$f:\mathbb R_+\to \mathbb R$ olmak üzere kuralı $$f(x)=\frac{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)}{x^4+1}$$ olarak verilsin. Türevi olan $f^\prime$ fonksiyonunun kuralını bulunuz.
analiz
türev
logaritmik-türev
Bu soruya cevap vermek için lütfen giriş yapınız veya kayıt olunuz.
1 cevap
0 oy
emseyi tarafından cevaplandı
Bu başlık altında logaritmik türev ile bir cevap vereceğiz.
Foksiyonun logaritması:
$f$ fonksiyonunun görüntüsü pozitif değerler aldığından $\ln f$ fonksiyonu ile ilgilenebiliriz. Bu fonksiyonun kuralı \begin{align*}\ln f(x) \ & = \ \ln \left(\frac{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)}{x^4+1}\right)\\[17pt] &= \ \ln(x+1) +\ln(x+2) +\ln(x+3)-\ln(x^4+1)\end{align*} olur.
Logaritmalı eşitlikte türev:
Eşitliğin iki tarafında türev alırsak $$\frac{f^\prime(x)}{f(x)}=\frac1{x+1}+\frac1{x+2}+\frac1{x+3}-\frac{4x^3}{x^4+1}$$ eşitliğini elde ederiz.
Not: Foksiyonun logaritması türevlenebilirse kendisi de türevlenebilir. Bu bilgiyi kullandık.
f fonksiyonunun türevi:
Elde ettiğimiz eşitliği $f(x)$ ile çarparsak $$f^\prime(x)=\frac{(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)}{x^4+1}\cdot\left(\frac1{x+1}+\frac1{x+2}+\frac1{x+3}-\frac{4x^3}{x^4+1}\right) $$ eşitliği sağlanır.