Peanova existenční věta
Peanova existenční věta, Peanova věta nebo Cauchyho-Peanova věta je stěžejní matematická věta, která při řešení obyčejných diferenciálních rovnic zaručuje existenci řešení určitých počátečních úloh. Je pojmenovaná po Giuseppe Peanovi a Augustinu Louisovi Cauchym.

Historie 
Peano publikoval tuto větu poprvé v roce 1886 s nesprávným důkazem. V roce 1890 publikoval její správný důkaz pomocí metody postupných aproximací.

Věta 
Nechť D je otevřená podmnožina R × R,

je spojitá funkce a

je spojitá explicitní obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu definovaná na D.

Pak každá počáteční úloha

pro f s 
má lokální řešení

kde  je okolí bodu  v ,
takové, že  pro všechna .

Všimněte si, že řešení nemusí být jednoznačné: jedna a tatáž počáteční hodnota (x0,y0) může vést k mnoha různým řešením z.

Příbuzné věty 
Peanovu věta můžeme porovnávat s jinou existenční větou ve stejném kontextu, s větou Picardovou–Lindelöfovou. Picardova–Lindelöfova věta má silnější předpoklády, ale i silnější tvrzení; vyžaduje Lipschitzovskou spojitost, zatímco Peanova věta vyžaduje pouze obyčejnou spojitost. Picardova–Lindelöfova věta ale zaručuje jak existenci tak jednoznačnost řešení, zatímco Peanova věta zaručuje pouze existenci řešení. Pro ilustraci uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici

 na intervalu 

Podle Peanovy věty má tato rovnice řešení, ale Picardovu-Lindelöfovu větu nelze použít, protože pravá strana rovnice není Lipschitzovsky spojitá v žádném okolí obsahujícím 0. Z toho můžeme vyvodit existenci řešení, ale ne jeho jednoznačnost. Ukazuje se, že tato obyčejná diferenciální rovnice má pro počáteční podmínku  dva typy řešení: buď  nebo . Přechod mezi  a  může nastat v libovolném C.

Carathéodoryho existenční věta je zobecněním Peanovy existenční věty se slabší podmínkou než je spojitost.

Poznámky

Reference 

 G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 437–445.
 G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
 W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
 
 
 Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Původní vydání publikoval New York University Press, 1954

Související články 
 Absolutně spojitá funkce
 Obyčejná diferenciální rovnice
 Cauchyho úloha
 Spojitá funkce
 Měřitelná funkce
 Carathéodoryho existenční věta
 Picardova–Lindelöfova věta

Obyčejné diferenciální rovnice
Augustin Louis Cauchy