Platitude locale
En topologie, une branche des mathématiques, la platitude locale est une propriété que peut posséder une sous-variété d'une variété topologique de plus grande dimension. Dans la  des variétés topologiques, les sous-variétés localement plates jouent un rôle similaire aux sous-variétés plongées de la catégorie des variétés lisses. La platitude locale et la topologie des   sont d'une importance capitale dans l'étude des  et en génie mécanique.

Supposons avoir une variété N de dimension D plongée dans une variété M de dimension n (avec d < n).
Soit .
On dit que  N est localement plate au point x s'il existe un voisinage  de x tel que la paire d'espaces  soit homéomorphe à la paire , avec l'inclusion classique de  en tant que sous-espace de . C'est-à-dire qu'il existe un homéomorphisme de  tel que l'image de  coïncide avec .

La définition ci-dessus suppose que, si M possède une frontière, alors x n'est pas un point de la frontière de M. Si x est un point de la frontière de M alors la définition ci-dessus serait modifiée comme ce qui suit. On dit que N est localement plate à un point x de la frontière de M s'il existe un voisinage  de x tel que la paire d'espaces  est homéomorphe à la paire , où  est un demi-espace classique et  inclus en tant que sous-espace standard de sa frontière. Pour plus de détails, nous pouvons poser  et .

On dit que N est localement plate dans M si N est localement plate à chaque point . De la même manière, une application  est localement plate, même si elle n'est pas un plongement, si pour tout point  il existe un voisinage U tel que son image  est localement plate dans M.

La platitude locale d'un plongement implique de forte propriétés qui ne sont pas partagées par tous les plongements.  Le mathématicien Morton Brown prouva en 1962 que si d = n − 1, alors N est "collared"; c'est-à-dire qu'il a un voisinage qui est homéomorphe à N × [0,1] avec N lui-même correspondant à N × 1/2 (si N est à l'intérieur de M) ou N × 0 (si N est dans la frontière de M).

Voir aussi 

 Espace euclidien

Références 

 Brown, Morton (1962), Locally flat imbeddings of topological manifolds. Annals of Mathematics, Second series, Vol. 75 (1962), pp. 331–341.
 Mazur, Barry. On embeddings of spheres. Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 65 (1959), no. 2, pp. 59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034.

Topologie