[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
f₁ : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ Injective fun f => ↑f
[PROOFSTEP]
rintro ⟨_⟩ ⟨_⟩
[GOAL]
case mk.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
f₁ : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
toLinearMap✝¹ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝¹ : ∀ (x : E), ‖↑toLinearMap✝¹ x‖ = ‖x‖
toLinearMap✝ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝ : ∀ (x : E), ‖↑toLinearMap✝ x‖ = ‖x‖
⊢ (fun f => ↑f) { toLinearMap := toLinearMap✝¹, norm_map' := norm_map'✝¹ } =
      (fun f => ↑f) { toLinearMap := toLinearMap✝, norm_map' := norm_map'✝ } →
    { toLinearMap := toLinearMap✝¹, norm_map' := norm_map'✝¹ } =
      { toLinearMap := toLinearMap✝, norm_map' := norm_map'✝ }
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
hf : Isometry ↑f
⊢ ∀ (x : E),
    ‖↑{ toAddHom := f.toAddHom,
              map_smul' :=
                (_ : ∀ (r : R) (x : E), AddHom.toFun f.toAddHom (r • x) = ↑σ₁₂ r • AddHom.toFun f.toAddHom x) }
          x‖ =
      ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [← dist_zero_right]
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
hf : Isometry ↑f
⊢ ∀ (x : E),
    dist
        (↑{ toAddHom := f.toAddHom,
              map_smul' :=
                (_ : ∀ (r : R) (x : E), AddHom.toFun f.toAddHom (r • x) = ↑σ₁₂ r • AddHom.toFun f.toAddHom x) }
          x)
        0 =
      dist x 0
[PROOFSTEP]
simpa using (hf.dist_eq · 0)
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e f g : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
h₁ : (fun e => e.toFun) f = (fun e => e.toFun) g
h₂ : (fun e => e.invFun) f = (fun e => e.invFun) g
⊢ f = g
[PROOFSTEP]
cases' f with f' _
[GOAL]
case mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e g : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
f' : E ≃ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝ : ∀ (x : E), ‖↑f' x‖ = ‖x‖
h₁ : (fun e => e.toFun) { toLinearEquiv := f', norm_map' := norm_map'✝ } = (fun e => e.toFun) g
h₂ : (fun e => e.invFun) { toLinearEquiv := f', norm_map' := norm_map'✝ } = (fun e => e.invFun) g
⊢ { toLinearEquiv := f', norm_map' := norm_map'✝ } = g
[PROOFSTEP]
cases' g with g' _
[GOAL]
case mk.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
f' : E ≃ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝¹ : ∀ (x : E), ‖↑f' x‖ = ‖x‖
g' : E ≃ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝ : ∀ (x : E), ‖↑g' x‖ = ‖x‖
h₁ :
  (fun e => e.toFun) { toLinearEquiv := f', norm_map' := norm_map'✝¹ } =
    (fun e => e.toFun) { toLinearEquiv := g', norm_map' := norm_map'✝ }
h₂ :
  (fun e => e.invFun) { toLinearEquiv := f', norm_map' := norm_map'✝¹ } =
    (fun e => e.invFun) { toLinearEquiv := g', norm_map' := norm_map'✝ }
⊢ { toLinearEquiv := f', norm_map' := norm_map'✝¹ } = { toLinearEquiv := g', norm_map' := norm_map'✝ }
[PROOFSTEP]
cases f'
[GOAL]
case mk.mk.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
g' : E ≃ₛₗ[σ₁₂] E₂
norm_map'✝¹ : ∀ (x : E), ‖↑g' x‖ = ‖x‖
toLinearMap✝ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
invFun✝ : E₂ → E
left_inv✝ : LeftInverse invFun✝ toLinearMap✝.toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse invFun✝ toLinearMap✝.toFun
norm_map'✝ :
  ∀ (x : E),
    ‖↑{ toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ } x‖ = ‖x‖
h₁ :
  (fun e => e.toFun)
      {
        toLinearEquiv :=
          { toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ },
        norm_map' := norm_map'✝ } =
    (fun e => e.toFun) { toLinearEquiv := g', norm_map' := norm_map'✝¹ }
h₂ :
  (fun e => e.invFun)
      {
        toLinearEquiv :=
          { toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ },
        norm_map' := norm_map'✝ } =
    (fun e => e.invFun) { toLinearEquiv := g', norm_map' := norm_map'✝¹ }
⊢ { toLinearEquiv := { toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ },
      norm_map' := norm_map'✝ } =
    { toLinearEquiv := g', norm_map' := norm_map'✝¹ }
[PROOFSTEP]
cases g'
[GOAL]
case mk.mk.mk.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
toLinearMap✝¹ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
invFun✝¹ : E₂ → E
left_inv✝¹ : LeftInverse invFun✝¹ toLinearMap✝¹.toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse invFun✝¹ toLinearMap✝¹.toFun
norm_map'✝¹ :
  ∀ (x : E),
    ‖↑{ toLinearMap := toLinearMap✝¹, invFun := invFun✝¹, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } x‖ = ‖x‖
toLinearMap✝ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
invFun✝ : E₂ → E
left_inv✝ : LeftInverse invFun✝ toLinearMap✝.toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse invFun✝ toLinearMap✝.toFun
norm_map'✝ :
  ∀ (x : E),
    ‖↑{ toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ } x‖ = ‖x‖
h₁ :
  (fun e => e.toFun)
      {
        toLinearEquiv :=
          { toLinearMap := toLinearMap✝¹, invFun := invFun✝¹, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ },
        norm_map' := norm_map'✝¹ } =
    (fun e => e.toFun)
      {
        toLinearEquiv :=
          { toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ },
        norm_map' := norm_map'✝ }
h₂ :
  (fun e => e.invFun)
      {
        toLinearEquiv :=
          { toLinearMap := toLinearMap✝¹, invFun := invFun✝¹, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ },
        norm_map' := norm_map'✝¹ } =
    (fun e => e.invFun)
      {
        toLinearEquiv :=
          { toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ },
        norm_map' := norm_map'✝ }
⊢ {
      toLinearEquiv :=
        { toLinearMap := toLinearMap✝¹, invFun := invFun✝¹, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ },
      norm_map' := norm_map'✝¹ } =
    {
      toLinearEquiv :=
        { toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ },
      norm_map' := norm_map'✝ }
[PROOFSTEP]
simp only [AddHom.toFun_eq_coe, LinearMap.coe_toAddHom, FunLike.coe_fn_eq] at h₁ 
[GOAL]
case mk.mk.mk.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
toLinearMap✝¹ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
invFun✝¹ : E₂ → E
left_inv✝¹ : LeftInverse invFun✝¹ toLinearMap✝¹.toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse invFun✝¹ toLinearMap✝¹.toFun
norm_map'✝¹ :
  ∀ (x : E),
    ‖↑{ toLinearMap := toLinearMap✝¹, invFun := invFun✝¹, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } x‖ = ‖x‖
toLinearMap✝ : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
invFun✝ : E₂ → E
left_inv✝ : LeftInverse invFun✝ toLinearMap✝.toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse invFun✝ toLinearMap✝.toFun
norm_map'✝ :
  ∀ (x : E),
    ‖↑{ toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ } x‖ = ‖x‖
h₂ :
  (fun e => e.invFun)
      {
        toLinearEquiv :=
          { toLinearMap := toLinearMap✝¹, invFun := invFun✝¹, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ },
        norm_map' := norm_map'✝¹ } =
    (fun e => e.invFun)
      {
        toLinearEquiv :=
          { toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ },
        norm_map' := norm_map'✝ }
h₁ : toLinearMap✝¹ = toLinearMap✝
⊢ {
      toLinearEquiv :=
        { toLinearMap := toLinearMap✝¹, invFun := invFun✝¹, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ },
      norm_map' := norm_map'✝¹ } =
    {
      toLinearEquiv :=
        { toLinearMap := toLinearMap✝, invFun := invFun✝, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ },
      norm_map' := norm_map'✝ }
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e✝ : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
e : E ≃ₛₗ[σ₁₂] E₂
h₁ : ∀ (x : E), ‖↑e x‖ ≤ ‖x‖
h₂ : ∀ (y : E₂), ‖↑(LinearEquiv.symm e) y‖ ≤ ‖y‖
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ‖↑e x‖
[PROOFSTEP]
simpa only [e.symm_apply_apply] using h₂ (e x)
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e✝ e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ range ↑e = univ
[PROOFSTEP]
rw [← coe_toIsometryEquiv]
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹⁰ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁵ : Module R E
inst✝⁴ : Module R₂ E₂
inst✝³ : Module R₃ E₃
inst✝² : Module R₄ E₄
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : Module R F
e✝ e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
⊢ range ↑(toIsometryEquiv e) = univ
[PROOFSTEP]
exact IsometryEquiv.range_eq_univ _
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³⁴ : Semiring R
inst✝³³ : Semiring R₂
inst✝³² : Semiring R₃
inst✝³¹ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝³⁰ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²² : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁶ : Module R E
inst✝⁵ : Module R₂ E₂
inst✝⁴ : Module R₃ E₃
inst✝³ : Module R₄ E₄
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
inst✝ : TopologicalSpace α
f : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
hfr : Surjective ↑f
⊢ ↑(ofSurjective f hfr) = ↑f
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³⁴ : Semiring R
inst✝³³ : Semiring R₂
inst✝³² : Semiring R₃
inst✝³¹ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝³⁰ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²² : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹² : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹¹ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁶ : Module R E
inst✝⁵ : Module R₂ E₂
inst✝⁴ : Module R₃ E₃
inst✝³ : Module R₄ E₄
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
inst✝ : TopologicalSpace α
f : F →ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
hfr : Surjective ↑f
x✝ : F
⊢ ↑(ofSurjective f hfr) x✝ = ↑f x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³⁶ : Semiring R
inst✝³⁵ : Semiring R₂
inst✝³⁴ : Semiring R₃
inst✝³³ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝³² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝³⁰ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝²² : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝²⁰ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R₂ E₂
inst✝⁶ : Module R₃ E₃
inst✝⁵ : Module R₄ E₄
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Module R E₂
inst✝ : Module R E₃
src✝ : (E × E₂) × E₃ ≃ E × E₂ × E₃ := Equiv.prodAssoc E E₂ E₃
⊢ ∀ (x y : (E × E₂) × E₃),
    ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃) (x + y) = ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃) x + ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃) y
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³⁶ : Semiring R
inst✝³⁵ : Semiring R₂
inst✝³⁴ : Semiring R₃
inst✝³³ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝³² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝³⁰ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝²² : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝²⁰ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R₂ E₂
inst✝⁶ : Module R₃ E₃
inst✝⁵ : Module R₄ E₄
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Module R E₂
inst✝ : Module R E₃
src✝ : (E × E₂) × E₃ ≃ E × E₂ × E₃ := Equiv.prodAssoc E E₂ E₃
⊢ ∀ (r : R) (x : (E × E₂) × E₃),
    AddHom.toFun
        { toFun := ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃),
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (a a_1 : (E × E₂) × E₃),
                (a.fst.fst + a_1.fst.fst, a.fst.snd + a_1.fst.snd, a.snd + a_1.snd) =
                  (a.fst.fst + a_1.fst.fst, a.fst.snd + a_1.fst.snd, a.snd + a_1.snd)) }
        (r • x) =
      ↑(RingHom.id R) r •
        AddHom.toFun
          { toFun := ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃),
            map_add' :=
              (_ :
                ∀ (a a_1 : (E × E₂) × E₃),
                  (a.fst.fst + a_1.fst.fst, a.fst.snd + a_1.fst.snd, a.snd + a_1.snd) =
                    (a.fst.fst + a_1.fst.fst, a.fst.snd + a_1.fst.snd, a.snd + a_1.snd)) }
          x
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³⁶ : Semiring R
inst✝³⁵ : Semiring R₂
inst✝³⁴ : Semiring R₃
inst✝³³ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝³² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝³⁰ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝²² : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝²⁰ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R₂ E₂
inst✝⁶ : Module R₃ E₃
inst✝⁵ : Module R₄ E₄
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Module R E₂
inst✝ : Module R E₃
src✝ : (E × E₂) × E₃ ≃ E × E₂ × E₃ := Equiv.prodAssoc E E₂ E₃
⊢ ∀ (x : (E × E₂) × E₃),
    ‖↑{
              toLinearMap :=
                {
                  toAddHom :=
                    { toFun := ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃),
                      map_add' :=
                        (_ :
                          ∀ (a a_1 : (E × E₂) × E₃),
                            (a.fst.fst + a_1.fst.fst, a.fst.snd + a_1.fst.snd, a.snd + a_1.snd) =
                              (a.fst.fst + a_1.fst.fst, a.fst.snd + a_1.fst.snd, a.snd + a_1.snd)) },
                  map_smul' :=
                    (_ :
                      ∀ (a : R) (a_1 : (E × E₂) × E₃),
                        (a • a_1.fst.fst, a • a_1.fst.snd, a • a_1.snd) =
                          (a • a_1.fst.fst, a • a_1.fst.snd, a • a_1.snd)) },
              invFun := ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃).symm, left_inv := (_ : LeftInverse src✝.invFun src✝.toFun),
              right_inv := (_ : Function.RightInverse src✝.invFun src✝.toFun) }
          x‖ =
      ‖x‖
[PROOFSTEP]
rintro ⟨⟨e, f⟩, g⟩
[GOAL]
case mk.mk
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³⁶ : Semiring R
inst✝³⁵ : Semiring R₂
inst✝³⁴ : Semiring R₃
inst✝³³ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝³² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝³⁰ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝²² : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝²⁰ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R₂ E₂
inst✝⁶ : Module R₃ E₃
inst✝⁵ : Module R₄ E₄
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
e✝ : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Module R E₂
inst✝ : Module R E₃
src✝ : (E × E₂) × E₃ ≃ E × E₂ × E₃ := Equiv.prodAssoc E E₂ E₃
g : E₃
e : E
f : E₂
⊢ ‖↑{
            toLinearMap :=
              {
                toAddHom :=
                  { toFun := ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃),
                    map_add' :=
                      (_ :
                        ∀ (a a_1 : (E × E₂) × E₃),
                          (a.fst.fst + a_1.fst.fst, a.fst.snd + a_1.fst.snd, a.snd + a_1.snd) =
                            (a.fst.fst + a_1.fst.fst, a.fst.snd + a_1.fst.snd, a.snd + a_1.snd)) },
                map_smul' :=
                  (_ :
                    ∀ (a : R) (a_1 : (E × E₂) × E₃),
                      (a • a_1.fst.fst, a • a_1.fst.snd, a • a_1.snd) =
                        (a • a_1.fst.fst, a • a_1.fst.snd, a • a_1.snd)) },
            invFun := ↑(Equiv.prodAssoc E E₂ E₃).symm, left_inv := (_ : LeftInverse src✝.invFun src✝.toFun),
            right_inv := (_ : Function.RightInverse src✝.invFun src✝.toFun) }
        ((e, f), g)‖ =
    ‖((e, f), g)‖
[PROOFSTEP]
simp only [LinearEquiv.coe_mk, Equiv.prodAssoc_apply, Prod.norm_def, max_assoc]
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³⁶ : Semiring R
inst✝³⁵ : Semiring R₂
inst✝³⁴ : Semiring R₃
inst✝³³ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝³² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝³⁰ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝²² : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝²⁰ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R₂ E₂
inst✝⁶ : Module R₃ E₃
inst✝⁵ : Module R₄ E₄
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace α
R' : Type u_12
inst✝¹ : Ring R'
inst✝ : Module R' E
p q : Submodule R' E
⊢ ofEq p p (_ : p = p) = refl R' { x // x ∈ p }
[PROOFSTEP]
funext
[GOAL]
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
E : Type u_5
E₂ : Type u_6
E₃ : Type u_7
E₄ : Type u_8
F : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³⁶ : Semiring R
inst✝³⁵ : Semiring R₂
inst✝³⁴ : Semiring R₃
inst✝³³ : Semiring R₄
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R
σ₁₄ : R →+* R₄
σ₄₁ : R₄ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₂₄ : R₂ →+* R₄
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝³² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝³⁰ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝²⁹ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝²⁸ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝²⁷ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝²⁶ : RingHomInvPair σ₁₄ σ₄₁
inst✝²⁵ : RingHomInvPair σ₄₁ σ₁₄
inst✝²⁴ : RingHomInvPair σ₂₄ σ₄₂
inst✝²³ : RingHomInvPair σ₄₂ σ₂₄
inst✝²² : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝²⁰ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹⁸ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₁ σ₄₁
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₂ σ₄₂
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ₄₃ σ₃₁ σ₄₁
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E₃
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E₄
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R₂ E₂
inst✝⁶ : Module R₃ E₃
inst✝⁵ : Module R₄ E₄
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
e : E ≃ₛₗᵢ[σ₁₂] E₂
α : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace α
R' : Type u_12
inst✝¹ : Ring R'
inst✝ : Module R' E
p q : Submodule R' E
⊢ ofEq p p (_ : p = p) = refl R' { x // x ∈ p }
[PROOFSTEP]
rfl
