Polyèdre de Klein
En géométrie des nombres, le polyèdre de Klein, nommé d'après Felix Klein, est une généralisation du concept de fractions continues à des dimensions supérieures.

Définition 
Soit  un cône simplicial fermé de l' espace euclidien  . Le polyèdre de Klein de  est l' enveloppe convexe des points non nuls de  .

Relation avec les fractions continues 
Soit  un nombre irrationnel. Dans , les cônes générés par  et par permettent de créer deux polyèdres de Klein, dont chacun est délimité par une suite de segments adjacents. On définit la longueur entière d'un segment comme la taille de son intersection avec  moins 1 . Grâce à cela, on peut faire correspondre les longueurs entières des arêtes de ces deux polyèdres de Klein avec pour l'expansion en fraction continue de , l'un des polyèdres correspondant aux termes pairs et l'autre correspondant aux termes impairs.

Graphes associés au polyèdre de Klein 
Supposons que   est généré par une base de  (de sorte que ), et soit  la base dual (c'est-à-dire). X étant un vecteur , on note  la droite générée par le vecteur , et  l'hyperplan orthogonal à  .

On dit que le vecteur  est irrationnel si ; et on dit que le cône  est irrationnel si tous les vecteurs  et  sont irrationnels.

Le bord  d'un polyèdre de Klein s'appelle une voile . On peut associer à la voile d'un cône irrationnel deux graphes :

 le graphe  dont les sommets sont des sommets de , deux sommets étant reliés s'ils sont les extrémités d'une arête (unidimensionnelle) de  ;
 le graphique  dont les sommets sont les faces  -dimensionnelles (appelées chambres) de, deux chambres étant reliées si elles partagent une face de dimension  .

Ces deux graphes sont structurellement liés au graphe orienté dont l'ensemble de sommets est, où un sommet  est relié au sommet  si et seulement si  est de la forme où

 

(avec  ,) et  est une matrice de permutation. En admettant que  soit triangulaire, les sommets de chacun des graphes  et peuvent être décrits en termes de graphe  :

 Parmi tous les chemins  dans , on peut trouver un chemin dans  tel que , où  est le vecteur .
 Parmi tous les chemins  dans , on peut trouver un chemin dans  tel que , où  est le  -simplex canonique de  .

Généralisation du théorème de Lagrange 
Lagrange a prouvé que pour un nombre réel irrationnel , l'expansion en fraction continue de  est périodique si et seulement si  est un irrationnel quadratique . Les polyèdres de Klein permettent de généraliser ce résultat.

Soit  un corps de nombres de degré , et  un plongement réel de  . Le cône simplicial  est dit être divisé sur  si  où  est une base de  sur  .

Étant donné un chemin  dans, soit  . Le chemin est appelé périodique, avec une période de , si  pour tous  . La matrice de période d'un tel chemin est définie comme étant  . Un chemin dans  ou  associé à un tel chemin est également dit périodique, avec la même matrice de période.

Le théorème de Lagrange généralisé stipule que pour un cône simplicial irrationnel, avec générateurs  et comme ci-dessus et avec un voile , les trois conditions suivantes sont équivalentes:

  est divisé sur un corps de nombres réels de degré  .
 Pour chacun des  il y a un chemin périodique passant par  dans  tel que le s'approche asymptotiquement de la droite  ; et toutes les matrices de période de ces chemins commutent.
 Pour chacun des  il y a un chemin périodique passant par les chambres  dans tel que  s'approche asymptotiquement de l'hyperplan  ; et toutes les matrices de période de ces chemins commutent.

Exemple 
Prenons  et  . Le cône simplicial  est divisé . Les sommets de la voile sont les points  correspondant aux paires  de la fraction continue de  . Le chemin des sommets  dans le quadrant positif commence à  et est constitué de  . Soit  le segment de droite joignant  à  . On note  et  les réflexions de  et  suivant l'axe  . Enfin, on pose , pour que , et   .

 , ,, et .

 Les chemins  et  sont périodiques (avec une période de 1) dans , avec des matrices de période  et  . On a  et .
 Les chemins  et  sont périodiques (avec une période de 1) dans , avec matrices de période  e t . On a  et .

Généralisation de l'approximabilité 
Un nombre réel  est dit mal approximable s'il existe une constante c telle que  on ait  . Un nombre irrationnel est mal approximable si et seulement si les quotients partiels de sa fraction continue sont bornés. Ce fait admet une généralisation en termes de polyèdres de Klein.

Étant donné un cône simplicial  dans , avec , on définit la norme minimale de  comme  .

Etant donnés les vecteurs , on pose  . Il s'agit du volume (au sens euclidien) de .

Soit  la voile d'un cône simplicial irrationnel  .

 Pour un sommet  de, soit  où  sont des mailles élémentaires dans  générant les arêtes émanant de  .
 Pour un sommet  de, soit  où  sont les extrémités de  .

Alors  si et seulement si  et sont tous deux bornés.

Les quantités et sont appelés déterminants . En dimensions 2, avec le cône généré par, il s'agit des quotients partiels de la fraction continue de  .

Voir également 

 Immeuble (mathématiques)

Références 

 ON allemand, 2007, "Polyèdres et treillis de Klein avec des minima normaux positifs". Journal de théorie des nombres de Bordeaux 19 : 175–190.
 EI Korkina, 1995, «Fractions continues bidimensionnelles. Les exemples les plus simples ". Proc. Institut de mathématiques Steklov 209 : 124–144.
 G. Lachaud, 1998, "Voiles et polyèdres de Klein" en mathématiques contemporaines 210 . American Mathematical Society: 373 – 385.

Géométrie arithmétique