Bu, bu kurstaki tüm bölümler için ilerleme durumunuzu ve sohbet verilerinizi silecek ve geri alınamaz!
Şimdi Sıfırla
Sözlük
Soldaki anahtar kelimelerden birini seçin…
Öklid GeometrisiÖklid’in Aksiyomları
Okuma zamanı: ~20 min
Tüm Adımları Göster
Kanıt yapmaya başlamadan önce, geometrik nesnelerden daha kolay bahsedebilmek için sıklıkla kullanılan terminolojiye ihtiyacımız var. Bunlar özellikle heyecan verici olan nesneler değil ama zaten çoğunu biliyor olmalısınız:
Bir nokta uzaydaki belirli bir konumdur. Noktalar bir pozisyonu ifade eder, ama hiçbir ölçüsü veya şekli yoktur. Büyük harfler kullanılarak adlandırılırlar.
Mathigon’da, küçük, içi boş noktalar hareket ettiremeyeceğiniz sabit noktaları gösterirken, büyük, içi dolu noktalar hareket ettirebileceğiniz interaktif noktaları gösterir.
Devam et
Doğru iki yönde sonsuza kadar uzayan sonsuz sayıdaki noktalar kümesidir. Doğrular her zaman düzdür ve aynı noktalar gibi, uzayda yer kaplamazlar – genişlikleri yoktur.
Doğrular küçük harfler kullanılarak adlandırılırlar. Ayrıca doğrunun üzerindeki iki noktayı kullanarak da adlandırabiliriz, örneğin PQ↔ veya QP↔. Noktaların sırası önemli değil.
Devam et
Doğru parçası sonsuza uzanmayan doğru üzerindeki iki nokta arasında kalan parçadır. Yukarıda ok kullanmadan, doğrular için yaptığımız gibi AB‾ veyaBA‾ olarak adlandırabiliriz. Aynı şekilde noktaların sırasının bir önemi yoktur.
Devam et
Işın doğru ve doğru parçası arasında bir şeydir: sadece bir yönden sonsuza uzanır. Bunları güneş ışınları gibi düşünebilirsiniz: bir noktada başlarlar (güneş) ve sonsuza kadar devam ederler.
Işınları adlandırırken, ok ışının sonsuza uzandığı yönü gösterir, örneğin AB→.Bu kez noktaların sırası önemlidir.
Devam et
Çember merkezdeki bir noktaya aynı uzaklıktaki noktalar kümesidir. Bu uzaklığa yarıçap denir.
Devam et
Denklik
Sağdaki iki şekil özdeş görünüyor. Aynı ölçüye ve şekle sahipler, ve şekillerden birini döndürüp kaydırarak diğerini elde edebiliriz. Geometride bu özelliklere sahip iki şekle denk şekiller denir.
Denklik ≅ sembolü ile gösterilir ve A≅B şeklinde yazarız.
İşte birkaç farklı geometrik nesne örneği. Denk olanları birbirine bağlayın ve ikiden fazla şeklin birbirine denk olabileceğini unutmayın:
Eğer iki doğru parçası
aynı uzunluğa sahip
kesişir
ise bu iki doğru parçası denktir. Eğer iki açı
aynı büyüklüğe sahip
bir noktada karşılaşırlar
(derece cinsinden) ise bu iki açı denktir.
“Denk” olmanın “eşit” olmak anlamına gelmediğini not edelim. Örneğin, denk doğrular ve açılar aynı yönde olmak zorunda değiller. Yine de denklik ve eşitlik birçok benzer özelliğe sahiptir:
Denklik simetriktir: eğer X≅Y ise o halde Y≅X.
Denklik yansıyandır: her şekil kendisine denktir. Örneğin, A≅A.
Denklik geçişkendir: eğer X≅Y ve Y≅Z ise o halde X≅Z.
Paralel ve Dik
Hiçbir zaman kesişmeyen iki doğruya paralel denir. Yönleri aynıdır ve aralarındaki mesafe her zaman
aynıdır
artar
azalır
.
İki paralel doğruya gerçek hayattan iyi bir örnek demiryolu raylarıdır. Ancak ikiden fazla doğrunun birbirine paralel olabileceğini not edelim!
Diyagramda, paralel doğruları küçük oklar ekleyerek gösteriyoruz. Örnekte, a∥b∥c ve d∥e. ∥ sembolü basitçe “‘e paraleldir” anlamına gelir.
Paralelin karşıtı iki doğrunun 90°’lik açı (sağdaki açı) ile kesişmesidir. Bu doğrulara dik denir.
Bu örnekteki doğrular için a ⊥ b yazarız. ⊥ sembolü basitçe “‘e diktir” anlamına gelir.
Devam et
Öklid’in Aksiyomları
Yunan matematikçi usule uygun ispatlar yapmak için bazı başlangıç noktalarına ihtiyacımız olduğunu anladı: herkesin doğruluğunda hemfikir olduğu basit, sezgisel ifadeler. Bu ifadelere aksiyom (ya da belit) denir.
Farklı aksiyomları mantık kurallarının yardımıyla kullanarak daha karmaşık sonuçları kanıtlamak matematikte önemlidir.
Geometrinin ilk beş aksiyomunu yayınlayan Yunan matematikçi Öklid sık sık geometrinin babası olarak anılır.
Öklid
Birinci Aksiyom Herhangi iki noktayı sadece bir doğru parçasıyla birleştirebilirsin.
İkinci Aksiyom Herhangi bir doğru parçasını bir doğruya genişletebilirsin.
Üçüncü Aksiyom P noktası ve r mesafesi verildiğinde, merkezi P ve yarıçapı r olan bir çember çizebilirsin.
Dördüncü Aksiyom Herhangi iki dik açı birbirine denktir.
Beşinci Aksiyom Verilen bir L doğrusu ve L doğrusundan olmayan bir P noktası ile P noktasından geçen L doğrusuna paralel sadece bir doğru çizebilirsin.
Devam
Bu aksiyomların her biri oldukça açık ve aşikar ancak birlikte geometrinin temellerini oluşturuyorlar ve hemen hemen geriye kalan her çıkarım için bunları kullanıyoruz. Isaac Newton’a göre “Bu, çok az prensipten çok fazla şey başarabildiği için geometrinin ihtişamıdır”.
Öklid bu beş aksiyomu “Elementler” kitabında yayınladı. Matematiğe sistematik yaklaşım tarihinde ilk örnektir ve binlerce yıldır matematik ders kitaplarında kullanılmıştır.
Öklid’in bu çalışmalarını inceleyenlerden biri de Amerikan Başkanı Thomas Jefferson idi. 1176’da Bağımsızlık Bildirgesi’ni yazarken benzer bir yaklaşımı takip etmek istedi. Birkaç basit “aksiyom” ile başlıyor ve ardından daha karmaşık sonuçları “kanıtlıyor”:
“Bu gerçekleri açık bir şekilde görüyoruz: Tüm erkeklerin eşit yaratıldığınız, Yaratıcıları tarafından belirli devredilemez Haklara sahip olduklarını, bunların arasında Yaşam, Özgürlük ve Mutluluk arayışı olduklarını kabul ediyoruz.”
⇒
Bu nedenle, biz … Birleşik Kolonilerin özgür ve bağımsız devletler olduğunu ve olmaya hakları olması gerektiğini ilan ediyoruz.”
Bu Öklid’in matematik konusundaki fikirlerinin tamamen farklı konulara ilham verdiğinin örneklerinden biridir.