[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ ContinuousOn (extendFrom A f) B
[PROOFSTEP]
set φ := extendFrom A f
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
⊢ ContinuousOn φ B
[PROOFSTEP]
intro x x_in
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
⊢ ContinuousWithinAt φ B x
[PROOFSTEP]
suffices ∀ V' ∈ 𝓝 (φ x), IsClosed V' → φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x by
  simpa [ContinuousWithinAt, (closed_nhds_basis (φ x)).tendsto_right_iff]
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
this : ∀ (V' : Set Y), V' ∈ 𝓝 (φ x) → IsClosed V' → φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
⊢ ContinuousWithinAt φ B x
[PROOFSTEP]
simpa [ContinuousWithinAt, (closed_nhds_basis (φ x)).tendsto_right_iff]
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
⊢ ∀ (V' : Set Y), V' ∈ 𝓝 (φ x) → IsClosed V' → φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
[PROOFSTEP]
intro V' V'_in V'_closed
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨V, V_in, V_op, hV⟩ : ∃ V ∈ 𝓝 x, IsOpen V ∧ V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V' :=
  by
  have := tendsto_extendFrom (hf x x_in)
  rcases(nhdsWithin_basis_open x A).tendsto_left_iff.mp this V' V'_in with ⟨V, ⟨hxV, V_op⟩, hV⟩
  exact ⟨V, IsOpen.mem_nhds V_op hxV, V_op, hV⟩
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
⊢ ∃ V, V ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen V ∧ V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
[PROOFSTEP]
have := tendsto_extendFrom (hf x x_in)
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
this : Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 (extendFrom A f x))
⊢ ∃ V, V ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen V ∧ V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
[PROOFSTEP]
rcases(nhdsWithin_basis_open x A).tendsto_left_iff.mp this V' V'_in with ⟨V, ⟨hxV, V_op⟩, hV⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
this : Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 (extendFrom A f x))
V : Set X
hV : MapsTo f (V ∩ A) V'
hxV : x ∈ V
V_op : IsOpen V
⊢ ∃ V, V ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen V ∧ V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
[PROOFSTEP]
exact ⟨V, IsOpen.mem_nhds V_op hxV, V_op, hV⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
[PROOFSTEP]
suffices : ∀ y ∈ V ∩ B, φ y ∈ V'
[GOAL]
case intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
this : ∀ (y : X), y ∈ V ∩ B → φ y ∈ V'
⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
case this
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
⊢ ∀ (y : X), y ∈ V ∩ B → φ y ∈ V'
[PROOFSTEP]
exact mem_of_superset (inter_mem_inf V_in <| mem_principal_self B) this
[GOAL]
case this
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
⊢ ∀ (y : X), y ∈ V ∩ B → φ y ∈ V'
[PROOFSTEP]
rintro y ⟨hyV, hyB⟩
[GOAL]
case this.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
⊢ φ y ∈ V'
[PROOFSTEP]
haveI := mem_closure_iff_nhdsWithin_neBot.mp (hB hyB)
[GOAL]
case this.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : NeBot (𝓝[A] y)
⊢ φ y ∈ V'
[PROOFSTEP]
have limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 <| φ y) := tendsto_extendFrom (hf y hyB)
[GOAL]
case this.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : NeBot (𝓝[A] y)
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
⊢ φ y ∈ V'
[PROOFSTEP]
have hVy : V ∈ 𝓝 y := IsOpen.mem_nhds V_op hyV
[GOAL]
case this.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : NeBot (𝓝[A] y)
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
hVy : V ∈ 𝓝 y
⊢ φ y ∈ V'
[PROOFSTEP]
have : V ∩ A ∈ 𝓝[A] y := by simpa only [inter_comm] using inter_mem_nhdsWithin A hVy
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : NeBot (𝓝[A] y)
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
hVy : V ∈ 𝓝 y
⊢ V ∩ A ∈ 𝓝[A] y
[PROOFSTEP]
simpa only [inter_comm] using inter_mem_nhdsWithin A hVy
[GOAL]
case this.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ (x : X), x ∈ B → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this✝ : NeBot (𝓝[A] y)
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
hVy : V ∈ 𝓝 y
this : V ∩ A ∈ 𝓝[A] y
⊢ φ y ∈ V'
[PROOFSTEP]
exact V'_closed.mem_of_tendsto limy (mem_of_superset this hV)
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A : Set X
hA : Dense A
hf : ∀ (x : X), ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ Continuous (extendFrom A f)
[PROOFSTEP]
rw [continuous_iff_continuousOn_univ]
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A : Set X
hA : Dense A
hf : ∀ (x : X), ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ ContinuousOn (extendFrom A f) univ
[PROOFSTEP]
exact continuousOn_extendFrom (fun x _ ↦ hA x) (by simpa using hf)
[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A : Set X
hA : Dense A
hf : ∀ (x : X), ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
⊢ ∀ (x : X), x ∈ univ → ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
[PROOFSTEP]
simpa using hf
