Lebesgueova míra
Lebesgueova míra je v teorii míry standardní způsob přiřazení míry podmnožinám n-rozměrného eukleidovského prostoru. Pro n = 1, 2 nebo 3 se shoduje se standardním pojmem délky, plochy nebo objemu. Obecně se nazývá n-rozměrný objem, n-objem nebo jednoduše objem. Lebesgueova míra se používá v analýze v reálném oboru především pro definici Lebesgueova integrálu. Množiny, kterým lze přiřadit Lebesgueovu míru, se nazývají Lebesgueovsky měřitelné; míra Lebesgueovsky měřitelné množiny A se v tomto článku označuje λ(A).

Lebesgueova míra je pojmenovaná po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi, který ji popsal v roce 1901. V roce 1902 vyšel jeho popis Lebesgueova integrálu. Obojí bylo publikováno jako část jeho disertace v roce 1902.

Lebesgueova míra se často značí dx; toto označení nesmíme zaměňovat se stejně značenou objemovou formou variety.

Definice 
Jestliže délku (otevřeného, uzavřeného nebo polouzavřeného) intervalu  označíme , pak pro libovolnou podmnožinu  definujeme její Lebesgueovu vnější míru  jako

.

Lebesgueova míra je definovaná na Lebesgueově sigma algebře, která je kolekcí všech množin E splňujících „Carathéodoryovo kritérium“. Toto kritérium požaduje, aby pro každé 

.

Pro libovolnou množinu v Lebesgueově sigma algebře se Lebesgueova míra rovná její Lebesgueově vnější míře .

Množiny, která nepatří do Lebesgueovy sigma algebry, nejsou Lebesgueovsky měřitelné. Takové množiny existují, tj. Lebesgueova sigma algebra je vlastní podmnožinou potenční množiny .

Intuice 
První část definice říká, že podmnožina  reálných čísel je omezena na svou vnější míru pokrytím množinami otevřených intervalů. Každá z těchto množin intervalů  pokrývá  v tom smyslu, že sjednocení intervalů obsahuje . Celková velikost libovolné množiny intervalů pokrytí může být klidně větší než míra , protože  je podmnožinou sjednocení intervalů, a intervaly tedy mohou obsahovat i body, které v  nejsou. Lebesgueova vnější míra je největší dolní závora (infimum) velikostí všech možných takových množin. Intuitivně je to celková velikost takové množiny intervalů, které se vejdou do  co nejtěsněji a nepřekrývají se.

Tím je definována Lebesgueova vnější míra. Zda je tato vnější míra také Lebesgueovou mírou množiny , závisí na další podmínce. Tato podmínka se ověřuje pomocí podmnožin reálných čísel , z nichž každá rozděluje množinu  na dvě části: první část patří do  i do  (tj. průnik  a ), druhá část patří do , ale nepatří do  (tj. množinový rozdíl  a ). Na tyto dvě části množiny  se aplikuje vnější míra. Pokud součet vnějších měr obou částí je roven vnější míře celé množiny , a toto platí pro všechny množiny , které jsou podmnožinou reálných čísel, pak Lebesgueova míra množiny  je rovna její vnější míře. Intuitivně to znamená, že množina  nesmí mít nějaké podivné vlastnosti, které způsobí rozdíl v míře jiné množiny, pokud je množina  použita jako „maska“, která „vyřezává“ z množin  části, pro které Lebesgueova vnější míra nevytváří Lebesgueovu míru. (Takové množiny nejsou Lebesgueovsky měřitelné.)

Příklady 
 Jakýkoli uzavřený interval ⟨a, b⟩ reálných čísel je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je délka b−a. Otevřený interval (a, b) má stejnou míru, protože rozdíl uzavřeného a otevřeného intervalu sestává pouze z koncových bodů a a b a má míru nula.
 Jakýkoli kartézský součin intervalů ⟨a, b⟩ a ⟨c, d⟩ je Lebesgueovsky měřitelný a jeho Lebesgueova míra je (b−a)(d−c), tj. plocha příslušného obdélníka.
 Jakákoli Borelovská množina je Lebesgueovsky měřitelná; existují však Lebesgueovsky měřitelné množiny, které nejsou Borelovské.
 Libovolná spočetná množina reálných čísel má Lebesgueovu míru 0.
 Speciálně Lebesgueova míra množiny racionálních čísel z libovolného intervalu je 0, i když množina racionálních čísel je v intervalu hustá.
 Cantorova množina je příkladem nespočetné množiny, která má Lebesgueovu míru nula.
 Pokud platí axiom determinovanosti, pak všechny množiny reálných čísel jsou Lebesgueovsky měřitelné. Avšak axiom determinovanosti je nekompatibilní s axiomem výběru.
 Vitaliho množiny jsou příkladem množin, které jsou neměřitelné pomocí Lebesgueovy míry. Jejich existence závisí na axiomu výběru.
 Osgoodovy křivky jsou jednoduché rovinné křivky s kladnou Lebesgueovou mírou (lze dokázat malou úpravou konstrukce Peanovy křívky). Dračí křivka je dalším neobvyklým příkladem.
 Libovolná přímka v  pro  má Lebesgueovu míru nula; obecně každá vlastní nadrovina má v obklopujícím prostoru Lebesgueovu míru nula.

Vlastnosti 

Lebesgueova míra na ℝn má následující vlastnosti:

 Jestliže A je kartézský součin intervalů I1 × I2 × ... × In, pak A je Lebesgueovsky měřitelná a , kde  označuje délku intervalu I.
 Jestliže A je disjunktní sjednocení spočetně mnoha disjunktních Lebesgueovsky měřitelných množin, pak A je také Lebesgueovsky měřitelná a λ(A) se rovná sumě měr příslušných množin.
 Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná, pak je měřitelný i její doplněk.
 Pro každou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A je λ(A) ≥ 0.
 Jestliže A a B jsou Lebesgueovsky měřitelné a A je podmnožinou B, pak λ(A) ≤ λ(B). (Důsledek bodů 2, 3 a 4.)
 Spočetná sjednocení a průniky Lebesgueovsky měřitelných množin jsou Lebesgueovsky měřitelné. (Toto není důsledek bodů 2 a 3, protože systém množin, který je uzavřený na doplňky a disjunktní spočetná sjednocení, nemusí být uzavřený na spočetná sjednocení: .)
 Jestliže A je otevřená nebo uzavřená podmnožina ℝn (nebo dokonce borelovská množina, viz metrický prostor), pak A je Lebesgueovsky měřitelná.
 Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina, pak je „skoro otevřená“ i „skoro uzavřená“ ve smyslu Lebesgueovy míry (viz věta o regularitě pro Lebesgueovu míru).
 Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její otevřenou nadmnožinu a uzavřenou podmnožinu. Tato vlastnost se používá jako alternativní definice Lebesgueovské měřitelnosti. Přesněji  je Lebesgueovsky měřitelná právě tehdy, když pro každé  existuje otevřená množina  a uzavřená množina  tak, že  a .
 Lebesgueovsky měřitelnou množinu lze „vmáčknout“ mezi nějakou její nadmnožinu Gδ a podmnožinu Fσ. Tj. pokud A je Lebesgueovsky měřitelná , pak existuje nějaká Gδ množina G a nějaká Fσ množina F taková, že G ⊇ A ⊇ F a λ(G \ A) = λ(A \ F) = 0.
 Lebesgueova míra, která je lokálně konečná a vnitřně regulární, je Radonova míra.
 Lebesgueova míra je striktně kladná na neprázdných otevřených množinách, takže její nosič je celé ℝn.
 Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná množina míry nula, pak každá podmnožina A je také množina míry nula. Tedy každá podmnožina množiny míry nula je měřitelná.
 Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a x je prvek ℝn, pak translace A by x, definovaný by A + x = {a + x : a ∈ A}, je také Lebesgueovsky měřitelná a má stejnou míru jako A.
 Jestliže A je Lebesgueovsky měřitelná a , pak dilation  o  definovaná vztahem  je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru 
 Obecněji, jestliže T je lineární transformace a A je měřitelná podmnožina ℝn, pak T(A) je také Lebesgueovsky měřitelná a má míru .

Všechny výše uvedené body lze stručně shrnout takto:

 Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí σ-algebru obsahující všechny součiny intervalů a λ je jednoznačná úplná translačně invariantní míra, na této σ-algebře taková, že 

Lebesgueova míra je také σ-konečná.

Množiny míry nula 
Libovolná podmnožina ℝn je množinou míry nula, jestliže pro každé ε > 0 může být pokryta spočetně mnoha součiny n intervalů, jejichž celkový objem je nejvýše ε. Všechny spočetné množiny jsou množinami míry nula.

Každá podmnožina ℝn s Hausdorffovou dimenzí menší než n má míru nula vzhledem k n-rozměrné Lebesgueově míře. Hausdorffova dimenze je relativní vůči Eukleidovské metrice na ℝn (nebo libovolné metrice s ní Lipschitzovsky ekvivalentní). Naopak množina, která má topologickou dimenzi menší než n, může mít kladnou n-rozměrnou Lebesgueovu míru. Příkladem je Smithova-Volterraova-Cantorova množina, která má topologickou dimenzi 0, ale má kladnou 1rozměrnou Lebesgueovu míru.

Pro důkaz, že daná množina A je Lebesgueovsky měřitelná, se obvykle snažíme nalézt „hezčí“ množinu B která se od A liší nejvýše o množinu míry nula (tj. symetrická diference (A − B) (B − A) je množina míry nula), a pak ukázat, že B lze generovat z otevřených nebo uzavřených množin pomocí spočetných sjednocení a průniků.

Konstrukce Lebesgueovy míry 
Moderní konstrukce Lebesgueovy míry je aplikací Carathéodoryovy věty o rozšíření:

Nechť  pevné. kostka v ℝn je množina tvaru

kde  a symbol součinu zde znamená kartézský součin. Objem této kostky je definovaný vztahem

Pro libovolnou podmnožinu A množiny ℝn, můžeme definovat její vnější míru λ*(A) takto:

Pak řekneme, že množina A je Lebesgueovsky měřitelná, jestliže pro každou podmnožinu S množiny ℝn,

Tyto Lebesgueovsky měřitelné množiny vytvářejí σ-algebru a Lebesgueova míra je definována vztahem  pro libovolnou Lebesgueovsky měřitelnou množinu A.

Existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, je důsledkem axiomu výběru, který je nezávislý na mnoha obvyklých systémech axiomů teorie množin. Vitaliho věta, která vyplývá z axiomu výběru, tvrdí, že existují podmnožiny ℝ, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné. S použitím axiomu výběru lze zkonstruovat různé neměřitelné množiny s mnoha překvapivými vlastnostmi, např. Banachův-Tarského paradox.

V roce 1970 ukázal Robert M. Solovay, že existence množin, které nejsou Lebesgueovsky měřitelné, není dokazatelná v rámci Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin bez použití axiomu výběru (viz Solovayův model).

Vztah k jiným mírám 
Borelovská míra souhlasí s Lebesgueovou mírou na těch množinách, pro které je definovaná; ale existuje mnohem více lebesgueovsky měřitelných množin než borelovsky měřitelných množin. Borelovská míra je translačně invariantní, ale není úplná.

Haarova míra může být definována na libovolné lokálně kompaktní grupě a je zobecněním Lebesgueovy míry (ℝn s přídavek je lokálně kompaktní grupa).

Hausdorffova míra je zobecněním Lebesgueovy míry na jest užitečný pro určení míry podmnožiny ℝn nižších dimenzí než n, jako podvariety, například povrchy nebo křivky v ℝ³ a fraktální množiny. Nezaměňujte Hausdorffovu míru s pojetím Hausdorffovy dimenze.

Lze ukázat, že neexistuje nekonečněrozměrná Lebesgueova míra.

Odkazy

Poznámky

Reference

Související články 
 Lebesgueova věta o hustotě
 Duffinova-Schaefferova domněnka
 Bardochův-Tarského paradox
 Neměřitelná množina
 Vitaliho množina

Míry (teorie míry)