Réseau de Toda
En physique du solide, le réseau de Toda, introduit par  en 1967, est un modèle simple pour un cristal unidimensionnel.

Le modèle 
Il est donné par une chaîne de particules dont l'interaction avec le voisin le plus proche est décrit par l'opérateur hamiltonien 

et les équations du mouvement 

où  est le déplacement de la -ième particule depuis sa position d'équilibre,  est sa quantité de mouvement (masse ), et   est le potentiel Toda.

Solutions en solitons 
Les solutions en solitons sont des ondes solitaires qui se propagent dans le temps sans changement de leur forme et de leur taille et interagissent les unes avec les autres comme des particules. La solution générale de N-soliton de l'équation est 

où 

avec  et  .

Intégrabilité 
Le réseau de Toda est un exemple prototypique d'un système complètement intégrable. Pour voir celui-ci  on utilise les variables de Flaschka 

  ;

le réseau cd Toda prend alors la forme

 

Pour montrer que le système est complètement intégrable, il suffit de trouver une paire de Lax, c'est-à-dire deux opérateurs L (t) et P (t) dans l'espace de Hilbert  de séquences de carrés sommables de telle sorte que l'équation de Lax 

 

(où  est le crochet de Lie des deux opérateurs) est équivalent à la dérivée temporelle des variables de Flaschka. Le choix 

 

où f (n + 1) et f (n-1) sont les opérateurs de décalage, implique que les opérateurs L (t) pour différents t sont unitairement équivalents. 

La matrice  a la propriété que ses valeurs propres sont invariantes dans le temps. Ces valeurs propres constituent des intégrales indépendantes du mouvement, donc le réseau de Toda est complètement intégrable. En particulier, le réseau de Toda peut être résolu grâce à la  pour l'opérateur de Jacobi L. Le résultat principal implique que des conditions initiales de décomposition arbitraire (suffisamment rapide) se répartissent asymptotiquement pour t grand en une somme de solitons et une partie dispersive.

Notes et références 

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Articles liés 

  
 Bialgèbre de Lie

Liens externes 

 Eric W. Weisstein, « Toda Lattice » sur ScienceWorld 
 Gerald Teschl, The Toda Lattice 
 

Physique du solide
Système dynamique remarquable
Équation différentielle
Mécanique hamiltonienne