Charakteristická rovnice
Charakteristická rovnice (nebo pomocná rovnice) je v matematice algebraická rovnice n-tého stupně, na které závisí řešení diferenciální rovnice n-tého řádu. Charakteristickou rovnici lze použít pro řešení lineárních, homogenních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, které lze obecně zapsat

kde  je závislá proměnná a  jsou konstanty. Tato diferenciální rovnice má charakteristickou rovnici tvaru

Z kořenů  charakteristické rovnice můžeme zkonstruovat obecné řešení diferenciální rovnice. Tuto metodu řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty objevil Leonhard Euler, který našel vztah mezi uvedenými rovnicemi. Vlastnosti Eulerovy charakteristické rovnice později podrobněji studovali francouzští matematici Augustin Louis Cauchy a Gaspard Monge.

Derivace 
Hledáme-li řešení lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty ,

vidíme, že pokud by se řešení rovnalo , každý sčítanec v rovnici bude konstantním násobkem . To pramení z faktu, že derivace exponenciální funkce  je násobkem původní funkce, čili ,  a  jsou všechno násobky . To naznačuje, že určité hodnoty  dovolují, aby součet násobků  dával nulu, a řešil homogenní diferenciální rovnici. Abychom zjistili hodnotu , dosadíme funkci  a její derivace do diferenciální rovnice za  a jeho derivace, čímž dostaneme

Protože  není nikdy rovno nule, můžeme jím rovnici vydělit, čímž dostaneme charakteristickou rovnici

Když nalezneme kořeny  této charakteristické rovnice, můžeme z nich sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Například jestliže se jeden kořen rovná 3, pak obecné řešení bude , kde  je konstanta.

Sestrojení obecného řešení 

Naleznutí kořenů  charakteristické rovnice, nám umožňuje sestrojit obecné řešení diferenciální rovnice. Kořeny mohou být reálné i komplexní a jednoduché nebo vícenásobné. Jestliže charakteristická rovnice má složky s jednoduchými reálnými kořeny,  násobnými kořeny a  komplexními kořeny po řadě odpovídajícími obecným řešením ,  a , pak obecné řešení diferenciální rovnice je

Jednoduché reálné kořeny 
Princip superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty říká, že jestliže  jsou  lineárně nezávislé řešení určité diferenciální rovnice, pak jejich každá lineární kombinace  je také řešením rovnice pro libovolné hodnoty . Proto pokud má charakteristická rovnice jednoduché reálné kořeny , její obecné řešení bude mít tvar

Vícenásobné reálné kořeny 
Jestliže charakteristická rovnice má  násobný kořen , pak je zřejmé, že  je alespoň jedno její řešení. Ale toto řešení není lineárně nezávislé s dalšími  kořeny. Protože  má násobnost , diferenciální rovnici můžeme faktorizovat na

Skutečnost, že  je jedno řešení, nám umožňuje předpokládat, že obecné řešení má tvar , kde  je funkce, kterou je třeba nalézt. Substituce  dává

pro .  násobným použitím této skutečnosti dostáváme

což po vydělení  dává

To platí právě tehdy, když  je polynom stupně , neboli . Protože , část obecného řešení odpovídající  je

Komplexní kořeny 
Pokud má charakteristická rovnice komplexní kořeny ve tvaru  a , pak obecné řešení je . Použitím Eulerova vzorce  můžeme toto řešení upravit:

kde  a  jsou libovolné (i komplexní) konstanty.

Pokud použijeme konstanty , pak dostaneme partikulární řešení .

Pokud použijeme konstanty  a , pak dostaneme lineárně nezávislé řešení . Díky principu superpozice pro lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, můžeme příspěvek k obecnému řešení diferenciální rovnice pro dvojici komplexně sdružených kořenů  vyjádřit vzorcem .

Reference 

Obyčejné diferenciální rovnice