Banach–Stone theorem
கணிதத்தில், பானாக்-ஸ்டோன் தேற்றம் என்பது கணிதவியலாளர்களான ஸ்டீபன் பானாக் மற்றும் மார்ஷல் ஸ்டோன் ஆகியோரின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட இடவியல் இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் ஒரு பாரம்பரிய விளைவாகும். சுருக்கமாக, பானாக்-ஸ்டோன் தேற்றம் X இல் தொடர்ச்சியான உண்மையான அல்லது சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் C (X) இடத்தின் பானாக் விண்வெளி கட்டமைப்பிலிருந்து ஒரு சிறிய ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளி X ஐ மீட்டெடுக்க அனுமதிக்கிறது. சி (எக்ஸ்) இன் இயற்கணித கட்டமைப்பை அழைக்க ஒருவர் அனுமதிக்கப்பட்டால் இது எளிதானது-சி (எக்ஸ்) ஸ்பெக்ட்ரம் மூலம் எக்ஸ் ஐ அடையாளம் காணலாம், இது ஸ்கேலர புலத்தில் இயற்கணித ஒத்த உருவங்களின் தொகுப்பாகும், இது இரட்டை இடமான சி (எக்ஸ்) * இலிருந்து பெறப்பட்ட பலவீனமான *-இடவியல் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. பானாக்-ஸ்டோன் தேற்றம் சி (எக்ஸ்) * இன் அலகு பந்தின் தீவிர புள்ளிகளிலிருந்து எக்ஸ் ஐ மீட்டெடுப்பதன் மூலம் பெருக்க கட்டமைப்பைக் குறிப்பிடுவதைத் தவிர்க்கிறது. ஒரு கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளி X க்கு, C (X) என்பது X இல் தொடர்ச்சியான உண்மையான அல்லது சிக்கலான மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் பானாச் இடத்தை குறிக்கட்டும், இது மேல்நிலை நெறிமுறை கொண்டதாகும். சுருக்கமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகள் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் கொடுக்கப்பட்டால், டிஃ சி (எக்ஸ்) → சி (ஒய்) ஒரு சர்ஜெக்டிவ் லீனியர் ஐசோமெட்ரி என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் ஒரு ஹோமியோமார்பிசம் φ: Y → X மற்றும் ஒரு செயல்பாடு g ωC (Y) உள்ளது, அதாவது X மற்றும் Y ஆகியவை கச்சிதமான மெட்ரிக் இடைவெளிகள் பானாச் காரணமாகும், அதே நேரத்தில் கச்சிதமான ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடைவெளிகளின் நீட்டிப்பு ஸ்டோன் காரணமாகும். உண்மையில், அவை இரண்டும் ஒரு சிறிய பொதுமைப்படுத்தலை நிரூபிக்கின்றன-அவை டி நேரியல் என்று கருதுவதில்லை, மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் அர்த்தத்தில் இது ஒரு ஐசோமெட்ரி மட்டுமே, மேலும் டி அஃபைன் என்பதைக் காட்ட மசூர்-உலம் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன, எனவே இது ஒரு நேரியல் ஐசோமெட்ரி. பானாக்-ஸ்டோன் தேற்றம் சிறிய, ஹவுஸ்டோர்ஃப் இடவியல் இடைவெளிகளில் திசையன் மதிப்புள்ள தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கான சில பொதுமைப்படுத்தல்களைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, E என்பது அற்பமான சென்ட்ரலைசர் கொண்ட ஒரு பானாச் இடமாகவும், X மற்றும் Y ஆகியவை கச்சிதமாகவும் இருந்தால், C (Y; E) மீது C (X; E) இன் ஒவ்வொரு நேரியல் ஐசோமெட்ரியும் ஒரு வலுவான பானாச்-ஸ்டோன் வரைபடமாகும். X இல் உள்ள செயல்பாடுகளின் வேறு சில இடைவெளிகளின் டூயல்களின் தீவிர புள்ளிகளிலிருந்து ஒரு இடைவெளி X ஐ மீட்டெடுக்க இதேபோன்ற நுட்பமும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. பானாக்-ஸ்டோன் தேற்றத்தின் பரிமாற்றமற்ற ஒப்புமை என்பது இரண்டு ஒற்றை சி *-ஆல்ஜிப்ராக்கள் முற்றிலும் ஐசோமெட்ரிக் (அதாவது அனைத்து மேட்ரிக்ஸ் நிலைகளிலும் ஐசோமெட்ரிக்) ஆக இருந்தால் மட்டுமே அவை ஐசோமார்பிக் ஆகும் என்ற நாட்டுப்புற தேற்றமாகும். வெறும் ஐசோமெட்ரி மட்டும் போதாது, இது ஒரு சி *-இயற்கணிதத்தின் இருப்பால் காட்டப்படுகிறது, இது அதன் எதிர் இயற்கணிதத்திற்கு ஐசோமார்பிக் அல்ல (இது அற்பமாக அதே பானாச் விண்வெளி கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது). மேலும் காண்க தொடர் செயல்பாடுகளின் குறிப்புகள் கோட்பாடு செயல்பாட்டுக் கோட்பாடு செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வில் கோட்பாடுகள்