13 Eylül 2021 tarihinde kontrol edilmiş kararlı sürüm gösterilmektedir. İnceleme bekleyen 2 değişiklik bulunmaktadır.
Doğruluk Görüldü
Bu madde bir el kitabı veya kılavuz kitap gibi yazılmıştır. Lütfen bu maddeyi açıklayıcı ve tarafsız bir bakış açısıyla yeniden yazılmasına yardımcı olun. (Mayıs 2021)
Bu maddede kaynak listesi bulunmasına karşın metin içi kaynakların yetersizliği nedeniyle bazı bilgilerin hangi kaynaktan alındığı belirsizdir. Lütfen kaynakları uygun biçimde metin içine yerleştirerek maddenin geliştirilmesine yardımcı olun. (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)
Altın oran, matematikte iki miktardan büyük olanın küçüğe oranı, miktarların toplamının miktarların büyük olanına oranı ile aynı ise altın orandır. Altın oran aynı zamanda antik çağdan bu yana sanat ve mimaride en iyi uyum ve oranları veren düzen bağıntısı olarak kabul edilmekteydi.
Altın oran; CB / AC = AB / CB = 1,618033988749894
Bir doğru parçasının |AB| altın oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın |AC| büyük parçaya |CB| oranı, büyük parçanın |CB| bütün doğruya |AB| oranına eşit olsun.
Altın oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1,618033988749894...'tür. -noktadan sonraki ilk 15 basamak- Bu oranın kısaca gösterimi: 1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} dir. Altın oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, Fi yani φ'dir.
İçindekiler
1 Tarihçe
2 Matematik
2.1 Geometri
2.1.1 Altın Spiral
2.1.2 Pentagon
2.2 Fibonacci dizisi ilişkisi
3 Tartışmalı gözlemler
4 Mimari
4.1 Keops piramidi
5 Ayrıca bakınız
6 Kaynakça
Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]
Altın oran, matematikte ve fiziksel evrende ezelden beri var olmasına rağmen, insanlar tarafından ne zaman keşfedildiğine ve kullanılmaya başlandığına dair kesin bir bilgi mevcut değildir.
Leonardo da Vinci'nin günlüklerinin birinde bulunan, insan ve doğayı birbiriyle ilgilendirme-bütünleştirme çalışması için bir dönüm noktası kabul edilen ve insan vücudundaki oranları gösteren Vitruvius Adamı çalışması (1492).
Öklid (M.Ö. 365 – M.Ö. 300), Elementler adlı tezinde, bir doğruyu 1.6180339... noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, bir doğruyu ekstrem ve önemli oranda bölmek diye adlandırmıştır. Mısırlılar Keops Piramidi'nin tasarımında hem pi hem de Fi oranını kullanmışlardır. Yunanlar, Parthenon'un tüm tasarımını altın oran'a dayandırmışlardır. Bu oran, ünlü Yunan heykeltıraş Phidias tarafından da kullanılmıştır. Leonardo Fibonacci adındaki İtalyan matematikçi, adıyla anılan nümerik serinin olağanüstü özelliklerini keşfetmiştir. Leonardo da Vinci, 1509'da Luca Pacioli'nin yayımladığı İlahi Oran adlı bir çalışmasına resimler vermiştir. Bu kitapta Leonardo da Vinci tarafından yapılmış Five Platonic Solids (Beş Platonik Cisim) adlı resimler bulunmaktadır. Bunlar, bir küp, bir Tetrahedron, bir Dodekahedron, bir Oktahedron ve bir Ikosahedronun resimleridir. altın oran'ın Latince karşılığını ilk kullanan muhtemelen Leonardo da Vinci 'dir. Rönesans sanatçıları altın oran'ı tablolarında ve heykellerinde denge ve güzelliği elde etmek amacıyla sıklıkla kullanmışlardır. Örneğin Leonardo da Vinci, Son Yemek adlı tablosunda, İsa'nın ve havarilerin oturduğu masanın boyutlarından, arkadaki duvar ve pencerelere kadar altın oran'ı uygulamıştır. Güneş etrafındaki gezegenlerin yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden Johannes Kepler (1571-1630), altın oran'ı şu şekilde belirtmiştir: "Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pythagoras'ın teoremi, diğeri, bir doğrunun altın oran'a göre bölünmesidir." Bu oranı göstermek için, Parthenon'un mimarı ve bu oranı resmen kullandığı bilinen ilk kişi olan Phidias'a ithafen, 1900'lerde Yunan alfabesindeki Fi harfini Amerika'lı matematikçi Mark Barr kullanmıştır. Aynı zamanda Yunan alfabesindekine karşılık gelen F harfi de, Fibonacci'nin ilk harfidir.
Altın oran, bir sayının insanlık, bilim ve sanat tarihinde oynadığı inanılmaz bir roldür. Fi, evren ve yaşamı anlama konusunda bizlere yeni kapılar açmaya devam etmektedir. 1970'lerde Roger Penrose, o güne kadar imkânsız olduğu düşünülen, "yüzeylerin beşli simetri ile katlanması"nı altın oran sayesinde bulmuştur.
2014 yılında yayınlanan "İstatistikte altın oran" adlı bir kitapta, simetrik olmayan (Çarpık) dağılımları parametrize edebilmek için, altın oran tabanlı yeni bir ortalama ve sapma hesaplama metodu tanımlanmıştır.[1]
Matematik[değiştir | kaynağı değiştir]
Geometri[değiştir | kaynağı değiştir]
Altın Spiral[değiştir | kaynağı değiştir]
Altın spiral aşağıdaki şekilde açıklanabilir;
Bir kareyi tam ortasından iki eşit dikdörtgen oluşturacak şekilde ikiye bölelim.
Dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya pergelimizi koyalım.
Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.
Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.
Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.
Karenin taban uzunluğun (A) İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğuna (B) oranı altın oran'dır. Büyük dikdörtgenin taban uzunluğunun (C) Karenin taban uzunluğuna (A) oranı da altın oran'dır. A / B = C / A = Altın oran ≈ 1.6180339...
Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir altın dikdörtgendir. Çünkü uzun kenarının, kısa kenarına oranı 1.6180339... dur, yani altın orandır.
Artık bu dikdörtgenden her bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, bir altın dikdörtgen olacaktır.
İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu altın Dikdörtgen'in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir altın Spiral elde ederiz.
Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir.
Pentagon[değiştir | kaynağı değiştir]
φ'yi göstermenin bir yolu da, basit bir beşgen kullanmaktır. Yani, birbiriyle beş eşit açı oluşturarak birleşen beş kenar. Basitçe φ herhangi bir köşegenin herhangi bir kenara oranıdır.
AC / AB = φ ≈ 1.618 Beşgenin içine ikinci bir köşegen ([BD]) çizelim. AC ve BD birbirlerini O noktasında keseceklerdir.
Böylece her iki çizgi de, bir noktadan ikiye bölünmüş olacaktır ve her parça diğeriyle φ oranı ilişkisi içindedir. Yani AO / OC = AC / AO = DO / OB = BD / DO = φ. Bir diğeri ile bölünen her köşegende, aynı oran tekrarlanacaktır.
Bütün köşegenleri çizdiğimiz zaman ise, beş köşeli bir yıldız elde ederiz.
Bu yıldızın içinde, ters duran diğer bir beşgen meydana gelir (yeşil). Her köşegen, başka iki köşegen tarafından kesilmiştir ve her bölüm, daha büyük bölümlerle ve bütünle, altın oranı korur. Böylece, içteki ters beşgen, dıştaki beşgenle de altın oranlıdır.
Bir beşgenin içindeki beş köşeli yıldız, pentagram diye adlandırılır ve Pythagoras'ın kurduğu antik Yunan Matematik Okulu'nun sembolüdür. Eski gizemciler Fi'yi bilirlerdi ve altın oran'ın fiziksel ve biyolojik dünyamızın kurulmasındaki önemli yerini anlamışlardı.[kaynak belirtilmeli]
Bir beşgenin köşegenlerini birleştirdiğimizde, iki değişik altın üçgen elde ederiz. Mavi üçgenin kenarları tabanı ile ve kırmızı üçgenin tabanı da kenarı ile altın oran ilişkisi içerisindedir.
Aşağıda pentagramın altın oranlı öz-benzerliği (fraktal) görülmekte.
Fibonacci dizisi ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]
Fibonacci dizisi ile altın oran arasında bir ilişki vardır. Dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe altın orana yaklaşır.
Tartışmalı gözlemler[değiştir | kaynağı değiştir]
Altın Spiral doğada Ayçiçeği, Notilus gibi birçok canlı fizyolojisinde yaklaşık olarak gözlemlenebilir. Ayçiçeğinin çekirdekleri yaklaşık altın oranı takip eden bir spiral oluşturacak şekilde dizilirler.
Mimari[değiştir | kaynağı değiştir]
Keops piramidi[değiştir | kaynağı değiştir]
Yandaki diagram, Altın Oran'ın bir çember yarıçapı üzerinde nasıl bulunabileceğini gösterir. Kenar uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan FCOG karesinin FC kenarının orta noktası olan T'den GO kenarının orta noktası olan A'ya dik çizilen bir çizgi ile ikiye bölünmesinden elde edilen TCOA dikdörtgeninin köşegenini (AC) bir ikizkenar üçgenin kenarlarından biri olarak kabul edip ABC üçgenini oluşturursak, üçgenin yüksekliğini 1 kabul ettiğimizde (ki bu dairenin yarıçapıdır), OG/OB=GB/OG=1,618034 ve COB üçgeninin OB=GB-OG=1,618034-1=0,618034 olur.
Bir trigonometrik cetvelden baktığımızda, OCB açısının 31"43' ve dolayısıyla OBC açısınında 58"17' olduğunu buluruz. Yukarıdaki diyagram önemini korumak şartıyla bizi başka bir konstrüksiyona götürür ki, bu belki de Mısır'lı rahiplerce çok daha önemli bulunmuş olabilir.
Yandaki diagramda, üçgenin dik açıya ortak kenarlarından biri yine yarıçapın 0.618034'üdür fakat bu defa 1'e yani yarıçapa eşit olan komşu kenar değil, hipotenüstür. Yine bir trigonometrik tablo yardımıyla, 0.618034'ün karşı açısının 38"10' ve diğer açının da 51"50' olduğunu görürüz. Pisagor Teoremini kullanarak, OD kenarının uzunluğunun da yarıçapın 0.78615'i olduğu görülür.
Bu konstrüksiyonda onu özel yapan iki önemli nokta vardır. Birincisi; ED kenarının uzunluğu (0.618034) OD kenarının uzunluğuna (0.78615) bölünürse sonuç OD kenarının uzunluğuna (0.78615) eşit çıkmaktadır. Trigonometrik ilişkiler açısından bu şu anlama gelmektedir: 38"10' un tanjantı (karşı kenar ÷ komşu kenar), 38"10' un cosinüsüne (komşu kenar ÷ hipotenüs) eşittir. Tersi, 51"50' nin kotanjantı, 51"50' nin sinüsüne eşittir.
İkinci ve belki en önemli husus: OD kenar uzunluğu (0.78615) 4 ile çarpıldığında 3.1446 yı verir ki bu, hemen hemen Pi'ye (3.1416) eşittir. Bu buluş, 38"10' açıya sahip bir dik üçgenin Pi oranı ile altın oran fenomeninin çok özel ve ilginç bir kesişimini kapsadığını ortaya koymaktadır.
Kadim Mısır Krallığı döneminin rahipleri bu üçgenin özelliklerinden haberdar mıydılar? Bu diagram Keops piramidinin dış hatlarını göstermektedir. Bilinçli olarak ya da değil, bu piramit 38"10' lık bir üçgeni ihtiva edecek biçimde inşa edilmiştir. Yüzeyinin eğimi, çok kesin bir şekilde yerle 51"50' lık açı yapmaktadır. Bu piramit kesitini bir önceki ile kıyaslarsak, BC uzunluğunun yarıçapın 0.618034'ü olduğunu, AB uzunluğunun 0.78615 olduğunu ve AC uzunluğunun 1 yani yarıçap olduğunu görebiliriz.
Keops Piramidi'nin gerçek ölçüleri şöyledir (feet ölçüsünden metreye çevrilmiştir): AB=146.6088m BC=115.1839m AC=186.3852m).
Bu XXX noktadan itibaren işler biraz karmaşık ama çok çok ilginç bir hale gelmektedir.
Görüleceği gibi, BC uzunluğu, piramitin kenar uzunluğunun yarısıdır. Bu nedenle piramitin çevresinin uzunluğu BC x 8 dir. Yani piramitin relatif çevresi 0.618034 x 8 = 4.9443 dür. Yine piramitin relatif yüksekliği 0.78615 in bir çemberin yarıçapı olduğu farzedilirse bu çemberin uzunluğu (çevresi) yine 4.9443 olacaktır.
Bu beklenmedik uyum şu şekilde gerçekleşmektedir:
1)38"10'lık üçgene gore 0.618034 ÷ 0.78615 = 0.78615 dir (yukarıda bahsedilmişti). Demek ki, 8 x 0.618034 olarak belirlenen piramit çevresi 8 x 0.78618 x 0.78615 şeklinde de gösterilebilir.
2)Yine yukarıda, 4 x 0.78615 in Pi (π) ye çok yakın bir değer verdiğini söylemiştik. Demek ki 2Π' nin de 8 x 0.78615 e çok yakın bir değer olduğu görülür. Böylelikle, yarıçapı 0.78615 olan bir dairenin çevresi şu şekilde ifade edilebilir: C= 2 π r {\displaystyle 2{\pi }r} = (8 x 0.78615) x 0.78615
Bundan şu sonuç çıkmaktadır: Keops piramidi, yatay bir düzlem üzerinden ölçüm yapıldığında sahip olduğu kare şeklindeki çevre uzunluğunun aynına, düşey bir düzlem üzerinde yapılan ölçümde de bu defa daire şeklinde olmak üzere sahiptir.
Birkaç ilginç bilgi olmak kaydıyla şu gerçeklere de kısaca bir göz atalım: Keops Piramidi'nin gerçek taban kenar uzunluğunun (230.3465m) 8 katı ya da çevre uzunluğunun iki katı, boylamlar arasındaki 1 dakikalık açının ekvatordaki uzunluğunu vermektedir. Piramitin kenar uzunluğunun, ekvatordaki 1 dakikalık mesafenin 1/8 ine eşit olması ve piramit yüksekliğinin 2 nin 1/8 ine eşit olması korelasyonunu irdelememiz, örneklemeyi evrensel boyutlara taşıdığımızda, dünya ile evrenin Pi ve altın oran sabitlerinin ilişkilerini algılamada küçük bir girişim, samimi bir başlangıç sayılabilir.
Şunu akılda tutmak gerekir ki; piramitin kenar uzunluğunun 230.3465m olması tamamen tesadüf de olabilir. Fakat karşılıklı ilişkiler yenilerini doğuruyor ve bunlara yenileri ekleniyorsa, bu korelasyonların kasti düzenlenmiş olduğu ihtimali de ciddi olarak dikkate alınmalıdır.
Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]
Fibonacci dizisi
Altın üçgen
Kepler üçgeni
Altın dikdörtgen
Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]
^ Mehmet Güven GÜNVER, Prof. Dr. Mustafa Şükrü ŞENOCAK, Doç Dr. Suphi VEHİD, İstatistikte Altın Oran, Türkmen Kitabevi, 2014, ISBN : 9786054749409
g
t
d
İrrasyonel sayılar
Chaitin (Ω)
Liouville
Asal (ρ)
2'nin doğal logaritması ( ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} )
Gauss (G)
2'nin on ikinci dereceden kökü (12√2)
Apéry (ζ(3))
Plastik (ρ)
2'nin karekökü (√2)
Süper altın oran (ψ)
Erdős–Borwein (E)
Altın oran (φ)
3'ün karekökü (√3)
5'in karekökü (√5)
Gümüş oran (δS)
Euler (e)
Pi (π)
Şizofrenik
Aşkın (Transandantal)
Trigonometrik
g
t
d
Yunan matematiği
Matematikçiler
(Zaman Çizelgesi)
Anaksagoras
Anthemius
Apollonius
Archytas
Aristaeus
Aristarkus
Arşimet
Autolycus
Bion
Boethius
Bryson
Callippus
Carpus
Cleomedes
Conon
Ctesibius
Demokritos
Dicaearchus
Diocles
Diophantus
Dinostratus
Dionysodorus
Domninus
Elealı Zenon
Eratosthenes
Eudemus
Eudoxus
Eutocius
Geminus
Heliodorus
İskenderiyeli Heron
Hrisippos
Hipparkos
Hippasus
Hippias
Hipokrat
Hypatia
Hypsicles
İsidoros
Matematikçi Leo
Leon
Marinus
Melissa
Menaechmus
Menelaus
Metrodorus
Nicomachus
Nicomedes
Nicoteles
Oenopides
Öklid
Pappus
Perseus
Filolaos
Filon
Philonides
Porfirios
Poseidonius
Proklos
Batlamyus
Pisagor
Serenus
Simplikios
Sosigenes
Sporus
Thales
Theaetetus
Theano
Theodorus
Theodosius
İskenderiyeli Theon
Smyrnalı Theon
Thymaridas
Xenocrates
Sidonlu Zeno
Zenodorus
Yapıtlar
Almagest
Arşimet Parşömeni
Arithmetica
Konikler (Apollonius)
Katoptrik (Yansımalar)
Data (Öklid)
Elemanlar (Öklid)
Bir Çemberin Ölçümü
Konikler ve Sferoidler Üzerine
Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Aristarchus)
Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Hipparchus)
Hareketli Küre Üzerine (Autolycus)
Öklid'in Optiği
Sarmallar Üzerine
Küre ve Silindir Üzerine
Ostomachion (Syntomachion)
Planisphaerium
Sphaerics
Parabolün Dörtgenleştirilmesi
Kum Sayacı
Sonsuz Küçükler Hesabı
Merkezler
Platon Akademisi · Cyrene · İskenderiye Kütüphanesi
Etkilendikleri
Babil matematiği · Eski Mısır matematiği
Etkiledikleri
Avrupa matematiği · Hint matematiği · Orta Çağ İslam matematiği
Problemler
Apollonius problemi · Daireyi kareyle çevreleme · Küpü iki katına çıkarma · Açıyı üçe bölme
Kavramlar/Tanımlar
Apollonius çemberi
Diophantine denklemi
Çevrel çember
Eşölçülebilirlik
Orantılılık ilkesi
Altın oran
Yunan rakamları
Bir üçgenin iç ve dış çemberleri
Tükenme yöntemi
Paralellik postülatı
Platonik katılar
Hipokrat ayı
Hippias kuadratiksi
Düzgün çokgen
Cetvel ve pergelle yapılan çizimler
Üçgen merkezi
Bulgular
Açıortay teoremi
Dış açı teoremi
Öklid algoritması
Öklid teoremi
Geometrik ortalama teoremi
Yunan geometrik cebiri
Menteşe teoremi
Çevre açı teoremi
Kesişme teoremi
Pons asinorum
Pisagor teoremi
Thales teoremi
Gnomon teoremi
Apollonius teoremi
Aristarkus eşitsizliği
Crossbar (Pasch) teoremi
Heron formülü
İrrasyonel sayılar
Menelaus teoremi
Pappus'un alan teoremi
Batlamyus eşitsizliği
Batlamyus kirişler tablosu
Batlamyus teoremi
Theodorus sarmalı
Otorite kontrolü
BNE: XX537288
BNF: cb11932633k (data)
GND: 4021529-5
LCCN: sh85055763
NDL: 00568792
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Altın_oran&oldid=26178252" sayfasından alınmıştır
Kategori:
Altın oran
Öklid geometrisi
Oransız sayılar
Matematiksel sabitler
Geometri tarihi
Gizli kategoriler:
Metin içi kaynakları olmayan maddeler
Metin içi kaynakları olmayan tüm maddeler
Kaynaksız anlatımlar içeren maddeler
BNE tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
BNF tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
GND tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
LCCN tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
NDL tanımlayıcısı olan Vikipedi maddeleri
Sayfa en son 08.52, 13 Eylül 2021 tarihinde değiştirildi.
Metin Creative Commons Atıf-BenzerPaylaşım Lisansı altındadır; ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak, Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.