Diophantus II.VIII
டியோஃபாண்டஸ் () எழுதிய அரித்மெடிகா என்ற இரண்டாவது புத்தகத்தின் எட்டாவது சிக்கல் ஒரு சதுரத்தை இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாக பிரிப்பதாகும். டியோஃபாண்டஸ் டியோஃபாண்டஸ் வழங்கிய தீர்வு சதுரத்தை 16 ஆக எடுத்துக்கொண்டு பின்வருமாறு சிக்கலைத் தீர்க்கிறதுஃ கொடுக்கப்பட்ட சதுரத்தை இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாகப் பிரிப்பது. 16 ஐ இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாக பிரிக்க. முதல் கூட்டுத்தொகை இருக்கட்டும், எனவே இரண்டாவது. பிந்தையது ஒரு சதுரமாக இருக்க வேண்டும். 16 இன் மூலத்தால் குறைக்கப்பட்ட x இன் தன்னிச்சையான பெருக்கியின் வேறுபாட்டின் சதுரத்தை நான் உருவாக்குகிறேன், அதாவது 4 ஆல் குறைக்கப்படுகிறது. நான், எடுத்துக்காட்டாக, 2x−4 இன் சதுரத்தை உருவாக்குகிறேன். அது தான். நான் இந்த வெளிப்பாட்டை சமமாக வைக்கிறேன். நான் இருபுறமும் சேர்த்து 16 ஐக் கழிக்கிறேன். இந்த வழியில் நான் பெறுகிறேன், எனவே. எனவே ஒரு எண் 256/25 மற்றும் மற்றொன்று 144/25 ஆகும். இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை 16 மற்றும் ஒவ்வொரு கூட்டுத்தொகையும் ஒரு சதுரமாகும். வடிவியல் ரீதியாக, x2 + y2 = 42 என்ற வட்டத்தையும், y = 2x-4 என்ற கோட்டையும் வரைவதன் மூலம் இந்த முறையை நாம் விளக்கலாம். கோரப்பட்ட சதுரங்களின் ஜோடி பின்னர் x02 மற்றும் y02 ஆகும், அங்கு (x0, y0) என்பது கோடு மற்றும் வட்டம் சந்திக்கும் y-அச்சில் இல்லாத புள்ளி. இது அருகிலுள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. டியோஃபாண்டஸின் தீர்வின் பொதுமைப்படுத்தல் கொடுக்கப்பட்ட எந்த சதுரத்திற்கான சிக்கலையும் தீர்க்க டியோஃபாண்டஸின் தீர்வை நாம் பொதுமைப்படுத்தலாம், இதை நாம் இயற்கணித ரீதியாக a2 ஆக பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம். மேலும், டயோஃபாண்டஸ் என்பது x இன் தன்னிச்சையான பெருக்கத்தைக் குறிக்கிறது என்பதால், தன்னிச்சையான பெருக்கியை tx ஆக எடுத்துக்கொள்வோம். பின்னர்ஃ எனவே, கூட்டுத்தொகைகளில் ஒன்று மற்றும் மற்றொன்று என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ஒவ்வொரு கூட்டுத்தொகையும் ஒரு சதுரமாகும். வடிவியல் ரீதியாக, அருகிலுள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, x2 + y2 = a2 வட்டத்தை y = tx-a என்ற கோட்டுடன் வெட்டியுள்ளோம். முக்கோண OAB இன் பக்கங்களின் நீளங்கள், OB, OA மற்றும் AB ஐ ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட டப்பிளாக எழுதுவதன் மூலம், மூன்று மடங்கைப் பெறுகிறோம். டியோஃபாண்டஸால் பெறப்பட்ட குறிப்பிட்ட முடிவை a = 4 மற்றும் t = 2 ஐ எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறலாம்ஃ டியோஃபாண்டஸின் குறிப்பிட்ட கரைசல் உண்மையில் நுட்பமாக மாறுவேடமிட்ட (3,4,5) மூன்று மடங்கு என்பதை நாம் காண்கிறோம். இருப்பினும், a மற்றும் t விகிதமுறுப்பாக இருக்கும் வரை மும்மூர்த்திகள் எப்போதும் விகிதமுறுப்பாக இருப்பதால், t இன் மதிப்பை மாற்றுவதன் மூலம் விகிதமுறு மும்மூர்த்திகளின் முடிவிலியைப் பெறலாம், எனவே x இன் தன்னிச்சையான பெருக்கியின் மதிப்பை மாற்றலாம். இந்த இயற்கணித தீர்வுக்கு பிளாட்டோனிக் வரிசையை அடைய ஒரு கூடுதல் படி மட்டுமே தேவைப்படுகிறது, அது மேலே உள்ள மூன்று பக்கங்களின் அனைத்து பக்கங்களையும் ஒரு காரணியால் பெருக்குவதாகும். a = 1 என்றால், பக்கங்கள் [OB, OA, AB] குறைகின்றன என்பதையும் கவனியுங்கள் நவீன குறியீட்டில் இது மேலே உள்ள வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள θ க்கு மட்டுமே, θ/2 இன் கோட்டாஞ்சென்ட் t இன் அடிப்படையில் எழுதப்பட்டுள்ளது. டியோஃபாண்டஸ் வழங்கிய குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டில், t இன் மதிப்பு 2 ஆகும், இது x இன் தன்னிச்சையான பெருக்கியாகும். வகுப்புகளை அழித்தவுடன், இந்த வெளிப்பாடு பித்தகோரிய முக்கோணங்களை உருவாக்கும். சுவாரஸ்யமாக, x இன் தன்னிச்சையான பெருக்கி ஜெனரேட்டர் வெளிப்பாட்டின் (களின்) மூலக்கல்லாக மாறியுள்ளது. டயோஃபாண்டஸ் II.IX இன்னும் விரைவான பாதை மூலம் அதே கரைசலை அடைகிறது, இது மேலே உள்ள 'பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கரைசலுக்கு' மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. மீண்டும் 16 ஐ இரண்டு சதுரங்களாகப் பிரிப்பதே பிரச்சனை. முதல் எண் N ஆகவும், இரண்டாவது N இன் தன்னிச்சையான பெருக்கல் 16 இன் மூலத்தால் குறைக்கப்பட்டதாகவும் இருக்கட்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 2N−4. பின்னர்ஃ ஃபெர்மாட்டின் புகழ்பெற்ற கருத்து, பின்னர் ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றமாக மாறியது, அரித்மெடிக்காவின் 1670 பதிப்பின் பக்கம் 61 இல் 'குவெஸ்டியோ VIII' மற்றும் 'குவெஸ்டியோ IX' க்கு இடையில் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஃபெர்மாட்டின் கடைசி தேற்றம் மற்றும் டயோஃபாண்டஸ் II.VIII குறிப்புகள் டயோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகளையும் பார்க்கவும்