[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x : P × P × P
hx12 : x.fst ≠ x.snd.fst
hx32 : x.snd.snd ≠ x.snd.fst
⊢ ContinuousAt (fun y => ∠ y.fst y.snd.fst y.snd.snd) x
[PROOFSTEP]
let f : P × P × P → V × V := fun y => (y.1 -ᵥ y.2.1, y.2.2 -ᵥ y.2.1)
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x : P × P × P
hx12 : x.fst ≠ x.snd.fst
hx32 : x.snd.snd ≠ x.snd.fst
f : P × P × P → V × V := fun y => (y.fst -ᵥ y.snd.fst, y.snd.snd -ᵥ y.snd.fst)
⊢ ContinuousAt (fun y => ∠ y.fst y.snd.fst y.snd.snd) x
[PROOFSTEP]
have hf1 : (f x).1 ≠ 0 := by simp [hx12]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x : P × P × P
hx12 : x.fst ≠ x.snd.fst
hx32 : x.snd.snd ≠ x.snd.fst
f : P × P × P → V × V := fun y => (y.fst -ᵥ y.snd.fst, y.snd.snd -ᵥ y.snd.fst)
⊢ (f x).fst ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp [hx12]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x : P × P × P
hx12 : x.fst ≠ x.snd.fst
hx32 : x.snd.snd ≠ x.snd.fst
f : P × P × P → V × V := fun y => (y.fst -ᵥ y.snd.fst, y.snd.snd -ᵥ y.snd.fst)
hf1 : (f x).fst ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => ∠ y.fst y.snd.fst y.snd.snd) x
[PROOFSTEP]
have hf2 : (f x).2 ≠ 0 := by simp [hx32]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x : P × P × P
hx12 : x.fst ≠ x.snd.fst
hx32 : x.snd.snd ≠ x.snd.fst
f : P × P × P → V × V := fun y => (y.fst -ᵥ y.snd.fst, y.snd.snd -ᵥ y.snd.fst)
hf1 : (f x).fst ≠ 0
⊢ (f x).snd ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp [hx32]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x : P × P × P
hx12 : x.fst ≠ x.snd.fst
hx32 : x.snd.snd ≠ x.snd.fst
f : P × P × P → V × V := fun y => (y.fst -ᵥ y.snd.fst, y.snd.snd -ᵥ y.snd.fst)
hf1 : (f x).fst ≠ 0
hf2 : (f x).snd ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => ∠ y.fst y.snd.fst y.snd.snd) x
[PROOFSTEP]
exact
  (InnerProductGeometry.continuousAt_angle hf1 hf2).comp
    ((continuous_fst.vsub continuous_snd.fst).prod_mk (continuous_snd.snd.vsub continuous_snd.fst)).continuousAt
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝¹ : MetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ (↑f p₁) (↑f p₂) (↑f p₃) = ∠ p₁ p₂ p₃
[PROOFSTEP]
simp_rw [angle, ← AffineIsometry.map_vsub, LinearIsometry.angle_map]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v₁ v₂ v₃ v : V
⊢ ∠ (v₁ - v) (v₂ - v) (v₃ - v) = ∠ v₁ v₂ v₃
[PROOFSTEP]
simpa only [vsub_eq_sub] using angle_vsub_const v₁ v₂ v₃ v
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v v₁ v₂ v₃ : V
⊢ ∠ (v - v₁) (v - v₂) (v - v₃) = ∠ v₁ v₂ v₃
[PROOFSTEP]
simpa only [vsub_eq_sub] using angle_const_vsub v v₁ v₂ v₃
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v₁ v₂ v₃ : V
⊢ ∠ (-v₁) (-v₂) (-v₃) = ∠ v₁ v₂ v₃
[PROOFSTEP]
simpa only [zero_sub] using angle_const_sub 0 v₁ v₂ v₃
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
⊢ ∠ p1 p1 p2 = π / 2
[PROOFSTEP]
unfold angle
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1) = π / 2
[PROOFSTEP]
rw [vsub_self]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
⊢ InnerProductGeometry.angle 0 (p2 -ᵥ p1) = π / 2
[PROOFSTEP]
exact angle_zero_left _
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
⊢ ∠ p1 p2 p2 = π / 2
[PROOFSTEP]
rw [angle_comm, angle_eq_left]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ ∠ p2 p1 p3 = 0
[PROOFSTEP]
unfold angle at h 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = π
⊢ ∠ p2 p1 p3 = 0
[PROOFSTEP]
rw [angle_eq_pi_iff] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : p1 -ᵥ p2 ≠ 0 ∧ ∃ r, r < 0 ∧ p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ ∠ p2 p1 p3 = 0
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨hp1p2, ⟨r, ⟨hr, hpr⟩⟩⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 -ᵥ p2 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ ∠ p2 p1 p3 = 0
[PROOFSTEP]
unfold angle
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 -ᵥ p2 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) = 0
[PROOFSTEP]
rw [angle_eq_zero_iff]
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 -ᵥ p2 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ p2 -ᵥ p1 ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p3 -ᵥ p1 = r • (p2 -ᵥ p1)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_vsub_eq_vsub_rev, neg_ne_zero] at hp1p2 
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p2 -ᵥ p1 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ p2 -ᵥ p1 ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p3 -ᵥ p1 = r • (p2 -ᵥ p1)
[PROOFSTEP]
use hp1p2, -r + 1, add_pos (neg_pos_of_neg hr) zero_lt_one
[GOAL]
case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p2 -ᵥ p1 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ p3 -ᵥ p1 = (-r + 1) • (p2 -ᵥ p1)
[PROOFSTEP]
rw [add_smul, ← neg_vsub_eq_vsub_rev p1 p2, smul_neg]
[GOAL]
case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p2 -ᵥ p1 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p3 -ᵥ p2 = r • (p1 -ᵥ p2)
⊢ p3 -ᵥ p1 = -(-r • (p1 -ᵥ p2)) + 1 • -(p1 -ᵥ p2)
[PROOFSTEP]
simp [← hpr]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ ∠ p2 p3 p1 = 0
[PROOFSTEP]
rw [angle_comm] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p3 p2 p1 = π
⊢ ∠ p2 p3 p1 = 0
[PROOFSTEP]
exact angle_eq_zero_of_angle_eq_pi_left h
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : ∠ p2 p3 p4 = π
⊢ ∠ p1 p2 p3 = ∠ p1 p2 p4
[PROOFSTEP]
unfold angle at *
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p4 -ᵥ p2)
[PROOFSTEP]
rcases angle_eq_pi_iff.1 h with ⟨_, ⟨r, ⟨hr, hpr⟩⟩⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p4 -ᵥ p2)
[PROOFSTEP]
rw [eq_comm]
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p4 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2)
[PROOFSTEP]
convert angle_smul_right_of_pos (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) (add_pos (neg_pos_of_neg hr) zero_lt_one)
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)
⊢ p4 -ᵥ p2 = (-r + 1) • (p3 -ᵥ p2)
[PROOFSTEP]
rw [add_smul, ← neg_vsub_eq_vsub_rev p2 p3, smul_neg, neg_smul, ← hpr]
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
left✝ : p2 -ᵥ p3 ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hpr : p4 -ᵥ p3 = r • (p2 -ᵥ p3)
⊢ p4 -ᵥ p2 = - -(p4 -ᵥ p3) + 1 • -(p2 -ᵥ p3)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : ∠ p2 p3 p4 = π
⊢ ∠ p1 p3 p2 + ∠ p1 p3 p4 = π
[PROOFSTEP]
unfold angle at h 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
⊢ ∠ p1 p3 p2 + ∠ p1 p3 p4 = π
[PROOFSTEP]
rw [angle_comm p1 p3 p2, angle_comm p1 p3 p4]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
⊢ ∠ p2 p3 p1 + ∠ p4 p3 p1 = π
[PROOFSTEP]
unfold angle
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π
⊢ InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3) + InnerProductGeometry.angle (p4 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3) = π
[PROOFSTEP]
exact angle_add_angle_eq_pi_of_angle_eq_pi _ h
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 p4 p5 : P
hapc : ∠ p1 p5 p3 = π
hbpd : ∠ p2 p5 p4 = π
⊢ ∠ p1 p5 p2 = ∠ p3 p5 p4
[PROOFSTEP]
linarith [angle_add_angle_eq_pi_of_angle_eq_pi p1 hbpd, angle_comm p4 p5 p1,
  angle_add_angle_eq_pi_of_angle_eq_pi p4 hapc, angle_comm p4 p5 p3]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ dist p1 p2 ≠ 0
[PROOFSTEP]
by_contra heq
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
heq : dist p1 p2 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_zero] at heq 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
heq : p1 = p2
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [heq, angle_eq_left] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : π / 2 = π
heq : p1 = p2
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact Real.pi_ne_zero (by linarith)
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : π / 2 = π
heq : p1 = p2
⊢ π = 0
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm_vsub V, dist_eq_norm_vsub V, dist_eq_norm_vsub V, ← vsub_sub_vsub_cancel_right]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ ‖p1 -ᵥ ?p3 - (p3 -ᵥ ?p3)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖
case p3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
⊢ P
[PROOFSTEP]
exact norm_sub_eq_add_norm_of_angle_eq_pi h
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2 ↔ ∠ p1 p2 p3 = π
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm_vsub V, dist_eq_norm_vsub V, dist_eq_norm_vsub V, ← vsub_sub_vsub_cancel_right]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ ‖p1 -ᵥ ?p3 - (p3 -ᵥ ?p3)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ ↔ ∠ p1 p2 p3 = π
case p3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ P
[PROOFSTEP]
exact
  norm_sub_eq_add_norm_iff_angle_eq_pi (fun he => hp1p2 (vsub_eq_zero_iff_eq.1 he)) fun he =>
    hp3p2 (vsub_eq_zero_iff_eq.1 he)
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = 0
⊢ dist p1 p3 = |dist p1 p2 - dist p3 p2|
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm_vsub V, dist_eq_norm_vsub V, dist_eq_norm_vsub V, ← vsub_sub_vsub_cancel_right]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = 0
⊢ ‖p1 -ᵥ ?p3 - (p3 -ᵥ ?p3)‖ = |‖p1 -ᵥ p2‖ - ‖p3 -ᵥ p2‖|
case p3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = 0
⊢ P
[PROOFSTEP]
exact norm_sub_eq_abs_sub_norm_of_angle_eq_zero h
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ dist p1 p3 = |dist p1 p2 - dist p3 p2| ↔ ∠ p1 p2 p3 = 0
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm_vsub V, dist_eq_norm_vsub V, dist_eq_norm_vsub V, ← vsub_sub_vsub_cancel_right]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ ‖p1 -ᵥ ?p3 - (p3 -ᵥ ?p3)‖ = |‖p1 -ᵥ p2‖ - ‖p3 -ᵥ p2‖| ↔ ∠ p1 p2 p3 = 0
case p3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
⊢ P
[PROOFSTEP]
exact
  norm_sub_eq_abs_sub_norm_iff_angle_eq_zero (fun he => hp1p2 (vsub_eq_zero_iff_eq.1 he)) fun he =>
    hp3p2 (vsub_eq_zero_iff_eq.1 he)
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ ∠ p1 (midpoint ℝ p1 p2) p2 = π
[PROOFSTEP]
simp [angle, hp1p2, -zero_lt_one]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p2 -ᵥ p1) = π
[PROOFSTEP]
rw [← neg_vsub_eq_vsub_rev p1 p2]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (-(p1 -ᵥ p2)) = π
[PROOFSTEP]
apply angle_self_neg_of_nonzero
[GOAL]
case hx
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
⊢ p1 -ᵥ p2 ≠ 0
[PROOFSTEP]
simpa only [ne_eq, vsub_eq_zero_iff_eq]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
[PROOFSTEP]
let m : P := midpoint ℝ p1 p2
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
[PROOFSTEP]
have h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m) := (vsub_sub_vsub_cancel_right p3 p1 m).symm
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
[PROOFSTEP]
have h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m) := by rw [left_vsub_midpoint, ← midpoint_vsub_right, vsub_add_vsub_cancel]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
⊢ p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)
[PROOFSTEP]
rw [left_vsub_midpoint, ← midpoint_vsub_right, vsub_add_vsub_cancel]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm_vsub V p3 p1, dist_eq_norm_vsub V p3 p2, h1, h2] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h : ‖p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)‖ = ‖p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)‖
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
[PROOFSTEP]
exact (norm_add_eq_norm_sub_iff_angle_eq_pi_div_two (p3 -ᵥ m) (p1 -ᵥ m)).mp h.symm
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p2 = π / 2
[PROOFSTEP]
rw [midpoint_comm p1 p2, angle_left_midpoint_eq_pi_div_two_of_dist_eq h.symm]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
rw [angle, angle_eq_pi_iff]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∧ ∃ r, r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨⟨r, ⟨hr0, hr1⟩, hp₂⟩, hp₂p₁, hp₂p₃⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∧ ∃ r, r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨vsub_ne_zero.2 hp₂p₁.symm, -(1 - r) / r, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ -(1 - r) / r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
[PROOFSTEP]
have hr0' : r ≠ 0 := by
  rintro rfl
  rw [← hp₂] at hp₂p₁ 
  simp at hp₂p₁ 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ r ≠ 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) 0 = p₂
hr0 : 0 ≤ 0
hr1 : 0 ≤ 1
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [← hp₂] at hp₂p₁ 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₁ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) 0 ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) 0 = p₂
hr0 : 0 ≤ 0
hr1 : 0 ≤ 1
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp at hp₂p₁ 
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
⊢ -(1 - r) / r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
[PROOFSTEP]
have hr1' : r ≠ 1 := by
  rintro rfl
  rw [← hp₂] at hp₂p₃ 
  simp at hp₂p₃ 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
⊢ r ≠ 1
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) 1 = p₂
hr0 : 0 ≤ 1
hr1 : 1 ≤ 1
hr0' : 1 ≠ 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [← hp₂] at hp₂p₃ 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) 1 ≠ p₃
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) 1 = p₂
hr0 : 0 ≤ 1
hr1 : 1 ≤ 1
hr0' : 1 ≠ 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp at hp₂p₃ 
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
⊢ -(1 - r) / r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
[PROOFSTEP]
replace hr0 := hr0.lt_of_ne hr0'.symm
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r
⊢ -(1 - r) / r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
[PROOFSTEP]
replace hr1 := hr1.lt_of_ne hr1'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ -(1 - r) / r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨div_neg_of_neg_of_pos (Left.neg_neg_iff.2 (sub_pos.2 hr1)) hr0, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ p₃ -ᵥ p₂ = (-(1 - r) / r) • (p₁ -ᵥ p₂)
[PROOFSTEP]
rw [← hp₂, AffineMap.lineMap_apply, vsub_vadd_eq_vsub_sub, vsub_vadd_eq_vsub_sub, vsub_self, zero_sub, smul_neg,
  smul_smul, div_mul_cancel _ hr0', neg_smul, neg_neg, sub_eq_iff_eq_add, ← add_smul, sub_add_cancel, one_smul]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∠ p₃ p₂ p₁ = π
[PROOFSTEP]
rw [← h.angle₁₂₃_eq_pi, angle_comm]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, fun h => h.angle₁₂₃_eq_pi⟩
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π → Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
[PROOFSTEP]
rw [angle, angle_eq_pi_iff]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∧ ∃ r, r < 0 ∧ p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)) → Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
[PROOFSTEP]
rintro ⟨hp₁p₂, r, hr, hp₃p₂⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
⊢ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨⟨1 / (1 - r),
      ⟨div_nonneg zero_le_one (sub_nonneg.2 (hr.le.trans zero_le_one)),
        (div_le_one (sub_pos.2 (hr.trans zero_lt_one))).2 ((le_sub_self_iff 1).2 hr.le)⟩,
      _⟩,
    (vsub_ne_zero.1 hp₁p₂).symm, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
⊢ ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) (1 / (1 - r)) = p₂
[PROOFSTEP]
rw [← eq_vadd_iff_vsub_eq] at hp₃p₂ 
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ = r • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂
⊢ ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) (1 / (1 - r)) = p₂
[PROOFSTEP]
rw [AffineMap.lineMap_apply, hp₃p₂, vadd_vsub_assoc, ← neg_vsub_eq_vsub_rev p₂ p₁, smul_neg, ← neg_smul, smul_add,
  smul_smul, ← add_smul, eq_comm, eq_vadd_iff_vsub_eq]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ = r • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂
⊢ p₂ -ᵥ p₁ = (1 / (1 - r) * -r + 1 / (1 - r)) • (p₂ -ᵥ p₁)
[PROOFSTEP]
convert (one_smul ℝ (p₂ -ᵥ p₁)).symm
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ = r • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂
⊢ 1 / (1 - r) * -r + 1 / (1 - r) = 1
[PROOFSTEP]
field_simp [(sub_pos.2 (hr.trans zero_lt_one)).ne.symm]
[GOAL]
case h.e'_3.h.e'_5
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ = r • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂
⊢ -(r * (1 - r)) + (1 - r) = (1 - r) * (1 - r)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
⊢ p₂ ≠ p₃
[PROOFSTEP]
rw [ne_comm, ← @vsub_ne_zero V, hp₃p₂, smul_ne_zero_iff]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
⊢ r ≠ 0 ∧ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact ⟨hr.ne, hp₁p₂⟩
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ ∠ p₂ p₁ p₃ = 0
[PROOFSTEP]
rw [angle, angle_eq_zero_iff]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r • (p₂ -ᵥ p₁)
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨r, ⟨hr0, hr1⟩, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
⊢ ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • (↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)
[PROOFSTEP]
have hr0' : r ≠ 0 := by
  rintro rfl
  simp at hp₂p₁ 
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
⊢ r ≠ 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
hr0 : 0 ≤ 0
hr1 : 0 ≤ 1
hp₂p₁ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) 0 ≠ p₁
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp at hp₂p₁ 
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
⊢ ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • (↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)
[PROOFSTEP]
replace hr0 := hr0.lt_of_ne hr0'.symm
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
hr0 : 0 < r
⊢ ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • (↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨vsub_ne_zero.2 hp₂p₁, r⁻¹, inv_pos.2 hr0, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : ↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
hr0 : 0 < r
⊢ p₃ -ᵥ p₁ = r⁻¹ • (↑(AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)
[PROOFSTEP]
rw [AffineMap.lineMap_apply, vadd_vsub_assoc, vsub_self, add_zero, smul_smul, inv_mul_cancel hr0', one_smul]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ ∠ p₃ p₁ p₂ = 0
[PROOFSTEP]
rw [← h.angle₂₁₃_eq_zero_of_ne hp₂p₁, angle_comm]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 → p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
rw [angle, angle_eq_zero_iff]
[GOAL]
case mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)) → p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
rintro ⟨hp₁p₂, r, hr0, hp₃p₂⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
rcases le_or_lt 1 r with (hr1 | hr1)
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : 1 ≤ r
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
refine' Or.inl ⟨vsub_ne_zero.1 hp₁p₂, r⁻¹, ⟨(inv_pos.2 hr0).le, inv_le_one hr1⟩, _⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : 1 ≤ r
⊢ ↑(AffineMap.lineMap p₂ p₃) r⁻¹ = p₁
[PROOFSTEP]
rw [AffineMap.lineMap_apply, hp₃p₂, smul_smul, inv_mul_cancel hr0.ne.symm, one_smul, vsub_vadd]
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : r < 1
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
refine' Or.inr ⟨_, r, ⟨hr0.le, hr1.le⟩, _⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.inr.refine'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : r < 1
⊢ p₃ ≠ p₂
[PROOFSTEP]
rw [← @vsub_ne_zero V, hp₃p₂, smul_ne_zero_iff]
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.inr.refine'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : r < 1
⊢ r ≠ 0 ∧ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact ⟨hr0.ne.symm, hp₁p₂⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro.inr.refine'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : r < 1
⊢ ↑(AffineMap.lineMap p₂ p₁) r = p₃
[PROOFSTEP]
rw [AffineMap.lineMap_apply, ← hp₃p₂, vsub_vadd]
[GOAL]
case mpr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ → ∠ p₁ p₂ p₃ = 0
[PROOFSTEP]
rintro (⟨hp₁p₂, h⟩ | ⟨hp₃p₂, h⟩)
[GOAL]
case mpr.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
h : Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0
[PROOFSTEP]
exact h.angle₂₁₃_eq_zero_of_ne hp₁p₂
[GOAL]
case mpr.inr.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂
h : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0
[PROOFSTEP]
exact h.angle₃₁₂_eq_zero_of_ne hp₃p₂
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
rw [angle_eq_zero_iff_ne_and_wbtw]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
by_cases hp₁p₂ : p₁ = p₂
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ = p₂
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
simp [hp₁p₂]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
by_cases hp₁p₃ : p₁ = p₃
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₁p₃ : p₁ = p₃
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
simp [hp₁p₃]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₁p₃ : ¬p₁ = p₃
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
by_cases hp₃p₂ : p₃ = p₂
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₁p₃ : ¬p₁ = p₃
hp₃p₂ : p₃ = p₂
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
simp [hp₃p₂]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₁p₃ : ¬p₁ = p₃
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
⊢ p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ p₁ = p₃ ∧ p₁ ≠ p₂ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Sbtw ℝ p₂ p₃ p₁
[PROOFSTEP]
simp [hp₁p₂, hp₁p₃, Ne.symm hp₁p₃, Sbtw, hp₃p₂]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => _, fun h => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
replace h := h.wbtw_or_wbtw_or_wbtw
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ∨ Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
by_cases h₁₂ : p₁ = p₂
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ∨ Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
h₁₂ : p₁ = p₂
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
exact Or.inl h₁₂
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ∨ Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
h₁₂ : ¬p₁ = p₂
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
by_cases h₃₂ : p₃ = p₂
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ∨ Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
h₁₂ : ¬p₁ = p₂
h₃₂ : p₃ = p₂
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
exact Or.inr (Or.inl h₃₂)
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ∨ Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
h₁₂ : ¬p₁ = p₂
h₃₂ : ¬p₃ = p₂
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
rw [or_iff_right h₁₂, or_iff_right h₃₂]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ∨ Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
h₁₂ : ¬p₁ = p₂
h₃₂ : ¬p₃ = p₂
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
rcases h with (h | h | h)
[GOAL]
case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₁₂ : ¬p₁ = p₂
h₃₂ : ¬p₃ = p₂
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
exact Or.inr (angle_eq_pi_iff_sbtw.2 ⟨h, Ne.symm h₁₂, Ne.symm h₃₂⟩)
[GOAL]
case neg.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₁₂ : ¬p₁ = p₂
h₃₂ : ¬p₃ = p₂
h : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
exact Or.inl (h.angle₃₁₂_eq_zero_of_ne h₃₂)
[GOAL]
case neg.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₁₂ : ¬p₁ = p₂
h₃₂ : ¬p₃ = p₂
h : Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
[PROOFSTEP]
exact Or.inl (h.angle₂₃₁_eq_zero_of_ne h₁₂)
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = 0 ∨ ∠ p₁ p₂ p₃ = π
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
rcases h with (rfl | rfl | h | h)
[GOAL]
case refine'_2.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₁, p₃}
[PROOFSTEP]
simpa using collinear_pair ℝ p₁ p₃
[GOAL]
case refine'_2.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₃, p₃}
[PROOFSTEP]
simpa using collinear_pair ℝ p₁ p₃
[GOAL]
case refine'_2.inr.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = 0
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
rw [angle_eq_zero_iff_ne_and_wbtw] at h 
[GOAL]
case refine'_2.inr.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
rcases h with (⟨-, h⟩ | ⟨-, h⟩)
[GOAL]
case refine'_2.inr.inr.inl.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
rw [Set.insert_comm]
[GOAL]
case refine'_2.inr.inr.inl.inl.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃
⊢ Collinear ℝ {p₂, p₁, p₃}
[PROOFSTEP]
exact h.collinear
[GOAL]
case refine'_2.inr.inr.inl.inr.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
rw [Set.insert_comm, Set.pair_comm]
[GOAL]
case refine'_2.inr.inr.inl.inr.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
⊢ Collinear ℝ {p₂, p₃, p₁}
[PROOFSTEP]
exact h.collinear
[GOAL]
case refine'_2.inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
rw [angle_eq_pi_iff_sbtw] at h 
[GOAL]
case refine'_2.inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
exact h.wbtw.collinear
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0
[PROOFSTEP]
rw [sin_eq_zero_iff_angle_eq_zero_or_angle_eq_pi, collinear_iff_eq_or_eq_or_angle_eq_zero_or_angle_eq_pi]
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
revert h
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0 → Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
[PROOFSTEP]
contrapose
[GOAL]
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} → ¬sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0
[PROOFSTEP]
exact sin_ne_zero_of_not_collinear
