Pitagorine trojke
Pravougli trougao čije su dužine stranica prirodni brojevi zovemo Pitagorin trougao. Uredenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x i y katete, a z hipotenuza nekog Pitagorinog
trougla, tj. ako vrijedi:

Ako  su x, y i z relativno prosti, onda kažemo da
je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka.
Proučavanje Pitagorinih trouglova u uskoj je vezi s diofantskom jednačinom

U  svakom Pitagorinom trouglu važi
dužina bar jedne katete djeljiva je sa 3,
dužina bar jedne katete djeljiva  je sa 4,
dužina bar jedne stranice djeljiva je sa  5.

Neka je Pitagorina trojka (x, y, z) primitivna.
Uocimo najprije da kvadrat prirodnog broja koji nije djeljiv s 3 pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1.

Ako  x i y i nisu djeljivi sa 3 , z2
pri dijeljenju sa 3 ima ostatak 2

što je nemoguće jer smo pokazali da kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak  0  ili   1

Pokažimo najprije da kvadrat neparnog broja pri dijeljenju sa 8 daje ostatak 1. Zaista,

Broj  je paran kao proizvod dva susjedna cijela broja. Odavde odmah slijedi da x i y ne mogu biti oba neparni jer bi u protivnom broj z2
pri dijeljenju sa 8 davao ostatak 2, tj. bio bi paran, a ne bi bio djeljiv sa 4. Dakle, zbog primitivnosti, možemo pretpostaviti da je x neparan, a y paran. Sada je z neparan, pa iz 

y2 djeljiv sa 8, odnosno y je djeljiv sa 4.

  ili

  

  ili

slijedi da kvadrat cijelog broja pri dijeljenju s 5 može dati ostatak O, 1 ili 4. Pretpostavimo sada da ni x ni y nisu djeljivi sa 5. 

Brojevi  x2 i x2 pri dijeljenju s 5 mogu dati ostatke 1 ili 4, a to znači da broj  pri dijeljenju s 5 može dati ostatak 2, 3 ili O.
z2  kao kvadrat cijelog broja ne može pri dijeljenju sa 5 dati ostatak 2 ili 3, pa zakljucujemo da je z2 djeljiv s 5.

Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna broja.
  

  

  

 

Tražena Pitagorina trojka je (3,4,5)

Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna člana aritmetičkog niza
  
  
  

Tražena Pitagorina trojka je  (3k,4k,5k) 

Sve primitivne Pitagorine trojke (x,y,z)  kojima je  y paran, date su formulama:
  
  
 
gdje je  i m, n su relativno prosti brojevi različite parnosti.

 
 
Neka je :. Brojevi    i    su parni pa postoje pa postoje prirodni brojevi  a  i  b takvi da je
   i 
 
 
Kako su   i  to su   i   relativno prosti. Prema tome postoje relativno prosti prirodni brojevi   i   takvi da je 
  i 
pa je
 
  
 

Brojevi  m  i  n ne mogu biti oba parni jer su relativno prosti i ne mogu biti oba neparni jer je  neparan. Prema tome, brojevi  m i n   su različite parnosti.
  
  

Treba  provjeriti da su relativno prosti. Pretpostavimo da brojevi   i 

imaju zajednički faktor d > 1  ,  d je neparan

Ovo je u kontradikciji s pretpostavkom da su  m i n  pa  i m2  i n2 relativno prosti. 

Sve  Pitagorine trojke date su  identitetom

Sve Pitagorine trojke čiji su članovi manji od 51 su

Ima ih 20 ako  trojke  i   smatramo jednakima. Među njima je 7 primitivnih. 

Broj   primitivnih Pitagorinih trokuta s hipotenuzom  približno jednak

Izvor
Pitagorine trojke

Matematika Brojevi