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abstract: 'Nous montrons que l'ensemble des périodes d'un automorphisme d'un sous-groupe du groupe des automorphismes du plan affine défini sur un corps $p$-adique est majoré par une constante indépendante de l'automorphisme. Nous en déduisons que ce sous groupe vérifie la conjecture de dynamique arithmétique de Silverman, ce résultat est inclus dans un résultat de L. Denis @denis.'
address: 'Max-Planck-Institut für Mathematik, Vivatsgasse 7, 53111, Bonn, Deutschland\'
author:
- Sandra Marcello
title: 'Sur la dynamique $p$-adique arithmétique des automorphismes de l'espace affine'
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We show that the set of periods for a automorphism of a sub-group of the group of automorphisms of the affine plane defined over a $p$-adic field is bounded above by a constant independent from the automorphism. We deduce from this result, that the Silverman's conjecture on arithmetic dynamics is true for this subgroup, this result is due to L. Denis @denis.

Abridged English version
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We study, over a $p$-adic field (a finite extension of $\mathbb{Q}_p$), the periodic points of automorphisms of affine spaces.

#### Notations and definitions {#notations-and-definitions .unnumbered}

-   $p$ a prime number, $K$ a $p$-adic field, $\mathcal{O}$ the ring of integers of $K$,

-   ${\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^r)(K)$ the group of automorphisms of affine space of dimension $r\geq 2$ defined over $K$.

-   Let $\phi\in {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^r)(K)$. We also write $\phi$ for tha rational map of the projective scheme associated to ${\mathbb{A}}^r$. We write $Z(\phi)$ the locus of non-definition of the rational map associated to $\phi$. Let $P$ be a $\phi$-periodic point. We write $n_{P,\phi}$ the <span>*<span>$\phi$-period</span>*</span> of $P$ <span>*<span>i.e</span>*</span> the smallest integer $n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ such that $\phi^n(P)=P$.

-   A <span>*generalised H<span>é</span>non map*</span> is a map $g$ of the type $g(x,y)=(p(x)-ay,x)$ where $a$ is a non-zero constant and $p$ is a monic polynomial of degree at least 2.

-   An automorphism $\phi$ of $\mathbb{A}^r(K)$ is said <span>*<span>triangular</span>*</span> if it exists $F_i\in K[X_{i+1},\dots,X_{r}]$ for $1\leq i\leq r-1$, $F_r\in K$ and $a_i\in
    K^*$ for $1\leq i\leq r$ such that: $$\begin{aligned}
    \phi(X_{1},\dots,X_{r})&=&(a_1X_{1}+F_1(X_{2},\dots,X_{r}),a_2X_2+F_2(X_{3},\dots,X_{r}),\\
    &               &\quad \dots,a_{r-1}X_{r-1}+F_{r-1}(X_{r}),a_rX_r+F_r).\end{aligned}$$

-   Let $\mathcal{X}$ be an integer proper scheme of finite type fini over ${\operatorname{Spec}}( \mathcal{O})$, we write $\mathcal{X}_s$ for the special fiber of $\mathcal{X}$.

#### Definition {#definition .unnumbered}

Let $\psi\in {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^2)(K)$. We say that $\psi$ is a <span>*<span> special Hénon map</span>*</span> if :

-   $\psi$ is a finite product of generalised Hénon maps,

-   $$Z(\psi|_{\mathcal{X}_s})\cap Z(\psi^{-1}|_{\mathcal{X}_s})=\emptyset.$$

We define the group $GTHS(K)\subset {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^2)(K)$ : $$\begin{aligned}
{\operatorname{GTHS}}(K)=&\{& f^{-1}\phi f \quad \mbox{avec}\quad \phi,f\in {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^2)(K)\quad 
 \mbox{and $\phi$  triangular or special H\'enon map}
\}.\end{aligned}$$

Our main result is:

#### <span>**<span>Theorem A</span>**</span> {#theorem-a .unnumbered}

<span>*<span>Let $K$ be a $p$-adic field. It exists $M(K)\in \mathbb{N}$ such that $\forall \phi\in {\operatorname{GTHS}}(K)$ and for all $\phi$-périodic point $P$ we have :</span>*</span> $$0\leq n_{P,\phi} \leq M.$$

Introduction
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Après J. Silverman @Silv1 et L. Denis @denis, dans @1art et @2art nous nous sommes intéressée à l'étude des propriétés des itérés des automorphismes de l'espace affine définis sur un corps de nombres. En 1995, P. Morton et J. Silverman se sont notamment intéressés au comportement après réduction modulo $p$ des points périodiques d'applications rationnelles de la droite projective @ms1, de plus, ces dernières années l'étude de la dynamique ultramétrique ou $p$-adique (sur $\mathbb{C}_{p}$) a pris de l'essor (voir par exemple @bened1,@bened2 et @rl1). Ainsi l'étude du comportement des itérés des automorphismes de l'espaces affines sur un corps $p$-adique apparaît comme naturelle. La notion de point périodique peut être vue comme l'<span>*<span>analogue</span>*</span> de la notion de point de torsion des variétés abéliennes. Les résultats de finitude de points de torsion de variétés abéliennes que ce soit sur un corps nombres (voir par exemple @Hindry partie C) ou sur un corps p-adique (@Milne remarque 8.4) sont classiques. Nous nous intéressons ici à ce même type de questions dans le cas d'un corps $p$-adique, nous obtenons même mieux à savoir une <span>*<span>majoration uniforme</span>*</span>.

#### Notations et définitions {#notations-et-définitions .unnumbered}

Nous noterons:

-   $p$ un nombre premier, $K$ un corps $p$-adique (à savoir une extension finie de $\mathbb{Q}_{p}$), $\mathcal{O}$ l'anneau des entiers de $K$,

-   ${\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^r)(K)$ le groupe des automorphismes de l'espace affine de dimension $r\geq 2$ défini sur $K$.

-   Soit $\phi\in {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^r)(K)$. Par abus de langage, nous noterons également $\phi$ l'application birationnelle du schéma projectif associé à ${\mathbb{A}}^r$. Nous d<span>é</span>signons par $Z(\phi)$ le lieu de non-d<span>é</span>finition de l'application rationnelle associ<span>é</span>e <span>à</span> $\phi$. Soit $P$ un point $\phi$-périodique. Nous noterons $n_{P,\phi}$ la <span>*<span>$\phi$-période</span>*</span> de $P$ <span>*<span>i.e</span>*</span> le plus petit entier $n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ tel que $\phi^n(P)=P$.

-   Une <span>*application de H<span>é</span>non g<span>é</span>n<span>é</span>ralis<span>é</span>e*</span> est une application $g$ de la forme $g(x,y)=(p(x)-ay,x)$ o<span>ù</span> $a$ est une constante non nulle et $p$ est un polynôme unitaire de degr<span>é</span> au moins 2.

-   Application <span>*<span>triangulaire</span>*</span> voir la définition \[deftri\].

-   Soit $\mathcal{X}$ un schéma intègre propre de type fini sur ${\operatorname{Spec}}( \mathcal{O})$, nous noterons $\mathcal{X}_s$ la fibre spéciale de $\mathcal{X}$.

\[defgths\] Soit $\psi\in {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^2)(K)$. Nous dirons que $\psi$ est une <span>*<span> application de Hénon spéciale</span>*</span> si elle vérifie les conditions suivantes:

-   $\psi$ est un produit fini d'applications de Hénon généralisées

-   $$Z(\psi|_{\mathcal{X}_s})\cap Z(\psi^{-1}|_{\mathcal{X}_s})=\emptyset.$$

Nous définissons le groupe $G(K)\subset {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^2)(K)$, par:

${\operatorname{GTHS}}(K)=\{ f^{-1}\phi f \quad \mbox{avec}\quad  
\phi,f\in {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^2)(K)\quad $

$$\mbox{et $\phi$ application triangulaire ou application de H\'enon sp\'eciale}
\}.$$

Si on suppose que $\phi$ est une application triangulaire ou un produit fini d'application de Hénon généralisées, on obtient ${\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^2)(K)$. Ce résultat a été montré par S. Friedland et J. Milnor @FM sur $\mathbb{C}$ et $\mathbb{R}$ à l'aide du théorème de Jung @Jung. Nous avons vérifiée que la démonstration de S. Friedland et J. Milnor @FM est encore valable sur un corps $p$-adique, à l'aide du théorème de Jung qui a été démontré sur un corps quelconque par Makar-Limanov@Makar, une autre preuve (valable pour tout corps) de ce théorème se trouve qburke@example.com.

#### <span>**<span>Théorème A</span>**</span> {#théorème-a .unnumbered}

<span>*<span>Soit $K$ un corps $p$-adique. Il existe $M(K)\in \mathbb{N}$ tel que $\forall \phi\in {\operatorname{GTHS}}(K)$ et pour tout point $\phi$-périodique $P$ nous avons :</span>*</span> $$0\leq n_{P,\phi} \leq M.$$

Nous obtenons grâce à ce résultat une forme faible d'un résultat de dynamique arithmétique dû à L. Denis @denis.

#### **Définition** {#définition .unnumbered}

Soit $F$ un corps de nombres. Soit $\phi\in{\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^r(F))$.

Soit $P\in \mathbb{A}^r(F)$. Ce point $P$ est un <span>*<span>point $\phi$-p<span>é</span>riodique isol<span>é</span></span>*</span> si et seulement s'il existe $n \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ tel que $P$ est isol<span>é</span> (au sens de la topologie de Zariski) dans $$\{Q\in \mathbb{A}^r(F)\quad \mbox{tel que}\quad \phi ^{n}(Q)=Q\}.$$

<span>**Conjecture de Silverman:**</span> <span>*<span>Soit $F$ un corps de nombres. Soit $\phi\in Aut(\mathbb{A}^r(F))$. L'ensemble des points p<span>é</span>riodiques isolés de $\phi$ est un ensemble fini.</span>*</span>

#### <span>**<span>Corollaire B</span>**</span> {#corollaire-b .unnumbered}

<span>*<span> La conjecture de Silverman est vraie pour ${\operatorname{GTHS}}(F)$.</span>*</span>

L'approche utilisée pour démontrer le théorème A est analogue à celle utilisée par l'auteure dans @1art. Nous obtenons une majoration uniforme pour certains automorphismes réguliers et les automorphismes triangulaires. Nous obtenons également un analogue du théorème A en dimension supérieure.

Dans le dernier paragraphe, nous faisons le lien avec la dynamique arithmétique et montrons le corollaire B.

#### Remerciements {#remerciements .unnumbered}

L'auteure remercie le réseau européen Arithmetic Algebraic Geometry. Ce travail a été effectué au Max-Planck Institut für Mathematik que l'auteure remercie pour les excellentes conditions de travail. L'auteure remercie très vivement Jaya Iyer de lui avoir parlé des travaux de N. Fakhruddin. L'auteure remercie N. Fakhruddin de lui avoir fait part d'un problème avec un lemme dans une version précédente de ce texte.

Automorphismes réguliers
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définition et propriétés
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La notion d'automorphisme régulier a été introduite par N. Sibony dans @Sibony, leur dynamique holomorphe @Sibony et arithmétique @0art et @1art sont intéressantes.

Soit $\phi$ un automorphisme de $\mathbb{A}^r$, $Z(\phi)$ d<span>é</span>signe le lieu de non-d<span>é</span>finition de l'application rationnelle (d<span>é</span>finie sur $\mathbb{P}^r$) associ<span>é</span>e <span>à</span> $\phi$. L'automorphisme $\phi$ est dit <span>*<span>r<span>é</span>gulier</span>*</span> si $\phi$ n'est pas une application linéaire et : $$Z(\phi)\cap Z(\phi^{-1})=\emptyset.$$

Soit $H$ l'hyperplan <span>à</span> l'infini, nous avons $Z(\phi)\subset H$.

\[lemmedenis\] Un produit fini d'applications de H<span>é</span>non g<span>é</span>n<span>é</span>ralis<span>é</span>es est un automorphisme r<span>é</span>gulier.

Ce r<span>é</span>sultat s'obtient directement en composant les applications.

Nous utiliserons la proposition suivante que nous avons démontrée, dans le cas des corps de nombres, dans @1art (proposition 2.23), la démonstration est également valable dans le cas des corps $p$-adiques ou des corps finis.

\[regn\] Soit $\phi$ un automorphisme r<span>é</span>gulier de ${\mathbb{A}}^r$. Alors, pour tout entier naturel $n$ non nul $\phi^n$ est r<span>é</span>gulier et $Z(\phi^n)=Z(\phi)$.

Soit $\phi$ un automorphisme r<span>é</span>gulier de ${\mathbb{A}}^r$. Nous dirons que $\phi$ est un <span>*<span> automorphisme régulier spécial</span>*</span> si : $$Z(\psi|_{\mathcal{X}_s})\cap Z(\psi^{-1}|_{\mathcal{X}_s})=\emptyset.$$

Un résultat préliminaire
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Soit $X$ une variété sur un corps $K$. Soit $f:X\cdots \rightarrow X$ une application rationnelle. Nous dirons que $P$ est un point <span>*<span>$f$-périodique</span>*</span> si $f$ est définie en $P,f(P),f^2(P),\cdots$ et il existe $n>0$ tel que $f^n(P)=P$.

Le théorème suivant est dû à N. Fakhruddin, nous donnons ici des étapes de la preuve et renvoyons le lecteur à @fakh pour plus de détails.

\[fakh\] Soit $\mathcal{X}$ un schéma intègre propre de type fini sur ${\operatorname{Spec}}( \mathcal{O})$. Alors, il existe une constante $M>0$ telle que

$\forall f:\mathcal{X} \cdots\rightarrow \mathcal{X}$ application birationnelle telle que $\forall n>0$, $Z(f^n)\cap Z(f^{-n})=\emptyset$

$\forall P\in \mathcal{X}(K)$ $f$-périodique nous avons : $$1\leq n_{f,P}\leq M$$

Il suffit de montrer le résultat pour une composante connexe de l'adhérence de Zariski de l'orbite d'un point périodique, en effet le corps résiduel étant fini le nombre de composantes connexes de l'adhérence de l'orbite peut être majoré indépendamment du point et de l'application. À chaque composante connexe on associe de manière unique un point fermé $p_i$ dont on majore la période par une constante $n-i$ ne dépendant que du schéma. On considère un point de l'orbite de départ dont la spécialisation est ce point fermé, on considère l'orbite de ce point sous l'action de $f^{n_i}$ et on majore la période. La majoration s'obtient d'abord modulo une puissance de $p$, puis il s'agit de montrer que la puissance peut elle-même être majorée.

Un résultat général pour certains automorphismes réguliers
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\[threg\]Soit $K$ un corps $p$-adique.

-   Il existe $M\in \mathbb{N}$ tel que pour tout une applicationde Hénon spéciale $\phi$, pour tout $P\in {\mathbb{A}}^r(K)$ $\phi$-périodique alors: $$1\leq n_{\phi,P} \leq M.$$

-   Soit $r\geq 3$. Il existe $M\in \mathbb{N}$ tel que pour tout automorphisme régulier spécial $\phi\in {\mathbb{A}}^r(K) $,pour tout $P\in {\mathbb{A}}^r(K)$ $\phi$-périodique alors: $$1\leq n_{\phi,P} \leq M.$$

La preuve de ce théorème découle du théorème \[fakh\] et de la proposition \[regn\].

Preuve du résultat principal
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Applications triangulaires
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\[deftri\] Un automorphisme $\phi$ de $\mathbb{A}^r(K)$ est dit <span>*<span>triangulaire</span>*</span> s'il existe $F_i\in K[X_{i+1},\dots,X_{r}]$ pour $1\leq i\leq r-1$, $F_r\in K$ et $a_i\in
K^*$ pour $1\leq i\leq r$ tel que: $$\begin{aligned}
\phi(X_{1},\dots,X_{r})&=&(a_1X_{1}+F_1(X_{2},\dots,X_{r}),a_2X_2+F_2(X_{3},\dots,X_{r}),\\
&               &\quad \dots,a_{r-1}X_{r-1}+F_{r-1}(X_{r}),a_rX_r+F_r).\end{aligned}$$

#### Notation {#notation .unnumbered}

Soit $\mu_{K}$ le groupe (fini) des racines de l'unité de $K$.

\[tri\] Il existe $M\in \mathbb{N}$ tel que pour toute une application triangulaire $\phi$ de $\mathbb{A}^r(K)$, pour tout point $\phi$-périodique $P$: $1\leq n_{\phi,P}\leq M$.

Nous déterminons les itérés, et considérons deux cas suivant que l'un au moins des coefficients $a_i$ est ou non une racine de l'unité et concluons en utilisant le fait que $\mu_K$ est un groupe fini.

Si dans la définition \[defgths\], nous nous pla<span>ç</span>ons en dimension quelconque $r$ et considérons des automorphismes réguliers spéciaux à la place des applications de Hénon spéciales, nous définissons alors le groupe: $GTRS(K,r)$.

Conjugaison par un automorphisme affine
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Le lemme suivant a <span>é</span>t<span>é</span> utilis<span>é</span> par L. Denis @denis dans le cas des corps de nombres, sa démonstration est également immédiate dans le cas des corps $p$-adiques.

\[conj\] Soient $\psi,\phi$ des automorphismes de l'espace affine ${\mathbb{A}}^r(K)$. Supposons qu'il existe $f$ un automorphisme de l'espace affine ${\mathbb{A}}^r(K)$ tel que $\psi=f^{-1}\phi f $ alors :

$P$ est $\psi$-p<span>é</span>riodique si et seulement si $f(P)$ est $\phi$-p<span>é</span>riodique.

Preuve du théorème A
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La preuve du théorème A découle immédiatement du théorème \[threg\], et des lemmes \[tri\], \[lemmedenis\] et \[conj\].

De plus, nous obtenons un résultat analogue en dimension quelconque.

\[theogtrs\] Soit $K$ un corps $p$-adique. Il existe $M(K)\in \mathbb{N}$ tel que $\forall \phi\in {\operatorname{GTRS}}(K,r)$ et pour tout point $\phi$-périodique $P$ nous avons : $$0\leq n_{P,\phi} \leq M.$$

Lien avec la dynamique arithmétique
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\[propdyn\]Si pour tout corps $p$-adique $K$, il existe $M\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ tel que pour tout $\phi\in {\operatorname{Aut}}(\mathbb{A}^r(K))$, pour tout point $\phi$-périodique $P$, nous avons : $1\leq n_{\phi,P}\leq M$, alors,

si $F$ est un corps de nombres, pour tout $\phi\in Aut(\mathbb{A}^r(F))$:

l'ensemble des points $\phi$-périodiques isolés est fini.

Pour démontrer ce résultat on utilise la décomposition suivante de l 'ensemble des points $\phi$-périodiques $B(\phi,K)=\cup_{N\geq 1}B_N(\phi,K)$, avec $B_N(\phi,K):=\{P\in\mathbb{A}^n(K); \phi^N(P)=P\}$, c'est un fermé, il admet donc un nombre fini de points isolés. Le théorème A nous permet de dire que la réunion est finie, de plus tout corps de nombres peut être plongé dans un corps $p$-adique, d'où le résultat.

La proposition \[propdyn\] nous permet conjointement avec le théorème A d'obtenir le corollaire B. Nous obtenons à l'aide du théorème \[theogtrs\], l'analogue du corollaire B pour le groupe ${\operatorname{GTRS}}(K,r)$.

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