[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
⊢ ball (f z₀) (ε / 2) ⊆ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
rintro v hv
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
have h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r) := h.sub_const v
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
have h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r) :=
  continuous_norm.comp_continuousOn (closure_ball z₀ hr.ne.symm ▸ h1.continuousOn)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
have h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r) := h.differentiableOn.analyticOn isOpen_ball
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
have h4 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, ε / 2 ≤ ‖f z - v‖ := fun z hz => by
  linarith [hf z hz, show ‖v - f z₀‖ < ε / 2 from mem_ball.mp hv, norm_sub_sub_norm_sub_le_norm_sub (f z) v (f z₀)]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
z : ℂ
hz : z ∈ sphere z₀ r
⊢ ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
[PROOFSTEP]
linarith [hf z hz, show ‖v - f z₀‖ < ε / 2 from mem_ball.mp hv, norm_sub_sub_norm_sub_le_norm_sub (f z) v (f z₀)]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
have h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2 := by simpa [← dist_eq_norm, dist_comm] using mem_ball.mp hv
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
⊢ ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
[PROOFSTEP]
simpa [← dist_eq_norm, dist_comm] using mem_ball.mp hv
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
obtain ⟨z, hz1, hz2⟩ : ∃ z ∈ ball z₀ r, IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
⊢ ∃ z, z ∈ ball z₀ r ∧ IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
exact exists_isLocalMin_mem_ball h2 (mem_closedBall_self hr.le) fun z hz => h5.trans_le (h4 z hz)
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
⊢ v ∈ f '' closedBall z₀ r
[PROOFSTEP]
refine ⟨z, ball_subset_closedBall hz1, sub_eq_zero.mp ?_⟩
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
⊢ f z - v = 0
[PROOFSTEP]
have h6 := h1.differentiableOn.eventually_differentiableAt (isOpen_ball.mem_nhds hz1)
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
⊢ f z - v = 0
[PROOFSTEP]
refine (eventually_eq_or_eq_zero_of_isLocalMin_norm h6 hz2).resolve_left fun key => ?_
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
⊢ False
[PROOFSTEP]
have h7 : ∀ᶠ w in 𝓝 z, f w = f z := by filter_upwards [key] with h; field_simp
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
⊢ ∀ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w = f z
[PROOFSTEP]
filter_upwards [key] with h
[GOAL]
case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h✝ : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h : ℂ
⊢ f h - v = f z - v → f h = f z
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h7 : ∀ᶠ (w : ℂ) in 𝓝 z, f w = f z
⊢ False
[PROOFSTEP]
replace h7 : ∃ᶠ w in 𝓝[≠] z, f w = f z := (h7.filter_mono nhdsWithin_le_nhds).frequently
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[{z}ᶜ] z, f w = f z
⊢ False
[PROOFSTEP]
have h8 : IsPreconnected (ball z₀ r) := (convex_ball z₀ r).isPreconnected
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[{z}ᶜ] z, f w = f z
h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)
⊢ False
[PROOFSTEP]
have h9 := h3.eqOn_of_preconnected_of_frequently_eq analyticOn_const h8 hz1 h7
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[{z}ᶜ] z, f w = f z
h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)
h9 : EqOn f (fun x => f z) (ball z₀ r)
⊢ False
[PROOFSTEP]
have h10 : f z = f z₀ := (h9 (mem_ball_self hr)).symm
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
h : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
hr : 0 < r
hf : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε ≤ ‖f z - f z₀‖
hz₀ : ∃ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z ≠ f z₀
v : ℂ
hv : v ∈ ball (f z₀) (ε / 2)
h1 : DiffContOnCl ℂ (fun z => f z - v) (ball z₀ r)
h2 : ContinuousOn (fun z => ‖f z - v‖) (closedBall z₀ r)
h3 : AnalyticOn ℂ f (ball z₀ r)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → ε / 2 ≤ ‖f z - v‖
h5 : ‖f z₀ - v‖ < ε / 2
z : ℂ
hz1 : z ∈ ball z₀ r
hz2 : IsLocalMin (fun z => ‖f z - v‖) z
h6 : ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ (fun z => f z - v) y
key : ∀ᶠ (z_1 : ℂ) in 𝓝 z, f z_1 - v = f z - v
h7 : ∃ᶠ (w : ℂ) in 𝓝[{z}ᶜ] z, f w = f z
h8 : IsPreconnected (ball z₀ r)
h9 : EqOn f (fun x => f z) (ball z₀ r)
h10 : f z = f z₀
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact not_eventually.mpr hz₀ (mem_of_superset (ball_mem_nhds z₀ hr) (h10 ▸ h9))
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
⊢ (∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀) ∨ 𝓝 (f z₀) ≤ map f (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
refine or_iff_not_imp_left.mpr fun h => ?_
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
⊢ 𝓝 (f z₀) ≤ map f (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
refine (nhds_basis_ball.le_basis_iff (nhds_basis_closedBall.map f)).mpr fun R hR => ?_
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
have h1 := (hf.eventually_eq_or_eventually_ne analyticAt_const).resolve_left h
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
have h2 : ∀ᶠ z in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z := (isOpen_analyticAt ℂ f).eventually_mem hf
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ρ, hρ, h3, h4⟩ : ∃ ρ > 0, AnalyticOn ℂ f (closedBall z₀ ρ) ∧ ∀ z ∈ closedBall z₀ ρ, z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀ := by
  simpa only [setOf_and, subset_inter_iff] using
    nhds_basis_closedBall.mem_iff.mp (h2.and (eventually_nhdsWithin_iff.mp h1))
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
⊢ ∃ ρ, ρ > 0 ∧ AnalyticOn ℂ f (closedBall z₀ ρ) ∧ ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
[PROOFSTEP]
simpa only [setOf_and, subset_inter_iff] using
  nhds_basis_closedBall.mem_iff.mp (h2.and (eventually_nhdsWithin_iff.mp h1))
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h3 : AnalyticOn ℂ f (closedBall z₀ ρ)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
replace h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
[GOAL]
case h3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h3 : AnalyticOn ℂ f (closedBall z₀ ρ)
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
⊢ DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
exact ⟨h3.differentiableOn.mono ball_subset_closedBall, (closure_ball z₀ hρ.lt.ne.symm).symm ▸ h3.continuousOn⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
let r := ρ ⊓ R
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
have hr : 0 < r := lt_inf_iff.mpr ⟨hρ, hR⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
have h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ := closedBall_subset_closedBall inf_le_left
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
have h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r) := h3.mono (ball_subset_ball inf_le_left)
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
have h7 : ∀ z ∈ sphere z₀ r, f z ≠ f z₀ := fun z hz =>
  h4 z (h5 (sphere_subset_closedBall hz)) (ne_of_mem_sphere hz hr.ne.symm)
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → f z ≠ f z₀
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
have h8 : (sphere z₀ r).Nonempty := NormedSpace.sphere_nonempty.mpr hr.le
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → f z ≠ f z₀
h8 : Set.Nonempty (sphere z₀ r)
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
have h9 : ContinuousOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r) :=
  continuous_norm.comp_continuousOn ((h6.sub_const (f z₀)).continuousOn_ball.mono sphere_subset_closedBall)
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → f z ≠ f z₀
h8 : Set.Nonempty (sphere z₀ r)
h9 : ContinuousOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r)
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
obtain ⟨x, hx, hfx⟩ := (isCompact_sphere z₀ r).exists_forall_le h8 h9
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → f z ≠ f z₀
h8 : Set.Nonempty (sphere z₀ r)
h9 : ContinuousOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r)
x : ℂ
hx : x ∈ sphere z₀ r
hfx : ∀ (y : ℂ), y ∈ sphere z₀ r → ‖f x - f z₀‖ ≤ ‖f y - f z₀‖
⊢ ∃ i, 0 < i ∧ ball (f z₀) i ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
refine ⟨‖f x - f z₀‖ / 2, half_pos (norm_sub_pos_iff.mpr (h7 x hx)), ?_⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
hf : AnalyticAt ℂ f z₀
h : ¬∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, f z = f z₀
R : ℝ
hR : 0 < R
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[{z₀}ᶜ] z₀, f z ≠ f z₀
h2 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 z₀, AnalyticAt ℂ f z
ρ : ℝ
hρ : ρ > 0
h4 : ∀ (z : ℂ), z ∈ closedBall z₀ ρ → z ≠ z₀ → f z ≠ f z₀
h3 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ ρ)
r : ℝ := ρ ⊓ R
hr : 0 < r
h5 : closedBall z₀ r ⊆ closedBall z₀ ρ
h6 : DiffContOnCl ℂ f (ball z₀ r)
h7 : ∀ (z : ℂ), z ∈ sphere z₀ r → f z ≠ f z₀
h8 : Set.Nonempty (sphere z₀ r)
h9 : ContinuousOn (fun x => ‖f x - f z₀‖) (sphere z₀ r)
x : ℂ
hx : x ∈ sphere z₀ r
hfx : ∀ (y : ℂ), y ∈ sphere z₀ r → ‖f x - f z₀‖ ≤ ‖f y - f z₀‖
⊢ ball (f z₀) (‖f x - f z₀‖ / 2) ⊆ f '' closedBall z₀ R
[PROOFSTEP]
exact
  (h6.ball_subset_image_closedBall hr (fun z hz => hfx z hz) (not_eventually.mp h)).trans
    (image_subset f (closedBall_subset_closedBall inf_le_right))
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
let ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
let gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨r, hr, hgr⟩ := isOpen_iff.mp (isOpen_analyticAt ℂ g) z₀ hg
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
have h1 : ∀ z ∈ sphere (0 : E) 1, AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r) :=
  by
  refine fun z hz t ht => AnalyticAt.comp ?_ ?_
  · exact hgr (by simpa [norm_smul, mem_sphere_zero_iff_norm.mp hz] using ht)
  · exact analyticAt_const.add ((ContinuousLinearMap.smulRight (ContinuousLinearMap.id ℂ ℂ) z).analyticAt t)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
⊢ ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
[PROOFSTEP]
refine fun z hz t ht => AnalyticAt.comp ?_ ?_
[GOAL]
case refine_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
t : ℂ
ht : t ∈ ball 0 r
⊢ AnalyticAt ℂ g (ray z t)
[PROOFSTEP]
exact hgr (by simpa [norm_smul, mem_sphere_zero_iff_norm.mp hz] using ht)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
t : ℂ
ht : t ∈ ball 0 r
⊢ ray z t ∈ ball z₀ r
[PROOFSTEP]
simpa [norm_smul, mem_sphere_zero_iff_norm.mp hz] using ht
[GOAL]
case refine_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
t : ℂ
ht : t ∈ ball 0 r
⊢ AnalyticAt ℂ (ray z) t
[PROOFSTEP]
exact analyticAt_const.add ((ContinuousLinearMap.smulRight (ContinuousLinearMap.id ℂ ℂ) z).analyticAt t)
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
by_cases ∀ z ∈ sphere (0 : E) 1, ∀ᶠ t in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
by_cases ∀ z ∈ sphere (0 : E) 1, ∀ᶠ t in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
[GOAL]
case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
left
  -- If g is eventually constant along every direction, then it is eventually constant
[GOAL]
case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀
[PROOFSTEP]
refine eventually_of_mem (ball_mem_nhds z₀ hr) fun z hz => ?_
[GOAL]
case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
⊢ g z = g z₀
[PROOFSTEP]
refine (eq_or_ne z z₀).casesOn (congr_arg g) fun h' => ?_
[GOAL]
case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : z ≠ z₀
⊢ g z = g z₀
[PROOFSTEP]
replace h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0 := by simpa only [Ne.def, norm_eq_zero, sub_eq_zero]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : z ≠ z₀
⊢ ‖z - z₀‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
simpa only [Ne.def, norm_eq_zero, sub_eq_zero]
[GOAL]
case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
⊢ g z = g z₀
[PROOFSTEP]
let w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
[GOAL]
case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
⊢ g z = g z₀
[PROOFSTEP]
have h3 : ∀ t ∈ ball (0 : ℂ) r, gray w t = g z₀ :=
  by
  have e1 : IsPreconnected (ball (0 : ℂ) r) := (convex_ball 0 r).isPreconnected
  have e2 : w ∈ sphere (0 : E) 1 := by simp [norm_smul, inv_mul_cancel h']
  specialize h1 w e2
  apply h1.eqOn_of_preconnected_of_eventuallyEq analyticOn_const e1 (mem_ball_self hr)
  simpa using h w e2
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
⊢ ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
[PROOFSTEP]
have e1 : IsPreconnected (ball (0 : ℂ) r) := (convex_ball 0 r).isPreconnected
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
⊢ ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
[PROOFSTEP]
have e2 : w ∈ sphere (0 : E) 1 := by simp [norm_smul, inv_mul_cancel h']
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
⊢ w ∈ sphere 0 1
[PROOFSTEP]
simp [norm_smul, inv_mul_cancel h']
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
⊢ ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
[PROOFSTEP]
specialize h1 w e2
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
h1 : AnalyticOn ℂ (gray w) (ball 0 r)
⊢ ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
[PROOFSTEP]
apply h1.eqOn_of_preconnected_of_eventuallyEq analyticOn_const e1 (mem_ball_self hr)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
e1 : IsPreconnected (ball 0 r)
e2 : w ∈ sphere 0 1
h1 : AnalyticOn ℂ (gray w) (ball 0 r)
⊢ gray w =ᶠ[𝓝 0] fun x => g z₀
[PROOFSTEP]
simpa using h w e2
[GOAL]
case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
⊢ g z = g z₀
[PROOFSTEP]
have h4 : ‖z - z₀‖ < r := by simpa [dist_eq_norm] using mem_ball.mp hz
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
⊢ ‖z - z₀‖ < r
[PROOFSTEP]
simpa [dist_eq_norm] using mem_ball.mp hz
[GOAL]
case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
h4 : ‖z - z₀‖ < r
⊢ g z = g z₀
[PROOFSTEP]
replace h4 : ↑‖z - z₀‖ ∈ ball (0 : ℂ) r := by simpa only [mem_ball_zero_iff, norm_eq_abs, abs_ofReal, abs_norm]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
h4 : ‖z - z₀‖ < r
⊢ ↑‖z - z₀‖ ∈ ball 0 r
[PROOFSTEP]
simpa only [mem_ball_zero_iff, norm_eq_abs, abs_ofReal, abs_norm]
[GOAL]
case pos.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w✝ : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
z : E
hz : z ∈ ball z₀ r
h' : ‖z - z₀‖ ≠ 0
w : E := ‖z - z₀‖⁻¹ • (z - z₀)
h3 : ∀ (t : ℂ), t ∈ ball 0 r → gray w t = g z₀
h4 : ↑‖z - z₀‖ ∈ ball 0 r
⊢ g z = g z₀
[PROOFSTEP]
simpa only [smul_smul, mul_inv_cancel h', one_smul, add_sub_cancel'_right, Function.comp_apply, coe_smul] using
  h3 (↑‖z - z₀‖) h4
[GOAL]
case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ¬∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ (∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀) ∨ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
right
  -- Otherwise, it is open along at least one direction and that implies the result
[GOAL]
case neg.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ¬∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → ∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, gray z t = gray z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
push_neg at h 
[GOAL]
case neg.h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
h : ∃ z, z ∈ sphere 0 1 ∧ ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, (fun z => g ∘ ray z) z t = (fun z => g ∘ ray z) z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨z, hz, hrz⟩ := h
[GOAL]
case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
h1 : ∀ (z : E), z ∈ sphere 0 1 → AnalyticOn ℂ (gray z) (ball 0 r)
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, (fun z => g ∘ ray z) z t = (fun z => g ∘ ray z) z 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
specialize h1 z hz 0 (mem_ball_self hr)
[GOAL]
case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, (fun z => g ∘ ray z) z t = (fun z => g ∘ ray z) z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
have h7 := h1.eventually_constant_or_nhds_le_map_nhds_aux.resolve_left hrz
[GOAL]
case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, (fun z => g ∘ ray z) z t = (fun z => g ∘ ray z) z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (gray z 0) ≤ map (gray z) (𝓝 0)
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
rw [show gray z 0 = g z₀ by simp, ← map_compose] at h7 
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, (fun z => g ∘ ray z) z t = (fun z => g ∘ ray z) z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (gray z 0) ≤ map (gray z) (𝓝 0)
⊢ gray z 0 = g z₀
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, (fun z => g ∘ ray z) z t = (fun z => g ∘ ray z) z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
⊢ 𝓝 (g z₀) ≤ map g (𝓝 z₀)
[PROOFSTEP]
refine h7.trans (map_mono ?_)
[GOAL]
case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, (fun z => g ∘ ray z) z t = (fun z => g ∘ ray z) z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
⊢ map (ray z) (𝓝 0) ≤ 𝓝 z₀
[PROOFSTEP]
have h10 : Continuous fun t : ℂ => z₀ + t • z := continuous_const.add (continuous_id'.smul continuous_const)
[GOAL]
case neg.h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r✝ m : ℝ
z₀ : E
hg : AnalyticAt ℂ g z₀
ray : E → ℂ → E := fun z t => z₀ + t • z
gray : E → ℂ → ℂ := fun z => g ∘ ray z
r : ℝ
hr : r > 0
hgr : ball z₀ r ⊆ {x | AnalyticAt ℂ g x}
z : E
hz : z ∈ sphere 0 1
hrz : ¬∀ᶠ (t : ℂ) in 𝓝 0, (fun z => g ∘ ray z) z t = (fun z => g ∘ ray z) z 0
h1 : AnalyticAt ℂ (gray z) 0
h7 : 𝓝 (g z₀) ≤ (map g ∘ map (ray z)) (𝓝 0)
h10 : Continuous fun t => z₀ + t • z
⊢ map (ray z) (𝓝 0) ≤ 𝓝 z₀
[PROOFSTEP]
simpa using h10.tendsto 0
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
⊢ (∃ w, ∀ (z : E), z ∈ U → g z = w) ∨ ∀ (s : Set E), s ⊆ U → IsOpen s → IsOpen (g '' s)
[PROOFSTEP]
by_cases ∃ z₀ ∈ U, ∀ᶠ z in 𝓝 z₀, g z = g z₀
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
⊢ (∃ w, ∀ (z : E), z ∈ U → g z = w) ∨ ∀ (s : Set E), s ⊆ U → IsOpen s → IsOpen (g '' s)
[PROOFSTEP]
by_cases ∃ z₀ ∈ U, ∀ᶠ z in 𝓝 z₀, g z = g z₀
[GOAL]
case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
h : ∃ z₀, z₀ ∈ U ∧ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀
⊢ (∃ w, ∀ (z : E), z ∈ U → g z = w) ∨ ∀ (s : Set E), s ⊆ U → IsOpen s → IsOpen (g '' s)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨z₀, hz₀, h⟩ := h
[GOAL]
case pos.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀✝ w : ℂ
ε r m : ℝ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
hz₀ : z₀ ∈ U
h : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀
⊢ (∃ w, ∀ (z : E), z ∈ U → g z = w) ∨ ∀ (s : Set E), s ⊆ U → IsOpen s → IsOpen (g '' s)
[PROOFSTEP]
exact Or.inl ⟨g z₀, hg.eqOn_of_preconnected_of_eventuallyEq analyticOn_const hU hz₀ h⟩
[GOAL]
case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
h : ¬∃ z₀, z₀ ∈ U ∧ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀
⊢ (∃ w, ∀ (z : E), z ∈ U → g z = w) ∨ ∀ (s : Set E), s ⊆ U → IsOpen s → IsOpen (g '' s)
[PROOFSTEP]
push_neg at h 
[GOAL]
case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
h : ∀ (z₀ : E), z₀ ∈ U → ¬∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀
⊢ (∃ w, ∀ (z : E), z ∈ U → g z = w) ∨ ∀ (s : Set E), s ⊆ U → IsOpen s → IsOpen (g '' s)
[PROOFSTEP]
refine Or.inr fun s hs1 hs2 => isOpen_iff_mem_nhds.mpr ?_
[GOAL]
case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w : ℂ
ε r m : ℝ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
h : ∀ (z₀ : E), z₀ ∈ U → ¬∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀
s : Set E
hs1 : s ⊆ U
hs2 : IsOpen s
⊢ ∀ (a : ℂ), a ∈ g '' s → g '' s ∈ 𝓝 a
[PROOFSTEP]
rintro z ⟨w, hw1, rfl⟩
[GOAL]
case neg.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
U : Set E
f : ℂ → ℂ
g : E → ℂ
z₀ w✝ : ℂ
ε r m : ℝ
hg : AnalyticOn ℂ g U
hU : IsPreconnected U
h : ∀ (z₀ : E), z₀ ∈ U → ¬∀ᶠ (z : E) in 𝓝 z₀, g z = g z₀
s : Set E
hs1 : s ⊆ U
hs2 : IsOpen s
w : E
hw1 : w ∈ s
⊢ g '' s ∈ 𝓝 (g w)
[PROOFSTEP]
exact
  (hg w (hs1 hw1)).eventually_constant_or_nhds_le_map_nhds.resolve_left (h w (hs1 hw1))
    (image_mem_map (hs2.mem_nhds hw1))
