Теорема о верхней границе
Теорема о верхней границе утверждает, что циклические многогранники имеют наибольшее возможное число граней среди всех выпуклых многогранников и триангуляций многомерной сферы при любой заданной размерности пространства и любом числе вершин. Это один из важнейших результатов в комбинаторике многогранников.

Первоначально утверждение было сформулировано  для многогранников как гипотеза о верхней границе. Это утверждение доказано  в 1970 году. В 1975 году  обобщил утверждение теоремы на симплициальную сферу. В 1985 году Нога Алон и  дали простое доказательство теоремы в общем случае.

Циклические многогранники 

Циклический многогранник  это выпуклая оболочка  вершин, которые заданы кривой моментов — множество -мерных точек с координатами . Конкретный выбор точек на кривой не влияет на комбинаторную структуру многогранника.
Число -мерных граней  задаётся формулой

  для 

и  полностью определяет  через уравнения Дена — Соммервиля. Такая же формула для числа граней верна для произвольного смежностного многогранника.

Теорема 
Утверждается, что если  многомерный выпуклый многогранник размерности  или симплициальная сфера размерности  с  вершинами, то

  для 

Иначе говоря теорема утверждает, что независимо от размерности пространства число граней выпуклого многогранника не может быть больше, чем число граней циклического многогранника с тем же числом вершин. Асимптотически это означает, что многомерные выпуклые многогранники имеют  граней.

Следствия 
Из теоремы вытекает, что выпуклая оболочка множества из  точек может быть построена алгоритмом сложности  в двумерном и трёхмерном пространстве и алгоритмом сложности  в пространствах более высокой размерности.

Примечания 

Комбинаторика многогранников