Cône (topologie)
En topologie, et en particulier en topologie algébrique, le cône  d'un espace topologique  est l'espace quotient :du produit de  par l'intervalle unité .
Intuitivement, on forme un cylindre de base  et on réduit une extrémité du cylindre à un point.

Exemples 
 Le cône construit sur un point  de la droite réelle est le segment .
 Le cône construit sur deux points {0,1} est un "V" avec les extrémités en 0 et 1.
 Le cône construit sur un intervalle I de la droite réelle est un triangle plein, aussi appelé 2-simplexe (voir l'exemple final).
 Le cône construit sur un polygone P est une pyramide de base P.
 Le cône construit sur un disque est le cône solide de la géométrie classique (d'où le nom de ce concept).
 Le cône construit sur un cercle est la surface du cône précédent :Ce dernier est homéomorphe au disque fermé.
 Plus généralement le cône construit sur une n-sphère est homéomorphe à la (n+1)-boule fermée.
 Le cône construit sur un n-simplexe est un (n+1)-simplexe.

Propriétés 

Le cône d'un espace non vide est contractile (en particulier connexe par arcs et simplement connexe), puisqu'il se rétracte par déformation sur son sommet par l'homotopie ht(x,s) = (x, (1–t)s).

Le cône est utilisé en topologie algébrique précisément parce qu'il transforme un espace en un sous-espace d'un espace contractile : .

Lorsque  est compact, le cône  peut être visualisé comme la réunion des segments joignant tout point de  à un point unique. Cependant, cette image ne fonctionne plus si  n'est pas quasi-compact ou pas séparé, car généralement la topologie quotient sur  est plus fine que la topologie de la réunion des segments joignant  à un point.

Si  est un CW-complexe, alors  aussi. Si deux espaces ont même type d'homotopie, leurs cônes aussi.

Lien avec le cône d'une application 
Si  est une fonction continue, on définit le cône  de l'application  comme le quotient de la réunion disjointe  par l'identification de chaque élément  de  avec son image  dans . L'inclusion de  dans  est alors une cofibration.

Le cône de l'application identité de  est . Celui de l'écrasement de  sur un point est la suspension  de .

Cône réduit 
Si  est un espace pointé, son cône réduit est

muni de la topologie quotient et pointé par l'image, dans ce quotient, du couple . L'inclusion naturelle de l'espace pointé dans son cône respecte ce pointage.

De même que le cône d'un espace non pointé est le cône de son application identité, le cône réduit d'un espace pointé est le cône réduit de son application identité.

Foncteur Cône 
L'application  induit un foncteur  sur la catégorie des espaces topologiques. L'application continue  de  vers  associée à une application continue  est définie par : . On a de même un foncteur  sur la catégorie des espaces pointés.

Notes et références

Articles connexes 
 Joint (mathématiques)
 Cylindre (topologie)

Topologie algébrique
Construction topologique