Flat manifold
கணிதத்தில், ஒரு ரீமேனியன் பன்மடங்கு அதன் ரீமேன் வளைவு டென்சர் எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் தட்டையானது என்று கூறப்படுகிறது. உள்ளுணர்வாக, ஒரு தட்டையான பன்மடங்கு என்பது தூரங்கள் மற்றும் கோணங்களின் அடிப்படையில் யூக்ளிடியன் இடத்தை "உள்ளூரில் போல தோற்றமளிக்கிறது", எ. கா. ஒரு முக்கோணத்தின் உட்புற கோணங்கள் 180 டிகிரி வரை கூட்டப்படுகின்றன. ஒரு முழுமையான தட்டையான பன்மடங்கு உலகளாவிய உறை யூக்ளிடியன் இடைவெளி ஆகும். அனைத்து சிறிய தட்டையான பன்மடங்கு டோரியால் இறுதியாக மூடப்பட்டிருக்கும் என்ற தேற்றத்தை நிரூபிக்க இதைப் பயன்படுத்தலாம்; முப்பரிமாண வழக்கு முன்பு நிரூபிக்கப்பட்டது எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வரும் பன்மடங்கு ஒரு தட்டையான மெட்ரிக் மூலம் வழங்கப்படலாம். இது அவர்களின் 'நிலையான' மெட்ரிக் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க (எடுத்துக்காட்டாக, இரு பரிமாண டோரஸில் உள்ள தட்டையான மெட்ரிக் அதன் வழக்கமான உட்பொதிப்பால் தூண்டப்பட்ட மெட்ரிக் அல்ல). பரிமாணம் 1 ஒவ்வொரு ஒரு பரிமாண ரீமானியன் பன்மடங்கு தட்டையானது. இதற்கு நேர்மாறாக, இணைக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு ஒரு பரிமாண மென்மையான பன்மடங்கு இரண்டிற்கும் வேறுபட்டது அல்லது இணைக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு ஒரு பரிமாண ரீமானியன் பன்மடங்கு பின்வருவனவற்றில் ஒன்றுக்கு ஐசோமெட்ரிக் என்பதைப் பார்ப்பது நேரடியானது (ஒவ்வொன்றும் அவற்றின் நிலையான ரீமானியன் கட்டமைப்புடன்): உண்மையான கோடு சில எண்களுக்கான திறந்த இடைவெளி திறந்த இடைவெளி சில எண்களுக்கான ஆரம் கொண்ட வட்டம் முதல் மற்றும் கடைசி எண்கள் மட்டுமே முழுமையானவை. ஒன்று ரீமானியன் பன்மடங்கு-உடன்-எல்லையை உள்ளடக்கியிருந்தால், அரை-திறந்த மற்றும் மூடிய இடைவெளிகளும் சேர்க்கப்பட வேண்டும். இந்த விஷயத்தில் ஒரு முழுமையான விளக்கத்தின் எளிமை என்னவென்றால், ஒவ்வொரு ஒரு பரிமாண ரீமானியன் பன்மடங்கு ஒரு மென்மையான அலகு-நீளம் திசையன் புலத்தைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் மேலே உள்ள மாதிரி எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றிலிருந்து ஒரு ஐசோமெட்ரி ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவைக் கருத்தில் கொண்டு வழங்கப்படுகிறது. பரிமாணம் 2 டிஃபியோமார்பிசம் வரை ஐந்து சாத்தியக்கூறுகள் ஒரு மென்மையான இரு பரிமாண இணைக்கப்பட்ட முழுமையான தட்டையான ரீமானியன் பன்மடங்கு என்றால், மோபியஸ் துண்டு அல்லது க்ளீன் பாட்டிலுக்கு டிஃபியோமார்பிக் இருக்க வேண்டும். ஒரே சிறிய சாத்தியக்கூறுகள் மற்றும் க்ளீன் பாட்டில் மட்டுமே உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க, அதே நேரத்தில் ஒரே நோக்குநிலை சாத்தியக்கூறுகள் மற்றும் இந்த இடங்களில் உள்ள தனித்துவமான முழுமையான தட்டையான ரீமானியன் அளவீடுகளை விவரிக்க அதிக முயற்சி தேவைப்படுகிறது. உதாரணமாக, இந்த இரண்டு காரணிகளும் ஏதேனும் இரண்டு உண்மையான எண்களை அவற்றின் ஆரங்களாகக் கொண்டிருக்கலாம். இந்த அளவீடுகள் அவற்றின் இரண்டு ஆரங்களின் விகிதத்தால் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன, எனவே இந்த இடத்தில் எண்ணற்ற பல தட்டையான தயாரிப்பு அளவீடுகள் உள்ளன, அவை ஒரு அளவுகோல் காரணி வரை ஐசோமெட்ரிக் அல்ல. ஐந்து சாத்தியக்கூறுகளைப் பற்றி ஒரே மாதிரியாகப் பேசுவதற்கும், குறிப்பாக மோபியஸ் துண்டு மற்றும் க்ளீன் பாட்டில் ஆகியவற்றை சுருக்கமான பன்மடங்கு என உறுதியுடன் செயல்படுவதற்கும், குழு செயல்களின் மொழியைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட ஐசோமெட்ரி வரை ஐந்து சாத்தியக்கூறுகள், கொடுக்கப்பட்ட ஐசோமெட்ரி குழுவின் பின்வரும் துணைக்குழுக்களை அதன் நிலையான மெட்ரிக் மூலம் கருத்தில் கொண்டு கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்மறை எண்களால் கொடுக்கப்பட்ட பிரதிபலிப்பைக் குறிக்கலாம். இவை அனைத்தும் குழுக்கள் சுதந்திரமாகவும் ஒழுங்காகவும் தொடர்ச்சியாக செயல்படுகின்றன, எனவே பல்வேறு கோசெட் இடைவெளிகள் அனைத்தும் இயற்கையாகவே இரு பரிமாண முழுமையான தட்டையான ரீமானியன் பன்மடங்கு கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன. அவற்றில் எதுவும் ஒன்றுக்கொன்று ஐசோமெட்ரிக் அல்ல, மேலும் எந்த மென்மையான இரு பரிமாண முழுமையான தட்டையான இணைக்கப்பட்ட ரீமானியன் பன்மடங்கு அவற்றில் ஒன்றுக்கு ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். சுற்றுப்பாதைகள் பற்றிய கட்டுரையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள தட்டையான மெட்ரிக் (டோரஸ் மற்றும் க்ளீன் பாட்டில் உட்பட) கொண்ட 17 சிறிய இரு பரிமாண சுற்றுப்பாதைகள் உள்ளன, அவை 17 வால்பேப்பர் குழுக்களுடன் ஒத்திருக்கின்றன. மையத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள புள்ளிகள் நேர்மறை வளைவைக் கொண்டிருப்பதால், மையத்திற்கு மிக நெருக்கமான புள்ளிகள் எதிர்மறை வளைவைக் கொண்டிருப்பதால், டோனட்டாக டோரஸின் நிலையான 'படம்' அதை ஒரு தட்டையான அளவீட்டுடன் முன்வைக்கவில்லை என்பதைக் கவனியுங்கள். கைப்பரின் நாஷ் உட்பொதிக்கும் தேற்றத்தின் சூத்திரத்தின்படி, ஒரு உட்பொதிப்பு உள்ளது, இது ஏதேனும் தட்டையான தயாரிப்பு அளவீடுகளைத் தூண்டுகிறது, ஆனால் இவை எளிதில் காட்சிப்படுத்த முடியாதவை. எந்தவொரு (தட்டையான) தயாரிப்பு கட்டமைப்புகளின் உட்பொதிக்கப்பட்ட சப்மேனிஃபோல்டாக வழங்கப்படுவதால் இயற்கையாகவே சப்மேனிஃபோல்டுகளாக வழங்கப்படுகின்றன அதேபோல், க்ளீன் பாட்டிலின் நிலையான முப்பரிமாண காட்சிப்படுத்தல்கள் ஒரு தட்டையான அளவீட்டை வழங்காது. ஒரு மோபியஸ் துண்டின் நிலையான கட்டுமானம், ஒரு துண்டு காகிதத்தின் முனைகளை ஒன்றாக இணைப்பதன் மூலம், உண்மையில் அதற்கு ஒரு தட்டையான மெட்ரிக் கொடுக்கிறது, ஆனால் அது முழுமையடையவில்லை. பரிமாணம் 3 6 நோக்குநிலை மற்றும் 4 நோக்குநிலை அல்லாத சிறிய தட்டையான 3-மேனிஃபோல்டுகள் உள்ளன, இவை அனைத்தும் சீஃபெர்ட் ஃபைபர் இடைவெளிகள்; அவை 10 முறுக்கு இல்லாத படிகவியல் குழுக்களின் ஈவு குழுக்களாகும். மேலும் 4 நோக்குநிலை மற்றும் 4 நோக்குநிலை அல்லாத சுருக்கமற்ற இடங்களும் உள்ளன. தி 10 ஓரியண்டபிள் பிளாட் 3-மேனிஃபோல்ட்ஸ் இவைஃ யூக்ளிடியன் 3-ஸ்பேஸ்,. 3-டோரஸ், ஒரு கனசதுரத்தின் எதிர் முகங்களை ஒட்டுவதன் மூலம் தயாரிக்கப்படுகிறது. ஒரு கனசதுரத்தின் எதிர் முகங்களை ஒரு ஜோடியின் மீது 1/2 திருப்பத்துடன் ஒட்டுவதன் மூலம் பன்மடங்கு செய்யப்படுகிறது. ஒரு கனசதுரத்தின் எதிர் முகங்களை ஒரு ஜோடியின் மீது 1/4 திருப்பத்துடன் ஒட்டுவதன் மூலம் பன்மடங்கு செய்யப்படுகிறது. அறுகோண முகங்களில் மூன்றில் ஒரு பங்கு திருப்பத்துடன் அறுகோண ப்ரிஸத்தின் எதிர் முகங்களை ஒட்டுவதன் மூலம் பன்மடங்கு செய்யப்படுகிறது. அறுகோண முகங்களில் 1/6 திருப்பத்துடன் அறுகோண ப்ரிஸத்தின் எதிர் முகங்களை ஒட்டுவதன் மூலம் பன்மடங்கு செய்யப்படுகிறது. ஹன்ட்ஷ்-வென்ட் பன்மடங்கு. ஒன்றாக ஒட்டப்பட்ட இரண்டு இணையான விமானங்களுக்கு இடையிலான இடைவெளியாக பன்மடங்கு உருவாக்கப்பட்டது. எல்லையற்ற சதுர புகைபோக்கியின் எதிர் சுவர்களில் ஒட்டுவதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட பன்மடங்கு. ஒரு ஜோடியின் மீது ஒன்றரை மடங்கு திருப்பத்துடன் எல்லையற்ற சதுர புகைபோக்கியின் எதிர் சுவர்களில் ஒட்டுவதன் மூலம் பன்மடங்கு செய்யப்படுகிறது. நோக்கற்ற 8 நோக்கற்ற 3-மேனிஃபோல்டுகள்ஃ ஒரு வட்டம் மற்றும் ஒரு க்ளீன் பாட்டிலின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு,. மேற்கூறியதைப் போன்ற ஒரு பன்மடங்கு, ஆனால் கிளைடு தளத்திற்கு இணையாக ஒரு திசையில் மொழிபெயர்ப்பு ரீதியாக ஈடுசெய்யப்படுகிறது; இந்த திசையில் நகர்வது பன்மடங்கு எதிர் பக்கத்திற்குத் திரும்புகிறது. இரண்டு பெரெண்டிகுலர் கிளைடு தளங்களில் ஒரு புள்ளியை பிரதிபலிப்பதன் மூலமும், மூன்றாவது திசையில் மொழிபெயர்ப்பதன் மூலமும் பன்மடங்கு செய்யப்படுகிறது. மேற்கூறியதைப் போன்ற ஒரு பன்மடங்கு, ஆனால் ஒரு கிளைடு தளத்திற்கு இணையாக ஒரு திசையில் மொழிபெயர்ப்பு ரீதியாக ஈடுசெய்யப்படுகிறது; இந்த திசையில் நகர்வது பன்மடங்கு எதிர் பக்கத்திற்குத் திரும்புகிறது. ஒரு வட்டத்தின் கார்ட்டீசியன் தயாரிப்பு மற்றும் ஒரு (வரம்பற்ற) மோபியஸ் துண்டு. ஒரு புள்ளியை ஒரு அச்சில் மொழிபெயர்த்தும், அதை செங்குத்தான கிளைடு தளத்தின் குறுக்கே பிரதிபலிப்பதன் மூலமும் பன்மடங்கு செய்யப்படுகிறது. ஒரு புள்ளியை ஒரு அச்சில் மொழிபெயர்த்து, அதை இணையான கிளைடு தளத்தின் குறுக்கே பிரதிபலிப்பதன் மூலம் பன்மடங்கு செய்யப்படுகிறது. இரண்டு செங்குத்தான கிளைடு தளங்களில் ஒரு புள்ளியை பிரதிபலிப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்பட்ட பன்மடங்கு. உயர் பரிமாணங்கள் யூக்ளிடியன் இடம் டோரி தட்டையான பன்மடங்கு தயாரிப்புகள் சுதந்திரமாக செயல்படும் குழுக்களால் தட்டையான பன்மடங்கு அளவுகள். சாதகமான தன்மைக்கான உறவு நேர்மறை அல்லாத பிரிவு வளைவுடன் அனைத்து மூடிய பன்மடங்கு இடையே, தட்டையான பன்மடங்கு துல்லியமாக ஒரு இணக்கமான அடிப்படை குழுவைக் கொண்டவை என்று வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. இது ஆடம்ஸ்-பால்மேன் தேற்றத்தின் (1998) விளைவாகும், இது ஹடாமார்ட் இடைவெளிகளின் ஐசோமீட்டரிகளின் தனித்துவமான கோ-காம்பாக்ட் குழுக்களின் மிகவும் பொதுவான அமைப்பில் இந்த குணாதிசயத்தை நிறுவுகிறது. இது பீபர்பாக்கின் தேற்றத்தின் தொலைநோக்கு பொதுமைப்படுத்தலை வழங்குகிறது. ஆடம்ஸ்-பால்மேன் தேற்றத்தில் முரண்பாடான அனுமானம் அவசியம்ஃ இல்லையெனில், வகைப்பாட்டில் சமச்சீர் இடைவெளிகள், ப்ரூஹட்-டிட்ஸ் கட்டிடங்கள் மற்றும் பாஸ்-செர்ரே மரங்கள் ஆகியவை கேப்ரேஸ்-மோனாட்டின் "கண்மூடித்தனமான" பீபர்பாக் தேற்றத்தின் பார்வையில் இருக்க வேண்டும். மேலும் பார்க்கஃ விண்வெளி வடிவங்கள் படிகவியல் குழுக்கள் ரிச்சி-பிளாட் பன்மடங்கு முறைப்படி தட்டையான பன்மடங்கு அஃபைன் பன்மடங்கு குறிப்புகள் குறிப்புகள் நூலியல். . . வெளிப்புற இணைப்புகள் ரீமானியன் பன்மடங்கு