豪斯多夫空间另一个美好的性质是紧致集合总是闭集，這是因為假定是一個豪斯多夫空間，而是的一個緊緻集合，那對於任何位於的補集中的點而言，都會位於一個作為的子集的開集當中所致，而可以利用豪斯多夫空間的定義和緊緻集合對於開覆蓋的定義來證明包含且作為的子集的開集存在，而這樣的開子集說明了若是的一個元素，那麼會是的一個內部點，因此本身也是個開集合，因此做為補集的是闭集。
ʁʑn qk çk xr χɣ^k ɬqʑk qɣ^r tɕhqk ɣ^ɣr ɣqr ʁʑr çɣr khqɣ^r tsʁqr ʁqr ɬqr tsʁqr ɬqn ʁɣn tsɣ^r ʁqr ɕqr ɬqn tsʁɣr ʁqr tɕhqk thɣqr ɬqʑr çqɣ^r ʁqr tɕhqk ɣ^ɣr ʁʑn qk çk xr χɣ^k ɬqʑk ɣn ʁqr çɣr tɕhqk ɣ^ɣr ɬqr tsʁqr ɬqn ʁɣn ʑr çqr tɕhk ɣr ʁɣn thɣqr tɕhk çɣr ɕr ɬqn tsʁɣ^k çɣr çqʑr ɣn tɕhʑn çk ʁqr thɣqr tɕhk tɕhqk ɣ^ɣr tsr thɣqr çɣr tsqr ɬqn çɣr χʑqk ɬqn çʑɣ^k tsʁɣ^k r tsʁqr ɣn χɣr tɕhqr qr tɕhɣ^r ʁʑn qk çk xr χɣ^k ɬqʑk çɣr çqɣ^r tɕhqr ʁɣn ɬqr tsʁqr ɬqn ʁɣn çqr tɕhk χʑqk xr ɣ^ʑqr çɣr çqɣ^r tɕhqr ʑqn tsʁɣɣ^r qɣ^n ɕʑk ʁʑn qɣr tsr thɣqr çɣr tsqr ɬqn çɣr χʑqk ɬqn ʝn tsʑqr ɣn tsʁɣr tɕhʑɣ^r çɣr χʑqk tsqr ɬqn ʁk qɣ^n ɣr r ʁqr çɣr tɕhqk ɣ^ɣr tɕhʑn r ʑr ɣr ʁqr ʁqr çɣr tɕhqk ɣ^ɣr ɣqr ɕr çqʑr tɕhqk ʝqr ɕɣr ʁɣk tɕhɣr ʁqr ɣ^ɣr χʑqk ɬqn ʁɣn tɕhqk ʝqr tsr thɣqr ɕr ɬqn çɣr ʁqr ɕqr ɬqn