[GOAL]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α β : F ⟶ G
h : α = β
X : C
⊢ app α X = app β X
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (app α X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : Z✝ ⟶ F
eq : g ≫ α = h ≫ α
⊢ g = h
[PROOFSTEP]
ext X
[GOAL]
case w.h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (app α X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : Z✝ ⟶ F
eq : g ≫ α = h ≫ α
X : C
⊢ app g X = app h X
[PROOFSTEP]
rw [← cancel_mono (α.app X), ← comp_app, eq, comp_app]
[GOAL]
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Epi (app α X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : G ⟶ Z✝
eq : α ≫ g = α ≫ h
⊢ g = h
[PROOFSTEP]
ext X
[GOAL]
case w.h
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Epi (app α X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : G ⟶ Z✝
eq : α ≫ g = α ≫ h
X : C
⊢ app g X = app h X
[PROOFSTEP]
rw [← cancel_epi (α.app X), ← comp_app, eq, comp_app]
[GOAL]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H✝ I✝ : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (F ⋙ H).map f ≫ (fun X => app β (F.obj X) ≫ I.map (app α X)) Y =
    (fun X => app β (F.obj X) ≫ I.map (app α X)) X ≫ (G ⋙ I).map f
[PROOFSTEP]
rw [Functor.comp_map, Functor.comp_map, ← assoc, naturality, assoc, ← map_comp I, naturality, map_comp, assoc]
[GOAL]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H✝ I : C ⥤ D
H : D ⥤ E
α : F ⟶ G
X : C
⊢ app (α ◫ 𝟙 H) X = H.map (app α X)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H✝ I : C ⥤ D
H : E ⥤ C
α : F ⟶ G
X : E
⊢ app (𝟙 H ◫ α) X = app α (H.obj X)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I✝ : C ⥤ D
I J K : D ⥤ E
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
γ : I ⟶ J
δ : J ⟶ K
⊢ (α ≫ β) ◫ (γ ≫ δ) = (α ◫ γ) ≫ β ◫ δ
[PROOFSTEP]
aesop_cat
[GOAL]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
F : C ⥤ D ⥤ E
X Y : C
e : X ≅ Y
Z : D
⊢ app (F.map e.hom) Z ≫ app (F.map e.inv) Z = 𝟙 ((F.obj X).obj Z)
[PROOFSTEP]
simp [← NatTrans.comp_app, ← Functor.map_comp]
[GOAL]
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
F : C ⥤ D ⥤ E
X Y : C
e : X ≅ Y
Z : D
⊢ app (F.map e.inv) Z ≫ app (F.map e.hom) Z = 𝟙 ((F.obj Y).obj Z)
[PROOFSTEP]
simp [← NatTrans.comp_app, ← Functor.map_comp]
