Fundamentální systém
Fundamentální systém soustavy homogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic se v matematické analýze nazývá každá báze vektorového prostoru složená z řešení této soustavy.

Fundamentálním systémem soustavy homogenních diferenciálních rovnic nazveme každou množinu vektorových funkcí  takovou, že

je množina všech řešení této soustavy.

Znalost fundamentálního systému je předpokladem pro použití metody variace konstant k získání partikuláního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu i nehomogenních lineárních diferenciálních rovnic vyšších řádů.

Fundamentální systém, (Hlavní) fundamentální matice a Wronskián

Homogenní lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řádu 

Uvažujme lineární homogenní soustavu diferenciálních rovnic prvního řádu

na nějakém intervalu , kde  je maticové zobrazení. Hledáme řešení této soustavy diferenciálních rovnic v prostoru  spojitě diferencovatelných funkcí .

Jestliže máme dvě různá řešení této diferenciální rovnice, pak jejich součet a násobek s reálnou konstantou jsou také řešením této rovnice. Prostor řešení je tedy vlastním podprostorem prostoru všech spojitě diferencovatelných funkcí.

Jestliže matice koeficientů  je spojitá maticová funkce, pak lze na ni použít Picardovu-Lindelöfovu větu o existenci a jednoznačnosti. Pak každé řešení diferenciální rovnice je jednoznačně určeno hodnotou  v počátečních podmínkách a naopak každá počáteční hodnota  této soustavy diferenciálních rovnic určuje jednoznačně řešení. Z toho plyne, že prostor řešení je n-dimenzionální.

Definice 

Každá báze tohoto n-dimenzionálního prostoru řešení se nazývá fundamentální systém lineární soustavy diferenciálních rovnic. Ve většině případů si volíme bázi soustavy funkcí, které jsou řešeními , pro které počáteční hodnota  je -tý kanonický jednotkový vektor.

Pokud  je fundamentální systém, pak matici  nazveme fundamentální maticí a její determinant  budeme nazývat Wronskián. Jestliže  pro nějaké  je jednotková matice, pak se  nazývá hlavní fundamentální matice v bodě .

Fundamentální matice  je také řešení homogenní obyčejné (maticové) diferenciální rovnice, konkrétně

Prostor řešení původní homogenní soustavy v  pak je .  je dokonce i hlavní fundamentální matice pro , takže  řeší počáteční úlohu pro .

Fundamentální matice  je pro každé  invertibilní. Pro Wronskián platí Liouvilleův vzorec.

Homogenní lineární diferenciální rovnice vyššího řádu 

Stejně jako v případě rovnic prvního řádu může být prostor řešení lineární soustavy vyššího řádu také vektorový prostor, a proto každou jeho bázi lze považovat za fundamentální systém.

Pro definici fundamentální matice skalární lineární diferenciální rovnice řádu n

nejdříve uvažujeme diferenciální rovnici odpovídající soustavě n rovnic prvního řádu
, kde 
[Vztah je následující:  je řešením skalární rovnice řádu n právě tehdy když 
je řešením výše uvedené soustavy prvního řádu.]

Fundamentální maticí rovnice

nazýváme každou fundamentální matici  soustavy prvního řádu

Přirozeně  nazýváme hlavní fundamentální maticí v , jestliže  je jednotková matice. Determinant  se nazývá Wronskián.

Pro redukci rovnice na soustavu prvního řádu: jestliže  je fundamentální systém, pak

je fundamentální matice.

Konstrukce fundamentálního systému 

Zkonstruovat fundamentální systém je v obecném případě obtížné. Přesné postupy jsou známy pouze pro diferenciální rovnice se speciální strukturou, jako jsou skalární diferenciální rovnice prvního řádu, soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty, diferenciální rovnice vyšších řádů s konstantními koeficienty a Eulerova rovnice. Pokud je známé řešení homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu, lze snížit řád diferenciální rovnice použitím postupu pro redukci řádu objeveného Jean le Rond d'Alembertem.

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 

Nechť  je primitivní funkce k funkci , potom

je fundamentální systém rovnice .

Lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty 

Pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty

nejdříve nalezneme Jordanovu normální formu  matice  a příslušnou Jordanovu bázi . Pokud  je komplexní vlastní hodnota s vlastními vektory báze , můžeme v Jordanově bázi vybrat bázové vektory tak, že  se stanou bázovými vektory .

Nyní provedeme pro každý řetězec hlavních vektorů zvlášť: Pokud  je (úplný) řetězec hlavních vektorů pro vlastní číslo , tj.
,
pak dodávají do fundamentálního systému  řešení (hlavního vektoru)

obecně

Probráním všech řetězců hlavních vektorů sestrojíme (obecně komplexní) fundamentální systém.

Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty 

Fundamentální systém pro skalární lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty

získáme řešením charakteristické rovnice  s charakteristickým polynomem
.
Jestliže  jsou (po dvou různé) kořeny polynomu  s násobnostmi , pak (komplexní) fundamentální systém  lineárně nezávislých řešení pro kořen  je
.

[To vysvětluje způsob vyjadřování: pomocí výše uvedené transformace získáme skalární rovnici n-tého řádu ze soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu, takže máme matici koeficientů jako charakteristický polynom přesně toto, jak bylo zde ukázáno.]

Reálný fundamentální systém 

Výše uvedeným postupem získáme n lineárně nezávislých řešení, která mohou obsahovat komplexní čísla. Díky tomu, že pokud má charakteristické rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, jsou to dvojice komplexně sdružených čísel, využitím linearity diferenciální rovnice a Eulerova vzorce  lze komplexní fundamentální systém převést na reálný tak, že každou dvojici komplexně sdružených řešení  z (komplexního) fundamentálního systému převedeme na reálná řešení .

Periodická soustava diferenciálních rovnic prvního řádu 

Pro soustavu

s -periodickou spojitou maticí koeficientů  nelze explicitně zkonstruovat fundamentální systém – ale díky Floquetově teorii lze zjistit jaká bude struktura fundamentální matice této soustavy.

Příklady

Lineární soustava diferenciálních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty 

Řešíme následující soustavu diferenciálních rovnic

Matice  má jednoduché vlastní číslo 1 a dvojité vlastní číslo 2. Prostor vlastních vektorů je

Pro hlavní řetěz vektorů pro vlastní číslo 2 je stále potřeba

Zvolíme například

Pak musíme jako hlavní vektor v první fázi zvolit . Tím dostaneme fundamentální systém , kde

Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty 

Uvažujme diferenciální rovnici

Tato rovnice má charakteristický polynom , který má čtyři kořeny . Odtud hned získáme komplexní fundamentální systém

kterému odpovídá reálný fundamentální systém

Reference

Literatura 

 Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, .
 Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995. S. 250.
 

fundamentální systém