Théorème d'Erdős-Mordell
Le théorème d'Erdős-Mordell, ou l'inégalité d'Erdős-Mordell, est un théorème de géométrie euclidienne donnant une comparaison entre la somme des distances d'un point aux côtés d'un triangle et la somme des distances aux sommets.Il porte les noms des mathématiciens Paul Erdős qui l'a conjecturé en 1935 et Louis Mordell qui l'a prouvé en 1937, conjointement avec , en utilisant la trigonométrie. Des preuves plus élémentaires que celle de Mordell furent données par Donat K. Kazarinoff en 1945, puis par Leon Bankoff en 1958.

Énoncé 
Pour tout point M intérieur à un triangle ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux trois sommets est ou supérieure ou égale au double de la somme des distances de M aux [droites portant les] trois côtés, avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral et M en est le centre.

Plus précisément, soit ABC un triangle, M un point intérieur à ce triangle,  H, K et L les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AC), (BC) et (AB). L'inégalité d'Erdős-Mordell s'énonce : 

.

Une démonstration 
On montre d'abord .

D'après la cocyclicité de H, M, L, A (angles droits en H et L) , les angles  et  sont égaux.

Notons maintenant E et F les projections orthogonales de B et C sur la droite (LH). On a alors

 

Les angles opposés par le sommet  et  étant égaux, donc aussi  et , les triangles rectangles BLE et HMA sont semblables, ce qui implique . On montre de façon similaire que .

On obtient donc .

D'autre part, le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère inscriptible ALMH permet d'écrire que .

En combinant les deux résultats, on obtient l'inégalité voulue. De même,  et .

En additionnant membre à membre ces trois inégalités, on obtient bien :

  
 car  pour tout .

La deuxième inégalité est une égalité si et seulement si AB = BC = CA autrement dit si le triangle est équilatéral.

La première inégalité est une égalité si seulement si (EF) est parallèle à (BC) et de même pour les deux autres cas, donc si et seulement si M se trouve sur les trois hauteurs, donc enfin si et seulement si M est le centre du triangle.

Généralisation aux polygones convexes 
Pour tout point M intérieur à un polygone convexe à n côtés ou situé sur sa frontière, la somme des distances de M aux n sommets est ou supérieure ou égale à la somme des distances de M aux [droites portant les] n côtés divisée par .

Notes et références

Voir aussi

Article connexe 

 Point de Fermat réalisant le minimum de

Liens externes 
 Théorème d'Erdös-Mordell sur bibmath.net
  Erdös-Mordell Inequality sur Cut The Knot

Géométrie du triangle
Erdős-Mordell