<s>[INST]Hangi sınıflandırma alanı zahmetli aritmetik ile sonuçlanır?[/INST]Matematikçiler çoğu zaman matematiksel bir kavramın tam bir sınıflandırması (veya listesi) için gayret gösterirler. Sonlu gruplar bağlamında bu amaç zor matematiğe yol açar. Lagrange teoremine göre, asal sayı olan sonlu p sıralı gruplar mutlaka döngüsel (abelyan) Zp gruplarıdır. P2 sırası gruplarının, yukarıdaki 8 = 23 sırasındaki abelyan olmayan D4 grubunun gösterdiği gibi, p3 sırasına genellemeyen bir ifade olan abelyan olduğu da gösterilebilir. Bilgisayar cebir sistemleri küçük grupları listelemek için kullanılabilir, ancak tüm sonlu grupların sınıflandırması yoktur. Q [›] Bir orta adım sonlu basit grupların sınıflandırmasıdır. R [›] Önemsiz bir gruba sadece normalse basit denir. Alt gruplar önemsiz gruptur ve grubun kendisidir. [›] Ürdün-Hölder teoremi, sonlu gruplar için yapı taşları olarak sonlu basit gruplar sergiler. Tüm sonlu basit grupları listelemek, çağdaş grup teorisinde önemli bir başarıydı. 1998 Fields Madalya kazanan Richard Borcherds, en büyük sonlu basit sporadik grup - "canavar grubu" ve belirli modüler fonksiyonlar, klasik kompleks analizin bir parçası ve sicim teorisi arasındaki canavarca ayın tahminini kanıtlamayı başardı. Teorinin birçok fiziksel fenomenin tanımını birleştirmesi gerekiyordu.</s>