Дополнение узла
Дополнение узла — пространство, получающееся из шара вырезанием цилиндра, заузленного в форме этого узла.

Дополнение является важной конструкцией в теории узлов, связывающей её с трёхмерной топологией. Многие инварианты узлов, такие как группа узла, являются в действительности инвариантами их дополнений.

Определение 
Дополнением ручного узла называют несколько тесно связанных между собой пространств. В простейшем случае имеется в виду теоретико-множественная разность , где
 — некоторый геометрический представитель данного узла.

Такое пространство обладает рядом недостатков, и чаще рассматривают разность , где  — одноточечная компактификация трёхмерного евклидова пространства, то есть трёхмерная сфера.

Наконец, для возможности привлечения различных алгебро-топологических и аналитических инструментов, требующих компактности, в литературе дополнением узла обычно называют множество

 ,

где  — открытая трубчатая окрестность геометрического узла .

Аналогично определяются дополнения зацеплений.

Несмотря на своё определение, пространство  может быть вложено в , а именно, оно гомеоморфно пространству, получающемуся из шара вырезанием открытого цилиндра, заузленного в форме .

Примеры 
Дополнение тривиального узла получается из шара вырезанием прямого цилиндра и гомеоморфно полноторию. Альтернативный взгляд на данный полноторий представлен на рисунке. Вместе с таким полноторием трубчатая окрестность тривиального узла образует простейшее разбиение Хегора трёхмерной сферы.

Внутренность дополнения узла трилистника гомеоморфна фактору вещественной специальной линейной группы по её дискретной подгруппе:

 .

Эта внутренность также гомотопически эквивалентна конфигурационному пространству  трёхэлементных подмножеств плоскости, которое является шестимерным многообразием.

Свойства 
Пространство  является связным, компактным, неприводимым трёхмерным многообразием. Его внутренность гомеоморфна пространству . Его край, в свою очередь, гомеоморфен тору, поскольку совпадает с краем замыкания трубчатой окрестности , гомеоморфного полноторию. В отличие от , пространства  и  являются некомпактными трёхмерными многообразиями без края.

Дополнения узлов, а также зацеплений, являются многообразиями Хакена.

Фундаментальные группы пространств ,  и  изоморфны и называются группой узла. Первая группа гомологий дополнения узла является бесконечной циклической и, как и для любого пространства, изоморфна абелианизации его фундаментальной группы:

 .

Она порождается образом любой меридианальной петли узла. Целое число, соответствующее гомологическому классу в  замкнутой ориентированной кривой в , равно коэффициенту зацепления этой кривой с геометрическим узлом .

Поскольку пространство  связно, имеется изоморфизм . Как и младшие группы гомологий, гомологии дополнения узла можно вычислить с помощью двойственности Александера:

 

В отличие от , относительная группа гомологий  не тривиальна, а является бесконечной циклической, порождённой любой поверхностью Зейферта узла.

Как показал Христос Папакирьякопулос, высшие гомотопические группы пространства  тривиальны, иными словами, дополнение любого узла является асферическим.

Теорема Гордона — Люке 
Дополнения узла и его зеркального образа гомеоморфны. Теорема, доказанная  и , гласит, что это единственная возможность. А именно, дополнения двух ручных узлов гомеоморфны тогда и только тогда, когда они либо совпадают, либо являются зеркальными образами друг друга. Таким образом, дополнение узла практически является его полным инвариантом.

Классификация Тёрстона 
Согласно теореме о геометризации трёхмерных многообразий, если дополнение узла является , то на его внутренности можно ввести структуру одной из восьми трёхмерных геометрий.

Дополнения торических узлов являются аторическими многообразиями Зейферта. На их внутренностях можно ввести как геометрию универсального накрытия , так и произведения . Например, в случае трилистника геометрия с моделью  может быть введена с помощью гомеоморфизма между внутренностью его дополнения и пространством .

Как следует из определения, дополнение узла не является аторическим в том и только в том случае, если узел является сателлитным. Согласно , доказанной Уильямом Тёрстоном, если узел не является сателлитным или торическим, то на внутренности его дополнения можно ввести геометрию гиперболического пространства , причем единственным образом. В связи с этим такие узлы называются гиперболическими.

Разбиение множества всех узлов на торические, сателлитные и гиперболические называется классификацией Тёрстона.

Примечания 

Теория узлов
Трёхмерные многообразия
Маломерная топология