Module de continuité
En analyse mathématique, un module de continuité est une fonction  utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction  ℝ admet  pour module de continuité si et seulement si 

Puisqu'on impose aux modules de continuité de s’annuler et d'être continus en 0, une fonction est uniformément continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité. Le module  correspond aux fonctions k-lipschitziennes et le module  aux fonctions höldériennes. En général, le rôle de  est de fixer une dépendance fonctionnelle explicite de ε en δ dans la définition de la continuité uniforme. 

Un cas particulier est celui des modules de continuité concaves. Pour une fonction entre espaces métriques, il est équivalent d'admettre un module de continuité concave, sous-additif, uniformément continu ou sous-linéaire (au sens de croissance linéaire). L'existence de tels modules de continuité pour une fonction uniformément continue est assurée dès que son domaine est soit compact, soit un sous-ensemble convexe d'un espace normé. 

Une fonction uniformément continue sur un espace métrique admet un module de continuité concave si et seulement si les quotients  sont uniformément bornés pour tout couple  loin de la diagonale de . Les fonctions qui possèdent cette propriété constituant une sous-classe des fonctions uniformément continues, nous les appellerons « fonctions uniformément continues spéciales ».

Historique 
 attribue la première utilisation de  pour le module de continuité à  où  est l'oscillation d'une transformée de Fourier.  mentionne les deux noms (1) « module de continuité » et (2) « module d'oscillation » et conclut .

Définition formelle 

Formellement, un module de continuité est une fonction à valeurs réelles (étendues) , s'annulant en 0 et continue en 0, c'est-à-dire telle que

Les modules de continuité sont principalement utilisés pour donner une valeur quantitative de la continuité en un point et de l'uniforme continuité pour les fonctions entre espaces métriques en utilisant les définitions suivantes.

Une fonction  admet  pour module de continuité (local) au point  si

De même,  admet  pour module de continuité (global) si

On dit alors aussi que  est un module de continuité (resp. en ) pour , ou plus simplement,  est -continue (resp. en ).

Faits élémentaires 
 Si  admet  pour module de continuité et , alors  admet évidemment aussi  comme module de continuité.
 Si  et  sont des fonctions entre espaces métriques avec pour modules de continuité respectifs  et , alors la composée  a pour module de continuité .
 Si  et  sont des fonctions d'un espace métrique X vers un espace vectoriel normé Y, avec pour modules de continuité respectifs  et , alors toute combinaison linéaire  a pour module de continuité . En particulier, l'ensemble des fonctions de X dans Y qui ont  pour module de continuité est convexe.
 Si  et  sont des fonctions bornées à valeurs réelles sur un espace métrique X, avec pour modules de continuité respectifs  et , alors le produit  a pour module de continuité .
L'ensemble des fonctions de X dans Y (deux espaces métriques) qui ont  pour module de continuité est fermé dans Y pour la convergence simple.
Si (f) est une famille de fonctions à valeurs réelles sur un espace métrique X avec pour module de continuité commun , alors l'enveloppe inférieure  et l'enveloppe supérieure  sont des fonctions à valeurs réelles avec pour module de continuité , sous réserve qu'elles soient finies en tout point (si  est à valeurs finies, il suffit pour cela qu'elles soient finies en au moins un point).

Remarques 
 Certains auteurs demandent des propriétés supplémentaires, par exemple  est croissante ou continue. Si  admet un module de continuité au sens de la définition faible précédente, elle admet un module de continuité qui est croissant et infiniment dérivable sur . On obtient alors que 
 est croissante et  ; 
 est de plus continue et ,
et une variante adéquate de sa définition la rend infiniment dérivable sur .
 Toute fonction  uniformément continue admet un module de continuité minimal , qui est appelé le module de continuité (optimal) pour  :

De même, toute fonction continue en un point  admet un module de continuité minimal en ,  (le module de continuité (optimal) de  en ) :

Dans la plupart des cas, le module de continuité optimal de  ne peut pas être calculé de manière explicite, mais uniquement majoré (par tout module de continuité de ). De plus, les propriétés principales des modules de continuité concernent directement la définition non restrictive.
 En général, le module de continuité d'une fonction uniformément continue sur un espace métrique peut prendre la valeur . La fonction f : ℕ → ℕ telle que f(n) = n est uniformément continue par rapport à la distance (discrète) sur ℕ, et son module de continuité minimal est  si  est un entier naturel et  sinon.

Modules de continuité spéciaux 

Les modules de continuité spéciaux donnent également certaines propriétés globales des fonctions telles que le prolongement et l'approximation. Dans cette section, nous nous intéresserons principalement aux modules de continuité concaves, sous-additifs, uniformément continus, ou sous-linéaires. Ces propriétés sont essentiellement équivalentes, du fait que pour un module , chaque assertion implique la suivante :
 est concave ;
 est sous-additif ;
 est uniformément continu ;
 est sous-linéaire, c'est-à-dire qu'il existe des constantes  et  telles que  pour tout  ; 
 est majoré par un module de continuité concave. 

Ainsi, pour une fonction  entre espaces métriques, il est équivalent d'admettre un module de continuité concave, sous-additif, uniformément continu ou sous-linéaire. Dans ce cas, la fonction  . Ceci est toujours vrai dans le cas où le domaine est compact, mais aussi dans le cas où c'est un convexe C d'un espace normé. En effet, une fonction uniformément continue  admet toujours un module de continuité sous-additif, par exemple son module de continuité optimal  défini précédemment, puisqu'on a, pour tous  et  positifs :

En conséquence immédiate, toute fonction uniformément continue sur un convexe d'un espace normé a une croissance sous-linéaire : il existe des constantes  et  telles que  pour tout .

Modules sous-linéaires et perturbations bornées d'une fonction lipschitzienne 
On peut facilement trouver un module de continuité sous-linéaire pour une fonction qui est une perturbation bornée d'une fonction lipschitzienne : si  est uniformément continue avec  pour module de continuité et  est k-lipschitzienne à distance (uniforme)  de , alors  admet un module de continuité sous-linéaire . Inversement pour les fonctions à valeurs réelles, toute fonction uniformément continue spéciale est une perturbation bornée et uniformément continue d'une fonction lipschitzienne.

Modules sous-additifs et prolongeabilité 

La propriété ci-dessus pour les fonctions uniformément continues sur un domaine convexe admet une sorte de réciproque, au moins dans le cas des fonctions à valeurs réelles : toute fonction uniformément continue spéciale  ℝ définie sur un sous-ensemble X d'un espace normé E admet un prolongement à E qui préserve tout module sous-additif  de . Le plus petit et le plus grand de ces prolongements sont :

Comme remarqué, tout module de continuité sous-additif est uniformément continu : en fait, il admet lui-même pour module de continuité. Par conséquent,  et  sont respectivement les enveloppes inférieure et supérieure d'une famille -continue — elles sont donc encore -continues.

Modules concaves et approximation lipschitzienne 
Toute fonction uniformément continue spéciale  ℝ définie sur un espace métrique X est une limite uniforme de fonctions lipschitziennes. De plus, la vitesse de convergence, en termes de constante de Lipschitz, de l'approximation, est déterminée par le module de continuité de . Plus précisément, soit  le module de convergence concave minimal de , donné par

Soit  la distance uniforme entre la fonction  et l'ensemble  des fonctions s-lipschitziennes à valeurs réelles sur X :

Alors, les fonctions  et  peuvent être reliées entre elles via la transformation de Legendre : plus précisément, les fonctions  et  (convenablement étendues par  hors de leur domaine de finitude) forment un couple de fonctions convexes conjuguées, car

Puisque  pour , on obtient  pour , ce qui signifie que  est limite uniforme de fonctions lipschitziennes. Une approximation optimale est donnée par les fonctions 

chaque  est -lipschitzienne et . Par exemple, les fonctions -höldériennes de X dans ℝ sont les fonctions qui peuvent être uniformément approchées par des fonctions -lipschitziennes avec une vitesse de convergence , alors que les fonctions « presque Lipschitz » (avec pour module de continuité ) sont caractérisées par une vitesse de convergence exponentielle .

Exemples d'utilisation 

 Soit  ℝ une fonction continue. Dans la démonstration de l'intégrabilité de Riemann de , on borne généralement la distance entre les sommes de Riemann supérieures et inférieures par rapport à la subdivision P := (t) en utilisant le module de continuité de  et le pas |P| de la subdivision  :
 
 Pour un exemple d'utilisation pour les séries de Fourier, voir le .

Groupe de translations des fonctions  et modules de continuité  

Soient ,  : ℝ → ℝ une fonction de classe  et  ℝ. La h-translatée de , c'est-à-dire la fonction 
 
est de classe  ; de plus, si , alors 
 quand .
Ainsi, puisque les translations sont des isométries linéaires,  quand , uniformément en  ℝ.
 
Dans le cas où , la propriété ci-dessus n'est pas vraie en général : en fait, cela revient à être uniformément continu. Ceci est dû à la définition suivante qui généralise la notion de module de continuité des fonctions uniformément continues : un module de continuité  pour une fonction mesurable  : ℝ → ℝ est un module de continuité  tel que 

Les modules de continuité donnent alors une valeur quantitative à la propriété de continuité des fonctions .

Module de continuité d'ordre plus élevés 
La définition formelle du module de continuité utilise la notion de différence finie du premier ordre :

Si l'on remplace cette différence par une différence d'ordre n, on obtient un module de continuité d'ordre n :

Références 

 G. Choquet, Cours d'analyse. Tome II, Topologie, Masson, Paris, 1964.
.
, réimprimé dans : Henri Lebesgue, Œuvres scientifiques, vol. 3., 259-351.
.
.

Articles connexes 
 Analyse constructive
 Module càdlàg
 
Module de convergence d'une suite
Plongement de Kuratowski et Théorème de prolongement de Tietze

Théorie de Fourier