Fibré des repères
En géométrie différentielle, un fibré des repères est un certain type de fibré principal qui correspond à un fibré vectoriel sur une variété différentielle. Les points du fibré des repères sont les repères linéaires des fibres du fibré vectoriel correspondant.

L'exemple le plus commun de fibré des repères est le fibré des repères tangents correspondant au fibré tangent d'une variété différentielle. Le fibré des repères tangents revient souvent en géométrie différentielle puisque, par réduction structurelle, il sert à définir plusieurs autres fibrés des repères dont le fibré des repères orthonormaux d'une variété riemannienne ou encore le fibré des repères symplectiques d'une variété symplectique.

La notion de fibré des repères joue un rôle important en physique théorique dont en théorie de jauge, en quantification géométrique ainsi qu'en relativité générale dans sa formulation en tétrades où des champs de repères non holonomiques sont considérés. Le fibré des repères joue aussi un rôle important en physique quantique où son double recouvrement sert à définir la notion de spin 1/2 des fermions. Ensuite, le fibré des repères joue aussi un rôle dans les théories du tout et en théorie de Kaluza-Klein où les groupes structurels en jeu, e.g. , peuvent être interprétés comme sous-groupes d'un  pour  assez grand. Enfin, l'importance de la notion de fibré des repères est que, contrairement à la notion plus générale de fibré principal, toute variété différentielle est naturellement munie d'un fibré des repères tangents.

Définition 

Soient :
 un espace vectoriel sur un corps  ;
  le groupe général linéaire de l'espace vectoriel  ;
 une variété différentielle ;
  un -fibré vectoriel sur .

Définition :
Le fibré des repères du fibré vectoriel  sur  est le -fibré principal  dont les fibres sont données en tout point  par :
.
Ici,  est la fibre de  sur le point  et  dénote l'ensemble des isomorphismes allant de l'espace vectoriel  à l'espace vectoriel .

L'action de groupe par la droite du groupe structurel  sur le fibré principal  est donnée sur chaque fibre  par la composition d'applications linéaires :

Un élément  est dit être un repère de la fibre .

Remarque : Ici la distinction est faite entre une base vectorielle (qui est un n-uplet de vecteurs) et un repère linéaire (qui est un isomorphisme entre espaces vectoriels). Néanmoins, une base vectorielle de  induit une bijection entre les bases vectorielles d'une fibre  et les repères linéaires en .

Sections d'un fibré associé à un fibré des repères 

Soit  un fibré vectoriel de fibre type  sur  et soit  son fibré des repères correspondant. Considérons la représentation de groupe canonique  donnée par  pour tout  et tout .
Alors,  est naturellement le fibré associé de son fibré des repères  pour la représentation canonique :
.
Ce faisant, à toute section  du fibré  correspond une fonction -équivariante . Plus précisément, la relation entre  et  est donnée par  en tout . Ici  dénote la classe d'équivalence en  pour la relation d'équivalence usuelle  pour tous .
Aussi, l'équivariance de  est explicitement .
Dans le présent cas spécifique des fibrés des repères,  un type particulier de fibré principal, on peut utiliser le fait que les points du fibré des repères sont des isomorphismes linéaires pour obtenir l'égalité suivante :
.
On peut aller encore plus loin.
Soit  une section trivialisante locale.
Alors, la trivialisation locale  s'écrit explicitement :
.
Cette dernière égalité est utile pour exprimer localement une base vectorielle du fibré  par un champ de repères local .

Fibré des repères tangents 

Le fibré des repères linéaires tangents sur une variété différentielle  de dimension  est le -fibré principal  qui correspond au fibré tangent . Il est aussi commun d'écrire plus simplement  au lieu de .

Le fibré tangent 

Considérons la représentation canonique  donnée par .
Le fibré tangent peut être vu comme un fibré associé du fibré des repères tangents :

Ici, on voit bien que les points du fibré des repères  correspondent à des repères linéaires tangents sur .
En effet, tout repère  induit une base vectorielle  de la fibre tangente , pour  la base canonique de .
Inversement, étant donnée une base vectorielle  de  il existe un repère  tel que .

Le fibré cotangent 

Considérons la représentation canonique duale  donnée par .
Le fibré cotangent peut être vu comme un fibré associé du fibré des repères tangents :

Le fibré tensoriel 

Plus généralement, tout tenseur sur une variété différentielle est une section du fibré tensoriel. Le fibré tensoriel peut être construit soit à partir des diverses tensorisations des fibrés tangent  et cotangent  soit à partir du fibré des repères  et des diverses tensorisations des représentations canonique et canonique duale.

Les -formes différentielles 

Une -forme différentielle est une section du fibré en droites réelles suivant :

De manière équivalente, on peut écrire ce dernier fibré comme :

pour la représentation .

Les densités 

Une densité sur une variété  est une section du fibré en droites réelles suivant :

pour la représentation . 
Les densités sont surtout considérées dans un contexte statistique sur une variété différentielle, par exemple en mécanique statistique. En effet, l'intégration d'une densité  sur  donne lieu à une mesure .

Champ de repères holonomiques et non holonomiques 

Soit  une variété différentielle de dimension ,  son fibré tangent et  son fibré des repères tangents. Un champ de repères tangents local est une section trivialisante locale du fibré des repères tangents :

La base canonique  de  et un champ de repères tangents local  induisent une base locale  du fibré tangent  sur .
Lorsque la famille de champs vectoriels  peut s'écrire comme :

pour un système de coordonnées locales  sur , on dit que  est un champ de repères holonomique. Autrement dit, un champ de repères holonomique est un champ de repères qui peut s'exprimer en termes de coordonnées locales. Il existe bien entendu des champs de repères qui ne sont pas holonomiques. L'utilité d'un champ de repères non holonomique est, par exemple, d'écrire localement une métrique pseudo-riemannienne courbe comme une métrique de Minkowski, ce qui est bien entendu impossible à faire avec un champ de repères holonomique.

Réduction structurelle et structures 

En géométrie différentielle, voici des exemples de structures géométriques couramment introduites sur une variété différentielle  de dimension  :
 une structure riemannienne  est donnée par une section du fibré des formes bilinéaires symétriques  :  ;
 une structure symplectique  ;
 une structure presque-complexe .
Ces diverses structures géométriques correspondent à diverses réductions structurelles du fibré des repères tangents.
Rappelons d'abord qu'une réduction structurelle du -fibré des repères tangents  est la donnée d'un sous-groupe de Lie  et d'un sous--fibré principal . Mathématiquement :

La correspondance entre réduction structurelle et structure géométrique est comme suit. Soit  la représentation canonique de  sur  et soit  sa représentation canonique duale. Les structures géométriques ,  et  sont des sections de fibrés associés du fibré des repères tangents pour respectivement les représentations suivantes :

Ce faisant, aux structures géométriques ,  et  correspondent des fonctions respectivement ,  et -équivariantes sur le fibré des repères tangents :

Soient  la base canonique de  et  sa base canonique duale de  définie par .
Sur  il existe des structures canoniques :
 un produit scalaire canonique ,
 une forme symplectique canonique ,
 une structure complexe canonique .
Par équivariance des fonctions ,  et  sur le fibré des repères tangents, il existe des sous-variétés où ces trois fonctions équivariantes ont pour valeurs leur version canonique ,  et  :

Ces trois sous-variétés de  sont respectivement des ,  et  sous-fibrés principaux.
C'est ainsi que les structures géométriques correspondent aux réductions structurelles du fibré des repères tangents.
Ce phénomène s'étend à d'autres domaines de la géométrie différentielle. Ainsi on peut introduire la notion de structure spinorielle, quand elle existe, par relèvement de la structure du fibré des repères orthornormaux d'une variété riemannienne. Ou encore, en quantification géométrique, une structure hermitienne  correspond à une -réduction structurelle d'un -fibré principal.

Notes et références 

Reperes