[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
α : Sort u_13
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : α → M
⊢ range (↑h ∘ f) = ↑h.symm ⁻¹' range f
[PROOFSTEP]
rw [range_comp, image_eq_preimage]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
x : M
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ↑h) s x ↔ ContMDiffWithinAt J I' m f (↑h.symm ⁻¹' s) (↑h x)
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
x : M
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ↑h) s x → ContMDiffWithinAt J I' m f (↑h.symm ⁻¹' s) (↑h x)
[PROOFSTEP]
intro Hfh
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
x : M
hm : m ≤ n
Hfh : ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ↑h) s x
⊢ ContMDiffWithinAt J I' m f (↑h.symm ⁻¹' s) (↑h x)
[PROOFSTEP]
rw [← h.symm_apply_apply x] at Hfh 
[GOAL]
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
x : M
hm : m ≤ n
Hfh : ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ↑h) s (↑h.symm (↑h x))
⊢ ContMDiffWithinAt J I' m f (↑h.symm ⁻¹' s) (↑h x)
[PROOFSTEP]
simpa only [(· ∘ ·), h.apply_symm_apply] using Hfh.comp (h x) (h.symm.contMDiffWithinAt.of_le hm) (mapsTo_preimage _ _)
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
x : M
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiffWithinAt J I' m f (↑h.symm ⁻¹' s) (↑h x) → ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ↑h) s x
[PROOFSTEP]
rw [← h.image_eq_preimage]
[GOAL]
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
x : M
hm : m ≤ n
⊢ ContMDiffWithinAt J I' m f (↑h '' s) (↑h x) → ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ↑h) s x
[PROOFSTEP]
exact fun hf => hf.comp x (h.contMDiffWithinAt.of_le hm) (mapsTo_image _ _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
hm : m ≤ n
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ s → ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ↑h) s x✝ ↔
    ↑h.toEquiv x✝ ∈ ↑h.symm ⁻¹' s → ContMDiffWithinAt J I' m f (↑h.symm ⁻¹' s) (↑h.toEquiv x✝)
[PROOFSTEP]
simp only [hm, coe_toEquiv, h.symm_apply_apply, contMDiffWithinAt_comp_diffeomorph_iff, mem_preimage]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : M' → M
hm : m ≤ n
s : Set M'
x : M'
Hhf : ContMDiffWithinAt I' J m (↑h ∘ f) s x
⊢ ContMDiffWithinAt I' I m f s x
[PROOFSTEP]
simpa only [(· ∘ ·), h.symm_apply_apply] using (h.symm.contMDiffAt.of_le hm).comp_contMDiffWithinAt _ Hhf
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ UniqueMDiffOn J (↑h '' s)
[PROOFSTEP]
convert hs.uniqueMDiffOn_preimage (h.toLocalHomeomorph_mdifferentiable hn)
[GOAL]
case h.e'_12
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s
⊢ ↑h '' s =
    (Homeomorph.toLocalHomeomorph (toHomeomorph h)).toLocalEquiv.target ∩
      ↑(LocalHomeomorph.symm (Homeomorph.toLocalHomeomorph (toHomeomorph h))) ⁻¹' s
[PROOFSTEP]
simp [h.image_eq_preimage]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : E ≃ₘ^n⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
hn : 1 ≤ n
s : Set E
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (↑h '' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
[PROOFSTEP]
simp only [← uniqueMDiffOn_iff_uniqueDiffOn, uniqueMDiffOn_image, hn]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
⊢ (I.toLocalEquiv ≫ Equiv.toLocalEquiv e.toEquiv).source = univ
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I✝ : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (I.toLocalEquiv ≫ Equiv.toLocalEquiv e.toEquiv).target
[PROOFSTEP]
simp [range_comp e, I.unique_diff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M
⊢ (extChartAt (transDiffeomorph I e) x).target = ↑e.symm ⁻¹' (extChartAt I x).target
[PROOFSTEP]
simp only [e.range_comp, preimage_preimage, mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M
⊢ ↑e.symm ⁻¹' range ↑I ∩ ↑(ModelWithCorners.symm I) ∘ ↑e.symm ⁻¹' (chartAt H x).toLocalEquiv.target =
    ↑e.symm ⁻¹' range ↑I ∩ (fun x => ↑(ModelWithCorners.symm I) (↑e.symm x)) ⁻¹' (chartAt H x).toLocalEquiv.target
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
⊢ SmoothManifoldWithCorners (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) M
[PROOFSTEP]
refine smoothManifoldWithCorners_of_contDiffOn (I.transDiffeomorph e) M fun e₁ e₂ h₁ h₂ => ?_
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
e₁ e₂ : LocalHomeomorph M H
h₁ : e₁ ∈ atlas H M
h₂ : e₂ ∈ atlas H M
⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤
    (↑(ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) ∘
      ↑(LocalHomeomorph.symm e₁ ≫ₕ e₂) ∘ ↑(ModelWithCorners.symm (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e)))
    (↑(ModelWithCorners.symm (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e)) ⁻¹'
        (LocalHomeomorph.symm e₁ ≫ₕ e₂).toLocalEquiv.source ∩
      range ↑(ModelWithCorners.transDiffeomorph I e))
[PROOFSTEP]
refine' e.contDiff.comp_contDiffOn (((contDiffGroupoid ⊤ I).compatible h₁ h₂).1.comp e.symm.contDiff.contDiffOn _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
e₁ e₂ : LocalHomeomorph M H
h₁ : e₁ ∈ atlas H M
h₂ : e₂ ∈ atlas H M
⊢ ↑(ModelWithCorners.symm (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e)) ⁻¹'
        (LocalHomeomorph.symm e₁ ≫ₕ e₂).toLocalEquiv.source ∩
      range ↑(ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) ⊆
    (fun x => ↑(LocalEquiv.symm (LocalEquiv.restr (Equiv.toLocalEquiv e.toEquiv) I.target)) x) ⁻¹'
      (↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (LocalHomeomorph.symm e₁ ≫ₕ e₂).toLocalEquiv.source ∩ range ↑I)
[PROOFSTEP]
mfld_set_tac
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) ⊤ (↑(Equiv.refl M)) x
[PROOFSTEP]
refine' contMDiffWithinAt_iff'.2 ⟨continuousWithinAt_id, _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤
    (↑(extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) (↑(Equiv.refl M) x)) ∘
      ↑(Equiv.refl M) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
    ((extChartAt I x).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹'
        (univ ∩ ↑(Equiv.refl M) ⁻¹' (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) (↑(Equiv.refl M) x)).source))
    (↑(extChartAt I x) x)
[PROOFSTEP]
refine' e.contDiff.contDiffWithinAt.congr' (fun y hy => _) _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
y : E
hy :
  y ∈
    (extChartAt I x).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹'
        (univ ∩ ↑(Equiv.refl M) ⁻¹' (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) (↑(Equiv.refl M) x)).source)
⊢ (↑(extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) (↑(Equiv.refl M) x)) ∘
        ↑(Equiv.refl M) ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)))
      y =
    ↑e y
[PROOFSTEP]
simp only [Equiv.coe_refl, id, (· ∘ ·), I.coe_extChartAt_transDiffeomorph]
  -- porting note: `simp only` failed to used next lemma, converted to `rw`
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
y : E
hy :
  y ∈
    (extChartAt I x).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹'
        (univ ∩ ↑(Equiv.refl M) ⁻¹' (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) (↑(Equiv.refl M) x)).source)
⊢ ↑e (↑(extChartAt I x) (↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) y)) = ↑e y
[PROOFSTEP]
rw [(extChartAt I x).right_inv hy.1]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈
    (extChartAt I x).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹'
        (univ ∩ ↑(Equiv.refl M) ⁻¹' (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) (↑(Equiv.refl M) x)).source)
[PROOFSTEP]
exact ⟨(extChartAt I x).map_source (mem_extChartAt_source I x), trivial, by simp only [mfld_simps]⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x) x) ∈
    ↑(Equiv.refl M) ⁻¹' (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) (↑(Equiv.refl M) x)).source
[PROOFSTEP]
simp only [mfld_simps]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
⊢ ContMDiffAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) I ⊤ (↑(Equiv.refl M).symm) x
[PROOFSTEP]
refine' contMDiffWithinAt_iff'.2 ⟨continuousWithinAt_id, _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤
    (↑(extChartAt I (↑(Equiv.refl M).symm x)) ∘
      ↑(Equiv.refl M).symm ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x)))
    ((extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x)) ⁻¹'
        (univ ∩ ↑(Equiv.refl M).symm ⁻¹' (extChartAt I (↑(Equiv.refl M).symm x)).source))
    (↑(extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x) x)
[PROOFSTEP]
refine' e.symm.contDiff.contDiffWithinAt.congr' (fun y hy => _) _
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
y : F
hy :
  y ∈
    (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x)) ⁻¹'
        (univ ∩ ↑(Equiv.refl M).symm ⁻¹' (extChartAt I (↑(Equiv.refl M).symm x)).source)
⊢ (↑(extChartAt I (↑(Equiv.refl M).symm x)) ∘
        ↑(Equiv.refl M).symm ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x)))
      y =
    ↑e.symm y
[PROOFSTEP]
simp only [mem_inter_iff, I.extChartAt_transDiffeomorph_target] at hy 
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
y : F
hy :
  y ∈ ↑e.symm ⁻¹' (extChartAt I x).target ∧
    y ∈
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x)) ⁻¹'
        (univ ∩ ↑(Equiv.refl M).symm ⁻¹' (extChartAt I (↑(Equiv.refl M).symm x)).source)
⊢ (↑(extChartAt I (↑(Equiv.refl M).symm x)) ∘
        ↑(Equiv.refl M).symm ∘ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x)))
      y =
    ↑e.symm y
[PROOFSTEP]
simp only [Equiv.coe_refl, Equiv.refl_symm, id, (· ∘ ·), I.coe_extChartAt_transDiffeomorph_symm,
  (extChartAt I x).right_inv hy.1]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
⊢ ↑(extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x) x ∈
    (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x).target ∩
      ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x)) ⁻¹'
        (univ ∩ ↑(Equiv.refl M).symm ⁻¹' (extChartAt I (↑(Equiv.refl M).symm x)).source)
[PROOFSTEP]
exact
  ⟨(extChartAt _ x).map_source (mem_extChartAt_source _ x), trivial, by
    simp only [e.symm_apply_apply, Equiv.refl_symm, Equiv.coe_refl, mfld_simps]⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e✝ e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
x : M
⊢ ↑(LocalEquiv.symm (extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x))
      (↑(extChartAt (ModelWithCorners.transDiffeomorph I e) x) x) ∈
    ↑(Equiv.refl M).symm ⁻¹' (extChartAt I (↑(Equiv.refl M).symm x)).source
[PROOFSTEP]
simp only [e.symm_apply_apply, Equiv.refl_symm, Equiv.coe_refl, mfld_simps]
