Outer space (mathematics)
வடிவியல் குழு கோட்பாட்டின் கணித பாடத்தில், கல்லர்-வோக்ட்மேன் வெளிப்புற இடைவெளி அல்லது ஒரு இலவச குழு Fn இன் வெளிப்புற இடைவெளி என்பது Fn இல் தொகுதி 1 இன் "குறிக்கப்பட்ட மெட்ரிக் வரைபட கட்டமைப்புகள்" என்று அழைக்கப்படுவதைக் கொண்ட ஒரு இடவியல் இடைவெளி ஆகும். வெளிப்புற இடைவெளி, எக்ஸ்என் அல்லது சிவிஎன் என்று குறிக்கப்படுகிறது, இது எஃப்என் இன் வெளிப்புற தானியங்கிகளின் (எஃப்என்) குழுவின் இயற்கையான செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. வெளிப்புற இடம் 1986 ஆம் ஆண்டு மார்க் கல்லர் மற்றும் கரேன் வோக்ட்மேன் ஆகியோரின் ஆய்வறிக்கையில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, மேலும் இது ஒரு ஹைபர்போலிக் மேற்பரப்பின் டீச்முல்லர் இடத்தின் இலவச குழு அனலாக்காக செயல்படுகிறது. அவுட் (எஃப்என்) இன் ஹோமோலஜி மற்றும் கோஹோமோலஜி குழுக்களைப் படிக்கவும், அவுட் (எஃப்என்) இன் இயற்கணித, வடிவியல் மற்றும் இயக்கவியல் பண்புகள், அதன் துணைக்குழுக்கள் மற்றும் எஃப்என் இன் தனிப்பட்ட வெளிப்புற தானியங்கிகள் பற்றிய தகவல்களைப் பெறவும் வெளிப்புற இடம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஆர்-மரங்கள் டி மீது எஃப்என் மீது எஃப்என் இன் குறைந்தபட்ச இலவச தனித்துவமான ஐசோமெட்ரிக் செயல்களின் ஐசோமெட்ரி வகைகளின் தொகுப்பாகவும் ஸ்பேஸ் எக்ஸ்என் கருதப்படலாம், அதாவது ஈவு மெட்ரிக் வரைபடம் டி/எஃப்என் தொகுதி 1 ஐக் கொண்டுள்ளது. மார்க் கல்லர் மற்றும் கரேன் வோக்ட்மேன் ஆகியோரின் 1986 ஆம் ஆண்டு ஆய்வறிக்கையில் வெளிப்புற இடம் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது ஒரு ஹைபர்போலிக் மேற்பரப்பின் டீச்முல்லர் இடத்துடன் ஒப்புமையால் ஈர்க்கப்பட்டது. ஆன் இன் இயற்கையான செயல் சரியாக தொடர்ச்சியற்றது என்பதையும், அது சுருங்கக்கூடியது என்பதையும் அவர்கள் காட்டினர். அதே ஆய்வறிக்கையில், கல்லர் மற்றும் வோக்ட்மேன் ஆகியோர் கீழே விவாதிக்கப்பட்ட மொழிபெயர்ப்பு நீள செயல்பாடுகள் மூலம், எல்லையற்ற பரிமாணத் திட்ட இடைவெளியில் உட்பொதிக்கப்பட்ட ஒரு உட்பொதிப்பை உருவாக்கினர். இன் மூடல் கச்சிதமானது என்பதையும் அவர்கள் நிரூபித்தனர். பின்னர் கோஹன் மற்றும் லுஸ்டிக் மற்றும் பெஸ்ட்வினா மற்றும் ஃபைன் ஆகியோரின் முடிவுகளின் கலவையானது மரங்களின் மீது "மிகச் சிறிய" குறைந்தபட்ச ஐசோமெட்ரிக் செயல்களின் ப்ரொஜெக்டிவ் வகுப்புகளின் இடத்துடன் இடத்தை அடையாளம் கண்டது (பிரிவு 1.3 ஐப் பார்க்கவும்). முறையான வரையறை குறிக்கப்பட்ட மெட்ரிக் வரைபடங்கள் n ≤ 2 ஆக இருக்கட்டும். இலவச குழு Fn க்கு ஒரு "ரோஜா" Rn ஐ சரிசெய்யவும், அதாவது ஒரு ஆப்பு, n வட்டங்கள் ஒரு உச்சியில் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் Fn க்கும் Rn இன் அடிப்படை குழு 1 (Rn, v) க்கும் இடையில் ஒரு ஐசோமார்பிசத்தை சரிசெய்யவும். இந்த புள்ளியில் இருந்து இந்த ஐசோமார்பிசம் மூலம் Fn மற்றும் 1 (Rn, v) ஐ அடையாளம் காண்கிறோம். Fn இல் ஒரு குறிப்பு ஒரு ஹோமோடாபி சமநிலையைக் கொண்டுள்ளது f: Rn → γ இதில் γ என்பது டிகிரி-1 மற்றும் டிகிரி-2 செங்குத்துகள் இல்லாத ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இணைக்கப்பட்ட வரைபடமாகும். ஒரு (இலவச) ஒரே மாதிரியான நகல் வரை, f ஐசோமார்பிசத்தால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதாவது ஒரு ஐசோமார்பிசத்தால் ஒரு மெட்ரிக் வரைபடம் என்பது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இணைக்கப்பட்ட வரைபடமாகும், இது ஒரு நேர்மறையான உண்மையான எண் L (e) இன் ஒவ்வொரு இடவியல் விளிம்பிற்கும் e இன் நீளம் என்று அழைக்கப்படும். ஒரு மெட்ரிக் வரைபடத்தின் அளவு என்பது அதன் இடவியல் விளிம்புகளின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். Fn இல் ஒரு குறிக்கப்பட்ட மெட்ரிக் வரைபட அமைப்பு ஒரு குறிப்பு f: Rn → ஜாதுடன் ஒரு மெட்ரிக் வரைபட அமைப்பு L உடன் ஜாதில் உள்ளது. இரண்டு குறிக்கப்பட்ட மெட்ரிக் வரைபட கட்டமைப்புகள் f1: Rn → γ1 மற்றும் f2: Rn → γ2 ஒரு ஐசோமெட்ரி இருந்தால் சமமானவை, அதாவது, இலவச ஹோமோடாபி வரை, நம்மிடம் θ o f1 = f2 உள்ளது. வெளிப்புற இடைவெளி Xn என்பது Fn இல் உள்ள அனைத்து தொகுதி-ஒரு குறிக்கப்பட்ட மெட்ரிக் வரைபட கட்டமைப்புகளின் சமநிலை வகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது. வெளிப்புற இடத்தில் பலவீனமான இடவியல் திறந்த எளிமைப்படுத்தல்கள் f: Rn → γ இங்கு γ என்பது ஒரு குறி மற்றும் k என்பது γ இல் உள்ள இடவியல் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். நாம் e1,., ek என γ இன் விளிம்புகளை வரிசைப்படுத்துகிறோம். Rk இல் நிலையான (k−1) பரிமாண திறந்த சிம்ப்ளக்ஸ் ஆக இருக்கட்டும். கொடுக்கப்பட்ட f இல், ஒரு இயற்கையான வரைபடம் உள்ளது, அங்கு x = (x1,., xk) ωk க்கு, Xn இன் புள்ளி j (x) என்பது f ஐ மெட்ரிக் வரைபட அமைப்பு L உடன் இணைந்து குறிப்பதன் மூலம் வழங்கப்படுகிறது, அதாவது i = 1,., k க்கு L (ei) = xi. தொகுப்பு j (Δk) Xn இல் f உடன் தொடர்புடைய திறந்த சிம்ப்ளக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் S (f) என்று குறிக்கப்படுகிறது. கட்டுமானத்தின் மூலம், Xn என்பது Fn இல் உள்ள அனைத்து அடையாளங்களுடனும் தொடர்புடைய திறந்த எளிமைகளின் ஒன்றிணைப்பாகும். Xn இல் உள்ள இரண்டு திறந்த எளிமைப்படுத்தல்கள் வேறுபட்டவை அல்லது ஒத்துப்போகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க. மூடிய எளிமைப்படுத்தல்கள் f: Rn → j அங்கு j என்பது ஒரு குறி மற்றும் k என்பது j இல் உள்ள இடவியல் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். முன்பு போலவே,  தாஇன் விளிம்புகளை e1,., ek என வரிசைப்படுத்துகிறோம். அனைத்து x = (x1,., xk) ΠRk இன் தொகுப்பாக rk ஐ வரையறுக்கவும், அதாவது, ஒவ்வொரு xi ±0 மற்றும் xi = 0 உடன் உள்ள அனைத்து விளிம்புகளின் தொகுப்பும் ஒரு துணை வனமாக இருக்கும். வரைபடம் j: δk → Xn பின்வருமாறு ஒரு வரைபடம் h: δk′ → Xn வரை நீண்டுள்ளது. x க்கு Δk இல் h (x) = j (x) ஐ வைக்கவும். Xn இன் புள்ளி h (x) ஐ குறிக்கும் f ஐ எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, xi = 0 உடன் அனைத்து விளிம்புகளையும் சுருக்கி, ஒரு புதிய குறிப்பு f1: Rn → γ1 ஐப் பெறுகிறது, பின்னர் எஞ்சியிருக்கும் ஒவ்வொரு விளிம்பிற்கும் γ1 நீளம் xi> 0 ஒதுக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு குறிக்கும் f க்கும் வரைபடம் h: Δk′ → Xn இன்னும் உட்செலுத்தப்படுகிறது என்பதைக் காட்டலாம். h இன் உருவம் f உடன் தொடர்புடைய Xn இல் மூடிய சிம்ப்ளக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் S′ (f) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. Xn இல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் இறுதியாக பல மூடிய எளிமைப்படுத்தல்களுக்கு மட்டுமே சொந்தமானது மற்றும் Xn இன் ஒரு புள்ளி f: Rn →  தாஇ குறிக்கப்படுகிறது, அங்கு வரைபடம் முக்கோண-வாலண்ட் என்பது Xn இல் உள்ள ஒரு தனித்துவமான மூடிய சிம்ப்ளக்ஸுக்கு சொந்தமானது, அதாவது S′ (f). வெளிப்புற இடத்தில் உள்ள பலவீனமான இடவியல் Xn இன் ஒரு துணைக்குழு C மூடப்பட்டிருக்கும் என்று கூறுவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொரு குறிக்கும் f: Rn → γ க்கும் தொகுப்பு h−1 (C) Δk′ இல் மூடப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே. குறிப்பாக, வரைபடம் h: Δk′ → Xn ஒரு இடவியல் உட்பொதிப்பாகும். மரங்கள் மீதான செயல்களாக வெளிப்புற இடத்தின் புள்ளிகள் x என்பது Xn இல் ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும், இது f: Rn → γ என்ற குறியீட்டால் கொடுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு தொகுதி-ஒரு மெட்ரிக் வரைபட அமைப்பு L இல் உள்ளது. T என்பது γ இன் உலகளாவிய மறைப்பாக இருக்கட்டும். எனவே T என்பது வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட வரைபடம், அதாவது T என்பது ஒரு இடவியல் மரம். T இன் ஒவ்வொரு விளிம்புக்கும் அதன் படத்தின் நீளத்திற்கு சமமான நீளத்தை வழங்குவதன் மூலம் மெட்ரிக் கட்டமைப்பை L முதல் T வரை உயர்த்தலாம். இது T ஐ ஒரு மெட்ரிக் இடமாக (T, d) மாற்றுகிறது, இது ஒரு உண்மையான மரமாகும். (T, d) இன் ஐசோமீட்டரிகளாக இருக்கும் உருமாற்றங்களை உள்ளடக்குவதன் மூலம் அடிப்படை குழு 1 (ஜாதம்) T மீது செயல்படுகிறது, இதன் ஈவு இடைவெளி T/1 (ஜாதம்) = ஜாதம். தூண்டப்பட்ட ஹோமோமார்பிசம் f #என்பது Fn = 1 (Rn) மற்றும் 1 (்ஜு) க்கு இடையிலான ஒரு ஐசோமார்பிசம் என்பதால், T/Fn = ்ஜு உடன் T மீது Fn இன் ஐசோமெட்ரிக் நடவடிக்கையையும் பெறுகிறோம். இந்த நடவடிக்கை சுதந்திரமானது மற்றும் தனித்துவமானது. டிகிரி-ஒன் செங்குத்துகள் இல்லாத ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இணைக்கப்பட்ட வரைபடம் என்பதால், இந்த செயல்பாடும் மிகக் குறைவு, அதாவது T க்கு சரியான Fn-மாறுபட்ட துணை மரங்கள் இல்லை. மேலும், ஒரு உண்மையான மரத்தின் மீது Fn இன் ஒவ்வொரு குறைந்தபட்ச இலவச மற்றும் தனித்துவமான ஐசோமெட்ரிக் செயல்பாடும், அளவு ஒன்றின் மெட்ரிக் வரைபடமாக இருப்பதால், Xn இன் ஒரு புள்ளியில் இருந்து இந்த பாணியில் எழுகிறது. இது Xn க்கும் Fn இன் குறைந்தபட்ச இலவச மற்றும் தனித்துவமான ஐசோமெட்ரிக் செயல்களின் சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்புக்கும் இடையிலான ஒரு புறநிலைத் தொடர்பை வரையறுக்கிறது. இங்கே T1 மற்றும் T2 க்கு இடையில் ஒரு Fn-சமமான ஐசோமெட்ரி இருந்தால் உண்மையான மரங்கள் T1 மற்றும் T2 இல் Fn இன் இரண்டு செயல்கள் சமமானவை. நீளச் சார்புகள் மேலே குறிப்பிட்டபடி ஒரு உண்மையான மரம் T மீது Fn இன் ஒரு செயலைக் கொடுங்கள், இந்த செயலுடன் தொடர்புடைய மொழிபெயர்ப்பு நீளச் சார்பை ஒருவர் வரையறுக்கலாம்ஃ g §1 க்கு T இல் R இன் ஒரு (தனித்துவமான) ஐசோமெட்ரிக் உட்பொதிக்கப்பட்ட நகல் உள்ளது, இது g இன் அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது g இந்த அச்சில் அளவின் மொழிபெயர்ப்பால் செயல்படுகிறது. இந்த காரணத்திற்காக இது g இன் மொழிபெயர்ப்பு நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. நம்மிடம் உள்ள Fn இல் உள்ள எந்த g, u க்கும், G இல் உள்ள ஒவ்வொரு கான்ஜுகேசி வகுப்பிலும் செயல்பாடு நிலையானது. வெளிப்புற இட மொழிபெயர்ப்பு நீள செயல்பாடுகளின் குறிக்கப்பட்ட மெட்ரிக் வரைபட மாதிரியில் பின்வருமாறு விளக்கப்படலாம். Xn இல் உள்ள T ஐ f: Rn → γ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கலாம், இது ஒரு தொகுதி-ஒரு மெட்ரிக் வரைபட அமைப்பு L உடன் γ இல் குறிக்கப்படுகிறது. g ωFn = 1 (Rn) என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு மூடிய வளையத்தைப் பெற முதலில் f #வழியாக g ஐ முன்னோக்கி அழுத்தவும், பின்னர் இந்த வளையத்தை ஒரு மூழ்கிய சுற்றுக்கு இறுக்கவும். இந்த சுற்றுவட்டத்தின் எல்-நீளம் என்பது g இன் மொழிபெயர்ப்பு நீளம் ஆகும். உண்மையான மரங்களின் மீது குழு செயல்களின் கோட்பாட்டின் ஒரு அடிப்படை பொதுவான உண்மை, வெளிப்புற இடத்தின் ஒரு புள்ளி அதன் மொழிபெயர்ப்பு நீளம் செயல்பாட்டால் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்று கூறுகிறது. அதாவது Fn இன் குறைந்தபட்ச இலவச ஐசோமெட்ரிக் செயல்களைக் கொண்ட இரண்டு மரங்கள் Fn இல் சமமான மொழிபெயர்ப்பு நீள செயல்பாடுகளை வரையறுத்தால், இரண்டு மரங்களும் Fn-சமமாக ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். எனவே Xn இலிருந்து Fn இல் R-மதிப்புள்ள செயல்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கான வரைபடம் ஊசி ஆகும். ஒன்று Xn இல் நீளம் செயல்பாட்டு இடவியல் அல்லது அச்சுகள் இடவியல் பின்வருமாறு வரையறுக்கிறது. Xn இல் உள்ள ஒவ்வொரு T க்கும், Fn இன் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழு K மற்றும் ஒவ்வொரு ε> 0, Xn இல் உள்ள ஒவ்வொரு T க்கும் நீள செயல்பாட்டு இடவியல் Xn இல் உள்ள T இன் சுற்றுப்புறங்களின் அடிப்படையில் VT (K, ε) குடும்பத்தால் வழங்கப்படுகிறது, அங்கு K என்பது Fn இன் வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழு மற்றும் இங்கு ε> 0. நீளம் செயல்பாட்டு இடவியலில் வரிசைகளின் ஒருங்கிணைப்பை பின்வருமாறு வகைப்படுத்தலாம். Xn இல் T மற்றும் Xn இல் உள்ள ஒரு வரிசை Ti க்கு, Fn இல் உள்ள ஒவ்வொரு g க்கும் நம்மிடம் குரோமோவ் இடவியல் இருந்தால் மட்டுமே மற்றொரு இடவியல் குரோமோவ் இடவியல் அல்லது சமமான குரோமோவ்-ஹவுஸ்டோர்ஃப் ஒருங்கிணைப்பு இடவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு ஐசோமெட்ரிக் குழு நடவடிக்கையின் அமைப்புக்கு ஏற்ற குரோமோவ்-ஹவுஸ்டோர்ஃப் ஒருங்கிணைப்பின் பதிப்பை வழங்குகிறது. குரோமோவ் இடவியலை வரையறுக்கும் போது, புள்ளிகளை மரங்களின் மீது செய்யப்படும் செயல்கள் என்று ஒருவர் கருத வேண்டும். முறைசாரா முறையில், ஒரு மரத்தைக் கொடுத்தால், குரோமோவ் இடவியலில் மற்றொரு மரம் "நெருக்கமாக" இருக்கும், சில பெரிய வரையறுக்கப்பட்ட உட்பிரிவுகள் மற்றும் ஒரு பெரிய வரையறுக்கப்பட்ட துணைக்குழுவிற்கு இடையே ஒரு "கிட்டத்தட்ட ஐசோமெட்ரி" இருந்தால், அதில் (பகுதி) செயல்பாடுகள் மற்றும் கிட்டத்தட்ட உடன்படுகின்றன. குரோமோவ் இடவியலின் முறையான வரையறைக்கு பார்க்கவும். பலவீனமான, நீளம் செயல்பாடு மற்றும் குரோமோவ் இடவியல் ஆகியவற்றின் ஒத்திசைவு ஒரு முக்கியமான அடிப்படை முடிவு, குரோமோவ் இடவியல், பலவீனமான இடவியல் மற்றும் Xn இல் நீளம் செயல்பாடு இடவியல் ஆகியவை ஒத்துப்போகின்றன என்று கூறுகிறது. வெளிப்புறத்தில் அவுட் (Fn) செயல் குழு அவுட் (Fn) Xn இல் ஹோமியோமார்பிசம்களால் இயற்கையான சரியான செயலை ஒப்புக்கொள்கிறது. முதலில் நாம் Xn இல் உள்ள ஆட்டோமொபைல் குழுவின் செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறோம். α bul ஆட்ட (Fn) என்பது Fn இன் தானியங்கி உருமாற்றமாக இருக்கட்டும். x என்பது xn இன் ஒரு புள்ளியாக இருக்கட்டும், இது ஒரு குறிப்பு f: Rn → γ ஆல் கொடுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு தொகுதி-ஒரு மெட்ரிக் வரைபட அமைப்பு L இல் உள்ளது. τ: Rn → Rn ஒரு ஹோமோடாபி சமநிலையாக இருக்கட்டும், இதன் அடிப்படை குழு மட்டத்தில் தூண்டப்பட்ட ஹோமோமார்பிசம் என்பது Fn = 1 (Rn) இன் ஆட்டோமார்ஃபிஸம் ஆகும். Xn இன் உறுப்பு xα என்பது f ≤ ≤ ≤ ≤: Rn → γ என்ற குறியீட்டால் வழங்கப்படுகிறது, இதில் மெட்ரிக் அமைப்பு L என்பது γ இல் உள்ளது. அதாவது, x இலிருந்து xα ஐப் பெற, x ஐ τ உடன் வரையறுக்கும் குறிப்பை முன்கூட்டியே உருவாக்குகிறோம். உண்மையான மர மாதிரியில் இந்த செயலை பின்வருமாறு விவரிக்கலாம். Xn இல் உள்ள T என்பது Fn இன் குறைந்தபட்ச இலவச மற்றும் தனித்துவமான இணை தொகுதி-ஒரு ஐசோமெட்ரிக் செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு உண்மையான மரமாக இருக்கட்டும். α bul தானியங்கி (Fn) ஆக இருக்கட்டும். ஒரு மெட்ரிக் இடமாக, Tα என்பது T க்கு சமம். Fn இன் செயல்பாடு α ஆல் முறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, T இல் உள்ள எந்த t க்கும் மற்றும் Fn இல் உள்ள g க்கும் நம்மிடம் உள்ளதுஃ மொழிபெயர்ப்பு நீள செயல்பாடுகளின் மட்டத்தில் மரம் Tα பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ ஒருவர் மேலே உள்ள செயல்பாட்டிற்கு சரிபார்க்கிறார் ஆட்ட (Fn) வெளிப்புற விண்வெளி Xn இல் உள் ஆட்டோமார்ஃபிஸம் இன் (Fn) துணைக்குழு இந்த செயல்பாட்டின் கர்னலில் உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு உள் ஆட்டோமார்ஃபிஸமும் Xn இல் அற்பமாக செயல்படுகிறது. இது Xn மேற்கோள்களில் உள்ள ஆட்ட (Fn) இன் செயல்பாடு Xn இல் உள்ள அவுட் (Fn) = ஆட்ட (Fn)/இன்ன் (Fn) இன் செயல்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது. அதாவது, φ ω அவுட் (Fn) என்பது Fn இன் வெளிப்புற ஆட்டோமார்ஃபிஸமாகவும், ஆட்டில் (Fn) α என்பது φ ஐக் குறிக்கும் உண்மையான ஆட்டோமார்ஃபிஸமாகவும் இருந்தால், Xn இல் உள்ள எந்த x க்கும் xφ = xα உள்ளது. Xn இல் அவுட் (Fn) இன் வலது செயலை ஒரு நிலையான மாற்று செயல்முறை மூலம் இடது செயலாக மாற்றலாம். அதாவது, Xn தொகுப்பில் φ ω அவுட் (Fn) மற்றும் x க்கு φx = xφ−1 ஆகும். பெரும்பாலான ஆதாரங்கள் சரியான செயலுடன் செயல்படுகின்றன என்றாலும், எக்ஸ்என் மீது அவுட் (எஃப்என்) இன் இந்த இடது செயல் சில நேரங்களில் இலக்கியத்தில் கருதப்படுகிறது. தொகுதி இடைவெளி Mn = Xn/அவுட் (Fn) என்பது தொகுதி-1 மற்றும் படி-2 செங்குத்துகள் இல்லாமல் வரையறுக்கப்பட்ட இணைக்கப்பட்ட வரைபடங்களின் ஐசோமெட்ரி வகைகளைக் கொண்ட மாடுலி இடைவெளி ஆகும், அடிப்படை குழுக்கள் Fn க்கு ஐசோமார்பிக் (அதாவது, முதல் பெட்டி எண்ணுடன் n க்கு சமம்) தொகுதி-1 மெட்ரிக் கட்டமைப்புகளுடன் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. Mn இல் உள்ள ஈவு இடவியல் என்பது Mn இன் புள்ளிகளைக் குறிக்கும் மெட்ரிக் வரைபடங்களுக்கு இடையிலான குரோமோவ்-ஹவுஸ்டோர்ஃப் தூரத்தால் கொடுக்கப்பட்டதைப் போன்றது. மாடுலி இடைவெளி Mn கச்சிதமாக இல்லை மற்றும் Mn இல் உள்ள "கஸ்ப்ஸ்" ஒரே மாதிரியான அற்பமான துணை வரைபடங்களுக்கான பூஜ்ஜிய நீள விளிம்புகளை நோக்கி குறைந்து வருவதால் எழுகிறது (எ. கா. ஒரு மெட்ரிக் வரைபடத்தின் ஒரு அத்தியாவசிய சுற்று). வெளிப்புற விண்வெளி எக்ஸ்என் பற்றிய அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் உண்மைகள் சுருங்கக்கூடியவை மற்றும் எக்ஸ்என் மீது அவுட் (எஃப்என்) இன் செயல்பாடு சரியாக தொடர்ச்சியற்றது, இது கல்லர் மற்றும் வோக்ட்மேன் ஆகியோரால் வெளிப்புற விண்வெளி அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட 1986 ஆம் ஆண்டின் அசல் ஆய்வறிக்கையில் நிரூபிக்கப்பட்டது. விண்வெளி Xn 3n−4 இடவியல் பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. காரணம் என்னவென்றால், டிகிரி-1 மற்றும் டிகிரி-2 செங்குத்துகள் இல்லாத ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இணைக்கப்பட்ட வரைபடமாக இருந்தால், அடிப்படை குழு ஐசோமார்பிக் உடன் Fn, பின்னர் 3n−3 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இது சரியாக 3n−3 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. எனவே Xn இல் உள்ள மேல் பரிமாண திறந்த சிம்ப்ளக்ஸ் பரிமாணம் 3n−4 ஐக் கொண்டுள்ளது. வெளிப்புற இடைவெளி Xn இல் ஒரு குறிப்பிட்ட சிதைவு உள்ளது, இது வெளிப்புற இடத்தின் முதுகெலும்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. முதுகெலும்பு Kn பரிமாணம் 2n−3 ஐக் கொண்டுள்ளது, அவுட் (Fn)-மாறுபட்டது மற்றும் அவுட் (Fn) செயல்பாட்டின் கீழ் கச்சிதமான அளவைக் கொண்டுள்ளது. திட்டமிடப்படாத வெளிப்புற இடைவெளி திட்டமிடப்படாத வெளிப்புற இடைவெளி Fn இல் குறிக்கப்பட்ட அனைத்து மெட்ரிக் வரைபட கட்டமைப்புகளின் சமநிலை வகுப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு குறியீட்டில் உள்ள மெட்ரிக் வரைபடத்தின் அளவு எந்த நேர்மறையான உண்மையான எண்ணாகவும் இருக்க அனுமதிக்கப்படுகிறது. ஆர்-மரங்களில் எஃப்என் இன் அனைத்து இலவச குறைந்தபட்ச தனித்துவமான ஐசோமெட்ரிக் செயல்களின் தொகுப்பாகவும் இந்த இடத்தை கருதலாம், இது எஃப்என்-ஈக்விவேரியன்ட் ஐசோமெட்ரி வரை கருதப்படுகிறது. திட்டமிடப்படாத வெளிப்புற இடம் மூன்று இடவியல் (குரோமோவ், அச்சுகள், பலவீனமானவை) மற்றும் ஒரு-செயல் ஆகியவற்றின் தற்செயல் உட்பட அதே கட்டமைப்புகளைப் பெறுகிறது. கூடுதலாக, அளவிடுதல் பெருக்கத்தின் மூலம் ஒரு இயற்கையான செயல் உள்ளது. இடவியல் ரீதியாக, இது ஹோமியோமார்பிக் ஆகும். குறிப்பாக, ஒப்பந்தமாகவும் உள்ளது. திட்டமிடப்பட்ட வெளிப்புற இடைவெளி திட்டமிடப்பட்ட வெளிப்புற இடைவெளி என்பது அளவிடக்கூடிய பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டின் கீழ் உள்ள ஈவு இடைவெளி ஆகும். இந்த இடத்தில் ஈவு இடவியல் பொருத்தப்பட்டுள்ளது. ஒரு மரத்திற்கு அதன் ப்ரொஜெக்டிவ் ஈக்குவேலன்ஸ் கிளாஸ் குறிக்கப்படுகிறது. ஆன் இன் செயல் இயற்கையாகவே ஆன் இன் செயல் வழியாக மேற்கோள் காட்டுகிறது. அதாவது, for மற்றும் புட். ஒரு முக்கிய அவதானிப்பு என்னவென்றால், வரைபடம் ஒரு சமமான ஹோமியோமார்பிசம் ஆகும். இந்த காரணத்திற்காக இடைவெளிகள் மற்றும் பெரும்பாலும் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. லிப்ஸ்சிட்ஸ் தூரம் ருடால்ப் லிப்ஸ்சிட்ஸின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட லிப்ஸ்சிட்ஸ் தூரம், வெளிப்புற இடத்திற்கான தச்முல்லர் இடத்தில் உள்ள தர்ஸ்டன் அளவீட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது. Xn இல் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளுக்கு (வலது) லிப்ஸிட்ச் தூரம் என்பது அதிகபட்சமாக நீட்டிக்கப்பட்ட மூடிய பாதையின் (இயற்கையான) மடக்கை என வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ மேலும் இது ஒரு சமச்சீரற்ற மெட்ரிக் (சில நேரங்களில் குவாசிமெட்ரிக் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது), அதாவது. இது சமச்சீர்மையை மட்டுமே தோல்வியடைகிறது. சமச்சீர் லிப்ஸிட்ச் மெட்ரிக் பொதுவாக பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கிறதுஃ மேல்நிலை எப்போதும் பெறப்படுகிறது மற்றும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பால் கணக்கிடப்படலாம். ஒரு எளிய வளையத்தின் உட்பொதிப்புகள், எட்டு எண்ணிக்கை அல்லது குறியின் வழியாக ஒரு பார்பெல் ஆகியவற்றுடன் ஒத்திருக்கும் Fn இல் உள்ள இணை வகுப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பு எங்கே (வரைபடத்தைப் பார்க்கவும்). நீட்சி காரணி குறியின் மீது சுமந்து செல்லும் ஒரு ஹோமோடாபி சமநிலையின் குறைந்தபட்ச லிப்ஸ்கிட்ஸ் மாறிலிக்கு சமம், அதாவது. குறியின் மீது குறிக்க சுதந்திரமாக ஹோமோடோபிக் இருக்கும் வகையில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் எங்கே? தூண்டப்பட்ட இடவியல் பலவீனமான இடவியல் போன்றது மற்றும் ஐசோமெட்ரி குழு சமச்சீர் மற்றும் சமச்சீரற்ற லிப்ஸ்கிட்ஸ் தூரம் ஆகிய இரண்டிற்கும் உள்ளது. பயன்பாடுகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் நீள செயல்பாட்டு இடவியலின் மூடல் ஆர்-மரங்களில் எஃப்என் இன் அனைத்து மிகச் சிறிய குறைந்தபட்ச ஐசோமெட்ரிக் செயல்களையும் (எஃப்என்-ஈக்விவேரியன்ட் ஐசோமெட்ரி வகுப்புகளின்) கொண்டிருப்பதாக அறியப்படுகிறது. இங்கே சமமான ஐசோமெட்ரி வரை கருதப்படும் மரங்களின் மீது உள்ள அனைத்து குறைந்தபட்ச ஐசோமெட்ரிக் "பகுக்கமுடியாத" செயல்களின் இடைவெளியில் மூடல் எடுக்கப்படுகிறது. குரோமோவ் இடவியல் மற்றும் பகுக்கமுடியாத செயல்களின் இடத்தில் உள்ள அச்சுகள் இடவியல் ஆகியவை ஒத்துப்போகின்றன என்று அறியப்படுகிறது, எனவே மூடுதலை இரு அர்த்தத்திலும் புரிந்து கொள்ள முடியும். நேர்மறை அளவீடுகளால் பெருக்கப்படுவதைப் பொறுத்தவரை திட்டமிடல் என்பது இடத்தைக் கொடுக்கிறது, இது நீளம் செயல்பாட்டு சுருக்கமாகும், இது தர்ஷனின் டைக்முல்லர் இடத்தின் சுருக்கத்திற்கு ஒத்ததாகும். வெளிப்புற இடத்தின் ஒப்புமைகள் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல்கள் இலவச தயாரிப்புகளுக்காகவும், வலது கோண ஆர்ட்டின் குழுக்களுக்காகவும், குழு செயல்களின் சிதைவு இடங்கள் என்று அழைக்கப்படுவதற்கும் மற்றும் வேறு சில சூழல்களுக்கும் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. அடிப்படை புள்ளிகளுடன் குறிக்கப்பட்ட மெட்ரிக் வரைபடங்களுக்காக வெளிப்புற இடத்தின் அடிப்படை-சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பதிப்பு, 1998 இல் ஹாட்சர் மற்றும் வோக்ட்மேன் ஆகியோரால் கட்டப்பட்டது. வெளிப்புற இடம் வெளிப்புற இடத்துடன் பொதுவான பல பண்புகளைப் பகிர்ந்து கொள்கிறது, ஆனால் ஒரு செயலுடன் மட்டுமே வருகிறது. மேலும் காண்க வடிவியல் குழு கோட்பாடு வரைபடம் வகுப்பு ரயில் பாதை வரைபடம் அவுட் (எஃப்என்) குறிப்புகள் மேலும் வாசிப்பு ம்லாடன் பெஸ்ட்வினா, தி டோபாலஜி ஆஃப் அவுட் (எஃப்என்). கணிதவியலாளர்களின் சர்வதேச மாநாட்டின் நடவடிக்கைகள், தொகுதி. II (பெய்ஜிங், 2002), pp. 373-384, உயர் கல்வி அச்சகம், பெய்ஜிங், 2002; கரேன் வோக்ட்மேன், விண்வெளியின் வடிவவியலில். அமெரிக்க கணிதச் சங்கத்தின் அறிக்கை 52 (2015), எண். 1, 27-46. வடிவியல் குழு கோட்பாடு வடிவியல் இடவியல்