Algèbre d'octonions
En mathématiques, une algèbre d'octonions sur un corps commutatif est une algèbre non associative de dimension 8 qui généralise l'algèbre des octonions de Cayley.

Dans cet article, K désigne un corps commutatif (de caractéristique quelconque) et les algèbres ne sont pas supposées être associatives ou unitaires et elles sont supposées être de dimension finie.

Définition 
Par définition, une algèbre d'octonions sur K est une algèbre de composition de dimension 8 sur K. (Voir les propriétés élémentaires, voir l'article sur ces algèbres.)

Algèbres alternatives simples 

Ici on va caractériser les algèbres d'octonions comme étant les algèbres unitaires alternatives centrales simples non associatives.

Définitions 
On note A une algèbre sur K.

On dit que A est alternative si, quels que soient les éléments x et y de A, la sous-algèbre de A engendrée par x et y est associative. Il est aussi équivalent de dire que l'application trilinéaire (x, y, z)  (xy)z - x(yz) de A3 dans A est alternée. Toute algèbre associative est alternative.

On dit que A est simple si la multiplication de A n'est pas identiquement nulle (il existe x et y dans A tels que xy est non nul) et A et {0} sont les seuls idéaux bilatères de A. (La première condition est satisfaite lorsque A est unitaire et si A est pas réduit à 0.)

On dit que A est absolument simple si, pour tout surcorps commutatif L de K, la L-algèbre L ⊗K A déduite de A par extension des scalaires de K dans L (qui est unitaire et alternative) est simple. Si A est absolument simple, alors A est simple.

On appelle noyau de A l'ensemble des éléments x de A qui s'associent avec tous les éléments de A: quels que soient les éléments y et z de A, (xy)z = x(yz), (yx)z = y(xz) et (yz)x = y(zx). Si A est associative, alors le noyau de A est A. On appelle centre de A l'ensemble des éléments x du noyau de A qui commutent avec tous les éléments de A: xy = yx pour tout élément de A. Si A est unitaire et alternative, on dit que A est centrale (sur K) si le A n'est pas réduite à 0 et si le centre de A est K.1.

Les multiplications à gauche et à droite de A définie par un élément x sont application Lx et Rx de A dans A définie par Lx(y) = xy et Rx(y) = yx. Ce sont des endomorphismes de l'espace vectoriel A. 

L'ensemble des endomorphismes f de l'espace vectoriel A tels que f  Lx = Lx  f et  Rx = Rx  f pour tout élément x de A est une sous-algèbre unitaire de l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel A. On l'appelle centroïde de A.

Algèbres alternatives simples centrales 
Soit A une algèbre alternative sur K. Il est équivalent de dire que :
 A est unitaire, simple et le centre de A est K (A est centrale) ;
 A est simple et le centroïde de A est K ;
 A est absolument simple ;
 A est une algèbre unitaire associative simple centrale sur K ou une A est une algèbre d'octonions sur K.

Donc les algèbres d'octonions sur K ne sont autres que les algèbres unitaires alternatives centrales simples sur K qui ne sont pas associatives, ou encore les algèbres alternatives absolument simples non associatives sur K.

Référence 
 Tonny A. Springer et Ferdinand D. Veldkmap, Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups, Springer.
 Nathan Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman and Compaby, New York, 1989.
 , Alexander Merkurjev, Markus Rost et Jean-Pierre Tignol, The Book of Involution, Americam Mathematical Society, 1998.

Articles connexes 
 Algèbre non associative
 Algèbre de composition
 Octonion
 Octonion déployé

Octonions