Espace de Birnbaum-Orlicz
En analyse fonctionnelle, les espaces de Birnbaum-Orlicz sont des types d'espaces de fonctions qui généralisent les espaces Lp. Comme les espaces Lp, ce sont des espaces de Banach. Ces espaces portent les noms de Władysław Orlicz et Zygmunt William Birnbaum, qui sont les premiers à les avoir définis en 1931.

Comme pour les espaces Lp, tout un ensemble d'espaces de fonctions intervenant naturellement en analyse sont des espaces de Birnbaum–Orlicz. Un exemple de ces espaces est L log+ L, qui intervient dans l'étude des fonctions maximales de Hardy-Littlewood. C'est l'espace des fonctions mesurables  telles que

Ici log+ est la partie positive du logarithme. Appartiennent aussi à la classe des espaces de Birnbaum–Orlicz beaucoup des plus importants espaces de Sobolev.

Définition formelle 

Supposons que μ soit une mesure σ-finie sur un ensemble X, et Φ : [0, ∞) → [0, ∞) soit une fonction convexe telle que

Soit  l'espace des fonctions mesurables  telles que l'intégrale

soit finie, où comme d'habitude on identifie les fonctions égales presque partout.

Cet ensemble peut ne pas être un espace vectoriel (il peut ne pas être fermé pour la multiplication par un scalaire). L'espace vectoriel de fonctions engendré par  est l'espace de Birnbaum–Orlicz noté .

Pour définir une norme sur LΦ, soit Ψ le complément de Young de Φ, c'est-à-dire :

Notons que l'inégalité de Young est satisfaite:

La norme est alors donnée par

De plus, l'espace  est précisément l'espace des fonctions mesurables pour lesquelles cette norme est finie.

Une norme équivalente  est définie sur  par

et de même LΦ(μ) est l'espace de toutes les fonctions mesurables pour lesquelles cette norme est finie.

Propriétés 

 Les espaces d'Orlicz généralisent les espaces Lp dans le sens que si , alors , ainsi .
 L'espace d'Orlicz  est un espace de Banach – un espace vectoriel normé complet.

Relations avec les espaces de Sobolev 

Certains espaces de Sobolev sont des espaces d'Orlicz : pour  ouvert et borné avec une frontière lipschitzienne ,

pour

Voir le  : pour  ouvert et borné avec une frontière Lipschitzienne , considérons l'espace , . Alors il existe des constantes  telles que

Bibliographie 
  PDF.
 .
 .
 
 .
 .

Espace de Banach