[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
a b c : K
fract_a_ne_zero : Int.fract a ≠ 0
⊢ (↑⌊a⌋ * b + c) / Int.fract a + b = (b * a + c) / Int.fract a
[PROOFSTEP]
field_simp [fract_a_ne_zero]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
a b c : K
fract_a_ne_zero : Int.fract a ≠ 0
⊢ ↑⌊a⌋ * b + c + b * Int.fract a = b * a + c
[PROOFSTEP]
rw [Int.fract]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
a b c : K
fract_a_ne_zero : Int.fract a ≠ 0
⊢ ↑⌊a⌋ * b + c + b * (a - ↑⌊a⌋) = b * a + c
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
⊢ ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) (continuantsAux (of v) (n + 1)) ifp_n.fr
[PROOFSTEP]
let g := of v
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
⊢ ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) (continuantsAux (of v) (n + 1)) ifp_n.fr
[PROOFSTEP]
induction' n with n IH
[GOAL]
case zero
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
⊢ ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v Nat.zero = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) Nat.zero) (continuantsAux (of v) (Nat.zero + 1)) ifp_n.fr
[PROOFSTEP]
intro ifp_zero stream_zero_eq
[GOAL]
case zero
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
ifp_zero : IntFractPair K
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some ifp_zero
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) Nat.zero) (continuantsAux (of v) (Nat.zero + 1)) ifp_zero.fr
[PROOFSTEP]
have : IntFractPair.of v = ifp_zero :=
  by
  have : IntFractPair.stream v 0 = some (IntFractPair.of v) := rfl
  simpa only [Nat.zero_eq, this, Option.some.injEq] using stream_zero_eq
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
ifp_zero : IntFractPair K
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some ifp_zero
⊢ IntFractPair.of v = ifp_zero
[PROOFSTEP]
have : IntFractPair.stream v 0 = some (IntFractPair.of v) := rfl
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
ifp_zero : IntFractPair K
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some ifp_zero
this : IntFractPair.stream v 0 = some (IntFractPair.of v)
⊢ IntFractPair.of v = ifp_zero
[PROOFSTEP]
simpa only [Nat.zero_eq, this, Option.some.injEq] using stream_zero_eq
[GOAL]
case zero
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
ifp_zero : IntFractPair K
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some ifp_zero
this : IntFractPair.of v = ifp_zero
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) Nat.zero) (continuantsAux (of v) (Nat.zero + 1)) ifp_zero.fr
[PROOFSTEP]
cases this
[GOAL]
case zero.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) Nat.zero) (continuantsAux (of v) (Nat.zero + 1)) (IntFractPair.of v).fr
[PROOFSTEP]
cases' Decidable.em (Int.fract v = 0) with fract_eq_zero fract_ne_zero
[GOAL]
case zero.refl.inl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_eq_zero : Int.fract v = 0
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) Nat.zero) (continuantsAux (of v) (Nat.zero + 1)) (IntFractPair.of v).fr
[PROOFSTEP]
suffices v = ⌊v⌋ by
  -- Porting note: was `simpa [continuantsAux, fract_eq_zero, compExactValue]`
  field_simp [nextContinuants, nextNumerator, nextDenominator, compExactValue]
  have : (IntFractPair.of v).fr = Int.fract v := rfl
  rwa [this, if_pos fract_eq_zero]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_eq_zero : Int.fract v = 0
this : v = ↑⌊v⌋
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) Nat.zero) (continuantsAux (of v) (Nat.zero + 1)) (IntFractPair.of v).fr
[PROOFSTEP]
field_simp [nextContinuants, nextNumerator, nextDenominator, compExactValue]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_eq_zero : Int.fract v = 0
this : v = ↑⌊v⌋
⊢ v = if (IntFractPair.of v).fr = 0 then ↑⌊v⌋ else ↑⌊v⌋ + (IntFractPair.of v).fr
[PROOFSTEP]
have : (IntFractPair.of v).fr = Int.fract v := rfl
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_eq_zero : Int.fract v = 0
this✝ : v = ↑⌊v⌋
this : (IntFractPair.of v).fr = Int.fract v
⊢ v = if (IntFractPair.of v).fr = 0 then ↑⌊v⌋ else ↑⌊v⌋ + (IntFractPair.of v).fr
[PROOFSTEP]
rwa [this, if_pos fract_eq_zero]
[GOAL]
case zero.refl.inl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_eq_zero : Int.fract v = 0
⊢ v = ↑⌊v⌋
[PROOFSTEP]
calc
  v = Int.fract v + ⌊v⌋ := by rw [Int.fract_add_floor]
  _ = ⌊v⌋ := by
    simp [fract_eq_zero]
      -- Int.fract v ≠ 0; the claim then easily follows by unfolding a single computation step
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_eq_zero : Int.fract v = 0
⊢ v = Int.fract v + ↑⌊v⌋
[PROOFSTEP]
rw [Int.fract_add_floor]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_eq_zero : Int.fract v = 0
⊢ Int.fract v + ↑⌊v⌋ = ↑⌊v⌋
[PROOFSTEP]
simp [fract_eq_zero]
  -- Int.fract v ≠ 0; the claim then easily follows by unfolding a single computation step
[GOAL]
case zero.refl.inr
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_ne_zero : ¬Int.fract v = 0
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) Nat.zero) (continuantsAux (of v) (Nat.zero + 1)) (IntFractPair.of v).fr
[PROOFSTEP]
field_simp [continuantsAux, nextContinuants, nextNumerator, nextDenominator, of_h_eq_floor, compExactValue]
  -- Porting note: this and the if_neg rewrite are needed
[GOAL]
case zero.refl.inr
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_ne_zero : ¬Int.fract v = 0
⊢ v = if (IntFractPair.of v).fr = 0 then ↑⌊v⌋ else ↑⌊v⌋ + (IntFractPair.of v).fr
[PROOFSTEP]
have : (IntFractPair.of v).fr = Int.fract v := rfl
[GOAL]
case zero.refl.inr
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
stream_zero_eq : IntFractPair.stream v Nat.zero = some (IntFractPair.of v)
fract_ne_zero : ¬Int.fract v = 0
this : (IntFractPair.of v).fr = Int.fract v
⊢ v = if (IntFractPair.of v).fr = 0 then ↑⌊v⌋ else ↑⌊v⌋ + (IntFractPair.of v).fr
[PROOFSTEP]
rw [this, if_neg fract_ne_zero, Int.floor_add_fract]
[GOAL]
case succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
IH :
  ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) (continuantsAux (of v) (n + 1)) ifp_n.fr
⊢ ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) (Nat.succ n)) (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_n.fr
[PROOFSTEP]
intro ifp_succ_n succ_nth_stream_eq
[GOAL]
case succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
IH :
  ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) (continuantsAux (of v) (n + 1)) ifp_n.fr
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) (Nat.succ n)) (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ifp_n, nth_stream_eq, nth_fract_ne_zero, -⟩ :
  ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr ≠ 0 ∧ IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
IH :
  ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) (continuantsAux (of v) (n + 1)) ifp_n.fr
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
⊢ ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr ≠ 0 ∧ IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
case succ.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
IH :
  ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) (continuantsAux (of v) (n + 1)) ifp_n.fr
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) (Nat.succ n)) (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
exact IntFractPair.succ_nth_stream_eq_some_iff.1 succ_nth_stream_eq
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
IH :
  ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) (continuantsAux (of v) (n + 1)) ifp_n.fr
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) (Nat.succ n)) (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
let conts := g.continuantsAux (n + 2)
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
IH :
  ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n →
      v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) (continuantsAux (of v) (n + 1)) ifp_n.fr
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
⊢ v = compExactValue (continuantsAux (of v) (Nat.succ n)) (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
set pconts := g.continuantsAux (n + 1) with pconts_eq
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
IH :
  ∀ {ifp_n : IntFractPair K},
    IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue (continuantsAux (of v) n) pconts ifp_n.fr
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
⊢ v = compExactValue pconts (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
set ppconts := g.continuantsAux n with ppconts_eq
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
⊢ v = compExactValue pconts (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
cases' Decidable.em (ifp_succ_n.fr = 0) with ifp_succ_n_fr_eq_zero ifp_succ_n_fr_ne_zero
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
⊢ v = compExactValue pconts (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
suffices v = conts.a / conts.b by
  simpa [compExactValue, ifp_succ_n_fr_eq_zero]
    -- use the IH and the fact that ifp_n.fr⁻¹ = ⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ to prove this case
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
this : v = conts.a / conts.b
⊢ v = compExactValue pconts (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
simpa [compExactValue, ifp_succ_n_fr_eq_zero]
  -- use the IH and the fact that ifp_n.fr⁻¹ = ⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ to prove this case
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
⊢ v = conts.a / conts.b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ifp_n', nth_stream_eq', ifp_n_fract_inv_eq_floor⟩ :
  ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr⁻¹ = ⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
⊢ ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
case succ.intro.intro.intro.inl.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
ifp_n' : IntFractPair K
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n'
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n'.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n'.fr⁻¹⌋
⊢ v = conts.a / conts.b
[PROOFSTEP]
exact IntFractPair.exists_succ_nth_stream_of_fr_zero succ_nth_stream_eq ifp_succ_n_fr_eq_zero
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inl.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
ifp_n' : IntFractPair K
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n'
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n'.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n'.fr⁻¹⌋
⊢ v = conts.a / conts.b
[PROOFSTEP]
have : ifp_n' = ifp_n := by injection Eq.trans nth_stream_eq'.symm nth_stream_eq
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
ifp_n' : IntFractPair K
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n'
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n'.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n'.fr⁻¹⌋
⊢ ifp_n' = ifp_n
[PROOFSTEP]
injection Eq.trans nth_stream_eq'.symm nth_stream_eq
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inl.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
ifp_n' : IntFractPair K
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n'
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n'.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n'.fr⁻¹⌋
this : ifp_n' = ifp_n
⊢ v = conts.a / conts.b
[PROOFSTEP]
cases this
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inl.intro.intro.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
⊢ v = conts.a / conts.b
[PROOFSTEP]
have s_nth_eq : g.s.get? n = some ⟨1, ⌊ifp_n.fr⁻¹⌋⟩ :=
  get?_of_eq_some_of_get?_intFractPair_stream_fr_ne_zero nth_stream_eq nth_fract_ne_zero
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inl.intro.intro.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
⊢ v = conts.a / conts.b
[PROOFSTEP]
rw [← ifp_n_fract_inv_eq_floor] at s_nth_eq 
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inl.intro.intro.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ifp_n.fr⁻¹ }
⊢ v = conts.a / conts.b
[PROOFSTEP]
suffices v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr by
  simpa [continuantsAux, s_nth_eq, compExactValue, nth_fract_ne_zero] using this
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ifp_n.fr⁻¹ }
this : v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
⊢ v = conts.a / conts.b
[PROOFSTEP]
simpa [continuantsAux, s_nth_eq, compExactValue, nth_fract_ne_zero] using this
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inl.intro.intro.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_inv_eq_floor : ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ifp_n.fr⁻¹ }
⊢ v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
[PROOFSTEP]
exact IH nth_stream_eq
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
⊢ v = compExactValue pconts (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
suffices compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts ifp_succ_n.fr
  by
  have : v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr := IH nth_stream_eq
  conv_lhs => rw [this]
  assumption
    -- get the correspondence between ifp_n and ifp_succ_n
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts ifp_succ_n.fr
⊢ v = compExactValue pconts (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
have : v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr := IH nth_stream_eq
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
this✝ : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts ifp_succ_n.fr
this : v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
⊢ v = compExactValue pconts (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [this]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
this✝ : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts ifp_succ_n.fr
this : v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
| v
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
this✝ : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts ifp_succ_n.fr
this : v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
| v
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
this✝ : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts ifp_succ_n.fr
this : v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
| v
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
this✝ : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts ifp_succ_n.fr
this : v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts (continuantsAux (of v) (Nat.succ n + 1)) ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
assumption
  -- get the correspondence between ifp_n and ifp_succ_n
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts ifp_succ_n.fr
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ifp_n', nth_stream_eq', ifp_n_fract_ne_zero, ⟨refl⟩⟩ :
  ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr ≠ 0 ∧ IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some ifp_succ_n
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬ifp_succ_n.fr = 0
⊢ ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr ≠ 0 ∧ IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_n' : IntFractPair K
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹).fr = 0
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
exact IntFractPair.succ_nth_stream_eq_some_iff.1 succ_nth_stream_eq
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_n' : IntFractPair K
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹).fr = 0
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
have : ifp_n' = ifp_n := by injection Eq.trans nth_stream_eq'.symm nth_stream_eq
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_n' : IntFractPair K
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹).fr = 0
⊢ ifp_n' = ifp_n
[PROOFSTEP]
injection Eq.trans nth_stream_eq'.symm nth_stream_eq
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
ifp_n' : IntFractPair K
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹).fr = 0
this : ifp_n' = ifp_n
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
cases this
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
have s_nth_eq : g.s.get? n = some ⟨1, (⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ : K)⟩ :=
  get?_of_eq_some_of_get?_intFractPair_stream_fr_ne_zero nth_stream_eq ifp_n_fract_ne_zero
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
let ppA := ppconts.a
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
let ppB := ppconts.b
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
let pA := pconts.a
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
let pB := pconts.b
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
have : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) := by
  -- unfold compExactValue and the convergent computation once
  field_simp [ifp_n_fract_ne_zero, compExactValue, nextContinuants, nextNumerator, nextDenominator]
  ac_rfl
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
[PROOFSTEP]
field_simp [ifp_n_fract_ne_zero, compExactValue, nextContinuants, nextNumerator, nextDenominator]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
⊢ ((continuantsAux (of v) (n + 1)).a + (continuantsAux (of v) n).a * ifp_n.fr) /
      ((continuantsAux (of v) (n + 1)).b + (continuantsAux (of v) n).b * ifp_n.fr) =
    ((continuantsAux (of v) n).a * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).a) /
      ((continuantsAux (of v) n).b * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).b)
[PROOFSTEP]
ac_rfl
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
⊢ compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
rw [this]
  -- two calculations needed to show the claim
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
⊢ (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
have tmp_calc := compExactValue_correctness_of_stream_eq_some_aux_comp pA ppA ifp_succ_n_fr_ne_zero
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pA + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pA = (pA * ifp_n.fr⁻¹ + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
⊢ (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
have tmp_calc' := compExactValue_correctness_of_stream_eq_some_aux_comp pB ppB ifp_succ_n_fr_ne_zero
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pA + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pA = (pA * ifp_n.fr⁻¹ + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
tmp_calc' : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pB + ppB) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pB = (pB * ifp_n.fr⁻¹ + ppB) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
⊢ (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
let f := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pA + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pA = (pA * ifp_n.fr⁻¹ + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
tmp_calc' : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pB + ppB) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pB = (pB * ifp_n.fr⁻¹ + ppB) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
⊢ (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
have f_ne_zero : f ≠ 0 := by simpa using ifp_succ_n_fr_ne_zero
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pA + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pA = (pA * ifp_n.fr⁻¹ + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
tmp_calc' : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pB + ppB) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pB = (pB * ifp_n.fr⁻¹ + ppB) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
⊢ f ≠ 0
[PROOFSTEP]
simpa using ifp_succ_n_fr_ne_zero
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pA + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pA = (pA * ifp_n.fr⁻¹ + ppA) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
tmp_calc' : (↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ * pB + ppB) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹ + pB = (pB * ifp_n.fr⁻¹ + ppB) / Int.fract ifp_n.fr⁻¹
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
⊢ (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
rw [inv_eq_one_div] at tmp_calc tmp_calc' 
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
⊢ (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
have hA : (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA :=
  by
  have := congrFun (congrArg HMul.hMul tmp_calc) f
  rwa [right_distrib, div_mul_cancel (h := f_ne_zero), div_mul_cancel (h := f_ne_zero)] at this 
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
⊢ ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
[PROOFSTEP]
have := congrFun (congrArg HMul.hMul tmp_calc) f
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this✝ : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
this :
  ((↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA) * f =
    (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) * f
⊢ ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
[PROOFSTEP]
rwa [right_distrib, div_mul_cancel (h := f_ne_zero), div_mul_cancel (h := f_ne_zero)] at this 
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
⊢ (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
have hB : (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB :=
  by
  have := congrFun (congrArg HMul.hMul tmp_calc') f
  rwa [right_distrib, div_mul_cancel (h := f_ne_zero), div_mul_cancel (h := f_ne_zero)] at this 
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
⊢ ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
[PROOFSTEP]
have := congrFun (congrArg HMul.hMul tmp_calc') f
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this✝ : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
this :
  ((↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB) * f =
    (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) * f
⊢ ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
[PROOFSTEP]
rwa [right_distrib, div_mul_cancel (h := f_ne_zero), div_mul_cancel (h := f_ne_zero)] at this 
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
hB : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
⊢ (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB) = compExactValue pconts conts (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr
[PROOFSTEP]
field_simp [compExactValue, continuantsAux_recurrence s_nth_eq ppconts_eq pconts_eq, nextContinuants, nextNumerator,
  nextDenominator]
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
hB : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
⊢ ((continuantsAux (of v) n).a * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).a) /
      ((continuantsAux (of v) n).b * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).b) =
    if (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = 0 then
      (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).a + (continuantsAux (of v) n).a) /
        (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).b + (continuantsAux (of v) n).b)
    else
      (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).a + (continuantsAux (of v) n).a +
          (continuantsAux (of v) (n + 1)).a * (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr) /
        (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).b + (continuantsAux (of v) n).b +
          (continuantsAux (of v) (n + 1)).b * (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr)
[PROOFSTEP]
have hfr : (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = f := rfl
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
hB : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
hfr : (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = f
⊢ ((continuantsAux (of v) n).a * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).a) /
      ((continuantsAux (of v) n).b * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).b) =
    if (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = 0 then
      (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).a + (continuantsAux (of v) n).a) /
        (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).b + (continuantsAux (of v) n).b)
    else
      (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).a + (continuantsAux (of v) n).a +
          (continuantsAux (of v) (n + 1)).a * (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr) /
        (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).b + (continuantsAux (of v) n).b +
          (continuantsAux (of v) (n + 1)).b * (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr)
[PROOFSTEP]
rw [one_div, if_neg _, ← one_div, hfr]
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
hB : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
hfr : (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = f
⊢ ((continuantsAux (of v) n).a * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).a) /
      ((continuantsAux (of v) n).b * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).b) =
    (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).a + (continuantsAux (of v) n).a +
        (continuantsAux (of v) (n + 1)).a * f) /
      (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * (continuantsAux (of v) (n + 1)).b + (continuantsAux (of v) n).b +
        (continuantsAux (of v) (n + 1)).b * f)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
hB : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
hfr : (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = f
⊢ ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
[PROOFSTEP]
field_simp [hA, hB]
[GOAL]
case succ.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.refl.refl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
hB : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
hfr : (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = f
⊢ ((continuantsAux (of v) n).a * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).a) /
      ((continuantsAux (of v) n).b * ifp_n.fr + (continuantsAux (of v) (n + 1)).b) =
    ((continuantsAux (of v) (n + 1)).a + (continuantsAux (of v) n).a * ifp_n.fr) /
      ((continuantsAux (of v) (n + 1)).b + (continuantsAux (of v) n).b * ifp_n.fr)
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
hB : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
hfr : (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = f
⊢ ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
[PROOFSTEP]
ac_rfl
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
conts : Pair K := continuantsAux g (n + 2)
pconts : Pair K := continuantsAux g (n + 1)
pconts_eq : pconts = continuantsAux g (n + 1)
ppconts : Pair K := continuantsAux g n
IH : ∀ {ifp_n : IntFractPair K}, IntFractPair.stream v n = some ifp_n → v = compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr
ppconts_eq : ppconts = continuantsAux g n
nth_stream_eq' : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
ifp_succ_n_fr_ne_zero : ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
s_nth_eq : Stream'.Seq.get? g.s n = some { a := 1, b := ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ }
ppA : K := ppconts.a
ppB : K := ppconts.b
pA : K := pconts.a
pB : K := pconts.b
this : compExactValue ppconts pconts ifp_n.fr = (ppA + ifp_n.fr⁻¹ * pA) / (ppB + ifp_n.fr⁻¹ * pB)
tmp_calc :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pA = (pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
tmp_calc' :
  (↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr) + pB = (pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB) / Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f : K := Int.fract (1 / ifp_n.fr)
f_ne_zero : f ≠ 0
hA : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pA + ppA + pA * f = pA * (1 / ifp_n.fr) + ppA
hB : ↑⌊1 / ifp_n.fr⌋ * pB + ppB + pB * f = pB * (1 / ifp_n.fr) + ppB
hfr : (IntFractPair.of (1 / ifp_n.fr)).fr = f
⊢ ¬(IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
[PROOFSTEP]
rwa [inv_eq_one_div, hfr]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v n = none
⊢ v = convergents (of v) (n - 1)
[PROOFSTEP]
induction n with
| zero =>
  contradiction
    -- IntFractPair.stream v 0 ≠ none
| succ n IH =>
  let g := of v
  change v = g.convergents n
  have : IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0 :=
    IntFractPair.succ_nth_stream_eq_none_iff.1 nth_stream_eq_none
  rcases this with (⟨nth_stream_eq_none⟩ | ⟨ifp_n, nth_stream_eq, nth_stream_fr_eq_zero⟩)
  · cases' n with n'
    ·
      contradiction
        -- IntFractPair.stream v 0 ≠ none
    · have : g.TerminatedAt n' := of_terminatedAt_n_iff_succ_nth_intFractPair_stream_eq_none.2 nth_stream_eq_none
      have : g.convergents (n' + 1) = g.convergents n' := convergents_stable_of_terminated n'.le_succ this
      rw [this]
      exact IH nth_stream_eq_none
  · simpa [nth_stream_fr_eq_zero, compExactValue] using compExactValue_correctness_of_stream_eq_some nth_stream_eq
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v n = none
⊢ v = convergents (of v) (n - 1)
[PROOFSTEP]
induction n with
| zero =>
  contradiction
    -- IntFractPair.stream v 0 ≠ none
| succ n IH =>
  let g := of v
  change v = g.convergents n
  have : IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0 :=
    IntFractPair.succ_nth_stream_eq_none_iff.1 nth_stream_eq_none
  rcases this with (⟨nth_stream_eq_none⟩ | ⟨ifp_n, nth_stream_eq, nth_stream_fr_eq_zero⟩)
  · cases' n with n'
    ·
      contradiction
        -- IntFractPair.stream v 0 ≠ none
    · have : g.TerminatedAt n' := of_terminatedAt_n_iff_succ_nth_intFractPair_stream_eq_none.2 nth_stream_eq_none
      have : g.convergents (n' + 1) = g.convergents n' := convergents_stable_of_terminated n'.le_succ this
      rw [this]
      exact IH nth_stream_eq_none
  · simpa [nth_stream_fr_eq_zero, compExactValue] using compExactValue_correctness_of_stream_eq_some nth_stream_eq
[GOAL]
case zero
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v Nat.zero = none
⊢ v = convergents (of v) (Nat.zero - 1)
[PROOFSTEP]

| zero =>
  contradiction
    -- IntFractPair.stream v 0 ≠ none
[GOAL]
case zero
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v Nat.zero = none
⊢ v = convergents (of v) (Nat.zero - 1)
[PROOFSTEP]
contradiction
  -- IntFractPair.stream v 0 ≠ none
[GOAL]
case succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
IH : IntFractPair.stream v n = none → v = convergents (of v) (n - 1)
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = none
⊢ v = convergents (of v) (Nat.succ n - 1)
[PROOFSTEP]

| succ n IH =>
  let g := of v
  change v = g.convergents n
  have : IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0 :=
    IntFractPair.succ_nth_stream_eq_none_iff.1 nth_stream_eq_none
  rcases this with (⟨nth_stream_eq_none⟩ | ⟨ifp_n, nth_stream_eq, nth_stream_fr_eq_zero⟩)
  · cases' n with n'
    ·
      contradiction
        -- IntFractPair.stream v 0 ≠ none
    · have : g.TerminatedAt n' := of_terminatedAt_n_iff_succ_nth_intFractPair_stream_eq_none.2 nth_stream_eq_none
      have : g.convergents (n' + 1) = g.convergents n' := convergents_stable_of_terminated n'.le_succ this
      rw [this]
      exact IH nth_stream_eq_none
  · simpa [nth_stream_fr_eq_zero, compExactValue] using compExactValue_correctness_of_stream_eq_some nth_stream_eq
[GOAL]
case succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
IH : IntFractPair.stream v n = none → v = convergents (of v) (n - 1)
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = none
⊢ v = convergents (of v) (Nat.succ n - 1)
[PROOFSTEP]
let g := of v
[GOAL]
case succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
IH : IntFractPair.stream v n = none → v = convergents (of v) (n - 1)
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = none
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
⊢ v = convergents (of v) (Nat.succ n - 1)
[PROOFSTEP]
change v = g.convergents n
[GOAL]
case succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
IH : IntFractPair.stream v n = none → v = convergents (of v) (n - 1)
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = none
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
⊢ v = convergents g n
[PROOFSTEP]
have : IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0 :=
  IntFractPair.succ_nth_stream_eq_none_iff.1 nth_stream_eq_none
[GOAL]
case succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
IH : IntFractPair.stream v n = none → v = convergents (of v) (n - 1)
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = none
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
this : IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0
⊢ v = convergents g n
[PROOFSTEP]
rcases this with (⟨nth_stream_eq_none⟩ | ⟨ifp_n, nth_stream_eq, nth_stream_fr_eq_zero⟩)
[GOAL]
case succ.inl
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
IH : IntFractPair.stream v n = none → v = convergents (of v) (n - 1)
nth_stream_eq_none✝ : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = none
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v n = none
⊢ v = convergents g n
[PROOFSTEP]
cases' n with n'
[GOAL]
case succ.inl.zero
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
IH : IntFractPair.stream v Nat.zero = none → v = convergents (of v) (Nat.zero - 1)
nth_stream_eq_none✝ : IntFractPair.stream v (Nat.succ Nat.zero) = none
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v Nat.zero = none
⊢ v = convergents g Nat.zero
[PROOFSTEP]
contradiction
  -- IntFractPair.stream v 0 ≠ none
[GOAL]
case succ.inl.succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n' : ℕ
IH : IntFractPair.stream v (Nat.succ n') = none → v = convergents (of v) (Nat.succ n' - 1)
nth_stream_eq_none✝ : IntFractPair.stream v (Nat.succ (Nat.succ n')) = none
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n') = none
⊢ v = convergents g (Nat.succ n')
[PROOFSTEP]
have : g.TerminatedAt n' := of_terminatedAt_n_iff_succ_nth_intFractPair_stream_eq_none.2 nth_stream_eq_none
[GOAL]
case succ.inl.succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n' : ℕ
IH : IntFractPair.stream v (Nat.succ n') = none → v = convergents (of v) (Nat.succ n' - 1)
nth_stream_eq_none✝ : IntFractPair.stream v (Nat.succ (Nat.succ n')) = none
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n') = none
this : TerminatedAt g n'
⊢ v = convergents g (Nat.succ n')
[PROOFSTEP]
have : g.convergents (n' + 1) = g.convergents n' := convergents_stable_of_terminated n'.le_succ this
[GOAL]
case succ.inl.succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n' : ℕ
IH : IntFractPair.stream v (Nat.succ n') = none → v = convergents (of v) (Nat.succ n' - 1)
nth_stream_eq_none✝ : IntFractPair.stream v (Nat.succ (Nat.succ n')) = none
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n') = none
this✝ : TerminatedAt g n'
this : convergents g (n' + 1) = convergents g n'
⊢ v = convergents g (Nat.succ n')
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case succ.inl.succ
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
n' : ℕ
IH : IntFractPair.stream v (Nat.succ n') = none → v = convergents (of v) (Nat.succ n' - 1)
nth_stream_eq_none✝ : IntFractPair.stream v (Nat.succ (Nat.succ n')) = none
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n') = none
this✝ : TerminatedAt g n'
this : convergents g (n' + 1) = convergents g n'
⊢ v = convergents g n'
[PROOFSTEP]
exact IH nth_stream_eq_none
[GOAL]
case succ.inr.intro.intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
IH : IntFractPair.stream v n = none → v = convergents (of v) (n - 1)
nth_stream_eq_none : IntFractPair.stream v (Nat.succ n) = none
g : GeneralizedContinuedFraction K := of v
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
nth_stream_fr_eq_zero : ifp_n.fr = 0
⊢ v = convergents g n
[PROOFSTEP]
simpa [nth_stream_fr_eq_zero, compExactValue] using compExactValue_correctness_of_stream_eq_some nth_stream_eq
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : Terminates (of v)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, v = convergents (of v) n
[PROOFSTEP]
rw [eventually_atTop]
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : Terminates (of v)
⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → v = convergents (of v) b
[PROOFSTEP]
obtain ⟨n, terminated_at_n⟩ : ∃ n, (of v).TerminatedAt n
[GOAL]
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : Terminates (of v)
⊢ ∃ n, TerminatedAt (of v) n
case intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : Terminates (of v)
n : ℕ
terminated_at_n : TerminatedAt (of v) n
⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → v = convergents (of v) b
[PROOFSTEP]
exact terminates
[GOAL]
case intro
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : Terminates (of v)
n : ℕ
terminated_at_n : TerminatedAt (of v) n
⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), b ≥ a → v = convergents (of v) b
[PROOFSTEP]
use n
[GOAL]
case h
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : Terminates (of v)
n : ℕ
terminated_at_n : TerminatedAt (of v) n
⊢ ∀ (b : ℕ), b ≥ n → v = convergents (of v) b
[PROOFSTEP]
intro m m_geq_n
[GOAL]
case h
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : Terminates (of v)
n : ℕ
terminated_at_n : TerminatedAt (of v) n
m : ℕ
m_geq_n : m ≥ n
⊢ v = convergents (of v) m
[PROOFSTEP]
rw [convergents_stable_of_terminated m_geq_n terminated_at_n]
[GOAL]
case h
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
v : K
n✝ : ℕ
inst✝ : FloorRing K
terminates : Terminates (of v)
n : ℕ
terminated_at_n : TerminatedAt (of v) n
m : ℕ
m_geq_n : m ≥ n
⊢ v = convergents (of v) n
[PROOFSTEP]
exact of_correctness_of_terminatedAt terminated_at_n
