[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
set r : ℝ := dist w z
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
have hw : w ∈ closedBall z r := mem_closedBall.2 le_rfl
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
refine' (isMaxOn_iff.1 hz _ hw).antisymm (not_lt.1 _)
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
⊢ ¬(norm ∘ f) w < (norm ∘ f) z
[PROOFSTEP]
rintro hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
⊢ False
[PROOFSTEP]
have hr : 0 < r :=
  dist_pos.2
    (ne_of_apply_ne (norm ∘ f) hw_lt.ne)
      -- Due to Cauchy integral formula, it suffices to prove the following inequality.
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
⊢ False
[PROOFSTEP]
suffices ‖∮ ζ in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
  by
  refine' this.ne _
  have A : (∮ ζ in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ) = (2 * π * I : ℂ) • f z :=
    hd.circleIntegral_sub_inv_smul (mem_ball_self hr)
  simp [A, norm_smul, Real.pi_pos.le]
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
this : ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
⊢ False
[PROOFSTEP]
refine' this.ne _
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
this : ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ = 2 * π * ‖f z‖
[PROOFSTEP]
have A : (∮ ζ in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ) = (2 * π * I : ℂ) • f z := hd.circleIntegral_sub_inv_smul (mem_ball_self hr)
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
this : ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
A : (∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ) = (2 * ↑π * I) • f z
⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ = 2 * π * ‖f z‖
[PROOFSTEP]
simp [A, norm_smul, Real.pi_pos.le]
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
[PROOFSTEP]
suffices ‖∮ ζ in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r) by
  rwa [mul_assoc, mul_div_cancel' _ hr.ne'] at this 
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
this : ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)
⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
[PROOFSTEP]
rwa [mul_assoc, mul_div_cancel' _ hr.ne'] at this 
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)
[PROOFSTEP]
have hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r := sphere_subset_closedBall
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)
[PROOFSTEP]
refine' circleIntegral.norm_integral_lt_of_norm_le_const_of_lt hr _ _ ⟨w, rfl, _⟩
[GOAL]
case refine'_1
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ContinuousOn (fun ζ => (ζ - z)⁻¹ • f ζ) (sphere z r)
case refine'_2
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ∀ (z_1 : ℂ), z_1 ∈ sphere z r → ‖(z_1 - z)⁻¹ • f z_1‖ ≤ ‖f z‖ / r
case refine'_3
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ‖(w - z)⁻¹ • f w‖ < ‖f z‖ / r
[PROOFSTEP]
show ContinuousOn (fun ζ : ℂ => (ζ - z)⁻¹ • f ζ) (sphere z r)
[GOAL]
case refine'_1
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ContinuousOn (fun ζ => (ζ - z)⁻¹ • f ζ) (sphere z r)
[PROOFSTEP]
refine ((continuousOn_id.sub continuousOn_const).inv₀ ?_).smul (hd.continuousOn_ball.mono hsub)
[GOAL]
case refine'_1
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ∀ (x : ℂ), x ∈ sphere z r → _root_.id x - z ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact fun ζ hζ => sub_ne_zero.2 (ne_of_mem_sphere hζ hr.ne')
[GOAL]
case refine'_2
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ∀ (z_1 : ℂ), z_1 ∈ sphere z r → ‖(z_1 - z)⁻¹ • f z_1‖ ≤ ‖f z‖ / r
case refine'_3
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ‖(w - z)⁻¹ • f w‖ < ‖f z‖ / r
[PROOFSTEP]
show ∀ ζ ∈ sphere z r, ‖(ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ ≤ ‖f z‖ / r
[GOAL]
case refine'_2
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ∀ (ζ : ℂ), ζ ∈ sphere z r → ‖(ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ ≤ ‖f z‖ / r
[PROOFSTEP]
rintro ζ (hζ : abs (ζ - z) = r)
[GOAL]
case refine'_2
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
ζ : ℂ
hζ : ↑abs (ζ - z) = r
⊢ ‖(ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ ≤ ‖f z‖ / r
[PROOFSTEP]
rw [le_div_iff hr, norm_smul, norm_inv, norm_eq_abs, hζ, mul_comm, mul_inv_cancel_left₀ hr.ne']
[GOAL]
case refine'_2
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
ζ : ℂ
hζ : ↑abs (ζ - z) = r
⊢ ‖f ζ‖ ≤ ‖f z‖
[PROOFSTEP]
exact hz (hsub hζ)
[GOAL]
case refine'_3
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ‖(w - z)⁻¹ • f w‖ < ‖f z‖ / r
[PROOFSTEP]
show ‖(w - z)⁻¹ • f w‖ < ‖f z‖ / r
[GOAL]
case refine'_3
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ‖(w - z)⁻¹ • f w‖ < ‖f z‖ / r
[PROOFSTEP]
rw [norm_smul, norm_inv, norm_eq_abs, ← div_eq_inv_mul]
[GOAL]
case refine'_3
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
⊢ ‖f w‖ / ↑abs (w - z) < ‖f z‖ / r
[PROOFSTEP]
exact (div_lt_div_right hr).2 hw_lt
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
set e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
have he : ∀ x, ‖e x‖ = ‖x‖ := UniformSpace.Completion.norm_coe
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
he : ∀ (x : F), ‖↑e x‖ = ‖x‖
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
replace hz : IsMaxOn (norm ∘ e ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
[GOAL]
case hz
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
he : ∀ (x : F), ‖↑e x‖ = ‖x‖
⊢ IsMaxOn (norm ∘ ↑e ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
[PROOFSTEP]
simpa only [IsMaxOn, (· ∘ ·), he] using hz
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
he : ∀ (x : F), ‖↑e x‖ = ‖x‖
hz : IsMaxOn (norm ∘ ↑e ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
simpa only [he, (· ∘ ·)] using norm_max_aux₁ (e.differentiable.comp_diffContOnCl hd) hz
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ
hr : dist w z = r
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
subst r
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
rcases eq_or_ne w z with (rfl | hne)
[GOAL]
case inl
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball w (dist w w))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball w (dist w w)) w
⊢ ‖f w‖ = ‖f w‖
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z
hne : w ≠ z
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
rw [← dist_ne_zero] at hne 
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z
hne✝ : w ≠ z
hne : dist w z ≠ 0
⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
[PROOFSTEP]
exact norm_max_aux₂ hd (closure_ball z hne ▸ hz.closure hd.continuousOn.norm)
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
⊢ EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f z‖) (closedBall z r)
[PROOFSTEP]
intro w hw
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : w ∈ closedBall z r
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
[PROOFSTEP]
rw [mem_closedBall, dist_comm] at hw 
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
[PROOFSTEP]
rcases eq_or_ne z w with (rfl | hne)
[GOAL]
case inl
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
hw : dist z z ≤ r
⊢ (norm ∘ f) z = Function.const E ‖f z‖ z
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
[PROOFSTEP]
set e := (lineMap z w : ℂ → E)
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
[PROOFSTEP]
have hde : Differentiable ℂ e := (differentiable_id.smul_const (w - z)).add_const z
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
[PROOFSTEP]
suffices ‖(f ∘ e) (1 : ℂ)‖ = ‖(f ∘ e) (0 : ℂ)‖ by simpa
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
this : ‖(f ∘ e) 1‖ = ‖(f ∘ e) 0‖
⊢ (norm ∘ f) w = Function.const E ‖f z‖ w
[PROOFSTEP]
simpa
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
⊢ ‖(f ∘ e) 1‖ = ‖(f ∘ e) 0‖
[PROOFSTEP]
have hr : dist (1 : ℂ) 0 = 1 := by simp
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
⊢ dist 1 0 = 1
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hr : dist 1 0 = 1
⊢ ‖(f ∘ e) 1‖ = ‖(f ∘ e) 0‖
[PROOFSTEP]
have hball : MapsTo e (ball 0 1) (ball z r) :=
  by
  refine ((lipschitzWith_lineMap z w).mapsTo_ball (mt nndist_eq_zero.1 hne) 0 1).mono Subset.rfl ?_
  simpa only [lineMap_apply_zero, mul_one, coe_nndist] using ball_subset_ball hw
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hr : dist 1 0 = 1
⊢ MapsTo e (ball 0 1) (ball z r)
[PROOFSTEP]
refine ((lipschitzWith_lineMap z w).mapsTo_ball (mt nndist_eq_zero.1 hne) 0 1).mono Subset.rfl ?_
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hr : dist 1 0 = 1
⊢ ball (↑(lineMap z w) 0) (↑(nndist z w) * 1) ⊆ ball z r
[PROOFSTEP]
simpa only [lineMap_apply_zero, mul_one, coe_nndist] using ball_subset_ball hw
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
z : E
r : ℝ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z r) z
w : E
hw : dist z w ≤ r
hne : z ≠ w
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hr : dist 1 0 = 1
hball : MapsTo e (ball 0 1) (ball z r)
⊢ ‖(f ∘ e) 1‖ = ‖(f ∘ e) 0‖
[PROOFSTEP]
exact norm_max_aux₃ hr (hd.comp hde.diffContOnCl hball) (hz.comp_mapsTo hball (lineMap_apply_zero z w))
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
[PROOFSTEP]
rcases nhds_basis_closedBall.eventually_iff.1 (hd.and hc) with ⟨r, hr₀, hr⟩
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (fun x => (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c) x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
[PROOFSTEP]
exact
  nhds_basis_closedBall.eventually_iff.2
    ⟨r, hr₀,
      norm_eqOn_closedBall_of_isMaxOn
        (DifferentiableOn.diffContOnCl fun x hx => (hr <| closure_ball_subset_closedBall hx).1.differentiableWithinAt)
        fun x hx => (hr <| ball_subset_closedBall hx).2⟩
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s
⊢ IsOpen {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
[PROOFSTEP]
refine' isOpen_iff_mem_nhds.2 fun z hz => (eventually_eventually_nhds.2 hz.1).and _
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s
z : E
hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z, IsMaxOn (norm ∘ f) s z
[PROOFSTEP]
replace hd : ∀ᶠ w in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ f w
[GOAL]
case hd
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s
z : E
hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
⊢ ∀ᶠ (w : E) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ f w
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
z : E
hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
hd : ∀ᶠ (w : E) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ f w
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z, IsMaxOn (norm ∘ f) s z
[PROOFSTEP]
exact hd.eventually_differentiableAt hz.1
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
z : E
hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
hd : ∀ᶠ (w : E) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ f w
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z, IsMaxOn (norm ∘ f) s z
[PROOFSTEP]
exact (norm_eventually_eq_of_isLocalMax hd <| hz.2.isLocalMax hz.1).mono fun x hx y hy => le_trans (hz.2 hy).out hx.ge
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
⊢ EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) U
[PROOFSTEP]
set V := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
⊢ EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) U
[PROOFSTEP]
have hV : ∀ x ∈ V, ‖f x‖ = ‖f c‖ := fun x hx => le_antisymm (hm hx.1) (hx.2 hcU)
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
⊢ EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) U
[PROOFSTEP]
suffices : U ⊆ V
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
this : U ⊆ V
⊢ EqOn (norm ∘ f) (Function.const E ‖f c‖) U
case this
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
⊢ U ⊆ V
[PROOFSTEP]
exact fun x hx => hV x (this hx)
[GOAL]
case this
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
⊢ U ⊆ V
[PROOFSTEP]
have hVo : IsOpen V := by
  simpa only [ho.mem_nhds_iff, setOf_and, setOf_mem_eq] using isOpen_setOf_mem_nhds_and_isMaxOn_norm hd
[GOAL]
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
⊢ IsOpen V
[PROOFSTEP]
simpa only [ho.mem_nhds_iff, setOf_and, setOf_mem_eq] using isOpen_setOf_mem_nhds_and_isMaxOn_norm hd
[GOAL]
case this
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
⊢ U ⊆ V
[PROOFSTEP]
have hVne : (U ∩ V).Nonempty := ⟨c, hcU, hcU, hm⟩
[GOAL]
case this
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : Set.Nonempty (U ∩ V)
⊢ U ⊆ V
[PROOFSTEP]
set W := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
[GOAL]
case this
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : Set.Nonempty (U ∩ V)
W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
⊢ U ⊆ V
[PROOFSTEP]
have hWo : IsOpen W := hd.continuousOn.norm.preimage_open_of_open ho isOpen_ne
[GOAL]
case this
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : Set.Nonempty (U ∩ V)
W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
hWo : IsOpen W
⊢ U ⊆ V
[PROOFSTEP]
have hdVW : Disjoint V W := disjoint_left.mpr fun x hxV hxW => hxW.2 (hV x hxV)
[GOAL]
case this
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : Set.Nonempty (U ∩ V)
W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
⊢ U ⊆ V
[PROOFSTEP]
have hUVW : U ⊆ V ∪ W := fun x hx =>
  (eq_or_ne ‖f x‖ ‖f c‖).imp (fun h => ⟨hx, fun y hy => (hm hy).out.trans_eq h.symm⟩) (And.intro hx)
[GOAL]
case this
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set E := U ∩ {z | IsMaxOn (norm ∘ f) U z}
hV : ∀ (x : E), x ∈ V → ‖f x‖ = ‖f c‖
hVo : IsOpen V
hVne : Set.Nonempty (U ∩ V)
W : Set E := U ∩ {z | ‖f z‖ ≠ ‖f c‖}
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
hUVW : U ⊆ V ∪ W
⊢ U ⊆ V
[PROOFSTEP]
exact hc.subset_left_of_subset_union hVo hWo hdVW hUVW hVne
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
x : E
hx : x ∈ U
H₁ : ‖f x‖ = ‖f c‖
H₂ : ‖f x + f c‖ = ‖f c + f c‖
⊢ ‖f x + Function.const E (f c) x‖ = ‖f x‖ + ‖Function.const E (f c) x‖
[PROOFSTEP]
simp only [H₂, SameRay.rfl.norm_add, H₁, Function.const]
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
z w : E
hd : DiffContOnCl ℂ f s
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) s z
hsub : ball z (dist w z) ⊆ s
H₁ : ‖f w‖ = ‖f z‖
H₂ : ‖f w + f z‖ = ‖f z + f z‖
⊢ ‖f w + f z‖ = ‖f w‖ + ‖f z‖
[PROOFSTEP]
simp only [H₂, SameRay.rfl.norm_add, H₁]
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, f y = f c
[PROOFSTEP]
rcases nhds_basis_closedBall.eventually_iff.1 (hd.and hc) with ⟨r, hr₀, hr⟩
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (fun x => (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c) x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, f y = f c
[PROOFSTEP]
exact
  nhds_basis_closedBall.eventually_iff.2
    ⟨r, hr₀,
      eqOn_closedBall_of_isMaxOn_norm
        (DifferentiableOn.diffContOnCl fun x hx => (hr <| closure_ball_subset_closedBall hx).1.differentiableWithinAt)
        fun x hx => (hr <| ball_subset_closedBall hx).2⟩
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c) ∨ f c = 0
[PROOFSTEP]
refine' or_iff_not_imp_right.mpr fun h => _
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c
[PROOFSTEP]
have h1 : ∀ᶠ z in 𝓝 c, f z ≠ 0 := hf.self_of_nhds.continuousAt.eventually_ne h
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c
[PROOFSTEP]
have h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c := hc.inv (h1.mono fun z => norm_pos_iff.mpr)
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c
[PROOFSTEP]
have h3 : IsLocalMax (norm ∘ f⁻¹) c := by refine' h2.congr (eventually_of_forall _); simp
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c
⊢ IsLocalMax (norm ∘ f⁻¹) c
[PROOFSTEP]
refine' h2.congr (eventually_of_forall _)
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c
⊢ ∀ (x : E), (norm ∘ f)⁻¹ x = (norm ∘ f⁻¹) x
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c
h3 : IsLocalMax (norm ∘ f⁻¹) c
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c
[PROOFSTEP]
have h4 : ∀ᶠ z in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f⁻¹ z := by filter_upwards [hf, h1] with z h using h.inv
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c
h3 : IsLocalMax (norm ∘ f⁻¹) c
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f⁻¹ z
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hf, h1] with z h using h.inv
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → ℂ
c : E
hf : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMin (norm ∘ f) c
h : ¬f c = 0
h1 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z ≠ 0
h2 : IsLocalMax (norm ∘ f)⁻¹ c
h3 : IsLocalMax (norm ∘ f⁻¹) c
h4 : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f⁻¹ z
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, f z = f c
[PROOFSTEP]
filter_upwards [eventually_eq_of_isLocalMax_norm h4 h3] with z using inv_inj.mp
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
have hc : IsCompact (closure U) := hb.isCompact_closure
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
obtain ⟨w, hwU, hle⟩ : ∃ w ∈ closure U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
⊢ ∃ w, w ∈ closure U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
case intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ closure U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
exact hc.exists_forall_ge hne.closure hd.continuousOn.norm
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ closure U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
rw [closure_eq_interior_union_frontier, mem_union] at hwU 
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ interior U ∨ w ∈ frontier U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
cases' hwU with hwU hwU
[GOAL]
case intro.intro.inl
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
case intro.intro.inr
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ frontier U
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
rotate_left
[GOAL]
case intro.intro.inr
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ frontier U
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
exact ⟨w, hwU, hle⟩
[GOAL]
case intro.intro.inl
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
have : interior U ≠ univ := ne_top_of_le_ne_top hc.ne_univ interior_subset_closure
[GOAL]
case intro.intro.inl
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
rcases exists_mem_frontier_infDist_compl_eq_dist hwU this with ⟨z, hzU, hzw⟩
[GOAL]
case intro.intro.inl.intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
⊢ ∃ z, z ∈ frontier U ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
[PROOFSTEP]
refine' ⟨z, frontier_interior_subset hzU, fun x hx => (hle hx).out.trans_eq _⟩
[GOAL]
case intro.intro.inl.intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ (norm ∘ f) w = (norm ∘ f) z
[PROOFSTEP]
refine' (norm_eq_norm_of_isMaxOn_of_ball_subset hd (hle.on_subset subset_closure) _).symm
[GOAL]
case intro.intro.inl.intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ ball w (dist z w) ⊆ U
[PROOFSTEP]
rw [dist_comm, ← hzw]
[GOAL]
case intro.intro.inl.intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Metric.Bounded U
hne : Set.Nonempty U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ ball w (infDist w (interior U)ᶜ) ⊆ U
[PROOFSTEP]
exact ball_infDist_compl_subset.trans interior_subset
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ closure U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rw [closure_eq_self_union_frontier, union_comm, mem_union] at hz 
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ frontier U ∨ z ∈ U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
cases' hz with hz hz
[GOAL]
case inl
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ frontier U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
exact hC z hz
[GOAL]
case inr
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rcases exists_ne z with ⟨w, hne⟩
[GOAL]
case inr.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
set e := (lineMap z w : ℂ → E)
[GOAL]
case inr.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have hde : Differentiable ℂ e := (differentiable_id.smul_const (w - z)).add_const z
[GOAL]
case inr.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e := antilipschitzWith_lineMap hne.symm
[GOAL]
case inr.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
replace hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
[GOAL]
case hd
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
⊢ DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
case inr.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
exact hd.comp hde.diffContOnCl (mapsTo_preimage _ _)
[GOAL]
case inr.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
have h₀ : (0 : ℂ) ∈ e ⁻¹' U := by simpa only [mem_preimage, lineMap_apply_zero]
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
⊢ 0 ∈ e ⁻¹' U
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_preimage, lineMap_apply_zero]
[GOAL]
case inr.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
rcases exists_mem_frontier_isMaxOn_norm (hL.bounded_preimage hU) ⟨0, h₀⟩ hd with ⟨ζ, hζU, hζ⟩
[GOAL]
case inr.intro.intro.intro
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U
ζ : ℂ
hζU : ζ ∈ frontier (e ⁻¹' U)
hζ : IsMaxOn (norm ∘ f ∘ e) (closure (e ⁻¹' U)) ζ
⊢ ‖f z‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
calc
  ‖f z‖ = ‖f (e 0)‖ := by simp only [lineMap_apply_zero]
  _ ≤ ‖f (e ζ)‖ := (hζ (subset_closure h₀))
  _ ≤ C := hC _ (hde.continuous.frontier_preimage_subset _ hζU)
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
C : ℝ
hC : ∀ (z : E), z ∈ frontier U → ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : (a : ℂ) → (fun a => E) a := ↑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U
ζ : ℂ
hζU : ζ ∈ frontier (e ⁻¹' U)
hζ : IsMaxOn (norm ∘ f ∘ e) (closure (e ⁻¹' U)) ζ
⊢ ‖f z‖ = ‖f (e 0)‖
[PROOFSTEP]
simp only [lineMap_apply_zero]
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : EqOn f g (frontier U)
⊢ EqOn f g (closure U)
[PROOFSTEP]
suffices H : ∀ z ∈ closure U, ‖(f - g) z‖ ≤ 0
[GOAL]
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : EqOn f g (frontier U)
H : ∀ (z : E), z ∈ closure U → ‖(f - g) z‖ ≤ 0
⊢ EqOn f g (closure U)
[PROOFSTEP]
simpa [sub_eq_zero] using H
[GOAL]
case H
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : EqOn f g (frontier U)
⊢ ∀ (z : E), z ∈ closure U → ‖(f - g) z‖ ≤ 0
[PROOFSTEP]
refine' fun z hz => norm_le_of_forall_mem_frontier_norm_le hU (hf.sub hg) (fun w hw => _) hz
[GOAL]
case H
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f g : E → F
U : Set E
hU : Metric.Bounded U
hf : DiffContOnCl ℂ f U
hg : DiffContOnCl ℂ g U
hfg : EqOn f g (frontier U)
z : E
hz : z ∈ closure U
w : E
hw : w ∈ frontier U
⊢ ‖(f - g) w‖ ≤ 0
[PROOFSTEP]
simp [hfg hw]
