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id: 5900f54c1000cf542c51005e
title: '問題 478: 混合物'
challengeType: 1
forumTopicId: 302155
dashedName: problem-478-mixtures
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# --description--

3 つの物質 $A$, $B$, $C$ の混合物について考えます。 混合物は、それに含まれる $A$, $B$, $C$ の比率によって $(a : b : c)$ と表すことができます。 例えば、比率 (2 : 3 : 5) で表された混合物には、$A$ が20%、$B$ が30%、そして $C$ が 50% 含まれています。

この問題の目的上、混合物から各物質を分離することはできないものとします。 しかし、異なる混合物をさまざまな量で組み合わせ、新しい比率の混合物を作ることはできます。

例えば、3 つの比率 (3 : 0 : 2), (3 : 6 : 11), (3 : 3 : 4) の混合物があるとします。 1 つ目の混合物を 10 単位、2 つ目の混合物を 20 単位、3 つ目の混合物を 30 単位使って混合すると、比率が (6 : 5 : 9) の混合物ができます。なぜなら、($10 \times \frac{3}{5} + 20 \times \frac{3}{20} + 30 \times \frac{3}{10}$ : $10 \times \frac{0}{5} + 20 \times \frac{6}{20} + 30 \times \frac{3}{10}$ : $10 \times \frac{2}{5} + 20 \times \frac{11}{20} + 30 \times \frac{4}{10}$) = (18 : 15 : 27) = (6 : 5 : 9) だからです。

しかし、上と同じ 3 つの混合物を使って比率を (3 : 2 : 1) にすることは不可能です。どのように組み合わせても $B$ の量が $C$ の量より少なくなるからです。

$n$ を正の整数とします。 $0 ≤ a, b, c ≤ n$ かつ $gcd(a, b, c) = 1$ を満たす整数の三つ組 $(a, b, c)$ に対して、比率 $(a : b : c)$ の混合物が常にあるとします。 そのようなすべての混合物の集合を $M(n)$ とします。

例えば、$M(2)$ には次の比率で 19 の混合物が含まれています。

{(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (0 : 1 : 1), (0 : 1 : 2), (0 : 2 : 1), (1 : 0 : 0), (1 : 0 : 1), (1 : 0 : 2), (1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1), (1 : 1 : 2), (1 : 2 : 0), (1 : 2 : 1), (1 : 2 : 2), (2 : 0 : 1), (2 : 1 : 0), (2 : 1 : 1), (2 : 1 : 2), (2 : 2 : 1)}

比率 (1 : 1 : 1)、すなわち $A$, $B$, $C$ が等しく配合された混合物を作れる $M(n)$ の部分集合の個数を $E(n)$ とします。

$E(1) = 103$, $E(2) = 520\\,447$, $E(10)\bmod {11}^8 = 82\\,608\\,406$, $E(500)\bmod {11}^8 = 13\\,801\\,403$ であることを確認できます。

$E(10\\,000\\,000)\bmod {11}^8$ を求めなさい。

# --hints--

`mixtures()` は `59510340` を返す必要があります。

```js
assert.strictEqual(mixtures(), 59510340);
```

# --seed--

## --seed-contents--

```js
function mixtures() {

  return true;
}

mixtures();
```

# --solutions--

```js
// solution required
```
