Matrice modale
En algèbre linéaire, la matrice modale  est utilisée dans le processus de diagonalisation impliquant des valeurs propres et des vecteurs propres.  

Plus précisément la matrice modale  pour la matrice  est la matrice n × n formée avec les vecteurs propres de  sous forme de colonnes. Elle est utilisée en diagonalisation 

 

où  est une matrice diagonale n × n avec les valeurs propres de  sur la diagonale principale de  et des zéros ailleurs. La matrice  s'appelle la matrice spectrale pour . Les valeurs propres doivent apparaître de gauche à droite, de haut en bas dans le même ordre que leurs vecteurs propres correspondants sont disposés de gauche à droite dans .

Exemple 
La matrice 

 

a des valeurs propres et des vecteurs propres correspondants: 

 
 
 

Une matrice diagonale , similaire, à  est : 

 

Un choix possible pour une matrice inversible  tel que  est : 

   

On peut remarquer que la matrice modale  et la matrice diagonale  ne sont pas uniques. En effet, si on permute une colonne de , on obtient une nouvelle matrice . De plus, la non unicité des vecteurs propres implique que la matrice  n'est pas unique.

Matrice modale généralisée 
Soit  une matrice n × n. Une matrice modale généralisée  de  est une matrice n × n dont les colonnes, considérées comme des vecteurs, forment une base canonique pour  et apparaissent dans  selon les règles suivantes : 

 Toutes les chaînes Jordan constituées d'un vecteur (c'est-à-dire de longueur d'un vecteur) apparaissent dans les premières colonnes de . 
 Tous les vecteurs d'une chaîne apparaissent ensemble dans les colonnes adjacentes de  . 
 Chaque chaîne apparaît dans  par ordre de rang croissant (c'est-à-dire que le vecteur propre généralisé de rang 1 apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 2 de la même chaîne, qui apparaît avant le vecteur propre généralisé de rang 3 de la même chaîne, etc.).  

On peut montrer que (1): où  est la réduction de Jordan de A.

En multipliant à gauche par , on obtient (2): 

On notera que lors du calcul de ces matrices, l'équation (1) est la plus facile des deux équations à vérifier, car elle ne nécessite pas d'inverser une matrice.

Exemple 
Cet exemple illustre une matrice modale généralisée avec quatre chaînes de Jordan.  La matrice 
 

a une seule valeur propre  avec multiplicité algébrique  . Une base canonique pour  se composera d'un vecteur propre généralisé linéairement indépendant de rang 3 (rang de vecteur propre généralisé), deux de rang 2 et quatre de rang 1 ; ou de manière équivalente, une chaîne de trois vecteurs , une chaîne de deux vecteurs , et deux chaînes d'un vecteur ,  . 

Une réduction de Jordan "presque diagonale" , similaire à , s'obtient comme suit : 
 

 

où  est une matrice modale généralisée pour , les colonnes de  sont une base canonique pour , et . Il faut remarquer que puisque les vecteurs propres généralisés eux-mêmes ne sont pas uniques, et que certaines des colonnes des deux  et  peuvent être interchangés, il s'ensuit que les deux  et  ne sont pas uniques.

Références 

 
  
  
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Matrice