[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
x : α
h : IsLUB s x
⊢ IsLUB (id '' s) (id x)
[PROOFSTEP]
simpa only [image_id] using h
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
a₁ a₂ : α
h : a₁ ≤ a₂
⊢ a₂ ∈ upperBounds {a₁, a₂}
[PROOFSTEP]
simp [*]
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : LeftOrdContinuous g
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
x : α
h : IsLUB s x
⊢ IsLUB (g ∘ f '' s) ((g ∘ f) x)
[PROOFSTEP]
simpa only [image_image] using hg (hf h)
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
n : ℕ
⊢ LeftOrdContinuous f^[n]
[PROOFSTEP]
induction n with
| zero => exact LeftOrdContinuous.id α
| succ n ihn => exact ihn.comp hf
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
n : ℕ
⊢ LeftOrdContinuous f^[n]
[PROOFSTEP]
induction n with
| zero => exact LeftOrdContinuous.id α
| succ n ihn => exact ihn.comp hf
[GOAL]
case zero
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
⊢ LeftOrdContinuous f^[Nat.zero]
[PROOFSTEP]

| zero => exact LeftOrdContinuous.id α
[GOAL]
case zero
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
⊢ LeftOrdContinuous f^[Nat.zero]
[PROOFSTEP]
exact LeftOrdContinuous.id α
[GOAL]
case succ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
n : ℕ
ihn : LeftOrdContinuous f^[n]
⊢ LeftOrdContinuous f^[Nat.succ n]
[PROOFSTEP]

| succ n ihn => exact ihn.comp hf
[GOAL]
case succ
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
n : ℕ
ihn : LeftOrdContinuous f^[n]
⊢ LeftOrdContinuous f^[Nat.succ n]
[PROOFSTEP]
exact ihn.comp hf
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
x y : α
⊢ IsLUB (f '' {x, y}) (f x ⊔ f y)
[PROOFSTEP]
simp only [image_pair, isLUB_pair]
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Injective f
x y : α
⊢ f x ≤ f y ↔ x ≤ y
[PROOFSTEP]
simp only [← sup_eq_right, ← hf.map_sup, h.eq_iff]
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Injective f
x y : α
⊢ f x < f y ↔ x < y
[PROOFSTEP]
simp only [lt_iff_le_not_le, hf.le_iff h]
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
⊢ f (sSup s) = ⨆ (x : α) (_ : x ∈ s), f x
[PROOFSTEP]
rw [hf.map_sSup', sSup_image]
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
⊢ f (⨆ (i : ι), g i) = ⨆ (i : ι), f (g i)
[PROOFSTEP]
simp only [iSup, hf.map_sSup', ← range_comp]
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
⊢ sSup (range (f ∘ fun i => g i)) = sSup (range fun i => f (g i))
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
hg : BddAbove (range g)
⊢ f (⨆ (i : ι), g i) = ⨆ (i : ι), f (g i)
[PROOFSTEP]
simp only [iSup, hf.map_csSup (range_nonempty _) hg, ← range_comp]
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
hg : BddAbove (range g)
⊢ sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))
[PROOFSTEP]
rfl
[GOAL]
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
s : Set α
x : α
h : IsGLB s x
⊢ IsGLB (id '' s) (id x)
[PROOFSTEP]
simpa only [image_id] using h
