Constante de Kepler-Bouwkamp
En mathématiques, la constante de Kepler-Bouwkamp est la limite des rayons d'une suite de cercles concentriques dans lesquels sont inscrits successivement des polygones réguliers dont le nombre de côtés augmente d'une unité à chaque étape, en partant d'un cercle de rayon 1 et d'un triangle inscrit.

Détermination de cette constante 
Les premières étapes de la construction sont les suivantes : on inscrit dans un cercle unité  un triangle équilatéral, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle . Dans  on inscrit un carré, à l'intérieur duquel on inscrit un cercle . Dans  on inscrit un pentagone régulier, dans lequel on inscrit un cercle , etc.

Le rayon du cercle inscrit dans  rapporté à celui du cercle circonscrit est égal à .

La constante de Kepler-Bouwkamp, limite des rayons des cercles  lorsque  tend vers l'infini est donc égale au produit infini : .

Ce produit infini est bien convergent (même absolument) car  et la série  est absolument convergente.

Les décimales de ce nombre forment la .

Origine de la construction 

Cette construction provient d'une idée de Kepler qui a un temps pensé qu'avec les premiers cercles l'on pouvait approcher les orbites autour du Soleil de Jupiter, Saturne (cercles   et ) , de Mars et de la Terre (cercles  et ). Pour rendre ce modèle plus conforme aux données astronomiques, il passera de la géométrie plane à la géométrie dans l'espace, substituant aux polygones réguliers des polyèdres réguliers inscrits dans des sphères, utilisant les cinq solides de Platon pour les six planètes connues à l'époque (solides qui approchaient le mieux la perfection divine de la sphère).

Les calculs de Bouwkamp 
Dans un article paru en 1965 dans la revue Indagationes Mathematicae,  donne une valeur approchée de l'inverse  de la constante de Kepler-Bouwkamp. Cette valeur correspond au processus inverse de celui décrit dans cet article : on part d'un cercle unité, que l'on inscrit dans un triangle équilatéral, lui-même inscrit dans un cercle que l'on inscrit dans un carré, etc. et  est la limite des rayons des cercles ainsi obtenus.

Il mentionne d'abord que les mathématiciens Edward Kasner et  donnent une valeur approchée erronée de , environ égale à 12, dans leur ouvrage , paru en 1940.

Il donne ensuite les deux méthodes de calcul employées.

La première utilise la relation que justifie Bouwkamp :où  est la fonction zêta de Riemann et . À l'aide de tables de valeurs de la zêta, il obtient . La deuxième méthode cherche à pallier la lenteur de convergence de la suite de terme général . Pour cela, Bouwkamp écrit  oùen choisissant  de sorte que  soit calculable explicitement et que le produit infini  converge rapidement. En prenant  (obtenu par développement asymptotique de ), il obtient  en utilisant un ordinateur.

Les décimales de  forment la .

Références

Liens externes 
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Kepler-Bouwkamp