Intégration de Lebesgue-Stieltjes
En théorie de la mesure, lintégrale de Lebesgue-Stieltjes généralise les intégrales de Riemann-Stieltjes et de Lebesgue, avec les avantages de la première méthode dans un contexte de théorie de la mesure plus général. L'intégrale de Lebesgue-Stieltjes est l'intégrale de Lebesgue classique faite selon une mesure dite de Lebesgue-Stieltjes, qui peut être associée à une fonction à variation bornée sur la droite réelle. La mesure de Lebesgue–Stieltjes est une mesure de Borel régulière, et réciproquement, toute mesure de Borel régulière sur la droite réelle est d'un tel type.

Les intégrales de Lebesgue–Stieltjes, nommées d'après Henri Lebesgue et Thomas Joannes Stieltjes, sont aussi appelées intégrales de Lebesgue-Radon ou plus simplement intégrales de Radon, du nom de Johann Radon, qui a produit une grande partie de la théorie sur laquelle elle repose. Leurs applications les plus communes sont dans la théorie des probabilités et les processus stochastiques, et dans certaines branches de l'analyse dont la théorie du potentiel.

Définition 
L'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

est définie pour    Borel-mesurable
et bornée et    à variation bornée sur  et continue à droite, ou si  positive et  monotone et continue à droite. On supposera d'abord  positive et  croissante et continue à droite. On définit  sur les intervalles :  et  (si  est continue à gauche, on pourra poser  et ).

Par le théorème d'extension de Carathéodory, il existe une unique mesure de Borel  sur  égale à  sur tout intervalle . La mesure  émerge d'une mesure extérieure (en fait, une mesure métrique définie par

l'infimum étant pris sur tous les recouvrements de  par des intervalles semi-ouverts dénombrables. Cette mesure est parfois appelée la mesure de Lebesgue–Stieltjes associée avec .

L'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

est définie comme l'intégrale de Lebesgue de  selon la mesure  classique. Si  est décroissante, on pose

et on revient à la définition précédente.

Si  est à variation bornée et  est bornée, il est possible d'écrire

où  est la variation totale de  sur l'intervalle , et . Les fonctions  et  sont toutes deux monotones croissantes. Alors l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes selon  est définie par

avec les deux intégrales définies selon les constructions précédentes.

Intégrale de Daniell 
Une approche alternative  revient à définir l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes comme l'intégrale de Daniell par extension de l'intégrale de Riemann–Stieltjes usuelle. Soit  une fonction croissante continue à droite sur , et on note  l'intégrale de Riemann–Stieltjes

pour toute fonction continue . La fonctionnelle  définit une mesure de Radon sur . On peut étendre cette fonctionnelle sur la classe de toutes les fonctions positives en posant :

Pour les fonctions Borel-mesurables, on a

et les deux termes peuvent servir à définir l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes de . La mesure extérieure  est définie par

où  est la fonction indicatrice de .

Les intégrandes à variation bornée sont considérés comme précédemment en séparant les variations positive et négative.

Exemple 
Supposons  un arc rectifiable sur le plan et  une fonction Borel-mesurable. Alors on peut définir la longueur de  selon la métrique euclidienne pondérée par  par

avec  la longueur de la restriction de  sur . On appelle parfois cette valeur la -longueur de . Cette notion est utile pour plusieurs applications : par exemple, dans un terrain boueux, la vitesse à laquelle une personne peut se déplacer va dépendre de la profondeur de boue. Si  désigne l'inverse de la vitesse de marche proche de , alors la -longueur de  est le temps nécessaire à traverser . Le concept de  utilise cette notion de -longueur de courbes et utilisé dans l'étude des applications conformes.

Intégration par parties 
Une fonction  est dite "régulière" au point  si les limites à gauche et à droite  et  existent, et la fonction prend alors en  la valeur moyenne

Soient deux fonctions  et  de variation finie, si en tout point au moins une des deux fonctions entre  et  est continue ou  et  sont régulières, alors on peut définir une intégration par parties pour l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

Ici, les mesures de Lebesgue–Stieltjes pertinentes sont associées aux versions continues à droite de  et  ; soit en utilisant  et, de façon similaire,  L'intervalle borné  peut être remplacé par un intervalle non borné ,  ou  tant que  et  sont de variations finies sur cet intervalle non borné. On peut même étendre aux fonctions à valeurs complexes.

On a également un résultat alternatif d'importance significative en calcul stochastique : pour deux fonctions  et  de variations finies, toutes deux continues à droite et ont des limites à gauche (on parle de fonctions càdlàg) alors on a

avec .

Ce résultat peut être vu comme un précurseur du lemme d'Itô, et trouve son application dans la théorie de l'intégration stochastique. Le terme final vaut , qui apparait dans la covariation quadratique de  et . (Le résultat précédent peut être vu comme une proposition précédant l'intégrale de Stratonovich).

Concepts reliés

Intégration de Lebesgue 
Avec  pour tout  réel, alors  est la mesure de Lebesgue, et l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes de  selon  se réduit à l'intégrale de Lebesgue de .

Intégration de Riemann–Stieltjes et théorie des probabilités 
Soit  une fonction réelle à valeurs réelles continue et  une fonction réelle croissante, l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes est équivalente à l'intégrale de Riemann-Stieltjes, où on écrit souvent

pour l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes, avec la mesure  restant implicite. Ce résultat est commun en théorie des probabilités où  est la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle , alors

Notes

Références 
 
 .

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Théorie de la mesure
Analyse réelle
Théorie de l'intégration