Champ de Jacobi
En géométrie riemannienne, un  champ de vecteurs de Jacobi ou champ de Jacobi, du nom du mathématicien allemand Charles Jacobi, est un champ de vecteurs le long d'une géodésique c dans une variété riemannienne, décrivant la différence entre c et une famille de géodésiques « infiniment proches ». L'ensemble des champs de Jacobi le long d'une géodésique forme l'espace vectoriel tangent à la géodésique dans l'espace de toutes les géodésiques.

Définition formelle 
Soit  une variété riemannienne,  un intervalle de ℝ et  :  une courbe différentiable. Un champ de vecteurs le long de  est une application :  telle que, pour tout point  ,  ; où  désigne le fibré tangent à  et M, l’espace vectoriel tangent au point . 
Un champ de vecteurs  le long d'une géodésique c est appelé champ de Jacobi s'il satisfait l'équation de Jacobi :

Où, dans cette équation,  désigne la connexion de Levi-Civita de  et R son tenseur de courbure.

Points conjugués 
En gros, deux points d’une variété riemannienne sont dits conjugués s’ils peuvent presque être joints par une famille (à 1 paramètre) de géodésiques. L’exemple le plus frappant est donné par le pôle nord et le pôle sud sur la sphère, qui peuvent être joints par tout méridien. On montre qu'une variété riemannienne de courbure sectionnelle constante  possède des points conjugués si et seulement si .

Définition 
Soient  et  deux points d’une variété riemannienne joints par une géodésique c. On dit qu’ils sont conjugués s’il existe un champ de Jacobi  non nul le long de c qui s’annule en  et .

Exemples 
 Sur la sphère , de courbure sectionnelle , les points antipodaux sont conjugués.
 Sur  euclidien, il n’existe pas de points conjugués.
 Plus généralement, le théorème de Cartan-Hadamard montre que sur une variété de courbure négative (au sens large), il n'y a jamais de points conjugués.

Bibliographie

Références 

Étude des géodésiques
Jacobi