Fair allocation of items and money
பொருட்கள் மற்றும் பணத்தின் நியாயமான ஒதுக்கீடு என்பது நியாயமான பொருள் ஒதுக்கீடு சிக்கல்களின் ஒரு வகையாகும், இதில் ஒதுக்கீடு செயல்முறையின் போது, பங்கேற்பாளர்களில் சிலரிடமிருந்து பணம் கொடுக்கவோ அல்லது எடுக்கவோ முடியும். பணம் இல்லாமல், பிரிக்க முடியாத பொருட்களை நியாயமாக ஒதுக்குவது சாத்தியமற்றதாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொருள் மற்றும் இரண்டு நபர்கள் இருந்தால், அந்த பொருள் அவர்களில் ஒருவருக்கு முழுமையாக வழங்கப்பட வேண்டும் என்றால், ஒதுக்கீடு மற்றொன்றுக்கு நியாயமற்றதாக இருக்கும். பணக் கொடுப்பனவுகள் கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, நியாயத்தை அடைவதை சாத்தியமாக்குகின்றன. இரண்டு முகவர்கள் மற்றும் ஒரு உருப்படி இரண்டு முகவர்கள் மற்றும் ஒரு உருப்படியுடன், பின்வரும் எளிய வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி நியாயத்தை அடைய முடியும் (இது வெட்டு மற்றும் தேர்வின் ஒரு மாறுபாடு): ஆலிஸ் ஒரு விலையைக் கூறுகிறார் p அவர் உருப்படிக்கு செலுத்த தயாராக இருக்கிறார். ஜார்ஜ் பொருளை எடுத்து p செலுத்துவதா அல்லது ஆலிஸிடம் விட்டுவிடுவதா என்று தேர்வு செய்கிறார், இதனால் ஆலிஸ் p செலுத்துகிறார். இந்த வழிமுறை முகவர்களுக்கு குவாசிலினியர் பயன்பாடுகள் உள்ளன என்று கருதுகிறது, அதாவது, அவற்றின் பயன்பாடு என்பது பொருட்களின் மதிப்பு மற்றும் அவர்களிடம் உள்ள பணத்தின் அளவு ஆகும். ஆலிஸின் விலை குறைவாக இருப்பதாக ஜார்ஜ் நினைத்தால் (அவர் p ஐ விட அதிகமாக செலுத்த தயாராக இருக்கிறார்), பின்னர் அவர் பொருளை எடுத்து p ஐ செலுத்துகிறார், மேலும் அவரது பயன்பாடு நேர்மறையானது, எனவே அவர் ஆலிஸை பொறாமைப்படுவதில்லை. ஆலிஸும் ஜார்ஜை பொறாமைப்படுவதில்லை, ஏனெனில் அவரது பயன்பாடு-அவளுடைய பார்வையில்-0 ஆகும். இதேபோல், ஆலிஸின் விலை அதிகமாக இருப்பதாக ஜார்ஜ் நினைத்தால் (அவர் p அல்லது அதற்கு மேல் செலுத்தத் தயாராக இருக்கிறார்), அவர் அந்த பொருளை ஆலிஸிடம் விட்டுவிடுகிறார், பொறாமைப்படுவதில்லை, ஏனெனில் அவரது பார்வையில் ஆலிஸின் பயன்பாடு எதிர்மறையாக உள்ளது. சமமான பணப் பரிமாற்றம் தொடர்புடைய பயன்பாடுகளை பாதிக்காது என்பதால், செலுத்தப்பட்ட பணத்தை பி பின்னர் வீரர்களிடையே சமமாகப் பிரிக்கலாம். பின்னர், திறம்பட, வாங்கும் முகவர் விற்பனை முகவருக்கு p/2 செலுத்துகிறார். ஒவ்வொரு முகவரின் மொத்த பயன்பாடும் அந்த பொருளுக்கான அவரது பயன்பாட்டில் குறைந்தது மூன்றில் ஒரு பங்காகும். முகவர்களுக்கு வெவ்வேறு உரிமைகள் இருந்தால், செலுத்தப்பட்ட பணம் பங்குதாரர்களிடையே அவர்களின் உரிமைகளுக்கு ஏற்ப பிரிக்கப்பட வேண்டும். இந்த எளிய யோசனையை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட வீரர்களுக்கும் மிகவும் சிக்கலான அமைப்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தும் பல்வேறு படைப்புகள் உள்ளன. இந்த படைப்புகளில் முக்கிய நியாயமான அளவுகோல்கள் பொறாமை-சுதந்திரம் ஆகும். கூடுதலாக, சில படைப்புகள் ஒரு நல்ல மூன்றாம் தரப்பு ஒதுக்கீட்டை மானியமாக வழங்க தயாராக இருக்கும் ஒரு அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்கின்றன, ஆனால் பொறாமை-சுதந்திரத்திற்கு உட்பட்டு மானியத்தின் அளவைக் குறைக்க விரும்புகிறது. இந்த சிக்கல் குறைந்தபட்ச மானிய பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. யூனிட்-டிமாண்ட் முகவர்கள் யூனிட்-டிமாண்ட் முகவர்கள் அதிகபட்சம் ஒரு பொருளில் ஆர்வமாக உள்ளனர். வாடகை இணக்கம் இந்த அமைப்பில் ஒரு சிறப்பு வழக்கு குத்தகைதாரர்கள் இடையே ஒரு அபார்ட்மெண்ட் அறைகள் பிரிக்கும் போது உள்ளது. இது மூன்று தேவைகளால் வகைப்படுத்தப்படுகிறதுஃ (அ) முகவர்களின் எண்ணிக்கை பொருட்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம், (ஆ) ஒவ்வொரு முகவரும் சரியாக ஒரு பொருளைப் பெற வேண்டும் (அறை), (இ) முகவர்கள் செலுத்தும் மொத்த பணம் ஒரு நிலையான மாறிலிக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், இது மொத்த அடுக்குமாடி வாடகையைக் குறிக்கிறது. இது வாடகை நல்லிணக்க சிக்கல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, பொருளாதார இலக்கியத்தில், ஒவ்வொரு முகவரும் மூட்டைகளில் ஒரு பயன்பாட்டு செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளனர் என்று கருதுவது பொதுவானது (ஒரு மூட்டை என்பது ஒரு பொருளின் ஜோடி மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பணம்). பயன்பாட்டு செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் பணத்தில் அதிகரிக்க வேண்டும். இது பணத்தில் நேரியல் இருக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் "ஆர்க்கிமிடியன்" ஆக இருக்க வேண்டும், அதாவது, சில மதிப்பு V உள்ளது, அதாவது, ஒவ்வொரு இரண்டு பொருட்களுக்கும் j மற்றும் k க்கு, பொருள் j பிளஸ் V இன் பயன்பாடு பொருள் k இன் பயன்பாட்டை விட பெரியதாக இருக்க வேண்டும் (மாற்றாக, பொருள் k ஐ இலவசமாகப் பெறுவதற்கான பயன்பாடு பொருள் k ஐப் பெறுவதன் மற்றும் V ஐ செலுத்துவதன் பயன்பாட்டை விட பெரியது). குவாசிலினியர் பயன்பாடு என்பது ஆர்க்கிமிடியன் பயன்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு, இதில் வி என்பது இரண்டு பொருட்களுக்கு இடையிலான மிகப்பெரிய மதிப்பு-வேறுபாடு (ஒரே முகவருக்கு) ஆகும். அனைத்து முகவர்களும் ஆர்க்கிமிடியனாக இருக்கும்போது, பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு உள்ளது மற்றும் பாரேட்டோ-உகந்ததாகும் என்பதை ஸ்வென்சன் முதலில் நிரூபித்தார். டிமாங்கே, கேல் மற்றும் சோட்டோமேயர் ஒரு இயற்கையான ஏறும் ஏலத்தைக் காட்டினர், இது அலகு கோரிக்கை முகவர்களுக்கான பணக் கொடுப்பனவுகளைப் பயன்படுத்தி பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீட்டை அடைகிறது. மொத்த நிதி வழங்கல் (n-1) V ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது மாஸ்கின் ஒரு பரேட்டோ-உகந்த பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீட்டின் இருப்பை நிரூபித்தார். சான்றுகள் போட்டி சமநிலையைப் பயன்படுத்துகின்றன. (n-1) V இன் மானியம் தேவைப்படலாம் என்பதைக் கவனியுங்கள்ஃ அனைத்து முகவர்களும் ஒரு பொருளை V இல் மதிப்பிட்டால், மற்ற பொருட்களை 0 இல் மதிப்பிட்டால், பொறாமை-சுதந்திரத்திற்கு பொருளைப் பெறாத ஒவ்வொரு முகவருக்கும் V இன் மானியம் தேவைப்படுகிறது. டாடெனுமா மற்றும் தாம்சன் பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு விதிகளின் பல நிலைத்தன்மை பண்புகளை ஆய்வு செய்கிறார்கள். பொறாமை-சுதந்திரத்திற்குத் தேவையான குறைந்தபட்ச மானியத் தொகையை அரகோன்ஸ் வகைப்படுத்துகிறது. இந்த குறைந்தபட்ச மானியத்தை அடையும் ஒதுக்கீடு கிட்டத்தட்ட தனித்துவமானதுஃ முகவர்களுடன் பொருட்களை இணைக்க ஒரே ஒரு வழி மட்டுமே உள்ளது, மேலும் அனைத்து முகவர்களும் அனைத்து குறைந்தபட்ச மானிய ஒதுக்கீடுகளிலும் அலட்சியமாக உள்ளனர். இது அல்கான், டெமாங்கே மற்றும் கேல் ஆகியவற்றின் "பண-ரவுல்சியன் தீர்வு" என்று அழைக்கப்படும் தீர்வுடன் ஒத்துப்போகிறது. அதிகபட்ச எடை பொருத்தத்தைக் கண்டறிந்து, பின்னர் ஒரு குறிப்பிட்ட தூண்டப்பட்ட வரைபடத்தில் குறுகிய பாதைகளைக் கண்டறிவதன் மூலம், பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் இதைக் காணலாம். அதே அமைப்புக்கான மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறையை க்ளிஜ்ன் வழங்குகிறது. அவரது வழிமுறை பக்க கொடுப்பனவுகளின் பாலிடோப்பைப் பயன்படுத்துகிறது, இது கொடுக்கப்பட்ட ஒதுக்கீட்டை பொறாமை இல்லாததாக ஆக்குகிறதுஃ அசல் ஒதுக்கீடு பரேட்டோ-திறமையானதாக இருந்தால் இந்த பாலிடோப் காலியாக இருக்காது. திசைதிருப்பப்படாத பொறாமை வரைபடத்தின் இணைப்பு இந்த பாலிடோப்பின் தீவிர புள்ளிகளை வகைப்படுத்துகிறது. இது தீவிர பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு முறையைக் குறிக்கிறது. சேர்க்கை முகவர்கள் பல பொருட்களைப் பெறலாம், எனவே ஒதுக்கீடு சிக்கல் மிகவும் சிக்கலானது-இன்னும் பல சாத்தியமான ஒதுக்கீடுகள் உள்ளன. நாஸ்டரின் ஏலம் பொருட்கள் மற்றும் பணத்தின் நியாயமான ஒதுக்கீட்டிற்கான முதல் நடைமுறை ப்ரோனிஸ்லா நாஸ்டரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு ஹ்யூகோ ஸ்டெய்ன்ஹாஸால் வெளியிடப்பட்டது. இந்த ஏலம் பின்வருமாறு செயல்படுகிறது, ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் தனித்தனியாகஃ ஒவ்வொரு முகவரும் பொருளின் மீது ஒரு ஏலத்தை சமர்ப்பிக்கிறார். இந்த பொருள் அதிக ஏலம் எடுக்கும் நபருக்கு வழங்கப்படுகிறது (தன்னிச்சையாக உறவுகளை உடைத்தல்). வெற்றியாளர் தனது ஏலத்தில் (n-1)/n ஐ செலுத்துகிறார்; மற்ற முகவர்கள் ஒவ்வொருவரும் அவரது ஏலத்தில் 1/n ஐப் பெறுகிறார்கள்; வெற்றியாளர் அதிக ஏலம் எடுப்பவர் என்பதால், எதிர்மறை அல்லாத உபரி உள்ளது; உபரி முகவர்களிடையே சமமாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு முகவரின் பயன்பாடும் முழு பொருட்களின் தொகுப்புக்கும் அவர் குறிப்பிடும் மதிப்பில் குறைந்தது 1/n ஆகும், எனவே ஒதுக்கீடு விகிதாசாரமாகும். மேலும், ஒதுக்கீடு பயன்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை அதிகரிக்கிறது, எனவே இது பரேட்டோ திறமையானது. நாஸ்டரின் ஏலம் மூலோபாயத்தை நிரூபிக்கவில்லை. சில ஆராய்ச்சியாளர்கள் முகவர்கள் மூலோபாய ரீதியாக விளையாடும்போது அதன் செயல்திறனை பகுப்பாய்வு செய்தனர்ஃ சமநிலை ஒதுக்கீடு இன்னும் பரேட்டோ-திறமையானது என்பதை எஸ்ஸென் நிரூபிக்கிறார், ஆனால் விகிதாசார எக்ஸ்-போஸ்ட் ஆக இருக்காது. இருப்பினும், சராசரியாக, முகவர்கள் அனைவரும் உண்மையாக இருப்பதைப் போலவே அதே முடிவைப் பெறுகிறார்கள். அதாவது, பொறிமுறை விகிதாசார எக்ஸ்-ஆன்டே ஆகும். ஃப்ராக்னெல்லி மற்றும் மெரினா, எல்லையற்ற ஆபத்து-விரோதமான முகவர்கள் கூட, மற்ற முகவர்களின் அறிவிப்புகளைப் பொருட்படுத்தாமல், தங்கள் மதிப்பீடுகளை கூட்டாக தவறாகப் புகாரளிப்பதன் மூலம் பாதுகாப்பான ஆதாயத்தைப் பெறலாம் என்பதைக் காட்டுகின்றன. வயர்லெஸ் சேனல்களின் நியாயமான ஒதுக்கீட்டிற்கு ஏற்ப நாஸ்டரின் ஏலம் மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளது. ரெய்த்தின் ஏலத்தில் மத்தியாஸ் ஜி. ரெய்த் நாஸ்டரின் ஏலத்தில் ஒரு மாறுபாட்டை வழங்கினார், அதை அவர் "சரிசெய்யப்பட்ட நாஸ்டர்" என்று அழைத்தார். நாஸ்டரின் ஏலத்தைப் போலவே, ஒவ்வொரு பொருளும் அதிக ஏலம் எடுக்கும் நபருக்கு வழங்கப்படுகிறது. இருப்பினும், கொடுப்பனவுகள் வேறுபட்டவை. கொடுப்பனவுகள் பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகின்றனஃ ஒரு பொருளை வென்ற ஒவ்வொரு முகவரும் இந்த பொருளுக்கான தனது ஏலத்தை செலுத்துகிறார்; முகவர்கள் செலுத்திய மொத்த பணம் அவர்களின் ஏலங்களுக்கு ஏற்ப அவர்களுக்கு இடையே பிரிக்கப்படுகிறது. நாஸ்டரின் ஏலத்திற்கும் ரைத்தின் ஏலத்திற்கும் உள்ள வேறுபாட்டை விளக்க, பின்வரும் மதிப்புகளுடன் இரண்டு உருப்படிகள் மற்றும் இரண்டு முகவர்களுடன் ஒரு அமைப்பைக் கவனியுங்கள்ஃ இரண்டு ஏலங்களிலும், ஜார்ஜ் இரண்டு பொருட்களையும் வென்றார், ஆனால் கொடுப்பனவுகள் வேறுபட்டவைஃ நாஸ்டரின் ஏலத்தில், ஜார்ஜ் 90 செலுத்துகிறார், ஆலிஸ் 10 பெறுகிறார், 80 இன் வித்தியாசம் சமமாகப் பிரிக்கப்படுகிறது, எனவே நிகர பயன்பாடுகள் 50,130 ஆகும். ரைத்தின் ஏலத்தில், ஜார்ஜ் 180 செலுத்துகிறார், அது 20:180 = 1:9 என்ற விகிதத்தில் வகுக்கப்படுகிறது, அதாவது ஆலிஸ் 18 மற்றும் ஜார்ஜ் 162 பெறுகிறார். கட்டணங்கள் ஒரே நேரத்தில் அனைத்து பொருட்களுக்கும் கணக்கிடப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க-ஒவ்வொரு பொருளுக்கும் தனித்தனியாக அல்ல. மனித பாடங்களுடனான சோதனைகளில், பங்கேற்பாளர்கள் ரைத்தின் ஏலத்தை (சரிசெய்யப்பட்ட நாஸ்டர்) விரும்புகிறார்கள் என்பது கண்டறியப்பட்டது, இது வகுத்தல் மற்றும் தேர்வு மற்றும் விகிதாசார நாஸ்டர் (ஒவ்வொரு வெற்றியாளரும் ஒவ்வொரு தோல்வியுற்றவருக்கும் 1/n செலுத்தும் ஒரு மாறுபாடு; மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், ஜார்ஜ் ஆலிஸுக்கு 90 செலுத்துகிறார், நிகர பயன்பாடுகள் 90,90 ஆகும்). இழப்பீட்டு நடைமுறையை ஹாக்கே, ரைத் மற்றும் சு ஆகியோர் வழங்குகிறார்கள். அவற்றின் நடைமுறை பொருட்களின் மூட்டைகளில் தன்னிச்சையான கட்டுப்பாடுகளை அனுமதிக்கிறது, அவை அநாமதேயமாக இருக்கும் வரை (கூட்டாளர்களிடையே அவர்களின் அடையாளத்தின் அடிப்படையில் வேறுபடுத்த வேண்டாம்). எடுத்துக்காட்டாக, எந்தவொரு தடையும் இருக்க முடியாது, அல்லது "ஒவ்வொரு கூட்டாளியும் குறைந்தபட்சம் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான உருப்படிகளைப் பெற வேண்டும்" அல்லது "சில உருப்படிகள் ஒன்றாக இணைக்கப்பட வேண்டும்" (எ. கா. ஏனெனில் அவை நிலப்பகுதிகள், அவை தொடர்ந்து இணைக்கப்பட வேண்டும்), போன்றவை. "உருப்படிகள்" நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை பயன்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். ஒரு பங்குதாரருக்கு ஒரு "தகுதி தேவை" உள்ளதுஃ அவரது ஏலங்களின் கூட்டுத்தொகை குறைந்தபட்சம் மொத்த செலவாக இருக்க வேண்டும். செயல்முறை பின்வரும் படிகளில் செயல்படுகிறது. ஒரு அதிகபட்ச (பயன்பாட்டு) ஒதுக்கீட்டைக் கண்டறியவும்-பொருட்களின் மூட்டைகளில் உள்ள கட்டுப்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும் மிக உயர்ந்த பயன்பாடுகளுடன் ஒரு ஒதுக்கீடு. எந்த தடையும் இல்லை என்றால், ஒவ்வொரு பொருளையும் அதிக மதிப்பீட்டைக் கொண்ட கூட்டாளருக்கு வழங்கும் ஒதுக்கீடு அதிகபட்ச தொகையாகும். கட்டுப்பாடுகள் இருந்தால் ("ஒரு கூட்டாளருக்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு உருப்படியாவது"), ஒரு அதிகபட்ச ஒதுக்கீட்டைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் கடினமாக இருக்கலாம். ஒவ்வொரு பங்குதாரரிடமிருந்தும் அவருக்கு ஒதுக்கப்பட்ட மூட்டையின் மதிப்பை வசூலிக்கவும். இது ஆரம்பகால பணத் தொகுப்பை உருவாக்குகிறது. ஆரம்ப தொகுப்பிலிருந்து செலவைச் செலுத்துங்கள். அனைத்து கூட்டாளிகளும் தகுதித் தேவையைப் பூர்த்தி செய்தால், குழுவில் உள்ள பணம் போதுமானது, மேலும் சில உபரி இருக்கலாம். பொறாமை கொண்ட கூட்டாளிகளுக்கு இழப்பீடு வழங்குவதன் மூலம் பொறாமையை அகற்றவும். பெரும்பாலான இழப்பீட்டு சுற்றுகள் உள்ளன. செயல்முறை முழுமையாக விவரிக்கிறது மற்றும் எந்த இழப்பீடுகள் செய்யப்பட வேண்டும், எந்த வரிசையில் என்பதை வெளிப்படையாகக் கூறுகிறது. மேலும், கணினி ஆதரவு இல்லாமல் மேற்கொள்ளப்படும் அளவுக்கு இது எளிதானது. அனைத்து சுற்றுகளிலும் செய்யப்படும் இழப்பீடுகளின் கூட்டுத்தொகை பொறாமையை அகற்றத் தேவையான மிகச்சிறிய தொகையாகும், மேலும் இது ஒருபோதும் உபரி தொகையை மீறாது. சில உபரி எஞ்சியிருந்தால், பொறாமையை உருவாக்காத எந்த வகையிலும் அதைப் பிரிக்கலாம், எ. கா., ஒவ்வொரு கூட்டாளருக்கும் சமமான தொகையை வழங்குவதன் மூலம் (காகிதம் "நியாயமான" என்று கருதப்படும் பிற விருப்பங்களைப் பற்றி விவாதிக்கிறது). பல உருப்படிகள் மற்றும் சிக்கலான கட்டுப்பாடுகள் இருக்கும்போது, ஆரம்ப படி-அதிகபட்ச ஒதுக்கீட்டைக் கண்டுபிடிப்பது-கணினி இல்லாமல் கணக்கிடுவது கடினமாக இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், இழப்பீட்டு நடைமுறை ஒரு தன்னிச்சையான ஒதுக்கீட்டில் தொடங்கலாம். இந்த வழக்கில், பொறாமை-சுழற்சிகளைக் கொண்ட ஒரு ஒதுக்கீட்டுடன் செயல்முறை முடிவடையும். பொறாமை-கிராஃப் நடைமுறையைப் போலவே, சுழற்சியில் மூட்டைகளை நகர்த்துவதன் மூலம் இந்த சுழற்சிகளை அகற்றலாம். இது பயன்பாடுகளின் மொத்தத் தொகையை கண்டிப்பாக அதிகரிக்கிறது. எனவே, ஒரு வரம்புக்குட்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு, ஒரு அதிகபட்ச ஒதுக்கீடு காணப்படும், மேலும் பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீட்டை உருவாக்க மேலே உள்ளபடி செயல்முறை தொடரலாம். இழப்பீட்டு நடைமுறை சில கூட்டாளர்களிடம் எதிர்மறையான கட்டணத்தை வசூலிக்கலாம் (அதாவது, கூட்டாளர்களுக்கு நேர்மறையான தொகையை வழங்குதல்). ஆசிரியர்கள் கூறுகிறார்கள்ஃ "ஒரு தனிநபர் ஒரு மூட்டை பொருட்களை எடுக்க மற்றவர்களால் பணம் செலுத்தப்படுவதற்கான வாய்ப்பை நாங்கள் தடுக்கவில்லை. நியாயமான பிரிவின் சூழலில், இந்த சிக்கலை நாங்கள் காணவில்லை. உண்மையில், ஒரு குழு அதன் எந்த உறுப்பினர்களையும் விலக்க விரும்பவில்லை என்றால், விரும்பத்தகாத தொகுப்பைப் பெறுவதற்கு குழு ஒரு உறுப்பினருக்கு மானியம் வழங்கக்கூடாது என்பதற்கு எந்த காரணமும் இல்லை. மேலும், விநியோகிக்கப்பட வேண்டிய பொருட்களின் முழுமையான தொகுப்பை ஒரு வீரர் போதுமான மதிப்பீடு செய்யாததன் விளைவாக மானியம் ஒருபோதும் இருக்காது என்பதை தகுதித் தேவை உத்தரவாதம் செய்கிறது. குறைந்தபட்ச மானிய நடைமுறைகள் சில வேலைகள் ஒரு நன்மை பயக்கும் மூன்றாம் தரப்பு ஒதுக்கீட்டை மானியமாக வழங்க தயாராக இருப்பதாகக் கருதுகின்றன, ஆனால் பொறாமை-சுதந்திரத்திற்கு உட்பட்டு மானியத்தின் அளவைக் குறைக்க விரும்புகிறது. இந்த சிக்கல் குறைந்தபட்ச மானிய பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹால்பெர்னும் ஷாவும் பொது உருப்படி-ஒதுக்கீடு அமைப்பில் மானியக் குறைப்பைப் பற்றி ஆய்வு செய்கிறார்கள். அவர்கள் இரண்டு நிகழ்வுகளை பரிசீலிக்கிறார்கள்ஃ ஒதுக்கீடு முன்கூட்டியே வழங்கப்படுகிறது. இந்த விஷயத்தில், அதன் பொறாமை-கிராஃப் எந்த சுழற்சிகளையும் கொண்டிருக்காவிட்டால் மட்டுமே, முகவர்களுக்கு அதன் மூட்டைகளின் அனைத்து மறுசீரமைப்புகளிலும் பயன்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை அதிகப்படுத்தினால் மட்டுமே அது "பொறாமை-சுதந்திரமானது". குறைந்தபட்ச மானியத்துடன் பொறாமை இல்லாத விலையை வலுவான பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் கணக்கிட முடியும், எடையுள்ள பொறாமை-வரைபடத்தை உருவாக்கி, ஒவ்வொரு முகவருக்கும் i, i இலிருந்து வெளிப்படும் பாதையின் அதிகபட்ச எடைக்கு சமமான விலையை வழங்குவதன் மூலம். ஒவ்வொரு பாதையின் எடையும் அதிகபட்சமாக m சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் சில நல்லவற்றுக்கு சில முகவர்களின் மதிப்பாகும். குறிப்பாக, ஒவ்வொரு முகவருக்கும் ஒவ்வொரு பொருளின் மதிப்பு அதிகபட்சமாக V ஆக இருந்தால், ஒவ்வொரு பாதையின் எடையும் அதிகபட்சமாக mV ஆக இருக்கும். ஒரு முகவர் பூஜ்ஜிய மானியத்தைப் பெறும் வகையில் நாம் எப்போதும் விலைகளைக் குறைக்க முடியும் என்பதால், அதிகபட்சமாக (n-1) mV மானியத்துடன் பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு எப்போதும் உள்ளது. இந்த மானியம் தேவைப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து பொருட்களும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது, ஒரு முகவர் அவை அனைத்தையும் பெறுகிறார். ஒதுக்கீட்டைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். இந்த விஷயத்தில், பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் (n-1) V இன் மானியம் போதுமானதுஃ முகவர்களின் மதிப்பீடுகள் பைனரி (0 அல்லது 1) ஆக இருக்கும்போது. பின்னர், எந்தவொரு அதிகபட்ச-தயாரிப்பு ஒதுக்கீடு அல்லது லெக்ஸிமின்-உகந்த ஒதுக்கீட்டிற்கும் அதிகபட்சமாக (n-1) V மானியம் தேவைப்படுகிறது, மேலும் இது பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் காணலாம். ஈஎஃப்-ஐ அடையத் தேவையான குறைந்தபட்ச மானியத்தை கணக்கிடுவது, பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீட்டின் இருப்பைச் சரிபார்க்க டூரிங்-சமமானதாகும், இது வீணான ஒதுக்கீடுகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்படும்போது என். பி-கடினமானது. அனைத்து முகவர்களும் ஒரே சேர்க்கை மதிப்பீட்டைக் கொண்டிருக்கும்போது. பின்னர், ஒவ்வொரு ஒதுக்கீடும் பொறாமையின்றி இருக்கும். அதிகபட்சமாக (n-1) V மானியம் தேவைப்படும் ஒரு ஒதுக்கீட்டை பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் காணலாம். ஒரு ஒதுக்கீடு எந்தவொரு முகவருக்கும் அதிகபட்ச பயன்பாட்டைக் குறைத்தால் மானியத்தைக் குறைக்கிறது. அத்தகைய ஒதுக்கீட்டைக் கணக்கிடுவது NP-கடினமானது, மேலும் அதிகபட்ச தயாரிப்பு வழிமுறை மூலம் தீர்க்கப்படலாம். இரண்டு முகவர்கள் இருக்கும்போது, ஒரு குறிப்பிட்ட முகவர் ஆர்டருடன் ரவுண்ட்-ராபின் உருப்படி ஒதுக்கீடு அதிகபட்சமாக வி. பிரஸ்டில், டிப்பல், நாராயண், சுசுகி மற்றும் வெட்டா ஆகியவற்றில் மானியத்துடன் பொறாமை இல்லாத ஒரு ஒதுக்கீட்டைக் காண்கிறது, தேவையான மானியத்தின் மேல் வரம்புகளை மேம்படுத்துகிறதுஃ சேர்க்கை மதிப்பீடுகளுடன், ஒரு முகவருக்கு அதிகபட்சமாக வி மற்றும் பொதுவாக அதிகபட்சமாக (என்-1) வி என்ற மானியம் எப்போதும் போதுமானது. மேலும், இந்த வரம்பை அடைவதற்கு ஒரு ஒதுக்கீடு உள்ளது, அது EF1 மற்றும் சமநிலையானது (ஒதுக்கப்பட்ட மூட்டைகளின் கார்டினாலிட்டிகள் அதிகபட்சம் ஒரு நன்மையால் வேறுபடுகின்றன). இது ஒரு எளிய வழிமுறை மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் கணக்கிடப்படலாம்ஃ முகவர்கள்-பொருள்கள் இருதரப்பு வரைபடத்தில் அதிகபட்ச எடை பொருத்தத்தை மீண்டும் மீண்டும் கண்டறியவும். பொதுவான மோனோடோன் மதிப்பீடுகளுடன், ஒரு முகவருக்கு அதிகபட்சம் 2 (n-1) V மற்றும் அதிகபட்சம் O (n2V) என்ற மானியம் எப்போதும் போதுமானது. குறிப்பாக, தேவையான மானியம் பொருட்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது அல்ல. இந்த வரம்பை அடையும் ஒரு ஒதுக்கீட்டை மதிப்பு-கேள்விகளைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புக்கோவை நேரத்தில் கணக்கிட முடியும். கராஜியான்னிஸ் மற்றும் அயோனிடிஸ் ஆகியோர் மானியத்தைக் குறைப்பதற்கான கணக்கீட்டு சிக்கலைப் பற்றி ஆய்வு செய்கிறார்கள்ஃ நிலையான எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுக்கு, அவர்கள் தேவையான துல்லியத்திற்குள் குறைந்தபட்ச மானியத் தொகையை தோராயமாக மதிப்பிடும் ஒரு வழிமுறையை வழங்குகிறார்கள். எந்தவொரு ε> 0 க்கும், இது அதிகபட்சமாக மானியத்துடன் ஒரு ஒதுக்கீட்டைக் காண்கிறது, அங்கு S என்பது ஒரு முகவர் அனைத்து பொருட்களுக்கும் ஒதுக்கும் அதிகபட்ச மதிப்பு. வழிமுறை டைனமிக் நிரலாக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது மற்றும் சரியான நேரத்தில் இயங்குகிறது. மாறுபட்ட எண்ணிக்கையிலான முகவர்களுக்கு, ஒரு அற்பமான தோராயமான வழிமுறை அடையப்படுகிறது. இருப்பினும், n இலிருந்து சுயாதீனமான ஒரு தோராயக் காரணியை அடைவது கடினம்ஃ மானியத்துடன் ஒரு ஒதுக்கீட்டைக் கணக்கிடுவது NP-கடினம். அதிகபட்ச முப்பரிமாண பொருத்தத்தின் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மாறுபாட்டிலிருந்து குறைப்பதன் மூலம் ஆதாரம் உள்ளது, இதில் ஒவ்வொரு உச்சியும் சரியாக இரண்டு முறை தோன்றும். ஒவ்வொரு முகவரிடமிருந்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட தொகை எடுக்கப்பட்டால், மானியத்துடன் பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு பொறாமையின்றி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. எனவே, மானியம் வழங்கப்படாத ஒதுக்கீடுகளைக் கண்டறிய இதே போன்ற முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்ஃ ஒவ்வொரு முகவரிடமும் சராசரி கட்டணத்தை வசூலிப்பது பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீட்டைத் தருகிறது, இது வரவுசெலவுத் திட்ட சமநிலையும் கூட. மானியத்தை குறைப்பது என்பது எந்தவொரு தனிப்பட்ட முகவரும் செலுத்த வேண்டிய அதிகபட்ச தொகையை குறைப்பதற்கு சமம். எதிர்மறை மானியத்தையும் (வரி) பயன்படுத்த முடியும், அதே நேரத்தில் அனைத்து முகவர்களும் செலுத்த வேண்டிய மொத்த தொகையைக் குறைக்கலாம். கூடுதல் நடைமுறைகளான அல்கான், டெமாங்கே மற்றும் கேல், பணத்தின் அளவு போதுமானதாக இருக்கும்போது பொறாமை இல்லாத ஒதுக்கீடு எப்போதும் இருக்கும் என்பதைக் காட்டியது. உருப்படிகள் எதிர்மறை மதிப்பீடுகளைக் கொண்டிருக்கும்போது கூட இது உண்மை. மதிப்பீடுகளில் மிகவும் லேசான அனுமானங்களின் கீழ் பொறாமை இல்லாத மற்றும் பரேட்டோ-உகந்த ஒதுக்கீடுகள் இருப்பதை மீர்டென்ஸ், பாட்டர்ஸ் மற்றும் ரீஜ்னியர்ஸ் நிரூபிக்கின்றன (குவாசிலினியர் அவசியமில்லை). காவல்லோ பொறாமை-சுதந்திரம், விகிதாசாரம் மற்றும் செயல்திறன் (நலன்புரி) ஆகியவற்றின் பாரம்பரிய பைனரி அளவுகோல்களை 0 முதல் 1 வரையிலான அளவீடுகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறார். நியதி நியாயமான பிரிவு அமைப்புகளில், எந்தவொரு ஒதுக்கீட்டு-திறமையான பொறிமுறையின் கீழ் மோசமான-வழக்கு நலன்புரி விகிதம் 0 ஆகவும், விகிதாசாரமின்மை விகிதம் 1 ஆகவும் இருக்கும்; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மோசமான-வழக்கு முடிவுகள் முடிந்தவரை மோசமாக இருக்கும். நியாயமான பிரிவின் அமைப்புகளின் ஸ்பெக்ட்ரம் முழுவதும் அதிக நலன், குறைந்த பொறாமை மற்றும் எதிர்பார்ப்பில் குறைந்த ஏற்றத்தாழ்வை அடையும் ஒரு பொறிமுறையை அவர் தேடுகிறார். வி. சி. ஜி பொறிமுறை திருப்திகரமான வேட்பாளர் அல்ல, ஆனால் பெய்லி மற்றும் கவல்லோவின் மறுவிநியோக பொறிமுறை. தொடர்புடைய சிக்கல்கள் பொறாமை இல்லாத விலை நிர்ணயம் வாங்குபவர்களுக்கு பொருட்களை விற்கும்போது, கொடுப்பனவுகளின் தொகை முன்கூட்டியே நிர்ணயிக்கப்படுவதில்லை, மேலும் விற்பனையாளரின் வருவாயை அல்லது சமூக நலனை பொறாமை-சுதந்திரத்திற்கு உட்பட்டு அதிகரிப்பதே குறிக்கோள். கூடுதலாக, பொருட்களின் எண்ணிக்கை முகவர்களின் எண்ணிக்கையை விட வேறுபட்டிருக்கலாம், மேலும் சில பொருள்கள் நிராகரிக்கப்படலாம். இது பொறாமை இல்லாத விலை நிர்ணயப் பிரச்சினை என்று அழைக்கப்படுகிறது. பன்முக நோக்கங்கள் பெரும்பாலும், நியாயத்தைத் தவிர வேறு சில நோக்கங்களையும் அடைய வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, முகவர்களுக்கு பணிகளை ஒதுக்கும்போது, பொறாமையைத் தவிர்ப்பது மற்றும் மேக்ஸ்பானைக் குறைப்பது (-கடைசி முகவரின் நிறைவு நேரம்) ஆகிய இரண்டும் தேவை. முயலம் பொறாமை-சுதந்திர உத்தரவாதத்துடன் உகப்பாக்கம் சிக்கல்களுக்கான ஒரு பொதுவான கட்டமைப்பை வழங்குகிறது, இது இயற்கையாகவே பணக் கொடுப்பனவுகளைப் பயன்படுத்தி நியாயமான உருப்படி ஒதுக்கீடுகளை விரிவுபடுத்துகிறது. அஜீஸ் பணப் பரிமாற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, பொறாமை இல்லாத மற்றும் சமமான ஒரு ஒதுக்கீட்டை அடைவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளார். அவர் சேர்க்கை நேர்மறை பயன்பாடுகளை மட்டுமல்லாமல், எந்தவொரு கூடுதல் பயன்பாடுகளுக்கும், நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருந்தாலும் படிக்கிறார்ஃ கூடுதல் பயன்பாடுகளுக்கு, பொறாமை-சுதந்திரம், சமநிலை மற்றும் பட்ஜெட் சமநிலையை அடையும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை-நேர வழிமுறை உள்ளது (மானியத்துடன் பட்ஜெட்-சமநிலையை பரிமாறிக்கொள்வது எளிது). கொடுக்கப்பட்ட ஒதுக்கீடு EFEQ-மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், அதை EF + EQ ஆக மாற்றுவதற்குத் தேவையான குறைந்தபட்ச மானியத்தை நேரியல் நேரத்தில் காணலாம். குறைந்தபட்ச மானியத்துடன் EFEQ-மாற்றக்கூடிய ஒரு ஒதுக்கீட்டைக் கண்டுபிடிப்பது NP-கடினமானது, மேலும் எந்தவொரு நேர்மறையான காரணியிலும் தோராயமாக மதிப்பிட முடியாது. இது வெறுமனே EF ஒதுக்கீட்டின் இருப்பைச் சரிபார்ப்பது (இதற்கு 0 மானியம் தேவைப்படுகிறது) NP-கடினமானது. அதிகபட்சமாக (n-1) mV மானியம் எப்போதும் போதுமானது, மேலும் ஒரு ஒதுக்கீடு வழங்கப்பட்டாலும் இல்லாவிட்டாலும் அது அவசியமாக இருக்கலாம். பொறாமை இல்லாத பொருள் ஒதுக்கீட்டைப் பார்க்கவும்-பணப் பரிமாற்றங்கள் இல்லாத அமைப்பு. குறிப்புகள் நியாயமான பொருள் ஒதுக்கீடு