Relations d'Euler dans le triangle
Les relations d'Euler dans le triangle sont des relations entre les rayons des cercles inscrit/exinscrits et circonscrit. Leonhard Euler les a publiées en 1767 , mais elles l'avaient déjà été par William Chappie en 1746.

Notons qu'on désigne aussi par relation d'Euler la relation vectorielle  reliant le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.

Énoncé des relations 
Pour un triangle quelconque, on note , ,  les centres respectifs des cercles circonscrit, inscrit, et exinscrit dans l'angle  (par exemple), et , ,  leurs rayons respectifs.

Les relations d'Euler s'énoncent

ce qui peut aussi s'écrire :

ou encore :

On en déduit l'inégalité d'Euler :laquelle est une égalité ssi le triangle est équilatéral .

Démonstrations

Première démonstration géométrique 

Cette démonstration utilise la propriété suivante des puissances d'un point par rapport à deux cercles. Étant donnés deux cercles de centres  et , et un point  se projetant en  sur l'axe radical, la différence des puissances de  par rapport aux deux cercles vérifie : .

Dans le triangle , les bissectrices  et  étant perpendiculaires ainsi que  et , le quadrilatère  est inscriptible dans un cercle de centre , milieu du diamètre .

Désignons par  le point d'intersection de la bissectrice issue de  avec le cercle circonscrit ; par le théorème de l'angle inscrit  est le milieu de l'arc  donc . Mais  également, donc , et  appartient au cercle circonscrit.

D'après la propriété ci-dessus, .

Or  et , donc .

De même, .

D'après la propriété ci-dessus, .

Or  et , donc .

Deuxième démonstration géométrique 

Cette démonstration utilise les propriétés de l'angle inscrit et de la puissance d'un point par rapport à un cercle .

La droite  coupe le cercle circonscrit en . Soit  le point diamétralement opposé à  sur ce cercle.

Soit  le pied de la perpendiculaire menée de  sur . C'est un point de tangence du cercle inscrit, en sorte qu'on a .

Les angles  et  sont égaux, puisqu'ils soutiennent le même arc capable. Les triangles rectangles  et  sont donc semblables puisqu'ils ont un angle non droit identique.

On en déduit : , d'où , et par conséquent : .

D'autre part l'angle  est le supplémentaire de l'angle , c'est donc la somme des angles  et , soit la demi-somme des angles  et  et l'angle  est la somme des angles  et , soit la somme des angles  et  (par propriété de l'angle inscrit), soit aussi la demi-somme des angles  et .

Le triangle  est donc isocèle, et par conséquent , et : .

Or, selon la propriété de la puissance d'un point par rapport à un cercle, puisque que  est intérieur au cercle, .

Par conséquent : , soit  , ce qu'il fallait démontrer.

Note : une démonstration similaire mais plus générale puisqu'elle permet d'obtenir à la fois  et , se trouve dans.

Démonstration calculatoire 
Le point  ayant pour coordonnées barycentriques , on a 
.

D'où, en utilisant le théorème de l'angle au centre :
.

Or 
, etc.,

donc 
.

Comme  et , on a   , etc.

Donc 
.

Comme , on obtient .La relation pour le cercle exinscrit s'obtient similairement en utilisant .

Problème réciproque 
Étant donné un cercle  de centre  et de rayon , et un cercle  de centre  et de rayon  vérifiant , existe-t-il un triangle dont les cercles circonscrit et inscrit soient  et  ?

Non seulement la réponse est positive, mais d'après le porisme de Poncelet, le premier sommet du triangle peut être choisi quelconque sur  .

Notons que le cercle  est intérieur au cercle  car .

Voir aussi 
 Théorème de Fuss (analogue pour le quadrilatère)
 Polygone bicentrique, où se trouvent des formules pour les polygones d'ordre 5, 6, 8.
 Porisme de Poncelet
 Liste de sujets portant le nom d'Euler

Références 

Mathématiques élémentaires
Géométrie du triangle
Leonhard Euler
Euler