Asuman Güven Aksoy, Department of Mathematical Sciences, Claremont McKenna College, Claremont, CA, 91711, USA, aaksoy@cmc.edu
Klasik analizin matematikçilerini $70$ yıldır uğraştıran en ünlü sanılardan biri Bieberbach Sanısıdır (BS). Bu, Alman matematikçi Ludwig Bieberbach’ın $1916$ yılında yazdığı bir makalenin dip notunda ortaya çıkmış [1] ve $1984$ yılında Purdue üniversitesi’nden Louis de Branges tarafindan çözülmüştür [2].
Bieberbach sanısının matematikçiler için çekiliciği bir yandan basit olarak tanımlanabilmesi öte yandan makul sınırlamalar altında kuvvet serilerindeki terimlerin katsayılarının büyük olmamasından ileri gelir. Bieberbach sanısı hem holomorfik hem de yalınkat fonksiyonlarla ilintilidir. Birebir holomorfik fonksiyonlara yalınkat ismi verilir. (Birebir demek $ z_1=z_2$ eşitliği olmadığı sürece $f(z_1) \neq f(z_2)$.) Yalınkat fonksiyonların bir çok özelliği vardır [3], dolayısıyla onların Taylor açılımlarındaki terimlerin katsıyaları hakkında birşeyler söylenebilir mi sorusunu da sormak normaldir. Dikkat edilirse, $f(0)=0$ ve $f'(0)=1$ olarak alındığında, $f$’in Taylor serisi $$f(z)= z+a_2z^2+a_3z^3+ \cdots $$ formunu alır, burada $a_2, a_3, \dots$ kompleks katsayılardır. Bu yazıda, $f(0)=0$ ve $f'(0)=1$ normalizasyon koşullarını sağlayan yalınkat fonksiyonların $f: \mathbb{D} \to \mathbb{C}$ sınıfını ifade etmek için S (schlicht) sembolünü kullanıyoruz.
Bieberbach Sanısı: Her bir $f\in S$ ve $n=2,3,\dots$ için $$ |a_n| \leq n $$ eşitsizliği doğrudur. Bütün $n$-ler için, fonksiyon $f$, Koebe fonksiyonu $k(z)$’nin bir dönmesi olmadığı sürece bu eşitsizlik keskindir, yani $|a_n| < n$’dir. Burada Koebe fonksiyonu: $$k(z)=\sum_{n=1}^{\infty} nz^n = z+2z^2 +3z^3+\cdots$$ kuvvet serisiyle ifade edilen fonksiyondur.
Bieberbach’ın orjinal makalesindeki temel sonuç ikinci katsayı teoremidir, yani $|a_2| \leq 2$ ve eşitlik Koebe fonksiyonu için sağlanmaktadır.
Louis de Branges’ın $|a_n | \leq n$ genel kanıtından önce Bieberbach sanısı yalnızca $n \leq 6$ için kanıtlanmıştı. Sanı üstüne çeşitli kitap ve makaleler yazılmış olup okuyucuyu daha fazla bilgi için [4, 6] kaynaklarına yönlendiriyoruz.
Sanıda sözü geçen Koebe fonksiyonu $k(z)$’yi daha yakından inceliyelim:
$$ k(z) = \frac{z}{(1-z)^2}= z. \frac{d}{dz}\left[\frac{1}{(1-z)}\right]= z+2z^2 +3z^3+\dots $$
şeklinde de yazılabilir ve birim disk $|z|< 1$’de yaşayan her $z$ için yakınsar. $k(z)$’nin neden diskte yalınkat olduğunu anlamak ve onun görüntüsünü bulmak için $k(z)$’nin şu haline bakınız:
$$ k(z) =\frac{1}{4}\left[\left( \frac{1+z}{1-z}\right )^2-1\right ]. $$
Bu ifadeden $k(z)$’nin aşağıda verilen dönüşümlerin bileşkesi olduğu görülmektedir.
$$ p= \frac{1+z}{1-z},\qquad q= p^2, \qquad w=\frac{1}{4} (q-1)$$
$p$ birim diskini yalınkat olarak $p$-düzleminin sağ yarı-düzleme götüren doğrusal kesirli dönüşümdür. $q=p^2$ ise sağ yarı-düzlemle kısıtlanınca birebir bir fonksiyondur ve görüntüsünü de bütün $q$-düzleminden negatif olmayan reel ekseni çıkartırsak elde ederiz. Son fonksiyon $w$ ise aşağıda görüldüğü gibi, önce bir öteleme, sonra da $\displaystyle \frac{1}{4}$ çarpanıyla genleşen bir dönüşümdür.
Şimdi $\alpha$ bir reel sayı olsun ve fonksiyon $f $, $f(0)=0, \,\, f'(0)=1$ şartlarını sağlasın. Bu durumda fonksiyon, $$g(z)= e^{-i \alpha} f(e^{i\alpha}z)$$ $f$’nin saat hareketinin tersine $z=0$ merkezli, $\alpha$ radyan açılı bir dönmesini ifade eder.
Bunların kuvvet serilerini, $$ f(z)= z+\sum_{n=2}^{\infty} a_nz^n\quad \mbox{böylece}, \quad g(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty} b_nz^n$$ olarak yazabiliriz.
Yukarda $g(z)$’deki katsayı $b_n= a_n e^{i (n-1)\alpha}$ olduğu için $$|b_n|= |a_n||e^{i (n-1)\alpha}|=|a_n|\quad\mbox{olur}.$$
Buradan da fonksiyonlar ailesinin, $$k_\lambda(z): \frac{z}{(1-\lambda z)^2}=\sum _{n=1}^{\infty} n\epsilon^{n-1}z^n\quad (\lambda\,\,\, \mbox{ bir sabit ve }\,\,\, |\lambda| =1 ) $$ bütün $n$’ler için $|a_n|=n$ eşitsizliğini sağladığı görülür.
Aşağıdaki örnekte, fonksiyon $f(z)$ $n$-dereceli bir polinom ve $|a_n|$’ye belli bir üst sınır bulmak istiyoruz.
Örnek: Elimizde, $$f(z)= z+a_2z^2+a_3z^3 + \cdots+a_nz^n$$ gibi bir polinom varsa, üstelik $f$ yalınkatsa birim disk $D(0 ;1)$ üstünde, $|a_n| \leq \displaystyle \frac{1}{n}$ sonucuna varabiliriz.
Bunu görebilmek için $f$’nin türevini, $$f'(z)= 1+2a_2z+\cdots+ na_nz^{n-1}= na_n ( \frac{1}{na_n}+ \cdots+ z^{n-1})$$ göz önüne alalım. Sonra cebirin temel teoremini kullanarak yukardaki polinomu çarpanlarına ayırırsak, $$f'(z)= na_n (z-c_1)(z-c_2)\cdots (z-c_{n-1})$$ elde edeceğiz. Burada $c_1,c_2, \dots, c_{n-1}$ ile kompleks kökleri gösteriyoruz. Gelgelelim, $f$, $D(0 ;1)$’de yalınkat , $f'(z)$’nin $D(0;1)$’de kökleri yok ve dolayısıyla bütün $k$’ler için $|c_k| > 1$’dir. Ayrıca $f'(0)=1$ olduğundan, $$ 1=|f'(0)|=|na_n||c_1||c_2|\cdots |c_{n-1}|\geq |na_n|$$ iddia edildiği gibi $|a_n|\leq \displaystyle\frac{1}{n}$’dir.
Yalınkat fonksiyonların en önemli özelliği, ünlü Riemann tasvir teoremidir. Diyelim ki $G$ açık bir küme, eğer $f$, $G$’nin üstünde, hem holomorfik hem de birebirse, bu $f$’nin conform bir tasvir olduğunu, yani açıları koruduğunu ima eder. Diyelim ki $f$ sınırları karmakarışık bir bölgeden “medeni” bir kümeye örneğin $D(0;1)$’e giden bir tasvir olsun. Böyle bir tasviri bulabileceğimizi nereden biliyoruz? Bu sorunun yanıtını Riemann vermiştir:
Riemann Tasvir Teoremi: Diyelim ki $G$ basit bağlantılı (içinde delikler olmayan) bir bölge ve $G\neq \mathbb{C}$ olsun. Bu durumda konform ve birebir $f: G \to D(0;1)$ bir tasvir vardır, üstelik $f^{-1}: D(0;1) \to G$ de konform bir tasvirdir.
Riemann tasvir teoremi çok önemlidir, bu bir varlık teoremidir ama $f$ için bir “formül” vermez, kuramsal olarak kapıları açar ve $f$’nin analitik özellikleriyle, $f(G)$’nin geomerik özelliklerini bağlar, bize $D(0;1)$ gibi bir kümede yer açar [5]. (BS) için L. de Branges kanıtı bulana kadar geometrik fonksiyonlar teorisinin ana probleminin (BS) olmasının sebebi de Riemann tasvir teoremi’nin sağladığı bu bağlantıdır.
Bieberbach’ın Alan Teoremi:
Bieberbach sanısı, aşağıda verilen alan teoreminin kanıtlanmasından sonra postule edilmiştir. Bieberbach türü eşitsiz-likleri elde etmenin temel yolu kuvvet serileri katsayılarını düzlemdeki herhangi bir bölgenin alanıyla bağlantılandırmaktır. Diyelim ki $\mathcal{U}$ holomorfik ve $\Sigma =\{ z: |z|>1\}$’da yalınkat olan ve de Laurent açılımları,
$$ g(z)= z+ b_0+\frac{b_1}{z}+\cdots= z+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{z^n}$$
şeklinde olan fonksiyonlar sınıfını temsil etsin.
Teorem: $g(z)\in \mathcal{U}$ fonksiyonları için $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n|b_n|^2 \leq 1$ sağlanır.
Kanıt: $g(\Sigma)$ kümesinin tümleyenine $R = \mathbb{C}\setminus g(\Sigma)$ diyelim. Burada amacımız $R$’nin alanını $b_n$ cinsinden hesaplamak. Daha iyi açıklamak gerekirse $R(r)= \mathbb{C}\setminus \{g(z): |z|>r\}$ yapıp, $R(r)$’ın sınırını da $\gamma(r)$ ile gösterirsek, bu basit ve kapalı eğrinin $\gamma(r)$’nın sınırladığı alanı bulmak istiyoruz. Sonrasında $$ \mbox{alan}\, R =\lim_{r\to 1^+} \,\mbox{alan}\, R(r).$$
$g(z)= u+iv=w$ olsun, açıkca, $du\,dv=\displaystyle \frac{1}{2i} d\bar{w} \,dw$ olduğu için, $$ \mbox{alan}\, R(r) =\displaystyle \iint_{R(r)} du\,dv = \frac{1}{2i} \iint_{R(r)} d\overline{w}\,dw.$$
Şimdi Green’in teoremini kullanarak şunu yazabiliriz:
$$ \mbox{alan}\, R(r) = \frac{1}{2i} \int_{\gamma (r)} \overline{w}\, dw= \frac{1}{2i} \int_{|z|=r} \overline{g(z)} g'(z) \,dz.$$
Bundan sonra $ z=r e^{it}$, $dz=ir e^{it}dt $ ile parametrize edersek son integrali, $$ \mbox{alan}\, R(r) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} re^{it} g'(re^{it}) \overline{g(re^{it})} dt $$ şeklinde yazabiliriz. Ardından $g$ ve $g’$ nün kuvvet serilerinden yola çıkarak, $$\frac{1}{\pi} \mbox{alan}\, R(r) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left(re^{it}+\sum_{n=1}^{\infty} nb_n r^{-n} e^{-int}\right) \left( re^{-it} + \sum _{n=0}^{\infty} \overline{b_n} r^{-n} e^{int}\right) dt $$ elde ederiz.
En son terimi de $e^{it}$ nin farklı kuvvetlerinin dik olmasını kullanarak basitleştirip, $$ \frac{1}{\pi} \mbox{alan}\, R(r) = r^2-\sum_{n=1}^{\infty} r^{-2n} \, n \, |b_n|^2$$ elde edilir. $\mbox{Alan}\, R(r) \geq 0$ olduğu göz önüne alınarak, her $m> 0$ için kısmi toplam, $\displaystyle\sum_{n=1}^{m} r^{-2n}\, n \, |b_n|^2 \leq r^2 $ olur ve de $r \to 1^{+}$ durumunda, $ m=1,2,\dots$ için bize $\displaystyle\sum_{n=1}^{m} n|b_n|^2 \leq 1$ eşitsizliğini verir.
$\square$
Bu teorem (BS) ile ilgili bir çok teorem için yararlı olan aşağıdaki sonucu da verir.
Sonuç: Eğer $g(z)\in \mathcal{U}$ ise, $|b_1| \leq 1$ olur. Eşitlik için gerekli ve yeterli koşul $g$’nin $$ g(z) =z+b_0+\frac{b_1}{z}\quad \quad( |b_1|=1)$$ biçiminde olmasıdır.
Koebe $\frac{1}{4}$-teoremi:
Bieberbach sanısında $n=2$ için ortaya konmuş, tanınmış bir başka teorem Koebe $\frac{1}{4}$-teoremi olarak bilinir. Bu teoreme göre, bir yalınkat fonksiyon $f$, $f(0)=0$ ve $f'(0)=1$ normalizasyon koşulları sağlıyorsa, bu fonksiyon aynı zamanda, $$D(0 ;\displaystyle \frac{1}{4}) \subseteq f \left( D(0 ; 1)\right)$$ içermesini de sağlar. Eşitlik için gerek ve yeter koşul $f$’nin Koebe fonksiyonunun bir dönmesi olmasıdır. Bir başka deyişle, her $f\in S$ için, $ f \left( D(0 ; 1)\right)$, merkezi orijinde olan bir disk ihtiva eder. Ta $1907$’de Koebe $ r \leq \frac{1}{4}$ sanısını ortaya atmıştı; $1916$’da Bieberbach bu sabitin daha fazla geliştirilemeyeceğini kanıtlamıştı.
Not: (BS)’nin kanıtlanması yolundaki gelişmeleri şöyle guruplayabiliriz:
Belli bir $n$ için $|a_n| \leq n$
$S$’nin bir alt sınıfı için $|a_n | \leq n$
Yeterince büyük bir $C$ için $|a_n| \leq C n$.
İlk gurupta elde edilen bir sonuç K. Loewner’in geliştirdiği üçüncü katsayı $|a_3| \leq 3$ teoremidir. Kısmi türevli diferansiyel denklem yöntemini kullanan Loewner’in kanıtı Bieberbach’ın ikinci katsayı teoreminden farklıdır ki bu yöntem de Branges’a genel sanı kanıtlanmasında çok yararlı olmuştur. Bieberbach sanısı $S$’nin bazı alt sınıf fonksiyonları için de kanıtlanmıştır. örneğin “yıldız benzeri” veya “reel katsayılı” fonksiyonlardan oluşan altsınıfları gibi [3]. (BS)’nin çözümündeki görülen zorluklara bir delil olarak güçlü bir analiz aracı olan Cauchy eşitsizliğini kullansak bile [6]-da gösterildiği gibi $f\in S$ için ancak, $$|a_n| \leq \frac{e^2}{4 }n^2 \, \quad n=2,3,… $$ sonucuna varılır.
Üçüncü gurup sonuçlara bir örnek olarak aşağıda Littlewood’un bir çalışmasını veriyoruz.
Littlewood Teoremi:
$1925$’te Littlewood farklı fakat daha gevşek bir üst sınırı $|a_n|$’ler için bulmuştur. Bieberbach her katsayının üstten kendi indeksiyle sınırlı olduğu sanısını ortaya atmışken, yani $|a_n| \leq n$ derken, Littlewood bunu her $n$ için $|a_n| \leq e.\,n$ olarak kanıtlamıştır.
Teorem: Eğer $f(z)\in S$ ise, bütün $n \geq 2$ için $|a_n| < e.\,n$’dir.
Kanıt: Bu kanıt Littlewood’un integral eşitsizliğine [3] dayanır. Bu $f\in S$ için, $$ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |f(re^{i\theta}| d\theta \leq \frac{r}{1-r} \quad 0\leq r <1$$ şeklinde ifade edilir.
Cauchy’nin integral formülünü kullanarak, $$ |a_n| = \left |\frac{f^{(n)} (0)}{n!}\right |=\left | \frac{1}{2\pi}\int_{|z| =r} \frac{f(z)}{z^{n+1}} \,\,dz\right|, \quad\quad r<1$$ yazabiliriz. Sonra da $z=re^{i\theta}$ alıp ve Littlewood’un integral eşitsizliği kullanırsak, $$ |a_n| = \left | \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{f(re^{i\theta})}{r^n. e^{in \theta}} \,\,dz\right | \leq \frac{1}{2\pi r^n}\int_{0}^{2\pi}\left| f(re^{i\theta})\right| d\theta \leq \frac{1}{r^n}\frac{r}{1-r}$$ olur ve
$$|a_n| \leq \displaystyle\frac{1}{(1-r) r^{n-1}} $$
eşitsizliği elde edilir. $|a_n|$’nin minimumunu bulmak için $ h(r)=(1-r) r^{n-1}$ fonksiyonunu $[0,1]$’de maksimize etmek lazımdır. Bu nedenle, $$h'(r)= r^{n-2} ( (n-1)(1-r) -r)$$ bakarsak, maksimumun $r= 1-\displaystyle \frac{1}{n}$ olduğunda gerçekleştiğini görürüz. Dolayısıyla
$$ |a_n| \leq \frac{1}{(1-r) r^{n-1}}= n {\left( \frac{n}{n-1}\right)}^{n-1} < e.n $$ elde edilir.
Sonuç: Bu makalede yalınkat fonksiyonlar ve schlicht $S$ sınıfı fonksiyonlarında yalnızca lisans seviyesinde analiz bilgileri kullanılarak birkaç temel sonuç kanıtladık. şu hususu iyi anlamak gerek: on yıllarca çözüm bulmayı bekleyen Bieberbach sanısı, matematikçilere yalınkat fonksiyonlarla ilgili bir hayli sonuca ulaşılması yolunu açmıştır.
Hatta yalınkat fonksiyonlar teorisi, $S$ ve onun alt sınıfıyla ilgili çalışmalardan doğmuştur. Bu nedenle Bieberbach sanısının önemi yalnızca kucakladığı çözümlerde değil, onu çözebilmek için geliştirilen teorilerde yatmaktadır.
Kaynaklar
[1] Bieberbach, L., Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften, (1916), 940-955.
[2] Branges, de L., A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math., $154$, (1985), 137-152.
[3] Duren, P. L., Univalent functions, Springer-Verlag, New York, 1983.
[4] Gong, S., The Bieberbach conjecture, Studies in Advanced Mathematics, 12, American Mathematical Society and International Press, (1999).
[5] Priestly, H. A., Introduction to Complex Analysis, (second edition), Oxford University Press, 2003.
[6] Zorn, P., The Bieberbach conjecture, A famous unsolved problem and the story of de Branges’ surprising proof, Mathematics Magazine, 59, No. 3, (1986).
Facebook
Twitter
WhatsApp
Linkedin
Önceki İçerikMatematik Dünyası’ndan
Sonraki İçerik2019 Abel Ödülünün Sahibi Prof. Karen Uhlenbeck ile Söyleşimiz
admin
Kategoriler
Analiz
Biyografi
Cebir
Çözümler
Eğitim
Geometri
Kitap
Olimpiyatlar
Problemler
Sayılar teorisi
Söyleşi
Anahtar Kelimeler
Albert Erkip Alev Topuzoğlu Ali Doğanaksoy Alp Eden Ayşe Berkman Ayşegül Şahin Bakış Bülent Ünal Cemal Koç Cem Tezer Dikkat Ebru Keyman Elif Seçkin Fahrettin Akbulut fezagürsey Fields Ödülü Figen Şenses Fikri Akdeniz Geçmişten Günümüze Gözlem Hüseyin Demir izometri Işıldak Karen Uhlenbeck Konumuz Mahmut Kuzucuoğlu Matematikle Dinleme Mehpare Bilhan metingürses Nurettin Çalışkan Olimpiyatlar Paradokslar Peter Scholze Sema Salur Sorular Timur Karaçay Tosun Terzioğlu Turgut Önder Tuğrul Taner Yusuf Ünlü Çözümler Özgür Özlük Ünlü Problemler İbrahim Dibağ İsmail Güloğlu