Équation de Fermat généralisée
En arithmétique, l'équation de Fermat généralisée est l'équationoù  sont des entiers non nuls,  sont des entiers non nuls premiers entre eux et  sont entiers.

Comme son nom le laisse transparaître, cette équation généralise l'équation  dont le fameux dernier théorème de Fermat établit l'impossibilité quand . À l'instar de celui-ci avant sa résolution, son principal intérêt réside aujourd'hui dans la stimulation du développement des nouveaux outils mathématiques nécessaires à son appréhension. Parmi ces outils, se trouvent les courbes de Frey, les formes modulaires et les représentations de Galois. À ce titre, le sujet des équations de Fermat généralisées profite fortement des ponts jetés entre arithmétique et théorie des représentations par le programme de Langlands. Certaines approches cyclotomiques ont aussi été avancées, mais aucune ne semble suffisamment puissante.

L'équation de Fermat généralisée se réfère parfois à la seule équation  ou à la seule équation . Cette dernière est la plus étudiée et au moins deux conjectures non résolues s'y rapportent : la conjecture de Fermat-Catalan et la conjecture de Beal.

Définitions 
On appelle  la signature et  la caractéristique de l'équation . On distingue plusieurs grands cas selon la caractéristique, nommés par analogie avec la classification des espaces selon leur courbure :

 , le cas sphérique.  est à permutation près  ou .
 , le cas euclidien (ou parabolique).  est à permutation près ,  ou .
 , le cas hyperbolique.

De par le nombre relativement faible de valeurs de  les concernant, les cas sphérique et euclidien sont aujourd'hui bien compris. Le cas hyperbolique est donc celui qui fait l'objet du plus de recherches.

Conjectures

Conjecture de Fermat-Catalan 

La conjecture de Fermat-Catalan ou conjecture de Fermat généralisée s'énonceIl est nécessaire de demander une infinité de valeurs pour  et non une infinité de valeurs pour  car  fournit cette infinité sans être toutefois intéressant.

Dix solutions à cette équation sont connues de nos jours. Voir Cas hyperbolique.

Henri Darmon offrira  dollars canadiens à quiconque trouvera une nouvelle solution à .

Conjecture de Beal 
La conjecture de Beal s'énonce

Autrement dit, la conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de l'équation de Fermat généralisée avec  utilisent au moins une fois  comme exposant.

Elle porte le nom d'Andrew Beal, banquier millionnaire américain et mathématicien amateur, qui la formula en 1993 dans un but de généralisation du dernier théorème de Fermat. Il l'a dotée en 1997 d'un prix monétaire en échange d'une preuve ou d'un contre-exemple. Le prix, qui s'élève aujourd'hui à 1 million de dollars, est détenu par la Société Américaine de Mathématiques.

Elle est parfois aussi appelée conjecture de Tijdeman et Zagier car eux aussi l'ont formulée en 1994. Si Andrew Beal l'a vraisemblablement formulée indépendamment, des questions très proches étaient déjà discutées par les chercheurs du domaine si bien que son origine exacte reste incertaine. Certains auteurs la font remonter à des discussions d'Andrew Granville datant de 1985.

Relations avec d'autres conjectures 
La conjecture de Beal implique le dernier théorème de Fermat. En effet, à toute solution  de correspond une solution  respectant . Elle s'obtient en divisant  par leur plus grand facteur commun. 

La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan et implique la conjecture de Beal à un nombre fini d'exceptions près.

Remarques générales 
Quand  apparait comme exposant, il peut être toujours remplacé par  pour tout  entier naturel puisqu'une puissance -ième est aussi une puissance -ième. Cela permet souvent de ne traiter que les cas  et .

Si , la condition  équivaut à la condition  car tout entier divisant facteur de deux termes parmi  divise aussi le troisième.

Si , alors

  et  jouent des rôles symétriques et peuvent donc être échangés.
 Si  est impair, alors résoudre l'équation de signature  équivaut à résoudre celle de signature  en remplaçant  par .
 Ensemble, ces deux remarques font que, si au moins deux entiers parmi  sont impairs, l'équation de signature  équivaut à toutes celles dont la signature est une permutation de .

La condition  est là pour éviter qu'un terme de l'équation ne disparaisse. Dans le cas où il n'y a que deux termes, l'équation est très facile à résoudre.

La condition  s'explique par le fait qu'on peut obtenir facilement d'au moins deux manières une infinité de solutions inintéressantes :

 si  sont premiers entre eux, alors il existe par le théorème des restes chinois  tels que  de sorte qu'à tous  tels que  on puisse associer une solution de l'équation de Fermat généralisée  (qui s'obtient en multipliant les deux membres de l'égalité  par ).
 À toute solution  correspond une infinité de solutions  définies par .

Les tableaux de résultat sur cette page ne consignent que les solutions primitives non triviales. Lorsque l'exposant est pair, les différents signes sont omis. On utilisera la notation  pour signifier que toutes les permutations de  sont considérées.

Cas sphérique 
Frits Beukers a démontré que, à  fixé, soit il n'y a aucune solution, soit il y en a une infinité. 

Si , on dispose d'un nombre fini de paramétrisations polynomiales à coefficients entiers à deux variables générant toutes les solutions :

Cas euclidien 
Si , on a les résultats suivants

Cas hyperbolique 

Le théorème de Darmon-Granville assure qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions à l'équation à  fixé si . 

Alain Kraus donne des bornes supérieures explicites (dépendant de ) sur les nombres premiers  tels que l'équation  a des solutions primitives non triviales.

Dong Quan Ngoc Nguyen a montré en 2012, en utilisant l', que, pour tout , il existe une infinité de courbes de Fermat généralisées de signature  violant le principe de Hasse ; c'est-à-dire qu'il existe une infinité de triplets  tels que l'équation  a des solutions dans  pour tout nombre premier  mais aucune solution dans .

Cas (A, B, C) = (1, 1, -1)

Résultats partiels quand min(p, q, r) = 2 
Quand , l'équation admet toujours la solution dite de Catalan . Celle-ci est systématiquement omise dans le tableau ci-dessous.

Résultats partiels quand p, q, r  ≥ 3 
 ou  est impossible en vertu de la conjecture de Catalan, démontrée par Preda Mihăilescu en 2002.  est impossible pour des raisons similaires.
Les résultats partiels suivants sont pertinents pour l'établissement de la conjecture de Beal. Si elle est vraie, il n'y a aucune solution non triviale quand . L'inexistence de solutions n'est donc pas rappelée à chaque ligne.

Recherche numérique 
Peter Norvig, directeur de recherche chez Google, a annoncé avoir numériquement éliminé toutes les solutions éventuelles avec  et  ainsi que  et .

Cas général 
Le cas  -smooth a été étudié par Lucas dans beaucoup de cas particuliers.

Généralisations 
La conjecture de Beal est fausse si on l'étend aux entiers de Gauss. Après qu'un prix de  ait été mis en jeu pour une preuve ou un contre-exemple, Fred W. Helenius proposa . 

Le dernier théorème de Fermat tient toujours dans certains anneaux. On dit que le dernier théorème de Fermat asymptotique est vrai dans le corps  (ou dans son anneau des entiers , c'est équivalent) si 
Ci-dessous, deux solutions  sont dites équivalentes s'il existe  tel que  :

Notons aussi les généralisations à des exposants algébriques fournies par John Zuehlke par des preuves très simples n'utilisant que le théorème de Gelfond-Schneider :et le corollaire

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Articles connexes 

 Dernier théorème de Fermat
 Conjecture abc
 Programme de Langlands
 Conjecture d'Euler
 Nombre taxicab
 Calcul distribué

Fermat_généralisée
Problème non résolu en mathématiques
Équation diophantienne
Pierre de Fermat