Théorème de Hadwiger
Le théorème de Hadwiger est un théorème de géométrie intégrale (aussi appelée théorie des probabilités géométriques). Il caractérise les valuations sur les volumes convexes dans . Le théorème a été prouvé par Hugo Hadwiger.

Préliminaires

Valuations 
Soit  la famille de tous les ensembles convexes et compacts dans . Une valuation est une fonction   telle que  et

 

pour tous  tels que .

Une valuation est dite continue si elle est continue pour la métrique de Hausdorff. Une valuation est dite invariante par déplacements si  pour   et pour toute fonction  qui est une translation ou une rotation de .

Intégrales quermass 
Les intégrales quermass  sont définies via la formule de Steiner :

 

où  est la boule euclidienne. Par exemple,  est le volume,  est proportionnel à la mesure de surface,  est proportionnel à la largeur moyenne et  est la constante .  est une valuation homogène de degré , c'est-à-dire

Énoncé

Corollaire 
Toute valuation continue  sur  invariante par déplacements et homogène de degré   est un multiple de .

Notes et références 

Une description et une preuve du théorème de Hadwiger sont données dans

 .

Une autre preuve est donnée par D. A. Klain :
 

Une preuve élémentaire et self-contained a été donnée par Beifang Chen dans

 

Hadwiger