Intégrale de Borwein
En mathématiques, une intégrale de Borwein est une intégrale mettant en jeu des produits de sinc(ax), où sinc est la fonction sinus cardinal, définie par sinc(x) = sin(x)/x. Les intégrales de Borwein, découvertes par David Borwein et Jonathan Borwein en 2001, présentent des régularités apparentes qui finissent par cesser. Ainsi,

Ce schéma continue jusqu'à

.

Cependant, à l'étape suivante, on a l'étrange résultat

Plus généralement, des intégrales similaires ont pour valeur  chaque fois que les nombres 3, 5, ... sont remplacés par des réels positifs dont la somme des inverses est inférieure à 1. Dans l'exemple précédent, , mais .

En ajoutant un facteur supplémentaire, , dans le produit, le schéma peut être prolongé : on a 

mais

Dans ce cas, on a , mais 

Les preuves de ces schémas ont été établies par des démonstrations intuitives. En particulier, une reformulation en termes de marche aléatoire, couplée à un argument de causalité, éclaire le changement de comportement des intégrales de Borwein, et permet des généralisations à des familles reliées.

Explication du phénomène 
La théorie de Fourier donne des éléments de réponse : la fonction sinus cardinal est la transformée de Fourier d'une fonction porte et la fonction intégrée est la transformée de Fourier du produit de convolution de plusieurs fonctions porte. Cette convolution multiple va entrainer un lissage de la fonction porte initiale, mais surtout une « érosion » du plateau de celle-ci au fil des convolutions, jusqu'au point où celui-ci n'est plus visible, provoquant le décrochage de la suite d'intégrales.

Formule générale 
Pour une suite de nombres réels non nuls , on peut associer une intégrale de la forme

 

Pour établir la formule, on devra considérer des sommes à partir des . En particulier, si  est un n-uplet où chaque terme vaut , alors on écrit , qui est une variation de la somme alternée, et le produit . Avec ces notations, l'intégrale se réécrit :

 

avec   si , et

 sinon.

Le cas de Borwein correspond à la suite .

Pour  on a , et  mais . Ainsi, puisque , on trouve bien

 

(pour n = 6, et de même pour toutes les intégrales avec n < 7), mais

Extensions 
Afin de prolonger la suite d'intégrales constante, on peut ajouter un facteur  dans l'intégrande:

Notes

Liens externes 
 , présentation du problème et résolution à un niveau abordable.

Références 

 

Borwein