Неперово число
Неперово число се нарича ирационалното число  = 2,718281828459045...

То е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки. Числото  е основата на естествените (натуралните) логаритми.

История 
Числото  се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на  е равен на

Числото  негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото  не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число  е получено за първи път от Якоб Бернули при опит да изчисли границата

.

Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата  първи използва Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото  понякога се нарича „число на Ойлер“. Смята се, че буквата "е" е избрана в чест на Ойлер (Euler). Друга възможна причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).

Дефиниция 
Числото  може да бъде дефинирано по два равносилни начина:

 като граница на числова редица: ;

 като сума на безкраен числов ред: .

Свойства 
През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермит е установил, че то е трансцендентно.

Връзката между Неперовото число и  се вижда от формулата на Ойлер:

В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция , която съвпада със своята производна:

Още една връзка между числата  и  се получава при пресмятане на интеграла на Поасон:

.

 За всяко комплексно число  са изпълнени следните равенства:

.

Числото  се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:

т.е.

Приложения

Сложна лихва 
Якоб Бернули открил числото  през 1685 г. при изучаване на сложната лихва.
Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?
Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100%: 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100%: 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,718281828459045... лв. е Неперовото число. Наречено е в чест на Джон Непер – изобретателя на логаритмите.

Други представяния на числото e

Доказателство за ирационалността на числото e 
Да допуснем противното: че  е рационално. Тогава , където  е цяло, а  е естествено число. Понеже  не е цяло число, то .

Следователно

 

Умножаваме по  и получаваме

 
Прехвърляме  от другата страна:
 

Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно

  също е цяло (положително) число, затова
 .

Обаче

, тоест

, което е противоречие.

Първите 200 цифри на числото e 

.

Вижте също 
Естествен логаритъм

Експоненциална функция

Леонард Ойлер

Източници

Външни препратки 
Доказателство за транцендентността на числото  (planetmath.org, англ.) 

Математически константи
Трансцендентни числа