Differentiation of trigonometric functions
முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு என்பது ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான கணித செயல்முறையாகும், அல்லது ஒரு மாறியைப் பொறுத்தவரை அதன் மாற்ற விகிதம். எடுத்துக்காட்டாக, சைன் சார்பின் வழித்தோன்றல் sin′ (a) = cos (a) என்று எழுதப்படுகிறது, அதாவது x = a என்ற குறிப்பிட்ட கோணத்தில் சைன் (x) இன் மாற்ற விகிதம் அந்த கோணத்தின் கொசைனால் வழங்கப்படுகிறது. வட்ட முக்கோணவியல் சார்புகளின் அனைத்து வழித்தோன்றல்களையும் சைன் (x) மற்றும் காஸ் (x) ஆகியவற்றிலிருந்து டான் (x) = சைன் (x)/காஸ் (x) போன்ற சார்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படும் ஈவு விதி மூலம் காணலாம். இந்த வழித்தோன்றல்களை அறிந்தால், தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் மறைமுகமான வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் சான்றுகள் சைன் (θ)/θ இன் வரம்பு θ 0 ஆக இருப்பதால் வலதுபுறத்தில் உள்ள வரைபடம் மையம் O மற்றும் ஆரம் r = 1 கொண்ட ஒரு வட்டத்தைக் காட்டுகிறது. இரண்டு ஆரங்கள் OA மற்றும் OB ஆகியவை θ ரேடியன்களின் வளைவை உருவாக்கட்டும். θ பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்வதால் வரம்பைக் கருத்தில் கொள்வதால், θ ஒரு சிறிய நேர்மறை எண் என்று நாம் கருதலாம், முதல் நாற்கரத்தில் 0 <θ <1⁄2π என்று சொல்லுங்கள். வரைபடத்தில், R1 முக்கோணம் OAB ஆகவும், R2 வட்டப் பிரிவு OAB ஆகவும், R3 முக்கோணம் OAC ஆகவும் இருக்கட்டும். முக்கோண OAB இன் பரப்பளவுஃ வட்டப் பிரிவின் பரப்பளவு OAB ஆகும், அதே நேரத்தில் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு OAC ஆல் வழங்கப்படுகிறது ஒவ்வொரு பகுதியும் அடுத்த பகுதியில் இருப்பதால், ஒன்று பின்வருமாறுஃ மேலும், முதல் நாற்கரத்தில் இருப்பதால், நாம் 1⁄2 ஆல் வகுக்கலாம், இது கொடுக்கிறதுஃ கடைசி கட்டத்தில் நாம் மூன்று நேர்மறை சொற்களின் பரஸ்பரங்களை எடுத்து, ஏற்றத்தாழ்வுகளை மாற்றியமைக்கிறோம். 0 <θ <1⁄2π க்கு, அளவு எப்போதும் 1 ஐ விட குறைவாகவும், எப்போதும் cos (θ) ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கும் என்று நாம் முடிவு செய்கிறோம். எனவே, θ 0 க்கு நெருக்கமாக வரும்போது, உயரம் 1 இல் ஒரு உச்சவரம்பு மற்றும் உயரத்தில் ஒரு தரைக்கு இடையில் "அழுத்தப்படுகிறது", இது 1 ஐ நோக்கி உயர்கிறது; எனவே θ நேர்மறை பக்கத்திலிருந்து 0 ஆக இருப்பதால் sin (θ)/θ 1 ஆக இருக்க வேண்டும்ஃ θ ஒரு சிறிய எதிர்மறை எண்-1⁄2 π <θ <0 ஆக இருந்தால், சைன் ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடு என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துகிறோம்ஃ θ 0 ஆக இருப்பதால் (cos (θ)-1)/θ இன் வரம்பு கடைசி பகுதி இந்த புதிய வரம்பை ஒப்பீட்டளவில் எளிதாக கணக்கிட உதவுகிறது. இது ஒரு எளிய தந்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் செய்யப்படுகிறது. இந்த கணக்கீட்டில், θ இன் அடையாளம் முக்கியமல்ல. ஒரு பொருளின் வரம்பு என்பது வரம்புகளின் பெருக்கல் மற்றும் முந்தைய பிரிவின் வரம்பு விளைவாகும் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வருவனவற்றைக் காண்கிறோம்ஃ டான் (θ)/θ இன் வரம்பு 0 ஆக முனைகிறது சைன் செயல்பாட்டின் வரம்பைப் பயன்படுத்தி, தொடுகோட்டு செயல்பாடு ஒற்றைப்படை மற்றும் ஒரு பொருளின் வரம்பு வரம்புகளின் பெருக்கல் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்ஃ சைன் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் வரம்பு வரையறையிலிருந்து சைன் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாம் கணக்கிடுகிறோம்ஃ கோண கூட்டல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் உள்ளதுஃ சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளுக்கான வரம்புகளைப் பயன்படுத்திஃ கொசைன் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றலின் வரையறையிலிருந்து நாம் மீண்டும் கொசைன் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை கணக்கிடுகிறோம்ஃ கோணத்தைப் பயன்படுத்தி வரம்பு வரையறையிலிருந்து. இந்த மூன்று உண்மைகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வருவனவற்றை நாம் எழுதலாம், சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி இதை வேறுபடுத்திக் காட்டலாம். விடுங்கள், நம்மிடம் உள்ளதுஃ எனவே, நாங்கள் அதை நிரூபித்தோம். தொடுகோட்டுச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றலின் வரையறையிலிருந்து தொடுகோட்டுச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட, நாம் முதல் கொள்கைகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். வரையறையின்படிஃ நன்கு அறியப்பட்ட கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நம்மிடம் பின்வருவன உள்ளனஃ ஒரு பெருக்கலின் வரம்பு என்பது வரம்புகளின் பெருக்கல் என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்துதல்ஃ தொடுகோடு செயல்பாட்டிற்கான வரம்பைப் பயன்படுத்துதல், மற்றும் δ 0 க்குச் செல்லும்போது டான் δ 0 க்குச் செல்கிறது என்ற உண்மைஃ நாம் உடனடியாக அதைக் காண்கிறோம்ஃ ஈவு விதியிலிருந்து ஒருவர் ஈவு விதியைப் பயன்படுத்தி தொடுகோடு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலையும் கணக்கிடலாம். பைத்தகோரியன் அடையாளத்தால் எண் 1 ஆக எளிமைப்படுத்தப்படலாம், எனவே, தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் சான்றுகள் பின்வரும் வழித்தோன்றல்கள் நாம் வழித்தோன்றலை எடுக்க விரும்பும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாட்டிற்கு சமமான ஒரு மாறியை அமைப்பதன் மூலம் காணப்படுகின்றன. மறைமுகமான வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி, பின்னர் dy/dx க்குத் தீர்ப்பது, தலைகீழ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y இன் அடிப்படையில் காணப்படுகிறது. dy/dx ஐ x இன் அடிப்படையில் மீண்டும் மாற்ற, அலகு வட்டத்தில் ஒரு குறிப்பு முக்கோணத்தை வரையலாம், θ என்பது y ஆக இருக்கட்டும். பித்தகோரியன் தேற்றத்தையும் வழக்கமான முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறையையும் பயன்படுத்தி, இறுதியாக x இன் அடிப்படையில் dy/dx ஐ வெளிப்படுத்தலாம். தலைகீழ் சைன் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்திக் காட்டலாம். பின்னர் இருபுறமும் வழித்தோன்றலை எடுத்து, dy/dx க்குத் தீர்க்கிறோம்ஃ மேலே இருந்து மாற்றுவது, மேலே இருந்து மாற்றுவது, தலைகீழ் கொசைன் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவது. தலைகீழ் தொடுகோடு செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவது நாம் எங்கு அனுமதிக்கிறோம் பின்னர் இருபுறமும் உள்ள வழித்தோன்றலை எடுத்து dy/dx க்கு தீர்ப்பதுஃ இடது பக்கம்ஃ பித்தகோரியன் அடையாளத்தை வலது பக்கமாகப் பயன்படுத்துதல்ஃ எனவே, மேலே இருந்து மாற்றுவதன் மூலம், தலைகீழ் கோட்டாஞ்சென்ட் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துவதைப் பெறுகிறோம். பின்னர் இருபுறமும் வழித்தோன்றலை எடுத்து, dy/dx க்குத் தீர்ப்பதுஃ இடது பக்கம்ஃ பித்தகோரியன் அடையாளத்தை வலது பக்கமாகப் பயன்படுத்துதல்ஃ எனவே, மாற்றாக, மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி வழித்தோன்றலாகப் பெறப்படுகிறது, பின்னர் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துவது உடனடியாக பின்வருமாறுஃ உள்ளார்ந்த வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் செகண்ட் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துதல் பின்னர் (y இன் இடைவெளியில் உள்ள செகண்ட் மற்றும் தொடுகோட்டின் பெருக்கல் எப்போதும் எதிர்மறையற்றதாக இருப்பதால் வெளிப்பாட்டின் முழுமையான மதிப்பு அவசியம், அதே நேரத்தில் ரேடிக்கல் எப்போதும் முதன்மை வர்க்க மூலத்தின் வரையறையின்படி எதிர்மறையற்றது, எனவே மீதமுள்ள காரணியும் எதிர்மறையற்றதாக இருக்க வேண்டும், இது x இன் முழுமையான மதிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அடையப்படுகிறது. சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி மாற்றாக, சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஆர்க்கோசினின் வழித்தோன்றலில் இருந்து ஆர்க்செகண்டின் வழித்தோன்றல் பெறப்படலாம். எங்கே மற்றும் பின்னர், சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ உள்ளார்ந்த வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தலைகீழ் கொசெகாண்ட் செயல்பாட்டை வேறுபடுத்துதல் பின்னர் (y இன் இடைவெளியில் கொசெகாண்ட் மற்றும் கோட்டாஞ்சென்ட்டின் பெருக்கல் எப்போதும் எதிர்மறையற்றது என்பதால் வெளிப்பாட்டின் முழுமையான மதிப்பு அவசியம், அதே நேரத்தில் ரேடிக்கல் எப்போதும் முதன்மை வர்க்க மூலத்தின் வரையறையின்படி எதிர்மறையற்றது, எனவே மீதமுள்ள காரணியும் எதிர்மறையற்றதாக இருக்க வேண்டும், இது x இன் முழுமையான மதிப்பைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அடையப்படுகிறது. சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி மாற்றாக, சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஆர்க்கோசெகண்டின் வழித்தோன்றல் ஆர்க்சின் வழித்தோன்றலில் இருந்து பெறப்படலாம். எங்கே, பின்னர், சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ மேலும் காண்கஃ அப்ராமோவிட்ஸ் மற்றும் ஸ்டீகன் ஆகியோரால் தொகுக்கப்பட்ட கணித செயல்பாடுகளின் குறிப்புகள் நூலியல் கையேடு, தேசிய தரநிலைகள் பணியகம், பயன்பாட்டு கணிதத் தொடர், 55 (1964) வேறுபட்ட கால்குலஸ் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் கணித அடையாளங்களின் சான்றுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகள்