[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LE (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ a ≤ b ↔ ∃ h, h ▸ a.snd ≤ b.snd
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LE (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ a ≤ b → ∃ h, h ▸ a.snd ≤ b.snd
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a, b, h⟩
[GOAL]
case mp.fiber
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LE (α i)
i : ι
a b : α i
h : a ≤ b
⊢ ∃ h, h ▸ { fst := i, snd := a }.snd ≤ { fst := i, snd := b }.snd
[PROOFSTEP]
exact ⟨rfl, h⟩
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LE (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ (∃ h, h ▸ a.snd ≤ b.snd) → a ≤ b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨i, a⟩ := a
[GOAL]
case mpr.mk
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LE (α i)
b : (i : ι) × α i
i : ι
a : α i
⊢ (∃ h, h ▸ { fst := i, snd := a }.snd ≤ b.snd) → { fst := i, snd := a } ≤ b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨j, b⟩ := b
[GOAL]
case mpr.mk.mk
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LE (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
⊢ (∃ h, h ▸ { fst := i, snd := a }.snd ≤ { fst := j, snd := b }.snd) → { fst := i, snd := a } ≤ { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
rintro ⟨rfl : i = j, h⟩
[GOAL]
case mpr.mk.mk.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LE (α i)
i : ι
a b : α i
h : (_ : i = i) ▸ { fst := i, snd := a }.snd ≤ { fst := i, snd := b }.snd
⊢ { fst := i, snd := a } ≤ { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact le.fiber _ _ _ h
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LT (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ a < b ↔ ∃ h, h ▸ a.snd < b.snd
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LT (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ a < b → ∃ h, h ▸ a.snd < b.snd
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a, b, h⟩
[GOAL]
case mp.fiber
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LT (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
⊢ ∃ h, h ▸ { fst := i, snd := a }.snd < { fst := i, snd := b }.snd
[PROOFSTEP]
exact ⟨rfl, h⟩
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LT (α i)
a b : (i : ι) × α i
⊢ (∃ h, h ▸ a.snd < b.snd) → a < b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨i, a⟩ := a
[GOAL]
case mpr.mk
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LT (α i)
b : (i : ι) × α i
i : ι
a : α i
⊢ (∃ h, h ▸ { fst := i, snd := a }.snd < b.snd) → { fst := i, snd := a } < b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨j, b⟩ := b
[GOAL]
case mpr.mk.mk
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LT (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
⊢ (∃ h, h ▸ { fst := i, snd := a }.snd < { fst := j, snd := b }.snd) → { fst := i, snd := a } < { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
rintro ⟨rfl : i = j, h⟩
[GOAL]
case mpr.mk.mk.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → LT (α i)
i : ι
a b : α i
h : (_ : i = i) ▸ { fst := i, snd := a }.snd < { fst := i, snd := b }.snd
⊢ { fst := i, snd := a } < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact lt.fiber _ _ _ h
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE ((i : ι) × α i) := Sigma.LE
src✝ : LT ((i : ι) × α i) := Sigma.LT
⊢ ∀ (a b c : (i : ι) × α i), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
[PROOFSTEP]
rintro _ _ _ ⟨i, a, b, hab⟩ ⟨_, _, c, hbc⟩
[GOAL]
case fiber.fiber
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE ((i : ι) × α i) := Sigma.LE
src✝ : LT ((i : ι) × α i) := Sigma.LT
i : ι
a b : α i
hab : a ≤ b
c : α i
hbc : b ≤ c
⊢ { fst := i, snd := a } ≤ { fst := i, snd := c }
[PROOFSTEP]
exact le.fiber i a c (hab.trans hbc)
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE ((i : ι) × α i) := Sigma.LE
src✝ : LT ((i : ι) × α i) := Sigma.LT
x✝¹ x✝ : (i : ι) × α i
⊢ x✝¹ < x✝ ↔ x✝¹ ≤ x✝ ∧ ¬x✝ ≤ x✝¹
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE ((i : ι) × α i) := Sigma.LE
src✝ : LT ((i : ι) × α i) := Sigma.LT
x✝¹ x✝ : (i : ι) × α i
⊢ x✝¹ < x✝ → x✝¹ ≤ x✝ ∧ ¬x✝ ≤ x✝¹
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a, b, hab⟩
[GOAL]
case mp.fiber
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE ((i : ι) × α i) := Sigma.LE
src✝ : LT ((i : ι) × α i) := Sigma.LT
i : ι
a b : α i
hab : a < b
⊢ { fst := i, snd := a } ≤ { fst := i, snd := b } ∧ ¬{ fst := i, snd := b } ≤ { fst := i, snd := a }
[PROOFSTEP]
rwa [mk_le_mk_iff, mk_le_mk_iff, ← lt_iff_le_not_le]
[GOAL]
case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE ((i : ι) × α i) := Sigma.LE
src✝ : LT ((i : ι) × α i) := Sigma.LT
x✝¹ x✝ : (i : ι) × α i
⊢ x✝¹ ≤ x✝ ∧ ¬x✝ ≤ x✝¹ → x✝¹ < x✝
[PROOFSTEP]
rintro ⟨⟨i, a, b, hab⟩, h⟩
[GOAL]
case mpr.intro.fiber
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE ((i : ι) × α i) := Sigma.LE
src✝ : LT ((i : ι) × α i) := Sigma.LT
i : ι
a b : α i
hab : a ≤ b
h : ¬{ fst := i, snd := b } ≤ { fst := i, snd := a }
⊢ { fst := i, snd := a } < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
rw [mk_le_mk_iff] at h 
[GOAL]
case mpr.intro.fiber
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE ((i : ι) × α i) := Sigma.LE
src✝ : LT ((i : ι) × α i) := Sigma.LT
i : ι
a b : α i
hab : a ≤ b
h : ¬b ≤ a
⊢ { fst := i, snd := a } < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact mk_lt_mk_iff.2 (hab.lt_of_not_le h)
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
src✝ : Preorder ((i : ι) × α i) := Sigma.preorder
⊢ ∀ (a b : (i : ι) × α i), a ≤ b → b ≤ a → a = b
[PROOFSTEP]
rintro _ _ ⟨i, a, b, hab⟩ ⟨_, _, _, hba⟩
[GOAL]
case fiber.fiber
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
src✝ : Preorder ((i : ι) × α i) := Sigma.preorder
i : ι
a b : (fun i => α i) i
hab : a ≤ b
hba : b ≤ a
⊢ { fst := i, snd := a } = { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact ext rfl (heq_of_eq <| hab.antisymm hba)
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
⊢ ∀ (a₁ a₂ : (i : ι) × α i), a₁ < a₂ → ∃ a, a₁ < a ∧ a < a₂
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a⟩ ⟨_, _⟩ ⟨_, _, b, h⟩
[GOAL]
case mk.mk.fiber
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c, ha, hb⟩ := exists_between h
[GOAL]
case mk.mk.fiber.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
c : α i
ha : a < c
hb : c < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨i, c⟩, lt.fiber i a c ha, lt.fiber i c b hb⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
⊢ ∀ (a b : Σₗ (i : ι), α i), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
[PROOFSTEP]
refine' fun a b => ⟨fun hab => ⟨hab.mono_right fun i a b => le_of_lt, _⟩, _⟩
[GOAL]
case refine'_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
a b : Σₗ (i : ι), α i
hab : a < b
⊢ ¬b ≤ a
[PROOFSTEP]
rintro (⟨b, a, hji⟩ | ⟨b, a, hba⟩)
[GOAL]
case refine'_1.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
i✝ j✝ : ι
b : α i✝
a : α j✝
hji : i✝ < j✝
hab : { fst := j✝, snd := a } < { fst := i✝, snd := b }
⊢ False
[PROOFSTEP]
obtain ⟨_, _, hij⟩ | ⟨_, _, hab⟩ := hab
[GOAL]
case refine'_1.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
i✝ : ι
b a : α i✝
hba : b ≤ a
hab : { fst := i✝, snd := a } < { fst := i✝, snd := b }
⊢ False
[PROOFSTEP]
obtain ⟨_, _, hij⟩ | ⟨_, _, hab⟩ := hab
[GOAL]
case refine'_1.left.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
i✝ j✝ : ι
b : α i✝
a : α j✝
hji : i✝ < j✝
hij : j✝ < i✝
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact hij.not_lt hji
[GOAL]
case refine'_1.left.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
i✝ : ι
b a : α i✝
hji : i✝ < i✝
hab : a < b
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact lt_irrefl _ hji
[GOAL]
case refine'_1.right.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
i✝ : ι
b a : α i✝
hba : b ≤ a
hij : i✝ < i✝
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact lt_irrefl _ hij
[GOAL]
case refine'_1.right.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
i✝ : ι
b a : α i✝
hba : b ≤ a
hab : a < b
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact hab.not_le hba
[GOAL]
case refine'_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
a b : Σₗ (i : ι), α i
⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → a < b
[PROOFSTEP]
rintro ⟨⟨a, b, hij⟩ | ⟨a, b, hab⟩, hba⟩
[GOAL]
case refine'_2.intro.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
i✝ j✝ : ι
a : α i✝
b : α j✝
hij : i✝ < j✝
hba : ¬{ fst := j✝, snd := b } ≤ { fst := i✝, snd := a }
⊢ { fst := i✝, snd := a } < { fst := j✝, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact Sigma.Lex.left _ _ hij
[GOAL]
case refine'_2.intro.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
src✝¹ : LE (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LE
src✝ : LT (Σₗ (i : ι), α i) := Lex.LT
i✝ : ι
a b : α i✝
hab : a ≤ b
hba : ¬{ fst := i✝, snd := b } ≤ { fst := i✝, snd := a }
⊢ { fst := i✝, snd := a } < { fst := i✝, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact Sigma.Lex.right _ _ (hab.lt_of_not_le fun h => hba <| Sigma.Lex.right _ _ h)
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : OrderBot ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : OrderBot (α ⊥)
x✝ : Σₗ (i : ι), α i
a : ι
b : α a
⊢ ⊥ ≤ { fst := a, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain rfl | ha := eq_bot_or_bot_lt a
[GOAL]
case inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : OrderBot ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : OrderBot (α ⊥)
x✝ : Σₗ (i : ι), α i
b : α ⊥
⊢ ⊥ ≤ { fst := ⊥, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact Lex.right _ _ bot_le
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : OrderBot ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : OrderBot (α ⊥)
x✝ : Σₗ (i : ι), α i
a : ι
b : α a
ha : ⊥ < a
⊢ ⊥ ≤ { fst := a, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact Lex.left _ _ ha
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : OrderTop ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : OrderTop (α ⊤)
x✝ : Σₗ (i : ι), α i
a : ι
b : α a
⊢ { fst := a, snd := b } ≤ ⊤
[PROOFSTEP]
obtain rfl | ha := eq_top_or_lt_top a
[GOAL]
case inl
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : OrderTop ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : OrderTop (α ⊤)
x✝ : Σₗ (i : ι), α i
b : α ⊤
⊢ { fst := ⊤, snd := b } ≤ ⊤
[PROOFSTEP]
exact Lex.right _ _ le_top
[GOAL]
case inr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : OrderTop ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : OrderTop (α ⊤)
x✝ : Σₗ (i : ι), α i
a : ι
b : α a
ha : a < ⊤
⊢ { fst := a, snd := b } ≤ ⊤
[PROOFSTEP]
exact Lex.left _ _ ha
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
⊢ ∀ (a₁ a₂ : Σₗ (i : ι), α i), a₁ < a₂ → ∃ a, a₁ < a ∧ a < a₂
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ (⟨_, _, h⟩ | ⟨_, b, h⟩)
[GOAL]
case mk.mk.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
h : i < j
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨k, hi, hj⟩ := exists_between h
[GOAL]
case mk.mk.left.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
h : i < j
k : ι
hi : i < k
hj : k < j
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c⟩ : Nonempty (α k) := inferInstance
[GOAL]
case mk.mk.left.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
h : i < j
k : ι
hi : i < k
hj : k < j
c : α k
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨k, c⟩, left _ _ hi, left _ _ hj⟩
[GOAL]
case mk.mk.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c, ha, hb⟩ := exists_between h
[GOAL]
case mk.mk.right.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : DenselyOrdered ι
inst✝² : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
c : α i
ha : a < c
hb : c < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨i, c⟩, right _ _ ha, right _ _ hb⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMaxOrder (α i)
⊢ ∀ (a₁ a₂ : Σₗ (i : ι), α i), a₁ < a₂ → ∃ a, a₁ < a ∧ a < a₂
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ (⟨_, _, h⟩ | ⟨_, b, h⟩)
[GOAL]
case mk.mk.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMaxOrder (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
h : i < j
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c, ha⟩ := exists_gt a
[GOAL]
case mk.mk.left.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMaxOrder (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
h : i < j
c : α i
ha : a < c
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨i, c⟩, right _ _ ha, left _ _ h⟩
[GOAL]
case mk.mk.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMaxOrder (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c, ha, hb⟩ := exists_between h
[GOAL]
case mk.mk.right.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMaxOrder (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
c : α i
ha : a < c
hb : c < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨i, c⟩, right _ _ ha, right _ _ hb⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMinOrder (α i)
⊢ ∀ (a₁ a₂ : Σₗ (i : ι), α i), a₁ < a₂ → ∃ a, a₁ < a ∧ a < a₂
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ (⟨_, _, h⟩ | ⟨_, b, h⟩)
[GOAL]
case mk.mk.left
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMinOrder (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
h : i < j
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c, hb⟩ := exists_lt b
[GOAL]
case mk.mk.left.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMinOrder (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
h : i < j
c : α j
hb : c < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := j, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨j, c⟩, left _ _ h, right _ _ hb⟩
[GOAL]
case mk.mk.right
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMinOrder (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c, ha, hb⟩ := exists_between h
[GOAL]
case mk.mk.right.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), DenselyOrdered (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMinOrder (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
c : α i
ha : a < c
hb : c < b
⊢ ∃ a_1, { fst := i, snd := a } < a_1 ∧ a_1 < { fst := i, snd := b }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨i, c⟩, right _ _ ha, right _ _ hb⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ ∀ (a : Σₗ (i : ι), α i), ∃ b, a < b
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a⟩
[GOAL]
case mk
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
a : α i
⊢ ∃ b, { fst := i, snd := a } < b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨j, h⟩ := exists_gt i
[GOAL]
case mk.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
h : i < j
⊢ ∃ b, { fst := i, snd := a } < b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨b⟩ : Nonempty (α j) := inferInstance
[GOAL]
case mk.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
h : i < j
b : α j
⊢ ∃ b, { fst := i, snd := a } < b
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨j, b⟩, left _ _ h⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
⊢ ∀ (a : Σₗ (i : ι), α i), ∃ b, b < a
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a⟩
[GOAL]
case mk
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
a : α i
⊢ ∃ b, b < { fst := i, snd := a }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨j, h⟩ := exists_lt i
[GOAL]
case mk.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
h : j < i
⊢ ∃ b, b < { fst := i, snd := a }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨b⟩ : Nonempty (α j) := inferInstance
[GOAL]
case mk.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
i : ι
a : α i
j : ι
h : j < i
b : α j
⊢ ∃ b, b < { fst := i, snd := a }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨j, b⟩, left _ _ h⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMaxOrder (α i)
⊢ ∀ (a : Σₗ (i : ι), α i), ∃ b, a < b
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a⟩
[GOAL]
case mk
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMaxOrder (α i)
i : ι
a : α i
⊢ ∃ b, { fst := i, snd := a } < b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨b, h⟩ := exists_gt a
[GOAL]
case mk.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMaxOrder (α i)
i : ι
a b : α i
h : a < b
⊢ ∃ b, { fst := i, snd := a } < b
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨i, b⟩, right _ _ h⟩
[GOAL]
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMinOrder (α i)
⊢ ∀ (a : Σₗ (i : ι), α i), ∃ b, b < a
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, a⟩
[GOAL]
case mk
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMinOrder (α i)
i : ι
a : α i
⊢ ∃ b, b < { fst := i, snd := a }
[PROOFSTEP]
obtain ⟨b, h⟩ := exists_lt a
[GOAL]
case mk.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoMinOrder (α i)
i : ι
a b : α i
h : b < a
⊢ ∃ b, b < { fst := i, snd := a }
[PROOFSTEP]
exact ⟨⟨i, b⟩, right _ _ h⟩
