Quaternion
Le quaterniones es un extension del numeros real, similar al numeros complexe. Le numeros complexe es un extension del numeros real con le addition del unitate imaginari , tal que . Pro le insimul del quaterniones, le symbolo  es usate. Quaterniones es un extension generate de maniera analoge addente le unitates imaginari:  ,  e  al numeros real e tal que . Illo se pote resumer in iste tabella de multiplication.

{| border="1" cellpadding="11" style="border-collapse: collapse; border: 1px #aaa solid;"
!style="background:#efefef;"| *
!style="background:#efefef;"| 
!style="background:#efefef;"| 
!style="background:#efefef;"| 
!style="background:#efefef;"| 
|-
!style="background:#efefef;"| 
|  ||  ||  || 
|-
!style="background:#efefef;"| 
|  ||  ||  || 
|-
!style="background:#efefef;"| 
|  ||  ||  || 
|-
!style="background:#efefef;"| 
|  ||  ||  || 
|}

Ergo, un quaternion es un numero del forma , ubi , , , e  es numeros real univocamente determinate pro cata quaternion.

Le multiplication del quaterniones non es commutative:  , , , , , . Le quaterniones es un exemplo de corpore asymmetric, un structura algebric similar a un corpore, sed non commutative in le multiplication. Le multiplication es associative e tote quaternion non nulle possede un unic inverso. Illos forma un algebra associative 4-dimensional super le numeros real e le numeros complexe forma un subinsimul de illo, le quaterniones non forma un algebra associative super le numeros complexe.

Le valor absolute de un quaternion  remane definite per 

Usante le function distantia definite como , le quaterniones forma un spatio metric e tote le operationes arithmetic es continue. 

Etiam, on ha que  pro qualcunque quaterniones  e .

Usante como norma le valor absolute, le quaterniones conforma un algebra de Banach real.

Le insimul del quaterniones de valor absolute  forma un sphera 3-dimensional  e un gruppo (includente gruppo de Lie) con le multiplication. Iste gruppo actua, per medio de conjugation, super le copia de  constituite pro le quaterniones con su parte real equal a . Il non es difficile verificar que le conjugation pro un quaternion unitate de parte real  es un rotation de angulo  con le axe de gyro in le direction del parte imaginari.
Ergo,  constitue un copertura duple del gruppo  de matrices orthogonal  de determinante 1; es isomorphe a , le gruppo de matrices  complete unitari e de determinante unitate.

Pro plus detalios super le rotation in le spatio per medio del quaterniones, vide quaterniones e rotation in le spatio

Si  es le insimul de quaterniones del forma  ubi , ,  e , illo es o tote numeros integre o tote numeros rational, con numerator impare e denominator 2. Le insimul  es un anello e un reticulo. Il ha 24 quaterniones unitari in iste anello e illos es le vertices de un polytopo regular, nominate  in le notation de Schlafli.

Mathematica