Théorème des deux séries de Kolmogorov
En théorie des probabilités, le théorème des deux séries de Kolmogorov est un résultat sur la convergence des séries aléatoires. Il résulte de l'inégalité de Kolmogorov et est utilisé dans une preuve de la loi forte des grands nombres .

Énoncé du théorème 
Soit  une suite de variables aléatoires indépendantes d'espérance  et de variance , tel que  et   convergent dans ℝ. Alors  converge dans ℝ presque sûrement .

Preuve 
Supposons sans perte de généralité que  . Posons . Nous allons voir que  presque sûrement  

Pour chaque  ,  Ainsi, pour chaque  et  ,  Alors que la deuxième inégalité est due à l'inégalité de Kolmogorov . 

En supposant que  converge, il s'ensuit que le dernier terme tend vers 0 lorsque , pour chaque  .

Références 

 Durrett, Rick. Probabilité: théorie et exemples. Duxbury advanced series, troisième édition, Thomson Brooks / Cole, 2005, section 1.8, pp.   60–69. 
 M. Loève, Théorie des probabilités, Princeton Univ. Presse (1963) pp. Secte. 16,3 
 W. Feller, Une introduction à la théorie des probabilités et ses applications, 2, Wiley (1971) pp. Secte. IX.9 

Théorème de la théorie des probabilités