Группа крашеных кос
Группа крашеных кос (или группа чистых кос, от ) — группа, образованная для заданного  всеми крашеными косами из  нитей относительно операции произведения кос. Является подгруппой группы кос  и обозначается символом .

Определение 
Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы 

Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении. Произведение  двух крашеных кос  и  с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество  всех крашеных кос из  нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой, которая называется группой крашеных кос.

Траектории движения точек на плоскости 

Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства  упорядоченных наборов  различных точек евклидовой плоскости:

 .

Автоморфизмы свободной группы 

Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.

Автогомеоморфизмы проколотого диска 
Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого диска с  проколами:

 .

Задание образующими и соотношениями 

Группа крашеных кос является конечно представленной. Простейшее её задание выглядит следующим образом.

Для таких  и , что , пусть

 .

Данные  кос порождают группу крашеных кос . Они называются стандартными образующими или образующими Маркова.

В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениями:

 

где  — коммутатор элементов  и .

Причёсанная нормальная форма 

Представление крашеной косы  в виде 

 

называется её причёсанным видом, если каждая коса  имеет геометрического представителя, у которого все нити, кроме -ой, являются прямыми, а -ая зацепляется только за нити с меньшими номерами.

Запись косы , в которой каждая коса  представлена в виде  в образующих , называется её причёсанной нормальной формой:

См. также 
 Группа кос
 Теория кос

Примечания

Литература

Ссылки 
 

Теория кос