Açık dize A notunun (55 Hz) bas gitar zaman sinyalinin Fourier dönüşümü. Fourier analizi, sinyallerin ve fonksiyonların salınımlı bileşenlerini ortaya çıkarır .
Gelen matematik , Fourier analizi ( / f ʊr i eɪ , - ı ər / ), genel bir şekilde çalışmasıdır fonksiyonları temsil ya da daha basit toplamları yaklaştırılabileceği trigonometrik fonksiyonlar . Fourier analizi, Fourier serilerinin incelenmesinden doğmuştur ve adını , bir fonksiyonu trigonometrik fonksiyonların toplamı olarak temsil etmenin, ısı transferi çalışmasını büyük ölçüde basitleştirdiğini gösteren Joseph Fourier'den almıştır .
Bugün, Fourier analizinin konusu, matematiğin geniş bir yelpazesini kapsamaktadır. Bilimlerde ve mühendislikte, bir fonksiyonu salınımlı bileşenlere ayırma işlemi genellikle Fourier analizi olarak adlandırılırken, fonksiyonu bu parçalardan yeniden oluşturma işlemi Fourier sentezi olarak bilinir . Örneğin, bir müzik notasında hangi bileşen frekanslarının bulunduğunu belirlemek, örneklenmiş bir müzik notasının Fourier dönüşümünün hesaplanmasını içerir. Daha sonra Fourier analizinde ortaya konan frekans bileşenlerini dahil ederek aynı ses yeniden sentezlenebilir. Matematikte, Fourier analizi terimi genellikle her iki işlemin incelenmesini ifade eder.
Ayrıştırma işleminin kendisine Fourier dönüşümü denir . Çıktısı olan Fourier dönüşümüne genellikle dönüştürülmekte olan fonksiyonun etki alanına ve diğer özelliklerine bağlı olarak daha özel bir ad verilir . Ayrıca, Fourier analizinin orijinal konsepti, giderek daha soyut ve genel durumlara uygulanmak üzere zaman içinde genişletilmiştir ve genel alan genellikle harmonik analiz olarak bilinir . Analiz için kullanılan her dönüşüm ( Fourier ile ilgili dönüşümlerin listesine bakınız ), sentez için kullanılabilecek karşılık gelen bir ters dönüşüme sahiptir.
İçindekiler
1 Uygulamalar
1.1 Sinyal işlemedeki uygulamalar
2 Fourier analizinin varyantları
2.1 (Sürekli) Fourier dönüşümü
2.2 Fourier serisi
2.3 Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)
2.4 Ayrık Fourier dönüşümü (DFT)
2.5 Özet
2.6 Simetri özellikleri
2.7 Fourier keyfi yerel kompakt değişmeli topolojik gruplar üzerinde dönüşümler
2.8 Zaman-frekans dönüşümleri
3 Tarihçe
4 Zaman ve frekans açısından yorumlama
5 Ayrıca bkz.
6 Not
7 Referans
8 Daha fazla okuma
9 Dış bağlantılar
Uygulamalar
Fourier analizinin birçok bilimsel uygulaması vardır - fizik , kısmi diferansiyel denklemler , sayı teorisi , kombinatorik , sinyal işleme , dijital görüntü işleme , olasılık teorisi , istatistik , adli tıp , opsiyon fiyatlandırması , kriptografi , sayısal analiz , akustik , oşinografi , sonar , optik , kırınım , geometri , protein yapı analizi ve diğer alanlar.
Bu geniş uygulanabilirlik, dönüşümlerin birçok yararlı özelliğinden kaynaklanmaktadır:
Dönüşümler olan lineer operatörler ve uygun normalleşmesi ile olan yekpare de (bilinen bir özellik olarak Parseval'ın teoremi olarak veya daha genel olarak, Plancherel teoremi ile en genel olarak, ve Pontryagin ikilik ).
Dönüşümler genellikle tersinirdir.
Üstel fonksiyon olan özfonksiyonlar arasında farklılaşma , bu temsili dönüşümleri doğrusal şekilde bağlanmış ve diferansiyel denklemler ile sabit katsayılar sıradan cebirsel olanları içine. Bu nedenle, doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemin davranışı , her frekansta bağımsız olarak analiz edilebilir.
Fourier dönüşümleri , evrişim teoremi ile karmaşık evrişim işlemini basit çarpmaya dönüştürür; bu, polinom çarpma ve büyük sayıları çarpma gibi evrişim tabanlı işlemleri hesaplamak için verimli bir yol sağladıkları anlamına gelir .
Ayrık Fourier sürümü (aşağıya bakınız) kullanarak bilgisayarlara hızla değerlendirilebilir dönüşümü dönüşümü hızlı Fourier (FFT) algoritmaları.
Adli tıpta, laboratuvar kızılötesi spektrofotometreleri, bir malzemenin kızılötesi spektrumda absorbe edeceği ışığın dalga boylarını ölçmek için Fourier dönüşümü analizini kullanır. FT yöntemi, ölçülen sinyallerin kodunu çözmek ve dalga boyu verilerini kaydetmek için kullanılır. Ve bir bilgisayar kullanılarak, bu Fourier hesaplamaları hızla gerçekleştirilir, böylece birkaç saniye içinde bilgisayarla çalıştırılan bir FT-IR cihazı, bir prizma cihazınınkine benzer bir kızılötesi absorpsiyon modeli üretebilir.
Fourier dönüşümü, bir sinyalin kompakt bir temsili olarak da kullanışlıdır. Örneğin, JPEG sıkıştırması , bir dijital görüntünün küçük kare parçalarının Fourier dönüşümünün ( ayrık kosinüs dönüşümü ) bir türevini kullanır . Her karenin Fourier bileşenleri aritmetik hassasiyeti düşürmek için yuvarlanır ve zayıf bileşenler tamamen elimine edilir, böylece kalan bileşenler çok kompakt bir şekilde saklanabilir. Görüntü rekonstrüksiyonunda, her görüntü karesi korunmuş yaklaşık Fourier ile dönüştürülmüş bileşenlerden yeniden birleştirilir, bunlar daha sonra orijinal görüntünün bir yaklaşıklığını üretmek için ters dönüştürülür.
Sinyal işlemedeki uygulamalar
Fourier analizi, ses , radyo dalgaları , ışık dalgaları, sismik dalgalar ve hatta görüntüler gibi sinyalleri işlerken, daha kolay algılama veya kaldırma için bir bileşik dalga biçiminin dar bant bileşenlerini izole edebilir. Geniş bir sinyal işleme teknikleri ailesi, Fourier-bir sinyali dönüştürmek, Fourier-dönüştürülmüş verileri basit bir şekilde manipüle etmek ve dönüşümü tersine çevirmekten oluşur.
Bazı örnekler şunları içerir:
Dengeleme bir dizi ses kayıtlarının bant geçiş filtreleri ;
Modern bir cep telefonu veya radyo tarayıcısında olduğu gibi süperheterodin devresi olmayan dijital radyo alımı ;
Görüntü işleme periyodik veya kaldırmak için anizotropik gibi eserler kesilme gelen geçmeli video dan, şerit eşya bant hava fotoğrafları ile veya desen dalga radyo frekans parazit bir dijital kamera;
Eş hizalama için benzer görüntülerin çapraz korelasyonu ;
kırınım modelinden bir kristal yapıyı yeniden oluşturmak için X-ışını kristalografisi ;
Bir manyetik alandaki siklotron hareketinin frekansından iyonların kütlesini belirlemek için Fourier dönüşümü iyon siklotron rezonans kütle spektrometrisi;
Kızılötesi ve nükleer manyetik rezonans spektroskopileri dahil olmak üzere diğer birçok spektroskopi biçimi ;
Sesleri analiz etmek için kullanılan ses spektrogramlarının üretilmesi ;
Pasif sonar , hedefleri makine gürültüsüne göre sınıflandırmak için kullanılır.
Fourier analizinin varyantları
Bir Fourier dönüşümü ve temel alınan zaman alanı fonksiyonunun periyodik örneklemesinin (T aralığında) ve/veya periyodik toplamından (P aralığında) kaynaklanan 3 varyasyon. DFT dizisinin göreceli hesaplama kolaylığı ve S ( f ) 'ye verdiği içgörü, onu popüler bir analiz aracı yapar.
(Sürekli) Fourier dönüşümü
Ana madde: Fourier dönüşümü
Çoğu zaman, niteliksiz Fourier dönüşümü terimi, sürekli bir gerçek argümanın işlevlerinin dönüşümüne atıfta bulunur ve frekans dağılımı olarak bilinen sürekli bir frekans işlevi üretir . Bir işlev diğerine dönüştürülür ve işlem tersine çevrilebilir. Giriş (başlangıç) fonksiyonunun alanı zaman ( t ) ve çıkış (son) fonksiyonunun alanı normal frekans olduğunda , s ( t ) fonksiyonunun f frekansındaki dönüşümü karmaşık sayı ile verilir:
S ( F ) = ∫ - ∞ ∞ s ( T ) ⋅ e - ben 2 π F T NS T . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}
Bu niceliğin tüm f değerleri için değerlendirilmesi , frekans alanı işlevini üretir . O zaman s ( t ) olası tüm frekansların karmaşık üstellerinin bir yeniden birleşimi olarak temsil edilebilir :
s ( T ) = ∫ - ∞ ∞ S ( F ) ⋅ e ben 2 π F T NS F , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}
hangi ters dönüşüm formülüdür. Karmaşık sayı, S ( f ) , f frekansının hem genliğini hem de fazını iletir .
Aşağıdakiler dahil çok daha fazla bilgi için Fourier dönüşümüne bakın :
genlik normalleştirme ve frekans ölçekleme/birimler için kurallar
özellikleri dönüştürmek
belirli fonksiyonların tablolaştırılmış dönüşümleri
görüntüler gibi çok boyutlu işlevler için bir uzantı/genelleme.
Fourier serisi
Ana madde: Fourier serisi
Periyodik bir fonksiyonun, s P ( t ) P periyoduna sahip Fourier dönüşümü, bir dizi karmaşık katsayı ile modüle edilen bir Dirac tarak fonksiyonu haline gelir :
S [ k ] = 1 P ∫ P s P ( T ) ⋅ e - ben 2 π k P T NS T , k ∈ Z , {\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}} t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (burada ∫ P , P uzunluğundaki herhangi bir aralığın integralidir ).
Fourier serisi olarak bilinen ters dönüşüm, her biri katsayılardan biri tarafından belirtilen bir genliğe ve faza sahip, potansiyel olarak sonsuz sayıda harmonik olarak ilişkili sinüzoidlerin veya karmaşık üstel fonksiyonların toplamı cinsinden s P ( t )' nin bir temsilidir :
s P ( T ) = F - 1 { ∑ k = - ∞ + ∞ S [ k ] δ ( F - k P ) } = ∑ k = - ∞ ∞ S [ k ] ⋅ e ben 2 π k P T . {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\matematiksel {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k ]\,\delta \sol(f-{\frac {k}{P}}\sağ)\sağ\}\ \ =\ \ \ toplam _{k=-\infty }^{\infty }S[k ]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}
Herhangi bir s P ( t ) başka bir fonksiyonun periyodik toplamı olarak ifade edilebilir , s ( t ) :
s P ( T ) ≜ ∑ m = - ∞ ∞ s ( T - m P ) , {\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}
ve katsayılar , ayrık aralıklarla S ( f ) örnekleriyle orantılıdır . 1/P:
S [ k ] = 1 P ⋅ S ( k P ) . {\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\sağ).}
Periyodik toplamda, dönüşümü aynı ayrık örnek değerlerine sahip olan herhangi bir s ( t ) kullanılabileceğini unutmayın. Geri kazanmak için yeterli bir koşul, s ( t ) (ve bu nedenle S ( f ) ) (yani, Fourier serisi) sadece bu örneklerden elde edilen sıfır olmayan kısmı, yani s ( t ) süresi içinde bilinen bir zaman aralığına sınırlı P , bu, Nyquist-Shannon örnekleme teoreminin frekans alanı dualidir .
Tarihsel gelişim de dahil olmak üzere daha fazla bilgi için Fourier serilerine bakın .
Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT)
Ana madde: Ayrık zamanlı Fourier dönüşümü
DTFT, zaman alanlı Fourier serisinin matematiksel ikilisidir. Böylece, frekans alanındaki yakınsak bir periyodik toplam , katsayıları ilgili bir sürekli zaman fonksiyonunun örnekleri olan bir Fourier serisi ile temsil edilebilir :
S 1 T ( F ) ≜ ∑ k = - ∞ ∞ S ( F - k T ) ≡ ∑ n = - ∞ ∞ s [ n ] ⋅ e - ben 2 π F n T ⏞ Fourier serisi (DTFT) ⏟ Poisson toplama formülü = F { ∑ n = - ∞ ∞ s [ n ] δ ( T - n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k) }{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson toplama formülü}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \ delta (t-nT)\sağ\},\,}
DTFT olarak bilinir. Böylece DTFT ait s [ n ] dizisi de Fourier dönüşümü ile modüle edilmiş bir Dirac tarağı fonksiyonu.
Fourier serisi katsayıları (ve ters dönüşüm), şu şekilde tanımlanır :
s [ n ] ≜ T ∫ 1 T S 1 T ( F ) ⋅ e ben 2 π F n T NS F = T ∫ - ∞ ∞ S ( F ) ⋅ e ben 2 π F n T NS F ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\ ,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}. }
Parametre T , örnekleme aralığına karşılık gelir ve bu Fourier serisi artık Poisson toplama formülünün bir biçimi olarak kabul edilebilir . Bu nedenle, ayrık bir veri dizisi, s [ n ] , temel alınan bir sürekli fonksiyonun, s ( t ) örnekleriyle orantılı olduğunda , sürekli Fourier dönüşümünün, S ( f ) periyodik bir toplamının gözlemlenebileceğine dair önemli bir sonuca sahibiz . Not herhangi olduğunu s ( t ) , aynı ayrık örnek değerler belirli idealize edilmiş koşullar altında aynı DTFT But üreten bir teorik kurtarabilir S ( f ) ve s ( t ), tam olarak. Mükemmel geri kazanım için yeterli bir koşul, S ( f ) 'nin sıfır olmayan kısmının bilinen bir frekans genişliği aralığı ile sınırlandırılmasıdır.1/T. Bu aralık [-1/2 ton, 1/2 ton] , uygulanabilir yeniden oluşturma formülü Whittaker-Shannon enterpolasyon formülüdür . Bu, dijital sinyal işlemenin temel taşıdır .
S 1/T ( f ) ile ilgilenmenin bir başka nedeni de , genellikle örnekleme sürecinin neden olduğu örtüşme miktarı hakkında fikir vermesidir .
DTFT uygulamaları örneklenmiş fonksiyonlarla sınırlı değildir. Bu ve aşağıdakiler dahil diğer konular hakkında daha fazla bilgi için Ayrık zamanlı Fourier dönüşümüne bakın :
normalleştirilmiş frekans birimleri
pencereleme (sonlu uzunluklu diziler)
özellikleri dönüştürmek
belirli fonksiyonların tablolaştırılmış dönüşümleri
Ayrık Fourier dönüşümü (DFT)
Ana madde: Ayrık Fourier dönüşümü
Bir Fourier dizisi benzer şekilde, periyodik bir dizisinin DTFT, s , N [ N ] , nokta ile N , kompleks katsayıları bir dizi tarafından modüle edilen bir Dirac tarağı fonksiyonu olur (bakınız DTFT § Periyodik veriler ):
S [ k ] = ∑ n s n [ n ] ⋅ e - ben 2 π k n n , k ∈ Z , {\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,} (burada ∑ n , N uzunluğundaki herhangi bir dizinin toplamıdır ).
S [ k ] dizisi geleneksel olarak bilinen şeydir DFT bir devrinin s , N . Aynı zamanda N- periyodiktir, dolayısıyla N katsayıdan fazlasını hesaplamak asla gerekli değildir . Ayrık Fourier serisi olarak da bilinen ters dönüşüm , şu şekilde verilir:
s n [ n ] = 1 n ∑ k S [ k ] ⋅ e ben 2 π n n k , {\displaystyle s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k },} burada ∑ k , N uzunluğundaki herhangi bir dizinin toplamıdır .
Tüm s , N [ N ] bir şekilde ifade edilir periyodik olarak toplanır başka bir fonksiyonun:
s n [ n ] ≜ ∑ m = - ∞ ∞ s [ n - m n ] , {\displaystyle s_{N}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],} ve s [ n ] ≜ s ( n T ) , {\displaystyle s[n]\,\triangleq \,s(nT),}
katsayılar , ayrık aralıklarla S 1/T ( f ) örnekleriyle orantılıdır .1/P = 1/NT:
S [ k ] = 1 T ⋅ S 1 T ( k P ) . {\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\sağ).}
Bir rasgele bir sayı (hesaplamak için istediğinde Tersine, N sürekli DTFT bir devrinin farklı numunelerin), S 1 / T ( f ) , bu nispeten basit DFT işlem yapılabilir s , N [ N ] olarak, yukarıda tanımlanmıştır. Çoğu durumda, N , s [ n ] öğesinin sıfır olmayan kısmının uzunluğuna eşit olarak seçilir . Sıfır doldurma veya enterpolasyon olarak bilinen artan N , bir S 1/T ( f ) döngüsünün daha yakın aralıklı örnekleriyle sonuçlanır . N'nin azaltılması , zaman alanında ( aliasing'e benzer) çakışmaya (eklemeye) neden olur , bu da frekans alanındaki desimasyona karşılık gelir. (bkz. Ayrık-zamanlı Fourier dönüşümü § L=N×I ) Pratik ilginin çoğu durumunda, s [ n ] dizisi, sonlu uzunluklu bir pencere fonksiyonunun veya FIR filtre dizisinin uygulanmasıyla kesilen daha uzun bir diziyi temsil eder .
DFT, hızlı bir Fourier dönüşümü (FFT) algoritması kullanılarak hesaplanabilir , bu da onu bilgisayarlarda pratik ve önemli bir dönüşüm haline getirir.
Aşağıdakiler dahil çok daha fazla bilgi için Ayrık Fourier dönüşümüne bakın :
özellikleri dönüştürmek
uygulamalar
belirli fonksiyonların tablolaştırılmış dönüşümleri
Özet
Periyodik fonksiyonlar için, hem Fourier dönüşümü hem de DTFT, yalnızca ayrı bir frekans bileşenleri kümesi (Fourier serisi) içerir ve dönüşümler bu frekanslarda birbirinden ayrılır. Yaygın bir uygulama (yukarıda tartışılmayan), bu sapmayı Dirac delta ve Dirac tarak işlevleri aracılığıyla ele almaktır . Ancak aynı spektral bilgi, diğer tüm döngüler aynı olduğundan, periyodik fonksiyonun sadece bir döngüsünden ayırt edilebilir. Benzer şekilde, sonlu-süreli fonksiyonlar, ters dönüşümün periyodikliğinin yalnızca bir yapay olması dışında gerçek bir bilgi kaybı olmaksızın bir Fourier serisi olarak temsil edilebilir.
s (•) süresinin P veya N ile sınırlandırılması uygulamada yaygındır . Ancak bu formüller bu koşulu gerektirmez.
s ( t ) dönüşümleri (sürekli zaman)
sürekli frekans
ayrık frekanslar
dönüştürmek
S ( F ) ≜ ∫ - ∞ ∞ s ( T ) ⋅ e - ben 2 π F T NS T {\displaystyle S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt} 1 P ⋅ S ( k P ) ⏞ S [ k ] ≜ 1 P ∫ - ∞ ∞ s ( T ) ⋅ e - ben 2 π k P T NS T ≡ 1 P ∫ P s P ( T ) ⋅ e - ben 2 π k P T NS T {\displaystyle \overbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\sağ)} ^{S[k]}\,\triangleq \,{ \frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt \equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}
Ters
s ( T ) = ∫ - ∞ ∞ S ( F ) ⋅ e ben 2 π F T NS F {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} s P ( T ) = ∑ k = - ∞ ∞ S [ k ] ⋅ e ben 2 π k P T ⏟ Poisson toplama formülü (Fourier serisi) {\displaystyle \underbrace {s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P} }t}} _{\text{Poisson toplama formülü (Fourier serisi)}}\,}
s ( nT ) dönüşümleri (ayrık zamanlı)
sürekli frekans
ayrık frekanslar
dönüştürmek
1 T S 1 T ( F ) ≜ ∑ n = - ∞ ∞ s ( n T ) ⋅ e - ben 2 π F n T ⏟ Poisson toplama formülü (DTFT) {\displaystyle \underbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson toplama formülü (DTFT)}}}
1 T S 1 T ( k n T ) ⏞ S [ k ] ≜ ∑ n = - ∞ ∞ s ( n T ) ⋅ e - ben 2 π k n n ≡ ∑ n s P ( n T ) ⋅ e - ben 2 π k n n ⏟ DFT {\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\sağ)} ^{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N }}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{n}s_{P}(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{ DFT}}\,\end{hizalı}}}
Ters
s ( n T ) = T ∫ 1 T 1 T S 1 T ( F ) ⋅ e ben 2 π F n T NS F {\displaystyle s(nT)=T\int _{\frac {1}{T}}{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^ {i2\pi fnT}\,df}
∑ n = - ∞ ∞ s ( n T ) ⋅ δ ( T - n T ) = ∫ - ∞ ∞ 1 T S 1 T ( F ) ⋅ e ben 2 π F T NS F ⏟ ters Fourier dönüşümü {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\ frac {1}{T}}\ S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{ters Fourier dönüşümü}}\,}
s P ( n T ) = 1 n ∑ k S [ k ] ⋅ e ben 2 π k n n ⏞ ters DFT = 1 P ∑ k S 1 T ( k P ) ⋅ e ben 2 π k n n {\displaystyle {\begin{aligned}s_{P}(nT)&=\overbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi { \frac {kn}{N}}}} ^{\text{ters DFT}}\\&={\tfrac {1}{P}}\sum _{k}S_{\frac {1}{T} }\sol({\frac {k}{P}}\sağ)\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}\end{hizalı}}}
simetri özellikleri
Karmaşık bir fonksiyonun gerçek ve sanal kısımları çift ​​ve tek kısımlarına ayrıştırıldığında , aşağıda RE, RO, IE ve IO alt simgeleriyle gösterilen dört bileşen vardır. Ve karmaşık bir zaman fonksiyonunun dört bileşeni ile karmaşık frekans dönüşümünün dört bileşeni arasında bire bir eşleme vardır :
zaman alanı s = s TEKRAR + s RO + ben s IE + ben s GÇ ⏟ ⇕ F ⇕ F ⇕ F ⇕ F ⇕ F frekans alanı S = S TEKRAR + ben S GÇ ⏞ + ben S IE + S RO {\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Zaman alanı}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{ _{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \ Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow } {\mathcal {F}}\\{\text{Frekans alanı}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+ &iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{dizi}}}
Bundan, çeşitli ilişkiler açıktır, örneğin :
Gerçek değerli bir fonksiyonun ( s RE + s RO ) dönüşümü , çift ​​simetrik fonksiyon S RE + i S IO'dur . Tersine, çift simetrik bir dönüşüm, gerçek değerli bir zaman alanını ifade eder.
Sanal değerli bir fonksiyonun ( i s IE + i s IO ) dönüşümü , tek simetrik fonksiyon S RO + i S IE 'dir ve tersi doğrudur.
Çift simetrik bir fonksiyonun ( s RE + i s IO ) dönüşümü , gerçek değerli fonksiyon S RE + S RO'dur ve bunun tersi doğrudur.
Tek simetrik bir işlevin ( s RO + i s IE ) dönüşümü , sanal değerli işlev i S IE + i S IO'dur ve bunun tersi doğrudur.
Fourier keyfi yerel kompakt değişmeli topolojik gruplar üzerinde dönüşümler
Fourier varyantları ayrıca harmonik analizde çalışılan keyfi yerel kompakt Abelian topolojik gruplar üzerindeki Fourier dönüşümlerine genelleştirilebilir ; orada, Fourier dönüşümü bir gruptaki fonksiyonları ikili gruptaki fonksiyonlara alır. Bu işlem aynı zamanda Fourier dönüşümlerini ve evrişimleri ilişkilendiren evrişim teoreminin genel bir formülasyonuna da izin verir . Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş temelleri için ayrıca Pontryagin dualitesine bakın .
Daha spesifik olarak, Fourier analizi kosetler, hatta ayrık kosetler üzerinde yapılabilir.
Zaman-frekans dönüşümleri
Daha fazla bilgi: Zaman-frekans analizi
Gelen sinyal işleme açısından, bir işlev (zaman) ile mükemmel bir sinyalin bir temsilidir zaman çözünürlüğü Fourier mükemmel olan dönüşümü sırasında, ama hiçbir frekans bilgileri, frekans çözünürlüğü , ancak hiçbir zaman bilgisi.
Fourier dönüşümüne alternatif olarak, zaman-frekans analizinde , sinyalleri biraz zaman bilgisine ve biraz frekans bilgisine sahip bir biçimde temsil etmek için zaman-frekans dönüşümleri kullanılır - belirsizlik ilkesine göre bunlar arasında bir değiş tokuş vardır. Bunlar, kısa süreli Fourier dönüşümü , Gabor dönüşümü veya kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) gibi Fourier dönüşümünün genelleştirmeleri olabilir veya dalgacık analoğu ile dalgacık dönüşümleri ve cıvıltı dönüşümlerinde olduğu gibi sinyalleri temsil etmek için farklı işlevleri kullanabilir. (sürekli) Fourier dönüşümünün sürekli dalgacık dönüşümü olması .
Tarih
Ayrıca bakınız: Fourier serisi § Tarihsel gelişim
Harmonik serilerin erken bir biçimi, eski Babil matematiğine kadar uzanır ve burada efemeridleri (astronomik konum tabloları) hesaplamak için kullanılırlardı .
Klasik Yunan kavramları hürmetkâr ve epicycle içinde Ptolemaios sisteminin astronomi Fourier serilerinin ile ilgili idi (bkz hürmetkâr ve epicycle § Matematiksel biçimciliği ).
Modern zamanlarda, ayrık Fourier dönüşümünün varyantları, 1754'te Alexis Clairaut tarafından DFT'nin ilk formülü olarak tanımlanan bir yörüngeyi hesaplamak için ve 1759'da Joseph Louis Lagrange tarafından trigonometrik bir serinin katsayılarını hesaplamak için kullanıldı. Titreşimli bir dize için. Teknik olarak, Clairaut'un çalışması yalnızca kosinüs serisiydi (bir ayrık kosinüs dönüşümü biçimi ), Lagrange'ın çalışması ise yalnızca sinüs dizisiydi (bir ayrık sinüs dönüşümü biçimi ); 1805 yılında asteroit yörüngelerinin trigonometrik enterpolasyonu için gerçek bir kosinüs+sinüs DFT'si Gauss tarafından kullanılmıştır . Euler ve Lagrange, bugün örnek olarak adlandırılanları kullanarak, titreşen sicim problemini ayrıklaştırdılar.
Fourier analizine yönelik erken modern bir gelişme , Lagrange'ın 1770 tarihli Réflexions sur la résolution algébrique des équations adlı makalesiydi ; bu, Lagrange çözücüler yönteminde bir kübik çözümü incelemek için karmaşık bir Fourier ayrışması kullandı: Lagrange, kökleri x 1 , x 2 dönüştürdü. , x 3 çözücülere:
r 1 = x 1 + x 2 + x 3 r 2 = x 1 + ζ x 2 + ζ 2 x 3 r 3 = x 1 + ζ 2 x 2 + ζ x 3 {\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\ zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}
burada ζ , 3. dereceden DFT olan birliğin kübik köküdür .
Bir dizi yazar, özellikle Jean le Rond d'Alembert ve Carl Friedrich Gauss kullanılan trigonometrik dizi çalışma ısı denklemi , ancak atılım gelişme 1807 kâğıt oldu Mémoire sur la yayılma de la chaleur dans les kolordu solides tarafından Joseph Fourier , Önemli bir kavrayış, tüm fonksiyonları trigonometrik serilerle modellemek ve Fourier serisini tanıtmaktı.
Tarihçiler, Fourier teorisinin gelişimi için Lagrange ve diğerlerine ne kadar itibar edecekleri konusunda ikiye bölünmüş durumda: Daniel Bernoulli ve Leonhard Euler fonksiyonların trigonometrik temsillerini ortaya koymuşlar ve Lagrange dalga denklemine Fourier serisi çözümünü vermişti, bu nedenle Fourier'in katkısı esas olarak keyfi bir fonksiyonun bir Fourier serisi ile temsil edilebileceğine dair cesur iddia.
Alanın sonraki gelişimi harmonik analiz olarak bilinir ve aynı zamanda temsil teorisinin erken bir örneğidir .
DFT için ilk hızlı Fourier dönüşümü (FFT) algoritması 1805 civarında Carl Friedrich Gauss tarafından Juno ve Pallas asteroitlerinin yörünge ölçümlerinin enterpolasyonu sırasında keşfedildi , ancak bu özel FFT algoritması daha çok modern yeniden keşfedicileri Cooley ve Tukey'e atfedildi .
Zaman ve frekans açısından yorumlama
Gelen sinyal işleme Fourier genellikle alır dönüşümü zaman serisi veya bir fonksiyonu sürekli zaman ve içine eşler frekans spektrumu . Yani, zaman alanından frekans alanına bir fonksiyon alır ; Bir olan ayrışma bir fonksiyon sinüzoidler farklı frekanslar; Bir durumunda , Fourier serisi ya da ayrık Fourier dönüşümü , si- olan harmonik fonksiyonu temel frekansının analiz edilir.
f fonksiyonu zamanın bir fonksiyonu olduğunda ve fiziksel bir sinyali temsil ettiğinde, dönüşüm, sinyalin frekans spektrumu olarak standart bir yoruma sahiptir. Büyüklüğü elde edilen kompleks değerli fonksiyonu F frekansı, co temsil genliği , bir frekans bileşeninin ilk aşaması faz ile verilir F .
Fourier dönüşümleri, zamanın işlevleri ve zamansal frekanslarla sınırlı değildir. Uzamsal frekansları analiz etmek için ve aslında hemen hemen her fonksiyon alanı için eşit olarak uygulanabilirler . Bu, görüntü işleme , ısı iletimi ve otomatik kontrol gibi çeşitli dallarda kullanımlarını haklı çıkarır .
Ayrıca bakınız
Genelleştirilmiş Fourier serisi
Fourier-Bessel serisi
Fourier ile ilgili dönüşümler
Laplace dönüşümü (LT)
İki taraflı Laplace dönüşümü
mellin dönüşümü
Düzgün olmayan ayrık Fourier dönüşümü (NDFT)
Kuantum Fourier dönüşümü (QFT)
Sayı-teorik dönüşüm
En küçük kareler spektral analizi
temel vektörler
Bispektrum
Karakteristik fonksiyon (olasılık teorisi)
ortogonal fonksiyonlar
Schwartz uzayı
spektral yoğunluk
Spektral yoğunluk tahmini
spektral müzik
dalgacık
Notlar
Referanslar
daha fazla okuma
Howell, Kenneth B. (2001). Fourier Analizinin İlkeleri . CRC Basın. ISBN'si 978-0-8493-8275-8.
Kamen, EW; Heck, BS (2 Mart 2000). Web ve Matlab Kullanan Sinyaller ve Sistemlerin Temelleri (2 ed.). Prentiss-Hall. ISBN'si 978-0-13-017293-8.
Müller, Meinard (2015). Özetle Fourier Dönüşümü (PDF) . Springer. Gelen Müzik İşleme Temelleri , Bölüm 2.1, ss. 40-56. doi : 10.1007/978-3-319-21945-5 . ISBN'si 978-3-319-21944-8. S2CID 8691186 .
Polianin, AD; Manzirov, AV (1998). İntegral Denklemler El Kitabı . Boca Raton: CRC Basın. ISBN'si 978-0-8493-2876-3.
Smith, Steven W. (1999). Bilim Adamı ve Mühendisin Dijital Sinyal İşleme Kılavuzu (İkinci baskı). San Diego: California Teknik Yayıncılık. ISBN'si 978-0-9660176-3-2.
Stein, EM; Weiss, G. (1971). Öklid Uzaylarında Fourier Analizine Giriş . Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-691-08078-9.
Dış bağlantılar
EqWorld'de İntegral Dönüşüm Tabloları : Matematiksel Denklemler Dünyası.
Fourier Teorisinin Sezgisel Açıklaması, Steven Lehar.
Görüntü İşleme Dersleri: Vanderbilt Üniversitesi'nden pdf formatında 18 derslik bir koleksiyon. Ders 6, 1- ve 2-D Fourier Dönüşümü üzerinedir. 7–15 numaralı dersler bundan yararlanır. , Alan Peters tarafından
Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "∑ Toplama (ve Fourier Analizi)" . Altmış Sembol . Brady Haran için Nottingham Üniversitesi .
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
Bu sayfa en son 14 Ağustos 2021'de, 19:26'da (UTC) düzenlendi .
Metin, Creative Commons Atıf-Benzer Paylaşım Lisansı altında mevcuttur ; ek şartlar geçerli olabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Koşullarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz . Wikipedia®, kar amacı gütmeyen bir kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc.'in tescilli ticari markasıdır .
Gizlilik Politikası
Wikipedia Hakkında
Sorumluluk Reddi
Vikipedi ile iletişim kurun
Mobil görünüm
geliştiriciler
İstatistik
Çerez beyanı
This page is based on the copyrighted Wikipedia article "Fourier_analysis" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA.