Fibonačijev niz
Fibonačijev niz je matematički niz primećen u mnogim fizičkim, hemijskim i biološkim pojavama. Ime je dobio po italijanskom matematičaru Fibonačiju. Predstavlja niz brojeva u kome zbir prethodna dva broja u nizu daju vrednost narednog člana niza. Indeksiranje članova ovog niza počinje od nule a prva dva člana su mu 0 i 1.

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:
 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.

Ako znamo Fibonačijeve brojeve  i  onda možemo naći broj  po formuli

Također imamo

Uopšteno

Fibonačijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonači, iako su ranije opisani u Indiji.

Odnos prema zlatnom odnosu 
U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj  koji je korjen jednačine  i

Iz Binetove formule

Gdje je

Dalje imamo

i

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

Zadovoljena je i relaciija

Neka su  i  izabrani tako da je  i onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi  i  zafovoljavaju relaciju

Odnosno imamo

Uzimajući  i  kao početne varijable imamo

Odnosno

.

Posmatrajmo sada

Za , broj  najbliži cio broj je , koji se može dobiti iz funkcije

ili

Slično ako je F>0 Fiboničijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

gdje se  može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

Osobine 
Najveći zajednički djelitelj dva Fibonačijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

 je djeljiv sa  ako i samo ako je  djeljivo sa ( bez )
 je djeljivo sa  samo ako je 
 je djeljivo sa  samo ako je 
 je djeljivo sa  samo ako je 
 je prost ako je  prost broj sa isključenjem 

Obratno ne važi tj ako je  prost broj  ne mora biti prost

Njegov polinom  ima korjene  i 

U nizu Fibonačijevih brojeva kvadrati ≤10^100 su Fibonačijevi brojevi sa indeksima 0, 1, 2, 12:
, , , .

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je

Fibonnačijev niz brojeva 
Prvih 21 Fibonačijevih brojeva  za 

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

Niz brojeva  za

Identiteti 

 
 
 
 
  (см. рис.)
 
 
 
 

Opšte formule

 
 
 

 , kao i ,

gdje matrice imaju oblik , i  je imaginarna jedinica.

 Fibonačijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma
 
 

Za bilo koji 

Posljedica

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

Fibonnačijev niz u prirodi 

Fibonačijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonačijem i prirodom:

 U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
 Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
 Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
 Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Vidi još 
 Fibonačijevi polinomi

Reference

Literatura 

 .
 .
 .
 .
 .
 , 978-0-387-40737-1 (paperback).
 Arakelяn, Grant (2014). Matematika i istoriя zolotogo sečeniя. Logos, 404 s. .

Vanjske veze 

 
 Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
 Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature

Fibonačijevi brojevi
Nizovi i redovi