[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) = Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j
[PROOFSTEP]
ext i j
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i j : Fin (n + 1)
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) i j =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i j
[PROOFSTEP]
refine' Fin.cases (by simp) (fun i => _) i
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i j : Fin (n + 1)
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) 0 j =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) 0 j
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) (Fin.succ i) j =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) (Fin.succ i) j
[PROOFSTEP]
refine' Fin.cases (by simp) (fun j => _) j
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j : Fin (n + 1)
i : Fin n
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) (Fin.succ i) 0 =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) (Fin.succ i) 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case a.h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j✝ : Fin (n + 1)
i j : Fin n
⊢ vandermonde (Fin.cons v0 v) (Fin.succ i) (Fin.succ j) =
    Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) (Fin.succ i) (Fin.succ j)
[PROOFSTEP]
simp [pow_succ]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ vandermonde v =
    Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v (Fin.succ i) * vandermonde (Fin.tail v) i j
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [← Fin.cons_self_tail v, vandermonde_cons]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (Nat.succ n) → R
| vandermonde v
[PROOFSTEP]
rw [← Fin.cons_self_tail v, vandermonde_cons]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (Nat.succ n) → R
| vandermonde v
[PROOFSTEP]
rw [← Fin.cons_self_tail v, vandermonde_cons]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (Nat.succ n) → R
| vandermonde v
[PROOFSTEP]
rw [← Fin.cons_self_tail v, vandermonde_cons]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v w : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ (vandermonde v * (vandermonde w)ᵀ) i j = ∑ k : Fin n, (v i * w j) ^ ↑k
[PROOFSTEP]
simp only [vandermonde_apply, Matrix.mul_apply, Matrix.transpose_apply, mul_pow]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n
⊢ ((vandermonde v)ᵀ * vandermonde v) i j = ∑ k : Fin n, v k ^ (↑i + ↑j)
[PROOFSTEP]
simp only [vandermonde_apply, Matrix.mul_apply, Matrix.transpose_apply, pow_add]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ det (vandermonde v) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
[PROOFSTEP]
unfold vandermonde
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
[PROOFSTEP]
induction' n with n ih
[GOAL]
case zero
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
v : Fin Nat.zero → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin Nat.zero, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
[PROOFSTEP]
exact det_eq_one_of_card_eq_zero (Fintype.card_fin 0)
[GOAL]
case succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
[PROOFSTEP]
calc
  det (of fun i j : Fin n.succ => v i ^ (j : ℕ)) =
      det
        (of fun i j : Fin n.succ =>
          Matrix.vecCons (v 0 ^ (j : ℕ)) (fun i => v (Fin.succ i) ^ (j : ℕ) - v 0 ^ (j : ℕ)) i) :=
    det_eq_of_forall_row_eq_smul_add_const (Matrix.vecCons 0 1) 0 (Fin.cons_zero _ _) ?_
  _ =
      det
        (of fun i j : Fin n =>
          Matrix.vecCons (v 0 ^ (j.succ : ℕ)) (fun i : Fin n => v (Fin.succ i) ^ (j.succ : ℕ) - v 0 ^ (j.succ : ℕ))
            (Fin.succAbove 0 i)) :=
    by
    simp_rw [det_succ_column_zero, Fin.sum_univ_succ, of_apply, Matrix.cons_val_zero, submatrix, of_apply,
      Matrix.cons_val_succ, Fin.val_zero, pow_zero, one_mul, sub_self, mul_zero, zero_mul, Finset.sum_const_zero,
      add_zero]
  _ =
      det
        (of fun i j : Fin n =>
            (v (Fin.succ i) - v 0) * ∑ k in Finset.range (j + 1 : ℕ), v i.succ ^ k * v 0 ^ (j - k : ℕ) :
          Matrix _ _ R) :=
    by
    congr
    ext i j
    rw [Fin.succAbove_zero, Matrix.cons_val_succ, Fin.val_succ, mul_comm]
    exact (geom_sum₂_mul (v i.succ) (v 0) (j + 1 : ℕ)).symm
  _ =
      (Finset.prod Finset.univ (fun i => v (Fin.succ i) - v 0)) *
        det fun i j : Fin n => ∑ k in Finset.range (j + 1 : ℕ), v i.succ ^ k * v 0 ^ (j - k : ℕ) :=
    (det_mul_column (fun i => v (Fin.succ i) - v 0) _)
  _ = (Finset.prod Finset.univ (fun i => v (Fin.succ i) - v 0)) * det fun i j : Fin n => v (Fin.succ i) ^ (j : ℕ) :=
    (congr_arg _ ?_)
  _ = ∏ i : Fin n.succ, Finset.prod (Ioi i) (fun j => v j - v i) :=
    by
    simp_rw [Fin.prod_univ_succ, Fin.prod_Ioi_zero, Fin.prod_Ioi_succ]
    have h := ih (v ∘ Fin.succ)
    unfold Function.comp at h 
    rw [h]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ det (↑of fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) =
    det
      (↑of fun i j =>
        vecCons (v 0 ^ ↑(Fin.succ j)) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑(Fin.succ j) - v 0 ^ ↑(Fin.succ j))
          (Fin.succAbove 0 i))
[PROOFSTEP]
simp_rw [det_succ_column_zero, Fin.sum_univ_succ, of_apply, Matrix.cons_val_zero, submatrix, of_apply,
  Matrix.cons_val_succ, Fin.val_zero, pow_zero, one_mul, sub_self, mul_zero, zero_mul, Finset.sum_const_zero, add_zero]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ det
      (↑of fun i j =>
        vecCons (v 0 ^ ↑(Fin.succ j)) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑(Fin.succ j) - v 0 ^ ↑(Fin.succ j))
          (Fin.succAbove 0 i)) =
    det (↑of fun i j => (v (Fin.succ i) - v 0) * ∑ k in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑j - k))
[PROOFSTEP]
congr
[GOAL]
case e_M.h.e_6.h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ (fun i j =>
      vecCons (v 0 ^ ↑(Fin.succ j)) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑(Fin.succ j) - v 0 ^ ↑(Fin.succ j))
        (Fin.succAbove 0 i)) =
    fun i j => (v (Fin.succ i) - v 0) * ∑ k in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑j - k)
[PROOFSTEP]
ext i j
[GOAL]
case e_M.h.e_6.h.h.h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
i j : Fin n
⊢ vecCons (v 0 ^ ↑(Fin.succ j)) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑(Fin.succ j) - v 0 ^ ↑(Fin.succ j)) (Fin.succAbove 0 i) =
    (v (Fin.succ i) - v 0) * ∑ k in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑j - k)
[PROOFSTEP]
rw [Fin.succAbove_zero, Matrix.cons_val_succ, Fin.val_succ, mul_comm]
[GOAL]
case e_M.h.e_6.h.h.h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
i j : Fin n
⊢ v (Fin.succ i) ^ (↑j + 1) - v 0 ^ (↑j + 1) =
    (∑ k in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑j - k)) * (v (Fin.succ i) - v 0)
[PROOFSTEP]
exact (geom_sum₂_mul (v i.succ) (v 0) (j + 1 : ℕ)).symm
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ ((∏ i : Fin n, (v (Fin.succ i) - v 0)) * det fun i j => v (Fin.succ i) ^ ↑j) =
    ∏ i : Fin (Nat.succ n), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
[PROOFSTEP]
simp_rw [Fin.prod_univ_succ, Fin.prod_Ioi_zero, Fin.prod_Ioi_succ]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ ((∏ i : Fin n, (v (Fin.succ i) - v 0)) * det fun i j => v (Fin.succ i) ^ ↑j) =
    (∏ j : Fin n, (v (Fin.succ j) - v 0)) * ∏ x : Fin n, ∏ j in Ioi x, (v (Fin.succ j) - v (Fin.succ x))
[PROOFSTEP]
have h := ih (v ∘ Fin.succ)
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
h : (det fun i j => (v ∘ Fin.succ) i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, ((v ∘ Fin.succ) j - (v ∘ Fin.succ) i)
⊢ ((∏ i : Fin n, (v (Fin.succ i) - v 0)) * det fun i j => v (Fin.succ i) ^ ↑j) =
    (∏ j : Fin n, (v (Fin.succ j) - v 0)) * ∏ x : Fin n, ∏ j in Ioi x, (v (Fin.succ j) - v (Fin.succ x))
[PROOFSTEP]
unfold Function.comp at h 
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
h : (det fun i j => v (Fin.succ i) ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v (Fin.succ j) - v (Fin.succ i))
⊢ ((∏ i : Fin n, (v (Fin.succ i) - v 0)) * det fun i j => v (Fin.succ i) ^ ↑j) =
    (∏ j : Fin n, (v (Fin.succ j) - v 0)) * ∏ x : Fin n, ∏ j in Ioi x, (v (Fin.succ j) - v (Fin.succ x))
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case succ.calc_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ ∀ (i j : Fin (Nat.succ n)),
    ↑of (fun i j => v i ^ ↑j) i j =
      ↑of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) i j +
        vecCons 0 1 i * ↑of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) 0 j
[PROOFSTEP]
intro i j
[GOAL]
case succ.calc_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
i j : Fin (Nat.succ n)
⊢ ↑of (fun i j => v i ^ ↑j) i j =
    ↑of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) i j +
      vecCons 0 1 i * ↑of (fun i j => vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i) 0 j
[PROOFSTEP]
simp_rw [of_apply]
[GOAL]
case succ.calc_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
i j : Fin (Nat.succ n)
⊢ v i ^ ↑j =
    vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i +
      vecCons 0 1 i * vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) 0
[PROOFSTEP]
rw [Matrix.cons_val_zero]
[GOAL]
case succ.calc_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
i j : Fin (Nat.succ n)
⊢ v i ^ ↑j = vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) i + vecCons 0 1 i * v 0 ^ ↑j
[PROOFSTEP]
refine' Fin.cases _ (fun i => _) i
[GOAL]
case succ.calc_1.refine'_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
i j : Fin (Nat.succ n)
⊢ v 0 ^ ↑j = vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) 0 + vecCons 0 1 0 * v 0 ^ ↑j
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case succ.calc_1.refine'_2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
i✝ j : Fin (Nat.succ n)
i : Fin n
⊢ v (Fin.succ i) ^ ↑j =
    vecCons (v 0 ^ ↑j) (fun i => v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j) (Fin.succ i) + vecCons 0 1 (Fin.succ i) * v 0 ^ ↑j
[PROOFSTEP]
rw [Matrix.cons_val_succ, Matrix.cons_val_succ, Pi.one_apply]
[GOAL]
case succ.calc_1.refine'_2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
i✝ j : Fin (Nat.succ n)
i : Fin n
⊢ v (Fin.succ i) ^ ↑j = v (Fin.succ i) ^ ↑j - v 0 ^ ↑j + 1 * v 0 ^ ↑j
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case succ.calc_2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ : ℕ
v✝ : Fin n✝ → R
n : ℕ
ih : ∀ (v : Fin n → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin n, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ n) → R
⊢ (det fun i j => ∑ k in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑j - k)) = det fun i j => v (Fin.succ i) ^ ↑j
[PROOFSTEP]
cases n
[GOAL]
case succ.calc_2.zero
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
ih : ∀ (v : Fin Nat.zero → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin Nat.zero, ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ Nat.zero) → R
⊢ (det fun i j => ∑ k in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑j - k)) = det fun i j => v (Fin.succ i) ^ ↑j
[PROOFSTEP]
rw [det_eq_one_of_card_eq_zero (Fintype.card_fin 0), det_eq_one_of_card_eq_zero (Fintype.card_fin 0)]
[GOAL]
case succ.calc_2.succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
⊢ (det fun i j => ∑ k in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑j - k)) = det fun i j => v (Fin.succ i) ^ ↑j
[PROOFSTEP]
apply det_eq_of_forall_col_eq_smul_add_pred fun _ => v 0
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_zero
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
⊢ ∀ (i : Fin (n✝ + 1)), ∑ k in range (↑0 + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑0 - k) = v (Fin.succ i) ^ ↑0
[PROOFSTEP]
intro j
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_zero
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
j : Fin (n✝ + 1)
⊢ ∑ k in range (↑0 + 1), v (Fin.succ j) ^ k * v 0 ^ (↑0 - k) = v (Fin.succ j) ^ ↑0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
⊢ ∀ (i : Fin (n✝ + 1)) (j : Fin n✝),
    ∑ k in range (↑(Fin.succ j) + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑(Fin.succ j) - k) =
      v (Fin.succ i) ^ ↑(Fin.succ j) +
        v 0 * ∑ k in range (↑(Fin.castSucc j) + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑(Fin.castSucc j) - k)
[PROOFSTEP]
intro i j
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
i : Fin (n✝ + 1)
j : Fin n✝
⊢ ∑ k in range (↑(Fin.succ j) + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑(Fin.succ j) - k) =
    v (Fin.succ i) ^ ↑(Fin.succ j) +
      v 0 * ∑ k in range (↑(Fin.castSucc j) + 1), v (Fin.succ i) ^ k * v 0 ^ (↑(Fin.castSucc j) - k)
[PROOFSTEP]
simp only [smul_eq_mul, Pi.add_apply, Fin.val_succ, Fin.coe_castSucc, Pi.smul_apply]
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
i : Fin (n✝ + 1)
j : Fin n✝
⊢ ∑ x in range (↑j + 1 + 1), v (Fin.succ i) ^ x * v 0 ^ (↑j + 1 - x) =
    v (Fin.succ i) ^ (↑j + 1) + v 0 * ∑ x in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ x * v 0 ^ (↑j - x)
[PROOFSTEP]
rw [Finset.sum_range_succ, add_comm, tsub_self, pow_zero, mul_one, Finset.mul_sum]
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_succ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
i : Fin (n✝ + 1)
j : Fin n✝
⊢ v (Fin.succ i) ^ (↑j + 1) + ∑ x in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ x * v 0 ^ (↑j + 1 - x) =
    v (Fin.succ i) ^ (↑j + 1) + ∑ x in range (↑j + 1), v 0 * (v (Fin.succ i) ^ x * v 0 ^ (↑j - x))
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_succ.e_a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
i : Fin (n✝ + 1)
j : Fin n✝
⊢ ∑ x in range (↑j + 1), v (Fin.succ i) ^ x * v 0 ^ (↑j + 1 - x) =
    ∑ x in range (↑j + 1), v 0 * (v (Fin.succ i) ^ x * v 0 ^ (↑j - x))
[PROOFSTEP]
refine' Finset.sum_congr rfl fun i' hi' => _
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_succ.e_a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
i : Fin (n✝ + 1)
j : Fin n✝
i' : ℕ
hi' : i' ∈ range (↑j + 1)
⊢ v (Fin.succ i) ^ i' * v 0 ^ (↑j + 1 - i') = v 0 * (v (Fin.succ i) ^ i' * v 0 ^ (↑j - i'))
[PROOFSTEP]
rw [mul_left_comm (v 0), Nat.succ_sub, pow_succ]
[GOAL]
case succ.calc_2.succ.A_succ.e_a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v✝ : Fin n → R
n✝ : ℕ
ih : ∀ (v : Fin (Nat.succ n✝) → R), (det fun i j => v i ^ ↑j) = ∏ i : Fin (Nat.succ n✝), ∏ j in Ioi i, (v j - v i)
v : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → R
i : Fin (n✝ + 1)
j : Fin n✝
i' : ℕ
hi' : i' ∈ range (↑j + 1)
⊢ i' ≤ ↑j
[PROOFSTEP]
exact Nat.lt_succ_iff.mp (Finset.mem_range.mp hi')
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ det (vandermonde v) = 0 ↔ ∃ i j, v i = v j ∧ i ≠ j
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ det (vandermonde v) = 0 → ∃ i j, v i = v j ∧ i ≠ j
[PROOFSTEP]
simp only [det_vandermonde v, Finset.prod_eq_zero_iff, sub_eq_zero, forall_exists_index]
[GOAL]
case mp
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ ∀ (x : Fin n), (x ∈ univ ∧ ∃ a, a ∈ Ioi x ∧ v a = v x) → ∃ i j, v i = v j ∧ i ≠ j
[PROOFSTEP]
rintro i ⟨_, j, h₁, h₂⟩
[GOAL]
case mp.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
i : Fin n
left✝ : i ∈ univ
j : Fin n
h₁ : j ∈ Ioi i
h₂ : v j = v i
⊢ ∃ i j, v i = v j ∧ i ≠ j
[PROOFSTEP]
exact ⟨j, i, h₂, (mem_Ioi.mp h₁).ne'⟩
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ (∃ i j, v i = v j ∧ i ≠ j) → det (vandermonde v) = 0
[PROOFSTEP]
simp only [Ne.def, forall_exists_index, and_imp]
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ ∀ (x x_1 : Fin n), v x = v x_1 → ¬x = x_1 → det (vandermonde v) = 0
[PROOFSTEP]
refine' fun i j h₁ h₂ => Matrix.det_zero_of_row_eq h₂ (funext fun k => _)
[GOAL]
case mpr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n
h₁ : v i = v j
h₂ : ¬i = j
k : Fin n
⊢ vandermonde v i k = vandermonde v j k
[PROOFSTEP]
rw [vandermonde_apply, vandermonde_apply, h₁]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ det (vandermonde v) ≠ 0 ↔ Function.Injective v
[PROOFSTEP]
unfold Function.Injective
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R
⊢ det (vandermonde v) ≠ 0 ↔ ∀ ⦃a₁ a₂ : Fin n⦄, v a₁ = v a₂ → a₁ = a₂
[PROOFSTEP]
simp only [det_vandermonde_eq_zero_iff, Ne.def, not_exists, not_and, Classical.not_not]
[GOAL]
R✝ : Type u_1
inst✝² : CommRing R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
f v : Fin n → R
hf : Function.Injective f
hfv : ∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, v i * f j ^ ↑i = 0
⊢ v = 0
[PROOFSTEP]
apply eq_zero_of_forall_index_sum_pow_mul_eq_zero hf
[GOAL]
R✝ : Type u_1
inst✝² : CommRing R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
f v : Fin n → R
hf : Function.Injective f
hfv : ∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, v i * f j ^ ↑i = 0
⊢ ∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, f j ^ ↑i * v i = 0
[PROOFSTEP]
simp_rw [mul_comm]
[GOAL]
R✝ : Type u_1
inst✝² : CommRing R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
f v : Fin n → R
hf : Function.Injective f
hfv : ∀ (j : Fin n), ∑ i : Fin n, v i * f j ^ ↑i = 0
⊢ ∀ (j : Fin n), ∑ x : Fin n, v x * f j ^ ↑x = 0
[PROOFSTEP]
exact hfv
