Fibrovaný prostor
Pod pojmem fibrovaný prostor se v matematice, zejména pak v topologii, rozumí objekt, jenž je v jistém smyslu zobecněním pojmu kartézského součinu množin. Jedná se o prostor, který lze lokálně popsat jako kartézský součin, globálně však může mít netriviální topologickou strukturu. Známými příklady jednoduchých netriviálních fibrovaných prostorů jsou například Möbiova páska či Kleinova láhev. Aplikace tento topologický pojem nachází v různých odvětvích fyziky, kde lze s jeho pomocí např. konzistentně popisovat polohy a hybnosti fyzikálních systémů v klasické mechanice, pole v kvantové teorii pole či vlastnosti časoprostoru v obecné teorii relativity. Kalibrační teorie pak nacházejí v teorii fibrovaných prostorů solidní matematický základ.

Definice 
Zde si představíme definici fibrovaného prostoru, jež může působit dost abstraktním a těžko stravitelným dojmem. V následujícím oddíle je proto tento pojem vyložen v povědomějších termínech pro snazší pochopení. Navíc, v následující definici požadujeme, aby jednotlivé množiny byly diferencovatelné variety. Tento požadavek však není nutný a místo diferencovatelných variet lze brát obecněji topologické prostory, kde současně místo hladkosti zobrazení vystupujících v definici požadujeme pouze jejich spojitost. Fibrované prostory, kde za množiny bereme diferencovatelné variety, se pak v tomto kontextu označují jako diferencovatelné fibrované prostory.

Fibrovaný prostor 
Fibrovaný prostor (angl. fibre bundle) je definován jako uspořádaná čtveřice  následujících objektů:
  je diferencovatelná varieta zvaná totální prostor,
  je diferencovatelná varieta zvaná bázová varieta či báze,
  je diferencovatelná varieta zvaná typické vlákno, nebo jen vlákno,
  je surjektivní zobrazení totálního prostoru na bázovou varietu, který se nazývá projekce.
 Spolu s předchozími objekty je nutno zadat i otevřené pokrytí  bázové variety  a jemu odpovídající množinu zobrazení , kde index  probíhá (ne nutně konečnou či spočetnou) indexovou množinu . Platí tedy , kde  jsou otevřené množiny. Dále, pro každé  je zobrazení  difeomorfizmus splňující dodatečnou podmínku
,
kde symbolem  značíme vzor množiny  při zobrazení . Zobrazení  se nazývají lokální trivializace. (Někdy se za lokální trivializace berou zobrazení , která v podstatě odpovídají inverzím pro námi zavedené trivializace . Neboť jsou lokální trivializace bijekce, tak vztah zobrazení a jeho inverze je jednoznačný a oba přístupy jsou tak ekvivalentní.)

Fibrovaný prostor  se často značí jen jako  nebo výrazem
.

Přísně vzato, definice fibrovaného prostoru by měla být nezávislá na konkrétní volbě otevřeného pokrytí . Matematicky korektně se tedy postupuje tak, že se nejdříve definicí výše zavádějí souřadnicové fibrované prostory

. Na množině všech takovýchto souřadnicových fibrovaných prostorů s různými pokrytími se zadefinuje relace ekvivalence tak, že  je ekvivalentní s  právě tehdy, když  je opět souřadnicovým fibrovaným prostorem. Množinu všech souřadnicových fibrovaných prostorů si tedy můžeme faktorizovat podle této ekvivalence a fibrovaný prostor samotný je pak definován jako třída ekvivalence v tomto faktorprostoru.

Přechodová zobrazení 
Okolí  pokrývají bázovou varietu . Ke každému  je přitom přiřazena lokální trivializace . Na průniku dvou okolí  tak máme bod  totálního prostoru vyjádřen pomocí dvou různých trivializací

kde  je takové, že platí . Skutečnost, že v obou případech máme stejné  pro obě trivializace vyplývá z požadavku kladeného na tato zobrazení v definici fibrovaného prostoru. Co je obecně různé jsou však prvky . Můžeme si tak zavést zobrazení  předpisem
.
Takto zavedeným zobrazením se říká přechodové funkce. Konvence pro jejich značení se liší u různých autorů. Místo označení  se tak lze setkat i s opačným pořadím indexů  apod. Přechodové funkce se mají k lokálním trivializacím způsobem
.

Pokud , je odpovídající přechodová funkce  zjevně rovna identitě. Dále, pokud platí , tak zřejmě i , z čehož vyplývá . Pokud bychom neuvažovali pouze body z průniku dvou okolí , ale rovnou ze tří okolí , tak bychom podobnými úvahami dospěli i ke vztahu
.
Ukázali jsme tak, že v množině všech přechodových zobrazení  se nachází jednotkový prvek (identické zobrazení), každý prvek má k sobě inverzní prvek a že tato množina je uzavřená vůči operaci skládání prvků coby zobrazení. Skládání zobrazení je asociativní a tyto všechny vlastnosti nám tedy říkají, že množina všech přechodových zobrazení (spolu s operací skládání zobrazení) tvoří grupu. Této grupě se říká strukturní grupa. V našem postupu jsme měli zadány lokální trivializace a z nich jsme sestrojili přechodové funkce. Lze se však vydat i opačným směrem, kdy máme předem zadané přechodové funkce a z nich jsme schopni zrekonstruovat lokální trivializace, viz oddíl Rekonstrukce fibrovaného prostoru ze znalosti přechodových zobrazení níže. Strukturní grupa se tedy někdy vyskytuje v samotné definici fibrovaného prostoru.

Související pojmy 
 Vzor jednobodové množiny  při zobrazení , tj.  pro daný bod  bázové variety, nazýváme vlákno nad bodem m. Množina  je diferencovatelná varieta izomorfní typickému vláknu .

 Jako řez, resp. řez fibrovaného prostoru, označujeme hladké zobrazení  vyhovující podmínce , kde  označuje identitu na bázové varietě. Právě uvedenou podmínku lze přepsat do tvaru
.
Množina všech řezů na prostoru  se často značí symbolem . Podobně, jako lokální řez (na okolí ) označíme hladké zobrazení  vyhovující podmínce , kde  je otevřená podmnožina bázové variety. Důvod, proč se řezy nazývají právě „řezy“, je ten, že zobrazení  vybere pro daný bod  bázové variety jen jeden bod  z vlákna nad bodem . Pro libovolné další  se už nemůže stát, že by  spadlo do téhož vlákna. Situace je lépe nahlédnutelná na animovaném Obr. 2 níže. V tomto případě je řezem hladké zobrazení , které bere body kružnice a vrací body v Möbiově pásce. Na obrázku je v Möbiově pásce vyznačen větší počet typických vláken, v tomto případě představovaných úsečkami. Celá úsečka přitom odpovídá jedinému bodu kružnice. Řez  bere po řadě body kružnice a každému takovému bodu přiřazuje jen jeden bod na odpovídající úsečce.

 Zobrazením fibrovaných prostorů  a  nazýváme dvojici zobrazení  a  splňující podmínku
.

 Mějme fibrovaný prostor . Pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení fibrovaných prostorů  a , (kde ) tak říkáme, že fibrovaný prostor  je triviální. Tehdy je  v podstatě pouze kartézským součinem .

 Dva fibrované prostory  a  jsou ekvivalentní, existuje-li zobrazení fibrovaných prostorů  tak, že  je identické zobrazení a  je difeomorfizmus.

Grafická interpretace

Kartézský součin 
Jak již bylo řečeno, fibrovaný prostor má do jisté míry zobecňovat pojem kartézského součinu. Popravdě řečeno, kartézský součin dvou diferencovatelných variet  lze chápat jako jednoduchý fibrovaný prostor , kde  je nyní totální prostor,  je bázová varieta a  je typické vlákno. Projekci  si v tomto případě můžeme definovat způsobem , pro libovolné , . Pokud si dále vezmeme nějaké otevřené pokrytí  variety , tak ke každému okolí  můžeme definovat lokální trivializaci , která ze dvou bodů vytvoří jejich uspořádanou dvojici. Máme tak všechny suroviny vystupující v definici fibrovaného prostoru a můžeme uzavřít, že kartézský součin je skutečně triviálním případem fibrovaného prostoru.

Nezůstaňme ovšem jen u triviálních případů. Každý fibrovaný prostor, resp. jeho totální prostor, totiž jako kartézský součin vypadá alespoň lokálně. Zhruba řečeno je ke každému bodu bázové variety  přilepena jiná varieta, vlákno . Ostatně samotné lokální trivializace , jak již jejich název dává tušit, slouží k lokálnímu převodu totálního prostoru na kartézský součin dvou množin. Pro každé okolí  lze množinu  (která je podmnožinou totálního prostoru ) zobrazit díky  difeomorfně na kartézský součin okolí a vlákna, tj.
.

Möbiova páska 
Jedním z nejjednodušších příkladů fibrovaných prostorů, které nelze vyjádřit jako kartézský součin, je Möbiova páska, na níž lze pěkně ilustrovat role jednotlivých objektů vystupujících v definici fibrovaného prostoru. Celá situace je znázorněna na obr. 1 níže. Na tomto obrázku vidíme následující:

 červenou barvou je vyobrazen totální prostor E, tedy v tomto případě Möbiova páska,
 zelenou barvou je vykreslena bázová varieta M, která je v našem případě obyčejnou kružnicí,
 modrou barvou je zachyceno typické vlákno F; v našem případě se jedná o úsečku.

Na bázové varietě, kružnici, jsou dále pro názornost vybrány tři různé body . Vzory těchto bodů při projekci  jsou po řadě vlákna . Vlákno nad bodem  je tedy označeno  a podobně pro ostatní body. Vidíme tak, že jednomu bodu kružnice odpovídá celá úsečka bodů na Möbiově pásce. Každá z těchto úseček je v podstatě rovna typickému vláknu . Jednotlivé body na dané úsečce lze pak rozlišit pomocí bodů z typického vlákna, kterážto situace je znázorněna pro případ bodu . Jeho projekce na bázovou varietu je  a v rámci vlákna  je  jednoznačně identifikován bodem . Nějakému jinému prvku  ze stejného vlákna  by odpovídal jiný bod , ačkoli jeho projekce  by byla stále rovna , tj. .

Báze, vlákno a projekce 
Způsob, jakým se došlo od Möbiově pásce ke kružnici, coby bázové varietě, s úsečkou, coby vláknem, je naznačen v animaci na Obr. 2 a podrobněji matematicky rozebrán v následujícím. Möbiova páska je dvourozměrná varieta, kterou můžeme vložit do trojrozměrného prostoru  a na jejíž body se pak díky tomu můžeme odkazovat pomocí jejich souřadnic . Parametrické rovnice Möbiovy křivky o jednotkovém poloměru a jednotkové šířce v těchto souřadnicích potom znějí

kde  a . Od teď nebudeme rozlišovat mezi Möbiovou páskou a jejím vložením do . Pod bodem Möbiovy pásky tak budeme rozumět trojici čísel  vyhovující parametrickým rovnicím výše.

Položíme-li  pevně, tak okamžitě vidíme, že křivka  je jednotková kružnice ležící ve vodorovné rovině, neboť platí
.
Za bázovou varietu si tedy skutečně můžeme vzít jednotkovou kružnici, která je parametrizovaná proměnnou . Máme-li na kružnici  zvolen pevně jistý počáteční bod, tak mu můžeme přiřadit hodnotu . Pokud zvětšujeme parametr  postupně od nuly do , tak projdeme všechny body kružnice. Každému bodu  kružnice je tak jednoznačně přiřazeno jisté číslo . Tento vztah budeme v tomto oddíle vyjadřovat zápisem . Kružnice je jednorozměrná křivka a pokud ji vnoříme do trojrozměrného prostoru , tak jí můžeme ztotožnit s množinou . V takovém případě má počáteční bod kružnice souřadnice  a souřadnice  bodu  mají tvar
.

Jestliže si nyní ukotvíme parametr  a položíme ho rovno číslu , tak lze parametrické rovnice Möbiovy křivky přepsat do tvaru

což je parametrické vyjádření úsečky ve trojrozměrném prostoru (parametr  probíhá omezený interval od −1/2 do 1/2). Proměnná  tedy parametrizuje vlákno; udává „vzdálenost“ bodu úsečky od jejího středu. Zaveďme pro prvky vlákna podobné značení, jaké jsme přijali pro prvky bázové variety. Konkrétně bod  ve „vzdálenosti“  od středu úsečky vyjadřujme vztahem .

Uvažujme nyní nějaký konkrétní bod Möbiovy pásky, např. bod  na Obr. 1. Nechť jeho souřadnice znějí  pro nějaké  a . Za projekci tohoto bodu na bázovou varietu položíme bod na kružnici, jehož vzdálenost od počátečního bodu kružnice je rovna . Pokud si za počáteční bod kružnice zvolíme bod  na Obr. 1, pro nějž platí , tak projekcí bodu  je bod . V návaznosti na tento postup si tak zavedeme projekci  vztahem
.
Projekce nám tak smaže veškerou informaci o vlákně skrytou v proměnné .

Lokální trivializace 
Zbývá nám určit lokální trivializace, jež sestávají z okolí pokrývajících bázovou varietu a k nim přiřazených zobrazení splňujících dodatečné podmínky. Za pokrytí kružnice bychom si mohli zvolit dvojici okolí
.
Pokud bychom uvažovali bázovou varietu  coby kružnici vloženou do , tak by šlo vyjádřit tato okolí ve tvaru
.
Meze intervalů jsme zvolili více méně libovolně, důležité je, aby tyto intervaly byly otevřené a jejich sjednocení bylo nadmnožinou intervalu . Okolí bychom si mohli zvolit i více, rozhodně ne však méně. Později si ukážeme, že jediné okolí pokrývající kružnici M nelze pro zavedení lokálních trivializací použít. Pro aktuální volbu okolí nyní stačí za lokální trivializace vzít zobrazení , , jejichž předpis v parametrizaci pomocí proměnných  zní
.
.
Parametrické rovnice Möbiovy pásky jsou tedy v podstatě lokálními trivializacemi. Zobrazení  vezme jednak bod kružnice  parametrizovaný hodnotou , jednak bod typického vlákna  parametrizovaný hodnotou , a této dvojici prvků přiřadí bod Möbiovy pásky, jehož souřadnice  se získají z parametrických rovnic. Trivializace  se chová podobně, akorát její definiční obor je omezen na hodnoty  a . Pro názornost jsou pokrývající okolí i působení lokálních trivializací vykreslena na Obr. 3.

Zodpovězme nyní otázku, proč jsme uvážili dvě okolí  namísto jednoho , které by pokrylo celou kružnici a které by mělo tvar
.
Množina  je zjevně pokrývající a otevřená (celá množina vždy patří do své topologie a splňuje tak podmínku otevřenosti). Co nám tedy brání ji použít? Potíž je v tom, že odpovídající lokální trivializace  by nebyla na celém svém definičním oboru hladké zobrazení. Abychom toto nahlédli mějme analogicky předchozímu případu
.
Při obejití kružnice se dostaneme zpět na počátek a musí tedy platit, že hodnoty lokální trivializace pro  a  se při ukotveném  rovnají. Hodnota  přísně vzato neleží v definičním oboru a tato podmínka proto zní
.
Položíme-li , tak se levá strana redukuje do tvaru , zatímco pravá strana přechází na tvar . Rovnost tedy viditelně nenastává a s jediným pokrývajícím okolím Möbiovy pásky si tak nevystačíme. Graficky lze nespojitost zobrazení  vidět na animaci v Obr. 2, kde šipka „generující“ pásku na počátku směřuje ven, při oběhnutí kružnice však směřuje dovnitř pomyslného kruhu.

Naše volba dvou okolí s danými trivializacemi problém nespojitosti zobrazení obchází. Zatímco u jednoho okolí  mělo toto topologii kruhu a daná trivializace musela být „spojitá v počátečním bodě“, tak pokud použijeme okolí dvě, tak každé z nich má topologii úsečky (bez koncových bodů) a o žádnou spojitost v „počátečním bodě“ se nemusíme starat.

Přechodové funkce 
Okolí  a  se překrývají v oblastech  a . Označme si první interval písmenem  a druhý interval podobně písmenem . Pro úplnost si odvodíme tvar přechodových funkcí  a . Vzhledem k tomu, že jedna je inverzí druhé, stačí spočíst . Zde je nutno pro každý z obou intervalů A a B hledat tvar přechodové funkce zvlášť. Pro všechny body , kde , a pro všechny prvky vlákna , , platí
.
Přechodová funkce  je tedy identickým zobrazením. Explicitně,
.
Podobně postupujeme i pro interval B, zde však musíme být více na pozoru. Proměnná , parametrizující kružnici, nabývá hodnot mezi nulou a . V intervalu B se však nacházejí čísla mimo tyto meze. Protože hodnotě  by měl odpovídat stejný bod kružnice jako hodnotě , vyjádřeme si proměnnou  explicitně ve tvaru , kde už . Při tomto vyjádření přecházejí goniometrické funkce do tvarů
,
.
Vyjádření lokální trivializace  tak přejde do tvaru

kde nyní parametr  nenabývá hodnot z intervalu B, ale z intervalu . Vidíme, že znaménko minus, objevivší se z úpravy goniometrických funkcí, můžeme přidružit k proměnné . Máme-li pevně zadán bod  Möbiovy pásky, jehož parametry v trivializaci  mají hodnoty  a , tak v trivializaci  je tentýž bod popsán parametry o hodnotách  a , kde však
.
Z těchto vztahů okamžitě vidíme, že na intervalu B přechodová funkce  efektivně obrací hodnotu parametru 
.
Toto obracení parametru je explicitní vyjádření nespojitosti, se kterou jsme se setkali u zobrazení  v předchozím pododdíle o lokálních trivializacích. Graficky pak obracení parametru  při přechodu od jedné trivializace ke druhé na intervalu  můžeme odtušit ze směru ohraničující šipky na Obr. 3, kde pro trivializaci  směřuje daná šipka ven, zatímco u trivializace  tato šipka směřuje dovnitř.

Jen tak na okraj, v případě válce (kde neuvažujeme jeho podstavy) k žádné podobné nespojitosti nedochází a celý válec tak lze popsat jediným okolím a jedinou lokální trivializací. Válec je tedy příkladem triviálního fibrovaného prostoru. Pokud bychom i přesto pokrývali válec dvěma okolími jako v případě Möbiovy pásky výše a zvolili bychom si přirozenou parametrizaci válcové plochy, tak přechodová funkce by byla na obou intervalech A i B identické zobrazení.

Na závěr tedy můžeme vyjádřit předpis přechodové funkce na celém průniku okolí  a  pro Möbiovu pásku způsobem

Rekonstrukce fibrovaného prostoru ze znalosti přechodových zobrazení 
V tomto oddíle si ukážeme důležitost přechodových funkcí definovaných výše. Zrekonstruujeme totiž fibrovaný prostor  jen na základě znalosti bázové variety , jejího otevřeného pokrytí , typického vlákna  a přechodových zobrazení  tvořících strukturní grupu . K plnému určení fibrovaného prostoru tedy ještě musíme najít totální prostor , projekci  a lokální trivializace . Postup je následující:

Nejprve si definujme množinu

a zaveďme si na ní relaci ekvivalence , kdy prvky  a  jsou ekvivalentní  právě tehdy, když  a současně existuje  tak, že . Aby tento vztah byl skutečně ekvivalencí, musejí přechodové funkce splňovat požadavky:
 ,
 ,
 ,
kde  značí identické zobrazení. Totální prostor  poté definujeme jako množinu  faktorizovanou podle právě uvedené ekvivalence
.
Každý prvek totálního prostoru je tedy třída ekvivalence. Třídu ekvivalence, jež obsahuje prvek  si budeme značit . Projekci  definujeme přirozeným způsobem
.
Podobně přirozeně nadefinujeme i lokální trivializace  a sice
.
Lze jednoduše ověřit, že takto definované objekty skutečně vyhovují definici fibrovaného prostoru.

Význačné příklady fibrovaných prostorů 
V tomto oddíle jsou zmíněny některé druhy fibrovaných prostorů, z nichž nejvýraznějšími jsou patrně tečný bandl a hlavní fibrovaný prostor.

Vektorový fibrovaný prostor 
Vektorový fibrovaný prostor (angl. vector bundle) je fibrovaný prostor, jehož typickým vláknem je vektorový prostor. Přechodové funkce v tomto případě tvoří strukturní grupu všech nesingulárních matic odpovídajících rozměrů. Je-li typické vlákno reálný vektorový prostor dimenze k, tj. , tak strukturní grupa je rovna maticové grupě . Podobně, pokud je typické vlákno rovno komplexnímu vektorovému prostoru , tak strukturní grupa je . Číslo k se nazývá dimenze vlákna a značí se, poněkud nekonzistentně, symbolem . (Ačkoli dimenze totálního prostoru E je rovna n + k, kde n je dimenze bázové variety M.) Důležitým příkladem vektorového fibrovaného prostoru je tečný fibrovaný prostor. Jiným příkladem je normálový fibrovaný prostor. Oba druhy jsou popsány v následujících pododdílech.

Tečný fibrovaný prostor 

Jedním z důležitých příkladů fibrovaných prostorů je tzv. tečný fibrovaný prostor (někdy též tečný bandl, angl. tangent bundle), k němuž dojdeme následujícím postupem. Uvažujme nějakou (reálnou) diferencovatelnou varietu  konečné dimenze . V každém bodě  této variety je definován tečný prostor , což je vektorový prostor všech tečných vektorů k varietě  v bodě . Disjunktním sjednocením všech tečných prostorů

získáme totální prostor tečného fibrovaného prostoru. Disjunktním sjednocením je zde přitom míněno sjednocení, kde prvek z  si „pamatuje“ nejen to, kam coby tečný vektor míří, ale i z jakého bodu variety vychází. Informaci o bodu variety, ze kterého daný prvek  vychází, nám přitom podá projekce . Matematicky zapsáno
.
Bázovou varietou je tedy samotná varieta  a vláknem je vektorový prostor , neboť všechny tečné prostory  pro libovolné  jsou izomorfní .

Abychom mohli zavést lokální trivializace, uvažme nějaké otevřené pokrytí  variety  a z něho uvažujme právě jedno konkrétní okolí  se souřadnicemi . Souřadnice  bodu  variety tedy obdržíme ze vzorce . Každý bod variety  v okolí  je tedy jednoznačně popsán -ticí čísel. Co víc, za bázi tečného prostoru  si můžeme vzít derivace . Každý vektor  z  je tedy také určen -ticí čísel . Pro jednoznačnou identifikaci bodu  z množiny  (tj. ze vzoru okolí  při projekci ) je tedy třeba znát  čísel
.
Za lokální trivializaci  tak můžeme vzít zobrazení, jehož inverze má v souřadnicích  tvar
.
Tímto způsobem obdržíme lokální trivializace pro všechna pokrývací okolí. Tečný fibrovaný prostor je tedy fibrovaný prostor určený čtveřicí 
a danými lokálními trivializacemi.

Řez tečného fibrovaného prostoru se nazývá vektorové pole. Každému bodu variety  je tedy přiřazen nějaký vektor a toto přiřazení je hladké.

Normálový fibrovaný prostor 
Nechť  je -rozměrná diferencovatelná varieta vložená do prostoru . Dále nechť  je ortogonální doplněk k  ve vektorovém prostoru , kde  značí tečný vektorový prostor k varietě  v bodě . Platí tedy
,
kde tečka značí standardní skalární součin. Z předchozího plyne, že vektorový prostor  je izomorfní prostoru . Disjunktním sjednocením všech množin vznikne normálový fibrovaný prostor  (angl. normal bundle), jehož typickým vláknem je . Explicitně tedy
.

Duální fibrovaný prostor 
Mějme vektorový fibrovaný prostor  s vláknem . K vektorovému prostoru  můžeme uvažovat prostor  k němu duální, jenž je tvořen všemi lineárními funkcionály. Tento prostor má stejnou dimenzi jako  a fibrovaný prostor, kde za vlákno vezmeme , nazýváme duální fibrovaný prostor (angl. dual bundle). Speciálním druhem duálního fibrovaného prostoru je kotečný fibrovaný prostor, jenž je definován níže.

Kotečný fibrovaný prostor 

Ke každému tečnému prostoru  existuje prostor duální , tvořený lineárními funkcionály definovanými nad vektory z . Tomuto duálnímu prostoru se říká kotečný prostor k varietě  v bodě . Postupem analogickým tomu pro tečný fibrovaný prostor můžeme definovat tzv. kotečný fibrovaný prostor (někdy též kotečný bandl, angl. cotangent bundle). V případě kotečného fibrovaného prostoru je za bázovou varietu zvolena (reálná) diferencovatelná varieta  dimenze , totální prostor se definuje jako disjunktní sjednocení duálních prostorů

a za vlákno se bere množina . Tato množina je totiž izomorfní duálnímu prostoru  pro libovolný bod variety . Projekce  je volena tak, aby pro každý prvek z  vrátila bod variety, odkud tento prvek pochází. To jest
.
Jak je zmíněno v předchozím pododdíle o tečném fibrovaném prostoru, pro každý tečný prostor  k varietě  v bodě , kdy se bod  nachází v nějakém pokrývacím okolí  popsaném souřadnicemi , můžeme za bázi tečného prostoru vzít množinu  derivací podle daných souřadnic. V duálním prostoru  dále můžeme uvažovat bázi souřadnicových funkcionálů , jejichž působení na vektorech alias derivacích lze vyjádřit elegantně ve tvaru
,
kde  označuje Kroneckerovo delta. Každý lineární funkcionál  z duálního prostoru  tak lze zapsat ve tvaru  a je tak plně určen souřadnicemi . Lokální trivializaci  tak můžeme zavést způsobem, že její inverze nabývá tvaru
,
kde  jsou souřadnice bodu . Tuto konstrukci lokální trivializace můžeme provést pro všechna pokrývací okolí. Kotečný fibrovaný prostor je tedy fibrovaný prostor určený čtveřicí 
a danými lokálními trivializacemi.

Řez kotečného fibrovaného prostoru se nazývá diferenciální 1-forma. Každému bodu variety  je tedy přiřazen nějaký lineární funkcionál na  a toto přiřazení je hladké.

Hlavní fibrovaný prostor 

Fibrovaný prostor , jehož typické vlákno F je rovno strukturní grupě G a ta je navíc grupou Lieovou, nazýváme hlavní fibrovaný prostor (angl. principal bundle nebo G bundle) a značíme též symbolem
.

Totožnost vlákna a strukturní grupy nám umožňuje na totálním prostoru zavést pravou akci grupy, pomocí které lze mj. snadno popisovat tvar vláken nad jednotlivými body bázové variety. Předtím, než přejdeme k definici, si připomeňme, že lokální trivializace jsou zobrazení , jejichž inverze jsou dány předpisem
.

Definujme si nyní pravou akci, kterou libovolný prvek  z grupy alias vlákna  působí na prvсích  totálního prostoru . Toto působení označíme  a definujeme za pomoci lokálních trivializací předpisem
,
kde  a výraz  je grupový součin prvků . Tato definice je ve skutečnosti nezávislá na konkrétní volbě trivializace a pravá akce grupy je tedy dobře definována. To je patrné z následujících úprav
,
kde  a  je přechodová funkce mezi trivializacemi, kterou můžeme chápat jako násobení prvkem  grupy. Platí pro ni tedy
.

Díky tomu, že typické vlákno je totožné se strukturní grupou, tak platí . Ze stejného důvodu lze navíc vyjádřit vlákno  nad daným bodem  bázové variety jako
,
kde  je libovolný bod, jehož projekce je rovna , tj. . Pravá akce nám dále umožňuje zavést význačný případ lokálních trivializací. Předpokládejme, že pro každé pokrývací okolí  máme definován lokální řez . Lokální řez  tedy každému bodu  přiřadí právě jeden bod  totálního prostoru. Z vlastností typického vlákna alias grupy lze každý bod  z vlákna  nad bodem  vyjádřit pomocí pravé akce a jednoznačně určeného prvku  grupy  jako
.
Můžeme si tedy zavést lokální trivializaci  vztahem
.
Takto zavedeným trivializacím se říká kanonické lokální trivializace.

Přidružený fibrovaný prostor 
Mějme zadán hlavní fibrovaný prostor , diferencovatelnou varietu  a nechť je definována levá akce prvků  grupy  na prvky  množiny , kterou označíme  a která nemá obecně nic společného s pravou akcí grupy na prvcích totálního prostoru . Definujme si dále relaci ekvivalence  na kartézském součinu  způsobem
.
Tento vztah skutečně splňuje definici ekvivalence a můžeme tedy uvažovat množinu  faktorizovanou podle této ekvivalence. Faktorprostor  prohlásíme za totální prostor přidruženého fibrovaného prostoru (angl. associated fibre bundle), jehož bázovou varietou je  a vláknem varieta .

Pokud za vlákno  vezmeme -rozměrný vektorový prostor  a za levou akci grupy  na prostoru  uvážíme reprezentaci , dostáváme vektorový přidružený fibrovaný prostor (angl. associated vector bundle). Tento značíme symbolem
.
Konkrétněji, prvky totálního prostoru  jsou třídy ekvivalence , kde ekvivalence je definována stylem
.
Bázovou varietou je , projekci  definujeme jako

kde  je projekce původního hlavního fibrovaného prostoru. Projekce  je dobře definována, neb pro všechny prvky jedné třídy ekvivalence vrátí stejný výsledek, jak lze vidět přímým dosazením
.
Za lokální trivializace můžeme zvolit zobrazení , která působí způsobem
.
Konečně, přechodové funkce na vektorovém přidruženém fibrovaném prostoru jsou tvaru , kde  jsou přechodové funkce na hlavním fibrovaném prostoru .

Příklady 

Jeden příklad, Möbiovu pásku, jsme si představili výše v oddíle Grafická interpretace. Zaměřme svojí pozornost nyní na další příklady fibrovaných prostorů.

Příklad 1 – Hlavní fibrovaný prostor 
Mějme hlavní fibrovaný prostor . Vektorový přidružený fibrovaný prostor je pak vektorový fibrovaný prostor nad  s vláknem .

Jedním z prvních příkladů (hlavních) fibrovaných prostorů byla Hopfova fibrace.

Odkazy

Poznámky

Reference

Literatura

Související články 
 kartézský součin
 Lieova grupa
 Diferencovatelná varieta

Algebraická topologie