Houle trochoïdale
En dynamique des fluides, la houle trochoïdale est une solution exacte des équations d'Euler. Découverte en 1802 par le baron von Gerstner, elle décrit les ondes de gravité de forme périodique qui se propagent à la surface d'un fluide incompressible de profondeur infinie, en régime permanent. La surface libre de l'écoulement est une cycloïde (ou trochoïde, pour reprendre le terme de Gerstner).

C’est un exemple classique d'écoulement tourbillonnaire, et d'utilisation des coordonnées lagrangiennes. Le tourbillon est l’enveloppe des trajectoires des particules de fluide, qui ici sont des cercles dont le rayon varie avec la profondeur. Cette hypothèse n’est pas conforme aux observations expérimentales qui se manifestent par la dérive de Stokes. D’autre part, la vitesse de phase est, dans ce modèle, indépendante de l’amplitude de la houle, anomalie qui a motivé l'étude théorique d'ondes non-linéaires ensuite (telles l’onde de Stokes et l’onde cnoïdale). Pour ces raisons (et nonobstant le fait que ce modèle simple ne peut être adapté à un écoulement en profondeur finie), la houle trochoïdale ne présente plus aujourd’hui qu'un intérêt théorique et didactique.

Elle est cependant encore utilisée en infographie pour le rendu réaliste de vagues. Le champ est étendu à deux dimensions, en utilisant fréquemment un algorithme de transformée de Fourier rapide pour l’animation (temps réel).

Hypothèses et description 
On recherche un écoulement permanent et périodique dans l’espace, et l’on utilise une description lagrangienne. 
On suppose :
 l'écoulement se fait selon des rouleaux cylindriques d'axe horizontal, ce qui élimine une dimension d'espace (déformations planes) ;
 au repos, les éléments homologues du liquide occupent des droites horizontales à la profondeur  ;
 toutes les particules du liquide orbitent autour de cercles de centre fixe et de rayon  avec une pulsation uniforme ;
 Le rayon  est une fonction décroissante ;
 Le déphasage entre deux particules dont les centres de rotation sont alignés horizontalement, est proportionnel à la distance horizontale entre ces centres.

Description mathématique 
Le mouvement des particules fluides de la surface est alors

où  et  sont les positions des particules fluides dans le plan  à l’instant , où  est la coordonnée horizontale et  la coordonnée verticale (comptée positivement vers le haut, dans la direction opposée à la gravité). Les coordonnées lagrangiennes  repèrent les particules de fluide,  désignent les centres des orbites circulaires décrites par les particules de fluide avec une célérité constante  En outre est le nombre d'onde (et  la longueur d'onde), tandis que  est la vitesse de phase de l’onde dans la direction . La vitesse de phase satisfait une relation de dispersion :

qui ne dépend pas du creux , et cette vitesse de phase  est la même que celle de l'onde d'Airy en eau profonde.

Creux et crête 
La surface libre étant naturellement une isobare, il suffit pour la déterminer de poser , où  est une constante (non-positive). Les vagues les plus hautes correspondent à  : leur crête est une ligne de rebroussement. Tandis que l’onde de Stokes (irrotationnelle) d'ordre le plus élevé présente un angle de crête de 120°, celui de la houle trochoïdale est nul.

Le creux de la houle trochoïdale est . C'est une onde spatialement périodique selon , de longueur d'onde  et aussi périodique dans le temps, de période 

Le tourbillon  de la houle trochoïdale est :

Il dépend de la profondeur (lagrangienne)  et l'on voit qu’il diminue rapidement.

Application à l'infographie 

Il est aisé d'étendre les équations ci-dessus à un modèle 2D en surface (donc 3D) pour l'animation des mers et lacs en infographie car la solution classique de Gerstner satisfait exactement les équations non-linéaires de l'écoulement d'un fluide parfait sous la surface libre ; cependant, l'extension 2D ne satisfera pas, elle, ces équations exactement (quoiqu'elle le fasse approximativement, pour peu que la description lagrangienne linéarisée utilise un potentiel de vitesse). On peut facilement animer une surface aquatique agitée par le vent très efficacement grâce à la transformation de Fourier rapide (FFT). Le rendu est d'autant plus convaincant que la déformation de la surface libre présente des irrégularités (de par la description lagrangienne de l'écoulement): des crêtes effilées et des creux aplatis.

La description mathématique de la surface libre de la houle trochoïdale se fait ainsi: les coordonnées horizontales étant notées  et , et la coordonnée verticale, , la surface libre moyenne est  où  est comptée positivement vers le haut, dans la direction opposée à la gravité d'intensité . La surface libre est décrite par une équation paramétrique de paramètres ,  et du temps  qui sont fonction des coordonnées des points de la surface moyenne :  autour desquels les particules de fluide de surface tourbillonnent. L'équation paramétrique de la surface libre est   et  avec :

où  est la fonction tangente hyperbolique,  le nombre de composantes d'onde considéré,  l’amplitude des composantes  et  leurs phases. D'autre part  est le nombre d'onde et  la pulsation. Ces deux dernières,  et  ne sont pas indépendants du fait de la relation de dispersion :

où  est la profondeur moyenne de l'écoulement. En eau profonde () la tangente hyperbolique tend vers un : . Les composantes  et  du vecteur d'onde horizontal  déterminent la direction de propagation de la composante 

Le choix des différents paramètres  et  pour  et de la profondeur moyenne  détermine la forme de la surface libre. Un choix raisonné permettra une actualisation rapide par FFT. Le plus souvent, on sélectionne les nombres d'onde sur un treillis régulier dans l'espace . De là, les amplitudes  et les phases  sont arbitraires mais leur spectre de variance-densité définit un certain état de la mer. Enfin, grâce à l'algorithme de FFT, on peut simuler la surface de la mer comme un continuum  périodique dans l'espace et dans le temps, en utilisant un algorithme de facétisation ; la périodicité temporelles est simulée par un léger décalage des fréquences  donné par  pour 

Pour le rendu, on a aussi souvent besoin du vecteur normal  sur un treillis de points pour l'éclairement des facettes. On l'obtient grâce au produit vectoriel () ce qui donne :

Le vecteur normal unité est alors  où  est la norme euclidienne de

Notes et références

Notes

Références

Bibliographie 
 
 

Onde de gravité
Océanographie
Générateur de paysage