Application non expansive
En mathématiques, une application non expansive entre espaces normés est une application 1-lipschitzienne. Il s'agit donc du cas limite des applications contractantes, qui sont les applications k-lipschitziennes pour un k < 1.

Contrairement aux applications contractantes, les applications non expansives n'ont pas nécessairement de point fixe (par exemple, une translation de vecteur non nul est non expansive et n'a pas de point fixe). Par ailleurs, même si une application non expansive  a un point fixe, une suite d'itérés  ne converge pas nécessairement vers un tel point (c'est le cas pour une symétrie centrale) ; on peut toutefois obtenir des résultats de convergence vers un point fixe d'au moins deux manières : soit en imposant des conditions plus restrictives sur l'application (sans toutefois aller jusqu'à la contraction), soit en modifiant la suite des itérés.

Définitions 

Soient  un espace normé,  un fermé de  et  une application (non nécessairement linéaire).
On dit que  est non expansive si

Si l'espace  est un espace de Hilbert, on dit que  est  si

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une application fermement non expansive est non expansive ; elle est aussi monotone.

Point fixe 
On rappelle qu'un espace strictement convexe est un espace normé dans lequel : .

Approximations successives 
On s'intéresse ici, pour une application non expansive , à la convergence des « approximations successives »  vers un point fixe éventuel.

Ce résultat ne peut pas être généralisé à tous les espaces uniformément convexes.

Notes et références 

Analyse (mathématiques)
Analyse fonctionnelle
Analyse convexe