Conjecture de Singmaster
La conjecture de Singmaster, nommée ainsi en l'honneur de David Singmaster, affirme qu'il y a un majorant fini des multiplicités des termes du triangle de Pascal (autres que 1 qui apparaît un nombre infini de fois), à savoir le nombre de fois où un terme apparaît dans le triangle. Paul Erdős a dit que la conjecture de Singmaster était probablement vraie mais qu'elle serait très difficile à démontrer.

Conjecture et résultats connus 
Il est clair que le seul nombre qui apparaît une infinité de fois dans le triangle de Pascal est 1 car tout autre nombre x ne peut apparaître que dans les x + 1 premières lignes du triangle.

Soit N(a) le nombre de fois où le nombre a > 1 apparaît dans le triangle de Pascal. En notation « grand O de », la conjecture affirme que :

Singmaster a montré que 

Abbot, Erdős, et Hanson affinèrent l'estimation. La meilleure limite actuelle, due à Daniel Kane, est 

Singmaster a montré que l'équation diophantienne

a une infinité de solutions (m, j). Il s'ensuit qu'il y a une infinité de termes de multiplicité au moins 6. Les solutions sont données par 

où ℓ ≥ 2 et F est le n-ième nombre de Fibonacci (indicé selon la convention suivante : F1 = F2 = 1).

Exemples numériques 
 2 apparaît une seule fois ; tout nombre plus grand apparaît plus d'une fois.
 4, ainsi que tout nombre premier différent de 2, apparaît 2 fois.
 6 apparaît 3 fois.
 Beaucoup de nombres apparaissent 4 fois.
 On ne sait pas s'il existe des nombres apparaissant 5 fois.
 Les sept nombres suivants apparaissent 6 fois :

 

 

 

 

 

 

qui correspond à ℓ = 3 dans la suite de Singmaster.
Parmi les autres nombres apparaissant au moins 7 fois, le plus petit est le précédent dans la suite de Singmaster (ℓ = 2). Il apparaît 8 fois :On ne sait pas s'il existe d'autres nombres apparaissant au moins 7 fois.

Voir aussi

Notes et références

Liens externes 
 Bruno Martin — « Une conjecture sur le triangle de Pascal » — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Combinatoire
Singmaster
Triangle de nombres
Coefficient binomial