[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
⊢ Injective ContMDiffSection.toFun
[PROOFSTEP]
rintro ⟨⟩ ⟨⟩ h
[GOAL]
case mk.mk
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
toFun✝¹ : (x : M) → V x
contMDiff_toFun✝¹ : ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n fun x => TotalSpace.mk' F x (toFun✝¹ x)
toFun✝ : (x : M) → V x
contMDiff_toFun✝ : ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n fun x => TotalSpace.mk' F x (toFun✝ x)
h :
  { toFun := toFun✝¹, contMDiff_toFun := contMDiff_toFun✝¹ }.toFun =
    { toFun := toFun✝, contMDiff_toFun := contMDiff_toFun✝ }.toFun
⊢ { toFun := toFun✝¹, contMDiff_toFun := contMDiff_toFun✝¹ } = { toFun := toFun✝, contMDiff_toFun := contMDiff_toFun✝ }
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ Add Cₛ^n⟮I; F, V⟯
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun s t => ⟨s + t, _⟩⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n fun x => TotalSpace.mk' F x ((↑s + ↑t) x)
[PROOFSTEP]
intro x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((↑s + ↑t) x)) x₀
[PROOFSTEP]
have hs := s.contMDiff x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (↑s x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((↑s + ↑t) x)) x₀
[PROOFSTEP]
have ht := t.contMDiff x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (↑s x)) x₀
ht : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (↑t x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((↑s + ↑t) x)) x₀
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffAt_section] at hs ht ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := (↑s + ↑t) x }).snd) x₀
[PROOFSTEP]
set e := trivializationAt F V x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := (↑s + ↑t) x }).snd) x₀
[PROOFSTEP]
refine' (hs.add ht).congr_of_eventuallyEq _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (↑s + ↑t) x }).snd) =ᶠ[nhds x₀]
    (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) + fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
⊢ ∀ (x : M),
    x ∈ e.baseSet →
      (fun x => (↑e { proj := x, snd := (↑s + ↑t) x }).snd) x =
        ((fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) + fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
x : M
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (↑s + ↑t) x }).snd) x =
    ((fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) + fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x
[PROOFSTEP]
apply (e.linear 𝕜 hx).1
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n fun x => TotalSpace.mk' F x ((↑s - ↑t) x)
[PROOFSTEP]
intro x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((↑s - ↑t) x)) x₀
[PROOFSTEP]
have hs := s.contMDiff x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (↑s x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((↑s - ↑t) x)) x₀
[PROOFSTEP]
have ht := t.contMDiff x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (↑s x)) x₀
ht : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (↑t x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((↑s - ↑t) x)) x₀
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffAt_section] at hs ht ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := (↑s - ↑t) x }).snd) x₀
[PROOFSTEP]
set e := trivializationAt F V x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := (↑s - ↑t) x }).snd) x₀
[PROOFSTEP]
refine' (hs.sub ht).congr_of_eventuallyEq _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (↑s - ↑t) x }).snd) =ᶠ[nhds x₀] fun x =>
    (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd - (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
⊢ ∀ (x : M),
    x ∈ e.baseSet →
      (fun x => (↑e { proj := x, snd := (↑s - ↑t) x }).snd) x =
        (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd - (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x₀
x : M
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (↑s - ↑t) x }).snd) x =
    (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd - (↑e { proj := x, snd := ↑t x }).snd) x
[PROOFSTEP]
apply (e.linear 𝕜 hx).map_sub
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n fun x => TotalSpace.mk' F x ((c • ↑s) x)
[PROOFSTEP]
intro x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((c • ↑s) x)) x₀
[PROOFSTEP]
have hs := s.contMDiff x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (↑s x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((c • ↑s) x)) x₀
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := (c • ↑s) x }).snd) x₀
[PROOFSTEP]
set e := trivializationAt F V x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := (c • ↑s) x }).snd) x₀
[PROOFSTEP]
refine' (contMDiffAt_const.smul hs).congr_of_eventuallyEq _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ 𝕜
[PROOFSTEP]
exact c
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (c • ↑s) x }).snd) =ᶠ[nhds x₀] fun p => c • (↑e { proj := p, snd := ↑s p }).snd
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ ∀ (x : M),
    x ∈ e.baseSet →
      (fun x => (↑e { proj := x, snd := (c • ↑s) x }).snd) x = (fun p => c • (↑e { proj := p, snd := ↑s p }).snd) x
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
x : M
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (c • ↑s) x }).snd) x = (fun p => c • (↑e { proj := p, snd := ↑s p }).snd) x
[PROOFSTEP]
apply (e.linear 𝕜 hx).2
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n fun x => TotalSpace.mk' F x ((-↑s) x)
[PROOFSTEP]
intro x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((-↑s) x)) x₀
[PROOFSTEP]
have hs := s.contMDiff x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (↑s x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((-↑s) x)) x₀
[PROOFSTEP]
rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := (-↑s) x }).snd) x₀
[PROOFSTEP]
set e := trivializationAt F V x₀
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := (-↑s) x }).snd) x₀
[PROOFSTEP]
refine' hs.neg.congr_of_eventuallyEq _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (-↑s) x }).snd) =ᶠ[nhds x₀] fun x => -(↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
⊢ ∀ (x : M),
    x ∈ e.baseSet →
      (fun x => (↑e { proj := x, snd := (-↑s) x }).snd) x = (fun x => -(↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x₀
x : M
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (-↑s) x }).snd) x = (fun x => -(↑e { proj := x, snd := ↑s x }).snd) x
[PROOFSTEP]
apply (e.linear 𝕜 hx).map_neg
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
k : ℕ
⊢ ↑(k • s) = k • ↑s
[PROOFSTEP]
induction' k with k ih
[GOAL]
case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ↑(Nat.zero • s) = Nat.zero • ↑s
[PROOFSTEP]
simp_rw [Nat.zero_eq, zero_smul]
[GOAL]
case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ↑(0 • s) = 0
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
k : ℕ
ih : ↑(k • s) = k • ↑s
⊢ ↑(Nat.succ k • s) = Nat.succ k • ↑s
[PROOFSTEP]
simp_rw [succ_nsmul, ← ih]
[GOAL]
case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
k : ℕ
ih : ↑(k • s) = k • ↑s
⊢ ↑(Nat.succ k • s) = ↑s + ↑(k • s)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
z : ℤ
⊢ ↑(z • s) = z • ↑s
[PROOFSTEP]
cases' z with n n
[GOAL]
case ofNat
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ↑(Int.ofNat n • s) = Int.ofNat n • ↑s
case negSucc
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ↑(Int.negSucc n • s) = Int.negSucc n • ↑s
[PROOFSTEP]
refine' (coe_nsmul s n).trans _
[GOAL]
case ofNat
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ n • ↑s = Int.ofNat n • ↑s
case negSucc
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ↑(Int.negSucc n • s) = Int.negSucc n • ↑s
[PROOFSTEP]
simp only [Int.ofNat_eq_coe, coe_nat_zsmul]
[GOAL]
case negSucc
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ ↑(Int.negSucc n • s) = Int.negSucc n • ↑s
[PROOFSTEP]
refine' (congr_arg Neg.neg (coe_nsmul s (n + 1))).trans _
[GOAL]
case negSucc
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n✝ : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n✝⟮I; F, V⟯
n : ℕ
⊢ -((n + 1) • ↑s) = Int.negSucc n • ↑s
[PROOFSTEP]
simp only [negSucc_zsmul, neg_inj]
