Cuntinuazziun analítica


Intrudüzziun 
Sa cunsíderi un puunt  dal plan cumpless e la séria da puteenz in 
:

Chesta séria da puteenz la cunveerg in un ceert círcul  da centru
 e dunca ga definiss una funziun ulumorfa ; scrivemm
 par ponn in evidenza ul puunt da desvilüpameent.

Cunsideremm un puunt  e desvilüpemm  in séria da puteenz 
da :

Si al è ul caas che ul círcul da cunvergenza  da hesta darera séria al sia 
mia cuntegnüü in , emm utegnüü una cugnussenza plüü àmpia da ,
par mezz da la definizziun:

Chesta definizziun a l'è ben pusada, par che .

Diremm che l'estenziun inscí utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica 
(u apó un prulungameent analítich) da ;
diremm apó che  a l'è una cuntinuazziun 
analítica da  e viceversa.

Par esempi, sa pöö facilmeent vidé che i dò seri da puteenz

 i 

i-è cadascüna una cuntinuazziun analítica da l'oltra.
Nutemm che tüti dò i representa la funziun . 
Plüü in generaal, si al è ul caas che , definida
a priori int un cungjuunt deerf , sa la pöda restringí 
a un cungjuunt deerf  e dapress  la pöda vess prulungada a un cungjuunt deerf , diremm que 
la növa funziun utegnüda a l'è una cuntinuazziun analítica da .

I definizziun bàsich 

Un elemeent da funziun ulumorfa al è un para , 
intúe  al è un cungjuunt deerf a cunessiun simpla dal plan cumpless,
 una funziun ulumorfa definida in .

Düü elemeent  e  i-è
liàbil si al esiist una sequenza finida

,

tala che
, 
e, par tücc
,

Diremm che
 
al è una cuntinuaziun analítica da  (u da ).

Diremm apó, si a gh'è mia pussibilitaa da cunfüsiun, che cada elemeent al è una cuntinuazziun analítica da  (u da ).

I elemeent  i-sa dirà liaa.

Una cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin  a l'è una cuntinuazziun analítica  
tala che 
.

Al cuventa senza dübi regurdá che la cuntinuazziun analítica al luungh d'un camin saraa la cunserva mia, in generaal, i valuur da la funziun int un intuurn dal puunt da partenza:
sa tegna in cüünt, par esempi, la determinazziun  da la funziun 'ariis quadrada cumplessa' tal que , int un intuurn da de .
Sa pöö vidé , in cuurdenaat pulaar, cuma l'aplicazziun ch'a la manda
 sü , int úe 
 a índica l'uperazziun da ariis quadrada reala pusitiva.

Intütivameent, cuntinuemm  al luungh da la circumferenza ünitaa: dapress un giir cumplett, i.e. un incremeent da  istess a , 
utegnemm un nööf elemeent da funziun ulumorfa  int un intuurn da , ch'al a redüii a metaa l'incremeent da  dal argument da .
Dunca, , i.e. . Natüralmeent, un òolt giir da 
 na porta a nuvell al elemeent da partenza .

Sa pöö vidé che ul cungjuunt di cuntinuazziun analítich d'un istess elemeent al furma da manera natürala una süperfiis da Riemann, numinada süperfiis da Riemann dal elemeent u apó cuntinuazziun analítica massimala, ch'a la esiist grazzia al Lema da Zorn.

 Furmazziun da frunteer natüraal 

Sa cunsíderi un elemeent da funziun ulumorfa : al pöö süceet che, par cada restrizziun  de  (i.e,
 e ) al esista nissüna cuntinuazziun analítica  da  tala che 
.
Si al è ul caas, diremm che  a l'è una fruntera natürala ''' par l'elemeent . Cunsideremm par esempi la séria da puteenz
: grazzia al teurema da Cauchy-Hadamard, la cunveerg íntal diisch , e dunca la ga definiss una funziun ulumorfa . Da plüü, 
, alura che  luungh l'ass reaal.

Cuma ca

, sa a 
 

.

In l'istessa manera, ,
dunca  alura che  luungh l'ass imaginari: da manera generala,
,
par cada nümar natüraal , dunca  alura che 
 luungh un radi dal diisch ünitaa.

Ul cungjuunt di puunt da la furma  
al è deens íntal círcul , 
dunca  l'amett nissüna cuntinuazziun analítica a vargün puunt da chesta curva, ch'a l'è dunca una fruntera natürala.

Usservemm che  la pöö gnanca vess cuntinuada aj puunt da  cuma funziun merumorfa, par che, in cheest caas-chí,  
s'anülaress int un cungjuunt cunt un puunt d'acümülazziun, e la saress dunca identicameent 0, vargott ch'al è faals.

Anàlisi cumplessa