Věty o dimenzi
V lineární algebře se dokazují dvě užitečná tvrzení svazující dimenze jistých podprostorů vektorového prostoru. Mějme vektorový prostor V nad nějakým tělesem. První tvrzení dává do souvislosti dimenze dvou vektorových podprostorů prostoru V a dimenzí jejich součtu a průniku - tzv. první věta o dimenzi zvaná též věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů. Druhé tvrzení pak udává vztah mezi dimenzemi jádra a oboru hodnot libovolného lineárního zobrazení (konečněrozměrného) mezi dvěma vektorovými prostory - tzv. druhá věta o dimenzi, nazývaná také věta o dimenzi jádra a obrazu.

První věta o dimenzi 
Nechť  je vektorový prostor nad tělesem . Dále nechť  a  jsou podprostory prostoru  konečných dimenzí, tj. , , . Pak platí

Pro direktní součet podprostorů pak speciálně

Důkaz 
Pokud je  podprostor prostoru , tj. , tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak ,  a , . Totožně by se postupovalo, byl-li by  podprostorem . Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží nulový vektor, můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik  a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože průnik podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik  a  je netriviální podprostor. Z konečnosti dimenzí  a  musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť . V  tedy existuje -členná báze . Nechť  a . Je zřejmé, že . Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů  a . Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože  a , lze zřejmě doplnit bázi průniku  jednak na bázi prostoru , jednak na bázi prostoru . Označme bázi prostoru  a prostoru  po řadě

kde jsme vektory , resp. , doplnily bázi průniku na bázi prostoru , resp. .

Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů  (součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů

je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor  a současně musí být lineárně nezávislá. První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor

Chceme ukázat, že všechny koeficienty  už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru

Na levé straně máme vektor z prostoru , na druhé straně rovnosti pak vektor z . Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku . Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci

pro jisté koeficienty . Dostáváme tak dvě rovnosti

které si můžeme zapsat způsobem

První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru  rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru . Máme tedy

Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina  je bází prostoru . Protože tato báze obsahuje  vektorů, máme . Celkově

což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy . (To je ekvivalentní tomu, že součet prostorů  a  je direktní.) Platí tedy . Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že

Příklad 
Uvažujme vektorový prostor  s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva lineární obaly tvaru

Není těžké ukázat, že generátory lineárního obalu  (tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. Dimenze podprostoru  je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal . Z první věty o dimenzi plyne, že

Protože je ale součet  stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru , nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik  je podprostor dimenze alespoň jedna. Existuje tedy nenulový vektor ležící v  a současně v . Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů  a , aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.

Druhá věta o dimenzi 
Nechť  a  jsou dva vektorové prostory nad stejným číselným tělesem  a nechť  je lineární zobrazení prostoru  do prostoru , tj. . Dále nechť  má konečnou dimenzi, tj. . Pak platí vztah

kde  značí jádro zobrazení A a  jeho obor hodnot.

Důkaz 
Označme si . Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. To znamená, že kdyby v množině  (tj. vzoru prostoru  při zobrazení ) bylo více než  lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru , což je spor s tím, že dimenze  je . Dimenze obrazu zobrazení  je tedy konečná a není větší než . Označme si tuto dimenzi jako . V  tedy existuje -členná báze, označme si bazické vektory jako . Vektory  z prostoru  takové, že  (tj. vzory  při zobrazení ) tvoří -člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v . Jejich lineární obal tedy tvoří -rozměrný podprostor prostoru , označme si ho jako . Platí tedy , kde

Navíc víme, že jádro lineárního zobrazení též tvoří podprostor, tj. . Ukážeme nejprve, že součet těchto podprostorů je roven celému prostoru  a že tento součet je navíc direktní. Neboli

Dokažme nejdříve inkluzi zleva doprava, tzn. že . To je ale zřejmé z konstrukce. Ukažme tedy opačnou inkluzi. Mějme nějaký libovolně zvolený vektor  a najděme jeho rozklad do podprostorů  a . Hledáme tedy vektory  a  takové, že . Protože  má ležet v jádru , platí . Existují tedy koeficienty z tělesa  takové, že

Navíc , takže

Za vektor  tedy můžeme zvolit

Vektor  pak vznikne jako rozdíl

Pro libovolný vektor  jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů  a .

Nyní ukažme, že se jedná o direktní součet. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů  a  leží jen nulový vektor, tj. . Vezměme tedy nějaký vektor  z průniku . Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože , je určitě . Existuje tedy -tice koeficientů  z tělesa taková, že

Protože je  současně z jádra , tak

Neboť jsou vektory  lineárně nezávislé, jsou všechny koeficienty  nulové a platí tedy .

Zatím jsme tedy dokázali rovnost

Nyní můžeme použít první větu o dimenzi, z níž vyplývá

Podprostor  má ale stejnou dimenzi jako množina . Dostali jsme tedy tvrzení věty.

Příklad 
Uvažujme reálný konečněrozměrný vektorový prostor  a k němu prostor duální, nechť . Mějme , funkcionál z duálního prostoru, a nechť  je vektor takový, že . Protože  je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa , což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna, . Neboť je  zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze jádra funkcionálu  je

Jádro zobrazení  tedy tvoří -rozměrný podprostor prostoru . Z toho tedy vidíme, že jediné vektory, na které  nedá nulu, jsou násobky vektoru , neboli jeho lineární obal .

Literatura 
  – skripta FJFI ČVUT

Lineární algebra