[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ IsRadical I ↔ IsReduced (R ⧸ I)
[PROOFSTEP]
conv_lhs => rw [← @Ideal.mk_ker R _ I]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
| IsRadical I
[PROOFSTEP]
rw [← @Ideal.mk_ker R _ I]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
| IsRadical I
[PROOFSTEP]
rw [← @Ideal.mk_ker R _ I]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
| IsRadical I
[PROOFSTEP]
rw [← @Ideal.mk_ker R _ I]
[GOAL]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ IsRadical (RingHom.ker (Quotient.mk I)) ↔ IsReduced (R ⧸ I)
[PROOFSTEP]
exact RingHom.ker_isRadical_iff_reduced_of_surjective (@Ideal.Quotient.mk_surjective R _ I)
[GOAL]
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : IsNilpotent I
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
⊢ P I
[PROOFSTEP]
obtain ⟨n, hI : I ^ n = ⊥⟩ := hI
[GOAL]
case intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI : I ^ n = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
induction' n using Nat.strong_induction_on with n H generalizing S
[GOAL]
case intro.h
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : I ^ n = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
by_cases hI' : I = ⊥
[GOAL]
case pos
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : I ^ n = ⊥
hI' : I = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
subst hI'
[GOAL]
case pos
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
hI : ⊥ ^ n = ⊥
⊢ P ⊥
[PROOFSTEP]
apply h₁
[GOAL]
case pos.a
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
hI : ⊥ ^ n = ⊥
⊢ ⊥ ^ 2 = ⊥
[PROOFSTEP]
rw [← Ideal.zero_eq_bot, zero_pow]
[GOAL]
case pos.a
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
hI : ⊥ ^ n = ⊥
⊢ 0 < 2
[PROOFSTEP]
exact zero_lt_two
[GOAL]
case neg
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI : I ^ n = ⊥
hI' : ¬I = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
cases' n with n
[GOAL]
case neg.zero
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H : ∀ (m : ℕ), m < Nat.zero → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.zero = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
rw [pow_zero, Ideal.one_eq_top] at hI 
[GOAL]
case neg.zero
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H : ∀ (m : ℕ), m < Nat.zero → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : ⊤ = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
haveI := subsingleton_of_bot_eq_top hI.symm
[GOAL]
case neg.zero
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H : ∀ (m : ℕ), m < Nat.zero → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : ⊤ = ⊥
this : Subsingleton (Ideal S)
⊢ P I
[PROOFSTEP]
exact (hI' (Subsingleton.elim _ _)).elim
[GOAL]
case neg.succ
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ), m < Nat.succ n → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ n = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
cases' n with n
[GOAL]
case neg.succ.zero
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ Nat.zero → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ Nat.zero = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
rw [pow_one] at hI 
[GOAL]
case neg.succ.zero
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ Nat.zero → ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
exact (hI' hI).elim
[GOAL]
case neg.succ.succ
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ P I
[PROOFSTEP]
apply h₂ (I ^ 2) _ (Ideal.pow_le_self two_ne_zero)
[GOAL]
case neg.succ.succ.a
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ P (I ^ 2)
[PROOFSTEP]
apply H n.succ _ (I ^ 2)
[GOAL]
case neg.succ.succ.a
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ (I ^ 2) ^ Nat.succ n = ⊥
[PROOFSTEP]
rw [← pow_mul, eq_bot_iff, ← hI, Nat.succ_eq_add_one, Nat.succ_eq_add_one]
[GOAL]
case neg.succ.succ.a
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ I ^ (2 * (n + 1)) ≤ I ^ (n + 1 + 1)
[PROOFSTEP]
apply Ideal.pow_le_pow (by linarith)
[GOAL]
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ n + 1 + 1 ≤ 2 * (n + 1)
[PROOFSTEP]
linarith
[GOAL]
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ Nat.succ n < Nat.succ (Nat.succ n)
[PROOFSTEP]
exact n.succ.lt_succ_self
[GOAL]
case neg.succ.succ.a
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ P (map (Quotient.mk (I ^ 2)) I)
[PROOFSTEP]
apply h₁
[GOAL]
case neg.succ.succ.a.a
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R S✝
I✝ : Ideal S✝
P : ⦃S : Type u_2⦄ → [inst : CommRing S] → Ideal S → Prop
h₁ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → P I
h₂ : ∀ ⦃S : Type u_2⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → P I → P (map (Quotient.mk I) J) → P J
n✝ : ℕ
hI✝ : I✝ ^ n✝ = ⊥
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Ideal S
hI' : ¬I = ⊥
n : ℕ
H :
  ∀ (m : ℕ),
    m < Nat.succ (Nat.succ n) →
      ∀ {S : Type u_2} [inst : CommRing S] [inst_1 : Algebra R S] (I : Ideal S), I ^ m = ⊥ → P I
hI : I ^ Nat.succ (Nat.succ n) = ⊥
⊢ map (Quotient.mk (I ^ 2)) I ^ 2 = ⊥
[PROOFSTEP]
rw [← Ideal.map_pow, Ideal.map_quotient_self]
[GOAL]
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
x : R
⊢ IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) ↔ IsUnit x
[PROOFSTEP]
refine' ⟨_, fun h => h.map <| Ideal.Quotient.mk I⟩
[GOAL]
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
x : R
⊢ IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
[PROOFSTEP]
revert x
[GOAL]
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
⊢ ∀ {x : R}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
[PROOFSTEP]
apply Ideal.IsNilpotent.induction_on (R := R) (S := R) I hI
[GOAL]
case h₁
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
⊢ ∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S),
    I ^ 2 = ⊥ → ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
[PROOFSTEP]
clear hI I
[GOAL]
case h₂
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I✝ : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hI : IsNilpotent I
⊢ ∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S),
    I ≤ J →
      (∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x) →
        (∀ {x : S ⧸ I}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) → IsUnit x) →
          ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk J) x) → IsUnit x
[PROOFSTEP]
clear hI I
[GOAL]
case h₁
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S),
    I ^ 2 = ⊥ → ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
case h₂
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S),
    I ≤ J →
      (∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x) →
        (∀ {x : S ⧸ I}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) → IsUnit x) →
          ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk J) x) → IsUnit x
[PROOFSTEP]
swap
[GOAL]
case h₂
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S),
    I ≤ J →
      (∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x) →
        (∀ {x : S ⧸ I}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) → IsUnit x) →
          ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk J) x) → IsUnit x
[PROOFSTEP]
introv e h₁ h₂ h₃
[GOAL]
case h₂
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal S
e : I ≤ J
h₁ : ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
h₂ : ∀ {x : S ⧸ I}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) → IsUnit x
x : S
h₃ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk J) x)
⊢ IsUnit x
[PROOFSTEP]
apply h₁
[GOAL]
case h₂.a
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal S
e : I ≤ J
h₁ : ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
h₂ : ∀ {x : S ⧸ I}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) → IsUnit x
x : S
h₃ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk J) x)
⊢ IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
[PROOFSTEP]
apply h₂
[GOAL]
case h₂.a.a
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal S
e : I ≤ J
h₁ : ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
h₂ : ∀ {x : S ⧸ I}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) x) → IsUnit x
x : S
h₃ : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk J) x)
⊢ IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)) (↑(Ideal.Quotient.mk I) x))
[PROOFSTEP]
exact h₃.map ((DoubleQuot.quotQuotEquivQuotSup I J).trans (Ideal.quotEquivOfEq (sup_eq_right.mpr e))).symm.toRingHom
[GOAL]
case h₁
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R✝ S
I : Ideal S
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
⊢ ∀ ⦃S : Type u_3⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S),
    I ^ 2 = ⊥ → ∀ {x : S}, IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x) → IsUnit x
[PROOFSTEP]
introv e H
[GOAL]
case h₁
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
⊢ IsUnit x
[PROOFSTEP]
skip
[GOAL]
case h₁
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
⊢ IsUnit x
[PROOFSTEP]
obtain ⟨y, hy⟩ := Ideal.Quotient.mk_surjective (↑H.unit⁻¹ : S ⧸ I)
[GOAL]
case h₁.intro
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
⊢ IsUnit x
[PROOFSTEP]
have : Ideal.Quotient.mk I (x * y) = Ideal.Quotient.mk I 1 := by rw [map_one, _root_.map_mul, hy, IsUnit.mul_val_inv]
[GOAL]
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
⊢ ↑(Ideal.Quotient.mk I) (x * y) = ↑(Ideal.Quotient.mk I) 1
[PROOFSTEP]
rw [map_one, _root_.map_mul, hy, IsUnit.mul_val_inv]
[GOAL]
case h₁.intro
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
this : ↑(Ideal.Quotient.mk I) (x * y) = ↑(Ideal.Quotient.mk I) 1
⊢ IsUnit x
[PROOFSTEP]
rw [Ideal.Quotient.eq] at this 
[GOAL]
case h₁.intro
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
this : x * y - 1 ∈ I
⊢ IsUnit x
[PROOFSTEP]
have : (x * y - 1) ^ 2 = 0 := by
  rw [← Ideal.mem_bot, ← e]
  exact Ideal.pow_mem_pow this _
[GOAL]
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
this : x * y - 1 ∈ I
⊢ (x * y - 1) ^ 2 = 0
[PROOFSTEP]
rw [← Ideal.mem_bot, ← e]
[GOAL]
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
this : x * y - 1 ∈ I
⊢ (x * y - 1) ^ 2 ∈ I ^ 2
[PROOFSTEP]
exact Ideal.pow_mem_pow this _
[GOAL]
case h₁.intro
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
this✝ : x * y - 1 ∈ I
this : (x * y - 1) ^ 2 = 0
⊢ IsUnit x
[PROOFSTEP]
have : x * (y * (2 - x * y)) = 1 := by
  rw [eq_comm, ← sub_eq_zero, ← this]
  ring
[GOAL]
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
this✝ : x * y - 1 ∈ I
this : (x * y - 1) ^ 2 = 0
⊢ x * (y * (2 - x * y)) = 1
[PROOFSTEP]
rw [eq_comm, ← sub_eq_zero, ← this]
[GOAL]
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
this✝ : x * y - 1 ∈ I
this : (x * y - 1) ^ 2 = 0
⊢ 1 - x * (y * (2 - x * y)) = (x * y - 1) ^ 2
[PROOFSTEP]
ring
[GOAL]
case h₁.intro
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommRing S✝
inst✝² : Algebra R✝ S✝
I✝ : Ideal S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_3
inst✝ : CommRing S
I : Ideal S
e : I ^ 2 = ⊥
x : S
H : IsUnit (↑(Ideal.Quotient.mk I) x)
y : S
hy : ↑(Ideal.Quotient.mk I) y = ↑(IsUnit.unit H)⁻¹
this✝¹ : x * y - 1 ∈ I
this✝ : (x * y - 1) ^ 2 = 0
this : x * (y * (2 - x * y)) = 1
⊢ IsUnit x
[PROOFSTEP]
exact isUnit_of_mul_eq_one _ _ this
