Numerus irrationalis
Numerus irrationalis per definitionem est numerus qui scribi ut fractio numerorum duorum integrum non potest, i.e., numerus  est irrationalis si numeri duos alii a numero zero dissimiles  et  tales ut 

non sunt.

Notum autem est omnem irrationalem numerum infinitas figuras decimales necessarie habere, sed mathematicus nullus numerum irrationalem sic definit.

Nonnulli irrationales numeri 

Sine ulla dubitatione numerorum irrationalium praeclarissimus est numerus pi, cuius irrationalitas ab Iohanes Henricus Lambert anno 1761 demonstrata est. 
Etiam constat numerum Euleri,  esse irrationales.

Praeclara demonstratio 
Numerum  esse irrationalem facile demonstratur, quemadmodum infra aspicitur.
Hoc est demonstrationis exemplum secundum praeceptum reductionis ad absurdum. 

Pro certo ponamus 
,
ubi  factores primos aequales non habent. In sequentibus disquisitionibus demonstrabitur hanc coniecturam esse absurdam.

Si hoc est verum tunc , ergo  est numerus par ideoque  quoque est numerus par (si  numerus impar esset tunc quoque  numerus impar esset). Cum numerus  sit par notum est numerum k esse talem ut , unde a prima aequatione sequitur , ergo . Simili modo comprobatur numerum  esse parem propterea etiam factorem 2 habet, quod absurdum est quia in principio selegimus numeros  qui factores aequales non habeant. Ergo coniectura  erat falsa ideoque  est numerus irrationalis QED.

An numeri isti irrationales sint? 
Mathematici nondum sciunt si , , et generaliter si ,  et  numeris integris a zero dissimilibus, irrationales sint; neque autem an , ,  et constans Euleri-Mascheroni  etiam irrationales sint.

Historia numerorum irrationalum 
Pythagoras dicitur numeros irrationales invenire, vel accuratius vir pythagoreus Hippasus Metapontus, qui (forsitan geometricis ratiocinationibus) irrationalitatem radicis 2 intellexit. Traditur Hippasus irrationales numeros invenire cum conaretur radicem 2 fractione scribere (vide demonstrationem, supra).  Pythagoras autem, putans numeros res definitas esse, non accipit irrationales numeros esse.  Hippasum cum demonstrationem irrefutabilem numerorum irrationalium monstravit, cui Pythagoras credere nec potuit nec voluit, morte demersione condemnavit, ut traditur.

Numerus transcendens

Numeri irrationales