Identité de Binet-Cauchy
En mathématiques, et plus particulièrement en  algèbre, l’identité de  Binet–Cauchy, due à  Jacques Philippe Marie Binet et Augustin-Louis Cauchy, dit que :
 
pour des ensembles quelconques de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, d'éléments d'un anneau commutatif). Dans le cas particulier
où ai = ci et bj = dj, elle se réduit à l'identité de Lagrange.

Relation avec l'algèbre extérieure 
Utilisant le produit scalaire et le produit extérieur, l'identité peut s'écrire

où a, b, c, et d sont des vecteurs à n coordonnées.  On peut encore la voir comme une formule donnant le produit scalaire de deux produits extérieurs en fonction de produits scalaires :

Dans le cas particulier de vecteurs égaux (a=c et b=d), la formule devient (identité de Lagrange)
.

Démonstration 
Développant le dernier terme, et ajoutant et retranchant des sommes complémentaires bien choisies, on obtient :

,
ce qui permet de regrouper ainsi  :

Factorisant les termes indexés par  i, l'identité en résulte.

Généralisation 
Une forme plus générale, connue comme la formule de Binet-Cauchy,  dit que, si A est une matrice m×n et B est une matrice n×m, on a 

où, S  étant un sous-ensemble de {1, ..., n} ayant  m éléments,  AS est la matrice m×m dont les colonnes  sont celles de A ayant leurs indices dans S, et  de même BS est la matrice m×m formée des lignes de  B d'indices dans S ; dans cette formule, la somme est prise sur tous les sous-ensembles possibles.

L'identité de Binet-Cauchy s'en déduit comme cas particulier, en posant

Notes et références

Identité mathématique