Оператор сдвига
В математике, и, в частности, в функциональном анализе, оператор сдвига, также известный как оператор трансляции, — это оператор, который переводит функцию x ↦ f(x) в её трансляцию x ↦ f(x + a). В анализе временных рядов оператор сдвига называется лаговым оператором.

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов, важных своей простотой и естественной распространённостью. Действие оператора сдвига на функции вещественного переменного играет важную роль в гармоническом анализе, например, он встречается в определениях почти периодических функций, положительно-определённых функций, производных и свёртки. Сдвиги последовательностей (функций целого переменного) появляются в различных областях, таких как пространства Харди, теория абелевых многообразий и теория символической динамики, для которых отображение пекаря является явным представлением.

Определение

Функции вещественной переменной 
Оператор сдвига  (где ) переводит функцию  на R в её трансляцию  ,

 

В операционном исчислении, практическое представление линейного оператора  в терминах простой производной  было введено Лагранжем,
что может быть интерпретировано операционально через формальное разложение Тейлора по ; по биному Ньютона очевидно действие оператора на одночлен , и, следовательно, на все ряды по , а значит, и на все функции , как указано выше. Таким образом, формально это кодировка разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор является прототипом адвективного потока Ли для абелевых групп,

 

где канонические координаты  (функции Абеля) определены так, что

 

Например, из этого легко следует, что  даёт масштабирование,

 

следовательно  (чётность); аналогично,  даёт

 

 даёт

 

 даёт

 

и т.д.

Начальное условие потока и свойство группы полностью определяют весь поток Ли, предоставляя решение функционального уравнения трансляции

Последовательности 
Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

 

и на двухсторонние бесконечные последовательности чисел:

 

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

 

и на двусторонние бесконечные последовательности:

 

Операторы сдвига вправо и влево, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группы 
В целом, как было показано выше, если  есть функция абелевой группы , а  есть элемент из , то оператор сдвига  отображает  в

Свойства оператора сдвига 
Оператор сдвига, действующий на вещественные или комплекснозначные функции или последовательности, является линейным оператором, сохраняющим большинство стандартных норм, которые встречаются в функциональном анализе. Поэтому он обычно является непрерывным оператором с 1-нормой.

Действие на гильбертовых пространствах 
Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на . Оператор сдвига, действующий на функции вещественного переменного, является унитарным оператором на .

В обоих случаях (левый) оператор сдвига удовлетворяет следующему коммутативному соотношению с преобразованием Фурье:где  —  на . Поэтому спектр  — единичный круг.

Односторонний сдвиг S, действующий на , является собственной изометрией с областью значений функции, равной всем векторам, которые исчезают в первой координате. Оператор S является сжатием , в том смысле, чтогде  — вектор в  с  для  и  для . Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных расширений изометрий.

Спектр S — это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма; он имеет индекс Фредгольма -1.

Обобщение 
Жан Дельсарт ввёл понятие обобщённого оператора сдвига (также называемого обобщённым оператором смещения); в дальнейшем оно было развито Борисом Левитаном.

Семейство операторов , действующих на пространстве  функций из множества  в , называется семейством обобщённых операторов сдвига, если выполняются следующие свойства:

 Ассоциативность: пусть . Тогда .
 Существует  в  такое, что  — оператор тождества.

В этом случае множество  называется гипергруппой.

См. также 

 Арифметический (знаковый) сдвиг
 Логический (беззнаковый) сдвиг
 Конечные разности
 Оператор импульса

Примечания

Литература 

 
 Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory, (1985) Oxford University Press.

Теория операторов