Antilimite
En analyse, lantilimite désigne la limite (finie) qu'on peut associer à une suite divergente. On peut la calculer par une méthode de sommation, une technique d'accélération de convergence ou par prolongement analytique.  Le terme a été introduit par Daniel Shanks en 1955.

Définition 
Dans son article de 1955, Daniel Shanks s'intéresse aux transformations de suites de la forme

avec , , ..., , des constantes et , ..., , des fonctions. Dans le cas où  ne converge pas, Shanks désigne  comme lantilimite de la suite et dit que «  diverge de  ».

Par prolongement analytique
On se place dans le cas où la suite  est une série divergente :

On considère la série génératrice liée :

Si cette série de fonctions converge sur un disque de convergence de rayon , il existe une fonction  telle :

Cette fonction  peut être définie hors du disque de convergence, notamment en  et y avoir une valeur finie. Cette valeur  est alors appelée antilimite de la série .

Exemples 
 Une série divergente peut se voir associer des valeurs finies par des procédés de sommation, comme la série de Grandi

ou la série alternée des entiers

 La suite de sommes partielles

est grossièrement divergente, cependant, on peut reconnaitre le développement en série entière du logarithme naturel :

pris en , qui est hors du disque de convergence (le rayon de convergence de cette série vaut 1). Ainsi,  est l'antilimite de la série :

Voir aussi 
 Vitesse de convergence des suites
 Prolongement analytique

Références 

Série divergente