Lodeho parametr
Lodeho parametr je označení používané pro dvojici parametrů, z nichž jeden charakterizuje velikost prostředního hlavního napětí působícího v bodě tělesa, pokud je známá velikost největšího a nejmenšího hlavního napětí, a druhý charakterizuje velikost prostřední hlavní rychlosti plastické deformace, pokud je známá velikost největší a nejmenší hlavní rychlosti plastické deformace. Parametry se využívají v teorii plasticity při popisu chování izotropních materiálů. Parametr je nazván podle Waltera Lodeho, který v letech 1925 a 1926 publikoval články, v nichž tyto dva parametry použil.

Definice 
Lode vycházel z Mohrova kritéria mezního stavu pružnosti, když pro vyjádření středního hlavního napětí zvolil lineární kombinaci největšího smykového napětí, , a normálového napětí působícího ve stejné rovině, jako největší smykové napětí, , ve tvaru

kde  jsou velikosti hlavních napětí a  je Lodeho (napěťový) parameter.

Lodeho parametr lze tedy vyjádřit vztahem

Parametr může nabývat hodnot z intervalu , přičemž platí, že
 když , pak 
 a když , pak 

Podobným způsobem je definován i Lodeho parametr pro rychlost plastické deformace:

kde  jsou hlavní rychlosti plastické deformace. Lode také použil integrální variantu tohoto parametru:

kde  jsou velikosti hlavních plastických přetvoření.

Geometrická interpretace 
V Haighově prostoru hlavních napětí, což je trojrozměrný kartézský prostor, jehož souřadnice představují velikost hlavních napětí, je možné vyjádřit polohu bodu přímo hodnoty hlavních napětí, ale pro potřeby teorie plasticity může být vhodnější použít válcový souřadný systém, jehož osy jsou definovány pomocí trojice navzájem kolmých jednotkových vektorů:
 , který představuje směr osy hydrostatického napětí ,
 , který představuje směr osy smykové napjatosti, tj. osy  ležící v deviátorové rovině ,
 , který představuje směr osy ležící v deviátorové rovině a která je kolmá na obě výše popsané osy. Jedná se o kolmý průmět osy středního hlavního napětí, , do deviátorové roviny.
Lodeho (napěťový) parametr je spjat s popisem charakteru napjatosti v tomto válcovém souřadném systému.

Hydrostatické a deviátorové napětí 

Průmět vektoru hlavních napětí , tj. polohového vektoru spojující bod v Haighově prostoru s počátkem souřadnic, do směru hydrostatické osy, která je osou válcového souřadného systému, je vektor

kde  je hydrostatické napětí a  je první invariant tenzoru napětí (tj. jeho hodnota nezávisí na orientaci vztažného souřadného systému):

Průmět vektoru hlavních napětí  do deviátorové roviny je vektor deviátorového napětí

kde , ,  jsou hlavní deviátorová napětí, pro která platí

Velikost průmětu vektoru hlavních napětí do deviátorové roviny, tj. deviátorového napětí, je

kde  je druhý invariant deviátoru tenzoru napětí:

Lodeho úhel 

Lodeho parametr popisuje orientaci vektoru deviátorového napětí vzhledem k ose  v deviátorové rovině. Úhel, který vektor deviátorového napětí svírá s touto osou, se nazývá Lodeho úhel. Tangens Lodeho úhlu lze vyjádřit pomocí velikosti průmětů vektoru deviátorového napětí (a rovněž vektoru hlavních napětí) do směru vektorů  a :

přičemž , neboť musí platit 

Pro Lodeho úhel  platí

kde  je třetí invariant deviátoru tenzoru napětí. Výše uvedený vztah byl poprvé publikován v roce 1972.

Dále platí

kde  je redukované napětí podle von Misese:

Hlavní napětí pak lze vyjádřit pomocí vztahu

Lodeho úhel v Mohrově diagramu 

Lodeho úhel lze rovněž zobrazit v Mohrově diagramu pro napětí. K tomu je potřeba sestrojit rovnostranný trojúhelník nad průměrem největší Mohrovy kružnice, daným body  a , a spojit bod reprezentující v Mohrově diagramu prostřední hlavní napětí, , s protilehlým vrcholem trojúhelníka, . Vzniklá úsečka svírá s přilehlou výškou trojúhelníka, spuštěnou na osu úseček, úhel  - Lodeho úhel.

Vzhledem k tomu, že Lodeho parametr udává poměrnou vzdálenost mezi středem největší Mohrovy kružnice  a bodem představujícím střední hlavní napětí  (viz ), a vzhledem k tomu, že bod představující hydrostatické napětí  leží ve třetině vzdálenosti mezi středem největší Mohrovy kružnice a bodem představujícím střední hlavní napětí, pro hlavní deviátorová napětí platí vztah

Pro hlavní napětí pak platí

což je vztah totožný se vztahem ().

Alternativní definice 
Původní definiční vztah Lodeho parametru může mít různou podobu, podle kontextu, kde je použit:

kde , respektive .

Lodeho parametr bývá někdy také definován odlišně, než jej zavedl Lode:

Lodeho deformační parametr bývá definován pomocí hlavních inkrementů plastického přetvoření :

kde

Historie 
Lode v roce 1925 publikoval článek, v němž se zabýval vlivem středního hlavního napětí na okamžitou mez kluzu plávkové oceli. Lode zatěžoval trubkové zkušební vzorky kombinací osového tahu a vnitřního tlaku. Každý vzorek několikrát zatížil a odtížil, přičemž zatížení v každých dvou po sobě jdoucích krocích odpovídalo odlišné hodnotě parametru . V několika zátěžných krocích Lode použil pouze osové tahové zatížení (). Lode pak sledoval, zdali se liší okamžitá mez kluzu odpovídající kombinovanému zatížení a předpokládaná okamžitá mez kluzu odpovídající tahové napjatosti. Velikost předpokládané okamžité meze kluzu odpovídající tahové napjatosti byla určena pomocí fiktivní tahové křivky vytvořené propojením křivek odpovídajících zátěžným krokům s tahovým zatížením.
Lode zjistil, že poměr zmíněných dvou okamžitých mezí kluzu, charakterizovaných největším hlavním napětí, závisí na parametru , přičemž hodnoty tohoto poměru pro  a  byly takřka totožné, hodnota pro  se lišila o ca 12 procent.

V roce 1926 Lode publikoval rozsáhlejší článek, v němž představil výsledky experimentů se vzorky z niklu, mědi a dalšího typu plávkové oceli. Na základě změřených hodnot poměru rozdílu největšího a nejmenšího hlavního napětí charakterizující okamžitou mez kluzu při kombinovaném namáhání a velikosti předpokládané okamžité meze kluzu odpovídající tahové napjatosti pro různé hodnoty  Lode posuzoval relevantnost několika hypotéz mezního stavu pružnosti. Jako nevyhovující Lode označil hypotézu mezního stavu pružnosti dle Trescy (hypotéza největšího smykového napětí), Beltramiho-Haighovu hypotézu (hypotéza limitní hustoty deformační energie) a hypotézu Beckerovu (kombinovaná hypotéza největšího smykového napětí a největšího hlavního přetvoření). Výsledkům experimentu podle Lodeho přibližně odpovídala von Misesova hypotéza limitní hustoty energie připadající na změnu tvaru tělesa.

Ve stejném článku Lode dále zavedl parametr  pro popis střední hlavní rychlosti plastické deformace a parametr  pro popis středního hlavního plastického přetvoření. Lode zjišťoval, jaká je závislost mezi parametrem  a , přičemž pozoroval, že výsledky experimentu lze se srovnatelnou přesností proložit přímkou  či křivkou . Na základě předpokladu, že stejné závislosti platí i pro  a , Lode došel k závěru, že výsledky jeho experimentů přibližně potvrzují předpoklad Maurice Lévyho o úměrnosti smykových napětí a rychlosti smykové deformace a naopak jsou v rozporu s předpokladem některých prací v oboru teorie plasticity, že když platí , pak  (např. práce Alfreda Haara a Thedora von Kármána či práce Marcela Brillouina).

Ve svém článku Lode použil pro stanovování meze kluzu metodu zpětné extrapolace, známou též jako Lodeho extrapolační metoda. Mez kluzu se dle této metody stanoví jako průsečík křivky napětí-deformace extrapolované z oblasti odpovídající rozvinuté plastické deformaci směrem k ose napětí a polopřímky odpovídající zatěžování bez rozvoje plastické deformace, tj. zatěžování v elastické oblasti. Tato metoda byla užívána například při studiu chování plochy plasticity při dvojosém zatěžování.

Lodeho prováděl své experimenty na Georg-August-Universität v Göttingenu v rámci své disertační práce, kterou obhájil v roce 1928. Podnět k Lodeho výzkumu dal profesor Arpád Nádai, autor pravděpodobně první monografie zabývající se teorií plasticity.

Reference

Související články 
 Haighův prostor
 Teorie plasticity

Mechanika pružnosti a pevnosti