Suite à divisibilité faible ou forte
En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers  reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.

Définitions et premiers exemples 
La suite  est à divisibilité faible si pour tous entiers ,  > 0,  est un multiple de , ou, autrement dit :

 .

Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.

En notant , une telle suite vérifie donc pour tous , m :

.

Un exemple simple en est la suite  avec  et  entiers, car  est divisible par  d'après la formule de Bernoulli.

La suite  est à divisibilité forte si pour tous entiers , m > 0,

 .

Dans le cas où l'application  est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.

Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible car  si et seulement si  .

En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type  car .

Propriété permettant de passer de la divisibilité faible à la forte

Exemples 
Toute suite de Lucas du premier type   est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si  et  sont premiers entre eux. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.

En particulier sont à divisibilité forte :

 La suite de Fibonacci .
La suite de Pell .
 La suite des nombres de Mersenne .
 Plus généralement la suite des répunit en base b  .
Encore plus généralement la suite  avec  et  entiers premiers entre eux.

Notes et références

Voir aussi 

 Les , qui sont à divisibilité faible.
 Les fonctions arithmétiques complètement multiplicatives, qui sont des morphismes pour le produit, au lieu du pgcd.

Fonction arithmétique
Suite d'entiers
Suite