Násobení skalárem
Násobení skalárem je v matematice jednou ze základních operací definujících vektorový prostor v lineární algebře (nebo obecněji, modul v abstraktní algebře). V intuitivním geometrickém kontextu násobení reálného vektoru kladným reálným číslem mění jeho velikost bez změny jeho směru. Samotný termín „skalár“ je odvozen z tohoto použití: skalár je to, co škáluje (mění velikost) vektorů. Výsledkem násobení vektoru skalárem je vektor, na rozdíl od skalárního součinu dvou vektorů, jehož výsledkem je skalár.

Definice 
Obecně jestliže K je těleso a V je vektorový prostor nad K, pak násobení skalárem je funkce z K × V do V.
Výsledek aplikace této funkce na c z tělesa K a v z vektorového prostoru V označujeme cv.

Vlastnosti 
Pro násobení skalárem platí následující vztahy (vektory jsou v polotučně):
 Aditivita skalárů: (c + d)v = cv + dv;
 Aditivita vektorů: c(v + w) = cv + cw;
 Asociativita součinu skalárů s násobením skalárem: (cd)v = c(dv);
 1 je neutrální prvek: 1v = v;
 Násobení nulou dává nulový vektor: 0v = 0;
 Násobení −1 dává opačný vektor: (−1)v = −v.
Přitom + je sčítání buď v tělese anebo ve vektorovém prostoru; a 0 je neutrální prvek vůči sčítání v obou.
Zapsání dvou symbolů za sebou znamená buď násobení skalárem nebo operaci násobení v tělese.

Interpretace 
Násobení skalárem může být považováno za externí binární operaci nebo za akci tělesa na vektorovém prostoru. Geometrickou interpretací násobení skalárem je zvětšíní nebo zmenšení vektoru o konstantní faktor.

Můžeme uvažovat speciální případ, kdy V=K; pak násobení skalárem je prostě násobením v tělese.

Když V je Kn, násobení skalárem je ekvivalentní s násobením každé komponenty skalárem a může být i takto definováno.

Stejný přístup lze použít, pokud K je komutativní okruh a V je modul nad K.
K může dokonce být polookruh, ale pak neexistuje inverzní prvek pro sčítání.
Jestliže K není komutativní, lze místo jedné operace „násobení skalárem“ definovat dvě operace – násobení skalárem zleva cv a násobení skalárem zprava vc.

Související články 
 Statika
 Mechanika
 Součin (matematika)

Externí odkazy

Reference 

Lineární algebra
Abstraktní algebra
Násobení