Hellyho věta
Hellyho věta je základní výsledek kombinatorické geometrie. Popisuje způsob, jak se konvexní množiny protínají a jaké podmínky musí systém konvexních množin splňovat, abychom mohli zaručit, že existuje bod, který je obsažen v každé množině ze systému. Poprvé byla objevena Eduardem Hellym v roce 1913.

Znění věty 
 Nechť  je konečný systém alespoň  konvexních množin v . Pokud každých  množin z  má neprázdný průnik, potom celá  má neprázdný průnik.

 Symbolicky zapsáno:

Důkaz 
Označíme  a zafixujeme .
Důkaz provedeme matematickou indukcí podle  a použijeme Radonovo lemma.
 Věta platí triviálně.
 Definuji .
Podle indukčního předpokladu věta platí pro , tedy body  jsou dobře definované.
Potom podle Radonova lemmatu lze tyto body rozdělit do množin  tak, že .
Definuji  a tvrdím, že :
Dokážu, že . Nechť  libovolně. Potom platí buď  nebo . Bez újmy na obecnosti nechť . Potom každý bod z  leží v , protože v  leží každý bod z  kromě . Když tam leží každý bod z , určitě tam leží i jejich konvexní obal, protože  je konvexní. Takže  a z definice  platí . Tedy .

Nekonečná verze 
Věta neplatí, pokud  je nekonečná. Protipříklad v  by byl například :  tvoří konvexní otevřené množiny, kde každé dvě mají neprázdný průnik, ale pro každý bod  bude existovat .

Platí ovšem podobná věta, když budeme vyžadovat kompaktnost množin:

 Nechť  je libovolný systém alespoň  kompaktních konvexních množin v . Pokud každých  množin z  má neprázdný průnik, potom celá  má neprázdný průnik.

Toto tvrzení lehce vyplývá z konečné verze. Podle ní každá konečná podmnožina  má neprázdný průnik. Je základní vlastností kompaktních množin, že pokud každá její konečná podmnožina má neprázdný průnik, celá množina má neprázdný průnik (princip kompaktnosti).

Literatura 
 .

Matematické věty a důkazy