[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
s t : Set α
x✝⁴ : MeasurableSet s
x✝³ : MeasurableSet t
x✝² : ↑↑μ s ≠ ⊤
x✝¹ : ↑↑μ t ≠ ⊤
x✝ : s ∩ t = ∅
⊢ OfNat.ofNat 0 (s ∪ t) = OfNat.ofNat 0 s + OfNat.ofNat 0 t
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
⊢ FinMeasAdditive μ (T + T')
[PROOFSTEP]
intro s t hs ht hμs hμt hst
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
⊢ (T + T') (s ∪ t) = (T + T') s + (T + T') t
[PROOFSTEP]
simp only [hT s t hs ht hμs hμt hst, hT' s t hs ht hμs hμt hst, Pi.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
⊢ T s + T t + (T' s + T' t) = T s + T' s + (T t + T' t)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
⊢ T s + T t + (T' s + T' t) = T s + T' s + (T t + T' t)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
inst✝¹ : Monoid 𝕜
inst✝ : DistribMulAction 𝕜 β
hT : FinMeasAdditive μ T
c : 𝕜
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
⊢ (fun s => c • T s) (s ∪ t) = (fun s => c • T s) s + (fun s => c • T s) t
[PROOFSTEP]
simp [hT s t hs ht hμs hμt hst]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
⊢ FinMeasAdditive μ T
[PROOFSTEP]
refine' of_eq_top_imp_eq_top (fun s _ hμs => _) hT
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ↑↑(c • μ) s = ⊤
⊢ ↑↑μ s = ⊤
[PROOFSTEP]
rw [Measure.smul_apply, smul_eq_mul, ENNReal.mul_eq_top] at hμs 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : c ≠ 0 ∧ ↑↑μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ ↑↑μ s ≠ 0
⊢ ↑↑μ s = ⊤
[PROOFSTEP]
simp only [hc_ne_top, or_false_iff, Ne.def, false_and_iff] at hμs 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ¬c = 0 ∧ ↑↑μ s = ⊤
⊢ ↑↑μ s = ⊤
[PROOFSTEP]
exact hμs.2
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
⊢ FinMeasAdditive (c • μ) T
[PROOFSTEP]
refine' of_eq_top_imp_eq_top (fun s _ hμs => _) hT
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ ↑↑(c • μ) s = ⊤
[PROOFSTEP]
rw [Measure.smul_apply, smul_eq_mul, ENNReal.mul_eq_top]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ c ≠ 0 ∧ ↑↑μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ ↑↑μ s ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp only [hc_ne_zero, true_and_iff, Ne.def, not_false_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ ↑↑μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ ¬↑↑μ s = 0
[PROOFSTEP]
exact Or.inl hμs
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
⊢ T ∅ = 0
[PROOFSTEP]
have h_empty : μ ∅ ≠ ∞ := (measure_empty.le.trans_lt ENNReal.coe_lt_top).ne
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
h_empty : ↑↑μ ∅ ≠ ⊤
⊢ T ∅ = 0
[PROOFSTEP]
specialize hT ∅ ∅ MeasurableSet.empty MeasurableSet.empty h_empty h_empty (Set.inter_empty ∅)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : ↑↑μ ∅ ≠ ⊤
hT : T (∅ ∪ ∅) = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
[PROOFSTEP]
rw [Set.union_empty] at hT 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : ↑↑μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
[PROOFSTEP]
nth_rw 1 [← add_zero (T ∅)] at hT 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : ↑↑μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ + 0 = T ∅ + T ∅
⊢ T ∅ = 0
[PROOFSTEP]
exact (add_left_cancel hT).symm
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
hSp : ∀ (i : ι), i ∈ sι → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ sι → ∀ (j : ι), j ∈ sι → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ sι), S i) = ∑ i in sι, T (S i)
[PROOFSTEP]
revert hSp h_disj
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ (∀ (i : ι), i ∈ sι → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ sι → ∀ (j : ι), j ∈ sι → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ sι), S i) = ∑ i in sι, T (S i)
[PROOFSTEP]
refine' Finset.induction_on sι _ _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ (∀ (i : ι), i ∈ ∅ → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ ∅ → ∀ (j : ι), j ∈ ∅ → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ ∅), S i) = ∑ i in ∅, T (S i)
[PROOFSTEP]
simp only [Finset.not_mem_empty, IsEmpty.forall_iff, iUnion_false, iUnion_empty, sum_empty, forall₂_true_iff,
  imp_true_iff, forall_true_left, not_false_iff, T_empty]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},
    ¬a ∈ s →
      ((∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
          (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
            T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)) →
        (∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
          (∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
            T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), S i) = ∑ i in insert a s, T (S i)
[PROOFSTEP]
intro a s has h hps h_disj
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), S i) = ∑ i in insert a s, T (S i)
[PROOFSTEP]
rw [Finset.sum_insert has, ← h]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), S i) = T (S a) + T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i)
case refine'_2.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
case refine'_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case refine'_2.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
exact fun i hi => hps i (Finset.mem_insert_of_mem hi)
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), S i) = T (S a) + T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i)
case refine'_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case refine'_2.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
[PROOFSTEP]
exact fun i hi j hj hij => h_disj i (Finset.mem_insert_of_mem hi) j (Finset.mem_insert_of_mem hj) hij
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), S i) = T (S a) + T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i)
[PROOFSTEP]
rw [←
  h_add (S a) (⋃ i ∈ s, S i) (hS_meas a) (measurableSet_biUnion _ fun i _ => hS_meas i)
    (hps a (Finset.mem_insert_self a s))]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), S i) = T (S a ∪ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i)
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case refine'_2.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ insert a s), S i = S a ∪ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i
[PROOFSTEP]
convert Finset.iSup_insert a s S
[GOAL]
case refine'_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ↑↑μ (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
exact
  ((measure_biUnion_finset_le _ _).trans_lt <| ENNReal.sum_lt_top fun i hi => hps i <| Finset.mem_insert_of_mem hi).ne
[GOAL]
case refine'_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ S a ∩ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i = ∅
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.inter_iUnion]
[GOAL]
case refine'_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
⊢ ⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S a ∩ S i = ∅
[PROOFSTEP]
refine' iUnion_eq_empty.mpr fun i => iUnion_eq_empty.mpr fun hi => _
[GOAL]
case refine'_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ S a ∩ S i = ∅
[PROOFSTEP]
rw [← Set.disjoint_iff_inter_eq_empty]
[GOAL]
case refine'_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Disjoint (S a) (S i)
[PROOFSTEP]
refine' h_disj a (Finset.mem_insert_self a s) i (Finset.mem_insert_of_mem hi) fun hai => _
[GOAL]
case refine'_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : i ∈ s
hai : a = i
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [← hai] at hi 
[GOAL]
case refine'_2.a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T✝ T' T : Set α → β
T_empty : T ∅ = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
ι : Type u_8
S : ι → Set α
sι : Finset ι
hS_meas : ∀ (i : ι), MeasurableSet (S i)
a : ι
s : Finset ι
has : ¬a ∈ s
h :
  (∀ (i : ι), i ∈ s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤) →
    (∀ (i : ι), i ∈ s → ∀ (j : ι), j ∈ s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)) →
      T (⋃ (i : ι) (_ : i ∈ s), S i) = ∑ i in s, T (S i)
hps : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ↑↑μ (S i) ≠ ⊤
h_disj : ∀ (i : ι), i ∈ insert a s → ∀ (j : ι), j ∈ insert a s → i ≠ j → Disjoint (S i) (S j)
i : ι
hi : a ∈ s
hai : a = i
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact has hi
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
[PROOFSTEP]
refine' ⟨FinMeasAdditive.zero, fun s _ _ => _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ‖OfNat.ofNat 0 s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
rw [Pi.zero_apply, norm_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : ↑↑μ s < ⊤
⊢ 0 ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
exact mul_nonneg hC toReal_nonneg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : ↑↑μ s = 0
⊢ T s = 0
[PROOFSTEP]
refine' norm_eq_zero.mp _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : ↑↑μ s = 0
⊢ ‖T s‖ = 0
[PROOFSTEP]
refine' ((hT.2 s hs (by simp [hs_zero])).trans (le_of_eq _)).antisymm (norm_nonneg _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : ↑↑μ s = 0
⊢ ↑↑μ s < ⊤
[PROOFSTEP]
simp [hs_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_zero : ↑↑μ s = 0
⊢ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s) = 0
[PROOFSTEP]
rw [hs_zero, ENNReal.zero_toReal, mul_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
m : MeasurableSpace α
hT : DominatedFinMeasAdditive 0 T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
⊢ ↑↑0 s = 0
[PROOFSTEP]
simp only [Measure.coe_zero, Pi.zero_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')
[PROOFSTEP]
refine' ⟨hT.1.add hT'.1, fun s hs hμs => _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ‖(T + T') s‖ ≤ (C + C') * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
rw [Pi.add_apply, add_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ‖T s + T' s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s) + C' * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
exact (norm_add_le _ _).trans (add_le_add (hT.2 s hs hμs) (hT'.2 s hs hμs))
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨hT.1.smul c, fun s hs hμs => _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ‖(fun s => c • T s) s‖ ≤ ‖c‖ * C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ‖c • T s‖ ≤ ‖c‖ * C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
rw [norm_smul, mul_assoc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ‖c‖ * ‖T s‖ ≤ ‖c‖ * (C * ENNReal.toReal (↑↑μ s))
[PROOFSTEP]
exact mul_le_mul le_rfl (hT.2 s hs hμs) (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ' T C
[PROOFSTEP]
have h' : ∀ s, MeasurableSet s → μ s = ∞ → μ' s = ∞ := by intro s hs hμs; rw [eq_top_iff, ← hμs]; exact h s hs
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ' s = ⊤
[PROOFSTEP]
intro s hs hμs
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ ↑↑μ' s = ⊤
[PROOFSTEP]
rw [eq_top_iff, ← hμs]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ ↑↑μ s ≤ ↑↑μ' s
[PROOFSTEP]
exact h s hs
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ' s = ⊤
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ' T C
[PROOFSTEP]
refine' ⟨hT.1.of_eq_top_imp_eq_top h', fun s hs hμ's => _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : ↑↑μ' s < ⊤
⊢ ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ' s)
[PROOFSTEP]
have hμs : μ s < ∞ := (h s hs).trans_lt hμ's
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : ↑↑μ' s < ⊤
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ' s)
[PROOFSTEP]
refine' (hT.2 s hs hμs).trans (mul_le_mul le_rfl _ ENNReal.toReal_nonneg hC)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : ↑↑μ' s < ⊤
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ s) ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ' s)
[PROOFSTEP]
rw [toReal_le_toReal hμs.ne hμ's.ne]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : ↑↑μ' s < ⊤
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑↑μ s ≤ ↑↑μ' s
[PROOFSTEP]
exact h s hs
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ T (ENNReal.toReal c * C)
[PROOFSTEP]
have h : ∀ s, MeasurableSet s → c • μ s = ∞ → μ s = ∞ :=
  by
  intro s _ hcμs
  simp only [hc_ne_top, Algebra.id.smul_eq_mul, ENNReal.mul_eq_top, or_false_iff, Ne.def, false_and_iff] at hcμs 
  exact hcμs.2
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ s = ⊤
[PROOFSTEP]
intro s _ hcμs
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
s : Set α
a✝ : MeasurableSet s
hcμs : c • ↑↑μ s = ⊤
⊢ ↑↑μ s = ⊤
[PROOFSTEP]
simp only [hc_ne_top, Algebra.id.smul_eq_mul, ENNReal.mul_eq_top, or_false_iff, Ne.def, false_and_iff] at hcμs 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
s : Set α
a✝ : MeasurableSet s
hcμs : ¬c = 0 ∧ ↑↑μ s = ⊤
⊢ ↑↑μ s = ⊤
[PROOFSTEP]
exact hcμs.2
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ s = ⊤
⊢ DominatedFinMeasAdditive μ T (ENNReal.toReal c * C)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨hT.1.of_eq_top_imp_eq_top (μ := c • μ) h, fun s hs hμs => _⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ‖T s‖ ≤ ENNReal.toReal c * C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
have hcμs : c • μ s ≠ ∞ := mt (h s hs) hμs.ne
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
hcμs : c • ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ ‖T s‖ ≤ ENNReal.toReal c * C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
rw [smul_eq_mul] at hcμs 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
hcμs : c * ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ ‖T s‖ ≤ ENNReal.toReal c * C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
simp_rw [DominatedFinMeasAdditive, Measure.smul_apply, smul_eq_mul, toReal_mul] at hT 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
hcμs : c * ↑↑μ s ≠ ⊤
hT :
  FinMeasAdditive (c • μ) T ∧
    ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c * ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (ENNReal.toReal c * ENNReal.toReal (↑↑μ s))
⊢ ‖T s‖ ≤ ENNReal.toReal c * C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
refine' (hT.2 s hs hcμs.lt_top).trans (le_of_eq _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • ↑↑μ s = ⊤ → ↑↑μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
hcμs : c * ↑↑μ s ≠ ⊤
hT :
  FinMeasAdditive (c • μ) T ∧
    ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c * ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (ENNReal.toReal c * ENNReal.toReal (↑↑μ s))
⊢ C * (ENNReal.toReal c * ENNReal.toReal (↑↑μ s)) = ENNReal.toReal c * C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ F
⊢ setToSimpleFunc 0 f = 0
[PROOFSTEP]
simp [setToSimpleFunc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T f = 0
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToSimpleFunc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0
[PROOFSTEP]
refine' sum_eq_zero fun x _ => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hx0 : x = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0
[PROOFSTEP]
simp [hx0]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0
[PROOFSTEP]
rw [h_zero (f ⁻¹' ({ x } : Set E)) (measurableSet_fiber _ _) (measure_preimage_lt_top_of_integrable f hf hx0),
  ContinuousLinearMap.zero_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
⊢ setToSimpleFunc T 0 = 0
[PROOFSTEP]
cases isEmpty_or_nonempty α
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h✝ : IsEmpty α
⊢ setToSimpleFunc T 0 = 0
[PROOFSTEP]
simp [setToSimpleFunc]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h✝ : Nonempty α
⊢ setToSimpleFunc T 0 = 0
[PROOFSTEP]
simp [setToSimpleFunc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ setToSimpleFunc T f = ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
symm
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = setToSimpleFunc T f
[PROOFSTEP]
refine' sum_filter_of_ne fun x _ => mt fun hx0 => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
x : F
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0
[PROOFSTEP]
rw [hx0]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
x : F
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {0})) 0 = 0
[PROOFSTEP]
exact ContinuousLinearMap.map_zero _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
⊢ setToSimpleFunc T (map g f) = ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
have T_empty : T ∅ = 0 := h_add.map_empty_eq_zero
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
⊢ setToSimpleFunc T (map g f) = ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
have hfp : ∀ x ∈ f.range, x ≠ 0 → μ (f ⁻¹' { x }) ≠ ∞ := fun x _ hx0 =>
  (measure_preimage_lt_top_of_integrable f hf hx0).ne
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
⊢ setToSimpleFunc T (map g f) = ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
simp only [setToSimpleFunc, range_map]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
⊢ ∑ x in Finset.image g (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {x})) x =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_image' _ fun b hb => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
b : G
hb : b ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g b})) (g b) = ∑ x in filter (fun c' => g c' = g b) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
rcases mem_range.1 hb with ⟨a, rfl⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
by_cases h0 : g (f a) = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : g (↑f a) = 0
⊢ ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
simp_rw [h0]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : g (↑f a) = 0
⊢ ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {0})) 0 = ∑ x in filter (fun c' => g c' = 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
rw [ContinuousLinearMap.map_zero, Finset.sum_eq_zero fun x hx => ?_]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : g (↑f a) = 0
x : G
hx : x ∈ filter (fun c' => g c' = 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x) = 0
[PROOFSTEP]
rw [mem_filter] at hx 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : g (↑f a) = 0
x : G
hx : x ∈ SimpleFunc.range f ∧ g x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x) = 0
[PROOFSTEP]
rw [hx.2, ContinuousLinearMap.map_zero]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
⊢ ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
have h_left_eq : T (map g f ⁻¹' {g (f a)}) (g (f a)) = T (f ⁻¹' (f.range.filter fun b => g b = g (f a))) (g (f a)) := by
  congr; rw [map_preimage_singleton]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
⊢ ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
⊢ ↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)} = ↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f))
[PROOFSTEP]
rw [map_preimage_singleton]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
⊢ ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
rw [h_left_eq]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
have h_left_eq' :
  T (f ⁻¹' (filter (fun b : G => g b = g (f a)) f.range)) (g (f a)) =
    T (⋃ y ∈ filter (fun b : G => g b = g (f a)) f.range, f ⁻¹' { y }) (g (f a)) :=
  by congr; rw [← Finset.set_biUnion_preimage_singleton]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
⊢ ↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)) =
    ⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y}
[PROOFSTEP]
rw [← Finset.set_biUnion_preimage_singleton]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
rw [h_left_eq']
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
rw [h_add.map_iUnion_fin_meas_set_eq_sum T T_empty]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ↑(∑ i in filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), T (↑f ⁻¹' {i})) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
simp only [sum_apply, ContinuousLinearMap.coe_sum']
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ∑ c in filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {c})) (g (↑f a)) =
    ∑ x in filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_congr rfl fun x hx => _
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
x : G
hx : x ∈ filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g (↑f a)) = ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
rw [mem_filter] at hx 
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
x : G
hx : x ∈ SimpleFunc.range f ∧ g x = g (↑f a)
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g (↑f a)) = ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (g x)
[PROOFSTEP]
rw [hx.2]
[GOAL]
case neg.hS_meas
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ∀ (i : G), MeasurableSet (↑f ⁻¹' {i})
[PROOFSTEP]
exact fun i => measurableSet_fiber _ _
[GOAL]
case neg.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ∀ (i : G), i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f) → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {i}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
intro i hi
[GOAL]
case neg.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
hi : i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {i}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
rw [mem_filter] at hi 
[GOAL]
case neg.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
hi : i ∈ SimpleFunc.range f ∧ g i = g (↑f a)
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {i}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
refine' hfp i hi.1 fun hi0 => _
[GOAL]
case neg.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
hi : i ∈ SimpleFunc.range f ∧ g i = g (↑f a)
hi0 : i = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [hi0, hg] at hi 
[GOAL]
case neg.hSp
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
hi : 0 ∈ SimpleFunc.range f ∧ 0 = g (↑f a)
hi0 : i = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact h0 hi.2.symm
[GOAL]
case neg.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
⊢ ∀ (i : G),
    i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f) →
      ∀ (j : G), j ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f) → i ≠ j → Disjoint (↑f ⁻¹' {i}) (↑f ⁻¹' {j})
[PROOFSTEP]
intro i _j hi _ hij
[GOAL]
case neg.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
_j : i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hi : G
a✝ : hi ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hij : i ≠ hi
⊢ Disjoint (↑f ⁻¹' {i}) (↑f ⁻¹' {hi})
[PROOFSTEP]
rw [Set.disjoint_iff]
[GOAL]
case neg.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
_j : i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hi : G
a✝ : hi ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hij : i ≠ hi
⊢ ↑f ⁻¹' {i} ∩ ↑f ⁻¹' {hi} ⊆ ∅
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
case neg.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
_j : i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hi : G
a✝ : hi ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hij : i ≠ hi
x : α
hx : x ∈ ↑f ⁻¹' {i} ∩ ↑f ⁻¹' {hi}
⊢ x ∈ ∅
[PROOFSTEP]
rw [Set.mem_inter_iff, Set.mem_preimage, Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff, Set.mem_singleton_iff] at hx 
[GOAL]
case neg.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
_j : i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hi : G
a✝ : hi ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hij : i ≠ hi
x : α
hx : ↑f x = i ∧ ↑f x = hi
⊢ x ∈ ∅
[PROOFSTEP]
rw [← hx.1, ← hx.2] at hij 
[GOAL]
case neg.h_disj
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ G
hf : Integrable ↑f
g : G → F
hg : g 0 = 0
T_empty : T ∅ = 0
hfp : ∀ (x : G), x ∈ SimpleFunc.range f → x ≠ 0 → ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
a : α
hb : ↑f a ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬g (↑f a) = 0
h_left_eq :
  ↑(T (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)})) (g (↑f a)) =
    ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a))
h_left_eq' :
  ↑(T (↑f ⁻¹' ↑(filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)))) (g (↑f a)) =
    ↑(T (⋃ (y : G) (_ : y ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)), ↑f ⁻¹' {y})) (g (↑f a))
i : G
_j : i ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
hi : G
a✝ : hi ∈ filter (fun b => g b = g (↑f a)) (SimpleFunc.range f)
x : α
hij : ↑f x ≠ ↑f x
hx : ↑f x = i ∧ ↑f x = hi
⊢ x ∈ ∅
[PROOFSTEP]
exact absurd rfl hij
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
⊢ setToSimpleFunc T (map Prod.fst (pair f g)) = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (pair f g))
[PROOFSTEP]
have h_pair : Integrable (f.pair g) μ := integrable_pair hf hg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
⊢ setToSimpleFunc T (map Prod.fst (pair f g)) = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (pair f g))
[PROOFSTEP]
rw [map_setToSimpleFunc T h_add h_pair Prod.fst_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.fst = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (pair f g))
[PROOFSTEP]
rw [map_setToSimpleFunc T h_add h_pair Prod.snd_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.fst =
    ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.snd
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_congr rfl fun p hp => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
p : E × E
hp : p ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
⊢ ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {p})) p.fst = ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {p})) p.snd
[PROOFSTEP]
rcases mem_range.1 hp with ⟨a, rfl⟩
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
⊢ ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {↑(pair f g) a})) (↑(pair f g) a).fst =
    ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {↑(pair f g) a})) (↑(pair f g) a).snd
[PROOFSTEP]
by_cases eq : f a = g a
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ↑f a = ↑g a
⊢ ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {↑(pair f g) a})) (↑(pair f g) a).fst =
    ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {↑(pair f g) a})) (↑(pair f g) a).snd
[PROOFSTEP]
dsimp only [pair_apply]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ↑f a = ↑g a
⊢ ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)})) (↑f a) = ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)})) (↑g a)
[PROOFSTEP]
rw [eq]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ¬↑f a = ↑g a
⊢ ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {↑(pair f g) a})) (↑(pair f g) a).fst =
    ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {↑(pair f g) a})) (↑(pair f g) a).snd
[PROOFSTEP]
have : T (pair f g ⁻¹' {(f a, g a)}) = 0 :=
  by
  have h_eq : T ((⇑(f.pair g)) ⁻¹' {(f a, g a)}) = T (f ⁻¹' {f a} ∩ g ⁻¹' {g a}) := by congr;
    rw [pair_preimage_singleton f g]
  rw [h_eq]
  exact h (f a) (g a) eq
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ¬↑f a = ↑g a
⊢ T (↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)}) = 0
[PROOFSTEP]
have h_eq : T ((⇑(f.pair g)) ⁻¹' {(f a, g a)}) = T (f ⁻¹' {f a} ∩ g ⁻¹' {g a}) := by congr;
  rw [pair_preimage_singleton f g]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ¬↑f a = ↑g a
⊢ T (↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)}) = T (↑f ⁻¹' {↑f a} ∩ ↑g ⁻¹' {↑g a})
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ¬↑f a = ↑g a
⊢ ↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)} = ↑f ⁻¹' {↑f a} ∩ ↑g ⁻¹' {↑g a}
[PROOFSTEP]
rw [pair_preimage_singleton f g]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ¬↑f a = ↑g a
h_eq : T (↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)}) = T (↑f ⁻¹' {↑f a} ∩ ↑g ⁻¹' {↑g a})
⊢ T (↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)}) = 0
[PROOFSTEP]
rw [h_eq]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ¬↑f a = ↑g a
h_eq : T (↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)}) = T (↑f ⁻¹' {↑f a} ∩ ↑g ⁻¹' {↑g a})
⊢ T (↑f ⁻¹' {↑f a} ∩ ↑g ⁻¹' {↑g a}) = 0
[PROOFSTEP]
exact h (f a) (g a) eq
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
h : ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable ↑(pair f g)
a : α
hp : ↑(pair f g) a ∈ SimpleFunc.range (pair f g)
eq : ¬↑f a = ↑g a
this : T (↑(pair f g) ⁻¹' {(↑f a, ↑g a)}) = 0
⊢ ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {↑(pair f g) a})) (↑(pair f g) a).fst =
    ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {↑(pair f g) a})) (↑(pair f g) a).snd
[PROOFSTEP]
simp only [this, ContinuousLinearMap.zero_apply, pair_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
⊢ setToSimpleFunc T f = setToSimpleFunc T g
[PROOFSTEP]
refine' setToSimpleFunc_congr' T h_add hf ((integrable_congr h).mp hf) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
⊢ ∀ (x y : E), x ≠ y → T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
[PROOFSTEP]
refine' fun x y hxy => h_zero _ ((measurableSet_fiber f x).inter (measurableSet_fiber g y)) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑f =ᵐ[μ] ↑g
x y : E
hxy : x ≠ y
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
[PROOFSTEP]
rw [EventuallyEq, ae_iff] at h 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑↑μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
⊢ ↑↑μ (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
[PROOFSTEP]
refine' measure_mono_null (fun z => _) h
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑↑μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
⊢ z ∈ ↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y} → z ∈ {a | ¬↑f a = ↑g a}
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.mem_inter_iff, Set.mem_setOf_eq, Set.mem_preimage, Set.mem_singleton_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h : ↑↑μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
⊢ ↑f z = x ∧ ↑g z = y → ¬↑f z = ↑g z
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
h✝ : ↑↑μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
h : ↑f z = x ∧ ↑g z = y
⊢ ¬↑f z = ↑g z
[PROOFSTEP]
rwa [h.1, h.2]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T f = setToSimpleFunc T' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToSimpleFunc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
refine' sum_congr rfl fun x _ => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
by_cases hx0 : x = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
simp [hx0]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
x✝ : x ∈ SimpleFunc.range f
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
rw [h (f ⁻¹' { x }) (SimpleFunc.measurableSet_fiber _ _) (SimpleFunc.measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf hx0)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ setToSimpleFunc (T + T') f = setToSimpleFunc T f + setToSimpleFunc T' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToSimpleFunc, Pi.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})) x =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x + ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] F'
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, (↑(T (↑f ⁻¹' {x})) + ↑(T' (↑f ⁻¹' {x}))) x =
    ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x + ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [Pi.add_apply, sum_add_distrib]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T'' f = setToSimpleFunc T f + setToSimpleFunc T' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToSimpleFunc_eq_sum_filter]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T'' (↑f ⁻¹' {x})) x =
    ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x +
      ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
suffices ∀ x ∈ filter (fun x : E => x ≠ 0) f.range, T'' (f ⁻¹' { x }) = T (f ⁻¹' { x }) + T' (f ⁻¹' { x })
  by
  rw [← sum_add_distrib]
  refine' Finset.sum_congr rfl fun x hx => _
  rw [this x hx]
  push_cast
  rw [Pi.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
⊢ ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T'' (↑f ⁻¹' {x})) x =
    ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x +
      ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
rw [← sum_add_distrib]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
⊢ ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T'' (↑f ⁻¹' {x})) x =
    ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), (↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x + ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x)
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_congr rfl fun x hx => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ ↑(T'' (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x + ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
rw [this x hx]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})) x = ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x + ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ (↑(T (↑f ⁻¹' {x})) + ↑(T' (↑f ⁻¹' {x}))) x = ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x + ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
rw [Pi.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ T'' (↑f ⁻¹' {x}) = T (↑f ⁻¹' {x}) + T' (↑f ⁻¹' {x})
[PROOFSTEP]
refine' h_add (f ⁻¹' { x }) (measurableSet_preimage _ _) (measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ x ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [mem_filter] at hx 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
hx : x ∈ SimpleFunc.range f ∧ x ≠ 0
⊢ x ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact hx.2
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
c : ℝ
f : α →ₛ F
⊢ setToSimpleFunc (fun s => c • T s) f = c • setToSimpleFunc T f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToSimpleFunc, ContinuousLinearMap.smul_apply, smul_sum]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T' f = c • setToSimpleFunc T f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToSimpleFunc_eq_sum_filter]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x =
    c • ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
suffices ∀ x ∈ filter (fun x : E => x ≠ 0) f.range, T' (f ⁻¹' { x }) = c • T (f ⁻¹' { x })
  by
  rw [smul_sum]
  refine' Finset.sum_congr rfl fun x hx => _
  rw [this x hx]
  rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})
⊢ ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x =
    c • ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
rw [smul_sum]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})
⊢ ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x =
    ∑ x in filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f), c • ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_congr rfl fun x hx => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x = c • ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
rw [this x hx]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
this : ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ ↑(c • T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∀ (x : E), x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f) → T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})
[PROOFSTEP]
refine' h_smul (f ⁻¹' { x }) (measurableSet_preimage _ _) (measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) (SimpleFunc.range f)
⊢ x ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [mem_filter] at hx 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
x : E
hx : x ∈ SimpleFunc.range f ∧ x ≠ 0
⊢ x ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact hx.2
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
hp_pair : Integrable ↑(pair f g)
⊢ setToSimpleFunc T (f + g) = ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) (x.fst + x.snd)
[PROOFSTEP]
rw [add_eq_map₂, map_setToSimpleFunc T h_add hp_pair]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
hp_pair : Integrable ↑(pair f g)
⊢ 0.fst + 0.snd = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
hp_pair : Integrable ↑(pair f g)
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), (↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.fst + ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.snd) =
    ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.fst +
      ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.snd
[PROOFSTEP]
rw [Finset.sum_add_distrib]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
hp_pair : Integrable ↑(pair f g)
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.fst +
      ∑ x in SimpleFunc.range (pair f g), ↑(T (↑(pair f g) ⁻¹' {x})) x.snd =
    setToSimpleFunc T (map Prod.fst (pair f g)) + setToSimpleFunc T (map Prod.snd (pair f g))
[PROOFSTEP]
rw [map_setToSimpleFunc T h_add hp_pair Prod.snd_zero, map_setToSimpleFunc T h_add hp_pair Prod.fst_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T (map Neg.neg f) = -setToSimpleFunc T f
[PROOFSTEP]
rw [map_setToSimpleFunc T h_add hf neg_zero, setToSimpleFunc, ← sum_neg_distrib]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (-x) = ∑ x in SimpleFunc.range f, -↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
exact Finset.sum_congr rfl fun x _ => ContinuousLinearMap.map_neg _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
⊢ setToSimpleFunc T (f - g) = setToSimpleFunc T f - setToSimpleFunc T g
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, setToSimpleFunc_add T h_add hf, setToSimpleFunc_neg T h_add hg, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : Integrable ↑g
⊢ Integrable ↑(-g)
[PROOFSTEP]
rw [integrable_iff] at hg ⊢
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
⊢ ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑(-g) ⁻¹' {y}) < ⊤
[PROOFSTEP]
intro x hx_ne
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ ↑↑μ (↑(-g) ⁻¹' {x}) < ⊤
[PROOFSTEP]
change μ (Neg.neg ∘ g ⁻¹' { x }) < ∞
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ ↑↑μ (Neg.neg ∘ ↑g ⁻¹' {x}) < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [preimage_comp, neg_preimage, Set.neg_singleton]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ ↑↑μ (↑g ⁻¹' {-x}) < ⊤
[PROOFSTEP]
refine' hg (-x) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hg : ∀ (y : E), y ≠ 0 → ↑↑μ (↑g ⁻¹' {y}) < ⊤
x : E
hx_ne : x ≠ 0
⊢ -x ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp [hx_ne]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T (c • f) = ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (c • x)
[PROOFSTEP]
rw [smul_eq_map c f, map_setToSimpleFunc T h_add hf]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ (fun x x_1 => x • x_1) c 0 = 0
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ c • 0 = 0
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
b : E
x✝ : b ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {b})) (c • b) = c • ↑(T (↑f ⁻¹' {b})) b
[PROOFSTEP]
rw [ContinuousLinearMap.map_smul (T (f ⁻¹' { b })) c b]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, c • ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • setToSimpleFunc T f
[PROOFSTEP]
simp only [setToSimpleFunc, smul_sum, smul_smul, mul_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T (c • f) = ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) (c • x)
[PROOFSTEP]
rw [smul_eq_map c f, map_setToSimpleFunc T h_add hf]
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ (fun x x_1 => x • x_1) c 0 = 0
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ c • 0 = 0
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
b : E
x✝ : b ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {b})) (c • b) = c • ↑(T (↑f ⁻¹' {b})) b
[PROOFSTEP]
rw [h_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, c • ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • setToSimpleFunc T f
[PROOFSTEP]
simp only [setToSimpleFunc, smul_sum, smul_smul, mul_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : F), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ F
⊢ setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToSimpleFunc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T T' : Set α → F →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α) (x : F), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x ≤ ∑ x in SimpleFunc.range f, ↑(T' (↑f ⁻¹' {x})) x
[PROOFSTEP]
exact sum_le_sum fun i _ => hTT' _ i
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T' f
[PROOFSTEP]
refine' sum_le_sum fun i _ => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
i : E
x✝ : i ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ ↑(T' (↑f ⁻¹' {i})) i
[PROOFSTEP]
by_cases h0 : i = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
i : E
x✝ : i ∈ SimpleFunc.range f
h0 : i = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ ↑(T' (↑f ⁻¹' {i})) i
[PROOFSTEP]
simp [h0]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
i : E
x✝ : i ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬i = 0
⊢ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ ↑(T' (↑f ⁻¹' {i})) i
[PROOFSTEP]
exact hTT' _ (measurableSet_fiber _ _) (measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf h0) i
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ setToSimpleFunc T f
[PROOFSTEP]
refine' sum_nonneg fun i hi => hT_nonneg _ i _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
i : G'
hi : i ∈ SimpleFunc.range f
⊢ 0 ≤ i
[PROOFSTEP]
rw [mem_range] at hi 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
⊢ 0 ≤ i
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y, hy⟩ := Set.mem_range.mp hi
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
y : α
hy : ↑f y = i
⊢ 0 ≤ i
[PROOFSTEP]
rw [← hy]
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
y : α
hy : ↑f y = i
⊢ 0 ≤ ↑f y
[PROOFSTEP]
refine' le_trans _ (hf y)
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
m : MeasurableSpace α
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α) (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
y : α
hy : ↑f y = i
⊢ 0 ≤ ↑0 y
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable ↑f
⊢ 0 ≤ setToSimpleFunc T f
[PROOFSTEP]
refine' sum_nonneg fun i hi => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable ↑f
i : G'
hi : i ∈ SimpleFunc.range f
⊢ 0 ≤ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i
[PROOFSTEP]
by_cases h0 : i = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable ↑f
i : G'
hi : i ∈ SimpleFunc.range f
h0 : i = 0
⊢ 0 ≤ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i
[PROOFSTEP]
simp [h0]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable ↑f
i : G'
hi : i ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬i = 0
⊢ 0 ≤ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i
[PROOFSTEP]
refine' hT_nonneg _ (measurableSet_fiber _ _) (measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hfi h0) i _
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable ↑f
i : G'
hi : i ∈ SimpleFunc.range f
h0 : ¬i = 0
⊢ 0 ≤ i
[PROOFSTEP]
rw [mem_range] at hi 
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable ↑f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
h0 : ¬i = 0
⊢ 0 ≤ i
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y, hy⟩ := Set.mem_range.mp hi
[GOAL]
case neg.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable ↑f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
h0 : ¬i = 0
y : α
hy : ↑f y = i
⊢ 0 ≤ i
[PROOFSTEP]
rw [← hy]
[GOAL]
case neg.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α →ₛ G'
hf : 0 ≤ f
hfi : Integrable ↑f
i : G'
hi : i ∈ Set.range ↑f
h0 : ¬i = 0
y : α
hy : ↑f y = i
⊢ 0 ≤ ↑f y
[PROOFSTEP]
convert hf y
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
⊢ setToSimpleFunc T f ≤ setToSimpleFunc T g
[PROOFSTEP]
rw [← sub_nonneg, ← setToSimpleFunc_sub T h_add hgi hfi]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
⊢ 0 ≤ setToSimpleFunc T (g - f)
[PROOFSTEP]
refine' setToSimpleFunc_nonneg' T hT_nonneg _ _ (hgi.sub hfi)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
⊢ 0 ≤ g - f
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
x : α
⊢ ↑0 x ≤ ↑(g - f) x
[PROOFSTEP]
simp only [coe_sub, sub_nonneg, coe_zero, Pi.zero_apply, Pi.sub_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable ↑f
hgi : Integrable ↑g
hfg : f ≤ g
x : α
⊢ ↑f x ≤ ↑g x
[PROOFSTEP]
exact hfg x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ‖↑(T (↑f ⁻¹' {x})) x‖ ≤ ∑ x in SimpleFunc.range f, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_le_sum fun b _ => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'
b : F'
x✝ : b ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ‖↑(T (↑f ⁻¹' {b})) b‖ ≤ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [ContinuousLinearMap.le_op_norm]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖ ≤
    ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ F
i✝ : F
a✝ : i✝ ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {i✝})‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {i✝}))
[PROOFSTEP]
exact hT_norm _ <| SimpleFunc.measurableSet_fiber _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖ ≤
    C * ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [mul_sum, ← mul_assoc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ F
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖ ≤
    ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖ ≤
    ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_le_sum fun b hb => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
b : E
hb : b ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {b})) * ‖b‖
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hb := eq_or_ne b 0
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
hb : 0 ∈ SimpleFunc.range f
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {0})‖ * ‖0‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {0})) * ‖0‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
b : E
hb✝ : b ∈ SimpleFunc.range f
hb : b ≠ 0
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {b})) * ‖b‖
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case inr.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
b : E
hb✝ : b ∈ SimpleFunc.range f
hb : b ≠ 0
⊢ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {b}))
[PROOFSTEP]
exact hT_norm _ (SimpleFunc.measurableSet_fiber _ _) <| SimpleFunc.measure_preimage_lt_top_of_integrable _ hf hb
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖ ≤
    C * ∑ x in SimpleFunc.range f, ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [mul_sum, ← mul_assoc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : α →ₛ E
hf : Integrable ↑f
⊢ ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖ ≤
    ∑ x in SimpleFunc.range f, C * ENNReal.toReal (↑↑μ (↑f ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
⊢ setToSimpleFunc T (piecewise s hs (const α x) (const α 0)) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hs_empty := s.eq_empty_or_nonempty
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet ∅
⊢ setToSimpleFunc T (piecewise ∅ hs (const α x) (const α 0)) = ↑(T ∅) x
[PROOFSTEP]
simp only [hT_empty, ContinuousLinearMap.zero_apply, piecewise_empty, const_zero, setToSimpleFunc_zero_apply]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
⊢ setToSimpleFunc T (piecewise s hs (const α x) (const α 0)) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToSimpleFunc]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
⊢ ∑ x_1 in SimpleFunc.range (piecewise s hs (const α x) (const α 0)),
      ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 =
    ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
obtain rfl | hs_univ := eq_or_ne s univ
[GOAL]
case inr.inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet Set.univ
hs_empty : Set.Nonempty Set.univ
⊢ ∑ x_1 in SimpleFunc.range (piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)),
      ↑(T (↑(piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 =
    ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
haveI hα := hs_empty.to_type
[GOAL]
case inr.inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet Set.univ
hs_empty : Set.Nonempty Set.univ
hα : Nonempty α
⊢ ∑ x_1 in SimpleFunc.range (piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)),
      ↑(T (↑(piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 =
    ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
simp [← Function.const_def]
[GOAL]
case inr.inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
⊢ ∑ x_1 in SimpleFunc.range (piecewise s hs (const α x) (const α 0)),
      ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 =
    ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
rw [range_indicator hs hs_empty hs_univ]
[GOAL]
case inr.inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
⊢ ∑ x_1 in {x, 0}, ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
by_cases hx0 : x = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : x = 0
⊢ ∑ x_1 in {x, 0}, ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
simp_rw [hx0]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : x = 0
⊢ ∑ x in {0, 0}, ↑(T (↑(piecewise s hs (const α 0) (const α 0)) ⁻¹' {x})) x = ↑(T s) 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ∑ x_1 in {x, 0}, ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
rw [sum_insert]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x})) x +
      ∑ x_1 in {0}, ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 =
    ↑(T s) x
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ¬x ∈ {0}
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ¬x ∈ {0}
[PROOFSTEP]
rw [Finset.mem_singleton]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ¬x = 0
[PROOFSTEP]
exact hx0
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x})) x +
      ∑ x_1 in {0}, ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 =
    ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
rw [sum_singleton, (T _).map_zero, add_zero]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x})) x = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x} = s
[PROOFSTEP]
simp only [coe_piecewise, piecewise_eq_indicator, coe_const, Pi.const_zero, piecewise_eq_indicator]
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ indicator s (Function.const α x) ⁻¹' {x} = s
[PROOFSTEP]
rw [indicator_preimage, ← Function.const_def, preimage_const_of_mem]
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ Set.ite s Set.univ (0 ⁻¹' {x}) = s
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ x ∈ {x}
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ x ∈ {x}
[PROOFSTEP]
exact Set.mem_singleton x
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ Set.ite s Set.univ (0 ⁻¹' {x}) = s
[PROOFSTEP]
rw [← Pi.const_zero, ← Function.const_def, preimage_const_of_not_mem]
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ Set.ite s Set.univ ∅ = s
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ¬0 ∈ {x}
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ¬0 ∈ {x}
[PROOFSTEP]
rw [Set.mem_singleton_iff]
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ ¬0 = x
[PROOFSTEP]
exact Ne.symm hx0
[GOAL]
case neg.e_a.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : Set.Nonempty s
hs_univ : s ≠ Set.univ
hx0 : ¬x = 0
⊢ Set.ite s Set.univ ∅ = s
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Nonempty α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
x : F
m : MeasurableSpace α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
simp only [setToSimpleFunc, range_const, Set.mem_singleton, preimage_const_of_mem, sum_singleton, ← Function.const_def,
  coe_const]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
cases hα : isEmpty_or_nonempty α
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
hα : (_ : IsEmpty α ∨ Nonempty α) = (_ : IsEmpty α ∨ Nonempty α)
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
have h_univ_empty : (univ : Set α) = ∅ := Subsingleton.elim _ _
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
hα : (_ : IsEmpty α ∨ Nonempty α) = (_ : IsEmpty α ∨ Nonempty α)
h_univ_empty : Set.univ = ∅
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
rw [h_univ_empty, hT_empty]
[GOAL]
case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
hα : (_ : IsEmpty α ∨ Nonempty α) = (_ : IsEmpty α ∨ Nonempty α)
h_univ_empty : Set.univ = ∅
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = ↑0 x
[PROOFSTEP]
simp only [setToSimpleFunc, ContinuousLinearMap.zero_apply, sum_empty, range_eq_empty_of_isEmpty]
[GOAL]
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : Nonempty α
hα : (_ : IsEmpty α ∨ Nonempty α) = (_ : IsEmpty α ∨ Nonempty α)
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
exact setToSimpleFunc_const' T x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
⊢ ‖f‖ = ∑ x in SimpleFunc.range (toSimpleFunc f), ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [norm_toSimpleFunc, snorm_one_eq_lintegral_nnnorm]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ) =
    ∑ x in SimpleFunc.range (toSimpleFunc f), ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have h_eq := SimpleFunc.map_apply (fun x => (‖x‖₊ : ℝ≥0∞)) (toSimpleFunc f)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ) =
    ∑ x in SimpleFunc.range (toSimpleFunc f), ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [← h_eq]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (x : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) x ∂μ) =
    ∑ x in SimpleFunc.range (toSimpleFunc f), ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [SimpleFunc.lintegral_eq_lintegral, SimpleFunc.map_lintegral, ENNReal.toReal_sum]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ∑ a in SimpleFunc.range (toSimpleFunc f), ENNReal.toReal (↑‖a‖₊ * ↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a})) =
    ∑ x in SimpleFunc.range (toSimpleFunc f), ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case e_f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (fun a => ENNReal.toReal (↑‖a‖₊ * ↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a}))) = fun x =>
    ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
ext1 x
[GOAL]
case e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
⊢ ENNReal.toReal (↑‖x‖₊ * ↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) = ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [ENNReal.toReal_mul, mul_comm, ← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, ENNReal.toReal_ofReal (norm_nonneg _)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ∀ (a : G), a ∈ SimpleFunc.range (toSimpleFunc f) → ↑‖a‖₊ * ↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
intro x _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ SimpleFunc.range (toSimpleFunc f)
⊢ ↑‖x‖₊ * ↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
by_cases hx0 : x = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ SimpleFunc.range (toSimpleFunc f)
hx0 : x = 0
⊢ ↑‖x‖₊ * ↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
rw [hx0]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ SimpleFunc.range (toSimpleFunc f)
hx0 : x = 0
⊢ ↑‖0‖₊ * ↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {0}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : { x // x ∈ simpleFunc G 1 μ }
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ SimpleFunc.range (toSimpleFunc f)
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑‖x‖₊ * ↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
exact
  ENNReal.mul_ne_top ENNReal.coe_ne_top
    (SimpleFunc.measure_preimage_lt_top_of_integrable _ (SimpleFunc.integrable f) hx0).ne
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
f' : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ' }
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
⊢ setToL1S T f = setToL1S T f'
[PROOFSTEP]
refine' SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr T h_zero h_add (SimpleFunc.integrable f) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
f' : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ' }
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
⊢ ↑(toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f')
[PROOFSTEP]
refine' (toSimpleFunc_eq_toFun f).trans _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
f' : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ' }
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
⊢ ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f')
[PROOFSTEP]
suffices : (f' : α → E) =ᵐ[μ] simpleFunc.toSimpleFunc f'
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
f' : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ' }
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
this : ↑↑↑f' =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f')
⊢ ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f')
case this
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
f' : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ' }
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
⊢ ↑↑↑f' =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f')
[PROOFSTEP]
exact h.trans this
[GOAL]
case this
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
f' : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ' }
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
⊢ ↑↑↑f' =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f')
[PROOFSTEP]
have goal' : (f' : α → E) =ᵐ[μ'] simpleFunc.toSimpleFunc f' := (toSimpleFunc_eq_toFun f').symm
[GOAL]
case this
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
μ' : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hμ : μ ≪ μ'
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
f' : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ' }
h : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑↑↑f'
goal' : ↑↑↑f' =ᵐ[μ'] ↑(toSimpleFunc f')
⊢ ↑↑↑f' =ᵐ[μ] ↑(toSimpleFunc f')
[PROOFSTEP]
exact hμ.ae_eq goal'
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ setToL1S T (f + g) = setToL1S T f + setToL1S T g
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToL1S]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (f + g)) =
    SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f) + SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc g)
[PROOFSTEP]
rw [← SimpleFunc.setToSimpleFunc_add T h_add (SimpleFunc.integrable f) (SimpleFunc.integrable g)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (f + g)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f + toSimpleFunc g)
[PROOFSTEP]
exact SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr T h_zero h_add (SimpleFunc.integrable _) (add_toSimpleFunc f g)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ setToL1S T (-f) = -setToL1S T f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToL1S]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (-f)) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
have : simpleFunc.toSimpleFunc (-f) =ᵐ[μ] ⇑(-simpleFunc.toSimpleFunc f) := neg_toSimpleFunc f
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(toSimpleFunc (-f)) =ᵐ[μ] ↑(-toSimpleFunc f)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (-f)) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
rw [SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr T h_zero h_add (SimpleFunc.integrable _) this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(toSimpleFunc (-f)) =ᵐ[μ] ↑(-toSimpleFunc f)
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (-toSimpleFunc f) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
exact SimpleFunc.setToSimpleFunc_neg T h_add (SimpleFunc.integrable f)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ setToL1S T (f - g) = setToL1S T f - setToL1S T g
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, setToL1S_add T h_zero h_add, setToL1S_neg h_zero h_add, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ setToL1S T (c • f) = c • setToL1S T f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToL1S]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
rw [← SimpleFunc.setToSimpleFunc_smul_real T h_add c (SimpleFunc.integrable f)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
refine' SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr T h_zero h_add (SimpleFunc.integrable _) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᵐ[μ] ↑(c • toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
exact smul_toSimpleFunc c f
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ setToL1S T (c • f) = c • setToL1S T f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToL1S]
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = c • SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
rw [← SimpleFunc.setToSimpleFunc_smul T h_add h_smul c (SimpleFunc.integrable f)]
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (c • f)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (c • toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
refine' SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr T h_zero h_add (SimpleFunc.integrable _) _
[GOAL]
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(toSimpleFunc (c • f)) =ᵐ[μ] ↑(c • toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
exact smul_toSimpleFunc c f
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ‖setToL1S T f‖ ≤ C * ‖f‖
[PROOFSTEP]
rw [setToL1S, norm_eq_sum_mul f]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * ENNReal.toReal (↑↑μ s)
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ‖SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)‖ ≤
    C * ∑ x in SimpleFunc.range (toSimpleFunc f), ENNReal.toReal (↑↑μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact SimpleFunc.norm_setToSimpleFunc_le_sum_mul_norm_of_integrable T hT_norm _ (SimpleFunc.integrable f)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
⊢ setToL1S T (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
have h_empty : T ∅ = 0 := h_zero _ MeasurableSet.empty measure_empty
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ setToL1S T (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
rw [setToL1S_eq_setToSimpleFunc]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
refine' Eq.trans _ (SimpleFunc.setToSimpleFunc_indicator T h_empty hs x)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) =
    SimpleFunc.setToSimpleFunc T (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))
[PROOFSTEP]
refine' SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr T h_zero h_add (SimpleFunc.integrable _) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
s : Set α
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
h_empty : T ∅ = 0
⊢ ↑(toSimpleFunc (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x)) =ᵐ[μ]
    ↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α x) (SimpleFunc.const α 0))
[PROOFSTEP]
exact toSimpleFunc_indicatorConst hs hμs.ne x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ setToL1S T f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToL1S]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨f', hf', hff'⟩ : ∃ f' : α →ₛ G'', 0 ≤ f' ∧ simpleFunc.toSimpleFunc f =ᵐ[μ] f' :=
  by
  obtain ⟨f'', hf'', hff''⟩ := exists_simpleFunc_nonneg_ae_eq hf
  exact ⟨f'', hf'', (Lp.simpleFunc.toSimpleFunc_eq_toFun f).trans hff''⟩
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hf : 0 ≤ f
⊢ ∃ f', 0 ≤ f' ∧ ↑(toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑f'
[PROOFSTEP]
obtain ⟨f'', hf'', hff''⟩ := exists_simpleFunc_nonneg_ae_eq hf
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hf : 0 ≤ f
f'' : α →ₛ G''
hf'' : 0 ≤ f''
hff'' : ↑↑↑f =ᵐ[μ] ↑f''
⊢ ∃ f', 0 ≤ f' ∧ ↑(toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑f'
[PROOFSTEP]
exact ⟨f'', hf'', (Lp.simpleFunc.toSimpleFunc_eq_toFun f).trans hff''⟩
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hf : 0 ≤ f
f' : α →ₛ G''
hf' : 0 ≤ f'
hff' : ↑(toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑f'
⊢ 0 ≤ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
[PROOFSTEP]
rw [SimpleFunc.setToSimpleFunc_congr _ h_zero h_add (SimpleFunc.integrable _) hff']
[GOAL]
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hf : 0 ≤ f
f' : α →ₛ G''
hf' : 0 ≤ f'
hff' : ↑(toSimpleFunc f) =ᵐ[μ] ↑f'
⊢ 0 ≤ SimpleFunc.setToSimpleFunc (fun s => T s) f'
[PROOFSTEP]
exact SimpleFunc.setToSimpleFunc_nonneg' T hT_nonneg _ hf' ((SimpleFunc.integrable f).congr hff')
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hfg : f ≤ g
⊢ setToL1S T f ≤ setToL1S T g
[PROOFSTEP]
rw [← sub_nonneg] at hfg ⊢
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hfg✝ : f ≤ g
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ setToL1S T g - setToL1S T f
[PROOFSTEP]
rw [← setToL1S_sub h_zero h_add]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G'' : Type u_7
G' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝ : NormedSpace ℝ G''
T : Set α → G'' →L[ℝ] G'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G''), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : { x // x ∈ simpleFunc G'' 1 μ }
hfg✝ : f ≤ g
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ setToL1S (fun s => T s) (g - f)
[PROOFSTEP]
exact setToL1S_nonneg h_zero h_add hT_nonneg hfg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
x✝² : Set α
x✝¹ : MeasurableSet x✝²
x✝ : ↑↑μ x✝² < ⊤
⊢ T x✝² = T' x✝²
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f = 0
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT = 0 by rw [this]; simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = 0
⊢ ↑(setToL1 hT) f = 0
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = 0
⊢ ↑0 f = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT = 0
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT) _ _ _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1SCLM_zero_left hT f, ContinuousLinearMap.zero_comp, ContinuousLinearMap.zero_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f = 0
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT = 0 by rw [this]; simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = 0
⊢ ↑(setToL1 hT) f = 0
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = 0
⊢ ↑0 f = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT = 0
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT) _ _ _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1SCLM_zero_left' hT h_zero f, ContinuousLinearMap.zero_comp, ContinuousLinearMap.zero_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f = ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT = setToL1 hT' by rw [this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = setToL1 hT'
⊢ ↑(setToL1 hT) f = ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT = setToL1 hT'
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT) _ _ _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT' f = setToL1SCLM α E μ hT f by rw [← this]; rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1 hT') ↑f
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
exact setToL1SCLM_congr_left hT' hT h.symm f
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f = ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT = setToL1 hT' by rw [this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT = setToL1 hT'
⊢ ↑(setToL1 hT) f = ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT = setToL1 hT'
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT) _ _ _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT' f = setToL1SCLM α E μ hT f by rw [← this]; rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1 hT') ↑f
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT) f
[PROOFSTEP]
exact (setToL1SCLM_congr_left' hT hT' h f).symm
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f = ↑(setToL1 hT) f + ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 (hT.add hT') = setToL1 hT + setToL1 hT' by rw [this, ContinuousLinearMap.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) = setToL1 hT + setToL1 hT'
⊢ ↑(setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f = ↑(setToL1 hT) f + ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
rw [this, ContinuousLinearMap.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) = setToL1 hT + setToL1 hT'
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ (hT.add hT')) _ _ _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ) =
    setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f
[PROOFSTEP]
simp only [ContinuousLinearMap.add_comp, ContinuousLinearMap.coe_comp', Function.comp_apply,
  ContinuousLinearMap.add_apply]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT f + setToL1 hT' f = setToL1SCLM α E μ (hT.add hT') f by rw [← this]; rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C'))) f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1SCLM_add_left hT hT']
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT'') f = ↑(setToL1 hT) f + ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT' by rw [this, ContinuousLinearMap.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT'
⊢ ↑(setToL1 hT'') f = ↑(setToL1 hT) f + ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
rw [this, ContinuousLinearMap.add_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT'
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT'') _ _ _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT''
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
[PROOFSTEP]
simp only [ContinuousLinearMap.add_comp, ContinuousLinearMap.coe_comp', Function.comp_apply,
  ContinuousLinearMap.add_apply]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT f + setToL1 hT' f = setToL1SCLM α E μ hT'' f by rw [← this]; congr
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (setToL1 hT + setToL1 hT') (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑f + ↑(setToL1 hT') ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT'') f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1SCLM_add_left' hT hT' hT'' h_add]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))) f = c • ↑(setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 (hT.smul c) = c • setToL1 hT by rw [this, ContinuousLinearMap.smul_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)) = c • setToL1 hT
⊢ ↑(setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))) f = c • ↑(setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
rw [this, ContinuousLinearMap.smul_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)) = c • setToL1 hT
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ (hT.smul c)) _ _ _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ) =
    setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))) f
[PROOFSTEP]
simp only [ContinuousLinearMap.coe_comp', Function.comp_apply, ContinuousLinearMap.smul_comp, Pi.smul_apply,
  ContinuousLinearMap.coe_smul']
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))) f
[PROOFSTEP]
suffices c • setToL1 hT f = setToL1SCLM α E μ (hT.smul c) f by rw [← this]; congr
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f =
    ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))) f
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))) f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = c • ↑(setToL1 hT) ↑f
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C))) f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1SCLM_smul_left c hT]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT') f = c • ↑(setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
suffices setToL1 hT' = c • setToL1 hT by rw [this, ContinuousLinearMap.smul_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
this : setToL1 hT' = c • setToL1 hT
⊢ ↑(setToL1 hT') f = c • ↑(setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
rw [this, ContinuousLinearMap.smul_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToL1 hT' = c • setToL1 hT
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ hT') _ _ _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT'
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f
[PROOFSTEP]
simp only [ContinuousLinearMap.coe_comp', Function.comp_apply, ContinuousLinearMap.smul_comp, Pi.smul_apply,
  ContinuousLinearMap.coe_smul']
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f
[PROOFSTEP]
suffices c • setToL1 hT f = setToL1SCLM α E μ hT' f by rw [← this]; congr
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f
[PROOFSTEP]
rw [← this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
this : c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f
⊢ ↑(ContinuousLinearMap.comp (c • setToL1 hT) (coeToLp α E ℝ)) f = c • ↑(setToL1 hT) ↑f
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : { x // x ∈ Lp E 1 }
f : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ c • ↑(setToL1 hT) ↑f = ↑(setToL1SCLM α E μ hT') f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1SCLM_smul_left' c hT hT' h_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) (c • f) = c • ↑(setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_eq_setToL1' hT h_smul, setToL1_eq_setToL1' hT h_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1' 𝕜 hT h_smul) (c • f) = c • ↑(setToL1' 𝕜 hT h_smul) f
[PROOFSTEP]
exact ContinuousLinearMap.map_smul _ _ _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
x : E
⊢ ↑(setToL1SCLM α E μ hT) (indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
exact setToL1S_indicatorConst (fun s => hT.eq_zero_of_measure_zero) hT.1 hs hμs x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E
⊢ ↑(setToL1 hT) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
rw [← Lp.simpleFunc.coe_indicatorConst hs hμs x]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs hμs x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
exact setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs.lt_top x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
induction f using Lp.induction with
| hp_ne_top h => exact one_ne_top h
|
  @h_ind c s hs hμs =>
  rw [setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs, setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT' hs hμs]
  exact hTT' s hs hμs c
| @h_add f g hf hg _ hf_le hg_le =>
  rw [(setToL1 hT).map_add, (setToL1 hT').map_add]
  exact add_le_add hf_le hg_le
| h_closed => exact isClosed_le (setToL1 hT).continuous (setToL1 hT').continuous
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT') f
[PROOFSTEP]
induction f using Lp.induction with
| hp_ne_top h => exact one_ne_top h
|
  @h_ind c s hs hμs =>
  rw [setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs, setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT' hs hμs]
  exact hTT' s hs hμs c
| @h_add f g hf hg _ hf_le hg_le =>
  rw [(setToL1 hT).map_add, (setToL1 hT').map_add]
  exact add_le_add hf_le hg_le
| h_closed => exact isClosed_le (setToL1 hT).continuous (setToL1 hT').continuous
[GOAL]
case hp_ne_top
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
h : 1 = ⊤
⊢ False
[PROOFSTEP]

| hp_ne_top h => exact one_ne_top h
[GOAL]
case hp_ne_top
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
h : 1 = ⊤
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact one_ne_top h
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c) ≤ ↑(setToL1 hT') ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
[PROOFSTEP]

|
  @h_ind c s hs hμs =>
  rw [setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs, setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT' hs hμs]
  exact hTT' s hs hμs c
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑(setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c) ≤ ↑(setToL1 hT') ↑(indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
[PROOFSTEP]
rw [setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT hs hμs, setToL1_simpleFunc_indicatorConst hT' hs hμs]
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑(T s) c ≤ ↑(T' s) c
[PROOFSTEP]
exact hTT' s hs hμs c
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f g : α → E
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf)
hg_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
⊢ ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
[PROOFSTEP]

| @h_add f g hf hg _ hf_le hg_le =>
  rw [(setToL1 hT).map_add, (setToL1 hT').map_add]
  exact add_le_add hf_le hg_le
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f g : α → E
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf)
hg_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
⊢ ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
[PROOFSTEP]
rw [(setToL1 hT).map_add, (setToL1 hT').map_add]
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f g : α → E
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf)
hg_le : ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤ ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
⊢ ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp f hf) + ↑(setToL1 hT) (Memℒp.toLp g hg) ≤
    ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp f hf) + ↑(setToL1 hT') (Memℒp.toLp g hg)
[PROOFSTEP]
exact add_le_add hf_le hg_le
[GOAL]
case h_closed
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
⊢ IsClosed {f | ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT') f}
[PROOFSTEP]

| h_closed => exact isClosed_le (setToL1 hT).continuous (setToL1 hT').continuous
[GOAL]
case h_closed
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
⊢ IsClosed {f | ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT') f}
[PROOFSTEP]
exact isClosed_le (setToL1 hT).continuous (setToL1 hT').continuous
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
⊢ 0 ≤ ↑(setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
suffices : ∀ f : { g : α →₁[μ] G' // 0 ≤ g }, 0 ≤ setToL1 hT f
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
this : ∀ (f : { g // 0 ≤ g }), 0 ≤ ↑(setToL1 hT) ↑f
⊢ 0 ≤ ↑(setToL1 hT) f
case this
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
⊢ ∀ (f : { g // 0 ≤ g }), 0 ≤ ↑(setToL1 hT) ↑f
[PROOFSTEP]
exact this (⟨f, hf⟩ : { g : α →₁[μ] G' // 0 ≤ g })
[GOAL]
case this
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
⊢ ∀ (f : { g // 0 ≤ g }), 0 ≤ ↑(setToL1 hT) ↑f
[PROOFSTEP]
refine' fun g =>
  @isClosed_property { g : α →₁ₛ[μ] G' // 0 ≤ g } { g : α →₁[μ] G' // 0 ≤ g } _ _ (fun g => 0 ≤ setToL1 hT g)
    (denseRange_coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' one_ne_top) _ _ g
[GOAL]
case this.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
g : { g // 0 ≤ g }
⊢ IsClosed {x | (fun g => 0 ≤ ↑(setToL1 hT) ↑g) x}
[PROOFSTEP]
exact isClosed_le continuous_zero ((setToL1 hT).continuous.comp continuous_induced_dom)
[GOAL]
case this.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
g : { g // 0 ≤ g }
⊢ ∀ (a : { g // 0 ≤ g }), (fun g => 0 ≤ ↑(setToL1 hT) ↑g) (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' a)
[PROOFSTEP]
intro g
[GOAL]
case this.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
g✝ : { g // 0 ≤ g }
g : { g // 0 ≤ g }
⊢ 0 ≤ ↑(setToL1 hT) ↑(coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' g)
[PROOFSTEP]
have : (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' g : α →₁[μ] G') = (g : α →₁ₛ[μ] G') := rfl
[GOAL]
case this.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
g✝ : { g // 0 ≤ g }
g : { g // 0 ≤ g }
this : ↑(coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' g) = ↑↑g
⊢ 0 ≤ ↑(setToL1 hT) ↑(coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' g)
[PROOFSTEP]
rw [this, setToL1_eq_setToL1SCLM]
[GOAL]
case this.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hf : 0 ≤ f
g✝ : { g // 0 ≤ g }
g : { g // 0 ≤ g }
this : ↑(coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' g) = ↑↑g
⊢ 0 ≤ ↑(setToL1SCLM α G' μ hT) ↑g
[PROOFSTEP]
exact setToL1S_nonneg (fun s => hT.eq_zero_of_measure_zero) hT.1 hT_nonneg g.2
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hfg : f ≤ g
⊢ ↑(setToL1 hT) f ≤ ↑(setToL1 hT) g
[PROOFSTEP]
rw [← sub_nonneg] at hfg ⊢
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hfg✝ : f ≤ g
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ ↑(setToL1 hT) g - ↑(setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
rw [← (setToL1 hT).map_sub]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : { x // x ∈ Lp G' 1 }
hfg✝ : f ≤ g
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ ↑(setToL1 hT) (g - f)
[PROOFSTEP]
exact setToL1_nonneg hT hT_nonneg hfg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ ‖setToL1 hT‖ ≤ ↑1 * ‖setToL1SCLM α E μ hT‖
[PROOFSTEP]
refine'
  ContinuousLinearMap.op_norm_extend_le (setToL1SCLM α E μ hT) (coeToLp α E ℝ) (simpleFunc.denseRange one_ne_top)
    fun x => le_of_eq _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ‖x‖ = ↑1 * ‖↑(coeToLp α E ℝ) x‖
[PROOFSTEP]
rw [NNReal.coe_one, one_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : { x // x ∈ simpleFunc E 1 μ }
⊢ ‖x‖ = ‖↑(coeToLp α E ℝ) x‖
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ ↑1 * ‖setToL1SCLM α E μ hT‖ = ‖setToL1SCLM α E μ hT‖
[PROOFSTEP]
rw [NNReal.coe_one, one_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToFun μ T hT ↑↑f = ↑(setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT (L1.integrable_coeFn f), Integrable.toL1_coeFn]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_congr_left T T' hT hT' h]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hf]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_congr_left' T T' hT hT' h]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hf]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
⊢ setToFun μ (T + T') (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ (T + T') (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_add_left hT hT']
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ (T + T') (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hf, add_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_add_left' hT hT' hT'' h_add]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hf, add_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
⊢ setToFun μ (fun s => c • T s) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)) f = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ (fun s => c • T s) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)) f = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_smul_left hT c]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ (fun s => c • T s) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)) f = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hf, smul_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α → E
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_smul_left' hT hT' c h_smul]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hf, smul_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ setToFun μ T hT 0 = 0
[PROOFSTEP]
erw [setToFun_eq hT (integrable_zero _ _ _), Integrable.toL1_zero, ContinuousLinearMap.map_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT hf]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hf : Integrable f
⊢ ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf) = 0
[PROOFSTEP]
exact L1.setToL1_zero_left hT _
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0
[PROOFSTEP]
exact setToFun_undef hT hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
⊢ setToFun μ T hT f = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = 0
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT hf]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
hf : Integrable f
⊢ ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf) = 0
[PROOFSTEP]
exact L1.setToL1_zero_left' hT h_zero _
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = 0
[PROOFSTEP]
exact setToFun_undef hT hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ setToFun μ T hT (f + g) = setToFun μ T hT f + setToFun μ T hT g
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT (hf.add hg), setToFun_eq hT hf, setToFun_eq hT hg, Integrable.toL1_add, (L1.setToL1 hT).map_add]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)
⊢ setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
revert hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
refine' Finset.induction_on s _ _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ (∀ (i : ι), i ∈ ∅ → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in ∅, f i) = ∑ i in ∅, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
intro _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf✝ : ∀ (i : ι), i ∈ ∅ → Integrable (f i)
⊢ setToFun μ T hT (∑ i in ∅, f i) = ∑ i in ∅, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
simp only [setToFun_zero, Finset.sum_empty]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},
    ¬a ∈ s →
      ((∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)) →
        (∀ (i : ι), i ∈ insert a s → Integrable (f i)) →
          setToFun μ T hT (∑ i in insert a s, f i) = ∑ i in insert a s, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
intro i s his ih hf
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : ¬i ∈ s
ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1)
⊢ setToFun μ T hT (∑ i in insert i s, f i) = ∑ i in insert i s, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
simp only [his, Finset.sum_insert, not_false_iff]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : ¬i ∈ s
ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1)
⊢ setToFun μ T hT (f i + ∑ i in s, f i) = setToFun μ T hT (f i) + ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_add hT (hf i (Finset.mem_insert_self i s)) _]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : ¬i ∈ s
ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1)
⊢ setToFun μ T hT (f i) + setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = setToFun μ T hT (f i) + ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
rw [ih fun i hi => hf i (Finset.mem_insert_of_mem hi)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : ¬i ∈ s
ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1)
⊢ Integrable (∑ i in s, f i)
[PROOFSTEP]
convert integrable_finset_sum s fun i hi => hf i (Finset.mem_insert_of_mem hi) with x
[GOAL]
case h.e'_5.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : ¬i ∈ s
ih : (∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ (i_1 : ι), i_1 ∈ insert i s → Integrable (f i_1)
x : α
⊢ Finset.sum s (fun i => f i) x = ∑ i in s, f i x
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)
⊢ (setToFun μ T hT fun a => ∑ i in s, f i a) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)
[PROOFSTEP]
convert setToFun_finset_sum' hT s hf with a
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_14.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Integrable (f i)
a : α
⊢ ∑ i in s, f i a = Finset.sum s (fun i => f i) a
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT (-f) = -setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT (-f) = -setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT hf, setToFun_eq hT hf.neg, Integrable.toL1_neg, (L1.setToL1 hT).map_neg]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT (-f) = -setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_undef hT hf, setToFun_undef hT, neg_zero]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ ¬Integrable (-f)
[PROOFSTEP]
rwa [← integrable_neg_iff] at hf 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ setToFun μ T hT (f - g) = setToFun μ T hT f - setToFun μ T hT g
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, sub_eq_add_neg, setToFun_add hT hf hg.neg, setToFun_neg hT g]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT hf, setToFun_eq hT, Integrable.toL1_smul', L1.setToL1_smul hT h_smul c _]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
by_cases hr : c = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hf : ¬Integrable f
hr : c = 0
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
rw [hr]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hf : ¬Integrable f
hr : c = 0
⊢ setToFun μ T hT (0 • f) = 0 • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hf : ¬Integrable f
hr : ¬c = 0
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
have hf' : ¬Integrable (c • f) μ := by rwa [integrable_smul_iff hr f]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hf : ¬Integrable f
hr : ¬c = 0
⊢ ¬Integrable (c • f)
[PROOFSTEP]
rwa [integrable_smul_iff hr f]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), ↑(T s) (c • x) = c • ↑(T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hf : ¬Integrable f
hr : ¬c = 0
hf' : ¬Integrable (c • f)
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_undef hT hf, setToFun_undef hT hf', smul_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T hT g
[PROOFSTEP]
by_cases hfi : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hfi : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T hT g
[PROOFSTEP]
have hgi : Integrable g μ := hfi.congr h
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hfi : Integrable f
hgi : Integrable g
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T hT g
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT hfi, setToFun_eq hT hgi, (Integrable.toL1_eq_toL1_iff f g hfi hgi).2 h]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hfi : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T hT g
[PROOFSTEP]
have hgi : ¬Integrable g μ := by rw [integrable_congr h] at hfi ; exact hfi
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hfi : ¬Integrable f
⊢ ¬Integrable g
[PROOFSTEP]
rw [integrable_congr h] at hfi 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hfi : ¬Integrable g
⊢ ¬Integrable g
[PROOFSTEP]
exact hfi
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hfi : ¬Integrable f
hgi : ¬Integrable g
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T hT g
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_undef hT hfi, setToFun_undef hT hgi]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : μ = 0
⊢ setToFun μ T hT f = 0
[PROOFSTEP]
have : f =ᵐ[μ] 0 := by simp [h, EventuallyEq]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : μ = 0
⊢ f =ᵐ[μ] 0
[PROOFSTEP]
simp [h, EventuallyEq]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : μ = 0
this : f =ᵐ[μ] 0
⊢ setToFun μ T hT f = 0
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_congr_ae hT this, setToFun_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E
⊢ setToFun μ T hT (indicator s fun x_1 => x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_congr_ae hT (@indicatorConstLp_coeFn _ _ _ 1 _ _ _ hs hμs x).symm]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E
⊢ setToFun μ T hT ↑↑(indicatorConstLp 1 hs hμs x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
rw [L1.setToFun_eq_setToL1 hT]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E
⊢ ↑(L1.setToL1 hT) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = ↑(T s) x
[PROOFSTEP]
exact L1.setToL1_indicatorConstLp hT hs hμs x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
⊢ (setToFun μ T hT fun x_1 => x) = ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
have : (fun _ : α => x) = Set.indicator univ fun _ => x := (indicator_univ _).symm
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
this : (fun x_1 => x) = indicator Set.univ fun x_1 => x
⊢ (setToFun μ T hT fun x_1 => x) = ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : E
this : (fun x_1 => x) = indicator Set.univ fun x_1 => x
⊢ setToFun μ T hT (indicator Set.univ fun x_1 => x) = ↑(T Set.univ) x
[PROOFSTEP]
exact setToFun_indicator_const hT MeasurableSet.univ (measure_ne_top _ _) x
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_eq _ hf]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf) ≤ ↑(L1.setToL1 hT') (Integrable.toL1 f hf)
[PROOFSTEP]
exact L1.setToL1_mono_left' hT hT' hTT' _
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T' hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hf]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), ↑(T s) x ≤ ↑(T' s) x
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ 0 ≤ 0
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
by_cases hfi : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_eq _ hfi]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f
⊢ 0 ≤ ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hfi)
[PROOFSTEP]
refine' L1.setToL1_nonneg hT hT_nonneg _
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f
⊢ 0 ≤ Integrable.toL1 f hfi
[PROOFSTEP]
rw [← Lp.coeFn_le]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f
⊢ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)
[PROOFSTEP]
have h0 := Lp.coeFn_zero G' 1 μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f
h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0
⊢ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)
[PROOFSTEP]
have h := Integrable.coeFn_toL1 hfi
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f
h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0
h : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) =ᵐ[μ] f
⊢ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [h0, h, hf] with _ h0a ha hfa
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f
h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0
h : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) =ᵐ[μ] f
a✝ : α
h0a : ↑↑0 a✝ = OfNat.ofNat 0 a✝
ha : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) a✝ = f a✝
hfa : OfNat.ofNat 0 a✝ ≤ f a✝
⊢ ↑↑0 a✝ ≤ ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) a✝
[PROOFSTEP]
rw [h0a, ha]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f
h0 : ↑↑0 =ᵐ[μ] 0
h : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) =ᵐ[μ] f
a✝ : α
h0a : ↑↑0 a✝ = OfNat.ofNat 0 a✝
ha : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) a✝ = f a✝
hfa : OfNat.ofNat 0 a✝ ≤ f a✝
⊢ OfNat.ofNat 0 a✝ ≤ f a✝
[PROOFSTEP]
exact hfa
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : ¬Integrable f
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hfi]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f : α → G'
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : ¬Integrable f
⊢ 0 ≤ 0
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α → G'
hf : Integrable f
hg : Integrable g
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ setToFun μ T hT f ≤ setToFun μ T hT g
[PROOFSTEP]
rw [← sub_nonneg, ← setToFun_sub hT hg hf]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α → G'
hf : Integrable f
hg : Integrable g
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ 0 ≤ setToFun μ T hT (g - f)
[PROOFSTEP]
refine' setToFun_nonneg hT hT_nonneg (hfg.mono fun a ha => _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α → G'
hf : Integrable f
hg : Integrable g
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
a : α
ha : f a ≤ g a
⊢ OfNat.ofNat 0 a ≤ (g - f) a
[PROOFSTEP]
rw [Pi.sub_apply, Pi.zero_apply, sub_nonneg]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(T s) x
f g : α → G'
hf : Integrable f
hg : Integrable g
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
a : α
ha : f a ≤ g a
⊢ f a ≤ g a
[PROOFSTEP]
exact ha
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ Continuous fun f => setToFun μ T hT ↑↑f
[PROOFSTEP]
simp_rw [L1.setToFun_eq_setToL1 hT]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ Continuous fun f => ↑(L1.setToL1 hT) f
[PROOFSTEP]
exact ContinuousLinearMap.continuous _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
classical
let f_lp := hfi.toL1 f
let F_lp i := if hFi : Integrable (fs i) μ then hFi.toL1 (fs i) else 0
have tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) :=
  by
  rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
  simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
  refine' (tendsto_congr' _).mp hfs
  filter_upwards [hfsi] with i hi
  refine' lintegral_congr_ae _
  filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
  simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf]
suffices Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
  by
  refine' (tendsto_congr' _).mp this
  filter_upwards [hfsi] with i hi
  suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i; exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
  simp_rw [dif_pos hi]
  exact hi.coeFn_toL1
rw [setToFun_congr_ae hT hfi.coeFn_toL1.symm]
exact ((continuous_setToFun hT).tendsto f_lp).comp tendsto_L1
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
let f_lp := hfi.toL1 f
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
let F_lp i := if hFi : Integrable (fs i) μ then hFi.toL1 (fs i) else 0
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
have tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp) :=
  by
  rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
  simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
  refine' (tendsto_congr' _).mp hfs
  filter_upwards [hfsi] with i hi
  refine' lintegral_congr_ae _
  filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
  simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
[PROOFSTEP]
rw [Lp.tendsto_Lp_iff_tendsto_ℒp']
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto (fun n => snorm (↑↑(F_lp n) - ↑↑f_lp) 1 μ) l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simp_rw [snorm_one_eq_lintegral_nnnorm, Pi.sub_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ Tendsto
    (fun n =>
      ∫⁻ (x : α),
        ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs n) then Integrable.toL1 (fs n) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ)
    l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
refine' (tendsto_congr' _).mp hfs
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
⊢ (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) =ᶠ[l] fun n =>
    ∫⁻ (x : α),
      ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs n) then Integrable.toL1 (fs n) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hfsi] with i hi
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ =
    ∫⁻ (x : α),
      ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' lintegral_congr_ae _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ (fun x => ↑‖fs i x - f x‖₊) =ᵐ[μ] fun x =>
    ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hi.coeFn_toL1, hfi.coeFn_toL1] with x hxi hxf
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
i : ι
hi : Integrable (fs i)
x : α
hxi : ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) x = fs i x
hxf : ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x = f x
⊢ ↑‖fs i x - f x‖₊ =
    ↑‖↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) x - ↑↑(Integrable.toL1 f hfi) x‖₊
[PROOFSTEP]
simp_rw [dif_pos hi, hxi, hxf]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
suffices Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
  by
  refine' (tendsto_congr' _).mp this
  filter_upwards [hfsi] with i hi
  suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i; exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
  simp_rw [dif_pos hi]
  exact hi.coeFn_toL1
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT (fs i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
refine' (tendsto_congr' _).mp this
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
⊢ (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) =ᶠ[l] fun i => setToFun μ T hT (fs i)
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hfsi] with i hi
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ setToFun μ T hT ↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) = setToFun μ T hT (fs i)
[PROOFSTEP]
suffices h_ae_eq : F_lp i =ᵐ[μ] fs i
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
h_ae_eq : ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i
⊢ setToFun μ T hT ↑↑(if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0) = setToFun μ T hT (fs i)
case h_ae_eq
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i
[PROOFSTEP]
exact setToFun_congr_ae hT h_ae_eq
[GOAL]
case h_ae_eq
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ ↑↑(F_lp i) =ᵐ[μ] fs i
[PROOFSTEP]
simp_rw [dif_pos hi]
[GOAL]
case h_ae_eq
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
this : Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
i : ι
hi : Integrable (fs i)
⊢ ↑↑(Integrable.toL1 (fs i) hi) =ᵐ[μ] fs i
[PROOFSTEP]
exact hi.coeFn_toL1
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_congr_ae hT hfi.coeFn_toL1.symm]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
f : α → E
hfi : Integrable f
fs : ι → α → E
l : Filter ι
hfsi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (fs i)
hfs : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖fs i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
f_lp : { x // x ∈ Lp E 1 } := Integrable.toL1 f hfi
F_lp : ι → { x // x ∈ Lp E 1 } := fun i => if hFi : Integrable (fs i) then Integrable.toL1 (fs i) hFi else 0
tendsto_L1 : Tendsto F_lp l (𝓝 f_lp)
⊢ Tendsto (fun i => setToFun μ T hT ↑↑(F_lp i)) l (𝓝 (setToFun μ T hT ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)))
[PROOFSTEP]
exact ((continuous_setToFun hT).tendsto f_lp).comp tendsto_L1
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s
n : ℕ
⊢ 0 ∈ Set.range f ∪ {0}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT ↑(SimpleFunc.approxOn f fmeas s 0 (_ : 0 ∈ s) n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
refine tendsto_setToFun_approxOn_of_measurable hT hf fmeas ?_ _ (integrable_zero _ _ _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f
s : Set E
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Set.range f ∪ {0} ⊆ s
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure s
[PROOFSTEP]
exact eventually_of_forall fun x => subset_closure (hs (Set.mem_union_left _ (mem_range_self _)))
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
⊢ Continuous fun f => Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)
[PROOFSTEP]
by_cases hc'0 : c' = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
⊢ Continuous fun f => Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)
[PROOFSTEP]
have hμ'0 : μ' = 0 := by rw [← Measure.nonpos_iff_eq_zero']; refine' hμ'_le.trans _; simp [hc'0]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
⊢ μ' = 0
[PROOFSTEP]
rw [← Measure.nonpos_iff_eq_zero']
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
⊢ μ' ≤ 0
[PROOFSTEP]
refine' hμ'_le.trans _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
⊢ c' • μ ≤ 0
[PROOFSTEP]
simp [hc'0]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
hμ'0 : μ' = 0
⊢ Continuous fun f => Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)
[PROOFSTEP]
have h_im_zero :
  (fun f : α →₁[μ] G => (Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f)).toL1 f) = 0 := by ext1 f;
  ext1; simp_rw [hμ'0]; simp only [ae_zero, EventuallyEq, eventually_bot]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
hμ'0 : μ' = 0
⊢ (fun f => Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) = 0
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
hμ'0 : μ' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
⊢ Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f) = OfNat.ofNat 0 f
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
hμ'0 : μ' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
⊢ ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) =ᵐ[μ'] ↑↑(OfNat.ofNat 0 f)
[PROOFSTEP]
simp_rw [hμ'0]
[GOAL]
case h.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
hμ'0 : μ' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
⊢ ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) =ᵐ[0] ↑↑(OfNat.ofNat 0 f)
[PROOFSTEP]
simp only [ae_zero, EventuallyEq, eventually_bot]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
hμ'0 : μ' = 0
h_im_zero : (fun f => Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) = 0
⊢ Continuous fun f => Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)
[PROOFSTEP]
rw [h_im_zero]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : c' = 0
hμ'0 : μ' = 0
h_im_zero : (fun f => Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) = 0
⊢ Continuous 0
[PROOFSTEP]
exact continuous_zero
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
⊢ Continuous fun f => Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)
[PROOFSTEP]
rw [Metric.continuous_iff]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
⊢ ∀ (b : { x // x ∈ Lp G 1 }) (ε : ℝ),
    ε > 0 →
      ∃ δ,
        δ > 0 ∧
          ∀ (a : { x // x ∈ Lp G 1 }),
            dist a b < δ →
              dist (Integrable.toL1 ↑↑a (_ : Integrable ↑↑a)) (Integrable.toL1 ↑↑b (_ : Integrable ↑↑b)) < ε
[PROOFSTEP]
intro f ε hε_pos
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
⊢ ∃ δ,
    δ > 0 ∧
      ∀ (a : { x // x ∈ Lp G 1 }),
        dist a f < δ → dist (Integrable.toL1 ↑↑a (_ : Integrable ↑↑a)) (Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) < ε
[PROOFSTEP]
use ε / 2 / c'.toReal
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
⊢ ε / 2 / ENNReal.toReal c' > 0 ∧
    ∀ (a : { x // x ∈ Lp G 1 }),
      dist a f < ε / 2 / ENNReal.toReal c' →
        dist (Integrable.toL1 ↑↑a (_ : Integrable ↑↑a)) (Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) < ε
[PROOFSTEP]
refine' ⟨div_pos (half_pos hε_pos) (toReal_pos hc'0 hc'), _⟩
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
⊢ ∀ (a : { x // x ∈ Lp G 1 }),
    dist a f < ε / 2 / ENNReal.toReal c' →
      dist (Integrable.toL1 ↑↑a (_ : Integrable ↑↑a)) (Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) < ε
[PROOFSTEP]
intro g hfg
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : dist g f < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
⊢ dist (Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) (Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f)) < ε
[PROOFSTEP]
rw [Lp.dist_def] at hfg ⊢
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
⊢ ENNReal.toReal
      (snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ') <
    ε
[PROOFSTEP]
let h_int := fun f' : α →₁[μ] G => (L1.integrable_coeFn f').of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
⊢ ENNReal.toReal
      (snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ') <
    ε
[PROOFSTEP]
have : snorm (⇑(Integrable.toL1 g (h_int g)) - ⇑(Integrable.toL1 f (h_int f))) 1 μ' = snorm (⇑g - ⇑f) 1 μ' :=
  snorm_congr_ae ((Integrable.coeFn_toL1 _).sub (Integrable.coeFn_toL1 _))
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
⊢ ENNReal.toReal
      (snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ') <
    ε
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
⊢ ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ') < ε
[PROOFSTEP]
have h_snorm_ne_top : snorm (⇑g - ⇑f) 1 μ ≠ ∞ := by rw [← snorm_congr_ae (Lp.coeFn_sub _ _)]; exact Lp.snorm_ne_top _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
⊢ snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
rw [← snorm_congr_ae (Lp.coeFn_sub _ _)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
⊢ snorm (↑↑(g - f)) 1 μ ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
exact Lp.snorm_ne_top _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ') < ε
[PROOFSTEP]
have h_snorm_ne_top' : snorm (⇑g - ⇑f) 1 μ' ≠ ∞ :=
  by
  refine' ((snorm_mono_measure _ hμ'_le).trans_lt _).ne
  rw [snorm_smul_measure_of_ne_zero hc'0, smul_eq_mul]
  refine' ENNReal.mul_lt_top _ h_snorm_ne_top
  simp [hc', hc'0]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
⊢ snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
refine' ((snorm_mono_measure _ hμ'_le).trans_lt _).ne
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
⊢ snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 (c' • μ) < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [snorm_smul_measure_of_ne_zero hc'0, smul_eq_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
⊢ c' ^ ENNReal.toReal (1 / 1) * snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ < ⊤
[PROOFSTEP]
refine' ENNReal.mul_lt_top _ h_snorm_ne_top
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
⊢ c' ^ ENNReal.toReal (1 / 1) ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
simp [hc', hc'0]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_snorm_ne_top' : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ') < ε
[PROOFSTEP]
calc
  (snorm (⇑g - ⇑f) 1 μ').toReal ≤ (c' * snorm (⇑g - ⇑f) 1 μ).toReal :=
    by
    rw [toReal_le_toReal h_snorm_ne_top' (ENNReal.mul_ne_top hc' h_snorm_ne_top)]
    refine' (snorm_mono_measure (⇑g - ⇑f) hμ'_le).trans _
    rw [snorm_smul_measure_of_ne_zero hc'0, smul_eq_mul]
    simp
  _ = c'.toReal * (snorm (⇑g - ⇑f) 1 μ).toReal := toReal_mul
  _ ≤ c'.toReal * (ε / 2 / c'.toReal) := (mul_le_mul le_rfl hfg.le toReal_nonneg toReal_nonneg)
  _ = ε / 2 := by refine' mul_div_cancel' (ε / 2) _; rw [Ne.def, toReal_eq_zero_iff]; simp [hc', hc'0]
  _ < ε := half_lt_self hε_pos
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_snorm_ne_top' : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ') ≤ ENNReal.toReal (c' * snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ)
[PROOFSTEP]
rw [toReal_le_toReal h_snorm_ne_top' (ENNReal.mul_ne_top hc' h_snorm_ne_top)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_snorm_ne_top' : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≤ c' * snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ
[PROOFSTEP]
refine' (snorm_mono_measure (⇑g - ⇑f) hμ'_le).trans _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_snorm_ne_top' : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 (c' • μ) ≤ c' * snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ
[PROOFSTEP]
rw [snorm_smul_measure_of_ne_zero hc'0, smul_eq_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_snorm_ne_top' : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ c' ^ ENNReal.toReal (1 / 1) * snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≤ c' * snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_snorm_ne_top' : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal c' * (ε / 2 / ENNReal.toReal c') = ε / 2
[PROOFSTEP]
refine' mul_div_cancel' (ε / 2) _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_snorm_ne_top' : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal c' ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [Ne.def, toReal_eq_zero_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : { x // x ∈ Lp G 1 }
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : { x // x ∈ Lp G 1 }
hfg : ENNReal.toReal (snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ) < ε / 2 / ENNReal.toReal c'
h_int : ∀ (f' : { x // x ∈ Lp G 1 }), Integrable ↑↑f' :=
  fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this :
  snorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g (_ : Integrable ↑↑g)) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))) 1 μ' =
    snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_snorm_ne_top : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤
h_snorm_ne_top' : snorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤
⊢ ¬(c' = 0 ∨ c' = ⊤)
[PROOFSTEP]
simp [hc', hc'0]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
[PROOFSTEP]
have h_int : ∀ g : α → E, Integrable g μ → Integrable g μ' := fun g hg => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le hg
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
[PROOFSTEP]
apply hfμ.induction (P := fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f)
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (indicator s fun x => c)
[PROOFSTEP]
intro c s hs hμs
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ setToFun μ T hT (indicator s fun x => c) = setToFun μ' T hT' (indicator s fun x => c)
[PROOFSTEP]
have hμ's : μ' s ≠ ∞ := by
  refine' ((hμ'_le s hs).trans_lt _).ne
  rw [Measure.smul_apply, smul_eq_mul]
  exact ENNReal.mul_lt_top hc' hμs.ne
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑↑μ' s ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
refine' ((hμ'_le s hs).trans_lt _).ne
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ ↑↑(c' • μ) s < ⊤
[PROOFSTEP]
rw [Measure.smul_apply, smul_eq_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ c' * ↑↑μ s < ⊤
[PROOFSTEP]
exact ENNReal.mul_lt_top hc' hμs.ne
[GOAL]
case h_ind
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
hμ's : ↑↑μ' s ≠ ⊤
⊢ setToFun μ T hT (indicator s fun x => c) = setToFun μ' T hT' (indicator s fun x => c)
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_indicator_const hT hs hμs.ne, setToFun_indicator_const hT' hs hμ's]
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
⊢ ∀ ⦃f g : α → E⦄,
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      Integrable f →
        Integrable g →
          (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) f →
            (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) g →
              (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (f + g)
[PROOFSTEP]
intro f₂ g₂ _ hf₂ hg₂ h_eq_f h_eq_g
[GOAL]
case h_add
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
f₂ g₂ : α → E
a✝ : Disjoint (Function.support f₂) (Function.support g₂)
hf₂ : Integrable f₂
hg₂ : Integrable g₂
h_eq_f : setToFun μ T hT f₂ = setToFun μ' T hT' f₂
h_eq_g : setToFun μ T hT g₂ = setToFun μ' T hT' g₂
⊢ setToFun μ T hT (f₂ + g₂) = setToFun μ' T hT' (f₂ + g₂)
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_add hT hf₂ hg₂, setToFun_add hT' (h_int f₂ hf₂) (h_int g₂ hg₂), h_eq_f, h_eq_g]
[GOAL]
case h_closed
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
⊢ IsClosed {f | (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) ↑↑f}
[PROOFSTEP]
refine' isClosed_eq (continuous_setToFun hT) _
[GOAL]
case h_closed
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
⊢ Continuous fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑f
[PROOFSTEP]
have :
  (fun f : α →₁[μ] E => setToFun μ' T hT' f) = fun f : α →₁[μ] E =>
    setToFun μ' T hT' ((h_int f (L1.integrable_coeFn f)).toL1 f) :=
  by ext1 f; exact setToFun_congr_ae hT' (Integrable.coeFn_toL1 _).symm
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
⊢ (fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑f) = fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))
[PROOFSTEP]
ext1 f
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝¹ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f✝ : α → E
hfμ : Integrable f✝
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ setToFun μ' T hT' ↑↑f = setToFun μ' T hT' ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))
[PROOFSTEP]
exact setToFun_congr_ae hT' (Integrable.coeFn_toL1 _).symm
[GOAL]
case h_closed
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
this : (fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑f) = fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))
⊢ Continuous fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑f
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case h_closed
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
this : (fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑f) = fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))
⊢ Continuous fun f => setToFun μ' T hT' ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f (_ : Integrable ↑↑f))
[PROOFSTEP]
exact (continuous_setToFun hT').comp (continuous_L1_toL1 c' hc' hμ'_le)
[GOAL]
case h_ae
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
⊢ ∀ ⦃f g : α → E⦄,
    f =ᵐ[μ] g →
      Integrable f →
        (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) f → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) g
[PROOFSTEP]
intro f₂ g₂ hfg _ hf_eq
[GOAL]
case h_ae
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
f₂ g₂ : α → E
hfg : f₂ =ᵐ[μ] g₂
a✝ : Integrable f₂
hf_eq : setToFun μ T hT f₂ = setToFun μ' T hT' f₂
⊢ setToFun μ T hT g₂ = setToFun μ' T hT' g₂
[PROOFSTEP]
have hfg' : f₂ =ᵐ[μ'] g₂ := (Measure.absolutelyContinuous_of_le_smul hμ'_le).ae_eq hfg
[GOAL]
case h_ae
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g → Integrable g
f₂ g₂ : α → E
hfg : f₂ =ᵐ[μ] g₂
a✝ : Integrable f₂
hf_eq : setToFun μ T hT f₂ = setToFun μ' T hT' f₂
hfg' : f₂ =ᵐ[μ'] g₂
⊢ setToFun μ T hT g₂ = setToFun μ' T hT' g₂
[PROOFSTEP]
rw [← setToFun_congr_ae hT hfg, hf_eq, setToFun_congr_ae hT' hfg']
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c c' : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hc' : c' ≠ ⊤
hμ_le : μ ≤ c • μ'
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c c' : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hc' : c' ≠ ⊤
hμ_le : μ ≤ c • μ'
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
[PROOFSTEP]
exact setToFun_congr_measure_of_integrable c' hc' hμ'_le hT hT' f hf
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c c' : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hc' : c' ≠ ⊤
hμ_le : μ ≤ c • μ'
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
[PROOFSTEP]
have h_int : ∀ g : α → E, ¬Integrable g μ → ¬Integrable g μ' := fun g => mt fun h => h.of_measure_le_smul _ hc hμ_le
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c c' : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hc' : c' ≠ ⊤
hμ_le : μ ≤ c • μ'
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hf : ¬Integrable f
h_int : ∀ (g : α → E), ¬Integrable g → ¬Integrable g
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
[PROOFSTEP]
simp_rw [setToFun_undef _ hf, setToFun_undef _ (h_int f hf)]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ T hT f
[PROOFSTEP]
refine' setToFun_congr_measure_of_integrable 1 one_ne_top _ hT_add hT f hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ μ ≤ 1 • (μ + μ')
[PROOFSTEP]
rw [one_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ μ ≤ μ + μ'
[PROOFSTEP]
nth_rw 1 [← add_zero μ]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ μ + 0 ≤ μ + μ'
[PROOFSTEP]
exact add_le_add le_rfl bot_le
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ' T hT f
[PROOFSTEP]
refine' setToFun_congr_measure_of_integrable 1 one_ne_top _ hT_add hT f hf
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ μ' ≤ 1 • (μ + μ')
[PROOFSTEP]
rw [one_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ μ' ≤ μ + μ'
[PROOFSTEP]
nth_rw 1 [← zero_add μ']
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ 0 + μ' ≤ μ + μ'
[PROOFSTEP]
exact add_le_add bot_le le_rfl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
⊢ setToFun (⊤ • μ) T hT f = 0
[PROOFSTEP]
refine' setToFun_measure_zero' hT fun s _ hμs => _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ↑↑(⊤ • μ) s < ⊤
⊢ ↑↑(⊤ • μ) s = 0
[PROOFSTEP]
rw [lt_top_iff_ne_top] at hμs 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ↑↑(⊤ • μ) s ≠ ⊤
⊢ ↑↑(⊤ • μ) s = 0
[PROOFSTEP]
simp only [true_and_iff, Measure.smul_apply, ENNReal.mul_eq_top, eq_self_iff_true, top_ne_zero, Ne.def, not_false_iff,
  not_or, Classical.not_not, smul_eq_mul] at hμs 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤ ∧ ↑↑μ s = 0
⊢ ↑↑(⊤ • μ) s = 0
[PROOFSTEP]
simp only [hμs.right, Measure.smul_apply, mul_zero, smul_eq_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
[PROOFSTEP]
by_cases hc0 : c = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
[PROOFSTEP]
simp [hc0] at hT_smul 
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul✝ f
[PROOFSTEP]
have h : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0 := fun s hs _ => hT_smul.eq_zero hs
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul✝ f
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_zero_left' _ h, setToFun_measure_zero]
[GOAL]
case pos.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul✝ : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : c = 0
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive 0 T C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
⊢ c • μ = 0
[PROOFSTEP]
simp [hc0]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
[PROOFSTEP]
refine' setToFun_congr_measure c⁻¹ c _ hc_ne_top (le_of_eq _) le_rfl hT hT_smul f
[GOAL]
case neg.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
simp [hc0]
[GOAL]
case neg.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
⊢ μ = c⁻¹ • c • μ
[PROOFSTEP]
rw [smul_smul, ENNReal.inv_mul_cancel hc0 hc_ne_top, one_smul]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ C * ‖f‖
[PROOFSTEP]
rw [L1.setToFun_eq_setToL1]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖↑(L1.setToL1 hT) f‖ ≤ C * ‖f‖
[PROOFSTEP]
exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm hT hC f
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ‖setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖
[PROOFSTEP]
rw [L1.setToFun_eq_setToL1]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : { x // x ∈ Lp E 1 }
⊢ ‖↑(L1.setToL1 hT) f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖
[PROOFSTEP]
exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm' hT f
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT hf]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f
hC : 0 ≤ C
⊢ ‖↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ C * ‖Integrable.toL1 f hf‖
[PROOFSTEP]
exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm hT hC _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f
⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ ≤ max C 0 * ‖Integrable.toL1 f hf‖
[PROOFSTEP]
rw [setToFun_eq hT hf]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f
⊢ ‖↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf)‖ ≤ max C 0 * ‖Integrable.toL1 f hf‖
[PROOFSTEP]
exact L1.norm_setToL1_le_mul_norm' hT _
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
have f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ := aestronglyMeasurable_of_tendsto_ae _ fs_measurable h_lim
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
have fs_int : ∀ n, Integrable (fs n) μ := fun n => bound_integrable.mono' (fs_measurable n) (h_bound _)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
have f_int : Integrable f μ :=
  ⟨f_measurable, hasFiniteIntegral_of_dominated_convergence bound_integrable.hasFiniteIntegral h_bound h_lim⟩
    -- it suffices to prove the result for the corresponding L1 functions
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
suffices Tendsto (fun n => L1.setToL1 hT ((fs_int n).toL1 (fs n))) atTop (𝓝 (L1.setToL1 hT (f_int.toL1 f)))
  by
  convert this with n
  · exact setToFun_eq hT (fs_int n)
  · exact setToFun_eq hT f_int
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
this :
  Tendsto (fun n => ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)))) atTop
    (𝓝 (↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f f_int)))
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
convert this with n
[GOAL]
case h.e'_3.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
this :
  Tendsto (fun n => ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)))) atTop
    (𝓝 (↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f f_int)))
n : ℕ
⊢ setToFun μ T hT (fs n) = ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)))
[PROOFSTEP]
exact setToFun_eq hT (fs_int n)
[GOAL]
case h.e'_5.h.e'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
this :
  Tendsto (fun n => ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)))) atTop
    (𝓝 (↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f f_int)))
⊢ setToFun μ T hT f = ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f f_int)
[PROOFSTEP]
exact setToFun_eq hT f_int
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
⊢ Tendsto (fun n => ↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)))) atTop
    (𝓝 (↑(L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f f_int)))
[PROOFSTEP]
refine'
  L1.tendsto_setToL1 hT _ _
    _
      -- up to some rewriting, what we need to prove is `h_lim`
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
⊢ Tendsto (fun n => Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n))) atTop (𝓝 (Integrable.toL1 f f_int))
[PROOFSTEP]
rw [tendsto_iff_norm_tendsto_zero]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
⊢ Tendsto (fun e => ‖Integrable.toL1 (fs e) (_ : Integrable (fs e)) - Integrable.toL1 f f_int‖) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal <| ∫⁻ a, ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0) :=
  (tendsto_toReal zero_ne_top).comp
    (tendsto_lintegral_norm_of_dominated_convergence fs_measurable bound_integrable.hasFiniteIntegral h_bound h_lim)
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun e => ‖Integrable.toL1 (fs e) (_ : Integrable (fs e)) - Integrable.toL1 f f_int‖) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
convert lintegral_norm_tendsto_zero with n
[GOAL]
case h.e'_3.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ‖Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)) - Integrable.toL1 f f_int‖ =
    ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)
[PROOFSTEP]
rw [L1.norm_def]
[GOAL]
case h.e'_3.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)) - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊ ∂μ) =
    ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case h.e'_3.h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)) - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊ ∂μ =
    ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' lintegral_congr_ae _
[GOAL]
case h.e'_3.h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n) (_ : Integrable (fs n)) - Integrable.toL1 f f_int) a‖₊) =ᵐ[μ] fun a =>
    ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖
[PROOFSTEP]
rw [← Integrable.toL1_sub]
[GOAL]
case h.e'_3.h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
⊢ (fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) (_ : Integrable (fs n - f))) a‖₊) =ᵐ[μ] fun a =>
    ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖
[PROOFSTEP]
refine' ((fs_int n).sub f_int).coeFn_toL1.mono fun x hx => _
[GOAL]
case h.e'_3.h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : α
hx : ↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) (_ : Integrable (fs n - f))) x = (fs n - f) x
⊢ (fun a => ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) (_ : Integrable (fs n - f))) a‖₊) x =
    (fun a => ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖) x
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
case h.e'_3.h.e_a
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : ℕ → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
fs_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs n) μ
bound_integrable : Integrable bound
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
fs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n)
f_int : Integrable f
lintegral_norm_tendsto_zero :
  Tendsto (fun n => ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖fs n a - f a‖ ∂μ)) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
x : α
hx : ↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) (_ : Integrable (fs n - f))) x = (fs n - f) x
⊢ ↑‖↑↑(Integrable.toL1 (fs n - f) (_ : Integrable (fs n - f))) x‖₊ = ENNReal.ofReal ‖fs n x - f x‖
[PROOFSTEP]
rw [hx, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, Pi.sub_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
rw [tendsto_iff_seq_tendsto]
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
⊢ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
intro x xl
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
have hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s := by rwa [tendsto_atTop'] at xl 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
⊢ ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
[PROOFSTEP]
rwa [tendsto_atTop'] at xl 
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
have h :
  {x : ι | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x : ι | (fun n => ∀ᵐ a ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l :=
  inter_mem hfs_meas h_bound
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
obtain ⟨k, h⟩ := hxl _ h
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h :
  ∀ (b : ℕ),
    b ≥ k →
      x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
rw [← tendsto_add_atTop_iff_nat k]
[GOAL]
case intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h :
  ∀ (b : ℕ),
    b ≥ k →
      x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ Tendsto (fun n => ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) (n + k)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
[PROOFSTEP]
refine' tendsto_setToFun_of_dominated_convergence hT bound _ bound_integrable _ _
[GOAL]
case intro.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h :
  ∀ (b : ℕ),
    b ≥ k →
      x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs (x (n + k))) μ
[PROOFSTEP]
exact fun n => (h _ (self_le_add_left _ _)).1
[GOAL]
case intro.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h :
  ∀ (b : ℕ),
    b ≥ k →
      x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs (x (n + k)) a‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
exact fun n => (h _ (self_le_add_left _ _)).2
[GOAL]
case intro.refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h :
  ∀ (b : ℕ),
    b ≥ k →
      x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a))
[PROOFSTEP]
filter_upwards [h_lim]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h :
  ∀ (b : ℕ),
    b ≥ k →
      x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
⊢ ∀ (a : α), Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a)) → Tendsto (fun n => fs (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a))
[PROOFSTEP]
refine' fun a h_lin => @Tendsto.comp _ _ _ (fun n => x (n + k)) (fun n => fs n a) _ _ _ h_lin _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h :
  ∀ (b : ℕ),
    b ≥ k →
      x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
a : α
h_lin : Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
⊢ Tendsto (fun n => x (n + k)) atTop l
[PROOFSTEP]
rw [tendsto_add_atTop_iff_nat]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : IsCountablyGenerated l
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ (s : Set ι), s ∈ l → ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h :
  ∀ (b : ℕ),
    b ≥ k →
      x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}
a : α
h_lin : Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
⊢ Tendsto x atTop l
[PROOFSTEP]
assumption
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
⊢ ContinuousOn (fun x => setToFun μ T hT (fs x)) s
[PROOFSTEP]
intro x hx
[GOAL]
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ContinuousWithinAt (fun x => setToFun μ T hT (fs x)) s x
[PROOFSTEP]
refine' continuousWithinAt_setToFun_of_dominated hT _ _ bound_integrable _
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, AEStronglyMeasurable (fs x) μ
[PROOFSTEP]
filter_upwards [self_mem_nhdsWithin] with x hx using hfs_meas x hx
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
[PROOFSTEP]
filter_upwards [self_mem_nhdsWithin] with x hx using h_bound x hx
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
X : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
fs : X → α → E
bound : α → ℝ
s : Set X
hfs_meas : ∀ (x : X), x ∈ s → AEStronglyMeasurable (fs x) μ
h_bound : ∀ (x : X), x ∈ s → ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs x a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound
h_cont : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousOn (fun x => fs x a) s
x : X
hx : x ∈ s
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ContinuousWithinAt (fun x => fs x a) s x
[PROOFSTEP]
filter_upwards [h_cont] with a ha using ha x hx
