Théorème porte-manteau
En mathématiques, le théorème porte-manteau, théorème de Portmanteau ou de Portemanteau est un théorème de probabilité qui fournit une liste de caractérisations de la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires.

Convergence en loi 

Soit X une variable aléatoire et soit  une suite de variables aléatoires, toutes à valeurs dans le même espace métrique (E,d).

La convergence en loi est souvent notée en ajoutant la lettre  au-dessus de la flèche de convergence:

Énoncé 

Ici,  désigne la frontière, ou le bord de A.

Conséquences

Pour des variables réelles 
D'un point de vue pratique, les propriétés 2 à 5 sont rarement utilisées pour démontrer la convergence en loi, mais la propriété 5 est certainement une conséquence importante de la convergence en loi. D'une part, la propriété 5 préfigure le  ; par ailleurs la propriété 5 possède un cas particulier d'usage fréquent, dans le cas où E est la droite réelle :

Cette proposition est en fait une équivalence, et sert souvent, dans le cas des variables aléatoires réelles, de  définition de la convergence en loi. En effet, d'un point de vue pédagogique, elle permet d'utiliser efficacement cette notion sans pour autant avoir eu à construire préalablement la théorie de la mesure.

Pour des variables discrètes 

Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un ensemble dénombrable, muni de la topologie discrète, le théorème porte-manteau donne un critère très simple de convergence en loi.

Démonstration du théorème porte-manteau 
Cette démonstration est adaptée de .

Historique 
D'après Billingsley ou Kallenberg, le théorème porte-manteau est dû à Alexandrov. Dans la deuxième édition de Convergence of Probability Measures, Billingsley attribue le théorème à Jean-Pierre Portmanteau, de l'université de Felletin, dans un article de 4 pages que Jean-Pierre Portmanteau aurait publié en 1915 dans les Annales de l'Université de Felletin, sous le titre farfelu « Espoir pour l'ensemble vide ? ». Il s'agit d'un canular : il n'y a pas de mathématicien portant le nom de Jean-Pierre Portmanteau, et il n'y a jamais eu d'université à Felletin.

Notes et références 

porte-manteau