Variace konstant
Metoda variace konstant nebo variace parametrů je v matematice obecná metoda řešení nehomogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic.

U rovnic prvního řádu je obvykle snazší hledat řešení metodou integračních faktorů nebo neurčitých koeficientů. Tyto metody však využívají heuristiky, které zahrnují hádání, a nefungují pro všechny nehomogenní lineární diferenciální rovnice.

Metodu variace konstant lze použít i pro lineární parciální diferenciální rovnice, konkrétně pro nehomogenní problémy u rovnic s lineárním rozvojem, jako je rovnice vedení tepla, vlnová rovnice a rovnice kmitající desky. V těchto případech je metoda známější pod názvem Duhamelův princip, podle Jean-Marie Duhamela, který ji poprvé použil na řešení nehomogenní rovnice vedení tepla. Někdy je přímo variace parametrů nazývána Duhamelův princip a naopak.

Historie 
Metodu variace konstant poprvé použil švýcarský matematik Leonhard Euler (1707–1783) a rozpracoval italsko-francouzský matematik Joseph Louis Lagrange (1736–1813). Předchůdce metody variace dráhových parametrů nebeských těles se objevil v Eulerově práci v roce 1748, kdy studoval vzájemné poruchy pohybu Jupitera a Saturna. Při studiu pohybu Země v roce 1749 získal Euler diferenciální rovnice pro dráhové parametry a v roce 1753 aplikoval tuto metodu na své studium pohybu Měsíce. Lagrange první použil tuto metodu v roce 1766. V letech 1778–1783 Lagrange metodu dále rozvinul jak v řadě monografií o poruchách pohybu planet, tak v další řadě prací o určování drah komet ze tří pozorování. (Je třeba zmínit, že Euler a Lagrange aplikovali tuto metodu na nelineární diferenciální rovnice, a že místo variací koeficientů v lineární kombinaci řešení homogenní rovnice aplikovali variace na konstanty v rovnicích nerušených pohybů nebeských těles). Během let 1808–1810 dal Lagrange metodě variace parametrů její konečnou podobu v řadě prací. Hlavním výsledkem jeho studia byl systém planetárních rovnic v Lagrangeově tvaru, který popisuje rozvoj Keplerovských dráhových parametrů pohybu tělesa rušeného dalšími tělesy.

Ve svém popisu rozvojů drah Lagrange vycházel ze zjednodušeného problému dvou těles pro získání nerušeného řešení a předpokládal, že všechny poruchy pocházejí z gravitačního působení ostatních těles na obíhající těleso. Následkem toho jeho metoda předpokládá, že poruchy závisí pouze na poloze obíhajícího tělesa, ne na jeho rychlosti. Od 20. století se v nebeské mechanice uvažují interakce, které závisí nejen na polohách ale i rychlostech (relativistické korekce, odpor atmosféry, inerciální síly). Proto byla metoda variace parametrů používaná Lagrangem rozšířena na situace se silami závislými na rychlosti.

Popis metody 
Je-li dána obyčejná nehomogenní lineární diferenciální rovnice řádu n

nechť  je fundamentální systém řešení odpovídající homogenní rovnici

Pak určité řešení nehomogenní rovnice je

kde  jsou derivovatelné funkce, tj. předpokládá se, že vyhovují podmínce

začínáme s (iii), opakovaná diferenciace kombinovaná s opakovaným použitím (iv) dává
 

Poslední diferenciace dává

Substitucí (iii) do (i) a použitím (v) a (vi) dostáváme, že
 

Lineární systém (iv a vii) n-té rovnice pak lze vyřešit pomocí Cramerova pravidla, což dává

kde  je Wronskián fundamentálního systému a  je Wronskián fundamentálního systému s i-tým sloupcem nahrazeným 

Určité řešení nehomogenní rovnice lze pak psát jako

Příklady

Zvláštní rovnice druhého řádu 
Máme řešit rovnici
 

nejdříve najdeme obecné řešení diferenciální rovnice, to jest řešení homogenní diferenciální rovnice
 
určíme kořeny charakteristické rovnice
 
 
protože řešením je vícenásobný kořen, musíme zavést faktor x pro jedno řešení pro zajištění lineární nezávislosti.

Tak získáme u1 = e−2x a u2 = xe−2x. Wronskián těchto dvou funkcí je
 

Protože Wronskián je nenulový, funkce jsou lineárně nezávislé, takže jsme získali přímo obecné řešení homogenní diferenciální rovnice (nejen jeho podmnožinu).

Hledáme funkce A(x) a B(x), tak že A(x)u1 + B(x)u2 je obecné řešení nehomogenní rovnice. Potřebujeme pouze vypočítat integrály

to jest,

kde  a  jsou integrační konstanty.

Obecné rovnice druhého řádu 
Máme diferenciální rovnici tvaru

a definujeme lineární operátor

kde D reprezentuje diferenciální operátor. Proto máme jak řešit rovnice  pro , kde  a  jsou známé.

Musíme vyřešit první odpovídajícím homogenní rovnici:

libovolnou technikou, kterou si vybereme. Jakmile budeme mít dvě lineárně nezávislá řešení této homogenní diferenciální rovnice (protože se jedná o rovnici druhého řádu) — označíme je u1 a u2 — můžeme využít metodu variace konstant.

Od tohoto okamžiku tedy hledáme obecné řešení diferenciální rovnice , o němž předpokládáme, že je tvaru

kde  a  jsou neznámé funkce a  a  jsou řešení na homogenní rovnice. Všimněte si, že jestliže  a  jsou konstantní, pak . Požadujeme, aby A=A(x) a B=B(x) byla tvaru

Nyní,

a díky platnosti výše uvedené podmínky dostáváme

Dalším derivováním (mezikroky nejsou uvedeny)

Nyní můžeme zapsat použití L na uG jako

Protože u1 a u2 jsou řešení, pak

dostáváme systém rovnic

roznásobením dostaneme

Takže výše uvedený systém určuje právě podmínku

Hledáme A(x) a B(x) z této podmínky, tak, daný

můžeme řešit pro (A′(x), B′(x))T, tak

kde W označuje Wronskián u1 a u2. (Z předpokladu, že u1 a u2 jsou lineárně nezávislé, víme, že W je nenulový.)

Tedy

Zatímco homogenní rovnice lze řešit relativně snadno, tato metoda umožňuje výpočet koeficientů obecného řešení nehomogenní rovnice a tedy umožňuje zjistit úplné obecné řešení nehomogenní rovnice.

Všimněte si, že  a  jsou vesměs určeny až na aditivní konstantu (integrační konstanta); očekávali bychom dvě integrační konstanty, protože původní rovnice byla druhého řádu. Přidáním konstanty k  nebo  se hodnota  nezmění, protože  je lineární.

Reference 

 
 , stránky 186-192, 237-241

Externí odkazy 
 Paul Dawkins Lamar University: Online poznámky a důkaz.
 Stránka PlanetMath .
 Motivace metody nebeskou mechanikou, (původní URL)

Obyčejné diferenciální rovnice