Complex hyperbolic space
கணிதத்தில், ஹைபர்போலிக் காம்ப்ளக்ஸ் ஸ்பேஸ் என்பது ஒரு ஹெர்மிடியன் பன்மடங்கு ஆகும், இது சிக்கலான பன்மடங்கு சூழலில் உண்மையான ஹைபர்போலிக் ஸ்பேசுக்கு சமம். சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடைவெளி ஒரு காலர் பன்மடங்கு ஆகும், மேலும் இது வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட ஒரே காலர் பன்மடங்கு ஆகும், அதன் ஹோலோமார்பிக் பிரிவு வளைவு-1 க்கு சமமாக இருக்கும். அதன் அடிப்படை ரீமானியன் பன்மடங்கு நிலையான எதிர்மறை வளைவைக் கொண்டுள்ளது, இது-1 மற்றும்-1/4 (அல்லது-4 மற்றும்-1, மெட்ரிக் இயல்பாக்கலின் தேர்வுக்கு ஏற்ப) இடையே துளைக்கப்பட்டுள்ளதுஃ குறிப்பாக, இது ஒரு கேட் (-1/4) இடைவெளி. சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகள் லை குழுக்களுடன் தொடர்புடைய சமச்சீர் இடைவெளிகளாகும். அவை உண்மையான மற்றும் குவாட்டர்னியோனிக் ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகளுடன் சேர்ந்து, காம்பாக்ட் அல்லாத வகையின் தரவரிசை ஒரு சமச்சீர் இடைவெளிகளின் மூன்று குடும்பங்களில் ஒன்றாகும், இதில் வகைப்பாடு ஒரு விதிவிலக்கான இடத்தை சேர்க்க வேண்டும், கெய்லி தளம். சிக்கலான ஹைபர்போலிக் ஸ்பேஸ் ப்ரொஜெக்டிவ் மாடலின் கட்டுமானம் சிக்கலான திசையன் இடத்தில் ஒரு போலி-ஹெர்மிடியன் வடிவ கையொப்பமாக இருக்கட்டும். சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் திட்ட மாதிரி இந்த வடிவத்திற்கான அனைத்து எதிர்மறை திசையன்களின் திட்டவட்டமான இடமாகும்ஃ சிக்கலான திட்ட இடத்தின் திறந்த தொகுப்பாக, இந்த இடம் ஒரு சிக்கலான பன்மடங்கு கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. இது அலகு பந்துக்கு பைஹோலோமார்பிக் ஆகும், ஒரு எதிர்மறை திசையன் பூஜ்ஜியமற்ற முதல் ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் ஒருவர் காணலாம், மேலும் ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தில் 1 க்கு சமமான முதல் ஒருங்கிணைப்புடன் ஒரு தனித்துவமான பிரதிநிதியைக் கொண்டுள்ளது. நிபந்தனை எப்போது சமம். யூனிட் பந்தின் புள்ளியை ப்ரொஜெக்டிவ் ஸ்பேஸின் புள்ளிக்கு அனுப்பும் வரைபடம் தேவையான பைஹோலோமார்பிசத்தை வரையறுக்கிறது. இந்த மாதிரி பாயின்கேர் வட்டு மாதிரிக்கு சமமானது. உண்மையான ஹைபர்போலிக் இடத்திற்கு மாறாக, சிக்கலான ப்ரொஜெக்டிவ் இடத்தை ஹைபர்போலாய்டின் ஒரு தாள் என்று வரையறுக்க முடியாது, ஏனென்றால் ப்ரொஜெக்டிவ் மாதிரியில் இந்த ஹைபர்போலாய்டின் ப்ரொஜெக்ஷன் ஃபைபரை இணைத்துள்ளது (ஃபைபர் உண்மையான வழக்கில் உள்ளது). ஒரு ஹெர்மிடியன் மெட்ரிக் பின்வரும் வழியில் வரையறுக்கப்படுகிறதுஃ கூம்புக்கு சொந்தமானது என்றால், ஆர்த்தோகனல் இடத்திற்கான கட்டுப்பாடு இந்த இடத்தில் ஒரு திட்டவட்டமான நேர்மறை ஹெர்மிடியன் உற்பத்தியை வரையறுக்கிறது, மேலும் புள்ளியில் உள்ள தொடுகோடு இடத்தை இயற்கையாக அடையாளம் காண முடியும் என்பதால், இது ஒரு ஹெர்மிடியன் உள் உற்பத்தியை வரையறுக்கிறது. கணக்கீட்டில் காணக்கூடியது போல, இந்த உள் பெருக்கல் பிரதிநிதியின் தேர்வைச் சார்ந்தது அல்ல. ஹோலோமார்பிக் பிரிவு வளைவு-1 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்,-4 க்கு அல்ல, ஒருவர் இந்த அளவீட்டை ஒரு காரணியால் மறுசீரமைக்க வேண்டும். இந்த மெட்ரிக் ஒரு காலர் மெட்ரிக் ஆகும். சீகல் மாதிரி சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் சீகல் மாதிரி என்பது முடிவிலியில் கெய்லி உருமாற்ற எல்லை வழியாக அலகு பந்துக்கு பைஹோலோமார்பிக் ஆகும். ப்ரொஜெக்டிவ் மாதிரியில், சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடைவெளி பரிமாணத்தின் சிக்கலான அலகு பந்துடன் அடையாளம் காணப்படுகிறது, மேலும் அதன் எல்லையை பந்தின் எல்லையாக வரையறுக்கலாம், இது உண்மையான பரிமாண கோளத்திற்கு வேறுபட்டது. இது வரையறுப்பதற்கு சமம்ஃ ஒரு கேட் (0) இடமாக, சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடமும் முடிவிலியில் ஒரு எல்லையைக் கொண்டுள்ளது. இந்த எல்லை இப்போது வரையறுக்கப்பட்ட எல்லையுடன் ஒத்துப்போகிறது. சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் எல்லை இயற்கையாகவே ஒரு சி. ஆர் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. இந்த அமைப்பு (ஒற்றைப்படை பரிமாண) கோளத்தில் நிலையான தொடர்பு கட்டமைப்பாகும். ஹோலோமார்பிக் ஐசோமீட்டரிகள் மற்றும் சமச்சீர் இடத்தின் குழு சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் ஹோலோமார்பிக் ஐசோமீட்டரிகளின் குழு லை குழு ஆகும். இந்த குழு சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தில் தற்காலிகமாக செயல்படுகிறது, மேலும் ஒரு புள்ளியின் நிலைப்படுத்துபவர் யூனிட்டரி குழுவிற்கு ஐசோமார்பிக் ஆகும். எனவே சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடைவெளி ஒரே மாதிரியான இடத்திற்கு ஹோமியோமார்பிக் ஆகும். நிலைப்படுத்துபவர் என்பது அதிகபட்ச சிறிய துணைக்குழுவாகும். இதன் விளைவாக, சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடைவெளி ரீமானியன் சமச்சீர் இடைவெளி ஆகும், அங்கு போலி-ஒற்றையாட்சி குழு உள்ளது. சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் ஹோலோமார்பிக் ஐசோமெட்ரிகளின் குழுவும் இந்த இடத்தின் எல்லையில் செயல்படுகிறது, மேலும் மூடிய வட்டில் ஹோமியோமார்பிசம் மூலம் செயல்படுகிறது. ப்ரூவரின் நிலையான புள்ளி தேற்றத்தின் படி, சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் எந்தவொரு ஹோலோமார்பிக் ஐசோமெட்ரியும் குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளியையாவது சரிசெய்ய வேண்டும். ஐசோமீட்டரிகளை மூன்று வகைகளாக வகைப்படுத்தலாம்ஃ ஒரு ஐசோமெட்ரி சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தில் ஒரு புள்ளியை சரிசெய்தால் நீள்வட்டமாக இருக்கும். ஒரு ஐசோமெட்ரி சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தில் ஒரு புள்ளியை சரிசெய்யவில்லை என்றால் அது பரவளையமாக கூறப்படுகிறது மற்றும் எல்லையில் ஒரு தனித்துவமான புள்ளியை சரிசெய்கிறது. ஒரு ஐசோமெட்ரி என்பது சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தில் ஒரு புள்ளியை சரிசெய்யாமல், எல்லையில் சரியாக இரண்டு புள்ளிகளை சரிசெய்தால் ஹைபர்போலிக் (அல்லது லாக்ஸோட்ரோமிக்) என்று கூறப்படுகிறது. இவாசாவா சிதைவு என்பது சிதைவு ஆகும், அங்கு யூனிட்டரி குழு, உண்மையான எண்களின் சேர்க்கை குழு மற்றும் உண்மையான பரிமாணத்தின் ஹைசன்பெர்க் குழு ஆகும். இத்தகைய சிதைவு பின்வருவனவற்றின் தேர்வைப் பொறுத்ததுஃ சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் எல்லையில் உள்ள ஒரு புள்ளி (பின்னர் சரிசெய்வதற்கான ஒற்றை ஆற்றல் கொண்ட பரவளைய கூறுகளின் குழு) முடிவிலிக்குச் செல்லும் ஒரு சார்ந்த ஜியோடெசிக் கோடு (பின்னர் இந்த ஜியோடெசிக் வழியாக மொழிபெயர்ப்பாக செயல்படும் ஹைபர்போலிக் கூறுகளின் குழு மற்றும் அதைச் சுற்றி சுழற்சி பகுதி இல்லை) ஒரு தோற்றத்தின் தேர்வு, அதாவது. ஒரு அலகு வேக அளவுரு, அதன் உருவம் (பின்னர் சரிசெய்வதற்கான நீள்வட்ட கூறுகளின் குழு) அத்தகைய எந்தவொரு சிதைவுக்கும், துணைக்குழுவின் செயல்பாடு சுதந்திரமாகவும் மாற்றமாகவும் இருக்கும், எனவே ஒரு டிஃபியோமார்பிசத்தைத் தூண்டுகிறது. இந்த டிப்ஃபியோமார்பிசத்தை சீகல் மாதிரியின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். வளைவு ஹோலோமார்பிக் ஐசோமெட்ரிகளின் குழு ஹைபர்போலிக் காம்ப்ளக்ஸ் ஸ்பேஸின் தொடுகோடு சிக்கலான கோடுகளில் இடைநிலை ரீதியாக செயல்படுகிறது. இதனால்தான் இந்த இடம் நிலையான ஹோலோமார்பிக் பிரிவு வளைவைக் கொண்டுள்ளது, இது-4 க்கு சமமாக கணக்கிடப்படலாம் (மெட்ரிக் மேலே உள்ள இயல்பாக்கத்துடன்). இந்த பண்பு ஹைபர்போலிக் சிக்கலான இடத்தை வகைப்படுத்துகிறதுஃ ஐசோமெட்ரிக் பைஹோலோமார்பிசம் வரை, கொடுக்கப்பட்ட நிலையான ஹோலோமார்பிக் பிரிவு வளைவின் ஒரே ஒரு இணைக்கப்பட்ட முழுமையான கோஹ்லர் பன்மடங்கு மட்டுமே உள்ளது. மேலும், ஒரு ஹெர்மிடியன் பன்மடங்கு நிலையான ஹோலோமார்பிக் பிரிவு வளைவுக்கு சமமாக இருக்கும்போது, ஒவ்வொரு உண்மையான தொடுகோட்டு தளத்தின் பிரிவு வளைவு முற்றிலும் இந்த சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறதுஃ மற்றும் இடையே உள்ள கோணம் எங்கே, அதாவது ஒரு திசையனுக்கும் ஒரு திசையனுக்கும் இடையிலான கோணங்களின் முடிவிலி. இந்த கோணம் ஒரு சிக்கலான கோடு என்றால் மட்டுமே 0 க்கு சமம், மேலும் முற்றிலும் உண்மையானதாக இருந்தால் மட்டுமே சமம். எனவே சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் பிரிவு வளைவு-4 (சிக்கலான கோடுகளுக்கு) முதல்-1 (முற்றிலும் உண்மையான தளங்களுக்கு) வரை மாறுபடும். சிக்கலான பரிமாணம் 1 இல், தொடுகோட்டு இடத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உண்மையான தளமும் ஒரு சிக்கலான கோடுஃ எனவே பரிமாணம் 1 இன் ஹைபர்போலிக் சிக்கலான இடம்-1 க்கு சமமான நிலையான வளைவைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் சீரான கோட்பாட்டின் படி, இது உண்மையான ஹைபர்போலிக் தளத்திற்கு ஐசோமெட்ரிக் ஆகும். ஹைபர்போலிக் சிக்கலான இடைவெளிகளை ஹைபர்போலிக் தளத்தின் மற்றொரு உயர் பரிமாண பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம், இது உண்மையான ஹைபர்போலிக் இடைவெளிகளை விட குறைவான தரநிலையாகும். மூன்றாவது சாத்தியமான பொதுமைப்படுத்தல் ஒரே மாதிரியான இடமாகும், இது மீண்டும் ஹைபர்போலிக் தளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் 1 ஐ விட அதிகமான தரவரிசையின் சமச்சீர் இடமாக மாறும். முழு ஜியோடெசிக் சப்ஸ்பேஸ்கள் n பரிமாணத்தின் சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் ஒவ்வொரு முற்றிலும் ஜியோடெசிக் சப்மேனிஃபோல்ட் பின்வருவனவற்றில் ஒன்றாகும்ஃ சிறிய பரிமாணத்தின் சிக்கலான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் நகல், அதை விட சிறிய உண்மையான பரிமாணத்தின் உண்மையான ஹைபர்போலிக் இடத்தின் நகல். பந்தில் உள்ள பிற அளவீடுகளுடன் இணைக்கவும் அலகு பந்தில், சிக்கலான ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் பெர்க்மேன் மெட்ரிக் உடன் சில அளவிடக்கூடிய மறுசீரமைப்பு வரை ஒத்துப்போகிறது. பந்தின் ஒவ்வொரு பைஹோலோமார்பிசமும் உண்மையில் சிக்கலான ஹைபர்போலிக் அளவீட்டின் ஐசோமெட்ரி என்பதை இது குறிக்கிறது. சிக்கலான ஹைபர்போலிக் அளவீடும் கோபயாஷி அளவீட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது. மறுசீரமைப்பு வரை, சிக்கலான ஹைபர்போலிக் மெட்ரிக் காலர்-ஐன்ஸ்டீன் ஆகும், அதாவது அதன் ரிச்சி வளைவு அளவின் பெருக்கமாகும். ஹைபர்போலிக் ஸ்பேஸ் குவாட்டர்னியோனிக் ஹைபர்போலிக் ஸ்பேஸ் குறிப்புகள் வேறுபட்ட வடிவியல் ரீமானியன் வடிவியல் லை குழுக்கள் ஒரே மாதிரியான இடைவெளிகள்