Uperazziú cuj cungjuunt
Cheest artícul al è cunsacraa a un primm aprocc a le uperazziú cuj cungjuunt e da le suve prupietaa : reüniú, intersezziú , diferenza, cumplementazziú , diferenza simétrica...

Reüniú

Definizziú 

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un cungjuunt U da che i elemeent i è chij da A e da B ( cheest chí al sigüta dal assioma da la reüniú ). In nutazziú simbòlica :

L'ünicitaa dal cungjuunt U a l’è garantida pal assioma d'estensiunalitaa.
Sa l nota « A U B » ( lesí « A üniú B » ), e sa l cjama reüniú da A e da B.

Prupietaa 

 U1 ( cumütativitaa ) : la reüniú da düü cungjuunt la depeent mia da l'úrden íntal quaal chiist düü cungjuunt i è cjapaa. In nutazziú simbòlica :

 U2 ( Ø elemeent néutar ) : la reüniú dal cungjuunt vöj cunt un cungjuunt qual-sa-vöör la dà cheest cungjuunt. In nutazziú simbòlica :

 U3 ( idemputenza ) : la reüniú d'un cungjuunt qual-sa-vöör cun sí-istess rede cheest cungjuunt. In nutazziú simbòlica :

U4 : cada cungjuunt al è cuntegnüü in la suva reüniú cunt un òolt cungjuunt. In nutazziú simbòlica :

U5 : un cungjuunt A al è cuntegnüü int un cungjuunt B si e noma si la suva reüniú al è iguaala a B. In nutazziú simbòlica :

U6 : si la reüniú da düü cungjuunt al è vöja, alura i è vöj töcc i düü. In nutazziú simbòlica :

U7 ( cumpatibilitaa cun l'inclüsiú ) : la reüniú da düü sübcungjuunt al è cuntegnüda in la reüniú di düü cungjuunt da che i è sübcungjuunt. In nutazziú simbòlica :

U8 ( sucjativitaa ) : ul resültaa da la reüniú da plüü da cungjuunt al depeent mia da l'úrden íntal quaal i uperazziú da reüniú i è fade. In nutazziú simbòlica :

Cungjuunt suma

Definizziú 

Par cada cungjuuntE da che i elemeent i è luur istess di cungjuunt, al esiist un cungjuunt S da che i elemeent i è chij di elemeent da E ( chest-chí al è òolt che l'Assioma da la reüniú ). In nutazziú simbòlica :

L'ünicitaa dal cungjuunt S a l’è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa.
Sa l nota« UE » ( lesí « üniú E » ), da le völte « U(E) », e sa l cjama cungjuunt suma da E :

Si E = { A, B, C, ... }, alura :

Prupietaa 

 Ul cungjuunt suma dal cungjuunt vöj al è ul cungjuunt vöj :

 Si E al è un sübcungjuunt da F, alura ul cungjuunt suma da E al è cuntegnüü int al da F :

 Ul cungjuunt suma da la reüniú da düü cungjuunt al è iguaal a la reüniú di cungjuunt suma da cada cungjuunt :

 Plüü generalament, ul cungjuunt suma dal cungjuunt suma d'un cungjuunt E al è iguaal a la reüniú di cungjuunt suma di elemeent da E ; in d'òolt tèrmen, si E = { A, B, C, ... }, alura :

Caas da le famèje da cungjuunt 

Al è pussíbil da definí la reüniú d'una famèja qual-sa-vöör da cungjuunt  cuma la reüniú da töcc i cungjuunt da la famèja : 
 
 In particülaar, par una famèja vöja da cungjuunt :

Recuvrameent 

Un cungjuunt F al è un recuvrameent d'un cungjuunt E si e noma si ul cungjuunt suma da F al è iguaal a E. Par esempi, ul cungjuunt singletú { E } e ul cungjuunt da le parte  i è düü recuvrameent da E, u, in d'òolt tèrmen : . D'après vargot ch’al precéet, l'üniú da düü recuvrameent (u plüü) al è amò un recuvrameent.

Intersezziú

Definizziú 

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un cungjuunt S da che i elemeent i è chij cumü a A e a B ( cheest chí al sigüta da l'assioma da séparazziú ). In nutazziú simbòlica :

L'ünicitaa dal cungjuunt S al è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa.
Sa l nota« A ∩B » ( lesí « A intèr B » ), e sa l cjama intersezziú  da A e da B.

Prupietaa 

N1 ( cumütativitaa ) : l'intersezziú da düü cungjuunt la depeent mia da l'úrden íntal quaal chiist düü cungjuunt i è cjapaa. In nutazziú simbòlica :

N2 ( Ø elemeent assurbeent ) : l'intersezziú dal cungjuunt vöj e d'un cungjuunt qual-sa-vöör al è vöja. In nutazziú simbòlica :

N3 ( idemputenza ) : l'intersezziú d'un cungjuunt qual-sa-vöör cun sí-istess la da drée cheest cungjuunt. In nutazziú simbòlica :

N4 : l'intersezziú da düü cungjuunt al è cuntegnüda in ognidü da chiist düü cungjuunt. In nutazziú simbòlica :

N5 : un cungjuunt A al è cuntegnüü int un cungjuunt B si e noma si la suva intersezziú al è iguala a A. In nutazziú simbòlica :

N6 : l'equivaleent da U6 sa l tradüiss par una definizziú ,la di cungjuunt dis·gjuunt ( vidé chí-da-sota ).

N7 ( cumpatibilitaa cun l'inclüsiú ) : l'intersezziú da düü sübcungjuunt al è cuntegnüda in l'intersezziú di düü cungjuunt da che i è sübcungjuunt. In nutazziú simbòlica :

N8 ( sucjativitaa ) : ul resültaa da l'intersezziú da plüü da cungjuunt al depeent mia da l'úrden íntal quaal i uperazziú i è fade. In nutazziú simbòlica :

Cungjuunt nücli

Definizziú 

Par cada cungjuuntE da che i elemeent i è luur istess di cungjuunt, al esiist un cungjuunt S da che i elemeent i è chij cumü a töcc i elemeent da E ( cheest chí al sigüta da l'Assioma da séparazziú ). In nutazziú simbòlica :

L'ünicitaa dal cungjuunt S al è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa.
Sa l nota« ∩E » ( lesí « intèr E » ), da le völte « ∩(E) », e sa l cjama cungjuunt nücli u fuunt cumü da E :

Si E = { A, B, C, ... }, alura :

Prupietaa 

 Ul cungjuunt nücli dal cungjuunt vöj al è l'üniveers Ω:

remarca : in acordi a la teuría di cungjuunt cunsiderada, l'üniveers di cungjuunt al pöö anca mia esistí, però in töcc i caas, cheest-chí al è mia un cungjuunt.

 Si E al è un sübcungjuunt da F, alura ul cungjuunt nücli da F al è cuntegnüü in celui da E :

Caas di famèje da cungjuunt 

Al è pussíbil da definí l'intersezziú d'una famèja qual-sa-vöör da cungjuunt  cuma l'intersezziú di cungjuunt cumpusaant chesta famèja : 
.

In particülaar, par una famèja vöja da cungjuunt,  al è la « classa » da töcc i cungjuunt e al è dunca mia un cungjuunt.

Cungjuunt dis·gjuunt 

Düü cungjuunt i è dis·gjuunt si e noma si la suva intersezziú al è vöja, i.e. s'i gh’a mia d'elemeent in cumü. Par esempi, si A = { 1, 2 } e B = { 3, 4 }, alura A ∩B = Ø, e A e B i è dunca dis·gjuunt.

Al esiist düü manere da generaalizá chesta definizziú a plüü da düü cungjuunt :
i elemeent d'un cungjuunt E i è (glubalameent) dis·gjuunt si e noma si ul cungjuunt nücli da E al è vöj : ;
i elemeent d'un cungjuunt E i è mutualameent dis·gjuunt u dis·gjuunt düü a düü si e noma si ul cungjuunt nücli da cada para da chiist elemeent al è vöj, i.e. si : ;

Cheste dò nuzziú i è diferente : si di cungjuunt dis·gjuunt düü a düü i è globalameent dis·gjuunt, di cungjuunt glubalameent dis·gjuunt i è mia necessariameent düü a düü dis·gjuunt .

Liamm cun la reüniú 

UN1 ( distribütivitaa da l'intersezziú par rapòort a la reüniú ) : l'intersezziú da la reüniú da düü cungjuunt cunt un teerz cungjuunt al è iguala a la reüniú da l'intersezziú da ognidü di düü primm cungjuunt cul teerz :

UN2 ( distribütivitaa da la reüniú par rapòort a l'intersezziú ) : la reüniú da l'intersezziú da düü cungjuunt cunt un teerz cungjuunt al è iguala a l'intersezziú da la reüniú da ognidü di düü primm cungjuunt cul teerz :

A puvons demustrá (UN1) e lassá (UN2) a títul d'esercizzi.

Da cada custaa da l'igualtaa (UN1) al figüra un cungjuunt e sa l vöör demustrá che chiist cungjuunt i è iguaj.
Grazzia a la prupusizziú 2 sü i sübcungjuunt, una strategía pussíbil al è da mustrá che cada custaa al è un sübcungjuunt da l'òolt.

Tulemm un elemeent x partegniint al cungjuunt da manzina. Alura, par definizziú da ∩, x al è in A e x al è in B ∪ C; i.e., x al è in A e apó x al è in B u x al è in C (u i düü). Íntal primm caas, x al è cuntempuraniameent in A e in B, al è dunca in A ∩ B e a fortiori in (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Íntal seguunt caas, x al è cuntempuraniameent in A e in C e dunca al è da nööf in (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Dunca, int i düü caas, x al è in (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). A emm mustraa che tütt elemeent dal cungjuunt da manzina al è nécessariameent íntal cungjuunt da drita. Però cheest chí al curespuunt esatameent a l'inclüsiú da manzina a drita.
Tulemm un elemeent da x íntal cungjuunt dal membre da drita da l'igualtaa. Alura x al è in A ∩ B u x al è in A ∩ C (u i düü). Íntal primm caas, x al è in A e x al è in B; íntal seguunt, x al è in A e x al è in C. Int i düü caas, x al è in A. Però íntal primm caas x al è in B e dunca in B ∪ C; íntal seguunt caas, x al è in C e dunca amò in B ∪ C. A emm pruvaa che quaal-sa-síes x, al partegn al cungjuunt da drita, alura, al è cuntempuraniameent in A e in B ∪ C e dunca par definizziú al è in A ∩ (B ∪ C). A avons demustraa l'inclüsiú da drita a manzina.

Par la prupusizziú 2, (1) e (2) reünide i pröva che ul cungjuunt da manzina al è iguaal al cungjuunt da drita, cuma prevedüü.

Partizziú d'un cungjuunt 

Una partizziú  d'un cungjuunt E a l’è par definizziú un recuvrameent da cheest-chí par di cungjuunt mia vöj e dis·gjuunt düü a düü. Par esempi, { lündasdí, mardí }, { mercurdí, gjöbia } e { vendredí, sàbet, dumènega } i furma una partizziú dal cungjuunt di dí da la semana.

Chesta nuzziú la furmaliza l'idea intütiva da « retaj » d'un cungjuunt in plüü « tocch ». L'interess da chesta nuzziú al parissarà plenameent cul stüdi di relazziú d'equivalenza.

Diferenza

Definizziú 

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un cungjuunt D da che i elemeent i è chij da A ch’al i partegn mia a B ( cheest chí al sigüta da l'assioma da séparazziú ). In nutazziú simbòlica :

L'ünicitaa dal cungjuunt D al è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa.
Sa l nota« A \ B » ( lesí « A maanch B » ), e sa l cjama diferenza da A e da B. 

« Fá la diferenza » da düü cungjuunt A e B sa diis apó « restá » B da A.

Prupietaa 

D1 ( Ø elemeent néutar a drita ) : restá ul cungjuunt vöj d'un cungjuunt al da drée cheest cungjuunt :

D2 ( Ø elemeent assurbeent a manzina ) : restá un cungjuunt dal cungjuunt vöj al dà ul cungjuunt vöj :

D3 ( invulütivitaa ) : restá un cungjuunt da sí-istess dà ul cungjuunt vöj :

D4 : restá un suracungjuunt d'un cungjuunt al dà ul cungjuunt vöj, u, in d'òolt tèrmen, par tütt A e tütt B, la diferenza da A e da B al è vöja si e noma si A al è cuntegnüü in B :

D5 : restá un cungjuunt d'un òolt al dà drée cheest cungjuunt si e noma si i düü cungjuunt i è vöj :

D6 : i düü cungjuunt intervegniint int una diferenza i è interscambiàbil senza mudificazziú dal resültaa noma si i è iguaj :

D7 : restá un cungjuunt B d'un cungjuunt A al dà drée A si e noma si i düü cungjuunt i è dis·gjuunt :

D8 : restá un cungjuunt B d'un cungjuunt A al dà la suva intersezziú si e noma si A al è vöj :

D9 : restá un cungjuunt B d'un cungjuunt A al dà la suva reüniú si e noma si B al è vöj :

D10 : si sa l resta un cungjuunt B d'un cungjuunt A, ul resültaa al è un sübcungjuunt da A :

D11 ( pseudu-distribütivitaa a drita in le intersezziú da la diferenza par rapòort a la istessa ) : restá sucessivameent düü cungjuunt B e C d'un cungjuunt A al vöör dí da töö l'intersezziú da le diferenze da A e da B, e da A e da C :

D12 : restá d'un cungjuunt A la diferenza da düü cungjuunt B e C al vöör dí da töö la reüniú da la diferenza da A e da B, e da l'intersezziú da A e da C :

D13 : reüní un cungjuunt C cun la diferenza da düü cungjuunt A e B al vöör dí da restá la diferenza da B e da C da la reüniú da A e da C :

D14 : restá un cungjuunt C da l'intersezziú da düü cungjuunt A e B al vöör dí da töö l'intersezziú da A cun la diferenza da B e da C :

D15 ( distribütivitaa a drita da la diferenza par rapòort a l'intersezziú ) : restá un cungjuunt C da l'intersezziú da düü cungjuunt A e B al vöör dí da töö l'intersezziú da la diferenza da ognidü da chiist cungjuunt cun C :

D16 ( distribütivitaa a drita da la diferenza par rapòort a la reüniú ) : restá un cungjuunt C da la reüniú da düü cungjuunt A e B al vöör dí a töö la reüniú da la diferenza da ognidü da chiist cungjuunt cun C :

D17 ( pseudu-distribütivitaa a manzina in reüniú da la diferenza par rapòort a l'intersezziú ) : restá l'intersezziú da düü cungjuunt B e C d'un cungjuunt A al vöör dí da töö la reüniú da la diferenza da A cunt ognidü di cungjuunt B e C :

D18 ( pseudo-distribütivitaa a manzina int intersezziú da la diferenza par rapòort a la reüniú ) : restá la reüniú da düü cungjuunt B e C d'un cungjuunt A al vöör dí da töö l'intersezziú da la diferenza da A cun ognidü di cungjuunt B e C :

Chesta darera prupietaa la pöö da fatt sa dedüí da le precedente.
D14 e D15 i pöö vess cunfruntade, in l’istessa manera che D12 e D17.

Cumplementari

Definizziú 

Düü cungjuunt B e C i è cumplementari int un cungjuunt A si i furma una partizziú  da A.

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, si B al è cuntegnüü in A, alura A \ B sa l nota plütòost « A - B » (lesí amò « A maanch B »), e sa l cjama cumplementari relatif da B in A.

Si Ω al designa un üniveers, e A un cungjuunt (forçadameent cuntegnüü íntal üniveers), alura Ω - A al designa ul cumplementari assulüü da A. Al è notaa abitüalameent  (lesí « A bara » u « mia A »).

Prupietaa 
PRUPUSIZZIÚ 4 : B e C i è cumplementaire in A si e noma si C al è ul cumplementari relatiif da B in A :

PRUPUSIZZIÚ 5 : Par cada cungjuunt üniveersaal Ω e sübcungjuunt A, B, e C da Ω:

;
;
;
;
;
;
;
;

Diferenza simétrica

Definizziú 

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un cungjuunt D da che i elemeent i è chij ch’i partegn al síes a A, al síes a B, però mia aj düü cuntempuraniameent (l'esistenza da cheest cungjuunt la sigüta dal assioma da séparazziú e dal assioma da la reüniú). In nutazziú simbòlica :

L'ünicitaa dal cungjuunt D a l’è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa.
Sa la nota« A Δ B » (lesí « A delta B »), e sa la cjama diferenza simétrica da A e da B. 

( rapell :  al designa ul u esclüsif lògica ) 
Al esiist dò otre definizziú equivalente :

Chesta darera definizziú la gjüstífega ul nomm da diferenza simétrica daa a chesta uperazziú .

Prupietaa 

DS1 (cumütativitaa) : la diferenza simétrica da düü cungjuunt la depeent mia da l'úrden íntal quaal chiist cungjuunt i è cjapaa :

DS2 (Ø elemeent néutar) : la diferenza simétrica dal cungjuunt vöj e d'un òolt cungjuunt la dà drée cheest cungjuunt :

DS3 (invulütivitaa) : la diferenza simétrica da cada cungjuunt cun sí-istess la dà ul cungjuunt vöj :

Chesta prupietaa la gh'a par cunseguenza imediata :
DS4 (inversibilitaa) : par tütt cungjuunt, al n esiist un taal che la suva diferenza simétrica la síes vöja :

Chesta prupietaa la gh'a al so tuurn par cunseguenza :
DS5 (regülaritaa) : si le diferenze simétriche d'un cungjuunt cun düü òolt cungjuunt i è iguale intra da luur, alura chiist düü òolt cungjuunt i è iguaj intra da luur :

DS6 (Ω elemeent inversuur) : la diferenza simétrica d'un cungjuunt e dal üiveers la dà ul cumplemeent assulüü da cheest cungjuunt :

DS7 : la diferenza simétrica d'un cungjuunt e dal sò cumplemeent assulüü la dà drée ul réferentiaal :

DS8 : ul cumplemeent assulüü da la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguaal a la diferenza simétrica dal ü di düü cungjuunt cul cumplemeent assulüü dal òolt cungjuunt :

DS9 : par tütt A e tütt B,   A \ B   e   B \ A   i furma una partizziú da   A Δ B :

DS10 : par tütt A e tütt B,   A Δ B   e   A   ∩ B   i furma una partizziú da   A U B :

DS11 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è vöja si e noma si i düü cungjuunt i è iguaj :

DS12 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala a l'un di düü cungjuunt si e noma si l'òolt cungjuunt al è vöj :

DS13 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala al ünivèers si e noma si i düü cungjuunt i è cumplementari assulüü :

DS14 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt a l’è iguala al cumplemeent assulüü da ü intra da luur si e noma si l'òolt cungjuunt al è l’ünivèers :

DS15 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala a la suva intersezziú si e noma si i düü cungjuunt i è vöj :

DS16 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala a la suva reüniú si e noma si i è dis·gjuunt :

DS17 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala a la diferenza da l'ü cun l'òolt si e noma si l'ü al è cuntegnüü in l'òolt :

DS18 (sucjativitaa) : la diferenza simétrica da trii cungjuunt la depeent mia da l'úrden íntal quaal i uperazziú i è efetuade :

DS19 (distribütivitaa da ∩ par rapòort a Δ) : l'intersezziú d'un cungjuunt cun la diferenza simétrica da düü òolt cungjuunt al è iguala a la diferenza simétrica di intersezziú dal primm cungjuunt cunt ognidü di düü òolt :

Esempi 

Par illustrá cheste nuzziú, al síes A ul cungjuunt da le persone da manzina, e B ul cungjuunt da le persone blunde.
Alura A ∩ B al è ul cungjuunt da töcc i manzinée bluunt, e A ∪ B al è ul cungjuunt da tüte le persone ch’i è u manzinere u blunde, u i düü.
A \ B, al cuntrari, al è ul cungjuunt da tüte le persone ch’i è manzinere però mia blunde, e B \ A al è ul cungjuunt da tüte le persone blunde però mia manzinere.
Infí, A Δ B al designa ul cungjuunt da tüte le persone al síes blunde, al síes manzinere, però mia i düü cuntempuraniameent.

Adess süpusemm che E al síes ul cungjuunt da töcc i vess ümà, e che F ul cungjuunt da töcc chij ch’i gh’a da plüü da 1000 agn.
Vargott è-l E ∩ F in cheest caas?
Nissü ümà al gh'a plüü da 1000 agn, dunca E ∩ F gh’a da vess ul cungjuunt vöj : Ø.

A emm enümeraa senza démustrazziú plüü da prupietaa sémplis di uperazziú cuj cungjuunt. Cheste prupietaa i pöö vess visüalisade cuj diagraam da Venn.

Vidée apó 

Teuría naïve di cungjuunt
Cungjuunt
Sübcungjuunt
Prodüit cartesià
Curespundenze e relazziú

Teuria dei ensèm