Suite de Jacobsthal
En mathématiques, la suite de Jacobsthal est une suite d'entiers portant le nom du mathématicien allemand  (1882-1965). Comme la suite de Fibonacci, elle modélise l'accroissement d'une population de lapins.   

Sachant qu'un couple de lapins donne naissance à deux nouveaux couples chaque mois et que chaque couple commence à engendrer à partir du deuxième mois suivant sa naissance, on demande le nombre total de couples au n-ième mois.  

La suite commence par 0 et 1, puis chaque terme est obtenu en ajoutant le nombre précédent à deux fois le nombre anté-précédent. Les premiers termes en sont donc : 

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… .
C'est aussi une suite de Lucas , obtenue pour .

Historique 
D'après Knuth, Ernst Jacobsthal n'a probablement jamais vu les valeurs de cette suite. C'est le mathématicien australien Alwyn Francis Horadam qui a utilisé l'appellation « suite de Jacobsthal », car  (loi de Stigler).

Définition et formules 
La suite de Jacobsthal est donc définie par récurrence double par : 

L'application de la formule de Binet pour les suites récurrentes linéaires donne : 
 

on en déduit les formules de récurrence simples : 

d'où :

La fonction génératrice est 

 

La somme des inverses des nombres de Jacobsthal non nuls est environ égale à 2,7186, résultat légèrement supérieur à e. 

En prolongeant la suite aux indices négatifs de sorte à avoir , pour tout entier relatif , on a : 

 
et

Suite de Jacobsthal-Lucas 
La suite de Jacobsthal-Lucas est la suite de Lucas  associée à   :   . Seules les valeurs initiales diffèrent : 

Récurrence simple :  

 

Formule générale:  

 

Les premières valeurs sont: 

 2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537, 131071, 262145, 524287, 1048577,… .

Nombres oblongs de Jacobsthal 
Ce sont les produits de deux termes consécutifs : .      

Premières valeurs : : 0, 1, 3, 15, 55, 231,… .

Notes et références

Liens externes 
 

Suite d'entiers