Formules trigonométriques en kπ/9
Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de .

Valeurs approchées 
Le nombre  a pour développement décimal :  , .

Le nombre  a pour développement décimal :  , .

Constructibilité 
Le nombre  n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'ennéagone régulier.

Expression par radicaux 
Le nombre  est exprimable par radicaux complexes : 

mais n'est pas exprimable par radicaux réels. C'est le casus irreducibilis.

Polynômes minimaux 

 L'équation  a pour solutions :
  ,
 ce qui montre que  est la moitié d'un entier algébrique.

L'équation  a pour solutions :
  ,  ce qui montre que  est le quotient d'un entier algébrique par .
Démonstration succincte 
En utilisant les polynômes de Tchebychev et en factorisant on obtient  où .  En changeant  en  dans , on obtient ,
et  se factorise bien en .
 L'équation  a pour solutions :
  ,  ce qui montre que  est le quotient d'un entier algébrique par  .

Formules homogènes 
On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux  solutions des équations précédentes :

 

La deuxième relation, qui s'écrit aussi , s'appelle la première loi de Morrie.

 

La deuxième relation, qui s'écrit aussi , s'appelle la deuxième loi de Morrie.

Liens externes

Voir aussi 

 Formules trigonométriques en kπ/7
Polynômes minimaux des valeurs spéciales trigonométriques
Identités trigonométriques

Trigonométrie
Trigonometrie