Torus
Torus je obrtna ploha koja se dobija kada se rotira kružnica u trodimenzionom prostoru oko ose koplanarne sa kružnicom, a koja ne dodiruje krug.

Ako osa rotacije ne dodiruje kružnicu ploha ima oblik prstena i naziva se prstenasti torus ili samo torus.
U slučaju da je osa rotacije tangenta kružnice dobijena ploha se naziva rog torus
kada za osu rotacije uzmemo tetivu kružnice rezultujuća ploha je vretenasti torus.

Jednačina

Kao takva ploha torus ima "rupu". Ako označimo sa c radijus od centra "rupe" do centra torusa, a sa a radijus torusa dolazimo do njegove parametarske jednačine:
  za  

gdje su  i   uglovi koji čine puni krug, tako da njihove vrijednosti počinju i završavaju u istoj tački

 je udaljenost od centra cijevi do središta torusa, 
 je promjer cijevi.
 je glavni radijus, a  sporedni radijus.

Implicitna jednačina u Kartezijevim koordinatama je

Površina i zapremina

Površina torusa je

a zapremina

Dokaz

Prema Pitagorinoj teoremi  imamo

Prstenasti torus 

Parametarska jednačina prstenastog torusa je

za  

Koficienti prve kvadratne forme su

dok za koeficiente druge kvadratne forme dobijamo

Gausova i srednja kriva su date sa:

Rog torus

Uzimajući u jednačini

da je  dobijamo parametarsku jednačinu rog torusa 

Za koeficiente prve kvadratne forme dobijamo:

dok su koeficienti druge kvadratne forme rog torusa:

Vretenasti torus

Kod vretenastog torusa parametarska jednačina, formule za koeficiente prve i druge kvadratne forme i formule za izračunavanje srednje i Gausove krive su iste kao i kod prstenastog torusa, uz uslov .

Izvori
Rotacione površi i njihova vizuelizacija u programskom paketu Mathematica Niš, novembar 2013.

Reference

matematikageometrija