[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ L ⧸ I → L ⧸ I → L ⧸ I
[PROOFSTEP]
intro x y
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
⊢ L ⧸ I
[PROOFSTEP]
apply Quotient.liftOn₂' x y fun x' y' => mk ⁅x', y'⁆
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
⊢ ∀ (a₁ a₂ b₁ b₂ : L), Setoid.r a₁ b₁ → Setoid.r a₂ b₂ → mk ⁅a₁, a₂⁆ = mk ⁅b₁, b₂⁆
[PROOFSTEP]
intro x₁ x₂ y₁ y₂ h₁ h₂
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
x₁ x₂ y₁ y₂ : L
h₁ : Setoid.r x₁ y₁
h₂ : Setoid.r x₂ y₂
⊢ mk ⁅x₁, x₂⁆ = mk ⁅y₁, y₂⁆
[PROOFSTEP]
apply (Submodule.Quotient.eq I.toSubmodule).2
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
x₁ x₂ y₁ y₂ : L
h₁ : Setoid.r x₁ y₁
h₂ : Setoid.r x₂ y₂
⊢ ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ ∈ ↑I
[PROOFSTEP]
rw [Submodule.quotientRel_r_def] at h₁ h₂ 
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
x₁ x₂ y₁ y₂ : L
h₁ : x₁ - y₁ ∈ ↑I
h₂ : x₂ - y₂ ∈ ↑I
⊢ ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ ∈ ↑I
[PROOFSTEP]
have h : ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ = ⁅x₁, x₂ - y₂⁆ + ⁅x₁ - y₁, y₂⁆ := by simp [-lie_skew, sub_eq_add_neg, add_assoc]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
x₁ x₂ y₁ y₂ : L
h₁ : x₁ - y₁ ∈ ↑I
h₂ : x₂ - y₂ ∈ ↑I
⊢ ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ = ⁅x₁, x₂ - y₂⁆ + ⁅x₁ - y₁, y₂⁆
[PROOFSTEP]
simp [-lie_skew, sub_eq_add_neg, add_assoc]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
x₁ x₂ y₁ y₂ : L
h₁ : x₁ - y₁ ∈ ↑I
h₂ : x₂ - y₂ ∈ ↑I
h : ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ = ⁅x₁, x₂ - y₂⁆ + ⁅x₁ - y₁, y₂⁆
⊢ ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ ∈ ↑I
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
x₁ x₂ y₁ y₂ : L
h₁ : x₁ - y₁ ∈ ↑I
h₂ : x₂ - y₂ ∈ ↑I
h : ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ = ⁅x₁, x₂ - y₂⁆ + ⁅x₁ - y₁, y₂⁆
⊢ ⁅x₁, x₂ - y₂⁆ + ⁅x₁ - y₁, y₂⁆ ∈ ↑I
[PROOFSTEP]
apply Submodule.add_mem
[GOAL]
case h₁
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
x₁ x₂ y₁ y₂ : L
h₁ : x₁ - y₁ ∈ ↑I
h₂ : x₂ - y₂ ∈ ↑I
h : ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ = ⁅x₁, x₂ - y₂⁆ + ⁅x₁ - y₁, y₂⁆
⊢ ⁅x₁, x₂ - y₂⁆ ∈ ↑I
[PROOFSTEP]
apply lie_mem_right R L I x₁ (x₂ - y₂) h₂
[GOAL]
case h₂
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
x₁ x₂ y₁ y₂ : L
h₁ : x₁ - y₁ ∈ ↑I
h₂ : x₂ - y₂ ∈ ↑I
h : ⁅x₁, x₂⁆ - ⁅y₁, y₂⁆ = ⁅x₁, x₂ - y₂⁆ + ⁅x₁ - y₁, y₂⁆
⊢ ⁅x₁ - y₁, y₂⁆ ∈ ↑I
[PROOFSTEP]
apply lie_mem_left R L I (x₁ - y₁) y₂ h₁
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ∀ (x y z : L ⧸ I), ⁅x + y, z⁆ = ⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
intro x' y' z'
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
⊢ ⁅x' + y', z'⁆ = ⁅x', z'⁆ + ⁅y', z'⁆
[PROOFSTEP]
refine Quotient.inductionOn₃' x' y' z' ?_
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
⊢ ∀ (a₁ a₂ a₃ : L),
    ⁅Quotient.mk'' a₁ + Quotient.mk'' a₂, Quotient.mk'' a₃⁆ =
      ⁅Quotient.mk'' a₁, Quotient.mk'' a₃⁆ + ⁅Quotient.mk'' a₂, Quotient.mk'' a₃⁆
[PROOFSTEP]
intro x y z
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x + Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆ =
    ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
repeat'
  first
  | rw [is_quotient_mk]
  | rw [← mk_bracket]
  | rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x + Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆ =
    ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x + Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆ =
    ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅mk y, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅mk y, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = ⁅mk x, mk z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = ⁅mk x, mk z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = ⁅mk x, mk z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Submodule.Quotient.mk (x + y), mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Submodule.Quotient.mk (x + y), mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Submodule.Quotient.mk (x + y), mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)
[PROOFSTEP]
apply congr_arg
[GOAL]
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅x + y, z⁆ = ⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆
[PROOFSTEP]
apply add_lie
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ∀ (x y z : L ⧸ I), ⁅x, y + z⁆ = ⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
intro x' y' z'
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
⊢ ⁅x', y' + z'⁆ = ⁅x', y'⁆ + ⁅x', z'⁆
[PROOFSTEP]
refine Quotient.inductionOn₃' x' y' z' ?_
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
⊢ ∀ (a₁ a₂ a₃ : L),
    ⁅Quotient.mk'' a₁, Quotient.mk'' a₂ + Quotient.mk'' a₃⁆ =
      ⁅Quotient.mk'' a₁, Quotient.mk'' a₂⁆ + ⁅Quotient.mk'' a₁, Quotient.mk'' a₃⁆
[PROOFSTEP]
intro x y z
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y + Quotient.mk'' z⁆ =
    ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆ + ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
repeat'
  first
  | rw [is_quotient_mk]
  | rw [← mk_bracket]
  | rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y + Quotient.mk'' z⁆ =
    ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆ + ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y + Quotient.mk'' z⁆ =
    ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆ + ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, Quotient.mk'' y + Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆ + ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, Quotient.mk'' y + Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆ + ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, Submodule.Quotient.mk (y + z)⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, Submodule.Quotient.mk (y + z)⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, Submodule.Quotient.mk (y + z)⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + mk ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆)
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆)
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆)
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆)
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, y + z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆)
[PROOFSTEP]
apply congr_arg
[GOAL]
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅x, y + z⁆ = ⁅x, y⁆ + ⁅x, z⁆
[PROOFSTEP]
apply lie_add
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ∀ (x : L ⧸ I), ⁅x, x⁆ = 0
[PROOFSTEP]
intro x'
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' : L ⧸ I
⊢ ⁅x', x'⁆ = 0
[PROOFSTEP]
refine Quotient.inductionOn' x' ?_
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' : L ⧸ I
⊢ ∀ (a : L), ⁅Quotient.mk'' a, Quotient.mk'' a⁆ = 0
[PROOFSTEP]
intro x
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' : L ⧸ I
x : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' x⁆ = 0
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk, ← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' : L ⧸ I
x : L
⊢ mk ⁅x, x⁆ = 0
[PROOFSTEP]
apply congr_arg
[GOAL]
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' : L ⧸ I
x : L
⊢ ⁅x, x⁆ = 0
[PROOFSTEP]
apply lie_self
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ∀ (x y z : L ⧸ I), ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
intro x' y' z'
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
⊢ ⁅x', ⁅y', z'⁆⁆ = ⁅⁅x', y'⁆, z'⁆ + ⁅y', ⁅x', z'⁆⁆
[PROOFSTEP]
refine Quotient.inductionOn₃' x' y' z' ?_
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
⊢ ∀ (a₁ a₂ a₃ : L),
    ⁅Quotient.mk'' a₁, ⁅Quotient.mk'' a₂, Quotient.mk'' a₃⁆⁆ =
      ⁅⁅Quotient.mk'' a₁, Quotient.mk'' a₂⁆, Quotient.mk'' a₃⁆ +
        ⁅Quotient.mk'' a₂, ⁅Quotient.mk'' a₁, Quotient.mk'' a₃⁆⁆
[PROOFSTEP]
intro x y z
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆⁆ =
    ⁅⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆⁆
[PROOFSTEP]
repeat'
  first
  | rw [is_quotient_mk]
  | rw [← mk_bracket]
  | rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆⁆ =
    ⁅⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆⁆ =
    ⁅⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆⁆ =
    ⁅⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆⁆ =
    ⁅⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, Quotient.mk'' z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, Quotient.mk'' z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, mk z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, mk z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, mk z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅mk ⁅x, y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅mk ⁅x, y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅mk ⁅x, y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, mk ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, mk ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, mk ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + mk ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + mk ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + mk ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + mk ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆)
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆)
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆)
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆)
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_add (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆)
[PROOFSTEP]
apply congr_arg
[GOAL]
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x' y' z' : L ⧸ I
x y z : L
⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅y, ⁅x, z⁆⁆
[PROOFSTEP]
apply leibniz_lie
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ ∀ (t : R) (x y : L ⧸ I), ⁅x, t • y⁆ = t • ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
intro t x' y'
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
⊢ ⁅x', t • y'⁆ = t • ⁅x', y'⁆
[PROOFSTEP]
refine Quotient.inductionOn₂' x' y' ?_
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
⊢ ∀ (a₁ a₂ : L), ⁅Quotient.mk'' a₁, t • Quotient.mk'' a₂⁆ = t • ⁅Quotient.mk'' a₁, Quotient.mk'' a₂⁆
[PROOFSTEP]
intro x y
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, t • Quotient.mk'' y⁆ = t • ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆
[PROOFSTEP]
repeat'
  first
  | rw [is_quotient_mk]
  | rw [← mk_bracket]
  | rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, t • Quotient.mk'' y⁆ = t • ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, t • Quotient.mk'' y⁆ = t • ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • Quotient.mk'' y⁆ = t • ⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • Quotient.mk'' y⁆ = t • ⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • ⁅mk x, mk y⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • ⁅mk x, mk y⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • ⁅mk x, mk y⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, t • mk y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, Submodule.Quotient.mk (t • y)⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, Submodule.Quotient.mk (t • y)⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅mk x, Submodule.Quotient.mk (t • y)⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = t • mk ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = Submodule.Quotient.mk (t • ⁅x, y⁆)
[PROOFSTEP]
first
| rw [is_quotient_mk]
| rw [← mk_bracket]
| rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = Submodule.Quotient.mk (t • ⁅x, y⁆)
[PROOFSTEP]
rw [is_quotient_mk]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = Submodule.Quotient.mk (t • ⁅x, y⁆)
[PROOFSTEP]
rw [← mk_bracket]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = Submodule.Quotient.mk (t • ⁅x, y⁆)
[PROOFSTEP]
rw [← Submodule.Quotient.mk_smul (R := R) (M := L)]
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ mk ⁅x, t • y⁆ = Submodule.Quotient.mk (t • ⁅x, y⁆)
[PROOFSTEP]
apply congr_arg
[GOAL]
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
t : R
x' y' : L ⧸ I
x y : L
⊢ ⁅x, t • y⁆ = t • ⁅x, y⁆
[PROOFSTEP]
apply lie_smul
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ LieModuleHom.ker (mk' N) = N
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
m✝ : M
⊢ m✝ ∈ LieModuleHom.ker (mk' N) ↔ m✝ ∈ N
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
⊢ map (mk' N) N' = ⊥ ↔ N' ≤ N
[PROOFSTEP]
rw [← LieModuleHom.le_ker_iff_map, mk'_ker]
[GOAL]
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
src✝ : (L ⧸ LinearMap.ker ↑f) ≃ₗ[R] { x // x ∈ LinearMap.range ↑f } := LinearMap.quotKerEquivRange ↑f
⊢ ∀ {x y : L ⧸ ker f},
    AddHom.toFun
        {
            toAddHom :=
              { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                      AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) =
                        AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
            map_smul' :=
              (_ :
                ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                  AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
        ⁅x, y⁆ =
      ⁅AddHom.toFun
          {
              toAddHom :=
                { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                        AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) =
                          AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
              map_smul' :=
                (_ :
                  ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                    AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
          x,
        AddHom.toFun
          {
              toAddHom :=
                { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                        AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) =
                          AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
              map_smul' :=
                (_ :
                  ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                    AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
          y⁆
[PROOFSTEP]
rintro ⟨x⟩ ⟨y⟩
[GOAL]
case mk.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
src✝ : (L ⧸ LinearMap.ker ↑f) ≃ₗ[R] { x // x ∈ LinearMap.range ↑f } := LinearMap.quotKerEquivRange ↑f
x✝ : L ⧸ ker f
x : L
y✝ : L ⧸ ker f
y : L
⊢ AddHom.toFun
      {
          toAddHom :=
            { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
              map_add' :=
                (_ :
                  ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                    AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) = AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
          map_smul' :=
            (_ :
              ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
      ⁅Quot.mk Setoid.r x, Quot.mk Setoid.r y⁆ =
    ⁅AddHom.toFun
        {
            toAddHom :=
              { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                      AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) =
                        AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
            map_smul' :=
              (_ :
                ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                  AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
        (Quot.mk Setoid.r x),
      AddHom.toFun
        {
            toAddHom :=
              { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                      AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) =
                        AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
            map_smul' :=
              (_ :
                ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                  AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
        (Quot.mk Setoid.r y)⁆
[PROOFSTEP]
rw [← SetLike.coe_eq_coe, LieSubalgebra.coe_bracket]
[GOAL]
case mk.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
src✝ : (L ⧸ LinearMap.ker ↑f) ≃ₗ[R] { x // x ∈ LinearMap.range ↑f } := LinearMap.quotKerEquivRange ↑f
x✝ : L ⧸ ker f
x : L
y✝ : L ⧸ ker f
y : L
⊢ ↑(AddHom.toFun
        {
            toAddHom :=
              { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
                map_add' :=
                  (_ :
                    ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                      AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) =
                        AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
            map_smul' :=
              (_ :
                ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                  AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
        ⁅Quot.mk Setoid.r x, Quot.mk Setoid.r y⁆) =
    ⁅↑(AddHom.toFun
          {
              toAddHom :=
                { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                        AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) =
                          AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
              map_smul' :=
                (_ :
                  ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                    AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
          (Quot.mk Setoid.r x)),
      ↑(AddHom.toFun
          {
              toAddHom :=
                { toFun := ↑(LinearMap.quotKerEquivRange ↑f),
                  map_add' :=
                    (_ :
                      ∀ (x y : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                        AddHom.toFun src✝.toAddHom (x + y) =
                          AddHom.toFun src✝.toAddHom x + AddHom.toFun src✝.toAddHom y) },
              map_smul' :=
                (_ :
                  ∀ (r : R) (x : L ⧸ LinearMap.ker ↑f),
                    AddHom.toFun src✝.toAddHom (r • x) = ↑(RingHom.id R) r • AddHom.toFun src✝.toAddHom x) }.toAddHom
          (Quot.mk Setoid.r y))⁆
[PROOFSTEP]
simp only [Submodule.Quotient.quot_mk_eq_mk, LinearMap.quotKerEquivRange_apply_mk, ← LieSubmodule.Quotient.mk_bracket,
  coe_toLinearMap, map_lie]
