Fonction de perturbation
Pour deux paires d'espaces localement convexes séparés  et , en posant , on peut écrire le problème d'optimisation primal comme 

Pour un problème sous contraintes, on peut corriger  par  avec  est la fonction indicatrice de l'espace des contraintes. Une fonction  est une fonction de perturbation si elle est telle que 
.

Par exemple, pour un problème d'optimisation primal

on définit la fonction de perturbation  comme

Propriétés 

Le problème primal est dit stable si  est fini (le problème a une solution) et s'il existe un réel  tel que

Exemples

Lagrangien 

Soient  et  deux paires duales. Pour un problème primal donné (minimiser f(x)) et une fonction de perturbation associée  (F(x,y)) alors le Lagrangien  est le conjugué négatif de F par rapport à y (i.e. le conjugué concave). Le Lagrangien est défini par

En particulier la équation du minmax en dualité faible peut être vue comme

Si le problème primal est

avec, alors si la perturbation est donnée par

alors la fonction de perturbation est

Ainsi la connexion à la dualité lagrangienne peut être vue, comme L peut être changée trivialement en

Dualité de Fenchel 
Pour une fonction  convexe et fermée, on définit la transformée de Fenchel-Rockafellar ou Fenchel-Legendre ou polaire, la fonction

Elle est bien une fonction de perturbation dans le sens où

Soient  et  deux paires duales. On suppose qu'il existe une application linéaire  avec pour opérateur adjoint . On suppose que la fonction objectif primale (avec les contraintes sous forme de fonctions indicatrices) peut être écrites sous la forme  de sorte que . Alors la fonction de perturbation est donnée par
 

En particulier, si la fonction primale est  alors la fonction de perturbation est donnée par , qui est la définition traditionnelle de la dualité de Fenchel.

Références  

Optimisation
Analyse convexe