Inégalité de Remez
En mathématiques, l'inégalité de Remez, découverte par le mathématicien soviétique Evgeny Yakovlevich Remez , donne une majoration sur les normes supremum de certains polynômes, la majoration étant atteinte par les polynômes de Tchebychev.

Énoncé de l'inégalité 
Soit  un nombre positif fixé arbitraire. Définissons la classe de polynômes  comme étant l'ensemble des polynômes  de degré  tels que 

 

sur un ensemble de mesure  contenues dans l'intervalle fermé . L'inégalité de Remez affirme alors 

où  est le polynôme de Tchebychev de degré  et la norme supremum est prise sur l'intervalle . 

Puisque  est croissant sur , on a  

 

L'inégalité de Remez, combinée à une estimation des polynômes de Tchebychev, implique le corollaire suivant : si  est un intervalle fini, et  est un ensemble mesurable arbitraire, alors 

 

pour tout polynôme  de degré  .

Extensions : lemme de Nazarov – Turán 
Des inégalités similaires à ( * ) ont été prouvées pour différentes classes de fonctions et sont connues sous le nom d'inégalités de type Remez. Un exemple important est l'inégalité de Nazarov pour les sommes exponentielles    : 

 L'inégalité de Nazarov. Soit 
  
 une somme exponentielle (avec des  arbitraires ),  un intervalle fini et  un ensemble mesurable arbitraire. On a alors 
  
 où  est une constante numérique. 

Dans le cas particulier où  sont à la fois des imaginaires purs et des entiers (sous-entendu au facteur complexe  près) et que le sous-ensemble  est lui-même un intervalle, l'inégalité a été prouvée par Pál Turán et est connue sous le nom de lemme de Turán. 

Cette inégalité s'étend également aux espaces  de la manière suivante 

 

pour A > 0 indépendant de  ,  et . Quand 

une inégalité similaire est vraie pour . Pour , il existe une extension aux polynômes multidimensionnels. 

Preuve : en appliquant le lemme de Nazarov à l'ensemble on obtient l'inégalité 

 

d'où 

Maintenant, fixons un ensemble  et choisissons  tel que , c'est-à-dire 

Notons que cela implique : 

  . 
  . 

Maintenant 

ce qui complète la preuve.

L'inégalité de Pólya 
L'un des corollaires de l'inégalité de Remez est l'inégalité de Pólya, qui a été prouvée par George Pólya  et qui énonce que la mesure de Lebesgue d'un ensemble de sous-niveau d'un polynôme  de degré  est bornée en fonction de son coefficient dominant  comme suit :

Références 

  
  
  
  
  
  

Remez
Théorème d'analyse