Тригонометрична функция
Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:
 отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
 координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като
 решения на някои диференциални уравнения
или като
 безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник 

Разглеждаме правоъгълен триъгълник в евклидовата равнина, поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на π. Следователно .

Дефиниции 
Синус на ъгъл  е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

.

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл , тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл  са подобни.

Косинус на ъгъл  е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

.

Тангенс на ъгъл  е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

.

Котангенс на ъгъл  е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

.

Секанс на ъгъл  е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

.

Косеканс на ъгъл  е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

.

В таблицата са показани най-основните връзки между тригонометричните функции. За още връзки вижте тригонометрични тъждества.

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единичната окръжност 

Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и с оси OX и OY. В тази координатна система разглеждаме окръжност с център О и радиус, равен на единица. Нека завъртим отсечката ОА на произволен ъгъл  около О.

Синус на ъгъла  се нарича отношението на ординатата на точката А към дължината на отсечката ОА. Тъй като дължината на ОА е равна на 1,

.

По същия начин

.

Тангенс на ъгъла  се нарича отношението на ординатата на точката А към нейната абсциса, т.е.

, .

За котангенса имаме

, .

Тригонометричните функции като редове 
Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър стигаме до представяне на синуса и косинуса като степенни редове.

,
.

където Bn са числата на Бернули.

където Еn са числата на Ойлер.

Свойства на тригонометричните функции 
Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е.

,
,
,
.

За остри ъгли 

,
,
,
.

За ъгли  е изпълнено

,
,
.

Да разгледаме триъгълника ABC (вж. черт.). По теоремата на Питагор имаме

,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

.

Източници 
 Тригонометрические функции – статия в Уикипедия на руски език [30 януари 2008 г.].

Вижте също 
 Аркуссинус
 Списък с интеграли на тригонометрични функции
 Обратни тригонометрични функции

Тригонометрия