Граница (математика)
Граница в математиката е стойността, до която дадена функция или числова редица се доближава, когато аргументът се доближава до някаква стойност. Границите са важна част от математическия анализ и се използват за определяне на непрекъснатост, производни и интеграли.

Формулата за граница на функция обикновено се записва по следния начин:
,
и се чете: границата на  от , когато  се доближава до , е равна на . Фактът, че функцията  се доближава до лимита , когато  се доближава до , понякога се записва със стрелка, например:

Граница на функция 

Нека  да е реална функция, а  – реално число. Интуитивно, записът

означава, че може да бъде много близо до  като доближим  достатъчно близо до . В този случай, по-горното уравнение се чете по следния начин: „границата на от , когато  клони към , е “.

През 1821 г. Огюстен Луи Коши, следван от Карл Вайерщрас, формализира дефиницията на границата на функция, която става известна като (ε, δ)-дефиниция на граница. Дефиницията използва ε (малка буква епсилон в гръцката азбука), за да обозначи кое да е малко положително число, така че „да се доближи до “ да означава, че лежи в интервала , което може да се запише и със знака за абсолютна стойност – . Тогава изказът „когато  клони към “ индикира, че се отнасяме към стойностите на , чието разстояние от  е по-малко от някое положително число δ (малка буква делта от гръцката азбука), т.е. стойностите на  при  или , може да се изрази с . Първото неравенство означава, че разстоянието между  и  е по-голямо от и, че , а следващото неравенство показва, че  е на разстояние  от .

Горната дефиниция на лимита е вярна, дори ако . Функцията  не е необходимо да бъде дефинирана при .

Например, ако

то тогава  не е дефинирана (виж делене на нула), но когато  се доближава до 1,  се доближава до 2:

Граница се въвежда и ако директното пресмятане на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията

за  води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на , близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

.

Лява и дясна граница на функция 
В много случаи независимата променлива х клони към х0 чрез растящи редици от стойности, т.е. отляво, или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. отдясно. Получените граници в тези случаи се наричат лява и дясна граница на функцията в зависимост от това дали аргументът остава съответно по-малък, или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:

 за лява граница и

 за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията  при , клонящо към , са съответно .

Неистинска граница на функция 
Казва се, че функцията  има неистинска граница  или , ако за всяко произволно голямо число  съществува такова число , че за всички , за които , е изпълнено неравенството , съответно f(x) < -C. Означава се:

, .

Поведение на функциите в безкрайността 
Поведението на дадена функция за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента  се определя със следните дефиниции:

Казва се, че

 и съответно 

ако за произволно отнапред дадено съществува такова достатъчно голямо , че  за всички  или съответно за всички .

Граница на числова редица 
Граница на дадена числова редица  е число  точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число  може да се намери такова число N(ε), че всички членове аn на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |an – l| < ε за всички n > N(ε).

С формализма на математическата логика това се записва по следния начин:

Еквивалентно, но по-интуитивно определение е следното: Дадено число  е граница на числовата редица , ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът  за произволно ) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Например границата на редицата

при n, клонящо към безкрайност (бележи се n → ∞), е 0, тъй като колкото повече
n расте, толкова повече  намалява (и все повече се доближава до 0).

Редицата  няма граница, понеже има две точки на сгъстяване: -1 и +1. За нито една от тези точки не е изпълнено условието „Всяка околност съдържа всички членове на редицата освен някакъв краен брой“, понеже съществуват две точки, всяка околност на които съдържа безкраен брой членове на редицата: -1 и 1. Редицата е ограничена и отгоре, и отдолу, т.е. съгласно теоремата на Болцано – Вайерщрас съществуват две числови редици: а_{2n} (всички четни членове на редицата) и а_{2n+1} (всички нечетни членове на редицата), които са сходящи: границите им са съответно +1 и -1.

Свойства на границите на редици 
 Ако редиците (an), (bn) и (cn) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

за bn ≠ 0 и  ≠ 0.

 за c = const.

при с1 = const, c2 = const.

 при b > 0, a > 0, b ≠ 1.

 при а > 0 и произволно р.

Основни теореми за граници на редици 
 Всяка сходяща числова редица е ограничена, но не всяка ограничена числова редица е сходяща.
 Границата на всяка сходяща числова редица е еднозначно определена. Тя не може да има две различни граници.
 Ако за всички членове на сходящата редица (аn) при  са изпълнени неравенствата  то тези неравенства са изпълнени и за границата а на редицата: 
 Ако  са три сходящи редици, такива че  и , то .

Вижте също 
 Функция
 Математически анализ
 Сходимост
 Редица на Коши
 Граница на функция

Източници 

Математически анализ