Partition algebra
ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸೆಟ್-ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಹವರ್ತಿ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಉಪಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಬ್ರಾವರ್ ಬೀಜಗಣಿತ, ಟೆಂಪರ್ಲಿ-ಲೀಬ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಅಂಶಗಳ ವಿಭಾಗವನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದೇ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಉಪವಿಭಾಗವು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ). ಫಾರ್ ಮತ್ತು, ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಮಾಡಿದ-ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಗುಣಾಕಾರ. ಸಂಯೋಜಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರಕಾರದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಉಪಅಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಇತರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅರ್ಧ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡಕ್ಕೆ, ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಬೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ) ಯೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎಂಟು ಉಪಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಅವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ. ರೇಖೆಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ದಾಟಬಹುದೇ. ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಗಾತ್ರ, ಅಥವಾ ಗಾತ್ರ, ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ. ನಾವು ಮೇಲಿನ-ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ-ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ ಅಥವಾ ಮೇಲಿನ-ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆಯೋ. ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿಯತಾಂಕವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಇದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜೊತೆಗೆ 8 ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪಿನ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ. ಮೊಟ್ಜ್ಕಿನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲವಾದ ಟೆಂಪರ್ಲಿ-ಲೀಬ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಉಪಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅರ್ಧ ಸರಳವಾಗಿವೆ. ಸಮತಲೀಯವನ್ನು ಸಮತಲೀಯವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸುವುದುಃ ಉಪಗುಂಪು ಗಾತ್ರದ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಂದ ಸೇರ್ಪಡೆಃ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವುದರಿಂದ ಸೇರ್ಪಡೆಃ ನಾವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಹೆಚ್ಚು ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಎಂಟು ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಇತರ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹರಡುವ ವಿಭಜನೆಯ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾವನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಹರಡುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗಗಳು. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ದ್ವಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿಲೋಮ ಮೊನಾಯ್ಡ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಅರೆ-ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಗಾತ್ರದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಯಾಮಗಳು. ಏಕರೂಪದ ಬ್ಲಾಕ್ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕೆಳಭಾಗದ ಅಂಶಗಳಷ್ಟೇ ಉನ್ನತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅಂಶಗಳ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದೇ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯನ್ನು ದಾಟದೆ ವಾರ್ಷಿಕದ ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಅಂತಹ ಅನುವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅನುವಾದದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗಣಕಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ರಚನೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಮೇಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇರದಂತೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮೇಲಿನ ಅಂಶವು ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿರದಂತೆ ಅಂಶಗಳ (ಕೆಳಭಾಗ) ಮತ್ತು (ಮೇಲ್ಭಾಗ) ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಅಂತಹ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ರೇಖೆಗಳಿಲ್ಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಾಲು ಇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಃ ವಿಭಜನೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಮೇಲಿನಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗೆ (ಆದ್ದರಿಂದ), ನಾವು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಯಾಮವು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹುಕ್ ಉದ್ದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್-ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಯುವ ಟ್ಯಾಬ್ಲೋಗಳು, ಅವುಗಳ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಸೆಟ್ ವಿಭಾಗದ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಿಂದ ತುಂಬಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಮೂಹವು ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಅಲ್ಲದ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ವಿಭಜನೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಂತೆಯೇ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬ್ರಾವರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬ್ರಾವರ್-ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ಲ್ಯಾನಾರಿಟಿಯು ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೆಂಪರ್ಲಿ-ಲೀಬ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಘಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಎಂಟು ಉಪಗಣಕಗಳ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆಯಾಮಗಳು. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶುರ್-ವೇಲ್ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಬೇಸಿಸಿನೊಂದಿಗಿನ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯಿದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಭಾಗದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶವು ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಟೆಂಪರ್ಲಿ-ಲೀಬ್ ಜನರೇಟರ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯು ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಎರಡು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆಃ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು. ನಂತರ ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತವು ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೇಂದ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದಲ್ಲದೆ, ಬೈಮೋಡ್ಯುಲ್ನಂತೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಗಾತ್ರದ ಯಂಗ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ದ್ವಂದ್ವಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ವಿಭಜನಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ನಡುವಿನ ಮೂಲ ಶುರ್-ವೇಲ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು.