Эпициклическая частота
Эпициклическая частота в астрофизике — характеристика движения тела под воздействием определённого гравитационного потенциала — например, движения звезды в галактике. Если орбита тела мало отличается от круговой, а движение по ней происходит с частотой , то можно считать, что тело совершает малые колебания относительно точки, движущейся по круговой орбите с такой же частотой . Частота таких малых колебаний называется эпициклической частотой и обозначается .

Описание 
В астрофизике может рассматриваться движение тела в определённом гравитационном потенциале — например, движение в галактике. Однако даже если гравитационный потенциал является симметричным относительно какой-либо выделенной оси, то уравнения, описывающие движение тела, могут иметь аналитические решения лишь в частных случаях — например, в задаче двух тел, когда вся масса, создающая поле тяготения, находится в одной точке. Это обстоятельство заставляет рассматривать движение в упрощённом виде. Если траектория движения звезды в галактике близка к окружности, то можно рассмотреть круговую орбиту в плоскости галактики, по которой движение происходило бы с той же частотой , и исследовать колебания звезды относительно точки на круговой орбите. Частота таких колебаний в плоскости диска называется эпициклической частотой и обозначается . Например, для потенциала точечной массы, в котором  и движение пробного тела происходит в согласии с законами Кеплера, . В других случаях, которые могут возникнуть на практике, чаще всего .

Рассмотрение задачи в таком виде называется эпициклическим приближением. Название связано с тем, что движение в плоскости галактики относительно кругового движения происходит по эллипсу и тем самым напоминает движение по эпициклу.

Вывод 
В общем виде уравнения движения звезды в цилиндрических координатах  в потенциале  выглядят следующим образом:

 
 
 

Для осесимметричного потенциала  второе из этих уравнений переписывается в более простом виде: , где  — постоянная, называемая интегралом площадей. Движение по орбите, близкой к круговой, можно рассматривать как сумму кругового движения по орбите вокруг центра галактики в плоскости диска и малых отклонений. В цилиндрических координатах  движение будет выражено формулами:

 
 
 

Здесь  — радиус соответствующей круговой орбиты,  — азимутальный угол относительно центра галактики, соответствующий движению по окружности. Для заданной орбиты можно определить  так, чтобы  для круговой орбиты с радиусом  совпадал с  для заданной. Также при помощи  можно переписать первое уравнение движения.

 
 
 

Частота вращения галактики  на радиусе  определяется как . Рассматривая круговые орбиты, из первого уравнения можно получить следующее выражение, в котором нижний индекс 0 означает взятие производной в точке :

 

Потенциал  можно разложить в ряд по степеням  и  и оставить только первые степени. Тогда получится:

 
 
 

Возвращаясь к значениям малых отклонений от кругового движения, можно переписать уравнения как:

 
 
 
Значения, заключённые в скобки, являются отрицательными. Таким образом, эти уравнения описывают малые колебания: можно ввести следующие обозначения:

 
 

Тогда решения уравнений примут следующий вид:
 
 
 

В этих формулах  — постоянные интегрирования. Вид формул означает, что при отклонении от круговой орбиты тело в галактической плоскости движется по эллипсу относительно точки на круговой орбите с частотой , а вдоль оси  совершает гармонические колебания с частотой . Величина  и называется эпициклической частотой (иногда радиальной частотой), а  — вертикальной частотой, её квадрат называют динамическим параметром и часто обозначают . Частота колебаний в плоскости и вне плоскости не совпадает, так что орбита в общем случае не является замкнутой.

Применение 
Эпициклическую частоту в окрестностях Солнца можно оценить через постоянные Оорта: . В этой области  равняется приблизительно 32 км/с/кпк и период эпициклических колебаний в окрестностях Солнца равен приблизительно 80 % периода вращения Галактики на том же расстоянии. Динамический параметр  зависит от наблюдаемой дисперсии скоростей в направлении, перпендикулярном диску Галактики , и распределением плотности :

 

В окрестности Солнца период вертикальных колебаний составляет 45 % периода вращения Галактики. Плотность вещества в диске Галактики вблизи Солнца можно выразить через динамический параметр и постоянные Оорта:

 

Оценка плотности, получаемая таким образом, называется динамической и составляет для окрестности Солнца 6 г/см3.

Резонансы Линдблада 
Потенциал реальных галактик часто не является осесимметричным, и, кроме того, вращается — отклонение от осевой симметрии могут создавать, например, бары. Если отклонение потенциала от осевой симметрии невелико, то его можно представить как сумму осесимметричного потенциала и некоторого возмущения, которое и вращается с угловой скоростью , как и суммарный потенциал. Из-за малости возмущений движение частиц также можно рассматривать как близкое к круговому с частотой  на радиусе , и, следовательно, использовать эпициклическую частоту . Таким образом, возмущения из-за неосесимметричности потенциала на рассматриваемой орбите действуют с частотой , где  — целое число, соответствующее степени симметрии потенциала: чаще всего рассматривают , которое соответствует бару или спиральной структуре, состоящей из двух рукавов. Если эта частота совпадает с , то между собственными эпициклическими колебаниями и возмущением возникает резонанс, называемый резонансом Линдблада. Если , то это внутренний резонанс Линдблада, если же  — внешний. Существуют и другие, менее важные резонансы Линдблада, каждый из которых расположен на своём радиусе. В отдельно взятой галактике могут наблюдаться какие-то из них, а может и не обнаруживаться никаких.

Примечания

Литература 
 

Астрофизика