Chemin (topologie)
En mathématiques, notamment en analyse complexe et en topologie, un chemin est la modélisation d'une succession continue de points entre un point initial et un point final. On parle aussi de chemin orienté.

Définitions 

Soit  un espace topologique. On appelle chemin ou arc sur  toute application continue .

Le point initial du chemin est  et le point final est . Ces deux points constituent les extrémités du chemin. Lorsque  désigne le point initial et  le point final du chemin (cf. figure ci-dessus), on parle alors de « chemin reliant  à  ».

Il faut noter qu'un chemin n'est pas seulement un sous-ensemble de  qui « ressemble » à une courbe, mais il comprend également un paramétrage. Par exemple, les applications  et  représentent deux chemins différents de 0 à 1 sur la droite réelle R. De la même manière, si nous considérons une lemniscate de Bernoulli, elle peut être "parcourue" de deux manières différentes, alors que la lemniscate en tant qu'ensemble est la même dans les deux cas. Si  est le cercle unité tout entier, mais tout point de ce cercle est obtenu pour |n| valeurs distinctes de t; on dit encore que  est le "cercle unité parcouru  fois".

L’ensemble des chemins sur  forme un espace topologique avec une fibration sur .

Un lacet sur  est un chemin dont les deux extrémités sont identiques. En particulier, si  est constante,  est réduit à un seul point("chemin constant").

Un espace topologique sur  dans lequel deux points quelconques sont toujours reliés par un chemin est dit connexe par arcs. Tout espace peut être décomposé en un ensemble de composantes connexes par arcs. L'ensemble des composantes connexes par arcs d'un espace  est souvent noté .

Homotopie des chemins 

Les chemins et les lacets sont des sujets centraux d'étude pour la branche de la topologie algébrique appelée théorie de l'homotopie. Une homotopie de chemins rend précise la notion de déformation continue d'un chemin en laissant fixes les extrémités.

En bref, une homotopie de chemins dans X est une famille de chemins  indexée par  telle que
  et  sont fixés ;
 l'application  définie par  est continue.
Les chemins  et  reliés par une homotopie sont dits homotopes. On peut également définir une homotopie de lacets laissant le point de base fixe.

La relation d'homotopie est une relation d'équivalence entre les chemins dans un espace topologique. La classe d'équivalence du chemin  pour cette relation est appelée la classe d'homotopie  de  et est souvent notée .

Composition des chemins 
On peut composer des chemins dans un espace topologique d'une manière évidente. Soient f un chemin de x à y et g un chemin de y à z. Le chemin fg est défini comme le chemin obtenu en parcourant d'abord f et puis en parcourant g :

Évidemment, la composition des chemins est seulement définie lorsque le point final de f coïncide avec le point initial de g. Elle n'est pas associative, à cause des différences dans la paramétrisation. Cependant, elle est associative à homotopie près, c'est-à-dire que [(fg)h] = [f(gh)] (lorsque ces composés sont définis, c'est-à-dire lorsque le point final de f est égal au point initial de g et le point final de g au point initial de h). Les classes d'homotopie de chemins dans X forment ainsi un groupoïde, appelé le groupoïde de Poincaré de X et noté π(X).

Pour tout point x de X, le sous-groupoïde des classes d'homotopie de lacets basés en x est donc un groupe, appelé le groupe fondamental de X au point x0 et noté π1(X,x0).

Chemins dans un espace vectoriel normé 

Dans le cas où l'espace topologique  est un espace vectoriel normé, ou un espace affine associé à un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.

 Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne s'il peut s'écrire  pour tout . Le vecteur  est appelé vecteur directeur de . Le « support » du chemin (c'est-à-dire son image) est alors un segment de droite.
 Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.
 Chemins de classe  : un chemin peut être de classe  avec . Par définition, tout chemin est continu et donc de classe  ; mais on peut aussi avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe  avec  est dit régulier si  pour tout . Un chemin régulier de classe  est dit chemin lisse.

Notes et références

Bibliographie 

Topologie générale
Théorie de l'homotopie