Fonction conjuguée
En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction conjuguée est une fonction construite à partir d'une fonction réelle  définie sur un espace vectoriel , qui est utile :
 pour convexifier une fonction (en prenant sa biconjuguée, c'est-à-dire la conjuguée de sa conjuguée) ;
 dans le calcul du sous-différentiel d'une fonction convexe ;
 dans la dualisation par perturbation des problèmes d'optimisation ;
 pour passer de la mécanique lagrangienne à la mécanique hamiltonienne ;
 en thermodynamique, etc.
La fonction conjuguée de  est le plus souvent notée . C'est une fonction convexe, même si  ne l'est pas, définie sur les pentes, c'est-à-dire sur les éléments de l'espace vectoriel dual de . La définition est motivée et précisée ci-dessous.

L'application  est appelée transformation de Fenchel ou transformation de Legendre ou encore transformation de Legendre-Fenchel, d'après Adrien-Marie Legendre et Werner Fenchel.

Connaissances supposées : l'algèbre linéaire, le calcul différentiel, les bases de l'analyse convexe (notamment les principales notions attachées aux ensembles et aux fonctions convexes) ; le sous-différentiel d'une fonction convexe n'est utilisé que pour motiver la définition de fonction conjuguée.

Motivations 

La complexité apparente du concept de fonction conjuguée requiert d'en motiver la définition.

Convexification de fonction 

Par définition, une fonction est convexe si son épigraphe est convexe. Convexifier une fonction  consiste à déterminer la plus grande fonction convexe, disons fermée, minorant . En termes d'épigraphe, cela revient à trouver le plus petit convexe fermé contenant l'épigraphe de , c'est-à-dire à prendre l'enveloppe convexe fermée de l'épigraphe

Comme toute enveloppe convexe fermée, celle de  est l'intersection de tous les demi-espaces fermés contenant , c'est-à-dire d'ensembles de la forme

où . Il est facile de voir que lorsque  contient un épigraphe, on doit avoir . Il est plus fin de montrer que, dans l'expression de l'enveloppe convexe fermée de  comme intersection des , on peut ne garder que les demi-espaces avec . Or ceux-ci sont les épigraphes des minorantes affines de  de la forme

Résumons. Comme on pouvait s'y attendre, la convexifiée fermée de  est l'enveloppe supérieure de toutes les minorantes affines de . Parmi les minorantes affines  ayant une pente  fixée, on peut aussi ne garder que celle qui est la plus haute, c'est-à-dire celle qui a le plus grand . Il faut donc déterminer le plus grand  tel que

On voit clairement que la plus petite valeur de  est donnée par

C'est la valeur de la conjuguée de  en . On s'intéresse à  plutôt qu'à  pour définir  dans le but d'obtenir ainsi une fonction conjuguée convexe.

Voie d'accès au sous-différentiel 

Dans cette section, nous montrons l'intérêt du concept de fonction conjuguée comme un outil permettant de calculer le sous-différentiel d'une fonction convexe.

Le sous-différentiel  d'une fonction convexe  en  est l'ensemble des pentes des minorantes affines de  (i.e., des fonctions affines qui minorent ), qui sont exactes en  (i.e., qui ont la même valeur que  en ). Pour  donné, il n'est pas toujours aisé de spécifier toutes les minorantes affines exactes en . Il est parfois plus facile de se donner une pente  de minorante affine  et de chercher les points auxquels elle peut être exacte par modification de . De ce point de vue, on cherche le plus grand  tel que

On voit clairement que la plus petite valeur de  est donnée par

C'est la valeur de la conjuguée de  en . On s'intéresse à  plutôt qu'à  pour définir  dans le but d'obtenir ainsi une fonction conjuguée convexe. Revenons au problème que nous nous posions au début de ce paragraphe : si  est solution du problème de maximisation ci-dessus, alors  pour tout  ou encore

Ces inégalités montrent que  est une minorante affine de , exacte en .

Fonction définie sur un espace euclidien 

On suppose dans cette section que les fonctions sont définies sur un espace vectoriel euclidien  (de dimension finie donc), dont le produit scalaire est noté  et la norme associée .

On note
  l'ensemble des fonctions définies sur  à valeurs dans  qui sont convexes (i.e., leur épigraphe est convexe) et propres (i.e., elles ne prennent pas la valeur  et ne sont pas identiquement égales à ),
  la partie de  formée des fonctions qui sont aussi fermées (i.e., leur épigraphe est fermé).

La conjuguée et ses propriétés 

On a choisi de désigner par  l'argument de  pour se rappeler qu'il s'agit d'une pente (slope en anglais), c'est-à-dire un élément de l'espace dual de , ici identifié à  via le produit scalaire.

On s'intéresse ci-dessous à la convexité et au caractère propre et fermé de la conjuguée . La convexité de  est une propriété remarquable de la conjuguée, puisqu'on se rappelle que  n'est pas nécessairement convexe.

On se rappellera qu'une fonction convexe et propre a nécessairement une minorante affine ; elle vérifie donc les propriétés du point 1 ci-dessus, si bien que

La biconjuguée et ses propriétés 

On peut bien sûr appliquer la transformation de Legendre-Fenchel à la fonction conjuguée  ; on obtient ainsi la biconjuguée de , notée .

Le caractère convexe, fermé et propre de la biconjuguée est examiné dans le résultat suivant.

Si l'argument  de  est une pente (identifiée à un élément de ), l'argument  de  est dans l'espace de départ . On peut alors se demander s'il y a un lien entre  et . La proposition suivante examine cette question. On y a noté , la fermeture de .

Ce résultat permet de comparer les valeurs de  et .

Si on prend la conjuguée de la biconjuguée, on trouve la conjuguée. Il n'y a donc pas de notion de triconjuguée.

Règles de calcul de conjuguée

Inf-image sous une application linéaire 

Rappelons la définition de l'inf-image d'une fonction sous une application linéaire. On se donne deux espaces euclidiens  et  (on aura besoin ici d'un produit scalaire sur  et , alors que cette structure n'est pas nécessaire dans la définition de ), une fonction  et une application linéaire . Alors l'inf-image de  sous  est l'application notée  et définie en  par

Pré-composition avec une application linéaire

Exemples

Norme 

Soit

une norme sur un espace euclidien , non nécessairement dérivée du produit scalaire  de . On introduit la norme duale

et la boule-unité duale fermée

La fonction conjuguée  de  est l'indicatrice de la boule unité duale ; elle prend donc en  la valeur suivante

Considérons à présent, la puissance  d'une norme

Sa fonction conjuguée  prend en  la valeur suivante

où  est le ''nombre conjugué de  :

Distance à un convexe

Valeur propre maximale

Annexes

Éléments d'histoire 

La fonction conjuguée fut introduite par Mandelbrojt (1939) pour une fonction d'une seule variable réelle ; puis précisée et améliorée par Fenchel (1949) aux fonctions convexes dépendant d'un nombre fini de variables. Ce dernier introduit la notation  pour la conjuguée de . La conjugaison généralise une transformation de fonction introduite bien plus tôt par Legendre (1787). L'extension aux espaces vectoriels topologiques est due à Brønsted (1964), Moreau (1967) et Rockafellar.

Articles connexes 

 Sous-différentiel
 Transformation de Legendre

Bibliographie 

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Analyse (mathématiques)
Analyse convexe
Conjuguee