Faktorokruh
Faktorokruh je pojem z oboru matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh zkonstruovaný určitým způsobem z jiného okruhu a jeho ideálu.

Jedná se o postup podobný konstrukci faktorové grupy v teorii grup (obojí je totiž speciálním případem faktoralgebry), naopak koncept konstrukce podílového tělesa pro obor integrity je navzdory podobnému názvu odlišnou záležitostí. Konstrukce podílového tělesa k danému oboru integrity řeší neexistenci inverzních prvků vzhledem k násobení (například lze takto konstruovat těleso racionálních čísel z oboru integrity celých čísel), zatímco konstrukce faktorokruhu je využívána například při konstrukci kořenových nadtěles pro konkrétní ireducibilní polynom (například konstrukci nadtělesa komplexních čísel k tělesu reálných čísel).

Vytvoření faktorokruhu 
Nechť je dán okruh  a ideál  tohoto okruhu. Pak je možné na  definovat relaci  následovně:
 tehdy a jen tehdy když 
Poměrně přímočaře lze dokázat, že tato relace je nejen ekvivalencí, ale dokonce i kongruencí – s třídami této ekvivalence je tedy možné počítat jako s prvky okruhu. Třída obsahující prvek  bývá značena . Třídy ekvivalence spolu s operacemi:
 
 
tvoří okruh, ten se nazývá faktorovým okruhem neboli faktorokruhem  modulo  a obvykle se značí . Z původního okruhu  existuje vždy zobrazení na okruh  definované předpisem . Jedná se o okruhový homomorfismus, říká se mu přirozený homomorfismus a je surjektivní. Jeho jádrem je právě ideál .

Vlastnosti 
 Je-li  komutativní okruh, je i  komutativní.
 Je-li  komutativní okruh a  je maximální ideál, pak je  tělesem.
 Je-li  komutativní okruh a  je prvoideálem, pak je  oborem integrity.
 Ideály faktorokruhu  odpovídají ideálům okruhu  obsahujícím

Příklady 
 Faktorokruh z nevlastních ideálů:  je isomorfní samotnému , zatímco  je isomorfní nulovému okruhu.
 V okruhu celých čísel  je podmnožina sudých čísel ideálem, který můžeme značit . Faktorokruh  má jen dva prvky,  (na který přirozený homomorfismus zobrazuje sudá čísla) a  (na který přirozený homomorfismus zobrazuje lichá čísla). Lze snadno ověřit, že tento okruh je konečným tělesem, konkrétně je izomorfní dvouprvkovému tělesu .
 Obecně platí, že prvotělesa konečných těles, tedy tělesa známé z modulární aritmetiky a někdy značená , jsou vlastně faktorokruhy 
 Pro okruh mnohočlenů , tedy okruh mnohočlenů s koeficienty z reálných čísel, a k němu ideál , tedy ideál tvořený násobky mnohočlenu , je vzniklý faktorový okruh izomorfní tělesu komplexních čísel.
 Předchozí případ lze zobecnit: Faktorokruhy lze používat k vytvoření tělesových rozšíření, přesněji k vytvoření kořenových nadtěles vzhledem k danému tělesu a mnohočlenu, který je v něm ireducibilní.
 Speciálním případem konstrukce nadtěles jako faktorokruhů je konstrukce konečných těles: Konečné těleso  lze zkonstruovat jako faktorokruh , kde  je mnohočlen stupně , který je nad  ireducibilní.

Teorie okruhů