Redukce řádu
Redukce řádu je v matematice technika pro řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu. Používá se, když známe jedno řešení , a potřebujeme najít druhé lineárně nezávislé řešení . Metodu lze použít i pro rovnice n-tého řádu. V tomto případě lze kvalifikovaným odhadem získat rovnici (n-1)-ho řádu pro .

Obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu

Příklad 
Uvažujme obecnou homogenní lineární obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty

kde  jsou reálné nenulové koeficienty, Navíc budeme předpokládat, že její charakteristická rovnice

má vícenásobný kořen (tj., že diskriminant  se rovná 0). Z toho plyne

Tedy jedno řešení původní diferenciální rovnice je

Budeme hledat druhé řešení ve tvaru

kde  je hledaná funkce. Protože  musí vyhovovat původní obyčejné diferenciální rovnici, dosadíme řešení do rovnice a dostaneme

Přeskládáním členů podle řádu derivace  dostaneme

Protože víme, že  je řešením původní úlohy, koeficient posledního termu se rovná nule. Navíc substitucí  do koeficientu druhého termu dostaneme (pro tento koeficient)

Takže dostáváme

Protože  je nenulové (aby původní rovnice byla druhého řádu) a  je exponenciální funkce, která nikdy nenabývá hodnoty nula, jednoduše dostáváme

Dvojí integrací dostaneme

kde  jsou integrační konstanty. Nyní můžeme druhé řešení zapsat jako

Protože druhý term v  je skalárním násobkem prvního řešení (a je tedy lineárně závislý), můžeme tento term zahodit, což dává výsledné řešení

Navíc můžeme dokázat, že druhé řešení  nalezené touto metodou je lineárně nezávislé na prvním řešení výpočtem Wronskiánu

Tedy  je druhé lineárně nezávislé řešení, které jsme hledali.

Obecná metoda 
Je-li dána obecná nehomogenní lineární diferenciální rovnice

a jedno řešení  homogenní rovnice [], zkusíme hledat řešení plné nehomogenní rovnice ve tvaru:

kde  je libovolná funkce. Tedy

a

Jestliže tyto jsou dosadíme za ,  a  v diferenciální rovnici, pak

Protože  je řešení původní homogenní diferenciální rovnice, , můžeme se omezit na

což je diferenciální rovnice prvního řádu pro  (redukce řádu). Vydělením výrazem  dostaneme

.

Integrační faktor: .

Znásobením diferenciální rovnice integračním faktorem  lze rovnici pro  redukovat na
.

Zintegrováním poslední rovnice dostaneme  obsahující jednu integrační konstantu. Dalším zintegrováním  dostaneme obecné řešení původní nehomogenní rovnice druhého řádu, které obsahuje dvě integrační konstanty, jak je očekáváno:

.

Související články 
 Variace konstant

Reference 

 W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. .
 
 Eric W. Weisstein, Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution, From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

Obyčejné diferenciální rovnice