Анализ парциальных волн
Анализ парциальных волн в контексте квантовой механики относится к методу решения задач рассеяния путём разложения каждой волны на составляющие её компоненты углового момента и построения решения с использованием граничных условий.

Предварительные сведения из теории рассеяния 
Следующее описание следует каноническому способу рассмотрения элементарной теории рассеяния. Постоянный пучок частиц рассеивается на сферически-симметричном потенциале , который является короткодействующим, так что на больших расстояниях при , частицы ведут себя как свободные частицы. В принципе, любая частица должна описываться волновым пакетом, но вместо этого мы описываем рассеяние в виде плоской волны  движущейся вдоль z оси, так как волновые пакеты можно разложить по плоским волнам, что упрощает вычисления. Поскольку пучок включается на времена, большие по сравнению со временем взаимодействия частиц с рассеивающим потенциалом, предполагается стационарность этой задачи. То есть следует решить стационарное уравнение Шрёдингера для волновой функции  представляющий пучок частиц:

 

Для нахождения решения делают следующий анзац:

 

где  — входящая плоская волна, а  — рассеянная волна, возмущающая исходную волновую функцию.

Эта асимптотическая форма  представляет интерес, поскольку наблюдения вблизи центра рассеяния (например, ядра атома) в большинстве случаев невозможны, а детектирование частиц происходит далеко от источника. На больших расстояниях частицы должны вести себя как свободные частицы, и  поэтому должна быть решением свободного уравнения Шрёдингера. Это говорит о том, что она должна иметь форму, подобную плоской волне, без каких-либо физически бессмысленных вкладов. Поэтому исследуют разложение по плоским волнам, которое представляется в виде ряда:

 

Здесь сферическая функция Бесселя  асимптотически ведёт себя как

 

Это соответствует исходящей и приходящей сферической волне. Для рассеянной волновой функции ожидаются только исходящие части. Поэтому ожидается, что  на больших расстояниях и предполагается асимптотическая форма рассеянной волны равная

 

где  — так называемая амплитуда рассеяния, которая в данном случае зависит только от угла  и энергии.

В заключение это приводит к следующему асимптотическому выражению для всей волновой функции:

Разложение по парциальным волнам 
В случае сферически-симметричного потенциала , волновая функция рассеянной волны может быть разложена по сферическим гармоникам, которые сводятся к полиномам Лежандра из-за азимутальной симметрии (отсутствие зависимости от ):

 

В стандартной задаче рассеяния предполагается, что падающий пучок принимает форму плоской волны с волновым числом , которую можно разложить по парциальным волнам, используя разложение по плоским волнам с использованием сферических функций Бесселя и полиномов Лежандра:

 

Здесь используется сферическая система координат, в которой  ось совмещена с направлением пучка. Радиальная часть этой волновой функции состоит исключительно из сферической функции Бесселя, которую можно переписать как сумму двух сферических функций Ганкеля:

 

Можно раскрыть физический смысл:  асимптотически (то есть при больших ) ведёт себя как  и, таким образом, является исходящей волной, тогда как  асимптотически ведёт себя как  и, таким образом, является приходящей волной. На приходящую волну рассеяние не влияет, в то время как исходящая волна модифицируется фактором, известным как элемент S-матрицы для парциальной волны :

 

где  — радиальная составляющая фактической волновой функции. Фазовый сдвиг  определяется как половина фазы :

 

Если поток сохраняется, то , и, таким образом, фазовый сдвиг вещественен. Обычно это так, если потенциал не имеет мнимой поглощающей составляющей, которая часто используется в феноменологических моделях для имитации потерь, например, из-за других каналов реакции.

Следовательно, полная асимптотическая волновая функция равна

 

Вычитание  даёт асимптотическую исходящую волновую функцию:

 

Используя асимптотику сферических функций Ганкеля, получается

 

Поскольку амплитуда рассеяния  определяется из

 

следует, что

 

и, таким образом, дифференциальное сечение рассеяния определяется выражением

 

Эта можель работает для любого короткодействующего взаимодействия. Для дальнодействующих взаимодействий (таких как кулоновское взаимодействие) сумма по  может расходиться. Общий подход для таких задач состоит в том, чтобы рассматривать кулоновское взаимодействие отдельно от короткодействующего взаимодействия, так как кулоновская проблема может быть решена точно в терминах кулоновских функций, которые играют роль функций Ганкеля в этой задаче.

Примечания

Литература

Ссылки 
 Парциальные волны для чайников
 Анализ рассеяния с помощью парциальных волн
Квантовая механика
Страницы с непроверенными переводами