Měřitelný prostor
Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry. Sestává z libovolné neprázdné množiny a -algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny základní množiny) lze měřit.

Definice 

Uvažujme neprázdnou množinu  a -algebru  na . Pak uspořádanou dvojici  nazýváme měřitelný prostor.

Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny základní množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Příklad 

Uvažujme množinu
.
Jedna z možných -algeber je
.
Pak  je měřitelný prostor. Další možnou -algebrou je potenční množina množiny :

Díky tomu jiný měřitelný prostor na množině  je .

Obvyklé měřitelné prostory 

Pokud  je konečná nebo spočetná nekonečná množina, pak obvyklou -algebrou je potenční množina množiny , tj. . Měřitelný prostor je pak .

Pokud  je topologický prostor, -algebra může být borelovská -algebra , . Měřitelný prostor je pak , který je obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny všech reálných čísel .

Různý význam borelovských prostorů 

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů. Může znamenat:

 jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše
 měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel (která je borelovskou -algebrou).

Odkazy

Reference

Související články 

 Borelovská množina
 Sigma algebra
 Prostor s mírou
 Pravděpodobnostní prostor
 Náhodná veličina
 Teorie míry

Teorie míry