[GOAL]
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
f g : P →A[R] Q
h : f.toAffineMap = g.toAffineMap
⊢ f = g
[PROOFSTEP]
cases f
[GOAL]
case mk
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
g : P →A[R] Q
toAffineMap✝ : P →ᵃ[R] Q
cont✝ : Continuous toAffineMap✝.toFun
h : { toAffineMap := toAffineMap✝, cont := cont✝ }.toAffineMap = g.toAffineMap
⊢ { toAffineMap := toAffineMap✝, cont := cont✝ } = g
[PROOFSTEP]
cases g
[GOAL]
case mk.mk
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
toAffineMap✝¹ : P →ᵃ[R] Q
cont✝¹ : Continuous toAffineMap✝¹.toFun
toAffineMap✝ : P →ᵃ[R] Q
cont✝ : Continuous toAffineMap✝.toFun
h :
  { toAffineMap := toAffineMap✝¹, cont := cont✝¹ }.toAffineMap =
    { toAffineMap := toAffineMap✝, cont := cont✝ }.toAffineMap
⊢ { toAffineMap := toAffineMap✝¹, cont := cont✝¹ } = { toAffineMap := toAffineMap✝, cont := cont✝ }
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
f g : P →A[R] Q
h : ↑f = ↑g
⊢ f = g
[PROOFSTEP]
ext a
[GOAL]
case h
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
f g : P →A[R] Q
h : ↑f = ↑g
a : P
⊢ ↑f a = ↑g a
[PROOFSTEP]
exact ContinuousMap.congr_fun h a
[GOAL]
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
f : P →A[R] Q
h : Continuous f.toFun
⊢ { toAffineMap := f.toAffineMap, cont := h } = f
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
f : P →A[R] Q
h : Continuous f.toFun
x✝ : P
⊢ ↑{ toAffineMap := f.toAffineMap, cont := h } x✝ = ↑f x✝
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module R V
inst✝⁵ : TopologicalSpace P
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : AddTorsor W Q
⊢ Nonempty Q
[PROOFSTEP]
infer_instance
[GOAL]
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : TopologicalSpace W
f : V →L[R] W
⊢ ∀ (p v : V), ↑f (v +ᵥ p) = ↑↑f v +ᵥ ↑f p
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : TopologicalSpace W
f : V →L[R] W
⊢ ↑(toContinuousAffineMap f) 0 = 0
[PROOFSTEP]
simp
