Accélération de suite
En mathématiques, laccélération de suite est une méthode de transformation de suites ou de série numérique visant à améliorer la vitesse de convergence d'une série. Des techniques d'accélération sont souvent utilisées en analyse numérique, afin d'améliorer la rapidité de méthodes d'intégration numérique ou obtenir des identités sur des fonctions spéciales. Par exemple, la transformation d'Euler appliquée à la série hypergéométrique permet de retrouver plusieurs identités connues.

Définition 
On considère une suite

de limite

alors une suite accélérée est une deuxième suite

qui converge plus vite vers  que la première, ce qui se traduit par :

Si la suite  diverge, la transformation agit comme une méthode d'extrapolation vers l'antilimite .

Les prolongements de la série originale vers la transformée peuvent être linéaires ou non. En général, les transformations non linéaires ont tendance à être plus efficaces.

Présentation générale 
Les techniques classiques d'accélération de séries sont les transformations d'Euler (ou binomiale) et de , et les méthodes de sommation (Césàro, Hölder, Toeplitz...), qui ont pour avantage d'être linéaires.

Une variété de méthodes plus rapides et spéciales ont été développées au , dont l'extrapolation de Richardson, introduite par Lewis Fry Richardson au début du  mais aussi connue et utilisée par Katahiro Takebe en 1722, la méthode delta-2 d'Aitken, introduite par Alexander Aitken en 1926 mais aussi connue de Takakazu Seki au , l'epsilon algorithme de Peter Wynn en 1956, la transformation en u de Levin et la méthode de Wilf-Zeilberger-Ekhad utilisant des identités hypergéométriques.

Pour les séries alternées, plusieurs techniques puissantes, donnant des vitesses de convergence de  jusqu'à  pour une sommation de  termes, décrites par Cohen et al..

Exemple 
Un exemple historique d'accélération de série a été appliquée au calcul de la constante d'Euler-Mascheroni :

Ces séries convergent très lentement (seuls trois décimales exactes après calcul du  terme). La formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction logarithme permet d'obtenir l'égalité :

avec , les nombres de Bernoulli. Par cette méthode, les calculs ont pu aller jusqu'à la  décimale.

Transformations linéaires 
Une méthode de transformation linéaire de suites consiste à associer à la suite  une suite de la forme

Elles ont l'avantage d'être indépendantes de la suite d'origine : les poids dans la somme sont constants et indépendants des valeurs de .

Les suites transformées ont une convergence accélérée si la suites d'origine est déjà convergente ou si les derniers termes ont les poids les plus forts.
Exemple
La transformation binomiale est plutôt bien adaptée pour les séries alternées, on applique :

où  est l'opérateur de différentiation amont :

Si la première série converge lentement, la deuxième a une vitesse bien plus forte.

Une façon particulièrement efficace d'implémenter numériquement la transformation binomiale est la .

Prolongements conformes 
Une série

peut être vue comme l'évaluation en  d'une fonction  définie par :

La fonction  peut avoir des singularités sur le plan complexe qui borne le rayon de convergence de la série. Si le point  est proche de la frontière du disque de convergence, la série  converge lentement. On peut alors améliorer la convergence de la série par un prolongement conforme qui déplace les singularités de sorte que le point  soit plus loin du nouveau disque de convergence.

Le prolongement conforme  doit vérifier , et on choisit de préférence une fonction de dérivée finie en . On peut aussi choisir  sans perte de généralité, car on peut changer l'échelle de  pour redéfinir . On considère alors la fonction

L'égalité  implique . Le développement en série de  en fixant  dans le développement en série de  car  ; les  premiers termes du développement en série de  permettront d'obtenir les  premiers termes du développement en série de  si . Fixer  dans le développement en série permettra d'obtenir une nouvelle série qui, si elle converge, convergera vers la même valeur que la série originale.

Transformations non linéaires de suites 

Parmi les transformations non linéaires de suites, on trouve les approximants de Padé, la transformation de Shanks et les transformations de suites de Levin.

Les transformations non linéaires de suites donnent des méthodes numériques pour la sommation de séries divergentes ou asymptotiques telles qu'en apparaissent dans la théorie des perturbations, et peuvent servir de méthodes d'extrapolation très efficaces.

Méthode d'Aitken 

Une transformation non linéaire de suite est l'extrapolation d'Aitken ou la méthode Delta-2 :

définie par

Cette transformation est utilisée pour augmenter le taux de convergence d'une suite convergeant lentement ; heuristiquement, elle élimine la plus grande partie de l'erreur absolue.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie 
 C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, 1991.
 G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, Padé  Approximants, Cambridge U.P., 1996.
 
 , .

Articles connexes 
 Transformation de Shanks
 
 Transformation de van Wijngaarden
 Sommation d'Ewald

Liens externes 
 Convergence acceleration of series
 GNU Scientific Library, Series Acceleration
 Digital Library of Mathematical Functions

Analyse numérique