[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x
[PROOFSTEP]
refine ⟨fun n ↦ (r ^ n)⁻¹, fun n ↦ r ^ n • y, hs, ?_, ?_⟩
[GOAL]
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => ‖(fun n => (r ^ n)⁻¹) n‖) atTop atTop
[PROOFSTEP]
simp only [norm_inv, norm_pow, ← inv_pow]
[GOAL]
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => ‖r‖⁻¹ ^ n) atTop atTop
[PROOFSTEP]
exact tendsto_pow_atTop_atTop_of_one_lt <| one_lt_inv (norm_pos_iff.2 hr₀) hr
[GOAL]
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
r : 𝕜
hr₀ : r ≠ 0
hr : ‖r‖ < 1
hs : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + r ^ n • y ∈ s
⊢ Tendsto (fun n => (fun n => (r ^ n)⁻¹) n • (fun n => r ^ n • y) n) atTop (𝓝 y)
[PROOFSTEP]
simp only [inv_smul_smul₀ (pow_ne_zero _ hr₀), tendsto_const_nhds]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : s ⊆ t
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ tangentConeAt 𝕜 t x
[PROOFSTEP]
rintro y ⟨c, d, ds, ctop, clim⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : s ⊆ t
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ y ∈ tangentConeAt 𝕜 t x
[PROOFSTEP]
exact ⟨c, d, mem_of_superset ds fun n hn => h hn, ctop, clim⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0) := tendsto_inv_atTop_zero.comp hc
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖) := (continuous_norm.tendsto _).comp hd
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 (0 * ‖y‖)) := A.mul B
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 (0 * ‖y‖))
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul] at C 
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have : ∀ᶠ n in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖ :=
  by
  refine (eventually_ne_of_tendsto_norm_atTop hc 0).mono fun n hn => ?_
  rw [norm_smul, ← mul_assoc, inv_mul_cancel, one_mul]
  rwa [Ne.def, norm_eq_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
[PROOFSTEP]
refine (eventually_ne_of_tendsto_norm_atTop hc 0).mono fun n hn => ?_
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
n : α
hn : c n ≠ 0
⊢ ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
[PROOFSTEP]
rw [norm_smul, ← mul_assoc, inv_mul_cancel, one_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
n : α
hn : c n ≠ 0
⊢ ‖c n‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
rwa [Ne.def, norm_eq_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
have D : Tendsto (fun n => ‖d n‖) l (𝓝 0) := Tendsto.congr' this C
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
D : Tendsto (fun n => ‖d n‖) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto d l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
rw [tendsto_zero_iff_norm_tendsto_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
D : Tendsto (fun n => ‖d n‖) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun e => ‖d e‖) l (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
exact D
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ tangentConeAt 𝕜 t x
[PROOFSTEP]
rintro y ⟨c, d, ds, ctop, clim⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ y ∈ tangentConeAt 𝕜 t x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨c, d, _, ctop, clim⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ t
[PROOFSTEP]
suffices : Tendsto (fun n => x + d n) atTop (𝓝[t] x)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
this : Tendsto (fun n => x + d n) atTop (𝓝[t] x)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ t
case this
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n => x + d n) atTop (𝓝[t] x)
[PROOFSTEP]
exact tendsto_principal.1 (tendsto_inf.1 this).2
[GOAL]
case this
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n => x + d n) atTop (𝓝[t] x)
[PROOFSTEP]
refine' (tendsto_inf.2 ⟨_, tendsto_principal.2 ds⟩).mono_right h
[GOAL]
case this
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun a => x + d a) atTop (𝓝 x)
[PROOFSTEP]
simpa only [add_zero] using tendsto_const_nhds.add (tangentConeAt.lim_zero atTop ctop clim)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
⊢ ↑(LinearMap.inl 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
rintro _ ⟨v, ⟨c, d, hd, hc, hy⟩, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ ↑(LinearMap.inl 𝕜 E F) v ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
have : ∀ n, ∃ d', y + d' ∈ t ∧ ‖c n • d'‖ < ((1 : ℝ) / 2) ^ n :=
  by
  intro n
  rcases mem_closure_iff_nhds.1 ht _ (eventually_nhds_norm_smul_sub_lt (c n) y (pow_pos one_half_pos n)) with
    ⟨z, hz, hzt⟩
  exact ⟨z - y, by simpa using hzt, by simpa using hz⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
⊢ ∀ (n : ℕ), ∃ d', y + d' ∈ t ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
intro n
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
n : ℕ
⊢ ∃ d', y + d' ∈ t ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
rcases mem_closure_iff_nhds.1 ht _ (eventually_nhds_norm_smul_sub_lt (c n) y (pow_pos one_half_pos n)) with ⟨z, hz, hzt⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
n : ℕ
z : F
hz : z ∈ {x | (fun y_1 => ‖c n • (y_1 - y)‖ < (1 / 2) ^ n) x}
hzt : z ∈ t
⊢ ∃ d', y + d' ∈ t ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
exact ⟨z - y, by simpa using hzt, by simpa using hz⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
n : ℕ
z : F
hz : z ∈ {x | (fun y_1 => ‖c n • (y_1 - y)‖ < (1 / 2) ^ n) x}
hzt : z ∈ t
⊢ y + (z - y) ∈ t
[PROOFSTEP]
simpa using hzt
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
n : ℕ
z : F
hz : z ∈ {x | (fun y_1 => ‖c n • (y_1 - y)‖ < (1 / 2) ^ n) x}
hzt : z ∈ t
⊢ ‖c n • (z - y)‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
simpa using hz
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ d', y + d' ∈ t ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ↑(LinearMap.inl 𝕜 E F) v ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
choose d' hd' using this
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
d' : ℕ → F
hd' : ∀ (n : ℕ), y + d' n ∈ t ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ↑(LinearMap.inl 𝕜 E F) v ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨c, fun n => (d n, d' n), _, hc, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
d' : ℕ → F
hd' : ∀ (n : ℕ), y + d' n ∈ t ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (x, y) + (fun n => (d n, d' n)) n ∈ s ×ˢ t
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
d' : ℕ → F
hd' : ∀ (n : ℕ), y + d' n ∈ t ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun n => c n • (fun n => (d n, d' n)) n) atTop (𝓝 (↑(LinearMap.inl 𝕜 E F) v))
[PROOFSTEP]
show ∀ᶠ n in atTop, (x, y) + (d n, d' n) ∈ s ×ˢ t
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
d' : ℕ → F
hd' : ∀ (n : ℕ), y + d' n ∈ t ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (x, y) + (d n, d' n) ∈ s ×ˢ t
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hd] with n hn
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
d' : ℕ → F
hd' : ∀ (n : ℕ), y + d' n ∈ t ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
n : ℕ
hn : x + d n ∈ s
⊢ (x, y) + (d n, d' n) ∈ s ×ˢ t
[PROOFSTEP]
simp [hn, (hd' n).1]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
d' : ℕ → F
hd' : ∀ (n : ℕ), y + d' n ∈ t ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun n => c n • (fun n => (d n, d' n)) n) atTop (𝓝 (↑(LinearMap.inl 𝕜 E F) v))
[PROOFSTEP]
apply Tendsto.prod_mk_nhds hy _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
d' : ℕ → F
hd' : ∀ (n : ℕ), y + d' n ∈ t ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun c_1 => c c_1 • ((fun n => (d n, d' n)) c_1).snd) atTop (𝓝 (↑0 v))
[PROOFSTEP]
refine' squeeze_zero_norm (fun n => (hd' n).2.le) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
d' : ℕ → F
hd' : ∀ (n : ℕ), y + d' n ∈ t ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (1 / 2) ^ n) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
exact tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 one_half_pos.le one_half_lt_one
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
⊢ ↑(LinearMap.inr 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 t y ⊆ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
rintro _ ⟨w, ⟨c, d, hd, hc, hy⟩, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
⊢ ↑(LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
have : ∀ n, ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < ((1 : ℝ) / 2) ^ n :=
  by
  intro n
  rcases mem_closure_iff_nhds.1 hs _ (eventually_nhds_norm_smul_sub_lt (c n) x (pow_pos one_half_pos n)) with
    ⟨z, hz, hzs⟩
  exact ⟨z - x, by simpa using hzs, by simpa using hz⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
⊢ ∀ (n : ℕ), ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
intro n
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
⊢ ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
rcases mem_closure_iff_nhds.1 hs _ (eventually_nhds_norm_smul_sub_lt (c n) x (pow_pos one_half_pos n)) with ⟨z, hz, hzs⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
z : E
hz : z ∈ {x_1 | (fun y => ‖c n • (y - x)‖ < (1 / 2) ^ n) x_1}
hzs : z ∈ s
⊢ ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
exact ⟨z - x, by simpa using hzs, by simpa using hz⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
z : E
hz : z ∈ {x_1 | (fun y => ‖c n • (y - x)‖ < (1 / 2) ^ n) x_1}
hzs : z ∈ s
⊢ x + (z - x) ∈ s
[PROOFSTEP]
simpa using hzs
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
z : E
hz : z ∈ {x_1 | (fun y => ‖c n • (y - x)‖ < (1 / 2) ^ n) x_1}
hzs : z ∈ s
⊢ ‖c n • (z - x)‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
simpa using hz
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ↑(LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
choose d' hd' using this
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ↑(LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨c, fun n => (d' n, d n), _, hc, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (x, y) + (fun n => (d' n, d n)) n ∈ s ×ˢ t
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun n => c n • (fun n => (d' n, d n)) n) atTop (𝓝 (↑(LinearMap.inr 𝕜 E F) w))
[PROOFSTEP]
show ∀ᶠ n in atTop, (x, y) + (d' n, d n) ∈ s ×ˢ t
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (x, y) + (d' n, d n) ∈ s ×ˢ t
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hd] with n hn
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
n : ℕ
hn : y + d n ∈ t
⊢ (x, y) + (d' n, d n) ∈ s ×ˢ t
[PROOFSTEP]
simp [hn, (hd' n).1]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun n => c n • (fun n => (d' n, d n)) n) atTop (𝓝 (↑(LinearMap.inr 𝕜 E F) w))
[PROOFSTEP]
apply Tendsto.prod_mk_nhds _ hy
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun c_1 => c c_1 • ((fun n => (d' n, d n)) c_1).fst) atTop (𝓝 (↑0 w))
[PROOFSTEP]
refine' squeeze_zero_norm (fun n => (hd' n).2.le) _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun n => (1 / 2) ^ n) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
exact tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 one_half_pos.le one_half_lt_one
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
⊢ MapsTo (↑(LinearMap.single i)) (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)) (tangentConeAt 𝕜 (Set.pi univ s) x)
[PROOFSTEP]
rintro w ⟨c, d, hd, hc, hy⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
⊢ ↑(LinearMap.single i) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (Set.pi univ s) x
[PROOFSTEP]
have : ∀ (n) (j) (_ : j ≠ i), ∃ d', x j + d' ∈ s j ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2 : ℝ) ^ n :=
  by
  intro n j hj
  rcases mem_closure_iff_nhds.1 (hi j hj) _ (eventually_nhds_norm_smul_sub_lt (c n) (x j) (pow_pos one_half_pos n)) with
    ⟨z, hz, hzs⟩
  exact ⟨z - x j, by simpa using hzs, by simpa using hz⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
⊢ ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ∃ d', x j + d' ∈ s j ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
intro n j hj
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ ∃ d', x j + d' ∈ s j ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
rcases mem_closure_iff_nhds.1 (hi j hj) _ (eventually_nhds_norm_smul_sub_lt (c n) (x j) (pow_pos one_half_pos n)) with
  ⟨z, hz, hzs⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
j : ι
hj : j ≠ i
z : E j
hz : z ∈ {x_1 | (fun y => ‖c n • (y - x j)‖ < (1 / 2) ^ n) x_1}
hzs : z ∈ s j
⊢ ∃ d', x j + d' ∈ s j ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
exact ⟨z - x j, by simpa using hzs, by simpa using hz⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
j : ι
hj : j ≠ i
z : E j
hz : z ∈ {x_1 | (fun y => ‖c n • (y - x j)‖ < (1 / 2) ^ n) x_1}
hzs : z ∈ s j
⊢ x j + (z - x j) ∈ s j
[PROOFSTEP]
simpa using hzs
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
j : ι
hj : j ≠ i
z : E j
hz : z ∈ {x_1 | (fun y => ‖c n • (y - x j)‖ < (1 / 2) ^ n) x_1}
hzs : z ∈ s j
⊢ ‖c n • (z - x j)‖ < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
simpa using hz
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
this : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ∃ d', x j + d' ∈ s j ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ↑(LinearMap.single i) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (Set.pi univ s) x
[PROOFSTEP]
choose! d' hd's hcd' using this
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ↑(LinearMap.single i) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (Set.pi univ s) x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨c, fun n => Function.update (d' n) i (d n), hd.mono fun n hn j _ => _, hc, tendsto_pi_nhds.2 fun j => _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝¹ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
n : ℕ
hn : x i + d n ∈ s i
j : ι
x✝ : j ∈ univ
⊢ (x + (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) n) j ∈ s j
[PROOFSTEP]
rcases em (j = i) with (rfl | hj)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝¹ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
c : ℕ → 𝕜
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
d' : ℕ → (j : ι) → E j
n : ℕ
j : ι
x✝ : j ∈ univ
hi : ∀ (j_1 : ι), j_1 ≠ j → x j_1 ∈ closure (s j_1)
w : E j
d : ℕ → E j
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x j + d n ∈ s j
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
hd's : ∀ (n : ℕ) (j_1 : ι), j_1 ≠ j → x j_1 + d' n j_1 ∈ s j_1
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j_1 : ι), j_1 ≠ j → ‖c n • d' n j_1‖ < (1 / 2) ^ n
hn : x j + d n ∈ s j
⊢ (x + (fun n => Function.update (d' n) j (d n)) n) j ∈ s j
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝¹ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
n : ℕ
hn : x i + d n ∈ s i
j : ι
x✝ : j ∈ univ
hj : ¬j = i
⊢ (x + (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) n) j ∈ s j
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
j : ι
⊢ Tendsto (fun i_1 => (c i_1 • (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) i_1) j) atTop (𝓝 (↑(LinearMap.single i) w j))
[PROOFSTEP]
rcases em (j = i) with (rfl | hj)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
c : ℕ → 𝕜
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
d' : ℕ → (j : ι) → E j
j : ι
hi : ∀ (j_1 : ι), j_1 ≠ j → x j_1 ∈ closure (s j_1)
w : E j
d : ℕ → E j
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x j + d n ∈ s j
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
hd's : ∀ (n : ℕ) (j_1 : ι), j_1 ≠ j → x j_1 + d' n j_1 ∈ s j_1
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j_1 : ι), j_1 ≠ j → ‖c n • d' n j_1‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun i => (c i • (fun n => Function.update (d' n) j (d n)) i) j) atTop (𝓝 (↑(LinearMap.single j) w j))
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
j : ι
hj : ¬j = i
⊢ Tendsto (fun i_1 => (c i_1 • (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) i_1) j) atTop (𝓝 (↑(LinearMap.single i) w j))
[PROOFSTEP]
suffices Tendsto (fun n => c n • d' n j) atTop (𝓝 0) by simpa [hj]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
j : ι
hj : ¬j = i
this : Tendsto (fun n => c n • d' n j) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i_1 => (c i_1 • (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) i_1) j) atTop (𝓝 (↑(LinearMap.single i) w j))
[PROOFSTEP]
simpa [hj]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
j : ι
hj : ¬j = i
⊢ Tendsto (fun n => c n • d' n j) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
refine' squeeze_zero_norm (fun n => (hcd' n j hj).le) _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
j : ι
hj : ¬j = i
⊢ Tendsto (fun n => (1 / 2) ^ n) atTop (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
exact tendsto_pow_atTop_nhds_0_of_lt_1 one_half_pos.le one_half_lt_one
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
⊢ y - x ∈ tangentConeAt ℝ s x
[PROOFSTEP]
refine mem_tangentConeAt_of_pow_smul one_half_pos.ne' (by norm_num) ?_
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
⊢ ‖1 / 2‖ < 1
[PROOFSTEP]
norm_num
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ s
[PROOFSTEP]
refine (eventually_ne_atTop 0).mono fun n hn ↦ (h ?_)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ openSegment ℝ x y
[PROOFSTEP]
rw [openSegment_eq_image]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1
[PROOFSTEP]
refine ⟨(1 / 2) ^ n, ⟨?_, ?_⟩, ?_⟩
[GOAL]
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < (1 / 2) ^ n
[PROOFSTEP]
exact pow_pos one_half_pos _
[GOAL]
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (1 / 2) ^ n < 1
[PROOFSTEP]
exact pow_lt_one one_half_pos.le one_half_lt_one hn
[GOAL]
case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) ((1 / 2) ^ n) = x + (1 / 2) ^ n • (y - x)
[PROOFSTEP]
simp only [sub_smul, one_smul, smul_sub]
[GOAL]
case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x - (1 / 2) ^ n • x + (1 / 2) ^ n • y = x + ((1 / 2) ^ n • y - (1 / 2) ^ n • x)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ x - (1 / 2) ^ n • x + (1 / 2) ^ n • y = x + ((1 / 2) ^ n • y - (1 / 2) ^ n • x)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 univ x
[PROOFSTEP]
rw [uniqueDiffWithinAt_iff, tangentCone_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 univ) ∧ x ∈ closure univ
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 t x
[PROOFSTEP]
simp only [uniqueDiffWithinAt_iff] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
h : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t x)) ∧ x ∈ closure t
[PROOFSTEP]
rw [mem_closure_iff_nhdsWithin_neBot] at h ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
st : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
h : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ NeBot (𝓝[s] x)
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t x)) ∧ NeBot (𝓝[t] x)
[PROOFSTEP]
exact ⟨h.1.mono <| Submodule.span_mono <| tangentCone_mono_nhds st, h.2.mono st⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
[PROOFSTEP]
simpa only [univ_inter] using uniqueDiffWithinAt_univ.inter h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 t y
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
[PROOFSTEP]
rw [uniqueDiffWithinAt_iff] at hs ht ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))) ∧ (x, y) ∈ closure (s ×ˢ t)
[PROOFSTEP]
rw [closure_prod_eq]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))) ∧ (x, y) ∈ closure s ×ˢ closure t
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, hs.2, ht.2⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))
[PROOFSTEP]
have : _ ≤ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)) :=
  Submodule.span_mono (union_subset (subset_tangentCone_prod_left ht.2) (subset_tangentCone_prod_right hs.2))
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
this :
  Submodule.span 𝕜 (↑(LinearMap.inl 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 s x ∪ ↑(LinearMap.inr 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 t y) ≤
    Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))
[PROOFSTEP]
rw [LinearMap.span_inl_union_inr, SetLike.le_def] at this 
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
this :
  ∀ ⦃x_1 : E × F⦄,
    x_1 ∈ Submodule.prod (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) →
      x_1 ∈ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))
[PROOFSTEP]
exact (hs.1.prod ht.1).mono this
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (Set.pi univ s) x
[PROOFSTEP]
classical
simp only [uniqueDiffWithinAt_iff, closure_pi_set] at h ⊢
refine' ⟨(dense_pi univ fun i _ => (h i).1).mono _, fun i _ => (h i).2⟩
norm_cast
simp only [← Submodule.iSup_map_single, iSup_le_iff, LinearMap.map_span, Submodule.span_le, ← mapsTo']
exact fun i => (mapsTo_tangentCone_pi fun j _ => (h j).2).mono Subset.rfl Submodule.subset_span
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (Set.pi univ s) x
[PROOFSTEP]
simp only [uniqueDiffWithinAt_iff, closure_pi_set] at h ⊢
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i))) ∧ x i ∈ closure (s i)
⊢ Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (Set.pi univ s) x)) ∧ x ∈ Set.pi univ fun i => closure (s i)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨(dense_pi univ fun i _ => (h i).1).mono _, fun i _ => (h i).2⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i))) ∧ x i ∈ closure (s i)
⊢ (Set.pi univ fun i => ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)))) ⊆
    ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (Set.pi univ s) x))
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i))) ∧ x i ∈ closure (s i)
⊢ (Submodule.pi univ fun i => Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i))) ≤
    Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (Set.pi univ s) x)
[PROOFSTEP]
simp only [← Submodule.iSup_map_single, iSup_le_iff, LinearMap.map_span, Submodule.span_le, ← mapsTo']
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i))) ∧ x i ∈ closure (s i)
⊢ ∀ (i : ι),
    MapsTo (fun a => ↑(LinearMap.single i) a) (tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i))
      ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (Set.pi univ s) x))
[PROOFSTEP]
exact fun i => (mapsTo_tangentCone_pi fun j _ => (h j).2).mono Subset.rfl Submodule.subset_span
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ I → UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (Set.pi I s) x
[PROOFSTEP]
classical
rw [← Set.univ_pi_piecewise_univ]
refine' UniqueDiffWithinAt.univ_pi ι E _ _ fun i => _
by_cases hi : i ∈ I <;> simp [*, uniqueDiffWithinAt_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ I → UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (Set.pi I s) x
[PROOFSTEP]
rw [← Set.univ_pi_piecewise_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ I → UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (Set.pi univ (piecewise I s fun x => univ)) x
[PROOFSTEP]
refine' UniqueDiffWithinAt.univ_pi ι E _ _ fun i => _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ I → UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
i : ι
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (piecewise I s (fun x => univ) i) (x i)
[PROOFSTEP]
by_cases hi : i ∈ I
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ I → UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (piecewise I s (fun x => univ) i) (x i)
[PROOFSTEP]
simp [*, uniqueDiffWithinAt_univ]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ I → UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
i : ι
hi : ¬i ∈ I
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (piecewise I s (fun x => univ) i) (x i)
[PROOFSTEP]
simp [*, uniqueDiffWithinAt_univ]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
hs : Set.Nonempty (interior s)
x : G
hx : x ∈ closure s
⊢ UniqueDiffWithinAt ℝ s x
[PROOFSTEP]
rcases hs with ⟨y, hy⟩
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s
⊢ UniqueDiffWithinAt ℝ s x
[PROOFSTEP]
suffices y - x ∈ interior (tangentConeAt ℝ s x)
  by
  refine' ⟨Dense.of_closure _, hx⟩
  simp [(Submodule.span ℝ (tangentConeAt ℝ s x)).eq_top_of_nonempty_interior'
      ⟨y - x, interior_mono Submodule.subset_span this⟩]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s
this : y - x ∈ interior (tangentConeAt ℝ s x)
⊢ UniqueDiffWithinAt ℝ s x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨Dense.of_closure _, hx⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s
this : y - x ∈ interior (tangentConeAt ℝ s x)
⊢ Dense (closure ↑(Submodule.span ℝ (tangentConeAt ℝ s x)))
[PROOFSTEP]
simp [(Submodule.span ℝ (tangentConeAt ℝ s x)).eq_top_of_nonempty_interior'
    ⟨y - x, interior_mono Submodule.subset_span this⟩]
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s
⊢ y - x ∈ interior (tangentConeAt ℝ s x)
[PROOFSTEP]
rw [mem_interior_iff_mem_nhds]
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : y ∈ interior s
⊢ tangentConeAt ℝ s x ∈ 𝓝 (y - x)
[PROOFSTEP]
replace hy : interior s ∈ 𝓝 y := IsOpen.mem_nhds isOpen_interior hy
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : interior s ∈ 𝓝 y
⊢ tangentConeAt ℝ s x ∈ 𝓝 (y - x)
[PROOFSTEP]
apply mem_of_superset ((isOpenMap_sub_right x).image_mem_nhds hy)
[GOAL]
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : interior s ∈ 𝓝 y
⊢ (fun x_1 => x_1 - x) '' interior s ⊆ tangentConeAt ℝ s x
[PROOFSTEP]
rintro _ ⟨z, zs, rfl⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : interior s ∈ 𝓝 y
z : G
zs : z ∈ interior s
⊢ (fun x_1 => x_1 - x) z ∈ tangentConeAt ℝ s x
[PROOFSTEP]
refine' mem_tangentCone_of_openSegment_subset (Subset.trans _ interior_subset)
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
conv : Convex ℝ s
x : G
hx : x ∈ closure s
y : G
hy : interior s ∈ 𝓝 y
z : G
zs : z ∈ interior s
⊢ openSegment ℝ x z ⊆ interior s
[PROOFSTEP]
exact conv.openSegment_closure_interior_subset_interior hx zs
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a : ℝ
⊢ Set.Nonempty (interior (Ici a))
[PROOFSTEP]
simp only [interior_Ici, nonempty_Ioi]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a : ℝ
⊢ Set.Nonempty (interior (Iic a))
[PROOFSTEP]
simp only [interior_Iic, nonempty_Iio]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ Set.Nonempty (interior (Icc a b))
[PROOFSTEP]
simp only [interior_Icc, nonempty_Ioo, hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ Set.Nonempty (interior (Ico a b))
[PROOFSTEP]
simp only [interior_Ico, nonempty_Ioo, hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : ¬a < b
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Ico a b)
[PROOFSTEP]
simp only [Ico_eq_empty hab, uniqueDiffOn_empty]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b
⊢ Set.Nonempty (interior (Ioc a b))
[PROOFSTEP]
simp only [interior_Ioc, nonempty_Ioo, hab]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : ¬a < b
⊢ UniqueDiffOn ℝ (Ioc a b)
[PROOFSTEP]
simp only [Ioc_eq_empty hab, uniqueDiffOn_empty]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a : ℝ
⊢ Set.Nonempty (interior (Ioi a))
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a : ℝ
⊢ a ∈ closure (Ioi a)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a : ℝ
⊢ Set.Nonempty (interior (Iio a))
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a : ℝ
⊢ a ∈ closure (Iio a)
[PROOFSTEP]
simp
