Ковектор
Преди да дадем дефиницията за ковектор е нужно да изведем няколко важни правила относно връзката между координатни системи и трансформацията на координати при смяна на векторната база.

Трансформация между координатни системи 
От информацията за вектори знаем че векторът е физически обект, представян чрез три координати в тримерното Евклидово пространство.

А(а1, а2, а3), при зададена база (е1,е2,е3).

Можем да запишем горното равенство за по-просто:

(е1,е2,е3) ще наричаме базови вектори, база или базови координатни вектори. В случая не става дума за единични вектори, понеже големината на тези вектори може да е различна от единица.

Ако променим базата от вектори (е1,е2,е3) и ползваме нова база вектори (е1',е2',е3'), то координатите на вектора ще се променят съответно в А' (а1', а2', а3').

Нека да разгледаме по-подробно какво става при смяна на базата.

Нека да е зададена тримерна координатна система K с линейно независими вектори 
търсим ново представяне спрямо различна координатна система K' представена с линейно независими вектори .
Линейната независимост между е1, е2 и е3 означава че нито един от векторите е1, е2 или е3 не може да бъде представен като линейна зависимост на другите два вектора.

Вектор А се представя в системата К чрез следните равенства:

 – Тук нарочно променяме мястото на индекса да бъде отгоре – за да можем по-лесно да различаваме координатите от единичните вектори.

В системата К'

Такова представяне може да бъде направено за произволен вектор, включително и за координатните вектори:

Тези формули ни дават правилото за трансформация на координатите от система К към система К'.
Скаларната матрица  определя как да се преизчислят всички величини в новата координатна система К', включително базовите координатни вектори. Затова тази матрица се нарича транзиционна или трансформационна матрица.

По обратния начин можем да намерим взаимовръзката от К' към К:

Матрицата  ни дава обратната трансформация от К' към К. Тя е зависима от S и се нарича обратна трансформационна матрица.

Горните две формули могат да бъдат записани по-накратко съгласно означенията, въведени от Айнщайн:

(2.1)
 
 

Сега да разгледаме представянето на произволен вектор А(а1, а2, а3)

Полагаме:

И така получаваме формулата за вектор А, изразен спрямо две различни бази:

Ще спазваме условностите, приети за удобство при запис. Индексът на координатите го качваме горе и по този начин правим ясно разграничение между базовите вектори и координатите:

Вижда се че величината А не зависи от избора на базовите вектори. Промяната на базовите вектори променя координатите, но не променя посоката и дължината на А.

В сила са следните трансформационни правила:

(2.2)
 

 
-второто равенство е следствие от първото и представлява обратна трансформация от К' в К.

Матрици 

Ако ползваме съкратен запис за матриците се получава следният резултат:

За сравнение връзката между базовите вектори е обратна:

 В съкратена матрична форма:

Сега вече можем да дадем дефиниция:

Дефиниция 
Ковекторът представлява геометрически обект, представян с тройка координати (1,2,3), за който са сила трансформационните правила:

Ковекторът е много близък по смисъл до вектора, за да ги разграничаваме умишлено въведохме долен индекс за обозначение на векторите и горен индекс за обозначение на ковекторите.
Друга разлика между вектор и ковектор се състои в следното:
Можем да избираме произволна база вектори, но това не води до произволни координати на ковектора. Тройката координати на ковектора винаги се подчинява на трансформационните правила за права и обратна конверсия.

Вижте също 
 Метричен тензор
 Обща теория на относителността

Източници 
 Английската и руската версии на Уикипедия
 „Теоретическа физика“ – Л.Д.Ландау, Лифшиц

 An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering , released by NASA
 A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov.

Алгебра