Естествен логаритъм
Естественият логаритъм (), наричан понякога и натурален, е логаритъм с основа математическата константа . Числото „e“ е ирационално и се дефинира като границата на (1+1/n)n при n, клонящо към безкрайност. Естественият логаритъм ln(x), loge(x) или log(x) е дефиниран за всички реални положителни стойности на x, както и за всички ненулеви комплексни стойности. Въпреки че не е въведена от Джон Непер, тази функция понякога се нарича неперов логаритъм, а числото e се нарича неперово число.

Ако y = eх, тогава x = ln y.

Естественият логаритъм от е е равен на 1, тъй като e1 = e, а естественият логаритъм от 1 е 0, тъй като e0 = 1.

Естественият логаритъм може да се дефинира като обратна функция на показателната функция с равенствата:

С други думи, той е биекция на множеството на реалните положителни числа върху множеството на всички реални числа, а още по-прецизно погледнато, той е изоморфизъм между групата на реалните положителни числа относно умножението и групата на реалните числа относно събирането:

По теоремата на Линдеман-Вайерщрас естественият логаритъм на всяко едно положително алгебрично число без 1 е трансцендентно число.

История 
Идеята за естествения логаритъм е разбработена от Гегоар дьо Сан-Винсент и Алфонс Антонио де Сараса преди 1649 г. Тяхната работа включва квадратура на хиперболата xy = 1 чрез определяне площта на хиперболичните сектори. Тяхното решение генерира необходимата функция на хиперболичния логаритъм, притежаваща свойства, свързани с естествения логаритъм.

Едно от най-ранните споменавания на естествения логаритъм е от Николас Меркатор в работата си Logarithmotechnia, публикувана през 1668 г., въпреки че през 1619 г. учителят по математика Джон Спейдъл вече е бил съставил таблица на естествени логаритми.

Друга дефиниция 

Формално ln a може да се дефинира като областта под графиката на функцията 1/x от 1 до а, която се дава с интеграла

Той дефинира логаритъма, тъй като удовлетворява основното свойство на логаритмите:

Това може да се покаже чрез заместването  по следния начин:

Свойства

Вижте също 
 Логаритъм на матрица
 Интегрален логаритъм
 Полилогаритъм
 Функция на Манголд
 Неперово число
 Николас Меркатор

Източници 

Логаритми