Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $n^3$ ve paydadaki en güçlü terim olan $3^n$ ile ilgilenmeliyiz. Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $n^3/3^n$ olan toplamla ilişkilendirmiş oluruz. Bir adım daha ilerleterek $n^3\le 4\cdot 2^n$ olduğunu kullanırsak, basit hali ile, toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $-1<\cos n,\sin n<1$ ve $n^3\le 4\cdot 2^n$ eşitsizlikleri sağlanır, ve \begin{equation}\label{eq}0 \leq \dfrac{n^3+\sin n}{3^n+\sin n} \leq \dfrac{4\cdot 2^n+2^n}{3^n-\frac123^n}=10\cdot\left(\frac23\right)^n\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz. (Kullandığımız ikinci eşitsizlik tümevarım ile gösterilebilir.)
İstenen toplamın yakınsaklığı ve sonuç:
$|2/3|< 1$ olduğundan geometrik toplam olan $\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n$ toplamı yakınsak olur. Sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 10\left(\frac{2}{3}\right)^n$$ toplamı da yakınsak olur.
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3+\sin n}{3^n+\sin n}$$ toplamının yakınsak olur.
(Tümevarımlı ispat buraya eklenebilir.)
Lütfen yorum eklemek için giriş yapınız veya kayıt olunuz.
İlgili sorular
$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2^{-n}+\sin n+\cos n+3)^n}$ toplamının yakınsaklığı
$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2^{1/n}+\sin n+\cos n+3)^n}$ toplamının yakınsaklığı
$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{19^{n}+5^{2n}+\sin n-1}{3^{3n}+n+\cos n+1}$ toplamının yakınsaklığı
$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sqrt n+\cos n}{n^3+\sin n}$ toplamının yakınsaklığı
$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{3^n+\sin n}$ toplamının yakınsaklığı
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \left(1-n\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)$ toplamının yakınsaklığı