Wronskián
Wronskián (nebo také Wronského determinant) je v matematice funkce, která je definována jako determinant Wronského matice. Byl vymyšlen v roce 1812 polským matematikem Józefem Hoene-Wrońským a o 70 let později také po něm pojmenován. Je používán zejména v teorii diferenciálních rovnic při jejich řešení metodou variace konstant a při zjišťování lineární nezávislosti množiny funkcí.

Definice 
Nechť funkce (reálné nebo komplexní proměnné)  mají v množině  všechny derivace až do řádu  včetně. Potom wronskiánem těchto funkcí nazýváme funkci definovanou vztahem 

Determinant se skládá z  sloupců a  řádků. V prvním řádku se nachází původní funkce, v každém -tém řádku jejich  derivace.

Vlastnosti 

 Pokud jsou funkce  diferencovatelné do řádu  na množině  a jsou zde lineárně závislé, potom platí  pro všechna .
 Nechť jsou funkce  lineárně nezávislá řešení homogenní lineární diferenciální rovnice řádu  na množině  . Potom platí  pro všechna .

Při řešení lineárních diferenciálních rovnic se wronskián používá pro zjišťování lineární nezávislosti funkcí, které tuto rovnici řeší. Při nalezení tolika lineárně nezávislých rovnic jako je řád diferenciální rovnice lze určit její fundamentální systém, a na základě konkrétního partikulárního řešení také obecné řešení této rovnice .

Příklad 
Spočtěme determinant systému funkcí  . Jde o  funkcí, determinant bude mít tedy  řádků a  sloupců. Wronskián je roven 

V posledním kroku výpočtu bylo využito, že determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu jejich prvků na diagonále. Tento výsledek bude vždy nenulový pro libovolné , a proto jsou tyto funkce lineárně nezávislé.

Odkazy

Literatura 
 Krbálek, Milan. Matematická analýza III. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2011, 230 s. .
 Kopáček, Jiří. Matematická analýza pro fyziky (II). Vyd. 1. Praha: Matfyzpress, 1998, 217 s. .

Související články 
 Lineární diferenciální rovnice
 Determinant

Obyčejné diferenciální rovnice
Matematické funkce
Matice