Permutohedron
கணிதத்தில், n வரிசையின் பெர்முடாஹெட்ரான் (பெர்முடாஹெட்ரான் என்றும் உச்சரிக்கப்படுகிறது) என்பது ஒரு (n−1) பரிமாண பாலிடோப் ஆகும், இது ஒரு n-பரிமாண இடத்தில் பதிக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் உச்சி ஆயத்தொலைவுகள் (லேபிள்கள்) முதல் n இயற்கை எண்களின் வரிசைமாற்றங்களாகும். இரண்டு செங்குத்துகளை (வரிசைமாற்றங்கள்) இணைக்கும் குறுகிய சாத்தியமான பாதைகளை (இடமாற்றங்களின் தொகுப்புகள்) விளிம்புகள் அடையாளம் காண்கின்றன. ஒரு விளிம்பால் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் இரண்டு இடங்களில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன (ஒரு இடமாற்றம்), மேலும் இந்த இடங்களில் உள்ள எண்கள் அண்டை நாடுகள் (மதிப்பில் 1 ஆல் வேறுபடுகின்றன). வலதுபுறத்தில் உள்ள படம் வரிசை 4 இன் பெர்மூட்டோஹெட்ரானைக் காட்டுகிறது, இது துண்டிக்கப்பட்ட எண்முகஹெட்ரான் ஆகும். அதன் உச்சிகள் (1,2,3,4) இன் 24 வரிசைமாற்றங்களாகும். இணையான விளிம்புகள் ஒரே விளிம்பு நிறத்தைக் கொண்டுள்ளன. 6 விளிம்பு நிறங்கள் 4 கூறுகளின் 6 சாத்தியமான இடமாற்றங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன, அதாவது. இணைக்கப்பட்ட வரிசைமாற்றங்கள் எந்த இரண்டு இடங்களில் வேறுபடுகின்றன என்பதை அவை குறிக்கின்றன. (எ. கா. சிவப்பு விளிம்புகள் கடைசி இரண்டு இடங்களில் வேறுபடும் வரிசைமாற்றங்களை இணைக்கின்றன.) வரலாற்றின் படி, பெர்முடோடெட்ரா முதன்முதலில் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. பெர்முடோட்ரே என்ற பெயர் உருவாக்கப்பட்டது. அவர்கள் இந்த வார்த்தையை காட்டுமிராண்டித்தனமானது, ஆனால் நினைவில் கொள்ள எளிதானது என்று விவரிக்கிறார்கள், மேலும் அதை தங்கள் வாசகர்களின் விமர்சனத்திற்கு சமர்ப்பிக்கிறார்கள். சில நேரங்களில் பெர்முடாஹெட்ரான் என்ற மாற்று எழுத்துப்பிழையும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பெர்முடோடெட்ரா சில நேரங்களில் வரிசைமாற்ற பாலிடோப்புகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் இந்த சொல் தொடர்புடைய பிர்கோஃப் பாலிடோப்புக்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வரிசைமாற்ற மேட்ரிக்ஸின் குவிந்த மேலோடு என வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலும் பொதுவாக, எந்த பாலிடோப்புக்கும் அந்த வார்த்தையைப் பயன்படுத்துகிறது, அதன் செங்குத்துகள் சில தொகுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களுடன் ஒரு பைஜெக்ஷனைக் கொண்டுள்ளன. செங்குத்துகள், விளிம்புகள் மற்றும் அம்சங்கள் வரிசையின் பெர்மூட்டோஹெட்ரான் செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் மற்றவற்றுக்கு அருகில் உள்ளன. விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை, அவற்றின் நீளம். இரண்டு இணைக்கப்பட்ட செங்குத்துகள் இரண்டு ஆயத்தொகுதிகளை மாற்றுவதன் மூலம் வேறுபடுகின்றன, அவற்றின் மதிப்புகள் 1 ஆல் வேறுபடுகின்றன. மாற்றப்பட்ட இடங்களின் ஜோடி விளிம்பின் திசையுடன் ஒத்திருக்கிறது. (எடுத்துக்காட்டு படத்தில் செங்குத்துகள் மற்றும் நீல விளிம்பால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் முதல் இரண்டு இடங்களில் 2 மற்றும் 3 ஐ மாற்றுவதன் மூலம் வேறுபடுகின்றன. 2 மற்றும் 3 மதிப்புகள் 1 ஆல் வேறுபடுகின்றன. அனைத்து நீல விளிம்புகளும் முதல் இரண்டு இடங்களில் உள்ள ஆயத்தொகுதிகளின் மாற்றங்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன.) அம்சங்களின் எண்ணிக்கை, ஏனெனில் அவை காலியாக இல்லாத சரியான துணைக்குழுக்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. துணைக்குழுவுடன் தொடர்புடைய ஒரு பக்கத்தின் செங்குத்துகள் பொதுவானவை, அவற்றில் உள்ள இடங்களில் அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றவற்றை விட சிறியவை. மேலும் பொதுவாக, 0 (செங்குத்துகள்) முதல் (பெர்முடோஹெட்ரான் வரை) பரிமாணங்களின் முகங்கள் தொகுப்பின் கடுமையான பலவீனமான வரிசைகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. எனவே அனைத்து முகங்களின் எண்ணிக்கையும்-வது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மணி எண் ஆகும். பரிமாணத்தின் ஒரு முகம் சமநிலை வகுப்புகளுடன் ஒரு வரிசைக்கு ஒத்திருக்கிறது. |} வரிசையின் பெர்முடோஹெட்ரானில் பரிமாணத்தின் முகங்களின் எண்ணிக்கை முக்கோணத்தால் வழங்கப்படுகிறதுஃ இரண்டாவது வகையின் ஸ்டிர்லிங் எண்களைக் குறிக்கும் இது வலதுபுறத்தில் அதன் வரிசைத் தொகைகளுடன், வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மணி எண்களுடன் காட்டப்பட்டுள்ளது. பிற பண்புகள் பெர்மூட்டோஹெட்ரான் உச்சி-இடைநிலை ஆகும்ஃ சமச்சீர் குழு Sn ஆயத்தொகுதிகளின் வரிசைமாற்றத்தின் மூலம் பெர்மூட்டோஹெட்ரானில் செயல்படுகிறது. பெர்முடோஹெட்ரான் ஒரு ஜோனோடோப் ஆகும்; பெர்முடோஹெட்ரானின் மொழிபெயர்க்கப்பட்ட நகலை நிலையான அடிப்படை திசையன்களின் ஜோடிகளை இணைக்கும் n (n−1)/2 வரி பிரிவுகளின் மின்காவ்ஸ்கி கூட்டுத்தொகையாக உருவாக்க முடியும். பெர்முடோஹெட்ரானின் செங்குத்துகள் மற்றும் விளிம்புகள் சமச்சீர் குழுவின் கெய்லி வரைபடங்களில் ஒன்றுக்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும், அதாவது தொடர்ச்சியான உறுப்புகளை மாற்றும் இடமாற்றங்களால் உருவாக்கப்படுகிறது. கெய்லி வரைபடத்தின் உச்சிகள் பெர்மூட்டோஹெட்ரானில் உள்ளவற்றின் தலைகீழ் வரிசைமாற்றங்களாகும். வலதுபுறத்தில் உள்ள படம் S4 இன் கெய்லி வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது. அதன் விளிம்பு நிறங்கள் 3 உருவாக்கும் இடமாற்றங்களைக் குறிக்கின்றனஃ, இந்த கெய்லி வரைபடம் ஹாமில்டோனியன் ஆகும்; ஒரு ஹாமில்டோனியன் சுழற்சியை ஸ்டெய்ன்ஹாஸ்-ஜான்சன்-ட்ராட்டர் வழிமுறையால் காணலாம். n வரிசையின் பெர்முடோஹெட்ரான் முற்றிலும் () பரிமாண ஹைப்பர்பிளேனில் உள்ளது, இதில் அனைத்து புள்ளிகளும் உள்ளன, அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் 1 + 2 +. + n = n (n + 1)/2 என்ற எண்ணுடன் கூட்டப்படுகின்றன. மேலும், இந்த ஹைப்பர்பிளேனை பெர்மூட்டோஹெட்ரானின் எண்ணற்ற பல மொழிபெயர்க்கப்பட்ட நகல்களால் ஓடுகள் செய்ய முடியும். அவை ஒவ்வொன்றும் அடிப்படை பெர்முடோஹெட்ரானிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட (n−1) பரிமாண ஜாலகத்தின் ஒரு உறுப்பால் வேறுபடுகின்றன, இது பூஜ்ஜியத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அதன் எச்சங்கள் (மாடுலோ n) அனைத்தும் சமமாக இருக்கும் முழு எண்களின் n-டப்பிள்களைக் கொண்டுள்ளதுஃ x1 + x2 +. + xn = 0 x1 ஷ்ண x2 ஷ்ண. ஷ்ண xn (மட்டு n). இது லட்டீஸ், வேர் லட்டீஸின் இரட்டை லட்டீஸ். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பெர்முடோஹெட்ரான் என்பது வோரோனோய் செல் ஆகும். அதன்படி, இந்த லட்டிஸ் சில நேரங்களில் பெர்மூட்டோஹெட்ரல் லட்டிஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு, மேலே காட்டப்பட்டுள்ள வரிசை 4 இன் பெர்மூட்டோஹெட்ரான் மொழிபெயர்ப்பின் மூலம் முப்பரிமாண இடத்தை இணைக்கிறது. இங்கே முப்பரிமாண இடைவெளி என்பது x, y, z, w ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்ட 4 பரிமாண இடைவெளி R4 இன் அஃபைன் சப்ஸ்பேஸ் ஆகும், இது 10, x + y + z + w = 10 என்ற கூட்டுத்தொகை கொண்ட 4-இரட்டை உண்மையான எண்களைக் கொண்டுள்ளது. பின்வரும் நான்கு திசையன்கள் ஒவ்வொன்றிற்கும், (1,1,1, −3), (1,1, −3,1), (1, − 3,1,1) மற்றும் (−3,1,1,1), ஆயத்தொகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும் மற்றும் அனைத்து ஆயத்தொகுதிகளும் 1 (மட்டு 4) உடன் ஒத்திருக்கின்றன என்பதை ஒருவர் எளிதாக சரிபார்க்கிறார். இந்த மூன்று திசையன்களும் மொழிபெயர்ப்பு ஜாலகத்தை உருவாக்குகின்றன. முறையே வரிசை-2, வரிசை-3 மற்றும் வரிசை-4 பெர்முடோடெட்ராவிலிருந்து இந்த வழியில் உருவாகும் டெஸ்லேஷன்கள் அபிரோகன், வழக்கமான அறுகோண ஓடுகள் மற்றும் பிட்ரன்கேட்டட் கியூபிக் தேன்கூடு ஆகும். இரட்டை டெஸ்லேஷன்கள் அனைத்து சிம்ப்ளக்ஸ் அம்சங்களையும் கொண்டுள்ளன, இருப்பினும் அவை வரிசை-3 க்கு அப்பால் வழக்கமான பாலிடோப்புகள் அல்ல. எடுத்துக்காட்டுகள் அசோசியாஹெட்ரான் சைக்ளோஹெட்ரான் பெர்முடோஅசோசியாஹெட்ரான் குறிப்புகள் குறிப்புகளையும் பார்க்கவும். . . . கூகிள் புக், 370-381 மேலும் ஆன்லைனில் KNAW டிஜிட்டல் நூலகத்தில் http://www.dwc.knaw.nl/toegangen/digital-library-knaw/?pagetype=publDetail&pId=PU00011495 இல் உள்ளது. . மேலும் படியுங்கள். வெளிப்புற இணைப்புகள் வரிசைமாற்றங்கள் பாலிட்டோப்புகள்