Division en galère
La division en galère ou division batello est un algorithme utilisé jusqu'au  pour effectuer les divisions de nombres écrits dans le système décimal. Elle doit son nom à la jolie disposition des chiffres qui apparaît lorsque les calculs sont terminés, visible sur  un document de référence datant de la fin du  (voir figure).

Histoire  
La division en galère est parfois improprement dite "de Galley", galley n'étant pas une personne, mais la traduction en anglais de l'italien galea.
Niccolo Tartaglia décrit son processus dans La prima parte del general trattato di numeri, et misure.. en 1556 où il le nomme per Batello ou per Galea en référence à la figure obtenue lorsque le travail est terminé. En anglais on trouve aussi la dénomination "scratch division" parce que les chiffres sont rayés au fur et à mesure de leur utilisation. 
Elle fait son apparition en Europe en même temps que les chiffres arabes et Leonardo Fibonacci la pratiquait dès 1202[référence souhaitée]. Elle est également mentionnée dans l'arithmétique de Trévise en 1478. Dans le Moyen-Orient, Al-Kwarizmi utilisait en 825 une version antérieure de cette méthode [référence souhaitée] et selon Lam Lay Yong, son origine remonte au  de notre ère dans la Chine ancienne.

La division en galère était encore utilisée en France au   jusqu'à la Révolution quand l'algorithme de la potence en usage actuellement l'a supplantée petit à petit. 

La figure de référence est extraite d'un manuscrit vénitien datant de la fin du . Elle présente la division de  par  : on lit le quotient  et le reste . La preuve par 9 présentée sous le drapeau n'est pas équilibrée. Elle met en évidence une faute de calcul, le reste juste étant .

L'algorithme 
Voici la description de l'algorithme appliqué à la division de 117 121 par 563 :

a) On écrit l'un sous l'autre le dividende et le diviseur.  donc on écrit  sous  avec un alignement à droite. On ménage une place à droite pour écrire le quotient. Les chiffres seront rayés au fur et à mesure de leur utilisation et on veillera à bien les placer en colonnes.
b)  contient  fois   : le premier chiffre du quotient est . On remultiplie de gauche à droite pour déterminer les restes :
 : on raye  et  et on écrit le reste .
c)  : on raye  et  et on écrit le reste .
d)  : on raye  et  et on écrit le reste .
e) On décale le diviseur d'un cran vers la droite puis on passe au chiffre suivant du quotient :  donc ce chiffre est .
f) On raye  pour le décaler d'un cran vers la droite. On passe au chiffre suivant du quotient :  contient  fois  : le chiffre suivant est .
g)  : on raye  et  et on écrit le reste .
h)  : on raye  et  et on écrit le reste .
i)  : on raye  et  et on écrit le reste .
La division euclidienne est terminée, le quotient entier est  et le reste est .
On pourrait continuer en plaçant une virgule au quotient et en ajoutant des zéros au dividende.

Extraction de racine carrée 
Les ouvrages d'arithmétique du  présentent une méthode d'extraction de racine carrée semblable à la division en galère moyennant quelques aménagements. Il s'agit d'un algorithme qui fournit l'un après l'autre les chiffres de la racine carrée d'un entier donné en écriture décimale : 
On commence par regrouper les chiffres du radicande deux par deux, quitte à ajouter un zéro à gauche s'ils sont en nombre impair.
On calcule ensuite successivement les chiffres de la racine carrée en reconstituant le radicande par concaténation de la gauche vers la droite par groupes de deux chiffres (voir l'exemple qui suit).

Si  est la partie entière de la racine carrée de  avec un reste , on cherche à l'étape suivante le plus grand chiffre  tel que :  où  est le nombre formé des deux chiffres suivants.
Cette inégalité peut s'écrire : 
ou encore : 
c'est-à-dire : 
Le problème se ramène à la division de  par .

Exemple : Calcul de la racine carrée de .
Le regroupement des chiffres deux par deux donne 
a) La racine carrée de  est  et il reste .
b) On cherche le plus grand chiffre  tel que  : c'est , puis on calcule le reste : .
c) On cherche le plus grand chiffre  tel que  : c'est , puis on calcule le reste : .
La partie entière de la racine carrée de  est  et il reste .

On pourrait alors continuer par le calcul des décimales en plaçant une virgule et en rajoutant des paires de zéros au radicande.

Galerie d'images

Bibliographie et liens 
 Niccolo Tartaglia, La prima parte del general trattato di numeri, et misure, Venise 1556. Accessible en ligne
 Jeanne Guillet, Une petite histoire de la division : de la méthode de Galley à la méthode actuelle, IREM de Grenoble 1994. Accessible en ligne.

Notes et références 

Histoire des mathématiques
Algorithme
Divisibilité et factorisation