Hamiltonien en théorie des champs
En physique théorique, la théorie des champs hamiltoniens est analogue à la mécanique hamiltonienne classique, appliquée à la théorie des champs. C'est un formalisme de la théorie classique des champs qui se base sur la théorie lagrangienne des champs. Elle a également des applications dans la théorie quantique des champs.

Définition 
L'hamiltonien, pour un système de particules discrètes, est une fonction qui dépend de leurs coordonnées généralisées et de leurs moments conjugués, et éventuellement du temps. Pour les systèmes continus et les champs, la mécanique hamiltonienne n'est pas adaptée, mais peut être étendue en considérant un grand nombre de masses ponctuelles, et en prenant la limite continue, c'est-à-dire une infinité de particules formant un système continu ou un champ. Puisque chaque masse ponctuelle a un ou plusieurs degrés de liberté, la formulation du champ a une infinité de degrés de liberté.

Un champ scalaire 
La densité hamiltonienne est l'analogue continu pour les champs; c'est une fonction qui dépend des champs eux-mêmes, des moments conjugués qui sont aussi des champs, et éventuellement des coordonnées spatiales et temporelles elles-mêmes. Pour un champ scalaire , la densité hamiltonienne est définie à partir de la densité lagrangienne par

 

avec  l' opérateur "del" ou "nabla",  est le vecteur de position d'un point dans l'espace, et  est le temps. La densité lagrangienne est une fonction des champs du système, de leurs dérivées spatiales et temporelles, et éventuellement des coordonnées spatio-temporelles elles-mêmes. C'est l'analogue pour les champs de la fonction lagrangienne pour un système de particules discrètes décrites par des coordonnées généralisées.

Comme en mécanique hamiltonienne, où chaque coordonnée généralisée a une impulsion généralisée correspondant, le champ  a un moment conjugué  qui est un champ, défini comme la dérivée partielle de la densité lagrangienne par rapport à la dérivée temporelle du champ,

 

dans lequel  désigne une dérivée temporelle partielle , et non une dérivée totale temporelle  .

Plusieurs champs scalaires 
Pour de nombreux champs  et leurs moments conjugués , la densité hamiltonienne est une fonction contenant toutes les variables ci-dessous:

 

où chaque champ conjugué est défini par rapport à son champ initial,

 

En général, pour n'importe quel nombre de champs, l'intégrale de volume de la densité hamiltonienne  définit l'hamiltonien , en trois dimensions spatiales: 

 

La densité hamiltonienne est l'hamiltonien par unité de volume spatial. La dimension correspondante est [énergie] [longueur] -3, en unités SI joules par mètre cube, J m -3.

Champs de tenseurs et de spineurs 
Les équations et définitions ci-dessus peuvent être étendues aux champs de vecteurs et plus généralement aux champs de tenseurs et aux champs de spineurs. En physique, les champs tensoriels décrivent les bosons et les champs spinoriels décrivent les fermions.

Équations de mouvement 
Les équations de mouvement pour les champs (ou équations de champ hamiltoniens) sont similaires aux équations hamiltoniennes pour les particules discrètes. Pour n'importe quel nombre de champs: 

où à nouveau les variables à point sont des dérivées partielles du temps. De plus la dérivée fonctionnelle par rapport aux champs vaut

 

avec · signifiant un produit scalaire. La dérivée fonctionnelle doit être utilisée ici au lieu de simples dérivées partielles. En notation d'indice tensoriel (en utilisant la convention de sommation d'Einstein), la dérivée fonctionnelle vaut

 

où  est le quadrivecteur gradient.

Espace de phase 
Les champs  et leurs conjugués  forment un espace de phase de dimension infinie, car les champs ont un nombre infini de degrés de liberté.

Crochet de Poisson 
Pour deux fonctions qui dépendent des champs  et , de leurs dérivées spatiales et des coordonnées spatio-temporelles,

 
 

et dont les champs sont nuls à la surface du volume où les intégrales sont prises en charge, le crochet de Poisson théorique de champ est défini comme (à ne pas confondre avec le commutateur de la mécanique quantique).

 

où  est la dérivée variationnelle

 

Dans les mêmes conditions de champs valant zéro en surface, le résultat suivant est valable pour l'évolution temporelle de  (de même pour  ):

 

qui peut être trouvée à partir de la dérivée temporelle totale de , par intégration par parties, et en utilisant le crochet de Poisson ci-dessus.

Indépendance temporelle explicite 
Les résultats suivants sont vrais si les densités lagrangiennes et hamiltoniennes sont explicitement indépendantes du temps (elles peuvent encore avoir une dépendance temporelle implicite via les champs et leurs dérivées),

Densités d'énergie cinétique et potentielle 
La densité hamiltonienne est la densité d'énergie totale, la somme de la densité d'énergie cinétique (  ) et la densité d'énergie potentielle (  ),

Équation de continuité 
En prenant la dérivée partielle de temps de la définition de la densité hamiltonienne ci-dessus, et en utilisant la règle de chaîne pour la différenciation de fonction implicite et la définition du champ du moment conjugué, on obtient l'équation de continuité :

 

dans laquelle la densité hamiltonienne peut être interprétée comme la densité d'énergie, et

 

est le flux d'énergie, ou flux d'énergie par unité de temps par unité de surface.

Théorie des champs relativistes 
La théorie des champs hamiltoniens covariants est la formulation relativiste de la théorie des champs hamiltoniens.

La théorie des champs hamiltoniens signifie généralement que le formalisme hamiltonien symplectique, lorsqu'il est appliqué à la théorie des champs classique, prend la forme du formalisme hamiltonien instantané sur un espace de phase de dimension infinie, et où les coordonnées généralisées sont des fonctions de champ à un instant donné. Ce formalisme hamiltonien est appliqué à la quantification des champs, par exemple dans la théorie de la jauge quantique. Dans la théorie des champs hamiltoniens covariants, les moments canoniques p μ i correspondent aux dérivées des champs par rapport à toutes les coordonnées de x μ .  Les équations de Hamilton covariantes sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange dans le cas des lagrangiens hyperréguliers. La théorie des champs hamiltoniens covariants est développée dans les variantes de Hamilton – De Donder, polysymplectique, multisymplectique  et k -symplectique . Un espace de phase de la théorie des champs hamiltoniens covariants est une variété polysymplectique ou multisymplectique de dimension finie.

La mécanique hamiltonienne non autonome est formulée comme la théorie des champs hamiltoniens covariants sur les faisceaux de fibres sur l'axe du temps, c'est-à-dire la droite réelle ℝ.

Voir également 

 Mécanique analytique
 Théorie de De Donder–Weyl
 Quadrivecteur
 Quantification canonique
 Mécanique hamiltonienne des fluides
 Théorie classique des champs covariants
 Variété symplectique
 Mécanique non-autonome

Citations

Références 

 
 Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, 
 

Géométrie symplectique
Théorie quantique des champs
Mécanique classique
Physique mathématique
Physique théorique