Псевдохарактер
Псевдохарактер — вещественнозначная функция на группе, в определённом смысле близкая к гомоморфизму.

Понятие псевдохарактера было введено в докладе А. И. Штерна на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году. Оно находит применения в комбинаторной теории групп, в теории групп диффеоморфизмов, в теории , в симплектической геометрии и в теории представлений групп.

Определение 
Функция  на группе  называется квазихарактером (или квазиморфизмом), если существует такая константа , что для любых  выполняется неравенство . Или, что то же самое,

 .

Квазихарактер  называется псевдохарактером, если он обладает свойством однородности: для любых  и  выполняется

 .

Или, иными словами, его ограничение на произвольную циклическую подгруппу является гомоморфизмом.

Вспомогательные определения 
Дефектом квазихарактера  называется супремум

 .

Дефект равен нулю тогда и только тогда, когда квазихарактер является гомоморфизмом. В этом случае квазихарактер называется характером.

Два квазихарактера  и  называются асимптотически эквивалентными, если следующий супремум конечен:

 .

Квазиморфизм называется тривиальным, если он асимптотически эквивалентен гомоморфизму. Примером такого квазиморфизма является произвольная ограниченная числовая функция на группе.

Пространство псевдохарактеров 
Множество всех квазихарактеров на группе  обозначается символом . Оно является подпространством вещественного векторного пространства всех функционалов , рассматриваемых с операциями поточечного сложения и умножения на скаляр. Иными словами, определяющее свойство квазихарактера сохраняется при сложении и умножении на скаляры.

Дефект является  на пространстве .

Множество всех псевдохарактеров на группе  является векторным подпространством пространства  и обозначается символом . Оно содержит в качестве векторного подпространства группу гомоморфизмов .

Усреднение квазихарактеров 
Каждый квазихарактер  можно следующим образом превратить в псевдохарактер. Положим

 .

Тогда данный предел всегда существует, а функция  является псевдохарактером, дефект которого не превосходит , и выполняется неравенство . Более того, функция  является единственным псевдохарактером, асимптотически эквивалентным квазихарактеру .

Отображение , ставящее в соответствие квазихарактеру связанный с ним псевдохарактер, линейно, непрерывно (относительно определённой выше квазинормы) и является проектором . В частности, если квазихарактер  является псевдохарактером, то .

С помощью данного проектора пространство  возможно отождествить с множеством классов асимптотической эквивалентности квазихарактеров. Или, что то же самое, с факторпространством пространства  по подпространству квазихарактеров, асимптотически эквивалентных нулевому квазихарактеру.

Свойства 
Значения произвольного псевдохарактера на сопряженных элементах группы совпадают:  для любых . Таким образом, каждый псевдохарактер является , то есть задаёт функцию на множестве классов сопряженности группы.

Если элементы  коммутируют, то . Таким образом, ограничение любого псевдохарактера на произвольную коммутативную подгруппу является гомоморфизмом. В частности, в случае коммутативных групп понятия псевдохарактера и гомоморфизма совпадают.

Примеры 
Обозначим символом  группу сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов вещественной прямой, а символом  — её подгруппу, состоящую из гомеоморфизмов , удовлетворяющих условию  для любого , то есть коммутирующих с единичным сдвигом . Число переноса представляет собой псевдохарактер на группе , дефект которого не превосходит единицы.

Символ Радемахера представляет собой квазихарактер на специальной линейной группе . Соответствующий ему псевдохарактер называется псевдохарактером Радемахера. Аналогичная конструкция рассматривается на модулярной группе .

Антье Деорнуа представляет собой квазихарактер с единичным дефектом на группе кос . Соответствующий ему псевдохарактер называется закрученностью.

Считающие квазихарактеры 
Пусть  — свободная группа с базисом . С каждым приведённым словом  следующим образом свяжем пару квазихарактеров на .

Для  положим  равным количеству вхождений слова  в приведённое слово-представителя элемента . Например, при  имеем . Далее, положим  равным наибольшему значению количества непересекающихся вхождений слова  в приведённое слово-представителя элемента . Например, .

Определим  и . Функции  и  являются квазихарактерами на свободной группе  и называются, соответственно, большой считающей (от ) и малой считающей (от ). Большие считающие квазихарактеры были введены  и иногда называются функциями Брукса, а малые считающие квазихарактеры были введены  и .

Например, при  и  имеем , причем квазихарактеры  являются гомоморфизмами и порождают группу гомоморфизмов .

Дефект большого считающего квазихарактера  не превосходит числа , где символ  обозначает количество букв в слове . Данная оценка точна, как показывает пример . Однако дефект малого считающего квазихарактера  всегда не превосходит трёх. Более того, он равен нулю только если , равен двойке только если  имеет вид ,  или , а иначе равен единице.

Примечания

Литература

Ссылки 
 
 
 
 
 

Теория групп
Функциональный анализ