Enveloppe supérieure
En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble E et à valeurs dans  est la fonction sur E dont la valeur en tout point x de E est la borne supérieure des valeurs en x de ces fonctions.

Définition 
L'enveloppe supérieure d'une famille  d'applications d'un ensemble  dans la droite réelle achevée  est l'application
.

La notation  est justifiée par le fait que l'enveloppe supérieure de la famille  n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis complet  des applications de  dans .

On définit de même l'enveloppe inférieure avec .

Propriétés 
Avec les notations précédentes, l'épigraphe de l'enveloppe supérieure de la famille  est l'intersection des épigraphes des  :.On en déduit que :
 est convexe si  est un ℝ-espace vectoriel et si les  sont convexes ;
 est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si  est un espace topologique et si les  sont fermées.
Soit  un espace localement convexe séparé. Une fonction de  dans  est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues.

Notes et références

Bibliographie

 

Analyse convexe