[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝ : SeminormedGroup E
h : ∀ (x : E), ‖x‖ = 0 → x = 1
src✝ : SeminormedGroup E := inst✝
x✝ y✝ : E
hxy : dist x✝ y✝ = 0
⊢ ‖x✝ / y✝‖ = 0
[PROOFSTEP]
exact (‹SeminormedGroup E›.dist_eq _ _).symm.trans hxy
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Norm E
inst✝¹ : Group E
inst✝ : PseudoMetricSpace E
h₁ : ∀ (x : E), ‖x‖ = dist x 1
h₂ : ∀ (x y z : E), dist x y ≤ dist (x * z) (y * z)
x y : E
⊢ dist x y = ‖x / y‖
[PROOFSTEP]
rw [h₁]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Norm E
inst✝¹ : Group E
inst✝ : PseudoMetricSpace E
h₁ : ∀ (x : E), ‖x‖ = dist x 1
h₂ : ∀ (x y z : E), dist x y ≤ dist (x * z) (y * z)
x y : E
⊢ dist x y = dist (x / y) 1
[PROOFSTEP]
apply le_antisymm
[GOAL]
case a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Norm E
inst✝¹ : Group E
inst✝ : PseudoMetricSpace E
h₁ : ∀ (x : E), ‖x‖ = dist x 1
h₂ : ∀ (x y z : E), dist x y ≤ dist (x * z) (y * z)
x y : E
⊢ dist x y ≤ dist (x / y) 1
[PROOFSTEP]
simpa only [div_eq_mul_inv, ← mul_right_inv y] using h₂ _ _ _
[GOAL]
case a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Norm E
inst✝¹ : Group E
inst✝ : PseudoMetricSpace E
h₁ : ∀ (x : E), ‖x‖ = dist x 1
h₂ : ∀ (x y z : E), dist x y ≤ dist (x * z) (y * z)
x y : E
⊢ dist (x / y) 1 ≤ dist x y
[PROOFSTEP]
simpa only [div_mul_cancel', one_mul] using h₂ (x / y) 1 y
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Norm E
inst✝¹ : Group E
inst✝ : PseudoMetricSpace E
h₁ : ∀ (x : E), ‖x‖ = dist x 1
h₂ : ∀ (x y z : E), dist (x * z) (y * z) ≤ dist x y
x y : E
⊢ dist x y = ‖x / y‖
[PROOFSTEP]
rw [h₁]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Norm E
inst✝¹ : Group E
inst✝ : PseudoMetricSpace E
h₁ : ∀ (x : E), ‖x‖ = dist x 1
h₂ : ∀ (x y z : E), dist (x * z) (y * z) ≤ dist x y
x y : E
⊢ dist x y = dist (x / y) 1
[PROOFSTEP]
apply le_antisymm
[GOAL]
case a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Norm E
inst✝¹ : Group E
inst✝ : PseudoMetricSpace E
h₁ : ∀ (x : E), ‖x‖ = dist x 1
h₂ : ∀ (x y z : E), dist (x * z) (y * z) ≤ dist x y
x y : E
⊢ dist x y ≤ dist (x / y) 1
[PROOFSTEP]
simpa only [div_mul_cancel', one_mul] using h₂ (x / y) 1 y
[GOAL]
case a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Norm E
inst✝¹ : Group E
inst✝ : PseudoMetricSpace E
h₁ : ∀ (x : E), ‖x‖ = dist x 1
h₂ : ∀ (x y z : E), dist (x * z) (y * z) ≤ dist x y
x y : E
⊢ dist (x / y) 1 ≤ dist x y
[PROOFSTEP]
simpa only [div_eq_mul_inv, ← mul_right_inv y] using h₂ _ _ _
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝ : Group E
f : GroupSeminorm E
x : E
⊢ dist x x = 0
[PROOFSTEP]
simp only [div_self', map_one_eq_zero]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝ : Group E
f : GroupSeminorm E
x y : E
⊢ (fun x y => ↑{ val := ↑f (x / y), property := (_ : 0 ≤ ↑f (x / y)) }) x y = ENNReal.ofReal (dist x y)
[PROOFSTEP]
exact
  ENNReal.coe_nnreal_eq
    _
      -- porting note: how did `mathlib3` solve this automatically?
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a b = ‖b / a‖
[PROOFSTEP]
rw [dist_comm, dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : Eᵐᵒᵖ
b c : E
⊢ dist (a • b) (a • c) = dist b c
[PROOFSTEP]
simp [dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ dist a 1 = ‖a‖
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm_div, div_one]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ dist 1 a = ‖a‖
[PROOFSTEP]
rw [dist_comm, dist_one_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
hi : Isometry f
h₁ : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖f x‖ = ‖x‖
[PROOFSTEP]
rw [← dist_one_right, ← h₁, hi.dist_eq, dist_one_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : ProperSpace E
⊢ Tendsto norm (cocompact E) atTop
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_one_right] using tendsto_dist_right_cocompact_atTop (1 : E)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ ‖a / b‖ = ‖b / a‖
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_eq_norm_div] using dist_comm a b
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ ‖a⁻¹‖ = ‖a‖
[PROOFSTEP]
simpa using norm_div_rev 1 a
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist b (a * b) = ‖a‖
[PROOFSTEP]
rw [← dist_one_left, ← dist_mul_right 1 a b, one_mul]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist (a * b) b = ‖a‖
[PROOFSTEP]
rw [dist_comm, dist_mul_self_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E
⊢ dist (a / b) c = dist a (c * b)
[PROOFSTEP]
rw [← dist_mul_right _ _ b, div_mul_cancel']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E
⊢ dist a (b / c) = dist (a * c) b
[PROOFSTEP]
rw [← dist_mul_right _ _ c, div_mul_cancel']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ Tendsto Inv.inv (comap norm atTop) (comap norm atTop)
[PROOFSTEP]
simpa only [norm_inv', tendsto_comap_iff, (· ∘ ·)] using tendsto_comap
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ ‖a * b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
[PROOFSTEP]
simpa [dist_eq_norm_div] using dist_triangle a 1 b⁻¹
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ 0 ≤ ‖a‖
[PROOFSTEP]
rw [← dist_one_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ 0 ≤ dist a 1
[PROOFSTEP]
exact dist_nonneg
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ ‖1‖ = 0
[PROOFSTEP]
rw [← dist_one_right, dist_self]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a = 1 → ‖a‖ = 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ ‖1‖ = 0
[PROOFSTEP]
exact norm_one'
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : Subsingleton E
a : E
⊢ ‖a‖ = 0
[PROOFSTEP]
rw [Subsingleton.elim a 1, norm_one']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ ‖a / b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
[PROOFSTEP]
simpa [dist_eq_norm_div] using dist_triangle a 1 b
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a b ≤ ‖a‖ + ‖b‖
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ ‖a / b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
[PROOFSTEP]
apply norm_div_le
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ |‖a‖ - ‖b‖| ≤ ‖a / b‖
[PROOFSTEP]
simpa [dist_eq_norm_div] using abs_dist_sub_le a b 1
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖u‖ ≤ ‖v‖ + ‖u / v‖
[PROOFSTEP]
rw [add_comm]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖u‖ ≤ ‖u / v‖ + ‖v‖
[PROOFSTEP]
refine' (norm_mul_le' _ _).trans_eq' _
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖u‖ = ‖u / v * v‖
[PROOFSTEP]
rw [div_mul_cancel']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖v‖ ≤ ‖u‖ + ‖u / v‖
[PROOFSTEP]
rw [norm_div_rev]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v / u‖
[PROOFSTEP]
exact norm_le_norm_add_norm_div' v u
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
⊢ ‖u‖ = ‖u * v / v‖
[PROOFSTEP]
rw [mul_div_cancel'']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
y : E
ε : ℝ
a : E
⊢ a ∈ ball y ε ↔ a ∈ {x | ‖x / y‖ < ε}
[PROOFSTEP]
simp [dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
a : E
⊢ a ∈ ball 1 r ↔ a ∈ {x | ‖x‖ < r}
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ ball a r ↔ ‖b / a‖ < r
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball, dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ ball a r ↔ ‖a / b‖ < r
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball', dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a ∈ ball 1 r ↔ ‖a‖ < r
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball, dist_one_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ closedBall a r ↔ ‖b / a‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
rw [mem_closedBall, dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a ∈ closedBall 1 r ↔ ‖a‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
rw [mem_closedBall, dist_one_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ closedBall a r ↔ ‖a / b‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
rw [mem_closedBall', dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
h : b ∈ closedBall a r
⊢ ‖b / a‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
rwa [← dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
h : b ∈ ball a r
⊢ ‖b / a‖ < r
[PROOFSTEP]
rwa [← dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v w : E
⊢ ‖u / w‖ - ‖v / w‖ ≤ ‖u / v‖
[PROOFSTEP]
simpa only [div_div_div_cancel_right'] using norm_sub_norm_le' (u / w) (v / w)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ Bounded s ↔ ∃ C, ∀ (x : E), x ∈ s → ‖x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
simpa only [Set.subset_def, mem_closedBall_one_iff] using bounded_iff_subset_ball (1 : E)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hs : Bounded s
R₀ : ℝ
hR₀ : ∀ (x : E), x ∈ s → ‖x‖ ≤ R₀
⊢ max R₀ 1 > 0
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ b ∈ sphere a r ↔ ‖b / a‖ = r
[PROOFSTEP]
simp [dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a ∈ sphere 1 r ↔ ‖a‖ = r
[PROOFSTEP]
simp [dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : r ≠ 0
x : ↑(sphere 1 r)
⊢ ‖↑x‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
rwa [norm_eq_of_mem_sphere' x]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
l : Filter α
⊢ (∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, dist (f x) 1 < ε) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
[PROOFSTEP]
simp only [dist_one_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
x : E
y : F
⊢ Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ δ, δ > 0 ∧ ∀ (x' : E), ‖x' / x‖ < δ → ‖f x' / y‖ < ε
[PROOFSTEP]
simp_rw [Metric.tendsto_nhds_nhds, dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝⁴ : SeminormedGroup E
inst✝³ : SeminormedGroup F
inst✝² : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
u : α → E
⊢ CauchySeq u ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∃ N, ∀ (m : α), N ≤ m → ∀ (n : α), N ≤ n → ‖u m / u n‖ < ε
[PROOFSTEP]
simp [Metric.cauchySeq_iff, dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ HasBasis (𝓝 x) (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y / x‖ < ε}
[PROOFSTEP]
simp_rw [← ball_eq']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ HasBasis (𝓝 x) (fun ε => 0 < ε) fun ε => ball x ε
[PROOFSTEP]
exact Metric.nhds_basis_ball
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ HasBasis (𝓝 1) (fun ε => 0 < ε) fun ε => {y | ‖y‖ < ε}
[PROOFSTEP]
convert NormedCommGroup.nhds_basis_norm_lt (1 : E)
[GOAL]
case h.e'_5.h.h.e'_2.h.h.e'_3.h.e'_3
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ x✝¹ : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ = x✝ / 1
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ HasBasis (𝓤 E) (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | ‖p.fst / p.snd‖ < ε}
[PROOFSTEP]
convert Metric.uniformity_basis_dist (α := E) using 1
[GOAL]
case h.e'_5
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ (fun ε => {p | ‖p.fst / p.snd‖ < ε}) = fun ε => {p | dist p.fst p.snd < ε}
[PROOFSTEP]
simp [dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖↑f x‖ ≤ C * ‖x‖
x y : E
⊢ dist (↑f x) (↑f y) ≤ C * dist x y
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_eq_norm_div, map_div] using h (x / y)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
C : ℝ≥0
⊢ LipschitzOnWith C f s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x / f y‖ ≤ ↑C * ‖x / y‖
[PROOFSTEP]
simp only [lipschitzOnWith_iff_dist_le_mul, dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
C : ℝ≥0
h : LipschitzOnWith C f s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hr : ‖a / b‖ ≤ r
⊢ ↑C * ‖a / b‖ ≤ ↑C * r
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
C : ℝ≥0
⊢ LipschitzWith C f ↔ ∀ (x y : E), ‖f x / f y‖ ≤ ↑C * ‖x / y‖
[PROOFSTEP]
simp only [lipschitzWith_iff_dist_le_mul, dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
C : ℝ≥0
h : LipschitzWith C f
hr : ‖a / b‖ ≤ r
⊢ ↑C * ‖a / b‖ ≤ ↑C * r
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
⊢ Isometry ↑f ↔ ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = ‖x‖
[PROOFSTEP]
simp only [isometry_iff_dist_eq, dist_eq_norm_div, ← map_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
⊢ (∀ (x y : E), ‖↑f (x / y)‖ = ‖x / y‖) ↔ ∀ (x : E), ‖↑f x‖ = ‖x‖
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h x => _, fun h x y => h _⟩
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
h : ∀ (x y : E), ‖↑f (x / y)‖ = ‖x / y‖
x : E
⊢ ‖↑f x‖ = ‖x‖
[PROOFSTEP]
simpa using h x 1
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ a = 1 → ‖a‖₊ = 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ ‖1‖₊ = 0
[PROOFSTEP]
exact nnnorm_one'
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ edist a b = ↑‖a / b‖₊
[PROOFSTEP]
rw [edist_dist, dist_eq_norm_div, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ edist x 1 = ↑‖x‖₊
[PROOFSTEP]
rw [edist_eq_coe_nnnorm_div, div_one]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
r : ℝ≥0∞
⊢ a ∈ EMetric.ball 1 r ↔ ↑‖a‖₊ < r
[PROOFSTEP]
rw [EMetric.mem_ball, edist_eq_coe_nnnorm']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖↑f x‖
x y : E
⊢ dist x y ≤ ↑K * dist (↑f x) (↑f y)
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_eq_norm_div, map_div] using h (x / y)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_one_right, hf] using h.dist_le_mul x 1
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_one_right, hf] using h.le_mul_dist x 1
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
a : Filter α
b : E
⊢ Tendsto f a (𝓝 b) ↔ Tendsto (fun e => ‖f e / b‖) a (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
convert tendsto_iff_dist_tendsto_zero (f := f) (x := a) (a := b) using 1
[GOAL]
case h.e'_2.a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
a : Filter α
b : E
⊢ Tendsto (fun e => ‖f e / b‖) a (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun b_1 => dist (f b_1) b) a (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simp [dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
a : Filter α
⊢ Tendsto f a (𝓝 1) ↔ Tendsto (fun e => ‖f e‖) a (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
rw [tendsto_iff_norm_tendsto_one]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
a : Filter α
⊢ Tendsto (fun e => ‖f e / 1‖) a (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun e => ‖f e‖) a (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simp only [div_one]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ comap norm (𝓝 0) = 𝓝 1
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_one_right] using nhds_comap_dist (1 : E)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ Tendsto (fun a => ‖a / x‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simpa [dist_eq_norm_div] using tendsto_id.dist (tendsto_const_nhds : Tendsto (fun _a => (x : E)) (𝓝 x) _)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 x) (𝓝 ‖x‖)
[PROOFSTEP]
simpa using tendsto_id.dist (tendsto_const_nhds : Tendsto (fun _a => (1 : E)) _ _)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 1) (𝓝 0)
[PROOFSTEP]
simpa using tendsto_norm_div_self (1 : E)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ Continuous fun a => ‖a‖
[PROOFSTEP]
simpa using continuous_id.dist (continuous_const : Continuous fun _a => (1 : E))
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ LipschitzWith 1 norm
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_one_left] using LipschitzWith.dist_right (1 : E)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x : E
⊢ x ∈ closure {1} ↔ ‖x‖ = 0
[PROOFSTEP]
rw [← closedBall_zero', mem_closedBall_one_iff, (norm_nonneg' x).le_iff_eq]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Tendsto f l (𝓝 1)
hg : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g)
op : E → F → G
h_op : ∃ A, ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
⊢ Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
[PROOFSTEP]
cases' h_op with A h_op
[GOAL]
case intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Tendsto f l (𝓝 1)
hg : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ g)
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
⊢ Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
[PROOFSTEP]
rcases hg with ⟨C, hC⟩
[GOAL]
case intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Tendsto f l (𝓝 1)
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in map (norm ∘ g) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x C
⊢ Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
[PROOFSTEP]
rw [eventually_map] at hC 
[GOAL]
case intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Tendsto f l (𝓝 1)
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
⊢ Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
[PROOFSTEP]
rw [NormedCommGroup.tendsto_nhds_one] at hf ⊢
[GOAL]
case intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
⊢ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖op (f x) (g x)‖ < ε
[PROOFSTEP]
intro ε ε₀
[GOAL]
case intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖op (f x) (g x)‖ < ε
[PROOFSTEP]
rcases exists_pos_mul_lt ε₀ (A * C) with ⟨δ, δ₀, hδ⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖op (f x) (g x)‖ < ε
[PROOFSTEP]
filter_upwards [hf δ δ₀, hC] with i hf hg
[GOAL]
case h
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (norm ∘ g) i ≤ C
⊢ ‖op (f i) (g i)‖ < ε
[PROOFSTEP]
refine' (h_op _ _).trans_lt _
[GOAL]
case h
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (norm ∘ g) i ≤ C
⊢ A * ‖f i‖ * ‖g i‖ < ε
[PROOFSTEP]
cases' le_total A 0 with hA hA
[GOAL]
case h.inl
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (norm ∘ g) i ≤ C
hA : A ≤ 0
⊢ A * ‖f i‖ * ‖g i‖ < ε
[PROOFSTEP]
exact
  (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg (mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg hA <| norm_nonneg' _) <| norm_nonneg' _).trans_lt ε₀
[GOAL]
case h.inr
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (norm ∘ g) i ≤ C
hA : 0 ≤ A
⊢ A * ‖f i‖ * ‖g i‖ < ε
[PROOFSTEP]
calc
  A * ‖f i‖ * ‖g i‖ ≤ A * δ * C := by gcongr; exact hg
  _ = A * C * δ := (mul_right_comm _ _ _)
  _ < ε := hδ
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (norm ∘ g) i ≤ C
hA : 0 ≤ A
⊢ A * ‖f i‖ * ‖g i‖ ≤ A * δ * C
[PROOFSTEP]
gcongr
[GOAL]
case h₂
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf✝ : ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((norm ∘ g) a) C
ε : ℝ
ε₀ : ε > 0
δ : ℝ
δ₀ : 0 < δ
hδ : A * C * δ < ε
i : α
hf : ‖f i‖ < δ
hg : (norm ∘ g) i ≤ C
hA : 0 ≤ A
⊢ ‖g i‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
exact hg
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a ∈ closure s ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b, b ∈ s ∧ ‖a / b‖ < ε
[PROOFSTEP]
simp [Metric.mem_closure_iff, dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : T0Space E
a : E
⊢ ‖a‖ ≤ 0 ↔ a = 1
[PROOFSTEP]
letI : NormedGroup E := { ‹SeminormedGroup E› with toMetricSpace := MetricSpace.ofT0PseudoMetricSpace E }
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : T0Space E
a : E
this : NormedGroup E :=
  let src := inst✝³;
  NormedGroup.mk
⊢ ‖a‖ ≤ 0 ↔ a = 1
[PROOFSTEP]
rw [← dist_one_right, dist_le_zero]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : T0Space E
a : E
⊢ 0 < ‖a‖ ↔ a ≠ 1
[PROOFSTEP]
rw [← not_le, norm_le_zero_iff''']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι
⊢ TendstoUniformlyOn f 1 l s ↔ ∀ (ε : ℝ), ε > 0 → ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : κ), x ∈ s → ‖f i x‖ < ε
[PROOFSTEP]
simp_rw [tendstoUniformlyOn_iff, Pi.one_apply, dist_one_left]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
l : Filter ι
l' : Filter κ
⊢ UniformCauchySeqOnFilter f l l' ↔ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.fst z / f n.snd z) 1 (l ×ˢ l) l'
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun hf u hu => _, fun hf u hu => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
l : Filter ι
l' : Filter κ
hf : UniformCauchySeqOnFilter f l l'
u : Set (G × G)
hu : u ∈ 𝓤 G
⊢ ∀ᶠ (n : (ι × ι) × κ) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', (OfNat.ofNat 1 n.snd, (fun n z => f n.fst z / f n.snd z) n.fst n.snd) ∈ u
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ε, hε, H⟩ := uniformity_basis_dist.mem_uniformity_iff.mp hu
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
l : Filter ι
l' : Filter κ
hf : UniformCauchySeqOnFilter f l l'
u : Set (G × G)
hu : u ∈ 𝓤 G
ε : ℝ
hε : 0 < ε
H : ∀ (a b : G), (a, b) ∈ {p | dist p.fst p.snd < ε} → (a, b) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (n : (ι × ι) × κ) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', (OfNat.ofNat 1 n.snd, (fun n z => f n.fst z / f n.snd z) n.fst n.snd) ∈ u
[PROOFSTEP]
refine'
  (hf {p : G × G | dist p.fst p.snd < ε} <| dist_mem_uniformity hε).mono fun x hx =>
    H 1 (f x.fst.fst x.snd / f x.fst.snd x.snd) _
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
l : Filter ι
l' : Filter κ
hf : UniformCauchySeqOnFilter f l l'
u : Set (G × G)
hu : u ∈ 𝓤 G
ε : ℝ
hε : 0 < ε
H : ∀ (a b : G), (a, b) ∈ {p | dist p.fst p.snd < ε} → (a, b) ∈ u
x : (ι × ι) × κ
hx : (f x.fst.fst x.snd, f x.fst.snd x.snd) ∈ {p | dist p.fst p.snd < ε}
⊢ (1, f x.fst.fst x.snd / f x.fst.snd x.snd) ∈ {p | dist p.fst p.snd < ε}
[PROOFSTEP]
simpa [dist_eq_norm_div, norm_div_rev] using hx
[GOAL]
case refine'_2
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
l : Filter ι
l' : Filter κ
hf : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.fst z / f n.snd z) 1 (l ×ˢ l) l'
u : Set (G × G)
hu : u ∈ 𝓤 G
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × κ) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', (f m.fst.fst m.snd, f m.fst.snd m.snd) ∈ u
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ε, hε, H⟩ := uniformity_basis_dist.mem_uniformity_iff.mp hu
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
l : Filter ι
l' : Filter κ
hf : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.fst z / f n.snd z) 1 (l ×ˢ l) l'
u : Set (G × G)
hu : u ∈ 𝓤 G
ε : ℝ
hε : 0 < ε
H : ∀ (a b : G), (a, b) ∈ {p | dist p.fst p.snd < ε} → (a, b) ∈ u
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × κ) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', (f m.fst.fst m.snd, f m.fst.snd m.snd) ∈ u
[PROOFSTEP]
refine'
  (hf {p : G × G | dist p.fst p.snd < ε} <| dist_mem_uniformity hε).mono fun x hx =>
    H (f x.fst.fst x.snd) (f x.fst.snd x.snd) _
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
l : Filter ι
l' : Filter κ
hf : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f n.fst z / f n.snd z) 1 (l ×ˢ l) l'
u : Set (G × G)
hu : u ∈ 𝓤 G
ε : ℝ
hε : 0 < ε
H : ∀ (a b : G), (a, b) ∈ {p | dist p.fst p.snd < ε} → (a, b) ∈ u
x : (ι × ι) × κ
hx : (OfNat.ofNat 1 x.snd, (fun n z => f n.fst z / f n.snd z) x.fst x.snd) ∈ {p | dist p.fst p.snd < ε}
⊢ (f x.fst.fst x.snd, f x.fst.snd x.snd) ∈ {p | dist p.fst p.snd < ε}
[PROOFSTEP]
simpa [dist_eq_norm_div, norm_div_rev] using hx
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : ι → κ → G
s : Set κ
l : Filter ι
⊢ UniformCauchySeqOn f l s ↔ TendstoUniformlyOn (fun n z => f n.fst z / f n.snd z) 1 (l ×ˢ l) s
[PROOFSTEP]
rw [tendstoUniformlyOn_iff_tendstoUniformlyOnFilter, uniformCauchySeqOn_iff_uniformCauchySeqOnFilter,
  SeminormedGroup.uniformCauchySeqOnFilter_iff_tendstoUniformlyOnFilter_one]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Group E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
src✝ : PseudoMetricSpace E := PseudoMetricSpace.induced (↑f) toPseudoMetricSpace
x y : E
⊢ dist x y = ‖x / y‖
[PROOFSTEP]
simp only [map_div, ← dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : Group E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
src✝ : PseudoMetricSpace E := PseudoMetricSpace.induced (↑f) toPseudoMetricSpace
x y : E
⊢ dist x y = dist (↑f x) (↑f y)
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E
⊢ dist (a • b) (a • c) = dist b c
[PROOFSTEP]
simp [dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x y : E
⊢ dist x⁻¹ y = dist x y⁻¹
[PROOFSTEP]
simp_rw [dist_eq_norm_div, ← norm_inv' (x⁻¹ / y), inv_div, div_inv_eq_mul, mul_comm]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a (a * b) = ‖b‖
[PROOFSTEP]
rw [← dist_one_left, ← dist_mul_left a 1 b, mul_one]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist (a * b) a = ‖b‖
[PROOFSTEP]
rw [dist_comm, dist_self_mul_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a (a / b) = ‖b‖
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_mul_inv, dist_self_mul_right, norm_inv']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist (a / b) a = ‖b‖
[PROOFSTEP]
rw [dist_comm, dist_self_div_right]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_mul_left, dist_mul_right] using dist_triangle (a₁ * a₂) (b₁ * a₂) (b₁ * b₂)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ dist (a₁ / a₂) (b₁ / b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂
[PROOFSTEP]
simpa only [div_eq_mul_inv, dist_inv_inv] using dist_mul_mul_le a₁ a₂⁻¹ b₁ b₂⁻¹
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ |dist a₁ b₁ - dist a₂ b₂| ≤ dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)
[PROOFSTEP]
simpa only [dist_mul_left, dist_mul_right, dist_comm b₂] using abs_dist_sub_le (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) (b₁ * a₂)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ ‖Multiset.prod m‖ ≤ Multiset.sum (Multiset.map (fun x => ‖x‖) m)
[PROOFSTEP]
rw [← Multiplicative.ofAdd_le, ofAdd_multiset_prod, Multiset.map_map]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ ↑Multiplicative.ofAdd ‖Multiset.prod m‖ ≤ Multiset.prod (Multiset.map (↑Multiplicative.ofAdd ∘ fun x => ‖x‖) m)
[PROOFSTEP]
refine' Multiset.le_prod_of_submultiplicative (Multiplicative.ofAdd ∘ norm) _ (fun x y => _) _
[GOAL]
case refine'_1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ (↑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) 1 = 1
[PROOFSTEP]
simp only [comp_apply, norm_one', ofAdd_zero]
[GOAL]
case refine'_2
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
x y : E
⊢ (↑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) (x * y) ≤ (↑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) x * (↑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) y
[PROOFSTEP]
exact norm_mul_le' x y
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ‖∏ i in s, f i‖ ≤ ∑ i in s, ‖f i‖
[PROOFSTEP]
rw [← Multiplicative.ofAdd_le, ofAdd_sum]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ↑Multiplicative.ofAdd ‖∏ i in s, f i‖ ≤ ∏ i in s, ↑Multiplicative.ofAdd ‖f i‖
[PROOFSTEP]
refine' Finset.le_prod_of_submultiplicative (Multiplicative.ofAdd ∘ norm) _ (fun x y => _) _ _
[GOAL]
case refine'_1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ (↑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) 1 = 1
[PROOFSTEP]
simp only [comp_apply, norm_one', ofAdd_zero]
[GOAL]
case refine'_2
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
x y : E
⊢ (↑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) (x * y) ≤ (↑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) x * (↑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) y
[PROOFSTEP]
exact norm_mul_le' x y
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f a : ι → E
d : ι → ℝ
h : ∀ (b : ι), b ∈ s → dist (f b) (a b) ≤ d b
⊢ dist (∏ b in s, f b) (∏ b in s, a b) ≤ ∑ b in s, d b
[PROOFSTEP]
simp only [dist_eq_norm_div, ← Finset.prod_div_distrib] at *
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f a : ι → E
d : ι → ℝ
h : ∀ (b : ι), b ∈ s → ‖f b / a b‖ ≤ d b
⊢ ‖∏ x in s, f x / a x‖ ≤ ∑ b in s, d b
[PROOFSTEP]
exact norm_prod_le_of_le s h
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a * b ∈ ball a r ↔ ‖b‖ < r
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball_iff_norm'', mul_div_cancel''']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a * b ∈ closedBall a r ↔ ‖b‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
rw [mem_closedBall_iff_norm'', mul_div_cancel''']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) b ⁻¹' ball a r = ball (a / b) r
[PROOFSTEP]
ext c
[GOAL]
case h
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ c ∈ (fun x x_1 => x * x_1) b ⁻¹' ball a r ↔ c ∈ ball (a / b) r
[PROOFSTEP]
simp only [dist_eq_norm_div, Set.mem_preimage, mem_ball, div_div_eq_mul_div, mul_comm]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) b ⁻¹' closedBall a r = closedBall (a / b) r
[PROOFSTEP]
ext c
[GOAL]
case h
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ c ∈ (fun x x_1 => x * x_1) b ⁻¹' closedBall a r ↔ c ∈ closedBall (a / b) r
[PROOFSTEP]
simp only [dist_eq_norm_div, Set.mem_preimage, mem_closedBall, div_div_eq_mul_div, mul_comm]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) b ⁻¹' sphere a r = sphere (a / b) r
[PROOFSTEP]
ext c
[GOAL]
case h
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E
⊢ c ∈ (fun x x_1 => x * x_1) b ⁻¹' sphere a r ↔ c ∈ sphere (a / b) r
[PROOFSTEP]
simp only [Set.mem_preimage, mem_sphere_iff_norm', div_div_eq_mul_div, mul_comm]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
a : E
⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ↑n * ‖a‖
[PROOFSTEP]
induction' n with n ih
[GOAL]
case zero
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
⊢ ‖a ^ Nat.zero‖ ≤ ↑Nat.zero * ‖a‖
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case succ
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
n : ℕ
ih : ‖a ^ n‖ ≤ ↑n * ‖a‖
⊢ ‖a ^ Nat.succ n‖ ≤ ↑(Nat.succ n) * ‖a‖
[PROOFSTEP]
simpa only [pow_succ', Nat.cast_succ, add_mul, one_mul] using norm_mul_le_of_le ih le_rfl
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
a : E
⊢ ‖a ^ n‖₊ ≤ ↑n * ‖a‖₊
[PROOFSTEP]
simpa only [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, NNReal.coe_nat_cast] using norm_pow_le_mul_norm n a
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : a ∈ closedBall b r
⊢ a ^ n ∈ closedBall (b ^ n) (n • r)
[PROOFSTEP]
simp only [mem_closedBall, dist_eq_norm_div, ← div_pow] at h ⊢
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ ≤ r
⊢ ‖(a / b) ^ n‖ ≤ n • r
[PROOFSTEP]
refine' (norm_pow_le_mul_norm n (a / b)).trans _
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ ≤ r
⊢ ↑n * ‖a / b‖ ≤ n • r
[PROOFSTEP]
simpa only [nsmul_eq_mul] using mul_le_mul_of_nonneg_left h n.cast_nonneg
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : a ∈ ball b r
⊢ a ^ n ∈ ball (b ^ n) (n • r)
[PROOFSTEP]
simp only [mem_ball, dist_eq_norm_div, ← div_pow] at h ⊢
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r
⊢ ‖(a / b) ^ n‖ < n • r
[PROOFSTEP]
refine' lt_of_le_of_lt (norm_pow_le_mul_norm n (a / b)) _
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r
⊢ ↑n * ‖a / b‖ < n • r
[PROOFSTEP]
replace hn : 0 < (n : ℝ)
[GOAL]
case hn
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r
⊢ 0 < ↑n
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n
⊢ ↑n * ‖a / b‖ < n • r
[PROOFSTEP]
rw [nsmul_eq_mul]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n
⊢ ↑n * ‖a / b‖ < ↑n * r
[PROOFSTEP]
nlinarith
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
c : E
⊢ a * c ∈ closedBall (b * c) r ↔ a ∈ closedBall b r
[PROOFSTEP]
simp only [mem_closedBall, dist_eq_norm_div, mul_div_mul_right_eq_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
c : E
⊢ a * c ∈ ball (b * c) r ↔ a ∈ ball b r
[PROOFSTEP]
simp only [mem_ball, dist_eq_norm_div, mul_div_mul_right_eq_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a • closedBall b r = closedBall (a • b) r
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ a • closedBall b r ↔ x✝ ∈ closedBall (a • b) r
[PROOFSTEP]
simp [mem_closedBall, Set.mem_smul_set, dist_eq_norm_div, _root_.div_eq_inv_mul, ← eq_inv_mul_iff_mul_eq, mul_assoc]
  -- porting note: `ENNReal.div_eq_inv_mul` should be `protected`?
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ a • ball b r = ball (a • b) r
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case h
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ a • ball b r ↔ x✝ ∈ ball (a • b) r
[PROOFSTEP]
simp [mem_ball, Set.mem_smul_set, dist_eq_norm_div, _root_.div_eq_inv_mul, ← eq_inv_mul_iff_mul_eq, mul_assoc]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
obtain ⟨u : ℕ → E, u_in : ∀ n, u n ∈ s, lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)⟩ := mem_closure_iff_seq_limit.mp hg
[GOAL]
case intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
obtain ⟨n₀, hn₀⟩ : ∃ n₀, ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0 :=
  haveI : {x | ‖x / a‖ < b 0} ∈ 𝓝 a := by
    simp_rw [← dist_eq_norm_div]
    exact Metric.ball_mem_nhds _ (b_pos _)
  Filter.tendsto_atTop'.mp lim_u _ this
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ {x | ‖x / a‖ < b 0} ∈ 𝓝 a
[PROOFSTEP]
simp_rw [← dist_eq_norm_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
⊢ {x | dist x a < b 0} ∈ 𝓝 a
[PROOFSTEP]
exact Metric.ball_mem_nhds _ (b_pos _)
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
set z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
have lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a) := lim_u.comp (tendsto_add_atTop_nat n₀)
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
have mem_𝓤 : ∀ n, {p : E × E | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E := fun n => by
  simpa [← dist_eq_norm_div] using Metric.dist_mem_uniformity (b_pos <| n + 1)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
n : ℕ
⊢ {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
[PROOFSTEP]
simpa [← dist_eq_norm_div] using Metric.dist_mem_uniformity (b_pos <| n + 1)
[GOAL]
case intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
obtain ⟨φ : ℕ → ℕ, φ_extr : StrictMono φ, hφ : ∀ n, ‖z (φ <| n + 1) / z (φ n)‖ < b (n + 1)⟩ :=
  lim_z.cauchySeq.subseq_mem mem_𝓤
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
set w : ℕ → E := z ∘ φ
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
have hw : Tendsto w atTop (𝓝 a) := lim_z.comp φ_extr.tendsto_atTop
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
set v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
⊢ ∃ v,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧
      (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
refine' ⟨v, Tendsto.congr (Finset.eq_prod_range_div' w) hw, _, hn₀ _ (n₀.le_add_left _), _⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
⊢ ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
[PROOFSTEP]
rintro ⟨⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1.zero
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
⊢ v Nat.zero ∈ s
[PROOFSTEP]
change w 0 ∈ s
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1.zero
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
⊢ w 0 ∈ s
[PROOFSTEP]
apply u_in
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1.succ
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
n✝ : ℕ
⊢ v (Nat.succ n✝) ∈ s
[PROOFSTEP]
apply s.div_mem
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1.succ.hx
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
n✝ : ℕ
⊢ w (Nat.succ n✝) ∈ s
[PROOFSTEP]
apply u_in
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1.succ.hy
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
n✝ : ℕ
⊢ w (Nat.succ n✝ - 1) ∈ s
[PROOFSTEP]
apply u_in
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
⊢ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
[PROOFSTEP]
intro l hl
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
l : ℕ
hl : 0 < l
⊢ ‖v l‖ < b l
[PROOFSTEP]
obtain ⟨k, rfl⟩ : ∃ k, l = k + 1
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
l : ℕ
hl : 0 < l
⊢ ∃ k, l = k + 1
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
k : ℕ
hl : 0 < k + 1
⊢ ‖v (k + 1)‖ < b (k + 1)
[PROOFSTEP]
exact Nat.exists_eq_succ_of_ne_zero hl.ne'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ (n : ℕ), n ≥ n₀ → ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.fst / p.snd‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)
k : ℕ
hl : 0 < k + 1
⊢ ‖v (k + 1)‖ < b (k + 1)
[PROOFSTEP]
apply hφ
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑(MonoidHom.range j)
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
⊢ ∃ a,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), ↑j (a i)) atTop (𝓝 b) ∧
      ‖↑j (a 0) / b‖ < f 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖↑j (a n)‖ < f n
[PROOFSTEP]
obtain ⟨v, sum_v, v_in, hv₀, hv_pos⟩ := controlled_prod_of_mem_closure hb b_pos
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑(MonoidHom.range j)
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
v : ℕ → F
sum_v : Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 b)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ MonoidHom.range j
hv₀ : ‖v 0 / b‖ < f 0
hv_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < f n
⊢ ∃ a,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), ↑j (a i)) atTop (𝓝 b) ∧
      ‖↑j (a 0) / b‖ < f 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖↑j (a n)‖ < f n
[PROOFSTEP]
choose g hg using v_in
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑(MonoidHom.range j)
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
v : ℕ → F
sum_v : Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 b)
hv₀ : ‖v 0 / b‖ < f 0
hv_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < f n
g : ℕ → E
hg : ∀ (n : ℕ), ↑j (g n) = v n
⊢ ∃ a,
    Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), ↑j (a i)) atTop (𝓝 b) ∧
      ‖↑j (a 0) / b‖ < f 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖↑j (a n)‖ < f n
[PROOFSTEP]
exact ⟨g, by simpa [← hg] using sum_v, by simpa [hg 0] using hv₀, fun n hn => by simpa [hg] using hv_pos n hn⟩
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑(MonoidHom.range j)
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
v : ℕ → F
sum_v : Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 b)
hv₀ : ‖v 0 / b‖ < f 0
hv_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < f n
g : ℕ → E
hg : ∀ (n : ℕ), ↑j (g n) = v n
⊢ Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), ↑j (g i)) atTop (𝓝 b)
[PROOFSTEP]
simpa [← hg] using sum_v
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑(MonoidHom.range j)
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
v : ℕ → F
sum_v : Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 b)
hv₀ : ‖v 0 / b‖ < f 0
hv_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < f n
g : ℕ → E
hg : ∀ (n : ℕ), ↑j (g n) = v n
⊢ ‖↑j (g 0) / b‖ < f 0
[PROOFSTEP]
simpa [hg 0] using hv₀
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
j : E →* F
b : F
hb : b ∈ closure ↑(MonoidHom.range j)
f : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < f n
v : ℕ → F
sum_v : Tendsto (fun n => ∏ i in range (n + 1), v i) atTop (𝓝 b)
hv₀ : ‖v 0 / b‖ < f 0
hv_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < f n
g : ℕ → E
hg : ∀ (n : ℕ), ↑j (g n) = v n
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ‖↑j (g n)‖ < f n
[PROOFSTEP]
simpa [hg] using hv_pos n hn
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ edist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ edist a₁ b₁ + edist a₂ b₂
[PROOFSTEP]
simp only [edist_nndist]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ ↑(nndist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) ≤ ↑(nndist a₁ b₁) + ↑(nndist a₂ b₂)
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
⊢ nndist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ nndist a₁ b₁ + nndist a₂ b₂
[PROOFSTEP]
apply nndist_mul_mul_le
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ ↑‖Multiset.prod m‖₊ ≤ ↑(Multiset.sum (Multiset.map (fun x => ‖x‖₊) m))
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ ‖Multiset.prod m‖ ≤ Multiset.sum (Multiset.map toReal (Multiset.map (fun x => ‖x‖₊) m))
[PROOFSTEP]
rw [Multiset.map_map]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
⊢ ‖Multiset.prod m‖ ≤ Multiset.sum (Multiset.map (toReal ∘ fun x => ‖x‖₊) m)
[PROOFSTEP]
exact norm_multiset_prod_le _
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ↑‖∏ a in s, f a‖₊ ≤ ↑(∑ a in s, ‖f a‖₊)
[PROOFSTEP]
push_cast
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Finset ι
f : ι → E
⊢ ‖∏ a in s, f a‖ ≤ ∑ x in s, ‖f x‖
[PROOFSTEP]
exact norm_prod_le _ _
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
⊢ ↑‖2‖₊ = ↑2
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
⊢ ‖|r|‖₊ = ‖r‖₊
[PROOFSTEP]
simp [nnnorm]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ↑‖r‖₊ = ENNReal.ofReal r
[PROOFSTEP]
rw [← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm, norm_of_nonneg hr]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
⊢ ↑‖r‖₊ = ENNReal.ofReal |r|
[PROOFSTEP]
rw [← Real.nnnorm_abs r, Real.ennnorm_eq_ofReal (abs_nonneg _)]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ toNNReal r = ‖r‖₊
[PROOFSTEP]
rw [Real.toNNReal_of_nonneg hr]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ { val := r, property := hr } = ‖r‖₊
[PROOFSTEP]
ext
[GOAL]
case a
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ↑{ val := r, property := hr } = ↑‖r‖₊
[PROOFSTEP]
rw [coe_mk, coe_nnnorm r, Real.norm_eq_abs r, abs_of_nonneg hr]
  -- porting note: this is due to the change from `Subtype.val` to `NNReal.toReal` for the coercion
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
[PROOFSTEP]
obtain hr | hr := le_total 0 r
[GOAL]
case inl
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
[PROOFSTEP]
exact (Real.ennnorm_eq_ofReal hr).ge
[GOAL]
case inr
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
[PROOFSTEP]
rw [ENNReal.ofReal_eq_zero.2 hr]
[GOAL]
case inr
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : r ≤ 0
⊢ 0 ≤ ↑‖r‖₊
[PROOFSTEP]
exact bot_le
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m n : ℤ
⊢ dist m n = ‖m - n‖
[PROOFSTEP]
simp only [Int.dist_eq, norm, Int.cast_sub]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℤ
⊢ ‖↑n‖ = ↑|n|
[PROOFSTEP]
rw [Real.norm_eq_abs, cast_abs]
  -- porting note: I'm not sure why this isn't `rfl` anymore, but I suspect it's about coercions
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
⊢ ‖↑n‖ = ↑n
[PROOFSTEP]
simp [Int.norm_eq_abs]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℤ
⊢ ↑↑(natAbs n) = ↑↑(natAbs n)
[PROOFSTEP]
simp only [Int.cast_ofNat, NNReal.coe_nat_cast]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℤ
⊢ ↑↑(natAbs n) = ↑|n|
[PROOFSTEP]
simp only [Int.coe_natAbs, Int.cast_abs]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
z : ℤ
c : ℝ≥0
⊢ |z| ≤ ↑⌊c⌋₊ ↔ ‖z‖₊ ≤ c
[PROOFSTEP]
rw [Int.abs_eq_natAbs, Int.ofNat_le, Nat.le_floor_iff (zero_le c), NNReal.coe_natAbs z]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁✝ r₂✝ : ℝ
r₁ r₂ : ℚ
⊢ dist r₁ r₂ = ‖r₁ - r₂‖
[PROOFSTEP]
simp only [Rat.dist_eq, norm, Rat.cast_sub]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : ℤ
⊢ ‖↑m‖ = ‖m‖
[PROOFSTEP]
rw [← Rat.norm_cast_real, ← Int.norm_cast_real]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : ℤ
⊢ ‖↑↑m‖ = ‖↑m‖
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖
[PROOFSTEP]
rcases n.eq_nat_or_neg with ⟨n, rfl | rfl⟩
[GOAL]
case intro.inl
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : SeminormedCommGroup α
a : α
n : ℕ
⊢ ‖a ^ ↑n‖ ≤ ‖↑n‖ * ‖a‖
[PROOFSTEP]
simpa using norm_pow_le_mul_norm n a
[GOAL]
case intro.inr
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : SeminormedCommGroup α
a : α
n : ℕ
⊢ ‖a ^ (-↑n)‖ ≤ ‖-↑n‖ * ‖a‖
[PROOFSTEP]
simpa using norm_pow_le_mul_norm n a
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ ‖a ^ n‖₊ ≤ ‖n‖₊ * ‖a‖₊
[PROOFSTEP]
simpa only [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul] using norm_zpow_le_mul_norm n a
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : LipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
⊢ LipschitzWith (Kf + Kg) fun x => f x / g x
[PROOFSTEP]
simpa only [div_eq_mul_inv] using hf.mul' hg.inv
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
⊢ AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ fun x => f x * g x
[PROOFSTEP]
letI : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace hf.edist_ne_top
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace (_ : ∀ (x y : α), edist x y ≠ ⊤)
⊢ AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ fun x => f x * g x
[PROOFSTEP]
refine' AntilipschitzWith.of_le_mul_dist fun x y => _
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace (_ : ∀ (x y : α), edist x y ≠ ⊤)
x y : α
⊢ dist x y ≤ ↑(Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ * dist (f x * g x) (f y * g y)
[PROOFSTEP]
rw [NNReal.coe_inv, ← _root_.div_eq_inv_mul]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace (_ : ∀ (x y : α), edist x y ≠ ⊤)
x y : α
⊢ dist x y ≤ dist (f x * g x) (f y * g y) / ↑(Kf⁻¹ - Kg)
[PROOFSTEP]
rw [le_div_iff (NNReal.coe_pos.2 <| tsub_pos_iff_lt.2 hK)]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace (_ : ∀ (x y : α), edist x y ≠ ⊤)
x y : α
⊢ dist x y * ↑(Kf⁻¹ - Kg) ≤ dist (f x * g x) (f y * g y)
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm, NNReal.coe_sub hK.le, _root_.sub_mul]
  -- porting note: `ENNReal.sub_mul` should be `protected`?
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg g
hK : Kg < Kf⁻¹
this : PseudoMetricSpace α := PseudoEMetricSpace.toPseudoMetricSpace (_ : ∀ (x y : α), edist x y ≠ ⊤)
x y : α
⊢ ↑Kf⁻¹ * dist x y - ↑Kg * dist x y ≤ dist (f x * g x) (f y * g y)
[PROOFSTEP]
calc
  ↑Kf⁻¹ * dist x y - Kg * dist x y ≤ dist (f x) (f y) - dist (g x) (g y) :=
    sub_le_sub (hf.mul_le_dist x y) (hg.dist_le_mul x y)
  _ ≤ _ := le_trans (le_abs_self _) (abs_dist_sub_le_dist_mul_mul _ _ _ _)
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg (g / f)
hK : Kg < Kf⁻¹
⊢ AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ g
[PROOFSTEP]
simpa only [Pi.div_apply, mul_div_cancel'_right] using hf.mul_lipschitzWith hg hK
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f✝ g : α → E
f : E → F
hf : AntilipschitzWith K f
x y : E
⊢ ‖x / y‖ ≤ ↑K * ‖f x / f y‖
[PROOFSTEP]
simp [← dist_eq_norm_div, hf.le_mul_dist x y]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
⊢ CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), u k
[PROOFSTEP]
let d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
⊢ CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), u k
[PROOFSTEP]
rw [show (fun n => ∏ k in range (n + 1), u k) = d * fun n => ∏ k in range (n + 1), v k by ext n; simp]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
⊢ (fun n => ∏ k in range (n + 1), u k) = d * fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
[PROOFSTEP]
ext n
[GOAL]
case h
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
n : ℕ
⊢ ∏ k in range (n + 1), u k = (d * fun n => ∏ k in range (n + 1), v k) n
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
⊢ CauchySeq (d * fun n => ∏ k in range (n + 1), v k)
[PROOFSTEP]
suffices ∀ n ≥ N, d n = d N by exact (tendsto_atTop_of_eventually_const this).cauchySeq.mul hv
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
this : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → d n = d N
⊢ CauchySeq (d * fun n => ∏ k in range (n + 1), v k)
[PROOFSTEP]
exact (tendsto_atTop_of_eventually_const this).cauchySeq.mul hv
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
⊢ ∀ (n : ℕ), n ≥ N → d n = d N
[PROOFSTEP]
intro n hn
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ d n = d N
[PROOFSTEP]
dsimp
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ ∏ k in range (n + 1), u k / v k = ∏ k in range (N + 1), u k / v k
[PROOFSTEP]
rw [eventually_constant_prod _ hn]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n / v n = 1
[PROOFSTEP]
intro m hm
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : ℕ → E
N : ℕ
huv : ∀ (n : ℕ), n ≥ N → u n = v n
hv : CauchySeq fun n => ∏ k in range (n + 1), v k
d : ℕ → E := fun n => ∏ k in range (n + 1), u k / v k
n : ℕ
hn : n ≥ N
m : ℕ
hm : m ≥ N
⊢ u m / v m = 1
[PROOFSTEP]
simp [huv m hm]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ ‖a / b‖ = 0 ↔ a = b
[PROOFSTEP]
rw [norm_eq_zero'', div_eq_one]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ 0 < ‖a / b‖ ↔ a ≠ b
[PROOFSTEP]
rw [(norm_nonneg' _).lt_iff_ne, ne_comm]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ ‖a / b‖ ≠ 0 ↔ a ≠ b
[PROOFSTEP]
exact norm_div_eq_zero_iff.not
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
h : ‖a / b‖ ≤ 0
⊢ a = b
[PROOFSTEP]
rwa [← div_eq_one, ← norm_le_zero_iff'']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
⊢ ‖a‖₊ = 0 ↔ a = 1
[PROOFSTEP]
rw [← NNReal.coe_eq_zero, coe_nnnorm', norm_eq_zero'']
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f
⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
[PROOFSTEP]
simpa [bddAbove_def] using hf.norm.bddAbove_range_of_hasCompactSupport h.norm
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1
[PROOFSTEP]
obtain ⟨K, ⟨hK1, hK2⟩⟩ := exists_compact_iff_hasCompactMulSupport.mpr hf
[GOAL]
case intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ (x : α), ¬x ∈ K → f x = 1
⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1
[PROOFSTEP]
obtain ⟨S, hS, hS'⟩ := hK1.bounded.exists_pos_norm_le
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ (x : α), ¬x ∈ K → f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ (x : α), x ∈ K → ‖x‖ ≤ S
⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1
[PROOFSTEP]
refine'
  ⟨S + 1, by positivity, fun x hx => hK2 x ((mt <| hS' x) _)⟩
    -- porting note: `ENNReal.add_lt_add` should be `protected`?
      -- [context: we used `_root_.add_lt_add` in a previous version of this proof]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ (x : α), ¬x ∈ K → f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ (x : α), x ∈ K → ‖x‖ ≤ S
⊢ 0 < S + 1
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ (x : α), ¬x ∈ K → f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ (x : α), x ∈ K → ‖x‖ ≤ S
x : α
hx : S + 1 ≤ ‖x‖
⊢ ¬‖x‖ ≤ S
[PROOFSTEP]
contrapose! hx
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ (x : α), ¬x ∈ K → f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ (x : α), x ∈ K → ‖x‖ ≤ S
x : α
hx : ‖x‖ ≤ S
⊢ ‖x‖ < S + 1
[PROOFSTEP]
exact lt_add_of_le_of_pos hx zero_lt_one
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedGroup E
inst✝ : SeminormedGroup F
x y : E × F
⊢ dist x y = ‖x / y‖
[PROOFSTEP]
simp only [Prod.norm_def, Prod.dist_eq, dist_eq_norm_div, Prod.fst_div, Prod.snd_div]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
π : ι → Type u_9
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ ‖x‖ ≤ r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
simp only [← dist_one_right, dist_pi_le_iff hr, Pi.one_apply]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
π : ι → Type u_9
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝¹ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
inst✝ : Nonempty ι
⊢ ‖f‖ ≤ r ↔ ∀ (b : ι), ‖f b‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
by_cases hr : 0 ≤ r
[GOAL]
case pos
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
π : ι → Type u_9
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝¹ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
inst✝ : Nonempty ι
hr : 0 ≤ r
⊢ ‖f‖ ≤ r ↔ ∀ (b : ι), ‖f b‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
exact pi_norm_le_iff_of_nonneg' hr
[GOAL]
case neg
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
π : ι → Type u_9
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝¹ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
inst✝ : Nonempty ι
hr : ¬0 ≤ r
⊢ ‖f‖ ≤ r ↔ ∀ (b : ι), ‖f b‖ ≤ r
[PROOFSTEP]
exact
  iff_of_false (fun h => hr <| (norm_nonneg' _).trans h) fun h =>
    hr <| (norm_nonneg' _).trans <| h <| Classical.arbitrary _
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
π : ι → Type u_9
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ‖x‖ < r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖ < r
[PROOFSTEP]
simp only [← dist_one_right, dist_pi_lt_iff hr, Pi.one_apply]
[GOAL]
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
π : ι → Type u_9
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝¹ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
inst✝ : Nonempty ι
a : E
⊢ ‖fun _i => a‖ = ‖a‖
[PROOFSTEP]
simpa only [← dist_one_right] using dist_pi_const a 1
