Coordonnées elliptiques
En géométrie, le système de coordonnées elliptiques est un système de coordonnées orthogonales à deux dimensions, dans lequel les lignes de coordonnées sont des ellipses et des hyperboles confocales. Les deux foyers  et  sont généralement considérés comme fixés à  et , respectivement, sur l'axe des  du système de coordonnées cartésiennes.

Définition 
La notation la plus courante des coordonnées elliptiques  est :

où  est un nombre réel positif et  

Sur le plan complexe, une relation équivalente est :
.

Ces définitions correspondent aux ellipses et aux hyperboles. L'identité trigonométrique :

montre que les courbes à  forment des ellipses, tandis que l'identité trigonométrique hyperbolique :

montre que les courbes à  forment des hyperboles.

Lien avec les coordonnées polaires 
Si l'on pose  et qu'on fait tendre  vers ,  et  tendent vers  et  : les coordonnées elliptiques tendent vers les coordonnées polaires (de distance radiale  et d'angle polaire ), les ellipses confocales deviennent des cercles concentriques et les hyperboles des droites passant par l'origine.

Facteurs d'échelle 
Dans un système de coordonnées orthogonales, les longueurs des vecteurs de base sont appelées facteurs d'échelle. Les facteurs d'échelle pour les coordonnées elliptiques  sont égaux à :
 .

En utilisant les identités à double argument pour les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques, les facteurs d'échelle peuvent être exprimés de manière équivalente comme :
 .

Par conséquent, un élément infinitésimal de surface est égal à :
 

et le laplacien s'écrit :
 .

D'autres opérateurs différentiels tels que  et  peut être exprimé dans les coordonnées  en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées en coordonnées orthogonales.

Voir aussi

Bibliographie 
 
 Korn GA et Korn TM. (1961) Manuel mathématique pour les scientifiques et les ingénieurs, McGraw-Hill. 
 Weisstein, Eric W. «Coordonnées cylindriques elliptiques». De MathWorld — Une ressource Web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html

Articles connexes 
 Coordonnées curvilignes 
 Coordonnées généralisées 

Système de coordonnées