Queen's graph
கணிதத்தில், ஒரு ராணியின் வரைபடம் என்பது ஒரு சதுரங்கப் பலகையில் ராணியின் அனைத்து சட்டப்பூர்வ நகர்வுகளையும்-ஒரு சதுரங்கத் துண்டையும்-குறிக்கும் ஒரு திசைதிருப்பப்படாத வரைபடமாகும். வரைபடத்தில், ஒவ்வொரு முனையும் சதுரங்கப் பலகையில் ஒரு சதுரத்தைக் குறிக்கிறது, மேலும் ஒவ்வொரு விளிம்பும் ராணி செய்யக்கூடிய ஒரு சட்டபூர்வமான நகர்வாகும், அதாவது, எந்த எண்ணிக்கையிலான சதுரங்களாலும் கிடைமட்ட, செங்குத்து அல்லது மூலைவிட்ட நகர்வு. சதுரங்கப் பலகையில் பரிமாணங்கள் இருந்தால், தூண்டப்பட்ட வரைபடம் ராணியின் வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரைபடங்களின் சுயாதீன தொகுப்புகள் இரண்டு ராணிகள் ஒருவருக்கொருவர் தாக்காத பல ராணிகளின் வேலைவாய்ப்புகளுடன் ஒத்திருக்கின்றன. அவர்கள் எட்டு ராணிகளின் புதிரில் படிக்கப்படுகிறார்கள், அங்கு எட்டு தாக்குதல் இல்லாத ராணிகள் ஒரு நிலையான சதுரங்கப் பலகையில் வைக்கப்படுகிறார்கள். ஆதிக்கம் செலுத்தும் செட்டுகள் ஒவ்வொரு சதுரமும் ஒரு ராணியால் தாக்கப்படும் அல்லது ஆக்கிரமிக்கப்படும் ராணிகளின் ஏற்பாடுகளைக் குறிக்கின்றன; ஐந்து ராணிகள், ஆனால் குறைவாக இல்லை, சதுரங்கப் பலகையில் ஆதிக்கம் செலுத்த முடியும். வரைபடங்களின் வண்ணங்கள் ஒவ்வொரு சதுரத்திற்கும் வண்ணம் பூசுவதற்கான வழிகளைக் குறிக்கின்றன, இதனால் ஒரு ராணி ஒரே நிறத்தின் இரண்டு சதுரங்களுக்கு இடையில் நகர முடியாது; ஒரு சதுரங்கப் பலகைக்கு குறைந்தபட்சம் n வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன, ஆனால் பலகைக்கு 9 வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ராணியின் வரைபடத்திற்கும் ஒரு ஹாமில்டோனியன் சுழற்சி உள்ளது, மேலும் வரைபடங்கள் இரு இணைக்கப்பட்டுள்ளன (ஏதேனும் ஒரு முனை அகற்றப்பட்டால் அவை இணைக்கப்பட்டிருக்கும்). ராணி மற்றும் ராணி வரைபடங்களின் சிறப்பு வழக்குகள் நிறைவடைந்துள்ளன. சுதந்திரம் வரைபடத்தின் ஒரு சுயாதீனமான தொகுப்பு ஒரு சதுரங்கப் பலகையில் பல ராணிகளை வைப்பதற்கு ஒத்திருக்கிறது, அதாவது இரண்டு ராணிகள் ஒருவருக்கொருவர் தாக்குவதில்லை. ஒரு சதுரங்கப் பலகையில், மிகப்பெரிய சுயாதீன தொகுப்பு அதிகபட்சமாக n செங்குத்துகளைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் இரண்டு ராணிகள் ஒரே வரிசையில் அல்லது நெடுவரிசையில் இருக்க முடியாது. n = 2 மற்றும் n = 3 தவிர அனைத்து n க்கும் இந்த மேல் வரம்பை அடைய முடியும். n = 8 ஐப் பொறுத்தவரை, இது பாரம்பரிய எட்டு ராணிகளின் புதிர். ஆதிக்கம் ராணியின் வரைபடத்தின் ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்பு ராணிகளின் இடத்துடன் ஒத்திருக்கிறது, அதாவது சதுரங்கப் பலகையில் உள்ள ஒவ்வொரு சதுரமும் ஒரு ராணியால் தாக்கப்படுகிறது அல்லது ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு சதுரங்கப் பலகையில், ஐந்து ராணிகள் ஆதிக்கம் செலுத்த முடியும், இது குறைந்தபட்ச எண்ணிக்கையாகும் (நான்கு ராணிகள் குறைந்தது இரண்டு சதுரங்களை தாக்காமல் விட்டுவிடுகிறார்கள்). ஐந்து ராணிகளின் 4,860 பணியிடங்கள் உள்ளன, இதில் ராணிகள் கட்டுப்படுத்தும் இடங்கள் உட்பட அனைத்து ஆக்கிரமிக்கப்பட்ட சதுரங்களும் உள்ளன, அதாவது. அவை முறையே ஒருவருக்கொருவர் தாக்குகின்றன. இந்த துணைக்குழுவில், ராணிகள் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் மட்டுமே சதுரங்களை ஆக்கிரமித்திருக்கும் நிலைகளும் உள்ளன (எ. கா. a1 முதல் h8 வரை), அல்லது அனைத்தும் ஒரு உட்பிரிவில் (எ. கா. a2 முதல் g8 வரை). சுழலும் செவ்வக சதுரங்கப் பலகையை ஒரு டோரஸ் அல்லது சிலிண்டருடன் மாற்றுவதன் மூலம் வரைபடத்தை மாற்றியமைப்பது குறைந்தபட்ச ஆதிக்கம் செலுத்தும் செட் அளவை நான்காகக் குறைக்கிறது. ராணியின் வரைபடம் பலகையின் மையத்தில் ஒற்றை உச்சியால் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது. ராணியின் வரைபடத்தின் மைய முனை 8 செங்குத்துகளைத் தவிர மற்ற அனைத்தையும் ஒட்டியுள்ளதுஃ குதிரையின் வரைபடத்தின் மைய உச்சியை ஒட்டியுள்ள அந்த செங்குத்துகள். ஆதிக்க எண்கள் ஒரு ராணியின் வரைபடத்தின் ஆதிக்கம் எண் d (n) ஐ மிகச்சிறிய ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்பின் அளவாகவும், மூலைவிட்ட ஆதிக்கம் எண் dd (n) நீண்ட மூலைவிட்டத்தின் துணைக்குழுவாக இருக்கும் மிகச்சிறிய ஆதிக்கம் செலுத்தும் தொகுப்பின் அளவாகவும் வரையறுக்கவும். அனைத்து n க்கும் எல்லை அடையப்படுகிறது, ஆனால் அதற்கு அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆதிக்கம் எண் n இல் நேரியல் ஆகும், இதன் வரம்புகள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளனஃ d (n) இன் ஆரம்ப மதிப்புகள், ஏனெனில், 1,1,1,2,3,4,5,5,5 ஆகும். ஒவ்வொரு எண்ணும் ஒரே சமநிலையைக் கொண்ட ஒரு துணைக்குழுவின் அதிகபட்ச அளவாக Kn இருக்கட்டும், மேலும் மூன்று எண்கள் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்காது (தொகுப்பு "நடுப்புள்ளி இல்லாதது"). ஒரு ராணியின் வரைபடத்தின் மூலைவிட்ட மேலாதிக்க எண். சுயாதீன மேலாதிக்க எண் ஐடி (என்) ஒரு ராணியின் வரைபடத்தில் உள்ள மிகச்சிறிய சுயாதீனமான, மேலாதிக்க தொகுப்பின் அளவு என்று வரையறுக்கவும். என்பது தெரிந்ததே. வண்ணமயமாக்கல் ராணியின் வரைபடத்தின் வண்ணமயமாக்கல் என்பது ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் வண்ணங்களை ஒதுக்குவதாகும், இதனால் அருகிலுள்ள இரண்டு செங்குத்துகளுக்கு ஒரே நிறம் கொடுக்கப்படுவதில்லை. உதாரணமாக, a8 சிவப்பு நிறத்தில் இருந்தால், a-கோப்பில் உள்ள வேறு எந்த சதுரமும், எட்டாவது தரவரிசை அல்லது நீண்ட மூலைவிட்டமும் சிவப்பு நிறத்தில் இருக்க முடியாது, ஏனெனில் ஒரு ராணி a8 இலிருந்து இந்த சதுரங்களில் எதற்கும் செல்ல முடியும். வரைபடத்தின் நிற எண் என்பது அதை வண்ணமயமாக்க பயன்படுத்தக்கூடிய மிகச்சிறிய எண்ணிக்கையிலான வண்ணங்கள் ஆகும். ஒரு ராணியின் வரைபடத்தைப் பொறுத்தவரை, குறைந்தபட்சம் n வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன, ஏனெனில் ஒரு தரவரிசை அல்லது கோப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு சதுரத்திற்கும் வெவ்வேறு நிறம் தேவைப்படுகிறது (அதாவது. வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் கிளிக்குகள்). நிற எண் சரியாக n என்றால் (அதாவது. n என்பது 6 இன் பெருக்கியை விட ஒன்று அதிகம் அல்லது ஒன்று குறைவாக உள்ளது). ஒரு ராணியின் வரைபடத்தின் நிற எண் 9 ஆகும். செட்டில் இருந்து ஏதேனும் உச்சியை அகற்றினால் செட்டின் சுற்றுப்புறத்தை மாற்றினால், அதாவது செங்குத்துகளின் தொகுப்பு பொருத்தமற்றது. ஒவ்வொரு உச்சிக்கும், தொகுப்பில் உள்ள வேறு எந்த உச்சிக்கும் அருகில் இல்லாத ஒரு அருகிலுள்ள உச்சி உள்ளது. இது ராணிகளின் தொகுப்புடன் ஒத்திருக்கிறது, அவை ஒவ்வொன்றும் குறைந்தது ஒரு சதுரத்தையாவது தனித்துவமாக கட்டுப்படுத்துகின்றன. ராணியின் வரைபடத்தில் ஒரு தவிர்க்கமுடியாத தொகுப்பின் அதிகபட்ச அளவு IR (n) ஐ வகைப்படுத்துவது கடினம்; அறியப்பட்ட மதிப்புகளில் பின்தொடர்தல்-தவிர்ப்பு விளையாட்டு அடங்கும் பின்வரும் விதிகளின்படி விளையாடப்படும் ராணியின் வரைபடத்தில் பின்தொடர்தல்-தவிர்ப்பு விளையாட்டைக் கவனியுங்கள்ஃ ஒரு வெள்ளை ராணி ஒரு மூலையில் தொடங்குகிறது மற்றும் எதிர் மூலையில் ஒரு கருப்பு ராணி. வீரர்களின் மாற்று நகர்வுகள், ராணியை அருகிலுள்ள உச்சிக்கு நகர்த்துவதைக் கொண்டுள்ளன, அவை கடந்து செல்லாமல் (கிடைமட்டமாக, செங்குத்தாக அல்லது மூலைவிட்டமாக) அல்லது எதிர் ராணிக்கு அருகிலுள்ள உச்சியில் தரையிறங்காமல் அடையப்படலாம். இந்த விளையாட்டை ஒரு ஜோடி மூலோபாயத்துடன் வெள்ளையர்களால் வெல்ல முடியும். கிங்ஸ் கிராஃப் நைட்டின் கிராஃப் ரூக்கின் கிராஃப் பிஷப்பின் கிராஃப் குறிப்புகள் கணித சதுரங்க சிக்கல்கள் வரைபடங்களின் அளவுரு குடும்பங்களையும் பார்க்கவும்