Àireamhan àicheil is neo-àicheil
'S e àireamh nas lugha na neoni a th' ann an àireimh àicheil. Tha na h-àireamhan nas mò na neoni dearbh (no dearbhte). Chan eil neoni fhèin dearbh no àicheil. Ma tha àireamh neo-àicheil, 's e àireamh dhearbh no neoni a th' innte. Ma tha i neo-dhearbh, 's e àireamh àicheil no neoni a th' innte.

Ma thathar a' labhairt iomradh air àireamhan co-fhillte, 's e fìor-àireamh a th' ann mar as cumanta ma thathar ag ràdh dearbh rithe.

Àireamhan àicheil 

Faodar a bheachdachadh air na h-àireamhan àicheil mar gum biodh iad a' leigeil a-mach air na h-àireamhan nàdarra gus fuasgladh ciallach a thoirt don cho-aontar x – y = z airson gach luach de x agus y. Agus 's ann a' leigeil a-mach air seo mu seach a tha na seataichean eile de dh'àireamhan agus gach aon dhiubh a' toirt tuilleadh coitcheannais do dh'àireamhan.

Tha àireamhan àicheil feumail airson àireimh a chur ri puingean sgèile a thèid fo neoni, mar eisimpleir sgèile theòthachd, agus airson fiachan nochdadh sa chunntasachd far a bheil iad air an sgrìobhadh le figearan dearga, no le figearan eadar chamagan.

Àireamhan neo-àicheil 

Tha àireamh neo-àicheil ma tha i nas mò na, no co-ionnan ri, neoni (.i. àireamh dhearbh no neoni fhèin). Ri linn seo chan eil ciall air a' bhriathar neo-àicheil am measg àireamhan co-fhillte, ach a bheil iad nam fìor-àireamhan. 

Tha meatrags fhìor-àireamhan neo-àicheil ma tha gach eileamaid dhith neo-àicheil. Tha machlag làn-neo-àicheil ma tha detèirmeanant gach fo-mheatrags ceàrnagaich dhith neo-àicheil cuideachd.

Fuincsean an t-Soidhne 

Tha fuincsean ann thar nam fìor-àireamhan ris an canar am fuincsean signum (Laidinn – soidhne), sgn(x), far a bheil:

Mur eil :

far a bheil |x| na dhearbh luach x.

Àireamhachd le àireamhan soidhneach

Cur-ris agus toirt air falbh 

Gabhar a bheachdachadh air àireamhan àicheil mar gum b' e fiachan a th' annta nuair a tha àireamhan air an cur-ris agus air an toirt air falbh. 

'S e an aon rud cur-ris àireimh àicheil agus toirt air falbh àireimh deirbhe:

5 + (−3) = 5 – 3 = 2.

Ma tha €5 agad agus fiach €3 ort, 's e €2 an luach lom agad.

−2 + (−5) = −2 – 5 = −7

Ma tha fiach $2 ort agus gheibh thu fiach $5, 's e $7 am fiach gu lèir ort.

Le bhith a' toirt air falbh àireimh deirbhe bho àireimh dheirbh nas lugha, 's e àireamh àicheil a th’ anns a’ bhuil:

4 − 6 = −2 

Ma bha £4 agad ach chosg thu £6, 's e am fiach £2 a bhiodh ort. 

'S e toirt air falbh àireimh àicheil an aon rud ri cur-ris na h-àireimh deirbh co-fhreagarraich:

5 – (−2) = 5 + 2 = 7.

Ma tha luach lom €5 agad agus gheibh thu cuidhteas fiach €2, 's e €7 an luach lom ùr agad.

–8 – (−3) = –8 + 3 = –5.

Ma tha fiach €8 ort ach gheibh thu cuidhteas fiach €3, 's e €5 am fiach air fhàgail ort.

Iomadachadh 

'S e àireamh àicheil a th’ ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh dheirbh: −2 × 3 = −6. Agus 's e àireamh dhearbh a th' ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh àicheil: −4 × −3 = 12.

Tha dòigh ann seo a thuigsinn ma bheachdaicheas tu air iomadachadh le àireimh dheirbh mar ath chur-ris. San dòigh seo, 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 agus −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6. 'S ann an aon dòigh b' e iomadachadh le àireimh àicheil an aon rud ri ath thoirt air falbh. Mar eisimpleir: 3 × −2 = −3 − 3 = −6.

Le bhith nas foirmeile, 's e àireamh dhearbh air a h-iomadachadh le −1 a th’ ann an àireimh àicheil:

{|-
| −a ||=|| (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + ...|| agus a dhiubh.
|-
| ||=|| (−1) × a
|}

Nise,

a × −b = a × (−1) × b

...agus chionns gu bheil iomadachadh co-iomlaideach agus co-thiomsach: 

{|-
| a × −b ||=|| (−1) × ab
|-
| ||=|| −ab
|}

San aon dòigh:

{|-
| −a × −b ||=|| (−1) × a × (−1) × b
|-
| ||=|| (−1) × (−1) × ab
|-
| ||=|| −(−1) × ab
|}

Airson −(−1) a dh'fhuasgladh, thoir an aire gu bheil:

{|-
| c – c ||=|| 0
|-
| c + (–c) ||=|| 0
|}

...agus ma tha c = −1:

{|-
| −1 + (–(−1)) ||=|| 0
|-
| 	–(−1) − 1 ||=|| 0
|-
| ∴ –(−1) ||=|| 1
|-
| ∴ −a × −b ||=|| −(−1) × ab ||=|| ab
|}

Roinneadh 

Tha na riaghailtean seo freagarrach cuideachd do roinneadh. Ma tha àireamh dhearbh air a roinn le àireimh àicheil, no àireamh àicheil air a roinn le àireimh deirbh, ’s ann àicheil a’ bhuil:

{|-
| 4 ÷ −2 ||=|| −2
|-
| −6 ÷ 3 ||=|| −2
|}

Ma tha an duais-roinn agus an roinniche dearbh am fear, no àicheil am fear, 's ann dearbh an roinn-àireamh.

{|-
| 8 ÷ 4 ||=|| 2
|-
| −12 ÷ −2 ||=|| 6
|}

Togail foirmeil nan àireamhan àicheil is neo-àicheil 

'S e na leanas togail foirmeil nan àireamhan àicheil agus neo-àicheil bho na h-àireamhan nàdarra.

Cruthaicheamaid seata ùr, canaidh sinn ℤ ris, de càraidean òrdaichte àireamhan nàdarra (a, b).

ℤ = { (a, b) : a, b ∈ ℕ }

Canaidh sinn gum bi dà eileamaid den t-seata seo (a, b) agus (c, d) co-ionnan, ma tha:

a + d = b + c

agus mas fìor seo, sgrìobhamaid sin:

(a, b) ~ (c, d)

Cuiridh sinn òrdugh air na h-eileamaidean cuideachd agus sgrìobhaidh sinn:

(a, b) ≤ (c, d)

ma tha
a + d ≤ b + c.

Nise, cuiridh sinn dà obrachadh càraideach + agus × ris an t-seata ℤ far a bheil:

{|-
| (a, b) + (c, d) ||~|| (a + c, b + d)
|-
| (a, b) × (c, d) ||~|| (ac + bd, bc + ad)
|}

Chionn 's gu bheil a + c, b + d, ac + bd agus bc + ad uile nam buill de sheata nan àireamhan nàdarra, tha an dà obrachadh seo dùinte, oir 's e buill de ℤ a tha buil nan obrachaidhean os cionn.

Ma tha eileamaid ann (m, n) den t-seata nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh +, gabhar a sgrìobhadh:

{|-
| (a, b) + (m, n) ||~|| (a, b)
|-
| (a + m, b + n) ||~|| (a, b)
|}

'S e sin ri ràdh:

{|-
| a + m + b ||=|| b + n + a
|-
| ∴ m ||=|| n
|}

agus gum biodh eileamaid sam bith den riochd (n, n) na h-eileamaid ionnanachd aig an obrachadh +. Canamaid neoni ri eileamaid den t-seòrsa seo.

Ma tha eileamaid ann (m, n) den t-seata nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh ×, gabhar a sgrìobhadh:

{|-
| (a, b) × (m, n) ||~|| (a, b)
|-
| (am + bn, bm + an) ||~|| (a, b)
|}

An luib seo:

{|-
| am + bn + b ||=|| bm + an + a
|-
| ∴ (a – b)m ||=|| (a – b)(n + 1)
|-
| ∴ m ||=|| n + 1
|}

Bhiodh eileamaid sam bith den riochd (n + 1, n) na h-eileamaid ionnanachd aig an obrachadh ×. Canamaid a h-aon ri eileamaid sam bith den t-seòrsa seo.

Nise, gabhar a dhearbhadh gu furasta gum bi:

 (n + 1, n) + (n + 1, n) ~ (n + 2, n)
 (n + 2, n) + (n + 2, n) ~ (n + 4, n)
 (n + 2, n) × (n + 3, n) ~ (n + 6, n)

Ma th' ann eileamaid den t-seata (m, n) far a bheil:

 (a, b) + (m, n) ~ (n, n)
 (a + m, b + n) ~ (n, n)

{|-
| a + m + n ||=|| b + n + n
|-
| a + m ||=|| b + n
|-
| ∴ m = b; || ||n = a
|}
 ∴ (a, b) + (b, a) ~ (n, n)

'S e eileamaidean iom-thionndaidh a tha ann (b, a) agus (a, b) airson an obrachaidh +. Mar eisimpleirean:

 (n + 1, n) + (n, n + 1) ~ (n, n)
 (n + 2, n) + (n, n + 2) ~ (n, n)

Gabhar a dhearbhadh cuideachd gu bheil:

 (n, n + 1) < (n, n) < (n, n + 1)

Tha e air a bhith a' fàs soilleir gu bheil cuid de dh'eileamaidean an t-seata seo ceart cho-ionnan ris na h-àireamhan nàdarra fhèin:

{|-
| (n + 1, n) ||≡|| 1
|-
| (n + 2, n) ||≡|| 2
|-
| (n + 3, n) ||≡|| 3
|-
| (a, b) ||≡|| a – b
|}

Tha seo fìor ma tha a' chiad bhall den chàraid òrdaichte nas mò nan dara fear. Mas e an dara fear as mò, chan eil àireamh nàdarra ann a tha co-ionnan ris, ged nach eil e gu diofar anns an t-seata ℤ a bheil a > b no b > a. Ri linn sin, canaidh sinn gu bheil eileamaid (a, b) den t-seata ℤ dearbh ma tha a > b, neoni ma tha a = b, agus àicheil ma tha a < b. An àite càraidean àireamh (a, b), dèanar feum de dh’ fhigearan àireamhan nàdarra mar a leanas...

'S e seata nan slàn-àireamhan a th' anns an ℤ, anns a bheil x agus –x nan eileamaidean (àireamhan) iom-thionndaidh fon obrachadh + (cur-ris).

àireamhachd
teòiridh àireamh