Mathematics of the Incas
ಇಂಕಾಗಳ (ಅಥವಾ ತವಂಟಿನ್ಸುಯುಗಳ) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು, ಸ್ಪೇನ್ ದೇಶದ ಆಗಮನದ ಮೊದಲು ಇಂಕಾಗಳ ರಾಷ್ಟ್ರದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಮತ್ತು ಬಳಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಉಪಕರಣಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿತ್ತು. ಇದನ್ನು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಆರ್ಥಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಕ್ವಿಪಸ್ ಮತ್ತು ಯುಪಾನಾಗಳು ಇಂಕಾ ರಾಜ್ಯದ ಆಡಳಿತದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಗೆ ಪುರಾವೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧನೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಆದರೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಕಾರಗೊಂಡಿತ್ತು; ಅವೂ ಸಹ ಶೂನ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು, ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದವು. ಇಂಕಾಗಳ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು, ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಆಡಳಿತದ ಅಗತ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತವಾದುದರಿಂದ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೂಪರೇಖೆಯಿಂದ ದೂರವಿದ್ದ ನಿರ್ವಹಣೆ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಅನ್ವಯಿಕ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ರಸ್ತೆಗಳು, ಕಾಲುವೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಮಾರಕಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ, ಜೊತೆಗೆ ನಗರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಟೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ, ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದ ವಿನ್ಯಾಸದ ಜೊತೆಗೆ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮಾಪನಕ್ಕೆ ಅನಿವಾರ್ಯವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಅಗತ್ಯವಿತ್ತು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಳತೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಮಾನವ ದೇಹದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಸೂಕ್ತವಾದ ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಅದು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಶಂಸಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು, ಆದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ. ಇಂಕಾ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಚಾಲ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬೇಸ್-ಟೆನ್ ಆಗಿತ್ತು. ಇದನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವ ಪ್ರಮುಖ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದರೆ, ಅದರ ಅಂಕಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಘಟಿತ ಅಧಿಕಾರಿಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಕಾಲಾನುಕ್ರಮಗಳು. ಕ್ವಿಪಸ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇಂಕಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಗಂಟುಗಳು-ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ-ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಘಟಕಗಳು, ಹತ್ತಾರು, ನೂರಾರು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಳಕೆಯ ಮುಖ್ಯ ದೃಢೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ವೆಚುವಾದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಂಗಡದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಶಂಸಿಸಬಹುದುಃ ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಕ್ವಿಪಸ್ ಕ್ವಿಪಸ್ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲು ಬಳಸುವ ಗಂಟು ಹಾಕಿದ ತಂತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಜ್ಞಾಪಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿತು; ಅವು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಹಿಂದೆ "ಇಂಕಾ ಅಬ್ಯಾಕಸ್" ಅಥವಾ ಯುಪಾನಾಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದವುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು. ಅದರ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೂ-ಇದು ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧನೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಧನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ-ಜನಗಣತಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ರಾಜ್ಯದ ಉಗ್ರಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಆಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಕ್ವಿಪಸ್ ಅನ್ನು ಇಂಕಾಗಳು ತಮ್ಮ ಸಂಪ್ರದಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ದಾಖಲಿಸಲು ಬಳಸಿದ ವಾದ್ಯಗಳೆಂದು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಇತಿಹಾಸಕಾರರು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸುದ್ದಿಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಕ್ವಿಪಸ್ನ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿಲ್ಲ. ತಾಹುವಾಂಟಿನ್ಸುಯೊದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷ ಸಿಬ್ಬಂದಿಗಳು ತಂತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಅವರನ್ನು ಕ್ವಿಪುಕಮಯೋಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಮತ್ತು ಅವರು ಇಡೀ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಸುಯುಗಳ ತಂತಿಗಳ ಉಸ್ತುವಾರಿ ವಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾಗಿತ್ತು. ಈ ಸಂಪ್ರದಾಯವು ಕಳೆದುಹೋಗುತ್ತಿದ್ದರೂ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಳೀಯ ಹಳ್ಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಿಪಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಮರಣೀಯ ವಾದ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಬೆಳೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಮುದಾಯಗಳ ಪ್ರಾಣಿಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೆಸ್ಯೂಟ್ ಇತಿಹಾಸಕಾರ ಬರ್ನಾಬೆ ಕೋಬೋ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ, ಇಂಕಾಗಳು ಲೆಕ್ಕಪತ್ರ ನಿರ್ವಹಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ತಜ್ಞರಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಿದ್ದರು. ಈ ತಜ್ಞರನ್ನು ಕ್ವಿಪೋ ಕ್ಯಾಮಯೋಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಇವರಲ್ಲಿ ಇಂಕಾಗಳು ತಮ್ಮ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟಿದ್ದರು. ಕ್ವಿಪು ಮಾದರಿ ವಿಎ 42527 (ಮ್ಯೂಸಿಯಂ ಫರ್ ವೋಲ್ಕೆರ್ಕುಂಡೆ, ಬರ್ಲಿನ್) ಅವರ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಚಾಕ್ರಾಗಳ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಕೃಷಿ ಕ್ಯಾಲೆಂಡರ್ನಲ್ಲಿನ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಯೇಜ್-ರೊಡ್ರಿಗಸ್ ಗಮನಿಸಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಖಿಪುಕಮಯುಕ್-ಕಣಜಕ್ಕೆ ವಹಿಸಲಾದ ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧಕರು-ನೇರವಾಗಿ ಉಸ್ತುವಾರಿ ವಹಿಸಿದ್ದರು. ಯುಪಾನಾಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಾಹಿತಿಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹಿಂದೆ ಅಬ್ಯಾಕಸ್ ಅಥವಾ ಯುಪಾನಾಗಳ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಇವುಗಳನ್ನು ಕೆತ್ತಿದ ಕಲ್ಲು ಅಥವಾ ಜೇಡಿಮಣ್ಣಿನಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾಗಿತ್ತು, ದಶಮಾಂಶ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಅಥವಾ ಕಪಾಟುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಕಲ್ಲುಗಳು ಅಥವಾ ಜೋಳ ಅಥವಾ ಕ್ವಿನೋವಾದ ಧಾನ್ಯಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಅಥವಾ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಘಟಕಗಳು, ಹತ್ತಾರು, ನೂರಾರು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿವೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಯುಪಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಅವರು ಬಹುಶಃ ದಶಮಾಂಶವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗಣನೀಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು 40ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯುಪಾನದಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಂಸ್ಕರಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ; ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅವರು ತಮ್ಮ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು 40ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಆಧರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ವಿರೋಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ತನಿಖೆಗಳು ಮುಂದುವರಿದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಿದರೆ, ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸಂಪ್ರದಾಯ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ತನಿಖೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಇಂಕಾಗಳು ಬಳಸಿದ ದಶಮಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಕ್ಟೋಬರ್ 2010 ರಲ್ಲಿ, ಪೆರುವಿಯನ್ ಸಂಶೋಧಕ ಆಂಡ್ರೆಸ್ ಚಿರಿನೋಸ್ ಅವರು ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್ ಏಜೆನ್ಸಿ ಫಾರ್ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ ಕೋಆಪರೇಷನ್ನ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ (ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಏಜೆನ್ಸಿಯಾ ಎಸ್ಪಾನೊಲಾ ಡಿ ಕೋಆಪರೇಷಿಯನ್ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಪ್ಯಾರಾ ಎಲ್ ಡೆಸಾರ್ರೊಲ್ಲೋ, ಎಇಸಿಐಡಿ), ಸ್ಥಳೀಯ ಇತಿಹಾಸಕಾರರಾದ ಗ್ವಾಮನ್ ಪೋಮಾ ಡಿ ಅಯಾಲಾರ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯುಪಾನಾದ ಒಗಟುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರು-ಇದನ್ನು ಅವರು "ಪೂರ್ವ-ಹಿಸ್ಪಾನಿಕ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ-ಇದು ಸೇರಿಸುವ, ಕಳೆಯುವ, ಗುಣಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಭಜಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕ್ವಿಪಸ್ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಭರವಸೆಯನ್ನು ಮೂಡಿಸಿತು. ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳು ಪೂರ್ವ-ಹಿಸ್ಪಾನಿಕ್ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣದಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಅಳತೆಯ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳಿದ್ದವು. ಆಂಡಿಯನ್ ಜನರು, ವಿಶ್ವದ ಇತರ ಅನೇಕ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ತಮ್ಮ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಮಾನವ ದೇಹದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರು. ಆಂಡಿಯನ್ ಪ್ರಪಂಚದಾದ್ಯಂತ ಕಡ್ಡಾಯ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಬಳಕೆಯ ಘಟಕಗಳ ಒಂದೇ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಇರಲಿಲ್ಲ. ಅನೇಕ ದಾಖಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಾನುಕ್ರಮಗಳು 16ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೂ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದ್ದ ಸ್ಥಳೀಯ ಮೂಲದ ವಿವಿಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಿವೆ. ಉದ್ದದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ, ರಿಕ್ಕ್ರಾ (ಫಾಥಮ್) ಇತ್ತು, ಇದು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ತೋಳುಗಳೊಂದಿಗೆ ಮನುಷ್ಯನ ಹೆಬ್ಬೆರಳುಗಳ ನಡುವೆ ಅಳೆಯುವ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಕುಕುಚು ಟುಪು (ಕುಕುಶ್ ಟುಪು) ಸ್ಪ್ಯಾನಿಷ್ ಕೋಡೋ (ಕ್ಯೂಬಿಟ್) ಗೆ ಸಮನಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ಇದು ಮೊಣಕೈನಿಂದ ಕೈ ಬೆರಳುಗಳ ತುದಿಯವರೆಗಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಪಾ (ಸ್ಪ್ಯಾನ್) ಕೂಡ ಇತ್ತು, ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದು ಯುಕು ಅಥವಾ ಜೆಮೆ, ಇದು ತೋರುಬೆರಳು ಮತ್ತು ಹೆಬ್ಬೆರಳಿನ ನಡುವಿನ ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದು, ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಗ್ರಾಮಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಒಂದು ಹಳ್ಳಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಹಳ್ಳಿಗೆ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಾಗಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಚಾಸ್ಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಅವರು ಕುರಿಮರಿಯ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ಚಾಕ್ರಾ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವಿನ ನೇರ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಮೇಲ್ಮೈ ಟುಪು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಘಟಕವಾಗಿತ್ತು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಮಕ್ಕಳಿಲ್ಲದ ವಿವಾಹಿತ ದಂಪತಿಗಳ ನಿರ್ವಹಣೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಭೂಮಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಹತುನ್ ರುನಾ ಅಥವಾ "ಸಾಮಾನ್ಯ ಮನುಷ್ಯ" ಮದುವೆಯ ನಂತರ ಒಂದು ಭೂಮಿಯನ್ನು ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಸಂಗಾತಿಯ ಆಹಾರ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಾರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಗತ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಇದು ನಿಖರವಾದ ಅಳತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಆಯಾಮಗಳು ಪ್ರತಿ ಭೂಮಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಜನಾಂಗೀಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುತ್ತಿದ್ದವು. ಮಣ್ಣಿನ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಸಮಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೃಷಿ ಅಭಿಯಾನಗಳ ನಂತರ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಆ ಸಮಯದ ನಂತರ, ದಂಪತಿಗಳು ತಮ್ಮ ಕುರಾಕಾದಿಂದ ಹೊಸ ಟುಪುವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಪೊಕ್ಚಾ ಇದೆ, ಇದು ಅರ್ಧ ಫನೆಗಾ ಅಥವಾ 27.7 ಲೀಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜೋಳದಂತಹ ಕೆಲವು ಬೆಳೆಗಳನ್ನು ಧಾರಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು; ದ್ರವಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಹೂಜಿಗಳು ಮತ್ತು ಜಾಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಕ್ಯಾಂಟರೋಸ್ ಮತ್ತು ಟಿನಾಜಾಗಳ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಣಹುಲ್ಲಿನ ಅಥವಾ ರೀಡ್ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಇಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಒಣಗಿದ ಹಣ್ಣುಗಳಂತಹ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಅಥವಾ ಸೊಗಸಾದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಶೇಖರಿಸಿಡಲು ಈ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ಗೋದಾಮುಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಕೋಕಾ ಎಲೆಗಳನ್ನು ರಂಕೂ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಬುಟ್ಟಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಇತರ ಬುಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಯಸಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಈ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೊಕ್ಟಾಯ್ ಅಥವಾ ಪುರಾಶ್ (ಅಲ್ಮೋಜಾದಾ) ಇದೆ, ಇದು ಧಾನ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಹಿಟ್ಟಿನ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೈಗಳಿಂದ ಒಟ್ಟಿಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕುಹರದಲ್ಲಿ ಇಡಬಹುದು. ಆಂಡಿಸ್ನ ಪ್ರಾಚೀನ ನಿವಾಸಿಗಳು ತಟ್ಟೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಲೆಗಳ ಮಾಪಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸ್ಟೀಲಿಯರ್ಡ್ಸ್ಗೆ ಹೋಲುವ ವಾದ್ಯವಾದ ಹುಯಿಪ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರು. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಅದರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಆಭರಣ ಮತ್ತು ಲೋಹಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೃತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮಿಶ್ರಲೋಹಗಳ ಸರಿಯಾದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬಳಸಲು ನಿಖರವಾದ ತೂಕವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪರಿಮಾಣವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅವರ ಕೋಲ್ಕಾಗಳು (ಟ್ರೋಜಾಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತಂಬೋಗಳ (ಖಪಾಕ್ ನಾನ್ನ ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿರುವ ರಾಜ್ಯ ಗೋದಾಮುಗಳು) ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಅವರು ರಂಕ್ಯೂ (ರೊಂಗೋಗಳುಃ ಬೇಲ್ಗಳು), ಒಯ್ಯಬಹುದಾದ ಧಾರಕಗಳು ಅಥವಾ ಇಷಾಂಕಾ (ಬುಟ್ಟಿಗಳು) ಅಥವಾ ಚಕ್ರದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಅವರು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅವುಗಳ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದರು-ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸದೆ. ಸಮಯವನ್ನು ಅಳೆಯಲು, ಅವರು ದಿನವನ್ನು (ಕೆಲಸದ ದಿನ) ಬಳಸಿದರು, ಅದು ಒಂದು ಬೆಳಿಗ್ಗೆ, ಮಧ್ಯಾಹ್ನವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಎರಡು ನಗರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಮಯವು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿತ್ತು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾಜಮಾರ್ಕಾದಿಂದ ಕುಸ್ಕೋಗೆ 20 ದಿನಗಳ ಕಾಲವು ಸಮಯದ ಅಳತೆಯಾಗಿತ್ತು. ತಿಂಗಳುಗಳು, ವರ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ಹಂತಗಳನ್ನು-ಬಿತ್ತನೆ, ಅಪೋರ್ಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಯ್ಲು ಮತ್ತು ಸಂಚರಣೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಾಲೋಚಿಸಲಾಯಿತು-ಸಹ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಯಿತು. ಇಂಕಾ ಎಂಪೈರ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ದಿ ಇಂಕಾಸ್ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ಪೆರು ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿ ಇಂಕಾ ಎಂಪೈರ್ ಇಂಕಾ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಇಂಕಾ ಸಂಸ್ಕೃತಿ ಪೂರ್ವ-ಕೊಲಂಬಿಯನ್ ಸಂಸ್ಕೃತಿಗಳು ಪೆರು ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.