[GOAL]
x y : ℝ
⊢ MonotoneOn (fun x => log x * x) {x | 1 ≤ x}
[PROOFSTEP]
simp only [MonotoneOn, mem_setOf_eq]
[GOAL]
x y : ℝ
⊢ ∀ ⦃a : ℝ⦄, 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, 1 ≤ b → a ≤ b → log a * a ≤ log b * b
[PROOFSTEP]
intro x hex y hey hxy
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ log x * x ≤ log y * y
[PROOFSTEP]
have x_pos : 0 < x := lt_of_lt_of_le zero_lt_one hex
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
⊢ log x * x ≤ log y * y
[PROOFSTEP]
have y_pos : 0 < y := lt_of_lt_of_le zero_lt_one hey
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ log x * x ≤ log y * y
[PROOFSTEP]
refine' mul_le_mul ((log_le_log x_pos y_pos).mpr hxy) hxy (le_of_lt x_pos) _
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ 0 ≤ log y
[PROOFSTEP]
rwa [le_log_iff_exp_le y_pos, Real.exp_zero]
[GOAL]
x y : ℝ
⊢ AntitoneOn (fun x => log x / x) {x | exp 1 ≤ x}
[PROOFSTEP]
simp only [AntitoneOn, mem_setOf_eq]
[GOAL]
x y : ℝ
⊢ ∀ ⦃a : ℝ⦄, exp 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, exp 1 ≤ b → a ≤ b → log b / b ≤ log a / a
[PROOFSTEP]
intro x hex y hey hxy
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ log y / y ≤ log x / x
[PROOFSTEP]
have x_pos : 0 < x := (exp_pos 1).trans_le hex
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
⊢ log y / y ≤ log x / x
[PROOFSTEP]
have y_pos : 0 < y := (exp_pos 1).trans_le hey
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ log y / y ≤ log x / x
[PROOFSTEP]
have hlogx : 1 ≤ log x := by rwa [le_log_iff_exp_le x_pos]
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ 1 ≤ log x
[PROOFSTEP]
rwa [le_log_iff_exp_le x_pos]
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
⊢ log y / y ≤ log x / x
[PROOFSTEP]
have hyx : 0 ≤ y / x - 1 := by rwa [le_sub_iff_add_le, le_div_iff x_pos, zero_add, one_mul]
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
⊢ 0 ≤ y / x - 1
[PROOFSTEP]
rwa [le_sub_iff_add_le, le_div_iff x_pos, zero_add, one_mul]
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y / y ≤ log x / x
[PROOFSTEP]
rw [div_le_iff y_pos, ← sub_le_sub_iff_right (log x)]
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y - log x ≤ log x / x * y - log x
[PROOFSTEP]
calc
  log y - log x = log (y / x) := by rw [log_div y_pos.ne' x_pos.ne']
  _ ≤ y / x - 1 := (log_le_sub_one_of_pos (div_pos y_pos x_pos))
  _ ≤ log x * (y / x - 1) := (le_mul_of_one_le_left hyx hlogx)
  _ = log x / x * y - log x := by ring
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log y - log x = log (y / x)
[PROOFSTEP]
rw [log_div y_pos.ne' x_pos.ne']
[GOAL]
x✝ y✝ x : ℝ
hex : exp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : exp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
⊢ log x * (y / x - 1) = log x / x * y - log x
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
x y a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ AntitoneOn (fun x => log x / x ^ a) {x | exp (1 / a) ≤ x}
[PROOFSTEP]
simp only [AntitoneOn, mem_setOf_eq]
[GOAL]
x y a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ ∀ ⦃a_1 : ℝ⦄, exp (1 / a) ≤ a_1 → ∀ ⦃b : ℝ⦄, exp (1 / a) ≤ b → a_1 ≤ b → log b / b ^ a ≤ log a_1 / a_1 ^ a
[PROOFSTEP]
intro x hex y _ hxy
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
[PROOFSTEP]
have x_pos : 0 < x := lt_of_lt_of_le (exp_pos (1 / a)) hex
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
[PROOFSTEP]
have y_pos : 0 < y := by linarith
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
⊢ 0 < y
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
[PROOFSTEP]
have x_nonneg : 0 ≤ x := le_trans (le_of_lt (exp_pos (1 / a))) hex
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
[PROOFSTEP]
have y_nonneg : 0 ≤ y := by linarith
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ y
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
[PROOFSTEP]
nth_rw 1 [← rpow_one y]
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ log (y ^ 1) / y ^ a ≤ log x / x ^ a
[PROOFSTEP]
nth_rw 1 [← rpow_one x]
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ log (y ^ 1) / y ^ a ≤ log (x ^ 1) / x ^ a
[PROOFSTEP]
rw [← div_self (ne_of_lt ha).symm, div_eq_mul_one_div a a, rpow_mul y_nonneg, rpow_mul x_nonneg,
  log_rpow (rpow_pos_of_pos y_pos a), log_rpow (rpow_pos_of_pos x_pos a), mul_div_assoc, mul_div_assoc,
  mul_le_mul_left (one_div_pos.mpr ha)]
[GOAL]
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ log (y ^ a) / y ^ a ≤ log (x ^ a) / x ^ a
[PROOFSTEP]
refine' log_div_self_antitoneOn _ _ _
[GOAL]
case refine'_1
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ x ^ a ∈ {x | exp 1 ≤ x}
[PROOFSTEP]
simp only [Set.mem_setOf_eq]
[GOAL]
case refine'_1
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ exp 1 ≤ x ^ a
[PROOFSTEP]
convert rpow_le_rpow _ hex (le_of_lt ha) using 1
[GOAL]
case h.e'_3
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ exp 1 = exp (1 / a) ^ a
case refine'_1
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 0 ≤ exp (1 / a)
[PROOFSTEP]
rw [← exp_mul]
[GOAL]
case h.e'_3
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ exp 1 = exp (1 / a * a)
case refine'_1
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 0 ≤ exp (1 / a)
[PROOFSTEP]
simp only [Real.exp_eq_exp]
[GOAL]
case h.e'_3
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 1 = 1 / a * a
case refine'_1
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 0 ≤ exp (1 / a)
[PROOFSTEP]
field_simp [(ne_of_lt ha).symm]
[GOAL]
case refine'_1
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 0 ≤ exp (1 / a)
[PROOFSTEP]
exact le_of_lt (exp_pos (1 / a))
[GOAL]
case refine'_2
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ y ^ a ∈ {x | exp 1 ≤ x}
[PROOFSTEP]
simp only [Set.mem_setOf_eq]
[GOAL]
case refine'_2
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ exp 1 ≤ y ^ a
[PROOFSTEP]
convert rpow_le_rpow _ (_root_.trans hex hxy) (le_of_lt ha) using 1
[GOAL]
case h.e'_3
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ exp 1 = exp (1 / a) ^ a
case refine'_2
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 0 ≤ exp (1 / a)
[PROOFSTEP]
rw [← exp_mul]
[GOAL]
case h.e'_3
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ exp 1 = exp (1 / a * a)
case refine'_2
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 0 ≤ exp (1 / a)
[PROOFSTEP]
simp only [Real.exp_eq_exp]
[GOAL]
case h.e'_3
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 1 = 1 / a * a
case refine'_2
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 0 ≤ exp (1 / a)
[PROOFSTEP]
field_simp [(ne_of_lt ha).symm]
[GOAL]
case refine'_2
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ 0 ≤ exp (1 / a)
[PROOFSTEP]
exact le_of_lt (exp_pos (1 / a))
[GOAL]
case refine'_3
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : exp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : exp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y
⊢ x ^ a ≤ y ^ a
[PROOFSTEP]
exact rpow_le_rpow x_nonneg hxy (le_of_lt ha)
[GOAL]
x y : ℝ
⊢ AntitoneOn (fun x => log x / sqrt x) {x | exp 2 ≤ x}
[PROOFSTEP]
simp_rw [sqrt_eq_rpow]
[GOAL]
x y : ℝ
⊢ AntitoneOn (fun x => log x / x ^ (1 / 2)) {x | exp 2 ≤ x}
[PROOFSTEP]
convert @log_div_self_rpow_antitoneOn (1 / 2) (by norm_num)
[GOAL]
x y : ℝ
⊢ 0 < 1 / 2
[PROOFSTEP]
norm_num
[GOAL]
case h.e'_6.h.e'_2.h.h.e'_3.h.e'_1
x y x✝ : ℝ
⊢ 2 = 1 / (1 / 2)
[PROOFSTEP]
norm_num
