Pseudoelementary class
தர்க்கத்தில், ஒரு போலி உறுப்பு வகுப்பு என்பது ஒரு அடிப்படை வகுப்பில் இருந்து பெறப்பட்ட கட்டமைப்புகளின் வகுப்பாகும் (முதல் வரிசை தர்க்கத்தில் வரையறுக்கக்கூடியது) அதன் சில வகைகள் மற்றும் உறவுகளைத் தவிர்ப்பதன் மூலம். இது ஒரு மறக்கமுடியாத செயல்பாட்டாளரின் (கோடமைன்) வகைக் கோட்பாட்டில் உள்ள கருத்தின் கணித தர்க்க எதிர்ப்பாகும், மேலும் இயற்பியலில் (கருதுகோள்) மறைக்கப்பட்ட மாறி கோட்பாடுகள் குவாண்டம் இயக்கவியலை விளக்குவதற்கு நோக்கம் கொண்டவை. தொடக்க வகுப்புகள் (வெற்றிடமாக) போலி உறுப்புகள் கொண்டவை, ஆனால் இதற்கு நேர்மாறாக எப்போதும் உண்மை இல்லை; இருப்பினும் போலி உறுப்புகள் கொண்ட வகுப்புகள் அல்ட்ரா தயாரிப்புகளின் கீழ் மூடப்பட்டிருப்பது போன்ற தொடக்க வகுப்புகளின் சில பண்புகளைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன. வரையறை ஒரு போலி உறுப்பு வகுப்பு என்பது ஒரு தொடக்க வகுப்பின் குறைப்பாகும். அதாவது, ஒரு (பல வரிசைப்படுத்தப்பட்ட) தொடக்க வகுப்பின் சில வகைகள் மற்றும் உறவுகளைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் இது பெறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் ஒன்றிணைப்பு மற்றும் குறுக்குவெட்டின் கீழ் உள்ள தொகுப்புகளின் சமத்துவத்தைக் கொண்ட கோட்பாடு, அதன் கட்டமைப்புகள் (W, ≤, ≤) வடிவத்தில் உள்ளன, அவை வடிவத்தின் (A, W, ≤, ≤, ≤) இரண்டு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அடிப்படை வகை கட்டமைப்புகளிலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட போலி உறுப்பு வகுப்பாக அப்பாவித்தனமாக புரிந்து கொள்ளப்படலாம், இதில் ≤ A × W மற்றும் ≤ மற்றும் ≤ ஆகியவை W இல் பைனரி செயல்பாடுகள் (குவா டெர்னரி உறவுகள்) ஆகும். [a ω X ω Y ω a ω X ω a ω Y] ω X, Y ω W. ω a ω A. [a ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx ωx, Y ωx W. [(ஏ. ஏ.). A என்பது அணுக்களின் தொகுப்பு a, b,., W என்பது அணுக்களின் தொகுப்பு X, Y, மற்றும் bul என்பது அணுக்களுக்கும் தொகுப்புகளுக்கும் இடையிலான உறுப்பினர் உறவு. இந்த கோட்பாடுகளின் விளைவுகளில் விநியோக லாட்டிஸின் அனைத்து சட்டங்களும் அடங்கும். பிந்தைய விதிகள் அணுக்களைப் பற்றி எதுவும் குறிப்பிடாததால், அணுக்களின் வகை A மற்றும் உறுப்பினர் உறவைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் மேற்கண்ட கோட்பாட்டின் மாதிரிகளிலிருந்து பெறப்பட்ட கட்டமைப்புகளுக்கு அவை அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கின்றன. அனைத்து விநியோக லாட்டிஸ்களும் ஒன்றிணைப்பு மற்றும் குறுக்குவெட்டின் கீழ் உள்ள தொகுப்புகளின் தொகுப்புகளாக குறிப்பிடப்படுகின்றன, இதிலிருந்து இந்த போலி உறுப்பு வகுப்பு உண்மையில் ஒரு தொடக்க வகுப்பாகும், அதாவது விநியோக லாட்டிஸ்களின் வகை. இந்த எடுத்துக்காட்டில் இரண்டு வகுப்புகளும் (முறையே தவிர்ப்பதற்கு முன்னும் பின்னும்) இறுதியாக தன்னியக்கமாக்கக்கூடிய தொடக்க வகுப்புகள் ஆகும். ஆனால் பிந்தைய வகுப்பை தன்னியக்கமாக்குவதற்கான நிலையான அணுகுமுறை ஒன்பது சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு விநியோக ஜாலகத்தை தன்னியக்கமாக்குகிறது, முந்தைய வகுப்புக்கு மேலே உள்ள மூன்று கோட்பாடுகள் மட்டுமே தேவைப்படுகின்றன, இதனால் பிந்தைய வகுப்பை வழக்கமான வழியை விட முந்தைய வகுப்பின் குறைப்பு என்று வரையறுப்பது வேகமாகிறது. சங்கத்தின் கீழ் பைனரி உறவுகளின் சமத்துவத்துடன் கோட்பாடு R ≤ S, குறுக்குவெட்டு R ≤ S, நிரப்பு R −, தொடர்புடைய கலவை R; S, மற்றும் தொடர்புடைய கன்வெர்ஸ் R, அதன் கட்டமைப்புகள் (W, ≤, ≤, ≤,) வடிவத்தில் உள்ளன, வடிவத்தின் மூன்று வரிசைப்படுத்தப்பட்ட அடிப்படை வகை கட்டமைப்புகளிலிருந்து உருவாக்கப்பட்ட போலி உறுப்பு வகுப்பாக புரிந்து கொள்ள முடியும் (A, P, W, ≤, ≤, ≤, ≤). அணுக்கள், அணுக்களின் ஜோடிகள் மற்றும் அணுக்களின் ஜோடிகளின் தொகுப்புகள் ஆகியவை மூன்று வகைகளின் நோக்கம் கொண்ட விளக்கமாகும், π: A ×; A → P மற்றும் λ, ρ: P → A என்பது வெளிப்படையான இணைக்கும் கட்டமைப்பாளர்கள் மற்றும் அழிக்கும் காரணிகள், மற்றும் W என்பது ஜோடிகள் மற்றும் உறவுகளுக்கு இடையிலான உறுப்பினர் உறவு (ஜோடிகளின் தொகுப்புகளாக). எடுத்துக்காட்டு 1 உடன் ஒப்புமை செய்வதன் மூலம், W இல் வரையறுக்கப்பட்ட முற்றிலும் தொடர்புடைய இணைப்புகள் அறிமுக நூல்களின் வழக்கமான முறையில் அணுக்கள் மற்றும் அணுக்களின் ஜோடிகளின் அடிப்படையில் அப்பாவித்தனமாக இருக்கலாம். பைனரி உறவுகளின் தூய கோட்பாடு பின்னர் அணு மற்றும் ஜோடி வகைகள் மற்றும் நீக்கப்பட்ட வகைகளை உள்ளடக்கிய அனைத்து உறவுகளையும் தவிர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட இந்த அடிப்படை வகுப்பின் மாதிரிகளின் குறைப்புகளின் போலி உறுப்பு வகுப்பின் கோட்பாடாக பெறப்படலாம். இந்த எடுத்துக்காட்டில் இரண்டு வகுப்புகளும் அடிப்படை, ஆனால் முந்தைய வகுப்பு மட்டுமே இறுதியாக தன்னியக்கமாக்கக்கூடியது, இருப்பினும் பிந்தைய வகுப்பு (குறைப்பு) 1955 இல் டார்ஸ்கியால் காட்டப்பட்டது, இருப்பினும் ஒரு மாறுபாடு, அதாவது ஆர்ஆர்ஏ, பிரதிநிதித்துவம் செய்யக்கூடிய உறவு ஆல்ஜிப்ராக்கள். ஒரு பழமையான வளையம் என்பது எளிய வளையத்தின் கருத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். இது ஒரு வளையத்தின் கூறுகள் மற்றும் இலட்சியங்களின் அடிப்படையில் அடிப்படை (முதல் வரிசை) மொழியில் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது வளையங்கள் மற்றும் இலட்சியங்களைக் கொண்ட இரண்டு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கட்டமைப்புகளின் தொடக்க வகுப்புக்கு வழிவகுக்கிறது. இலட்சியங்களுடன் தொடர்புடைய வகைகள் மற்றும் மொழியைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் இந்த தொடக்க வகுப்பிலிருந்து பழமையான வளையங்களின் வகுப்பு பெறப்படுகிறது, எனவே இது ஒரு போலி உறுப்பு வகுப்பாகும். இந்த எடுத்துக்காட்டில் இந்த போலி உறுப்பு வகுப்பு அடிப்படைதானா என்பது ஒரு திறந்த கேள்வி. அதிவேகமாக மூடப்பட்ட புலங்களின் வகுப்பு ஒரு போலி உறுப்பு வகுப்பாகும், இது அடிப்படை அல்ல. பயன்பாடுகள் ஒரு உலகளாவிய ஹார்ன் கோட்பாட்டின் மாதிரிகளின் வகுப்பாக தர்க்கரீதியாக வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு குவாசிவேரிடியை இயற்கணித ரீதியாக ஐசோமார்பிசம், சபால்ஜெப்ராக்கள் மற்றும் குறைக்கப்பட்ட தயாரிப்புகளின் கீழ் மூடப்பட்ட கட்டமைப்புகளின் வகுப்பாக வரையறுக்க முடியும். குறைக்கப்பட்ட விளைபொருள் பற்றிய கருத்து நேரடி விளைபொருளை விட மிகவும் சிக்கலானது என்பதால், போலி மூலக்கூறு வகுப்புகளின் அடிப்படையில் தர்க்கரீதியான மற்றும் இயற்கணித பண்புகளை கலப்பது சில நேரங்களில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். அத்தகைய ஒரு கலப்பு வரையறை ஒரு குவாசிவேரிடியை ஐசோமார்பிசம்கள், சபால்ஜெப்ராக்கள் மற்றும் நேரடி தயாரிப்புகளின் கீழ் மூடப்பட்ட ஒரு போலி உறுப்பு வகுப்பாக வகைப்படுத்துகிறது (போலி உறுப்பு பண்பு "குறைக்கப்பட்டது" என்பதை "நேரடியாக" எளிமைப்படுத்த அனுமதிக்கிறது). இந்த குணாதிசயத்தின் ஒரு விளைவு என்னவென்றால், ஒரு வகுப்பின் உலகளாவிய ஹார்ன் தன்னியக்கமயமாக்கலின் இருப்பை ஒருவர் (கட்டமைப்பற்ற முறையில்) நிரூபிக்க முடியும், முதலில் துணை வகைகள் மற்றும் உறவுகளுடன் கட்டமைப்பின் சில விரிவாக்கத்தை தன்னியக்கமாக்குவதன் மூலம், பின்னர் துணை கட்டமைப்புகளை கைவிடுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட போலி உறுப்பு வகுப்பு சபால்ஜெப்ராக்கள் மற்றும் நேரடி தயாரிப்புகளின் கீழ் மூடப்பட்டுள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த நுட்பம் எடுத்துக்காட்டு 2 க்கு வேலை செய்கிறது, ஏனெனில் பைனரி உறவுகளின் ஆல்ஜிப்ராக்களின் சப்ஆல்ஜிப்ராக்கள் மற்றும் நேரடி தயாரிப்புகள் பைனரி உறவுகளின் ஆல்ஜிப்ராக்கள் ஆகும், இது பிரதிநிதித்துவம் செய்யக்கூடிய உறவு ஆல்ஜிப்ராக்களின் வகுப்பு ஆர். ஆர். ஏ ஒரு குவாசிவேர்ட்டி (மற்றும் ஒரு ஃபோர்டியோரி ஒரு தொடக்க வகுப்பு) என்பதைக் காட்டுகிறது. இந்த குறுகிய சான்று முட்டாள்தனமான முட்டாள்தனத்தின் ஒரு பயனுள்ள பயன்பாடாகும்; ஆர். ஆர். ஏ உண்மையில் மிகவும் நேர்மையான உழைப்பு தேவைப்படும் ஒரு வகை என்று டார்ஸ்கியின் வலுவான முடிவு. குறிப்புகள் பால் சி. எக்லோஃப் (1977), இயற்கணிதவியலாளர்களுக்கான அல்ட்ரா தயாரிப்புகள், கணித தர்க்கத்தின் கையேட்டில் (பதிப்பு. ஜான் பார்வைஸ்), வடக்கு-ஹாலந்து. மாதிரி கோட்பாடு உலகளாவிய இயற்கணிதம்