Out(Fn)
கணிதத்தில், அவுட் (Fn) என்பது n ஜெனரேட்டர்களில் ஒரு இலவச குழுவின் வெளிப்புற தானியங்கி குழுவாகும். இந்த குழுக்கள் வடிவியல் குழு கோட்பாட்டில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன. அவுடர் ஸ்பேஸ் அவுட் (எஃப்என்) கல்லர்-வோக்ட்மேன் அவுடர் ஸ்பேஸ் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு செல் வளாகத்தின் மீது வடிவியல் ரீதியாக செயல்படுகிறது, இது வட்டங்களின் பூச்செண்டுக்கான டீச்முல்லர் இடமாக கருதப்படலாம். வரையறை வெளிப்புறத்தின் ஒரு புள்ளி அடிப்படையில் ஒரு-கிராஃப் எக்ஸ் ஹோமோடாபி ஆகும், இது n வட்டங்களின் பூச்செண்டிற்கு சமமானது, X இலிருந்து n வட்டங்களின் பூச்செண்டிற்கு ஒரு ஹோமோடாபி சமநிலையின் இலவச ஹோமோடாபி வகுப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட தேர்வுடன். ஒரு-கிராஃப் என்பது எடைகளைக் கொண்ட ஒரு எடையுள்ள வரைபடம் மட்டுமே. அனைத்து எடைகளின் கூட்டுத்தொகையும் 1 ஆக இருக்க வேண்டும் மற்றும் அனைத்து எடைகளும் நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும். தெளிவின்மையைத் தவிர்க்க (மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடத்தைப் பெற) ஒவ்வொரு உச்சியின் இணைப்பும் குறைந்தது 3 ஆக இருக்க வேண்டும். ஹோமோடாபி சமநிலை f ஐத் தவிர்க்கும் மிகவும் விளக்கமான பார்வை பின்வருமாறு. n மாறிகளில் உள்ள இலவச குழுவுடன் n வட்டங்களின் பூச்செடியின் அடிப்படை குழுவின் அடையாளத்தை நாம் சரிசெய்யலாம். மேலும், நாம் X இல் ஒரு அதிகபட்ச மரத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து, மீதமுள்ள ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் ஒரு திசையைத் தேர்வு செய்யலாம். இப்போது மீதமுள்ள ஒவ்வொரு விளிம்புக்கும் பின்வரும் வழியில் ஒரு வார்த்தையை ஒதுக்குவோம். e இல் தொடங்கி பின்னர் அதிகபட்ச மரத்தில் e இன் தோற்றத்திற்குச் செல்லும் மூடிய பாதையைக் கவனியுங்கள். இந்த பாதையை f உடன் தொகுத்தால், n வட்டங்களின் பூச்செட்டில் ஒரு மூடிய பாதையைப் பெறுகிறோம், எனவே அதன் அடிப்படை குழுவில் ஒரு உறுப்பு. இந்த உறுப்பு நன்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; நாம் ஒரு இலவச ஹோமோடாபி மூலம் f ஐ மாற்றினால் மற்றொரு உறுப்பைப் பெறுகிறோம். அந்த இரண்டு உறுப்புகளும் ஒன்றோடொன்று இணைந்துள்ளன, எனவே இந்த இணைவு வகுப்பில் தனித்துவமான சுழற்சி ரீதியாக குறைக்கப்பட்ட உறுப்பை நாம் தேர்வு செய்யலாம். இந்த தரவுகளிலிருந்து இலவச ஹோமோடாபி வகை f ஐ மறுகட்டமைக்க முடியும். இந்த பார்வைக்கு ஒரு நன்மை உள்ளது, இது f இன் கூடுதல் தேர்வைத் தவிர்க்கிறது மற்றும் கூடுதல் தெளிவின்மை எழும் குறைபாட்டைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் ஒருவர் அதிகபட்ச மரத்தையும் மீதமுள்ள விளிம்புகளின் நோக்குநிலையையும் தேர்வு செய்ய வேண்டும். விண்வெளியில் அவுட் (எஃப்என்) செயல்பாடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. g இன் ஒவ்வொரு தானியங்கி உருமாற்றமும் n வட்டங்களின் பூச்செடியின் சுய ஹோமோடாபி சமநிலை g′ ஐத் தூண்டுகிறது. f ஐ g′ உடன் தொகுப்பது விரும்பிய செயலை அளிக்கிறது. மற்ற மாதிரியில் இது g இன் பயன்பாடு மற்றும் இதன் விளைவாக வரும் வார்த்தையை சுழற்சி முறையில் குறைக்கிறது. நீளம் செயல்பாடுகளுடனான இணைப்பு வெளிப்புறத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு தனித்துவமான நீளம் செயல்பாட்டை தீர்மானிக்கிறது. ஒரு சொல் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஹோமோடாபி சமநிலை மூலம் X இல் ஒரு மூடிய பாதையை தீர்மானிக்கிறது. வார்த்தையின் நீளம் பின்னர் அந்த மூடிய பாதையின் இலவச ஹோமோடாபி வகுப்பில் ஒரு பாதையின் குறைந்தபட்ச நீளமாகும். இத்தகைய நீளம் செயல்பாடு ஒவ்வொரு கான்ஜுகேசி வகுப்பிலும் நிலையானது. இந்த பணி வெளிப்புற இடத்தை சில எல்லையற்ற பரிமாண திட்ட இடத்துடன் உட்பொதிப்பதை வரையறுக்கிறது. வெளிப்புறத்தில் எளிமையான அமைப்பு இரண்டாவது மாதிரியில் ஒரு திறந்த சிம்ப்ளக்ஸ் அனைத்து-வரைபடங்களாலும் வழங்கப்படுகிறது, அவை ஒரே அடிப்படை வரைபடத்தைக் கொண்டுள்ளன, அதே விளிம்புகள் ஒரே சொற்களால் பெயரிடப்பட்டுள்ளன (விளிம்புகளின் நீளம் மட்டுமே வேறுபடலாம்). அத்தகைய சிம்ப்ளக்ஸின் எல்லை எளிமைப்படுத்தல்கள் அனைத்து வரைபடங்களையும் கொண்டுள்ளன, அவை ஒரு விளிம்பை உடைப்பதன் மூலம் இந்த வரைபடத்திலிருந்து எழுகின்றன. அந்த விளிம்பு ஒரு வளையமாக இருந்தால், வரைபடத்தின் ஹோமோடாபி வகையை மாற்றாமல் அதை உடைக்க முடியாது. எனவே எல்லை சிம்ப்ளக்ஸ் இல்லை. எனவே வெளிப்புறத்தை சில எளிமைகளை அகற்றி ஒரு எளிய சிக்கலான இடமாக ஒருவர் நினைக்கலாம். இதன் செயல்பாடு எளிமையானது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட ஐசோட்ரோபி குழுக்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது. கட்டமைப்பு அபெலியனைசேஷன் வரைபடம் ஒரு ஹோமோமார்பிசத்தை பொது நேரியல் குழுவிற்குத் தூண்டுகிறது, பிந்தையது தானியங்கி குழுவாகும். இந்த வரைபடம் ஒரு குழு நீட்டிப்பை உருவாக்குகிறது. கர்னல் என்பது டோரெல்லி குழுமமாகும். இந்த வழக்கில், வரைபடம் ஒரு ஐசோமார்பிசம் ஆகும். மேப்பிங் கிளாஸ் குழுக்களுடன் ஒப்புமை ஏனெனில் n வட்டங்களின் பூச்செடியின் அடிப்படை குழு, இடவியல் ரீதியாக n வட்டங்களின் பூச்செடியின் மேப்பிங் கிளாஸ் குழுவாக விவரிக்கப்படலாம் (ஹோமோடாபி பிரிவில்), ஒரு மூடிய மேற்பரப்பின் மேப்பிங் கிளாஸ் குழுவிற்கு ஒப்புமையில், அந்த மேற்பரப்பின் அடிப்படை குழுவின் வெளிப்புற தானியங்கி குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். மேலும் காண்க ரயில் பாதை வரைபடம் ஒரு இலவச குழுவின் தன்னியக்க உருவகப்படுத்துதல் குழு வெளிப்புற விண்வெளி குறிப்புகள் வடிவியல் குழு கோட்பாடு