[GOAL]
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
⊢ IsLocalMaxOn f (closure s) a
[PROOFSTEP]
rcases mem_nhdsWithin.1 h with ⟨U, Uo, aU, hU⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
⊢ IsLocalMaxOn f (closure s) a
[PROOFSTEP]
refine' mem_nhdsWithin.2 ⟨U, Uo, aU, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
⊢ U ∩ closure s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
[PROOFSTEP]
rintro x ⟨hxU, hxs⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
⊢ x ∈ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousWithinAt.closure_le _ _ continuousWithinAt_const hU
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
⊢ x ∈ closure (U ∩ s)
[PROOFSTEP]
rwa [mem_closure_iff_nhdsWithin_neBot, nhdsWithin_inter_of_mem, ← mem_closure_iff_nhdsWithin_neBot]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
⊢ U ∈ 𝓝[s] x
[PROOFSTEP]
exact nhdsWithin_le_nhds (Uo.mem_nhds hxU)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
⊢ ContinuousWithinAt f (U ∩ s) x
[PROOFSTEP]
exact (hc _ hxs).mono ((inter_subset_right _ _).trans subset_closure)
