Topluluk Öğrenme Algoritmalarından Torbalama Algoritması İle Gögüs Kanserinin Tahmini Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on the Prediction of Breast Cancer Using Bagging Algorithm from Ensemble Learning Algorithms
R Programlama Diliyle Sınıflandırma Problemlerinin Çözümünde Karar Ağacı Algoritmaları Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Decision Tree Algorithms in Solving Classification Problems with R Programming Language
R Programlama Diliyle Sınıflandırma Problemlerinin Çözümünde Küme Algoritmaları Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Cluster Algorithms in Solving Classification Problems with R Programming Language
R Programlama Diliyle Regresyon Problemlerinin Çözümünde Rastgele Orman Algoritması Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Random Forest (RF) Algorithm in Solving Regression Problems with R Programming Language
R Programlama Diliyle Sınıflandırma Problemlerinin Çözümünde Rastgele Orman Algoritması Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Random Forest (RF) Algorithm in Solving Classification Problems with R Programming Language
2019 Yılı Yapay Zekâ Endeksi Raporu
An Introduction to Network Analysis (NA or SNA) in R
Approach of Logarithmic Concept [APLOCO]: Logaritmik Konsept Yaklaşımı
Küme Analizleri Üzerine Bir Vaka Çalışması (A Case Study on Cluster Analysis)
Kompleks Ağlarda APLOCO Metodunun Kullanımı Üzerine Bir Vaka Çalışması
Kritik Teknolojiler ve On Birinci Kalkınma Planı
Kuantum Yapay Zekâ
Etiket: Güven Aralığı
Öne çıkan	
Tabakalı Örnekleme Üzerine Bir Simülasyon Çalışması: A Simulation Study on Stratified Sampling
Öncelikle nicel araştırmalarda hedef popülasyon (target population) hakkında çıkarımlarda bulunmak istiyorsak mutlaka olasılıklı örnekleme yöntem veya yöntemlerinin kullanılması gerektiğini belirtelim. Çünkü yapılan tezlerde, yayınlanan bazı makalelerde ya da araştırma raporlarında bu konuya yeterince önem verilmediği ve yada konunun yeterince bilinmediği görülmektedir. Bu durum yapılan bilimsel çalışmanın niteliğinin sorgulanmasına neden olmaktadır.
Olasılıklı örneklemede temel felsefe popülasyonu oluşturan her popülasyon biriminin örnekleme seçilme şansının eşit olmasıdır. Olasılıklı örnekleme yöntemlerinden biri olan tabakalı örnekleme (stratified sampling)’de, popülasyon ya da evren, tabaka adı verilen üst üste binmeyen gruplara bölünür ve her tabaka içindeki bazı tasarımlarla bir örneklem seçilir. Tabakalı örnekleme tasarımları, popülasyondaki her örnekleme birimi için bilinen belirli bir özelliğe dayalı olarak bir popülasyonun tabakalara bölünmesini ve ardından her bir tabakadan bağımsız olarak örneklemlerin seçilmesini içerir. Bu tasarım, farklı tabakalarda örnekleme yöntemlerine esneklik kazandırır ve her tabaka göreceli olarak kendi içerisinde homojen birimlerden oluştuğunda, hedef parametrelerin tahminlerinde iyi kesinlik (precision) elde edilir.
Tabakalı örnekleme tasarımı, popülasyonun belirli bölümlerinin kolayca hedeflenmesini de sağlar. Örneğin, coğrafi bölgeler, habitat türü, yükseklik veya toprak türü gibi bilinen bazı değişkenler aracılığıyla benzer bölgelere ayrılabilir. Bir başka örnek, bir fabrikada monte edilen kusurlu ürünlerin oranlarını belirlemek olabilir. Bu durumda, örnekleme, üretim hatları, fabrika vb. faktörlere göre tabakalandırılabilir. Hatta COVID-19 pandemisinden örnek vermek gerekirse illeri COVID-19 vaka sayılarına göre 4 farklı şekilde tabakalandırabiliriz. Örneğin, mavi rengin az riskli, sarı rengin orta riskli, turuncu rengin yüksek riskli ve kırmızı rengin çok yüksek riskli iller olmak üzere Türkiye’yi 4 farklı tabakaya ayırabiliriz.
Tabakalı örnekleme genellikle tabakalar arasında eşit tahsis ile yapılır. Bu, örneklemdeki tabaka oranlarının popülasyondaki karşılık gelen oranları temsil etmediği anlamına gelir. Bu sorunu çözmek için, her tabaka için o tabaka büyüklüğünün toplam popülasyona oranı (sampling fraction (f)=n/N) olarak tanımlanan tabaka ağırlıkları dikkate alınarak örneklem büyüklüklerinin belirlenmesi gerekir. Bu yapıldığında, her tabaka için tahminler yanlılık (bias) içermez ve ilgili tabaka büyüklükleri ile çarpılan tabaka ağırlıkları (diğer bir ifadeyle f) tabaka büyüklükleri toplamına eşit olan popülasyon (N) tahminleri de yansız olur. Her tabaka için tarafsız bir tahmincinin varlığı, aynı tasarım için tabakadaki tüm olası örneklemler üzerindeki tahminlerin ortalamasının, tahmin edilen gerçek parametreye eşit olduğu anlamına gelir. Tabaka ağırlıkları doğru bir şekilde hesaplanmazsa, tahminde yanlılığa neden olur. Genel olarak, uygun tabakalı bir örneklemin ağırlıklı ortalaması, popülasyondan basit tekrarsız tesadüfi örnekleme (SRSWOR) ile çekilen örneklemin aritmetik ortalamasından daha az değişkenliğe yani varyansa sahiptir. Tabaka ağırlıkları, tabakalı veriler için varyans tahmininde de kullanılabilir.
Tabakalı örneklemenin mantıklı olacağı birkaç ek örnek düşünebilir misiniz? Tabakalı örneklemede amaç, tabakalar içinde homojenliği yani varyansı azaltmaktır. Tabakalar arasında ise heterojenlik söz konusudur. Tabakalı örnekleme çeşitli avantajları nedeniyle çoğu büyük ölçekli araştırmada kullanılmaktadır.
Tabakalı örneklemenin avantajları nelerdir?
Alt popülasyonların tahmini: Nüfus özelliklerinin tahminlerinin sadece tüm popülasyon için değil, aynı zamanda farklı alt popülasyonları için gerekli olduğu durumlarda, bu tür alt popülasyonlar tabaka olarak ele alınmalıdır. Örneğin, ulusal bir işsizlik anketinde, hükümet tüm ülke için ve il düzeyinde işsizlik rakamlarını tahmin etmekle ilgilenebilir. Bu durumda her il bir tabaka olarak alınabilir.
İdari uygunluk: Araştırmayı yürüten kurum, araştırmanın verimli bir şekilde denetlenebilmesi için nüfusu tabakalı hale getirebilir. Örneğin kurum, her tabaka için ayrı ayrı araştırma yapmak üzere ayrı denetmenler atayabilir.
Örneklemin popülasyonu temsil kapasitesi: Tabakalı örneklemede, tabakaların oluşturulması ve örneklemlerin farklı tabakalara atanması, örneklemin çalışılan özelliklere göre popülasyonu temsil edebileceği şekilde yapılabilir. Örneğin, Türkiye’de farklı etnik grupları temsil eden bir okuldan öğrenci örneklemini seçmek istersek, okulun tamamından basit tesadüfi örnekleme (SRSWOR) ile seçilen örneklem temsil edici olmayabilir. Bu durumda, tabaka olarak farklı etnik gruplarını kullanan tabakalı bir örneklemenin, tüm okuldan alınan bir SRSWOR örnekleminden daha temsili bir örneklem olması beklenir.
Etkinlik: Tabakalı örneklemede, her bir tabakanın çalışılan özelliğe göre homojen hale gelmesini sağlayacak şekilde tabakalar oluşturarak tahminlerin etkinliği artırılabilir. İlgili tabakalara uygun örnekleme şemaları, tahmin edicilerin etkinliklerini artırabilir.
İyileştirilmiş veri kalitesi: Farklı tabakalarda farklı araştırmacılar kullanılarak iyileştirilmiş veri kalitesi elde edilebilir. Örneğin, yerel dilleri bilen araştırmacılar kırsal alanlarda görevlendirilebilirken, kentsel alanlarda İngilizce bilen araştırmacılar daha avantajlı olabilir.
Maliyet: Araştırmada gözlem başına maliyet, popülasyon unsurlarının uygun tabakalara ayrılmasıyla azaltılabilir.
Tabakalı örneklemede notasyonlar şöyledir:
L = tabaka sayısı
Nh = her h. tabakadaki popülasyon büyüklüğü
nh = her h. tabakadan çekilen örneklem büyüklüğü
N = popülasyondaki toplam birim sayısı ya da popülasyon büyüklüğü, yani N1 + N2 + … + NL
Kafamızda canlanması adına tabakalı örnekleme yöntemi Şekil 1 üzerinde gösterilmiştir. Şekil 1’de SRSWOR ifadesi basit tesadüfi tekrarsız örnekleme anlamına gelmekte olup bu örnekleme tekniğinin literatürdeki kısaltılışıdır. Şekil 1 tabakalı örneklemeyi ortaya koysa da biraz bahsetmekte fayda vardır. Popülasyon veya evrenden belirlediğimiz birimlerden tabakalara atanmış popülasyon birimleri üzerinden seçim yaparız. Burada tabaka örneklem (n) büyüklükleri eşit tahsis şeklinde olabileceği gibi orantılı tahsis şeklinde de olabilir. Ancak bu iki yaklaşımdan orantılı olanı tabaka örneklemlerinin popülasyondaki tabakaları temsil etmesi açısından daha iyidir ve tabakalar içerisindeki varyansı eşit seçime göre daha da azaltırsınız. Tabaka örneklem büyüklüklerini belirledikten sonra sıra popülasyon tabakalarından örneklem tabakalarına örneklem birimlerinin seçiminde hangi olasılıklı örnekleme yöntemini benimseyeceğimize gelmektedir. Şekil 1’de görüleceği üzere burada araştırma tasarımına bağlı olarak basit tesadüfi tekrarsız örnekleme veya sistematik olasılıklı yöntemlerinden biri seçilebilir. Çalışmanın sonunda yararlanılan kaynaklar kısmında bu iki örnekleme yöntemleri üzerine R programla dili ve Microsoft Excel kullanarak uygulama olarak yaptığım örnek çalışmaların linklerine yer verilmiştir. Buradan bu iki olasılıklı örnekleme yöntemini uygulamalar üzerinden yakından inceleyebilirsiniz.
Şekil 1: Tabakalı Örnekleme Yöntemi
Örnek Uygulama
Tabakalı örneklemeden bahsettikten sonra şimdi uygulama aşamasına geçebiliriz. Uygulamada kullanılan popülasyon veri seti beden kitle endeksi (BKİ) değerlerini içeren ve 1000 (N) gözlemden oluşan sentetik veri setidir. Olasılıklı örneklem yöntemlerinden basit tekrarlı tesadüfi örnekleme yöntemiyle 7 ve 50 aralığında BKİ değerleri üretilmiştir. BKİ değerleri üretilirken Sağlık Bakanlığı resmi web sitesindeki BKİ alt ve üst referans değerlerinden yararlanılmıştır. Burada belirlenen BKİ alt ve üst limitleri şöyledir:
Parametre Değeri Kategori
18,5 kg/m2’nin altında ise zayıf
18,5-24,9 kg/m2 arasında ise normal kilolu
25-29,9 kg/m2 arasında ise fazla kilolu
30-34,9 kg/m2 arasında ise I.Derece obez
35-39,9 kg/m2 arasında ise II.Derece obez
40 kg/m2 üzerinde ise III.Derece morbid obez
Kaynak: https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
Yukarıdaki tablodaki göstergelerden oluşturulan popülasyon (N) veri seti üzerinden tabakalı örnekleme yapılmıştır. Söz gelimi araştırma kapsamında bu tabakalarda yer alan bireylerle yüz yüze görüşme (face to face interview) yapılarak bu bireylerin beslenme ve sağlıklı yaşam alışkanlıkları araştırılsın. Çalışmanın sonunda tabakalı örnekleme çalışması simülasyonu paylaşılmıştır. Bu simülasyonda tabaka örneklem büyüklüğünün belirlenmesinden örneklem seçimine kadar pek çok konu bulunmaktadır. Zaten simülasyonu inceleyince konuyu çok yüksek ihtimalle ayrıntılı bir şekilde öğrenmiş olacaksınız. Tablo 1’de BKİ (Beden Kitle Endeksi) değerleri kategorize edilmiş ve tabaka olarak alınmıştır. Tabaka sayımız yani L=6, popülasyon büyüklüğü (N) ise 1000’dir.
Tablo 1: Tabakalar (L=6) ve Büyüklükleri
Tabaka N
Zayıf 257
Normal Kilolu 161
Fazla Kilolu 119
I.Derece Obez 114
II.Derece Obez 122
III.Derece Morbid Obez 227
Toplam 1000
Tabaka örneklemlerinin popülasyonu ve popülasyon tabakalarını daha iyi temsil etmesini istediğimiz için orantılı tahsis yöntem ile tabaka örneklem büyüklüklerini belirliyoruz. Ancak tabaka örneklem büyüklüğüne geçmeden önce popülasyon büyüklüğünün bilindiğinden hareketle popülasyondan çekilecek örneklem büyüklüğünü aşağıda yazılan eşitlikle hesaplayalım.
Aşağıdaki eşitlikte kullanılan parametreler içerisinde
N=Popülasyon büyüklüğünü
n=Örneklem büyüklüğünü
p= Olayın görülüş olasılığını
q= (1-p) = Olayın görülmeme olasılığını
t= t tablo değerini
d= Tolerans seviyesini
göstermektedir.
Örneklem büyüklüğünün hesaplanmasında bilinen parametreler aşağıdakiler olsun:
N=1000
p=0,05
q=0,05
t=1,96
d=0,05
Verilenlere göre popülasyondan çekilecek örneklem büyüklüğünü hesaplayalım.
Bu çalışmada söz gelimi popülasyondan çekeceğimiz örneklem büyüklüğü (n) yaklaşık 278’dir. Tabakaların örneklem büyüklüklerini hesaplamak için bu aşamada yapılacak ilk işlem tabaka ağırlığı (w)’nın hesaplanmasıdır. Tabaka ağırlığı, n/N eşitliği ile hesaplanmaktadır. Bu çalışmada belirlenen tabaka ağırlığı = n/N=277,7/1000=0,2777‘dir.
Daha sonra bu ağırlık katsayısı ile tabaka büyüklüğü (Ni) çarpılarak tabaka örneklem büyüklükleri belirlenmektedir. Bu durumda tabakalara göre hesaplanan örneklem büyüklükleri Tablo 2’de verilmiştir. Burada somutlaştırmak adına Zayıf tabakasının örneklem büyüklüğünü hesaplayalım.
Zayıf tabakası (n1) için örneklem büyüklüğü n1=(257x 0,2777=71‘dir. Bu işlem diğer tabakalara da uygulanırsa Tablo 1’de en sağ sütundaki sonuçlar elde edilmiş olur.
Tabaka örneklem büyüklükleri belirlendikten sonra sıra tabaka örneklem (n) büyüklüklerine göre tabakalardan örneklem birimlerini seçmeye gelmiştir. Bu aşamada olasılıklı örnekleme yöntemlerinden biri olan basit tesadüfi tekrarsız örnekleme (SRSWOR) veya sistematik örnekleme yöntemini kullanabilirsiniz. Bu çalışmada kullanılan olasılıklı örnekleme yöntemi SRSWOR’dur. Bu örnekleme yönteminde tabakalardaki popülasyon birimlerinin her birine tabaka örneklemlerine eşit seçilme şansı veriyoruz.
Tablo 2: Tabakalar (L=6) ve Tabaka Örneklem (n) Büyüklükleri
Tabaka N Örneklem (n) Büyüklüğü
Zayıf 257 71,0
Normal Kilolu 161 45
Fazla Kilolu 119 33
I.Derece Obez 114 32
II.Derece Obez 122 34
III.Derece Morbid Obez 227 63
Toplam 1000 278
Bahsedilenler Şekil 2 üzerinde de özetlenmiştir.
Şekil 2: Tabakalı Örnekleme Uygulaması
Örnek uygulamadaki yapılanları ve tabaka örneklem birimlerinin seçimini göstermesi adına örneklem büyüklüğü (n) 278’de sabitlenmiş olup, aşağıda Microsoft Excel uzantılı (xlsx) olarak paylaşılmıştır. Buradan bu dokümanı indirebilirsiniz.
Sabitlenmiş Tabakalı Örneklem Büyüklüğüİndir
Örnek uygulama üzerinden hazırladığım simülasyon çalışması da aşağıda Microsoft Excel uzantılı (xlsx) olarak paylaşılmıştır. Burada örneklem büyüklüğü (n) tesadüfi bir şekilde belirlenmekte olup, çalışmalarınıza da uyarlayabilirsiniz. Bu simülasyonda örneklem büyüklüğünü sizin belirlemenize gerek bulunmamaktadır. =RASTGELEARADA(300;750) fonksiyonu ile 300 ile 750 arasında tesadüfi bir şekilde örneklem büyüklüğü belirlenmektedir. Aynı zamanda çalışma içerisinde F9 tuşuna basılı tutarak simulasyondan basit tekrarsız tesadüfi örnekleme yöntemiyle yeni örneklem birimleri seçebilirsiniz. Özellikle bu simülasyon çalışmasının sahada ve akademide faaliyet gösteren çalışanlara çok faydalı olacağı düşünülmektedir. Bu çalışmanın içerisinde olasılıklı örneklem seçiminden örneklem büyüklüğünün belirlenmesi kadar pek çok konu mevcuttur.
Buradan simülasyon çalışmasını indirebilirsiniz.
Tabakalı Örnekleme Simülasyonuİndir
Simülasyon çalışmasında bazı sayfalardaki formüller şifre ile korunmuştur. Değişiklik yapılması istenmesi durumundan sayfa korumasının kaldırılması için şifre olarak “tevfik” girilmesi yeterlidir. Özellikle bu simülasyon çalışmasının sahada ve akademide faaliyet gösteren çalışanlara çok faydalı olacağı düşünülmektedir. Bu çalışmanın içerisinde olasılıklı örneklem seçiminden örneklem büyüklüğünün belirlenmesine kadar pek çok konu mevcuttur. Bu simülasyonda örneklem büyüklüğünü tesadüfi bir şekilde belirlendiğinden sizin belirlemenize gerek bulunmamaktadır.
Faydalı olması ve farkındalık oluşturması dileğiyle.
Bilimle ve teknolojiyle kalınız.
Saygılarımla…
Not: Kaynak gösterilmeden alıntı yapılamaz veya kopyalanamaz.
Note: It can not be cited or copied without referencing.
Yararlanılan Kaynaklar
https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/stratified-sampling
https://online.stat.psu.edu/stat506/lesson/6/6.1
https://tevfikbulut.com/2019/09/14/microsoft-excelde-tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-uzerine-bir-vaka-calismasi-a-case-study-on-simple-random-sampling-srs-without-replacement-in-microsoft-excel/
https://tevfikbulut.com/2020/05/20/r-programlama-diliyle-sistematik-ornekleme-uzerine-bir-vaka-calismasi-a-case-study-on-systematic-sampling-with-r-programming-language/
https://tevfikbulut.com/2020/05/17/tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-yontemi-kullanilarak-z-tablosu-uzerinden-guven-araliginin-hesaplanmasina-yonelik-bir-simulasyon-calismasi-a-simulation-study-for-the-calculation-of-confidence-inter/
https://tevfikbulut.com/2020/05/18/tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-yontemi-kullanilarak-t-dagilim-tablosu-uzerinden-guven-araliginin-hesaplanmasina-yonelik-bir-simulasyon-calismasi-a-simulation-study-for-the-calculation-of-confiden/
https://tevfikbulut.com/2020/05/09/guven-araligi-hesaplama-confidence-interval-ci-calculation/
https://tevfikbulut.com/2019/09/14/microsoft-excelde-tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-uzerine-bir-vaka-calismasi-a-case-study-on-simple-random-sampling-srs-without-replacement-in-microsoft-excel/
https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/confint.htm
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://online.stat.psu.edu/statprogram/reviews/statistical-concepts/confidence-intervals
http://web.pdx.edu/~stipakb/download/PA551/boxplot.html
https://www.got-it.ai/
Field, Andy. (2009). Discovering Statistics Using SPSS. Third Edition.
Leedy ve Ormrod (2021). Practical Research: Planning and Design.
http://www.imatheq.com/imatheq/com/imatheq/math-equation-editor.html
Bunu paylaş:
Facebook
Twitter
Reddit
Telegram
E-posta
Yazdır
Daha fazla
LinkedIn
Tumblr
Pinterest
Pocket
WhatsApp
Skype
Bunu beğen:
Beğen Yükleniyor...
Tevfik BULUT	Genel	Yorum bırakın 7 Mayıs 2021 30 Mayıs 2021 10 Minutes	
Öne çıkan	
Z Tablosuna Göre Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması: A Simulation Study for Calculating Confidence Interval by Z Table
Güven aralıkları ingilizce ifadeyle confidence interval (CI) hem sahadan veri toplama yöntemleriyle elde edilen birincil verilerin hem de veri tabanlarından elde edilen işlenmiş ikincil verilerin analizinde çok yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Peki nedir bu güven aralığı? Güven aralığının hesaplanması için hangi parametrelere ihtiyaç vardır? Güven aralığı nasıl hesaplanır? Güven aralığını etkileyen faktörler nelerdir? Tanımlayıcı ve çıkarımsal istatistiklerin rolü nedir? Hipotez testlerinde yapılan hatalar nelerdir? Bu çalışmada bahsedilen bu sorulara cevaplar bulunacaktır. Bu amaçla olasılıklı örneklem yöntemlerinden biri olan ön yargısız (without bias) basit tesadüfi tekrarsız örneklem yöntemi kullanılmıştır. Basit tekrarlı örneklem yöntemi ile ise rastgele beden kitle endeksi verileri üretilmiştir. Üretilen bu sentetik veriler üzerinden deneysel güven aralığı çalışması hazırlanmıştır. Diğer programlama dilleri kullanılarak veya paket programlar üzerinde de bu çalışmanın yapılması her zaman mümkündür. Bunu da yapabilirdim ancak Microsoft Office Excel 2016 kullanılarak güven aralığı çalışması yapılmasının daha uygun olacağını düşündüm. Bunun nedeni excel üzerinde okuyucuya fonksiyon (formül) etkileşimleri gösterilerek konu hakkında daha fazla katkı sunulması amaçlanmasıdır. İki farklı güven aralığı çalışmasına yer verilmiştir. İlkinde güven aralığı çalışmasında elde edilen değerler sabitlenmiştir. İkincisi ise simülasyona izin verecek dinamik bir şekilde excel uzantılı dosya içerisinde sunulmuştur.Bunun nedeni seçilen örneklemlerdeki parametre ve güven aralıkları değişimlerinin karşılaştırmalı ve dinamik olarak sunulmak istenmesidir.
Tanımlayıcı istatistiklerin rolü nedir?
Adından da anlaşılacağı gibi, tanımlayıcı istatistikler (descriptive statistics) bir veri kümesini tanımlar. Burada, bir araştırmacının bir veri seti hakkında bilmek isteyebileceği üç şeyi nasıl belirleyeceğimizi tartışıyoruz:
Merkezi eğilim noktaları,
Değişkenlik miktarı (varyans derecesi)
İki veya daha fazla değişkenin birbiriyle ilişkilendirilme derecesi.
Merkezi Eğilim Ölçüleri
Merkezi bir eğilim noktası, verilerin etrafında döndüğü bir noktadır, belirli bir değişkenle ilgili verilerin etrafında dolaştığı bir orta sayıdır. İstatistik dilinde, böyle bir noktayı belirleme tekniklerine atıfta bulunmak için merkezi eğilim ölçüleri terimini kullanıyoruz. Merkezi eğilimin yaygın olarak kullanılan üç ölçüsü mod, medyan (ortanca) ve ortalamadır ve her biri kendi özelliklerine ve uygulamalarına sahiptir.
Mod, en sık meydana gelen tek sayı veya puandır. Ortanca, bir puan setinin sayısal merkezidir. Ortalama ise belirli bir değişken için puanların aritmetik ortalamasıdır. Hesaplamak için tüm puanların toplamını hesaplıyoruz (her gerçekleştiğinde her puanı ekliyoruz) ve ardından toplam puan sayısına bölüyoruz.
Ortalama ayrıca istatistiksel analizlerde ve araştırma raporlarında en yaygın olarak kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür. Bununla birlikte, yalnızca aralık veya oran verileri için uygundur, çünkü yalnızca sayılar belirli bir ölçek boyunca eşit aralıkları yansıttığında bir ortalamayı hesaplamak matematiksel olarak mantıklıdır.
Medyan, sıralı verilerde daha uygundur. Medyan, bir araştırmacı bir yönde veya diğerinde oldukça çarpık bir veri kümesiyle uğraşırken de sıklıkla kullanılır. Medyanlar genellikle aile geliri ve finansal varlıkların düzeylerinde merkezi eğilimi yansıtmak için kullanılır; çoğu aile geliri ve hane halkı varlıkları ölçeğin alt ucunda kümelenmiştir ve yalnızca çok azı bu aralıkta yayılmıştır. Buradan medyanın uç değerlerden etkilenmediği anlaşılmaktadır.
Her durumda, temel bir ilke geçerlidir: Verilerin konfigürasyonu, o özel durum için en uygun merkezi eğilim ölçüsünü belirler. Veriler normal dağılım gösteren bir eğriye yaklaşan bir dağılıma yakınsarsa, bir merkezi eğilim ölçüsü gerektirirler. Eğer bir ogive-eğri niteliğine sahiplerse (bir büyüme durumunun özelliği), başka bir ölçüt gerekir. Birden fazla zirveye sahip olan çok modlu bir dağılım, yine de üçüncü bir yaklaşımı gerektirebilir; örneğin, araştırmacı onu iki veya daha fazla mod açısından tanımlayabilir. Araştırmacı, ancak verilerin özelliklerinin dikkatli ve bilinçli bir şekilde değerlendirilmesinden sonra en uygun istatistiği seçebilir.
Bu nedenle, veri analizlerinde istatistik kullanan araştırmacılar için temel bir kuralı vurgulamalıyız: Verilerin doğası istatistiksel tekniği belirler, tersi bir durum geçerli değildir. Tıpkı doktorun belirli hastalıklar ve bozukluklar için hangi ilaçların mevcut olduğunu bilmesi gerektiği gibi, araştırmacının da belirli araştırma taleplerine hangi istatistiksel tekniklerin uygun olduğunu bilmesi gerekir. Tablo A, her bir ölçünün uygun olduğu çeşitli veri türleri ile birlikte merkezi eğilim ölçüleri ve kullanımlarının bir özetini sunmaktadır.
Tablo A: Farklı Veri Türleri İçin Merkezi Eğilim Ölçülerini Kullanma
Merkezi Eğilim Ölçüsü Nasıl Belirlenir (N = puan sayısı) Uygun Olduğu Veriler
Mod En sık meydana gelen puan belirlenir. ● Nominal, sıra, aralık ve oran ölçek türündeki veriler
● Çok modlu dağılımlar (bir dağıtımın birden fazla zirvesi olduğunda iki veya daha fazla mod tanımlanabilir)
Medyan Puanlar en küçükten en büyüğe sıralanır ve orta puan (N tek sayı olduğunda) veya iki orta puan arasındaki orta nokta (N çift sayı olduğunda) belirlenir. ● Sıra, aralık ve oran ölçekleriyle ilgili veriler
● Oldukça çarpık veriler
Aritmetik ortalama Tüm puanlar toplanır ve toplamları toplam puan sayısına (N) bölünür. ● Aralık ve oran ölçekleriyle ilgili veriler
● Normal dağılım gösteren veriler
Geometrik Ortalama Tüm puanlar birlikte çarpılır ve çarpımlarının N’inci kökü hesaplanır. ● Oran ölçekleriyle ilgili veriler
● Bir büyüme (ogive) eğrisine yakın olan veriler (Örneğin, büyüme verileri)
Kaynak: Leedy ve Ormrod (2021). Practical Research: Planning and Design
Değişkenlik Ölçüleri: Dağılım ve Sapma
Veri merkezi eğilim noktası etrafında ne kadar çok kümelenirse, belirli bir veri noktasının nerede olduğuna dair doğru bir tahminde bulunma olasılığı o kadar artar. Şekil A’da gösterildiği gibi, ortalamaya yakın kümelenirlerse veriler daha benzerdir. Onları dağıtın ve tekdüzeliklerinin bir kısmını kaybederler; daha çeşitli, daha heterojen hale gelirler. Belirli veri noktaları ortalamadan uzaklaştıkça, kendilerini “ortalama” yapan kaliteyi giderek daha fazla kaybederler.
Şekil A: Değişkenlikte Farklılaşan Dağılımlar
Kaynak: Leedy ve Ormrod (2021). Practical Research: Planning and Design
Değişkenliğin en basit, en açık göstergesi, verilerin en düşük değerden en yüksek değere yayılmasını gösteren aralıktır:
Aralık = En yüksek puan – En düşük puan.
Aralığın hesaplanması kolay olmasına rağmen, değişkenliğin bir ölçüsü olarak sınırlı kullanışlılığa sahiptir ve aşırı üst veya alt sınırlar serideki diğer değerlerden atipik ise yanıltıcı olabilir.
Diğer değişkenlik ölçüleri, başlangıç noktası olarak daha az uç değerler kullanır. Böyle bir ölçü, çeyrekler arası aralıktır. Dağılımı dört eşit parçaya bölersek, 1. çeyrek grup üyelerinin % 25’inin altında olduğu bir noktada yer alır. 2. Çeyrek, grubu iki eşit parçaya böler ve medyan ile aynıdır. 3. çeyrek, değerlerin % 75’inin altında olduğu bir noktada yer alır. Çeyrekler aralığı, Çeyrek 3 (75. yüzdelik nokta) eksi Çeyrek 1’e (25. yüzdelik nokta) eşittir:
Çeyrekler arası aralık = 3. Çeyrek – 1. Çeyrek
Böylece, çeyrekler arası aralık bize dağılımdaki vakaların % 50’si için aralığı verir. Çeyrekler medyan ile ilişkili olduğundan, merkezi eğilim ölçüsü olarak medyanı kullanan herhangi bir araştırmacı, çeyrek sapmayı da değişkenlik için olası bir istatistiksel ölçü olarak dikkate almalıdır. Sıralı verilerle veya çok çarpık verilerle çalışırken, bazı araştırmacılar, en düşük ve en yüksek sayıların yanı sıra Çeyrek 1, ortanca (aynı zamanda Çeyrek 2’dir) ve Çeyrek 3’ten oluşan beş göstergeyi raporlar.
Şimdi bunun yerine ortalamayı başlangıç noktası olarak kullanalım. Her bir puanın ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu belirlediğimizi hayal edin. Yani, her puan ile ortalama arasındaki farkı hesaplıyoruz (bu farka sapma diyoruz). Tüm bu farkları toplarsak (artı ve eksi işaretlerini göz ardı ederek) ve ardından toplamı puan sayısına bölersek (bu, puan ortalaması farklılıklarının sayısını da yansıtır), herhangi bir puan ile ortalama arasındaki farkların ortalamasını alırız. Bu işlem bazen ortalama sapma (AD) olarak adlandırılır. Ortalama sapma eşitliği:
Burada | X – M |, artı ve eksi işaretleri dikkate alınmadan X-M anlamına gelir. Diğer bir deyişle, her bir puan ile ortalama arasındaki farkın mutlak değeridir.
Ortalama sapma kolayca anlaşılır ve bu nedenle bazı anlamlar içerir. Başka bir istatistiksel prosedür düşünülmediğinde kabul edilebilir. Birincil zayıflığı, mutlak değerleri kullanmasıdır. Bunun yerine, hesapladığımız puanda artı ve eksi işaretlerini tutarsak ne olacağını hayal edin. Ortalamanın solunda bulunan (ve dolayısıyla ortalamadan daha küçük bir değere sahip olan) herhangi bir sayı için, sayı ile ortalama (X-M) arasındaki fark negatif bir sayı olacaktır. Buna karşılık, ortalamanın sağında bulunan herhangi bir sayı, pozitif bir X-M değeri verir. Tüm olumlu ve olumsuz sapmaları bir araya getirdiğimizde, birbirlerini tamamen dengeleyecekler, esasen birbirlerini “iptal edecekler” ve genel bir sıfır toplamı vereceklerdi. Ortalama sapma, artıları ve eksileri göz ardı ederek bu sorunu ortadan kaldırır. Yine de bu oldukça şüpheli bir prosedürdür. Sevmediğimiz şeyleri görmezden gelmek ne sağlam matematik ne de sağlam araştırma uygulamasıdır.
Ortalama sapma formülünden farklı olarak, standart sapma formülü, mutlak değerle negatifleri pozitiflere dönüştürür. Daha spesifik olarak formül, puan-ortalama farklılıklarının her birinin karesinin alınmasını gerektirir. Örneğin, (X-M)2.
Aritmetikte, negatif bir sayıyı kendisiyle çarptığımızda, sonuç pozitif bir sayıdır. Elbette aynı şey pozitif bir sayının karesini almak için de geçerlidir; dolayısıyla, pozitif farklılıkları dengelemek için negatif puan – ortalama farkı bu durumda yoktur.
Standart bir sapmayı hesaplamak için (sırasıyla bir popülasyon parametresi ve örneklem istatistiği için σ veya s olarak sembolize edilir), ortalama sapmanın hesaplanmasına benzer bir prosedür izliyoruz. Bununla birlikte, puanın mutlak değerlerini elde etmek yerine – ortalama farklar, bu farkların her birinin karesini alırız. Daha sonra tüm farkların toplamını (Σ) hesaplıyoruz, bu toplamı puan sayısına böleriz ve son olarak yeni elde edilen bölümün karekökünü buluruz. Bu nedenle, popülasyon standart sapmanın formülü aşağıdaki gibidir:
Standart sapma, istatistiksel prosedürlerde en yaygın olarak kullanılan değişkenliğin ölçüsüdür. Birçok istatistiksel prosedür, standart sapmaya ek olarak veya bunun yerine ikinci, ilgili bir değişkenlik ölçüsü kullanır. Bu istatistik, basitçe standart sapmanın karesi olan varyans olarak bilinir:
Normal ve normal olmayan dağılımların karakteristikleri nelerdir?
Genel olarak normal dağılım veya normal eğri olarak adlandırılan bu model için çan eğrisi terimini de görebilirsiniz. Normal dağılımın birkaç ayırt edici özelliğe sahiptir:
Yatay olarak simetriktir. Bir taraf, diğer tarafın aynadaki yansımasıdır, yani eğri simetriktir.
En yüksek noktası orta noktasıdır. Daha fazla insan (veya araştırmanın odağı olan diğer birimler), eğri boyunca başka herhangi bir noktada olduğundan daha tam ortada yer alır. İstatistiksel terimlerle, merkezi eğilimin yaygın olarak kullanılan üç ölçüsü, mod, medyan ve ortalama (tümü kısaca açıklanacak) bu noktada birbirine eşittir.
Nüfusun tahmin edilebilir yüzdeleri, eğrinin her iki bölümünde bulunur. Eğriyi standart sapmasına göre bölersek (ayrıca kısaca açıklanacaktır), popülasyonun belirli yüzdelerinin her iki kısmında yer aldığını biliyoruz. Özellikle, popülasyonun yaklaşık % 34,1’i ortalama ile ortalamanın altındaki bir standart sapma arasındadır ve diğer % 34,1’i ortalama ile ortalamanın üzerindeki bir standart sapma arasındadır. Nüfusun yaklaşık % 13,6’sı ortalamanın altında bir ila iki standart sapma arasında yer alırken, diğer % 13,6’sı ortalamanın üzerinde bir ve iki standart sapma arasında yer alır. Kalan % 4,6, dağılımın her bir ucunda % 2,3 ile ortalamadan iki veya daha fazla standart sapma uzaktadır. Bu model Şekil B’de gösterilmektedir. Normal dağılımın herhangi belirli bir bölümünde yer alan nüfus oranları, çoğu giriş istatistik kitabında bulunabilir.
Şekil B: Normal Dağılımın İki Kısmındaki Yüzdeler
Kaynak: Leedy ve Ormrod (2021). Practical Research: Planning and Design
Ancak bazen veriler normal bir dağılımı yansıtmaz. Örneğin, dağılımları orantısız veya çarpık olabilir. “Çarpıklık”, dağılımın biraz daha bir tarafa uzanan kısmıdır. Tepe orta noktanın solunda yer alıyorsa, dağılım pozitif olarak çarpıktır; tepe orta noktanın sağında yer alıyorsa, dağılım negatif olarak çarpıktır. Ya da belki bir dağılım alışılmadık derecede sivri veya düzdür, öyle ki dağılımın her bir bölümündeki yüzdeler Şekil B’de gösterilenlerden önemli ölçüde farklıdır. Burada, bir leptokürtik dağılımı yansıtan alışılmadık şekilde sivri bir dağılımla ve alışılmadık derecede düzleşen platikürtik bir dağılım olan basıklıktan bahsediyoruz (Bkz. Şekil C).
Şekil C: Normal Dağılımdan Ayrılışlar
Kaynak: Leedy ve Ormrod (2021). Practical Research: Planning and Design
Parametrik ve parametrik olmayan istatistikler arasında neden seçim yaparız?
İstatistiksel prosedürler seçiminiz, bir dereceye kadar verilerinizin yapısına ve bunların normal dağılımı ne ölçüde yansıttığına bağlı olmalıdır. Parametrik istatistikler olarak bilinen bazı istatistikler, söz konusu popülasyonun doğası hakkında belirli varsayımlara dayanmaktadır. En yaygın varsayımlardan ikisi şunlardır:
Veriler aralık veya oran ölçeğinde olmalıdır.
Veriler normal bir dağılım göstermelidir (örneğin, dağılımın merkezi bir yüksek noktası vardır ve ciddi şekilde çarpık, leptokurtik veya platikurtik değildir).
Bu varsayımlardan herhangi biri ihlal edildiğinde, parametrik istatistiklerden elde edilen sonuçlar hatalı olabilir.
Buna karşılık, parametrik olmayan istatistikler bu tür varsayımlara dayalı değildir. Örneğin, bazı parametrik olmayan istatistikler, doğası gereği aralıktan ziyade sıralı olan veriler için uygundur. Diğerleri, bir popülasyon bir yönde veya diğerinde oldukça çarpık olduğunda yararlı olabilir.
“Veriler hakkında herhangi bir varsayımda bulunmaktan (ve muhtemelen ihlal etmekten) kaçınmak için neden her zaman parametrik olmayan istatistikleri kullanmıyorsunuz?” diye düşünüyor olabilirsiniz. Nedeni basit: En karmaşık ve güçlü çıkarımsal istatistiklerimiz parametrik istatistiklere dayanmaktadır. Parametrik olmayan istatistikler, genel olarak, yalnızca nispeten daha basit analizler için uygundur.
İyimser bir not olarak, bazı istatistiksel prosedürlerin belirli varsayımlar açısından sağlam (robust) olduğunu belirtmeliyiz. Yani, bir varsayım karşılanmadığında bile genellikle geçerli sonuçlar verirler. Örneğin, belirli bir prosedür normal dağılımda olduğu gibi leptokürtik veya platikürtik dağılım için de geçerli olabilir, yani aralık verilerinden ziyade sıralı verilerle bile geçerli olabilir.
Çıkarımsal istatistiklerin rolü nedir?
Çıkarımsal (inferential) istatistikler, nispeten küçük örneklemlerden büyük popülasyonlar hakkında çıkarımlar yapmamızı sağlar. Daha spesifik olarak, çıkarımsal istatistiklerin iki ana işlevi vardır:
Rastgele bir örneklemden bir popülasyon parametresini tahmin etmek,
İstatistiksel temelli hipotezleri test etmek
Özellikle nicel araştırma yaptığımızda çoğu kez, örneklemin alındığı daha büyük popülasyon hakkında bilgi edinmek için bir örneklem kullanıyoruz. Tipik olarak, çalıştığımız örneklem için çeşitli istatistikleri hesaplıyoruz. Çıkarımsal istatistikler bize bu örneklem istatistiklerin genel popülasyonun parametrelerine ne kadar yakın olduğunu söyleyebilir. Örneğin, genellikle merkezi eğilim (örneğin, ortalama veya μ), değişkenlik (örneğin, standart sapma veya σ) ve oran (P) ile ilgili popülasyon parametrelerini tahmin etmek isteriz. Popülasyondaki bu değerler, örneklemdeki M veya X, s ve p parametreleri ile karşılaştırılır.
Buradaki sorun, örneklem istatistikleri temelinde popülasyon yani evren parametrelerini belirlemektir. Popülasyon parametrelerinin istatistiksel tahminleri, örneklemin tesadüfi seçildiği (mutlaka olasılıklı örnekleme yöntemi olmalı) ve toplam popülasyonu temsil ettiği varsayımına dayanmaktadır. Yalnızca tesadüfi, temsili bir örneklem olduğunda, istatistiklerimizin popülasyon parametrelerini ne kadar yakından tahmin ettiğine dair makul tahminlerde bulunabiliriz. Bir örneklem rastgele olmadığı ve dolayısıyla temsili olmadığı ölçüde – seçimi bir şekilde önyargılı olduğu ölçüde – hesapladığımız istatistikler, örneklemin alındığı popülasyonu yansıtmaz.
Popülasyonlardan gelen tesadüfi örneklemler – lütfen burada tesadüfi kelimesine dikkat edin – seçildikleri popülasyonlarla kabaca aynı özellikleri gösterir. Bu nedenle, örneklemimizin ortalama yüksekliğinin, genel popülasyonun ortalamasıyla yaklaşık olarak aynı olmasını beklemeliyiz. Ancak tam olarak aynı olmayacaktır.
Farklı örneklemler – her biri aynı popülasyondan rastgele seçilse bile – neredeyse kesinlikle o popülasyon hakkında biraz farklı tahminler verecektir. Popülasyon ortalaması ile örneklem ortalaması arasındaki fark, tahminimizde bir hata oluşturur. Popülasyonun tam olarak ne anlama geldiğini bilmediğimiz için tahminimizde ne kadar hata olduğunu da bilmiyoruz. Ancak üç şey biliyoruz:
Sonsuz sayıda rastgele örneklemlerden elde edebileceğimiz ortalamalar normal bir dağılım oluşturur.
Örneklemlerin ortalamalarının ortalaması, örneklemlerin alındığı popülasyonun ortalamasına eşittir (μ). Başka bir deyişle, popülasyon ortalaması, tüm örneklem ortalamalarının ortalamasına eşittir.
Örneklem ortalamalarının dağılımının standart sapması, genel popülasyon için ölçülen değişkenin – tüm ortalamalarını hesapladığımız değişken – standart sapmasıyla doğrudan ilgilidir.
Nokta tahminleri mi yoksa aralık tahminleri mi?
Popülasyon parametrelerini tahmin etmek için örneklem istatistikleri kullanırken, iki tür tahmin yapabiliriz: nokta tahminleri ve aralık tahminleri.
Nokta tahmini, popülasyon parametresinin makul bir tahmini olarak kullanılan tek bir istatistiktir; örneğin, popülasyon ortalamasına yakın bir yaklaşım olarak örneklem ortalamasını kullanabiliriz. Nokta tahminlerinin kesin olma gibi görünen faydası olsa da, aslında bu kesinlik yanıltıcıdır. Bir nokta tahmini tipik olarak popülasyondaki eşdeğeriyle tam olarak uyuşmaz.
Daha doğru bir yaklaşım – yine de % 100 güvenilir olmasa da – parametrelerin aralık tahminlerini belirlemektir. Özellikle, bir popülasyon parametresinin muhtemelen içinde bulunduğu bir aralığı belirleriz ve gerçekte orada olma olasılığını belirtiriz. Bu tür bir aralığa genellikle güven aralığı denir, çünkü tahmine belirli bir olasılık seviyesi ekler. Yani, güven aralığı, tahmin edilen aralığın popülasyon parametresini içerdiğine dair belirli bir güven seviyesidir.
Hipotez testlerindeki hatalar nelerdir?
Elbette, belirli bir sonucun tek başına tesadüflerin sonucu olmadığına karar verdiğimizde hata yapmamız mümkündür. Aslında, herhangi bir sonuç muhtemelen tesadüflere bağlı olabilir; Örneğimiz, rastgele seçilmesine rağmen, sadece çekilişin şansı aracılığıyla atipik özellikleri gösteren bir şans olabilir. Aslında bir sonucun şans eseri olduğu halde bir sonucun şans eseri olmadığı sonucuna varırsak, yani eğer boş hipotezi yanlış bir şekilde reddedersek Tip I hatası yapıyoruz (alfa hatası da denir).
Başka bir durumda ise bir sonucun aslında tesadüflerden kaynaklandığı sonucuna varabiliriz. Böyle bir durum, aslında yanlış olan boş bir hipotezi reddetmeyi başaramadığımız durumdur. Bu durum, beta hatası olarak da bilinen Tip II hatasıdır. Örneğin, yeni bir ilacın, insanların kanındaki düşük yoğunluklu lipoprotein kolesterolü (“kötü” kolesterol türü) azaltmadaki etkilerine karşı plasebonun göreli etkilerini test ettiğimizi hayal edin. Belki de yeni ilacı alan kişilerin ortalama olarak, plasebo alanlara göre daha düşük bir kolesterol seviyesine sahip olduğunu görürüz, ancak fark küçüktür. Sadece şansa bağlı olarak 100 üzerinden 25 kez böyle bir farkın ortaya çıkabileceğini keşfederiz ve bu nedenle boş hipotezi muhafaza ederiz. Gerçekte, ilaç, kolesterolü bir plasebodan daha fazla düşürüyorsa, Tip II hatası yapmış oluruz.
İstatistiksel hipotez testi tamamen bir olasılık meselesidir ve her zaman Tip I veya Tip II hata yapma şansımız vardır. Önem düzeyimizi, örneğin 0,05’ten 0,01’e veya belki daha da düşük bir düzeye düşürerek Tip I hata yapma olasılığını azaltabiliriz. Bununla birlikte, bunu yapma sürecinde, Tip II hata yapma olasılığımızı artırıyoruz – aslında yanlış olan boş bir hipotezi reddetmekte başarısız olacağız. Tip II hata olasılığını azaltmak için, anlamlılık düzeyimizi (α) artırmamız gerekir; bu, sıfır hipotezini reddetme olasılığını artırdığı için, aynı zamanda Tip I hata olasılığını da artırır. Açıkçası, o zaman Tip I ve Tip II hataları arasında bir denge vardır: Birini yapma riskini her azalttığınızda, diğerini yapma riskini artırırsınız.
Yeni bir araştırmacı için önemsiz sonuçlar elde etmek son derece sinir bozucu olabilir – istatistiksel bir bakış açısıyla, sadece tesadüflere bağlı olanlar. Aşağıda, Tip II hata yapma olasılığını azaltmak ve böylece yanlış bir sıfır hipotezini doğru bir şekilde reddetme olasılığını artırmak için dört öneri bulunmaktadır. Başka bir deyişle, bunlar istatistiksel bir testin gücünü artırmak için önerilerdir:
Mümkün olduğu kadar büyük bir örneklem kullanın. Örneklem ne kadar büyükse, hesapladığınız istatistikler gerçek popülasyon parametrelerinden o kadar az farklılık gösterir.
Değerlendirme araçlarınızın geçerliliğini ve güvenilirliğini en üst düzeye çıkarın. Bir araştırma çalışmasındaki değerlendirme araçları nadiren mükemmel (% 100) geçerliliğe ve güvenilirliğe sahiptir, ancak bazı araçlar diğerlerinden daha geçerli ve güvenilirdir. Yüksek geçerlilik ve güvenilirliğe sahip araçları veya diğer değerlendirme stratejilerini kullanan araştırma projelerinin istatistiksel olarak anlamlı sonuçlar vermesi daha olasıdır.
Mantıksal olarak savunulabilir ve lojistik olarak pratikse, bağımlı değişkeninizin tekrarlanan ölçümlerini elde edin. Diğer şeyler eşit ya da sabit olduğunda, her katılımcı için belirli bir davranış veya özelliğin tekrarlanan ölçümleri istatistiksel analizlerin gücünü artırır. Tekrarlanan ölçümler, (a) her bir katılımcı için genel değerlendirme puanlarının güvenilirliğini artırarak ve/veya (b) değerlendirme puanlarındaki olası değişkenlik kaynakları olarak konular arasındaki farklılıkları istatistiksel olarak kontrol ederek istatistiksel gücü artırır.
Mümkün olduğunca parametrik olmayandan ziyade parametrik istatistikleri kullanın. Genel bir kural olarak, parametrik olmayan istatistiksel prosedürler parametrik tekniklerden daha az güçlüdür. “Daha az güçlü” ile parametrik olmayan istatistiklerin tipik olarak, araştırmacının boş bir hipotezi reddetmesini sağlayan sonuçlar elde etmek için daha büyük örnekler gerektirdiğini kastediyoruz. Verilerin özellikleri parametrik istatistik varsayımlarını karşıladığında bu istatistikleri kullanmanızı tavsiye ederiz.
Güven aralığı nedir?
Maliyetlerin yüksekliği, uzun zaman alması, güncel ve derinlemesine veri elde edilmesi gibi temel öncelikler esas alınarak sıklıkla kişiler ya da kurumlar popülasyonun tamamının yerine bu popülasyonu temsil eden örneklem üzerinde araştırma yapmayı tercih ederler. Ancak seçilen örneklemin popülasyonun tamamını temsil etmesi isteniyorsa yeterli örneklem büyüklüğü (n) belirlenerek mutlaka olasılıklı örneklem yöntemlerinden biri veya birkaçı birlikte kullanılmalıdır. Popülasyonun tamamı yerine bu popülasyondan seçilen örneklem söz konusu olunca örneklem popülasyonu ne kadar temsil ediyor sorusu ortaya çıkmaktadır. Güven aralığı ise aslında tam da bize bunu söylemektedir. Güven aralığı, popülasyon ortalamasının tahmincisi olup, bize örneklem ortalamalarının popülasyon ortalamasından ne kadarlık bir sapma olduğunu göstermektedir. Güven aralığının bir alt limit (lower bound)’i ve üst limit (upper bound)’i vardır. Bu alt ve üst limitlerin olması güven aralığına adını vermektedir. Yani örneklemden elde edilen güven aralıkları popülasyon ortalamasını mutlaka içerecektir. Burada güven aralığındaki alt ve üst limitin yorumlanması önem arz etmektedir. Alt ve üst limitler arasında fark ne kadar az ise, diğer bir deyişle güven aralığı genişliği (CI Width) ne kadar dar ise örneklem ortalaması popülasyon ortalamasına o kadar yakın ve popülasyon ortalamasını o kadar doğru tahmin ediyor demektir. Tersi bir durum, örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasından uzaklaşması anlamı taşımaktadır ki, bu durum örneklemin popülasyonu kötü temsili anlamına gelmektedir.
Örneğin bir okulda 70 öğrenciden oluşan tesadüfi bir örneklem seçildi ve seçilen her öğrenciye bir matematik testi uygulandı. Matematik testi puanları için % 95 güven aralığı oluştururken alt limitimiz 56,302 puan, üst limitimiz 84,422 puan olsun. Yani 56,302<popülasyon ortalaması< 84,422 olsun. Bu durumda bizim güven aralığı yorumumuz şöyle olacaktır: Bu okuldaki tüm öğrencilerin popülasyonundaki ortalama matematik puanının 56,302 ile 84,422 arasında olduğuna % 95 eminiz demektir. Tersinden düşünürsek % 5 emin değiliz anlamı da çıkmaktadır. Bu % 5’lik hata, bizim Tip I (alfa hatası olarak da bilinir) hatamızı göstermektedir.
Güven aralığının hesaplanması için hangi parametrelere ihtiyaç vardır?
Genel olarak, güven aralığını hesaplamak için adım adım ele alınması gereken parametreler Şekil 1’de verilmiştir.
Şekil 1: Güven Aralığı Hesaplama Adımları
Şekil 1’de görüleceği üzere ilk olarak popülasyondan çekilen örneklemin ortalaması hesaplanır. Ortalama ise aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır. Eşitlik örneklem ortalamasının hesaplanmasına yönelik olduğu için “X” parametresi kullanılmıştır. Örneklem ortalaması bütün gözlem değerlerinin toplamının toplam gözlem sayısına bölünmesi ile elde edilir. Eşitlikte küçük “n” örneklem büyüklüğünü ifade etmektedir.
Eğer popülasyon ortalamasını hesaplamış olsaydık eşitlikte n yerine büyük “N” e yer verecektik. Burada N popülasyondaki gözlem sayısını ifade etmektedir. Popülasyon ortalaması (μ) ise bütün gözlem değerlerinin toplamının toplam gözlem sayısı (N)’na bölünmesi ile elde edilmekte olup, aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Örnekleme ait standart sapmanın hesaplanmasında ise aşağıdaki eşitlikten faydalanılır. Burada standart sapma ile aslında örneklem ortalamasından ne kadarlık bir sapma olduğunu gösteriyoruz. Adım adım örneklem standart sapması şöyle hesaplanır:
Örneklemdeki gözlem değerlerinin ortalaması hesaplanır.
Her bir gözlemin gözlem ortalamasından farkı alınır.
Her bir gözleme ait hesaplanan farkın karesi hesaplanır.
Her bir gözleme ait hesaplanan farkların karesi toplanır.
Elde edilen fark kareleri toplamı örneklemdeki gözlem sayısının bir eksiğine bölünür.
Elde edilen değerin karesi hesaplanır.
Popülasyon standart sapmasının hesaplanması ise örneklem standart sapmasına benzer olup tek fark karekök içindeki eşitliğin paydasında büyük “N” e, diğer bir deyişle popülasyondaki toplam gözlem sayısına yer verilmesidir. Yukarıda örneklem standart sapmasındaki işlemler popülasyon standart sapması için de yapılır.
Element varyansı ise örneklem standart sapmasının karesi olup, aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır.
Eğer örneklemin popülasyon içinde yüzdesi (f=(n/N) x 100) %5’ten büyükse örneklem varyansının hesaplanması ve bunun üzerinden standart hata hesaplanması yoluna gidilmelidir. Örneklem varyansı ise aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Popülasyon varyansı ise popülasyon standart sapmasının karesinin alınması ile hesaplanır. Aşağıdaki eşitlik yardımıyla popülasyon varyansı hesaplanır.
Standart hata (se), diğer bir ifade ile ortalamanın standart hatası aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır. Örneklemin standart sapması (s)’nın karekök içerisindeki örneklem gözlem sayısı (n)’na bölünmesi bize ortalamanın standart hatası (standard error of the mean)’nı verir. Standart hatayı aynı zamanda örneklem varyansının karekökünü alarak da hesaplayabiliriz. Örneklem büyüklüğünün artırılması merkezi limit teoremi (central limit teorem)’ne dayalı olarak standart hatayı azaltır ve bu istenen bir durumdur. Böylece, örneklem dağılımı standart normal dağılıma (ortalaması 0, standart sapması 1) evrilir.
Güven aralığı nasıl hesaplanır?
Güven aralığının belirlenmesini sağlayan eşitliklere yer verildikten sonra sırasıyla şimdi çok yalın bir şekilde güven aralığı eşitliğini alt ve üst limitten başlayarak verelim. Bu çalışmada güven aralığı, ortalaması ve standart sapması bilinen bir popülasyon üzerinden hesaplanmıştır.
Güven aralığının alt ve üst limitini verdikten sonra bir bütün olarak güven aralığı (confidence interval) eşitliğini verelim. Eşitliğin ortasında yer verilen μ popülasyon ortalamasını göstermektedir. Daha önce de belirtildiği üzere güven aralıklarıyla aslında popülasyon ortalamasını tahmin ediyoruz.
Güven aralığının alt ve üst, diğer bir deyişle iki kuyruklu (two tailed) alfa katsayıları aşağıdaki şekil üzerinde verilmiştir. Z tablosu ortalaması 0, standart sapması 1 olan standart normal dağılımı kullanmaktadır. Standart normal dağılım eğrisi şeklinden dolayı can eğrisi (bell curve) olarak da adlandırılmaktadır. Eğrinin altında alanın toplamı 1’e eşittir. Burada belirlenen güven düzeyi % 95’tir. Bu güven düzeyi s
osyal bilimler dışında özellikle sağlık bilimlerinde % 95’in üzerine çıkabilmektedir daha kesin çıkarımlar (inferences) alınmak istendiğinden.
Kaynak: https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
Güven aralığı eşitliğinde görüleceği üzere güven aralığının hesaplanması için gerekli parametreler örneklemin ortalaması, standart hatası (se) ve Z tablo değeridir. Burada Z tablo yerine pekala t tablo değeri de alınabilirdi. Ancak örneklem büyüklüğümüz bu çalışma kapsamında 30’un üzerinde (n>30) olduğu için Z tablosu kullanılmıştır. Ancak isteğe bağlı olarak çalışmada 30’un altında örneklem büyüklüğü (n) belirlenerek t tablo değeri hesaplanabilir. Diğer taraftan, genel olarak sosyal bilimlerdeki istatistiksel analiz ve araştırmalarda güven düzeyleri % 95 olarak alınmaktadır. Ancak bu çalışmada % 90 güven düzeyi benimsenmiştir. Güven düzeyinin % 90 olarak alınması % 10’luk hata payının (alfa hastasının ya da Tip I hatanın) önceden kabul edildiğini göstermektedir. Çalışmanın sonunda paylaştığım simülasyon çalışmasında % 95 üzeri ve altı güven düzeyleri için de güven aralıkları simüle edilebilmektedir.
Sırası gelmişken belirtmekte fayda olduğuna inanıyorum. Güven aralığının kamuoyunda ve literatürde sık sık yanlış yorumlandığı ve adlandırıldığı görülmektedir. Diğer bir deyişle, güven aralığı (confidence interval) ile güven düzeyi (confidence level) karıştırılmaktadır. Burada güven aralığı eğer yüzde olarak ifade edilmişse bu güven düzeyini, yüzde olarak ifade edilmemişse güven aralığını ifade etmektedir. % 95 güven düzeyine sahip olmak, sonuçlarınızın herkese anket yapmış gibi neredeyse aynı olduğundan emin olduğunuz anlamına gelir.
Güven aralığını etkileyen faktörler nelerdir?
Güven aralığını etkileyen faktörler şöyle sıralanabilir:
Örneklem büyüklüğü: örneklem büyüklüğü (n) artıkça elde edilen cevapların popülasyonu doğrulama olasılığı o kadar artar. Diğer bir deyişle, örneklem büyüklüğünün artması güven aralığını daraltır. Ancak bu artış lineer olmayabilir.
Örneklem seçiminde kullanılan yöntem: eğer örneklem olasıklı örneklem yöntemleri kullanılmadan ya da bu yöntemler kullanılsa bile hatalı örneklem seçimi yapılmışsa güven aralıklarını etkileyebilir. Dolayısıyla popülasyon parametresi olan ortalamalar doğru bir şekilde tahmin edilmemiş olur.
Örneklem büyüklüğü sabit tutulduğunda güven düzeyi (% 95’ten % 99’a yükselmesi) yükseldikçe güven aralığı genişler.
Örneklem ortalaması arttıkça güven aralığının genişliği aynı kalır. Dolayısıyla, örneklem ortalaması aralığın genişliğinde bir rol oynamaz.
Örneklem standart sapmasının azalması varyansın azalması anlamına geldiğinden hata oranı düşer. Bu durum güven aralığının daralmasına ve daha yüksek doğruluk (accuracy) ile popülasyon ortalamasının tahmini anlamına gelmektedir.
Güven aralığından yeterince bahsettikten sonra şimdi uygulama aşamasına geçebiliriz. Uygulamada kullanılan popülasyon veri seti beden kitle endeksi (BKİ) değerlerini içeren ve 1000 (N) gözlemden oluşan sentetik veri setidir. Olasılıklı örneklem yöntemlerinden basit tekrarlı tesadüfi örnekleme yöntemiyle 7 ve 50 aralığında BKİ değerleri üretilmiştir. BKİ değerleri üretilirken Sağlık Bakanlığı resmi web sitesindeki BKİ alt ve üst referans değerlerinden yararlanılmıştır. Burada belirlenen BKİ alt ve üst limitleri şöyledir:
Parametre Değeri Kategori
18,5 kg/m2’nin altında ise zayıf
18,5-24,9 kg/m2 arasında ise normal kilolu
25-29,9 kg/m2 arasında ise fazla kilolu
30-34,9 kg/m2 arasında ise I.Derece obez
35-39,9 kg/m2 arasında ise II.Derece obez
40 kg/m2 üzerinde ise III.Derece morbid obez
Kaynak: https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
İlk olarak popülasyondan tekrarsız basit tesadüfi örneklem yöntemi kullanarak her birinin örneklem büyüklüğü sırasıyla 456, 758 ve 434 olan 3 farklı örneklem çekilmiştir. Çekilen örneklemleri popülasyondaki ID koduyla birlikte excel (xlsx) formatında aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.
Popülasyon ve Örneklemlerİndir
Güven aralıklarını vermeden önce popülasyona ait temel parametrelerinin verilmesinin faydalı olduğu düşünülmektedir. Bu amaçla popülasyon parametre değerleri Tablo 1’te sunulmuştur.
Tablo 1: Popülasyon (N) Parametreleri
Popülasyon Parametreleri Değer
Ortalama (µ) 28,5
Varyans 149,9
Standart Sapma 12,2
N 1000,0
Örneklem gruplarına ait üretilen güven aralıkları ise Tablo 2’de verilmiştir. Tablo 2’ye göre öne çıkan bulgular şöyledir:
Ortalamasının 28,07 ortalamanın standart hatasının (se) 0,22 olduğu örneklem 2 grubu popülasyon ortalamasını en doğru tahmin eden örnek grubu olarak öne çıkmıştır. Bu grupta güven aralığı genişliği (0,85) diğer gruplara göre daha dar olup güven aralığı (CI) “27,71 ≤ µ ≤28,43” şeklindedir. Buradan örneklem beden kitle endeksi ortalamasının % 90 olasılıkla veya güven aralığında 27,71 ile 28,43 arasında olduğunu söyleyebiliriz. Örneklem 2 grubunu ise güven aralığı genişliği (CI width) 0,71 olan örneklem 2 grubu izlemiştir. Burada güven düzeyi sabit, ancak örneklem büyüklüğü değiştiğinde bu tür bir yargıya vardığımızı özellikle ifade etmek gerekir.
Tablo 2: Örneklem Grubuna Göre Güven Aralıkları
Örneklem Parametreleri Örneklem 1 Örneklem 2 Örneklem 3
Ortalama (m) 28,61 28,07 28,60
Element Varyans (s^2) 151,16 147,84 150,99
Standart Sapma (s) 12,29 12,16 12,29
Örneklem büyüklüğünün popülasyon içindeki oranı (f) 0,46 0,76 0,43
Finite population correction(fpc) (1-f): Popülasyon düzeltmesi 0,54 0,24 0,57
Örneklem varyansı (var(x)) 0,18 0,05 0,20
Standart Hata (se) 0,42 0,22 0,44
Nispi hata (Coefficient of Variation) (CV) 1,48 0,77 1,55
Alfa (a/2) değeri (güven aralığının olasılık değeri) 0,050 0,050 0,050
Z tablo değeri 1,64 1,64 1,64
Güven Aralığı Alt Limit (Lower boundary of CI) 27,91 27,71 27,87
Güven Aralığı Üst Limit (Upper boundary of CI) 29,30 28,43 29,33
Güven Aralığı Genişliği (CI Width) 1,40 0,71 1,46
Güven aralığı gösterimi (CI) 27,91 ≤ µ ≤29,3 27,71 ≤ µ ≤28,43 27,87 ≤ µ ≤29,33
Tablo 2’deki güven aralıkları genişlikleri baz alınarak örneklem gruplarına göre güven aralıkları Tablo 3’te verilmiştir. Görüleceği üzere güven aralığı genişliği en dar olan örneklem grubu 0,71 ile örneklem 1 grubudur. Buradan şöyle bir yorum yapabiliriz: güven düzeyi sabit tutulduğunda örneklem büyüklüğü (n) artıkça standart hata (se) düşer, buna bağlı olarak güven aralığı (CI width) daralır. Eğer biz burada güven düzeyini % 90’dan % 95’e veya % 99’a çıkarmış olsaydık güven aralığı genişleyecekti. Çalışmanın sonunda paylaştığım simülasyonda bunların tamamını test edebilirsiniz.
Tablo 3: Örneklem Gruplarına Göre Güven Aralığı Genişlikleri
Özet Çıkarımlar
1. Güven düzeyi sabit tutulduğunda örneklem büyüklüğü (n) artıkça standart hata (se) azalmakta ve buna bağlı olarak güven aralığı (CI) daralmaktadır.
2. Örneklem büyüklüğü sabit tutulup güven düzeyi artırıldıkça ise güven aralığı genişlemektedir.
3. Örneklem büyüklüğü ve güven düzeyi yükseltildiğinde örneklem büyüklüğüne bağlı olarak güven aralığı daralmakta ve daha kesin sonuçlar alacağımızı göstermektedir. Tabi burada örneklem büyüklüğünün artması tip II hatayı yani beta hastasını azaltırken, diğer taraftan tip 1 hata olarak adlandırılan alfa hatası da azalmaktadır. Ancak genel olarak tip I hata ile tip II hata arasında ters orantı vardır. Yani birini azaltırken diğeri artış göstermektedir. Örneğimizde güven düzeyini 0,90’dan 0,99’a çıkarmamız tip I hatayı azaltmaktadır. Örneklem büyüklüğünü artırmamız ise aynı zamanda testin gücünü de gösteren beta hatasını azaltmaktadır. Ancak bu adımlardan birini artırırken diğeri sabit tutmak ister istemez hatalardan birini azaltırken diğerini de artırmaktadır. Burada önemli olan bir dengenin kurulmasıdır.
Burada Z tablosu üzerinden yapılan güven aralığı deneysel çalışmasının excel uzantılı dosyasını aşağıda linkten indirebilirsiniz.
Sabitlenmiş Değerler Üzerinden Güven Aralığı Hesaplamaİndir
Z tablosu üzerinden Güven aralığının hesaplanmasına yönelik olarak hazırladığım simülasyonu ise aşağıdaki linkten indirebilirsiniz. Simülasyon çalışmasında bazı sayfalardaki formüller şifre ile korunmuştur. Değişiklik yapılması istenmesi durumundan sayfa korumasının kaldırılması için şifre olarak “tevfik” girilmesi yeterlidir. Özellikle bu simülasyon çalışmasının sahada ve akademide faaliyet gösteren çalışanlara faydalı olacağı düşünülmektedir. Bu çalışmanın içerisinde olasılıklı örneklem seçiminden örneklem büyüklüğünün ve güven düzeylerinin belirlenmesi kadar pek çok konu mevcuttur. Bu simülasyonda örneklem büyüklüğünü sizin belirlemenize gerek bulunmamaktadır.
Güven Aralığı Hesaplama Simülasyonuİndir
Faydalı olması ve farkındalık oluşturması dileğiyle.
Bilimle ve teknolojiyle kalınız.
Saygılarımla…
Not: Kaynak gösterilmeden alıntı yapılamaz veya kopyalanamaz.
Note: It can not be cited or copied without referencing.
Yararlanılan Kaynaklar
https://tevfikbulut.com/2020/05/17/tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-yontemi-kullanilarak-z-tablosu-uzerinden-guven-araliginin-hesaplanmasina-yonelik-bir-simulasyon-calismasi-a-simulation-study-for-the-calculation-of-confidence-inter/
https://tevfikbulut.com/2020/05/18/tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-yontemi-kullanilarak-t-dagilim-tablosu-uzerinden-guven-araliginin-hesaplanmasina-yonelik-bir-simulasyon-calismasi-a-simulation-study-for-the-calculation-of-confiden/
https://tevfikbulut.com/2020/05/09/guven-araligi-hesaplama-confidence-interval-ci-calculation/
https://tevfikbulut.com/2019/09/14/microsoft-excelde-tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-uzerine-bir-vaka-calismasi-a-case-study-on-simple-random-sampling-srs-without-replacement-in-microsoft-excel/
https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/confint.htm
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://online.stat.psu.edu/statprogram/reviews/statistical-concepts/confidence-intervals
http://web.pdx.edu/~stipakb/download/PA551/boxplot.html
https://www.got-it.ai/
Field, Andy. (2009). Discovering Statistics Using SPSS. Third Edition.
Leedy ve Ormrod (2021). Practical Research: Planning and Design.
Bunu paylaş:
Facebook
Twitter
Reddit
Telegram
E-posta
Yazdır
Daha fazla
LinkedIn
Tumblr
Pinterest
Pocket
WhatsApp
Skype
Bunu beğen:
Beğen Yükleniyor...
Tevfik BULUT	Genel	2 Yorum 30 Nisan 2021 30 Mayıs 2021 28 Minutes	
Öne çıkan	
Tekrarlı Basit Tesadüfi Örnekleme ve Bootstrap Örnekleme Üzerine Vaka Çalışmaları: Case Studies on Simple Random Sampling with Replacement and Bootstrap Sampling
Bootstrap, istatistik dağılımlarını anlamaya yönelik 1979’da Stanford Üniversitesinden Amerikalı istatistikçi Bradley Efron tarafından geliştirilmiş parametrik ve non-parametrik versiyonları olan hem istatistiksel bir teknik hem de bir simülasyon yöntemidir.
Bootstrap örnekleme duyarlılık analizleri, istatistiksel ve ekonometrik analizlerden makine öğrenme ve derin öğrenmeye kadar pek çok farklı alanda kendine uygulama alanı bulmaktadır. Kısacası bu yöntem bütün alanlarda kullanılabilmektedir. Bootstrap, belirli bir istatistiksel yöntemle ilişkili belirsizlik ölçülerini tahmin etmek için en genel ve en yaygın kullanılan araçlardan biridir. Bazı yaygın temel bootstrap uygulamaları şunlardır: belirli bir istatistiksel tahmincinin merkezi dağılım ve yayılım ölçülerini, standart sapmasını, varyansını tahmin etmek veya ilgili parametreler için yaklaşık güven aralıkları oluşturmak. Ancak çok daha gelişmiş uygulama alanları da mevcuttur özellikle makine ve derin öğrenme alanlarında. Sözü gelmişken ifade etmekte fayda var; veri bilimiyle ilgilenilen bazı internet sitelerinde Bootstrap örnekleme ile tekrarlı basit tesadüfi örneklemenin birbirinin yerine ve eş anlamlı olarak kullanıldığı görülmektedir. Aslında bu kavramların adları da hatalı kullanılmaktadır. Hadi burayı geçelim bir ölçüde tolere edilebilir ama Bootstrap örnekleme ile tekrarlı basit tesadüfi örneklemenin birbirinin yerine kullanılması eksik kalan hatalı bakış açısıdır ve düzeltilmeye ihtiyacı vardır. Bu iki yöntem birbirine yakın ancak aynı şey olmadığını ifade etmek lazım. Bu iki yöntem birbirine benzemektedir çünkü Bootstrap örnekleme tekrarlı basit tesadüfi örneklem üzerine inşa edilmiştir. Farklılığı ise tekrarlı örnekleme tekniğinde örneklemin popülasyondan çekilmesi ve çekilecek örneklem büyüklüğünün ise popülasyon (N)’daki gözlem sayısı (popülasyon birimleri)’ndan az veya ona eşit olmasıdır. Diğer bir farklılığı, Bootstrap örneklemede örneklem, yine bir popülasyondan çekilmiş bir örneklem birimleri içerisinden çekilir ve Bootstrap örneklemlerin sayısı (n1, n2, n3, n4……….ni), popülasyondan çekilmiş örneklem büyüklüğü (n)’ne eşit olmasıdır. Diğer bir deyişle, n1, n2, n3, n4……….ni= n’dir. Ayrıca Bootstrap örneklemede popülasyonu temsil eden örneklemden birden fazla sayıda örneklem seçimi (replikasyon) söz konusudur. Eğer popülasyonu temsil eden orjinal örneklemden birden fazla sayıda örneklem oluşturuyorsa burada replikasyondan bahsederiz. Replikasyonu r ile gösterirsek r>1 ve r1‘den ri‘ye kadar örneklem seçimi yapılır. Yani burada replikasyon (r) bize kaç kez tekrarlı örnekleme yapacağımızı gösterir. Bu durumda basit bir hesaplama ile Bootstrap örneklemede yeni gözlem sayıları= rxn‘dir. Bahsedilenler ışığında Şekil 2 üzerinde Bootstrap örnekleme açıklanmaya çalışılmıştır.
İstatistikte olasılıklı örnekleme, popülasyon birimlerinin bulunduğu bir listeden örneklem birimlerinin seçilmesidir. Tesadüfi seçilmiş örneklem birimleri (sample unit)’nde, tesadüfi seçilir. Olasılıklı örnekleme yöntemlerinden tesadüfi örneklemede yaygın olarak iki yöntem kullanılmaktadır. Bunlardan ilki ve en yaygın olanı tekrarsız basit tesadüfi örnekleme (simple random sampling without replacement), diğeri ise sistematik örneklemedir. Bu yöntemler örneklemle popülasyona genelleme çalışmalarının yapıldığı araştırma literatüründe mutlak bir şekilde kullanılmaktadır. Bu yöntemlerin temel özelliği hedef popülasyon içerisindeki popülasyon birimlerine örnekleme seçilmesinde eşit şans verilmesidir. Bu yöntemlerle ilgili uygulamalı çalışmaları ve daha fazlasını bu site üzerinde yayınladım. İlgi duyanlar yöntemlerle uygulamalarının nasıl yapıldığını buradan öğrenebilir ve aynı zamanda bu çalışmaları indirebilirler. Tekrarlı basit tesadüfi örnekleme (simple random sampling with replacement)’de ise böyle bir durum söz konusu değildir, diğer bir deyişle örneklem birimlerine ya da popülasyon birimlerine eşit seçilme şansı verilmez. Gelin şimdi çalışmamızın odağı olan tekrarsız ve tekrarlı basit tesadüfi örnekleme yöntemlerini, ardından ise bootsrap örneklemeyi inceleyelim. Bu çalışmalar kapsamında uygulamaları hem Microsoft Excel hem de R programlama dili üzerinde yaparak okuyuculara konunun öğrenilmesi noktasında daha fazla katkı sunulması amaçlanmıştır.
Tekrarsız Basit Tesadüfi Örnekleme
Popülasyondan örnekleme seçilen her birimin eşit seçilme şansı olduğu olasılıklı örnekleme yöntemi basit tesadüfi tekrarsız örnekleme yöntemidir. Örneğin kürede isimleri yazılı 81 ilden 10 ilin geri koyulmadan sırasıyla seçildiğini varsayalım. Burada seçilen her il çekildikten sonra küreye koymayarak (iadesiz) diğerlerine eşit şans tanımış olduk. Bu durumda tekrarsız seçim yaparak tekrarsız örnekleme yaptığımızdan küreden seçilen herhangi bir ile bir daha seçilme şansı vermemiş oluyoruz. Bu konuyla ilgili olarak daha önce Microsoft Excel üzerinde yaptığım simülasyona dayalı kapsamlı örnek uygulama çalışmasını aşağıdaki linkte paylaşıyorum.
Tekrarsız Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi Kullanılarak Z Tablosu Üzerinden Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması
Tekrarsız Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi Kullanılarak t Dağılım Tablosu Üzerinden Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması
Bu örnek uygulama ile hem tekrarsız basit tesadüfi örneklemenin nasıl yapıldığını hem de güven aralığının nasıl hesaplandığını görmüş ve öğrenmiş olacaksınız. Bu uygulamada açık bir şekilde kullanılan fonksiyonları da göreceğinizden oldukça faydalı olacağı düşünülmektedir.
Tekrarlı Basit Tesadüfi Örnekleme
Popülasyondan örnekleme seçilen her birime eşit seçilme şansının verilmediği, diğer bir ifadeyle her popülasyon biriminin birden fazla seçilme şansının olduğu olasılıklı örnekleme yöntemi tekrarlı basit tesadüfi örnekleme yöntemidir. Örneğin kürede isimleri yazılı 81 ilden 10 ilin seçildiğini varsayalım. Tekrarsız basit tesadüfi örnekleme yönteminden farklı olarak bu yöntemde seçilen iller tekrar küreye bırakılarak (iadeli) burada bu illere birden fazla seçilme şansı verilir. Diyelim ki küreden 1. sırada çekilen il Trabzon’dur. Trabzon ilinin tekrar küreye atılarak seçilen her ilin tekrar küreye konulmak suretiyle seçim döngüsünün 10. ilin seçilmesine kadar (dahil) devam ettiği süreci bu yöntemle tanımlarız. Burada 1. sırada seçilen Trabzon ilinin diğer seçimlerde de küreden çıkma şansı bulunmaktadır. Tekrarlı basit tesadüfi örnekleme tekniğinin daha kalıcı olması adına Microsoft Excel’de sentetik veri üreterek hazırladığım örnek uygulama Şekil 1’de ve daha önce yapmış olduğum çalışmalarda verilmiştir. Tekrarlı basit tesadüfi örnekleme çalışmasına aşağıdaki linkten ulaşabilirsiniz.
Z Tablosuna Göre Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması
Burada formüllere yer verilerek ayrıca sizi formüllere boğmayacağım 🙂 . Önemli olan işin felsefesini anlamak. Uygulama ile zaten çok rahat anlayacağınızı düşünüyorum.
Şekil 1: Tekrarlı Basit Tesadüfi Örnekleme
Şekil 1’deki tekrarlı basit tesadüfi örnekleme uygulamasını xlsx formatında aşağıdaki linkten indirebilirsiniz. Bu çalışma aynı zamanda tekrarlı basit tesadüfi örnekleme simülasyon çalışması olup, çalışmada kullanılan fonksiyonları da görerek konunun daha kalıcı olarak anlaşılmasına katkı sunulması amaçlanmıştır. Aynı çalışmada Şekil 2’de belirtilen Bootstrap örneklemeye de yer verilmiştir. Microsoft Excel ortamındaki uygulamada F9 tuşuna basılı tutarak yeni tekrarlı basit tesadüfi örneklem birimleri üretebilirsiniz. Microsoft Excel’de bu uygulamanın verilmesinin nedeni R programlama dili bilmeyenlerin olabileceği ve kullanılan fonksiyonları ile bu fonksiyonların birbiriyle etkileşimlerinin gösterilmek istenmesi düşüncesinden ileri gelmektedir.
Tekrarlı Basit Tesadüfi Örnekleme ve Bootstrap Örnekleme Simülasyonuİndir
Bootstrap’ta, ilgilenilen popülasyondan birçok kez tekrarlı örneklemler (aynı büyüklükte) alınır. Bu nedenle bu tekniği anlamadan önce tekrarlı basit tesadüfi örnekleme mantığının anlaşılması gerekir. Örneklem çalışmalarında amaç, güncel bilgiye en hızlı ve en düşük maliyetle ulaşmaktır. Bootstrap’in arkasında yatan fikir, bir istatistiğin örnekleme dağılımına ne kadar ve ne ölçüde evrildiğini Bootstrap örneklemlerle ortaya koyarak Bootstrap örnek dağılımını göstermektir. Şekil 2’de Bootstrap örneklemenin somutlaştırılması adına örnek bir uygulama hazırlanmıştır. Burada amaç Bootstrap örneklemenin felsefesini göstermek olduğundan minimal örneklem büyüklükleri üzerinden gidilmiştir. Eğer Z tablosu kullanılarak güven aralığı hesaplanması isteniyorsa örneklem büyüklüğünün 30 ve 30’dan büyük, t (student’s t) tablosu kullanılarak güven aralığı hesaplanması isteniyorsa örneklem büyüklüğünün 30’dan daha düşük olması gerekir. Bunları burada hatırlatmakta fayda var. Şekil 2’deki örnek bootstrap örneklemede replikasyon (tekrar) sayımız 4, tekrarlı seçilen örneklemlerin büyüklüğü (sample size) ise 5’tir. Burada replikasyon sayısı ve örneklem büyüklüğü uygulama Microsoft excel ortamında yapıldığı için düşük tutulmuştur. Genelde literatürde ve uygulamalarda replikasyon sayısı 1000 olarak alındığı görülmektedir. Ancak replikasyon sayısının araştırmanın amacına, dizaynına ve veri setine göre değişiklik gösterebileceği unutulmamalıdır.
Şekil 2: Bootstrap Örnekleme
Şimdi de Şekil 2’deki Bootstrap örneklemlere dayalı olarak orijinal örneklemde değerleri ne kadar doğrulukla, yani ne kadarlık bir sapma (bias) ile tahmin edebileceğimizi hesaplayalım. Bu hesaplama Tablo 1’de verilmiştir. Tablo 1’de bias (sapma), orijinal örneklem ortalamasından Bootstrap örneklem ortalamasının çıkarılarak hesaplanmıştır. Tablo 1 üzerinden gidecek olursak Bias = 34,6-30,95=3,65’tir. Biz burada hesapladığımız sapma (bias) değeri ile aslında 4 kez (replikasyon) Bootstrap örnekleme yaptığımızda elde elde ettiğimiz Bootstrap örneklem ortalamasının gözlem ortalamasından 3,65 saptığını söylüyoruz. Daha büyük örneklem büyüklüklerinde ve daha yüksek replikasyonlarda (tekrarlarda) bu sapma değeri düşecektir.
Tablo 1: Bootstrap Örnekleme İle Sapmanın Hesaplanması
Şimdi de R programlama dili kullanarak gerçekçi bir veri seti üzerinden bootstrap örnekleme ile merkezi dağılım ölçüleri ve bunların güven aralıklarını hesaplayalım. Bu bağlamda bu kısımda kullanılan veri seti R’da yer alan pizza verisidir. Veri seti, 1209 gözlem ve 16 değişkenden oluşmaktadır. Veri setini aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.
Pizza Veri Setiİndir
R’da Tekrarlı Basit Tesadüfi Örnekleme ve Bootstrap Örnekleme
Yüklenecek kütüphaneler

library<-c("reactable","dplyr","tibble","tidyr","ggplot2","formattable","ggthemes","readr","readxl","ggpubr","formattable", "ggstance", "explore", "tidytext", "scales", "data.table", "pastecs", "gtools", "rmarkdown", "knitr", "gtsummary", "writexl", "ppcor","psych", "reshape2", "GGally", "CCP", "Hmisc", "VIM", "philentropy", "kableExtra", "foreign", "DescTools", "pander", "infer", "boot", "bootstrap")
loading<-sapply(library, require, character.only = TRUE)

suppressWarnings(loading, classes = "warning")

Veri setinin okunması ve xlsx uzantılı çalışma kitabına yazdırılması

pizza=d.pizza
head(pizza,10) %>% pander(caption="Pizza Veri Seti İlk 10 Gözlem")
write_xlsx(pizza, "pizzaverisi.xlsx") # veri setinin xlsx uzantılı Microsoft Excel çalışma kitabına yazdırılması
Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra veri setindeki ilk 10 kayıt aşağıdaki tabloda verilmiştir.

----------------------------------------------------------------------------
 index      date      week   weekday      area       count   rabate   price 
------- ------------ ------ --------- ------------- ------- -------- -------
   1     2014-03-01    9        6        Camden        5      TRUE    65.66 

   2     2014-03-01    9        6      Westminster     2     FALSE    26.98 

   3     2014-03-01    9        6      Westminster     3     FALSE    40.97 

   4     2014-03-01    9        6         Brent        2     FALSE    25.98 

   5     2014-03-01    9        6         Brent        5      TRUE    57.56 

   6     2014-03-01    9        6        Camden        1     FALSE    13.99 

   7     2014-03-01    9        6        Camden        4      TRUE    89.44 

   8     2014-03-01    9        6         Brent       NA       NA      NA   

   9     2014-03-01    9        6      Westminster     3     FALSE    40.97 

  10     2014-03-01    9        6         Brent        6      TRUE    84.74 
----------------------------------------------------------------------------

Table: Pizza Veri Seti İlk 10 Gözlem (continued below)

 
----------------------------------------------------------------
 operator   driver    delivery_min   temperature   wine_ordered 
---------- --------- -------------- ------------- --------------
  Rhonda    Taylor         20            53             0       

  Rhonda    Butcher       19.6          56.4            0       

 Allanah    Butcher       17.8          36.5            0       

 Allanah    Taylor        37.3           NA             0       

  Rhonda    Carter        21.8           50             0       

 Allanah    Taylor        48.7           27             0       

  Rhonda    Taylor        49.3          33.9            1       

 Allanah    Taylor        25.6          54.8            NA      

 Allanah    Taylor        26.4           48             0       

  Rhonda    Carter        24.3          54.4            1       
----------------------------------------------------------------

Table: Table continues below

 
---------------------------------------
 wine_delivered   wrongpizza   quality 
---------------- ------------ ---------
       0            FALSE      medium  

       0            FALSE       high   

       0            FALSE        NA    

       0            FALSE        NA    

       0            FALSE      medium  

       0            FALSE        low   

       1            FALSE        low   

       NA           FALSE       high   

       0            FALSE       high   

       1            FALSE      medium  
---------------------------------------

Veri setinin yapısını gözden geçirme
Aşağıda da görüleceği üzere pizza veri seti 1209 gözlem ve 16 değişkenden oluşmaktadır. Bazı değişkenlerin nominal ve ordinal kategorik, bazılarının ise nicel veri tipinde olduğu görülmektedir.

'data.frame':	1209 obs. of  16 variables:
 $ index         : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
 $ date          : Date, format: "2014-03-01" "2014-03-01" "2014-03-01" "2014-03-01" ...
 $ week          : num  9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ...
 $ weekday       : num  6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
 $ area          : Factor w/ 3 levels "Brent","Camden",..: 2 3 3 1 1 2 2 1 3 1 ...
 $ count         : int  5 2 3 2 5 1 4 NA 3 6 ...
 $ rabate        : logi  TRUE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE ...
 $ price         : num  65.7 27 41 26 57.6 ...
 $ operator      : Factor w/ 3 levels "Allanah","Maria",..: 3 3 1 1 3 1 3 1 1 3 ...
 $ driver        : Factor w/ 7 levels "Butcher","Carpenter",..: 7 1 1 7 3 7 7 7 7 3 ...
 $ delivery_min  : num  20 19.6 17.8 37.3 21.8 48.7 49.3 25.6 26.4 24.3 ...
 $ temperature   : num  53 56.4 36.5 NA 50 27 33.9 54.8 48 54.4 ...
 $ wine_ordered  : int  0 0 0 0 0 0 1 NA 0 1 ...
 $ wine_delivered: int  0 0 0 0 0 0 1 NA 0 1 ...
 $ wrongpizza    : logi  FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE ...
 $ quality       : Ord.factor w/ 3 levels "low"<"medium"<..: 2 3 NA NA 2 1 1 3 3 2 ...
Eksik gözlemlerin gözden geçirilmesi

eksikveri=colSums(is.na(pizza))
deger=as.tibble(eksikveri)
data.frame(Degisken=colnames(pizza), Sayi=deger$value, "Orani"=round((deger$value/sum(deger$value))*100,2)) %>% pander(caption="Eksik Gözlemlerin Sayısı")
Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra değişkenlere göre elde edilen eksik gözlemler aşağıdaki tabloda verilmiştir.

-------------------------------
    Degisken      Sayi   Orani 
---------------- ------ -------
     index         0       0   

      date         32    7.57  

      week         32    7.57  

    weekday        32    7.57  

      area         10    2.36  

     count         12    2.84  

     rabate        12    2.84  

     price         12    2.84  

    operator       8     1.89  

     driver        5     1.18  

  delivery_min     0       0   

  temperature      39    9.22  

  wine_ordered     12    2.84  

 wine_delivered    12    2.84  

   wrongpizza      4     0.95  

    quality       201    47.52 
-------------------------------

Table: Eksik Gözlemlerin Sayısı

Veri setinden tekrarsız basit tesadüfi örnekleme tekniği ile örneklem seçimi

set.seed(61)#aynı örneklem birimlerinin alınması için
ornek<-pizza %>% sample_frac(0.7) # örneklem büyüklüğü 846 gözlemden oluşmaktadır.
sum(is.na(ornek$price)) # örneklemdeki eksik gözlem sayısı 10
fiyat=ornek$price[complete.cases(ornek$price)] #örneklemdeki eksik gözlemlerin çıkarılması
#alternatif tekrarsız basit tesadüfi örneklem seçimi 
#pizza[sample(1:nrow(pizza),NROW(pizza)*0.7, replace=FALSE),]
a) Medyan Değerler Üzerinden Bootstrap Örnekleme
Bootstrap örnekleme pizza veri setindeki pizza fiyatı üzerinden yapılmıştır. Bootstrap örnekleme de replikasyon (tekrar) sayısı 1000, her bir replikasyondaki örneklem büyüklüğümüz (sample size) ise 836’dır. Buna göre yeni durumda toplam gözlem sayımız ise 1000 x 836 =836000’dır.
Orjinal örneklem setinden % 95 ve 99 güven aralıklarında medyan değerlerinin belirlenmesi
Pizza veri setinden tekrarsız basit tesadüfi örnekleme ile çekilen 836 gözlem (846-10=836, 10 gözlem eksik olduğu için veri setinden çıkarılmıştır) üzerinden pizza piyatları (price) değişkeninden hareketle merkezi dağılım ölçülerinden biri olan medyanlar hesaplanmıştır.

ga=0.90 # % 90 güven aralığını göstermektedir.
sonuc=MedianCI(fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga)
medyan=sonuc[1]
altsinir=sonuc[2]
ustsinir=sonuc[3]
k=tibble(medyan, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga)

#% 95 güven aralığında medyan değerlerini hesaplama
ga1=0.95 # % 95 güven aralığını göstermektedir.
sonuc1=MedianCI(fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga1)
medyan=sonuc1[1]
altsinir=sonuc1[2]
ustsinir=sonuc1[3]
l=tibble(medyan, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga1)

#% 99 güven aralığında medyan değerlerini hesaplama
ga2=0.99 # % 90 güven aralığını göstermektedir.
sonuc2=MedianCI(fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga2)
medyan=sonuc2[1]
altsinir=sonuc2[2]
ustsinir=sonuc2[3]
m=tibble(medyan, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga2)

baz=rep("baz",2)
lm=rbind(l,m)
# Medyan değerlerinin tek bir tabloda birleştirilmesi
baztum=cbind(model=baz, lm)
baztum %>% pander(caption="Orjinal Örneklemde % 95 ve % 99 Güven Aralığında Pizza Fiyatlarının Medyan Değerleri")
Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra orjinal örneklem veri setinden elde edilen % 95 ve 99 güven aralıklarında medyan değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

------------------------------------------------------
 model   medyan   altsinir   ustsinir   guven_araligi 
------- -------- ---------- ---------- ---------------
  baz    46.79     44.97      47.97         0.95      

  baz    46.79     44.96      48.56         0.99      
------------------------------------------------------

Table: Orjinal Örneklemde % 95 ve % 99 Güven Aralığında Pizza Fiyatlarının Medyan Değerleri
% 95 ve 99 güven aralığında bootstrap örneklemeyle medyan değerlerin hesaplanması

options(scipen = 999)
set.seed(61) # aynı sonuçları alabilmeniz adına sabitlenmiştir.
bfiyat=fiyat %>% as_tibble() %>% rename(fiyat=value) %>%
generate(reps = 1000, type = "bootstrap")

#% 95 güven aralığında medyan değerlerini hesaplama

ga1=0.95 # % 95 güven aralığını göstermektedir.
sonuc1=MedianCI(bfiyat$fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga1)
medyan=sonuc1[1]
altsinir=sonuc1[2]
ustsinir=sonuc1[3]
lb=tibble(medyan, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga1)

#% 99 güven aralığında medyan değerlerini hesaplama

ga2=0.99 # % 99 güven aralığını göstermektedir.
sonuc2=MedianCI(bfiyat$fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga2)
medyan=sonuc2[1]
altsinir=sonuc2[2]
ustsinir=sonuc2[3]
mb=tibble(medyan, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga2)

boost=rep("boostrap ornekleme",2)
blm=rbind(lb,mb)
tumb1=cbind(model=boost, blm)
tumb1 %>% pander(caption="% 95 ve % 99 Güven Aralığında 1000 Tekrarlı (Replikasyon) Boostrap Örnekleminde Pizza Fiyatlarının Medyan Değerleri")
Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra elde edilen % 95 ve % 99 güven aralığında 1000 tekrarlı (replikasyon) boostrap örnekleminde pizza fiyatı medyan değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

-------------------------------------------------------------------
       model          medyan   altsinir   ustsinir   guven_araligi 
-------------------- -------- ---------- ---------- ---------------
 boostrap ornekleme   46.76     46.76      46.81         0.95      

 boostrap ornekleme   46.76     46.76      46.97         0.99      
-------------------------------------------------------------------

Table: % 95 ve % 99 Güven Aralığında 1000 Tekrarlı (Replikasyon) Boostrap Örnekleminde Pizza Fiyatlarının Medyan Değerleri
Orjinal örneklem ve bootstrap örnekleme sonuçlarının medyan üzerinden karşılaştırılması

birlesik=rbind(baztum, tumb1) %>% as_tibble() %>% mutate(aralik_genisligi=ustsinir-altsinir)

formattable(birlesik, align =rep("l",6), list(
  `model` = formatter("span", style = ~ style(color = "black",font.weight = "bold")), 
  `medyan`= color_bar("#00FF7F"),
  `altsinir`= color_bar("#00BFFF"),
  `ustsinir`= color_bar("#B0C4DE"),
  `aralik_genisligi`= color_bar("#FA8072")
))

#alternatif olarak dilerseniz aşağıdaki kodu da yazarak farklı formatta tablo alabilirsiniz.
rbind(baztum, tumb1) %>% as_tibble() %>% mutate(aralik_genisligi=ustsinir-altsinir) %>% #pander (caption="Karşılaştırmalı Medyan Sonuçları") 
Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra elde edilen karşılaştırmalı sonuçlar bir bütün olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. Elde edilen bulgulardan orjinal örneklemde medyan pizza fiyatlarının bootsrap örnekleme ile elde edilen arasındaki yüksek bir fark olmadığını göstermektedir. Şimdi aşağıdaki tablodan hareket ederek medyan değerleri üzerinden basitçe bias’i yani sapmayı ele alalım:
Orjinal örneklem ile bootstrap örneklem medyanları arasındaki sapmamız, yani bias=46,787-46764=0,023’e eşittir.
Biaste medyan değerleri üzerinden gidildiğinde çok düşük bir farklılaşma görülmektedir. Ancak farklılaşmayı biz daha çok güven aralıklarında görüyoruz. Burada tabloda aralik genişliği bize güven aralığının üst sınırı ile alt sınırının farkını vermektedir.
Bulgulardan da anlaşılacağı üzere sapmaların oldukça düşük olduğunu ortaya koymaktadır. Bu durum bize bootsrap örneklemenin oldukça yüksek bir doğrulukla orjinal örneklemdeki medyan değerlerini tahmin ettiğini göstermektedir.
b) Ortalama Değerler Üzerinden Bootstrap Örnekleme
Bootstrap örnekleme pizza veri setindeki pizza fiyatı üzerinden yapılmıştır. Bootstrap örnekleme de replikasyon (tekrar) sayısı 1000, her bir replikasyondaki örneklem büyüklüğümüz (sample size) ise 836’dır. Buna göre yeni durumda toplam gözlem sayımız ise 1000 x 836 =836000’dır.
Orjinal örneklem setinden % 95 ve 99 güven aralıklarında ortalama değerlerinin belirlenmesi
Pizza veri setinden tekrarsız basit tesadüfi örnekleme ile çekilen 836 gözlem (846-10=836, 10 gözlem eksik olduğu için veri setinden çıkarılmıştır) üzerinden pizza fiyatları (price) değişkeninden hareketle merkezi dağılım ölçülerinden biri olan ortalamalar hesaplanmıştır.

#% 95 güven aralığında medyan değerlerini hesaplama
ga1=0.95 # % 95 güven aralığını göstermektedir.
sonuc1=MeanCI(fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga1)
ortalama=sonuc1[1]
altsinir=sonuc1[2]
ustsinir=sonuc1[3]
l=tibble(ortalama, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga1)

#% 99 güven aralığında medyan değerlerini hesaplama
ga2=0.99 # % 99 güven aralığını göstermektedir.
sonuc2=MeanCI(fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga2)
ortalama=sonuc2[1]
altsinir=sonuc2[2]
ustsinir=sonuc2[3]
m=tibble(ortalama, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga2)

baz=rep("baz",2)
lm=rbind(l,m)
baztum=cbind(model=baz, lm)
baztum %>% pander(caption="Orjinal Örneklemde % 95 ve % 99 Güven Aralığında Pizza Fiyatlarının Ortalama Değerleri")
Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra orjinal örneklem veri setinden elde edilen % 95 ve 99 güven aralıklarında ortalama değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

--------------------------------------------------------
 model   ortalama   altsinir   ustsinir   guven_araligi 
------- ---------- ---------- ---------- ---------------
  baz      49.2      47.67      50.73         0.95      

  baz      49.2      47.19      51.22         0.99      
--------------------------------------------------------

Table: Orjinal Örneklemde % 95 ve % 99 Güven Aralığında Pizza Fiyatlarının Ortalama Değerleri
% 95 ve 99 güven aralığında bootstrap örneklemeyle ortalama değerlerin hesaplanması

options(scipen = 999)
set.seed(61) # aynı sonuçları alabilmeniz adına sabitlenmiştir.
bfiyat=fiyat %>% as_tibble() %>% rename(fiyat=value) %>%
generate(reps = 1000, type = "bootstrap")

#% 95 güven aralığında medyan değerlerini hesaplama
ga1=0.95 # % 95 güven aralığını göstermektedir.
sonuc1=MeanCI(bfiyat$fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga1)
ortalama=sonuc1[1]
altsinir=sonuc1[2]
ustsinir=sonuc1[3]
lb=tibble(ortalama, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga1)

#% 99 güven aralığında medyan değerlerini hesaplama
ga2=0.99 # % 99 güven aralığını göstermektedir.
sonuc2=MeanCI(bfiyat$fiyat, na.rm=TRUE, conf.level =ga2)
ortalama=sonuc2[1]
altsinir=sonuc2[2]
ustsinir=sonuc2[3]
mb=tibble(ortalama, altsinir, ustsinir, guven_araligi=ga2)

boost=rep("boostrap ornekleme",2)
blm=rbind(lb,mb)
tumb1=cbind(model=boost, blm)
tumb1 %>% pander(caption="% 95 ve % 99 Güven Aralığında 1000 Tekrarlı (Replikasyon) Boostrap Örnekleminde Pizza Fiyatlarının Ortalama Değerleri")

Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra elde edilen % 95 ve % 99 güven aralığında 1000 tekrarlı (replikasyon) boostrap örnekleminde pizza fiyatı ortalama değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

---------------------------------------------------------------------
       model          ortalama   altsinir   ustsinir   guven_araligi 
-------------------- ---------- ---------- ---------- ---------------
 boostrap ornekleme    49.18      49.14      49.23         0.95      

 boostrap ornekleme    49.18      49.12      49.25         0.99      
---------------------------------------------------------------------

Table: % 95 ve % 99 Güven Aralığında 1000 Tekrarlı (Replikasyon) Boostrap Örnekleminde Pizza Fiyatlarının Ortalama Değerleri
Orjinal örneklem ve bootstrap örnekleme sonuçlarının ortalama üzerinden karşılaştırılması

birlesik=rbind(baztum, tumb1) %>% as_tibble() %>% mutate(aralik_genisligi=ustsinir-altsinir)

formattable(birlesik, align =rep("l",6), list(
  `model` = formatter("span", style = ~ style(color = "black",font.weight = "bold")), 
  `ortalama`= color_bar("#00FF7F"),
  `altsinir`= color_bar("#00BFFF"),
  `ustsinir`= color_bar("#B0C4DE"),
  `aralik_genisligi`= color_bar("#FA8072")
))

#alternatif olarak dilerseniz aşağıdaki kodu da yazarak farklı formatta tablo alabilirsiniz.
rbind(baztum, tumb1) %>% as_tibble() %>% mutate(aralik_genisligi=ustsinir-altsinir) %>% #pander (caption="Karşılaştırmalı Ortalama Sonuçları") 
Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra elde edilen karşılaştırmalı sonuçlar bir bütün olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. Elde edilen bulgulardan orjinal örneklemde ortalama pizza fiyatlarının bootsrap örnekleme ile elde edilen arasındaki yüksek bir fark olmadığını göstermektedir. Şimdi aşağıdaki tablodan hareket ederek ortalamalar üzerinden basitçe bias’i yani sapmayı ele alalım:
Orjinal örneklem ile bootstrap örneklem ortalamaları arasındaki sapmamız, yani bias=49,20037-49,18349=0,01688’e eşittir.
Biaste ortalama değerleri üzerinden gidildiğinde çok düşük farklılaşma görülmektedir. Ancak farklılaşmayı biz daha çok güven aralıklarında görüyoruz. Burada tabloda aralik genişliği bize güven aralığının üst sınırı ile alt sınırının farkını vermektedir.
c) Tekrar (Replikasyon) Sayısına Göre Ortalama Değerler Üzerinden Bootstrap Örneklemelerin Karşılaştırılması
Burada replikasyon veya iterasyon sayısına göre ortalamalar üzerinden bootstrap örneklemeler karşılaştırılmıştır. Daha önce 1000 replikasyona göre ortalamalar karşılaştırılmıştı. Burada ise 10000 replikasyona ulaşıldığında sonuçların nasıl değiştiğini görelim.
Orjinal örneklem ve bootstrap örnekleme sonuçlarının farklı replikasyonlara göre ortalama üzerinden karşılaştırılması

# Bootstrap örnekleme fonksiyonunun oluşturulması
set.seed(61)# aynı sonuçları alabilmeniz adına sabitlenmiştir.
replikasyon <-10000 #bootstrap örneklemlerin sayısı (replikasyon sayısı)
bort <-rep(NA, replikasyon)
set.seed(10)
for(i in 1:replikasyon ){
bort [i]<-mean(sample(fiyat, replace = T)) 
}
bort 

bg=quantile(bort, c(0.025, 0.975)) # % 95 güven aralığı (CI)
bg1=quantile(bort, c(0.01, 0.99))  # % 99 güven aralığı (CI)
m=mean(bort) #ortalama
modeli="bootstrap ornekleme"
t=cbind(model=modeli, ortalama=m, altsinir=bg[1], ustsinir=bg[2])%>% as_tibble()%>% mutate(guven_araligi=0.95, replikasyon=10000)
b=cbind(model=modeli,ortalama=m, altsinir=bg1[1], ustsinir=bg1[2])%>% as_tibble()%>% mutate(guven_araligi=0.99, replikasyon=10000)
yeni=rbind(t,b)%>% mutate_at(vars(ortalama, altsinir, ustsinir), as.numeric) %>% mutate_if(is.numeric, round, 3)

birlesik=rbind(baztum, tumb1) %>% as_tibble() %>% mutate(replikasyon=1000)

modelyeni=rbind(birlesik, yeni)

bmodelyeni=rbind(cbind(birlesik[1:2,1:5],replikasyon=rep(0,2)),modelyeni[3:6,])%>% mutate_if(is.numeric, round, 3)

formattable(bmodelyeni, align =rep("l",6), list(
  `model` = formatter("span", style = ~ style(color = "black",font.weight = "bold")), 
  `ortalama`= color_bar("#00FF7F"),
  `altsinir`= color_bar("#00BFFF"),
  `ustsinir`= color_bar("#B0C4DE")
))

Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra elde edilen karşılaştırmalı sonuçlar bir bütün olarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. Elde edilen bulgulardan orjinal örneklemde ortalama pizza fiyatlarının bootsrap örnekleme ile elde edilen arasındaki yüksek bir fark olmadığını göstermektedir. Şimdi aşağıdaki tablodan hareket ederek ortalamalar üzerinden basitçe bias’i yani sapmayı ele alalım:
1000 replikasyonda orjinal örneklem ile bootstrap örneklem ortalamaları arasındaki sapmamız, yani bias=49,20037-49,18349=0,01688’e eşittir. 10000 replikasyonda ise orjinal örneklem ile bootstrap örneklem ortalamaları arasındaki sapmamız, yani bias=49,20037-49,220=-0,02’ye eşittir.
Biaste ortalama değerleri üzerinden gidildiğinde çok düşük farklılaşma olduğu görülmektedir.
Farklı replikasyonlara göre bootstrap örneklem ortalamaların dağılım yapısının incelenmesi

set.seed(61)# aynı sonuçları alabilmeniz adına sabitlenmiştir.

#Replikasyon sayısı 1000 olan bootstrap örneklemlerin çekilmesi
c1=fiyat %>% as_tibble()%>% specify(response = value) %>%
    generate(reps = 1000, type = "bootstrap") %>% group_by(replicate) %>% summarise(ort=mean(value), ssapma=sd(value))#calculate(stat= "mean") %>% rename(ort=stat)

                                                          
b1=c1 %>% ggplot(mapping = aes(x = ort)) +
  geom_histogram(fill='red', color="grey")+
  theme(axis.text.x = element_text(face="bold", color="black", 
                           size=10),
          axis.text.y = element_text(face="bold", color="black", 
                           size=10),
         plot.caption = element_text(hjust = 0.5, face = "bold.italic"))+
  xlab("Ortalamalar") + ylab("Frekans")+ ggtitle(paste("Bootstrap Örneklem Ortalamalarının Dağılımı (n1=836, replikasyon=1000",",", "sd=", round(sd(c1$ort),3),")")) +
  theme(
  plot.title = element_text(color="black", size=12, face="bold", hjust = 0.5),
  axis.title.x = element_text(color="black", size=11, face="bold"),
  axis.title.y = element_text(color="black", size=11, face="bold"))

#Replikasyon sayısı 5000 olan bootstrap örneklemlerin çekilmesi
c2=fiyat %>% as_tibble()%>% specify(response = value) %>%
    generate(reps = 5000, type = "bootstrap")%>% group_by(replicate) %>% summarise(ort=mean(value), ssapma=sd(value))


b2=c2 %>% ggplot(mapping = aes(x = ort)) +
  geom_histogram(fill='green', color="grey")+
  theme(axis.text.x = element_text(face="bold", color="black", 
                           size=10),
          axis.text.y = element_text(face="bold", color="black", 
                           size=10),
         plot.caption = element_text(hjust = 0.5, face = "bold.italic"))+
  xlab("Ortalamalar") + ylab("Frekans")+ ggtitle(paste("Bootstrap Örneklem Ortalamalarının Dağılımı (n1=836, replikasyon=5000",",", "sd=", round(sd(c2$ort),3),")"))+
  theme(
  plot.title = element_text(color="black", size=12, face="bold", hjust = 0.5),
  axis.title.x = element_text(color="black", size=11, face="bold"),
  axis.title.y = element_text(color="black", size=11, face="bold"))


#Replikasyon sayısı 5000 olan bootstrap örneklemlerin çekilmesi
c3=fiyat %>% as_tibble()%>% specify(response = value) %>%
    generate(reps = 1000, type = "bootstrap")%>% group_by(replicate) %>% summarise(ort=mean(value), ssapma=sd(value))


b3=c3 %>% ggplot(mapping = aes(x = ort)) +
  geom_histogram(fill='brown', color="grey")+
  theme(axis.text.x = element_text(face="bold", color="black", 
                           size=10),
          axis.text.y = element_text(face="bold", color="black", 
                           size=10),
         plot.caption = element_text(hjust = 0.5, face = "bold.italic"))+
  xlab("Ortalamalar") + ylab("Frekans")+ ggtitle(paste("Bootstrap Örneklem Ortalamalarının Dağılımı (n1=836, replikasyon=10000",",", "sd=", round(sd(c3$ort),3),")"))+
  theme(
  plot.title = element_text(color="black", size=12, face="bold", hjust = 0.5),
  axis.title.x = element_text(color="black", size=11, face="bold"),
  axis.title.y = element_text(color="black", size=11, face="bold"))

#grafiklerin bir arada verilmesi
ggarrange(b1,b2,b3, ncol = 1)
Yukarıdaki R kod bloğunun çalıştırılmasından sonra fiyat (price) değişkenine göre replikasyon sayısı 1000, 5000 ve 10000 olan bootstrap örneklemlerinin ortalamalarının grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir. Bootstrap örneklem ortalamalarının dağılımına bakıldığında birbirlerine göre aşırı bir farklılık ortaya koymadığı görülmektedir. Zira biz bunu grafiklerdeki standart sapma (sd) değerlerinin birbirlerine benzerliğinden de anlıyoruz. Şekilde örneklem ortalamalarının dağılımlarının üçü de merkezi limit teoremi (central limit theorem) ve büyük sayı yasası (law of large numbers) gereğince normal dağılıma evrildiği görülmektedir. Ancak burada standart normal dağılımdan bahsedemeyiz. Standart normal dağılım, ortalaması 0, standart sapması ise 1 olan dağılımı ifade etmektedir.
Bulgular sapmaların oldukça düşük olduğunu ortaya koymaktadır. Bu durum bize bootstrap örneklemenin oldukça yüksek bir doğrulukla orjinal örneklemdeki ortalamaları tahmin ettiğini ve bu sapmaların replikasyonlara göre farklılaştığını göstermektedir.
Özetle yapılan bu uygulamalı çalışma ile özellikle veri bilimi (data science) ile ilgilenen akademi ve saha çalışanlarına bir katkı sunulması amaçlanmıştır.
Burada örnek uygulamalar üzerinden bootstrap örneklemeye giriş yapılmıştır. Zamanım olursa bootstrap örnekleme yöntemi ile analiz yöntemlerinin performansı ve duyarlılığı başta olmak üzere diğer çalışmalar üzerinde de çalışmalar yapılacaktır.
Faydalı olması ve farkındalık oluşturması dileğiyle.
Bilimle ve teknolojiyle kalınız.
Saygılarımla…
Note: It can not be cited or copied without referencing.
Not: Kaynak gösterilmeden alıntı yapılamaz veya kopyalanamaz.
Yararlanılan Kaynaklar
Microsoft Office Excel 2016. Microsoft
The R Project for Statistical Computing. http://www.r-project.org/
https://web.stanford.edu/class/archive/cs/cs109/cs109.1176/lectures/18-Samples.pdf
https://web.stanford.edu/class/archive/cs/cs109/cs109.1178/lectureHandouts/170-samples.pdf
http://web.stanford.edu/~rjohari/teaching/notes/226_lecture13_inference.pdf
Fook-Chong, Stephanie & Choo, Robin. (2011). Introduction to Bootstrap. Proceedings of Singapore Healthcare. 20. 236-240. 10.1177/201010581102000314.
https://www.stat.cmu.edu/~ryantibs/advmethods/notes/bootstrap.pdf
https://www.stat.cmu.edu/~cshalizi/uADA/12/lectures/ch05.pdf
Efron, B. (1979). Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife. The Annals of Statistics, 7(1), 1-26. Retrieved from http://www.jstor.org/stable/2958830.
Efron, B. (1987). Better Bootstrap Confidence Intervals. Journal of the American Statistical Association, 82(397), 171-185. doi:10.2307/2289144
LaFontaine, Denise (2021) “The History of Bootstrapping: Tracing the Development of Resampling with Replacement,” The Mathematics Enthusiast: Vol. 18 : No. 1 , Article 8. Available at: https://scholarworks.umt.edu/tme/vol18/iss1/8
https://cran.r-project.org/web/packages/infer/vignettes/observed_stat_examples.html
https://www2.stat.duke.edu/courses/Fall19/sta199.001/slides/lec-slides/09b-bootstrap-pt2.pdf
https://tevfikbulut.com/2020/05/09/guven-araligi-hesaplama-confidence-interval-ci-calculation/
https://tevfikbulut.com/2020/05/17/tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-yontemi-kullanilarak-z-tablosu-uzerinden-guven-araliginin-hesaplanmasina-yonelik-bir-simulasyon-calismasi-a-simulation-study-for-the-calculation-of-confidence-inter/
https://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1515&context=tme
https://tevfikbulut.com/2020/05/20/r-programlama-diliyle-sistematik-ornekleme-uzerine-bir-vaka-calismasi-a-case-study-on-systematic-sampling-with-r-programming-language/
https://www.statology.org/bootstrapping-in-r/
https://tevfikbulut.com/2020/05/18/tekrarsiz-basit-tesadufi-ornekleme-yontemi-kullanilarak-t-dagilim-tablosu-uzerinden-guven-araliginin-hesaplanmasina-yonelik-bir-simulasyon-calismasi-a-simulation-study-for-the-calculation-of-confiden/
Bunu paylaş:
Facebook
Twitter
Reddit
Telegram
E-posta
Yazdır
Daha fazla
LinkedIn
Tumblr
Pinterest
Pocket
WhatsApp
Skype
Bunu beğen:
Beğen Yükleniyor...
Tevfik BULUT	Genel	Yorum bırakın 23 Ocak 2021 31 Ocak 2021 21 Minutes	
Tekrarsız Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi Kullanılarak t Dağılım Tablosu Üzerinden Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması: A Simulation Study for Calculation of Confidence Interval (CI) Based on t Distribution Table Using Simple Random Sampling Method without Replacement
Güven aralıkları ingilizce ifadeyle confidence interval (CI) hem sahadan veri toplama yöntemleriyle elde edilen birincil verilerin hem de veri tabanlarından elde edilen işlenmiş ikincil verilerin analizinde çok yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Peki nedir bu güven aralığı? Güven aralığının hesaplanması için hangi parametrelere ihtiyaç vardır? Güven aralığı nasıl hesaplanır? Güven aralığını etkileyen faktörler nelerdir? Bu çalışmada bahsedilen bu sorulara cevaplar bulunacaktır. Bu amaçla olasılıklı örneklem yöntemlerinden biri olan ön yargısız (without bias) basit tesadüfi tekrarsız örneklem yöntemi kullanılmıştır. Basit tekrarlı örneklem yöntemi ile ise rastgele beden kitle endeksi verileri üretilmiştir. Üretilen bu sentetik veriler üzerinden t dağılım tablosu kullanılarak deneysel güven aralığı çalışması hazırlanmıştır. Diğer programlama dilleri kullanılarak veya paket programlar üzerinde de bu çalışmanın yapılması her zaman mümkündür. Bunu da yapabilirdim ancak Microsoft Office Excel 2016 kullanılarak güven aralığı çalışması yapılmasının daha uygun olacağını düşündüm. Bunun nedeni excel üzerinde okuyucuya fonksiyon (formül) etkileşimleri gösterilerek konu hakkında daha fazla katkı sunulması amaçlanmasıdır. İki farklı güven aralığı çalışmasına yer verilmiştir. İlkinde güven aralığı çalışmasında elde edilen değerler sabitlenmiştir. İkincisi ise simülasyona izin verecek dinamik bir şekilde excel uzantılı dosya içerisinde sunulmuştur.Bunun nedeni seçilen örneklemlerdeki parametre ve güven aralıkları değişimlerinin karşılaştırmalı ve dinamik olarak sunulmak istenmesidir.
Güven aralığı nedir?
Maliyetlerin yüksekliği, uzun zaman alması, güncel ve derinlemesine veri elde edilmesi gibi temel öncelikler esas alınarak sıklıkla kişiler ya da kurumlar popülasyonun tamamının yerine bu popülasyonu temsil eden örneklem üzerinde araştırma yapmayı tercih ederler. Ancak seçilen örneklemin popülasyonun tamamını temsil etmesi isteniyorsa yeterli örneklem büyüklüğü (n) belirlenerek mutlaka olasılıklı örneklem yöntemlerinden biri veya birkaçı birlikte kullanılmalıdır. Popülasyonun tamamı yerine bu popülasyondan seçilen örneklem söz konusu olunca örneklem popülasyonu ne kadar temsil ediyor soruyu ortaya çıkmaktadır. Güven aralığı ise aslında tam da bize bunu söylemektedir. Güven aralığı, popülasyon ortalamasının tahmincisi olup, bize örneklem ortalamalarının popülasyon ortalamasından ne kadarlık bir sapma olduğunu göstermektedir. Güven aralığının bir alt limit (lower bound)’i ve üst limit (upper bound)’i vardır. Bu alt ve üst limitlerin olması güven aralığına adını vermektedir. Yani örneklemden elde edilen güven aralıkları popülasyon ortalamasını mutlaka içerecektir. Burada güven aralığındaki alt ve üst limitin yorumlanması önem arz etmektedir. Alt ve üst limitler arasında fark ne kadar az ise, diğer bir deyişle güven aralığı genişliği (CI Width) ne kadar dar ise örneklem ortalaması popülasyon ortalamasına o kadar yakın ve örneklem ortalamasını o kadar doğru tahmin ediyor demektir. Tersi bir durum, örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasından uzaklaşması anlamı taşımaktadır ki, bu durum örneklemin popülasyonu kötü temsili anlamına gelmektedir.
Güven aralığının hesaplanması için hangi parametrelere ihtiyaç vardır?
Genel olarak, güven aralığını hesaplamak için adım adım ele alınması gereken parametreler Şekil 1’de verilmiştir.
Şekil 1: Güven Aralığı Hesaplama Adımları
Şekil 1’de görüleceği üzere ilk olarak popülasyondan çekilen örneklemin ortalaması hesaplanır. Ortalama ise aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır. Eşitlik örneklem ortalamasının hesaplanmasına yönelik olduğu için “X” parametresi kullanılmıştır. Örneklem ortalaması bütün gözlem değerlerinin toplamının toplam gözlem sayısına bölünmesi ile elde edilir. Eşitlikte küçük “n” örneklem büyüklüğünü ifade etmektedir.
Eğer popülasyon ortalamasını hesaplamış olsaydık eşitlikte n yerine büyük “N” e yer verecektik. Burada N popülasyondaki gözlem sayısını ifade etmektedir. Popülasyon ortalaması (μ) ise bütün gözlem değerlerinin toplamının toplam gözlem sayısı (N)’na bölünmesi ile elde edilmekte olup, aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Örnekleme ait standart sapmanın hesaplanmasında ise aşağıdaki eşitlikten faydalanılır. Burada standart sapma ile aslında örneklem ortalamasından ne kadarlık bir sapma olduğunu gösteriyoruz. Adım adım örneklem standart sapması şöyle hesaplanır:
Örneklemdeki gözlem değerlerinin ortalaması hesaplanır.
Her bir gözlemin gözlem ortalamasından farkı alınır.
Her bir gözleme ait hesaplanan farkın karesi hesaplanır.
Her bir gözleme ait hesaplanan farkların karesi toplanır.
Elde edilen fark kareleri toplamı örneklemdeki gözlem sayısının bir eksiğine bölünür.
Elde edilen değerin karesi hesaplanır.
Popülasyon standart sapmasının hesaplanması ise örneklem standart sapmasına benzer olup tek fark karekök içindeki eşitliğin paydasında büyük “N” e, diğer bir deyişle popülasyondaki toplam gözlem sayısına yer verilmesidir. Yukarıda örneklem standart sapmasındaki işlemler popülasyon standart sapması için de yapılır.
Element varyansı ise örneklem standart sapmasının karesi olup, aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır.
Eğer örneklemin popülasyon içinde yüzdesi (f=(n/N) x 100) %5’ten büyükse örneklem varyansının hesaplanması ve bunun üzerinden standart hata hesaplanması yoluna gidilmelidir. Örneklem varyansı ise aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Popülasyon varyansı ise popülasyon standart sapmasının karesinin alınması ile hesaplanır. Aşağıdaki eşitlik yardımıyla popülasyon varyansı hesaplanır.
Standart hata (se), diğer bir ifade ile ortalamanın standart hatası aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır. Örneklemin standart sapması (s)’nın karekök içerisindeki örneklem gözlem sayısı (n)’na bölünmesi bize ortalamanın standart hatası (standard error of the mean)’nı verir. Örneklem büyüklüğünün artırılması büyük sayı yasası (law of large numbers) ve merkezi limit teoremi (central limit teorem)’ne dayalı olarak standart hatayı azaltır ve bu istenen bir durumdur. Böylece, örneklem dağılımı standart normal dağılıma (ortalaması 0, standart sapması 1) evrilir.
Güven aralığı nasıl hesaplanır?
Güven aralığının belirlenmesini sağlayan eşitliklere yer verildikten sonra sırasıyla şimdi çok yalın bir şekilde t dağılım tablosu için güven aralığı eşitliğini alt ve üst limitten başlayarak verelim. t dağılımı, ingilizce ifadeyle student’s t distribution, ingiliz istatistikçi William Sealy Gosset tarafından 1908 yılında ortaya konulmuştur. Bu çalışmada güven aralığı, ortalaması ve standart sapması bilinen bir popülasyon üzerinden hesaplanmıştır. Eşitliklerde belirtilen n-1 serbestlik derecesi (degrees of fredom)’ni belirtmekte olup, n örneklem büyüklüğü göstermektedir.
Güven aralığının alt ve üst limitini verdikten sonra bir bütün olarak güven aralığı (confidence interval) eşitliğini verelim. Eşitliğin ortasında yer verilen μ popülasyon ortalamasını göstermektedir. Daha önce de belirtildiği üzere güven aralıklarıyla aslında popülasyon ortalamasını tahmin ediyoruz.
Güven aralığının alt ve üst, diğer bir deyişle iki kuyruklu (two tailed) alfa katsayıları aşağıdaki şekil üzerinde verilmiştir. Z dağılım tablosu ortalaması 0, standart sapması 1 olan standart normal dağılımı kullanmaktadır. Standart normal dağılım eğrisi şeklinden dolayı can eğrisi (bell curve) olarak da adlandırılmaktadır. Eğrinin altında alanın toplamı 1’e eşittir. Burada belirlenen güven düzeyi % 95’tir. Bu güven düzeyi sosyal bilimler dışında özellikle sağlık bilimlerinde % 95’in üzerine çıkabilmektedir daha kesin çıkarımlar (inferences) alınmak istendiğinden . t dağılım tablosu aslında örneklem büyüklüğü artıkça z dağılım eğrisine evrilmektedir. Ancak örneklem büyüklüğü (n<31)’nün düşük olmasından dolayı t dağılım tablosunun kullanılması daha yaygın bir uygulamadır.
Kaynak: https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
Aşağıda şekilde ise t dağılımının örneklem büyüklüğüne göre seyri verilmiştir. Burada örneklem büyüklüğü artıkça dağılımın standart normal dağılıma evrildiği görülmektedir.
Kaynak: http://onlinestatbook.com/2/estimation/t_distribution.html
Güven aralığı eşitliğinde görüleceği üzere güven aralığının hesaplanması için gerekli parametreler örneklemin ortalaması, standart hatası (se) ve t tablo değeridir. Burada t tablo yerine pekala Z dağılım tablo değeri de alınabilirdi. Ancak örneklem büyüklüğümüz bu çalışma kapsamında 30 ve altında (n<30) olduğu için t (student t) dağılım tablosu kullanılmıştır. Ancak isteğe bağlı olarak çalışmada 30’un üzerinde örneklem büyüklüğü (n) belirlenerek Z tablo değeri hesaplanabilir. Buna ilişkin uygulama yaptığım örnek çalışma mevcuttur. Merak edenler için çalışmanın linki aşağıdadır.
Tekrarsız Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi Kullanılarak Z Tablosu Üzerinden Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması
Diğer taraftan, genel olarak sosyal bilimlerdeki istatistiksel analiz ve araştırmalarda güven düzeyleri % 95 olarak alındığı için bu araştırmada da bu düzey benimsenmiştir. Güven düzeyinin % 95 olarak alınması % 5’lik hata payının kabul edildiğini göstermektedir. Hazırlamış olduğum çalışmalar, özellikle de simülasyon çalışması % 95 üzeri ve altı güven düzeyleri için de kolaylıkla uyarlanabilme özelliğine sahiptir.
Sırası gelmişken belirtmekte fayda olduğuna inanıyorum. Güven aralığının kamuoyunda ve literatürde sık sık yanlış yorumlandığı ve adlandırıldığı görülmektedir. Diğer bir deyişle, güven aralığı (confidence interval) ile güven düzeyi (confidence level) karıştırılmaktadır. Burada güven aralığı eğer yüzde olarak ifade edilmişse bu güven düzeyini, yüzde olarak ifade edilmemişse güven aralığını ifade etmektedir. % 95 güven düzeyine sahip olmak, sonuçlarınızın herkese anket yapmış gibi neredeyse aynı olduğundan emin olduğunuz anlamına gelir.
Güven aralığını etkileyen faktörler nelerdir?
Güven aralığını etkileyen faktörler şöyle sıralanabilir.
Örneklem büyüklüğü: örneklem büyüklüğü (n) artıkça elde edilen cevapların popülasyonu doğrulama olasılığı o kadar artar. Diğer bir deyişle, örneklem büyüklüğünün artması güven aralığını daraltır. Ancak bu artış lineer olmayabilir.
Örneklem seçiminde kullanılan yöntem: eğer örneklem olasıklı örneklem yöntemleri kullanılmadan ya da bu yöntemler kullanılsa bile hatalı örneklem seçimi yapılmışsa güven aralıklarını etkileyebilir. Dolayısıyla popülasyon parametresi olan ortalamalar doğru bir şekilde tahmin edilmemiş olur.
Güven düzeyi (% 95’ten % 99’a yükselmesi) yükseldikçe güven aralığı genişler. Çünkü matematiksel olarak çarpım katsayısı da büyür. Örnek vermek gerekirse Z tablo değeri % 95 güven aralığında 1,96 iken güven aralığı = X-+1,96 x Standart Hata. Ancak Z tablo değeri % 99 güven aralığında 2,58 iken güven aralığı = X-+2,58 x Standart Hata olur.
Örneklem ortalaması arttıkça güven aralığının genişliği aynı kalır. Dolayısıyla, örneklem ortalaması aralığın genişliğinde bir rol oynamaz.
Örneklem standart sapmasının azalması varyansın azalması anlamına geldiğinden standart hata düşer. Bu durum güven aralığının daralmasına ve daha yüksek doğruluk (accuracy) ile popülasyon ortalamasının tahmini anlamına gelmektedir. Burada örneklem büyüklüğü ile standart hata arasında ters orantı vardır.
Güven aralığından yeterince bahsettikten sonra şimdi uygulama aşamasına geçebiliriz. Uygulamada kullanılan popülasyon veri seti beden kitle endeksi (BKİ) değerlerini içeren ve 1000 (N) gözlemden oluşan sentetik veri setidir. Olasılıklı örneklem yöntemlerinden basit tekrarlı tesadüfi örnekleme yöntemiyle 7 ve 50 aralığında BKİ değerleri üretilmiştir. BKİ değerleri üretilirken Sağlık Bakanlığı resmi web sitesindeki BKİ alt ve üst referans değerlerinden yararlanılmıştır. Burada belirlenen BKİ alt ve üst limitleri şöyledir:
Parametre Değeri Kategori
8.5 kg/m2’nin altında ise zayıf
18.5-24.9 kg/m2 arasında ise normal kilolu
25-29.9 kg/m2 arasında ise fazla kilolu
30-34.9 kg/m2 arasında ise I.Derece obez
35-39.9 kg/m2 arasında ise II.Derece obez
40 kg/m2 üzerinde ise III.Derece morbid obez
Kaynak: https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
İlk olarak popülasyondan tekrarsız basit tesadüfi örneklem yöntemi kullanarak her birinin örneklem büyüklüğü sırasıyla 35, 31 ve 34 olan 3 farklı örneklem çekilmiştir. Çekilen örneklemler popülasyondaki ID koduyla birlikte Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1: Üç Farklı Örneklem Seçimi
Örneklem1
ID BKİ Örneklem2
ID BKİ Örneklem3
ID BKİ
23 42,1 6 40,9 24 9,7
3 35,9 12 35,7 1 7,2
22 15,8 23 42,1 25 8,0
14 48,7 4 27,0 19 38,3
6 40,9 27 43,9 27 43,9
5 22,0 7 16,2 2 27,0
16 46,6 1 7,2 4 27,0
21 9,5 29 18,3 8 46,7
20 27,7 3 35,9 20 27,7
15 46,2 17 50,0 3 35,9
10 30,6 16 46,6 26 27,9
19 38,3 30 46,8 9 36,7
17 50,0 22 15,8 17 50,0
1 7,2 9 36,7 16 46,6
13 26,1 26 27,9 21 9,5
9 36,7 15 46,2 15 46,2
18 24,1 8 46,7 6 40,9
8 46,7 18 24,1 18 24,1
12 35,7 20 27,7 23 42,1
4 27,0 14 48,7 5 22,0
24 9,7 11 22,1 12 35,7
7 16,2 5 22,0 13 26,1
2 27,0 21 9,5 14 48,7
11 22,1 24 9,7 7 16,2
Güven aralıklarını vermeden önce popülasyona ait temel parametreleri vermenin fayda olduğu düşünülmektedir. Bu amaçla popülasyon parametre değerleri Tablo 2’te sunulmuştur.
Tablo 2: Popülasyon Parametreleri
Popülasyon Parametreleri Değer
Ortalama (µ) 28,6
Varyans 153,0
Standart Sapma 12,4
N 1000
Örneklem gruplarına ait üretilen güven aralıkları ise Tablo 3’te verilmiştir. Tablo 3’e göre öne çıkan bulgular şöyledir:
Ortalamasının 30,1, ortalamanın standart hatasının (se) 2,2 olduğu örneklem 2 grubu popülasyon ortalamasını en doğru tahmin eden grup olarak öne çıkmıştır. Bu grupta güven aralığı genişliği (8,9) diğer gruplara göre daha dar olup güven aralığı (CI) “25,62 ≤ µ ≤34,51“ şeklindedir. Buradan örneklem 2 beden kitle endeksi ortalamasının % 95 olasılıkla veya güven düzeyinde 25,62 ile 34,51 arasında olduğunu söyleyebiliriz. Örneklem 2 grubunu ise güven aralığı genişliği (CI width) 10,2 olan örneklem 3 grubu izlemiştir.
Tablo 3: Örneklem Grubuna Göre Güven Aralıkları
Tablo 3’teki güven aralıkları genişlikleri baz alınarak örneklem gruplarına göre güven aralıkları Şekil 2’te verilmiştir. Görüleceği üzere güven aralığı genişliği en dar olan örneklem grubu 8,89 ile örneklem 2 grubudur. Buradan şöyle bir yorum yapabiliriz: örneklem büyüklüğü (n)’nün artması varyansın azalmasına, varyansın azalması ise standart hata (se)’nın düşmesini sağlar. Buna bağlı olarak güven aralığı (CI width) daralır ve daha keskin (precision) ve daha doğru (accuracy) bir güven aralığı elde edilmiş olur.
Şekil 2: Örneklem Gruplarına Göre Güven Aralığı Genişlikleri
Burada t (student’s t) dağılım tablosu üzerinden yapılan güven aralığı deneysel çalışmasının excel uzantılı dosyasını aşağıda linkten indirebilirsiniz.
Güven Aralığı (t Dağılımı)İndir
t dağılım tablosu üzerinden güven aralığının hesaplanmasına yönelik olarak hazırladığım simülasyonu ise aşağıdaki linkten indirebilirsiniz. Simülasyon çalışmasında bazı sayfalardaki formüller şifre ile korunmuştur. Değişiklik yapılması istenmesi durumundan sayfa korumasının kaldırılması için şifre olarak “tevfik” girilmesi yeterlidir. Özellikle bu simülasyon çalışmasının sahada ve akademide faaliyet gösteren çalışanlara çok faydalı olacağı düşünülmektedir. Bu çalışmanın içerisinde örneklem seçiminden örneklem büyüklüğünün belirlenmesine kadar pek çok konu mevcuttur.
Güven Aralığı Simülasyonu (t Dağılımı)İndir
Faydalı olması ve farkındalık oluşturması dileğiyle.
Bilimle ve teknolojiyle kalınız.
Saygılarımla
Not: Kaynak gösterilmeden alıntı yapılamaz veya kopyalanamaz.
Note: It can not be cited or copied without referencing.
Yararlanılan Kaynaklar
https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/confint.htm
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://online.stat.psu.edu/statprogram/reviews/statistical-concepts/confidence-intervals
http://web.pdx.edu/~stipakb/download/PA551/boxplot.html
https://www.got-it.ai/
Field, Andy. (2009). Discovering Statistics Using SPSS. Third Edition.
http://onlinestatbook.com/2/estimation/t_distribution.html
Mane AB. From a brewer to the faraday of statistics: William Sealy Gosset. Muller J Med Sci Res 2016;7:147-9.
Bunu paylaş:
Facebook
Twitter
Reddit
Telegram
E-posta
Yazdır
Daha fazla
LinkedIn
Tumblr
Pinterest
Pocket
WhatsApp
Skype
Bunu beğen:
Beğen Yükleniyor...
Tevfik BULUT	Genel	Yorum bırakın 18 Mayıs 2020 4 Mayıs 2021 11 Minutes	
Tekrarsız Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi Kullanılarak Z Tablosu Üzerinden Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması: A Simulation Study for the Calculation of Confidence Interval (CI) Based on Z Table Using Simple Random Sampling without Replacement Method
Güven aralıkları ingilizce ifadeyle confidence interval (CI) hem sahadan veri toplama yöntemleriyle elde edilen birincil verilerin hem de veri tabanlarından elde edilen işlenmiş ikincil verilerin analizinde çok yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Peki nedir bu güven aralığı? Güven aralığının hesaplanması için hangi parametrelere ihtiyaç vardır? Güven aralığı nasıl hesaplanır? Güven aralığını etkileyen faktörler nelerdir? Bu çalışmada bahsedilen bu sorulara cevaplar bulunacaktır. Bu amaçla olasılıklı örneklem yöntemlerinden biri olan ön yargısız (without bias) basit tesadüfi tekrarsız örneklem yöntemi kullanılmıştır. Basit tekrarlı örneklem yöntemi ile ise rastgele beden kitle endeksi verileri üretilmiştir. Üretilen bu sentetik veriler üzerinden deneysel güven aralığı çalışması hazırlanmıştır. Diğer programlama dilleri kullanılarak veya paket programlar üzerinde de bu çalışmanın yapılması her zaman mümkündür. Bunu da yapabilirdim ancak Microsoft Office Excel 2016 kullanılarak güven aralığı çalışması yapılmasının daha uygun olacağını düşündüm. Bunun nedeni excel üzerinde okuyucuya fonksiyon (formül) etkileşimleri gösterilerek konu hakkında daha fazla katkı sunulması amaçlanmasıdır. İki farklı güven aralığı çalışmasına yer verilmiştir. İlkinde güven aralığı çalışmasında elde edilen değerler sabitlenmiştir. İkincisi ise simülasyona izin verecek dinamik bir şekilde excel uzantılı dosya içerisinde sunulmuştur.Bunun nedeni seçilen örneklemlerdeki parametre ve güven aralıkları değişimlerinin karşılaştırmalı ve dinamik olarak sunulmak istenmesidir.
Güven aralığı nedir?
Maliyetlerin yüksekliği, uzun zaman alması, güncel ve derinlemesine veri elde edilmesi gibi temel öncelikler esas alınarak sıklıkla kişiler ya da kurumlar popülasyonun tamamının yerine bu popülasyonu temsil eden örneklem üzerinde araştırma yapmayı tercih ederler. Ancak seçilen örneklemin popülasyonun tamamını temsil etmesi isteniyorsa yeterli örneklem büyüklüğü (n) belirlenerek mutlaka olasılıklı örneklem yöntemlerinden biri veya birkaçı birlikte kullanılmalıdır. Popülasyonun tamamı yerine bu popülasyondan seçilen örneklem söz konusu olunca örneklem popülasyonu ne kadar temsil ediyor sorusu ortaya çıkmaktadır. Güven aralığı ise aslında tam da bize bunu söylemektedir. Güven aralığı, popülasyon ortalamasının tahmincisi olup, bize örneklem ortalamalarının popülasyon ortalamasından ne kadarlık bir sapma olduğunu göstermektedir. Güven aralığının bir alt limit (lower bound)’i ve üst limit (upper bound)’i vardır. Bu alt ve üst limitlerin olması güven aralığına adını vermektedir. Yani örneklemden elde edilen güven aralıkları popülasyon ortalamasını mutlaka içerecektir. Burada güven aralığındaki alt ve üst limitin yorumlanması önem arz etmektedir. Alt ve üst limitler arasında fark ne kadar az ise, diğer bir deyişle güven aralığı genişliği (CI Width) ne kadar dar ise örneklem ortalaması popülasyon ortalamasına o kadar yakın ve popülasyon ortalamasını o kadar doğru tahmin ediyor demektir. Tersi bir durum, örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasından uzaklaşması anlamı taşımaktadır ki, bu durum örneklemin popülasyonu kötü temsili anlamına gelmektedir.
Güven aralığının hesaplanması için hangi parametrelere ihtiyaç vardır?
Genel olarak, güven aralığını hesaplamak için adım adım ele alınması gereken parametreler Şekil 1’de verilmiştir.
Şekil 1: Güven Aralığı Hesaplama Adımları
Şekil 1’de görüleceği üzere ilk olarak popülasyondan çekilen örneklemin ortalaması hesaplanır. Ortalama ise aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır. Eşitlik örneklem ortalamasının hesaplanmasına yönelik olduğu için “X” parametresi kullanılmıştır. Örneklem ortalaması bütün gözlem değerlerinin toplamının toplam gözlem sayısına bölünmesi ile elde edilir. Eşitlikte küçük “n” örneklem büyüklüğünü ifade etmektedir.
Eğer popülasyon ortalamasını hesaplamış olsaydık eşitlikte n yerine büyük “N” e yer verecektik. Burada N popülasyondaki gözlem sayısını ifade etmektedir. Popülasyon ortalaması (μ) ise bütün gözlem değerlerinin toplamının toplam gözlem sayısı (N)’na bölünmesi ile elde edilmekte olup, aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Örnekleme ait standart sapmanın hesaplanmasında ise aşağıdaki eşitlikten faydalanılır. Burada standart sapma ile aslında örneklem ortalamasından ne kadarlık bir sapma olduğunu gösteriyoruz. Adım adım örneklem standart sapması şöyle hesaplanır:
Örneklemdeki gözlem değerlerinin ortalaması hesaplanır.
Her bir gözlemin gözlem ortalamasından farkı alınır.
Her bir gözleme ait hesaplanan farkın karesi hesaplanır.
Her bir gözleme ait hesaplanan farkların karesi toplanır.
Elde edilen fark kareleri toplamı örneklemdeki gözlem sayısının bir eksiğine bölünür.
Elde edilen değerin karesi hesaplanır.
Popülasyon standart sapmasının hesaplanması ise örneklem standart sapmasına benzer olup tek fark karekök içindeki eşitliğin paydasında büyük “N” e, diğer bir deyişle popülasyondaki toplam gözlem sayısına yer verilmesidir. Yukarıda örneklem standart sapmasındaki işlemler popülasyon standart sapması için de yapılır.
Element varyansı ise örneklem standart sapmasının karesi olup, aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır.
Eğer örneklemin popülasyon içinde yüzdesi (f=(n/N) x 100) %5’ten büyükse örneklem varyansının hesaplanması ve bunun üzerinden standart hata hesaplanması yoluna gidilmelidir. Örneklem varyansı ise aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Popülasyon varyansı ise popülasyon standart sapmasının karesinin alınması ile hesaplanır. Aşağıdaki eşitlik yardımıyla popülasyon varyansı hesaplanır.
Standart hata (se), diğer bir ifade ile ortalamanın standart hatası aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır. Örneklemin standart sapması (s)’nın karekök içerisindeki örneklem gözlem sayısı (n)’na bölünmesi bize ortalamanın standart hatası (standard error of the mean)’nı verir. Standart hatayı aynı zamanda örneklem varyansının karekökünü alarak da hesaplayabiliriz. Örneklem büyüklüğünün artırılması merkezi limit teoremi (central limit teorem)’ne dayalı olarak standart hatayı azaltır ve bu istenen bir durumdur. Böylece, örneklem dağılımı standart normal dağılıma (ortalaması 0, standart sapması 1) evrilir.
Güven aralığı nasıl hesaplanır?
Güven aralığının belirlenmesini sağlayan eşitliklere yer verildikten sonra sırasıyla şimdi çok yalın bir şekilde güven aralığı eşitliğini alt ve üst limitten başlayarak verelim. Bu çalışmada güven aralığı, ortalaması ve standart sapması bilinen bir popülasyon üzerinden hesaplanmıştır.
Güven aralığının alt ve üst limitini verdikten sonra bir bütün olarak güven aralığı (confidence interval) eşitliğini verelim. Eşitliğin ortasında yer verilen μ popülasyon ortalamasını göstermektedir. Daha önce de belirtildiği üzere güven aralıklarıyla aslında popülasyon ortalamasını tahmin ediyoruz.
Güven aralığının alt ve üst, diğer bir deyişle iki kuyruklu (two tailed) alfa katsayıları aşağıdaki şekil üzerinde verilmiştir. Z tablosu ortalaması 0, standart sapması 1 olan standart normal dağılımı kullanmaktadır. Standart normal dağılım eğrisi şeklinden dolayı can eğrisi (bell curve) olarak da adlandırılmaktadır. Eğrinin altında alanın toplamı 1’e eşittir. Burada belirlenen güven düzeyi % 95’tir. Bu güven düzeyi sosyal bilimler dışında özellikle sağlık bilimlerinde % 95’in üzerine çıkabilmektedir daha kesin çıkarımlar (inferences) alınmak istendiğinden.
Kaynak: https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
Güven aralığı eşitliğinde görüleceği üzere güven aralığının hesaplanması için gerekli parametreler örneklemin ortalaması, standart hatası (se) ve Z tablo değeridir. Burada Z tablo yerine pekala t tablo değeri de alınabilirdi. Ancak örneklem büyüklüğümüz bu çalışma kapsamında 30’un üzerinde (n>30) olduğu için Z tablosu kullanılmıştır. Ancak isteğe bağlı olarak çalışmada 30’un altında örneklem büyüklüğü (n) belirlenerek t tablo değeri hesaplanabilir. Diğer taraftan, genel olarak sosyal bilimlerdeki istatistiksel analiz ve araştırmalarda güven düzeyleri % 95 olarak alındığı için bu araştırmada da bu düzey benimsenmiştir. Güven düzeyinin % 95 olarak alınması % 5’lik hata payının kabul edildiğini göstermektedir. Hazırlamış olduğum çalışmalar, özellikle de simülasyon çalışması % 95 üzeri ve altı güven düzeyleri için de kolaylıkla uyarlanabilme özelliğine sahiptir.
Sırası gelmişken belirtmekte fayda olduğuna inanıyorum. Güven aralığının kamuoyunda ve literatürde sık sık yanlış yorumlandığı ve adlandırıldığı görülmektedir. Diğer bir deyişle, güven aralığı (confidence interval) ile güven düzeyi (confidence level) karıştırılmaktadır. Burada güven aralığı eğer yüzde olarak ifade edilmişse bu güven düzeyini, yüzde olarak ifade edilmemişse güven aralığını ifade etmektedir. % 95 güven düzeyine sahip olmak, sonuçlarınızın herkese anket yapmış gibi neredeyse aynı olduğundan emin olduğunuz anlamına gelir.
Güven aralığını etkileyen faktörler nelerdir?
Güven aralığını etkileyen faktörler şöyle sıralanabilir.
Örneklem büyüklüğü: örneklem büyüklüğü (n) artıkça elde edilen cevapların popülasyonu doğrulama olasılığı o kadar artar. Diğer bir deyişle, örneklem büyüklüğünün artması güven aralığını daraltır. Ancak bu artış lineer olmayabilir.
Örneklem seçiminde kullanılan yöntem: eğer örneklem olasıklı örneklem yöntemleri kullanılmadan ya da bu yöntemler kullanılsa bile hatalı örneklem seçimi yapılmışsa güven aralıklarını etkileyebilir. Dolayısıyla popülasyon parametresi olan ortalamalar doğru bir şekilde tahmin edilmemiş olur.
Güven düzeyi (% 95’ten % 99’a yükselmesi) yükseldikçe güven aralığı genişler. Çünkü matematiksel olarak çarpım katsayısı da büyür. Örnek vermek gerekirse Z tablo değeri % 95 güven aralığında 1,96 iken güven aralığı = X-+1,96 x Standart Hata. Ancak Z tablo değeri % 99 güven aralığında 2,58 iken güven aralığı = X-+2,58 x Standart Hata olur.
Örneklem ortalaması arttıkça güven aralığının genişliği aynı kalır. Dolayısıyla, örneklem ortalaması aralığın genişliğinde bir rol oynamaz.
Örneklem standart sapmasının azalması varyansın azalması anlamına geldiğinden standart hata düşer. Bu durum güven aralığının daralmasına ve daha yüksek doğruluk (accuracy) ile popülasyon ortalamasının tahmini anlamına gelmektedir. Burada örneklem büyüklüğü ile standart hata arasında ters orantı vardır.
Güven aralığından yeterince bahsettikten sonra şimdi uygulama aşamasına geçebiliriz. Uygulamada kullanılan popülasyon veri seti beden kitle endeksi (BKİ) değerlerini içeren ve 1000 (N) gözlemden oluşan sentetik veri setidir. Olasılıklı örneklem yöntemlerinden basit tekrarlı tesadüfi örnekleme yöntemiyle 7 ve 50 aralığında BKİ değerleri üretilmiştir. BKİ değerleri üretilirken Sağlık Bakanlığı resmi web sitesindeki BKİ alt ve üst referans değerlerinden yararlanılmıştır. Burada belirlenen BKİ alt ve üst limitleri şöyledir:
Parametre Değeri Kategori
8.5 kg/m2’nin altında ise zayıf
18.5-24.9 kg/m2 arasında ise normal kilolu
25-29.9 kg/m2 arasında ise fazla kilolu
30-34.9 kg/m2 arasında ise I.Derece obez
35-39.9 kg/m2 arasında ise II.Derece obez
40 kg/m2 üzerinde ise III.Derece morbid obez
Kaynak: https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
İlk olarak popülasyondan tekrarsız basit tesadüfi örneklem yöntemi kullanarak her birinin örneklem büyüklüğü sırasıyla 35, 31 ve 34 olan 3 farklı örneklem çekilmiştir. Çekilen örneklemler popülasyondaki ID koduyla birlikte Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1: Üç Farklı Örneklem Seçimi
Örneklem1
ID BKİ
Örneklem2
ID BKİ
Örneklem3
ID BKİ
33 28,8 5 35,52 28 41,87
34 8,7 3 13,9 25 19,97
20 39,3 20 39,34 18 10,55
16 10,2 12 28,64 8 7,81
13 8,3 9 40,26 29 19,67
19 28,3 19 28,28 24 33,82
2 24,8 2 24,83 20 39,34
3 13,9 14 44,36 19 28,28
25 20,0 18 10,55 31 29,96
11 21,9 21 15,14 13 8,34
7 44,9 11 21,94 32 11,19
29 19,7 28 41,87 27 36,69
6 9,2 8 7,81 30 22,34
21 15,1 4 18,82 12 28,64
1 47,3 10 37,82 26 16,71
31 30,0 1 47,34 3 13,9
23 20,8 22 15,39 22 15,39
28 41,9 15 31,19 2 24,83
8 7,8 24 33,82 21 15,14
26 16,7 25 19,97 14 44,36
15 31,2 13 8,34 15 31,19
5 35,5 29 19,67 7 44,87
27 36,7 26 16,71 17 17,62
22 15,4 17 17,62 11 21,94
35 31,5 16 10,18 33 28,79
10 37,8 31 29,96 5 35,52
4 18,8 6 9,22 4 18,82
24 33,8 23 20,82 16 10,18
12 28,6 7 44,87 10 37,82
18 10,6 30 22,34 9 40,26
32 11,2 27 36,69 1 47,34
14 44,4 6 9,22
30 22,3 34 8,71
9 40,26 23 20,82
17 17,62
Güven aralıklarını vermeden önce popülasyona ait temel parametreleri vermekte fayda olduğu düşünülmektedir. Bu amaçla popülasyon parametre değerleri Tablo 2’te sunulmuştur.
Tablo 2: Popülasyon Parametreleri
Popülasyon Parametreleri Değer
Ortalama (µ) 28,7
Varyans 153,0
Standart Sapma 12,4
N 1000
Örneklem gruplarına ait üretilen güven aralıkları ise Tablo 3’te verilmiştir. Tablo 3’e göre öne çıkan bulgular şöyledir:
Ortalamasının 24,95, ortalamanın standart hatasının (se) 2,00 olduğu örneklem1 grubu popülasyon ortalamasını en doğru tahmin eden grup olarak öne çıkmıştır. Bu grupta güven aralığı genişliği (7,83) diğer gruplara göre daha dar olup güven aralığı (CI) “21,04 ≤ µ ≤28,87“ şeklindedir. Buradan örneklem beden kitle endeksi ortalamasının % 95 olasılıkla veya güven düzeyinde 21,04 ile 28,87 arasında olduğunu söyleyebiliriz. Örneklem 1 grubunu ise güven aralığı genişliği (CI width) 8,03 olan örneklem 3 grubu izlemiştir.
Tablo 3: Örneklem Grubuna Göre Güven Aralıkları
Örneklem Parametreleri Örneklem1 Örneklem2 Örneklem3
Ortalama (m) 24,95 25,59 24,76
Element Varyans (s^2) 139,81 140,96 142,62
Standart Sapma (s) 11,82 11,87 11,94
Örneklem büyüklüğünün popülasyon içindeki oranı (f) 0,04 0,03 0,03
Finite population correction(fpc) (1-f): Popülasyon düzeltmesi 0,97 0,97 0,97
Örneklem varyansı (var(x)) 3,99 4,55 4,19
Standart Hata (se) 2,00 2,13 2,05
Nispi hata (Coefficient of Variation) (CV) 8,01 8,33 8,27
Alfa (a/2) değeri (güven aralığının olasılık değeri) 0,03 0,03 0,03
Z tablo değeri 1,96 1,96 1,96
%95 Güven Aralığı Alt Limit (Lower boundary of CI) 21,04 21,41 20,75
%95 Güven Aralığı Üst Limit (Upper boundary of CI) 28,87 29,77 28,78
Güven Aralığı Genişliği (CI Width) 7,83 8,36 8,03
Güven aralığı gösterimi (CI) 21,04 ≤ µ ≤28,87 21,41 ≤ µ ≤29,77 20,75 ≤ µ ≤28,78
En iyi güven aralığına sahip örneklem grubu Örneklem 1
Tablo 3’teki güven aralıkları genişlikleri baz alınarak örneklem gruplarına göre güven aralıkları Şekil 2’te verilmiştir. Görüleceği üzere güven aralığı genişliği en dar olan örneklem grubu 7,83 ile örneklem 1 grubudur. Buradan şöyle bir yorum yapabiliriz: örneklem büyüklüğü (n) artıkça standart hata (se) düşer, buna bağlı olarak güven aralığı (CI width) daralır.
Şekil 2: Örneklem Gruplarına Göre Güven Aralığı Genişlikleri
Burada Z tablosu üzerinden yapılan güven aralığı deneysel çalışmasının excel uzantılı dosyasını aşağıda linkten indirebilirsiniz.
Sabitlenmiş Değerler Üzerinden Güven Aralığı Hesaplamaİndir
Z tablosu üzerinden Güven aralığının hesaplanmasına yönelik olarak hazırladığım simülasyonu ise aşağıdaki linkten indirebilirsiniz. Simülasyon çalışmasında bazı sayfalardaki formüller şifre ile korunmuştur. Değişiklik yapılması istenmesi durumundan sayfa korumasının kaldırılması için şifre olarak “tevfik” girilmesi yeterlidir. Özellikle bu simülasyon çalışmasının sahada ve akademide faaliyet gösteren çalışanlara çok faydalı olacağı düşünülmektedir. Bu çalışmanın içerisinde olaslıklı örneklem seçiminden örneklem büyüklüğünün belirlenmesine kadar pek çok konu mevcuttur. Bu simülasyonda örneklem büyüklüğünü siz belirleyebilirsiniz.
Güven Aralığı Simülasyonuİndir
Ayrıca güven aralığı simülasyonuna sizlerin örneklem büyüklüğünü elle belirlemenize gerek kalmadan tesadüfi bir şekilde belirlenmesine olanak tanıyan özellik ilave ettim. Güven aralığı simülasyonunun bu versiyonunu ise aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.
Güven Aralığı Simülasyonuİndir
Faydalı olması ve farkındalık oluşturması dileğiyle.
Bilimle ve teknolojiyle kalınız.
Saygılarımla…
Not: Kaynak gösterilmeden alıntı yapılamaz veya kopyalanamaz.
Note: It can not be cited or copied without referencing.
Yararlanılan Kaynaklar
https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/confint.htm
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://online.stat.psu.edu/statprogram/reviews/statistical-concepts/confidence-intervals
http://web.pdx.edu/~stipakb/download/PA551/boxplot.html
https://www.got-it.ai/
Field, Andy. (2009). Discovering Statistics Using SPSS. Third Edition.
Bunu paylaş:
Facebook
Twitter
Reddit
Telegram
E-posta
Yazdır
Daha fazla
LinkedIn
Tumblr
Pinterest
Pocket
WhatsApp
Skype
Bunu beğen:
Beğen Yükleniyor...
Tevfik BULUT	Genel	Yorum bırakın 17 Mayıs 2020 4 Mayıs 2021 11 Minutes	
Z Tablosuna Göre Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Temel Bir Simülasyon Çalışması: A Basic Simulation Study for Calculating Confidence Interval by Z Table
Güven aralıkları ingilizce ifadeyle confidence interval (CI) hem sahadan veri toplama yöntemleriyle elde edilen birincil verilerin hem de veri tabanlarından elde edilen işlenmiş ikincil verilerin analizinde çok yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Peki nedir bu güven aralığı? Güven aralığının hesaplanması için hangi parametrelere ihtiyaç vardır? Güven aralığı nasıl hesaplanır? Güven aralığını etkileyen faktörler nelerdir? Bu çalışmada bahsedilen bu sorulara cevaplar bulunacaktır. Bu amaçla olasılıklı örneklem yöntemlerinden biri olan ön yargısız (without bias) basit tesadüfi tekrarlı örneklem yöntemi kullanılarak yine aynı yöntemle üretilen rastgele beden kitle endeksi verileri üzerinden deneysel güven aralığı çalışması hazırlanmıştır. Diğer programlama dilleri kullanılarak veya paket programlar üzerinde de yapılabilmekle birlikte Microsoft Office Excel 2016 kullanılarak güven aralığı çalışması yapılmıştır. Bunun nedeni okuyucuya fonksiyon (formül) etkileşimlerinin gösterilerek daha fazla katkı sunulması amaçlanmasıdır. İki farklı güven aralığı çalışmasına yer verilmiştir. İlkinde güven aralığı çalışmasında elde edilen değerler sabitlenmiştir. İkincisinde ise simülasyona izin verecek dinamik bir şekilde excel uzantılı dosya içerisinde sunulmuştur. Bunun nedeni seçilen örneklemlerdeki parametre ve güven aralıkları değişimlerinin karşılaştırmalı olarak sunulması ve daha kolay anlaşılmasının sağlanmak istenmesidir.
Güven aralığı nedir?
Maliyetlerin yüksekliği, uzun zaman alması, güncel ve derinlemesine veri elde edilmesi gibi temel öncelikler esas alınarak sıklıkla kişiler ya da kurumlar popülasyonun tamamının yerine bu popülasyonu temsil eden örneklem üzerinde araştırma yapmayı tercih ederler. Ancak seçilen örneklemin popülasyonun tamamını temsil etmesi isteniyorsa yeterli örneklem büyüklüğü (n) belirlenerek mutlaka olasılıklı örneklem yöntemlerinden biri veya birkaçı birlikte kullanılmalıdır. Popülasyonun tamamı yerine bu popülasyondan seçilen örneklem söz konusu olunca örneklem popülasyonu ne kadar temsil ediyor soruyu ortaya çıkmaktadır. Güven aralığı ise aslında tam da bize bunu söylemektedir. Güven aralığı, popülasyon ortalamasının tahmincisi olup, bize örneklem ortalamalarının popülasyon ortalamasından ne kadarlık bir sapma olduğunu göstermektedir. Güven aralığının bir alt limit (lower bound)’i ve üst limit (upper bound)’i vardır. Bu alt ve üst limitlerin olması güven aralığına adını vermektedir. Yani örneklemden elde edilen güven aralıkları popülasyon ortalamasını mutlaka içerecektir. Burada güven aralığındaki alt ve üst limitin yorumlanması önem arz etmektedir. Alt ve üst limitler arasında fark ne kadar az ise, diğer bir deyişle güven aralığı genişliği (CI Width) ne kadar dar ise örneklem ortalaması popülasyon ortalamasına o kadar yakın ve örneklem ortalamasını o kadar doğru tahmin ediyor demektir. Tersi bir durum, örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasından uzaklaşması anlamı taşımaktadır ki, bu durum örneklemin popülasyonu kötü temsili anlamına gelmektedir.
Güven aralığının hesaplanması için hangi parametrelere ihtiyaç vardır?
Genel olarak, güven aralığını hesaplamak için adım adım ele alınması gereken parametreler Şekil 1’de verilmiştir.
Şekil 1: Güven Aralığı Hesaplama Adımları
Şekil 1’de görüleceği üzere ilk olarak popülasyondan çekilen örneklemin ortalaması hesaplanır. Ortalama ise aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır. Eşitlik örneklem ortalamasının hesaplanmasına yönelik olduğu için “X” parametresi kullanılmıştır. Örneklem ortalaması bütün gözlem değerlerinin toplamının toplam gözlem sayısına bölünmesi ile elde edilir. Eşitlikte küçük “n” örneklem büyüklüğünü ifade etmektedir.
Eğer popülasyon ortalamasını hesaplamış olsaydık eşitlikte n yerine büyük “N” e yer verecektik. Burada N popülasyondaki gözlem sayısını ifade etmektedir. Popülasyon ortalaması (μ) ise bütün gözlem değerlerinin toplamının toplam gözlem sayısı (N)’na bölünmesi ile elde edilmekte olup, aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Örnekleme ait standart sapmanın hesaplanmasında ise aşağıdaki eşitlikten faydalanılır. Burada standart sapma ile aslında örneklem ortalamasından ne kadarlık bir sapma olduğunu gösteriyoruz. Adım adım örneklem standart sapması şöyle hesaplanır:
Örneklemdeki gözlem değerlerinin ortalaması hesaplanır.
Her bir gözlemin gözlem ortalamasından farkı alınır.
Her bir gözleme ait hesaplanan farkın karesi hesaplanır.
Her bir gözleme ait hesaplanan farkların karesi toplanır.
Elde edilen fark kareleri toplamı örneklemdeki gözlem sayısının bir eksiğine bölünür.
Son olarak elde edilen değerin karekökü hesaplanır.
Popülasyon standart sapmasının hesaplanması ise örneklem standart sapmasına benzer olup tek fark karekök içindeki eşitliğin paydasında büyük “N” e, diğer bir deyişle popülasyondaki toplam gözlem sayısına yer verilmesidir. Yukarıda örneklem standart sapmasındaki işlemler popülasyon standart sapması için de yapılır.
Element varyansı ise örneklem standart sapmasının karesi olup, aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır.
Eğer örneklemin popülasyon içinde yüzdesi (f=(n/N) x 100) %5’ten büyükse örneklem varyansının hesaplanması ve bunun üzerinden standart hata hesaplanması yoluna gidilmelidir. Örneklem varyansı ise aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır.
Popülasyon varyansı ise popülasyon standart sapmasının karesinin alınması ile hesaplanır. Aşağıdaki eşitlik yardımıyla popülasyon varyansı hesaplanır.
Standart hata (se), diğer bir ifade ile ortalamanın standart hatası aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanmaktadır. Örneklemin standart sapması (s)’nın karekök içerisindeki örneklem gözlem sayısı (n)’na bölünmesi bize ortalamanın standart hatası (standard error of the mean)’nı verir. Örneklem büyüklüğünün artırılması merkezi limit teoremi (central limit teorem)’ne dayalı olarak standart hatayı azaltır ve bu istenen bir durumdur. Böylece, örneklem dağılımı standart normal dağılıma (ortalaması 0, standart sapması 1) evrilir.
Güven aralığı nasıl hesaplanır?
Güven aralığının belirlenmesini sağlayan eşitliklere yer verildikten sonra sırasıyla şimdi çok yalın bir şekilde güven aralığı eşitliğini alt ve üst limitten başlayarak verelim. Bu çalışmada güven aralığı, ortalaması ve standart sapması bilinen bir popülasyon üzerinden hesaplanmıştır.
Güven aralığının alt ve üst limitini verdikten sonra bir bütün olarak güven aralığı (confidence interval) eşitliğini verelim. Eşitliğin ortasında yer verilen μ popülasyon ortalamasını göstermektedir. Daha önce de belirtildiği üzere güven aralıklarıyla aslında popülasyon ortalamasını tahmin ediyoruz.
Güven aralığının alt ve üst, diğer bir deyişle iki kuyruklu (two tailed) alfa katsayıları aşağıdaki şekil üzerinde verilmiştir. Z tablosu ortalaması 0, standart sapması 1 olan standart normal dağılımı kullanmaktadır. Standart normal dağılım eğrisi şeklinden dolayı can eğrisi (bell curve) olarak da adlandırılmaktadır. Eğrinin altında alanın toplamı 1’e eşittir. Burada belirlenen güven düzeyi % 95’tir. Bu güven düzeyi sosyal bilimler dışında özellikle sağlık bilimlerinde % 95’in üzerine çıkabilmektedir daha kesin çıkarımlar (inferences) alınmak istendiğinden.
Kaynak: https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
Güven aralığı eşitliğinde görüleceği üzere güven aralığının hesaplanması için gerekli parametreler örneklemin ortalaması, standart hatası (se) ve Z tablo değeridir. Burada Z tablo yerine pekala t (student’s t distribution) tablo değeri de alınabilirdi. Ancak örneklem büyüklüğümüz bu çalışma kapsamında 30’un üzerinde (n>30) olduğu için Z tablosu kullanılmıştır. Ancak isteğe bağlı olarak çalışmada 30’un altında örneklem büyüklüğü (n) belirlenerek t tablo değeri hesaplanabilir. Hem tekrarsız basit tesadüfi örnekleme (SRS without replacement) yöntemi hem de t tablo değerinin kullanılarak güven aralığı hesaplanmasına yönelik oluşturduğum simülasyon çalışmasına ise aşağıdaki linkten ulaşabilirsiniz.
Tekrarsız Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi Kullanılarak t Dağılım Tablosu Üzerinden Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması
Hem tekrarsız basit tesadüfi örnekleme (SRS without replacement) yöntemi hem de Z tablo değerinin kullanılarak güven aralığı hesaplanmasına yönelik oluşturduğum simülasyon çalışmasına ise aşağıdaki linkten ulaşabilirsiniz.
Tekrarsız Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi Kullanılarak Z Tablosu Üzerinden Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması
Diğer taraftan, genel olarak sosyal bilimlerdeki istatistiksel analiz ve araştırmalarda güven düzeyleri % 95 olarak alındığı için bu araştırmada da bu düzey benimsenmiştir. Güven düzeyinin % 95 olarak alınması % 5’lik hata payının kabul edildiğini göstermektedir. Hazırlamış olduğum çalışmalar, özellikle de simülasyon çalışması % 95 üzeri ve altı güven düzeyleri için de kolaylıkla uyarlanabilme özelliğine sahiptir.
Sırası gelmişken belirtmekte fayda olduğuna inanıyorum. Güven aralığının kamuoyunda ve literatürde sık sık yanlış yorumlandığı ve adlandırıldığı görülmektedir. Diğer bir deyişle, güven aralığı (confidence interval) ile güven düzeyi (confidence level) karıştırılmaktadır. Burada güven aralığı eğer yüzde olarak ifade edilmişse bu güven düzeyini, yüzde olarak ifade edilmemişse güven aralığını ifade etmektedir. % 95 güven düzeyine sahip olmak, sonuçlarınızın herkese anket yapmış gibi neredeyse aynı olduğundan emin olduğunuz anlamına gelir.
Güven aralığını etkileyen faktörler nelerdir?
Güven aralığını etkileyen faktörler şöyle sıralanabilir.
Örneklem büyüklüğü: örneklem büyüklüğü (n) artıkça elde edilen cevapların popülasyonu doğrulama olasılığı o kadar artar. Diğer bir deyişle, örneklem büyüklüğünün artması güven aralığını daraltır. Ancak bu artış lineer olmayabilir.
Örneklem seçiminde kullanılan yöntem: eğer örneklem olasıklı örneklem yöntemleri kullanılmadan ya da bu yöntemler kullanılsa bile hatalı örneklem seçimi yapılmışsa güven aralıklarını etkileyebilir. Dolayısıyla popülasyon parametresi olan ortalamalar doğru bir şekilde tahmin edilmemiş olur.
Güven düzeyi (% 95’ten % 99’a yükselmesi) yükseldikçe güven aralığı genişler. Çünkü matematiksel olarak çarpım katsayısı da büyür. Örnek vermek gerekirse Z tablo değeri % 95 güven aralığında 1,96 iken güven aralığı = X-+1,96 x Standart Hata. Ancak Z tablo değeri % 99 güven aralığında 2,58 iken güven aralığı = X-+2,58 x Standart Hata olur.
Örneklem ortalaması arttıkça güven aralığının genişliği aynı kalır. Dolayısıyla, örneklem ortalaması aralığın genişliğinde bir rol oynamaz.
Örneklem standart sapmasının azalması varyansın azalması anlamına geldiğinden standart hata düşer. Bu durum güven aralığının daralmasına ve daha yüksek doğruluk (accuracy) ile popülasyon ortalamasının tahmini anlamına gelmektedir. Burada örneklem büyüklüğü ile standart hata arasında ters orantı vardır.
Güven aralığından yeterince bahsettikten sonra şimdi uygulama aşamasına geçebiliriz. Uygulamada kullanılan popülasyon veri seti beden kitle endeksi (BKİ) değerlerini içeren ve 1000 (N) gözlemden oluşan sentetik veri setidir. Olasılıklı örneklem yöntemlerinden basit tekrarlı tesadüfi örnekleme yöntemiyle 7 ve 50 aralığında BKİ değerleri üretilmiştir. BKİ değerleri üretilirken Sağlık Bakanlığı resmi web sitesindeki BKİ alt ve üst referans değerlerinden yararlanılmıştır. Burada belirlenen BKİ alt ve üst limitleri şöyledir:
Parametre Değeri Kategori
8.5 kg/m2’nin altında ise zayıf
18.5-24.9 kg/m2 arasında ise normal kilolu
25-29.9 kg/m2 arasında ise fazla kilolu
30-34.9 kg/m2 arasında ise I.Derece obez
35-39.9 kg/m2 arasında ise II.Derece obez
40 kg/m2 üzerinde ise III.Derece morbid obez
Kaynak: https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
İlk olarak popülasyondan her birinin örneklem büyüklüğü 31 olan 3 farklı örneklem çekilmiştir. Çekilen örneklemler popülasyondaki ID koduyla birlikte Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1: Üç Farklı Örneklem Seçimi (n=31)
ID1 Örneklem1 ID2 Örneklem2 ID3 Örneklem3
23 48,01 24 18,11 68 32,87
22 31,82 90 30,13 60 11,73
56 41,07 61 43,58 84 41,64
57 10,66 82 19,04 68 32,87
98 42,07 41 20,02 30 49,89
63 12,44 48 17,6 9 34,97
81 18,76 47 31,9 85 30,5
95 34,55 24 18,11 25 27,06
57 10,66 67 9,48 69 31,2
82 19,04 98 42,07 5 7,76
17 39,17 22 31,82 15 12,08
10 9,01 17 39,17 75 31,55
19 31,9 96 36,16 49 46,61
93 10,34 78 14,76 11 22,15
5 7,76 5 7,76 68 32,87
69 31,2 89 32,92 68 32,87
75 31,55 95 34,55 81 18,76
92 17,95 98 42,07 40 27,74
89 32,92 78 14,76 33 11,46
17 39,17 71 40,09 67 9,48
31 12,15 73 18,22 83 48,09
48 17,6 13 41,63 39 18,04
5 7,76 32 28,52 19 31,9
58 48,9 99 30,76 23 48,01
50 18,95 50 18,95 52 16,68
6 49,39 7 46,01 40 27,74
95 34,55 77 15,45 15 12,08
16 38,02 19 31,9 81 18,76
60 11,73 65 7,69 95 34,55
66 29,01 67 9,48 37 11,01
87 11,02 60 11,73 13 41,63
Tablo 1’deki her bir örnekleme ait tanımlayıcı istatistikler Tablo 2’de verilmiştir. Tablo 1’de verilen tanımlayıcı istatistikler (descriptive statistics) standart sapma hariç aynı zamanda Şekil 3’teki kutu diyagram üzerinde yer alan parametre değerleridir.
Tablo 2: Örneklem Grubuna Göre Tanımlayıcı İstatistikler
Parametre Örneklem1 Örneklem 2 Örneklem3
Ortalama 25,78 25,95 27,57
Standart Sapma 13,69 12,09 12,58
Minimum Değer 7,76 7,69 7,76
1. Dörtte Birlik 11,73 15,45 16,68
2. Dörtte Birlik (Medyan) 29,01 28,52 30,50
3. Dörtte Birlik 38,02 36,16 34,55
Maksimum Değer 49,39 46,01 49,89
Fark (interquartile range) 26,29 20,71 17,87
Tablo 2’de 3. dörtte birlik ve 1. dörtte birlik arasındaki değerlerin farkı alınarak çeyrekler arası aralık (interquartile range) hesaplanmıştır. 3. dörtte birlik ve 1. dörtte birlik aralığı uç değerleri (outliers) barındırmamaktadır. Bu aralıktaki veriler dışında veriler veri setinden çıkartılarak (imputation) analize devam edilebilir. Ancak bu durumda veri kaybı olacağı unutulmamalıdır. Yukarıda her bir örnekleme ait parametre değerleri kullanılarak (standart sapma hariç) her bir örneklem grubuna ait kutu diyagrama Şekil 3’te yer verilmiştir. Şekil 3’e esas teşkil eden tanımlayıcı istatistiklerin yukarıda verilmesinin nedeni kutu diyagram üzerindeki bu istatistiklerin yerinin karşılaştırmalı olarak gösterilmek istenmesidir. Böylece kutu diyagramların okunması ve anlaşılması daha da kolaylaştırılmış olur.
Şekil 3: Örneklem Grubuna Göre Kutu Diyagramlar (Box Plots)
Şekil 3’teki kutu diyagramdan öne çıkan bulgular şöyledir;
Örneklem 3 diğer gruplara göre daha sola çarpıktır.
Örneklem 1 diğer gruplara göre daha yüksek varyansa sahip ve daha az simetriktir. Varyansın bu grupta daha yüksek olduğu yukarıda tanımlayıcı istatistikler kısmında da yer verilen standart sapma değerinin yüksek olmasından da anlaşılabilir. Zira standart sapmanın karesi de varyansı bize vermektedir.
Bütün örneklem gruplarında uç değerler (outliers) bulunmaktadır.
Güven aralıklarını vermeden önce popülasyona ait temel parametreleri vermekte fayda olduğu düşünülmektedir. Bu amaçla popülasyon parametre değerleri Tablo 3’te sunulmuştur.
Tablo 3: Popülasyon Parametreleri
Popülasyon Parametreleri Değer
Ortalama (µ) 28,5
Varyans 148,0
Standart Sapma 12,2
Örneklem gruplarına ait üretilen güven aralıkları ise Tablo 4’te verilmiştir. Tablo 4’e göre öne çıkan bulgular şöyledir:
Ortalamasının 27,6, ortalamanın standart hatasının (se) 2,1 olduğu örneklem3 grubu popülasyon ortalamasını en doğru tahmin eden grup olarak öne çıkmıştır. Bu grupta güven aralığı genişliği diğer gruplara göre daha dar olup “23,47 ≤ µ ≤31,67” şeklindedir. Buradan örneklem beden kitle endeksi ortalamasının % 95 olasılıkla 23,47 ile 31,67 arasında olduğunu söyleyebiliriz. Örneklem 3 grubunu ise güven aralığı genişliği (CI width) 11,1 olan örneklem2 grubu izlemiştir.
Tablo 3: Örneklem Grubuna Göre Güven Aralıkları
Örneklem Parametreleri Örneklem1 Örneklem2 Örneklem3
Ortalama (m) 25,8 25,9 27,6
Element Varyans (s^2) 181,3 141,5 153,1
Standart Sapma (s) 13,5 11,9 12,4
Örneklem büyüklüğünün popülasyon içindeki yüzdesi (f) 3,10 3,10 3,10
Örneklem varyansı (var(x)) 5,85 4,56 4,94
Standart Hata (se) 3,8 2,8 2,1
Alfa (a/2) değeri (güven aralığının olasılık değeri) 0,025 0,025 0,025
Serbestlik derecesi (degrees of fredom) (n-1)-t tablosu 30 30 30
Z tablo değeri 1,96 1,96 1,96
%95 Güven Aralığı Alt Limit (Lower boundary of CI) 18,3 20,4 23,5
%95 Güven Aralığı Üst Limit (Upper boundary of CI 33,3 31,5 31,7
Güven Aralığı Genişliği (CI Width) 15,0 11,1 8,2
Güven aralığı gösterimi 18,3 ≤ µ ≤33,26 20,39 ≤ µ ≤31,51 23,47 ≤ µ ≤31,67
Karar
En iyi güven aralığına sahip örneklem Örneklem 3
Güven aralıklarının yorumu
Güven aralıkları “popülasyon parametresinin alt limit ile üst limit arasında olduğundan %95 eminiz.” şeklinde yorumlanması gerekir. Burada %95 güven seviyesi %95 emin olabileceğimiz anlamına gelir. Bu güven düzeyi araştırma tasarımına bağlı olarak değişiklik ( %80, %90 ve %99 gibi) göstermekle birlikte sosyal bilimlerde genellikle %95’tir. Tablo 3’te örneklemlerin güven aralıklarını sırasıyla şöyle yorumlayabiliriz:
Örneklem 1’in güven aralığının yorumu: Bu popülasyondaki tüm bireylerin popülasyonundaki ortalama BKİ değerleri 18,3 ile 33,26 arasında olduğundan %95 eminiz.
Örneklem 2’inin güven aralığının yorumu: Bu popülasyondaki tüm bireylerin popülasyonundaki ortalama BKİ değerleri 20,39 ile 31,51 arasında olduğundan %95 eminiz.
Örneklem 3’ün güven aralığının yorumu: Bu popülasyondaki tüm bireylerin popülasyonundaki ortalama BKİ değerleri 23,47 ile 31,67 arasında olduğundan %95 eminiz.
Tablo 3’teki güven aralıkları genişlikleri baz alınarak örneklem gruplarına göre güven aralıkları Şekil 4’te verilmiştir. Görüleceği üzere güven aralığı genişliği en dar olan örneklem grubu 8,2 ile örneklem 3 grubudur.
Şekil 4: Örneklem Gruplarına Göre Güven Aralığı Genişlikleri
Burada yapılan güven aralığı deneysel çalışmasının excel uzantılı dosyasını aşağıda linkten indirebilirsiniz.
Güven Aralığı Hesaplamaİndir
Güven aralığının hesaplanmasına yönelik olarak hazırladığım simülasyonu ise aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.
Güven Aralığı Simülasyonuİndir
Farklı güven düzeylerinde güven aralıklarının hesaplanmasına yönelik olarak hazırladığım daha kapsamlı bir çalışmanın simülasyonunu aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.
Z Tablosuna Göre Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Bir Simülasyon Çalışması
Yapılan bu çalışmaların özellikle veri bilimi (data science) ile ilgilenen akademi ve saha çalışanlarına bir katkı sunacağı düşünülmektedir.
Faydalı olması ve farkındalık oluşturması dileğiyle.
Bilimle ve teknolojiyle kalınız.
Saygılarımla…
Not: Kaynak gösterilmeden alıntı yapılamaz veya kopyalanamaz.
Note: It can not be cited or copied without referencing.
Yararlanılan Kaynaklar
https://www.sbn.gov.tr/BKindeksi.aspx
https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/confidence-interval/
http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/confint.htm
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://researchbasics.education.uconn.edu/confidence-intervals-and-levels/
https://online.stat.psu.edu/statprogram/reviews/statistical-concepts/confidence-intervals
http://web.pdx.edu/~stipakb/download/PA551/boxplot.html
Field, Andy. (2009). Discovering Statistics Using SPSS. Third Edition.
Bunu paylaş:
Facebook
Twitter
Reddit
Telegram
E-posta
Yazdır
Daha fazla
LinkedIn
Tumblr
Pinterest
Pocket
WhatsApp
Skype
Bunu beğen:
Beğen Yükleniyor...
Tevfik BULUT	Genel	Yorum bırakın 9 Mayıs 2020 16 Haziran 2021 13 Minutes	
Son Yazılar
İnovasyonun Ülke Ekonomileri Açısından Anlam ve Önemi?
R’da Shiny Üzerinde Binom Olasılık Dağılım Simülasyonu: Binomial Probability Distribution Simulation on Shiny in R
R’da Shiny Üzerinde Normal Dağılım Simülasyonu İnşa Etme : Building a Normal Distribution Simulation on Shiny in R
R’da Dinamik Ağaç Diyagramı ve Dinamik Grafik Oluşturma Üzerine Vaka Çalışmaları: Case Studies on Dynamic Tree Diagram and Dynamic Graphing in R
Türkiye’de Girişimler, Bilişim Teknolojileri Kullanımında Ne Durumda?
Word Dokümanlarından Metin Çıkarma: Extracting Text from Word Documents
Şifre Kombinasyonlarının Kırılma Olasılıkları: Cracking Probability of Password Combinations
Küresel İnovasyon Endeksi 2021 Yılı Raporu ve Türkiye
Bulut Performans Endeksi [BE] Simülasyonu
R’da Quandl Kütüphanesi İle Veri Çekme ve Dinamik Grafik Oluşturma: Extracting Data with Quandl Library and Creating Dynamic Charts in R
Popüler Yazılar & Sayfalar
Şans Oyunları Perspektifinden Olasılık : Probability from Perspective of the Chance Games	
Z Tablosuna Göre Güven Aralığının Hesaplanmasına Yönelik Temel Bir Simülasyon Çalışması: A Basic Simulation Study for Calculating Confidence Interval by Z Table	
Güvenilirlik Analizi (Reliability Analysis) ve İç Tutarlılık (Internal Consistency)	
Şans Oyunları Perspektifinden Olasılık II: Probability from Perspective of the Chance Games II	
R'da Binary Lojistik Regresyon Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Binary Logistic Regression in R	
R'da Multinominal Lojistik Regresyon Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Multinominal Logistic Regression in R	
R'da Normal Dağılım Dönüşümleri Üzerine Vaka Çalışmaları: Case Studies on Normal Distribution Transformations in R	
R'da Poisson ve Negatif Binom Regresyon Yöntemleri Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Poisson and Negative Binomial Regression Methods in R	
Ordinal Lojistik Regresyon Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Ordinal Logistic Regression	
Negatif Binom Olasılık Dağılımı Üzerine Bir Vaka Çalışması: A Case Study on Negative Binomial Probability Distribution	
Arşiv
Arşiv Ay Seçin Ekim 2021 (7) Eylül 2021 (2) Ağustos 2021 (5) Temmuz 2021 (1) Haziran 2021 (2) Mayıs 2021 (2) Nisan 2021 (2) Şubat 2021 (4) Ocak 2021 (5) Aralık 2020 (2) Kasım 2020 (3) Ekim 2020 (2) Eylül 2020 (5) Ağustos 2020 (14) Temmuz 2020 (8) Haziran 2020 (6) Mayıs 2020 (13) Nisan 2020 (9) Mart 2020 (11) Şubat 2020 (4) Ocak 2020 (5) Aralık 2019 (4) Kasım 2019 (3) Ekim 2019 (3) Eylül 2019 (8) Ağustos 2019 (1) Mayıs 2019 (1) Şubat 2019 (2) Aralık 2018 (1) Eylül 2018 (3) Ağustos 2018 (5) Temmuz 2018 (1) Mayıs 2018 (2) Nisan 2018 (1) Ekim 2017 (4) Temmuz 2017 (3) Haziran 2017 (2) Mayıs 2017 (1) Ocak 2017 (2)
Reklamlar
Yapay Zeka (AI) Trendleri
Best Practices for Building the AI Development Platform in Government 28 Ekim 2021
By John P. Desmond, AI Trends Editor The AI stack defined by Carnegie Mellon University is fundamental to the approach being taken by the US Army for its AI development platform efforts, according to Isaac Faber, Chief Data Scientist at the US Army AI Integration Center, speaking at the AI World Government event held in-person and virtually […]
Allison Proffitt
Advance Trustworthy AI and ML, and Identify Best Practices for Scaling AI 28 Ekim 2021
By John P. Desmond, AI Trends Editor Advancing trustworthy AI and machine learning to mitigate agency risk is a priority for the US Department of Energy (DOE), and identifying best practices for implementing AI at scale is a priority for the US General Services Administration (GSA). That’s what attendees learned in two sessions at the AI […]
Allison Proffitt
Promise and Perils of Using AI for Hiring: Guard Against Data Bias 28 Ekim 2021
By AI Trends Staff While AI in hiring is now widely used for writing job descriptions, screening candidates, and automating interviews, it poses a risk of wide discrimination if not implemented carefully. That was the message from Keith Sonderling, Commissioner with the US Equal Opportunity Commision, speaking at the AI World Government event held live an […]
Allison Proffitt
Predictive Maintenance Proving Out as Successful AI Use Case 28 Ekim 2021
By John P. Desmond, AI Trends Editor More companies are successfully exploiting predictive maintenance systems that combine AI and IoT sensors to collect data that anticipates breakdowns and recommends preventive action before break or machines fail, in a demonstration of an AI use case with proven value. This growth is reflected in optimistic market for […]
Allison Proffitt
Novelty In The Game Of Go Provides Bright Insights For AI And Autonomous Vehicles 28 Ekim 2021
By Lance Eliot, the AI Trends Insider We already expect that humans to exhibit flashes of brilliance. It might not happen all the time, but the act itself is welcomed and not altogether disturbing when it occurs. What about when Artificial Intelligence (AI) seems to display an act of novelty? Any such instance is bound to get our attention; […] […]
Allison Proffitt
Getting Government AI Engineers to Tune into AI Ethics Seen as Challenge 21 Ekim 2021
By John P. Desmond, AI Trends Editor Engineers tend to see things in unambiguous terms, which some may call Black and White terms, such as a choice between right or wrong and good and bad. The consideration of ethics in AI is highly nuanced, with vast gray areas, making it challenging for AI software engineers to […]
Allison Proffitt
Digital Natives Seen Having Advantages as Part of Government AI Engineering Teams 21 Ekim 2021
By John P. Desmond, AI Trends Editor AI is more accessible to young people in the workforce who grew up as ‘digital natives’ with Alexa and self-driving cars as part of the landscape, giving them expectations grounded in their experience of what is possible. That idea set the foundation for a panel discussion at AI World […]
Allison Proffitt
How Accountability Practices Are Pursued by AI Engineers in the Federal Government 21 Ekim 2021
By John P. Desmond, AI Trends Editor Two experiences of how AI developers within the federal government are pursuing AI accountability practices were outlined at the AI World Government event held virtually and in-person this week in Alexandria, Va. Taka Ariga, chief data scientist and director at the US Government Accountability Office, described an AI […]
Allison Proffitt
Startup: AssemblyAI Represents New Generation Speech Recognition 21 Ekim 2021
By AI Trends Staff Advances in the AI behind speech recognition are driving growth in the market, attracting venture capital and funding startups, posing challenges to established players. The growing acceptance and use of speech recognition devices are driving the market, which according to an estimate by Meticulous Research is expected to reach $26.8 b […]
Allison Proffitt
Pursuit of Autonomous Cars May Pose Risk of AI Tapping Forbidden Knowledge 21 Ekim 2021
By Lance Eliot, the AI Trends Insider Are there things that we must not know? This is an age-old question. Some assert that there is the potential for knowledge that ought to not be known. In other words, there are ideas, concepts, or mental formulations that should we become aware of that knowledge it could be […]
Allison Proffitt
Hit Sayısı
81.193 Hit
Aralık 2021
P
S
Ç
P
C
C
P
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
« Eki
Dil Seçimi
PAYLAŞ
tevfikbulut61 kişisinin Facebook üzerindeki profilini görüntüle
@tevfik_bulut kişisinin Twitter üzerindeki profilini görüntüle
tevfik1461 kişisinin Instagram üzerindeki profilini görüntüle
RSS - Yazılar
Follow Tevfik Bulut on WordPress.com
Etiketler
4. Sanayi Devrimi Accuracy AI Alış Kuru Artificial Intelligence Basit Tesadüfi Örnekleme Bernoulli Olasılık Dağılımı Binomial Probability Distribution Binom Olasılık Dağılımı CDF Confidence Interval Confusion Matrix Coronavirus Currency Data Mining Decision Tree Dolar Doğruluk Doğruluk Oranı Döviz Dünya Sağlık Örgütü EDA Ensembling Epidemi Epidemiyology Epidemiyoloji Exploratory Data Analysis Exploratory Data Analysis (EDA) F1 Forecast Güven Aralığı Güven Düzeyi Hata Karışıklık Parametresi Keşifsel Veri Analizi Kitle Olasılık Fonksiyonu Koronavirüs Koronavirüs Salgını Kümülatif Olasılık Dağılımı Mean Absolute Percentage Error Olasılık Olasılık Dağılımları Olasılıklı Örneklem Organize Sanayi Bölgesi OSB Pandemi Point Estimation Point Forecast Prevalance Prevalans Probability Distribution Probability Mass Distribution Probability Sampling R Recall Salgın Sağlık Bakanlığı Simple Random Sampling Simple Random Sampling withoust Replacement Standard Normal Distrubition Tahmin TBATS Tekrarlı Seçim Topluluk öğrenme Torbalama TURKEY Türkiye Veri Madenciliği WHO Word Cloud World Health Organization Yapay Zeka ÇKKV Örneklem Örneklem Büyüklüğü
WordPress.com'da bir web sitesi veya blog oluşturun
Takip Et Takip Ediliyor
Tevfik Bulut	
Diğer 1.705 takipçiye katılın
Abone ol	
WordPress.com hesabınız var mı? Şimdi oturum açın.	
Tevfik Bulut	
Özelleştir
Takip Et Takip Ediliyor
Kaydolun
Giriş
Bu içeriği rapor et
Siteyi Okuyucuda görüntüle	
Abonelikleri Yönet
Bu şeridi gizle
Yorumlar Yükleniyor...
Yorum Yapın...
E-posta (Gerekli)
İsim (Gerekli)
İnternet sitesi
E-posta adresine gönder İsminiz E-posta Adresiniz
Vazgeç
Yazı gönderilemedi - e-posta adreslerinizi kontrol edin!	
E-posta kontrolü başarısız oldu, lütfen bir daha deneyin.	
Üzgünüm, blogunuz yazıları e-posta ile paylaşamıyor.	
Gizlilik ve Çerezler: Bu sitede çerez kullanılmaktadır. Bu web sitesini kullanmaya devam ederek bunların kullanımını kabul edersiniz.
Çerezlerin nasıl kontrol edileceği dahil, daha fazla bilgi edinmek için buraya bakın: Çerez Politikası	