Jacobiho matice a determinant
Jacobiho matice je matice parciálních derivací vektorové funkce. Pokud je tato matice čtvercová, nazýváme její determinant Jacobiho determinant (také jacobián). Tento determinant je rozsáhle využíván ve výpočtech vícerozměrných integrálů.

Oba pojmy získaly své jméno od slavného matematika Carla Gustava Jacoba Jacobiho.

Definice 

Nechť

, Jacobiho maticí  nazveme matici  následujícího tvaru:

.

Pokud , je Jacobiho matice čtvercová a její determinant se nazývá Jacobiho determinant funkce

.

Vlastnosti 
Pokud je funkce

v bodě
 diferencovatelná, pak Jacobiho matice definuje lineární zobrazení , které je nejlepší lineární aproximací funkce  v blízkosti bodu . Toto lineární zobrazení je zobecnění derivace a nazývá se derivace nebo diferenciál funkce  v bodě .

Jacobiho matice je zobecnění gradientu (a pro  je rovna gradientu). Jacobiho matice vlastně vyjadřuje míru změny v daném místě.

Důležité informace o chování funkce nese také Jacobiho determinant. Konkrétně, funkce  má v okolí bodu  diferencovatelnou inverzní funkci právě tehdy, pokud je Jacobiho determinant v bodě  nenulový. S tímto také souvisí dosud nedokázaná Jacobiho domněnka.

Aplikace 
Jacobiho matice se používá k lineárním aproximacím. Její vlastní čísla a vlastní vektory také určují chování určitých dynamických systémů.

Jacobián je užitečný při substituci ve výpočtech vícerozměrných integrálů.

Příklady

Příklad 1 
Mějme funkci  určenou vztahem
 .
Potom platí
 
a
 .
Jacobiho matice je tedy
 
a Jacobiho determinant se rovná

Příklad 2 
Pokusme se nyní vypočítat Jacobián polárních souřadnic. Ty jsou zavedené následujícími vztahy:

, kde  a .

Platí tedy:

.

Odkazy

Reference

Literatura 
 Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. .

Integrální počet
Matice