Первая группа когомологий
Первая группа когомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из аддитивных целозначных функций на первой группе гомологий этого пространства. Она является простейшим вариантом  — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Определение 
Первой группой когомологий топологического пространства  называется группа гомоморфизмов

 ,

где  — его первая группа гомологий.

Свойства 
Первая группа когомологий компактного пространства является конечно порождённой. Она тривиальна тогда и только тогда, когда первая группа гомологий этого пространства конечна.

Первые группы когомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.

Функториальность 
Сопоставление  продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп, причем контравариантного. А именно, каждому непрерывному отображению  сопоставляется гомоморфизм , где образ  гомоморфизма  определяется правилом

 ,

где символ  обозначает гомологический класс одномерного цикла .

Иными словами, данный функтор является композицией  ковариантного функтора первой группы гомологий и контравариантного hom-функтора, представленного группой .

Если два отображения  гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп когомологий: . В связи с этим сопоставление  продолжается до контравариантного функтора из  в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой 
Если  линейно связно, его первая группа гомологий изоморфна абелианизации его фундаментальной группы. В этом случае, согласно универсальному свойству абелианизации, имеется изоморфизм групп гомоморфизмов:

 .

Связь с отображениями в окружность 
Каждое непрерывное отображение  индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп:

 .

Следовательно, если пространство  линейно связно, оно определяет элемент первой группы когомологий: . Поскольку гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы, данная конструкция задаёт функцию

 

из множества гомотопических классов отображений  в первую группу когомологий пространства . Она биективна, поскольку для окружности, как и для любого пространства Эйленберга-Маклейна, подобная конструкция осуществляет взаимно-однозначное соответствие между гомотопическими классами отображений  и гомоморфизмами .

Имеется следующее описание прообраза сложения из первой группы когомологий  в множестве  гомотопических классов. Для  определим отображение  правилом

 ,

где  — стандартная групповая операция на окружности. Тогда .

Примечания

Литература 
 
 

Алгебраическая топология
Гомологическая алгебра