[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ Memℒp (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) 1
[PROOFSTEP]
rw [memℒp_one_iff_integrable]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ Integrable ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
apply integrable_condexpIndSMul
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y) = condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y)) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y)
[PROOFSTEP]
refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_add _ _).symm
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs y)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (EventuallyEq.add (Memℒp.coeFn_toLp q).symm (Memℒp.coeFn_toLp q).symm)
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᵐ[μ] fun x_1 =>
    ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1
[PROOFSTEP]
rw [condexpIndSMul_add]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x + condexpIndSMul hm hs hμs y) =ᵐ[μ] fun x_1 =>
    ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1
[PROOFSTEP]
refine' (Lp.coeFn_add _ _).trans (eventually_of_forall fun a => _)
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
a : α
⊢ (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y)) a =
    (fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1) a
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
rw [condexpIndSMul_smul hs hμs c x]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).mono fun y hy => _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
y : α
hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y
⊢ (c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y
[PROOFSTEP]
rw [Pi.smul_apply, Pi.smul_apply, hy]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
rw [condexpIndSMul_smul' hs hμs c x]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).mono fun y hy => _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
y : α
hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y
⊢ (c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y
[PROOFSTEP]
rw [Pi.smul_apply, Pi.smul_apply, hy]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
have : 0 ≤ ∫ a : α, ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x a‖ ∂μ := integral_nonneg fun a => norm_nonneg _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [L1.norm_eq_integral_norm, ← ENNReal.toReal_ofReal (norm_nonneg x), ← ENNReal.toReal_mul, ←
  ENNReal.toReal_ofReal this,
  ENNReal.toReal_le_toReal ENNReal.ofReal_ne_top (ENNReal.mul_ne_top hμs ENNReal.ofReal_ne_top),
  ofReal_integral_norm_eq_lintegral_nnnorm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ Integrable fun a => ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ Integrable fun a => ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a
[PROOFSTEP]
rw [← memℒp_one_iff_integrable]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ Memℒp (fun a => ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a) 1
[PROOFSTEP]
exact Lp.memℒp _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖
[PROOFSTEP]
have h_eq : ∫⁻ a, ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x a‖₊ ∂μ = ∫⁻ a, ‖condexpIndSMul hm hs hμs x a‖₊ ∂μ :=
  by
  refine' lintegral_congr_ae _
  refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).mono fun z hz => _
  dsimp only
  rw [hz]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ
[PROOFSTEP]
refine' lintegral_congr_ae _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ (fun a => ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊) =ᵐ[μ] fun a => ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊
[PROOFSTEP]
refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).mono fun z hz => _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
z : α
hz : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) z = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) z
⊢ (fun a => ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊) z = (fun a => ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊) z
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
z : α
hz : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) z = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) z
⊢ ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) z‖₊ = ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) z‖₊
[PROOFSTEP]
rw [hz]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
h_eq : ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [h_eq, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
h_eq : ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ↑‖x‖₊
[PROOFSTEP]
exact lintegral_nnnorm_condexpIndSMul_le hm hs hμs x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ condexpIndL1Fin hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) (_ : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤) x =
    condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) (_ : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤) x) =ᵐ[μ]
    ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
[PROOFSTEP]
have hμst := ((measure_union_le s t).trans_lt (lt_top_iff_ne_top.mpr (ENNReal.add_ne_top.mpr ⟨hμs, hμt⟩))).ne
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) (_ : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤) x) =ᵐ[μ]
    ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
[PROOFSTEP]
refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm (hs.union ht) hμst x).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) hμst x) =ᵐ[μ]
    ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_add _ _).symm
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) hμst x) =ᵐ[μ]
    ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
[PROOFSTEP]
have hs_eq := condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) hμst x) =ᵐ[μ]
    ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
[PROOFSTEP]
have ht_eq := condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm ht hμt x
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) hμst x) =ᵐ[μ]
    ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (EventuallyEq.add hs_eq.symm ht_eq.symm)
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) hμst x) =ᵐ[μ] fun x_1 =>
    ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
[PROOFSTEP]
rw [condexpIndSMul]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x))
          ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) hμst 1))) =ᵐ[μ]
    fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
[PROOFSTEP]
rw [indicatorConstLp_disjoint_union hs ht hμs hμt hst (1 : ℝ)]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x))
          ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1 + indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᵐ[μ]
    fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
[PROOFSTEP]
rw [(condexpL2 ℝ ℝ hm).map_add]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x))
          ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) +
              ↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᵐ[μ]
    fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x))
          (↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) +
            ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1)))) =ᵐ[μ]
    fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
[PROOFSTEP]
rw [((toSpanSingleton ℝ x).compLpL 2 μ).map_add]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) +
          ↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᵐ[μ]
    fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
[PROOFSTEP]
refine' (Lp.coeFn_add _ _).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
⊢ ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) +
      ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))) =ᵐ[μ]
    fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_forall fun y => _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
hs_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
ht_eq : ↑↑(condexpIndL1Fin hm ht hμt x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x)
y : α
⊢ (↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) +
        ↑↑(↑(compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1))))
      y =
    (fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm ht hμt x) x_1) y
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ condexpIndL1 hm μ s x = condexpIndL1Fin hm hs hμs x
[PROOFSTEP]
simp only [condexpIndL1, And.intro hs hμs, dif_pos, Ne.def, not_false_iff, and_self_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hμs : ↑↑μ s = ⊤
x : G
⊢ condexpIndL1 hm μ s x = 0
[PROOFSTEP]
simp only [condexpIndL1, hμs, eq_self_iff_true, not_true, Ne.def, dif_neg, not_false_iff, and_false_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : ¬MeasurableSet s
x : G
⊢ condexpIndL1 hm μ s x = 0
[PROOFSTEP]
simp only [condexpIndL1, hs, dif_neg, not_false_iff, false_and_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
⊢ condexpIndL1 hm μ s (x + y) = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ s y
[PROOFSTEP]
by_cases hs : MeasurableSet s
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (x + y) = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ s y
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (x + y) = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ s y
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (x + y) = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ s y
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_not_measurableSet hs]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ 0 = 0 + 0
[PROOFSTEP]
rw [zero_add]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (x + y) = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ s y
[PROOFSTEP]
by_cases hμs : μ s = ∞
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ s (x + y) = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ s y
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_measure_eq_top hμs]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ 0 = 0 + 0
[PROOFSTEP]
rw [zero_add]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ s (x + y) = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ s y
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_measurableSet_of_measure_ne_top hs hμs]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x y : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y) = condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y
[PROOFSTEP]
exact condexpIndL1Fin_add hs hμs x y
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
by_cases hs : MeasurableSet s
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_not_measurableSet hs]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ 0 = c • 0
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
by_cases hμs : μ s = ∞
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_measure_eq_top hμs]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ 0 = c • 0
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_measurableSet_of_measure_ne_top hs hμs]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
c : ℝ
x : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x
[PROOFSTEP]
exact condexpIndL1Fin_smul hs hμs c x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
by_cases hs : MeasurableSet s
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_not_measurableSet hs]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ 0 = c • 0
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
by_cases hμs : μ s = ∞
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_measure_eq_top hμs]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ 0 = c • 0
[PROOFSTEP]
rw [smul_zero]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condexpIndL1 hm μ s x
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_measurableSet_of_measure_ne_top hs hμs]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤
⊢ condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x
[PROOFSTEP]
exact condexpIndL1Fin_smul' hs hμs c x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
⊢ ‖condexpIndL1 hm μ s x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
by_cases hs : MeasurableSet s
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : MeasurableSet s
⊢ ‖condexpIndL1 hm μ s x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ ‖condexpIndL1 hm μ s x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ ‖condexpIndL1 hm μ s x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpIndL1_of_not_measurableSet hs]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ ‖0‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [Lp.norm_zero]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ 0 ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact mul_nonneg ENNReal.toReal_nonneg (norm_nonneg _)
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : MeasurableSet s
⊢ ‖condexpIndL1 hm μ s x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
by_cases hμs : μ s = ∞
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ ‖condexpIndL1 hm μ s x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [condexpIndL1_of_measure_eq_top hμs x, Lp.norm_zero]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s = ⊤
⊢ 0 ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact mul_nonneg ENNReal.toReal_nonneg (norm_nonneg _)
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤
⊢ ‖condexpIndL1 hm μ s x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [condexpIndL1_of_measurableSet_of_measure_ne_top hs hμs x]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬↑↑μ s = ⊤
⊢ ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖
[PROOFSTEP]
exact norm_condexpIndL1Fin_le hs hμs x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ condexpIndL1 hm μ (s ∪ t) x = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ t x
[PROOFSTEP]
have hμst : μ (s ∪ t) ≠ ∞ :=
  ((measure_union_le s t).trans_lt (lt_top_iff_ne_top.mpr (ENNReal.add_ne_top.mpr ⟨hμs, hμt⟩))).ne
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ condexpIndL1 hm μ (s ∪ t) x = condexpIndL1 hm μ s x + condexpIndL1 hm μ t x
[PROOFSTEP]
rw [condexpIndL1_of_measurableSet_of_measure_ne_top hs hμs x, condexpIndL1_of_measurableSet_of_measure_ne_top ht hμt x,
  condexpIndL1_of_measurableSet_of_measure_ne_top (hs.union ht) hμst x]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
hμst : ↑↑μ (s ∪ t) ≠ ⊤
⊢ condexpIndL1Fin hm (_ : MeasurableSet (s ∪ t)) hμst x = condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm ht hμt x
[PROOFSTEP]
exact condexpIndL1Fin_disjoint_union hs ht hμs hμt hst x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ↑↑(↑(condexpInd G hm μ s) x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ↑↑(↑(condexpInd G hm μ s) x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
simp [condexpInd, condexpIndL1, hs, hμs]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm (_ : MeasurableSet s) (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) x) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
⊢ condexpInd G hm μ ∅ = 0
[PROOFSTEP]
ext1 x
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
⊢ ↑(condexpInd G hm μ ∅) x = ↑0 x
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
⊢ ↑↑(↑(condexpInd G hm μ ∅) x) =ᵐ[μ] ↑↑(↑0 x)
[PROOFSTEP]
refine' (condexpInd_ae_eq_condexpIndSMul hm MeasurableSet.empty (by simp) x).trans _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
⊢ ↑↑μ ∅ ≠ ⊤
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm (_ : MeasurableSet ∅) (_ : ↑↑μ ∅ ≠ ⊤) x) =ᵐ[μ] ↑↑(↑0 x)
[PROOFSTEP]
rw [condexpIndSMul_empty]
[GOAL]
case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
⊢ ↑↑0 =ᵐ[μ] ↑↑(↑0 x)
[PROOFSTEP]
refine' (Lp.coeFn_zero G 2 μ).trans _
[GOAL]
case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
⊢ 0 =ᵐ[μ] ↑↑(↑0 x)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_zero G 1 μ).symm
[GOAL]
case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
x : G
⊢ 0 =ᵐ[μ] 0
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
⊢ condexpInd G hm μ (s ∪ t) = condexpInd G hm μ s + condexpInd G hm μ t
[PROOFSTEP]
ext1 x
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ ↑(condexpInd G hm μ (s ∪ t)) x = ↑(condexpInd G hm μ s + condexpInd G hm μ t) x
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
⊢ ↑(condexpInd G hm μ (s ∪ t)) x = (↑(condexpInd G hm μ s) + ↑(condexpInd G hm μ t)) x
[PROOFSTEP]
exact condexpInd_disjoint_union_apply hs ht hμs hμt hst x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ ↑(condexpInd G hm μ s) c = indicatorConstLp 1 (_ : MeasurableSet s) hμs c
[PROOFSTEP]
ext1
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ ↑↑(↑(condexpInd G hm μ s) c) =ᵐ[μ] ↑↑(indicatorConstLp 1 (_ : MeasurableSet s) hμs c)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ indicatorConstLp_coeFn.symm
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ ↑↑(↑(condexpInd G hm μ s) c) =ᵐ[μ] Set.indicator s fun x => c
[PROOFSTEP]
refine' (condexpInd_ae_eq_condexpIndSMul hm (hm s hs) hμs c).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm (_ : MeasurableSet s) hμs c) =ᵐ[μ] Set.indicator s fun x => c
[PROOFSTEP]
refine' (condexpIndSMul_ae_eq_smul hm (hm s hs) hμs c).trans _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ (fun a => ↑↑↑(↑(condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1)) a • c) =ᵐ[μ]
    Set.indicator s fun x => c
[PROOFSTEP]
rw [lpMeas_coe, condexpL2_indicator_of_measurable hm hs hμs (1 : ℝ)]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
⊢ (fun a => ↑↑(indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) a • c) =ᵐ[μ] Set.indicator s fun x => c
[PROOFSTEP]
refine' (@indicatorConstLp_coeFn α _ _ 2 μ _ s (hm s hs) hμs (1 : ℝ)).mono fun x hx => _
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
x : α
hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x
⊢ (fun a => ↑↑(indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) a • c) x = Set.indicator s (fun x => c) x
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
x : α
hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x
⊢ ↑↑(indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) x • c = Set.indicator s (fun x => c) x
[PROOFSTEP]
rw [hx]
[GOAL]
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
x : α
hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x
⊢ Set.indicator s (fun x => 1) x • c = Set.indicator s (fun x => c) x
[PROOFSTEP]
by_cases hx_mem : x ∈ s
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
x : α
hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x
hx_mem : x ∈ s
⊢ Set.indicator s (fun x => 1) x • c = Set.indicator s (fun x => c) x
[PROOFSTEP]
simp [hx_mem]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : G
x : α
hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 (_ : MeasurableSet s) hμs 1) x = Set.indicator s (fun x => 1) x
hx_mem : ¬x ∈ s
⊢ Set.indicator s (fun x => 1) x • c = Set.indicator s (fun x => c) x
[PROOFSTEP]
simp [hx_mem]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ 0 ≤ ↑(condexpInd E hm μ s) x
[PROOFSTEP]
rw [← coeFn_le]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(↑(condexpInd E hm μ s) x)
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyLE.trans_eq _ (condexpInd_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).symm
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
[PROOFSTEP]
exact (coeFn_zero E 1 μ).trans_le (condexpIndSMul_nonneg hs hμs x hx)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ) (c • f) = c • ↑(condexpL1Clm F' hm μ) f
[PROOFSTEP]
refine' L1.setToL1_smul (dominatedFinMeasAdditive_condexpInd F' hm μ) _ c f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
⊢ ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : F'), ↑(condexpInd F' hm μ s) (c • x) = c • ↑(condexpInd F' hm μ s) x
[PROOFSTEP]
exact fun c s x => condexpInd_smul' c x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : F'
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs hμs x) = ↑(condexpInd F' hm μ s) x
[PROOFSTEP]
rw [Lp.simpleFunc.coe_indicatorConst]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : F'
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = ↑(condexpInd F' hm μ s) x
[PROOFSTEP]
exact condexpL1Clm_indicatorConstLp hs hμs x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
refine'
  @Lp.induction _ _ _ _ _ _ _ ENNReal.one_ne_top
    (fun f : α →₁[μ] F' => ∫ x in s, condexpL1Clm F' hm μ f x ∂μ = ∫ x in s, f x ∂μ) _ _ (isClosed_eq _ _) f
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ (c : F') {s_1 : Set α} (hs : MeasurableSet s_1) (hμs : ↑↑μ s_1 < ⊤),
    (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ)
      ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s_1 ≠ ⊤) c)
[PROOFSTEP]
intro x t ht hμt
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : ↑↑μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht (_ : ↑↑μ t ≠ ⊤) x)) x_1 ∂μ =
    ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht (_ : ↑↑μ t ≠ ⊤) x) x_1 ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpL1Clm_indicatorConst ht hμt.ne x]
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : ↑↑μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑(↑(condexpInd F' hm μ t) x) x_1 ∂μ =
    ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑↑(simpleFunc.indicatorConst 1 ht (_ : ↑↑μ t ≠ ⊤) x) x_1 ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [Lp.simpleFunc.coe_indicatorConst, set_integral_indicatorConstLp (hm _ hs)]
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : F'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : ↑↑μ t < ⊤
⊢ ∫ (x_1 : α) in s, ↑↑(↑(condexpInd F' hm μ t) x) x_1 ∂μ = ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ s)) • x
[PROOFSTEP]
exact set_integral_condexpInd hs ht hμs hμt.ne x
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1) (hg : Memℒp g 1),
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp f hf) →
        (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp g hg) →
          (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ)
            (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
[PROOFSTEP]
intro f g hf_Lp hg_Lp _ hf hg
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1
hg_Lp : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [(condexpL1Clm F' hm μ).map_add]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1
hg_Lp : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp) + ↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [set_integral_congr_ae (hm s hs)
    ((Lp.coeFn_add (condexpL1Clm F' hm μ (hf_Lp.toLp f)) (condexpL1Clm F' hm μ (hg_Lp.toLp g))).mono fun x hx _ => hx)]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1
hg_Lp : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) + ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp))) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp + Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [set_integral_congr_ae (hm s hs) ((Lp.coeFn_add (hf_Lp.toLp f) (hg_Lp.toLp g)).mono fun x hx _ => hx)]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1
hg_Lp : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) + ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp))) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, (↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) + ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [Pi.add_apply]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
f g : α → F'
hf_Lp : Memℒp f 1
hg_Lp : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x ∂μ
hg : ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s,
      ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf_Lp)) x + ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg_Lp)) x ∂μ =
    ∫ (x : α) in s, ↑↑(Memℒp.toLp f hf_Lp) x + ↑↑(Memℒp.toLp g hg_Lp) x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [integral_add (L1.integrable_coeFn _).integrableOn (L1.integrable_coeFn _).integrableOn,
  integral_add (L1.integrable_coeFn _).integrableOn (L1.integrable_coeFn _).integrableOn, hf, hg]
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ
[PROOFSTEP]
exact (continuous_set_integral s).comp (condexpL1Clm F' hm μ).continuous
[GOAL]
case refine'_4
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
exact continuous_set_integral s
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
let S := spanningSets (μ.trim hm)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have hS_meas : ∀ i, MeasurableSet[m] (S i) := measurable_spanningSets (μ.trim hm)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have hS_meas0 : ∀ i, MeasurableSet (S i) := fun i => hm _ (hS_meas i)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have hs_eq : s = ⋃ i, S i ∩ s := by
  simp_rw [Set.inter_comm]
  rw [← Set.inter_iUnion, iUnion_spanningSets (μ.trim hm), Set.inter_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
⊢ s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.inter_comm]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
⊢ s = ⋃ (i : ℕ), s ∩ spanningSets (Measure.trim μ hm) i
[PROOFSTEP]
rw [← Set.inter_iUnion, iUnion_spanningSets (μ.trim hm), Set.inter_univ]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have hS_finite : ∀ i, μ (S i ∩ s) < ∞ :=
  by
  refine' fun i => (measure_mono (Set.inter_subset_left _ _)).trans_lt _
  have hS_finite_trim := measure_spanningSets_lt_top (μ.trim hm) i
  rwa [trim_measurableSet_eq hm (hS_meas i)] at hS_finite_trim 
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
⊢ ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
[PROOFSTEP]
refine' fun i => (measure_mono (Set.inter_subset_left _ _)).trans_lt _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
i : ℕ
⊢ ↑↑μ (S i) < ⊤
[PROOFSTEP]
have hS_finite_trim := measure_spanningSets_lt_top (μ.trim hm) i
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
i : ℕ
hS_finite_trim : ↑↑(Measure.trim μ hm) (spanningSets (Measure.trim μ hm) i) < ⊤
⊢ ↑↑μ (S i) < ⊤
[PROOFSTEP]
rwa [trim_measurableSet_eq hm (hS_meas i)] at hS_finite_trim 
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s := by
  intro i j hij x
  simp_rw [Set.mem_inter_iff]
  exact fun h => ⟨monotone_spanningSets (μ.trim hm) hij h.1, h.2⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
⊢ Monotone fun i => S i ∩ s
[PROOFSTEP]
intro i j hij x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
i j : ℕ
hij : i ≤ j
x : α
⊢ x ∈ (fun i => S i ∩ s) i → x ∈ (fun i => S i ∩ s) j
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.mem_inter_iff]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
i j : ℕ
hij : i ≤ j
x : α
⊢ x ∈ spanningSets (Measure.trim μ hm) i ∧ x ∈ s → x ∈ spanningSets (Measure.trim μ hm) j ∧ x ∈ s
[PROOFSTEP]
exact fun h => ⟨monotone_spanningSets (μ.trim hm) hij h.1, h.2⟩
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have h_eq_forall : (fun i => ∫ x in S i ∩ s, condexpL1Clm F' hm μ f x ∂μ) = fun i => ∫ x in S i ∩ s, f x ∂μ :=
  funext fun i =>
    set_integral_condexpL1Clm_of_measure_ne_top f (@MeasurableSet.inter α m _ _ (hS_meas i) hs) (hS_finite i).ne
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall :
  (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have h_right : Tendsto (fun i => ∫ x in S i ∩ s, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ x in s, f x ∂μ)) :=
  by
  have h :=
    tendsto_set_integral_of_monotone (fun i => (hS_meas0 i).inter (hm s hs)) h_mono (L1.integrable_coeFn f).integrableOn
  rwa [← hs_eq] at h 
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall :
  (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
[PROOFSTEP]
have h :=
  tendsto_set_integral_of_monotone (fun i => (hS_meas0 i).inter (hm s hs)) h_mono (L1.integrable_coeFn f).integrableOn
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall :
  (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h : Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in S i ∩ s, ↑↑f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋃ (n : ℕ), S n ∩ s, ↑↑f a ∂μ))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
[PROOFSTEP]
rwa [← hs_eq] at h 
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall :
  (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
have h_left :
  Tendsto (fun i => ∫ x in S i ∩ s, condexpL1Clm F' hm μ f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ x in s, condexpL1Clm F' hm μ f x ∂μ)) :=
  by
  have h :=
    tendsto_set_integral_of_monotone (fun i => (hS_meas0 i).inter (hm s hs)) h_mono
      (L1.integrable_coeFn (condexpL1Clm F' hm μ f)).integrableOn
  rwa [← hs_eq] at h 
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall :
  (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) atTop
    (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ))
[PROOFSTEP]
have h :=
  tendsto_set_integral_of_monotone (fun i => (hS_meas0 i).inter (hm s hs)) h_mono
    (L1.integrable_coeFn (condexpL1Clm F' hm μ f)).integrableOn
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall :
  (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
h :
  Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) a ∂μ) atTop
    (𝓝 (∫ (a : α) in ⋃ (n : ℕ), S n ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) a ∂μ))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) atTop
    (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ))
[PROOFSTEP]
rwa [← hs_eq] at h 
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall :
  (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
h_left :
  Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) atTop
    (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ))
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [h_eq_forall] at h_left 
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
hs : MeasurableSet s
S : ℕ → Set α := spanningSets (Measure.trim μ hm)
hS_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hS_meas0 : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (S i)
hs_eq : s = ⋃ (i : ℕ), S i ∩ s
hS_finite : ∀ (i : ℕ), ↑↑μ (S i ∩ s) < ⊤
h_mono : Monotone fun i => S i ∩ s
h_eq_forall :
  (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ) = fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ
h_right : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ))
h_left :
  Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in S i ∩ s, ↑↑f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ))
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
[PROOFSTEP]
exact tendsto_nhds_unique h_left h_right
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ
[PROOFSTEP]
refine'
  @Lp.induction _ _ _ _ _ _ _ ENNReal.one_ne_top
    (fun f : α →₁[μ] F' => AEStronglyMeasurable' m (condexpL1Clm F' hm μ f) μ) _ _ _ f
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
⊢ ∀ (c : F') {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑μ s < ⊤),
    (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ)
      ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c)
[PROOFSTEP]
intro c s hs hμs
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s✝ : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
c : F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c))) μ
[PROOFSTEP]
rw [condexpL1Clm_indicatorConst hs hμs.ne c]
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s✝ : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
c : F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s < ⊤
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpInd F' hm μ s) c)) μ
[PROOFSTEP]
exact aestronglyMeasurable'_condexpInd hs hμs.ne c
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
⊢ ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1) (hg : Memℒp g 1),
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp f hf) →
        (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp g hg) →
          (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
[PROOFSTEP]
intro f g hf hg _ hfm hgm
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 }
f g : α → F'
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hfm : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf))) μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg))) μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg))) μ
[PROOFSTEP]
rw [(condexpL1Clm F' hm μ).map_add]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 }
f g : α → F'
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hfm : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf))) μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg))) μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf) + ↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg))) μ
[PROOFSTEP]
refine' AEStronglyMeasurable'.congr _ (coeFn_add _ _).symm
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 }
f g : α → F'
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hfm : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf))) μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg))) μ
⊢ AEStronglyMeasurable' m
    (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp f hf)) + ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Memℒp.toLp g hg))) μ
[PROOFSTEP]
exact AEStronglyMeasurable'.add hfm hgm
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
⊢ IsClosed {f | (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ) f}
[PROOFSTEP]
have :
  {f : Lp F' 1 μ | AEStronglyMeasurable' m (condexpL1Clm F' hm μ f) μ} =
    condexpL1Clm F' hm μ ⁻¹' {f | AEStronglyMeasurable' m f μ} :=
  by rfl
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
⊢ {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ} =
    ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ⁻¹' {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
this :
  {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ} =
    ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ⁻¹' {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}
⊢ IsClosed {f | (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ) f}
[PROOFSTEP]
rw [this]
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
this :
  {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ} =
    ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ⁻¹' {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}
⊢ IsClosed (↑(condexpL1Clm F' hm μ) ⁻¹' {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ})
[PROOFSTEP]
refine' IsClosed.preimage (condexpL1Clm F' hm μ).continuous _
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ Lp F' 1 }
this :
  {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) f)) μ} =
    ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ⁻¹' {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}
⊢ IsClosed {f | AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ}
[PROOFSTEP]
exact isClosed_aeStronglyMeasurable' hm
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑f = ↑f
[PROOFSTEP]
let g := lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑f = ↑f
[PROOFSTEP]
have hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g := by simp only [LinearIsometryEquiv.symm_apply_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
⊢ f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
[PROOFSTEP]
simp only [LinearIsometryEquiv.symm_apply_apply]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑f = ↑f
[PROOFSTEP]
rw [hfg]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g)
[PROOFSTEP]
refine'
  @Lp.induction α F' m _ 1 (μ.trim hm) _ ENNReal.coe_ne_top
    (fun g : α →₁[μ.trim hm] F' =>
      condexpL1Clm F' hm μ ((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g : α →₁[μ] F') =
        ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g))
    _ _ _ g
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ ∀ (c : F') {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : ↑↑(Measure.trim μ hm) s < ⊤),
    (fun g =>
        ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g) =
          ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g))
      ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑(Measure.trim μ hm) s ≠ ⊤) c)
[PROOFSTEP]
intro c s hs hμs
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s✝ : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
c : F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑(Measure.trim μ hm) s < ⊤
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ)
      ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm))
          ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑(Measure.trim μ hm) s ≠ ⊤) c)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm))
        ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs (_ : ↑↑(Measure.trim μ hm) s ≠ ⊤) c))
[PROOFSTEP]
rw [@Lp.simpleFunc.coe_indicatorConst _ _ m, lpMeasToLpTrimLie_symm_indicator hs hμs.ne c,
  condexpL1Clm_indicatorConstLp]
[GOAL]
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s✝ : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
c : F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑(Measure.trim μ hm) s < ⊤
⊢ ↑(condexpInd F' hm μ s) c = indicatorConstLp 1 (_ : MeasurableSet s) (_ : ↑↑μ s ≠ ⊤) c
[PROOFSTEP]
exact condexpInd_of_measurable hs ((le_trim hm).trans_lt hμs).ne c
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1) (hg : Memℒp g 1),
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      (fun g =>
            ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g) =
              ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g))
          (Memℒp.toLp f hf) →
        (fun g =>
              ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g) =
                ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g))
            (Memℒp.toLp g hg) →
          (fun g =>
              ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g) =
                ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g))
            (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
[PROOFSTEP]
intro f g hf hg _ hf_eq hg_eq
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝¹ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f✝
hfg : f✝ = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g✝
f g : α → F'
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_eq :
  ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf))
hg_eq :
  ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg))
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ)
      ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg))
[PROOFSTEP]
rw [LinearIsometryEquiv.map_add]
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝¹ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f✝
hfg : f✝ = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g✝
f g : α → F'
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_eq :
  ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf))
hg_eq :
  ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg))
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ)
      ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf) +
          ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf) +
        ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg))
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝¹ g✝¹ : α → F'
s : Set α
f✝ : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g✝ : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f✝
hfg : f✝ = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g✝
f g : α → F'
hf : Memℒp f 1
hg : Memℒp g 1
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_eq :
  ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf))
hg_eq :
  ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg)) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg))
⊢ ↑(condexpL1Clm F' hm μ)
      (↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf)) +
        ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg))) =
    ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp f hf)) +
      ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) (Memℒp.toLp g hg))
[PROOFSTEP]
rw [map_add, hf_eq, hg_eq]
[GOAL]
case refine'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ IsClosed
    {f |
      (fun g =>
          ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g) =
            ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g))
        f}
[PROOFSTEP]
refine' isClosed_eq _ _
[GOAL]
case refine'_3.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ Continuous fun f => ↑(condexpL1Clm F' hm μ) ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) f)
[PROOFSTEP]
refine' (condexpL1Clm F' hm μ).continuous.comp (continuous_induced_dom.comp _)
[GOAL]
case refine'_3.refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ Continuous fun f => ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) f
[PROOFSTEP]
exact LinearIsometryEquiv.continuous _
[GOAL]
case refine'_3.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ Continuous fun f => ↑(↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) f)
[PROOFSTEP]
refine' continuous_induced_dom.comp _
[GOAL]
case refine'_3.refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : { x // x ∈ lpMeas F' ℝ m 1 μ }
g : { x // x ∈ Lp F' 1 } := ↑(lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) g
⊢ Continuous fun f => ↑(LinearIsometryEquiv.symm (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm)) f
[PROOFSTEP]
exact LinearIsometryEquiv.continuous _
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ
[PROOFSTEP]
by_cases hf : Integrable f μ
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
hf : Integrable f
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ
[PROOFSTEP]
rw [condexpL1_eq hf]
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
hf : Integrable f
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf))) μ
[PROOFSTEP]
exact aestronglyMeasurable'_condexpL1Clm _
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
hf : ¬Integrable f
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpL1 hm μ f)) μ
[PROOFSTEP]
rw [condexpL1_undef hf]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
hf : ¬Integrable f
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑0) μ
[PROOFSTEP]
refine AEStronglyMeasurable'.congr ?_ (coeFn_zero _ _ _).symm
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
hf : ¬Integrable f
⊢ AEStronglyMeasurable' m 0 μ
[PROOFSTEP]
exact StronglyMeasurable.aeStronglyMeasurable' (@stronglyMeasurable_zero _ _ m _ _)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(condexpL1 hm μ f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
simp_rw [condexpL1_eq hf]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Integrable.toL1 f hf)) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
rw [set_integral_condexpL1Clm (hf.toL1 f) hs]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f
hs : MeasurableSet s
⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(Integrable.toL1 f hf) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
[PROOFSTEP]
exact set_integral_congr_ae (hm s hs) (hf.coeFn_toL1.mono fun x hx _ => hx)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
⊢ condexpL1 hm μ (c • f) = c • condexpL1 hm μ f
[PROOFSTEP]
refine' setToFun_smul _ _ c f
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'
⊢ ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : F'), ↑(condexpInd F' hm μ s) (c • x) = c • ↑(condexpInd F' hm μ s) x
[PROOFSTEP]
exact fun c _ x => condexpInd_smul' c x
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ f) =ᵐ[μ] f
[PROOFSTEP]
rw [condexpL1_eq hfi]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f
⊢ ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Integrable.toL1 f hfi)) =ᵐ[μ] f
[PROOFSTEP]
refine' EventuallyEq.trans _ (Integrable.coeFn_toL1 hfi)
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f
⊢ ↑↑(↑(condexpL1Clm F' hm μ) (Integrable.toL1 f hfi)) =ᵐ[μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)
[PROOFSTEP]
rw [condexpL1Clm_of_aestronglyMeasurable']
[GOAL]
case hfm
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Integrable.toL1 f hfi)) μ
[PROOFSTEP]
exact AEStronglyMeasurable'.congr hfm (Integrable.coeFn_toL1 hfi).symm
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ f) ≤ᵐ[μ] ↑↑(condexpL1 hm μ g)
[PROOFSTEP]
rw [coeFn_le]
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
⊢ condexpL1 hm μ f ≤ condexpL1 hm μ g
[PROOFSTEP]
have h_nonneg : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ x : E, 0 ≤ x → 0 ≤ condexpInd E hm μ s x := fun s hs hμs x hx =>
  condexpInd_nonneg hs hμs.ne x hx
[GOAL]
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f
hg : Integrable g
hfg : f ≤ᵐ[μ] g
h_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → ∀ (x : E), 0 ≤ x → 0 ≤ ↑(condexpInd E hm μ s) x
⊢ condexpL1 hm μ f ≤ condexpL1 hm μ g
[PROOFSTEP]
exact setToFun_mono (dominatedFinMeasAdditive_condexpInd E hm μ) h_nonneg hf hg hfg
