Symplectomorphisme
En géométrie symplectique, un symplectomorphisme est un isomorphisme de variétés symplectiques.

Définitions 
Soient  et  deux variétés symplectiques.

Une application différentiable  est appelée morphisme symplectique lorsque, pour tout , la différentielle  est une isométrie linéaire entre espaces vectoriels symplectiques. Autrement dit :
  

Si , comme  est non dégénérée, les différentielles  sont des isomorphismes linéaires, et de fait, par le théorème d'inversion locale,  est un difféomorphisme local.

Lorsque  est de plus un difféomorphisme (global),  est appelé un symplectomorphisme.

Exemples 
 Les translations de  sont des symplectomorphismes.
 Les difféomorphismes hamiltoniens sont des symplectomorphismes.

Remarque : si  est un revêtement et  une forme symplectique sur , il existe une unique forme symplectique  sur  telle que  soit un morphisme symplectique.

Groupe des symplectomorphismes 
Le groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique , noté , dénote l'ensemble des symplectomorphismes ou difféomorphismes symplectiques de , muni de la loi de composition.

Propriétés algébriques 
Le groupe des symplectomorphismes n'est pas un sous-groupe normal du groupe  des difféomorphismes de .

Si f est un difféomorphisme de la variété M, la conjugaison par f envoie bijectivement les symplectomorphismes de  sur ceux de  :

En particulier, la conjugaison par un difféomorphisme f préserve le sous-groupe  si et seulement si f est un symplectomorphisme.

Topologie 
Dans le groupe  des difféomorphismes muni de la topologie , le sous-groupe des symplectomorphismes est fermé. Accessoirement, le groupe des difféomorphismes peut en toute légitimité être vu comme un groupe de Lie de dimension infinie. Plus précisément, l'espace tangent en l'application identité est l'espace de Fréchet  des champs de vecteurs de classe  sur M.

Le groupe des symplectomorphismes est un sous-groupe fermé pour la topologie  du groupe des homéomorphismes de la variété M. Une preuve repose sur l'utilisation des capacités symplectiques.

Article connexe 
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