Calcul de Schubert
En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, le calcul de Schubert est une technique introduite à la fin du  par Hermann Schubert pour résoudre des problèmes de dénombrement en géométrie projective. C'est un précurseur de plusieurs théories plus modernes, comme celle des classes caractéristiques, et ses aspects algorithmiques font toujours l'objet de recherches ; la systématisation et la justification de ce calcul est l'objet du quinzième problème de Hilbert.

Construction 
Une construction moderne du calcul de Schubert associe à la grassmannienne  (la variété algébrique des sous-espaces vectoriels de dimension k d'un espace vectoriel V de dimension n, appelés k-plans dans la suite de cet article) son , et décrit ce dernier par un ensemble de générateurs ayant une signification géométrique. Pour un drapeau complet  avec  et un -uple d'entiers  avec, on définit l'ensemble des cycles de Schubert (appelés également cellules de Schubert lorsqu'on s'intéresse à l'homologie cellulaire plutôt qu'à l'anneau de Chow)  par :Les classes  ne dépendant pas du drapeau, on peut les écrire  ; on les appelle les classes de Schubert. On démontre que ces classes engendrent l'anneau de Chow, et, dans cette présentation, c'est la théorie de l'intersection associée qu'on appelle le calcul de Schubert. Pour une suite donnée , la classe de Schubert  est simplement notée  (ou même ). Les classes correspondant à un seul entier,  ,  sont appelées des classes spéciales. La formule de Giambeli ci-dessous montre que toutes les classes de Schubert sont engendrées par les classes spéciales.

Motivation de la définition 
L'explication des contraintes numériques de la définition vient de ce qu'un -plan  générique sera d'intersection nulle avec les  pour  et que  vaudra  pour , d'après la formule de Grassmann.

Propriétés

Inclusion 
L'ordre partiel défini sur les -uples par   pour tout  définit l'inclusion des cycles de Schubert  : .

Formule de la codimension 
On définit la codimension d'un cycle de Schubert  (ou de la classe de Schubert associée ) par la formule , laquelle est stable pour l'inclusion des grassmanniennes, c'est-à-dire que l'application  définie en ajoutant à chaque -plan le vecteur supplémentaire   (obtenant un -plan) vérifie  (en appliquant  à chaque élément de ). L'inclusion ordinaire  vérifie la même propriété.

Produit d'intersection 
La loi multiplicative de l'anneau de Chow, appelée , est une loi de composition sur les classes de Schubert. Ce produit fut d'abord construit à l'aide des formules de  Pieri et de  (lesquelles sont des cas particuliers de formules analogues pour les classes de Chern, telle que la ).

Formule de Pieri 
Le produit de la classe spéciale  avec une classe de Schubert arbitraire   est donné par la formule  (où ), appelée formule de Pieri. Par exemple, ,   et .

Formule de Giambelli 
Le calcul du produit pour des classes quelconques se fait en remplaçant la classe  par un déterminant (formel) d'une matrice  de classes spéciales : (formule de Giambelli). Par exemple,  devient  et  devient .

Relation avec les classes de Chern 
Une description simple de l'anneau de Chow (ou anneau de cohomologie) de la grassmannienne  est possible  à l'aide des classes de Chern de deux fibrés vectoriels naturels  et  au-dessus d'elle. On a la suite, où   est le fibré trivial de rang , la fibre de  sur  est le sous-espace , et  est le fibré quotient (qui existe puisque le rang est constant au-dessus de chaque fibre). Les classes de Chern correspondante sont  (où  est un -uple) et . On déduit de la séquence la présentation de l'anneau de Chow comme :.

G(2,4) 
Un exemple classique d'utilisation du calcul de Schubert est l'analyse de la grassmannienne   (qui fournit un paramétrage des droites de ), permettant d'obtenir le nombre de droites d'une surface cubique.

Anneau de Chow 
On a vu que l'anneau de Chow a la présentation ;en tant que groupe abélien gradué, il est donné par

Droites sur une surface cubique 

L'anneau de Chow précédent peut être utilisé pour calculer le nombre de droites sur une  surface cubique. Une droite de  correspond à un 2-plan de , et donc . L'équation d'une droite peut être vue comme une section de . Comme une surface cubique  est représentée par un polynôme homogène de degré 3 (générique), cela correspond à une section générique de . Ainsi, une droite  est une sous-variété de  si et seulement si la section s'annule sur . On peut donc intégrer la classe d'Euler de  sur  pour obtenir le nombre de points où la section générique s'annule sur . Pour déterminer la classe d'Euler, on doit calculer la classe de Chern totale de  ; elle est donnée par . La  , où  et  sont les classes des fibrés en droites  et , donne les relations  et  .

Comme  peut être vu comme somme directe de fibrés formels , ayant pour classe de Chern totale , on a(en utilisant  et ).

L'intégrale est donc, puisque  est la classe la plus haute. Ceci démontre qu'il y a  droites (dans l'espace projectif complexe) sur une surface cubique générale (sans singularités).

Voir aussi 

 Géométrie énumérative
 Classe de Chern

Références

Bibliographie 
 Felice Ronga, Le calcul de Schubert selon Schubert
  Notes de cours (école d’été)
  Phillip Griffiths et Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, 1978 ; chapitre 1.5
 
 
 
  David Eisenbud et Joseph Harris, 3264 and All That: Intersection Theory in Algebraic Geometry, 2016 

Géométrie algébrique