[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
⊢ IsPrimitiveRoot (exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n))) n
[PROOFSTEP]
rw [IsPrimitiveRoot.iff_def]
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
⊢ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) ^ n = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) ^ l = 1 → n ∣ l
[PROOFSTEP]
simp only [← exp_nat_mul, exp_eq_one_iff]
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
⊢ (∃ n_1, ↑n * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) ∧
    ∀ (l : ℕ), (∃ n_1, ↑l * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) → n ∣ l
[PROOFSTEP]
have hn0 : (n : ℂ) ≠ 0 := by exact_mod_cast h0
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
⊢ ↑n ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast h0
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ (∃ n_1, ↑n * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) ∧
    ∀ (l : ℕ), (∃ n_1, ↑l * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) → n ∣ l
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case left
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ ∃ n_1, ↑n * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)
[PROOFSTEP]
use i
[GOAL]
case h
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ ↑n * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑↑i * (2 * ↑π * I)
[PROOFSTEP]
field_simp [hn0, mul_comm (i : ℂ), mul_comm (n : ℂ)]
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ ∀ (l : ℕ), (∃ n_1, ↑l * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) → n ∣ l
[PROOFSTEP]
simp only [hn0, mul_right_comm _ _ ↑n, mul_left_inj' two_pi_I_ne_zero, Ne.def, not_false_iff, mul_comm _ (i : ℂ), ←
  mul_assoc _ (i : ℂ), exists_imp, field_simps]
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ ∀ (l : ℕ) (x : ℤ), ↑i * ↑l * (2 * ↑π * I) = ↑x * (2 * ↑π * I) * ↑n → n ∣ l
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ ∀ (l : ℕ) (x : ℤ), ↑(i * l) * (↑(2 * π) * I) = ↑x * (↑(2 * π) * I) * ↑n → n ∣ l
[PROOFSTEP]
rintro l k hk
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hk : ↑(i * l) * (↑(2 * π) * I) = ↑k * (↑(2 * π) * I) * ↑n
⊢ n ∣ l
[PROOFSTEP]
conv_rhs at hk => rw [mul_comm, ← mul_assoc]
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hk : ↑(i * l) * (↑(2 * π) * I) = ↑k * (↑(2 * π) * I) * ↑n
| ↑k * (↑(2 * π) * I) * ↑n
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm, ← mul_assoc]
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hk : ↑(i * l) * (↑(2 * π) * I) = ↑k * (↑(2 * π) * I) * ↑n
| ↑k * (↑(2 * π) * I) * ↑n
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm, ← mul_assoc]
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hk : ↑(i * l) * (↑(2 * π) * I) = ↑k * (↑(2 * π) * I) * ↑n
| ↑k * (↑(2 * π) * I) * ↑n
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm, ← mul_assoc]
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hk : ↑(i * l) * (↑(2 * π) * I) = ↑n * ↑k * (↑(2 * π) * I)
⊢ n ∣ l
[PROOFSTEP]
have hz : 2 * ↑π * I ≠ 0 := by simp [pi_pos.ne.symm, I_ne_zero]
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hk : ↑(i * l) * (↑(2 * π) * I) = ↑n * ↑k * (↑(2 * π) * I)
⊢ 2 * ↑π * I ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp [pi_pos.ne.symm, I_ne_zero]
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hk : ↑(i * l) * (↑(2 * π) * I) = ↑n * ↑k * (↑(2 * π) * I)
hz : 2 * ↑π * I ≠ 0
⊢ n ∣ l
[PROOFSTEP]
field_simp [hz] at hk 
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hz : 2 * ↑π * I ≠ 0
hk : ↑i * ↑l = ↑n * ↑k
⊢ n ∣ l
[PROOFSTEP]
norm_cast at hk 
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hz : 2 * ↑π * I ≠ 0
hk : ↑(i * l) = ↑n * k
⊢ n ∣ l
[PROOFSTEP]
have : n ∣ i * l := by rw [← Int.coe_nat_dvd, hk, mul_comm]; apply dvd_mul_left
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hz : 2 * ↑π * I ≠ 0
hk : ↑(i * l) = ↑n * k
⊢ n ∣ i * l
[PROOFSTEP]
rw [← Int.coe_nat_dvd, hk, mul_comm]
[GOAL]
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hz : 2 * ↑π * I ≠ 0
hk : ↑(i * l) = ↑n * k
⊢ ↑n ∣ k * ↑n
[PROOFSTEP]
apply dvd_mul_left
[GOAL]
case right
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : Nat.coprime i n
hn0 : ↑n ≠ 0
l : ℕ
k : ℤ
hz : 2 * ↑π * I ≠ 0
hk : ↑(i * l) = ↑n * k
this : n ∣ i * l
⊢ n ∣ l
[PROOFSTEP]
exact hi.symm.dvd_of_dvd_mul_left this
[GOAL]
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot (exp (2 * ↑π * I / ↑n)) n
[PROOFSTEP]
simpa only [Nat.cast_one, one_div] using isPrimitiveRoot_exp_of_coprime 1 n h0 n.coprime_one_left
[GOAL]
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n ↔ ∃ i, i < n ∧ ∃ x, exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
[PROOFSTEP]
have hn0 : (n : ℂ) ≠ 0 := by exact_mod_cast hn
[GOAL]
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ↑n ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast hn
[GOAL]
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n ↔ ∃ i, i < n ∧ ∃ x, exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n → ∃ i, i < n ∧ ∃ x, exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
case mpr
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ (∃ i, i < n ∧ ∃ x, exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ) → IsPrimitiveRoot ζ n
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case mpr
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ (∃ i, i < n ∧ ∃ x, exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ) → IsPrimitiveRoot ζ n
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, -, hi, rfl⟩
[GOAL]
case mpr.intro.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : Nat.coprime i n
⊢ IsPrimitiveRoot (exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n))) n
[PROOFSTEP]
exact isPrimitiveRoot_exp_of_coprime i n hn hi
[GOAL]
case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
⊢ IsPrimitiveRoot ζ n → ∃ i, i < n ∧ ∃ x, exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∃ i, i < n ∧ ∃ x, exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
[PROOFSTEP]
obtain ⟨i, hi, rfl⟩ := (isPrimitiveRoot_exp n hn).eq_pow_of_pow_eq_one h.pow_eq_one (Nat.pos_of_ne_zero hn)
[GOAL]
case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (exp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ ∃ i_1, i_1 < n ∧ ∃ x, exp (2 * ↑π * I * (↑i_1 / ↑n)) = exp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
[PROOFSTEP]
refine' ⟨i, hi, ((isPrimitiveRoot_exp n hn).pow_iff_coprime (Nat.pos_of_ne_zero hn) i).mp h, _⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (exp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = exp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
[PROOFSTEP]
rw [← exp_nat_mul]
[GOAL]
case mp.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (exp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = exp (↑i * (2 * ↑π * I / ↑n))
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case mp.intro.intro.e_z
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (exp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n
⊢ 2 * ↑π * I * (↑i / ↑n) = ↑i * (2 * ↑π * I / ↑n)
[PROOFSTEP]
field_simp [hn0, mul_comm (i : ℂ)]
[GOAL]
n : ℕ+
x : ℂˣ
⊢ x ∈ rootsOfUnity n ℂ ↔ ∃ i, i < ↑n ∧ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
[PROOFSTEP]
rw [mem_rootsOfUnity, Units.ext_iff, Units.val_pow_eq_pow_val, Units.val_one]
[GOAL]
n : ℕ+
x : ℂˣ
⊢ ↑x ^ ↑n = 1 ↔ ∃ i, i < ↑n ∧ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
[PROOFSTEP]
have hn0 : (n : ℂ) ≠ 0 := by exact_mod_cast n.ne_zero
[GOAL]
n : ℕ+
x : ℂˣ
⊢ ↑↑n ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast n.ne_zero
[GOAL]
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
⊢ ↑x ^ ↑n = 1 ↔ ∃ i, i < ↑n ∧ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
⊢ ↑x ^ ↑n = 1 → ∃ i, i < ↑n ∧ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
h : ↑x ^ ↑n = 1
⊢ ∃ i, i < ↑n ∧ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨i, hi, H⟩ : ∃ i < (n : ℕ), exp (2 * π * I / n) ^ i = x := by
  simpa only using (isPrimitiveRoot_exp n n.ne_zero).eq_pow_of_pow_eq_one h n.pos
[GOAL]
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
h : ↑x ^ ↑n = 1
⊢ ∃ i, i < ↑n ∧ exp (2 * ↑π * I / ↑↑n) ^ i = ↑x
[PROOFSTEP]
simpa only using (isPrimitiveRoot_exp n n.ne_zero).eq_pow_of_pow_eq_one h n.pos
[GOAL]
case mp.intro.intro
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
h : ↑x ^ ↑n = 1
i : ℕ
hi : i < ↑n
H : exp (2 * ↑π * I / ↑↑n) ^ i = ↑x
⊢ ∃ i, i < ↑n ∧ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨i, hi, _⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
h : ↑x ^ ↑n = 1
i : ℕ
hi : i < ↑n
H : exp (2 * ↑π * I / ↑↑n) ^ i = ↑x
⊢ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
[PROOFSTEP]
rw [← H, ← exp_nat_mul]
[GOAL]
case mp.intro.intro
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
h : ↑x ^ ↑n = 1
i : ℕ
hi : i < ↑n
H : exp (2 * ↑π * I / ↑↑n) ^ i = ↑x
⊢ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = exp (↑i * (2 * ↑π * I / ↑↑n))
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case mp.intro.intro.e_z
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
h : ↑x ^ ↑n = 1
i : ℕ
hi : i < ↑n
H : exp (2 * ↑π * I / ↑↑n) ^ i = ↑x
⊢ 2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n) = ↑i * (2 * ↑π * I / ↑↑n)
[PROOFSTEP]
field_simp [hn0, mul_comm (i : ℂ)]
[GOAL]
case mpr
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
⊢ (∃ i, i < ↑n ∧ exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x) → ↑x ^ ↑n = 1
[PROOFSTEP]
rintro ⟨i, _, H⟩
[GOAL]
case mpr.intro.intro
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
i : ℕ
left✝ : i < ↑n
H : exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
⊢ ↑x ^ ↑n = 1
[PROOFSTEP]
rw [← H, ← exp_nat_mul, exp_eq_one_iff]
[GOAL]
case mpr.intro.intro
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
i : ℕ
left✝ : i < ↑n
H : exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
⊢ ∃ n_1, ↑↑n * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)
[PROOFSTEP]
use i
[GOAL]
case h
n : ℕ+
x : ℂˣ
hn0 : ↑↑n ≠ 0
i : ℕ
left✝ : i < ↑n
H : exp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑x
⊢ ↑↑n * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑↑n)) = ↑↑i * (2 * ↑π * I)
[PROOFSTEP]
field_simp [hn0, mul_comm ((n : ℕ) : ℂ), mul_comm (i : ℂ)]
[GOAL]
k : ℕ
⊢ Finset.card (primitiveRoots k ℂ) = φ k
[PROOFSTEP]
by_cases h : k = 0
[GOAL]
case pos
k : ℕ
h : k = 0
⊢ Finset.card (primitiveRoots k ℂ) = φ k
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case neg
k : ℕ
h : ¬k = 0
⊢ Finset.card (primitiveRoots k ℂ) = φ k
[PROOFSTEP]
exact (isPrimitiveRoot_exp k h).card_primitiveRoots
[GOAL]
n : ℕ
ζ : ℂ
h : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n ≠ 0
⊢ ∃ i, Complex.arg ζ = ↑i / ↑n * (2 * Real.pi) ∧ IsCoprime i ↑n ∧ Int.natAbs i < n
[PROOFSTEP]
rw [Complex.isPrimitiveRoot_iff _ _ hn] at h 
[GOAL]
n : ℕ
ζ : ℂ
h : ∃ i, i < n ∧ ∃ x, Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n)) = ζ
hn : n ≠ 0
⊢ ∃ i, Complex.arg ζ = ↑i / ↑n * (2 * Real.pi) ∧ IsCoprime i ↑n ∧ Int.natAbs i < n
[PROOFSTEP]
obtain ⟨i, h, hin, rfl⟩ := h
[GOAL]
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ ∃ i_1,
    Complex.arg (Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I * (↑i / ↑n))) = ↑i_1 / ↑n * (2 * Real.pi) ∧
      IsCoprime i_1 ↑n ∧ Int.natAbs i_1 < n
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm, ← mul_assoc, Complex.exp_mul_I]
[GOAL]
case intro.intro.intro
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ ∃ i_1,
    Complex.arg (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I) =
        ↑i_1 / ↑n * (2 * Real.pi) ∧
      IsCoprime i_1 ↑n ∧ Int.natAbs i_1 < n
[PROOFSTEP]
refine' ⟨if i * 2 ≤ n then i else i - n, _, _, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Complex.arg (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I) =
    ↑(if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
case intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ IsCoprime (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) ↑n
case intro.intro.intro.refine'_3
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Int.natAbs (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) < n
[PROOFSTEP]
on_goal 2 =>
  replace hin := Nat.isCoprime_iff_coprime.mpr hin
  split_ifs
  · exact hin
  · convert hin.add_mul_left_left (-1) using 1
    rw [mul_neg_one, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Complex.arg (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I) =
    ↑(if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
case intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ IsCoprime (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) ↑n
case intro.intro.intro.refine'_3
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Int.natAbs (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) < n
[PROOFSTEP]
on_goal 2 =>
  replace hin := Nat.isCoprime_iff_coprime.mpr hin
  split_ifs
  · exact hin
  · convert hin.add_mul_left_left (-1) using 1
    rw [mul_neg_one, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ IsCoprime (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) ↑n
[PROOFSTEP]
replace hin := Nat.isCoprime_iff_coprime.mpr hin
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : IsCoprime ↑i ↑n
⊢ IsCoprime (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) ↑n
[PROOFSTEP]
split_ifs
[GOAL]
case pos
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : IsCoprime ↑i ↑n
h✝ : i * 2 ≤ n
⊢ IsCoprime ↑i ↑n
[PROOFSTEP]
exact hin
[GOAL]
case neg
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : IsCoprime ↑i ↑n
h✝ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ IsCoprime (↑i - ↑n) ↑n
[PROOFSTEP]
convert hin.add_mul_left_left (-1) using 1
[GOAL]
case h.e'_3
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : IsCoprime ↑i ↑n
h✝ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑i - ↑n = ↑i + ↑n * -1
[PROOFSTEP]
rw [mul_neg_one, sub_eq_add_neg]
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Complex.arg (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I) =
    ↑(if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
case intro.intro.intro.refine'_3
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Int.natAbs (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) < n
[PROOFSTEP]
on_goal 2 =>
  split_ifs with h₂
  · exact_mod_cast h
  suffices (i - n : ℤ).natAbs = n - i by
    rw [this]
    apply tsub_lt_self hn.bot_lt
    contrapose! h₂
    rw [Nat.eq_zero_of_le_zero h₂, zero_mul]
    exact zero_le _
  rw [← Int.natAbs_neg, neg_sub, Int.natAbs_eq_iff]
  exact Or.inl (Int.ofNat_sub h.le).symm
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Complex.arg (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I) =
    ↑(if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
case intro.intro.intro.refine'_3
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Int.natAbs (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) < n
[PROOFSTEP]
on_goal 2 =>
  split_ifs with h₂
  · exact_mod_cast h
  suffices (i - n : ℤ).natAbs = n - i by
    rw [this]
    apply tsub_lt_self hn.bot_lt
    contrapose! h₂
    rw [Nat.eq_zero_of_le_zero h₂, zero_mul]
    exact zero_le _
  rw [← Int.natAbs_neg, neg_sub, Int.natAbs_eq_iff]
  exact Or.inl (Int.ofNat_sub h.le).symm
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_3
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Int.natAbs (if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) < n
[PROOFSTEP]
split_ifs with h₂
[GOAL]
case pos
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ Int.natAbs ↑i < n
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast h
[GOAL]
case neg
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ Int.natAbs (↑i - ↑n) < n
[PROOFSTEP]
suffices (i - n : ℤ).natAbs = n - i by
  rw [this]
  apply tsub_lt_self hn.bot_lt
  contrapose! h₂
  rw [Nat.eq_zero_of_le_zero h₂, zero_mul]
  exact zero_le _
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
this : Int.natAbs (↑i - ↑n) = n - i
⊢ Int.natAbs (↑i - ↑n) < n
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
this : Int.natAbs (↑i - ↑n) = n - i
⊢ n - i < n
[PROOFSTEP]
apply tsub_lt_self hn.bot_lt
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
this : Int.natAbs (↑i - ↑n) = n - i
⊢ 0 < i
[PROOFSTEP]
contrapose! h₂
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
this : Int.natAbs (↑i - ↑n) = n - i
h₂ : i ≤ 0
⊢ i * 2 ≤ n
[PROOFSTEP]
rw [Nat.eq_zero_of_le_zero h₂, zero_mul]
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
this : Int.natAbs (↑i - ↑n) = n - i
h₂ : i ≤ 0
⊢ 0 ≤ n
[PROOFSTEP]
exact zero_le _
[GOAL]
case neg
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ Int.natAbs (↑i - ↑n) = n - i
[PROOFSTEP]
rw [← Int.natAbs_neg, neg_sub, Int.natAbs_eq_iff]
[GOAL]
case neg
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑n - ↑i = ↑(n - i) ∨ ↑n - ↑i = -↑(n - i)
[PROOFSTEP]
exact Or.inl (Int.ofNat_sub h.le).symm
[GOAL]
case intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
⊢ Complex.arg (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I) =
    ↑(if i * 2 ≤ n then ↑i else ↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
[PROOFSTEP]
split_ifs with h₂
[GOAL]
case pos
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ Complex.arg (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I) =
    ↑↑i / ↑n * (2 * Real.pi)
[PROOFSTEP]
convert Complex.arg_cos_add_sin_mul_I _
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) = ↑(↑↑i / ↑n * (2 * Real.pi))
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) = ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) = ↑(↑↑i / ↑n * (2 * Real.pi))
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) = ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case pos.convert_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ ↑↑i / ↑n * (2 * Real.pi) ∈ Set.Ioc (-Real.pi) Real.pi
[PROOFSTEP]
field_simp [hn]
[GOAL]
case pos.convert_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ -Real.pi < ↑i * (2 * Real.pi) / ↑n ∧ ↑i * (2 * Real.pi) / ↑n ≤ Real.pi
[PROOFSTEP]
refine' ⟨(neg_lt_neg Real.pi_pos).trans_le _, _⟩
[GOAL]
case pos.convert_2.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ -0 ≤ ↑i * (2 * Real.pi) / ↑n
[PROOFSTEP]
rw [neg_zero]
[GOAL]
case pos.convert_2.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ 0 ≤ ↑i * (2 * Real.pi) / ↑n
[PROOFSTEP]
exact
  mul_nonneg (mul_nonneg i.cast_nonneg <| by simp [Real.pi_pos.le]) (by rw [inv_nonneg]; simp only [Nat.cast_nonneg])
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ 0 ≤ 2 * Real.pi
[PROOFSTEP]
simp [Real.pi_pos.le]
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ 0 ≤ (↑n)⁻¹
[PROOFSTEP]
rw [inv_nonneg]
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ 0 ≤ ↑n
[PROOFSTEP]
simp only [Nat.cast_nonneg]
[GOAL]
case pos.convert_2.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ ↑i * (2 * Real.pi) / ↑n ≤ Real.pi
[PROOFSTEP]
rw [← mul_rotate', mul_div_assoc]
[GOAL]
case pos.convert_2.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n
⊢ Real.pi * (↑i * 2 / ↑n) ≤ Real.pi
[PROOFSTEP]
rw [← mul_one n] at h₂ 
[GOAL]
case pos.convert_2.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n * 1
⊢ Real.pi * (↑i * 2 / ↑n) ≤ Real.pi
[PROOFSTEP]
exact mul_le_of_le_one_right Real.pi_pos.le ((div_le_iff' <| by exact_mod_cast pos_of_gt h).mpr <| by exact_mod_cast h₂)
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n * 1
⊢ 0 < ↑n
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast pos_of_gt h
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : i * 2 ≤ n * 1
⊢ ↑i * 2 ≤ ↑n * 1
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast h₂
[GOAL]
case neg
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ Complex.arg (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) + Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi)) * Complex.I) =
    ↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
[PROOFSTEP]
rw [← Complex.cos_sub_two_pi, ← Complex.sin_sub_two_pi]
[GOAL]
case neg
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ Complex.arg
      (Complex.cos (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi) +
        Complex.sin (↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi) * Complex.I) =
    ↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi)
[PROOFSTEP]
convert Complex.arg_cos_add_sin_mul_I _
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi = ↑(↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi))
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi = (↑i - ↑n) / ↑n * (2 * ↑Real.pi)
[PROOFSTEP]
rw [← sub_one_mul, sub_div, div_self]
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑n ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast hn
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi = ↑(↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi))
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑i / ↑n * (2 * ↑Real.pi) - 2 * ↑Real.pi = (↑i - ↑n) / ↑n * (2 * ↑Real.pi)
[PROOFSTEP]
rw [← sub_one_mul, sub_div, div_self]
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑n ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast hn
[GOAL]
case neg.convert_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑(↑i - ↑n) / ↑n * (2 * Real.pi) ∈ Set.Ioc (-Real.pi) Real.pi
[PROOFSTEP]
field_simp [hn]
[GOAL]
case neg.convert_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ -Real.pi < (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ∧ (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ≤ Real.pi
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, le_trans _ Real.pi_pos.le⟩
[GOAL]
case neg.convert_2.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ -Real.pi < (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n
case neg.convert_2.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ≤ 0
[PROOFSTEP]
on_goal 2 =>
  rw [mul_div_assoc]
  exact
    mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg (sub_nonpos.mpr <| by exact_mod_cast h.le)
      (div_nonneg (by simp [Real.pi_pos.le]) <| by simp)
[GOAL]
case neg.convert_2.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ -Real.pi < (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n
case neg.convert_2.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ≤ 0
[PROOFSTEP]
on_goal 2 =>
  rw [mul_div_assoc]
  exact
    mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg (sub_nonpos.mpr <| by exact_mod_cast h.le)
      (div_nonneg (by simp [Real.pi_pos.le]) <| by simp)
[GOAL]
case neg.convert_2.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n ≤ 0
[PROOFSTEP]
rw [mul_div_assoc]
[GOAL]
case neg.convert_2.refine'_2
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi / ↑n) ≤ 0
[PROOFSTEP]
exact
  mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg (sub_nonpos.mpr <| by exact_mod_cast h.le)
    (div_nonneg (by simp [Real.pi_pos.le]) <| by simp)
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑i ≤ ↑n
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast h.le
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ 0 ≤ 2 * Real.pi
[PROOFSTEP]
simp [Real.pi_pos.le]
[GOAL]
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ 0 ≤ ↑n
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case neg.convert_2.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ -Real.pi < (↑i - ↑n) * (2 * Real.pi) / ↑n
[PROOFSTEP]
rw [← mul_rotate', mul_div_assoc, neg_lt, ← mul_neg, mul_lt_iff_lt_one_right Real.pi_pos, ← neg_div, ← neg_mul, neg_sub,
  div_lt_iff, one_mul, sub_mul, sub_lt_comm, ← mul_sub_one]
[GOAL]
case neg.convert_2.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑n * (2 - 1) < ↑i * 2
case neg.convert_2.refine'_1 n : ℕ hn : n ≠ 0 i : ℕ h : i < n hin : Nat.coprime i n h₂ : ¬i * 2 ≤ n ⊢ 0 < ↑n
[PROOFSTEP]
norm_num
[GOAL]
case neg.convert_2.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ ↑n < ↑i * 2
case neg.convert_2.refine'_1 n : ℕ hn : n ≠ 0 i : ℕ h : i < n hin : Nat.coprime i n h₂ : ¬i * 2 ≤ n ⊢ 0 < ↑n
[PROOFSTEP]
exact_mod_cast not_le.mp h₂
[GOAL]
case neg.convert_2.refine'_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
i : ℕ
h : i < n
hin : Nat.coprime i n
h₂ : ¬i * 2 ≤ n
⊢ 0 < ↑n
[PROOFSTEP]
exact Nat.cast_pos.mpr hn.bot_lt
