Théorème de Bateman
Le théorème de Bateman, publié en 1972, fournit un développement asymptotique de la moyenne du nombre d'antécédents de la fonction indicatrice d'Euler, que l'on note  par la suite.

Énoncé 

Notons  pour  et  pour , il existe alors une constante  telle que

Notons que  est fini pour tout . En effet, d'après l'estimation  où  désigne la constante d'Euler-Mascheroni, on a  dès lors que  donc .

Démonstration 

Dans toute la suite, on désigne par  un nombre complexe, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont notées respectivement  et .

Série de Dirichlet associée 

La série  converge absolument sur le demi-plan complexe  d'après l'inégalité précédente. Notons  la série de Dirichlet associée à , la sommabilité permet d'effectuer une sommation par paquets : , on en déduit que le produit eulérien de  s'écrit

où dans le produit  parcourt l'ensemble des nombres premiers.

Lien avec la fonction zêta de Riemann 

En utilisant le produit eulérien de la fonction , on a  pour  où le produit  est défini par

Notons que le produit définissant  est absolument convergent dans le demi-plan complexe  d'après l'inégalité

Aussi, on obtient à l'aide du produit eulérien de la fonction  l'égalité .

Majoration du produit G(s) 

On se place ici dans le domaine défini par  et . On a d'après l'inégalité précédente

D'une part  dès lors que  donc  d'après les estimations de Mertens. D'autre part, grâce à une sommation d'Abel et aux estimations de Tchebychev,  de sorte que . Il existe ainsi une constante  telle que .

Développement asymptotique de Φ 

D'après la formule de Perron (voir Remarques)

pour tout  où l'intégrale est semi-convergente pour  non entier et converge en valeur principale pour  entier. On choisit  et on évalue l'intégrale en déformant la droite d'intégration, que l'on remplace par la courbe . On scinde l'intégrale sur le contour déformé aux points  pour une constante convenable , celle-ci est  pour une constante  d'après la majoration  (voir Remarques). Le théorème des résidus fournit alors le développement asymptotique suivant :

De la croissance de  on en déduit que

pour tout . En choisissant  et en remplaçant  par sa valeur on en déduit le développement asymptotique suivant :

pour une constante .

Corollaire 

D'après la relation  on a .

Remarques

Formule de Perron 

On pose  lorsque  et  lorsque , on a alors d'après la formule de Perron

pour tout  où  désigne l'abscisse de convergence simple de la série de Dirichlet . On en déduit que

   et  
d'où

pour tout  et .

Majoration de la norme du logarithme ζ 
On a la relation .

Lemme 

Il existe une constante  telle que  ne possède aucun zéro dans la région du plan complexe défini par  (voir l'article Histoire de la fonction zêta de Riemann). Ainsi tout zéro non trivial  de  vérifie l'inégalité . Cela implique la minoration

où  parcourt l'ensemble des zéros non triviaux de , dans le domaine du plan complexe défini par  et . En effet, si  est un zéro non trivial, alors

 si , alors en posant ,

 quitte à diminuer .

 si , alors  d'où  et .

Le produit de Hadamard de  fournit

où la somme s'étend sur tous les zéros non triviaux de . On en déduit l'existence d'une constante  telle que  sur le domaine  et .

Démonstration de la majoration 

On se place dorénavant dans le domaine défini par  et . Posons  et , alors pour tout  dans le disque , le point  vérifie  et  donc

d'après le lemme. Posons , alors  pour tout  dans le disque . Sachant que , le lemme de Borel-Carathéodory implique la majoration

On utilise enfin le développement en série de Dirichlet de  :

où  désigne la fonction de von Mangoldt, ce qui permet d'en déduire que . On peut finalement conclure :

et

d'où finalement  dans le domaine du plan complexe défini par  et .

Notes et références

Voir aussi 
 Fonction zêta de Riemann
 Série de Dirichlet

Analyse réelle
Théorie analytique des nombres