Lemme de Krasner
En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner,  reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques.

Énoncé 

Soit  un corps valué complet non archimédien  et soit  une clôture algébrique séparable de  . Étant donné un élément  dans , notons  ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon suivante.

Applications 

 Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent. En d'autres termes, étant donné un idéal premier  d'un corps global , la clôture séparable de la complétion -adique de  est égale à la complétion -adique de la clôture séparable de , où  est un idéal premier de  au-dessus de (qui contient) .
 Une autre application consiste à prouver que , la complétion de la clôture algébrique de , est algébriquement clos.

Généralisation 
Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante. Considérons un polynôme unitaire

 

de degré  à coefficients dans un corps hensélien  et ayant ses racines dans la clôture algébrique . Soient I et  deux ensembles disjoints non vides dont l'union est . Considérons de plus un polynôme 

 

à coefficients et racines dans  et supposons que . Supposons que 

  pour tout  et tout . 

Alors les coefficients des polynômes 

  et 

sont contenus dans l'extension de  engendré par . (Le lemme de Krasner original correspond au cas où  est de degré 1.)

Notes

Références 

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Théorie des corps
Théorème de la théorie des nombres