Ars Magna (Girolamo Cardano)
[[File:ArsMagna.jpg|thumb|Page de titre de l de Cardan.]]

L' est un ouvrage écrit en latin par Jérôme Cardan et dont la première édition, sous le titre , remonte à 1545. Cet ouvrage est particulièrement célèbre pour contenir les premières solutions publiées du nombre complexe, des équations cubiques et quartiques, c'est-à-dire les solutions de polynômes de degré 3 et 4. En effet, Tartaglia connaissait ces solutions dès 1535, mais avait choisi de les garder secrètes.

 Rédaction 

Girolamo Cardano  publie en 1545 ce que beaucoup considèrent comme le livre fondateur de l'algèbre moderne : Artis magnae sive de regulis algebraicis plus connu sous le titre dArs Magna. Cardan mit certainement cinq ans à l'écrire, puisque dès 1539 il informe Tartaglia de sa rédaction. Le livre aura une deuxième édition en 1570 et une troisième et définitive en 1663. Il s'agit d'un ouvrage écrit en latin et destiné à des mathématiciens professionnels. Ce n’est pas  une simple compilation de résultats déjà connus, mais un apport de connaissances nouvelles. Certaines proviennent de l'auteur, d'autres de Scipione del Ferro, de Tartaglia et de Ludovico Ferrari, qui sont cités dans une courte introduction . Sans doute Ars Magna est-il le premier traité de théorie des équations.

Contenu 
 le chapitre V étudie les équations du second degré, avec dix problèmes résolus et une démonstration géométrique des règles de chacun des trois cas possibles
 Cardan, pour sa part, démontre géométriquement dans le chapitre VI les développements de  et 
 le chapitre VII est consacré à la démonstration du changement de variable  qui permet d'éliminer le terme en  d'une équation du troisième degré dont le coefficient est , et en général, le terme en  dans une équation de degré 
 dans le chapitre VIII, Cardan explique comment trouver la solution pour des équations à puissances égales à une puissance plus élevée, plus un nombre. Il prend des exemples tels que  ou 
 les chapitres IX et X traitent de systèmes à deux équations à deux inconnues, d'abord linéaires puis non linéaires
 les treize chapitres suivants, du chapitre XI jusqu'au chapitre XXIII, sont consacrés à la résolution des treize types possibles d'équations du troisième degré avec des coefficients positifs. Une démonstration géométrique  de quatre pages est donnée dans le chapitre XI. Cardan continue jusqu'au chapitre XXIII, toujours avec des démonstrations géométriques, la règle correspondante et des exemples variés
 les chapitres qui suivent, jusqu'au chapitre XXXVIII, apportent des solutions approximatives et des normes diverses pour obtenir les équations les plus simples possibles
 le chapitre XXXIX aborde quelque chose de totalement nouveau pour le public de l'époque : les équations du quatrième degré. Cardan reconnaît l'autorité de Ludovico Ferrari, qui l'a autorisé à se servir de ces équations. Avec cette seule limite qu'elles se réfèrent à des coefficients positifs, ces équations du quatrième degré donnent lieu à vingt possibilités, de   à   en passant par . Mais que pouvait signifier en géométrie une expression telle que  ? Malgré cela, Cardan traite effectivement les équations du quatrième degré, ce qui ouvre la voie ultérieurement au développement de l'algèbre 

== Apports dArs Magna ==
Cardan a suivi la norme et l'usage de son temps, il n'a employé que des coefficients positifs. Quant aux solutions, il distingue les positives, qu'il appelle , des négatives, auxquelles il se réfère comme . Pour ce qui est des nombres négatifs, le chapitre XXXVII d’Ars Magna pose des problèmes dont les solutions sont négatives, mais qui peuvent être vérifiées comme positives. 

Cardan prend comme exemple deux paires d'équations pour lesquelles la solution négative de l'une est la solution positive de l'autre : 
la première paire est  et  ; 
la seconde paire est  et . 
Cardan considère ce qu'on appelle aujourd'hui les  avec beaucoup de méfiance. Ainsi, dans le problème II du chapitre XXXVII  le problème suivant est posé : . L'équation qu'il résout, en langage actuel, est :   
Cardan, après avoir trouvé les deux solutions de l'équation  et , dit , on procède à la multiplication de ces solutions et on obtient comme produit . Il argumente que  n'est pas  ni , mais quaedam tertia natura abscondita. Tout cela amène ce commentaire : . 

Une autre découverte de Cardan est la relation qui existe entre les coefficients des équations et le nombre et le type de solutions de ces équations. En ce sens, il applique, en se référant aux équations de forme , des exemples tirés de cas comportant différentes solutions selon que l'expression  est égale, supérieure ou inférieure à . Cardan fait connaître cette relation dans le premier chapitre d'''Ars Magna, ce qui donne une idée de l'importance de ses contributions dès le début du traité. 

La notation employée par Cardan est  pour la racine carrée,  pour le signe de l'addition,  pour le signe de la soustraction. Pour l'inconnue, il emploie aussi , pour le carré , et pour le cube 

Le contenu dArs Magna'' a produit un impact considérable sur les cercles scientifiques de son temps. L'œuvre a eu une deuxième édition enrichie qui a fait l'objet d'une analyse serrée par une nouvelle génération de mathématiciens. En raison de ses indiscutables mérites, elle est restée pendant plusieurs siècles une œuvre de référence obligée.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes 
 Histoire des mathématiques

Liens externes 
 Ars Magna (format pdf, en latin)

Livre historique de mathématiques
1545