Totální diferenciál
Totální diferenciál je v matematice diferenciál aplikovaný na funkci několika proměnných. Vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce několika proměnných na malé změně jedné nebo více proměnných směrem od daného bodu. Tuto závislost aproximuje jako lineární funkci. Chyba této aproximace při malé změně proměnných musí být velmi malá (ve smyslu definice), jinak totální diferenciál neexistuje. Zkoumaná funkce tedy musí být dostatečně hladká. Jestliže totální diferenciál v daném bodě existuje, tak funkce v daném bodě má totální diferenciál nebo že je v daném bodě diferencovatelná.

Pokud v bodě  existuje totální diferenciál funkce n proměnných , pak je to lineární funkce
 ,
kde
  je parciální derivace funkce  podle  v bodě ,
  je gradient funkce  v bodě ,
  je vektor změn jednotlivých nezávislých proměnných
 a symbol  značí skalární součin.

Definice 
Nechť  je funkce n reálných proměnných definovaná na jistém okolí bodu . Totálním diferenciálem funkce  v bodě  nazýváme lineární funkci , s níž lze funkci  v okolí bodu  aproximovat jako

 

tak, že pro chybu aproximace  platí

 .

Jestliže taková lineární funkce existuje, pak má tvar

 

a říkáme, že funkce  má v bodě  totální diferenciál neboli že je v bodě  diferencovatelná.

Podmínky a důsledky diferencovatelnosti 
 Jestliže má funkce  na jistém okolí bodu  spojité všechny parciální derivace, pak má v bodě  totální diferenciál.
 Jestliže má funkce  v bodě  totální diferenciál, pak je v bodě  spojitá a má v něm směrovou derivaci v každém směru.

Geometrický význam 
 Pro názornou interpretaci geometrického významu totálního diferenciálu budeme uvažovat 2D funkci  a bod, ve kterém budem zkoumat existenci totálního diferenciálu .
 Jelikož tato funkce splňuje podmínky existence totálního diferenciálu, musí platit .
 Abychom si znázornili totální diferenciál, vypustíme zbytkovou funkci 
 , , 
 Po dosazení za neznámé do rovnice a přeznačení  na  dostaneme  
 Nyní se podívejme na grafy funkcí  a funkce 

 Z grafu je vidět že geometrický význam totálního diferenciálu je rovina tečná k funkci  v bodě 
 Pro funkci jedné proměnné představuje totální diferenciál tečnou přímku.

Literatura 
 Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. .

Matematické funkce
Diferenciální počet