[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
⊢ QuasiconvexOn 𝕜 s (f ⊔ g)
[PROOFSTEP]
intro r
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ (f ⊔ g) x ≤ r}
[PROOFSTEP]
simp_rw [Pi.sup_def, sup_le_iff, Set.sep_and]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
r : β
⊢ Convex 𝕜 ({x | x ∈ s ∧ f x ≤ r} ∩ {x | x ∈ s ∧ g x ≤ r})
[PROOFSTEP]
exact (hf r).inter (hg r)
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
⊢ QuasilinearOn 𝕜 s f ↔
    Convex 𝕜 s ∧
      ∀ ⦃x : E⦄,
        x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
[PROOFSTEP]
rw [QuasilinearOn, quasiconvexOn_iff_le_max, quasiconcaveOn_iff_min_le, and_and_and_comm, and_self_iff]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
⊢ (Convex 𝕜 s ∧
      (∀ ⦃x : E⦄,
          x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧
        ∀ ⦃x : E⦄,
          x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔
    Convex 𝕜 s ∧
      ∀ ⦃x : E⦄,
        x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
[PROOFSTEP]
apply and_congr_right'
[GOAL]
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
⊢ ((∀ ⦃x : E⦄,
        x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧
      ∀ ⦃x : E⦄,
        x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔
    ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
[PROOFSTEP]
simp_rw [← forall_and, ← Icc_min_max, mem_Icc, and_comm]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
⊢ Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ f x < r}
[PROOFSTEP]
refine' fun x hx y hy a b ha hb hab => _
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
x : E
hx : x ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
y : E
hy : y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
[PROOFSTEP]
have h := hf _ ⟨hx.1, le_max_left _ _⟩ ⟨hy.1, le_max_right _ _⟩ ha hb hab
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
x : E
hx : x ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
y : E
hy : y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : a • x + b • y ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 ≤ max (f x) (f y)}
⊢ a • x + b • y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
[PROOFSTEP]
exact ⟨h.1, h.2.trans_lt <| max_lt hx.2 hy.2⟩
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
⊢ MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s
[PROOFSTEP]
simp_rw [monotoneOn_or_antitoneOn_iff_uIcc, ← segment_eq_uIcc]
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
⊢ ∀ (a : 𝕜), a ∈ s → ∀ (b : 𝕜), b ∈ s → ∀ (c : 𝕜), c ∈ s → c ∈ segment 𝕜 a b → f c ∈ uIcc (f a) (f b)
[PROOFSTEP]
rintro a ha b hb c _ h
[GOAL]
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
a : 𝕜
ha : a ∈ s
b : 𝕜
hb : b ∈ s
c : 𝕜
x✝ : c ∈ s
h : c ∈ segment 𝕜 a b
⊢ f c ∈ uIcc (f a) (f b)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨((hf.2 _).segment_subset _ _ h).2, ((hf.1 _).segment_subset _ _ h).2⟩
[GOAL]
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
a : 𝕜
ha : a ∈ s
b : 𝕜
hb : b ∈ s
c : 𝕜
x✝ : c ∈ s
h : c ∈ segment 𝕜 a b
⊢ a ∈ {x | x ∈ s ∧ f a ⊓ f b ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
a : 𝕜
ha : a ∈ s
b : 𝕜
hb : b ∈ s
c : 𝕜
x✝ : c ∈ s
h : c ∈ segment 𝕜 a b
⊢ b ∈ {x | x ∈ s ∧ f a ⊓ f b ≤ f x}
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case refine'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
a : 𝕜
ha : a ∈ s
b : 𝕜
hb : b ∈ s
c : 𝕜
x✝ : c ∈ s
h : c ∈ segment 𝕜 a b
⊢ a ∈ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ f a ⊔ f b}
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
case refine'_4
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
a : 𝕜
ha : a ∈ s
b : 𝕜
hb : b ∈ s
c : 𝕜
x✝ : c ∈ s
h : c ∈ segment 𝕜 a b
⊢ b ∈ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ f a ⊔ f b}
[PROOFSTEP]
simp [*]
