Bayesian quadrature
பேய்சியன் நாற்கரமானது சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பு சிக்கல்களை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கான ஒரு முறையாகும். இது நிகழ்தகவு எண் முறைகளின் வகுப்பிற்குள் வருகிறது. பேய்சியன் நாற்கரமானது எண் ஒருங்கிணைப்பை ஒரு பேய்சியன் அனுமான பணியாகக் கருதுகிறது, அங்கு செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகள் அந்த செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த காரணத்திற்காக, இது சில நேரங்களில் "பேய்சியன் நிகழ்தகவு எண் ஒருங்கிணைப்பு" அல்லது "பேய்சியன் எண் ஒருங்கிணைப்பு" என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு பல பரிமாணங்களாக இருக்கும்போது "பேய்சியன் கியூப்ரேச்சர்" என்ற பெயரும் சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த அணுகுமுறையின் சாத்தியமான நன்மை என்னவென்றால், இது ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பிற்கான நிகழ்தகவு நிச்சயமற்ற அளவீட்டை வழங்குகிறது. பேய்சியன் நாற்கர எண் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு களத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடாக இருக்கட்டும் (பொதுவாக). எண் ஒருங்கிணைப்பில், தனித்துவமான இடங்களில் செயல்பாட்டு மதிப்பீடுகள் ஒரு அளவீட்டுக்கு எதிராக ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிட பயன்படுத்தப்படுகின்றனஃ அதாவது. எடைகளைப் பொறுத்தவரை, ஒரு நாற்கர விதி என்பது பேய்சியன் நாற்கர வடிவத்தின் மதிப்பீட்டாளராகும், இது ஒரு முன் விநியோகத்தைக் குறிப்பிடுகிறது, இது ஒரு பின்புற விநியோகத்தைப் பெறுவதற்கு முன்பு கண்டிஷனிங் செய்கிறது, பின்னர் மறைமுகமான பின்புற விநியோகத்தை கணக்கிடுகிறது. "குவாட்ரேச்சர்" என்ற பெயர், பின்புற சராசரி சில நேரங்களில் ஒரு குவாட்ரேச்சர் விதியின் வடிவத்தை எடுக்கிறது என்பதிலிருந்து வருகிறது, அதன் எடைகள் முந்தைய விருப்பத்தின் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. காஸியன் செயல்முறைகளுடன் பேய்சியன் நாற்கரமானது முன் விநியோகத்தின் மிகவும் பொதுவான தேர்வு ஒரு காஸியன் செயல்முறையாகும், ஏனெனில் இது ஒரு மூடிய வடிவ பின்புற விநியோகத்தைப் பெற இணை அனுமானத்தை அனுமதிக்கிறது. முன் சராசரி செயல்பாடு மற்றும் கோவேரியன்ஸ் செயல்பாடு (அல்லது கர்னல் செயல்பாடு) கொண்ட காஸியன் செயல்முறை நம்மிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், பின்புற விநியோகம் என்பது சராசரி மற்றும் கர்னலுடன் ஒரு காஸியன் செயல்முறையாகும்ஃ எங்கே, மற்றும். மேலும், பின்புற விநியோகம் என்பது சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டுடன் ஒரு மாறுபட்ட காஸியன் விநியோகமாகும். குறிப்பாக, பின்புற சராசரி என்பது எடைகளுடன் கூடிய ஒரு நாற்கர விதி மற்றும் பின்புற மாறுபாடு என்பது பயனரின் நிச்சயமற்ற தன்மையின் அளவை வழங்குகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. மிகவும் சவாலான ஒருங்கிணைப்பு சிக்கல்களில், முந்தைய விநியோகத்தை அறிவுசார் நிச்சயமற்ற தன்மையின் அர்த்தமுள்ள பிரதிநிதித்துவமாக நம்ப முடியாது என்றால், கர்னல் ஹைப்பர் அளவுருக்களை அமைக்க தரவைப் பயன்படுத்துவது அவசியம், எடுத்துக்காட்டாக, அதிகபட்ச நிகழ்தகவு மதிப்பீடு. கர்னல் ஹைப்பர் அளவுருக்களின் மதிப்பீடு பேய்சியன் நாற்கரத்தில் தகவமைப்பை அறிமுகப்படுத்துகிறது. எடுத்துக்காட்டு மென்மை மற்றும் தொடர்பு நீளத்தின் மேட்டர்ன் கோவேரியன்ஸ் செயல்பாட்டிற்கு முன்னர் பூஜ்ஜிய-பொருள் காஸியன் செயல்முறையின் அடிப்படையில் பேய்சியன் நாற்கர விதியைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பை மதிப்பிடுவதைக் கவனியுங்கள். பேய்சியன் நாற்கரப் புள்ளி மதிப்பீடு மற்றும் பின்புற வெகுஜனத்தின் செறிவு ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு, அளவிடப்பட்டபடி, உண்மையான ஒருங்கிணைப்பைச் சுற்றி, மேலும் மேலும் புள்ளிகளில் மதிப்பிடப்படுவதுடன், அதனுடன் இணைந்த அனிமேஷனில் காட்டப்படுகிறது என்பதைக் கணக்கிடுவது நேரடியானது (கடினமாக இருந்தாலும்). நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள் பேய்சியன் நாற்கரமானது நிகழ்தகவு எண்களுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்பதால், பாரம்பரிய எண் ஒருங்கிணைப்பு முறைகளுடன் ஒப்பிடும்போது இது சில நன்மைகளைப் பெறுகிறதுஃ இது எண்ணியல் பிழையின் தாக்கத்தை வெளிப்படையாக மாதிரியாக்குவதற்கு அனைத்து அடுத்தடுத்த கணக்கீடுகள் மூலமாகவும் நிச்சயமற்ற தன்மையை அளவிடவும் பரப்பவும் அனுமதிக்கிறது. இது முன் விநியோகங்களின் நியாயமான தேர்வைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் முன் அறிவை இணைப்பதற்கான ஒரு கொள்கை ரீதியான வழியை வழங்குகிறது, இது இப்போது விவரிக்கப்பட்ட நிலையான காஸியன் செயல்முறையுடன் ஒப்பிடும்போது மிகவும் அதிநவீனமாக இருக்கலாம். இது தகவல்களை மிகவும் திறம்பட பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது, எ. கா. பல தொடர்புடைய வட்டி அளவுகளை கூட்டாக ஊகிப்பது அல்லது தேவையான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறைக்க செயலில் கற்றல் பயன்படுத்துதல். இந்த தகுதிகள் இருந்தபோதிலும், பேய்சியன் நாற்கர முறைகள் பின்வரும் வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளனஃ பேய்சியன் முன்னுதாரணம் நிச்சயமற்ற தன்மையை அளவிடுவதற்கான ஒரு கொள்கை ரீதியான சிகிச்சையை அனுமதித்தாலும், பிந்தைய அனுமானம் எப்போதும் கையாள முடியாதது, இதனால் இரண்டாவது நிலை மதிப்பீடு தேவைப்படுகிறது. எ. கா. காஸியன் செயல்முறைகளுடன் பேய்சியன் நாற்கரத்திற்கு, கர்னல் சராசரி உட்பொதிப்பு ஒரு பொதுவான கர்னல் மற்றும் அளவீட்டிற்கு மூடிய வடிவ வெளிப்பாட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை. காஸியன் செயல்முறைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட பேய்சியன் நாற்கர முறைகளின் கணக்கீட்டு செலவு பொதுவாக தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸ்களின் செலவு காரணமாகும், இது பெரிய அளவிலான சிக்கல்களுக்கு அவற்றின் பயன்பாடுகளை மீறக்கூடும். அல்காரிதம் வடிவமைப்பு முன் விநியோகங்கள் இதற்கு முன்பு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுவது ஒரு காஸியன் செயல்முறையாகும். இது முக்கியமாக காஸியன் இணைப்பால் வழங்கப்பட்ட நன்மை மற்றும் காஸியன் செயல்முறைகள் முன் சக மாறுபாட்டை கவனமாக தேர்வு செய்வதன் மூலம் மென்மை, கால இடைவெளி மற்றும் இடைவெளி உள்ளிட்ட பரந்த அளவிலான முன் அறிவை குறியாக்கம் செய்ய முடியும் என்ற உண்மை காரணமாகும். இருப்பினும், பல முன் விநியோகங்களும் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. இதில் பல வெளியீட்டு காஸியன் செயல்முறைகள் அடங்கும், அவை பல தொடர்புடைய எண் ஒருங்கிணைப்பு பணிகளை ஒரே நேரத்தில் அல்லது தொடர்ச்சியாக கையாளும் போது குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும், மேலும் பேய்சியன் சேர்க்கை பின்னடைவு மரங்கள் போன்ற மர அடிப்படையிலான முன்னுரிமைகள், அவை தொடர்ச்சியற்றதற்கு மிகவும் பொருத்தமானவை. கூடுதலாக, ஒருங்கிணைப்பு நடவடிக்கைக்காக டிரிக்லெட் செயல்முறைகள் முன்னுரிமைகளும் முன்மொழியப்பட்டுள்ளன. புள்ளி தேர்வு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகின்றன, அல்லது பிந்தையது விரைவான விகிதத்தில் செறிவூட்டப்படுவதை உறுதிசெய்ய தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம். ஒரு அணுகுமுறை மற்ற நாற்கர விதிகளிலிருந்து புள்ளி தொகுப்புகளைப் பயன்படுத்துவதைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, மான்டே கார்லோவிற்கு ஒரு பேய்சியன் அணுகுமுறையை மீட்டெடுப்பதில் இருந்து சுயாதீனமான மற்றும் ஒரே மாதிரியான விநியோகிக்கப்பட்ட உணர்தல்களை எடுத்துக்கொள்வது, அதேசமயம் குறைந்த-முரண்பாடு வரிசைகள் அல்லது லட்டிஸ்கள் போன்ற சில தீர்மானகரமான புள்ளி தொகுப்புகளைப் பயன்படுத்துவது அரை-மாண்டே கார்லோவுக்கு பேய்சியன் மாற்றீட்டை மீட்டெடுக்கிறது. பேய்சியன் நாற்கரத்திற்காக குறிப்பாக வடிவமைக்கப்பட்ட புள்ளி தொகுப்புகளைப் பயன்படுத்துவதும் நிச்சயமாக சாத்தியமாகும்; எடுத்துக்காட்டாக, அளவிடக்கூடிய பேய்சியன் நாற்கர மதிப்பீட்டாளர்களைப் பெற புள்ளி தொகுப்புகளில் சமச்சீர்மைகளை யார் பயன்படுத்தினர் என்பதைப் பார்க்கவும். மாற்றாக, பல வெளியீட்டு காஸியன் செயல்முறைகள் உட்பட, பிந்தைய நிச்சயமற்ற தன்மையை நேரடியாகக் குறைக்கும் வகையில், செயலில் கற்றல் மற்றும் பேய்சியன் சோதனை வடிவமைப்பிலிருந்து கொள்கைகளைப் பின்பற்றி புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். கர்னல் சராசரி மற்றும் ஆரம்ப பிழை பேய்சியன் நாற்கரத்தை செயல்படுத்தும்போது ஏற்படும் சவால்களில் ஒன்று செயல்பாடு மற்றும் மாறிலியை மதிப்பீடு செய்ய வேண்டிய அவசியம். முந்தையது பொதுவாக கர்னல் சராசரி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது அதிகபட்ச சராசரி முரண்பாடு போன்ற கர்னல் அடிப்படையிலான தூரங்களின் கணக்கீட்டிற்கு முக்கியமாகும். எந்தவொரு செயல்பாட்டு மதிப்புகளும் கவனிக்கப்படுவதற்கு முன்பு ஒருங்கிணைப்பு பிழையின் மேல் வரம்பை வழங்குவதால் பிந்தையது பொதுவாக ஆரம்ப பிழை என்று அழைக்கப்படுகிறது. துரதிர்ஷ்டவசமாக, கர்னல் சராசரி மற்றும் ஆரம்ப பிழையை ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான ஜோடிகளுக்கு மட்டுமே கணக்கிட முடியும்; எடுத்துக்காட்டாக அட்டவணை 1 ஐப் பார்க்கவும். கோட்பாடு பேய்சியன் நாற்கரத்திற்கு பல தத்துவார்த்த உத்தரவாதங்கள் பெறப்பட்டுள்ளன. இவை பொதுவாக ஒருங்கிணைப்பின் சோபோலேவ் மென்மை பண்புகள் தேவைப்படுகின்றன, இருப்பினும் சமீபத்திய ஆராய்ச்சி காஸியன் கர்னலின் இனப்பெருக்கம் செய்யும் கர்னல் ஹில்பர்ட் இடத்தில் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு விரிவடைகிறது. பெரும்பாலான முடிவுகள் மான்டே கார்லோ அல்லது தீர்மானகரமான கிரிட் பாயிண்ட் செட்களுக்கு பொருந்தும், ஆனால் சில முடிவுகள் தகவமைப்பு வடிவமைப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகின்றன. மென்பொருள் ப்ரோப்னம்ஃ பைத்தானில் நிகழ்தகவு எண் முறைகள், ஒரு பேய்சியன் நாற்கர செயல்படுத்தல் உட்பட. எமுகிட்ஃ பைத்தானில் நிச்சயமற்ற நிலையில் முன்மாதிரி மற்றும் முடிவெடுப்பது. QMCPy: பைத்தானில் உள்ள QMC புள்ளி தொகுப்புகளுடன் பேய்சியன் நாற்கர அமைப்பு. குறிப்புகள் எண் ஒருங்கிணைப்பு (நாற்கர) பேய்சியன் அனுமானம்