The stronger definition is: a randomized mechanism is universally-incentive-compatible if every mechanism selected with positive probability is incentive-compatible (e.g. if truth-telling gives the agent an optimal value regardless of the coin-tosses of the mechanism).
ðə stɹˈɔŋɡɚ dˌɛfɪnˈɪʃən ɪz: ɐ ɹˈændəmˌaɪzd mˈɛkənˌɪzəm ɪz jˌuːnɪvˈɜːsəliɪnsˈɛntɪvkəmpˈæɾᵻbəl ɪf ˈɛvɹi mˈɛkənˌɪzəm sᵻlˈɛktᵻd wɪð pˈɑːzᵻtˌɪv pɹˌɑːbəbˈɪlᵻɾi ɪz ɪnsˈɛntɪvkəmpˈæɾᵻbəl ˈiː.dʒˈiː. ɪf tɹˈuːθtˈɛlɪŋ ɡˈɪvz ðɪ ˈeɪdʒənt ɐn ˈɑːptɪməl vˈæljuː ɹᵻɡˈɑːɹdləs ʌvðə kˈɔɪntˈɔsᵻz ʌvðə mˈɛkənˌɪzəm.