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# La distribución chi-cuadrado
## Prueba de una sola varianza
Hasta ahora nuestro interés se ha centrado exclusivamente en el parámetro poblacional μ o su contrapartida en la binomial, p. Seguramente la media de una población es el dato más crítico que se tiene, pero en algunos casos nos interesa la variabilidad de los resultados de alguna distribución. En casi todos los procesos de producción, la calidad se mide no solo por el grado de adecuación de la máquina al objetivo, sino también por la variabilidad del proceso. Si se llenaran bolsas con patas fritas, no solo interesaría el peso promedio de la bolsa, sino también la variación de los pesos. Nadie quiere que se le asegure que el peso promedio es exacto cuando su bolsa no tiene papas fritas. El voltaje eléctrico puede alcanzar cierto nivel promedio, pero una gran variabilidad, los picos, pueden causar graves daños a las máquinas eléctricas, especialmente a las computadoras. No solo me gustaría obtener una nota media alta en mis clases, sino también una baja variación en torno a esta media. En resumen, las pruebas estadísticas relativas a la varianza de una distribución tienen un gran valor y muchas aplicaciones.
Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal. Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población. El estadístico de prueba es:
donde:
1. n = el número total de observaciones en los datos de la muestra
2. s2 = varianza de la muestra
3. = valor hipotético de la varianza de la población
4.
5.
Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población.
### Referencias
“AppleInsider Price Guides”. Apple Insider, 2013. Disponible en línea en http://appleinsider.com/mac_price_guide (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos del Banco Mundial, 5 de junio de 2012.
### Repaso del capítulo
Para comprobar la variabilidad, utilice la prueba de chi-cuadrado de una sola varianza. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble, y sus hipótesis se expresan siempre en términos de varianza (o desviación típica).
### Revisión de la fórmula
Prueba de una estadística de varianza única donde: n: tamaño de la muestra s: desviación típica de la muestra : valor hipotético de la desviación típica de la población
df = n – 1 grado de libertad
2. Utilice la prueba para determinar la variación.
3. Los grados de libertad son el número de muestras – 1.
4. El estadístico de prueba es
, donde n = tamaño de la muestra, s2 = varianza de la muestra y σ2 = varianza de la población.
5. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de un arquero para los disparos a meta es de seis (los datos se miden en distancia desde el centro del blanco). Un observador afirma que la desviación típica es menor.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de las alturas de los estudiantes de una escuela es de 0,81. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la desviación típica de las alturas de la muestra es de 0,96. Un investigador encargado del estudio cree que la desviación típica de las alturas de la escuela es superior a 0,81.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: El tiempo promedio de espera en la consulta del médico varía. La desviación típica de los tiempos de espera en una consulta médica es de 3,4 minutos. Una muestra aleatoria de 30 pacientes en la consulta del médico tiene una desviación típica de los tiempos de espera de 4,1 minutos. Un médico cree que la varianza de los tiempos de espera es mayor de lo que se pensaba en un principio.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios: Supongamos que una compañía aérea afirma que sus vuelos son siempre puntuales, con un retraso promedio de 15 minutos como máximo. Afirma que el retraso promedio es tan constante que la varianza no supera los 150 minutos. Dudando de la coherencia de la afirmación, un viajero descontento calcula los retrasos de sus próximos 25 vuelos. El retraso promedio de esos 25 vuelos es de 22 minutos, con una desviación típica de 15 minutos.
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# La distribución chi-cuadrado
## Prueba de bondad de ajuste
En este tipo de prueba de hipótesis se determina si los datos “se ajustan” a una determinada distribución o no. Por ejemplo, puede sospechar que sus datos desconocidos se ajustan a una distribución binomial. Se utiliza una prueba de chi-cuadrado (lo que significa que la distribución para la prueba de hipótesis es chi-cuadrado) para determinar si hay un ajuste o no. Las hipótesis nula y alternativa de esta prueba se pueden escribir en oraciones o plantear como ecuaciones o desigualdades.
El estadístico de prueba para una prueba de bondad de ajuste es:
donde:
1. O = valores observados (datos)
2. E = valores esperados (de la teoría)
3. k = el número de celdas o categorías de datos diferentes
Los valores observados son los valores de los datos y los valores esperados son los valores que se esperarían obtener si la hipótesis nula fuera cierta. Hay n términos de la forma
.
El número de grados de libertad es df = (número de categorías – 1).
La Si los valores observados y los correspondientes valores esperados no se aproximan entre sí, el estadístico de prueba puede ser muy grande y se situará en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado.
### Referencias
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU.
Datos del College Board. Disponible en línea en http://www.collegeboard.com.
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., Current Population Reports.
Ma, Y., E. R. Bertone, E. J. Stanek III, G. W. Reed, J. R. Hebert, N. L. Cohen, P. A. Merriam, I. S. Ockene, “Association between Eating Patterns and Obesity in a Free-living US Adult Population”. American Journal of Epidemiology volume 158, n.º 1, pages 85-92.
Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal, “Prevalence of Obesity in the United States, 2009–2010”. NCHS Data Brief n.º 82, enero de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
Stevens, Barbara J., “Multi-family and Commercial Solid Waste and Recycling Survey”. Condado de Arlington, VA. Disponible en línea en http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Para evaluar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución específica, puede aplicar la prueba de hipótesis de bondad de ajuste que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que los datos proceden de la distribución supuesta. La prueba compara los valores observados con los valores que se esperarían tener si los datos siguieran la distribución supuesta. La prueba es casi siempre de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco.
### Revisión de la fórmula
estadístico de prueba de bondad de ajuste donde: O: valores observados E: valores esperados k: número de celdas o categorías de datos diferentes
df = k − 1 grados de libertad
Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un maestro predice cuál será la distribución de las notas del examen final y las registra en la .
La distribución real para una clase de 20 está en la .
Use la siguiente información para responder los próximos nueve ejercicios: los siguientes datos son reales. El número acumulado de casos de SIDA notificados en el condado de Santa Clara se desglosa por grupos étnicos como en la .
El porcentaje de cada grupo étnico en el condado de Santa Clara es el que figura en la .
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: las columnas de la contienen la raza/etnia de escuelas públicas de EE. UU. para un año reciente, los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada para esa clase y la población estudiantil general. Supongamos que la columna de la derecha contiene el resultado de una encuesta realizada a 1.000 estudiantes locales de ese año que presentaron un examen de AP.
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la UCLA realizó una encuesta a más de 263.000 estudiantes de primer año de 385 institutos universitarios en otoño de 2005. Los resultados de las especialidades esperadas de los estudiantes, por sexo, fueron presentado en . Supongamos que el año pasado se realizó una encuesta de seguimiento a 5.000 mujeres y 5.000 hombres que se graduaron para determinar cuáles eran sus especialidades reales. Los resultados se muestran en las tablas del y del . La segunda columna de cada tabla no suma el 100 % debido al redondeo.
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. |
# La distribución chi-cuadrado
## Prueba de independencia
Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos).
El estadístico de prueba de independencia es similar al de la prueba de bondad de ajuste:
donde:
1. O = valores observados
2. E = valores esperados
3. i = el número de filas de la tabla
4. j = el número de columnas de la tabla
Hay términos de la forma
.
Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. La primera vez que vio el término independencia fue en la A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo. A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo.
### Referencias
DiCamilo, Mark, Mervin Field, “Most Californians See a Direct Linkage between Obesity and Sugary Sodas. Two in Three Voters Support Taxing Sugar-Sweetened Beverages If Proceeds are Tied to Improving School Nutrition and Physical Activity Programs”. The Field Poll, publicado el 14 de febrero de 2013. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2436.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
Harris Interactive, “Favorite Flavor of Ice Cream”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/favorite-flavor-of-ice-cream (consultado el 24 de mayo de 2013)
“Youngest Online Entrepreneurs List”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/youngest-online-entrepreneur-list (consultado el 24 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Para evaluar si dos factores son independientes o no, puede aplicar la prueba de independencia que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba afirma que los dos factores son independientes. La prueba compara valores observados con valores esperados. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, 5.
### Revisión de la fórmula
2. El número de grados de libertad es igual a (número de columnas – 1)(número de filas – 1).
3. El estadístico de prueba es
donde O = valores observados, E = valores esperados, i = el número de filas de la tabla y j = el número de columnas de la tabla.
4. Si la hipótesis nula es verdadera, el número esperado
.
Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Transit Railroads se interesa por la relación entre distancia de viaje y clase de billete adquirido. Se toma una muestra aleatoria de 200 pasajeros. La muestra los resultados. La compañía quiere saber si la elección de la clase de billete de un pasajero es independiente de la distancia que debe viajar.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: en un artículo publicado en el New England Journal of Medicine, se habla de un estudio sobre los fumadores de California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos.
Indique la decisión y la conclusión (en una oración completa) para los siguientes niveles preconcebidos de α.
### Tarea para la casa
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. |
# La distribución chi-cuadrado
## Prueba de homogeneidad
La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad, se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia.
HipótesisH: Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales. H: Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales.
Estadístico de pruebaUtilice un estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia.
Grados de libertad (df = número de columnas – 1
RequisitosTodos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco.
Usos comunesComparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles.
### Referencias
Datos del Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Disponible en línea en www.iihs.org/iihs/ratings (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Energy use (kg of oil equivalent per capita)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Para evaluar si dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución, que no es necesario conocer, puede aplicar la prueba de homogeneidad que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que las poblaciones de los dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución. La prueba compara los valores observados con los valores esperados si las dos poblaciones siguieran la misma distribución. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco.
### Revisión de la fórmula
Estadístico de prueba de homogeneidad donde: O = valores observados E = valores esperados i = número de filas en la tabla de contingencia de datos j = número de columnas en la tabla de contingencia de datos
df = (i −1)(j −1) Grados de libertad
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: ¿Los médicos de consulta privada y los de hospital tienen la misma distribución de horas de trabajo? Supongamos que se selecciona al azar una muestra de 100 médicos de consultas privadas y 150 de hospitales y se les pregunta por el número de horas semanales que trabajan. Los resultados se muestran en la .
### Tarea para la casa
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# La distribución chi-cuadrado
## Comparación de las pruebas chi-cuadrado
Anteriormente el estadístico de prueba χ2 se utilizó en tres circunstancias diferentes. La siguiente lista con viñetas es un resumen de qué prueba χ2 es la adecuada para utilizar en diferentes circunstancias.
1. Bondad de ajuste: use la prueba de bondad de ajuste para decidir si una población con una distribución desconocida se “ajusta” a una distribución conocida. En este caso habrá una única pregunta de encuesta cualitativa o un único resultado de un experimento de una única población. La bondad de ajuste se utiliza normalmente para ver si la población es uniforme (todos los resultados se producen con la misma frecuencia), si la población es normal o si la población es la misma que otra población con una distribución conocida. Las hipótesis nula y alternativa son: H: La población se ajusta a la distribución dada. H: La población no se ajusta a la distribución dada.
2. Independencia: use la prueba de independencia para decidir si dos variables (factores) son independientes o dependientes. En este caso habrá dos preguntas o experimentos de encuesta cualitativa y se construirá una tabla de contingencia. La meta es ver si las dos variables no están relacionadas (independientes) o están relacionadas (dependientes). Las hipótesis nula y alternativa son: H: Las dos variables (factores) son independientes. H: Las dos variables (factores) son dependientes.
3. Homogeneidad: use la prueba de homogeneidad para decidir si dos poblaciones con distribuciones desconocidas tienen la misma distribución entre sí. En este caso, habrá una única pregunta o experimento de encuesta cualitativa que se aplicará a dos poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son: H: Las dos poblaciones siguen la misma distribución. H: Las dos poblaciones tienen distribuciones diferentes.
### Repaso del capítulo
La prueba de bondad de ajuste se suele usar para determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución. La prueba de independencia usa una tabla de contingencia para determinar la independencia de dos factores. La prueba de homogeneidad determina si dos poblaciones proceden de la misma distribución, aunque esta sea desconocida.
### Tarea para la casa
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa.
### Resúmalo todo
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# La distribución F y el anova de una vía
## Introducción
Muchas aplicaciones estadísticas en Psicología, Ciencias Sociales, Administración y Negocios y Ciencias Naturales involucran varios grupos. Por ejemplo, un ecologista está interesado en saber si la cantidad promedio de contaminación varía en varias masas de agua. A un sociólogo le interesa saber si la cantidad de ingresos que obtiene una persona varía según su educación. Un consumidor que busca un automóvil nuevo puede comparar el rendimiento por milla promedio de gasolina de varios modelos.
Para las pruebas de hipótesis que comparan promedios entre más de dos grupos, los estadísticos han desarrollado un método denominado "análisis de la varianza" (Analysis of Variance, ANOVA). En este capítulo estudiará la forma más simple de ANOVA llamada ANOVA de un factor o de una vía. También estudiará la distribución F, utilizada para el ANOVA de una vía y la prueba de diferencias entre dos varianzas. Esto es solo un breve resumen del ANOVA de una vía. El ANOVA de una vía, tal y como se presenta aquí, depende en gran medida de una calculadora o una computadora. |
# La distribución F y el anova de una vía
## Prueba de dos varianzas
Este capítulo introduce una nueva función de densidad de probabilidad: la distribución F. Se utiliza para muchas aplicaciones, incluso el ANOVA y para probar la igualdad entre varias medias. Comenzamos con la distribución F y la prueba de la hipótesis de las diferencias en las varianzas. A menudo es conveniente comparar dos varianzas en vez de dos promedios. Por ejemplo, a los administradores del instituto universitario les gustaría que dos profesores que califiquen exámenes tengan la misma variación en su calificación. Para que una tapa se adapte a un recipiente, la variación en la tapa y del recipiente debería ser aproximadamente la misma. Un supermercado podría estar interesado en la variabilidad de los tiempos para procesar una compra en dos de sus cajas. En finanzas, la varianza es una medida de riesgo; por ende, sería interesante comprobar la hipótesis de que dos carteras de inversión diferentes tienen la misma varianza: la volatilidad.
Para realizar una prueba F de dos varianzas, es importante que ocurra lo siguiente:
A diferencia de la mayoría de las pruebas de hipótesis en este libro, la prueba F para la igualdad de dos varianzas es muy sensible a las desviaciones de la normalidad. Si las dos distribuciones no son normales, o se aproximan, la prueba puede dar un resultado sesgado para el estadístico de prueba.
Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que
y
son las varianzas poblacionales desconocidas y
y
sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son n1 y n2. Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F:
F tiene la distribución F ~ F(n1 – 1, n2 – 1)
donde n1 – 1 son los grados de libertad del numerador y n2 – 1 son los grados de libertad del denominador.
Si la hipótesis nula es
, entonces el cociente F, el estadístico de prueba, se convierte en
si δ0 = 1, luego
El estadístico de prueba es:
Las distintas formas de las hipótesis probadas son:
Una forma más general de las hipótesis nula y alternativa para una prueba de dos colas sería:
Donde si δ0 = 1 es una simple prueba de la hipótesis de que las dos varianzas son iguales. Esta forma de la hipótesis tiene la ventaja de permitir pruebas que van más allá de las simples diferencias y puede dar cabida a pruebas de diferencias específicas, como hicimos con las diferencias de medias y las diferencias de proporciones. Esta forma de la hipótesis también muestra la relación entre la distribución F y la χ2: la F es un cociente de dos distribuciones de chi-cuadrado, que vimos en el capítulo anterior. Esto sirve para determinar los grados de libertad de la distribución F resultante.
Si las dos poblaciones tienen varianzas iguales, entonces
y
están cerca en valor y el estadístico de prueba,
está cerca de uno. Pero si las dos variantes de la población son muy diferentes,
y
también suelen ser muy diferentes. Al elegir
ya que la mayor varianza de la muestra hace que el cociente
sea mayor que uno. Si
y
están muy separados, entonces
es un número grande.
Por lo tanto, si F es cercano a uno, la evidencia favorece la hipótesis nula (las dos varianzas de la población son iguales). Pero si F es mucho mayor que uno, entonces la evidencia es contraria a la hipótesis nula. En esencia, nos preguntamos si el valor calculado del estadístico de prueba F es significativamente diferente de uno.
Para determinar los puntos críticos tenemos que calcular Fα, df1,df2. Consulte la tabla F en el Apéndice A. Esta tabla F tiene valores para varios niveles de significación de 0,1 a 0,001, designados como "p" en la primera columna. Elija el nivel de significación deseado y siga hacia abajo y a través para encontrar el valor crítico en la intersección de los dos grados de libertad diferentes. La distribución F tiene dos grados de libertad diferentes, uno asociado al numerador, df1, y otro asociado al denominador, df2. Para complicar las cosas, la distribución F no es simétrica y cambia el grado de asimetría a medida que cambian los grados de libertad. Los grados de libertad en el numerador son n1-1, donde n1 es el tamaño de la muestra del grupo 1, y los grados de libertad en el denominador son n2-1, donde n2 es el tamaño de la muestra del grupo 2. Fα, df1, df2 dará el valor crítico en el extremo superior de la distribución F.
Para calcular el valor crítico para el extremo inferior de la distribución, invierta los grados de libertad y divida el valor F de la tabla entre el número uno.
1. Valor crítico superior de la cola: Fα,df1,df2
2. Valor crítico inferior de la cola: 1/Fα,df2,df1
Cuando el valor calculado de F está entre los valores críticos, no en la cola, no podemos rechazar la hipótesis nula de que las dos varianzas proceden de una población con la misma varianza. Si el valor F calculado está en cualquiera de las dos colas, no podemos aceptar la hipótesis nula, tal y como hemos hecho en todas las pruebas de hipótesis anteriores.
Una forma alternativa de calcular los valores críticos de la distribución F facilita el uso de la tabla F. Observamos en la tabla F que todos los valores de F son mayores que uno, por lo que el valor crítico de F para la cola de la izquierda siempre será menor que uno, porque para calcular el valor crítico en la cola de la izquierda dividimos un valor de F entre el número uno, como se muestra arriba. También observamos que si la varianza de la muestra en el numerador del estadístico de prueba es mayor que la varianza de la muestra en el denominador, el valor F resultante será mayor que uno. El método abreviado para esta prueba consiste en asegurarse de que la mayor de las dos varianzas de la muestra se coloque en el numerador para calcular el estadístico de prueba. Esto significará que solo habrá que calcular el valor crítico de la cola derecha en la tabla F.
### Referencias
“MLB Vs. Division Standings – 2012” (MLB versus Clasificación de la División-2012) Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012/type/vs-division/order/true.
### Repaso del capítulo
La prueba F para la igualdad de dos varianzas se basa en gran medida en el supuesto de distribuciones normales. La prueba no es fiable si no se cumple este supuesto. Si ambas distribuciones son normales, el cociente de las dos varianzas muestrales se distribuye como un estadístico F, con grados de libertad en el numerador y el denominador que son uno menos que los tamaños de las muestras de los dos grupos correspondientes. Una prueba de hipótesis de prueba de dos varianzas determina si dos varianzas son iguales. La distribución para la prueba de hipótesis es la distribución F con dos grados de libertad diferentes.
2. Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente.
3. Las dos poblaciones son independientes entre sí.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Hay dos supuestos que deben ser ciertos para hacer una prueba F de dos varianzas.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Dos compañeros de trabajo se desplazan desde el mismo edificio. Les interesa saber si hay alguna variación en el tiempo que tardan en ir al trabajo conduciendo un vehículo. Cada uno de ellos registra sus tiempos durante 20 trayectos. Los tiempos del primer trabajador tienen una varianza de 12,1. Los tiempos del segundo trabajador tienen una varianza de 16,9. El primer trabajador cree que es más coherente con sus tiempos de desplazamiento. Pruebe la afirmación al nivel del 10 %. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Dos estudiantes están interesados en saber si hay o no variación en los resultados de sus exámenes en la clase de Matemáticas. En total son 15 los exámenes de Matemáticas que han presentado hasta ahora. Las notas del primer estudiante tienen una desviación típica de 38,1. Las notas del segundo estudiante tienen una desviación típica de 22,5. El segundo estudiante cree que sus resultados son más coherentes.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Dos ciclistas comparan las varianzas de sus ritmos globales en subidas. Cada ciclista registra su velocidad al subir 35 colinas. El primer ciclista tiene una varianza de 23,8 y el segundo de 32,1. Los ciclistas quieren ver si sus varianzas son iguales o diferentes. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La siguiente tabla muestra el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. |
# La distribución F y el anova de una vía
## ANOVA de una vía
El propósito de una prueba de ANOVA de una vía es determinar la existencia de una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de varios grupos. De hecho, la prueba usa varianzas para ayudar a determinar si las medias son iguales o no. Para realizar una prueba de ANOVA de una vía hay que cumplir cinco supuestos básicos:
1. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.
2. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes.
3. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).
4. El factor es una variable categórica.
5. La respuesta es una variable numérica.
### Hipótesis nula y alternativa
La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos k:
: Al menos dos de las medias del grupo no son iguales. Eso es, para algunos .
Los gráficos, un conjunto de diagramas de caja y bigotes que representan la distribución de los valores con las medias de los grupos indicadas por una línea horizontal que atraviesa la caja, ayudan a comprender la prueba de hipótesis. En el primer gráfico (diagrama de caja y bigotes rojo), H: μ = μ = μ y las tres poblaciones tienen la misma distribución si la hipótesis nula es verdadera. La varianza de los datos combinados es, aproximadamente, igual a la varianza de cada una de las poblaciones.
Si la hipótesis nula es falsa, la varianza de los datos combinados es mayor, lo que se debe a las diferentes medias, como se muestra en el segundo gráfico (diagrama de caja verde).
### Repaso del capítulo
El análisis de varianza amplía la comparación de dos grupos a varios, cada uno de ellos un nivel de una variable categórica (factor). Las muestras de cada grupo son independientes y se deben seleccionar al azar a partir de poblaciones normales con varianzas iguales. Probamos la hipótesis nula de que las medias de la respuesta son iguales en todos los grupos versus la hipótesis alternativa de que las medias de uno o más grupos son diferentes a las de los demás. Una prueba de hipótesis de ANOVA de una vía determina si varias medias poblacionales son iguales. La distribución para la prueba es la distribución F con dos grados de libertad diferentes.
2. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.
3. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes.
4. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Hay cinco supuestos básicos que se deben cumplir para realizar una prueba de ANOVA de una vía. ¿Qué son?
### Tarea para la casa
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# La distribución F y el anova de una vía
## La distribución F y el cociente F
La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se trata de la distribución , inventada por George Snedecor, pero bautizada en honor del estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador.
Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F.
Para calcular el cociente se hacen dos estimaciones de la varianza.
1. Varianza entre muestras: Una estimación de σ2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada.
2. Varianza dentro de las muestras: Una estimación de σ2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada.
1. SSentre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras
2. SSdentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar.
Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza y la desviación típica de la muestra en la 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
MS significa “media cuadrática“ (mean square, MS). MSentre es la varianza entre grupos y MSdentro es la varianza dentro de los grupos.
Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática
MSentre y MSdentro se pueden escribir como sigue:
1.
2.
La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MSentre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MSdentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MSdentro.
La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MSentre como MSdentro deberían estimar el mismo valor.
El cociente
Si MSentre y MSdentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MSentre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MSdentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MSentre será generalmente mayor que MSdentro. Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MSdentro sea mayor en una muestra determinada.
Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como:
Fórmula del cociente
2. n = el tamaño de la muestra
3. dfnumerador = k – 1
4. dfdenominador = n – k
5. s2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
6.
= la varianza de las medias muestrales
Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares.
La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H.
### Notación
La notación para la distribución F es F ~ F
donde df(num) = dfentre y df(denom) = dfdentro
La media de la distribución F es
### Referencias
Datos sobre el tomate, Escuela de Ciencias del Marist College (investigación inédita de un estudiante)
### Repaso del capítulo
El análisis de la varianza compara las medias de una variable de respuesta para varios grupos. El ANOVA compara la variación dentro de cada grupo con la variación de la media de cada grupo. El cociente de estos dos es el estadístico F de una distribución F con (número de grupos – 1) como grados de libertad del numerador y (número de observaciones – número de grupos) como grados de libertad del denominador. Estas estadísticas se resumen en la tabla de ANOVA.
### Revisión de la fórmula
dfentre = df(num) = k – 1
dfdentro = df(denom) = n – k
MSentre =
MSdentro =
F =
1. k = el número de grupos
2. n = el tamaño del grupo j
3. s = la suma de los valores del grupo j
4. n = el número total de todos los valores (observaciones) combinados
5. x = un valor (una observación) de los datos
6.
= la varianza de las medias muestrales
7.
= la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Se van a analizar grupos de hombres de tres zonas diferentes del país para determinar su peso medio. Las entradas en la son las ponderaciones de los diferentes grupos.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Las niñas de cuatro equipos de fútbol diferentes se someterán a pruebas para conocer la media de goles marcados por partido. Las datos en la son los goles por partido de los diferentes equipos.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir.
H: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
Hα: Al menos dos de las medias de grupo µ1, µ2, …, µ5 no son iguales. |
# La distribución F y el anova de una vía
## Datos sobre la distribución F
Estos son algunos datos sobre la distribución
1. La curva no es simétrica, sino que está distorsionada hacia la derecha.
2. Hay una curva diferente para cada conjunto de grados de libertad.
3. El estadístico F es mayor o igual a cero.
4. A medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador, la curva se aproxima a la normal, como puede verse en las dos figuras siguientes. La figura (b), con más grados de libertad, se acerca a la distribución normal mucho más, pero recuerde que la F no puede ser nunca menor que cero, por lo que la distribución no tiene una cola que llegue hasta el infinito por la izquierda, como ocurre con la distribución normal.
5. Otros usos de la distribución F incluyen la comparación de dos varianzas y el análisis de varianza bidireccional. El análisis bidireccional queda fuera del alcance de este capítulo.
### Referencias
Datos de un aula de cuarto grado en 1994 en una escuela privada de kínder a 12.º grado en San José, CA.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets: Data for Fruitfly Fecundity. Londres: Chapman & Hall, 1994.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 50.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 118.
“MLB Standings – 2012”. Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012.
Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S. y Levine, M. M. (1992), “A Critical Appraisal of 98,6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich”, Journal of the American Medical Association, 268, 1578-1580.
### Repaso del capítulo
El gráfico de la distribución F es siempre positivo y es asimétrico hacia la derecha, aunque la forma puede ser redondeada o exponencial dependiendo de la combinación de grados de libertad del numerador y del denominador. El estadístico F es el cociente entre una medida de la variación de las medias de los grupos y una medida similar de la variación dentro de los grupos. Si la hipótesis nula es correcta, el numerador debe ser pequeño en comparación con el denominador. El resultado será un estadístico F pequeño y el área debajo de la curva F a la derecha será grande, lo que representa un valor p grande. Cuando la hipótesis nula de la igualdad de las medias de los grupos es incorrecta, el numerador debe ser grande comparado con el denominador, lo que da un estadístico F grande y un área pequeña (valor p pequeño) a la derecha del estadístico debajo de la curva F.
Cuando los datos tienen tamaños de grupo desiguales (datos no equilibrados), hay que utilizar las técnicas de la 12.3 La distribución F y el cociente de F para los cálculos manuales. Sin embargo, en el caso de datos equilibrados (los grupos tienen el mismo tamaño), se pueden utilizar cálculos simplificados basados en las medias y varianzas de los grupos. En la práctica, por supuesto, se suelen emplear softwares en el análisis. Como en cualquier análisis, se deben usar gráficos de diversa índole junto con técnicas numéricas. ¡Siempre mire sus datos!
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Cuatro equipos de baloncesto tomaron una muestra aleatoria de jugadores con respecto a la altura que cada uno de ellos puede saltar (en pulgadas). Los resultados se muestran en la .
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo juego en tres grupos diferentes. Cada grupo representa un mercado objetivo diferente para el juego. El desarrollador recopila las calificaciones de una muestra aleatoria de cada grupo. Los resultados se muestran en la
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir.
Introduzca los datos en su calculadora o computadora.
Indique las decisiones y conclusiones (en oraciones completas) para los siguientes niveles preconcebidos de α.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La recopila el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. |
# Regresión lineal y correlación
## Introducción
Los profesionales a menudo quieren saber cómo se relacionan dos o más variables numéricas. Por ejemplo, ¿existe una relación entre la calificación del segundo examen de Matemáticas que toma un estudiante y la calificación del examen final? Si hay una relación, ¿cuál es la relación y cuán fuerte es?
En otro ejemplo, sus ingresos pueden estar determinados por su educación, su profesión, sus años de experiencia y su capacidad, o su sexo o color. La cantidad que se paga a un reparador por la mano de obra suele estar determinada por una cantidad inicial más una tarifa por hora.
Estos ejemplos pueden o no estar vinculados con un modelo, lo que significa que alguna teoría sugirió que existe una relación. Este vínculo entre causa y efecto, a menudo denominado modelo, es la base del método científico y constituye el núcleo de la forma en que determinamos lo que creemos sobre el funcionamiento del mundo. El empezar con una teoría y desarrollar un modelo de la relación teórica debería dar como resultado una predicción, lo que hemos llamado antes una hipótesis. Ahora la hipótesis se refiere a un conjunto completo de relaciones. Por ejemplo, en economía el modelo de elección del consumidor se basa en supuestos relativos al comportamiento humano: el deseo de maximizar algo llamado utilidad, el conocimiento de los beneficios de un producto sobre otro, lo que gusta y no gusta, denominados generalmente preferencias, etc. Estos se combinan para darnos la curva de demanda. De ello se desprende la predicción de que, a medida que los precios suben, la cantidad demandada disminuye. La economía dispone de modelos sobre la relación entre los precios que se cobran por los bienes y la estructura de mercado en la que opera la empresa, monopolio versus competencia, por ejemplo. Los modelos de quiénes serían los más elegidos para un puesto de trabajo, las repercusiones de los cambios en la política de la Reserva Federal y el crecimiento de la economía, y un largo etcétera.
Los modelos no son exclusivos de la economía, incluso dentro de las ciencias sociales. En la ciencias políticas, por ejemplo, existen modelos que predicen el comportamiento de los burócratas ante diversos cambios de circunstancias, basados en suposiciones sobre los objetivos de los burócratas. Existen modelos de comportamiento político que abordan la toma de decisiones estratégicas tanto en las relaciones internacionales como en la política interior.
Las llamadas ciencias duras son, por supuesto, el origen del método científico, ya que a lo largo de los siglos intentaron explicar el confuso mundo que nos rodea. Algunos de los primeros modelos hoy nos hacen reír; la generación espontánea de la vida, por ejemplo. Estos primeros modelos se ven hoy como poco más que los mitos fundacionales que desarrollamos para poner algo de orden en lo que parecía un caos.
La base de toda construcción de modelos es la afirmación, quizá arrogante, de que sabemos qué ha causado el resultado que vemos. Esto se plasma en el simple enunciado matemático de la forma funcional que y = f(x). La respuesta, Y, está causada por el estímulo, X. Todo modelo acabará llegando a este lugar final y será aquí donde la teoría vivirá o morirá. ¿Apoyarán los datos esta hipótesis? Si es así, está bien, creeremos esta versión del mundo hasta que una teoría mejor venga a sustituirla. Este es el proceso por el que pasamos de la Tierra plana a la Tierra redonda, del sistema solar centrado en la Tierra al sistema solar centrado en el sol, y así sucesivamente.
El método científico no confirma una teoría para siempre: no demuestra la "verdad". Todas las teorías están sujetas a revisión y pueden revocarse. Estas son las lecciones que aprendimos cuando elaboramos por primera vez el concepto de la prueba de hipótesis al principio de este libro. Al comenzar esta sección, estos conceptos merecen ser revisados porque la herramienta que desarrollaremos aquí es la piedra angular del método científico y lo que está en juego es mayor. Las teorías completas se elevarán o caerán gracias a esta herramienta estadística; la regresión y las versiones más avanzadas se llaman econometría.
En este capítulo comenzaremos con la correlación, la investigación de las relaciones entre variables que pueden o no estar fundadas en un modelo de causa y efecto. Las variables simplemente se mueven en la misma dirección o dirección contraria. Es decir, no se mueven al azar. La correlación proporciona una medida del grado en que esto es verdadero. A partir de ahí, desarrollamos una herramienta para medir las relaciones de causa y efecto: el análisis de regresión. Podremos formular modelos y pruebas para determinar si son estadísticamente sólidas. Si se comprueba que es así, podemos utilizarlas para hacer predicciones: si por política cambiáramos el valor de esta variable, ¿qué pasaría con esta otra? Si impusiéramos un impuesto a la gasolina de 50 céntimos por galón, ¿cómo incidiría eso en las emisiones de carbono, en las ventas de Hummers/Híbridos, en el empleo del transporte público, etc.? La capacidad de dar respuesta a este tipo de preguntas es el valor de la regresión como herramienta que nos permite entender nuestro mundo y tomar decisiones políticas meditadas. |
# Regresión lineal y correlación
## El coeficiente de correlación r
Al comenzar esta sección, observamos que el tipo de datos con los que vamos a trabajar ha cambiado. Tal vez no se note, pero todos los datos que hemos estado utilizando son para una sola variable. Puede ser de dos muestras, pero sigue siendo una variable univariante. El tipo de datos descrito en los ejemplos anteriores y para cualquier modelo de causa y efecto son datos bivariados; "bi" para dos variables. En realidad, los estadísticos utilizan datos multivariantes, es decir, muchas variables.
Para nuestro trabajo, podemos clasificar los datos en tres grandes categorías: de series temporales, de sección transversal y de panel. Aprendimos sobre los dos primeros al inicio. Los datos de series temporales miden una única unidad de observación a medida que pasa el tiempo, por ejemplo, una persona, una compañía o un país. Lo que se mide serán al menos dos características, por ejemplo, los ingresos de la persona, la cantidad de un determinado bien que compra y el precio que ha pagado. Se trataría de tres informaciones en un tiempo, digamos 1985. Si siguiéramos a esa persona a lo largo del tiempo, tendríamos esos mismos datos para 1985, 1986, 1987, etc. Esto constituiría un conjunto de datos de series temporales. Si hiciéramos esto durante 10 años, tendríamos 30 datos sobre los hábitos de consumo de este bien por parte de esta persona durante la última década y conoceríamos sus ingresos y el precio que ha pagado.
Un segundo tipo de conjunto de datos es el de los datos transversales. En este caso, la variación no es a través del tiempo para una sola unidad de observación, sino a través de las unidades de observación durante un punto en el tiempo. Para un tiempo determinado, reuniríamos el precio pagado, la cantidad comprada y los ingresos de muchas personas por separado.
Un tercer tipo de conjunto de datos son los datos de panel. Aquí se sigue un panel de unidades de observación a lo largo del tiempo. Si retomamos el ejemplo anterior, podríamos seguir a 500 personas, la unidad de observación, a lo largo del tiempo, diez años, y así observar sus ingresos, el precio pagado y la cantidad del bien adquirido. Si tuviéramos 500 personas y datos durante diez años sobre el precio, los ingresos y la cantidad comprada, tendríamos 15.000 datos. Este tipo de conjuntos de datos son muy costosos de construir y mantener. Sin embargo, proporcionan una enorme cantidad de información que puede utilizarse para responder preguntas muy importantes. Por ejemplo, ¿cuál es el efecto en la tasa de participación laboral de las mujeres a medida que su familia de origen, la madre y el padre, envejecen? ¿O existen efectos diferenciales en los resultados de salud, dependiendo de la edad a la que una persona empezó a fumar? Solo los datos de panel pueden dar respuesta a estas y otras cuestiones relacionadas, ya que debemos seguir a varias personas en el transcurso del tiempo. Sin embargo, el trabajo que realizamos aquí no será del todo apropiado para conjuntos de datos como estos.
Partiendo de un conjunto de datos con dos variables independientes, nos preguntamos: ¿están relacionadas? Una forma de responder visualmente a esta pregunta es crear un gráfica de dispersión de los datos. Antes no podíamos hacerlo cuando hacíamos estadística descriptiva porque esos datos eran univariantes. Ahora tenemos datos bivariados, por lo que podemos trazar en dos dimensiones. Las tres dimensiones son posibles en un trozo de papel plano, pero resultan muy difíciles de conceptualizar por completo. Por supuesto, no se pueden representar gráficamente más de tres dimensiones, aunque las relaciones pueden medirse matemáticamente.
Para dotar de precisión matemática a la medición de lo que vemos, utilizamos el coeficiente de correlación. La correlación nos dice algo sobre el movimiento conjunto de dos variables, pero nada sobre el motivo de este movimiento. Formalmente, en el análisis de correlación supone que las dos variables analizadas son independientes. Esto significa que ninguna de los dos provoca el movimiento de la otra. Además, significa que ninguna de las dos variables depende de la otra, ni de ninguna otra. Incluso con estas limitaciones, el análisis de correlación puede arrojar algunos resultados interesantes.
El coeficiente de correlación, ρ (se pronuncia ro), es la estadística matemática para una población que nos proporciona una medida de la fuerza de una relación lineal entre las dos variables. Para una muestra de datos, la estadística r, desarrollada por Karl Pearson a principios de los 1900, es una estimación de la correlación de la población y se define matemáticamente como:
donde sx1 y sx2 son las desviaciones típicas de las dos variables independientes X1 y X2, y son las medias muestrales de las dos variables, y X1i y X2i son las observaciones individuales de X1 y X2. El coeficiente de correlación r oscila entre -1 y 1. La segunda fórmula equivalente se utiliza a menudo porque puede ser más fácil de calcular. Aunque estas fórmulas parezcan espeluznantes, en realidad no son más que el cociente de la covarianza entre las dos variables y el producto de sus dos desviaciones típicas. Es decir, es una medida de las varianzas relativas.
En la práctica, todos los análisis de regresión y correlación se realizarán mediante softwares diseñados para estos fines. Cualquier cosa que supere tal vez media docena de observaciones crea inmensos problemas computacionales. Por ello, la correlación y, más aun, la regresión, no fueron herramientas de investigación muy utilizadas hasta la llegada de las "máquinas de computación". En la actualidad, la potencia de cómputo necesaria para analizar los datos mediante paquetes de regresión se considera casi trivial en comparación con la de hace una década.
Para visualizar cualquier relación lineal que pueda existir, vea el trazado de un diagrama de dispersión de los datos estandarizados. La presenta varios diagramas de dispersión y el valor calculado de r. Observe en los paneles (a) y (b) que los datos tienden generalmente a moverse juntos, (a) hacia arriba y (b) hacia abajo. El panel (a) es un ejemplo de correlación positiva y el panel (b) es un ejemplo de correlación o relación negativa. El signo del coeficiente de correlación nos indica si la relación es positiva o negativa (inversa). Si todos los valores de X1 y X2 se encuentran en una línea recta, el coeficiente de correlación será 1 o -1, dependiendo de si la línea tiene una pendiente positiva o negativa, y cuanto más se acerque a uno o a uno negativo, más fuerte será la relación entre las dos variables. RECUERDE SIEMPRE QUE EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN NO NOS INDICA LA PENDIENTE.
Recuerde que lo único que nos señala el coeficiente de correlación es si los datos están o no relacionados linealmente. En el panel (d) las variables tienen obviamente algún tipo de relación muy específica entre sí, pero el coeficiente de correlación es cero, lo que indica que no existe ninguna relación lineal.
Si se sospecha que existe una relación lineal entre X1 y X2, entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal.
2. El valor de r está siempre entre –1 y +1: –1 ≤ r ≤ 1.
3. El tamaño de la correlación r indica la fuerza de la relación lineal entre X1 y X2. Los valores de r cercanos a –1 o a +1 indican una relación lineal más fuerte entre X1 y X2.
4. Si r = 0, no hay ninguna relación lineal entre X1 y X2 (no hay correlación lineal).
5. Si r = 1, hay una correlación positiva perfecta. Si r = –1, hay una correlación negativa perfecta. En ambos casos, todos los puntos de datos originales se encuentran en una línea recta: CUALQUIER línea recta sin importar la pendiente. Por supuesto, en el mundo real, esto no suele ocurrir.
2. Un valor positivo de r significa que, cuando X1 aumenta, X2 tiende a aumentar y cuando X1 disminuye, X2 tiende a disminuir (correlación positiva).
3. Un valor negativo de r significa que, cuando X1 aumenta, X2 tiende a disminuir y cuando X1 disminuye, X2 tiende a aumentar (correlación negativa). |
# Regresión lineal y correlación
## Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación, r, nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre X1 y X2.
Los datos de la muestra se utilizan para calcular r, el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r, es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido.
1. ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido)
2. r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra)
La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n.
Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es "significativo".
1. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre X1 y X2 porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero.
2. Lo que significa la conclusión: Existe una relación lineal significativa entre X1 y X2. Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”.
### Realización de la prueba de hipótesis
1. Hipótesis nula:
2. Hipótesis alternativa:
2. Hipótesis nula : El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY una relación lineal significativa (correlación) entre X1 y X2 en la población.
3. Hipótesis alternativa : El coeficiente de correlación de la población es significativamente diferente de cero. Existe una relación lineal significativa (correlación) entre X1 y X2 en la población.
Llegar a una conclusiónHay dos métodos para tomar la decisión sobre la hipótesis. El estadístico de prueba para comprobar esta hipótesis es:
Donde la segunda fórmula es una forma equivalente al estadístico de prueba, n es el tamaño de la muestra y los grados de libertad son n-2. Se trata de la estadística t y funciona de la misma manera que otras pruebas t. Calcule el valor t y compárelo con el valor crítico de la tabla t con los grados de libertad adecuados y el nivel de confianza que desee mantener. Si el valor calculado está en la cola, entonces no se puede aceptar la hipótesis nula de que no existe ninguna relación lineal entre estas dos variables aleatorias independientes. Si el valor t calculado NO está en la cola, entonces no se puede rechazar la hipótesis nula de que no existe ninguna relación lineal entre las dos variables.
Una forma rápida de comprobar las correlaciones es la relación entre el tamaño de la muestra y la correlación. Si:
entonces esto implica que la correlación entre las dos variables demuestra que existe una relación lineal y es estadísticamente significativa a un nivel de significación aproximado de 0,05. Como indica la fórmula, existe una relación inversa entre el tamaño de la muestra y la correlación necesaria para la significación de una relación lineal. Con solo 10 observaciones, la correlación requerida para la significación es de 0,6325, para 30 observaciones la correlación requerida para la significación disminuye a 0,3651 y a 100 observaciones el nivel requerido es solo de 0,2000.
Las correlaciones sirven para visualizar los datos, pero no se utilizan adecuadamente para "explicar" una relación entre dos variables. Tal vez no haya una estadística más mal utilizada que el coeficiente de correlación. Citar correlaciones entre las condiciones de salud y todo lo demás, desde el lugar de residencia hasta el color de los ojos, tiene el efecto de implicar una relación de causa y efecto. Esto no se logra con un coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación es, por supuesto, inocente de esta mala interpretación. El analista tiene el deber de utilizar una estadística diseñada para comprobar las relaciones de causa y efecto y comunicar solo esos resultados si pretende hacer tal afirmación. El problema es que pasar esta prueba más rigurosa es difícil, por lo que los "investigadores" perezosos o inescrupulosos recurren a las correlaciones cuando no pueden presentar sus argumentos de forma legítima. |
# Regresión lineal y correlación
## Ecuaciones lineales
La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma
donde a y b son números constantes.
La variable Otra forma de pensar en esta ecuación es una declaración de causa y efecto. La variable X es la causa y la variable Y es el efecto hipotético. Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente.
El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta. Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación.
### Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal
Para la ecuación lineal y = a + bx, b = pendiente y a = intersección en y. De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a) donde la línea cruza el eje y. Desde el cálculo, la pendiente es la primera derivada de la función. Para una función lineal la pendiente es dy / dx = b donde podemos leer la expresión matemática como "el cambio en y (dy) que resulta de un cambio en x (dx) = b * dx".
### Repaso del capítulo
El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma , donde y son constantes, es la variable independiente es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma , donde y son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx, la constante b, llamada coeficiente, representa la pendiente. La constante a se denomina intersección en y.
La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente (y) por cada incremento unitario de la variable independiente (x) , en promedio. La intersección en se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero. |
# Regresión lineal y correlación
## La ecuación de regresión
El análisis de regresión es una técnica estadística que permite comprobar la hipótesis de que una variable depende de otra u otras variables. Además, el análisis de regresión brinda una estimación de la magnitud del impacto de un cambio en una variable sobre otra. Por supuesto, esta última característica es de vital importancia para predecir los valores futuros.
El análisis de regresión se basa en una relación funcional entre variables y supone, además, que la relación es lineal. Esta suposición de linealidad es necesaria porque, en su mayor parte, las propiedades estadísticas teóricas de la estimación no lineal no están aún bien elaboradas por los matemáticos y econometristas. Esto nos plantea algunas dificultades en el análisis económico porque muchos de nuestros modelos teóricos no son lineales. La curva de costo marginal, por ejemplo, es decididamente no lineal, al igual que la función de costo total, si creemos en el efecto de la especialización del trabajo y en la ley productividad marginal decreciente. Existen técnicas para superar algunas de estas dificultades, como la transformación exponencial y logarítmica de los datos. No obstante, debeos reconocer desde el principio que el típico análisis de regresión de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) siempre utilizará una función lineal para estimar lo que podría ser una relación no lineal.
El modelo de regresión lineal general se puede enunciar mediante la ecuación:
donde β0 es la intersección, βi's es la pendiente entre Y y el Xi apropiado, y ε (pronunciado épsilon), es el término de error que captura los errores en la medición de Y y el efecto sobre Y de cualquier variable que falte en la ecuación y que contribuiría a explicar las variaciones en Y. Esta ecuación es la ecuación teórica de la población y, por lo tanto, utiliza letras griegas. La ecuación que estimaremos tendrá los símbolos romanos equivalentes. Esto es paralelo a la forma en que antes hemos mantenido el seguimiento de los parámetros de la población y los parámetros de la muestra. El símbolo de la media poblacional era µ y el de la media muestral , para la desviación típica de la población fue σ y para la desviación típica de la muestra fue s. Luego, la ecuación que se estimará con una muestra de datos para dos variables independientes será:
Al igual que nuestro trabajo anterior con las distribuciones de probabilidad, este modelo solo funciona si se cumplen ciertos supuestos. Estos son: que Y se distribuya normalmente, que los errores también se distribuyan normalmente con una media de cero y una desviación típica constante, y que los términos de error sean independientes del tamaño de X e independientes entre sí.
### Supuestos del modelo de regresión de mínimos cuadrados ordinarios
Cada uno de estos supuestos requiere mayor explicación. Si uno de estos supuestos no se cumple, afectará a la calidad de las estimaciones. Algunas de las fallas de estos supuestos pueden solucionarse, mientras que otras dan lugar a estimaciones que, sencillamente, no aportan nada a las preguntas que el modelo intenta responder o, peor aún, dan lugar a estimaciones sesgadas.
La muestra el caso en el que se cumplen los supuestos del modelo de regresión. La línea estimada es Se muestran tres valores de X. Se coloca una distribución normal en cada punto, donde X es igual a la línea estimada y el error asociado a cada valor de Y. Observe que las tres distribuciones se distribuyen normalmente en torno al punto de la línea. Además, la variación, la varianza, en torno al valor predicho, es constante, lo cual indicando la homoscedasticidad del supuesto 2. La no muestra todos los supuestos del modelo de regresión, pero sirve para visualizar los más importantes.
Esta es la forma general que se denomina modelo de regresión múltiple. El llamado análisis de regresión "simple" tiene una sola variable independiente (derecha), en lugar de muchas variables independientes. La regresión simple es solo un caso especial de la regresión múltiple. Hay que empezar con una regresión simple: es fácil de graficar en dos dimensiones, difícil de graficar en tres dimensiones e imposible de graficar en más de tres dimensiones. En consecuencia, nuestros gráficos serán para el caso de regresión simple. La presenta el problema de regresión en forma de gráfica de dispersión del conjunto de datos donde se hipotetiza que Y depende de la única variable independiente X.
Una relación básica de los principios macroeconómicos es la función de consumo. Esta relación teórica establece que, a medida que aumenta el ingreso de una persona, su consumo aumenta, pero en una cantidad menor que el aumento del ingreso. Si Y es el consumo y X es el ingreso en la ecuación que aparece debajo de la , el problema de regresión consiste, en primer lugar, en establecer que esta relación existe y, en segundo lugar, en determinar el impacto de un cambio en el ingreso sobre el consumo de una persona. El parámetro β1 se denominó Propensión marginal al consumo en Principios de Macroeconomía.
Cada "punto" en la representa el consumo y el ingreso de diferentes personas en un momento dado. Antes se denominaban datos de sección transversal; observaciones sobre variables en un momento dado a través de diferentes personas u otras unidades de medida. Este análisis se realiza con datos de series temporales, que serían el consumo y el ingreso per cápita o por país en diferentes momentos. En los problemas macroeconómicos se utilizan datos agregados de series temporales para todo un país. Para este concepto teórico en particular, estos datos están disponibles en el informe anual del Consejo de asesores económicos del Presidente.
El problema de la regresión se reduce a determinar qué línea recta representaría mejor los datos en la . El análisis de regresión se denomina a veces análisis de "mínimos cuadrados». Esto se debe a que el método para determinar qué línea se "ajusta" mejor a los datos consiste en minimizar la suma de los residuales al cuadrado de una línea a través de los datos.
Esta figura muestra la supuesta relación entre el consumo y el ingreso a partir de la teoría macroeconómica. En este caso, los datos se han representado en forma de gráfica de dispersión y se ha trazado una línea recta estimada. En este gráfico podemos ver un término de error, e1. Cada punto de datos tiene también un término de error. Una vez más, el término de error se introduce en la ecuación para captar los efectos sobre el consumo que no los causan los cambios en los ingresos. Esos otros efectos podrían ser los ahorros o el patrimonio de una persona, o los periodos de desempleo. Veremos cómo, al minimizar la suma de estos errores, obtenemos una estimación de la pendiente y la intersección de esta línea.
Considere el siguiente gráfico. La notación ha vuelto a ser la del modelo más general, en lugar del caso específico de la función macroeconómica de consumo en nuestro ejemplo.
La ŷ se lee "estimador de y es el valor estimado de . (En la representa el valor estimado del consumo porque está en la línea estimada). Es el valor de y obtenido mediante la línea de regresión. La ŷ no suele ser igual a y a partir de los datos.
El término se denomina "error" o residual. No es un error en el sentido de una equivocación. El término de error se introdujo en la ecuación de estimación para captar las variables ausentes y los errores de medición que pudieron generarse en las variables dependientes. El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y y el valor estimado de y. En otras palabras, mide la distancia vertical entre el punto de datos real y el punto previsto en la línea, como se aprecia en el gráfico en el punto X0.
Si el punto de datos observado se encuentra por encima de la línea, el residuo es positivo y la línea subestima el valor real de los datos para y.
Si el punto de datos observado se encuentra por debajo de la línea, el residuo es negativo y la línea sobreestima ese valor de datos real para y.
En el gráfico, es el residual del punto indicado. Aquí el punto está por encima de la línea y el residuo es positivo. Para cada punto de datos se calculan los residuales, o errores, y para i = 1, 2, 3, ..., n donde n es el tamaño de la muestra. Cada |e| es una distancia vertical.
La suma de los errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE) es el término propiamente dicho.
Utilizando el cálculo, se puede determinar la línea recta que tiene los valores de los parámetros b0 y b1 que minimiza la SSE. Cuando hace la SSE un mínimo, ha determinado los puntos que están en la línea de mejor ajuste. Resulta que la línea de mejor ajuste tiene la ecuación:
donde
y
Las medias muestrales de los valores x y los valores y son y , respectivamente. La línea de mejor ajuste siempre pasa por el punto (, ) llamados los puntos de las medias.
La pendiente b también se escribe:
donde s = la desviación típica de los valores de y y s = la desviación típica de los valores de x y r es el coeficiente de correlación entre x e y.
Estas ecuaciones se denominan ecuaciones normales y proceden de otro hallazgo matemático muy importante, que recibe el nombre de teorema de Gauss-Markov, sin el cual no podríamos hacer análisis de regresión. El teorema de Gauss-Markov señala que las estimaciones que obtenemos al utilizar el método de regresión por mínimos cuadrados ordinarios (MCO) darán lugar a estimaciones que tienen algunas propiedades muy importantes. En el teorema de Gauss-Markov se demostró que una línea de mínimos cuadrados es ELIÓ, es decir, Estimador Lineal e Imparcial Óptimo. Óptimo es la propiedad estadística de que un estimador es el que tiene la mínima varianza. Lineal se refiere a la propiedad del tipo de línea que se estima. Un estimador imparcial es aquel cuya función de estimación tiene una media prevista que es igual a la media de la población. (Recordará que el valor previsto de era igual a la media poblacional µ de acuerdo con el teorema del límite central. Este es exactamente el mismo concepto aquí).
Tanto Gauss como Markov fueron gigantes en el campo de las matemáticas, y Gauss también en el de la física, en el siglo XVIII y comienzos del siglo XIX. Apenas coincidieron cronológicamente, nunca geográficamente, pero el trabajo de Markov sobre este teorema se basó ampliamente en el trabajo anterior de Carl Gauss. El amplio valor aplicado de este teorema tuvo que esperar hasta mediados de este último siglo.
Con el método de los MCO podemos ahora dar con la estimación de la varianza del error que es la varianza de los errores al cuadrado, e2. A veces se denomina error estándar de la estimación. (Gramaticalmente esto se enunciaría mejor como la estimación de la varianza del error). La fórmula para la estimación de la varianza del error es:
donde ŷ es el valor predicho de la y, mientras que la y es el valor observado; así, el término son los errores al cuadrado que hay que minimizar para dar con las estimaciones de los parámetros de la línea de regresión. Esta es realmente la varianza de los términos de error y sigue nuestra fórmula de varianza regular. Una nota importante es que aquí estamos dividiendo entre , que son los grados de libertad. Los grados de libertad de una ecuación de regresión serán el número de observaciones, n, reducido por el número de parámetros estimados, que incluye la intersección como parámetro.
La varianza de los errores es fundamental a la hora de comprobar las hipótesis de una regresión. Nos indica lo "ajustada" que es la dispersión sobre la línea. Como veremos en breve, cuanto mayor sea la dispersión en torno a la línea, es decir, cuanto mayor sea la varianza de los errores, menos probable será que la variable independiente hipotética tenga un efecto significativo sobre la variable dependiente. En resumen, es más probable que la teoría que se está probando falle si la varianza del término de error es alta. Si lo pensamos bien, esto no debería sorprender. Al comprobar las hipótesis sobre una media, observamos que las varianzas grandes reducen el estadístico de prueba y, por tanto, no alcanza la cola de la distribución. En estos casos, no se pueden rechazar las hipótesis nulas. Si no podemos rechazar la hipótesis nula en un problema de regresión, debemos concluir que la variable independiente hipotética no tiene ningún efecto sobre la variable dependiente.
Una forma de visualizar este concepto es dibujar dos gráficos de dispersión de los datos x e y a lo largo de una línea predeterminada. El primero tendrá poca varianza de los errores, lo que significa que todos los puntos de datos se moverán cerca de la línea. Ahora haga lo mismo, excepto que los puntos de datos tendrán una gran estimación de la varianza del error, lo que significa que los puntos de datos están muy dispersos a lo largo de la línea. Es evidente que la confianza sobre una relación entre x e y se ve afectada por esta diferencia entre la estimación de la varianza del error.
### Comprobación de los parámetros de la línea
Todo el objetivo del análisis de regresión era probar la hipótesis de que la variable dependiente, Y, dependía de hecho de los valores de las variables independientes, tal y como afirmaba alguna teoría de base, como el ejemplo de la función de consumo. De cara a la ecuación estimada en la , esto equivale a determinar los valores de b0 y b1. Observe que de nuevo utilizamos la convención de letras griegas para los parámetros de la población y letras romanas para sus estimaciones.
El resultado del análisis de regresión proporcionado por el sofware producirá una estimación de b0 y b1, y cualquier otra b para otras variables independientes que se hayan incluido en la ecuación estimada. La cuestión es saber si estas estimaciones son correctas. Para comprobar una hipótesis relativa a cualquier estimación, tendremos que conocer la distribución de muestreo subyacente. No debería sorprender a estas alturas del curso que la respuesta sea la distribución normal. Esto se aprecia al recordar el supuesto de que el término de error en la población, ε, se distribuye normalmente. Si el término de error se distribuye normalmente y la varianza de las estimaciones de los parámetros de la ecuación, b0 y b1, está determinada por la varianza del término de error, se deduce que las varianzas de las estimaciones de los parámetros también están distribuidas normalmente. Efectivamente, este es el caso.
Esto lo vemos por la creación de la estadística para la prueba de la hipótesis relativa al parámetro de la pendiente, β1 en nuestra ecuación de la función de consumo. Para comprobar si Y depende o no de X, o en nuestro ejemplo, que el consumo depende del ingreso, solo tenemos que comprobar la hipótesis de que β1 es igual a cero. Esta hipótesis se enunciaría formalmente como:
Si no podemos rechazar la hipótesis nula, debemos concluir que nuestra teoría no tiene validez. Si no podemos rechazar la hipótesis nula de que β1 = 0, entonces b1, el coeficiente del ingreso, es cero y cero por cualquier cosa es cero. Por lo tanto, el efecto del ingreso sobre el consumo es cero. No hay ninguna relación como nuestra teoría había sugerido.
Observe que hemos establecido la presunción, la hipótesis nula, como "no hay relación". Esto hace que la carga de la prueba recaiga en la hipótesis alternativa. En otras palabras, si queremos validar nuestra pretensión de encontrar una relación, debemos hacerlo con un nivel de significación superior al 90 %, 95 % o 99 %. El statu quo es la ignorancia, no existe ninguna relación. Además, para poder afirmar que realmente hemos añadido algo a nuestro bagaje, debemos hacerlo con una probabilidad significativa de estar en lo correcto. John Maynard Keynes acertó y así nació la economía keynesiana a partir de este concepto básico en 1936.
La estadística de esta prueba proviene directamente de nuestra vieja amiga, la fórmula de estandarización:
donde b1 es el valor estimado de la pendiente de la línea de regresión, β1 es el valor hipotético de beta, en este caso cero, y es la desviación típica de la estimación de b1. En este caso, nos preguntamos cuántas desviaciones típicas se aleja la pendiente estimada de la pendiente hipotética. Se trata exactamente de la misma pregunta que nos hacíamos antes con respecto a una hipótesis sobre una media: ¿cuántas desviaciones típicas hay entre la media estimada, la media muestral y la media hipotética?
El estadístico de prueba se escribe como una distribución t de Student. No obstante, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para que los grados de libertad sean superiores a 30, podemos volver a utilizar la distribución normal. Para verificar por qué podemos utilizar la t de Student o la distribución normal, solo tenemos que ver , la fórmula de la desviación típica de la estimación de b1:
Donde Se es la estimación de la varianza del error y S2x es la varianza de los valores x del coeficiente de la variable independiente que se está probando.
Vemos que Se, la estimación de la varianza del error, forma parte del cálculo. Dado que la estimación de la varianza del error se basa en el supuesto de normalidad de los términos de error, concluimos que la distribución muestral de las b, los coeficientes de nuestra línea de regresión hipotética, también se distribuyen normalmente.
Una última nota se refiere a los grados de libertad del estadístico de prueba, ν = n – k. Anteriormente restamos 1 del tamaño de la muestra para determinar los grados de libertad en un problema de la t de Student. Aquí debemos restar un grado de libertad por cada parámetro estimado en la ecuación. Para el ejemplo de la función de consumo perdemos 2 grados de libertad, uno para , la intersección, y uno para b1, la pendiente de la función de consumo. Los grados de libertad serían n - k - 1, donde k es el número de variables independientes y el extra se pierde por la intersección. Si estuviéramos estimando una ecuación con tres variables independientes, perderíamos 4 grados de libertad: tres para las variables independientes, k, y uno más para la intersección.
La regla de decisión para la aceptación o el rechazo de la hipótesis nula sigue exactamente la misma forma que en todas nuestras pruebas de hipótesis anteriores. Es decir, si el valor calculado de t (o Z) cae en las colas de la distribución, donde las colas están definidas por α, el nivel de significación requerido en la prueba, no podemos aceptar la hipótesis nula. Si, por el contrario, el valor calculado del estadístico de prueba se encuentra dentro de la región crítica, no podemos rechazar la hipótesis nula.
Si concluimos que no podemos aceptar la hipótesis nula, podemos afirmar con nivel de confianza de que la pendiente de la línea viene dada por b1. Esta es una conclusión extremadamente importante. El análisis de regresión no solo nos permite comprobar si existe una relación de causa y efecto, sino que también podemos determinar la magnitud de esa relación, en caso de que exista. Es esta característica del análisis de regresión la que lo hace tan valioso. Si se pueden desarrollar modelos que tengan validez estadística, podremos simular los efectos de los cambios en las variables que pueden estar bajo nuestro control con cierto grado de probabilidad, por supuesto. Por ejemplo, si se demuestra que la publicidad influye en las ventas, podemos determinar los efectos de cambiar el presupuesto de publicidad y decidir si el aumento de las ventas merece la pena el gasto añadido.
### Multicolinealidad
Nuestro análisis anterior indicaba que, al igual que todos los modelos estadísticos, el modelo de regresión de los MCO lleva aparejados importantes supuestos. Cada supuesto, si se viola, tiene un efecto sobre la capacidad del modelo para proporcionar estimaciones útiles y significativas. El teorema de Gauss-Markov nos asegura que las estimaciones de los MCO son imparciales y de varianza mínima, pero esto es cierto solo bajo los supuestos del modelo. Aquí veremos los efectos en las estimaciones de los MCO si las variables independientes están correlacionadas. En los cursos de Econometría se examinan los demás supuestos y los métodos para mitigar las dificultades que plantean si se incumplen. Nos ocupamos de la multicolinealidad porque es frecuente en los modelos económicos, con resultados a menudo frustrantes.
El modelo de los MCO supone que todas las variables son independientes entre sí. Esta suposición es fácil de comprobar para una muestra de datos en particular con simples coeficientes de correlación. La correlación, como muchos aspectos en estadística, es una cuestión de grado: un poco no es bueno y mucho es terrible.
El objetivo de la técnica de regresión es determinar los efectos de cada una de las variables independientes en una variable dependiente hipotética. Si dos variables independientes están interrelacionadas, es decir, correlacionadas, no podemos aislar los efectos sobre Y de una de ellas. En un caso extremo, donde es una combinación lineal de , correlación igual a uno, ambas variables se mueven de forma idéntica con Y. En este caso, es imposible determinar la variable que es la verdadera causa del efecto sobre Y. (Si las dos variables estuvieran en realidad perfectamente correlacionadas, entonces no se podría calcular matemáticamente ningún resultado de regresión).
Las ecuaciones normales de los coeficientes muestran los efectos de la multicolinealidad en los coeficientes.
La correlación entre y , , aparece en el denominador tanto de la fórmula de estimación de como de . Si se cumple el supuesto de independencia, este término es cero. Esto indica que no hay ningún efecto de correlación en el coeficiente. Por otra parte, a medida que aumenta la correlación entre las dos variables independientes, el denominador disminuye; por ende, la estimación del coeficiente aumenta. La correlación tiene el mismo efecto en ambos coeficientes de estas dos variables. En esencia, cada variable está "tomando" parte del efecto sobre Y, que debería atribuirse a la variable colineal. Esto da lugar a estimaciones sesgadas.
La multicolinealidad tiene otro impacto perjudicial en las estimaciones de los MCO. La correlación entre las dos variables independientes también aparece en las fórmulas de estimación de la varianza de los coeficientes.
Aquí también observamos la correlación entre y en el denominador de las estimaciones de la varianza de los coeficientes de ambas variables. Si la correlación es cero, como se supone en el modelo de regresión, la fórmula se reduce al cociente conocido entre la varianza de los errores y la varianza de la variable independiente correspondiente. Sin embargo, si las dos variables independientes están correlacionadas, la varianza de la estimación del coeficiente aumenta. Esto da lugar a un valor t menor para la prueba de hipótesis del coeficiente. En resumen, la multicolinealidad hace que no se rechace la hipótesis nula de que la variable X no tiene ningún impacto en Y cuando, de hecho, X tiene un impacto estadísticamente significativo en Y. Dicho de otro modo, los grandes errores estándar del coeficiente estimado que crea la multicolinealidad sugieren una insignificancia estadística incluso cuando la relación hipotética es contundente.
### ¿Qué tan buena es la ecuación?
En la última sección nos ocupamos de comprobar la hipótesis de que la variable dependiente de hecho dependía de la variable o variables independientes hipotéticas. Puede que encontremos una variable independiente que tenga algún efecto sobre la variable dependiente, pero puede que no sea la única, y puede que ni siquiera sea la más importante. Recuerde que el término de error se colocó en el modelo para captar los efectos de cualquier variable independiente que falte. De ello se desprende que el término de error se utiliza para dar una medida de la "bondad del ajuste" de la ecuación, tomada en su conjunto para explicar la variación de la variable dependiente, Y.
El coeficiente de correlación múltiple, también llamado coeficiente de determinación múltiple o coeficiente de determinación, viene dado por la fórmula:
donde SSR es la suma de cuadrados de la regresión, la desviación al cuadrado del valor predicho de y con respecto al valor medio de y, y SST es la suma total de cuadrados que es la desviación total al cuadrado de la variable dependiente, y, de su valor medio, incluso el término de error, SSE, la suma de errores al cuadrado. La muestra cómo la desviación total de la variable dependiente, y, se divide en estas dos partes.
La muestra la línea de regresión estimada y una única observación, x1. El análisis de regresión trata de explicar la variación de los datos en torno al valor medio de la variable dependiente, y. La pregunta es: ¿por qué las observaciones de y varían con respecto al nivel promedio de y? El valor de y en la observación x1 varía de la media de y por la diferencia (). La suma de estas diferencias al cuadrado es la SST, la suma total de cuadrados (Sum of Squares Total). El valor real de y en x1 se desvía del valor estimado, ŷ, por la diferencia entre el valor estimado y el valor real, (). Recordemos que este es el término de error, e, y la suma de estos errores es SSE, suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors). La desviación del valor predicho de y, ŷ, del valor medio de y es () y es la SSR, suma de cuadrados de la regresión (Sum of Squares Regression). Recibe el nombre de "regresión" porque es la desviación explicada por la regresión. (A veces, la SSR se denomina SSM para la suma de la media de los cuadrados [Sum of Squares Mean] porque mide la desviación del valor medio de la variable dependiente, y, como se muestra en el gráfico).
Dado que la SST = SSR + SSE, vemos que el coeficiente de correlación múltiple es el porcentaje de la varianza, o desviación en y de su valor medio, que se explica por la ecuación cuando se toma como un todo. R2 variará entre cero y 1, donde cero indica que ninguna de la variación en y se explicó con la ecuación y un valor de 1 indica que el 100 % de la variación de y se explicó con la ecuación. Para los estudios de series temporales se espera un R2 alto y para los datos de sección transversal se espera un R2 bajo.
Aunque un R2 elevado es deseable, recuerde que lo que motivó la utilización del modelo de regresión fue la comprobación de la hipótesis sobre la existencia de una relación entre un conjunto de variables independientes y una variable dependiente en particular. La validación de una relación causa-efecto desarrollada por alguna teoría es la verdadera razón por la que elegimos el análisis de regresión. El incremento en el número de variables independientes tendrá el efecto de aumentar el R2. Para tener en cuenta este efecto, la medida adecuada del coeficiente de determinación es el , ajustado por grados de libertad, para evitar la suma sin sentido de variables independientes.
No hay ninguna prueba estadística para el R2 y, por tanto, poco se puede decir del modelo utilizando el R2 con nuestro característico nivel de confianza. Dos modelos que tienen el mismo tamaño de SSE, es decir, la suma de errores al cuadrado, pueden tener R2 muy diferentes si los modelos que compiten tienen diferentes SST, la suma total de desviaciones al cuadrado. La bondad del ajuste de los dos modelos es la misma: ambos tienen la misma suma de cuadrados no explicados, errores al cuadrado. Sin embargo, debido a la mayor suma total de cuadrados en uno de los modelos, el R2 difiere. De nuevo, el verdadero valor de la regresión como herramienta es examinar las hipótesis desarrolladas a partir de un modelo que predice determinadas relaciones entre las variables. Se trata de pruebas de hipótesis sobre los coeficientes del modelo y no de un juego de maximización de R2.
Otra forma de comprobar la calidad general del modelo global es probar los coeficientes como grupo y no de forma independiente. Por tratarse de una regresión múltiple (más de una X), utilizamos la prueba F para determinar si nuestros coeficientes afectan colectivamente a Y. La hipótesis es:
"al menos uno de los βi no es igual a 0".
Si no se puede rechazar la hipótesis nula, entonces concluimos que ninguna de las variables independientes contribuye a explicar la variación de Y. Al revisar la , vemos que la SSR, la suma de cuadrados explicada, es una medida de cuánto de la variación de Y se explicada con todas las variables del modelo. La SSE, la suma de los errores al cuadrado, mide la cantidad de errores inexplicados. De ello se desprende que el cociente de estos dos puede proporcionarnos una prueba estadística del modelo en su conjunto. Al recordar que la distribución F es el cociente de las distribuciones de chi-cuadrado, que las varianzas se distribuyen según este y que tanto la suma de errores al cuadrado como la suma de cuadrados son varianzas, tenemos el estadístico de prueba para esta hipótesis como:
donde n es el número de observaciones y k es el número de variables independientes. Se demuestra que esto es equivalente a:construido a partir de la donde R2 es el coeficiente de determinación, que también es una medida de la "bondad" del modelo.
Al igual que en todas nuestras pruebas de hipótesis, llegamos a una conclusión tras comparar la estadística F calculada con el valor crítico, dado nuestro nivel de confianza deseado. Si la estadística calculada de la prueba, F en este caso, se encuentra en la cola de la distribución, entonces no podemos aceptar la hipótesis nula. Al no poder aceptar las hipótesis nulas, concluimos que la especificación de este modelo tiene validez, porque al menos uno de los coeficientes estimados es significativamente diferente de cero.
Otra manera de llegar a esta conclusión es con la regla de comparación del valor p. El valor p es el área de la cola, dado el estadístico F calculado. En esencia, la computadora calcula el valor F en la tabla por nosotros. El resultado de la regresión computarizada para la estadística F calculada se encuentra normalmente en la sección de la tabla ANOVA, etiquetada "significación F". A continuación, se presenta cómo leer el resultado de una regresión en Excel. Es la probabilidad de NO aceptar una hipótesis nula falsa. Si esta probabilidad es menor que nuestro error alfa predeterminado, la conclusión es que no podemos aceptar la hipótesis nula.
### Variables ficticias
Hasta ahora, el análisis de la técnica de regresión de los MCO suponía que las variables independientes de los modelos probados eran variables aleatorias continuas. Sin embargo, no hay restricciones en el modelo de regresión contra las variables independientes que son binarias. Esto abre el modelo de regresión para comprobar las hipótesis relativas a variables categóricas como el sexo, la raza, la región del país, antes de un determinado dato, después de una determinada fecha y otras innumerables. Estas variables categóricas solo toman dos valores, 1 y 0, éxito o fracaso, de la distribución de probabilidad binomial. La forma de la ecuación pasa a ser:
donde . X2 es la variable ficticia y X1 es una variable aleatoria continua. La constante, b0, es la intersección en y, el valor donde la línea cruza el eje y. Cuando el valor de X2 = 0, la línea estimada se cruza en b0. Cuando el valor de X2 = 1 entonces la línea estimada cruza en b0 + b2. En efecto, la variable ficticia desplaza la línea estimada hacia arriba o hacia abajo, según la magnitud del efecto de la característica captada por la variable ficticia. Nótese que se trata de un simple desplazamiento paralelo y no influye en el impacto de la otra variable independiente; X1. Esta es una variable aleatoria continua y predice diferentes valores de y a diferentes valores de X1, a la vez que mantiene constante la condición de la variable ficticia.
Ejemplo de la variable ficticia es el trabajo que estima el impacto del sexo en los salarios. Existe toda una bibliografía sobre este tema y las variables ficticias se utilizan ampliamente. Para este ejemplo se examinan los salarios de los maestros de educación primaria y secundaria en un determinado estado. La utilización de una categoría laboral homogénea, la de los maestros, y para un solo estado reduce muchas de las variaciones que inciden naturalmente en los salarios, como el riesgo físico diferencial, el coste de vida en un estado en particular y otras condiciones laborales. La ecuación de estimación, en su forma más sencilla, especifica el salario en función de varias características de los maestros que, según la teoría económica, incidirían en el salario. Estos incluirían el grado de grado de instrucción como medida de productividad potencial, la edad o la experiencia para captar la formación en el trabajo, de nuevo como medida de productividad. Dado que los datos corresponden a los maestros empleados en un distrito escolar público y no a trabajadores de una compañía con ánimo de lucro, se incluye el ingreso promedio del distrito escolar por promedio de asistencia diaria de estudiantes como medida de la capacidad de pago. A continuación, se presentan los resultados del análisis de regresión realizado con los datos de 24.916 maestros.
Los coeficientes de todas las variables independientes son significativamente diferentes de cero, como indican los errores estándar. Si se dividen los errores estándar de cada coeficiente, se obtiene un valor t superior a 1,96, que es el nivel requerido para una significación del 95 %. La variable binaria, nuestra variable ficticia de interés en este análisis, es el sexo, donde a los hombres se les asigna un valor de 1 y a las mujeres un valor de 0. El coeficiente es significativamente diferente de cero con estadístico t dramático de 47 desviaciones típicas. Así, no podemos aceptar la hipótesis nula de que el coeficiente sea igual a cero. Por consiguiente, concluimos que existe una prima pagada a los maestros hombres de 632 dólares tras mantener constantes la experiencia, la educación y la riqueza del distrito escolar en el que el maestro está empleado. Cabe destacar que estos datos son de hace algún tiempo y que los 632 dólares representan una prima salarial del 6 % en aquella época. A continuación, se presenta un gráfico de este ejemplo de variables ficticias.
En dos dimensiones, el salario es la variable dependiente en el eje vertical, mientras que el total de años de experiencia se eligió como variable independiente continua en el eje horizontal. Se podría haber elegido cualquiera de las otras variables independientes para ilustrar el efecto de la variable ficticia. La relación entre los años totales de experiencia tiene una pendiente de 52,32 dólares por año de experiencia, a la vez que la línea estimada tiene una intersección de 4269 dólares si la variable de sexo es igual a cero, para las mujeres. Si la variable de sexo es igual a 1, en el caso de los hombres, el coeficiente se suma a la intersección en y. Así, la relación entre el total de años de experiencia y el salario se desplaza paralelamente hacia arriba, como se indica en el gráfico. En el gráfico también están marcados varios puntos de referencia. Una maestra de escuela con 10 años de experiencia recibe un salario de 4.792 dólares solo en función de su experiencia, pero se le paga 109 dólares menos que su colega hombre con cero años de experiencia.
También se puede estimar una interacción más compleja entre una variable ficticia y la variable dependiente. Puede ser que la variable ficticia no solo tenga algo más que un simple efecto de desplazamiento sobre la variable dependiente, sino que también interactúe con una o más de las otras variables independientes continuas. Aunque no se ha comprobado en el ejemplo anterior, se podría plantear la hipótesis de que el impacto del sexo el salario no fue ningún cambio puntual, sino que también influyó en el valor de los años adicionales de experiencia en el salario. Es decir, los salarios de las maestras se descontaron al principio y, además, no crecieron al mismo ritmo por efecto de la experiencia que los de sus colegas hombres. Esto se manifestaría como una pendiente diferente para la relación entre el total de años de experiencia para los hombres que para las mujeres. Si esto es así, las maestras no solo empezarían por debajo de sus colegas hombres (según el desplazamiento de la línea de regresión estimada), sino que se rezagarían cada vez más, a medida que aumentara el tiempo y la experiencia.
El siguiente gráfico muestra cómo se puede comprobar esta hipótesis con el uso de variables ficticias y una variable de interacción.
La ecuación de estimación señala cómo la pendiente de X1, la variable aleatoria continua de experiencia, contiene dos partes, b1 y b3. Esto ocurre porque la nueva variable X2 X1, llamada variable de interacción, se creó para permitir un efecto en la pendiente de X1 a partir de los cambios en X2, la variable ficticia binaria. Nótese que, cuando la variable ficticia X2 = 0, la variable de interacción tiene un valor de 0, pero cuando X2 = 1, la variable de interacción tiene un valor de X1. El coeficiente b3 es una estimación de la diferencia del coeficiente de X1 cuando X2 = 1 en comparación con cuando X2 = 0. En el ejemplo de los salarios de los maestros, si se paga una prima a los maestros hombres que incide en la tasa de aumento de los salarios con base en la experiencia, entonces la tasa de aumento de sus salarios sería b1 + b3, mientras que la de las maestras sería simplemente b1. Esto se comprueba con la hipótesis:
Se trata de una prueba t que utiliza el estadístico de prueba para el parámetro β3. Si no podemos aceptar la hipótesis nula de que β3 = 0, concluiremos que existe una diferencia entre la tasa de aumento del grupo para el que el valor de la variable binaria se fija en 1, los hombres en este ejemplo. Esta ecuación de estimación puede combinarse con la anterior, que solo probaba un desplazamiento paralelo en la línea estimada. Las funciones de ingresos/experiencia en la se dibujan para este caso con un desplazamiento en la función de ingresos y una diferencia en la pendiente de la función con respecto a los años totales de experiencia.
### Repaso del capítulo
Se espera que esta explicación sobre el análisis de regresión haya demostrado el enorme potencial que tiene como herramienta para probar modelos y comprender mejor el mundo que nos rodea. El modelo de regresión tiene sus limitaciones, especialmente el requisito de que la relación subyacente sea aproximadamente lineal. En la medida en que la verdadera relación no sea lineal, puede aproximarse con una relación lineal o con formas no lineales de transformaciones que pueden estimarse con técnicas lineales. La transformación logarítmica doble de los datos proporcionará una manera fácil de probar esta forma particular de la relación. Una forma cuadrática aceptable (la forma de la curva de coste total de Principios de Microeconomía) puede generarse con la ecuación:
donde los valores de X se elevan simplemente al cuadrado y se introducen en la ecuación como una variable independiente.
Hay muchos más "trucos" econométricos que evitan algunos de los supuestos más problemáticos del modelo de regresión general. Esta técnica estadística es tan valiosa que el estudio más detallado proporcionaría a cualquier estudiante unos dividendos estadísticamente significativos.
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# Regresión lineal y correlación
## Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica
Como hemos visto, el coeficiente de una ecuación estimada mediante el análisis de regresión de los MCO proporciona una estimación de la pendiente de una línea recta que se supone es la relación entre la variable dependiente y al menos una variable independiente. Según el cálculo, la pendiente de la línea es la primera derivada y nos indica la magnitud del impacto de un cambio de una unidad en la variable sobre el valor de la variable medida en las unidades de la variable . Como vimos en el caso de las variables ficticias, esto puede aparecer como un desplazamiento paralelo en la línea estimada o incluso un cambio en la pendiente de la línea a través de una variable interactiva. Aquí queremos explorar el concepto de elasticidad y cómo podemos utilizar el análisis de regresión para estimar las distintas elasticidades en las que se interesan los economistas.
El concepto de elasticidad está tomado de la ingeniería y de la física, donde se utiliza para medir la capacidad de respuesta de un material a una fuerza, normalmente una fuerza física como la de estiramiento/tracción. De aquí se deriva el término banda "elástica". En economía, se trata de alguna fuerza del mercado, como un cambio en los precios o en los ingresos. La elasticidad se mide como porcentaje de cambio/respuesta tanto en aplicaciones de ingeniería como en economía. El valor de la medición en términos porcentuales es que las unidades de medida no desempeñan ningún papel en el valor de la medición; por ende, permite la comparación directa entre las elasticidades. Por ejemplo, si el precio de la gasolina aumenta 50 céntimos desde un precio inicial de 3,00 dólares y genera un descenso en el consumo mensual de un consumidor de 50 galones a 48 galones, calculamos que la elasticidad es de 0,25. La elasticidad del precio es el cambio porcentual de la cantidad resultante de un cambio porcentual del precio. Un aumento del 16 % en el precio solo ha generado un descenso del 4 % en la demanda: 16 % de cambio en el precio → 4 % de cambio en la cantidad o 0,04/0,16 = 0,25. Esto se denomina demanda inelástica, es decir, una pequeña respuesta a la variación del precio. Esto se debe a que hay pocos sustitutos reales de la gasolina, si es que hay alguno; tal vez el transporte público, la bicicleta o caminar. Técnicamente, por supuesto, el cambio porcentual en la demanda a raíz del aumento de precios será la disminución de la demanda, por lo que la elasticidad del precio es un número negativo. Sin embargo, la convención es hablar de la elasticidad como el valor absoluto del número. Algunos productos tienen muchos sustitutos: peras por manzanas, por ciruelas, por uvas, etc. La elasticidad de estos bienes es mayor que uno y reciben el nombre de demanda elástica. En este caso, un pequeño cambio porcentual en el precio inducirá un gran cambio porcentual en la cantidad demandada. El consumidor desplazará fácilmente la demanda hacia el sustituto más cercano.
Aunque este debate se ha centrado en las variaciones de los precios, cualquiera de las variables independientes de una ecuación de demanda tendrá una elasticidad asociada. Así pues, existe una elasticidad del ingreso que mide la sensibilidad de la demanda a los cambios en el ingreso: poco para la demanda de alimentos, pero muy sensible para los yates. Si la ecuación de la demanda contiene un término de bienes sustitutivos, por ejemplo, barras de dulce en una ecuación de demanda de galletas, entonces se puede medir la capacidad de respuesta de la demanda de galletas a los cambios en los precios de las barras de dulce. Esto se denomina elasticidad cruzada de la demanda y, hasta cierto punto, puede considerarse como la fidelidad a la marca desde el punto de vista del mercadeo. ¿Cómo responde la demanda de Coca-Cola a los cambios en el precio de Pepsi?
Ahora, imagine la demanda de un producto que sea muy caro. De nuevo, la medida de la elasticidad está en términos porcentuales, por lo que la elasticidad puede compararse directamente con la de la gasolina: una elasticidad de 0,25 para la gasolina transmite la misma información que una elasticidad de 0,25 para un automóvil de 25 000 dólares. El consumidor considera que ambos bienes tienen pocos sustitutos, por lo que sus curvas de demanda son inelásticas, con elasticidad inferior a uno.
Las fórmulas matemáticas para las distintas elasticidades son:
Donde η es la letra griega minúscula eta, que se utiliza para designar la elasticidad. ∆ se lee como "cambio".
Donde Y se utiliza como símbolo de los ingresos.
Donde P2 es el precio del bien sustitutivo.
Examinando más de cerca la elasticidad del precio podemos escribir la fórmula como:
Donde es el coeficiente estimado para el precio en la regresión de los MCO.
La primera forma de la ecuación demuestra el principio de que las elasticidades se miden en términos porcentuales. Por supuesto, los coeficientes de los mínimos cuadrados ordinarios proporcionan una estimación del impacto de un cambio unitario en la variable independiente, X, sobre la variable dependiente medida en unidades de Y. Sin embargo, estos coeficientes no son elasticidades, y se muestran en la segunda forma de escribir la fórmula de la elasticidad como , la derivada de la función de demanda estimada que es simplemente la pendiente de la línea de regresión. Multiplicando la pendiente por proporciona una elasticidad que se mide en términos porcentuales.
A lo largo de una curva de demanda rectilínea, el porcentaje de cambio, y por tanto la elasticidad, cambia continuamente al cambiar la escala, mientras que la pendiente, el coeficiente de regresión estimado, permanece constante. Volviendo a la demanda de gasolina. El cambio de precio de 3,00 a 3,50 dólares supuso un incremento del 16 %. Si el precio inicial fuera de 5,00 dólares, el mismo aumento de 50 céntimos sería solo un aumento del 10%, lo que generaría una elasticidad diferente. Toda curva de demanda rectilínea tiene un rango de elasticidades que comienza en la parte superior izquierda, precios altos, con números de elasticidad grandes, demanda elástica, y que disminuye a medida que se desciende en la curva de demanda, demanda inelástica.
Para proporcionar una estimación significativa de la elasticidad de la demanda, la convención es estimar la elasticidad en el punto de las medias. Recuerde que todas las líneas de regresión de los MCO pasarán por el punto de las medias. En este punto se encuentra el mayor peso de los datos utilizados para estimar el coeficiente. La fórmula para estimar la elasticidad cuando se ha estimado una curva de demanda de los MCO pasa a ser:
Donde y son los valores medios de estos datos utilizados para estimar , el coeficiente de precios.
El mismo método puede utilizarse para estimar las demás elasticidades de la función de demanda con los valores medios adecuados de las demás variables: el ingreso y el precio de los bienes sustitutivos, por ejemplo.
### Transformación logarítmica de los datos
Las estimaciones por los mínimos cuadrados ordinarios suponen que la relación poblacional entre las variables es lineal y, por ende, de la forma presentada en la ecuación de regresión. En esta forma, la interpretación de los coeficientes es la que se ha comentado anteriormente; simplemente, el coeficiente proporciona una estimación del impacto del cambio de una unidad en X sobre Y, medido en unidades de Y. No importa en qué punto de la línea se quiera hacer la medición, porque es una línea recta con una pendiente constante y, por lo tanto, un nivel estimado constante de impacto por unidad de cambio. Sin embargo, puede que el analista desee estimar no el impacto unitario simple, medido en la variable Y, sino la magnitud del impacto porcentual en Y de un cambio unitario en la variable X. Un caso de este tipo podría ser cómo un cambio unitario en la experiencia, digamos un año, afecta no a la cantidad absoluta del salario de un trabajador, sino al impacto porcentual en el salario del trabajador. Otra posibilidad es que la pregunta que se formule sea el impacto medido por unidad en Y de un incremento porcentual específico en X. Un ejemplo sería: «¿En cuántos dólares aumentarán las ventas si la empresa gasta un X por ciento más en publicidad?" La tercera posibilidad es el caso de la elasticidad que hemos comentado anteriormente. Aquí nos interesa el impacto porcentual en la cantidad demandada para un determinado cambio porcentual en el precio, en el ingreso o quizás en el precio de un bien sustitutivo. Los tres casos pueden estimarse al transformar los datos a logaritmos antes de ejecutar la regresión. Los coeficientes resultantes proporcionarán una medida de cambio porcentual de la variable correspondiente.
En resumen, hay cuatro casos:
1. Unidad ∆X → Unidad ∆Y (caso de los MCO estándar)
2. Unidad ∆X → %∆Y
3. %∆X → Unidad ∆Y
4. %∆X → %∆Y (caso de elasticidad)
Caso 1: El caso de los mínimos cuadrados ordinarios comienza con el modelo lineal, elaborado anteriormente:
donde el coeficiente de la variable independiente es la pendiente de una línea recta; por ende, mide el impacto de un cambio unitario en X sobre Y medido en unidades de Y.
Caso 2: La ecuación estimada subyacente es:
La ecuación se estima al convertir los valores de Y en logaritmos y utilizar técnicas de los MCO para estimar el coeficiente de la variable X, b. Esto se denomina estimación semilogarítmica. De nuevo, la diferenciación de ambos lados de la ecuación nos permite desarrollar la interpretación de la X coeficiente b:
Al multiplicar por 100 para pasar a porcentajes y reordenar los términos da:
así, es la variación porcentual de Y resultante de una variación unitaria de X.
Caso 3: En este caso la pregunta es: "¿Cuál es el cambio unitario en Y resultante de un cambio porcentual en X?" ¿Cuál es la pérdida de ingresos en dólares de un aumento del 5 % en el precio o cuál es el impacto del coste total en dólares de un aumento del 5 % en los costes laborales? La ecuación estimada en este caso sería:
Aquí el diferencial de cálculo en la ecuación estimada es:
Al dividir entre 100 para obtener el porcentaje y reordenar los términos da:
Por lo tanto, es el aumento de Y, medido en unidades a partir de un aumento del 1 % en X.
Caso 4: Este es el caso de la elasticidad en el que tanto la variable dependiente como la independiente se convierten a logaritmos antes de la estimación de los MCO. Esto se conoce como el caso log-log o doble logaritmo, y nos proporciona estimaciones directas de las elasticidades de las variables independientes. La ecuación estimada es:
Diferenciando tenemos:
así:
y nuestra definición de elasticidad. Concluimos que podemos estimar directamente la elasticidad de una variable mediante la doble transformación logarítmica de los datos. El coeficiente estimado es la elasticidad. Es habitual utilizar la doble transformación logarítmica de todas las variables en la estimación de las funciones de demanda para obtener estimaciones de las distintas elasticidades de la curva de demanda. |
# Regresión lineal y correlación
## Predicción con una ecuación de regresión
Un valor importante de una ecuación de regresión estimada es su capacidad para predecir los efectos sobre Y de un cambio en uno o más valores de las variables independientes. El valor de esto es evidente. No se puede hacer ninguna política cuidadosa sin estimar los efectos que pueda tener. De hecho, es el deseo de obtener resultados concretos lo que impulsa la formación de la mayoría de las políticas. Los modelos de regresión pueden ser, y han sido, una ayuda inestimable para la elaboración de estas políticas.
El teorema de Gauss-Markov nos asegura que la estimación puntual del impacto sobre la variable dependiente derivada de poner en la ecuación los valores hipotéticos de las variables independientes que se desea simular dará como resultado una estimación de la variable dependiente que es de varianza mínima e imparcial. Es decir, de esta ecuación sale la mejor estimación puntual imparcial de la y, dados los valores de la x.
Recuerde que las estimaciones puntuales no conllevan un determinado nivel de probabilidad, o nivel de confianza, porque los puntos no tienen un "ancho" por encima del cual haya un área que medir. Por eso hemos desarrollado antes intervalos de confianza para la media y la proporción. Aquí también surge la misma preocupación. En realidad, existen dos enfoques diferentes para la elaboración de estimaciones de los cambios de la variable o variables independientes sobre la variable dependiente. El primer enfoque desea medir el valor medio esperado de y a partir de un cambio específico en el valor de la x: este valor específico implica el valor esperado. En este caso, la pregunta es: ¿Cuál es el impacto medio en la y que resultaría de múltiples experimentos hipotéticos en la y a este valor específico de la x? Recuerde que existe una varianza en torno al parámetro estimado de la x; así, cada experimento dará lugar a una estimación un poco diferente del valor predicho de la y.
El segundo enfoque para estimar el efecto de un valor específico de la x en la y trata el evento como un solo experimento: se elige la x y se multiplica por el coeficiente; eso proporciona una única estimación de la y. Dado que este enfoque actúa como si hubiera un solo experimento, la varianza que existe en la estimación de los parámetros es mayor que la asociada al enfoque del valor esperado.
La conclusión es que tenemos dos formas diferentes de predecir el efecto de los valores de la o las variables independientes sobre la variable dependiente; así, tenemos dos intervalos diferentes. Ambas son respuestas correctas a la pregunta planteada, pero con dos preguntas diferentes. Para evitar confusiones, el primer caso en el que pedimos el valor esperado de la media de la y estimada, se denomina intervalo de confianza, tal y como hemos nombrado este concepto anteriormente. El segundo caso, en el que se pide la estimación del impacto sobre la variable dependiente y de un solo experimento utilizando un valor de x, se denomina intervalo de predicción. Las estadísticas de la prueba para estas dos medidas de intervalo dentro de las cuales caerá el valor estimado de la y son:
Donde se es la desviación típica del término de error y sx es la desviación típica de la variable x.
Los cálculos matemáticos de estas dos estadísticas de la prueba son complejos. Varios paquetes de software ofrecen programas dentro de las funciones de regresión que dan respuestas a las preguntas acerca de los valores estimados de predicción de la y, dados diversos valores elegidos para las variables x. Es importante saber qué intervalo se está probando en el paquete computarizado porque la diferencia en el tamaño de las desviaciones típicas cambiará el tamaño del intervalo estimado. Esto se muestra en la .
La muestra visualmente la diferencia que supone la desviación típica en el tamaño de los intervalos estimados. El intervalo de confianza, que mide el valor esperado de la variable dependiente, es menor que el intervalo de predicción para el mismo nivel de confianza. El método del valor esperado supone que el experimento se realiza varias veces y no solo una, como en el otro método. La lógica aquí es similar, aunque no idéntica, a la analizada cuando se desarrolla la relación entre el tamaño de la muestra y el intervalo de confianza mediante el teorema del límite central. Allí, a medida que aumentaba el número de experimentos, la distribución se estrechaba y el intervalo de confianza se acortaba más en torno al valor esperado de la media.
También es importante señalar que los intervalos en torno a una estimación puntual dependen en gran medida del rango de datos utilizado para estimar la ecuación, sin importar el enfoque que se utilice para la predicción. Recuerde que todas las ecuaciones de regresión pasan por el punto de las medias, es decir, el valor medio de la y, así como los valores medios de todas las variables independientes de la ecuación. A medida que el valor de la x que se elige para estimar el valor asociado de la y se aleja del punto de las medias, el ancho del intervalo estimado alrededor de la estimación puntual aumenta. La elección de valores de la x más allá del intervalo de los datos utilizados para estimar la ecuación plantea el peligro aun mayor de crear estimaciones de poca utilidad, intervalos muy grandes y riesgo de error. La muestra esta relación.
La demuestra la preocupación por la calidad del intervalo estimado, ya sea uno de predicción o de confianza. A medida que el valor que se elige para predecir la y, Xp en el gráfico, se aleja del peso central de los datos, , observamos que el intervalo se expande, a la vez que se mantiene constante el nivel de confianza. Esto demuestra que la precisión de cualquier estimación disminuirá a medida que se intente predecir más allá del mayor peso de los datos y, con toda seguridad, se degradará rápidamente con respecto a las predicciones más allá del rango de los datos. Desgraciadamente, justo aquí es donde se desea la mayoría de las predicciones. Se pueden hacer, pero la amplitud del intervalo de confianza puede ser tan grande que haga inútil la predicción. Sin embargo, solo el cálculo real y la aplicación concreta pueden determinarlo. |
# Regresión lineal y correlación
## Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión
Esta sección de este capítulo está aquí, en reconocimiento de que lo que pedimos ahora requiere mucho más que un cálculo rápido de un cociente o una raíz cuadrada. De hecho, el uso del análisis de regresión era casi inexistente antes de mediados del siglo pasado y no se convirtió realmente en una herramienta ampliamente utilizada hasta quizás finales de los años 1960 y principios de los 1970. Incluso entonces, la capacidad de cálculo de las mayores máquinas de IBM es irrisoria para los estándares actuales. En los primeros tiempos los investigadores desarrollaban y compartían los programas. No existía ningún mercado para el llamado "software" y, desde luego, nada qué ver con las "aplicaciones", un participante en el mercado con pocos años de antigüedad.
Con la llegada de la computadora personal y la explosión de un mercado vital de software, tenemos un número de paquetes de regresión y análisis estadístico entre los que elegir. Cada uno tiene sus méritos. Hemos elegido Microsoft Excel por su amplia disponibilidad tanto en las universidades como en el mercado postuniversitario. Stata es una alternativa y tiene características que serán importantes para el estudio de la econometría más avanzada si decide seguir este camino. Existen paquetes aun más avanzados, pero normalmente requieren que el analista realice una cantidad significativa de programación para llevar a cabo su análisis. El objetivo de esta sección es demostrar cómo utilizar Excel para realizar una regresión y hacerlo con un ejemplo de una versión simple de una curva de demanda.
El primer paso para realizar una regresión con Excel es cargar el programa en la computadora. Si tiene Excel, tiene las Herramientas de Análisis, aunque puede que no las tenga activadas. El programa requiere una cantidad significativa de espacio, por lo que no se carga automáticamente.
Para activar las herramientas de análisis, siga estos pasos:
Haga clic en “File” (Archivo) > “Options” (Opciones) > “Add-ins” (Complementos) para que aparezca el menú del complemento “ToolPaks” (Herramientas). Seleccione “Analysis ToolPak” (Herramientas de análisis) y haga clic en “GO” (Aceptar) junto a “Manage: excel add-ins” (Administrar complementos de Excel) en la parte inferior de la ventana. Esto abrirá una nueva ventana en la que deberá hacer clic en “Analysis ToolPak” (asegúrese de que haya una marca de verificación verde en la casilla) y luego haga clic en “OK” (Aceptar). Ahora debería haber una pestaña “Analysis” (Análisis) debajo del menú de datos. Estos pasos se presentan en las siguientes capturas de pantalla.
Haga clic en “Data” (Datos), luego en “Data Analysis” (Análisis de datos) y, a continuación, en “Regression” (Regresión) y “OK”. ¡Enhorabuena! Ha llegado a la ventana de regresión. La ventana le pide que introduzca sus datos. Si hace clic en la casilla situada junto a los rangos Y y X, podrá utilizar la función “click and drag” (presionar y arrastrar) de Excel para seleccionar los rangos de entrada. Excel tiene una peculiaridad y es que la función “click and drop” (presionar y soltar) requiere que las variables independientes, las variables X, estén todas juntas, es decir, que formen una sola matriz. Si sus datos están configurados con la variable Y entre dos columnas de variables X, Excel no le permitirá utilizar la función de presionar y arrastrar. A modo de ejemplo, digamos que la columna A y la columna C son variables independientes y la columna B es la variable Y, la variable dependiente. Excel no le permitirá presionar y soltar los rangos de datos. La solución es mover la columna con la variable Y a la columna A y luego puede presionar y arrastrar. El mismo problema se plantea si se quiere realizar la regresión solo con algunas de las variables X. Tendrá que configurar la matriz de manera que todas las variables X a las que quiere hacer regresiones estén en una matriz bien formada. Estos pasos se presentan en las siguientes capturas de pantalla.
Una vez que seleccione los datos para su análisis de regresión y le diga a Excel cuál es la variable dependiente (Y) y cuáles son los valores independientes (X), tiene varias opciones en cuanto a los parámetros y cómo se mostrará el resultado. Consulte la captura de pantalla de la en la sección “Input” (Entrada). Si marca la casilla “labels” (etiquetas) el programa colocará la entrada en la primera columna de cada variable como su nombre en el resultado. Puede introducir un nombre real, como precio o ingresos en un análisis de la demanda, en la fila uno de la hoja de cálculo de Excel para cada variable y se mostrará en el resultado.
El nivel de significación también puede fijarlo el analista. Esto no cambiará el valor calculado del estadístico t, llamado t stat, aunque alterará el valor p calculado para el estadístico t. También modificará los límites de los intervalos de confianza de los coeficientes. Siempre se presenta un intervalo de confianza del 95 %, aunque con un cambio en este también se obtienen otros niveles de confianza para los intervalos.
Excel también le permitirá suprimir la intersección. Esto obliga al programa de regresión a minimizar la suma de cuadrados residual con la condición de que la línea estimada debe pasar por el origen. Esto se hace en los casos en que no hay significado en el modelo en ningún valor distinto de cero, cero para el inicio de la línea. Un ejemplo es una función de producción económica, que es la relación entre el número de unidades de un insumo, digamos horas de trabajo, y la producción. No tiene sentido una producción positiva con cero trabajadores.
Una vez introducidos los datos y realizadas las elecciones, haga clic en OK y los resultados se enviarán por defecto a una nueva hoja de trabajo independiente. El resultado de Excel se presenta de una manera típica de otros programas de paquetes de regresión. El primer bloque de información ofrece las estadísticas generales de la regresión: R múltiple, R al cuadrado, y la R al cuadrado ajustada por grados de libertad, que es la que se quiere informar. También se obtiene el error estándar (de la estimación) y el número de observaciones en la regresión.
El segundo bloque de información se titula ANOVA, que significa Análisis de la Varianza (ANalysis Of VAriance). Nuestro interés en esta sección es la columna marcada como F. Se trata de los valores del estadístico F calculados para la hipótesis nula de que todos los coeficientes son iguales a cero frente a la alternativa de que al menos uno de los coeficientes no es igual a cero. Esta prueba de hipótesis se presentó en 13.4 en el apartado “¿Qué tan buena es la ecuación?”. La siguiente columna indica el valor p de esta prueba bajo el título “Significance F” (Significación F). Si el valor p es inferior, por ejemplo, a 0,05 (el valor calculado del estadístico F está en la cola), afirmamos con un 90 % de confianza que no podemos aceptar las hipótesis nulas de que todos los coeficientes son iguales a cero. Esto es bueno: significa que al menos uno de los coeficientes es significativamente diferente de cero, por lo que tiene un efecto sobre el valor de Y.
El último bloque de información contiene las pruebas de hipótesis para cada coeficiente. En primer lugar se enumeran los coeficientes estimados, la intersección y las pendientes, y a continuación cada error estándar (del coeficiente estimado) seguido del estadístico t (valor calculado del estadístico t de Student para la hipótesis nula de que el coeficiente es igual a cero). Comparamos el valor calculado del estadístico t y el valor crítico de la t de Student, que depende de los grados de libertad, y determinamos si tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de que la variable no tiene efecto sobre Y. Recuerde que hemos establecido la hipótesis nula como el statu quo y nuestra afirmación de que sabemos qué causó el cambio de Y está en la hipótesis alternativa. Queremos rechazar el statu quo y sustituirlo por nuestra versión del mundo, la hipótesis alternativa. La siguiente columna contiene los valores p para esta prueba de hipótesis, seguidos del límite superior e inferior estimado del intervalo de confianza del parámetro de la pendiente, estimado para varios niveles de confianza fijados por nosotros al principio.
### Estimación de la demanda de rosas
A continuación se muestra un ejemplo de utilización del programa Excel para realizar una regresión para un caso concreto: estimar la demanda de rosas. Tratamos de estimar una curva de demanda, que desde la teoría económica esperamos que ciertas variables afecten la cantidad de un bien que compramos. La relación entre el precio de un bien y la cantidad demandada es la curva de demanda. Además, tenemos la función de demanda, que incluye otras variables relevantes: el ingreso de la persona, el precio de los bienes sustitutivos y quizás otras variables como la estación del año o el precio de los bienes complementarios. La cantidad demandada será nuestra variable Y, y el precio de las rosas, el precio de los claveles y el ingreso serán nuestras variables independientes, las variables X.
Para todas estas variables la teoría nos indica la relación esperada. Para el precio del bien en cuestión, las rosas, la teoría predice una relación inversa, la curva de demanda con pendiente negativa. La teoría también predice la relación entre la cantidad demandada de un bien, aquí las rosas, y el precio de un sustituto, los claveles en este ejemplo. La teoría predice que esta debería ser una relación positiva o directa; a medida que el precio del sustituto baja, sustituimos las rosas por el sustituto más barato, los claveles. Una reducción en el precio del sustituto genera una reducción en la demanda del bien analizado aquí: las rosas. Que la reducción genere reducción es una relación positiva. En el caso de los bienes normales, la teoría también predice una relación positiva; a medida que nuestros ingresos aumentan, compramos más del bien, las rosas. Esperamos estos resultados porque es lo que predicen cien años de teoría e investigación económica. En esencia, estamos poniendo a prueba estas hipótesis centenarias. Los datos recogidos se determinaron con el modelo que se está probando. Esto debería ser siempre así. No se hace estadística inferencial metiendo una montaña de datos en una computadora y pidiéndole a la máquina una teoría. La teoría primero, la prueba después.
Estos datos son el promedio de precios y el ingreso per cápita en el país. La cantidad demandada es el total de ventas anuales de rosas a nivel nacional. Se trata de datos de series temporales anuales; estamos siguiendo el mercado de rosas de Estados Unidos desde 1984 hasta 2017: 33 observaciones.
Debido a la forma peculiar en que Excel exige que se introduzcan los datos en el paquete de regresión, es mejor tener las variables independientes, el precio de las rosas, el precio de los claveles y los ingresos, una al lado de la otra en la hoja de cálculo. Una vez introducidos los datos en la hoja de cálculo, siempre es conveniente examinarlos. Examine el rango, las medias y las desviaciones típicas. Utilice sus conocimientos de estadística descriptiva de la primera parte de este curso. En grandes conjuntos de datos no podrá "escanear" los datos. La herramienta de análisis facilita la obtención del rango, la media, las desviaciones típicas y demás parámetros de las distribuciones. También puede obtener rápidamente las correlaciones entre las variables. Examine los valores atípicos. Repase la historia. ¿Ha pasado algo? ¿Hubo aquí una huelga laboral, un cambio en las tasas de importación, algo que haga que estas observaciones sean inusuales? No tome los datos sin cuestionarlos. Es posible que haya una errata en alguna parte, quién sabe sin revisarla.
Vaya a la ventana de regresión, introduzca los datos, seleccione un nivel de confianza del 95 % y haga clic en OK. Puede incluir las etiquetas en el rango de entrada si ha puesto un título en la parte superior de cada columna, pero asegúrese de presionar en la casilla "labels" en la página principal de la regresión si lo hace.
El resultado de la regresión debería aparecer automáticamente en una nueva hoja de cálculo.
El primer resultado presentado es el R cuadrado, una medida de la fuerza de la correlación entre Y y X1, X2 y X3 tomados como grupo. Nuestro R cuadrado de 0,699, ajustado por grados de libertad, significa que el 70% de la variación de Y, la demanda de rosas, puede explicarse por las variaciones de X1, X2 y X3, el precio de las rosas, el precio de los claveles y los ingresos. No existe ninguna prueba estadística para determinar la "importancia" de un R2. Por supuesto, se prefiere un R2 más alto, pero es realmente la importancia de los coeficientes lo que determinará el valor de la teoría que se está probando y que formará parte de cualquier debate político si se demuestra que son significativamente diferentes de cero.
Mirando el tercer panel de resultados podemos escribir la ecuación como:
donde b0 es la intersección, b1 es el coeficiente estimado del precio de las rosas, y b2 es el coeficiente estimado del precio de los claveles, b3 es el efecto estimado del ingreso y e es el término de error. La ecuación está escrita en letras romanas para indicar que se trata de los valores estimados y no de los parámetros poblacionales, β.
Nuestra ecuación estimada es:
En primer lugar, observamos que los signos de los coeficientes son los esperados por la teoría. La curva de demanda tiene una pendiente descendente con signo negativo para el precio de las rosas. Además, los signos de los coeficientes del precio de los claveles y del ingreso son positivos, como cabría esperar de la teoría económica.
La interpretación de los coeficientes nos indica el impacto de un cambio en cada variable sobre la demanda de rosas. Es esta capacidad lo que hace que el análisis de regresión sea una herramienta tan valiosa. Los coeficientes estimados nos indican que un aumento de un dólar en el precio de las rosas provocará una reducción de 1,76 en el número de rosas compradas. El precio de los claveles parece desempeñar un papel importante en la demanda de rosas. Observamos que el aumento en el precio de los claveles en un dólar incrementaría la demanda de rosas en 1,33 unidades, ya que los consumidores sustituirían los claveles, ahora más caros. Del mismo modo, el aumento en el ingreso per cápita en un dólar supondrá un incremento de 3,03 unidades de rosas compradas.
Estos resultados se ajustan a las predicciones de la teoría económica con respecto a las tres variables incluidas en esta estimación de la demanda de rosas. Es importante tener primero una teoría que prediga la importancia o al menos la dirección de los coeficientes. Sin ninguna teoría que poner a prueba, esta herramienta de investigación no es mucho más útil que los coeficientes de correlación que aprendimos antes.
Sin embargo, no podemos detenernos ahí. Primero, tenemos que comprobar si nuestros coeficientes son estadísticamente significativos con respecto a cero. Establecimos una hipótesis de:
para los tres coeficientes en la regresión. Recordemos que no podremos decir definitivamente que nuestra b1 estimada es la población real de β1, sino solo que con (1-α)% de nivel de confianza que no podemos rechazar la hipótesis nula de que nuestra β1 estimada es significativamente diferente de cero. El analista afirma que el precio de las rosas influye en la cantidad demandada. De hecho, cada una de las variables incluidas tiene un impacto en la cantidad de rosas demandadas. Por consiguiente, la afirmación está en las hipótesis alternativas. Se necesitará una probabilidad muy grande, 0,95 en este caso, para derrocar la hipótesis nula, el statu quo, de que β = 0. En todas las pruebas de hipótesis de regresión la afirmación está en la alternativa y la afirmación es que la teoría ha encontrado una variable que tiene un impacto significativo en la variable Y.
El estadístico de prueba para esta hipótesis sigue la conocida fórmula normalizadora que cuenta el número de desviaciones típicas, t, que el valor estimado del parámetro, b1, se aleja del valor hipotético, β0, que es cero en este caso:
La computadora calcula el estadístico de prueba y lo presenta como "t stat". Puede encontrar este valor a la derecha del error estándar de la estimación del coeficiente. El error estándar del coeficiente de b1 es Sb en la fórmula. Para llegar a una conclusión, comparamos estadístico de prueba con el valor crítico de la t de Student con grados de libertad n-3-1 = 29 y alfa = 0,025 (nivel de significación del 5 % para una prueba de dos colas). Nuestro estadístico t para b1 es aproximadamente 5,90, que es mayor que 1,96 (el valor crítico que buscamos en la tabla t), por lo que no podemos aceptar nuestra hipótesis nula de ausencia de efecto. Llegamos a la conclusión de que el precio tiene un efecto significativo porque el valor t calculado está en la cola. Realizamos la misma prueba para b2 y b3. Para cada variable, comprobamos que no podemos aceptar la hipótesis nula de ausencia de relación porque los valores calculados de la estadística t están en la cola para cada caso, es decir, son mayores que el valor crítico. Se ha determinado que todas las variables de esta regresión tienen un efecto significativo en la demanda de rosas.
Estas pruebas nos indican si un coeficiente individual es significativamente diferente de cero, pero no abordan la calidad general del modelo. Hemos visto que el R cuadrado ajustado a los grados de libertad indica que este modelo con estas tres variables explica el 70 % de la variación de la cantidad de rosas demandadas. También podemos realizar una segunda prueba del modelo en su conjunto. Se trata de la prueba F presentada en la sección 13.4 de este capítulo. Como se trata de una regresión múltiple (más de una X), utilizamos la prueba F para determinar si nuestros coeficientes afectan colectivamente a Y. La hipótesis es:
En la sección ANOVA del resultado encontramos el valor calculado de la estadística F para esta hipótesis. Para este ejemplo, la estadística F es de 21,9. De nuevo, la comparación del valor calculado de la estadística F con el valor crítico, dado nuestro nivel de significación deseado y los grados de libertad, nos permitirá llegar a una conclusión.
La mejor manera de llegar a una conclusión para esta prueba estadística es utilizar la regla de comparación del valor p. El valor p es el área de la cola, dado el estadístico F calculado. En esencia, la computadora halla el valor F en la tabla por nosotros y calcula el valor p. En el resumen del resultado bajo "significación F" se encuentra esta probabilidad. Para este ejemplo, se calcula que es de 2,6 x 10-5, es decir, 2,6 moviendo el decimal cinco lugares a la izquierda. (0,000026) Se trata de un nivel de probabilidad casi infinitesimal y ciertamente menor que nuestro nivel alfa de 0,05 para un nivel de significación del 5 por ciento.
Al no poder aceptar las hipótesis nulas, concluimos que esta especificación de este modelo tiene validez porque al menos uno de los coeficientes estimados es significativamente diferente de cero. Como el F calculado es mayor que el F crítico, no podemos aceptar H0, lo que significa que X1, X2 y X3 juntos tienen un efecto significativo sobre Y.
El desarrollo de la computación y del software útiles para la investigación académica y empresarial ha permitido responder preguntas que hace unos años ni siquiera podíamos formular. Los datos están disponibles en formato electrónico y pueden trasladarse para su análisis de formas y a velocidades inimaginables hace una década. La enorme magnitud de los conjuntos de datos que pueden utilizarse hoy en día para la investigación y el análisis nos permite obtener resultados de mayor calidad que en el pasado. Incluso con solo una hoja de cálculo de Excel podemos realizar una investigación de muy alto nivel. Esta sección le ofrece las herramientas para llevar a cabo algunas de estas interesantes investigaciones con el único límite de su imaginación.
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# Muestreo y datos
## Introducción
Probablemente se esté preguntando: “¿Cuándo y dónde voy a utilizar la estadística?”. Si lee cualquier periódico, ve la televisión o utiliza internet, verá información estadística. Hay estadísticas sobre delincuencia, deportes, educación, política y bienes raíces. Normalmente, cuando se lee un artículo de periódico o se ve un programa de noticias de televisión se da una información de muestra. Con esta información, puede tomar una decisión sobre la corrección de una declaración, afirmación o “hecho”. Los métodos estadísticos pueden ayudarlo a hacer una “mejor estimación”.
Como sin duda recibirá información estadística en algún momento de su vida, necesita conocer algunas técnicas para analizar la información de forma reflexiva. Piense en la compra de una casa o en la gestión de un presupuesto. Piense en la profesión que ha elegido. Economía, Negocios, Psicología, Educación, Biología, Derecho, Informática, Política y Desarrollo de la Primera Infancia son campos de conocimiento que requieren, al menos, un curso de Estadística.
En este capítulo se incluyen las ideas y palabras básicas de probabilidad y estadística. Pronto entenderá que la estadística y la probabilidad trabajan juntas. También aprenderá cómo se recopilan los datos y qué datos “buenos” pueden distinguirse de los “malos”. |
# Muestreo y datos
## Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave
La ciencia de la Estadística se ocupa de la recopilación, del análisis, de la interpretación y de la presentación de datos. Vemos y utilizamos datos en nuestra vida cotidiana.
En este curso aprenderá a organizar y resumir datos. La organización y el resumen de los datos se denominan Estadística Descriptiva. Dos formas de resumir los datos son la elaboración de gráficos y el uso de números (por ejemplo, hallar un promedio). Después de haber estudiado la probabilidad y las distribuciones de probabilidad, utilizará métodos formales para sacar conclusiones de los datos “buenos”. Los métodos formales se denominan Estadística Inferencial. La inferencia estadística utiliza la probabilidad para determinar el grado de confianza que podemos tener en que nuestras conclusiones son correctas.
La interpretación eficaz de los datos (inferencia) se basa en buenos procedimientos de producción de datos y en examinarlos de forma reflexiva. Se encontrará con lo que le parecerá un exceso de fórmulas matemáticas para interpretar los datos. La meta de la Estadística no es realizar numerosos cálculos con las fórmulas, sino comprender los datos. Los cálculos se pueden hacer con una calculadora o una computadora. La comprensión debe venir de usted. Si puede comprender a fondo los fundamentos de la Estadística, podrá tener más confianza en las decisiones que tome en la vida.
### Probabilidad
La probabilidad es una herramienta matemática utilizada para estudiar el azar. Se trata de la oportunidad (la posibilidad) de que se produzca un evento. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial cuatro veces, los resultados no pueden ser dos caras y dos cruces. Sin embargo, si se lanza la misma moneda 4.000 veces, los resultados se aproximarán a mitad cara y mitad cruz. La probabilidad teórica esperada de salir cara en cualquier lanzamiento es
o 0,5. Aunque los resultados de unas pocas repeticiones son inciertos, existe un patrón regular de resultados cuando hay muchas repeticiones. Tras leer sobre el estadístico inglés Karl Pearson, que lanzó una moneda 24.000 veces con un resultado de 12.012 caras, uno de los autores lanzó una moneda 2.000 veces. Los resultados fueron 996 caras. La fracción
es igual a 0,498, que está muy cerca de 0,5, la probabilidad esperada.
La teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, como el póquer. Las predicciones adoptan la forma de probabilidades. Para predecir la probabilidad de que se produzca un terremoto, de que llueva o de que obtenga una A en este curso utilizamos las probabilidades. Los médicos utilizan la probabilidad para determinar la posibilidad de que una vacuna provoque la enfermedad que se supone que debe prevenir. Un agente de bolsa utiliza la probabilidad para determinar la tasa de rendimiento de las inversiones de un cliente. Puede utilizar la probabilidad para decidir si compra un billete de lotería o no. En su estudio de la Estadística, utilizará el poder de las Matemáticas a través de cálculos de probabilidad para analizar e interpretar sus datos.
### Términos clave
En estadística, generalmente queremos estudiar una población. Se puede pensar en una población como un conjunto de personas, cosas u objetos en estudio. Para estudiar la población seleccionamos una muestra. La idea del muestreo es seleccionar una porción (o subconjunto) de la población mayor y estudiar esa porción (la muestra) para obtener información sobre la población. Los datos son el resultado de un muestreo de una población.
Como se necesita mucho tiempo y dinero para examinar toda una población, el muestreo es una técnica muy práctica. Si desea calcular el promedio general de calificaciones de su escuela, tendría sentido seleccionar una muestra de estudiantes que asisten a la escuela. Los datos recopilados de la muestra serían los promedios de las calificaciones de los estudiantes. En las elecciones presidenciales se toman muestras de sondeos de opinión de 1.000 a 2.000 personas. Se supone que el sondeo de opinión representa el punto de vista de las personas de todo el país. Los fabricantes de bebidas carbonatadas en lata toman muestras para determinar si una lata de 16 onzas contiene 16 onzas de bebida carbonatada.
A partir de los datos de la muestra podemos calcular un estadístico. Un estadístico es un número que representa una propiedad de la muestra. Por ejemplo, si consideramos que una clase de Matemáticas es una muestra de la población de todas las clases de Matemáticas, el número promedio de puntos obtenidos por los estudiantes de esa clase de Matemáticas al final del trimestre es un ejemplo de un estadístico. El estadístico es una estimación de un parámetro de población. Un parámetro es una característica numérica de toda la población que puede estimarse mediante un estadístico. Dado que consideramos que todas las clases de Matemáticas son la población, el número promedio de puntos obtenidos por estudiante en todas las clases de Matemáticas es un ejemplo de parámetro.
Una de las principales preocupaciones en el campo de la Estadística es la precisión con la que un estadístico estima un parámetro. La precisión depende realmente de lo bien que la muestra represente a la población. La muestra debe contener las características de la población para ser una muestra representativa. En la Estadística Inferencial nos interesa tanto el estadístico de la muestra como el parámetro de la población. En un capítulo posterior utilizaremos el estadístico de la muestra para comprobar la validez del parámetro poblacional establecido.
Una variable, generalmente anotada con letras mayúsculas como X e Y, es una característica o medida que puede determinarse para cada miembro de una población. Las variables pueden ser numéricas o categóricas. Las variables numéricas toman valores con unidades iguales, como el peso en libras y el tiempo en horas. Las variables categóricas sitúan a la persona o cosa en una categoría. Si suponemos que X equivale al número de puntos obtenidos por un estudiante de Matemáticas al final de un trimestre, entonces X es una variable numérica. Si suponemos que Y es la afiliación de una persona a un partido, entonces algunos ejemplos de Y incluyen republicano, demócrata e independiente. Y es una variable categórica. Podríamos hacer algunos cálculos con valores de X (calcular el promedio de puntos obtenidos, por ejemplo), pero no tiene sentido hacer cálculos con valores de Y (calcular un promedio de afiliación a un partido no tiene sentido).
Los datos son los valores reales de la variable. Pueden ser números o palabras. El dato es un valor único.
Dos palabras que aparecen a menudo en estadística son media y proporción. Si presenta tres exámenes de sus clases de Matemáticas y obtiene calificaciones de 86, 75 y 92, calcularía su calificación media sumando las tres calificaciones de los exámenes y dividiéndolas entre tres (su calificación media sería 84,3 con un decimal). Si en su clase de Matemáticas hay 40 estudiantes y 22 son hombres y 18 son mujeres, entonces la proporción de estudiantes hombres es y la proporción de estudiantes mujeres es . La media y la proporción se tratan con más detalle en capítulos posteriores.
### Referencias
The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/CrashTestDummies.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
La teoría matemática de la estadística es más fácil de aprender cuando se conoce el lenguaje. Este módulo presenta términos importantes que se utilizarán a lo largo del texto.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Las compañías farmacéuticas suelen realizar estudios para determinar la eficacia de un programa de tratamiento. Supongamos que se está estudiando un nuevo fármaco contra el sida. Se administra a los pacientes una vez que los síntomas del sida se han manifestado. Resulta interesante la duración promedio (media) de la vida de los pacientes, en meses, una vez iniciado el tratamiento. Dos investigadores siguen cada uno a un conjunto diferente de 40 pacientes con sida desde el inicio del tratamiento hasta su muerte. Se recogen los siguientes datos (en meses).
Investigador A:
Investigador B:
Determine a qué se refieren los términos clave en el ejemplo del investigador A.
### TAREA PARA LA CASA
Para cada uno de los ocho ejercicios siguientes, identifique: a. la población, b. la muestra, c. el parámetro, d. el estadístico, e. la variable y f. los datos. Dé ejemplos cuando sea necesario.
Use la siguiente información para responder los tres próximos ejercicios: Una instructora del Lake Tahoe Community College está interesado en el número medio de días que los estudiantes de Matemáticas del Lake Tahoe Community College se ausentan de clase durante un trimestre. |
# Muestreo y datos
## Datos, muestreo y variación de datos y muestreo
Los datos pueden proceder de una población o de una muestra. Letras minúsculas como
o
se utilizan generalmente para representar valores de datos. La mayoría de los datos se pueden clasificar en las siguientes categorías:
1. Cualitativa
2. Cuantitativa
Los datos cualitativos son el resultado de categorizar o describir los atributos de una población. Los datos cualitativos también suelen denominarse datos categóricos. El color del pelo, el tipo de sangre, el grupo étnico, el automóvil que conduce una persona y la calle en la que vive son ejemplos de datos cualitativos. Los datos cualitativos suelen describirse con palabras o letras. Por ejemplo, el color del cabello puede ser negro, castaño oscuro, castaño claro, rubio, gris o rojo. El tipo de sangre puede ser AB+, O– o B+. Los investigadores suelen preferir los datos cuantitativos a los cualitativos porque se prestan más al análisis matemático. Por ejemplo, no tiene sentido hallar un color de cabello o un tipo de sangre promedio.
Los datos cuantitativos son siempre números. Los datos cuantitativos son el resultado de contar o medir los atributos de una población. La cantidad de dinero, la frecuencia del pulso, el peso, el número de personas que viven en su ciudad y el número de estudiantes que cursan Estadística son ejemplos de datos cuantitativos. Los datos cuantitativos pueden ser discretos o continuos.
Todos los datos que son el resultado de contar se denominan datos discretos cuantitativos. Estos datos solo adoptan ciertos valores numéricos. Si cuenta el número de llamadas telefónicas que recibe cada día de la semana, puede obtener valores como cero, uno, dos o tres.
Los datos que no solo se componen de números para contar, sino que pueden incluir fracciones, decimales o números irracionales, se denominan datos cuantitativos continuos. Los datos continuos suelen ser el resultado de mediciones como longitudes, pesos o tiempos. Una lista de la duración en minutos de todas las llamadas telefónicas que realiza en una semana, con números como 2,4; 7,5; u 11,0, sería un dato cuantitativo continuo.
### Discusión de datos cualitativos
A continuación se muestran tablas que comparan el número de estudiantes a tiempo parcial y a tiempo completo en De Anza College y Foothill College inscritos para el trimestre de primavera de 2010. Las tablas muestran recuentos (frecuencias) y porcentajes o proporciones (frecuencias relativas). Las columnas de porcentajes facilitan la comparación de las mismas categorías en los institutos universitarios. Suele ser útil mostrar porcentajes junto con números, pero es especialmente importante cuando se comparan conjuntos de datos que no tienen los mismos totales, como las inscripciones totales de ambos institutos universitarios en este ejemplo. Observe que el porcentaje de estudiantes a tiempo parcial del Foothill College es mucho mayor que el del De Anza College.
Las tablas son una buena forma de organizar y mostrar datos. Pero los gráficos pueden ser aun más útiles para entender los datos. No hay reglas estrictas en cuanto a los gráficos que hay que utilizar. Dos gráficos que se utilizan para mostrar datos cualitativos son los gráficos circulares y los de barras.
En un gráfico circular las categorías de datos se representan mediante cuñas en un círculo y su tamaño es proporcional al porcentaje de personas de cada categoría.
En un gráfico de barras la longitud de la barra para cada categoría es proporcional al número o porcentaje de personas en cada categoría. Las barras pueden ser verticales u horizontales.
Un diagrama de Pareto está formado por barras que se ordenan por el tamaño de la categoría (de mayor a menor).
Observe la y la y determine qué gráfico (circular o de barras) cree que muestra mejor las comparaciones.
Es una buena idea observar una variedad de gráficos para ver cuál es el más útil para mostrar los datos. Según los datos y el contexto, podemos elegir el “mejor” gráfico. Nuestra elección también depende del uso que hagamos de los datos.
### Porcentajes que suman más (o menos) que el 100 %
A veces, los porcentajes suman más del 100 % (o menos del 100 %). En el gráfico, los porcentajes suman más del 100 % porque los estudiantes pueden estar en más de una categoría. Un gráfico de barras es apropiado para comparar el tamaño relativo de las categorías. No se puede utilizar un gráfico circular. Tampoco podía utilizarse si los porcentajes sumaban menos del 100 %.
### Omisión de categorías/falta de datos
La tabla muestra el origen étnico de los estudiantes pero falta la categoría “otros/desconocidos”. En esta categoría se ubican las personas que no se consideraron incluidas en ninguna de las categorías étnicas o que se negaron a responder. Observe que las frecuencias no suman el número total de estudiantes. En esta situación, cree un gráfico de barras y no un gráfico circular.
El siguiente gráfico es igual que el anterior, pero se ha incluido el porcentaje de “otros/desconocidos” (9,6 %). La categoría “otros/desconocidos” es grande en comparación con algunas de las otras categorías (nativos de Estados Unidos, 0,6 %, isleños del Pacífico, 1,0 %). Es importante saber esto cuando pensamos en lo que nos dicen los datos.
Este gráfico de barras particular en la puede ser difícil de entender visualmente. El gráfico de la es un diagrama de Pareto. El diagrama de Pareto tiene las barras ordenadas de mayor a menor y es más fácil de leer e interpretar.
### Gráficos circulares: no faltan datos
Los siguientes gráficos circulares incluyen la categoría “otros/desconocidos” (ya que los porcentajes deben sumar el 100 %). El gráfico en la (b) está organizado por el tamaño de cada porción, lo que lo convierte en un gráfico visualmente más informativo que el gráfico sin clasificar en la (a).
### Muestreo
Recopilar información sobre toda una población suele ser demasiado costoso o prácticamente imposible. En cambio, utilizamos una muestra de la población. Una muestra debe tener las mismas características que la población que representa. La mayoría de los estadísticos utilizan varios métodos de muestreo aleatorio para intentar alcanzar esta meta. En esta sección se describen algunos de los métodos más comunes. Existen varios métodos de muestreo aleatorio. En cada forma de muestreo aleatorio, cada miembro de una población tiene inicialmente la misma probabilidad de que lo seleccionen para la muestra. Cada método tiene sus pros y sus contras. El método más fácil de describir se llama muestra aleatoria simple. Cualquier grupo de n personas tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen que cualquier otro grupo de n personas si se utiliza la técnica de muestreo aleatorio simple. En otras palabras, cada muestra del mismo tamaño tiene la misma probabilidad de que la seleccionen. Por ejemplo, supongamos que Lisa quiere formar un grupo de estudio de cuatro personas (ella y otras tres) de su clase de precálculo, que tiene 31 miembros sin incluir a Lisa. Para elegir una muestra aleatoria simple de tamaño tres entre los demás miembros de su clase, Lisa podría poner los 31 nombres en un sombrero, agitar el sombrero, cerrar los ojos y elegir tres nombres. Una forma más tecnológica es que Lisa enumere primero los apellidos de los miembros de su clase junto con un número de dos dígitos, como en la :
Lisa puede utilizar una tabla de números aleatorios (que se encuentra en muchos libros de estadística y manuales de matemáticas), una calculadora o una computadora para generar números aleatorios. Para este ejemplo, supongamos que Lisa elige generar números aleatorios con una calculadora. Los números generados son los siguientes:
Lisa lee grupos de dos dígitos hasta que haya elegido tres miembros de la clase (es decir, lee 0,94360 como los grupos 94, 43, 36, 60). Cada número aleatorio solo puede aportar un miembro de la clase. De ser necesario, Lisa podría haber generado más números aleatorios.
Los números aleatorios 0,94360 y 0,99832 no contienen números de dos dígitos adecuados. Sin embargo, el tercer número aleatorio, 0,14669, contiene 14 (el cuarto número aleatorio también contiene 14), el quinto número aleatorio contiene 05 y el séptimo número aleatorio contiene 04. El número de dos dígitos 14 corresponde a Macierz, el 05 a Cuningham y el 04 a Cuarismo. Aparte de ella, el grupo de Lisa estará formado por Marcierz, Cuningham y Cuarismo.
Además del muestreo aleatorio simple, existen otras formas de muestreo que implican un proceso de azar para obtener la muestra. Otros métodos de muestreo aleatorio bien conocidos son la muestra estratificada, la muestra por conglomerados y la muestra sistemática.
Para seleccionar una muestra estratificada, hay que dividir la población en grupos llamados estratos y, a continuación, tomar un número proporcional de cada estrato. Por ejemplo, podría estratificar (agrupar) la población de su instituto universitario por departamentos y luego seleccionar una muestra aleatoria simple proporcional de cada estrato (cada departamento) para obtener una muestra aleatoria estratificada. Para seleccionar una muestra aleatoria simple de cada departamento, numere cada miembro del primer departamento, numere cada miembro del segundo departamento y haga lo mismo con los departamentos restantes. Luego, utilice un muestreo aleatorio simple para seleccionar números proporcionales del primer departamento y haga lo mismo con cada uno de los departamentos restantes. Esos números seleccionados del primer departamento y del segundo departamento, y así sucesivamente, representan los miembros que componen la muestra estratificada.
Para seleccionar una muestra por conglomerados hay que dividir la población en conglomerados (grupos) y luego seleccionar al azar algunos de los conglomerados. Todos los miembros de estos grupos están en la muestra por conglomerados. Por ejemplo, si toma una muestra aleatoria de cuatro departamentos de la población de su instituto universitario, los cuatro departamentos constituyen la muestra por conglomerados. Divida el profesorado de su instituto universitario por departamento. Los departamentos son los conglomerados. Numere cada departamento y, a continuación, elija cuatro números diferentes mediante un muestreo aleatorio simple. Todos los miembros de los cuatro departamentos con esos números son la muestra de conglomerado.
Para seleccionar una muestra sistemática, seleccione al azar un punto de partida y tome cada n.ª (enésima) pieza de datos de una lista de la población. Por ejemplo, supongamos que tiene que hacer una encuesta telefónica. Su directorio telefónico contiene 20.000 listas de residencias. Debe seleccionar 400 nombres para la muestra. Numere la población de 1 a 20.000 y luego utilice una muestra aleatoria simple para seleccionar un número que represente el primer nombre de la muestra. Luego, elija cada quincuagésimo nombre hasta que tenga un total de 400 nombres (puede que tenga que volver al principio de su lista de teléfonos). El muestreo sistemático se elige con frecuencia porque es un método sencillo.
Un tipo de muestreo que no es aleatorio es el muestreo de conveniencia. El muestreo de conveniencia implica el uso de resultados que están fácilmente disponibles. Por ejemplo, una tienda de softwares realiza un estudio de mercadeo mediante entrevistas con los clientes potenciales que se encuentran en la tienda mirando softwares disponibles. Los resultados del muestreo de conveniencia pueden ser muy buenos en algunos casos y muy sesgados (favorecer ciertos resultados) en otros.
El muestreo de datos debe hacerse con mucho cuidado. Recolectar datos sin cuidado puede causar resultados devastadores. Las encuestas enviadas por correo a los hogares y luego devueltas pueden estar muy sesgadas (pueden favorecer a un determinado grupo). Es mejor que la persona que realiza la encuesta seleccione la muestra de encuestados.
El muestreo aleatorio verdadero se realiza con reemplazo. Es decir, una vez que se selecciona un miembro, ese miembro vuelve a la población y, por tanto, lo pueden escoger más de una vez. Sin embargo, por razones prácticas, en la mayoría de las poblaciones el muestreo aleatorio simple se realiza sin reemplazo. Las encuestas suelen hacerse sin reemplazo. Es decir, un miembro de la población solo lo pueden seleccionar una vez. La mayoría de las muestras se toman de poblaciones grandes y la muestra tiende a ser pequeña en comparación con la población. En este caso, el muestreo sin reemplazo es, aproximadamente, igual al muestreo con reemplazo, ya que la probabilidad de seleccionar a la misma persona más de una vez con reemplazo es muy baja.
En una población universitaria de 10.000 personas, supongamos que se quiere seleccionar una muestra de 1.000 al azar para una encuesta. Para cualquier muestra particular de 1.000, si se hace un muestreo con reemplazo,
1. la probabilidad de seleccionar la primera persona es de 1.000 entre 10.000 (0,1000);
2. la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente para esta muestra es de 999 entre 10.000 (0,0999);
3. la probabilidad de volver a seleccionar a la misma persona es de 1 entre 10.000 (muy baja).
Si se trata de un muestreo sin reemplazo,
1. la probabilidad de seleccionar la primera persona para cualquier muestra específica es de 1.000 entre 10.000 (0,1000);
2. la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de 999 entre 9.999 (0,0999);
3. no se sustituye la primera persona antes de seleccionar la siguiente.
Compare las fracciones 999/10.000 y 999/9.999. Para lograr más exactitud, lleve las respuestas decimales a cuatro cifras. Con cuatro decimales, estos números son equivalentes (0,0999).
El muestreo sin reemplazo en vez del muestreo con reemplazo se convierte en una cuestión matemática solo cuando la población es pequeña. Por ejemplo, si la población es de 25 personas, la muestra es de diez y se realiza un muestreo con reemplazo para cualquier muestra particular, entonces la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de nueve entre 25 (se reemplaza la primera persona).
Si se hace una muestra sin reemplazo, la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar la segunda persona (que es diferente) es de nueve entre 24 (no se reemplaza la primera persona).
Compare las fracciones 9/25 y 9/24. Con cuatro decimales, 9/25 = 0,3600 y 9/24 = 0,3750. Con cuatro decimales, estos números no son equivalentes.
Al analizar los datos, es importante tener en cuenta los errores de muestreo y los errores ajenos al muestreo. El propio proceso de muestreo provoca errores de muestreo. Por ejemplo, la muestra puede no ser lo suficientemente grande. Los factores no relacionados con el proceso de muestreo provocan errores ajenos al muestreo. Un dispositivo de recuento defectuoso puede causar un error ajeno al muestreo.
En realidad, una muestra nunca será exactamente representativa de la población, por lo que siempre habrá algún error de muestreo. Por regla general, cuanto mayor sea la muestra, menor será el error de muestreo.
En estadística, se crea un sesgo de muestreo cuando se recopila una muestra de una población y algunos de sus miembros no tienen la misma probabilidad de que los seleccionen que otros (recuerde que cada miembro de la población debe tener la misma probabilidad de que lo seleccionen). Cuando se produce un sesgo de muestreo, se pueden extraer conclusiones incorrectas sobre la población que se está estudiando.
### Evaluación crítica
Tenemos que evaluar los estudios estadísticos que leemos de forma crítica y analizarlos antes de aceptar sus resultados. Los problemas más comunes que hay que tener en cuenta son:
1. Problemas con las muestras: una muestra debe ser representativa de la población. Una muestra que no es representativa de la población está sesgada. Las muestras sesgadas que no son representativas de la población dan resultados inexactos y no válidos.
2. Muestras autoseleccionadas: las respuestas de las personas que deciden responder, como las encuestas telefónicas, suelen ser poco fiables.
3. Problemas de tamaño de la muestra: las muestras demasiado pequeñas pueden ser poco fiables. Si es posible, las muestras más grandes son mejores. En algunas situaciones, es inevitable contar con muestras pequeñas y, aun así, se pueden usar para sacar conclusiones. Ejemplos: pruebas de choques de automóviles o pruebas médicas para detectar condiciones poco comunes.
4. Influencia indebida: recopilar datos o hacer preguntas de forma que influyan en la respuesta.
5. Falta de respuesta o negativa del sujeto a participar: las respuestas recogidas pueden dejar de ser representativas de la población. A menudo, personas con fuertes opiniones positivas o negativas pueden responder las encuestas, lo que puede afectar los resultados.
6. Causalidad: una relación entre dos variables no significa que una cause la otra. Pueden estar relacionadas (correlacionadas) debido a su relación a través de una variable diferente.
7. Estudios autofinanciados o de interés propio: estudio realizado por una persona u organización para respaldar su afirmación. ¿El estudio es imparcial? Lea atentamente el estudio para evaluar el trabajo. No asuma automáticamente que el estudio es bueno, pero tampoco asuma automáticamente que es deficiente. Valórelo por sus méritos y el trabajo realizado.
8. Uso engañoso de datos: gráficos mal presentados, datos incompletos o falta de contexto.
9. Confusión: cuando los efectos de múltiples factores sobre una respuesta no se pueden separar. Los factores de confusión dificultan o impiden sacar conclusiones válidas sobre el efecto de cada uno de ellos.
Si examinamos dos muestras que representen a la misma población, aunque utilicemos métodos de muestreo aleatorio para las muestras, no serán exactamente iguales. Al igual que hay variación en los datos, hay variación en las muestras. A medida que se acostumbre a la toma de muestras, la variabilidad empezará a parecer natural.
### Variación de los datos
La variación está presente en cualquier conjunto de datos. Por ejemplo, las latas de bebida de 16 onzas pueden contener más o menos de 16 onzas de líquido. En un estudio, se midieron ocho latas de 16 onzas y produjeron la siguiente cantidad (en onzas) de bebida:
Las medidas de la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas pueden variar porque diferentes personas hacen las mediciones o porque no se puso la cantidad exacta, 16 onzas de líquido, en las latas. Los fabricantes realizan regularmente pruebas para determinar si la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas está dentro del rango deseado.
Tenga en cuenta que, al tomar los datos, estos pueden variar en cierta medida con respecto a los datos que otra persona está tomando para el mismo fin. Esto es completamente natural. Sin embargo, si dos o más de ustedes toman los mismos datos y obtienen resultados muy diferentes, es hora de que usted y los demás reevalúen sus métodos de toma de datos y su exactitud.
### Variación en las muestras
Ya se ha mencionado anteriormente que dos o más muestras de la misma población, tomadas al azar y que se aproximen a las mismas características de la población serán probablemente diferentes entre sí. Supongamos que Doreen y Jung deciden estudiar la cantidad promedio de tiempo que los estudiantes de su instituto universitario duermen cada noche. Doreen y Jung toman cada uno muestras de 500 estudiantes. Doreen utiliza el muestreo sistemático y Jung el muestreo por conglomerados. La muestra de Doreen será diferente a la de Jung. Aunque Doreen y Jung utilizaran el mismo método de muestreo, con toda probabilidad sus muestras serían diferentes. Sin embargo, ninguno de los dos estaría equivocado.
Piense en lo que contribuye a que las muestras de Doreen y Jung sean diferentes.
Si Doreen y Jung tomaran muestras más grandes (es decir, el número de valores de los datos se incrementa), los resultados de su muestra (la cantidad promedio de tiempo que duerme un estudiante) podrían estar más cerca del promedio real de la población. Pero aun así, sus muestras serían, con toda probabilidad, diferentes entre sí. Nunca se insistirá lo suficiente en esta variabilidad en las muestras.
### Tamaño de la muestra
El tamaño de la muestra (a menudo llamado número de observaciones) es importante. Los ejemplos que ha visto en este libro hasta ahora han sido pequeños. Muestras de solo unos cientos de observaciones, o incluso más pequeñas, son suficientes para muchos propósitos. En los sondeos, las muestras que van de 1.200 a 1.500 observaciones se consideran suficientemente grandes y buenas si la encuesta es aleatoria y está bien hecha. Aprenderá por qué cuando estudie intervalos de confianza.
Tenga en cuenta que muchas muestras grandes están sesgadas. Por ejemplo, las encuestas con llamadas están invariablemente sesgadas porque la gente decide responder o no.
### Referencias
Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/default.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/methodology.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.gallup.com/poll/146822/gallup-healthways-index-questions.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Datos de http://www.bookofodds.com/Relationships-Society/Articles/A0374-How-George-Gallup-Picked-the-President
Dominic Lusinchi, “President’ Landon and the 1936 Literary Digest Poll: Were Automobile and Telephone Owners to Blame?” Social Science History 36, n.º 1: 23-54 (2012), http://ssh.dukejournals.org/content/36/1/23.abstract (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“The Literary Digest Poll,” Virtual Laboratories in Probability and Statistics http://www.math.uah.edu/stat/data/LiteraryDigest.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Gallup Presidential Election Trial-Heat Trends, 1936-2008”, Gallup Politics http://www.gallup.com/poll/110548/gallup-presidential-election-trialheat-trends-19362004.aspx#4 (consultado el 1.º de mayo de 2013).
The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/USCrime.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
LBCC Distance Learning (DL) program data in 2010-2011, http://de.lbcc.edu/reports/2010-11/future/highlights.html#focus (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Datos de The Mercury News de San José
### Repaso del capítulo
Los datos son elementos individuales de información que provienen de una población o muestra. Los datos se clasifican en cualitativos (categóricos), cuantitativos continuos o cuantitativos distintos.
Como no es práctico medir toda la población en un estudio, los investigadores utilizan muestras para representar a la población. Una muestra aleatoria es un grupo representativo de la población elegido mediante un método que da a cada persona de la población la misma oportunidad de que la incluyan en la muestra. Los métodos de muestreo aleatorio incluyen muestreo aleatorio simple, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados y muestreo sistemático. El muestreo de conveniencia es un método no aleatorio de elección de una muestra que suele producir datos sesgados.
Las muestras que contienen personas diferentes generan datos diferentes. Esto es así incluso cuando las muestras están bien elegidas y son representativas de la población. Cuando se seleccionan adecuadamente, las muestras más grandes modelan la población con más precisión que las más pequeñas. Hay muchos problemas potenciales que pueden afectar la fiabilidad de una muestra. Los datos estadísticos se deben analizar críticamente, no simplemente aceptarlos.
### Practica
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Se realizó un estudio para determinar la edad, el número de veces por semana y la duración (cantidad de tiempo) de los residentes que utilizan un parque local en San Antonio, Texas. Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y, a continuación, se entrevistó al residente de una de cada ocho casas del vecindario que rodea el parque.
Para los cuatro ejercicios siguientes, determine el tipo de muestreo utilizado (aleatorio simple, estratificado, sistemático, por conglomerados o de conveniencia).
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Las compañías farmacéuticas suelen realizar estudios para determinar la eficacia de un programa de tratamiento. Supongamos que se está estudiando un nuevo fármaco contra el sida. Se administra a los pacientes una vez que los síntomas del sida se han manifestado. Resulta interesante la duración promedio (media) de la vida de los pacientes, en meses, una vez iniciado el tratamiento. Dos investigadores siguen cada uno a un grupo diferente de 40 pacientes con SIDA desde el inicio del tratamiento hasta su muerte. Se recopilan los siguientes datos (en meses)
Investigador A: 3; 4; 11; 15; 16; 17; 22; 44; 37; 16; 14; 24; 25; 15; 26; 27; 33; 29; 35; 44; 13; 21; 22; 10; 12; 8; 40; 32; 26; 27; 31; 34; 29; 17; 8; 24; 18; 47; 33; 34
Investigador B: 3; 14; 11; 5; 16; 17; 28; 41; 31; 18; 14; 14; 26; 25; 21; 22; 31; 2; 35; 44; 23; 21; 21; 16; 12; 18; 41; 22; 16; 25; 33; 34; 29; 13; 18; 24; 23; 42; 33; 29
Use los siguientes datos para responder los próximos cinco ejercicios: Dos investigadores están recopilando datos sobre las horas de videojuegos que juegan los niños en edad escolar y los adultos jóvenes. Cada uno de ellos toma una muestra aleatoria de diferentes grupos de 150 estudiantes de la misma escuela. Recopilan los siguientes datos.
Use los siguientes datos para responder los próximos cinco ejercicios: Se han realizado un par de estudios para medir la eficacia de un nuevo software diseñado para ayudar a los pacientes que sufrieron un ictus a recuperar su capacidad de resolución de problemas. Se pidió a los pacientes que utilizaran el software dos veces al día, una por la mañana y otra por la noche. Los estudios observaron a 200 pacientes con ictus que se recuperaban durante un periodo de varias semanas. El primer estudio recopiló los datos en la . El segundo estudio recopiló los datos en la .
### TAREA PARA LA CASA
En los siguientes ejercicios identifique el tipo de datos que se utilizaría para describir una respuesta (cuantitativa discreta, cuantitativa continua o cualitativa) y dé un ejemplo de los datos.
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Se realizó un estudio para determinar la edad de los residentes que utilizan un parque local en San José y el número de veces por semana que van y la duración (cantidad de tiempo). Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y luego se entrevistó a una de cada 8.ª casa del vecindario que rodea el parque.
### Resúmalo todo
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# Muestreo y datos
## Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición
Una vez que tenga un conjunto de datos, tendrá que organizarlos para poder analizar la frecuencia con la que aparece cada dato en el conjunto. Sin embargo, al calcular la frecuencia, es posible que tenga que redondear sus respuestas para que sean lo más precisas posible.
### Respuestas y redondeo
Una forma sencilla de redondear las respuestas es llevar la respuesta final a un decimal más de los que aparecen en los datos originales. Redondee solo la respuesta final. Si es posible, no redondee los resultados intermedios. Si es necesario redondear los resultados intermedios, llévelos al menos al doble de decimales que la respuesta final. Por ejemplo, el promedio de las tres puntuaciones de un cuestionario que son cuatro, seis y nueve es 6,3, redondeada a la décima más cercana, porque los datos son números enteros. La mayoría de las respuestas se redondearán de esta manera.
No es necesario reducir la mayoría de las fracciones en este curso. Especialmente en Temas de probabilidad, el capítulo sobre la probabilidad, es más útil dejar las respuestas como fracciones no reducidas.
### Niveles de medición
La forma de medir un conjunto de datos se denomina nivel de medición. Los procedimientos estadísticos correctos dependen de que el investigador esté familiarizado con los niveles de medición. No todas las operaciones estadísticas se pueden usar con todos los conjuntos de datos. Los datos se pueden clasificar en cuatro niveles de medición. Son (de menor a mayor nivel):
1. Nivel de escala nominal
2. Nivel de escala ordinal
3. Nivel de escala de intervalos
4. Nivel de escala de cociente
Los datos que se miden mediante una escala nominal son cualitativos (categóricos). Categorías, colores, nombres, etiquetas y alimentos favoritos junto con las respuestas de sí o no son ejemplos de datos de nivel nominal. Los datos de escala nominal no están ordenados. Por ejemplo, intentar clasificar a las personas según su comida favorita no tiene ningún sentido. Poner la pizza en primer lugar y el sushi en segundo no tiene sentido.
Las compañías de teléfonos inteligentes son otro ejemplo de datos de escala nominal. Los datos son los nombres de las compañías que fabrican teléfonos inteligentes, pero no hay un orden consensuado de estas marcas, aunque la gente pueda tener preferencias personales. Los datos de escala nominal no se pueden usar en cálculos.
Los datos que se miden con una escala ordinal son similares a los datos de la escala nominal, pero hay una gran diferencia. Los datos de la escala ordinal se pueden ordenar. Un ejemplo de datos de escala ordinal es una lista de los cinco mejores parques nacionales de Estados Unidos. Los cinco principales parques nacionales de Estados Unidos se pueden clasificar del uno al cinco, pero no podemos medir las diferencias entre los datos.
Otro ejemplo de uso de la escala ordinal es una encuesta sobre un crucero en la que las respuestas son “excelente”, “bueno”, “satisfactorio” e “insatisfactorio”. Estas respuestas están ordenadas de la respuesta más deseada a la menos deseada. Pero las diferencias entre dos datos no se pueden medir. Al igual que los datos de la escala nominal, los datos de la escala ordinal no se pueden usar en cálculos.
Los datos que se miden con la escala de intervalos son similares a los datos de nivel ordinal porque tienen un orden definido, pero hay una diferencia entre los datos. Las diferencias entre los datos de la escala de intervalos se pueden medir aunque los datos no tengan un punto de partida.
Las escalas de temperatura como Celsius (C) y Fahrenheit (F) se miden utilizando la escala de intervalos. En ambas medidas de temperatura, 40° es igual a 100° menos 60°. Las diferencias tienen sentido. Pero los 0 grados no porque, en ambas escalas, el 0 no es la temperatura mínima absoluta. Existen temperaturas como –10 °F y –15 °C que son más frías que el 0.
Los datos a nivel de intervalo pueden utilizarse en cálculos, pero no se puede hacer un tipo de comparación. 80 °C no es cuatro veces más caliente que 20 °C (ni 80 °F es cuatro veces más caliente que 20 °F). El cociente de 80 a 20 (o de cuatro a uno) no tiene sentido.
Los datos que se miden con la escala de cociente se encargan del problema de las proporciones y ofrecen más información. Los datos de la escala de cociente son como los datos de la escala de intervalos, pero tienen un punto 0 y se pueden calcular cocientes. Por ejemplo, las calificaciones de cuatro exámenes finales de Estadística de opción múltiple son 80, 68, 20 y 92 (sobre 100 puntos posibles). Los exámenes son calificados por máquina.
Los datos se pueden ordenar de menor a mayor: 20, 68, 80, 92.
Las diferencias entre los datos tienen un significado. La calificación de 92 es superior a la de 68 por 24 puntos. Se pueden calcular cocientes. La calificación más baja es 0. Así que 80 es cuatro veces 20. La calificación de 80 es cuatro veces mejor que la de 20.
### Frecuencia
Se les preguntó a veinte estudiantes cuántas horas trabajaban al día. Sus respuestas, en horas, son las siguientes: .
La enumera los diferentes valores de los datos en orden ascendente y sus frecuencias.
Una frecuencia es el número de veces que se produce un valor de los datos. Según la , hay tres estudiantes que trabajan dos horas, cinco estudiantes que trabajan tres horas y así sucesivamente. La suma de los valores de la columna de frecuencia, 20, representa el número total de estudiantes incluidos en la muestra.
Una frecuencia relativa es el cociente (fracción o proporción) entre el número de veces que se produce un valor de los datos en el conjunto de todos los resultados y el número total de resultados. Para hallar las frecuencias relativas, divida cada frecuencia entre el número total de estudiantes de la muestra, en este caso, 20. Las frecuencias relativas se pueden escribir como fracciones, porcentajes o decimales.
La suma de los valores de la columna de frecuencia relativa de la es
, o 1.
La frecuencia relativa acumulada es la acumulación de las frecuencias relativas anteriores. Para hallar las frecuencias relativas acumuladas se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual, como se muestra en la .
La última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada es uno, lo que indica que se ha acumulado el cien por ciento de los datos.
La representa las alturas, en pulgadas, de una muestra de 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales.
Los datos de esta tabla se han agrupado en los siguientes intervalos:
1. de 59,95 a 61,95 pulgadas
2. de 61,95 a 63,95 pulgadas
3. de 63,95 a 65,95 pulgadas
4. de 65,95 a 67,95 pulgadas
5. de 67,95 a 69,95 pulgadas
6. de 69,95 a 71,95 pulgadas
7. de 71,95 a 73,95 pulgadas
8. de 73,95 a 75,95 pulgadas
En esta muestra hay cinco jugadores cuyas alturas están dentro del intervalo de 59,95 a 61,95 pulgadas, tres dentro del intervalo de 61,95 a 63,95 pulgadas, 15 dentro del intervalo de 63,95 a 65,95 pulgadas, 40 dentro del intervalo de 65,95 a 67,95 pulgadas, 17 dentro del intervalo de 67,95 a 69,95 pulgadas, 12 jugadores dentro del intervalo de 69,95 a 71,95, siete dentro del intervalo de 71,95 a 73,95 y un jugador cuya altura está dentro del intervalo de 73,95 a 75,95. Todas las alturas caen entre los puntos finales de un intervalo y no en los puntos finales.
### Referencias
“State & County QuickFacts”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/download_data.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“State & County QuickFacts: Quick, easy access to facts about people, business, and geography”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/index.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Table 5: Direct hits by mainland United States Hurricanes (1851-2004)”, National Hurricane Center, http://www.nhc.noaa.gov/gifs/table5.gif (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Levels of Measurement”, http://infinity.cos.edu/faculty/woodbury/stats/tutorial/Data_Levels.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Courtney Taylor, “Levels of Measurement”, about.com, http://statistics.about.com/od/HelpandTutorials/a/Levels-Of-Measurement.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013).
David Lane. “Levels of Measurement”, Connexions, http://cnx.org/content/m10809/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Algunos cálculos generan números que son artificialmente precisos. No es necesario informar de un valor con ocho decimales cuando las medidas que generaron ese valor solo eran precisas hasta la décima más cercana. Redondee su respuesta final con un decimal más de los que había en los datos originales. Esto significa que si tiene datos medidos a la décima más cercana de una unidad, presente la estadística final a la centésima más cercana.
Además de redondear sus respuestas, puede medir sus datos utilizando los siguientes cuatro niveles de medición.
1. Nivel de escala nominal: datos que no se pueden ordenar ni usar en cálculos
2. Nivel de escala ordinal: datos que se pueden ordenar; las diferencias no se pueden medir
3. Nivel de escala de intervalos: datos con un orden definido pero sin punto de partida; las diferencias se pueden medir, pero no como si fuera un cociente.
4. Nivel de escala de cociente: datos con un punto de partida que se puede ordenar; las diferencias tienen significado y se pueden calcular cocientes.
Al organizar los datos, es importante saber cuántas veces aparece un valor. ¿Cuántos estudiantes de Estadística estudian cinco horas o más para un examen? ¿Qué porcentaje de familias de nuestra manzana tiene dos mascotas? La frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada son medidas que responden preguntas como estas.
### TAREA PARA LA CASA
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: la contiene datos sobre los huracanes que han impactado directamente a EE. UU. entre 1851 y 2004. Un huracán recibe una categoría de fuerza basada en la velocidad mínima del viento generada por la tormenta. |
# Muestreo y datos
## Diseño experimental y ética
¿La aspirina reduce el riesgo de infarto? ¿Una marca de abono es más eficaz para el cultivo de rosas que otra? ¿El cansancio es tan peligroso para un conductor como la influencia del alcohol? Este tipo de preguntas se responden con experimentos aleatorios. En este módulo aprenderá aspectos importantes del diseño experimental. Un diseño adecuado del estudio garantiza la obtención de datos fiables y precisos.
El propósito de un experimento es investigar la relación entre dos variables. Cuando una variable provoca un cambio en otra, llamamos a la primera variable la variable explicativa. La variable afectada se denomina variable de respuesta. En un experimento aleatorio, el investigador manipula los valores de la variable explicativa y mide los cambios resultantes en la variable de respuesta. Los diferentes valores de la variable explicativa se denominan tratamientos. Una unidad experimental es un único objeto o persona que se va a medir.
Quiere investigar la eficacia de la vitamina E en la prevención de enfermedades. Usted recluta a un grupo de sujetos y les pregunta si toman regularmente vitamina E. Observa que los sujetos que toman vitamina E, en promedio, presentan una salud mejor que quienes no la toman. ¿Esto prueba que la vitamina E es eficaz en la prevención de enfermedades? No es así. Hay muchas diferencias entre los dos grupos comparados, además del consumo de vitamina E. Las personas que toman vitamina E con regularidad suelen tomar otras medidas para mejorar su salud: ejercicio, dieta, otros suplementos vitamínicos, elección de no fumar, etc. Cualquiera de estos factores podría estar influyendo en la salud. Como se ha descrito, este estudio no demuestra que la vitamina E sea la clave para la prevención de enfermedades.
Las variables adicionales que pueden enturbiar un estudio se denominan variables ocultas. Para demostrar que la variable explicativa provoca un cambio en la variable de respuesta, es necesario aislar la variable explicativa. La investigadora debe diseñar su experimento de forma que solo haya una diferencia entre los grupos que se comparan: los tratamientos previstos. Esto se consigue mediante la asignación aleatoria de unidades experimentales a grupos de tratamiento. Cuando los sujetos se asignan a los tratamientos de forma aleatoria, todas las variables ocultas potenciales se reparten por igual entre los grupos. En este punto, la única diferencia entre los grupos es la impuesta por el investigador. Los diferentes resultados medidos en la variable de respuesta, por tanto, deben ser una consecuencia directa de los diferentes tratamientos. De este modo, un experimento puede demostrar una conexión causa-efecto entre las variables explicativas y las de respuesta.
El poder de la sugestión puede tener una importante influencia en el resultado de un experimento. Los estudios han demostrado que la expectativa del participante en el estudio puede ser tan importante como el medicamento real. En un estudio sobre fármacos que mejoran el desempeño, los investigadores señalaron:
Los resultados mostraron que creer que se había tomado la sustancia provocaba tiempos de [desempeño] casi tan rápidos como los asociados al consumo del propio fármaco. Por el contrario, la toma del fármaco sin conocimiento no produjo un aumento significativo del desempeño.McClung, M. Collins, D. “Because I know it will!”: placebo effects of an ergogenic aid on athletic performance. Journal of Sport & Exercise Psychology. Junio de 2007. 29(3):382-94. Web. 30 de abril de 2013.
Cuando la participación en un estudio provoca una respuesta física del participante, es difícil aislar los efectos de la variable explicativa. Para contrarrestar el poder de la sugestión, los investigadores reservaron un grupo de tratamiento como grupo de control. Este grupo recibe un tratamiento placebo, es decir, un tratamiento que no puede influir en la variable de respuesta. El grupo de control ayuda a los investigadores a equilibrar los efectos de estar en un experimento con los efectos de los tratamientos activos. Por supuesto, si usted participa en un estudio y sabe que está recibiendo una píldora que no contiene ningún medicamento real, entonces el poder de la sugestión ya no es un factor. Que un experimento aleatorio sea ciego preserva el poder de la sugestión. Cuando una persona participa en un estudio de investigación ciego, no sabe quién recibe el tratamiento activo y quién el placebo. Un experimento doble ciego es aquel en el que tanto los sujetos como los investigadores que participan en él no conocen la información del fármaco.
### Ética
El mal uso y la tergiversación generalizados de la información estadística suelen dar mala fama a este campo. Algunos dicen que "los números no mienten", pero las personas que utilizan los números para apoyar sus afirmaciones a menudo lo hacen.
Una reciente investigación sobre el famoso psicólogo social Diederik Stapel ha llevado a la retractación de sus artículos en algunas de las principales revistas del mundo, como Journal of Experimental Social Psychology, Social Psychology, Basic and Applied Social Psychology, British Journal of Social Psychology y la revista Science. Diederik Stapel es un antiguo profesor de la Universidad de Tilburg (Países Bajos). En los últimos dos años, una amplia investigación en la que han participado tres universidades en las que ha trabajado Stapel ha concluido que el psicólogo es culpable de un fraude a escala colosal. Los datos falsificados contaminaron más de 55 artículos de su autoría y 10 tesis doctorales que supervisó.
Stapel no negó que su engaño estuviera motivado por la ambición. Pero me dijo que era más complicado que eso. Insistió en que le encantaba la psicología social, pero que se sentía frustrado por el desorden de los datos experimentales, que rara vez conducían a conclusiones claras. Su obsesión de toda la vida por la elegancia y el orden, según él, le llevó a inventar resultados sexys que las revistas encontraban atractivos. "Era una búsqueda de la estética, de la belleza, en lugar de la verdad", dijo. Describió su comportamiento como una adicción que le llevaba a realizar actos de fraude cada vez más atrevidos, como un drogadicto que busca un estímulo mayor y mejor.
La comisión que investiga a Stapel concluyó que es culpable de varias prácticas, entre ellas
1. crear conjuntos de datos, que confirmaron en gran medida las expectativas previas,
2. alterar los datos de los conjuntos de datos existentes,
3. cambiar los instrumentos de medición sin informar del cambio, y
4. tergiversar el número de sujetos experimentales.
Está claro que nunca es aceptable falsear los datos de la forma en que lo hizo este investigador. Sin embargo, a veces las violaciones de la ética no son tan fáciles de detectar.
Los investigadores tienen la responsabilidad de verificar que se siguen los métodos adecuados. El informe que describe la investigación del fraude de Stapel afirma que "los fallos estadísticos revelaron con frecuencia una falta de familiaridad con las estadísticas elementales”.“Flawed Science: The Fraudulent Research Practices of Social Psychologist Diederik Stapel", Universidad de Tillburg, 28 de noviembre de 2012, http://www.tilburguniversity.edu/upload/064a10cd-bce5-4385-b9ff-05b840caeae6_120695_Rapp_nov_2012_UK_web.pdf (consultado el 1 de mayo de 2013). Muchos de los coautores de Stapel deberían haber detectado irregularidades en sus datos. Desgraciadamente, no sabían mucho de análisis estadístico y se limitaban a confiar en que recopilaba y comunicaba los datos correctamente.
Muchos tipos de fraude estadístico son difíciles de detectar. Algunos investigadores simplemente dejan de recopilar datos una vez que tienen los suficientes para demostrar lo que esperaban comprobar. No quieren arriesgarse a que un estudio más extenso les complique la vida produciendo datos que contradigan su hipótesis.
Las organizaciones profesionales, como la American Statistical Association, definen claramente las expectativas de los investigadores. Incluso hay leyes en el código federal sobre el uso de datos de investigación.
Cuando un estudio estadístico utiliza participantes humanos, como en los estudios médicos, tanto la ética como la ley dictan que los investigadores deben tener en cuenta la seguridad de sus sujetos de investigación. El Departamento de Salud y Servicios Humanos de EE. UU. supervisa la normativa federal de los estudios de investigación con el objetivo de proteger a los participantes. Cuando una universidad u otra institución de investigación se dedica a la investigación, debe garantizar la seguridad de todos los sujetos humanos. Por esta razón, las instituciones de investigación establecen comités de supervisión conocidos como Juntas de Revisión Institucional (Institutional Review Boards, IRB). Todos los estudios previstos deben ser aprobados previamente por la IRB. Entre las principales protecciones que impone la ley se encuentran las siguientes:
1. Los riesgos para los afiliados deben ser mínimos y razonables con respecto a los beneficios previstos.
2. Los participantes deben dar su consentimiento informado. Esto significa que los riesgos de la participación deben explicarse claramente a los sujetos del estudio. Los sujetos deben dar su consentimiento por escrito y los investigadores están obligados a conservar la documentación de su consentimiento.
3. Los datos recogidos de las personas deben ser custodiados cuidadosamente para proteger su privacidad.
Estas ideas pueden parecer fundamentales, pero pueden ser muy difíciles de verificar en la práctica. ¿Es suficiente eliminar el nombre de un participante del registro de datos para proteger la privacidad? Tal vez se pueda descubrir la identidad de la persona a partir de los datos que quedan. ¿Qué ocurre si el estudio no se desarrolla como estaba previsto y surgen riesgos que no se habían considerado? ¿Cuándo es realmente necesario el consentimiento informado? Supongamos que su médico quiere una muestra de sangre para comprobar su nivel de colesterol. Una vez analizada la muestra, espera que el laboratorio se deshaga de la sangre restante. En ese momento la sangre se convierte en un residuo biológico. ¿Tiene un investigador derecho a tomarla para utilizarla en un estudio?
Es importante que los estudiantes de Estadística dediquen tiempo a considerar las cuestiones éticas que surgen en los estudios estadísticos. ¿Cuál es la prevalencia del fraude en los estudios estadísticos? Puede que se sorprenda y se decepcione. Existe un sitio web dedicado a catalogar las retractaciones de artículos de estudios que se han demostrado fraudulentos. Un rápido vistazo mostrará que el mal uso de las estadísticas es un problema más grande de lo que la mayoría de la gente cree.
La vigilancia contra el fraude requiere conocimientos. El aprendizaje de la teoría básica de la estadística le capacitará para analizar críticamente los estudios estadísticos.
### Referencias
“Vitamin E and Health”, Nutrition Source, Harvard School of Public Health, http://www.hsph.harvard.edu/nutritionsource/vitamin-e/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Stan Reents. “Don’t Underestimate the Power of Suggestion,” athleteinme.com, http://www.athleteinme.com/ArticleView.aspx?id=1053 (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Ankita Mehta. “Daily Dose of Aspiring Helps Reduce Heart Attacks: Study,” International Business Times, 21 de julio de 2011. También disponible en línea en http://www.ibtimes.com/daily-dose-aspirin-helps-reduce-heart-attacks-study-300443 (consultado el 1.º de mayo de 2013).
The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/ScentsandLearning.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
M. L. Jacskon et al., “Cognitive Components of Simulated Driving Performance: Sleep Loss effect and Predictors”, Accident Analysis and Prevention Journal, Enero n.º 50 (2013), http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/22721550 (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Earthquake Information by Year”, U.S. Geological Survey. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqarchives/year/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“Fatality Analysis Report Systems (FARS) Encyclopedia”, National Highway Traffic and Safety Administration. http://www-fars.nhtsa.dot.gov/Main/index.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Datos de www.businessweek.com (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Datos de www.forbes.com (consultado el 1.º de mayo de 2013).
“America’s Best Small Companies”, http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).
U.S. Department of Health and Human Services, Code of Federal Regulations Title 45 Public Welfare Department of Health and Human Services Part 46 Protection of Human Subjects, revisado el 15 de enero de 2009. Section 46.111:Criteria for IRB Approval of Research.
“April 2013 Air Travel Consumer Report”, U.S. Department of Transportation, 11 de abril (2013), http://www.dot.gov/airconsumer/april-2013-air-travel-consumer-report (consultado el 1.º de mayo de 2013).
Lori Alden, “Statistics can be Misleading”, econoclass.com, http://www.econoclass.com/misleadingstats.html (consultado el 1.º de mayo de 2013).
María de los A. Medina, “Ethics in Statistics”, basado en “Building an Ethics Module for Business, Science, and Engineering Students” de José A. Cruz-Cruz y William Frey, Connexions, http://cnx.org/content/m15555/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Un estudio de diseño deficiente no producirá datos fiables. Hay ciertos componentes clave que deben incluirse en cada experimento. Para eliminar las variables ocultas los sujetos deben ser asignados aleatoriamente a diferentes grupos de tratamiento. Uno de los grupos debe actuar como grupo de control, con lo que se demuestra lo que ocurre cuando no se aplica el tratamiento activo. Los participantes del grupo de control reciben un tratamiento placebo que es exactamente igual a los tratamientos activos, pero que no puede influir en la variable de respuesta. Para preservar la integridad del placebo, tanto los investigadores como los sujetos pueden estar sin conocimiento del fármaco. Cuando un estudio se diseña correctamente la única diferencia entre los grupos de tratamiento es la impuesta por el investigador. Por lo tanto, cuando los grupos responden de forma diferente a los distintos tratamientos, la diferencia debe ser por la influencia de la variable explicativa.
“Un problema de ética surge cuando se plantea una acción que le beneficia a usted o a alguna causa que apoya, perjudica o reduce los beneficios de otras personas y viola alguna norma” (Andrew Gelman, “Open Data and Open Methods”, Ethics and Statistics, http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/ChanceEthics1.pdf [consultado el 1.º de mayo de 2013]). Las violaciones de la ética en las estadísticas no siempre son fáciles de detectar. Asociaciones profesionales y agencias federales publican directrices sobre la conducta adecuada. Es importante que aprenda los procedimientos estadísticos básicos para que pueda reconocer un análisis de datos adecuado.
### TAREA PARA LA CASA
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# Estadística descriptiva
## Introducción
Una vez que haya recopilado los datos, ¿qué hará con ellos? Los datos se pueden describir y presentar en muchos formatos diferentes. Por ejemplo, supongamos que está interesado en comprar una casa en una zona determinada. Es posible que no tenga ni idea de los precios de las viviendas, por lo que puede pedirle a su agente inmobiliario que le dé un conjunto de datos de muestra de los precios. Mirar todos los precios de la muestra suele ser abrumador. Una mejor forma sería observar la mediana del precio y la variación de los precios. La mediana y la variación son solo dos formas que aprenderá para describir los datos. Su agente también puede proporcionarle un gráfico de los datos.
En este capítulo estudiará las formas numéricas y gráficas de describir y mostrar sus datos. Esta área de la estadística se llama “Estadística Descriptiva”. Aprenderá a calcular y, lo que es más importante, a interpretar estas medidas y gráficos.
Un gráfico estadístico es una herramienta que ayuda a conocer la forma o la distribución de una muestra o de una población. Un gráfico puede ser una forma más eficaz de presentar los datos que una masa de números porque podemos ver dónde se agrupan los datos y dónde hay solo unos pocos valores de datos. Los periódicos e internet utilizan gráficos para mostrar tendencias y permitir a los lectores comparar rápidamente datos y cifras. Los estadísticos suelen hacer primero un gráfico de los datos para hacerse una idea de lo que arrojan. Luego, se pueden aplicar herramientas más formales.
Algunos de los tipos de gráficos que se utilizan para resumir y organizar los datos son el diagrama de puntos, el gráfico de barras, el histograma, el diagrama de tallo y hojas, el polígono de frecuencias (un tipo de gráfico de líneas discontinuas), el gráfico circular y el diagrama de caja. En este capítulo veremos brevemente gráficos de tallo y hoja, gráficos de líneas y gráficos de barras, así como polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales. Haremos hincapié en los histogramas y los diagramas de caja. |
# Estadística descriptiva
## Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras
Un gráfico sencillo, el gráfico de tallo y hoja o gráfico de tallo, procede del campo del análisis exploratorio de datos. Es una buena opción cuando los conjuntos de datos son pequeños. Para crear el gráfico, divida cada observación de datos en un tallo y una hoja. La hoja consta de un último dígito significativo. Por ejemplo, 23 tiene el tallo dos y la hoja tres. El número 432 tiene el tallo 43 y la hoja dos. Asimismo, el número 5.432 tiene el tallo 543 y la hoja dos. El decimal 9,3 tiene el tallo nueve y la hoja tres. Escriba los tallos en una línea vertical de menor a mayor. Dibuje una línea vertical a la derecha de los tallos. Luego, escriba las hojas en orden creciente junto a su correspondiente tallo.
El diagrama de tallo es una forma rápida de representar datos gráficamente y ofrece una imagen exacta de la información. Hay que buscar un patrón general y los valores atípicos. Un valor atípico es una observación de datos que no se ajusta al resto de los datos. A veces se le llama valor extremo. Cuando grafique un valor atípico parecerá que no se ajusta al patrón del gráfico. Algunos valores atípicos se deben a errores (por ejemplo, anotar 50 en vez de 500), mientras que otros pueden indicar que está ocurriendo algo inusual. Para explicar los valores atípicos se necesita información de fondo, por lo que los trataremos con más detalle más adelante.
Otro tipo de gráfico que resulta útil para valores de datos específicos es el gráfico de líneas. En el gráfico de líneas en particular que se muestra en el , el eje (eje horizontal) está formado por los valores de los datos y el eje (eje vertical) por puntos de frecuencia. Los puntos de frecuencia se conectan mediante segmentos de la línea.
Los gráficos de barras están formados por barras separadas entre sí. Las barras pueden ser rectángulos o recuadros rectangulares (usados en representaciones tridimensionales), y pueden ser verticales u horizontales. El gráfico de barras que se muestra en el tiene los grupos de edad representados en el eje y las proporciones en el eje .
### Referencias
Burbary, Ken. Facebook Demographics Revisited–2001 Statistics, 2011. Disponible en línea en http://www.kenburbary.com/2011/03/facebook-demographics-revisited-2011-statistics-2/ (consultado el 21 de agosto de 2013).
“9th Annual AP Report to the Nation”. CollegeBoard, 2013. Disponible en línea en http://apreport.collegeboard.org/goals-and-findings/promoting-equity (consultado el 13 de septiembre de 2013).
“Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013).
### Repaso del capítulo
Un gráfico de tallo y hoja es una forma de representar los datos y observar la distribución. En un gráfico de tallo y hoja todos los valores de los datos de una clase son visibles. La ventaja de un gráfico de tallo y hoja es que se enumeran todos los valores, a diferencia de un histograma, que da clases de valores de datos. Un gráfico de líneas se suele usar para representar un conjunto de valores de datos en los que una cantidad varía con el tiempo. Estos gráficos son útiles para hallar tendencias. Es decir, hallar un patrón general en conjuntos de datos que incluyan temperatura, ventas, empleo, ganancias o costos de la compañía durante un periodo. Un gráfico de barras es un gráfico que utiliza barras horizontales o verticales para mostrar comparaciones entre categorías. Un eje del gráfico muestra las categorías específicas que se comparan, y el otro eje representa un valor discreto. Algunos gráficos de barras presentan las barras agrupadas en grupos de más de uno (gráficos de barras agrupados), y otros muestran las barras divididas en subpartes para mostrar el efecto acumulativo (gráficos de barras apilados). Los gráficos de barras son especialmente útiles cuando se utilizan datos categóricos.
Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos, cree un gráfico de tallo e identifique los valores atípicos.
Para los tres ejercicios siguientes utilice los datos para construir un gráfico de líneas.
### Tarea para la casa
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# Estadística descriptiva
## Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales
Para la mayor parte del trabajo que se realiza en este libro se utilizará un histograma para mostrar los datos. Una de las ventajas de un histograma es que puede mostrar fácilmente grandes conjuntos de datos. Una regla general es utilizar un histograma cuando el conjunto de datos consta de 100 valores o más.
Un histograma está formado por recuadros contiguos (adyacentes). Tiene un eje horizontal y otro vertical. El eje horizontal está identificado con lo que representan los datos (por ejemplo, la distancia de su casa a la escuela). El eje vertical está identificado como frecuencia o frecuencia relativa (o porcentaje de frecuencia o probabilidad). El gráfico tendrá la misma forma con cualquiera de las dos etiquetas. El histograma (al igual que el diagrama de tallo) puede darle la forma de los datos, el centro y la dispersión de los datos.
La frecuencia relativa es igual a la frecuencia de un valor observado de los datos dividida por el número total de valores de datos de la muestra. (Recuerde que la frecuencia se define como el número de veces que se produce una respuesta). Si:
1. f = frecuencia
2. n = número total de valores de datos (o la suma de las frecuencias individuales) y
3. RF = frecuencia relativa,
entonces:
Por ejemplo, si tres estudiantes de la clase de Inglés del Sr. Ahab compuesta por 40 estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %, entonces, f = 3, n = 40 y RF = = = 0,075. El 7,5 % de los estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %. Del 90 % al 100 % son medidas cuantitativas.
Para construir un histograma, primero hay que decidir cuántas barras o intervalos (también llamados clases) representan los datos. Muchos histogramas constan de cinco a 15 barras o clases para mayor claridad. Hay que elegir el número de barras. Elija un punto de partida para que el primer intervalo sea menor que el valor más pequeño de los datos. Un punto de partida conveniente es un valor inferior llevado a un decimal más que el valor con más decimales. Por ejemplo, si el valor con más decimales es 6,1 y este es el valor más pequeño, un punto de partida conveniente es 6,05 (6,1 – 0,05 = 6,05). Decimos que 6,05 tiene más precisión. Si el valor con más decimales es 2,23 y el valor más bajo es 1,5, un punto de partida conveniente es 1,495 (1,5 – 0,005 = 1,495). Si el valor con más decimales es 3,234 y el valor más bajo es 1,0, un punto de partida conveniente es 0,9995 (1,0 – 0,0005 = 0,9995). Si todos los datos son enteros y el valor más pequeño es dos, un punto de partida conveniente es 1,5 (2 – 0,5 = 1,5). Además, cuando el punto de partida y otros límites se llevan a un decimal adicional, ningún valor de los datos caerá en un límite. Los dos siguientes ejemplos detallan cómo construir un histograma utilizando datos continuos y cómo crear un histograma utilizando datos discretos.
### Polígonos de frecuencia
Los polígonos de frecuencias son análogos a los gráficos de líneas y, al igual que los gráficos de líneas facilitan la interpretación visual de los datos continuos, también lo hacen los polígonos de frecuencias.
Para construir un polígono de frecuencias, primero hay que examinar los datos y decidir el número de intervalos, o intervalos de clase, que se van a utilizar en los ejes x y y. Después de elegir los rangos apropiados, comience a trazar los puntos de datos. Después de trazar todos los puntos, dibuje segmentos de línea para conectarlos.
Los polígonos de frecuencia son útiles para comparar distribuciones. Esto se consigue superponiendo los polígonos de frecuencia dibujados para diferentes conjuntos de datos.
Supongamos que queremos estudiar el rango de temperaturas de una región durante todo un mes. Todos los días a mediodía anotamos la temperatura y la anotamos en un registro. Con estos datos se podrían realizar diversos estudios estadísticos. Podemos hallar la media o la mediana de la temperatura del mes. Podemos construir un histograma que muestre el número de días en que las temperaturas alcanzan un determinado rango de valores. Sin embargo, todos estos métodos ignoran una parte de los datos que hemos recopilado.
Una característica de los datos que podemos considerar es la del tiempo. Dado que cada fecha se empareja con la lectura de la temperatura del día, no tenemos que pensar que los datos son aleatorios. En cambio, podemos utilizar los tiempos indicados para imponer un orden cronológico a los datos. Un gráfico que reconoce esta ordenación y muestra la evolución de la temperatura a medida que avanza el mes se denomina gráfico de series temporales.
### Construcción de un gráfico de series temporales
Para construir un gráfico de series temporales debemos observar las dos partes de nuestro conjunto de datos emparejados. Comenzamos con un sistema de coordenadas cartesianas estándar. El eje horizontal se utiliza para trazar la fecha o los incrementos de tiempo, y el eje vertical se utiliza para trazar los valores de la variable que estamos midiendo. De este modo, hacemos que cada punto del gráfico corresponda a una fecha y a una cantidad medida. Los puntos del gráfico suelen estar conectados por líneas rectas en el orden en que se producen.
### Usos de un gráfico de series temporales
Los gráficos de series temporales son herramientas importantes en diversas aplicaciones de la estadística. Cuando se registran los valores de una misma variable durante un largo periodo, a veces, es difícil discernir cualquier tendencia o patrón. Sin embargo, una vez que los mismos puntos de datos se muestran gráficamente, algunas características saltan a la vista. Los gráficos de series temporales facilitan la detección de tendencias.
### Referencias
Datos sobre los homicidios anuales en Detroit, 1961-1973, extraídos del libro de Gunst & Mason: “Regression Analysis and its Application”, Marcel Dekker
“Timeline: Guide to the U.S. Presidents: Information on every president’s birthplace, political party, term of office, and more”. Scholastic, 2013. Disponible en línea en http://www.scholastic.com/teachers/article/timeline-guide-us-presidents (consultado el 3 de abril de 2013).
“Presidents”. Fact Monster. Pearson Education, 2007. Disponible en línea en http://www.factmonster.com/ipka/A0194030.html (consultado el 3 de abril de 2013).
“Food Security Statistics”. Food and Agriculture Organization of the United Nations. Disponible en línea en http://www.fao.org/economic/ess/ess-fs/en/ (consultado el 3 de abril de 2013).
“Consumer Price Index”. United States Department of Labor: Bureau of Labor Statistics. Disponible en línea en http://data.bls.gov/pdq/SurveyOutputServlet (consultado el 3 de abril de 2013).
“CO2 emissions (kt)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://databank.worldbank.org/data/home.aspx (consultado el 3 de abril de 2013).
“Births Time Series Data”. General Register Office For Scotland, 2013. Disponible en línea en http://www.gro-scotland.gov.uk/statistics/theme/vital-events/births/time-series.html (consultado el 3 de abril de 2013).
“Demographics: Children under the age of 5 years underweight”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2224&aml=en (consultado el 3 de abril de 2013).
Gunst, Richard, Robert Mason. Regression Analysis and Its Application: A Data-Oriented Approach. CRC Press: 1980.
“Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013).
### Repaso del capítulo
Un histograma es una versión gráfica de una distribución de frecuencias. El gráfico consiste en barras de igual ancho dibujadas de forma adyacente. La escala horizontal representa clases de valores de datos cuantitativos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a valores de frecuencia. Los histogramas se suelen utilizar para conjuntos de datos cuantitativos, continuos y de gran tamaño. Un polígono de frecuencias también se puede usar cuando se grafican grandes conjuntos de datos con puntos de datos que se repiten. Los datos suelen ir en el eje y, y la frecuencia se representa en el eje x. Los gráficos de series temporales pueden ser útiles cuando se observan grandes cantidades de datos de una variable durante un periodo.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: supongamos que se les pregunta a ciento once personas que compran en una tienda especial de camisetas el número de camisetas que tienen y que cuestan más de 19 dólares cada una.
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# Estadística descriptiva
## Medidas de la ubicación de los datos
Las medidas habituales de localización son cuartiles y percentiles
Los cuartiles son percentiles especiales. El primer cuartil, Q1, es igual que el percentil 25, y el tercer cuartil, Q3, es igual que el percentil 75. La mediana, M, se denomina tanto el segundo cuartil como el percentil 50.
Para calcular cuartiles y percentiles, los datos se deben ordenar de menor a mayor. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuartos. Los percentiles dividen los datos ordenados en centésimas. Obtener una calificación en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que haya obtenido el 90 % en una prueba. Significa que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o inferiores a su calificación y el 10 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o superiores a su calificación.
Los percentiles son útiles para comparar valores. Por esta razón, universidades e institutos universitarios usan ampliamente los percentiles. Uno de los casos en los que institutos universitarios y universidades utilizan los percentiles es cuando los resultados del SAT se emplean para determinar una calificación mínima del examen que se utilizará como factor de aceptación. Por ejemplo, supongamos que Duke acepta calificaciones del SAT iguales o superiores al percentil 75. Eso se traduce en una calificación de, al menos, 1.220.
Los percentiles se utilizan sobre todo con poblaciones muy grandes. Por lo tanto, si se dijera que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son menores (y no iguales o menores) que su calificación, sería aceptable porque eliminar un valor de datos particular no es significativo.
La mediana es un número que mide el “centro” de los datos. Se puede pensar en la mediana como el “valor medio”, pero no tiene por qué ser uno de los valores observados. Es un número que separa los datos ordenados en mitades. La mitad de los valores son iguales o menores que la mediana, y la mitad de los valores son iguales o mayores. Por ejemplo, considere los siguientes datos. 1; 11,5; 6; 7,2; 4; 8; 9; 10; 6,8; 8,3; 2; 2; 10; 1 Ordenado de menor a mayor: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5
Como hay 14 observaciones, la mediana está entre el séptimo valor, 6,8, y el octavo, 7,2. Para hallar la mediana, sume los dos valores y divídalos entre dos.
La mediana es siete. La mitad de los valores son menores que siete y la mitad de los valores son mayores que siete.
Los cuartiles son números que separan los datos en cuartos. Los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. Para hallar los cuartiles, primero hay que hallar la mediana o el segundo cuartil. El primer cuartil, Q1, es el valor central de la mitad inferior de los datos, y el tercer cuartil, Q3, es el valor central, o la mediana, de la mitad superior de los datos. Para hacerse una idea, considere el mismo conjunto de datos: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5
La mediana o segundo cuartil es siete. La mitad inferior de los datos son 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8. El valor central de la mitad inferior es dos. 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8
El número dos, que forma parte de los datos, es el primer cuartil. Una cuarta parte de los conjuntos de valores son iguales o inferiores a dos y tres cuartas partes de los valores son superiores a dos.
La mitad superior de los datos es 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5. El valor central de la mitad superior es nueve.
El tercer cuartil, Q3, es nueve. Tres cuartas partes (75 %) del conjunto de datos ordenados son menores de nueve. Una cuarta parte (25 %) del conjunto de datos ordenados son mayores de nueve. El tercer cuartil forma parte del conjunto de datos de este ejemplo.
El rango intercuartil es un número que indica la dispersión de la mitad central o del 50 % central de los datos. Es la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1).
IQR = Q3 – Q1
El IQR puede ayudar a determinar posibles valores atípicos. Se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está menos de (1,5)(. Los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más profunda.
### Una fórmula para hallar el percentil k
Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil k Aquí está una de ellas.
k = el percentil k. Puede o no formar parte de los datos.
i = el índice (clasificación o posición de un valor de datos)
n = el número total de datos
1. Ordene los datos de menor a mayor.
2. Calcule
3. Si i es un número entero, el percentil k es el valor de los datos en la posición i en el conjunto ordenado de datos.
4. Si i no es un entero, entonces redondee i hacia arriba o redondee i hacia abajo a los enteros más cercanos. Promedia los dos valores de los datos en estas dos posiciones en el conjunto de datos ordenados. Esto es más fácil de entender con un ejemplo.
### Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos
1. Ordene los datos de menor a mayor.
2. x = el número de valores de datos contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero sin incluir, el valor de datos para el que se desea hallar el percentil.
3. y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil.
4. n = el número total de datos.
5. Calcule (100). Luego, redondee al número entero más cercano.
### Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana
Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15.
1. Los percentiles bajos corresponden siempre a valores de datos más bajos.
2. Los percentiles altos corresponden siempre a valores de datos más altos.
Un percentil puede corresponder o no a un juicio de valor sobre si es “bueno” o “deficiente”. La interpretación de si un determinado percentil es “bueno” o “deficiente” depende del contexto de la situación a la que se aplican los datos. En algunas situaciones, un percentil bajo se consideraría “bueno”; en otros contextos, un percentil alto podría considerarse “bueno”. En muchas situaciones no se aplica ningún juicio de valor.
Entender cómo interpretar correctamente los percentiles es importante no solo a la hora de describir los datos, sino también a la hora de calcular las probabilidades en capítulos posteriores de este texto.
### Referencias
Cauchon, Dennis, Paul Overberg. “Census data shows minorities now a majority of U.S. births”. USA Today, 2012. Disponible en línea en http://usatoday30.usatoday.com/news/nation/story/2012-05-17/minority-birthscensus/55029100/1 (consultado el 3 de abril de 2013).
Datos del Departamento de Comercio de Estados Unidos: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/ (consultado el 3 de abril de 2013).
“1990 Census”. United States Department of Commerce: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/main/www/cen1990.html (consultado el 3 de abril de 2013).
Datos de The Mercury News de San José.
Datos de la Revista Time; encuesta de Yankelovich Partners, Inc.
### Repaso del capítulo
Los valores que dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales se llaman percentiles. Los percentiles se utilizan para comparar e interpretar datos. Por ejemplo, una observación en el percentil 50 sería mayor que el 50 % de las demás observaciones del conjunto. Los cuartiles dividen los datos en cuartos. El primer cuartil (Q1) es el percentil 25, el segundo cuartil (Q2 o mediana) es el percentil 50 y el tercer cuartil (Q3) es el percentil 75. El rango intercuartil, o IQR, es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos. El IQR se encuentra restando Q1 de Q3, y puede ayudar a determinar los valores atípicos utilizando las dos expresiones siguientes.
1. Q3 + IQR(1,5)
2. Q1 – IQR(1,5)
### Revisión de la fórmula
donde i = la clasificación o posición de un valor de datos,
k = el percentil k,
n = número total de datos.
Expresión para hallar el percentil de un valor de datos:
(100)
donde x = el número de valores contando desde el final de la lista de datos hasta el valor de los datos para el que se quiere hallar el percentil, pero sin incluirlo,
y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil,
n = número total de datos
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete.
### Tarea para la casa
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# Estadística descriptiva
## Diagramas de caja
Los diagramas de caja (también llamados diagramas de caja y bigotes o gráficos de caja y bigotes) ofrecen una buena imagen gráfica de la concentración de los datos. También muestran lo lejos que están los valores extremos de la mayoría de los datos. Un diagrama de caja se construye a partir de cinco valores: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo. Utilizamos estos valores para comparar la proximidad de otros valores de datos.
Para construir un diagrama de caja, utilice una línea numérica horizontal o vertical y una caja rectangular. Los valores de datos más pequeños y más grandes marcan los puntos finales del eje. El primer cuartil marca un extremo de la caja y el tercer cuartil marca el otro extremo de la caja. Aproximadamente el 50 % de los datos están dentro de la caja. Los "bigotes" se extienden desde los extremos de la caja hasta los valores de datos más pequeños y más grandes. La mediana o el segundo cuartil pueden estar entre el primer y el tercer cuartil, o puede ser uno, el otro, o ambos. El diagrama de caja ofrece una buena y rápida imagen de los datos.
Consideremos, de nuevo, este conjunto de datos.
El primer cuartil es dos, la mediana es siete y el tercer cuartil es nueve. El valor más pequeño es uno y el más grande es 11,5. La siguiente imagen muestra el diagrama de caja construido.
Los dos bigotes se extienden desde el primer cuartil hasta el valor más pequeño y desde el tercer cuartil hasta el valor más grande. La mediana se muestra con una línea discontinua.
En algunos conjuntos de datos, el valor más grande, el valor más pequeño, el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil pueden ser los mismos. Por ejemplo, puede tener un conjunto de datos en el que la mediana y el tercer cuartil son iguales. En este caso, el diagrama no tendría una línea de puntos dentro de la caja que muestra la mediana. El lado derecho del cuadro mostraría tanto el tercer cuartil como la mediana. Por ejemplo, si el valor más pequeño y el primer cuartil fuesen ambos uno, la mediana y el tercer cuartil fuesen ambos cinco, y el valor más grande fuese siete, el diagrama de caja tendría el siguiente aspecto:
En este caso, al menos el 25 % de los valores son iguales a uno. El 25 % de los valores están entre uno y cinco, ambos inclusive. Al menos el 25 % de los valores son iguales a cinco. El 25 % de los valores más altos se sitúan entre el cinco y el siete, ambos inclusive.
### Referencias
Datos de la Revista West.
### Repaso del capítulo
Los gráficos de caja son un tipo de gráfico que puede ayudar a organizar los datos visualmente. Para elaborar un diagrama de caja se deben calcular los siguientes puntos de datos: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo. Una vez que el diagrama de caja se ha graficado, se pueden visualizar y comparar las distribuciones de los datos.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete.
### Tarea para la casa
### Resúmalo todo
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# Estadística descriptiva
## Medidas del centro de los datos
El “centro” de un conjunto de datos también es una forma de describir la ubicación. Las dos medidas más utilizadas del “centro” de los datos son la media (promedio) y la mediana. Para calcular el peso medio de 50 personas, sume los 50 pesos y los divide entre 50. Para calcular la mediana del peso de las 50 personas, ordene los datos y halle el número que divide los datos en dos partes iguales. La mediana suele ser una mejor medida del centro cuando hay valores extremos o atípicos porque no se ve afectada por los valores numéricos precisos de los atípicos. La media es la medida más común del centro.
Cuando cada valor del conjunto de datos no es único, la media se puede calcular multiplicando cada valor distinto por su frecuencia y dividiendo después la suma por el número total de valores de los datos. La letra utilizada para representar la media muestral es una x con una barra encima (se pronuncia “barra de x”): .
La letra griega μ (se pronuncia “mu”) representa la media de la población. Uno de los requisitos para que la media muestral sea una buena estimación de la media de la población es que la muestra tomada sea realmente aleatoria.
Para ver que ambas formas de calcular la media son iguales, considere la muestra: 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4
En el segundo cálculo, las frecuencias son 3, 2, 1 y 5.
Puede hallar rápidamente la ubicación de la mediana utilizando la expresión
.
La letra n es el número total de valores de datos en la muestra. Si n es un número impar, la mediana es el valor del centro de los datos ordenados (ordenados de menor a mayor). Si n es un número par, la mediana es igual a los dos valores del centro sumados y divididos entre dos después de ordenar los datos. Por ejemplo, si el número total de valores de datos es de 97, entonces
=
= 49. La mediana es el 49.º valor de los datos ordenados. Si el número total de valores de datos es 100, entonces
=
= 50,5. La mediana está a medio camino entre los valores 50.º y 51.º. La ubicación de la mediana y el valor de la mediana no son lo mismo. La letra M mayúscula se utiliza a menudo para representar la mediana. El siguiente ejemplo ilustra la ubicación de la mediana y su valor.
Otra medida del centro es la moda. La moda es el valor más frecuente. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos siempre que esos valores tengan la misma frecuencia y esta sea la más alta. Un conjunto de datos con dos modas se denomina bimodal.
### La ley de los grandes números y la media
La ley de los grandes números dice que, si se toman muestras de tamaño cada vez mayor de cualquier población, entonces la media de la muestra es muy probable que se acerque cada vez más a µ. Esto se analiza con más detalle más adelante en el texto.
### Distribuciones muestrales y estadística de una distribución muestral
Se puede pensar en una distribución de muestreo como una distribución de frecuencia relativa con un gran número de muestras (vea la sección Muestreo y datos para hacer un repaso de la frecuencia relativa). Supongamos que se pregunta a treinta estudiantes seleccionados al azar el número de películas que vieron la semana anterior. Los resultados se encuentran en la tabla de frecuencias relativas que se muestra a continuación.
Si se deja que el número de muestras sea muy grande (por ejemplo, 300 millones o más), la tabla de frecuencias relativas se convierte en una distribución de frecuencias relativas.
Una estadística es un número calculado a partir de una muestra. Algunos ejemplos de estadísticas son la media, la mediana y la moda, entre otros. La media muestral es un ejemplo de estadística que estima la media poblacional μ.
### Cálculo de la media de las tablas de frecuencias agrupadas
Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: media = Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias.
Como no conocemos los valores individuales de los datos podemos hallar el punto medio de cada intervalo. El punto medio es
. Ahora podemos modificar la definición de la media para que sea donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo.
### Referencias
Datos del Banco Mundial, disponibles en línea en http://www.worldbank.org (consultado el 3 de abril de 2013).
“Demographics: Obesity – adult prevalence rate”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en (consultado el 3 de abril de 2013).
### Repaso del capítulo
La media y la mediana se pueden calcular para ayudar a hallar el “centro” de un conjunto de datos. La media es la mejor estimación para el conjunto de datos reales, pero la mediana es la mejor medida cuando un conjunto de datos contiene varios valores atípicos o extremos. La moda le indicará el dato (o los datos) que aparecen con más frecuencia en su conjunto de datos. La media, la mediana y la moda son extremadamente útiles cuando se necesita analizar datos, pero si el conjunto de datos está formado por rangos que carecen de valores específicos, la media puede parecer imposible de calcular. Sin embargo, la media se puede aproximar si se suma el límite inferior con el superior y se divide entre dos para hallar el punto medio de cada intervalo. Multiplique cada punto medio por el número de valores hallados en el rango correspondiente. Divida la suma de estos valores entre el número total de valores de datos del conjunto.
### Revisión de la fórmula
Donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios de intervalo.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: los siguientes datos muestran las esloras de barcos atracados en un puerto. Los datos están ordenados de menor a mayor:
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Calcule lo siguiente:
### Tarea para la casa
### Resúmalo todo
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: estamos interesados en el número de años que han vivido en California los estudiantes de una determinada clase de Estadística Elemental. La información de la siguiente tabla es de toda la sección.
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# Estadística descriptiva
## Distorsión y media, mediana y moda
Considere el siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10
Este conjunto de datos se puede representar mediante el siguiente histograma. Cada intervalo tiene un ancho de uno y cada valor se sitúa en el centro de un intervalo.
El histograma muestra una distribución simétrica de los datos. Una distribución es simétrica si se puede trazar una línea vertical en algún punto del histograma de manera que la forma a la izquierda y a la derecha de la línea vertical sean imágenes una espejo de la otra. La media, la mediana y la moda son siete para estos datos. En una distribución perfectamente simétrica, la media y la mediana son iguales. Este ejemplo tiene una moda (unimodal), y la moda es la misma que la media y la mediana. En una distribución simétrica que tiene dos modas (bimodal), las dos modas serían diferentes de la media y la mediana.
El histograma de los datos:
no es simétrico. El lado derecho parece “cortado” en comparación con el lado izquierdo. Una distribución de este tipo se denomina distorsionada a la izquierda porque se desplaza hacia la izquierda.
La media es 6,3, la mediana es 6,5 y la moda es siete. Observe que la media es menor que la mediana y ambas son menores que la moda. Tanto la media como la mediana reflejan la distorsión, pero la media lo refleja más.
El histograma de los datos:
, tampoco es simétrico. Es distorsionada a la derecha.
La media es 7,7, la mediana es 7,5 y la moda es siete. De las tres estadísticas, la media es la mayor, mientras que la moda es la menor. De nuevo, la media es la que más refleja la distorsión.
Para resumir, generalmente si la distribución de los datos está distorsionada a la izquierda, la media es menor que la mediana, que suele ser menor que la moda. Si la distribución de los datos está distorsionada a la derecha, la moda suele ser menor que la mediana, que es menor que la media.
La distorsión y la simetría son importantes cuando hablemos de distribuciones de probabilidad en capítulos posteriores.
### Repaso del capítulo
Observar la distribución de los datos puede revelar mucho sobre la relación entre la media, la mediana y la moda. Hay tres tipos de distribuciones. Una distribución distorsionada a la izquierda (o negativa) tiene una forma como la . Una distribución distorsionada a la derecha (o positiva) tiene una forma como la . Una distribución simétrica se parece a la .
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Indique si los datos son simétricos, distorsionados a la izquierda o distorsionados a la derecha.
### Tarea para la casa
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# Estadística descriptiva
## Medidas de la dispersión de los datos
Una característica importante de cualquier conjunto de datos es su variación. En algunos conjuntos de datos, los valores de los datos se concentran muy cerca de la media; en otros, están más dispersos de la media. La medida más común de variación, o dispersión, es la desviación típica. La desviación típica es un número que mide la distancia entre los valores de los datos y su media.
### La desviación típica
1. proporciona una medida numérica de la cantidad global de variación en un conjunto de datos y
2. se puede usar para determinar si un valor de datos determinado está cerca o lejos de la media.
### La desviación típica proporciona una medida de la variación global de un conjunto de datos
La desviación típica es siempre positiva o cero. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media y muestran poca variación o dispersión. La desviación típica es mayor cuando los valores de los datos están más alejados de la media y muestran más variación.
Supongamos que estudiamos el tiempo que los clientes esperan en la fila de la caja del supermercado A y del supermercado B. El tiempo promedio de espera en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado A, la desviación típica del tiempo de espera es de dos minutos; en el supermercado B, la desviación típica del tiempo de espera es de cuatro minutos.
Como el supermercado B tiene una desviación típica más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado B. En general, los tiempos de espera en el supermercado B están más dispersos del promedio; los tiempos de espera en el supermercado A están más concentrados cerca del promedio.
### La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media.
Supongamos que Rosa y Binh compran en el supermercado A. Rosa espera en la caja siete minutos y Binh espera un minuto. En el supermercado A, el tiempo medio de espera es de cinco minutos y la desviación típica es de dos minutos. La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media.
Rosa espera siete minutos:
1. Siete son dos minutos más que el promedio de cinco; dos minutos equivalen a una desviación típica.
2. El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, es dos minutos más largo que el promedio de cinco minutos.
3. El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, está una desviación típica por encima del promedio de cinco minutos.
Binh espera un minuto.
1. Uno es cuatro minutos menos que el promedio de cinco; cuatro minutos equivalen a dos desviaciones típicas.
2. El tiempo de espera de Binh, de un minuto, es cuatro minutos menos que el promedio de cinco minutos.
3. El tiempo de espera de Binh, de un minuto, está dos desviaciones típicas por debajo del promedio de cinco minutos.
4. Un valor de los datos que está a dos desviaciones típicas del promedio está justo en el límite de lo que muchos estadísticos considerarían alejado del promedio. Plantearse que los datos están lejos de la media si están a más de dos desviaciones típicas es más una "regla general" aproximada que una regla rígida. En general, la forma de la distribución de los datos afecta a la cantidad de datos que se encuentran más allá de dos desviaciones típicas. (En los capítulos siguientes aprenderá más sobre este punto).
La recta numérica puede ayudarlo a entender la desviación típica. Si ponemos el cinco y el siete en una recta numérica, el siete está a la derecha del cinco. Decimos, entonces, que siete está una desviación típica a la derecha de cinco porque 5 + (1)(2) = 7.
Si el número uno también formara parte del conjunto de datos, entonces estaría dos desviaciones típicas a la izquierda de cinco porque 5 + (-2)(2) = 1.
1. En general, un valor = media + (n.º de STDEV) (número de STandard DEViation, o desviación típica)
2. donde n.º de STDEV = el número de desviaciones típicas
3. El n.º de STDEV no tiene que ser un número entero
4. Uno es dos desviaciones típicas menos que la media de cinco porque: 1 = 5 + (-2)(2).
La ecuación valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica) puede expresarse para una muestra y para una población. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. El símbolo
es la media muestral y el símbolo griego es la media de la población.
### Cálculo de la desviación típica
Si x es un número, la diferencia "x – media" se llama su desviación. En un conjunto de datos hay tantas desviaciones como elementos en el conjunto de datos. Las desviaciones se utilizan para calcular la desviación típica. Si los números pertenecen a una población, en símbolos una desviación es x – μ. Para los datos de la muestra, en símbolos una desviación es x –
.
El procedimiento para calcular la desviación típica depende de si los números son toda la población o son datos de una muestra. Los cálculos son similares, pero no idénticos. Por tanto, el símbolo utilizado para representar la desviación típica depende de si se calcula a partir de una población o de una muestra. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. Si la muestra tiene las mismas características que la población, entonces s debería ser una buena estimación de σ.
Para calcular la desviación típica, tenemos que calcular primero la varianza. La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones (la x –
para una muestra, o los valores x – μ para una población). El símbolo σ2 representa la varianza de la población; la desviación típica de la población σ es la raíz cuadrada de la varianza de la población. El símbolo s2 representa la varianza de la muestra; la desviación típica de la muestra s es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. Puede pensar en la desviación típica como un promedio especial de las desviaciones.
Si las cifras proceden de un censo de toda la población y no de una muestra, cuando calculamos el promedio de las desviaciones al cuadrado para hallar la varianza, dividimos entre N, el número de elementos de la población. Si los datos proceden de una muestra y no de una población, al calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado, dividimos entre , uno menos que el número de elementos de la muestra.
### Fórmulas para la desviación típica de la muestra
1.
o
2. Para la desviación típica de la muestra, el denominador es , es decir, el tamaño de la muestra MENOS 1.
### Fórmulas para la desviación típica de la población
1.
o
2. Para la desviación típica de la población el denominador es N, el número de elementos de la población.
En estas fórmulas, f representa la frecuencia con la que aparece un valor. Por ejemplo, si un valor aparece una vez, f es uno. Si un valor aparece tres veces en el conjunto de datos o población, f es tres.
### Variabilidad muestral de una estadística
La estadística de una distribución muestral se trató en Estadística descriptiva: medidas del centro de los datos. El grado de variación de la estadística de una muestra a otra se conoce como variabilidad muestral de una estadística. Normalmente se mide la variabilidad muestral de una estadística por su error estándar. El error estándar de la media es un ejemplo de error estándar. Es una desviación típica especial y se conoce como la desviación típica de la distribución muestral de la media. El error estándar de la media se tratará en el capítulo El teorema del límite central en otro momento. La notación para el error estándar de la media es
donde σ es la desviación típica de la población y n es el tamaño de la muestra.
### Explicación del cálculo de la desviación típica que aparece en la tabla
Las desviaciones muestran la dispersión de los datos respecto a la media. El valor de los datos 11,5 está más alejado de la media que el valor de los datos 11, lo que se indica con las desviaciones 0,97 y 0,47. Una desviación positiva se produce cuando el valor de los datos es mayor que la media, mientras que una desviación negativa se produce cuando el valor de los datos es menor que la media. La desviación es de –1,525 para el noveno valor de los datos. Si se suman las desviaciones, la suma es siempre cero (según el , hay n = 20 desviaciones). Por lo tanto, no se puede simplemente sumar las desviaciones para obtener la dispersión de los datos. Al elevar al cuadrado las desviaciones se convierten en números positivos, y la suma también será positiva. La varianza, por tanto, es la desviación promedio al cuadrado.
La varianza es una medida al cuadrado y no tiene las mismas unidades que los datos. Calcular la raíz cuadrada resuelve el problema. La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos.
Observe que en vez de dividir entre n = 20, el cálculo divide entre n – 1 = 20 – 1 = 19 porque los datos son una muestra. Para la varianza de la muestra, se divide entre el tamaño de la muestra menos uno (n – 1). ¿Por qué no dividir entre n? La respuesta tiene que ver con la varianza de la población. La varianza de la muestra es una estimación de la varianza de la población. Basándose en la matemática teórica que hay detrás de estos cálculos, al dividir entre (n – 1) da una mejor estimación de la varianza de la población.
La desviación típica, s o σ, es cero o mayor que cero. La descripción de los datos con referencia a la dispersión se denomina “variabilidad”. La variabilidad de los datos depende del método con el que se obtienen los resultados; por ejemplo, por medición o por muestreo aleatorio. Cuando la desviación típica es cero, no hay dispersión; es decir, todos los valores de los datos son iguales entre sí. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, y es mayor cuando los valores de los datos muestran más variación con respecto a la media. Cuando la desviación típica es mucho mayor que cero, los valores de los datos están muy dispersos alrededor de la media; los valores atípicos pueden hacer que s o σ sean muy grandes.
La desviación típica, cuando se presenta por primera vez, puede parecer poco clara. Al graficar los datos, puede tener una mejor "percepción" de las desviaciones y la desviación típica. Encontrará que en las distribuciones simétricas la desviación típica puede ser muy útil, pero en las distribuciones sesgadas, es posible que la desviación típica no sea de mucha ayuda. La razón es que los dos lados de una distribución sesgada tienen diferentes márgenes. En una distribución sesgada, es mejor fijarse en el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, el valor más pequeño y el valor más grande. Como los números pueden ser confusos, siempre hay que hacer un gráfico de los datos. Visualice sus datos en un histograma o un diagrama de caja y bigotes.
### Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas
Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula donde
frecuencias de intervalo y m = puntos medios del intervalo.
Al igual que no podemos hallar la media exacta, tampoco podemos hallar la desviación típica exacta. Recuerde que la desviación típica describe numéricamente la desviación esperada que tiene un valor de datos con respecto a la media. En términos sencillos, la desviación típica nos permite comparar lo “inusual” que son los datos individuales en comparación con la media.
### Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos
La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa.
1. Calcule cuántas desviaciones típicas se alejan de su media para cada valor de los datos.
2. Utilice la fórmula: valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica); resuelva para n.º de STDEVs.
3.
4. Compare los resultados de este cálculo.
N.º de STDEV suele llamarse “puntuación z”; podemos utilizar el símbolo z. En símbolos, las fórmulas se convierten en:
Las siguientes listas ofrecen algunos hechos que proporcionan un poco más de información sobre lo que la desviación típica nos dice sobre la distribución de los datos.
2. Al menos el 75 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media.
3. Al menos el 89 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
4. Al menos el 95 % de los datos están dentro de 4,5 desviaciones típicas de la media.
5. Esto se conoce como la regla de Chebyshev.
2. Aproximadamente el 68 % de los datos están dentro de una desviación típica de la media.
3. Aproximadamente el 95 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media.
4. Más del 99 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
5. Esto se conoce como la regla empírica.
6. Es importante señalar que esta regla solo se aplica cuando la forma de la distribución de los datos tiene forma de campana y es simétrica. Aprenderemos más sobre esto cuando estudiemos la distribución de probabilidad “normal” o “gaussiana” en capítulos posteriores.
### Referencias
Datos de Microsoft Bookshelf.
King, Bill.“Graphically Speaking”. Institutional Research, Lake Tahoe Community College. Disponible en línea en http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research (consultado el 3 de abril de 2013).
### Repaso del capítulo
La desviación típica puede ayudarlo a calcular la dispersión de los datos. Existen diferentes ecuaciones para calcular la desviación típica de una muestra o de una población.
1. La desviación típica nos permite comparar numéricamente datos individuales o clases con la media del conjunto de datos.
2. s =
o s =
es la fórmula para calcular la desviación típica de una muestra. Para calcular la desviación típica de una población usaríamos la media de la población, μ, y la fórmula σ =
o σ =
.
### Revisión de la fórmula
donde
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Los siguientes datos son las distancias entre 20 tiendas minoristas y un gran centro de distribución. Las distancias están en millas. 29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150
Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84.
### Tarea para la casa
Utilice la siguiente información para responder a los siguientes nueve ejercicios: Los parámetros de población que aparecen a continuación describen el número de estudiantes equivalentes a tiempo completo (full-time equivalent number of students, FTES) cada año en el Lake Tahoe Community College desde 1976-1977 hasta 2004-2005.
1. μ = 1.000 FTES
2. mediana = 1.014 FTES
3. σ = 474 FTES
4. primer cuartil = 528,5 FTES
5. tercer cuartil = 1.447,5 FTES
6. n = 29 años
### Resúmalo todo
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. X = el número de días a la semana que 100 clientes utilizan un determinado centro de ejercicio. |
# Temas de probabilidad
## Introducción
A menudo es necesario “estimar” el resultado de un evento para tomar una decisión. Los políticos estudian los sondeos para estimar sus posibilidades de ganar unas elecciones. Los maestros eligen un curso de estudio particular con base en lo que creen que los estudiantes pueden comprender. Los médicos eligen los tratamientos necesarios para las distintas enfermedades con base en su evaluación de los resultados probables. Es posible que haya visitado un casino en el que las personas participan en juegos elegidos por la creencia de que la probabilidad de ganar es buena. Es posible que haya elegido sus estudios según la probable disponibilidad de trabajo.
Es más que posible que haya utilizado la probabilidad. De hecho, posiblemente tenga un sentido intuitivo de la probabilidad. La probabilidad se refiere a la posibilidad de que se produzca un evento. Cada vez que sopesa las probabilidades de hacer o no la tarea para la casa o de estudiar para un examen está utilizando la probabilidad. En este capítulo aprenderá a resolver problemas de probabilidad mediante un enfoque sistemático. |
# Temas de probabilidad
## Terminología
La probabilidad es una medida asociada a la certeza de los resultados de un determinado experimento o actividad. Un experimento es una operación planificada que se realiza en condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, se dice que el experimento es fortuito. Lanzar una moneda imparcial dos veces es un ejemplo de experimento.
El producto de un experimento se llama resultado. El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio muestral son: hacer una lista de los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra S mayúscula se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial, S = {H, T} donde H = cara y T = cruz son los resultados.
Un evento es cualquier combinación de resultados. Las letras mayúsculas como A y B representan eventos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una moneda imparcial, el evento A podría obtener como máximo una cara. La probabilidad de un evento A se escribe P(A).
La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están comprendidas entre el cero y el uno, ambos inclusive (es decir, el cero y el uno y todos los números entre estos valores). P(A) = 0 significa que el evento A no puede ocurrir nunca. P(A) = 1 significa que el evento A siempre ocurre. P(A) = 0,5 significa que el evento A tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 veces) la frecuencia relativa de caras se acerca a 0,5 (la probabilidad de cara).
Igual de probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si se lanza un dado imparcial de seis lados, cada lado (1, 2, 3, 4, 5 o 6) tiene la misma probabilidad de caer que cualquier otro. Si se lanza una moneda imparcial, hay la misma probabilidad de que salga cara (H) que de que salga cruz (T). Si estima al azar la respuesta a una pregunta de verdadero-falso en un examen, tiene la misma probabilidad de seleccionar una respuesta correcta o una incorrecta.
Para calcular la probabilidad de un evento , cuente el número de resultados del evento A y divídalo entre el número total de resultados del espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial de diez centavos y una moneda justa de cinco centavos, el espacio muestral es {HH, TH, HT, TT} donde T = cruz y H = cara. El espacio muestral tiene cuatro resultados. A = obtener una cara. Hay dos resultados que cumplen esta condición {HT, TH}, por lo que P(A) =
= 0,5.
Supongamos que lanza un dado imparcial de seis lados, con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} en sus lados. Supongamos que el evento E = lanzar un número que sea al menos cinco. Hay dos resultados {5, 6}. P(E) =
. Si lanzara el dado solo unas pocas veces, no se sorprendería si los resultados observados no coinciden con la probabilidad. Si se lanzara el dado un gran número de veces, se esperaría eso, en general, de las lanzadas daría un resultado de “al menos cinco”. No se puede esperar exactamente . La frecuencia relativa a largo plazo de obtener este resultado se acerca a la probabilidad teórica de a medida que el número de repeticiones aumenta.
Esta importante característica de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números, que establece que, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no se produzcan según un patrón u orden determinado, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acerca a la probabilidad teórica (a menudo se utiliza la palabra empírica en vez de la palabra observado).
Es importante darse cuenta de que, en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser desiguales o sesgados. Dos profesores de Matemáticas de Europa hicieron que sus estudiantes de Estadística probaran la moneda belga de un euro y descubrieron que, en 250 ensayos, se obtenía una cara el 56 % de las veces y una cruz el 44 %. Los datos parecen mostrar que la moneda no es imparcial; más repeticiones serían útiles para obtener una conclusión más precisa sobre dicho sesgo. Algunos dados pueden estar sesgados. Observe los dados de un juego que tenga en casa; los puntos de cada lado suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para que sean visibles. Sus dados pueden o no estar sesgados; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido al diferente número de agujeros en las caras. Los casinos ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de los dados, por lo que los dados de los casinos se fabrican de forma diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen lados planos; los agujeros se rellenan completamente con pintura de la misma densidad que el material del que están hechos los dados, de modo que cada cara tiene la misma probabilidad de ocurrir. Más adelante aprenderemos técnicas para trabajar con probabilidades para eventos que no son igualmente probables.
Evento "O":Un resultado está en el evento A O B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B. Por ejemplo, supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. A O B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Observe que el 4 y el 5 NO aparecen dos veces en la lista.
Evento "Y":Un resultado está en el evento A Y B si el resultado está en A y B al mismo tiempo. Por ejemplo, que A y B sean {1, 2, 3, 4, 5} y {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Entonces A Y B = {4, 5}.
El complemento del evento A se denomina A′ (léase “A prima”). A′ consiste en todos los resultados que NO están en A. Observe que P(A) + P(A′) = 1. Por ejemplo, supongamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que A = {1, 2, 3, 4}. Entonces, A′ = {5, 6}. P(A) = , P(A′) = y P(A) + P(A′) =
= 1
La probabilidad condicional de A dada B se escribe P(A|B). P(A|B) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. Un condicional reduce el espacio muestral. Calculamos la probabilidad de A a partir del espacio muestral reducido B. La fórmula para calcular P(A|B) es P(A|B) =
donde P(B) es mayor que cero.
Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado imparcial de seis lados. El espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que A = el lado es 2 o 3 y B = el lado es par (2, 4, 6). Para calcular P(A|B) contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral B = {2, 4, 6}. Luego lo dividimos entre el número de resultados B (en vez de S).
Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula. Recuerde que S tiene seis resultados.
P(A|B) =
Entender la terminología y los símbolosEs importante leer detenidamente cada problema para reflexionar y comprender los eventos. Entender el enunciado es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identifique claramente el evento de interés. Determine si hay una condición establecida en el enunciado que indique que la probabilidad es condicional; identifique cuidadosamente la condición, si la hay.
### Referencias
“Lista de países por continente”. Worldatlas, 2013. Disponible en línea en http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (consultado el 2 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
En este módulo hemos aprendido la terminología básica de la probabilidad. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral y se les asigna una probabilidad que es un número entre cero y uno, ambos inclusive.
### Revisión de la fórmula
A y B son eventos
P(S) = 1 donde S es el espacio muestral
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A|B) =
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Una caja está llena de varios regalos de fiesta. Contiene 12 sombreros, 15 pitos, diez trampas para dedos y cinco bolsas de confeti. Se elegirá al azar un regalo de fiesta de la caja. Supongamos que H = el evento de sacar un sombrero. Supongamos que N = el evento de sacar un pito. Supongamos que F = el evento de sacar una trampa para dedos. Supongamos que C = el evento de sacar una bolsa de confeti.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Una jarra de 150 gominolas contiene 22 rojas, 38 amarillas, 20 verdes, 28 moradas, 26 azules y el resto son anaranjadas. Se saca de la caja una gominola al azar. Supongamos que B = el evento de sacar una gominola azul. Supongamos que G = el evento de sacar una gominola verde. Supongamos que O = el evento de sacar una gominola anaranjada. Supongamos que P = el evento de sacar una gominola morada. Supongamos que R = el evento de sacar una gominola roja. Supongamos que Y = el evento de sacar una gominola amarilla.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Hay 23 países en América del Norte, 12 en América del Sur, 47 en Europa, 44 en Asia, 54 en África y 14 en Oceanía (región del Océano Pacífico). Supongamos que A = el evento en el que un país esté en Asia. Supongamos que E = el evento en el que un país esté en Europa. Supongamos que F = el evento en el que un país esté en África. Supongamos que N = el evento en el que un país esté en América del Norte. Supongamos que O = el evento en el que un país esté en Oceanía. Supongamos que S = el evento en el que un país esté en América del Sur.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted ve un juego en una feria local. Tiene que lanzar un dardo a una rueda de colores. Cada sección de la rueda de color es de igual área.
Supongamos que B = el evento de acertar al azul. Supongamos que R = el evento de acertar al rojo. Supongamos que G = el evento de acertar al verde. Supongamos que Y = el evento de acertar al amarillo.
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. En un equipo de béisbol, hay jugadores de campo y jardineros. Algunos jugadores son grandes bateadores y otros no. Supongamos que I = el evento en el que un jugador es un jugador de campo. Supongamos que O = el evento en el que un jugador sea jardinero. Supongamos que H = el evento en el que un jugador sea un gran bateador. Supongamos que N = el evento en el que un jugador no sea un gran bateador.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted está lanzando un cubo numérico imparcial de seis lados. Supongamos que E = el evento en el que caiga en un número par. Supongamos que M = el evento en el que caiga en un múltiplo de tres.
### Tarea para la casa
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# Temas de probabilidad
## Eventos mutuamente excluyentes e independientes
Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo.
### Eventos independientes
Dos eventos son independientes si lo siguiente es cierto:
1. P(A|B) = P(A)
2. P(B|A) = P(B)
3. P(A Y B) = P(A)P(B)
Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de lanzar dos veces un dado imparcial son eventos independientes. El resultado de la primera lanzada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda. Para demostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores. Si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes.
El muestreo se puede hacer con reemplazo o sin reemplazo.
1. Con reemplazo: si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se hace con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera elección no cambiará las probabilidades de la segunda.
2. Sin reemplazo: cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. En este caso, las probabilidades de la segunda elección se ven afectadas por el resultado de la primera. Los eventos se consideran dependientes o no independientes.
Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, suponga que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario.
### Eventos mutuamente excluyentes
A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y P(A Y B) = 0.
Por ejemplo, supongamos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, y C = {7, 9}. A Y B = {4, 5}. P(A Y B) = y no es igual a cero. Por lo tanto, A y B no son mutuamente excluyentes. A y C no tienen ningún número en común por lo que P(A Y C) = 0. Por lo tanto, A y C son mutuamente excluyentes.
Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, suponga que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario. Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos.
### Referencias
Lopez, Shane, Preety Sidhu. “U.S. Teachers Love Their Lives, but Struggle in the Workplace”. Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/teachers-love-lives-struggle-workplace.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos de Gallup. Disponible en línea en www.gallup.com/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta a la posibilidad de que ocurra el otro. Si dos eventos no son independientes, decimos que son dependientes.
En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de que lo seleccionen, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de que lo seleccionen más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. Cuando los eventos no comparten resultados, son mutuamente excluyentes.
### Revisión de la fórmula
Si A y B son independientes, P(A Y B) = P(A)P(B), P(A|B) = P(A) and P(B|A) = P(B).
Si A y B son mutuamente excluyentes, P(A O B) = P(A) + P(B) y P(A Y B) = 0.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos 12 ejercicios. El gráfico mostrado se basa en más de 170.000 entrevistas realizadas por Gallup que se llevaron a cabo entre enero y diciembre de 2012. La muestra está formada por estadounidenses de 18 años o más con empleo. Las calificaciones del Índice de Salud Emocional son el espacio muestral. Tomamos una muestra aleatoria de la calificación del Índice de Salud Emocional.
### Resúmalo todo
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# Temas de probabilidad
## Dos reglas básicas de la probabilidad
Al calcular la probabilidad, hay que tener en cuenta dos reglas para determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no.
### La regla de multiplicación
Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral, entonces: P(A Y B) = P(B)P(A|B).
Esta regla también puede escribirse como: P(A|B) =
(La probabilidad de A dada B es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de B)
Si A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A). Entonces P(A Y B) = P(A|B)P(B) se convierte en P(A Y B) = P(A)P(B).
### La regla de adición
Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces: P(A O B) = P(A) + P(B) - P(A Y B).
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A Y B) = 0. Entonces P(A O B) = P(A) + P(B) - P(A Y B) se convierte en P(A O B) = P(A) + P(B).
### Referencias
DiCamillo, Mark, Mervin Field. “The File Poll”. Field Research Corporation. Disponible en línea en http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
Rider, David, “Ford support plumming, poll suggests”, The Star, 14 de septiembre de 2011. Disponible en línea en http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html (consultado el 2 de mayo de 2013).
“Mayor’s Approval Down”. News Release by Forum Research Inc. Disponible en línea en http://www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29 %2820130320 %29.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
“Roulette”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette (consultado el 2 de mayo de 2013).
Shin, Hyon B., Robert A. Kominski. “Language Use in the United States: 2007.” Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos del Baseball-Almanac, 2013. Disponible en línea en www.baseball-almanac.com (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU.
Datos del Wall Street Journal.
Datos The Roper Center: Public Opinion Archives at the University of Connecticut. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos de Field Research Corporation. Disponible en línea en www.field.com/fieldpollonline (consultado el 2 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Las reglas de multiplicación y de adición se utilizan para calcular la probabilidad de A y B, así como la probabilidad de A o B para dos eventos dados A, B definidos en el espacio muestral. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de ser elegido, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún resultado en común.
### Revisión de la fórmula
La regla de multiplicación: P(A Y B) = P(A|B)P(B)
La regla de adición: P(A O B) = P(A) + P(B) - P(A Y B)
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. El cuarenta y ocho por ciento de todos los californianos votantes registrados prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. Entre los votantes latinos registrados en California, el 55 % prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. El 37,6 % de los californianos son latinos.
En este problema supongamos que:
Supongamos que se selecciona al azar un californiano.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El juego de casino, la ruleta, le permite al jugador apostar sobre la probabilidad de que una bola que gira en la rueda de la ruleta caiga en un color, número o rango de números particulares. La tabla utilizada para realizar las apuestas contiene 38 números, y cada número se asigna a un color y a un rango. |
# Temas de probabilidad
## Tablas de contingencia
Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera.
### Referencias
“Blood Types”. American Red Cross, 2013. Disponible en línea en http://www.redcrossblood.org/learn-about-blood/blood-types (consultado el 3 de mayo de 2013).
Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud, que forma parte del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.
Datos del Senado de Estados Unidos. Disponible en línea en www.senate.gov (consultado el 2 de mayo de 2013).
Haiman, Christopher A., Daniel O. Stram, Lynn R. Wilkens, Malcom C. Pike, Laurence N. Kolonel, Brien E. Henderson y Loīc Le Marchand. “Ethnic and Racial Differences in the Smoking-Related Risk of Lung Cancer”. The New England Journal of Medicine, 2013. Disponible en línea en http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa033250 (consultado el 2 de mayo de 2013).
“Human Blood Types”. Unite Blood Services, 2011. Disponible en línea en http://www.unitedbloodservices.org/learnMore.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013).
Samuel, T. M. “Strange Facts about RH Negative Blood”. eHow Health, 2013. Disponible en línea en http://www.ehow.com/facts_5552003_strange-rh-negative-blood.html (consultado el 2 de mayo de 2013).
“United States: Uniform Crime Report – State Statistics from 1960-2011”. The Disaster Center. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/crime/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Hay varias herramientas que pueden ayudar a organizar y clasificar datos cuando se calculan probabilidades. Las tablas de contingencia ayudan a visualizar los datos y son especialmente útiles cuando se calculan probabilidades que tienen múltiples variables dependientes.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. La muestra una muestra aleatoria de músicos y cómo aprendieron a tocar sus instrumentos.
### Resúmalo todo
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un artículo en la , informó sobre un estudio de fumadores en California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban entre 11 y 20 cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban entre 21 y 30 cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos.
### Tarea para la casa
Utilice la información de la La tabla muestra la afiliación a un partido político de cada uno de los 67 miembros del Senado de EE. UU. en junio de 2012, y cuándo se presentan a la reelección.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La tabla de datos obtenida de muestra la información de bateo de cuatro conocidos jugadores de béisbol. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. |
# Temas de probabilidad
## Diagramas de árbol y de Venn
A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol y los diagramas de Venn son dos herramientas que pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales.
### Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol.
### Diagrama de Venn
Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos.
### Referencias
Datos del Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara.
Datos de la Sociedad Americana del Cáncer.
Datos de The Data and Story Library, 1996. Disponible en línea en http://lib.stat.cmu.edu/DASL/ (consultado el 2 de mayo de 2013).
Datos de la Administración Federal de Carreteras, que forma parte del Departamento de Transporte de Estados Unidos.
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos, que forma parte del Departamento de Comercio de Estados Unidos.
Datos de USA Today.
“Environment”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/topic/environment (consultado el 2 de mayo de 2013).
“Search for Datasets”. Roper Center: Public Opinion Archives, University of Connecticut, 2013. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/data_access/data/search_for_datasets.html (consultado el 2 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Un diagrama de árbol utiliza ramas para mostrar los diferentes resultados de los experimentos y facilita la visualización de preguntas de probabilidad complejas.
Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar el evento O, el evento Y y el complemento de un evento, y para entender las probabilidades condicionales.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Este diagrama de árbol muestra el lanzamiento de una moneda desigual seguido de la extracción de una cuenta de un vaso que contiene tres cuentas rojas (R), cuatro amarillas (Y) y cinco azules (B). Para la moneda, P(H) =
y P(T) =
donde H es cara y T es cruz.
### Resúmalo todo
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cartas están bien barajadas.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El porcentaje de conductores de EE. UU. con licencia (de un año reciente) que son mujeres es del 48,60. De las mujeres, el 5,03 % tienen 19 años o menos; el 81,36 % tienen entre 20 y 64 años; el 13,61 % tienen 65 años o más. De los conductores hombres con licencia en EE. UU., el 5,04 % tiene 19 años o menos; el 81,43 % tiene entre 20 y 64 años; el 13,53 % tiene 65 años o más. |
# Variables aleatorias discretas
## Introducción
Un estudiante responde un cuestionario de diez preguntas de verdadero-falso. Como el estudiante tenía una agenda tan apretada, no podía estudiar y estimaba al azar cada respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con, al menos, el 70 %?
Hay pequeñas compañías que pueden estar interesadas en el número de llamadas telefónicas de larga distancia que hacen sus empleados en las horas pico del día. Supongamos que el promedio es de 20 llamadas. ¿Cuál es la probabilidad de que los empleados hagan más de 20 llamadas de larga distancia durante las horas pico?
Estos dos ejemplos ilustran dos tipos diferentes de problemas de probabilidad que implican variables aleatorias discretas. Recordemos que los datos discretos son datos que se pueden contar. Una variable aleatoria describe con palabras los resultados de un experimento estadístico. Los valores de una variable aleatoria pueden variar con cada repetición de un experimento.
### Notación de la variable aleatoria
Las letras mayúsculas como X o Y denotan una variable aleatoria. Las letras minúsculas como x o y denotan el valor de una variable aleatoria. Si
Por ejemplo, supongamos que X = el número de caras que se obtiene al lanzar tres monedas imparciales. El espacio muestral para el lanzamiento de tres monedas imparciales es TTT; THH; HTH; HHT; HTT; THT; TTH; HHH. Entonces, x = 0, 1, 2, 3. X está en palabras y x es un número. Observe que para este ejemplo los valores de x son resultados contables. Como se pueden contar los posibles valores que puede tomar X y los resultados son aleatorios (los valores de x 0, 1, 2, 3), X es una variable aleatoria discreta. |
# Variables aleatorias discretas
## Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta
Una función de distribución de probabilidad discreta tiene dos características:
1. Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive.
2. La suma de las probabilidades es uno.
### Repaso del capítulo
Las características de una función de distribución de probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta son las siguientes:
1. Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive (inclusive significa incluir el cero y el uno).
2. La suma de las probabilidades es uno.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Una compañía quiere evaluar su tasa de deserción, es decir, el tiempo que los nuevos empleados permanecen en la compañía. A lo largo de los años han establecido la siguiente distribución de probabilidad.
Supongamos que X = el número de años que un nuevo empleado permanecerá en la compañía.
Supongamos que P(x) = la probabilidad de que un nuevo empleado permanezca en la compañía x años.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un panadero está decidiendo cuántos lotes de muffins va a hacer para vender en su panadería. Quiere hacer lo suficiente para venderlos todos y no menos. Mediante la observación, el panadero ha establecido una distribución de probabilidad.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Javier es voluntario en eventos comunitarios cada mes. No realiza más de cinco eventos en un mes. Asiste exactamente a cinco eventos el 35 % del tiempo, a cuatro el 25 % del tiempo, a tres el 20 % del tiempo, a dos el 10 % del tiempo, a uno el 5 % del tiempo y a ninguno el 5 % del tiempo.
### Tarea para la casa
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# Variables aleatorias discretas
## Media o valor esperado y desviación típica
El valor esperado suele denominarse media o promedio "a largo plazo". Esto significa que a largo plazo de hacer un experimento una y otra vez, se esperaría este promedio.
Se lanza una moneda y se anota el resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea cara? Si lanza una moneda dos veces, ¿la probabilidad le dice que estos lanzamientos darán como resultado una cara y una cruz? Puede lanzar una moneda diez veces y registrar nueve caras. Como aprendió en el 3 - TEMAS DE PROBABILIDAD, la probabilidad no describe los resultados a corto plazo de un experimento. Ofrece información sobre lo que cabe esperar a largo plazo. ¡Para demostrarlo, Karl Pearson lanzó una vez una moneda justa 24.000 veces! Registró los resultados de cada lanzamiento, obteniendo cara 12.012 veces. En su experimento, Pearson ilustró la ley de los grandes números.
La ley de los grandes números establece que, a medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la frecuencia relativa se aproxima a cero (la probabilidad teórica y la frecuencia relativa se acercan cada vez más). Al evaluar los resultados a largo plazo de los experimentos estadísticos, a menudo queremos conocer el resultado del “promedio". Este “promedio a largo plazo” se conoce como la media o valor esperado del experimento y se denota con la letra griega μ. En otras palabras, después de realizar muchos ensayos de un experimento, se esperaría este valor promedio.
Al igual que los datos, las distribuciones de probabilidad tienen desviaciones típicas. Para calcular la desviación típica(σ) de una distribución de probabilidad, halle cada desviación de su valor esperado, elévela al cuadrado, multiplíquela por su probabilidad, sume los productos y calcule la raíz cuadrada. Para entender cómo hacer el cálculo, observe la tabla del número de días por semana que un equipo de fútbol masculino juega al fútbol. Para calcular la desviación típica, sume las entradas de la columna marcada como (x – μ)2P(x) y calcule la raíz cuadrada.
Sume la última columna de la tabla. 0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,490. La desviación típica es la raíz cuadrada de 0,49, es decir, σ =
= 0,7
Generalmente, para las distribuciones de probabilidad, utilizamos una calculadora o una computadora para calcular μ y σ para reducir el error de redondeo. Para algunas distribuciones de probabilidad, existen fórmulas abreviadas para calcular μ y σ.
Algunas de las funciones de probabilidad discreta más comunes son la binomial, la geométrica, la hipergeométrica y la de Poisson. La mayoría de los cursos elementales no cubren la geométrica, la hipergeométrica y la Poisson. Su instructor le hará saber si desea cubrir estas distribuciones.
Una función de distribución de probabilidad es un patrón. Intente adaptar un problema de probabilidad en un patrón o distribución para realizar los cálculos necesarios. Estas distribuciones son herramientas que facilitan la resolución de problemas de probabilidad. Cada distribución tiene sus propias características especiales. Aprender las características le permite distinguir entre las diferentes distribuciones.
### Referencias
Catálogo de clases en la Universidad Estatal de Florida. Disponible en línea en https://apps.oti.fsu.edu/RegistrarCourseLookup/SearchFormLegacy (consultado el 15 de mayo de 2013).
“World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
El valor esperado, o media, de una variable aleatoria discreta predice los resultados a largo plazo de un experimento estadístico que se ha repetido muchas veces. La desviación típica de una distribución de probabilidad se utiliza para medir la variabilidad de los posibles resultados.
### Revisión de la fórmula
Media o valor esperado:
Desviación típica:
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un profesor de física quiere saber qué porcentaje de los estudiantes de Física dedicarán los próximos años a la investigación de posgrado. Tiene la siguiente distribución de probabilidad.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: A una profesora de ballet le interesa saber qué porcentaje de la clase de cada año continuará en el siguiente, para poder planificar qué clases ofrecer. A lo largo de los años, ha establecido la siguiente distribución de probabilidad.
1. Supongamos que X = el número de años que un estudiante estudiará ballet con la maestra.
2. Supongamos que P(x) = la probabilidad de que un estudiante estudie ballet x años.
### TAREA PARA LA CASA
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# Variables aleatorias discretas
## Distribución binomial
El experimento binomial tiene tres características.
Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes.
La media, μ, y la varianza, σ2, de la distribución de probabilidad binomial son μ = np y σ2 = npq. La desviación típica, σ, es entonces σ =
.
Cualquier experimento que tenga las características dos y tres y en el que n = 1 se llama Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que, a finales de 1600, los estudió ampliamente). Un experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de Bernoulli.
### Notación para el binomio: B = Función de distribución de la probabilidad binomial
X ~ B(n, p)
Léase esto como "X es una variable aleatoria con una distribución binomial". Los parámetros son n y p; n = número de ensayos, p = probabilidad de acierto en cada ensayo.
### Referencias
“Access to electricity (% of population)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.ELC.ACCS.ZS?order=wbapi_data_value_2009 %20wbapi_data_value%20wbapi_data_value-first&sort=asc (consultado el 15 de mayo de 2015).
“Distance Education”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_education (consultado el 15 de mayo de 2013).
“NBA Statistics-2013”, ESPN NBA, 2013. Disponible en línea en http://espn.go.com/nba/statistics/_/seasontype/2 (consultado el 15 de mayo de 2013).
Newport, Frank. “Americans Still Enjoy Saving Rather than Spending: Few demographic differences seen in these views other than by income”, GALLUP® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013).
Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“What are the key statistics about pancreatic cancer?” American Cancer Society, 2013. Disponible en línea en http://www.cancer.org/cancer/pancreaticcancer/detailedguide/pancreatic-cancer-key-statistics (consultado el 15 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones:
1. Hay un número fijo de ensayos, n.
2. Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo.
3. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas.
Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np, y la desviación típica viene dada por la fórmula σ =
.
### Revisión de la fórmula
X ~ B(n, p) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad binomial con n ensayos y probabilidad de acierto p.
X = el número de aciertos en n ensayos independientes
n = el número de ensayos independientes
X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ..., n
p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo
q = la probabilidad de fallo de cualquier ensayo
p + q = 1
q = 1 – p
La media de X es μ = np. La desviación típica de X es σ =
.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que elige al azar a ocho estudiantes de primer año a tiempo completo de la encuesta. Le interesa saber el número de personas que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal.
### TAREA PARA LA CASA
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Recientemente, un enfermero comentó que cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un desagradable resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La probabilidad de que los San José Sharks ganen un partido cualquiera es de 0,3694, basándose en un historial de 13 años de 382 victorias de 1.034 partidos jugados (a partir de una fecha determinada). El próximo calendario mensual contiene 12 partidos.
Supongamos que X = el número de partidos ganados en ese mes. |
# Variables aleatorias discretas
## Distribución geométrica
Hay tres características principales de un experimento geométrico.
1. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR.
2. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo.
3. La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p. Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es
. Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q =
, la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es
= 0,0804
X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto.
### Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica
X ~ G(p)
Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica”. El parámetro es p; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo.
### Referencias
“Millennials: A Portrait of Generation Next”, PewResearchCenter. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Millennials: Confident. Connected. Open to Change”. Executive Summary by PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013).
Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Summary of the National Risk and Vulnerability Assessment 2007/8: A profile of Afghanistan,” The European Union and ICON-Institute. Disponible en línea en http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“UNICEF reports on Female Literacy Centers in Afghanistan established to teach women and girls basic resading [sic] and writing skills,” UNICEF Television. Video disponible en línea en http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Hay tres características de un experimento geométrico:
1. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto.
2. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo.
3. La probabilidad, p, de un acierto y la probabilidad, q, de un fallo son iguales para cada ensayo.
En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G(p) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo.
La media de la distribución geométrica X ~ G(p) es μ = y la desviación típica es
=
.
### Revisión de la fórmula
X ~ G(p) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad geométrica con probabilidad de acierto en un único ensayo p.
X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto
X toma los valores x = 1, 2, 3, ...
p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo
q = la probabilidad de fallo para cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p
La media es μ =
.
La desviación típica es σ =
=
.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que selecciona al azar a un estudiante de primer año del estudio hasta que halle uno que responda “sí”. Le interesa el número de estudiantes de primer año a los que debe preguntar.
### TAREA PARA LA CASA
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# Variables aleatorias discretas
## Distribución hipergeométrica
Hay cinco características de un experimento hipergeométrico.
1. Se toman muestras de dos grupos.
2. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
3. Se toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Por ejemplo, quiere elegir un equipo de softball entre un grupo combinado de 11 hombres y 13 mujeres. El equipo está formado por diez jugadores.
4. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. En el ejemplo del sóftbol, la probabilidad de elegir primero a una mujer es
. La probabilidad de elegir a un hombre en segundo lugar es
si se eligió a una mujer primero. Es
si se eligió a un hombre primero. La probabilidad de la segunda elección depende de lo que haya ocurrido en la primera.
5. No se trata de ensayos de Bernoulli.
Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés.
### Notación para el hipergeométrico: H = Función de distribución de la probabilidad hipergeométrica
X ~ H(r, b, n)
Léala como "X es una variable aleatoria con una distribución hipergeométrica". Los parámetros son r, b y n; r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, n = el tamaño de la muestra elegida.
### Repaso del capítulo
Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades:
1. Toma muestras de dos grupos.
2. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo.
3. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados.
4. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo.
5. No se trata de ensayos de Bernoulli.
Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. La distribución de X se denota como X ~ H(r, b, n), donde r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, y n = el tamaño de la muestra elegida. Se deduce que n ≤ r + b. La media de X es μ =
y la desviación típica es σ =
.
### Revisión de la fórmula
X ~ H(r, b, n) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica con r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo y n = el tamaño de la muestra elegida.
X = el número de elementos del grupo de interés que están en la muestra elegida, y X puede tomar los valores x = 0, 1, ..., hasta el tamaño del grupo de interés. (El valor mínimo de X puede ser mayor que cero en algunos casos)
n ≤ r + b
La media de X viene dada por la fórmula μ =
y la desviación típica es =
.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra.
### TAREA PARA LA CASA
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# Variables aleatorias discretas
## Distribución de Poisson
Hay dos características principales de un experimento de Poisson.
1. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas.
2. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial si la probabilidad de éxito es "pequeña" (del orden de 0,01) y el número de intentos es "grande" (del orden de 1000). Comprobará la relación en los ejercicios de los deberes. n es el número de intentos, y p es la probabilidad de un “acierto".
La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.
### Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson
X ~ P(μ)
Se lee como “X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ); μ (o λ) = la media del intervalo de interés. La desviación típica de la distribución de Poisson con media µ es Σ=√μ
### Referencias
“ATL Fact Sheet,” Department of Aviation at the Hartsfield-Jackson Atlanta International Airport, 2013. Disponible en línea en http://www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 18 de febrero de 2019).
Center for Disease Control and Prevention. “Teen Drivers: Fact Sheet,” Injury Prevention & Control: Motor Vehicle Safety, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafety/Teen_Drivers/teendrivers_factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Children and Childrearing,” Ministry of Health, Labour, and Welfare. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy/children/children-childrearing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Eating Disorder Statistics,” South Carolina Department of Mental Health, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013).
“Giving Birth in Manila: The maternity ward at the Dr Jose Fabella Memorial Hospital in Manila, the busiest in the Philippines, where there is an average of 60 births a day”, theguardian, 2013. Disponible en línea en http://www.theguardian.com/world/gallery/2011/jun/08/philippines-health#/?picture=375471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013).
“How Americans Use Text Messaging,” Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://pewinternet.org/Reports/2011/Cell-Phone-Texting-2011/Main-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013).
Lenhart, Amanda. “Teens, Smartphones & Testing: Texting volum is up while the frequency of voice calling is down. About one in four teens say they own smartphones,” Pew Internet, 2012. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2012/PIP_Teens_Smartphones_and_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013).
“One born every minute: the maternity unit where mothers are THREE to a bed”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013).
Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013).
“World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es "pequeña" (menor o igual a 0,05) y el número de intentos es "grande" (mayor o igual a 20).
### Revisión de la fórmula
X ~ P(μ) significa que X tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.
X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ...
La media μ normalmente está dada.
La varianza es σ2 = μ, y la desviación típica es
.
Cuando se utiliza P(μ) para aproximar una distribución binomial, μ = np donde n representa el número de ensayos independientes y p representa la probabilidad de aciertos en un solo ensayo.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir.
### TAREA PARA LA CASA
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana. |
# Variables aleatorias continuas
## Introducción
Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI (coeficiente intelectual), el tiempo que dura una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, el tiempo que dura un chip de computadora y las puntuaciones de la prueba de aptitud académica (Scholastic Aptitude Test, SAT) son solo algunos de ellos. El campo de la fiabilidad depende de una serie de variables aleatorias continuas.
### Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas
El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva.
La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf). Utilizamos el símbolo f(x) para representar la curva. f(x) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f(x) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad.
El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa (cdf). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área.
Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, es necesario el cálculo para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Sin embargo, debido a que la mayoría de los estudiantes que toman este curso no han estudiado cálculo, no utilizaremos el cálculo en este libro de texto.
Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera.
En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones.
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# Variables aleatorias continuas
## Funciones de probabilidad continuas
Comenzamos definiendo una función de densidad de probabilidad continua. Utilizamos la notación de función f(x). El álgebra intermedia puede haber sido su primera introducción formal a las funciones. En el estudio de la probabilidad, las funciones que estudiamos son especiales. Definimos la función f(x) de forma que el área entre ella y el eje x sea igual a una probabilidad. Como la probabilidad máxima es uno, el área máxima también es uno. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA.
### Repaso del capítulo
La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P(a < x < b). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f(x) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f(x) es uno. El área debajo del gráfico de f(x) y entre los valores a y b da la probabilidad P(a < x < b).
La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P (X ≤ x). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
### Revisión de la fórmula
Función de densidad de probabilidad (pdf) f(x):
1. f(x) ≥ 0
2. El área total debajo de la curva f(x) es uno.
Función de distribución acumulativa (cdf): P(X ≤ x)
### Tarea para la casa
Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. |
# Variables aleatorias continuas
## La distribución uniforme
La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o exclusivos de los extremos.
### Repaso del capítulo
Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b, entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U(a, b). La media de X es
. La desviación típica de X es
. La función de densidad de probabilidad de X es
para a ≤ x ≤ b. La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) =
. X es continua.
La probabilidad de P(c < X < d) se puede hallar calculando el área bajo f(x), entre c y d. Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura.
### Revisión de la fórmula
X = un número real entre a y b (en algunos casos, X puede tomar los valores a y b). a = X más pequeño; b = X más grande
X ~ U (a, b)
La media es
La desviación típica es
Función de densidad de probabilidad:
para
Área a la izquierda de P(X < x) = (x – a)
Área a la derecha de P(X > x) = (b – x)
Área entre P(c < x < d) = (base)(altura) = (d – c)
Uniforme: X ~ U(a, b) donde a < x < b
1. pdf:
para a ≤ x ≤ b
2. cdf: P(X ≤ x) =
3. media µ =
4. desviación típica σ
5. P(c < X < d) = (d – c)
### Referencias
McDougall, John A. The McDougall Program for Maximum Weight Loss. Plume, 1995.
Use la siguiente información para responder las próximas diez preguntas. Los datos que siguen son los pies cuadrados (en 1.000 pies cuadrados) de 28 viviendas.
La media muestral = 2,50 y la desviación típica de la muestra = 0,8302.
La distribución se puede escribir como X ~ U(1,5, 4,5).
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Una distribución está dada como X ~ U(0, 12).
Use la siguiente información para responder los próximos once ejercicios. La edad de los automóviles en el estacionamiento del personal de un instituto universitario suburbano se distribuye uniformemente desde los seis meses (0,5 años) hasta los 9,5 años.
### Tarea para la casa
Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme. |
# Variables aleatorias continuas
## La distribución exponencial
La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas comerciales de larga distancia, y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un auto. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente.
Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, la cantidad de dinero que los clientes gastan en un viaje al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero.
Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto.
### La falta de memoria de la distribución exponencial
En el recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos (X ~ Exp (0,5)). Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que
P (X > r + t | X > r) = P (X > t) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0
Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior.
P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) =
≈ 0,6065.
Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior.
La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de una computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años (X ~ Exp(0,1)). La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0,4966.
### Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial
Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media λ = 1/μ. Recordemos del capítulo de Variables aleatorias discretas que si X tiene la distribución de Poisson con media λ, entonces
. Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial.(k! = k*(k–1*)(k–2)*(k–3)*…3*2*1)
### Repaso del capítulo
Si X tiene una distribución exponencial con media μ, entonces el parámetro de decaimiento es m =
, y escribimos X ∼ Exp(m) donde x ≥ 0 y m > 0 . La función de densidad de probabilidad de X es f(x) = me (o equivalentemente
. La función de distribución acumulativa de X es P(X ≤ x) = 1 – e–.
La distribución exponencial tiene la propiedad de falta de memoria, que indica que las probabilidades futuras no dependen de ninguna información pasada. Matemáticamente, dice que P(X > x + k|X > x) = P(X > k).
Si T representa el tiempo de espera entre eventos, y si T ∼ Exp(λ), entonces el número de eventos X por unidad de tiempo sigue la distribución de Poisson con media λ. La función de densidad de probabilidad de X es . Se puede calcular con las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ con el comando poissonpdf(λ, k). La función de distribución acumulativa P(X ≤ k) puede calcularse con las calculadoras TI-83, 83+,84 u 84+ con el comando poissoncdf(λ, k).
### Revisión de la fórmula
Exponencial: X ~ Exp(m) donde m = el parámetro de decaimiento
1. pdf: f(x) = me(– donde x ≥ 0 y m > 0
2. cdf: P(X ≤ x) = 1 – e(–
3. media µ =
4. desviación típica σ = µ
5. percentil k: k =
6. Además
7. Propiedad de falta de memoria: P(X > x + k|X > x) = P (X > k)
8. Probabilidad de Poisson:
con media λ
9. k! = k*(k-1)*(k-2)*(k-3)*…3*2*1
### Referencias
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos.
Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013).
“No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013).
Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013).
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp(0,2)
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp(0,75).
Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial. |
# La distribución normal
## Introducción
La normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real.
En este capítulo, estudiará la distribución normal, la distribución normal estándar y las aplicaciones asociadas a ellas.
La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media (μ) y la desviación típica (σ). Si X es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media (μ) y desviación típica (σ), la designamos escribiendo
La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice. No es necesario.
f(x) =
La función de distribución acumulativa es P(X < x). Se calcula con una calculadora o una computadora, o se busca en una tabla. La tecnología ha hecho que las tablas queden prácticamente obsoletas. Por ese motivo, así como por el hecho de que existen varios formatos de tabla, no incluimos las instrucciones de la tabla.
La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ. En teoría, la media es la misma que la mediana, porque el gráfico es simétrico con respecto a μ. Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Dado que el área debajo de la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ, provoca un cambio en la forma de la curva; la curva se vuelve más gorda o delgada dependiendo de σ. Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar.
### Revisión de la fórmula
X ∼ N(μ, σ)
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# La distribución normal
## La distribución normal estándar
La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones . Una puntuación Por ejemplo, si la media de una distribución normal es cinco y la desviación típica es dos, el valor 11 está tres desviaciones típicas por encima (o a la derecha) de la media. El cálculo es el siguiente:
x = μ + (z)(σ) = 5 + (3)(2) = 11
La puntuación z es tres.
La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. La transformación z =
produce la distribución Z ~ N(0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal con una media μ y una desviación típica σ.
### Puntuaciones z
Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ), entonces la puntuación z es:
La puntuación Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero.
La regla empíricaSi X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ, la regla empírica dice lo siguiente:
1. Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1σ y +1σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media).
2. Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2σ y +2σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media).
3. Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3σ y +3σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media.
4. Las puntuaciones z para +1σ y –1σ son +1 y –1, respectivamente.
5. Las puntuaciones z para +2σ y –2σ son +2 y –2, respectivamente.
6. Las puntuaciones z para +3σ y –3σ son +3 y –3, respectivamente.
La regla empírica también se conoce como la regla del 68-95-99,7.
### Referencias
“Blood Pressure of Males and Females”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewreport.php?reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013).
“The Use of Epidemiological Tools in Conflict-affected populations: Open-access educational resources for policy-makers: Calculation of z-scores”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013).
“2012 College-Bound Seniors Total Group Profile Report”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/research/TotalGroup-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Digest of Education Statistics: ACT score average and standard deviations by sex and race/ethnicity and percentage of ACT test takers, by selected composite score ranges and planned fields of study: Selected years, 1995 through 2009”. National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos de The Mercury News de San José.
Datos de The World Almanac and Book of Facts.
“List of stadiums by capacity”. Wikipedia. Disponible en línea en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos de la Asociación Nacional de Baloncesto. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Una puntuación z es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar, Z ~ N(0, 1). La media de las puntuaciones z es cero y la desviación típica es uno. Si z es la puntuación z para un valor x de la distribución normal N(µ, σ), entonces z indica cuántas desviaciones típicas está x por encima (mayor que) o por debajo (menor que) de µ.
### Revisión de la fórmula
z = un valor estandarizado (puntuación z)
media = 0; desviación típica = 1
Para hallar el valor observado, x, cuando se conocen las puntuaciones z:x = μ + (z)σ
puntuación z: z =
Z = la variable aleatoria de las puntuaciones z
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. |
# La distribución normal
## Uso de la distribución normal
El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la izquierda de x. Esta área está representada por la probabilidad P(X < x). Las tablas normales, las computadoras y las calculadoras proporcionan o calculan la probabilidad P(X < x).
El área a la derecha es entonces P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ). Recuerde que P ( X < x ) = Área a la izquierda de la línea vertical que pasa por x . P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ) = Área a la derecha de la línea vertical que pasa por x . P ( X < x ) es lo mismo que P ( X ≤ x ) y P ( X > x ) es lo mismo que P ( X ≥ x ) para distribuciones continuas.
### Cálculo de probabilidades
Las probabilidades se calculan mediante la tecnología. Se dan las instrucciones necesarias para las calculadoras TI-83+ y TI-84.
### Referencias
“Naegele’s rule”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013).
“403: NUMMI”. Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en http://www.thisamericanlife.org/radio-archives/episode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Scratch-Off Lottery Ticket Playing Tips”. WinAtTheLottery.com, 2013. Disponible en línea en http://www.winatthelottery.com/public/department40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Smart Phone Users, By The Numbers”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013).
“Facebook Statistics”. Statistics Brain. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebook-statistics/ (consultado el 14 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfico tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total debajo de la curva es uno. Los parámetros de la normal son la media µ y la desviación típica σ. Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar, es la distribución de las puntuaciones z. Su media es cero y su desviación típica es uno.
### Revisión de la fórmula
Distribución normal: X ~ N(µ, σ) donde µ es la media y σ es la desviación típica.
Distribución normal estándar: Z ~ N(0, 1).
Función de cálculo de la probabilidad: normalcdf (valor x inferior del área, valor x superior del área, media, desviación típica)
Función de cálculo del percentil k: k = invNorm (área a la izquierda de k, media, desviación típica)
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios:
X ~ N(54, 8)
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. |
# El teorema del límite central
## Introducción
¿Por qué nos preocupan tanto las medias? Hay dos razones: nos dan un punto medio de comparación y son fáciles de calcular. En este capítulo estudiará las medias y el teorema del límite central.
El teorema del límite central (central limit theorem, TLC) es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. Hay dos formas alternativas del teorema, y ambas alternativas se refieren a la extracción de muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida, μ, y una desviación típica conocida, σ. La primera alternativa indica que si recogemos muestras de tamaño n con una "n suficientemente grande", calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma de esas medias, entonces el histograma resultante tenderá a tener una forma de campana normal aproximada. La segunda alternativa indica que si volvemos a recoger muestras de tamaño n que sean "suficientemente grandes", calculamos la suma de cada muestra y creamos un histograma, entonces el histograma resultante volverá a tener una forma de campana normal.
El tamaño de la muestra, n, que se requiere para ser “suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser, al menos, 30 o los datos deben proceder de una distribución normal). Si la población original está lejos de ser normal, se necesitan más observaciones para que las medias o sumas de la muestra sean normales. El muestreo se realiza con sustitución.
Sería difícil exagerar la importancia del teorema del límite central en la teoría estadística. Saber que los datos, aunque su distribución no sea normal, se comportan de forma predecible es una herramienta poderosa. |
# El teorema del límite central
## Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)
Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución). Utilizando un subíndice que coincida con la variable aleatoria, supongamos:
1. μ = la media de X
2. σ = la desviación típica de X
Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, a medida que n aumenta, la variable aleatoria
que consiste en las medias muestrales, tiende a distribuirse normalmente y
~ N
.
El teorema del límite central para las medias muestrales indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calculan sus medias, estas tienden a seguir una distribución normal (la distribución muestral). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene la misma media que la distribución original y una varianza que es igual a la varianza original dividida por el tamaño de la muestra. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, por lo que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica de la distribución original dividida por la raíz cuadrada de n. La variable n es el número de valores que se promedian juntos, no el número de veces que se realiza el experimento.
Para decirlo de manera más formal, si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, la distribución de la variable aleatoria
, que consiste en las medias muestrales, se denomina distribución muestral de la media. La distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta n, el tamaño de la muestra.
La variable aleatoria
tiene asociada una puntuación z diferente a la de la variable aleatoria X. La media
es el valor de
en una muestra.
μ es el promedio de X y
.
= desviación típica de
y se denomina error estándar de la media.
### Referencias
Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013).
Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013).
Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos.
### Repaso del capítulo
En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño (n) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (n).
### Revisión de la fórmula
El teorema del límite central para las medias muestrales:
~ N
La media
: μ
Teorema del límite central para las medias muestrales con puntuación z y error estándar de la media:
Error estándar de la media (desviación típica (
)):
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Yoonie es administrador de personal en una gran empresa. Cada mes debe revisar a 16 de los empleados. Por experiencia, ha comprobado que las revisiones le llevan aproximadamente cuatro horas cada una, con una desviación típica de la población de 1,2 horas. Supongamos que Χ sea la variable aleatoria que representa el tiempo que tarda en completar una revisión. Supongamos que Χ se distribuye normalmente. Supongamos que
es la variable aleatoria que representa la media de tiempo para completar las 16 revisiones. Supongamos que las 16 opiniones representan un conjunto aleatorio de opiniones.
### Tarea para la casa
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# El teorema del límite central
## El teorema del límite central para las sumas
Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución) y supongamos que:
1. μ = la media de Χ
2. σ = la desviación típica de X
Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n, a medida que aumenta n, la variable aleatoria ΣX formada por sumas tiende a distribuirse normalmente y ΣΧ ~ N((n)(μ), (
)(σ)).
El teorema del límite central para las sumas indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calcula la suma de cada muestra, estas sumas tienden a seguir una distribución normal. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene una media igual a la media original multiplicada por el tamaño de la muestra y una desviación típica igual a la desviación típica original multiplicada por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
La variable aleatoria ΣX tiene asociada la siguiente puntuación z:
1. Σx es una suma.
2.
### Referencias
Farago, Peter. The Truth About Cats and Dogs: Smartphone vs Tablet Usage Differences [La verdad sobre los gatos y los perros: Diferencias entre el uso de smartphones vs tabletas]. The Flurry Blog, 2013. Publicado el 29 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
El teorema del límite central nos indica que para una población con cualquier distribución, la distribución de las sumas de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. En otras palabras, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las sumas puede aproximarse a una distribución normal aunque la población original no esté distribuida normalmente. Además, si la población original tiene una media de μ y una desviación típica de σ, la media de las sumas es nμ y la desviación típica es
(σ) donde n es el tamaño de la muestra.
### Revisión de la fórmula
El teorema del límite central para las sumas: ∑X ~ N[(n)(μ),(
)(σ)]
Media de las sumas (∑X): (n)(μ)
Teorema del límite central para las sumas de puntuación z y desviación típica para las sumas:
Desviación típica para las sumas (∑X):
(σ)
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 80 y una desviación típica de 12. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 95 de la población.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La distribución de los resultados de una prueba de colesterol tiene una media de 180 y una desviación típica de 20. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 40.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un investigador mide la cantidad de azúcar en varias latas del mismo refresco. La media es de 39,01 con una desviación típica de 0,5. El investigador selecciona aleatoriamente una muestra de 100.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 12 y una desviación típica de uno. Se toma una muestra de tamaño 25. Supongamos que X = el objeto de interés.
Un investigador de mercado analiza cuántos aparatos electrónicos compran los clientes en una sola compra. La distribución tiene una media de tres con una desviación típica de 0,7. Tome muestras de 400 clientes.
Una distribución desconocida tiene una media de 100, una desviación típica de 100 y un tamaño de muestra de 100. Supongamos que X = un objeto de interés.
### Tarea para la casa
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# El teorema del límite central
## Uso del teorema del límite central
Es importante que entienda cuándo utilizar el teorema del límite central. Si se le pide que halle la probabilidad de la media, utilice el TLC para la media. Si se le pide que halle la probabilidad de una suma o un total, utilice el TLC para sumas. Esto también se aplica a los percentiles para las medias y las sumas.
### Ejemplos del teorema del límite central
### Ley de los grandes números
La ley de los grandes números indica que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media
de la muestra tiende a acercarse cada vez más a μ. Por el teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n, menor será la desviación típica (recuerde que la desviación típica para
es
). Esto significa que la media muestral
debe estar cerca de la media poblacional μ. Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números.
### Teorema del límite central para los ejemplos de media y suma
### Referencias
Datos del Wall Street Journal.
“National Health and Nutrition Examination Survey”. Center for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 17 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
El teorema del límite central puede utilizarse para ilustrar la ley de los grandes números. La ley de los grandes números establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que se tome de una población, más se acercará la media muestral
llega a μ.
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: un fabricante produce pesas de 25 libras. El peso real más bajo es de 24 libras, y el más alto de 26 libras. Cada pesa tiene la misma probabilidad, por lo que la distribución de los pesos es uniforme. Se toma una muestra de 100 pesas.
La duración de la batería de un determinado teléfono inteligente sigue una distribución exponencial con una media de diez meses. Se toma una muestra de 64 de estos teléfonos inteligentes.
una distribución uniforme tiene un mínimo de seis y un máximo de diez. Se toma una muestra de 50 personas.
### Tarea para la casa
Richard's Furniture Company entrega los muebles desde las 10 a. m. hasta las 2 p. m. de forma continua y uniforme. Nos interesa saber cuánto tiempo (en horas) después de la hora de inicio de las 10 a. m. las personas esperan su entrega.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: El tiempo de espera de un determinado autobús rural se distribuye uniformemente de cero a 75 minutos. Se toma una muestra aleatoria de cien ciclistas para saber cuánto tiempo han esperado.
El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras.
Para cada problema, siempre que sea posible, proporcione gráficos y utilice la calculadora. |
# Intervalos de confianza
## Introducción
Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción real.
Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial. Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza.
En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija.
Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral,
, y la desviación típica de la muestra, s. Usaría
para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral,
, es la estimación puntual de la media de la población, μ. La desviación típica de la muestra, s, es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ.
Cada uno de
Cada y s se llama estadística.
Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. Proporciona un rango de valores razonables en el que esperamos que se ubique el parámetro de la población. No hay garantía de que un determinado intervalo de confianza capte el parámetro, pero hay una probabilidad de éxito predecible.
Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ, pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica para la media de la muestra es
.
La regla empírica, que se aplica a las distribuciones en forma de campana, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral,
, estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ. Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral
es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ.
Dado que
está dentro de 0,2 unidades de μ, que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de
en el 95 % de las muestras. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre
y
en el 95 % de las muestras.
Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral
. Entonces la media poblacional desconocida μ está entre
y
Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2).
El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ o nuestra muestra produjo un
que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ. La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de las muestras (95 a 100 %).
Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ. Los intervalos de confianza para algunos parámetros tienen la forma:
(estimación puntual - margen de error, estimación puntual + margen de error)
El margen de error depende del nivel o porcentaje de confianza y del error estándar de la media.
Cuando lea los periódicos y revistas, algunos informes utilizarán la frase "margen de error". Otros informes no utilizan esa frase, sino que incluyen un intervalo de confianza como la estimación puntual más o menos el margen de error. Son dos formas de expresar el mismo concepto. |
# Intervalos de confianza
## La media de una población utilizando la distribución normal
Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica poblacional conocida se basa en la conclusión del teorema del límite central de que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de
y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5.
### Cálculo del intervalo de confianza
Para construir un intervalo de confianza para una única media poblacional desconocida μ, cuando se conoce la desviación típica de la población, necesitamos
como una estimación de μ y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error (EBM) se denomina límite de error para una media poblacional (abreviado ). La media muestral
es la estimación puntual de la media poblacional desconocida μ.
La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma:
(estimación puntual – límite de error, estimación puntual + límite de error) o, en símbolos, (
)
El margen de error (EBM) depende del nivel de confianza (). El nivel de confianza suele considerarse la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el verdadero parámetro poblacional. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el verdadero parámetro de la población cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, la persona que construye el intervalo de confianza elige un nivel de confianza del 90 % o superior porque quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones.
Existe otra probabilidad llamada alfa (α). α está relacionada con el nivel de confianza, CL. α es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro poblacional desconocido. Matemáticamente, α + CL = 1.
Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica conocida se basa en el hecho de que las medias muestrales siguen una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de
= 10, y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5.
Para obtener un intervalo de confianza del 90 %, debemos incluir el 90 % central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90 % central, dejamos fuera un total de α = 10 % en ambas colas, o 5 % en cada cola, de la distribución normal.
Para captar el 90 % central, debemos salir 1,645 "desviaciones típicas" a cada lado de la media muestral calculada. El valor 1,645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que sitúa un área de 0,90 en el centro, un área de 0,05 en la cola extrema izquierda y un área de 0,05 en la cola extrema derecha.
Es importante que la "desviación típica" utilizada sea la adecuada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en este apartado debemos utilizar la desviación típica que se aplica a las medias muestrales, que es
. La fracción
, se denomina comúnmente "error estándar de la media" para distinguir claramente desviación típica de una media de la desviación típica de la población σ.
2.
se distribuye normalmente, es decir,
~ N
.
3. Cuando se conoce la desviación típica de la población
### Cálculo del intervalo de confianza
Para construir una estimación de intervalo de confianza para una media poblacional desconocida necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son:
1. Calcular la media muestral
de los datos de la muestra. Recuerde que en esta sección ya conocemos la desviación típica de la población σ.
2. Calcule la puntuación z que corresponde al nivel de confianza.
3. Calcular el límite de error EBM.
4. Construir el intervalo de confianza.
5. Escriba una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación del problema. (Explique lo que significa el intervalo de confianza, en las palabras del problema).
Primero examinaremos cada paso con más detalle y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos.
### Calcular la puntuación z para el nivel de confianza declarado
Cuando conocemos la desviación típica de la población σ, utilizamos una distribución normal estándar para calcular el EBM y construir el intervalo de confianza. Necesitamos hallar el valor de z que pone un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en el centro de la distribución normal estándar Z ~ N(0, 1).
El nivel de confianza, CL, es el área en el medio de la distribución normal estándar. CL = 1 – α, por lo que α es el área que se divide por igual entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a
.
La puntuación z que tiene un área a la derecha de
se denota por
.
Por ejemplo, cuando CL = 0,95, α = 0,05 y
= 0,025; escribimos
= z0,025.
El área a la derecha de z0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z0,025 es 1 – 0,025 = 0,975.
, utilizando una calculadora, una computadora o una tabla de probabilidad normal estándar.
### Cálculo del límite de error (EBM)
La fórmula del límite de error para una media poblacional desconocida μ cuando se conoce la desviación típica poblacional σ es
1. EBM =
### Construcción del intervalo de confianza
1. La estimación del intervalo de confianza tiene el formato
.
El gráfico da una idea de toda la situación.
CL +
+
= CL + α = 1.
### Redacción de la interpretación
La interpretación debe indicar claramente el nivel de confianza (CL), explicar qué parámetro de la población se está estimando (en este caso, una media de la población), e indicar el intervalo de confianza (ambos puntos finales). "Estimamos con un ___% de confianza que la verdadera media de la población (incluya el contexto del problema) está entre ___ y ___ (incluya las unidades adecuadas)".
Observe la diferencia en los intervalos de confianza calculados en el y en el siguiente Ejercicio. Estos intervalos son diferentes por varias razones: se calcularon a partir de muestras diferentes, las muestras eran de distinto tamaño y los intervalos se calcularon para distintos niveles de confianza. Aunque los intervalos son diferentes, no aportan información contradictoria. Los efectos de este tipo de cambios son el tema de la siguiente sección de este capítulo.
### Modificación del nivel de confianza o del tamaño de la muestra
### Hacer el cálculo a la inversa para calcular el límite de error o la media de la muestra
Cuando calculamos un intervalo de confianza, encontramos la media de la muestra, calculamos el límite de error y lo utilizamos para calcular el intervalo de confianza. Sin embargo, a veces, cuando leemos estudios estadísticos, el estudio puede indicar solo el intervalo de confianza. Si conocemos el intervalo de confianza, podemos hacer el cálculo a la inversa para hallar tanto el límite de error como la media de la muestra.
2. Del valor superior del intervalo, reste la media de la muestra.
3. O, del valor superior del intervalo, reste el valor inferior. A continuación, divida la diferencia entre dos.
2. Reste el límite de error del valor superior del intervalo de confianza.
3. O, promedie los puntos finales superior e inferior del intervalo de confianza.
Observe que hay dos métodos para realizar cada cálculo. Puede elegir el método que sea más fácil de utilizar con la información que conoce.
### Cálculo del tamaño de la muestra n
Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra.
La fórmula del límite de error para una media poblacional cuando se conoce la desviación típica de la población es EBM =
.
La fórmula del tamaño de la muestra es n =
, que se encuentra resolviendo la fórmula del límite de error para n.
En esta fórmula, z es
, correspondiente al nivel de confianza deseado. Un investigador que planifique un estudio y desee un nivel de confianza y un límite de error específicos puede utilizar esta fórmula para calcular el tamaño de la muestra necesaria para el estudio.
### Referencias
“American Fact Finder”. U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/nav/jsf/pages/searchresults.xhtml?refresh=t (consultado el 2 de julio de 2013).
“Disclosure Data Catalog: Candidate Summary Report 2012”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013).
“Headcount Enrollment Trends by Student Demographics Ten-Year Fall Trends to Most Recently Completed Fall”. Foothill De Anza Community College District. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/FH_Demo_Trends/FoothillDemographicTrends.htm (consultado el 30 de septiembre de 2013).
Kuczmarski, Robert J., Cynthia L. Ogden, Shumei S. Guo, Laurence M. Grummer-Strawn, Katherine M. Flegal, Zuguo Mei, Rong Wei, Lester R. Curtin, Alex F. Roche, Clifford L. Johnson. “2000 CDC Growth Charts for the United States: Methods and Development”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/growthcharts/2000growthchart-us.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
La, Lynn, Kent German. “Cell Phone Radiation Levels”. c|net parte de CBX Interactive Inc. Disponible en línea en http://reviews.cnet.com/cell-phone-radiation-levels/ (consultado el 2 de julio de 2013).
“Mean Income in the Past 12 Months (in 2011 Inflaction-Adjusted Dollars): 2011 American Community Survey 1-Year Estimates”. American Fact Finder, U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/tableservices/jsf/pages/productview.xhtml?pid=ACS_11_1YR_S1902&prodType=table (consultado el 2 de julio de 2013).
“Metadata Description of Candidate Summary File”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataforcandidatesummary.shtml (consultado el 2 de julio de 2013).
“National Health and Nutrition Examination Survey”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 2 de julio de 2013).
### Repaso del capítulo
En este módulo hemos aprendido a calcular el intervalo de confianza para una media poblacional única cuando se conoce la desviación típica de la población. Al estimar una media poblacional, el margen de error se denomina límite de error para una media poblacional (EBM). Un intervalo de confianza tiene la forma general:
(límite inferior, límite superior) = (estimación puntual - EBM, estimación puntual + EBM)
El cálculo de EBM depende del tamaño de la muestra y del nivel de confianza deseado. El nivel de confianza es el porcentaje de todas las muestras posibles que se puede esperar que incluyan el verdadero parámetro de la población. A medida que aumenta el nivel de confianza, aumenta también el EBM correspondiente. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el EBM disminuye. Por el teorema del límite central,
Dado un intervalo de confianza, se puede hacer el cálculo a la inversa para hallar el límite de error (EBM) o la media de la muestra. Para calcular el límite de error, halle la diferencia del límite superior del intervalo y la media. Si no conoce la media de la muestra, puede hallar el límite de error calculando la mitad de la diferencia de los límites superior e inferior. Para hallar la media muestral dado un intervalo de confianza, calcule la diferencia del límite superior y el límite de error. Si se desconoce el límite de error, se promedian los límites superior e inferior del intervalo de confianza para hallar la media muestral.
A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula EBM para n para descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo:
### Revisión de la fórmula
La distribución de las medias muestrales se distribuye normalmente con una media igual a la media de la población y una desviación típica dada por la desviación típica de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.
La forma general de un intervalo de confianza para una media poblacional única, desviación típica conocida, distribución normal viene dada por (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual - EBM, estimación puntual + EBM) =
=
EBM =
= el límite de error para la media, o el margen de error para una única media poblacional; esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación típica de la población.
CL = nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el verdadero parámetro poblacional
α = 1 – CL = la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro poblacional
= la puntuación z con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es
esta puntuación z utilizada en el cálculo de “EBM donde α = 1 – CL.
n =
= fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra (n) necesario para alcanzar un margen de error deseado con un nivel de confianza determinado
Forma general de un intervalo de confianza
(valor inferior, valor superior) = (estimación puntual-límite de error, estimación puntual + límite de error)
Para calcular el límite de error cuando se conoce el intervalo de confianza
límite de error = estimación del punto de valor superior O límite de error =
Media de una población, desviación típica conocida, distribución normal
Utilice la distribución normal para las medias, la desviación típica de la población es conocida EBM = z
El intervalo de confianza tiene el formato (
- EBM,
+ EBM).
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal.
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras.
Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College.
Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios.
### Tarea para la casa
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# Intervalos de confianza
## La media de una población utilizando la distribución t de Student
En la práctica, pocas veces conocemos la desviación típica de la población. En el pasado, cuando el tamaño de la muestra era grande, esto no suponía un problema para los estadísticos. Utilizaron la desviación típica de la muestra s como una estimación de σ y procedieron como antes para calcular un intervalo de confianza con resultados suficientemente cercanos. Sin embargo, los estadísticos se encontraron con problemas cuando el tamaño de la muestra era pequeño. El pequeño tamaño de la muestra provocó imprecisiones en el intervalo de confianza.
William S. Goset (1876-1937), de la fábrica de cerveza Guinness de Dublín (Irlanda), se encontró con este problema. Sus experimentos con lúpulo y cebada produjeron muy pocas muestras. La simple sustitución de σ por s no produjo resultados precisos cuando intentó calcular un intervalo de confianza. Se dio cuenta de que no podía utilizar una distribución normal para el cálculo; descubrió que la distribución real depende del tamaño de la muestra. Este problema lo llevó a “descubrir” lo que se llama la distribución t de Student. El nombre proviene del hecho de que Gosset escribió bajo el seudónimo de "Student".
Hasta mediados de los años 70, algunos estadísticos utilizaban la aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra grandes y utilizaban la distribución t de Student solo para tamaños de muestra de como máximo 30. Con las calculadoras gráficas y las computadoras, la práctica actual es utilizar la distribución t de Student siempre que se utilice s como estimación de σ.
Si se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población que tiene una distribución aproximadamente normal con media μ y desviación típica poblacional desconocida σ y se calcula la puntuación t t =
, entonces las puntuaciones t siguen una distribución t de Student con . La puntuación tt iene la misma interpretación que la puntuación . Mide cuán lejos está
es de su media μ. Para cada tamaño de muestra n existe una distribución t de Student diferente.
Los grados de libertad, , proceden del cálculo de la desviación típica de la muestra . En el H - TABLAS, utilizamos n desviaciones
para calcular . Como la suma de las desviaciones es cero, podemos hallar la última desviación una vez que conocemos las otras desviaciones. Las otras desviaciones pueden cambiar o variar libremente. Llamamos al número
2. El gráfico de la distribución t de Student es similar a la curva normal estándar.
3. La media de la distribución t de Student es cero y la distribución es simétrica con respecto a cero.
4. La distribución t de Student tiene más probabilidad en sus colas que la distribución normal estándar porque la dispersión de la distribución t es mayor que la dispersión de la normal estándar. Así, el gráfico de la distribución t de Student será más gruesa en las colas y más corta en el centro que el gráfico de la distribución normal estándar.
5. La forma exacta de la distribución t de Student depende de los grados de libertad. A medida que aumentan los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar.
6. Se supone que la población subyacente de observaciones individuales se distribuye normalmente, con una media poblacional desconocida μ y una desviación típica poblacional desconocida σ. El tamaño de la población subyacente no suele ser relevante, a menos que sea muy pequeña. Si tiene forma de campana (normal), la hipótesis se cumple y no es necesario discutirla. Se supone que el muestreo es aleatorio, pero ese es un supuesto completamente distinto de la normalidad.
Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student. Las TI-83,83+ y 84+ tienen una función tcdf para calcular la probabilidad para valores dados de t. La gramática del comando tcdf es tcdf (límite inferior, límite superior, grados de libertad). Sin embargo, para los intervalos de confianza, necesitamos utilizar la probabilidad inversa para calcular el valor de t cuando conocemos la probabilidad.
Para la TI-84+ puede utilizar el comando invT del menú DISTRibution. El comando invT funciona de forma similar al invnorm. El comando invT requiere dos entradas: invT (área a la izquierda, grados de libertad). La salida es la puntuación t que corresponde al área que especificamos. Las TI-83 y 83+ no tienen el comando invT (la TI-89 tiene un comando T inverso).
También se puede utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student La tabla muestra las puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y los grados de libertad (fila). (la TI-86 no tiene un programa o comando invT, por lo que si está utilizando esa calculadora, deberá utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student) Al utilizar una tabla t, tenga en cuenta que algunas tablas están formateadas para mostrar el nivel de confianza en los títulos de las columnas, mientras que los títulos de las columnas de algunas tablas pueden mostrar solo el área correspondiente en una o ambas colas. Una tabla t de Student (vea el H - TABLAS) da las puntuaciones t dados los grados de libertad y la probabilidad de cola derecha. La mesa es muy limitada. Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student.
2. T ~ t donde df = n – 1.
3. Por ejemplo, si tenemos una muestra de tamaño n = 20 elementos, entonces calculamos los grados de libertad como df = n - 1 = 20 - 1 = 19 y escribimos la distribución como T ~ t.
Si no se conoce la desviación típica de la población, el límite de error para una media poblacional es:
1.
,
2.
es la puntuación t con un área a la derecha igual a
,
3. utilizar df = n - 1 grados de libertad, y
4. s = desviación típica de la muestra.
El formato del intervalo de confianza es:
.
### Referencias
“America’s Best Small Companies”. Forbes, 2013. Disponible en línea en http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 2 de julio de 2013).
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos de http://www.businessweek.com/.
Datos de http://www.forbes.com/.
“Disclosure Data Catalog: Leadership PAC and Sponsors Report, 2012”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013).
“Human Toxome Project: Mapping the Pollution in People”. Environmental Working Group. Disponible en línea en http://www.ewg.org/sites/humantoxome/participants/participant-group.php?group=in+utero%2Fnewborn (consultado el 2 de julio de 2013).
“Metadata Description of Leadership PAC List”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataLeadershipPacList.shtml (consultado el 2 de julio de 2013).
### Repaso del capítulo
En muchos casos, el investigador no conoce la desviación típica de la población, σ, de la medida estudiada. En estos casos, es habitual utilizar la desviación típica de la muestra, s, como estimación de σ. La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando se conoce σ, pero no es tan precisa cuando se utiliza s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t mediante la siguiente fórmula:
La puntuación t sigue la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con EBM =
donde
es la puntuación t con un área a la derecha igual a
, s es la desviación típica de la muestra y n es el tamaño de la muestra. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para hallar
para una α determinada.
### Revisión de la fórmula
s = la desviación típica de los valores de la muestra.
es la fórmula de la puntuación t que mide la distancia de una medida con respecto a la media de la población en la distribución t de Student
df = n – 1; los grados de libertad para una distribución t de Student donde n representa el tamaño de la muestra
T~t es la variable aleatoria, T, tiene una distribución t de Student con df grados de libertad
= el límite de error para la media de la población cuando la desviación típica de la población es desconocida
es la puntuación t en la distribución t de Student con un área a la derecha igual a
La forma general de un intervalo de confianza para una media única, desviación típica de la población desconocida, t de Student viene dada por (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual – EBM, estimación puntual + EBM) =
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un hospital intenta reducir los tiempos de espera en la sala de emergencias. Se interesa por el tiempo que los pacientes deben esperar antes de que los llamen para examinarlos. Un comité de investigación encuestó al azar a 70 pacientes. La media muestral fue de 1,5 horas con una desviación típica de la muestra de 0,5 horas.
Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: se encuestaron ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que veían un promedio de 151 horas al mes con una desviación típica de 32 horas. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal.
Use la siguiente información para responder los próximos 13 ejercicios: los datos que figuran en la son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre selecciones) de varios países. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Supongamos que X = el número de colores de una bandera nacional.
Construya un intervalo de confianza del 95 % para el número medio real de colores en las banderas nacionales.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: un especialista en control de calidad de una cadena de restaurantes toma una muestra aleatoria de tamaño de 12 para comprobar la cantidad de gaseosa que se sirve en la porción de 16 oz. La media muestral es de 13,30 con una desviación típica de la muestra de 1,55. Supongamos que la población subyacente se distribuye normalmente. |
# Intervalos de confianza
## Una proporción de la población
Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43: (0,40 – 0,03, 0,40 + 0,03).
Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales.
El procedimiento para calcular el intervalo de confianza, el tamaño de la muestra, el límite de error y el nivel de confianza para una proporción es similar al de la media de la población, pero las fórmulas son diferentes.
¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente es una distribución binomial. (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B(n, p) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción, tome X, la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n, el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (lea "P primo") es esa proporción,
(a veces, la variable aleatoria se denota como
, que se lee “estimador de P”).
Cuando n es grande y p no se acerca a cero o a uno, podemos utilizar la distribución normal para aproximar la binomial.
Si dividimos la variable aleatoria, la media y la desviación típica por n, obtenemos una distribución normal de proporciones con P′, llamada proporción estimada, como variable aleatoria (recordemos que una proporción es el número de aciertos dividido por n).
Uso del álgebra para simplificar:
:
El intervalo de confianza tiene la forma (p′ - EBP, p′ + EBP). EBP es el límite de error para la proporción.
p′ =
p′ = la proporción estimada de aciertos (p′ es una estimación puntual de p, la proporción verdadera).
x = el número de aciertos
n = el tamaño de la muestra
El límite de error para una proporción es
donde q′ = 1 - p′
Esta fórmula es similar a la fórmula del límite de error para una media, excepto que la "desviación típica apropiada" es diferente. Para una media, cuando se conoce la desviación típica de la población, la desviación típica adecuada que utilizamos es
. Para una proporción, la desviación típica adecuada es
.
Sin embargo, en la fórmula del límite de error, utilizamos
como la desviación típica, en lugar de
.
En la fórmula del límite de error, las proporciones muestrales . Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen. Las proporciones muestrales p′ y q′ se calculan a partir de los datos: p′ es la proporción estimada de aciertos, y q′ es la proporción estimada de fallos.
El intervalo de confianza solo puede utilizarse si el número de aciertos np′ y el número de fallos nq′ son ambos superiores a cinco.
### Intervalo de confianza "más cuatro" para p
En el proceso de cálculo de un intervalo de confianza para una proporción se introduce una cierta cantidad de error. Dado que no conocemos la verdadera proporción de la población, nos vemos obligados a utilizar estimaciones puntuales para calcular la desviación típica adecuada de la distribución muestral. Los estudios han demostrado que la estimación resultante de la desviación típica puede ser errónea.
Afortunadamente, existe un sencillo ajuste que nos permite producir intervalos de confianza más precisos. Simplemente pretendemos que tenemos cuatro observaciones adicionales. Dos de estas observaciones son aciertos y dos son fallos. El nuevo tamaño de la muestra, entonces, es n + 4, y el nuevo recuento de aciertos es x + 2.
Los estudios informáticos han demostrado la eficacia de este método. Debe utilizarse cuando el nivel de confianza deseado es de al menos el 90 % y el tamaño de la muestra es de al menos diez.
### Cálculo del tamaño de la muestra n
Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra.
La fórmula del límite de error para una proporción de población es
1.
2. Al resolver n se obtiene una ecuación para el tamaño de la muestra.
3.
### Referencias
Jensen, Tom. “Democrats, Republicans Divided on Opinion of Music Icons”. Public Policy Polling. Disponible en línea en http://www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Teens, Social Media, and Privacy”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
Prince Survey Research Associates International. “2013 Teen and Privacy Management Survey”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013).
Saad, Lydia. “Three in Four U.S. Workers Plan to Work Pas Retirement Age: Slightly more say they will do this by choice rather than necessity”. Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/three-four-workers-plan-work-past-retirement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013).
The Field Poll. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013).
Zogby. “New SUNYIT/Zogby Analytics Poll: Few Americans Worry about Emergency Situations Occurring in Their Community; Only one in three have an Emergency Plan; 70% Support Infrastructure ‘Investment’ for National Security”. Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/299-americans-neither-worried-nor-prepared-in-case-of-a-disaster-sunyit-zogby-analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013).
“52% Say Big-Time College Athletics Corrupt Education Process”. Rasmussen Reports, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/public_content/lifestyle/sports/may_2013/52_say_big_time_college_athletics_corrupt_education_process (consultado el 2 de julio de 2013).
### Repaso del capítulo
Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento.
Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n, donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′. Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula:
(límite inferior, límite superior)
El método "más cuatro" para calcular los intervalos de confianza es un intento de equilibrar el error introducido al utilizar las estimaciones de la proporción de la población cuando se calcula la desviación típica de la distribución de muestreo. Imaginemos simplemente cuatro ensayos adicionales en el estudio; dos son aciertos y dos son fallos. Calcule
, y proceder a calcular el intervalo de confianza. Cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se ha demostrado que este método proporciona intervalos de confianza más precisos que la fórmula estándar utilizada para muestras más grandes.
### Revisión de la fórmula
p′ = x / n donde x representa el número de aciertos y n representa el tamaño de la muestra. La variable p′ es la proporción de la muestra y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción de la población.
q′ = 1 – p′
La variable p′ tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí.
EBP = el límite de error para una proporción =
Intervalo de confianza para una proporción:
(límite inferior, límite superior)
proporciona el número de participantes necesarios para estimar la proporción de la población con confianza 1 - α y margen de error EBP.
Utilice la distribución normal para una proporción de población única
El intervalo de confianza tiene el formato (p′ – EBP, p′ + EBP).
es una estimación puntual de μ
p′ es una estimación puntual de ρ
s es una estimación puntual de σ
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante.
Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: según Field Poll, el 79 % de los adultos de California (los resultados reales son 400 de 506 encuestados) consideran que “la educación y nuestras escuelas” es uno de los principales problemas a los que se enfrenta California. Queremos construir un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adultos de California que piensan que la educación y las escuelas son uno de los principales problemas a los que se enfrenta el estado.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: se encuestaron aleatoriamente quinientos once (511) hogares de una determinada comunidad del sur de California para averiguar si cumplen las recomendaciones mínimas de preparación ante un terremoto. Ciento setenta y tres (173) de las viviendas encuestadas cumplían las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos y 338 no. |
# Pruebas de hipótesis con una muestra
## Introducción
Uno de los trabajos de un estadístico es hacer inferencias estadísticas sobre las poblaciones a partir de muestras tomadas de la población. Los intervalos de confianza son una forma de estimar un parámetro poblacional. Otra forma de hacer una inferencia estadística es tomar una decisión sobre un parámetro. Por ejemplo, un concesionario de automóviles anuncia que su nueva camioneta pequeña recorre un promedio de 35 millas por galón. Un servicio de tutoría afirma que su método de enseñanza ayuda al 90 % de sus estudiantes a obtener una calificación A o B. Una compañía dice que las mujeres administradoras de su compañía ganan un promedio de 60.000 dólares al año.
Un estadístico tomará una decisión sobre estas declaraciones. Este proceso se llama “prueba de hipótesis”. Una prueba de hipótesis consiste en recopilar datos de una muestra y evaluarlos. Luego, el estadístico decide si existen o no pruebas suficientes basándose en el análisis de los datos para rechazar la hipótesis nula.
En este capítulo hará pruebas de hipótesis sobre medias simples y proporciones simples. También conocerá los errores asociados a estas pruebas.
La prueba de hipótesis consiste en dos hipótesis o afirmaciones contradictorias, una decisión basada en los datos y una conclusión. Para realizar una prueba de hipótesis, un estadístico:
|
# Pruebas de hipótesis con una muestra
## Hipótesis nula y alternativa
La prueba real comienza considerando dos hipótesis. Se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa. Estas hipótesis contienen puntos de vista opuestos.
H: La hipótesis nula: Es una afirmación de que no hay diferencia entre las variables: no están relacionadas. A menudo, esto puede considerarse el statu quo y, como resultado, si no se puede aceptar lo nulo, se requiere alguna acción.
H: La hipótesis alternativa: Es una afirmación sobre la población que es contradictoria con H y lo que concluimos cuando rechazamos H. Esto es normalmente lo que el investigador está tratando de probar.
Dado que las hipótesis nula y alternativa son contradictorias, debe examinar las pruebas para decidir si tiene suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula o no. Las pruebas se presentan en forma de datos de muestra.
Una vez que haya determinado qué hipótesis apoya la muestra, tome una decisión. Hay dos opciones para tomar una decisión. Son "rechazar H" si la información de la muestra favorece la hipótesis alternativa o "no rechazar H" o "negarse a rechazar H" si la información de la muestra es insuficiente para rechazar la hipótesis nula.
Símbolos matemáticos utilizados en H y H:
### Repaso del capítulo
En una prueba de hipótesis se evalúan los datos de la muestra para llegar a una decisión sobre algún tipo de afirmación. Si se cumplen determinadas condiciones sobre la muestra, la afirmación se puede evaluar para una población. En una prueba de hipótesis, nosotros:
### Revisión de la fórmula
H y H son contradictorias.
Si α ≤ valor p, entonces no rechace H.
Si α > valor p, entonces rechace H.
α es preconcebido. Su valor se establece antes de que comience la prueba de hipótesis. El valor p se calcula a partir de los datos.
### Tarea para la casa
### Referencias
Datos del Instituto Nacional de Salud Mental. Disponible en línea en http://www.nimh.nih.gov/publicat/depression.cfm. |
# Pruebas de hipótesis con una muestra
## Resultados y errores de tipo I y II
Cuando se realiza una prueba de hipótesis hay cuatro resultados posibles en según la verdad (o falsedad) de la hipótesis nula H y de la decisión de rechazarla o no. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro:
Los cuatro resultados posibles en la tabla son:
Cada uno de los errores se produce con una probabilidad determinada. Las letras griegas α y β representan las probabilidades.
α = probabilidad de un error de tipo I = = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera.
β = probabilidad de un error tipo II = = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa.
α y β deben ser lo más pequeños posible porque son probabilidades de error. Pocas veces son cero.
La potencia de la prueba es 1 - β. Lo ideal es que queramos una potencia alta que se acerque lo más posible a uno. Aumentar el tamaño de la muestra puede aumentar la potencia de la prueba.
Los siguientes son ejemplos de errores tipo I y tipo II.
### Repaso del capítulo
En toda prueba de hipótesis, los resultados dependen de una interpretación correcta de los datos. Los cálculos incorrectos o el resumen de estadísticas mal entendidos pueden producir errores que afecten los resultados. Un error tipo I se produce cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. Un error tipo II se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa.
Las probabilidades de estos errores se indican con las letras griegas α y β, para un error tipo I y el tipo II, respectivamente. La potencia de la prueba, 1 – β, cuantifica la probabilidad de que una prueba arroje el resultado correcto de que se acepte una hipótesis alternativa verdadera. Es deseable una alta potencia.
### Revisión de la fórmula
α = probabilidad de un error de tipo I = P(error de tipo I) = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera.
β = probabilidad de un error tipo II = P(error tipo II) = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa.
### Tarea para la casa
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# Pruebas de hipótesis con una muestra
## Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis
A principios del curso, hemos hablado de las distribuciones de muestreo. Las distribuciones particulares están asociadas a la comprobación de hipótesis. Realice pruebas de una media poblacional utilizando una distribución normal o una distribución (recuerde, utilice una distribución t de Student cuando la desviación típica de la población sea desconocida y la distribución de la media de la muestra sea aproximadamente normal). Realizamos pruebas de una proporción poblacional utilizando una distribución normal (normalmente n es grande).
Si se está probando la media de una sola población, la distribución para la prueba es para las medias:
o
El parámetro de la población es μ. El valor estimado (estimación puntual) para μ es
, la media de la muestra.
Si está probando una sola proporción de la población, la distribución para la prueba es para proporciones o porcentajes:
El parámetro poblacional es p. El valor estimado (estimación puntual) de p es p′. p′ =
donde x es el número de aciertos y n es el tamaño de la muestra.
### Supuestos
Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única media poblacional utilizando una distribución (a menudo llamada prueba t), hay supuestos fundamentales que deben cumplirse para que la prueba funcione correctamente. Sus datos deben ser una muestra aleatoria simple que provenga de una población que se distribuya de forma normal aproximadamente. Se utiliza la desviación típica de la muestra para aproximar la desviación típica de la población (tenga en cuenta que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, una prueba t funcionará incluso si la población no está distribuida de forma aproximadamente normal).
Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única media poblacional utilizando una distribución normal (a menudo denominada prueba z) , se toma una muestra aleatoria simple de la población. La población que está probando se distribuye normalmente o el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Se conoce el valor de la desviación típica de la población que, en realidad, pocas veces se conoce.
Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única proporción poblacional , se toma una muestra aleatoria simple de la población. Debe cumplir las condiciones de una distribución binomial que son: hay un cierto número n de ensayos independientes, los resultados de cualquier ensayo son aciertos o fallos, y cada ensayo tiene la misma probabilidad de un acierto p. La forma de la distribución binomial tiene que ser similar a la forma de la distribución normal. Para ello, las cantidades np y nq deben ser ambas mayores que cinco (np > 5 y nq > 5). Entonces la distribución binomial de una proporción muestral (estimada) puede aproximarse por la distribución normal con μ = p y
. Recuerde que q = 1 - p.
### Repaso del capítulo
Para que los resultados de una prueba de hipótesis se puedan generalizar a una población se deben cumplir ciertos requisitos.
Cuando se hacen pruebas para una única media poblacional:
1. Se debe utilizar una prueba t de Student si los datos proceden de una muestra aleatoria simple y la población se distribuye aproximadamente normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica desconocida.
2. La prueba normal funcionará si los datos proceden de una muestra simple y aleatoria y la población se distribuye aproximadamente de forma normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica conocida.
Al comprobar una proporción poblacional única, utilice una prueba normal para una proporción poblacional única si los datos proceden de una muestra aleatoria simple, cumplen los requisitos de una distribución binomial y el número de la media de aciertos y el número de la media de fallos satisfacen las condiciones: np > 5 y nq > 5, donde n es el tamaño de la muestra, p es la probabilidad de un acierto y q es la probabilidad de un fallo.
### Revisión de la fórmula
Si no hay un α preconcebido, entonces utilice α = 0,05.
2. Media poblacional única, varianza poblacional conocida (o desviación típica): Prueba normal.
3. Media poblacional única, varianza poblacional desconocida (o desviación típica): Prueba .
4. Proporción de población única: Prueba normal.
5. Para una media poblacional única, podemos utilizar una distribución normal con la siguiente media y desviación típica. Medios:
y
6. Una proporción poblacional única, podemos utilizar una distribución normal con la siguiente media y desviación típica. Proporciones: µ = y
.
### Tarea para la casa
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# Pruebas de hipótesis con una muestra
## Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión
Establecer el tipo de distribución, el tamaño de la muestra y la desviación típica conocida o desconocida puede ayudarle a averiguar cómo realizar una prueba de hipótesis. Sin embargo, hay otros factores que debe tener en cuenta a la hora de elaborar una prueba de hipótesis.
### Eventos poco comunes
Suponga que hace una suposición sobre una propiedad de la población (esta suposición es la hipótesis nula). A continuación, recoja los datos de la muestra de forma aleatoria. Si la muestra tiene propiedades que sería muy improbable que ocurrieran si la suposición es cierta, entonces concluiría que su suposición sobre la población es probablemente incorrecta. (Recuerde que es solo una suposición, no es un hecho y puede o no ser cierta. Pero los datos de su muestra son reales y los datos le muestran un hecho que parece contradecir su suposición).
Por ejemplo, Didi y Ali están en la fiesta de cumpleaños de un amigo muy rico. Se apresuran a ser los primeros de la fila para ganar un premio de una cesta alta que no pueden ver en su interior porque tendrán los ojos vendados. Hay 200 burbujas de plástico en la cesta y a Didi y Ali les han dicho que solo hay una con un billete de 100 dólares. Didi es la primera persona que mete la mano en la cesta y saca una burbuja. Su burbuja contiene un billete de 100 dólares. La probabilidad de que esto ocurra es = 0,005. Como esto es tan improbable, Ali espera que lo que les dijeron a los dos esté equivocado y haya más billetes de 100 dólares en la cesta. Se ha producido un "evento poco común" (que Didi consiga el billete de 100 dólares), por lo que Ali duda de la suposición de que solo haya un billete de 100 dólares en la cesta.
### Uso de la muestra para probar la hipótesis nula
Utilice los datos de la muestra para calcular la probabilidad real de obtener el resultado de la prueba, denominada valor . El valor p es la probabilidad de que, si la hipótesis nula es cierta, los resultados de otra muestra seleccionada al azar sean tan extremos o más extremos que los resultados obtenidos en la muestra dada.
Un valor p grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula. Cuanto más pequeño sea el valor p, más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra.
Dibuje un gráfico que muestre el valor
### Decisión y conclusión
Una forma sistemática de tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula es comparar el valor p y un Un α preestablecido es la probabilidad de un error tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema.
Cuando tome una decisión de rechazar o no rechazar H, haga lo siguiente:
Conclusión: Una vez tomada la decisión, escriba una conclusión reflexiva sobre las hipótesis en función del problema planteado.
### Repaso del capítulo
Cuando la probabilidad de que ocurra un evento es baja, y ocurre, se denomina evento poco común. Es importante tener en cuenta los eventos pocos comunes en las pruebas de hipótesis porque pueden informar de su voluntad de no rechazar o rechazar una hipótesis nula. Para probar una hipótesis nula, calcule el valor p para los datos de la muestra y grafique los resultados. A la hora de decidir si se rechaza o no la hipótesis nula, hay que tener en cuenta estos dos parámetros:
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: supongamos que un artículo reciente afirma que la media de tiempo que pasa en prisión un ladrón condenado por primera vez es de 2,5 años. A continuación se realizó un estudio para comprobar si el tiempo medio ha aumentado en el nuevo siglo. Se eligió una muestra aleatoria de 26 ladrones condenados por primera vez en un año reciente. La media de tiempo en prisión de la encuesta fue de tres años con una desviación típica de 1,8 años. Supongamos que se sabe de algún modo que la desviación típica de la población es 1,5. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la duración media del tiempo de encarcelamiento ha aumentado. Supongamos que la distribución de los tiempos en prisión es aproximadamente normal.
### Tarea para la casa
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# Pruebas de hipótesis con una muestra
## Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas
1. En un problema de prueba de hipótesis, puede ver palabras como "el nivel de significación es del 1 %". El "1 %" es el α preconcebido o preestablecido.
2. El estadístico que establece la prueba de hipótesis selecciona el valor de α que va a utilizar antes de recoger los datos de la muestra.
3. Si no se indica ningún nivel de significación, una norma común que se utiliza es
4. Cuando se calcula el valor p y se dibuja el cuadro, el valor p es el área de la cola izquierda, de la cola derecha o dividida por igual entre las dos colas. Por esta razón, llamamos a la prueba de hipótesis de la izquierda, de la derecha o de dos colas.
5. La hipótesis alternativa, , le indica si la prueba es de cola izquierda, derecha o doble. Es la clave para realizar la prueba adecuada.
6. H nunca tiene un símbolo que contenga un signo igual.
7. Pensar en el significado del valor : Un analista de datos (y cualquier otra persona) debería confiar más en que ha tomado la decisión correcta de rechazar la hipótesis nula con un valor p menor (por ejemplo, 0,001 frente a 0,04), incluso si se utiliza el nivel 0,05 para el alfa. Del mismo modo, para un valor p mayor, como 0,4, frente a un valor p de 0,056 (alfa = 0,05 es menor que cualquiera de los dos números), el analista de datos debería confiar más en que tomó la decisión correcta al no rechazar la hipótesis nula. Esto hace que el analista de datos haga uso de su discernimiento en lugar de aplicar reglas sin sentido.
Los siguientes ejemplos ilustran una prueba de cola izquierda, derecha y de dos colas.
### Ejemplos de pruebas de hipótesis completas
El valor p se calcula fácilmente.
Los errores tipo I y II son los siguientes:
El error tipo I consiste en concluir que la proporción de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios es diferente del 50 % cuando, en realidad, la proporción es del 50 %. (Rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera).
El error tipo II es que no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios difiere del 50 % cuando, de hecho, la proporción sí difiere del 50 %. (No rechace la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa).
El siguiente ejemplo es un poema escrito por una estudiante de Estadística llamada Nicole Hart. La solución del problema sigue al poema. Observe que la prueba de hipótesis es para una única proporción poblacional. Esto significa que las hipótesis nula y alternativa utilizan el parámetro p. La distribución para la prueba es normal. La proporción estimada p′ es la proporción de pulgas matadas respecto al total de pulgas encontradas en Fido. Esta es una información de muestra. El problema da una α prestablecida = 0,01, para comparar, y un cálculo del intervalo de confianza del 95 %. El poema es ingenioso y humorístico, así que disfrútelo
### Repaso del capítulo
La prueba de hipótesis en sí tiene un proceso establecido. Esto se sintetiza de la siguiente manera
Observe que al realizar la prueba de hipótesis, se utiliza α y no β. β es necesaria para determinar el tamaño de la muestra de los datos que se utiliza en el cálculo del valor p. Recuerde que la cantidad 1 - β recibe el nombre de potencia de la prueba. Es deseable una alta potencia. Si la potencia es demasiado baja, los estadísticos suelen aumentar el tamaño de la muestra al mantener igual el α. Si la potencia es baja, es posible que no se rechace la hipótesis nula cuando debería hacerlo.
### Tarea para la casa
En cada uno de los problemas, utilice una hoja de soluciones para comprobar la hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el
Instrucciones: En los diez ejercicios siguientes, Comprobación de hipótesis: Responda cada una de las preguntas de los diez ejercicios siguientes.
1. Indique la hipótesis nula y la alternativa.
2. Indique el valor p.
3. Indique alfa.
4. ¿Cuál es su decisión?
5. Escriba una conclusión.
6. Responde cualquier otra pregunta que se le plantee en el problema.
### Referencias
Datos de Amit Schitai. Director de tecnología educativa y aprendizaje a distancia. LBCC.
Datos de Bloomberg Businessweek. Disponible en línea en http://www.businessweek.com/news/2011- 09-15/nyc-smoking-rate-falls-to-record-low-of-14-bloomberg-says.html.
Datos de energy.gov. Disponible en línea en http://energy.gov (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de Gallup®. Disponible en línea en www.gallup.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de Growing by Degrees de Allen y Seaman.
Datos de La Leche League International. Disponible en línea en http://www.lalecheleague.org/Law/BAFeb01.html.
Datos de la Asociación Americana del Automóvil. Disponible en línea en www.aaa.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Asociación Americana de Bibliotecas. Disponible en línea en www.ala.org (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Oficina de Estadísticas Laborales. Disponible en línea en http://www.bls.gov/oes/current/oes291111.htm.
Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en www.cdc.gov (consultado el 27 de junio de 2013)
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., disponibles en línea en http://quickfacts.census.gov/qfd/states/00000.html (consultado el 27 de junio de 2013).
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/.
Datos de Toastmasters International. Disponible en línea en http://toastmasters.org/artisan/detail.asp?CategoryID=1&SubCategoryID=10&ArticleID=429&Page=1.
Datos de Weather Underground. Disponible en línea en www.wunderground.com (consultado el 27 de junio de 2013).
Oficina Federal de Investigaciones. “Uniform Crime Reports and Index of Crime in Daviess in the State of Kentucky enforced by Daviess County from 1985 to 2005”. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/kentucky/crime/3868.htm (consultado el 27 de junio de 2013).
“Foothill-De Anza Community College District”. De Anza College, invierno de 2006. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/DAdemofs/Fact_sheet_da_2006w.pdf.
Johansen, C., J. Boice, Jr., J. McLaughlin, J. Olsen. “Cellular Telephones and Cancer—a Nationwide Cohort Study in Denmark”. Institute of Cancer Epidemiology and the Danish Cancer Society, 93(3):203-7. Disponible en línea en http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/11158188 (consultado el 27 de junio de 2013).
Rape, Abuse & Incest National Network. “How often does sexual assault occur?”. RAINN, 2009. Disponible en línea en http://www.rainn.org/get-information/statistics/frequency-of-sexual-assault (consultado el 27 de junio de 2013). |
# Pruebas de hipótesis con dos muestras
## Introducción
Los estudios suelen comparar dos grupos. Por ejemplo, los investigadores están interesados en el efecto que tiene la aspirina en la prevención de ataques al corazón. Durante los años recientes, los periódicos y las revistas han informado de varios estudios sobre la aspirina en los que participan dos grupos. Normalmente, un grupo recibe aspirina y el otro un placebo. Luego, se estudia la tasa de infarto durante varios años.
Hay otras situaciones que tratan de la comparación de dos grupos. Por ejemplo, los estudios comparan varios programas de dieta y ejercicio. Los políticos comparan la proporción de personas de diferentes niveles de ingresos que podrían votar por ellos. Los estudiantes se interesan por saber si los cursos de preparación para la SAT o el Examen de Registro de Graduados (Graduate Record Exam, GRE) ayudan realmente a mejorar sus calificaciones.
Ha aprendido a realizar pruebas de hipótesis sobre medias y proporciones únicas. En este capítulo se ampliará la información. Comparará dos medias o dos proporciones entre sí. El procedimiento general sigue siendo el mismo, pero ampliado.
Para comparar dos medias o dos proporciones, se trabaja con dos grupos. Los grupos se clasifican como independientes o pares coincidentes. Los grupos independientes consisten en dos muestras que son independientes, es decir, los valores de la muestra seleccionados de una población no están relacionados de ninguna manera con los valores de la muestra seleccionados de la otra población. Los pares coincidentes consisten en dos muestras que son dependientes. El parámetro que se comprueba utilizando pares coincidentes es la media de la población. Los parámetros que se prueban utilizando grupos independientes son las medias de la población o las proporciones de la población.
Este capítulo trata de las siguientes pruebas de hipótesis:
2. Prueba de dos medias poblacionales.
3. Prueba de dos proporciones poblacionales.
2. Prueba de las dos proporciones de la población mediante la prueba de una media poblacional de diferencias. |
# Pruebas de hipótesis con dos muestras
## Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas
1. Las dos muestras independientes son simples muestras aleatorias de dos poblaciones distintas.
2. Para las dos poblaciones distintas
La comparación de dos medias poblacionales es muy común. La diferencia entre las dos muestras depende tanto de las medias como de las desviaciones típicas. Pueden producirse medias muy diferentes por azar si hay una gran variación entre cada una de las muestras. Para tener en cuenta la variación, tomamos la diferencia de las medias de la muestra,
–
, y dividimos entre el error estándar para normalizar la diferencia. El resultado es un estadístico de prueba de puntuación t.
Ya que desconocemos las desviaciones típicas de la población, las calculamos con las dos desviaciones típicas de nuestras muestras independientes. En la prueba de hipótesis, calculamos la desviación típica o el error estándar, de la diferencia de las medias muestrales,
–
.
El estadístico de prueba(puntuación t) se calcula como sigue:
El número de grados de libertad ( requiere un cálculo algo complicado. Sin embargo, la computadora o la calculadora lo calculan fácilmente. Los df no son siempre un número entero. El estadístico de prueba calculado anteriormente se determina aproximadamente mediante la distribución t de Student con df de la siguiente manera:
Cuando los tamaños de las muestras n1 y n2 son cinco o más, la aproximación t de Student es bastante apropiada. Observe que las varianzas muestrales (s1)2 y (s2)2 no están agrupadas. (Si se plantea la cuestión, no agrupe las varianzas).
Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grandeLa d es la medida del tamaño del efecto con base en las diferencias entre dos medias. La d de Cohen, llamada así por el estadístico estadounidense Jacob Cohen, mide la fuerza relativa de las diferencias entre las medias de dos poblaciones a partir de los datos de la muestra. El valor calculado del tamaño del efecto se compara entonces con los criterios de Cohen de efecto de tamaño pequeño, mediano y grande.
La d de Cohen es la medida de la diferencia entre dos medias dividida entre la desviación típica combinada:
donde
### Referencias
Datos de las carreras de Ingeniería e Informática. Disponible en línea en http://www.graduatingengineer.com
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos del sitio web del Senado de Estados Unidos, disponibles en línea en www.Senate.gov (consultado el 17 de junio de 2013).
“Lista de los actuales senadores de Estados Unidos por edad”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_current_United_States_Senators_by_age (consultado el 17 de junio de 2013).
“Sectorización por grupos industriales”. Nasdaq. Disponible en línea en http://www.nasdaq.com/markets/barchart-sectors.aspx?page=sectors&base=industry (consultado el 17 de junio de 2013).
“Clubes de desnudistas: donde se da la prostitución y la trata”. Investigación y educación sobre la prostitución, 2013. Disponible en línea en www.prostitutionresearch.com/ProsViolPosttrauStress.html (consultado el 17 de junio de 2013).
“Historia de las Series Mundiales”. Almanaque de béisbol, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-almanac.com/ws/wsmenu.shtml (consultado el 17 de junio de 2013).
### Repaso del capítulo
Dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se desconocen las desviaciones típicas de la población.
1. Variable aleatoria:
= la diferencia de las medias muestrales
2. Distribución: Distribución t de Student con grados de libertad (varianzas sin agrupar).
### Repaso de la fórmula
Error estándar: SE =
Estadístico de prueba (puntuación t): t =
Grados de libertad:
donde:
s1 y s2 son las desviaciones típicas de la muestra, n1 y n2 son los tamaños de la muestra.
y
son las medias muestrales.
La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto:
donde
Use la siguiente información para responder los próximos 15 ejercicios: Indique si la prueba de hipótesis es para:
1. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas
2. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas
3. muestras coincidentes o emparejadas
4. media simple
5. dos proporciones
6. proporción única
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se realiza un experimento para determinar cuál de dos bebidas gaseosas tiene más azúcar. Hay 13 latas de la bebida A en una muestra y seis latas de la bebida B. La cantidad media de azúcar en la bebida A es de 36 gramos con desviación típica de 0,6 gramos. La cantidad media de azúcar en la bebida B es de 38 gramos con desviación típica de 0,8 gramos. Los investigadores creen que la bebida B tiene más azúcar que la bebida A, en promedio. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales.
Utilice la siguiente información para responder los siguientes 12 ejercicios: El Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades de EE. UU. informa que la esperanza de vida media era de 47,6 años para personas blancas nacidas en 1900 y de 33,0 años para las personas que no son blancas. Supongamos que usted realiza un estudio aleatorio de los registros de defunción de las personas nacidas en 1900 en un determinado condado. De las 124 personas blancas, la media de vida era de 45,3 años, con una desviación típica de 12,7 años. De las 82 personas que no son blancas, la media de vida era de 34,1 años, con una desviación típica de 15,6 años. Realice una prueba de hipótesis para ver si la media de vida en el condado es la misma para las personas blancas y las que no son blancas.
### Tarea para la casa
INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el
Utilice la información de
Utilice la siguiente información para responder los dos ejercicios siguientes. Las conferencias Este y Oeste de la Liga Mayor de Fútbol cuentan con una nueva división de reserva que permite a los nuevos jugadores desarrollar sus habilidades. Los datos de una fecha elegida al azar mostraron los siguientes objetivos anuales.
Realice una prueba de hipótesis para responder los dos ejercicios siguientes. |
# Pruebas de hipótesis con dos muestras
## Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas
Aunque esta situación no es probable (conocer las desviaciones típicas de la población no es probable), el siguiente ejemplo ilustra la prueba de hipótesis para medias independientes, conociendo las desviaciones típicas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal y ambas poblaciones deben ser normales. La variable aleatoria es
. La distribución normal tiene el siguiente formato:
### Referencias
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/prod/cen2010/briefs/c2010br-02.pdf
Hinduja, Sameer. “Sexting Research and Gender Differences”. Cyberbulling Research Center, 2013. Disponible en línea en http://cyberbullying.us/blog/sexting-research-and-gender-differences/ (consultado el 17 de junio de 2013).
“Smart Phone Users, By the Numbers”. Visually, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 17 de junio de 2013).
Smith, Aaron. “35% of American adults own a Smartphone”. Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2011/PIP_Smartphones.pdf (consultado el 17 de junio de 2013).
“State-Specific Prevalence of Obesity AmongAduls—Unites States, 2007”. MMWR, CDC. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5728a1.htm (consultado el 17 de junio de 2013).
“Texas Crime Rates 1960–1012”. FBI, Uniform Crime Reports, 2013. Disponible en línea en: http://www.disastercenter.com/crime/txcrime.htm (consultado el 17 de junio de 2013).
### Repaso del capítulo
Una prueba de hipótesis de dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se conocen las desviaciones típicas de la población tendrá estas características:
### Revisión de la fórmula
Distribución normal:
. Generalmente
Estadístico de prueba (puntuaciónz):
Generalmente
donde: σ1 y σ2 son las desviaciones típicas poblacionales conocidas. n1 y n2 son los tamaños de las muestras.
y
son las medias muestrales. μ1 y μ2 son las medias poblacionales.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se van a comparar las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de dos lanzadores de béisbol diferentes. Se mide una muestra de 14 lanzamientos de pelotas rápidas de cada lanzador. Las poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. Los cazatalentos creen que Rodríguez lanza una pelota rápida más rápida.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un investigador está probando los efectos de los alimentos para plantas en su crecimiento. Nueve plantas han recibido el alimento para plantas. Otras nueve plantas no han recibido el alimento para plantas. Las alturas de las plantas se registran después de ocho semanas. Las poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. El investigador cree que la comida hace que las plantas crezcan más altas.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Se están considerando dos aleaciones metálicas como material para los rodamientos de pelotas. Hay que comparar el punto de fusión medio de las dos aleaciones. Se están probando 15 piezas de cada metal. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. Se cree que la aleación zeta tiene un punto de fusión diferente.
### Tarea para la casa
INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el |
# Pruebas de hipótesis con dos muestras
## Comparación de dos proporciones de población independientes
Cuando se realiza una prueba de hipótesis que compara dos proporciones de población independientes se deben dar las siguientes características:
1. Las dos muestras independientes son muestras aleatorias simples que son independientes.
2. El número de aciertos es, al menos, cinco y el número de fallos es, al menos, cinco para cada una de las muestras.
3. La literatura creciente establece que la población debe ser al menos diez o veinte veces el tamaño de la muestra. Así se evita que cada población sea objeto de un muestreo excesivo y se obtengan resultados incorrectos.
La comparación de dos proporciones, al igual que la comparación de dos medias, es de uso común. Si dos proporciones estimadas son diferentes, puede deberse a una diferencia en las poblaciones o al azar. Una prueba de hipótesis puede ayudar a determinar si una diferencia en las proporciones estimadas refleja una diferencia en las proporciones de la población.
La diferencia de dos proporciones sigue una distribución normal aproximada. En general, la hipótesis nula afirma que las dos proporciones son iguales. Es decir, H: p = p. Para llevar a cabo la prueba utilizamos una proporción combinada, p.
### Referencias
Datos de Educational Resources, catálogo de diciembre.
Datos de los Hoteles Hilton. Disponible en línea en http://www.hilton.com (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de los Hoteles Hyatt. Disponible en línea en http://hyatt.com (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de Estadísticas del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos.
Datos de la Exposición del Whitney en préstamo al Museo de Arte de San José.
Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Disponible en línea en http://www.cancer.org/index (consultado el 17 de junio de 2013).
Datos de la Chancellor's Office, California Community Colleges, noviembre de 1994.
“State of the States”. Gallup, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/125066/State-States.aspx?ref=interactive (consultado el 17 de junio de 2013).
“West Nile Virus”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/westnile/index.htm (consultado el 17 de junio de 2013).
### Repaso del capítulo
Prueba de dos proporciones poblacionales a partir de muestras independientes
### Revisión de la fórmula
Proporción combinada: =
Distribución de las diferencias:
donde la hipótesis nula es H: p = p o H: p – p = 0.
Estadístico de prueba (puntuación z):
donde la hipótesis nula es H: p = p o H: p − p = 0.
donde
p′ y p′ son las proporciones de la muestra, p y p son las proporciones de la población,
P es la proporción combinada, y y son los tamaños de las muestras.
Use la siguiente información para los próximos cinco ejercicios. Se están probando dos tipos de sistemas operativos (operating system, OS) de teléfonos para determinar si hay una diferencia en las proporciones de fallos del sistema (caídas). Quince de una muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS1 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Nueve de otra muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS2 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Se cree que el OS2 es más estable (tiene menos fallos) que el OS1.
Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios. En el reciente censo el tres por ciento de la población de EE. UU. declaró que era de dos o más razas. Sin embargo, el porcentaje varía enormemente de un estado a otro. Supongamos que se realizan dos encuestas aleatorias. En la primera encuesta aleatoria, de 1.000 habitantes de Dakota del Norte, solo nueve personas declararon que son de dos o más razas. En la segunda encuesta aleatoria, de 500 nevadenses, 17 personas declararon que son de dos o más razas. Realice una prueba de hipótesis para determinar si los porcentajes de población son iguales para los dos estados o si el porcentaje de Nevada es estadísticamente mayor que el de Dakota del Norte.
### Tarea para la casa
INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El virus neuroinvasivo del Nilo Occidental es una enfermedad grave que afecta el sistema nervioso de las personas. Lo transmite la especie de mosquito Culex. En Estados Unidos en 2010 se registraron 629 casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental de un total de 1.021 casos notificados, y en 2011 se registraron 486 casos neuroinvasivos de un total de 712 casos. ¿La proporción de casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental en 2011 es mayor que la proporción de casos de 2010? Use un nivel de significación del 1 % y haga una prueba de hipótesis adecuada.
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# Pruebas de hipótesis con dos muestras
## Muestras coincidentes o emparejadas
Cuando se utiliza una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas, deben darse las siguientes características:
1. Se utiliza un muestreo aleatorio simple.
2. El tamaño de las muestras suele ser pequeño.
3. Se toman dos medidas (muestras) del mismo par de personas u objetos.
4. Las diferencias se calculan a partir de las muestras coincidentes o emparejadas.
5. Las diferencias forman la muestra que se utiliza para la prueba de hipótesis.
6. O bien los pares coincidentes tienen diferencias que provienen de una población que es normal o el número de diferencias es lo suficientemente grande como para que la distribución de la media muestral de las diferencias sea aproximadamente normal.
En una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas los sujetos son coincidentes en pares y se calculan las diferencias. Las diferencias son los datos. A continuación, se comprueba la media poblacional de las diferencias, μ, mediante una prueba t de Student para una única media poblacional con n – 1 grados de libertad, donde n es el número de diferencias.
### Repaso del capítulo
Una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas (prueba t) tiene estas características:
1. Compruebe las diferencias restando una medida de la otra
2. Variable aleatoria:
= media de las diferencias
3. Distribución: Distribución t de Student con n – 1 grados de libertad
4. Si el número de diferencias es pequeño (menos de 30), las diferencias deben seguir una distribución normal.
5. Se extraen dos muestras del mismo conjunto de objetos.
6. Las muestras son dependientes.
### Revisión de la fórmula
Estadístico de prueba (puntuación t): t =
donde:
es la media de las diferencias de la muestra. μd es la media de las diferencias de la población. s es la desviación típica de la muestra de las diferencias. n es el tamaño de la muestra.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de un parche de software en la reducción de fallos del sistema durante un periodo de seis meses. Los resultados de instalaciones seleccionadas al azar se muestran en la . El valor “antes” se compara con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de una clase de malabares. Antes de que empezara la clase seis sujetos hicieron malabares con todas las pelotas que pudieron a la vez. Después de la clase, los mismos seis sujetos hicieron todos los malabares que pudieron con las pelotas. Se calculan las diferencias en el número de pelotas. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Un médico quiere saber si un medicamento para la presión arterial es eficaz. A seis sujetos se les toma la presión arterial y se registra. Después de doce semanas de uso del medicamento, se vuelve a tomar la presión arterial de los mismos seis sujetos. Para esta prueba, solo se considera la presión sistólica. Prueba al nivel de significación del 1 %.
### Tarea para la casa
INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se probó un nuevo medicamento para la prevención del sida en un grupo de 224 pacientes con VIH positivo. Cuarenta y cinco pacientes desarrollaron sida después de cuatro años. En un grupo de control de 224 pacientes con VIH positivo, 68 desarrollaron sida al cabo de cuatro años. Queremos comprobar si el método de tratamiento reduce la proporción de pacientes que desarrollan sida al cabo de cuatro años o si las proporciones del grupo tratado y del grupo no tratado se mantienen igual.
Supongamos que el subíndice t = paciente tratado y nt = paciente no tratado.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se realiza un experimento para demostrar que la presión arterial se puede reducir conscientemente en personas entrenadas en un “programa de ejercicios de biorrealimentación”. Se seleccionaron seis sujetos al azar y se registraron las mediciones de la presión arterial antes y después del entrenamiento. Se calculó la diferencia entre las presiones sanguíneas (después – antes) lo que arrojó los siguientes resultados
= −10,2 s = 8,4. Use los datos y compruebe la hipótesis de que la presión arterial ha disminuido después del entrenamiento.
### Resúmalo todo
Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Indique cuál de las siguientes opciones identifica mejor la prueba de hipótesis.
1. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas
2. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas
3. muestras coincidentes o emparejadas
4. media simple
5. dos proporciones
6. proporción única |
# La distribución chi-cuadrado
## Introducción
¿Alguna vez se ha preguntado si los números de la lotería se distribuyen uniformemente o si algunos números se producen con mayor frecuencia? ¿Qué tal si los tipos de películas que prefiere las personas son diferentes en los distintos grupos de edad? ¿Y si una máquina de café dispensara aproximadamente la misma cantidad de café cada vez? Podría responder estas preguntas mediante una prueba de hipótesis.
Ahora estudiará una nueva distribución, la cual se utiliza para determinar las respuestas de estas preguntas. Esta distribución se denomina distribución chi-cuadrado.
En este capítulo aprenderá las tres principales aplicaciones de la distribución chi-cuadrado
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# La distribución chi-cuadrado
## Datos sobre la distribución chi-cuadrado
La notación para la distribución chi-cuadrado es:
donde df = grados de libertad, lo cual depende de cómo se utilice el chi-cuadrado (si quiere practicar el cálculo de probabilidades chi-cuadrado, utilice df = n – 1. Los grados de libertad para los tres usos principales se calculan cada uno de forma diferente).
Para la distribución χ, la media poblacional es μ = df y la desviación típica poblacional es
.
La variable aleatoria se muestra como χ, aunque puede ser cualquier letra mayúscula.
La variable aleatoria para una distribución chi-cuadrado con k grados de libertad es la suma de variables k normales cuadradas independientes.
χ2 = (Z1)2 + (Z2)2 + ... + (Zk)2
1. La curva no es simétrica y es asimétrica hacia la derecha.
2. Hay una curva de chi-cuadrado diferente para cada df.
3. El estadístico de prueba para cualquier prueba es siempre mayor o igual a cero.
4. Cuando df > 90, la curva chi-cuadrado se aproxima a la distribución normal. Para X ~
la media, μ = df = 1.000 y la desviación típica, σ =
= 44,7. Por tanto, X ~ N(1.000, 44,7), aproximadamente.
5. La media, μ, se encuentra justo a la derecha del pico.
### Referencias
Datos de la Revista Parade.
“HIV/AIDS Epidemiology Santa Clara County”, Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara, mayo de 2011.
### Repaso del capítulo
La distribución chi-cuadrado es una herramienta útil para la evaluación en una serie de categorías de problemas. Estas categorías de problemas incluyen principalmente (i) si un conjunto de datos se ajusta a una determinada distribución; (ii) si las distribuciones de dos poblaciones son iguales; (iii) si dos eventos pueden ser independientes; y (iv) si hay una variabilidad diferente a la esperada dentro de una población.
Un parámetro importante en una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad df en un problema dado. La variable aleatoria en la distribución chi-cuadrado es la suma de cuadrados de df variables normales estándar, los cuales deben ser independientes. Las características clave de la distribución chi-cuadrado también dependen directamente de los grados de libertad.
La curva de la distribución chi-cuadrado es asimétrica hacia la derecha, y su forma depende de los grados de libertad df. Para df > 90, la curva se aproxima a la distribución normal. Los estadísticos de prueba basados en la distribución chi-cuadrado son siempre mayores o iguales a cero. Estas pruebas de aplicación son casi siempre pruebas de cola derecha.
### Revisión de la fórmula
χ2 = (Z1)2 + (Z2)2 + … (Z)2 variable aleatoria de distribución chi-cuadrado
μ = df distribución chi-cuadrado media de la población
Distribución chi-cuadrado de la desviación típica de la población
### Tarea para la casa
Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. |
# La distribución chi-cuadrado
## Prueba de bondad de ajuste
En este tipo de prueba de hipótesis se determina si los datos “se ajustan” a una determinada distribución o no. Por ejemplo, puede sospechar que sus datos desconocidos se ajustan a una distribución binomial. Se utiliza una prueba de chi-cuadrado (lo que significa que la distribución para la prueba de hipótesis es chi-cuadrado) para determinar si hay un ajuste o no. Las hipótesis nula y alternativa de esta prueba se pueden escribir en oraciones o plantear como ecuaciones o desigualdades.
El estadístico de prueba para una prueba de bondad de ajuste es:
donde:
1. O = valores observados (datos)
2. E = valores esperados (de la teoría)
3. k = el número de celdas o categorías de datos diferentes
Los valores observados son los valores de los datos y los valores esperados son los valores que se esperarían obtener si la hipótesis nula fuera cierta. Hay n términos de la forma
.
El número de grados de libertad es df = (número de categorías – 1).
La Si los valores observados y los correspondientes valores esperados no se aproximan entre sí, el estadístico de prueba puede ser muy grande y se situará en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado.
### Referencias
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU.
Datos del College Board. Disponible en línea en http://www.collegeboard.com.
Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., Current Population Reports.
Ma, Y., E. R. Bertone, E. J. Stanek III, G. W. Reed, J. R. Hebert, N. L. Cohen, P. A. Merriam, I. S. Ockene, “Association between Eating Patterns and Obesity in a Free-living US Adult Population”. American Journal of Epidemiology volume 158, n.º 1, pages 85-92.
Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal, “Prevalence of Obesity in the United States, 2009–2010”. NCHS Data Brief n.º 82, enero de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
Stevens, Barbara J., “Multi-family and Commercial Solid Waste and Recycling Survey”. Condado de Arlington, VA. Disponible en línea en http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Para evaluar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución específica, puede aplicar la prueba de hipótesis de bondad de ajuste que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que los datos proceden de la distribución supuesta. La prueba compara los valores observados con los valores que se esperarían tener si los datos siguieran la distribución supuesta. La prueba es casi siempre de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco.
### Revisión de la fórmula
estadístico de prueba de bondad de ajuste donde: O: valores observados E: valores esperados k: número de celdas o categorías de datos diferentes
df = k − 1 grados de libertad
Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes.
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un maestro predice cuál será la distribución de las notas del examen final y las registra en la .
La distribución real para una clase de 20 está en la .
Use la siguiente información para responder los próximos nueve ejercicios: los siguientes datos son reales. El número acumulado de casos de SIDA notificados en el condado de Santa Clara se desglosa por grupos étnicos como en la .
El porcentaje de cada grupo étnico en el condado de Santa Clara es el que figura en la .
### Tarea para la casa
Para cada problema use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: las columnas de la contienen la raza/etnia de escuelas públicas de EE. UU. para un año reciente, los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada para esa clase y la población estudiantil general. Supongamos que la columna de la derecha contiene el resultado de una encuesta realizada a 1.000 estudiantes locales de ese año que presentaron un examen de AP.
Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la UCLA realizó una encuesta a más de 263.000 estudiantes de primer año de 385 institutos universitarios en otoño de 2005. Los resultados de las especialidades esperadas de los estudiantes, por sexo, fueron presentado en . Supongamos que el año pasado se realizó una encuesta de seguimiento a 5.000 mujeres y 5.000 hombres que se graduaron para determinar cuáles eran sus especialidades reales. Los resultados se muestran en las tablas del y del . La segunda columna de cada tabla no suma el 100 % debido al redondeo.
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. |
# La distribución chi-cuadrado
## Prueba de independencia
Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos).
El estadístico de prueba de independencia es similar al de la prueba de bondad de ajuste:
donde:
1. O = valores observados
2. E = valores esperados
3. i = el número de filas de la tabla
4. j = el número de columnas de la tabla
Hay términos de la forma
.
Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. La primera vez que se topó con el término independencia fue en Temas de probabilidad. A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo.
### Referencias
DiCamilo, Mark, Mervin Field, “Most Californians See a Direct Linkage between Obesity and Sugary Sodas. Two in Three Voters Support Taxing Sugar-Sweetened Beverages If Proceeds are Tied to Improving School Nutrition and Physical Activity Programs”. The Field Poll, publicado el 14 de febrero de 2013. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2436.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
Harris Interactive, “Favorite Flavor of Ice Cream”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/favorite-flavor-of-ice-cream (consultado el 24 de mayo de 2013)
“Youngest Online Entrepreneurs List”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/youngest-online-entrepreneur-list (consultado el 24 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Para evaluar si dos factores son independientes o no, puede aplicar la prueba de independencia que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba afirma que los dos factores son independientes. La prueba compara valores observados con valores esperados. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, 5.
### Revisión de la fórmula
2. El número de grados de libertad es igual a (número de columnas – 1)(número de filas – 1).
3. El estadístico de prueba es
donde O = valores observados, E = valores esperados, i = el número de filas de la tabla y j = el número de columnas de la tabla.
4. Si la hipótesis nula es verdadera, el número esperado
.
Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes.
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Transit Railroads se interesa por la relación entre distancia de viaje y clase de billete adquirido. Se toma una muestra aleatoria de 200 pasajeros. La muestra los resultados. La compañía quiere saber si la elección de la clase de billete de un pasajero es independiente de la distancia que debe viajar.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: en un artículo publicado en el New England Journal of Medicine, se habla de un estudio sobre los fumadores de California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos.
Indique la decisión y la conclusión (en una oración completa) para los siguientes niveles preconcebidos de α.
### Tarea para la casa
Para cada problema use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. |
# La distribución chi-cuadrado
## Prueba de homogeneidad
La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad, se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia.
HipótesisH: Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales. H: Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales.
Estadístico de pruebaUtilice un estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia.
Grados de libertad (df = número de columnas – 1
RequisitosTodos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco.
Usos comunesComparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles.
### Referencias
Datos del Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Disponible en línea en www.iihs.org/iihs/ratings (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Energy use (kg of oil equivalent per capita)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (consultado el 24 de mayo de 2013).
“Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013).
### Repaso del capítulo
Para evaluar si dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución, que no es necesario conocer, puede aplicar la prueba de homogeneidad que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que las poblaciones de los dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución. La prueba compara los valores observados con los valores esperados si las dos poblaciones siguieran la misma distribución. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco.
### Revisión de la fórmula
Estadístico de prueba de homogeneidad donde: O = valores observados E = valores esperados i = número de filas en la tabla de contingencia de datos j = número de columnas en la tabla de contingencia de datos
df = (i −1)(j −1) Grados de libertad
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: ¿Los médicos de consulta privada y los de hospital tienen la misma distribución de horas de trabajo? Supongamos que se selecciona al azar una muestra de 100 médicos de consultas privadas y 150 de hospitales y se les pregunta por el número de horas semanales que trabajan. Los resultados se muestran en la .
### Tarea para la casa
Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al |
# La distribución chi-cuadrado
## Comparación de las pruebas chi-cuadrado
Ha visto el estadístico de prueba χ2 utilizado en tres circunstancias diferentes. La siguiente lista con viñetas es un resumen que le ayudará a decidir qué prueba χ2 es la adecuada.
1. Bondad de ajuste: use la prueba de bondad de ajuste para decidir si una población con una distribución desconocida se “ajusta” a una distribución conocida. En este caso habrá una única pregunta de encuesta cualitativa o un único resultado de un experimento de una única población. La bondad de ajuste se utiliza normalmente para ver si la población es uniforme (todos los resultados se producen con la misma frecuencia), si la población es normal o si la población es la misma que otra población con una distribución conocida. Las hipótesis nula y alternativa son: H: La población se ajusta a la distribución dada. H: La población no se ajusta a la distribución dada.
2. Independencia: use la prueba de independencia para decidir si dos variables (factores) son independientes o dependientes. En este caso habrá dos preguntas o experimentos de encuesta cualitativa y se construirá una tabla de contingencia. La meta es ver si las dos variables no están relacionadas (independientes) o están relacionadas (dependientes). Las hipótesis nula y alternativa son: H: Las dos variables (factores) son independientes. H: Las dos variables (factores) son dependientes.
3. Homogeneidad: use la prueba de homogeneidad para decidir si dos poblaciones con distribuciones desconocidas tienen la misma distribución entre sí. En este caso, habrá una única pregunta o experimento de encuesta cualitativa que se aplicará a dos poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son: H: Las dos poblaciones siguen la misma distribución. H: Las dos poblaciones tienen distribuciones diferentes.
### Repaso del capítulo
La prueba de bondad de ajuste se suele usar para determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución. La prueba de independencia usa una tabla de contingencia para determinar la independencia de dos factores. La prueba de homogeneidad determina si dos poblaciones proceden de la misma distribución, aunque esta sea desconocida.
### Tarea para la casa
Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al
Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa.
### Resúmalo todo
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# La distribución chi-cuadrado
## Prueba de una sola varianza
Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal. Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población (o desviación típica de la población). El estadístico de prueba es:
donde:
1. n = el número total de datos
2. s2 = varianza de la muestra
3. σ2 = varianza de la población
Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población.
### Referencias
“AppleInsider Price Guides”. Apple Insider, 2013. Disponible en línea en http://appleinsider.com/mac_price_guide (consultado el 14 de mayo de 2013).
Datos del Banco Mundial, 5 de junio de 2012.
### Repaso del capítulo
Para comprobar la variabilidad, utilice la prueba de chi-cuadrado de una sola varianza. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble, y sus hipótesis se expresan siempre en términos de varianza (o desviación típica).
### Revisión de la fórmula
Prueba de una estadística de varianza única, donde: n: tamaño de la muestra s: desviación típica de la muestra σ: desviación típica de la población
df = n – 1 grado de libertad
2. Utilice la prueba para determinar la variación.
3. Los grados de libertad son el número de muestras – 1.
4. El estadístico de prueba es
, donde n = el número total de datos, s2 = la varianza de la muestra y σ2 = la varianza de la población.
5. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de un arquero para los disparos a meta es de seis (los datos se miden en distancia desde el centro del blanco). Un observador afirma que la desviación típica es menor.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de las alturas de los estudiantes de una escuela es de 0,81. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la desviación típica de las alturas de la muestra es de 0,96. Un investigador encargado del estudio cree que la desviación típica de las alturas de la escuela es superior a 0,81.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: El tiempo promedio de espera en la consulta del médico varía. La desviación típica de los tiempos de espera en una consulta médica es de 3,4 minutos. Una muestra aleatoria de 30 pacientes en la consulta del médico tiene una desviación típica de los tiempos de espera de 4,1 minutos. Un médico cree que la varianza de los tiempos de espera es mayor de lo que se pensaba en un principio.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios: Supongamos que una compañía aérea afirma que sus vuelos son siempre puntuales, con un retraso promedio de 15 minutos como máximo. Afirma que el retraso promedio es tan constante que la varianza no supera los 150 minutos. Dudando de la coherencia de la afirmación, un viajero descontento calcula los retrasos de sus próximos 25 vuelos. El retraso promedio de esos 25 vuelos es de 22 minutos, con una desviación típica de 15 minutos.
Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al |
# Regresión lineal y correlación
## Introducción
Los profesionales a menudo quieren saber cómo se relacionan dos o más variables numéricas. Por ejemplo, ¿existe una relación entre la calificación del segundo examen de Matemáticas que toma un estudiante y la calificación del examen final? Si hay una relación, ¿cuál es la relación y cuán fuerte es?
En otro ejemplo, puede que sus ingresos los determinen su educación, su profesión, sus años de experiencia y su capacidad. La cantidad que se paga a un reparador por la mano de obra suele estar determinada por una cantidad inicial más una tarifa por hora.
Los datos que se describen en los ejemplos son bivariados: "bi" de dos variables. En realidad, los estadísticos utilizan datos multivariantes, es decir, muchas variables.
En este capítulo, se estudiará la forma más sencilla de regresión: la "regresión lineal" con una variable independiente (x). Se trata de datos que se ajustan a una línea en dos dimensiones. También estudiará la correlación, que mide la fuerza de la relación. |
# Regresión lineal y correlación
## Ecuaciones lineales
La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma
donde a y b son números constantes.
La variable Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente.
El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta. Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación.
### Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal
Para la ecuación lineal y = a + bx, b = pendiente y a = intersección en y. De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a) donde la línea cruza el eje y.
### Referencias
Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades.
Datos del Centro Nacional de notificación de casos de gripe y prevención de TB de la agencia.
### Repaso del capítulo
El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma , donde y son constantes, es la variable independiente es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma , donde y son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx, la constante b, llamada coeficiente, representa la pendiente. La constante a recibe el nombre de intersección en y.
La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente (y) por cada incremento unitario de la variable independiente (x) , en promedio. La intersección en se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero.
### Revisión de la fórmula
y = a + bx donde a es la intersección en y y b es la pendiente. La variable x es la variable independiente, a la vez que la y es la variable dependiente.
Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Un centro vacacional alquila equipos de buceo a buceadores certificados. El complejo cobra una tarifa inicial de 25 dólares y otra de 12,50 dólares por hora.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Una compañía de tarjetas de crédito cobra 10 dólares por cada pago retrasado y 5 dólares por cada día de mora.
La contiene datos reales de las dos primeras décadas de presentación de informes sobre la gripe.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Una compañía de limpieza especializada cobra una tarifa por el equipo y una tarifa por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa el monto total de la tarifa que la compañía cobra por cada sesión es y = 50 + 100x.
Use la siguiente información para responder las próximas tres preguntas. Debido a la erosión, la orilla de un río pierde varios miles de libras de suelo cada año. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de suelo perdido por año es y = 12.000x.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El precio de una sola emisión de acciones puede fluctuar a lo largo del día. Una ecuación lineal que representa el precio de las acciones de Shipment Express es y = 15 - 1,5x donde x es el número de horas transcurridas en un día de ocho horas de negociación.
### Tarea para la casa
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# Regresión lineal y correlación
## Diagramas de dispersión
Antes de retomar el análisis de la regresión lineal y la correlación, necesitamos examinar una forma de mostrar la relación entre dos variables de la x y de la y. La forma más común y sencilla es el diagrama de dispersión. El siguiente ejemplo ilustra un diagrama de dispersión.
El diagrama de dispersión muestra la dirección de una relación entre las variables. Una dirección clara ocurre cuando hay:
Puede determinar la fuerza de la relación al observar en diagrama de dispersión lo cerca que están los puntos de una línea, una función de potencia, una función exponencial o algún otro tipo de función. Para la relación lineal hay una excepción. Considere un diagrama de dispersión en el que todos los puntos caen sobre una línea horizontal que proporciona un "ajuste perfecto". De hecho, la línea horizontal no mostraría ninguna relación.
Cuando se observa un diagrama de dispersión, hay que fijarse en el patrón general y en las desviaciones del patrón. Los siguientes ejemplos de diagramas de dispersión ilustran estos conceptos.
En este capítulo, nos interesan los diagramas de dispersión que muestran un patrón lineal. Los patrones lineales son bastante comunes. La relación lineal es fuerte si los puntos se acercan a una línea recta, excepto en el caso de una línea horizontal donde no hay relación. Si pensamos que los puntos muestran una relación lineal, nos gustaría dibujar una línea en el diagrama de dispersión. Esta línea se calcula mediante un proceso denominado regresión lineal. Sin embargo, solo calculamos una línea de regresión si una de las variables explica o predice la otra variable. Si la x es la variable independiente, mientras que la y es la variable dependiente, podemos utilizar una línea de regresión para predecir la y para un valor dado de la x
### Repaso del capítulo
Los diagramas de dispersión son especialmente útiles cuando queremos ver si existe una relación lineal entre los puntos de datos. Indican tanto la dirección de la relación entre las variables x y las variables y, como la fuerza de la relación. Calculamos la fuerza de la relación entre una variable independiente y una variable dependiente mediante una regresión lineal.
### Tarea para la casa
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# Regresión lineal y correlación
## La ecuación de regresión
Los datos rara vez se ajustan exactamente a una línea recta. Por lo general, hay que conformarse con predicciones aproximadas. Normalmente, se tiene un conjunto de datos cuyo diagrama de dispersión parece "ajustarse" a una línea recta. Esto se llama línea de mejor ajuste o línea de mínimos cuadrados.
La puntuación del tercer examen, x, es la variable independiente y la puntuación del examen final, y, es la variable dependiente. Trazaremos la línea de regresión que mejor se "ajuste" a los datos. Si cada uno de ustedes ajustara una línea "a ojo", trazarían líneas diferentes. Podemos utilizar lo que se llama una línea de regresión por mínimos cuadrados para obtener la línea de mejor ajuste.
Considere el siguiente diagrama. Cada punto de los datos tiene la forma (x, y) y cada punto de la línea de mejor ajuste utilizando la regresión lineal por mínimos cuadrados tiene la forma (x, ŷ).
La ŷ se lee "estimador de , a la vez que es el valor estimado de . Es el valor de y obtenido mediante la línea de regresión. Generalmente no es igual a la y de los datos.
El término y0 – ŷ0 = ε0 se denomina "error" o residual. No es un error en el sentido de una equivocación. El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y, además del valor estimado de y. En otras palabras, mide la distancia vertical entre el punto de datos real y el punto previsto en la línea.
Si el punto de datos observado se encuentra por encima de la línea, el residuo es positivo y la línea subestima el valor real de los datos para y. Si el punto de datos observado se encuentra por debajo de la línea, el residuo es negativo y la línea sobreestima ese valor de datos real para y.
En el diagrama de la , y0 - ŷ0 = ε0 es el residual del punto mostrado. Aquí el punto está por encima de la línea y el residuo es positivo.
ε = la letra griega épsilon
Para cada punto de datos, puede calcular los residuales o errores, yi - ŷi = εi para i = 1, 2, 3, ..., 11.
Cada |ε| es una distancia vertical.
Para el ejemplo de las puntuaciones del tercer examen y del examen final de los 11 estudiantes de Estadística, hay 11 puntos de datos. Por lo tanto, hay 11 valores ε. Si se eleva al cuadrado cada ε y se suma, se obtiene
Esto se denomina suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE).
Utilizando el cálculo, puede determinar los valores de a y b que hacen que la SSE sea un mínimo. Cuando hace la SSE un mínimo, ha determinado los puntos que están en la línea de mejor ajuste. Resulta que la línea de mejor ajuste tiene la ecuación:
donde
y
.
Las medias muestrales de los valores x y los valores y son
y
, respectivamente. La línea de mejor ajuste siempre pasa por el punto
.
La pendiente b puede escribirse como
donde s = la desviación típica de los valores de y y s = la desviación típica de los valores x. r es el coeficiente de correlación, que se analiza en la siguiente sección.
### Criterio de mínimos cuadrados para el mejor ajuste
El proceso de ajuste de la línea de mejor ajuste se denomina regresión lineal. La idea de hallar la línea de mejor ajuste se basa en la suposición de que los datos están dispersos alrededor de una línea recta. El criterio para la línea de mejor ajuste es que la suma de errores al cuadrado (SSE) se minimice, es decir, que sea lo más pequeña posible. Cualquier otra línea que se elija tendrá una SSE mayor que la línea de mejor ajuste. Esta línea de mejor ajuste se denomina línea de regresión por mínimos cuadrados .
EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINAL:
El gráfico de la línea de mejor ajuste para el ejemplo del tercer examen o examen final es el siguiente:
La línea de regresión de mínimos cuadrados (línea de mejor ajuste) para el ejemplo del tercer examen o examen final viene dada por la ecuación:
### ENTENDER LA PENDIENTE
La pendiente de la línea, b, describe cómo se relacionan los cambios en las variables. Es importante interpretar la pendiente de la línea en el contexto de la situación representada por los datos. Debería ser capaz de escribir una frase interpretando la pendiente en inglés sencillo.
INTERPRETACIÓN DE LA PENDIENTE: La pendiente de la línea de mejor ajuste nos indica cómo cambia la variable dependiente (y) por cada incremento unitario de la variable independiente (x), en promedio.
EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINALPendiente: La pendiente de la línea es b = 4,83. Interpretación: Por un aumento de un punto en la puntuación del tercer examen, la puntuación del examen final aumenta en 4,83 puntos, en promedio.
### El coeficiente de correlación r
Además de mirar el diagrama de dispersión y ver que una línea parece razonable, ¿cómo se puede saber si la línea es un buen predictor? Utilice el coeficiente de correlación como otro indicador (además del diagrama de dispersión) de la fuerza de la relación entre x y y.
El coeficiente de correlación, , desarrollado por Karl Pearson a principios del siglo XX, es numérico y proporciona una medida de la fuerza y la dirección de la asociación lineal entre la variable independiente x y la variable dependiente y.
El coeficiente de correlación se calcula como
donde n = el número de puntos de datos.
Si se sospecha que existe una relación lineal entre x y y, entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal.
Lo que nos dice el VALOR de
Lo que nos dice el SIGNO de
La fórmula de r parece formidable. Sin embargo, las hojas de cálculo, los softwares estadísticos y muchas calculadoras pueden calcular rápidamente r. El coeficiente de correlación r es el elemento inferior de las pantallas de salida de LinRegTTest en las calculadoras TI-83, TI-83+ o TI-84+ (vea la sección anterior para las instrucciones).
### El coeficiente de determinación
La variable coeficiente de determinación y es el cuadrado del coeficiente de correlación, pero suele indicarse en porcentaje, en lugar de en forma decimal. Tiene una interpretación en el contexto de los datos:
1.
, cuando se expresa en porcentaje, representa el porcentaje de variación de la variable dependiente (predicha) y que puede explicarse por la variación de la variable independiente (explicativa) x utilizando la línea de regresión (de mejor ajuste).
2. 1 – , cuando se expresa como porcentaje, representa el porcentaje de variación en y que NO se explica por la variación en x utilizando la línea de regresión. Esto puede verse como la dispersión de los puntos de datos observados en torno a la línea de regresión.
Considere el ejemplo del tercer examen o examen final introducido en la sección anterior
### Repaso del capítulo
Una línea de regresión, o una línea de mejor ajuste, puede trazarse en un diagrama de dispersión y utilizarse para predecir los resultados de las variables x y y en un conjunto de datos dado o datos de muestra. Hay varias formas de hallar una línea de regresión, pero normalmente se utiliza la línea de regresión por mínimos cuadrados porque crea una línea uniforme. Los residuos, también llamados "errores", miden la distancia entre el valor real de y y el valor estimado de y. La suma de errores al cuadrado, cuando se ajusta a su mínimo, calcula los puntos de la línea de mejor ajuste. Las líneas de regresión pueden utilizarse para predecir valores dentro del conjunto de datos dado, pero no deben utilizarse para hacer predicciones de valores fuera del conjunto de datos.
El coeficiente de correlación r mide la fuerza de la asociación lineal entre x y y. La variable r tiene que estar entre -1 y +1. Cuando r es positivo, la x y la y tenderán a aumentar y disminuir juntas. Cuando r es negativo, x aumentará y y disminuirá, o lo contrario, x disminuirá y y aumentará. El coeficiente de determinación r2, es igual al cuadrado del coeficiente de correlación. Cuando se expresa en porcentaje, r2 representa el porcentaje de variación de la variable dependiente y que puede explicarse por la variación de la variable independiente x mediante la línea de regresión.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Una muestra aleatoria de 10 deportistas profesionales arrojó los siguientes datos, donde la x es el número de patrocinadores que tiene el jugador, mientras que la y es la cantidad de dinero que gana (en millones de dólares).
### Tarea para la casa
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# Regresión lineal y correlación
## Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación, r, nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre la x y la y. Sin embargo, la fiabilidad del modelo lineal también depende del número de puntos de datos observados en la muestra. Tenemos que observar tanto el valor del coeficiente de correlación r como el tamaño de la muestra n, conjuntamente.
Realizamos una prueba de hipótesis de la "significación del coeficiente de correlación" para decidir si la relación lineal en los datos de la muestra es lo suficientemente fuerte como para utilizarla para modelar la relación en la población.
Los datos de la muestra se utilizan para calcular r, el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r, es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido.
1. El símbolo del coeficiente de correlación de la población es ρ, la letra griega "rho".
2. ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido)
3. r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra)
La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n.
Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es "significativo".
Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”.
### COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS
1. Hipótesis nula:
2. Hipótesis alternativa:
SIGNIFICADO DE LAS HIPÓTESIS EN PALABRAS:
1. Hipótesis nula El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY ninguna relación lineal significativa (correlación) entre la x y la y en la población.
2. Hipótesis alternativa El coeficiente de correlación de la población ES significativamente DIFERENTE de cero. EXISTE UNA RELACIÓN LINEAL SIGNIFICATIVA (correlación) entre la x y la y en la población.
SACAR UNA CONCLUSIÓN:Hay dos métodos para tomar la decisión. Los dos métodos son equivalentes y dan el mismo resultado.
1. Método 1: Utilizar el valor
2. Método 2: Utilizar una tabla de valores críticos
En este capítulo de este libro de texto, utilizaremos siempre un nivel de significación del 5 %, α = 0,05
### MÉTODO 1: Utilizar un valor p para tomar una decisión
2. Decisión: rechazar la hipótesis nula.
3. Conclusión: "Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero".
2. Decisión: NO RECHAZAR la hipótesis nula.
3. Conclusión: "No hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación NO es significativamente diferente de cero".
2. Utilizará la tecnología para calcular el valor p. A continuación se describen los cálculos para estimar los estadísticos de prueba y el valor p:
3. El valor p se calcula mediante una distribución t con n – 2 grados de libertad.
4. La fórmula para el estadístico de prueba es
. El valor del estadístico de prueba, t, se muestra en la salida de la computadora o de la calculadora junto con el valor p. El estadístico de prueba t tiene el mismo signo que el coeficiente de correlación r.
5. El valor p es el área combinada en ambas colas.
Otra manera de calcular el valor p (p) dado por LinRegTTest es el comando 2*tcdf(abs(t),10^99, n-2) en 2nd DISTR.
2. Considere el ejemplo del tercer examen/examen final.
3. La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51 + 4,83x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos.
4. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (valor
H: ρ = 0
H: ρ ≠ 0
α = 0,05
1. El valor p es de 0,026 (a partir de la prueba LinRegTT en su calculadora o del software).
2. El valor p, 0,026, es inferior al nivel de significación de α = 0,05.
3. Decisión: Rechazar la hipótesis nula H
4. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la nota del tercer examen (x) y la nota del examen final (y) porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero.
Como
### MÉTODO 2: Utilizar una tabla de valores críticos para tomar una decisión.
Los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra pueden utilizarse para dar una buena idea de si el valor calculado de . Compare r con el valor crítico apropiado de la tabla. Si r no está entre los valores críticos positivos y negativos, el coeficiente de correlación es significativo. Si r es significativo, entonces puede utilizar la línea para la predicción.
### EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor crítico
Considere el ejemplo del tercer examen/examen final. La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51+4,83x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (
1. H: ρ = 0
2. H: ρ ≠ 0
3. α = 0,05
1. Utilice la tabla del "valor crítico al 95 %" para r con df = n - 2 = 11 - 2 = 9.
2. Los valores críticos son -0,602 y +0,602
3. Dado que 0,6631 > 0,602, r es significativo.
4. Decisión: rechazar la hipótesis nula.
5. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la calificación del tercer examen (x) y la calificación del examen final (y) porque el coeficiente de correlación es significativamente distinto de cero.
Como
### Supuestos para comprobar la significación del coeficiente de correlación
La comprobación de la significación del coeficiente de correlación requiere que se cumplan ciertos supuestos sobre los datos. La premisa de esta prueba es que los datos son una muestra de puntos observados tomados de una población mayor. No hemos examinado a toda la población porque no es posible ni factible hacerlo. Estamos examinando la muestra para sacar una conclusión sobre si la relación lineal que vemos entre x y y en los datos de la muestra proporciona una evidencia lo suficientemente contundente como para que podamos concluir que existe una relación lineal entre x y y en la población.
La ecuación de la línea de regresión que calculamos a partir de los datos de la muestra da la línea de mejor ajuste para nuestra muestra particular. Queremos utilizar esta línea de mejor ajuste para la muestra como una estimación de la línea de mejor ajuste para la población. Examinar el diagrama de dispersión y comprobar la importancia del coeficiente de correlación nos permite
2. Existe una relación lineal en la población que modela el valor promedio de la y para valores variables de la x. En otras palabras, el valor esperado de la y para cada valor en particular se encuentra en una línea recta en la población. (No conocemos la ecuación para la línea en la población. Nuestra línea de regresión de la muestra es nuestra mejor estimación de esta línea en la población).
3. Los valores de la y para cualquier valor en particular de la x se distribuyen normalmente alrededor de la línea. Esto implica que hay más valores de la y dispersos cerca de la línea que los que están más lejos. El supuesto (1) implica que estas distribuciones normales están centradas en la línea: las medias de estas distribuciones normales de los valores de la y se encuentran en la línea.
4. Las desviaciones típicas de los valores de la y de la población en torno a la línea son iguales para cada valor de la x. En otras palabras, cada una de estas distribuciones normales de los valores de la y tiene la misma forma y dispersión sobre la línea.
5. Los errores residuales son mutuamente independientes (sin patrón).
6. Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio.
### Repaso del capítulo
La regresión lineal es un procedimiento para ajustar una línea recta de la forma ŷ = a + bx a los datos. Las condiciones para la regresión son:
1. Lineal En la población, existe una relación lineal que modela el valor promedio de la y para distintos valores de la x.
2. Independiente Se supone que los residuales son independientes.
3. Normal Los valores de la y se distribuyen normalmente para cualquier valor de la x.
4. Varianza igual La desviación típica de los valores de la y es igual para cada valor de la x.
5. Aleatoria Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio.
La pendiente y la intersección de la línea de mínimos cuadrados estiman la pendiente β y la intersección α de la línea de regresión de la población (verdadera). Para estimar la desviación típica de la población de y, σ, utilice la desviación típica de los residuales, s.
. La variable ρ (rho) es el coeficiente de correlación de la población. Para comprobar la hipótesis nula H0: ρ = valor hipotetizado, utilice una prueba t de regresión lineal. La hipótesis nula más común es H0: ρ = 0, que indica que no existe una relación lineal entre la x y la y en la población. La función LinRegTTest de las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ puede realizar esta prueba (STATS TESTS LinRegTTest).
### Revisión de la fórmula
Línea de mínimos cuadrados o línea de mejor ajuste:
donde
a = intersección en y
b = pendiente
Desviación típica de los residuales:
donde
SSE = suma de errores al cuadrado
n = el número de puntos de datos |
# Regresión lineal y correlación
## Predicción
Recuerde el ejemplo del tercer examen o examen final.
Examinamos el diagrama de dispersión y mostramos que el coeficiente de correlación es significativo. Hallamos la ecuación de la línea de mejor ajuste para la calificación del examen final como una función de la calificación del tercer examen. Ahora podemos utilizar la línea de regresión por mínimos cuadrados para la predicción.
Suponga que quiere estimar, o predecir, la calificación media del examen final de los estudiantes de Estadística que obtuvieron 73 en el tercer examen. Las calificaciones del examen (valores oscilan entre 65 y 75. Dado que 73 está entre los valores de , sustituya x = 73 en la ecuación. Entonces:
Predecimos que los estudiantes de Estadística que obtienen una calificación de 73 en el tercer examen obtendrán una calificación de 179,08 en el examen final, en promedio.
### Referencias
Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades.
Datos del Centro Nacional de notificación de casos de gripe y prevención de TB de la agencia.
Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/compendia/statab/cats/transportation/motor_vehicle_accidents_and_fatalities.html
Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud.
### Repaso del capítulo
Después de determinar la presencia de un fuerte coeficiente de correlación y calcular la línea de mejor ajuste, puede utilizar la línea de regresión de mínimos cuadrados para hacer predicciones sobre sus datos.
Utilice la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Un minorista de productos electrónicos utilizó la regresión para hallar un modelo sencillo que prediga el crecimiento de las ventas en el primer trimestre del nuevo año (de enero a marzo). El modelo es válido para 90 días, donde x es el día. El modelo puede escribirse como sigue:
ŷ = 101,32 + 2,48x donde ŷ está en miles de dólares.
Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Una compañía de jardinería es contratada para cortar el césped de varios inmuebles grandes. El área total combinado de los inmuebles es de 1.345 acres. El ritmo al que una persona puede cortar el césped es el siguiente:
ŷ = 1350 - 1,2x donde x es el número de horas y ŷ representa el número de acres que quedan por cortarles el césped.
La contiene datos reales de las dos primeras décadas de notificación de casos de gripe.
### Tarea para la casa
|
# Regresión lineal y correlación
## Valores atípicos
En algunos conjuntos de datos, hay valores (puntos de datos observados), llamados valores atípicos. Los valores atípicos son puntos de datos observados que se alejan de la línea de mínimos cuadrados. Tienen grandes "errores", donde el "error" o residual es la distancia vertical de la línea al punto.
Los valores atípicos deben examinarse de cerca. A veces, por una u otra razón, no deben incluirse en el análisis de los datos. Es posible que un valor atípico sea el resultado de datos erróneos. Otras veces, un valor atípico puede contener información valiosa sobre la población estudiada y debe seguir incluyéndose en los datos. La clave está en examinar cuidadosamente las causas de que un punto de datos sea un valor atípico.
Además de los valores atípicos, una muestra puede contener uno o varios puntos que se denominan puntos influyentes. Se trata de puntos de datos observados que están alejados de los demás en la dirección horizontal. Estos puntos pueden tener un gran efecto en la pendiente de la línea de regresión. Para empezar a identificar un punto influyente, puede eliminarlo del conjunto de datos y ver si la pendiente de la línea de regresión cambia significativamente.
Se pueden utilizar computadoras y muchas calculadoras para identificar los valores atípicos de los datos. Los resultados de computadoras del análisis de regresión identifican tanto los valores atípicos como los puntos influyentes para que pueda examinarlos.
### Identificar los valores atípicos
Podríamos adivinar los valores atípicos al observar un gráfico del diagrama de dispersión y la línea de mejor ajuste. Sin embargo, nos gustaría contar con alguna directriz sobre la distancia que debe tener un punto para considerarse un valor atípico. Como regla general, podemos señalar como valor atípico cualquier punto que esté situado más de dos desviaciones típicas por encima o por debajo de la línea de mejor ajuste. La desviación típica utilizada es la de los residuales o errores.
Podemos hacerlo visualmente en el diagrama de dispersión al dibujar un par de líneas adicionales que estén dos desviaciones típicas por encima y por debajo de la línea de mejor ajuste. Todos los puntos de datos que se encuentren fuera de este par de líneas adicionales se marcan como posibles valores atípicos. Alternativamente, podemos hacerlo numéricamente, al calcular cada residual y compararlo con el doble de la desviación típica. En la TI-83, 83+ u 84+, el enfoque gráfico es más fácil. En primer lugar se muestra el procedimiento gráfico, seguido de los cálculos numéricos. Por lo general, solo tendrá que utilizar uno de estos métodos.
### Identificación numérica de los valores atípicos
En la , las dos primeras columnas son los datos del tercer examen y del examen final. La tercera columna muestra los valores ŷ predichos, calculados a partir de la línea de mejor ajuste: ŷ = -173,5 + 4,83x. Los residuales, o errores, se han calculado en la cuarta columna de la tabla: valor y observado - valor y predicho = y - ŷ.
s es la desviación típica de todos los valores y - ŷ = ε donde n = el número total de puntos de datos. Si se calcula cada residual, se eleva al cuadrado y se suman los resultados, se obtiene la suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE). La desviación típica de los residuales se calcula a partir de la SSE como:
En vez de calcular el valor de s nosotros mismos, podemos calcular s con la computadora o la calculadora. Para este ejemplo, la función de la calculadora LinRegTTest calculó s = 16,4 como la desviación típica de los residuales .
Buscamos todos los puntos de datos cuyo residual sea mayor que 2s = 2(16,4) = 32,8 o menor que –32.8. Compare estos valores con los residuales de la cuarta columna de la tabla. El único dato de este tipo es el del estudiante que tuvo una nota de 65 en el tercer examen y 175 en el examen final; el residual de este estudiante es 35.
### ¿Cómo afecta el valor atípico la línea de mejor ajuste?
Numérica y gráficamente, hemos identificado el punto (65, 175) como un valor atípico. Deberíamos repasar los datos de este punto para ver si hay algún problema con estos. Si hay un error, debemos corregirlo si es posible o eliminar los datos. Si son correctos, los dejaríamos en el conjunto de datos. Para este problema, supondremos que examinamos y descubrimos que estos datos atípicos son un error. Por lo tanto, seguiremos adelante y eliminaremos el valor atípico, para poder explorar cómo afecta los resultados, como experiencia de aprendizaje.
Calcule una nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación con los diez puntos restantes:
En las calculadoras TI-83, TI-83+ y TI-84+, elimine el valor atípico de L1 y L2. Con la función LinRegTTest, la nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son:
ŷ = –355,19 + 7,39x y r = 0,9121
La nueva línea con r = 0,9121 es una correlación más fuerte que la original (r = 0,6631) porque r = 0,9121 está más cerca de uno. Esto significa que la nueva línea se ajusta mejor a los diez valores de datos restantes. La línea puede predecir mejor la puntuación del examen final, dada la puntuación del tercer examen.
### Identificación numérica de valores atípicos: Calcular s y buscar valores atípicos manualmente
Si no tiene la función LinRegTTest, puede calcular el valor atípico del primer ejemplo; haga lo siguiente. Primero, eleve al cuadrado cada |
Las potencias al cuadrado son:
A continuación, añada (sume) todos los términos | mediante la fórmula:
(Recordemos que yi – ŷi = εi).
= 352 + 172 + 162 + 62 + 192 + 92 + 32 + 12 + 102 + 92 + 12
= 2440 = SSE. El resultado, SSE, es la suma de errores al cuadrado.
A continuación, calcule
El cálculo es .
Para el problema del tercer examen o examen final: .
A continuación, multiplique s por 2: (2)(16,47) = 32,94 32,94 está 2 desviaciones típicas lejos de la media de los valores y - ŷ.
Si midiéramos la distancia vertical desde cualquier punto de datos hasta el punto correspondiente de la línea de mejor ajuste y esa distancia fuera de al menos 2s, entonces consideraríamos que el punto de datos está "demasiado lejos" de la línea de mejor ajuste. A ese punto lo llamamos un potencial valor atípico.
Para el ejemplo, si alguno de los valores de y – ŷ| es al menos 32,94, el punto de datos correspondiente (x, y) es un posible valor atípico.
Para el problema del tercer examen o examen final, todos los |y – ŷ| son menores que 31,29, excepto el primero que es 35.
35 > 31,29 Es decir, |y – ŷ| ≥ (2)(s)
El punto que corresponde a |y – ŷ| = 35 es (65, 175). Por lo tanto, el punto de datos (65, 175) es un potencial valor atípico. Para este ejemplo, lo borraremos. (Recuerde que no siempre eliminamos un valor atípico).
El siguiente paso es calcular una nueva línea de mejor ajuste con los diez puntos restantes. La nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son:
ŷ = –355,19 + 7,39x y r = 0,9121
### Valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra
### Referencias
Datos de la Comisión de Medios y Arbitrios de la Cámara de Representantes, el Departamento de Salud y Servicios Humanos.
Datos de Microsoft Bookshelf.
Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales.
Datos del Manual de Médico, 1990.
Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales.
### Repaso del capítulo
Para determinar si un punto es un valor atípico, realice una de las siguientes acciones:
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. El diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas dedicadas al estudio y los resultados de los exámenes. La línea que se muestra es la línea calculada de mejor ajuste. El coeficiente de correlación es de 0,69.
### Tarea para la casa
### Resúmalo todo.
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El costo de un detergente líquido líder en el mercado en diferentes tamaños se indica en la . |
# Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
## Introducción
Muchas aplicaciones estadísticas en Psicología, Ciencias Sociales, Administración y Negocios y Ciencias Naturales involucran varios grupos. Por ejemplo, un ecologista está interesado en saber si la cantidad promedio de contaminación varía en varias masas de agua. A un sociólogo le interesa saber si la cantidad de ingresos que obtiene una persona varía según su educación. Un consumidor que busca un automóvil nuevo puede comparar el rendimiento por milla promedio de gasolina de varios modelos.
Para las pruebas de hipótesis que comparan promedios entre más de dos grupos, los estadísticos han desarrollado un método denominado "análisis de la varianza" (Analysis of Variance, ANOVA). En este capítulo estudiará la forma más simple de ANOVA llamada ANOVA de un factor o de una vía. También estudiará la distribución F, utilizada para el ANOVA de una vía, y la prueba de dos varianzas. Esto es solo un breve resumen del ANOVA de una vía. Estudiará este tema con mucho más detalle en futuros cursos de Estadística. El ANOVA de una vía, tal y como se presenta aquí, depende en gran medida de una calculadora o una computadora. |
# Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
## ANOVA de una vía
El propósito de una prueba de ANOVA de una vía es determinar la existencia de una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de varios grupos. De hecho, la prueba usa varianzas para ayudar a determinar si las medias son iguales o no. Para realizar una prueba de ANOVA de una vía hay que cumplir cinco supuestos básicos:
1. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.
2. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes.
3. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).
4. El factor es una variable categórica.
5. La respuesta es una variable numérica.
### Hipótesis nula y alternativa
La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos k:
H: μ1 = μ2 = μ3 = ... = μ
H: Al menos dos de las medias del grupo μ1, μ2, μ3, ..., μ no son iguales. Es decir, μ ≠ μ para algún i ≠ j.
Los gráficos, un conjunto de diagramas de caja y bigotes que representan la distribución de los valores con las medias de los grupos indicadas por una línea horizontal que atraviesa la caja, ayudan a comprender la prueba de hipótesis. En el primer gráfico (diagrama de caja y bigotes rojo), H: μ = μ = μ y las tres poblaciones tienen la misma distribución si la hipótesis nula es verdadera. La varianza de los datos combinados es, aproximadamente, igual a la varianza de cada una de las poblaciones.
Si la hipótesis nula es falsa, la varianza de los datos combinados es mayor, lo que se debe a las diferentes medias, como se muestra en el segundo gráfico (diagrama de caja verde).
### Repaso del capítulo
El análisis de varianza amplía la comparación de dos grupos a varios, cada uno de ellos un nivel de una variable categórica (factor). Las muestras de cada grupo son independientes y se deben seleccionar al azar a partir de poblaciones normales con varianzas iguales. Probamos la hipótesis nula de que las medias de la respuesta son iguales en todos los grupos versus la hipótesis alternativa de que las medias de uno o más grupos son diferentes a las de los demás. Una prueba de hipótesis de ANOVA de una vía determina si varias medias poblacionales son iguales. La distribución para la prueba es la distribución F con dos grados de libertad diferentes.
2. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal.
3. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes.
4. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas).
Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Hay cinco supuestos básicos que se deben cumplir para realizar una prueba de ANOVA de una vía. ¿Qué son?
### Tarea para la casa
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# Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
## La distribución F y el cociente F
La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se llama distribución, en honor al estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador.
Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F.
Para calcular el cociente se hacen dos estimaciones de la varianza.
1. Varianza entre muestras: Una estimación de σ2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada.
2. Varianza dentro de las muestras: Una estimación de σ2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada.
1. SSentre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras
2. SSdentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar.
Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza de la muestra y la desviación típica de la muestra en Estadística Descriptiva.
MS significa “media cuadrática“ (mean square, MS). MSentre es la varianza entre grupos y MSdentro es la varianza dentro de los grupos.
Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática
MSentre y MSdentro se pueden escribir como sigue:
1.
2.
La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MSentre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MSdentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MSdentro.
La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MSentre como MSdentro deberían estimar el mismo valor.
El cociente
Si MSentre y MSdentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MSentre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MSdentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MSentre será generalmente mayor que MSdentro. Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MSdentro sea mayor en una muestra determinada.
Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como:
Fórmula del cociente
2. n = el tamaño de la muestra
3. dfnumerador = k – 1
4. dfdenominador = n – k
5. s2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada)
6.
= la varianza de las medias muestrales
Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares.
La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H.
### Notación
La notación para la distribución F es F ~ F
donde df(num) = dfentre y df(denom) = dfdentro
La media de la distribución F es
### Referencias
Datos sobre el tomate, Escuela de Ciencias del Marist College (investigación inédita de un estudiante)
### Repaso del capítulo
El análisis de la varianza compara las medias de una variable de respuesta para varios grupos. El ANOVA compara la variación dentro de cada grupo con la variación de la media de cada grupo. El cociente de estos dos es el estadístico F de una distribución F con (número de grupos – 1) como grados de libertad del numerador y (número de observaciones – número de grupos) como grados de libertad del denominador. Estas estadísticas se resumen en la tabla de ANOVA.
### Revisión de la fórmula
dfentre = df(num) = k – 1
dfdentro = df(denom) = n – k
MSentre =
MSdentro =
F =
Cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño: F =
Media de la distribución F: µ =
donde:
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Se van a analizar grupos de hombres de tres zonas diferentes del país para determinar su peso medio. Las entradas en la son las ponderaciones de los diferentes grupos.
Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Las niñas de cuatro equipos de fútbol diferentes se someterán a pruebas para conocer la media de goles marcados por partido. Las entradas de la tabla son los goles por partido de los diferentes equipos. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la .
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir.
H: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ5
Hα: Al menos dos de las medias de grupo µ1, µ2, …, µ5 no son iguales. |
# Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
## Datos sobre la distribución F
Estos son algunos datos sobre la distribución
1. La curva no es simétrica, sino que está distorsionada hacia la derecha.
2. Hay una curva diferente para cada conjunto de df.
3. El estadístico F es mayor o igual a cero.
4. A medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador, la curva se normaliza.
5. Otros usos de la distribución F incluyen la comparación de dos varianzas y el análisis de varianza bidireccional. El análisis bidireccional queda fuera del alcance de este capítulo.
### Referencias
Datos de un aula de cuarto grado en 1994 en una escuela privada de kínder a 12.º grado en San José, CA.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets: Data for Fruitfly Fecundity. Londres: Chapman & Hall, 1994.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 50.
Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 118.
“MLB Standings – 2012”. Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012.
Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S. y Levine, M. M. (1992), “A Critical Appraisal of 98,6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich”, Journal of the American Medical Association, 268, 1578-1580.
### Repaso del capítulo
El gráfico de la distribución F es siempre positivo y es asimétrico hacia la derecha, aunque la forma puede ser redondeada o exponencial dependiendo de la combinación de grados de libertad del numerador y del denominador. El estadístico F es el cociente entre una medida de la variación de las medias de los grupos y una medida similar de la variación dentro de los grupos. Si la hipótesis nula es correcta, el numerador debe ser pequeño en comparación con el denominador. El resultado será un estadístico F pequeño y el área debajo de la curva F a la derecha será grande, lo que representa un valor p grande. Cuando la hipótesis nula de la igualdad de las medias de los grupos es incorrecta, el numerador debe ser grande comparado con el denominador, lo que da un estadístico F grande y un área pequeña (valor p pequeño) a la derecha del estadístico debajo de la curva F.
Cuando los datos tienen tamaños de grupo desiguales (datos no equilibrados), hay que utilizar las técnicas de la 13.2 La distribución F y el cociente de F para los cálculos manuales. Sin embargo, en el caso de datos equilibrados (los grupos tienen el mismo tamaño), se pueden utilizar cálculos simplificados basados en las medias y varianzas de los grupos. En la práctica, por supuesto, se suelen emplear softwares en el análisis. Como en cualquier análisis, se deben usar gráficos de diversa índole junto con técnicas numéricas. ¡Mire siempre con cuidado sus datos!
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Cuatro equipos de baloncesto tomaron una muestra aleatoria de jugadores con respecto a la altura que cada uno de ellos puede saltar (en pulgadas). Los resultados se muestran en la .
Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo juego en tres grupos diferentes. Cada grupo representa un mercado objetivo diferente para el juego. El desarrollador recopila las calificaciones de una muestra aleatoria de cada grupo. Los resultados se muestran en la
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir.
Introduzca los datos en su calculadora o computadora.
Indique las decisiones y conclusiones (en oraciones completas) para los siguientes niveles preconcebidos de α.
### Tarea para la casa
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La recopila el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. |
# Distribución F y análisis de varianza anova de una vía
## Prueba de dos varianzas
Otro uso de la distribución F es la prueba de dos varianzas. A menudo es conveniente comparar dos varianzas en vez de dos promedios. Por ejemplo, a los administradores del instituto universitario les gustaría que dos profesores que califiquen exámenes tengan la misma variación en su calificación. Para que una tapa se adapte a un recipiente, la variación de la tapa y del recipiente debe ser la misma. Un supermercado podría estar interesado en la variabilidad de los tiempos para procesar una compra en dos de sus cajas.
Para realizar una prueba F de dos varianzas, es importante que se cumplan estas condiciones:
A diferencia de la mayoría de otras pruebas de este libro, la prueba F para la igualdad de dos varianzas es muy sensible a las desviaciones de la normalidad. Si las dos distribuciones no son normales, la prueba puede dar valores p más altos o más bajos de lo debido de forma imprevisible. Muchos textos sugieren a los estudiantes que no utilicen esta prueba en absoluto, pero en aras de la exhaustividad la incluimos aquí.
Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que
y
son las varianzas de la población y
y
sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son n1 y n2. Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F:
F tiene la distribución F ~ F(n1 – 1, n2 – 1)
donde n1 – 1 son los grados de libertad del numerador y n2 – 1 son los grados de libertad del denominador.
Si la hipótesis nula es
, entonces el cociente F se convierte en
.
Si las dos poblaciones tienen varianzas iguales, entonces
y
tienen valores cercanos y
está cerca de uno. Pero si las dos variantes de la población son muy diferentes,
y
también suelen ser muy diferentes. Al elegir
ya que la mayor varianza de la muestra hace que el cociente
sea mayor que uno. Si
y
están muy separados, entonces
es un número grande.
Por lo tanto, si F es cercano a uno, la evidencia favorece la hipótesis nula (las dos varianzas de la población son iguales). Pero si F es mucho mayor que uno, entonces la evidencia es contraria a la hipótesis nula. Una prueba de dos varianzas puede ser de cola izquierda, derecha o de dos colas.
### Referencias
“MLB Vs. Division Standings – 2012” (MLB versus Clasificación de la División-2012) Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012/type/vs-division/order/true.
### Repaso del capítulo
La prueba F para la igualdad de dos varianzas se basa en gran medida en el supuesto de distribuciones normales. La prueba no es fiable si no se cumple este supuesto. Si ambas distribuciones son normales, el cociente de las dos varianzas muestrales se distribuye como un estadístico F, con grados de libertad en el numerador y el denominador que son uno menos que los tamaños de las muestras de los dos grupos correspondientes. Una prueba de hipótesis de prueba de dos varianzas determina si dos varianzas son iguales. La distribución para la prueba de hipótesis es la distribución F con dos grados de libertad diferentes.
2. Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente.
3. Las dos poblaciones son independientes entre sí.
### Revisión de la fórmula
F tiene la distribución F ~ F(n1 – 1, n2 – 1)
F =
Si σ1 = σ2, entonces F =
Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Hay dos supuestos que deben ser ciertos para hacer una prueba F de dos varianzas.
Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Dos compañeros de trabajo se desplazan desde el mismo edificio. Les interesa saber si hay alguna variación en el tiempo que tardan en ir al trabajo conduciendo un vehículo. Cada uno de ellos registra sus tiempos durante 20 trayectos. Los tiempos del primer trabajador tienen una varianza de 12,1. Los tiempos del segundo trabajador tienen una varianza de 16,9. El primer trabajador cree que es más coherente con sus tiempos de desplazamiento. Pruebe la afirmación al nivel del 10 %. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente.
Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Dos estudiantes están interesados en saber si hay o no variación en los resultados de sus exámenes en la clase de Matemáticas. En total son 15 los exámenes de Matemáticas que han presentado hasta ahora. Las notas del primer estudiante tienen una desviación típica de 38,1. Las notas del segundo estudiante tienen una desviación típica de 22,5. El segundo estudiante cree que sus resultados son más coherentes.
Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Dos ciclistas comparan las varianzas de sus ritmos globales en subidas. Cada ciclista registra su velocidad al subir 35 colinas. El primer ciclista tiene una varianza de 23,8 y el segundo de 32,1. Los ciclistas quieren ver si sus varianzas son iguales o diferentes. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente.
### Tarea para la casa
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# The Entrepreneurial Perspective
## Introduction
Phil Libin, cofounder and former CEO of Evernote, once said there are “lots of bad reasons to start a company. But there’s only one good, legitimate reason . . . it’s to change the world.”Robin Wauters. “Evernote CEO Phil Libin: ‘My Advice to Aspiring Entrepreneurs? Don’t Do It.’” Evernote is an example of an entrepreneurial startup. Its goal is to make our lives more organized and increase our personal memory abilities by storing necessary and desired information on the Evernote app. Evernote is designed to capture information through note taking (including pictures, web pages, drawings, and even audio), track and organize this material, and then save and archive the information. Evernote Corporation describes itself as “not only an organization, rather it is a family of professionals who are creative, innovative and experienced in their respective fields.”“Evernote SuccessStory.”
Around the globe, individuals, communities, and organizations advocate for and support the entrepreneurship movement. Many colleges and universities offer courses, degrees, and competitions for entrepreneurship teams. Communities provide support through services such as incubators that foster planning and startup activities. Organizations like UNESCO’s Global Action Programme on Education for Sustainable Development holds a Youth Entrepreneurship Competition annually.UNESCO. “Global Action Programme on Education for Sustainable Development.” n.d. https://en.unesco.org/gap That is where student Chloe Huang, in 2017, submitted her idea for an algae energy pavilion to the Education for Sustainable Development competition. Huang recognized the problem of lakes suffering from oversaturation of algae and saw a solution in converting the algae into a biofuel, creating green energy while alleviating an environmental problem.Chloe Huang. “Algae Energy Pavilion.”
In the examples of both Libin and Huang, the entrepreneurial products focus on the use of technology and improving life, but they also represent two vastly different approaches to entrepreneurship. Libin’s focus was on improving quality of life by allowing users to track and organize information in their business and personal lives, whereas Huang focused on a global environmental issue to sustainably improve water quality. Each idea solves a problem that many people might not even have noticed. Becoming aware of problems that need to be solved, then solving the problem to make our lives easier or better, is part of the entrepreneurial perspective. |
# The Entrepreneurial Perspective
## Entrepreneurship Today
### Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
1. Define entrepreneur and entrepreneurship
2. Describe types of entrepreneurial careers and lifestyles
3. Understand entrepreneurs as problem solvers
4. Explain current factors driving the growth of entrepreneurship
5. Compare differences in entrepreneurial opportunities around the globe
As we delve into the study of entrepreneurship, let’s define what we mean by the word entrepreneur. An entrepreneur is someone who identifies and acts on an idea or problem that no one else has identified or acted on. This combination of recognizing an opportunity to bring something new to the world and acting on that opportunity is what distinguishes an entrepreneur from a small business owner. A small business owner is someone who owns or starts a business that already has an existing model, such as a restaurant, whereas an entrepreneur is someone who creates something new. This new creation can be a new process or product, a business that identifies a new or unique target market, or a combination of ideas that creates a new approach or method, for example.
In a broader sense, what people consider an entrepreneur can vary. Some scholars strictly differentiate between entrepreneurs and small business owners.Hamid Bouchikhi. “A Constructivist Framework for Understanding Entrepreneurship Performance.” Others acknowledge that a small business owner may also be an entrepreneur—they are not mutually exclusive. Someone may start a venture that is not a completely new idea, but that introduces a product or service to a new region or market. Where does a franchise fall in this discussion? Again, there is not complete agreement, with some claiming that a franchisee and entrepreneur cannot be the same, and others arguing that a franchise is, indeed, an entrepreneurial venture. According to an article in Forbes, “In the for-profit world, an entrepreneur is someone who creates and runs a new business where one did not exist before. And, no, the McDonald’s franchisee didn’t create McDonald’s. But he certainly created a McDonald’s where there never was one before. Franchisees are entrepreneurs.”Paul B. Brown. “Franchisees Are Entrepreneurs (Let the Debate Begin).” The point is that small business owners and franchisees can be considered entrepreneurs. For the purposes of this course, you will learn the key principles of entrepreneurship alongside the concepts, strategies, and tools needed to succeed as a small business owner or franchisee.
Entrepreneurs have many different talents and focus on a variety of different areas, taking advantage of many opportunities for entrepreneurial ventures. An entrepreneurial venture is the creation of any business, organization, project, or operation of interest that includes a level of risk in acting on an opportunity that has not previously been established. For some entrepreneurs, this could be a for-profit venture; for other entrepreneurs, this could be a venture focused on social needs and take the form of a nonprofit endeavor. Entrepreneurs might take a variety of approaches to their entrepreneurial venture, such as those shown in .
In this course, you will explore these myriad avenues toward entrepreneurship.
### The Entrepreneurial Lifestyle and Career
People often have thought of entrepreneurs as corporate rebels, nonconformists, or activists. Being an entrepreneur has become synonymous with being an innovator, a change agent, or a risk taker. Regardless of job titles or descriptive characteristics, entrepreneurship has a universal appeal for how people think and engage with the world.
Choosing the path of entrepreneurship requires a willingness to take on calculated risks. The difference between risk and is due diligence, or conducting the necessary research and investigation to make informed decisions that minimize risk. Not everyone is comfortable letting go of a steady paycheck, especially when we know that there is no long-term guarantee that the paycheck will continue into the future. In one approach to minimizing personal financial risk, some startup entrepreneurs continue with their current employment while working on the side to develop their idea into a venture that eventually will generate an income. Until the venture requires near full-time work and generates income, maintaining an outside income works well for many entrepreneurial teams.
Consider the eyeglass startup Warby Parker (). Dave Gilboa and Neil Blumenthal, lead entrepreneurs for Warby Parker, were still working their normal jobs when they approached an angel investor with their idea. The angel investor asked a few questions and wasn’t impressed. This investor believed that Gilboa and Blumenthal should demonstrate their solid commitment to the venture by quitting their day jobs to dedicate more time and energy to Warby Parker. Instead of following that advice, Gilboa and Blumenthal kept their day jobs while they continued to work toward building their venture, and Warby Parker eventually became highly successful. There are many paths to becoming an entrepreneur, and many paths to creating a successful venture (see Entrepreneurial Journey and Pathways). It is important to identify the path that works best in your life—and for the venture—and that supports your goals and your unique situation and visions.
Within the entrepreneurial world, the idea of a lifestyle venture has evolved to mean a business in which the founders’ primary focus is the lifestyle they will attain through becoming entrepreneurs, rather than a primary interest in financial rewards through the selling of the business. Within the entrepreneurial world, harvesting is the typical exit strategy. The harvest is the point at which the investors and entrepreneurial team receive their return on creating and building the venture.
For a lifestyle venture, the entrepreneur is more likely to be a solo entrepreneur, someone who moves forward in starting a new venture without the support of a team or group of likeminded individuals who recognize the value or potential of an entrepreneurial idea that could potentially result in significant returns. A lifestyle venture is also more likely to be funded through family and friends, and more traditional methods such as a bank loan or a small business loan. This lifestyle includes greater freedom to decide areas of responsibilities, hours of contribution to the venture, and other decisions that support the desired lifestyle. An example of a startup lifestyle venture is The Wander Girls, a company that identified the unique concerns of women traveling alone.The Wander Girls. n.d. http://thewandergirls.com/ The Wander Girls organizes trips and events for groups of women traveling in India. A team member organizes the trip, travels with the female tourists, and handles daily interactions and transactions.
Another example of a lifestyle venture is based on how an entrepreneur aligns values, interests, and passions to create a balance between enjoying life and earning enough money to support those passions. Roxanne Quimby had a passion for living off the grid, creating her own life in the woods of Maine, and not being restricted by the rules and regulations required when working as an employee. After becoming a parent, Quimby faced the challenges presented by her lifestyle choices and started making candles to earn enough money to support her family. Eventually, Quimby’s lifestyle candle-making business expanded into the highly successful Burt’s Bees Corporation, moving her lifestyle business into a career as the CEO of Burt’s Bees (). After selling Burt’s Bees to Clorox Co., Quimby continued her passion for the north woods of Maine by donating land and money to create a wildlife sanctuary and preserve that land from development.
Quimby’s latest endeavors include creating a pasta company, My Pasta Art, focused on increasing employment opportunities for people in northern Maine,Mary Pols. “Making Pasta’s the New Focus for Roxanne Quimby.” and building the tourist industry to encourage people to enjoy the region’s beautiful habitat and scenery. Although she is highly successful from a financial perspective, money was never the motivation for her ventures. As you can see, there are many paths to finding your career in entrepreneurship, and multiple trigger points at which you might make the decision to become an entrepreneur.
### The Entrepreneur as a Problem Solver
What are some challenges you face in your life? Have you ever actively thought about how you could solve those problems? Or have you actively identified exactly what the problem is from an analytical perspective? We often have a tendency to jump quickly from noticing a problem to selecting a solution, with little understanding of whether we have even correctly identified the problem. Identifying the problem—and testing the potential, novelty, and feasibility of your solution—is an important part of resolving the problem. Often, when we start to explore the problem, we find that it has multiple causes. Among them are:
1. The need for something to be better, faster, or easier
2. The effects of changes in world on your industry, product, or service
3. Market trends based on geography, demographics, or the psychology of the customers
You will learn more about identifying opportunities in Identifying Entrepreneurial Opportunity and Problem Solving and Need Recognition Techniques.
One characteristic of a savvy entrepreneur is recognizing the ability to identify a problem from an opportunity-identification perspective. We might identify feeling hungry as a problem, but an entrepreneur would identify the problem using an opportunity-identifying perspective by determining how the problem could be translated into an opportunity to create a new venture—perhaps combining the problem of feeling hungry between meals into a street kiosk or a vending machine with food choices or creating a new snack that is nutritious, satisfying, and portable. People need to eat, and they get hungry, but during a busy day with no open time or convenient food, people end up hungry. Rephrasing the problem, or need, from an opportunity viewpoint opens the search for a sustainable solution beyond the simple awareness of feeling hungry. We might solve this problem by opening a snack bar with offerings that contain essential vitamins and proteins, and is easy to transport with a long shelf life. Understanding the problem from the perspective of how to solve it for one person into how to solve it for multiple people rephrases the problem into an opportunity-identification perspective.
You might also have an interest in solving food-related problems on a larger scale. People trapped in a war-torn region may not be able to leave the safety of their shelters to find food, grow food, or barter for food, or they may not have the money to buy food. How could you reach your target market within a war-torn area? Red Cross emergency response vehicles traveled 2.5 million miles to deliver food, relief supplies, and support to communities affected by disasters during 2017.American Red Cross. “2017 in Review: Red Cross Delivers More Food, Relief Items, and Shelter Stays Than Last 4 Years Combined.” December 18, 2017. https://www.redcross.org/local/georgia/about-us/news-and-events/news/2017-in-Review-Red-Cross-Delivers-More-Food-Relief-Items-and-Shelter-Stays-than-Last-4-Years-Combined.html That’s the equivalent of driving around the globe 103 times. Could your idea of creating a snack bar fit into a partnership with the Red Cross?
Although this might seem like a simple problem with a simple solution, persevering from the recognition of a problem to finding a realistic solution, then moving that solution forward into a successful venture, requires an entrepreneurial mindset. Every day, people become entrepreneurs as they identify and solve problems, or face new challenges or frustrations, and resolve them in creating products or services to address these issues.
### Factors Driving the Growth of Entrepreneurship
Do you know anyone who has lost their job? Or who has been rejected or mistreated at work? Or had their income reduced, or benefits removed? Research shows that 47 percent of all US employment is at risk through artificial intelligence and other technologies, although there will also be new opportunities for jobs that currently don’t exist.Carl Benedikt Frey and Michael A. Osborne. “The Future of Employment: How Susceptible Are Jobs to Computerization?” These types of experiences and outlooks have provided the impetus for many people to start their own businesses. When we work for someone else, we are at the mercy of their decisions and actions, but we get paid and don’t carry the full risk of their decisions. When we work for ourselves, we get to make the decisions (not that making decisions is easy). But when we have our own business, we have greater control—in exchange, we also carry the risk for all decisions we make. This control over decision-making is one reason that some people find the world of entrepreneurship attractive.
Another contributing factor to the desire to become an entrepreneur is the excitement and fun of creating something new. Many entrepreneurs are excited at the idea of moving the concept through to the materialization of the idea.
A third factor that supports the growth in entrepreneurship is the combination of retirement and longer life expectancies. Many people enjoy working. For them, retirement consists of too much open time and not enough activities or the type of engagement with the outside world that fulfilled their needs during their working lives. Retirement also presents unique financial considerations, depending on an individual’s lifetime savings and planning. The combination of having available time and a desire for continued earnings encourages some older adults to explore their own entrepreneurial opportunities.
A fourth factor driving the growth of entrepreneurship is the expanding awareness and support of entrepreneurship as a viable career choice. In much of the twentieth century, families encouraged their children to find a stable career with a large corporation. During this era, there was a certain expectation of reciprocal loyalty between the employer and the employee based on some traditional employee-employer roles in that century. The general, informal agreement was that if employees came to work every day and fulfilled their responsibilities, they would have long-term employment with that corporation. But as competition increased and new business practices evolved, this unspoken guarantee no longer held true. The model of certainty of employment gradually disappeared. As people acquired a new perspective on their careers and income, they increasingly realized that we are all responsible for our own paths. Most studies suggest that people change their careers between three and seven times.Dawn Rosenberg McKay. “How Often Do People Change Careers?” Note that this is not how often people change jobs, but how often they change their careers, moving from one industry to another, or moving from one type of work to a different type of work. The older model of stability through working hard for someone else has vanished. This awareness and acceptance have encouraged recent generations to consider creating their own futures through entrepreneurial ventures.
Just as individuals have become aware of the benefits of entrepreneurship, communities and organizations have also become aware of how entrepreneurial ventures add economic development and enhancements worth supporting, bolstering opportunities for those who decide on this path.
### Entrepreneurship around the Globe
In the United States, entrepreneurial opportunities abound, relatively speaking. Between 1990 and 2014, the number of campus-based entrepreneurship education programs increased from 180 to over 2,000.Infographic.ly Team. “Infograpic: The Growth of Entrepreneurship around the Globe.” Comparing globally, the United States has the greatest number of entrepreneurial ventures, with Switzerland, Canada, Sweden, Denmark, and Australia following in order, according to Global Entrepreneurship Index, a global consulting firm ().
Why is the United States leading with the greatest number of entrepreneurial ventures? What does it take to become an entrepreneur? In addition to having an entrepreneurial mindset (see The Entrepreneurial Mindset), entrepreneurs also need education and funding to support their new ventures.
You will learn more about funding in Entrepreneurial Finance and Accounting, but as an introduction, you should know there are three primary sources of outside funding: family and friends, angel investors, and venture capitalists. Some family members and friends are willing and able to invest money in helping the entrepreneurial team. An angel investor is someone who has available funds and an interest in supporting a new venture. They are often entrepreneurs who have successfully launched and harvested their own ventures, and who have an interest in helping other entrepreneurs in their startups, staying active in the entrepreneurial world, and a desire to receive a return on their investment in the venture. Angel investors often provide funding early in the life of a venture. As the venture grows, it typically requires more funding, at which time venture capitalists may invest in the venture. A venture capitalist (VC) is a group of people (or organizations) who pool resources to invest in entrepreneurial ventures, contributing larger sums of funds than are available through angel investors. In each funding round, investors receive an equity stake in the venture with expectations that at some point in the future, the venture will be sold, or harvested, at which time the investors will receive a return on their investment. Because they tend to be in larger groups, VCs typically have access to larger amounts of money and resources than individual angel investors. (You will also learn about other types of financing, such as bank loans and bootstrapping, in Entrepreneurial Finance and Accounting.)
In the United States, VCs contributed $72.3 billion in 2015 for 3,916 deals, or funding rounds. In China that same year, $49.2 billion were invested in 1,611 ventures.Infographic.ly Team. “Infographic: The Growth of Entrepreneurship around the Globe.” European VC investment totaled $14.4 billion and 1,598 deals. Tracking these numbers over time shows steady increases in VC funding as entrepreneurial ventures have become more common ().
Other factors that can affect entrepreneurial opportunity include employment rates, government policies, and trade issues. For example, in the Middle Eastern kingdom of Saudi Arabia, a newer driver of entrepreneurship includes a high unemployment rate with a large percentage of the population in its prime earning years. In the past, employment was less of a concern because of dependency on state support from oil revenue. The population received monthly allotments to cover expenses from state-owned oil production. More recently, the population has become restless, with a desire to become productive and have greater control over their own resources. And the rulers recognize that oil production income is volatile and unsustainable. Today, with more future-oriented leaders, countries in the Middle East desire to encourage their citizens to consider starting their own businesses.Infographic.ly Team. “Infographic: The Growth of Entrepreneurship around the Globe.” The example of entrepreneurship in the United States has spread around the globe, with other countries taking an interest in developing support systems to encourage their populations to become entrepreneurs.
As noted, the United States is a world leader in entrepreneurial innovation. Perhaps because the United States is, in large part, a nation of immigrants, with people arriving from all over the world, Americans have few prescribed traditions that encourage conformity. America’s longstanding traditions and reputation for individualism, ingenuity, and self-reliance have reinforced this mindset. However, the governments of other nations have discouraged their citizens from independent or innovative thinking. Some cultures emphasize political, cultural, and economic unity, and place a strong value on not being noticed, blending in, and following prescribed habits and traditions. Countries like Japan, France, Russia, China, and others continue to reflect these norms. Other countries have complex bureaucracies that prevent quick responses and place barriers to entrepreneurial activities. Parts of worldwide economic structures (banking, investments, and technology) are not accessible or even explicitly exclude some nations and the poor. Systems like this discourage people from coming forward with entrepreneurial ideas because the culture and bureaucracy prevent people from finding access to information necessary for the successful advancement of an idea. In contrast, other countries are noticing the benefits of encouraging their populations to become more open-minded and creative through new ventures.
Key characteristics that encourage entrepreneurship include support for freedom to create and innovate. What conditions encourage creativity and innovation? Acceptance of failure is a key characteristic for success as an entrepreneur. Many of the great inventions in the United States resulted after dozens of failures, as when Thomas Edison eventually developed a working light bulb. Edison identified a problem: Once the sun set, working hours were restricted, as were daily activities such as reading a book or washing dishes. Edison, along with many other inventors, recognized the need for an artificial light source. Consider how complex this idea was and how many failures must have occurred before creating a product that emitted light.
Another condition that encourages entrepreneurial behavior is the ability and opportunity to connect with other people to discuss ideas, problems, challenges, and solutions. This connection with other people, in an open environment that supports the exchange of ideas, is essential for encouraging creativity and innovation.
With the advent of the Internet, people around the planet are becoming increasingly aware of geopolitical and environmental situations across the globe. As more people observe these changes and situations, more people exchange ideas. These discussions can generate new opportunities for people to discover methods for solving problems. Any one of us could be living in one country but identifying a problem in another country. Given our interests and backgrounds, we could actively choose to develop a solution for that problem. What we need, as a general approach, is an efficient and transparent way to form companies and enable constructive competition, along with continued free and fair trade.
These are just some of the areas that many nations and organizations consider as they seek to encourage a transition away from group-prescribed thinking toward uniquely individual entrepreneurial ideas. Each of us encounters life from a different perspective. Although we all might recognize the restrictions presented by the sun setting every night, only a few people might question why we couldn’t change that situation by creating our own light. Similarly, someone in another country may observe our country (or vice versa) and ask why that country has a particular problem. Meanwhile, people living with that problem may have become so accustomed to it that they might not recognize the opportunity to seek solutions.
Increasing opportunities in entrepreneurial education are also driving growth. More colleges and universities are teaching entrepreneurial studies and opening entrepreneurial centers that encourage students from every discipline to become entrepreneurs.National Survey of Entrepreneurship Education. n.d. www.nationalsurvey.org,“The Princeton Review & Entrepreneur Name the Top Undergraduate & Graduate Schools for Entrepreneurship Studies for 2020.” Cision PR Network. November 12, 2019. https://www.prnewswire.com/news-releases/the-princeton-review--entrepreneur-name-the-top-undergraduate--graduate-schools-for-entrepreneurship-studies-for-2020-300955876.html As the employment and entrepreneurial landscape continue to evolve, some institutions have started offering courses to prepare students for work in the gig economy.Diane Mulcahy. “Universities Should Be Preparing Students for the Gig Economy.” In fact, some of the best new entrepreneurial ideas come from groups of students in different majors who collaborate to create new, innovative business ideas that meet specific needs and challenges in today’s world. In some cases, students from different universities around the globe are connecting to come up with business ideas to solve global problems, such as the lack of clean drinking water and the need for medical vaccination programs. Technology and global travel have made such partnerships more common and very productive.
The world of entrepreneurship opens doors for each of us to look beyond our own self-created barriers and explore opportunities around the world. Consider the creation of Starbucks, borne from the realization of how pleasant it can be to sit at a European café and drink excellent coffee. Awareness of an idea that is commonplace in one country, but new to a different country, presents the possibility of introducing that idea to another nation. In the Starbucks example, was there a problem that needed to be solved? Not necessarily, but the founder, Howard Schultz, had a desire to bring a specific quality-of-life element from one country to another, a business idea with an entrepreneurial aspect. One of the entrepreneurial aspects of creating Starbucks was the idea of mass expansion of coffee shops. Prior to Starbucks, the idea of creating a high-quality coffee drink hadn’t been developed. Even more significant was the idea of expanding the business across the United States and then around the world.
Given the growth of coffee shops throughout the United States, we might not think that this idea is innovative, but before Starbucks, coffee typically was served at a diner, and it was served out of habit, rather than as the main attraction. With Starbucks, people changed their ideas about coffee and their coffee-drinking habits. Although businesses like Dunkin’ Donuts served coffee, their focus was on selling donuts, not coffee. As Starbucks grew through repositioning coffee as their main product, other companies like Dunkin’ Donuts and McDonalds realized the missed opportunity in not reinventing the coffee market with multiple choices of high-quality coffee. In fact, Dunkin’ Donuts has changed its name to just “Dunkin,” removing the emphasis on doughnuts.Kate Taylor. “Dunkin’ Donuts Is Officially Dropping the ‘Donuts’ from Its Name Despite Earlier Backlash.”
### Social and Environmental Issues and Opportunities
A social entrepreneur has an interest in solving a social, environmental, or economic problem. A social entrepreneur identifies a problem with a social or community focus, a concern for quality of life, or concern for our entire planet’s health (you will learn more about social entrepreneurship in The Ethical and Social Responsibilities of Entrepreneurs). One such person is Angad Daryani, a young serial inventor. Daryani left school in the ninth grade to join the Media Lab at the Massachusetts Institute of Technology (MIT), where he worked on an industrial-scale air filter to clean pollutants and carcinogens out of our planet’s air. Daryani’s home country of India is the world’s third largest emitter of carbon dioxide, according to Global Carbon Atlas, behind China and the United States ().“Fossil Fuel Emissions.” Global Carbon Atlas. 2017. http://www.globalcarbonatlas.org/en/CO2-emissions
Not only is Daryani interested in solutions for air pollution, but his product will also provide financial gains and add to his personal credibility as a serial entrepreneur, or someone who starts and harvests multiple entrepreneurial ventures. Darvani describes himself as an inventor and social entrepreneur, combining his interest in improving lives through a variety of entrepreneurial ventures including products like Sharkits (a do-it-yourself-kit company that teaches children how to build technology), the SharkBot 3D Printer (an attractive, low-cost, and reliable 3D printer), and several other projects that combine technology and human needs. As each of these products advances to commercialization, the products and technology are becoming more applicable for other uses as well. For more examples of projects that Darvani is working on, take a look at his website (http://www.angadmakes.com), which includes videos and articles, and highlights the international recognition he has received for his innovative work.
### Summary
An entrepreneur is someone who takes on an entrepreneurial venture to create something new that solves a problem; small business ownership and franchising are also entrepreneurial options. The venture could be for profit or not for profit, depending on the problem it intends to solve. Entrepreneurs can remain in a full-time job while pursuing their ideas on the side, in order to mitigate risk. On the opposite end of the spectrum, entrepreneurs can take on lifestyle ventures and become serial entrepreneurs. There are many factors driving the growth of entrepreneurship, including employment instability, motivation to create something new, financial factors and free time associated with retirement, and the greater acceptance of entrepreneurship as a career choice. The cultures of nations around the world affect the ability for entrepreneurs to start a venture, making the United States a leader in entrepreneurial innovation. Entrepreneurs often find inspiration in social, environmental, and economic issues.
### Review Questions
### Discussion Questions
### Case Questions
### Suggested Resources
https://www.entrepreneurship-campus.org
https://youtu.be/zV2vi8FilLM |
# The Entrepreneurial Perspective
## Entrepreneurial Vision and Goals
### Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
1. Define an entrepreneurial vision
2. Develop a vision statement
When you think of yourself as a successful entrepreneur, what types of images or feelings do you experience? Do you find yourself daydreaming about creating the next great solution to society’s problems, or do you see yourself providing a solution for the next health or environmental crisis? Maybe you can imagine yourself creating something that equally balances art, function, and ingenuity.
This section is designed to help you develop your entrepreneurial vision. Vision is an important part of everyone’s future, and this is especially true for entrepreneurs. Establishing your vision is the first of several steps toward making your venture a reality.
Many would-be entrepreneurs aspire to launch the next great business or organization that will change the world. Some know exactly what they want to create, whereas others figure it out as they go along. Although there is no secret to success, you do need to have some idea about what you envision for your entrepreneurial future. What do you see in your future? How do you want to contribute to the world?
### Entrepreneurial Vision
Every successful entrepreneur that you encounter or read about likely started with an image or idea related to something he or she felt passionate about creating. This occurs even when the person has no idea how (or if) what they desire to accomplish or create will become a reality. An entrepreneur’s vision is the start of a roadmap that will determine where he or she wants to go with their entrepreneurial efforts. Vision speaks to what the entrepreneur wants the business to look like in the future—perhaps five or ten years out. Unfortunately, many potential entrepreneurs have dreams and ideas but never develop a concrete vision. A vision statement is the picture you have for what the venture will become in the future: what it will grow into. Be aware, though, that oftentimes, the identified vision at the start of the venture changes into something different. In later chapters, we discuss how this change requires open-mindedness and a willingness to adapt. The mission statement is a formal declaration about what the venture will do, what value it will provide to the end customer, and how it will accomplish this action. In describing your mission, carefully think about the value proposition that you provide. The value proposition is a summary statement that conveys the benefits your product, service, or unique business process/model provides to customers. This relates back to the perspective of problem solving. Not only do you need to solve the problem, but you also must provide value. We might solve a problem, but if the value proposition isn’t relevant or seen as “real” by the customer, the venture will probably not be successful. Both concepts of a future vision and the mission of the venture should be formalized into statements.
In spite of your best efforts, you may have trouble putting your entrepreneurial vision on paper. This is normal, especially in the early stages of the process. You may want to start with an outline and fill in the details later. Or set aside a short time each day that you can spend on this task so you train your mind to think about the vision you are setting for yourself. If you experience a mental block, try changing your environment—go outside, try a different time of day, or go to a setting that has similarities to the business you are interested in creating. You might also consider talking with someone who has experience in the industry to give you suggestions. Or better yet, find a mentor in your chosen area of interest and keep this person apprised of your progress. Having someone to bounce ideas off is a great asset to have when imagining the possibilities of the future.
An entrepreneurial vision considers what you want your venture to become, what this venture will look like, what the driving forces are, and what values and culture should surround it. Each individual entrepreneur has a unique picture of what the venture will become. For example, Kevin F. Adler wanted to help homeless people. He created Miracle Messages, a volunteer-based nonprofit organization with a goal of helping homeless people reconnect with loved ones. The vision for this organization includes building a vast network of volunteers and partnerships to stop homelessness and bring people together. This vision is about creating community, helping each other, and strengthening communities. The business model encourages homeless people to create short Miracle Messages through video, audio, or text, with messages then uploaded to social media and other methods to find that person’s loved one.
In an entrepreneurial venture, when the vision has a shorter timeline, such as five years, it could focus on a local problem or situation, and over time evolve into a vision that is broader and includes more diverse markets or populations. Your vision should inspire the people involved in your startup to support your venture. Use your imagination to create this picture of your venture with a focus on the future of the venture. Even though entrepreneurs use their imaginations and creativity in developing this picture, they also need to understand the venture’s industry, the competition, and trends that are evolving or might evolve in the future. This information helps guide the vision for the venture and define how it is uniquely different from any other business. Ideally, the vision should be insightful, bold, inspirational, and believable, and it should be developed into a formal vision statement.
The vision statement should also be clearly stated and discussed with the startup team. Although you might not have a startup team, a mentor, or a support group developed yet, to create an entrepreneurial venture, you will need support. Your support network understands that working without pay is often the normal situation at the beginning, with the potential for financial rewards coming when the venture is harvested or sold. For some entrepreneurs, knowing the vision includes the sale of the venture to another group or corporation is difficult to accept. However, that is the point at which the venture can grow to become ever more viable. Alternatively, if your vision is to be a small business owner, such as owning a franchise, then you are buying into a business plan package that has already fine-tuned the processes and decisions to support your success as the owner/manager of that business. A small business owner starts or buys into a business idea that already exists, whereas an entrepreneur is someone who seeks to create something new through either new products, services, methodologies, or combinations of ideas that create a new venture or organization.
The lead entrepreneur should share the vision statement with employees and investors, as these groups are formalized, communicating what this vision means personally and to the success of the venture. You might also need to revisit this vision as your venture grows, making changes based on your decisions and knowledge about your industry, products, and customers’ needs. Even if your vision statement changes based on new information and decisions, creating an initial vision statement is a valuable step and will help guide your decisions.
### Creative Approaches to Developing Your Vision
There are many definitions of and ways to express creativity (you will learn more about creativity in Creativity, Innovation, and Invention). Artists typically show their creative side in their art, musicians show their creativity through music, and writers express their creativity in writing. Others express technical creativity through cell phone innovations or new car technology. It is up to you to determine how you will express your creativity in your venture and in your professional life. In most cases, when people follow their passions, their creativity flows from that passion.
One approach to discovering your vision for your future is to begin with the end in mind. What picture of your desired future do you have in mind? How could this vision fit with the ideas you have of creating a successful venture? Notice that these questions are about both your personal future and the vision for your venture’s future. These two pictures should coexist. The vision for your personal future should allow for the necessary resources to support the venture’s future, just as the venture’s future will provide for your personal future. We will discuss work-life balance later in the chapter to help you identify what creates success as you describe your vision.
Another approach to developing your vision is to use a creative thinking process. This type of thinking allows people to come up with ideas that they might not have had without adopting a creative mindset. The creative thinking process (covered in more depth in Creativity, Innovation, and Invention) has four steps: preparation, incubation, illumination, and verification ().
In the preparation stage, gather information and collect ideas. As part of the process of tapping into creative ideas, you can apply divergent thinking by generating as many ideas as possible, even when those ideas do not seem logical. Create a list of conflicting ideas, or ideas that are diverse and disparate. is the first step of the creative thinking process. The next action is to walk away from thinking about the activity: . We are programming our minds to realize that the work done in preparation is an important topic for consideration. When we walk away from consciously thinking about the activity or problem, we allow our unconscious minds to continue to think about the activity, even though our conscious minds are busy doing other things. This incubation period is essential for advancing creativity. In the incubation stage, you might go for a walk, take a nap, or just continue with your daily activities. At some point, you may have a sudden inspiration or —an aha! moment—that clearly addresses the activity or problem you want to solve. In this step, the answer often pops into our conscious minds, and we recognize how to proceed. The last step is , crafting our vision statement or message, or responding to the exercise in creative thinking. You can apply this creative thinking process to many different business situations. Once we further develop and crystallize our ideas (the Business Model Canvas discussed in Launch for Growth to Success is a good tool for this activity), we provide an opening for a creative and viable solution as we continue to think about the issue.
Design thinking, brainstorming, and mind mapping are tools that you will learn about later in the course. Although these tools may be familiar, there are specific methodologies that can optimize their success in entrepreneurial situations. Brainstorming requires that participants generate ideas around the desired topic without judgment. You can do this alone or with others, but including other people provides a greater variety of ideas, as one person’s ideas might trigger another idea from someone else. Be sure to write down your thoughts so that you can return to them later. Brainstorming is different from divergent thinking, which does not require ideas to be associated with the identified topic. For example, in brainstorming on the topic of helping the homeless population, we might come up with ideas such as finding community food and housing, or providing free medical care. Using divergent thinking, we would arrive at more diverse ideas, such as filming homeless people then uploading the videos to a social media website to connect family members with the homeless person. These tools could incorporate divergent thinking in the idea-generation step, but typically, unless people are taught how to use divergent thinking, the ideas generated are more structured and constrained, and more logical. As much as we want to encourage divergent ideas, we also want to discourage any judgment around our ideas. Once we start judging our ideas, we restrict our creativity and end up with less than ideal solutions. Approach this process with some playfulness and relaxation.
Mind mapping is another popular technique for creative thinking. Here, you create an illustration on paper or a chalk board. Write down the words that come to mind then link those words together with lines in a diagram that shows how each word relates to the others. The idea is that one word can lead to another. You can discover associations that might not have been evident before you created the mind map.
You can conduct research on entrepreneurial ideas by creating surveys and asking people questions about their experiences related to your idea. For example, let’s say you are considering creating a new non-messy health food that can be eaten while commuting to work. You could ask people about their experiences eating while commuting to work or ask questions about nutritional concerns or diets. Or you could find secondary data on when people eat, eating while commuting, popular diets, or other related topics. Or you could find case studies that focus on a few in-depth similar areas of interest or perform your own case studies by selecting a few peers to track their eating habits. Or you could create a prototype of your product and ask people to tell you about their experience using your product. You will learn more about research strategies in Identifying Entrepreneurial Opportunity, Problem Solving and Need Recognition Techniques, and Entrepreneurial Marketing and Sales.
### Achieving Balance
Entrepreneurship comes with many challenges because the entrepreneur must wear many hats. This is especially true if the entrepreneur is the only employee in the business. But regardless of the business model, all entrepreneurs must be able to achieve balance in their lives between their dedication to growing their entrepreneurial venture and their personal life. Developing a vision that includes different areas of your professional and personal life can help make this type of balance achievable.
How do you define balance in your life? What areas do you consider when you think about a balanced life? Having enough money to support your lifestyle might be one goal. Other areas might include physical activities or hobbies, social interactions and entertainment, satisfaction with how you earn money, your family and personal relationships, and other interests and values. Some entrepreneurs start lifestyle ventures to achieve this balance. But how do we achieve balance when our goal is to be a career entrepreneur?
A career entrepreneur is someone who takes on the daily management as the owner of the venture, accepting, and perhaps enjoying, the daily risks and rewards of managing and building the venture such as Roxanne Quimby. For Roxanne Quimby, growing Burt’s Bees involved making difficult decisions, such as relocating from Maine to California to meet the growth needs of the company. Even though Roxanne wanted to provide employment opportunities to people in northern Maine, she knew that her business needed the right infrastructure for success, and that infrastructure wasn’t available in Maine. If you choose to become a career entrepreneur, your focus may be primarily on advancing your entrepreneurial idea into a successful venture, like Roxanne did with Burt’s Bees; this can come at the expense of personal life goals.
Many career entrepreneurs need support from family and friends who accept that the lead entrepreneur’s attention and energy are required for the success of the venture, and many lifestyle entrepreneurs will find challenges in meeting the needs of the venture while maintaining work-life balance. Discussions with family, close connections, and the entrepreneurial team should occur in the early idea-formulation stage to gauge the support of the people whose interests might be compromised by the entrepreneur’s dedication to advancing the venture.
Clearly defining your idea of success for your life, and for your venture, is an important step in achieving balance. What are your priorities? What can you do to balance the success of your new venture, the success of your own life, and the success of your family? Considering that balancing all the roles that we have in life is a frustration point for many people, can you find an opportunity to create an entrepreneurial venture?
As you explore what success means for your venture and how your definition aligns with balance between your personal life and dedication to your venture, you should consider some of the unique challenges entrepreneurs can face. For example, there might be a learning curve in unfamiliar areas of business, such as accounting or finance. Or you might face a dilemma about whether to expand a product line, or whether or where to open a new location. Entrepreneurs often mention the physical requirements of starting up a business. Physical demands can include the sheer stamina needed to clean a new space, move in, and set up shop. Depending on your business, you also might need to adjust to being on call twenty-four/seven. Here again, developing a vision of where you want to be in the future can help you plan for the challenges you will face in the early stages of your business.
Entrepreneurship can be especially draining if you are not prepared for the tasks at hand—as can be the case with any professional or personal role. Therefore, self-care and emotional awareness can play a key role in maintaining your emotional health as an entrepreneur. Taking time for yourself is very important. This could involve creating a time management calendar. Tracking how you spend your time can keep you on schedule with tasks and prevent you from expending too much on any one area of the business or your personal life in detriment to the other. Taking time away from the business is emotionally healthy and can provide important perspective that can help you make better decisions. “Leaving work at the office” is a successful strategy that many business people use to separate their personal and professional lives. If this is not possible—for example, if you work from home—setting aside family or personal time can allow for work-life balance.
Having trusted advisors and mentors for your business and personal life can also promote emotional health. When you face a decision or challenge that you have difficulty with, it is important to have someone to talk to who knows you and knows your situation. Some entrepreneurs may find themselves in their first experience of leading others, with total responsibility for the outcomes as owner of the business. Every business person should have a personal leadership improvement plan. This plan can take the form of academic classes or professional coaching, but sometimes, it will be a personal commitment to improvement. You should identify your preferred leadership styles, as well as leadership strengths and weaknesses. It might be useful to look back on your own work experiences to identify which leadership traits you admired and which ones you didn’t. As with any other business skill set, you can learn and improve these strengths in yourself. You also can hire people with complementary skills to handle the areas that you feel unsure about.
Being aware of your own strengths and weaknesses, as well as of your preferences and dislikes, will help you achieve and maintain balance in your life. Having counselors, mentors, advisors, checklists, and timelines can keep you on track and prevent any one area of your business or personal life from taking over or being neglected.
### The Importance of Goals
Entrepreneurial vision imagines a future, whereas goals focus on a desired outcome. Although vision is key to creating the future that you want for yourself and your business, goals are important to help you realize the steps needed to make that vision a reality.
Read through your definitions of success and your vision statement. Now create a list of possible actions that will help you achieve success and accomplish your vision. Review your list and categorize the words and actions in terms of relevance and time frames.
SMART goals are well-structured and defined goals that are specific, measurable, achievable, realistic, and timely ().
1. Specific: Your goals should be precise rather than overly broad.
2. Measurable: You should be able to test in some quantifiable manner whether a goal has been met, meaning that there needs to be some method to determine if the goal has been met or not.
3. Achievable: The goal must be attainable; it cannot be so lofty that it cannot be accomplished. On the other hand, the goal should not be so easy that it can be accomplished quickly or with little effort.
4. Relevant: The goal should be well suited for what you want to accomplish; this means that the goal should be relevant to the outcome needed.
5. Timely: Each goal needs to have a defined deadline, the time when the goal must be accomplished. What time frame do you have for completing your goals? How does this timeline fit into your overall plan?
For example, if your personal definition of success and your vision for your future include financial independence—with, say, a vacation home in the mountains—what goals can you define today that will lead to this outcome? You would include financial goals tracked either monthly or yearly to save a set amount of money based on your projection of how much money it will take to own these two vacation homes. You would also set goals about finding the right locations. This process is also necessary to support the success of your business venture. Setting goals is a powerful approach that leads us to the future we want for our lives.
Here is a fictional example of an entrepreneur’s goals, which we can test against the SMART criteria to see if they are feasible. Soraya runs a small tutoring business in Dallas, Texas. Her target market is high school students. Soraya is currently the only employee in her sole proprietorship, but she hopes to hire more employees soon. She is excited about her business, and so far, she has done well in the four years that she has been operating it. On the advice of a friend in business school, Soraya has defined three business goals for the next year. They are:
1. Increase sales by 50 percent.
2. Open a new location.
3. Hire two employees.
In reviewing these goals using the SMART criteria, it is evident that goals one and three are specific because they are quantitative, but goal two is not. All three goals can be measured. With Soraya as the only employee, it is unlikely that she can achieve goals one and two, but goal three is achievable. And hiring more staff would increase the likelihood of achieving additional goals. All three goals are relevant to growing the business. And each goal could use more detail in terms of being timely. That is, in order to increase sales by 50 percent in the upcoming year, Soraya should have additional monthly or quarterly sales goals to meet her annual goal. Likewise, the opening of a new location requires more time-bound details, such as leasing or purchasing the location, and determining the business model for this location. Finally, hiring additional employees should have a time component as well, such as a timeline for recruiting, interviewing, selection, hiring, and training. Therefore, Soraya’s goals are appropriate for her small tutoring business, but they need refining so that they meet the SMART criteria. Soraya is more likely to achieve SMART goals, and they are more likely to lead to desired business outcomes.
### Summary
Establishing an entrepreneurial vision helps you describe what you want your venture to become in the future. For most entrepreneurial ventures, the vision also includes the harvesting or selling of the venture. There are creative ways, such as brainstorming and divergent thinking, as well as investigative ways to define an entrepreneurial vision. Once you have established your vision, it is important to write goals to help you realize the steps toward making your vision a reality.
### Review Questions
### Discussion Questions
### Case Questions
### Suggested Resources
The following links might provide you with more ideas about creating a vision statement.
https://website-designs.com/business/the-importance-of-a-vision-statement-for-entrepreneurs/
https://www.businessnewsdaily.com/3882-vision-statement.html
Check out this website’s ideas for developing your vision: https://www.executestrategy.net/blog/write-good-vision-statement
Eleven Free Goal Setting Software & Tools You Can Use: http://www.goal-setting-college.com/goal-setting-software/11-goal-setting-software-tools-you-can-use-for-free/
YouTube: Achieve More by Setting Smart Goals: https://www.youtube.com/watch?v=yA53yhiOe04
Twenty-four Essential Mind Mapping and Brainstorming Tools: http://mashable.com/2013/09/25/mind-mapping-tools/#jP47h7Q818qM
Read more about the challenges of work-life balance and what brings satisfaction to entrepreneurs in this article: https://www.wsj.com/articles/why-some-entrepreneurs-feel-fulfilledbut-others-dont-1432610236
Learn about applying a SWOT analysis (strengths, weaknesses, obstacles, threats) to your personal life: https://www.forbes.com/sites/lisaquast/2013/04/15/how-to-conduct-a-personal-s-w-o-t-analysis/ |
# The Entrepreneurial Perspective
## The Entrepreneurial Mindset
### Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
1. Explain what it means to have an entrepreneurial mindset
2. Describe what is meant by entrepreneurial spirit or passion
Entrepreneurship takes many forms (see ), but entrepreneurs share a major trait in common: An entrepreneur is someone who identifies an opportunity and chooses to act on that opportunity. Most business ventures are innovative variations of an existing idea that has spread across communities, regions, and countries, such as starting a restaurant or opening a retail store. These business ventures are, in some ways, a lower-risk approach but nonetheless are entrepreneurial in some way. For example, Warby Parker, a profitable startup founded by four graduate students at Wharton, disrupted a major incumbent (Luxottica) by providing a more convenient (online initially), affordable, and stylish product line for a large segment of consumers. In this sense, their innovation is about creating something new, unique, or different from the mainstream. Yet they attracted an existing, and in some ways mature, sector of an established industry. In a different way, McDonalds, which is 90 percent owned by franchisees, introduced an “all day breakfast” menu in 2017 that was hugely successful; it also targeted a larger segment (in part younger consumers) and brought back consumers who had chosen other options. In summary, many entrepreneurs start a new venture by solving a problem that is significant, offering some value that other people would appreciate if the product or service were available to them. Other entrepreneurs, in contrast, start a venture by offering a “better mousetrap” in terms of a product, service, or both. In any case, it is vital that the entrepreneur understand the market and target segment well, articulate a key unmet need (“pain point”), and develop and deliver a solution that is both viable and feasible. In that aspect, many entrepreneurs mitigate risks before they launch the venture.
Being aware of your surroundings and the encounters in your life can reveal multiple opportunities for entrepreneurship. In our daily lives, we constantly find areas where improvements could be made. For example, you might ask, “What if we didn’t have to commute to work?” “What if we didn’t have to own a vehicle but still had access to one?” “What if we could relax while driving to work instead of being stressed out by traffic?” These types of questions inspired entrepreneurial ventures such as ride-sharing services like Uber, the self-driving vehicle industry,Matthew DeBord. “Waymo Could Be Worth as Much as $75 Billion—Here’s a Brief History of the Google Car Project.” and short-term bicycle access in the free bike-sharing program in Pella, Iowa ().Ethan Goetz. “Bike Share Program Launched Monday.”
These ideas resulted from having an entrepreneurial mindset, an awareness and focus on identifying an opportunity through solving a problem, and a willingness to move forward to advance that idea. The entrepreneurial mindset is the lens through which the entrepreneur views the world, where everything is considered in light of the entrepreneurial business. The business is always a consideration when the entrepreneur makes a decision. In most cases, the action that the entrepreneur takes is for the benefit of the business, but sometimes, it helps the entrepreneur get ready to adopt the appropriate mindset. The mindset becomes a way of life for the entrepreneur. Entrepreneurs often are predisposed to action to achieve their goals and objectives. They are forward thinking, always planning ahead, and they are engaged in “what if” analyses. They frequently ask themselves, “What if we did this?” “What if a competitor did that?”—and consider what the business implications would be.
Most people follow habits and traditions without being aware of their surroundings or noticing the opportunities to become entrepreneurs. Because anyone can change their perspective from following established patterns to noticing the opportunities around them, anyone can become an entrepreneur. There is no restriction on age, gender, race, country of origin, or personal income. To become an entrepreneur, you need to recognize that an opportunity exists and be willing to act on it. Note, however, that the execution of the entrepreneurial mindset varies in different parts of the world. For example, in many Asian cultures, group decision-making is more common and valued as a character trait. In these regions, an entrepreneur would likely ask the advice of family members or other business associates before taking action. In contrast, individualism is highly valued in the United States and so many US entrepreneurs will decide to implement a plan for the business without consulting others.
### Entrepreneurial Spirit and Passion
An entrepreneurial spirit allows entrepreneurs to carry a manner of thinking with them each day that allows them to overcome obstacles and to meet challenges with a can-do attitude. What does it mean to have an entrepreneurial spirit? For the purposes of this discussion, it could mean being passionate, purposeful, positive, bold, curious, or persistent.
The founders of Airbnb have a passion for supporting individual rights to rent out unused space. Why should the established model of hotels prevail? Why shouldn’t an individual homeowner have the freedom to rent out unused space and leverage that space into an income? Airbnb has succeeded in creating more flexible and affordable options in the space of the rapidly growing "sharing" economy. At the same time, some states and municipalities have raised issues about the regulations monitoring ventures like this. While entrepreneurial spirit is partly about fighting for individual rights and freedoms, there should be a balance between economic freedom and consumer protection. The entrepreneurial spirit involves a passion for presenting an idea that is worthwhile and valuable, and a willingness to think beyond established patterns and processes, while still keeping in mind local laws and regulations, in the quest to change those established patterns, or at least to offer alternatives to those established patterns.
Passion is a critical component of the entrepreneurial process. Without it, an entrepreneur can lose the drive to run the business. Passion can keep an entrepreneur going when the outside world sends negative messages or less-than-positive feedback. For example, if you are truly passionate about starting an animal shelter because of your love of animals, you will find a way to make it happen. Your internal drive to help animals in need will spur you on to do whatever it takes to make the shelter become a reality. The same is true of other types of startups and owners with similar passions. However, passion needs to be informed by the entrepreneur’s vision and mission—passion of the sake of passion is not enough. A clear mission statement—which details why the business exists and the entrepreneur’s objectives for achieving that mission—will guide an entrepreneur’s passion and keep the business on track. Passion, vision, and mission can reinforce each other and keep the entrepreneur on the right track with next steps for the business.
Some ideas might seem small or insignificant, but in the field of entrepreneurship, it’s important to recognize that for every new startup, someone else may recognize a spin-off idea that expands upon the original idea. The opportunities for identifying new possibilities are endless. Review your work in creating spinoff ideas for Angad Darvani’s projects, or Kevin F. Adler’s Miracle Messages venture. Or consider possible spin-off ideas around the technology used in agriculture. Creating spin-off ideas fits well with our discussion of divergent thinking and brainstorming. Through these processes, we can discover new uses for existing technology, just as Ring did by using video technology to add security by allowing customers to see who is at the door without opening it.
### An Entrepreneurial Mindset in Your Discipline or Field
Within your industry of interest or area of study, what are the challenges that create frustration? How can these be turned into opportunities? Earlier in this chapter, we discussed Evernote, a company that focuses on expanding our memories by storing and organizing information. Let’s look at some other examples of entrepreneurial endeavors in specific industries to help you plan your own venture in your own industry.
In the agriculture industry, insects, weeds, weather conditions, and the challenges of harvesting crops are all ripe for entrepreneurial activities. The move toward organic produce has also affected this industry. From an entrepreneurial perspective, what products could you invent to support both organic farming and the problems of insects that damage or destroy crops? The old method was to use chemical sprays to kill the insects, but today, the growing demand for organic foods and increased awareness of the impact of chemical sprays on our environment are changing this scenario. One new idea to solve this problem combines a vacuum cleaner with an agriculture product.
A bug vacuum is an example of how using divergent thinking contributed to the solution of removing bugs from crops without using chemicals. In the group activity of creating divergent ideas, this idea may not have been received well. However, in the incubation stage, the idea must have come forward as a viable solution. Entrepreneurs frequently face the challenge of pressure to conform to established habits and patterns within industries.
Often, the entrepreneurial mindset includes futuristic ideas that shake up the normal, conventional processes that are grounded in experience over time. Tried-and-tested processes and products that have a proven history of success can be a formidable obstacle to new ideas. A new idea may even appear as impossible or outlandish, perhaps even an embarrassment to the steady and predictable practices established within an industry. This can create a dilemma: Do we try something new and unproven that lacks documented research? Sometimes, we must disregard our past successes and research to be open to new possibilities for success and failure. An entrepreneurial mindset includes creativity, problem-solving skills, and a propensity to innovation.Emma Fleck. “Needed: Entrepreneurial Mindset.” Open-mindedness is one characteristic that supports creativity, problem solving, and innovation. Taking the time to explore new ideas, dream, reflect, and view situations from a new perspective contribute to the entrepreneurial mindset. Some innovations can lead to disruptions within the industry, or even create a new industry.
The innovator’s dilemma was presented by Clayton Christensen to explain disruptive technology, which are technologies that, once introduced, displace established patterns, processes, and systems previously accepted as normal or accepted. One example of a disruptive technology is Airbnb, a company that threatens the established hotel industry by connecting personal resources to people who desire those resources. If you have a spare bedroom that you aren’t using, why not sell that space to someone who wants and needs the space?
Airbnb has become a significant threat to the established hotel industry’s business model of building large hotels and renting rooms within those hotels to their customers. Airbnb has reconfigured that model, and since its 2008 launch, 150 million travelers have taken advantage of 3 million Airbnb listings in more than 191 countries. Airbnb has raised more than $3 billion (plus a $1 billion credit line) and is considering selling stocks to support significant expansion. The value of Airbnb is approximately $30 billion. Compare this market value to Hilton’s market capitalization of $19 billion and Marriott’s of $35 billion. If you were the CEO of Hilton or Marriott, would you be worried? The hotel industry recognized Airbnb as a threat, and in 2016, began a campaign to create legislation to rein in Airbnb’s growth and popularity. From the hotel industry’s perspective, Airbnb is not playing by the same rules. This is the definition of disruptive technology, the focus on creating a new idea or process that negates or challenges established process or products.Katie Benner. “Inside the Hotel Industry’s Plan to Combat Airbnb.”
Sometimes disruptive technologies result from not listening to customers. Customers don’t always know what they want. Customer groups might need to be redefined by the entrepreneurial team on the basis of better models, knowing when to invest in developing lower-performance products that promise lower margins while still satisfying the need, and knowing when to pursue small markets at the expense of larger or established markets. Basically, disruptive technologies occur through identifying new and valuable processes and products.
The founders of Airbnb recognized that some people have unused resources, bedrooms, that other people need. We can apply this idea to other unused resources such as vehicles and motor homes. We see this model reproduced in short-term car rental and bike-sharing programs.
### Summary
Identifying new possibilities, solving problems, and improving the quality of life on our planet are all important aspects of entrepreneurship. The entrepreneurial mindset allows an entrepreneur to view the world as full of possibilities. Entrepreneurial passion and spirit help entrepreneurs overcome obstacles to achieve their goals. Disruptive technologies involve using existing technology in new ways and can provide new opportunities as well as new challenges. Entrepreneurship is transforming some industries and potentially creating others, though many entrepreneurs create value by starting small businesses, buying franchises, or introducing new services in mature industries. The key thing to remember is that anyone can be an entrepreneur and that new technologies are making the cost of starting a new business less costly, but still risky at some level.
### Review Questions
### Discussion Questions
### Case Questions
### Suggested Resources
M. M. Baluku, J. F. Kikooma, and K. Otto, “Positive mindset and entrepreneurial outcomes: The magical contributions of psychological resources and autonomy.” Journal of Small Business & Entrepreneurship 30, no. 6 (2018): 473–498.
E. Fleck, “Needed: Entrepreneurial mindset.” Central Penn Business Journal 34, no. 12 (2018): 10.
M. Israr and M. Saleem, “Entrepreneurial intentions among university students in Italy.” Journal of Global Entrepreneurship Research 8, no. 1 (2018): 1.
https://www.christenseninstitute.org/results/?_sft_topics=disruptive-innovation |
# The Entrepreneurial Journey and Pathways
## Introduction
What do you plan to do with your life after graduating from school? This is one of the most common—and admittedly most terrifying—questions that students are asked on a regular basis. There are literally thousands of career choices and just as many pathways or options to reach them. How do you decide which career pathway is best for you? You might select a new career based on your major, a favorite high school subject, the advice of a family member or friend, or an inspirational summer or internship experience.
What if none of those options reflect the future that you see for yourself? It may mean that you are destined to create your own career path by becoming an entrepreneur. Regardless of the career pathway that you follow, your entrepreneurial journey begins with a single step. |
# The Entrepreneurial Journey and Pathways
## Overview of the Entrepreneurial Journey
### Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
1. Explain the entrepreneurial journey to explore and discover entrepreneurship as a career choice
2. Identify the steps, decisions, and actions involved in the entrepreneurial journey
3. Recognize the rewards and risks of the steps in the entrepreneurial journey
### Self-Employment as an Entrepreneurial Journey
When the economy and the job market are strong, the entrepreneur has a safety net that decreases the risks in creating a new venture, a startup company or organization that conducts business or is created to satisfy a need, and allows for a quick recovery if the venture is not successful. There are more new startups when there are high levels of confidence in both the venture’s success and the entrepreneur’s confidence in finding employment if the venture fails. People over 40 years of age account for most new startup activity, in part because of the continuing trend in which a business may choose not to hire an employee but instead hire an independent contractor, a person who provides work similar to an employee without being part of the payroll for the contracting business, and who is responsible for paying their own taxes and providing their own benefits. With previous knowledge and expertise, this group of entrepreneurs recognizes opportunities created by this move away from hiring full-time employees to more outsourcing to independent contractors. One contributor is the gig economy, which involves using temporary and often transitional positions hired on a case-by-case basis, rather than keeping a full staff of hired employees. Advantages for the employer include a decrease in cost of benefits and loyalties to specific employees. Advantages for the hired worker or independent contractor (sometimes called a freelancer) include no long-term commitment and flexibility in accepting contracts. From an entrepreneurial perspective, the creation of websites that support the gig economy offers opportunities for independent ventures. Many people today are becoming small entrepreneurs. This process goes by a variety of names, such as the sharing economy, the gig economy, the peer economy, or the collaborative economy. Maybe it means driving for a company such as Lyft, Uber, or GrubHub, or perhaps offering services through TaskRabbit, UpWork, or LivePerson. The projected numbers of independent contractors and on-demand workers are stated as 42 percent for small businesses by the year 2020, a growth of 8 percent from current figures.David Pridham. “Entrepreneurs: Here’s Good News for 2018.” And a projection of greater than 50 percent of the workforce will be independent contractors by 2027 if this trend continues at the current pace.UpWork and Freelancers Union. “Freelancers Predicted to Become the U.S. Workforce Majority within a Decade, with Nearly 50% of Millennial Workers Already Freelancing, annual ‘Freelancing in America’ Study Finds.” In the “Freelancing in America: 2019” report, the sixth annual study by UpWork and Freelancers Union, 57 million United States citizens are estimated to freelance, with income approaching 5 percent of US gross domestic product (GDP) at nearly $1 trillion and earning a median rate of $28.00 an hour, representing an hourly income greater than 70 percent of workers in the overall US economy.UpWork. “Sixth Annual ‘Freelancing in America’ Study Finds That More People Than Ever See Freelancing as a Long-Term Career Path.” One report found that 94 percent of net job growth from 2005 to 2015 was in alternative work categories, with 60 percent due to independent contractors and contract company workers.David Pridham. “Entrepreneurs: Here’s Good News for 2018.”
According to the US Bureau of Labor Statistics, the number of self-employed Americans is growing, with 9.6 million self-employed people at the end of 2016. That number is expected to grow to 10.3 million by 2026.Elka Torpey and Brian Roberts. “Small-Business Options: Occupational Outlook for Self-Employed Workers.” A more recent study by FreshBooks’ second annual “Self-Employment” report predicts that 27 million US employees will leave traditional work in favor of self-employment by 2020, tripling the current population of full-time self-employed professionals to 42 million. The main driver for this change in the workforce is a greater desire for control over one’s career with the ability to have greater control over working hours and acceptance of work.Carly Moulton and Dave Cosgrave. “Second Annual Self-Employment Report.” ,OECD Data. “Self-employment Rate.” Of course, self-employment is a broad category that includes small-business owners as well as entrepreneurial startups and freelance gig employees. Since 2016, there has been a downward slide in the number of employees working for self-employed businesses, which results from a variety of factors, including difficulties in finding qualified employees, qualified employees having more employment options, such as employment through the gig economy, outsourcing activities, and technology actions that decrease the need for employees, with entrepreneurial activity remaining steady.Arnobio Molrelix. “The Biggest Reason the U.S. Needs Small Businesses to Thrive Has Nothing to Do with Taxes or the Economy.”
### Entrepreneurship around the World
In a 2017 Business Insider article, “America Needs Immigrant Entrepreneurs,” David Jolley writes that immigrants constitute 15 percent of the US workforce and 25 percent of the country’s workforce of entrepreneurs.David Jolley. “America Needs Immigrant Entrepreneurs.” Forty percent of startups include at least one immigrant. Jolley’s article cites a study that identified immigrants as twice as likely to start a business as people born in the United States. In 2016, 40.2 percent of Fortune 500 companies were founded by at least one immigrant or a child of immigrant parents. Dinah Brin, writing for Forbes, stated in a 2018 article that immigrants form 25 percent of new US businesses and that new immigrant-owned firms generated 4 to 5 million jobs.Dinah Wisenberg Brin. “Immigrants Form 25% of New U.S. Businesses, Driving Entrepreneurship in ‘Gateway’ States.”
These statistics and other findings have prompted countries such as Canada to revise their immigration policies to attract more entrepreneurial-minded immigrants. A World Bank report from May 2018 ranked the United States 53rd out of 190 countries for ease in starting a business, with higher scores representing greater ease.“Ease of Doing Business Rankings.” The same report ranks the United States eighth for ease of doing business. The difference in these rankings indicates that once a business is established, factors such as regulations, permits, access to credit, and infrastructure support the business owner’s ability to continue the business, but actually starting the business is more challenging. For any given country, ease in starting a business and the country’s interest in supporting entrepreneurial activity are crucial in both attracting entrepreneurial people and supporting their ability to open a business. Imposing restrictive regulations and processes on new ventures significantly decreases the number of new ventures.
According to a 2018/2019 report, the highest rate of entrepreneurial activity worldwide in 2018 was in Angola at 41 percent.Niels Bosma and Donna Kelley. “Global Entrepreneurship Monitor 2018/2019 Global Report.” Angola’s low-income economy meant fewer employment opportunities, creating pressures to find other ways to earn an income. Guatemala and Chile reported 28 percent and 25 percent of entrepreneurial activity, respectively, with medium- and high-income economies. These percentages are quite high, considering that these economies offer employment opportunities in existing companies. In terms of innovation, India at 47 percent, and Luxembourg and Chile at 48 percent each, take the lead in offering new products and services not previously available. This entrepreneurial activity reflects the ease of starting a business. The Netherlands, Poland, and Sweden were reported as the easiest countries in which to start a new business, in part because many people in those countries view entrepreneurship as an attractive lifestyle. As you can see, both economic opportunities and a country’s specific support for entrepreneurial behavior contribute to the number of people who enter entrepreneurial activities.
From a gender perspective, there are currently over 11 million woman-owned businesses in the United States. This number includes both small business owners and entrepreneurs. Thirty years ago, there were only 4 million woman-owned businesses.Gary Stockton. “Statistics and Obstacles Facing Women Entrepreneurs.” The number of woman-owned businesses has increased 45 percent between 2007 and 2016, five times faster than the national average, with 78 percent of new women-owned businesses started by women of color.
### Starting Your Entrepreneurial Journey
How do you fit into this entrepreneurial journey? This chapter will help you to explore and discover your potential for entrepreneurship as a career choice. Think of this exploration and discovery experience as a way to map out a strategy to reach your goals or dreams. Let’s imagine that your dream vacation is a hiking trip to Glacier National Park in the US state of Montana. Just as hikers have different levels of experience, so do entrepreneurs. Just as your plan for a wilderness hike would involve many stages, your entrepreneurial journey involves multiple levels of self-discovery, exploration, experiences, and accomplishments on your way to success. For our purposes, the term entrepreneurial venture means any type of new business, organization, project, or operation of interest that includes a level of risk in acting on an opportunity that has not previously been established. For each story of entrepreneurial success that is shared—such as that of Facebook or Airbnb—there are even more lesser-known entrepreneurial success stories such as Zipline, a company that delivers medical supplies in Rwanda and Ghana by drone. These entrepreneurs faced the same dilemmas in pursuing their passion, or opportunities, which led them to their entrepreneurial destiny. They courageously stepped out of their comfort zones to explore the possibilities that lie ahead. What is the difference between entrepreneurs and you? The main difference is taking that first step. Many people have ideas that fit into the definition of an entrepreneurial idea but never take that first step. Just as the Chinese philosopher Lao Tzu suggests, every journey begins with a single step.
Opening your future to the possibility of starting your own venture brings new and exciting experiences (). Every entrepreneur moves through several steps in considering the entrepreneurial journey. Once you understand this journey, the steps will help you define your path toward creating and starting your new venture. Each step of this process offers another level of understanding that prepares you for long-term success. How will you achieve this success? By taking one step at a time, exploring and learning, considering new ideas and expectations, and applying these experiences to achieve your personal outcome. Think of the entrepreneurial journey as a guide to knowing what is in store for you as you start your new venture.
One benefit of outlining a step-by-step process is the opportunity to explore different paths or behaviors that may lead to an entrepreneurial venture. Think again of your dream visit to Glacier National Park. How would you get there? What equipment would you need? What kinds of experiences would you expect to have? Think of the Glacier National Park journey as your entrepreneurial journey, a metaphor intended to help you as you create your career as an entrepreneur.
What makes someone ready or willing to choose entrepreneurship over becoming an employee of an established business or a small business owner? It takes confidence, courage, determination, resilience, and some know-how to select entrepreneurship as a career as well as the recognition of the opportunity. An entrepreneur is defined as someone who not only recognizes an opportunity but who also is willing to act on that opportunity. Both actions are required. We might identify an opportunity, but many people do not act on the idea. Confidence, courage, and willingness are necessary to take that first step, as well as remembering the following:
1. You are unique. Even if two similar people attempted to launch identical ventures, the results would likely not be the same. This is because each one of us has different ideas, approaches, available resources, and comfort levels, all of which influence the venture’s development and eventual success.
2. Although there are no hard and fast rules or theories of the best way to launch into entrepreneurship, we can gain wisdom from the lessons learned by experienced entrepreneurs.
3. Selecting an entrepreneurial career requires honesty, reflection, and a tendency to be action oriented. You will need to recognize your own strengths, limitations, and commitment as part of that honesty. Reflection is required for self-growth—seeking improvements in your own skills, interactions, and decision making—and commitment is required to maintain consistency in your willingness to make the new venture a top priority in your life. You will also need to understand that you cannot accomplish everything by yourself, and you may need to ask for help. It helps to be curious, open, and able to take calculated risks and to be resourceful and resilient when faced with challenges or obstacles.
### The Entrepreneurial Journey as a Trip
The entrepreneurial journey is your exploration to discover if entrepreneurship is right for you. Every entrepreneurial journey is unique; no two individuals will experience it in the same way. Along the way, you will find opportunities and risks coupled with challenges and rewards. It’s useful to think about the entrepreneurial journey as an exciting trip or other adventure. Most of the preparations and steps involved with planning a trip are like those for starting a venture. Just as you would plan and prepare for a trip—starting with inspiration and leading up to finally traveling on the trip—you might follow similar steps to launch a venture. And just as you would prepare for any challenges that you might encounter on a trip—bad weather, lost luggage, or detours—so you should consider potential obstacles or barriers along your entrepreneurial journey (). Think of these difficulties as opportunities to learn more about the entrepreneurial process—and about yourself and how you manage challenges.
Developing a venture can be an exciting and active experience. It is also a lot of hard work, which can be equally rewarding and enjoyable. Here we present the entrepreneurial journey as seven specific steps, or experiences, which you will encounter along the road to becoming an entrepreneur. You’ll find more information about the entrepreneurial journey in other chapters in this book.
1. Step 1: Inspiration – What is your motivation for becoming an entrepreneur?
2. Step 2: Preparation – Do you have what it takes to be an entrepreneur?
3. Step 3: Assessment – What is the idea you plan to offer through your venture?
4. Step 4: Exploring Resources – What resources and characteristics do you need to make this venture work?
5. Step 5: Business Plan – What type of business structure and business model will your venture have?
6. Step 6: Navigation – In what direction will you take your venture? Where will you go for guidance?
7. Step 7: Launch – When and how will you launch your venture?
As you work through each step of the entrepreneurial journey you should prepare for significant aspects of this experience. You will meet with rewards and challenges, the consequences that result from the decisions made at various points along your journey. To visualize the steps of the entrepreneurial journey, imagine your possible hiking trip to Glacier National Park (). Just as hikers have different levels of experience, so do entrepreneurs. Compare the following aspects of preparing for a hike with aspects of your entrepreneurial journey.
### Step 1: Inspiration
When you think of being an entrepreneur, what is the inspiration for your venture? Just as you might have an inspiration for a hiking trip to Glacier National Park, you will have an inspiration behind the decision to become an entrepreneur. When you’re planning a trip to a new and exciting place, one thing you might do is to imagine what you will experience along the journey and on arriving at your destination (). This portion of the entrepreneurial journey includes imagining yourself as an entrepreneur or as part of an entrepreneurial team. For this stage, you need a creative, open, and innovative state of mind, also known as an entrepreneurial mindset, which is discussed in more detail in The Entrepreneurial Mindset and Creativity, Innovation, and Invention. Dream big about your potential future and opportunities ().
### Step 2: Preparation
Just as when you are preparing for a trip, you need a plan () to move forward on your entrepreneurial journey. Before your dream hiking trip, you might gather information about Glacier National Park from a trusted source, such as a good friend with travel experience, or you might conduct online research. Your friend’s feedback could be just the motivation you need to try this experience yourself. Or you might use your research to determine if the trip is possible. You will need to look at maps, either online or on paper. Either way, you might also consider travel and accommodation options, such as booking a flight and finding a place to stay. You might want to create benchmarks to align your journey with your available resources, such as the amount of time and the amount of money you have to spend on the trip. Benchmarking is a method of tracking target expectations with actionable results by comparing one’s own company’s performance with an industry average, a leader within the industry, or a market segment. Benchmarking can help design the trip to meet incremental goals and timelines. From both a travel plan and an entrepreneurial perspective, although benchmarking is used as a control mechanism, we know that situations can arise that require an alteration in the plan, causing the benchmarked items to also need adjustments.
To plan for an entrepreneurial journey, you should first conduct some preliminary research regarding your venture idea. Your research must be honest and objective if it is to give you a clear picture of the venture. Next, you might organize and prioritize your research and thoughts. For instance, you might see an idea like yours online or on television, and feel disappointed that someone stole your great idea or beat you to the punch. This is a common occurrence in entrepreneurship, but it should not discourage you. Instead, use that knowledge and energy to find an overlooked or different aspect of your original idea. The difference might even be the focus on a different target market, a specific group of consumers for whom you envision developing a product or service. Further, it is critical to maintain a fluid focus upon expanding the scope of a product or service to uniquely differentiate provisions of benefits apart from existing benefits or those offered by competitors. A focus on a different target market is exactly how the Jitterbug smartphone was created, because it targeted senior citizens. The Jitterbug smartphone offers a larger screen, larger buttons, and simpler features that make it easier for older people to make quick calls or send texts.
Preparation also includes opening space in your life to the time and energy commitment needed to support your new venture. Are the important people in your life willing to support the interest and passion you will need to dedicate the time, energy, and other resources to this new venture? Review the questions shown in () to consider your answers to these questions. Preparation through research and other activities is discussed in more detail in Identifying Entrepreneurial Opportunity.
### Step 3: Assessment
Now that you have decided where to go for your trip and have gathered information to prepare for it, the next action is to create and set your schedule. This action is simple but critical, because it involves connecting and coordinating information and resources that fit your lifestyle and needs. For example, you might schedule an early-morning Uber or Lyft to the airport and electronic delivery of your plane tickets to your smartphone. For the entrepreneurial journey, this phase might also include recognizing appropriate relationships and gathering needed resources. For many entrepreneurs, the opportunity to receive guidance from trusted advisors or mentors may provide valuable insights on how to manage the process. This step allows for reflection on your idea and intentions. After you’ve done your researching and gathering knowledge about your idea through the preparation step, is the idea still viable? Is the idea still interesting to you? With a better understanding of the industry, your idea, and your own interests that you gained in Step 2, is this idea something that you still want to explore? This step is discussed more fully in Problem Solving and Need Recognition Techniques with deeper coverage on the topic of opportunity recognition ().
### Step 4: Exploring Resources
Regardless of where you might travel, you could not complete your trip without adequate resources such as available financing. There are many ways you might fund a hiking trip: savings, loan, pay-as-you-go, sponsorship (family or friends), or any combination of these options, to name a few. No matter how you finance your trip, it might help to have a balance of available credit and cash on hand to support your day-to-day expenses and any extracurricular activities or even unforeseen emergencies. As discussed in Entrepreneurial Finance and Accounting, the US Small Business Administration (SBA) provides funding opportunities.
This scenario is mirrored in the entrepreneurial journey. Just as you wouldn’t begin a trip without adequate resources, including access to cash, you wouldn’t begin your entrepreneurial journey without the necessary resources, including cash. The options between funding a trip and funding a new venture are similar, but they have different names. For example, on a trip, you might use the cash you have on hand, from savings or a personal loan. For an entrepreneurial journey, you might address cash management—management of cash inflows and outflows to support cash needs of the venture—to include bootstrapping, a funding strategy that seeks to optimize use of personal funds and other creative strategies (such as bartering) to minimize cash outflows. (See Entrepreneurial Finance and Accounting for more information on bootstrapping.) Bootstrapping includes ideas like leasing instead of purchasing, borrowing resources, or trading unneeded resources for needed ones. Another example of cash management includes a business model that offers subscriptions rather than a payment received for an item purchased. Subscriptions provide the entrepreneur with cash up front, with the buyer receiving benefits throughout the year. Consider the example of Amazon. Amazon offers Prime with a yearly subscription service, as well as Subscribe & Save, Amazon Instant Video, Amazon Mom, and Amazon Web Services, all based on a subscription business model.
According to Entrepreneur.com, other potential subscription-based models include services or products geared to older consumers, with 8,000 people turning sixty-five every day. A similar idea offers services to college students. Both ideas would offer family members a subscription that sends monthly gifts or products to either the elderly person or college student. We also see this model offered to pet owners who pay a monthly subscription to receive treats and toys for the family dog. Looking back at Amazon, we see the company offering the ease of repeat purchases for frequently used products such as vitamins and air filters.
Other ideas for finding funding include applying for grant funding. The importance of cash and cash management requires in-depth coverage, which is presented in Entrepreneurial Finance and Accounting and Business Structure Options: Legal, Tax, and Risk Issues.
The idea of exploring resources includes many other options besides how to fund a new venture. In a trial run, you would offer your product or service for sale within a limited market on a test basis to evaluate what additional resources are needed to support the success of the venture (). Examples of places where a trial run fits well, depending on your product, include farmers markets, in-home sales, or through friends and family. The idea is to track the feedback you receive about your product or service. How do people react to the price, the quality of the product, the packaging? You can experiment by selecting one variable to adjust—changing the price, the packaging, the sales pitch, the presentation, or the quantity—to track reactions and make improvements based on this feedback. You may then decide to adjust other variables to gather more information, as well as considering what other resources are needed for the success of the new venture. Financing and ideas to preserve your financial stability are discussed more fully in Entrepreneurial Finance and Accounting.
### Step 5: Business Plan
The ability to travel and visit new locations is a privilege and a great opportunity to gain exposure to new experiences and opportunities. In addition to the work involved in preparing for a trip, the act and process of traveling involves constant decision making to achieve your desired goals and outcomes. For instance, should you travel to one location in Glacier National Park and explore that area in depth? Or should you attempt to visit as many areas of the park as possible with your given resources and abilities?
The challenge at this step of your entrepreneurial journey is to remain focused on managing your resources to meet your goals and outcomes as you write your business plan for your new venture. You will need to focus on the skills, experience, and resources necessary for your venture, and the management and decision making required to ensure success and adjust your plan based on changes and new information. Just as you might find a location in Glacier National Park where you want to stay for a couple of nights, a deviation from your original business plan (discussed in Business Model and Plan) will also require adjustments and changes based on new information and insights.
Be honest with yourself by running a reality check about your ability to manage a venture, especially from a personal-capacity perspective. For example, if you start a business, will it be a part-time or full-time venture? Will you start while in school? Or will you wait until after graduation? The timing of opening the venture can be the difference between success and failure. Consider the difference between hiking in Glacier National Park in the middle of winter, when the daytime temperature is thirteen degrees below zero, and hiking in the middle of summer, when the daytime temperature is seventy-nine degrees. The timing of your visit to the park is an important part of your enjoyment and success in reaching your destination. In planning for your trip, you would pay attention to your departure time to ensure enjoyment and success in your adventure. Similarly, as part of your business plan, you would also research the best time to open your venture.
Finally, during your travels, getting lost, overwhelmed, or sidetracked is always possible. If you get lost when traveling, you might refer to social navigation apps such as Google Maps, Waze, or HERE WeGo, to find turn-by-turn directions and information. Or you might refer to a weblink, a printed map, or a local expert or guide familiar with the area. The business plan is your map. You should identify decision points and milestones, significant key accomplishments, in your plan. Milestones could include points such as hitting your breakeven point, the point at which income from operations results in exactly enough revenue to cover costs. If the financial projections in your business plan are unattainable, what is your next move within the plan? If you don’t reach the milestones identified in your business plan, what alternative choices can you make to redirect your venture? The business plan, in its first draft, should inform you whether your venture has a chance at success. If there are negative areas, what can you change? Building this plan before starting the business provides you with knowledge and insights about your idea. Make any necessary changes to the plan to strengthen the possibility of success. Then when you open the venture, track whether the reality of the venture aligns with your business plan’s projections and expectations. The business plan functions as both a road map to help you see where you are going next in building your venture and as a checklist to track whether you are on course or need to make adjustments. When entrepreneurs get off track, they can check out self-help websites, speak with a business coach or counselor, or contact local agencies or organizations, including those affiliated with the federal SBA. Organizations that offer free (or low-cost) small business counseling, mentoring, and training, include:
1. SCORE (Service Corps of Retired Executives): https://www.score.org/
2. Small Business Development Center (SBDC): https://www.sba.gov/offices/headquarters/osbdc/resources
3. Women’s Business Center (WBC): https://www.sba.gov/local-assistance/find/?type=Women%27s%20Business%20Center&pageNumber=1
4. US Export Assistance Center: https://www.export.gov/welcome
5. Veterans Business Outreach Center (VBOC): https://veteransoutreachcenter.org/
6. Other organizations include locally organized support such as pop-up entrepreneurial schools like PopUp Business School (https://www.popupbusinessschool.co.uk/) and https://www.pbs.org/newshour/show/this-free-program-trains-people-how-to-start-a-business-but-without-debt
These and other resources will be discussed in more depth in Building Networks and Foundations. Look at the review questions and the discussion questions at the end of this section to prepare for creating your business plan. Business plans () are discussed more fully in Business Model and Plan.
### Step 6: Navigation
Once you’ve completed your trip, reflect on the experiences you had. No matter how well you feel you have planned, there is no way you can prepare for all of the potential challenges, changes, and obstacles that may occur: missed or changed flights, poor weather, an unexpected illness, a trail or road closed for repairs, or sudden good fortune. What parts of the trip went well? If you ran into a problem, how did you handle it? Was the problem something you could have anticipated and planned for? Or was it unexpected? What did you learn from the experience? If you were planning a trip to another national park, what would you do differently in your planning stage? Just as seasoned travelers adjust to their circumstances and learn from their experiences, so should you, as an entrepreneur, learn to adjust by meeting and managing challenges head on.
After completing your business plan, you will probably need to adjust your plan (). You might decide that you will not have enough resources to survive the time until your venture reaches the breakeven point, or you might determine that the location you selected is no longer available. There are multiple variables that require further exploration and research.
By nurturing an entrepreneurial mindset, you will be better prepared when opportunities, challenges, or obstacles surface. Although you won’t be able to predict or plan for every potential scenario along the entrepreneurial journey, an entrepreneurial mindset helps you to be resourceful when opportunities, challenges, or disappointments occur. By unpacking, or by taking an inventory of your available resources, you can also get a better picture of what you may need to unload, retain, or discard, or even if a new direction is the best course of action. On your entrepreneurial journey, evaluating the experience or situation is a perfect opportunity for you to determine how realistic, overambitious, or shortsighted your dreams and goals for your venture may be. This chapter will explore your vision for your future and your venture. Does your vision include a level of flexibility when you discover new information that supports exploring a new area?
### Step 7: Launch
The actual launch is the exciting event when you open your business. By this point, you have made improvements to your product through feedback received in your trial run; you’ve identified the value or benefits provided by your product; you’ve identified your target market; and you’ve identified the location of your launch, whether it is a geographical location or an Internet location.
Inc. magazine provides an analysis of the best locations to launch a new venture, with Austin, Texas, taking the lead (see “Surge Cities: These Are the 50 Best Places in America for Starting a Business,” in Suggested Resources). Consider your target market and the resources necessary to support your venture when choosing the location for your launch. Advice from within the entrepreneurial world suggests that sometimes the launch should take place “under the radar,” meaning in a location where you can make mistakes, fine-tune your business model and offerings, and even become successful without competitors noticing that you have created a disruption within the industry. (You will learn more about this in Launch for Growth to Success).
Even as you are launching your venture, many variables will require your attention, just as we covered in Step 7. Navigating through these variables as your venture grows requires constant attention as new potential opportunities arise.
### Summary
As you prepare for your journey into entrepreneurship, it is critical to consider the multiple aspects associated with preparing for, experiencing, and completing a journey unique to you. The key is an honest and introspective assessment of how you can make a journey that brings your desired outcomes and results. The seven steps outlined in this section will provide you with a perspective of what you might encounter on your entrepreneurial venture.
### Review Questions
### Discussion Questions
### Case Questions
### Suggested Resources
View the YouTube video “The Jitterbug Smart phone” at https://www.youtube.com/watch?v=tRGAL42gWco to see an example of a product endorsement that geared to a specific target market.
Visit the SBA website to learn more about the local organizations that might assist you to launch or manage a venture: https://www.sba.gov/tools/local-assistance
Caron Beesley. “8 Things You Can Do to Be Taken Seriously as a Young Entrepreneur”: https://kitsapscore.org/2017/08/26/8-things-you-can-do-to-be-taken-seriously-as-a-young-entrepreneur/
“Surge Cities: These Are the 50 Best Places in America for Starting a Business”: https://www.inc.com/surge-cities/best-places-start-business.html
“How I Built a Subscription Business That’s Made over 50k in 6 Months”: https://www.cratejoy.com/sell/blog/case-study-50k-6-months-subscription-business-2/
National Association of Women Business Owners: https://www.nawbo.org/resources/women-business-owner-statistics
Are you ready to start your entrepreneurial venture? Visit the SBA site and take the Small Business Readiness Assessment: https://eweb1.sba.gov/cams/training/business_primer/assessment.htm |
# The Entrepreneurial Journey and Pathways
## The Process of Becoming an Entrepreneur
### Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
1. Describe the evolution of entrepreneurship through American historical periods
2. Understand the nine stages of the entrepreneurial life cycle
Scholars of business and entrepreneurship have long debated how people become entrepreneurs. Are entrepreneurs born or made? That is, are some people born with the natural skills, talent, and temperament to pursue entrepreneurship? Or can you develop entrepreneurship skills through training, education, and experience? These questions reflect the classic debates known as “nature versus nurture” or “born versus made,” which attempt to explain the determinants of a person’s personality and character.
This debate has been around for centuries. In classical Greece, Plato supported the nature argument, whereas Aristotle believed in the nurture perspective. During the eighteenth-century Enlightenment period, Immanuel Kant (1724–1824; supported the supremacy of human reason) and John Locke (1632–1704; opposed authoritarianism) argued their views. Kant firmly believed that obedience was the expected and desired behavior, whereas Locke believed in allowing some degree of freedom and creativity. The focus of the aspects of this argument changed when late-nineteenth-century psychologists sought to understand how individuals obtain knowledge, and as modern psychologists concentrated on additional factors such as intelligence, personality, and mental illness.
Scott Shane, a professor of entrepreneurial studies at Case Western Reserve University, codirected a study using identical twins and fraternal twins as the research subjects. Shane determined that entrepreneurs are about 40 percent born and 60 percent made, meaning that nature—that is, an individual’s DNA—is responsible for 40 percent of entrepreneurial behaviors, whereas nurture is responsible for about 60 percent of entrepreneurial behaviors. I. Mount, “Nature vs. Nurture,” Although “nature versus nurture” and “born versus made” are parallel arguments, researchers and experienced entrepreneurs suggest a combined viewpoint. You can unite your natural talents and abilities with training and development to achieve a well-rounded entrepreneurial experience and outcome. Once you determine that entrepreneurship is in your future, the next action is to establish a process to follow, such as identifying useful reading materials, attending classes or workshops, finding a mentor, or learning by doing through simulations or firsthand experiences. Firsthand experiences occur throughout our days and lives as we gain relevant experiences and as we develop a mindset to seek out opportunity-recognition behaviors. Completing coursework, such as reading this textbook, and reviewing the suggested resources provided within this textbook are actions that can support your knowledge and awareness of entrepreneurship as a valid option for your future.
### Historical Perspective
The evolution of entrepreneurship in the United States has spanned centuries. Entrepreneurs have responded to and innovated within the political and economic conditions of their times. The United States’ economic and industrial spirit has inspired generations of entrepreneurial Americans. Understanding this history might help you appreciate the importance of entrepreneurship as you consider your own entrepreneurial journey.
During the late 1700s, the Pembina Band of Chippewa lived along the Red River of the North, which flows through North Dakota and Minnesota, and into Canada. European explorers established trading posts in this region and bargained with the Pembina and others for pemmican, a buffalo or fish jerky created by tribes for survival during harsh winters when food was scarce. The Pembina pemmican was exported internationally through trading with French, Canadian, British, and other explorers.“Summary of North Dakota History – Fur Trade.” State Historical Society of North Dakota, Red River Fur Traders. n.d. https://www.history.nd.gov/ndhistory/furtrade.html The Pembina solved a problem of food scarcity, then leveraged the product to trade for other products they needed that were available through the trading posts.
In the late 1880s, Madam C. J. Walker, an African American hair-care entrepreneur, developed and marketed her products across the United States (), hiring sales agents and founding the Madam C. J. Walker Hair Culturists Union of America and the National Negro Cosmetics Manufacturers Association in 1917.“Madam C. J. Walker’s ‘Wonderful Hair Grower.’” She started her company with a philosophy of “hair culture,” which quickly became popular and eventually led to steady employment for African American women. Another African American, Charles Drew, established the national blood bank in the late 1930s, just before World War II gave rise to the need for quick access to blood.“The Color of Blood.” He researched transfusion medicine and saw a need that he wanted to fulfill. Drew applied the ideas from his doctoral thesis to create the blood bank and continued to innovate, developing mobile blood donation stations.
### Colonial and Early America: 1607–1776
The earliest concept of an “entrepreneur” can be traced to this era, from the French entreprendre, which translates as “to do something” or “to undertake.”Russell S. Sobel. “Entrepreneurship.” Jean-Baptiste Say (1767–1832), a French philosopher, economist, and businessman, supported lifting restraints to encourage business growth, a highly liberal view in the late 1700s. “The entrepreneur shifts economic resources out of an area of lower and into an area of higher productivity and greater yield,” is a concept attributed to Say, as is the word entrepreneur.Tim Hindle. “Entrepreneurship.”
Entrepreneurial-minded persons included merchants, landowners, manufacturers in textile-related trades, shipbuilders, explorers, merchants, and world market traders.J. McAllister. “Colonial America, 1607–1776.” The first immigrants to the British colonies took advantage of several key inventions developed before this era, such as printing, double-entry bookkeeping, and improvements in ship design and navigational instruments. The first North American patent was granted in 1641 by the Massachusetts General Court to Samuel Winslow for a new process for making salt. The entrepreneurial spirit of the early colonists helped shape an economic landscape that lasted for generations. Some notable pioneering inventors and entrepreneurs are shown in and ().
As entrepreneurship flourished in the American colonies, the economic structure also began to emerge. The prevailing view of economics was associated with the stockpiling of gold and silver. Colonists perceived imports as a reduction of metal wealth—gold and silver money—and felt that exports channeled these metals back to the colonies. To categorize the economic mindset of the time, the Scottish philosopher and economist Adam Smith (1723–1790) wrote An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations (1776). This influential treatise outlined the concepts of free trade and economic expansion through capitalism, a system in which individuals, people, and companies have the freedom to make decisions and own property as well as benefit from their own efforts, with government playing a secondary role in oversight. This book confirmed Smith as the “father of economics” and modern free trade. Among the most significant concepts that Smith proposed were the “invisible hand” theory of supply and demand in the marketplace; the use of the GDP to measure a country’s level of production and commerce; and the self-interest concept, whereby individuals inadvertently help others as they pursue their own goals.“About Adam Smith.” The ability to gain personally from entrepreneurial activities is a key factor in supporting entrepreneurial behavior. Smith’s concepts continue to influence modern economics and entrepreneurial activity.
### The First Industrial Revolution: 1776–1865
As the colonies expanded, so did opportunities and interest in property ownership, manufacturing, inventions, and innovations. An innovation is any new idea, process, or product, or a change to an existing product or process. The understanding and acceptance of innovation developed around 1730, when the economist Richard Cantillon identified the first academic meaning and characteristics of “entrepreneurship” as the “willingness to bear the personal financial risk of a business venture.”Russel S. Sobel. “Entrepreneurship.” The First Industrial Revolution was notable for the explosion of inventive activities by the “great inventors,” who pursued entrepreneurial opportunities to meet market needs, demands, and economic incentives.B. Zorina Khan and Kenneth L. Sokoloff. “‘Schemes of Practical Utility’: Entrepreneurship and Innovation among ‘Great Inventors’ in the United States, 1790–1865.”
An important thing to keep in mind is that dates of inventions don’t necessarily reflect specific launch dates. Development of these inventions may have been ongoing for years or decades before they were considered market-viable products.
A plethora of inventors and their inventions transformed several industries and economic classes across the growing nation. During this era, the country benefited from inventions that created, expanded, or revolutionized industry and increased wealth and expansion. These revolutionary inventors included Eli Whitney (cotton gin, 1794), Elias Howe (sewing machine, 1845), and Samuel Morse (telegraph, 1830s–1840s) (). Many other people contributed to these and other inventions.
Although he was not an inventor but an industrialist, Andrew Carnegie provides an interesting example. A manufacturer who focused on the value of innovations and how to implement them, Carnegie adopted newly developed techniques to improve steel production. He also was among the first to implement vertical integration, the strategy of gaining control over suppliers of raw materials and distributors of finished products to expand or control the relevant supply chain. He developed a reliable network of suppliers and distributors to support his steel factories. Carnegie also was one of the first magnates to practice philanthropy. He gave away much of his immense fortune to support community and public library systems, concert halls, museums, and scientific research.Susan Stamberg. “How Andrew Carnegie Turned His Fortune into a Library Legacy.”
These entrepreneurial pioneers, and many others like them, sought ways to earn a return on investment on an invention and to protect themselves legally through the patent process. A patent is a legal grant of protection for an inventor over the rights, usage, and commercialization of an invention for a set time period.Shontavia Johnson. “With Patents or Without, Black Inventors Reshaped American History.” An early US patent was issued in 1790 to Samuel Hopkins for his process of making potash as a fertilizer ingredient.U.S. Patent and Trademark Office. “First U.S. Patent Issued Today in 1790.” USPTO Press Release #01-33. July 31, 2001. https://www.uspto.gov/about-us/news-updates/first-us-patent-issued-today-1790
The innovations of women, African Americans (enslaved or free persons), and other marginalized groups were crucial during this era. As we saw earlier, Sybilla Masters invented a method for grinding corn. She received a patent from the English king in 1715. But because women were not allowed to file for patents or even to own property at that time, the patent was filed in her husband’s name.“Sybilla Righton Masters.” Although the invention of the cotton gin is attributed to Eli Whitney, as we have seen, it may have been based on a design by enslaved African Americans. Social and legal discrimination could limit or conceal the identities of actual inventors, especially if they were women or slaves.Shontavia Johnson. “With Patents or Without, Black Inventors Reshaped American History.” Most patent applicants and awardees were White men. One exception was Mary Dixon Kies, who in 1809 became the first woman awarded a patent for her process of weaving straw with silk or thread. This was a key innovation for the hat industry, due to an embargo on European goods.US Patent and Trademark Office. “USPTO Recognizes Inventive Women during Women’s History Month.” USPTO Press Release #02-16. March 1, 2002. https://www.uspto.gov/about-us/news-updates/uspto-recognizes-inventive-women-during-womens-history-month Likewise, many enslaved people were extremely innovative, but laws and prejudice prevented them from filing independently for patents. Because enslaved people had no rights, many sought patent submissions under their owners’ names but received no recognition or compensation for their efforts.Shontavia Johnson. “With Patents or Without, Black Inventors Reshaped American History.” It was not until 1820 that an African American, Thomas Jennings, was granted a patent for a process called “dry scouring” for cleaning fabric.Alex Camarota. “National Inventors Hall of Fame Inducts Next Class of Innovators.” As the successes and failures of inventors and innovations expanded, so did the consumer demand for better-performing products and services. This led to the Second Industrial Revolution.
### The Second Industrial Revolution: 1865–1920
Although the First Industrial Revolution had a broad scope and a transformative impact, the Second Industrial Revolution helped shape consumer demand for the latest inventions and innovations developed by small and large businesses. The breakthroughs of this era brought applicable innovations in many fields, from chemistry to engineering to medicine.Joel Mokyr. “The Second Industrial Revolution, 1870–1914.”
The nineteenth-century economists Jean-Baptiste Say and John Stuart Mill (1806–1873) refined and popularized Cantillion’s definition of an entrepreneur to capture the spirit of their era. Their definition of “entrepreneur” describes someone who creates value by effectively managing resources for better productivity, and someone who is a financial risk taker.Russell S. Sobel. “Entrepreneurship.”
After the US Civil War and into the 1870s, many industries flourished with improvements in production organization (petroleum refinery storage, mass production) and technological systems (electricity and the telephone). Additional inventions included improvements in steel production, chemical dyes, transportation (diesel and gasoline engines, the airplane), assembly-line production, agriculture and food-processing improvements (refrigeration), textiles, and the typewriter ().Russell S. Sobel. “Entrepreneurship.” As entrepreneurial activity, economic prosperity, and productivity demands increased, entrepreneurs and their inventions were highly regarded and sought after, contributing to the belief that the United States was a land of opportunity.
### Interwar and Postwar America: 1920–1975
When World War I began, the US economy was in a recession, with Europeans purchasing US materials for the war. When the United States entered World War I in 1917, an economic boom ensued. Unemployment declined from 7.9 percent in 1914 to 1.4 percent in 1918 as the United States produced goods and equipment necessary to support the war efforts of the nation and its allies.Carlos Lozada. “The Economics of World War I.” From an entrepreneurial perspective, World War I contributed to military-related advancements, communication equipment, and improvements in production processes. The American economic landscape began to shift during this era from small independent companies to big corporations. The smaller businesses in the previous era either dissolved or were absorbed by larger corporations. As the stock market crash of October 1929 and the Great Depression of the 1930s struck worldwide, innovation slowed. Consumer confidence waned as economic confidence and production declined, and unemployment rose.
After World War II ended in 1945, American society shifted from reliance on the traditional entrepreneur as a resource to reliance on large organizations that offered stability and job security. Corporations continued to buy up small firms to standardize innovative, large-scale mass production of goods, services, and jobs. The idea of being an entrepreneur gave way to the idea of the “corporate man” with job security and health benefits offered by big employers. Although entrepreneurship did not totally vanish, its growth slowed tremendously compared with previous years and shifted to corporate entrepreneurship, whereby large corporations funded the development of new ideas, opportunities, or ventures through formal research and development processes that focused on the corporations’ own strategies and goals. lists some of the corporations that emerged during this period.
As economic views and confidence in how the United States might regain economic prosperity shifted, so did the scholarly meaning of entrepreneurship. One scholar and economist, Joseph Schumpeter (1883–1950), introduced theories and terminology that continue to influence modern entrepreneurial concepts and practices. He originated two critical phrases: entrepreneurial spirit, which is associated with those individuals who are productive self-starters and make things happen, and creative destruction, which he defined as the “process of industrial mutation that incessantly revolutionizes the economic structure from within, incessantly destroying the old one, incessantly creating a new one.”“Joseph Schumpeter.” Schumpeter’s theory that innovation would destroy established corporations to create new ones was not a popularly held or shared view at the time. The thought leaders of this era had different approaches to addressing the rise of corporations as part of the entrepreneurial fabric of the United States. Schumpeter theorized that corporations were better positioned than individuals to support the kinds of research and development that would result in innovations and have economic impact.“Joseph Schumpeter.” To complement this view, he also proposed the concept that corporate support of entrepreneurs’ visions would result in a sustainable “capitalistic financial system” to support and expand on the free-market system espoused by Adam Smith.“Joseph Schumpeter.” In contrast, the sociologist and journalist William Whyte (1917–1999) argued that entrepreneurial culture had changed because “American business life had abandoned the old virtues of self-reliance and entrepreneurship in favor of a bureaucratic ‘social ethic’ of loyalty, security and ‘belongingness.’”William Whyte.
Finally, it is critical to note that the growth of corporations and opportunities expanded beyond the borders of the United States. Corporations faced novel global experiences that supported Schumpeter’s creative destruction theory, as other countries presented new dynamics to address. The annually created Global Entrepreneurship Monitor (GEM) report is a scholarly examination that examines how a group of nineteen countries benefited from venture-capital investments and the factors affecting those investments for entrepreneurial activity. This study addressed the question of entrepreneurial opportunities, entrepreneurial capacity, and entrepreneurial motivation as parts of the engagement within all industries and the direct correlation between venture-capital investment and high-growth startups.William D. Bygrave, Pamela Lopez-Garcia, and Paul D. Reynolds. “The Global Entrepreneurship Monitor (GEM) Model for Economic Growth: A Study of Venture Capital in 19 Nations.” 2001. https://www.researchgate.net/publication/242407165_THE_GLOBAL_ENTREPRENEURSHIP_MONITOR_GEM_MODEL_FOR_ECONOMIC_GROWTH_A_STUDY_OF_VENTURE_CAPITAL_IN_19_NATIONS The GEM report is created annually with timely and relevant information related to entrepreneurship and is available at this website: https://www.gemconsortium.org/. This cultural shift in the American entrepreneurial spirit generated new interest in the training and education of workers, ushering in the knowledge economy.
### The Knowledge Economy: 1975 to Today
In the mid-1970s, the promises of corporate life began to lose their appeal to entrepreneurial-minded individuals. One change was established corporations’ shift in focus on innovations from research and development departments to internal entrepreneurial activities by intrapreneurs. An intrapreneur is an employee who acts as an entrepreneur within an organization, rather than going solo. Intrapreneurs contribute entrepreneurial ideas, products, and services, using corporate work time and resources, but on a much less formal basis than past corporate contributions to innovation. Quickly evolving advances in technology have touched every industry, and people with tech know-how have become champions. Firms dominating the technological landscape include Apple, Microsoft, 3M, Alphabet (the parent company of Google), IBM, and Oracle. In today’s David-versus-Goliath culture, these companies once were small startups, but now they command seemingly endless resources. New opportunities have arisen in the world of technology for those willing and able to compete with these giants. All companies, large and small, are interested in a more informed and educated workforce with specialized or advanced degrees in entrepreneurship and business administration. The new entrepreneurs are prepared to develop and lead firms that can become startup superstars. Viewed through our current lens, companies like Apple, Microsoft, Google, and others have become the new Goliaths, but in their startup days, these companies were the disruptors that fought to create new industries or reshape previously established ones.
### The Entrepreneurial Process
Your approach to the entrepreneurial process, or the set of decisions and actions that you might follow (as in ) as a guide to developing or adjusting your venture, is fluid, not static. This is because your personal interests, background, experiences, resources, and connections are unique to you—but those areas may change over time. For instance, you and a friend might take an art class together for fun and both discover a hidden talent and eye for creating handcrafted jewelry that everyone loves. One day over lunch, you share some of your frustrations with your friend about an interest in potentially selling your unique creations to a local art gallery. Despite your research, you have few clues about where to start or how to get your art shown in a gallery. During your conversation, you are surprised to learn that your friend has already sold several pieces by following a mentor’s advice. Through several referrals, she figured out that her best option was to create a presence on Etsy, an artisan-focused website for e-commerce, electronic transactions, particularly over the Internet, for the exchange of goods and services. Even though you both started at the same place with similar goals, your results differed because you followed different entrepreneurial pathways. In this case, your friend decided to enter the entrepreneurial process at a different stage than you did. This type of scenario occurs every day and clarifies why ventures differ: The decisions of the entrepreneur or the entrepreneurial team are the heart and success of the venture. Why the entrepreneur is the most crucial resource for a venture will be discussed in more detail in later chapters.
If you decide to take the leap into entrepreneurship, you should follow a certain process before you launch your venture. What is that process? As we discussed previously in the steps of the entrepreneurial journey, you need to think through your goals, prepare and follow an action plan, make sound decisions and adjustments along the way, and persevere through challenges and crises to ensure a successful journey. If that sounds like you have some work to do, you are correct. However, if you follow or recognize the stages in the journey and keep track of the related elements, it could be the most satisfying work of your career. Many people find the entrepreneurial journey fulfilling, in part because they get to define their own paths. The plan to graduate, then find a career working hard to help a company or organization reach its goals, are even more satisfying when you can work for yourself to create your own path and purpose in the world.
Before you create your path, a key action in the entrepreneurial process is developing your entrepreneurial mindset. Recall that an entrepreneurial mindset is about being open, self-reflective, and honest about what you are willing to do and capable of doing to achieve success. For instance, are you comfortable with making sacrifices like spending an evening doing research instead of hanging out with friends or family?
### The Entrepreneurial Process: Venture Life Cycle and Product Life Cycle
In general, the entrepreneurial process includes several key stages or some variation of these stages. Keep in mind that these stages do not always follow a sequential pattern, as circumstances and opportunities change. One popular method of understanding and connecting to this entrepreneurial process is to think of your new venture as similar to the human life cycle, the major stages that humans pass through in their life development, and the different growth processes in between.
As we can see in and , the startup stage is similar to the birth of an infant. During the startup stage, or the birth of the idea, the venture requires resources to support the startup as the entrepreneur develops the idea, creates the prototype, and builds the infrastructure to support production. During the startup stage, cash supports building the venture. Meanwhile, the startup is seldom ready to generate sales. Planning for this situation, knowing that cash is needed but not replenished through sales, is an important consideration.
Just as a child grows rapidly in their early years, often a business venture experiences quick growth as the product or service becomes commercialized and experiences strong demand, reflected through increasing sales and stronger knowledge and access to the target market. Again, this stage requires resources to support growth. The difference between this stage and the startup stage is cash is generated through sales activity. In some entrepreneurial ventures, however, the growth stage is about building the venture, rather than generating sales. For ventures like YouTube, the growth stage entails increasing the inventory of videos as well as an increase in people accessing the videos.
Just as humans achieve maturity during their life cycle, the business might reach a point where growth slows and perhaps moves into a decline stage. In our human experience, we can take actions to improve or lengthen the maturity stage of our lives through better life choices, such as nutritious eating habits and exercise, to increase longevity and delay decline. We can also extend the maturity of the business and even move into a rebirth and a new growth phase through insightful decisions, such as adding new features to the product or service, or offering the product or service to a new target market. The goal in our lives, and in this analogy, is continued growth and success. Products can be altered or enhanced to extend the product’s life cycle, which also extends the life cycle of the venture.
Examples of avoiding the decline and death of a business fit well into the concept of product life cycle and are prevalent in technology-related products such as the television, the personal computer, and the cell phone. For example, black-and-white televisions underwent a growth stage after World War II. Color televisions were introduced in the 1950s. As technology improved, television manufacturers have repeatedly moved through the life cycle and avoided declines in sales with new features and adaptations with options such as plasma, LED, and smart technology. An example of a product that started and then quickly declined into the death stage of the business is the eight-track player, a music player available between the mid-1960s to the early 1980s. The eight-track player replaced the reel-to-reel tape recorder as a more accessible product for installation in moving vehicles, from cars to Lear jets, to offer individual music purchased by the vehicle owner for listening while traveling. Even as the eight-track player was becoming popular, moving from the introductory stage into the growth stage of the product life cycle, the compact cassette was being developed. In the early 1980s, the compact cassette format replaced the eight-track player, abruptly ending the product life cycle of the eight-track player.
Some products lend themselves more easily than others to managing the life cycle. The goal is to manage the product for continuous growth, whereas other products, such as the eight-track player, are based on technology that quickly becomes obsolete when a better option becomes available. Other examples of products with short life cycles are categorized as fads, like the hula hoop and pet rocks—fads from the past that were reintroduced to a new generation of consumers and that moved quickly through the product life cycle into the last stage—the death of the product with sales either nonexistent or so few that the product becomes a novelty item.
The life cycles of the venture and of the product are two different concepts but are closely related. The venture will need different resources during each stage of the cycle to support the growth and success of the venture. Knowing what stage of the life cycle the product is in assists in decision making. For example, a decrease in sales triggers the need to enhance the product’s value to extend and continue strong levels of growth. From the venture’s perspective, managing the product life cycle also supports the continued success of the venture.
A successful venture avoids decline or death with the potential to prepare for either the sale of the venture or a public offering of stock, known as an initial public offering (IPO), which gives the company access to significant funds for future growth. Two entrepreneurial IPOs in May 2019 were Zoom and Uber. Zoom is a company that offers video conferencing, web conferencing, webinars, and cross-platform access. Uber is a ride-sharing company. Both entrepreneurial ventures used IPOs to support their future plans for growth.
Think about some of the friends you’ve known since childhood compared with those you’ve met in recent years. Suppose you plan to work on a project together and want to figure out who should handle which parts of the work. You might learn some information about a newer friend’s past experiences through conversations, observations, or other collaborations. Even so, it would not be possible—or necessary—to learn everything about their childhood and how they learned a specific set of skills or acquired certain connections. You would just start your interaction and work with your friend from the current time. The same is the case for a venture. You might start a venture from the idea-generation stage or from infancy as part of the pre-launch stage. Or you might join the process after someone else has already completed the early stages of the business—for example, by purchasing an existing business or entering into a partnership. You might not have been around when the business was launched, but you can continue with the development of the business from the present moment. Just as each stage of human experience involves different concerns and milestones, the same holds true for your venture. The venture is your responsibility to manage during each stage of the development process.
provides an overview of each stage and the associated decisions that you might consider or encounter for the entrepreneurial process.
### Stage 1: Startup
In stage 1, startup activities are related to your perceptions about a potential idea, how you develop your idea, and how you might recognize appropriate opportunities. At this stage, the crucial activity is defining the opportunity to develop your concept into a realizable business venture with a strong potential for success. In this stage, you work on developing the idea more thoroughly to determine whether it fits your current and future circumstances and goals. You will also work through exercises to distinguish ideas from viable opportunities. Each of these actions is addressed in greater detail in future chapters. The goal of this section is to introduce concepts for a greater understanding of these stages. Key actions or exercises in this stage include:
1. Idea development
2. Opportunity recognition
3. Identification of a market opportunity
4. Research and due diligence, or conducting the necessary research and investigation to make informed decisions that minimize risk, such as ensuring you are not duplicating an idea that already exists
### Stage 2: Development
Now that you have confidence in your idea, it is time to develop a structure to determine what type of venture will work best for the idea. In Stage 2, you might select a business model (discussed further in Business Model and Plan) and pull together a team (discussed in Building Networks and Foundations) to make your dream venture a reality. The business model identifies how a business will build revenue, deliver value, and receive compensation for that value. Some examples of business models include monthly subscriptions, pre-sale orders, kiosk sales, and other choices. Entrepreneurial decisions in the development stage include many options to consider, including bootstrapping, starting out with limited funds, receiving venture funding from external sources, licensing to receive royalties on a per-item basis, purchasing another business, inheriting a business, franchising either through the purchase of a franchise or building your company with the goal of eventually creating your own franchise, creating a virtual web-based company, using mobile apps that support your business or connect with other businesses, founding a social venture to support a cause, consulting, or freelancing. Choosing among these options or creating your own unique approach to supporting the success of your business will change your results and success level.
Key activities in this stage include:
1. Formulation or refinement of your concept
2. Design of business model, plan, goals, launch team, and operational structure
3. Creation of prototype product to fit market (sample or model for customer feedback)
4. Further research and due diligence, as needed
### Stage 3: Resourcing
Using knowledge you gained in the first two stages, in the resource stage, you will evaluate the necessary resources to support your new venture. Resources include financial support; support and selection of a manufacturing location or facility (if you are producing a physical product); personnel talents, knowledge, and skills; possible political and community support; and family support, because the new venture will require time commitments that will cut into time with your family. Fundamentals of Resource Planning discusses obtaining resources in more detail.
The key activities in this stage include:
1. Gathering pertinent resources, such human and financial capital, investors, facilities, equipment, and transportation
2. Establishing connections, networks, and logistics
3. Further research and due diligence, as needed
### Stage 4: Market Entry
Market entry—the launch of your venture—is often undertaken in a soft launch, or soft open, within a limited market to minimize exposure to unforeseen challenges. As an entrepreneur, you are presenting your new venture to a specific market to see how well it is received and supported. You might make last-minute adjustments at this stage, but the crucial part is to see how the market reacts to your venture. This is an excellent time to scrutinize all aspects of your business for solutions to unexpected problems and improvements in efficiencies, and to track customer reactions to your venture.
One of your most important responsibilities at this point is managing your cash flow, or the money coming into and going out of a business, as cash is essential for the success of the venture. In the early stages of the venture, you will need large amounts of cash to fund the operational activities, because your sales are not yet guaranteed. Production costs, payroll, supplies, inventory, lease payments, and marketing: All of these expenditures involve cash outflows from your venture as part of the startup costs. A successful business needs available cash as well as customers for its products and services, or it will not survive. Key activities at this stage include:
1. Assessing management structure and needs, adjusting as necessary
2. Managing cash flow
3. Launching the entity
4. Monitoring progress
5. Further research and due diligence, as needed
### Stage 5: Growth
The growth stage includes making decisions that support the future growth of your venture. In the growth stage, your decisions reflect the scalability of your venture. There is a big difference between a small-scale venture and a venture that must handle significant levels of sales. At this point, your organizational structure needs an update. You might need new functional levels, such as a finance department, or a human resources department, or perhaps an assistant manager. Other considerations include the size of your facilities. Is the current size, or capacity, appropriate for the growth of the venture? Other questions relate to the appropriateness of your suppliers or inventory providers. Are quality and delivery time meeting your needs? Is the payment system appropriate for your venture? In this stage, you should also monitor the growth of your venture and make appropriate adjustments. For instance, if your venture is not growing as expected, then you might go back to your business plan and see what adjustments you can make. Key actions in this stage include:
1. Managing the venture
2. Making key adjustments, as needed
3. Further research and due diligence, as needed
### Stage 6: Maturity
In the maturity stage, your venture has moved into the maintenance phase of the business life cycle. Entrepreneurs monitor how a venture is growing and developing according to the business plan, and its projections and expectations. Is your venture growing faster or slower than you expected? What milestones has it reached? What changes are needed to continue the success of the venture? How can you address those changes? Are you still able to maintain or meet the needs of the venture?
Depending on your situation, you still will need to take action to support the venture. Even if the venture is operating efficiently and in a predictable manner, external changes could compel you to change your venture, for example, by making improvements to the product or service, finding new target markets, adopting new technologies, or bundling features or offerings to add value to the product.
One of the key points to understand at this stage is that ventures can, and often do, fail. Entrepreneurship is about taking calculated risks to achieve a reward. Sometimes your venture may not turn out how you planned. Keeping an open mind and learning from experience presents new opportunities for either changes to the existing venture or even a new venture. Consider these examples of early entrepreneurial failures by people who later went on to achieve great success:
1. Bill Gates’s early Traf-O-Data company failed because the product did not work
2. Walt Disney was told he lacked creativity and was fired from a newspaper job
3. Steve Jobs was once fired by his own company, Apple
4. Milton Hershey started three candy companies before he founded the successful Hersey Company
Key actions of this stage include:
1. Strengthening market position
2. Awareness and willingness to change
3. Reaping return on investment (ROI)
### Stage 7: Harvest
At some point, your company may outgrow your dreams, ambitions, or interests. At this stage, you are harvesting or collecting the most return on your investment while planning how to retire or make a transition away from this venture. Many entrepreneurs enjoy the excitement of starting and building a venture but are less interested in the routine aspects of managing a company. In the field of entrepreneurship, the entrepreneurial team creates a venture with the goal of harvesting that venture. Harvesting is the stage when all your hard work and ingenuity are rewarded through a sizable return on the invested money, time, and talents of the startup team, including any investors. During this stage, the entrepreneurial team looks for the best buyer for the venture to achieve both a return on investment and a match for the continued success of the venture. Key actions in this stage include:
1. Identifying what the entrepreneurial team, and investors, want out of the venture, their ROI
2. Planning for your future: What’s next on your entrepreneurial journey?
### Stage 8: Exit
The exit stage is the point at which your venture either has fulfilled its purpose as a harvested success that is passed along to the next generation of business owners or has not met your needs and goals. These two situations give rise to vastly different scenarios. In the harvesting of the venture, you might receive a sizable cash payment, or a combination of cash payment and a minority share of stock in the venture’s buyout. In an exit that reflects the closing of the venture, your option is most likely liquidation of assets, which you would sell to pay off any remaining creditors and investors. In both harvesting and liquidation, the challenge for you as an entrepreneur can be to accept the emotional withdrawal from a venture that has consumed your thoughts, time, and energy. The time has come for you to step out of the picture and allow the venture to be cared for by a new “parent” or to close the venture completely. Key actions in this stage include:
1. Exit strategy and plan
2. Transition to the next generation of owners
### Stage 9: Rebirth
For some entrepreneurs, the excitement of creating a new venture supersedes the financial gain from harvesting a successful venture. The thrill of transforming an idea into a realizable opportunity and then creating a thriving venture is difficult to find elsewhere. In the rebirth phase, the entrepreneur decides to seek out another new venture to begin the process all over again. As an experienced entrepreneur, you can create a new type of venture or develop a new spin-off of your original venture idea. At this point, you have become a serial entrepreneur, an entrepreneur who becomes involved in starting multiple entrepreneurial ventures. Key actions in this stage include:
1. Redesigning or creating a new venture
2. Bringing in a new entrepreneurial team or the team from the previous venture
### Summary
The entrepreneurial process provides a flexible guideline for launching a venture with an individualized approach. This process should be a fluid, not static, exercise that adjusts to market needs and demands until you achieve an appropriate fit to reap the rewards of your investment. The material in this section will be covered in greater depth as you progress through the rest of the chapters. For now, gaining a perspective on the entire process provides you with a background understanding of what an entrepreneurial venture involves, from ideation through creating the venture to harvesting the venture with the potential to begin the process all over again with a new idea.
### Review Questions
### Discussion Questions
### Case Questions
### Suggested Resources
Are entrepreneurs BORN or MADE? (Lord Sugard #AND Robert Greene): https://www.youtube.com/watch?v=HNHUbrVcpRA
Learn about how Man Crates was created: https://www.mancrates.com
For more information about the Pembina tribe and entrepreneurial behavior: https://www.ndstudies.gov/gr4/frontier-era-north-dakota/part-2-fur-trade-red-river/section-2-red-river-fur-traders
For more information about Dr. Charles Drew: https://nmaahc.si.edu/blog-post/color-blood
For more information about the creation of the cotton gin: https://www.history.com/topics/inventions/cotton-gin-and-eli-whitney
For more information on how to start a business: https://www.pbs.org/newshour/show/this-free-program-trains-people-how-to-start-a-business-but-without-debt
For more information on Global Entrepreneurship: https://www.gemconsortium.org/
Take the Myers Briggs test to discover your personality type: https://www.idrlabs.com/test.php |
# The Entrepreneurial Journey and Pathways
## Entrepreneurial Pathways
### Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
1. Understand how venture opportunities present different pathways to entrepreneurship
2. Describe methods for finding your personal path to entrepreneurship
When you think of which career pathway (as in ) to follow, you might not think of being an entrepreneur in the same way that you would think of being a nurse, an attorney, or an engineer—but you should. Entrepreneurship offers you the chance to express your creativity and business acumen and to control your destiny. Conversely, if you were to earn an engineering degree, your employment options could involve working for an engineering company. Your job would be relatively secure and structured, with a paycheck and some perks. Or you could leverage your engineering degree into an entrepreneurial venture.
The entrepreneurial journey includes multiple experiences and decisions that will help you reach your entrepreneurial goals. For example, some individuals inherit a family business. If your choice career proves not so ideal or available as planned, entrepreneurship may be an attractive option. However, a growing number of people intentionally choose business ownership as a vehicle for fulfilling their career goals and interests. If you reach this crossroads in selecting your ideal vocation, how do you successfully navigate the entrepreneurial pathway as a career option? Your entrepreneurial journey might travel several paths, each presenting obstacles, twists, and turns before you reach your destination. Many of today’s entrepreneurs have followed different pathways—sometimes conventional, sometimes not—that have led to the creation of various business structures matched to each entrepreneur’s spirit. These businesses include established or adapted business models that met a need, solved a problem, or developed a social solution.
Regardless of the type of entrepreneurial venture you may choose, many pathways can take you to your goal. Venture types differ in their missions and visions. Their purposes range from earning income (for profit) to meeting a community need through tax-exempt status (nonprofit) to solving a social or environmental problem (social enterprise) to combinations of these types (hybrid). Business Structure Options: Legal, Tax, and Risk Issues examines each type in depth.
For many established businesses, the pathway is not always as clear as the entrepreneurial process suggests. This is because entrepreneurs are opportunists, leaders, and initiators: They take calculated risks to create or adapt something to solve a problem or create a response for potential financial gain or intrinsic value. The reality is that these situations or opportunities do not always occur in a logical sequence or order. Instead, entrepreneurial-focused individuals might encounter opportunities, offers, or options that spark a new venture.
### Opportunities and Options
If you are ready to launch a venture, you will find numerous situational opportunities to pursue your interests. A situational opportunity is one that becomes available, depending on factors such as where you work, your family obligations, your idea or invention, your unique creative expression, or a recent career search or job change. The evolution of entrepreneurship, your own receptiveness to entrepreneurial thinking, and many existing and emerging platforms make this possible.
As you plan your venture, you should consider opportunities in these areas:
1. On the Job. Some workplaces offer intrapreneurial opportunities, or ventures created within the company, for entrepreneurial-minded individuals. The firm 3M, for example, has historically nurtured employee creativity and promoted innovative opportunities for employees. This environment inspired an employee project that resulted in the invention of Post-it notes. Even if a company does not support venture creation, there is also the possibility of taking the entrepreneurial idea out of the company to create your own venture.
2. Family Obligations. You might work in a family-owned business or take over after family members retire or transfer ownership to other family members.
3. Franchises. You might purchase an existing franchise, a license granted to an entrepreneur to operate under the franchise’s name.
4. Web-Based Venture. You might launch a product venture through Etsy, Shopify, or another e-commerce web site.
5. Work for Hire, or Independent Contractor. You might launch a consulting business or work as an independent contractor to gain clients, experience, and income on a flexible schedule.
6. Unemployment. Being underemployed or unemployed might make entrepreneurship a pathway to economic freedom.
7. Purchase. You might purchase an existing business from a retiree, your current company, or a family that owns a business. As a business owner’s life situations change, due to aging or new interests, the business becomes available for new ownership. Working for a company can offer the option of buying out the current owner to become the new owner. Purchasing an existing company provides historical financial data and decisions that support future successes. If you are employed by the company, you have the opportunity of learning details about how the business is managed, an advantage that could support your success in purchasing and managing the company.
8. Frustration. You might encounter a currently existing product or situation that needs improvement or a solution, and decide to tackle the situation yourself.
9. Serendipity. This is a situation in which various pieces come together to support the creation of a new company or product. The Entrepreneur in Action: Gordon Moore and Fairchild Semiconductor box describes how Gordon Moore (creator of Moore’s Law on the exponential growth of a single silicon chip doubling every year) was working for Shockley Semiconductor in 1956. At that time, he had little-to-no knowledge of semiconductors. However, he quickly learned about semiconductors by applying his PhD in chemistry and physics from Caltech to the semiconductor industry. After one year of employment, Moore and seven other employees left to form Fairchild Semiconductor, financed by Sherman Fairchild. During his eleven-year employment with Fairchild Semiconductor, Moore published a paper describing what we now know as Moore’s Law. His next move was based on recognizing the importance of the microprocessor in transforming the computer and related industries. After frustrations with Fairchild’s lack of support for this new direction, Moore, along with a colleague from Fairchild Semiconductor, Robert Noyce, formed Intel, the second largest semiconductor chip manufacturing company in the world.
One core concern of entrepreneurship is how you will fund your venture and where you will find the necessary resources. Although some businesses require significant startup funding, it might surprise you to learn that many ventures have been launched by entrepreneurs who used their own capital, labor, connections, or other resources to start—an approach known as bootstrapping. Some savvy bootstrapping strategies include launching a venture part-time while maintaining a full-time job, using personal savings, bartering for services and materials, and securing pre-orders. Some entrepreneurs seek financial support for their venture through funding from angel investors, venture capitalists, or traditional loans or debt. The advantages and disadvantages of these approaches are covered in Entrepreneurial Finance and Accounting, along with an in-depth discussion of bootstrapping.
### Finding Your Entrepreneurial Path
The process and pathways to entrepreneurship can be overwhelming. With so many choices and decisions involved, entrepreneurial choices can seem intimidating, and the route you follow may sometimes produce some anxiety. Before you get consumed with the technical aspects of launching a venture, it is important to start with the most important foundation: finding your personal path to entrepreneurship.
### Your Personal Path through Self-Reflection
Your decision to launch a venture should not be taken lightly. Entrepreneurship requires a lot of energy, decision-making skills, tenacity, resourcefulness, and flexibility. As you consider entrepreneurship as a career, you should complete some self-reflection to figure out how, why, and when entrepreneurship may be the right professional path for you. For example, if your personality is introverted—that is, you often find it most energizing to be alone—you might consider a venture that capitalizes on that scenario. (Recall your entrepreneurial self-assessment Are You Ready?: Entrepreneurial Potential Self-Assessment.) It might be helpful to study or meet other entrepreneurs with a venture you find interesting.
### Your Personal Path through Research and Experiments
A key step to finding your personal pathway to entrepreneurship is to conduct research and try out roles related to your desired venture. Researching the potential industry or entrepreneurial options available to you will provide some level of comfort and validate your decisions about what you might do next. One concrete way to do this is to “shadow” a professional in your desired field. This means arranging to be an observer during a standard workday to see firsthand what is involved in running that type of business. You may also be able to secure some experience by serving as an apprentice, intern, or lab assistant, or as an independent contractor or freelancer, an individual who contracts to offer professional services or tasks for a negotiated fee. Informational interviews—whether informal chats with new or established business owners at a trade show or networking event, or a formal question session—can also provide insight.
### Your Personal Path through a Soft Launch
One sure pathway to entrepreneurship is to jump in with both feet and experience the process by launching a venture. Although this may seem like a big leap or you may feel you are not ready, remember that entrepreneurship is an experiential discipline that can be understood fully only through hands-on experiences. Launching a venture for a limited time frame or audience to gain experience, insights, and feedback about the target market or consumer—a process known as a soft launch (or soft open)—will provide valuable feedback on how to meet the consumer’s needs or improve on your product to ensure success. You might explore a soft launch by creating a sketch or sample of what you plan to offer and asking friends and potential customers what they think, or by creating a website or app prototype to share with a limited number of people to see if it works as planned (sometimes called a beta test) and get feedback.
### Summary
Your pathway to entrepreneurship might arise out of necessity, opportunity, or a combination of situations. Being open to the idea of becoming an entrepreneur provides you with the potential to identify a unique opportunity that fits your interests and goals. Entrepreneurs learn to recognize when an opportunity presents itself and how and when it fits with their goals and dreams.
### Review Questions
### Discussion Questions
### Case Questions
### Suggested Resources
50 Business Ideas for Introverted Entrepreneurs: https://smallbiztrends.com/2016/09/business-ideas-for-introverts.html |
# The Entrepreneurial Journey and Pathways
## Frameworks to Inform Your Entrepreneurial Path
### Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
1. Identify common frameworks used to shape an entrepreneurial venture
2. Compare how some frameworks better fit certain venture types
3. Define an action plan and identify tools available for creating an action plan
4. Describe some common types of entrepreneurs
In designing a venture that is sustainable or capable of being self-funded, it is helpful to use specific tools to manage information. One such tool is a framework—a structure or outlined process that can be used to accomplish entrepreneurial goals through problem solving, idea generation and validation, and brainstorming.
### Selecting a Framework
You can choose any of several popular frameworks to help with the design and integration of your business experience and entrepreneurial thinking. The most widely used frameworks that have been developed as integrative tools to support entrepreneurial thinking include:
1. Business Model Canvas (BMC) offers a simple, one-page tool used to design an innovative business model that can be presented to key stakeholders (). The business model canvas is discussed more fully in Business Model and Plan.
1. Lean Strategy Canvas is a spinoff of the BMC that introduces a potential customer feedback loop for continuous product or idea improvement to meet the market’s needs (). The lean strategy canvas is discussed more fully in Launch for Growth to Success.
1. Design Thinking Process supports a systematic, logical approach for addressing and solving problems with multiple solutions (). Design thinking was first applied in relation to STEM fields—science, technology, engineering, and mathematics. Due to the success of this process, design thinking has become popular in many other areas.
Design thinking approaches problem solving or the creation of a new venture from the perspective of the customer. For example, Amazon provides easy-to-open packages after observing the challenges customers had in opening the delivered products. Design thinking is covered in greater detail in Problem Solving and Need Recognition Techniques with applications to starting an entrepreneurial venture, product design, and improvements to existing products.
1. Four Lenses Strategic Framework is used for the development of social enterprises; assesses four strategic areas (stakeholder engagement, resource mobilization, knowledge development, and culture management) to address a social problem and provide sustainable social impact ().
The typical application of each framework is shown in . The process of selecting the most appropriate framework for your entrepreneurial interests might help you understand how to develop your idea. We recommend that you try all four frameworks before selecting one. Even though each framework is identified for a general class of venture, each one provides a different perspective for developing your venture.
### Applying the Framework through an Action Plan
At some point during your venture development process, it becomes critical to capture your thoughts and intentions in a meaningful and productive way. Creating a customized action plan—an organized, step-by-step outline or guide that pulls together the ideas, thoughts, and key steps necessary to help set the stage for entrepreneurial success—at an early stage will make the entrepreneurial process much smoother and potentially more successful in the long run. Applying an appropriate framework will provide you with a visible, tangible, strong foundation for your future venture. In completing the framework, you should identify gaps as well as ideas for further development, then add both to your action plan. Just as you can choose from several types of frameworks, you can apply any of a variety of action plans. This section introduces some widely used action-planning tools but is not exhaustive. These selected action plans are presented as a way to jumpstart your thinking for the venture creation process.
### Action Plans
You may have heard stories about potential entrepreneurs who hesitated to start a venture, largely out of fear of creating a business plan. Historically, business plan creation has required significant amounts of time, resources, and research. Although business plans are still enormously valuable (and are discussed in depth in Business Model and Plan), some useful business-plan-like tools have emerged: These are essentially variations on the development, content, and structure of a traditional business plan or one of its components. One other concern about business plans is how entrepreneurs use them once they are completed. In many cases, when the venture is launched, the entrepreneurial team discovers that the business plan does not reflect the realities that the team faces. A wide range of variables can often negate the value of the business plan. The true benefit of completing the business plan is that it forces the entrepreneurial team to think through their decisions as reflected in the plan. Even if the venture and the business plan change, the process of creating the business plan encourages critical thinking and improved decisions. In real time, you will need to make changes to your business plan and your venture. Throughout the venture’s life span, you should continue your background research and projections to adapt the business plan.
Unlike with the business plan, the purpose of an action plan is to pull together the ideas, thoughts, and actions necessary to help you set the stage for entrepreneurial success. Consider what kind of action plan you need to prepare a holiday meal. We have a vision of the end result—friends and family gathered together to share a delicious, festive meal. We will need to select the right location for the holiday meal, identify the guests to invite, and create a financial budget for the related costs of the holiday meal. Then we would need to create our action plan—similar to a business plan—to identify what actions are necessary to support the event. In our action plan, we would include inviting guests to the event, drawing up a menu and a grocery list, designing a timeline to ensure that all the dishes of the holiday meal are completed in the correct sequence: We want all the food to be ready at the right time. Our action plan would also include the clean-up process and any after-dinner activities that we want at our event. As you can see, both the business plan and the action plan are necessary for success.
Once you select a framework and an action plan, you have the basic tools and information you need to outline the path of your venture. The framework offers a big picture of what you want to create and the resources required for that goal, whereas the action plan provides you with concrete actions for starting along your entrepreneurial path and, later, for supporting the business plan.
Action plans can also result from using the tools listed in . These tools can help you visualize the process necessary to reach your end goal by clarifying the necessary actions. They are also tangible guidelines for innovating, exploring, and creating solutions to entrepreneurial problems or opportunities. You might also use your action plan to get “unstuck” during any challenging phase of the entrepreneurial process. One word of caution regarding these tools: You need to use them to get results. So be sure you are realistic about your interests, abilities, and availability when you create your plans. For example, wireframing is a technique for webpage design used early in the development process in which content, layout, and functionality are identified prior to the actual creation of the webpage. Coincidentally, this is another application of design thinking through the focus on the end user’s interaction with the website. As you can see from this example, searching for popular tools used within specific industries will provide you with support in building your framework. provides a few examples of action planning tools that are used to delve into the specific topic.
The action plan support tools presented in are a sample list of representative tools that are useful in motivating, inspiring, identifying, and clarifying needed actions. This list is not exhaustive; if you have something that works for you, then use it. Several apps are also available to help you capture ideas to create action plans, as shown in the Suggested Resources. The idea is to find and use a visual or tangible tool that inspires you to get focused, organized, and committed to taking the actions necessary to turn your entrepreneurial dream into a reality. Let’s say you know that you want to start a venture that helps people recover after some type of disaster. You could use one of these action plan support tools, such as a mind map, to help you brainstorm possible needs resulting from a disaster in a city (). You can categorize the ideas to help people and animals, or to repair the city’s infrastructure. After completing the mind map, you would then consider which areas fit your interests, passions, and skills. From this point, you could identify the type of venture you want to create and the necessary actions to move forward with your idea. Using these types of tools assists in identifying actions that need to be addressed in your action plan.
### Types of Entrepreneurs
Recall from The Entrepreneurial Perspective that for some people, the entrepreneurial pathway is clear cut and logical. For example, a career in a biomedical lab may involve research and clinical trials that lead to patent applications for a product to sell in the marketplace, leading to a new venture. Others experience the entrepreneurial pathway through nontraditional methods, as when an unexpected opportunity arises. As the global marketplace continues to evolve, new entrepreneurial opportunities will open for individuals who are open to opportunities that build on creativity and innovation.
Traditional entrepreneurs were perceived as individuals who did not fit in a typical organizational structure or as people who had the brains, creativity, imagination, and money to launch out on their own. However, this perception is changing with increasing support to reduce barriers to enable access to entrepreneurship for all demographic groups. According to a 2018 Capitol Hill discussion on women, minorities, and entrepreneurship, the current entrepreneurial demographics show that only 12 percent of US innovators are women and that US-born minorities accounted for 8 percent, with African Americans making up only one-half of 1 percent of this group.Information Technology & Innovation Foundation. “Promoting diversity in entrepreneurship.” 2018. https://itif.org/events/2018/03/07/promoting-diversity-entrepreneurship According to a National Academies of Sciences report, as cited in the same Capitol Hill discussion, women- and minority-owned small businesses received less than 16 percent of all Small Business Innovation Research (SBIT) program awards. Even though women account for 51 percent of the US population and own 29 percent of businesses, they received only 6 percent of SBIT awards.
Also cited at the Capitol Hill briefing, a 2015 report by the US Department of Commerce showed that women-owned small businesses have a 21 percent lower rate of winning federal contracts. One result from this Capitol Hill briefing was the passage of the Promoting Women in Entrepreneurship Act to require the National Science Foundation to encourage entrepreneurial programs to recruit and support women in commercial activities rather than purely laboratory-based activities. Some of the challenges identified in this discussion for groups other than the traditional entrepreneurs described include life choices such as childbearing, access to funding, and lack of support and follow-through to support women and minorities in their interests related to potential entrepreneurial activities.
Other findings drawn from the Census Bureau data and reported by the Kauffman Foundation found that over 70 percent of Asian, Hispanic, and African American entrepreneurs relied on personal and family savings as their main source of startup capital. Women also face challenges in funding, receiving just 2.2 percent of venture capital funding in 2018.Emma Hinchliffe. “Funding for Female Founders Stalled at 2.2% of VC Dollars in 2018. A bill called the Support Startup Businesses Act, reintroduced in the US Senate in 2019, would address these challenges by increasing overall funding to help startups, creating more flexibility in funding, and expanding services for startups.Jason Rittenberg. “Startup Act Reintroduced Innovation Support.” The panelists ended the Capitol Hill discussion by noting that “bro culture” has proliferated at the expense of women- and minority-based entrepreneurial ideas. Cultural barriers, including historical disenfranchisement of women, minorities, and immigrants, arise from biases, with one speaker noting that investors ask more difficult and probing questions of male entrepreneurs but pose more skeptical questions to women.
Today, opportunities have expanded for businesses and organizations that respond to current challenges, which may include trying to improve a negative situation or finding a need in a positive situation, with an increasing awareness of the benefits provided through entrepreneurial activities. As more global, cultural, and economic issues and opportunities arise, more individuals will explore entrepreneurship as a response to these challenges. For example, noting the challenges that women and minorities face in starting a new venture, Alan Donegan and his team train people on how to turn their entrepreneurial visions into a reality through his PopUp Business School. The point is that opportunities should be available to everyone, as long as we keep an open mind when considering how change contributes to new venture creation.
As the traditional view of entrepreneurship evolves, different types of entrepreneurship are emerging and are worth noting as you contemplate your entrepreneurial journey. The types presented here are among the most common today, each with its own unique opportunities and challenges.
1. College Entrepreneur: As the cost of higher education continues to rise, more college students are seeking ways to reduce reliance on tuition loans by launching a venture. The college entrepreneur might launch an enterprise while attending or after graduating from college. Entrepreneurship courses might require a student to create and launch a venture as part of the curriculum, and this can turn into an actual earnings opportunity.
2. Corporate Intrapreneur: If you work for a progressive company that seeks innovative solutions for growth and opportunities, you can become an intrapreneur by organizing the necessary resources to pursue a venture of organizational interest.
3. Franchise Entrepreneur: Since a franchise grants a license to an entrepreneur to trade under the franchise’s name, a franchise entrepreneur gains a head start in an industry by launching the franchise.
4. Immigrant Entrepreneur: With increasing global unrest, more immigrants are traveling to new countries. In the United States, ethnic communities of immigrants welcome their compatriots and assist them in becoming independent through entrepreneurship. These communities pool together the necessary resources to support the new immigrant until the business is self-sustaining.
5. Internet Entrepreneur: As access to technology and its related platforms increases, so do opportunities for Internet-based businesses. Internet entrepreneurs utilize social media platforms, smartphones and tablets, applications (apps), and any other form of accessible technology as their product or venture. The critical structure for these ventures is the inclusion of an e-commerce or online payment processing capability.
6. Woman or Minority Entrepreneur: Women have a unique perspective and potential to capitalize on new or already existing niches in many entrepreneurial fields. Many cultural groups, such as Haitians, Cubans, or Jamaicans, also have unique marketplace skills and demands.
7. Part-time Entrepreneur: In response to economic downturns, underemployment, and unemployment, more individuals are supplementing income through part-time activities, casually referred to as “side hustles.” These individuals may launch businesses through multilevel marketing firms, such as Avon, Mary Kay, Stella & Dot, and others. This category may also include self-employed freelancers. Examples include writers, graphic designers, artists, web developers, and massage therapists.
8. Social Entrepreneur: Some entrepreneurs are driven to offer innovative solutions to existing and emerging social problems, such as poverty, hunger, human trafficking, and environmental degradation. Most social enterprises are structured as nonprofit entities. However, increased interest in for-profit entities that marry business and social goals has given rise to a subcategory has emerged known as a B-corp (see Business Structures Options: Legal, Tax, and Risk Issues), or benefits corporation. The B-corp designation is a voluntary certification that is managed by the nonprofit group B Lab to ensure that corporations adhere to specific guidelines, rules, and accountability.
### Summary
You can connect your background, training, and discipline with your entrepreneurial pathway by using frameworks that capture your developmental activities. To achieve your goals, you need some type of plan that outlines the steps you need to take to reach them. Just as there are many types of ventures, there are many versions and types of plans and tools that can assist you in developing the plan that best fits you. As more global issues and opportunities continue to arise, many different types of entrepreneurs have emerged, offering innovative solutions. The diversity of entrepreneurial types provides unique niches for opportunities that might not fit the mainstream or traditional route to entrepreneurial success.
### Review Questions
### Discussion Questions
### Case Questions
### Suggested Resources
YouTube Video: Business Model Canvas Explained: https://www.youtube.com/watch?v=QoAOzMTLP5s
The Four Lenses Strategy Framework website: www.4lenses.org
Evernote, a cross-platform app that allows you to create, update, and synch notes: https://evernote.com/about
YouTube Video: We have a dream, B-corp overview and mission: https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&v=V-VFZUFJwt4
Business Model Canvas Strategyzer: https://www.strategyzer.com/canvas
For more information on the diversity of entrepreneurs in the United States: https://www.entrepreneur.com/article/286574
For more information on entrepreneurship and resource providers supporting entrepreneurship: https://www.kauffman.org/eship-summit-2017/overview#1g
For a list of resources available to support entrepreneurship: https://www.kauffman.org/what-we-do/entrepreneurship/research/data-resources |
# The Ethical and Social Responsibilities of Entrepreneurs
## Introduction
Martin Shkreli, an aspiring pharmaceutical entrepreneur and former hedge fund manager, made headlines in 2015 when he capitalized on a profitable and controversial business opportunity. As the founder and CEO of Turing Pharmaceuticals, Shkreli obtained the expired patent for a lifesaving drug used to combat HIV. He raised the US market price overnight from $13.50 to $750 per pill—a 5,000 percent increase. When criticism by the medical community, the public, and politicians led to demands for a return to the original pricing, Shkreli defended his decision as a smart business practice that contributed to his firm’s bottom line. Eventually, he agreed to reverse the price but later reneged on his promise, offering instead to provide discounted pricing to hospitals.
The damage to Shkreli’s reputation, however, was already complete. The BBC described him as the “most-hated” CEO in America due to his business decisions, obnoxious behavior, and negative social media rants.Zoe Thomas and Tim Swift. “Who Is Martin Shrkeli—‘The Most Hated Man in America’?” Infectious disease specialists and patient advocates rejected Shkreli’s argument that his “price adjustment strategy” was helpful for patients since those being treated would need the drug long after being released from the hospital. Although the pricing strategy was not illegal, Shkreli was eventually investigated and found guilty of securities fraud that involved falsely raising money from hedge fund investors and stealing money from his drug company to repay investors.Dan Mangan. “’Pharma Bro’ Martin Shkreli Found Guilty of 3 of 8 Charges, Including Securities Fraud.” |
# The Ethical and Social Responsibilities of Entrepreneurs
## Ethical and Legal Issues in Entrepreneurship
### Learning Objectives
By the end of this section, you will be able to:
1. Develop the ability to identify ethical and legal issues
2. Develop an approach to resolve ethical/legal dilemmas once identified
What does it mean to be both ethical and socially responsible as an entrepreneur? When Martin Shkreli decided to increase the price overnight of a lifesaving HIV drug from $13.50 to $750 per pill, the public immediately characterized his actions as unethical. However, he viewed his position as responsible behavior that served the best interests of his company and his shareholders. Although Shkreli’s decision to raise prices was within legal limits, his actions were critically judged in the court of public opinion.
As an entrepreneur, should Shkreli’s concerns be with ensuring the sustainability of his business or with providing patients with a more affordable (less profitable) lifesaving drug? This fundamental question raises a number of related questions about the ethics of the situation. Was the decision to raise the price of the HIV drug by 5,000 percent in the best interest of the business? Was Shkreli aware of all aspects (ethical, legal, financial, reputational, and political) of the decision he made? To critically examine the decisions of an individual such as Shkreli, one needs an enhanced awareness of the multitude of stakeholders to be considered, as opposed to only shareholders.
### Stakeholders
A comprehensive view of business and entrepreneurial ethics requires an understanding of the difference between shareholders, a small group who are the owners (or stockholders), and stakeholders, a large group that includes all those people and organizations with a vested interest in the business. Serving the needs of the shareholders, as perhaps Shkreli thought he was doing, is based on a limited view of organizational purpose. This view, known as the “shareholder primacy” doctrine, stems from a famous Michigan Supreme Court case involving the Ford Motor Company and two shareholders named the Dodge brothers (who would go on to form the Dodge Motor Company).Dodge v. Ford Motor Company, 204 Mich. 459, 170 N.W. 668 (1919). This case established a precedent that lasted for decades, built on the premise that the only thing that should matter to a CEO and their company is shareholder profits. However, this concept has gradually been replaced by a more progressive viewpoint, mandating the consideration of all stakeholders when making key business decisions that have potentially far-reaching consequences. As an example of this new awareness, the Business Roundtable, a group of CEOs from the biggest and most successful companies in the US, recently released a new statement addressing business ethics. The CEOs prefaced this statement saying, “Together with partners in the public, private and non-profit sectors, Business Roundtable CEOs are committed to driving solutions that make a meaningful difference for workers, families, communities and businesses of all sizes.”“Leadership in Action.”
The aim of this chapter is twofold: first, to assist entrepreneurs in understanding the significance of ethics and the role that entrepreneurs play in developing an ethical and responsible organization. This includes the ability to recognize and identify both ethical dilemmas and legal issues that might arise. Second, we want to enable entrepreneurs to develop a moral compass that allows them to lead their business organization in a manner consistent with ethical and legal principles. An example of an ethical business organization is one that follows the Statement of Purpose by the Business Roundtable. This means creating a business environment in which each member of the organization is encouraged, enabled, and supported to develop the ethical capabilities to habitually and systematically differentiate between right or wrong. This also means that the organization, as a total system, provides consistent, meaningful, and timely consequences for unethical behavior and irresponsible actions.
### Being an Ethical Entrepreneur
Whenever you think about the behavior you expect of yourself, in both your professional and personal life, you are engaging in a philosophical dialogue with yourself to establish the standards of behavior you choose to uphold—that is, your ethics. You may decide you should always tell the truth to family, friends, customers, clients, and stakeholders, and if that is not possible, you should have very good reasons why you cannot. You may also choose never to defraud or mislead your business partners. You may decide, as well, that while you are pursuing profit in your business, you will not require that all the money earned comes your way. Instead, there might be sufficient profits to distribute a portion of them to other stakeholders in addition to yourself—for example, those who are important because they have helped you or are affected one way or another by your business. This group of stakeholders might include employees (profit sharing), shareholders (dividends), the local community (time), and social causes or charities (donations).
Being successful as an entrepreneur may therefore consist of much more than simply making money and growing a venture. Success may also mean treating employees, customers, and the community at large with honesty and respect. Success may come from the sense of pride felt when engaging in honest transactions—not just because the law demands it, but because we demand it of ourselves. Success may lie in knowing the profit we make does not come from shortchanging others. Thus, business ethics guides the conduct by which entrepreneurs and their companies abide by the law and respect the rights of their stakeholders, particularly their customers, clients, employees, and the surrounding community and environment.
Nearly all systems of moral, ethical, spiritual, and/or religious beliefs stress the building blocks of engaging others with respect, empathy, and honesty. These foundational beliefs, in turn, prepare us for the codes of ethical behavior that serve as ideal guides for business. Still, we need not subscribe to any particular faith to hold that ethical behavior in business is necessary. Just by virtue of being human, we all share obligations to one another, and principal among these is the requirement that we treat others with fairness and dignity, including in our commercial transactions.
For this reason, we use the words and interchangeably in our discussion. We hold that “an ethical person” conveys the same sense as “a moral person.” Ethical conduct by entrepreneurs/business owners is not only the right way to behave, but it also burnishes our own professional reputation as business leaders of integrity.
Integrity—that is, unity between what we say and what we do—is a highly valued trait. But it is more than just consistency of character. Acting with integrity means we adhere strongly to a system of ethical values. Such values often serve as the foundation for the creation of ethical codes, or codes of conduct. A code of ethics acts to guide conduct and may be derived from a variety of sources. It could be a personal, internal code of conduct, or an official code adopted by a business organization. Or it could be an external code based on one’s profession (e.g., CPAs, attorneys, CFPs, and others have professional codes of ethics), or a more broadly applicable external code such as that of the Business Roundtable or Business for Social Responsibility. Being a professional of integrity means consistently striving to be the best person and professional that you can be in all your interactions with others. Integrity in business brings many advantages, not the least of which is that it is a critical factor in allowing businesses and society to function properly. It is also a fundamental basis for developing and maintaining trust, which is vital to all contractual and informal commitments between businesses and all their key stakeholders.
Successful entrepreneurs and the companies they represent will take pride in their enterprise if they engage in business with transparency, intentionality, and integrity. To treat customers, clients, employees, and all those affected by a venture with dignity and respect is ethical. In addition, ethical business practices serve the long-term interests of businesses because customers, clients, employees, and society at large will be much more willing to patronize a business and work hard on the business’s behalf if that business is perceived as caring about the community it serves. And what type of firm has long-term customers and employees? One whose track record gives evidence of honest business practices.
Research on the performance of the World’s Most Ethical Companies (WMEC) indicates a positive association between ethical conduct and successful long-term financial performance. These businesses often outperform their market expectations, both in periods of market growth and decline. The WMEC list of companies shows an average annual excess return of more than 8 percent higher than expected profitability. This may be due to a variety of reasons, including what researchers term a positive effect on business culture, stakeholders, and reputation.Nelson Areal and Ana Carvalho. “The World’s Most Ethical Companies: Does the Fame Translate into Gain?” Presented to the European Financial Management Association (EMFA). n.d. https://efmaefm.org/0efmameetings/efma%20annual%20meetings/2012-Barcelona/papers/EFMA2012_0401_fullpaper.pdf In other words, being ethical beneficially influences employees, investors, and customers.
Many people confuse ethical and legal compliance. However, these concepts are not interchangeable and call for different standards of behavior. The law is needed to establish and maintain a functioning society. Without it, our society would be in chaos. Compliance with legal standards is mandatory. If we violate these standards, we are subject to punishment as established by the law. Therefore, compliance generally refers to the extent to which a company conducts its business operations in accordance with applicable regulations, statutes, and laws. Yet this represents only a baseline minimum. Ethical observance builds on this baseline and reveals the principles of an individual business leader or a specific organization. Ethical acts are generally considered voluntary and personal—often based on our individual perception of what is right and wrong.
Some professions, such as medicine and the law, have traditional and established codes of ethics. The Hippocratic Oath, for example, is embraced by most professionals in healthcare today as an appropriate standard always owed to patients by physicians, nurses, and others in the field. This obligation traces its lineage to ancient Greece and the physician Hippocrates. Businesses are different in not having a mutually shared standard of ethics. This is changing, however, as evidenced by the array of codes of conduct and mission statements many companies have adopted over the past century. These beliefs have many points in common, and their shared content may eventually produce a code universally claimed by business practitioners. What central point might constitute such a code? Essentially, a commitment to treat with honesty and integrity customers, clients, employees, and others affiliated with a business.
The law is typically indebted to tradition and precedent, and compelling reasons are needed to support any change. Ethical reasoning often is more topical and reflects the changes in consciousness that individuals and society undergo. Often, ethical thought precedes and sets the stage for changes in the law.
Behaving ethically requires that we meet the mandatory standards of the law, but that is not enough. For example, an action may be legal that we personally consider unacceptable (consider how many viewed Shkreli’s legal price hike). Entrepreneurs today need to focus not only on complying with the letter of the law but also on going above and beyond that basic mandatory requirement to consider their stakeholders and do what is right.
To return to the case of Martin Shkreli, let’s examine it through some foundational theoretical lenses, based on ethical theories. Normative theories of ethics are primarily concerned with establishing standards or criteria that delineate what is considered ethical behavior. Common examples of normative ethical theories are utilitarianism, duty-based ethics (also known as Kantian ethics and/or deontology), and virtue ethics. These ethical theories, discussed in the following paragraph, provide a systematic means of examining and evaluating business conduct.
From an ethical theory perspective, Kantian or duty-based ethics emphasizes the underlying intent or reason behind a decision and whether that decision is good or bad. For example, if the decision to raise the price of a lifesaving drug by 5,000 percent is moral and if it is intended to add value, then an individual is obligated to raise the price. focuses on the usefulness or utility of the decision. If the decision to raise the price adds value and usefulness for shareholders, then that decision should be made. The looks at the decision from the viewpoint of capitalism, free markets, and a sense of duty to ensure maximum return on investment. If the decision deals with a change that is financially sound and beneficial, if there are an adequate number of customers that need and value the HIV product and are willing to pay that price, then that decision should be made. Proponents of claim that ethics consists of a series of innate but latent virtues that an individual needs to develop over time. These virtues consist of trust and derivatives of trust such as truthfulness. In this perspective, if the price hike is fair and equitable, if it is responsible to behave in this way, and if it does not cause harm to the society, then the price should be raised.
While it remains with the courts to determine the underlying intent, legal implications, and consequences of Shkreli’s decision, evidence from this and other case studies shows that some corporate leaders have not developed ethical capabilities, or they have not internalized a moral compass that enables them to differentiate between right and wrong.
### Developing a Moral Compass
A moral compass is a state of mind where an individual has developed the needed capabilities to differentiate between right and wrong, or between just and unjust in challenging circumstances. When individuals are able to act in an ethical manner systematically, habitually, and without struggling to decide how to act or what to do in difficult situations, they have internalized that moral compass. It can be said that these individuals possess a good character, are able to earn trust, and have qualities that are deemed necessary for leadership.
To develop and internalize a moral compass, an entrepreneur and the members of the organization need to continually exercise and develop their ethical “muscles.” These ethics-based muscles include qualities such as trust, truthfulness, respect, responsibility, commitment, care, love, and justice. However, as you will learn, an entrepreneur needs to first provide the organizational framework and foundation in which individuals and business units regularly exercise these qualities. This framework and foundation include that everyone receive the right training, be given the opportunity to identify and close gaps in their behavior, receive recognition and incentives that reinforce good ethical behavior, and receive consistent, timely, and substantial consequences when they fail to act responsibly. These and other actions begin to help individuals develop and internalize an ethical compass.
### Legal Issues in Entrepreneurship
Unlike working in a large corporate environment with an established structure, entrepreneurs often create and operate a new business venture by their own rules. The pressure to create a new venture, within constraints and limitations, inspires entrepreneurs to find innovative ways to meet potential market demands. At the same time, the challenge to meet these expectations can create temptations and ethical pressures as entrepreneurs make a variety of decisions. Common areas rife with potential legal issues include contracts, torts, employment, intellectual property, conflicts of interest, full disclosure/truthfulness in product or service claims and performance, and antitrust/competition law ().
### Intellectual Property: Patents, Copyrights, and Trademarks
There are multiple reasons why an entrepreneur should be aware of intellectual property rights under the law. For example, if a new startup business comes up with a unique invention, it is important to protect that intellectual property. Without such protection, any competitor can legally, even if not ethically, copy the invention, put their own name or company brand on it, and sell it as if it were their own. That would severely curtail the entrepreneur’s ability to make money off a product that they invented. Intellectual property (IP) rights are created by federal law and protect small businesses from problems such as this. IP law also helps establish brand awareness and secure secondary revenue streams.
Intellectual property (IP) is the output or result of the creative work of one or more individuals to turn a unique idea into a practical and value-added product/service; this manifestation of original ideas is legally protected. IP applies to anything that is the exclusive right of a firm, will help differentiate that organization, and will contribute to a sustained competitive advantage. This creative work can result in a product idea, a new invention, an innovative pivot, or an improvement in an existing product or service. IP can take the form of a patent, a copyright, a trademark, or a variation thereof called a trademark secret.
To develop a sustained competitive advantage, an entrepreneur is responsible to protect, provide the needed safeguards, and continually grow a firm’s IP. These responsibilities include understanding, differentiating between, and dealing with the different types and technical aspects of a firm’s IP. It also means that the entrepreneur should be concerned with the nontechnical aspect of IP, which is to develop a culture of creativity that enables the organization to deliver a continuous stream of new IP.
From a technical aspect, there are two different types of patents: utility and design patents (). A utility patent protects a brand-new product idea or invention under US law for a period of twenty years (see the discussion on patents in Entrepreneurial Journey and Pathways. A few examples of utility patents would be Nikola Tesla’s electric magnetic motor, dynamo-electric machine, electrical transmission of power, and his system of electrical distribution patents. A design patent protects the ornamental aspects of a product idea. Examples include the design of a new font, a soft drink bottle, or the design features of Apple’s iPhone. In the US, design patents are typically protected for a period of fourteen years.
Copyrights and trademarks are also protected IP (). A copyright grants the creator of a work the exclusive right to reproduction of the work for a specified period of time (usually the life of the author plus seventy years). A trademark is a registration that provides the owner the ability to use a name, symbol, jingle, or character in conjunction with a specific product or service, and prevents others from using those same symbols to sell their products. A trademark can be protected for an unlimited number of ten-year renewable terms as long as it is still in use. Finally, there is a special category of IP known as a trade secret. This concept refers to proprietary information, processes, or other internal knowledge that contribute to an organization’s competitive advantage in a market. However, unlike patents, copyrights, and trademarks, a trade secret is not included as a protected category under federal IP law. A trade secret is dependent on being kept a secret by the business that owns it and is enforced through contract law.
Entrepreneurs should pay especially close attention to the legal implications of how patent law can affect a business. Patent laws are strictly enforced and are intended to protect inventions. This protection is afforded because a continuous stream of innovations can be a major source of revenue for a firm as well as a vehicle for developing a sustained competitive advantage. A legal patent gives an exclusive right to its patent holder or proprietor to use the invention in any shape or form they deem necessary. It also gives the patent holder the exclusive right to block or withhold access to others, or to sell the right to use the patent. This period of protection ranges from fourteen to twenty years, and is essentially a government-granted monopoly, after which, protection usually expires and competition is opened up to anyone (e.g., generic drugs).
Regardless of its type, a firm has the exclusive rights to the ownership of its IP. To protect those rights, it is important that a firm meticulously and immediately document each IP, the process and timeline by which each IP was developed, the resources used to develop the IP, the details of who owns and has access to the IP, and how others can obtain and use the IP.
An entrepreneur should consider these questions when growing and protecting a firm’s IP.
1. Is IP law relevant to my business, and if so, how can it help me?
2. How do we identify what IP to protect?
3. What are the steps we need to take to get protection?
Less formally, the development of a culture of creativity and innovation is one of the most important responsibilities of an entrepreneur. This responsibility will enable the entrepreneur to develop a sustained competitive advantage. This means you should not be satisfied with an occasional spark of creativity from a designated individual, department, or functional area within your organization (such as research and development). You need to nurture an environment in which every member of your organization is able to be creative, add value, and be engaged in the continuous improvement of the firm. One example of this dynamic is the culture of continuous improvement at Toyota (Kaizen) (see Launch for Growth to Success). In this culture, every member of the organization is expected to be creative and continually improve the processes they are engaged with on a daily basis.
The story of Nikola Tesla—a Serbian-American inventor, engineer, and physicist—offers a cautionary tale for why entrepreneurs need to be attuned to both the technical aspects of a venture’s IP and its culture of creativity. Having filed 300 patents, Tesla is considered by many to be one of the fathers of modern electricity. After immigrating to the United States, Tesla was employed by the Continental Edison Company and began to develop AC technology. However, Edison preferred DC technology and was not supportive of Tesla’s ideas. Tesla had to quit, teaming up with Westinghouse to open the Tesla Electric Light company, bringing his valuable creativity and ideas with him to his new venture.Nikola Tesla. Eventually, Tesla’s AC became the American standard, not Edison’s DC.
### Contracts and Torts
Every entrepreneur enters into contracts, usually on a regular basis, and thus should have an understanding of basic contract concepts. Likewise, most businesses are likely to have some involvement with tort law: that area of law that protects the rights of people not to be harmed physically, financially, or in any other way, such as a breach of privacy. Some areas of the business world involve a combination of tort law and contract law, such as litigation involving the wrongful termination of an employee.
Contracts can be formal or informal agreements. Ideally, you should use written contracts whenever you enter into a substantial transaction with another party. Oral agreements are enforceable in most situations; however, proving their terms can be difficult. If you are in the midst of a startup, chances are you are moving quickly. Perhaps you don’t have the time, or the money, to hire a lawyer to prepare a formal written contract. In that event, you should at least follow-up with all parties via traditional mail or email to document the key terms of your agreement. That way, if a dispute arises, you’ll have documentation to fall back on.
Torts are a potential area of risk for entrepreneurs. Financial liability often results from the assumption of and exposure to risk; therefore, this is an important issue for entrepreneurs to manage. This is especially true for the concept of vicarious liability, which is the area of the law that imposes responsibility upon one person for the failure of another, with whom the person has a special relationship (e.g., employer and employee) to exercise reasonable care. Most employers understand they run a risk that their employees may commit a tort, and that they are responsible when employees cause harm to others (customers or coworkers) while on duty, working on company property, and using company equipment. However, many employers are not aware that employers can actually be liable for harm caused by an employee if that employee caused harm within the scope of their job duties. For example, if an employer asks an employee to drop something off at FedEx or UPS after work hours, and that employee negligently causes an auto accident, even if the employee is driving their personal vehicle and not a company car, the employer could be liable for damages. It is an all-too-common situation that could have serious liability consequences for an entrepreneurial business if adequate insurance is not procured.
### Antitrust
Antitrust laws (or competition laws) were developed to ensure that one competitor does not abuse its position and power in the market to exclude or limit competitor access to the market. A few examples of antitrust laws are the Sherman Act, the Clayton Act, the Federal Trade Commission Act, and the Bayh-Dole Act. These acts were created to encourage competition and provide options for consumers. In effect, these laws make it illegal for a competitor to make agreements that would limit competition in the market.
The antitrust concept is important to the entrepreneur’s ability of entrepreneurs to form new startup businesses that are able to compete with larger, more established corporations (which may try to discourage competition). summarizes the contributions of these acts to supporting antitrust efforts. It is important to note that any deviation from these laws may result in long and costly legal problems.
An example of illegal competition would be the competition and patent war between Intel Corporation and American Micro Devices (AMD). In 2009, AMD filed a suit against Intel claiming that the company had used “leveraging dominance” to exclude AMD from effectively competing in the marketplace through exclusionary pricing, discounts, and similar practices. This claim was later settled by the two firms and resulted in Intel paying AMD $1.25 billion in damages.
### Conflict of Interest
A conflict of interest occurs when an individual (or company) has interests in multiple areas (financial investments, work obligations, personal relationships), and the interests may conflict with each other. Employees, for example, have an interest in producing expected work for their employer. A conscious or deliberate attempt to avoid, ignore, or marginalize that which is rightfully due an employer by addressing other interests would be a conflict of interest. This could be as simple as using company time or resources to work on a personal project that has not been sanctioned and will not add value to the company. It could also mean using the tangible and intellectual resources of a company on something that will benefit your private interests instead of your employer’s. This action is unethical since you are not giving the employer what they are due, which are your time, talents, and services in exchange for agreed-upon compensation. Consider the example of Mike Arrington, a Silicon Valley lawyer and entrepreneur who created a blog called TechCrunch. Arrington became the go-to source for tech enthusiasts and investors. His coverage of Silicon Valley-based startup companies could help ensure the successful launch of a new business or product. However, he was criticized for routinely covering stories about the companies he invested in and consulted for. Although he provided full disclosures of his interests, rival critics challenged his conflicts of interest. How could he simultaneously be both an investor and an independent journalist blogging about the very companies in which he had a financial interest? He was in a classic conflict of interest position.Ira Basen. “Why Transparency Is Not Enough: The Case of Mr. Mike.” Similar cases involving business reporters and potential conflicts of interest include The Wall Street Journal, Business Week, Time magazine, and the L.A. Herald Examiner.
Another situation in which potential conflicts arise is in the area of professional services, which attracts many young potential business owners. Perhaps you want to start your own CPA accounting firm, or CFP financial advisory firm, or IT consulting firm. A professional must be very cautious about conflicts of interest, especially in areas in which you owe a fiduciary duty to your clients. This requires a very high duty of conduct and full disclosure, one that prohibits being involved in both sides of a transaction. For example, as an IT consultant, do you recommend to a client that they buy a software product, when unknown to them, you own stock in that company? Or as a financial advisor, are you getting commissions on both ends of a transaction?
### Fraud: Truthfulness and Full Disclosure
Ethical entrepreneurs consistently strive to apply ethics-based concepts in practice, including truthfulness and full disclosure. These two concepts are not only part of an ethical approach to doing business but are also underlying requirements of several areas of law including fraud. A business that makes/sells a product or service has responsibility for fully disclosing the truth about its products/services.
The underlying facts, reality, and evidence behind something are the truthfulness of a matter. An individual who is being truthful is exercising the capability of being factual about a subject matter, dealing with reality, and aware of evidence. Truthful individuals earn a level of credibility and reliability over time because what they say and what they do are in alignment. A corollary of truthfulness is fairness, which means to be impartial, unbiased, and in compliance with rules and standards of right and wrong behavior. Fairness deals with doing what is right, just, and equitable. From the standpoint of application, the quality of being truthful forms the foundation for fairness.
Disclosure describes sharing the needed facts and details about a subject in a transparent and truthful way. This information should be adequate, timely, and relevant to allow the recipient to understand the purpose and intent behind a product/service and to make a good decision about the value of that product/service. Any deliberate attempt to hide, change, or bend the truth is an unethical and irresponsible action subject to criminal investigation.
One example of a firm that has repeatedly run into several serious, embarrassing, and costly legal issues is Eli Lilly. In one instance, this company admitted in court that they had illegally marketed Zyprexa, which was primarily intended and approved by the US Food and Drug Administration office (FDA) to treat depression, to be used for off-label (not cleared by FDA to market and advertise) ailments such as sleep disorders, Alzheimer’s disease, and dementia. As a result, in 2009, Eli Lilly was fined $1.4 billion by the office of criminal investigation of the US Department of Justice.Food and Drug Administration. Office of Criminal Investigations of the US Department of Justice. www.usdoj.gov/usao/pae
### Summary
The first section of this chapter explores the relationship between entrepreneurship, ethics, social responsibility, and the law. At times, ethical conduct and legal conduct may seem intertwined; in other circumstances, they are quite different. This section discusses how ethical considerations can provide a moral compass for entrepreneurs seeking to find a balance between making money and doing the right thing. Keep in mind, however, that unlike legal mandates, following ethical business practices is more often a voluntary matter for business owners and operators. On the other hand, laws are important to follow, or you and your business might well be held legally liable (civilly or criminally). Sometimes, making a mistake is only an ethical lapse; other times, the mistake also constitutes a violation of the law (e.g., the Equifax case discussed).
### Review Questions
### Discussion Questions
### Case Questions
### Suggested Resources
SBREFA Small Business Resource Center. This is a great site for help with understanding legal requirements and regulatory compliance.
https://www.dol.gov/agencies/oasam/business-operations-center/osdbu/compliance-assistance
US Department of Labor, Office of the Assistant Secretary for Administration & Management. |
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