Ъгъл
Ъгъл (или равнинен ъгъл) е геометричен обект, съставен от два лъча с обща начална точка, наричана връх на ъгъла. Често под ъгъл се разбира и големината на ъгъла – числена величина, отразяваща степента на завъртане на единия лъч около върха, така че той да съвпадне с другия.

Евклид определя равнинният ъгъл като наклон, който образуват две пресичащи се прави в равнината една спрямо друга. Според Прокъл един ъгъл трябва да бъде или качество, или количество, или отношение. Първата концепция е използвана от Евдем, който разглежда ъгъла като отклонение от правата линия. Втората е използвана от Карп Антиохийски, който го разглеждал като пространството между две пресичащи се прави. Самият Евклид възприема третата концепция, въпреки че дефинициите му за прав, остър и тъп ъгъл определено са количествени.

Измерване 

За да бъде измерен даден ъгъл θ се построява кръгова дъга с център върха на ъгъла и радиус r. Големината на ъгъла е равна на дължината на дъгата s, разделена на радиуса r и умножена с константа k, зависеща от избраните единици (при k = 1 резултатът би бил в радиани, при k = 180/π – в градуси и т.н.):

Получената по този начин стойност на θ не зависи от избора на радиус на дъгата, тъй като дължината на дъгата се изменя пропорционално на радиуса и тяхното съотношение остава постоянно.

Обикновено големината на ъгъла се измерва чрез най-малкото завъртане, което води до съвпадане на двата лъча. При този подход големината на ъгъла е между 0 и π. В много случаи, например в тригонометрията, се използват и ъгли между 0 и 2π (пълна окръжност). В повечето случаи ъглите, отличаващи се с цял брой пълни окръжности, могат да се разглеждат като практически еквивалентни. Все пак в някои случаи това не е така. Например, при построяването на крива като спиралата в полярни координати едно допълнително пълно завъртане съответства на напълно различна точка от кривата.

Положителни и отрицателни ъгли 

В математиката и повечето останали области за положителна посока на ъглите се приема тази от първата към втората координатна ос. Така в дясна координатна система положителните ъгли се измерват срещу посоката на часовниковата стрелка, а левите – по посока на часовниковата стрелка. Измерването става от предварително зададена права или, ако няма такава, от първата координатна ос.

В много случаи отрицателният ъгъл −θ е еквивалентен на положителен ъгъл, равен на 2π−θ. Например, завъртане по часовниковата стрелка на 45° (ъгъл -45°) обикновено е практически еквивалентно на завъртане срещу часовниковата стрелка на 360° − 45° (ъгъл 315°).

В триизмерното пространство посоката на часовниковата стрелка няма абсолютен смисъл, поради което посоката на положителните и отрицателни ъгли трябва да бъде дефинирана по друг начин, най-често чрез вектор, преминаващ през върха на ъгъла и перпендикулярен на общата равнина на лъчите, образуващи ъгъла.

В навигацията и геодезията посоките се мерят от север, като се увеличават по часовниковата стрелка, така че например 45 е североизток. Отрицателни стойности не се използват, така че северозапад е 315 (вижте азимут).

Единици 

От гледна точна на анализа на размерността ъгълът е безразмерна величина. Съществуват различни единици за измерване на ъгли, в зависимост от избора на константата k в горната формула. Най-често използваните сред тях са градусът и радианът.

С изключение на радиана, повечето единици са дефинирани така, че пълната окръжност да се равнява на цял брой единици n. Например, при градусите този брой е . Това означава, че константата в горната формула има стойност .

 Радиан
Радианът е дължината на дъгата, отрязана от ъгъла, разделена на нейния радиус – пълната окръжност е 2π радиана. Това е единицата за измерване на ъгли в Международната система единици (SI), в рамките на която се определя като допълнителна единица. Символът за радиан е rad, но той често се пропуска, особено в математиката, където тази единица е най-често използвана. Поради връзката си с дължината на дъгата, радианите имат някои особени свойства. Например, тригонометричните функции могат да се развият в сравнително прости редове на Тейлър, ако аргументите им са в радиани.

 Градус
Градусът е 1/360 от пълната окръжност и се означава с „°“. Градусите могат да се записват като десетични дроби или като се разделят на ъглови минути и ъглови секунди, които са съответно 1/60 и 1/3600 от градуса. Те се използват по традиция, водеща началото си от астрономията в древен Вавилон, където се използва шейсетична бройна система. Предимство на градусите е, че много ъгли, често използвани в елементарната геометрия, имат цели стойности в градуси.

Минутите обикновено се използват в областта на външната балистика, особено когато се работи с имперски единици, тъй като една ъглова минута покрива почти точно 1 инч на 100 ярда (или 1 метър на 1200 m). Всички попадения на пушка, която може да стреля 1 ъглова минута, са в рамките на 1 инч на 100 ярда, 2 инча на 200 ярда и т.н. Ъгловите минути са използвани и в навигацията, като една морска миля се определя грубо, като една ъглова минута на земната повърхност.

 Оборот
Оборотът е ъгъл, равен на пълна окръжност. За означаването му се използват различни символи, като , rev или rot. Използва се главно в машиностроенето.

 Град
Градите, понякога наричани градиани или гони, са ъгли с големина 1/400 от пълната окръжност. Единица, сравнително близка до градуса, но по-близка до десетичната система (1 град е 1/100 от правия ъгъл), градът е използван предимно в геодезията за опростяване на тежките изчисления в триангулацията, извършвани в миналото на ръка.

 Мил
Ъгловият мил се равнява приблизително на 1/1000 от радиана, като има няколко различни дефиниции. Тази единица се използва също главно в балистиката.

 Румб
Румбът (в морската терминология) се равнява на 1/32 от окръжността, респ. от скалата на компаса (11,25°). Главните посоки на света се наричат главни румбове (съответно N-0 или 360, Е-90, S-180, W-270). Румбовата системата се е използвала във ветроходния флот, но е неточна и е изоставена.

 Квадрант
Квадрантът е 1/4 от пълната окръжност (прав ъгъл). Това е единицата, използвана в класическия труд по геометрия на Евклид „Елементи“.

В някои области на техниката, например при описване на наклони на пътища, покриви или тръбопроводи, се използва тангенса от ъгъла на наклона, най-често изразен в проценти. При малки стойности тази величина съвпада с ъгъла в радиани. Например при наклон 5% (0,05) ъгълът е 0,04996 радиана. При по-големи стойности зависимостта между ъгъла и тангенса става силно нелинейна. Този начин на измерване може да се използва само за ъгли до 90 градуса.

Съотношение между единиците

Видове ъгли

Според градусната мярка 
Според големината им, могат да се отличат следните ъгли:
 Нулев ъгъл – този, на който лъчите му съвпадат, т.е. има градусна мярка 0.
 Остър ъгъл – ъгъл, по-малък от правия, т.е. с мярка, по-малка от 90 градуса.
 Прав ъгъл — ъгъл с градусна мярка от 90 градуса, т.е. ъгъл, чиито рамене са взаимно перпендикулярни.
 Тъп ъгъл – ъгъл с градусна мярка повече от 90 градуса.
 Изправен ъгъл – ъгъл с мярка на 180°. Ако един ъгъл е изправен, то лъчите, които го съставят, лежат на една права и са противоположни.
 Съседни ъгли – два ъгъла, които имат общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи.

Според взаимното разположение 
 Връхни ъгли
 Кръстни ъгли
 Съответни ъгли
 Прилежащи ъгли
 Външен ъгъл

Бележки 

 Цитирани източници