[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module 𝕜 V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
⊢ fourierIntegral e μ L (r • f) = r • fourierIntegral e μ L f
[PROOFSTEP]
ext1 w
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module 𝕜 V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ fourierIntegral e μ L (r • f) w = (r • fourierIntegral e μ L f) w
[PROOFSTEP]
simp only [Pi.smul_apply, fourierIntegral, ← integral_smul]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module 𝕜 V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • r • f v ∂μ =
    ∫ (a : V), r • ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) w))) • f a ∂μ
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case h.e_f
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module 𝕜 V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
⊢ (fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • r • f v) = fun a =>
    r • ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) w))) • f a
[PROOFSTEP]
funext
[GOAL]
case h.e_f.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module 𝕜 V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
x✝ : V
⊢ ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) w))) • r • f x✝ = r • ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) w))) • f x✝
[PROOFSTEP]
rw [smul_comm]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module 𝕜 V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
w : W
⊢ ‖fourierIntegral e μ L f w‖ ≤ ∫ (v : V), ‖f v‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' (norm_integral_le_integral_norm _).trans (le_of_eq _)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module 𝕜 V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
w : W
⊢ ∫ (a : V), ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) w))) • f a‖ ∂μ = ∫ (v : V), ‖f v‖ ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, abs_coe_circle, one_mul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
⊢ fourierIntegral e μ L (f ∘ fun v => v + v₀) = fun w =>
    ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (↑(↑L v₀) w))) • fourierIntegral e μ L f w
[PROOFSTEP]
ext1 w
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ fourierIntegral e μ L (f ∘ fun v => v + v₀) w = ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (↑(↑L v₀) w))) • fourierIntegral e μ L f w
[PROOFSTEP]
dsimp only [fourierIntegral, Function.comp_apply]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f (v + v₀) ∂μ =
    ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (↑(↑L v₀) w))) • ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v ∂μ
[PROOFSTEP]
conv in L _ => rw [← add_sub_cancel v v₀]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
v : V
| ↑L v
[PROOFSTEP]
rw [← add_sub_cancel v v₀]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
v : V
| ↑L v
[PROOFSTEP]
rw [← add_sub_cancel v v₀]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
v : V
| ↑L v
[PROOFSTEP]
rw [← add_sub_cancel v v₀]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L (v + v₀ - v₀)) w))) • f (v + v₀) ∂μ =
    ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (↑(↑L v₀) w))) • ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [integral_add_right_eq_self fun v : V => e[-L (v - v₀) w] • f v]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ ∫ (x : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L (x - v₀)) w))) • f x ∂μ =
    ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (↑(↑L v₀) w))) • ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v ∂μ
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ ∫ (x : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L (x - v₀)) w))) • f x ∂μ =
    ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (↑(↑L v₀) w))) • ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [← integral_smul]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
⊢ ∫ (x : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L (x - v₀)) w))) • f x ∂μ =
    ∫ (a : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (↑(↑L v₀) w))) • ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) w))) • f a ∂μ
[PROOFSTEP]
congr 1 with v
[GOAL]
case h.e_f.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module 𝕜 V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
inst✝ : Measure.IsAddRightInvariant μ
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W
v : V
⊢ ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L (v - v₀)) w))) • f v =
    ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (↑(↑L v₀) w))) • ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
[PROOFSTEP]
rw [← smul_assoc, smul_eq_mul, ← Submonoid.coe_mul, ← e.map_mul, ← ofAdd_add, ← LinearMap.neg_apply, ← sub_eq_add_neg, ←
  LinearMap.sub_apply, LinearMap.map_sub, neg_sub]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
⊢ Integrable f ↔ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
[PROOFSTEP]
have aux : ∀ {g : V → E} (_ : Integrable g μ) (x : W), Integrable (fun v : V => e[-L v x] • g v) μ :=
  by
  intro g hg x
  have c : Continuous fun v => e[-L v x] :=
    by
    refine' (continuous_induced_rng.mp he).comp (continuous_ofAdd.comp (Continuous.neg _))
    exact hL.comp (continuous_prod_mk.mpr ⟨continuous_id, continuous_const⟩)
  rw [← integrable_norm_iff (c.aestronglyMeasurable.smul hg.1)]
  convert hg.norm using 2
  rw [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, abs_coe_circle, one_mul]
    -- then use it for both directions
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
⊢ ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
[PROOFSTEP]
intro g hg x
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
⊢ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
[PROOFSTEP]
have c : Continuous fun v => e[-L v x] :=
  by
  refine' (continuous_induced_rng.mp he).comp (continuous_ofAdd.comp (Continuous.neg _))
  exact hL.comp (continuous_prod_mk.mpr ⟨continuous_id, continuous_const⟩)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
⊢ Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
[PROOFSTEP]
refine' (continuous_induced_rng.mp he).comp (continuous_ofAdd.comp (Continuous.neg _))
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
⊢ Continuous fun v => ↑(↑L v) x
[PROOFSTEP]
exact hL.comp (continuous_prod_mk.mpr ⟨continuous_id, continuous_const⟩)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
c : Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
⊢ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
[PROOFSTEP]
rw [← integrable_norm_iff (c.aestronglyMeasurable.smul hg.1)]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
c : Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
⊢ Integrable fun a => ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) x))) • g a‖
[PROOFSTEP]
convert hg.norm using 2
[GOAL]
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
g : V → E
hg : Integrable g
x : W
c : Continuous fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x)))
x✝ : V
⊢ ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) x))) • g x✝‖ = ‖g x✝‖
[PROOFSTEP]
rw [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, abs_coe_circle, one_mul]
  -- then use it for both directions
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
⊢ Integrable f ↔ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun hf => aux hf w, fun hf => _⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
hf : Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
⊢ Integrable f
[PROOFSTEP]
convert aux hf (-w)
[GOAL]
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 V
inst✝⁹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g → ∀ (x : W), Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) x))) • g v
hf : Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
x✝ : V
⊢ f x✝ = ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) (-w)))) • ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L x✝) w))) • f x✝
[PROOFSTEP]
rw [← smul_assoc, smul_eq_mul, ← Submonoid.coe_mul, ← MonoidHom.map_mul, ← ofAdd_add, LinearMap.map_neg, neg_neg, ←
  sub_eq_add_neg, sub_self, ofAdd_zero, MonoidHom.map_one, Submonoid.coe_one, one_smul]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f g : V → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g = fourierIntegral e μ L (f + g)
[PROOFSTEP]
ext1 w
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f g : V → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
w : W
⊢ (fourierIntegral e μ L f + fourierIntegral e μ L g) w = fourierIntegral e μ L (f + g) w
[PROOFSTEP]
dsimp only [Pi.add_apply, fourierIntegral]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f g : V → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
w : W
⊢ ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v ∂μ +
      ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • g v ∂μ =
    ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • (f v + g v) ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [smul_add]
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f g : V → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
w : W
⊢ ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v ∂μ +
      ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • g v ∂μ =
    ∫ (v : V), ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v + ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • g v ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [integral_add]
[GOAL]
case h.hf
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f g : V → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
w : W
⊢ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v
[PROOFSTEP]
exact (fourier_integral_convergent_iff he hL w).mp hf
[GOAL]
case h.hg
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalRing 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f g : V → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
w : W
⊢ Integrable fun v => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • g v
[PROOFSTEP]
exact (fourier_integral_convergent_iff he hL w).mp hg
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
⊢ Continuous (fourierIntegral e μ L f)
[PROOFSTEP]
apply continuous_of_dominated
[GOAL]
case hF_meas
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
⊢ ∀ (x : W), AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) x))) • f a) μ
[PROOFSTEP]
exact fun w => ((fourier_integral_convergent_iff he hL w).mp hf).1
[GOAL]
case h_bound
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
⊢ ∀ (x : W), ∀ᵐ (a : V) ∂μ, ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) x))) • f a‖ ≤ ?bound a
[PROOFSTEP]
refine' fun w => ae_of_all _ fun v => _
[GOAL]
case bound
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
⊢ V → ℝ
[PROOFSTEP]
exact fun v => ‖f v‖
[GOAL]
case h_bound
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
w : W
v : V
⊢ ‖↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L v) w))) • f v‖ ≤ ‖f v‖
[PROOFSTEP]
rw [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, abs_coe_circle, one_mul]
[GOAL]
case bound_integrable
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
⊢ Integrable fun v => ‖f v‖
[PROOFSTEP]
exact hf.norm
[GOAL]
case h_cont
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous ↑e
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
⊢ ∀ᵐ (a : V) ∂μ, Continuous fun x => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) x))) • f a
[PROOFSTEP]
rw [continuous_induced_rng] at he 
[GOAL]
case h_cont
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous (Subtype.val ∘ ↑e)
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
⊢ ∀ᵐ (a : V) ∂μ, Continuous fun x => ↑(↑e (↑Multiplicative.ofAdd (-↑(↑L a) x))) • f a
[PROOFSTEP]
refine' ae_of_all _ fun v => (he.comp (continuous_ofAdd.comp _)).smul continuous_const
[GOAL]
case h_cont
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W
inst✝⁹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : Multiplicative 𝕜 →* { x // x ∈ 𝕊 }
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : TopologicalSpace.FirstCountableTopology W
he : Continuous (Subtype.val ∘ ↑e)
hL : Continuous fun p => ↑(↑L p.fst) p.snd
f : V → E
hf : Integrable f
v : V
⊢ Continuous fun x => -↑(↑L v) x
[PROOFSTEP]
refine' (hL.comp (continuous_prod_mk.mpr ⟨continuous_const, continuous_id⟩)).neg
[GOAL]
⊢ (fun z => ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd z)) 1 = 1
[PROOFSTEP]
simp only
[GOAL]
⊢ ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd 1) = 1
[PROOFSTEP]
rw [toAdd_one, mul_zero, expMapCircle_zero]
[GOAL]
x y : Multiplicative ℝ
⊢ OneHom.toFun
      { toFun := fun z => ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd z),
        map_one' := (_ : (fun z => ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd z)) 1 = 1) }
      (x * y) =
    OneHom.toFun
        { toFun := fun z => ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd z),
          map_one' := (_ : (fun z => ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd z)) 1 = 1) }
        x *
      OneHom.toFun
        { toFun := fun z => ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd z),
          map_one' := (_ : (fun z => ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd z)) 1 = 1) }
        y
[PROOFSTEP]
simp only
[GOAL]
x y : Multiplicative ℝ
⊢ ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd (x * y)) =
    ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd x) * ↑expMapCircle (2 * π * ↑Multiplicative.toAdd y)
[PROOFSTEP]
rw [toAdd_mul, mul_add, expMapCircle_add]
[GOAL]
x : ℝ
⊢ ↑(↑fourierChar (↑Multiplicative.ofAdd x)) = Complex.exp (↑(2 * π * x) * Complex.I)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module ℝ W
L : V →ₗ[ℝ] W →ₗ[ℝ] ℝ
μ : Measure V
f : V → E
w : W
⊢ VectorFourier.fourierIntegral fourierChar μ L f w =
    ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * ↑(↑L v) w) * Complex.I) • f v ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [VectorFourier.fourierIntegral, Real.fourierChar_apply, mul_neg, neg_mul]
[GOAL]
E✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedSpace ℂ E✝
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
w : ℝ
⊢ 𝓕 f w = ∫ (v : ℝ), Complex.exp (↑(-2 * π * v * w) * Complex.I) • f v
[PROOFSTEP]
simp_rw [fourierIntegral_def, Real.fourierChar_apply, mul_neg, neg_mul, mul_assoc]
