Cardinal limite
En mathématiques et en particulier en théorie des ensembles, un cardinal limite est un type particulier de nombre cardinal. Il en existe deux définitions, une "faible" et l'autre "forte", qu'il faut distinguer selon le contexte.

Un nombre cardinal  est un cardinal faiblement limite si ce n'est ni 0, ni un cardinal successeur. Ceci signifie qu'on ne peut pas "accéder" à  par une opération de succession sur les cardinaux, c'est-à-dire que  ne s'écrit pas sous la forme . 

Un cardinal  non nul est dit fortement limite s'il ne peut pas être atteint par applications successives de l'opération "ensemble des parties de". Autrement dit, quel que soit le cardinal , on a . Un tel cardinal est nécessairement limite au sens faible puisqu'on a toujours  et .

Le premier cardinal infini  est fortement limite puisque l'ensemble des parties de tout ensemble fini est fini.

Construction 
On peut construire des cardinaux faiblement limites simplement en prenant  avec  un ordinal limite, comme  ou encore , avec  le premier ordinal infini.

Pour obtenir des cardinaux fortement limite, on peut utiliser les nombres Beth () définis par induction :On remarque alors que pour tout ordinal limite , le cardinal  sera fortement limite, puisque pour tout , il existe  tel que  donc . Il existe donc des cardinaux fortement limites aussi grands qu'on le souhaite.

Cas particuliers 
Si l'on suppose l'axiome du choix (AC), tous les cardinaux infinis sont des alephs. Dans ce cas, les cardinaux faiblement limites sont exactement ceux s'écrivant  avec  un ordinal limite. Sinon, il faut aussi rajouter les cardinaux infinis qui ne sont pas des alephs, c'est-à-dire ceux qui ne sont en bijection avec aucun ordinal. Si l'axiome du choix est faux, de tels cardinaux existent puisque le contraire du théorème de Zermelo est vrai.

En supposant l'hypothèse généralisé du continu (GCH), c'est-à-dire que pour tout cardinal , il n'existe pas de cardinal  tel que alors un cardinal faiblement limite est toujours fortement limite. En effet, GCH implique que tous les cardinaux infinis sont des alephs (Sierpiński). Ainsi, si un cardinal  n'est pas fortement limite, il existe un ensemble  tel que , donc d'après GCH,  et c'est le cardinal successeur de .

Cardinaux inaccessibles 
Ces notions servent à définir les notions de cardinaux inaccessibles. Intuitivement, un cardinal est inaccessible si l'on ne peut pas le construire à partir de cardinaux plus petits. Un cardinal faiblement limite est donc inaccessible avec l'opération "successeur" et un cardinal fortement limite est inaccessible avec l'opération "ensemble des parties de". De la même manière, un cardinal régulier est inaccessible avec l'opération d'union. Ces notions combinées définissent donc l'inaccessibilité (faible ou forte) des cardinaux.

Références 

Nombre cardinal