Paradoss da Banach-Tarski
Ul paradoss da Banach-Tarski al mustra che al è  pussíbil da tajá  una bala da  int un nümar finii da tocch e da rassemblá  chiist tocch par furmá  dò bale idénteghe à la prima, à maanch d'una isumetría. Cheest chí al mustra che al esiist di tocch mia-mesüràbil, senza che sa la utegnaress una cuntradizziú (la lunghezza, la süperfiis e ul vulümm i è di esempi da misüre). Cheest chí al remet in causa la nosta nuzziú  intütiva da vulümm, gja che al  gh'è mia da « créazziú  » da matéria, dunca al esiist da le parte dal spazzi () par le quale la nuzziú  da misüra (e dunca da vulümm)  la gh'a mia da sentüü. Par iga  una idea aprussimada intütiva da vargot ch’al sa passa, al cuventa dí che cheest chí al è  inscí « paradussaal » che a dí che l’intervall [0, 1] al cuntegn « taant » puunt che  tütt intreegh.

La demustrazziú  da cheest paradoss la dröva l’assioma da la scèrnida, ch’al è staa e al è  sémpar cuntestaa par un ceert nümar da matemàtich. D’otra manera, cada tentatiif par esibí di cungjuunt mia mesüràbil al  dröva cheest assioma. In d’òolt tèrmen, u bé sa cunsidera che l’assioma da la scèrnida a l’è faalsc, u bé al cuventa amet che al esiist di cungjuunt mia mesüràbil .

Enunziaa dal paradoss

Al síes A,B dò parte d’un cungjuunt E. Sa diis che A e B i è equidecumpusàbile  seguunt un grup da trasfurmazziú G si al esiist dò sequenze finide da cungjuunt  e  tale che :

(par esempi, cada paralelugrama al è  equidecumpusàbil  à un retàngul)
L’equidecumpesabilitaa a l’è una relazziú d'equivalenza, dunca a l’è simétrica, reflessiva e transitive.
À nutá  chí che al   saress mia interessaant da ga mett deent le umutetíe in G. Sa töö  dunca generalameent ul grup da le isometríe (traslazziú e rutazziú).   

Un cungjuunt E al è  dii « dubiàbil  » si al esiist düü cungjuunt A e B mia vöj taj che E=AB (üniú dis&midot;gjunta) e A,B,E i síes equidecumpusàbil .

Mustrá  ul resültaa da Banach Tarski al vöör dí à mustrá  che la bala ünitaa da  al è  dubiàbila  seguunt ul grup da le isumetríe da .

Al cuventa infí da remarcá  ul röö essenziaal gjügaa in cheest resültaa pal fatt che ul grup da le rutazziú dal spazzi  al è  mia cumütatiif : sa demustra che ul paradoss  al è  mia pussíbil íntal plà.

Un esempi da cungjuunt mia mesüràbil 

Al síes R una relazziú  d'equivalenza definida par :

Sa al custrüiss inscí ul cungjuunt quozzieent , che sa l nota apó  ( in cheest caas, la relazziú  d'equivalenza a l’è sota intendüda.. ).

Al síes Sn un cungjuunt taal che Sn al cuntegn ün e noma ün elemeent da cada classa d’equivalenza da R. (Al è chí che sa al dröva l’assioma da la scèrnida, in efett sa  saa mia custrüí una funziú  da  tala che la  renvía ün e noma ün elemeent da cada classa d’equivalenza, dunca a semm obligaa a druvá l’assioma da la scèrnida.

Sa pöö mustrá  che Sn  al è  mia mesüràbil  (i.e. che al partegn mia à la tribü da Lebesgue).

Vidée apó
 Paradoss
 Teuría da la misüra
 Tribü u sigma-àlgebra
 Travaj d’Émile Borel e d'Henri Lebesgue

Teuria dei ensèm
Misüra e intégrazziú
Banach-Tarski