Postulat paralelnosti
Postulat paralelnosti (takođe poznat i kao peti Euklidov postulat) je najpoznatiji postulat euklidove geometrije i vekovima privlači najviše pažnje i izaziva najviše kontroverzi.

Kao i svi postulati, i peti je samo iskaz o jednoj geometrijskoj istini koja je evidentna i koja se ne dokazuje. U ovom slučaju se navodi činjenica da postoji paralelizam u prirodi. Kada se jedna obična i shvatljiva rečenica o paralelizmu prevede na strogi jezik formalne matematike, što se desilo još u helensko doba, uvidelo se da se jednostavna činjenica pretvorila u zavrzlamu objašnjenja na papiru.

Postulat opisuje činjenicu da se kroz tačku van prave može povući samo jedna paralelna prava. Međutim, u starogrčkoj matematici se pojavio u jednom čudnijem obliku. Govori se o dve prave koje preseca treća prava i sa njima gradi uglove i ako se posmatraju uglovi sa jedne strane tog preseka i uporede se sa dva prava ugla i ako su manji od dva prava ugla tada se te dve prave seku sa te strane. Ovo sigurno nije jednostavna prezentacija jedne geometrijske činjenice.

Ostali postulati su jednostavni i kratki, recimo prvi glasi: „Da se može povući od svake tačke ka svakoj drugoj tački prava linija“. Odmah je postalo sumnjivo da li peti postulat može opstati na ovaj način i da li se on može dokazati iz drugih postulata i aksioma, čime bi se sveo na teoremu. Više od dvadeset vekova su trajali ti pokušaji koji su na kraju doveli do postavljanja osnova za neke drugačije geometrije.

Objašnjenja i definicije paralelnosti 
Pored definicija tačke, linije, trougla i drugih osnovnih pojmova, poslednja definicija prve knjige Elemenata objašnjava šta je to paralelnost.

Definicija 23Paralelne su one prave, koje se nalaze u istoj ravni i koje se, produžene u beskrajnost na obe strane, ne seku jedna sa drugom.

Potom se u sledećem odeljku pretpostave istine koje važe u geometriji („Neka se pretpostavi ...“). Ima ukupno pet takvih pretpostavki i poslednja je
Postulat 5.I da će se, ako jedna prava u preseku sa drugim dvema obrazuje sa iste strane dva unutrašnja ugla čiji je zbir manji od dva prava ugla, te dve prave, beskrajno produžene, seći i to sa strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava.

Mnogi su antički matematičari pokušali dokazati da je ovaj postulat, u stvari teorema. Neki su čak pisali dokaze. Danas znamo da je Proklo, u svojim komentarima Elemenata, kritikovao Ptolemeja zbog zbog pogrešnog dokaza petog postulata i dao svoj dokaz, takođe pogrešan. Tu je prvi put dat jedan mnogo poznatiji ali i dalje ekvivalentan oblik prethodnog iskaza postulata:

Kroz tačku van prave postoji samo jedna prava paralelna s tom pravom.

Ovaj postulat poznatiji pod nazivom Plejferov aksiom, mada ga je Prokle prvi zapisao.

Pokušaji dokazivanja 
Poznati matematičar XVII veka Valis je 1663. godine ponudio dokaz petog postulata koji je bio zasnovan na prividno očiglednom tvrđenju da postoje slični trouglovi tj. da se za svaki trougao može konstrusati njemu sličan trougao. Pokazalo se da je tvrđenje o postojanju sličnih trouglova ekvivalentno petom postulatu.

Italijanski matematičar Girolamo Sakeri je 1697. godine je pokušao dokazati peti postulat polazeći od suprotne pretpostavke i tražeći način da dođe do kontradikcije. On usput dokazuje veći broj teorema jedne potpuno nove geometrije, ali upravo za to tvrdi da je besmisleno i iz toga izvodi zaključak o kontradikciji.

Johan Hajnrih Lambert je takođe pošao od suprotne pretpostavke i sledio tok zaključaka, tako dobivši niz teorema neeuklidske geometrije, međutim nije ni u jednom momentu tvrdio da je stigao do kontradikcije.

Ležandr je takođe dugo vremena posvetio petom postulatu. Dokazao je da je ekvivalentan iskaz petom postulatu i sledeći:
Zbir uglova u trouglu jednak je zbiru dva prava ugla.
On je ostavio „dokaz“ petog postulata koji se bazira na tvrdnji da se kroz tačku unutar ugla može povući prava koja seče oba kraka ugla. Kasnije je utvrđeno da je i ova tvrdnja u stvari još jedan ekvivalentan iskaz petog postulata.

Vidi još 
 Euklidovi Elementi
 Neeuklidska geometrija
 Aksioma
 Hiperbolička geometrija

Reference

Literatura 
 Euklidovi Elementi, prevod i komentar Anton Bilimović, Matematički Institut, Naučna knjiga, 1949, Beograd - na srpskom dostupni na sajtu MF

Euklidska geometrija
Aksiome