Déterminant de Dieudonné
En algèbre linéaire, le déterminant de Dieudonné est une généralisation du déterminant aux corps gauches et plus généralement aux anneaux locaux non nécessairement commutatifs.

Définition 
Soient  un anneau local (non nécessairement commutatif) et  l'abélianisé du groupe  de ses éléments inversibles (c'est le groupe quotient de  par son groupe dérivé ). Notons θ le morphisme canonique de  sur . Pour tout entier , il existe un unique application , appelée déterminant, telle que :
le déterminant est invariant par toute opération élémentaire sur les lignes consistant à ajouter à une ligne un multiple à gauche d'une autre ligne ;
le déterminant de la matrice identité est l'élément neutre  ;
si une ligne est multipliée à gauche par un élément inversible a alors le déterminant est multiplié à gauche par l'image de a dans .

Exemples 
Soit . Alors chaque ligne et chaque colonne contient au moins un élément inversible. Supposons par exemple que . Alors,

De même, si  alors
.

Plus concrètement, soit , le corps des quaternions. . Pour
,
les deux formules ci-dessus s'appliquent, donnant bien entendu le même résultat :
 et
.

Propriétés 
Cette application est un morphisme de groupes.
Quand on intervertit deux lignes, le déterminant est multiplié par .
Si  est commutatif, le déterminant est invariant par transposition.

Références

Article connexe 
Lemme de Whitehead

Déterminant