Хамилтонова механика
Хамилтоновата механика представлява преформулиране на класическата механика и е създадена през 1833 г. от ирландския математик Уилям Хамилтон. Тя произлиза от механиката на Лагранж, представляваща друго представяне на класическата механика, въведена от Жозеф Луи Лагранж през 1788 г.

Хамилтоновата механика не може да бъде изложена без познаване на механиката на Лагранж. Затова е необходимо първо да се запознаем с Механиката на Лагранж.

Преформулиране на механиката на Лагранж 
Да започнем с механиката на Лагранж и уравнението за движение, описвано с координати:

 

В тримерно пространство ползваме: 

и съответните скорости:

 
В тримерното пространство ползваме: 

Използвайки този начин на записване, операторът на Лагранж е:

 

 За тримерно пространство: 

Хамилтоновата механика замества скоростта на движение с момента на движение. По този начин се постига опростяване на уравнението за някои системи, особено в квантовата механика.
Т.е. Хамилтоновата механика използва следните аргументи:

 

За тримерното пространство Хамилтоновата фукция се описва чрез аргументите:

 

Моментът на движение се задава чрез следния диференциал:
 

В декартови координати този момент е точно равен на импулса от класическата механика.

В полярни координати обобщеният момент съответства на ъгловия момент (ротационния момент).
За произволно зададена координатна система така зададеният момент може и да няма директно интуитивно обяснение.

Оператор на Хамилтон 
Хамилтоновият оператор представлява трансформация на Лежандр спрямо оператора на Лагранж:

 

Ако трансформираме уравненията, чрез дефиниране на координатна система – независима от времето t, може да се покаже, че H е равен на общата енергия: E = T + V.

Да разгледаме диференциала на Н:

 

Замествайки моментите на двжението със съответните коефициенти, получаваме Каноничното равенство на Хамилтон:

Хамилтоновото уравнение е диференциално уравнение от първи ред и това улеснява решаването му, докато уравнението на Лагранж е от втори ред. Но основното предимство на Хамилтоновото уравнение е в това, че операторът на Хамилтон по-добре отговаря и описва физическата същност на движението. В крайна сметка резултата, който получаваме и при Лагранж и при Хамилтон, е един и същ, все пак спестяваме малко труд при решението на уравненията. Въвеждането на оператора на Хамилтон позволява по-задълбочено изследване на основните принципи на класическата механика.

Класическа механика