LU rozklad
LU rozklad matice je způsob, jak zapsat tuto matici jako součin dvou dalších matic, z nichž jedna (L z anglického lower) je v dolním trojúhelníkovém tvaru a má na celé hlavní diagonále číslo jedna a druhá (U z anglického upper) je v horním trojúhelníkovém tvaru a na hlavní diagonále má pouze nenulové prvky.

Definice 
Mějme  regulární čtvercovou matici nad libovolným tělesem, u které není třeba při Gaussově eliminaci prohazovat řádky. Pak existují také regulární matice  a , jsou určeny jednoznačně a platí pro ně následující tvrzení
 
  je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na celé hlavní diagonále.
  je horní trojúhelníková matice s nenulovými prvky na hlavní diagonále.
Tomuto součinu říkáme LU rozklad matice .

Pokud nemáme matici  takovou, u které není třeba prohazovat řádky, pak lze využít rozklad , kde  je permutační matice (taková, která vznikla z jednotkové postupnou záměnou sloupců). Taková matice nejdříve prohází řádky matice  a zbytek rozkladu zůstane stejný.

Využití 
Během výpočtu soustavy  může nastat situace, kdy se podařila najít dolní trojúhelníková matice  i horní trojúhelníková matice  tak, že .

Potom lze nahradit v této soustavě  za  a označit . Z toho plyne, že  a .

To je užitečně, pokud máme sérii výpočtů, ve které se pravá strana  v jednotlivých případech mění, ale levá strana zůstává stejná. Toto řešení pomocí LU rozkladu je časově výhodnější než opakované počítání stejné soustavy.

Příklad 

.

Odkazy

Reference

Související články 
 Matice
 Soustava lineárních rovnic
 QR rozklad
 Jordanův rozklad
 Regulární matice
 Lineární algebra
 Permutace

Externí odkazy 
 

Maticové rozklady