Površ
Površ je dvoparametarski skup tačaka u prostoru, tj. skup tačaka prostora čije su koordinate funkcije dva parametra u i v. Naprimjer, funkcije krivolinijskih koordinata tačke na površi. U ovom se pretpostavlja da ove funkcije imaju izvode do nekog reda. Ako su u i v krivolinijske koordinate na površi, onda se površ može odrediti jednačinama:

 
gdje su ,   diferencijabilne skalarne funkcije.

odnosno

gdje su ,   realne funkcije klase  tj. imaju neprekidne prve parcijalne derivacije na .

koje se nazivaju parametarske jednačine površi.

Površ drugog reda je skup svih tacaka trodimenzionalnog prostora koje zadovoljavaju jednačinu

za bar jedan  tj. u formuli postoji barem jedan netrivijalni nelinearni član.

primjer 

sfera O(R) se može odrediti parametarskim jednačinama:

 

gdje je u širina, v dužina tačke na sferi. Eliminisanjem (isključenjem) u i v iz ovih jednačina dobija se poznata jednačina sfere:

Jednačina sfere (loptine površi) radijusa  s centrom u tački  data je sa

Ovom formulom su zadane dvije funkcije dvije varijable:

Nivo-površi  sfere (presjeci s ravnima paralelnim s  ravni) i presjeci s ravnima paralelnim s  i  ravnima su kruznice.

Jednačina površi se može zadati i u drugim oblicima, naprimjer, u obliku:

  ili

Regularne i singularne tačke površi
Parcijalne derivacije vektorske funkcije 

) 
su, prema pretpostavci, neprekidne vektorske funkcije  date formulama:

 

Jacobijeva matrica parametrizacije  je matrica oblika:

Sljedeće četiri tvrdnje su ekvivalentne:
 Vektori  i  linearno su nezavisni.
 r_u(u, v) × r_v(u, v)≠ 0
 Matrica  je ranga 2.
 Barem jedna od funkcijskih determinanti

 

je različita od nule.

Za tačku T površi F koja odgovara uređenom paru  kažemo da je regularna tačka
parametrizacije  ako je

r_u(u_0, v_0) × r_v(u_0, v_0)≠ 0

Za tačku T površi F koja odgovara uređenom paru  kažemo da je singularna tačka
parametrizacije  ako je

r_u(u_0, v_0) × r_v(u_0, v_0)= 0

Neka površ  može imati više različitih parametrizacija. Tačka površi koja je singularna za jednu parametrizaciju nemora biti singularna i za ostale njezine parametrizacije.

Za površ  kažemo da je regularna ako svaka njezina tačka ima u  okolinu s regularnom parametrizacijom.

Za tačku  kažemo da je singularna tačka površi ako je ona singularna tačka svake njene parametrizacije.

Sfera je primjer regularne površi koja se ne može pokriti jednom regularnom parametrizacijom. 

Standardna parametrizacija sfere poluprečnika  je 

gdje je  × . 

Pri toj parametrizaciji u-krive (v je konstanta) nazivamo paralelama, a v-krive (u je konstanta) meridijanima. Polovi, tj. tačke , singularne su tačke te parametrizacije. Međutim, svaka se sfera može pokriti već s dvije regularne parametrizacije.

U sigularnoj tački površ samu sebe siječe, dodiruje i sl. Ako su sve toačke neke krive na površi singularne, onda takvu liniju nazivamo singularnom linijom površi.

Krivolinijski ili Gaussov koordinatni sistem na površ

Ako se u jednačinama

, , 

za jedan parametar uzme konstanta, dok drugi mijenja vrijednosti unutar područja , parametarski je zadana prostorna kriva koja leži na zadanoj površi.

Tako je za  jednačina

, , 

parametarski zadana tzv. u − kriva površi, a za  jednačina

, , 

parametarski je zadana tzv. v − kriva površi.
Na taj način će za različite konstante , , () na zadanoj površi nastati dva sistema prostornih krivi pri čemu svaka kriva jednog sistema siječe svaku krivu drugog sistema u jednoj i samo jednoj toački.

Svaka tačka na površii biće određena sjecištem dviju prostornih kriviiz različitih sistema. Takve krive nazivamo koordinatnim ili parametarskim krivama površi. Odabirom po jedne krive iz svakog sistema za koordinantne ose, a njihovog sjecišta za ishodište, uspostavlja se krivolinijski ili Gaussov koordinatni sistem na površi. Svakoj
tački površi pridružena su dva realna broja   i , tzv. krivolinijske ili Gaussove koordinate tačke, koje određuju krive prvog i drugog sistema koje se sijeku u toj tački.

Prema pretpostavci, funkcije iz jednačine

, , 

imaju neprekidne prve parcijalne derivacije po  i po , koordinatne krive u svakoj svojoj tački imaju tangentu.

Vektori 

 

vektori su tangenata koordinatnih krivi. Njihove su dužine:

Eksplicitna jednačina površi 

Neka je  područje (otvoren i povezan skup) u  i neka 
ima na   neprekidne prve parcijalne derivacije po   i  . Graf funkcije  nazivamo regularnom (glatkom) površi. 

Jednačinu takve površi nazivamo eksplicitnom i ona glasi

Da bi se s parametarskog oblika zadavanja površi moglo preči na eksplicitan oblik barem jedna od funkcijskih determinanti (iv) mora biti različita od nule.  

Možemo izvršiti inverziju prvih dviju jednačina od
 i postaviti dvije nove, jednoznačine, neprekidne funkcije
 i koje imaju neprekidne prve parcijalne derivacije u okolini tačke
 koja odgovara tački . 

Pri tome vrijedi

 i 

Nakon uvrštavanja tih dviju funkcija u jednačinu  nastaje jednoznačnu, složena i neprekidna funkcija

  od  i , a jednačina 

predstavlja eksplicitan oblik zadavanja površi. 
Ako su uvažene sve pretpostavke, funkcija  mora imati neprekidne prve parcijalne derivacije po  i .

Implicitna jednačina površi
Neka je  područje u  i neka je funkcija  klase
 tj. prve parcijalne derivacije  su neprekidne funkcije na 

Jednačinu 
 

nazivamo implicitnom površi, ako postoji barem jedna tačka
 takva da zadovoljava jednačinu i da je u njoj barem jedna od parcijalnih derivacija
 različita od . Ovaj uslov osigurava egzistenciju regularnog dijela površi.

Ako je , postoji jednoznačna, neprekidna funkcija
 koja u okolini tačke  identički zadovoljava vezu

 

i u toj tački funkcija  ima neprekidne prve parcijalne derivacije po
 i .

Tačku  u kojoj su ispunjeni navedeni uslovi zovemo običnom  ili regularnom tačkom površi.

Kako bi barem jedna od parcijalnih derivacija funkcije  bila različita od nule, za regularnu tačku površi mora biti zadovoljen uslov

Kako je   singularna toačka implicitno zadane površi ako ona zadovoljava jednačinu   i ako vrijedi

Tangentna ravan i normala na površ
Bilo koja kriva na regularnoj površi F zadanoj vektorskom jednačinom 

može biti zadana parametarskom jednačinom
,   

gdje za  vrijedi da se  nalazi u području , a funkcije ) i  neprekidne su funkcije od . 

Ako kriva u svakoj tački ima tangentu moraju i derivacije  i  biti neprekidne. 
Kriva mora zadovoljavati jednačinu površi, vektori tačaka na krivoj dati su izrazom

Vektor tangente na tu krivu je

Proizvoljnom čvrstom tačkom   površi  prolazi beskonačno mnogo prostornih
krivi koje leže na površi. Za sve takve krive vektori
 i  biće jednaki, budući da oni zavise samo o koordinatama 
i  tačke T, dok  ́će derivacije  i   za pojedine krive biti različite. Svi vektori tangenata na krivu koje prolaze tačkom T linearne su kombinacije vektora 

 

Tangente prostornih krivi koje su na površi i prolaze tačkom  T leže  u ravni koju određuju tangentni vektori koordinatnih krivi te tačke. Ta se ravan naziva tangentna  ravan na površ u tački T, a tačka T je njeno  diralište.

Jednadnačina tangentne ravnine u parametarskom obliku je

gdje je  radijus-vektor bilo koje tačke tangenne  ravni,  radijus- vektor dirališta
, a  i  realni parametri koji poprimaju, nezavisno jedan o drugom,
vrijednosti između  i 

Vektor

x 

normalan je na vektore 

 

i prema tome i na tangentnu ravan u tački T. Naziva se vektorom normale površi. 

 Vektori 

svojim međusobnim položajem određuju orjentaciju u tangentnoj ravni te tačke. Ona je pozitivna ako prvi vektor prelazi na drugi vektor vrtnjom za neki ugao u pozitivnom smislu (suprotno smjeru kazaljke na satu). 

Vektor

 (x )/

naziva se jediničnim vektorm normale  površi. On ima pozitivnu orijentaciju ako s pozitivnim smjerom vrtnje u tangentnoj ravni tačke T čini desni vijak. Kako  vektor  leži u tangentnoj ravni, koja ja normalna na vektor normale. Jednaćina tangentne ravni može se napisati pomoću mješovitog proizvoda

x 

Može se napisati i u skalarnim komponentama pomoću determinante

gdje su ,, koordinate bilo koje tačke tangentne ravni, ,
,  koordinate dirališta T, a u derivacije koordinata uvrštavaju se vrijednosti
 i  koje odgovaraju tački T.

Jednačina normale površi u tački T je

 × 

gdje je  realni parametar koji prima vrijednosti između  i

Linijske površi
Linijska površ je skup pravih prostora neprekinuto povezanih po nekom zakonu .
Nastaju na sljedeći način:
klizanjem prave po nekoj prostornoj krivoj. Prava koja klizi naziva se izvodnica ili generatrisa, a kriva  po kojoj klize, ravnalica ili greben površi
povezivanjem triju krivih (ravnalica) transverzalama.

Ako su za ravnalice odabrane algebarske krive, nastaje algebarska površ. Za ovaj prikaz bitne su samo površi koje nastaju povezivanjem triju algebarskih ravnalica transverzalama.

Njihova se konstrukcija može izvesti na sljedeći način:

Neka su zadane krive ,  i . Na krivoj  uoči se tačka A koja pravim spoji sa svim talkama krive  čime je formirana kupa .

Kriva  probada kupu  u konačnom broju tačaka.

Jednim tako dobivenim probodištem prolazi izvodnica kupe , a to je ujedno i transverzala krivih ,  i . Taj se postupak ponavlja za ostale tačke krive čcime je formiran jednoparametarski skup izvodnica . Sve takve izvodnice i čine linijsku površ.

Teorema (o redu linijske povrsi)

Ako su algebarske krive ,  i  redova ,  i . i ako se krive ,  sijeku u  tačaka krive  i  u , a krive  i  u  tacaka, tada je linijska površ zadana krivama ,  i  reda:

Svaka algebarska linijska površ ima stepen.

Linijske površi mogu biti razmotive i nerazmotive ili vitopere. Vitopere linijske površi ne mogu se razmotati u ravni jer su im svake dvije neizmjerno blize izvodnice mimoilazne prave.

Elipsoid

Elipsoid (troosi)

Ako je  tada kažemo da je  velika poluosa,  srednja poluosa i  mala poluosa elipsoida.

Ako su dvije poluose jednake, npr.  tada dobijemo rotacioni
elipsoid.
Ako su sve tri poluose jednake dobijamo sferu ili loptinu površ.

je jednačina elipsoida čije su glavne ose paralne s koordinatnim osama  , a dužine poluosa su  redom.

Nivo plohe elipsoida kao i presjeci s ravnima paralelnim s  i  ravnima su elipse.

Hiperboloid

Jednokrilni hiperboloid zadan je formulom 

Dvokrilni hiperboloid zadan je s formulom

Nivo površi hiperboloida su elipse, a presjeci s ravnima koje su paralelne s  osom su hiperbole. Kao i kod ostalih površi, pomoću transformacije  pomićemo središte hiperboloida, a cikličkom zamjenom varijabli nastaju hiperboloidi koji se protežu u smjeru ostalih koordinatnih osi.

Konusne površi

Konus (kupa) je zadana formulom

Ovim izrazom su zadane dvije funkcije od dvije varijable:

.

Želimo pronaći jednačinu konusne površi čije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak koordinatnog sistema i  kroz tačke krive
, 
Na toj krivoj odaberimo proizvoljnu tačku .

Jednačina izvodnice (prave) kroz tačke  i  glasi

Vrijedi:

Jednačina konusne površi čije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak i kroz tačke
krive
, 

Kako tačka  leži na krivoj mora vrijediti  dobijamo opštu jednačinu konusne površi

Jednačina konusne površi čije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak i kroz tačke
krive
 i  je

Valjkaste površi

Izvodnica je paralelna sa osom  i prolazi kroz krivu  
Opšta jednačina površi   data je sa (nedostaje z)
Izvodnica je paralelna sa osom  i prolazi kroz krivu  
Opšta jednačina površi   data je sa  (nedostaje x)
Izvodnica je paralelna sa osom  i prolazi kroz krivu  
Opšta jednačina površi   data je sa  (nedostaje y)

Rotacione površi

Jednačina rotacione površi  koja nastaje rotacijom krive  oko ose

Neka je  udaljenost proizvoljne tačke  rotacione povrsi od ose . Tada je jednačina rotacione površi kojoj je osa  osa rotacije data sa

uopšteno sa

Jednačina rotacione površi koja nastaje rotacijom krive  ili  oko ose  data je  sa

uopšteno sa

Jednačina rotacione površi koja nastaje rotacijom krive  ili  oko ose  je data sa

uopšteno sa

Izvori
Plohe drugog reda

NATKRIVANJE PARABOLIČKIM KONOIDOM

Valjkaste (cilindrične) plohe

Gaussova i srednja zakrivljenost ploha

Geometrija
Topologija