Представление Бурау
Представление Бурау — линейное представление группы кос, введённое в 1935 году немецким математиком .

Определение 
Представлением Бурау (или неприведённым представлением Бурау) называется гомоморфизм 

  

из группы кос из  нитей в полную линейную группу кольца  многочленов Лорана с целыми коэффициентами одной переменной , заданный на образующих Артина равенством

 

где символ  обозначает единичную матрицу размера , рассматриваемую как блок блочно-диагональной матрицы . Образом обратной образующей Артина при таком гомоморфизме является матрица

 

Элементы образа представления Бурау называются матрицами Бурау.

Интерпретации 
Данное линейное представление допускает следующую наглядную интерпретацию. С каждой косой  свяжем элемент , задав соответствующее ему линейное преобразование векторного пространства . Чтобы определить действие этого преобразования на упорядоченном наборе , выберем диаграмму косы  и следующим образом сопоставим элементы кольца  дугам этой диаграммы. Сначала для каждого  отметим на дуге, содержащей -ый левый конец косы (при нумерации концов снизу вверх), элемент . Далее, шаг за шагом распространим данное сопоставление на все остальные дуги: для каждого перекрёстка, в котором на двух из трёх составляющих его дуг уже отмечены элементы  и , где  — метка верхней ветви перекрёстка, припишем оставшейся дуге элемент , если перекрёсток является положительным, и элемент , если перекрёсток является отрицательным. Результатом действия искомого преобразования на исходном наборе полагается, по определению, упорядоченный набор , где  — метка дуги, содержащей -ый правый конец косы (при нумерации концов снизу вверх). Тогда 

 ,

где  — отражение кос.

Специализации 
Отдельный интерес представляют специализации

 

представления Бурау, получающиеся из него подстановкой вместо переменной  некоторого фиксированного ненулевого комплексного числа. Наиболее изученными являются специализации в корнях из единицы.

Перестановочное представление 
Результат подстановки  в матрицу Бурау косы является матрицей перестановки, соответствующей этой косе. Таким образом, специализация представления Бурау при  совпадает с композицией

 

гомоморфизма, отображающего косу в её перестановку, и  симметрической группы.

Целочисленное представление Бурау 
Специализация представления Бурау при  имеет вид

 

и называется целочисленным представлением Бурау. Его ядро называется заплетённой группой Торелли (от ) и обозначается символом .

Для  композиция целочисленного представления Бурау с редукцией по модулю  задаёт представление

 .

Его ядро называется конгруэнтной подгруппой уровня  (от ) или группой кос уровня  (от ) и обозначается символом .

См. также 
 Группа кос

Примечания

Литература 
 
 

Теория кос
Теория представлений