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes.
### Analizar los gráficos de las variaciones de y = sen x y de y = cos x
Ahora, que entendemos cómo
y
se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables
y
Recordemos la forma general:
El valor
para una función sinusoidal se denomina desplazamiento de fase, o el desplazamiento horizontal de la función básica del seno o del coseno. Si los valores de
el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si los valores de
el gráfico se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de
más se desplazará el gráfico. La muestra que el gráfico de
se desplaza hacia la derecha en
unidades, que es más de lo que vemos en el gráfico de
que se desplaza hacia la derecha en
unidades.
Mientras que
se refiere al desplazamiento horizontal,
indica el desplazamiento vertical desde la línea media en la fórmula general de una función sinusoidal. Vea la . La función
tiene su línea media en
Cualquier valor de
distinto de cero desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. La compara
con la
que se desplaza 2 unidades hacia arriba en un gráfico.
### Graficar las variaciones de y = sen x y de y = cos x
A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos utilizar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones.
En lugar de centrarnos en las ecuaciones de forma general
supondremos que
y
y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones en los siguientes ejemplos.
### Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno
Podemos utilizar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse con la función seno o coseno.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Las funciones periódicas se repiten a partir de un valor determinado. El valor más pequeño es el periodo. Las funciones básicas seno y coseno tienen un periodo de
2. La función
es impar, por lo que su gráfico es simétrico respecto al origen. La función
es par, por lo que su gráfico es simétrico con respecto al eje y.
3. El gráfico de una función sinusoidal tiene la misma forma general que una función seno o coseno.
4. En la fórmula general de una función sinusoidal, el periodo es
Vea el .
5. En la fórmula general de una función sinusoidal,
representa la amplitud. Si los valores de
la función se estira, mientras que si
la función se comprime. Vea el .
6. El valor
en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento de fase. Vea el .
7. El valor
en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento vertical desde la línea media. Vea el .
8. Las combinaciones de variaciones de funciones sinusoidales se determinan a partir de una ecuación. Vea el .
9. La ecuación de una función sinusoidal se determina a partir de un gráfico. Vea el y el .
10. Una función se puede graficar al identificar su amplitud y su periodo. Vea el y el .
11. Una función también se puede graficar al identificar su amplitud, periodo, desplazamiento de fase y desplazamiento horizontal. Vea el .
12. Las funciones sinusoidales pueden utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el , el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos de cada función e indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para
Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.
En los siguientes ejercicios, grafique un periodo completo de cada función, empezando por
Para cada función, indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para
Indique el desplazamiento de fase y la traslación vertical, si procede. Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario.
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, supongamos que
En los siguientes ejercicios, supongamos que
### En tecnología
### Aplicaciones en el mundo real
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# Funciones periódicas
## Gráficos de las otras funciones trigonométricas
Sabemos que la función tangente puede utilizarse para calcular distancias, como la altura de un edificio, de una montaña o de un asta de bandera. Sin embargo, ¿qué pasa si queremos medir repeticiones de la distancia? Imagine, por ejemplo, un camión de bomberos estacionado junto a un almacén. La luz giratoria del camión recorría la pared del almacén a intervalos regulares. Si la entrada es el tiempo, la salida sería la distancia que recorre el haz de luz. El haz de luz repetiría la distancia a intervalos regulares. La función tangente puede utilizarse para calcular aproximadamente esta distancia. Se necesitarían asíntotas para ilustrar los ciclos repetidos cuando el haz de luz corre paralelo a la pared porque, aparentemente, se extiende eternamente. El gráfico de la función tangente ilustraría claramente los intervalos repetidos. En esta sección, exploraremos los gráficos de la tangente y otras funciones trigonométricas.
### Analizar el gráfico de y = tan x
Comenzaremos con el gráfico de la función tangente, al trazar los puntos como hicimos con las funciones seno y coseno. Recordemos que
El periodo de la función tangente es
porque el gráfico se repite en intervalos de
donde
es una constante. Si graficamos la función tangente en
con
podemos ver el comportamiento del gráfico en un ciclo completo. Si observamos cualquier intervalo mayor, veremos que las características del gráfico se repiten.
Podemos determinar si la tangente es una función par o impar mediante la definición de tangente.
Por lo tanto, la tangente es una función impar. Podemos analizar aún más el comportamiento gráfico de la función tangente al observar los valores de algunos de los ángulos especiales, como se indica en la .
Estos puntos nos ayudarán a dibujar nuestro gráfico, pero tenemos que determinar cómo se comporta el gráfico donde es indefinido. Si nos fijamos más en los valores cuando
podemos utilizar una tabla para determinar una tendencia. Dado que
y
evaluaremos
en las medidas del radián
como se muestra en la .
A medida que
se aproxima a
las salidas de la función aumentan cada vez más. Dado que
es una función impar, vemos la correspondiente tabla de valores negativos en la .
Podemos ver que, a medida que
se acerca a
las salidas son cada vez menores. Recuerde que hay algunos valores de
para los cuales
Por ejemplo,
y
En estos valores, la función tangente es indefinida, por lo que el gráfico de
tiene discontinuidades en
En estos valores, el gráfico de la tangente tiene asíntotas verticales. La representa el gráfico de
La tangente es positiva desde 0 hasta
y de
con
correspondientes a los cuadrantes I y III del círculo unitario.
### Graficar las variaciones de y = tan x
Al igual que las funciones seno y coseno, la función tangente puede describirse mediante una ecuación general.
Podemos identificar el estiramiento y la compresión horizontal y vertical con los valores de
y
El estiramiento horizontal se determina normalmente a partir del periodo del gráfico. En el caso de los gráficos tangentes, a menudo es necesario determinar el estiramiento vertical con un punto del gráfico.
Ddao que no hay valores máximos ni mínimos de una función tangente, el término amplitud no puede interpretarse como en el caso de las funciones seno y coseno. En su lugar, utilizaremos la expresión factor de estiramiento/compresión cuando nos refiramos a la constante
### Graficar el período de una función tangente estirada o comprimida
Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las propiedades de la función tangente para trazar rápidamente el gráfico de cualquier función tangente estirada o comprimida de la forma
Nos centramos en un único periodo de la función que incluye el origen, porque la propiedad periódica nos permite extender el gráfico al resto del dominio de la función, si lo deseamos. Nuestro dominio limitado es entonces el intervalo
y el gráfico tiene asíntotas verticales en
donde
En
el gráfico saldrá de la asíntota izquierda en
pasará por el origen y seguirá aumentando a medida que se acerque a la asíntota de la derecha en
Para que la función se acerque a las asíntotas a la velocidad correcta, también tenemos que establecer la escala vertical al evaluar realmente la función para al menos un punto por el que pasará el gráfico. Por ejemplo, podemos utilizar
porque
### Graficar un periodo de una función tangente desplazada
Ahora, que podemos graficar una función tangente estirada o comprimida, añadiremos un desplazamiento vertical u horizontal (o de fase). En este caso, añadimos
y
a la forma general de la función tangente.
El gráfico de una función tangente transformada es diferente de la función tangente básica
de varias maneras:
### Analizar los gráficos de y = sec x y de y = cscx
La secante fue definida por la identidad recíproca
Observe que la función es indefinida cuando el coseno es 0, lo que lleva a las asíntotas verticales en
etc. Ya que el coseno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la secante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto.
Podemos graficar
al observar el gráfico de la función coseno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del coseno se muestra como una onda naranja punteada para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función coseno disminuye, el de la función secante aumenta. Donde el gráfico de la función coseno aumenta, el de la función secante disminuye. Cuando la función coseno es cero, la secante es indefinida.
El gráfico de la secante tiene asíntotas verticales en cada valor de
donde el gráfico del coseno cruza el eje x; esto lo mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas, pero no mostraremos todas las asíntotas explícitamente en todos los gráficos posteriores que impliquen la secante y la cosecante.
Observe que, debido a que el coseno es una función par, la secante también lo es. Eso es,
Al igual que en el caso de la función tangente, volveremos a referirnos a la constante
como el factor de estiramiento, no la amplitud.
Al igual que la secante, la cosecante se define por la identidad recíproca
Observe que la función es indefinida cuando el seno es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en
etc. Dedo que el seno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la cosecante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto.
Podemos graficar
al observar el gráfico de la función seno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del seno se muestra como una onda naranja discontinua para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función seno disminuye, el gráfico de la función cosecante aumenta. Donde el gráfico de la función seno aumenta, el gráfico de la función cosecante disminuye.
El gráfico de la cosecante tiene asíntotas verticales en cada valor de
donde el gráfico del seno cruza el eje x; los mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas.
Observe que, debido a que el seno es una función impar, la función cosecante también lo es. Eso es,
El gráfico de la cosecante, que se muestra en la , es similar al gráfico de la secante.
### Graficar las variaciones de y = sec x y de y=csc x
En las versiones desplazadas, comprimidas o estiradas de las funciones secante y cosecante, podemos seguir métodos semejantes a los que utilizamos para la tangente y la cotangente. Es decir, localizamos las asíntotas verticales y también evaluamos las funciones para algunos puntos (concretamente los extremos locales). Si queremos graficar un solo periodo, podemos elegir el intervalo para el periodo en más de una manera. El procedimiento para la secante es muy similar, porque la identidad de la cofunción significa que el gráfico de la secante es el mismo que el de la cosecante desplazada medio periodo hacia la izquierda. Los desplazamientos verticales y de fase pueden aplicarse a la función cosecante de la misma manera que para la secante y otras funciones. Las ecuaciones se convierten en las siguientes.
### Analizar el gráfico de y = cot x
La última función trigonométrica que debemos explorar es la cotangente. La cotangente se define por la identidad recíproca
Observe que la función es indefinida cuando la función tangente es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en
etc. Dado que la salida de la función tangente abarca números reales, la salida de la función cotangente también abarca números reales.
Podemos graficar
al observar el gráfico de la función tangente porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . Donde el gráfico de la función tangente disminuye, el gráfico de la función cotangente aumenta. Donde el gráfico de la función tangente aumenta, el gráfico de la función cotangente disminuye.
El gráfico de la cotangente tiene asíntotas verticales en cada valor de
donde
los mostramos en el siguiente gráfico con líneas discontinuas. Dado que la cotangente es la recíproca de la tangente,
tiene asíntotas verticales en todos los valores de
donde
y
en todos los valores de
donde
tiene sus asíntotas verticales.
### Graficar las variaciones de y = cot x
Podemos transformar el gráfico de la cotangente de forma muy parecida a como lo hicimos con la tangente. La ecuación se convierte en la siguiente.
### Usar los gráficos de las funciones trigonométricas para resolver problemas del mundo real
Muchas situaciones en el mundo real representan funciones periódicas y pueden modelarse con funciones trigonométricas. Como ejemplo, volvamos a la situación que se describió al inicio de la sección. ¿Ha observado alguna vez el haz formado por la luz giratoria de un camión de bomberos y se ha preguntado por el movimiento del propio haz de luz a través de la pared? El comportamiento periódico de la distancia a la que brilla la luz en función del tiempo es evidente, pero ¿cómo determinamos la distancia? Podemos utilizar la función tangente.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. La función tangente tiene periodo
2.
es una tangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el , el y el .
3. La secante y la cosecante son funciones periódicas con un periodo de
da un gráfico de la función secante desplazada, comprimida o estirada. Vea el y el .
4.
da un gráfico de la función cosecante desplazada, comprimida o estirada. Vea el y el .
5. La función cotangente tiene periodo
y asíntotas verticales en
6. El rango de la cotangente es
y la función es decreciente en cada punto de su rango.
7. La cotangente es cero en
8.
es una cotangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el y el .
9. Las situaciones del mundo real se pueden resolver con los gráficos de las funciones trigonométricas. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, coteje cada función trigonométrica con uno de los siguientes gráficos.
En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada una de las funciones.
En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión de forma que el argumento
es positivo.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, trace dos periodos del gráfico de cada una de las siguientes funciones. Identifique el factor de estiramiento, el período y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, halle y grafique dos periodos de la función periódica con el factor de estiramiento dado,
periodo, y desplazamiento de fase.
En los siguientes ejercicios, halle una ecuación para el gráfico de cada función.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para graficar dos periodos de la función dada. Nota: La mayoría de las calculadoras gráficas no tienen un botón de cosecante; por lo tanto, tendrá que introducir
cuando
### Aplicaciones en el mundo real
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# Funciones periódicas
## Funciones trigonométricas inversas
Para cualquier triángulo rectángulo, dados otro ángulo y la longitud de un lado, podemos averiguar cuáles son los otros ángulos y lados. Sin embargo, ¿qué pasa si nos dan solo dos lados de un triángulo rectángulo? Necesitamos un procedimiento que nos lleve de un cociente de lados a un ángulo. Aquí es donde entra en juego la noción de inversa de la función trigonométrica. En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas.
### Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente
Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que estas "deshacen" lo que la función trigonométrica original "hace", como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la .
Por ejemplo, si
entonces escribiríamos
Tenga en cuenta que
no significa
Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas:
1. Dado que
entonces
2. Dado que
entonces
3. Dado que
entonces
En las secciones anteriores, evaluamos las funciones trigonométricas en diversos ángulos, pero a veces necesitamos saber qué ángulo daría un valor específico de seno, coseno o tangente. Para ello, necesitamos funciones inversas. Recordemos que, para una función biunívoca, si
entonces una función inversa satisfaría
Tenga en cuenta que las funciones seno, coseno y tangente no son biunívocas. El gráfico de cada función no pasaría la prueba de la línea horizontal. De hecho, ninguna función periódica puede ser biunívoca porque cada salida en su rango corresponde al menos a una entrada en cada periodo, y hay un número infinito de periodos. Al igual que con otras funciones que no son biunívocas, tendremos que restringir el dominio de cada función para obtener una nueva función que sea biunívoca. Elegimos un dominio para cada función que incluya el número 0. La muestra el gráfico de la función seno limitada a
y el gráfico de la función coseno limitada a
La muestra el gráfico de la función tangente limitada a
Estas opciones convencionales para el dominio restringido son algo arbitrarias, pero tienen características importantes y útiles. Cada dominio incluye el origen y algunos valores positivos y, lo que es más importante, cada uno da lugar a una función biunívoca que puede invertirse. La elección convencional para el dominio restringido de la función tangente también tiene la útil propiedad de que se extiende de una asíntota vertical a la siguiente en lugar de estar dividida en dos partes por una asíntota.
En estos dominios restringidos, podemos definir las funciones trigonométricas inversas.
1. La función seno inversa
significa
La función seno inversa se denomina a veces función arcoseno, y se anota
2. La función coseno inversa
significa
La función coseno inversa se denomina a veces función arcocoseno, y se anota
3. La función tangente inversa
significa
La función tangente inversa se denomina a veces función arcotangente, y se anota
Los gráficos de las funciones inversas se muestran en la , la y la . Observe que la salida de cada una de estas funciones inversas es un número, un ángulo en medida de radianes. Vemos que
tiene dominio
y rango
tiene dominio
y rango
y
tiene el dominio de todos los números reales y el rango
Para hallar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas, cambie el dominio y el rango de las funciones originales. Cada gráfico de la función trigonométrica inversa es una reflexión del gráfico de la función original con respecto a la recta
### Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas de seno, coseno y tangente
Ahora que podemos identificar las funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas utilizando una calculadora, interpolando a partir de una tabla o utilizando alguna otra técnica numérica. Al igual que hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos de las funciones inversas cuando utilizamos los ángulos especiales, concretamente
(30°),
(45°) y
(60°), y sus reflexiones en otros cuadrantes.
### Usar la calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas
Para evaluar las funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales antes mencionados, necesitaremos una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones que las emulan tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden marcarse, por ejemplo, SIN
, ARCSIN o ASIN.
En el capítulo anterior, trabajamos con la trigonometría en un triángulo rectángulo para resolver los lados de un triángulo dados un lado y un ángulo adicional. Al utilizar las funciones trigonométricas inversas, podemos resolver los ángulos de un triángulo rectángulo dados dos lados, y podemos utilizar una calculadora para hallar los valores con varios decimales.
En estos ejemplos y ejercicios, las respuestas se interpretarán como ángulos y utilizaremos
como la variable independiente. El valor que se muestra en la calculadora puede estar en grados o en radianes, por lo que hay que asegurarse de establecer el modo apropiado para la aplicación.
### Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas
A veces necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, normalmente podemos hallar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a la calculadora. Incluso cuando la entrada de la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos hallar una expresión para la salida. Para clasificar los diferentes casos, supongamos que
y
son dos funciones trigonométricas diferentes pertenecientes al conjunto
y supongamos que
y
son sus inversos.
### Evaluar composiciones de la forma f(f−1(y)) and f−1(f(x))
Para cualquier función trigonométrica,
para todos los
en el dominio adecuado para la función dada. Esto se deduce de la definición de la inversa y del hecho de que el rango de
se definió como idéntico al dominio de
Sin embargo, tenemos que ser un poco más cuidadosos con las expresiones de la forma
### Evaluar composiciones de la forma f−1(g(x))
Ahora que podemos componer una función trigonométrica con su inversa, podemos explorar cómo evaluar la composición de una función trigonométrica y la inversa de otra función trigonométrica. Comenzaremos con composiciones de la forma
Para valores especiales de
podemos evaluar exactamente la función interior y luego la exterior, la función inversa. Sin embargo, podemos encontrar un enfoque más general al considerar la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, donde uno es
lo que hace que el otro sea
Considere el seno y el coseno de cada ángulo del triángulo rectángulo en la .
Dado que
tenemos
si
Si
no está en este dominio, entonces tenemos que encontrar otro ángulo que tenga el mismo coseno que
y sí pertenece al dominio restringido; entonces restamos este ángulo de
De la misma manera,
por lo que
si
Estas son apenas las relaciones función-cofunción presentadas de otra manera.
### Evaluar composiciones de la forma f(g−1(x))
Para evaluar composiciones de la forma
donde
y
son dos funciones cualesquiera de seno, coseno o tangente y
es cualquier entrada en el dominio de
tenemos fórmulas exactas, como
Cuando necesitemos utilizarlas, podemos derivar estas fórmulas mediante el empleo de las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, junto con el uso de la relación de Pitágoras entre las longitudes de los lados. Podemos utilizar la identidad pitagórica,
para resolver una cuando se le da la otra. También podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas para hallar composiciones que impliquen expresiones algebraicas.
### Conceptos clave
1. La función inversa es aquella que "deshace" otra función. El dominio de la función inversa es el rango de la función original, mientras que el rango de la función inversa es el dominio de la función original.
2. Dado que las funciones trigonométricas no son biunívocas en sus dominios naturales, las funciones trigonométricas inversas se definen para dominios restringidos.
3. Para cualquier función trigonométrica
si
entonces
Sin embargo, el que
solo implica
si
está en el dominio restringido de
Vea el .
4. Los ángulos especiales son las salidas de las funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales; por ejemplo,
Vea el .
5. Una calculadora devolverá un ángulo dentro del dominio restringido de la función trigonométrica original. Vea el .
6. Las funciones inversas nos permiten hallar un ángulo cuando se dan dos lados de un triángulo rectángulo. Vea el .
7. En la composición de funciones, si la función interior es una función trigonométrica inversa, existen expresiones exactas; por ejemplo
Vea el .
8. Si la función interior es una función trigonométrica, las únicas combinaciones posibles son
si
y
si
Vea el y el .
9. Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, dibuje un triángulo de referencia para determinar el cociente de lados que represente la salida de la función trigonométrica. Vea el .
10. Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, puede utilizar las identidades trigonométricas para determinar el cociente de los lados. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Exprese las respuestas a la centésima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle el ángulo
en el triángulo rectángulo dado. Redondee las respuestas a la centésima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto, si es posible, sin calculadora. Si no es posible, explique por qué.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión en términos de
con la ayuda de un triángulo de referencia.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión sin utilizar la calculadora. Indique el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, halle la función si
### Gráficos
### Aplicaciones en el mundo real
### Ejercicios de repaso del capítulo
### Gráficos de las funciones seno y coseno
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.
### Gráficos de las demás funciones trigonométricas
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos. Identifique el periodo, el desplazamiento de fase, la amplitud y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población de una ciudad ha subido y bajado en un intervalo de 20 años. Su población puede modelarse con la siguiente función
donde el dominio son los años desde 1980 y el rango es la población de la ciudad.
En los siguientes ejercicios, supongamos que un peso está unido a un resorte y se balancea hacia arriba y hacia abajo, en una demostración de simetría.
### Funciones trigonométricas inversas
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto sin ayuda de la calculadora.
### Prueba de práctica del capítulo
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada función para dos periodos completos. Determine la amplitud, el periodo y la ecuación de la línea media.
En los siguientes ejercicios, determine la amplitud, el periodo y la línea media del gráfico; luego halle una fórmula para la función.
En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y la línea media.
En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada función.
En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en la ventana especificada y responda las preguntas.
En los siguientes ejercicios, supongamos que
En los siguientes ejercicios, halle y grafique un periodo de la función periódica con la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase dados.
En los siguientes ejercicios, grafique la función. Describa el gráfico y, en su caso, cualquier comportamiento periódico, amplitud, asíntotas o puntos indefinidos.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, supongamos
Evalúe las siguientes expresiones.
En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación es verdadera o falsa. |
# Identidades trigonométricas y ecuaciones
## Introducción
Las matemáticas están en todas partes, incluso en lugares que no reconocemos inmediatamente. Por ejemplo, las relaciones matemáticas describen la transmisión de imágenes, luz y sonido. El gráfico sinusoidal de la figura anterior representa la música que se reproduce en el teléfono, la radio o la computadora. Estos gráficos se describen mediante ecuaciones y funciones trigonométricas. En este capítulo, abordamos cómo manipular ecuaciones trigonométricas algebraicamente mediante la aplicación de varias fórmulas e identidades trigonométricas. También investigaremos algunas de las formas en que se utilizan las ecuaciones trigonométricas para modelar fenómenos de la vida real. |
# Identidades trigonométricas y ecuaciones
## Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica. Al igual que un espía elige un pasaporte italiano cuando viaja a Italia, nosotros elegimos la identidad que se aplica al escenario dado cuando resolvemos una ecuación trigonométrica.
En esta sección, comenzaremos un examen de las identidades trigonométricas fundamentales, incluso cómo podemos verificarlas y utilizarlas para simplificar expresiones trigonométricas.
### Verificar las identidades trigonométricas fundamentales
Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se escribe de muchas maneras.
Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas, las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente.
Comenzaremos con las identidades pitagóricas (vea la ), que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. Esta vez también utilizaremos otras identidades.
La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. La identidad
se halla al reescribir el lado izquierdo de la ecuación en términos de seno y coseno.
Compruebe:
De la misma manera,
se obtiene al reescribir el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Esto da
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. (Vea la ).
Recordemos que la función impar es aquella en la que
para todo
en el dominio de
La función seno es una función impar porque
El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Por ejemplo, consideremos las entradas correspondientes de
y
La salida de
es opuesta a la salida de
Así,
Esto se muestra en la .
Recordemos que la función par es aquella en la que
El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y. La función coseno es una función par porque
Por ejemplo, considere las entradas correspondientes
y
La salida de
es la misma que la salida de
Por lo tanto,
Vea la .
Para todos
en el dominio de las funciones seno y coseno, respectivamente, podemos afirmar lo siguiente:
1. Dado que
seno es una función impar.
2. Dado que,
coseno es una función par.
Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, consideremos la identidad tangente,
Podemos interpretar la tangente de un ángulo negativo como
La tangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que
para todos los
en el dominio de la función tangente.
La identidad cotangente,
también se deduce de las identidades del seno y del coseno. Podemos interpretar la cotangente de un ángulo negativo como
La cotangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que
para todos los
en el dominio de la función cotangente.
La función cosecante es la recíproca de la función seno, lo que significa que la cosecante de un ángulo negativo se interpretará como
La función cosecante es, por tanto, impar.
Por último, la función secante es la recíproca de la función coseno, y la secante de un ángulo negativo se interpreta como
La función secante es, por tanto, par.
En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares. Las otras cuatro funciones son impares, que verifican las identidades pares-impares.
El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas, que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. Vea la .
El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente, que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades. Vea la .
Las identidades recíproca y de cociente se derivan de las definiciones de las funciones trigonométricas básicas.
### Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas
Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. Estar familiarizado con las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas.
Por ejemplo, la ecuación
se parece a la ecuación
que utiliza la forma factorizada de la diferencia de cuadrados. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar. Podemos llevar cada factor igual a cero y resolver. Este es un ejemplo de reconocimiento de patrones algebraicos en expresiones o ecuaciones trigonométricas.
Otro ejemplo es la fórmula de la diferencia de cuadrados,
que se utiliza ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física. También podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. El uso de propiedades y fórmulas algebraicas facilita la comprensión y resolución de muchas ecuaciones trigonométricas.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Hay varias maneras de representar una expresión trigonométrica. La verificación de las identidades ilustra cómo se pueden reescribir las expresiones para simplificar un problema.
2. El gráfico de ambos lados de una identidad la verificará. Vea el .
3. Simplificar un lado de la ecuación para que sea igual al otro lado es otro método para verificar una identidad. Vea el y el .
4. El enfoque para verificar una identidad depende de su naturaleza. A menudo conviene empezar por el lado más complejo de la ecuación. Vea el .
5. Podemos crear una identidad al simplificar una expresión y luego verificarla. Vea el .
6. La verificación de una identidad implicaría el álgebra con las identidades fundamentales. Vea el y el .
7. Se pueden utilizar técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. A lo largo de este texto utilizamos técnicas algebraicas, ya que consisten en las reglas fundamentales de las matemáticas. Vea el , el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, utilice las identidades fundamentales para simplificar completamente la expresión.
En los siguientes ejercicios, simplifique la primera expresión trigonométrica al escribir la forma simplificada en términos de la segunda expresión.
En los siguientes ejercicios, verifique la identidad.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, demuestre o refute la identidad.
En los siguientes ejercicios, determine si la identidad es verdadera o falsa. Si es falso, halle una expresión equivalente apropiada. |
# Identidades trigonométricas y ecuaciones
## Identidades de suma y resta
¿Cómo se mide la altura de una montaña? ¿Cómo se mide la distancia de la Tierra al Sol? Al igual que muchos problemas aparentemente imposibles, nos basamos en fórmulas matemáticas para dar con las respuestas. Las identidades trigonométricas, que se utilizan comúnmente en las pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluso para medir grandes distancias.
Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950. Sin embargo, los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las enunciaron en términos de cuerdas. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores introducidos en las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones.
En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Tenga en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se utiliza como sinónimo de la palabra identidad.
### Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno
Hallar el valor exacto del seno, del coseno o de la tangente de un ángulo suele ser más fácil si reescribimos el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos utilizar los ángulos especiales, que podemos repasar en el círculo unitario, el cual se muestra en la .
Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno, de forma de hallar el coseno de un ángulo dado si podemos descomponerlo en la suma o resta de dos de los ángulos especiales. Vea la .
En primer lugar, demostraremos la fórmula de la diferencia para el coseno. Consideremos dos puntos en el círculo unitario. Vea la . El punto
está en ángulo
desde el eje x positivo con coordenadas
y punto
está en un ángulo de
desde el eje x positivo con coordenadas
Observe la medida del ángulo
es
Marque dos puntos más:
en un ángulo de
desde el eje x positivo con coordenadas
y punto
con coordenadas
El triángulo
es una rotación del triángulo
y, por ende, la distancia de
con
es la misma que la distancia de
hasta
Podemos determinar la distancia de
con
con la fórmula de la distancia.
Luego aplicamos la identidad pitagórica y simplificamos.
Del mismo modo, con la fórmula de la distancia podemos medir la distancia de
hasta
Aplicando la identidad pitagórica y simplificando obtenemos:
Dado que las dos distancias son las mismas, las igualamos y simplificamos.
Por último, restamos
de ambos lados y dividimos ambos lados entre
Así, tenemos la fórmula de diferencia para el coseno. Podemos utilizar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos.
### Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno
Las fórmulas de suma y diferencia para el seno pueden derivarse de la misma manera que las del coseno, y se parecen a las fórmulas del coseno.
### Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente
Hallar los valores exactos de la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado. No obstante, cabe recalcar que es cuestión de reconocer el patrón.
Hallar la fórmula de la suma de dos ángulos para la tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de la suma para el seno y el coseno y simplificar. Recuerde,
Derivemos la fórmula de la suma para la tangente.
Podemos derivar la fórmula de la diferencia para la tangente de forma similar.
### Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones
Ahora que hallamos las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de los ángulos, podemos utilizarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Recordará de la Trigonometría de triángulos rectángulos que, si la suma de dos ángulos positivos es
esos dos ángulos son complementarios, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es
por lo que también son complementos. En la , observe que, si uno de los ángulos agudos se marca como
entonces el otro ángulo agudo debe marcarse
Observe también que
opuesto sobre la hipotenusa. Así, cuando dos ángulos son complementarios, podemos enunciar que el seno de
es igual a la cofunción del complemento de
Del mismo modo, la tangente y la cotangente son cofunciones, y la secante y la cosecante son cofunciones.
A partir de estas relaciones, se forman las identidades de cofunción.
Observe que las fórmulas de la tabla también pueden justificarse algebraicamente mediante las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, utilizando
podemos escribir
### Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades
Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Ayuda estar bastante familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se trabajan los problemas. Repasar las reglas generales de Resolución de ecuaciones trigonométricas con identidades simplifica la verificación de identidad.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. La fórmula de la suma para el coseno establece que el coseno de la suma de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos menos el producto del seno de los ángulos. La fórmula de la diferencia para el coseno establece que el coseno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos más el producto del seno de los ángulos.
2. Las fórmulas de suma y diferencia pueden utilizarse para determinar los valores exactos del seno, coseno o tangente de un ángulo. Vea el y el .
3. La fórmula de la suma para el seno establece que el seno de la suma de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo más el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. La fórmula de la diferencia para el seno establece que el seno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo menos el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. Vea el .
4. Las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno también pueden utilizarse para las funciones trigonométricas inversas. Vea el .
5. La fórmula de la suma para la tangente establece que la tangente de la suma de dos ángulos es igual a la suma de la tangente de los ángulos dividida entre 1 menos el producto de la tangente de los ángulos. La fórmula de la diferencia para la tangente establece que la tangente de la diferencia de dos ángulos es igual a la diferencia de las tangentes de los ángulos dividida entre 1 más el producto de la tangente de los ángulos. Vea el .
6. El teorema de Pitágoras, junto con las fórmulas de suma y diferencia, se utiliza para hallar varias sumas y diferencias de ángulos. Vea el .
7. Las identidades de cofunción se aplican a los ángulos complementarios y a los pares de funciones recíprocas. Vea el .
8. Las fórmulas de suma y diferencia son útiles para verificar las identidades. Vea el y el .
9. Los problemas de aplicación suelen ser más fáciles de resolver con las fórmulas de suma y diferencia. Vea el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, reescriba en términos de
y
En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, halle la información solicitada.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión y luego grafique ambas expresiones como funciones para verificar que los gráficos sean idénticos.
En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar si las funciones son iguales o diferentes. Si son iguales, demuestre por qué. Si son diferentes, sustituya la segunda función por una idéntica a la primera. (Pista: piense en
).
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto algebraicamente y luego confirme la respuesta con una calculadora hasta el cuarto decimal.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades proporcionadas.
En los siguientes ejercicios, demuestre o refute los enunciados. |
# Identidades trigonométricas y ecuaciones
## Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción
Las rampas para bicicletas hechas para la competición (ver la ) deben variar en altura, dependiendo del nivel de habilidad de los competidores. Para los competidores avanzados, el ángulo formado por la rampa y el suelo debe ser
de manera que
El ángulo se divide en dos para los principiantes. ¿Cuál es la inclinación de la rampa para los principiantes? En esta sección, investigaremos tres categorías adicionales de identidades que podemos utilizar para responder a preguntas como esta.
### Usar fórmulas del ángulo doble para hallar valores exactos
En el apartado anterior, utilizamos fórmulas de suma y resta de funciones trigonométricas. Ahora, repasamos esas mismas fórmulas. Las fórmulas del ángulo doble son un caso especial de las fórmulas de suma, donde
La derivación de la fórmula del ángulo doble del seno comienza con la fórmula de la suma,
Supongamos que
entonces tenemos
La derivación del ángulo doble para el coseno nos brinda tres opciones. Primero, partiendo de la fórmula de la suma,
y suponiendo que
tenemos
Con las propiedades pitagóricas podemos ampliar esta fórmula de ángulo doble para el coseno y obtener otras dos interpretaciones. La primera es:
La segunda interpretación es:
Del mismo modo, para derivar la fórmula del ángulo doble para la tangente, al sustituir
en la fórmula de la suma da
### Usar fórmulas del ángulo doble para verificar identidades
El establecimiento de las identidades mediante las fórmulas del ángulo doble se realiza con los mismos pasos que utilizamos para derivar las fórmulas de suma y la diferencia. Elija el lado más complicado de la ecuación y reescríbala hasta que coincida con el otro lado.
### Usar fórmulas de reducción para simplificar una expresión
Las fórmulas del ángulo doble se pueden utilizar para derivar las fórmulas de reducción, las cuales podemos utilizar para reducir la potencia de una expresión dada que implique potencias pares de seno o coseno. Nos permiten reescribir las potencias pares del seno o del coseno en términos de la primera potencia del coseno. Estas fórmulas son especialmente importantes en los cursos de matemáticas de nivel superior, el cálculo en particular. También llamadas fórmulas de reducción de potencia, se incluyen tres identidades que se derivan fácilmente de las fórmulas del ángulo doble.
Podemos utilizar dos de las tres fórmulas del ángulo doble del coseno para derivar las fórmulas de reducción del seno y del coseno. Comencemos con
Resuelva para
A continuación, utilizamos la fórmula
Resuelva para
La última fórmula de reducción se deriva al escribir la tangente en términos de seno y coseno:
### Usar fórmulas del ángulo medio para calcular valores exactos
El siguiente conjunto de identidades es el de las fórmulas del ángulo mitad, que pueden derivarse de las fórmulas de reducción y que podemos utilizar cuando tenemos un ángulo que sea la mitad de un ángulo especial. Si sustituimos
con la
la fórmula del ángulo medio para el seno se determina al simplificar la ecuación y resolver para
Observe que las fórmulas del ángulo medio van precedidas del signo
Esto no significa que tanto las expresiones positivas como las negativas son válidas. Más bien, depende del cuadrante en el que
termina.
La fórmula del semicírculo del seno se obtiene como sigue:
Para derivar la fórmula del ángulo medio para el coseno, tenemos
Para la identidad tangente, tenemos
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Las identidades de ángulo doble se derivan de las fórmulas de suma de las funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente. Vea el , el , el y el .
2. Las fórmulas de la reducción son especialmente útiles en el cálculo, ya que nos permiten reducir la potencia del término trigonométrico. Vea el y el .
3. Las fórmulas de ángulo medio nos permiten calcular el valor de las funciones trigonométricas que implican el ángulo medio, tanto si se conoce el ángulo original como si no. Vea el , el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a)
b)
y c)
sin resolver para
En los siguientes ejercicios, calcule los valores de las seis funciones trigonométricas si se cumplen las condiciones previstas.
En los siguientes ejercicios, simplifique a una expresión trigonométrica.
En los siguientes ejercicios, calcule el valor exacto con las fórmulas de ángulo medio.
En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a)
b)
y c)
sin resolver para
cuando
En los siguientes ejercicios, utilice la para hallar los ángulos medios y los ángulos doble solicitados.
En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión. No evalúe.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad dada.
En los siguientes ejercicios, reescriba la expresión con un exponente no mayor a 1.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, reduzca las ecuaciones a potencias de uno y luego compruebe la respuesta gráficamente.
En los siguientes ejercicios, halle algebraicamente una función equivalente, solo en términos de
o
y luego compruebe la respuesta al graficar ambas ecuaciones.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades. |
# Identidades trigonométricas y ecuaciones
## Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que anima al público. Ese sonido viaja como una onda que puede interpretarse mediante funciones trigonométricas. Por ejemplo, la representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos las identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras.
### Expresar el producto como suma
Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces puede que tengamos que expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma, que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la del seno.
### Expresar productos como sumas para el coseno
Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno. Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos:
A continuación, dividimos entre
para aislar el producto de los cosenos:
### Expresar el producto del seno y el coseno como suma
A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para el seno y el coseno a partir de las fórmulas de la suma y la diferencia para el seno. Si sumamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos:
Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del coseno y el seno:
### Expresar el producto del seno en términos de coseno
Expresar el producto del seno en términos del coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia del coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas del coseno:
Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del seno:
De forma similar podríamos expresar el producto del coseno en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma.
### Expresar suma como producto
Algunos problemas requieren el proceso inverso al que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma a producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con unas cuantas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para el seno. Supongamos que
y
Entonces,
Así, al sustituir
y
en la fórmula de producto a suma con las expresiones sustitutivas, tenemos:
Las demás identidades de suma a producto se derivan de forma similar.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y de suma a producto para el seno y el coseno.
2. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, cosenos y de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Vea el , el y el .
3. También podemos derivar las identidades de suma a producto a partir de las identidades de producto a suma mediante la sustitución.
4. Podemos utilizar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Vea el .
5. Las expresiones trigonométricas suelen ser más sencillas de evaluar con las fórmulas. Vea el .
6. Las identidades se pueden verificar con otras fórmulas o al convertir las expresiones en seno y coseno. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo de igualdad y lo reescribimos hasta transformarlo en el otro lado. Vea el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, reescriba el producto como suma o diferencia.
En los siguientes ejercicios, reescriba la suma o la diferencia como un producto.
En los siguientes ejercicios, evalúe el producto de lo siguiente mediante la suma o diferencia de dos funciones.
En los siguientes ejercicios, evalúe el producto mediante la suma o diferencia de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.
En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.
### Numéricos
En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones o el producto como suma de dos funciones. Responda en términos de seno y coseno. A continuación, evalúe la respuesta final numéricamente, redondeada a cuatro decimales.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente si cada una de las expresiones dadas es una identidad verdadera. Si no es una identidad, sustituya el lado derecho por una expresión equivalente al lado izquierdo. Verifique los resultados al graficar ambas expresiones en la calculadora.
En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión a un término, luego grafique la función original y su versión simplificada para verificar que sean idénticas.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, compruebe las siguientes fórmulas de suma a producto.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. |
# Identidades trigonométricas y ecuaciones
## Resolver ecuaciones trigonométricas
Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido por ser el fundador de la geometría. La leyenda cuenta que calculó la altura de la Gran Pirámide de Guiza en Egipto con base en la teoría de los triángulos semejantes, que desarrolló al medir la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varios ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran mediante el empleo de triángulos semejantes.
En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para explorar escenarios del mundo real como el de calcular las dimensiones de las pirámides.
### Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno
Las ecuaciones trigonométricas, como su nombre lo indica, implican funciones trigonométricas. Semejante en muchos aspectos a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si es que las hay. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo determinado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que hallemos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinidad de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que tener en cuenta el dominio de la función antes de asumir que cualquier solución sea válida. El periodo de la función seno y de la función coseno es
En otras palabras, cada
unidades, los valores de y se repiten. Si necesitamos hallar todas las soluciones posibles, entonces debemos sumar
donde
es un número entero, a la solución inicial. Recordemos la regla que da el formato para enunciar todas las posibles soluciones de una función cuyo periodo es
Existen reglas similares para indicar todas las posibles soluciones de las demás funciones trigonométricas. La resolución de ecuaciones trigonométricas exige las mismas técnicas que la resolución de ecuaciones algebraicas. Leemos la ecuación de izquierda a derecha, en horizontal, como una frase. Buscamos patrones conocidos, factorizamos, hallamos denominadores comunes y sustituimos ciertas expresiones con una variable para que la resolución sea un proceso más sencillo. Sin embargo, con las ecuaciones trigonométricas, también tenemos la ventaja de utilizar las identidades que hemos desarrollado en las secciones anteriores.
### Resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica
Cuando se nos dan ecuaciones que implican solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y del círculo unitario (vea la ). Tenemos que hacer varias consideraciones cuando la ecuación implica funciones trigonométricas distintas del seno y del coseno. Los problemas en los que intervienen los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben considerarse desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca, y resolveremos los ángulos por medio de la función. Además, una ecuación en la que interviene la función tangente es ligeramente diferente de la que contiene una función seno o coseno. En primer lugar, como sabemos, el periodo de la tangente es
no
Además, el dominio de la tangente son todos los números reales, a excepción de los múltiplos enteros impares de
a menos que, por supuesto, un problema imponga sus propias restricciones al dominio.
### Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora
No todas las funciones pueden resolverse exactamente solo con el círculo unitario. Cuando tengamos que resolver una ecuación que implique un ángulo, que no sea ninguno de los ángulos especiales, tendremos que recurrir a la calculadora. Asegúrese de que esté configurada en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, dependiendo de los criterios del problema dado.
### Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática
Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos utilizar el álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mire el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es al cuadrado? Si solo hay una función representada y uno de los términos está elevado al cuadrado, piense en la forma estándar de una cuadrática. Sustituya la función trigonométrica por una variable como
o
Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos utilizar los mismos métodos para resolver cuadráticas y, por consiguiente, las ecuaciones trigonométricas.
### Resolver ecuaciones trigonométricas mediante identidades fundamentales
Aunque se puede utilizar el álgebra para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos utilizar las identidades fundamentales porque hacen que la resolución de ecuaciones sea más sencilla. Recuerde que las técnicas que utilizamos para resolver no son las mismas que para verificar las identidades. Aquí se aplican las reglas básicas del álgebra, a diferencia de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, utilizamos dos identidades para simplificar la ecuación.
### Resolver ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples
A veces no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tienen un ángulo múltiple, como por ejemplo
o
Cuando se enfrente a estas ecuaciones, recuerde que
es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función
En un intervalo de
podemos graficar dos periodos de
frente a un ciclo de
Esta compresión del gráfico nos lleva a pensar que puede haber el doble de intersecciones en x o soluciones a
en comparación con
Esta información nos ayudará a resolver la ecuación.
### Resolver problemas de triángulos rectángulos
Ahora podemos utilizar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que impliquen la aplicación de las propiedades de los triángulos rectángulos y del teorema de Pitágoras. Comenzamos con el conocido teorema de Pitágoras,
y modelamos una ecuación que se ajuste a una situación.
### Conceptos clave
1. A la hora de resolver ecuaciones trigonométricas lineales, podemos utilizar técnicas algebraicas al igual que lo hacemos para resolver ecuaciones algebraicas. Busque patrones, como la diferencia de cuadrados, la forma cuadrática o una expresión que se preste a la sustitución. Vea el , el y el .
2. Las ecuaciones que implican una sola función trigonométrica pueden resolverse o verificarse con el círculo unitario. Vea el , el , el y el .
3. También podemos resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora gráfica. Vea el y el .
4. Muchas ecuaciones tienen forma cuadrática. Podemos utilizar la sustitución para que la ecuación parezca más sencilla, y luego utilizar las mismas técnicas que utilizamos para resolver una cuadrática algebraica: la factorización, la fórmula cuadrática, etc. Vea el , el , el y el .
5. Igualmente, podemos utilizar las identidades para resolver la ecuación trigonométrica. Vea el , el y el .
6. Podemos utilizar la sustitución para resolver una ecuación trigonométrica de ángulo múltiple, que es la compresión de una función trigonométrica estándar. Tendremos que tener en cuenta la compresión y comprobar que hemos encontrado todas las soluciones en el intervalo dado. Vea el .
7. Las situaciones en el mundo real se pueden modelar y resolver con el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactamente en el intervalo
En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en
En los siguientes ejercicios, resuelva con los métodos mostrados en esta sección exactamente en el intervalo
En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en el intervalo
Utilice la fórmula cuadrática si las ecuaciones no son factorizables.
En los siguientes ejercicios, halle soluciones exactas en el intervalo
Busque las oportunidades para utilizar las identidades trigonométricas.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente todas las soluciones de la ecuación trigonométrica con exactitud, luego verifique los resultados al graficar la ecuación y hallar los ceros.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para hallar todas las soluciones a cuatro decimales.
En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones algebraicamente y luego utilice la calculadora para estimar los valores en el intervalo
Redondee a cuatro decimales.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas de las ecuaciones en el intervalo
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, halle la solución del problema de forma algebraica. A continuación, utilice la calculadora para verificar el resultado. Redondee la respuesta a la décima de grado más cercana. |
# Identidades trigonométricas y ecuaciones
## Modelado con funciones trigonométricas
Supongamos que graficamos el promedio de temperaturas diarias en la ciudad de Nueva York en el transcurso de un año. Es de esperar que las temperaturas más bajas se den en enero y febrero y las más altas, en julio y agosto. Este ciclo familiar se repite año tras año, y si extendiéramos el gráfico a lo largo de varios años, se asemejaría a una función periódica.
Muchos otros fenómenos naturales también son periódicos. Por ejemplo, las fases de la luna tienen un periodo de aproximadamente 28 días, y las aves migran hacia el sur más o menos en la misma época cada año.
Entonces, ¿cómo podemos modelar una ecuación que refleje un comportamiento periódico? Primero, debemos recopilar y registrar datos. A continuación, hallamos una función que se asemeje a un patrón observado. Por último, realizamos las modificaciones necesarias en la función para obtener un modelo fiable. En esta sección, profundizaremos en tipos específicos de comportamiento periódico y en las ecuaciones de los modelos que se ajustan a los datos.
### Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal.
Cualquier movimiento que se repita en un tiempo fijo se considera un movimiento periódico y puede modelarse mediante una función sinusoidal. La amplitud de una función sinusoidal es la distancia de la línea media al valor máximo, o de la línea media al valor mínimo. La línea media es el valor promedio. Las funciones sinusoidales oscilan por encima y por debajo de la línea media, son periódicas y repiten los valores en ciclos establecidos. Recuerde a partir de los gráficos de las funciones de seno y coseno que el periodo de las funciones de seno y de coseno es
En otras palabras, para cualquier valor de
### Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales
Un método para graficar las funciones sinusoidales consiste en hallar cinco puntos clave. Estos puntos corresponderán a intervalos de igual longitud que representan
del periodo. Los puntos clave indicarán la ubicación de los valores máximos y mínimos. Si no hay desplazamiento vertical, también indicarán las intersecciones en x. Por ejemplo, supongamos que queremos graficar la función
Sabemos que el periodo es
por lo que hallamos el intervalo entre los puntos clave, de la siguiente manera.
Comenzando por
calculamos el primer valor de y, sumamos la longitud del intervalo
a 0, y calculamos el segundo valor de y. Luego sumamos
varias veces hasta que se determinen los cinco puntos clave. El último valor debería ser igual al primero, ya que los cálculos abarcan un periodo entero. Al hacer una tabla parecida a la , podemos ver estos puntos clave claramente en el gráfico que se muestra en la .
### Modelar el comportamiento periódico
Ahora aplicaremos estas ideas a los problemas que impliquen comportamiento periódico.
### Modelar las funciones del movimiento armónico
El movimiento armónico es una forma de movimiento periódico, pero han de considerarse ciertos factores para diferenciar estos dos tipos. Mientras las aplicaciones del movimiento periódico en general recorren sus periodos sin interferencia externa, el movimiento armónico exige una fuerza restauradora. Algunos ejemplos del movimiento armónico son los resortes, la fuerza gravitacional y la fuerza magnética.
### Movimiento armónico simple
El tipo de movimiento que se califica de movimiento armónico simple involucra una fuerza restauradora, pero asume que el movimiento continuará por siempre. Imagine un objeto lastrado que cuelga de un resorte. Cuando no se altera ese objeto, decimos que está en reposo o en equilibrio. Si el objeto se hala y luego se suelta, la fuerza del resorte lleva el objeto de vuelta al equilibrio y comienza el movimiento armónico. La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento del objeto a partir de su punto de equilibrio. Cuando
### Movimiento armónico amortiguado
En realidad, un péndulo no oscila de un lado a otro por siempre, como tampoco un objeto en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo. A la larga, el péndulo deja de oscilar y el objeto deja de rebotar y ambos vuelven al equilibrio. El movimiento periódico en el cual actúa una fuerza disipadora de energía, o factor de amortiguamiento, se conoce como movimiento armónico amortiguado. La fricción es típicamente el factor de amortiguamiento.
En física se utilizan diversas fórmulas para representar el factor de amortiguamiento en el objeto móvil. Algunas de estas fórmulas se basan en el cálculo e integran derivadas. Para nuestros propósitos, utilizaremos fórmulas para modelos básicos de movimiento armónico amortiguado.
### Delimitar curvas en movimiento armónico
Los gráficos de movimiento armónico pueden estar encerrados por curvas delimitadoras. Cuando una función tiene una amplitud variable, que se eleva y cae varias veces dentro de un período, podemos determinar las curvas delimitadoras a partir de una parte de la función.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Las funciones sinusoidales están representadas por los gráficos de seno y coseno. En la forma típica, podemos hallar la amplitud, el período y los desplazamientos horizontal y vertical. Vea el y el .
2. Utilice los puntos clave para graficar una función sinusoidal. Los cinco puntos clave comprenden los valores mínimo, máximo y de línea media. Vea el .
3. Las funciones periódicas pueden modelar acontecimientos que ocurren en determinados ciclos, como las fases de la luna, las manecillas del reloj y las estaciones del año. Vea el , el , el y el .
4. Las funciones de movimiento armónico se modelan a partir de determinados datos. Semejante a las aplicaciones de movimiento periódico, el movimiento periódico armónico requiere una fuerza restauradora. Algunos ejemplos son la fuerza gravitacional y el movimiento de resorte, activado por el peso. Vea el .
5. El movimiento armónico amortiguado es una forma de comportamiento periódico que resulta afectado por un factor de amortiguamiento. Los factores que disipan la energía, como la fricción, hacen que el desplazamiento del objeto se contraiga. Vea el , el , el , el y el .
6. Las curvas delimitadoras delinean el gráfico de movimiento armónico con valores máximos y mínimos variables. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, halle una posible fórmula para la función trigonométrica, que se representa con la tabla dada de valores.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, grafique la función dada, luego halle un posible proceso físico que pueda modelar la ecuación.
### En tecnología
En el siguiente ejercicio, construya un comportamiento de modelado de función y utilice una calculadora para estimar los resultados deseados.
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, construya una función sinusoidal con base en la información suministrada y luego resuelva la ecuación para los valores solicitados.
En los siguientes ejercicios, calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de la función dada.
En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, cree una función que modele el comportamiento descrito. Luego calcule el resultado deseado con una calculadora.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma
que se ajusta a los datos dados.
En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma
que se ajusta a los datos dados.
### Ejercicios de repaso del capítulo
### Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades
En los siguientes ejercicios, halle exactamente lo que existe en el intervalo
En los siguientes ejercicios, utilice las identidades básicas para simplificar la expresión.
En los siguientes ejercicios, determine si las identidades dadas son equivalentes.
### Identidades de suma y resta
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.
En el siguiente ejercicio, simplifique la expresión.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
### Fórmulas del ángulo doble, del ángulo medio y de la reducción
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, utilice la para determinar las cantidades deseadas.
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad.
En los siguientes ejercicios, rescriba la expresión sin potencia.
### Fórmulas de suma a producto y de producto a suma
En los siguientes ejercicios, evalúe el producto para la expresión dada con la suma o resta de dos funciones. Escriba la respuesta exacta.
En los siguientes ejercicios, evalúe la suma con una fórmula del producto. Escriba la respuesta exacta.
En los siguientes ejercicios, cambie las funciones de producto a suma o de suma a producto.
### Resolver ecuaciones trigonométricas
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo
En los siguientes ejercicios, simplifique la ecuación algebraicamente tanto como sea posible. Luego utilice una calculadora para hallar las soluciones en el intervalo
Redondee a cuatro decimales.
En los siguientes ejercicios, grafique cada lado de la ecuación para hallar los ceros en el intervalo
### Modelar con ecuaciones trigonométricas
En los siguientes ejercicios, grafique los puntos y halle una fórmula posible para los valores trigonométricos en la tabla dada.
En los siguientes ejercicios, construya funciones que modelen el comportamiento descrito.
En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, la frecuencia y el periodo de las ecuaciones dadas.
En los siguientes ejercicios, modele el comportamiento descrito y halle los valores que se piden.
### Prueba de práctica
En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada.
En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto.
En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas a la ecuación en
En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. |
# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Introducción
El árbol más grande del mundo por su volumen, llamado General Sherman, tiene una altura de 274,9 pies y está situado en el norte de California.Fuente: Servicio de Parques Nacionales. "El árbol General Sherman". http://www.nps.gov/seki/naturescience/sherman.htm. Consultado el 25 de abril de 2014. ¿Cómo saben los científicos su verdadera altura? Una forma habitual de medir la altura consiste en determinar el ángulo de elevación que forman el árbol y el suelo en un punto situado a cierta distancia de la base del árbol. Este método es mucho más práctico que subir al árbol y dejar caer una cinta métrica muy larga.
En este capítulo, exploraremos aplicaciones de la trigonometría que nos permitirán resolver muchos tipos de problemas diferentes, entre ellos, calcular la altura de un árbol. Ampliamos los temas que introdujimos en Funciones trigonométricas e investigamos las aplicaciones de forma más profunda y significativa. |
# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Triángulos no rectángulos: ley de senos
Para garantizar la seguridad de los más de 5.000 aviones estadounidenses que vuelan simultáneamente en horas punta, los controladores aéreos los supervisan y se comunican con ellos tras recibir los datos del robusto sistema de balizas de radar. Supongamos que dos estaciones de radar, situadas a 20 millas de distancia, detectan una aeronave entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es de 35 grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es de 15 grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? Vemos en la que el triángulo formado por la aeronave y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos utilizar lo que sabemos al respecto. En esta sección, descubriremos cómo resolver problemas que implican triángulos no rectángulos.
### Usar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos
En cualquier triángulo, podemos trazar una altitud, una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectángulos sin tener que crear primero triángulos rectángulos.
Cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo. Resolver un triángulo oblicuo significa calcular las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para ello, tenemos que empezar con al menos tres de estos valores, incluso al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones de problemas de triángulos oblicuos:
1. ALA (ángulo-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos ángulos y el lado incluido. Vea la .
2. AAL (ángulo-ángulo-lado). Conocemos las medidas de dos ángulos y un lado que no está entre los ángulos conocidos. Vea la .
3. LLA (lado-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos lados y un ángulo que no está entre los lados conocidos. Vea la .
Saber cómo enfocar cada una de estas situaciones nos permite resolver triángulos oblicuos sin tener que soltar una perpendicular para formar dos triángulos rectángulos. En su lugar, podemos utilizar el hecho de que la relación entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos relaciones entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Veamos cómo se deriva esta afirmación considerando el triángulo que se muestra en la .
Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo, sabemos que
y
Resolviendo ambas ecuaciones para
da dos expresiones diferentes para
A continuación, igualamos las expresiones.
Del mismo modo, podemos comparar los otros cocientes.
En conjunto, estas relaciones reciben el nombre de ley de senos.
Observe la forma estándar de etiquetar los triángulos: el ángulo
(alfa) es el lado opuesto
el ángulo
(beta) es el lado opuesto
y el ángulo
(gamma) es el lado opuesto
Vea la .
Al calcular los ángulos y los lados, lleve los valores exactos hasta la respuesta final. Por lo general, las respuestas finales se redondean a la décima más cercana, a menos que se especifique lo contrario.
### Usar la ley de senos para resolver triángulos LLA
Podemos utilizar la ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, aunque algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, lo que describimos como un caso ambiguo. Los triángulos clasificados como LLA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar lugar a una o dos soluciones, o incluso a ninguna solución.
### Calcular el área de un triángulo oblicuo mediante la función seno
Ahora que podemos resolver un triángulo para los valores que faltan, podemos utilizar algunos de esos valores y la función seno para calcular el área de un triángulo oblicuo. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo viene dada por
donde
es la base y
es la altura. En los triángulos oblicuos, debemos hallar
antes de poder utilizar la fórmula del área. Al observar los dos triángulos en la , uno agudo y otro obtuso, podemos dejar caer una perpendicular que represente la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica
para escribir una ecuación del área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos
o
Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base
para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es
o
Por lo tanto,
De la misma manera,
### Resolver problemas aplicados mediante la ley de senos
Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que son innumerables. Algunas son situaciones planas, tipo diagrama, pero muchas aplicaciones de cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. La ley de senos puede utilizarse para resolver triángulos oblicuos, que son triángulos no rectángulos.
2. Según la ley de senos, el cociente entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto es igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto.
3. Hay tres casos posibles: ALA, AAL, LLA. En función de la información facilitada, podemos elegir la ecuación adecuada para dar con la solución solicitada. Vea el .
4. El caso ambiguo surge cuando un triángulo oblicuo puede tener diferentes resultados.
5. Hay tres casos posibles que surgen de la disposición de LLA: una solución única, dos soluciones posibles y ninguna solución. Vea el y el .
6. La ley de senos se puede utilizar para resolver triángulos con criterios dados. Vea el .
7. La fórmula general del área de los triángulos se traduce en triángulos oblicuos tras hallar primero el valor de la altura correspondiente. Vea el .
8. Hay muchas aplicaciones trigonométricas. A menudo se pueden resolver al dibujar primero un diagrama de la información dada y utilizar después la ecuación apropiada. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, supongamos que
es el lado opuesto
es el lado opuesto
y
es el lado opuesto
Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver el lado que falta en cada triángulo oblicuo. Redondee cada respuesta a la centésima más cercana. Supongamos que el ángulo
es el lado opuesto
el ángulo
es el lado opuesto
y el ángulo
es el lado opuesto
En los siguientes ejercicios, supongamos que
es el lado opuesto
es el lado opuesto
y
es el lado opuesto
Determine si no hay ningún triángulo, un triángulo o dos triángulos. A continuación, resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver, si es posible, el lado o ángulo que falta para cada triángulo o triángulos en el caso ambiguo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo con las medidas dadas. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado
Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule la medida del ángulo
si es posible. Redondee a la décima más cercana.
En el siguiente ejercicio, resuelva el triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
### Extensiones
### Aplicaciones en el mundo real
|
# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Triángulos no rectángulos: ley de cosenos
Supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas como se muestra en la . ¿A qué distancia del puerto está el barco?
Por desgracia, aunque la ley de senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con los triángulos en los que el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, triángulo LAL (lado-ángulo-lado), o cuando se conocen los tres lados, pero no se conocen los ángulos, triángulo LLL (lado-lado-lado). En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver los triángulos oblicuos descritos en los dos últimos casos.
### Usar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos
La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la ley de cosenos, que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes laterales en los triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la ley de cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se entiende el patrón, es más fácil trabajar con la ley de cosenos que con la mayoría de las fórmulas a este nivel matemático.
Vale la pena entender cómo se deriva la ley de cosenos en la utilización de las fórmulas. La derivación comienza con el teorema generalizado de Pitágoras, que es una extensión del teorema de Pitágoras a los triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo
se sitúa en el plano de coordenadas con el vértice
en el origen, el lado
dibujado a lo largo del eje x, y el vértice
situado en algún punto
en el plano, como se ilustra en la . Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano; sin embargo, para esta explicación, colocaremos el triángulo como se indica.
Podemos dejar caer una perpendicular desde
al eje x (esta es la altitud o altura). Tras un repaso de las identidades trigonométricas básicas, sabemos que
En términos de
y
El punto
situado en
tiene coordenadas
Al utilizar el lado
como cateto de un triángulo rectángulo, además de
como el segundo cateto, podemos determinar la longitud de la hipotenusa
con el teorema de Pitágoras. Por lo tanto,
La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la ley de cosenos. Las demás ecuaciones se determinan de forma similar.
Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver los ángulos o los lados. En una situación del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, quizás haya que modificar el diagrama. Haga esas modificaciones en el diagrama y, al final, será más fácil resolver el problema.
### Resolver problemas aplicados mediante la ley de cosenos
Así como la ley de senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la ley de cosenos se aplica a las situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos del coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la agrimensura, la astronomía y la geometría, por nombrar tan solo algunos.
### Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo
Ya hemos aprendido a calcular el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para hallar el área de un triángulo mediante la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón en lugar de calcular la altura. Herón de Alejandría fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para hallar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. La ley de cosenos define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en los triángulos oblicuos.
2. El teorema generalizado de Pitágoras es la Ley de cosenos para dos casos de triángulos oblicuos: LAL y LLL. Al dejar caer una perpendicular imaginaria se divide el triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos o se forma uno solo, lo que permite relacionar los lados y calcular las medidas. Vea el y el .
3. La ley de cosenos es útil para muchos tipos de problemas aplicados. El primer paso para resolver este tipo de problemas suele ser hacer un esquema del problema planteado. Si la información dada se ajusta a uno de los tres modelos (las tres ecuaciones), entonces se aplica la ley de cosenos para dar con una solución. Vea el y el .
4. La fórmula de Herón permite calcular el área en triángulos oblicuos. Hay que conocer los tres lados para aplicar la fórmula de Herón. Vea el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, supongamos que
es el lado opuesto
es el lado opuesto
y
es el lado opuesto
Si es posible, resuelva cada triángulo para el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la ley de cosenos para resolver el ángulo que falta en el triángulo oblicuo. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, resuelva el triángulo. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de Herón para calcular el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado
Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, halle la medida del ángulo
En los siguientes ejercicios, resuelva el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, supongamos que
representa la relación de tres lados de un triángulo y el coseno de un ángulo.
En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo.
### Aplicaciones en el mundo real
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# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Coordenadas polares
A más de 12 kilómetros del puerto, un velero se topa con mal tiempo y lo desvía de su rumbo un viento de 16 nudos (vea la ). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método de representación de la ubicación, que es diferente de la típica cuadrícula de coordenadas.
### Trazar puntos mediante coordenadas polares
Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, pensamos en coordenadas rectangulares
en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares, que son puntos marcados
y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas.
La cuadrícula polar se presenta a escala como el círculo unitario con el eje x positivo visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada
es el radio o la longitud del segmento rectilíneo dirigido desde el polo. El ángulo
medido en radianes, indica la dirección de
Nos movemos en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de
y medimos un segmento rectilíneo dirigido de longitud
en dirección a
Aunque midamos
primero y luego
el punto polar se escribe primero con la coordenada r. Por ejemplo, para trazar el punto
nos trasladaríamos
unidades en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego en una longitud de 2 desde el polo. Este punto se representa en la cuadrícula en la .
### Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares
Cuando se da un conjunto de coordenadas polares, quizá tengamos que convertirlas en coordenadas rectangulares. Para ello, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables
y
La perpendicular que cae desde el punto del plano hasta el eje x forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la . Una forma fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en
como el lado adyacente sobre la hipotenusa y
como el lado opuesto sobre la hipotenusa.
### Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares
Para convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares, utilizaremos otras dos relaciones conocidas. Con esta conversión, sin embargo, tenemos que ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares dará lugar a más de un punto polar.
### Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares
Ahora podemos convertir las coordenadas entre la forma polar y la rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero valdría la pena convertir entre las dos formas. Debido a que hay una serie de ecuaciones polares que no pueden expresarse claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos utilizar los mismos procedimientos que utilizamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. A continuación, podemos utilizar una calculadora gráfica para representar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación.
### Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares
Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son efectivamente los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque dibujados en cuadrículas diferentes, son idénticos.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo u origen.
2. Para trazar un punto en la forma
se mueven en dirección contraria al eje polar en un ángulo de
y luego se extiende un segmento rectilíneo dirigido desde el polo de la longitud de
en dirección a
Si
es negativo, muévalo en el sentido de las agujas del reloj y extienda un segmento rectilíneo dirigido de la longitud de
en dirección a
Vea el .
3. Si los valores de
es negativo, extienda el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta a
Vea el .
4. Para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, utilice las fórmulas
y
Vea el y el .
5. Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, utilice una o varias de las fórmulas
y
Vea el .
6. La transformación de las ecuaciones entre las formas polares y rectangulares implica la realización de las sustituciones adecuadas a partir de las fórmulas disponibles, junto con manipulaciones algebraicas. Vea el , el y el .
7. El uso de las sustituciones adecuadas permite reescribir una ecuación polar como una ecuación rectangular y luego graficarla en el plano rectangular. Vea el , el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas polares dadas en coordenadas cartesianas. Recuerde el cuadrante donde se encuentra el punto dado cuando determine
para el punto.
En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas cartesianas dadas en coordenadas polares con
Recuerde considerar el cuadrante en el que se localiza el punto dado.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. Escriba en la forma estándar de una cónica, si es posible, e identifique la sección cónica representada.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas polares del punto.
En los siguientes ejercicios, trace los puntos.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma rectangular a polar y grafique en el eje polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma polar a rectangular y grafique en el plano rectangular.
### En tecnología
### Extensiones
En el siguiente ejercicio, grafique la inecuación polar. |
# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Coordenadas polares: gráficos
Los planetas se mueven por el espacio en órbitas elípticas y periódicas alrededor del sol, como se muestra en la . Están en constante movimiento, por lo que fijar una posición exacta de cualquier planeta solo es válido durante un momento. En otras palabras, solo podemos fijar la posición instantánea de un planeta. Esta es una aplicación de las coordenadas polares, representadas como
Interpretamos
como la distancia al Sol y
como el rumbo angular del planeta, o su dirección desde un punto fijo del Sol. En esta sección nos centraremos en el sistema polar y en los gráficos que se generan directamente a partir de coordenadas polares.
### Probar la simetría de las ecuaciones polares
Al igual que una ecuación rectangular como
describe la relación entre
y
en una cuadrícula cartesiana, una ecuación polar describe una relación entre
y
en una cuadrícula polar. Recordemos que el par de coordenadas
indica que nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (eje x positivo) en un ángulo de
y extiende un rayo desde el polo (origen) de
unidades en la dirección de
Todos los puntos que satisfacen la ecuación polar están en el gráfico.
La simetría es una propiedad que nos ayuda a reconocer y trazar el gráfico de cualquier ecuación. Si una ecuación tiene un gráfico que es simétrico respecto a un eje, significa que si doblamos el gráfico por la mitad sobre ese eje, la parte del gráfico de un lado coincidiría con la parte del otro lado. Realizando tres pruebas, veremos cómo aplicar las propiedades de la simetría a las ecuaciones polares. Además, utilizaremos la simetría (además de trazar puntos clave, ceros y máximos de
para determinar el gráfico de una ecuación polar.
En la primera prueba, consideramos la simetría con respecto a la línea
(eje y). Reemplazamos
con la
para determinar si la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación
Esta ecuación presenta simetría con respecto a la línea
En la segunda prueba, consideramos la simetría con respecto al eje polar (eje
). Reemplazamos
con la
o
para determinar la equivalencia entre la ecuación probada y la original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación
El gráfico de esta ecuación presenta simetría con respecto al eje polar.
En la tercera prueba, consideramos la simetría con respecto al polo (origen). Reemplazamos
con la
para determinar si la ecuación probada es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación
La ecuación no ha superado la prueba de simetría, pero eso no significa que no sea simétrica con respecto al polo. La superación de una o más pruebas de simetría verifica que la simetría se mostrará en un gráfico. Sin embargo, el hecho de no superar las pruebas de simetría no indica necesariamente que un gráfico no sea simétrico con respecto a la línea
el eje polar, o el polo. En estos casos, podemos confirmar que la simetría existe trazando puntos de reflexión a través del eje de simetría aparente o del polo. La prueba de simetría es una técnica que simplifica hacer gráficos de las ecuaciones polares, pero su aplicación no es perfecta.
### Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos
Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas rectangulares construimos una tabla de valores de
y
. Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas polares construimos una tabla de valores
y
. Introducimos valores de
en una ecuación polar y calculamos
Sin embargo, al usar las propiedades de simetría y calcular los valores clave de
y
significa que se necesitarán menos cálculos.
### Hallar ceros y máximos
Para hallar los ceros de una ecuación polar, resolvemos los valores de
que resultan en
Recordemos que, para hallar los ceros de las funciones polinómicas, fijamos la ecuación igual a cero y luego resolvemos para
Utilizamos el mismo proceso para las ecuaciones polares. Establezca
y resuelva para
Para muchas de las formas que encontraremos, el valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo aquellos valores de
en la ecuación que da como resultado el valor máximo de las funciones trigonométricas. Considere que
la distancia máxima entre la curva y el poste es de 5 unidades. El valor máximo de la función coseno es 1 cuando
por lo que nuestra ecuación polar es
y el valor
producirá el máximo
Del mismo modo, el valor máximo de la función de seno es 1 cuando
y si nuestra ecuación polar es
el valor
producirá el máximo
Podemos hallar información adicional calculando los valores de
cuando
Estos puntos serían las intersecciones de los ejes polares, que pueden ser útiles para dibujar el gráfico e identificar la curva de una ecuación polar.
### Investigar sobre círculos
Ahora hemos visto la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas polares. En los dos ejemplos anteriores se utilizó la misma ecuación para ilustrar las propiedades de la simetría y demostrar cómo hallar los ceros, los valores máximos y los puntos trazados que produjeron los gráficos. Sin embargo, el círculo es solo una de las muchas formas del conjunto de curvas polares.
Existen cinco curvas polares clásicas: cardioides, caracoles de Pascal, lemniscatas, curvas de rosa polar (rhodonea) y espirales de Arquímedes. Trataremos brevemente las fórmulas polares del círculo antes de pasar a las curvas clásicas y sus variaciones.
### Investigar las cardioides
Aunque la traslación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas puede parecer más sencilla en algunos casos, la representación gráfica de las curvas clásicas es en realidad menos complicada en el sistema polar. La siguiente curva se llama cardioide, ya que se parece a un corazón. Esta forma se incluye, a menudo, con la familia de curvas llamada caracoles de Pascal, pero aquí hablaremos de la cardioide por sí sola.
### Investigar sobre caracoles de Pascal
La palabra limaçon significa "caracol" en francés antiguo, nombre que describe la forma del gráfico. Como se ha mencionado anteriormente, el cardioide es un miembro de la familia de los caracoles de Pascal, y podemos ver las similitudes en los gráficos. Las demás imágenes de esta categoría consisten en un caracol de Pascal de un lazo y un caracol de Pascal de dos lazos (o de lazo interno). Los caracoles de Pascal de un lazo, a veces, se denominan caracoles de Pascal con hoyuelos cuando
y caracoles de Pascal convexos cuando
Otro tipo de caracol, el caracol de Pascal de lazo interno, recibe su nombre por el lazo que se forma dentro de la forma general del caracol. Lo descubrió el artista alemán Albrecht Dürer(1471 a 1528), quien reveló un método para dibujar el caracol de Pascal de lazo interno en su libro de 1525 Underweysung der Messing. Un siglo más tarde, el padre del matemático Blaise Pascal, Étienne Pascal (1588 a 1651), lo redescubrió.
### Investigar las lemniscatas
La lemniscata es una curva polar que se asemeja al símbolo del infinito
o un número 8. Centrada en el polo, una lemniscata es simétrica por definición.
### Investigar sobre curvas rosa polar (rhodonea)
El siguiente tipo de ecuación polar produce una forma parecida a un pétalo llamada curva rosa polar. Aunque los gráficos parecen complejos, una simple ecuación polar genera el patrón.
### Investigar sobre la espiral de Arquímedes
La última ecuación polar que analizaremos es la espiral de Arquímedes, llamada así por su descubridor, el matemático griego Arquímedes (c. 287 a.C. a c. 212 a.C.), a quien se le atribuyen numerosos descubrimientos en los campos de la geometría y la mecánica.
### Resumen de curvas
En esta sección hemos explorado una serie de curvas polares aparentemente complejas. La y la resumen los gráficos y ecuaciones de cada una de estas curvas.
### Conceptos clave
1. Es más fácil graficar las ecuaciones polares si podemos comprobar la simetría de las ecuaciones con respecto a la línea
el eje polar, o el polo.
2. Hay tres pruebas de simetría que indican si el gráfico de una ecuación polar presentará simetría. Si una ecuación no supera la prueba de simetría, el gráfico puede o no presentar simetría. Vea el .
3. Las ecuaciones polares se pueden graficar haciendo una tabla de valores para
y
4. El valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo el valor
que lleva al valor máximo de la expresión trigonométrica.
5. Los ceros de una ecuación polar se encuentran al establecer
y resolver
Vea el .
6. Algunas fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por
y
Vea el .
7. Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por
y
por
y
Vea el .
8. Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de un lazo están dadas por
y
por
Vea el .
9. Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de lazo interno están dadas por
y
por
y
Vea el .
10. Las fórmulas que producen los gráficos de una lemniscata están dadas por
y
donde
Vea el .
11. Las fórmulas que producen los gráficos de las curvas rosa polar están dadas por
y
donde
si
es par, hay
pétalos, y si
es impar, hay
pétalos. Vea el y el .
12. La fórmula que produce el gráfico de una espiral de Arquímedes está dada por
Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de la ecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación polar. Identifique el nombre de la forma.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para dibujar el gráfico de la ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar cada par de ecuaciones polares sobre un dominio de
y, luego, explique las diferencias que aparecen en los gráficos.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, dibuje cada ecuación polar sobre el mismo conjunto de ejes polares y halle los puntos de intersección. |
# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Forma polar de los números complejos
"Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Esta célebre cita del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker sienta las bases de esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por personas y representan más de mil años de investigación y lucha continúa por parte de matemáticos como Pitágoras, Descartes, De Moivre, Euler, Gauss y otros. Los números complejos respondieron a preguntas que durante siglos habían desconcertado a las mentes más brillantes de la ciencia.
La primera vez que vimos los números complejos fue en la sección Números complejos. En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajo con los números complejos: conversión de números complejos de la forma polar a la forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del teorema de Moivre.
### Graficar números complejos en el plano complejo.
Trazar un número complejo
es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número,
y el eje vertical representa la parte imaginaria del número,
### Hallar el valor absoluto de un número complejo
El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es calcular el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es igual a su magnitud, o
Mide la distancia del origen a un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de
en la , muestra
### Escribir números complejos en forma polar
La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo
y su distancia desde el origen
Dado un número complejo en forma rectangular expresado como
utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica:
Revisamos estas relaciones en la .
Usamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo o la distancia desde el origen al punto
El módulo, entonces, es el mismo que
el radio en forma polar. Usamos
para indicar el ángulo de dirección (igual que con las coordenadas polares). Al sustituir, tenemos
### Conversión de un número complejo de la forma polar a la rectangular
Convertir un número complejo de la forma polar a la rectangular es cuestión de evaluar lo que se da y utilizar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado que
primero evalúe las funciones trigonométricas
y
Entonces, multiplique por
### Hallar productos de números complejos en forma polar
Ahora, que podemos convertir los números complejos a la forma polar, aprenderemos a realizar operaciones con los números complejos en forma polar. En el resto de esta sección trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parece. Las reglas se basan en la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos.
### Hallar cocientes de números complejos en forma polar
El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos.
### Hallar potencias de números complejos en forma polar
El cálculo de potencias de números complejos se simplifica enormemente con el teorema de Moivre. Establece que, para un número entero positivo
se calcula elevando el módulo a
potencia y multiplicando el argumento por
Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas.
### Hallar raíces de números complejos en forma polar
Para hallar la raíz de un número complejo en forma polar, usamos el
o teorema de Moivre y se eleva el número complejo a una potencia con exponente racional. Hay varias maneras de representar una fórmula para hallar de números complejos en forma polar.
### Conceptos clave
1. Números complejos de la forma
se trazan en el plano complejo de forma similar a como se trazan las coordenadas rectangulares en el plano rectangular. Identifique el eje x como eje real y el eje y como eje imaginario. Vea el .
2. El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud. Es la distancia del origen al punto:
Vea el y el .
3. Para escribir números complejos en forma polar, usamos las fórmulas
y
Entonces,
Vea el y el .
4. Para convertir de la forma polar a la forma rectangular, primero hay que evaluar las funciones trigonométricas. A continuación, multiplique por
Vea el y el .
5. Para calcular el producto de dos números complejos, multiplique los dos módulos y sume los dos ángulos. Evalúe las funciones trigonométricas y multiplique usando la propiedad distributiva. Vea el .
6. Para hallar el cociente de dos números complejos en forma polar, calcule el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos ángulos. Vea el .
7. Para calcular la potencia de un número complejo
eleve
a la potencia
y multiplique
entre
Vea el .
8. Hallar las raíces de un número complejo es lo mismo que elevar un número complejo a una potencia, pero utilizando un exponente racional. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbal
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto del número complejo dado.
En los siguientes ejercicios, escriba el número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.
En los siguientes ejercicios, calcule
en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule
en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, calcule todas las respuestas redondeadas a la centésima más cercana. |
# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Ecuaciones paramétricas
Considere la trayectoria que sigue una luna al orbitar un planeta, que gira simultáneamente alrededor del sol, como se ve en la . En todo momento, la luna se encuentra en un punto determinado con respecto al planeta. Pero, ¿cómo escribimos y resolvemos la ecuación para la posición de la luna cuando la distancia del planeta, la velocidad de la órbita de la luna alrededor del planeta y la velocidad de rotación alrededor del Sol son todas incógnitas? Solo podemos resolver una variable a la vez.
En esta sección consideraremos conjuntos de ecuaciones dadas por
y
donde
es la variable independiente del tiempo. Podemos utilizar estas ecuaciones paramétricas en un número de aplicaciones cuando buscamos no solo una posición concreta, sino también la dirección del movimiento. Al trazar los valores sucesivos de
la orientación de la curva se hace evidente. Esta es una de las principales ventajas de utilizar ecuaciones paramétricas: podemos trazar el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria en función del tiempo. Comenzamos esta sección con una mirada a los componentes básicos de las ecuaciones paramétricas y lo que significa parametrizar una curva. Luego, aprenderemos a eliminar el parámetro, a trasladar las ecuaciones de una curva definida paramétricamente en ecuaciones rectangulares y a hallar las ecuaciones paramétricas de las curvas definidas por ecuaciones rectangulares.
### Parametrizar una curva
Cuando un objeto se desplaza a lo largo de una curva —o trayectoria curvilínea— en una dirección y un tiempo determinados, la posición del objeto en el plano viene dada por la coordenada x y la coordenada y. Sin embargo, ambos
y
varían con el tiempo y, por tanto, son funciones del tiempo. Por este motivo, añadimos otra variable, el parámetro, del que tanto
y
son funciones dependientes. En el ejemplo de principio de la sección, el parámetro es tiempo,
La intersección en
posición de la luna en el tiempo,
se representa como la función
y la intersección
posición de la luna en el tiempo,
se representa como la función
Juntos,
y
se llaman ecuaciones paramétricas y generan un par ordenado
Las ecuaciones paramétricas describen principalmente el movimiento y la dirección.
Cuando parametrizamos una curva, estamos trasladando una única ecuación en dos variables, como por ejemplo
y
en un par de ecuaciones equivalentes en tres variables,
y
Una de las razones por las que parametrizamos una curva es porque las ecuaciones paramétricas proporcionan más información: concretamente, la dirección del movimiento del objeto en el tiempo.
Cuando graficamos ecuaciones paramétricas, podemos observar los comportamientos individuales de
y de
Hay formas que no se pueden representar en la forma
lo que significa que no son funciones. Por ejemplo, consideremos el gráfico de un círculo, dado como
Al resolver
da como resultado
o dos ecuaciones:
y
Si graficamos
y
juntos, el gráfico no pasará la prueba de la línea vertical, como se muestra en la . Por lo tanto, la ecuación del gráfico de un círculo no es una función.
Sin embargo, si graficáramos cada ecuación por separado, cada una pasaría la prueba de la línea vertical y, por lo tanto, representaría una función. En algunos casos, el concepto de descomponer la ecuación de un círculo en dos funciones es similar al concepto de crear ecuaciones paramétricas, ya que utilizamos dos funciones para producir una no-función. Esto se aclarará a medida que avancemos.
### Eliminar el parámetro
En muchos casos, podemos tener un par de ecuaciones paramétricas, pero vemos que es más sencillo dibujar una curva si la ecuación involucra solo dos variables, como por ejemplo
y
La eliminación del parámetro es un método que puede hacer más fácil hacer el gráfico de algunas curvas. Sin embargo, si se trata de la cartografía de la ecuación en función del tiempo, será necesario indicar también la orientación de la curva. Existen varios métodos para eliminar el parámetro
a partir de un conjunto de ecuaciones paramétricas; no todos los métodos funcionan para cada tipo de ecuación. Aquí revisaremos los métodos para los tipos de ecuaciones más comunes.
### Eliminación del parámetro de ecuaciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas
Para ecuaciones polinómicas, exponenciales o logarítmicas expresadas como dos ecuaciones paramétricas, elegimos la ecuación que sea más fácil de manipular y resolvemos para
Sustituimos la expresión resultante por
en la segunda ecuación. Esto da una ecuación en
y
### Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas
Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas es una sustitución sencilla. Podemos utilizar algunas de las identidades trigonométricas conocidas y el teorema de Pitágoras.
Primero, usamos las identidades:
Resolvemos para
y
tenemos
Entonces, usamos el teorema de Pitágoras:
La sustitución da como resultado
### Hallar ecuaciones cartesianas de curvas definidas paramétricamente
Cuando nos dan un conjunto de ecuaciones paramétricas y necesitamos hallar una ecuación cartesiana equivalente, estamos esencialmente “eliminando el parámetro”. Sin embargo, hay varios métodos que podemos utilizar para reescribir un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. El método más sencillo es establecer una ecuación igual al parámetro, como por ejemplo
En este caso,
puede ser cualquier expresión. Por ejemplo, considere el siguiente par de ecuaciones.
Reescribir este conjunto de ecuaciones paramétricas es cuestión de sustituir
por
Así, la ecuación cartesiana es
### Hallar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares
Aunque acabamos de demostrar que solo hay una forma de interpretar un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación rectangular, hay varias formas de interpretar una ecuación rectangular como un conjunto de ecuaciones paramétricas. Cualquier estrategia que utilicemos para hallar las ecuaciones paramétricas es válida si produce una equivalencia. En otras palabras, si elegimos una expresión para representar
y luego sustituirlo en la ecuación
, y produce el mismo gráfico sobre el mismo dominio que la ecuación rectangular, entonces el conjunto de ecuaciones paramétricas es válido. Si el dominio se limita en el conjunto de ecuaciones paramétricas y la función no permite los mismos valores para
como el dominio de la ecuación rectangular, entonces los gráficos serán diferentes.
### Conceptos clave
1. Parametrizar una curva implica trasladar una ecuación rectangular en dos variables,
y
en dos ecuaciones en tres variables, x, y y t. A menudo, se obtiene más información de un conjunto de ecuaciones paramétricas. Vea el , el y el .
2. A veces las ecuaciones son más sencillas de graficar cuando se escriben en forma rectangular. Al eliminar
el resultado es una ecuación en
y
.
3. Para eliminar
se resuelve una de las ecuaciones para
y se sustituye la expresión en la segunda ecuación. Vea el , el , el y el .
4. Hallar la ecuación rectangular de una curva definida paramétricamente es básicamente lo mismo que eliminar el parámetro. Resuelva para
en una de las ecuaciones, y sustituya la expresión en la segunda ecuación. Vea el .
5. Hay un número infinito de maneras de elegir un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva definida como una ecuación rectangular.
6. Halle una expresión para
de manera que el dominio del conjunto de ecuaciones paramétricas siga siendo el mismo que la ecuación rectangular original. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro
para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana y construya una tabla de
.
En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana y establezca
o establezca
En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana utilizando
y
Identifique la curva.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice la función de tabla de la calculadora gráfica para determinar si los gráficos se intersecan.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para completar la tabla de valores de cada conjunto de ecuaciones paramétricas.
### Extensiones
|
# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Ecuaciones paramétricas: gráficos
Aunque no todos los aficionados (o directores de equipo) lo aprecian, el béisbol y muchos otros deportes se han vuelto dependientes de la analítica, que implica un complejo registro de datos y una evaluación cuantitativa utilizados para comprender y predecir el comportamiento. La primera influencia de la analítica fue sobre todo estadística; más recientemente, han entrado en juego la física y otras ciencias. El más importante es el enfoque en el ángulo de lanzamiento y la velocidad de salida, que cuando están en ciertos valores pueden casi garantizar un jonrón. Por otro lado, el énfasis en el ángulo de lanzamiento y la concentración en los jonrones en lugar de en el bateo en general da como resultado muchos más outs. Considere la siguiente situación: es la parte baja de la novena entrada, con dos outs y dos jugadores en base. El equipo local pierde por dos carreras. El bateador abanica y golpea la bola de béisbol a 140 pies por segundo y con un ángulo de aproximadamente
de la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá la pelota? ¿Superará la cerca para conseguir un jonrón ganador del partido? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar la trayectoria de un proyectil y predecir aproximadamente la distancia que recorrerá mediante ecuaciones paramétricas. En esta sección, discutiremos las ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como los problemas de movimiento de proyectiles.
### Graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos
En vez de una calculadora gráfica o un programa de gráficos de computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Siempre que seamos cuidadosos al calcular los valores, el trazado de puntos es muy fiable.
### Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas
Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se hacen evidentes cuando se aplican a resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en x y y ofrecen una imagen global de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento determinado. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de x y y cambian en función de t, como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado.
Una aplicación común de las ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectil. En este tipo de movimiento, un objeto se impulsa hacia delante en dirección hacia arriba formando un ángulo de
a la horizontal, con una velocidad inicial de
y a una altura
sobre la horizontal.
La trayectoria de un objeto impulsado con una inclinación de
a la horizontal, con rapidez inicial
y a una altura
sobre la horizontal, viene dada por
donde
tiene en cuenta los efectos de la gravedad y
es la altura inicial del objeto. De acuerdo con las unidades implicadas en el problema, utilice
o
La ecuación para
da la distancia horizontal, y la ecuación para
da la distancia vertical.
### Conceptos clave
1. Se pueden utilizar ecuaciones paramétricas cuando hay una tercera variable, un tercer parámetro sobre el que
y
dependen.
2. Para graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos, haga una tabla con tres columnas marcadas
y
Elija los valores para
en orden creciente. Trace las dos últimas columnas para
y
Vea el y el .
3. Al graficar una curva paramétrica mediante el trazado de puntos, anote los valores t asociados y muestre flechas en el gráfico que indiquen la orientación de la curva. Vea el y el .
4. Las ecuaciones paramétricas permiten mostrar la dirección o la orientación de la curva en el gráfico. Las ecuaciones que no son funciones se pueden graficar y usar en muchas aplicaciones que implican movimiento. Vea el .
5. El movimiento de proyectil depende de dos ecuaciones paramétricas
y
La velocidad inicial se simboliza como
representa el ángulo inicial del objeto al ser lanzado, y
representa la altura a la que se impulsa el objeto.
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de ecuaciones paramétricas y haga una tabla de valores. Incluya la orientación en el gráfico.
En los siguientes ejercicios, dibuje la curva e incluya la orientación.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. Luego, escriba la ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación.
En los siguientes ejercicios, utilice las ecuaciones paramétricas para los enteros a y b:
En los siguientes ejercicios, describa el gráfico del conjunto de ecuaciones paramétricas.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar en la ventana
entre
en el dominio
para los siguientes valores de
y
e incluya la orientación.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, observe los gráficos creados por ecuaciones paramétricas de la forma
Utilice el modo paramétrico de la calculadora gráfica para hallar los valores de
y
para lograr cada gráfico.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar las ecuaciones paramétricas dadas.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se lanza un dardo hacia arriba con una velocidad inicial de 65 ft/s a un ángulo de elevación de 52°. Considere la posición del dardo en cualquier momento
Ignore la resistencia del aire.
En los siguientes ejercicios, observe los gráficos de cada una de las cuatro ecuaciones paramétricas. Aunque tienen un aspecto inusual y hermoso, son tan comunes que tienen nombres, como se indica en cada ejercicio. Utilice una herramienta gráfica para graficar cada una de ellas en el dominio indicado. |
# Otras aplicaciones de la Trigonometría
## Vectores
Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora, como se muestra en la . ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión?
La velocidad con respecto al suelo se refiere a la velocidad de un avión que está en tierra. La velocidad aerodinámica se refiere a la velocidad que puede alcanzar un avión en relación con la masa de aire que lo rodea. Estas dos cantidades no son iguales debido al efecto del viento. En una sección anterior, utilizamos triángulos para resolver un problema similar relacionado con el movimiento de los barcos. Más adelante en esta sección hallaremos la velocidad con respecto al suelo y el rumbo del avión, mientras investigamos otro enfoque para problemas de este tipo. Sin embargo, primero vamos a examinar los fundamentos de los vectores.
### Visión geométrica de los vectores
Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial, donde comienza, y un punto terminal, donde termina. El vector se define por su magnitud, o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, el vector es un segmento rectilíneo dirigido. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades:
1. Letras minúsculas y en negrita, con o sin flecha en la parte superior, como por ejemplo
2. Dado el punto inicial
y punto terminal
un vector se puede representar como
La punta de flecha en la parte superior es lo que indica que no es solo una línea, sino un segmento rectilíneo dirigido.
3. Dado un punto inicial de
y punto terminal
un vector se puede representar como
Este último símbolo
tiene un significado especial. Este se denomina posición estándar. El vector de posición tiene un punto inicial
y un punto terminal
Para cambiar cualquier vector por el vector de posición, pensamos en el cambio de las coordenadas x y el cambio de las coordenadas y. Por lo tanto, si el punto inicial de un vector
es
y el punto terminal es
entonces el vector de posición se halla calculando
En la vemos el vector original
y el vector de posición
### Hallar la magnitud y la dirección
Para trabajar con un vector, tenemos que ser capaces de hallar su magnitud y su dirección. Hallamos su magnitud mediante el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia, y hallamos su dirección mediante la función tangente inversa.
### Realizar suma de vectores y multiplicación escalar
Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones con ellos. Aunque es conveniente pensar en el vector
como una flecha o segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto
los vectores se sitúan en cualquier lugar del plano. La suma de dos vectores y , o suma de vectores, produce un tercer vector + , el vector resultante.
Para calcular + , primero dibujamos el vector , y desde el punto terminal de , dibujamos el vector . Es decir, tenemos que el punto inicial de se encuentra con el punto terminal de . Esta posición corresponde a la noción de que nos movemos a lo largo del primer vector y luego, desde su punto terminal, nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma + es el vector resultante porque resulta de la suma o la resta de dos vectores. El vector resultante va directamente desde el principio de hasta el final de en una trayectoria recta, como se muestra en .
La resta de vectores es similar a la suma de vectores. Para hallar − , véalo como + (−). Para sumar - se invierte el sentido de sumarlo al extremo de . El nuevo vector comienza en el inicio de y se detiene en el punto final de -. Ver para una visual que compara la suma de vectores y la resta de vectores usando paralelogramos.
### Multiplicar por un escalar
Mientras que la suma y la resta de vectores nos da un nuevo vector con una magnitud y una dirección diferentes, el proceso de multiplicar un vector por un escalar, una constante, solo cambia la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector original.
### Hallar la forma en componentes
En algunas aplicaciones en las que intervienen vectores, nos resulta útil poder descomponer un vector en sus componentes. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal es la dirección
y el componente vertical es la dirección
. Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la que el vector de posición
resulta de sumar los vectores 1 y 2. Tenemos 1 con punto inicial
y punto terminal
También tenemos 2 con punto inicial
y punto terminal
Por lo tanto, el vector de posición es
Con el teorema de Pitágoras, la magnitud de 1 es 2, y la magnitud de 2 es 3. Para hallar la magnitud de , utilice la fórmula con el vector de posición.
La magnitud de es
Para hallar la dirección, utilizamos la función tangente
Así, la magnitud de es
y la dirección es
de la horizontal.
### Hallar el vector unitario en la dirección de v
Además de hallar los componentes de un vector, también sirve para resolver problemas hallar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud 1. Llamamos vector unitario a un vector con una magnitud de 1. Así podemos conservar la dirección del vector original y simplificar los cálculos.
Los vectores unitarios se definen en términos de componentes. El vector unitario horizontal se escribe como
y se dirige a lo largo del eje horizontal positivo. El vector unitario vertical se escribe como
y se dirige a lo largo del eje vertical positivo. Vea la .
### Realizar operaciones con vectores en términos de i y j
Hasta ahora hemos investigado los fundamentos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, las componentes de los vectores y la representación de los vectores geométricamente. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas en el trabajo con vectores, representaremos los vectores en coordenadas rectangulares en términos de y .
### Realizar operaciones con vectores en términos de i y j
Cuando los vectores se escriben en términos de y podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones escalares con operaciones sobre los componentes correspondientes.
### Calcular la forma en componentes de un vector: Dirección
Hemos visto cómo dibujar vectores según sus puntos iniciales y terminales y cómo hallar el vector de posición. También hemos examinado la notación para vectores dibujados específicamente en el plano de coordenadas cartesianas utilizando
Para cualquiera de estos vectores, podemos calcular la magnitud. Ahora queremos combinar los puntos clave y profundizar en las ideas de magnitud y dirección.
El cálculo de la dirección sigue el mismo proceso directo que utilizamos para las coordenadas polares. Hallamos la dirección del vector al hallar el ángulo con la horizontal. Para ello utilizamos las identidades trigonométricas básicas, pero con sustituyendo a
### Calcular el producto punto de dos vectores
Como ya hemos comentado en esta sección, la multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por otro vector, existen dos posibilidades: el producto punto y el producto cruzado. Aquí solo examinaremos el producto punto; es posible que halle el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados.
El producto punto de dos vectores consiste en multiplicar dos vectores entre sí, y el resultado es un escalar.
### Conceptos clave
1. El vector de posición tiene su punto inicial en el origen. Vea el .
2. Si el vector de posición es el mismo para dos vectores, son iguales. Vea el .
3. Los vectores se definen por su magnitud y dirección. Vea el .
4. Si dos vectores tienen la misma magnitud y dirección, son iguales. Vea el .
5. La suma y la resta de vectores dan como resultado un nuevo vector que se halla al sumar o restar los elementos correspondientes. Vea el .
6. La multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por una constante. Solo cambia la magnitud; la dirección sigue siendo la misma. Vea el y el .
7. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal a lo largo del eje x positivo y el componente vertical a lo largo del eje y positivo. Vea el .
8. El vector unitario en la misma dirección de cualquier vector distinto de cero se halla al dividir el vector entre su magnitud.
9. La magnitud de un vector en el sistema de coordenadas rectangulares es
Ver el .
10. En el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores unitarios pueden representarse en términos de y donde representa el componente horizontal y representa el componente vertical. Entonces, = a + b es un múltiplo escalar de por números reales
Vea el y el .
11. Sumar y restar vectores en términos de i y j consiste en sumar o restar los coeficientes correspondientes de i y los coeficientes correspondientes de j. Vea el .
12. Un vector v = a + b se escribe en términos de magnitud y dirección como
Vea el .
13. El producto punto de dos vectores es el producto de los términos más el producto de los términos . Vea el .
14. Podemos utilizar el producto punto para hallar el ángulo entre dos vectores. y .
15. Los productos punto son útiles para muchos tipos de aplicaciones físicas. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores y son iguales, donde tiene un punto inicial
y un punto terminal
y tiene un punto inicial
y un punto terminal
.
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores = + 5, = −2− 3, y = 4 − .
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados para calcular + , − y 2 − 3.
En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.
En los siguientes ejercicios, halle la magnitud y la dirección del vector,
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, dados dibuje 3 y
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para hacer un dibujo + , − y 2.
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar 2 + .
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar − 3.
En los siguientes ejercicios, escriba el vector mostrado en forma de componentes.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, utilice la magnitud y la dirección dadas en posición estándar, escriba el vector en forma de componente.
### Aplicaciones en el mundo real
### Ejercicios de repaso del capítulo
### Triángulos no rectos: ley de senos
En los siguientes ejercicios, supongamos que
es el lado opuesto
es el lado opuesto
y
es el lado opuesto
Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana.
### Triángulos no rectos: ley de cosenos
### Coordenadas polares
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana.
En los siguientes ejercicios, convierta a forma rectangular y grafique.
### Coordenadas polares: gráficos
En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de cada ecuación.
### Forma polar de números complejos
En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto de cada número complejo.
Escriba el número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular.
En los siguientes ejercicios, halle el producto
en forma polar.
En los siguientes ejercicios, halle el cociente
en forma polar.
En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar.
En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz.
En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo.
### Ecuaciones paramétricas
En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro
para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana.
### Ecuaciones paramétricas: gráficos
En los siguientes ejercicios, haga una tabla de valores para cada conjunto de ecuaciones paramétricas, grafique las ecuaciones e incluya una orientación; luego escriba la ecuación cartesiana.
### Vectores
En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores, y son iguales, donde tiene un punto inicial
y un punto terminal
y tiene un punto inicial
y un punto terminal
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores y para evaluar la expresión.
En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado.
En los siguientes ejercicios, calcule la magnitud y la dirección del vector.
En los siguientes ejercicios, calcule
### Prueba de práctica
Dados
y
evalúe cada expresión.
En los siguientes ejercicios, utilice los vectores = − 3 y = 2 + 3. |
# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Introducción
Al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, los oficiales militares y de inteligencia británicos reconocieron que para derrotar a la Alemania nazi era necesario que los aliados supieran lo que el enemigo estaba planeando. Esta tarea se complicó por el hecho de que los militares alemanes transmitían todas sus comunicaciones a través de un código presuntamente indescifrable, creado por una máquina llamada Enigma. Los alemanes llevaban codificando sus mensajes con esta máquina desde principios de la década de 1930, y confiaban tanto en su seguridad que la utilizaban tanto para las comunicaciones militares cotidianas como para los mensajes estratégicos de gran importancia. Preocupadas ante la creciente amenaza militar, otras naciones europeas comenzaron a trabajar para descifrar los códigos Enigma. Polonia fue el primer país en realizar avances significativos cuando formó y reclutó a un nuevo grupo de descifradores de códigos: los estudiantes de matemáticas de la Universidad de Poznań. Con la ayuda de la información obtenida por los espías franceses, los matemáticos polacos, dirigidos por Marian Rejewski, lograron descifrar los códigos iniciales y, más tarde, comprender el cableado de las máquinas; finalmente, crearon réplicas. Sin embargo, los militares alemanes acabaron por aumentar la complejidad de las máquinas añadiendo rotores adicionales, lo que requirió un nuevo método de descifrado.
La máquina unía las letras de un teclado a tres, cuatro o cinco rotores (según la versión), cada uno con 26 posiciones iniciales que podían fijarse antes de la codificación; un código de descifrado (llamado clave de cifrado) transmitía esencialmente estas configuraciones al destinatario del mensaje, y permitía interpretar el mensaje utilizando otra máquina Enigma. Incluso con el codificador de tres rotores más sencillo, había 17.576 combinaciones diferentes de posiciones de salida (26 x 26 x 26); además, la máquina tenía otros numerosos métodos para introducir variaciones. Poco después del comienzo de la guerra, los británicos reclutaron un equipo de extraordinarios descifradores de códigos para descifrar el código Enigma. Los descifradores de códigos, dirigidos por Alan Turing, utilizaron lo que sabían sobre la máquina Enigma para construir una computadora mecánica que pudiera descifrar el código. Ese conocimiento de lo que los alemanes estaban planeando resultó ser una parte clave de la victoria final de los Aliados sobre la Alemania nazi en 1945.
La máquina Enigma es quizás el dispositivo criptográfico más famoso que se conoce. Es un ejemplo del papel fundamental que ha desempeñado la criptografía en la sociedad. Ahora, la tecnología ha trasladado el criptoanálisis al mundo digital.
Muchos cifrados se diseñan utilizando matrices invertibles como método de transferencia de mensajes, ya que calcular la inversa de una matriz suele formar parte del proceso de descodificación. Además de conocer la matriz y su inversa, el receptor debe conocer también la clave que, al utilizarla con la matriz inversa, permitirá leer el mensaje.
En este capítulo investigaremos sobre las matrices y sus inversas, y varias formas de utilizar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones en sí mismos: lineales y no lineales, y luego las fracciones parciales. Aquí no vamos a descifrar ningún código secreto, pero sí vamos a sentar las bases para futuros cursos. |
# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
### Objetivos de aprendizaje
1. Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1)
2. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2)
### Objetivo: Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1)
Un sistema de ecuaciones lineales es un grupo de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo,
es un sistema de ecuaciones lineales
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un par ordenado x,y que es una solución para cada ecuación del sistema.
### La práctica hace la perfección
Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado.
en y
### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2)
### La práctica hace la perfección
Un fabricante de patinetas presenta una nueva línea de sus productos. El fabricante hace seguimiento de sus costos, lo cual es la cantidad que gasta para producir las patinetas, y de sus ingresos, lo cual es la cantidad que gana con su venta. ¿Cómo la compañía puede determinar si obtiene ganancias con su nueva línea? ¿Cuántas patinetas se deben producir y vender para obtener ganancias? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder estas y otras preguntas similares.
### Introducción a los sistemas de ecuaciones
Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para dar con la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos hallar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber, al menos, tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
En esta sección veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, lo cual consiste en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos variables.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. En este ejemplo, el par ordenado (4, 7) es la solución del sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve, investigaremos métodos para hallar esa solución, si es que existe.
Además de considerar el número de ecuaciones y variables, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones. Un sistema consistente de ecuaciones tiene, al menos, una solución. Se considera que un sistema consistente es un sistema independiente si tiene una única solución, como el ejemplo que acabamos de explorar. Las dos líneas tienen pendientes diferentes y se intersecan en un punto del plano. Se considera que un sistema consistente es un sistema dependiente si las ecuaciones tienen la misma pendiente y las mismas intersecciones en y. En otras palabras, las líneas coinciden, por lo que las ecuaciones representan la misma línea. Cada punto de la línea representa un par de coordenadas que satisface el sistema. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones.
Otro tipo de sistema de ecuaciones lineales es un sistema inconsistente, que es aquel en el que las ecuaciones representan dos líneas paralelas. Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y. No hay puntos comunes a ambas líneas; por lo tanto, no hay solución al sistema.
### Resolver sistemas de ecuaciones mediante un gráfico
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución al graficar el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes.
### Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución
Resolver un sistema lineal de dos variables mediante un gráfico funciona cuando la solución está formada por valores enteros. Sin embargo, si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que el gráfico. Uno de estos métodos es la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de método de sustitución, en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recordemos que solo podemos resolver para una variable a la vez, que es la razón por la que el método de sustitución es valioso y práctico.
### Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables por el método de la suma
Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de adición. En este método, sumamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas se establecen con los dos términos de una variable con coeficientes opuestos. A menudo, debemos ajustar una o las dos ecuaciones mediante multiplicación para que una de las variables se elimine con adición.
### Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables
Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recordemos que un sistema inconsistente está formado por líneas paralelas que tienen la misma pendiente, pero diferente intersección
. Nunca se intersecarán. Al buscar una solución a un sistema inconsistente, llegaremos a un enunciado falso, como
### Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables
Recordemos que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el cual las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos de una recta están también en la otra. Después de utilizar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como
### Usar sistemas de ecuaciones para investigar ganancias
Con base en lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas del principio de la sección. La función de ingresos del fabricante de patinetas es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que entra al negocio. Se puede representar mediante la ecuación
donde
cantidad y
precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la .
La función de costo es la función utilizada para calcular los costos de la actividad comercial. Incluye los costos fijos, como el alquiler y los salarios, y los costos variables, como los servicios públicos. La función de costo se muestra en azul en la . El eje
representa la cantidad en cientos de unidades. El eje y representa los costos o los ingresos en cientos de dólares.
El punto de intersección de las dos líneas se denomina punto de equilibrio. Observamos en el gráfico que, si se producen 700 unidades, el costo es de 3.300 dólares y los ingresos también son de 3.300 dólares. En otras palabras, la compañía alcanza el equilibrio si produce y vende 700 unidades. No ganan ni pierden dinero.
La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa las cantidades por las cuales la compañía obtiene ganancias. La región sombreada de la izquierda representa las cantidades por las que la empresa sufre pérdidas. La función de ganancias es la función de ingresos menos la función de costo, escrita como
Está claro que conocer la cantidad para la cual el costo es igual a los ingresos es de gran importancia para los negocios.
### Conceptos clave
1. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente.
2. La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. Vea el .
3. Los sistemas de ecuaciones se clasifican en independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes sin solución.
4. Un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es utilizar un gráfico. En este método, graficamos las ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Vea el .
5. Otro método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la sustitución. Con este método, resolvemos una variable en una ecuación y sustituimos el resultado en la segunda ecuación. Vea el .
6. Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la adición, con el cual podemos eliminar una variable sumando coeficientes opuestos de variables correspondientes. Vea el .
7. A menudo es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por una constante para facilitar la eliminación de una variable al sumar las dos ecuaciones. Vea el , el y el .
8. Cualquiera de los dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones da como resultado un enunciado falso para los sistemas inconsistentes porque están formados por líneas paralelas que nunca se intersecan. Vea el .
9. La solución de un sistema de ecuaciones dependientes siempre será verdadera porque ambas ecuaciones describen la misma línea. Vea el .
10. Los sistemas de ecuaciones se pueden usar para resolver problemas del mundo real en los que interviene más de una variable, como los relacionados con ingresos, costos y ganancias. Vea el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, determine si el par ordenado dado es una solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por sustitución.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por adición.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por cualquier método.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de ecuaciones y diga si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente y si tiene una solución, ninguna solución o infinitas soluciones.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice la función de intersección en un dispositivo gráfico para resolver cada sistema. Redondee todas las respuestas a la centésima más cercana.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema en términos de
y
donde
son números distintos de cero. Observe que
y
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, resuelva la cantidad deseada.
En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de ecuaciones lineales con dos variables y dos ecuaciones para resolver. |
# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
### Objetivos de aprendizaje
1. Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1)
2. Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2)
### Objetivo 1: Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1)
Una ecuación lineal con tres variables donde a, b, c y d son números reales y a, b y c no son todos 0, es de la forma . El gráfico de una ecuación lineal con tres variables es un plano.
Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables es un conjunto de ecuaciones lineales con tres variables. Por ejemplo,
es un sistema de ecuaciones lineales con tres variables.
Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas. La solución está representada por un triple ordenado (x,y,z).
### La práctica hace la perfección
Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado.
### Objetivo 2: Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2)
Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tenemos muchas soluciones posibles.
Las soluciones se resumen en la siguiente tabla.
### La práctica hace la perfección
Jordi recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4 % de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7 % de interés anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Jordi en cada tipo de fondo?
Comprender el enfoque correcto para plantear problemas como este hace que hallar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos este y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas parecidas a las que se emplean para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Sin embargo, dar con las soluciones a los sistemas de tres ecuaciones exige un poco más de organización y un toque de visualización.
### Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables
Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior, la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución
lo cual llamamos un triple ordenado. Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto:
La tercera ecuación se puede resolver para
y luego volvemos a sustituir para hallar
y
Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones:
1. Intercambie el orden de dos ecuaciones cualesquiera.
2. Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero.
3. Sume un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación.
El conjunto de soluciones de un sistema de tres por tres es un triple ordenado
Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar dicha intersección imaginando cualquier esquina de una habitación rectangular. Una esquina está definida por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o el techo). Cualquier punto de encuentro entre dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos.
### Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables
Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrarnos con un sistema de ecuaciones inconsistente en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones pueden representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en el mismo lugar. El proceso de eliminación dará como resultado un enunciado falso, como por ejemplo
o alguna otra contradicción.
### Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables
Sabemos por haber trabajado con sistemas de ecuaciones con dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo ocurre con los sistemas dependientes de ecuaciones de tres variables. De varias situaciones puede resultar un número infinito de soluciones. Los tres planos pueden ser iguales, de modo que la solución de una ecuación será la solución de las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se intersecan en una línea, lo cual tiene infinitas soluciones. O bien, dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea.
### Conceptos clave
1. Un conjunto de soluciones es un triple ordenado
que representa la intersección de tres planos en el espacio. Vea el .
2. Un sistema de tres ecuaciones de tres variables se puede resolver mediante una serie de pasos que obligan a eliminar una variable. Los pasos incluyen intercambiar el orden de las ecuaciones, multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero y sumar un múltiplo que no sea cero de una ecuación a otra ecuación. Vea el .
3. Los sistemas de tres ecuaciones de tres variables son útiles para resolver muchos tipos de problemas del mundo real. Vea el .
4. Un sistema de ecuaciones de tres variables es inconsistente si no existe solución. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una contradicción. Vea el .
5. Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son inconsistentes pueden ser el resultado de tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección o tres planos que se intersecan con los otros dos, pero no en el mismo lugar.
6. Un sistema de ecuaciones de tres variables es dependiente si tiene un número infinito de soluciones. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una identidad. Vea el .
7. Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son dependientes pueden ser el resultado de tres planos idénticos, tres planos que se intersecan en una línea o dos planos idénticos que se intersecan con el tercero en una línea.
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, determine si el triple ordenado dado es la solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación.
En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación de Gauss-Jordan.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema para
y
### Aplicaciones en el mundo real
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# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
### Objetivos de aprendizaje
1. Graficar una parábola (IA 11.2.1)
2. Graficar un círculo (IA 11.1.4)
### Objetivo 1: Graficar una parábola (IA 11.2.1)
Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola.
### La práctica hace la perfección
### Objetivo 2: Graficar un círculo (IA 11.1.4)
Cualquier ecuación de la forma es la forma estándar de la ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio. A continuación, podemos graficar el círculo en un sistema de coordenadas rectangulares utilizando el centro y el radio.
### La práctica hace la perfección
Grafique un círculo.
El cometa Halley () orbita el Sol aproximadamente una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales se pueden estudiar mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
### Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una ecuación que no es lineal. Recordemos que la ecuación lineal puede tomar la forma
Cualquier ecuación que no se pueda escribir en esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
### Intersección de una parábola y una línea
Hay tres posibles tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones no lineales que involucran una parábola y una línea.
### Intersección de un círculo y una línea
Al igual que con una parábola y una línea, hay tres resultados posibles al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea.
### Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación
Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas mediante la eliminación por adición es más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. A modo de ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una elipse.
### Graficar una inecuación no lineal
Todas las ecuaciones de los sistemas que hemos hallado hasta ahora han implicado igualdades, pero también podemos hallar sistemas que impliquen inecuaciones. Ya hemos aprendido a graficar inecuaciones lineales al graficar la ecuación correspondiente y luego sombrear la región representada por el símbolo de inecuación. Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una inecuación no lineal para que aprendamos a resolver sistemas de inecuaciones no lineales. Una inecuación no lineal es una inecuación que contiene una expresión no lineal. Graficar una inecuación no lineal es muy parecido a graficar una inecuación lineal.
Recordemos que cuando la inecuación es mayor que,
o menos que,
el gráfico se dibuja con una línea discontinua. Cuando la inecuación es mayor que o igual a,
o menor que o igual a,
el gráfico se dibuja con una línea sólida. Los gráficos crearán regiones en el plano y probaremos cada región para hallar una solución. Si un punto de la región funciona, toda la región funciona. Esa es la región que sombreamos. Vea la .
### Graficar un sistema de inecuaciones no lineales
Ahora, que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de inecuaciones no lineales es un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales es similar a graficar un sistema de inecuaciones lineales. La diferencia es que nuestro gráfico puede dar lugar a más regiones sombreadas que representan una solución que hallamos en un sistema de inecuaciones lineales. La solución de un sistema de inecuaciones no lineales es la región del gráfico en la que se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada inecuación, o en la que las regiones se intersecan, llamada región factible.
### Conceptos clave
1. Hay tres tipos posibles de soluciones a un sistema de ecuaciones que representan una línea y una parábola: (1) ninguna solución, la línea no interseca la parábola; (2) una solución, la línea es tangente a la parábola; y (3) dos soluciones, la línea interseca la parábola en dos puntos. Vea el .
2. Hay tres tipos de soluciones posibles para un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea: (1) ninguna solución, la línea no interseca el círculo; (2) una solución, la recta es tangente al círculo; (3) dos soluciones, la línea interseca el círculo en dos puntos. Vea el .
3. Hay cinco tipos posibles de soluciones al sistema de ecuaciones no lineales que representan una elipse y un círculo: (1) ninguna solución, el círculo y la elipse no se intersecan; (2) una solución, el círculo y la elipse son tangentes entre sí; (3) dos soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en dos puntos; (4) tres soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en tres lugares; (5) cuatro soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos. Vea el .
4. Una inecuación se representa gráficamente de la misma manera que una ecuación, excepto que para > o <, dibujamos una línea discontinua y sombreamos la región que contiene el conjunto de soluciones. Vea el .
5. Las inecuaciones se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero las soluciones a los sistemas de inecuaciones deben satisfacer ambas inecuaciones. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación.
En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones no lineales.
En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema no lineal.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones. Marcar todos los puntos de intersección.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, halle las soluciones de las ecuaciones no lineales con dos variables.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de inecuaciones. Utilice una calculadora para representar gráficamente el sistema y confirmar la respuesta.
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, construya un sistema de ecuaciones no lineales que describa el comportamiento dado, y luego resuelva las soluciones solicitadas. |
# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Fracciones parciales
### Objetivos de aprendizaje
1. Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3)
2. Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4)
### Objetivo 1: Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3)
Una expresión racional es una expresión de la forma donde p y q son polinomios y .
son ejemplos de expresiones racionales.
### La práctica hace la perfección
Calcule el mínimo común denominador de los siguientes racionales:
### Objetivo 2: Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4)
### Descomposición parcial de fracciones
Cuando sumamos expresiones racionales con denominadores distintos como y , primero tenemos que hallar el mínimo común denominador, luego reescribir cada fracción con el denominador común y finalmente sumar los dos numeradores.
Ahora queremos hacer lo contrario.
Dada una expresión racional como queremos reescribirla como una suma de dos expresiones racionales más simples y . Nuestra meta es hallar los valores de A y B de manera que
En este capítulo hemos estudiado sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí introducimos otra forma de utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales.
Las fracciones pueden ser complicadas; sumar una variable en el denominador las hace aún más complicadas. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional.
### Descomponer donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos
Recuerde el álgebra relativa a la suma y la resta de expresiones racionales. Estas operaciones dependen de hallar un denominador común para que podamos escribir la suma o la diferencia como una única expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de fracciones, que es el deshecho del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. Es decir, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamada la fracción parcial.
Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones:
Primero tendríamos que hallar un denominador común,
A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y hallaríamos la suma de los términos.
La descomposición parcial de fracciones es lo inverso de este procedimiento. Empezaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones.
Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador.
Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales es probable que cada una de las expresiones racionales originales que se sumaron o restaron tuvieran uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, al utilizar el ejemplo anterior, los factores de
son
los denominadores de la expresión racional descompuesta. Así que reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y utilizaremos una variable para cada numerador. A continuación, resolveremos cada numerador utilizando uno de varios métodos disponibles para la descomposición parcial de fracciones.
### Descomposición de donde Q(x) tiene factores lineales repetidos
Algunas fracciones con las que nos podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes.
### Descomposición de donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido
Hasta ahora, hemos realizado la descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores
o
que representan las constantes. Ahora veremos un ejemplo en el que uno de los factores del denominador es una expresión cuadrática que no se factoriza. Esto se denomina factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como
etc.
### Descomposición de cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido
Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de fracciones cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.
### Conceptos clave
1. Descomponer
al escribir las fracciones parciales como
Para resolver, despeje las fracciones, amplíe el lado derecho, reúna términos semejantes y establezca coeficientes correspondientes iguales entre sí, para luego plantear y resolver un sistema de ecuaciones. Vea el .
2. La descomposición de
con factores lineales repetidos debe considerar los factores del denominador en potencias crecientes. Vea el .
3. La descomposición de
con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático, como en
Vea el .
4. En la descomposición de
donde
tiene un factor cuadrático irreducible repetido, cuando los factores cuadráticos irreducibles se repiten, las potencias de los factores del denominador deben representarse en potencias crecientes como
Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales no repetitivos.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales repetidos.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático irreducible no repetitivo.
En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático repetido irreducible.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, halle la expansión de fracción parcial.
En los siguientes ejercicios, realice la operación y luego halle la descomposición de la fracción parcial. |
# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Matrices y operaciones con matrices
### Objetivos de aprendizaje
1. Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1)
2. Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar
### Objetivo 1: Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1)
Una matriz es un conjunto rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
Una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión m×n.
Cada número de la matriz se llama elemento o entrada de la matriz.
La matriz de la izquierda de abajo tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que tiene orden 2×3. Decimos que es una matriz 2 por 3.
Utilizaremos una matriz para representar sistemas de ecuaciones.
Cada columna sería entonces los coeficientes de una de las variables del sistema o las constantes.
Una línea vertical sustituye los signos de igual.
Llamamos a la matriz resultante la matriz aumentada del sistema de ecuaciones.
### La práctica hace la perfección
Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada
### Objetivo 2: Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar
Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.
Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz 3 × 3 y otra matriz 3 × 3, pero no podemos sumar o restar una matriz 2 × 3 y una matriz 3 × 3 porque algunas entradas de una matriz no tendrán su correspondiente entrada en la otra matriz.
La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.
### La práctica hace la perfección
Realice las operaciones indicadas
Dos equipos de fútbol de club, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevo equipamiento para una próxima temporada. La muestra las necesidades de ambos equipos.
Una portería cuesta 300 dólares, un balón 10 dólares y una camiseta 30 dólares. ¿Cómo podemos calcular el costo total del equipamiento necesario para cada equipo? En esta sección descubrimos un método en el que los datos de la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipamiento.
### Hallar la suma y la diferencia de dos matrices
Para resolver un problema como el descrito de los equipos de fútbol, podemos utilizar una matriz, que es un conjunto rectangular de números. La fila de una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. La columna de una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada, a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran en [ ] o ( ), y suelen nombrarse con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices denominadas
y
se muestran a continuación.
### Descripción de matrices
A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o sus dimensiones:
indicando
filas y
columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para localizar la entrada en la matriz
identificada como
buscamos la entrada en la fila
columna
En la matriz
que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es
Una matriz cuadrada es una matriz de dimensiones
lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz
La anterior es un ejemplo de matriz cuadrada.
Una matriz de filas es una matriz formada por una fila de dimensiones
Una matriz de columnas es una matriz formada por una columna de dimensiones
Se puede utilizar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están cargadas de variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones con matrices básicas.
### Suma y resta de matrices
Utilizamos las matrices para enumerar datos o representar sistemas. Como las entradas son números, podemos realizar operaciones con matrices. Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes.
Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y la resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Podemos sumar o restar una matriz
y otra matriz
, pero no podemos sumar o restar una matriz
y una matriz
porque algunas entradas de una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz.
### Hallar múltiplos escalares de una matriz
Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante denominada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de números reales que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar.
Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita aumentar su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de las inscripciones. Calculan que se necesita un 15 % más de equipamiento en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la .
Al convertir los datos en una matriz, tenemos
Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas de la matriz
por 0,15.
Debemos redondear al siguiente número entero, por lo que la cantidad de equipos nuevos necesarios es
Al sumar las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario.
Esto significa que
Así, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas; el laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas.
### Calcular la multiplicación de dos matrices
Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Calcular la multiplicación de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son iguales, es decir, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si los valores de
es una matriz
y
es una matriz
, entonces la matriz producto
es una matriz
. Por ejemplo, el producto
es posible porque el número de columnas en
es el mismo que el número de filas en
Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido.
Multiplicamos las entradas de
con entradas de
de acuerdo con un patrón específico que se describe a continuación. El proceso de la multiplicación de matrices se hace más claro cuando se trabaja un problema con números reales.
Para obtener las entradas de la fila
de
multiplicamos las entradas de la fila
de
por columna
en
y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices
y
donde las dimensiones de
son
y las dimensiones de
son
el producto de
será una matriz
.
Multiplique y sume de la siguiente forma para obtener la primera entrada de la matriz producto
1. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de
multiplique la primera fila de
por la primera columna de
y sumamos.
2. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de
multiplique la primera fila de
por la segunda columna de
y sumamos.
3. Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de
multiplique la primera fila de
por la tercera columna de
y sumamos.
Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de
En otras palabras, la fila 2 de
por la columna 1 de
fila 2 de
por la columna 2 de
fila 2 de
por la columna 3 de
Cuando se haya culminado, la matriz producto será
### Conceptos clave
1. Una matriz es un conjunto rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas.
2. Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. Un triángulo de
matriz tiene tres filas y dos columnas. Vea el .
3. Sumamos y restamos matrices de igual dimensión al sumar y restar las entradas correspondientes de cada matriz. Vea el , el , el y el .
4. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por una constante. Vea el .
5. La multiplicación escalar suele ser necesaria antes de que se produzca la suma o la resta. Vea el .
6. La multiplicación de matrices es posible cuando las dimensiones interiores son las mismas: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.
7. La multiplicación de dos matrices,
y
se obtiene multiplicando cada entrada de la fila 1 de
por cada entrada de la columna 1 de
y multiplicar cada entrada de la fila 1 de
por cada entrada en las columnas 2 de
y así sucesivamente. Vea el y el .
8. Muchos problemas del mundo real se pueden resolver, a menudo, utilizando matrices. Vea el .
9. Podemos utilizar una calculadora para realizar operaciones con matrices después de guardar cada matriz como una variable de matriz. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación y realice la suma o la resta de matrices. Indicar si la operación es indefinida.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación escalar.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación.
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista:
)
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista:
)
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. Utilice una calculadora para verificar su solución.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, utilice la matriz que aparece a continuación para realizar la operación indicada. |
# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
### Objetivos de aprendizaje
1. Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2)
2. Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3)
### Objetivo 1: Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2)
En la última sección, aprendimos a escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones.
Una vez que un sistema de ecuaciones esté en su forma de matriz aumentada, resolveremos por eliminación realizando operaciones sobre las filas que nos lleven a la solución. Nuestro objetivo será obtener 1 en la diagonal de la matriz y todas las entradas por debajo de la diagonal deben ser ceros.
### Operaciones de fila
En una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones en cualquier fila, y la matriz resultante será equivalente a la matriz original.
1. Intercambie dos filas cualesquiera.
2. Multiplique una fila por cualquier número real excepto 0.
3. Sume un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila.
Estas acciones se denominan operaciones de fila y nos ayudarán a utilizar la matriz para resolver un sistema de ecuaciones.
### La práctica hace la perfección
### Objetivo 2: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3)
Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando matrices, transformamos la matriz aumentada en una matriz en forma escalonada por filas mediante operaciones de fila. En un sistema de ecuaciones consistente e independiente, la matriz aumentada está en forma escalonada por filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros.
Una vez que obtenemos la matriz aumentada en forma escalonada por filas, podemos escribir el sistema de ecuaciones equivalente y resolver al menos una variable. A continuación, sustituimos este valor en otra ecuación para seguir resolviendo las demás variables.
### La práctica hace la perfección
Carl Friedrich Gauss vivió a finales del siglo XVIII y principios del XIX, pero se lo sigue considerando uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus aportes a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de las matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos siglos pasados.
La primera vez que estudiamos la eliminación de Gauss-Jordan fue en la sección Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables En esta sección volveremos a examinar esta técnica de resolver sistemas, esta vez mediante matrices.
### Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones
Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y estas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
dado.
Podemos escribir este sistema como una matriz aumentada:
También podemos escribir una matriz que contenga solo los coeficientes. Esto se llama la matriz de coeficientes.
Un sistema de ecuaciones de tres por tres como
tiene una matriz de coeficientes
y está representada por la matriz aumentada
Tome en cuenta que la matriz está escrita de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: los términos x van en la primera columna, los términos y en la segunda columna y los términos z en la tercera columna. Es muy importante que cada ecuación se escriba en forma estándar
para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es 0.
### Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada
Podemos utilizar las matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están condicionados por las variables. Sin embargo, es importante saber cómo pasar de un formato a otro para que la búsqueda de soluciones sea más fácil e intuitiva. Aquí, utilizaremos la información de una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar.
### Realizar operaciones de fila en una matriz
Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las distintas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como adición, multiplicación por una constante e intercambio de filas.
Realizar operaciones de fila en una matriz es el método que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz a la forma escalonada por filas, en la cual hay unos en la diagonal principal desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha y ceros en cada posición por debajo de la diagonal principal como se muestra.
Utilizamos las operaciones de fila correspondientes a las operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es una equivalencia de fila en una forma más simple. Estas son las directrices para obtener la forma escalonada por filas.
1. En cualquier fila distinta de cero, el primer número distinto de cero es un 1. Se denomina 1 líder.
2. Todas las filas con ceros se colocan en la parte inferior de la matriz.
3. Cualquier 1 líder está por debajo y a la derecha de un 1 líder anterior.
4. Cualquier columna que contenga un 1 líder tiene ceros en todas las demás posiciones de la columna.
Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes a la forma escalonada por filas y volver a sustituir para hallar la solución.
1. Filas de intercambio (notación:
).
2. Multiplique una fila por una constante (notación:
).
3. Sume el producto de una fila multiplicado por una constante a otra fila (notación:
Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones con tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que lograrán rápidamente el objetivo de escribir una matriz en forma escalonada por filas. Para obtener una matriz en forma escalonada por filas para hallar soluciones, utilizamos la eliminación de Gauss-Jordan, un método que utiliza las operaciones de fila para obtener un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se puede usar para convertir las filas restantes.
### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices
Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada y, luego cómo utilizar las operaciones de fila y volver a sustituir para obtener la forma escalonada por filas. Ahora, llevaremos la forma escalonada por filas un paso más allá para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. La idea general es eliminar todas las variables menos una mediante operaciones de fila y luego volver a sustituir para resolver las otras variables.
### Conceptos clave
1. Una matriz aumentada es aquella que contiene los coeficientes y las constantes de un sistema de ecuaciones. Vea el .
2. Una matriz aumentada con la columna constante se puede representar como el sistema de ecuaciones original. Vea el .
3. Las operaciones con filas incluyen la multiplicación de una fila por una constante, la adición de una fila a otra fila y el intercambio de filas.
4. Podemos utilizar la eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones. Vea el , el y el .
5. Las operaciones de fila se realizan en las matrices para obtener la forma escalonada por filas. Vea el .
6. Para resolver un sistema de ecuaciones, escríbalo en forma de matriz aumentada. Realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. Volver a sustituir para hallar las soluciones. Vea el y el .
7. Se puede utilizar una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices. Vea el .
8. Muchos problemas del mundo real se pueden resolver con matrices aumentadas. Vea el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema lineal.
En los siguientes ejercicios, escriba el sistema lineal a partir de la matriz aumentada.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema por eliminación de Gauss-Jordan.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema.
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, establezca la matriz aumentada que describe la situación y obtenga la solución deseada. |
# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Resolver sistemas con inversas
### Objetivos de aprendizaje
1. Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1)
2. Evaluar el determinante de una matriz 3 x 3 (IA 4.6.2)
### Objetivo 1: Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1)
Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la denominamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene asociado un número real llamado su determinante.
### La práctica hace la perfección
Halle el determinante de las matrices 2 x 2.
### Objetivo 2: Evalúe el determinante de una matriz 3×3 (IA 4.6.2)
Para evaluar el determinante de una matriz 3 × 3, debemos ser capaces de evaluar el menor de una entrada en el determinante.
El menor de una entrada es el determinante 2×2 que se calcula al eliminar la fila y la columna en el determinante 3×3 que contiene la entrada.
Por ejemplo, hallar el menor de la entrada a1, eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la primera fila y la primera columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda.
Para calcular el menor de la entrada b2, eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la segunda fila y la segunda columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda.
### Estrategia para evaluar el determinante de una matriz 3 x 3
Para evaluar un determinante 3 × 3 podemos expandir por menores utilizando cualquier fila o columna. La elección de una fila o columna distinta de la primera facilita a veces el trabajo.
Cuando expandimos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, utilizamos la siguiente tabla de patrones de signos.
### Expandir por menores a lo largo de la primera fila para evaluar un determinante 3 x 3.
Para evaluar un determinante 3 × 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, utilizamos el siguiente patrón:
NOTA: Podemos evaluar el determinante de una matriz expandiendo los menores a lo largo de cualquier fila o columna. Cuando una fila o una columna tiene una entrada cero, la expansión por esa fila o columna ocasiona menos cálculos.
### La práctica hace la perfección
Soriya planea invertir 10.500 dólares en dos bonos diferentes para repartir su riesgo. El primer bono tiene una rentabilidad anual del , y el segundo bono tiene una rentabilidad anual del . Para recibir un rendimiento del de los dos bonos, ¿cuánto debería invertir Soriya en cada uno de ellos? ¿Cuál es el mejor método para resolver este problema?
Hay varias maneras de resolver este problema. Como hemos visto en las secciones anteriores, los sistemas de ecuaciones y las matrices son útiles para resolver problemas del mundo real relacionados con las finanzas. Después de estudiar esta sección, tendremos las herramientas para resolver el problema de los bonos utilizando la inversa de una matriz.
### Hallar la inversa de una matriz
Sabemos que el multiplicador inverso de un número real
es
y
Por ejemplo,
y
El multiplicador inverso de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz
y su inversa
es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices de identidad mediante
donde
representa la dimensión de la matriz. Observe las siguientes ecuaciones.
La matriz identidad actúa como un 1 en el álgebra de la matriz. Por ejemplo,
Una matriz que tiene un multiplicador inverso tiene las propiedades
Una matriz que tiene un multiplicador inverso se llama matriz invertible. Solo una matriz cuadrada puede tener un multiplicador inverso, como la reversibilidad,
es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si
es invertible, entonces
es único. Veremos dos métodos para hallar la inversa de una matriz
y un tercer método que se puede utilizar en ambas matrices
y
.
### Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices
Ahora podemos determinar si dos matrices son inversas, pero ¿cómo podríamos hallar la inversa de una matriz dada? Como sabemos que el producto de una matriz y su inversa es la matriz identidad, podemos hallar la inversa de una matriz planteando una ecuación mediante la multiplicación de matrices.
### Hallar el multiplicador inverso al aumentar con la identidad
Otra forma de hallar el multiplicador inverso es mediante el aumento de la identidad. Cuando la matriz
se transforma en
la matriz aumentada
se transforma en
Por ejemplo, dado
aumente
con la identidad
Realice operaciones de fila con la meta de convertir
en la identidad.
1. Cambie la fila 1 y la fila 2.
2. Multiplique la fila 2 por
y sume a la fila 1.
3. Multiplique la fila 1 por
y sume a la fila 2.
4. Sume la fila 2 a la fila 1.
5. Multiplique la fila 2 por
La matriz que hemos hallado es
### Hallar el multiplicador inverso de las matrices de 2×2 utilizando una fórmula
Cuando necesitemos hallar el multiplicador inverso de una matriz
, podemos utilizar una fórmula especial en vez de utilizar la multiplicación de matrices o aumentar con la identidad.
Si los valores de
es una matriz
, de forma que
el multiplicador inverso de
viene dado por la fórmula
donde
Si
entonces
no tiene inversa.
### Hallar el multiplicador inverso de matrices 3 × 3
Lamentablemente, no disponemos de una fórmula similar a la de la matriz
para hallar la inversa de una matriz
. En vez de eso, aumentaremos la matriz original con la matriz identidad y utilizaremos operaciones de fila para obtener la inversa.
Dada una matriz
aumente
con la matriz identidad
Para empezar, escribimos la matriz aumentada con la identidad a la derecha y
a la izquierda. Realizando operaciones de fila elementales para que la matriz identidad aparezca a la izquierda, obtendremos la matriz inversa a la derecha. Hallaremos la inversa de esta matriz en el ejemplo siguiente.
### Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa de una matriz
Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices:
es la matriz que representa las variables del sistema y
es la matriz que representa las constantes. Utilizando la multiplicación de matrices, podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables como
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa, consideremos que
representa la matriz de coeficientes, consideremos que
representa la matriz variable y que
representa la matriz constante. Así, queremos resolver un sistema
Por ejemplo, observe el siguiente sistema de ecuaciones.
A partir de este sistema, la matriz de coeficientes es
La matriz variable es
Y la matriz constante es
Luego
parece
Recordemos el análisis anterior en esta sección sobre la multiplicación de un número real por su inverso,
Para resolver una sola ecuación lineal
por
simplemente multiplicaríamos ambos lados de la ecuación por el multiplicador inverso (recíproco) de
Así,
La única diferencia entre resolver una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones escrito en forma de matriz es que calcular la inversa de una matriz es más complicado, y la multiplicación de matrices es un proceso más largo. Sin embargo, el objetivo es el mismo: aislar la variable.
Investigaremos sobre esta idea en detalle, pero es útil comenzar con un sistema
y luego pasar a un sistema
.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Una matriz identidad tiene la propiedad
Vea el .
2. Una matriz invertible tiene la propiedad
Vea el .
3. Utilice la multiplicación de matrices y la identidad para hallar la inversa de una matriz
. Vea el .
4. El multiplicador inverso se puede hallar mediante una fórmula. Vea el .
5. Otro método para hallar la inversa es aumentándola con la identidad. Vea el .
6. Podemos aumentar una matriz
con la identidad a la derecha y utilizar las operaciones de fila para convertir la matriz original en la identidad, y la matriz de la derecha se convierte en la inversa. Vea el .
7. Escriba el sistema de ecuaciones como
y multiplique ambos lados por la inversa de
Vea el y el .
8. También podemos utilizar una calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, demuestre que la matriz
es la inversa de la matriz
En los siguientes ejercicios, halle el multiplicador inverso de cada matriz, si existe.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz
.
En los siguientes ejercicios, resuelva un sistema utilizando la inversa de una matriz
.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver el sistema de ecuaciones con matrices inversas.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz dada.
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones que represente la situación. Luego, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz. |
# Sistemas de ecuaciones e inecuaciones
## Resolver sistemas con la regla de Cramer
### Objetivos de aprendizaje
1. Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3)
### Objetivo 1: Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3)
La regla de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones.
### La práctica hace la perfección
### La práctica hace la perfección
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por varios métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss-Jordan, utilizando la inversa de una matriz y mediante gráficos. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más adecuados en determinadas situaciones. En esta sección estudiaremos otras dos estrategias para resolver sistemas de ecuaciones.
### Evaluar el determinante de una matriz 2×2
El determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí, utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. Las señales o mensajes seguros se envían a veces codificados en una matriz. Los datos solo se pueden descifrar con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se exponen en esta sección.
### Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables
Ahora presentaremos un último método para resolver sistemas de ecuaciones que utiliza determinantes. Conocida como regla de Cramer, esta técnica se remonta a mediados del siglo XVIII y lleva el nombre de su innovador, el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), que la introdujo en 1750 en Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques “Introducción al análisis de curvas algebraicas”.. La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
La regla de Cramer nos dará la solución única de un sistema de ecuaciones, si existe. Sin embargo, si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, esto se indicará con un determinante de cero. Para saber si el sistema es inconsistente o dependiente, habrá que utilizar otro método, como la eliminación.
Para entender la regla de Cramer, vamos a ver de cerca cómo resolvemos los sistemas de ecuaciones lineales mediante operaciones básicas de fila. Consideremos un sistema de dos ecuaciones en dos variables.
Eliminamos una variable mediante operaciones de fila y resolvemos la otra. Digamos que deseamos resolver para
Si la ecuación (2) se multiplica por el contrario del coeficiente de
en la ecuación (1), la ecuación (1) se multiplica por el coeficiente de
en la ecuación (2) y sumamos las dos ecuaciones, la variable
será eliminada.
Ahora, resuelva para
Del mismo modo, resuelva para
eliminaremos
Resuelva para
da como resultado
Observe que el denominador de ambos
y
es el determinante de la matriz de coeficientes.
Podemos utilizar estas fórmulas para resolver
y
pero la regla de Cramer también introduce una nueva notación:
1.
determinante de la matriz de coeficientes
2.
determinante del numerador en la solución de
3.
determinante del numerador en la solución de
La clave de la regla de Cramer es sustituir la columna variable de interés por la columna constante y calcular los determinantes. Podemos entonces expresar
y
como cociente de dos determinantes.
### Evaluar el determinante de una matriz 3 × 3
Hallar el determinante de una matriz 2×2 es sencillo, pero hallar el determinante de una matriz 3×3 es más complicado. Un método consiste en aumentar la matriz 3×3 con una repetición de las dos primeras columnas, lo que genera una matriz 3×5. A continuación, calculamos la suma de los productos de las entradas hacia abajo de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha) y restamos los productos de las entradas hacia arriba de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha). Esto se entiende mejor con una imagen y un ejemplo.
Halle el determinante de la matriz 3×3.
1. Aumente
con las dos primeras columnas.
2. De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: multiplique las entradas por la primera diagonal. Sume el resultado al producto de las entradas de la segunda diagonal. Sume este resultado al producto de las entradas de la tercera diagonal.
3. De abajo a la izquierda a arriba a la derecha: reste el producto de las entradas de la primera diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la segunda diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la tercera diagonal.
El álgebra es la siguiente:
### Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables
Ahora que podemos calcular el determinante de una matriz 3 × 3, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables. La regla de Cramer es sencilla y sigue un patrón consistente con la regla de Cramer para matrices de 2 × 2. Sin embargo, a medida que el orden de la matriz aumenta a 3 × 3, se requieren muchos más cálculos.
Cuando calculamos que el determinante es cero, la regla de Cramer no da ninguna indicación de si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Para averiguarlo, tenemos que hacer una eliminación en el sistema.
Considere un sistema de ecuaciones 3 × 3.
donde
Si escribimos el determinante
sustituimos la columna
con la columna constante. Si escribimos el determinante
sustituimos la columna
con la columna constante. Si escribimos el determinante
sustituimos la columna
con la columna constante. Compruebe siempre la respuesta.
### Comprender las propiedades de los determinantes
Hay muchas propiedades de los determinantes. A continuación, se enumeran algunas propiedades que pueden ser útiles para calcular el determinante de una matriz.
### Conceptos clave
1. El determinante para
es
Vea el .
2. La regla de Cramer sustituye una columna variable por la columna constante. Las soluciones son
Vea el .
3. Para calcular el determinante de una matriz 3×3, aumente con las dos primeras columnas. Sume las tres entradas diagonales (de la izquierda superior a la derecha inferior) y reste las tres entradas diagonales (de la izquierda inferior a la derecha superior). Vea el .
4. Para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables mediante la regla de Cramer, sustituya una columna variable por la columna de la constante para cada solución deseada
Vea el .
5. La regla de Cramer también es útil para hallar la solución de un sistema de ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones. Vea el y el .
6. Ciertas propiedades de los determinantes son útiles para resolver problemas. Por ejemplo:
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, calcule el determinante.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, utilice la función determinante en una herramienta gráfica.
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. Luego, calcule el determinante. ¿Habrá una solución única? Si es así, halle la solución única.
En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. A continuación, resuelva el sistema para todas las soluciones mediante la regla de Cramer.
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una compañía preocupada por la salud decide hacer una mezcla de frutos secos con almendras, arándanos secos y anacardos cubiertos de chocolate. La información nutricional de estos artículos se muestra en la .
### Ejercicios de repaso
### Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables
En los siguientes ejercicios, determina si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice adición para resolver el sistema de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.
### Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de tres ecuaciones utilizando la sustitución o la adición.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.
### Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales.
En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación.
En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones.
### Fracciones parciales
En los siguientes ejercicios, descomponga en fracciones parciales.
### Matrices y operaciones con matrices
En los siguientes ejercicios, realice las operaciones solicitadas con las matrices dadas.
### Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan
En los siguientes ejercicios, escriba el sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz aumentada. Indique si habrá una solución única.
En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan.
### Resolver sistemas con inversos
En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz.
En los siguientes ejercicios, halle las soluciones mediante el cálculo de la inversa de la matriz.
En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones.
### Resolver sistemas con la regla de Cramer
En los siguientes ejercicios, calcule el determinante.
En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas lineales de ecuaciones.
### Prueba de práctica
¿El siguiente par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones?
En los siguientes ejercicios, resuelva los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales mediante sustitución o eliminación. Indicar si no existe solución.
En los siguientes ejercicios, grafique las siguientes inecuaciones.
En los siguientes ejercicios, escriba la descomposición parcial de fracciones.
En los siguientes ejercicios, realice las operaciones con matrices dadas.
En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la inversa de una matriz para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas de ecuaciones.
En los siguientes ejercicios, resuelva mediante un sistema de ecuaciones lineales. |
# Geometría analítica
## Introducción
El matemático griego Menecmo (c. 380–a. C. 320 a. C.) se le atribuye generalmente el descubrimiento de las formas que se generan por la intersección de un plano y un cono circular recto. Según cómo inclinara el plano cuando se cruzara con el cono, formaba diferentes formas en la intersección: bellas formas con una simetría casi perfecta.
También se dijo que Aristóteles pudo haber tenido una comprensión intuitiva de estas formas, ya que observó que la órbita del planeta era circular. Supuso que los planetas se movían en órbitas circulares alrededor de la Tierra, y durante casi 2.000 años esta fue la creencia común.
No fue hasta el movimiento del Renacimiento cuando Johannes Kepler se dio cuenta de que las órbitas del planeta no eran de naturaleza circular. La ley del movimiento planetario que publicó en el siglo XVII cambió para siempre nuestra visión del sistema solar. Afirmaba que el sol estaba en un extremo de las órbitas y que los planetas giraban alrededor del sol en una trayectoria ovalada.
Otros objetos del sistema solar (y quizá de otros sistemas) siguen una trayectoria elíptica similar, incluidos los espectaculares anillos de Saturno. A partir de esta idea, matemáticos del siglo XIX como James Clerk Maxwell y Sofya Kovalevskaya demostraron que, a pesar de su apariencia a través de los telescopios de la época (e incluso en los actuales), los anillos no son sólidos y continuos, sino que están compuestos por pequeñas partículas. Incluso después de que las misiones Voyager y Cassini suministraran datos en primer plano y detallados sobre las estructuras de los anillos, la comprensión completa de su construcción depende en gran medida del análisis matemático. Son especialmente interesantes las influencias de las lunas y los lunares de Saturno, y la forma en que alteran y preservan la estructura del anillo.
En este capítulo investigaremos las figuras bidimensionales que se forman cuando a un cono circular recto lo interseca un plano. Comenzaremos estudiando cada una de las tres figuras creadas de esta manera. Desarrollaremos ecuaciones de definición para cada figura y luego aprenderemos a utilizar estas ecuaciones para resolver una variedad de problemas. |
# Geometría analítica
## La elipse
### Objetivos de aprendizaje
1. Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1)
2. Grafique un círculo. (IA 11.1.4)
### Objetivo 1: Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1)
¿Pero qué ocurre si tenemos que resolver una ecuación en la que el trinomio no es un cuadrado perfecto?
Por ejemplo, ? Para este tipo de ecuaciones, podemos utilizar un proceso llamado completar el cuadrado.
Recuerde .
Podemos utilizar el patrón de los cuadrados binomiales para hacer un cuadrado perfecto.
### La práctica hace la perfección
Determine qué número habría que sumar a los términos dados para crear un trinomio cuadrado perfecto. Entonces reescriba como un binomio al cuadrado.
### Objetivo 2: Grafique un círculo. (IA 11.1.4)
Un círculo son todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto determinado del plano. El punto dado recibe el nombre de centro, (h, k) y la distancia fija se denomina radio, r, del círculo.
La forma estándar o gráfica de la ecuación de un círculo con centro, (h, k) y radio, r, es .
La forma general de la ecuación de un círculo es . Si nos dan una ecuación en forma general, podemos cambiarla a la estándar, también llamada forma gráfica, completando los cuadrados de la x y la y. Entonces podemos graficar el círculo usando su centro y su radio.
### La práctica hace la perfección
¿Se imagina estar de pie en un extremo de una gran sala y seguir oyendo un susurro de una persona situada en el otro extremo? El National Statuary Hall en Washington, D.C., que se muestra en la , es una de esas salas.Arquitecto del Capitolio. http://www.aoc.gov. Consultado el 15 de abril de 2014. Se trata de una sala semicircular llamada cámara de los susurros porque su forma hace posible que el sonido se desplace por las paredes y la cúpula. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia a la que pueden situarse dos personas en la Sala de las Estatuas y seguir oyéndose susurrar.
### Escribir la ecuación de elipse en la forma estándar
Una sección cónica, o cónica, es una forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en los que el plano interseca el cono determina la forma, como se muestra en la .
Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que el gráfico de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos
en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y un cordel. Coloque las chinchetas en la cartulina para formar los focos de la elipse. Corte un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante de la definición). Fije cada extremo de la cuerda a la cartulina y trace una curva con un lápiz tensado contra la cuerda. El resultado es una elipse. Vea la .
Toda elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el más corto, eje menor. Cada extremo del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices), y cada extremo del eje menor es un covértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares en el centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor, y la suma de las distancias de los focos a cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos. Vea la .
En esta sección nos limitamos a las elipses que se sitúan vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán situados o serán paralelos a los ejes x y y. Más adelante, veremos elipses giradas en el plano de coordenadas.
Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que están centradas en el origen y las que están centradas en un punto distinto del origen. Primero, aprenderemos a derivar las ecuaciones de las elipses y luego, aprenderemos a escribir las ecuaciones de las elipses en forma estándar. Posteriormente utilizaremos lo aprendido para dibujar los gráficos.
### Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen
Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focos
y
La elipse es el conjunto de todos los puntos
tal que la suma de las distancias a los focos
es constante, como se muestra en la .
Si los valores de
es un vértice de la elipse, la distancia desde
al
es
La distancia de
al
es
. La suma de las distancias de los focos al vértice es
Si los valores de
es un punto de la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables:
Por la definición de una elipse,
es constante para cualquier punto
en la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias es
para el vértice
Se deduce que
para cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica.
Así, la ecuación estándar de una elipse es
Esta ecuación define una elipse centrada en el origen. Si los valores de
la elipse se estira más en la dirección horizontal, y si
la elipse se estira más en la dirección vertical.
### Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar
Las formas estándar de las ecuaciones nos hablan de las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar las formas estándar de las ecuaciones, se tiende un puente entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos.
Las características clave de la elipse son su centro, vértices, covértices, focos y longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor. Al igual que con otras ecuaciones, identificamos todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Existen cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada una de ellas se presenta junto con una descripción de cómo se relacionan las partes de la ecuación con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse.
### Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen
Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una elipse se puede trasladar. Si se traslada una elipse
unidades en horizontal y
unidades verticalmente, el centro de la elipse será
Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con
sustituido por
y y se sustituye por
### Graficar elipses centradas en el origen
Al igual que podemos escribir la ecuación de una elipse dado su gráfico, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, utilizamos la forma estándar
para las elipses horizontales y
para las elipses verticales.
### Graficar elipses no centradas en el origen
Cuando una elipse no está centrada en el origen, todavía podemos utilizar las formas estándar para hallar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto,
utilizamos las formas estándar
para las elipses horizontales y
para las elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los covértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor.
### Resolver problemas aplicados con elipses
Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, como las órbitas de los planetas, satélites, lunas y cometas y las formas de las quillas de los barcos, los timones y algunas alas de los aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que esté en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda sonora se origina en un foco de una cámara de susurros, la onda sonora se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Vea la . En la cámara de susurros del Museo de Ciencia y la Industria de Chicago, dos personas situadas en el foco —a unos 43 pies de distancia— pueden oírse mutuamente. Cuando estas cámaras se colocan en lugares inesperados, como las que hay en el interior del aeropuerto internacional Bush de Houston y en la terminal Grand Central de Nueva York, pueden inducir reacciones de sorpresa entre los viajeros.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Una elipse es el conjunto de todos los puntos
en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).
2. Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Vea el y el .
3. Cuando se da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, covértices, focos y las longitudes y las posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Vea el y el .
4. Cuando se da la ecuación de una elipse centrada en algún punto distinto del origen, podemos identificar sus rasgos principales y representarla gráficamente. Vea el y el .
5. Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante las ecuaciones estándar de las elipses y luego evaluar para hallar las características clave, como las longitudes de los ejes y la distancia entre los focos. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, determine si las ecuaciones dadas representan elipses. Si la respuesta es afirmativa, escríbala en la forma estándar.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de una elipse en forma estándar, e identifique los puntos finales de los ejes mayor y menor, así como los focos.
En los siguientes ejercicios, halle los focos de las elipses dadas.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, grafique las elipses dadas y tome en cuenta el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada sobre el gráfico de cada elipse para determinar su ecuación.
En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la elipse, determine su ecuación.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, calcule el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula
### Aplicaciones en el mundo real
|
# Geometría analítica
## La hipérbola
### Objetivos de aprendizaje
1. Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1)
2. Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1)
### Objetivo 1: Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1)
### La práctica hace la perfección
Utilizar la fórmula de distancia.
### Objetivo 2: Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1)
La hipérbola son todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos recibe el nombre de foco de la hipérbola.
La línea que pasa por los focos se denomina eje transversal. Los dos puntos donde el eje transversal interseca a la hipérbola son cada uno un vértice de la hipérbola. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola. La recta perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se denomina eje conjugado. Cada parte del gráfico se llama rama de la hipérbola.
Observe que, a diferencia de la ecuación de una elipse, el denominador de no siempre es y el denominador de no siempre es .
Observe que cuando el término es positivo, el eje transversal está en el eje x. Cuando el término es positivo, el eje transversal está en el eje y.
### La práctica hace la perfección
Graficar una hipérbola con centro en (0,0).
¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, los estampidos supersónicos, los antiguos pilares griegos y las torres de refrigeración de tiro natural? Todos ellos pueden ser modelados por el mismo tipo de cónica. Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda expansiva en forma de cono. Cuando la onda se interseca con el suelo, se forma una porción cónica que ocasiona una explosión sónica. Vea la .
La mayoría de las personas están familiarizadas con la explosión sónica creada por los aviones supersónicos, pero el ser humano ya rompía la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el estampido del arma suele superar el sonido de la explosión sónica.
### Localización de los vértices y focos de una hipérbola
En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersecan. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra. Vea la .
Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos
en un plano tal que la diferencia de las distancias entre
y los focos es una constante positiva.
Observe que la definición de una hipérbola es muy similar a la de una elipse. La distinción es que la hipérbola se define en términos de la diferencia de dos distancias, mientras que la elipse se define en términos de la suma de dos distancias.
Al igual que la elipse, toda hipérbola tiene dos ejes de simetría. El eje transversal es un segmento de línea que pasa por el centro de la hipérbola y tiene como puntos extremos los vértices. Los focos se encuentran en la línea que contiene el eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y tiene como puntos extremos los covértices. El centro de una hipérbola es el punto medio de los ejes transversal y conjugado, donde se intersecan. Toda hipérbola tiene también dos asíntotas que pasan por su centro. A medida que una hipérbola se aleja del centro, sus ramas se acercan a estas asíntotas. El rectángulo central de la hipérbola está centrado en el origen con lados que pasan por cada vértice y covértice; es una herramienta útil para graficar la hipérbola y sus asíntotas. Para dibujar las asíntotas de la hipérbola, basta con dibujar y extender las diagonales del rectángulo central. Vea la .
En esta sección limitaremos nuestra discusión a las hipérbolas que están posicionadas verticalmente u horizontalmente en el plano de coordenadas; los ejes estarán sobre o serán paralelos a los ejes x y y. Consideraremos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto del origen.
### Derivar la ecuación de una hipérbola centrada en el origen
Supongamos que
y
son los focos de una hipérbola centrada en el origen. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos
de manera que la diferencia de las distancias de
a los focos es constante. Vea la .
Si los valores de
es un vértice de la hipérbola, la distancia de
al
es
La distancia de
al
es
La diferencia de las distancias de los focos al vértice es
Si los valores de
es un punto de la hipérbola, podemos definir las siguientes variables:
Por definición de una hipérbola,
es constante para cualquier punto
en la hipérbola. Sabemos que la diferencia de estas distancias es
para el vértice
Se deduce que
para cualquier punto de la hipérbola. Al igual que con la derivación de la ecuación de una elipse, comenzaremos aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica. Compare esta derivación con la de la sección anterior para las elipses.
Esta ecuación define una hipérbola centrada en el origen con vértices
y covértices
### Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar
Al igual que con las elipses, escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar nos permite calcular las características clave: centro, vértices, covértices, focos, asíntotas y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Por otra parte, se puede hallar una ecuación para una hipérbola dadas sus características principales. Empezamos por hallar las ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en el origen. Luego, nos centraremos en hallar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en algún punto distinto del origen.
### Hipérbolas centradas en el origen
Si repasamos las formas estándar dadas para las hipérbolas centradas en
vemos que los vértices, los covértices y los focos están relacionados por la ecuación
Observe que esta ecuación también se puede reescribir como
Esta relación se utiliza para escribir la ecuación de una hipérbola cuando se dan las coordenadas de sus focos y sus vértices.
### Hipérbolas no centradas en el origen
Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una hipérbola se puede trasladar. Si se traslada una hipérbola
unidades en horizontal y
unidades en vertical, el centro de la hipérbola será
Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con
sustituido por
y de
sustituido por
Al igual que las hipérbolas centradas en el origen, las hipérbolas centradas en un punto
tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación
Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y de distancia para hallar la ecuación estándar de una hipérbola cuando se dan los vértices y los focos.
### Graficar hipérbolas centradas en el origen
Cuando tenemos una ecuación en forma estándar para una hipérbola centrada en el origen, podemos interpretar sus partes para identificar las características clave de su gráfico: el centro, los vértices, los covértices, las asíntotas, los focos y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Para graficar las hipérbolas centradas en el origen, utilizamos la forma estándar
para las hipérbolas horizontales y la forma estándar
para las hipérbolas verticales.
### Graficar hipérbolas no centradas en el origen
Graficar hipérbolas centradas en un punto
distinto del origen es similar a graficar elipses centradas en un punto distinto del origen. Utilizamos las formas estándar
para las hipérbolas horizontales y
para las hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar podemos calcular y representar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, los vértices, los covértices y los focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversales y conjugados.
### Resolver problemas aplicados con hipérbolas
Como hemos comentado al principio de esta sección, las hipérbolas tienen aplicaciones en el mundo real en muchos campos, como astronomía, física, ingeniería y arquitectura. La eficacia del diseño de torres de refrigeración hiperbólicas es especialmente interesante. Las torres de refrigeración se utilicen para transferir el calor residual a la atmósfera y, a menudo, se promocionan por su capacidad para generar energía de forma eficiente. Debido a su forma hiperbólica, estas estructuras son capaces de resistir vientos extremos y requieren menos material que otras formas de su tamaño y resistencia. Vea la . Por ejemplo, una torre de 500 pies puede estar hecha de un armazón de hormigón reforzado ¡de solo 6 u 8 pulgadas de ancho!
Las primeras torres hiperbólicas se diseñaron en 1914 y tenían 35 metros de altura. En la actualidad, las torres de refrigeración más altas se encuentran en Francia, con la notable altura de 170 metros. En el utilizaremos el diseño de una torre de refrigeración para hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos
en un plano tal que la diferencia de las distancias entre
y los focos es una constante positiva.
2. La forma estándar de una hipérbola se puede usar para hallar sus vértices y sus focos. Vea el .
3. Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una hipérbola, podemos escribir la ecuación de la hipérbola en forma estándar. Vea el y el .
4. Cuando se da una ecuación para una hipérbola, podemos identificar sus vértices, covértices, focos, asíntotas y longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado para graficar la hipérbola. Vea el y el .
5. Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de las hipérbolas. Por ejemplo, dadas las dimensiones de una torre de refrigeración de tiro natural, podemos hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, determine si las siguientes ecuaciones representan hipérbolas. Si es así, escríbalo en la forma estándar.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar si no lo está ya, identifique los vértices y los focos y escriba las ecuaciones de las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la hipérbola, donde marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación.
En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, exprese la ecuación de la hipérbola como dos funciones, con
en función de
Exprese de la forma más sencilla posible. Use una calculadora gráfica para trazar el gráfico de las dos funciones en los mismos ejes.
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios hay que construir un seto en forma de hipérbola cerca de una fuente en el centro del patio. Halle la ecuación de la hipérbola y dibuje el gráfico.
En los siguientes ejercicios, supongamos que un objeto entra en nuestro sistema solar y queremos graficar su trayectoria en un sistema de coordenadas con el Sol en el origen y el eje x como eje de simetría de la trayectoria del objeto. Dé la ecuación de la trayectoria de vuelo de cada objeto utilizando la información dada. |
# Geometría analítica
## La parábola
### Objetivos de aprendizaje
1. Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1)
2. Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2)
### Objetivo 1: Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1)
Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola.
Anteriormente, aprendimos a graficar parábolas verticales a partir de la forma general o la forma estándar utilizando propiedades. Estos métodos también funcionan aquí.
### La práctica hace la perfección
Representar gráficamente las parábolas verticales.
### Objetivo 2: Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2)
Nuestro trabajo hasta ahora solo se ha ocupado de parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ahora vamos a ver las parábolas horizontales. Estas parábolas se abren hacia la izquierda o hacia la derecha. Si intercambiamos la x y la y en nuestras ecuaciones anteriores para las parábolas, obtenemos las ecuaciones de las parábolas abiertas a la izquierda o a la derecha.
### La práctica hace la perfección
Katherine Johnson es la matemática pionera de la NASA que fue fundamental para el éxito y la seguridad del vuelo y el regreso de muchas misiones humanas, así como de los satélites. Antes del trabajo que aparece en la película Hidden Figures , ya había hecho importantes contribuciones al programa espacial. Realizó el análisis de la trayectoria de la misión Mercury, en la que Alan Shepard se convirtió en el primer estadounidense en llegar al espacio, y fue autora, junto con el ingeniero Ted Sopinski, de un monumental artículo sobre la colocación de un objeto en una posición orbital precisa y su regreso seguro a la Tierra. Muchas de las órbitas que determinó estaban formadas por parábolas, y su capacidad para combinar diferentes tipos de matemáticas permitió un nivel de precisión sin precedentes. Johnson manifestó: "Dígame cuándo y dónde quiere que aterrice, y yo lo haré al revés y le diré cuándo debe despegar".
El trabajo de Johnson sobre las órbitas parabólicas y otras matemáticas complejas dio como resultado órbitas exitosas, alunizajes y el desarrollo del programa del transbordador espacial. Las aplicaciones de las parábolas también son fundamentales para otras áreas de la ciencia. Los espejos parabólicos (o reflectores) son capaces de captar la energía y concentrarla en un solo punto. Las ventajas de esta propiedad se ponen de manifiesto en la amplia lista de objetos parabólicos que utilizamos a diario: antenas parabólicas, puentes colgantes, telescopios, micrófonos, focos y faros de automóviles, por citar algunos. Los reflectores parabólicos también se utilizan en dispositivos de energía alternativa, como cocinas y calentadores de agua solares, porque son baratos de fabricar y necesitan poco mantenimiento. En esta sección exploraremos la parábola y sus usos, lo que incluye diseños solares de bajo costo y eficiencia energética.
### Graficar parábolas con vértices en el origen
En la sección La elipse vimos que una elipse se forma cuando un plano corta a un cono circular recto. Si el plano es paralelo al borde del cono, se forma una curva ilimitada. Esta curva es una parábola. Vea la .
Al igual que la elipse y la hipérbola, la parábola también se puede definir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una parábola es el conjunto de todos los puntos
en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.
En Funciones cuadráticas, aprendimos sobre el vértice y el eje de simetría de una parábola. Ahora ampliamos la discusión para incluir otras características clave de la parábola. Vea la . Tenga en cuenta que el eje de simetría pasa por el foco, y el vértice y es perpendicular a la directriz. El vértice es el punto medio entre la directriz y el foco.
El segmento de línea que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se llama latus rectum. Los extremos del latus rectum se encuentran en la curva. Por definición, la distancia
del foco a cualquier punto
en la parábola es igual a la distancia de
a la directriz.
Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que tienen un vértice en el origen y las que tienen un vértice en un punto distinto del origen. Comenzamos con el primero.
Supongamos que
sea un punto de la parábola con vértice
foco
y directriz
como se muestra en la . La distancia
desde el punto
al punto
en la directriz es la diferencia de los valores y:
La distancia del foco
al punto
también es igual a
, y se puede expresar mediante la fórmula de distancia.
Establezca las dos expresiones para
iguales entre sí y resuelva para
para derivar la ecuación de la parábola. Lo hacemos porque la distancia de
al
es igual a la distancia de
al
A continuación, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, expandimos los términos elevados al cuadrado y simplificamos combinando términos similares.
Las ecuaciones de las parábolas con vértice
son
cuando el eje x es el eje de simetría y
cuando el eje y es el eje de simetría. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales.
Las características principales de una parábola son el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum. Vea la . Cuando se da una ecuación estándar para una parábola centrada en el origen, podemos identificar fácilmente las características clave para graficar la parábola.
Se dice que una línea es tangente a una curva si la interseca exactamente en un punto. Si dibujamos líneas tangentes a la parábola en los puntos extremos del latus rectum, estas líneas se intersecan en el eje de simetría, como se muestra en la .
### Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar
En los ejemplos anteriores utilizamos la ecuación de la forma estándar de una parábola para calcular la ubicación de sus rasgos principales. También podemos utilizar los cálculos a la inversa para escribir una ecuación de una parábola cuando se dan sus características principales.
### Graficar parábolas con vértices que no están en el origen
Al igual que otros gráficos con los que hemos trabajado, el gráfico de una parábola se puede trasladar. Si se traslada una parábola
unidades en horizontal y
unidades en vertical, el vértice será
Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con
sustituido por
y de
sustituido por
Para graficar parábolas con un vértice
que no sea el origen, utilizamos la forma estándar
para las parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje x, y
para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje y. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales.
### Resolver problemas aplicados con parábolas
Como hemos mencionado al principio de la sección, las parábolas se utilizan para diseñar muchos objetos que utilizamos a diario, como telescopios, puentes colgantes, micrófonos y equipos de radar. Los espejos parabólicos, como el utilizado para iluminar la antorcha olímpica, tienen una propiedad reflectante muy singular. Cuando los rayos de luz paralelos al eje de simetría de la parábola se dirigen hacia cualquier superficie del espejo, la luz se refleja directamente en el foco. Vea la . Por ello, la antorcha olímpica se enciende cuando se sostiene en el foco del espejo parabólico.
Los espejos parabólicos tienen la capacidad de concentrar la energía del sol en un solo punto, lo que eleva la temperatura cientos de grados en cuestión de segundos. Así, los espejos parabólicos aparecen en muchos productos solares de bajo costo y alta eficiencia energética, como cocinas y calentadores solares e incluso encendedores de tamaño de viaje.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Una parábola es el conjunto de todos los puntos
en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz.
2. La forma estándar de una parábola con vértice
y el eje x como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de
la parábola se abre a la derecha. Si los valores de
la parábola se abre a la izquierda. Vea el .
3. La forma estándar de una parábola con vértice
y el eje y como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de
la parábola se abre. Si los valores de
la parábola se abre hacia abajo. Vea el .
4. Dados el foco y la directriz de una parábola, podemos escribir su ecuación en forma estándar. Vea el .
5. La forma estándar de una parábola con vértice
y el eje de simetría paralelo al eje x se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de
la parábola se abre a la derecha. Si los valores de
la parábola se abre a la izquierda. Vea el .
6. La forma estándar de una parábola con vértice
y el eje de simetría paralelo al eje y se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de
la parábola se abre. Si los valores de
la parábola se abre hacia abajo. Vea el .
7. Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante ecuaciones estándar de parábolas. Por ejemplo, dados el diámetro y el foco de una sección transversal de un reflector parabólico, podemos hallar una ecuación que modele sus lados. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación dada es una parábola. Si es así, reescriba la ecuación en forma estándar.
En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación dada en forma estándar, y luego determine el vértice
foco
y directriz
de la parábola.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, grafique la parábola, identifique el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la parábola dada la información sobre su gráfico.
En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola a partir de su gráfico.
### Extensiones
En los siguientes ejercicios, se da el vértice y los puntos extremos del latus rectum de una parábola. Halle la ecuación.
### Aplicaciones en el mundo real
|
# Geometría analítica
## Rotación de ejes
### Objetivos de aprendizaje
1. Uso de fórmulas de rotación de ejes.
2. Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3)
### Objetivo 1: Uso de fórmulas de rotación de ejes.
Si un punto
en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas en el que los ejes de rotación se forman girando un ángulo
del eje x positivo, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son
Las siguientes fórmulas de rotación de ejes definen la relación entre (x,y) y (x’,y’):
### La práctica hace la perfección
Uso de fórmulas de rotación de ejes:
### Objetivo 2: Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3)
Podemos identificar una sección cónica a partir de sus ecuaciones al observar los signos y coeficientes de las variables que se elevan al cuadrado.
### La práctica hace la perfección
Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones.
Como hemos visto, las secciones cónicas se forman cuando un plano interseca dos conos circulares rectos alineados de punta a punta y que se extienden infinitamente en direcciones opuestas, lo que también llamamos cono. La forma en que cortemos el cono determinará el tipo de sección cónica formada en la intersección. Un círculo se forma al cortar un cono con un plano perpendicular al eje de simetría del cono. Una elipse se forma al cortar un cono único con un plano inclinado no perpendicular al eje de simetría. Una parábola se forma al cortar el plano por la parte superior o la inferior del doble cono, mientras que una hipérbola se forma cuando el plano corta tanto la parte superior como la inferior del cono. Vea la .
Las elipses, los círculos, las hipérbolas y las parábolas se denominan, a veces, secciones cónicas no degeneradas, en contraste con las secciones cónicas degeneradas, que se muestran en la . La cónica degenerada resulta cuando un plano interseca el doble cono y pasa por el vértice. Según el ángulo del plano, son posibles tres tipos de secciones cónicas degeneradas: un punto, una línea o dos líneas que se intersecan.
### Identificación de secciones cónicas no degeneradas en forma general
En las secciones anteriores de este capítulo nos hemos centrado en las ecuaciones en la forma estándar para secciones cónicas no degeneradas. En esta sección nos centraremos en la ecuación de forma general, que se puede usar para cualquier sección cónica. La forma general se hace igual a cero, y los términos y coeficientes se dan en un orden particular, como se muestra a continuación.
donde
y
no son todos cero. Podemos utilizar los valores de los coeficientes para identificar qué tipo de sección cónica representa una ecuación determinada.
Puede observar que la ecuación de forma general tiene un término
que no hemos visto en ninguna de las ecuaciones de la forma estándar. Como veremos más adelante, el término
rota la sección cónica siempre que
no sea igual a cero.
### Calcular una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por un ángulo dado
Hasta ahora hemos examinado ecuaciones de secciones cónicas sin un término
que alinee los gráficos con los ejes x y y. Cuando añadimos un término
, rotamos la sección cónica alrededor del origen. Si los ejes x y y se giran en un ángulo, por ejemplo
entonces se puede pensar que cada punto del plano tiene dos representaciones:
en el plano cartesiano con los ejes x y y originales y
en el nuevo plano definido por los nuevos ejes rotados, denominados los ejes x' y y'. Vea la .
Hallaremos las relaciones entre
y
en el plano cartesiano con
y
en el nuevo plano rotado. Vea la .
Los ejes de coordenadas x y y originales tienen vectores unitarios
y
Los ejes de coordenadas rotados tienen vectores unitarios
y
El ángulo
se conoce como el ángulo de rotación. Vea la . Podemos escribir los nuevos vectores unitarios en términos de los originales.
Considere un vector en el nuevo plano de coordenadas. Se puede representar en términos de sus ejes de coordenadas.
Debido a que
tenemos representaciones de
y
en términos del nuevo sistema de coordenadas.
### Escritura de ecuaciones de secciones cónicas rotadas en la forma estándar
Ahora que podemos calcular la forma estándar de una sección cónica cuando nos dan un ángulo de rotación, aprenderemos a transformar la ecuación de una sección cónica dada en la forma
en la forma estándar rotando los ejes. Para ello, reescribiremos la forma general como una ecuación en el sistema de coordenadas de
y
sin
, rotando los ejes en una medida de
que satisfaga
Ya hemos aprendido que cualquier sección cónica se puede representar con la ecuación de segundo grado
donde
y
no son todos cero. Sin embargo, si
entonces tenemos un término
que nos impide reescribir la ecuación en forma estándar. Para eliminarlo, podemos rotar los ejes en un ángulo agudo
donde
### Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación
Ahora hemos cerrado el círculo. ¿Cómo identificamos el tipo de sección cónica descrito por una ecuación? ¿Qué ocurre cuando se rotan los ejes? Recordemos que la forma general de una sección cónica es
Si aplicamos las fórmulas de rotación a esta ecuación obtenemos la forma
Se puede demostrar que
La expresión no varía después de la rotación, por lo que llamamos a esta expresión invariante. El discriminante,
es invariable y permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante no cambia, la observación del discriminante nos permite identificar la sección cónica.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Cuatro formas básicas pueden resultar de la intersección de un plano con un par de conos circulares rectos conectados cola con cola. Se trata de una elipse, un círculo, una hipérbola y una parábola.
2. Una sección cónica no degenerada tiene la forma general
donde
y
no son todos cero. Los valores de
y
determinan el tipo de sección cónica. Vea el .
3. Las ecuaciones de secciones cónicas con un término
se han girado alrededor del origen. Vea el .
4. La forma general se puede transformar en una ecuación en el sistema de coordenadas
y
sin
. Vea el y el .
5. Una expresión se describe como invariante si permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante es invariable, su observación nos permite identificar la sección cónica. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada a partir de la ecuación dada.
En los siguientes ejercicios, halle una nueva representación de la ecuación dada después de rotar el ángulo dado.
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo
que eliminará el término
y escriba la ecuación correspondiente sin el término
.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, gire el ángulo dado basándose en la ecuación dada. Obtenga la nueva ecuación y grafique la ecuación original y la rotada.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema
en el que la ecuación no tiene el término
.
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo de rotación para eliminar el término
. A continuación, grafique el nuevo conjunto de ejes.
En los siguientes ejercicios, determine el valor de
con base en la ecuación dada. |
# Geometría analítica
## Secciones cónicas en coordenadas polares
La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el movimiento orbital, como el de un planeta alrededor del Sol o el de un electrón alrededor de un núcleo atómico. Dentro del sistema planetario, las órbitas de planetas, asteroides y cometas alrededor de un cuerpo celeste mayor suelen ser elípticas. Sin embargo, los cometas pueden adoptar una órbita parabólica o hiperbólica. Y, en realidad, las características de las órbitas de los planetas pueden variar con el tiempo. Cada órbita está ligada a la ubicación del cuerpo celeste que se orbita y a la distancia y dirección del planeta u otro objeto desde ese cuerpo. Por ello, tendemos a utilizar coordenadas polares para representar estas órbitas.
En una órbita elíptica, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca, y la apoapsis es el punto en el que están más alejados. En general, la velocidad del cuerpo en órbita tiende a aumentar a medida que se acerca a la periapsis y a disminuir cuando se acerca a la apoapsis. Algunos objetos alcanzan una velocidad de escape, lo que genera una órbita infinita. Estos cuerpos presentan una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un cuerpo; el cuerpo que orbita se libera de la atracción gravitatoria del cuerpo celeste y sale disparado al espacio. Cada una de estas órbitas se puede modelar mediante una sección cónica en el sistema de coordenadas polares.
### Identificar una sección cónica en forma polar.
Cualquier sección cónica puede estar determinada por tres características: un único foco, una línea fija llamada directriz, y la relación de las distancias de cada una a un punto del gráfico. Considere la parábola
que se muestra en la .
En la sección La parábola aprendimos cómo una parábola está definida por el foco (un punto fijo) y la directriz (una línea fija). En esta sección aprenderemos a definir cualquier cónica en el sistema de coordenadas polares en términos de un punto fijo, el foco
en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.
Si los valores de
es un punto fijo, el foco, y
es una línea fija, la directriz, entonces podemos dejar que
sea un número fijo positivo, llamado excentricidad, que podemos definir como la relación de las distancias de un punto del gráfico al foco y del punto del gráfico a la directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos
de manera que
es una cónica. En otras palabras, podemos definir una cónica como el conjunto de todos los puntos
con la propiedad de que la relación de la distancia de
con
con la distancia de
con
es igual a la constante
Para una cónica con excentricidad
1. si
la cónica es una elipse
2. si
la cónica es una parábola
3. si
la cónica es una hipérbola
Con esta definición, ahora podemos definir una cónica en términos de la directriz,
la excentricidad
y el ángulo
Así, cada cónica se puede escribir como una ecuación polar, una ecuación escrita en términos de
y
### Graficar las ecuaciones polares de las cónicas
Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando se grafica en coordenadas polares. Debemos utilizar la excentricidad de una sección cónica para determinar el tipo de curva a graficar, y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, tenemos que reescribir la ecuación para que el denominador empiece por 1. Esto nos permite determinar
y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores de
y resolver para
para trazar algunos puntos clave. Si establecemos que
igual a
y
proporciona los vértices para que podamos crear un dibujo aproximado del gráfico.
### Definir cónicas en términos de un foco y una directriz
Hasta ahora hemos utilizado ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora, trabajaremos a la inversa; utilizaremos la información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar.
### Conceptos clave
1. Cualquier cónica puede estar determinada por un único foco, la excentricidad correspondiente y la directriz. También podemos definir una cónica en términos de un punto fijo, el foco
en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar.
2. Una cónica es el conjunto de todos los puntos
donde la excentricidad
es un número real positivo. Cada cónica se puede escribir en términos de su ecuación polar. Vea el .
3. Las ecuaciones polares de las cónicas se pueden graficar. Vea el , el y el .
4. Las cónicas se pueden definir en términos de un foco, una directriz y una excentricidad. Vea el y el .
5. Podemos utilizar las identidades
y
para convertir la ecuación de una cónica de forma polar a rectangular. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.
En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar de una sección cónica en una ecuación rectangular.
En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse, marque los vértices y los focos. Si es una hipérbola, marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y la directriz dadas.
### Extensiones
Recordemos que en la sección Rotación de ejes las ecuaciones de las cónicas con un término
han girado los gráficos. En los siguientes ejercicios, exprese cada ecuación en forma polar con
en función de
### Ejercicios de repaso del capítulo
### La elipse
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la elipse en forma estándar. A continuación, identifique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, grafique la elipse, tomando en cuenta el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para hallar la ecuación de la elipse.
### La hipérbola
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar. A continuación, dé el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola e identifique los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la hipérbola.
### La parábola
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar. A continuación, dé el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la parábola e identifique el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola utilizando la información dada.
### Rotación de ejes
En los siguientes ejercicios, determine cuál de las secciones cónicas está representada.
En los siguientes ejercicios, determine el ángulo
que eliminará el término
, y escriba la ecuación correspondiente sin el término
.
En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema
en el que la ecuación no tiene el término
.
### Secciones cónicas en coordenadas polares
En los siguientes ejercicios, dada la ecuación polar de la cónica con foco en el origen, identifique la excentricidad y la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la cónica dada en forma polar. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de una cónica con foco en el origen, calcule la ecuación en forma polar.
### Prueba de práctica
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma estándar e indique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico e identifique el centro, los vértices y los focos.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar y dé el centro, los vértices, los focos y las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola y tome en cuenta su centro, los vértices y los focos. Indique las ecuaciones de las asíntotas.
En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar y dé el vértice, el foco y la ecuación de la directriz.
En los siguientes ejercicios, grafique la parábola y marque el vértice, el foco y la directriz.
En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada por la ecuación dada y, luego, determine el ángulo
que eliminará el término
.
En los siguientes ejercicios, reescriba en el sistema
sin el término
, y exprese el gráfico rotado.
En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad.
En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos. |
# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
## Introducción
Un ganador de la lotería tiene que tomar algunas decisiones importantes sobre qué hacer con las ganancias. ¿Comprar una casa nueva? ¿Un descapotable de lujo? ¿Un crucero alrededor del mundo?
La probabilidad de ganar la lotería es escasa, pero a todos nos encanta fantasear con lo que podríamos comprar con las ganancias. Una de las primeras decisiones que tiene que tomar el ganador de la lotería es si va a recibir el premio en forma de pago único o en una serie de pagos regulares, llamados anualidades, durante un largo periodo.
Esta decisión se basa en muchos factores, como las implicaciones fiscales, los tipos de interés y las estrategias de inversión. También hay que tener en cuenta los motivos personales a la hora de elegir, y se pueden dar muchos argumentos para cualquiera de las dos decisiones. Sin embargo, la mayoría de los ganadores de la lotería optan por el pago único.
En este capítulo exploraremos las matemáticas que están detrás de este tipo de situaciones. Analizaremos en profundidad las anualidades. También veremos la rama de las matemáticas que nos permitiría calcular el número de formas de elegir los números de la lotería y la probabilidad de ganar. |
# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
## Secuencias y sus notaciones
### Objetivos de aprendizaje
1. Escribir los primeros términos de una secuencia (IA 12.1.1)
2. Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2)
### Objetivo 1: Escribir los primeros términos de una secuencia (AI 12.1.1).
Un paciente toma una cápsula de antibiótico de 30 mg. Al final de esa hora, la cantidad de antibiótico que queda en su cuerpo es solo el 90 % de la cantidad al principio de esa hora. La dosis de 30 mg se toma en el momento t = 1 hora. ¿Qué cantidad de esta dosis queda al cabo de 1 hora? ¿2 horas? ¿3 horas? ¿4 horas?
Esta lista ordenada de números 27, 24,3, 21,87, 19,68, ... es una secuencia. Cada número en la lista es un término.
La secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo. La secuencia puede tener un número infinito de términos o un número finito de términos. Nuestra secuencia tiene tres puntos (elipsis) al final, lo que indica que la lista nunca termina. Si el dominio es el conjunto de todos los números que se cuentan, entonces la secuencia es una secuencia infinita.
A menudo, al trabajar con secuencias no queremos escribir todos los términos. Queremos una forma más compacta de mostrar cómo se define cada término. Cuando trabajamos con funciones, escribimos y dijimos que la expresión 2x era la regla que definía los valores en el rango.
Aunque una secuencia es una función, no utilizamos la notación de función habitual. En vez de escribir la función como , la escribiríamos como . El es el , el término en la enésima posición donde n es un valor en el dominio. La fórmula para escribir el enésimo término de la secuencia se llama término general o fórmula de la secuencia.
Los términos de la secuencia general se denotan de la siguiente forma:
### La práctica hace la perfección
Escriba los primeros términos de una secuencia.
### Objetivo 2: Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2)
A veces, tenemos unos cuantos términos de una secuencia y sería útil conocer el término general o . Para hallar el término general, buscamos patrones en los términos. A menudo, los patrones involucran múltiplos o potencias. También buscamos un patrón en los signos de los términos.
### La práctica hace la perfección
Una compañía de videojuegos lanza una nueva y emocionante campaña publicitaria. Prevén que el número de visitas en línea a su sitio web, o hits, se duplicará cada día. El modelo que utilizan muestra 2 visitas el primer día, 4 visitas el segundo día, 8 visitas el tercer día, y así sucesivamente. Vea la .
Si su modelo continúa, ¿cuántas visitas habrá al final del mes? Para responder esta pregunta, primero tendremos que saber cómo determinar una lista de números escritos en un orden específico. En esta sección exploraremos estos tipos de listas ordenadas.
### Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita
Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia. La secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números del recuento. La secuencia establecida por el número de visitas al sitio web es
La elipsis (...) indica que la secuencia continúa indefinidamente. Cada uno de los números de la secuencia se denomina término. Los cinco primeros términos de esta secuencia son 2, 4, 8, 16 y 32.
Enumerar todos los términos de una secuencia puede ser engorroso. Por ejemplo, para conocer el número de visitas al sitio web a final de mes habría que enumerar hasta 31 términos. La forma más eficaz de determinar un término específico es escribir una fórmula para definir la secuencia.
Un tipo de fórmula es la fórmula explícita, que define los términos de una secuencia utilizando su posición en esta. Las fórmulas explícitas son útiles si queremos hallar un término específico de una secuencia sin hallar todos los términos anteriores. Podemos utilizar la fórmula para hallar el enésimo término de la secuencia, donde
es cualquier número positivo. En nuestro ejemplo, cada número de la secuencia es el doble del anterior, por lo que podemos utilizar potencias de 2 para escribir una fórmula para el
término.
El primer término de la secuencia es
el segundo término es
el tercer término es
y así sucesivamente. El
término de la secuencia se puede hallar elevando 2 a la
potencia. Una fórmula explícita para una secuencia se denomina con una letra minúscula
con el subíndice
La fórmula explícita para esta secuencia es
Ahora que tenemos una fórmula para el
término de la secuencia, podemos responder la pregunta planteada al principio de esta sección. Se nos pidió que halláramos el número de visitas al final del mes, que tomaremos como 31 días. Para hallar el número de visitas en el último día del mes, tenemos que hallar el 31.º término de la secuencia. Sustituiremos 31 por
en la fórmula.
Si la tendencia de duplicación continúa, la compañía obtendrá
visitas el último día del mes. ¡Son más de 2.100 millones de visitas! La enorme cifra es probablemente un poco irreal porque no tiene en cuenta el interés de los consumidores ni la competencia. No obstante, ofrece a la compañía un punto de partida desde el que considerar decisiones comerciales.
Otra forma de representar la secuencia es mediante una tabla. Los cinco primeros términos de la secuencia y el
término de la secuencia se muestran en la .
Los gráficos proporcionan una representación visual de la secuencia como un conjunto de puntos distintos. Podemos ver en el gráfico de la que el número de visitas aumenta a un ritmo exponencial. Esta secuencia particular forma una función exponencial.
Por último, podemos escribir esta secuencia particular como
Una secuencia que continúa indefinidamente se llama secuencia infinita. El dominio de una secuencia infinita es el conjunto de los números que se cuentan. Si consideramos solo los 10 primeros términos de la secuencia, podríamos escribir
Esta secuencia se llama secuencia finita porque no continúa indefinidamente.
### Investigar secuencias alternas
A veces, las secuencias tienen términos que son alternativos. De hecho, los términos pueden alternarse en el signo. Los pasos para hallar los términos de la secuencia son los mismos que si los signos no se alternaran. Sin embargo, los términos resultantes no mostrarán aumento ni disminución como
aumenta. Veamos la siguiente secuencia.
Observe que el primer término es mayor que el segundo, el segundo es menor que el tercero y el tercero es mayor que el cuarto. Esta tendencia continúa para siempre. No reordene los términos en orden numérico para interpretar la secuencia.
### Investigación de fórmulas explícitas definidas por partes
Hemos aprendido que las secuencias son funciones cuyo dominio está sobre los enteros positivos. Esto es cierto para otros tipos de funciones, incluidas algunas funciones definidas por partes. Recordemos que la función definida por partes es aquella definida por múltiples subsecciones. Una fórmula diferente podría representar cada subsección individual.
### Hallar una fórmula explícita
Hasta ahora, se nos ha dado la fórmula explícita y se nos ha pedido que calculemos un número de términos de la secuencia. A veces, la fórmula explícita del
término de una secuencia no se da. En cambio, se nos dan varios términos de la secuencia. Cuando esto ocurre, podemos trabajar a la inversa para hallar una fórmula explícita a partir de los primeros términos de una secuencia. La clave para hallar una fórmula explícita es buscar un patrón en los términos. Tenga en cuenta que el patrón puede involucrar términos alternos, fórmulas para numeradores, fórmulas para denominadores, exponentes o bases.
### Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva
Las secuencias se dan de forma natural en los patrones de crecimiento de las conchas de los nautilos, las piñas, las ramas de los árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de las hojas o las ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras de una concha de un nautilo. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una famosa secuencia en la que cada término se puede hallar mediante la suma de los dos anteriores. Los números de la secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Otros ejemplos del mundo natural que muestran la secuencia de Fibonacci son el lirio de cala, que tiene un solo pétalo, la Susana de ojos negros con 13 pétalos y diferentes variedades de margaritas que pueden tener 21 o 34 pétalos.
Cada término de la secuencia de Fibonacci depende de los términos que le preceden. La secuencia de Fibonacci no se puede escribir fácilmente mediante una fórmula explícita. En cambio, describimos la secuencia utilizando una fórmula recursiva, una fórmula que define los términos de una secuencia utilizando términos anteriores.
Una fórmula recursiva siempre tiene dos partes: el valor de un término inicial (o términos iniciales) y una ecuación que define
según términos anteriores. Por ejemplo, supongamos que sabemos lo siguiente:
Podemos hallar los términos siguientes de la secuencia utilizando el primer término.
Así que los cuatro primeros términos de la secuencia son
.
La fórmula recursiva de la secuencia de Fibonacci establece los dos primeros términos y define cada término sucesivo como la suma de los dos términos anteriores.
Para hallar el décimo término de la secuencia, por ejemplo, tendríamos que sumar el octavo y el noveno términos. Anteriormente se nos dijo que el octavo y el noveno términos son 21 y 34, por lo que
### Usar notación factorial
Las fórmulas de algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos. , escrito como
es el producto de los enteros positivos de 1 a
Por ejemplo,
Un ejemplo de fórmula que contiene un factorial es
El sexto término de la secuencia se puede hallar al sustituir 6 por
El factorial de cualquier número natural
es
Por lo tanto, también podemos pensar en
cuando
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Una secuencia es una lista de números, llamados términos, escritos en un orden específico.
2. Las fórmulas explícitas definen cada término de una secuencia utilizando la posición del término. Vea el , el y el .
3. Una fórmula explícita para el
término de una secuencia se puede escribir analizando el patrón de varios términos. Vea el .
4. Las fórmulas recursivas definen cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores.
5. Las fórmulas recursivas deben indicar el término o los términos iniciales de una secuencia.
6. Un conjunto de términos se puede escribir mediante una fórmula recursiva. Vea el y el .
7. Un factorial es una operación matemática que se puede definir de forma recursiva.
8. El factorial de
es el producto de todos los enteros de 1 a
Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia definida por partes.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia.
En los siguientes ejercicios, evalúe el factorial.
En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, grafique los cinco primeros términos de la secuencia indicada
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico.
### En tecnología
Siga estos pasos para evaluar una secuencia definida recursivamente utilizando una calculadora gráfica:
En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar el término indicado o los términos indicados para la secuencia.
Siga estos pasos para evaluar una secuencia finita definida por una fórmula explícita. Utilizando una TI-84, haga lo siguiente.
Utilizando una TI-83, haga lo siguiente.
En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar los términos indicados para la secuencia. Redondea a la milésima más cercana cuando sea necesario.
### Extensiones
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# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
## Secuencias aritméticas
### Objetivos de aprendizaje
1. Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1)
2. Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2)
### Objetivo 1: Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1)
La secuencia aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma.
La diferencia entre términos consecutivos, d, y se denomina diferencia común, para n mayor o igual a dos.
### La práctica hace la perfección
Determine si cada secuencia es aritmética. En caso afirmativo, indique la diferencia común.
### La práctica hace la perfección
### Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2)
En la sección pasada hallamos una fórmula para el término general de una secuencia, también podemos hallar una fórmula para el término general de una secuencia aritmética.
Escribamos los primeros términos de una secuencia donde el primer término es y la diferencia común es d. A continuación, buscaremos un patrón.
Al buscar un patrón vemos que cada término comienza con .
El primer término suma 0d a , el segundo término suma 1d, el tercer término suma 2d, el cuarto término suma 3d y el quinto término suma 4d. El número de d que se sumaron a es uno menos que el número del término. Tenemos entonces la fórmula del término general de una secuencia aritmética.
### La práctica hace la perfección
Halle el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética.
Las empresas suelen hacer grandes compras, como computadoras y vehículos, para uso empresarial. El valor contable de estos suministros disminuye cada año a efectos fiscales. Esta disminución de valor se denomina depreciación. Un método para calcular la depreciación es la depreciación lineal, en la que el valor del activo disminuye en la misma cantidad cada año.
Como ejemplo, consideremos a una mujer que inicia un pequeño negocio de contratación. Compra un camión nuevo por 25.000 dólares. Después de cinco años, calcula que podrá vender el camión por 8.000 dólares. Por lo tanto, la pérdida de valor del camión será de 17.000 dólares, lo que supone 3.400 dólares al año durante cinco años. El camión valdrá 21.600 dólares después del primer año, 18.200 dólares después de dos años, 14.800 dólares después de tres años, 11.400 dólares después de cuatro años y 8.000 dólares al final de cinco años. En esta sección, consideraremos tipos específicos de secuencias que nos permitirán calcular la depreciación, como el valor del camión.
### Hallar diferencias comunes
Se dice que los valores del camión del ejemplo forman una secuencia aritmética porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado diferencia común de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es de –3.400.
La siguiente secuencia es otro ejemplo de secuencia aritmética. En este caso, la constante es 3. Puede elegir cualquier término de la secuencia y sumar 3 para calcular el término siguiente.
### Escribir términos de secuencias aritméticas
Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, hallaremos los términos si nos dan el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden hallar empezando por el primer término y sumando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término se puede hallar también introduciendo los valores de
y
en la siguiente fórmula.
### Usar fórmulas recursivas para secuencias aritméticas
Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior mediante una fórmula recursiva. La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite hallar cualquier término de una secuencia aritmética utilizando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es 5, entonces cada término es el término anterior más 5. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el primer término.
### Usar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas
Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante, o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical.
Para calcular la intersección y de la función, podemos restar la diferencia común del primer término de la secuencia. Considere la siguiente secuencia.
La diferencia común es
, por lo que la secuencia representa una función lineal con una pendiente de
. Para calcular la intersección en
, restamos
a partir de
. También puede calcular la intersección
al graficar la función y determinar dónde una línea que conecta los puntos intersecaría el eje vertical. El gráfico se muestra en la .
Recordemos que la forma de intersección de la pendiente de una línea es
Cuando se trata de secuencias, utilizamos
en vez de
y
en vez de
Si conocemos la pendiente y la intersección vertical de la función, podemos sustituirlas por
y
en la forma de intersección de la pendiente de una línea. Al sustituir
para la pendiente y
para la intersección vertical, obtenemos la siguiente ecuación:
No necesitamos calcular la intersección vertical para escribir una fórmula explícita para una secuencia aritmética. Otra fórmula explícita para esta secuencia es
, que se simplifica en
### Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita
Se pueden utilizar fórmulas explícitas para determinar el número de términos de una secuencia aritmética finita. Tenemos que hallar la diferencia común y luego determinar cuántas veces hay que sumar la diferencia común al primer término para obtener el término final de la secuencia.
### Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas
En muchos problemas de aplicación, a menudo, tiene sentido utilizar un término inicial de
en vez de
En estos problemas, modificamos ligeramente la fórmula explícita para tener en cuenta la diferencia en los términos iniciales. Utilizamos la siguiente fórmula:
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
2. La constante entre dos términos consecutivos se llama diferencia común.
3. La diferencia común es el número añadido a un término cualquiera de una secuencia aritmética que genera el término siguiente. Vea el .
4. Los términos de una secuencia aritmética se pueden hallar empezando por el término inicial y luego sumar la diferencia común repetidamente. Vea el y el .
5. Una fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común
viene dada por
Vea el .
6. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia.
7. Una fórmula explícita para una secuencia aritmética con diferencia común
viene dada por
Vea el .
8. Se puede usar una fórmula explícita para hallar el número de términos de una secuencia. Vea el .
9. En los problemas de aplicación, a veces modificamos ligeramente la fórmula explícita por
Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, halle la diferencia común de la secuencia aritmética proporcionada.
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética. Si es así, halle la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la serie aritmética dados dos términos.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común.
En los siguientes ejercicios, halle el primer término dados dos términos de una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado dados dos términos de una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula recursiva para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética dada, y luego halle el término especificado.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula explícita para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia aritmética finita dada.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros 5 términos de la secuencia aritmética.
### En tecnología
En los siguientes ejercicios, siga los pasos para trabajar con la secuencia aritmética
utilizando una calculadora gráfica:
En los siguientes ejercicios, siga los pasos dados anteriormente para trabajar con la secuencia aritmética
utilizando una calculadora gráfica.
### Extensiones
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# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
## Secuencias geométricas
### Objetivos de aprendizaje
1. Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1).
2. Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica (AI 12.3.2).
### Objetivo 1: Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1)
Se denomina secuencia geométrica si el cociente entre términos consecutivos es siempre igual.
El cociente entre términos consecutivos en una secuencia geométrica es r, el cociente común, donde n es mayor o igual a dos.
### La práctica hace la perfección
Determine si cada secuencia es geométrica. En caso afirmativo, indique la razón común.
### La práctica hace la perfección
### Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una sucesión geométrica (AI 12.3.2)
Hallemos la fórmula del término general de una secuencia geométrica.
Escribamos los primeros términos de la secuencia donde el primer término es y la razón común es . A continuación, buscaremos un patrón.
### La práctica hace la perfección
Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica.
Muchos puestos de trabajo ofrecen un aumento anual por el costo de vida para mantener los salarios en consonancia con la inflación. Supongamos, por ejemplo, que un recién graduado de educación superior encuentra un puesto de gerente de ventas con un salario anual de 26.000 dólares. Se le promete un aumento del 2 % por el costo de la vida cada año. Su salario anual en un año determinado se puede calcular al multiplicar su salario del año anterior por el 102 %. Su salario será de 26.520 dólares al cabo de un año, 27.050,40 dólares al cabo de dos años, 27.591,41 dólares al cabo de tres años, y así sucesivamente. Cuando un salario se incrementa en una tasa constante cada año, el salario crece en un factor constante. En esta sección veremos secuencias que crecen de esta manera.
### Hallar razones comunes
Los valores salariales anuales descritos forman una secuencia geométrica porque cambian por un factor constante cada año. Cada término de una secuencia geométrica aumenta o disminuye en un factor constante llamado razón común. La siguiente secuencia es un ejemplo de secuencia geométrica porque cada término aumenta en un factor constante de 6. La multiplicación de cualquier término de la secuencia por la razón común 6 genera el término siguiente.
### Escribir términos de secuencias geométricas
Ahora que podemos identificar una secuencia geométrica, aprenderemos a hallar los términos de una secuencia geométrica si nos dan el primer término y la razón común. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular ao comenzar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Por ejemplo, si el primer término de una secuencia geométrica es
y la razón común es
podemos hallar los términos posteriores multiplicando
para obtener
y luego multiplicar el resultado
para obtener
y así sucesivamente.
Los cuatro primeros términos son
### Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas
Una fórmula recursiva nos permite calcular cualquier término de una secuencia geométrica utilizando el término anterior. Cada término es el producto del cociente común y del término anterior. Por ejemplo, supongamos que la razón común es 9. Entonces cada término es nueve veces el término anterior. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial.
### Usar fórmulas explícitas para secuencias geométricas
Como una secuencia geométrica es una función exponencial cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, y la razón común es la base de la función, podemos escribir fórmulas explícitas que nos permitan hallar términos particulares.
Veamos la secuencia
Se trata de una secuencia geométrica con una razón común de 2 y una función exponencial de base 2. Una fórmula explícita para esta secuencia es
El gráfico de la secuencia se muestra en la .
### Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas
En escenarios del mundo real que involucran secuencias geométricas podemos necesitar usar un término inicial de
en vez de
En estos problemas, podemos alterar ligeramente la fórmula explícita utilizando la siguiente fórmula:
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Una sucesión geométrica es una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante.
2. La razón constante entre dos términos consecutivos se llama razón común.
3. La razón común se puede calcular la dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Vea el .
4. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular al empezar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Vea el y el .
5. Una fórmula recursiva para una secuencia geométrica con razón común
viene dada por
para
.
6. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia. Vea el .
7. Una fórmula explícita para una secuencia geométrica con razón común
viene dada por
Vea el .
8. En los problemas de aplicación, a veces alteramos ligeramente la fórmula explícita por
Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, halle la razón común de la secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica. Si es así, halle la razón común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dado el primer término y la razón común.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dados dos términos cualesquiera.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dado el primer término y la razón común.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dados los cuatro primeros términos.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica.
En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica dada.
En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia geométrica finita dada.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia geométrica.
En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros cinco términos de la secuencia geométrica.
### Extensiones
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# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
## Series y sus notaciones
### Objetivos de aprendizaje
1. Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5)
2. Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3)
### Objetivo 1: Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5)
Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Por ejemplo, 1 + 6 + 11+ 16 + 21 + 26 + 31 es la suma de los siete primeros términos de la secuencia aritmética con término general,
Escribimos una serie utilizando la notación de sumatoria. Para escribir esa sumatoria, tenemos que dar con el término general de nuestra secuencia y la sumatoria se verá así:
Para la serie 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + .... la notación de sumatoria es
### La práctica hace la perfección
Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma.
### Objetivo 2: Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3)
### La práctica hace la perfección
Un padre decide crear un fondo universitario para su hija. Tiene previsto invertir 50 dólares en el fondo cada mes. El fondo paga el 6 % de interés anual calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrán ahorrado cuando su hija esté lista para empezar la universidad dentro de 6 años? En esta sección aprenderemos cómo responder esta pregunta. Para ello, hay que tener en cuenta la cantidad de dinero invertida y el monto de los intereses obtenidos.
### Usar la notación de sumatoria
Para calcular la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, tenemos que sumar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se llama una serie. Consideremos, por ejemplo, la serie siguiente.
La suma parcial a la de una serie es la suma de un número finito de términos consecutivos empezando por el primer término. La notación
representa la suma parcial.
La notación de sumatoria se usa para representar series. La notación de sumatoria se conoce, a menudo, como notación sigma porque utiliza la letra griega mayúscula sigma,
para representar la suma. La notación de sumatoria incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie. A la derecha de sigma se da una fórmula explícita para cada término de la serie. Debajo de sigma se escribe una variable llamada índice de sumatoria. El índice de sumatoria se establece igual al límite inferior de sumatoria, que es el número utilizado para generar el primer término de la serie. El número por encima de sigma, llamado límite superior de sumatoria, es el número utilizado para generar el último término de una serie.
Si interpretamos la notación dada, vemos que nos pide calcular la suma de los términos de la serie
para
hasta
Podemos empezar con la sustitución de los términos de
y enumerar los términos de esta serie.
Podemos calcular la suma de la serie y agregar los términos:
### Usar la fórmula de la serie aritmética
Al igual que hemos estudiado los tipos especiales de secuencias, veremos los tipos especiales de series. Recordemos que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es la diferencia común,
La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética. Podemos escribir la suma de los primeros
términos de una serie aritmética como:
También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma como
Si añadimos estas dos expresiones para la suma de los primeros
términos de una serie aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros
términos de cualquier serie aritmética.
Debido a que hay
términos en la serie, podemos simplificar esta suma a
Dividimos entre 2 para hallar la fórmula de la suma de los primeros
términos de una serie aritmética.
Utilice la fórmula para calcular la suma de cada serie aritmética.
### Usar la fórmula de la serie geométrica
Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética, la suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica. Recordemos que una secuencia geométrica es una sucesión en la que la razón de dos términos consecutivos cualesquiera es la razón común,
Podemos escribir la suma de los primeros
términos de una serie geométrica como
Al igual que con las series aritméticas, podemos hacer algunas manipulaciones algebraicas para obtener una fórmula para la suma de los primeros
términos de una serie geométrica. Comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por
Luego, restamos esta ecuación de la ecuación original.
Observe que al restar, se anulan todos los términos de la ecuación superior menos el primero y el último de la ecuación inferior. Para obtener una fórmula para
divida ambos lados entre
Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica.
### Usar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita
Hasta ahora, solo hemos examinado las series finitas. Sin embargo, a veces, nos interesa la suma de los términos de una secuencia infinita en vez de la suma de solo los primeros
. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Un ejemplo de series infinitas es
Esta serie también se puede escribir en notación de sumatoria como
donde el límite superior de sumatoria es infinito. Como los términos no tienden a cero, la suma de la serie aumenta sin límite a medida que añadimos más términos. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita no está definida. Cuando la suma no es un número real, decimos que la serie diverge.
### Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida
Si los términos de una secuencia geométrica infinita se acercan a 0, se puede definir la suma de una serie geométrica infinita. Los términos de esta serie se acercan a 0.
La razón común
A medida que
se hace muy grande, los valores de
se hacen muy pequeños y se acercan a 0. Cada término sucesivo afecta la suma menos que el término anterior. A medida que cada término sucesivo se acerca a 0, la suma de los términos se acerca a un valor finito. Los términos de cualquier serie geométrica infinita con
se acercan a 0; la suma de una serie geométrica se define cuando
Determine si la suma de la serie infinita está definida.
### Calcular sumas de series infinitas
Cuando existe la suma de una serie geométrica infinita, podemos calcular la suma. La fórmula de la suma de una serie infinita está relacionada con la fórmula de la suma de los primeros
términos de una serie geométrica.
Examinaremos una serie infinita con
¿Qué pasa con
a medida que
aumenta?
El valor de
disminuye rápidamente. ¿Qué ocurre para valores mayores de
A medida que
se hace muy grande,
se hace muy pequeño. Decimos que, a medida que
aumenta sin límites,
se acerca a 0. A medida que
se acerca a 0,
se acerca a 1. Cuando esto ocurre, el numerador se acerca a
Esto nos da una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita.
Calcule la suma, si existe.
### Solución para problemas de anualidades
Al principio de la sección, vimos un problema en el que un padre invertía una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo para la universidad durante seis años. Una anualidad es una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para calcular el importe de una anualidad, tenemos que hallar la suma de todos los pagos y los intereses devengados. En el ejemplo, el padre invierte 50 dólares cada mes. Ese es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba el 6 % de interés anual calculado mensualmente. Para calcular el tipo de interés por periodo de pago, tenemos que dividir la tasa anual equivalente (TAE) del 6 % entre 12. Por lo tanto, la tasa de interés mensual es del 0,5 %. Podemos multiplicar la cantidad en la cuenta cada mes por el 100,5 % para calcular el valor de la cuenta una vez añadidos los intereses.
Podemos calcular el valor de la anualidad justo después del último depósito utilizando una serie geométrica con
y
Después del primer depósito, el valor de la anualidad será de 50 dólares. Veamos si podemos determinar la cantidad del fondo universitario y los intereses obtenidos.
Podemos calcular el valor de la anualidad después de
depósitos mediante la fórmula de la suma de los primeros
términos de una serie geométrica. En 6 años hay 72 meses, así que
Podemos sustituir
en la fórmula y simplificar para calcular el valor de la anualidad después de 6 años.
Después del último depósito, el padre tendrá un total de 4.320,44 dólares en la cuenta. Nótese que el padre hizo 72 pagos de 50 dólares cada uno por un total de
Esto significa que, gracias a la anualidad, el padre ganó 720,44 dólares de intereses en su fondo universitario.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. La suma de los términos de una secuencia se llama serie.
2. Una notación común para las series es la llamada notación de sumatoria, que utiliza la letra griega sigma para representar la suma. Vea el .
3. La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética.
4. La suma de los primeros
términos de una serie aritmética se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el y el .
5. La suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica.
6. La suma de los primeros
términos de una serie geométrica se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el y el .
7. La suma de una serie infinita existe si la serie es geométrica con
8. Si la suma de una serie infinita existe, se puede calcular mediante una fórmula. Vea el , el y el .
9. Una anualidad es una cuenta en la que el inversor realiza una serie de pagos periódicos. El valor de una anualidad se puede calcular mediante series geométricas. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, exprese cada descripción de una suma mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, exprese cada suma aritmética mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros
términos de cada secuencia aritmética.
En los siguientes ejercicios, exprese cada suma geométrica mediante notación de sumatoria.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros
términos de cada secuencia geométrica y luego enuncie la suma indicada.
En los siguientes ejercicios, determine si la serie infinita tiene una suma. Si es así, escriba la fórmula de la suma. Si no es así, indique el motivo.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, utilice el siguiente escenario. Javier hace depósitos mensuales en una cuenta de ahorros. Abrió la cuenta con un depósito inicial de 50 dólares. A partir de entonces, cada mes aumentó en 20 dólares la cantidad del depósito anterior.
En los siguientes ejercicios, utilice la serie geométrica
### Numéricos
En los siguientes ejercicios, calcule la suma indicada.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros términos de una serie aritmética para calcular la suma.
En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros
términos de una serie geométrica para calcular la suma parcial.
En los siguientes ejercicios, calcule la suma de las series geométricas infinitas.
En los siguientes ejercicios, determine el valor de la anualidad para la cantidad indicada del depósito mensual, el número de depósitos y la tasa de interés.
### Extensiones
### Aplicaciones en el mundo real
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# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
## Principios de conteo
### Objetivos de aprendizaje
1. Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.
2. Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.
### Objetivo 1: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.
En la teoría de la probabilidad, el resultado es un posible resultado de un experimento o prueba.
En la teoría de la probabilidad, un evento es un conjunto de resultados de un experimento.
Los eventos inconexos no pueden ocurrir al mismo tiempo. En otras palabras, son mutuamente excluyentes.
El principio de adición se aplica cuando hacemos una sola selección.
### La práctica hace la perfección
Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición.
### Objetivo 2: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.
El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección.
### La práctica hace la perfección
Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación.
Una nueva compañía vende fundas personalizables para tabletas y teléfonos inteligentes. Cada funda está disponible en varios colores y se puede personalizar por un precio adicional con imágenes o un monograma. El cliente puede elegir no personalizar o puede elegir una, dos o tres imágenes o un monograma. El cliente puede elegir el orden de las imágenes y las letras del monograma. La compañía está trabajando con una agencia para desarrollar una campaña de marketing centrada en el gran número de opciones que ofrecen. ¡Contar las posibilidades es un reto!
Todos los días nos encontramos con una gran variedad de problemas de conteo. Existe una rama de las matemáticas dedicada al estudio de problemas de conteo como este. Otras aplicaciones del conteo son las contraseñas seguras, los resultados de las carreras de caballos y la elección de los horarios de las universidades. En esta sección examinaremos este tipo de matemáticas.
### Utilizar el principio de adición
La compañía que vende fundas personalizables ofrece fundas para tabletas y teléfonos inteligentes. Hay 3 modelos de tabletas y 5 de teléfonos inteligentes compatibles. El principio de adición nos dice que podemos sumar el número de opciones de la tableta al número de opciones del teléfono inteligente para hallar el número total de opciones. Por el principio de adición, hay 8 opciones en total, como podemos ver en la .
### Utilización del principio de multiplicación
El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección. Supongamos que elegimos una entrada, un plato principal y un postre. Si hay 2 opciones de entradas, 3 opciones de plato principal y 2 opciones de postre en un menú de cena de precio fijo, hay un total de 12 opciones posibles de cada una, como se muestra en el diagrama de árbol en la .
Las opciones posibles son:
1. sopa, pollo, pastel
2. sopa, pollo, pudín
3. sopa, pescado, pastel
4. sopa, pescado, pudín
5. sopa, filete, pastel
6. sopa, filete, pudín
7. ensalada, pollo, pastel
8. ensalada, pollo, pudín
9. ensalada, pescado, pastel
10. ensalada, pescado, pudín
11. ensalada, filete, pastel
12. ensalada, filete, pudín
También podemos hallar el número total de cenas posibles mediante la multiplicación.
También podríamos llegar a la conclusión de que hay 12 posibles opciones de cena simplemente aplicando el principio de multiplicación.
### Calcular el número de permutaciones de n objetos distintos
El principio de multiplicación se puede usar para resolver diversos tipos de problemas. Un tipo de problema consiste en colocar objetos en orden. Ordenamos las letras en palabras y los dígitos en números, nos alineamos para las fotografías, decoramos las habitaciones y mucho más. Ordenar los objetos se llama una permutación.
### Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante el principio de multiplicación
Para resolver problemas de permutación, suele ser útil dibujar segmentos de línea para cada opción. Eso nos permite determinar el número de cada opción para poder multiplicar. Por ejemplo, supongamos que tenemos cuatro cuadros y queremos hallar el número de maneras en que podemos colgar tres de los cuadros en orden en la pared. Podemos dibujar tres líneas para representar los tres lugares de la pared.
Hay cuatro opciones para el primer lugar, así que escribimos un 4 en la primera línea.
Una vez ocupado el primer lugar, hay tres opciones para el segundo lugar, así que escribimos un 3 en la segunda línea.
Una vez ocupado el segundo lugar, hay dos opciones para el tercer lugar, así que escribimos un 2 en la tercera línea. Por último, calculamos el producto.
Hay 24 permutaciones posibles de los cuadros.
Una familia de cinco personas se está retratando. Utilice el principio de multiplicación para hallar lo siguiente.
### Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante una fórmula
Para algunos problemas de permutación es inconveniente utilizar el principio de multiplicación porque hay muchos números que multiplicar. Afortunadamente, podemos resolver estos problemas mediante una fórmula. Antes de aprender la fórmula, veamos dos notaciones comunes para las permutaciones. Si tenemos un conjunto de
objetos y queremos elegir
objetos del conjunto en orden, escribimos
Otra forma de escribir esto es
una notación comúnmente vista en computadoras y calculadoras. Para calcular
comenzamos por hallar
el número de maneras de alinear todos los
objetos. A continuación, dividimos entre
para anular los elementos
que no deseamos alinear.
Veamos cómo funciona con un ejemplo sencillo. Imagine un club de seis personas. Tienen que elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Seis personas pueden ser elegidas presidente, cualquiera de las cinco restantes puede ser elegida vicepresidente y cualquiera de las cuatro restantes podría ser elegida tesorero. El número de maneras en que esto se puede hacer es
Utilizando los factoriales, obtenemos el mismo resultado.
Hay 120 maneras de seleccionar 3 ejecutivos en orden de un club con 6 miembros. Nos referimos a esto como una permutación de 6 tomada de 3 en 3. La fórmula general es la siguiente.
Observe que la fórmula sigue funcionando si elegimos todos los
objetos y los colocamos en orden. En ese caso estaríamos dividiendo entre
o
que dijimos antes es igual a 1. Por lo tanto, el número de permutaciones de
objetos tomados
a la vez es
o simplemente
Una obra de teatro tiene un elenco de 7 actores que se preparan para subir el telón. Use la fórmula de permutación para calcular lo siguiente.
### Calcular el número de combinaciones mediante la fórmula
Hasta ahora, hemos visto problemas que nos piden que pongamos los objetos en orden. Hay muchos problemas en los que queremos seleccionar algunos objetos de un grupo de objetos, pero no nos importa el orden. Cuando estamos seleccionando objetos y el orden no importa, estamos tratando con combinaciones. Una selección de
objetos de un conjunto de
objetos en los que no importa el orden se puede escribir como
Al igual que con las permutaciones,
también puede escribirse como
En este caso, la fórmula general es la siguiente.
En un problema anterior se trataba de elegir 3 de 4 cuadros posibles para colgar en una pared. Hallamos que había 24 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros en orden. Pero, ¿y si no nos importa el orden? Esperaríamos un número menor porque seleccionar los cuadros 1, 2, 3 sería lo mismo que seleccionar los cuadros 2, 3, 1. Para hallar el número de maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros, sin tener en cuenta el orden, divida el número de permutaciones entre el número de maneras de ordenar 3 cuadros. Hay
maneras de ordenar 3 cuadros. Hay
o 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros. Este número tiene sentido porque cada vez que seleccionamos 3 cuadros, no estamos seleccionando 1 cuadro. Hay 4 cuadros que podríamos elegir no seleccionar, por lo que hay 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros.
### Hallar el número de subconjuntos de un conjunto
Solo hemos visto problemas de combinación en los que elegimos exactamente
objetos. En algunos problemas, queremos considerar la elección de todos los números posibles de objetos. Pensemos, por ejemplo, en una pizzería que ofrece 5 ingredientes. Se puede pedir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántas pizzas diferentes son posibles?
Para responder esta pregunta tenemos que considerar las pizzas con cualquier número de ingredientes. Hay
maneras de pedir una pizza sin ingredientes. Hay
maneras de pedir una pizza con exactamente un ingrediente. Si continuamos este proceso, obtenemos
Hay 32 pizzas posibles. Este resultado es igual a
Se nos presenta una secuencia de opciones. Para cada uno de los
objetos tenemos dos opciones: incluirlo en el subconjunto o no. Así que para todo el subconjunto hemos hecho
elecciones, cada una con dos opciones. Así que hay un total de
posibles subconjuntos resultantes, desde el subconjunto vacío, que obtenemos al decir "no" cada vez, hasta el propio conjunto original, que obtenemos al decir "sí" cada vez.
### Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos
Hemos estudiado permutaciones en las que todos los objetos implicados eran distintos. ¿Qué ocurre si algunos de los objetos no son diferentes? Por ejemplo, supongamos que hay una hoja de 12 pegatinas. Si todas las pegatinas fueran distintas, habría maneras de ordenarlas. Sin embargo, 4 de las pegatinas son estrellas idénticas y 3 son lunas idénticas. Debido a que todos los objetos no son diferentes, muchas de las
permutaciones que hemos contado son duplicados. La fórmula general para esta situación es la siguiente.
En este ejemplo, tenemos que dividir entre el número de maneras de ordenar las 4 estrellas y las maneras de ordenar las 3 lunas para hallar el número de permutaciones únicas de las pegatinas. Hay
maneras de ordenar las estrellas y
maneras de ordenar las lunas.
Hay 3.326.400 maneras de ordenar la hoja de pegatinas.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. Si un evento puede ocurrir en
maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en
maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de
maneras. Vea el .
2. Si un evento puede ocurrir en
maneras y un segundo evento puede ocurrir en
maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en
maneras. Vea el .
3. Una permutación es una ordenación de
objetos.
4. Si tenemos un conjunto de
objetos y queremos elegir
objetos del conjunto en orden, escribimos
5. Los problemas de permutación se pueden resolver utilizando el principio de multiplicación o la fórmula de
Vea el y el .
6. Una selección de objetos cuyo orden no importa es una combinación.
7. Dados
objetos distintos, el número de maneras de seleccionar
objetos del conjunto es
y se puede calcular mediante una fórmula. Vea el .
8. Un conjunto que contiene
objetos distintos tiene
subconjuntos. Vea el .
9. Para los problemas de conteo que implican objetos no distintos, necesitamos dividir para evitar contar permutaciones duplicadas. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
En los siguientes ejercicios, suponga que hay
maneras en las que un evento
puede ocurrir,
maneras en las que un evento
puede ocurrir, y que
no se superponen.
Responda las siguientes preguntas.
### Numéricos
En los siguientes ejercicios, determine si debe utilizar el principio de adición o el principio de multiplicación. Luego, realice los cálculos.
En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la expresión.
En los siguientes ejercicios, calcule el número de subconjuntos en cada conjunto dado.
En los siguientes ejercicios, calcule el número distinto de ordenaciones.
### Extensiones
### Aplicaciones en el mundo real
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# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
## Teorema del binomio
### Objetivos de aprendizaje
1. Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1)
### Objetivo 1: Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1)
El triángulo de Pascal nos ayuda a calcular los coeficientes de los términos en la expansión de un binomio.
Para hallar los coeficientes de los términos, escribimos de nuevo nuestra expansión centrándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes. La matriz de la derecha se llama triángulo de Pascal.
Observe que en cada expansión las potencias de a en cada término disminuyen de n a 0, y las potencias de b aumentan de 0 a n.
Observe que cada número de la matriz es la suma de los dos números más cercanos de la fila anterior. Podemos hallar la siguiente fila empezando y terminando con uno y luego se suman dos números adyacentes.
Para calcular los coeficientes de la expansión del binomio , vaya a la fila que tiene el valor n como segunda entrada.
### La práctica hace la perfección
Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio.
Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar binomios a potencias, pero elevar un binomio a una potencia alta puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección hablaremos de un atajo que nos permitirá calcular
sin multiplicar el binomio por sí mismo
veces.
### Identificación de coeficientes binomiales
En la sección Principios de conteo, estudiamos las combinaciones. En el atajo para calcular
necesitaremos utilizar combinaciones para calcular los coeficientes que aparecerán en la expansión del binomio. En este caso, utilizamos la notación
en vez de
pero se puede calcular de la misma manera. Así que
La combinación
se llama coeficiente binomial. Un ejemplo de coeficiente binomial es
### Usar el teorema del binomio
Cuando expandimos
multiplicando, el resultado se llama expansión binomial, e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir
podríamos multiplicar
por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos hallar patrones que nos lleven a un atajo para calcular expansiones binomiales más complicadas.
Primero, examinemos los exponentes. Con cada término sucesivo, el exponente de
disminuye y el exponente de
aumenta. La suma de los dos exponentes es
para cada término.
A continuación, examinemos los coeficientes. Observe que los coeficientes aumentan y luego disminuyen siguiendo un patrón simétrico. Los coeficientes siguen un patrón:
Estos patrones nos llevan al teorema del binomio, que se puede usar para expandir cualquier binomio.
Otra forma de ver los coeficientes es examinar la expansión de un binomio en forma general,
a potencias sucesivas 1, 2, 3 y 4.
¿Puede estimar la siguiente expansión del binomio
Vea la , que ilustra lo siguiente:
1. Hay
términos en la expansión de
2. El grado (o suma de los exponentes) de cada término es
3. Las potencias en
comienzan con
y disminuyen a 0.
4. Las potencias en
comienzan con 0 y aumentan hasta
5. Los coeficientes son simétricos.
Para determinar la expansión en
vemos que
por lo tanto, habrá 5 + 1 = 6 términos. Cada término tiene un grado combinado de 5. En orden descendente para las potencias de
el patrón es el siguiente:
1. Introduzca
y luego para cada término sucesivo reduzca el exponente en
por 1 hasta que
se alcance.
2. Introduzca
y luego aumente el exponente en
por 1 hasta que
se alcance.
La siguiente expansión sería
¿Pero de dónde salen esos coeficientes? Los coeficientes binomiales son simétricos. Observamos estos coeficientes en una matriz conocida como triángulo de Pascal, se muestra en la . Pascal no inventó el triángulo. Los principios subyacentes se habían desarrollado y escrito durante más de 1.500 años, primero por el matemático (y poeta) indio Pingala en el siglo II a.C. Otros en Asia y Europa trabajaron con los conceptos a lo largo del tiempo, y el triángulo fue publicado por primera vez en su forma gráfica por Omar Khayyam, un matemático y astrónomo iraní, en cuyo honor el triángulo recibe su nombre en Irán. El matemático francés Blaise Pascal la volvió a popularizar cuando la reeditó y la utilizó para resolver una serie de problemas de probabilidad.
Para generar el triángulo de Pascal, empezamos escribiendo un 1. En la fila de abajo, la fila 2, escribimos dos 1. En la 3.a fila, flanquee los extremos de las filas con 1, y sume
para hallar el número del medio, el 2. En la
fila, flanquee los extremos de la fila con 1. Cada elemento del triángulo es la suma de los dos elementos inmediatamente superiores.
Para ver la conexión entre el triángulo de Pascal y los coeficientes de los binomios, volvamos a ver la expansión de los binomios en forma general.
### Usar el teorema del binomio para hallar un solo término
Expandir un binomio con un exponente alto como
puede ser un proceso largo.
A veces nos interesa solo un término determinado de una expansión binomial. No necesitamos expandir completamente un binomio para hallar un solo término específico.
Observe el patrón de coeficientes en la expansión de
El segundo término es
El tercer término es
Podemos generalizar este resultado.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1.
se llama coeficiente binomial y es igual a
Vea el .
2. El teorema del binomio nos permite expandir los binomios sin multiplicar. Vea el .
3. Podemos hallar un término dado de una expansión binomial sin expandir completamente el binomio. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, evalúe el coeficiente binomial.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir cada binomio.
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de cada binomio.
En los siguientes ejercicios, halle el término indicado de cada binomio sin expandir completamente el binomio.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir el binomio
Luego calcule y grafique cada suma indicada en un conjunto de ejes.
### Extensiones
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# Secuencia, probabilidad y teoría del recuento
## Probabilidad
### Objetivos de aprendizaje
1. Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas.
### Objetivo 1: Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas.
Muchos acontecimientos de la vida son intrínsecamente inciertos: ¿va a nevar mañana? ¿Voy a sacar una ‘A’ en este curso? Ninguna de estas preguntas puede responderse con certeza. Sin embargo, diríamos que algunas son improbables y otras más probables.
La probabilidad de un evento es una descripción de la probabilidad de que un evento ocurra. La probabilidad es un número entre 0 y 1 (es decir, entre el 0 % y el 100 %), donde las probabilidades más cercanas al 100 % son muy probables, y las más cercanas al 0 % son muy improbables. La probabilidad del 0 % significa que el suceso es imposible, y la probabilidad del 100 % significa que el evento ocurrirá con seguridad.
Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Se define por su espacio muestral, los sucesos dentro del espacio muestral y las probabilidades asociadas a cada evento.
El espacio muestral S de un modelo de probabilidades es el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo, el espacio muestral para lanzar un dado es el conjunto 1,2,3,4,5,6. Esta notación se denomina notación de lista.
El suceso A es un subconjunto del espacio muestral S. Por ejemplo, el suceso: "Sacar un número par", es el subconjunto 2,4,6.
Para calcular la probabilidad de un evento, dividimos el número de resultados posibles del evento entre el número de resultados posibles del espacio muestral.
Es importante señalar que para utilizar esta fórmula, todos los resultados deben tener la misma probabilidad de ocurrir.
Por ejemplo, la probabilidad de sacar un número par con un dado estándar es:
### La práctica hace la perfección
Los habitantes del sureste de Estados Unidos están muy familiarizados con los gráficos, conocidos como modelos de espagueti, como el que aparece en la . Combinan una colección de datos meteorológicos para predecir la trayectoria más probable de un huracán. Cada línea de color representa un camino posible. El grupo de líneas onduladas puede empezar a parecerse a hebras de espaguetis, de ahí su nombre. En esta sección investigaremos sobre métodos para hacer este tipo de predicciones.
### Construir modelos de probabilidades
Supongamos que lanzamos un cubo numérico de seis caras. Lanzar un cubo numérico es un ejemplo de un experimento, o una actividad con un resultado observable. Los números en el cubo son posibles resultados, o resultados, de este experimento. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral del experimento. El espacio muestral de este experimento es Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral.
La posibilidad de que se produzca un suceso se conoce como probabilidad. La probabilidad de un evento
es un número que siempre satisface
donde 0 indica un suceso imposible y 1 indica un suceso seguro. Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Por ejemplo, si hay un 1 % de posibilidad de ganar una rifa y un 99 % de posibilidades de perderla, un modelo de probabilidades se parecería mucho a la .
La suma de las probabilidades enumeradas en un modelo de probabilidades debe ser igual a 1, es decir, al 100 %.
### Calcular probabilidades de resultados igualmente probables
Supongamos que
es un espacio muestral para un experimento. Al investigar la probabilidad, un evento es cualquier subconjunto de
Cuando los resultados de un experimento son todos igual de posibles, podemos calcular la probabilidad de un evento al dividir el número de resultados del evento entre el número total de resultados en
Supongamos que se lanza un cubo numérico, y nos interesa calcular la probabilidad del evento "sacar un número menor que o igual a 4". Hay 4 posibles resultados en el evento y 6 posibles resultados en
por lo que la probabilidad del evento es
### Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos
A menudo nos interesa calcular la probabilidad de que ocurra uno de los múltiples eventos. Supongamos que estamos jugando un juego de cartas, y que ganaremos si la siguiente carta extraída es un corazón o un rey. Nos interesa calcular la probabilidad de que la siguiente carta sea un corazón o un rey. La unión de dos eventos
es el evento que se produce si se da uno de los dos eventos o ambos.
Supongamos que se hace girar la ruleta de la . Queremos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o girar a
Hay un total de 6 secciones, y 3 de ellas son de color anaranjado. Así que la probabilidad de girar a anaranjado es
Hay un total de 6 secciones, y 2 de ellas tienen una
Así que la probabilidad de girar a
es
Si sumamos estas dos probabilidades, estaríamos contando el sector que es a la vez anaranjado y
dos veces. Para calcular la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a
tenemos que restar la probabilidad de que el sector sea a la vez anaranjado y
La probabilidad de girar a anaranjado o a
es
### Calcular la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes
Supongamos que se hace girar de nuevo la ruleta de la , pero esta vez nos interesa la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a
No hay sectores que sean a la vez de color anaranjado y que contengan una
por lo que estos dos sucesos no tienen resultados en común. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen resultados en común. Ya que no hay superposición, no hay nada que restar, por lo que la fórmula general es
Observe que con eventos mutuamente excluyentes la intersección de
y
es el conjunto vacío. La probabilidad de hacer girar a anaranjado es
y la probabilidad de girar a
es
Podemos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o a
simplemente al sumar las dos probabilidades.
La probabilidad de hacer girar a anaranjado o a
es
### Usar la regla del complemento para calcular probabilidades
Hemos hablado de cómo calcular la probabilidad de que se produzca un evento. A veces, nos interesa calcular la probabilidad de que un evento no ocurra. El complemento de un evento
denotado
es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en
Por ejemplo, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un caballo pierda una carrera. Si el evento
es que el caballo gane la carrera, entonces el complemento del evento
es que el caballo pierda la carrera.
Para calcular la probabilidad de que el caballo pierda la carrera, tenemos que utilizar el hecho de que la suma de todas las probabilidades en un modelo de probabilidad debe ser 1.
La probabilidad de que el caballo gane sumada a la probabilidad de que pierda debe ser igual a 1. Por lo tanto, si la probabilidad de que el caballo gane la carrera es
la probabilidad de que el caballo pierda la carrera es simplemente
### Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo
Muchos problemas interesantes de probabilidad implican principios de conteo, permutaciones y combinaciones. En estos problemas, utilizaremos permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en eventos y espacios muestrales. Estos problemas pueden ser complicados, pero pueden hacerse más fáciles si se dividen en problemas de conteo más pequeños.
Supongamos, por ejemplo, que una tienda tiene 8 teléfonos móviles y que 3 de ellos están defectuosos. Podríamos querer calcular la probabilidad de que una pareja que compra 2 teléfonos reciba 2 teléfonos que no estén defectuosos. Para resolver este problema, tenemos que calcular todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos, así como todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos. Hay 5 teléfonos que no están defectuosos, por lo que hay
maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos. Hay 8 teléfonos, por lo que hay
maneras de seleccionar 2 teléfonos. La probabilidad de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos es:
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, donde 0 significa que un evento es imposible y 1 significa que un evento es seguro.
2. Las probabilidades de un modelo de probabilidad deben sumar 1. Vea el .
3. Cuando los resultados de un experimento son todos igual de probables, podemos calcular la probabilidad de un suceso al dividir el número de resultados del suceso entre el número total de resultados en el espacio muestral del experimento. Vea el .
4. Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, sumamos las probabilidades de los dos eventos y restamos la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente. Vea el .
5. Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades de cada uno de los eventos. Vea el .
6. La probabilidad del complemento de un evento es la diferencia entre 1 y la probabilidad de que el evento ocurra. Vea el .
7. En algunos problemas de probabilidad, necesitamos utilizar permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en los eventos y espacios muestrales. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Numéricos
En los siguientes ejercicios, use la ruleta que se muestra en la para calcular las probabilidades indicadas.
En los siguientes ejercicios, se lanzan dos monedas.
En los siguientes ejercicios, se lanzan cuatro monedas.
En los siguientes ejercicios, se extrae una carta de una baraja estándar de
cartas. Calcule la probabilidad de sacar lo siguiente:
En los siguientes ejercicios, se lanzan dos dados y se suman los resultados.
En los siguientes ejercicios, se lanza una moneda y se saca una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de lo siguiente:
En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: una bolsa de M&M contiene
azules,
marrones,
anaranjados,
amarillos,
rojos y
M&M verdes. Una persona mete la mano en la bolsa y agarra 5 M&M.
### Extensiones
Utilice el siguiente escenario para los próximos ejercicios: En el juego de Keno, un jugador comienza con la selección de
números de los números del
al
Después de que el jugador haga sus selecciones,
números ganadores se seleccionan al azar entre los números del
al
Hay una victoria si el jugador ha seleccionado correctamente
o
de los
números ganadores (redondee todas las respuestas a la centésima de porcentaje más cercana).
### Aplicaciones en el mundo real
Utilice estos datos para los próximos ejercicios: En 2013, había unos 317 millones de ciudadanos en Estados Unidos, y unos 40 millones eran de edad avanzada (mayores de 65 años).Oficina del Censo de Estados Unidos. http://www.census.gov
### Ejercicios de repaso del capítulo
### Secuencias y su notación
### Secuencias aritméticas
### Secuencias geométricas
### Las series y su notación
### Principios de conteo
### Teorema del binomio
### Probabilidad
En los siguientes ejercicios, suponga que se lanzan dos dados.
En los siguientes ejercicios, utilice estos datos: Una encuesta realizada en una escuela primaria reveló que 350 de los 500 estudiantes preferían las gaseosas a la leche. Supongamos que 8 niños de la escuela asisten a una fiesta de cumpleaños (Muestre los cálculos y redondee a la décima de porcentaje más cercana).
### Prueba de práctica
En los siguientes ejercicios, utilice la ruleta de la . |
# Introducción a Cálculo
## Introducción
La holandesa oriunda de Etiopía Sifan Hassan ha dominado las carreras de distancia durante varios años. Fue la primera en ganar las carreras de 1.500 y 10.000 metros en un campeonato mundial. Durante los Juegos Olímpicos de Tokio, se unió a la única corredora en la historia al obtener una medalla en la rara vez intentada distancia del triple: ganó la medalla de oro en los 5.000 y 10.000 metros y el bronce en los 1.500. El estilo característico de Hassan es permanecer en la retaguardia durante gran parte de la carrera, para luego avanzar en las últimas vueltas.
Hassan no corre a su máxima velocidad a cada instante. ¿Cómo podemos entonces calcular su velocidad en un instante dado? En este capítulo hallaremos la respuesta a esta y muchas otras preguntas semejantes. |
# Introducción a Cálculo
## Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos
Intuitivamente, sabemos lo que es un límite. Un automóvil solo puede ir hasta cierta velocidad y no más rápido. Un cubo de basura puede contener 33 galones y no más. Es natural que las cantidades medidas tengan límites. ¿Cuál es, por ejemplo, el límite de la altura de una mujer? La mujer más alta de quien se tiene constancia es Jinlian Zeng, de China, que mide 8 ft, 1 in.https://en.wikipedia.org/wiki/Human_height y http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tallest_people ¿Este es el límite de altura que pueden alcanzar las mujeres? Tal vez no, pero es probable que haya un límite que podríamos describir en pulgadas si fuéramos capaces de determinar cuál es.
Por decirlo de forma matemática, la función cuya entrada es una mujer y cuya salida es una altura medida en pulgadas tiene un límite. En esta sección examinaremos enfoques numéricos y gráficos para identificar límites.
### Comprender la notación de límites
Hemos visto cómo una secuencia puede tener un límite, un valor hacia el que se mueve la secuencia de términos a medida que aumenta el número de términos. Por ejemplo, los términos de la secuencia
se acercan cada vez más a 0. Una secuencia es un tipo de función, pero las funciones que no son secuencias también pueden tener límites. Podemos describir el comportamiento de la función a medida que los valores de entrada se acercan a un valor específico. Si el límite de una función
entonces a medida que la entrada
se acerca cada vez más a
la coordenada y de salida se acerca cada vez más a
Decimos que la salida "se acerca a"
La proporciona una representación visual del concepto matemático de límite. A medida que el valor de entrada
se acerca a
el valor de salida
se acerca a
Escribimos la ecuación de un límite como
Esta notación indica que a medida que
se acerca a
tanto desde la izquierda de
y desde la derecha de
el valor de salida se acerca a
Considere la función
Podemos factorizar la función como se muestra.
Observe que
no puede ser 7, o estaríamos dividiendo entre 0, por lo que 7 no está en el dominio de la función original. Para no cambiar la función cuando simplificamos, ponemos la misma condición,
para la función simplificada. Podemos representar la función gráficamente como se muestra en la .
Lo que sucede en
es completamente diferente de lo que ocurre en los puntos cercanos a
a cada lado. La notación
indica que a medida que la entrada
se acerca a 7 desde la izquierda o desde la derecha, la salida se acerca a 8. La salida puede acercarse tanto a 8 como queramos si la entrada está lo suficientemente cerca de 7.
¿Qué sucede en
Cuando
no hay ninguna salida correspondiente. Lo escribimos como
Esta notación indica que 7 no está en el dominio de la función. Ya lo habíamos indicado cuando escribimos la función como
Observe que el límite de una función puede existir incluso cuando
no está definida en
Gran parte de nuestro trabajo posterior consistirá en determinar límites de funciones a medida que
se acerca a
aunque la salida en
no existe.
### Comprender los límites izquierdo y derecho
Podemos acercarnos a la entrada de una función desde cualquier lado de un valor, desde la izquierda o la derecha. La muestra los valores de
como se han descrito anteriormente y se han representado en la .
Los valores descritos como "desde la izquierda" son menores que el valor de entrada 7 y, por lo tanto, aparecerían a la izquierda del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la izquierda en la son
y
Las salidas correspondientes son
y
Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de
cuando
se acerca por la izquierda se conoce como el límite izquierdo. Para esta función, 8 es el límite izquierdo de la función
a medida que
se acerca a 7.
Los valores descritos como "desde la derecha" son mayores que el valor de entrada 7 y, por tanto, aparecerían a la derecha del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la derecha en la son
y
Las salidas correspondientes son
y
Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de
cuando
se acerca por la derecha se conoce como el límite derecho. Para esta función, 8 es también el límite derecho de la función
a medida que
se acerca a 7.
La muestra que podemos obtener la salida de la función a una distancia de 0,1 de 8 utilizando una entrada a una distancia de 0,1 de 7. En otras palabras, necesitamos una entrada de
dentro del intervalo
para producir un valor de salida de
dentro del intervalo
También vemos que podemos obtener valores de salida de
sucesivamente más cerca de 8 al seleccionar valores de entrada más cercanos a 7. De hecho, podemos obtener valores de salida dentro de cualquier intervalo especificado si elegimos los valores de entrada adecuados.
La proporciona una representación visual de los límites izquierdo y derecho de la función. A partir del gráfico de
observamos que la salida puede acercarse infinitesimalmente a
a medida que
se acerca a 7 por la izquierda y a medida que
se acerca a 7 por la derecha.
Para indicar el límite izquierdo, escribimos
Para indicar el límite derecho, escribimos
### Comprender los límites laterales
En el ejemplo anterior, los límites izquierdo y derecho a medida que
se acerca a
son iguales. Si los límites izquierdo y derecho son iguales, decimos que la función
tiene un límites laterales a medida que
se acerca a
Más comúnmente, nos referimos a un límite lateral simplemente como un límite. Si el límite izquierdo no es igual al límite derecho, o si uno de ellos no existe, decimos que el límite no existe.
### Hallar un límite utilizando un gráfico
Para determinar visualmente si existe un límite a medida que
se acerca a
observamos el gráfico de la función cuando
está muy cerca de
En la observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de
Para determinar si existe un límite izquierdo, observamos la rama del gráfico a la izquierda de
pero cerca de
Aquí es donde
Vemos que las salidas se acercan a algún número real
por lo que hay un límite izquierdo.
Para determinar si existe un límite derecho, observe la rama del gráfico a la derecha de
pero cerca de
Aquí es donde
Vemos que las salidas se acercan a algún número real
por lo que hay un límite derecho.
Si el límite izquierdo y el límite derecho son iguales, como ocurre en la , entonces sabemos que la función tiene límites laterales. Normalmente, cuando nos referimos a un "límite", nos referimos a límites laterales, a menos que lo llamemos límite de un lado.
Por último, podemos buscar un valor de salida para la función
cuando el valor de entrada
es igual a
El par de coordenadas del punto sería
Si ese punto existe, entonces
tiene un valor. Si el punto no existe, como en la , entonces decimos que
no existe.
### Hallar un límite utilizando una tabla
La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de
se acercan a
de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite
Veamos un ejemplo con la siguiente función:
Para crear la tabla, evaluamos la función en valores cercanos a
Utilizamos algunos valores de entrada menores que 5 y otros mayores que 5 como en la . Los valores de la tabla muestran que cuando
pero acercándose a 5, la salida correspondiente se acerca a 75. Cuando
pero acercándose a 5, la salida correspondiente también se acerca a 75.
Dado que
entonces
Recuerde que
no existe.
### Conceptos clave
1. Una función tiene un límite si los valores de salida se acercan a algún valor
a medida que los valores de entrada se acercan a alguna cantidad
Vea el .
2. Se utiliza una notación abreviada para describir el límite de una función según la forma
que indica que a medida que
se acerca a
tanto desde la izquierda de
y desde la derecha de
el valor de salida se acerca a
3. Una función tiene un límite izquierdo si
se acerca a
a medida que
se acerca a
donde
Una función tiene un límite derecho si
se acerca a
a medida que
se acerca a
donde
4. Existen límites laterales si el límite izquierdo y el límite derecho de una función son iguales. Se dice que una función tiene un límite si tiene límites laterales.
5. Un gráfico proporciona un método visual para determinar el límite de una función.
6. Si la función tiene un límite a medida que
se acerca a
las ramas del gráfico se acercarán a la misma coordenada
cerca de
desde la izquierda y desde la derecha. Vea el .
7. Se puede utilizar una tabla para determinar si una función tiene un límite. La tabla debe mostrar los valores de entrada que se acercan a
desde ambas direcciones para poder evaluar los valores de salida resultantes. Si los valores de salida se acercan a algún número, la función tiene un límite. Vea el .
8. También se puede utilizar una herramienta gráfica para hallar un límite. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, estime los valores funcionales y los límites a partir del gráfico de la función
proporcionado en la .
En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función a partir de los valores funcionales y los límites proporcionados.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar el límite con 5 decimales a medida que
se acerca a 0.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que
se acerca a
Si la función tiene un límite a medida que
se acerca a
indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.
### Numéricos
En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en
En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función cerca de
Redondee las respuestas a dos decimales.
En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el límite preparando una tabla de valores. Si no hay límite, describa el comportamiento de la función a medida que
se acerca al valor dado.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas numéricas o gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que
se acerca a
Si la función tiene un límite a medida que
se acerca a
indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.
### Extensiones
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# Introducción a Cálculo
## Hallar los límites: propiedades de los límites
Considere la función racional
La función se puede factorizar de la siguiente manera:
¿Esto significa que la función
es lo mismo que la función
La respuesta es no. La función
no tiene
en su dominio, pero
sí lo tiene. Gráficamente, observamos que hay un agujero en el gráfico de
en
como se muestra en la y no hay tal agujero en el gráfico de
como se muestra en la .
Entonces, ¿estas dos funciones diferentes también tienen límites diferentes a medida que
se acerca a 7?
No necesariamente. Recuerde que al determinar el límite de una función a medida que
se acerca a
lo que importa es si la salida se acerca a un número real a medida que nos acercamos a
La existencia de un límite no depende de lo que ocurra cuando
es igual a
Mire de nuevo la y la . Observe que en ambos gráficos, a medida que
se acerca a 7, los valores de salida se acercan a 8. Esto significa que
Recuerde que cuando se determina un límite, la preocupación es lo que ocurre cerca de
no en
En esta sección utilizaremos una variedad de métodos, como reescribir funciones por factorización, para evaluar el límite. Estos métodos nos permitirán verificar formalmente lo que antes conseguíamos por intuición.
### Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto
Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede ser engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando es posible, es más eficiente utilizar las propiedades de los límites, lo cual es una colección de teoremas para hallar límites.
Conocer las propiedades de los límites nos permite calcularlos directamente. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los límites de las funciones como si estuviéramos realizando las operaciones sobre las propias funciones para hallar el límite del resultado. Del mismo modo, podemos hallar el límite de una función elevada a una potencia llevando el límite a esa potencia. También podemos hallar el límite de la raíz de una función tomando la raíz del límite. Utilizando estas operaciones sobre los límites, podemos hallar los límites de funciones más complejas hallando los límites de sus funciones componentes más simples.
### Hallar el límite de un polinomio
No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recordemos que un polinomio es una expresión que consiste en la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales está formado por una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Para hallar el límite de una función polinómica, podemos encontrar los límites de cada uno de los términos de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinómica a medida que
se acerca a
equivale a evaluar simplemente la función para
.
### Hallar el límite de una potencia o una raíz
Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos permita evaluarlo. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con las potencias superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores.
### Hallar el límite de un cociente
Hallar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo, tenemos que reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa a 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar.
### Conceptos clave
1. Las propiedades de los límites se pueden utilizar para realizar operaciones sobre los límites de las funciones en vez de las propias funciones. Vea el .
2. El límite de una función polinómica puede hallarse calculando la suma de los límites de los términos individuales. Vea el y el .
3. El límite de una función elevada a una potencia es igual a la misma potencia del límite de la función. Otro método es la sustitución directa. Vea el .
4. El límite de la raíz de una función es igual a la raíz correspondiente del límite de la función.
5. Una forma de hallar el límite de una función expresada como cociente es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Vea el .
6. Otro método para hallar el límite de una fracción compleja es hallar el mínimo común denominador. Vea el .
7. Un límite que contenga una función que contenga una raíz se puede evaluar mediante un conjugado. Vea el .
8. Los límites de algunas funciones expresadas como cocientes se pueden hallar mediante la factorización. Vea el .
9. Una forma de evaluar el límite de un cociente que contenga valores absolutos es utilizando evidencias numéricas. También puede ser útil configurarlas por partes. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, evalúe los límites algebraicamente.
Para el siguiente ejercicio, utilice la información dada para evaluar los límites:
.
En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites.
En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, consulte la .
### Aplicaciones en el mundo real
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# Introducción a Cálculo
## Continuidad
Arizona es conocida por su calor seco. En un día determinado, la temperatura puede subir hasta
y bajar solo rápidamente a
La muestra la función
donde la salida de
es la temperatura en grados Fahrenheit y la entrada
es la hora del día, utilizando un reloj de 24 horas en un día determinado de verano.
Al analizar este gráfico, observamos una característica específica. No hay interrupciones en el gráfico. Podríamos trazar el gráfico sin levantar el lápiz. Esta única observación nos dice mucho sobre la función. En esta sección investigaremos funciones con y sin interrupciones.
### Determinar si una función es continua en un número
Consideremos un ejemplo específico de temperatura en términos de fecha y ubicación, como el 27 de junio de 2013, en Phoenix, AZ. El gráfico en la indica que a las 2 a. m. la temperatura era
. A las 2 p. m., la temperatura había subido a
y para las 4 p. m. era de
En algún momento entre las 2 a. m. y las 4 p. m., la temperatura exterior debió ser exactamente
De hecho, cualquier temperatura entre
y
se produjo en algún momento de ese día. Esto significa que todos los números reales en la salida entre
y
se generan en algún momento por la función según el teorema del valor intermedio,
Mire de nuevo la . No hay interrupciones en el gráfico de la función para este periodo de 24 horas. En ningún momento la temperatura dejó de existir, ni hubo un punto en el que la temperatura saltara instantáneamente varios grados. Una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico se conoce como función continua. La temperatura en función del tiempo es un ejemplo de función continua.
Si la temperatura representa una función continua, ¿qué tipo de función no sería continua? Consideremos un ejemplo de dólares expresados como función de horas de estacionamiento. Vamos a crear la función
donde
es el resultado que representa el costo en dólares del estacionamiento por
número de horas. Vea la .
Supongamos que un estacionamiento tiene una tarifa de 4,00 dólares por hora o fracción de hora, con una tarifa máxima de 25 dólares por día. Si se estaciona durante dos horas y cinco minutos, la tarifa es de 12 dólares. Si se aparca una hora más, la tarifa es de 16 dólares. Nunca nos pueden cobrar 13, 14 o 15 dólares. Hay números reales entre el 12 y el 16 que la función nunca produce. En este periodo de 24 horas, el gráfico de la función presenta interrupciones, puntos en los cuales el precio del estacionamiento salta instantáneamente en varios dólares.
Una función que permanece nivelada durante un intervalo y luego salta instantáneamente a un valor superior se llama función escalonada. Esta función es un ejemplo.
Una función que tiene algún agujero o interrupción en su gráfico se conoce como función discontinua. La función escalonada, como las tarifas de estacionamiento en función de las horas utilizadas, es un ejemplo de función discontinua.
Entonces, ¿cómo podemos decidir si una función es continua en un número determinado? Podemos comprobar tres condiciones diferentes. Utilicemos la función
representada en la como ejemplo.
Condición 1 Según la condición 1, la función
definida en
debe existir. En otras palabras, hay una coordenada y en
como en la .
Condición 2 Según la condición 2, en
el límite, escrito
debe existir. Esto significa que en
el límite izquierdo debe ser igual al límite derecho. Observe como el gráfico de
en la se acerca a
desde la izquierda y la derecha, se acerca a la misma coordenada y. Por lo tanto, se cumple la condición 2. Sin embargo, todavía podría existir un agujero en el gráfico en
.
Condición 3 Según la condición 3, la coordenada
coordenadas en
rellena el agujero en el gráfico de
Esto se escribe
El cumplimiento de las tres condiciones significa que la función es continua. Las tres condiciones se cumplen para la función representada en la , por lo que la función es continua, ya que
De la a la se ofrecen varios ejemplos de gráficos de funciones que no son continuas en
y la condición o condiciones que fallan.
### Identificar una discontinuidad de salto
La discontinuidad se genera de diferentes maneras. Hemos visto en la sección anterior que una función puede tener un límite izquierdo y un límite derecho aunque no sean iguales. Si los límites por la izquierda y por la derecha existen pero son diferentes, el gráfico "salta" en
. Se dice que la función tiene una discontinuidad de salto.
Como ejemplo, mire el gráfico de la función
en la . Observe como
se acerca a
cómo la salida se acerca a diferentes valores desde la izquierda y desde la derecha.
### Identificar discontinuidad removible
Algunas funciones tienen una discontinuidad, pero es posible redefinir la función en ese punto para hacerla continua. Se dice que este tipo de función tiene una discontinuidad removible. Veamos la función
representada por el gráfico en la . La función tiene un límite. Sin embargo, hay un agujero en
. El agujero se puede rellenar si se amplía el dominio para incluir la entrada
y se define la salida correspondiente de la función en ese valor como el límite de la función en
.
### Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales
Muchas de las funciones que hemos encontrado en capítulos anteriores son continuas en todas partes. Nunca tienen un agujero y nunca saltan de un valor a otro. Para todas estas funciones, el límite de
cuando
se acerca a
es el mismo que el valor de
cuando
Así que
Hay algunas funciones que son continuas en todas partes y otras que solo son continuas donde están definidas en su dominio porque no están definidas para todos los números reales.
### Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua
Ahora que podemos identificar funciones continuas, discontinuidades de salto y discontinuidades removibles veremos funciones más complejas para hallar discontinuidades. Aquí analizaremos una función definida por partes para determinar si existe algún número real en el que la función no sea continua. Una función definida por partes puede tener discontinuidades en los puntos límite de la función, así como dentro de las funciones que la componen.
Para determinar los números reales para los que una función definida por partes compuesta por funciones polinómicas no es continua, recordemos que las propias funciones polinómicas son continuas en el conjunto de los números reales. Cualquier discontinuidad estaría en los puntos límite. Por lo tanto, tenemos que explorar las tres condiciones de continuidad en los puntos límite de la función definida por partes.
### Cómo determinar si una función es continua
Para determinar si una función definida por partes es continua o discontinua, además de comprobar los puntos límite, debemos comprobar si cada una de las funciones que componen la función definida por partes es continua.
### Conceptos clave
1. Una función continua se puede representar mediante un gráfico sin agujeros ni interrupciones.
2. Una función cuyo gráfico tiene agujeros es una función discontinua.
3. Una función es continua en un número determinado si se cumplen tres condiciones:
4. Una función tiene una discontinuidad de salto si los límites izquierdo y derecho son diferentes, lo que hace que el gráfico "salte".
5. Una función tiene una discontinuidad removible si puede ser redefinida en su punto discontinuo para hacerla continua. Vea el .
6. Algunas funciones, como las polinómicas, son continuas en todas partes. Otras funciones, como las logarítmicas, son continuas en su dominio. Vea el y el .
7. Para que una función definida por partes sea continua, cada parte debe ser continua en su parte del dominio y la función en su conjunto debe ser continua en los límites. Vea el y el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, determine por qué la función
es discontinua en un punto determinado
en el gráfico. Indique cuál condición falla.
En los siguientes ejercicios, determine si la función dada
es continua en todas partes. Si es continua en todos los lugares en los que está definida, indique para qué rango es continua. Si es discontinua, indique dónde lo es.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, consulte la . Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. Para cada valor de
determine cuáles de las tres condiciones de continuidad se cumplen en
y cuáles no.
En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la función
como en la . Coloque el eje x a una corta distancia antes y después de 0 para ilustrar el punto de discontinuidad.
En los siguientes ejercicios, considere la función mostrada en la . |
# Introducción a Cálculo
## Derivadas
El uso de los dispositivos y los medios de comunicación cambia a ritmos diferentes según los grupos de personas. Las empresas de comunicación y tecnología, los comercializadores, los educadores y sus defensores mantienen una estrecha vigilancia sobre las tendencias y preferencias. Según datos del Pew Research Center, la posesión de teléfonos inteligentes por parte de los millennials solo aumentó un 1 % de 2018 a 2019 (del 92 % al 93 %). No obstante, en el caso de los mayores de 74 años, el número pasó del 30 % al 40 % en el mismo periodo.
Las tendencias de propiedad y uso de otros dispositivos pueden ir en direcciones diferentes según la generación. De 2018 a 2019, la posesión de tabletas por parte de los millennials cayó del 64 % al 52 %. Sin embargo, durante el mismo periodo, la generación de los baby boom se mantuvo exactamente igual, con un 52 % de propietarios de tabletas. Además, el grupo de mayores de 74 años ha aumentado la posesión de tabletas del 25 % al 33 %.https://www.pewresearch.org/fact-tank/2019/09/09/us-generations-technology-use/
¿Qué tienen en común estas situaciones? Las funciones que los representan han cambiado con el tiempo. En esta sección consideraremos métodos para calcular dichos cambios a lo largo del tiempo.
### Hallar la tasa media de cambio de una función
Las funciones que describen los ejemplos anteriores implican un cambio en el tiempo. El cambio dividido entre el tiempo es un ejemplo de tasa. Las tasas de cambio en los ejemplos anteriores son diferentes. En otras palabras, algunos cambiaron más rápido que otros. Si hiciéramos un gráfico de las funciones, podríamos comparar las tasas determinando las pendientes de los gráficos.
Una línea tangente a una curva es una línea que interseca la curva en un solo punto pero no la cruza en él (La línea tangente puede intersecar la curva en otro punto alejado del punto de interés). Si acercamos la curva en ese punto, la curva parece lineal, y la pendiente de la curva en ese punto es cercana a la pendiente de la línea tangente en ese punto.
representa la función
Podemos ver la pendiente en varios puntos de la curva.
Imaginemos un punto en la curva de la función
en
como se muestra en la . Las coordenadas del punto son
Conecte este punto con un segundo punto de la curva un poco a la derecha de
con un valor x incrementado en algún pequeño número real
Las coordenadas de este segundo punto son
para algún valor positivo
Podemos calcular la pendiente de la línea que conecta los dos puntos
y
llamada una línea secante, si aplicamos la fórmula de la pendiente,
Utilizamos la notación
para representar la pendiente de la línea secante que une dos puntos.
La pendiente
es igual a la tasa media de cambio entre dos puntos
y
### Comprender la tasa instantánea de cambio
Ahora que podemos hallar la tasa media de cambio, supongamos que hacemos
en la cada vez más pequeño. Luego
se acercarán a
a medida que
se hace más pequeño, acercándose cada vez más a 0. Asimismo, el segundo punto
se acercará al primer punto,
Como consecuencia, la línea de conexión entre los dos puntos, llamada línea secante, se acercará cada vez más a ser una tangente a la función en
y la pendiente de la línea secante se acercará cada vez más a la pendiente de la tangente en
Vea la .
Dado que estamos buscando la pendiente de la tangente en
podemos pensar en la medida de la pendiente de la curva de una función
en un punto determinado como la tasa de cambio en un instante específico. Llamamos a esta pendiente la tasa instantánea de cambio, o la derivada de la función en
Ambas se pueden hallar calculando el límite de la pendiente de una línea que conecta el punto en
con un segundo punto infinitesimalmente cercano a lo largo de la curva. Para una función
tanto la tasa instantánea de cambio de la función como la derivada de la función en
se escriben como
y podemos definirlas como límites laterales que tienen el mismo valor tanto si se acercan desde la izquierda como desde la derecha.
La expresión por la que se halla el límite se conoce como cociente de diferencia.
### Derivadas: interpretaciones y notación
La derivada de una función se puede interpretar de diferentes maneras. Se observa como el comportamiento de un gráfico de la función o se calcula como una tasa de cambio numérica de la función.
1. La derivada de una función
en un punto
es la pendiente de la línea tangente a la curva
en
La derivada de
en
se escribe
2. La derivada
mide cómo cambia la curva en el punto
3. La derivada
se puede considerar como la tasa instantánea de cambio de la función
en
4. Si una función mide la distancia como una función de tiempo, la derivada mide la velocidad instantánea en el tiempo
### Hallar derivadas de funciones racionales
Para hallar la derivada de una función racional, a veces, simplificaremos la expresión utilizando técnicas algebraicas que ya hemos aprendido.
### Hallar derivadas de funciones con raíces
Para hallar derivadas de funciones con raíces utilizamos los métodos que hemos aprendido para hallar límites de funciones con raíces, lo que incluye multiplicación por un conjugado.
### Hallar tasas instantáneas de cambio
Muchas aplicaciones de la derivada implican la determinación de la tasa de cambio en un instante dado de una función con la variable independiente tiempo, por lo que se utiliza el término instantánea. Consideremos la altura de una pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo, dada por
donde
se mide en segundos y
se mide en pies. Sabemos que la trayectoria es la de una parábola. La derivada nos dirá cómo está cambiando la altura en cualquier punto dado en el tiempo. La altura de la pelota se muestra en la como una función de tiempo. En física, lo llamamos "gráfico s-t".
### Usar gráficos para hallar tasas instantáneas de cambio
Podemos estimar una tasa instantánea de cambio en
al observar la pendiente de la curva de la función
en
Lo hacemos trazando una línea tangente a la función en
y al calcular su pendiente.
### Usar tasas instantáneas de cambio para resolver problemas del mundo real
Otra forma de interpretar una tasa instantánea de cambio en
es observar la función en un contexto del mundo real. La unidad de la derivada de una función
es
Esta unidad muestra en cuántas unidades cambia la salida por cada cambio de una unidad de entrada. La tasa instantánea de cambio en un instante dado muestra lo mismo: las unidades de cambio de salida por una unidad de cambio de entrada.
Un ejemplo de tasa instantánea de cambio es el costo marginal. Por ejemplo, supongamos que el costo de producción de una compañía para producir
artículos viene dado por
en miles de dólares. La función derivada nos dice cómo cambia el costo para cualquier valor de
en el dominio de la función. En otras palabras,
se interpreta como un costo marginal, el costo adicional en miles de dólares de producir un artículo más cuando
artículos se han producido. Por ejemplo,
es el costo adicional aproximado, en miles de dólares, de producir el 12.º artículo después de producir 11 artículos.
significa que cuando se han producido 11 artículos, la producción del 12.º artículo aumentaría el costo total en aproximadamente $ 2.500,00 dólares.
### Hallar puntos en los que no existe la derivada de una función
Para entender dónde no existe la derivada de una función, tenemos que recordar lo que ocurre normalmente cuando una función
tiene una derivada en
. Supongamos que utilizamos una herramienta gráfica para ampliar en
. Si se grafica la función
es diferenciable, es decir, si se trata de una función que puede ser diferenciada, cuanto más amplíe uno, más se acercará el gráfico a una línea recta. Esta característica se llama linealidad.
Mire el gráfico en la . Cuanto más ampliamos en el punto, más lineal parece la curva.
Podríamos suponer que lo mismo ocurriría con cualquier función continua, pero no es así. La función
por ejemplo, es continua en
pero no diferenciable en
A medida que ampliamos en el 0 en la , el gráfico no se acerca a una línea recta. Por mucho que lo ampliemos, el gráfico mantiene su ángulo agudo.
Ampliamos más al estrechar el rango para producir la y seguimos observando la misma forma. Este gráfico no parece lineal en
¿Cuáles son las características de un gráfico que no es diferenciable en un punto? Estos son algunos ejemplos en los que la función
no es diferenciable en
En la , vemos el gráfico de
Observe que, a medida que
se acerca a 2 desde la izquierda, se puede observar que el límite izquierdo es 4, mientras que a medida que
se acerca a 2 desde la derecha, se puede observar que el límite derecho es 6. Vemos que tiene una discontinuidad en
En la , vemos el gráfico de
Vemos que el gráfico tiene un vértice en
En la , vemos que el gráfico de
tiene una cúspide en
Una cúspide tiene una característica única. Al alejarse de la cúspide, tanto el límite izquierdo como el derecho se acercan al infinito o al infinito negativo. Observe las líneas tangentes a medida que
se acerca a 0 tanto desde la izquierda como desde la derecha parece que se hacen cada vez más pronunciadas, pero una tiene una pendiente negativa, la otra tiene una pendiente positiva.
En la , vemos que el gráfico de
tiene una tangente vertical en
Recordemos que las tangentes verticales son líneas verticales, por lo que cuando existe una tangente vertical, la pendiente de la línea es indefinida. Por eso la derivada, que mide la pendiente, no existe allí.
### Hallar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una función
La ecuación de una línea tangente a una curva de la función
en
se deriva de la forma punto-pendiente de una línea,
La pendiente de la línea es la pendiente de la curva en
y por lo tanto es igual a
la derivada de
en
El par de coordenadas del punto de la línea en
es
Si sustituimos en la forma punto-pendiente, tenemos
La ecuación de la línea tangente es
### Hallar la velocidad instantánea de una partícula
Si una función mide la posición en función del tiempo, la derivada mide el desplazamiento en función del tiempo, o la velocidad del objeto. Un cambio en la velocidad o la dirección en relación con un cambio en el tiempo se conoce como . La velocidad en un instante determinado se conoce como velocidad instantánea.
Al tratar de calcular la velocidad de un objeto en un instante dado, parece que nos encontramos con una contradicción. Normalmente definimos la velocidad como la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. Pero en un instante, no se recorre ninguna distancia ni transcurre ningún tiempo. ¿Cómo vamos a dividir cero entre cero? El uso de una derivada resuelve este problema. Una derivada nos permite decir que, aunque la velocidad del objeto cambia constantemente, tiene una velocidad determinada en un instante dado. Esto significa que si el objeto viajara a esa velocidad exacta durante una unidad de tiempo, recorrería la distancia especificada.
### Ecuaciones clave
### Conceptos clave
1. La pendiente de la línea secante que une dos puntos es la tasa media de cambio de la función entre esos puntos. Vea el .
2. La derivada, o tasa instantánea de cambio, es una medida de la pendiente de la curva de una función en un punto determinado, o la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Vea el , el y el .
3. El cociente de diferencia es el cociente en la fórmula de la tasa instantánea de cambio:
4. Las tasas instantáneas de cambio se pueden usar para hallar soluciones a muchos problemas del mundo real. Vea el .
5. La tasa instantánea de cambio se puede hallar al observar la pendiente de una función en un punto de un gráfico y dibujar una línea tangente a la función en ese punto. Vea el .
6. Las tasas instantáneas de cambio se pueden interpretar para describir situaciones del mundo real. Vea el y el .
7. Algunas funciones no son diferenciables en un punto o puntos. Vea el .
8. La forma punto-pendiente de una línea se puede usar para hallar la ecuación de una línea tangente a la curva de una función. Vea el .
9. La velocidad es un cambio de posición en relación con el tiempo. La velocidad instantánea describe la velocidad de un objeto en un instante dado. La velocidad media describe la velocidad mantenida durante un intervalo de tiempo.
10. El uso de la derivada permite calcular la velocidad instantánea aunque no haya tiempo transcurrido. Vea el .
### Ejercicios de la sección
### Verbales
### Algebraicos
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada
para calcular la derivada de cada función.
En los siguientes ejercicios, halle la tasa media de cambio entre los dos puntos.
En las siguientes funciones polinómicas, halle las derivadas.
En las siguientes funciones, halle la ecuación de la línea tangente a la curva en el punto dado
en la curva.
En el siguiente ejercicio, halle
de tal manera que la línea dada sea tangente al gráfico de la función.
### Gráficos
En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función
y determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable.
En los siguientes ejercicios, utilice la para estimar la función en un valor dado de
o la derivada a un valor determinado de
según se indique.
### En tecnología
### Aplicaciones en el mundo real
En los siguientes ejercicios, explique la notación con palabras. El volumen
de un tanque de gasolina, en galones,
minutos después del mediodía.
En los siguientes ejercicios, explique las funciones con palabras. La altura,
de un proyectil después de
segundos viene dada por
En los siguientes ejercicios, el volumen
de una esfera con respecto a su radio
viene dado por
En los siguientes ejercicios, los ingresos generados por la venta de
artículos vienen dados por
En los siguientes ejercicios, el costo de producción de
teléfonos móviles se describe mediante la función
### Extensión
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de la derivada en un punto
para hallar la derivada de las funciones.
### Ejercicios de repaso del capítulo
### Hallar los límites: enfoque numérico y gráfico
En los siguientes ejercicios, utilice la .
En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que
se acerca a
Si la función tiene límite a medida que
se acerca a
indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite.
### Hallar los límites: propiedades de los límites
En los siguientes ejercicios, halle los límites si
y
En los siguientes ejercicios, evalúe los límites mediante técnicas algebraicas.
### Continuidad
En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en
En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función en
En los siguientes ejercicios, determine en qué parte la función dada
es continuo. Si no es continua, indique qué condiciones fallan y clasifique las discontinuidades.
###
Derivados
En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio
En los siguientes ejercicios, halle la derivada de la función.
En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable.
### Prueba de práctica
En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de
en la .
En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que
se acerca a
Si la función tiene un límite a medida que
se acerca a
indíquelo. Si no es así, analice por qué no hay límite
En los siguientes ejercicios, evalúe cada límite mediante técnicas algebraicas.
En los siguientes ejercicios, determine si la función dada
es continua. Si es continua, demuestre por qué. Si no es continua, indique cuáles condiciones fallan.
En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la función dada en
En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable.
En los siguientes ejercicios, explique la notación en palabras cuando la altura de un proyectil en pies,
es una función de tiempo
en segundos después del lanzamiento y está dada por la función
En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para evaluar el límite.
En los siguientes ejercicios, considere la función cuyo gráfico aparece en la .
En los siguientes ejercicios, utilice la función
.
En los siguientes ejercicios, halle la derivada de cada una de las funciones utilizando la definición:
|
# Introduction to Psychology
## Introduction
Clive Wearing is an accomplished musician who lost his ability to form new memories when he became sick at the age of 46. While he can remember how to play the piano perfectly, he cannot remember what he ate for breakfast just an hour ago (Sacks, 2007). James Wannerton experiences a taste sensation that is associated with the sound of words. His former girlfriend’s name tastes like rhubarb (Mundasad, 2013). John Nash is a brilliant mathematician and Nobel Prize winner. However, while he was a professor at MIT, he would tell people that the New York Times contained coded messages from extraterrestrial beings that were intended for him. He also began to hear voices and became suspicious of the people around him. Soon thereafter, Nash was diagnosed with schizophrenia and admitted to a state-run mental institution (O’Connor & Robertson, 2002). Nash was the subject of the 2001 movie A Beautiful Mind. Why did these people have these experiences? How does the human brain work? And what is the connection between the brain’s internal processes and people’s external behaviors? This textbook will introduce you to various ways that the field of psychology has explored these questions.
### References
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# Introduction to Psychology
## What Is Psychology?
What is creativity? What are prejudice and discrimination? What is consciousness? The field of psychology explores questions like these. Psychology refers to the scientific study of the mind and behavior. Psychologists use the scientific method to acquire knowledge. To apply the scientific method, a researcher with a question about how or why something happens will propose a tentative explanation, called a hypothesis, to explain the phenomenon. A hypothesis should fit into the context of a scientific theory, which is a broad explanation or group of explanations for some aspect of the natural world that is consistently supported by evidence over time. A theory is the best understanding we have of that part of the natural world. The researcher then makes observations or carries out an experiment to test the validity of the hypothesis. Those results are then published or presented at research conferences so that others can replicate or build on the results.
Scientists test that which is perceivable and measurable. For example, the hypothesis that a bird sings because it is happy is not a hypothesis that can be tested since we have no way to measure the happiness of a bird. We must ask a different question, perhaps about the brain state of the bird, since this can be measured. However, we can ask individuals about whether they sing because they are happy since they are able to tell us. Thus, psychological science is empirical, based on measurable data.
In general, science deals only with matter and energy, that is, those things that can be measured, and it cannot arrive at knowledge about values and morality. This is one reason why our scientific understanding of the mind is so limited, since thoughts, at least as we experience them, are neither matter nor energy. The scientific method is also a form of empiricism. An empirical method for acquiring knowledge is one based on observation, including experimentation, rather than a method based only on forms of logical argument or previous authorities.
It was not until the late 1800s that psychology became accepted as its own academic discipline. Before this time, the workings of the mind were considered under the auspices of philosophy. Given that any behavior is, at its roots, biological, some areas of psychology take on aspects of a natural science like biology. No biological organism exists in isolation, and our behavior is influenced by our interactions with others. Therefore, psychology is also a social science.
### WHY STUDY PSYCHOLOGY?
Often, students take their first psychology course because they are interested in helping others and want to learn more about themselves and why they act the way they do. Sometimes, students take a psychology course because it either satisfies a general education requirement or is required for a program of study such as nursing or pre-med. Many of these students develop such an interest in the area that they go on to declare psychology as their major. As a result, psychology is one of the most popular majors on college campuses across the United States (Johnson & Lubin, 2011). A number of well-known individuals were psychology majors. Just a few famous names on this list are Facebook’s creator Mark Zuckerberg, television personality and political satirist Jon Stewart, actress Natalie Portman, and filmmaker Wes Craven (Halonen, 2011). About 6 percent of all bachelor degrees granted in the United States are in the discipline of psychology (U.S. Department of Education, 2016).
An education in psychology is valuable for a number of reasons. Psychology students hone critical thinking skills and are trained in the use of the scientific method. Critical thinking is the active application of a set of skills to information for the understanding and evaluation of that information. The evaluation of information—assessing its reliability and usefulness— is an important skill in a world full of competing “facts,” many of which are designed to be misleading. For example, critical thinking involves maintaining an attitude of skepticism, recognizing internal biases, making use of logical thinking, asking appropriate questions, and making observations. Psychology students also can develop better communication skills during the course of their undergraduate coursework (American Psychological Association, 2011). Together, these factors increase students’ scientific literacy and prepare students to critically evaluate the various sources of information they encounter.
In addition to these broad-based skills, psychology students come to understand the complex factors that shape one’s behavior. They appreciate the interaction of our biology, our environment, and our experiences in determining who we are and how we will behave. They learn about basic principles that guide how we think and behave, and they come to recognize the tremendous diversity that exists across individuals and across cultural boundaries (American Psychological Association, 2011).
### Summary
Psychology is defined as the scientific study of mind and behavior. Students of psychology develop critical thinking skills, become familiar with the scientific method, and recognize the complexity of behavior.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Introduction to Psychology
## History of Psychology
Psychology is a relatively young science with its experimental roots in the 19th century, compared, for example, to human physiology, which dates much earlier. As mentioned, anyone interested in exploring issues related to the mind generally did so in a philosophical context prior to the 19th century. Two 19th century scholars, Wilhelm Wundt and William James, are generally credited as being the founders of psychology as a science and academic discipline that was distinct from philosophy. This section will provide an overview of the shifts in paradigms that have influenced psychology from Wundt and James through today.
### Wundt and Structuralism
Wilhelm Wundt (1832–1920) was a German scientist who was the first person to be referred to as a psychologist. His famous book entitled Principles of Physiological Psychology was published in 1873. Wundt viewed psychology as a scientific study of conscious experience, and he believed that the goal of psychology was to identify components of consciousness and how those components combined to result in our conscious experience. Wundt used introspection (he called it “internal perception”), a process by which someone examines their own conscious experience as objectively as possible, making the human mind like any other aspect of nature that a scientist observed. He believed in the notion of voluntarism—that people have free will and should know the intentions of a psychological experiment if they were participating (Danziger, 1980). Wundt considered his version experimental introspection; he used instruments such as those that measured reaction time. He also wrote Volkerpsychologie in 1904 in which he suggested that psychology should include the study of culture, as it involves the study of people. Edward Titchener, one of his students, went on to develop structuralism. Its focus was on the contents of mental processes rather than their function (Pickren & Rutherford, 2010). Wundt established his psychology laboratory at the University at Leipzig in 1879 (). In this laboratory, Wundt and his students conducted experiments on, for example, reaction times. A subject, sometimes in a room isolated from the scientist, would receive a stimulus such as a light, image, or sound. The subject’s reaction to the stimulus would be to push a button, and an apparatus would record the time to reaction. Wundt could measure reaction time to one-thousandth of a second (Nicolas & Ferrand, 1999).
However, despite his efforts to train individuals in the process of introspection, this process remained highly subjective, and there was very little agreement between individuals.
### Functionalism
William James, John Dewey, and Charles Sanders Peirce helped establish functional psychology (). They accepted Darwin’s theory of evolution by natural selection and viewed this theory as an explanation of an organism’s characteristics. Key to that theory is the idea that natural selection leads to organisms that are adapted to their environment, including their behavior. Adaptation means that a trait of an organism has a function for the survival and reproduction of the individual, because it has been naturally selected. As James saw it, psychology’s purpose was to study the function of behavior in the world, and as such, his perspective was known as functionalism. Functionalism focused on how mental activities helped an organism fit into its environment. Functionalism has a second, more subtle meaning in that functionalists were more interested in the operation of the whole mind rather than of its individual parts, which were the focus of structuralism. Like Wundt, James believed that introspection could serve as one means by which someone might study mental activities, but James also relied on more objective measures, including the use of various recording devices, and examinations of concrete products of mental activities and of anatomy and physiology (Gordon, 1995).
### Freud and Psychoanalytic Theory
Perhaps one of the most influential and well-known figures in psychology’s history was Sigmund Freud (). Freud (1856–1939) was an Austrian neurologist who was fascinated by patients suffering from “hysteria” and neurosis. Hysteria was an ancient diagnosis for disorders, primarily of women with a wide variety of symptoms, including physical symptoms and emotional disturbances, none of which had an apparent physical cause. Freud theorized that many of his patients’ problems arose from the unconscious mind. In Freud’s view, the unconscious mind was a repository of feelings and urges of which we have no awareness. Gaining access to the unconscious, then, was crucial to the successful resolution of the patient’s problems. According to Freud, the unconscious mind could be accessed through dream analysis, by examinations of the first words that came to people’s minds, and through seemingly innocent slips of the tongue. Psychoanalytic theory focuses on the role of a person’s unconscious, as well as early childhood experiences, and this particular perspective dominated clinical psychology for several decades (Thorne & Henley, 2005).
Freud’s ideas were influential, and you will learn more about them when you study lifespan development, personality, and therapy. For instance, many therapists believe strongly in the unconscious and the impact of early childhood experiences on the rest of a person’s life. The method of psychoanalysis, which involves the patient talking about their experiences and selves, while not invented by Freud, was certainly popularized by him and is still used today. Many of Freud’s other ideas, however, are controversial. Drew Westen (1998) argues that many of the criticisms of Freud’s ideas are misplaced, in that they attack his older ideas without taking into account later writings. Westen also argues that critics fail to consider the success of the broad ideas that Freud introduced or developed, such as the importance of childhood experiences in adult motivations, the role of unconscious versus conscious motivations in driving our behavior, the fact that motivations can cause conflicts that affect behavior, the effects of mental representations of ourselves and others in guiding our interactions, and the development of personality over time. Westen identifies subsequent research support for all of these ideas.
More modern iterations of Freud’s clinical approach have been empirically demonstrated to be effective (Knekt et al., 2008; Shedler, 2010). Some current practices in psychotherapy involve examining unconscious aspects of the self and relationships, often through the relationship between the therapist and the client. Freud’s historical significance and contributions to clinical practice merit his inclusion in a discussion of the historical movements within psychology.
### Wertheimer, Koffka, Köhler, and Gestalt Psychology
Max Wertheimer (1880–1943), Kurt Koffka (1886–1941), and Wolfgang Köhler (1887–1967) were three German psychologists who immigrated to the United States in the early 20th century to escape Nazi Germany. These scholars are credited with introducing psychologists in the United States to various Gestalt principles. The word Gestalt roughly translates to “whole;” a major emphasis of Gestalt psychology deals with the fact that although a sensory experience can be broken down into individual parts, how those parts relate to each other as a whole is often what the individual responds to in perception. For example, a song may be made up of individual notes played by different instruments, but the real nature of the song is perceived in the combinations of these notes as they form the melody, rhythm, and harmony. In many ways, this particular perspective would have directly contradicted Wundt’s ideas of structuralism (Thorne & Henley, 2005).
Unfortunately, in moving to the United States, these scientists were forced to abandon much of their work and were unable to continue to conduct research on a large scale. These factors along with the rise of behaviorism (described next) in the United States prevented principles of Gestalt psychology from being as influential in the United States as they had been in their native Germany (Thorne & Henley, 2005). Despite these issues, several Gestalt principles are still very influential today. Considering the human individual as a whole rather than as a sum of individually measured parts became an important foundation in humanistic theory late in the century. The ideas of Gestalt have continued to influence research on sensation and perception.
Structuralism, Freud, and the Gestalt psychologists were all concerned in one way or another with describing and understanding inner experience. But other researchers had concerns that inner experience could be a legitimate subject of scientific inquiry and chose instead to exclusively study behavior, the objectively observable outcome of mental processes.
### Pavlov, Watson, Skinner, and Behaviorism
Early work in the field of behavior was conducted by the Russian physiologist Ivan Pavlov (1849–1936). Pavlov studied a form of learning behavior called a conditioned reflex, in which an animal or human produced a reflex (unconscious) response to a stimulus and, over time, was conditioned to produce the response to a different stimulus that the experimenter associated with the original stimulus. The reflex Pavlov worked with was salivation in response to the presence of food. The salivation reflex could be elicited using a second stimulus, such as a specific sound, that was presented in association with the initial food stimulus several times. Once the response to the second stimulus was “learned,” the food stimulus could be omitted. Pavlov’s “classical conditioning” is only one form of learning behavior studied by behaviorists.
John B. Watson (1878–1958) was an influential American psychologist whose most famous work occurred during the early 20th century at Johns Hopkins University (). While Wundt and James were concerned with understanding conscious experience, Watson thought that the study of consciousness was flawed. Because he believed that objective analysis of the mind was impossible, Watson preferred to focus directly on observable behavior and try to bring that behavior under control. Watson was a major proponent of shifting the focus of psychology from the mind to behavior, and this approach of observing and controlling behavior came to be known as behaviorism. A major object of study by behaviorists was learned behavior and its interaction with inborn qualities of the organism. Behaviorism commonly used animals in experiments under the assumption that what was learned using animal models could, to some degree, be applied to human behavior. Indeed, Tolman (1938) stated, “I believe that everything important in psychology (except … such matters as involve society and words) can be investigated in essence through the continued experimental and theoretical analysis of the determiners of rat behavior at a choice-point in a maze.”
Behaviorism dominated experimental psychology for several decades, and its influence can still be felt today (Thorne & Henley, 2005). Behaviorism is largely responsible for establishing psychology as a scientific discipline through its objective methods and especially experimentation. In addition, it is used in behavioral and cognitive-behavioral therapy. Behavior modification is commonly used in classroom settings. Behaviorism has also led to research on environmental influences on human behavior.
B. F. Skinner (1904–1990) was an American psychologist (). Like Watson, Skinner was a behaviorist, and he concentrated on how behavior was affected by its consequences. Therefore, Skinner spoke of reinforcement and punishment as major factors in driving behavior. As a part of his research, Skinner developed a chamber that allowed the careful study of the principles of modifying behavior through reinforcement and punishment. This device, known as an operant conditioning chamber (or more familiarly, a Skinner box), has remained a crucial resource for researchers studying behavior (Thorne & Henley, 2005).
The Skinner box is a chamber that isolates the subject from the external environment and has a behavior indicator such as a lever or a button. When the animal pushes the button or lever, the box is able to deliver a positive reinforcement of the behavior (such as food) or a punishment (such as a noise).
Skinner’s focus on positive and negative reinforcement of learned behaviors had a lasting influence in psychology that has waned somewhat since the growth of research in cognitive psychology. Despite this, conditioned learning is still used in human behavioral modification (Greengrass, 2004).
### Maslow, Rogers, and Humanism
During the early 20th century, American psychology was dominated by behaviorism and psychoanalysis. However, some psychologists were uncomfortable with what they viewed as limited perspectives being so influential to the field. They objected to the pessimism and determinism (all actions driven by the unconscious) of Freud. They also disliked the reductionism, or simplifying nature, of behaviorism. Behaviorism is also deterministic at its core, because it sees human behavior as entirely determined by a combination of genetics and environment. Some psychologists began to form their own ideas that emphasized personal control, intentionality, and a true predisposition for “good” as important for our self-concept and our behavior. Thus, humanism emerged. Humanism is a perspective within psychology that emphasizes the potential for good that is innate to all humans. Two of the most well-known proponents of humanistic psychology are Abraham Maslow and Carl Rogers (O’Hara, n.d.).
Abraham Maslow (1908–1970) was an American psychologist who is best known for proposing a hierarchy of human needs in motivating behavior (). Although this concept will be discussed in more detail in a later chapter, a brief overview will be provided here. Maslow asserted that so long as basic needs necessary for survival were met (e.g., food, water, shelter), higher-level needs (e.g., social needs) would begin to motivate behavior. According to Maslow, the highest-level needs relate to self-actualization, a process by which we achieve our full potential. Obviously, the focus on the positive aspects of human nature that are characteristic of the humanistic perspective is evident (Thorne & Henley, 2005). Humanistic psychologists rejected, on principle, the research approach based on reductionist experimentation in the tradition of the physical and biological sciences, because it missed the “whole” human being. Beginning with Maslow and Rogers, there was an insistence on a humanistic research program. This program has been largely qualitative (not measurement-based), but there exist a number of quantitative research strains within humanistic psychology, including research on happiness, self-concept, meditation, and the outcomes of humanistic psychotherapy (Friedman, 2008).
Carl Rogers (1902–1987) was also an American psychologist who, like Maslow, emphasized the potential for good that exists within all people (). Rogers used a therapeutic technique known as client-centered therapy in helping his clients deal with problematic issues that resulted in their seeking psychotherapy. Unlike a psychoanalytic approach in which the therapist plays an important role in interpreting what conscious behavior reveals about the unconscious mind, client-centered therapy involves the patient taking a lead role in the therapy session. Rogers believed that a therapist needed to display three features to maximize the effectiveness of this particular approach: unconditional positive regard, genuineness, and empathy. Unconditional positive regard refers to the fact that the therapist accepts their client for who they are, no matter what they might say. Provided these factors, Rogers believed that people were more than capable of dealing with and working through their own issues (Thorne & Henley, 2005).
Humanism has been influential to psychology as a whole. Both Maslow and Rogers are well-known names among students of psychology (you will read more about both later in this text), and their ideas have influenced many scholars. Furthermore, Rogers’ client-centered approach to therapy is still commonly used in psychotherapeutic settings today (O’hara, n.d.)
### The Cognitive Revolution
Behaviorism’s emphasis on objectivity and focus on external behavior had pulled psychologists’ attention away from the mind for a prolonged period of time. The early work of the humanistic psychologists redirected attention to the individual human as a whole, and as a conscious and self-aware being. By the 1950s, new disciplinary perspectives in linguistics, neuroscience, and computer science were emerging, and these areas revived interest in the mind as a focus of scientific inquiry. This particular perspective has come to be known as the cognitive revolution (Miller, 2003). By 1967, Ulric Neisser published the first textbook entitled Cognitive Psychology, which served as a core text in cognitive psychology courses around the country (Thorne & Henley, 2005).
Although no one person is entirely responsible for starting the cognitive revolution, Noam Chomsky was very influential in the early days of this movement (). Chomsky (1928–), an American linguist, was dissatisfied with the influence that behaviorism had had on psychology. He believed that psychology’s focus on behavior was short-sighted and that the field had to re-incorporate mental functioning into its purview if it were to offer any meaningful contributions to understanding behavior (Miller, 2003).
European psychology had never really been as influenced by behaviorism as had American psychology; and thus, the cognitive revolution helped reestablish lines of communication between European psychologists and their American counterparts. Furthermore, psychologists began to cooperate with scientists in other fields, like anthropology, linguistics, computer science, and neuroscience, among others. This interdisciplinary approach often was referred to as the cognitive sciences, and the influence and prominence of this particular perspective resonates in modern-day psychology (Miller, 2003).
### Multicultural And Cross-Cultural Psychology
Culture impacts individuals, groups, and society. An ongoing issue researchers are trying to correct is that certain populations have been over-studied and the results of these studies have been applied to other populations. For example, Henrich, Heine, and Norenzayan discuss how WEIRD societies have been overstudied and the results have been wrongly applied to non-WEIRD societies (2010). WEIRD stands for western, educated, industrialized, rich, and democratic. Henrich, Heine, and Norenzayan found that there are many differences between people in the WEIRD group and people in less industrialized, less urban, and non-Western societies. These differences occur in a variety of areas, including perception, cooperation, and moral reasoning. That is, people vary depending on their culture and environment. Multicultural psychologists develop theories and conduct research with diverse populations, typically within one country. Cross-cultural psychologists compare populations across countries, such as participants from the United States compared to participants from China.
In 1920, Francis Cecil Sumner was the first African American to receive a PhD in psychology in the United States. Sumner established a psychology degree program at Howard University, leading to the education of a new generation of African American psychologists (Black, Spence, and Omari, 2004). Much of the work of early psychologists from diverse backgrounds was dedicated to challenging intelligence testing and promoting innovative educational methods for children. George I. Sanchez contested such testing with Mexican American children. As a psychologist of Mexican heritage, he pointed out that the language and cultural barriers in testing were keeping children from equal opportunities (Guthrie, 1998). By 1940, he was teaching with his doctoral degree at University of Texas at Austin and challenging segregated educational practices (Romo, 1986).
Two famous African American researchers and psychologists are Mamie Phipps Clark and her husband, Kenneth Clark. They are best known for their studies conducted on African American children and doll preference, research that was instrumental in the Brown v. Board of Education Supreme Court desegregation case. The Clarks applied their research to social services and opened the first child guidance center in Harlem (American Psychological Association, 2019).
Listen to the podcast below describing the Clarks' research and impact on the Supreme Court decision.
The American Psychological Association has several ethnically based organizations for professional psychologists that facilitate interactions among members. Some psychologists belonging to specific ethnic groups or cultures are interested in studying their own communities, and these organizations provide an opportunity for the growth of research on the interplay between culture and psychology.
### WOMEN IN PSYCHOLOGY
Although rarely given credit, women have been contributing to psychology since its inception as a field of study. In 1894, Margaret Floy Washburn was the first woman awarded the doctoral degree in psychology. She wrote The Animal Mind: A Textbook of Comparative Psychology, and it was the standard in the field for over 20 years. In the mid 1890s, Mary Whiton Calkins completed all requirements toward the PhD in psychology, but Harvard University refused to award her that degree because she was a woman. She had been taught and mentored by William James, who tried and failed to convince Harvard to award her the doctoral degree. Her memory research studied primacy and recency (Madigan & O’Hara, 1992), and she also wrote about how structuralism and functionalism both explained self-psychology (Calkins, 1906).
Another influential woman, Mary Cover Jones, conducted a study she considered to be a sequel to John B. Watson’s study of Little Albert (you’ll learn about this study in the chapter on Learning). Jones unconditioned fear in Little Peter, who had been afraid of rabbits (Jones, 1924).
Ethnic minority women contributing to the field of psychology include Martha Bernal and Inez Beverly Prosser; their studies were related to education. Bernal, the first Latina to earn her doctoral degree in psychology (1962) conducted much of her research with Mexican American children. Prosser was the first African American woman awarded the PhD in 1933 at the University of Cincinnati (Benjamin, Henry, & McMahon, 2005).
### Summary
Before the time of Wundt and James, questions about the mind were considered by philosophers. However, both Wundt and James helped create psychology as a distinct scientific discipline. Wundt was a structuralist, which meant he believed that our cognitive experience was best understood by breaking that experience into its component parts. He thought this was best accomplished by introspection.
William James was the first American psychologist, and he was a proponent of functionalism. This particular perspective focused on how mental activities served as adaptive responses to an organism’s environment. Like Wundt, James also relied on introspection; however, his research approach also incorporated more objective measures as well.
Sigmund Freud believed that understanding the unconscious mind was absolutely critical to understand conscious behavior. This was especially true for individuals that he saw who suffered from various hysterias and neuroses. Freud relied on dream analysis, slips of the tongue, and free association as means to access the unconscious. Psychoanalytic theory remained a dominant force in clinical psychology for several decades.
Gestalt psychology was very influential in Europe. Gestalt psychology takes a holistic view of an individual and his experiences. As the Nazis came to power in Germany, Wertheimer, Koffka, and Köhler immigrated to the United States. Although they left their laboratories and their research behind, they did introduce America to Gestalt ideas. Some of the principles of Gestalt psychology are still very influential in the study of sensation and perception.
One of the most influential schools of thought within psychology’s history was behaviorism. Behaviorism focused on making psychology an objective science by studying overt behavior and deemphasizing the importance of unobservable mental processes. John Watson is often considered the father of behaviorism, and B. F. Skinner’s contributions to our understanding of principles of operant conditioning cannot be underestimated.
As behaviorism and psychoanalytic theory took hold of so many aspects of psychology, some began to become dissatisfied with psychology’s picture of human nature. Thus, a humanistic movement within psychology began to take hold. Humanism focuses on the potential of all people for good. Both Maslow and Rogers were influential in shaping humanistic psychology.
During the 1950s, the landscape of psychology began to change. A science of behavior began to shift back to its roots of focus on mental processes. The emergence of neuroscience and computer science aided this transition. Ultimately, the cognitive revolution took hold, and people came to realize that cognition was crucial to a true appreciation and understanding of behavior.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Introduction to Psychology
## Contemporary Psychology
Contemporary psychology is a diverse field that is influenced by all of the historical perspectives described in the preceding section. Reflective of the discipline’s diversity is the diversity seen within the American Psychological Association (APA). The APA is a professional organization representing psychologists in the United States. The APA is the largest organization of psychologists in the world, and its mission is to advance and disseminate psychological knowledge for the betterment of people. There are 54 divisions within the APA, representing a wide variety of specialties that range from Societies for the Psychology of Religion and Spirituality to Exercise and Sport Psychology to Behavioral Neuroscience and Comparative Psychology. Reflecting the diversity of the field of psychology itself, members, affiliate members, and associate members span the spectrum from students to doctoral-level psychologists, and come from a variety of places including educational settings, criminal justice, hospitals, the armed forces, and industry (American Psychological Association, 2014). G. Stanley Hall was the first president of the APA. Before he earned his doctoral degree, he was an adjunct instructor at Wilberforce University, a historically Black college/university (HBCU), while serving as faculty at Antioch College. Hall went on to work under William James, earning his PhD. Eventually, he became the first president of Clark University in Massachusetts when it was founded (Pickren & Rutherford, 2010).
The Association for Psychological Science (APS) was founded in 1988 and seeks to advance the scientific orientation of psychology. Its founding resulted from disagreements between members of the scientific and clinical branches of psychology within the APA. The APS publishes five research journals and engages in education and advocacy with funding agencies. A significant proportion of its members are international, although the majority is located in the United States. Other organizations provide networking and collaboration opportunities for professionals of several ethnic or racial groups working in psychology, such as the National Latina/o Psychological Association (NLPA), the Asian American Psychological Association (AAPA), the Association of Black Psychologists (ABPsi), and the Society of Indian Psychologists (SIP). Most of these groups are also dedicated to studying psychological and social issues within their specific communities.
This section will provide an overview of the major subdivisions within psychology today in the order in which they are introduced throughout the remainder of this textbook. This is not meant to be an exhaustive listing, but it will provide insight into the major areas of research and practice of modern-day psychologists.
### Biopsychology and Evolutionary Psychology
As the name suggests, biopsychology explores how our biology influences our behavior. While biological psychology is a broad field, many biological psychologists want to understand how the structure and function of the nervous system is related to behavior (). As such, they often combine the research strategies of both psychologists and physiologists to accomplish this goal (as discussed in Carlson, 2013).
The research interests of biological psychologists span a number of domains, including but not limited to, sensory and motor systems, sleep, drug use and abuse, ingestive behavior, reproductive behavior, neurodevelopment, plasticity of the nervous system, and biological correlates of psychological disorders. Given the broad areas of interest falling under the purview of biological psychology, it will probably come as no surprise that individuals from all sorts of backgrounds are involved in this research, including biologists, medical professionals, physiologists, and chemists. This interdisciplinary approach is often referred to as neuroscience, of which biological psychology is a component (Carlson, 2013).
While biopsychology typically focuses on the immediate causes of behavior based in the physiology of a human or other animal, evolutionary psychology seeks to study the ultimate biological causes of behavior. To the extent that a behavior is impacted by genetics, a behavior, like any anatomical characteristic of a human or animal, will demonstrate adaption to its surroundings. These surroundings include the physical environment and, since interactions between organisms can be important to survival and reproduction, the social environment. The study of behavior in the context of evolution has its origins with Charles Darwin, the co-discoverer of the theory of evolution by natural selection. Darwin was well aware that behaviors should be adaptive and wrote books titled, The Descent of Man (1871) and The Expression of the Emotions in Man and Animals (1872), to explore this field.
Evolutionary psychology, and specifically, the evolutionary psychology of humans, has enjoyed a resurgence in recent decades. To be subject to evolution by natural selection, a behavior must have a significant genetic cause. In general, we expect all human cultures to express a behavior if it is caused genetically, since the genetic differences among human groups are small. The approach taken by most evolutionary psychologists is to predict the outcome of a behavior in a particular situation based on evolutionary theory and then to make observations, or conduct experiments, to determine whether the results match the theory. It is important to recognize that these types of studies are not strong evidence that a behavior is adaptive, since they lack information that the behavior is in some part genetic and not entirely cultural (Endler, 1986). Demonstrating that a trait, especially in humans, is naturally selected is extraordinarily difficult; perhaps for this reason, some evolutionary psychologists are content to assume the behaviors they study have genetic determinants (Confer et al., 2010).
One other drawback of evolutionary psychology is that the traits that we possess now evolved under environmental and social conditions far back in human history, and we have a poor understanding of what these conditions were. This makes predictions about what is adaptive for a behavior difficult. Behavioral traits need not be adaptive under current conditions, only under the conditions of the past when they evolved, about which we can only hypothesize.
There are many areas of human behavior for which evolution can make predictions. Examples include memory, mate choice, relationships between kin, friendship and cooperation, parenting, social organization, and status (Confer et al., 2010).
Evolutionary psychologists have had success in finding experimental correspondence between observations and expectations. In one example, in a study of mate preference differences between men and women that spanned 37 cultures, Buss (1989) found that women valued earning potential factors greater than men, and men valued potential reproductive factors (youth and attractiveness) greater than women in their prospective mates. In general, the predictions were in line with the predictions of evolution, although there were deviations in some cultures.
### Sensation and Perception
Scientists interested in both physiological aspects of sensory systems as well as in the psychological experience of sensory information work within the area of sensation and perception (). As such, sensation and perception research is also quite interdisciplinary. Imagine walking between buildings as you move from one class to another. You are inundated with sights, sounds, touch sensations, and smells. You also experience the temperature of the air around you and maintain your balance as you make your way. These are all factors of interest to someone working in the domain of sensation and perception.
As described in a later chapter that focuses on the results of studies in sensation and perception, our experience of our world is not as simple as the sum total of all of the sensory information (or sensations) together. Rather, our experience (or perception) is complex and is influenced by where we focus our attention, our previous experiences, and even our cultural backgrounds.
### Cognitive Psychology
As mentioned in the previous section, the cognitive revolution created an impetus for psychologists to focus their attention on better understanding the mind and mental processes that underlie behavior. Thus, cognitive psychology is the area of psychology that focuses on studying cognitions, or thoughts, and their relationship to our experiences and our actions. Like biological psychology, cognitive psychology is broad in its scope and often involves collaborations among people from a diverse range of disciplinary backgrounds. This has led some to coin the term cognitive science to describe the interdisciplinary nature of this area of research (Miller, 2003).
Cognitive psychologists have research interests that span a spectrum of topics, ranging from attention to problem solving to language to memory. The approaches used in studying these topics are equally diverse. Given such diversity, cognitive psychology is not captured in one chapter of this text per se; rather, various concepts related to cognitive psychology will be covered in relevant portions of the chapters in this text on sensation and perception, thinking and intelligence, memory, lifespan development, social psychology, and therapy.
### Developmental Psychology
Developmental psychology is the scientific study of development across a lifespan. Developmental psychologists are interested in processes related to physical maturation. However, their focus is not limited to the physical changes associated with aging, as they also focus on changes in cognitive skills, moral reasoning, social behavior, and other psychological attributes.
Early developmental psychologists focused primarily on changes that occurred through reaching adulthood, providing enormous insight into the differences in physical, cognitive, and social capacities that exist between very young children and adults. For instance, research by Jean Piaget () demonstrated that very young children do not demonstrate object permanence. Object permanence refers to the understanding that physical things continue to exist, even if they are hidden from us. If you were to show an adult a toy, and then hide it behind a curtain, the adult knows that the toy still exists. However, very young infants act as if a hidden object no longer exists. The age at which object permanence is achieved is somewhat controversial (Munakata, McClelland, Johnson, and Siegler, 1997).
While Piaget was focused on cognitive changes during infancy and childhood as we move to adulthood, there is an increasing interest in extending research into the changes that occur much later in life. This may be reflective of changing population demographics of developed nations as a whole. As more and more people live longer lives, the number of people of advanced age will continue to increase. Indeed, it is estimated that there were just over 40 million people aged 65 or older living in the United States in 2010. However, by 2020, this number is expected to increase to about 55 million. By the year 2050, it is estimated that nearly 90 million people in this country will be 65 or older (Department of Health and Human Services, n.d.).
### Personality Psychology
Personality psychology focuses on patterns of thoughts and behaviors that make each individual unique. Several individuals (e.g., Freud and Maslow) that we have already discussed in our historical overview of psychology, and the American psychologist Gordon Allport, contributed to early theories of personality. These early theorists attempted to explain how an individual’s personality develops from their given perspective. For example, Freud proposed that personality arose as conflicts between the conscious and unconscious parts of the mind were carried out over the lifespan. Specifically, Freud theorized that an individual went through various psychosexual stages of development. According to Freud, adult personality would result from the resolution of various conflicts that centered on the migration of erogenous (or sexual pleasure-producing) zones from the oral (mouth) to the anus to the phallus to the genitals. Like many of Freud’s theories, this particular idea was controversial and did not lend itself to experimental tests (Person, 1980).
More recently, the study of personality has taken on a more quantitative approach. Rather than explaining how personality arises, research is focused on identifying personality traits, measuring these traits, and determining how these traits interact in a particular context to determine how a person will behave in any given situation. Personality traits are relatively consistent patterns of thought and behavior, and many have proposed that five trait dimensions are sufficient to capture the variations in personality seen across individuals. These five dimensions are known as the “Big Five” or the Five Factor model, and include dimensions of conscientiousness, agreeableness, neuroticism, openness, and extraversion (). Each of these traits has been demonstrated to be relatively stable over the lifespan (e.g., Rantanen, Metsäpelto, Feldt, Pulkinnen, and Kokko, 2007; Soldz & Vaillant, 1999; McCrae & Costa, 2008) and is influenced by genetics (e.g., Jang, Livesly, and Vernon, 1996).
### Social Psychology
Social psychology focuses on how we interact with and relate to others. Social psychologists conduct research on a wide variety of topics that include differences in how we explain our own behavior versus how we explain the behaviors of others, prejudice, and attraction, and how we resolve interpersonal conflicts. Social psychologists have also sought to determine how being among other people changes our own behavior and patterns of thinking.
There are many interesting examples of social psychological research, and you will read about many of these in a later chapter of this textbook. Until then, you will be introduced to one of the most controversial psychological studies ever conducted. Stanley Milgram was an American social psychologist who is most famous for research that he conducted on obedience. After the holocaust, in 1961, a Nazi war criminal, Adolf Eichmann, who was accused of committing mass atrocities, was put on trial. Many people wondered how German soldiers were capable of torturing prisoners in concentration camps, and they were unsatisfied with the excuses given by soldiers that they were simply following orders. At the time, most psychologists agreed that few people would be willing to inflict such extraordinary pain and suffering, simply because they were obeying orders. Milgram decided to conduct research to determine whether or not this was true (). As you will read later in the text, Milgram found that nearly two-thirds of his participants were willing to deliver what they believed to be lethal shocks to another person, simply because they were instructed to do so by an authority figure (in this case, a man dressed in a lab coat). This was in spite of the fact that participants received payment for simply showing up for the research study and could have chosen not to inflict pain or more serious consequences on another person by withdrawing from the study. No one was actually hurt or harmed in any way, Milgram’s experiment was a clever ruse that took advantage of research confederates, those who pretend to be participants in a research study who are actually working for the researcher and have clear, specific directions on how to behave during the research study (Hock, 2009). Milgram’s and others’ studies that involved deception and potential emotional harm to study participants catalyzed the development of ethical guidelines for conducting psychological research that discourage the use of deception of research subjects, unless it can be argued not to cause harm and, in general, requiring informed consent of participants.
### Industrial-Organizational Psychology
Industrial-Organizational psychology (I-O psychology) is a subfield of psychology that applies psychological theories, principles, and research findings in industrial and organizational settings. I-O psychologists are often involved in issues related to personnel management, organizational structure, and workplace environment. Businesses often seek the aid of I-O psychologists to make the best hiring decisions as well as to create an environment that results in high levels of employee productivity and efficiency. In addition to its applied nature, I-O psychology also involves conducting scientific research on behavior within I-O settings (Riggio, 2013).
### Health Psychology
Health psychology focuses on how health is affected by the interaction of biological, psychological, and sociocultural factors. This particular approach is known as the biopsychosocial model (). Health psychologists are interested in helping individuals achieve better health through public policy, education, intervention, and research. Health psychologists might conduct research that explores the relationship between one’s genetic makeup, patterns of behavior, relationships, psychological stress, and health. They may research effective ways to motivate people to address patterns of behavior that contribute to poorer health (MacDonald, 2013).
### Sport and Exercise Psychology
Researchers in sport and exercise psychology study the psychological aspects of sport performance, including motivation and performance anxiety, and the effects of sport on mental and emotional wellbeing. Research is also conducted on similar topics as they relate to physical exercise in general. The discipline also includes topics that are broader than sport and exercise but that are related to interactions between mental and physical performance under demanding conditions, such as fire fighting, military operations, artistic performance, and surgery.
### Clinical Psychology
Clinical psychology is the area of psychology that focuses on the diagnosis and treatment of psychological disorders and other problematic patterns of behavior. As such, it is generally considered to be a more applied area within psychology; however, some clinicians are also actively engaged in scientific research. Counseling psychology is a similar discipline that focuses on emotional, social, vocational, and health-related outcomes in individuals who are considered psychologically healthy.
As mentioned earlier, both Freud and Rogers provided perspectives that have been influential in shaping how clinicians interact with people seeking psychotherapy. While aspects of the psychoanalytic theory are still found among some of today’s therapists who are trained from a psychodynamic perspective, Roger’s ideas about client-centered therapy have been especially influential in shaping how many clinicians operate. Furthermore, both behaviorism and the cognitive revolution have shaped clinical practice in the forms of behavioral therapy, cognitive therapy, and cognitive-behavioral therapy (). Issues related to the diagnosis and treatment of psychological disorders and problematic patterns of behavior will be discussed in detail in later chapters of this textbook.
By far, this is the area of psychology that receives the most attention in popular media, and many people mistakenly assume that all psychology is clinical psychology.
### Forensic Psychology
Forensic psychology is a branch of psychology that deals with questions of psychology as they arise in the context of the justice system. For example, forensic psychologists (and forensic psychiatrists) will assess a person’s competency to stand trial, assess the state of mind of a defendant, act as consultants on child custody cases, consult on sentencing and treatment recommendations, and advise on issues such as eyewitness testimony and children’s testimony (American Board of Forensic Psychology, 2014). In these capacities, they will typically act as expert witnesses, called by either side in a court case to provide their research- or experience-based opinions. As expert witnesses, forensic psychologists must have a good understanding of the law and provide information in the context of the legal system rather than just within the realm of psychology. Forensic psychologists are also used in the jury selection process and witness preparation. They may also be involved in providing psychological treatment within the criminal justice system. Criminal profilers are a relatively small proportion of psychologists that act as consultants to law enforcement.
### Summary
Psychology is a diverse discipline that is made up of several major subdivisions with unique perspectives. Biological psychology involves the study of the biological bases of behavior. Sensation and perception refer to the area of psychology that is focused on how information from our sensory modalities is received, and how this information is transformed into our perceptual experiences of the world around us. Cognitive psychology is concerned with the relationship that exists between thought and behavior, and developmental psychologists study the physical and cognitive changes that occur throughout one’s lifespan. Personality psychology focuses on individuals’ unique patterns of behavior, thought, and emotion. Industrial and organizational psychology, health psychology, sport and exercise psychology, forensic psychology, and clinical psychology are all considered applied areas of psychology. Industrial and organizational psychologists apply psychological concepts to I-O settings. Health psychologists look for ways to help people live healthier lives, and clinical psychology involves the diagnosis and treatment of psychological disorders and other problematic behavioral patterns. Sport and exercise psychologists study the interactions between thoughts, emotions, and physical performance in sports, exercise, and other activities. Forensic psychologists carry out activities related to psychology in association with the justice system.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Introduction to Psychology
## Careers in Psychology
Psychologists can work in many different places doing many different things. In general, anyone wishing to continue a career in psychology at a 4-year institution of higher education will have to earn a doctoral degree in psychology for some specialties and at least a master’s degree for others. In most areas of psychology, this means earning a PhD in a relevant area of psychology. Literally, PhD refers to a doctor of philosophy degree, but here, philosophy does not refer to the field of philosophy per se. Rather, philosophy in this context refers to many different disciplinary perspectives that would be housed in a traditional college of liberal arts and sciences.
The requirements to earn a PhD vary from country to country and even from school to school, but usually, individuals earning this degree must complete a dissertation. A dissertation is essentially a long research paper or bundled published articles describing research that was conducted as a part of the candidate’s doctoral training. In the United States, a dissertation generally has to be defended before a committee of expert reviewers before the degree is conferred ().
Once someone earns a PhD, they may seek a faculty appointment at a college or university. Being on the faculty of a college or university often involves dividing time between teaching, research, and service to the institution and profession. The amount of time spent on each of these primary responsibilities varies dramatically from school to school, and it is not uncommon for faculty to move from place to place in search of the best personal fit among various academic environments. The previous section detailed some of the major areas that are commonly represented in psychology departments around the country; thus, depending on the training received, an individual could be anything from a biological psychologist to a clinical psychologist in an academic setting ().
### Other Careers in Academic Settings
Often times, schools offer more courses in psychology than their full-time faculty can teach. In these cases, it is not uncommon to bring in an adjunct faculty member or instructor. Adjunct faculty members and instructors usually have an advanced degree in psychology, but they often have primary careers outside of academia and serve in this role as a secondary job. Alternatively, they may not hold the doctoral degree required by most 4-year institutions and use these opportunities to gain experience in teaching. Furthermore, many 2-year colleges and schools need faculty to teach their courses in psychology. In general, many of the people who pursue careers at these institutions have master’s degrees in psychology, although some PhDs make careers at these institutions as well.
Some people earning PhDs may enjoy research in an academic setting. However, they may not be interested in teaching. These individuals might take on faculty positions that are exclusively devoted to conducting research. This type of position would be more likely an option at large, research-focused universities.
In some areas in psychology, it is common for individuals who have recently earned their PhD to seek out positions in postdoctoral training programs that are available before going on to serve as faculty. In most cases, young scientists will complete one or two postdoctoral programs before applying for a full-time faculty position. Postdoctoral training programs allow young scientists to further develop their research programs and broaden their research skills under the supervision of other professionals in the field.
### Career Options Outside of Academic Settings
Individuals who wish to become practicing clinical psychologists have another option for earning a doctoral degree, which is known as a PsyD. A PsyD is a doctor of psychology degree that is increasingly popular among individuals interested in pursuing careers in clinical psychology. PsyD programs generally place less emphasis on research-oriented skills and focus more on application of psychological principles in the clinical context (Norcross & Castle, 2002).
Regardless of whether earning a PhD or PsyD, in most states, an individual wishing to practice as a licensed clinical or counseling psychologist may complete postdoctoral work under the supervision of a licensed psychologist. Within the last few years, however, several states have begun to remove this requirement, which would allow people to get an earlier start in their careers (Munsey, 2009). After an individual has met the state requirements, their credentials are evaluated to determine whether they can sit for the licensure exam. Only individuals that pass this exam can call themselves licensed clinical or counseling psychologists (Norcross, n.d.). Licensed clinical or counseling psychologists can then work in a number of settings, ranging from private clinical practice to hospital settings. It should be noted that clinical psychologists and psychiatrists do different things and receive different types of education. While both can conduct therapy and counseling, clinical psychologists have a PhD or a PsyD, whereas psychiatrists have a doctor of medicine degree (MD). As such, licensed clinical psychologists can administer and interpret psychological tests, while psychiatrists can prescribe medications.
Individuals earning a PhD can work in a variety of settings, depending on their areas of specialization. For example, someone trained as a biopsychologist might work in a pharmaceutical company to help test the efficacy of a new drug. Someone with a clinical background might become a forensic psychologist and work within the legal system to make recommendations during criminal trials and parole hearings, or serve as an expert in a court case.
While earning a doctoral degree in psychology is a lengthy process, usually taking between 5–6 years of graduate study (DeAngelis, 2010), there are a number of careers that can be attained with a master’s degree in psychology. People who wish to provide psychotherapy can become licensed to serve as various types of professional counselors (Hoffman, 2012). Relevant master’s degrees are also sufficient for individuals seeking careers as school psychologists (National Association of School Psychologists, n.d.), in some capacities related to sport psychology (American Psychological Association, 2014), or as consultants in various industrial settings (Landers, 2011, June 14). Undergraduate coursework in psychology may be applicable to other careers such as psychiatric social work or psychiatric nursing, where assessments and therapy may be a part of the job.
As mentioned in the opening section of this chapter, an undergraduate education in psychology is associated with a knowledge base and skill set that many employers find quite attractive. It should come as no surprise, then, that individuals earning bachelor’s degrees in psychology find themselves in a number of different careers, as shown in . Examples of a few such careers can involve serving as case managers, working in sales, working in human resource departments, and teaching in high schools. The rapidly growing realm of healthcare professions is another field in which an education in psychology is helpful and sometimes required. For example, the Medical College Admission Test (MCAT) exam that people must take to be admitted to medical school now includes a section on the psychological foundations of behavior.
### Summary
Generally, academic careers in psychology require doctoral degrees. However, there are a number of nonacademic career options for people who have master’s degrees in psychology. While people with bachelor’s degrees in psychology have more limited psychology-related career options, the skills acquired as a function of an undergraduate education in psychology are useful in a variety of work contexts.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Psychological Research
## Introduction
Have you ever wondered whether the violence you see on television affects your behavior? Are you more likely to behave aggressively in real life after watching people behave violently in dramatic situations on the screen? Or, could seeing fictional violence actually get aggression out of your system, causing you to be more peaceful? How are children influenced by the media they are exposed to? A psychologist interested in the relationship between behavior and exposure to violent images might ask these very questions.
Since ancient times, humans have been concerned about the effects of new technologies on our behaviors and thinking processes. The Greek philosopher Socrates, for example, worried that writing—a new technology at that time—would diminish people’s ability to remember because they could rely on written records rather than committing information to memory. In our world of rapidly changing technologies, questions about their effects on our daily lives and their resulting long-term impacts continue to emerge. In addition to the impact of screen time (on smartphones, tablets, computers, and gaming), technology is emerging in our vehicles (such as GPS and smart cars) and residences (with devices like Alexa or Google Home and doorbell cameras). As these technologies become integrated into our lives, we are faced with questions about their positive and negative impacts. Many of us find ourselves with a strong opinion on these issues, only to find the person next to us bristling with the opposite view.
How can we go about finding answers that are supported not by mere opinion, but by evidence that we can all agree on? The findings of psychological research can help us navigate issues like this.
### References
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# Psychological Research
## Why Is Research Important?
Scientific research is a critical tool for successfully navigating our complex world. Without it, we would be forced to rely solely on intuition, other people’s authority, and blind luck. While many of us feel confident in our abilities to decipher and interact with the world around us, history is filled with examples of how very wrong we can be when we fail to recognize the need for evidence in supporting claims. At various times in history, we would have been certain that the sun revolved around a flat earth, that the earth’s continents did not move, and that mental illness was caused by possession (). It is through systematic scientific research that we divest ourselves of our preconceived notions and superstitions and gain an objective understanding of ourselves and our world.
The goal of all scientists is to better understand the world around them. Psychologists focus their attention on understanding behavior, as well as the cognitive (mental) and physiological (body) processes that underlie behavior. In contrast to other methods that people use to understand the behavior of others, such as intuition and personal experience, the hallmark of scientific research is that there is evidence to support a claim. Scientific knowledge is empirical: It is grounded in objective, tangible evidence that can be observed time and time again, regardless of who is observing.
While behavior is observable, the mind is not. If someone is crying, we can see behavior. However, the reason for the behavior is more difficult to determine. Is the person crying due to being sad, in pain, or happy? Sometimes we can learn the reason for someone’s behavior by simply asking a question, like “Why are you crying?” However, there are situations in which an individual is either uncomfortable or unwilling to answer the question honestly, or is incapable of answering. For example, infants would not be able to explain why they are crying. In such circumstances, the psychologist must be creative in finding ways to better understand behavior. This chapter explores how scientific knowledge is generated, and how important that knowledge is in forming decisions in our personal lives and in the public domain.
### Use of Research Information
Trying to determine which theories are and are not accepted by the scientific community can be difficult, especially in an area of research as broad as psychology. More than ever before, we have an incredible amount of information at our fingertips, and a simple internet search on any given research topic might result in a number of contradictory studies. In these cases, we are witnessing the scientific community going through the process of reaching a consensus, and it could be quite some time before a consensus emerges. For example, the explosion in our use of technology has led researchers to question whether this ultimately helps or hinders us. The use and implementation of technology in educational settings has become widespread over the last few decades. Researchers are coming to different conclusions regarding the use of technology. To illustrate this point, a study investigating a smartphone app targeting surgery residents (graduate students in surgery training) found that the use of this app can increase student engagement and raise test scores (Shaw & Tan, 2015). Conversely, another study found that the use of technology in undergraduate student populations had negative impacts on sleep, communication, and time management skills (Massimini & Peterson, 2009). Until sufficient amounts of research have been conducted, there will be no clear consensus on the effects that technology has on a student's acquisition of knowledge, study skills, and mental health.
In the meantime, we should strive to think critically about the information we encounter by exercising a degree of healthy skepticism. When someone makes a claim, we should examine the claim from a number of different perspectives: what is the expertise of the person making the claim, what might they gain if the claim is valid, does the claim seem justified given the evidence, and what do other researchers think of the claim? This is especially important when we consider how much information in advertising campaigns and on the internet claims to be based on “scientific evidence” when in actuality it is a belief or perspective of just a few individuals trying to sell a product or draw attention to their perspectives.
We should be informed consumers of the information made available to us because decisions based on this information have significant consequences. One such consequence can be seen in politics and public policy. Imagine that you have been elected as the governor of your state. One of your responsibilities is to manage the state budget and determine how to best spend your constituents’ tax dollars. As the new governor, you need to decide whether to continue funding early intervention programs. These programs are designed to help children who come from low-income backgrounds, have special needs, or face other disadvantages. These programs may involve providing a wide variety of services to maximize the children's development and position them for optimal levels of success in school and later in life (Blann, 2005). While such programs sound appealing, you would want to be sure that they also proved effective before investing additional money in these programs. Fortunately, psychologists and other scientists have conducted vast amounts of research on such programs and, in general, the programs are found to be effective (Neil & Christensen, 2009; Peters-Scheffer, Didden, Korzilius, & Sturmey, 2011). While not all programs are equally effective, and the short-term effects of many such programs are more pronounced, there is reason to believe that many of these programs produce long-term benefits for participants (Barnett, 2011). If you are committed to being a good steward of taxpayer money, you would want to look at research. Which programs are most effective? What characteristics of these programs make them effective? Which programs promote the best outcomes? After examining the research, you would be best equipped to make decisions about which programs to fund.
Ultimately, it is not just politicians who can benefit from using research in guiding their decisions. We all might look to research from time to time when making decisions in our lives. Imagine you just found out that your sister Maria's child, Umberto, was recently diagnosed with autism. There are many treatments for autism that help decrease the negative impact of autism on the individual. Some examples of treatments for autism are applied behavior analysis (ABA), social communication groups, social skills groups, occupational therapy, and even medication options. If Maria asked you for advice or guidance, what would you do? You would likely want to review the research and learn about the efficacy of each treatment so you could best advise your sister.
In the end, research is what makes the difference between facts and opinions. Facts are observable realities, and opinions are personal judgments, conclusions, or attitudes that may or may not be accurate. In the scientific community, facts can be established only using evidence collected through empirical research.
### NOTABLE RESEARCHERS
Psychological research has a long history involving important figures from diverse backgrounds. While the introductory chapter discussed several researchers who made significant contributions to the discipline, there are many more individuals who deserve attention in considering how psychology has advanced as a science through their work (). For instance, Margaret Floy Washburn (1871–1939) was the first woman to earn a PhD in psychology. Her research focused on animal behavior and cognition (Margaret Floy Washburn, PhD, n.d.). Mary Whiton Calkins (1863–1930) was a preeminent first-generation American psychologist who opposed the behaviorist movement, conducted significant research into memory, and established one of the earliest experimental psychology labs in the United States (Mary Whiton Calkins, n.d.).
Francis Sumner (1895–1954) was the first African American to receive a PhD in psychology in 1920. His dissertation focused on issues related to psychoanalysis. Sumner also had research interests in racial bias and educational justice. Sumner was one of the founders of Howard University’s department of psychology, and because of his accomplishments, he is sometimes referred to as the “Father of Black Psychology.” Thirteen years later, Inez Beverly Prosser (1895–1934) became the first African American woman to receive a PhD in psychology. Prosser’s research highlighted issues related to education in segregated versus integrated schools, and ultimately, her work was very influential in the hallmark Brown v. Board of Education Supreme Court ruling that segregation of public schools was unconstitutional (Ethnicity and Health in America Series: Featured Psychologists, n.d.).
Although the establishment of psychology’s scientific roots occurred first in Europe and the United States, it did not take much time until researchers from around the world began to establish their own laboratories and research programs. For example, some of the first experimental psychology laboratories in South America were founded by Horatio Piñero (1869–1919) at two institutions in Buenos Aires, Argentina (Godoy & Brussino, 2010). In India, Gunamudian David Boaz (1908–1965) and Narendra Nath Sen Gupta (1889–1944) established the first independent departments of psychology at the University of Madras and the University of Calcutta, respectively. These developments provided an opportunity for Indian researchers to make important contributions to the field (Gunamudian David Boaz, n.d.; Narendra Nath Sen Gupta, n.d.).
When the American Psychological Association (APA) was first founded in 1892, all of the members were White males (Women and Minorities in Psychology, n.d.). However, by 1905, Mary Whiton Calkins was elected as the first female president of the APA, and by 1946, nearly one-quarter of American psychologists were female. Psychology became a popular degree option for students enrolled in the nation’s historically Black higher education institutions, increasing the number of Black Americans who went on to become psychologists. Given demographic shifts occurring in the United States and increased access to higher educational opportunities among historically underrepresented populations, there is reason to hope that the diversity of the field will increasingly match the larger population, and that the research contributions made by the psychologists of the future will better serve people of all backgrounds (Women and Minorities in Psychology, n.d.).
### The Process of Scientific Research
Scientific knowledge is advanced through a process known as the scientific method. Basically, ideas (in the form of theories and hypotheses) are tested against the real world (in the form of empirical observations), and those empirical observations lead to more ideas that are tested against the real world, and so on. In this sense, the scientific process is circular. The types of reasoning within the circle are called deductive and inductive. In deductive reasoning, ideas are tested in the real world; in inductive reasoning, real-world observations lead to new ideas (). These processes are inseparable, like inhaling and exhaling, but different research approaches place different emphasis on the deductive and inductive aspects.
In the scientific context, deductive reasoning begins with a generalization—one hypothesis—that is then used to reach logical conclusions about the real world. If the hypothesis is correct, then the logical conclusions reached through deductive reasoning should also be correct. A deductive reasoning argument might go something like this: All living things require energy to survive (this would be your hypothesis). Ducks are living things. Therefore, ducks require energy to survive (logical conclusion). In this example, the hypothesis is correct; therefore, the conclusion is correct as well. Sometimes, however, an incorrect hypothesis may lead to a logical but incorrect conclusion. Consider this argument: all ducks are born with the ability to see. Quackers is a duck. Therefore, Quackers was born with the ability to see. Scientists use deductive reasoning to empirically test their hypotheses. Returning to the example of the ducks, researchers might design a study to test the hypothesis that if all living things require energy to survive, then ducks will be found to require energy to survive.
Deductive reasoning starts with a generalization that is tested against real-world observations; however, inductive reasoning moves in the opposite direction. Inductive reasoning uses empirical observations to construct broad generalizations. Unlike deductive reasoning, conclusions drawn from inductive reasoning may or may not be correct, regardless of the observations on which they are based. For instance, you may notice that your favorite fruits—apples, bananas, and oranges—all grow on trees; therefore, you assume that all fruit must grow on trees. This would be an example of inductive reasoning, and, clearly, the existence of strawberries, blueberries, and kiwi demonstrate that this generalization is not correct despite it being based on a number of direct observations. Scientists use inductive reasoning to formulate theories, which in turn generate hypotheses that are tested with deductive reasoning. In the end, science involves both deductive and inductive processes.
For example, case studies, which you will read about in the next section, are heavily weighted on the side of empirical observations. Thus, case studies are closely associated with inductive processes as researchers gather massive amounts of observations and seek interesting patterns (new ideas) in the data. Experimental research, on the other hand, puts great emphasis on deductive reasoning.
We’ve stated that theories and hypotheses are ideas, but what sort of ideas are they, exactly? A theory is a well-developed set of ideas that propose an explanation for observed phenomena. Theories are repeatedly checked against the world, but they tend to be too complex to be tested all at once; instead, researchers create hypotheses to test specific aspects of a theory.
A hypothesis is a testable prediction about how the world will behave if our idea is correct, and it is often worded as an if-then statement (e.g., if I study all night, I will get a passing grade on the test). The hypothesis is extremely important because it bridges the gap between the realm of ideas and the real world. As specific hypotheses are tested, theories are modified and refined to reflect and incorporate the result of these tests .
To see how this process works, let’s consider a specific theory and a hypothesis that might be generated from that theory. As you’ll learn in a later chapter, the James-Lange theory of emotion asserts that emotional experience relies on the physiological arousal associated with the emotional state. If you walked out of your home and discovered a very aggressive snake waiting on your doorstep, your heart would begin to race and your stomach churn. According to the James-Lange theory, these physiological changes would result in your feeling of fear. A hypothesis that could be derived from this theory might be that a person who is unaware of the physiological arousal that the sight of the snake elicits will not feel fear.
A scientific hypothesis is also falsifiable, or capable of being shown to be incorrect. Recall from the introductory chapter that Sigmund Freud had lots of interesting ideas to explain various human behaviors (). However, a major criticism of Freud’s theories is that many of his ideas are not falsifiable; for example, it is impossible to imagine empirical observations that would disprove the existence of the id, the ego, and the superego—the three elements of personality described in Freud’s theories. Despite this, Freud’s theories are widely taught in introductory psychology texts because of their historical significance for personality psychology and psychotherapy, and these remain the root of all modern forms of therapy.
In contrast, the James-Lange theory does generate falsifiable hypotheses, such as the one described above. Some individuals who suffer significant injuries to their spinal columns are unable to feel the bodily changes that often accompany emotional experiences. Therefore, we could test the hypothesis by determining how emotional experiences differ between individuals who have the ability to detect these changes in their physiological arousal and those who do not. In fact, this research has been conducted and while the emotional experiences of people deprived of an awareness of their physiological arousal may be less intense, they still experience emotion (Chwalisz, Diener, & Gallagher, 1988).
Scientific research’s dependence on falsifiability allows for great confidence in the information that it produces. Typically, by the time information is accepted by the scientific community, it has been tested repeatedly.
### Summary
Scientists are engaged in explaining and understanding how the world around them works, and they are able to do so by coming up with theories that generate hypotheses that are testable and falsifiable. Theories that stand up to their tests are retained and refined, while those that do not are discarded or modified. In this way, research enables scientists to separate fact from simple opinion. Having good information generated from research aids in making wise decisions both in public policy and in our personal lives.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Psychological Research
## Approaches to Research
There are many research methods available to psychologists in their efforts to understand, describe, and explain behavior and the cognitive and biological processes that underlie it. Some methods rely on observational techniques. Other approaches involve interactions between the researcher and the individuals who are being studied—ranging from a series of simple questions to extensive, in-depth interviews—to well-controlled experiments.
Each of these research methods has unique strengths and weaknesses, and each method may only be appropriate for certain types of research questions. For example, studies that rely primarily on observation produce incredible amounts of information, but the ability to apply this information to the larger population is somewhat limited because of small sample sizes. Survey research, on the other hand, allows researchers to easily collect data from relatively large samples. While this allows for results to be generalized to the larger population more easily, the information that can be collected on any given survey is somewhat limited and subject to problems associated with any type of self-reported data. Some researchers conduct archival research by using existing records. While this can be a fairly inexpensive way to collect data that can provide insight into a number of research questions, researchers using this approach have no control on how or what kind of data was collected. All of the methods described thus far are correlational in nature. This means that researchers can speak to important relationships that might exist between two or more variables of interest. However, correlational data cannot be used to make claims about cause-and-effect relationships.
Correlational research can find a relationship between two variables, but the only way a researcher can claim that the relationship between the variables is cause and effect is to perform an experiment. In experimental research, which will be discussed later in this chapter, there is a tremendous amount of control over variables of interest. While this is a powerful approach, experiments are often conducted in artificial settings. This calls into question the validity of experimental findings with regard to how they would apply in real-world settings. In addition, many of the questions that psychologists would like to answer cannot be pursued through experimental research because of ethical concerns.
### Clinical or Case Studies
In 2011, the New York Times published a feature story on Krista and Tatiana Hogan, Canadian twin girls. These particular twins are unique because Krista and Tatiana are conjoined twins, connected at the head. There is evidence that the two girls are connected in a part of the brain called the thalamus, which is a major sensory relay center. Most incoming sensory information is sent through the thalamus before reaching higher regions of the cerebral cortex for processing.
The implications of this potential connection mean that it might be possible for one twin to experience the sensations of the other twin. For instance, if Krista is watching a particularly funny television program, Tatiana might smile or laugh even if she is not watching the program. This particular possibility has piqued the interest of many neuroscientists who seek to understand how the brain uses sensory information.
These twins represent an enormous resource in the study of the brain, and since their condition is very rare, it is likely that as long as their family agrees, scientists will follow these girls very closely throughout their lives to gain as much information as possible (Dominus, 2011).
Over time, it has become clear that while Krista and Tatiana share some sensory experiences and motor control, they remain two distinct individuals, which provides invaluable insight for researchers interested in the mind and the brain (Egnor, 2017).
In observational research, scientists are conducting a clinical or case study when they focus on one person or just a few individuals. Indeed, some scientists spend their entire careers studying just 10–20 individuals. Why would they do this? Obviously, when they focus their attention on a very small number of people, they can gain a precious amount of insight into those cases. The richness of information that is collected in clinical or case studies is unmatched by any other single research method. This allows the researcher to have a very deep understanding of the individuals and the particular phenomenon being studied.
If clinical or case studies provide so much information, why are they not more frequent among researchers? As it turns out, the major benefit of this particular approach is also a weakness. As mentioned earlier, this approach is often used when studying individuals who are interesting to researchers because they have a rare characteristic. Therefore, the individuals who serve as the focus of case studies are not like most other people. If scientists ultimately want to explain all behavior, focusing attention on such a special group of people can make it difficult to generalize any observations to the larger population as a whole. Generalizing refers to the ability to apply the findings of a particular research project to larger segments of society. Again, case studies provide enormous amounts of information, but since the cases are so specific, the potential to apply what’s learned to the average person may be very limited.
### Naturalistic Observation
If you want to understand how behavior occurs, one of the best ways to gain information is to simply observe the behavior in its natural context. However, people might change their behavior in unexpected ways if they know they are being observed. How do researchers obtain accurate information when people tend to hide their natural behavior? As an example, imagine that your professor asks everyone in your class to raise their hand if they always wash their hands after using the restroom. Chances are that almost everyone in the classroom will raise their hand, but do you think hand washing after every trip to the restroom is really that universal?
This is very similar to the phenomenon mentioned earlier in this chapter: many individuals do not feel comfortable answering a question honestly. But if we are committed to finding out the facts about hand washing, we have other options available to us.
Suppose we send a classmate into the restroom to actually watch whether everyone washes their hands after using the restroom. Will our observer blend into the restroom environment by wearing a white lab coat, sitting with a clipboard, and staring at the sinks? We want our researcher to be inconspicuous—perhaps standing at one of the sinks pretending to put in contact lenses while secretly recording the relevant information. This type of observational study is called naturalistic observation: observing behavior in its natural setting. To better understand peer exclusion, Suzanne Fanger collaborated with colleagues at the University of Texas to observe the behavior of preschool children on a playground. How did the observers remain inconspicuous over the duration of the study? They equipped a few of the children with wireless microphones (which the children quickly forgot about) and observed while taking notes from a distance. Also, the children in that particular preschool (a “laboratory preschool”) were accustomed to having observers on the playground (Fanger, Frankel, & Hazen, 2012).
It is critical that the observer be as unobtrusive and as inconspicuous as possible: when people know they are being watched, they are less likely to behave naturally. If you have any doubt about this, ask yourself how your driving behavior might differ in two situations: In the first situation, you are driving down a deserted highway during the middle of the day; in the second situation, you are being followed by a police car down the same deserted highway ().
It should be pointed out that naturalistic observation is not limited to research involving humans. Indeed, some of the best-known examples of naturalistic observation involve researchers going into the field to observe various kinds of animals in their own environments. As with human studies, the researchers maintain their distance and avoid interfering with the animal subjects so as not to influence their natural behaviors. Scientists have used this technique to study social hierarchies and interactions among animals ranging from ground squirrels to gorillas. The information provided by these studies is invaluable in understanding how those animals organize socially and communicate with one another. The anthropologist Jane Goodall, for example, spent nearly five decades observing the behavior of chimpanzees in Africa (). As an illustration of the types of concerns that a researcher might encounter in naturalistic observation, some scientists criticized Goodall for giving the chimps names instead of referring to them by numbers—using names was thought to undermine the emotional detachment required for the objectivity of the study (McKie, 2010).
The greatest benefit of naturalistic observation is the validity, or accuracy, of information collected unobtrusively in a natural setting. Having individuals behave as they normally would in a given situation means that we have a higher degree of ecological validity, or realism, than we might achieve with other research approaches. Therefore, our ability to generalize the findings of the research to real-world situations is enhanced. If done correctly, we need not worry about people or animals modifying their behavior simply because they are being observed. Sometimes, people may assume that reality programs give us a glimpse into authentic human behavior. However, the principle of inconspicuous observation is violated as reality stars are followed by camera crews and are interviewed on camera for personal confessionals. Given that environment, we must doubt how natural and realistic their behaviors are.
The major downside of naturalistic observation is that they are often difficult to set up and control. In our restroom study, what if you stood in the restroom all day prepared to record people’s hand washing behavior and no one came in? Or, what if you have been closely observing a troop of gorillas for weeks only to find that they migrated to a new place while you were sleeping in your tent? The benefit of realistic data comes at a cost. As a researcher you have no control of when (or if) you have behavior to observe. In addition, this type of observational research often requires significant investments of time, money, and a good dose of luck.
Sometimes studies involve structured observation. In these cases, people are observed while engaging in set, specific tasks. An excellent example of structured observation comes from Strange Situation by Mary Ainsworth (you will read more about this in the chapter on lifespan development). The Strange Situation is a procedure used to evaluate attachment styles that exist between an infant and caregiver. In this scenario, caregivers bring their infants into a room filled with toys. The Strange Situation involves a number of phases, including a stranger coming into the room, the caregiver leaving the room, and the caregiver’s return to the room. The infant’s behavior is closely monitored at each phase, but it is the behavior of the infant upon being reunited with the caregiver that is most telling in terms of characterizing the infant’s attachment style with the caregiver.
Another potential problem in observational research is observer bias. Generally, people who act as observers are closely involved in the research project and may unconsciously skew their observations to fit their research goals or expectations. To protect against this type of bias, researchers should have clear criteria established for the types of behaviors recorded and how those behaviors should be classified. In addition, researchers often compare observations of the same event by multiple observers, in order to test inter-rater reliability: a measure of reliability that assesses the consistency of observations by different observers.
### Surveys
Often, psychologists develop surveys as a means of gathering data. Surveys are lists of questions to be answered by research participants, and can be delivered as paper-and-pencil questionnaires, administered electronically, or conducted verbally (). Generally, the survey itself can be completed in a short time, and the ease of administering a survey makes it easy to collect data from a large number of people.
Surveys allow researchers to gather data from larger samples than may be afforded by other research methods. A sample is a subset of individuals selected from a population, which is the overall group of individuals that the researchers are interested in. Researchers study the sample and seek to generalize their findings to the population. Generally, researchers will begin this process by calculating various measures of central tendency from the data they have collected. These measures provide an overall summary of what a typical response looks like. There are three measures of central tendency: mode, median, and mean. The mode is the most frequently occurring response, the median lies at the middle of a given data set, and the mean is the arithmetic average of all data points. Means tend to be most useful in conducting additional analyses like those described below; however, means are very sensitive to the effects of outliers, and so one must be aware of those effects when making assessments of what measures of central tendency tell us about a data set in question.
There is both strength and weakness of the survey in comparison to case studies. By using surveys, we can collect information from a larger sample of people. A larger sample is better able to reflect the actual diversity of the population, thus allowing better generalizability. Therefore, if our sample is sufficiently large and diverse, we can assume that the data we collect from the survey can be generalized to the larger population with more certainty than the information collected through a case study. However, given the greater number of people involved, we are not able to collect the same depth of information on each person that would be collected in a case study.
Another potential weakness of surveys is something we touched on earlier in this chapter: People don't always give accurate responses. They may lie, misremember, or answer questions in a way that they think makes them look good. For example, people may report drinking less alcohol than is actually the case.
Any number of research questions can be answered through the use of surveys. One real-world example is the research conducted by Jenkins, Ruppel, Kizer, Yehl, and Griffin (2012) about the backlash against the US Arab-American community following the terrorist attacks of September 11, 2001. Jenkins and colleagues wanted to determine to what extent these negative attitudes toward Arab-Americans still existed nearly a decade after the attacks occurred. In one study, 140 research participants filled out a survey with 10 questions, including questions asking directly about the participant’s overt prejudicial attitudes toward people of various ethnicities. The survey also asked indirect questions about how likely the participant would be to interact with a person of a given ethnicity in a variety of settings (such as, “How likely do you think it is that you would introduce yourself to a person of Arab-American descent?”). The results of the research suggested that participants were unwilling to report prejudicial attitudes toward any ethnic group. However, there were significant differences between their pattern of responses to questions about social interaction with Arab-Americans compared to other ethnic groups: they indicated less willingness for social interaction with Arab-Americans compared to the other ethnic groups. This suggested that the participants harbored subtle forms of prejudice against Arab-Americans, despite their assertions that this was not the case (Jenkins et al., 2012).
### Archival Research
Some researchers gain access to large amounts of data without interacting with a single research participant. Instead, they use existing records to answer various research questions. This type of research approach is known as archival research. Archival research relies on looking at past records or data sets to look for interesting patterns or relationships.
For example, a researcher might access the academic records of all individuals who enrolled in college within the past ten years and calculate how long it took them to complete their degrees, as well as course loads, grades, and extracurricular involvement. Archival research could provide important information about who is most likely to complete their education, and it could help identify important risk factors for struggling students ().
In comparing archival research to other research methods, there are several important distinctions. For one, the researcher employing archival research never directly interacts with research participants. Therefore, the investment of time and money to collect data is considerably less with archival research. Additionally, researchers have no control over what information was originally collected. Therefore, research questions have to be tailored so they can be answered within the structure of the existing data sets. There is also no guarantee of consistency between the records from one source to another, which might make comparing and contrasting different data sets problematic.
### Longitudinal and Cross-Sectional Research
Sometimes we want to see how people change over time, as in studies of human development and lifespan. When we test the same group of individuals repeatedly over an extended period of time, we are conducting longitudinal research. Longitudinal research is a research design in which data-gathering is administered repeatedly over an extended period of time. For example, we may survey a group of individuals about their dietary habits at age 20, retest them a decade later at age 30, and then again at age 40.
Another approach is cross-sectional research. In cross-sectional research, a researcher compares multiple segments of the population at the same time. Using the dietary habits example above, the researcher might directly compare different groups of people by age. Instead of studying a group of people for 20 years to see how their dietary habits changed from decade to decade, the researcher would study a group of 20-year-old individuals and compare them to a group of 30-year-old individuals and a group of 40-year-old individuals. While cross-sectional research requires a shorter-term investment, it is also limited by differences that exist between the different generations (or cohorts) that have nothing to do with age per se, but rather reflect the social and cultural experiences of different generations of individuals that make them different from one another.
To illustrate this concept, consider the following survey findings. In recent years there has been significant growth in the popular support of same-sex marriage. Many studies on this topic break down survey participants into different age groups. In general, younger people are more supportive of same-sex marriage than are those who are older (Jones, 2013). Does this mean that as we age we become less open to the idea of same-sex marriage, or does this mean that older individuals have different perspectives because of the social climates in which they grew up? Longitudinal research is a powerful approach because the same individuals are involved in the research project over time, which means that the researchers need to be less concerned with differences among cohorts affecting the results of their study.
Often longitudinal studies are employed when researching various diseases in an effort to understand particular risk factors. Such studies often involve tens of thousands of individuals who are followed for several decades. Given the enormous number of people involved in these studies, researchers can feel confident that their findings can be generalized to the larger population. The Cancer Prevention Study-3 (CPS-3) is one of a series of longitudinal studies sponsored by the American Cancer Society aimed at determining predictive risk factors associated with cancer. When participants enter the study, they complete a survey about their lives and family histories, providing information on factors that might cause or prevent the development of cancer. Then every few years the participants receive additional surveys to complete. In the end, hundreds of thousands of participants will be tracked over 20 years to determine which of them develop cancer and which do not.
Clearly, this type of research is important and potentially very informative. For instance, earlier longitudinal studies sponsored by the American Cancer Society provided some of the first scientific demonstrations of the now well-established links between increased rates of cancer and smoking (American Cancer Society, n.d.) ().
As with any research strategy, longitudinal research is not without limitations. For one, these studies require an incredible time investment by the researcher and research participants. Given that some longitudinal studies take years, if not decades, to complete, the results will not be known for a considerable period of time. In addition to the time demands, these studies also require a substantial financial investment. Many researchers are unable to commit the resources necessary to see a longitudinal project through to the end.
Research participants must also be willing to continue their participation for an extended period of time, and this can be problematic. People move, get married and take new names, get ill, and eventually die. Even without significant life changes, some people may simply choose to discontinue their participation in the project. As a result, the attrition rates, or reduction in the number of research participants due to dropouts, in longitudinal studies are quite high and increases over the course of a project. For this reason, researchers using this approach typically recruit many participants fully expecting that a substantial number will drop out before the end. As the study progresses, they continually check whether the sample still represents the larger population, and make adjustments as necessary.
### Summary
The clinical or case study involves studying just a few individuals for an extended period of time. While this approach provides an incredible depth of information, the ability to generalize these observations to the larger population is problematic. Naturalistic observation involves observing behavior in a natural setting and allows for the collection of valid, true-to-life information from realistic situations. However, naturalistic observation does not allow for much control and often requires quite a bit of time and money to perform. Researchers strive to ensure that their tools for collecting data are both reliable (consistent and replicable) and valid (accurate).
Surveys can be administered in a number of ways and make it possible to collect large amounts of data quickly. However, the depth of information that can be collected through surveys is somewhat limited compared to a clinical or case study.
Archival research involves studying existing data sets to answer research questions.
Longitudinal research has been incredibly helpful to researchers who need to collect data on how people change over time. Cross-sectional research compares multiple segments of a population at a single time.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Psychological Research
## Analyzing Findings
Did you know that as sales in ice cream increase, so does the overall rate of crime? Is it possible that indulging in your favorite flavor of ice cream could send you on a crime spree? Or, after committing crime do you think you might decide to treat yourself to a cone? There is no question that a relationship exists between ice cream and crime (e.g., Harper, 2013), but it would be pretty foolish to decide that one thing actually caused the other to occur.
It is much more likely that both ice cream sales and crime rates are related to the temperature outside. When the temperature is warm, there are lots of people out of their houses, interacting with each other, getting annoyed with one another, and sometimes committing crimes. Also, when it is warm outside, we are more likely to seek a cool treat like ice cream. How do we determine if there is indeed a relationship between two things? And when there is a relationship, how can we discern whether it is attributable to coincidence or causation?
### Correlational Research
Correlation means that there is a relationship between two or more variables (such as ice cream consumption and crime), but this relationship does not necessarily imply cause and effect. When two variables are correlated, it simply means that as one variable changes, so does the other. We can measure correlation by calculating a statistic known as a correlation coefficient. A correlation coefficient is a number from -1 to +1 that indicates the strength and direction of the relationship between variables. The correlation coefficient is usually represented by the letter r.
The number portion of the correlation coefficient indicates the strength of the relationship. The closer the number is to 1 (be it negative or positive), the more strongly related the variables are, and the more predictable changes in one variable will be as the other variable changes. The closer the number is to zero, the weaker the relationship, and the less predictable the relationships between the variables becomes. For instance, a correlation coefficient of 0.9 indicates a far stronger relationship than a correlation coefficient of 0.3. If the variables are not related to one another at all, the correlation coefficient is 0. The example above about ice cream and crime is an example of two variables that we might expect to have no relationship to each other.
The sign—positive or negative—of the correlation coefficient indicates the direction of the relationship (). A positive correlation means that the variables move in the same direction. Put another way, it means that as one variable increases so does the other, and conversely, when one variable decreases so does the other. A negative correlation means that the variables move in opposite directions. If two variables are negatively correlated, a decrease in one variable is associated with an increase in the other and vice versa.
The example of ice cream and crime rates is a positive correlation because both variables increase when temperatures are warmer. Other examples of positive correlations are the relationship between an individual’s height and weight or the relationship between a person’s age and number of wrinkles. One might expect a negative correlation to exist between someone’s tiredness during the day and the number of hours they slept the previous night: the amount of sleep decreases as the feelings of tiredness increase. In a real-world example of negative correlation, student researchers at the University of Minnesota found a weak negative correlation (r = -0.29) between the average number of days per week that students got fewer than 5 hours of sleep and their GPA (Lowry, Dean, & Manders, 2010). Keep in mind that a negative correlation is not the same as no correlation. For example, we would probably find no correlation between hours of sleep and shoe size.
As mentioned earlier, correlations have predictive value. Imagine that you are on the admissions committee of a major university. You are faced with a huge number of applications, but you are able to accommodate only a small percentage of the applicant pool. How might you decide who should be admitted? You might try to correlate your current students’ college GPA with their scores on standardized tests like the SAT or ACT. By observing which correlations were strongest for your current students, you could use this information to predict relative success of those students who have applied for admission into the university.
### Correlation Does Not Indicate Causation
Correlational research is useful because it allows us to discover the strength and direction of relationships that exist between two variables. However, correlation is limited because establishing the existence of a relationship tells us little about cause and effect. While variables are sometimes correlated because one does cause the other, it could also be that some other factor, a confounding variable, is actually causing the systematic movement in our variables of interest. In the ice cream/crime rate example mentioned earlier, temperature is a confounding variable that could account for the relationship between the two variables.
Even when we cannot point to clear confounding variables, we should not assume that a correlation between two variables implies that one variable causes changes in another. This can be frustrating when a cause-and-effect relationship seems clear and intuitive. Think back to our discussion of the research done by the American Cancer Society and how their research projects were some of the first demonstrations of the link between smoking and cancer. It seems reasonable to assume that smoking causes cancer, but if we were limited to correlational research, we would be overstepping our bounds by making this assumption.
Unfortunately, people mistakenly make claims of causation as a function of correlations all the time. Such claims are especially common in advertisements and news stories. For example, recent research found that people who eat cereal on a regular basis achieve healthier weights than those who rarely eat cereal (Frantzen, Treviño, Echon, Garcia-Dominic, & DiMarco, 2013; Barton et al., 2005). Guess how the cereal companies report this finding. Does eating cereal really cause an individual to maintain a healthy weight, or are there other possible explanations, such as, someone at a healthy weight is more likely to regularly eat a healthy breakfast than someone who is obese or someone who avoids meals in an attempt to diet ()? While correlational research is invaluable in identifying relationships among variables, a major limitation is the inability to establish causality. Psychologists want to make statements about cause and effect, but the only way to do that is to conduct an experiment to answer a research question. The next section describes how scientific experiments incorporate methods that eliminate, or control for, alternative explanations, which allow researchers to explore how changes in one variable cause changes in another variable.
### Illusory Correlations
The temptation to make erroneous cause-and-effect statements based on correlational research is not the only way we tend to misinterpret data. We also tend to make the mistake of illusory correlations, especially with unsystematic observations. Illusory correlations, or false correlations, occur when people believe that relationships exist between two things when no such relationship exists. One well-known illusory correlation is the supposed effect that the moon’s phases have on human behavior. Many people passionately assert that human behavior is affected by the phase of the moon, and specifically, that people act strangely when the moon is full ().
There is no denying that the moon exerts a powerful influence on our planet. The ebb and flow of the ocean’s tides are tightly tied to the gravitational forces of the moon. Many people believe, therefore, that it is logical that we are affected by the moon as well. After all, our bodies are largely made up of water. A meta-analysis of nearly 40 studies consistently demonstrated, however, that the relationship between the moon and our behavior does not exist (Rotton & Kelly, 1985). While we may pay more attention to odd behavior during the full phase of the moon, the rates of odd behavior remain constant throughout the lunar cycle.
Why are we so apt to believe in illusory correlations like this? Often we read or hear about them and simply accept the information as valid. Or, we have a hunch about how something works and then look for evidence to support that hunch, ignoring evidence that would tell us our hunch is false; this is known as confirmation bias. Other times, we find illusory correlations based on the information that comes most easily to mind, even if that information is severely limited. And while we may feel confident that we can use these relationships to better understand and predict the world around us, illusory correlations can have significant drawbacks. For example, research suggests that illusory correlations—in which certain behaviors are inaccurately attributed to certain groups—are involved in the formation of prejudicial attitudes that can ultimately lead to discriminatory behavior (Fiedler, 2004).
### Causality: Conducting Experiments and Using the Data
As you’ve learned, the only way to establish that there is a cause-and-effect relationship between two variables is to conduct a scientific experiment. Experiment has a different meaning in the scientific context than in everyday life. In everyday conversation, we often use it to describe trying something for the first time, such as experimenting with a new hair style or a new food. However, in the scientific context, an experiment has precise requirements for design and implementation.
### The Experimental Hypothesis
In order to conduct an experiment, a researcher must have a specific hypothesis to be tested. As you’ve learned, hypotheses can be formulated either through direct observation of the real world or after careful review of previous research. For example, if you think that the use of technology in the classroom has negative impacts on learning, then you have basically formulated a hypothesis—namely, that the use of technology in the classroom should be limited because it decreases learning. How might you have arrived at this particular hypothesis? You may have noticed that your classmates who take notes on their laptops perform at lower levels on class exams than those who take notes by hand, or those who receive a lesson via a computer program versus via an in-person teacher have different levels of performance when tested ().
These sorts of personal observations are what often lead us to formulate a specific hypothesis, but we cannot use limited personal observations and anecdotal evidence to rigorously test our hypothesis. Instead, to find out if real-world data supports our hypothesis, we have to conduct an experiment.
### Designing an Experiment
The most basic experimental design involves two groups: the experimental group and the control group. The two groups are designed to be the same except for one difference— experimental manipulation. The experimental group gets the experimental manipulation—that is, the treatment or variable being tested (in this case, the use of technology)—and the control group does not. Since experimental manipulation is the only difference between the experimental and control groups, we can be sure that any differences between the two are due to experimental manipulation rather than chance.
In our example of how the use of technology should be limited in the classroom, we have the experimental group learn algebra using a computer program and then test their learning. We measure the learning in our control group after they are taught algebra by a teacher in a traditional classroom. It is important for the control group to be treated similarly to the experimental group, with the exception that the control group does not receive the experimental manipulation.
We also need to precisely define, or operationalize, how we measure learning of algebra. An operational definition is a precise description of our variables, and it is important in allowing others to understand exactly how and what a researcher measures in a particular experiment. In operationalizing learning, we might choose to look at performance on a test covering the material on which the individuals were taught by the teacher or the computer program. We might also ask our participants to summarize the information that was just presented in some way. Whatever we determine, it is important that we operationalize learning in such a way that anyone who hears about our study for the first time knows exactly what we mean by learning. This aids peoples’ ability to interpret our data as well as their capacity to repeat our experiment should they choose to do so.
Once we have operationalized what is considered use of technology and what is considered learning in our experiment participants, we need to establish how we will run our experiment. In this case, we might have participants spend 45 minutes learning algebra (either through a computer program or with an in-person math teacher) and then give them a test on the material covered during the 45 minutes.
Ideally, the people who score the tests are unaware of who was assigned to the experimental or control group, in order to control for experimenter bias. Experimenter bias refers to the possibility that a researcher’s expectations might skew the results of the study. Remember, conducting an experiment requires a lot of planning, and the people involved in the research project have a vested interest in supporting their hypotheses. If the observers knew which child was in which group, it might influence how they interpret ambiguous responses, such as sloppy handwriting or minor computational mistakes. By being blind to which child is in which group, we protect against those biases. This situation is a single-blind study, meaning that one of the groups (participants) are unaware as to which group they are in (experiment or control group) while the researcher who developed the experiment knows which participants are in each group.
In a double-blind study, both the researchers and the participants are blind to group assignments. Why would a researcher want to run a study where no one knows who is in which group? Because by doing so, we can control for both experimenter and participant expectations. If you are familiar with the phrase placebo effect, you already have some idea as to why this is an important consideration. The placebo effect occurs when people's expectations or beliefs influence or determine their experience in a given situation. In other words, simply expecting something to happen can actually make it happen.
The placebo effect is commonly described in terms of testing the effectiveness of a new medication. Imagine that you work in a pharmaceutical company, and you think you have a new drug that is effective in treating depression. To demonstrate that your medication is effective, you run an experiment with two groups: The experimental group receives the medication, and the control group does not. But you don’t want participants to know whether they received the drug or not.
Why is that? Imagine that you are a participant in this study, and you have just taken a pill that you think will improve your mood. Because you expect the pill to have an effect, you might feel better simply because you took the pill and not because of any drug actually contained in the pill—this is the placebo effect.
To make sure that any effects on mood are due to the drug and not due to expectations, the control group receives a placebo (in this case a sugar pill). Now everyone gets a pill, and once again neither the researcher nor the experimental participants know who got the drug and who got the sugar pill. Any differences in mood between the experimental and control groups can now be attributed to the drug itself rather than to experimenter bias or participant expectations ().
### Independent and Dependent Variables
In a research experiment, we strive to study whether changes in one thing cause changes in another. To achieve this, we must pay attention to two important variables, or things that can be changed, in any experimental study: the independent variable and the dependent variable. An independent variable is manipulated or controlled by the experimenter. In a well-designed experimental study, the independent variable is the only important difference between the experimental and control groups. In our example of how technology use in the classroom affects learning, the independent variable is the type of learning by participants in the study (). A dependent variable is what the researcher measures to see how much effect the independent variable had. In our example, the dependent variable is the learning exhibited by our participants.
We expect that the dependent variable will change as a function of the independent variable. In other words, the dependent variable depends on the independent variable. A good way to think about the relationship between the independent and dependent variables is with this question: What effect does the independent variable have on the dependent variable? Returning to our example, what is the effect of being taught a lesson through a computer program versus through an in-person instructor?
### Selecting and Assigning Experimental Participants
Now that our study is designed, we need to obtain a sample of individuals to include in our experiment. Our study involves human participants so we need to determine who to include. Participants are the subjects of psychological research, and as the name implies, individuals who are involved in psychological research actively participate in the process. Often, psychological research projects rely on college students to serve as participants. In fact, the vast majority of research in psychology subfields has historically involved students as research participants (Sears, 1986; Arnett, 2008). But are college students truly representative of the general population? College students tend to be younger, more educated, more liberal, and less diverse than the general population. Although using students as test subjects is an accepted practice, relying on such a limited pool of research participants can be problematic because it is difficult to generalize findings to the larger population.
Our hypothetical experiment involves high school students, and we must first generate a sample of students. Samples are used because populations are usually too large to reasonably involve every member in our particular experiment (). If possible, we should use a random sample (there are other types of samples, but for the purposes of this chapter, we will focus on random samples). A random sample is a subset of a larger population in which every member of the population has an equal chance of being selected. Random samples are preferred because if the sample is large enough we can be reasonably sure that the participating individuals are representative of the larger population. This means that the percentages of characteristics in the sample—sex, ethnicity, socioeconomic level, and any other characteristics that might affect the results—are close to those percentages in the larger population.
In our example, let’s say we decide our population of interest is algebra students. But all algebra students is a very large population, so we need to be more specific; instead we might say our population of interest is all algebra students in a particular city. We should include students from various income brackets, family situations, races, ethnicities, religions, and geographic areas of town. With this more manageable population, we can work with the local schools in selecting a random sample of around 200 algebra students who we want to participate in our experiment.
In summary, because we cannot test all of the algebra students in a city, we want to find a group of about 200 that reflects the composition of that city. With a representative group, we can generalize our findings to the larger population without fear of our sample being biased in some way.
Now that we have a sample, the next step of the experimental process is to split the participants into experimental and control groups through random assignment. With random assignment, all participants have an equal chance of being assigned to either group. There is statistical software that will randomly assign each of the algebra students in the sample to either the experimental or the control group.
Random assignment is critical for sound experimental design. With sufficiently large samples, random assignment makes it unlikely that there are systematic differences between the groups. So, for instance, it would be very unlikely that we would get one group composed entirely of males, a given ethnic identity, or a given religious ideology. This is important because if the groups were systematically different before the experiment began, we would not know the origin of any differences we find between the groups: Were the differences preexisting, or were they caused by manipulation of the independent variable? Random assignment allows us to assume that any differences observed between experimental and control groups result from the manipulation of the independent variable.
### Issues to Consider
While experiments allow scientists to make cause-and-effect claims, they are not without problems. True experiments require the experimenter to manipulate an independent variable, and that can complicate many questions that psychologists might want to address. For instance, imagine that you want to know what effect sex (the independent variable) has on spatial memory (the dependent variable). Although you can certainly look for differences between males and females on a task that taps into spatial memory, you cannot directly control a person’s sex. We categorize this type of research approach as quasi-experimental and recognize that we cannot make cause-and-effect claims in these circumstances.
Experimenters are also limited by ethical constraints. For instance, you would not be able to conduct an experiment designed to determine if experiencing abuse as a child leads to lower levels of self-esteem among adults. To conduct such an experiment, you would need to randomly assign some experimental participants to a group that receives abuse, and that experiment would be unethical.
### Interpreting Experimental Findings
Once data is collected from both the experimental and the control groups, a statistical analysis is conducted to find out if there are meaningful differences between the two groups. A statistical analysis determines how likely any difference found is due to chance (and thus not meaningful). For example, if an experiment is done on the effectiveness of a nutritional supplement, and those taking a placebo pill (and not the supplement) have the same result as those taking the supplement, then the experiment has shown that the nutritional supplement is not effective. Generally, psychologists consider differences to be statistically significant if there is less than a five percent chance of observing them if the groups did not actually differ from one another. Stated another way, psychologists want to limit the chances of making “false positive” claims to five percent or less.
The greatest strength of experiments is the ability to assert that any significant differences in the findings are caused by the independent variable. This occurs because random selection, random assignment, and a design that limits the effects of both experimenter bias and participant expectancy should create groups that are similar in composition and treatment. Therefore, any difference between the groups is attributable to the independent variable, and now we can finally make a causal statement. If we find that watching a violent television program results in more violent behavior than watching a nonviolent program, we can safely say that watching violent television programs causes an increase in the display of violent behavior.
### Reporting Research
When psychologists complete a research project, they generally want to share their findings with other scientists. The American Psychological Association (APA) publishes a manual detailing how to write a paper for submission to scientific journals. Unlike an article that might be published in a magazine like Psychology Today, which targets a general audience with an interest in psychology, scientific journals generally publish peer-reviewed journal articles aimed at an audience of professionals and scholars who are actively involved in research themselves.
A peer-reviewed journal article is read by several other scientists (generally anonymously) with expertise in the subject matter. These peer reviewers provide feedback—to both the author and the journal editor—regarding the quality of the draft. Peer reviewers look for a strong rationale for the research being described, a clear description of how the research was conducted, and evidence that the research was conducted in an ethical manner. They also look for flaws in the study's design, methods, and statistical analyses. They check that the conclusions drawn by the authors seem reasonable given the observations made during the research. Peer reviewers also comment on how valuable the research is in advancing the discipline’s knowledge. This helps prevent unnecessary duplication of research findings in the scientific literature and, to some extent, ensures that each research article provides new information. Ultimately, the journal editor will compile all of the peer reviewer feedback and determine whether the article will be published in its current state (a rare occurrence), published with revisions, or not accepted for publication.
Peer review provides some degree of quality control for psychological research. Poorly conceived or executed studies can be weeded out, and even well-designed research can be improved by the revisions suggested. Peer review also ensures that the research is described clearly enough to allow other scientists to replicate it, meaning they can repeat the experiment using different samples to determine reliability. Sometimes replications involve additional measures that expand on the original finding. In any case, each replication serves to provide more evidence to support the original research findings. Successful replications of published research make scientists more apt to adopt those findings, while repeated failures tend to cast doubt on the legitimacy of the original article and lead scientists to look elsewhere. For example, it would be a major advancement in the medical field if a published study indicated that taking a new drug helped individuals achieve a healthy weight without changing their diet. But if other scientists could not replicate the results, the original study’s claims would be questioned.
In recent years, there has been increasing concern about a “replication crisis” that has affected a number of scientific fields, including psychology. Some of the most well-known studies and scientists have produced research that has failed to be replicated by others (as discussed in Shrout & Rodgers, 2018). In fact, even a famous Nobel Prize-winning scientist has recently retracted a published paper because she had difficulty replicating her results (Nobel Prize-winning scientist Frances Arnold retracts paper, 2020 January 3). These kinds of outcomes have prompted some scientists to begin to work together and more openly, and some would argue that the current “crisis” is actually improving the ways in which science is conducted and in how its results are shared with others (Aschwanden, 2018).
### Reliability and Validity
Reliability and validity are two important considerations that must be made with any type of data collection. Reliability refers to the ability to consistently produce a given result. In the context of psychological research, this would mean that any instruments or tools used to collect data do so in consistent, reproducible ways. There are a number of different types of reliability. Some of these include inter-rater reliability (the degree to which two or more different observers agree on what has been observed), internal consistency (the degree to which different items on a survey that measure the same thing correlate with one another), and test-retest reliability (the degree to which the outcomes of a particular measure remain consistent over multiple administrations).
Unfortunately, being consistent in measurement does not necessarily mean that you have measured something correctly. To illustrate this concept, consider a kitchen scale that would be used to measure the weight of cereal that you eat in the morning. If the scale is not properly calibrated, it may consistently under- or overestimate the amount of cereal that’s being measured. While the scale is highly reliable in producing consistent results (e.g., the same amount of cereal poured onto the scale produces the same reading each time), those results are incorrect. This is where validity comes into play. Validity refers to the extent to which a given instrument or tool accurately measures what it’s supposed to measure, and once again, there are a number of ways in which validity can be expressed. Ecological validity (the degree to which research results generalize to real-world applications), construct validity (the degree to which a given variable actually captures or measures what it is intended to measure), and face validity (the degree to which a given variable seems valid on the surface) are just a few types that researchers consider. While any valid measure is by necessity reliable, the reverse is not necessarily true. Researchers strive to use instruments that are both highly reliable and valid.
### Summary
A correlation is described with a correlation coefficient, r, which ranges from -1 to 1. The correlation coefficient tells us about the nature (positive or negative) and the strength of the relationship between two or more variables. Correlations do not tell us anything about causation—regardless of how strong the relationship is between variables. In fact, the only way to demonstrate causation is by conducting an experiment. People often make the mistake of claiming that correlations exist when they really do not.
Researchers can test cause-and-effect hypotheses by conducting experiments. Ideally, experimental participants are randomly selected from the population of interest. Then, the participants are randomly assigned to their respective groups. Sometimes, the researcher and the participants are blind to group membership to prevent their expectations from influencing the results.
In ideal experimental design, the only difference between the experimental and control groups is whether participants are exposed to the experimental manipulation. Each group goes through all phases of the experiment, but each group will experience a different level of the independent variable: the experimental group is exposed to the experimental manipulation, and the control group is not exposed to the experimental manipulation. The researcher then measures the changes that are produced in the dependent variable in each group. Once data is collected from both groups, it is analyzed statistically to determine if there are meaningful differences between the groups.
Psychologists report their research findings in peer-reviewed journal articles. Research published in this format is checked by several other psychologists who serve as a filter separating ideas that are supported by evidence from ideas that are not. Replication has an important role in ensuring the legitimacy of published research. In the long run, only those findings that are capable of being replicated consistently will achieve consensus in the scientific community.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Psychological Research
## Ethics
Today, scientists agree that good research is ethical in nature and is guided by a basic respect for human dignity and safety. However, as you will read in the feature box, this has not always been the case. Modern researchers must demonstrate that the research they perform is ethically sound. This section presents how ethical considerations affect the design and implementation of research conducted today.
### Research Involving Human Participants
Any experiment involving the participation of human subjects is governed by extensive, strict guidelines designed to ensure that the experiment does not result in harm. Any research institution that receives federal support for research involving human participants must have access to an institutional review board (IRB). The IRB is a committee of individuals often made up of members of the institution’s administration, scientists, and community members (). The purpose of the IRB is to review proposals for research that involves human participants. The IRB reviews these proposals with the principles mentioned above in mind, and generally, approval from the IRB is required in order for the experiment to proceed.
An institution’s IRB requires several components in any experiment it approves. For one, each participant must sign an informed consent form before they can participate in the experiment. An informed consent form provides a written description of what participants can expect during the experiment, including potential risks and implications of the research. It also lets participants know that their involvement is completely voluntary and can be discontinued without penalty at any time. Furthermore, the informed consent guarantees that any data collected in the experiment will remain completely confidential. In cases where research participants are under the age of 18, the parents or legal guardians are required to sign the informed consent form.
While the informed consent form should be as honest as possible in describing exactly what participants will be doing, sometimes deception is necessary to prevent participants’ knowledge of the exact research question from affecting the results of the study. Deception involves purposely misleading experiment participants in order to maintain the integrity of the experiment, but not to the point where the deception could be considered harmful. For example, if we are interested in how our opinion of someone is affected by their attire, we might use deception in describing the experiment to prevent that knowledge from affecting participants’ responses. In cases where deception is involved, participants must receive a full debriefing upon conclusion of the study—complete, honest information about the purpose of the experiment, how the data collected will be used, the reasons why deception was necessary, and information about how to obtain additional information about the study.
### Research Involving Animal Subjects
Many psychologists conduct research involving animal subjects. Often, these researchers use rodents () or birds as the subjects of their experiments—the APA estimates that 90% of all animal research in psychology uses these species (American Psychological Association, n.d.). Because many basic processes in animals are sufficiently similar to those in humans, these animals are acceptable substitutes for research that would be considered unethical in human participants.
This does not mean that animal researchers are immune to ethical concerns. Indeed, the humane and ethical treatment of animal research subjects is a critical aspect of this type of research. Researchers must design their experiments to minimize any pain or distress experienced by animals serving as research subjects.
Whereas IRBs review research proposals that involve human participants, animal experimental proposals are reviewed by an Institutional Animal Care and Use Committee (IACUC). An IACUC consists of institutional administrators, scientists, veterinarians, and community members. This committee is charged with ensuring that all experimental proposals require the humane treatment of animal research subjects. It also conducts semi-annual inspections of all animal facilities to ensure that the research protocols are being followed. No animal research project can proceed without the committee’s approval.
### Summary
Ethics in research is an evolving field, and some practices that were accepted or tolerated in the past would be considered unethical today. Researchers are expected to adhere to basic ethical guidelines when conducting experiments that involve human participants. Any experiment involving human participants must be approved by an IRB. Participation in experiments is voluntary and requires informed consent of the participants. If any deception is involved in the experiment, each participant must be fully debriefed upon the conclusion of the study.
Animal research is also held to a high ethical standard. Researchers who use animals as experimental subjects must design their projects so that pain and distress are minimized. Animal research requires the approval of an IACUC, and all animal facilities are subject to regular inspections to ensure that animals are being treated humanely.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Biopsychology
## Introduction
Have you ever taken a device apart to find out how it works? Many of us have done so, whether to attempt a repair or simply to satisfy our curiosity. A device’s internal workings are often distinct from its user interface on the outside. For example, we don’t think about microchips and circuits when we turn up the volume on a mobile phone; instead, we think about getting the volume just right. Similarly, the inner workings of the human body are often distinct from the external expression of those workings. It is the job of psychologists to find the connection between these—for example, to figure out how the firings of millions of neurons become a thought.
This chapter strives to explain the biological mechanisms that underlie behavior. These physiological and anatomical foundations are the basis for many areas of psychology. In this chapter, you will learn how genetics influence both physiological and psychological traits. You will become familiar with the structure and function of the nervous system. And, finally, you will learn how the nervous system interacts with the endocrine system.
### References
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# Biopsychology
## Human Genetics
Psychological researchers study genetics in order to better understand the biological factors that contribute to certain behaviors. While all humans share certain biological mechanisms, we are each unique. And while our bodies have many of the same parts—brains and hormones and cells with genetic codes—these are expressed in a wide variety of behaviors, thoughts, and reactions.
Why do two people infected by the same disease have different outcomes: one surviving and one succumbing to the ailment? How are genetic diseases passed through family lines? Are there genetic components to psychological disorders, such as depression or schizophrenia? To what extent might there be a psychological basis to health conditions such as childhood obesity?
To explore these questions, let’s start by focusing on a specific genetic disorder, sickle cell anemia, and how it might manifest in two affected sisters. Sickle-cell anemia is a genetic condition in which red blood cells, which are normally round, take on a crescent-like shape (). The changed shape of these cells affects how they function: sickle-shaped cells can clog blood vessels and block blood flow, leading to high fever, severe pain, swelling, and tissue damage.
Many people with sickle-cell anemia—and the particular genetic mutation that causes it—die at an early age. While the notion of “survival of the fittest” may suggest that people with this disorder have a low survival rate and therefore the disorder will become less common, this is not the case. Despite the negative evolutionary effects associated with this genetic mutation, the sickle-cell gene remains relatively common among people of African descent. Why is this? The explanation is illustrated with the following scenario.
Imagine two young women—Luwi and Sena—sisters in rural Zambia, Africa. Luwi carries the gene for sickle-cell anemia; Sena does not carry the gene. Sickle-cell carriers have one copy of the sickle-cell gene but do not have full-blown sickle-cell anemia. They experience symptoms only if they are severely dehydrated or are deprived of oxygen (as in mountain climbing). Carriers are thought to be immune from malaria (an often deadly disease that is widespread in tropical climates) because changes in their blood chemistry and immune functioning prevent the malaria parasite from having its effects (Gong, Parikh, Rosenthal, & Greenhouse, 2013). However, full-blown sickle-cell anemia, with two copies of the sickle-cell gene, does not provide immunity to malaria.
While walking home from school, both sisters are bitten by mosquitoes carrying the malaria parasite. Luwi is protected against malaria because she carries the sickle-cell mutation. Sena, on the other hand, develops malaria and dies just two weeks later. Luwi survives and eventually has children, to whom she may pass on the sickle-cell mutation.
Malaria is rare in the United States, so the sickle-cell gene benefits nobody: the gene manifests primarily in minor health problems for carriers with one copy, or a severe full-blown disease with no health benefits for carriers with two copies. However, the situation is quite different in other parts of the world. In parts of Africa where malaria is prevalent, having the sickle-cell mutation does provide health benefits for carriers (protection from malaria).
The story of malaria fits with Charles Darwin's theory of evolution by natural selection (). In simple terms, the theory states that organisms that are better suited for their environment will survive and reproduce, while those that are poorly suited for their environment will die off. In our example, we can see that, as a carrier, Luwi’s mutation is highly adaptive in her African homeland; however, if she resided in the United States (where malaria is rare), her mutation could prove costly—with a high probability of the disease in her descendants and minor health problems of her own.
### Genetic Variation
Genetic variation, the genetic difference between individuals, is what contributes to a species’ adaptation to its environment. In humans, genetic variation begins with an egg, about 100 million sperm, and fertilization. Roughly once per month, active ovaries release an egg from follicles. During the egg's journey from the ovary through the fallopian tubes, to the uterus, a sperm may fertilize the egg.
The egg and the sperm each contain 23 chromosomes. Chromosomes are long strings of genetic material known as deoxyribonucleic acid (DNA). DNA is a helix-shaped molecule made up of nucleotide base pairs. In each chromosome, sequences of DNA make up genes that control or partially control a number of visible characteristics, known as traits, such as eye color, hair color, and so on. A single gene may have multiple possible variations, or alleles. An allele is a specific version of a gene. So, a given gene may code for the trait of hair color, and the different alleles of that gene affect which hair color an individual has.
When a sperm and egg fuse, their 23 chromosomes combine to create a zygote with 46 chromosomes (23 pairs). Therefore, each parent contributes half the genetic information carried by the offspring; the resulting physical characteristics of the offspring (called the phenotype) are determined by the interaction of genetic material supplied by the sperm and egg (called the genotype). A person’s genotype is the genetic makeup of that individual. Phenotype, on the other hand, refers to the individual’s inherited physical characteristics, which are a combination of genetic and environmental influences ().
Note that, in genetics and reproduction, "parent" is often used to describe the individual organisms that contribute genetic material to offspring, usually in the form of gamete cells (sperm and egg). The concept of a genetic parent is distinct from social and legal concepts of parenthood, and may differ from those whom people consider their parents.
Most traits are controlled by multiple genes, but some traits are controlled by one gene. A characteristic like cleft chin, for example, is influenced by a single gene from each parent. In this example, we will call the gene for cleft chin “B,” and the gene for smooth chin “b.” Cleft chin is a dominant trait, which means that having the dominant allele either from one parent (Bb) or both parents (BB) will always result in the phenotype associated with the dominant allele. When someone has two copies of the same allele, they are said to be homozygous for that allele. When someone has a combination of alleles for a given gene, they are said to be heterozygous. For example, smooth chin is a recessive trait, which means that an individual will only display the smooth chin phenotype if they are homozygous for that recessive allele (bb).
Imagine that a person with a cleft chin mates with a person with a smooth chin. What type of chin will their offspring have? The answer to that depends on which alleles each parent carries. If the person with a cleft is homozygous for cleft chin (BB), their offspring will always have cleft chin. It gets a little more complicated, however, if the person is heterozygous for this gene (Bb). Since the other person has a smooth chin—therefore homozygous for the recessive allele (bb)—we can expect the offspring to have a 50% chance of having a cleft chin and a 50% chance of having a smooth chin ().
In sickle cell anemia, heterozygous carriers (like Luwi from the example) can develop blood resistance to malaria infection while those who are homozygous (like Sena) have a potentially lethal blood disorder. Sickle-cell anemia is just one of many genetic disorders caused by the pairing of two recessive genes. For example, phenylketonuria (PKU) is a condition in which individuals lack an enzyme that normally converts harmful amino acids into harmless byproducts. If someone with this condition goes untreated, they will experience significant deficits in cognitive function, seizures, and an increased risk of various psychiatric disorders. Because PKU is a recessive trait, each parent must have at least one copy of the recessive allele in order to produce a child with the condition ().
So far, we have discussed traits that involve just one gene, but few human characteristics are controlled by a single gene. Most traits are polygenic: controlled by more than one gene. Height is one example of a polygenic trait, as are skin color and weight.
Where do harmful genes that contribute to diseases like PKU come from? Gene mutations provide one source of harmful genes. A mutation is a sudden, permanent change in a gene. While many mutations can be harmful or lethal, once in a while, a mutation benefits an individual by giving that person an advantage over those who do not have the mutation. Recall that the theory of evolution asserts that individuals best adapted to their particular environments are more likely to reproduce and pass on their genes to future generations. In order for this process to occur, there must be competition—more technically, there must be variability in genes (and resultant traits) that allow for variation in adaptability to the environment. If a population consisted of identical individuals, then any dramatic changes in the environment would affect everyone in the same way, and there would be no variation in selection. In contrast, diversity in genes and associated traits allows some individuals to perform slightly better than others when faced with environmental change. This creates a distinct advantage for individuals best suited for their environments in terms of successful reproduction and genetic transmission.
### Gene-Environment Interactions
Genes do not exist in a vacuum. Although we are all biological organisms, we also exist in an environment that is incredibly important in determining not only when and how our genes express themselves, but also in what combination. Each of us represents a unique interaction between our genetic makeup and our environment; range of reaction is one way to describe this interaction. Range of reaction asserts that our genes set the boundaries within which we can operate, and our environment interacts with the genes to determine where in that range we will fall. For example, if an individual’s genetic makeup predisposes them to high levels of intellectual potential and they are reared in a rich, stimulating environment, then they will be more likely to achieve full potential than if they were raised under conditions of significant deprivation. According to the concept of range of reaction, genes set definite limits on potential, and environment determines how much of that potential is achieved. Some disagree with this theory and argue that genes do not set a limit on a person’s potential with reaction norms being determined by the environment. For example, when individuals experience neglect or abuse early in life, they are more likely to exhibit adverse psychological and/or physical conditions that can last throughout their lives. These conditions may develop as a function of the negative environmental experiences in individuals from dissimilar genetic backgrounds (Miguel, Pereira, Silveira, & Meaney, 2019; Short & Baram, 2019).
Another perspective on the interaction between genes and the environment is the concept of genetic environmental correlation. Stated simply, our genes influence our environment, and our environment influences the expression of our genes (). Not only do our genes and environment interact, as in range of reaction, but they also influence one another bidirectionally. For example, the child of an NBA player would probably be exposed to basketball from an early age. Such exposure might allow the child to realize their full genetic, athletic potential. Thus, the parents’ genes, which the child shares, influence the child’s environment, and that environment, in turn, is well suited to support the child’s genetic potential.
In another approach to gene-environment interactions, the field of epigenetics looks beyond the genotype itself and studies how the same genotype can be expressed in different ways. In other words, researchers study how the same genotype can lead to very different phenotypes. As mentioned earlier, gene expression is often influenced by environmental context in ways that are not entirely obvious. For instance, identical twins share the same genetic information (identical twins develop from a single fertilized egg that split, so the genetic material is exactly the same in each; in contrast, fraternal twins usually result from two different eggs fertilized by different sperm, so the genetic material varies as with non-twin siblings). But even with identical genes, there remains an incredible amount of variability in how gene expression can unfold over the course of each twin’s life. Sometimes, one twin will develop a disease and the other will not. In one example, Aliya, an identical twin, died from cancer at age 7, but her twin, now 19 years old, has never had cancer. Although these individuals share an identical genotype, their phenotypes differ as a result of how that genetic information is expressed over time and through their unique environmental interactions. The epigenetic perspective is very different from range of reaction, because here the genotype is not fixed and limited.
Genes affect more than our physical characteristics. Indeed, scientists have found genetic linkages to a number of behavioral characteristics, ranging from basic personality traits to sexual orientation to spirituality (for examples, see Mustanski et al., 2005; Comings, Gonzales, Saucier, Johnson, & MacMurray, 2000). Genes are also associated with temperament and a number of psychological disorders, such as depression and schizophrenia. So while it is true that genes provide the biological blueprints for our cells, tissues, organs, and body, they also have a significant impact on our experiences and our behaviors.
Let’s look at the following findings regarding schizophrenia in light of our three views of gene-environment interactions. Which view do you think best explains this evidence?
In a 2004 study by Tienari and colleagues, adoptees whose biological mothers had schizophrenia and who had been raised in a disturbed family environment were much more likely to develop schizophrenia or another psychotic disorder than were any of the other groups in the study:
1. Of adoptees whose biological mothers had schizophrenia (high genetic risk) and who were raised in disturbed family environments, 36.8% were likely to develop schizophrenia.
2. Of adoptees whose biological mothers had schizophrenia (high genetic risk) and who were raised in healthy family environments, 5.8% were likely to develop schizophrenia.
3. Of adoptees with a low genetic risk (whose mothers did not have schizophrenia) and who were raised in disturbed family environments, 5.3% were likely to develop schizophrenia.
4. Of adoptees with a low genetic risk (whose mothers did not have schizophrenia) and who were raised in healthy family environments, 4.8% were likely to develop schizophrenia.
The study shows that adoptees with high genetic risk were most likely to develop schizophrenia if they were raised in disturbed home environments. This research lends credibility to the notion that both genetic vulnerability and environmental stress are necessary for schizophrenia to develop, and that genes alone do not tell the full tale.
### Summary
Genes are sequences of DNA that code for a particular trait. Different versions of a gene are called alleles—sometimes alleles can be classified as dominant or recessive. A dominant allele always results in the dominant phenotype. In order to exhibit a recessive phenotype, an individual must be homozygous for the recessive allele. Genes affect both physical and psychological characteristics. Ultimately, how and when a gene is expressed, and what the outcome will be—in terms of both physical and psychological characteristics—is a function of the interaction between our genes and our environments.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Biopsychology
## Cells of the Nervous System
Psychologists striving to understand the human mind may study the nervous system. Learning how the body's cells and organs function can help us understand the biological basis of human psychology. The nervous system is composed of two basic cell types: glial cells (also known as glia) and neurons. Glial cells are traditionally thought to play a supportive role to neurons, both physically and metabolically. Glial cells provide scaffolding on which the nervous system is built, help neurons line up closely with each other to allow neuronal communication, provide insulation to neurons, transport nutrients and waste products, and mediate immune responses. For years, researchers believed that there were many more glial cells than neurons; however, more recent work from Suzanna Herculano-Houzel's laboratory has called this long-standing assumption into question and has provided important evidence that there may be a nearly 1:1 ratio of glia cells to neurons. This is important because it suggests that human brains are more similar to other primate brains than previously thought (Azevedo et al, 2009; Herculano-Houzel, 2012; Herculano-Houzel, 2009). Neurons, on the other hand, serve as interconnected information processors that are essential for all of the tasks of the nervous system. This section briefly describes the structure and function of neurons.
### Neuron Structure
Neurons are the central building blocks of the nervous system, 100 billion strong at birth. Like all cells, neurons consist of several different parts, each serving a specialized function (). A neuron’s outer surface is made up of a semipermeable membrane. This membrane allows smaller molecules and molecules without an electrical charge to pass through it, while stopping larger or highly charged molecules.
The nucleus of the neuron is located in the soma, or cell body. The soma has branching extensions known as dendrites. The neuron is a small information processor, and dendrites serve as input sites where signals are received from other neurons. These signals are transmitted electrically across the soma and down a major extension from the soma known as the axon, which ends at multiple terminal buttons. The terminal buttons contain synaptic vesicles that house neurotransmitters, the chemical messengers of the nervous system.
Axons range in length from a fraction of an inch to several feet. In some axons, glial cells form a fatty substance known as the myelin sheath, which coats the axon and acts as an insulator, increasing the speed at which the signal travels. The myelin sheath is not continuous and there are small gaps that occur down the length of the axon. These gaps in the myelin sheath are known as the Nodes of Ranvier. The myelin sheath is crucial for the normal operation of the neurons within the nervous system: the loss of the insulation it provides can be detrimental to normal function. To understand how this works, let’s consider an example. PKU, a genetic disorder discussed earlier, causes a reduction in myelin and abnormalities in white matter cortical and subcortical structures. The disorder is associated with a variety of issues including severe cognitive deficits, exaggerated reflexes, and seizures (Anderson & Leuzzi, 2010; Huttenlocher, 2000). Another disorder, multiple sclerosis (MS), an autoimmune disorder, involves a large-scale loss of the myelin sheath on axons throughout the nervous system. The resulting interference in the electrical signal prevents the quick transmittal of information by neurons and can lead to a number of symptoms, such as dizziness, fatigue, loss of motor control, and sexual dysfunction. While some treatments may help to modify the course of the disease and manage certain symptoms, there is currently no known cure for multiple sclerosis.
In healthy individuals, the neuronal signal moves rapidly down the axon to the terminal buttons, where synaptic vesicles release neurotransmitters into the synaptic cleft (). The synaptic cleft is a very small space between two neurons and is an important site where communication between neurons occurs. Once neurotransmitters are released into the synaptic cleft, they travel across it and bind with corresponding receptors on the dendrite of an adjacent neuron. Receptors, proteins on the cell surface where neurotransmitters attach, vary in shape, with different shapes “matching” different neurotransmitters.
How does a neurotransmitter “know” which receptor to bind to? The neurotransmitter and the receptor have what is referred to as a lock-and-key relationship—specific neurotransmitters fit specific receptors similar to how a key fits a lock. The neurotransmitter binds to any receptor that it fits.
### Neuronal Communication
Now that we have learned about the basic structures of the neuron and the role that these structures play in neuronal communication, let’s take a closer look at the signal itself—how it moves through the neuron and then jumps to the next neuron, where the process is repeated.
We begin at the neuronal membrane. The neuron exists in a fluid environment—it is surrounded by extracellular fluid and contains intracellular fluid (i.e., cytoplasm). The neuronal membrane keeps these two fluids separate—a critical role because the electrical signal that passes through the neuron depends on the intra- and extracellular fluids being electrically different. This difference in charge across the membrane, called the membrane potential, provides energy for the signal.
The electrical charge of the fluids is caused by charged molecules (ions) dissolved in the fluid. The semipermeable nature of the neuronal membrane somewhat restricts the movement of these charged molecules, and, as a result, some of the charged particles tend to become more concentrated either inside or outside the cell.
Between signals, the neuron membrane’s potential is held in a state of readiness, called the resting potential. Like a rubber band stretched out and waiting to spring into action, ions line up on either side of the cell membrane, ready to rush across the membrane when the neuron goes active and the membrane opens its gates. Ions in high-concentration areas are ready to move to low-concentration areas, and positive ions are ready to move to areas with a negative charge.
In the resting state, sodium (Na+) is at higher concentrations outside the cell, so it will tend to move into the cell. Potassium (K+), on the other hand, is more concentrated inside the cell, and will tend to move out of the cell (). In addition, the inside of the cell is slightly negatively charged compared to the outside, due to the activity of the sodium-potassium pump. This pump actively transports three sodium ions out of the cell for every two potassium ions in, creating a net negative charge inside the cell. This provides an additional force on sodium, causing it to move into the cell.
From this resting potential state, the neuron receives a signal and its state changes abruptly (). When a neuron receives signals at the dendrites—due to neurotransmitters from an adjacent neuron binding to its receptors—small pores, or gates, open on the neuronal membrane, allowing Na+ ions, propelled by both charge and concentration differences, to move into the cell. With this influx of positive ions, the internal charge of the cell becomes more positive. If that charge reaches a certain level, called the threshold of excitation, the neuron becomes active and the action potential begins.
Many additional pores open, causing a massive influx of Na+ ions and a huge positive spike in the membrane potential, the peak action potential. At the peak of the spike, the sodium gates close and the potassium gates open. As positively charged potassium ions leave, the cell quickly begins repolarization. At first, it hyperpolarizes, becoming slightly more negative than the resting potential, and then it levels off, returning to the resting potential.
This positive spike constitutes the action potential: the electrical signal that typically moves from the cell body down the axon to the axon terminals. The electrical signal moves down the axon with the impulses jumping in a leapfrog fashion between the Nodes of Ranvier. The Nodes of Ranvier are natural gaps in the myelin sheath. At each point, some of the sodium ions that enter the cell diffuse to the next section of the axon, raising the charge past the threshold of excitation and triggering a new influx of sodium ions. The action potential moves all the way down the axon in this fashion until reaching the terminal buttons.
The action potential is an all-or-none phenomenon. In simple terms, this means that an incoming signal from another neuron is either sufficient or insufficient to reach the threshold of excitation. There is no in-between, and there is no turning off an action potential once it starts. Think of it like sending an email or a text message. You can think about sending it all you want, but the message is not sent until you hit the send button. Furthermore, once you send the message, there is no stopping it.
Because it is all or none, the action potential is recreated, or propagated, at its full strength at every point along the axon. Much like the lit fuse of a firecracker, it does not fade away as it travels down the axon. It is this all-or-none property that explains the fact that your brain perceives an injury to a distant body part like your toe as equally painful as one to your nose.
As noted earlier, when the action potential arrives at the terminal button, the synaptic vesicles release their neurotransmitters into the synaptic cleft. The neurotransmitters travel across the synapse and bind to receptors on the dendrites of the adjacent neuron, and the process repeats itself in the new neuron (assuming the signal is sufficiently strong to trigger an action potential). Once the signal is delivered, excess neurotransmitters in the synaptic cleft drift away, are broken down into inactive fragments, or are reabsorbed in a process known as reuptake. Reuptake involves the neurotransmitter being pumped back into the neuron that released it, in order to clear the synapse (). Clearing the synapse serves both to provide a clear “on” and “off” state between signals and to regulate the production of neurotransmitter (full synaptic vesicles provide signals that no additional neurotransmitters need to be produced).
Neuronal communication is often referred to as an electrochemical event. The movement of the action potential down the length of the axon is an electrical event, and movement of the neurotransmitter across the synaptic space represents the chemical portion of the process. However, there are some specialized connections between neurons that are entirely electrical. In such cases, the neurons are said to communicate via an electrical synapse. In these cases, two neurons physically connect to one another via gap junctions, which allows the current from one cell to pass into the next. There are far fewer electrical synapses in the brain, but those that do exist are much faster than the chemical synapses that have been described above (Connors & Long, 2004).
### Neurotransmitters and Drugs
There are several different types of neurotransmitters released by different neurons, and we can speak in broad terms about the kinds of functions associated with different neurotransmitters (). Much of what psychologists know about the functions of neurotransmitters comes from research on the effects of drugs in psychological disorders. Psychologists who take a biological perspective and focus on the physiological causes of behavior assert that psychological disorders like depression and schizophrenia are associated with imbalances in one or more neurotransmitter systems. In this perspective, psychotropic medications can help improve the symptoms associated with these disorders. Psychotropic medications are drugs that treat psychiatric symptoms by restoring neurotransmitter balance.
Psychoactive drugs can act as agonists or antagonists for a given neurotransmitter system. Agonists are chemicals that mimic a neurotransmitter at the receptor site. An antagonist, on the other hand, blocks or impedes the normal activity of a neurotransmitter at the receptor. Agonists and antagonists represent drugs that are prescribed to correct the specific neurotransmitter imbalances underlying a person’s condition. For example, Parkinson's disease, a progressive nervous system disorder, is associated with low levels of dopamine. Therefore, a common treatment strategy for Parkinson's disease involves using dopamine agonists, which mimic the effects of dopamine by binding to dopamine receptors.
Certain symptoms of schizophrenia are associated with overactive dopamine neurotransmission. The antipsychotics used to treat these symptoms are antagonists for dopamine—they block dopamine’s effects by binding its receptors without activating them. Thus, they prevent dopamine released by one neuron from signaling information to adjacent neurons.
In contrast to agonists and antagonists, which both operate by binding to receptor sites, reuptake inhibitors prevent unused neurotransmitters from being transported back to the neuron. This allows neurotransmitters to remain active in the synaptic cleft for longer durations, increasing their effectiveness. Depression, which has been consistently linked with reduced serotonin levels, is commonly treated with selective serotonin reuptake inhibitors (SSRIs). By preventing reuptake, SSRIs strengthen the effect of serotonin, giving it more time to interact with serotonin receptors on dendrites. Common SSRIs on the market today include Prozac, Paxil, and Zoloft. The drug LSD is structurally very similar to serotonin, and it affects the same neurons and receptors as serotonin. Psychotropic drugs are not instant solutions for people suffering from psychological disorders. Often, an individual must take a drug for several weeks before seeing improvement, and many psychoactive drugs have significant negative side effects. Furthermore, individuals vary dramatically in how they respond to the drugs. To improve chances for success, it is not uncommon for people receiving pharmacotherapy to undergo psychological and/or behavioral therapies as well. Some research suggests that combining drug therapy with other forms of therapy tends to be more effective than any one treatment alone (for one such example, see March et al., 2007).
### Summary
Glia and neurons are the two cell types that make up the nervous system. While glia generally play supporting roles, the communication between neurons is fundamental to all of the functions associated with the nervous system. Neuronal communication is made possible by the neuron’s specialized structures. The soma contains the cell nucleus, and the dendrites extend from the soma in tree-like branches. The axon is another major extension of the cell body; axons are often covered by a myelin sheath, which increases the speed of transmission of neural impulses. At the end of the axon are terminal buttons that contain synaptic vesicles filled with neurotransmitters.
Neuronal communication is an electrochemical event. The dendrites contain receptors for neurotransmitters released by nearby neurons. If the signals received from other neurons are sufficiently strong, an action potential will travel down the length of the axon to the terminal buttons, resulting in the release of neurotransmitters into the synaptic cleft. Action potentials operate on the all-or-none principle and involve the movement of Na+ and K+ across the neuronal membrane.
Different neurotransmitters are associated with different functions. Often, psychological disorders involve imbalances in a given neurotransmitter system. Therefore, psychotropic drugs are prescribed in an attempt to bring the neurotransmitters back into balance. Drugs can act either as agonists or as antagonists for a given neurotransmitter system.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Queation
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# Biopsychology
## Parts of the Nervous System
The nervous system can be divided into two major subdivisions: the central nervous system (CNS) and the peripheral nervous system (PNS), shown in . The CNS is comprised of the brain and spinal cord; the PNS connects the CNS to the rest of the body. In this section, we focus on the peripheral nervous system; later, we look at the brain and spinal cord.
### Peripheral Nervous System
The peripheral nervous system is made up of thick bundles of axons, called nerves, carrying messages back and forth between the CNS and the muscles, organs, and senses in the periphery of the body (i.e., everything outside the CNS). The PNS has two major subdivisions: the somatic nervous system and the autonomic nervous system.
The somatic nervous system is associated with activities traditionally thought of as conscious or voluntary. It is involved in the relay of sensory and motor information to and from the CNS; therefore, it consists of motor neurons and sensory neurons. Motor neurons, carrying instructions from the CNS to the muscles, are efferent fibers (efferent means “moving away from”). Sensory neurons, carrying sensory information to the CNS, are afferent fibers (afferent means “moving toward”). A helpful way to remember this is that efferent = exit and afferent = arrive. Each nerve is basically a bundle of neurons forming a two-way superhighway, containing thousands of axons, both efferent and afferent.
The autonomic nervous system controls our internal organs and glands and is generally considered to be outside the realm of voluntary control. It can be further subdivided into the sympathetic and parasympathetic divisions (). The sympathetic nervous system is involved in preparing the body for stress-related activities; the parasympathetic nervous system is associated with returning the body to routine, day-to-day operations. The two systems have complementary functions, operating in tandem to maintain the body’s homeostasis. Homeostasis is a state of equilibrium, or balance, in which biological conditions (such as body temperature) are maintained at optimal levels.
The sympathetic nervous system is activated when we are faced with stressful or high-arousal situations. The activity of this system was adaptive for our ancestors, increasing their chances of survival. Imagine, for example, that one of our early ancestors, out hunting small game, suddenly disturbs a large bear with her cubs. At that moment, the hunter's body undergoes a series of changes—a direct function of sympathetic activation—preparing them to face the threat. The pupils dilate, the heart rate and blood pressure increase, the bladder relaxes, and the liver releases glucose; adrenaline surges into the bloodstream. This constellation of physiological changes, known as the fight or flight response, allows the body access to energy reserves and heightened sensory capacity so that it might fight off a threat or run away to safety.
While it is clear that such a response would be critical for survival for our ancestors, who lived in a world full of real physical threats, many of the high-arousal situations we face in the modern world are more psychological in nature. For example, think about how you feel when you have to stand up and give a presentation in front of a roomful of people, or right before taking a big test. You are in no real physical danger in those situations, and yet you have evolved to respond to a perceived threat with the fight or flight response. This kind of response is not nearly as adaptive in the modern world; in fact, we suffer negative health consequences when faced constantly with psychological threats that we can neither fight nor flee. Recent research suggests that an increase in susceptibility to heart disease (Chandola, Brunner, & Marmot, 2006) and impaired function of the immune system (Glaser & Kiecolt-Glaser, 2005) are among the many negative consequences of persistent and repeated exposure to stressful situations. Some of this tendency for stress reactivity can be wired by early experiences of trauma.
Once the threat has been resolved, the parasympathetic nervous system takes over and returns bodily functions to a relaxed state. Our hunter’s heart rate and blood pressure return to normal, the pupils constrict, bladder control is restored, and the liver begins to store glucose in the form of glycogen for future use. These restorative processes are associated with activation of the parasympathetic nervous system.
### Summary
The brain and spinal cord make up the central nervous system. The peripheral nervous system is comprised of the somatic and autonomic nervous systems. The somatic nervous system transmits sensory and motor signals to and from the central nervous system. The autonomic nervous system controls the function of our organs and glands, and can be divided into the sympathetic and parasympathetic divisions. Sympathetic activation prepares us for fight or flight, while parasympathetic activation is associated with normal functioning under relaxed conditions.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Biopsychology
## The Brain and Spinal Cord
The brain is a remarkably complex organ comprised of billions of interconnected neurons and glia. It is a bilateral, or two-sided, structure that can be separated into distinct lobes. Each lobe is associated with certain types of functions, but, ultimately, all of the areas of the brain interact with one another to provide the foundation for our thoughts and behaviors. In this section, we discuss the overall organization of the brain and the functions associated with different brain areas, beginning with what can be seen as an extension of the brain, the spinal cord.
### The Spinal Cord
It can be said that the spinal cord is what connects the brain to the outside world. Because of it, the brain can act. The spinal cord is like a relay station, but a very smart one. It not only routes messages to and from the brain, but it also has its own system of automatic processes, called reflexes.
The top of the spinal cord is a bundle of nerves that merges with the brain stem, where the basic processes of life are controlled, such as breathing and digestion. In the opposite direction, the spinal cord ends just below the ribs—contrary to what we might expect, it does not extend all the way to the base of the spine.
The spinal cord is functionally organized in 30 segments, corresponding with the vertebrae. Each segment is connected to a specific part of the body through the peripheral nervous system. Nerves branch out from the spine at each vertebra. Sensory nerves bring messages in; motor nerves send messages out to the muscles and organs. Messages travel to and from the brain through every segment.
Some sensory messages are immediately acted on by the spinal cord, without any input from the brain. Withdrawal from a hot object and the knee jerk are two examples. When a sensory message meets certain parameters, the spinal cord initiates an automatic reflex. The signal passes from the sensory nerve to a simple processing center, which initiates a motor command. Seconds are saved, because messages don’t have to go to the brain, be processed, and get sent back. In matters of survival, the spinal reflexes allow the body to react extraordinarily fast.
The spinal cord is protected by bony vertebrae and cushioned in cerebrospinal fluid, but injuries still occur. When the spinal cord is damaged in a particular segment, all lower segments are cut off from the brain, causing paralysis. Therefore, the lower on the spine damage occurs, the fewer functions an injured individual will lose.
### Neuroplasticity
Bob Woodruff, a reporter for ABC, suffered a traumatic brain injury after a bomb exploded next to the vehicle he was in while covering a news story in Iraq. As a consequence of these injuries, Woodruff experienced many cognitive deficits including difficulties with memory and language. However, over time and with the aid of intensive amounts of cognitive and speech therapy, Woodruff has shown an incredible recovery of function (Fernandez, 2008, October 16).
One of the factors that made this recovery possible was neuroplasticity. Neuroplasticity refers to how the nervous system can change and adapt. Neuroplasticity can occur in a variety of ways including personal experiences, developmental processes, or, as in Woodruff's case, in response to some sort of damage or injury that has occurred. Neuroplasticity can involve creation of new synapses, pruning of synapses that are no longer used, changes in glial cells, and even the birth of new neurons. Because of neuroplasticity, our brains are constantly changing and adapting, and while our nervous system is most plastic when we are very young, as Woodruff's case suggests, it is still capable of remarkable changes later in life.
### The Two Hemispheres
The surface of the brain, known as the cerebral cortex, is very uneven, characterized by a distinctive pattern of folds or bumps, known as gyri (singular: gyrus), and grooves, known as sulci (singular: sulcus), shown in . These gyri and sulci form important landmarks that allow us to separate the brain into functional centers. The most prominent sulcus, known as the longitudinal fissure, is the deep groove that separates the brain into two halves or hemispheres: the left hemisphere and the right hemisphere.
There is evidence of specialization of function—referred to as lateralization—in each hemisphere, mainly regarding differences in language functions. The left hemisphere controls the right half of the body, and the right hemisphere controls the left half of the body. Decades of research on lateralization of function by Michael Gazzaniga and his colleagues suggest that a variety of functions ranging from cause-and-effect reasoning to self-recognition may follow patterns that suggest some degree of hemispheric dominance (Gazzaniga, 2005). For example, the left hemisphere has been shown to be superior for forming associations in memory, selective attention, and positive emotions. The right hemisphere, on the other hand, has been shown to be superior in pitch perception, arousal, and negative emotions (Ehret, 2006). However, it should be pointed out that research on which hemisphere is dominant in a variety of different behaviors has produced inconsistent results, and therefore, it is probably better to think of how the two hemispheres interact to produce a given behavior rather than attributing certain behaviors to one hemisphere versus the other (Banich & Heller, 1998).
The two hemispheres are connected by a thick band of neural fibers known as the corpus callosum, consisting of about 200 million axons. The corpus callosum allows the two hemispheres to communicate with each other and allows for information being processed on one side of the brain to be shared with the other side.
Normally, we are not aware of the different roles that our two hemispheres play in day-to-day functions, but there are people who come to know the capabilities and functions of their two hemispheres quite well. In some cases of severe epilepsy, doctors elect to sever the corpus callosum as a means of controlling the spread of seizures (). While this is an effective treatment option, it results in individuals who have "split brains." After surgery, these split-brain patients show a variety of interesting behaviors. For instance, a split-brain patient is unable to name a picture that is shown in the patient’s left visual field because the information is only available in the largely nonverbal right hemisphere. However, they are able to recreate the picture with their left hand, which is also controlled by the right hemisphere. When the more verbal left hemisphere sees the picture that the hand drew, the patient is able to name it (assuming the left hemisphere can interpret what was drawn by the left hand).
Much of what we know about the functions of different areas of the brain comes from studying changes in the behavior and ability of individuals who have suffered damage to the brain. For example, researchers study the behavioral changes caused by strokes to learn about the functions of specific brain areas. A stroke, caused by an interruption of blood flow to a region in the brain, causes a loss of brain function in the affected region. The damage can be in a small area, and, if it is, this gives researchers the opportunity to link any resulting behavioral changes to a specific area. The types of deficits displayed after a stroke will be largely dependent on where in the brain the damage occurred.
Consider Theona, an intelligent, self-sufficient woman, who is 62 years old. Recently, she suffered a stroke in the front portion of her right hemisphere. As a result, she has great difficulty moving her left leg. (As you learned earlier, the right hemisphere controls the left side of the body; also, the brain’s main motor centers are located at the front of the head, in the frontal lobe.) Theona has also experienced behavioral changes. For example, while in the produce section of the grocery store, she sometimes eats grapes, strawberries, and apples directly from their bins before paying for them. This behavior—which would have been very embarrassing to her before the stroke—is consistent with damage in another region in the frontal lobe—the prefrontal cortex, which is associated with judgment, reasoning, and impulse control.
### Forebrain Structures
The two hemispheres of the cerebral cortex are part of the forebrain (), which is the largest part of the brain. The forebrain contains the cerebral cortex and a number of other structures that lie beneath the cortex (called subcortical structures): thalamus, hypothalamus, pituitary gland, and the limbic system (a collection of structures). The cerebral cortex, which is the outer surface of the brain, is associated with higher level processes such as consciousness, thought, emotion, reasoning, language, and memory. Each cerebral hemisphere can be subdivided into four lobes, each associated with different functions.
### Lobes of the Brain
The four lobes of the brain are the frontal, parietal, temporal, and occipital lobes (). The frontal lobe is located in the forward part of the brain, extending back to a fissure known as the central sulcus. The frontal lobe is involved in reasoning, motor control, emotion, and language. It contains the motor cortex, which is involved in planning and coordinating movement; the prefrontal cortex, which is responsible for higher-level cognitive functioning; and Broca’s area, which is essential for language production.
People who suffer damage to Broca’s area have great difficulty producing language of any form (). For example, Padma was an electrical engineer who was socially active and a caring, involved parent. About twenty years ago, she was in a car accident and suffered damage to her Broca’s area. She completely lost the ability to speak and form any kind of meaningful language. There is nothing wrong with her mouth or her vocal cords, but she is unable to produce words. She can follow directions but can’t respond verbally, and she can read but no longer write. She can do routine tasks like running to the market to buy milk, but she could not communicate verbally if a situation called for it.
Probably the most famous case of frontal lobe damage is that of a man by the name of Phineas Gage. On September 13, 1848, Gage (age 25) was working as a railroad foreman in Vermont. He and his crew were using an iron rod to tamp explosives down into a blasting hole to remove rock along the railway’s path. Unfortunately, the iron rod created a spark and caused the rod to explode out of the blasting hole, into Gage’s face, and through his skull (). Although lying in a pool of his own blood with brain matter emerging from his head, Gage was conscious and able to get up, walk, and speak. But in the months following his accident, people noticed that his personality had changed. Many of his friends described him as no longer being himself. Before the accident, it was said that Gage was a well-mannered, soft-spoken man, but he began to behave in odd and inappropriate ways after the accident. Such changes in personality would be consistent with loss of impulse control—a frontal lobe function.
Beyond the damage to the frontal lobe itself, subsequent investigations into the rod's path also identified probable damage to pathways between the frontal lobe and other brain structures, including the limbic system. With connections between the planning functions of the frontal lobe and the emotional processes of the limbic system severed, Gage had difficulty controlling his emotional impulses.
However, there is some evidence suggesting that the dramatic changes in Gage’s personality were exaggerated and embellished. Gage's case occurred in the midst of a 19th century debate over localization—regarding whether certain areas of the brain are associated with particular functions. On the basis of extremely limited information about Gage, the extent of his injury, and his life before and after the accident, scientists tended to find support for their own views, on whichever side of the debate they fell (Macmillan, 1999).
The brain’s parietal lobe is located immediately behind the frontal lobe, and is involved in processing information from the body’s senses. It contains the somatosensory cortex, which is essential for processing sensory information from across the body, such as touch, temperature, and pain. The somatosensory cortex is an area of the brain which processes touch and sensation. The somatosensory cortex is fascinating because each different area of the cortex processes sensations from a different part of your body. Furthermore, the larger the surface area of the specific body part and the greater amount of nerves in that body part, the larger the area dedicated to processing sensation from that body part in the somatosensory cortex. For example, fingers take up a lot more space than toes. As you can notice from (), the amount of space to process sensation from fingers is much greater than that of toes.
The temporal lobe is located on the side of the head (temporal means “near the temples”), and is associated with hearing, memory, emotion, and some aspects of language. The auditory cortex, the main area responsible for processing auditory information, is located within the temporal lobe. Wernicke’s area, important for speech comprehension, is also located here. Whereas individuals with damage to Broca’s area have difficulty producing language, those with damage to Wernicke’s area can produce sensible language, but they are unable to understand it ().
The occipital lobe is located at the very back of the brain, and contains the primary visual cortex, which is responsible for interpreting incoming visual information. The occipital cortex is organized retinotopically, which means there is a close relationship between the position of an object in a person’s visual field and the position of that object’s representation on the cortex. You will learn much more about how visual information is processed in the occipital lobe when you study sensation and perception.
### Other Areas of the Forebrain
Other areas of the forebrain, located beneath the cerebral cortex, include the thalamus and the limbic system. The thalamus is a sensory relay for the brain. All of our senses, with the exception of smell, are routed through the thalamus before being directed to other areas of the brain for processing ().
The limbic system is involved in processing both emotion and memory. Interestingly, the sense of smell projects directly to the limbic system; therefore, not surprisingly, smell can evoke emotional responses in ways that other sensory modalities cannot. The limbic system is made up of a number of different structures, but three of the most important are the hippocampus, the amygdala, and the hypothalamus (). The hippocampus is an essential structure for learning and memory. The amygdala is involved in our experience of emotion and in tying emotional meaning to our memories. The hypothalamus regulates a number of homeostatic processes, including the regulation of body temperature, appetite, and blood pressure. The hypothalamus also serves as an interface between the nervous system and the endocrine system and in the regulation of sexual motivation and behavior.
### The Case of Henry Molaison (H.M.)
In 1953, Henry Gustav Molaison (H. M.) was a 27-year-old man who experienced severe seizures. In an attempt to control his seizures, H. M. underwent brain surgery to remove his hippocampus and amygdala. Following the surgery, H.M’s seizures became much less severe, but he also suffered some unexpected—and devastating—consequences of the surgery: he lost his ability to form many types of new memories. For example, he was unable to learn new facts, such as who was president of the United States. He was able to learn new skills, but afterward he had no recollection of learning them. For example, while he might learn to use a computer, he would have no conscious memory of ever having used one. He could not remember new faces, and he was unable to remember events, even immediately after they occurred. Researchers were fascinated by his experience, and he is considered one of the most studied cases in medical and psychological history (Hardt, Einarsson, & Nader, 2010; Squire, 2009). Indeed, his case has provided tremendous insight into the role that the hippocampus plays in the consolidation of new learning into explicit memory.
### Midbrain and Hindbrain Structures
The midbrain is comprised of structures located deep within the brain, between the forebrain and the hindbrain. The reticular formation is centered in the midbrain, but it actually extends up into the forebrain and down into the hindbrain. The reticular formation is important in regulating the sleep/wake cycle, arousal, alertness, and motor activity.
The substantia nigra (Latin for “black substance”) and the ventral tegmental area (VTA) are also located in the midbrain (). Both regions contain cell bodies that produce the neurotransmitter dopamine, and both are critical for movement. Degeneration of the substantia nigra and VTA is involved in Parkinson’s disease. In addition, these structures are involved in mood, reward, and addiction (Berridge & Robinson, 1998; Gardner, 2011; George, Le Moal, & Koob, 2012).
The hindbrain is located at the back of the head and looks like an extension of the spinal cord. It contains the medulla, pons, and cerebellum (). The medulla controls the automatic processes of the autonomic nervous system, such as breathing, blood pressure, and heart rate. The word pons literally means “bridge,” and as the name suggests, the pons serves to connect the hindbrain to the rest of the brain. It also is involved in regulating brain activity during sleep. The medulla, pons, and various structures are known as the brainstem, and aspects of the brainstem span both the midbrain and the hindbrain.
The cerebellum (Latin for “little brain”) receives messages from muscles, tendons, joints, and structures in our ear to control balance, coordination, movement, and motor skills. The cerebellum is also thought to be an important area for processing some types of memories. In particular, procedural memory, or memory involved in learning and remembering how to perform tasks, is thought to be associated with the cerebellum. Recall that H. M. was unable to form new explicit memories, but he could learn new tasks. This is likely due to the fact that H. M.’s cerebellum remained intact.
### Brain Imaging
You have learned how brain injury can provide information about the functions of different parts of the brain. Increasingly, however, we are able to obtain that information using brain imaging techniques on individuals who have not suffered brain injury. In this section, we take a more in-depth look at some of the techniques that are available for imaging the brain, including techniques that rely on radiation, magnetic fields, or electrical activity within the brain.
### Techniques Involving Radiation
A computerized tomography (CT) scan involves taking a number of x-rays of a particular section of a person’s body or brain (). The x-rays pass through tissues of different densities at different rates, allowing a computer to construct an overall image of the area of the body being scanned. A CT scan is often used to determine whether someone has a tumor or significant brain atrophy.
Positron emission tomography (PET) scans create pictures of the living, active brain (). An individual receiving a PET scan drinks or is injected with a mildly radioactive substance, called a tracer. Once in the bloodstream, the amount of tracer in any given region of the brain can be monitored. As a brain area becomes more active, more blood flows to that area. A computer monitors the movement of the tracer and creates a rough map of active and inactive areas of the brain during a given behavior. PET scans show little detail, are unable to pinpoint events precisely in time, and require that the brain be exposed to radiation; therefore, this technique has been replaced by the fMRI as an alternative diagnostic tool. However, combined with CT, PET technology is still being used in certain contexts. For example, CT/PET scans allow better imaging of the activity of neurotransmitter receptors and open new avenues in schizophrenia research. In this hybrid CT/PET technology, CT contributes clear images of brain structures, while PET shows the brain’s activity.
### Techniques Involving Magnetic Fields
In magnetic resonance imaging (MRI), a person is placed inside a machine that generates a strong magnetic field. The magnetic field causes the hydrogen atoms in the body’s cells to move. When the magnetic field is turned off, the hydrogen atoms emit electromagnetic signals as they return to their original positions. Tissues of different densities give off different signals, which a computer interprets and displays on a monitor. Functional magnetic resonance imaging (fMRI) operates on the same principles, but it shows changes in brain activity over time by tracking blood flow and oxygen levels. The fMRI provides more detailed images of the brain’s structure, as well as better accuracy in time, than is possible in PET scans (). With their high level of detail, MRI and fMRI are often used to compare the brains of healthy individuals to the brains of individuals diagnosed with psychological disorders. This comparison helps determine what structural and functional differences exist between these populations.
### Techniques Involving Electrical Activity
In some situations, it is helpful to gain an understanding of the overall activity of a person’s brain, without needing information on the actual location of the activity. Electroencephalography (EEG) serves this purpose by providing a measure of a brain’s electrical activity. An array of electrodes is placed around a person’s head (). The signals received by the electrodes result in a printout of the electrical activity of their brain, or brainwaves, showing both the frequency (number of waves per second) and amplitude (height) of the recorded brainwaves, with an accuracy within milliseconds. Such information is especially helpful to researchers studying sleep patterns among individuals with sleep disorders.
### Summary
The brain consists of two hemispheres, each controlling the opposite side of the body. Each hemisphere can be subdivided into different lobes: frontal, parietal, temporal, and occipital. In addition to the lobes of the cerebral cortex, the forebrain includes the thalamus (sensory relay) and limbic system (emotion and memory circuit). The midbrain contains the reticular formation, which is important for sleep and arousal, as well as the substantia nigra and ventral tegmental area. These structures are important for movement, reward, and addictive processes. The hindbrain contains the structures of the brainstem (medulla, pons, and midbrain), which control automatic functions like breathing and blood pressure. The hindbrain also contains the cerebellum, which helps coordinate movement and certain types of memories.
Individuals with brain damage have been studied extensively to provide information about the role of different areas of the brain, and recent advances in technology allow us to glean similar information by imaging brain structure and function. These techniques include CT, PET, MRI, fMRI, and EEG.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Biopsychology
## The Endocrine System
The endocrine system consists of a series of glands that produce chemical substances known as hormones (). Like neurotransmitters, hormones are chemical messengers that must bind to a receptor in order to send their signal. However, unlike neurotransmitters, which are released in close proximity to cells with their receptors, hormones are secreted into the bloodstream and travel throughout the body, affecting any cells that contain receptors for them. Thus, whereas neurotransmitters’ effects are localized, the effects of hormones are widespread. Also, hormones are slower to take effect, and tend to be longer lasting.
Hormones are involved in regulating all sorts of bodily functions, and they are ultimately controlled through interactions between the hypothalamus (in the central nervous system) and the pituitary gland (in the endocrine system). Imbalances in hormones are related to a number of disorders. This section explores some of the major glands that make up the endocrine system and the hormones secreted by these glands ().
### Major Glands
The pituitary gland descends from the hypothalamus at the base of the brain, and acts in close association with it. The pituitary is often referred to as the “master gland” because its messenger hormones control all the other glands in the endocrine system, although it mostly carries out instructions from the hypothalamus. In addition to messenger hormones, the pituitary also secretes growth hormone, endorphins for pain relief, and a number of key hormones that regulate fluid levels in the body.
Located in the neck, the thyroid gland releases hormones that regulate growth, metabolism, and appetite. In hyperthyroidism, the thyroid secretes too much of the hormone thyroxine, causing agitation, bulging eyes, and weight loss. One cause of hyperthyroidism is Graves' disease, an autoimmune disease in which one’s own body attacks itself. In hypothyroidism, reduced hormone levels cause sufferers to experience tiredness, and they often complain of feeling cold. Fortunately, thyroid disorders are often treatable with medications that help reestablish a balance in the hormones secreted by the thyroid.
The adrenal glands sit atop our kidneys and secrete hormones involved in the stress response, such as epinephrine (adrenaline) and norepinephrine (noradrenaline). The pancreas is an internal organ that secretes hormones that regulate blood sugar levels: insulin and glucagon. These pancreatic hormones are essential for maintaining stable levels of blood sugar throughout the day by lowering blood glucose levels (insulin) or raising them (glucagon). People who suffer from diabetes do not produce enough insulin; therefore, they must take medications that stimulate or replace insulin production, and they must closely control the amount of sugars and carbohydrates they consume.
The gonads secrete sexual hormones, which are important in reproduction, and mediate both sexual motivation and behavior. The female gonads are the ovaries; the male gonads are the testes. Ovaries secrete estrogens and progesterone, and the testes secrete androgens, such as testosterone.
### Summary
The glands of the endocrine system secrete hormones to regulate normal body functions. The hypothalamus serves as the interface between the nervous system and the endocrine system, and it controls the secretions of the pituitary. The pituitary serves as the master gland, controlling the secretions of all other glands. The thyroid secretes thyroxine, which is important for basic metabolic processes and growth; the adrenal glands secrete hormones involved in the stress response; the pancreas secretes hormones that regulate blood sugar levels; and the ovaries and testes produce sex hormones that regulate sexual motivation and behavior.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# States of Consciousness
## Introduction
Our lives involve regular, dramatic changes in the degree to which we are aware of our surroundings and our internal states. While awake, we feel alert and aware of the many important things going on around us. Our experiences change dramatically while we are in deep sleep and once again when we are dreaming. Some people also experience altered states of consciousness through meditation, hypnosis, or alcohol and other drugs.
This chapter will discuss states of consciousness with a particular emphasis on sleep. The different stages of sleep will be identified, and sleep disorders will be described. The chapter will close with discussions of altered states of consciousness produced by psychoactive drugs, hypnosis, and meditation.
### References
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# States of Consciousness
## What Is Consciousness?
Consciousness describes our awareness of internal and external stimuli. Awareness of internal stimuli includes feeling pain, hunger, thirst, sleepiness, and being aware of our thoughts and emotions. Awareness of external stimuli includes experiences such as seeing the light from the sun, feeling the warmth of a room, and hearing the voice of a friend.
We experience different states of consciousness and different levels of awareness on a regular basis. We might even describe consciousness as a continuum that ranges from full awareness to a deep sleep. Sleep is a state marked by relatively low levels of physical activity and reduced sensory awareness that is distinct from periods of rest that occur during wakefulness. Wakefulness is characterized by high levels of sensory awareness, thought, and behavior. Beyond being awake or asleep, there are many other states of consciousness people experience. These include daydreaming, intoxication, and unconsciousness due to anesthesia. We might also experience unconscious states of being via drug-induced anesthesia for medical purposes. Often, we are not completely aware of our surroundings, even when we are fully awake. For instance, have you ever daydreamed while driving home from work or school without really thinking about the drive itself? You were capable of engaging in all of the complex tasks involved with operating a motor vehicle even though you were not aware of doing so. Many of these processes, like much of psychological behavior, are rooted in our biology.
### Biological Rhythms
Biological rhythms are internal rhythms of biological activity. A woman’s menstrual cycle is an example of a biological rhythm—a recurring, cyclical pattern of bodily changes. One complete menstrual cycle takes about 28 days—a lunar month—but many biological cycles are much shorter. For example, body temperature fluctuates cyclically over a 24-hour period (). Alertness is associated with higher body temperatures, and sleepiness with lower body temperatures.
This pattern of temperature fluctuation, which repeats every day, is one example of a circadian rhythm. A circadian rhythm is a biological rhythm that takes place over a period of about 24 hours. Our sleep-wake cycle, which is linked to our environment’s natural light-dark cycle, is perhaps the most obvious example of a circadian rhythm, but we also have daily fluctuations in heart rate, blood pressure, blood sugar, and body temperature. Some circadian rhythms play a role in changes in our state of consciousness.
If we have biological rhythms, then is there some sort of biological clock? In the brain, the hypothalamus, which lies above the pituitary gland, is a main center of homeostasis. Homeostasis is the tendency to maintain a balance, or optimal level, within a biological system.
The brain’s clock mechanism is located in an area of the hypothalamus known as the suprachiasmatic nucleus (SCN). The axons of light-sensitive neurons in the retina provide information to the SCN based on the amount of light present, allowing this internal clock to be synchronized with the outside world (Klein, Moore, & Reppert, 1991; Welsh, Takahashi, & Kay, 2010) ().
### Problems With Circadian Rhythms
Generally, and for most people, our circadian cycles are aligned with the outside world. For example, most people sleep during the night and are awake during the day. One important regulator of sleep-wake cycles is the hormone melatonin. The pineal gland, an endocrine structure located inside the brain that releases melatonin, is thought to be involved in the regulation of various biological rhythms and of the immune system during sleep (Hardeland, Pandi-Perumal, & Cardinali, 2006). Melatonin release is stimulated by darkness and inhibited by light.
There are individual differences in regard to our sleep-wake cycle. For instance, some people would say they are morning people, while others would consider themselves to be night owls. These individual differences in circadian patterns of activity are known as a person’s chronotype, and research demonstrates that morning larks and night owls differ with regard to sleep regulation (Taillard, Philip, Coste, Sagaspe, & Bioulac, 2003). Sleep regulation refers to the brain’s control of switching between sleep and wakefulness as well as coordinating this cycle with the outside world.
### Disruptions of Normal Sleep
Whether lark, owl, or somewhere in between, there are situations in which a person’s circadian clock gets out of synchrony with the external environment. One way that this happens involves traveling across multiple time zones. When we do this, we often experience jet lag. Jet lag is a collection of symptoms that results from the mismatch between our internal circadian cycles and our environment. These symptoms include fatigue, sluggishness, irritability, and insomnia (i.e., a consistent difficulty in falling or staying asleep for at least three nights a week over a month’s time) (Roth, 2007).
Individuals who do rotating shift work are also likely to experience disruptions in circadian cycles. Rotating shift work refers to a work schedule that changes from early to late on a daily or weekly basis. For example, a person may work from 7:00 a.m. to 3:00 p.m. on Monday, 3:00 a.m. to 11:00 a.m. on Tuesday, and 11:00 a.m. to 7:00 p.m. on Wednesday. In such instances, the individual’s schedule changes so frequently that it becomes difficult for a normal circadian rhythm to be maintained. This often results in sleeping problems, and it can lead to signs of depression and anxiety. These kinds of schedules are common for individuals working in health care professions and service industries, and they are associated with persistent feelings of exhaustion and agitation that can make someone more prone to making mistakes on the job (Gold et al., 1992; Presser, 1995).
Rotating shift work has pervasive effects on the lives and experiences of individuals engaged in that kind of work, which is clearly illustrated in stories reported in a qualitative study that researched the experiences of middle-aged nurses who worked rotating shifts (West, Boughton & Byrnes, 2009). Several of the nurses interviewed commented that their work schedules affected their relationships with their family. One of the nurses said,
While disruptions in circadian rhythms can have negative consequences, there are things we can do to help us realign our biological clocks with the external environment. Some of these approaches, such as using a bright light as shown in , have been shown to alleviate some of the problems experienced by individuals suffering from jet lag or from the consequences of rotating shift work. Because the biological clock is driven by light, exposure to bright light during working shifts and dark exposure when not working can help combat insomnia and symptoms of anxiety and depression (Huang, Tsai, Chen, & Hsu, 2013).
### Insufficient Sleep
When people have difficulty getting sleep due to their work or the demands of day-to-day life, they accumulate a sleep debt. A person with a sleep debt does not get sufficient sleep on a chronic basis. The consequences of sleep debt include decreased levels of alertness and mental efficiency. Interestingly, since the advent of electric light, the amount of sleep that people get has declined. While we certainly welcome the convenience of having the darkness lit up, we also suffer the consequences of reduced amounts of sleep because we are more active during the nighttime hours than our ancestors were. As a result, many of us sleep less than 7–8 hours a night and accrue a sleep debt. While there is tremendous variation in any given individual’s sleep needs, the National Sleep Foundation (n.d.) cites research to estimate that newborns require the most sleep (between 12 and 18 hours a night) and that this amount declines to just 7–9 hours by the time we are adults.
If you lie down to take a nap and fall asleep very easily, chances are you may have sleep debt. Given that college students are notorious for suffering from significant sleep debt (Hicks, Fernandez, & Pellegrini, 2001; Hicks, Johnson, & Pellegrini, 1992; Miller, Shattuck, & Matsangas, 2010), chances are you and your classmates deal with sleep debt-related issues on a regular basis. In 2015, the National Sleep Foundation updated their sleep duration hours, to better accommodate individual differences. shows the new recommendations, which describe sleep durations that are “recommended”, “may be appropriate”, and “not recommended”.
Sleep debt and sleep deprivation have significant negative psychological and physiological consequences . As mentioned earlier, lack of sleep can result in decreased mental alertness and cognitive function. In addition, sleep deprivation often results in depression-like symptoms. These effects can occur as a function of accumulated sleep debt or in response to more acute periods of sleep deprivation. It may surprise you to know that sleep deprivation is associated with obesity, increased blood pressure, increased levels of stress hormones, and reduced immune functioning (Banks & Dinges, 2007). A sleep deprived individual generally will fall asleep more quickly than if they were not sleep deprived. Some sleep-deprived individuals have difficulty staying awake when they stop moving (example sitting and watching television or driving a car). That is why individuals suffering from sleep deprivation can also put themselves and others at risk when they put themselves behind the wheel of a car or work with dangerous machinery. Some research suggests that sleep deprivation affects cognitive and motor function as much as, if not more than, alcohol intoxication (Williamson & Feyer, 2000). Research shows that the most severe effects of sleep deprivation occur when a person stays awake for more than 24 hours (Killgore & Weber, 2014; Killgore et al., 2007), or following repeated nights with fewer than four hours in bed (Wickens, Hutchins, Lauk, Seebook, 2015). For example, irritability, distractibility, and impairments in cognitive and moral judgment can occur with fewer than four hours of sleep. If someone stays awake for 48 consecutive hours, they could start to hallucinate.
The amount of sleep we get varies across the lifespan. When we are very young, we spend up to 16 hours a day sleeping. As we grow older, we sleep less. In fact, a meta-analysis, which is a study that combines the results of many related studies, conducted within the last decade indicates that by the time we are 65 years old, we average fewer than 7 hours of sleep per day (Ohayon, Carskadon, Guilleminault, & Vitiello, 2004).
### Summary
States of consciousness vary over the course of the day and throughout our lives. Important factors in these changes are the biological rhythms, and, more specifically, the circadian rhythms generated by the suprachiasmatic nucleus (SCN). Typically, our biological clocks are aligned with our external environment, and light tends to be an important cue in setting this clock. When people travel across multiple time zones or work rotating shifts, they can experience disruptions of their circadian cycles that can lead to insomnia, sleepiness, and decreased alertness. Bright light therapy has shown to be promising in dealing with circadian disruptions. If people go extended periods of time without sleep, they will accrue a sleep debt and potentially experience a number of adverse psychological and physiological consequences.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# States of Consciousness
## Sleep and Why We Sleep
We spend approximately one-third of our lives sleeping. Given the average life expectancy for U.S. citizens falls between 73 and 79 years old (Singh & Siahpush, 2006), we can expect to spend approximately 25 years of our lives sleeping. Some animals never sleep (e.g., some fish and amphibian species); other animals sleep very little without apparent negative consequences (e.g., giraffes); yet some animals (e.g., rats) die after two weeks of sleep deprivation (Siegel, 2008). Why do we devote so much time to sleeping? Is it absolutely essential that we sleep? This section will consider these questions and explore various explanations for why we sleep.
### What is Sleep?
You have read that sleep is distinguished by low levels of physical activity and reduced sensory awareness. As discussed by Siegel (2008), a definition of sleep must also include mention of the interplay of the circadian and homeostatic mechanisms that regulate sleep. Homeostatic regulation of sleep is evidenced by sleep rebound following sleep deprivation. Sleep rebound refers to the fact that a sleep-deprived individual will fall asleep more quickly during subsequent opportunities for sleep. Sleep is characterized by certain patterns of activity of the brain that can be visualized using electroencephalography (EEG), and different phases of sleep can be differentiated using EEG as well.
Sleep-wake cycles seem to be controlled by multiple brain areas acting in conjunction with one another. Some of these areas include the thalamus, the hypothalamus, and the pons. As already mentioned, the hypothalamus contains the SCN—the biological clock of the body—in addition to other nuclei that, in conjunction with the thalamus, regulate slow-wave sleep. The pons is important for regulating rapid eye movement (REM) sleep (National Institutes of Health, n.d.).
Sleep is also associated with the secretion and regulation of a number of hormones from several endocrine glands including: melatonin, follicle stimulating hormone (FSH), luteinizing hormone (LH), and growth hormone (National Institutes of Health, n.d.). You have read that the pineal gland releases melatonin during sleep (). Melatonin is thought to be involved in the regulation of various biological rhythms and the immune system (Hardeland et al., 2006). During sleep, the pituitary gland secretes both FSH and LH which are important in regulating the reproductive system (Christensen et al., 2012; Sofikitis et al., 2008). The pituitary gland also secretes growth hormone, during sleep, which plays a role in physical growth and maturation as well as other metabolic processes (Bartke, Sun, & Longo, 2013).
### Why Do We Sleep?
Given the central role that sleep plays in our lives and the number of adverse consequences that have been associated with sleep deprivation, one would think that we would have a clear understanding of why it is that we sleep. Unfortunately, this is not the case; however, several hypotheses have been proposed to explain the function of sleep.
### Adaptive Function of Sleep
One popular hypothesis of sleep incorporates the perspective of evolutionary psychology. Evolutionary psychology is a discipline that studies how universal patterns of behavior and cognitive processes have evolved over time as a result of natural selection. Variations and adaptations in cognition and behavior make individuals more or less successful in reproducing and passing their genes to their offspring. One hypothesis from this perspective might argue that sleep is essential to restore resources that are expended during the day. Just as bears hibernate in the winter when resources are scarce, perhaps people sleep at night to reduce their energy expenditures. While this is an intuitive explanation of sleep, there is little research that supports this explanation. In fact, it has been suggested that there is no reason to think that energetic demands could not be addressed with periods of rest and inactivity (Frank, 2006; Rial et al., 2007), and some research has actually found a negative correlation between energetic demands and the amount of time spent sleeping (Capellini, Barton, McNamara, Preston, & Nunn, 2008).
Another evolutionary hypothesis of sleep holds that our sleep patterns evolved as an adaptive response to predatory risks, which increase in darkness. Thus we sleep in safe areas to reduce the chance of harm. Again, this is an intuitive and appealing explanation for why we sleep. Perhaps our ancestors spent extended periods of time asleep to reduce attention to themselves from potential predators. Comparative research indicates, however, that the relationship that exists between predatory risk and sleep is very complex and equivocal. Some research suggests that species that face higher predatory risks sleep fewer hours than other species (Capellini et al., 2008), while other researchers suggest there is no relationship between the amount of time a given species spends in deep sleep and its predation risk (Lesku, Roth, Amlaner, & Lima, 2006).
It is quite possible that sleep serves no single universally adaptive function, and different species have evolved different patterns of sleep in response to their unique evolutionary pressures. While we have discussed the negative outcomes associated with sleep deprivation, it should be pointed out that there are many benefits that are associated with adequate amounts of sleep. A few such benefits listed by the National Sleep Foundation (n.d.) include maintaining healthy weight, lowering stress levels, improving mood, and increasing motor coordination, as well as a number of benefits related to cognition and memory formation.
### Cognitive Function of Sleep
Another theory regarding why we sleep involves sleep’s importance for cognitive function and memory formation (Rattenborg, Lesku, Martinez-Gonzalez, & Lima, 2007). Indeed, we know sleep deprivation results in disruptions in cognition and memory deficits (Brown, 2012), leading to impairments in our abilities to maintain attention, make decisions, and recall long-term memories. Moreover, these impairments become more severe as the amount of sleep deprivation increases (Alhola & Polo-Kantola, 2007). Furthermore, slow-wave sleep after learning a new task can improve resultant performance on that task (Huber, Ghilardi, Massimini, & Tononi, 2004) and seems essential for effective memory formation (Stickgold, 2005). Understanding the impact of sleep on cognitive function should help you understand that cramming all night for a test may be not effective and can even prove counterproductive.
Getting the optimal amount of sleep has also been associated with other cognitive benefits. Research indicates that included among these possible benefits are increased capacities for creative thinking (Cai, Mednick, Harrison, Kanady, & Mednick, 2009; Wagner, Gais, Haider, Verleger, & Born, 2004), language learning (Fenn, Nusbaum, & Margoliash, 2003; Gómez, Bootzin, & Nadel, 2006), and inferential judgments (Ellenbogen, Hu, Payne, Titone, & Walker, 2007). It is possible that even the processing of emotional information is influenced by certain aspects of sleep (Walker, 2009).
### Summary
We devote a very large portion of time to sleep, and our brains have complex systems that control various aspects of sleep. Several hormones important for physical growth and maturation are secreted during sleep. While the reason we sleep remains something of a mystery, there is some evidence to suggest that sleep is very important to learning and memory.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# States of Consciousness
## Stages of Sleep
Sleep is not a uniform state of being. Instead, sleep is composed of several different stages that can be differentiated from one another by the patterns of brain wave activity that occur during each stage. While awake, our brain wave activity is dominated by beta waves. As compared to the brain wave patterns while asleep, beta waves have the highest frequency (13–30 Hz) and lowest amplitude, and they tend to show more variability. As we begin to fall asleep, our brain wave activity changes. These changes can be visualized using an EEG and are distinguished from one another by both the frequency and amplitude of the brain wave. The frequency of a brain wave is how many brain waves occur in a second, and frequency is measured in Hertz (Hz). Amplitude is the height of the brain wave (). Sleep can be divided into two different general phases: REM sleep and non-REM (NREM) sleep. Rapid eye movement (REM) sleep is characterized by darting movements of the eyes under closed eyelids. Brain waves during REM sleep appear very similar to brain waves during wakefulness. In contrast, non-REM (NREM) sleep is subdivided into three stages distinguished from each other and from wakefulness by characteristic patterns of brain waves. The first three stages of sleep are NREM sleep, typically followed by REM sleep. In this section, we will discuss each of these stages of sleep and their associated patterns of brain wave activity.
### NREM Stages of Sleep
As we begin to fall asleep, we enter NREM sleep, and brain wave patterns decrease in frequency and increase in amplitude. The first stage of NREM sleep is known as stage 1 sleep. Stage 1 sleep is a transitional phase that occurs between wakefulness and sleep, the period during which we drift off to sleep. During this time, there is a slowdown in both the rates of respiration and heartbeat. In addition, stage 1 sleep involves a marked decrease in both overall muscle tension and core body temperature.
In terms of brain wave activity, stage 1 sleep is associated with both alpha and theta waves. The early portion of stage 1 sleep produces alpha waves. These patterns of electrical activity (waves) resemble that of someone who is very relaxed, yet awake, but they have less variability (are more synchronized) and are relatively lower in frequency (8–12 Hz) and higher in amplitude than beta waves (). As an individual continues through stage 1 sleep, there is an increase in theta wave activity. Theta waves are even lower frequency (4–7 Hz), and higher in amplitude, than the alpha wave patterns. It is relatively easy to wake someone from stage 1 sleep; in fact, people often report that they have not been asleep if they are awoken during stage 1 sleep.
As we move into stage 2 sleep, the body goes into a state of deep relaxation. Theta waves still dominate the activity of the brain, but they are interrupted by brief bursts of activity known as sleep spindles (). A sleep spindle is a rapid burst of higher frequency brain waves that may be important for learning and memory (Fogel & Smith, 2011; Poe, Walsh, & Bjorness, 2010). In addition, the appearance of K-complexes is often associated with stage 2 sleep. A K-complex is a very high amplitude pattern of brain activity that may in some cases occur in response to environmental stimuli. Thus, K-complexes might serve as a bridge to higher levels of arousal in response to what is going on in our environments (Halász, 1993; Steriade & Amzica, 1998).
NREM stage 3 sleep is often referred to as deep sleep or slow-wave sleep because this stage is characterized by low frequency (less than 3 Hz), high amplitude delta waves (). These delta waves have the lowest frequency and highest amplitude of our sleeping brain wave patterns. During this time, an individual’s heart rate and respiration slow dramatically, and it is much more difficult to awaken someone from sleep during stage 3 than during earlier stages. Interestingly, individuals who have increased levels of alpha brain wave activity (more often associated with wakefulness and transition into stage 1 sleep) during stage 3 often report that they do not feel refreshed upon waking, regardless of how long they slept (Stone, Taylor, McCrae, Kalsekar, & Lichstein, 2008).
### REM Sleep
As mentioned earlier, REM sleep is marked by rapid movements of the eyes. The brain waves associated with this stage of sleep are very similar to those observed when a person is awake, as shown in , and this is the period of sleep in which dreaming occurs. It is also associated with paralysis of muscle systems in the body with the exception of those that make circulation and respiration possible. Therefore, no movement of voluntary muscles occurs during REM sleep in a normal individual; REM sleep is often referred to as paradoxical sleep because of this combination of high brain activity and lack of muscle tone. Like NREM sleep, REM has been implicated in various aspects of learning and memory (Wagner, Gais, & Born, 2001; Siegel, 2001).
If people are deprived of REM sleep and then allowed to sleep without disturbance, they will spend more time in REM sleep in what would appear to be an effort to recoup the lost time in REM. This is known as the REM rebound, and it suggests that REM sleep is also homeostatically regulated. Aside from the role that REM sleep may play in processes related to learning and memory, REM sleep may also be involved in emotional processing and regulation. In such instances, REM rebound may actually represent an adaptive response to stress in nondepressed individuals by suppressing the emotional salience of aversive events that occurred in wakefulness (Suchecki, Tiba, & Machado, 2012). Sleep deprivation in general is associated with a number of negative consequences (Brown, 2012).
The hypnogram below () shows a person’s passage through the stages of sleep.
### Dreams
Dreams and their associated meanings vary across different cultures and periods of time. By the late 19th century, Austrian psychiatrist Sigmund Freud had become convinced that dreams represented an opportunity to gain access to the unconscious. By analyzing dreams, Freud thought people could increase self-awareness and gain valuable insight to help them deal with the problems they faced in their lives. Freud made distinctions between the manifest content and the latent content of dreams. Manifest content is the actual content, or storyline, of a dream. Latent content, on the other hand, refers to the hidden meaning of a dream. For instance, if a woman dreams about being chased by a snake, Freud might have argued that this represents the woman’s fear of sexual intimacy, with the snake serving as a symbol of a man’s penis.
Freud was not the only theorist to focus on the content of dreams. The 20th century Swiss psychiatrist Carl Jung believed that dreams allowed us to tap into the collective unconscious. The collective unconscious, as described by Jung, is a theoretical repository of information he believed to be shared by everyone. According to Jung, certain symbols in dreams reflected universal archetypes with meanings that are similar for all people regardless of culture or location.
The sleep and dreaming researcher Rosalind Cartwright, however, believes that dreams simply reflect life events that are important to the dreamer. Unlike Freud and Jung, Cartwright’s ideas about dreaming have found empirical support. For example, she and her colleagues published a study in which women going through divorce were asked several times over a five month period to report the degree to which their former spouses were on their minds. These same women were awakened during REM sleep in order to provide a detailed account of their dream content. There was a significant positive correlation between the degree to which women thought about their former spouses during waking hours and the number of times their former spouses appeared as characters in their dreams (Cartwright, Agargun, Kirkby, & Friedman, 2006). Recent research (Horikawa, Tamaki, Miyawaki, & Kamitani, 2013) has uncovered new techniques by which researchers may effectively detect and classify the visual images that occur during dreaming by using fMRI for neural measurement of brain activity patterns, opening the way for additional research in this area.
Alan Hobson, a neuroscientist, is credited for developing activation-synthesis theory of dreaming. Early versions of this theory proposed that dreams were not the meaning-filled representations of angst proposed by Freud and others, but were rather the result of our brain attempting to make sense of ("synthesize") the neural activity ("activation") that was happening during REM sleep. Recent adaptations (e.g., Hobson, 2002) continue to update the theory based on accumulating evidence. For example, Hobson (2009) suggests that dreaming may represent a state of protoconsciousness. In other words, dreaming involves constructing a virtual reality in our heads that we might use to help us during wakefulness. Among a variety of neurobiological evidence, John Hobson cites research on lucid dreams as an opportunity to better understand dreaming in general. Lucid dreams are dreams in which certain aspects of wakefulness are maintained during a dream state. In a lucid dream, a person becomes aware of the fact that they are dreaming, and as such, they can control the dream’s content (LaBerge, 1990).
### Summary
The different stages of sleep are characterized by the patterns of brain waves associated with each stage. As a person transitions from being awake to falling asleep, alpha waves are replaced by theta waves. Sleep spindles and K-complexes emerge in stage 2 sleep. Stage 3 and stage 4 are described as slow-wave sleep that is marked by a predominance of delta waves. REM sleep involves rapid movements of the eyes, paralysis of voluntary muscles, and dreaming. Both NREM and REM sleep appear to play important roles in learning and memory. Dreams may represent life events that are important to the dreamer. Alternatively, dreaming may represent a state of protoconsciousness, or a virtual reality, in the mind that helps a person during consciousness.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# States of Consciousness
## Sleep Problems and Disorders
Many people experience disturbances in their sleep at some point in their lives. Depending on the population and sleep disorder being studied, between 30% and 50% of the population suffers from a sleep disorder at some point in their lives (Bixler, Kales, Soldatos, Kaels, & Healey, 1979; Hossain & Shapiro, 2002; Ohayon, 1997, 2002; Ohayon & Roth, 2002). This section will describe several sleep disorders as well as some of their treatment options.
### Insomnia
Insomnia, a consistent difficulty in falling or staying asleep, is the most common of the sleep disorders. Individuals with insomnia often experience long delays between the times that they go to bed and actually fall asleep. In addition, these individuals may wake up several times during the night only to find that they have difficulty getting back to sleep. As mentioned earlier, one of the criteria for insomnia involves experiencing these symptoms for at least three nights a week for at least one month’s time (Roth, 2007).
It is not uncommon for people suffering from insomnia to experience increased levels of anxiety about their inability to fall asleep. This becomes a self-perpetuating cycle because increased anxiety leads to increased arousal, and higher levels of arousal make the prospect of falling asleep even more unlikely. Chronic insomnia is almost always associated with feeling overtired and may be associated with symptoms of depression.
There may be many factors that contribute to insomnia, including age, drug use, exercise, mental status, and bedtime routines. Not surprisingly, insomnia treatment may take one of several different approaches. People who suffer from insomnia might limit their use of stimulant drugs (such as caffeine) or increase their amount of physical exercise during the day. Some people might turn to over-the-counter (OTC) or prescribed sleep medications to help them sleep, but this should be done sparingly because many sleep medications result in dependence and alter the nature of the sleep cycle, and they can increase insomnia over time. Those who continue to have insomnia, particularly if it affects their quality of life, should seek professional treatment.
Some forms of psychotherapy, such as cognitive-behavioral therapy, can help sufferers of insomnia. Cognitive-behavioral therapy is a type of psychotherapy that focuses on cognitive processes and problem behaviors. The treatment of insomnia likely would include stress management techniques and changes in problematic behaviors that could contribute to insomnia (e.g., spending more waking time in bed). Cognitive-behavioral therapy has been demonstrated to be quite effective in treating insomnia (Savard, Simard, Ivers, & Morin, 2005; Williams, Roth, Vatthauer, & McCrae, 2013).
### Parasomnias
A parasomnia is one of a group of sleep disorders in which unwanted, disruptive motor activity and/or experiences during sleep play a role. Parasomnias can occur in either REM or NREM phases of sleep. Sleepwalking, restless leg syndrome, and night terrors are all examples of parasomnias (Mahowald & Schenck, 2000).
### Sleepwalking
In sleepwalking, or somnambulism, the sleeper engages in relatively complex behaviors ranging from wandering about to driving an automobile. During periods of sleepwalking, sleepers often have their eyes open, but they are not responsive to attempts to communicate with them. Sleepwalking most often occurs during slow-wave sleep, but it can occur at any time during a sleep period in some affected individuals (Mahowald & Schenck, 2000).
Historically, somnambulism has been treated with a variety of pharmacotherapies ranging from benzodiazepines to antidepressants. However, the success rate of such treatments is questionable. Guilleminault et al. (2005) found that sleepwalking was not alleviated with the use of benzodiazepines. However, all of their somnambulistic patients who also suffered from sleep-related breathing problems showed a marked decrease in sleepwalking when their breathing problems were effectively treated.
### REM Sleep Behavior Disorder (RBD)
REM sleep behavior disorder (RBD) occurs when the muscle paralysis associated with the REM sleep phase does not occur. Individuals who suffer from RBD have high levels of physical activity during REM sleep, especially during disturbing dreams. These behaviors vary widely, but they can include kicking, punching, scratching, yelling, and behaving like an animal that has been frightened or attacked. People who suffer from this disorder can injure themselves or their sleeping partners when engaging in these behaviors. Furthermore, these types of behaviors ultimately disrupt sleep, although affected individuals have no memories that these behaviors have occurred (Arnulf, 2012).
This disorder is associated with a number of neurodegenerative diseases such as Parkinson’s disease. In fact, this relationship is so robust that some view the presence of RBD as a potential aid in the diagnosis and treatment of a number of neurodegenerative diseases (Ferini-Strambi, 2011). Clonazepam, an anti-anxiety medication with sedative properties, is most often used to treat RBD. It is administered alone or in conjunction with doses of melatonin (the hormone secreted by the pineal gland). As part of treatment, the sleeping environment is often modified to make it a safer place for those suffering from RBD (Zangini, Calandra-Buonaura, Grimaldi, & Cortelli, 2011).
### Other Parasomnias
A person with restless leg syndrome has uncomfortable sensations in the legs during periods of inactivity or when trying to fall asleep. This discomfort is relieved by deliberately moving the legs, which, not surprisingly, contributes to difficulty in falling or staying asleep. Restless leg syndrome is quite common and has been associated with a number of other medical diagnoses, such as chronic kidney disease and diabetes (Mahowald & Schenck, 2000). There are a variety of drugs that treat restless leg syndrome: benzodiazepines, opiates, and anticonvulsants (Restless Legs Syndrome Foundation, n.d.).
Night terrors result in a sense of panic in the sufferer and are often accompanied by screams and attempts to escape from the immediate environment (Mahowald & Schenck, 2000). Although individuals suffering from night terrors appear to be awake, they generally have no memories of the events that occurred, and attempts to console them are ineffective. Typically, individuals suffering from night terrors will fall back asleep again within a short time. Night terrors apparently occur during the NREM phase of sleep (Provini, Tinuper, Bisulli, & Lagaresi, 2011). Generally, treatment for night terrors is unnecessary unless there is some underlying medical or psychological condition that is contributing to the night terrors (Mayo Clinic, n.d.).
### Sleep Apnea
Sleep apnea is defined by episodes during which a sleeper’s breathing stops. These episodes can last 10–20 seconds or longer and often are associated with brief periods of arousal. While individuals suffering from sleep apnea may not be aware of these repeated disruptions in sleep, they do experience increased levels of fatigue. Many individuals diagnosed with sleep apnea first seek treatment because their sleeping partners indicate that they snore loudly and/or stop breathing for extended periods of time while sleeping (Henry & Rosenthal, 2013). Sleep apnea is much more common in overweight people and is often associated with loud snoring. Surprisingly, sleep apnea may exacerbate cardiovascular disease (Sánchez-de-la-Torre, Campos-Rodriguez, & Barbé, 2012). While sleep apnea is less common in thin people, anyone, regardless of their weight, who snores loudly or gasps for air while sleeping, should be checked for sleep apnea.
While people are often unaware of their sleep apnea, they are keenly aware of some of the adverse consequences of insufficient sleep. Consider a patient who believed that as a result of his sleep apnea he “had three car accidents in six weeks. They were ALL my fault. Two of them I didn’t even know I was involved in until afterwards” (Henry & Rosenthal, 2013, p. 52). It is not uncommon for people suffering from undiagnosed or untreated sleep apnea to fear that their careers will be affected by the lack of sleep, illustrated by this statement from another patient, “I’m in a job where there’s a premium on being mentally alert. I was really sleepy… and having trouble concentrating…. It was getting to the point where it was kind of scary” (Henry & Rosenthal, 2013, p. 52).
There are two types of sleep apnea: obstructive sleep apnea and central sleep apnea. Obstructive sleep apnea occurs when an individual’s airway becomes blocked during sleep, and air is prevented from entering the lungs. In central sleep apnea, disruption in signals sent from the brain that regulate breathing cause periods of interrupted breathing (White, 2005).
One of the most common treatments for sleep apnea involves the use of a special device during sleep. A continuous positive airway pressure (CPAP) device includes a mask that fits over the sleeper’s nose and mouth, which is connected to a pump that pumps air into the person’s airways, forcing them to remain open, as shown in . Some newer CPAP masks are smaller and cover only the nose. This treatment option has proven to be effective for people suffering from mild to severe cases of sleep apnea (McDaid et al., 2009). However, alternative treatment options are being explored because consistent compliance by users of CPAP devices is a problem. Recently, a new EPAP (expiratory positive air pressure) device has shown promise in double-blind trials as one such alternative (Berry, Kryger, & Massie, 2011).
### SIDS
In sudden infant death syndrome (SIDS) an infant stops breathing during sleep and dies. Infants younger than 12 months appear to be at the highest risk for SIDS, and boys have a greater risk than girls. A number of risk factors have been associated with SIDS including premature birth, smoking within the home, and hyperthermia. There may also be differences in both brain structure and function in infants that die from SIDS (Berkowitz, 2012; Mage & Donner, 2006; Thach, 2005).
The substantial amount of research on SIDS has led to a number of recommendations to parents to protect their children (). For one, research suggests that infants should be placed on their backs when put down to sleep, and their cribs should not contain any items which pose suffocation threats, such as blankets, pillows or padded crib bumpers (cushions that cover the bars of a crib). Infants should not have caps placed on their heads when put down to sleep in order to prevent overheating, and people in the child’s household should abstain from smoking in the home. Recommendations like these have helped to decrease the number of infant deaths from SIDS in recent years (Mitchell, 2009; Task Force on Sudden Infant Death Syndrome, 2011).
### Narcolepsy
Unlike the other sleep disorders described in this section, a person with narcolepsy cannot resist falling asleep at inopportune times. These sleep episodes are often associated with cataplexy, which is a lack of muscle tone or muscle weakness, and in some cases involves complete paralysis of the voluntary muscles. This is similar to the kind of paralysis experienced by healthy individuals during REM sleep (Burgess & Scammell, 2012; Hishikawa & Shimizu, 1995; Luppi et al., 2011). Narcoleptic episodes take on other features of REM sleep. For example, around one third of individuals diagnosed with narcolepsy experience vivid, dream-like hallucinations during narcoleptic attacks (Chokroverty, 2010).
Surprisingly, narcoleptic episodes are often triggered by states of heightened arousal or stress. The typical episode can last from a minute or two to half an hour. Once awakened from a narcoleptic attack, people report that they feel refreshed (Chokroverty, 2010). Obviously, regular narcoleptic episodes could interfere with the ability to perform one’s job or complete schoolwork, and in some situations, narcolepsy can result in significant harm and injury (e.g., driving a car or operating machinery or other potentially dangerous equipment).
Generally, narcolepsy is treated using psychomotor stimulant drugs, such as amphetamines (Mignot, 2012). These drugs promote increased levels of neural activity. Narcolepsy is associated with reduced levels of the signaling molecule hypocretin in some areas of the brain (De la Herrán-Arita & Drucker-Colín, 2012; Han, 2012), and the traditional stimulant drugs do not have direct effects on this system. Therefore, it is quite likely that new medications that are developed to treat narcolepsy will be designed to target the hypocretin system.
There is a tremendous amount of variability among sufferers, both in terms of how symptoms of narcolepsy manifest and the effectiveness of currently available treatment options. This is illustrated by McCarty’s (2010) case study of a 50-year-old woman who sought help for the excessive sleepiness during normal waking hours that she had experienced for several years. She indicated that she had fallen asleep at inappropriate or dangerous times, including while eating, while socializing with friends, and while driving her car. During periods of emotional arousal, the woman complained that she felt some weakness in the right side of her body. Although she did not experience any dream-like hallucinations, she was diagnosed with narcolepsy as a result of sleep testing. In her case, the fact that her cataplexy was confined to the right side of her body was quite unusual. Early attempts to treat her condition with a stimulant drug alone were unsuccessful. However, when a stimulant drug was used in conjunction with a popular antidepressant, her condition improved dramatically.
### Summary
Many individuals suffer from some type of sleep disorder or disturbance at some point in their lives. Insomnia is a common experience in which people have difficulty falling or staying asleep. Parasomnias involve unwanted motor behavior or experiences throughout the sleep cycle and include RBD, sleepwalking, restless leg syndrome, and night terrors. Sleep apnea occurs when individuals stop breathing during their sleep, and in the case of sudden infant death syndrome, infants will stop breathing during sleep and die. Narcolepsy involves an irresistible urge to fall asleep during waking hours and is often associated with cataplexy and hallucination.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# States of Consciousness
## Substance Use and Abuse
While we all experience altered states of consciousness in the form of sleep on a regular basis, some people use drugs and other substances that result in altered states of consciousness as well. This section will present information relating to the use of various psychoactive drugs and problems associated with such use. This will be followed by brief descriptions of the effects of some of the more well-known drugs commonly used today.
### Substance Use Disorders
The fifth edition of the , Fifth Edition (DSM-5) is used by clinicians to diagnose individuals suffering from various psychological disorders. Drug use disorders are addictive disorders, and the criteria for specific substance (drug) use disorders are described in DSM-5. A person who has a substance use disorder often uses more of the substance than they originally intended to and continues to use that substance despite experiencing significant adverse consequences. In individuals diagnosed with a substance use disorder, there is a compulsive pattern of drug use that is often associated with both physical and psychological dependence.
Physical dependence involves changes in normal bodily functions—the user will experience withdrawal from the drug upon cessation of use. In contrast, a person who has psychological dependence has an emotional, rather than physical, need for the drug and may use the drug to relieve psychological distress. Tolerance is linked to physiological dependence, and it occurs when a person requires more and more drug to achieve effects previously experienced at lower doses. Tolerance can cause the user to increase the amount of drug used to a dangerous level—even to the point of overdose and death.
Drug withdrawal includes a variety of negative symptoms experienced when drug use is discontinued. These symptoms usually are opposite of the effects of the drug. For example, withdrawal from sedative drugs often produces unpleasant arousal and agitation. In addition to withdrawal, many individuals who are diagnosed with substance use disorders will also develop tolerance to these substances. Psychological dependence, or drug craving, is a recent addition to the diagnostic criteria for substance use disorder in DSM-5. This is an important factor because we can develop tolerance and experience withdrawal from any number of drugs that we do not abuse. In other words, physical dependence in and of itself is of limited utility in determining whether or not someone has a substance use disorder.
### Drug Categories
The effects of all psychoactive drugs occur through their interactions with our endogenous neurotransmitter systems. Many of these drugs, and their relationships, are shown in . As you have learned, drugs can act as agonists or antagonists of a given neurotransmitter system. An agonist facilitates the activity of a neurotransmitter system, and antagonists impede neurotransmitter activity.
### Alcohol and Other Depressants
Ethanol, which we commonly refer to as alcohol, is in a class of psychoactive drugs known as depressants (). A depressant is a drug that tends to suppress central nervous system activity. Other depressants include barbiturates and benzodiazepines. These drugs share in common their ability to serve as agonists of the gamma-Aminobutyric acid (GABA) neurotransmitter system. Because GABA has a quieting effect on the brain, GABA agonists also have a quieting effect; these types of drugs are often prescribed to treat both anxiety and insomnia.
Acute alcohol administration results in a variety of changes to consciousness. At rather low doses, alcohol use is associated with feelings of euphoria. As the dose increases, people report feeling sedated. Generally, alcohol is associated with decreases in reaction time and visual acuity, lowered levels of alertness, and reduction in behavioral control. With excessive alcohol use, a person might experience a complete loss of consciousness and/or difficulty remembering events that occurred during a period of intoxication (McKim & Hancock, 2013). In addition, if a pregnant person consumes alcohol, their infant may be born with a cluster of birth defects and symptoms collectively called fetal alcohol spectrum disorder (FASD) or fetal alcohol syndrome (FAS).
With repeated use of many central nervous system depressants, such as alcohol, a person becomes physically dependent upon the substance and will exhibit signs of both tolerance and withdrawal. Psychological dependence on these drugs is also possible. Therefore, the abuse potential of central nervous system depressants is relatively high.
Drug withdrawal is usually an aversive experience, and it can be a life-threatening process in individuals who have a long history of very high doses of alcohol and/or barbiturates. This is of such concern that people who are trying to overcome addiction to these substances should only do so under medical supervision.
### Stimulants
Stimulants are drugs that tend to increase overall levels of neural activity. Many of these drugs act as agonists of the dopamine neurotransmitter system. Dopamine activity is often associated with reward and craving; therefore, drugs that affect dopamine neurotransmission often have abuse liability. Drugs in this category include cocaine, amphetamines (including methamphetamine), cathinones (i.e., bath salts), MDMA (ecstasy), nicotine, and caffeine.
Cocaine can be taken in multiple ways. While many users snort cocaine, intravenous injection and inhalation (smoking) are also common. The freebase version of cocaine, known as crack, is a potent, smokable version of the drug. Like many other stimulants, cocaine agonizes the dopamine neurotransmitter system by blocking the reuptake of dopamine in the neuronal synapse.
Amphetamines have a mechanism of action quite similar to cocaine in that they block the reuptake of dopamine in addition to stimulating its release (). While amphetamines are often abused, they are also commonly prescribed to people diagnosed with attention deficit hyperactivity disorder (ADHD). It may seem counterintuitive that stimulant medications are prescribed to treat a disorder that involves hyperactivity, but the therapeutic effect comes from increases in neurotransmitter activity within certain areas of the brain associated with impulse control. These brain areas include the prefrontal cortex and basal ganglia.
In recent years, methamphetamine (meth) use has become increasingly widespread. Methamphetamine is a type of amphetamine that can be made from ingredients that are readily available (e.g., medications containing pseudoephedrine, a compound found in many over-the-counter cold and flu remedies). Despite recent changes in laws designed to make obtaining pseudoephedrine more difficult, methamphetamine continues to be an easily accessible and relatively inexpensive drug option (Shukla, Crump, & Chrisco, 2012).
Stimulant users seek a euphoric high, feelings of intense elation and pleasure, especially in those users who take the drug via intravenous injection or smoking. MDMA (3.4-methelynedioxy-methamphetamine, commonly known as "ecstasy" or "Molly") is a mild stimulant with perception-altering effects. It is typically consumed in pill form. Users experience increased energy, feelings of pleasure, and emotional warmth. Repeated use of these stimulants can have significant adverse consequences. Users can experience physical symptoms that include nausea, elevated blood pressure, and increased heart rate. In addition, these drugs can cause feelings of anxiety, hallucinations, and paranoia (Fiorentini et al., 2011). Normal brain functioning is altered after repeated use of these drugs. For example, repeated use can lead to overall depletion among the monoamine neurotransmitters (dopamine, norepinephrine, and serotonin). Depletion of certain neurotransmitters can lead to mood dysphoria, cognitive problems, and other factors. This can lead to people compulsively using stimulants such as cocaine and amphetamines, in part to try to reestablish the person's physical and psychological pre-use baseline. (Jayanthi & Ramamoorthy, 2005; Rothman, Blough, & Baumann, 2007).
Caffeine is another stimulant drug. While it is probably the most commonly used drug in the world, the potency of this particular drug pales in comparison to the other stimulant drugs described in this section. Generally, people use caffeine to maintain increased levels of alertness and arousal. Caffeine is found in many common medicines (such as weight loss drugs), beverages, foods, and even cosmetics (Herman & Herman, 2013). While caffeine may have some indirect effects on dopamine neurotransmission, its primary mechanism of action involves antagonizing adenosine activity (Porkka-Heiskanen, 2011). Adenosine is a neurotransmitter that promotes sleep. Caffeine is an adenosine antagonist, so caffeine inhibits the adenosine receptors, thus decreasing sleepiness and promoting wakefulness.
While caffeine is generally considered a relatively safe drug, high blood levels of caffeine can result in insomnia, agitation, muscle twitching, nausea, irregular heartbeat, and even death (Reissig, Strain, & Griffiths, 2009; Wolt, Ganetsky, & Babu, 2012). In 2012, Kromann and Nielson reported on a case study of a 40-year-old woman who suffered significant ill effects from her use of caffeine. The woman used caffeine in the past to boost her mood and to provide energy, but over the course of several years, she increased her caffeine consumption to the point that she was consuming three liters of soda each day. Although she had been taking a prescription antidepressant, her symptoms of depression continued to worsen and she began to suffer physically, displaying significant warning signs of cardiovascular disease and diabetes. Upon admission to an outpatient clinic for treatment of mood disorders, she met all of the diagnostic criteria for substance dependence and was advised to dramatically limit her caffeine intake. Once she was able to limit her use to less than 12 ounces of soda a day, both her mental and physical health gradually improved. Despite the prevalence of caffeine use and the large number of people who confess to suffering from caffeine addiction, this was the first published description of soda dependence appearing in scientific literature.
Nicotine is highly addictive, and the use of tobacco products is associated with increased risks of heart disease, stroke, and a variety of cancers. Nicotine exerts its effects through its interaction with acetylcholine receptors. Acetylcholine functions as a neurotransmitter in motor neurons. In the central nervous system, it plays a role in arousal and reward mechanisms. Nicotine is most commonly used in the form of tobacco products like cigarettes or chewing tobacco; therefore, there is a tremendous interest in developing effective smoking cessation techniques. To date, people have used a variety of nicotine replacement therapies in addition to various psychotherapeutic options in an attempt to discontinue their use of tobacco products. In general, smoking cessation programs may be effective in the short term, but it is unclear whether these effects persist (Cropley, Theadom, Pravettoni, & Webb, 2008; Levitt, Shaw, Wong, & Kaczorowski, 2007; Smedslund, Fisher, Boles, & Lichtenstein, 2004). Vaping as a means to deliver nicotine is becoming increasingly popular, especially among teens and young adults. Vaping uses battery-powered devices, sometimes called e-cigarettes, that deliver liquid nicotine and flavorings as a vapor. Originally reported as a safe alternative to the known cancer-causing agents found in cigarettes, vaping is now known to be very dangerous and has led to serious lung disease and death in users (Shmerling, 2019).
### Opioids
An opioid is one of a category of drugs that includes heroin, morphine, methadone, and codeine. Opioids have analgesic properties; that is, they decrease pain. Humans have an endogenous opioid neurotransmitter system—the body makes small quantities of opioid compounds that bind to opioid receptors reducing pain and producing euphoria. Thus, opioid drugs, which mimic this endogenous painkilling mechanism, have an extremely high potential for abuse. Natural opioids, called opiates, are derivatives of opium, which is a naturally occurring compound found in the poppy plant. There are now several synthetic versions of opiate drugs (correctly called opioids) that have very potent painkilling effects, and they are often abused. For example, the National Institutes of Drug Abuse has sponsored research that suggests the misuse and abuse of the prescription pain killers hydrocodone and oxycodone are significant public health concerns (Maxwell, 2006). In 2013, the U.S. Food and Drug Administration recommended tighter controls on their medical use.
Historically, heroin has been a major opioid drug of abuse (). Heroin can be snorted, smoked, or injected intravenously. Heroin produces intense feelings of euphoria and pleasure, which are amplified when the heroin is injected intravenously. Following the initial "rush," users experience 4–6 hours of "going on the nod," alternating between conscious and semiconscious states. Heroin users often shoot the drug directly into their veins. Some people who have injected many times into their arms will show "track marks," while other users will inject into areas between their fingers or between their toes, so as not to show obvious track marks and, like all abusers of intravenous drugs, have an increased risk for contraction of both tuberculosis and HIV.
Aside from their utility as analgesic drugs, opioid-like compounds are often found in cough suppressants, anti-nausea, and anti-diarrhea medications. Given that withdrawal from a drug often involves an experience opposite to the effect of the drug, it should be no surprise that opioid withdrawal resembles a severe case of the flu. While opioid withdrawal can be extremely unpleasant, it is not life-threatening (Julien, 2005). Still, people experiencing opioid withdrawal may be given methadone to make withdrawal from the drug less difficult. Methadone is a synthetic opioid that is less euphorigenic than heroin and similar drugs. Methadone clinics help people who previously struggled with opioid addiction manage withdrawal symptoms through the use of methadone. Other drugs, including the opioid buprenorphine, have also been used to alleviate symptoms of opiate withdrawal.
Codeine is an opioid with relatively low potency. It is often prescribed for minor pain, and it is available over-the-counter in some other countries. Like all opioids, codeine does have abuse potential. In fact, abuse of prescription opioid medications is becoming a major concern worldwide (Aquina, Marques-Baptista, Bridgeman, & Merlin, 2009; Casati, Sedefov, & Pfeiffer-Gerschel, 2012).
### Hallucinogens
A hallucinogen is one of a class of drugs that results in profound alterations in sensory and perceptual experiences (). In some cases, users experience vivid visual hallucinations. It is also common for these types of drugs to cause hallucinations of body sensations (e.g., feeling as if you are a giant) and a skewed perception of the passage of time.
As a group, hallucinogens are incredibly varied in terms of the neurotransmitter systems they affect. Mescaline and LSD are serotonin agonists, and PCP (angel dust) and ketamine (an animal anesthetic) act as antagonists of the NMDA glutamate receptor. In general, these drugs are not thought to possess the same sort of abuse potential as other classes of drugs discussed in this section.
### Summary
Substance use disorder is defined in DSM-5 as a compulsive pattern of drug use despite negative consequences. Both physical and psychological dependence are important parts of this disorder. Alcohol, barbiturates, and benzodiazepines are central nervous system depressants that affect GABA neurotransmission. Cocaine, amphetamine, cathinones, and MDMA are all central nervous stimulants that agonize dopamine neurotransmission, while nicotine and caffeine affect acetylcholine and adenosine, respectively. Opiate drugs serve as powerful analgesics through their effects on the endogenous opioid neurotransmitter system, and hallucinogenic drugs cause pronounced changes in sensory and perceptual experiences. The hallucinogens are variable with regards to the specific neurotransmitter systems they affect.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# States of Consciousness
## Other States of Consciousness
Our states of consciousness change as we move from wakefulness to sleep. We also alter our consciousness through the use of various psychoactive drugs. This final section will consider hypnotic and meditative states as additional examples of altered states of consciousness experienced by some individuals.
### Hypnosis
Hypnosis is a state of extreme self-focus and attention in which minimal attention is given to external stimuli. In the therapeutic setting, a clinician may use relaxation and suggestion in an attempt to alter the thoughts and perceptions of a patient. Hypnosis has also been used to draw out information believed to be buried deeply in someone’s memory. For individuals who are especially open to the power of suggestion, hypnosis can prove to be a very effective technique, and brain imaging studies have demonstrated that hypnotic states are associated with global changes in brain functioning (Del Casale et al., 2012; Guldenmund, Vanhaudenhuyse, Boly, Laureys, & Soddu, 2012).
Historically, hypnosis has been viewed with some suspicion because of its portrayal in popular media and entertainment (). Therefore, it is important to make a distinction between hypnosis as an empirically based therapeutic approach versus as a form of entertainment. Contrary to popular belief, individuals undergoing hypnosis usually have clear memories of the hypnotic experience and are in control of their own behaviors. While hypnosis may be useful in enhancing memory or a skill, such enhancements are very modest in nature (Raz, 2011).
How exactly does a hypnotist bring a participant to a state of hypnosis? While there are variations, there are four parts that appear consistent in bringing people into the state of suggestibility associated with hypnosis (National Research Council, 1994). These components include:
These steps are conducive to being open to the heightened suggestibility of hypnosis.
People vary in terms of their ability to be hypnotized, but a review of available research suggests that most people are at least moderately hypnotizable (Kihlstrom, 2013). Hypnosis in conjunction with other techniques is used for a variety of therapeutic purposes and has shown to be at least somewhat effective for pain management, treatment of depression and anxiety, smoking cessation, and weight loss (Alladin, 2012; Elkins, Johnson, & Fisher, 2012; Golden, 2012; Montgomery, Schnur, & Kravits, 2012).
How does hypnosis work? Two theories attempt to answer this question: One theory views hypnosis as dissociation and the other theory views it as the performance of a social role. According to the dissociation view, hypnosis is effectively a dissociated state of consciousness, much like our earlier example where you may drive to work, but you are only minimally aware of the process of driving because your attention is focused elsewhere. This theory is supported by Ernest Hilgard’s research into hypnosis and pain. In Hilgard’s experiments, he induced participants into a state of hypnosis, and placed their arms into ice water. Participants were told they would not feel pain, but they could press a button if they did; while they reported not feeling pain, they did, in fact, press the button, suggesting a dissociation of consciousness while in the hypnotic state (Hilgard & Hilgard, 1994).
Taking a different approach to explain hypnosis, the social-cognitive theory of hypnosis sees people in hypnotic states as performing the social role of a hypnotized person. As you will learn when you study social roles, people’s behavior can be shaped by their expectations of how they should act in a given situation. Some view a hypnotized person’s behavior not as an altered or dissociated state of consciousness, but as their fulfillment of the social expectations for that role (Coe, 2009; Coe & Sarbin, 1966).
### Meditation
Meditation is the act of focusing on a single target (such as the breath or a repeated sound) to increase awareness of the moment. While hypnosis is generally achieved through the interaction of a therapist and the person being treated, an individual can perform meditation alone. Often, however, people wishing to learn to meditate receive some training in techniques to achieve a meditative state.
Although there are a number of different techniques in use, the central feature of all meditation is clearing the mind in order to achieve a state of relaxed awareness and focus (Chen et al., 2013; Lang et al., 2012). Mindfulness meditation has recently become popular. In the variation of mindful meditation, the meditator’s attention is focused on some internal process or an external object (Zeidan, Grant, Brown, McHaffie, & Coghill, 2012).
Meditative techniques have their roots in religious practices (), but their use has grown in popularity among practitioners of alternative medicine. Research indicates that meditation may help reduce blood pressure, and the American Heart Association suggests that meditation might be used in conjunction with more traditional treatments as a way to manage hypertension, although there is not sufficient data for a recommendation to be made (Brook et al., 2013). Like hypnosis, meditation also shows promise in stress management, sleep quality (Caldwell, Harrison, Adams, Quin, & Greeson, 2010), treatment of mood and anxiety disorders (Chen et al., 2013; Freeman et al., 2010; Vøllestad, Nielsen, & Nielsen, 2012), and pain management (Reiner, Tibi, & Lipsitz, 2013).
### Summary
Hypnosis is a focus on the self that involves suggested changes of behavior and experience. Meditation involves relaxed, yet focused, awareness. Both hypnotic and meditative states may involve altered states of consciousness that have potential application for the treatment of a variety of physical and psychological disorders.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Sensation and Perception
## Introduction
Imagine standing on a city street corner. You might be struck by movement everywhere as cars and people go about their business, by the sound of a street musician’s melody or a horn honking in the distance, by the smell of exhaust fumes or of food being sold by a nearby vendor, and by the sensation of hard pavement under your feet.
We rely on our sensory systems to provide important information about our surroundings. We use this information to successfully navigate and interact with our environment so that we can find nourishment, seek shelter, maintain social relationships, and avoid potentially dangerous situations.
This chapter will provide an overview of how sensory information is received and processed by the nervous system and how that affects our conscious experience of the world. We begin by learning the distinction between sensation and perception. Then we consider the physical properties of light and sound stimuli, along with an overview of the basic structure and function of the major sensory systems. The chapter will close with a discussion of a historically important theory of perception called Gestalt.
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Yantis, S., & Egeth, H. (1999). On the distinction between visual salience and stimulus-driven attentional capture. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 25, 661–676. https://psycnet.apa.org/doiLanding?doi=10.1037%2F0096-1523.25.3.661 |
# Sensation and Perception
## Sensation versus Perception
### Sensation
What does it mean to sense something? Sensory receptors are specialized neurons that respond to specific types of stimuli. When sensory information is detected by a sensory receptor, sensation has occurred. For example, light that enters the eye causes chemical changes in cells that line the back of the eye. These cells relay messages, in the form of action potentials (as you learned when studying biopsychology), to the central nervous system. The conversion from sensory stimulus energy to action potential is known as transduction.
You have probably known since elementary school that we have five senses: vision, hearing (audition), smell (olfaction), taste (gustation), and touch (somatosensation). It turns out that this notion of five senses is oversimplified. We also have sensory systems that provide information about balance (the vestibular sense), body position and movement (proprioception and kinesthesia), pain (nociception), and temperature (thermoception).
The sensitivity of a given sensory system to the relevant stimuli can be expressed as an absolute threshold. Absolute threshold refers to the minimum amount of stimulus energy that must be present for the stimulus to be detected 50% of the time. Another way to think about this is by asking how dim can a light be or how soft can a sound be and still be detected half of the time. The sensitivity of our sensory receptors can be quite amazing. It has been estimated that on a clear night, the most sensitive sensory cells in the back of the eye can detect a candle flame 30 miles away (Okawa & Sampath, 2007). Under quiet conditions, the hair cells (the receptor cells of the inner ear) can detect the tick of a clock 20 feet away (Galanter, 1962).
It is also possible for us to get messages that are presented below the threshold for conscious awareness—these are called subliminal messages. A stimulus reaches a physiological threshold when it is strong enough to excite sensory receptors and send nerve impulses to the brain: This is an absolute threshold. A message below that threshold is said to be subliminal: We receive it, but we are not consciously aware of it. Over the years there has been a great deal of speculation about the use of subliminal messages in advertising, rock music, and self-help audio programs. Research evidence shows that in laboratory settings, people can process and respond to information outside of awareness. But this does not mean that we obey these messages like zombies; in fact, hidden messages have little effect on behavior outside the laboratory (Kunst-Wilson & Zajonc, 1980; Rensink, 2004; Nelson, 2008; Radel, Sarrazin, Legrain, & Gobancé, 2009; Loersch, Durso, & Petty, 2013).
Absolute thresholds are generally measured under incredibly controlled conditions in situations that are optimal for sensitivity. Sometimes, we are more interested in how much difference in stimuli is required to detect a difference between them. This is known as the just noticeable difference (jnd) or difference threshold. Unlike the absolute threshold, the difference threshold changes depending on the stimulus intensity. As an example, imagine yourself in a very dark movie theater. If an audience member were to receive a text message that caused the cell phone screen to light up, chances are that many people would notice the change in illumination in the theater. However, if the same thing happened in a brightly lit arena during a basketball game, very few people would notice. The cell phone brightness does not change, but its ability to be detected as a change in illumination varies dramatically between the two contexts. Ernst Weber proposed this theory of change in difference threshold in the 1830s, and it has become known as Weber’s law: The difference threshold is a constant fraction of the original stimulus, as the example illustrates.
### Perception
While our sensory receptors are constantly collecting information from the environment, it is ultimately how we interpret that information that affects how we interact with the world. Perception refers to the way sensory information is organized, interpreted, and consciously experienced. Perception involves both bottom-up and top-down processing. Bottom-up processing refers to sensory information from a stimulus in the environment driving a process, and top-down processing refers to knowledge and expectancy driving a process, as shown in (Egeth & Yantis, 1997; Fine & Minnery, 2009; Yantis & Egeth, 1999).
Imagine that you and some friends are sitting in a crowded restaurant eating lunch and talking. It is very noisy, and you are concentrating on your friend’s face to hear what they are saying, then the sound of breaking glass and clang of metal pans hitting the floor rings out. The server dropped a large tray of food. Although you were attending to your meal and conversation, that crashing sound would likely get through your attentional filters and capture your attention. You would have no choice but to notice it. That attentional capture would be caused by the sound from the environment: it would be bottom-up.
Alternatively, top-down processes are generally goal directed, slow, deliberate, effortful, and under your control (Fine & Minnery, 2009; Miller & Cohen, 2001; Miller & D'Esposito, 2005). For instance, if you misplaced your keys, how would you look for them? If you had a yellow key fob, you would probably look for yellowness of a certain size in specific locations, such as on the counter, coffee table, and other similar places. You would not look for yellowness on your ceiling fan, because you know keys are not normally lying on top of a ceiling fan. That act of searching for a certain size of yellowness in some locations and not others would be top-down—under your control and based on your experience.
One way to think of this concept is that sensation is a physical process, whereas perception is psychological. For example, upon walking into a kitchen and smelling the scent of baking cinnamon rolls, the sensation is the scent receptors detecting the odor of cinnamon, but the perception may be “Mmm, this smells like the bread Grandma used to bake when the family gathered for holidays.”
Although our perceptions are built from sensations, not all sensations result in perception. In fact, we often don’t perceive stimuli that remain relatively constant over prolonged periods of time. This is known as sensory adaptation. Imagine going to a city that you have never visited. You check in to the hotel, but when you get to your room, there is a road construction sign with a bright flashing light outside your window. Unfortunately, there are no other rooms available, so you are stuck with a flashing light. You decide to watch television to unwind. The flashing light was extremely annoying when you first entered your room. It was as if someone was continually turning a bright yellow spotlight on and off in your room, but after watching television for a short while, you no longer notice the light flashing. The light is still flashing and filling your room with yellow light every few seconds, and the photoreceptors in your eyes still sense the light, but you no longer perceive the rapid changes in lighting conditions. That you no longer perceive the flashing light demonstrates sensory adaptation and shows that while closely associated, sensation and perception are different.
There is another factor that affects sensation and perception: attention. Attention plays a significant role in determining what is sensed versus what is perceived. Imagine you are at a party full of music, chatter, and laughter. You get involved in an interesting conversation with a friend, and you tune out all the background noise. If someone interrupted you to ask what song had just finished playing, you would probably be unable to answer that question.
One of the most interesting demonstrations of how important attention is in determining our perception of the environment occurred in a famous study conducted by Daniel Simons and Christopher Chabris (1999). In this study, participants watched a video of people dressed in black and white passing basketballs. Participants were asked to count the number of times the team dressed in white passed the ball. During the video, a person dressed in a black gorilla costume walks among the two teams. You would think that someone would notice the gorilla, right? Nearly half of the people who watched the video didn’t notice the gorilla at all, despite the fact that he was clearly visible for nine seconds. Because participants were so focused on the number of times the team dressed in white was passing the ball, they completely tuned out other visual information. Inattentional blindness is the failure to notice something that is completely visible because the person was actively attending to something else and did not pay attention to other things (Mack & Rock, 1998; Simons & Chabris, 1999).
In a similar experiment, researchers tested inattentional blindness by asking participants to observe images moving across a computer screen. They were instructed to focus on either white or black objects, disregarding the other color. When a red cross passed across the screen, about one third of subjects did not notice it () (Most, Simons, Scholl, & Chabris, 2000).
Motivation can also affect perception. Have you ever been expecting a really important phone call and, while taking a shower, you think you hear the phone ringing, only to discover that it is not? If so, then you have experienced how motivation to detect a meaningful stimulus can shift our ability to discriminate between a true sensory stimulus and background noise. The ability to identify a stimulus when it is embedded in a distracting background is called signal detection theory. This might also explain why a mother is awakened by a quiet murmur from her baby but not by other sounds that occur while she is asleep. Signal detection theory has practical applications, such as increasing air traffic controller accuracy. Controllers need to be able to detect planes among many signals (blips) that appear on the radar screen and follow those planes as they move through the sky. In fact, the original work of the researcher who developed signal detection theory was focused on improving the sensitivity of air traffic controllers to plane blips (Swets, 1964).
Our perceptions can also be affected by our beliefs, values, prejudices, expectations, and life experiences. As you will see later in this chapter, individuals who are deprived of the experience of binocular vision during critical periods of development have trouble perceiving depth (Fawcett, Wang, & Birch, 2005). The shared experiences of people within a given cultural context can have pronounced effects on perception. For example, Marshall Segall, Donald Campbell, and Melville Herskovits (1963) published the results of a multinational study in which they demonstrated that individuals from Western cultures were more prone to experience certain types of visual illusions than individuals from non-Western cultures, and vice versa. One such illusion that Westerners were more likely to experience was the Müller-Lyer illusion (): The lines appear to be different lengths, but they are actually the same length.
These perceptual differences were consistent with differences in the types of environmental features experienced on a regular basis by people in a given cultural context. People in Western cultures, for example, have a perceptual context of buildings with straight lines, what Segall’s study called a carpentered world (Segall et al., 1966). In contrast, people from certain non-Western cultures with an uncarpentered view, such as the Zulu of South Africa, whose villages are made up of round huts arranged in circles, are less susceptible to this illusion (Segall et al., 1999). It is not just vision that is affected by cultural factors. Indeed, research has demonstrated that the ability to identify an odor, and rate its pleasantness and its intensity, varies cross-culturally (Ayabe-Kanamura, Saito, Distel, Martínez-Gómez, & Hudson, 1998).
Children described as thrill seekers are more likely to show taste preferences for intense sour flavors (Liem, Westerbeek, Wolterink, Kok, & de Graaf, 2004), which suggests that basic aspects of personality might affect perception. Furthermore, individuals who hold positive attitudes toward reduced-fat foods are more likely to rate foods labeled as reduced fat as tasting better than people who have less positive attitudes about these products (Aaron, Mela, & Evans, 1994).
### Summary
Sensation occurs when sensory receptors detect sensory stimuli. Perception involves the organization, interpretation, and conscious experience of those sensations. All sensory systems have both absolute and difference thresholds, which refer to the minimum amount of stimulus energy or the minimum amount of difference in stimulus energy required to be detected about 50% of the time, respectively. Sensory adaptation, selective attention, and signal detection theory can help explain what is perceived and what is not. In addition, our perceptions are affected by a number of factors, including beliefs, values, prejudices, culture, and life experiences.
### Review Questions
### Critical Thinking Question
### Personal Application Question
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# Sensation and Perception
## Waves and Wavelengths
Visual and auditory stimuli both occur in the form of waves. Although the two stimuli are very different in terms of composition, wave forms share similar characteristics that are especially important to our visual and auditory perceptions. In this section, we describe the physical properties of the waves as well as the perceptual experiences associated with them.
### Amplitude and Wavelength
Two physical characteristics of a wave are amplitude and wavelength (). The amplitude of a wave is the distance from the center line to the top point of the crest or the bottom point of the trough. Wavelength refers to the length of a wave from one peak to the next.
Wavelength is directly related to the frequency of a given wave form. Frequency refers to the number of waves that pass a given point in a given time period and is often expressed in terms of hertz (Hz), or cycles per second. Longer wavelengths will have lower frequencies, and shorter wavelengths will have higher frequencies ().
### Light Waves
The visible spectrum is the portion of the larger electromagnetic spectrum that we can see. As shows, the electromagnetic spectrum encompasses all of the electromagnetic radiation that occurs in our environment and includes gamma rays, x-rays, ultraviolet light, visible light, infrared light, microwaves, and radio waves. The visible spectrum in humans is associated with wavelengths that range from 380 to 740 nm—a very small distance, since a nanometer (nm) is one billionth of a meter. Other species can detect other portions of the electromagnetic spectrum. For instance, honeybees can see light in the ultraviolet range (Wakakuwa, Stavenga, & Arikawa, 2007), and some snakes can detect infrared radiation in addition to more traditional visual light cues (Chen, Deng, Brauth, Ding, & Tang, 2012; Hartline, Kass, & Loop, 1978).
In humans, light wavelength is associated with perception of color (). Within the visible spectrum, our experience of red is associated with longer wavelengths, greens are intermediate, and blues and violets are shorter in wavelength. (An easy way to remember this is the mnemonic ROYGBIV: red, orange, yellow, green, blue, indigo, violet.) The amplitude of light waves is associated with our experience of brightness or intensity of color, with larger amplitudes appearing brighter.
### Sound Waves
Like light waves, the physical properties of sound waves are associated with various aspects of our perception of sound. The frequency of a sound wave is associated with our perception of that sound’s pitch. High-frequency sound waves are perceived as high-pitched sounds, while low-frequency sound waves are perceived as low-pitched sounds. The audible range of sound frequencies is between 20 and 20000 Hz, with greatest sensitivity to those frequencies that fall in the middle of this range.
As was the case with the visible spectrum, other species show differences in their audible ranges. For instance, chickens have a very limited audible range, from 125 to 2000 Hz. Mice have an audible range from 1000 to 91000 Hz, and the beluga whale’s audible range is from 1000 to 123000 Hz. Our pet dogs and cats have audible ranges of about 70–45000 Hz and 45–64000 Hz, respectively (Strain, 2003).
The loudness of a given sound is closely associated with the amplitude of the sound wave. Higher amplitudes are associated with louder sounds. Loudness is measured in terms of decibels (dB), a logarithmic unit of sound intensity. A typical conversation would correlate with 60 dB; a rock concert might check in at 120 dB (). A whisper 5 feet away or rustling leaves are at the low end of our hearing range; sounds like a window air conditioner, a normal conversation, and even heavy traffic or a vacuum cleaner are within a tolerable range. However, there is the potential for hearing damage from about 80 dB to 130 dB: These are sounds of a food processor, power lawnmower, heavy truck (25 feet away), subway train (20 feet away), live rock music, and a jackhammer. About one-third of all hearing loss is due to noise exposure, and the louder the sound, the shorter the exposure needed to cause hearing damage (Le, Straatman, Lea, & Westerberg, 2017). Listening to music through earbuds at maximum volume (around 100–105 decibels) can cause noise-induced hearing loss after 15 minutes of exposure. Although listening to music at maximum volume may not seem to cause damage, it increases the risk of age-related hearing loss (Kujawa & Liberman, 2006). The threshold for pain is about 130 dB, a jet plane taking off or a revolver firing at close range (Dunkle, 1982).
Although wave amplitude is generally associated with loudness, there is some interaction between frequency and amplitude in our perception of loudness within the audible range. For example, a 10 Hz sound wave is inaudible no matter the amplitude of the wave. A 1000 Hz sound wave, on the other hand, would vary dramatically in terms of perceived loudness as the amplitude of the wave increased.
Of course, different musical instruments can play the same musical note at the same level of loudness, yet they still sound quite different. This is known as the timbre of a sound. Timbre refers to a sound’s purity, and it is affected by the complex interplay of frequency, amplitude, and timing of sound waves.
### Summary
Both light and sound can be described in terms of wave forms with physical characteristics like amplitude, wavelength, and timbre. Wavelength and frequency are inversely related so that longer waves have lower frequencies, and shorter waves have higher frequencies. In the visual system, a light wave’s wavelength is generally associated with color, and its amplitude is associated with brightness. In the auditory system, a sound’s frequency is associated with pitch, and its amplitude is associated with loudness.
### Review Questions
### Critical Thinking Question
### Personal Application Question
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# Sensation and Perception
## Vision
The visual system constructs a mental representation of the world around us (). This contributes to our ability to successfully navigate through physical space and interact with important individuals and objects in our environments. This section will provide an overview of the basic anatomy and function of the visual system. In addition, we will explore our ability to perceive color and depth.
### Anatomy of the Visual System
The eye is the major sensory organ involved in vision (). Light waves are transmitted across the cornea and enter the eye through the pupil. The cornea is the transparent covering over the eye. It serves as a barrier between the inner eye and the outside world, and it is involved in focusing light waves that enter the eye. The pupil is the small opening in the eye through which light passes, and the size of the pupil can change as a function of light levels as well as emotional arousal. When light levels are low, the pupil will become dilated, or expanded, to allow more light to enter the eye. When light levels are high, the pupil will constrict, or become smaller, to reduce the amount of light that enters the eye. The pupil’s size is controlled by muscles that are connected to the iris, which is the colored portion of the eye.
After passing through the pupil, light crosses the lens, a curved, transparent structure that serves to provide additional focus. The lens is attached to muscles that can change its shape to aid in focusing light that is reflected from near or far objects. In a normal-sighted individual, the lens will focus images perfectly on a small indentation in the back of the eye known as the fovea, which is part of the retina, the light-sensitive lining of the eye. The fovea contains densely packed specialized photoreceptor cells (). These photoreceptor cells, known as cones, are light-detecting cells. The cones are specialized types of photoreceptors that work best in bright light conditions. Cones are very sensitive to acute detail and provide tremendous spatial resolution. They also are directly involved in our ability to perceive color.
While cones are concentrated in the fovea, where images tend to be focused, rods, another type of photoreceptor, are located throughout the remainder of the retina. Rods are specialized photoreceptors that work well in low light conditions, and while they lack the spatial resolution and color function of the cones, they are involved in our vision in dimly lit environments as well as in our perception of movement on the periphery of our visual field.
We have all experienced the different sensitivities of rods and cones when making the transition from a brightly lit environment to a dimly lit environment. Imagine going to see a blockbuster movie on a clear summer day. As you walk from the brightly lit lobby into the dark theater, you notice that you immediately have difficulty seeing much of anything. After a few minutes, you begin to adjust to the darkness and can see the interior of the theater. In the bright environment, your vision was dominated primarily by cone activity. As you move to the dark environment, rod activity dominates, but there is a delay in transitioning between the phases. If your rods do not transform light into nerve impulses as easily and efficiently as they should, you will have difficulty seeing in dim light, a condition known as night blindness.
Rods and cones are connected (via several interneurons) to retinal ganglion cells. Axons from the retinal ganglion cells converge and exit through the back of the eye to form the optic nerve. The optic nerve carries visual information from the retina to the brain. There is a point in the visual field called the blind spot: Even when light from a small object is focused on the blind spot, we do not see it. We are not consciously aware of our blind spots for two reasons: First, each eye gets a slightly different view of the visual field; therefore, the blind spots do not overlap. Second, our visual system fills in the blind spot so that although we cannot respond to visual information that occurs in that portion of the visual field, we are also not aware that information is missing.
The optic nerve from each eye merges just below the brain at a point called the optic chiasm. As shows, the optic chiasm is an X-shaped structure that sits just below the cerebral cortex at the front of the brain. At the point of the optic chiasm, information from the right visual field (which comes from both eyes) is sent to the left side of the brain, and information from the left visual field is sent to the right side of the brain.
Once inside the brain, visual information is sent via a number of structures to the occipital lobe at the back of the brain for processing. Visual information might be processed in parallel pathways which can generally be described as the “what pathway” and the “where/how” pathway. The “what pathway” is involved in object recognition and identification, while the “where/how pathway” is involved with location in space and how one might interact with a particular visual stimulus (Milner & Goodale, 2008; Ungerleider & Haxby, 1994). For example, when you see a ball rolling down the street, the “what pathway” identifies what the object is, and the “where/how pathway” identifies its location or movement in space.
### Color and Depth Perception
We do not see the world in black and white; neither do we see it as two-dimensional (2-D) or flat (just height and width, no depth). Let’s look at how color vision works and how we perceive three dimensions (height, width, and depth).
### Color Vision
Normal-sighted individuals have three different types of cones that mediate color vision. Each of these cone types is maximally sensitive to a slightly different wavelength of light. According to the trichromatic theory of color vision, shown in , all colors in the spectrum can be produced by combining red, green, and blue. The three types of cones are each receptive to one of the colors.
The trichromatic theory of color vision is not the only theory—another major theory of color vision is known as the opponent-process theory. According to this theory, color is coded in opponent pairs: black-white, yellow-blue, and green-red. The basic idea is that some cells of the visual system are excited by one of the opponent colors and inhibited by the other. So, a cell that was excited by wavelengths associated with green would be inhibited by wavelengths associated with red, and vice versa. One of the implications of opponent processing is that we do not experience greenish-reds or yellowish-blues as colors. Another implication is that this leads to the experience of negative afterimages. An afterimage describes the continuation of a visual sensation after removal of the stimulus. For example, when you stare briefly at the sun and then look away from it, you may still perceive a spot of light although the stimulus (the sun) has been removed. When color is involved in the stimulus, the color pairings identified in the opponent-process theory lead to a negative afterimage. You can test this concept using the flag in .
But these two theories—the trichromatic theory of color vision and the opponent-process theory—are not mutually exclusive. Research has shown that they just apply to different levels of the nervous system. For visual processing on the retina, trichromatic theory applies: the cones are responsive to three different wavelengths that represent red, blue, and green. But once the signal moves past the retina on its way to the brain, the cells respond in a way consistent with opponent-process theory (Land, 1959; Kaiser, 1997).
### Depth Perception
Our ability to perceive spatial relationships in three-dimensional (3-D) space is known as depth perception. With depth perception, we can describe things as being in front, behind, above, below, or to the side of other things.
Our world is three-dimensional, so it makes sense that our mental representation of the world has three-dimensional properties. We use a variety of cues in a visual scene to establish our sense of depth. Some of these are binocular cues, which means that they rely on the use of both eyes. One example of a binocular depth cue is binocular disparity, the slightly different view of the world that each of our eyes receives. To experience this slightly different view, do this simple exercise: extend your arm fully and extend one of your fingers and focus on that finger. Now, close your left eye without moving your head, then open your left eye and close your right eye without moving your head. You will notice that your finger seems to shift as you alternate between the two eyes because of the slightly different view each eye has of your finger.
A 3-D movie works on the same principle: the special glasses you wear allow the two slightly different images projected onto the screen to be seen separately by your left and your right eye. As your brain processes these images, you have the illusion that the leaping animal or running person is coming right toward you.
Although we rely on binocular cues to experience depth in our 3-D world, we can also perceive depth in 2-D arrays. Think about all the paintings and photographs you have seen. Generally, you pick up on depth in these images even though the visual stimulus is 2-D. When we do this, we are relying on a number of monocular cues, or cues that require only one eye. If you think you can’t see depth with one eye, note that you don’t bump into things when using only one eye while walking—and, in fact, we have more monocular cues than binocular cues.
An example of a monocular cue would be what is known as linear perspective. Linear perspective refers to the fact that we perceive depth when we see two parallel lines that seem to converge in an image (). Some other monocular depth cues are interposition, the partial overlap of objects, and the relative size and closeness of images to the horizon.
### Summary
Light waves cross the cornea and enter the eye at the pupil. The eye’s lens focuses this light so that the image is focused on a region of the retina known as the fovea. The fovea contains cones that possess high levels of visual acuity and operate best in bright light conditions. Rods are located throughout the retina and operate best under dim light conditions. Visual information leaves the eye via the optic nerve. Information from each visual field is sent to the opposite side of the brain at the optic chiasm. Visual information then moves through a number of brain sites before reaching the occipital lobe, where it is processed.
Two theories explain color perception. The trichromatic theory asserts that three distinct cone groups are tuned to slightly different wavelengths of light, and it is the combination of activity across these cone types that results in our perception of all the colors we see. The opponent-process theory of color vision asserts that color is processed in opponent pairs and accounts for the interesting phenomenon of a negative afterimage. We perceive depth through a combination of monocular and binocular depth cues.
### Review Questions
### Critical Thinking Question
### Personal Application Question
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# Sensation and Perception
## Hearing
Our auditory system converts pressure waves into meaningful sounds. This translates into our ability to hear the sounds of nature, to appreciate the beauty of music, and to communicate with one another through spoken language. This section will provide an overview of the basic anatomy and function of the auditory system. It will include a discussion of how the sensory stimulus is translated into neural impulses, where in the brain that information is processed, how we perceive pitch, and how we know where sound is coming from.
### Anatomy of the Auditory System
The ear can be separated into multiple sections. The outer ear includes the pinna, which is the visible part of the ear that protrudes from our heads, the auditory canal, and the tympanic membrane, or eardrum. The middle ear contains three tiny bones known as the ossicles, which are named the malleus (or hammer), incus (or anvil), and the stapes (or stirrup). The inner ear contains the semi-circular canals, which are involved in balance and movement (the vestibular sense), and the cochlea. The cochlea is a fluid-filled, snail-shaped structure that contains the sensory receptor cells (hair cells) of the auditory system ().
Sound waves travel along the auditory canal and strike the tympanic membrane, causing it to vibrate. This vibration results in movement of the three ossicles. As the ossicles move, the stapes presses into a thin membrane of the cochlea known as the oval window. As the stapes presses into the oval window, the fluid inside the cochlea begins to move, which in turn stimulates hair cells, which are auditory receptor cells of the inner ear embedded in the basilar membrane. The basilar membrane is a thin strip of tissue within the cochlea.
The activation of hair cells is a mechanical process: the stimulation of the hair cell ultimately leads to activation of the cell. As hair cells become activated, they generate neural impulses that travel along the auditory nerve to the brain. Auditory information is shuttled to the inferior colliculus, the medial geniculate nucleus of the thalamus, and finally to the auditory cortex in the temporal lobe of the brain for processing. Like the visual system, there is also evidence suggesting that information about auditory recognition and localization is processed in parallel streams (Rauschecker & Tian, 2000; Renier et al., 2009).
### Pitch Perception
Different frequencies of sound waves are associated with differences in our perception of the pitch of those sounds. Low-frequency sounds are lower pitched, and high-frequency sounds are higher pitched. How does the auditory system differentiate among various pitches?
Several theories have been proposed to account for pitch perception. We’ll discuss two of them here: temporal theory and place theory. The temporal theory of pitch perception asserts that frequency is coded by the activity level of a sensory neuron. This would mean that a given hair cell would fire action potentials related to the frequency of the sound wave. While this is a very intuitive explanation, we detect such a broad range of frequencies (20–20,000 Hz) that the frequency of action potentials fired by hair cells cannot account for the entire range. Because of properties related to sodium channels on the neuronal membrane that are involved in action potentials, there is a point at which a cell cannot fire any faster (Shamma, 2001).
The place theory of pitch perception suggests that different portions of the basilar membrane are sensitive to sounds of different frequencies. More specifically, the base of the basilar membrane responds best to high frequencies and the tip of the basilar membrane responds best to low frequencies. Therefore, hair cells that are in the base portion would be labeled as high-pitch receptors, while those in the tip of basilar membrane would be labeled as low-pitch receptors (Shamma, 2001).
In reality, both theories explain different aspects of pitch perception. At frequencies up to about 4000 Hz, it is clear that both the rate of action potentials and place contribute to our perception of pitch. However, much higher frequency sounds can only be encoded using place cues (Shamma, 2001).
### Sound Localization
The ability to locate sound in our environments is an important part of hearing. Localizing sound could be considered similar to the way that we perceive depth in our visual fields. Like the monocular and binocular cues that provided information about depth, the auditory system uses both monaural (one-eared) and binaural (two-eared) cues to localize sound.
Each pinna interacts with incoming sound waves differently, depending on the sound’s source relative to our bodies. This interaction provides a monaural cue that is helpful in locating sounds that occur above or below and in front or behind us. The sound waves received by your two ears from sounds that come from directly above, below, in front, or behind you would be identical; therefore, monaural cues are essential (Grothe, Pecka, & McAlpine, 2010).
Binaural cues, on the other hand, provide information on the location of a sound along a horizontal axis by relying on differences in patterns of vibration of the eardrum between our two ears. If a sound comes from an off-center location, it creates two types of binaural cues: interaural level differences and interaural timing differences. Interaural level difference refers to the fact that a sound coming from the right side of your body is more intense at your right ear than at your left ear because of the attenuation of the sound wave as it passes through your head. Interaural timing difference refers to the small difference in the time at which a given sound wave arrives at each ear (). Certain brain areas monitor these differences to construct where along a horizontal axis a sound originates (Grothe et al., 2010).
### Hearing Loss
Deafness is the partial or complete inability to hear. Some people are born without hearing, which is known as congenital deafness. Other people suffer from conductive hearing loss, which is due to a problem delivering sound energy to the cochlea. Causes for conductive hearing loss include blockage of the ear canal, a hole in the tympanic membrane, problems with the ossicles, or fluid in the space between the eardrum and cochlea. Another group of people suffer from sensorineural hearing loss, which is the most common form of hearing loss. Sensorineural hearing loss can be caused by many factors, such as aging, head or acoustic trauma, infections and diseases (such as measles or mumps), medications, environmental effects such as noise exposure (noise-induced hearing loss, as shown in ), tumors, and toxins (such as those found in certain solvents and metals).
Given the mechanical nature by which the sound wave stimulus is transmitted from the eardrum through the ossicles to the oval window of the cochlea, some degree of hearing loss is inevitable. With conductive hearing loss, hearing problems are associated with a failure in the vibration of the eardrum and/or movement of the ossicles. These problems are often dealt with through devices like hearing aids that amplify incoming sound waves to make vibration of the eardrum and movement of the ossicles more likely to occur.
When the hearing problem is associated with a failure to transmit neural signals from the cochlea to the brain, it is called sensorineural hearing loss. One disease that results in sensorineural hearing loss is Ménière's disease. Although not well understood, Ménière's disease results in a degeneration of inner ear structures that can lead to hearing loss, tinnitus (constant ringing or buzzing), vertigo (a sense of spinning), and an increase in pressure within the inner ear (Semaan & Megerian, 2011). This kind of loss cannot be treated with hearing aids, but some individuals might be candidates for a cochlear implant as a treatment option. Cochlear implants are electronic devices that consist of a microphone, a speech processor, and an electrode array. The device receives incoming sound information and directly stimulates the auditory nerve to transmit information to the brain.
### Summary
Sound waves are funneled into the auditory canal and cause vibrations of the eardrum; these vibrations move the ossicles. As the ossicles move, the stapes presses against the oval window of the cochlea, which causes fluid inside the cochlea to move. As a result, hair cells embedded in the basilar membrane become enlarged, which sends neural impulses to the brain via the auditory nerve.
Pitch perception and sound localization are important aspects of hearing. Our ability to perceive pitch relies on both the firing rate of the hair cells in the basilar membrane as well as their location within the membrane. In terms of sound localization, both monaural and binaural cues are used to locate where sounds originate in our environment.
Individuals can be born deaf, or they can develop deafness as a result of age, genetic predisposition, and/or environmental causes. Hearing loss that results from a failure of the vibration of the eardrum or the resultant movement of the ossicles is called conductive hearing loss. Hearing loss that involves a failure of the transmission of auditory nerve impulses to the brain is called sensorineural hearing loss.
### Review Questions
### Critical Thinking Question
### Personal Application Question
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# Sensation and Perception
## The Other Senses
Vision and hearing have received an incredible amount of attention from researchers over the years. While there is still much to be learned about how these sensory systems work, we have a much better understanding of them than of our other sensory modalities. In this section, we will explore our chemical senses (taste and smell) and our body senses (touch, temperature, pain, balance, and body position).
### The Chemical Senses
Taste (gustation) and smell (olfaction) are called chemical senses because both have sensory receptors that respond to molecules in the food we eat or in the air we breathe. There is a pronounced interaction between our chemical senses. For example, when we describe the flavor of a given food, we are really referring to both gustatory and olfactory properties of the food working in combination.
### Taste (Gustation)
You have learned since elementary school that there are four basic groupings of taste: sweet, salty, sour, and bitter. Research demonstrates, however, that we have at least six taste groupings. Umami is our fifth taste. Umami is actually a Japanese word that roughly translates to yummy, and it is associated with a taste for monosodium glutamate (Kinnamon & Vandenbeuch, 2009). There is also a growing body of experimental evidence suggesting that we possess a taste for the fatty content of a given food (Mizushige, Inoue, & Fushiki, 2007).
Molecules from the food and beverages we consume dissolve in our saliva and interact with taste receptors on our tongue and in our mouth and throat. Taste buds are formed by groupings of taste receptor cells with hair-like extensions that protrude into the central pore of the taste bud (). Taste buds have a life cycle of ten days to two weeks, so even destroying some by burning your tongue won’t have any long-term effect; they just grow right back. Taste molecules bind to receptors on this extension and cause chemical changes within the sensory cell that result in neural impulses being transmitted to the brain via different nerves, depending on where the receptor is located. Taste information is transmitted to the medulla, thalamus, and limbic system, and to the gustatory cortex, which is tucked underneath the overlap between the frontal and temporal lobes (Maffei, Haley, & Fontanini, 2012; Roper, 2013).
### Smell (Olfaction)
Olfactory receptor cells are located in a mucous membrane at the top of the nose. Small hair-like extensions from these receptors serve as the sites for odor molecules dissolved in the mucus to interact with chemical receptors located on these extensions (). Once an odor molecule has bound a given receptor, chemical changes within the cell result in signals being sent to the olfactory bulb: a bulb-like structure at the tip of the frontal lobe where the olfactory nerves begin. From the olfactory bulb, information is sent to regions of the limbic system and to the primary olfactory cortex, which is located very near the gustatory cortex (Lodovichi & Belluscio, 2012; Spors et al., 2013).
There is tremendous variation in the sensitivity of the olfactory systems of different species. We often think of dogs as having far superior olfactory systems than our own, and indeed, dogs can do some remarkable things with their noses. There is some evidence to suggest that dogs can “smell” dangerous drops in blood glucose levels as well as cancerous tumors (Wells, 2010). Dogs’ extraordinary olfactory abilities may be due to the increased number of functional genes for olfactory receptors (between 800 and 1200), compared to the fewer than 400 observed in humans and other primates (Niimura & Nei, 2007).
Many species respond to chemical messages, known as pheromones, sent by another individual (Wysocki & Preti, 2004). Pheromonal communication often involves providing information about the reproductive status of a potential mate. So, for example, when a female rat is ready to mate, it secretes pheromonal signals that draw attention from nearby male rats. Pheromonal activation is actually an important component in eliciting sexual behavior in the male rat (Furlow, 1996, 2012; Purvis & Haynes, 1972; Sachs, 1997). There has also been a good deal of research (and controversy) about pheromones in humans (Comfort, 1971; Russell, 1976; Wolfgang-Kimball, 1992; Weller, 1998).
### Touch, Thermoception, and Nociception
A number of receptors are distributed throughout the skin to respond to various touch-related stimuli (). These receptors include Meissner’s corpuscles, Pacinian corpuscles, Merkel’s disks, and Ruffini corpuscles. Meissner’s corpuscles respond to pressure and lower frequency vibrations, and Pacinian corpuscles detect transient pressure and higher frequency vibrations. Merkel’s disks respond to light pressure, while Ruffini corpuscles detect stretch (Abraira & Ginty, 2013).
In addition to the receptors located in the skin, there are also a number of free nerve endings that serve sensory functions. These nerve endings respond to a variety of different types of touch-related stimuli and serve as sensory receptors for both thermoception (temperature perception) and nociception (a signal indicating potential harm and maybe pain) (Garland, 2012; Petho & Reeh, 2012; Spray, 1986). Sensory information collected from the receptors and free nerve endings travels up the spinal cord and is transmitted to regions of the medulla, thalamus, and ultimately to somatosensory cortex, which is located in the postcentral gyrus of the parietal lobe.
### Pain Perception
Pain is an unpleasant experience that involves both physical and psychological components. Feeling pain is quite adaptive because it makes us aware of an injury, and it motivates us to remove ourselves from the cause of that injury. In addition, pain also makes us less likely to suffer additional injury because we will be gentler with our injured body parts.
Generally speaking, pain can be considered to be neuropathic or inflammatory in nature. Pain that signals some type of tissue damage is known as inflammatory pain. In some situations, pain results from damage to neurons of either the peripheral or central nervous system. As a result, pain signals that are sent to the brain get exaggerated. This type of pain is known as neuropathic pain. Multiple treatment options for pain relief range from relaxation therapy to the use of analgesic medications to deep brain stimulation. The most effective treatment option for a given individual will depend on a number of considerations, including the severity and persistence of the pain and any medical/psychological conditions.
Some individuals are born without the ability to feel pain. This very rare genetic disorder is known as congenital insensitivity to pain (or congenital analgesia). While those with congenital analgesia can detect differences in temperature and pressure, they cannot experience pain. As a result, they often suffer significant injuries. Young children have serious mouth and tongue injuries because they have bitten themselves repeatedly. Not surprisingly, individuals suffering from this disorder have much shorter life expectancies due to their injuries and secondary infections of injured sites (U.S. National Library of Medicine, 2013).
### The Vestibular Sense, Proprioception, and Kinesthesia
The vestibular sense contributes to our ability to maintain balance and body posture. As shows, the major sensory organs (utricle, saccule, and the three semicircular canals) of this system are located next to the cochlea in the inner ear. The vestibular organs are fluid-filled and have hair cells, similar to the ones found in the auditory system, which respond to movement of the head and gravitational forces. When these hair cells are stimulated, they send signals to the brain via the vestibular nerve. Although we may not be consciously aware of our vestibular system’s sensory information under normal circumstances, its importance is apparent when we experience motion sickness and/or dizziness related to infections of the inner ear (Khan & Chang, 2013).
In addition to maintaining balance, the vestibular system collects information critical for controlling movement and the reflexes that move various parts of our bodies to compensate for changes in body position. Therefore, both proprioception (perception of body position) and kinesthesia (perception of the body’s movement through space) interact with information provided by the vestibular system.
These sensory systems also gather information from receptors that respond to stretch and tension in muscles, joints, skin, and tendons (Lackner & DiZio, 2005; Proske, 2006; Proske & Gandevia, 2012). Proprioceptive and kinesthetic information travels to the brain via the spinal column. Several cortical regions in addition to the cerebellum receive information from and send information to the sensory organs of the proprioceptive and kinesthetic systems.
### Summary
Taste (gustation) and smell (olfaction) are chemical senses that employ receptors on the tongue and in the nose that bind directly with taste and odor molecules in order to transmit information to the brain for processing. Our ability to perceive touch, temperature, and pain is mediated by a number of receptors and free nerve endings that are distributed throughout the skin and various tissues of the body. The vestibular sense helps us maintain a sense of balance through the response of hair cells in the utricle, saccule, and semi-circular canals that respond to changes in head position and gravity. Our proprioceptive and kinesthetic systems provide information about body position and body movement through receptors that detect stretch and tension in the muscles, joints, tendons, and skin of the body.
### Review Questions
### Critical Thinking Question
### Personal Application Question
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# Sensation and Perception
## Gestalt Principles of Perception
In the early part of the 20th century, Max Wertheimer published a paper demonstrating that individuals perceived motion in rapidly flickering static images—an insight that came to him as he used a child’s toy tachistoscope. Wertheimer, and his assistants Wolfgang Köhler and Kurt Koffka, who later became his partners, believed that perception involved more than simply combining sensory stimuli. This belief led to a new movement within the field of psychology known as Gestalt psychology. The word gestalt literally means form or pattern, but its use reflects the idea that the whole is different from the sum of its parts. In other words, the brain creates a perception that is more than simply the sum of available sensory inputs, and it does so in predictable ways. Gestalt psychologists translated these predictable ways into principles by which we organize sensory information. As a result, Gestalt psychology has been extremely influential in the area of sensation and perception (Rock & Palmer, 1990).
One Gestalt principle is the figure-ground relationship. According to this principle, we tend to segment our visual world into figure and ground. Figure is the object or person that is the focus of the visual field, while the ground is the background. As shows, our perception can vary tremendously, depending on what is perceived as figure and what is perceived as ground. Presumably, our ability to interpret sensory information depends on what we label as figure and what we label as ground in any particular case, although this assumption has been called into question (Peterson & Gibson, 1994; Vecera & O’Reilly, 1998).
Another Gestalt principle for organizing sensory stimuli into meaningful perception is proximity. This principle asserts that things that are close to one another tend to be grouped together, as illustrates.
How we read something provides another illustration of the proximity concept. For example, we read this sentence like this, notl iket hiso rt hat. We group the letters of a given word together because there are no spaces between the letters, and we perceive words because there are spaces between each word. Here are some more examples: Cany oum akes enseo ft hiss entence? What doth es e wor dsmea n?
We might also use the principle of similarity to group things in our visual fields. According to this principle, things that are alike tend to be grouped together (). For example, when watching a football game, we tend to group individuals based on the colors of their uniforms. When watching an offensive drive, we can get a sense of the two teams simply by grouping along this dimension.
Two additional Gestalt principles are the law of continuity (or good continuation) and closure. The law of continuity suggests that we are more likely to perceive continuous, smooth flowing lines rather than jagged, broken lines (). The principle of closure states that we organize our perceptions into complete objects rather than as a series of parts ().
According to Gestalt theorists, pattern perception, or our ability to discriminate among different figures and shapes, occurs by following the principles described above. You probably feel fairly certain that your perception accurately matches the real world, but this is not always the case. Our perceptions are based on perceptual hypotheses: educated guesses that we make while interpreting sensory information. These hypotheses are informed by a number of factors, including our personalities, experiences, and expectations. We use these hypotheses to generate our perceptual set. For instance, research has demonstrated that those who are given verbal priming produce a biased interpretation of complex ambiguous figures (Goolkasian & Woodbury, 2010).
### Summary
Gestalt theorists have been incredibly influential in the areas of sensation and perception. Gestalt principles such as figure-ground relationship, grouping by proximity or similarity, the law of good continuation, and closure are all used to help explain how we organize sensory information. Our perceptions are not infallible, and they can be influenced by bias, prejudice, and other factors.
### Review Questions
### Critical Thinking Question
### Personal Application Question
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# Learning
## Introduction
The summer sun shines brightly on a deserted stretch of beach. Suddenly, a tiny grey head emerges from the sand, then another and another. Soon the beach is teeming with loggerhead sea turtle hatchlings (). Although only minutes old, the hatchlings know exactly what to do. Their flippers are not very efficient for moving across the hot sand, yet they continue onward, instinctively. Some are quickly snapped up by gulls circling overhead and others become lunch for hungry ghost crabs that dart out of their holes. Despite these dangers, the hatchlings are driven to leave the safety of their nest and find the ocean.
Not far down this same beach, Ben and his son, Julian, paddle out into the ocean on surfboards. A wave approaches. Julian crouches on his board, then jumps up and rides the wave for a few seconds before losing his balance. He emerges from the water in time to watch his father ride the face of the wave.
Unlike baby sea turtles, which know how to find the ocean and swim with no help from their parents, we are not born knowing how to swim (or surf). Yet we humans pride ourselves on our ability to learn. In fact, over thousands of years and across cultures, we have created institutions devoted entirely to learning. But have you ever asked yourself how exactly it is that we learn? What processes are at work as we come to know what we know? This chapter focuses on the primary ways in which learning occurs.
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# Learning
## What Is Learning?
Birds build nests and migrate as winter approaches. Infants suckle for nourishment. Dogs shake water off wet fur. Salmon swim upstream to spawn, and spiders spin intricate webs. What do these seemingly unrelated behaviors have in common? They all are unlearned behaviors. Both instincts and reflexes are innate (unlearned) behaviors that organisms are born with. Reflexes are a motor or neural reaction to a specific stimulus in the environment. They tend to be simpler than instincts, involve the activity of specific body parts and systems (e.g., the knee-jerk reflex and the contraction of the pupil in bright light), and involve more primitive centers of the central nervous system (e.g., the spinal cord and the medulla). In contrast, instincts are innate behaviors that are triggered by a broader range of events, such as maturation and the change of seasons. They are more complex patterns of behavior, involve movement of the organism as a whole (e.g., sexual activity and migration), and involve higher brain centers.
Both reflexes and instincts help an organism adapt to its environment and do not have to be learned. For example, every healthy human baby has a sucking reflex, present at birth. Babies are born knowing how to suck on a nipple, whether artificial (from a bottle) or human. Nobody teaches the baby to suck, just as no one teaches a sea turtle hatchling to move toward the ocean.
Learning, like reflexes and instincts, allows an organism to adapt to its environment. But unlike instincts and reflexes, learned behaviors involve change and experience: learning is a relatively permanent change in behavior or knowledge that results from experience. In contrast to the innate behaviors discussed above, learning involves acquiring knowledge and skills through experience. Looking back at our surfing scenario, Julian will have to spend much more time training with his surfboard before he learns how to ride the waves like his father.
Learning to surf, as well as any complex learning process (e.g., learning about the discipline of psychology), involves a complex interaction of conscious and unconscious processes. Learning has traditionally been studied in terms of its simplest components—the associations our minds automatically make between events. Our minds have a natural tendency to connect events that occur closely together or in sequence. Associative learning occurs when an organism makes connections between stimuli or events that occur together in the environment. You will see that associative learning is central to all three basic learning processes discussed in this chapter; classical conditioning tends to involve unconscious processes, operant conditioning tends to involve conscious processes, and observational learning adds social and cognitive layers to all the basic associative processes, both conscious and unconscious. These learning processes will be discussed in detail later in the chapter, but it is helpful to have a brief overview of each as you begin to explore how learning is understood from a psychological perspective.
In classical conditioning, also known as Pavlovian conditioning, organisms learn to associate events—or stimuli—that repeatedly happen together. We experience this process throughout our daily lives. For example, you might see a flash of lightning in the sky during a storm and then hear a loud boom of thunder. The sound of the thunder naturally makes you jump (loud noises have that effect by reflex). Because lightning reliably predicts the impending boom of thunder, you may associate the two and jump when you see lightning. Psychological researchers study this associative process by focusing on what can be seen and measured—behaviors. Researchers ask if one stimulus triggers a reflex, can we train a different stimulus to trigger that same reflex?
In operant conditioning, organisms learn, again, to associate events—a behavior and its consequence (reinforcement or punishment). A pleasant consequence encourages more of that behavior in the future, whereas a punishment deters the behavior. Imagine you are teaching your dog, Hodor, to sit. You tell Hodor to sit, and give him a treat when he does. After repeated experiences, Hodor begins to associate the act of sitting with receiving a treat. He learns that the consequence of sitting is that he gets a doggie biscuit (). Conversely, if the dog is punished when exhibiting a behavior, it becomes conditioned to avoid that behavior (e.g., receiving a small shock when crossing the boundary of an invisible electric fence).
Observational learning extends the effective range of both classical and operant conditioning. In contrast to classical and operant conditioning, in which learning occurs only through direct experience, observational learning is the process of watching others and then imitating what they do. A lot of learning among humans and other animals comes from observational learning. To get an idea of the extra effective range that observational learning brings, consider Ben and his son Julian from the introduction. How might observation help Julian learn to surf, as opposed to learning by trial and error alone? By watching his father, he can imitate the moves that bring success and avoid the moves that lead to failure. Can you think of something you have learned how to do after watching someone else?
All of the approaches covered in this chapter are part of a particular tradition in psychology, called behaviorism, which we discuss in the next section. However, these approaches do not represent the entire study of learning. Separate traditions of learning have taken shape within different fields of psychology, such as memory and cognition, so you will find that other chapters will round out your understanding of the topic. Over time these traditions tend to converge. For example, in this chapter you will see how cognition has come to play a larger role in behaviorism, whose more extreme adherents once insisted that behaviors are triggered by the environment with no intervening thought.
### Summary
Instincts and reflexes are innate behaviors—they occur naturally and do not involve learning. In contrast, learning is a change in behavior or knowledge that results from experience. There are three main types of learning: classical conditioning, operant conditioning, and observational learning. Both classical and operant conditioning are forms of associative learning where associations are made between events that occur together. Observational learning is just as it sounds: learning by observing others.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Learning
## Classical Conditioning
Does the name Ivan Pavlov ring a bell? Even if you are new to the study of psychology, chances are that you have heard of Pavlov and his famous dogs.
Pavlov (1849–1936), a Russian scientist, performed extensive research on dogs and is best known for his experiments in classical conditioning (). As we discussed briefly in the previous section, classical conditioning is a process by which we learn to associate stimuli and, consequently, to anticipate events.
Pavlov came to his conclusions about how learning occurs completely by accident. Pavlov was a physiologist, not a psychologist. Physiologists study the life processes of organisms, from the molecular level to the level of cells, organ systems, and entire organisms. Pavlov’s area of interest was the digestive system (Hunt, 2007). In his studies with dogs, Pavlov measured the amount of saliva produced in response to various foods. Over time, Pavlov (1927) observed that the dogs began to salivate not only at the taste of food, but also at the sight of food, at the sight of an empty food bowl, and even at the sound of the laboratory assistants' footsteps. Salivating to food in the mouth is reflexive, so no learning is involved. However, dogs don’t naturally salivate at the sight of an empty bowl or the sound of footsteps.
These unusual responses intrigued Pavlov, and he wondered what accounted for what he called the dogs' “psychic secretions” (Pavlov, 1927). To explore this phenomenon in an objective manner, Pavlov designed a series of carefully controlled experiments to see which stimuli would cause the dogs to salivate. He was able to train the dogs to salivate in response to stimuli that clearly had nothing to do with food, such as the sound of a bell, a light, and a touch on the leg. Through his experiments, Pavlov realized that an organism has two types of responses to its environment: (1) unconditioned (unlearned) responses, or reflexes, and (2) conditioned (learned) responses.
In Pavlov’s experiments, the dogs salivated each time meat powder was presented to them. The meat powder in this situation was an unconditioned stimulus (UCS): a stimulus that elicits a reflexive response in an organism. The dogs’ salivation was an unconditioned response (UCR): a natural (unlearned) reaction to a given stimulus. Before conditioning, think of the dogs’ stimulus and response like this:
In classical conditioning, a neutral stimulus is presented immediately before an unconditioned stimulus. Pavlov would sound a tone (like ringing a bell) and then give the dogs the meat powder (). The tone was the neutral stimulus (NS), which is a stimulus that does not naturally elicit a response. Prior to conditioning, the dogs did not salivate when they just heard the tone because the tone had no association for the dogs.
When Pavlov paired the tone with the meat powder over and over again, the previously neutral stimulus (the tone) also began to elicit salivation from the dogs. Thus, the neutral stimulus became the conditioned stimulus (CS), which is a stimulus that elicits a response after repeatedly being paired with an unconditioned stimulus. Eventually, the dogs began to salivate to the tone alone, just as they previously had salivated at the sound of the assistants’ footsteps. The behavior caused by the conditioned stimulus is called the conditioned response (CR). In the case of Pavlov’s dogs, they had learned to associate the tone (CS) with being fed, and they began to salivate (CR) in anticipation of food.
### Real World Application of Classical Conditioning
How does classical conditioning work in the real world? Consider the case of Moisha, who was diagnosed with cancer. When she received her first chemotherapy treatment, she vomited shortly after the chemicals were injected. In fact, every trip to the doctor for chemotherapy treatment shortly after the drugs were injected, she vomited. Moisha’s treatment was a success and her cancer went into remission. Now, when she visits her oncologist's office every 6 months for a check-up, she becomes nauseous. In this case, the chemotherapy drugs are the unconditioned stimulus (UCS), vomiting is the unconditioned response (UCR), the doctor’s office is the conditioned stimulus (CS) after being paired with the UCS, and nausea is the conditioned response (CR). Let's assume that the chemotherapy drugs that Moisha takes are given through a syringe injection. After entering the doctor's office, Moisha sees a syringe, and then gets her medication. In addition to the doctor's office, Moisha will learn to associate the syringe with the medication and will respond to syringes with nausea. This is an example of higher-order (or second-order) conditioning, when the conditioned stimulus (the doctor's office) serves to condition another stimulus (the syringe). It is hard to achieve anything above second-order conditioning. For example, if someone rang a bell every time Moisha received a syringe injection of chemotherapy drugs in the doctor's office, Moisha likely will never get sick in response to the bell.
Consider another example of classical conditioning. Let’s say you have a cat named Tiger, who is quite spoiled. You keep her food in a separate cabinet, and you also have a special electric can opener that you use only to open cans of cat food. For every meal, Tiger hears the distinctive sound of the electric can opener (“zzhzhz”) and then gets her food. Tiger quickly learns that when she hears “zzhzhz” she is about to get fed. What do you think Tiger does when she hears the electric can opener? She will likely get excited and run to where you are preparing her food. This is an example of classical conditioning. In this case, what are the UCS, CS, UCR, and CR?
What if the cabinet holding Tiger’s food becomes squeaky? In that case, Tiger hears “squeak” (the cabinet), “zzhzhz” (the electric can opener), and then she gets her food. Tiger will learn to get excited when she hears the “squeak” of the cabinet. Pairing a new neutral stimulus (“squeak”) with the conditioned stimulus (“zzhzhz”) is called higher-order conditioning, or second-order conditioning. This means you are using the conditioned stimulus of the can opener to condition another stimulus: the squeaky cabinet (). It is hard to achieve anything above second-order conditioning. For example, if you ring a bell, open the cabinet (“squeak”), use the can opener (“zzhzhz”), and then feed Tiger, Tiger will likely never get excited when hearing the bell alone.
Classical conditioning also applies to humans, even babies. For example, Elan buys formula in blue canisters for their six-month-old daughter, Angelina. Whenever Elan takes out a formula container, Angelina gets excited, tries to reach toward the food, and most likely salivates. Why does Angelina get excited when she sees the formula canister? What are the UCS, CS, UCR, and CR here?
So far, all of the examples have involved food, but classical conditioning extends beyond the basic need to be fed. Consider our earlier example of a dog whose owners install an invisible electric dog fence. A small electrical shock (unconditioned stimulus) elicits discomfort (unconditioned response). When the unconditioned stimulus (shock) is paired with a neutral stimulus (the edge of a yard), the dog associates the discomfort (unconditioned response) with the edge of the yard (conditioned stimulus) and stays within the set boundaries. In this example, the edge of the yard elicits fear and anxiety in the dog. Fear and anxiety are the conditioned response.
### General Processes in Classical Conditioning
Now that you know how classical conditioning works and have seen several examples, let’s take a look at some of the general processes involved. In classical conditioning, the initial period of learning is known as acquisition, when an organism learns to connect a neutral stimulus and an unconditioned stimulus. During acquisition, the neutral stimulus begins to elicit the conditioned response, and eventually the neutral stimulus becomes a conditioned stimulus capable of eliciting the conditioned response by itself. Timing is important for conditioning to occur. Typically, there should only be a brief interval between presentation of the conditioned stimulus and the unconditioned stimulus. Depending on what is being conditioned, sometimes this interval is as little as five seconds (Chance, 2009). However, with other types of conditioning, the interval can be up to several hours.
Taste aversion is a type of conditioning in which an interval of several hours may pass between the conditioned stimulus (something ingested) and the unconditioned stimulus (nausea or illness). Here’s how it works. Between classes, you and a friend grab a quick lunch from a food cart on campus. You share a dish of chicken curry and head off to your next class. A few hours later, you feel nauseous and become ill. Although your friend is fine and you determine that you have intestinal flu (the food is not the culprit), you’ve developed a taste aversion; the next time you are at a restaurant and someone orders curry, you immediately feel ill. While the chicken dish is not what made you sick, you are experiencing taste aversion: you’ve been conditioned to be averse to a food after a single, bad experience.
How does this occur—conditioning based on a single instance and involving an extended time lapse between the event and the negative stimulus? Research into taste aversion suggests that this response may be an evolutionary adaptation designed to help organisms quickly learn to avoid harmful foods (Garcia & Rusiniak, 1980; Garcia & Koelling, 1966). Not only may this contribute to species survival via natural selection, but it may also help us develop strategies for challenges such as helping cancer patients through the nausea induced by certain treatments (Holmes, 1993; Jacobsen et al., 1993; Hutton, Baracos, & Wismer, 2007; Skolin et al., 2006). Garcia and Koelling (1966) showed not only that taste aversions could be conditioned, but also that there were biological constraints to learning. In their study, separate groups of rats were conditioned to associate either a flavor with illness, or lights and sounds with illness. Results showed that all rats exposed to flavor-illness pairings learned to avoid the flavor, but none of the rats exposed to lights and sounds with illness learned to avoid lights or sounds. This added evidence to the idea that classical conditioning could contribute to species survival by helping organisms learn to avoid stimuli that posed real dangers to health and welfare.
Robert Rescorla demonstrated how powerfully an organism can learn to predict the UCS from the CS. Take, for example, the following two situations. Ari’s dad always has dinner on the table every day at 6:00. Soraya’s mom switches it up so that some days they eat dinner at 6:00, some days they eat at 5:00, and other days they eat at 7:00. For Ari, 6:00 reliably and consistently predicts dinner, so Ari will likely start feeling hungry every day right before 6:00, even if he's had a late snack. Soraya, on the other hand, will be less likely to associate 6:00 with dinner, since 6:00 does not always predict that dinner is coming. Rescorla, along with his colleague at Yale University, Alan Wagner, developed a mathematical formula that could be used to calculate the probability that an association would be learned given the ability of a conditioned stimulus to predict the occurrence of an unconditioned stimulus and other factors; today this is known as the Rescorla-Wagner model (Rescorla & Wagner, 1972)
Once we have established the connection between the unconditioned stimulus and the conditioned stimulus, how do we break that connection and get the dog, cat, or child to stop responding? In Tiger’s case, imagine what would happen if you stopped using the electric can opener for her food and began to use it only for human food. Now, Tiger would hear the can opener, but she would not get food. In classical conditioning terms, you would be giving the conditioned stimulus, but not the unconditioned stimulus. Pavlov explored this scenario in his experiments with dogs: sounding the tone without giving the dogs the meat powder. Soon the dogs stopped responding to the tone. Extinction is the decrease in the conditioned response when the unconditioned stimulus is no longer presented with the conditioned stimulus. When presented with the conditioned stimulus alone, the dog, cat, or other organism would show a weaker and weaker response, and finally no response. In classical conditioning terms, there is a gradual weakening and disappearance of the conditioned response.
What happens when learning is not used for a while—when what was learned lies dormant? As we just discussed, Pavlov found that when he repeatedly presented the bell (conditioned stimulus) without the meat powder (unconditioned stimulus), extinction occurred; the dogs stopped salivating to the bell. However, after a couple of hours of resting from this extinction training, the dogs again began to salivate when Pavlov rang the bell. What do you think would happen with Tiger’s behavior if your electric can opener broke, and you did not use it for several months? When you finally got it fixed and started using it to open Tiger’s food again, Tiger would remember the association between the can opener and her food—she would get excited and run to the kitchen when she heard the sound. The behavior of Pavlov’s dogs and Tiger illustrates a concept Pavlov called spontaneous recovery: the return of a previously extinguished conditioned response following a rest period ().
Of course, these processes also apply in humans. For example, let’s say that every day when you walk to campus, an ice cream truck passes your route. Day after day, you hear the truck’s music (neutral stimulus), so you finally stop and purchase a chocolate ice cream bar. You take a bite (unconditioned stimulus) and then your mouth waters (unconditioned response). This initial period of learning is known as acquisition, when you begin to connect the neutral stimulus (the sound of the truck) and the unconditioned stimulus (the taste of the chocolate ice cream in your mouth). During acquisition, the conditioned response gets stronger and stronger through repeated pairings of the conditioned stimulus and unconditioned stimulus. Several days (and ice cream bars) later, you notice that your mouth begins to water (conditioned response) as soon as you hear the truck’s musical jingle—even before you bite into the ice cream bar. Then one day you head down the street. You hear the truck’s music (conditioned stimulus), and your mouth waters (conditioned response). However, when you get to the truck, you discover that they are all out of ice cream. You leave disappointed. The next few days you pass by the truck and hear the music, but don’t stop to get an ice cream bar because you’re running late for class. You begin to salivate less and less when you hear the music, until by the end of the week, your mouth no longer waters when you hear the tune. This illustrates extinction. The conditioned response weakens when only the conditioned stimulus (the sound of the truck) is presented, without being followed by the unconditioned stimulus (chocolate ice cream in the mouth). Then the weekend comes. You don’t have to go to class, so you don’t pass the truck. Monday morning arrives and you take your usual route to campus. You round the corner and hear the truck again. What do you think happens? Your mouth begins to water again. Why? After a break from conditioning, the conditioned response reappears, which indicates spontaneous recovery.
Acquisition and extinction involve the strengthening and weakening, respectively, of a learned association. Two other learning processes—stimulus discrimination and stimulus generalization—are involved in determining which stimuli will trigger learned responses. Animals (including humans) need to distinguish between stimuli—for example, between sounds that predict a threatening event and sounds that do not—so that they can respond appropriately (such as running away if the sound is threatening). When an organism learns to respond differently to various stimuli that are similar, it is called stimulus discrimination. In classical conditioning terms, the organism demonstrates the conditioned response only to the conditioned stimulus. Pavlov’s dogs discriminated between the basic tone that sounded before they were fed and other tones (e.g., the doorbell), because the other sounds did not predict the arrival of food. Similarly, Tiger, the cat, discriminated between the sound of the can opener and the sound of the electric mixer. When the electric mixer is going, Tiger is not about to be fed, so she does not come running to the kitchen looking for food. In our other example, Moisha, the cancer patient, discriminated between oncologists and other types of doctors. She learned not to feel ill when visiting doctors for other types of appointments, such as her annual physical.
On the other hand, when an organism demonstrates the conditioned response to stimuli that are similar to the condition stimulus, it is called stimulus generalization, the opposite of stimulus discrimination. The more similar a stimulus is to the condition stimulus, the more likely the organism is to give the conditioned response. For instance, if the electric mixer sounds very similar to the electric can opener, Tiger may come running after hearing its sound. But if you do not feed her following the electric mixer sound, and you continue to feed her consistently after the electric can opener sound, she will quickly learn to discriminate between the two sounds (provided they are sufficiently dissimilar that she can tell them apart). In our other example, Moisha continued to feel ill whenever visiting other oncologists or other doctors in the same building as her oncologist.
### Behaviorism
John B. Watson, shown in , is considered the founder of behaviorism. Behaviorism is a school of thought that arose during the first part of the 20th century, which incorporates elements of Pavlov’s classical conditioning (Hunt, 2007). In stark contrast with Freud, who considered the reasons for behavior to be hidden in the unconscious, Watson championed the idea that all behavior can be studied as a simple stimulus-response reaction, without regard for internal processes. Watson argued that in order for psychology to become a legitimate science, it must shift its concern away from internal mental processes because mental processes cannot be seen or measured. Instead, he asserted that psychology must focus on outward observable behavior that can be measured.
Watson’s ideas were influenced by Pavlov’s work. According to Watson, human behavior, just like animal behavior, is primarily the result of conditioned responses. Whereas Pavlov’s work with dogs involved the conditioning of reflexes, Watson believed the same principles could be extended to the conditioning of human emotions (Watson, 1919).
In 1920, while chair of the psychology department at Johns Hopkins University, Watson and his graduate student, Rosalie Rayner, conducted research on a baby nicknamed Little Albert. Rayner and Watson’s experiments with Little Albert demonstrated how fears can be conditioned using classical conditioning. Through these experiments, Little Albert was exposed to and conditioned to fear certain things. Initially he was presented with various neutral stimuli, including a rabbit, a dog, a monkey, masks, cotton wool, and a white rat. He was not afraid of any of these things. Then Watson, with the help of Rayner, conditioned Little Albert to associate these stimuli with an emotion—fear. For example, Watson handed Little Albert the white rat, and Little Albert enjoyed playing with it. Then Watson made a loud sound, by striking a hammer against a metal bar hanging behind Little Albert’s head, each time Little Albert touched the rat. Little Albert was frightened by the sound—demonstrating a reflexive fear of sudden loud noises—and began to cry. Watson repeatedly paired the loud sound with the white rat. Soon Little Albert became frightened by the white rat alone. In this case, what are the UCS, CS, UCR, and CR? Days later, Little Albert demonstrated stimulus generalization—he became afraid of other furry things: a rabbit, a furry coat, and even a Santa Claus mask (). Watson had succeeded in conditioning a fear response in Little Albert, thus demonstrating that emotions could become conditioned responses. It had been Watson’s intention to produce a phobia—a persistent, excessive fear of a specific object or situation— through conditioning alone, thus countering Freud’s view that phobias are caused by deep, hidden conflicts in the mind. However, there is no evidence that Little Albert experienced phobias in later years. While Watson’s research provided new insight into conditioning, it would be considered unethical by today’s standards.
### Summary
Pavlov’s pioneering work with dogs contributed greatly to what we know about learning. His experiments explored the type of associative learning we now call classical conditioning. In classical conditioning, organisms learn to associate events that repeatedly happen together, and researchers study how a reflexive response to a stimulus can be mapped to a different stimulus—by training an association between the two stimuli. Pavlov’s experiments show how stimulus-response bonds are formed. Watson, the founder of behaviorism, was greatly influenced by Pavlov’s work. He tested humans by conditioning fear in an infant known as Little Albert. His findings suggest that classical conditioning can explain how some fears develop.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Learning
## Operant Conditioning
The previous section of this chapter focused on the type of associative learning known as classical conditioning. Remember that in classical conditioning, something in the environment triggers a reflex automatically, and researchers train the organism to react to a different stimulus. Now we turn to the second type of associative learning, operant conditioning. In operant conditioning, organisms learn to associate a behavior and its consequence (). A pleasant consequence makes that behavior more likely to be repeated in the future. For example, Spirit, a dolphin at the National Aquarium in Baltimore, does a flip in the air when her trainer blows a whistle. The consequence is that she gets a fish.
Psychologist B. F. Skinner saw that classical conditioning is limited to existing behaviors that are reflexively elicited, and it doesn’t account for new behaviors such as riding a bike. He proposed a theory about how such behaviors come about. Skinner believed that behavior is motivated by the consequences we receive for the behavior: the reinforcements and punishments. His idea that learning is the result of consequences is based on the law of effect, which was first proposed by psychologist Edward Thorndike. According to the law of effect, behaviors that are followed by consequences that are satisfying to the organism are more likely to be repeated, and behaviors that are followed by unpleasant consequences are less likely to be repeated (Thorndike, 1911). Essentially, if an organism does something that brings about a desired result, the organism is more likely to do it again. If an organism does something that does not bring about a desired result, the organism is less likely to do it again. An example of the law of effect is in employment. One of the reasons (and often the main reason) we show up for work is because we get paid to do so. If we stop getting paid, we will likely stop showing up—even if we love our job.
Working with Thorndike’s law of effect as his foundation, Skinner began conducting scientific experiments on animals (mainly rats and pigeons) to determine how organisms learn through operant conditioning (Skinner, 1938). He placed these animals inside an operant conditioning chamber, which has come to be known as a “Skinner box” (). A Skinner box contains a lever (for rats) or disk (for pigeons) that the animal can press or peck for a food reward via the dispenser. Speakers and lights can be associated with certain behaviors. A recorder counts the number of responses made by the animal.
In discussing operant conditioning, we use several everyday words—positive, negative, reinforcement, and punishment—in a specialized manner. In operant conditioning, positive and negative do not mean good and bad. Instead, positive means you are adding something, and negative means you are taking something away. Reinforcement means you are increasing a behavior, and punishment means you are decreasing a behavior. Reinforcement can be positive or negative, and punishment can also be positive or negative. All reinforcers (positive or negative) increase the likelihood of a behavioral response. All punishers (positive or negative) decrease the likelihood of a behavioral response. Now let’s combine these four terms: positive reinforcement, negative reinforcement, positive punishment, and negative punishment ().
### Reinforcement
The most effective way to teach a person or animal a new behavior is with positive reinforcement. In positive reinforcement, a desirable stimulus is added to increase a behavior.
For example, you tell your five-year-old son, Jerome, that if he cleans his room, he will get a toy. Jerome quickly cleans his room because he wants a new art set. Let’s pause for a moment. Some people might say, “Why should I reward my child for doing what is expected?” But in fact we are constantly and consistently rewarded in our lives. Our paychecks are rewards, as are high grades and acceptance into our preferred school. Being praised for doing a good job and for passing a driver’s test is also a reward. Positive reinforcement as a learning tool is extremely effective. It has been found that one of the most effective ways to increase achievement in school districts with below-average reading scores was to pay the children to read. Specifically, second-grade students in Dallas were paid $2 each time they read a book and passed a short quiz about the book. The result was a significant increase in reading comprehension (Fryer, 2010). What do you think about this program? If Skinner were alive today, he would probably think this was a great idea. He was a strong proponent of using operant conditioning principles to influence students’ behavior at school. In fact, in addition to the Skinner box, he also invented what he called a teaching machine that was designed to reward small steps in learning (Skinner, 1961)—an early forerunner of computer-assisted learning. His teaching machine tested students’ knowledge as they worked through various school subjects. If students answered questions correctly, they received immediate positive reinforcement and could continue; if they answered incorrectly, they did not receive any reinforcement. The idea was that students would spend additional time studying the material to increase their chance of being reinforced the next time (Skinner, 1961).
In negative reinforcement, an undesirable stimulus is removed to increase a behavior. For example, car manufacturers use the principles of negative reinforcement in their seatbelt systems, which go “beep, beep, beep” until you fasten your seatbelt. The annoying sound stops when you exhibit the desired behavior, increasing the likelihood that you will buckle up in the future. Negative reinforcement is also used frequently in horse training. Riders apply pressure—by pulling the reins or squeezing their legs—and then remove the pressure when the horse performs the desired behavior, such as turning or speeding up. The pressure is the negative stimulus that the horse wants to remove.
### Punishment
Many people confuse negative reinforcement with punishment in operant conditioning, but they are two very different mechanisms. Remember that reinforcement, even when it is negative, always increases a behavior. In contrast, punishment always decreases a behavior. In positive punishment, you add an undesirable stimulus to decrease a behavior. An example of positive punishment is scolding a student to get the student to stop texting in class. In this case, a stimulus (the reprimand) is added in order to decrease the behavior (texting in class). In negative punishment, you remove a pleasant stimulus to decrease behavior. For example, when a child misbehaves, a parent can take away a favorite toy. In this case, a stimulus (the toy) is removed in order to decrease the behavior.
Punishment, especially when it is immediate, is one way to decrease undesirable behavior. For example, imagine your four-year-old son, Brandon, hit his younger brother. You have Brandon write 100 times “I will not hit my brother" (positive punishment). Chances are he won’t repeat this behavior. While strategies like this are common today, in the past children were often subject to physical punishment, such as spanking. It’s important to be aware of some of the drawbacks in using physical punishment on children. First, punishment may teach fear. Brandon may become fearful of the street, but he also may become fearful of the person who delivered the punishment—you, his parent. Similarly, children who are punished by teachers may come to fear the teacher and try to avoid school (Gershoff et al., 2010). Consequently, most schools in the United States have banned corporal punishment. Second, punishment may cause children to become more aggressive and prone to antisocial behavior and delinquency (Gershoff, 2002). They see their parents resort to spanking when they become angry and frustrated, so, in turn, they may act out this same behavior when they become angry and frustrated. For example, because you spank Brenda when you are angry with her for her misbehavior, she might start hitting her friends when they won’t share their toys.
While positive punishment can be effective in some cases, Skinner suggested that the use of punishment should be weighed against the possible negative effects. Today’s psychologists and parenting experts favor reinforcement over punishment—they recommend that you catch your child doing something good and reward them for it.
### Shaping
In his operant conditioning experiments, Skinner often used an approach called shaping. Instead of rewarding only the target behavior, in shaping, we reward successive approximations of a target behavior. Why is shaping needed? Remember that in order for reinforcement to work, the organism must first display the behavior. Shaping is needed because it is extremely unlikely that an organism will display anything but the simplest of behaviors spontaneously. In shaping, behaviors are broken down into many small, achievable steps. The specific steps used in the process are the following:
Shaping is often used in teaching a complex behavior or chain of behaviors. Skinner used shaping to teach pigeons not only such relatively simple behaviors as pecking a disk in a Skinner box, but also many unusual and entertaining behaviors, such as turning in circles, walking in figure eights, and even playing ping pong; the technique is commonly used by animal trainers today. An important part of shaping is stimulus discrimination. Recall Pavlov’s dogs—he trained them to respond to the tone of a bell, and not to similar tones or sounds. This discrimination is also important in operant conditioning and in shaping behavior.
It’s easy to see how shaping is effective in teaching behaviors to animals, but how does shaping work with humans? Let’s consider parents whose goal is to have their child learn to clean his room. They use shaping to help him master steps toward the goal. Instead of performing the entire task, they set up these steps and reinforce each step. First, he cleans up one toy. Second, he cleans up five toys. Third, he chooses whether to pick up ten toys or put his books and clothes away. Fourth, he cleans up everything except two toys. Finally, he cleans his entire room.
### Primary and Secondary Reinforcers
Rewards such as stickers, praise, money, toys, and more can be used to reinforce learning. Let’s go back to Skinner’s rats again. How did the rats learn to press the lever in the Skinner box? They were rewarded with food each time they pressed the lever. For animals, food would be an obvious reinforcer.
What would be a good reinforcer for humans? For your child Chris, it was the promise of a toy when they cleaned their room. How about Sydney, the soccer player? If you gave Sydney a piece of candy every time Sydney scored a goal, you would be using a primary reinforcer. Primary reinforcers are reinforcers that have innate reinforcing qualities. These kinds of reinforcers are not learned. Water, food, sleep, shelter, sex, and touch, among others, are primary reinforcers. Pleasure is also a primary reinforcer. Organisms do not lose their drive for these things. For most people, jumping in a cool lake on a very hot day would be reinforcing and the cool lake would be innately reinforcing—the water would cool the person off (a physical need), as well as provide pleasure.
A secondary reinforcer has no inherent value and only has reinforcing qualities when linked with a primary reinforcer. Praise, linked to affection, is one example of a secondary reinforcer, as when you called out “Great shot!” every time Sydney made a goal. Another example, money, is only worth something when you can use it to buy other things—either things that satisfy basic needs (food, water, shelter—all primary reinforcers) or other secondary reinforcers. If you were on a remote island in the middle of the Pacific Ocean and you had stacks of money, the money would not be useful if you could not spend it. What about the stickers on the behavior chart? They also are secondary reinforcers.
Sometimes, instead of stickers on a sticker chart, a token is used. Tokens, which are also secondary reinforcers, can then be traded in for rewards and prizes. Entire behavior management systems, known as token economies, are built around the use of these kinds of token reinforcers. Token economies have been found to be very effective at modifying behavior in a variety of settings such as schools, prisons, and mental hospitals. For example, a study by Adibsereshki and Abkenar (2014) found that use of a token economy increased appropriate social behaviors and reduced inappropriate behaviors in a group of eight grade students. Similar studies show demonstrable gains on behavior and academic achievement for groups ranging from first grade to high school, and representing a wide array of abilities and disabilities. For example, during studies involving younger students, when children in the study exhibited appropriate behavior (not hitting or pinching), they received a “quiet hands” token. When they hit or pinched, they lost a token. The children could then exchange specified amounts of tokens for minutes of playtime.
### Reinforcement Schedules
Remember, the best way to teach a person or animal a behavior is to use positive reinforcement. For example, Skinner used positive reinforcement to teach rats to press a lever in a Skinner box. At first, the rat might randomly hit the lever while exploring the box, and out would come a pellet of food. After eating the pellet, what do you think the hungry rat did next? It hit the lever again, and received another pellet of food. Each time the rat hit the lever, a pellet of food came out. When an organism receives a reinforcer each time it displays a behavior, it is called continuous reinforcement. This reinforcement schedule is the quickest way to teach someone a behavior, and it is especially effective in training a new behavior. Let’s look back at the dog that was learning to sit earlier in the chapter. Now, each time he sits, you give him a treat. Timing is important here: you will be most successful if you present the reinforcer immediately after he sits, so that he can make an association between the target behavior (sitting) and the consequence (getting a treat).
Once a behavior is trained, researchers and trainers often turn to another type of reinforcement schedule—partial reinforcement. In partial reinforcement, also referred to as intermittent reinforcement, the person or animal does not get reinforced every time they perform the desired behavior. There are several different types of partial reinforcement schedules (). These schedules are described as either fixed or variable, and as either interval or ratio. Fixed refers to the number of responses between reinforcements, or the amount of time between reinforcements, which is set and unchanging. Variable refers to the number of responses or amount of time between reinforcements, which varies or changes. Interval means the schedule is based on the time between reinforcements, and ratio means the schedule is based on the number of responses between reinforcements.
Now let’s combine these four terms. A fixed interval reinforcement schedule is when behavior is rewarded after a set amount of time. For example, June undergoes major surgery in a hospital. During recovery, they are expected to experience pain and will require prescription medications for pain relief. June is given an IV drip with a patient-controlled painkiller. Their doctor sets a limit: one dose per hour. June pushes a button when pain becomes difficult, and they receive a dose of medication. Since the reward (pain relief) only occurs on a fixed interval, there is no point in exhibiting the behavior when it will not be rewarded.
With a variable interval reinforcement schedule, the person or animal gets the reinforcement based on varying amounts of time, which are unpredictable. Say that Manuel is the manager at a fast-food restaurant. Every once in a while someone from the quality control division comes to Manuel’s restaurant. If the restaurant is clean and the service is fast, everyone on that shift earns a $20 bonus. Manuel never knows when the quality control person will show up, so he always tries to keep the restaurant clean and ensures that his employees provide prompt and courteous service. His productivity regarding prompt service and keeping a clean restaurant are steady because he wants his crew to earn the bonus.
With a fixed ratio reinforcement schedule, there are a set number of responses that must occur before the behavior is rewarded. Carla sells glasses at an eyeglass store, and she earns a commission every time she sells a pair of glasses. She always tries to sell people more pairs of glasses, including prescription sunglasses or a backup pair, so she can increase her commission. She does not care if the person really needs the prescription sunglasses, Carla just wants her bonus. The quality of what Carla sells does not matter because her commission is not based on quality; it’s only based on the number of pairs sold. This distinction in the quality of performance can help determine which reinforcement method is most appropriate for a particular situation. Fixed ratios are better suited to optimize the quantity of output, whereas a fixed interval, in which the reward is not quantity based, can lead to a higher quality of output.
In a variable ratio reinforcement schedule, the number of responses needed for a reward varies. This is the most powerful partial reinforcement schedule. An example of the variable ratio reinforcement schedule is gambling. Imagine that Sarah—generally a smart, thrifty woman—visits Las Vegas for the first time. She is not a gambler, but out of curiosity she puts a quarter into the slot machine, and then another, and another. Nothing happens. Two dollars in quarters later, her curiosity is fading, and she is just about to quit. But then, the machine lights up, bells go off, and Sarah gets 50 quarters back. That’s more like it! Sarah gets back to inserting quarters with renewed interest, and a few minutes later she has used up all her gains and is $10 in the hole. Now might be a sensible time to quit. And yet, she keeps putting money into the slot machine because she never knows when the next reinforcement is coming. She keeps thinking that with the next quarter she could win $50, or $100, or even more. Because the reinforcement schedule in most types of gambling has a variable ratio schedule, people keep trying and hoping that the next time they will win big. This is one of the reasons that gambling is so addictive—and so resistant to extinction.
In operant conditioning, extinction of a reinforced behavior occurs at some point after reinforcement stops, and the speed at which this happens depends on the reinforcement schedule. In a variable ratio schedule, the point of extinction comes very slowly, as described above. But in the other reinforcement schedules, extinction may come quickly. For example, if June presses the button for the pain relief medication before the allotted time the doctor has approved, no medication is administered. They are on a fixed interval reinforcement schedule (dosed hourly), so extinction occurs quickly when reinforcement doesn’t come at the expected time. Among the reinforcement schedules, variable ratio is the most productive and the most resistant to extinction. Fixed interval is the least productive and the easiest to extinguish ().
### Cognition and Latent Learning
Strict behaviorists like Watson and Skinner focused exclusively on studying behavior rather than cognition (such as thoughts and expectations). In fact, Skinner was such a staunch believer that cognition didn't matter that his ideas were considered radical behaviorism. Skinner considered the mind a "black box"—something completely unknowable—and, therefore, something not to be studied. However, another behaviorist, Edward C. Tolman, had a different opinion. Tolman’s experiments with rats demonstrated that organisms can learn even if they do not receive immediate reinforcement (Tolman & Honzik, 1930; Tolman, Ritchie, & Kalish, 1946). This finding was in conflict with the prevailing idea at the time that reinforcement must be immediate in order for learning to occur, thus suggesting a cognitive aspect to learning.
In the experiments, Tolman placed hungry rats in a maze with no reward for finding their way through it. He also studied a comparison group that was rewarded with food at the end of the maze. As the unreinforced rats explored the maze, they developed a cognitive map: a mental picture of the layout of the maze (). After 10 sessions in the maze without reinforcement, food was placed in a goal box at the end of the maze. As soon as the rats became aware of the food, they were able to find their way through the maze quickly, just as quickly as the comparison group, which had been rewarded with food all along. This is known as latent learning: learning that occurs but is not observable in behavior until there is a reason to demonstrate it.
Latent learning also occurs in humans. Children may learn by watching the actions of their parents but only demonstrate it at a later date, when the learned material is needed. For example, suppose that Ravi’s dad drives him to school every day. In this way, Ravi learns the route from his house to his school, but he’s never driven there himself, so he has not had a chance to demonstrate that he’s learned the way. One morning Ravi’s dad has to leave early for a meeting, so he can’t drive Ravi to school. Instead, Ravi follows the same route on his bike that his dad would have taken in the car. This demonstrates latent learning. Ravi had learned the route to school, but had no need to demonstrate this knowledge earlier.
### Summary
Operant conditioning is based on the work of B. F. Skinner. Operant conditioning is a form of learning in which the motivation for a behavior happens after the behavior is demonstrated. An animal or a human receives a consequence after performing a specific behavior. The consequence is either a reinforcer or a punisher. All reinforcement (positive or negative) increases the likelihood of a behavioral response. All punishment (positive or negative) decreases the likelihood of a behavioral response. Several types of reinforcement schedules are used to reward behavior depending on either a set or variable period of time.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Learning
## Observational Learning (Modeling)
Previous sections of this chapter focused on classical and operant conditioning, which are forms of associative learning. In observational learning, we learn by watching others and then imitating, or modeling, what they do or say. For instance, have you ever gone to YouTube to find a video showing you how to do something? The individuals performing the imitated behavior are called models. Research suggests that this imitative learning involves a specific type of neuron, called a mirror neuron (Hickock, 2010; Rizzolatti, Fadiga, Fogassi, & Gallese, 2002; Rizzolatti, Fogassi, & Gallese, 2006).
Humans and other animals are capable of observational learning. For example, in a study of social learning in chimpanzees, researchers gave juice boxes with straws to two groups of captive chimpanzees. The first group dipped the straw into the juice box, and then sucked on the small amount of juice at the end of the straw. The second group sucked through the straw directly, getting much more juice. When the first group, the “dippers,” observed the second group, “the suckers,” what do you think happened? All of the “dippers” in the first group switched to sucking through the straws directly. By simply observing the other chimps and modeling their behavior, they learned that this was a more efficient method of getting juice (Yamamoto, Humle, and Tanaka, 2013).
Imitation is sometimes called the highest form of flattery. But consider Claire’s experience with observational learning. Claire’s nine-year-old son, Jay, was getting into trouble at school and was defiant at home. Claire feared that Jay would end up like her brothers, two of whom were in prison. One day, after yet another bad day at school and another negative note from the teacher, Claire, at her wit’s end, beat her son with a belt to get him to behave. Later that night, as she put her children to bed, Claire witnessed her four-year-old daughter, Anna, take a belt to her teddy bear and whip it. Claire was horrified, realizing that Anna was imitating her mother. It was then that Claire knew she wanted to discipline her children in a different manner.
Like Tolman, whose experiments with rats suggested a cognitive component to learning, psychologist Albert Bandura’s ideas about learning were different from those of strict behaviorists. Bandura and other researchers proposed a brand of behaviorism called social learning theory, which took cognitive processes into account. According to Bandura, pure behaviorism could not explain why learning can take place in the absence of external reinforcement. He felt that internal mental states must also have a role in learning and that observational learning involves much more than imitation. In imitation, a person simply copies what the model does. Observational learning is much more complex. According to Lefrançois (2012) there are several ways that observational learning can occur:
Bandura identified three kinds of models: live, verbal, and symbolic. A live model demonstrates a behavior in person, as when Ben stood up on his surfboard so that Julian could see how he did it. A verbal instructional model does not perform the behavior, but instead explains or describes the behavior, as when a soccer coach tells his young players to kick the ball with the side of the foot, not with the toe. A symbolic model can be fictional characters or real people who demonstrate behaviors in books, movies, television shows, video games, or Internet sources ().
### Steps in the Modeling Process
Of course, we don’t learn a behavior simply by observing a model. Bandura described specific steps in the process of modeling that must be followed if learning is to be successful: attention, retention, reproduction, and motivation. First, you must be focused on what the model is doing—you have to pay attention. Next, you must be able to retain, or remember, what you observed; this is retention. Then, you must be able to perform the behavior that you observed and committed to memory; this is reproduction. Finally, you must have motivation. You need to want to copy the behavior, and whether or not you are motivated depends on what happened to the model. If you saw that the model was reinforced for their behavior, you will be more motivated to copy them. This is known as vicarious reinforcement. On the other hand, if you observed the model being punished, you would be less motivated to copy them. This is called vicarious punishment. For example, imagine that four-year-old Allison watched her older sister Kaitlyn playing in their mother’s makeup, and then saw Kaitlyn get a time out when their mother came in. After their mother left the room, Allison was tempted to play in the make-up, but she did not want to get a time-out from her mother. What do you think she did? Once you actually demonstrate the new behavior, the reinforcement you receive plays a part in whether or not you will repeat the behavior.
Bandura researched modeling behavior, particularly children’s modeling of adults’ aggressive and violent behaviors (Bandura, Ross, & Ross, 1961). He conducted an experiment with a five-foot inflatable doll that he called a Bobo doll. In the experiment, children’s aggressive behavior was influenced by whether the teacher was punished for her behavior. In one scenario, a teacher acted aggressively with the doll, hitting, throwing, and even punching the doll, while a child watched. There were two types of responses by the children to the teacher’s behavior. When the teacher was punished for her bad behavior, the children decreased their tendency to act as she had. When the teacher was praised or ignored (and not punished for her behavior), the children imitated what she did, and even what she said. They punched, kicked, and yelled at the doll.
What are the implications of this study? Bandura concluded that we watch and learn, and that this learning can have both prosocial and antisocial effects. Prosocial (positive) models can be used to encourage socially acceptable behavior. Parents in particular should take note of this finding. If you want your children to read, then read to them. Let them see you reading. Keep books in your home. Talk about your favorite books. If you want your children to be healthy, then let them see you eat right and exercise, and spend time engaging in physical fitness activities together. The same holds true for qualities like kindness, courtesy, and honesty. The main idea is that children observe and learn from their parents, even their parents’ morals, so be consistent and toss out the old adage “Do as I say, not as I do,” because children tend to copy what you do instead of what you say. Besides parents, many public figures, such as Martin Luther King, Jr. and Mahatma Gandhi, are viewed as prosocial models who are able to inspire global social change. Can you think of someone who has been a prosocial model in your life?
The antisocial effects of observational learning are also worth mentioning. As you saw from the example of Claire at the beginning of this section, her daughter viewed Claire’s aggressive behavior and copied it. Research suggests that this may help to explain why victims of abuse often grow up to be abusers themselves (Murrell, Christoff, & Henning, 2007). In fact, about 30% of child abuse victims become abusive parents (U.S. Department of Health & Human Services, 2013). We tend to do what we know. Children who grow up witnessing their parents deal with anger and frustration through violent and aggressive acts often learn to behave in that manner themselves.
Some studies suggest that violent television shows, movies, and video games may also have antisocial effects () although further research needs to be done to understand the correlational and causational aspects of media violence and behavior. Some studies have found a link between viewing violence and aggression seen in children (Anderson & Gentile, 2008; Kirsch, 2010; Miller, Grabell, Thomas, Bermann, & Graham-Bermann, 2012). These findings may not be surprising, given that a child graduating from high school has been exposed to around 200,000 violent acts including murder, robbery, torture, bombings, beatings, and rape through various forms of media (Huston et al., 1992). Not only might viewing media violence affect aggressive behavior by teaching people to act that way in real life situations, but it has also been suggested that repeated exposure to violent acts also desensitizes people to it. Psychologists are working to understand this dynamic.
### Summary
According to Bandura, learning can occur by watching others and then modeling what they do or say. This is known as observational learning. There are specific steps in the process of modeling that must be followed if learning is to be successful. These steps include attention, retention, reproduction, and motivation. Through modeling, Bandura has shown that children learn many things both good and bad simply by watching their parents, siblings, and others.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Thinking and Intelligence
## Introduction
What is the best way to solve a problem? How does a person who has never seen or touched snow in real life develop an understanding of the concept of snow? How do young children acquire the ability to learn language with no formal instruction? Psychologists who study thinking explore questions like these and are called cognitive psychologists.
Cognitive psychologists also study intelligence. What is intelligence, and how does it vary from person to person? Are “street smarts” a kind of intelligence, and if so, how do they relate to other types of intelligence? What does an IQ test really measure? These questions and more will be explored in this chapter as you study thinking and intelligence.
In other chapters, we discussed the cognitive processes of perception, learning, and memory. In this chapter, we will focus on high-level cognitive processes. As a part of this discussion, we will consider thinking and briefly explore the development and use of language. We will also discuss problem solving and creativity before ending with a discussion of how intelligence is measured and how our biology and environments interact to affect intelligence. After finishing this chapter, you will have a greater appreciation of the higher-level cognitive processes that contribute to our distinctiveness as a species.
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# Thinking and Intelligence
## What Is Cognition?
Imagine all of your thoughts as if they were physical entities, swirling rapidly inside your mind. How is it possible that the brain is able to move from one thought to the next in an organized, orderly fashion? The brain is endlessly perceiving, processing, planning, organizing, and remembering—it is always active. Yet, you don’t notice most of your brain’s activity as you move throughout your daily routine. This is only one facet of the complex processes involved in cognition. Simply put, cognition is thinking, and it encompasses the processes associated with perception, knowledge, problem solving, judgment, language, and memory. Scientists who study cognition are searching for ways to understand how we integrate, organize, and utilize our conscious cognitive experiences without being aware of all of the unconscious work that our brains are doing (for example, Kahneman, 2011).
### Cognition
Upon waking each morning, you begin thinking—contemplating the tasks that you must complete that day. In what order should you run your errands? Should you go to the bank, the cleaners, or the grocery store first? Can you get these things done before you head to class or will they need to wait until school is done? These thoughts are one example of cognition at work. Exceptionally complex, cognition is an essential feature of human consciousness, yet not all aspects of cognition are consciously experienced.
Cognitive psychology is the field of psychology dedicated to examining how people think. It attempts to explain how and why we think the way we do by studying the interactions among human thinking, emotion, creativity, language, and problem solving, in addition to other cognitive processes. Cognitive psychologists strive to determine and measure different types of intelligence, why some people are better at problem solving than others, and how emotional intelligence affects success in the workplace, among countless other topics. They also sometimes focus on how we organize thoughts and information gathered from our environments into meaningful categories of thought, which will be discussed later.
### Concepts and Prototypes
The human nervous system is capable of handling endless streams of information. The senses serve as the interface between the mind and the external environment, receiving stimuli and translating it into nervous impulses that are transmitted to the brain. The brain then processes this information and uses the relevant pieces to create thoughts, which can then be expressed through language or stored in memory for future use. To make this process more complex, the brain does not gather information from external environments only. When thoughts are formed, the mind synthesizes information from emotions and memories (). Emotion and memory are powerful influences on both our thoughts and behaviors.
In order to organize this staggering amount of information, the mind has developed a "file cabinet" of sorts in the mind. The different files stored in the file cabinet are called concepts. Concepts are categories or groupings of linguistic information, images, ideas, or memories, such as life experiences. Concepts are, in many ways, big ideas that are generated by observing details, and categorizing and combining these details into cognitive structures. You use concepts to see the relationships among the different elements of your experiences and to keep the information in your mind organized and accessible.
Concepts are informed by our semantic memory (you will learn more about semantic memory in a later chapter) and are present in every aspect of our lives; however, one of the easiest places to notice concepts is inside a classroom, where they are discussed explicitly. When you study United States history, for example, you learn about more than just individual events that have happened in America’s past. You absorb a large quantity of information by listening to and participating in discussions, examining maps, and reading first-hand accounts of people’s lives. Your brain analyzes these details and develops an overall understanding of American history. In the process, your brain gathers details that inform and refine your understanding of related concepts like democracy, power, and freedom.
Concepts can be complex and abstract, like justice, or more concrete, like types of birds. In psychology, for example, Piaget’s stages of development are abstract concepts. Some concepts, like tolerance, are agreed upon by many people, because they have been used in various ways over many years. Other concepts, like the characteristics of your ideal friend or your family’s birthday traditions, are personal and individualized. In this way, concepts touch every aspect of our lives, from our many daily routines to the guiding principles behind the way governments function.
Another technique used by your brain to organize information is the identification of prototypes for the concepts you have developed. A prototype is the best example or representation of a concept. For example, what comes to your mind when you think of a dog? Most likely your early experiences with dogs will shape what you imagine. If your first pet was a Golden Retriever, there is a good chance that this would be your prototype for the category of dogs.
### Natural and Artificial Concepts
In psychology, concepts can be divided into two categories, natural and artificial. Natural concepts are created “naturally” through your experiences and can be developed from either direct or indirect experiences. For example, if you live in Essex Junction, Vermont, you have probably had a lot of direct experience with snow. You’ve watched it fall from the sky, you’ve seen lightly falling snow that barely covers the windshield of your car, and you’ve shoveled out 18 inches of fluffy white snow as you’ve thought, “This is perfect for skiing.” You’ve thrown snowballs at your best friend and gone sledding down the steepest hill in town. In short, you know snow. You know what it looks like, smells like, tastes like, and feels like. If, however, you’ve lived your whole life on the island of Saint Vincent in the Caribbean, you may never have actually seen snow, much less tasted, smelled, or touched it. You know snow from the indirect experience of seeing pictures of falling snow—or from watching films that feature snow as part of the setting. Either way, snow is a natural concept because you can construct an understanding of it through direct observations, experiences with snow, or indirect knowledge (such as from films or books) ().
An artificial concept, on the other hand, is a concept that is defined by a specific set of characteristics. Various properties of geometric shapes, like squares and triangles, serve as useful examples of artificial concepts. A triangle always has three angles and three sides. A square always has four equal sides and four right angles. Mathematical formulas, like the equation for area (length × width) are artificial concepts defined by specific sets of characteristics that are always the same. Artificial concepts can enhance the understanding of a topic by building on one another. For example, before learning the concept of “area of a square” (and the formula to find it), you must understand what a square is. Once the concept of “area of a square” is understood, an understanding of area for other geometric shapes can be built upon the original understanding of area. The use of artificial concepts to define an idea is crucial to communicating with others and engaging in complex thought. According to Goldstone and Kersten (2003), concepts act as building blocks and can be connected in countless combinations to create complex thoughts.
### Schemata
A schema is a mental construct consisting of a cluster or collection of related concepts (Bartlett, 1932). There are many different types of schemata, and they all have one thing in common: schemata are a method of organizing information that allows the brain to work more efficiently. When a schema is activated, the brain makes immediate assumptions about the person or object being observed.
There are several types of schemata. A role schema makes assumptions about how individuals in certain roles will behave (Callero, 1994). For example, imagine you meet someone who introduces himself as a firefighter. When this happens, your brain automatically activates the “firefighter schema” and begins making assumptions that this person is brave, selfless, and community-oriented. Despite not knowing this person, already you have unknowingly made judgments about them. Schemata also help you fill in gaps in the information you receive from the world around you. While schemata allow for more efficient information processing, there can be problems with schemata, regardless of whether they are accurate: Perhaps this particular firefighter is not brave, they just work as a firefighter to pay the bills while studying to become a children’s librarian.
An event schema, also known as a cognitive script, is a set of behaviors that can feel like a routine. Think about what you do when you walk into an elevator (). First, the doors open and you wait to let exiting passengers leave the elevator car. Then, you step into the elevator and turn around to face the doors, looking for the correct button to push. You never face the back of the elevator, do you? And when you’re riding in a crowded elevator and you can’t face the front, it feels uncomfortable, doesn’t it? Interestingly, event schemata can vary widely among different cultures and countries. For example, while it is quite common for people to greet one another with a handshake in the United States, in Tibet, you greet someone by sticking your tongue out at them, and in Belize, you bump fists (Cairns Regional Council, n.d.)
Because event schemata are automatic, they can be difficult to change. Imagine that you are driving home from work or school. This event schema involves getting in the car, shutting the door, and buckling your seatbelt before putting the key in the ignition. You might perform this script two or three times each day. As you drive home, you hear your phone’s ring tone. Typically, the event schema that occurs when you hear your phone ringing involves locating the phone and answering it or responding to your latest text message. So without thinking, you reach for your phone, which could be in your pocket, in your bag, or on the passenger seat of the car. This powerful event schema is informed by your pattern of behavior and the pleasurable stimulation that a phone call or text message gives your brain. Because it is a schema, it is extremely challenging for us to stop reaching for the phone, even though we know that we endanger our own lives and the lives of others while we do it (Neyfakh, 2013) ().
Remember the elevator? It feels almost impossible to walk in and not face the door. Our powerful event schema dictates our behavior in the elevator, and it is no different with our phones. Current research suggests that it is the habit, or event schema, of checking our phones in many different situations that makes refraining from checking them while driving especially difficult (Bayer & Campbell, 2012). Because texting and driving has become a dangerous epidemic in recent years, psychologists are looking at ways to help people interrupt the “phone schema” while driving. Event schemata like these are the reason why many habits are difficult to break once they have been acquired. As we continue to examine thinking, keep in mind how powerful the forces of concepts and schemata are to our understanding of the world.
### Summary
In this section, you were introduced to cognitive psychology, which is the study of cognition, or the brain’s ability to think, perceive, plan, analyze, and remember. Concepts and their corresponding prototypes help us quickly organize our thinking by creating categories into which we can sort new information. We also develop schemata, which are clusters of related concepts. Some schemata involve routines of thought and behavior, and these help us function properly in various situations without having to “think twice” about them. Schemata show up in social situations and routines of daily behavior.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Thinking and Intelligence
## Language
Language is a communication system that involves using words and systematic rules to organize those words to transmit information from one individual to another. While language is a form of communication, not all communication is language. Many species communicate with one another through their postures, movements, odors, or vocalizations. This communication is crucial for species that need to interact and develop social relationships with their conspecifics. However, many people have asserted that it is language that makes humans unique among all of the animal species (Corballis & Suddendorf, 2007; Tomasello & Rakoczy, 2003). This section will focus on what distinguishes language as a special form of communication, how the use of language develops, and how language affects the way we think.
### Components of Language
Language, be it spoken, signed, or written, has specific components: a lexicon and grammar. Lexicon refers to the words of a given language. Thus, lexicon is a language’s vocabulary. Grammar refers to the set of rules that are used to convey meaning through the use of the lexicon (Fernández & Cairns, 2011). For instance, English grammar dictates that most verbs receive an “-ed” at the end to indicate past tense.
Words are formed by combining the various phonemes that make up the language. A phoneme (e.g., the sounds “ah” vs. “eh”) is a basic sound unit of a given language, and different languages have different sets of phonemes. Phonemes are combined to form morphemes, which are the smallest units of language that convey some type of meaning (e.g., “I” is both a phoneme and a morpheme). We use semantics and syntax to construct language. Semantics and syntax are part of a language’s grammar. Semantics refers to the process by which we derive meaning from morphemes and words. Syntax refers to the way words are organized into sentences (Chomsky, 1965; Fernández & Cairns, 2011).
We apply the rules of grammar to organize the lexicon in novel and creative ways, which allow us to communicate information about both concrete and abstract concepts. We can talk about our immediate and observable surroundings as well as the surface of unseen planets. We can share our innermost thoughts, our plans for the future, and debate the value of a college education. We can provide detailed instructions for cooking a meal, fixing a car, or building a fire. Through our use of words and language, we are able to form, organize, and express ideas, schema, and artificial concepts.
### Language Development
Given the remarkable complexity of a language, one might expect that mastering a language would be an especially arduous task; indeed, for those of us trying to learn a second language as adults, this might seem to be true. However, young children master language very quickly with relative ease. B. F. Skinner (1957) proposed that language is learned through reinforcement. Noam Chomsky (1965) criticized this behaviorist approach, asserting instead that the mechanisms underlying language acquisition are biologically determined. The use of language develops in the absence of formal instruction and appears to follow a very similar pattern in children from vastly different cultures and backgrounds. It would seem, therefore, that we are born with a biological predisposition to acquire a language (Chomsky, 1965; Fernández & Cairns, 2011). Moreover, it appears that there is a critical period for language acquisition, such that this proficiency at acquiring language is maximal early in life; generally, as people age, the ease with which they acquire and master new languages diminishes (Johnson & Newport, 1989; Lenneberg, 1967; Singleton, 1995).
Children begin to learn about language from a very early age (). In fact, it appears that this is occurring even before we are born. Newborns show preference for their mother’s voice and appear to be able to discriminate between the language spoken by their mother and other languages. Babies are also attuned to the languages being used around them and show preferences for videos of faces that are moving in synchrony with the audio of spoken language versus videos that do not synchronize with the audio (Blossom & Morgan, 2006; Pickens, 1994; Spelke & Cortelyou, 1981).
You may recall that each language has its own set of phonemes that are used to generate morphemes, words, and so on. Babies can discriminate among the sounds that make up a language (for example, they can tell the difference between the “s” in vision and the “ss” in fission); early on, they can differentiate between the sounds of all human languages, even those that do not occur in the languages that are used in their environments. However, by the time that they are about 1 year old, they can only discriminate among those phonemes that are used in the language or languages in their environments (Jensen, 2011; Werker & Lalonde, 1988; Werker & Tees, 1984).
After the first few months of life, babies enter what is known as the babbling stage, during which time they tend to produce single syllables that are repeated over and over. As time passes, more variations appear in the syllables that they produce. During this time, it is unlikely that the babies are trying to communicate; they are just as likely to babble when they are alone as when they are with their caregivers (Fernández & Cairns, 2011). Interestingly, babies who are raised in environments in which sign language is used will also begin to show babbling in the gestures of their hands during this stage (Petitto, Holowka, Sergio, Levy, & Ostry, 2004).
Generally, a child’s first word is uttered sometime between the ages of 1 year to 18 months, and for the next few months, the child will remain in the “one word” stage of language development. During this time, children know a number of words, but they only produce one-word utterances. The child’s early vocabulary is limited to familiar objects or events, often nouns. Although children in this stage only make one-word utterances, these words often carry larger meaning (Fernández & Cairns, 2011). So, for example, a child saying “cookie” could be identifying a cookie or asking for a cookie.
As a child’s lexicon grows, they begin to utter simple sentences and to acquire new vocabulary at a very rapid pace. In addition, children begin to demonstrate a clear understanding of the specific rules that apply to their language(s). Even the mistakes that children sometimes make provide evidence of just how much they understand about those rules. This is sometimes seen in the form of overgeneralization. In this context, overgeneralization refers to an extension of a language rule to an exception to the rule. For example, in English, it is usually the case that an “s” is added to the end of a word to indicate plurality. For example, we speak of one dog versus two dogs. Young children will overgeneralize this rule to cases that are exceptions to the “add an s to the end of the word” rule and say things like “those two gooses” or “three mouses.” Clearly, the rules of the language are understood, even if the exceptions to the rules are still being learned (Moskowitz, 1978).
### Language and Thought
When we speak one language, we agree that words are representations of ideas, people, places, and events. The given language that children learn is connected to their culture and surroundings. But can words themselves shape the way we think about things? Psychologists have long investigated the question of whether language shapes thoughts and actions, or whether our thoughts and beliefs shape our language. Two researchers, Edward Sapir and Benjamin Lee Whorf, began this investigation in the 1940s. They wanted to understand how the language habits of a community encourage members of that community to interpret language in a particular manner (Sapir, 1941/1964). Sapir and Whorf proposed that language determines thought. For example, in some languages there are many different words for love. However, in English we use the word love for all types of love. Does this affect how we think about love depending on the language that we speak (Whorf, 1956)? Researchers have since identified this view as too absolute, pointing out a lack of empiricism behind what Sapir and Whorf proposed (Abler, 2013; Boroditsky, 2011; van Troyer, 1994). Today, psychologists continue to study and debate the relationship between language and thought.
Language may indeed influence the way that we think, an idea known as linguistic determinism. One recent demonstration of this phenomenon involved differences in the way that English and Mandarin Chinese speakers talk and think about time. English speakers tend to talk about time using terms that describe changes along a horizontal dimension, for example, saying something like “I’m running behind schedule” or “Don’t get ahead of yourself.” While Mandarin Chinese speakers also describe time in horizontal terms, it is not uncommon to also use terms associated with a vertical arrangement. For example, the past might be described as being “up” and the future as being “down.” It turns out that these differences in language translate into differences in performance on cognitive tests designed to measure how quickly an individual can recognize temporal relationships. Specifically, when given a series of tasks with vertical priming, Mandarin Chinese speakers were faster at recognizing temporal relationships between months. Indeed, Boroditsky (2001) sees these results as suggesting that “habits in language encourage habits in thought” (p. 12).
One group of researchers who wanted to investigate how language influences thought compared how English speakers and the Dani people of Papua New Guinea think and speak about color. The Dani have two words for color: one word for light and one word for dark. In contrast, the English language has 11 color words. Researchers hypothesized that the number of color terms could limit the ways that the Dani people conceptualized color. However, the Dani were able to distinguish colors with the same ability as English speakers, despite having fewer words at their disposal (Berlin & Kay, 1969). A recent review of research aimed at determining how language might affect something like color perception suggests that language can influence perceptual phenomena, especially in the left hemisphere of the brain. You may recall from earlier chapters that the left hemisphere is associated with language for most people. However, the right (less linguistic hemisphere) of the brain is less affected by linguistic influences on perception (Regier & Kay, 2009)
### Summary
Language is a communication system that has both a lexicon and a system of grammar. Language acquisition occurs naturally and effortlessly during the early stages of life, and this acquisition occurs in a predictable sequence for individuals around the world. Language has a strong influence on thought, and the concept of how language may influence cognition remains an area of study and debate in psychology.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Thinking and Intelligence
## Problem Solving
People face problems every day—usually, multiple problems throughout the day. Sometimes these problems are straightforward: To double a recipe for pizza dough, for example, all that is required is that each ingredient in the recipe be doubled. Sometimes, however, the problems we encounter are more complex. For example, say you have a work deadline, and you must mail a printed copy of a report to your supervisor by the end of the business day. The report is time-sensitive and must be sent overnight. You finished the report last night, but your printer will not work today. What should you do? First, you need to identify the problem and then apply a strategy for solving the problem.
### Problem-Solving Strategies
When you are presented with a problem—whether it is a complex mathematical problem or a broken printer, how do you solve it? Before finding a solution to the problem, the problem must first be clearly identified. After that, one of many problem solving strategies can be applied, hopefully resulting in a solution.
A problem-solving strategy is a plan of action used to find a solution. Different strategies have different action plans associated with them (). For example, a well-known strategy is trial and error. The old adage, “If at first you don’t succeed, try, try again” describes trial and error. In terms of your broken printer, you could try checking the ink levels, and if that doesn’t work, you could check to make sure the paper tray isn’t jammed. Or maybe the printer isn’t actually connected to your laptop. When using trial and error, you would continue to try different solutions until you solved your problem. Although trial and error is not typically one of the most time-efficient strategies, it is a commonly used one.
Another type of strategy is an algorithm. An algorithm is a problem-solving formula that provides you with step-by-step instructions used to achieve a desired outcome (Kahneman, 2011). You can think of an algorithm as a recipe with highly detailed instructions that produce the same result every time they are performed. Algorithms are used frequently in our everyday lives, especially in computer science. When you run a search on the Internet, search engines like Google use algorithms to decide which entries will appear first in your list of results. Facebook also uses algorithms to decide which posts to display on your newsfeed. Can you identify other situations in which algorithms are used?
A heuristic is another type of problem solving strategy. While an algorithm must be followed exactly to produce a correct result, a heuristic is a general problem-solving framework (Tversky & Kahneman, 1974). You can think of these as mental shortcuts that are used to solve problems. A “rule of thumb” is an example of a heuristic. Such a rule saves the person time and energy when making a decision, but despite its time-saving characteristics, it is not always the best method for making a rational decision. Different types of heuristics are used in different types of situations, but the impulse to use a heuristic occurs when one of five conditions is met (Pratkanis, 1989):
1. When one is faced with too much information
2. When the time to make a decision is limited
3. When the decision to be made is unimportant
4. When there is access to very little information to use in making the decision
5. When an appropriate heuristic happens to come to mind in the same moment
Working backwards is a useful heuristic in which you begin solving the problem by focusing on the end result. Consider this example: You live in Washington, D.C. and have been invited to a wedding at 4 PM on Saturday in Philadelphia. Knowing that Interstate 95 tends to back up any day of the week, you need to plan your route and time your departure accordingly. If you want to be at the wedding service by 3:30 PM, and it takes 2.5 hours to get to Philadelphia without traffic, what time should you leave your house? You use the working backwards heuristic to plan the events of your day on a regular basis, probably without even thinking about it.
Another useful heuristic is the practice of accomplishing a large goal or task by breaking it into a series of smaller steps. Students often use this common method to complete a large research project or long essay for school. For example, students typically brainstorm, develop a thesis or main topic, research the chosen topic, organize their information into an outline, write a rough draft, revise and edit the rough draft, develop a final draft, organize the references list, and proofread their work before turning in the project. The large task becomes less overwhelming when it is broken down into a series of small steps.
### Pitfalls to Problem Solving
Not all problems are successfully solved, however. What challenges stop us from successfully solving a problem? Imagine a person in a room that has four doorways. One doorway that has always been open in the past is now locked. The person, accustomed to exiting the room by that particular doorway, keeps trying to get out through the same doorway even though the other three doorways are open. The person is stuck—but they just need to go to another doorway, instead of trying to get out through the locked doorway. A mental set is where you persist in approaching a problem in a way that has worked in the past but is clearly not working now.
Functional fixedness is a type of mental set where you cannot perceive an object being used for something other than what it was designed for. Duncker (1945) conducted foundational research on functional fixedness. He created an experiment in which participants were given a candle, a book of matches, and a box of thumbtacks. They were instructed to use those items to attach the candle to the wall so that it did not drip wax onto the table below. Participants had to use functional fixedness to overcome the problem (). During the Apollo 13 mission to the moon, NASA engineers at Mission Control had to overcome functional fixedness to save the lives of the astronauts aboard the spacecraft. An explosion in a module of the spacecraft damaged multiple systems. The astronauts were in danger of being poisoned by rising levels of carbon dioxide because of problems with the carbon dioxide filters. The engineers found a way for the astronauts to use spare plastic bags, tape, and air hoses to create a makeshift air filter, which saved the lives of the astronauts.
Researchers have investigated whether functional fixedness is affected by culture. In one experiment, individuals from the Shuar group in Ecuador were asked to use an object for a purpose other than that for which the object was originally intended. For example, the participants were told a story about a bear and a rabbit that were separated by a river and asked to select among various objects, including a spoon, a cup, erasers, and so on, to help the animals. The spoon was the only object long enough to span the imaginary river, but if the spoon was presented in a way that reflected its normal usage, it took participants longer to choose the spoon to solve the problem. (German & Barrett, 2005). The researchers wanted to know if exposure to highly specialized tools, as occurs with individuals in industrialized nations, affects their ability to transcend functional fixedness. It was determined that functional fixedness is experienced in both industrialized and nonindustrialized cultures (German & Barrett, 2005).
In order to make good decisions, we use our knowledge and our reasoning. Often, this knowledge and reasoning is sound and solid. Sometimes, however, we are swayed by biases or by others manipulating a situation. For example, let’s say you and three friends wanted to rent a house and had a combined target budget of $1,600. The realtor shows you only very run-down houses for $1,600 and then shows you a very nice house for $2,000. Might you ask each person to pay more in rent to get the $2,000 home? Why would the realtor show you the run-down houses and the nice house? The realtor may be challenging your anchoring bias. An anchoring bias occurs when you focus on one piece of information when making a decision or solving a problem. In this case, you’re so focused on the amount of money you are willing to spend that you may not recognize what kinds of houses are available at that price point.
The confirmation bias is the tendency to focus on information that confirms your existing beliefs. For example, if you think that your professor is not very nice, you notice all of the instances of rude behavior exhibited by the professor while ignoring the countless pleasant interactions he is involved in on a daily basis. Hindsight bias leads you to believe that the event you just experienced was predictable, even though it really wasn’t. In other words, you knew all along that things would turn out the way they did. Representative bias describes a faulty way of thinking, in which you unintentionally stereotype someone or something; for example, you may assume that your professors spend their free time reading books and engaging in intellectual conversation, because the idea of them spending their time playing volleyball or visiting an amusement park does not fit in with your stereotypes of professors.
Finally, the availability heuristic is a heuristic in which you make a decision based on an example, information, or recent experience that is that readily available to you, even though it may not be the best example to inform your decision. Biases tend to “preserve that which is already established—to maintain our preexisting knowledge, beliefs, attitudes, and hypotheses” (Aronson, 1995; Kahneman, 2011). These biases are summarized in .
Were you able to determine how many marbles are needed to balance the scales in ? You need nine. Were you able to solve the problems in and ? Here are the answers ().
### Summary
Many different strategies exist for solving problems. Typical strategies include trial and error, applying algorithms, and using heuristics. To solve a large, complicated problem, it often helps to break the problem into smaller steps that can be accomplished individually, leading to an overall solution. Roadblocks to problem solving include a mental set, functional fixedness, and various biases that can cloud decision making skills.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Thinking and Intelligence
## What Are Intelligence and Creativity?
A four-and-a-half-year-old boy sits at the kitchen table with his father, who is reading a new story aloud to him. He turns the page to continue reading, but before he can begin, the boy says, “Wait, Daddy!” He points to the words on the new page and reads aloud, “Go, Pig! Go!” The father stops and looks at his son. “Can you read that?” he asks. “Yes, Daddy!” And he points to the words and reads again, “Go, Pig! Go!”
This father was not actively teaching his son to read, even though the child constantly asked questions about letters, words, and symbols that they saw everywhere: in the car, in the store, on the television. The dad wondered about what else his son might understand and decided to try an experiment. Grabbing a sheet of blank paper, he wrote several simple words in a list: mom, dad, dog, bird, bed, truck, car, tree. He put the list down in front of the boy and asked him to read the words. “Dad, dog, bird, bed, truck, car, tree,” he read, slowing down to carefully pronounce bird and truck. Then, “Did I do it, Daddy?” “You sure did! That is very good.” The father gave his little boy a warm hug and continued reading the story about the pig, all the while wondering if his son’s abilities were an indication of exceptional intelligence or simply a normal pattern of linguistic development. Like the father in this example, psychologists have wondered what constitutes intelligence and how it can be measured.
### Classifying Intelligence
What exactly is intelligence? The way that researchers have defined the concept of intelligence has been modified many times since the birth of psychology. British psychologist Charles Spearman believed intelligence consisted of one general factor, called g, which could be measured and compared among individuals. Spearman focused on the commonalities among various intellectual abilities and de-emphasized what made each unique. Long before modern psychology developed, however, ancient philosophers, such as Aristotle, held a similar view (Cianciolo & Sternberg, 2004).
Others psychologists believe that instead of a single factor, intelligence is a collection of distinct abilities. In the 1940s, Raymond Cattell proposed a theory of intelligence that divided general intelligence into two components: crystallized intelligence and fluid intelligence (Cattell, 1963). Crystallized intelligence is characterized as acquired knowledge and the ability to retrieve it. When you learn, remember, and recall information, you are using crystallized intelligence. You use crystallized intelligence all the time in your coursework by demonstrating that you have mastered the information covered in the course. Fluid intelligence encompasses the ability to see complex relationships and solve problems. Navigating your way home after being detoured onto an unfamiliar route because of road construction would draw upon your fluid intelligence. Fluid intelligence helps you tackle complex, abstract challenges in your daily life, whereas crystallized intelligence helps you overcome concrete, straightforward problems (Cattell, 1963).
Other theorists and psychologists believe that intelligence should be defined in more practical terms. For example, what types of behaviors help you get ahead in life? Which skills promote success? Think about this for a moment. Being able to recite all 45 presidents of the United States in order is an excellent party trick, but will knowing this make you a better person?
Robert Sternberg developed another theory of intelligence, which he titled the triarchic theory of intelligence because it sees intelligence as comprised of three parts (Sternberg, 1988): practical, creative, and analytical intelligence ().
Practical intelligence, as proposed by Sternberg, is sometimes compared to “street smarts.” Being practical means you find solutions that work in your everyday life by applying knowledge based on your experiences. This type of intelligence appears to be separate from traditional understanding of IQ; individuals who score high in practical intelligence may or may not have comparable scores in creative and analytical intelligence (Sternberg, 1988).
Analytical intelligence is closely aligned with academic problem solving and computations. Sternberg says that analytical intelligence is demonstrated by an ability to analyze, evaluate, judge, compare, and contrast. When reading a classic novel for literature class, for example, it is usually necessary to compare the motives of the main characters of the book or analyze the historical context of the story. In a science course such as anatomy, you must study the processes by which the body uses various minerals in different human systems. In developing an understanding of this topic, you are using analytical intelligence. When solving a challenging math problem, you would apply analytical intelligence to analyze different aspects of the problem and then solve it section by section.
Creative intelligence is marked by inventing or imagining a solution to a problem or situation. Creativity in this realm can include finding a novel solution to an unexpected problem or producing a beautiful work of art or a well-developed short story. Imagine for a moment that you are camping in the woods with some friends and realize that you’ve forgotten your camp coffee pot. The person in your group who figures out a way to successfully brew coffee for everyone would be credited as having higher creative intelligence.
Multiple Intelligences Theory was developed by Howard Gardner, a Harvard psychologist and former student of Erik Erikson. In Gardner’s theory, each person possesses at least eight intelligences. The eight intelligences are linguistic intelligence, logical-mathematical intelligence, musical intelligence, bodily kinesthetic intelligence, spatial intelligence, interpersonal intelligence, intrapersonal intelligence, and naturalistic intelligence. Among cognitive psychologists, Gardner’s theory has been heavily criticized for lacking empirical evidence. However, educators continue to study and use Gardner’s theory, with some colleges even discussing how they integrate Gardner’s theory into their classrooms. Gottfredson describes one possible reason for the continued use of Gardner’s theory: “ . . . that there are multiple independent intelligences, suggesting that everyone can be smart in some way. This is, understandably, a very attractive idea in democratic societies” (2004).
Gardner’s inter- and intrapersonal intelligences are often combined into a single type: emotional intelligence. Emotional intelligence encompasses the ability to understand the emotions of yourself and others, show empathy, understand social relationships and cues, and regulate your own emotions and respond in culturally appropriate ways (Parker, Saklofske, & Stough, 2009). People with high emotional intelligence typically have well-developed social skills. Some researchers, including Daniel Goleman, the author of Emotional Intelligence: Why It Can Matter More than IQ, argue that emotional intelligence is a better predictor of success than traditional intelligence (Goleman, 1995). However, emotional intelligence has been widely debated, with researchers pointing out inconsistencies in how it is defined and described, as well as questioning results of studies on a subject that is difficult to measure and study empirically (Locke, 2005; Mayer, Salovey, & Caruso, 2004)
The most comprehensive theory of intelligence to date is the Cattell-Horn-Carroll (CHC) theory of cognitive abilities (Schneider & McGrew, 2018). In this theory, abilities are related and arranged in a hierarchy with general abilities at the top, broad abilities in the middle, and narrow (specific) abilities at the bottom. The narrow abilities are the only ones that can be directly measured; however, they are integrated within the other abilities. At the general level is general intelligence. Next, the broad level consists of general abilities such as fluid reasoning, short-term memory, and processing speed. Finally, as the hierarchy continues, the narrow level includes specific forms of cognitive abilities. For example, short-term memory would further break down into memory span and working memory capacity.
Intelligence can also have different meanings and values in different cultures. If you live on a small island, where most people get their food by fishing from boats, it would be important to know how to fish and how to repair a boat. If you were an exceptional angler, your peers would probably consider you intelligent. If you were also skilled at repairing boats, your intelligence might be known across the whole island. Think about your own family’s culture. What values are important for Latinx families? Italian families? In Irish families, hospitality and telling an entertaining story are marks of the culture. If you are a skilled storyteller, other members of Irish culture are likely to consider you intelligent.
Some cultures place a high value on working together as a collective. In these cultures, the importance of the group supersedes the importance of individual achievement. When you visit such a culture, how well you relate to the values of that culture exemplifies your cultural intelligence, sometimes referred to as cultural competence.
### Creativity
Creativity is the ability to generate, create, or discover new ideas, solutions, and possibilities. Very creative people often have intense knowledge about something, work on it for years, look at novel solutions, seek out the advice and help of other experts, and take risks. Although creativity is often associated with the arts, it is actually a vital form of intelligence that drives people in many disciplines to discover something new. Creativity can be found in every area of life, from the way you decorate your residence to a new way of understanding how a cell works.
Creativity is often connected to a person’s ability to engage in divergent thinking. Divergent thinking can be described as thinking “outside the box;” it allows an individual to arrive at unique, multiple solutions to a given problem. In contrast, convergent thinking describes the ability to provide a correct or well-established answer or solution to a problem (Cropley, 2006; Gilford, 1967)
### Summary
Intelligence is a complex characteristic of cognition. Many theories have been developed to explain what intelligence is and how it works. Sternberg generated his triarchic theory of intelligence, whereas Gardner posits that intelligence is comprised of many factors. Still others focus on the importance of emotional intelligence. Finally, creativity seems to be a facet of intelligence, but it is extremely difficult to measure objectively.
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### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Thinking and Intelligence
## Measures of Intelligence
While you’re likely familiar with the term “IQ” and associate it with the idea of intelligence, what does IQ really mean? IQ stands for intelligence quotient and describes a score earned on a test designed to measure intelligence. You’ve already learned that there are many ways psychologists describe intelligence (or more aptly, intelligences). Similarly, IQ tests—the tools designed to measure intelligence—have been the subject of debate throughout their development and use.
When might an IQ test be used? What do we learn from the results, and how might people use this information? While there are certainly many benefits to intelligence testing, it is important to also note the limitations and controversies surrounding these tests. For example, IQ tests have sometimes been used as arguments in support of insidious purposes, such as the eugenics movement (Severson, 2011). The infamous Supreme Court Case, Buck v. Bell, legalized the forced sterilization of some people deemed “feeble-minded” through this type of testing, resulting in about 65,000 sterilizations (Buck v. Bell, 274 U.S. 200; Ko, 2016). Today, only professionals trained in psychology can administer IQ tests, and the purchase of most tests requires an advanced degree in psychology. Other professionals in the field, such as social workers and psychiatrists, cannot administer IQ tests. In this section, we will explore what intelligence tests measure, how they are scored, and how they were developed.
### Measuring Intelligence
It seems that the human understanding of intelligence is somewhat limited when we focus on traditional or academic-type intelligence. How then, can intelligence be measured? And when we measure intelligence, how do we ensure that we capture what we’re really trying to measure (in other words, that IQ tests function as valid measures of intelligence)? In the following paragraphs, we will explore how intelligence tests were developed and the history of their use.
The IQ test has been synonymous with intelligence for over a century. In the late 1800s, Sir Francis Galton developed the first broad test of intelligence (Flanagan & Kaufman, 2004). Although he was not a psychologist, his contributions to the concepts of intelligence testing are still felt today (Gordon, 1995). Reliable intelligence testing (you may recall from earlier chapters that reliability refers to a test’s ability to produce consistent results) began in earnest during the early 1900s with a researcher named Alfred Binet (). Binet was asked by the French government to develop an intelligence test to use on children to determine which ones might have difficulty in school; it included many verbally based tasks. American researchers soon realized the value of such testing. Louis Terman, a Stanford professor, modified Binet’s work by standardizing the administration of the test and tested thousands of different-aged children to establish an average score for each age. As a result, the test was normed and standardized, which means that the test was administered consistently to a large enough representative sample of the population that the range of scores resulted in a bell curve (bell curves will be discussed later). Standardization means that the manner of administration, scoring, and interpretation of results is consistent. Norming involves giving a test to a large population so data can be collected comparing groups, such as age groups. The resulting data provide norms, or referential scores, by which to interpret future scores. Norms are not expectations of what a given group should know but a demonstration of what that group does know. Norming and standardizing the test ensures that new scores are reliable. This new version of the test was called the Stanford-Binet Intelligence Scale (Terman, 1916). Remarkably, an updated version of this test is still widely used today.
In 1939, David Wechsler, a psychologist who spent part of his career working with World War I veterans, developed a new IQ test in the United States. Wechsler combined several subtests from other intelligence tests used between 1880 and World War I. These subtests tapped into a variety of verbal and nonverbal skills, because Wechsler believed that intelligence encompassed “the global capacity of a person to act purposefully, to think rationally, and to deal effectively with his environment” (Wechsler, 1958, p. 7). He named the test the Wechsler-Bellevue Intelligence Scale (Wechsler, 1981). This combination of subtests became one of the most extensively used intelligence tests in the history of psychology. Although its name was later changed to the Wechsler Adult Intelligence Scale (WAIS) and has been revised several times, the aims of the test remain virtually unchanged since its inception (Boake, 2002). Today, there are three intelligence tests credited to Wechsler, the Wechsler Adult Intelligence Scale-fourth edition (WAIS-IV), the Wechsler Intelligence Scale for Children (WISC-V), and the Wechsler Preschool and Primary Scale of Intelligence—IV (WPPSI-IV) (Wechsler, 2012). These tests are used widely in schools and communities throughout the United States, and they are periodically normed and standardized as a means of recalibration. As a part of the recalibration process, the WISC-V was given to thousands of children across the country, and children taking the test today are compared with their same-age peers ().
The WISC-V is composed of 14 subtests, which comprise five indices, which then render an IQ score. The five indices are Verbal Comprehension, Visual Spatial, Fluid Reasoning, Working Memory, and Processing Speed. When the test is complete, individuals receive a score for each of the five indices and a Full Scale IQ score. The method of scoring reflects the understanding that intelligence is comprised of multiple abilities in several cognitive realms and focuses on the mental processes that the child used to arrive at their answers to each test item.
Interestingly, the periodic recalibrations have led to an interesting observation known as the Flynn effect. Named after James Flynn, who was among the first to describe this trend, the Flynn effect refers to the observation that each generation has a significantly higher IQ than the last. Flynn himself argues, however, that increased IQ scores do not necessarily mean that younger generations are more intelligent per se (Flynn, Shaughnessy, & Fulgham, 2012).
Ultimately, we are still left with the question of how valid intelligence tests are. Certainly, the most modern versions of these tests tap into more than verbal competencies, yet the specific skills that should be assessed in IQ testing, the degree to which any test can truly measure an individual’s intelligence, and the use of the results of IQ tests are still issues of debate (Gresham & Witt, 1997; Flynn, Shaughnessy, & Fulgham, 2012; Richardson, 2002; Schlinger, 2003).
### The Bell Curve
The results of intelligence tests follow the bell curve, a graph in the general shape of a bell. When the bell curve is used in psychological testing, the graph demonstrates a normal distribution of a trait, in this case, intelligence, in the human population. Many human traits naturally follow the bell curve. For example, if you lined up all your female schoolmates according to height, it is likely that a large cluster of them would be the average height for an American woman: 5’4”–5’6”. This cluster would fall in the center of the bell curve, representing the average height for American women (). There would be fewer women who stand closer to 4’11”. The same would be true for women of above-average height: those who stand closer to 5’11”. The trick to finding a bell curve in nature is to use a large sample size. Without a large sample size, it is less likely that the bell curve will represent the wider population. A representative sample is a subset of the population that accurately represents the general population. If, for example, you measured the height of the women in your classroom only, you might not actually have a representative sample. Perhaps the women’s basketball team wanted to take this course together, and they are all in your class. Because basketball players tend to be taller than average, the women in your class may not be a good representative sample of the population of American women. But if your sample included all the women at your school, it is likely that their heights would form a natural bell curve.
The same principles apply to intelligence tests scores. Individuals earn a score called an intelligence quotient (IQ). Over the years, different types of IQ tests have evolved, but the way scores are interpreted remains the same. On most IQ tests, the average (or mean) IQ score is 100. Standard deviations describe how data are dispersed in a population and give context to large data sets. The bell curve uses the standard deviation to show how all scores are dispersed from the average score (). In modern IQ testing, one standard deviation is 15 points. So a score of 85 would be described as “one standard deviation below the mean.” How would you describe a score of 115 and a score of 70? Any IQ score that falls within one standard deviation above and below the mean (between 85 and 115) is considered average, and 68% of the population has IQ scores in this range. An IQ score of 130 or above is considered a superior level.
Only 2.2% of the population has an IQ score below 70 (American Psychiatric Association [APA], 2013). If a person earns a score approximately two standard deviations below the mean on an intelligence test, (about 70 on a test with a mean of 100), has major deficits in adaptive functioning, and these cognitive and adaptive deficits were present before the age of 18, they could be diagnosed as having an intellectual disability (ID). Formerly known as mental retardation, the accepted term now is intellectual disability, and it has four subtypes: mild, moderate, severe, and profound (). The Diagnostic and Statistical Manual of Psychological Disorders lists criteria for each subgroup (APA, 2013).
On the other end of the intelligence spectrum are those individuals whose IQs fall into the highest ranges. Consistent with the bell curve, about 2% of the population falls into this category. People are considered to have a higher aptitude for learning (and may be classified as "gifted" within educational systems) if they have an IQ score of 130 or higher, or superior intelligence in a particular area. Long ago, popular belief suggested that people of high intelligence were maladjusted. This idea was disproven through a groundbreaking study of these children. In 1921, Lewis Terman began a longitudinal study of over 1500 children with IQs over 135 (Terman, 1925). His findings showed that these children became well-educated, successful adults who were, in fact, well-adjusted (Terman & Oden, 1947). Additionally, Terman’s study showed that the subjects were above average in physical build and attractiveness, dispelling an earlier popular notion that highly intelligent people were “weaklings.” Some people with very high IQs elect to join Mensa, an organization dedicated to identifying, researching, and fostering intelligence. Members must have an IQ score in the top 2% of the population, and they may be required to pass other exams in their application to join the group.
### Why Measure Intelligence?
The value of IQ testing is most evident in educational or clinical settings. Children who seem to be experiencing learning difficulties or severe behavioral problems can be tested to ascertain whether the child’s difficulties can be partly attributed to an IQ score that is significantly different from the mean for their age group. Without IQ testing—or another measure of intelligence—children and adults needing extra support might not be identified effectively. In addition, IQ testing is used in courts to determine whether a defendant has special or extenuating circumstances that preclude them from participating in some way in a trial. People also use IQ testing results to seek disability benefits from the Social Security Administration.
The following case study demonstrates the usefulness and benefits of IQ testing. Candace, a 14-year-old girl experiencing problems at school in Connecticut, was referred for a court-ordered psychological evaluation. She was in regular education classes in ninth grade and was failing every subject. Candace had never been a stellar student but had always been passed to the next grade. Frequently, she would curse at any of her teachers who called on her in class. She also got into fights with other students and occasionally shoplifted. When she arrived for the evaluation, Candace immediately said that she hated everything about school, including the teachers, the rest of the staff, the building, and the homework. Her parents stated that they felt their daughter was picked on, because she was of a different ethnicity than the teachers and most of the other students. When asked why she cursed at her teachers, Candace replied, “They only call on me when I don’t know the answer. I don’t want to say, ‘I don’t know’ all of the time and look like an idiot in front of my friends. The teachers embarrass me.” She was given a battery of tests, including an IQ test. Her score on the IQ test was 68. What does Candace’s score say about her ability to excel or even succeed in regular education classes without assistance? Why were her difficulties never noticed or addressed?
Despite evidence for the value of intelligence and related evaluations, the methods and interpretations of these tests are continually evolving. Researchers such as Jack A. Naglieri (2020) have developed or improved on testing programs in order to make them more accurate, equitable, and useful. Beyond new testing instruments, some researchers demonstrate value in differentiating tests for different age groups, abilities, and contexts.
### Summary
In this section, we learned about the history of intelligence testing and some of the challenges regarding intelligence testing. Intelligence tests began in earnest with Binet; Wechsler later developed intelligence tests that are still in use today: the WAIS-IV and WISC-V. The Bell curve shows the range of scores that encompass average intelligence as well as standard deviations.
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# Thinking and Intelligence
## The Source of Intelligence
A young girl, born of teenage parents, lives with her grandmother in rural Mississippi. They have a very low income, but they do their best to get by with what they have. She learns to read when she is just 3 years old. As she grows older, she longs to live with her mother, who now resides in Wisconsin. She moves there at the age of 6 years. At 9 years of age, she is raped. During the next several years, several different male relatives repeatedly molest her. Her life unravels. She turns to drugs and sex to fill the deep, lonely void inside her. Her mother then sends her to Nashville to live with her father, who imposes strict behavioral expectations upon her, and over time, her wild life settles once again. She begins to experience success in school, and at 19 years old, becomes the youngest and first African-American female news anchor (“Dates and Events,” n.d.). The woman—Oprah Winfrey—goes on to become a media giant known for both her intelligence and her empathy.
### High Intelligence: Nature or Nurture?
Where does high intelligence come from? Some researchers believe that intelligence is a trait inherited from a person’s parents. Scientists who research this topic typically use twin studies to determine the heritability of intelligence. The Minnesota Study of Twins Reared Apart is one of the most well-known twin studies. In this investigation, researchers found that identical twins raised together and identical twins raised apart exhibit a higher correlation between their IQ scores than siblings or fraternal twins raised together (Bouchard, Lykken, McGue, Segal, & Tellegen, 1990). The findings from this study reveal a genetic component to intelligence (). At the same time, other psychologists believe that intelligence is shaped by a child’s developmental environment. If parents were to provide their children with intellectual stimuli from before they are born, it is likely that they would absorb the benefits of that stimulation, and it would be reflected in intelligence levels.
The reality is that aspects of each idea are probably correct. In fact, one study suggests that although genetics seem to be in control of the level of intelligence, the environmental influences provide both stability and change to trigger manifestation of cognitive abilities (Bartels, Rietveld, Van Baal, & Boomsma, 2002). Certainly, there are behaviors that support the development of intelligence, but the genetic component of high intelligence should not be ignored. As with all heritable traits, however, it is not always possible to isolate how and when high intelligence is passed on to the next generation.
Range of Reaction is the theory that each person responds to the environment in a unique way based on their genetic makeup. According to this idea, your genetic potential is a fixed quantity, but whether you reach your full intellectual potential is dependent upon the environmental stimulation you experience, especially in childhood. Think about this scenario: A couple adopts a child who has average genetic intellectual potential. They raise her in an extremely stimulating environment. What will happen to the couple’s new daughter? It is likely that the stimulating environment will improve her intellectual outcomes over the course of her life. But what happens if this experiment is reversed? If a child with an extremely strong genetic background is placed in an environment that does not stimulate him: What happens? Interestingly, according to a longitudinal study of highly gifted individuals, it was found that “the two extremes of optimal and pathological experience are both represented disproportionately in the backgrounds of creative individuals”; however, those who experienced supportive family environments were more likely to report being happy (Csikszentmihalyi & Csikszentmihalyi, 1993, p. 187).
Another challenge to determining origins of high intelligence is the confounding nature of our human social structures. It is troubling to note that some ethnic groups perform better on IQ tests than others—and it is likely that the results do not have much to do with the quality of each ethnic group’s intellect. The same is true for socioeconomic status. Children who live in poverty experience more pervasive, daily stress than children who do not worry about the basic needs of safety, shelter, and food. These worries can negatively affect how the brain functions and develops, causing a dip in IQ scores. Mark Kishiyama and his colleagues determined that children living in poverty demonstrated reduced prefrontal brain functioning comparable to children with damage to the lateral prefrontal cortex (Kishiyama, Boyce, Jimenez, Perry, & Knight, 2009).
The debate around the foundations and influences on intelligence exploded in 1969, when an educational psychologist named Arthur Jensen published the article “How Much Can We Boost I.Q. and Achievement” in the Harvard Educational Review. Jensen had administered IQ tests to diverse groups of students, and his results led him to the conclusion that IQ is determined by genetics. He also posited that intelligence was made up of two types of abilities: Level I and Level II. In his theory, Level I is responsible for rote memorization, whereas Level II is responsible for conceptual and analytical abilities. According to his findings, Level I remained consistent among the human race. Level II, however, exhibited differences among ethnic groups (Modgil & Routledge, 1987). Jensen’s most controversial conclusion was that Level II intelligence is prevalent among Asian people, then White people, then Black people. Robert Williams was among those who called out racial bias in Jensen’s results (Williams, 1970).
Obviously, Jensen’s interpretation of his own data caused an intense response in a nation that continued to grapple with the effects of racism (Fox, 2012). While even some who took issue with Jensen's findings indicated that they did not detect overt racism in his work, Jensen himself made a number of racist statements during an interview with a White nationalist publication, American Renaissance. He indicated his belief that many Black people were not "educable up to a level for which there’s any economic demand," while also having a higher birth rate than other groups, which would lead to a shift in population and a deterioration of the nation (Taylor, 1992). However, Jensen’s ideas were not solitary or unique; rather, they represented one of many examples of psychologists asserting racial differences in IQ and cognitive ability. In fact, Rushton and Jensen (2005) reviewed three decades worth of research on the relationship between race and cognitive ability. Jensen’s belief in the inherited nature of intelligence and the validity of the IQ test to be the truest measure of intelligence are at the core of his conclusions.
In a related story, parents of African American students filed a case against the State of California in 1979, because they believed that the testing method used to identify students with learning disabilities was culturally unfair as the tests were normed and standardized using White children (Larry P. v. Riles). The testing method used by the state disproportionately identified African American children as “mentally retarded," which resulted in many students being incorrectly classified. According to a summary of the case, Larry P. v. Riles:
Once again, the limitations of intelligence testing were revealed.
### What are Learning Disabilities?
Learning disabilities are cognitive disorders that affect different areas of cognition, particularly language or reading. It should be pointed out that learning disabilities are not the same thing as intellectual disabilities. Learning disabilities are considered specific neurological impairments rather than global intellectual or developmental disabilities. A person with a language disability has difficulty understanding or using spoken language, whereas someone with a reading disability, such as dyslexia, has difficulty processing what they are reading.
Often, learning disabilities are not recognized until a child reaches school age. One confounding aspect of learning disabilities is that they most often affect children with average to above-average intelligence. In other words, the disability is specific to a particular area and not a measure of overall intellectual ability. At the same time, learning disabilities tend to exhibit comorbidity with other disorders, like attention-deficit hyperactivity disorder (ADHD). Anywhere between 30–70% of individuals with diagnosed cases of ADHD also have some sort of learning disability (Riccio, Gonzales, & Hynd, 1994). Let’s take a look at three examples of common learning disabilities: dysgraphia, dyslexia, and dyscalculia.
### Dysgraphia
Children with dysgraphia have a learning disability that results in a struggle to write legibly. The physical task of writing with a pen and paper is extremely challenging for the person. These children often have extreme difficulty putting their thoughts down on paper (Smits-Engelsman & Van Galen, 1997). This difficulty is inconsistent with a person’s IQ. That is, based on the child’s IQ and/or abilities in other areas, a child with dysgraphia should be able to write, but can’t. Children with dysgraphia may also have problems with spatial abilities.
Students with dysgraphia need academic accommodations to help them succeed in school. These accommodations can provide students with alternative assessment opportunities to demonstrate what they know (Barton, 2003). For example, a student with dysgraphia might be permitted to take an oral exam rather than a traditional paper-and-pencil test. Treatment is usually provided by an occupational therapist, although there is some question as to how effective such treatment is (Zwicker, 2005).
### Dyslexia
Dyslexia is the most common learning disability in children. An individual with dyslexia exhibits an inability to correctly process letters. The neurological mechanism for sound processing does not work properly in someone with dyslexia. As a result, dyslexic children may not understand sound-letter correspondence. A child with dyslexia may mix up letters within words and sentences—letter reversals, such as those shown in , are a hallmark of this learning disability—or skip whole words while reading. A dyslexic child may have difficulty spelling words correctly while writing. Because of the disordered way that the brain processes letters and sound, learning to read is a frustrating experience. Some dyslexic individuals cope by memorizing the shapes of most words, but they never actually learn to read (Berninger, 2008).
### Dyscalculia
Dyscalculia is difficulty in learning or comprehending arithmetic. This learning disability is often first evident when children exhibit difficulty discerning how many objects are in a small group without counting them. Other symptoms may include struggling to memorize math facts, organize numbers, or fully differentiate between numerals, math symbols, and written numbers (such as “3” and “three”).
### Summary
Genetics and environment affect intelligence and the challenges of certain learning disabilities. The intelligence levels of all individuals seem to benefit from rich stimulation in their early environments. Highly intelligent individuals, however, may have a built-in resiliency that allows them to overcome difficult obstacles in their upbringing. Learning disabilities can cause major challenges for children who are learning to read and write. Unlike developmental disabilities, learning disabilities are strictly neurological in nature and are not related to intelligence levels. Students with dyslexia, for example, may have extreme difficulty learning to read, but their intelligence levels are typically average or above average.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Question
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# Memory
## Introduction
We may be top-notch learners, but if we don’t have a way to store what we’ve learned, what good is the knowledge we’ve gained?
Take a few minutes to imagine what your day might be like if you could not remember anything you had learned. You would have to figure out how to get dressed. What clothing should you wear, and how do buttons and zippers work? You would need someone to teach you how to brush your teeth and tie your shoes. Who would you ask for help with these tasks, since you wouldn’t recognize the faces of these people in your house? Wait . . . is this even your house? Uh oh, your stomach begins to rumble and you feel hungry. You’d like something to eat, but you don’t know where the food is kept or even how to prepare it. Oh dear, this is getting confusing. Maybe it would be best just go back to bed. A bed . . . what is a bed?
We have an amazing capacity for memory, but how, exactly, do we process and store information? Are there different kinds of memory, and if so, what characterizes the different types? How, exactly, do we retrieve our memories? And why do we forget? This chapter will explore these questions as we learn about memory.
### References
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# Memory
## How Memory Functions
Memory is an information processing system; therefore, we often compare it to a computer. Memory is the set of processes used to encode, store, and retrieve information over different periods of time ().
### Encoding
We get information into our brains through a process called encoding, which is the input of information into the memory system. Once we receive sensory information from the environment, our brains label or code it. We organize the information with other similar information and connect new concepts to existing concepts. Encoding information occurs through automatic processing and effortful processing.
If someone asks you what you ate for lunch today, more than likely you could recall this information quite easily. This is known as automatic processing, or the encoding of details like time, space, frequency, and the meaning of words. Automatic processing is usually done without any conscious awareness. Recalling the last time you studied for a test is another example of automatic processing. But what about the actual test material you studied? It probably required a lot of work and attention on your part in order to encode that information. This is known as effortful processing ().
What are the most effective ways to ensure that important memories are well encoded? Even a simple sentence is easier to recall when it is meaningful (Anderson, 1984). Read the following sentences (Bransford & McCarrell, 1974), then look away and count backwards from 30 by threes to zero, and then try to write down the sentences (no peeking back at this page!).
1. The notes were sour because the seams split.
2. The voyage wasn't delayed because the bottle shattered.
3. The haystack was important because the cloth ripped.
How well did you do? By themselves, the statements that you wrote down were most likely confusing and difficult for you to recall. Now, try writing them again, using the following prompts: bagpipe, ship christening, and parachutist. Next count backwards from 40 by fours, then check yourself to see how well you recalled the sentences this time. You can see that the sentences are now much more memorable because each of the sentences was placed in context. Material is far better encoded when you make it meaningful.
There are three types of encoding. The encoding of words and their meaning is known as semantic encoding. It was first demonstrated by William Bousfield (1935) in an experiment in which he asked people to memorize words. The 60 words were actually divided into 4 categories of meaning, although the participants did not know this because the words were randomly presented. When they were asked to remember the words, they tended to recall them in categories, showing that they paid attention to the meanings of the words as they learned them.
Visual encoding is the encoding of images, and acoustic encoding is the encoding of sounds, words in particular. To see how visual encoding works, read over this list of words: car, level, dog, truth, book, value. If you were asked later to recall the words from this list, which ones do you think you’d most likely remember? You would probably have an easier time recalling the words car, dog, and book, and a more difficult time recalling the words level, truth, and value. Why is this? Because you can recall images (mental pictures) more easily than words alone. When you read the words car, dog, and book you created images of these things in your mind. These are concrete, high-imagery words. On the other hand, abstract words like level, truth, and value are low-imagery words. High-imagery words are encoded both visually and semantically (Paivio, 1986), thus building a stronger memory.
Now let’s turn our attention to acoustic encoding. You are driving in your car and a song comes on the radio that you haven’t heard in at least 10 years, but you sing along, recalling every word. In the United States, children often learn the alphabet through song, and they learn the number of days in each month through rhyme: “Thirty days hath September, / April, June, and November; / All the rest have thirty-one, / Save February, with twenty-eight days clear, / And twenty-nine each leap year.” These lessons are easy to remember because of acoustic encoding. We encode the sounds the words make. This is one of the reasons why much of what we teach young children is done through song, rhyme, and rhythm.
Which of the three types of encoding do you think would give you the best memory of verbal information? Some years ago, psychologists Fergus Craik and Endel Tulving (1975) conducted a series of experiments to find out. Participants were given words along with questions about them. The questions required the participants to process the words at one of the three levels. The visual processing questions included such things as asking the participants about the font of the letters. The acoustic processing questions asked the participants about the sound or rhyming of the words, and the semantic processing questions asked the participants about the meaning of the words. After participants were presented with the words and questions, they were given an unexpected recall or recognition task.
Words that had been encoded semantically were better remembered than those encoded visually or acoustically. Semantic encoding involves a deeper level of processing than the shallower visual or acoustic encoding. Craik and Tulving concluded that we process verbal information best through semantic encoding, especially if we apply what is called the self-reference effect. The self-reference effect is the tendency for an individual to have better memory for information that relates to oneself in comparison to material that has less personal relevance (Rogers, Kuiper, & Kirker, 1977). Could semantic encoding be beneficial to you as you attempt to memorize the concepts in this chapter?
### Storage
Once the information has been encoded, we have to somehow retain it. Our brains take the encoded information and place it in storage. Storage is the creation of a permanent record of information.
In order for a memory to go into storage (i.e., long-term memory), it has to pass through three distinct stages: Sensory Memory, Short-Term Memory, and finally Long-Term Memory. These stages were first proposed by Richard Atkinson and Richard Shiffrin (1968). Their model of human memory (), called Atkinson and Shiffrin's model, is based on the belief that we process memories in the same way that a computer processes information.
Atkinson and Shiffrin's model is not the only model of memory. Baddeley and Hitch (1974) proposed a working memory model in which short-term memory has different forms. In their model, storing memories in short-term memory is like opening different files on a computer and adding information. The working memory files hold a limited amount of information. The type of short-term memory (or computer file) depends on the type of information received. There are memories in visual-spatial form, as well as memories of spoken or written material, and they are stored in three short-term systems: a visuospatial sketchpad, an episodic buffer (Baddeley, 2000), and a phonological loop. According to Baddeley and Hitch, a central executive part of memory supervises or controls the flow of information to and from the three short-term systems, and the central executive is responsible for moving information into long-term memory.
### Sensory Memory
In the Atkinson-Shiffrin model, stimuli from the environment are processed first in sensory memory: storage of brief sensory events, such as sights, sounds, and tastes. It is very brief storage—up to a couple of seconds. We are constantly bombarded with sensory information. We cannot absorb all of it, or even most of it. And most of it has no impact on our lives. For example, what was your professor wearing the last class period? As long as the professor was dressed appropriately, it does not really matter what she was wearing. Sensory information about sights, sounds, smells, and even textures, which we do not view as valuable information, we discard. If we view something as valuable, the information will move into our short-term memory system.
### Short-Term Memory
Short-term memory (STM) is a temporary storage system that processes incoming sensory memory. The terms short-term and working memory are sometimes used interchangeably, but they are not exactly the same. Short-term memory is more accurately described as a component of working memory. Short-term memory takes information from sensory memory and sometimes connects that memory to something already in long-term memory. Short-term memory storage lasts 15 to 30 seconds. Think of it as the information you have displayed on your computer screen, such as a document, spreadsheet, or website. Then, information in STM goes to long-term memory (you save it to your hard drive), or it is discarded (you delete a document or close a web browser).
Rehearsal moves information from short-term memory to long-term memory. Active rehearsal is a way of attending to information to move it from short-term to long-term memory. During active rehearsal, you repeat (practice) the information to be remembered. If you repeat it enough, it may be moved into long-term memory. For example, this type of active rehearsal is the way many children learn their ABCs by singing the alphabet song. Alternatively, elaborative rehearsal is the act of linking new information you are trying to learn to existing information that you already know. For example, if you meet someone at a party and your phone is dead but you want to remember his phone number, which starts with area code 203, you might remember that your uncle Abdul lives in Connecticut and has a 203 area code. This way, when you try to remember the phone number of your new prospective friend, you will easily remember the area code. Craik and Lockhart (1972) proposed the levels of processing hypothesis that states the deeper you think about something, the better you remember it.
You may find yourself asking, “How much information can our memory handle at once?” To explore the capacity and duration of your short-term memory, have a partner read the strings of random numbers () out loud to you, beginning each string by saying, “Ready?” and ending each by saying, “Recall,” at which point you should try to write down the string of numbers from memory.
Note the longest string at which you got the series correct. For most people, the capacity will probably be close to 7 plus or minus 2. In 1956, George Miller reviewed most of the research on the capacity of short-term memory and found that people can retain between 5 and 9 items, so he reported the capacity of short-term memory was the "magic number" 7 plus or minus 2. However, more contemporary research has found working memory capacity is 4 plus or minus 1 (Cowan, 2010). Generally, recall is somewhat better for random numbers than for random letters (Jacobs, 1887) and also often slightly better for information we hear (acoustic encoding) rather than information we see (visual encoding) (Anderson, 1969).
Memory trace decay and interference are two factors that affect short-term memory retention. Peterson and Peterson (1959) investigated short-term memory using the three letter sequences called trigrams (e.g., CLS) that had to be recalled after various time intervals between 3 and 18 seconds. Participants remembered about 80% of the trigrams after a 3-second delay, but only 10% after a delay of 18 seconds, which caused them to conclude that short-term memory decayed in 18 seconds. During decay, the memory trace becomes less activated over time, and the information is forgotten. However, Keppel and Underwood (1962) examined only the first trials of the trigram task and found that proactive interference also affected short-term memory retention. During proactive interference, previously learned information interferes with the ability to learn new information. Both memory trace decay and proactive interference affect short-term memory. Once the information reaches long-term memory, it has to be consolidated at both the synaptic level, which takes a few hours, and into the memory system, which can take weeks or longer.
### Long-term Memory
Long-term memory (LTM) is the continuous storage of information. Unlike short-term memory, long-term memory storage capacity is believed to be unlimited. It encompasses all the things you can remember that happened more than just a few minutes ago. One cannot really consider long-term memory without thinking about the way it is organized. Really quickly, what is the first word that comes to mind when you hear “peanut butter”? Did you think of jelly? If you did, you probably have associated peanut butter and jelly in your mind. It is generally accepted that memories are organized in semantic (or associative) networks (Collins & Loftus, 1975). A semantic network consists of concepts, and as you may recall from what you’ve learned about memory, concepts are categories or groupings of linguistic information, images, ideas, or memories, such as life experiences. Although individual experiences and expertise can affect concept arrangement, concepts are believed to be arranged hierarchically in the mind (Anderson & Reder, 1999; Johnson & Mervis, 1997, 1998; Palmer, Jones, Hennessy, Unze, & Pick, 1989; Rosch, Mervis, Gray, Johnson, & Boyes-Braem, 1976; Tanaka & Taylor, 1991). Related concepts are linked, and the strength of the link depends on how often two concepts have been associated.
Semantic networks differ depending on personal experiences. Importantly for memory, activating any part of a semantic network also activates the concepts linked to that part to a lesser degree. The process is known as spreading activation (Collins & Loftus, 1975). If one part of a network is activated, it is easier to access the associated concepts because they are already partially activated. When you remember or recall something, you activate a concept, and the related concepts are more easily remembered because they are partially activated. However, the activations do not spread in just one direction. When you remember something, you usually have several routes to get the information you are trying to access, and the more links you have to a concept, the better your chances of remembering.
There are two types of long-term memory: explicit and implicit (). Understanding the difference between explicit memory and implicit memory is important because aging, particular types of brain trauma, and certain disorders can impact explicit and implicit memory in different ways. Explicit memories are those we consciously try to remember, recall, and report. For example, if you are studying for your chemistry exam, the material you are learning will be part of your explicit memory. In keeping with the computer analogy, some information in your long-term memory would be like the information you have saved on the hard drive. It is not there on your desktop (your short-term memory), but most of the time you can pull up this information when you want it. Not all long-term memories are strong memories, and some memories can only be recalled using prompts. For example, you might easily recall a fact, such as the capital of the United States, but you might struggle to recall the name of the restaurant at which you had dinner when you visited a nearby city last summer. A prompt, such as that the restaurant was named after its owner, might help you recall the name of the restaurant. Explicit memory is sometimes referred to as declarative memory, because it can be put into words. Explicit memory is divided into episodic memory and semantic memory.
Episodic memory is information about events we have personally experienced (i.e., an episode). For instance, the memory of your last birthday is an episodic memory. Usually, episodic memory is reported as a story. The concept of episodic memory was first proposed about in the 1970s (Tulving, 1972). Since then, Tulving and others have reformulated the theory, and currently scientists believe that episodic memory is memory about happenings in particular places at particular times—the what, where, and when of an event (Tulving, 2002). It involves recollection of visual imagery as well as the feeling of familiarity (Hassabis & Maguire, 2007). Semantic memory is knowledge about words, concepts, and language-based knowledge and facts. Semantic memory is typically reported as facts. Semantic means having to do with language and knowledge about language. For example, answers to the following questions like “what is the definition of psychology” and “who was the first African American president of the United States” are stored in your semantic memory.
Implicit memories are long-term memories that are not part of our consciousness. Although implicit memories are learned outside of our awareness and cannot be consciously recalled, implicit memory is demonstrated in the performance of some task (Roediger, 1990; Schacter, 1987). Implicit memory has been studied with cognitive demand tasks, such as performance on artificial grammars (Reber, 1976), word memory (Jacoby, 1983; Jacoby & Witherspoon, 1982), and learning unspoken and unwritten contingencies and rules (Greenspoon, 1955; Giddan & Eriksen, 1959; Krieckhaus & Eriksen, 1960). Returning to the computer metaphor, implicit memories are like a program running in the background, and you are not aware of their influence. Implicit memories can influence observable behaviors as well as cognitive tasks. In either case, you usually cannot put the memory into words that adequately describe the task. There are several types of implicit memories, including procedural, priming, and emotional conditioning.
Implicit procedural memory is often studied using observable behaviors (Adams, 1957; Lacey & Smith, 1954; Lazarus & McCleary, 1951). Implicit procedural memory stores information about the way to do something, and it is the memory for skilled actions, such as brushing your teeth, riding a bicycle, or driving a car. You were probably not that good at riding a bicycle or driving a car the first time you tried, but you were much better after doing those things for a year. Your improved bicycle riding was due to learning balancing abilities. You likely thought about staying upright in the beginning, but now you just do it. Moreover, you probably are good at staying balanced, but cannot tell someone the exact way you do it. Similarly, when you first learned to drive, you probably thought about a lot of things that you just do now without much thought. When you first learned to do these tasks, someone may have told you how to do them, but everything you learned since those instructions that you cannot readily explain to someone else as the way to do it is implicit memory.
Implicit priming is another type of implicit memory (Schacter, 1992). During priming exposure to a stimulus affects the response to a later stimulus. Stimuli can vary and may include words, pictures, and other stimuli to elicit a response or increase recognition. For instance, some people really enjoy picnics. They love going into nature, spreading a blanket on the ground, and eating a delicious meal. Now, unscramble the following letters to make a word.
What word did you come up with? Chances are good that it was "plate."
Had you read, “Some people really enjoy growing flowers. They love going outside to their garden, fertilizing their plants, and watering their flowers,” you probably would have come up with the word "petal" instead of plate.
Do you recall the earlier discussion of semantic networks? The reason people are more likely to come up with “plate” after reading about a picnic is that plate is associated (linked) with picnic. Plate was primed by activating the semantic network. Similarly, “petal” is linked to flower and is primed by flower. Priming is also the reason you probably said jelly in response to peanut butter.
Implicit emotional conditioning is the type of memory involved in classically conditioned emotion responses (Olson & Fazio, 2001). These emotional relationships cannot be reported or recalled but can be associated with different stimuli. For example, specific smells can cause specific emotional responses for some people. If there is a smell that makes you feel positive and nostalgic, and you don't know where that response comes from, it is an implicit emotional response. Similarly, most people have a song that causes a specific emotional response. That song's effect could be an implicit emotional memory (Yang, Xu, Du, Shi, & Fang, 2011).
### Retrieval
So you have worked hard to encode (via effortful processing) and store some important information for your upcoming final exam. How do you get that information back out of storage when you need it? The act of getting information out of memory storage and back into conscious awareness is known as retrieval. This would be similar to finding and opening a paper you had previously saved on your computer’s hard drive. Now it’s back on your desktop, and you can work with it again. Our ability to retrieve information from long-term memory is vital to our everyday functioning. You must be able to retrieve information from memory in order to do everything from knowing how to brush your hair and teeth, to driving to work, to knowing how to perform your job once you get there.
There are three ways you can retrieve information out of your long-term memory storage system: recall, recognition, and relearning. Recall is what we most often think about when we talk about memory retrieval: it means you can access information without cues. For example, you would use recall for an essay test. Recognition happens when you identify information that you have previously learned after encountering it again. It involves a process of comparison. When you take a multiple-choice test, you are relying on recognition to help you choose the correct answer. Here is another example. Let’s say you graduated from high school 10 years ago, and you have returned to your hometown for your 10-year reunion. You may not be able to recall all of your classmates, but you recognize many of them based on their yearbook photos.
The third form of retrieval is relearning, and it’s just what it sounds like. It involves learning information that you previously learned. Whitney took Spanish in high school, but after high school she did not have the opportunity to speak Spanish. Whitney is now 31, and her company has offered her an opportunity to work in their Mexico City office. In order to prepare herself, she enrolls in a Spanish course at the local community center. She’s surprised at how quickly she’s able to pick up the language after not speaking it for 13 years; this is an example of relearning.
### Summary
Memory is a system or process that stores what we learn for future use.
Our memory has three basic functions: encoding, storing, and retrieving information. Encoding is the act of getting information into our memory system through automatic or effortful processing. Storage is retention of the information, and retrieval is the act of getting information out of storage and into conscious awareness through recall, recognition, and relearning. The idea that information is processed through three memory systems is called the Atkinson-Shiffrin model of memory. First, environmental stimuli enter our sensory memory for a period of less than a second to a few seconds. Those stimuli that we notice and pay attention to then move into short-term memory. According to the Atkinson-Shiffrin model, if we rehearse this information, then it moves into long-term memory for permanent storage. Other models like that of Baddeley and Hitch suggest there is more of a feedback loop between short-term memory and long-term memory. Long-term memory has a practically limitless storage capacity and is divided into implicit and explicit memory.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Memory
## Parts of the Brain Involved with Memory
Are memories stored in just one part of the brain, or are they stored in many different parts of the brain? Karl Lashley began exploring this problem, about 100 years ago, by making lesions in the brains of animals such as rats and monkeys. He was searching for evidence of the engram: the group of neurons that serve as the “physical representation of memory” (Josselyn, 2010). First, Lashley (1950) trained rats to find their way through a maze. Then, he used the tools available at the time—in this case a soldering iron—to create lesions in the rats’ brains, specifically in the cerebral cortex. He did this because he was trying to erase the engram, or the original memory trace that the rats had of the maze.
Lashley did not find evidence of the engram, and the rats were still able to find their way through the maze, regardless of the size or location of the lesion. Based on his creation of lesions and the animals’ reaction, he formulated the equipotentiality hypothesis: if part of one area of the brain involved in memory is damaged, another part of the same area can take over that memory function (Lashley, 1950). Although Lashley’s early work did not confirm the existence of the engram, modern psychologists are making progress locating it. For example, Eric Kandel has spent decades studying the synapse and its role in controlling the flow of information through neural circuits needed to store memories (Mayford, Siegelbaum, & Kandel, 2012).
Many scientists believe that the entire brain is involved with memory. However, since Lashley’s research, other scientists have been able to look more closely at the brain and memory. They have argued that memory is located in specific parts of the brain, and specific neurons can be recognized for their involvement in forming memories. The main parts of the brain involved with memory are the amygdala, the hippocampus, the cerebellum, and the prefrontal cortex ().
### The Amygdala
First, let’s look at the role of the amygdala in memory formation. The main job of the amygdala is to regulate emotions, such as fear and aggression (). The amygdala plays a part in how memories are stored because storage is influenced by stress hormones. For example, one researcher experimented with rats and the fear response (Josselyn, 2010). Using Pavlovian conditioning, a neutral tone was paired with a foot shock to the rats. This produced a fear memory in the rats. After being conditioned, each time they heard the tone, they would freeze (a defense response in rats), indicating a memory for the impending shock. Then the researchers induced cell death in neurons in the lateral amygdala, which is the specific area of the brain responsible for fear memories. They found the fear memory faded (became extinct). Because of its role in processing emotional information, the amygdala is also involved in memory consolidation: the process of transferring new learning into long-term memory. The amygdala seems to facilitate encoding memories at a deeper level when the event is emotionally arousing.
### The Hippocampus
Another group of researchers also experimented with rats to learn how the hippocampus functions in memory processing (). They created lesions in the hippocampi of the rats, and found that the rats demonstrated memory impairment on various tasks, such as object recognition and maze running. They concluded that the hippocampus is involved in memory, specifically normal recognition memory as well as spatial memory (when the memory tasks are like recall tests) (Clark, Zola, & Squire, 2000). Another job of the hippocampus is to project information to cortical regions that give memories meaning and connect them with other memories. It also plays a part in memory consolidation: the process of transferring new learning into long-term memory.
Injury to this area leaves us unable to process new declarative memories. One famous patient, known for years only as H. M., had both his left and right temporal lobes (hippocampi) removed in an attempt to help control the seizures he had been suffering from for years (Corkin, Amaral, González, Johnson, & Hyman, 1997). As a result, his declarative memory was significantly affected, and he could not form new semantic knowledge. He lost the ability to form new memories, yet he could still remember information and events that had occurred prior to the surgery.
### The Cerebellum and Prefrontal Cortex
Although the hippocampus seems to be more of a processing area for explicit memories, you could still lose it and be able to create implicit memories (procedural memory, motor learning, and classical conditioning), thanks to your cerebellum (). For example, one classical conditioning experiment is to accustom subjects to blink when they are given a puff of air to the eyes. When researchers damaged the cerebellums of rabbits, they discovered that the rabbits were not able to learn the conditioned eye-blink response (Steinmetz, 1999; Green & Woodruff-Pak, 2000).
Other researchers have used brain scans, including positron emission tomography (PET) scans, to learn how people process and retain information. From these studies, it seems the prefrontal cortex is involved. In one study, participants had to complete two different tasks: either looking for the letter a in words (considered a perceptual task) or categorizing a noun as either living or non-living (considered a semantic task) (Kapur et al., 1994). Participants were then asked which words they had previously seen. Recall was much better for the semantic task than for the perceptual task. According to PET scans, there was much more activation in the left inferior prefrontal cortex in the semantic task. In another study, encoding was associated with left frontal activity, while retrieval of information was associated with the right frontal region (Craik et al., 1999).
### Neurotransmitters
There also appear to be specific neurotransmitters involved with the process of memory, such as epinephrine, dopamine, serotonin, glutamate, and acetylcholine (Myhrer, 2003). There continues to be discussion and debate among researchers as to which neurotransmitter plays which specific role (Blockland, 1996). Although we don’t yet know which role each neurotransmitter plays in memory, we do know that communication among neurons via neurotransmitters is critical for developing new memories. Repeated activity by neurons leads to increased neurotransmitters in the synapses and more efficient and more synaptic connections. This is how memory consolidation occurs.
It is also believed that strong emotions trigger the formation of strong memories, and weaker emotional experiences form weaker memories; this is called arousal theory (Christianson, 1992). For example, strong emotional experiences can trigger the release of neurotransmitters, as well as hormones, which strengthen memory; therefore, our memory for an emotional event is usually better than our memory for a non-emotional event. When humans and animals are stressed, the brain secretes more of the neurotransmitter glutamate, which helps them remember the stressful event (McGaugh, 2003). This is clearly evidenced by what is known as the flashbulb memory phenomenon.
A flashbulb memory is an exceptionally clear recollection of an important event (). Many people who have lived through historic and momentous events can recall exactly where they were and how they heard about them. For example, a Pew Research Center (2011) survey found that for those Americans who were age 8 or older at the time of 9/11 terrorist attacks, 97% can recall the moment they learned of this event, even a decade after it happened. Many widely discussed examples of flashbulb memories pertain to national or global events, but according to their initial definition by researchers Brown and Kulik (1977) as well as additional work by more recent researchers, such a widely shared event is not required (Hirst & Phelps, 2016). Family members might always remember how they heard about an important event in their lives, or people in a school may recall nearly everything about the way they experienced a major event in that setting. And although most studies (and many conversations) involve negative memories, positive events can also elicit flashbulb memories.
### Summary
Beginning with Karl Lashley, researchers and psychologists have been searching for the engram, which is the physical trace of memory. Lashley did not find the engram, but he did suggest that memories are distributed throughout the entire brain rather than stored in one specific area. Now we know that three brain areas do play significant roles in the processing and storage of different types of memories: cerebellum, hippocampus, and amygdala. The cerebellum’s job is to process procedural memories; the hippocampus is where new memories are encoded; the amygdala helps determine what memories to store, and it plays a part in determining where the memories are stored based on whether we have a strong or weak emotional response to the event. Strong emotional experiences can trigger the release of neurotransmitters, as well as hormones, which strengthen memory, so that memory for an emotional event is usually stronger than memory for a non-emotional event. This is shown by what is known as the flashbulb memory phenomenon: our ability to remember significant life events. However, our memory for life events (autobiographical memory) is not always accurate.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Memory
## Problems with Memory
You may pride yourself on your amazing ability to remember the birthdates and ages of all of your friends and family members, or you may be able recall vivid details of your 5th birthday party at Chuck E. Cheese’s. However, all of us have at times felt frustrated, and even embarrassed, when our memories have failed us. There are several reasons why this happens.
### Amnesia
Amnesia is the loss of long-term memory that occurs as the result of disease, physical trauma, or psychological trauma. Endel Tulving (2002) and his colleagues at the University of Toronto studied K. C. for years. K. C. suffered a traumatic head injury in a motorcycle accident and then had severe amnesia. Tulving writes,
### Anterograde Amnesia
There are two common types of amnesia: anterograde amnesia and retrograde amnesia (). Anterograde amnesia is commonly caused by brain trauma, such as a blow to the head. With anterograde amnesia, you cannot remember new information, although you can remember information and events that happened prior to your injury. The hippocampus is usually affected (McLeod, 2011). This suggests that damage to the brain has resulted in the inability to transfer information from short-term to long-term memory; that is, the inability to consolidate memories.
Many people with this form of amnesia are unable to form new episodic or semantic memories, but are still able to form new procedural memories (Bayley & Squire, 2002). This was true of H. M., which was discussed earlier. The brain damage caused by his surgery resulted in anterograde amnesia. H. M. would read the same magazine over and over, having no memory of ever reading it—it was always new to him. He also could not remember people he had met after his surgery. If you were introduced to H. M. and then you left the room for a few minutes, he would not know you upon your return and would introduce himself to you again. However, when presented the same puzzle several days in a row, although he did not remember having seen the puzzle before, his speed at solving it became faster each day (because of relearning) (Corkin, 1965, 1968).
### Retrograde Amnesia
Retrograde amnesia is loss of memory for events that occurred prior to the trauma. People with retrograde amnesia cannot remember some or even all of their past. They have difficulty remembering episodic memories. What if you woke up in the hospital one day and there were people surrounding your bed claiming to be your spouse, your children, and your parents? The trouble is you don’t recognize any of them. You were in a car accident, suffered a head injury, and now have retrograde amnesia. You don’t remember anything about your life prior to waking up in the hospital. This may sound like the stuff of Hollywood movies, and Hollywood has been fascinated with the amnesia plot for nearly a century, going all the way back to the film Garden of Lies from 1915 to more recent movies such as the Jason Bourne spy thrillers. However, for real-life sufferers of retrograde amnesia, like former NFL football player Scott Bolzan, the story is not a Hollywood movie. Bolzan fell, hit his head, and deleted 46 years of his life in an instant. He is now living with one of the most extreme cases of retrograde amnesia on record.
### Memory Construction and Reconstruction
The formulation of new memories is sometimes called construction, and the process of bringing up old memories is called reconstruction. Yet as we retrieve our memories, we also tend to alter and modify them. A memory pulled from long-term storage into short-term memory is flexible. New events can be added and we can change what we think we remember about past events, resulting in inaccuracies and distortions. People may not intend to distort facts, but it can happen in the process of retrieving old memories and combining them with new memories (Roediger & DeSoto, 2015).
### Suggestibility
When someone witnesses a crime, that person’s memory of the details of the crime is very important in catching the suspect. Because memory is so fragile, witnesses can be easily (and often accidentally) misled due to the problem of suggestibility. Suggestibility describes the effects of misinformation from external sources that leads to the creation of false memories. In the fall of 2002, a sniper in the DC area shot people at a gas station, leaving Home Depot, and walking down the street. These attacks went on in a variety of places for over three weeks and resulted in the deaths of ten people. During this time, as you can imagine, people were terrified to leave their homes, go shopping, or even walk through their neighborhoods. Police officers and the FBI worked frantically to solve the crimes, and a tip hotline was set up. Law enforcement received over 140,000 tips, which resulted in approximately 35,000 possible suspects (Newseum, n.d.).
Most of the tips were dead ends, until a white van was spotted at the site of one of the shootings. The police chief went on national television with a picture of the white van. After the news conference, several other eyewitnesses called to say that they too had seen a white van fleeing from the scene of the shooting. At the time, there were more than 70,000 white vans in the area. Police officers, as well as the general public, focused almost exclusively on white vans because they believed the eyewitnesses. Other tips were ignored. When the suspects were finally caught, they were driving a blue sedan.
As illustrated by this example, we are vulnerable to the power of suggestion, simply based on something we see on the news. Or we can claim to remember something that in fact is only a suggestion someone made. It is the suggestion that is the cause of the false memory.
### Eyewitness Misidentification
Even though memory and the process of reconstruction can be fragile, police officers, prosecutors, and the courts often rely on eyewitness identification and testimony in the prosecution of criminals. However, faulty eyewitness identification and testimony can lead to wrongful convictions ().
How does this happen? In 1984, Jennifer Thompson, then a 22-year-old college student in North Carolina, was brutally raped at knifepoint. As she was being raped, she tried to memorize every detail of her rapist’s face and physical characteristics, vowing that if she survived, she would help get him convicted. After the police were contacted, a composite sketch was made of the suspect, and Jennifer was shown six photos. She chose two, one of which was of Ronald Cotton. After looking at the photos for 4–5 minutes, she said, “Yeah. This is the one,” and then she added, “I think this is the guy.” When questioned about this by the detective who asked, “You’re sure? Positive?” She said that it was him. Then she asked the detective if she did OK, and he reinforced her choice by telling her she did great. These kinds of unintended cues and suggestions by police officers can lead witnesses to identify the wrong suspect. The district attorney was concerned about her lack of certainty the first time, so she viewed a lineup of seven men. She said she was trying to decide between numbers 4 and 5, finally deciding that Cotton, number 5, “Looks most like him.” He was 22 years old.
By the time the trial began, Jennifer Thompson had absolutely no doubt that she was raped by Ronald Cotton. She testified at the court hearing, and her testimony was compelling enough that it helped convict him. How did she go from, “I think it’s the guy” and it “Looks most like him,” to such certainty? Gary Wells and Deah Quinlivan (2009) assert it’s suggestive police identification procedures, such as stacking lineups to make the defendant stand out, telling the witness which person to identify, and confirming witnesses choices by telling them “Good choice,” or “You picked the guy.”
After Cotton was convicted of the rape, he was sent to prison for life plus 50 years. After 4 years in prison, he was able to get a new trial. Jennifer Thompson once again testified against him. This time Ronald Cotton was given two life sentences. After serving 11 years in prison, DNA evidence finally demonstrated that Ronald Cotton did not commit the rape, was innocent, and had served over a decade in prison for a crime he did not commit.
Ronald Cotton’s story, unfortunately, is not unique. There are also people who were convicted and placed on death row, who were later exonerated. The Innocence Project is a non-profit group that works to exonerate falsely convicted people, including those convicted by eyewitness testimony. To learn more, you can visit http://www.innocenceproject.org.
### The Misinformation Effect
Cognitive psychologist Elizabeth Loftus has conducted extensive research on memory. She has studied false memories as well as recovered memories of childhood sexual abuse. Loftus also developed the misinformation effect paradigm, which holds that after exposure to additional and possibly inaccurate information, a person may misremember the original event.
According to Loftus, an eyewitness’s memory of an event is very flexible due to the misinformation effect. To test this theory, Loftus and John Palmer (1974) asked 45 U.S. college students to estimate the speed of cars using different forms of questions (). The participants were shown films of car accidents and were asked to play the role of the eyewitness and describe what happened. They were asked, “About how fast were the cars going when they (smashed, collided, bumped, hit, contacted) each other?” The participants estimated the speed of the cars based on the verb used.
Participants who heard the word “smashed” estimated that the cars were traveling at a much higher speed than participants who heard the word “contacted.” The implied information about speed, based on the verb they heard, had an effect on the participants’ memory of the accident. In a follow-up one week later, participants were asked if they saw any broken glass (none was shown in the accident pictures). Participants who had been in the “smashed” group were more than twice as likely to indicate that they did remember seeing glass. Loftus and Palmer demonstrated that a leading question encouraged them to not only remember the cars were going faster, but to also falsely remember that they saw broken glass.
### Controversies over Repressed and Recovered Memories
Other researchers have described how whole events, not just words, can be falsely recalled, even when they did not happen. The idea that memories of traumatic events could be repressed has been a theme in the field of psychology, beginning with Sigmund Freud, and the controversy surrounding the idea continues today.
Recall of false autobiographical memories is called false memory syndrome. This syndrome has received a lot of publicity, particularly as it relates to memories of events that do not have independent witnesses—often the only witnesses to the abuse are the perpetrator and the victim (e.g., sexual abuse).
On one side of the debate are those who have recovered memories of childhood abuse years after it occurred. These researchers argue that some children’s experiences have been so traumatizing and distressing that they must lock those memories away in order to lead some semblance of a normal life. They believe that repressed memories can be locked away for decades and later recalled intact through hypnosis and guided imagery techniques (Devilly, 2007).
Research suggests that having no memory of childhood sexual abuse is quite common in adults. For instance, one large-scale study conducted by John Briere and Jon Conte (1993) revealed that 59% of 450 men and women who were receiving treatment for sexual abuse that had occurred before age 18 had forgotten their experiences. Ross Cheit (2007) suggested that repressing these memories created psychological distress in adulthood. The Recovered Memory Project was created so that victims of childhood sexual abuse can recall these memories and allow the healing process to begin (Cheit, 2007; Devilly, 2007).
On the other side, Loftus has challenged the idea that individuals can repress memories of traumatic events from childhood, including sexual abuse, and then recover those memories years later through therapeutic techniques such as hypnosis, guided visualization, and age regression.
Loftus is not saying that childhood sexual abuse doesn’t happen, but she does question whether or not those memories are accurate, and she is skeptical of the questioning process used to access these memories, given that even the slightest suggestion from the therapist can lead to misinformation effects. For example, researchers Stephen Ceci and Maggie Brucks (1993, 1995) asked three-year-old children to use an anatomically correct doll to show where their pediatricians had touched them during an exam. Fifty-five percent of the children pointed to the genital/anal area on the dolls, even when they had not received any form of genital exam.
Ever since Loftus published her first studies on the suggestibility of eyewitness testimony in the 1970s, social scientists, police officers, therapists, and legal practitioners have been aware of the flaws in interview practices. Consequently, steps have been taken to decrease suggestibility of witnesses. One way is to modify how witnesses are questioned. When interviewers use neutral and less leading language, children more accurately recall what happened and who was involved (Goodman, 2006; Pipe, 1996; Pipe, Lamb, Orbach, & Esplin, 2004). Another change is in how police lineups are conducted. It’s recommended that a blind photo lineup be used. This way the person administering the lineup doesn’t know which photo belongs to the suspect, minimizing the possibility of giving leading cues. Additionally, judges in some states now inform jurors about the possibility of misidentification. Judges can also suppress eyewitness testimony if they deem it unreliable.
### Forgetting
“I’ve a grand memory for forgetting,” quipped Robert Louis Stevenson. Forgetting refers to loss of information from long-term memory. We all forget things, like a loved one’s birthday, someone’s name, or where we put our car keys. As you’ve come to see, memory is fragile, and forgetting can be frustrating and even embarrassing. But why do we forget? To answer this question, we will look at several perspectives on forgetting.
### Encoding Failure
Sometimes memory loss happens before the actual memory process begins, which is encoding failure. We can’t remember something if we never stored it in our memory in the first place. This would be like trying to find a book on your e-reader that you never actually purchased and downloaded. Often, in order to remember something, we must pay attention to the details and actively work to process the information (effortful encoding). Lots of times we don’t do this. For instance, think of how many times in your life you’ve seen a penny. Can you accurately recall what the front of a U.S. penny looks like? When researchers Raymond Nickerson and Marilyn Adams (1979) asked this question, they found that most Americans don’t know which one it is. The reason is most likely encoding failure. Most of us never encode the details of the penny. We only encode enough information to be able to distinguish it from other coins. If we don’t encode the information, then it’s not in our long-term memory, so we will not be able to remember it.
### Memory Errors
Psychologist Daniel Schacter (2001), a well-known memory researcher, offers seven ways our memories fail us. He calls them the seven sins of memory and categorizes them into three groups: forgetting, distortion, and intrusion ().
Let’s look at the first sin of the forgetting errors: transience, which means that memories can fade over time. Here’s an example of how this happens. Nathan’s English teacher has assigned his students to read the novel To Kill a Mockingbird. Nathan comes home from school and tells his mom he has to read this book for class. “Oh, I loved that book!” she says. Nathan asks her what the book is about, and after some hesitation she says, “Well . . . I know I read the book in high school, and I remember that one of the main characters is named Scout, and her father is an attorney, but I honestly don’t remember anything else.” Nathan wonders if his mother actually read the book, and his mother is surprised she can’t recall the plot. What is going on here is storage decay: unused information tends to fade with the passage of time.
In 1885, German psychologist Hermann Ebbinghaus analyzed the process of memorization. First, he memorized lists of nonsense syllables. Then he measured how much he learned (retained) when he attempted to relearn each list. He tested himself over different periods of time from 20 minutes later to 30 days later. The result is his famous forgetting curve (). Due to storage decay, an average person will lose 50% of the memorized information after 20 minutes and 70% of the information after 24 hours (Ebbinghaus, 1885/1964). Your memory for new information decays quickly and then eventually levels out.
Are you constantly losing your cell phone? Have you ever driven back home to make sure you turned off the stove? Have you ever walked into a room for something, but forgotten what it was? You probably answered yes to at least one, if not all, of these examples—but don’t worry, you are not alone. We are all prone to committing the memory error known as absentmindedness, which describes lapses in memory caused by breaks in attention or our focus being somewhere else.
Cynthia, a psychologist, recalls a time when she recently committed the memory error of absentmindedness.
When have you experienced absentmindedness?
“I just streamed this movie called Oblivion, and it had that famous actor in it. Oh, what’s his name? He’s been in all of those movies, like The Shawshank Redemption and The Dark Knight trilogy. I think he’s even won an Oscar. Oh gosh, I can picture his face in my mind, and hear his distinctive voice, but I just can’t think of his name! This is going to bug me until I can remember it!” This particular error can be so frustrating because you have the information right on the tip of your tongue. Have you ever experienced this? If so, you’ve committed the error known as blocking: you can’t access stored information ().
Now let’s take a look at the three errors of distortion: misattribution, suggestibility, and bias. Misattribution happens when you confuse the source of your information. Let’s say Alejandra was dating Lucia and they saw the first Hobbit movie together. Then they broke up and Alejandra saw the second Hobbit movie with someone else. Later that year, Alejandra and Lucia get back together. One day, they are discussing how the Hobbit books and movies are different and Alejandra says to Lucia, “I loved watching the second movie with you and seeing you jump out of your seat during that super scary part.” When Lucia responded with a puzzled and then angry look, Alejandra realized she’d committed the error of misattribution.
What if someone is a victim of rape shortly after watching a television program? Is it possible that the victim could actually blame the rape on the person she saw on television because of misattribution? This is exactly what happened to Donald Thomson.
The second distortion error is suggestibility. Suggestibility is similar to misattribution, since it also involves false memories, but it’s different. With misattribution you create the false memory entirely on your own, which is what the victim did in the Donald Thomson case above. With suggestibility, it comes from someone else, such as a therapist or police interviewer asking leading questions of a witness during an interview.
Memories can also be affected by bias, which is the final distortion error. Schacter (2001) says that your feelings and view of the world can actually distort your memory of past events. There are several types of bias:
Have you ever had a song play over and over in your head? How about a memory of a traumatic event, something you really do not want to think about? When you keep remembering something, to the point where you can’t “get it out of your head” and it interferes with your ability to concentrate on other things, it is called persistence. It’s Schacter’s seventh and last memory error. It’s actually a failure of our memory system because we involuntarily recall unwanted memories, particularly unpleasant ones (). For instance, you witness a horrific car accident on the way to work one morning, and you can’t concentrate on work because you keep remembering the scene.
### Interference
Sometimes information is stored in our memory, but for some reason it is inaccessible. This is known as interference, and there are two types: proactive interference and retroactive interference (). Have you ever gotten a new phone number or moved to a new address, but right after you tell people the old (and wrong) phone number or address? When the new year starts, do you find you accidentally write the previous year? These are examples of proactive interference: when old information hinders the recall of newly learned information. Retroactive interference happens when information learned more recently hinders the recall of older information. For example, this week you are studying about memory and learn about the Ebbinghaus forgetting curve. Next week you study lifespan development and learn about Erikson's theory of psychosocial development, but thereafter have trouble remembering Ebbinghaus's work because you can only remember Erickson's theory.
### Summary
All of us at times have felt dismayed, frustrated, and even embarrassed when our memories have failed us. Our memory is flexible and prone to many errors, which is why eyewitness testimony has been found to be largely unreliable. There are several reasons why forgetting occurs. In cases of brain trauma or disease, forgetting may be due to amnesia. Another reason we forget is due to encoding failure. We can’t remember something if we never stored it in our memory in the first place. Schacter presents seven memory errors that also contribute to forgetting. Sometimes, information is actually stored in our memory, but we cannot access it due to interference. Proactive interference happens when old information hinders the recall of newly learned information. Retroactive interference happens when information learned more recently hinders the recall of older information.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Memory
## Ways to Enhance Memory
Most of us suffer from memory failures of one kind or another, and most of us would like to improve our memories so that we don’t forget where we put the car keys or, more importantly, the material we need to know for an exam. In this section, we’ll look at some ways to help you remember better, and at some strategies for more effective studying.
### Memory-Enhancing Strategies
What are some everyday ways we can improve our memory, including recall? To help make sure information goes from short-term memory to long-term memory, you can use memory-enhancing strategies. One strategy is rehearsal, or the conscious repetition of information to be remembered (Craik & Watkins, 1973). Think about how you learned your multiplication tables as a child. You may recall that 6 x 6 = 36, 6 x 7 = 42, and 6 x 8 = 48. Memorizing these facts is rehearsal.
Another strategy is chunking: you organize information into manageable bits or chunks (Bodie, Powers, & Fitch-Hauser, 2006). Chunking is useful when trying to remember information like dates and phone numbers. Instead of trying to remember 5205550467, you remember the number as 520-555-0467. So, if you met an interesting person at a party and you wanted to remember his phone number, you would naturally chunk it, and you could repeat the number over and over, which is the rehearsal strategy.
You could also enhance memory by using elaborative rehearsal: a technique in which you think about the meaning of new information and its relation to knowledge already stored in your memory (Tigner, 1999). Elaborative rehearsal involves both linking the information to knowledge already stored and repeating the information. For example, in this case, you could remember that 520 is an area code for Arizona and the person you met is from Arizona. This would help you better remember the 520 prefix. If the information is retained, it goes into long-term memory.
Mnemonic devices are memory aids that help us organize information for encoding (). They are especially useful when we want to recall larger bits of information such as steps, stages, phases, and parts of a system (Bellezza, 1981). Brian needs to learn the order of the planets in the solar system, but he’s having a hard time remembering the correct order. His friend Kelly suggests a mnemonic device that can help him remember. Kelly tells Brian to simply remember the name Mr. VEM J. SUN, and he can easily recall the correct order of the planets: Mercury, Venus, Earth, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, and Neptune. You might use a mnemonic device to help you remember someone’s name, a mathematical formula, or the order of mathematical operations.
If you have ever watched the television show Modern Family, you might have seen Phil Dunphy explain how he remembers names:
It seems the more vivid or unusual the mnemonic, the easier it is to remember. The key to using any mnemonic successfully is to find a strategy that works for you.
Some other strategies that are used to improve memory include expressive writing and saying words aloud. Expressive writing helps boost your short-term memory, particularly if you write about a traumatic experience in your life. Masao Yogo and Shuji Fujihara (2008) had participants write for 20-minute intervals several times per month. The participants were instructed to write about a traumatic experience, their best possible future selves, or a trivial topic. The researchers found that this simple writing task increased short-term memory capacity after five weeks, but only for the participants who wrote about traumatic experiences. Psychologists can’t explain why this writing task works, but it does.
What if you want to remember items you need to pick up at the store? Simply say them out loud to yourself. A series of studies (MacLeod, Gopie, Hourihan, Neary, & Ozubko, 2010) found that saying a word out loud improves your memory for the word because it increases the word’s distinctiveness. Feel silly, saying random grocery items aloud? This technique works equally well if you just mouth the words. Using these techniques increased participants’ memory for the words by more than 10%. These techniques can also be used to help you study.
### How to Study Effectively
Based on the information presented in this chapter, here are some strategies and suggestions to help you hone your study techniques (). The key with any of these strategies is to figure out what works best for you.
1. Use elaborative rehearsal: In a famous article, Fergus Craik and Robert Lockhart (1972) discussed their belief that information we process more deeply goes into long-term memory. Their theory is called levels of processing. If we want to remember a piece of information, we should think about it more deeply and link it to other information and memories to make it more meaningful. For example, if we are trying to remember that the hippocampus is involved with memory processing, we might envision a hippopotamus with excellent memory and then we could better remember the hippocampus.
2. Apply the self-reference effect: As you go through the process of elaborative rehearsal, it would be even more beneficial to make the material you are trying to memorize personally meaningful to you. In other words, make use of the self-reference effect. Write notes in your own words. Write definitions from the text, and then rewrite them in your own words. Relate the material to something you have already learned for another class, or think how you can apply the concepts to your own life. When you do this, you are building a web of retrieval cues that will help you access the material when you want to remember it.
3. Use distributed practice: Study across time in short durations rather than trying to cram it all in at once. Memory consolidation takes time, and studying across time allows time for memories to consolidate. In addition, cramming can cause the links between concepts to become so active that you get stuck in a link, and it prevents you from accessing the rest of the information that you learned.
4. Rehearse, rehearse, rehearse: Review the material over time, in spaced and organized study sessions. Organize and study your notes, and take practice quizzes/exams. Link the new information to other information you already know well.
5. Study efficiently: Students are great highlighters, but highlighting is not very efficient because students spend too much time studying the things they already learned. Instead of highlighting, use index cards. Write the question on one side and the answer on the other side. When you study, separate your cards into those you got right and those you got wrong. Study the ones you got wrong and keep sorting. Eventually, all your cards will be in the pile you answered correctly.
6. Be aware of interference: To reduce the likelihood of interference, study during a quiet time without interruptions or distractions (like television or music).
7. Keep moving: Of course you already know that exercise is good for your body, but did you also know it’s also good for your mind? Research suggests that regular aerobic exercise (anything that gets your heart rate elevated) is beneficial for memory (van Praag, 2008). Aerobic exercise promotes neurogenesis: the growth of new brain cells in the hippocampus, an area of the brain known to play a role in memory and learning.
8. Get enough sleep: While you are sleeping, your brain is still at work. During sleep the brain organizes and consolidates information to be stored in long-term memory (Abel & Bäuml, 2013).
9. Make use of mnemonic devices: As you learned earlier in this chapter, mnemonic devices often help us to remember and recall information. There are different types of mnemonic devices, such as the acronym. An acronym is a word formed by the first letter of each of the words you want to remember. For example, even if you live near one, you might have difficulty recalling the names of all five Great Lakes. What if I told you to think of the word Homes? HOMES is an acronym that represents Huron, Ontario, Michigan, Erie, and Superior: the five Great Lakes. Another type of mnemonic device is an acrostic: you make a phrase of all the first letters of the words. For example, if you are taking a math test and you are having difficulty remembering the order of operations, recalling the following sentence will help you: “Please Excuse My Dear Aunt Sally,” because the order of mathematical operations is Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction. There also are jingles, which are rhyming tunes that contain key words related to the concept, such as i before e, except after c.
### Summary
There are many ways to combat the inevitable failures of our memory system. Some common strategies that can be used in everyday situations include mnemonic devices, rehearsal, self-referencing, and adequate sleep. These same strategies also can help you to study more effectively.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Lifespan Development
## Introduction
Welcome to the story of your life. In this chapter we explore the fascinating tale of how you have grown and developed into the person you are today. We also look at some ideas about who you will grow into tomorrow. Yours is a story of lifespan development (), from the start of life to the end.
The process of human growth and development is more obvious in infancy and childhood, yet your development is happening this moment and will continue, minute by minute, for the rest of your life. Who you are today and who you will be in the future depends on a blend of genetics, environment, culture, relationships, and more, as you continue through each phase of life. You have experienced firsthand much of what is discussed in this chapter. Now consider what psychological science has to say about your physical, cognitive, and psychosocial development, from the womb to the tomb.
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# Lifespan Development
## What Is Lifespan Development?
In this poem, William Wordsworth writes, “the child is father of the man.” What does this seemingly incongruous statement mean, and what does it have to do with lifespan development? Wordsworth might be suggesting that the person he is as an adult depends largely on the experiences he had in childhood. Consider the following questions: To what extent is the adult you are today influenced by the child you once were? To what extent is a child fundamentally different from the adult he grows up to be?
These are the types of questions developmental psychologists try to answer, by studying how humans change and grow from conception through childhood, adolescence, adulthood, and death. They view development as a lifelong process that can be studied scientifically across three developmental domains—physical, cognitive, and psychosocial development. Physical development involves growth and changes in the body and brain, the senses, motor skills, and health and wellness. Cognitive development involves learning, attention, memory, language, thinking, reasoning, and creativity. Psychosocial development involves emotions, personality, and social relationships. We refer to these domains throughout the chapter.
Across these three domains—physical, cognitive, and psychosocial—the normative approach to development is also discussed. This approach asks, “What is normal development?” In the early decades of the 20th century, normative psychologists studied large numbers of children at various ages to determine norms (i.e., average ages) of when most children reach specific developmental milestones in each of the three domains (Gesell, 1933, 1939, 1940; Gesell & Ilg, 1946; Hall, 1904). Although children develop at slightly different rates, we can use these age-related averages as general guidelines to compare children with same-age peers to determine the approximate ages they should reach specific normative events called developmental milestones (e.g., crawling, walking, writing, dressing, naming colors, speaking in sentences, and starting puberty).
Not all normative events are universal, meaning they are not experienced by all individuals across all cultures. Biological milestones, such as puberty, tend to be universal, but social milestones, such as the age when children begin formal schooling, are not necessarily universal; instead, they affect most individuals in a particular culture (Gesell & Ilg, 1946). For example, in developed countries children begin school around 5 or 6 years old, but in developing countries, like Nigeria, children often enter school at an advanced age, if at all (Huebler, 2005; United Nations Educational, Scientific, and Cultural Organization [UNESCO], 2013).
To better understand the normative approach, imagine two new mothers, Louisa and Kimberly, who are close friends and have children around the same age. Louisa’s daughter is 14 months old, and Kimberly’s son is 12 months old. According to the normative approach, the average age a child starts to walk is 12 months. However, at 14 months Louisa’s daughter still isn’t walking. She tells Kimberly she is worried that something might be wrong with her baby. Kimberly is surprised because her son started walking when he was only 10 months old. Should Louisa be worried? Should she be concerned if her daughter is not walking by 15 months or 18 months?
### Issues in Developmental Psychology
There are many different theoretical approaches regarding human development. As we evaluate them in this chapter, recall that developmental psychology focuses on how people change, and keep in mind that all the approaches that we present in this chapter address questions of change: Is the change smooth or uneven (continuous versus discontinuous)? Is this pattern of change the same for everyone, or are there many different patterns of change (one course of development versus many courses)? How do genetics and environment interact to influence development (nature versus nurture)?
### Is Development Continuous or Discontinuous?
Continuous development views development as a cumulative process, gradually improving on existing skills (). With this type of development, there is gradual change. Consider, for example, a child’s physical growth: adding inches to height year by year. In contrast, theorists who view development as discontinuous believe that development takes place in unique stages: It occurs at specific times or ages. With this type of development, the change is more sudden, such as an infant’s ability to conceive object permanence.
### Is There One Course of Development or Many?
Is development essentially the same, or universal, for all children (i.e., there is one course of development) or does development follow a different course for each child, depending on the child’s specific genetics and environment (i.e., there are many courses of development)? Do people across the world share more similarities or more differences in their development? How much do culture and genetics influence a child’s behavior?
Stage theories hold that the sequence of development is universal. For example, in cross-cultural studies of language development, children from around the world reach language milestones in a similar sequence (Gleitman & Newport, 1995). Infants in all cultures coo before they babble. They begin babbling at about the same age and utter their first word around 12 months old. Yet we live in diverse contexts that have a unique effect on each of us. For example, researchers once believed that motor development follows one course for all children regardless of culture. However, child care practices vary by culture, and different practices have been found to accelerate or inhibit achievement of developmental milestones such as sitting, crawling, and walking (Karasik, Adolph, Tamis-LeMonda, & Bornstein, 2010).
For instance, let’s look at the Aché society in Paraguay. They spend a significant amount of time foraging in forests. While foraging, Aché mothers carry their young children, rarely putting them down in order to protect them from getting hurt in the forest. Consequently, their children walk much later: They walk around 23–25 months old, in comparison to infants in Western cultures who begin to walk around 12 months old. However, as Aché children become older, they are allowed more freedom to move about, and by about age 9, their motor skills surpass those of U.S. children of the same age: Aché children are able to climb trees up to 25 feet tall and use machetes to chop their way through the forest (Kaplan & Dove, 1987). As you can see, our development is influenced by multiple contexts, so the timing of basic motor functions may vary across cultures. However, the functions themselves are present in all societies ().
### How Do Nature and Nurture Influence Development?
Are we who we are because of nature (biology and genetics), or are we who we are because of nurture (our environment and culture)? This longstanding question is known in psychology as the nature versus nurture debate. It seeks to understand how our personalities and traits are the product of our genetic makeup and biological factors, and how they are shaped by our environment, including our guardians, peers, and culture. For instance, why do biological children sometimes act like their parents—is it because of genetics or because of early childhood environment and what the child has learned from the parents? What about children who are adopted—are they more like their biological families or more like their adoptive families? And how can siblings from the same family be so different?
We are all born with specific genetic traits inherited from our parents, such as eye color, height, and certain personality traits. Beyond our basic genotype, however, there is a deep interaction between our genes and our environment: Our unique experiences in our environment influence whether and how particular traits are expressed, and at the same time, our genes influence how we interact with our environment (Diamond, 2009; Lobo, 2008). This chapter will show that there is a reciprocal interaction between nature and nurture as they both shape who we become, but the debate continues as to the relative contributions of each.
### Summary
Lifespan development explores how we change and grow from conception to death. This field of psychology is studied by developmental psychologists. They view development as a lifelong process that can be studied scientifically across three developmental domains: physical, cognitive development, and psychosocial. There are several theories of development that focus on the following issues: whether development is continuous or discontinuous, whether development follows one course or many, and the relative influence of nature versus nurture on development.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Lifespan Development
## Lifespan Theories
There are many theories regarding how babies and children grow and develop into happy, healthy adults. We explore several of these theories in this section.
### Psychosexual Theory of Development
Sigmund Freud (1856–1939) believed that personality develops during early childhood. For Freud, childhood experiences shape our personalities and behavior as adults. Freud viewed development as discontinuous; he believed that each of us must pass through a series of stages during childhood, and that if we lack proper nurturance and parenting during a stage, we may become stuck, or fixated, in that stage. Freud’s stages are called the stages of psychosexual development. According to Freud, children’s pleasure-seeking urges are focused on a different area of the body, called an erogenous zone, at each of the five stages of development: oral, anal, phallic, latency, and genital.
While most of Freud’s ideas have not found support in modern research, we cannot discount the contributions that Freud has made to the field of psychology. Psychologists today dispute Freud's psychosexual stages as a legitimate explanation for how one's personality develops, but what we can take away from Freud’s theory is that personality is shaped, in some part, by experiences we have in childhood. These stages are discussed in detail in the chapter on personality.
### Psychosocial Theory of Development
Erik Erikson (1902–1994) (), another stage theorist, took Freud’s theory and modified it as psychosocial theory. Erikson’s psychosocial development theory emphasizes the social nature of our development rather than its sexual nature. While Freud believed that personality is shaped only in childhood, Erikson proposed that personality development takes place all through the lifespan. Erikson suggested that how we interact with others is what affects our sense of self, or what he called the ego identity.
Erikson proposed that we are motivated by a need to achieve competence in certain areas of our lives. According to psychosocial theory, we experience eight stages of development over our lifespan, from infancy through late adulthood. At each stage there is a conflict, or task, that we need to resolve. Successful completion of each developmental task results in a sense of competence and a healthy personality. Failure to master these tasks leads to feelings of inadequacy.
According to Erikson (1963), trust is the basis of our development during infancy (birth to 12 months). Therefore, the primary task of this stage is trust versus mistrust. Infants are dependent upon their caregivers, so caregivers who are responsive and sensitive to their infant’s needs help their baby to develop a sense of trust; their baby will see the world as a safe, predictable place. Unresponsive caregivers who do not meet their baby’s needs can engender feelings of anxiety, fear, and mistrust; their baby may see the world as unpredictable.
As toddlers (ages 1–3 years) begin to explore their world, they learn that they can control their actions and act on the environment to get results. They begin to show clear preferences for certain elements of the environment, such as food, toys, and clothing. A toddler’s main task is to resolve the issue of autonomy versus shame and doubt, by working to establish independence. This is the “me do it” stage. For example, we might observe a budding sense of autonomy in a 2-year-old child who wants to choose her clothes and dress herself. Although her outfits might not be appropriate for the situation, her input in such basic decisions has an effect on her sense of independence. If denied the opportunity to act on her environment, she may begin to doubt her abilities, which could lead to low self-esteem and feelings of shame.
Once children reach the preschool stage (ages 3–6 years), they are capable of initiating activities and asserting control over their world through social interactions and play. According to Erikson, preschool children must resolve the task of initiative versus guilt. By learning to plan and achieve goals while interacting with others, preschool children can master this task. Those who do will develop self-confidence and feel a sense of purpose. Those who are unsuccessful at this stage—with their initiative misfiring or stifled—may develop feelings of guilt. How might over-controlling parents stifle a child’s initiative?
During the elementary school stage (ages 7–11), children face the task of industry versus inferiority. Children begin to compare themselves to their peers to see how they measure up. They either develop a sense of pride and accomplishment in their schoolwork, sports, social activities, and family life, or they feel inferior and inadequate when they don’t measure up. What are some things parents and teachers can do to help children develop a sense of competence and a belief in themselves and their abilities?
In adolescence (ages 12–18), children face the task of identity versus role confusion. According to Erikson, an adolescent’s main task is developing a sense of self. Adolescents struggle with questions such as “Who am I?” and “What do I want to do with my life?” Along the way, most adolescents try on many different selves to see which ones fit. Adolescents who are successful at this stage have a strong sense of identity and are able to remain true to their beliefs and values in the face of problems and other people’s perspectives. What happens to apathetic adolescents, who do not make a conscious search for identity, or those who are pressured to conform to their parents’ ideas for the future? These teens will have a weak sense of self and experience role confusion. They are unsure of their identity and confused about the future.
People in early adulthood (i.e., 20s through early 40s) are concerned with intimacy versus isolation. After we have developed a sense of self in adolescence, we are ready to share our life with others. Erikson said that we must have a strong sense of self before developing intimate relationships with others. Adults who do not develop a positive self-concept in adolescence may experience feelings of loneliness and emotional isolation.
When people reach their 40s, they enter the time known as middle adulthood, which extends to the mid-60s. The social task of middle adulthood is generativity versus stagnation. Generativity involves finding your life’s work and contributing to the development of others, through activities such as volunteering, mentoring, and raising children. Those who do not master this task may experience stagnation, having little connection with others and little interest in productivity and self-improvement.
From the mid-60s to the end of life, we are in the period of development known as late adulthood. Erikson’s task at this stage is called integrity versus despair. He said that people in late adulthood reflect on their lives and feel either a sense of satisfaction or a sense of failure. People who feel proud of their accomplishments feel a sense of integrity, and they can look back on their lives with few regrets. However, people who are not successful at this stage may feel as if their life has been wasted. They focus on what “would have,” “should have,” and “could have” been. They face the end of their lives with feelings of bitterness, depression, and despair. summarizes the stages of Erikson’s theory.
### Cognitive Theory of Development
Jean Piaget (1896–1980) is another stage theorist who studied childhood development (). Instead of approaching development from a psychoanalytical or psychosocial perspective, Piaget focused on children’s cognitive growth. He believed that thinking is a central aspect of development and that children are naturally inquisitive. However, he said that children do not think and reason like adults (Piaget, 1930, 1932). His theory of cognitive development holds that our cognitive abilities develop through specific stages, which exemplifies the discontinuity approach to development. As we progress to a new stage, there is a distinct shift in how we think and reason.
Piaget said that children develop schemata to help them understand the world. Schemata are concepts (mental models) that are used to help us categorize and interpret information. By the time children have reached adulthood, they have created schemata for almost everything. When children learn new information, they adjust their schemata through two processes: assimilation and accommodation. First, they assimilate new information or experiences in terms of their current schemata: assimilation is when they take in information that is comparable to what they already know. Accommodation describes when they change their schemata based on new information. This process continues as children interact with their environment.
For example, 2-year-old Abdul learned the schema for dogs because his family has a Labrador retriever. When Abdul sees other dogs in his picture books, he says, “Look mommy, dog!” Thus, he has assimilated them into his schema for dogs. One day, Abdul sees a sheep for the first time and says, “Look mommy, dog!” Having a basic schema that a dog is an animal with four legs and fur, Abdul thinks all furry, four-legged creatures are dogs. When Abdul’s mom tells him that the animal he sees is a sheep, not a dog, Abdul must accommodate his schema for dogs to include more information based on his new experiences. Abdul’s schema for dog was too broad, since not all furry, four-legged creatures are dogs. He now modifies his schema for dogs and forms a new one for sheep.
Like Freud and Erikson, Piaget thought development unfolds in a series of stages approximately associated with age ranges. He proposed a theory of cognitive development that unfolds in four stages: sensorimotor, preoperational, concrete operational, and formal operational ().
The first stage is the sensorimotor stage, which lasts from birth to about 2 years old. During this stage, children learn about the world through their senses and motor behavior. Young children put objects in their mouths to see if the items are edible, and once they can grasp objects, they may shake or bang them to see if they make sounds. Between 5 and 8 months old, the child develops object permanence, which is the understanding that even if something is out of sight, it still exists (Bogartz, Shinskey, & Schilling, 2000). According to Piaget, young infants do not remember an object after it has been removed from sight. Piaget studied infants’ reactions when a toy was first shown to an infant and then hidden under a blanket. Infants who had already developed object permanence would reach for the hidden toy, indicating that they knew it still existed, whereas infants who had not developed object permanence would appear confused.
In Piaget’s view, around the same time children develop object permanence, they also begin to exhibit stranger anxiety, which is a fear of unfamiliar people. Babies may demonstrate this by crying and turning away from a stranger, by clinging to a caregiver, or by attempting to reach their arms toward familiar faces such as parents. Stranger anxiety results when a child is unable to assimilate the stranger into an existing schema; therefore, she can’t predict what her experience with that stranger will be like, which results in a fear response.
Piaget’s second stage is the preoperational stage, which is from approximately 2 to 7 years old. In this stage, children can use symbols to represent words, images, and ideas, which is why children in this stage engage in pretend play. A child’s arms might become airplane wings as they zoom around the room, or a child with a stick might become a brave knight with a sword. Children also begin to use language in the preoperational stage, but they cannot understand adult logic or mentally manipulate information (the term operational refers to logical manipulation of information, so children at this stage are considered to be pre-operational). Children’s logic is based on their own personal knowledge of the world so far, rather than on conventional knowledge. For example, dad gave a slice of pizza to 10-year-old Keiko and another slice to her 3-year-old brother, Kenny. Kenny’s pizza slice was cut into five pieces, so Kenny told his sister that he got more pizza than she did. Children in this stage cannot perform mental operations because they have not developed an understanding of conservation, which is the idea that even if you change the appearance of something, it is still equal in size as long as nothing has been removed or added.
During this stage, we also expect children to display egocentrism, which means that the child is not able to take the perspective of others. A child at this stage thinks that everyone sees, thinks, and feels just as they do. Let’s look at Kenny and Keiko again. Keiko’s birthday is coming up, so their mom takes Kenny to the toy store to choose a present for his sister. He selects an Iron Man action figure for her, thinking that if he likes the toy, his sister will too. An egocentric child is not able to infer the perspective of other people and instead attributes his own perspective.
Piaget’s third stage is the concrete operational stage, which occurs from about 7 to 11 years old. In this stage, children can think logically about real (concrete) events; they have a firm grasp on the use of numbers and start to employ memory strategies. They can perform mathematical operations and understand transformations, such as addition is the opposite of subtraction, and multiplication is the opposite of division. In this stage, children also master the concept of conservation: Even if something changes shape, its mass, volume, and number stay the same. For example, if you pour water from a tall, thin glass to a short, fat glass, you still have the same amount of water. Remember Keiko and Kenny and the pizza? How did Keiko know that Kenny was wrong when he said that he had more pizza?
Children in the concrete operational stage also understand the principle of reversibility, which means that objects can be changed and then returned back to their original form or condition. Take, for example, water that you poured into the short, fat glass: You can pour water from the fat glass back to the thin glass and still have the same amount (minus a couple of drops).
The fourth, and last, stage in Piaget’s theory is the formal operational stage, which is from about age 11 to adulthood. Whereas children in the concrete operational stage are able to think logically only about concrete events, children in the formal operational stage can also deal with abstract ideas and hypothetical situations. Children in this stage can use abstract thinking to problem solve, look at alternative solutions, and test these solutions. In adolescence, a renewed egocentrism occurs. For example, a 15-year-old with a very small pimple on her face might think it is huge and incredibly visible, under the mistaken impression that others must share her perceptions.
### Beyond Formal Operational Thought
As with other major contributors of theories of development, several of Piaget’s ideas have come under criticism based on the results of further research. For example, several contemporary studies support a model of development that is more continuous than Piaget’s discrete stages (Courage & Howe, 2002; Siegler, 2005, 2006). Many others suggest that children reach cognitive milestones earlier than Piaget describes (Baillargeon, 2004; de Hevia & Spelke, 2010).
According to Piaget, the highest level of cognitive development is formal operational thought, which develops between 11 and 20 years old. However, many developmental psychologists disagree with Piaget, suggesting a fifth stage of cognitive development, known as the postformal stage (Basseches, 1984; Commons & Bresette, 2006; Sinnott, 1998). In postformal thinking, decisions are made based on situations and circumstances, and logic is integrated with emotion as adults develop principles that depend on contexts. One way that we can see the difference between an adult in postformal thought and an adolescent in formal operations is in terms of how they handle emotionally charged issues.
It seems that once we reach adulthood our problem solving abilities change: As we attempt to solve problems, we tend to think more deeply about many areas of our lives, such as relationships, work, and politics (Labouvie-Vief & Diehl, 1999). Because of this, postformal thinkers are able to draw on past experiences to help them solve new problems. Problem-solving strategies using postformal thought vary, depending on the situation. What does this mean? Adults can recognize, for example, that what seems to be an ideal solution to a problem at work involving a disagreement with a colleague may not be the best solution to a disagreement with a significant other.
### SOCIOCULTURAL THEORY OF DEVELOPMENT
Lev Vygotsky was a Russian psychologist who proposed a sociocultural theory of development. He suggested that human development is rooted in one’s culture. A child’s social world, for example, forms the basis for the formation of language and thought. The language one speaks and the ways a person thinks about things is dependent on one’s cultural background. Vygotsky also considered historical influences as key to one’s development. He was interested in the process of development and the individual’s interactions with their environment (John-Steiner & Mahn, 1996).
### Moral Theory Of Development
A major task beginning in childhood and continuing into adolescence is discerning right from wrong. Psychologist Lawrence Kohlberg (1927–1987) extended upon the foundation that Piaget built regarding cognitive development. Kohlberg believed that moral development, like cognitive development, follows a series of stages. To develop this theory, Kohlberg posed moral dilemmas to people of all ages, and then he analyzed their answers to find evidence of their particular stage of moral development. Before reading about the stages, take a minute to consider how you would answer one of Kohlberg's best-known moral dilemmas, commonly known as the Heinz dilemma:
How would you answer this dilemma? Kohlberg was not interested in whether you answer yes or no to the dilemma: Instead, he was interested in the reasoning behind your answer.
After presenting people with this and various other moral dilemmas, Kohlberg reviewed people’s responses and placed them in different stages of moral reasoning (). According to Kohlberg, an individual progresses from the capacity for pre-conventional morality (before age 9) to the capacity for conventional morality (early adolescence), and toward attaining post-conventional morality (once formal operational thought is attained), which only a few fully achieve. Kohlberg placed in the highest stage responses that reflected the reasoning that Heinz should steal the drug because his wife’s life is more important than the pharmacist making money. The value of a human life overrides the pharmacist’s greed.
It is important to realize that even those people who have the most sophisticated, post-conventional reasons for some choices may make other choices for the simplest of pre-conventional reasons. Many psychologists agree with Kohlberg's theory of moral development but point out that moral reasoning is very different from moral behavior. Sometimes what we say we would do in a situation is not what we actually do in that situation. In other words, we might “talk the talk,” but not “walk the walk.”
How does this theory apply to people of different genders? Kohlberg (1969) felt that more men than women move past stage four in their moral development. He went on to note that women seem to be deficient in their moral reasoning abilities. These ideas were not well received by Carol Gilligan, a research assistant of Kohlberg, who consequently developed her own ideas of moral development. In her groundbreaking book, In a Different Voice: Psychological Theory and Women’s Development, Gilligan (1982) criticized her former mentor’s theory because it was based only on upper class White men and boys. She argued that women are not deficient in their moral reasoning—she proposed that different genders reason differently. Girls and women focus more on staying connected and the importance of interpersonal relationships. Therefore, in the Heinz dilemma, many girls and women respond that Heinz should not steal the medicine. Their reasoning is that if he steals the medicine, is arrested, and is put in jail, then he and his wife will be separated, and she could die while he is still in prison.
### Summary
There are many theories regarding how babies and children grow and develop into happy, healthy adults. Sigmund Freud suggested that we pass through a series of psychosexual stages in which our energy is focused on certain erogenous zones on the body. Eric Erikson modified Freud’s ideas and suggested a theory of psychosocial development. Erikson said that our social interactions and successful completion of social tasks shape our sense of self. Jean Piaget proposed a theory of cognitive development that explains how children think and reason as they move through various stages. Finally, Lawrence Kohlberg turned his attention to moral development. He said that we pass through three levels of moral thinking that build on our cognitive development.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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# Lifespan Development
## Stages of Development
From the moment we are born until the moment we die, we continue to develop.
As discussed at the beginning of this chapter, developmental psychologists often divide our development into three areas: physical development, cognitive development, and psychosocial development. Mirroring Erikson’s stages, lifespan development is divided into different stages that are based on age. We will discuss prenatal, infant, child, adolescent, and adult development.
### Prenatal Development
How did you come to be who you are? From beginning as a one-cell structure to your birth, your prenatal development occurred in an orderly and delicate sequence.
There are three stages of prenatal development: germinal, embryonic, and fetal. Let’s take a look at what happens to the developing baby in each of these stages.
### Germinal Stage (Weeks 1–2)
In the discussion of biopsychology earlier in the book, you learned about genetics and DNA. DNA is passed on to the child at the moment of conception. Conception occurs when sperm fertilizes an egg and forms a zygote (). A zygote begins as a one-cell structure that is created when a sperm and egg merge. The genetic makeup and sex of the zygote are set at this point. During the first week after conception, the zygote divides and multiplies, going from a one-cell structure to two cells, then four cells, then eight cells, and so on. This process of cell division is called mitosis. Mitosis is a fragile process, and fewer than one-half of all zygotes survive beyond the first two weeks (Hall, 2004). After 5 days of mitosis there are 100 cells, and after 9 months there are billions of cells. As the cells divide, they become more specialized, forming different organs and body parts. In the germinal stage, the mass of cells has yet to attach itself to the lining of the mother’s uterus. Once it does, the next stage begins.
### Embryonic Stage (Weeks 3–8)
After the zygote divides for about 7–10 days and has 150 cells, it travels down the fallopian tubes and implants itself in the lining of the uterus. Upon implantation, this multi-cellular organism is called an embryo. Now blood vessels grow, forming the placenta. The placenta is a structure connected to the uterus that provides nourishment and oxygen from the mother to the developing embryo via the umbilical cord. Basic structures of the embryo start to develop into areas that will become the head, chest, and abdomen. During the embryonic stage, the heart begins to beat and organs form and begin to function. The neural tube forms along the back of the embryo, developing into the spinal cord and brain.
### Fetal Stage (Weeks 9–40)
When the organism is about nine weeks old, the embryo is called a fetus. At this stage, the fetus is about the size of a kidney bean and begins to take on the recognizable form of a human being as the “tail” begins to disappear.
From 9–12 weeks, the sex organs begin to differentiate. At about 16 weeks, the fetus is approximately 4.5 inches long. Fingers and toes are fully developed, and fingerprints are visible. By the time the fetus reaches the sixth month of development (24 weeks), it weighs up to 1.4 pounds. Hearing has developed, so the fetus can respond to sounds. The internal organs, such as the lungs, heart, stomach, and intestines, have formed enough that a fetus born prematurely at this point has a chance to survive outside of the mother’s womb. Throughout the fetal stage the brain continues to grow and develop, nearly doubling in size from weeks 16 to 28. Around 36 weeks, the fetus is almost ready for birth. It weighs about 6 pounds and is about 18.5 inches long, and by week 37 all of the fetus’s organ systems are developed enough that it could survive outside the uterus without many of the risks associated with premature birth. The fetus continues to gain weight and grow in length until approximately 40 weeks. By then, the fetus has very little room to move around and birth becomes imminent. The progression through the stages is shown in .
### Prenatal Influences
During each prenatal stage, genetic and environmental factors can affect development. The developing fetus is completely dependent on the mother for life. It is important that the mother takes good care of herself and receives prenatal care, which is medical care during pregnancy that monitors the health of both the mother and the fetus (). According to the National Institutes of Health ([NIH], 2013), routine prenatal care is important because it can reduce the risk of complications to the mother and fetus during pregnancy. In fact, women who are trying to become pregnant or who may become pregnant should discuss pregnancy planning with their doctor. They may be advised, for example, to take a vitamin containing folic acid, which helps prevent certain birth defects, or to monitor aspects of their diet or exercise routines.
Recall that when the zygote attaches to the wall of the mother’s uterus, the placenta is formed. The placenta provides nourishment and oxygen to the fetus. Most everything the mother ingests, including food, liquid, and even medication, travels through the placenta to the fetus, hence the common phrase “eating for two.” Anything the mother is exposed to in the environment affects the fetus; if the mother is exposed to something harmful, the child can show life-long effects.
A teratogen is any environmental agent—biological, chemical, or physical—that causes damage to the developing embryo or fetus. There are different types of teratogens. Alcohol and most drugs cross the placenta and affect the fetus. Alcohol is not safe to drink in any amount during pregnancy. Alcohol use during pregnancy has been found to be the leading preventable cause of intellectual disabilities in children in the United States (Maier & West, 2001). Excessive maternal drinking while pregnant can cause fetal alcohol spectrum disorders with life-long consequences for the child ranging in severity from minor to major (). Fetal alcohol spectrum disorders (FASD) are a collection of birth defects associated with heavy consumption of alcohol during pregnancy. Physically, children with FASD may have a small head size and abnormal facial features. Cognitively, these children may have poor judgment, poor impulse control, higher rates of ADHD, learning issues, and lower IQ scores. These developmental problems and delays persist into adulthood (Streissguth et al., 2004). Based on studies conducted on animals, it also has been suggested that a parent's alcohol consumption during pregnancy may predispose their child to like alcohol (Youngentob et al., 2007).
Smoking is also considered a teratogen because nicotine travels through the placenta to the fetus. When the mother smokes, the developing baby experiences a reduction in blood oxygen levels. According to the Centers for Disease Control and Prevention (2013), smoking while pregnant can result in premature birth, low-birth-weight infants, stillbirth, and sudden infant death syndrome (SIDS).
Heroin, cocaine, methamphetamine, almost all prescription medicines, and most over-the counter medications are also considered teratogens. Babies born with a heroin addiction need heroin just like an adult addict. The child will need to be gradually weaned from the heroin under medical supervision; otherwise, the child could have seizures and die. Other teratogens include radiation, viruses such as HIV and herpes, and rubella (German measles). Women in the United States are much less likely to be afflicted with rubella because most women received childhood immunizations or vaccinations that protect the body from disease.
Each organ of the fetus develops during a specific period in the pregnancy, called the critical or sensitive period (). For example, research with primate models of FASD has demonstrated that the time during which a developing fetus is exposed to alcohol can dramatically affect the appearance of facial characteristics associated with fetal alcohol syndrome. Specifically, this research suggests that alcohol exposure that is limited to day 19 or 20 of gestation can lead to significant facial abnormalities in the offspring (Ashley, Magnuson, Omnell, & Clarren, 1999). Given regions of the brain also show sensitive periods during which they are most susceptible to the teratogenic effects of alcohol (Tran & Kelly, 2003).
### Infancy Through Childhood
The average newborn weighs approximately 7.5 pounds. Although small, newborns are not completely helpless because their reflexes and sensory capacities help them interact with the environment from the moment of birth. All healthy babies are born with newborn reflexes: inborn automatic responses to particular forms of stimulation. Reflexes help the newborn survive until it is capable of more complex behaviors—these reflexes are crucial to survival. They are present in babies whose brains are developing normally and usually disappear around 4–5 months old. Let’s take a look at some of these newborn reflexes. The rooting reflex is the newborn’s response to anything that touches their cheek: When you stroke a baby’s cheek, the baby naturally turns the head in that direction and begins to suck. The sucking reflex is the automatic, unlearned, sucking motions that infants do with their mouths. Several other interesting newborn reflexes can be observed. For instance, if you put your finger into a newborn’s hand, you will witness the grasping reflex, in which a baby automatically grasps anything that touches the palms. The Moro reflex is the newborn’s response to the sensation of falling. The baby spreads the arms, pulls them back in, and then (usually) cries. How do you think these reflexes promote survival in the first months of life?
What can young infants see, hear, and smell? Newborn infants’ sensory abilities are significant, but their senses are not yet fully developed. Many of a newborn’s innate preferences facilitate interaction with caregivers and other humans. Although vision is their least developed sense, newborns already show a preference for faces. Babies who are just a few days old also prefer human voices, they will listen to voices longer than sounds that do not involve speech (Vouloumanos & Werker, 2004), and they seem to prefer their mother’s voice over a stranger’s voice (Mills & Melhuish, 1974). In an interesting experiment, 3-week-old babies were given pacifiers that played a recording of the infant’s mother’s voice and of a stranger’s voice. When the infants heard their mother’s voice, they sucked more strongly at the pacifier (Mills & Melhuish, 1974). Newborns also have a strong sense of smell. For instance, newborn babies can distinguish the smell of their own mother from that of others. In a study by MacFarlane (1978), 1-week-old babies who were being breastfed were placed between two gauze pads. One gauze pad was from the bra of a nursing mother who was a stranger, and the other gauze pad was from the bra of the infant’s own mother. More than two-thirds of the week-old babies turned toward the gauze pad with their mother’s scent.
### Physical Development
In infancy, toddlerhood, and early childhood, the body’s physical development is rapid (). On average, newborns weigh between 5 and 10 pounds, and a newborn’s weight typically doubles in six months and triples in one year. By 2 years old the weight will have quadrupled, so we can expect that a 2 year old should weigh between 20 and 40 pounds. The average length of a newborn is 19.5 inches, increasing to 29.5 inches by 12 months and 34.4 inches by 2 years old (WHO Multicentre Growth Reference Study Group, 2006).
During infancy and childhood, growth does not occur at a steady rate (Carel, Lahlou, Roger, & Chaussain, 2004). Growth slows between 4 and 6 years old: During this time children gain 5–7 pounds and grow about 2–3 inches per year. Once females reach 8–9 years old, their growth rate outpaces that of males due to a pubertal growth spurt. This growth spurt continues until around 12 years old, coinciding with the start of the menstrual cycle. By 10 years old, the average female weighs 88 pounds, and the average male weighs 85 pounds.
It was previously believed that we are born with all of the brain cells we will ever have. More recent research suggests that neurogenesis (the formation of neurons) can continue through adulthood. However, the vast majority of neural connections and pathways occur during the first few years of a child’s life (National Institute of Neurological Disorders and Stroke, 2019). This period of rapid neural growth is called blooming. Neural pathways continue to develop through puberty. The blooming period of neural growth is then followed by a period of pruning, where neural connections are reduced. It is thought that pruning causes the brain to function more efficiently, allowing for mastery of more complex skills (Hutchinson, 2011). Blooming occurs during the first few years of life, and pruning continues through childhood and into adolescence in various areas of the brain.
The size of our brains increases rapidly. For example, the brain of a 2-year-old is 55% of its adult size, and by 6 years old the brain is about 90% of its adult size (Tanner, 1978). During early childhood (ages 3–6), the frontal lobes grow rapidly. Recalling our discussion of the 4 lobes of the brain earlier in this book, the frontal lobes are associated with planning, reasoning, memory, and impulse control. Therefore, by the time children reach school age, they are developmentally capable of controlling their attention and behavior. Through the elementary school years, the frontal, temporal, occipital, and parietal lobes all grow in size. The brain growth spurts experienced in childhood tend to follow Piaget’s sequence of cognitive development, so that significant changes in neural functioning account for cognitive advances (Kolb & Whishaw, 2009; Overman, Bachevalier, Turner, & Peuster, 1992).
Motor development occurs in an orderly sequence as infants move from reflexive reactions (e.g., sucking and rooting) to more advanced motor functioning. For instance, babies first learn to hold their heads up, then to sit with assistance, and then to sit unassisted, followed later by crawling and then walking.
Motor skills refer to our ability to move our bodies and manipulate objects. Fine motor skills focus on the muscles in our fingers, toes, and eyes, and enable coordination of small actions (e.g., grasping a toy, writing with a pencil, and using a spoon). Gross motor skills focus on large muscle groups that control our arms and legs and involve larger movements (e.g., balancing, running, and jumping).
As motor skills develop, there are certain developmental milestones that young children should achieve (). For each milestone there is an average age, as well as a range of ages in which the milestone should be reached. An example of a developmental milestone is sitting. On average, most babies sit alone at 7 months old. Sitting involves both coordination and muscle strength, and 90% of babies achieve this milestone between 5 and 9 months old. In another example, babies on average are able to hold up their head at 6 weeks old, and 90% of babies achieve this between 3 weeks and 4 months old. If a baby is not holding up their head by 4 months old, they are showing a delay. If the child is displaying delays on several milestones, that is reason for concern, and the parent or caregiver should discuss this with the child’s pediatrician. Some developmental delays can be identified and addressed through early intervention.
### Cognitive Development
In addition to rapid physical growth, young children also exhibit significant development of their cognitive abilities. Piaget thought that children’s ability to understand objects—such as learning that a rattle makes a noise when shaken—was a cognitive skill that develops slowly as a child matures and interacts with the environment. Today, developmental psychologists think Piaget was incorrect. Researchers have found that even very young children understand objects and how they work long before they have experience with those objects (Baillargeon, 1987; Baillargeon, Li, Gertner, & Wu, 2011). For example, children as young as 3 months old demonstrated knowledge of the properties of objects that they had only viewed and did not have prior experience with them. In one study, 3-month-old infants were shown a truck rolling down a track and behind a screen. The box, which appeared solid but was actually hollow, was placed next to the track. The truck rolled past the box as would be expected. Then the box was placed on the track to block the path of the truck. When the truck was rolled down the track this time, it continued unimpeded. The infants spent significantly more time looking at this impossible event (). Baillargeon (1987) concluded that they knew solid objects cannot pass through each other. Baillargeon’s findings suggest that very young children have an understanding of objects and how they work, which Piaget (1954) would have said is beyond their cognitive abilities due to their limited experiences in the world.
Just as there are physical milestones that we expect children to reach, there are also cognitive milestones. It is helpful to be aware of these milestones as children gain new abilities to think, problem solve, and communicate. For example, infants shake their head “no” around 6–9 months, and they respond to verbal requests to do things like “wave bye-bye” or “blow a kiss” around 9–12 months. Remember Piaget’s ideas about object permanence? We can expect children to grasp the concept that objects continue to exist even when they are not in sight by around 8 months old. Because toddlers (i.e., 12–24 months old) have mastered object permanence, they enjoy games like hide and seek, and they realize that when someone leaves the room they will come back (Loop, 2013). Toddlers also point to pictures in books and look in appropriate places when you ask them to find objects.
Preschool-age children (i.e., 3–5 years old) also make steady progress in cognitive development. Not only can they count, name colors, and tell you their name and age, but they can also make some decisions on their own, such as choosing an outfit to wear. Preschool-age children understand basic time concepts and sequencing (e.g., before and after), and they can predict what will happen next in a story. They also begin to enjoy the use of humor in stories. Because they can think symbolically, they enjoy pretend play and inventing elaborate characters and scenarios. One of the most common examples of their cognitive growth is their blossoming curiosity. Preschool-age children love to ask “Why?”
An important cognitive change occurs in children this age. Recall that Piaget described 2–3 year olds as egocentric, meaning that they do not have an awareness of others’ points of view. Between 3 and 5 years old, children come to understand that people have thoughts, feelings, and beliefs that are different from their own. This is known as theory-of-mind (TOM). Children can use this skill to tease others, persuade their parents to purchase a candy bar, or understand why a sibling might be angry. When children develop TOM, they can recognize that others have false beliefs (Dennett, 1987; Callaghan et al., 2005).
Cognitive skills continue to expand in middle and late childhood (6–11 years old). Thought processes become more logical and organized when dealing with concrete information (). Children at this age understand concepts such as the past, present, and future, giving them the ability to plan and work toward goals. Additionally, they can process complex ideas such as addition and subtraction and cause-and-effect relationships. However, children’s attention spans tend to be very limited until they are around 11 years old. After that point, it begins to improve through adulthood.
One well-researched aspect of cognitive development is language acquisition. As mentioned earlier, the order in which children learn language structures is consistent across children and cultures (Hatch, 1983). You’ve also learned that some psychological researchers have proposed that children possess a biological predisposition for language acquisition.
Starting before birth, babies begin to develop language and communication skills. At birth, babies apparently recognize their mother’s voice and can discriminate between the language(s) spoken by their mothers and foreign languages, and they show preferences for faces that are moving in synchrony with audible language (Blossom & Morgan, 2006; Pickens, 1994; Spelke & Cortelyou, 1981).
Children communicate information through gesturing long before they speak, and there is some evidence that gesture usage predicts subsequent language development (Iverson & Goldin-Meadow, 2005). In terms of producing spoken language, babies begin to coo almost immediately. Cooing is a one-syllable combination of a consonant and a vowel sound (e.g., coo or ba). Interestingly, babies replicate sounds from their own languages. A baby whose parents speak French will coo in a different tone than a baby whose parents speak Spanish or Urdu. After cooing, the baby starts to babble. Babbling begins with repeating a syllable, such as ma-ma, da-da, or ba-ba. When babies are about 12 months old, we expect them to say their first word for meaning, and to start combining words for meaning at about 18 months.
At about 2 years old, a toddler uses between 50 and 200 words; by 3 years old they have a vocabulary of up to 1,000 words and can speak in sentences. During the early childhood years, children's vocabulary increases at a rapid pace. This is sometimes referred to as the “vocabulary spurt” and has been claimed to involve an expansion in vocabulary at a rate of 10–20 new words per week. Recent research may indicate that while some children experience these spurts, it is far from universal (as discussed in Ganger & Brent, 2004). It has been estimated that, 5 year olds understand about 6,000 words, speak 2,000 words, and can define words and question their meanings. They can rhyme and name the days of the week. Seven year olds speak fluently and use slang and clichés (Stork & Widdowson, 1974).
What accounts for such dramatic language learning by children? Behaviorist B. F. Skinner thought that we learn language in response to reinforcement or feedback, such as through parental approval or through being understood. For example, when a two-year-old child asks for juice, he might say, “me juice,” to which his mother might respond by giving him a cup of apple juice. Noam Chomsky (1957) criticized Skinner’s theory and proposed that we are all born with an innate capacity to learn language. Chomsky called this mechanism a language acquisition device (LAD). Who is correct? Both Chomsky and Skinner are right. Remember that we are a product of both nature and nurture. Researchers now believe that language acquisition is partially inborn and partially learned through our interactions with our linguistic environment (Gleitman & Newport, 1995; Stork & Widdowson, 1974).
### Attachment
Psychosocial development occurs as children form relationships, interact with others, and understand and manage their feelings. In social and emotional development, forming healthy attachments is very important and is the major social milestone of infancy. Attachment is a long-standing connection or bond with others. Developmental psychologists are interested in how infants reach this milestone. They ask such questions as: How do parent and infant attachment bonds form? How does neglect affect these bonds? What accounts for children’s attachment differences?
Researchers Harry Harlow, John Bowlby, and Mary Ainsworth conducted studies designed to answer these questions. In the 1950s, Harlow conducted a series of experiments on monkeys. He separated newborn monkeys from their mothers. Each monkey was presented with two surrogate mothers. One surrogate monkey was made out of wire mesh, and she could dispense milk. The other monkey was softer and made from cloth: This monkey did not dispense milk. Research shows that the monkeys preferred the soft, cuddly cloth monkey, even though she did not provide any nourishment. The baby monkeys spent their time clinging to the cloth monkey and only went to the wire monkey when they needed to be fed. Prior to this study, the medical and scientific communities generally thought that babies become attached to the people who provide their nourishment. However, Harlow (1958) concluded that there was more to the mother-child bond than nourishment. Feelings of comfort and security are the critical components to maternal-infant bonding, which leads to healthy psychosocial development.
Building on the work of Harlow and others, John Bowlby developed the concept of attachment theory. He defined attachment as the affectional bond or tie that an infant forms with the mother (Bowlby, 1969). An infant must form this bond with a primary caregiver in order to have normal social and emotional development. In addition, Bowlby proposed that this attachment bond is very powerful and continues throughout life. He used the concept of secure base to define a healthy attachment between parent and child (1988). A secure base is a parental presence that gives the child a sense of safety as he explores his surroundings. Bowlby said that two things are needed for a healthy attachment: The caregiver must be responsive to the child’s physical, social, and emotional needs; and the caregiver and child must engage in mutually enjoyable interactions (Bowlby, 1969) ().
While Bowlby thought attachment was an all-or-nothing process, Mary Ainsworth’s (1970) research showed otherwise. Ainsworth wanted to know if children differ in the ways they bond, and if so, why. To find the answers, she used the Strange Situation procedure to study attachment between mothers and their infants (1970). In the Strange Situation, the mother (or primary caregiver) and the infant (age 12-18 months) are placed in a room together. There are toys in the room, and the caregiver and child spend some time alone in the room. After the child has had time to explore her surroundings, a stranger enters the room. The mother then leaves her baby with the stranger. After a few minutes, she returns to comfort her child.
Based on how the infants/toddlers responded to the separation and reunion, Ainsworth identified three types of parent-child attachments: secure, avoidant, and resistant (Ainsworth & Bell, 1970). A fourth style, known as disorganized attachment, was later described (Main & Solomon, 1990). The most common type of attachment—also considered the healthiest—is called secure attachment (). In this type of attachment, the toddler prefers his parent over a stranger. The attachment figure is used as a secure base to explore the environment and is sought out in times of stress. Securely attached children were distressed when their caregivers left the room in the Strange Situation experiment, but when their caregivers returned, the securely attached children were happy to see them. Securely attached children have caregivers who are sensitive and responsive to their needs.
With avoidant attachment, the child is unresponsive to the parent, does not use the parent as a secure base, and does not care if the parent leaves. The toddler reacts to the parent the same way she reacts to a stranger. When the parent does return, the child is slow to show a positive reaction. Ainsworth theorized that these children were most likely to have a caregiver who was insensitive and inattentive to their needs (Ainsworth, Blehar, Waters, & Wall, 1978).
In cases of resistant attachment, children tend to show clingy behavior, but then they reject the attachment figure’s attempts to interact with them (Ainsworth & Bell, 1970). These children do not explore the toys in the room, as they are too fearful. During separation in the Strange Situation, they became extremely disturbed and angry with the parent. When the parent returns, the children are difficult to comfort. Resistant attachment is the result of the caregivers’ inconsistent level of response to their child.
Finally, children with disorganized attachment behaved oddly in the Strange Situation. They freeze, run around the room in an erratic manner, or try to run away when the caregiver returns (Main & Solomon, 1990). This type of attachment is seen most often in kids who have been abused. Research has shown that abuse disrupts a child’s ability to regulate their emotions.
While Ainsworth’s research has found support in subsequent studies, it has also met criticism. Some researchers have pointed out that a child’s temperament may have a strong influence on attachment (Gervai, 2009; Harris, 2009), and others have noted that attachment varies from culture to culture, a factor not accounted for in Ainsworth’s research (Rothbaum, Weisz, Pott, Miyake, & Morelli, 2000; van Ijzendoorn & Sagi-Schwartz, 2008).
### Self-Concept
Just as attachment is the main psychosocial milestone of infancy, the primary psychosocial milestone of childhood is the development of a positive sense of self. How does self-awareness develop? Infants don’t have a self-concept, which is an understanding of who they are. If you place a baby in front of a mirror, they will reach out to touch their image, thinking it is another baby. However, by about 18 months a toddler will recognize that the person in the mirror is themself. How do we know this? In a well-known experiment, a researcher placed a red dot of paint on children’s noses before putting them in front of a mirror (Amsterdam, 1972). Commonly known as the mirror test, this behavior is demonstrated by humans and a few other species and is considered evidence of self-recognition (Archer, 1992). At 18 months old they would touch their own noses when they saw the paint, surprised to see a spot on their faces. By 24–36 months old children can name and/or point to themselves in pictures, clearly indicating self-recognition.
Children from 2–4 years old display a great increase in social behavior once they have established a self-concept. They enjoy playing with other children, but they have difficulty sharing their possessions. Also, through play children explore and come to understand their gender roles and can label themselves as a girl or boy (Chick, Heilman-Houser, & Hunter, 2002). By 4 years old, children can cooperate with other children, share when asked, and separate from parents with little anxiety. Children at this age also exhibit autonomy, initiate tasks, and carry out plans. Success in these areas contributes to a positive sense of self. Once children reach 6 years old, they can identify themselves in terms of group memberships: “I’m a first grader!” School-age children compare themselves to their peers and discover that they are competent in some areas and less so in others (recall Erikson’s task of industry versus inferiority). At this age, children recognize their own personality traits as well as some other traits they would like to have. For example, 10-year-old Layla says, “I’m kind of shy. I wish I could be more talkative like my friend Alexa.”
Development of a positive self-concept is important to healthy development. Children with a positive self-concept tend to be more confident, do better in school, act more independently, and are more willing to try new activities (Maccoby, 1980; Ferrer & Fugate, 2003). Formation of a positive self-concept begins in Erikson’s toddlerhood stage, when children establish autonomy and become confident in their abilities. Development of self-concept continues in elementary school, when children compare themselves to others. When the comparison is favorable, children feel a sense of competence and are motivated to work harder and accomplish more. Self-concept is re-evaluated in Erikson’s adolescence stage, as teens form an identity. They internalize the messages they have received regarding their strengths and weaknesses, keeping some messages and rejecting others. Adolescents who have achieved identity formation are capable of contributing positively to society (Erikson, 1968).
What can parents do to nurture a healthy self-concept? Diana Baumrind (1971, 1991) thinks parenting style may be a factor. The way we parent is an important factor in a child’s socioemotional growth. Baumrind developed and refined a theory describing four parenting styles: authoritative, authoritarian, permissive, and uninvolved. With the authoritative style, the parent gives reasonable demands and consistent limits, expresses warmth and affection, and listens to the child’s point of view. Parents set rules and explain the reasons behind them. They are also flexible and willing to make exceptions to the rules in certain cases—for example, temporarily relaxing bedtime rules to allow for a nighttime swim during a family vacation. Of the four parenting styles, the authoritative style is the one that is most encouraged in modern American society. American children raised by authoritative parents tend to have high self-esteem and social skills. However, effective parenting styles vary as a function of culture and, as Small (1999) points out, the authoritative style is not necessarily preferred or appropriate in all cultures.
In authoritarian style, the parent places high value on conformity and obedience. The parents are often strict, tightly monitor their children, and express little warmth. In contrast to the authoritative style, authoritarian parents probably would not relax bedtime rules during a vacation because they consider the rules to be set, and they expect obedience. This style can create anxious, withdrawn, and unhappy kids. However, it is important to point out that authoritarian parenting is as beneficial as the authoritative style in some ethnic groups (Russell, Crockett, & Chao, 2010). For instance, first-generation Chinese American children raised by authoritarian parents did just as well in school as their peers who were raised by authoritative parents (Russell et al., 2010).
For parents who employ the permissive style of parenting, the kids run the show and anything goes. Permissive parents make few demands and rarely use punishment. They tend to be very nurturing and loving, and may play the role of friend rather than parent. In terms of our example of vacation bedtimes, permissive parents might not have bedtime rules at all—instead they allow the child to choose their bedtime whether on vacation or not. Not surprisingly, children raised by permissive parents tend to lack self-discipline, and the permissive parenting style is negatively associated with grades (Dornbusch, Ritter, Leiderman, Roberts, & Fraleigh, 1987). The permissive style may also contribute to other risky behaviors such as alcohol abuse (Bahr & Hoffman, 2010), risky sexual behavior especially among female children (Donenberg, Wilson, Emerson, & Bryant, 2002), and increased display of disruptive behaviors by male children (Parent et al., 2011). However, there are some positive outcomes associated with children raised by permissive parents. They tend to have higher self-esteem, better social skills, and report lower levels of depression (Darling, 1999).
With the uninvolved style of parenting, the parents are indifferent, uninvolved, and sometimes referred to as neglectful. They don’t respond to the child’s needs and make relatively few demands. This could be because of severe depression or substance abuse, or other factors such as the parents’ extreme focus on work. These parents may provide for the child’s basic needs, but little else. The children raised in this parenting style are usually emotionally withdrawn, fearful, anxious, perform poorly in school, and are at an increased risk of substance abuse (Darling, 1999).
As you can see, parenting styles influence childhood adjustment, but could a child’s temperament likewise influence parenting? Temperament refers to innate traits that influence how one thinks, behaves, and reacts with the environment. Children with easy temperaments demonstrate positive emotions, adapt well to change, and are capable of regulating their emotions. Conversely, children with difficult temperaments demonstrate negative emotions and have difficulty adapting to change and regulating their emotions. Difficult children are much more likely to challenge parents, teachers, and other caregivers (Thomas, 1984). Therefore, it’s possible that easy children (i.e., social, adaptable, and easy to soothe) tend to elicit warm and responsive parenting, while demanding, irritable, withdrawn children evoke irritation in their parents or cause their parents to withdraw (Sanson & Rothbart, 1995).
### Adolescence
Adolescence is a socially constructed concept. In pre-industrial society, children were considered adults when they reached physical maturity, but today we have an extended time between childhood and adulthood called adolescence. Adolescence is the period of development that begins at puberty and ends at emerging adulthood, which is discussed later. In the United States, adolescence is seen as a time to develop independence from parents while remaining connected to them (). The typical age range of adolescence is from 12 to 18 years, and this stage of development also has some predictable physical, cognitive, and psychosocial milestones.
### Physical Development
As noted above, adolescence begins with puberty. While the sequence of physical changes in puberty is predictable, the onset and pace of puberty vary widely. Several physical changes occur during puberty, such as adrenarche and gonadarche, the maturing of the adrenal glands and sex glands, respectively. Also during this time, primary and secondary sexual characteristics develop and mature. Primary sexual characteristics are organs specifically needed for reproduction, like the uterus and ovaries in females and testes in males. Secondary sexual characteristics are physical signs of sexual maturation that do not directly involve sex organs, such as development of breasts and hips in females, and development of facial hair and a deepened voice in males. Females experience menarche, the beginning of menstrual periods, usually around 12–13 years old, and males experience spermarche, the first ejaculation, around 13–14 years old.
During puberty, people experience a rapid increase in height (i.e., growth spurt). For females this begins between 8 and 13 years old, with adult height reached between 10 and 16 years old. Males begin their growth spurt slightly later, usually between 10 and 16 years old, and reach their adult height between 13 and 17 years old. Both nature (i.e., genes) and nurture (e.g., nutrition, medications, and medical conditions) can influence height.
Because rates of physical development vary so widely among teenagers, puberty can be a source of pride or embarrassment. Early maturing boys tend to be stronger, taller, and more athletic than their later maturing peers. They are usually more popular, confident, and independent, but they are also at a greater risk for substance abuse and early sexual activity (Flannery, Rowe, & Gulley, 1993; Kaltiala-Heino, Rimpela, Rissanen, & Rantanen, 2001). Early maturing girls may be teased or overtly admired, which can cause them to feel self-conscious about their developing bodies. These girls are at a higher risk for depression, substance abuse, and eating disorders (Ge, Conger, & Elder, 2001; Graber, Lewinsohn, Seeley, & Brooks-Gunn, 1997; Striegel-Moore & Cachelin, 1999). Late blooming boys and girls (i.e., they develop more slowly than their peers) may feel self-conscious about their lack of physical development. Negative feelings are particularly a problem for late maturing boys, who are at a higher risk for depression and conflict with parents (Graber et al., 1997) and more likely to be bullied (Pollack & Shuster, 2000).
Psychologists and clinicians also study the impact of gender identity and the impacts of puberty on transgender and gender-nonconforming youth. This is a relatively recent area of study, and the impacts should not be over-generalized. However, the research seems to indicate that transgender and gender-nonconforming youth who are supported in their identity do not have significantly higher incidences of depression or anxiety symptoms when compared to control groups, while those who are not supported exhibit more symptoms and risk factors (Olson, Durwood, & McLaughlin, 2016). Expression and exploration of gender identity can take many forms and manifest at different times depending on a wide array of factors.
The adolescent brain also remains under development. Up until puberty, brain cells continue to bloom in the frontal region. Adolescents engage in increased risk-taking behaviors and emotional outbursts possibly because the frontal lobes of their brains are still developing (). Recall that this area is responsible for judgment, impulse control, and planning, and it is still maturing into early adulthood (Casey, Tottenham, Liston, & Durston, 2005).
### Cognitive Development
More complex thinking abilities emerge during adolescence. Some researchers suggest this is due to increases in processing speed and efficiency rather than as the result of an increase in mental capacity—in other words, due to improvements in existing skills rather than development of new ones (Bjorkland, 1987; Case, 1985). During adolescence, teenagers move beyond concrete thinking and become capable of abstract thought. Recall that Piaget refers to this stage as formal operational thought. Teen thinking is also characterized by the ability to consider multiple points of view, imagine hypothetical situations, debate ideas and opinions (e.g., politics, religion, and justice), and form new ideas (). In addition, it’s not uncommon for adolescents to question authority or challenge established societal norms.
Cognitive empathy, also known as theory-of-mind (which we discussed earlier with regard to egocentrism), relates to the ability to take the perspective of others and feel concern for others (Shamay-Tsoory, Tomer, & Aharon-Peretz, 2005). Cognitive empathy begins to increase in adolescence and is an important component of social problem solving and conflict avoidance. According to one longitudinal study, levels of cognitive empathy begin rising in girls around 13 years old, and around 15 years old in boys (Van der Graaff et al., 2013). Teens who reported having supportive fathers with whom they could discuss their worries were found to be better able to take the perspective of others (Miklikowska, Duriez, & Soenens, 2011).
### Psychosocial Development
Adolescents continue to refine their sense of self as they relate to others. Erikson referred to the task of the adolescent as one of identity versus role confusion. Thus, in Erikson’s view, an adolescent’s main questions are “Who am I?” and “Who do I want to be?” Some adolescents adopt the values and roles that their parents expect for them. Other teens develop identities that are in opposition to their parents but align with a peer group. This is common as peer relationships become a central focus in adolescents’ lives.
As adolescents work to form their identities, they pull away from their parents, and the peer group becomes very important (Shanahan, McHale, Osgood, & Crouter, 2007). Despite spending less time with their parents, most teens report positive feelings toward them (Moore, Guzman, Hair, Lippman, & Garrett, 2004). Warm and healthy parent-child relationships have been associated with positive child outcomes, such as better grades and fewer school behavior problems, in the United States as well as in other countries (Hair et al., 2005).
It appears that most teens don’t experience adolescent storm and stress to the degree once famously suggested by G. Stanley Hall, a pioneer in the study of adolescent development. Only small numbers of teens have major conflicts with their parents (Steinberg & Morris, 2001), and most disagreements are minor. For example, in a study of over 1,800 parents of adolescents from various cultural and ethnic groups, Barber (1994) found that conflicts occurred over day-to-day issues such as homework, money, curfews, clothing, chores, and friends. These types of arguments tend to decrease as teens develop (Galambos & Almeida, 1992). There is emerging research on the adolescent brain. Galvan, Hare, Voss, Glover and Casey (2007) examined its role in risk-taking behavior. They used fMRI to assess the readings’ relationship to risk-taking, risk perception, and impulsivity. The researchers found that there was no correlation between brain activity in the neural reward center and impulsivity and risk perception. However, activity in that part of the brain was correlated to risk taking. In other words, risk-taking adolescents experienced brain activity in the reward center. The idea that adolescents, however, are more impulsive than other demographics was challenged in their research, which included children and adults.
### Emerging Adulthood
The next stage of development is emerging adulthood. This is a relatively newly defined period of lifespan development spanning from 18 years old to the mid-20s, characterized as an in-between time where identity exploration is focused on work and love.
When does a person become an adult? There are many ways to answer this question. In the United States, you are legally considered an adult at 18 years old. But other definitions of adulthood vary widely; in sociology, for example, a person may be considered an adult when they become self-supporting, choose a career, get married, or start a family. The ages at which we achieve these milestones vary from person to person as well as from culture to culture. For example, in the African country of Malawi, 15-year-old Njemile was married at 14 years old and had her first child at 15 years old. In her culture she is considered an adult. Children in Malawi take on adult responsibilities such as marriage and work (e.g., carrying water, tending babies, and working fields) as early as 10 years old. In stark contrast, independence in Western cultures is taking longer and longer, effectively delaying the onset of adult life.
What factors are leading to these changes regarding financial and familial independence? It seems that emerging adulthood is a product of both Western culture and our current times (Arnett, 2000). People in higher income and more industrialized countries are living longer, allowing the freedom to take an extra decade to start a career and family. Changes in the workforce also play a role. For example, 50 years ago, a young adult with a high school diploma could immediately enter the work force and climb the economic ladder. That is no longer the case. Bachelor’s and even graduate degrees are required more and more often—even for entry-level jobs (Arnett, 2000). In addition, many students are taking longer (five or six years) to complete a college degree as a result of working and going to school at the same time. After graduation, many young adults return to the family home because they have difficulty finding a job. The term Boomerang Generation describes recent college graduates for whom lack of adequate employment upon college graduation often leads to a return to the parental home (Davidson, 2014). Changing cultural expectations may be the most important reason for the delay in entering adult roles. Young people are spending more time exploring their options, so they are delaying marriage and work as they change majors and jobs multiple times, putting them on a much later timetable than their parents (Arnett, 2000).
### Adulthood
Adulthood begins around 20 years old and has three distinct stages: early, middle, and late. Each stage brings its own set of rewards and challenges.
### Physical Development
By the time we reach early adulthood (20 to early 40s), our physical maturation is complete, although our height and weight may increase slightly. In young adulthood, our physical abilities are at their peak, including muscle strength, reaction time, sensory abilities, and cardiac functioning. Most professional athletes are at the top of their game during this stage. Many women have children in the young adulthood years, so they may see additional weight gain and breast changes.
Middle adulthood extends from the 40s to the 60s (). Physical decline is gradual. The skin loses some elasticity, and wrinkles are among the first signs of aging. Visual acuity decreases during this time. Women experience a gradual decline in fertility as they approach the onset of menopause, the end of the menstrual cycle, around 50 years old. Both men and women tend to gain weight: in the abdominal area for men and in the hips and thighs for women. Hair begins to thin and turn gray.
Late adulthood is considered to extend from the 60s on. This is the last stage of physical change. The skin continues to lose elasticity, reaction time slows further, and muscle strength diminishes. Smell, taste, hearing, and vision, so sharp in our twenties, decline significantly. The brain may also no longer function at optimal levels, leading to problems like memory loss, dementia, and Alzheimer’s disease in later years.
### Cognitive Development
Because we spend so many years in adulthood (more than any other stage), cognitive changes are numerous. In fact, research suggests that adult cognitive development is a complex, ever changing process that may be even more active than cognitive development in infancy and early childhood (Fischer, Yan, & Stewart, 2003).
Unlike our physical abilities, which peak in our mid-20s and then begin a slow decline, our cognitive abilities remain steady throughout early and middle adulthood. Our crystallized intelligence (information, skills, and strategies we have gathered through a lifetime of experience) tends to hold steady as we age—it may even improve. For example, adults show relatively stable to increasing scores on intelligence tests until their mid-30s to mid-50s (Bayley & Oden, 1955). However, in late adulthood we begin to experience a decline in another area of our cognitive abilities—fluid intelligence (information processing abilities, reasoning, and memory). These processes become slower. How can we delay the onset of cognitive decline? Mental and physical activity seems to play a part (). Research has found adults who engage in mentally and physically stimulating activities experience less cognitive decline and have a reduced incidence of mild cognitive impairment and dementia (Hertzog, Kramer, Wilson, & Lindenberger, 2009; Larson et al., 2006; Podewils et al., 2005).
Researchers have examined the aging brain by comparing it to brain functioning in younger people. Forstmann and colleagues (2011) compared elderly participants to younger participants, who in the study were asked to report the direction of movement of a set of dots. They were given feedback regarding speed and accuracy. The researchers found that older participants made more errors and were slower due to degeneration of corticostriatal connections. In other words, the decreased ability typically assigned to elderly people may be due to circumstances in the brain beyond their control. Interestingly, other researchers have found similarities in spatial representations when comparing children aged 6–7 to those over the age of 80. Ruggiero, D’Errico, and Iachini (2016) reported that this is due to neurodegeneration in older adults and immature neurology in young children.
Many elderly people experience dementia, changes in the brain that negatively affect cognition. Alzheimer’s disease is one type of dementia, initially studied by medical researcher Solomon Carter Fuller. Alzheimer’s disease has a genetic basis. Plaques in the brain are due to cell death, which then causes those affected with the disease severe forgetfulness. A person can forget how to walk, talk, and eventually eat. The disease can be mitigated by assessing environmental factors (exposure to lead, iron, and zinc increase risk) and nutritional factors (the Mediterranean diet lowers risk) (Arora, Mittal, & Kakkar, 2015). Although there is no cure, there is hope. Cognitive rehabilitation can offset mild cognitive impairment, as it can evolve into dementia. Garcia-Betances, Jimenez-Mixco, Arredondo, and Cabrera-Umpierrez (2015) examined the use of virtual reality as a possible cognitive rehabilitative method. They suggested that virtual reality technology should involve daily living activities, memory, and language, among other considerations.
### Psychosocial Development
There are many theories about the social and emotional aspects of aging. Some aspects of healthy aging include activities, social connectedness, and the role of a person’s culture. According to many theorists, including George Vaillant (2002), who studied and analyzed over 50 years of data, we need to have and continue to find meaning throughout our lives. For those in early and middle adulthood, meaning is found through work (Sterns & Huyck, 2001) and family life (Markus, Ryff, Curan, & Palmersheim, 2004). These areas relate to the tasks that Erikson referred to as generativity and intimacy. As mentioned previously, adults tend to define themselves by what they do—their careers. Earnings peak during this time, yet job satisfaction is more closely tied to work that involves contact with other people, is interesting, provides opportunities for advancement, and allows some independence (Mohr & Zoghi, 2006) than it is to salary (Iyengar, Wells, & Schwartz, 2006). How might being unemployed or being in a dead-end job challenge adult well-being?
Positive relationships with significant others in our adult years have been found to contribute to a state of well-being (Ryff & Singer, 2009). Most adults in the United States identify themselves through their relationships with family—particularly with spouses, children, and parents (Markus et al., 2004). While raising children can be stressful, especially when they are young, research suggests that parents reap the rewards down the road, as adult children tend to have a positive effect on parental well-being (Umberson, Pudrovska, & Reczek, 2010). Having a stable marriage has also been found to contribute to well-being throughout adulthood (Vaillant, 2002).
Another aspect of positive aging is believed to be social connectedness and social support. As we get older, socioemotional selectivity theory suggests that our social support and friendships dwindle in number, but remain as close, if not more close than in our earlier years (Carstensen, 1992) ().
### Summary
At conception the egg and sperm cell are united to form a zygote, which will begin to divide rapidly. This marks the beginning of the first stage of prenatal development (germinal stage), which lasts about two weeks. Then the zygote implants itself into the lining of the uterus, marking the beginning of the second stage of prenatal development (embryonic stage), which lasts about six weeks. The embryo begins to develop body and organ structures, and the neural tube forms, which will later become the brain and spinal cord. The third phase of prenatal development (fetal stage) begins at 9 weeks and lasts until birth. The body, brain, and organs grow rapidly during this stage. During all stages of pregnancy it is important that the parent receive prenatal care to reduce health risks to themself and to the developing baby.
Newborn infants weigh about 7.5 pounds. Doctors assess a newborn’s reflexes, such as the sucking, rooting, and Moro reflexes. Our physical, cognitive, and psychosocial skills grow and change as we move through developmental stages from infancy through late adulthood. Attachment in infancy is a critical component of healthy development. Parenting styles have been found to have an effect on childhood outcomes of well-being. The transition from adolescence to adulthood can be challenging due to the timing of puberty, and due to the extended amount of time spent in emerging adulthood. Although physical decline begins in middle adulthood, cognitive decline does not begin until later. Activities that keep the body and mind active can help maintain good physical and cognitive health as we age. Social supports through family and friends remain important as we age.
### Review Questions
### Critical Thinking Questions
### Personal Application Questions
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