[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I : Ideal R
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I
[PROOFSTEP]
refine'
  IsNoetherian.induction (P := fun I => ∃ Z : Multiset (PrimeSpectrum R), Multiset.prod (Z.map asIdeal) ≤ I)
    (fun (M : Ideal R) hgt => _) I
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
by_cases h_prM : M.IsPrime
[GOAL]
case pos
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : Ideal.IsPrime M
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
use{⟨M, h_prM⟩}
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : Ideal.IsPrime M
⊢ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal {{ asIdeal := M, IsPrime := h_prM }}) ≤ M
[PROOFSTEP]
rw [Multiset.map_singleton, Multiset.prod_singleton]
[GOAL]
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
by_cases htop : M = ⊤
[GOAL]
case pos
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : M = ⊤
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
rw [htop]
[GOAL]
case pos
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : M = ⊤
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) ⊤
[PROOFSTEP]
exact ⟨0, le_top⟩
[GOAL]
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
have lt_add : ∀ (z) (_ : z ∉ M), M < M + span R { z } :=
  by
  intro z hz
  refine' lt_of_le_of_ne le_sup_left fun m_eq => hz _
  rw [m_eq]
  exact Ideal.mem_sup_right (mem_span_singleton_self z)
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
⊢ ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
[PROOFSTEP]
intro z hz
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
z : R
hz : ¬z ∈ M
⊢ M < M + span R {z}
[PROOFSTEP]
refine' lt_of_le_of_ne le_sup_left fun m_eq => hz _
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
z : R
hz : ¬z ∈ M
m_eq : M = M + span R {z}
⊢ z ∈ M
[PROOFSTEP]
rw [m_eq]
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
z : R
hz : ¬z ∈ M
m_eq : M = M + span R {z}
⊢ z ∈ M + span R {z}
[PROOFSTEP]
exact Ideal.mem_sup_right (mem_span_singleton_self z)
[GOAL]
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx, y, hy, hxy⟩ := (Ideal.not_isPrime_iff.mp h_prM).resolve_left htop
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
obtain ⟨Wx, h_Wx⟩ := hgt (M + span R { x }) (lt_add _ hx)
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
obtain ⟨Wy, h_Wy⟩ := hgt (M + span R { y }) (lt_add _ hy)
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span R {y}
⊢ (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) M
[PROOFSTEP]
use Wx + Wy
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span R {y}
⊢ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)) ≤ M
[PROOFSTEP]
rw [Multiset.map_add, Multiset.prod_add]
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span R {y}
⊢ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) * Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M
[PROOFSTEP]
apply le_trans (Submodule.mul_le_mul h_Wx h_Wy)
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span R {y}
⊢ (M + span R {x}) * (M + span R {y}) ≤ M
[PROOFSTEP]
rw [add_mul]
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span R {y}
⊢ M * (M + span R {y}) + span R {x} * (M + span R {y}) ≤ M
[PROOFSTEP]
apply sup_le (show M * (M + span R { y }) ≤ M from Ideal.mul_le_right)
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span R {y}
⊢ span R {x} * (M + span R {y}) ≤ M
[PROOFSTEP]
rw [mul_add]
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span R {y}
⊢ span R {x} * M + span R {x} * span R {y} ≤ M
[PROOFSTEP]
apply sup_le (show span R { x } * M ≤ M from Ideal.mul_le_left)
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
I M : Ideal R
hgt : ∀ (J : Submodule R R), J > M → (fun I => ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I) J
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
htop : ¬M = ⊤
lt_add : ∀ (z : R), ¬z ∈ M → M < M + span R {z}
x : R
hx : ¬x ∈ M
y : R
hy : ¬y ∈ M
hxy : x * y ∈ M
Wx : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span R {x}
Wy : Multiset (PrimeSpectrum R)
h_Wy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span R {y}
⊢ span R {x} * span R {y} ≤ M
[PROOFSTEP]
rwa [span_mul_span, Set.singleton_mul_singleton, span_singleton_le_iff_mem]
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
h_nzI : I ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
revert h_nzI
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
⊢ I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
refine'
  IsNoetherian.induction (P := fun I =>
    I ≠ ⊥ → ∃ Z : Multiset (PrimeSpectrum A), Multiset.prod (Z.map asIdeal) ≤ I ∧ Multiset.prod (Z.map asIdeal) ≠ ⊥)
    (fun (M : Ideal A) hgt => _) I
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
⊢ (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) M
[PROOFSTEP]
intro h_nzM
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
have hA_nont : Nontrivial A
[GOAL]
case hA_nont
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
⊢ Nontrivial A
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
apply IsDomain.toNontrivial
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
by_cases h_topM : M = ⊤
[GOAL]
case pos
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : M = ⊤
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
rcases h_topM with rfl
[GOAL]
case pos
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
hA_nont : Nontrivial A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > ⊤ →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : ⊤ ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ ⊤ ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
obtain ⟨p_id, h_nzp, h_pp⟩ : ∃ p : Ideal A, p ≠ ⊥ ∧ p.IsPrime := by apply Ring.not_isField_iff_exists_prime.mp h_fA
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
hA_nont : Nontrivial A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > ⊤ →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : ⊤ ≠ ⊥
⊢ ∃ p, p ≠ ⊥ ∧ Ideal.IsPrime p
[PROOFSTEP]
apply Ring.not_isField_iff_exists_prime.mp h_fA
[GOAL]
case pos.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
hA_nont : Nontrivial A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > ⊤ →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : ⊤ ≠ ⊥
p_id : Ideal A
h_nzp : p_id ≠ ⊥
h_pp : Ideal.IsPrime p_id
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ ⊤ ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
use({⟨p_id, h_pp⟩} : Multiset (PrimeSpectrum A)), le_top
[GOAL]
case right
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
hA_nont : Nontrivial A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > ⊤ →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : ⊤ ≠ ⊥
p_id : Ideal A
h_nzp : p_id ≠ ⊥
h_pp : Ideal.IsPrime p_id
⊢ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal {{ asIdeal := p_id, IsPrime := h_pp }}) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
rwa [Multiset.map_singleton, Multiset.prod_singleton]
[GOAL]
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
by_cases h_prM : M.IsPrime
[GOAL]
case pos
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : Ideal.IsPrime M
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
use({⟨M, h_prM⟩} : Multiset (PrimeSpectrum A))
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : Ideal.IsPrime M
⊢ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal {{ asIdeal := M, IsPrime := h_prM }}) ≤ M ∧
    Multiset.prod (Multiset.map asIdeal {{ asIdeal := M, IsPrime := h_prM }}) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
rw [Multiset.map_singleton, Multiset.prod_singleton]
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : Ideal.IsPrime M
⊢ { asIdeal := M, IsPrime := h_prM }.asIdeal ≤ M ∧ { asIdeal := M, IsPrime := h_prM }.asIdeal ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
exact ⟨le_rfl, h_nzM⟩
[GOAL]
case neg
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx, y, hy, h_xy⟩ := (Ideal.not_isPrime_iff.mp h_prM).resolve_left h_topM
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
have lt_add : ∀ (z) (_ : z ∉ M), M < M + span A { z } :=
  by
  intro z hz
  refine' lt_of_le_of_ne le_sup_left fun m_eq => hz _
  rw [m_eq]
  exact mem_sup_right (mem_span_singleton_self z)
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
⊢ ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
[PROOFSTEP]
intro z hz
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
z : A
hz : ¬z ∈ M
⊢ M < M + span A {z}
[PROOFSTEP]
refine' lt_of_le_of_ne le_sup_left fun m_eq => hz _
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
z : A
hz : ¬z ∈ M
m_eq : M = M + span A {z}
⊢ z ∈ M
[PROOFSTEP]
rw [m_eq]
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
z : A
hz : ¬z ∈ M
m_eq : M = M + span A {z}
⊢ z ∈ M + span A {z}
[PROOFSTEP]
exact mem_sup_right (mem_span_singleton_self z)
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
obtain ⟨Wx, h_Wx_le, h_Wx_ne⟩ := hgt (M + span A { x }) (lt_add _ hx) (ne_bot_of_gt (lt_add _ hx))
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
obtain ⟨Wy, h_Wy_le, h_Wx_ne⟩ := hgt (M + span A { y }) (lt_add _ hy) (ne_bot_of_gt (lt_add _ hy))
[GOAL]
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
use Wx + Wy
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)) ≤ M ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
rw [Multiset.map_add, Multiset.prod_add]
[GOAL]
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) * Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M ∧
    Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) * Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
[PROOFSTEP]
refine' ⟨le_trans (Submodule.mul_le_mul h_Wx_le h_Wy_le) _, mt Ideal.mul_eq_bot.mp _⟩
[GOAL]
case h.refine'_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ (M + span A {x}) * (M + span A {y}) ≤ M
[PROOFSTEP]
rw [add_mul]
[GOAL]
case h.refine'_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ M * (M + span A {y}) + span A {x} * (M + span A {y}) ≤ M
[PROOFSTEP]
apply sup_le (show M * (M + span A { y }) ≤ M from Ideal.mul_le_right)
[GOAL]
case h.refine'_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ span A {x} * (M + span A {y}) ≤ M
[PROOFSTEP]
rw [mul_add]
[GOAL]
case h.refine'_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ span A {x} * M + span A {x} * span A {y} ≤ M
[PROOFSTEP]
apply sup_le (show span A { x } * M ≤ M from Ideal.mul_le_left)
[GOAL]
case h.refine'_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ span A {x} * span A {y} ≤ M
[PROOFSTEP]
rwa [span_mul_span, Set.singleton_mul_singleton, span_singleton_le_iff_mem]
[GOAL]
case h.refine'_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
⊢ ¬(Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) = ⊥ ∨ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) = ⊥)
[PROOFSTEP]
rintro (hx | hy)
[GOAL]
case h.refine'_2.inl
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx✝ : ¬x ∈ M
y : A
hy : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
hx : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) = ⊥
⊢ False
[PROOFSTEP]
contradiction
[GOAL]
case h.refine'_2.inr
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt :
  ∀ (J : Submodule A A),
    J > M →
      (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≤ I ∧ Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Z) ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬Ideal.IsPrime M
x : A
hx : ¬x ∈ M
y : A
hy✝ : ¬y ∈ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ (z : A), ¬z ∈ M → M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wx) ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) ≠ ⊥
hy : Multiset.prod (Multiset.map asIdeal Wy) = ⊥
⊢ False
[PROOFSTEP]
contradiction
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
⊢ NoetherianSpace (PrimeSpectrum R)
[PROOFSTEP]
apply ((noetherianSpace_TFAE <| PrimeSpectrum R).out 0 1).mpr
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
⊢ WellFounded fun s t => s < t
[PROOFSTEP]
have H := ‹IsNoetherianRing R›
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
H : IsNoetherianRing R
⊢ WellFounded fun s t => s < t
[PROOFSTEP]
rw [isNoetherianRing_iff, isNoetherian_iff_wellFounded] at H 
[GOAL]
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
H : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
⊢ WellFounded fun s t => s < t
[PROOFSTEP]
exact (closedsEmbedding R).dual.wellFounded H
