Metoda neurčitých koeficientů
Metoda neurčitých koeficientů je v matematice přístup k hledání partikulárního řešení určitých nehomogenních obyčejných diferenciálních a diferenčních rovnic. Metoda je blízce příbuzná metodě anihilátorů, ale místo použití určitého druhu diferenciálního operátoru (anihilátoru) pro nalezení nejlepšího možného tvaru partikulárního řešení se provede „odhad“, vhodného tvaru řešení, který se pak upřesní a ověří derivováním výsledné rovnice. Pro složité rovnice je rychlejší použít metodu anihilátorů nebo variace parametrů.

Metoda neurčitých koeficientů není tak obecná jako metoda variace konstant, protože je použitelná pouze pro diferenciální rovnice, které mají určité tvary.

Popis metody 
Uvažujeme lineární nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici tvaru

Metoda spočívá v hledání obecného homogenního řešení  komplementární lineární homogenní diferenciální rovnice

a partikulárního integrálu  lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice s pravou stranou . Obecné řešení  lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice pak je

Pokud  vyjádříme jako součet dvou funkcí , pak říkáme, že  je řešení vycházející z  a  řešení vycházející z . Pak použitím principu superpozice můžeme říct, že partikulární integrál  je

Typické tvary partikulárního integrálu 
Pro nalezení partikulárního integrálu potřebujeme „uhodnout“ jeho tvar, přičemž některé koeficienty ponecháme proměnné, a jejich hodnoty zjistíme vyřešením rovnice. Tvarem je první derivace komplementární funkce. Následuje tabulka některých typických funkcí a odhadů tvaru jejich řešení.

kde 

Pokud se v homogenním řešení objeví nějaký člen z výše uvedeného partikulárního integrálu pro y, musíme jej vynásobit dostatečnou mocninou x, aby řešení nebyla závislá. Jestliže funkci proměnné x lze vyjádřit jako součet členů z výše uvedené tabulky, jako odhad partikulárního integrálu použijeme součet odpovídajících termů proměnné y.

Příklady 
Příklad 1

Hledáme partikulární integrál rovnice

Pravá strana t cos t má tvar

pro n=1, k1=1, α=0 a β=1.

Protože α + iβ = i je jednoduchý kořen charakteristické rovnice

budeme zkoušet partikulární integrál tvaru

Substitucí yp do diferenciální rovnice, dostaneme identitu

Porovnáním obou stran dostaneme soustavu

která má řešení  = 0,  = 1/4,  = 1/4,  = 0. Výsledný partikulární integrál je tedy

Příklad 2

Hledáme řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice

Nehomogenní část má tvar uvedený v prvním případě v předchozí kapitole pro a=1. Protože tato nehomogenní část () je lineárně závislá s obecným řešení homogenní části (), musíme uvedený odhad znásobit dostatečně velkou mocninou x, aby byl lineárně nezávislý.

Výsledný odhad je:

substitucí této funkce a její derivace do diferenciální rovnice můžeme zjistit řešení A:

Takže obecné řešení původní diferenciální rovnice je:

Příklad 3

Hledáme obecné řešení rovnice:

 je polynom 2. stupně, takže hledáme řešení jako obecný polynom druhého stupně:
, tedy

Dosazením tohoto partikulárního integrálu s konstantami A, B a C do původní rovnice dostaneme
,
odtud

tj.

Po dosazení vypočítaných konstant máme

Obecné řešení je

kde  je homogenní řešení .
Obecné řešení tedy je:

Reference 

 

 Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, 
 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 

Obyčejné diferenciální rovnice