Прямая Александрова
Прямая Александрова (или длинная прямая) — топологическое пространство, один из основных контрпримеров, используемых в топологии: обычная вещественная прямая состоит из счётного числа отрезков , расположенных друг за другом, а прямая Александрова строится из несчётного числа таких отрезков. Построена Павлом Александровым в 1924 году.

Замкнутая прямая Александрова  определяется как декартово произведение первого несчётного ординала  и полуинтервала , снабжённое топологией порядка (то есть её база — интервалы ), индуцированной лексикографическим порядком на . Открытая прямая получается удалением наименьшего элемента .

Прямая Александрова равномощна вещественной прямой и является нормальным пространством, как и любое пространство с топологией порядка, однако обладает рядом необычных свойств. В частности, её топология неметризуема, она секвенциально компактна, но не компактна, линейно связна, локально связна и односвязна, но не стягиваема. Более того, прямая Александрова имеет структуру несепарабельного топологического многообразия, несмотря на непаракомпактность, и удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не второй. На ней также можно ввести структуру дифференцируемого и даже аналитического многообразия.

Примечания 

Топологические пространства