Liouville's equation
இயக்கவியல் அமைப்புகளில் லியோவில்லின் சமன்பாட்டிற்கு, லியோவில்லின் தேற்றம் (ஹாமில்டோனியன்) ஐப் பார்க்கவும். குவாண்டம் இயக்கவியலில் லியோவில்லின் சமன்பாட்டிற்கு, வான் நியூமன் சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும். யூக்ளிடியன் இடத்தில் லியோவில்லின் சமன்பாட்டிற்கு, லியோவில்லே-பிராடு-கெல்ஃபாண்ட் சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும். வேறுபட்ட வடிவவியலில், ஜோசப் லியோவில்லின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட லியோவில்லின் சமன்பாடு, நிலையான காஸியன் வளைவின் மேற்பரப்பில் ஒரு மெட்ரிக் இணக்கமான காரணியால் திருப்தி செய்யப்படும் நேரியல் அல்லாத பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடாகும்ஃ வேறுபட்ட வடிவவியலில் சமவெப்ப ஆயத்தொலைவுகளைப் பற்றிய ஆய்வில் தட்டையான லாப்லேஸ் ஆபரேட்டர் லியோவில்லின் சமன்பாடு எங்கே தோன்றுகிறதுஃ சுயாதீன மாறிகள் ஆயத்தொலைவுகள், அதே நேரத்தில் தட்டையான மெட்ரிக் தொடர்பாக இணக்கமான காரணி என்று விவரிக்கப்படலாம். எப்போதாவது இது சதுரமாகும், இது அதற்கு பதிலாக இணக்கமான காரணி என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. லியோவில்லின் சமன்பாட்டை டேவிட் ஹில்பர்ட் தனது பத்தொன்பதாம் சிக்கலை உருவாக்குவதில் ஒரு எடுத்துக்காட்டாக எடுத்துக் கொண்டார். லியோவில்லின் சமன்பாட்டின் பிற பொதுவான வடிவங்கள் மாறிகளின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், லியோவில்லின் சமன்பாட்டின் மற்றொரு பொதுவாகக் காணப்படும் வடிவம் பெறப்படுகிறதுஃ இலக்கியத்தில் பொதுவாகக் காணப்படும் சமன்பாட்டின் மற்ற இரண்டு வடிவங்கள், முந்தைய மாறிகளின் மாற்றம் மற்றும் விர்டிங்கர் கால்குலஸின் சிறிய மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றனஃ லியோவில்லின் சமன்பாட்டை டேவிட் ஹில்பர்ட் தனது பத்தொன்பதாம் சிக்கலின் உருவாக்கத்தில் மேற்கோள் காட்டிய முந்தைய இரண்டு வடிவங்களில் முதல் ஒன்றிலேயே உள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள். லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி இயக்கியைப் பயன்படுத்தி ஒரு சூத்திரம் மிகவும் மாறாத பாணியில், சமன்பாட்டை உள்ளார்ந்த லாப்லேஸ்-பெல்ட்ராமி இயக்கியின் அடிப்படையில் பின்வருமாறு எழுதலாம்ஃ காஸ்-கோடாஸ்ஸி சமன்பாடுகளுடனான பண்புகள் உறவு லியோவில்லின் சமன்பாடு 3-இடத்தில் குறைந்தபட்ச மூழ்கலுக்கான காஸ்-கோடாஸ்ஸி சமன்பாடுகளுக்கு சமம், மெட்ரிக் ஹோப்ஃப் வேறுபாடு போன்ற சமவெப்ப ஆயத்தொகுதிகளில் எழுதப்படும் போது. சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு ஒரு எளிய இணைக்கப்பட்ட களத்தில், லியோவில்லின் சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை விர்டிங்கர் கால்குலஸைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் காணலாம். அதன் வடிவம் ஒவ்வொருவருக்கும் எந்த மெரோமார்பிக் செயல்பாடு உள்ளது என்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. மிகவும் எளிய துருவங்களைக் கொண்டுள்ளது. பயன்பாடு லியோவில்லின் சமன்பாட்டை மேற்பரப்புகளுக்கான பின்வரும் வகைப்பாட்டு முடிவுகளை நிரூபிக்க பயன்படுத்தலாம்ஃ யூக்ளிடியன் 3-இடத்தில் மெட்ரிக் மற்றும் நிலையான அளவிடுதல் வளைவுடன் ஒரு மேற்பரப்பு உள்ளூரில் ஐசோமெட்ரிக் ஆகும்ஃ கோளம் என்றால்; யூக்ளிடியன் தளம் என்றால்; லோபாச்சேவ்ஸ்கியன் தளம் என்றால். லியோவில்லே புலக் கோட்பாட்டைப் பார்க்கவும், இது ஒரு இரு பரிமாண இணக்கமான புலக் கோட்பாடாகும், அதன் கிளாசிக்கல் இயக்க சமன்பாடு லியோவில்லேவின் சமன்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். . மேரி பிரான்சிஸ் வின்ஸ்டன் நியூசன் என்பவரால் ஆங்கிலத்தில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் வேறுபட்ட வடிவியல்