P-adické číslo
P-adická čísla (značená Qp) jsou číselná struktura používaná v matematice, zejména v teorii čísel. Jsou definována pro libovolné prvočíslo p. přičemž pro různá p se jedná o různé struktury, které rozšířují racionální čísla jiným způsobem než klasická čísla reálná a komplexní. Písmeno p v názvu je tedy proměnná, do které můžeme dosazovat různé konstanty a tak získáme 2-adická čísla, 3-adická čísla, 5-adická čísla atp.

Základem formálního zavedení p-adických čísel je alternativní pohled na funkci absolutní hodnoty. Ta je obvyklou metrikou, chceme-li uvažovat těleso racionálních čísel jako metrický prostor. Zavedení jiné metriky nám dává možnost zkonstruovat jiné zúplnění prostoru racionálních čísel. Vznikne nám tak alternativní topologický prostor k reálným číslům, v kterém je pro každou Cauchyovskou posloupnost obsažena i její limita. Tím je dána i možnost vybudovat alternativní kalkulus, totiž p-adickou analýzu.

Poprvé p-adická čísla popsal Kurt Hensel v roce 1897, přičemž motivací jejich zavedení byla snaha přenést do teorie čísel metody a myšlenky známé z práce s mocninnými řadami. Vliv p-adických čísel od té doby zasáhl mnohé oblasti matematiky, přičemž stále platí, že jejich hlavní význam tkví v propojování algebry s analýzou.

Neformální zavedení 
Předpokládejme p prvočíslo. Jakékoliv celé číslo n můžeme vyjádřit v soustavě o základu p, tedy získat „číslice“  takové, že

Tedy například 13 je v dvojkové soustavě , v trojkové soustavě je .

Na základě takového zápisu můžeme pomocí celých čísel definovat čísla racionální (a posléze reálná), totiž když povolíme nekonečně číslic za řádovou čárkou a tedy nekonečné součty

Operace s nekonečnými součty předpokládá možnost definovat limity, jejichž definice je závislá na metrice. Můžeme pak například 1/3 zapsat v pětkové soustavě jako limitu posloupnosti . Naopak celým číslům v těchto vyjádřeních odpovídají právě ta čísla, která mají za řádovou čárkou jenom nuly, neboli 

V případě p-adických čísel naopak povolíme nekonečné součty v podobě:

kde k je nějaké celé číslo, které nemusí být kladné. Lze dodefinovat rovnost těchto součtů tak, že vytvoříme těleso. Podobně jako předtím lze mluvit o celých číslech — p-adická celá čísla jsou právě ta, která mají pro záporná i nulové koeficienty . Podokruh p-adických celých čísel bývá značen Zp (tedy stejně, jako bývají často značena konečná prvotělesa v modulární aritmetice, což je ovšem zcela odlišná záležitost!)

Zatímco u reálných čísel může být nekonečný jejich rozvoj doprava, „za řádovou čárkou“, u p-adických čísel může být nekonečný rozvoj doleva. Například 1/3 má v p-adické soustavě o základu 5 nekonečný rozvoj …1313132. Vynásobením (s ohledem na povahu zápisu v řádu 5) tohoto nekonečného součinu totiž získáváme …0000001. Zajímavé také je, že toto číslo neobsahuje žádné číslice za řádovou čárkou, jedná se tedy o 5-adické celé číslo.

Formální konstrukce 
P-adická čísla je možné formálně zkonstruovat více způsoby. Následující postup je bližší analýze.

Reálná čísla je možné definovat jako třídy ekvivalence Cauchyovských posloupností racionálních čísel; tím je také dána možnost zapisovat 1 jako 1,0000… nebo 0,999… Definice Cauchyovských posloupností je možná jen v metrickém prostoru a je závislá na definované metrice. Změníme-li tedy definici metriky, můžeme získat analogickou konstrukcí něco jiného než obvyklá reálná čísla.

Metrika, pomocí které jsou konstruována reálná čísla, je takzvaná eukleidovská metrika, která má v jednorozměrném prostoru racionálních čísel podobu známé školské absolutní hodnoty.

Pro dané prvočíslo p budeme definovat p-adickou absolutní hodnotu na racionálních číslech takto:
Pro každé nenulové racionální číslo x existuje jednoznačně dané celé číslo n, pro které můžeme zapsat
,
kde ani jedno z celých čísel a a b není dělitelné p. Pokud není čitatel ani jmenovatel x dělitelný p, pak je n rovno 0. Nyní můžeme definovat p--adickou absolutní hodnotu:
 a 

Například pro  máme

 pro všechna jiná prvočísla p

Podle Ostrowského věty platí, že každá zobecněná absolutní hodnota na racionálních číslech odpovídá buď eukleidovské absolutní hodnotě, triviální absolutní hodnotě, nebo padické absolutní hodnotě pro nějaké p. Tím je dáno, že z hlediska normy konstrukcí p-adických těles vyčerpáváme všechna možná další rozšíření racionálních čísel.

Na základě p-adické absolutní hodnoty lze definovat metriku

Těleso p-adických čísel Qp je pak možné definovat jako zúplnění metrického prostoru (Q,dp), jeho prvky jsou třídy cauchyovských posloupností, kde dvě posloupnosti jsou ekvivalentní, právě když jejich rozdíl konverguje k nule. Tímto způsobem vznikne úplný metrický prostor, který je zároveň tělesem a obsahuje racionální čísla.

Dá se ukázat, že každý z prvků vzniklého tělesa lze jednoznačným způsobem zapsat ve tvaru
,
kde k je nějaké celé číslo a každé z čísel ai je z množiny {0, …, p - 1}. Tato posloupnost konverguje v metrice dp.

Vzniklé těleso je lokální těleso.

Vlastnosti 
Okruh p-adických čísel je inverzní limitou konečných okruhů Z/pkZ, ovšem má nespočetně prvků a má mohutnost kontinua. Stejně tak je nespočetné těleso Qp. Okruh endomorfismů Prüferovy p-grupy hodnosti n, značený Z(p∞)n, odpovídá maticovému okruhu matic řádu n nad p-adickými celými čísly a občas bývá nazýván Tateův modul.

Těleso p-adických čísel obsahuje čísla racionální a je charakteristiky 0. Není možné z něj vytvořit uspořádané těleso.

Definujme topologii τ na Zp tak, že za její bázi určíme všechny množiny tvaru Ua(n) = {n + λ pa, kde λ náleží do Zp a a do N}.
Pak Zp je zkompaktněním Z vzhledem k odvozené topologii. Relativní topologie na Z coby podmnožině Zp se nazývá p-adickou topologií na Z.
 
Na rozdíl od reálných čísel, které mají jediné vlastní algebraické rozšíření, totiž komplexní čísla, která jsou již algebraicky uzavřená, je algebraický uzávěr p-adických čísel nekonečného stupně, navíc Qp má nekonečně mnoho navzájem neekvivalentních algebraických rozšíření. Další odlišnost je v tom, že algebraický uzávěr Qp není úplný. Jeho metrické zúplnění se označuje Cp a je algebraicky uzavřené.

Těleso Cp je izomorfní tělesu komplexních čísel, můžeme se na něj tedy dívat jako na komplexní čísla doplněná o nezvyklou metriku. Existence zmíněného izomorfismu byla dokázaná nekonstruktivně a důkaz počítá s platností axiomu výběru; součástí důkazu tedy není nalezení příkladu řečeného izomorfismu.

Těleso p-adických čísel obsahuje n-té cyklotomické těleso tehdy a jen tehdy, když n dělí p–1. Například n-té cyklotomické těleso je podtělesem Q13 tehdy a jen tehdy, když n= 1, 2, 3, 4, 6 nebo 12.

Na rozdíl od tělesa reálných čísel jsou nad p-adickými čísly nekonstantní funkce, jejichž derivací je nulová funkce, například:

f: Qp → Qp, f(x) = (1/|x|p)2 pro x ≠ 0, f(0) = 0,

Těleso Qp je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor.

Odkazy

Reference

Externí odkazy 
 
 p-adická čísla na stránkách Matematického korespondenčního semináře

Teorie těles
Teorie čísel