Laplaceova transformacija
Laplasova transformacija (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju f(t) (original) preslikava iz vremenskog domena (t = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu. Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o teoriji verovatnoće, transformaciju je zapravo otkrio Leonard Ojler, švajcarski matematičar iz osamnaestog veka.

Pojam originala 

Funkcija t->f(t) naziva se originalom ako ispunjava sledeće uslove: 

1. f je integrabilna na svakom konačnom intervalu t ose

2. za svako t<0, f(t)=0

3. postoje M i s0, tako da je

Definicija Laplasove transformacije 

 

Funkcija F(s) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« f(t). 

Za slučaj da je  dobija se jednostrana Furijeova transformacija:

Osobine

Linearnost

Teorema sličnosti 
Ako je , tada je , pri čemu je

Diferenciranje originala 
Ako je  i , tada je

Diferenciranje slike 
Ako je , tada je , odnosno indukcijom se potvrđuje da važi

Integracija originala 
Ako je  i , tada je

Integracija slike 
Ako postoji integral , tada je

Teorema pomeranja

Teorema kašnjenja

Laplasova transformacija konvolucije funkcija 
 

Ova osobina je poznata kao Borelova teorema. 
Napomena: definicija konvolucije je:

Laplasova transformacija periodičnih funkcija 
Ako  ima osobinu , tada važi

Dokaz 

Odakle sledi:

Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacija 

Jednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti -{t}-, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa Hevisajdovom funkcijom.

Inverzna Laplasova transformacija 

U opšti slučaj, original f(t) date slike F(s) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala: 

 

gde je  realni deo bilo kog singulariteta funkcije . 

S obzirom da se ovde integrali kompleksna promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne matematičke analize. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore.

Diskretna Laplasova transformacija 

Za funkciju celobrojne promenljive  njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao: 

 

Konvergencija ovog reda zavisi od . 

Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.

Primena 

U matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.

Literatura 

 .
 
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 
 

 
 
 .
 .
 , Chapters 3–5.
 .
 .

Vanjske veze 
 http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
 http://www.mathe.braunling.de/Laplace.htm 
 http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html
 http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/mindex.html 
 http://www.seeit.de/xedu/formeln/Lars%20Weiser/laplace.pdf 
 http://www-hm.ma.tum.de/archiv/mw4/ss05/folien/Laplace.pdf 
 http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP?Res=150&Page=1020

Matematička analiza
Elektrotehnika