Бутилка на Клайн
Бутилка на Клайн в математиката е двумерна повърхнина, която има само една страна, т.е. при нея не може да се разграничат „вътрешна“ от „външна“ страна. Тя не може да бъде конструирана в по-ниско от четиримерното пространство, макар че идея за нея може да бъде придобита от двумерните и тримерните ѝ изображения.

За първи път обектът е описан от немския математик Феликс Клайн през 1882 г. Първоначално Клайн го нарича „повърхнина“ („Fläche“), което грешно е превеждано на английски като „бутилка“ („Flasche“). Тази грешка обаче лесно се обяснява и с известното изображение на повърхнината, което прилича на бутилка, чието дъно с дупка е закривено, и минавайки през стената на бутилката, отново се слива с нейното гърло.

В топологията бутилката на Клайн е двумерно затворено неориентируемо многообразие с ойлерова характеристика нула.

Свойства и формулно представяне 

Бутилката на Клайн е пример за повърхнина, която е едновременно едностранна и затворена. По подобие на листа на Мьобиус, бутилката е двумерно многообразие – диференцируемо и неориентируемо (т.е. такова, за което понятията ляво и дясно не са дефинирани). За разлика от листа на Мьобиус, бутилката е затворено многообразие – компактно и без граница. И докато листът на Мьобиус може да се реализира на практика в тримерното пространство, бутилката на Клайн не може. Тя обаче може да бъде успешно конструирана в четиримерно пространство, при което няма да се получи самопресичането и неизбежния отвор в повърхнината, които налагат ограниченията на двумерните и тримерните ѝ изображения.

Топологически, Бутилката на Клайн се получава от квадрат [0,1] × [0,1] посредством отъждествяване на точките  с  и на  с . Така отъждествяването на страните на квадрата  става „с усукване“, а на  – „без усукване“.

Множеството от точките ѝ се задава с уравнението:
 

Друг вариант за конструирането на бутилката е, като се сгъне по дължина един лист на Мьобиус и ръбовете му се слепят. Обратно, чрез разрязване на бутилка на Клайн може да се получи отново лист на Мьобиус. В това си представяне бутилката на Клайн има следната проста параметризация:
 

При това представяне самопресичащата се окръжност е геометрична окръжност в равнината XY. Тук положителната константа r е радиусът на окръжността. Параметърът u задава ъгъла в равнината XY, а v фиксира положението спрямо сечението с форма на осморка.

Любопитно 
 В телевизионния сериал „Футурама“ на една полица е показана бира марка Клайн. Бутилката ѝ е бутилка на Клайн.
 В Британския музей на науката е изложена красива колекция от тримерни модели на бутилката на Клайн от ръчно духано стъкло.

Вижте също 
 Лист на Мьобиус
 Триъгълник на Пенроуз

Външни препратки 
 Страница за бутилката на Клайн на сайта на Система Mathematica
 Конструкция на бутилка на Клайн

Повърхнини