[GOAL]
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ ↑x ^ (↑y * z) = ↑(x ^ y) ^ z
[PROOFSTEP]
rw [cpow_mul, ofReal_cpow hx]
[GOAL]
case h₁
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ -Real.pi < (log ↑x * ↑y).im
[PROOFSTEP]
rw [← ofReal_log hx, ← ofReal_mul, ofReal_im, neg_lt_zero]
[GOAL]
case h₁
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ 0 < Real.pi
[PROOFSTEP]
exact Real.pi_pos
[GOAL]
case h₂
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ (log ↑x * ↑y).im ≤ Real.pi
[PROOFSTEP]
rw [← ofReal_log hx, ← ofReal_mul, ofReal_im]
[GOAL]
case h₂
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ 0 ≤ Real.pi
[PROOFSTEP]
exact Real.pi_pos.le
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
c : 𝕜
⊢ MellinConvergent (fun t => c • f t) s
[PROOFSTEP]
simpa only [MellinConvergent, smul_comm] using hf.smul c
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
⊢ MellinConvergent (fun t => ↑t ^ a • f t) s ↔ MellinConvergent f (s + a)
[PROOFSTEP]
refine' integrableOn_congr_fun (fun t ht => _) measurableSet_Ioi
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • (fun t => ↑t ^ a • f t) t = ↑t ^ (s + a - 1) • f t
[PROOFSTEP]
simp_rw [← sub_add_eq_add_sub, cpow_add _ _ (ofReal_ne_zero.2 <| ne_of_gt ht), mul_smul]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
a : ℂ
⊢ MellinConvergent (fun t => f t / a) s
[PROOFSTEP]
simpa only [MellinConvergent, smul_eq_mul, ← mul_div_assoc] using hf.div_const a
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s
[PROOFSTEP]
have := integrableOn_Ioi_comp_mul_left_iff (fun t : ℝ => (t : ℂ) ^ (s - 1) • f t) 0 ha
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this :
  IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) ↔
    IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi (a * 0))
⊢ MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s
[PROOFSTEP]
rw [mul_zero] at this 
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this :
  IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) ↔
    IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0)
⊢ MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s
[PROOFSTEP]
have h1 :
  EqOn (fun t : ℝ => (↑(a * t) : ℂ) ^ (s - 1) • f (a * t))
    ((a : ℂ) ^ (s - 1) • fun t : ℝ => (t : ℂ) ^ (s - 1) • f (a * t)) (Ioi 0) :=
  fun t ht ↦ by simp only [ofReal_mul, mul_cpow_ofReal_nonneg ha.le (le_of_lt ht), mul_smul, Pi.smul_apply]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this :
  IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) ↔
    IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ (fun t => ↑(a * t) ^ (s - 1) • f (a * t)) t = (↑a ^ (s - 1) • fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) t
[PROOFSTEP]
simp only [ofReal_mul, mul_cpow_ofReal_nonneg ha.le (le_of_lt ht), mul_smul, Pi.smul_apply]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this :
  IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) ↔
    IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0)
h1 : EqOn (fun t => ↑(a * t) ^ (s - 1) • f (a * t)) (↑a ^ (s - 1) • fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (Ioi 0)
⊢ MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s
[PROOFSTEP]
have h2 : (a : ℂ) ^ (s - 1) ≠ 0 :=
  by
  rw [Ne.def, cpow_eq_zero_iff, not_and_or, ofReal_eq_zero]
  exact Or.inl ha.ne'
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this :
  IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) ↔
    IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0)
h1 : EqOn (fun t => ↑(a * t) ^ (s - 1) • f (a * t)) (↑a ^ (s - 1) • fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (Ioi 0)
⊢ ↑a ^ (s - 1) ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [Ne.def, cpow_eq_zero_iff, not_and_or, ofReal_eq_zero]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this :
  IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) ↔
    IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0)
h1 : EqOn (fun t => ↑(a * t) ^ (s - 1) • f (a * t)) (↑a ^ (s - 1) • fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (Ioi 0)
⊢ ¬a = 0 ∨ ¬s - 1 ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact Or.inl ha.ne'
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this :
  IntegrableOn (fun x => (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (a * x)) (Ioi 0) ↔
    IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Ioi 0)
h1 : EqOn (fun t => ↑(a * t) ^ (s - 1) • f (a * t)) (↑a ^ (s - 1) • fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (Ioi 0)
h2 : ↑a ^ (s - 1) ≠ 0
⊢ MellinConvergent (fun t => f (a * t)) s ↔ MellinConvergent f s
[PROOFSTEP]
rw [MellinConvergent, MellinConvergent, ← this, integrableOn_congr_fun h1 measurableSet_Ioi, IntegrableOn, IntegrableOn,
  integrable_smul_iff h2]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ MellinConvergent (fun t => f (t ^ a)) s ↔ MellinConvergent f (s / ↑a)
[PROOFSTEP]
refine Iff.trans ?_ (integrableOn_Ioi_comp_rpow_iff' _ ha)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ MellinConvergent (fun t => f (t ^ a)) s ↔
    IntegrableOn (fun x => x ^ (a - 1) • ↑(x ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (x ^ a)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
rw [MellinConvergent]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a)) (Ioi 0) ↔
    IntegrableOn (fun x => x ^ (a - 1) • ↑(x ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (x ^ a)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
refine' integrableOn_congr_fun (fun t ht => _) measurableSet_Ioi
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = t ^ (a - 1) • ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (t ^ a)
[PROOFSTEP]
dsimp only [Pi.smul_apply]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = t ^ (a - 1) • ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (t ^ a)
[PROOFSTEP]
rw [← Complex.coe_smul (t ^ (a - 1)), ← mul_smul, ← cpow_mul_ofReal_nonneg (le_of_lt ht), ofReal_cpow (le_of_lt ht), ←
  cpow_add _ _ (ofReal_ne_zero.mpr (ne_of_gt ht)), ofReal_sub, ofReal_one, mul_sub,
  mul_div_cancel' _ (ofReal_ne_zero.mpr ha), mul_one, add_comm, ← add_sub_assoc, sub_add_cancel]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s a : ℂ
⊢ mellin (fun t => ↑t ^ a • f t) s = mellin f (s + a)
[PROOFSTEP]
refine' set_integral_congr measurableSet_Ioi fun t ht => _
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s a : ℂ
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • (fun t => ↑t ^ a • f t) t = ↑t ^ (s + a - 1) • f t
[PROOFSTEP]
simp_rw [← sub_add_eq_add_sub, cpow_add _ _ (ofReal_ne_zero.2 <| ne_of_gt ht), mul_smul]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
c : 𝕜
⊢ mellin (fun t => c • f t) s = c • mellin f s
[PROOFSTEP]
simp only [mellin, smul_comm, integral_smul]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → ℂ
s a : ℂ
⊢ mellin (fun t => f t / a) s = mellin f s / a
[PROOFSTEP]
simp_rw [mellin, smul_eq_mul, ← mul_div_assoc, integral_div]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ mellin (fun t => f (t ^ a)) s = |a|⁻¹ • mellin f (s / ↑a)
[PROOFSTEP]
simp_rw [mellin]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s / ↑a - 1) • f t
[PROOFSTEP]
conv_rhs => rw [← integral_comp_rpow_Ioi _ ha, ← integral_smul]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
| |a|⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s / ↑a - 1) • f t
[PROOFSTEP]
rw [← integral_comp_rpow_Ioi _ ha, ← integral_smul]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
| |a|⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s / ↑a - 1) • f t
[PROOFSTEP]
rw [← integral_comp_rpow_Ioi _ ha, ← integral_smul]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
| |a|⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s / ↑a - 1) • f t
[PROOFSTEP]
rw [← integral_comp_rpow_Ioi _ ha, ← integral_smul]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) =
    ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, |a|⁻¹ • (|a| * a_1 ^ (a - 1)) • ↑(a_1 ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (a_1 ^ a)
[PROOFSTEP]
refine' set_integral_congr measurableSet_Ioi fun t ht => _
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • (|a| * t ^ (a - 1)) • ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (t ^ a)
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • (|a| * t ^ (a - 1)) • ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (t ^ a)
[PROOFSTEP]
rw [← mul_smul, ← mul_assoc, inv_mul_cancel (mt abs_eq_zero.1 ha), one_mul, ← smul_assoc, real_smul]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = (↑(t ^ (a - 1)) * ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1)) • f (t ^ a)
[PROOFSTEP]
rw [ofReal_cpow (le_of_lt ht), ← cpow_mul_ofReal_nonneg (le_of_lt ht), ←
  cpow_add _ _ (ofReal_ne_zero.mpr <| ne_of_gt ht), ofReal_sub, ofReal_one, mul_sub,
  mul_div_cancel' _ (ofReal_ne_zero.mpr ha), add_comm, ← add_sub_assoc, mul_one, sub_add_cancel]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ mellin (fun t => f (a * t)) s = ↑a ^ (-s) • mellin f s
[PROOFSTEP]
simp_rw [mellin]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (a * t) = ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t
[PROOFSTEP]
have :
  EqOn (fun t : ℝ => (t : ℂ) ^ (s - 1) • f (a * t))
    (fun t : ℝ => (a : ℂ) ^ (1 - s) • (fun u : ℝ => (u : ℂ) ^ (s - 1) • f u) (a * t)) (Ioi 0) :=
  fun t ht ↦ by
  dsimp only
  rw [ofReal_mul, mul_cpow_ofReal_nonneg ha.le (le_of_lt ht), ← mul_smul, (by ring : 1 - s = -(s - 1)), cpow_neg,
    inv_mul_cancel_left₀]
  rw [Ne.def, cpow_eq_zero_iff, ofReal_eq_zero, not_and_or]
  exact Or.inl ha.ne'
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) t = (fun t => ↑a ^ (1 - s) • (fun u => ↑u ^ (s - 1) • f u) (a * t)) t
[PROOFSTEP]
dsimp only
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (a * t) = ↑a ^ (1 - s) • ↑(a * t) ^ (s - 1) • f (a * t)
[PROOFSTEP]
rw [ofReal_mul, mul_cpow_ofReal_nonneg ha.le (le_of_lt ht), ← mul_smul, (by ring : 1 - s = -(s - 1)), cpow_neg,
  inv_mul_cancel_left₀]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ 1 - s = -(s - 1)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case h
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ↑a ^ (s - 1) ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [Ne.def, cpow_eq_zero_iff, ofReal_eq_zero, not_and_or]
[GOAL]
case h
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ¬a = 0 ∨ ¬s - 1 ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact Or.inl ha.ne'
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this : EqOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (fun t => ↑a ^ (1 - s) • (fun u => ↑u ^ (s - 1) • f u) (a * t)) (Ioi 0)
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (a * t) = ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t
[PROOFSTEP]
rw [set_integral_congr measurableSet_Ioi this, integral_smul,
  integral_comp_mul_left_Ioi (fun u ↦ ↑u ^ (s - 1) • f u) _ ha, mul_zero, ← Complex.coe_smul, ← mul_smul,
  sub_eq_add_neg, cpow_add _ _ (ofReal_ne_zero.mpr ha.ne'), cpow_one, abs_of_pos (inv_pos.mpr ha), ofReal_inv,
  mul_assoc, mul_comm, inv_mul_cancel_right₀ (ofReal_ne_zero.mpr ha.ne')]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ mellin (fun t => f (t * a)) s = ↑a ^ (-s) • mellin f s
[PROOFSTEP]
simpa only [mul_comm] using mellin_comp_mul_left f s ha
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
s : ℂ
⊢ mellin (fun t => f t⁻¹) s = mellin f (-s)
[PROOFSTEP]
simp_rw [← rpow_neg_one, mellin_comp_rpow _ _ (neg_ne_zero.mpr one_ne_zero), abs_neg, abs_one, inv_one, one_smul,
  ofReal_neg, ofReal_one, div_neg, div_one]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ MellinConvergent (fun t => f t + g t) s
[PROOFSTEP]
simpa only [MellinConvergent, smul_add] using hf.add hg
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ mellin (fun t => f t + g t) s = mellin f s + mellin g s
[PROOFSTEP]
simpa only [mellin, smul_add] using integral_add hf hg
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ MellinConvergent (fun t => f t - g t) s
[PROOFSTEP]
simpa only [MellinConvergent, smul_sub] using hf.sub hg
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℝ → E
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
hg : MellinConvergent g s
⊢ mellin (fun t => f t - g t) s = mellin f s - mellin g s
[PROOFSTEP]
simpa only [mellin, smul_sub] using integral_sub hf hg
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
s : ℂ
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T
[PROOFSTEP]
have : AEStronglyMeasurable (fun t : ℝ => (t : ℂ) ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T) :=
  by
  refine' ((ContinuousAt.continuousOn _).aestronglyMeasurable hT').smul (hfc.mono_set hT)
  exact fun t ht => continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt (hT ht))
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
s : ℂ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Measure.restrict volume T)
[PROOFSTEP]
refine' ((ContinuousAt.continuousOn _).aestronglyMeasurable hT').smul (hfc.mono_set hT)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
s : ℂ
⊢ ∀ (x : ℝ), x ∈ T → ContinuousAt (fun t => ↑t ^ (s - 1)) x
[PROOFSTEP]
exact fun t ht => continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt (hT ht))
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Measure.restrict volume T)
⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T
[PROOFSTEP]
rw [IntegrableOn, ← integrable_norm_iff this, ← IntegrableOn]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Measure.restrict volume T)
⊢ IntegrableOn (fun a => ‖↑a ^ (s - 1) • f a‖) T ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T
[PROOFSTEP]
refine' integrableOn_congr_fun (fun t ht => _) hT'
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (Measure.restrict volume T)
t : ℝ
ht : t ∈ T
⊢ ‖↑t ^ (s - 1) • f t‖ = t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖
[PROOFSTEP]
simp_rw [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos (hT ht), sub_re, one_re]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨d, hd'⟩ := hf.isBigOWith
[GOAL]
case intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d : ℝ
hd' : IsBigOWith d atTop f fun x => x ^ (-a)
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c)
[PROOFSTEP]
simp_rw [IsBigOWith, eventually_atTop] at hd' 
[GOAL]
case intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d : ℝ
hd' : ∃ a_1, ∀ (b : ℝ), b ≥ a_1 → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨e, he⟩ := hd'
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c)
[PROOFSTEP]
have he' : 0 < max e 1 := zero_lt_one.trans_le (le_max_right _ _)
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨max e 1, he', _, _⟩
[GOAL]
case intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Measure.restrict volume (Ioi (max e 1)))
[PROOFSTEP]
refine' AEStronglyMeasurable.mul _ (hfc.mono_set (Ioi_subset_Ioi he'.le))
[GOAL]
case intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1)) (Measure.restrict volume (Ioi (max e 1)))
[PROOFSTEP]
refine' (ContinuousAt.continuousOn fun t ht => _).aestronglyMeasurable measurableSet_Ioi
[GOAL]
case intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi (max e 1)
⊢ ContinuousAt (fun t => t ^ (s - 1)) t
[PROOFSTEP]
exact continuousAt_rpow_const _ _ (Or.inl <| (he'.trans ht).ne')
[GOAL]
case intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
⊢ HasFiniteIntegral fun t => t ^ (s - 1) * f t
[PROOFSTEP]
have : ∀ᵐ t : ℝ ∂volume.restrict (Ioi <| max e 1), ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ t ^ (s - 1 + -a) * d :=
  by
  refine' (ae_restrict_mem measurableSet_Ioi).mono fun t ht => _
  have ht' : 0 < t := he'.trans ht
  rw [norm_mul, rpow_add ht', ← norm_of_nonneg (rpow_nonneg_of_nonneg ht'.le (-a)), mul_assoc, mul_comm _ d,
    norm_of_nonneg (rpow_nonneg_of_nonneg ht'.le _)]
  exact mul_le_mul_of_nonneg_left (he t ((le_max_left e 1).trans_lt ht).le) (rpow_pos_of_pos ht' _).le
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi (max e 1)), ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ t ^ (s - 1 + -a) * d
[PROOFSTEP]
refine' (ae_restrict_mem measurableSet_Ioi).mono fun t ht => _
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi (max e 1)
⊢ ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ t ^ (s - 1 + -a) * d
[PROOFSTEP]
have ht' : 0 < t := he'.trans ht
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi (max e 1)
ht' : 0 < t
⊢ ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ t ^ (s - 1 + -a) * d
[PROOFSTEP]
rw [norm_mul, rpow_add ht', ← norm_of_nonneg (rpow_nonneg_of_nonneg ht'.le (-a)), mul_assoc, mul_comm _ d,
  norm_of_nonneg (rpow_nonneg_of_nonneg ht'.le _)]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi (max e 1)
ht' : 0 < t
⊢ t ^ (s - 1) * ‖f t‖ ≤ t ^ (s - 1) * (d * ‖t ^ (-a)‖)
[PROOFSTEP]
exact mul_le_mul_of_nonneg_left (he t ((le_max_left e 1).trans_lt ht).le) (rpow_pos_of_pos ht' _).le
[GOAL]
case intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
this : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi (max e 1)), ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ t ^ (s - 1 + -a) * d
⊢ HasFiniteIntegral fun t => t ^ (s - 1) * f t
[PROOFSTEP]
refine' (HasFiniteIntegral.mul_const _ _).mono' this
[GOAL]
case intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
this : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi (max e 1)), ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ t ^ (s - 1 + -a) * d
⊢ HasFiniteIntegral fun a_1 => a_1 ^ (s - 1 + -a)
[PROOFSTEP]
exact (integrableOn_Ioi_rpow_of_lt (by linarith) he').hasFiniteIntegral
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ (b : ℝ), b ≥ e → ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
this : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi (max e 1)), ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ t ^ (s - 1 + -a) * d
⊢ s - 1 + -a < -1
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨d, hd, hd'⟩ := hf.exists_pos
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : IsBigOWith d (𝓝[Ioi 0] 0) f fun x => x ^ (-b)
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c)
[PROOFSTEP]
simp_rw [IsBigOWith, eventually_nhdsWithin_iff, Metric.eventually_nhds_iff, gt_iff_lt] at hd' 
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨ε, hε, hε'⟩ := hd'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨ε, hε, integrableOn_Ioc_iff_integrableOn_Ioo.mpr ⟨_, _⟩⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Measure.restrict volume (Ioo 0 ε))
[PROOFSTEP]
refine' AEStronglyMeasurable.mul _ (hfc.mono_set Ioo_subset_Ioi_self)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => t ^ (s - 1)) (Measure.restrict volume (Ioo 0 ε))
[PROOFSTEP]
refine' (ContinuousAt.continuousOn fun t ht => _).aestronglyMeasurable measurableSet_Ioo
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ContinuousAt (fun t => t ^ (s - 1)) t
[PROOFSTEP]
exact continuousAt_rpow_const _ _ (Or.inl ht.1.ne')
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral fun t => t ^ (s - 1) * f t
[PROOFSTEP]
apply HasFiniteIntegral.mono'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral ?intro.intro.intro.intro.refine'_2.g
[PROOFSTEP]
show HasFiniteIntegral (fun t => d * t ^ (s - b - 1)) _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ HasFiniteIntegral fun t => d * t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
refine' (Integrable.hasFiniteIntegral _).const_mul _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ Integrable fun t => t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
rw [← IntegrableOn, ← integrableOn_Ioc_iff_integrableOn_Ioo, ← intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le hε.le]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.hg
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ IntervalIntegrable (fun t => t ^ (s - b - 1)) volume 0 ε
[PROOFSTEP]
exact intervalIntegral.intervalIntegrable_rpow' (by linarith)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ -1 < s - b - 1
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioo 0 ε), ‖a ^ (s - 1) * f a‖ ≤ d * a ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
refine' (ae_restrict_iff' measurableSet_Ioo).mpr (eventually_of_forall fun t ht => _)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ‖t ^ (s - 1) * f t‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
rw [mul_comm, norm_mul]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ ‖f t‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
specialize hε' _ ht.1
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ dist t 0 < ε
[PROOFSTEP]
rw [dist_eq_norm, sub_zero, norm_of_nonneg (le_of_lt ht.1)]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : ∀ ⦃y : ℝ⦄, dist y 0 < ε → y ∈ Ioi 0 → ‖f y‖ ≤ d * ‖y ^ (-b)‖
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
⊢ t < ε
[PROOFSTEP]
exact ht.2
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ ‖f t‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
refine' (mul_le_mul_of_nonneg_right hε' (norm_nonneg _)).trans _
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ d * ‖t ^ (-b)‖ * ‖t ^ (s - 1)‖ ≤ d * t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
simp_rw [norm_of_nonneg (rpow_nonneg_of_nonneg (le_of_lt ht.1) _), mul_assoc]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ d * (t ^ (-b) * t ^ (s - 1)) ≤ d * t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
refine' mul_le_mul_of_nonneg_left (le_of_eq _) hd.le
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ t ^ (-b) * t ^ (s - 1) = t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
rw [← rpow_add ht.1]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ t ^ (-b + (s - 1)) = t ^ (s - b - 1)
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h.e_a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ -b + (s - 1) = s - b - 1
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.h.e_a
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
b : ℝ
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (Measure.restrict volume (Ioi 0))
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
s : ℝ
hs : b < s
d : ℝ
hd : 0 < d
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 ε
hε' : ‖f t‖ ≤ d * ‖t ^ (-b)‖
⊢ -b + (s - 1) = s - b - 1
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c1, hc1, hc1'⟩ := mellin_convergent_top_of_isBigO hfc.aestronglyMeasurable hf_top hs_top
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1)
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨c2, hc2, hc2'⟩ := mellin_convergent_zero_of_isBigO hfc.aestronglyMeasurable hf_bot hs_bot
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1)
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2)
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
have : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1 := by
  rw [union_assoc, Ioc_union_Ioi (le_max_right _ _), Ioc_union_Ioi ((min_le_left _ _).trans (le_max_right _ _)),
    min_eq_left (lt_min hc2 hc1).le]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1)
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2)
⊢ Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
[PROOFSTEP]
rw [union_assoc, Ioc_union_Ioi (le_max_right _ _), Ioc_union_Ioi ((min_le_left _ _).trans (le_max_right _ _)),
  min_eq_left (lt_min hc2 hc1).le]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1)
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2)
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
rw [this, integrableOn_union, integrableOn_union]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1)
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2)
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
⊢ (IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2) ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc c2 c1)) ∧
    IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨⟨hc2', integrableOn_Icc_iff_integrableOn_Ioc.mp _⟩, hc1'⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1)
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2)
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Icc c2 c1)
[PROOFSTEP]
refine'
  (hfc.continuousOn_mul _ isOpen_Ioi).integrableOn_compact_subset (fun t ht => (hc2.trans_le ht.1 : 0 < t))
    isCompact_Icc
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
s : ℝ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s
c1 : ℝ
hc1 : 0 < c1
hc1' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c1)
c2 : ℝ
hc2 : 0 < c2
hc2' : IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioc 0 c2)
this : Ioi 0 = Ioc 0 c2 ∪ Ioc c2 c1 ∪ Ioi c1
⊢ ContinuousOn (fun t => t ^ (s - 1)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
exact ContinuousAt.continuousOn fun t ht => continuousAt_rpow_const _ _ <| Or.inl <| ne_of_gt ht
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
⊢ MellinConvergent f s
[PROOFSTEP]
rw [MellinConvergent, mellin_convergent_iff_norm Subset.rfl measurableSet_Ioi hfc.aestronglyMeasurable]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
exact mellin_convergent_of_isBigO_scalar hfc.norm hf_top.norm_left hs_top hf_bot.norm_left hs_bot
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
⊢ (fun t => log t • f t) =O[atTop] fun x => x ^ (-b)
[PROOFSTEP]
refine'
  ((isLittleO_log_rpow_atTop (sub_pos.mpr hab)).isBigO.smul hf).congr' (eventually_of_forall fun t => by rfl)
    ((eventually_gt_atTop 0).mp (eventually_of_forall fun t ht => _))
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
⊢ (fun x => log x • f x) t = (fun t => log t • f t) t
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ (fun x => x ^ (a - b) • x ^ (-a)) t = (fun x => x ^ (-b)) t
[PROOFSTEP]
simp only
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ t ^ (a - b) • t ^ (-a) = t ^ (-b)
[PROOFSTEP]
rw [smul_eq_mul, ← rpow_add ht, ← sub_eq_add_neg, sub_eq_add_neg a, add_sub_cancel']
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
⊢ (fun t => log t • f t) =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
[PROOFSTEP]
have : log =o[𝓝[>] 0] fun t : ℝ => t ^ (a - b) :=
  by
  refine'
    ((isLittleO_log_rpow_atTop (sub_pos.mpr hab)).neg_left.comp_tendsto tendsto_inv_zero_atTop).congr'
      (eventually_nhdsWithin_iff.mpr <| eventually_of_forall fun t ht => _)
      (eventually_nhdsWithin_iff.mpr <| eventually_of_forall fun t ht => _)
  · simp_rw [Function.comp_apply, ← one_div, log_div one_ne_zero (ne_of_gt ht), Real.log_one, zero_sub, neg_neg]
  · simp_rw [Function.comp_apply, inv_rpow (le_of_lt ht), ← rpow_neg (le_of_lt ht), neg_sub]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
⊢ log =o[𝓝[Ioi 0] 0] fun t => t ^ (a - b)
[PROOFSTEP]
refine'
  ((isLittleO_log_rpow_atTop (sub_pos.mpr hab)).neg_left.comp_tendsto tendsto_inv_zero_atTop).congr'
    (eventually_nhdsWithin_iff.mpr <| eventually_of_forall fun t ht => _)
    (eventually_nhdsWithin_iff.mpr <| eventually_of_forall fun t ht => _)
[GOAL]
case refine'_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ((fun x => -log x) ∘ fun x => x⁻¹) t = log t
[PROOFSTEP]
simp_rw [Function.comp_apply, ← one_div, log_div one_ne_zero (ne_of_gt ht), Real.log_one, zero_sub, neg_neg]
[GOAL]
case refine'_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ((fun x => x ^ (b - a)) ∘ fun x => x⁻¹) t = (fun t => t ^ (a - b)) t
[PROOFSTEP]
simp_rw [Function.comp_apply, inv_rpow (le_of_lt ht), ← rpow_neg (le_of_lt ht), neg_sub]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[Ioi 0] 0] fun t => t ^ (a - b)
⊢ (fun t => log t • f t) =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
[PROOFSTEP]
refine'
  (this.isBigO.smul hf).congr' (eventually_of_forall fun t => by rfl)
    (eventually_nhdsWithin_iff.mpr (eventually_of_forall fun t ht => _))
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[Ioi 0] 0] fun t => t ^ (a - b)
t : ℝ
⊢ (fun x => log x • f x) t = (fun t => log t • f t) t
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[Ioi 0] 0] fun t => t ^ (a - b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ (fun x => x ^ (a - b) • x ^ (-a)) t = (fun x => x ^ (-b)) t
[PROOFSTEP]
simp_rw [smul_eq_mul, ← rpow_add ht]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[Ioi 0] 0] fun t => t ^ (a - b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ t ^ (a - b + -a) = t ^ (-b)
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case e_a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[Ioi 0] 0] fun t => t ^ (a - b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ a - b + -a = -b
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
case e_a
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : a < b
hf : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-a)
this : log =o[𝓝[Ioi 0] 0] fun t => t ^ (a - b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ a - b + -a = -b
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
set F : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) => (t : ℂ) ^ (z - 1) • f t
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
set F' : ℂ → ℝ → E := fun (z : ℂ) (t : ℝ) => ((t : ℂ) ^ (z - 1) * log t) • f t
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
obtain ⟨v, hv0, hv1, hv2⟩ : ∃ v : ℝ, 0 < v ∧ v < s.re - b ∧ v < a - s.re :=
  by
  obtain ⟨w, hw1, hw2⟩ := exists_between (sub_pos.mpr hs_top)
  obtain ⟨w', hw1', hw2'⟩ := exists_between (sub_pos.mpr hs_bot)
  exact ⟨min w w', lt_min hw1 hw1', (min_le_right _ _).trans_lt hw2', (min_le_left _ _).trans_lt hw2⟩
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
⊢ ∃ v, 0 < v ∧ v < s.re - b ∧ v < a - s.re
[PROOFSTEP]
obtain ⟨w, hw1, hw2⟩ := exists_between (sub_pos.mpr hs_top)
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
w : ℝ
hw1 : 0 < w
hw2 : w < a - s.re
⊢ ∃ v, 0 < v ∧ v < s.re - b ∧ v < a - s.re
[PROOFSTEP]
obtain ⟨w', hw1', hw2'⟩ := exists_between (sub_pos.mpr hs_bot)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
w : ℝ
hw1 : 0 < w
hw2 : w < a - s.re
w' : ℝ
hw1' : 0 < w'
hw2' : w' < s.re - b
⊢ ∃ v, 0 < v ∧ v < s.re - b ∧ v < a - s.re
[PROOFSTEP]
exact ⟨min w w', lt_min hw1 hw1', (min_le_right _ _).trans_lt hw2', (min_le_left _ _).trans_lt hw2⟩
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
let bound : ℝ → ℝ := fun t : ℝ => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
have h1 : ∀ᶠ z : ℂ in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict <| Ioi 0) :=
  by
  refine' eventually_of_forall fun z => AEStronglyMeasurable.smul _ hfc.aestronglyMeasurable
  refine' ContinuousOn.aestronglyMeasurable _ measurableSet_Ioi
  refine' ContinuousAt.continuousOn fun t ht => _
  exact continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt ht)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
⊢ ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
[PROOFSTEP]
refine' eventually_of_forall fun z => AEStronglyMeasurable.smul _ hfc.aestronglyMeasurable
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
z : ℂ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (z - 1)) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousOn.aestronglyMeasurable _ measurableSet_Ioi
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
z : ℂ
⊢ ContinuousOn (fun t => ↑t ^ (z - 1)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousAt.continuousOn fun t ht => _
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
z : ℂ
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ContinuousAt (fun t => ↑t ^ (z - 1)) t
[PROOFSTEP]
exact continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt ht)
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
have h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi (0 : ℝ))
[GOAL]
case h2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
⊢ IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
exact mellinConvergent_of_isBigO_rpow hfc hf_top hs_top hf_bot hs_bot
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
have h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict <| Ioi 0) :=
  by
  apply LocallyIntegrableOn.aestronglyMeasurable
  refine' hfc.continuousOn_smul isOpen_Ioi ((ContinuousAt.continuousOn fun t ht => _).mul _)
  · exact continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt ht)
  · refine' continuous_ofReal.comp_continuousOn _
    exact continuousOn_log.mono (subset_compl_singleton_iff.mpr not_mem_Ioi_self)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
⊢ AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
[PROOFSTEP]
apply LocallyIntegrableOn.aestronglyMeasurable
[GOAL]
case hf
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
⊢ LocallyIntegrableOn (F' s) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
refine' hfc.continuousOn_smul isOpen_Ioi ((ContinuousAt.continuousOn fun t ht => _).mul _)
[GOAL]
case hf.refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ContinuousAt (fun t => ↑t ^ (s - 1)) t
[PROOFSTEP]
exact continuousAt_ofReal_cpow_const _ _ (Or.inr <| ne_of_gt ht)
[GOAL]
case hf.refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
⊢ ContinuousOn (fun t => ↑(log t)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
refine' continuous_ofReal.comp_continuousOn _
[GOAL]
case hf.refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
⊢ ContinuousOn (fun t => log t) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
exact continuousOn_log.mono (subset_compl_singleton_iff.mpr not_mem_Ioi_self)
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
have h4 : ∀ᵐ t : ℝ ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z : ℂ, z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t :=
  by
  refine' (ae_restrict_mem measurableSet_Ioi).mono fun t ht z hz => _
  simp_rw [norm_smul, norm_mul, Complex.norm_eq_abs (log _), Complex.abs_ofReal, mul_assoc]
  refine' mul_le_mul_of_nonneg_right _ (mul_nonneg (abs_nonneg _) (norm_nonneg _))
  rw [Complex.norm_eq_abs, abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos ht]
  rcases le_or_lt 1 t with h | h
  · refine' le_add_of_le_of_nonneg (rpow_le_rpow_of_exponent_le h _) (rpow_nonneg_of_nonneg (zero_le_one.trans h) _)
    rw [sub_re, one_re, sub_le_sub_iff_right]
    rw [mem_ball_iff_norm, Complex.norm_eq_abs] at hz 
    have hz' := (re_le_abs _).trans hz.le
    rwa [sub_re, sub_le_iff_le_add'] at hz' 
  · refine' le_add_of_nonneg_of_le (rpow_pos_of_pos ht _).le (rpow_le_rpow_of_exponent_ge ht h.le _)
    rw [sub_re, one_re, sub_le_iff_le_add, sub_add_cancel]
    rw [mem_ball_iff_norm', Complex.norm_eq_abs] at hz 
    have hz' := (re_le_abs _).trans hz.le
    rwa [sub_re, sub_le_iff_le_add, ← sub_le_iff_le_add'] at hz' 
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
[PROOFSTEP]
refine' (ae_restrict_mem measurableSet_Ioi).mono fun t ht z hz => _
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
⊢ ‖F' z t‖ ≤ bound t
[PROOFSTEP]
simp_rw [norm_smul, norm_mul, Complex.norm_eq_abs (log _), Complex.abs_ofReal, mul_assoc]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
⊢ ‖↑t ^ (z - 1)‖ * (|log t| * ‖f t‖) ≤ (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * (|log t| * ‖f t‖)
[PROOFSTEP]
refine' mul_le_mul_of_nonneg_right _ (mul_nonneg (abs_nonneg _) (norm_nonneg _))
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
⊢ ‖↑t ^ (z - 1)‖ ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)
[PROOFSTEP]
rw [Complex.norm_eq_abs, abs_cpow_eq_rpow_re_of_pos ht]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
⊢ t ^ (z - 1).re ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)
[PROOFSTEP]
rcases le_or_lt 1 t with h | h
[GOAL]
case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
h : 1 ≤ t
⊢ t ^ (z - 1).re ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)
[PROOFSTEP]
refine' le_add_of_le_of_nonneg (rpow_le_rpow_of_exponent_le h _) (rpow_nonneg_of_nonneg (zero_le_one.trans h) _)
[GOAL]
case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
h : 1 ≤ t
⊢ (z - 1).re ≤ s.re + v - 1
[PROOFSTEP]
rw [sub_re, one_re, sub_le_sub_iff_right]
[GOAL]
case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
h : 1 ≤ t
⊢ z.re ≤ s.re + v
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball_iff_norm, Complex.norm_eq_abs] at hz 
[GOAL]
case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : ↑Complex.abs (z - s) < v
h : 1 ≤ t
⊢ z.re ≤ s.re + v
[PROOFSTEP]
have hz' := (re_le_abs _).trans hz.le
[GOAL]
case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : ↑Complex.abs (z - s) < v
h : 1 ≤ t
hz' : (z - s).re ≤ v
⊢ z.re ≤ s.re + v
[PROOFSTEP]
rwa [sub_re, sub_le_iff_le_add'] at hz' 
[GOAL]
case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
h : t < 1
⊢ t ^ (z - 1).re ≤ t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)
[PROOFSTEP]
refine' le_add_of_nonneg_of_le (rpow_pos_of_pos ht _).le (rpow_le_rpow_of_exponent_ge ht h.le _)
[GOAL]
case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
h : t < 1
⊢ s.re - v - 1 ≤ (z - 1).re
[PROOFSTEP]
rw [sub_re, one_re, sub_le_iff_le_add, sub_add_cancel]
[GOAL]
case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball s v
h : t < 1
⊢ s.re - v ≤ z.re
[PROOFSTEP]
rw [mem_ball_iff_norm', Complex.norm_eq_abs] at hz 
[GOAL]
case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : ↑Complex.abs (s - z) < v
h : t < 1
⊢ s.re - v ≤ z.re
[PROOFSTEP]
have hz' := (re_le_abs _).trans hz.le
[GOAL]
case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
z : ℂ
hz : ↑Complex.abs (s - z) < v
h : t < 1
hz' : (s - z).re ≤ v
⊢ s.re - v ≤ z.re
[PROOFSTEP]
rwa [sub_re, sub_le_iff_le_add, ← sub_le_iff_le_add'] at hz' 
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
have h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) := by
  simp_rw [add_mul, mul_assoc]
  suffices
    ∀ {j : ℝ} (hj : b < j) (hj' : j < a), IntegrableOn (fun t : ℝ => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0) volume
    by
    refine' Integrable.add (this _ _) (this _ _)
    all_goals linarith
  · intro j hj hj'
    obtain ⟨w, hw1, hw2⟩ := exists_between hj
    obtain ⟨w', hw1', hw2'⟩ := exists_between hj'
    refine' mellin_convergent_of_isBigO_scalar _ _ hw1' _ hw2
    · simp_rw [mul_comm]
      refine' hfc.norm.mul_continuousOn _ isOpen_Ioi
      refine' Continuous.comp_continuousOn continuous_abs (continuousOn_log.mono _)
      exact subset_compl_singleton_iff.mpr not_mem_Ioi_self
    · refine (isBigO_rpow_top_log_smul hw2' hf_top).norm_left.congr_left fun t ↦ ?_
      simp only [norm_smul, Real.norm_eq_abs]
    · refine (isBigO_rpow_zero_log_smul hw1 hf_bot).norm_left.congr_left fun t ↦ ?_
      simp only [norm_smul, Real.norm_eq_abs]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
⊢ IntegrableOn bound (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
simp_rw [add_mul, mul_assoc]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re + v - 1) * (|log t| * ‖f t‖) + t ^ (s.re - v - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
suffices
  ∀ {j : ℝ} (hj : b < j) (hj' : j < a), IntegrableOn (fun t : ℝ => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0) volume
  by
  refine' Integrable.add (this _ _) (this _ _)
  all_goals linarith
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re + v - 1) * (|log t| * ‖f t‖) + t ^ (s.re - v - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
refine' Integrable.add (this _ _) (this _ _)
[GOAL]
case refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ b < s.re + v
case refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ s.re + v < a
case refine'_3
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ b < s.re - v
case refine'_4
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ s.re - v < a
[PROOFSTEP]
all_goals linarith
[GOAL]
case refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ b < s.re + v
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
case refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ s.re + v < a
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
case refine'_3
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ b < s.re - v
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
case refine'_4
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
this : ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
⊢ s.re - v < a
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
⊢ ∀ {j : ℝ}, b < j → j < a → IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
intro j hj hj'
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨w, hw1, hw2⟩ := exists_between hj
[GOAL]
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
obtain ⟨w', hw1', hw2'⟩ := exists_between hj'
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
⊢ IntegrableOn (fun t => t ^ (j - 1) * (|log t| * ‖f t‖)) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
refine' mellin_convergent_of_isBigO_scalar _ _ hw1' _ hw2
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
⊢ LocallyIntegrableOn (fun t => |log t| * ‖f t‖) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
simp_rw [mul_comm]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
⊢ LocallyIntegrableOn (fun t => ‖f t‖ * |log t|) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
refine' hfc.norm.mul_continuousOn _ isOpen_Ioi
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
⊢ ContinuousOn (fun t => |log t|) (Ioi 0)
[PROOFSTEP]
refine' Continuous.comp_continuousOn continuous_abs (continuousOn_log.mono _)
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
⊢ Ioi 0 ⊆ {0}ᶜ
[PROOFSTEP]
exact subset_compl_singleton_iff.mpr not_mem_Ioi_self
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
⊢ (fun t => |log t| * ‖f t‖) =O[atTop] fun x => x ^ (-w')
[PROOFSTEP]
refine (isBigO_rpow_top_log_smul hw2' hf_top).norm_left.congr_left fun t ↦ ?_
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
t : ℝ
⊢ ‖log t • f t‖ = |log t| * ‖f t‖
[PROOFSTEP]
simp only [norm_smul, Real.norm_eq_abs]
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_3
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
⊢ (fun t => |log t| * ‖f t‖) =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-w)
[PROOFSTEP]
refine (isBigO_rpow_zero_log_smul hw1 hf_bot).norm_left.congr_left fun t ↦ ?_
[GOAL]
case intro.intro.intro.intro.refine'_3
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
j : ℝ
hj : b < j
hj' : j < a
w : ℝ
hw1 : b < w
hw2 : w < j
w' : ℝ
hw1' : j < w'
hw2' : w' < a
t : ℝ
⊢ ‖log t • f t‖ = |log t| * ‖f t‖
[PROOFSTEP]
simp only [norm_smul, Real.norm_eq_abs]
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
have h6 :
  ∀ᵐ t : ℝ ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ y : ℂ, y ∈ Metric.ball s v → HasDerivAt (fun z : ℂ => F z t) (F' y t) y :=
  by
  refine' (ae_restrict_mem measurableSet_Ioi).mono fun t ht y _ => _
  have ht' : (t : ℂ) ≠ 0 := ofReal_ne_zero.mpr (ne_of_gt ht)
  have u1 : HasDerivAt (fun z : ℂ => (t : ℂ) ^ (z - 1)) (t ^ (y - 1) * log t) y :=
    by
    convert ((hasDerivAt_id' y).sub_const 1).const_cpow (Or.inl ht') using 1
    rw [ofReal_log (le_of_lt ht)]
    ring
  exact u1.smul_const (f t)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
⊢ ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (y : ℂ), y ∈ Metric.ball s v → HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
[PROOFSTEP]
refine' (ae_restrict_mem measurableSet_Ioi).mono fun t ht y _ => _
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
y : ℂ
x✝ : y ∈ Metric.ball s v
⊢ HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
[PROOFSTEP]
have ht' : (t : ℂ) ≠ 0 := ofReal_ne_zero.mpr (ne_of_gt ht)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
y : ℂ
x✝ : y ∈ Metric.ball s v
ht' : ↑t ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
[PROOFSTEP]
have u1 : HasDerivAt (fun z : ℂ => (t : ℂ) ^ (z - 1)) (t ^ (y - 1) * log t) y :=
  by
  convert ((hasDerivAt_id' y).sub_const 1).const_cpow (Or.inl ht') using 1
  rw [ofReal_log (le_of_lt ht)]
  ring
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
y : ℂ
x✝ : y ∈ Metric.ball s v
ht' : ↑t ≠ 0
⊢ HasDerivAt (fun z => ↑t ^ (z - 1)) (↑t ^ (y - 1) * ↑(log t)) y
[PROOFSTEP]
convert ((hasDerivAt_id' y).sub_const 1).const_cpow (Or.inl ht') using 1
[GOAL]
case h.e'_7
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
y : ℂ
x✝ : y ∈ Metric.ball s v
ht' : ↑t ≠ 0
⊢ ↑t ^ (y - 1) * ↑(log t) = ↑t ^ (y - 1) * Complex.log ↑t * 1
[PROOFSTEP]
rw [ofReal_log (le_of_lt ht)]
[GOAL]
case h.e'_7
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
y : ℂ
x✝ : y ∈ Metric.ball s v
ht' : ↑t ≠ 0
⊢ ↑t ^ (y - 1) * Complex.log ↑t = ↑t ^ (y - 1) * Complex.log ↑t * 1
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
y : ℂ
x✝ : y ∈ Metric.ball s v
ht' : ↑t ≠ 0
u1 : HasDerivAt (fun z => ↑t ^ (z - 1)) (↑t ^ (y - 1) * ↑(log t)) y
⊢ HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
[PROOFSTEP]
exact u1.smul_const (f t)
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
h6 :
  ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (y : ℂ), y ∈ Metric.ball s v → HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
have main := hasDerivAt_integral_of_dominated_loc_of_deriv_le hv0 h1 h2 h3 h4 h5 h6
[GOAL]
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0)
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[Ioi 0] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0)
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (Measure.restrict volume (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (z : ℂ), z ∈ Metric.ball s v → ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0)
h6 :
  ∀ᵐ (t : ℝ) ∂Measure.restrict volume (Ioi 0), ∀ (y : ℂ), y ∈ Metric.ball s v → HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
main : Integrable (F' s) ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F n a) (∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F' s a) s
⊢ MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
[PROOFSTEP]
simpa only [mul_smul] using main
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ HasMellin (indicator (Ioc 0 1) fun x => 1) s (1 / s)
[PROOFSTEP]
have aux1 : -1 < (s - 1).re := by simpa only [sub_re, one_re, sub_eq_add_neg] using lt_add_of_pos_left _ hs
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
⊢ -1 < (s - 1).re
[PROOFSTEP]
simpa only [sub_re, one_re, sub_eq_add_neg] using lt_add_of_pos_left _ hs
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
⊢ HasMellin (indicator (Ioc 0 1) fun x => 1) s (1 / s)
[PROOFSTEP]
have aux2 : s ≠ 0 := by contrapose! hs; rw [hs, zero_re]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
⊢ s ≠ 0
[PROOFSTEP]
contrapose! hs
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
aux1 : -1 < (s - 1).re
hs : s = 0
⊢ s.re ≤ 0
[PROOFSTEP]
rw [hs, zero_re]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
⊢ HasMellin (indicator (Ioc 0 1) fun x => 1) s (1 / s)
[PROOFSTEP]
have aux3 : MeasurableSet (Ioc (0 : ℝ) 1) := measurableSet_Ioc
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
⊢ HasMellin (indicator (Ioc 0 1) fun x => 1) s (1 / s)
[PROOFSTEP]
simp_rw [HasMellin, mellin, MellinConvergent, ← indicator_smul, IntegrableOn, integrable_indicator_iff aux3,
  smul_eq_mul, integral_indicator aux3, mul_one, IntegrableOn, Measure.restrict_restrict_of_subset Ioc_subset_Ioi_self]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
⊢ (Integrable fun x => ↑x ^ (s - 1)) ∧ ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ↑x ^ (s - 1) = 1 / s
[PROOFSTEP]
rw [← IntegrableOn, ← intervalIntegrable_iff_integrable_Ioc_of_le zero_le_one]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (s - 1)) volume 0 1 ∧ ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ↑x ^ (s - 1) = 1 / s
[PROOFSTEP]
refine' ⟨intervalIntegral.intervalIntegrable_cpow' aux1, _⟩
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ↑x ^ (s - 1) = 1 / s
[PROOFSTEP]
rw [← intervalIntegral.integral_of_le zero_le_one, integral_cpow (Or.inl aux1), sub_add_cancel, ofReal_zero, ofReal_one,
  one_cpow, zero_cpow aux2, sub_zero]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re
⊢ HasMellin (indicator (Ioc 0 1) fun t => ↑t ^ a) s (1 / (s + a))
[PROOFSTEP]
have := hasMellin_one_Ioc (by rwa [add_re] : 0 < (s + a).re)
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re
⊢ 0 < (s + a).re
[PROOFSTEP]
rwa [add_re]
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re
this : HasMellin (indicator (Ioc 0 1) fun x => 1) (s + a) (1 / (s + a))
⊢ HasMellin (indicator (Ioc 0 1) fun t => ↑t ^ a) s (1 / (s + a))
[PROOFSTEP]
simp_rw [HasMellin, ← MellinConvergent.cpow_smul, ← mellin_cpow_smul, ← indicator_smul, smul_eq_mul, mul_one] at this 
[GOAL]
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a s : ℂ
hs : 0 < s.re + a.re
this :
  MellinConvergent (indicator (Ioc 0 1) fun x => ↑x ^ a) s ∧
    mellin (indicator (Ioc 0 1) fun x => ↑x ^ a) s = 1 / (s + a)
⊢ HasMellin (indicator (Ioc 0 1) fun t => ↑t ^ a) s (1 / (s + a))
[PROOFSTEP]
exact this
