[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ removeZero p n = p n
[PROOFSTEP]
rw [← Nat.succ_pred_eq_of_pos h]
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ removeZero p (Nat.succ (Nat.pred n)) = p (Nat.succ (Nat.pred n))
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m n : ℕ
v : Fin m → E
w : Fin n → E
h1 : m = n
h2 : ∀ (i : ℕ) (him : i < m) (hin : i < n), v { val := i, isLt := him } = w { val := i, isLt := hin }
⊢ ↑(p m) v = ↑(p n) w
[PROOFSTEP]
subst n
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
v w : Fin m → E
h2 : ∀ (i : ℕ) (him hin : i < m), v { val := i, isLt := him } = w { val := i, isLt := hin }
⊢ ↑(p m) v = ↑(p m) w
[PROOFSTEP]
congr with ⟨i, hi⟩
[GOAL]
case h.e_6.h.h.mk
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
v w : Fin m → E
h2 : ∀ (i : ℕ) (him hin : i < m), v { val := i, isLt := him } = w { val := i, isLt := hin }
i : ℕ
hi : i < m
⊢ v { val := i, isLt := hi } = w { val := i, isLt := hi }
[PROOFSTEP]
exact h2 i hi hi
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : CommRing 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ order 0 = 0
[PROOFSTEP]
simp [order]
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : CommRing 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : order p ≠ 0
h : p = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [h] at hp 
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
n : ℕ
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : TopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : DecidablePred fun n => p n ≠ 0
hp : ∃ n, p n ≠ 0
⊢ order p = Nat.find hp
[PROOFSTEP]
convert Nat.sInf_def hp
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : CommRing 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ order p = 0 ↔ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0
[PROOFSTEP]
simpa [order, Nat.sInf_eq_zero, FormalMultilinearSeries.ext_iff, eq_empty_iff_forall_not_mem] using or_comm
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : CommRing 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : p ≠ 0
⊢ order p = 0 ↔ p 0 ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp [order_eq_zero_iff', hp]
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
⊢ ↑(p n) y = (∏ i : Fin n, y i) • coeff p n
[PROOFSTEP]
convert (p n).toMultilinearMap.map_smul_univ y 1
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
x✝ : Fin n
⊢ y x✝ = y x✝ • OfNat.ofNat 1 x✝
[PROOFSTEP]
funext
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
x✝ : Fin n
⊢ y x✝ = y x✝ • OfNat.ofNat 1 x✝
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.one_apply, Algebra.id.smul_eq_mul, mul_one]
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
⊢ coeff p n = 0 ↔ p n = 0
[PROOFSTEP]
rw [← mkPiField_coeff_eq p, ContinuousMultilinearMap.mkPiField_eq_zero_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
⊢ (↑(p n) fun x => z) = z ^ n • coeff p n
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜
⊢ ‖p n‖ = ‖coeff p n‖
[PROOFSTEP]
rw [← mkPiField_coeff_eq p, ContinuousMultilinearMap.norm_mkPiField]
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
⊢ coeff (fslope p) n = coeff p (n + 1)
[PROOFSTEP]
simp only [fslope, coeff, ContinuousMultilinearMap.curryLeft_apply]
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
⊢ ↑(p (n + 1)) (cons 1 1) = ↑(p (n + 1)) 1
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case h.e_6.h
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n : ℕ
⊢ cons 1 1 = 1
[PROOFSTEP]
exact Fin.cons_self_tail 1
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n✝ k n : ℕ
⊢ coeff (fslope^[k] p) n = coeff p (n + k)
[PROOFSTEP]
induction k generalizing p with
| zero => rfl
| succ k ih => simp [ih, add_assoc]
[GOAL]
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
n✝ k n : ℕ
⊢ coeff (fslope^[k] p) n = coeff p (n + k)
[PROOFSTEP]
induction k generalizing p with
| zero => rfl
| succ k ih => simp [ih, add_assoc]
[GOAL]
case zero
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
⊢ coeff (fslope^[Nat.zero] p) n = coeff p (n + Nat.zero)
[PROOFSTEP]

| zero => rfl
[GOAL]
case zero
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
⊢ coeff (fslope^[Nat.zero] p) n = coeff p (n + Nat.zero)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case succ
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ n k : ℕ
ih : ∀ {p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E}, coeff (fslope^[k] p) n = coeff p (n + k)
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
⊢ coeff (fslope^[Nat.succ k] p) n = coeff p (n + Nat.succ k)
[PROOFSTEP]

| succ k ih => simp [ih, add_assoc]
[GOAL]
case succ
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ n k : ℕ
ih : ∀ {p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E}, coeff (fslope^[k] p) n = coeff p (n + k)
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
⊢ coeff (fslope^[Nat.succ k] p) n = coeff p (n + Nat.succ k)
[PROOFSTEP]
simp [ih, add_assoc]
