Метричен тензор
В диференциалната геометрия, метричен тензор е вид тензор от 2 ред, позволяващ да се определи скаларното произведение на два вектора във всяка точка от пространството и който се използва за измерването на дължини и ъгли. Обобщава теоремата на Питагор. В дадена координатна система метричният тензор може да бъде представен като матрица .

Базови координати вектори 
Разглеждат се два произволни вектора в координатна система:

, където  са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)
B = (B1; B2; B3)

Може да се направи такова записване и за базовите вектори:
e1 = (1; 0; 0);
e2 = (0; 1; 0);
e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер – (делта):

 ако i =j,
 ако 

В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:

Ако се ползва горен индекс се получава:

В случай на ортогонална координатна система с единични вектори  има следната формула:
, където m; n = 1; 2; 3

Реципрочни базови вектори 
Разглежда се координатна система с базови вектори:

Приема се, че те не са нито ортогонални, нито единични.

Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:

Разглежда се реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия:
Базови вектори: 

Втората група от условия налагат да е перпендикулярен на  и ,

 да е перпендикулярен на равнината, определена от  и 

 и  да е перпендикулярен на равнината, определена от  и .

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

, където i,j = 1,2,3

Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори 
От условията по въвеждането на реципрочната база вектори:  се вижда че  трябва да е перпендикулярен на  и .

Следователно той може да бъде представен като произведение

 където  е константа, която предстои да бъде определена по-нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора  ще се получи обемът на паралелепипеда, зададен от базата .

 – обем на паралелепипед, зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори  и реципрочната база от вектори  е:

Контравариантно и ковариантно представяне на вектор 
Нека да има база от вектори  и съответната реципрочна база от вектори: .

Разглежда се вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо 

Координатите  се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:

Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

 Координатите  се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

Метричен тензор 
Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Разглеждат се две бази от координатни вектори  и , но в този случай те да не са реципрочни.

Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази се записва:

скаларните величини:
 се наричат метрични компоненти на пространството.

Съответно  се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството 
Разглежда се векторът , представен спрямо базата .

От предишните подточки се знае, че

Умножава се:

Ползвайки метричните компоненти на пространството се получава:

Връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А е:

Външни препратки 
 „Теоретическа физика“ – Л. Д. Ландау, Лифшиц
 An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering , released by NASA
 Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics
 A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov

Тензори
Основни физични концепции
Диференциална геометрия