Fonction hypergéometrique d'un argument matriciel
En mathématiques, une fonction hypergéométrique d'un argument matriciel est une généralisation de la notion de série hypergéométrique classique. C'est une fonction définie par sommation infinie qui peut être utilisée pour évaluer certaines intégrales multivariées. 

Les fonctions hypergéométriques d'un argument matriciel ont des applications dans la théorie des matrices aléatoires . Par exemple, les distributions des valeurs propres extrêmes de matrices aléatoires sont souvent exprimées en fonction de fonctions hypergéométriques d'un argument de matrice.

Définition 
Soit  et  deux entiers, et  une matrice carrée  symétrique à coefficients complexes. La fonction hypergéométrique d'un argument matriciel  et  de paramètre  est définie comme 

 

où  désigne une partition de ,  est le symbole de Pochhammer généralisé, et  est la normalisation "C" de la .

Deux arguments matriciels 
Si  et  sont deux matrices symétriques  à coefficients complexes, alors la fonction hypergéométrique à deux arguments matriciels est définie comme : 

 

où  est la matrice d'identité de taille .

Une fonction à argument matriciel atypique 
Contrairement à d'autres fonctions d'argument matriciel, telles que l'exponentielle matricielle, qui produisent des valeurs matricielles, la fonction hypergéométrique de (un ou deux) arguments matriciels est scalaire.

Le paramètre  
Dans de nombreuses publications, le paramètre  est omis. En outre, ce paramètre possède diverses valeurs implicites selon les publications. Par exemple, dans la théorie des matrices aléatoires réelles (voir, par exemple, Muirhead, 1984),  tandis que dans d'autres contextes (par exemple, dans le cas complexe - voir Gross et Richards, 1989), . Pire, dans la théorie des matrices aléatoires, les chercheurs ont tendance à utiliser plutôt un autre paramètre appelé  au lieu de  qui est utilisé en combinatoire. 

Dans ce cas 

 

Il faut clairement identifier le paramètre utilisé et lui associer correctement une valeur selon le contexte. 

En règle générale, dans les contextes impliquant de matrices aléatoires réelles,  et . Dans les contextes impliquant des matrices aléatoires complexes, on a  et .

Références 

 .
 .
 .
 .

Liens externes 

 Logiciel de calcul de la fonction hypergéométrique d'un argument matriciel par Plamen Koev. 

Fonction hypergéométrique