Densité sur une variété
En géométrie différentielle, une densité est une notion qui sert à définir une intégrale indépendante de toute orientation. Ce faisant, elle sert d'abord à pouvoir intégrer sur une variété différentielle qui n'est pas orientable. Ensuite, la notion de densité sert aussi à définir une mesure positive sur une variété différentielle et, par conséquent, à pouvoir parler de densité de probabilité sur une variété différentielle.

Densité sur un espace vectoriel 

Définition : Une densité sur un espace vectoriel réel  de dimension  est une application  telle que :

Remarque : Cette définition se généralise au cas d'une densité définie sur un espace vectoriel complexe, voir.

Densité sur une variété 

Considérons une variété différentielle  de dimension  et soit  son fibré des repères tangents. Considérons la représentation de groupe suivante :

De cette représentation  on peut définir sur la variété  le -fibré vectoriel associé suivant :

Définition : Une densité sur une variété  est une section du fibré .

Remarque : Point par point, une densité sur une variété  est une densité d'espace vectoriel pour les fibres du fibré tangent .

Exemples 

Exemple 1 :
Soit  une forme volume sur .
Alors, la valeur absolue  définie en tout point  par :

est une densité sur .

Exemple 2 :
Soit  une variété symplectique.
Alors la valeur absolue de la forme volume de Liouville  est la densité de Liouville .

Applications 

Parmi les applications de la notion de densité sur une variété différentielle mentionnons :
 intégration sur une variété différentielle non orientable ;
 intégrales définies positives indépendamment de l'orientation pour définir une mesure :

Ceci permet entre autres de considérer une densité de probabilité sur une variété différentielle, par exemple dans un contexte de quantification géométrique.

Notes et références 

Géométrie différentielle