Оператор на Хамилтон
Хамилтоновият оператор представлява трансформация на Лежандр спрямо оператора на Лагранж. Въведен е през 1833 година от Уилям Роуън Хамилтон и позволява нов поглед върху класическата механика.

 

Ако трансформираме уравненията, чрез дефиниране на координатна система, независима от времето t, може да се покаже че H е равен на общата енергия: E = T + V.

 H = T + V, Т – кинетична енергия, V – потенциална енергия

Математическа дефиниция 
От математическа гледна точка една нелинейна динамична система е Хамилтонова, ако се задава от 2N на брой обикновени диференциални уравнения от първи ред със симплетична структура:

  и .

Всяка двойка  е степен на свобода, така че като цяло системата е с N степени на свобода. Скаларната функция  определя напълно системата и се нарича Хамилтониан. Зависимостта на системата от времето (t) я прави неавтономна  и добавя още една степен на свобода (N+1), или половин (N+1/2), ако зависимостта от t е периодична. Нередки са случаите, когато системата е автономна.

Да разгледаме диференциала на Н:

 

Замествайки моментите на движението със съответните коефициенти получаваме Каноничното равенство на Хамилтон:

 

Хамилтоновото уравнение е диференциално уравнение от първи ред и това улеснява решаването му, докато уравнението на Лагранж е от втори ред. Но основното предимство на Хамилтоновото уравнение е в това че оператора на Хамилтон по-добре отговаря и описва физическата същност на движението.

В крайна сметка резултатът, който получаваме и при Лагранж и при Хамилтон е един и същ, все пак спестяваме малко труд при решението на уравненията. Въвеждането на оператора на Хамилтон позволява по-задълбочено изследване на основните принципи на класическата механика.

Източници 

Класическа механика
Теория на хаоса