[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) s x
[PROOFSTEP]
simpa using (HasFDerivWithinAt.smul hc hf).hasDerivWithinAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) x
[PROOFSTEP]
rw [← hasDerivWithinAt_univ] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hf : HasDerivWithinAt f f' univ x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) univ x
[PROOFSTEP]
exact hc.smul hf
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y • f y) (c x • f' + c' • f x) x
[PROOFSTEP]
simpa using (hc.smul hf).hasStrictDerivAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
f : F
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
[PROOFSTEP]
have := hc.smul (hasStrictDerivAt_const x f)
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
f : F
this : HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c x • 0 + c' • f) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
[PROOFSTEP]
rwa [smul_zero, zero_add] at this 
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
f : F
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) s x
[PROOFSTEP]
have := hc.smul (hasDerivWithinAt_const x s f)
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
f : F
this : HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c x • 0 + c' • f) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) s x
[PROOFSTEP]
rwa [smul_zero, zero_add] at this 
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
f : F
⊢ HasDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
[PROOFSTEP]
rw [← hasDerivWithinAt_univ] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
f : F
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) univ x
[PROOFSTEP]
exact hc.smul_const f
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasStrictDerivAt f f' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c • f y) (c • f') x
[PROOFSTEP]
simpa using (hf.const_smul c).hasStrictDerivAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
⊢ HasDerivAtFilter (fun y => c • f y) (c • f') x L
[PROOFSTEP]
simpa using (hf.const_smul c).hasDerivAtFilter
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') s x
[PROOFSTEP]
have := (HasFDerivWithinAt.mul' hc hd).hasDerivWithinAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
this : HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (↑(c x • smulRight 1 d' + smulRight (smulRight 1 c') (d x)) 1) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') s x
[PROOFSTEP]
rwa [ContinuousLinearMap.add_apply, ContinuousLinearMap.smul_apply, ContinuousLinearMap.smulRight_apply,
  ContinuousLinearMap.smulRight_apply, ContinuousLinearMap.smulRight_apply, ContinuousLinearMap.one_apply, one_smul,
  one_smul, add_comm] at this 
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
[PROOFSTEP]
rw [← hasDerivWithinAt_univ] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') univ x
[PROOFSTEP]
exact hc.mul hd
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
[PROOFSTEP]
have := (HasStrictFDerivAt.mul' hc hd).hasStrictDerivAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
this : HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) (↑(c x • smulRight 1 d' + smulRight (smulRight 1 c') (d x)) 1) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
[PROOFSTEP]
rwa [ContinuousLinearMap.add_apply, ContinuousLinearMap.smul_apply, ContinuousLinearMap.smulRight_apply,
  ContinuousLinearMap.smulRight_apply, ContinuousLinearMap.smulRight_apply, ContinuousLinearMap.one_apply, one_smul,
  one_smul, add_comm] at this 
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) s x
[PROOFSTEP]
convert hc.mul (hasDerivWithinAt_const x s d) using 1
[GOAL]
case h.e'_7
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸
⊢ c' * d = c' * d + c x * 0
[PROOFSTEP]
rw [mul_zero, add_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝔸
⊢ HasDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x
[PROOFSTEP]
rw [← hasDerivWithinAt_univ] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
d : 𝔸
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) univ x
[PROOFSTEP]
exact hc.mul_const d
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝕜
⊢ HasDerivAt (fun x => x * c) c x
[PROOFSTEP]
simpa only [one_mul] using (hasDerivAt_id' x).mul_const c
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝔸
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x
[PROOFSTEP]
convert hc.mul (hasStrictDerivAt_const x d) using 1
[GOAL]
case h.e'_7
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝔸
⊢ c' * d = c' * d + c x * 0
[PROOFSTEP]
rw [mul_zero, add_zero]
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v✝ : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'
⊢ deriv (fun y => u y * v) x = deriv u x * v
[PROOFSTEP]
by_cases hu : DifferentiableAt 𝕜 u x
[GOAL]
case pos
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v✝ : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'
hu : DifferentiableAt 𝕜 u x
⊢ deriv (fun y => u y * v) x = deriv u x * v
[PROOFSTEP]
exact deriv_mul_const hu v
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v✝ : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'
hu : ¬DifferentiableAt 𝕜 u x
⊢ deriv (fun y => u y * v) x = deriv u x * v
[PROOFSTEP]
rw [deriv_zero_of_not_differentiableAt hu, zero_mul]
[GOAL]
case neg
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v✝ : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'
hu : ¬DifferentiableAt 𝕜 u x
⊢ deriv (fun y => u y * v) x = 0
[PROOFSTEP]
rcases eq_or_ne v 0 with (rfl | hd)
[GOAL]
case neg.inl
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hu : ¬DifferentiableAt 𝕜 u x
⊢ deriv (fun y => u y * 0) x = 0
[PROOFSTEP]
simp only [mul_zero, deriv_const]
[GOAL]
case neg.inr
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v✝ : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'
hu : ¬DifferentiableAt 𝕜 u x
hd : v ≠ 0
⊢ deriv (fun y => u y * v) x = 0
[PROOFSTEP]
refine' deriv_zero_of_not_differentiableAt (mt (fun H => _) hu)
[GOAL]
case neg.inr
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v✝ : 𝕜 → 𝕜'
v : 𝕜'
hu : ¬DifferentiableAt 𝕜 u x
hd : v ≠ 0
H : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => u y * v) x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 u x
[PROOFSTEP]
simpa only [mul_inv_cancel_right₀ hd] using H.mul_const v⁻¹
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c * d y) (c * d') s x
[PROOFSTEP]
convert (hasDerivWithinAt_const x s c).mul hd using 1
[GOAL]
case h.e'_7
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ c * d' = 0 * d x + c * d'
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul, zero_add]
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivAt d d' x
⊢ HasDerivAt (fun y => c * d y) (c * d') x
[PROOFSTEP]
rw [← hasDerivWithinAt_univ] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c * d y) (c * d') univ x
[PROOFSTEP]
exact hd.const_mul c
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c * d y) (c * d') x
[PROOFSTEP]
convert (hasStrictDerivAt_const _ _).mul hd using 1
[GOAL]
case h.e'_7
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ c * d' = 0 * d x + c * d'
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul, zero_add]
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u✝ v : 𝕜 → 𝕜'
u : 𝕜'
⊢ deriv (fun y => u * v y) x = u * deriv v x
[PROOFSTEP]
simp only [mul_comm u, deriv_mul_const_field]
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝕜'
⊢ HasDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x
[PROOFSTEP]
simpa only [div_eq_mul_inv] using hc.mul_const d⁻¹
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝕜'
⊢ HasDerivWithinAt (fun x => c x / d) (c' / d) s x
[PROOFSTEP]
simpa only [div_eq_mul_inv] using hc.mul_const d⁻¹
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝕜'
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x
[PROOFSTEP]
simpa only [div_eq_mul_inv] using hc.mul_const d⁻¹
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
d : 𝕜'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ derivWithin (fun x => c x / d) s x = derivWithin c s x / d
[PROOFSTEP]
simp [div_eq_inv_mul, derivWithin_const_mul, hc, hxs]
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' d : 𝕜'
⊢ deriv (fun x => c x / d) x = deriv c x / d
[PROOFSTEP]
simp only [div_eq_mul_inv, deriv_mul_const_field]
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => comp (c y) (d y)) (comp c' (d x) + comp (c x) d') x
[PROOFSTEP]
have := (hc.hasStrictFDerivAt.clm_comp hd.hasStrictFDerivAt).hasStrictDerivAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
this :
  HasStrictDerivAt (fun y => comp (c y) (d y))
    (↑(comp (↑(compL 𝕜 E F G) (c x)) (smulRight 1 d') +
          comp (↑(ContinuousLinearMap.flip (compL 𝕜 E F G)) (d x)) (smulRight 1 c'))
      1)
    x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => comp (c y) (d y)) (comp c' (d x) + comp (c x) d') x
[PROOFSTEP]
rwa [add_apply, comp_apply, comp_apply, smulRight_apply, smulRight_apply, one_apply, one_smul, one_smul, add_comm] at
  this 
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => comp (c y) (d y)) (comp c' (d x) + comp (c x) d') s x
[PROOFSTEP]
have := (hc.hasFDerivWithinAt.clm_comp hd.hasFDerivWithinAt).hasDerivWithinAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
this :
  HasDerivWithinAt (fun y => comp (c y) (d y))
    (↑(comp (↑(compL 𝕜 E F G) (c x)) (smulRight 1 d') +
          comp (↑(ContinuousLinearMap.flip (compL 𝕜 E F G)) (d x)) (smulRight 1 c'))
      1)
    s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => comp (c y) (d y)) (comp c' (d x) + comp (c x) d') s x
[PROOFSTEP]
rwa [add_apply, comp_apply, comp_apply, smulRight_apply, smulRight_apply, one_apply, one_smul, one_smul, add_comm] at
  this 
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
⊢ HasDerivAt (fun y => comp (c y) (d y)) (comp c' (d x) + comp (c x) d') x
[PROOFSTEP]
rw [← hasDerivWithinAt_univ] at *
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => comp (c y) (d y)) (comp c' (d x) + comp (c x) d') univ x
[PROOFSTEP]
exact hc.clm_comp hd
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hu : HasStrictDerivAt u u' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => ↑(c y) (u y)) (↑c' (u x) + ↑(c x) u') x
[PROOFSTEP]
have := (hc.hasStrictFDerivAt.clm_apply hu.hasStrictFDerivAt).hasStrictDerivAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hu : HasStrictDerivAt u u' x
this :
  HasStrictDerivAt (fun y => ↑(c y) (u y))
    (↑(comp (c x) (smulRight 1 u') + ↑(ContinuousLinearMap.flip (smulRight 1 c')) (u x)) 1) x
⊢ HasStrictDerivAt (fun y => ↑(c y) (u y)) (↑c' (u x) + ↑(c x) u') x
[PROOFSTEP]
rwa [add_apply, comp_apply, flip_apply, smulRight_apply, smulRight_apply, one_apply, one_smul, one_smul, add_comm] at
  this 
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => ↑(c y) (u y)) (↑c' (u x) + ↑(c x) u') s x
[PROOFSTEP]
have := (hc.hasFDerivWithinAt.clm_apply hu.hasFDerivWithinAt).hasDerivWithinAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
this :
  HasDerivWithinAt (fun y => ↑(c y) (u y))
    (↑(comp (c x) (smulRight 1 u') + ↑(ContinuousLinearMap.flip (smulRight 1 c')) (u x)) 1) s x
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => ↑(c y) (u y)) (↑c' (u x) + ↑(c x) u') s x
[PROOFSTEP]
rwa [add_apply, comp_apply, flip_apply, smulRight_apply, smulRight_apply, one_apply, one_smul, one_smul, add_comm] at
  this 
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hu : HasDerivAt u u' x
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑(c y) (u y)) (↑c' (u x) + ↑(c x) u') x
[PROOFSTEP]
have := (hc.hasFDerivAt.clm_apply hu.hasFDerivAt).hasDerivAt
[GOAL]
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hu : HasDerivAt u u' x
this :
  HasDerivAt (fun y => ↑(c y) (u y))
    (↑(comp (c x) (smulRight 1 u') + ↑(ContinuousLinearMap.flip (smulRight 1 c')) (u x)) 1) x
⊢ HasDerivAt (fun y => ↑(c y) (u y)) (↑c' (u x) + ↑(c x) u') x
[PROOFSTEP]
rwa [add_apply, comp_apply, flip_apply, smulRight_apply, smulRight_apply, one_apply, one_smul, one_smul, add_comm] at
  this 
