Forme pseudoquadratique
En mathématiques, une forme pseudoquadratique sur un espace vectoriel est une fonction de cet espace vectoriel à valeurs dans un groupe quotient convenable du corps de base qui généralise les formes quadratiques et, dans une certaine mesure, certaines formes hermitiennes.

Généralités 
 Dans cet article, on note D un corps tel qu'il existe une involution de corps J de D et on note ε = 1 ou ε = -1. On suppose que, si J est l'identité, si la caractéristique de D est différente de 2, alors ε = 1. On note DJ,ε le sous-groupe additif de D qu'est l'ensemble des t - εJ(t) tels que t appartient à D. On note D0 le sous-corps de D que l'ensemble des éléments a du centre de D tel que J(a) = a.

Définition 
On appelle forme (J, ε)-quadratique ou forme quadratique ε-hermitienne relativement à J sur un espace vectoriel à droite E sur D toute fonction q de E dans le groupe D/DJ,ε  telle qu'il existe une forme sesquilinéaire s sur E relativement à J telle que q(x) = s(x, x) + DJ,ε pour tout vecteur x de E, et dit alors que q est définie par s. 

Si s est une forme sesquilinéaire sur E définissant q, alors la fonction h de E ×  E dans D définie par h(x, y) = s(x, y) + εJ(s(y, x)) quels que soient x et y dans E est une formes ε-hermitienne tracique sur E, qui ne dépend que de q, et on pas de s, et on l'appelle forme ε-hermitienne tracique associée à q, et on la note βq.

Quels que soient x et y dans E, on note q(x, y) l'élément βq(x, y) de D.

Exemple. Si D est commutatif et si J est l'identité, alors ε = 1, DJ,ε = {0} et D/DJ,ε  s'identifie canoniquement à D, et alors les formes quadratiques ε-hermitiennes sur E relativement à E ne sont autres que les formes quadratiques sur E.

DJ,ε étant un sous-D0-espace vectoriel de D, D/DJ,ε est un D0-espace vectoriel, et l'ensemble des formes quadratiques ε-hermitiennes sur E relativement à J est une sous-D0-espace vectoriel du D0-espace vectoriel des applications de E dans D/DJ,ε.

L'application q  βq entre des D0-espaces vectoriels des formes quadratiques ε-hermitiennes sur E relativement à J et celui formes ε-hermitiennes traciques sur E qui à q associe la forme ε-hermitienne tracique associée à q est une application D0-linéaire surjective θ. Si la caractéristique de D est différente de 2 ou si l'involution induite sur le centre de D par J est différente de l'identité, alors θ est un isomorphisme de D0-espaces vectoriels. Donc, sous ces hypothèses, les théories des formes quadratiques ε-hermitiennes sur E relativement à J et des formes ε-hermitiennes sur E (qui sont alors traciques) sont équivalentes. Les concepts analogues qui l'on va définir dans cet article seront cohérents avec cette équivalence.

Caractérisation 

Notation. Soient c un élément de D/DJ,ε et a un élément de D. Il existe un unique élément k de D/DJ,ε tel que, pour tout élément z de c, k = J(a)za, et on le note J(a)ca.

Soit q une fonction de l'espace vectoriel à droite E dans D/DJ,ε. Pour que q soit une forme quadratique ε-hermitienne sur E relativement à J, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites (avec les notations décrites plus haut):
 Pour tout élément a de D et pour tout vecteur x de E, q(xa) = J(a)q(x)a;
 Il existe une forme ε-hermitienne tracique h sur E telle que, quels que soient les vecteurs x et y de E, h(x, y) + DJ,ε = q(x + y) - q(x) - q(y).

Si J est l'identité, alors ε = 1 et ce n'est autre que la définition usuelle des formes quadratiques.

 Expression dans une base 

 Dégénérescence 
Soit q une forme quadratique ε-hermitienne sur un espace vectoriel à droite E sur D relativement à J.
 On appelle radical de q et on note Rad q le radical de la forme ε-hermitienne tracique associée, c'est-à-dire le sous-espace vectoriel de E des vecteurs x de E tels que q(x, y) = βq(x, y) = 0 pour tout vecteur y de E.
 L'ensemble q-1(0) ∩ Rad q est un sous-espace vectoriel de Rad q. On l'appelle radical isotrope ou quadratique de q, et on le note IRad q ou QRad q.
 On dit que q est dégénérée si IRad q'' ≠ {0}.

Isométries et similitudes

Exemples

Isotropie

Structure des formes pseudoquadratiques

Indice de Witt

Formes hyperboliques

Décomposition de Witt

Groupes et géométrie

Groupes des formes pseudoquadratiques

Géométrie des formes pseudoquadratiques 

Forme quadratique
Algèbre bilinéaire