Абелианизация
Абелианиза́ция — способ превратить произвольную группу  в абелеву. Является полезным инструментом в теории групп, который находит применение в алгебраической топологии.

C помощью абелианизации возможно описать аддитивные инварианты группы, то есть гомоморфизмы из данной группы в некоторую абелеву. Также она зачастую позволяет свести задачу проверки неизоморфности групп, заданных образующими и соотношениями, к более простой аналогичной задаче для абелевых, особенно в случае конечно-порождённых.

Введение 

Превращение группы в коммутативную подразумевает отождествление элементов  и  для всех . В частности, такая процедура приравняет каждый коммутатор  к нейтральному элементу группы.

Верно и обратное: если каждый коммутатор эквивалентен единице группы, из формулы  следует, что любые два её элемента коммутируют. Таким образом, отождествления каждого коммутатора с единицей необходимо и достаточно для превращения произвольной группы в коммутативную. На языке теории групп оно называется факторизацией по коммутанту — подгруппе, порождённой всеми коммутаторами.

Абелианизацией группы  называется её факторгруппа по коммутанту: 

 . 

Также для абелианизации используются обозначения  и .

Связанные определения  

Естественная проекция  называется гомоморфизмом абелианизации и обозначается символом . Её ядро совпадает с коммутантом группы .

Группа называется каиновой, если её абелианизация тривиальна.

Свойства  
Абелианизация любой группы является абелевой группой. Любая абелева группа изоморфна своей абелианизации.

Абелианизация группы является её наибольшим абелевым фактором в том смысле, что факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы.

Сопоставление  продолжается до функтора из категории групп в категорию абелевых групп. А именно, каждому гомоморфизму  сопоставляется гомоморфизм , определяющийся формулой , где  обозначает смежный класс элемента .

Абелианизация группы, имеющей задание образующими и соотношениями , допускает задание 

 .

Универсальное свойство 
Абелианизация и гомоморфизм абелианизации удовлетворяют следующему так называемому универсальному свойству. Для любого гомоморфизма  в любую абелеву группу  существует такой единственный гомоморфизм , что . Универсальность состоит в том, что, как легко проверяется, любая другая группа, удовлетворяющая данному свойству, изоморфна группе .

Данное свойство позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между всеми гомоморфизмами из группы  в некоторую абелеву группу  и всеми гомоморфизмами из абелианизации  в . При таком соответствии каждому гомоморфизму  сопоставляется композиция . Условие биективности данного соответствия эквивалентно универсальному свойству абелианизации. 

Указанное соответствие осуществляет изоморфизм групп гомоморфизмов:

 .

С точки зрения теории категорий данный изоморфизм означает, что функтор абелианизации является левым сопряжённым к забывающему функтору из категории абелевых групп в категорию всех групп.

Гомологии 
Абелианизация является полезным инструментом в алгебраической топологии. Так, абелианизация фундаментальной группы любого линейно связного топологического пространства изоморфна его первой группе гомологий с целыми коэффициентами: 

 .

В частности, данный изоморфизм применим при вычислении гомологий групп. А именно, первая группа гомологий с целыми коэффициентами группы  изоморфна её абелианизации: .

Данные соотношения являются основой для аналогии, гласящей, что теория гомологий является абелианизацией теории гомотопий. Точный смысл данному утверждению можно придать с помощью теоремы Гуревича и .

Примеры 
Абелианизация свободной группы  ранга  изоморфна свободной абелевой группе  того же ранга. Гомоморфизм абелианизации  сопоставляет каждому элементу упорядоченный набор из его экспоненциальных сумм по базисным образующим, то есть набор сумм степеней соответствующих символов в его записи. Таким образом, коммутант свободной группы состоит из тех элементов, у которых экспоненциальная сумма по каждой образующей равна нулю.

Абелианизация полной линейной группы  изоморфна мультипликативной группе  поля  вещественных чисел. Гомоморфизм абелианизации  совпадает с определителем. В частности, коммутант группы  совпадает со специальной линейной группой . Аналогичное верно для полных линейных групп над произвольным полем, за исключением случая .

Абелианизация группы кос  изоморфна бесконечной циклической группе . Гомоморфизм абелианизации  сопоставляет косе её экспоненциальную сумму. В частности, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю.

Примечания

Литература  

 
 

Теория групп