<s>[INST]Henri Poincaré cebirsel topoloji kurarken ne getirdi?[/INST]Gruplar diğer birçok matematik alanında da uygulanır. Matematiksel nesneler genellikle grupları kendileriyle ilişkilendirerek ve ilgili grupların özelliklerini inceleyerek incelenir. Örneğin, Henri Poincaré temel grubu tanıtarak şimdi cebirsel topoloji denilen şeyi kurdu. Bu bağlantı sayesinde yakınlık ve süreklilik gibi topolojik özellikler grupların özelliklerine dönüşür. [[] Örneğin, temel grubun elemanları halkalarla temsil edilir. Sağdaki ikinci görüntü, eksi bir noktadan düzlemde bazı döngüler gösterir. Mavi döngü boş-homotopik (ve dolayısıyla alakasız) olarak kabul edilir, çünkü sürekli bir noktaya kadar küçültülebilir. Deliğin varlığı turuncu döngünün bir noktaya daralmasını önler. Uçağın silinmiş bir noktaya sahip temel grubu, turuncu ilmek (veya deliğin etrafına bir kez dolanan herhangi bir ilmek) tarafından oluşturulan sonsuz döngüsel olarak ortaya çıkıyor. Bu şekilde, temel grup deliği tespit eder.</s>