Transformation de Laplace
In mathematica e, in particular, in analyse functional, le transformation de Laplace de un function , definite pro tote numero real , es le function , definite per:

 

Le limite inferior de  es un notation parve pro significar    e garantir le inclusion del function delta de Dirac  al 0 se ha tal impulsion in  al 0.

Iste integral transformation ha un numero de proprietates que face lo utilisabile pro analisar linear systemas dynamic. Le major significative avantage es que differentiationes e integrationes cambia se in multiplicationes e divisiones, respectivemente, con . (Iste es similar al modo con que logarithmos cambia operationes de multiplication de numeros pro le summa de su logarithmos.) Iste cambia equationes integral e equationes differential al equationes polynomial, que es multe plus facile de solver. Le transformation inverse de Laplace es le integral de Bromwich, que es un integral complexe date per:

  

ubi  es un numero real selectionate de modo que le cammino de integration es in le region de convergentia de , normalmente requirente  pro tote singularitate  de . Se tote singularitates es in le semi-plano sinistre, que es  pro tote , le  pote esser fixate al zero e le formula integral inverse supra cambia se identic al le inverse transformation de Fourier.

Le transformation de Laplace pote esser extendite al transformation de Laplace duo-lateral o transformation de Laplace bilateral per ponente le intervallo de integration sur tote le axe real; se iste es facite le ordinari o unilateral transformation cambia se simplemente in un caso special consistente del transformationes facente uso de function degrau unitari de Heaviside in le definition del function essente transformate.

De plus, le transformation, ambe uni o bi-lateral es alicun vices definite un paucmente 
differentemente, per

 

Le transformation de Laplace es multe usate in ingenieria. Le egresso de un systema dynamic linear pote esser calculate per convolutante su responsa impulsive unitari con le signal de ingresso. Performante iste calculo in le spatio de Laplace cambia le convolution in un multiplication, que multe vices pote facer le calculo plus facile.

Le transformation de Laplace es nominate in honor de Pierre-Simon Laplace.

Notation de ingenieros e physicos 
Un multe vices conveniente abuso de notation, prevalente specialmente inter ingenieros e physicos, consiste in scriber isto in le sequente forma:

 

Quando on dice "le transformation de Laplace" sin qualification, le unilateral transformation es normalmente intendite. Le bilateral transformation es definite como a sequer:

 

Le transformation de Laplace F(s) typicamente existe pro tote numero real s > a, ubi a es un constante que depende del comportamento de crescimento de f(t), enquanto le transformation bilateral es definite in le intervallo a < s < b.

Le transformation de Laplace pote etiam esser usate pro solver equationes differential e es usate extensivemente in ingenieria electric.

Relation al altere transformationes

Transformation de Fourier 
Le continue transformation de Fourier es equivalente al calculo del transformation de Laplace con argumento complexo.

Iste equivalentia es usualmente usate pro determinar le spectro de frequentia de un signal o systema dynamic.
Nota que le  constante non es non includite.

Transformation de Mellin 
Le transformation de Mellin e su inverse es relationate al transformation de Laplace bilateral per un simple cambio de variabiles. Se in le transformation de Mellin

nos pone , nos obtene un transformation de Laplace bilateral. Desde que un transformation de Laplace ordinari pote esser scripte como um caso special de um transformation bilateral, e desde que le transformation bilateral pote esser scripte como le summa de duo transformationes unilateral, le theoria del transformationes de Laplace, Fourier e Mellin sta al base del mesme subjecto. Nonobstante, un puncto de vista differente e differente problemas characteristic es associate a cata un le iste tres major transformationes integral.

Le transformation-Z 
Le equivalentia con le transformation-Z non es tanto directe como pro le transformationes de Fourier o Mellin.
Toma un signal continuo, su transformation de Laplace e su transformation-Z e nomina los:
 Signal continuo: 
 transformation de Laplace: 
 transformation-Z: 

Multiplica  per un Dirac comb e nomina le resultato 

e tomante le transformation de Laplace resulta in

Ergo le equivalentia pote esser establite:

Iste equation refere le valores mensurate del signal continue al signal sequential discrete resultante del transformation-Z.

Proprietates e theoremas 

 Linearitate
 

 Differentiation
 
 
 

 Division del frequencia
 

 Integration del frequencia
 

 Integration
 

 Theorema del valor initial
 

 Theorema del valor final
 , tote le polos in le semi-plano a sinistra.
 Le valor final es utile perque illo da le comportamento de longe-termino sin havente de facer Decompositiones in fractiones partial o altere algebra difficile. Se le poles del function son in le semi-plano dextre (e.g.  or ) le comportamento de iste formula es indefinite.

 cambio in 
 
 

 cambio in 
 
 
Nota:  es le function degrau unitari.

 th-potentia cambio
 
 Convolution

Transformationes Commun 

 th potentia
 

 Exponential
 

 Seno
 

 Coseno
 

 Hyperbolic seno
 

 Hyperbolic coseno
 

 Natural logarithmo
 

 nme raiz
 
 Function de Bessel del prime specie

 

 Modificate Bessel function del prime specie
 

 Function error
 

 Function periodic period 
 

<table border="1">
<td>transformation de Laplace<td>Function del tempore
<td>
<td>, impulse unitari</tr>
<td>
<td>, degrau unitari
<td>
<td>
<td>
<td>
<td>
<td>
<td>
<td>
<td>
<td>
</table>

Mathematica