Asal sayılar konusu matematiğin hiçbir dalında olmadığı kadar gizem, zarafet ve heyecan barındırır. Sayıların temelinde sayma sa­yıları vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … Peki bunun bile temelinde başka sayılar var mıdır? Önce işe bir soru ile başlayalım: Bir sayıyı daha küçük parçalarına ayırabilir miyiz? Cevabınız hemen evet olacaktır. Bir çok sayı onu oluşturan bileşenlerine ayrılabilir. Mesela 12=2x2x3 biçiminde yazılabilir. İşte, bu sayılara bileşik sayılar denir. Bazı sayıları ise ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Bunlara asal sayılar veya kısaca asallar denir. Asal sayı yalnızca l’e ve kendisine tam bölünür. Peki l de asal mı diye soruyor olabilirsiniz. Geçmişte pek çok matematikçi 1 ‘i asal kabul etmiş olsa da teoremlerin tutarlılığını sağlamak adına 1 asal sayılar arasından çıkarılmıştır. Bu yüzden asal sayıların tanımına “l ‘den büyük” ifadesi eklenmiştir. Bu konuyu daha fazla ele aldığımız Bir Sayısı Neden Asal Değildir? başlıklı yazımızı okumanızı öneririz.
Kaç Tane Asal Sayı Var?
Sonsuz tane asal sayı olması gerektiğini bilebiliriz. Ancak bu asalları bulabilir miyiz? Asal sayılan belirlemeye yarayan bir formül ne yazık ki yok. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiç­bir kalıba uymazlar. Asal sayıları bulmaya yarayan en eski yöntemlerden birini, keşfeden Eratosten’in süzgeç yöntemi de sadece konuyu kavramamız açısından işe yarar. Peki, nasıl anlayacağız. Örneğin 19.071 asal mıdır? Ya da 19.073? Büyük bir sayının asal olup olma­dığını anlamak için kendinden küçük asallara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir. Bu arada merak ettiyseniz, 19.071=31 x 13 x 163 asal değildir ama 19.073 asaldır. Bir başka zorlu soru ise asal sayıların bir örüntüye sahip olup olmadığıdır. Aşa­ğıda 1 ile 1000 arasındaki asal sayıların dağılımı görülüyor:
Aralık 1-100 101-200 201-300 301-400 401-500 501-600 601-700 701-800 801-900 901-1000
Asal sayı adedi 25 21 16 16 17 14 16 14 15 14
Cari Friedrich Gauss 1792’de, henüz 15 yaşındayken belirli bir n sayısın­dan küçük asal sayıların adedini tahmin etmek için bir formül önerdi. Buna günümüzde asal sayı teoremi denir. n=1000 için formülün verdiği tahmin 172’dir. Asal sayılar her zaman böyle sürprizler barındırır. Dahası, bazı sayı aralıklarında tahminle gerçek arasındaki fark bazen az, bazense çok olacak şe­kilde dalgalanır.
Asal sayılar sonsuzdur
Bunu ilk fark eden kişi Öklid olmuştur. Öklid’e göre eğer sonlu sayıda asal sayı içeren bir liste alırsak mutlaka bu listede olmayan başka bir asal sayının var olduğunu gösterebiliriz. Kısaca açıklamak gerekirse: İlk önce en az bir asal sayı içeren sonlu bir asal sayı listemiz olduğunu düşünelim. Bu listedeki tüm asalları çarpalım ve çıkan sayıya 1 ekleyelim. Bu bulduğumuz sayı listemizdeki asalların hepsinden büyük olduğu için kendisi bu listede değil. Öte yandan elde ettiğimiz bu sayı listemizdeki asalların her birine bölündüğünde daima 1 kalanını verecek. Demek ki bu sayı ya kendisi asaldır ya da listemizde olmayan bir başka asal sayıya bölünür.
Komşu Asallar
Birbirini takip eden asallar arasında en az ve en çok ne kadar aralık olur sorusu asallarla ilgilenmeye başlayınca ilk akla gelen sorulardan biridir. İlk önce iki ardışık asalın birbirinden ne kadar uzak olabileceği sorusuyla ilgilenelim: Bir sayı tutun. Aralarındaki fark tuttuğunuz o sayıdan daha fazla olan iki ardışık asal mutlaka vardır. Örneğin 5 sayısını tutmuş olun. Ardışık beş tane bileşik sayı yazacağız. 722, 723, 724, 725, 726 Bu sayılar sırasıyla 2, 3, 4, 5 ve 6 ile bölünür. Bu sayılar, 719 ile 727 asalları arasındadır ve aralarındaki fark beşten büyüktür.
722 sayısını bulmak için önce 1x2x3x4x5x6=720 sayısını bulalım ve devamını söyle yazalım: 1x2x3x4x5x6+2, 1x2x3x4x5x6+3, 1x2x3x4x5x6+4, 1x2x3x4x5x6+5, 1x2x3x4x5x6+6
Sadece gözümüzle takip ederek ilk sayıyı oluşturan iki parçanın da 2’ye bölündüğünü, ikinci sayıyı oluşturan iki parçanın da 3’e bölündüğünü (ve bu böyle devam eder) görürüz. 1x2x3x4x5x6 sayısını kısaca 6! olarak yazarız. Şimdi 5 yerine çok daha büyük bir sayı tutalım ve bu sayıya N diyelim.
Bu durumda (N+1)!+2, (N+!)!+3, …, (N+1)!+(N+1) sayılarının sırasıyla 2, 3, … , N+1 ile bölündüğünü, dolayısıyla hiç birinin asal olmadığını hiç işlem yapmadan görürüz. (N+1)!+2 sayısından önce gelen ilk asal sayıya p, (N+1)!+(N+1) sayısından sonra gelen ilk asal sayıya q dersek q-p>N bulduk. Demek ki hiçbir asala rastlamadan ilerleyeceğimiz, istediğimiz uzunlukta sayı aralıkları vardır. Buna rağmen asalların sonsuz tane olduğunu hatırlayalım. Asallar hem çoklar hem de birbirlerinden istenildiği kadar uzak olabiliyorlar. Ama her sayı ile o sayının iki katı arasında da mutlaka en az bir asal sayı bulunur. Buna göre eğer p asal bir sayıysa bir sonraki asal sayı mutlaka 2p’den küçük olacaktır.
İlgili Makaleler
Bobby Fischer: Bir Satranç Efsanesi
12/11/2018	
Tarihten Ders Almak: Beyaz Zambaklar Ülkesi Finlandiya
05/01/2018	
ACE-ArithmEcole: Kolay Matematik Öğrenmek İçin Yeni Bir Yöntem
21/02/2020	
Okuma Yazma Öğrenme Hızı Zeka Göstergesi Değil
21/01/2019	
İkiz Asallar
İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. Örneğin: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)…Peki ikiz asallar sonsuz mudur? Çok büyük ikiz asallar vardır. Bilinen en büyük ikiz asalların her birinin 388.342 basamağı vardır. Daha büyüğü bilinmiyor, ama yine de ikiz asallardan sonsuz tane olduğu düşünülüyor. İkiz Asal Sanısı sonsuz tane ikiz asal olacağını iddia eder ve bu konu pek çok araştırmacının üzerinde çalıştığı bir konudur.
Asal Sayılar Teoremi
Asal sayıların hangi kurala göre tam sayıların içine dağıldığını anlamamız henüz mümkün değil. Bize sanki rastgele dağılmışlar gibi görünüyor. Kesin cebirsel ifadelerden umudumuzu kesince analitik yaklaşımlarla asal sayıların davranışlarını tarif edebilir miyiz diye düşünmeye başlıyoruz. Örneğin 1’den n tam sayısına kadar olan asalları incelersek ortalama olarak her logn sayıdan birinin asal olduğunu gözleriz. Eğer 1’den n tam sayısına kadar kaç tane asal olduğunu π(n) ile gösterirsek olur diye umut ederiz. Buradaki ~ işareti “aşağı yukarı aynı” anlamındadır.
Çok büyük n sayıları kullanarak iki tarafı da hesaplarsak iki taraf arasındaki farkın n sayısına oranının küçük olduğunu görürüz. Burada dikkat edilecek şey, iki taraf arasındaki farkın n büyüdükçe büyümesi ama bu farkı n’e böldüğümüz zaman çok küçük sayılar elde etmemizdir. Kısacası n sonsuza giderken yukarıdaki ifadede yer alan “aşağı yukarı aynı” iddiası “aynı” iddiasına dönüşür.
Asal Sayılar Arasındaki Boşluklar
Verilen herhangi bir n tam sayısından küçük iki ardışık asal arasındaki ortalama farkın log(n) olduğunu gözledik. Acaba bu ortalama farkın milyonda bir küçüklüğünde farka sahip ardışık asallar bulabilir miyiz? Herkesin küçük sayı kavramı kendine göre değişeceği için biz bu küçük sayı için c sembolünü kullanalım. Şimdi bir p asal sayısı arıyoruz, öyle ki ona yakın bir q asal sayısı olsun ve p ile q sayılarının farkı c.logp sayısından küçük olsun. Elbette böyle bir p asalı bulunca yetinmiyoruz, başka var mı diye de bakıyoruz. Bu problem üzerine üç ülkeden üç matematikçi beraber çalıştı. ABD’den Daniel Goldston, Macaristan’dan Janos Pintz ve Türkiye’den Cem Yalçın Yıldırım. Bu matematikçiler yukarıdaki sorunun cevabının “evet” olduğunu gösterdikleri çalışma sonunda 2014’de Amerikan Matematik Derneği’nin en saygın ödüllerinden olan Cole Cebir Ödülü’nü kazandılar.
Bu sonuçtan sonra İkiz Asallar Sanısı için umutlar arttı. Aralarındaki fark 2 olan sonsuz tane asal sayı çifti bulunabilir mi? Hatta biraz alçak gönüllülük yapıp bu 2 sayısından da vazgeçtik. Örneğin aralarındaki fark 10’dan fazla olmayan sonsuz tane p ve q asal sayı çifti bilebilir miyiz? Yitang Zhang aralarındaki fark yetmiş milyondan fazla olmayan sonsuz tane asal sayı çifti bulunacağını gösterdi. James Maynard, Zhang’ın yetmiş milyon olarak bulduğu sınırlamayı birdenbire 600’e indirdi. Terence Tao başkanlığında bir ekip bu sayıyı 246’ya indirdi.
Asal sayılar hakkında anlatılacak hikâyelerin şu ana kadar çok azına değinebildik. Martin Gardner’in dediği gibi, asal sayılar konusu matematiğin hiçbir dalında olmadığı kadar gizem, zarafet ve heyecan barındırır.
Kaynaklar:
Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz – Bilim – Teknik dergisi Sayı 596 Temmuz 2017
Tony Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri
Matematiksel
Etiketler
sayılar teorisi
Editör07/09/2017Güncelleme 23/07/2021
22.796 5 dakikada okuyun
Paylaşmak İsterseniz
Facebook Twitter LinkedIn Messenger Messenger WhatsApp E-Posta ile paylaş Yazdır
İçeriğimiz Hakkında Bir Yorum Bırakabilirsiniz.
Bir cevap yazın Cevabı iptal et
E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir
Yorum
İsim *
E-posta *
İnternet sitesi
Δ
İlgili Makaleler
Smith Sayıları Nedir? 4937775 Sayısı Neden Önemlidir?
12/07/2017
En Büyük Sayılar Hangileridir? Graham Sayısı, Rayo Sayısı Ve Diğerleri
08/07/2021
Sihirli Kareler: Bir Kareden Çok Daha Fazlası
11/09/2017
Karmaşık Sayılarda i Üzeri i Kaçtır?
25/09/2021
Matematikçilerin En Sevdikleri: Mükemmel Sayılar
18/04/2018
Altın Oran Nedir Ne Değildir? Hakkında Duyduklarımıza İnanmalı mıyız?
03/05/2016
Biz Kimiz?
Matematiksel, tamamen gönüllü bir ekip tarafından 2015 yılından beri yürütülen bir bilim platformudur. Hedefimiz matematiğin ülkemizde bir popüler bilim olarak yaygınlaşmasını sağlamaktır. Sizin desteğiniz ile büyüyoruz. Elele daha güzel yarınlara...
Facebook
Twitter
LinkedIn
YouTube
Instagram
RSS
YAZARIMIZ OLMAK İSTER MİSİNİZ?
Ailemize dahil olmak isterseniz, burada yazan koşulları inceledikten sonra bize yayınlanmasını istediğiniz içeriklerinizi gönderebilirsiniz.
Arama:
Kategoriler
DOĞA BİLİMLERİ 334
MATEMATİK 474
SOSYAL BİLİMLER 449
ÖNERİLER 80
BEŞERİ BİLİMLER 341
UYGULAMALI BİLİMLER 150
Son Yazılarımız
Gen Düzenleme Nedir Ve Yaşam Kodunu Değiştirmek İçin Nasıl Kullanılır? 04/12/2021
Bir Gün Aslında 24 Saat Değildir 29/11/2021
Ley Hatları: Doğaüstü Çizgiler Dünyamızı Sarabilir mi? 29/11/2021
Oxford Üniversitesi Kabul Sorularını Çözebilir misiniz? 29/11/2021
Rorschach Mürekkep Lekesi Testi Nedir? Bu Teste Güvenebilir miyiz? 24/11/2021
Haftanın Bilmecesi #9: Canan’ın Doğum Günü Problemi 22/11/2021
Söğüt Ağacından Modern Kimyaya: Aspirin’in Kısa Tarihi 20/11/2021
Laktoz Toleransı Nedir? Neden Süt İçebilecek Biçimde Evrimleştik? 16/11/2021
Son Yorumlar
Bir Dönemin Çıkmazı İ Sayısı ve Sanal Sayılar için Baha
Astrolojinin Sahte Bilim Olduğunu Bilsek de İnanmaya Devam Ediyoruz için tostçumahmut
Araştırmalara Göre Çalışırken Nasıl Oturmalıyız? Cevap Dik Değil için İsmail Hayat
Uzman Yorumlarıyla Pfizer/BioNTech mRNA COVID-19 Aşısının Faz-3 Verimlilik Değerlendirmesi için İsmail Hayat