Loi de Gompertz
En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Gompertz est une distribution de probabilité continue. Elle porte le nom du mathématicien britannique Benjamin Gompertz. En 1825, Gompertz modélise le taux de mortalité grâce à un modèle, la loi de Gompertz s'en déduit.

La loi de Gompertz avec dérive est la loi de probabilité du maximum de deux variables aléatoires indépendantes, l'une de loi exponentielle de paramètre b, l'autre de loi de Gompertz de paramètres  et b. Cette version avec dérive a été proposée par Albert Bemmaor en 1994 pour un modèle d'économie.

Ces lois sont depuis utilisées dans plusieurs domaines : économie, biologie, etc.

Caractérisation

Densité de probabilité 
La densité de probabilité de la loi de Gompertz est donnée par  :

où  est le paramètre d'échelle et  est le paramètre de forme.

En actuariat, biologie ou démographie, les paramètres peuvent être différents.

Fonction de répartition 
La fonction de répartition de la loi de Gompertz est donnée par :

Propriétés 
La moyenne d'une variable aléatoire  suivant une loi de Gompertz est donnée par :

où  est la fonction digamma et où  est l'opposé de la constante d'Euler.

La variance d'une variable aléatoire Y suivant une loi de Gompertz est donnée par :

où  est la fonction trigamma et où .

Loi de Gompertz avec dérive 

La densité de probabilité de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par  :

La fonction de répartition de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par :

L'espérance d'une variable aléatoire Y de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par :

où 

La variance d'une variable aléatoire Y de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par :

où

Le mode de la loi de Gompertz avec dérive est 0 quand , et  quand  avec .

Forme 
La loi de Gompertz avec dérive peut prendre différentes types de forme en fonction du paramètre de forme  :
  : la densité a son mode en 0.
  : la densité a son mode en  où  est la plus petite racine de  .

Voir aussi

Articles connexes 
 Modèle de Gompertz

Références

Bibliographie 
 
 
 

Gompertz