Multiresolution Fourier transform
ಮಲ್ಟಿರಿಸೊಲ್ಯೂಷನ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲೆಬಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ವಿಂಡೋದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತರಂಗಗಳಂತಹ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಅನುವಾದಗಳಲ್ಲ. ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಮತ್ತು ವೇವ್ಲೆಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ನ ಹೋಲಿಕೆ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಿಗ್ನಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಬಂದಾಗ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಹೀಗಾಗಿ ಸಮಯ-ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಆವರ್ತನ-ಡೊಮೇನ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಒಂದು ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳೆರಡನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಯದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದ ನಿರ್ಣಯವಿಲ್ಲ. ಶಾರ್ಟ್ ಟೈಮ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ (ಎಸ್ಟಿಎಫ್ಟಿ) ನಂತಹ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮಾದರಿಗಾಗಿ ವಿಂಡೋವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ವಿಂಡೋ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಂದರೆ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಫಾಸ್ಟ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ (ಎಫ್ಎಫ್ಟಿ) ಅನ್ನು ಅದರ ಗಣನೆಯ ವೇಗದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವೇವ್ಲೆಟ್ ರೂಪಾಂತರವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನ ಮಾಹಿತಿ ಎರಡನ್ನೂ ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಉದ್ದದ ವಿಂಡೋವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನ ಘಟಕಗಳೆರಡನ್ನೂ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರಂಗಾಂತರ ರೂಪಾಂತರವು ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮಲ್ಟಿರಿಸೊಲ್ಯೂಷನ್ ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ತರಂಗಾಂತರ ರೂಪಾಂತರದ ಅನುಕೂಲಕರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಕಾಲರೇಖೆಯನ್ನು π/ω ಉದ್ದದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಂದ π/ω ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗಣನೆಗೆ ಆವರ್ತನ-ಸಮಯ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಿ-ವೇವ್ಲೆಟ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಬಿ-ವೇವ್ಲೆಟ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಬಿ-ವೇವ್ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಆವರ್ತನ-ಸಮಯದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಿ ಗುಂಪಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಂತರ ಬಿ-ವೇವ್ಲೆಟ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನುವಾದ ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ತರಂಗಾಂತರ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುಃ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಬಹು-ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಆಡಿಯೋ ಸಿಗ್ನಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ವಕ್ರ ಮತ್ತು ಮೂಲೆಯ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅಂಚಿನ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವಿಕೆಯಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ವೇವ್ಲೆಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.