ɐkˈoːɹdɪŋ tə ðə dˌɛfɪnˈɪʃən ʌvðə ɡɹˈeɪdiənt əvə skˈeɪlɚ fˈʌŋkʃən , , ðˈʌs wiː hæv fˈaʊnd ɐ skˈeɪlɚvˈæljuːd fˈʌŋkʃən hˌuːz ɡɹˈeɪdiənt ɪz ðə pˈæθˌɪndᵻpˈɛndənt vˈɛktɚ fˈiːld ˈaɪ.ˈiː.,  ɪz ɐ kənsˈɜːvətˌɪv vˈɛktɚ fˈiːld., æz dɪzˈaɪɚd.
According to the definition of the gradient of a scalar function , , thus we have found a scalar-valued function  whose gradient is the path-independent vector field  (i.e.,  is a conservative vector field.), as desired.