Fourierova řada
Fourierova řada slouží k aproximaci periodické funkce řadou harmonických funkcí sinus a kosinus. Základní myšlenka zápisu funkce ve formě uvedené řady spočívá v tzv. ortogonálním rozkladu funkce v lineárním prostoru funkcí po částech spojitých na intervalu  spolu s definovaným skalárním součinem:

,

tvořících tzv. Hilbertův prostor, kde  je doba periody průběhu funkce.

Fourierova řada je pojmenována po francouzském fyzikovi a matematikovi Josephu Fourierovi.

Ortogonální rozklad funkce 
Mějme lineární podprostor  dimenze  Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi :

pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí  a  platí:

 kde 

a

 kde  jsou souřadnice  vzhledem k ,

pak můžeme aproximovat funkci  následující řadou:

 kde

Fourierova řada v goniometrickém tvaru 
Množina  tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci  můžeme aproximovat pomocí následující  goniometrické řady:

kde

pro .

Koeficient  nemá smysl uvažovat, neboť .

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí  a její Fourierovou řadou rovnítko. Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce  ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce  aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Příklad 

Mějme exponenciálu zúženě definovanou na intervalu  a vytvořme z ní sudou a lichou periodickou funkci s periodou  na intervalu  a úhlovou frekvencí , pak můžeme uvedenou sudou a lichou funkci aproximovat následujícími řadami:

sudá funkce:

kde 

lichá funkce:

kde 

Poznamenejme, že Fourierova řada sudé resp. liché funkce obsahuje pouze členy s funkcí cosinus resp. sinus.

Fourierova řada v exponenciálním tvaru 
Z následujících vztahů:

a

dostaneme:

,

takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce  pomocí následující exponenciální řady:

 kde  je střední hodnota funkce .

Parsevalova rovnost 
Nechť 

.

Pak platí následující Parsevalova rovnost, vyjadřující, že efektivní hodnota aproximované funkce (střední hodnota jejího čtverce) je rovna sumě kvadrátů koeficientů aproximující Fourierovy řady:

.

Jméno tomuto tvrzení dal francouzský matematik Marc-Antoine Parseval. Pokud levou stranu rovnice interpretujeme jako čtverec normy funkce , lze Parsevalovu rovnost číst jako zobecnění Pythagorovy věty na nekonečněrozměrný prostor funkcí.

Fourierova transformace 
Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě:

lze zavést užitím limitních přechodů spojitou Fourierovu transformaci:

a naopak inverzní spojitou Fourierovu transformaci:

Odkazy

Literatura

Související články 
 Fourierova transformace
 Rychlá Fourierova transformace

Externí odkazy 
 
 Fourier Series 3D - interaktivní demonstrace principu Fourierových řad HTML5 a JavaScript: Unikátní interaktivní 3D zobrazení propojující časovou, frekvenční, amplitudovou a fázovou osu.

Matematická analýza