[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.fst ≠ 0
hx2 : x.snd ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => oangle o y.fst y.snd) x
[PROOFSTEP]
refine' (Complex.continuousAt_arg_coe_angle _).comp _
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.fst ≠ 0
hx2 : x.snd ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) x.fst) x.snd ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact o.kahler_ne_zero hx1 hx2
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.fst ≠ 0
hx2 : x.snd ≠ 0
⊢ ContinuousAt (fun y => ↑(↑(kahler o) y.fst) y.snd) x
[PROOFSTEP]
exact
  ((continuous_ofReal.comp continuous_inner).add
      ((continuous_ofReal.comp o.areaForm'.continuous₂).mul continuous_const)).continuousAt
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ oangle o 0 x = 0
[PROOFSTEP]
simp [oangle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ oangle o x 0 = 0
[PROOFSTEP]
simp [oangle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ oangle o x x = 0
[PROOFSTEP]
rw [oangle, kahler_apply_self]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ ↑(arg ↑(‖x‖ ^ 2)) = 0
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ ↑(arg ↑(‖x‖ ^ 2)) = 0
[PROOFSTEP]
convert QuotientAddGroup.mk_zero (AddSubgroup.zmultiples (2 * π))
[GOAL]
case h.e'_2.h.h.e'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))
⊢ arg ↑(‖x‖ ^ 2) = 0
[PROOFSTEP]
apply arg_ofReal_of_nonneg
[GOAL]
case h.e'_2.h.h.e'_1.hx
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))
⊢ 0 ≤ ‖x‖ ^ 2
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y ≠ 0
⊢ x ≠ 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
h : oangle o 0 y ≠ 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y ≠ 0
⊢ y ≠ 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : oangle o x 0 ≠ 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y ≠ 0
⊢ x ≠ y
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : oangle o x x ≠ 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
⊢ 1 ≠ 0
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
⊢ 1 ≠ 0
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
⊢ 1 ≠ 0
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
⊢ -1 ≠ 0
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
⊢ -1 ≠ 0
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
⊢ -1 ≠ 0
[PROOFSTEP]
decide
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o y x = -oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp only [oangle, o.kahler_swap y x, Complex.arg_conj_coe_angle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y + oangle o y x = 0
[PROOFSTEP]
simp [o.oangle_rev y x]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ oangle o (-x) y = oangle o x y + ↑π
[PROOFSTEP]
simp only [oangle, map_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(arg (↑(-↑(kahler o) x) y)) = ↑(arg (↑(↑(kahler o) x) y)) + ↑π
[PROOFSTEP]
convert Complex.arg_neg_coe_angle _
[GOAL]
case convert_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) x) y ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact o.kahler_ne_zero hx hy
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ oangle o x (-y) = oangle o x y + ↑π
[PROOFSTEP]
simp only [oangle, map_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(arg (-↑(↑(kahler o) x) y)) = ↑(arg (↑(↑(kahler o) x) y)) + ↑π
[PROOFSTEP]
convert Complex.arg_neg_coe_angle _
[GOAL]
case convert_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) x) y ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact o.kahler_ne_zero hx hy
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ 2 • oangle o (-x) y = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x = 0
⊢ 2 • oangle o (-x) y = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ 2 • oangle o (-x) y = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ 2 • oangle o (-x) y = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ 2 • oangle o (-x) y = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [o.oangle_neg_left hx hy]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ 2 • oangle o x (-y) = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x = 0
⊢ 2 • oangle o x (-y) = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ 2 • oangle o x (-y) = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ 2 • oangle o x (-y) = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ 2 • oangle o x (-y) = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [o.oangle_neg_right hx hy]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o (-x) (-y) = oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [oangle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o (-x) y = oangle o x (-y)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_neg y, oangle_neg_neg, neg_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ oangle o (-x) x = ↑π
[PROOFSTEP]
simp [oangle_neg_left, hx]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ oangle o x (-x) = ↑π
[PROOFSTEP]
simp [oangle_neg_right, hx]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ 2 • oangle o (-x) x = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x = 0
⊢ 2 • oangle o (-x) x = 0
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : ¬x = 0
⊢ 2 • oangle o (-x) x = 0
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ 2 • oangle o x (-x) = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x = 0
⊢ 2 • oangle o x (-x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : ¬x = 0
⊢ 2 • oangle o x (-x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o (-x) y + oangle o (-y) x = 0
[PROOFSTEP]
rw [oangle_neg_left_eq_neg_right, oangle_rev, add_left_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x (-y) + oangle o y (-x) = 0
[PROOFSTEP]
rw [o.oangle_rev (-x), oangle_neg_left_eq_neg_right, add_neg_self]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ oangle o (r • x) y = oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [oangle, Complex.arg_real_mul _ hr]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ oangle o x (r • y) = oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [oangle, Complex.arg_real_mul _ hr]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ oangle o (r • x) y = oangle o (-x) y
[PROOFSTEP]
rw [← neg_neg r, neg_smul, ← smul_neg, o.oangle_smul_left_of_pos _ _ (neg_pos_of_neg hr)]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
⊢ oangle o x (r • y) = oangle o x (-y)
[PROOFSTEP]
rw [← neg_neg r, neg_smul, ← smul_neg, o.oangle_smul_right_of_pos _ _ (neg_pos_of_neg hr)]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ oangle o (r • x) x = 0
[PROOFSTEP]
rcases hr.lt_or_eq with (h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h : 0 < r
⊢ oangle o (r • x) x = 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h : 0 = r
⊢ oangle o (r • x) x = 0
[PROOFSTEP]
simp [h.symm]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
⊢ oangle o x (r • x) = 0
[PROOFSTEP]
rcases hr.lt_or_eq with (h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h : 0 < r
⊢ oangle o x (r • x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h : 0 = r
⊢ oangle o x (r • x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [h.symm]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ oangle o (r₁ • x) (r₂ • x) = 0
[PROOFSTEP]
rcases hr₁.lt_or_eq with (h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
h : 0 < r₁
⊢ oangle o (r₁ • x) (r₂ • x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [h, hr₂]
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
h : 0 = r₁
⊢ oangle o (r₁ • x) (r₂ • x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [h.symm]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ 2 • oangle o (r • x) y = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
rcases hr.lt_or_lt with (h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : r < 0
⊢ 2 • oangle o (r • x) y = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 < r
⊢ 2 • oangle o (r • x) y = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
⊢ 2 • oangle o x (r • y) = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
rcases hr.lt_or_lt with (h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : r < 0
⊢ 2 • oangle o x (r • y) = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 < r
⊢ 2 • oangle o x (r • y) = 2 • oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ 2 • oangle o (r • x) x = 0
[PROOFSTEP]
rcases lt_or_le r 0 with (h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
h : r < 0
⊢ 2 • oangle o (r • x) x = 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
h : 0 ≤ r
⊢ 2 • oangle o (r • x) x = 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ 2 • oangle o x (r • x) = 0
[PROOFSTEP]
rcases lt_or_le r 0 with (h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
h : r < 0
⊢ 2 • oangle o x (r • x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
h : 0 ≤ r
⊢ 2 • oangle o x (r • x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ 2 • oangle o (r₁ • x) (r₂ • x) = 0
[PROOFSTEP]
by_cases h : r₁ = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
h : r₁ = 0
⊢ 2 • oangle o (r₁ • x) (r₂ • x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ
h : ¬r₁ = 0
⊢ 2 • oangle o (r₁ • x) (r₂ • x) = 0
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : Submodule.span ℝ {x} = Submodule.span ℝ {y}
⊢ 2 • oangle o x z = 2 • oangle o y z
[PROOFSTEP]
rw [Submodule.span_singleton_eq_span_singleton] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : ∃ z, z • x = y
⊢ 2 • oangle o x z = 2 • oangle o y z
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨r, rfl⟩
[GOAL]
case intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x z : V
r : ℝˣ
⊢ 2 • oangle o x z = 2 • oangle o (r • x) z
[PROOFSTEP]
exact (o.two_zsmul_oangle_smul_left_of_ne_zero _ _ (Units.ne_zero _)).symm
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}
⊢ 2 • oangle o x y = 2 • oangle o x z
[PROOFSTEP]
rw [Submodule.span_singleton_eq_span_singleton] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : ∃ z_1, z_1 • y = z
⊢ 2 • oangle o x y = 2 • oangle o x z
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨r, rfl⟩
[GOAL]
case intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝˣ
⊢ 2 • oangle o x y = 2 • oangle o x (r • y)
[PROOFSTEP]
exact (o.two_zsmul_oangle_smul_right_of_ne_zero _ _ (Units.ne_zero _)).symm
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
hwx : Submodule.span ℝ {w} = Submodule.span ℝ {x}
hyz : Submodule.span ℝ {y} = Submodule.span ℝ {z}
⊢ 2 • oangle o w y = 2 • oangle o x z
[PROOFSTEP]
rw [o.two_zsmul_oangle_left_of_span_eq y hwx, o.two_zsmul_oangle_right_of_span_eq x hyz]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = 0 ↔ oangle o y x = 0
[PROOFSTEP]
rw [oangle_rev, neg_eq_zero]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = 0 ↔ SameRay ℝ x y
[PROOFSTEP]
rw [oangle, kahler_apply_apply, Complex.arg_coe_angle_eq_iff_eq_toReal, Real.Angle.toReal_zero, Complex.arg_eq_zero_iff]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ 0 ≤ (↑(inner x y) + ↑(↑(areaForm o) x) y • I).re ∧ (↑(inner x y) + ↑(↑(areaForm o) x) y • I).im = 0 ↔ SameRay ℝ x y
[PROOFSTEP]
simpa using o.nonneg_inner_and_areaForm_eq_zero_iff_sameRay x y
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = ↑π ↔ oangle o y x = ↑π
[PROOFSTEP]
rw [oangle_rev, neg_eq_iff_eq_neg, Real.Angle.neg_coe_pi]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_eq_zero_iff_sameRay]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ oangle o x (-y) = 0
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = ↑π → x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ oangle o x (-y) = 0
[PROOFSTEP]
intro h
[GOAL]
case mp
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = ↑π
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ oangle o x (-y) = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = ↑π
hx : x = 0
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ oangle o x (-y) = 0
[PROOFSTEP]
simp [hx, Real.Angle.pi_ne_zero.symm] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = ↑π
hx : ¬x = 0
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ oangle o x (-y) = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = ↑π
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ oangle o x (-y) = 0
[PROOFSTEP]
simp [hy, Real.Angle.pi_ne_zero.symm] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = ↑π
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ oangle o x (-y) = 0
[PROOFSTEP]
refine' ⟨hx, hy, _⟩
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = ↑π
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ oangle o x (-y) = 0
[PROOFSTEP]
rw [o.oangle_neg_right hx hy, h, Real.Angle.coe_pi_add_coe_pi]
[GOAL]
case mpr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ oangle o x (-y) = 0 → oangle o x y = ↑π
[PROOFSTEP]
rintro ⟨hx, hy, h⟩
[GOAL]
case mpr.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : oangle o x (-y) = 0
⊢ oangle o x y = ↑π
[PROOFSTEP]
rwa [o.oangle_neg_right hx hy, ← Real.Angle.sub_coe_pi_eq_add_coe_pi, sub_eq_zero] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π ↔ ¬LinearIndependent ℝ ![x, y]
[PROOFSTEP]
rw [oangle_eq_zero_iff_sameRay, oangle_eq_pi_iff_sameRay_neg,
  sameRay_or_ne_zero_and_sameRay_neg_iff_not_linearIndependent]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
rw [oangle_eq_zero_iff_sameRay, oangle_eq_pi_iff_sameRay_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y) ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => _, fun h => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
rcases h with (h | ⟨-, -, h⟩)
[GOAL]
case refine'_1.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
hx : x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x y
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨r, -, rfl⟩ := h.exists_nonneg_left hx
[GOAL]
case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : ¬x = 0
r : ℝ
h : SameRay ℝ x (r • x)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r_1, r • x = r_1 • x
[PROOFSTEP]
exact Or.inr ⟨r, rfl⟩
[GOAL]
case refine'_1.inr.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨r, -, hy⟩ := h.exists_nonneg_left hx
[GOAL]
case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
r : ℝ
hy : r • x = -y
⊢ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
[PROOFSTEP]
refine' Or.inr ⟨-r, _⟩
[GOAL]
case neg.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : SameRay ℝ x (-y)
hx : ¬x = 0
r : ℝ
hy : r • x = -y
⊢ y = -r • x
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
⊢ SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
[PROOFSTEP]
rcases h with (rfl | ⟨r, rfl⟩)
[GOAL]
case refine'_2.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
⊢ SameRay ℝ 0 y ∨ 0 ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ 0 (-y)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case refine'_2.inr.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : x = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
[PROOFSTEP]
rcases lt_trichotomy r 0 with (hr | hr | hr)
[GOAL]
case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r < 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
[PROOFSTEP]
rw [← neg_smul]
[GOAL]
case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r < 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-r • x)
[PROOFSTEP]
exact Or.inr ⟨hx, smul_ne_zero hr.ne hx, SameRay.sameRay_pos_smul_right x (Left.neg_pos_iff.2 hr)⟩
[GOAL]
case neg.inr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : r = 0
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
[PROOFSTEP]
simp [hr]
[GOAL]
case neg.inr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
hx : ¬x = 0
hr : 0 < r
⊢ SameRay ℝ x (r • x) ∨ x ≠ 0 ∧ r • x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-(r • x))
[PROOFSTEP]
exact Or.inl (SameRay.sameRay_pos_smul_right x hr)
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y ≠ 0 ∧ oangle o x y ≠ ↑π ↔ LinearIndependent ℝ ![x, y]
[PROOFSTEP]
rw [← not_or, ← not_iff_not, Classical.not_not, oangle_eq_zero_or_eq_pi_iff_not_linearIndependent]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = y ↔ ‖x‖ = ‖y‖ ∧ oangle o x y = 0
[PROOFSTEP]
rw [oangle_eq_zero_iff_sameRay]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = y ↔ ‖x‖ = ‖y‖ ∧ SameRay ℝ x y
[PROOFSTEP]
constructor
[GOAL]
case mp
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = y → ‖x‖ = ‖y‖ ∧ SameRay ℝ x y
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
case mp
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ ‖x‖ = ‖x‖ ∧ SameRay ℝ x x
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case mp
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ SameRay ℝ x x
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
case mpr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ ‖x‖ = ‖y‖ ∧ SameRay ℝ x y → x = y
[PROOFSTEP]
rcases eq_or_ne y 0 with (rfl | hy)
[GOAL]
case mpr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
⊢ ‖x‖ = ‖0‖ ∧ SameRay ℝ x 0 → x = 0
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case mpr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hy : y ≠ 0
⊢ ‖x‖ = ‖y‖ ∧ SameRay ℝ x y → x = y
[PROOFSTEP]
rintro ⟨h₁, h₂⟩
[GOAL]
case mpr.inr.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hy : y ≠ 0
h₁ : ‖x‖ = ‖y‖
h₂ : SameRay ℝ x y
⊢ x = y
[PROOFSTEP]
obtain ⟨r, hr, rfl⟩ := h₂.exists_nonneg_right hy
[GOAL]
case mpr.inr.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h₁ : ‖r • y‖ = ‖y‖
h₂ : SameRay ℝ (r • y) y
⊢ r • y = y
[PROOFSTEP]
have : ‖y‖ ≠ 0 := by simpa using hy
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h₁ : ‖r • y‖ = ‖y‖
h₂ : SameRay ℝ (r • y) y
⊢ ‖y‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
simpa using hy
[GOAL]
case mpr.inr.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h₁ : ‖r • y‖ = ‖y‖
h₂ : SameRay ℝ (r • y) y
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ r • y = y
[PROOFSTEP]
obtain rfl : r = 1 := by
  apply mul_right_cancel₀ this
  simpa [norm_smul, _root_.abs_of_nonneg hr] using h₁
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h₁ : ‖r • y‖ = ‖y‖
h₂ : SameRay ℝ (r • y) y
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ r = 1
[PROOFSTEP]
apply mul_right_cancel₀ this
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
h₁ : ‖r • y‖ = ‖y‖
h₂ : SameRay ℝ (r • y) y
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ r * ‖y‖ = 1 * ‖y‖
[PROOFSTEP]
simpa [norm_smul, _root_.abs_of_nonneg hr] using h₁
[GOAL]
case mpr.inr.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
hy : y ≠ 0
this : ‖y‖ ≠ 0
hr : 0 ≤ 1
h₁ : ‖1 • y‖ = ‖y‖
h₂ : SameRay ℝ (1 • y) y
⊢ 1 • y = y
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o x y + oangle o y z = oangle o x z
[PROOFSTEP]
simp_rw [oangle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(arg (↑(↑(kahler o) x) y)) + ↑(arg (↑(↑(kahler o) y) z)) = ↑(arg (↑(↑(kahler o) x) z))
[PROOFSTEP]
rw [← Complex.arg_mul_coe_angle, o.kahler_mul y x z]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(arg (↑(‖y‖ ^ 2) * ↑(↑(kahler o) x) z)) = ↑(arg (↑(↑(kahler o) x) z))
case hx
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) x) y ≠ 0
case hy
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) y) z ≠ 0
[PROOFSTEP]
congr 1
[GOAL]
case e_r
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ arg (↑(‖y‖ ^ 2) * ↑(↑(kahler o) x) z) = arg (↑(↑(kahler o) x) z)
case hx
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) x) y ≠ 0
case hy
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) y) z ≠ 0
[PROOFSTEP]
convert Complex.arg_real_mul _ (_ : 0 < ‖y‖ ^ 2) using 2
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(‖y‖ ^ 2) * ↑(↑(kahler o) x) z = ↑(‖y‖ ^ 2) * ↑(↑(kahler o) x) z
[PROOFSTEP]
norm_cast
[GOAL]
case e_r.convert_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ 0 < ‖y‖ ^ 2
[PROOFSTEP]
have : 0 < ‖y‖ := by simpa using hy
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ 0 < ‖y‖
[PROOFSTEP]
simpa using hy
[GOAL]
case e_r.convert_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this : 0 < ‖y‖
⊢ 0 < ‖y‖ ^ 2
[PROOFSTEP]
positivity
[GOAL]
case hx
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) x) y ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact o.kahler_ne_zero hx hy
[GOAL]
case hy
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) y) z ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact o.kahler_ne_zero hy hz
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o y z + oangle o x y = oangle o x z
[PROOFSTEP]
rw [add_comm, o.oangle_add hx hy hz]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o x z - oangle o x y = oangle o y z
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_iff_eq_add, o.oangle_add_swap hx hy hz]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o x z - oangle o y z = oangle o x y
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_iff_eq_add, o.oangle_add hx hy hz]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o x y + oangle o y z + oangle o z x = 0
[PROOFSTEP]
simp [hx, hy, hz]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o (-x) y + oangle o (-y) z + oangle o (-z) x = ↑π
[PROOFSTEP]
rw [o.oangle_neg_left hx hy, o.oangle_neg_left hy hz, o.oangle_neg_left hz hx,
  show
    o.oangle x y + π + (o.oangle y z + π) + (o.oangle z x + π) =
      o.oangle x y + o.oangle y z + o.oangle z x + (π + π + π : Real.Angle)
    by abel,
  o.oangle_add_cyc3 hx hy hz, Real.Angle.coe_pi_add_coe_pi, zero_add, zero_add]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o x y + ↑π + (oangle o y z + ↑π) + (oangle o z x + ↑π) =
    oangle o x y + oangle o y z + oangle o z x + (↑π + ↑π + ↑π)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o x y + ↑π + (oangle o y z + ↑π) + (oangle o z x + ↑π) =
    oangle o x y + oangle o y z + oangle o z x + (↑π + ↑π + ↑π)
[PROOFSTEP]
abel
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
⊢ oangle o x (-y) + oangle o y (-z) + oangle o z (-x) = ↑π
[PROOFSTEP]
simp_rw [← oangle_neg_left_eq_neg_right, o.oangle_add_cyc3_neg_left hx hy hz]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ oangle o x (x - y) = oangle o (y - x) y
[PROOFSTEP]
simp [oangle, h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ oangle o y x = ↑π - 2 • oangle o (y - x) y
[PROOFSTEP]
rw [two_zsmul]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ oangle o y x = ↑π - (oangle o (y - x) y + oangle o (y - x) y)
[PROOFSTEP]
nth_rw 1 [← o.oangle_sub_eq_oangle_sub_rev_of_norm_eq h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ oangle o y x = ↑π - (oangle o x (x - y) + oangle o (y - x) y)
[PROOFSTEP]
rw [eq_sub_iff_add_eq, ← oangle_neg_neg, ← add_assoc]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ oangle o (-y) (-x) + oangle o x (x - y) + oangle o (y - x) y = ↑π
[PROOFSTEP]
have hy : y ≠ 0 := by
  rintro rfl
  rw [norm_zero, norm_eq_zero] at h 
  exact hn h
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ y ≠ 0
[PROOFSTEP]
rintro rfl
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hn : x ≠ 0
h : ‖x‖ = ‖0‖
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [norm_zero, norm_eq_zero] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hn : x ≠ 0
h : x = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact hn h
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
⊢ oangle o (-y) (-x) + oangle o x (x - y) + oangle o (y - x) y = ↑π
[PROOFSTEP]
have hx : x ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.1 (h.symm ▸ norm_ne_zero_iff.2 hy)
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ oangle o (-y) (-x) + oangle o x (x - y) + oangle o (y - x) y = ↑π
[PROOFSTEP]
convert o.oangle_add_cyc3_neg_right (neg_ne_zero.2 hy) hx (sub_ne_zero_of_ne hn.symm) using 1
[GOAL]
case h.e'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : x ≠ y
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
⊢ oangle o (-y) (-x) + oangle o x (x - y) + oangle o (y - x) y =
    oangle o (-y) (-x) + oangle o x (-(y - x)) + oangle o (y - x) (- -y)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V'
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V'
⊢ oangle (↑(map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o) x y =
    oangle o (↑(LinearIsometryEquiv.symm f) x) (↑(LinearIsometryEquiv.symm f) y)
[PROOFSTEP]
simp [oangle, o.kahler_map]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w z : ℂ
⊢ oangle Complex.orientation w z = ↑(arg (↑(starRingEnd ℂ) w * z))
[PROOFSTEP]
simp [oangle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : ↑(map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : V
⊢ oangle o x y = ↑(arg (↑(starRingEnd ℂ) (↑f x) * ↑f y))
[PROOFSTEP]
rw [← Complex.oangle, ← hf, o.oangle_map]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : ↑(map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : V
⊢ oangle o x y = oangle o (↑(LinearIsometryEquiv.symm f) (↑f x)) (↑(LinearIsometryEquiv.symm f) (↑f y))
[PROOFSTEP]
iterate 2 rw [LinearIsometryEquiv.symm_apply_apply]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : ↑(map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : V
⊢ oangle o x y = oangle o (↑(LinearIsometryEquiv.symm f) (↑f x)) (↑(LinearIsometryEquiv.symm f) (↑f y))
[PROOFSTEP]
rw [LinearIsometryEquiv.symm_apply_apply]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : ↑(map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : V
⊢ oangle o x y = oangle o x (↑(LinearIsometryEquiv.symm f) (↑f y))
[PROOFSTEP]
rw [LinearIsometryEquiv.symm_apply_apply]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle (-o) x y = -oangle o x y
[PROOFSTEP]
simp [oangle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x = 0
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
have : ‖x‖ ≠ 0 := by simpa using hx
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ ‖x‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
simpa using hx
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this : ‖x‖ ≠ 0
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
have : ‖y‖ ≠ 0 := by simpa using hy
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this : ‖x‖ ≠ 0
⊢ ‖y‖ ≠ 0
[PROOFSTEP]
simpa using hy
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this✝ : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [oangle, Real.Angle.cos_coe, Complex.cos_arg, o.abs_kahler]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this✝ : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * ((↑(↑(kahler o) x) y).re / (‖x‖ * ‖y‖))
[PROOFSTEP]
simp only [kahler_apply_apply, real_smul, add_re, ofReal_re, mul_re, I_re, ofReal_im]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this✝ : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ inner x y = ‖x‖ * ‖y‖ * ((inner x y + (↑(↑(areaForm o) x) y * 0 - 0 * I.im)) / (‖x‖ * ‖y‖))
[PROOFSTEP]
field_simp
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this✝ : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ inner x y * (‖x‖ * ‖y‖) = ‖x‖ * ‖y‖ * inner x y
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
this✝ : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖y‖ ≠ 0
⊢ ↑(↑(kahler o) x) y ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact o.kahler_ne_zero hx hy
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.Angle.cos (oangle o x y) = inner x y / (‖x‖ * ‖y‖)
[PROOFSTEP]
rw [o.inner_eq_norm_mul_norm_mul_cos_oangle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.Angle.cos (oangle o x y) = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y) / (‖x‖ * ‖y‖)
[PROOFSTEP]
field_simp [norm_ne_zero_iff.2 hx, norm_ne_zero_iff.2 hy]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.Angle.cos (oangle o x y) * (‖x‖ * ‖y‖) = ‖x‖ * ‖y‖ * Real.Angle.cos (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ Real.Angle.cos (oangle o x y) = Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
rw [o.cos_oangle_eq_inner_div_norm_mul_norm hx hy, InnerProductGeometry.cos_angle]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |Real.Angle.toReal (oangle o x y)|
[PROOFSTEP]
have h0 := InnerProductGeometry.angle_nonneg x y
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |Real.Angle.toReal (oangle o x y)|
[PROOFSTEP]
have hpi := InnerProductGeometry.angle_le_pi x y
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |Real.Angle.toReal (oangle o x y)|
[PROOFSTEP]
rcases o.oangle_eq_angle_or_eq_neg_angle hx hy with (h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |Real.Angle.toReal (oangle o x y)|
[PROOFSTEP]
rw [h, eq_comm, Real.Angle.abs_toReal_coe_eq_self_iff]
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y ∧ InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
[PROOFSTEP]
exact ⟨h0, hpi⟩
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |Real.Angle.toReal (oangle o x y)|
[PROOFSTEP]
rw [h, eq_comm, Real.Angle.abs_toReal_neg_coe_eq_self_iff]
[GOAL]
case inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y ∧ InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
[PROOFSTEP]
exact ⟨h0, hpi⟩
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 0
hx : x = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 0
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 0
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
rw [o.angle_eq_abs_oangle_toReal hx hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o x y)| = 0 ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o x y)| = π
[PROOFSTEP]
rw [Real.Angle.sign_eq_zero_iff] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o x y)| = 0 ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o x y)| = π
[PROOFSTEP]
rcases h with (h | h)
[GOAL]
case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : oangle o x y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o x y)| = 0 ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o x y)| = π
[PROOFSTEP]
simp [h, Real.pi_pos.le]
[GOAL]
case neg.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : oangle o x y = ↑π
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o x y)| = 0 ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o x y)| = π
[PROOFSTEP]
simp [h, Real.pi_pos.le]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
by_cases h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
have hs' : (o.oangle w x).sign = 0 ∧ (o.oangle y z).sign = 0 :=
  by
  rcases h0 with ((rfl | rfl) | rfl | rfl)
  · simpa using hs.symm
  · simpa using hs.symm
  · simpa using hs
  · simpa using hs
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0 ∧ Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
[PROOFSTEP]
rcases h0 with ((rfl | rfl) | rfl | rfl)
[GOAL]
case inl.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle 0 x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o 0 x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
⊢ Real.Angle.sign (oangle o 0 x) = 0 ∧ Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
[PROOFSTEP]
simpa using hs.symm
[GOAL]
case inl.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w 0 = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w 0) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
⊢ Real.Angle.sign (oangle o w 0) = 0 ∧ Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
[PROOFSTEP]
simpa using hs.symm
[GOAL]
case inr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle 0 z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o 0 z)
⊢ Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0 ∧ Real.Angle.sign (oangle o 0 z) = 0
[PROOFSTEP]
simpa using hs
[GOAL]
case inr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y 0
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y 0)
⊢ Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0 ∧ Real.Angle.sign (oangle o y 0) = 0
[PROOFSTEP]
simpa using hs
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hs' : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0 ∧ Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
rcases hs' with ⟨hswx, hsyz⟩
[GOAL]
case pos.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
have h' : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2 ∧ InnerProductGeometry.angle y z = π / 2 :=
  by
  rcases h0 with ((rfl | rfl) | rfl | rfl)
  · simpa using h.symm
  · simpa using h.symm
  · simpa using h
  · simpa using h
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle w x = π / 2 ∧ InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
[PROOFSTEP]
rcases h0 with ((rfl | rfl) | rfl | rfl)
[GOAL]
case inl.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
h : InnerProductGeometry.angle 0 x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o 0 x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
hswx : Real.Angle.sign (oangle o 0 x) = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle 0 x = π / 2 ∧ InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
[PROOFSTEP]
simpa using h.symm
[GOAL]
case inl.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w y z : V
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
h : InnerProductGeometry.angle w 0 = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w 0) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w 0) = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle w 0 = π / 2 ∧ InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
[PROOFSTEP]
simpa using h.symm
[GOAL]
case inr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x z : V
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle 0 z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o 0 z)
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o 0 z) = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle w x = π / 2 ∧ InnerProductGeometry.angle 0 z = π / 2
[PROOFSTEP]
simpa using h
[GOAL]
case inr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y : V
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y 0
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y 0)
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y 0) = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle w x = π / 2 ∧ InnerProductGeometry.angle y 0 = π / 2
[PROOFSTEP]
simpa using h
[GOAL]
case pos.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
h' : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2 ∧ InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
rcases h' with ⟨hwx, hyz⟩
[GOAL]
case pos.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
have hpi : π / 2 ≠ π := by
  intro hpi
  rw [div_eq_iff, eq_comm, ← sub_eq_zero, mul_two, add_sub_cancel] at hpi 
  · exact Real.pi_pos.ne.symm hpi
  · exact two_ne_zero
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
⊢ π / 2 ≠ π
[PROOFSTEP]
intro hpi
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 = π
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [div_eq_iff, eq_comm, ← sub_eq_zero, mul_two, add_sub_cancel] at hpi 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi✝ : π * 2 = π
hpi : π = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact Real.pi_pos.ne.symm hpi
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 = π
⊢ 2 ≠ 0
[PROOFSTEP]
exact two_ne_zero
[GOAL]
case pos.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
have h0wx : w = 0 ∨ x = 0 :=
  by
  have h0' := o.eq_zero_or_angle_eq_zero_or_pi_of_sign_oangle_eq_zero hswx
  simpa [hwx, Real.pi_pos.ne.symm, hpi] using h0'
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
⊢ w = 0 ∨ x = 0
[PROOFSTEP]
have h0' := o.eq_zero_or_angle_eq_zero_or_pi_of_sign_oangle_eq_zero hswx
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0' : w = 0 ∨ x = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle w x = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle w x = π
⊢ w = 0 ∨ x = 0
[PROOFSTEP]
simpa [hwx, Real.pi_pos.ne.symm, hpi] using h0'
[GOAL]
case pos.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0wx : w = 0 ∨ x = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
have h0yz : y = 0 ∨ z = 0 :=
  by
  have h0' := o.eq_zero_or_angle_eq_zero_or_pi_of_sign_oangle_eq_zero hsyz
  simpa [hyz, Real.pi_pos.ne.symm, hpi] using h0'
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0wx : w = 0 ∨ x = 0
⊢ y = 0 ∨ z = 0
[PROOFSTEP]
have h0' := o.eq_zero_or_angle_eq_zero_or_pi_of_sign_oangle_eq_zero hsyz
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0wx : w = 0 ∨ x = 0
h0' : y = 0 ∨ z = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle y z = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle y z = π
⊢ y = 0 ∨ z = 0
[PROOFSTEP]
simpa [hyz, Real.pi_pos.ne.symm, hpi] using h0'
[GOAL]
case pos.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0wx : w = 0 ∨ x = 0
h0yz : y = 0 ∨ z = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
rcases h0wx with (h0wx | h0wx)
[GOAL]
case pos.intro.intro.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0yz : y = 0 ∨ z = 0
h0wx : w = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
rcases h0yz with (h0yz | h0yz)
[GOAL]
case pos.intro.intro.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0yz : y = 0 ∨ z = 0
h0wx : x = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
rcases h0yz with (h0yz | h0yz)
[GOAL]
case pos.intro.intro.inl.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0wx : w = 0
h0yz : y = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
simp [h0wx, h0yz]
[GOAL]
case pos.intro.intro.inl.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0wx : w = 0
h0yz : z = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
simp [h0wx, h0yz]
[GOAL]
case pos.intro.intro.inr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0wx : x = 0
h0yz : y = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
simp [h0wx, h0yz]
[GOAL]
case pos.intro.intro.inr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0
hswx : Real.Angle.sign (oangle o w x) = 0
hsyz : Real.Angle.sign (oangle o y z) = 0
hwx : InnerProductGeometry.angle w x = π / 2
hyz : InnerProductGeometry.angle y z = π / 2
hpi : π / 2 ≠ π
h0wx : x = 0
h0yz : z = 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
simp [h0wx, h0yz]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : ¬((w = 0 ∨ x = 0) ∨ y = 0 ∨ z = 0)
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
push_neg at h0 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w ≠ 0 ∧ x ≠ 0) ∧ y ≠ 0 ∧ z ≠ 0
⊢ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
rw [Real.Angle.eq_iff_abs_toReal_eq_of_sign_eq hs]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h0 : (w ≠ 0 ∧ x ≠ 0) ∧ y ≠ 0 ∧ z ≠ 0
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o w x)| = |Real.Angle.toReal (oangle o y z)|
[PROOFSTEP]
rwa [o.angle_eq_abs_oangle_toReal h0.1.1 h0.1.2, o.angle_eq_abs_oangle_toReal h0.2.1 h0.2.2] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
hw : w ≠ 0
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
⊢ InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z ↔ oangle o w x = oangle o y z
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => o.oangle_eq_of_angle_eq_of_sign_eq h hs, fun h => _⟩
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y z : V
hw : w ≠ 0
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hs : Real.Angle.sign (oangle o w x) = Real.Angle.sign (oangle o y z)
h : oangle o w x = oangle o y z
⊢ InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y z
[PROOFSTEP]
rw [o.angle_eq_abs_oangle_toReal hw hx, o.angle_eq_abs_oangle_toReal hy hz, h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
⊢ oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
hx : x = 0
⊢ oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
exfalso
[GOAL]
case pos.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
hx : x = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [hx] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
hx : ¬x = 0
⊢ oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
exfalso
[GOAL]
case pos.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [hy] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
refine' (o.oangle_eq_angle_or_eq_neg_angle hx hy).resolve_right _
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ ¬oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
intro hxy
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = 1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [hxy, Real.Angle.sign_neg, neg_eq_iff_eq_neg, ← SignType.neg_iff, ← not_le] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ¬0 ≤ Real.Angle.sign ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact
  h
    (Real.Angle.sign_coe_nonneg_of_nonneg_of_le_pi (InnerProductGeometry.angle_nonneg _ _)
      (InnerProductGeometry.angle_le_pi _ _))
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
⊢ oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
hx : x = 0
⊢ oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
exfalso
[GOAL]
case pos.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
hx : x = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [hx] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
hx : ¬x = 0
⊢ oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
exfalso
[GOAL]
case pos.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [hy] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
refine' (o.oangle_eq_angle_or_eq_neg_angle hx hy).resolve_left _
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ ¬oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
intro hxy
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : Real.Angle.sign (oangle o x y) = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [hxy, ← SignType.neg_iff, ← not_le] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ¬0 ≤ Real.Angle.sign ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ False
[PROOFSTEP]
exact
  h
    (Real.Angle.sign_coe_nonneg_of_nonneg_of_le_pi (InnerProductGeometry.angle_nonneg _ _)
      (InnerProductGeometry.angle_le_pi _ _))
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ oangle o x y = 0 ↔ InnerProductGeometry.angle x y = 0
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => _, fun h => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : oangle o x y = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = 0
[PROOFSTEP]
simpa [o.angle_eq_abs_oangle_toReal hx hy]
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = 0
⊢ oangle o x y = 0
[PROOFSTEP]
have ha := o.oangle_eq_angle_or_eq_neg_angle hx hy
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = 0
ha : oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y) ∨ oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ oangle o x y = 0
[PROOFSTEP]
rw [h] at ha 
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = 0
ha : oangle o x y = ↑0 ∨ oangle o x y = -↑0
⊢ oangle o x y = 0
[PROOFSTEP]
simpa using ha
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ oangle o x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x = 0
⊢ oangle o x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
simp [hx, Real.Angle.pi_ne_zero.symm, div_eq_mul_inv, mul_right_eq_self₀, not_or, Real.pi_ne_zero]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ oangle o x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ oangle o x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
simp [hy, Real.Angle.pi_ne_zero.symm, div_eq_mul_inv, mul_right_eq_self₀, not_or, Real.pi_ne_zero]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ oangle o x y = ↑π ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => _, fun h => _⟩
[GOAL]
case neg.refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : oangle o x y = ↑π
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = π
[PROOFSTEP]
rw [o.angle_eq_abs_oangle_toReal hx hy, h]
[GOAL]
case neg.refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : oangle o x y = ↑π
⊢ |Real.Angle.toReal ↑π| = π
[PROOFSTEP]
simp [Real.pi_pos.le]
[GOAL]
case neg.refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π
⊢ oangle o x y = ↑π
[PROOFSTEP]
have ha := o.oangle_eq_angle_or_eq_neg_angle hx hy
[GOAL]
case neg.refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π
ha : oangle o x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y) ∨ oangle o x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ oangle o x y = ↑π
[PROOFSTEP]
rw [h] at ha 
[GOAL]
case neg.refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π
ha : oangle o x y = ↑π ∨ oangle o x y = -↑π
⊢ oangle o x y = ↑π
[PROOFSTEP]
simpa using ha
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ oangle o x y = ↑(π / 2) ∨ oangle o x y = ↑(-π / 2) ↔ inner x y = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ oangle o x y = ↑(π / 2) ∨ oangle o x y = ↑(-π / 2) ↔ inner x y = 0
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ oangle o x y = ↑(π / 2) ∨ oangle o x y = ↑(-π / 2) ↔ inner x y = 0
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ oangle o x y = ↑(π / 2) ∨ oangle o x y = ↑(-π / 2) ↔ inner x y = 0
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ oangle o x y = ↑(π / 2) ∨ oangle o x y = ↑(-π / 2) ↔ inner x y = 0
[PROOFSTEP]
rw [InnerProductGeometry.inner_eq_zero_iff_angle_eq_pi_div_two, or_iff_right hx, or_iff_right hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ oangle o x y = ↑(π / 2) ∨ oangle o x y = ↑(-π / 2) ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => _, fun h => _⟩
[GOAL]
case neg.refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : oangle o x y = ↑(π / 2) ∨ oangle o x y = ↑(-π / 2)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
[PROOFSTEP]
rwa [o.angle_eq_abs_oangle_toReal hx hy, Real.Angle.abs_toReal_eq_pi_div_two_iff]
[GOAL]
case neg.refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ oangle o x y = ↑(π / 2) ∨ oangle o x y = ↑(-π / 2)
[PROOFSTEP]
convert o.oangle_eq_angle_or_eq_neg_angle hx hy using 2
[GOAL]
case h.e'_1.h.e'_3
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ↑(π / 2) = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_3
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ↑(-π / 2) = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
[PROOFSTEP]
rw [h]
[GOAL]
case h.e'_2.h.e'_3
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ↑(-π / 2) = -↑(π / 2)
[PROOFSTEP]
simp only [neg_div, Real.Angle.coe_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = ↑(π / 2)
⊢ inner y x = 0
[PROOFSTEP]
rw [real_inner_comm, o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : oangle o x y = ↑(-π / 2)
⊢ inner y x = 0
[PROOFSTEP]
rw [real_inner_comm, o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_neg_pi_div_two h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (-x) y) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (-x) y) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (-x) y) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (-x) y) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (-x) y) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [o.oangle_neg_left hx hy, Real.Angle.sign_add_pi]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (-y)) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hx : x = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (-y)) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [hx]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (-y)) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hy : y = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (-y)) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [hy]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (-y)) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [o.oangle_neg_right hx hy, Real.Angle.sign_add_pi]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r • x) y) = ↑SignType.sign r * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rcases lt_trichotomy r 0 with (h | h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r < 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r • x) y) = ↑SignType.sign r * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r • x) y) = ↑SignType.sign r * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : 0 < r
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r • x) y) = ↑SignType.sign r * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • y)) = ↑SignType.sign r * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rcases lt_trichotomy r 0 with (h | h | h)
[GOAL]
case inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r < 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • y)) = ↑SignType.sign r * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • y)) = ↑SignType.sign r * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
case inr.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : 0 < r
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • y)) = ↑SignType.sign r * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp [h]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ oangle o x (r • x + y) = 0 ∨ oangle o x (r • x + y) = ↑π ↔ oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π
[PROOFSTEP]
simp_rw [oangle_eq_zero_or_eq_pi_iff_not_linearIndependent, Fintype.not_linearIndependent_iff]
  -- Porting note: at this point all occurences of the bound variable `i` are of type
    -- `Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))`, but `Fin.sum_univ_two` and `Fin.exists_fin_two` expect it to be
    -- `Fin 2` instead. Hence all the `conv`s.
    -- Was `simp_rw [Fin.sum_univ_two, Fin.exists_fin_two]`
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔
    ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
conv_lhs => enter [1, g, 1, 1, 2, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 1, 1, 2, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 1, 1, 2, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 1, 1, 2, i]
[GOAL]
case h.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
i : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))
| g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i
[PROOFSTEP]
tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
case h.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
i : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))
⊢ g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i = ?m.680888 g i
[PROOFSTEP]
change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔
    ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
conv_lhs => enter [1, g]; rw [Fin.sum_univ_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]; rw [Fin.sum_univ_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]; rw [Fin.sum_univ_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
| (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![r • x + y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [Fin.sum_univ_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔
    ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
conv_rhs => enter [1, g, 1, 1, 2, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 1, 1, 2, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 1, 1, 2, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 1, 1, 2, i]
[GOAL]
case h.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
i : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))
| g i • Matrix.vecCons x ![y] i
[PROOFSTEP]
tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
case h.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
i : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))
⊢ g i • Matrix.vecCons x ![y] i = ?m.838552 g i
[PROOFSTEP]
change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔
    ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
conv_rhs => enter [1, g]; rw [Fin.sum_univ_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]; rw [Fin.sum_univ_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]; rw [Fin.sum_univ_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
| (Finset.sum Finset.univ fun i => g i • Matrix.vecCons x ![y] i) = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [Fin.sum_univ_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔
    ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
conv_lhs => enter [1, g, 2, 1, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 2, 1, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 2, 1, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 2, 1, i]
[GOAL]
case h.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
i : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))
| g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
case h.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
i : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))
⊢ (g i ≠ 0) = ?m.854024 g i
[PROOFSTEP]
change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔
    ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
conv_lhs => enter [1, g]; rw [Fin.exists_fin_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]; rw [Fin.exists_fin_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]; rw [Fin.exists_fin_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
| g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [Fin.exists_fin_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)) ↔
    ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
conv_rhs => enter [1, g, 2, 1, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 2, 1, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 2, 1, i]; tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g, 2, 1, i]
[GOAL]
case h.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
i : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))
| g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
tactic => change Fin 2 at i 
[GOAL]
case h.h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
i : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0))
⊢ (g i ≠ 0) = ?m.874120 g i
[PROOFSTEP]
change Fin 2 at i 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)) ↔
    ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
conv_rhs => enter [1, g]; rw [Fin.exists_fin_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]; rw [Fin.exists_fin_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]; rw [Fin.exists_fin_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
| ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
enter [1, g]
[GOAL]
case h
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
g : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
| g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
[PROOFSTEP]
rw [Fin.exists_fin_two]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ (∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)) ↔
    ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨fun h => _, fun h => _⟩
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
⊢ ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨m, h, hm⟩
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
h : m 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + m 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
⊢ ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
change m 0 • x + m 1 • (r • x + y) = 0 at h 
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • (r • x + y) = 0
⊢ ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨![m 0 + m 1 * r, m 1], _⟩
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • (r • x + y) = 0
⊢ Matrix.vecCons (m 0 + m 1 * r) ![m 1] 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 +
        Matrix.vecCons (m 0 + m 1 * r) ![m 1] 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 =
      0 ∧
    (Matrix.vecCons (m 0 + m 1 * r) ![m 1] 0 ≠ 0 ∨ Matrix.vecCons (m 0 + m 1 * r) ![m 1] 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
change (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0 ∧ (m 0 + m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • (r • x + y) = 0
⊢ (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0 ∧ (m 0 + m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
rw [smul_add, smul_smul, ← add_assoc, ← add_smul] at h 
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0
⊢ (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0 ∧ (m 0 + m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨h, not_and_or.1 fun h0 => _⟩
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0
h0 : m 0 + m 1 * r = 0 ∧ m 1 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
obtain ⟨h0, h1⟩ := h0
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0
h0 : m 0 + m 1 * r = 0
h1 : m 1 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [h1] at h0 hm 
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 0
h : (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0
h0 : m 0 + 0 * r = 0
h1 : m 1 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul, add_zero] at h0 
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 0
h : (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0
h0 : m 0 = 0
h1 : m 1 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [h0] at hm 
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
⊢ ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
rcases h with ⟨m, h, hm⟩
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
h : m 0 • Matrix.vecCons x ![y] 0 + m 1 • Matrix.vecCons x ![y] 1 = 0
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
⊢ ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
change m 0 • x + m 1 • y = 0 at h 
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
⊢ ∃ g, g 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 + g 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨![m 0 - m 1 * r, m 1], _⟩
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
⊢ Matrix.vecCons (m 0 - m 1 * r) ![m 1] 0 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 0 +
        Matrix.vecCons (m 0 - m 1 * r) ![m 1] 1 • Matrix.vecCons x ![r • x + y] 1 =
      0 ∧
    (Matrix.vecCons (m 0 - m 1 * r) ![m 1] 0 ≠ 0 ∨ Matrix.vecCons (m 0 - m 1 * r) ![m 1] 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
change (m 0 - m 1 * r) • x + m 1 • (r • x + y) = 0 ∧ (m 0 - m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
⊢ (m 0 - m 1 * r) • x + m 1 • (r • x + y) = 0 ∧ (m 0 - m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
rw [sub_smul, smul_add, smul_smul, ← add_assoc, sub_add_cancel]
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
⊢ m 0 • x + m 1 • y = 0 ∧ (m 0 - m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
[PROOFSTEP]
refine' ⟨h, not_and_or.1 fun h0 => _⟩
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
h0 : m 0 - m 1 * r = 0 ∧ m 1 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
obtain ⟨h0, h1⟩ := h0
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
h0 : m 0 - m 1 * r = 0
h1 : m 1 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [h1] at h0 hm 
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
h0 : m 0 - 0 * r = 0
h1 : m 1 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
rw [zero_mul, sub_zero] at h0 
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ (Nat.succ 0)) → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
h0 : m 0 = 0
h1 : m 1 = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simp [h0] at hm 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
by_cases h : o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = π
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rwa [Real.Angle.sign_eq_zero_iff.2 h, Real.Angle.sign_eq_zero_iff, oangle_smul_add_right_eq_zero_or_eq_pi_iff]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
have h' : ∀ r' : ℝ, o.oangle x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ o.oangle x (r' • x + y) ≠ π :=
  by
  intro r'
  rwa [← o.oangle_smul_add_right_eq_zero_or_eq_pi_iff r', not_or] at h 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
⊢ ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
[PROOFSTEP]
intro r'
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
r' : ℝ
⊢ oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
[PROOFSTEP]
rwa [← o.oangle_smul_add_right_eq_zero_or_eq_pi_iff r', not_or] at h 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
let s : Set (V × V) := (fun r' : ℝ => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
have hc : IsConnected s :=
  isConnected_univ.image _
    (continuous_const.prod_mk ((continuous_id.smul continuous_const).add continuous_const)).continuousOn
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
have hf : ContinuousOn (fun z : V × V => o.oangle z.1 z.2) s :=
  by
  refine' ContinuousAt.continuousOn fun z hz => o.continuousAt_oangle _ _
  all_goals
    simp_rw [Set.mem_image] at hz 
    obtain ⟨r', -, rfl⟩ := hz
    simp only [Prod.fst, Prod.snd]
    intro hz
  · simpa [hz] using (h' 0).1
  · simpa [hz] using (h' r').1
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
⊢ ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
[PROOFSTEP]
refine' ContinuousAt.continuousOn fun z hz => o.continuousAt_oangle _ _
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
z : V × V
hz : z ∈ s
⊢ z.fst ≠ 0
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
z : V × V
hz : z ∈ s
⊢ z.snd ≠ 0
[PROOFSTEP]
all_goals
  simp_rw [Set.mem_image] at hz 
  obtain ⟨r', -, rfl⟩ := hz
  simp only [Prod.fst, Prod.snd]
  intro hz
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
z : V × V
hz : z ∈ s
⊢ z.fst ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.mem_image] at hz 
[GOAL]
case refine'_1
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
z : V × V
hz : ∃ x_1, x_1 ∈ Set.univ ∧ (x, x_1 • x + y) = z
⊢ z.fst ≠ 0
[PROOFSTEP]
obtain ⟨r', -, rfl⟩ := hz
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
r' : ℝ
⊢ (x, r' • x + y).fst ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp only [Prod.fst, Prod.snd]
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
r' : ℝ
⊢ x ≠ 0
[PROOFSTEP]
intro hz
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
z : V × V
hz : z ∈ s
⊢ z.snd ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.mem_image] at hz 
[GOAL]
case refine'_2
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
z : V × V
hz : ∃ x_1, x_1 ∈ Set.univ ∧ (x, x_1 • x + y) = z
⊢ z.snd ≠ 0
[PROOFSTEP]
obtain ⟨r', -, rfl⟩ := hz
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
r' : ℝ
⊢ (x, r' • x + y).snd ≠ 0
[PROOFSTEP]
simp only [Prod.fst, Prod.snd]
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
r' : ℝ
⊢ r' • x + y ≠ 0
[PROOFSTEP]
intro hz
[GOAL]
case refine'_1.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
r' : ℝ
hz : x = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simpa [hz] using (h' 0).1
[GOAL]
case refine'_2.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
r' : ℝ
hz : r' • x + y = 0
⊢ False
[PROOFSTEP]
simpa [hz] using (h' r').1
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
have hs : ∀ z : V × V, z ∈ s → o.oangle z.1 z.2 ≠ 0 ∧ o.oangle z.1 z.2 ≠ π :=
  by
  intro z hz
  simp_rw [Set.mem_image] at hz 
  obtain ⟨r', -, rfl⟩ := hz
  exact h' r'
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
⊢ ∀ (z : V × V), z ∈ s → oangle o z.fst z.snd ≠ 0 ∧ oangle o z.fst z.snd ≠ ↑π
[PROOFSTEP]
intro z hz
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
z : V × V
hz : z ∈ s
⊢ oangle o z.fst z.snd ≠ 0 ∧ oangle o z.fst z.snd ≠ ↑π
[PROOFSTEP]
simp_rw [Set.mem_image] at hz 
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
z : V × V
hz : ∃ x_1, x_1 ∈ Set.univ ∧ (x, x_1 • x + y) = z
⊢ oangle o z.fst z.snd ≠ 0 ∧ oangle o z.fst z.snd ≠ ↑π
[PROOFSTEP]
obtain ⟨r', -, rfl⟩ := hz
[GOAL]
case intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
r' : ℝ
⊢ oangle o (x, r' • x + y).fst (x, r' • x + y).snd ≠ 0 ∧ oangle o (x, r' • x + y).fst (x, r' • x + y).snd ≠ ↑π
[PROOFSTEP]
exact h' r'
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
hs : ∀ (z : V × V), z ∈ s → oangle o z.fst z.snd ≠ 0 ∧ oangle o z.fst z.snd ≠ ↑π
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
have hx : (x, y) ∈ s :=
  by
  convert Set.mem_image_of_mem (fun r' : ℝ => (x, r' • x + y)) (Set.mem_univ 0)
  simp
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
hs : ∀ (z : V × V), z ∈ s → oangle o z.fst z.snd ≠ 0 ∧ oangle o z.fst z.snd ≠ ↑π
⊢ (x, y) ∈ s
[PROOFSTEP]
convert Set.mem_image_of_mem (fun r' : ℝ => (x, r' • x + y)) (Set.mem_univ 0)
[GOAL]
case h.e'_4.h.e'_4
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
hs : ∀ (z : V × V), z ∈ s → oangle o z.fst z.snd ≠ 0 ∧ oangle o z.fst z.snd ≠ ↑π
⊢ y = 0 • x + y
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
hs : ∀ (z : V × V), z ∈ s → oangle o z.fst z.snd ≠ 0 ∧ oangle o z.fst z.snd ≠ ↑π
hx : (x, y) ∈ s
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
have hy : (x, r • x + y) ∈ s := Set.mem_image_of_mem _ (Set.mem_univ _)
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : ¬(oangle o x y = 0 ∨ oangle o x y = ↑π)
h' : ∀ (r' : ℝ), oangle o x (r' • x + y) ≠ 0 ∧ oangle o x (r' • x + y) ≠ ↑π
s : Set (V × V) := (fun r' => (x, r' • x + y)) '' Set.univ
hc : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun z => oangle o z.fst z.snd) s
hs : ∀ (z : V × V), z ∈ s → oangle o z.fst z.snd ≠ 0 ∧ oangle o z.fst z.snd ≠ ↑π
hx : (x, y) ∈ s
hy : (x, r • x + y) ∈ s
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
convert Real.Angle.sign_eq_of_continuousOn hc hf hs hx hy
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (x + r • y) y) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp_rw [o.oangle_rev y, Real.Angle.sign_neg, add_comm x, oangle_sign_smul_add_right]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (y - r • x)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, add_comm, oangle_sign_smul_add_right]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (x - r • y) y) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [sub_eq_add_neg, ← neg_smul, oangle_sign_add_smul_left]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (x + y)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_sign_smul_add_right x y 1, one_smul]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (x + y) y) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_sign_add_smul_left x y 1, one_smul]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (y - x)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_sign_sub_smul_right x y 1, one_smul]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (x - y) y) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_sign_sub_smul_left x y 1, one_smul]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r • x - y)) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← oangle_sign_neg_right, sub_eq_add_neg, oangle_sign_smul_add_right]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r • y - x) y) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← oangle_sign_neg_left, sub_eq_neg_add, oangle_sign_add_smul_left]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (x - y)) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_sign_smul_sub_right x y 1, one_smul]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (y - x) y) = -Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_sign_smul_sub_left x y 1, one_smul]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o y (y - x)) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [oangle_sign_sub_right_eq_neg, o.oangle_rev y x, Real.Angle.sign_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (x - y) x) = Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [oangle_sign_sub_left_eq_neg, o.oangle_rev y x, Real.Angle.sign_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (r₁ • x + r₂ • y)) = ↑SignType.sign r₂ * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_sign_smul_add_right x (r₁ • x + r₂ • y) (-r₁)]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o x (-r₁ • x + (r₁ • x + r₂ • y))) = ↑SignType.sign r₂ * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r₁ • x + r₂ • y) y) = ↑SignType.sign r₁ * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
simp_rw [o.oangle_rev y, Real.Angle.sign_neg, add_comm (r₁ • x), oangle_sign_smul_add_smul_right, mul_neg]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r₁ • x + r₂ • y) (r₃ • x + r₄ • y)) =
    ↑SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
by_cases hr₁ : r₁ = 0
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : r₁ = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r₁ • x + r₂ • y) (r₃ • x + r₄ • y)) =
    ↑SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [hr₁, zero_smul, zero_mul, zero_add, zero_sub, Left.sign_neg, oangle_sign_smul_left, add_comm,
  oangle_sign_smul_add_smul_right, oangle_rev, Real.Angle.sign_neg, sign_mul, mul_neg, mul_neg, neg_mul, mul_assoc]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ Real.Angle.sign (oangle o (r₁ • x + r₂ • y) (r₃ • x + r₄ • y)) =
    ↑SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * Real.Angle.sign (oangle o x y)
[PROOFSTEP]
rw [← o.oangle_sign_smul_add_right (r₁ • x + r₂ • y) (r₃ • x + r₄ • y) (-r₃ / r₁), smul_add, smul_smul, smul_smul,
  div_mul_cancel _ hr₁, neg_smul, ← add_assoc, add_comm (-(r₃ • x)), ← sub_eq_add_neg, sub_add_cancel, ← add_smul,
  oangle_sign_smul_right, oangle_sign_smul_add_smul_left, ← mul_assoc, ← sign_mul, add_mul, mul_assoc, mul_comm r₂ r₁, ←
  mul_assoc, div_mul_cancel _ hr₁, add_comm, neg_mul, ← sub_eq_add_neg, mul_comm r₄, mul_comm r₃]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
by_cases hn : x = y
[GOAL]
case pos
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : x = y
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
simp [hn, div_pos, Real.pi_pos]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
have hs : ((2 : ℤ) • o.oangle (y - x) y).sign = (o.oangle (y - x) y).sign :=
  by
  conv_rhs => rw [oangle_sign_sub_left_swap]
  rw [o.oangle_eq_pi_sub_two_zsmul_oangle_sub_of_norm_eq hn h, Real.Angle.sign_pi_sub]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
⊢ Real.Angle.sign (2 • oangle o (y - x) y) = Real.Angle.sign (oangle o (y - x) y)
[PROOFSTEP]
conv_rhs => rw [oangle_sign_sub_left_swap]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
| Real.Angle.sign (oangle o (y - x) y)
[PROOFSTEP]
rw [oangle_sign_sub_left_swap]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
| Real.Angle.sign (oangle o (y - x) y)
[PROOFSTEP]
rw [oangle_sign_sub_left_swap]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
| Real.Angle.sign (oangle o (y - x) y)
[PROOFSTEP]
rw [oangle_sign_sub_left_swap]
[GOAL]
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
⊢ Real.Angle.sign (2 • oangle o (y - x) y) = Real.Angle.sign (oangle o y x)
[PROOFSTEP]
rw [o.oangle_eq_pi_sub_two_zsmul_oangle_sub_of_norm_eq hn h, Real.Angle.sign_pi_sub]
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hs : Real.Angle.sign (2 • oangle o (y - x) y) = Real.Angle.sign (oangle o (y - x) y)
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rw [Real.Angle.sign_two_zsmul_eq_sign_iff] at hs 
[GOAL]
case neg
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hs : oangle o (y - x) y = ↑π ∨ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rcases hs with (hs | hs)
[GOAL]
case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hs : oangle o (y - x) y = ↑π
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rw [oangle_eq_pi_iff_oangle_rev_eq_pi, oangle_eq_pi_iff_sameRay_neg, neg_sub] at hs 
[GOAL]
case neg.inl
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hs : y ≠ 0 ∧ y - x ≠ 0 ∧ SameRay ℝ y (x - y)
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rcases hs with ⟨hy, -, hr⟩
[GOAL]
case neg.inl.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
hr : SameRay ℝ y (x - y)
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rw [← exists_nonneg_left_iff_sameRay hy] at hr 
[GOAL]
case neg.inl.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
hr : ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • y = x - y
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rcases hr with ⟨r, hr0, hr⟩
[GOAL]
case neg.inl.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr : r • y = x - y
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rw [eq_sub_iff_add_eq] at hr 
[GOAL]
case neg.inl.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr : r • y + y = x
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
nth_rw 2 [← one_smul ℝ y] at hr 
[GOAL]
case neg.inl.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr : r • y + 1 • y = x
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rw [← add_smul] at hr 
[GOAL]
case neg.inl.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr : (r + 1) • y = x
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rw [← hr, norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_pos (Left.add_pos_of_nonneg_of_pos hr0 one_pos), mul_left_eq_self₀,
  or_iff_left (norm_ne_zero_iff.2 hy), add_left_eq_self] at h 
[GOAL]
case neg.inl.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
r : ℝ
h : r = 0
hr0 : 0 ≤ r
hr : (r + 1) • y = x
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
rw [h, zero_add, one_smul] at hr 
[GOAL]
case neg.inl.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hn : ¬x = y
hy : y ≠ 0
r : ℝ
h : r = 0
hr0 : 0 ≤ r
hr : y = x
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
exact False.elim (hn hr.symm)
[GOAL]
case neg.inr
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ‖x‖ = ‖y‖
hn : ¬x = y
hs : |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
⊢ |Real.Angle.toReal (oangle o (y - x) y)| < π / 2
[PROOFSTEP]
exact hs
