Уравнение Абеля
Уравнение Абеля, названное в честь Нильса Хенрика Абеля — это тип функционального уравнения вида

 

или

 .

Данные формы эквивалентны, когда  обратимо.  или  управляют итерацией .

Эквивалентность 
Второе уравнение может быть записано как

 

Принимая , уравнение можно записать как

 

Для известной функции  задача состоит в решении функционального уравнение для функции , возможно, удовлетворяющей дополнительным требованиям, таким как .

Замена переменных  для вещественного параметра  приводит уравнение Абеля к , .

Дальнейшая замена  приводит к уравнению , .

Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается им),

 ,

например, для ,

 . (Обратите внимание, что .)

Функция Абеля  дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли).

История 
Изначально уравнение было получено в более общей форме. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и требует специального анализа.

В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно.

Особые случаи 
Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, когда .

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,

 ,

и так далее,

Решения 
Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на  тогда и только тогда, когда для всех  и для всех , , где , функция  итерированная  раз.

Аналитические решения (координаты Фату) могут быть приближены асимптотическим разложением функции, заданной степенным рядом в секторах вокруг параболической неподвижной точки. Аналитическое решение единственно с точностью до константы.

См. также 
 Функциональное уравнение
 
 
 
 Повторяющаяся функция
 Оператор смены

Примечания 

Функциональные уравнения