(a) (2 le N le 6) sırasına sahip tüm soyut grupları oluşturun. Tipik ürünleri hesaplayın. Hangi gruplar Abelian? Her grup için en az iki izomorfik gerçekleştirme belirtin.
(b) Alt grupları tanımlayın. hangileri değişmez?
(n = 3) ve (n = 4) nesnelerinin permütasyonlarını yazın. Sonucu kompakt bir şekilde düzenleyin. İlk önce çift permütasyonların alt grubunu (alternatif grup) düşünün. Döngülerden yararlanın.
İki ayna düzleminin ortak etkisini bulun (bkz. Şekil B.1). Paralel aynaları da düşünün.
Küresel bir dalga darbesi, eylemsizlik çerçevesinde (sum) uzay-zaman noktasından (0, 0, 0, 0) sapar. (eta = anh mu) hızıyla z yönü boyunca hareket eden bir (sum') çerçevesini düşünün. (sum') içindeki gözlemci ayrıca küresel dalga cephelerini de görür. Bununla birlikte, bir yüzey (r' = ct' = const) oluşturan uzay-zaman noktaları eşzamanlı görünmez, dolayısıyla (sum) içinde küreseldir. Yüzeylerin tek bir ortak odakla devrim elipsoidleri olduğunu gösterin. Büyük ve küçük eksenler a, b ve eksantrikliği (r') ve (eta) cinsinden bulun. Günberi ve günötenin uzunluklarını da bulun. Kutupsal koordinatları kullanın.
(mathcal{SU}(2)) biçimciliğinde rotasyonların bileşimini düşünün: (U'' =U'U) burada (U = l_{0} = -i vec{l} cdot vec{sigma}), ile
[egin{array}{cc} {l_{0} = cos frac{phi}{2},}&{vec{l} = sin frac{phi}{2} hat {u}} onumber end{dizi}]
(a) ({l_{0}'', vec{l}''})'ı ({l_{0}', vec{l}'}) cinsinden ifade edin ve ({l_{0}, vec{l}}).
(b) Rodriues-Hamilton teoremine bakın (Şekil 2.1) ve küresel trigonometrinin kosinüs yasasını elde edin.
(c) Sinüs yasasını elde edin.
6. Özel durumları uygulayarak genel ifadelerinizi kontrol edin:
(a) (U'' = UU = U^{2})
(b) (hat{u} = frac{1}{sqrt{3}} (1, 1, 1),}&{phi = frac{2 pi}{3})
(hat{u} = frac{1}{sqrt{3}} (1, 0, 0),}&{phi = frac{pi}{2})
U ve U'nun küp üzerinde simetri işlemleri oluşturduğuna dikkat edin.
7. Durgun kütleli bir parçacığın, (eE_{z}) kuvvetinin etkisi altındaki tek boyutlu hareketini düşünün. (t = 0)'da parçacık durgundur. Yörüngenin z, ct düzleminde bir hiperbol olarak temsil edildiğini gösteriniz ve yarım çapı bulunuz. Mümkün olduğu kadar siklotron problemi ile analojiyi geliştirin. Yaklaşımın önemini tartışın
[egin{array}{c} {gamma^{-1} = sqrt{1-eta^2} simeq 1} onumber end{dizi}]
8. Bir elektromanyetik alan düşünün
[egin{array}{c} {vec{f} = vec{E}+i vec{B}} onumber end{dizi}]
küçük bir uzay-zaman bölgesinde. Alanın Lorentz değişmezi:
[egin{array}{c} {f^{2} = E^{2}-B^{2}+2i E cdot B = I_{1}+i I_{2} = g^{2 } exp(2i psi)} onumber end{dizi}]
(a) (f^{2} e 0) durumunu ele alalım. Bu durumda, adımın gerçek bir sayı olduğu (E_{can} parallel B_{can}) ve (zeta = B_{can}/E_{can}) kurallı bir çerçeve vardır ( 0 veya (infty) olabilir). (zeta) olası değerlerini (I_{1}) ve (I_{2}) işaretlerine göre tartışın. Sonuçlarınızı Tablo B.1'de gösterilen gibi bir tabloda özetleyin.
Tablo B.1: Problem 8 için Tablo
(b) (E_{can}, B_{can}, zeta)'yı (I_{1}, I_{2}) ve (g, psi) cinsinden ifade edin.
(c) (zeta e 0, infty) varsayın. (E_{can}) boyunca (hat{x}) alın. Kanonik çerçeveye göre (hat{z}) yönünde bir (v(eta = v/c = anh mu)) hız çerçevesine pasif bir Lorentz dönüşümü düşünün. (	an heta E, an heta B, an(	heta_{E}-	heta_{B}))'yi (eta, zeta) ve ayrıca (mu) cinsinden bulun , psi), burada (	heta_{E}) ve (	heta_{B}), Şekil B.2'de gösterildiği gibi Lorentz dönüşümü altında elektrik ve manyetik alanların döndüğü açılardır.
Şekil B.2: Problem 8 koordinat çerçevesi ve açıları.
(d) Şimdi (zeta = 0; zeta = infty) durumlarını düşünün. Kaybolmayan kurallı alan yönünde (hat{x}) alın. (c)'de ele alınana benzer bir Lorentz dönüşümünün etkisini tartışın. Lorentz dönüşümünden sonra elektrik ve manyetik alanların büyüklüklerinin oranını verin.
9. (a) Matrisin kutupsal ayrışmasını bulun
[egin{array}{c} {egin{pmatrix} {1}&{zeta} {0}&{1} end{pmatrix}} onumber end{dizi}]
Sayfadaki (11b) ilişkiyi doğrulayın. II-53. (delta = 1) ve (delta << 1) durumlarını göz önünde bulundurun.
(b) Bul
[egin{array}{c} {mathcal{P}_{hat{a}} (vec{p} cdot vec{sigma}) mathcal{P}_{hat{a }}} onumber end{dizi}]
nerede
[egin{array}{c} {mathcal{P}_{hat{a}} = frac{1}{2} (1+hat{a} cdot vec{sigma}) } onumber end{dizi}]
10. II-42, 43'teki (23) - (26) denklemini doğrulayın.
11. (F = (vec{E}+i vec{B}) cdot vec{sigma}) alan matrisinin dört potansiyelin matris eşdeğerinden türetilebileceğini gösterin. Varsa, ikincisi için hangi koşullar getirilecek?
12. (a) Hareketli bir düzlemde dört vektörlü (K = k_{0}1+vec{k} cdot vec{sigma}) yansımasını ifade edin. Düzlemin normali (hat{a}). Hızı (v = v hat{a}) ile (v/c = anh mu) şeklindedir. (İpucu:aynanın kalan çerçevesine dönüştürün.)
(b) İki aynanın (vec{v}_{1} = v_{1} hat{a}_{1}) ve (vec{v}_{2} kombinasyonunun olduğunu gösterin. = v_{2} hat{a}_{2}) bir Lorentz dönüşümü verir.
13. Her bir faktörü uzaydan gövde çerçevesine dönüştürerek Bölüm 4.2'deki Denklem (4) ve (5)'in denkliğini doğrulayın.
14. İlişkinin olduğunu gösterin
[egin{array}{c} {|xi angle langle xi |= frac{1}{2} (1+hat{k} cdot vec{sigma})} end {dizi}]
stereografik projeksiyon yoluyla elde edilebilir.
İpucu: (k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2} = 1) küresini güney kutbundan z kompleksi olarak yorumlanan ekvator düzlemine yansıtın -uçak. (k_{1}, k_{2}, k_{3})'yi (z, z∗) cinsinden ifade edin ve (z = xi_{1}/xi_{0}) ile ayarlayın (|xi_{0}|^{2}+|xi_{1}|^{2} = 1).
15. Verilen iki spinor kümesini birbirine bağlayan üniter U matrisini bulun:
[egin{array}{c} {(| eta angle, | ar{eta} angle) = (| xi angle, | ar{xi} angle)U} end {dizi}]
Önce öğelerini, ardından bileşenlerini (xi_{0}, xi_{1}, eta_{0}, eta_{1}) cinsinden ifade edin.
16. Pauli cebiri, temel vektör cebirinin bir genellemesi olarak düşünülebilir ve ikincisinin bilgisi matris manipülasyonunda yardımcı olur.
Bununla birlikte, probleme ters açıdan da yaklaşılabilir ve vektör ilişkileri matris işlemleri yoluyla türetilebilir. Tanımlamak
[egin{array}{ccc} {A= vec{a} cdot vec{sigma},}&{B = vec{b} cdot vec{sigma},}&{C = vec{c} cdot vec{sigma}} onumber end{dizi}]
ve ortak
[egin{array}{ccc} {vec{a} cdot vec{b}}&{with}&{frac{1}{2} {A, B} = frac{1 }{2} (AB+BA)} end{dizi}]
[egin{array}{ccc} {vec{a} imes vec{b}}&{with}&{frac{1}{2i} {A, B} = frac{1 }{2i} (AB-BA)} end{dizi}]
Jacobi kimliğini düşünün
[egin{array}{c} {[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0} end{dizi}]
ve birliktelik koşulu:
[egin{array}{c} {A (BC)-(AB) C = 0} end{dizi}]
(Denklem B.1.5, komütatörler için kolayca doğrulanır. Önemi için bkz. [Hal74].)
Denklem B.1.5 ve B.1.6'yı Denklem B.1.3 ve B.1.4 aracılığıyla çevirin ve üçlü vektör ürünleri için tanıdık bağıntıları elde edin.
17. Aşağıdaki polarizasyon formları için açık spinorial ifadeler verin: (| x angle) (x ekseni boyunca lineer polarizasyon); (| heta/2 angle) (x ekseni ile (	eta/2) açısında polarize edilmiştir); (| R angle) (sağ dairesel polarize).
(a) (hat{kappa} (phi, heta, psi)) şemasını kullanın ve (phi = psi = heta = 0) öğesini (| x angle = öğesine atayın (1, 0)). (| heta/2 angle, | heta/2 angle, | R angle, | ar{R} angle)'yi (| x angle) ve (| çubuk{x} angle).
(b) (hat{s}(alpha, eta, gamma)) şemasını kullanın. (eta = 0, alpha = gamma = pi / 2) öğesini (| R angle) öğesine atayın. Yukarıda belirtilen spinorları (| R angle) ve (| ar{R} angle) cinsinden ifade edin. (a) ve (b)'nin sonuçlarının birbiriyle tutarlı olduğuna dikkat edin.
18. Hem (hat{k}) hem de (hat{s}) şemalarında çeyrek dalga, levha, yarım dalga levhası, döndürücü ve düzlem polarizörün matris temsillerini verin.
19. (a) Bir optik aletin yalnızca (| R angle)'yi (| ar{R} angle)'ye ve bunun tersini yaptığını biliyoruz. Bu gerçeğe uygun en genel matris operatörünü bulun
(b) Aletin bir ışını (| x angle) değişmeden geçtiğine dair ek bilgiyi kullanarak bu yanıtı netleştirin. Bu cihazın adı nedir?
20. Rastgele bir Hermityen (2 imes 2) matrisi düşünün: (S = s_{0}+vec{s} cdot vec{sigma}) ile (s_{0}^{2) }-vec{s}^{2} e 0) genel olarak.
(a) S'yi determinantı sıfır olan iki matrisin toplamına ayrıştırmanın mümkün olduğunu gösterin. Yani:
[egin{dizi}{c} {S = K'+K''} onumber end{dizi}]
nerede
[egin{array}{cc} {K' = k'_{0}+vec{k}' cdot vec{sigma}}&{k_{0}^{'2}-vec {k}'^{2}} onumber end{dizi}]
[egin{array}{cc} {K'' = k''_{0}+vec{k}'' cdot vec{sigma}}&{k_{0}^{''2 }-vec{k}''^{2}} onumber end{dizi}]
(b) Aşağıdakileri empoze ederse şunu gösterin:
[egin{array}{c} {vec{k}' = k' hat{k}} {vec{k}'' = k'' hat{k}} { vec{k}' ve vec{k}'' paralel} onumber end{dizi}]
Ayrışma benzersiz hale gelir. (k_{0}', k_{0}'', k', k'', hat{k}) bulun.
21. Yaklaşık olarak tek renkli bir polarize olmayan ışık demeti düşünün, böyle bir demetin, eliptiklik parametrelerinin (alpha, eta) ile karşılaştırıldığında yavaş değiştiği eliptik olarak polarize ışığın rastgele bir dizisi olarak düşünülmesi önerilmiştir. 1/omega) ancak gözlem süresine kıyasla hızlıdır (bkz. [Hur45]). Bu yazar, ortalama eliptikliğin medyan değer tarafından verildiğini göstermektedir.
[egin{array}{c} {(frac{a_{2}}{a_{1}})_{m} = an(15^{circ})} onumber end{dizi} ]
Bu sonuç çok basit bir şekilde elde edilebilir. Poincare ́ küresinin tüm temsili noktalarının eşit derecede olası olduğunu varsayın. Miktarı düşünün: