در واقع در اثبات قضیه، مجموعه {a−|b|q>0:q∈Z}{a−|b|q>0:q∈Z} را در نظر میگیریم و نشان می دهیم که غیر تهی است و دارای کوچکترین عضو است و کوچکترین عضو آن را با rr نمایش می دهیم .
dˈar vˈɑq1eʔ dˈar ˈesbɑt q1azˈije mˌadʒmuːʔˈeː (en)ˈeɪ mˈaɪnəs bˈiː kjˈuː(fa) ˌalɑmˌatebˈozorɡtˌar sˈefr:(en)kjˈuː zˈɛd(fa) (en)ˈeɪ mˈaɪnəs bˈiː kjˈuː(fa) ˌalɑmˌatebˈozorɡtˌar sˈefr:(en)kjˈuː zˈɛd(fa) rɑ dˈar nˈazar miɡˈirim vˈa nˈeʃɑn mi dˈahim kˈeː q1ˈejr tˈohi ˈast vˈa dˈɑrˈɑje kˌuːtʃaktˈarin ˈozv ˈast vˈa kˌuːtʃaktˈarin ˈozv ɑn rɑ bɑ (en)ˌɑːɹˈɑː(fa) namˈɑjeʃ mi dˈahim .