[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass G₀
a : G₀
⊢ SemiconjBy a 0 0
[PROOFSTEP]
simp only [SemiconjBy, mul_zero, zero_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass G₀
x y : G₀
⊢ SemiconjBy 0 x y
[PROOFSTEP]
simp only [SemiconjBy, mul_zero, zero_mul]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
ha : a = 0
⊢ SemiconjBy a⁻¹ x y ↔ SemiconjBy a y x
[PROOFSTEP]
simp only [ha, inv_zero, SemiconjBy.zero_left]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
by_cases ha : a = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
ha : a = 0
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
simp only [ha, zero_left]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
ha : ¬a = 0
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
ha : ¬a = 0
hx : x = 0
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
subst x
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a y x' y' : G₀
ha : ¬a = 0
h : SemiconjBy a 0 y
⊢ SemiconjBy a 0⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
simp only [SemiconjBy, mul_zero, @eq_comm _ _ (y * a), mul_eq_zero] at h 
[GOAL]
case pos
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a y x' y' : G₀
ha : ¬a = 0
h : y = 0 ∨ a = 0
⊢ SemiconjBy a 0⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
simp [h.resolve_right ha]
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
ha : ¬a = 0
hx : ¬x = 0
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
have := mul_ne_zero ha hx
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
ha : ¬a = 0
hx : ¬x = 0
this : a * x ≠ 0
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
rw [h.eq, mul_ne_zero_iff] at this 
[GOAL]
case neg
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
ha : ¬a = 0
hx : ¬x = 0
this : y ≠ 0 ∧ a ≠ 0
⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹
[PROOFSTEP]
exact @units_inv_right _ _ _ (Units.mk0 x hx) (Units.mk0 y this.1) h
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x / x') (y / y')
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_mul_inv, div_eq_mul_inv]
[GOAL]
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a x y x' y' : G₀
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
⊢ SemiconjBy a (x * x'⁻¹) (y * y'⁻¹)
[PROOFSTEP]
exact h.mul_right h'.inv_right₀
