[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
⊢ FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)))
[PROOFSTEP]
rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
[GOAL]
case intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
⊢ FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)))
[PROOFSTEP]
rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
⊢ FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)))
[PROOFSTEP]
refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
⊢ span R (p * q) ≤ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))
[PROOFSTEP]
rw [span_le]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
⊢ p * q ⊆ ↑(↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)))
[PROOFSTEP]
rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) x y ∈ ↑(↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)))
[PROOFSTEP]
change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
⊢ x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
[PROOFSTEP]
refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro.intro.refine'_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
⊢ x ∈ adjoin R (s ∪ t)
[PROOFSTEP]
have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
  rw [← hp']
  exact subset_span hx
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
⊢ x ∈ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
[PROOFSTEP]
rw [← hp']
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
⊢ x ∈ span R p
[PROOFSTEP]
exact subset_span hx
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro.intro.refine'_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
this : x ∈ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
⊢ x ∈ adjoin R (s ∪ t)
[PROOFSTEP]
exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
⊢ y ∈ adjoin R (s ∪ t)
[PROOFSTEP]
have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) :=
  by
  rw [← hq']
  exact subset_span hy
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
⊢ y ∈ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
[PROOFSTEP]
rw [← hq']
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
⊢ y ∈ span { x // x ∈ adjoin R s } q
[PROOFSTEP]
exact subset_span hy
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
this : y ∈ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
⊢ y ∈ adjoin R (s ∪ t)
[PROOFSTEP]
change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
x y : A
hx : x ∈ p
hy : y ∈ q
this : y ∈ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
⊢ y ∈ adjoin R (s ∪ t)
[PROOFSTEP]
rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
⊢ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)) ≤ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
intro r hr
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
r : A
hr : r ∈ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))
⊢ r ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr 
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
r : A
hr : r ∈ adjoin R (s ∪ t)
⊢ r ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr 
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
r : A
hr : r ∈ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
⊢ r ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr 
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
r : A
hr : r ∈ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
⊢ r ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr 
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
r : A
hr :
  ∃ l,
    l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q ∧
      ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } _root_.id) l = r
⊢ r ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
⊢ ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } _root_.id) l ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } _root_.id) l ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rw [this, Finsupp.sum]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ (Finset.sum l.support fun a => ↑l a • _root_.id a) ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
refine' sum_mem _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ ∀ (c : A), c ∈ l.support → ↑l c • _root_.id c ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
intro z hz
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
⊢ ↑l z • _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
change (l z).1 * _ ∈ _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
⊢ ↑(↑l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
this : ↑(↑l z) ∈ ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
⊢ ↑(↑l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this 
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
this : ∃ l_1, l_1 ∈ Finsupp.supported R R p ∧ ↑(Finsupp.total A A R _root_.id) l_1 = ↑(↑l z)
⊢ ↑(↑l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : ↑(Finsupp.total A A R _root_.id) l2 = ↑(↑l z)
⊢ ↑(↑l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
have := @Finsupp.total_apply A A R
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : ↑(Finsupp.total A A R _root_.id) l2 = ↑(↑l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    ↑(Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ ↑(↑l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rw [this] at hl 
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(↑l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    ↑(Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ ↑(↑l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rw [← hl, Finsupp.sum_mul]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(↑l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    ↑(Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ (Finsupp.sum l2 fun a c => c • _root_.id a * _root_.id z) ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
refine' sum_mem _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(↑l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    ↑(Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ ∀ (c : A), c ∈ l2.support → (fun a c => c • _root_.id a * _root_.id z) c (↑l2 c) ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
intro t ht
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t✝ : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t✝))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t✝)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(↑l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    ↑(Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
t : A
ht : t ∈ l2.support
⊢ (fun a c => c • _root_.id a * _root_.id z) t (↑l2 t) ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
change _ * _ ∈ _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t✝ : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t✝))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t✝)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(↑l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    ↑(Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
t : A
ht : t ∈ l2.support
⊢ ↑l2 t • _root_.id t * _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
rw [smul_mul_assoc]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t✝ : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t✝))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t✝)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(↑l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    ↑(Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
t : A
ht : t ∈ l2.support
⊢ ↑l2 t • (_root_.id t * _root_.id z) ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
refine' smul_mem _ _ _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t✝ : Set A
h1 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t✝))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span { x // x ∈ adjoin R s } q = ↑Subalgebra.toSubmodule (adjoin { x // x ∈ adjoin R s } t✝)
l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }
hlq : l ∈ Finsupp.supported { x // x ∈ adjoin R s } { x // x ∈ adjoin R s } q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring { x // x ∈ adjoin R s }] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module { x // x ∈ adjoin R s } A]
    {v : A → A} (l : A →₀ { x // x ∈ adjoin R s }),
    ↑(Finsupp.total A A { x // x ∈ adjoin R s } v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(↑l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    ↑(Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
t : A
ht : t ∈ l2.support
⊢ _root_.id t * _root_.id z ∈ span R (p * q)
[PROOFSTEP]
exact subset_span ⟨t, z, hlp ht, hlq hz, rfl⟩
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
x✝ : Submodule.FG (↑toSubmodule S)
t : Finset A
ht : span R ↑t = ↑toSubmodule S
x : A
hx : x ∈ ↑toSubmodule S
⊢ x ∈ span R ↑t
[PROOFSTEP]
rw [ht]
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
x✝ : Submodule.FG (↑toSubmodule S)
t : Finset A
ht : span R ↑t = ↑toSubmodule S
x : A
hx : x ∈ ↑toSubmodule S
⊢ x ∈ ↑toSubmodule S
[PROOFSTEP]
exact hx
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
h : Submodule.FG ⊤
s : Finset A
hs : span R ↑s = ⊤
⊢ ↑toSubmodule (Algebra.adjoin R ↑s) = ↑toSubmodule ⊤
[PROOFSTEP]
rw [Algebra.top_toSubmodule, eq_top_iff, ← hs, span_le]
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
h : Submodule.FG ⊤
s : Finset A
hs : span R ↑s = ⊤
⊢ ↑s ⊆ ↑(↑toSubmodule (Algebra.adjoin R ↑s))
[PROOFSTEP]
exact Algebra.subset_adjoin
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : FG S
hT : FG T
⊢ FG (Subalgebra.prod S T)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨s, hs⟩ := fg_def.1 hS
[GOAL]
case intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : FG S
hT : FG T
s : Set A
hs : Set.Finite s ∧ Algebra.adjoin R s = S
⊢ FG (Subalgebra.prod S T)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨t, ht⟩ := fg_def.1 hT
[GOAL]
case intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : FG S
hT : FG T
s : Set A
hs : Set.Finite s ∧ Algebra.adjoin R s = S
t : Set B
ht : Set.Finite t ∧ Algebra.adjoin R t = T
⊢ FG (Subalgebra.prod S T)
[PROOFSTEP]
rw [← hs.2, ← ht.2]
[GOAL]
case intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
T : Subalgebra R B
hS : FG S
hT : FG T
s : Set A
hs : Set.Finite s ∧ Algebra.adjoin R s = S
t : Set B
ht : Set.Finite t ∧ Algebra.adjoin R t = T
⊢ FG (Subalgebra.prod (Algebra.adjoin R s) (Algebra.adjoin R t))
[PROOFSTEP]
exact
  fg_def.2
    ⟨LinearMap.inl R A B '' (s ∪ {1}) ∪ LinearMap.inr R A B '' (t ∪ {1}),
      Set.Finite.union (Set.Finite.image _ (Set.Finite.union hs.1 (Set.finite_singleton _)))
        (Set.Finite.image _ (Set.Finite.union ht.1 (Set.finite_singleton _))),
      Algebra.adjoin_inl_union_inr_eq_prod R s t⟩
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hs✝ : FG S
s : Finset A
hs : Algebra.adjoin R ↑s = S
⊢ Algebra.adjoin R ↑(Finset.image (↑f) s) = Subalgebra.map f S
[PROOFSTEP]
rw [Finset.coe_image, Algebra.adjoin_image, hs]
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ↑f
hs✝ : FG (map f S)
s : Finset B
hs : Algebra.adjoin R ↑s = map f S
⊢ map f
      (Algebra.adjoin R
        ↑(Finset.preimage s ↑f
            (_ : ∀ (x : A), x ∈ ↑f ⁻¹' ↑s → ∀ (x_2 : A), x_2 ∈ ↑f ⁻¹' ↑s → ↑f x = ↑f x_2 → x = x_2))) =
    map f S
[PROOFSTEP]
rw [← Algebra.adjoin_image, Finset.coe_preimage, Set.image_preimage_eq_of_subset, hs]
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ↑f
hs✝ : FG (map f S)
s : Finset B
hs : Algebra.adjoin R ↑s = map f S
⊢ ↑s ⊆ Set.range ↑f
[PROOFSTEP]
rw [← AlgHom.coe_range, ← Algebra.adjoin_le_iff, hs, ← Algebra.map_top]
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ↑f
hs✝ : FG (map f S)
s : Finset B
hs : Algebra.adjoin R ↑s = map f S
⊢ map f S ≤ map f ⊤
[PROOFSTEP]
exact map_mono le_top
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : FG ⊤
⊢ FG S
[PROOFSTEP]
rw [← S.range_val, ← Algebra.map_top]
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : FG ⊤
⊢ FG (map (val S) ⊤)
[PROOFSTEP]
exact FG.map _ h
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : FG S
⊢ FG (map (val S) ⊤)
[PROOFSTEP]
rw [Algebra.map_top, range_val]
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : FG S
⊢ FG S
[PROOFSTEP]
exact h
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
S : Subalgebra R A
⊢ P S
[PROOFSTEP]
classical
obtain ⟨t, rfl⟩ := S.fg_of_noetherian
refine' Finset.induction_on t _ _
· simpa using base
intro x t _ h
rw [Finset.coe_insert]
simpa only [Algebra.adjoin_insert_adjoin] using ih _ x h
[GOAL]
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
S : Subalgebra R A
⊢ P S
[PROOFSTEP]
obtain ⟨t, rfl⟩ := S.fg_of_noetherian
[GOAL]
case intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑t)
[PROOFSTEP]
refine' Finset.induction_on t _ _
[GOAL]
case intro.refine'_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑∅)
[PROOFSTEP]
simpa using base
[GOAL]
case intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t : Finset A
⊢ ∀ ⦃a : A⦄ {s : Finset A}, ¬a ∈ s → P (Algebra.adjoin R ↑s) → P (Algebra.adjoin R ↑(insert a s))
[PROOFSTEP]
intro x t _ h
[GOAL]
case intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t✝ : Finset A
x : A
t : Finset A
a✝ : ¬x ∈ t
h : P (Algebra.adjoin R ↑t)
⊢ P (Algebra.adjoin R ↑(insert x t))
[PROOFSTEP]
rw [Finset.coe_insert]
[GOAL]
case intro.refine'_2
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsNoetherian R A
P : Subalgebra R A → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (S : Subalgebra R A) (x : A), P S → P (Algebra.adjoin R (insert x ↑S))
t✝ : Finset A
x : A
t : Finset A
a✝ : ¬x ∈ t
h : P (Algebra.adjoin R ↑t)
⊢ P (Algebra.adjoin R (insert x ↑t))
[PROOFSTEP]
simpa only [Algebra.adjoin_insert_adjoin] using ih _ x h
