Правилен многоъгълник
Правилен многоъгълник се нарича прост многоъгълник (многоъгълник, който не се самопресича), който е равностранен и равноъгълен (с равни по дължина страни и по големина ъгли). Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът, като случаите за (сравнително) малък брой страни, примерно правилен петоъгълник, шестоъгълник, седмоъгълник, осмоъгълник или деветоъгълник са добре изучени.
Двуъгълник (двустранен правилен многоъгълник) е из роден – двулинейна отсечка. За всеки брой на страните n, правилните n-ъгълници са еднакви.

Свойства 
Вътрешен ъгъл α на правилен n-ъгълник се изчислява:
 в градуси –

 в радиани –

Всички върхове на правилен многоъгълник лежат на една окръжност, т.е. те са конциклични точки – всеки правилен многоъгълник може да се впише в дадена описваща окръжност.

Правилният n-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел тогава и само тогава, когато n е произведение на степен на 2 и/или едно или няколко различни прости числа на Ферма.

За n > 2 броят на диагоналите e , т.е. 0, 2, 5, 9, … Те разделят многоъгълника на 1, 4, 11, 24, … части.

Лице 

Лицето на правилен n-ъгълник е половината от обиколката, умножена по дължината на апотемата (отсечката, спусната от центъра на многоъгълника към една страна, перпендикулярно на нея):

или

,

където b е дължината на страната, k на апотемата.

За b = 1 имаме

със следните стойности:

Разликата между лицата на многоъгълниците и това на окръжностите със същата обиколка са равни на 0,26 (приблизително), а за n<8 – малко повече (разликите намаляват, клонейки с нарастването на n към π/12).

Симетрия 
Групата на симетрия на един правилен n-ъгълник е диедрална група Dn (от ред 2n): D2, D3, D4,... Тя се състои от ротациите в Cn (има ротационна симетрия от n ред), плюс рефлекционна симетрия по n оси, които минават през центъра. Ако n е четно, то половината от тези оси минават през два срещуположни върха, а другата половина – през средата на срещулежащата страна.

Дължина на страната, периметър и лице 
Разглеждаме правилни многоъгълници със страна а, периметър Р и лице S. С r е означен радиусът на описаната около многоъгълника окръжност. Изложени са формули, изразяващи a, P и S чрез r, които са особено удобни при решаване на геометрични задачи.

За правилен десетоъгълник:

За правилен дванадесетоъгълник:

За правилен n-ъгълник:

Построение на правилен многоъгълник 

Съществуват неограничен брой построими правилни многоъгълници, като са известни само 31 с нечетен брой страни. Изчерпателното решение на задачата за построение на правилен n-ъгълник зависи от намирането на доказателство за броя на простите числа на Ферма.

Задачата е идентична с разделянето на окръжността на n равни части. Евклид е разгледал построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за n = 3, 4, 5, 6, 15. Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: ако вече е построен правилен -ъгълник, то правилен -ъгълник (при m > 1) се построява чрез разполовяване на съответните дъги. Така от две полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т.н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с r и s страни и ако тези числа са взаимно прости, то може да се построи и правилен многоъгълник с r × s страни. Простите числа, за които решението е известно са 3 и 5, така че древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с  страни, където m е цяло неотрицателно число, p1, p2 са числата 3 и 5,k1, k2 приемат стойности 0 или 1, т.е. броят на страните ще е 3, 5, 6, 10, 12, 15.

През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. Гаус доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е просто число на Ферма (известни са само пет: 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде построен с линийка и пергел. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на

където k0 е цяло неотрицателно число, k1, k2,...,ks приемат стойности 0 или 1, а pj са различни прости числа на Ферма. През 1836 г. Пиер-Лоран Ванцел доказва, че това условие не е само достатъчно, а и необходимо, като това става известно като теоремата на Гаус-Ванцел. Тъй като броят на възможните произведения от пет (известните прости числа на Ферма) различни множителя, участващи по веднъж, е 31, това е и броят на построимите многоъгълници с нечетен брой страни.

Успешният край на тези изследвания е постигнат със следните построения: на правилния седемнадесетоъгълник – от Йохан Ерхингер през 1825 г., на правилния 257-ъгълник – от Фридрих Юлиус Ришело през 1832 г. и на правилния 65537-ъгълник – от Густав Хермес през 1894 г.

Източници

Вижте също 
 Квадрат
 Ромб
 Многоъгълник
 Безкрайноъгълник