Positionnement multidimensionnel
Le positionnement multidimensionnel  est un ensemble de techniques statistiques utilisées dans le domaine de la visualisation d'information pour explorer les similarités dans les données. Le positionnement multidimentionnel est un cas particulier d'analyse multivariée. Typiquement, un algorithme de positionnement multidimensionnel part d'une matrice de similarité entre tous les points pour affecter à chaque point une position dans un espace à  dimensions. Pour  = 2 ou  = 3, les positions peuvent être visualisées sur un plan ou dans un volume par un nuage de points.

Cadre général 

Étant donné  points  dans un espace de dimension , le positionnement multidimensionnel consiste à représenter ces points dans un espace de dimension  par  nouveaux points   en conservant les proximités. On se donne pour cela une matrice de distance  qui peut être définie par la distance euclidienne . Si on part de valeurs de similarité, il faut les convertir en valeurs de vraie distance mathématique, car il faut conserver à l'esprit que distance et similarité sont des notions opposées : plus faible est la distance, plus grande est la similarité, et réciproquement. Présenté sous cet angle, le positionnement multidimensionnel est une technique de réduction de dimension, au même titre que l'analyse en composantes principales.

En pratique, le positionnement multidimensionnel consiste à trouver  vecteurs  de taille  qui minimisent une fonction de coût  appelée stress.

Positionnement multidimensionnel métrique 

Un positionnement multidimensionnel métrique se réfère à une fonction de coût définie par la distance euclidienne ou le produit scalaire entre les points .

Une fonction de coût naturelle pour le positionnement multidimensionnel est 

mais cette formulation n'a en général pas de solution explicite.

Positionnement multidimensionnel classique 

Pour le positionnement multidimensionnel classique, la fonction de coût est remplacée par

Le terme  est défini par  avec . De façon générale, la matrice , matrice de similarité, peut être obtenue à partir d'une matrice de distance  par double centrage : 

où  est une matrice de taille  ne contenant que des uns.

Cette formulation a l'avantage d'avoir une solution explicite par décomposition de  en éléments propres. Soient  les  plus grandes valeurs propres et  les vecteurs propres correspondants. Alors une solution pour le positionnement multidimensionnel est de prendre comme vecteurs  les colonnes de la matrice  , où  est la matrice des vecteurs propres transposée et  est la matrice diagonale des valeurs propres.

Positionnement multidimensionnel non métrique 

Le positionnement multidimensionnel non métrique s'intéresse aux méthodes qui privilégient l'ordre des proximités sur la conservation des distances. La fonction de coût à minimiser est 

.

On permet à la fonction  de s'adapter lors de l'optimisation. Pour ce faire, on peut calculer une régression monotone des points .

Voir aussi 
Exploration de données
Analyse des données

Notes et références
 
 

Analyse des données
Exploration de données