Fonction asymptotique
En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction asymptotique (ou fonction de récession) est une fonction associée à une fonction convexe  et définie à partir d'elle, qui a pour but de décrire son comportement à l'infini. On la note souvent . On définit la fonction asymptotique  par son épigraphe qui est le cône asymptotique de l'épigraphe de .

Le calcul et l'examen de la fonction asymptotique permettent parfois de dire si une fonction convexe a un ensemble non vide et borné de minimiseurs ; des conditions nécessaires et suffisantes en termes de la fonction asymptotique pour que cela se produise peuvent en effet être établies.

La notion de fonction asymptotique peut aussi se définir pour des fonctions non convexes.

Notations et définition 

On suppose dans cet article que  est un espace vectoriel réel de dimension finie. On note
  l'ensemble des fonctions de  dans  qui sont convexes (c'est-à-dire d'épigraphe convexe), propres (c'est-à-dire ne prenant pas la valeur  et non identiquement égales à ) et « fermées » (c'est-à-dire semi-continues inférieurement, ou encore, d'épigraphe fermé).

L'épigraphe  d'une fonction  est un convexe fermé non vide de . On peut donc considérer son cône asymptotique . On peut montrer que celui-ci est l'épigraphe d'une fonction qui est, par définition, la fonction asymptotique de .

Certains auteurs définissent la fonction asymptotique de fonctions convexes non nécessairement fermées ; cette légère extension est d'une utilité marginale.

Propriétés 

La définition de la fonction asymptotique nous apprend peu de choses sur la manière de calculer cette fonction et sur sa signification. La propriété suivante fait le lien entre , pour , et le quotient différentiel

On sait que, si  est convexe,  est croissante et que la limite de  lorsque  est la dérivée directionnelle , parfois dite au sens de Dini. Le résultat suivant nous apprend, en particulier, que la limite de  lorsque  est la valeur en  de la fonction asymptotique.

Quelques remarques sur ce résultat.
 Comme , la formule du point 1 s'écrit aussiavec un quotient  qui, contrairement au quotient différentiel, n'est pas nécessairement monotone en .
 L'utilisation de la formule du point 1 ou de celle exposée ci-dessus est souvent le moyen le plus rapide de calculer la valeur de la fonction asymptotique en une direction . Insistons sur le fait que la limite du quotient différentiel ne dépend pas du point  choisi dans le domaine de .
 La formule précédente montre que si  a une asymptote dans la direction ,  en est la pente. Dans le cas contraire, .
 Si  pour un , il en sera ainsi pour tout , si bien que dans ce cas, . Cette observation, conséquence du point 1, est aussi une conséquence du point 2, car la direction  considérée n'est pas dans , donc pas non plus dans .
 On n'a pas nécessairement égalité au point 2 de la proposition précédente. Par exemple, si  est la fonction exponentielle, on a , alors que .

Après ces précisions sur la fonction asymptotique, voici un résultat qui montre l'utilité du concept pour déterminer l'existence d'un ensemble non vide et borné de minimiseurs. On note l'ensemble de sous-niveau  d'une fonction  de la manière suivante :

C'est un ensemble convexe, lorsque  est convexe. Le résultat suivant montre que, pour les fonctions de , ces ensembles de sous-niveau ont tous le même cône asymptotique (s'ils sont non vides). En particulier, si l'un d'eux est borné non vide, ils sont tous bornés (éventuellement vides). Un de ces ensembles de sous-niveau est l'ensemble de ses minimiseurs :

La fonction asymptotique permet alors de donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que cet ensemble soit non vide et borné.

En pratique, pour montrer que  a un ensemble non vide et borné de minimiseurs (point 2), on utilise le point 4 : quelle que soit la direction non nulle , . Comme souvent en analyse convexe, on obtient une propriété globale (la bornitude de l'ensemble des minimiseurs) à partir de propriétés unidirectionnelles (la stricte positivité de la fonction asymptotique dans toutes les directions non nulles).

Aspects calculatoires 

Voici un résultat permettant de calculer, dans certains cas, la fonction asymptotique d'une composition convexe de fonctions convexes : la règle rappelle celle de la dérivation en chaîne.

Exemples

Fonction log-barrière 
Considérons la fonction log-barrière définie en  par

On sait que . On a

où  est l'indicatrice de .

Fonction log-déterminant 
Sur l'espace vectoriel  des matrices réelles symétriques d'ordre , on considère la fonction log-déterminant définie en  par

où la notation  signifie que  est définie positive. On sait que . On a

où  est l'indicatrice du cône convexe  des matrices semi-définies positives.

Annexes

Notes

Article connexe 
Comparaison asymptotique

Bibliographie 

Analyse convexe
Asymptotique