K-stability of Fano varieties
கணிதத்தில், குறிப்பாக இயற்கணித வடிவவியலில், கே-நிலைத்தன்மை என்பது திட்டவட்டமான இயற்கணித வகைகள் மற்றும் சிக்கலான பன்மடங்கு ஆகியவற்றிற்கான ஒரு ஆல்ஜிப்ரோ-ஜியோமெட்ரிக் நிலைத்தன்மை நிபந்தனையாகும். ஃபானோ வகைகளின் விஷயத்தில் கே-நிலைத்தன்மை குறிப்பாக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது, இங்கு மாடுலி இடைவெளிகளை உருவாக்க அனுமதிப்பது சரியான நிலைத்தன்மை நிபந்தனையாகும், மேலும் இது கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகளின் இருப்பை துல்லியமாக வகைப்படுத்துகிறது. கே-நிலைத்தன்மை முதன்முதலில் 1997 ஆம் ஆண்டில் கேங் தியானால் ஃபானோ பன்மடங்கு வரையறுக்கப்பட்டது, 1993 முதல் ஷிங்-துங் யாவ் ஒரு ஃபானோ பன்மடங்கு மீது கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் இருப்பதை வகைப்படுத்தும் ஒரு நிலைத்தன்மை நிலை இருக்க வேண்டும் என்ற அனுமானத்திற்கு பதிலளித்தது. இது முன்பு தோஷிகி மபூச்சியால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட கே-ஆற்றல் செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் வகையில் வரையறுக்கப்பட்டது. கே-நிலைத்தன்மை பற்றிய தியானின் வரையறை 2001 ஆம் ஆண்டில் சைமன் டொனால்ட்சனால் முற்றிலும் ஆல்ஜிப்ரோ-வடிவியல் வழியில் மறுசீரமைக்கப்பட்டது. ஃபானோ வகைகளின் ஆய்வு மற்றும் வகைப்பாட்டில் கே-நிலைத்தன்மை ஒரு முக்கியமான கருத்தாக மாறியுள்ளது. 2012 ஆம் ஆண்டில் ஷியுக்ஸியோங் சென், டொனால்ட்சன் மற்றும் சாங் சன் மற்றும் சுயாதீனமாக கேங் தியான் ஆகியோர் ஒரு மென்மையான ஃபானோ பன்மடங்கு ஒரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீட்டை ஏற்றுக்கொண்டால் மட்டுமே கே-பாலிஸ்டபிள் என்பதை நிரூபித்தனர். பெர்மன்-போக்ஸம்-ஜான்சன் மற்றும் பிறரின் பணி காரணமாக இது பின்னர் ஒற்றை கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபானோ வகைகளாக பொதுமைப்படுத்தப்பட்டது. ஃபானோ வகைகளின் மாடுலி இடைவெளிகளை உருவாக்குவதில் கே-நிலைத்தன்மை முக்கியமானது, அங்கு வடிவியல் மாறாத கோட்பாட்டின் அசல் வளர்ச்சிக்குச் செல்லும் அவதானிப்புகள் நல்ல மாடுலியை உருவாக்க நிலையான பொருட்களின் ஒரு வகுப்புக்கு மட்டுப்படுத்துவது அவசியம் என்பதைக் காட்டுகிறது. கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபானோ வகைகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வகைகளின் ஒரு திட்டவட்டமான கரடுமுரடான மாடுலி இடம் இருப்பதாக சென்யாங் சூ மற்றும் பிறரின் பணியின் மூலம் இப்போது அறியப்படுகிறது. இந்த வேலை காச்சர் பிர்கரின் ஃபானோ வகைகளின் வரம்பின் ஆதாரத்தை நம்பியுள்ளது, இதற்காக அவருக்கு 2018 ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்கப்பட்டது. புஜிடா-லி மற்றும் ஒடாகா ஆகியோரால் கே-நிலைத்தன்மை நிலையின் சீர்திருத்தங்கள் காரணமாக, ஃபானோ வகைகளின் கே-நிலைத்தன்மை நடைமுறையில் வெளிப்படையாக கணக்கிடப்படலாம். எந்த ஃபானோ வகைகள் கே-நிலையானவை என்பது ஒன்று, இரண்டு மற்றும் மூன்று பரிமாணங்களில் நன்கு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. வரையறை மற்றும் குணாதிசயங்கள் ஃபானோ பன்மடங்கு கே-நிலைத்தன்மை பற்றிய கருத்து முதலில் டியானால் வேறுபட்ட வடிவவியலைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடப்பட்டது, அவர் ஒரு திசையன் புலத்தின் ஃபுடாகி மாறாதது பற்றிய முற்றிலும் பகுப்பாய்வுக் கருத்தை சுற்றுப்பாதை ஒற்றைத்தன்மை கொண்ட சில இயல்பான வகைகளின் விஷயத்தில் விரிவுபடுத்தினார். இது பின்னர் டொனால்ட்சனால் முற்றிலும் ஆல்ஜிப்ரோ-வடிவியல் வடிவத்தில் மறுசீரமைக்கப்பட்டது, ஆனால் இந்த பொதுவான வரையறை ஃபானோ வகைகளின் வடிவவியலுடன் ஒரு நேரடி இணைப்பை இழந்தது, அதற்கு பதிலாக அனைத்து ப்ரொஜெக்டிவ் வகைகளின் பரந்த வகுப்புக்கு அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தது. ஒரு சோதனை கட்டமைப்பின் மைய இழையின் மீது-செயலின் எடையைக் குறிப்பிடும் டொனால்ட்சன்-ஃபுடாகி மாறாதது சில குறுக்குவெட்டு எண்களின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படலாம் என்பதை தியானின் வேலை காட்டுகிறது (சிஎம் லைன் மூட்டை என்று அழைக்கப்படும் ஒரு செயலின் எடைக்கு ஒத்தது). ஃபானோ விஷயத்தில் இந்த குறுக்குவெட்டு எண்கள், வகையின் ஆன்டிகானோனிக்கல் வகுத்தி மற்றும் அதன் சோதனை உள்ளமைவை உள்ளடக்கியது, ஃபானோ வகையின் இயற்கணித மற்றும் இருதரப்பு வடிவவியலின் அடிப்படையில் சக்திவாய்ந்த மாற்று குணாதிசயங்களை வழங்க முடியும். எனவே ஃபானோ வகைகளைப் பொறுத்தவரை, கே-நிலைத்தன்மையின் பல வேறுபட்ட ஆனால் சமமான குணாதிசயங்கள் உள்ளன, மேலும் இந்த குணாதிசயங்களில் சில வெளிப்படையான கணக்கீடு அல்லது முடிவுகளின் எளிதான சான்றுகளுக்கு தங்களை வழங்குகின்றன. இந்த பிரிவில் அனைத்து வரையறைகளும் ஒரு-ஃபானோ வகையின் பொதுவான தன்மையில் கூறப்பட்டுள்ளன, இது ஏராளமான-கார்டியர் ஆன்டிகனோனிக்கல் வகுத்தி மற்றும் மோசமான கவாமட்டா பதிவு முனையத்தில் (கே. எல். டி) ஒற்றுமைகளைக் கொண்ட ஒரு ஃபானோ வகையாகும். கே-நிலைத்தன்மையின் வரையறைகள் எந்த-கோரன்ஸ்டைன் ஃபானோ வகையிலும் செய்யப்படலாம் (அதாவது, ஆன்டிகானோனிக்கல் வகுத்தி இருக்கும் எந்த ஃபானோ வகையும்-கார்டியர்), இருப்பினும் ஒவ்வொரு கே-சமன்படுத்தக்கூடிய ஃபானோ வகையும் மிக மோசமான கி. எல். டி ஒற்றுமைகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதை ஒடாகா நிரூபித்தது, எனவே கே-நிலைத்தன்மையைப் படிக்கும் நோக்கத்திற்காக மோசமான கி. எல். டி ஒருமைப்பாடுகளில் கருதுவது போதுமானது. ஒவ்வொரு வரையறையும் நேரடியான வழியில் ஃபானோ ஜோடிகளுக்கு-லாக் செய்ய நீட்டிக்கப்படலாம், ஒரு ஜோடி klt வகை X மற்றும் klt வகுத்தி, இது போதுமான மற்றும்-கார்டியர் ஆகும். பாரம்பரிய வரையறை ஒரு ஃபானோ பன்மடங்கு அல்லது பொதுவாக ஒரு-ஃபானோ வகைக்கான கே-நிலைத்தன்மையின் வரையறையை பல வடிவங்களில் கொடுக்கலாம். ஒருவர் கருதும் சோதனைக் கட்டமைப்பின் வகையை எளிமைப்படுத்த முடிந்தால், சோதனைக் கட்டமைப்புகளின் அடிப்படையில் கே-நிலைத்தன்மையின் பொதுவான வரையறையை (மேலும் விவரங்களுக்கு கே-நிலைத்தன்மையைப் பார்க்கவும்) எளிமைப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, டோரிக் வகைகளைப் பொறுத்தவரை, ஒருவர் எப்போதும் டோரிக் கொண்ட சோதனை உள்ளமைவுகளை எடுக்கலாம், மேலும் இது டோரிக் வகையின் பாலிடோப் தருணத்தில் குவிந்த செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் கே-நிலைத்தன்மையின் மறுசீரமைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது, டொனால்ட்சன் கே-நிலைத்தன்மை குறித்த தனது முதல் ஆய்வறிக்கையில் கவனித்தார். ஃபானோ பன்மடங்கு விஷயத்தில், மத்திய நார் ஒரு சாதாரண வகையாக இருந்தால், எளிமையான மத்திய இழையுடன் உள்ளமைவுகளை சோதிக்க ஒருவர் கட்டுப்படுத்தலாம் என்பது டியானின் வேலையில் ஏற்கனவே மறைமுகமாக இருந்தது. இந்த வழக்கில் ஒரு சாதாரண சோதனை உள்ளமைவின் டொனால்ட்சன்-ஃபுடாகி மாறாத ஒரு குறுக்குவெட்டு-கோட்பாட்டு சூத்திரம் உள்ளது. வெளிப்படையாக, சோதனை உள்ளமைவை சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் கோட்டின் மீது ஒரு சோதனை உள்ளமைவுக்கு ஒரு புள்ளியில் அற்பமாக விரிவுபடுத்துகிறது, ஒருவருக்கு ஒரு சூத்திரம் உள்ளது இந்த மாறுபாட்டைப் பொறுத்தவரை, ஒரு-ஃபானோ வகை என்றால், எந்தவொரு சாதாரண சோதனை உள்ளமைவுக்கும் K-சமச்சீர் என்று நாங்கள் கூறுகிறோம். கோடிமென்ஷன் 2 இன் தொகுப்புக்கு வெளியே அற்பமான சோதனை உள்ளமைவுக்கு ஐசோமார்பிக் இல்லாத எந்தவொரு சாதாரண சோதனை உள்ளமைவுக்கும் K-நிலையானது. எந்தவொரு இயல்பான சோதனை உள்ளமைவுக்கும், சோதனை உள்ளமைவின் குறைந்தபட்ச நெறிமுறை எங்கே மற்றும் அதை மட்டுமே பொறுத்து ஒரு சீரான மாறிலி என்றால் சீரான K-நிலையானது. K-சமச்சீர் இல்லையென்றால் K-நிலையற்றது. மேற்கண்ட வரையறைகளின்படி, ஒரே மாதிரியான கே-நிலையான கே-நிலையான கே-சமச்சீரற்ற தாக்கங்கள் உள்ளன மேலே உள்ள வரையறைகள் ஃபானோ வகை தானியங்கி உருமாற்றங்களைக் கொண்ட சூழ்நிலைக்கு நன்கு பொருந்தாது. தானியங்கி உருமாற்றங்களின் இடைவெளி நேர்மறை பரிமாணமாக இருக்கும்போது, கே-நிலைத்தன்மையை சோதிக்கும் கண்ணோட்டத்திற்கு "அற்பமான" தானியங்கி உருமாற்றங்களிலிருந்து கட்டமைக்கப்பட்ட சில சோதனை உள்ளமைவுகள் உள்ளன என்பதை அகிட்டோ ஃபுடாகி கவனித்தார். இந்த விஷயத்தில் ஒருவர் அதிகபட்ச டோரஸின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை சமமான சோதனை உள்ளமைவுகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட வேண்டும், மேலும் இது கே-பாலிஸ்டபிலிட்டி அல்லது குறைக்கப்பட்ட கே-நிலைத்தன்மை என்ற கருத்துக்கு வழிவகுக்கிறது. குறியீட்டெண் 2 இன் தொகுப்புக்கு வெளியே ஐசோமார்பிக் ஆக இருக்கும்போது எந்தவொரு சோதனை உள்ளமைவுக்கும் சமத்துவமும் துல்லியமாக இருந்தால் கே-பாலிஸ்டபிள் என்று நாம் கூறுகிறோம். சோதனை உள்ளமைவின் குறைக்கப்பட்ட-நெறிமுறை எங்கே என்றால் ஒரே சீராக K-நிலையானது குறைக்கப்படுகிறது. தானியங்கி உருவகக் குழு நேர்மறை-பரிமாணம் இல்லாத விஷயத்தில், ஒரே மாதிரியான கே-நிலையான கே-பாலிஸ்டபிள் கே-சமச்சீர் குறைக்கப்பட்ட தாக்கங்கள் உள்ளன சீரான நிலைத்தன்மையின் நிபந்தனை நிலைத்தன்மையை விட முன்னுரிமை வலுவானது, ஏனெனில் இது சோதனை உள்ளமைவின் டொனால்ட்சன்-ஃபுடாகி மாற்றத்திற்கு பூஜ்ஜியத்திற்கு மேலே ஒரு சீரான பிணைப்பைக் கருதுகிறது. இருப்பினும் இது மாறிவிடும்-ஃபானோ வகைகளின் விஷயத்தில் சீரான நிலைத்தன்மை உண்மையில் நிலைத்தன்மைக்கு சமம். சீரான கே-நிலைத்தன்மைக்கு பல முடிவுகளை மிக எளிதாக நிரூபிக்க முடியும், ஏனெனில் சீரான பிணைப்பு சீரான அல்லாத பிணைப்பை விட வலுவானது, எனவே பெரும்பாலும் ஒருவர் பாரம்பரிய கே-(பாலி) நிலைத்தன்மைக்கு மாறாக இந்த வரையறையுடன் செயல்படுகிறார். கே-நிலைத்தன்மை குறித்த கட்டுரையில் கருதப்படும் துருவமுனைக்கப்பட்ட வகையின் மிகவும் பொதுவான விஷயத்தில், (குறைக்கப்பட்ட) சீரான கே-நிலைத்தன்மை கே-(பாலி) நிலைத்தன்மையுடன் எவ்வாறு தொடர்புடையது என்பதை வகைப்படுத்துவது இன்னும் ஒரு திறந்த மற்றும் முக்கியமான பிரச்சினையாகும். சிறப்பு சோதனை உள்ளமைவுகள் மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, சில நேரங்களில் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய சோதனை உள்ளமைவின் வகையை எளிமைப்படுத்தலாம். ஃபானோ வகைகளைப் பொறுத்தவரை, ஒரு சிறப்பு சோதனை உள்ளமைவு என்பது ஒரு சோதனை உள்ளமைவாகும், அதாவது சிலவற்றுக்கு வகுத்திகளின் பகுத்தறிவு சமநிலையைக் கொண்டுள்ளோம், மேலும் மைய இழையும் ஒரு-ஃபானோ வகையாகும். எந்தவொரு சோதனை உள்ளமைவையும் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு சிறப்பு சோதனை உள்ளமைவு உள்ளது என்பதை ஒருவர் நிரூபிக்கலாம், இது கே-நிலைத்தன்மையை சோதிக்கும் நோக்கங்களுக்காக, சிறப்பு சோதனை உள்ளமைவுகளுக்கான கே-நிலைத்தன்மையின் மேலே உள்ள வரையறைகளைப் பார்ப்பதற்கு இது போதுமானது என்பதைக் குறிக்கிறது. சோதனைக் கட்டமைப்பின் மைய நார் ஃபானோ என்று ஒருவர் கருதலாம் என்ற உண்மை, இருதரப்பு வடிவியல் மற்றும் குறைந்தபட்ச மாதிரி திட்டத்துடன் வலுவான இணைப்புகளுக்கு வழிவகுக்கிறது, இது பின்வரும் பிரிவுகளில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள கே-நிலைத்தன்மையின் பல மாற்று குணாதிசயங்களை வழங்குகிறது. முக்கிய மாற்று தன்மை டிங் நிலைத்தன்மை பற்றிய வேறுபட்ட கருத்தின் அடிப்படையில் உள்ளது, இது டிங் மாறாத K-நிலைத்தன்மை நிபந்தனையின் மாறுபாடு ஆகும், அங்கு சோதனை உள்ளமைவின் பதிவு நியமன வரம்பில் ஒருவர் சேர்க்கப்படுகிறார். டிங் மாறாததை ஃபானோ வகைகளின் அமைப்பில் மட்டுமே வரையறுக்க முடியும். அதற்கு பதிலாக இந்த புதிய மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி, டிங் நிலைத்தன்மை பற்றிய ஒவ்வொரு கருத்தையும் மேலே உள்ளதைப் போலவே வரையறுக்க முடியும், இது டிங் (அரை/பாலி) நிலைத்தன்மை மற்றும் சீரான பதிப்புகளுக்குப் வழிவகுக்கிறது. டிங் மாறாதது இயற்கணித வடிவவியலைப் பொறுத்தவரை டொனால்ட்சன்-ஃபுடாகி மாறாததை விட சிறந்த முறையான பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு சோதனை உள்ளமைவு சிறப்பு வாய்ந்ததாக இருக்கும்போது, டிங் மாறாதது டொனால்ட்சன்-ஃபுடாகி மாறாததை ஒரு நிலையான காரணி வரை ஒப்புக்கொள்கிறது, எனவே ஃபானோ வகைகளுக்கு டிங் நிலைத்தன்மை கே-நிலைத்தன்மைக்கு சமம். ஆல்ஃபா மாறாதது கே-நிலைத்தன்மையை சோதிப்பதற்கான முதல் அறியப்பட்ட பயனுள்ள அளவுகோல்கள் தியானால் உருவாக்கப்பட்டது. முதலில் தியானின் பணி ஒரு ஃபானோ பன்மடங்கு மீது ஒரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் இருப்பதற்கான ஒரு அளவுகோலை நேரடியாக வழங்க வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் பிற்கால ஆய்வின் மூலம் ஒவ்வொரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் ஃபானோ பன்மடங்கு கே-பாலிஸ்டபிள் என்று அறியப்படுகிறது. ஆல்பா மாறாதது பற்றிய தியானின் அசல் வரையறை பகுப்பாய்வு இயல்புடையது, ஆனால் நடைமுறையில் ஒரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் இருப்பதை சரிபார்க்க பயன்படுத்தப்படலாம். தியானின் ஆல்பா மாறிலியை ஒரு தானியங்கி உருமாற்றக் குழுவுடன் ஒப்பிடுகையில் வரையறுக்கலாம், மேலும் ஆல்பா மாறிலியானது மேலே உள்ள குறைக்கப்பட்ட கே-நிலைத்தன்மை அல்லது கே-பல்தன்மை என்ற கருத்துடன் ஒத்திருக்கிறது. ஒரு ஃபானோ பன்மடங்கு மீது ஒரு மாறுபட்ட காலர் அளவீட்டை சரிசெய்யவும். இந்த மாறுபாட்டின் முக்கியத்துவம் பின்வருமாறுஃ ஆல்பா மாறுபாட்டை உள்ளே உள்ள அனைத்து மாறுபட்ட நேரியல் அமைப்புகளுக்கும் மேலாக பதிவு நியம வரம்பின் முடிவிலியின் அடிப்படையில் முற்றிலும் ஆல்ஜிப்ரோ-வடிவியல் வரையறையை வழங்க முடியும் என்பதை ஒடாகா-சானோ பின்னர் கவனித்தார். துல்லியமாக, டெமெய்லி காட்டியது இது கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகள் இருப்பதற்கான முற்றிலும் ஆல்ஜிப்ரோ-வடிவியல் சான்றுகளை அனுமதிக்கிறது. பீட்டா மாறாதது பீட்டா மாறாதது பைரேஷனல் வடிவவியலுடன் நெருங்கிய தொடர்பை ஏற்படுத்துகிறது. ஃபானோ வகையின் வகுத்திகள் அல்லது மதிப்பீடுகளின் அடிப்படையில் கே-நிலைத்தன்மையின் தன்மையைக் கண்டறியும் முயற்சியில் புஜிட்டா மற்றும் லீ ஆகியோரால் இந்த மாறுபாடு உருவாக்கப்பட்டது. இந்த வேலை ரோஸ்-தாமஸின் முந்தைய கருத்துக்களால் ஈர்க்கப்பட்டது, இது பல்வேறு வகைகளின் உட்பிரிவுகளிலிருந்து வெளிவரும் இயற்கணித மாறுபாடுகளின் அடிப்படையில் கே-நிலைத்தன்மையை விவரிக்க முயன்றது. இந்த "சாய்வு" கே-நிலைத்தன்மை கே-நிலைத்தன்மைக்கு சமம் என்பதைக் காட்ட முடியாது என்றாலும், உள்ளே உள்ள வகுத்திகளுக்கு மட்டுமல்லாமல், எந்த இருதரப்பு மாதிரியிலும் உள்ள வகுத்திகளுக்கு அனுப்புவதன் மூலம், கே-நிலைத்தன்மையை துல்லியமாக சோதிக்க ஒருவர் "போதுமான" பொருட்களைப் பெறுகிறார். குறிப்பாக கே-நிலைத்தன்மை பற்றிய ரோஸ்-தாமஸின் கருத்து சப்ஷீமின் சேஷாத்ரி மாறிலி வரை மட்டுமே ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் மட்டுப்படுத்தப்பட்டதாக இருப்பதை புஜிட்டா உணர்ந்தார், அங்கு ப்ளோ-அப்பில் உள்ள இயற்கையான வகுத்தி போதுமானதாகிறது. ஒப்பந்தத்தின் மூலம்-மாறுபாடு இயற்கையான வகுத்தி நேர்மறை அளவைக் கொண்ட போலி விளைவு வரம்பு வரை ஒருங்கிணைக்கிறது (ஒவ்வொரு போதுமான வகுத்தி நேர்மறை அளவைக் கொண்டிருப்பதால், போலி விளைவு வரம்பு சேஷாத்ரி மாறிலிக்கு அப்பால் செல்கிறது). இந்த கூடுதல் தகவல் புஜிட்டா மற்றும் லீயின் மதிப்புமிக்க அளவுகோலுக்கு கே-ஸ்திரத்தன்மையை முழுமையாக வகைப்படுத்த போதுமான தகவல்களை வழங்குகிறது. - கார்டியர் நியதி வகுப்பி கொண்ட ஒரு சாதாரண வகை என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு முறையான பைரேஷனல் மார்ஃபிசம் (எடுத்துக்காட்டாக ஒரு ப்ளோ அப் மூலம் வழங்கப்படுகிறது) இருக்கும் வகையில் சில இயல்பான வகைகளுக்குள் ஒரு வகுத்தி இருந்தால் அது ஒரு வகுத்தி என்று ஒன்று கூறுகிறது. ஒன்று ஒரு வகுத்தியின் பதிவு முரண்பாட்டை வரையறுக்கிறது, இருதரப்பு வடிவவியலின் அர்த்தத்தில் வகுத்தியின் முரண்பாடு எங்கே (நியதி ஒற்றுமையைப் பார்க்கவும்). ஒரு வகுத்தியின் முரண்பாடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. பைரேஷனல் மார்ஃபிஸத்தின் விதிவிலக்கான இடத்திலிருந்து விலகி, நியதி வகுத்தவர்கள் மற்றும் ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். எனவே, அவற்றின் வேறுபாடு விதிவிலக்கான இருப்பிடத்தில் உள்ள சில பகா வகுத்திகளின் கூட்டுத்தொகையால் வழங்கப்படுகிறது. அதாவது, எங்கே. வரையறையின்படி மற்றும் எப்போது என்பது விதிவிலக்கான இருப்பிடத்தில் உள்ள பகா வகுத்திகளில் ஒன்றல்ல. பதிவு முரண்பாடு ஃபானோ வகையின் தனித்தன்மையை அளவிடுகிறது. குறிப்பாக எக்ஸ் என்பது கவாமட்டா பதிவு முனையமாகும், ஏதேனும் ஓவர் இருந்தால் மட்டுமே. பீட்டா மாறுபாட்டை வரையறுக்க, ஒரு தொகுதி காலமும் தேவைப்படுகிறது. ஒரு வகுத்திக்கு, வரையறுக்கவும் இங்கே ஒரு வகுத்தியின் அளவு எதிர்பார்க்கப்பட்ட பரிமாணத்துடன் ஒப்பிடுகையில் அதன் பிரிவுகளின் இடைவெளி வளரும் விகிதத்தை அளவிடுகிறது. அதாவது, எங்கே. இறுதியாக, பீட்டா மாறிலியை புஜிட்டா மற்றும் லி வரையறுத்தனர் சிக்கலான வரையறை இருந்தபோதிலும், இருதரப்பு வடிவவியலின் சக்திவாய்ந்த கருவிகள் காரணமாக, இந்த மாறிலியை ஃபானோ வகைகளின் பல வகுப்புகளுக்கு நடைமுறையில் வெளிப்படையாக கணக்கிடலாம், அங்கு அவற்றின் இருதரப்பு மாதிரிகளில் வகுத்திகளின் அமைப்பு அறியப்படுகிறது. கணக்கீட்டு இயற்கணித வடிவியல் அல்லது கையால் கணக்கீடு செய்வதன் மூலம் இதை பெரும்பாலும் அடைய முடியும். ஃபுஜிட்டா மற்றும் லீ ஆகியோரால் சுயாதீனமாக முதன்முதலில் (ஒரு திசையில்) கவனிக்கப்பட்ட கே-நிலைத்தன்மையின் பின்வரும் குணாதிசயத்தில்-மாறுபாட்டின் பொருத்தப்பாடு உள்ளது. டெல்டா மாறாதது டெல்டா மாறாதது "சேர்க்கை" பீட்டா மாறாததின் "பெருக்க" பதிப்பாக வரையறுக்கப்படலாம். ஒரு வகுத்தியின் டெல்டா மாறிலி பின்னர் அனைத்து வகுத்திகளின் டெல்டா மாறிலிகளின் சீரான அளவீட்டால் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு வகுத்தியின் டெல்டா மாறாதது கருத்தியல் ரீதியாக பீட்டா மாறாததைப் போன்றது, இருப்பினும் டெல்டா மாறாததை "அளவிடப்பட்ட" டெல்டா மாறாதவற்றின் வரம்பாக ஒருவர் கணக்கிட முடியும் என்பதை புஜிடா-ஒடாகா கவனித்தார். அளவிடப்பட்ட டெல்டா மாறிலிகளை m-அடிப்படை வகை வகுத்திகளின் அடிப்படையில் கணக்கிட முடியும், அவை நிலையான வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திசையன் இடத்தில் தளங்களின் தேர்வுகளால் வழங்கப்படுகின்றன. இவ்வாறு டெல்டா மாறாதது பொதுவாக அதன் முன்னோடிகளை விட கணக்கிடக்கூடியது மற்றும் கோட்பாட்டளவில் மிகவும் சக்திவாய்ந்தது, மேலும் ஃபானோ வகைகளுக்கான கே-நிலைத்தன்மையின் வெளிப்படையான கணக்கீடுகளில் அதிக முன்னேற்றம் மற்றும் ஃபானோ வகைகளின் மாடுலி கோட்பாட்டில் அதன் அறிமுகத்திலிருந்து ஏற்பட்டுள்ளது. கே-நிலைத்தன்மை கோட்பாட்டிற்கு அதன் ஆரம்ப முக்கியத்துவம் பின்வரும் குணாதிசயத்தில் பிடிக்கப்பட்டுள்ளது. இயற்கணித-மாறுபாடு காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகளின் வெளிப்படையான பகுப்பாய்வு பண்புகளுடன் தொடர்பு கொள்ள முடியும். குறிப்பாக, ஒருவர் மிகப் பெரிய ரிச்சி கீழ் வரம்பை அனைத்தின் மேலாதிக்கம் என்று வரையறுக்கலாம், அத்தகைய ஒரு காலர் மெட்ரிக் உள்ளது. கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க இயற்கையான தொடர்ச்சியான முறையை ஒருவர் எவ்வளவு தூரம் கடந்து செல்ல முடியும் என்பதற்கான வரம்பு இது. மிகப் பெரிய ரிச்சி கீழ் எல்லை மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டால், ஒரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீட்டின் இருப்பைப் பெறுவதற்கான தொடர்ச்சியான முறையை ஒருவர் முடிக்க முடியும். இந்த தொடர்ச்சியான முறையை நீங்கள் துல்லியமாக எவ்வளவு தூரம் செல்ல முடியும், மிகப் பெரிய ரிச்சி கீழ் வரம்பு, சரியாக-மாறுபாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. அதாவது, டோரிக் ஃபானோ பன்மடங்கு விஷயத்தில் டெல்டா மாறுபாட்டின் இன்னும் அதிக வடிவியல் விளக்கம் Li ஆல் பெறப்பட்டது. அத்தகைய டோரிக் ஃபானோவுக்கு, தோற்றம் எப்போதும் பாலிடோப்பின் உட்புறத்தில் உள்ளது. பாலிடோப்பின் பாரிசென்டரைக் குறிக்கிறது மற்றும் கதிர்களை வெட்டுகின்ற பாலிடோப்பின் எல்லையில் உள்ள புள்ளியைக் குறிக்கிறது என்றால், மிகப்பெரிய ரிச்சி கீழ் வரம்பு விகிதத்தால் வழங்கப்படுகிறது என்பதை லி காட்டியது. குறிப்பாக டாரிக் ஃபானோவுக்கு அதன் பாரிசெண்டர் தோற்றமாக இருந்தால் மட்டுமே இருக்கும். டெல்டா மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி விளக்கப்பட்டால் (உண்மையில் முந்தைய முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி), ஒரு டாரிக் ஃபானோ பன்மடங்கு அதன் பாலிடோப்பின் பாரிசெண்டர் தோற்றமாக இருந்தால் மட்டுமே கே-நிலையானது என்று ஒருவர் முடிவு செய்கிறார். காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகளின் இருப்பு அதன் ஆரம்ப அறிமுகத்திலிருந்து, கே-நிலைத்தன்மை என்ற கருத்து ஃபானோ பன்மடங்கு மீது காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகளின் இருப்புடன் நெருக்கமாக இணைக்கப்பட்டுள்ளது. இப்போது பல கோட்பாடுகள் உள்ளன, அவை சில கே-நிலைத்தன்மை அனுமானங்களை தீர்வுகளின் இருப்புடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. இந்த அனுமானங்கள் யாவ்-தியான்-டொனால்ட்சன் அனுமானம் என்ற தலைப்பின் கீழ் பரவலாக வருகின்றன. ஃபானோ வகைகளைப் பொறுத்தவரை இந்த அனுமானம் வலியுறுத்துகிறதுஃ ஃபானோ பன்மடங்கு இந்த அனுமானம் முதலில் யாவ் மற்றும் தியான் ஆகியோரால் முன்மொழியப்பட்டது, மேலும் ஒரு பொதுவான வடிவம் டொனால்ட்சனால் கூறப்பட்டது, இது ஃபானோ பன்மடங்கு நிகழ்வுக்கு அப்பால் விரிவடைகிறது. ஆயினும்கூட, ஃபனோஸின் விஷயத்தில் கூட இந்த அனுமானம் யோ-தியான்-டொனால்ட்சன் அனுமானம் என்று அறியப்படுகிறது. பொதுவான அனுமானத்தைப் பற்றிய கூடுதல் விவாதத்திற்கு கே-நிலைத்தன்மையைப் பார்க்கவும். ஃபானோ பன்மடங்கு விஷயத்தில், ஒய். டி. டி அனுமானம் மென்மையான வகைகளுக்கு அப்பாற்பட்ட பொதுமைப்படுத்தல்களை ஒப்புக்கொள்கிறது மற்றும் அனுமானத்தின் வடிவங்கள் இப்போது ஒருமை ஃபனோஸ் மற்றும் லாக் ஃபனோஸ் ஆகியவற்றிற்கு அறியப்படுகின்றன. கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் கொண்ட ஒரு ஃபானோ பன்மடங்கு கே-பாலிஸ்டபிள் என்ற அனுமானத்தின் முன்னோக்கி திசை, ஃபானோ பன்மடங்கு ஒரு தனித்துவமான தன்னியக்கக் குழுவைக் கொண்டிருக்கும்போது டியானால் அவரது அசல் காகிதத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது, அதாவது,. இந்த திசை முழு பொதுத்தன்மையுடன் நிரூபிக்கப்பட்டது, பெர்மனால் தானியங்கி குழு தனித்துவமானது என்ற அனுமானத்தை அகற்றியது. யோ-தியான்-டொனால்ட்சன் அனுமானத்தின் தலைகீழ் திசை முதலில் மென்மையான வழக்கில் சென்-டொனால்ட்சன்-சன் மற்றும் அதே நேரத்தில் தியான் ஆகியோரால் தீர்க்கப்பட்டது. சான்றுக்கு சமமான முன்னுரிமை என்ற தியானின் கூற்று தவறானது என்று சென், டொனால்ட்சன் மற்றும் சன் ஆகியோர் குற்றம் சாட்டியுள்ளனர், மேலும் அவர்கள் அவரை கல்வி முறைகேடு செய்ததாக குற்றம் சாட்டியுள்ளனர். தியான் அவர்களின் கூற்றுக்களை மறுத்துள்ளார். சென், டொனால்ட்சன் மற்றும் சன் ஆகியோர் அமெரிக்க கணித சங்கத்தின் மதிப்புமிக்க 2019 வெப்லன் பரிசால் அனுமானத்தைத் தீர்த்ததாக அங்கீகரிக்கப்பட்டனர். சென்-டொனால்ட்சன்-சன் மற்றும் தியான் ஆகியோரின் சான்றுகள் மீது சென் உடனான அவர்களின் பணியின் அடிப்படையில், ரிக்கி வளைவு வரம்புகளுடன் ஃபானோ பன்மடங்கு குரோமோவ்-ஹவுஸ்டோர்ஃப் வரம்புகள் பற்றிய நுட்பமான ஆய்வை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, இந்த திருப்புமுனை பரிசு டொனால்ட்சனை கணிதம் மற்றும் சூரியனில் திருப்புமுனை பரிசை நியூ ஹொரைசன்ஸ் திருப்புமுனை பரிசுடன் அங்கீகரித்துள்ளது. மிக சமீபத்தில், "கிளாசிக்கல்" தொடர்ச்சியான முறையை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு ஆதாரம் வேத் டாடர் மற்றும் கபோர் ஸ்ஜெகெலிஹிடி ஆகியோரால் வழங்கப்பட்டது, அதைத் தொடர்ந்து சென், சன் மற்றும் பிங் வாங் ஆகியோர் காலர்-ரிச்சி ஓட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கினர். ராபர்ட் பெர்மன், செபாஸ்டியன் போக்ஸம் மற்றும் மாட்டியாஸ் ஜான்சன் ஆகியோரும் ஒரு புதிய மாறுபட்ட அணுகுமுறையிலிருந்து ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கினர், இது கே-நிலைத்தன்மையை ஆர்க்கிமீடியா அல்லாத வடிவவியலின் அடிப்படையில் விளக்குகிறது. பெர்மன்-புக்ஸம்-ஜான்சனின் ஆதாரம் ஒரு மென்மையான பதிவு ஃபானோ ஜோடியின் விஷயத்திற்கும் பொருந்தும், மேலும் இது கே-பாலிஸ்டபிலிட்டி என்ற கருத்தை பயன்படுத்துவதில்லை, ஆனால் டெர்வான் மற்றும் புக்ஸம்-ஹிசமோட்டோ-ஜான்சன் அறிமுகப்படுத்தியபடி சீரான கே-நிலைத்தன்மையைப் பயன்படுத்துகிறது. சீரான கே-நிலைத்தன்மை கே-நிலைத்தன்மைக்கு சமம் என்று இப்போது அறியப்படுகிறது, எனவே பிபிஜேவின் ஆதாரம் முழு ஒய். டி. டி யூகத்திற்கு ஒரு புதிய ஆதாரத்தை வழங்குகிறது. பெர்மன்-புக்ஸம்-ஜான்சன் மற்றும் புஜிடா-ஒடாகாவின் அளவிடப்பட்ட டெல்டா மாறிலிகள் என்று அழைக்கப்படும் மாறுபட்ட நுட்பங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு, ஜாங் மென்மையான ஃபானோ பன்மடங்கு YTD அனுமானத்தின் குறுகிய அளவு அடிப்படையிலான ஆதாரத்தை உருவாக்கினார். மற்ற நுட்பங்களை முழுவதுமாக பயன்படுத்தி, பெர்மன் சீரான கிப்ஸ் நிலைத்தன்மை எனப்படும் வெப்ப இயக்கவியல் அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு ஒய். டி. டி-வகை அனுமானத்தின் ஆதாரத்தையும் உருவாக்கியுள்ளார், அங்கு ஒரு கேலர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் ஒரு சீரற்ற புள்ளி செயல்முறையின் மூலம் கட்டமைக்கப்படுகிறது. ஒற்றை ஃபானோ வகைகள் மற்றும் பலவீனமான காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகள் பெர்மன்-பூக்ஸம்-ஜான்சன் மாறுபட்ட நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி யவ்-டியான்-டொனால்ட்சன் அனுமானத்தின் புதிய ஆதாரம் கே-நிலைத்தன்மை மற்றும் காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகள் பற்றிய சாத்தியமான ஆய்வைத் திறந்தது. பயன்படுத்தப்படும் மாறுபட்ட நுட்பங்கள் மேலே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி சீரான கே-நிலைத்தன்மையை நம்பியுள்ளன. பெர்மனின் விளைவாக ஒரு ஃபானோ பன்மடங்கு ஒரு காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீட்டை கே-பாலிஸ்டபிள் என்று ஒப்புக்கொள்வது ஒரு-லாக் ஃபானோ ஜோடியின் முழு பொதுவான தன்மையில் நிரூபிக்கப்பட்டது, இது ஒரு பலவீனமான காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீட்டை ஒப்புக்கொண்டது. ஒரு-ஃபானோ வகையின் மீது ஒரு பலவீனமான காலர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் என்பது ஒரு நேர்மறை-மின்னோட்டமாகும், இது ஒரு மென்மையான இடத்தின் மீது ஒரு மென்மையான காலர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் கொடுக்க கட்டுப்படுத்துகிறது. ஒரு வகுத்தியுடன் பொருந்தக்கூடிய தன்மை தேவைப்படுவதன் மூலம், இந்த வரையறையை ஒரு ஜோடியின் பலவீனமான கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் வரை நீட்டிக்க முடியும். இந்த பொதுவாக, ஒய். டி. டி அனுமானத்தின் தலைகீழ் திசை லி-தியான்-வாங் என்பவரால் தானியங்கி உருவகக் குழு தனித்துவமாக இருக்கும் விஷயத்தில் நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் லியு-ஜு-ஜுவாங் என்பவரால் வரையறுக்கப்பட்ட தலைமுறை அனுமானத்தின் தீர்மானம் மூலம் முழு பொதுவான தன்மையில் குறைக்கப்பட்ட சீரான கே-நிலைத்தன்மை கே-பாலிஸ்டிபிலிட்டிக்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது, எனவே பெர்மனின் முடிவுடன் இணைந்து யோ-தியான்-டொனால்ட்சன் அனுமானம் ஒற்றை ஃபானோ வகைகளுக்கான முழுமையான பொதுவான தன்மையில் உண்மை. கே-நிலையான ஃபானோ வகைகளின் மாடுலி இடைவெளிகள் இயற்கணித வடிவவியலில் மாடுலி இடைவெளிகளின் கட்டுமானம் ஒரு மையப் பிரச்சினையாகும். இயற்கணித வளைவுகளின் மாடுலியின் கட்டுமானம் வடிவியல் மாறாத கோட்பாடு, அடுக்குகள் மற்றும் இயற்கணித மேற்பரப்புகளின் வகைப்பாடு ஆகியவற்றின் வளர்ச்சியைத் தூண்டியது, இது இயற்கணித வடிவியல் முழுவதும் முடிவுகளைத் தூண்டியுள்ளது. கொல்லர்-ஷெப்பர்ட்-பரோன் குறைந்தபட்ச மாதிரி திட்டத்திலிருந்து எழும் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி அங்கீகரிக்கப்பட்ட துருவமுனைக்கப்பட்ட வகைகளின் மாடுலி இடைவெளிகளின் வழக்கு தீர்க்கப்பட்டது, இது பொதுவான வகைகளின் கே. எஸ். பி மாடுலி இடைவெளிகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மாடுலியின் கட்டுமானத்தை அனுமதிக்கும் பொதுவான வகைகளின் முக்கிய பண்பு, அத்தகைய வகைகளின் தானியங்கி உருவங்கள் இல்லாதது ஆகும். இது ஃபானோ வகைகளுக்கு பொருந்தாது, அவை பெரும்பாலும் மிகப் பெரிய தானியங்கி குழுக்களைக் கொண்டிருக்கலாம், எனவே குறைந்தபட்ச மாதிரி நிரல் ஃபானோ வகைகளின் மாடுலிகளை உருவாக்குவதற்கான பயன்பாடுகளை நேரடியாகக் கண்டுபிடிக்கவில்லை, மேலும் கே-நிலைத்தன்மை சரியான ஆல்ஜிப்ரோ-வடிவியல் கருத்து இந்த விஷயத்தில் மாடுலியை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. கே-நிலையான வகைகளின் மாடுலி இடைவெளிகள் கே-மாடுலி என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மென்மையான வழக்கு மென்மையான ஃபானோ பன்மடங்கு விஷயத்தில், பகுப்பாய்வு ரீதியாக மாடுலி இடத்தை உருவாக்க யோ-டியான்-டொனால்ட்சன் அனுமானத்திலிருந்து எழும் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தலாம். YTD அனுமானத்தின் ஆதாரத்தில் பயன்படுத்தப்பட்ட காலர்-ஐன்ஸ்டீன் ஃபனோஸின் குரோமோவ் சுருக்கத்தின் கருத்துக்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒடாகா மற்றும் டொனால்ட்சனின் குறிப்பாக வேலை, தனித்துவமான தானியங்கி குழுக்களுடன் மென்மையான ஃபனோ காலர்-ஐன்ஸ்டீன் பன்மடங்கு மாடுலி இடைவெளிகள் இருப்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த மாடுலி இடைவெளிகள் ஹவுஸ்டோர்ஃப் மற்றும் மிக மோசமான ஈவு ஒற்றுமைகளைக் கொண்டுள்ளன. ஒய். டி. டி அனுமானத்தின் படி இவை தனித்துவமான தானியங்கி குழுக்களுடன் மென்மையான கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபானோ வகைகளின் மாற்று மாடுலி இடைவெளிகள் ஆகும். இருப்பினும், மென்மையான ஃபானோ காலர்-ஐன்ஸ்டீன் பன்மடங்கு குரோமோவ்-ஹவுஸ்டோர்ஃப் வரம்பு ஒரு ஒற்றை-ஃபானோ வகைக்கு வழிவகுக்கும், எனவே ஒடாகா மற்றும் டொனால்ட்சன் விவரித்த மாடுலி இடைவெளிகள் கச்சிதமாக இல்லை, இது மாடுலி இடைவெளிகளின் உருவாக்கத்தில் பெரும்பாலும் விரும்பத்தக்க ஒரு அளவுகோலாகும். மென்மையான கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபேனோஸின் மாடுலி இடத்தை சுருக்குவதற்கான ஒரு முறை, ஒற்றை கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபேனோஸின் மாடுலி இடத்திற்குச் செல்வதும், அதன் ப்ரொஜெக்டிவிட்டியை நிரூபிக்க இயற்கணித வடிவவியலைப் பயன்படுத்துவதும் ஆகும். ஒற்றை ஃபானோ வகைகளுக்கான யாவ்-தியான்-டொனால்ட்சன் அனுமானம் இந்த சுருக்கத்திற்கு பலவீனமான காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகளுடன் ஒற்றை ஃபானோ வகைகளைக் கொண்ட ஒரு மாற்றுக் கண்ணோட்டத்தைக் கொடுக்கும். மாடுலி இடைவெளிகளை உருவாக்குவதற்கான நிலையான இயற்கணித நுட்பம் வடிவியல் மாறாத கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறது. பொதுவாக மம்ஃபோர்டின் வடிவியல் மாறாத கோட்பாட்டை மாடுலியை உருவாக்க பயன்படுத்த, ஒருவர் ஒரு நிலையான வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண திட்ட இடைவெளியில் வகைகளின் குடும்பத்தை உட்பொதிக்க வேண்டும். அத்தகைய குடும்பம் பின்னர் ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸின் தொடர்புடைய ஹில்பர்ட் திட்டத்தில் புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தை வரையறுக்கிறது, இது ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் திட்டமாகும், இதில் ப்ரொஜெக்டிவ் ஆட்டோமார்பிசம்களின் குழு செயல்படுகிறது. இந்த லீனியர்மயமாக்கலைப் பொறுத்தவரை ஜிஐடி நிலைத்தன்மை ஹில்பர்ட் நிலைத்தன்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த இடம் ஒரு திறந்த தொகுப்பை உருவாக்கினால், இந்த பொருட்களை அளவுருவாக மாற்றும் ஒரு அளவை உருவாக்க ஜிஐடி பயன்படுத்தப்படலாம். நல்ல சூழ்நிலைகளில் இந்த அளவு சரியானதாகவும் திட்டவட்டமாகவும் இருக்கலாம். ஒரு நிலையான ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்திற்குள் வகைகளின் குடும்பத்தை உட்பொதிப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை, எனவே அவற்றின் மாடுலியை வடிவியல் மாறாத கோட்பாட்டுடன் விவரிக்கவும், இந்த சிறப்பு பண்பு எல்லை என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஃபானோ வகைகளின் ஒரு அடிப்படை பண்பு என்னவென்றால், அவை வரம்புக்குட்பட்டவை அல்ல, எனவே அவற்றின் நிலைத்தன்மையை எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண வடிவியல் மாறாத கோட்பாட்டால் நியாயமான முறையில் கைப்பற்ற முடியாது. கே-நிலைத்தன்மைக்கு ஒருவர் சோதனை உள்ளமைவுகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய அவசியம் ஏன் என்பதை இது விளக்குகிறது, இதற்காக ஒப்பீட்டளவில் போதுமான வரி மூட்டை தன்னிச்சையாக பெரியதாக இருந்தால் சில சக்தியுடன் ஒத்திருக்கலாம். இருப்பினும், காச்சர் பிர்கரின் முடிவுகள், ஃபானோ வகைகளின் சில குடும்பங்கள் வரம்புக்குட்பட்ட குடும்பங்களை உருவாக்குகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன, இது ஃபானோ வகைகளின் தொகுதி-வரம்புக்குட்பட்ட குடும்பங்களின் நிலைத்தன்மையை ஆய்வு செய்து மாடுலி இடைவெளிகளை உருவாக்க முடியும் என்பதைக் குறிக்கிறது. இந்த பணிக்காக பிர்கருக்கு 2018 ஆம் ஆண்டில் ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வழங்கப்பட்டது. கே-செமிஸ்டபிள்-ஃபானோ வகைகள் ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட குடும்பத்தை உருவாக்குகின்றன என்பதை ஜியாங் நிரூபித்தார். எனவே கொடுக்கப்பட்ட தொகுதிக்கு ஒரு சீரான முழு எண் உள்ளது, அதாவது ஒவ்வொரு கே-சமச்சீர்-ஃபானோ நிலையான ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்திற்குள் ஒரு உட்பொதிப்பை ஏற்றுக்கொள்வதற்கு சமமான அல்லது பெரிய ஆன்டிகானோனிக்கல் அளவைக் கொண்டுள்ளது. கே-சமச்சீர் ஃபனோஸின் இந்த இடத்தின் வெளிப்படைத்தன்மை ப்ளம்-லியு-சூ மற்றும் சூ ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. இது வரையறுக்கப்பட்ட வகையைக் குறிக்கும் ஆர்ட்டின் அடுக்கின் இருப்பைக் குறிக்கிறது, இது கே-சமச்சீர்-ஃபானோ வகைகளால் வரையறுக்கப்பட்ட அளவைக் குறிக்கிறது. ஒரு உண்மையான மாடுலி இடத்தை ஒரு ப்ரொஜெக்டிவ் வகை அல்லது திட்டமாகக் கண்டறிய, அடுக்குக்குள் கே-சமச்சீர் ஃபேனோக்களின் எஸ்-முழுமை மற்றும்-கடத்துத்திறன் பற்றிய சில பண்புகளை ஒருவர் நிரூபிக்க வேண்டும். கே-பாலிஸ்டபிலிட்டியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, மாடுலி அடுக்கின் இந்த பண்புகள் உண்மை மற்றும் அடுக்குக்கு ஒரு கரடுமுரடான மாடுலி இடம் உள்ளது, இது கே-பாலிஸ்டபிள்-ஃபானோ வகைகளை அளவுருவாகக் கொண்டு கீழே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இது சரியானது மற்றும் சிஎம்-லைன் மூட்டை போதுமானதாக உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டது, அதாவது கரடுமுரடான மாடுலி இடமும் திட்டவட்டமானது. கே-மாடுலிக்கான இருப்பு முடிவை கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபேனோக்களின் மாடுலி இடத்தின் பின்வரும் theorem.The கட்டுமானத்தில் சுருக்கமாகக் கூறலாம், இது லாக் ஃபேனோ வகைகளின் அமைப்புக்கு பொதுமைப்படுத்தப்படலாம். மென்மையாக்கக்கூடிய ஒற்றை-ஃபானோ வகைகளின் வழக்கு (அதாவது அவை மென்மையான கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபானோ பன்மடங்கு இயற்கணித குடும்பங்களின் வரம்புகள்) லி-வாங்-சூ முன்பு பகுப்பாய்வு நுட்பங்களின் கலவையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்பட்டது, மேலும் ஒடாகா, டொனால்ட்சன் மற்றும் கோடக்னி-பதக்பால்வி ஆகியோரின் முந்தைய பணிகளையும் நம்பியது. அங்கு கரடுமுரடான மாடுலி இடைவெளி ஒரு திட்டமாகக் காட்டப்படுகிறது, ஆனால் பொதுவாக கே-மாடுலிக்கான இருப்பு முடிவுகள் ஒரு இயற்கணித இடைவெளி இருப்பதற்கு மட்டுமே உத்தரவாதம் அளிக்கின்றன. ஃபானோ வகைகளின் தெளிவான கே-நிலைத்தன்மை கே-நிலையான ஃபானோ வகைகளின் வெளிப்படையான ஆய்வு கே-நிலைத்தன்மை பற்றிய இயற்கணிதக் கருத்துக்கு முன்னதாகவே உள்ளது, மேலும் குறைந்த பரிமாணங்களில் கேஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் பன்மடங்கு ஆய்வின் காரணமாக மட்டுமே ஆர்வம் இருந்தது. எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்படையான கட்டுமானம் அல்லது தியானின் ஆல்பா மாறிலியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், பரிமாணம் 1 மற்றும் 2 இன் அனைத்து மென்மையான காலர்-ஐன்ஸ்டீன் பன்மடங்கு K-நிலைத்தன்மைக்கான வரையறை அறிமுகப்படுத்தப்படுவதற்கு முன்பு அறியப்பட்டது. பரிமாணம் 3 இல் மற்றும் காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகளின் உயர் வெளிப்படையான கட்டமைப்புகள் மிகவும் கடினமாகின்றன, ஆனால் கே-நிலைத்தன்மையின் இயற்கணித ஆய்விலிருந்து எழும் முன்னேற்றங்கள் கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபானோ மூன்று மடிப்புகள் மற்றும் உயர் பரிமாண வகைகளின் சில குடும்பங்களின் வெளிப்படையான கணக்கீடுகளை செயல்படுத்தியுள்ளன, பின்னர் புதிய காலர்-ஐன்ஸ்டீன் பன்மடங்கு கண்டுபிடிப்பு. பரிமாணம் 1 பரிமாணம் ஒன்றில் ஒரு தனித்துவமான மென்மையான ஃபானோ வகை, சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் லைன் உள்ளது. ஃபுபினி-ஸ்டடி மெட்ரிக் இருப்பதால் இந்த வகை கே-நிலையானதாக எளிதில் காணப்படுகிறது, இது ஒரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் ஆகும், இது கே-பாலிஸ்டபிலிட்டியை குறிக்கிறது. மென்மையான ரீமன் மேற்பரப்புகளின் கே-ஸ்திரத்தன்மைக்கான முற்றிலும் ஆல்ஜிப்ரோ-ஜியோமெட்ரிக் சான்று ரோஸ்-தாமஸ் சாய்வு கே-ஸ்திரத்தன்மை குறித்த வேலையிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது, இது பரிமாணம் ஒன்றில் கே-ஸ்திரத்தன்மைக்கு சமம். இந்த விஷயத்தில் ஒருவர் வளைவில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்புகளிலிருந்து சோதனை உள்ளமைவுகளை உருவாக்கலாம், மேலும் வளைவு மென்மையாக இருக்கும்போது எந்த புள்ளிகளும் சீர்குலைவதில்லை. பரிமாணம் 2 பரிமாணம் இரண்டில் காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகளை அனுமதிக்கும் இடைவெளிகள் தியானால் வகைப்படுத்தப்பட்டன. டெல் பெஸோ மேற்பரப்புகளில் பரிமாணம் இரண்டில் மென்மையான ஃபானோ வகைகளின் 10 சிதைவு குடும்பங்கள் உள்ளன. ஆல்பா மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி, தியான் ஒரு மென்மையான ஃபானோ மேற்பரப்பு ஒரு காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீட்டை ஏற்றுக்கொள்கிறது என்பதைக் காட்டினார், மேலும் இது ஒன்று அல்லது இரண்டு புள்ளிகளில் சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் தளத்தின் வெடிப்பு இல்லையென்றால் மட்டுமே கே-பாலிஸ்டபிள் ஆகும். எனவே இந்த 10 வகுப்புகளில் 8 கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபானோ மேற்பரப்புகளைக் கொண்டுள்ளன. ஃபானோ மேற்பரப்புகளின் கே-மாடுலி டியான் மற்றும் மபூச்சி-முகாய் ஆகியோரால் வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகளில் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. காலர்-ஐன்ஸ்டீன் ஃபானோ மேற்பரப்புகளின் சிறிய மாடுலி இடைவெளிகளின் தெளிவான கட்டுமானங்கள் ஒடாகா-ஸ்போட்டி-சன் மூலம் அடையப்பட்டன. இந்த இடைவெளிகள் குரோமோவ்-ஹவுஸ்டோர்ஃப் சுருக்கங்களாக கட்டப்பட்டன, ஆனால் பதிவு ஃபானோ மேற்பரப்புகளின் வெளிப்படையான இயற்கணித இடைவெளிகள் மூலம் அடையாளம் காணப்பட்டன. எடுத்துக்காட்டாக, நான்காம் டிகிரியின் மென்மையான காலர்-ஐன்ஸ்டீன் மேற்பரப்புகளின் கச்சிதமான மாடுலி இடைவெளி, லோகஸுடன் தொடர்புடைய நான்காம் டிகிரியின் மென்மையான காலர்-ஐன்ஸ்டீன் மேற்பரப்புகளுடன் எடையுள்ள ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தால் வழங்கப்படுகிறது என்பதை ஒடாகா-ஸ்போட்டி-சன் நிரூபித்துள்ளார், அங்கு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு போதுமான வகுத்தி உள்ளது. பரிமாணம் 3 பரிமாணம் 3 இல் கே-நிலையான ஃபானோ வகைகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கண்டறிய முற்றிலும் இயற்கணித நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தலாம், அவை கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகளை ஒப்புக்கொள்வதற்கு முன்னுரிமை அல்ல. மென்மையான ஃபானோ மூன்று மடிப்புகளின் இஸ்கோவ்ஸ்கிக்-மோரி-முகாய் வகைப்பாடு கே-நிலையான ஃபானோ மூன்று மடிப்புகளை அதன் கூறுகளாகப் படிப்பதற்கான சிக்கலை உடைப்பதற்கான இயற்கையான வழியை வழங்குகிறது. மென்மையான ஃபானோ மூன்று மடிப்புகளின் 105 சிதைவு குடும்பங்கள் உள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது, மேலும் எந்த சிதைவு குடும்பங்கள் கே-நிலையான பிரதிநிதிகளைக் கொண்டுள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்க புஜிடா-லியின் பீட்டா மாறிலி மற்றும் புஜிடா-ஒடாகா டெல்டா மாறிலி ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி வெளிப்படையான கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தலாம். ஒவ்வொரு சிதைவு குடும்பத்திற்கும் குடும்பத்தின் பொதுவான உறுப்பு கே-(பாலி) நிலையானதா என்பது அறியப்படுகிறது. குறிப்பாக 105 குடும்பங்களில் 78 குடும்பங்கள் தங்கள் சிதைவு வகுப்பில் கே-பாலிஸ்டபிள் பிரதிநிதியைக் கொண்டுள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது. 105 குடும்பங்களில் 71 குடும்பங்களுக்கு, இது கே-பாலிஸ்டபிள் ஆக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும் சிதைவு வகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பினருக்கும் அறியப்படுகிறது. 105 சிதைவு குடும்பங்களின் பல எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு, பிரதிநிதி மூன்று மடிப்புகளின் கே-நிலைத்தன்மையை ஒரு இயற்கையான ஜிஐடி சிக்கலின் அடிப்படையில் விளக்க முடியும், இது அந்த குடும்பத்தை விவரிக்கிறது, எனவே ஃபானோ மூன்று மடிப்புகளின் கே-மாடுலியின் வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகளையும் ஜிஐடி மேற்கோள்களாக காணலாம். ஃபானோ மூன்று மடிப்புகளின் சில வகுப்புகளுக்கு வகைப்பாடு சிக்கல் திறந்திருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, சிதைவு வகுப்பில் முகாய்-உமேமுரா மூன்று மடங்கு ஒரு காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீட்டை ஏற்றுக்கொள்கிறது என்பது அறியப்படுகிறது, எனவே டொனால்ட்சனின் பணியின் மூலம் கே-பாலிஸ்டபிள் ஆகும், அவர் மேலே உள்ள அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி தியானின் ஆல்பா மாறுபாட்டை வெளிப்படையாகக் கணக்கிட்டார். இந்த பன்மடங்கு தனித்துவமற்ற தன்னியக்கக் குழுவைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அருகிலுள்ள சிதைவுகளும் கே-பாலிஸ்டபிள் என்று தெரியவில்லை. வெர்சல் டிஃபார்மேஷன் இடத்திற்குள் உள்ள ஜிஐடி-பாலிஸ்டபிள் புள்ளிகளுடன் தொடர்புடைய சிதைவுகள் அருகிலுள்ள கே-பாலிஸ்டபிள் வகைகளுடன் ஒத்திருக்க வேண்டும் என்று ஊகிக்கப்படுகிறது. உயர் பரிமாணங்கள் எந்தவொரு பரிமாணத்திலும் கே-பாலிஸ்டபிள் ஃபானோ பன்மடங்கு முதல் மற்றும் எளிமையான எடுத்துக்காட்டு சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ் ஆகும், இது எப்போதும் ஃபுபினி-ஸ்டடி மெட்ரிக் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறது, இது எந்த பரிமாணத்திலும் கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் ஆகும், எனவே அனைத்து ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸ்களும் கே-பாலிஸ்டபிள் ஆகும். பொதுவாக உயர் பரிமாணங்களில் இதுபோன்ற பல "வெளிப்படையான" காலர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீடுகள் இல்லை, மேலும் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கண்டுபிடிக்க ஒருவர் சமீபத்திய நிலைத்தன்மை நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். ஃபானோ வகைகளின் சில குடும்பங்களுக்கு, கே-நிலைத்தன்மையை ஆல்பா மாறாத அல்லது பீட்டா அல்லது டெல்டா மாறாதவற்றுடன் முற்றிலும் ஆல்ஜிப்ரோ-வடிவியல் நுட்பங்கள் மூலம் பகுப்பாய்வு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி உயர் பரிமாணங்களில் நிரூபிக்க முடியும். ஒரு எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு ஃபெர்மாட் ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ் என்பது பல்வேறு வடிவங்களில் உள்ளது இந்த ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்கள் தனித்துவமான ஆட்டோமார்ஃபிசம் குழுவுடன் மென்மையான ஃபானோ பன்மடங்கு ஆகும், மேலும் இது ஆல்ஃபா மாறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி டியானால் நிரூபிக்கப்பட்டது, இது ஒரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீனை ஏற்றுக்கொள்கிறது, மேலும் விரிவான வாதங்களைப் பயன்படுத்தி டியான் ஒரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் மெட்ரிக் இருப்பதை நிரூபித்தார். மறுபுறம், டெல்டா மாறாத ஜுவாங்கைப் பயன்படுத்துவது முற்றிலும் இயற்கணித ஆதாரத்தைக் கொடுத்தது, இது கே-நிலையானது, எனவே இந்த சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு கோஹ்லர்-ஐன்ஸ்டீன் அளவீட்டை ஏற்றுக்கொள்கிறது. சீரான கே-நிலைத்தன்மை மற்றும் கே-சமச்சீர் தன்மைக்கான வெளிப்படைத்தன்மை முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, டிகிரியின் பொதுவான மென்மையான மேற்பரப்பு கே-நிலையானது என்று இதிலிருந்து ஒருவர் முடிவு செய்யலாம். சில சந்தர்ப்பங்களில், அனைத்து மென்மையான ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களும் போன்ற அனைத்து டிகிரி ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களும் கே-நிலையானவை என்பது உண்மையில் அறியப்படுகிறது. குறிப்பிட்ட ஃபானோ வகைகளின் ஆய்வுக்கு கூடுதலாக, சில அமைப்புகளில் கே-மாடுலி உயர் பரிமாணங்களில் வெளிப்படையாக விவரிக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, கே-மாடுலி ஒரு "வெளிப்படையான" ஜிஐடி விளக்கத்தை ஒப்புக்கொள்ளும்போது, பீட்டா அல்லது டெல்டா மாறுபாடுகளின் இயற்கணித கருவிகள் அந்த குறிப்பிட்ட சிக்கலுக்கான ஜிஐடி நிலைத்தன்மை கே-நிலைத்தன்மைக்கு சமம் என்பதை சரிபார்க்க பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, கனசதுர நான்கு மடங்கு ஹைப்பர்சர்ஃபேஸ்களுக்கு, (ஒருவேளை ஒருமை) கனசதுர நான்கு மடிப்புகளின் ஜிஐடி மாடுலி இடைவெளி கே-மாடுலி இடத்திற்கு ஐசோமார்பிக் என்று லியு காட்டினார், இதனால் ஒருவர் கே-ஸ்டேபிள், கே-பாலிஸ்டபிள் மற்றும் கே-செமிஸ்டபிள் கியூபிக் நான்கு மடிப்புகளின் ஜிஐடி நிலைத்தன்மை மற்றும் ஒருமைப்பாட்டு கட்டமைப்பின் அடிப்படையில் ஒரு வெளிப்படையான விளக்கத்தைப் பெறுகிறார். குறிப்பாக ஒவ்வொரு மென்மையான கனசதுரமும் நான்கு மடங்கு கே-நிலையானது. குறிப்புகள் குறிப்புகள் இயற்கணித வடிவியல்