[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ⁅x + y, t⁆ = ⁅x, t⁆ + ⁅y, t⁆
[PROOFSTEP]
simp only [hasBracketAux, LinearMap.lTensor_add, LinearMap.rTensor_add, LieHom.map_add, LinearMap.add_apply]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ↑(LinearMap.rTensor N (↑(toEndomorphism R L M) x)) t + ↑(LinearMap.rTensor N (↑(toEndomorphism R L M) y)) t +
      (↑(LinearMap.lTensor M (↑(toEndomorphism R L N) x)) t + ↑(LinearMap.lTensor M (↑(toEndomorphism R L N) y)) t) =
    ↑(LinearMap.rTensor N (↑(toEndomorphism R L M) x)) t + ↑(LinearMap.lTensor M (↑(toEndomorphism R L N) x)) t +
      (↑(LinearMap.rTensor N (↑(toEndomorphism R L M) y)) t + ↑(LinearMap.lTensor M (↑(toEndomorphism R L N) y)) t)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ↑(LinearMap.rTensor N (↑(toEndomorphism R L M) x)) t + ↑(LinearMap.rTensor N (↑(toEndomorphism R L M) y)) t +
      (↑(LinearMap.lTensor M (↑(toEndomorphism R L N) x)) t + ↑(LinearMap.lTensor M (↑(toEndomorphism R L N) y)) t) =
    ↑(LinearMap.rTensor N (↑(toEndomorphism R L M) x)) t + ↑(LinearMap.lTensor M (↑(toEndomorphism R L N) x)) t +
      (↑(LinearMap.rTensor N (↑(toEndomorphism R L M) y)) t + ↑(LinearMap.lTensor M (↑(toEndomorphism R L N) y)) t)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ⁅x, ⁅y, t⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, t⁆ + ⁅y, ⁅x, t⁆⁆
[PROOFSTEP]
suffices (hasBracketAux x).comp (hasBracketAux y) = hasBracketAux ⁅x, y⁆ + (hasBracketAux y).comp (hasBracketAux x) by
  simp only [← LinearMap.add_apply]; rw [← LinearMap.comp_apply, this]; rfl
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
this :
  LinearMap.comp (hasBracketAux x) (hasBracketAux y) =
    hasBracketAux ⁅x, y⁆ + LinearMap.comp (hasBracketAux y) (hasBracketAux x)
⊢ ⁅x, ⁅y, t⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, t⁆ + ⁅y, ⁅x, t⁆⁆
[PROOFSTEP]
simp only [← LinearMap.add_apply]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
this :
  LinearMap.comp (hasBracketAux x) (hasBracketAux y) =
    hasBracketAux ⁅x, y⁆ + LinearMap.comp (hasBracketAux y) (hasBracketAux x)
⊢ ↑(hasBracketAux x) (↑(hasBracketAux y) t) = ↑(hasBracketAux ⁅x, y⁆) t + ↑(hasBracketAux y) (↑(hasBracketAux x) t)
[PROOFSTEP]
rw [← LinearMap.comp_apply, this]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
this :
  LinearMap.comp (hasBracketAux x) (hasBracketAux y) =
    hasBracketAux ⁅x, y⁆ + LinearMap.comp (hasBracketAux y) (hasBracketAux x)
⊢ ↑(hasBracketAux ⁅x, y⁆ + LinearMap.comp (hasBracketAux y) (hasBracketAux x)) t =
    ↑(hasBracketAux ⁅x, y⁆) t + ↑(hasBracketAux y) (↑(hasBracketAux x) t)
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieAlgebra R L
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieRingModule L M
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieModule R L M
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieRingModule L N
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieModule R L N
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieAlgebra R L
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieRingModule L M
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieModule R L M
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieRingModule L N
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieModule R L N
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieAlgebra R L
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieRingModule L M
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieModule R L M
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieRingModule L N
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LieModule R L N
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
⊢ LinearMap.comp (hasBracketAux x) (hasBracketAux y) =
    hasBracketAux ⁅x, y⁆ + LinearMap.comp (hasBracketAux y) (hasBracketAux x)
[PROOFSTEP]
ext m n
[GOAL]
case H.h.h
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
m : M
n : N
⊢ ↑(↑(LinearMap.compr₂ (mk R M N) (LinearMap.comp (hasBracketAux x) (hasBracketAux y))) m) n =
    ↑(↑(LinearMap.compr₂ (mk R M N) (hasBracketAux ⁅x, y⁆ + LinearMap.comp (hasBracketAux y) (hasBracketAux x))) m) n
[PROOFSTEP]
simp only [hasBracketAux, LieRing.of_associative_ring_bracket, LinearMap.mul_apply, mk_apply, LinearMap.lTensor_sub,
  LinearMap.compr₂_apply, Function.comp_apply, LinearMap.coe_comp, LinearMap.rTensor_tmul, LieHom.map_lie,
  toEndomorphism_apply_apply, LinearMap.add_apply, LinearMap.map_add, LinearMap.rTensor_sub, LinearMap.sub_apply,
  LinearMap.lTensor_tmul]
[GOAL]
case H.h.h
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
m : M
n : N
⊢ ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ⊗ₜ[R] n + ⁅y, m⁆ ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ + (⁅x, m⁆ ⊗ₜ[R] ⁅y, n⁆ + m ⊗ₜ[R] ⁅x, ⁅y, n⁆⁆) =
    ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ⊗ₜ[R] n - ⁅y, ⁅x, m⁆⁆ ⊗ₜ[R] n + (m ⊗ₜ[R] ⁅x, ⁅y, n⁆⁆ - m ⊗ₜ[R] ⁅y, ⁅x, n⁆⁆) +
      (⁅y, ⁅x, m⁆⁆ ⊗ₜ[R] n + ⁅x, m⁆ ⊗ₜ[R] ⁅y, n⁆ + (⁅y, m⁆ ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ + m ⊗ₜ[R] ⁅y, ⁅x, n⁆⁆))
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case H.h.h
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x y : L
t : M ⊗[R] N
m : M
n : N
⊢ ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ⊗ₜ[R] n + ⁅y, m⁆ ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ + (⁅x, m⁆ ⊗ₜ[R] ⁅y, n⁆ + m ⊗ₜ[R] ⁅x, ⁅y, n⁆⁆) =
    ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ⊗ₜ[R] n - ⁅y, ⁅x, m⁆⁆ ⊗ₜ[R] n + (m ⊗ₜ[R] ⁅x, ⁅y, n⁆⁆ - m ⊗ₜ[R] ⁅y, ⁅x, n⁆⁆) +
      (⁅y, ⁅x, m⁆⁆ ⊗ₜ[R] n + ⁅x, m⁆ ⊗ₜ[R] ⁅y, n⁆ + (⁅y, m⁆ ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ + m ⊗ₜ[R] ⁅y, ⁅x, n⁆⁆))
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
c : R
x : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ⁅c • x, t⁆ = c • ⁅x, t⁆
[PROOFSTEP]
change hasBracketAux (c • x) _ = c • hasBracketAux _ _
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
c : R
x : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ↑(hasBracketAux (c • x)) t = c • ↑(hasBracketAux x) t
[PROOFSTEP]
simp only [hasBracketAux, smul_add, LinearMap.rTensor_smul, LinearMap.smul_apply, LinearMap.lTensor_smul,
  LieHom.map_smul, LinearMap.add_apply]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x : L
m : M
n : N
⊢ ↑(hasBracketAux x) (m ⊗ₜ[R] n) = ⁅x, m⁆ ⊗ₜ[R] n + m ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆
[PROOFSTEP]
simp only [hasBracketAux, LinearMap.rTensor_tmul, toEndomorphism_apply_apply, LinearMap.add_apply,
  LinearMap.lTensor_tmul]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
src✝ : (M →ₗ[R] N →ₗ[R] P) ≃ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[R] P := lift.equiv R M N P
x : L
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
⊢ AddHom.toFun src✝.toAddHom ⁅x, f⁆ = ⁅x, AddHom.toFun src✝.toAddHom f⁆
[PROOFSTEP]
ext m n
[GOAL]
case H.h.h
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
src✝ : (M →ₗ[R] N →ₗ[R] P) ≃ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[R] P := lift.equiv R M N P
x : L
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ↑(↑(LinearMap.compr₂ (mk R M N) (AddHom.toFun src✝.toAddHom ⁅x, f⁆)) m) n =
    ↑(↑(LinearMap.compr₂ (mk R M N) ⁅x, AddHom.toFun src✝.toAddHom f⁆) m) n
[PROOFSTEP]
simp only [mk_apply, LinearMap.compr₂_apply, lie_tmul_right, LinearMap.sub_apply, lift.equiv_apply,
  LinearEquiv.toFun_eq_coe, LieHom.lie_apply, LinearMap.map_add]
[GOAL]
case H.h.h
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
src✝ : (M →ₗ[R] N →ₗ[R] P) ≃ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[R] P := lift.equiv R M N P
x : L
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ⁅x, ↑(↑f m) n⁆ - ↑(↑f m) ⁅x, n⁆ - ↑(↑f ⁅x, m⁆) n = ⁅x, ↑(↑f m) n⁆ - (↑(↑f ⁅x, m⁆) n + ↑(↑f m) ⁅x, n⁆)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case H.h.h
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
src✝ : (M →ₗ[R] N →ₗ[R] P) ≃ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[R] P := lift.equiv R M N P
x : L
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ⁅x, ↑(↑f m) n⁆ - ↑(↑f m) ⁅x, n⁆ - ↑(↑f ⁅x, m⁆) n = ⁅x, ↑(↑f m) n⁆ - (↑(↑f ⁅x, m⁆) n + ↑(↑f m) ⁅x, n⁆)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
⊢ ↑(↑(liftLie R L M N P) f) = ↑(↑(lift R L M N P) ↑f)
[PROOFSTEP]
suffices (liftLie R L M N P f : M ⊗[R] N →ₗ[R] P) = lift R L M N P f by rw [← this, LieModuleHom.coe_toLinearMap]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
this : ↑(↑(liftLie R L M N P) f) = ↑(lift R L M N P) ↑f
⊢ ↑(↑(liftLie R L M N P) f) = ↑(↑(lift R L M N P) ↑f)
[PROOFSTEP]
rw [← this, LieModuleHom.coe_toLinearMap]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
⊢ ↑(↑(liftLie R L M N P) f) = ↑(lift R L M N P) ↑f
[PROOFSTEP]
ext m n
[GOAL]
case H.h.h
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ↑(↑(LinearMap.compr₂ (mk R M N) ↑(↑(liftLie R L M N P) f)) m) n =
    ↑(↑(LinearMap.compr₂ (mk R M N) (↑(lift R L M N P) ↑f)) m) n
[PROOFSTEP]
simp only [liftLie, LinearEquiv.trans_apply, LieModuleEquiv.coe_to_linearEquiv,
  coe_linearMap_maxTrivLinearMapEquivLieModuleHom, coe_maxTrivEquiv_apply,
  coe_linearMap_maxTrivLinearMapEquivLieModuleHom_symm]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ↑(↑(liftLie R L M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = ↑(↑f m) n
[PROOFSTEP]
simp only [coe_liftLie_eq_lift_coe, LieModuleHom.coe_toLinearMap, lift_apply]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
src✝ : M ⊗[R] N →ₗ[R] P ⊗[R] Q := TensorProduct.map ↑f ↑g
x : L
t : M ⊗[R] N
⊢ AddHom.toFun
      { toAddHom := src✝.toAddHom,
          map_smul' :=
            (_ :
              ∀ (r : R) (x : M ⊗[R] N),
                AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
      ⁅x, t⁆ =
    ⁅x,
      AddHom.toFun
        { toAddHom := src✝.toAddHom,
            map_smul' :=
              (_ :
                ∀ (r : R) (x : M ⊗[R] N),
                  AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
        t⁆
[PROOFSTEP]
simp only [LinearMap.toFun_eq_coe]
[GOAL]
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
src✝ : M ⊗[R] N →ₗ[R] P ⊗[R] Q := TensorProduct.map ↑f ↑g
x : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, t⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) t⁆
[PROOFSTEP]
refine' t.induction_on _ _ _
[GOAL]
case refine'_1
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
src✝ : M ⊗[R] N →ₗ[R] P ⊗[R] Q := TensorProduct.map ↑f ↑g
x : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, 0⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) 0⁆
[PROOFSTEP]
simp only [LinearMap.map_zero, lie_zero]
[GOAL]
case refine'_2
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
src✝ : M ⊗[R] N →ₗ[R] P ⊗[R] Q := TensorProduct.map ↑f ↑g
x : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ∀ (x_1 : M) (y : N), ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, x_1 ⊗ₜ[R] y⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) (x_1 ⊗ₜ[R] y)⁆
[PROOFSTEP]
intro m n
[GOAL]
case refine'_2
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
src✝ : M ⊗[R] N →ₗ[R] P ⊗[R] Q := TensorProduct.map ↑f ↑g
x : L
t : M ⊗[R] N
m : M
n : N
⊢ ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, m ⊗ₜ[R] n⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) (m ⊗ₜ[R] n)⁆
[PROOFSTEP]
simp only [LieModuleHom.coe_toLinearMap, lie_tmul_right, LieModuleHom.map_lie, map_tmul, LinearMap.map_add]
[GOAL]
case refine'_3
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
src✝ : M ⊗[R] N →ₗ[R] P ⊗[R] Q := TensorProduct.map ↑f ↑g
x : L
t : M ⊗[R] N
⊢ ∀ (x_1 y : M ⊗[R] N),
    ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, x_1⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) x_1⁆ →
      ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, y⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) y⁆ →
        ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, x_1 + y⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) (x_1 + y)⁆
[PROOFSTEP]
intro t₁ t₂ ht₁ ht₂
[GOAL]
case refine'_3
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ P
g : N →ₗ⁅R,L⁆ Q
src✝ : M ⊗[R] N →ₗ[R] P ⊗[R] Q := TensorProduct.map ↑f ↑g
x : L
t t₁ t₂ : M ⊗[R] N
ht₁ : ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, t₁⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) t₁⁆
ht₂ : ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, t₂⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) t₂⁆
⊢ ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) ⁅x, t₁ + t₂⁆ = ⁅x, ↑(TensorProduct.map ↑f ↑g) (t₁ + t₂)⁆
[PROOFSTEP]
simp only [ht₁, ht₂, lie_add, LinearMap.map_add]
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
src✝ : L →ₗ[R] Module.End R M := ↑(toEndomorphism R L M)
x m : L
⊢ AddHom.toFun
      { toAddHom := src✝.toAddHom,
          map_smul' :=
            (_ :
              ∀ (r : R) (x : L),
                AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
      ⁅x, m⁆ =
    ⁅x,
      AddHom.toFun
        { toAddHom := src✝.toAddHom,
            map_smul' :=
              (_ :
                ∀ (r : R) (x : L),
                  AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
        m⁆
[PROOFSTEP]
ext n
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
src✝ : L →ₗ[R] Module.End R M := ↑(toEndomorphism R L M)
x m : L
n : M
⊢ ↑(AddHom.toFun
          { toAddHom := src✝.toAddHom,
              map_smul' :=
                (_ :
                  ∀ (r : R) (x : L),
                    AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
          ⁅x, m⁆)
      n =
    ↑⁅x,
          AddHom.toFun
            { toAddHom := src✝.toAddHom,
                map_smul' :=
                  (_ :
                    ∀ (r : R) (x : L),
                      AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
            m⁆
      n
[PROOFSTEP]
simp [LieRing.of_associative_ring_bracket]
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M
⊢ ↑(toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] m) = ⁅x, m⁆
[PROOFSTEP]
simp only [toModuleHom, TensorProduct.LieModule.liftLie_apply, LieModuleHom.coe_mk, LinearMap.coe_mk,
  LinearMap.coe_toAddHom, LieHom.coe_toLinearMap, toEndomorphism_apply_apply]
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ ⁅I, N⁆ = LieModuleHom.range (LieModuleHom.comp (toModuleHom R L M) (mapIncl I N))
[PROOFSTEP]
rw [← coe_toSubmodule_eq_iff, lieIdeal_oper_eq_linear_span, LieModuleHom.coeSubmodule_range,
  LieModuleHom.coe_linearMap_comp, LinearMap.range_comp, mapIncl_def, coe_linearMap_map,
  TensorProduct.map_range_eq_span_tmul, Submodule.map_span]
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} =
    Submodule.span R (↑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) n = t})
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case e_s
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = ↑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) n = t}
[PROOFSTEP]
ext m
[GOAL]
case e_s.h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
m : M
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ↔ m ∈ ↑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) n = t}
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case e_s.h.mp
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
m : M
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} → m ∈ ↑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) n = t}
[PROOFSTEP]
rintro ⟨⟨x, hx⟩, ⟨n, hn⟩, rfl⟩
[GOAL]
case e_s.h.mp.intro.mk.intro.mk
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑{ val := n, property := hn }⁆ ∈
    ↑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) n = t}
[PROOFSTEP]
use x ⊗ₜ n
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ x ⊗ₜ[R] n ∈ {t | ∃ m n, ↑↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) n = t} ∧
    ↑↑(toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] n) = ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑{ val := n, property := hn }⁆
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case h.left
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ x ⊗ₜ[R] n ∈ {t | ∃ m n, ↑↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) n = t}
[PROOFSTEP]
use⟨x, hx⟩, ⟨n, hn⟩
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ↑↑(incl I) { val := x, property := hx } ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) { val := n, property := hn } = x ⊗ₜ[R] n
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case h.right
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ↑↑(toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] n) = ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑{ val := n, property := hn }⁆
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case e_s.h.mpr
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
m : M
⊢ m ∈ ↑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) n = t} → m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
[PROOFSTEP]
rintro ⟨t, ⟨⟨x, hx⟩, ⟨n, hn⟩, rfl⟩, h⟩
[GOAL]
case e_s.h.mpr.intro.intro.intro.mk.intro.mk
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
m : M
x : L
hx : x ∈ ↑I
n : M
hn : n ∈ ↑N
h : ↑↑(toModuleHom R L M) (↑↑(incl I) { val := x, property := hx } ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) { val := n, property := hn }) = m
⊢ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
[PROOFSTEP]
rw [← h]
[GOAL]
case e_s.h.mpr.intro.intro.intro.mk.intro.mk
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
m : M
x : L
hx : x ∈ ↑I
n : M
hn : n ∈ ↑N
h : ↑↑(toModuleHom R L M) (↑↑(incl I) { val := x, property := hx } ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) { val := n, property := hn }) = m
⊢ ↑↑(toModuleHom R L M) (↑↑(incl I) { val := x, property := hx } ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) { val := n, property := hn }) ∈
    {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
[PROOFSTEP]
use⟨x, hx⟩, ⟨n, hn⟩
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
m : M
x : L
hx : x ∈ ↑I
n : M
hn : n ∈ ↑N
h : ↑↑(toModuleHom R L M) (↑↑(incl I) { val := x, property := hx } ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) { val := n, property := hn }) = m
⊢ ⁅↑{ val := x, property := hx }, ↑{ val := n, property := hn }⁆ =
    ↑↑(toModuleHom R L M) (↑↑(incl I) { val := x, property := hx } ⊗ₜ[R] ↑↑(incl N) { val := n, property := hn })
[PROOFSTEP]
simp
