Théorème de prolongement de M. Riesz
Le théorème de prolongement de M. Riesz a été démontré par le mathématicien Marcel Riesz lors de son étude du problème des moments.

Formulation 
Dans un espace vectoriel réel E, soient F un sous-espace vectoriel et K un cône convexe.

Une forme linéaire

est dite K-positive si

Un prolongement K-positif de φ est une forme linéaire

Il n'en existe pas toujours : déjà en dimension 2, pour 
φ n'a pas de prolongement K-positif.

Cependant, une condition suffisante d'existence d'un prolongement K-positif est :

Démonstration 
Par récurrence transfinie, il suffit de considérer le cas E = F⊕ℝy.

Dans ce cas, étendre linéairement φ : F → ℝ en ψ : E → ℝ revient à choisir un réel  et à poser 
En considérant les f +λ y qui appartiennent à K et en distinguant deux cas suivant le signe de λ, la condition sur  pour que la K-positivité de φ se transmette à ψ s'écrit alors : 
(Remarquons que comme y et –y appartiennent à E = K + F = K – F par hypothèse, les deux ensembles φ((y – K)∩F) et φ((y + K)∩F) sont non vides, si bien que la borne supérieure du premier appartient à  et la borne inférieure du second à .)

Le choix d'un tel réel  est donc possible dès que

et cette condition est assurée par la K-positivité de φ car sous les hypothèses ci-dessus, le vecteur  appartient à F∩K.

Corollaire : théorème de prolongement de Krein 

Dans un espace vectoriel réel E, soient K un cône convexe et  un vecteur tel que

Alors il existe sur E une forme linéaire K-positive ψ telle que ψ() = 1.

Références 

 M. Riesz, « Sur le problème des moments : troisième note », dans Ark. Mat. Astronom. Fys., vol. 17, n° 16, 1923

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