Bohemian matrices
ஒரு போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் குடும்பம் என்பது மேட்ரிக்ஸின் தொகுப்பாகும், அதன் இலவச உள்ளீடுகள் ஒரு தனித்துவமான, பொதுவாக வரையறுக்கப்பட்ட மக்கள்தொகையிலிருந்து வருகின்றன, இது மேட்ரிக்ஸ் பட்டியலால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த குறிப்பிட்ட போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் குடும்பத்திலிருந்து எந்தவொரு மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உள்ளீடும் தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பாக இருக்க வேண்டும். இந்த பண்புகளைக் கொண்ட இத்தகைய மேட்ரிக்ஸ்கள் போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ்களாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ்கள் டோப்ளிட்ஸ் மேட்ரிக்ஸ் அல்லது மேல் ஹெஸன்பெர்க் மேட்ரிக்ஸ் போன்ற பிற கட்டமைப்புகளையும் கொண்டிருக்கலாம். வழக்கமாக, ஒரு நிலையான மக்கள்தொகை கொண்ட ஒரு போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் குடும்பம் மட்டுமே ஒரு நேரத்தில் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, எனவே எந்தவொரு மேட்ரிக்ஸையும் குறிப்பிடத்தக்க தெளிவின்மை இல்லாமல் போஹேமியன் அல்லது இல்லை என்று வகைப்படுத்தலாம். பயன்பாடுகள் மென்பொருள் சோதனை போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸின் ஒரு பொதுவான பயன்பாடு நேரியல் இயற்கணிதத்தில் பயன்படுத்தப்படும் மென்பொருளை சோதிப்பதாகும். போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ்கள் (பொதுவாக) ஒரு கணினியில் தெளிவாக குறிப்பிடப்படுகின்றன, மேலும் முழுமையான தேடல் (சிறிய பரிமாணங்களுக்கு), சீரற்ற மாதிரி அல்லது உகப்பாக்கம் நுட்பங்கள் மூலம் தீவிர நடத்தைக்கு ஒருவர் அடையாளம் காணலாம். ஒரு முக்கிய உதாரணம் ஸ்டீவன் ஈ. தோர்ன்டன், அவர் இரண்டு டிரில்லியனுக்கும் அதிகமான ஐகென் மதிப்பு சிக்கல்களைத் தீர்த்தார். அவ்வாறு செய்வதன் மூலம், சில பிரபலமான மென்பொருள் அமைப்புகளில் ஒருங்கிணைப்பு தோல்வியின் நிகழ்வுகளை அவர் கண்டுபிடித்தார். போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸின் உகந்த வகுப்புகளின் தொகுப்பைக் கைப்பற்றும் விரிவாக்கக்கூடிய MATLAB மேட்ரிக்ஸ் தொகுப்பு ஒரு அனிமேட்ரிக்ஸ் ஆகும். மேட்லேப் கேலரியில் போஹேமியன் மெட்ரிக்குகள் குறித்த கிளீவ் மோலரின் வலைப்பதிவு இடுகையையும் பார்க்கவும். மேம்பட்ட வரம்புகள் 2018 போஹேமியன் மெட்ரிக்குகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் பட்டறையில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு உரையில், நிக் ஹைகம், ரோக் பிவோட்டிங்கிற்கான அதிகபட்ச வளர்ச்சி காரணியில் குறைந்த வரம்புகளை கூர்மைப்படுத்த மக்கள்தொகை கொண்ட போஹேமியன் மெட்ரிக்குகளில் மரபணு வழிமுறைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்தினார் என்பதை விளக்கினார். சீரற்ற மெட்ரிக்குகள் போஹேமியன் மெட்ரிக்குகளை சீரற்ற மாதிரி மூலம் ஆய்வு செய்யலாம், அதேசமயம், இத்தகைய ஆய்வுகள் சீரற்ற மெட்ரிக்குகள் துறையின் ஒரு பகுதியாக கருதப்படலாம். இருப்பினும், இன்றுவரை சீரற்ற மெட்ரிக்குகள் பற்றிய ஆய்வின் பெரும்பாலான கவனம் உண்மையான சமச்சீர் அல்லது ஹெர்மிடியன் மெட்ரிக்குகள் அல்லது காஸியன் குழுக்கள் போன்ற தொடர்ச்சியான விநியோகத்திலிருந்து உள்ளீடுகள் எடுக்கப்பட்ட மெட்ரிக்குகள் பற்றிய ஆய்வில் உள்ளது. குறிப்பிடத்தக்க விதிவிலக்குகளில் டெரன்ஸ் தாவோ மற்றும் வான் வு ஆகியோரின் படைப்புகள் அடங்கும். பெர்னௌலி மற்றும் ஹடாமார்ட் மெட்ரிக்குகள் சில நேரங்களில் பெர்னௌலி மெட்ரிக்குகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, எனவே அவை போஹேமியன் மெட்ரிக்குகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். ஒரு ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ் என்பது ஒரு பெர்னௌலி மேட்ரிக்ஸ் ஆகும், இது மேலும் ஒரு பண்பை திருப்திப்படுத்துகிறது, அதாவது அதன் தீர்மானிப்பவர் அதிகபட்சம். எனவே, ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ்களும் போஹேமியன் ஆகும். ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ்கள் (மற்றும் உண்மையில் பெர்னௌலி மேட்ரிக்ஸ்கள்) "போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ்" என்ற பெயர் இருந்ததை விட மிக நீண்ட காலமாக ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. ஆனால் ஹடாமார்ட் மெட்ரிக்குகளைப் பற்றி ஒருவர் கேட்கக்கூடிய கேள்விகளின் வகைகள் (அசல் கேள்வி எந்த மெட்ரிக்குகள் அதிகபட்ச நிர்ணயிப்பைக் கொண்டுள்ளன) மற்ற போஹேமியன் மெட்ரிக்குகளைப் பற்றியும் கேட்கப்படலாம். ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸின் முதல் பொதுமைப்படுத்தல்களில் ஒன்று இப்போது சில நேரங்களில் பட்ட்சன்-வகை ஹடாமார்ட் மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் உள்ளீடுகள் ஒற்றுமையின் வேர்கள் ஆகும். இவை முன்மாதிரியான போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ்களாகவும் கருதப்படலாம். வரைபடக் கோட்பாட்டைப் புரிந்துகொள்ள வரைபடக் கோட்பாடு தனித்தனி உள்ளீடுகளைக் கொண்ட மெட்ரிக்குகள், குறிப்பாக நிகழ்வு மெட்ரிக்குகள் முக்கியமானவை. போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் சோதனைகளில் எதிர்கொள்ளும் சில நிகழ்வுகளை விளக்க வரைபடக் கோட்பாட்டின் முடிவுகளைப் பயன்படுத்தலாம். மாறாக, போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் தொழிலாளர்களால் பரிந்துரைக்கப்பட்ட பாணியில் மேற்கொள்ளப்பட்ட சில சோதனைகள் வரைபடங்களுக்கு தகவலறிந்ததாக இருக்கலாம். போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸின் கீழ் முழு எண் வரிசைகளின் கலைக்களஞ்சியத்தில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள திறந்த சிக்கல்களில் குறிப்பிடத்தக்க எண்ணிக்கையிலானவை இயற்கையில் ஒருங்கிணைந்தவை. உதாரணமாக, A306782 பெர்னௌலி மேட்ரிக்ஸ்களுக்கான (அதாவது, மக்கள்தொகை கொண்ட போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ்கள்) பரிமாணம் 5 வரை மற்றும் உட்பட தனித்துவமான குறைந்தபட்ச பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் எண்ணிக்கையின் அட்டவணையை பட்டியலிடுகிறது. அதிக பரிமாணங்களுக்கான எண்கள் தெரியவில்லை. பரிமாணம் 6 கொண்ட பெர்னௌலி மேட்ரிக்ஸின் எண்ணிக்கை; இந்த தொகுப்பை முழுமையான முறையில் தேட முடியும் என்றாலும் (இது மகிழ்ச்சியுடன் இணையாக உள்ளது), மேட்ரிக்ஸின் எண்ணிக்கையின் அதிக-அதிவேக வளர்ச்சி விரைவில் முரட்டுத்தனமான சக்தியை தோற்கடிக்கிறது. பூஜ்ஜிய-ஒரு மேட்ரிக்ஸ்களைப் போலவே பயன்படுத்திக் கொள்ளக்கூடிய சமச்சீர் உள்ளன, ஆனால் இவற்றுக்கு அதிநவீன ஒருங்கிணைந்த அறிவு தேவை என்று தோன்றுகிறது. எண் கோட்பாடு எண் கோட்பாட்டாளர்கள் மிக நீண்ட காலமாக கட்டுப்படுத்தப்பட்ட குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் பணியாற்றியுள்ளனர். உதாரணமாக, லிட்டில்வுட் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மோனோமியல் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படும்போது குணகங்களைக் கொண்டுள்ளன. கர்ட் மஹ்லர், ஆண்ட்ரூ ஓட்லிஸ்கோ, பிஜோர்ன் பூனென் மற்றும் பீட்டர் போர்வின் ஆகியோரும் இந்த பிரச்சினையில் அக்கறை கொண்டிருந்தனர். துணை மேட்ரிக்ஸ்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், இந்த வரையறுக்கப்பட்ட-குணகம் பல்லுறுப்புக்கோவை சிக்கல்கள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் சிக்கலாகக் கருதப்படலாம். இருப்பினும், ஒரு போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை பரிமாணத்தில் அதிவேகமாக பெரிய குணகங்களைக் கொண்டிருக்கலாம், எனவே எதிர் உண்மை அல்ல, மேலும் இந்த ஆய்வுப் பகுதிகள் சமமானவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, மேஜிக் ஸ்கொயர்ஸ்களுக்கு வேறு இணைப்புகள் உள்ளன. டி. ப்ரீயுடன் கேத்லீன் ஒலெரென்ஷாவின் புத்தகத்தைப் பார்க்கவும். பின்வரும் கட்டுரை வெளிப்படையாக போஹேமியன் மெட்ரிக்குகளை இருபடி வடிவங்களுடன் இணைக்கிறது. பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளின் தீர்வு பல்லுறுப்புக்கோவை வேர்களைக் கண்டறிய பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் நுட்பம், அதற்கு ஒரு துணை மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவது மற்றும் ஐகென் மதிப்புகளைக் கண்டறிய எண் ஐகென் மதிப்பு தீர்வுகளைப் பயன்படுத்துவது, அவை அசல் பல்லுறுப்புக்கோவின் வேர்கள். இதைச் செய்வது எதிர்மறையானதாகவும் வீணானதாகவும் தோன்றுகிறது, ஆனால் இது மிகவும் நடைமுறைக்குரியதாக இருக்கலாம். இது NumPy இன் பல்லுறுப்புக்கோவை தொகுப்பின் இயல்புநிலை முறையாகும். முறை அடிக்கடி எண் ரீதியாக நிலையானது, ஆனால் சில நேரங்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை குணகங்கள் பெரியதாக இருந்தால் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவை இல்லையெனில் மோசமான நிலையில் இருந்தால் நன்றாக வேலை செய்யாது. ஒரு போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் குடும்பத்தில் தேடுவதன் மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறைந்தபட்ச உயர துணை மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் சில நேரங்களில் நிலைமையை மேம்படுத்தலாம். இருப்பினும், இதற்கு திறமையான பொது நோக்க நுட்பங்கள் எதுவும் அறியப்படவில்லை. "போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ்" என்ற பெயர், இந்த வழியில் சிக்கல்களை வகைப்படுத்த பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்ற கருத்துடன் சேர்ந்து, ஐ. எஸ். எஸ். ஏ. சி 2016 அச்சில் தோன்றியது. இந்த பெயர் நினைவாற்றல் பூண்டட் ஹைட் மேட்ரிக்ஸ் ஆஃப் இன்டெஜர்ஸ் (பி. ஓ. எச். இ. எம். ஐ) இலிருந்து எழுகிறது, இருப்பினும் இந்த வகைப்பாடு பின்னர் முழு எண் அல்லாத மக்கள் தொகை (எடுத்துக்காட்டாக காஸியன் முழு எண்கள் உட்பட) உட்பட பிற தனித்துவமான மக்கள்தொகைக்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த வகைப்பாட்டைச் செய்வதற்கான யோசனையின் அகலமும் பயனும் பெருகிய முறையில் வெளிப்படையாகத் தெரிகிறதுஃ சிறிய வெளியீடுகள் அதற்கு முன்பு வெளிவந்திருந்தாலும் முதல் குறிப்பிடத்தக்க பத்திரிகை வெளியீடு. மார்ச் 2022 நிலவரப்படி, இந்த கட்டுரையில் வேறு இடங்களில் மேற்கோள் காட்டப்பட்டதைத் தவிர, பெயரை வெளிப்படையாகப் பயன்படுத்தும் வெளியீடுகளில் அடங்கும் இந்த விஷயத்தில் முதல் பட்டறை 2018 ஆம் ஆண்டில் மான்செஸ்டர் பல்கலைக்கழகத்தில் நடைபெற்றது மற்றும் போஹேமியன் மெட்ரிக்குகள் மற்றும் பயன்பாடுகள் என்ற தலைப்பில் இருந்தது. இந்த யோசனையை ஜார்ஜ் போல்யாவின் அர்த்தத்தில் ஒரு நிபுணத்துவமாகக் கருதலாம், அதில் போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் குடும்பங்கள் சில உள்ளீடுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவை சிறப்பு மேட்ரிக்ஸ்கள். இந்த யோசனையை ஒரு பொதுமைப்படுத்தலாகவும் கருதலாம், ஏனென்றால் ஒரு வரைபடத்தின் நிகழ்வு மேட்ரிக்ஸில் 0 அல்லது 1 அல்லது லிட்டில்வுட் பல்லுறுப்புக்கோவையின் துணை மேட்ரிக்ஸில்-1 மற்றும் 1 என உள்ளீடுகளைக் கொண்டிருப்பதற்குப் பதிலாக, போஹேமியன் குடும்பம் மற்றபடி வரம்புக்குட்பட்ட, தனித்துவமான அல்லது (பொதுவாக) இரண்டையும் கொண்ட உள்ளீடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். இந்த யோசனை சைன் பேட்டர்ன் மேட்ரிக்ஸ்களைப் போலவே உள்ளது, இதில் தொடர்புடைய உள்ளீடுகள் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தால் உண்மையான உள்ளீடுகளைக் கொண்ட இரண்டு மேட்ரிக்ஸ்கள் சமமானதாகக் கருதப்படுகின்றன, மேலும் அந்தக் கோட்பாடு பொதுவான பண்புகளைத் தேடுகிறது. மக்கள்தொகை கொண்ட ஒரு போஹேமியன் மேட்ரிக்ஸ் ஒரு அடையாள முறை மேட்ரிக்ஸின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு, எனவே இது அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது, ஆனால் அதன் போஹேமியன் தன்மை காரணமாக இது சிறப்பு பண்புகளையும் கொண்டிருக்கலாம். குறிப்புகள் மெட்ரிக்குகள்