Quasi-isometry
கணிதத்தில், ஒரு குவாசி-ஐசோமெட்ரி என்பது இரண்டு மெட்ரிக் இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான ஒரு செயல்பாடாகும், இது இந்த இடைவெளிகளின் பெரிய அளவிலான வடிவவியலை மதிக்கிறது மற்றும் அவற்றின் சிறிய அளவிலான விவரங்களை புறக்கணிக்கிறது. இரண்டு மெட்ரிக் இடைவெளிகள் இடையே ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி இருந்தால் அவை அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். அரை-ஐசோமெட்ரிக் என்ற பண்பு மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் வகுப்பில் ஒரு சமநிலை உறவைப் போல செயல்படுகிறது. குரோமோவின் பணியைத் தொடர்ந்து, வடிவியல் குழுக் கோட்பாட்டில் அரை-ஐசோமெட்ரி கருத்து குறிப்பாக முக்கியமானது. வரையறை அது ஒரு மெட்ரிக் இடத்திலிருந்து இரண்டாவது மெட்ரிக் இடத்திற்கு ஒரு (தொடர்ச்சியான அவசியமில்லை) செயல்பாடு என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் மாறிலிகள் இருந்தால் ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் பின்வரும் இரண்டு பண்புகளும் இரண்டையும் வைத்திருக்கின்றனஃ ஒவ்வொரு இரண்டு புள்ளிகளுக்கும், அவற்றின் படங்களுக்கிடையேயான தூரம் அவற்றின் அசல் தூரத்தின் ஒரு காரணிக்குள் சேர்க்கை மாறிலி வரை இருக்கும். மேலும் முறைப்படிஃ ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு பட புள்ளியின் நிலையான தூரத்திற்குள் உள்ளது. மேலும் முறைப்படிஃ இரண்டு மெட்ரிக் இடைவெளிகள் மற்றும் ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி இருந்தால் அவை அரை-ஐசோமெட்ரிக் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு வரைபடம் முதல் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால் அது அரை-ஐசோமெட்ரிக் உட்பொதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் இரண்டாவது நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. இது கரடுமுரடான லிப்ஸ்கிட்ஸ் ஆனால் கரடுமுரடான சர்ஜெக்டிவ் ஆக இருக்கத் தவறிவிடலாம்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரைபடத்தின் மூலம், ஒரு துணை இடத்திற்கு அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். இரண்டு மெட்ரிக் இடைவெளிகள் M1 மற்றும் M2 ஆகியவை அரை-ஐசோமெட்ரி என்று கூறப்படுகிறது, இது ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி இருந்தால் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் யூக்ளிடியன் தளத்திற்கும் மன்ஹாட்டன் தூரத்துடன் கூடிய தளத்திற்கும் இடையிலான வரைபடம் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் தனக்குத்தானே அனுப்பும் ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி ஆகும்ஃ அதில், தூரங்கள் அதிகபட்சம் ஒரு காரணியால் பெருக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, மன்ஹாட்டன் தூரத்தில் புள்ளிகள் ஒன்றுக்கொன்று சம தூரத்தில் இருப்பதால், ஐசோமெட்ரி இருக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் யூக்ளிடியன் தளத்தில், ஒருவருக்கொருவர் சம தூரத்தில் இருக்கும் 4 புள்ளிகள் இல்லை. முழு எண்களின் ஒவ்வொரு-டப்பிளையும் தனக்குத்தானே அனுப்பும் வரைபடம் (யூக்ளிடியன் மெட்ரிக் கொண்ட இரண்டும்) ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி ஆகும்ஃ தூரங்கள் சரியாக பாதுகாக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒவ்வொரு உண்மையான டப்பிளும் ஒரு முழு எண் டப்பிளின் தூரத்திற்குள் உள்ளது. மறுபுறம், உண்மையான எண்களின் ஒவ்வொரு டப்பிளையும் அருகிலுள்ள முழு எண் டப்பிளுக்கு சுற்றும் தொடர்ச்சியற்ற செயல்பாடும் ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி ஆகும்ஃ ஒவ்வொரு புள்ளியும் இந்த வரைபடத்தால் அதன் தூரத்திற்குள் ஒரு புள்ளிக்கு எடுத்துச் செல்லப்படுகிறது, எனவே ரவுண்டிங் அதிகபட்சமாக சேர்ப்பதன் மூலம் அல்லது கழிப்பதன் மூலம் ஜோடி புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை மாற்றுகிறது. ஒவ்வொரு ஜோடி வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது வரம்புக்குட்பட்ட மெட்ரிக் இடைவெளிகள் அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். இந்த வழக்கில், ஒரு இடத்திலிருந்து மற்றொன்றுக்கு ஒவ்வொரு செயல்பாடும் ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி ஆகும். சமன்பாடு உறவு ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி என்றால், ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி உள்ளது. உண்மையில், அதன் படத்தில் உள்ள எந்த புள்ளியையும் தூரத்திற்குள் இருக்க அனுமதிப்பதன் மூலமும், எந்த புள்ளியிலும் இருக்க அனுமதிப்பதன் மூலமும் வரையறுக்கப்படலாம். அடையாள வரைபடம் ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி மற்றும் இரண்டு அரை-ஐசோமெட்ரிகளின் கலவை ஒரு அரை-ஐசோமெட்ரி என்பதால், இது அரை-ஐசோமெட்ரிக் என்ற பண்பு மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் வகுப்பில் ஒரு சமநிலை உறவைப் போல செயல்படுகிறது என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. வடிவியல் குழு கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தவும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட G குழுவின் வரையறுக்கப்பட்ட உருவாக்கும் தொகுப்பு S ஐக் கொடுத்தால், S மற்றும் G இன் தொடர்புடைய கெய்லி வரைபடத்தை நாம் உருவாக்கலாம். ஒவ்வொரு விளிம்பின் நீளத்தையும் 1 என்று அறிவித்தால் இந்த வரைபடம் ஒரு மெட்ரிக் இடமாக மாறும். வேறுபட்ட வரையறுக்கப்பட்ட உருவாக்கும் தொகுப்பு T ஐ எடுத்துக்கொள்வது வேறுபட்ட வரைபடத்திலும் வேறுபட்ட மெட்ரிக் இடத்திலும் முடிவடைகிறது, இருப்பினும் இரண்டு இடங்களும் அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். இந்த அரை-ஐசோமெட்ரி வகுப்பு இவ்வாறு G குழுவின் மாறாதது. ஒரு இடத்தின் அரை-ஐசோமெட்ரி வகுப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும் மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் எந்தவொரு பண்பும் உடனடியாக குழுக்களின் மற்றொரு மாறாத தன்மையை அளிக்கிறது, இது குழுக் கோட்பாட்டின் புலத்தை வடிவியல் முறைகளுக்குத் திறக்கிறது. மேலும் பொதுவாக, ஸ்வார்க்-மில்னர் லெம்மா கூறுகிறது, ஒரு குழு ஜி சரியான புவியியல் இடைவெளி எக்ஸ் இல் கச்சிதமான விகிதத்துடன் ஒழுங்காக இடைவிடாமல் செயல்பட்டால், ஜி என்பது எக்ஸ் க்கு அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும் (அதாவது ஜி க்கான எந்த கெய்லி வரைபடமும்). இது ஒருவருக்கொருவர் அரை-ஐசோமெட்ரிக் குழுக்களின் புதிய எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குகிறதுஃ G 'என்பது G இல் உள்ள வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் துணைக்குழுவாக இருந்தால், G' என்பது G க்கு அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும்; G மற்றும் H ஒரே பரிமாணம் d கொண்ட இரண்டு சிறிய ஹைபர்போலிக் பன்மடங்கு அடிப்படைக் குழுக்களாக இருந்தால், அவை இரண்டும் ஹைபர்போலிக் இடைவெளி Hd க்கு அரை-ஐசோமெட்ரிக் ஆகும், எனவே ஒருவருக்கொருவர்; மறுபுறம் வரையறுக்கப்பட்ட-அளவின் அடிப்படை குழுக்களின் எண்ணற்ற பல அரை-ஐசோமெட்ரிக் வகுப்புகள் உள்ளன. குவாசியோடெசிக்ஸ் மற்றும் மோர்ஸ் லெம்மா ஒரு மெட்ரிக் இடத்தில் ஒரு குவாசி-ஜியோடெசிக் என்பது ஒரு குவாசி-ஐசோமெட்ரிக் உட்பொதிப்பாகும். இன்னும் துல்லியமாக ஒரு வரைபடம் உள்ளது, எனவே அது-குவாசி-ஜியோடெசிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக புவியியல் (ஆர்க்லெங்த் மூலம் அளவுருக்கள்) அரை-புவியியல் ஆகும். சில இடங்களில் நேர்மாறானது கரடுமுரடான உண்மை, அதாவது. ஒவ்வொரு அரை-புவியியல் ஒரு உண்மையான புவியியலின் எல்லைக்குட்பட்ட தூரத்திற்குள் உள்ளது, இது மோர்ஸ் லெம்மா என்று அழைக்கப்படுகிறது (வேறுபட்ட இடவியலில் மோர்ஸ் லெம்மாவுடன் குழப்பமடையக்கூடாது). முறைப்படி கூற்றுஃ ஒரு சரியான δ-ஹைபர்போலிக் இடைவெளி. எந்தவொரு-அரை-புவியியலுக்கும் அனைவருக்கும் ஒரு புவியியல் உள்ளது. இது வடிவியல் குழு கோட்பாட்டில் ஒரு முக்கியமான கருவியாகும். ஒரு உடனடி பயன்பாடு என்னவென்றால், சரியான ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகளுக்கு இடையிலான எந்தவொரு அரை-ஐசோமெட்ரியும் அவற்றின் எல்லைகளுக்கு இடையில் ஒரு ஹோமியோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது. இந்த முடிவு மோஸ்டோ கடினத்தன்மை தேற்றத்தின் ஆதாரத்தின் முதல் படியாகும். மேலும், கூகிள் மேப்ஸ் போன்ற பயன்பாடுகளில் பயனர் தொடர்பு வடிவமைப்பை பகுப்பாய்வு செய்வதில் இந்த முடிவு பயன்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளது. குழுக்களின் குவாசி-ஐசோமெட்ரி மாறுபாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் குவாசி-ஐசோமெட்ரியின் கீழ் மாறாத குழு கெய்லி வரைபடங்களின் பண்புகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ ஹைபர்போலிஸிட்டி ஒரு குழு அதன் கெய்லி வரைபடங்களில் ஒன்று சில δ க்கு δ-ஹைபர்போலிக் இடமாக இருந்தால் ஹைபர்போலிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹைபர்போலிஸிட்டியின் வெவ்வேறு வரையறைகளுக்கு இடையில் மொழிபெயர்க்கும்போது, δ இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பு மாறக்கூடும், ஆனால் ஒரு ஹைபர்போலிக் குழுவின் விளைவாக ஏற்படும் கருத்துக்கள் சமமாக மாறும். ஹைபர்போலிக் குழுக்களுக்கு தீர்க்கக்கூடிய சொல் சிக்கல் உள்ளது. அவை இரு தானியங்கி மற்றும் தானியங்கி. : உண்மையில், அவை வலுவாக புவியியல் ரீதியாக தானியங்கி, அதாவது, குழுவில் ஒரு தானியங்கி அமைப்பு உள்ளது, அங்கு ஏற்றுக்கொள்ளும் வார்த்தையால் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட மொழி அனைத்து புவியியல் சொற்களின் தொகுப்பாகும். வளர்ச்சி ஒரு சமச்சீர் உருவாக்கும் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை ஒரு குழுவின் வளர்ச்சி விகிதம் குழுவில் உள்ள பந்துகளின் அளவை விவரிக்கிறது. குழுவில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஜெனரேட்டர்களின் பெருக்கலாக எழுதப்படலாம், மேலும் வளர்ச்சி விகிதம் n நீளத்தின் பெருக்கலாக எழுதக்கூடிய உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுகிறது. குரோமோவின் தேற்றத்தின்படி, பல்லுறுப்புக்கோவை வளர்ச்சியின் ஒரு குழு கிட்டத்தட்ட நில்போட்டன்ட் ஆகும், அதாவது. இது வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டின் நில்போட்டன்ட் துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளது. குறிப்பாக, பல்லுறுப்புக்கோவை வளர்ச்சியின் வரிசை ஒரு இயற்கையான எண்ணாக இருக்க வேண்டும். எந்தவொரு அதிவேக செயல்பாட்டையும் விட மெதுவாக வளர்ந்தால், ஜி ஒரு துணை அதிவேக வளர்ச்சி விகிதத்தைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய எந்தவொரு குழுவும் இணக்கமானது. ஒரு இடவியல் இடத்தின் முனைகள், தோராயமாக பேசுகையில், இடத்தின் "சிறந்த எல்லையின்" இணைக்கப்பட்ட கூறுகளாகும். அதாவது, ஒவ்வொரு முனையும் இடத்திற்குள் முடிவிலிக்குச் செல்வதற்கான இடவியல் ரீதியாக தனித்துவமான வழியைக் குறிக்கிறது. ஒவ்வொரு முனையிலும் ஒரு புள்ளியைச் சேர்ப்பது அசல் இடத்தின் சுருக்கத்தை அளிக்கிறது, இது இறுதி சுருக்கமாக அழைக்கப்படுகிறது. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட குழுவின் முனைகள் தொடர்புடைய கெய்லி வரைபடத்தின் முனைகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன; இந்த வரையறை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உருவாக்கும் தொகுப்பின் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எல்லையற்ற குழுவும் 0,1,2 அல்லது எல்லையற்ற பல முனைகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் குழுக்களின் முனைகளைப் பற்றிய ஸ்டாலிங்ஸ் தேற்றம் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முனைகளைக் கொண்ட குழுக்களுக்கு ஒரு சிதைவை வழங்குகிறது. உள்ளூரில் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட வரைபடங்கள் அரை-ஐசோமெட்ரிக் என்றால், அவை ஒரே எண்ணிக்கையிலான முனைகளைக் கொண்டுள்ளன. குறிப்பாக, இறுதியாக உருவாக்கப்பட்ட இரண்டு அரை-ஐசோமெட்ரிக் குழுக்கள் ஒரே எண்ணிக்கையிலான முனைகளைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு இணக்கமான குழு என்பது உள்ளூரில் கச்சிதமான இடவியல் குழு G ஆகும், இது குழு கூறுகளால் மொழிபெயர்ப்பின் கீழ் மாறாத வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாடுகளில் ஒரு வகையான சராசரி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. G இன் துணைக்குழுக்களில் ஒரு இறுதியான சேர்க்கை மாறாத அளவின் (அல்லது சராசரி) அடிப்படையில் அசல் வரையறை, பானாச்-டார்ஸ்கி முரண்பாட்டிற்கு பதிலளிக்கும் வகையில் 1929 ஆம் ஆண்டில் ஜான் வான் நியூமனால் ஜெர்மன் பெயரான "மெஸ்பார்" (ஆங்கிலத்தில் "அளவிடக்கூடியது") என்ற பெயரில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. 1949 ஆம் ஆண்டில் மஹ்லோன் எம். டே ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பை "இணக்கமானது", வெளிப்படையாக ஒரு தண்டனையாக அறிமுகப்படுத்தினார். தனித்துவமான குழு கோட்பாட்டில், ஜி தனித்துவமான இடவியல் கொண்ட இடத்தில், ஒரு எளிய வரையறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த அமைப்பில், கொடுக்கப்பட்ட எந்த துணைக்குழுவும் G இன் எந்த விகிதத்தை எடுத்துக்கொள்கிறது என்பதை ஒருவர் கூற முடிந்தால் ஒரு குழு இணக்கமானது. ஒரு குழுவில் ஃபோல்னர் வரிசை இருந்தால், அது தானாகவே இணக்கமாக இருக்கும். அறிகுறியற்ற கூம்பு ஒரு அல்ட்ரா லிமிட் என்பது ஒரு வடிவியல் கட்டுமானமாகும், இது மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் வரிசைக்கு Xn ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மெட்ரிக் இடத்தை ஒதுக்குகிறது. அல்ட்ரா வரம்புகளின் ஒரு முக்கியமான வகை மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் அறிகுறியற்ற கூம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. (X, d) ஒரு மெட்ரிக் இடமாக இருக்கட்டும், ω ஒரு முதன்மை அல்லாத அல்ட்ராஃபில்டராக இருக்கட்டும் மற்றும் pn bul X அடிப்படை புள்ளிகளின் வரிசையாக இருக்கட்டும். பின்னர் வரிசையின் ω-அல்ட்ரா வரம்பு ω ஐப் பொறுத்தவரை X இன் அறிகுறியற்ற கூம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. ஒன்று பெரும்பாலும் அடிப்படை-புள்ளி வரிசையை நிலையானதாக எடுத்துக்கொள்கிறது, pn = p சில p ω X க்கு; இந்த விஷயத்தில் அறிகுறியற்ற கூம்பு p ω X இன் தேர்வைப் பொறுத்தது அல்ல, மேலும் இது குறிக்கப்படுகிறது அல்லது நியாயமானது. ஒரு அறிகுறியற்ற கூம்பு பற்றிய கருத்து வடிவியல் குழு கோட்பாட்டில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது, ஏனெனில் அறிகுறியற்ற கூம்புகள் (அல்லது, இன்னும் துல்லியமாக, அவற்றின் இடவியல் வகைகள் மற்றும் இரு-லிப்ஸ்கிட்ஸ் வகைகள்) பொதுவாக மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் அரை-ஐசோமெட்ரி மாறிலிகளை வழங்குகின்றன மற்றும் குறிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட குழுக்கள். அறிகுறியற்ற கூம்புகள் ஒப்பீட்டளவில் ஹைபர்போலிக் குழுக்கள் மற்றும் அவற்றின் பொதுமைப்படுத்தல்கள் பற்றிய ஆய்வில் ஒரு பயனுள்ள கருவியாக மாறும். ஐசோமெட்ரி கரடுமுரடான அமைப்பு குறிப்புகள் வடிவியல் குழு கோட்பாடு மெட்ரிக் வடிவியல் சமநிலை (கணிதம்)