Localisation d'une catégorie
En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, la localisation de catégorie est une construction algébrique permettant d'inverser une certaine classe de morphismes. Elle a notamment des applications en topologie algébrique et en géométrie algébrique.

Définition 
Pour une catégorie  et une classe de morphismes , la localisation  de  par rapport à  est la catégorie universelle où tous les morphismes de  sont inversibles.

Plus précisément, la localisation de  par rapport à  est la donnée d'une catégorie  et d'un foncteur  tel que pour tout ,  est inversible dans  et tel que pour toute catégorie  et foncteur  satisfaisant pour tout ,  est inversible dans  il existe un unique foncteur  tel que . Cette propriété garantit l'unicité (à isomorphisme près) de la localisation, si elle existe.

Construction

Catégories de zig-zags 
Si  est un ensemble de morphismes, il est possible de construire une localisation  de  par rapport à  :
 les objets de  sont les mêmes que ceux de 
 les morphismes entre deux objets  et  sont des classes d'équivalence de « zig-zags » dans  :  avec  et  des morphismes quelconques de . Un tel « zig-zag » représente la composée .

Calcul des fractions (à gauche) 
Une classe de morphismes  admet un calcul des fractions à gauche si
 il contient les morphismes identités : ,
 il est stable par composition : ,
 tout diagramme  dans , avec  peut être complété en un carré commutatif, avec  : ,
 pour tous morphismes parallèles  tel qu'il existe  tel que , alors il existe  tel que .
Si  admet un calcul des fractions, alors la localisation de  par rapport à  existe et admet une présentation simple :
 les objets de  sont les mêmes que ceux de  ;
 les morphismes entre deux objets  et  sont des classes d'équivalence de diagrammes dans  de la forme :  avec  et  des morphismes quelconques de . Un tel diagramme représente la composée  ;
 deux tels diagrammes  et  sont équivalents s'il existe  et  tels que  et . Cette relation d'équivalence est similaire à celle intervenant dans la construction du corps des fractions ou, plus généralement, dans une localisation d'un anneau commutatif.

Exemples et applications 
 La catégorie homotopique associée à un modèle de Quillen est sa localisation par rapport aux équivalences faibles.
 Étant donné un espace topologique , la catégorie des faisceaux  peut être obtenue comme une certaine localisation de la catégorie des préfaisceaux , tel que la faisceautisation soit le foncteur de localisation.
 La localisation d'un anneau commutatif est un cas particulier de localisation d'une catégorie, où les anneaux sont vus comme des catégories (préadditive) à un seul objet.

Références 

Théorie des catégories