Věta o obvodovém a středovém úhlu
Věta o obvodovém a středovém úhlu je matematická věta popisující vztah mezi obvodovým a středovým úhlem příslušných jednomu oblouku kružnice.

Znění 

Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného témuž oblouku.

Důkaz 
Pro důkaz věty o obvodovém a středovém úhlu se popisují tři případy polohy ostrého obvodového úhlu vůči středu kružnice:

1. Střed kružnice ležící na rameni obvodového úhlu 

Bod O (střed kružnice k) leží na jednom rameni ostrého obvodového úhlu AVB. Body A, V a B leží na kružnici k, přičemž bod V je vrcholem daného obvodového úhlu a body A a B prochází ramena tohoto úhlu. Trojúhelník VAO je rovnoramenný, protože délky úseček OV a OA (poloměry kružnice) jsou shodné. Z toho vyplývá, že úhly AVO a VAO jsou velikostně také shodné. K velikosti úhlu VOA lze dojít dvěma způsoby:

a) dopočtením vnitřního úhlu trojúhelníku VAO pomocí velikosti obvodového úhlu ψ:

b) odečtením úhlu θ od přímého úhlu VOB, kdy θ je středový úhel příslušný menšímu oblouku AB:

Z čehož vyplývá:

.

2. Střed kružnice ležící uvnitř obvodového úhlu 

Jestliže je bod O vnitřním bodem obvodového úhlu CVD, pak polopřímka VO protíná menší oblouk CD v bodě E a dělí jej na dva oblouky CE a DE. Oblouku DE přísluší obvodový úhel DVE a středový úhel DOE. Podle prvního důkazu je velikost úhlu DOE dvojnásbná velikosti úhlu DVE. Stejně tak lze první důkaz aplikovat pro úhly CVE a COE. Výslednými vztahy jsou rovnice:

a
,
kde ψ1 a ψ2 jsou obvodové úhly a θ1 a θ2 jsou úhly středové.
Sečtením obou rovnic vznikne:

Součet obvodových úhlů ψ1 a ψ2 je roven ψ0 a součet středových úhlů θ1 a θ2 je roven θ0,
z čehož plyne:
.

3. Střed kružnice ležící vně obvodového úhlu 

Jestliže bod O nenáleží obvodovému úhlu DVC, pak polopřímka VO protíná kružnici k v bodě E. K menšímu oblouku ED přísluší obvodový úhel EVD a středový úhel EOD; přitom bod O leží na jednom rameni obvodového úhlu. Podle prvního důkazu je středový úhel EOD opět dvakrát větší než obvodový úhel EVD. Stejně tak je i velikost úhlu EOC dvakrát větší než EVC. Výslednými vztahy jsou rovnice:

a
,
kde ψ1 a ψ2 jsou obvodové úhly a θ1 a θ2 jsou úhly středové.
Odečtením těchto rovnic vychází:

Rozdíl obvodových úhlů ψ2 a ψ1 je roven ψ0 a rozdíl středových úhlů θ2 a θ1 je roven θ0, z čehož vyplývá:
.

Větší oblouk a půlkružnice 
Pro větší oblouk a půlkružnici je důkaz jednodušší, nastane totiž pouze případ 2.

Důsledky věty 

Z věty o obvodovém a středovém úhlu vyplývají tyto důsledky:
 Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné
 Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý
 Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý
 Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý - tato věta byla dokázána již Thalétem z Milétu, a je po něm také pojmenována Thaletova věta
 Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB (menšímu a většímu) je úhel přímý

Reference

Literatura

Související články 
 Thaletova věta
 Středový úhel
 Planimetrie

Matematické věty a důkazy