Saut de dualité
En théorie de l'optimisation, le saut de dualité est la différence entre les solutions primale et duale.

Définitions 

On considère un problème d'optimisation

Si  est la valeur optimale duale et  la valeur optimale primale alors le saut de dualité vaut . Cette valeur est toujours positive (pour les problèmes de minimisation) et s'annule si et seulement si la dualité forte est vérifiée, sinon on parle de dualité faible.

En général, pour deux paires d'espaces localement convexes séparés  et , en posant , on peut écrire le problème primal comme 

Pour un problème sous contraintes, on peut corriger  par  avec  est la fonction indicatrice de l'espace des contraintes. Soit alors  une fonction de perturbation telle que . Le saut de dualité est alors donné par

avec  la fonction conjuguée selon les deux variables.

En optimisation calculatoire, un autre "saut de dualité" est souvent évoqué, qui est la différence de valeurs entre toute solution duale et la valeur d'un itéré réalisable mais sous-optimal du problème primal. Ce "saut de dualité" quantifie la discrépance entre la valeur d'un itéré courant réalisable mais sous-optimal du problème primal et la valeur du problème dual ; cette dernière est, sous des conditions de régularité, égale à la valeur de la relaxation convexe du problème primal : la relaxation convexe est le problème apparaissant en remplaçant un ensemble non convexe réalisable avec son enveloppe convexe fermée et une fonction non convexe par sa fermeture convexe, soit la fonction dont l'épigraphe est l'enveloppe convexe fermée de la fonction objectif primale originale.

Exemples

Programmation linéaire sur espace non convexe 
On considère le problème de minimisation 

Le maximum est atteint en .
Par la méthode de la relaxation lagrangienne, on définit le lagrangien

à partir duquel on construit le problème dual

Références 

Optimisation