Vektör hesabı (vektör analizi, yöney hesabı veya yöney analizi de denilir), iki veya daha çok boyutlu (bazı sonuçlar — çapraz çarpımı içeren sonuçlar — sadece üç boyuta uygulanabilir) iç çarpım uzayındaki vektörlerin çok değişkenli gerçel analiziyle uğraşan bir matematik dalıdır. Fizik ve mühendislikte epey faydalı olan formül takımlarından ve problem çözme tekniklerini kapsamaktadır. Vektör hesabı köklerini kuaterniyon analizinden almaktadır ve Amerikan mühendis ve bilim adamı J. Willard Gibbs ve İngiliz mühendis Oliver Heaviside tarafından formüle edilmiştir.
Kalkülüs
Temel
Temel Teori
Fonksiyonların limiti
Süreklilik
Vektör hesabı
Ortalama değer teoremi
Türev
Çarpma kuralı
Bölme kuralı
Zincir kuralı
Örtülü türev
Taylor teoremi
Bağımlı oranlar
Türev listesi
L'Hopital kuralı
Diferansiyel denklemler
İntegral
İntegral tablosu
Düzensiz integral
İntegral Alma Yöntemleri:
Parçalama
Disk
Silindirik kabuk
Yerdeğiştirme
Trigonometrik yerdeğiştirme
Çok değişkenli
Matris
Tensör
Kısmi türev
Çokkatlı integral
Çizgi integrali
Yüzey integrali
Hacim integrali
Jacobi
Hesse
Gradyan
Vektör hesabı bir skaleri uzaydaki her noktaya bağlayan skaler alanlarla ve bir vektörü uzaydaki her noktaya bağlayan vektör alanı ile ilgilidir. Örneğin, bir yüzme havuzunun sıcaklığı bir skaler alandır: Her noktaya skaler sıcaklık değeri verilir. Aynı havuzdaki su akışı ise bir vektör alanıdır: Her noktaya bir hız vektörü verilir.
Vectör cebiri
Cebirsek (türevsel olmayan) vektör işlemlerine vector cebiri denir. Bu işlemler bir vektör uzayı için tanımlanır ve bir vektör alanının tamamına etki eder. Temel cebirsel işlemler şunlardır:
İşlem
Gösterim
Açıklama
Vector toplamı
v 1 + v 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}} İki vektör alanının toplamı olan bir vektör alanı verir.
Skaler çarpım
a v {\displaystyle a\mathbf {v} } Bir skaler alanı ile bir vektör alanının çarpımı olan bir vektör alanı verir.
Nokta çarpım
v 1 ⋅ v 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}} İki vektör alanının çarpımı olan bir vektör alanı verir.
Çapraz çarpım
v 1 × v 2 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} uzayında iki vektör alanının çarpımı olan bir (sahte) vektör alanı verir.
Ayrıca aşağıdaki üçlü çarpımlar sıkça kullanılır:
İşlem
Gösterim
Açıklama
Skaler üçlü çarpım
v 1 ⋅ ( v 2 × v 3 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)} Çapraz çarpımın nokta çarpımı.
Vektör üçlü çarpım
v 1 × ( v 2 × v 3 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)} Çapraz çarpımın çapraz çarpımı.
Vektör işlemleri
Vektör hesabı genelde del veya nabla operatörü ( ∇ {\displaystyle \nabla } ) ile ifade edilen skaler alanlarda veya vektör alanlarında tanımlı diferansiyel operatörleri incelemektedir. Vektör hesabındaki en önemli 4 işlem ise şunlardır.
İşlem
Gösterim (notasyon)
Açıklama
Tanım/Görüntü kümesi
Gradyan
grad ⁡ ( f ) = ∇ f {\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f} Skaler alandaki değişimin oranını ve yönünü ölçer. Skaler alanları vektör alanlarına gönderir.
curl (Rotasyonel)
curl ⁡ ( F ) = ∇ × F {\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} } Bir vektör alanındaki bir nokta etrafındaki dönme meyilini ölçer. Vektör alanlarını vektör alanlarına gönderir.
Diverjans
div ⁡ ( F ) = ∇ ⋅ F {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} } Bir vektör alanında verilmiş olan bir noktadaki bir kaynağın veya batığın büyüklüğünü ölçer. Vektör alanlarını skaler alanlara gönderir.
Laplasyen
Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f} Diverjans ve gradyan işlemlerinin bir bileşkesidir. Skaler alanları skaler alanlara gönderir.
Jakoben adı verilen bir nicelik ise, fonksiyonların tanım ve görüntü kümesinin her ikisinin de çok değişkenli olduğu zaman, integral almada değişken değiştirme gibi fonksiyonların incelendiği alanlarda çok yararlıdır.
Teoremler
Benzer bir şekilde, bu operatörlere ilişkin, hesabın temel teoremini daha yüksek boyutlara genelleyen çeşitli önemli teoremler mevcuttur:
Teorem
İfadesi
Açıklama
Gradyan teoremi
φ ( q ) − φ ( p ) = ∫ L ∇ φ ⋅ d r . {\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .} Bir gradyan (vektör) alanının çizgi integrali, skaler alanındaki eğrinin sonnoktalarının farkına eşittir.
Green teoremi
∫ C L d x + M d y = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A {\displaystyle \int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA} Bir vektör alanının skaler körlünün düzlemdeki bir bölgedeki integrali bu bölgeyi sınırlayan eğri üzerindeki vektör alanının çizgi integraline eşittir.
Stokes teoremi
∫ Σ ∇ × F ⋅ d Σ = ∮ ∂ Σ F ⋅ d r , {\displaystyle \int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,} Bir yüzey üzerindeki vektör alanının körlünün integrali, yüzeyi sınırlayan eğri üzerindeki vektör alanının çizgi integraline eşittir.
Diverjans teoremi
∭ V ( ∇ ⋅ F ) d V = ∬ ∂ V F ⋅ d S , {\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,} Bir katı üzerindeki vektör alanının diverjansının integrali, katyı sınırlayan yüzeyinden geçen akımın integraline eşittir.
Vektör hesabının kullanımı koordinat sistemine "eli olma" kuralı getirilmesini gerektirebilir (Çapraz çarpıma bakınız.). Birçok analitik sonuç, genel bağlamda, vektör hesabının bir altkümesini oluşturduğu diferansiyel geometri ile daha kolay bir şekilde anlaşılabilir.
Ayrıca bakınız
Vektör hesabı özdeşlikleri
Laplasyen vektör alanı
Vector Analysis (Gibbs/Wilson)
Kaynakça
Michael J. Crowe (1994), A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System, Dover Publications; Reprint edition, ISBN 0-486-67910-1 (Summary)
H. M. Schey (2005), Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus, W. W. Norton & Company, ISBN 0-393-92516-1
J.E. Marsden (1976), Vector Calculus, W. H. Freeman & Company, ISBN 0-7167-0462-5
Chen-To Tai (1995). Vektör analizinin tarihsel bir çalışması25 Eylül 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Teknik Rapor RL 915, Radyasyon Laboratuvarı, University of Michigan.
Dış bağlantılar
Vektör hesabını dik olmayan bir uzaya genişletmek
Vektör Hesabı:21 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Matematik ve Fizik öğrencilerinin kullanımı için bir ders kitabı, (Willard Gibbs'in derslerine dayanılmıştır) Edwin Bidwell Wilson tarafından, 1902'de yayınlanmıştır.
Cebir
Alanlar
Soyut cebir
Kategori teorisi
Temel cebir
K-teori
Değişmeli cebir
Geçişli olmayan cebir
Sıra teorisi
Evrensel cebir
Homolojik cebir
Bilgisayar cebri (Boole cebri • İletişim sistemleri cebiri • İlişkisel cebir)
Mantıksal Cebir
Temsil teorisi
Cebirsel yapılar
Grup teorisi (Grup)
Halka teorisi (Halka)
Modül teorisi (Modül)
Cisim
Alan
Polinom Halkaları (Polinom)
Birleşmeli cebir
Lie cebiri
Lineer cebir
Matris teorisi
Vektör uzayı (Vektör • Vektör hesabı)
Modül
İç çarpım uzayı (Nokta çarpım)
Hilbert uzayı
Çokludoğrusal cebir
Tensör cebri (Tensör)
Dış cebir
Simetrik cebir
Geometrik cebir (Çoklu vektör)
Listeler
Soyut cebir
Cebirsel yapılar
Grup teorisi
Doğrusal cebir
Sophus Lie
Tablolar
Lie gruplarının tablosu
Sözlükler
Doğrusal cebir
Cisim teorisi
Halka teorisi
Sıra teorisi
İlgili konular
Matematik
Cebir tarihi
Cebirsel geometri
Cebirsel kombinatorik
Cebirsel topoloji
Cebirsel sayı teorisi
Cebirin temel teoremi
Üreteç
Heyting cebri
Süper açıkorur cebir
Kac-Moody cebiri
Hopf cebiri
Poisson cebri
Heisenberg cebri
Kategori
Matematik Portalı
Wikibooks
Temel
Lineer
Soyut
Wikiversity
Lineer
Soyut
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.