Babası Girit göçmeni tüccar Vedat Kasman, annesi ressam Nevzat Kasman'dır. Ailenin tek çocuğu olan Ayla Algan, çocukluğunda piyano, bale ve şan dersleri aldı. 5 yaşında başladığı piyano öğrenimini lise öğrenimi için Fransa'ya gidene kadar 11 yıl boyunca sürdürdü. Ortaokulu İstanbul'daki Notre Dame de Sion'da, liseyi Fransa'daki Versay Lisesi'nde okudu. Lise öğrenimi devam ederken tanıştığı Beklan Algan (1933 - 2010) ile evlendi. Eşi Beklan Algan ile birlikte Amerika'da New York Actor Studio Actor’s Repertuary Theatre’s of Broadway sahne eğitimi alan sanatçı, Türkiye'ye döndükten sonra İstanbul Şehir Tiyatroları'nın kadrosuna girdi ve 1961'de Tarla Kuşu oyunu ile tiyatroda ilk rolünü oynadı. Aynı yıl Hamlet oyununda rol aldı; hem Ophelia hem de erkek rolü olmasına rağmen Hamlet karakterini canlandırmıştı. Bu nedenle 'Erkek Hamlet' olarak anıldı. 1965'te Fizikçiler oyunuyla İlhan İskender En İyi Kadın Oyuncu Ödülü'ne layık görüldü ancak tiyatronun kolektif bir sanat olduğu gerekçesiyle geri çevirdi. 1966'da Muhsin Ertuğrul'un istifası üzerine Şehir Tiyatroları'ndan ayrıldı, bir süre LCC Language and Culture Center Tiyatro Okulu'nda tiyatro öğretmenliği ve oyuncu çalıştırma dersleri verdi. Buradan Macit Koper, Taner Barlas, Cezmi Baskın, Meral Çetinkaya ve Rutkay Aziz gibi değerli oyuncu ve yönetmenler çıktı.
1964'te yönetmenliğini Ertem Göreç'in yaptığı, senaryosu Vedat Türkali'ye ait olan Karanlıkta Uyananlar filmi ile ilk kez sinema dalında çalışmalara başladı. 1966'da Atıf Yılmaz'ın yönettiği Ah Güzel İstanbul filminde ile ilk kez başrol oynadı.
1971'de Paris'in ünlü konser salonu Olimpia'da sahneye çıkan Algan, 1972 yılında Paris'te Jean L. Bazault yönettiği Recamier Tiyatrosunda, Peter Brook'un Tiyatro Atölyesine, davetli olarak katılmıştır. 1972-1979 yılları arasında Paris'te yaşadı ve müzikle ilgilendi. 1972'de Turizm Bakanlığı'nın isteği üzerine Yunus Emre'nin ölümünün 650. yıl dönümü için bir albüm hazırladı. 1975 yılında dünyaya gelen kızına Yunus Emre'den esinlenerek 'Sevi' adını koydu. 1973'te Bulgaristan'daki Uluslararası Altın Orfe Şarkı Yarışması'nda savaş karşıtı bir şarkı söyleyerek ikincilik ödülünü alan Algan'a aynı yıl devlet sanatçısı unvanı verildi ve 'UNICEF Onur Ödülü'ne layık görüldü. 1977'de Polonya Sopot Festivali'nde Oda Kızılderililerinin sorunları üstüne bir şarkı ile Dünya birinciliği kazandı.
1980'de Berlin'e gitti, Schaubühne Tiyatrosu'nda dört yıl boyunca Tuncel Kurtiz, Şener Şen, Macit Koper gibi sanatçılarla işçi tiyatrosu yaptı. 1984 yılında ise Erol Keskin, Beklan Algan, Prof. Cevat Çapan, Taner Barlas, Ahmet Levendoğlu, Macit Koper, Haluk Şevket, Yekta Kara, Müge Gürman, Metin Deniz, Ergüder Yoldaş, Prof. Süleyman Velioğlu, Oben Güney gibi meslektaşlarıyla BİLSAK Tiyatro Atölyesi'ni kurdu.
1988 yılında ise Beklan Algan, Erol Keskin, Haluk Şevket Ataseven ile birlikte Tiyatro Araştırma Laboratuvarı (TAL)'ı kurdu ve burada pek çok deneysel projeye imza atarak genç tiyatro oyuncularının eğitimine katkıda bulundu. Ayrıca 1996 yılında İstanbul Şehir Tiyatroları'nda Genel Sanat Yönetmeni Yardımcılığı yaptı. 1999-2001 sezonunda Kenan Işık’ın İstanbul Büyükşehir Belediyesi Şehir Tiyatroları'nda sahnelediği Şeyh Galip’in 'Aşk Hastası' oyununu oynadıktan sonra, Şehir Tiyatrolarından emekli oldu. Halen sanat hayatına devam etmekte olan Ayla Algan, 'Seni Seviyorum Rosa', 'Harem Suare', 'O da Beni Seviyor' gibi onlarca filmde ve 'Biz Size Aşık Olduk', 'Üzgünüm Leyla', 'Aliye' gibi çeşitli dizilerde rol almıştır. Ayrıca 'Yaratıcı ve Çağdaş Tiyatro Teknikleri kursu'ile de ünlü oyunculara oyuncu koçluğu yapmaktadır.
Koroporte Sanat Grubu'nun hem tiyatro eğitmeni hem de anlatıcısı olarak, Koroporte'nin İş Sanat'ta sahnelenen 'Hayvanlar Karnavalı 2005-2006-2007' ve 'Bir Sergiden Tablolar 2007-2008' gösterilerinde rol almıştır. 2011 yılında İstanbul Drama Sanat Akademisi Genel Sanat Yönetmenliği ve bunun yanında, tiyatro ve yaratıcı drama metodu kullanarak yabancı dil eğitimi olan 'İngilizce Tiyatro Sertifika Programı' ve 'Sinema-Tiyatro Oyunculuk Atölyesi' eğitmenliği görevlerini üstlenmiştir. Tiyatro ve dizilerde aldığı rollerle sanat hayatına devam etmektedir.
Müzik ve tiyatro sanatlarını iç içe yaşayan bir sanatçı olan Ayla Algan, Yunus Emre'nin şiirlerini Almanca, Fransızca, İngilizce olarak şiirli-şarkılı okuyarak Yunus Emre'yi dünyada tanıtmıştır. Onu halka mal eden ise mizahi bir dili olan 'Koca Öküz' adlı şarkısı olmuştur. Tiyatroda Hamlet rolünü oynayan dünyadaki sayılı kadın oyuncu arasında yer alır. Tiyatro alanında eğitmenlik yapmaya, ayrıca sinema filmleri ve dizilerde rol almaya devam etmektedir. 1972'de Devlet Sanatçısı unvanı ile onurlandırılmıştır. 2015-2016 sezonunda Kurtlar Vadisi Pusu adlı dizide 'Anadolu Selçuklu' karakterini canlandırmıştır.