Brocardove tačke u trouglu
Ime su dobile po francuskom matematičaru Henri Brocardu (1845 - 1922).
U trouglu  tačka P je prva Brokardova tačka ako važi da su uglovi između duži ,  i  i stranica , i  redom, jednaki, tj.

Tačka P je prva Brokardova tačka u trouglu , a ugao  Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brokardova tačka , trougla  takva da su jednaki uglovi između duži , ,  i stranica ,  i redom, tj.

Teorema

Za svaki trougao postoje prva i druga Brokardova tačka.

Dokaz

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi 
tada je

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž  vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke , , . To je  . Na isti način nacrtajmo kružnicu .
Izabereno tačku U tako da važi:

U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brokardovu tačku, jer za presječnu tačku  važi: 

Drugu Brokardovu tačku nalazimo analogno

Za Brokardov ugao ω važi jednakost:

Dokaz

Obilježimo sa P Brokardovu tačku trougla . Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

 i

Iz ranije dokazanog

 i

Dijeljenjem prve jednačine sa drugom dobijamo da je

Iz sinusne teoreme znamo da važi

Daljim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

Teorema

Važi:  gde je P površina trougla .

Trilinearne koordinate Brokarovih tačaka

Neka je  tetivni četvorougao. Prave  i 
se sijeku u tački E, prave  i  se sijeku u tački F a prave
 i  u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla  ortocentar trougla .

Dokaz

Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice

[Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice

Presjek tetiva  i  jedninične kružnice je tačka

 ]

važe jednakosti:

Da bismo pokazali da je  ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je
 i .

Zbog simetrije, dovoljno je dokazati

Konjugovanjem dobijamo

Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je
dokazana Brokardova teorema.

Izvor

Značajne tačke i linije u trouglu

Matematika Geometrija