Métrique de Poincaré
En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, la  métrique de Poincaré, due à  Henri Poincaré, est le  tenseur métrique décrivant une surface de  courbure négative constante. C'est la métrique naturelle utilisée pour des calculs en   géométrie hyperbolique ou sur des  surfaces de Riemann.

Deux représentations équivalentes sont le plus souvent utilisées en géométrie hyperbolique à deux dimensions : le demi-plan de Poincaré, modèle munissant d'une métrique  hyperbolique  le demi-plan (complexe) supérieur, et le disque de Poincaré, modèle défini sur le disque unité (le disque et le demi-plan  sont isométriques par une transformation conforme, et leurs isométries sont données par des transformations de Mobius). Par ailleurs, le disque épointé, muni d'une métrique hyperbolique induite par la fonction exponentielle   sur le demi-plan, est un exemple d'ouvert non simplement connexe (une couronne en l'occurrence) portant une métrique hyperbolique.

Métriques sur une surface de Riemann  
Une métrique sur le plan complexe peut généralement s'exprimer sous la forme :

où λ est une fonction réelle positive de  et . La longueur de la courbe γ dans le plan complexe (pour cette métrique) est alors donné par :

L'aire d'un sous-ensemble du plan complexe (suffisamment régulier) est donnée par :
,
où  est le produit extérieur (définissant en général la forme volume). Le déterminant de la métrique est égal à , sa  racine carrée  est donc . L'aire élémentaire déterminée par la métrique est   et donc 

Une fonction  est dite potentiel  métrique si 

L'opérateur de Laplace-Beltrami est donné par :

La courbure gaussienne de la métrique est donnée par 

Cette courbure est la moitié de la courbure scalaire de Ricci.

Les isométries conservent les angles et les longueurs d'arcs. Sur une surface de Riemann, les isométries sont équivalentes à un changement de coordonnées ;  ainsi, l'opérateur de Laplace-Beltrami et les courbures sont tous invariants par isométrie. Ainsi, par exemple, si S est une surface de Riemann de métrique  et T est une surface de Riemann de métrique , alors la transformation :

avec  est une isométrie si et seulement si elle est conforme et si 
.
Ici, demander que  la transformation soit conforme revient à exiger :

c'est-à-dire,

Métrique et aire élémentaire dans le plan de  Poincaré 
Le tenseur métrique de Poincaré dans le  demi-plan de Poincaré, demi-plan supérieur  correspondant aux complexes de partie imaginaire positive, est donné par

en posant 
Ce tenseur métrique est  invariant sous l'action de  SL(2,R).  Autrement dit, notant

avec , il s'avère que

et

Les éléments infinitésimaux se transforment ainsi :
 
et donc

ce qui montre l'invariance du tenseur métrique sous l'action du groupe SL(2,R).
L'élément d'aire invariant est donné par

La métrique est

pour .
Une autre forme intéressante de la métrique fait intervenir  le  birapport.   Étant donnés quatre points , ,  et  sur la  sphère de Riemann  (le plan complexe auquel on ajoute un point à l'infini), le birapport de ces points est défini par

La métrique peut alors s'écrire

Ici,  et  sont les extrémités (sur l'axe des réels) de la géodésique reliant  et , numérotés de telle sorte que   soit situé entre    et .

Les géodésiques pour cette métrique sont les arcs de cercles perpendiculaires à l'axe des réels, c'est-à-dire des demi-cercles centrés sur cet axe, et les demi-droites  perpendiculaires à cet axe.

Application conforme du demi-plan vers le disque 

Le demi-plan supérieur est en bijection conforme avec le disque unité par l'intermédiaire de la transformation de Möbius

où  w est le point du disque unité correspondant au point z du demi-plan.  La constante z0 peut être n'importe quel point du demi-plan, qui sera envoyé sur le centre du disque. L'axe des réels  a pour image le cercle unité  (à l'exception du point 1, image du point à l'infini). La constante réelle  correspond à une rotation du disque.

L'application canonique

(voir l'article Transformation de Cayley) envoie i sur l'origine (le centre du disque), et 0 sur le point -i.

Métrique et aire élémentaire dans le disque de  Poincaré 

Le tenseur métrique de Poincaré dans le disque de  Poincaré est donné sur le disque unité ouvert    par

L'élément d'aire est donné par

et la distance entre deux points   par
.
Les géodésiques sont des arcs de cercles orthogonaux (en leurs extrémités) au cercle unité frontière du disque.

Le disque épointé 

Une application  importante définie sur le demi-plan est l'application  appliquant le demi-plan  sur le disque
épointé  via la fonction exponentielle
.
Dans la théorie des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, la variable   q est  le  et τ le  demi-rapport des périodes. 

La métrique de Poincaré du demi-plan induit une métrique sur le  q-disque
,
dont le potentiel est
.

Lemme de Schwarz 
La métrique de Poincaré est une application contractante sur les  fonctions harmoniques. Ce résultat est une généralisation du lemme de Schwarz, appelée le .

Références

Bibliographie 
  Hershel M. Farkas et Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. .
  Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York.  (Voir section 2.3).
  Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago  (Une introduction simple et  lisible.)

metrique de Poincaré
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