Անորոշությունների սկզբունք
Քվանտային մեխանիկայի հիմնական սկզբունքներից մեկը՝ Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքը սահմանում է ճշգրտության հիմնարար մի սահման, որից անդին մասնիկի ֆիզիկական հատկությունների որոշակի զույգ, ինչպիսին օրինակ կոորդինատը և իմպուլսն են, հնարավոր չէ իմանալ միաժամանակ։ Այլ կերպ ասած, որքան ավելի մեծ ճշգրտությամբ հնարավոր է իմանալ հատկություններից որևէ մեկը, այնքան սակավ ճշգրտությամբ է հնարավոր չափել, վերահսկել կամ իմանալ մյուս հատկությունը։

Իր Նոբելյան մրցանակաբաշխության բանախոսությունում Մաքս Բոռնը նշում է.
Տարածական կոորդինատները և ժամանակի պահը չափելու համար պահանջվում են խստորեն ամրացված չափիչ քանոններ և ժամացույցներ։ Մյուս կողմից, իմպուլսի և էներգիայի չափման համար անհրաժեշտ են շարժական մասերով սարքեր` չափվող օբյեկտի բախումն ընդունելու և նրա իմպուլսի չափը որոշելու համար։ Հաշվի առնելով քվանտային մեխանիկայի կոմպետենտությունը օբյեկտի և սարքի փոխազդեցության հետ գործ ունենալիս, կարելի է տեսնել, որ հնարավորություն չկա միաժամանակ բավարարել վերը հիշված երկու պահանջները։

1927 թ. Հայզենբերգի հրապարակած անորոշությունների սկզբունքը դարձավ ավելի վաղ մշակված քվանտային տեսության առանցքային հայտնագործությունը։ Այն հաստատում է, որ հնարավոր չէ միաժամանակ չափել մասնիկի կամ համակարգի (եթե համակարգը բավականաչափ փոքր է քվանտամեխանիկական մոտեցում կիրառելու համար) ներկա կոորդինատը՝ առանց որոշելու մասնիկի (համակարգի) հետագա շարժումը։ Անորոշությունների սկզբունքը քվանտային համակարգերի հիմնարար հատկանիշն է և պայմանավորված չէ ներկայիս տեխնոլոգիաների չափիչ հզորությամբ կամ ճշտությամբ։ Սակայն հնարավոր է որոշել մասնիկների «միջին» իմպուլսը և կոորդինատը (թույլ չափումների օգնությամբ)։

Մասնավորաբար, ըստ անորոշությունների սկզբունքի՝ կոորդինատի և իմպուլսի անորոշությունների արտադրյալը միշտ մեծ կամ հավասար է «»-ի կեսին (Պլանկի հաստատունը,  )։

Մաթեմատիկական տեսանկյունից կոորդինատի և իմպուլսի հարաբերության անորոշության ի հայտ գալու պատճառն այն է, որ համապատասխան ալիքային ֆունկցիաների բազիսները մեկը մյուսի Ֆուրիեի ձևափոխումներ են։ Ըստ քվանտային մեխանիկայի մաթեմատիկական ձևակերպման, ցանկացած ոչ կոմուտատիվ օպերատորներ ենթակա են նման անորոշության։

Կոորդինատի և իմպուլսի անորոշությունը 
Անորոշությունների սկզբունքը ձևակերպել է Վերներ Հայզենբերգը Նիլս Բորի կոպենհագենյան ինստիտուտում, քվանտային մեխանիկայի մաթեմատիկական հիմունքները մշակելիս։

1925 թ. առաջնորդվելով Հենդրիկ Կրամերի աշխատանքներով, Հայզենբերգը մշակեց մատրիցային մեխանիկան, որը եկավ փոխարինելու հին քվանտային տեսությանը։ Դրա հիմնական դրույթն այն է, որ շարժման դասական հասկացությունը կիրառելի չէ քվանտային մակարդակում, և որ էլեկտրոններն ատոմում չեն շարժվում խստորեն որոշված ուղեծրերով, այլ նրանց շարժումը տարօրինակ ձևով «լղոզված» է, և ժամանակի Ֆուրիեի ձևափոխությունը ընդգրկում է միայն այն հաճախությունները, որոնք ի հայտ են գալիս քվանտային թռիչքներով։

Հայզենբերգի աշխատությունը թույլ չի տալիս խոսել դիտարկմանը չենթարկվող մեծությունների մասին, ինչպես, օրինակ, էլեկտրոնի ճշգրիտ դիրքը ուղեծրում ժամանակի որևէ պահին, այլ միայն թույլ է տալիս տեսականորեն խոսել շարժման Ֆուրիեի բաղադրիչների մասին։ Քանի որ դասական հաճախությունների համար Ֆուրիեի բաղադրիչներ չեն որոշվում, դրանք չեն կարող օգտագործվել ճշգրիտ հետագիծը նշելու համար, ուստի այս ձևակերպումը չի կարող պատասխանել որոշակի ճշգրտություն պահանջող հարցերի, օրինակ՝ որտեղ է գտնվում էլեկտրոնը կամ որքան է նրա արագությունը։

Կոորդինատի և իմպուլսի համար Հայզենբերգի անվերջ մատրիցների ամենաարտառոց հատկություններից մեկն այն է, որ դրանք չեն կոմուտացվում։ Հայզենբերգի կանոնիկ կոմուտացման առնչությունը`

առայսօր չունի հասկանալի ֆիզիկական բացատրություն։

1926 թ. մարտին Բորի ինստիտուտում աշխատելիս Հայզենբերգը ցույց տվեց, որ ոչ կոմուտատիվությունը արտահայտում է անորոշությունների սկզբունքը։ Այս եզրակացությունը տալիս է ոչ կոմուտատիվության մաքուր ֆիզիկական նկարագրությունը և ընկած է քվանտային մեխանիկայի կոպենհագենյան մեկնաբանության հիմքում։ Հայզենբերգը ցույց տվեց, որ կոմուտացման առնչությունները նկարագրում են անորոշությունը, կամ, Բորի խոսքերով ասած, կոմպլոմենտարությունը։ Ցանկացած երկու ոչ կոմուտատիվ փոփոխականներ չեն կարող չափվել միաժամանակ. որքան մեծ ճշտությամբ հայտնի է դրանցից մեկը, այնքան պակաս ճշտությամբ հնարավոր կլինի իմանալ մյուսը։ Հայզենբերգը գրում է. Պարզագույն ձևով դա կարելի է ներկայացնել այսպես. Մենք երբեք չենք կարող կատարյալ ճշգրտությամբ իմանալ փոքրագույն մասնիկների շարժումը նկարագրող այս երկու կարևոր գործոններից մեկը` կոորդինատը կամ արագությունը։ Անհնարին է ճշգրտորեն «միասին» որոշել մասնիկի դիրքը և ուղղությունն ու արագությունը «ժամանակի միևնույն պահին»։

Կոորդինատի և իմպուլսի կոմպլոմենտարությունը հասկանալու միջոցներից մեկը մասնիկ-ալիքային երկվությունն է։ Եթե հարթ ալիքով նկարագրվող մասնիկը անցնում է պատի վրա գտնվող նեղ ճեղքի միջով, ինչպես ջրի ալիքը` նեղ խողովակի միջով, այն ենթարկվում է դիֆրակցիայի, և ալիքներ են տարածվում տարբեր անկյուններով։ Որքան նեղ է ճեղքը, այնքան լայնորեն է դիֆրակցվում ալիքը և այնքան մեծ է իմպուլսի անորոշությունը։ Դիֆրակցիայի օրենքի համաձայն՝  անկյան տակ ալիքը կսփռվի  մեծությամբ, որտեղ -ն ճեղքի լայնությունն է, իսկ -ն՝ ալիքի երկարությունը։ Դը Բրոյլի առնչությունից կարելի է ցույց տալ, որ ճեղքի չափը և դիֆրակցված ալիքի իմպուլսը կապված են Հայզենբերգի կանոնով.

:

1927 թ. Հայզենբերգն իր «Քվանտային տեսական կինեմատիկայի և մեխանիկայի բովանդակության մասին» ("Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik") հայտնի աշխատության մեջ այս արտահայտությունը սահմանում է որպես իմպուլսի անխուսափելի խախտման նվազագույն մեծություն, որը առաջ է գալիս կոորդինատի ցանկացած չափումից , սակայն չի տալիս Δx և Δp անորոշությունների ճշգրիտ սահմանումը։ Չիկագոյի դասախոսության ժամանակ նա այս սկզբունքն արդեն գրում է որպես.

Ներկայումս ընդունված տեսքով անհավասարությունը 1927 թ. առաջին անգամ գրել է Կեննարդը.

որտեղ , իսկ -ը և -ը կոորդինատի և իմպուլսի ստանդարտ շեղումներն են։ Ինքը՝ Հայզենբերգը, (2) առնչությունը ապացուցել է միայն գաուսյան վիճակների հատուկ դեպքի համար։ Սակայն պետք է նշել, որ -ը և -ը միևնույն մեծությունները չեն։

Միաժամանակյա չափումների նոր անհավասարության խիստ ապացույցը Բորի և Հայզենբերգի ոգով տրվեց վերջերս։ Չափման էությունը հետևյալն է. Եթե մասնիկը տեղայնացված է  վերջավոր տիրույթում, ապա իմպուլսի ստանդարտ շեղումը բավարարում է
 
առնչությանը։

Այլ անորոշություններ 
Հայզենբերգի անորոշությունների առնչությունը և դրա մյուս ձևակերպումները վերաբերում են  կոորդինատի և  իմպուլսի քվանտային օպերատորներին։ Սակայն անորոշությունների սկզբունքը գործում է նաև մյուս օպերատորների համար։ Ըստ Ռոբերտսոնի, անորոշությունների առնչությունը կամայական  և  էրմիտյան օպերատորների համար տրվում է

բանաձևով։

Ռոբերտսոնի առնչության հետագա ընդհանրացումը տվեց Շրյոդինգերը `

 

Քանի որ Ռոբերտսոնի և Շրյոդինգերի առնչությունները ընդհանրական օպերատորների համար են, դրանք կարող են օգտագործվել ցանկացած երկու ոչ կոմուտատիվ մեծությունների համար, որոնք միաժամանակ չափելի չեն։

Օրինակներ.

 Մասնիկի  կինետիկ էներգիայի և  կոորդինատի համար`
:

 Օբյեկտի անկյունային մոմենտի երկու օրթոգոնալ բաղադրիչների համար՝
,

որտեղ -ն, -ն, -ն առանձին անկյունային մոմենտներն են, իսկ -ն՝  առանցքի անկյունային մոմենտը։ Այս առնչությունը նշանակում է, որ համակարգի անկյունային մոմենտի միայն մեկ բաղադրիչ կարող է որոշվել կամայական ճշտությամբ։ Սովորաբար դա արտաքին (էլեկտրական կամ մագնիսական) դաշտին զուգահեռ բաղադրիչն է։

 Գերհաղորդչում էլեկտրոնների թվի և դրա Գինզբուրգ-Լանդաուի կարգավորման պարամետրի փուլային գործոնի համար`

:

Էներգիայի և ժամանակի անորոշության սկզբունքը 

Կոորդինատի և իմպուլսի անորոշության առնչությունից պակաս կարևոր չէ ժամանակի և էներգիայի անորոշության առնչությունը։ Սակայն այա առնչությունը բացահայտորեն չի բխում Ռոբերտսոն-Շրյոդինգերի առնչություններից։ Քանի որ ըստ հարաբերականության հատուկ տեսության էներգիան ժամանակին հարաբերվում է այնպես, ինչպես իմպուլսը` տարածությանը, էվանտային մեխանիկայի բազմաթիվ հիմնադիրների, ինչպես, օրինակ, Նիլս Բորի համար ակնհայտ էր, որ տեղի ունի հետևյալ առնչությունը՝

,

սակայն միշտ չէ, որ ակնհայտ է, թե ինչ է հստակորեն նշանակում -ն։ Խնդիրն այն է, որ ժամանակը, որի ընթացքում մասնիկը գտնվում է տրված վիճակում, այդ մասնիկի օպերատոր չէ, այլ՝ համակարգի վիճակի փոփոխությունը (էվոլյուցիան) նկարագրող պարամետր։ Ինչպես կատակով նկատել է Լև Լանդաուն, «Ժամանակի և էներգիայի անորոշության առնչությունը խախտելու համար ես ընդամենը կարող եմ մեծ ճշգրտությամբ չափել էներգիան և նայել ժամացույցին»։

Այնուամենայնիվ, Էյնշտեյնը և Բորը հասկանում էին այս սկզբունքի էվրիստիկական իմաստը։ Կարճատև ժամանակի ընթացքում գոյություն ունեցող վիճակը չի կարող ունենալ ճշգրիտ էներգիա։ Ճշգրիտ էներգիան ունենալու համար պետք է ճշգրտորեն որոշել վիճակի հաճախությունը, ինչը իր հերթին պահանջում է, որ վիճակը տատանվի բազմաթիվ ցիկլերի շուրջ, որը հակասում է պահանջվող ճշտությանը։ Անորոշությունների առնչությունում  ժամանակը այն ժամանակն է, որի ընթացքում համակարգը մնում է անխաթար (չգրգռված), ոչ թե այն ժամանակը, որի ընթացքում միացված են փորձի սարքավորումները, մինչդեռ այս Սկզբունքի մյուս տարբերակում կոորդինատը վերաբերում է որոշ վայրում մասնիկի գտնվելու կամ չգտնվելու հավանականությանը։

Ծանոթագրություններ 

Քվանտային մեխանիկա
Մաթեմատիկական ֆիզիկա
Սկզբունքներ
Անհավասարություն (մաթեմատիկա)