Variogram
V prostorové statistice je teoretický variogram  funkce popisující stupeň prostorové závislosti na prostorové náhodné proměnné nebo na stochastickém procesu. Je definován jako odchylka rozdílu mezi polem hodnot ve dvou různých místech (x a y) v celé dané realizaci. (Cressie 1993).

 .

Jestliže prostorový náhodný prvek má konstantní průměr , je to ekvivalent očekávání čtvercového nárůstu hodnot mezi lokalitou  a  (Wackenagel 2003) (kde  a  nejsou souřadnice, ale body v prostoru): 
, 
kde  samotná je nazývána semivariogram. V případě stacionárního procesu variogram a semivariogram může být prezentován jako funkce  rozdílu h=y-x mezi dvěma místy pouze tímto vztahem (Cressie 1993): 
. 
V případě že je navíc proces izotropní, poté může být variogram a semivariogram prezentován funkcí  vzdálenosti  pouze (Cressie 1993):
.
Indexy  nebo  se většinou nepíší. Podmínky jsou používány pro všechny tři formy funkcí. Navíc, výraz "variogram" je občas používán pro označení semivariogramu, a  je občas používána pro variogram, což může být matoucí.

Vlastnosti 
Podle (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003), teoretický variogram má následující vlastnosti:
 Semivariogram není záporný , protože je druhou mocninou.
 Semivariogram  ve vzdálenosti 0 je vždy 0, protože .
 Funkcí je semivariogram pouze tehdy if it is a conditionally negative definite function, i.e. for all weights  subject to  a pozicí  it holds:

což koresponduje s faktem, že rozdíl  je dán záporem dvojnásobku sumy a musí být nezáporný
 V důsledku toho může být semivariogram nesouvislý pouze na začátku. Výška posunutí na začátku je označována jako nugget nebo nugget effect
 Jestliže kovarianční funkce stacionárního procesu existuje, je spojená s variogramem takto:

Pro nestacionární proces musí být přidána mocnina rozdílu mezi očekávanými hodnotami v obou bodech:

 Jestliže stacionární náhodné pole nemá žádnou prostorovou závislost (tj. , semivariogram je konstantní  kdekoliv s výjimkou začátku kde je 0.
  je symetrickou funkcí.
 V důsledku je  sudou funkcí.
 Jestliže náhodné pole je stacionární a ergodic tak,  koresponduje s variancí pole. Limita semivariogramu je také nazývána prahem.

Empirický variogram 
Pro pozorování  v místech  je empirický variogram  definován jako (Cressie 1993):

kde  značí soubor párů pozorování  jakými jsou  a  je počet párů v souboru. (Všeobecně "aproximovaná vzdálenost"  se používá vykonáním jisté tolerance.)
Empirický variogram je použit v geostatistice jako první odhad (teoretického) variogramu potřebného pro prostorovou interpolaci krigingem.
Podle (Cressie 1993) pro pozorování  ze stacionárního náhodného pole  je empirický variogram s lag tolerance 0 je nezaujatý odhace teoretického variogramu jelikož:

Parametry variogramu 
Následující parametry jsou často použity k popsání variogramu:
 nugget : Velikost posunutí semivariogramu v jeho počátku.
 sill : Limita, také práh semivariogramu
 range : Rozsah ve kterém rozdíl variogramu přijde zanedbatelný V modelech s pevným prahem je to vzdálenost která je dosažena první. Pro modely s asymptotickým prahem, je to bráno jako vzdálenost, kde semivariance dosahuje 95 % prahu.

Modely variogramu 
Empirický variogram nemůže být počítán pro každou lag vzdálenost  a vzhledem k rozdílům v odhadu není jisté že je správný, jak je definováno výše. Některé geostatistické metody jako je kriging potřebují správné semivariogramy. V aplikované geostatistice jsou empirické variogramy tudíž často upravovány podle modelu funkce zajišťující jejich správnost (Chiles&Delfiner 1999). Některé důležité modely (Chiles&Delfiner 1999, Cressie 1993):
 Exponenciální model

 Sférický model

 Gaussovský model

Parametr  má odlišné hodnoty v různých odkazech, díky nejednoznačnosti definice v rozsahu. Např.  je hodnota použita v (Chiles&Delfiner 1999). je 1 jestliže  a 0 jindy.

Diskuze 
Tři funkce jsou používány pro popsání prostorové nebo časové korelace pozorování: korelogram, kovariance a semivariogram. Poslední je také jednoduše nazýván variogramem. Variogram na rozdíl od semivariogramu ukazuje, kde je značný stupeň prostorové závislosti ve vzorku prostorové.

Variogram je klíčovou funkcí v geostatistice, stejně jako se používá pro "fitování" modelu časové nebo prostorové korelace pozorovaného jevu. Experimentální variogram je používán pro vizualizaci možné prostorové/časové korelace a variogramový model je používán k definování váhy krigingové funkce. Všimněte si, že experimentální variogram je empirický odhad kovariance Gaussovského procesu. Jako takový nemusí být přímo použitelný v krigingu bez omezení nebo dalšího zpracování. To vysvětluje proč je používán pouze omezený počet modelů variogramu: lineární, sférický, gaussovský a exponenciální.
Jestliže je variogram použit k popsání korelace rozdílných proměnných je nazývám křížový-variogram. Křížový variogram je používán v ko-krigingu. V případě, že proměnná je binární nebo reprezentuje třídy hodnot, poté mluvíme o indikátoru variogramu. Indikátor variogramu je používán v indikátor krigingu.

Reference

Literatura 
 Cressie, N., 1993, Statistics for spatial data, Wiley Interscience
 Chiles, J. P., P. Delfiner, 1999, Geostatististics, Modelling Spatial Uncertainty, Wiley-Interscience
 Wackernagel, H., 2003, Multivariate Geostatistics, Springer
 Burrough, P A and McDonnell, R A, 1998, Principles of Geographical Information Systems
 Isobel Clark, 1979, Practical Geostatistics, Applied Science Publishers

Externí odkazy 
 

Geostatistika