[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A : Matrix m (n₁ ⊕ n₂) R
⊢ fromColumns (toColumns₁ A) (toColumns₂ A) = A
[PROOFSTEP]
ext i (j | j)
[GOAL]
case a.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A : Matrix m (n₁ ⊕ n₂) R
i : m
j : n₁
⊢ fromColumns (toColumns₁ A) (toColumns₂ A) i (Sum.inl j) = A i (Sum.inl j)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A : Matrix m (n₁ ⊕ n₂) R
i : m
j : n₂
⊢ fromColumns (toColumns₁ A) (toColumns₂ A) i (Sum.inr j) = A i (Sum.inr j)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A : Matrix (m₁ ⊕ m₂) n R
⊢ fromRows (toRows₁ A) (toRows₂ A) = A
[PROOFSTEP]
ext (i | i) j
[GOAL]
case a.inl.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A : Matrix (m₁ ⊕ m₂) n R
i : m₁
j : n
⊢ fromRows (toRows₁ A) (toRows₂ A) (Sum.inl i) j = A (Sum.inl i) j
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inr.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A : Matrix (m₁ ⊕ m₂) n R
i : m₂
j : n
⊢ fromRows (toRows₁ A) (toRows₂ A) (Sum.inr i) j = A (Sum.inr i) j
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
⊢ Function.Injective2 fromRows
[PROOFSTEP]
intros x1 x2 y1 y2
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m₁ n R
y1 y2 : Matrix m₂ n R
⊢ fromRows x1 y1 = fromRows x2 y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2
[PROOFSTEP]
simp only [Function.funext_iff, ← Matrix.ext_iff]
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m₁ n R
y1 y2 : Matrix m₂ n R
⊢ (∀ (i : m₁ ⊕ m₂) (j : n), fromRows x1 y1 i j = fromRows x2 y2 i j) →
    (∀ (i : m₁) (j : n), x1 i j = x2 i j) ∧ ∀ (i : m₂) (j : n), y1 i j = y2 i j
[PROOFSTEP]
aesop
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
⊢ Function.Injective2 fromColumns
[PROOFSTEP]
intros x1 x2 y1 y2
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m n₁ R
y1 y2 : Matrix m n₂ R
⊢ fromColumns x1 y1 = fromColumns x2 y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2
[PROOFSTEP]
simp only [Function.funext_iff, ← Matrix.ext_iff]
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m n₁ R
y1 y2 : Matrix m n₂ R
⊢ (∀ (i : m) (j : n₁ ⊕ n₂), fromColumns x1 y1 i j = fromColumns x2 y2 i j) →
    (∀ (i : m) (j : n₁), x1 i j = x2 i j) ∧ ∀ (i : m) (j : n₂), y1 i j = y2 i j
[PROOFSTEP]
aesop
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
⊢ (fromColumns A₁ A₂)ᵀ = fromRows A₁ᵀ A₂ᵀ
[PROOFSTEP]
ext (i | i) j
[GOAL]
case a.inl.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
i : n₁
j : m
⊢ (fromColumns A₁ A₂)ᵀ (Sum.inl i) j = fromRows A₁ᵀ A₂ᵀ (Sum.inl i) j
[PROOFSTEP]
simp
  /- A row partioned matrix when transposed gives a column partioned matrix with rows of the initial
  matrix tranposed to become columns. -/
[GOAL]
case a.inr.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
i : n₂
j : m
⊢ (fromColumns A₁ A₂)ᵀ (Sum.inr i) j = fromRows A₁ᵀ A₂ᵀ (Sum.inr i) j
[PROOFSTEP]
simp
  /- A row partioned matrix when transposed gives a column partioned matrix with rows of the initial
  matrix tranposed to become columns. -/
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
⊢ (fromRows A₁ A₂)ᵀ = fromColumns A₁ᵀ A₂ᵀ
[PROOFSTEP]
ext i (j | j)
[GOAL]
case a.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
i : n
j : m₁
⊢ (fromRows A₁ A₂)ᵀ i (Sum.inl j) = fromColumns A₁ᵀ A₂ᵀ i (Sum.inl j)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
i : n
j : m₂
⊢ (fromRows A₁ A₂)ᵀ i (Sum.inr j) = fromColumns A₁ᵀ A₂ᵀ i (Sum.inr j)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B : Matrix n m R
⊢ fromRows A₁ A₂ * B = fromRows (A₁ * B) (A₂ * B)
[PROOFSTEP]
ext (_ | _) _
[GOAL]
case a.inl.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B : Matrix n m R
val✝ : m₁
x✝ : m
⊢ (fromRows A₁ A₂ * B) (Sum.inl val✝) x✝ = fromRows (A₁ * B) (A₂ * B) (Sum.inl val✝) x✝
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
case a.inr.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B : Matrix n m R
val✝ : m₂
x✝ : m
⊢ (fromRows A₁ A₂ * B) (Sum.inr val✝) x✝ = fromRows (A₁ * B) (A₂ * B) (Sum.inr val✝) x✝
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A : Matrix m n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
⊢ A * fromColumns B₁ B₂ = fromColumns (A * B₁) (A * B₂)
[PROOFSTEP]
ext _ (_ | _)
[GOAL]
case a.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A : Matrix m n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
i✝ : m
val✝ : n₁
⊢ (A * fromColumns B₁ B₂) i✝ (Sum.inl val✝) = fromColumns (A * B₁) (A * B₂) i✝ (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
case a.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A : Matrix m n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
i✝ : m
val✝ : n₂
⊢ (A * fromColumns B₁ B₂) i✝ (Sum.inr val✝) = fromColumns (A * B₁) (A * B₂) i✝ (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
⊢ fromRows 0 0 = 0
[PROOFSTEP]
ext (_ | _) _
[GOAL]
case a.inl.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
val✝ : m₁
x✝ : n
⊢ fromRows 0 0 (Sum.inl val✝) x✝ = OfNat.ofNat 0 (Sum.inl val✝) x✝
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inr.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
val✝ : m₂
x✝ : n
⊢ fromRows 0 0 (Sum.inr val✝) x✝ = OfNat.ofNat 0 (Sum.inr val✝) x✝
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
⊢ fromColumns 0 0 = 0
[PROOFSTEP]
ext _ (_ | _)
[GOAL]
case a.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
i✝ : m
val✝ : n₁
⊢ fromColumns 0 0 i✝ (Sum.inl val✝) = OfNat.ofNat 0 i✝ (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
i✝ : m
val✝ : n₂
⊢ fromColumns 0 0 i✝ (Sum.inr val✝) = OfNat.ofNat 0 i✝ (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
⊢ fromColumns (fromRows B₁₁ B₂₁) (fromRows B₁₂ B₂₂) = fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂
[PROOFSTEP]
ext (_ | _) (_ | _)
[GOAL]
case a.inl.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝¹ : m₁
val✝ : n₁
⊢ fromColumns (fromRows B₁₁ B₂₁) (fromRows B₁₂ B₂₂) (Sum.inl val✝¹) (Sum.inl val✝) =
    fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ (Sum.inl val✝¹) (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inl.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝¹ : m₁
val✝ : n₂
⊢ fromColumns (fromRows B₁₁ B₂₁) (fromRows B₁₂ B₂₂) (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝) =
    fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inr.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝¹ : m₂
val✝ : n₁
⊢ fromColumns (fromRows B₁₁ B₂₁) (fromRows B₁₂ B₂₂) (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝) =
    fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inr.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝¹ : m₂
val✝ : n₂
⊢ fromColumns (fromRows B₁₁ B₂₁) (fromRows B₁₂ B₂₂) (Sum.inr val✝¹) (Sum.inr val✝) =
    fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ (Sum.inr val✝¹) (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
⊢ fromRows (fromColumns B₁₁ B₁₂) (fromColumns B₂₁ B₂₂) = fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂
[PROOFSTEP]
ext (_ | _) (_ | _)
[GOAL]
case a.inl.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝¹ : m₁
val✝ : n₁
⊢ fromRows (fromColumns B₁₁ B₁₂) (fromColumns B₂₁ B₂₂) (Sum.inl val✝¹) (Sum.inl val✝) =
    fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ (Sum.inl val✝¹) (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inl.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝¹ : m₁
val✝ : n₂
⊢ fromRows (fromColumns B₁₁ B₁₂) (fromColumns B₂₁ B₂₂) (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝) =
    fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inr.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝¹ : m₂
val✝ : n₁
⊢ fromRows (fromColumns B₁₁ B₁₂) (fromColumns B₂₁ B₂₂) (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝) =
    fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inr.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝¹ : m₂
val✝ : n₂
⊢ fromRows (fromColumns B₁₁ B₁₂) (fromColumns B₂₁ B₂₂) (Sum.inr val✝¹) (Sum.inr val✝) =
    fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ (Sum.inr val✝¹) (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
⊢ fromRows A₁ A₂ * fromColumns B₁ B₂ = fromBlocks (A₁ * B₁) (A₁ * B₂) (A₂ * B₁) (A₂ * B₂)
[PROOFSTEP]
ext (_ | _) (_ | _)
[GOAL]
case a.inl.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
val✝¹ : m₁
val✝ : n₁
⊢ (fromRows A₁ A₂ * fromColumns B₁ B₂) (Sum.inl val✝¹) (Sum.inl val✝) =
    fromBlocks (A₁ * B₁) (A₁ * B₂) (A₂ * B₁) (A₂ * B₂) (Sum.inl val✝¹) (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inl.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
val✝¹ : m₁
val✝ : n₂
⊢ (fromRows A₁ A₂ * fromColumns B₁ B₂) (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝) =
    fromBlocks (A₁ * B₁) (A₁ * B₂) (A₂ * B₁) (A₂ * B₂) (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inr.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
val✝¹ : m₂
val✝ : n₁
⊢ (fromRows A₁ A₂ * fromColumns B₁ B₂) (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝) =
    fromBlocks (A₁ * B₁) (A₁ * B₂) (A₂ * B₁) (A₂ * B₂) (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.inr.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
B₁ : Matrix n n₁ R
B₂ : Matrix n n₂ R
val✝¹ : m₂
val✝ : n₂
⊢ (fromRows A₁ A₂ * fromColumns B₁ B₂) (Sum.inr val✝¹) (Sum.inr val✝) =
    fromBlocks (A₁ * B₁) (A₁ * B₂) (A₂ * B₁) (A₂ * B₂) (Sum.inr val✝¹) (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
⊢ fromColumns A₁ A₂ * fromRows B₁ B₂ = A₁ * B₁ + A₂ * B₂
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
i✝ : m
x✝ : n
⊢ (fromColumns A₁ A₂ * fromRows B₁ B₂) i✝ x✝ = (A₁ * B₁ + A₂ * B₂) i✝ x✝
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m m₁ R
A₂ : Matrix m m₂ R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
⊢ fromColumns A₁ A₂ * fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ = fromColumns (A₁ * B₁₁ + A₂ * B₂₁) (A₁ * B₁₂ + A₂ * B₂₂)
[PROOFSTEP]
ext _ (_ | _)
[GOAL]
case a.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m m₁ R
A₂ : Matrix m m₂ R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
i✝ : m
val✝ : n₁
⊢ (fromColumns A₁ A₂ * fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂) i✝ (Sum.inl val✝) =
    fromColumns (A₁ * B₁₁ + A₂ * B₂₁) (A₁ * B₁₂ + A₂ * B₂₂) i✝ (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
case a.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m m₁ R
A₂ : Matrix m m₂ R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
i✝ : m
val✝ : n₂
⊢ (fromColumns A₁ A₂ * fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂) i✝ (Sum.inr val✝) =
    fromColumns (A₁ * B₁₁ + A₂ * B₂₁) (A₁ * B₁₂ + A₂ * B₂₂) i✝ (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix n₁ n R
A₂ : Matrix n₂ n R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
⊢ fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ * fromRows A₁ A₂ = fromRows (B₁₁ * A₁ + B₁₂ * A₂) (B₂₁ * A₁ + B₂₂ * A₂)
[PROOFSTEP]
ext (_ | _) _
[GOAL]
case a.inl.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix n₁ n R
A₂ : Matrix n₂ n R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝ : m₁
x✝ : n
⊢ (fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ * fromRows A₁ A₂) (Sum.inl val✝) x✝ =
    fromRows (B₁₁ * A₁ + B₁₂ * A₂) (B₂₁ * A₁ + B₂₂ * A₂) (Sum.inl val✝) x✝
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
case a.inr.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix n₁ n R
A₂ : Matrix n₂ n R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R
val✝ : m₂
x✝ : n
⊢ (fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ * fromRows A₁ A₂) (Sum.inr val✝) x✝ =
    fromRows (B₁₁ * A₁ + B₁₂ * A₂) (B₂₁ * A₁ + B₂₂ * A₂) (Sum.inr val✝) x✝
[PROOFSTEP]
simp [mul_apply]
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ n₁ ⊕ n₂
A₁ : Matrix n n₁ R
A₂ : Matrix n n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
⊢ fromColumns A₁ A₂ * fromRows B₁ B₂ = 1 ↔ fromRows B₁ B₂ * fromColumns A₁ A₂ = 1
[PROOFSTEP]
calc
  fromColumns A₁ A₂ * fromRows B₁ B₂ = 1
  _ ↔ submatrix (fromColumns A₁ A₂) id e * submatrix (fromRows B₁ B₂) e id = 1 := by simp
  _ ↔ submatrix (fromRows B₁ B₂) e id * submatrix (fromColumns A₁ A₂) id e = 1 := mul_eq_one_comm
  _ ↔ reindex e.symm e.symm (fromRows B₁ B₂ * fromColumns A₁ A₂) = reindex e.symm e.symm 1 := by
    simp only [reindex_apply, Equiv.symm_symm, submatrix_one_equiv, submatrix_mul (he₂ := Function.bijective_id)]
  _ ↔ fromRows B₁ B₂ * fromColumns A₁ A₂ = 1 := (reindex _ _).injective.eq_iff
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ n₁ ⊕ n₂
A₁ : Matrix n n₁ R
A₂ : Matrix n n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
⊢ fromColumns A₁ A₂ * fromRows B₁ B₂ = 1 ↔ submatrix (fromColumns A₁ A₂) id ↑e * submatrix (fromRows B₁ B₂) (↑e) id = 1
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ n₁ ⊕ n₂
A₁ : Matrix n n₁ R
A₂ : Matrix n n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
⊢ submatrix (fromRows B₁ B₂) (↑e) id * submatrix (fromColumns A₁ A₂) id ↑e = 1 ↔
    ↑(reindex e.symm e.symm) (fromRows B₁ B₂ * fromColumns A₁ A₂) = ↑(reindex e.symm e.symm) 1
[PROOFSTEP]
simp only [reindex_apply, Equiv.symm_symm, submatrix_one_equiv, submatrix_mul (he₂ := Function.bijective_id)]
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Star R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
⊢ (fromColumns A₁ A₂)ᴴ = fromRows A₁ᴴ A₂ᴴ
[PROOFSTEP]
ext (_ | _) _
[GOAL]
case a.inl.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Star R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
val✝ : n₁
x✝ : m
⊢ (fromColumns A₁ A₂)ᴴ (Sum.inl val✝) x✝ = fromRows A₁ᴴ A₂ᴴ (Sum.inl val✝) x✝
[PROOFSTEP]
simp
  /- A row partioned matrix in a Star ring when conjugate transposed gives a column partitioned matrix
  with the rows of the initial matrix conjugate transposed to become columns. -/
[GOAL]
case a.inr.h
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Star R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
val✝ : n₂
x✝ : m
⊢ (fromColumns A₁ A₂)ᴴ (Sum.inr val✝) x✝ = fromRows A₁ᴴ A₂ᴴ (Sum.inr val✝) x✝
[PROOFSTEP]
simp
  /- A row partioned matrix in a Star ring when conjugate transposed gives a column partitioned matrix
  with the rows of the initial matrix conjugate transposed to become columns. -/
[GOAL]
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Star R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
⊢ (fromRows A₁ A₂)ᴴ = fromColumns A₁ᴴ A₂ᴴ
[PROOFSTEP]
ext _ (_ | _)
[GOAL]
case a.h.inl
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Star R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
i✝ : n
val✝ : m₁
⊢ (fromRows A₁ A₂)ᴴ i✝ (Sum.inl val✝) = fromColumns A₁ᴴ A₂ᴴ i✝ (Sum.inl val✝)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.h.inr
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Star R
A₁ : Matrix m₁ n R
A₂ : Matrix m₂ n R
i✝ : n
val✝ : m₂
⊢ (fromRows A₁ A₂)ᴴ i✝ (Sum.inr val✝) = fromColumns A₁ᴴ A₂ᴴ i✝ (Sum.inr val✝)
[PROOFSTEP]
simp
