Polytope dual
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la notion de polytope dual généralise celle de polyèdre dual ; il s'agit d'une construction d'un nouveau polytope, dont les (hyper)faces correspondent aux sommets du premier. Cette construction, utilisant la transformation par polaires réciproques, est également étroitement liée à la notion de convexité.

Définition 
Soit  un point de  (identifié à l'espace affine euclidien d'origine le vecteur nul) ; on définit le demi-espace  par , où <> désigne le produit scalaire ; sa frontière, l'hyperplan   est la polaire de x par rapport à la sphère unité. Soit P un polytope dont les sommets sont les points (non nuls)  de . Alors le polytope dual  est le sous-ensemble de  défini par l'intersection de tous les demi-espaces .

Pour un polyèdre P,  est alors aussi un polyèdre, et on a alors les associations suivantes : la face duale   d’un sommet v de P est une face du polyèdre  normale à la droite (Ov). De même, le dual d’une arête e =  est l’arête égale à l’intersection des duaux des 2 sommets. Enfin, le dual d’une face f de P est un sommet.

Soit x un point de l'intérieur relatif d'une face t de P ; on définit l'ensemble 
par.

 est alors appelée face duale de t (puisque  est constant pour tout x dans l'intérieur relatif de t).

Plus généralement, si a est une face de b dans le polyèdre P,  est une face de   dans le polyèdre .

Références 
  J. Dattorro,  Convex optimization & Euclidean distance geometry, Lulu.com (2006), .

Voir aussi 

 Dual d'un polyèdre
 Ensemble polaire (extension du concept à un ensemble quelconque)

Polytope