[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < e
[PROOFSTEP]
rw [NormNum.IsNat.to_eq h rfl]
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < ↑n
[PROOFSTEP]
apply Nat.cast_pos.2
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < n
[PROOFSTEP]
simpa using w
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : OrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
⊢ 0 ≤ e
[PROOFSTEP]
rw [NormNum.IsNat.to_eq h rfl]
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : OrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
⊢ 0 ≤ ↑n
[PROOFSTEP]
exact Nat.cast_nonneg n
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ e ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [NormNum.IsInt.neg_to_eq h rfl]
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ -↑n ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp only [ne_eq, neg_eq_zero]
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ ¬↑n = 0
[PROOFSTEP]
apply ne_of_gt
[GOAL]
case h
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true
⊢ 0 < ↑n
[PROOFSTEP]
simpa using w
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
⊢ 0 < e
[PROOFSTEP]
have pos_invOf_d : (0 < ⅟(d : A)) := pos_invOf_of_invertible_cast d
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
⊢ 0 < e
[PROOFSTEP]
have pos_n : (0 < (n : A)) := Int.cast_pos (n := n) |>.2 (of_decide_eq_true h)
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
pos_n : 0 < ↑n
⊢ 0 < e
[PROOFSTEP]
rw [eq]
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
pos_n : 0 < ↑n
⊢ 0 < ↑n * ⅟↑d
[PROOFSTEP]
exact mul_pos pos_n pos_invOf_d
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n = 0) = true
⊢ 0 ≤ e
[PROOFSTEP]
rw [eq, of_decide_eq_true h]
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n = 0) = true
⊢ 0 ≤ ↑0 * ⅟↑d
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
⊢ e ≠ 0
[PROOFSTEP]
have pos_invOf_d : (0 < ⅟(d : A)) := pos_invOf_of_invertible_cast d
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
⊢ e ≠ 0
[PROOFSTEP]
have neg_n : ((n : A) < 0) := Int.cast_lt_zero (n := n) |>.2 (of_decide_eq_true h)
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
⊢ e ≠ 0
[PROOFSTEP]
have neg := mul_neg_of_neg_of_pos neg_n pos_invOf_d
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
neg : ↑n * ⅟↑d < 0
⊢ e ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [eq]
[GOAL]
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
neg : ↑n * ⅟↑d < 0
⊢ ↑n * ⅟↑d ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact ne_iff_lt_or_gt.2 (Or.inl neg)
