Newton's sine-square law of air resistance
ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಾಯು ಪ್ರತಿರೋಧದ ಸೈನ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ನಿಯಮವು ಚಲಿಸುವ ದ್ರವದಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿರುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ತಟ್ಟೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಲವು ದಾಳಿಯ ಕೋನದ ಸೈನ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ ಸ್ವತಃ ಸಮತಟ್ಟಾದ ತಟ್ಟೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಲವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸದಿದ್ದರೂ, ಗೋಳಗಳು, ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ದೇಹಗಳಿಗೆ ಅವರು ಬಳಸಿದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನಂತರ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಮತಟ್ಟಾದ ತಟ್ಟೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಯಿತು. 1687ರಲ್ಲಿ, ನ್ಯೂಟನ್ರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಾದ ಎರಡನೇ ಸಂಪುಟವನ್ನು ದ್ರವ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಿಟ್ಟರು. ದ್ರವದ ಕಣಗಳು ತಟ್ಟೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಮೊದಲು ಏಕರೂಪದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತಿವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಪರ್ಕದ ನಂತರ ತಟ್ಟೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಫಲಕದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕಣಗಳು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕಣದಿಂದ ಕಣದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಫಲಕದ ಮೇಲಿನ ಬಲವಾಗಿದೆ (ಫಲಕಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ), ದ್ರವದ ಸಾಂದ್ರತೆ, ವಿ ಎಂಬುದು ದ್ರವದ ವೇಗ, ಎಸ್ ಎಂಬುದು ಫಲಕದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ಮತ್ತು ದಾಳಿಯ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪುರಾವೆಗಳು ಈ ಸೂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿವೆ; ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಬಲವು ಸಾಂದ್ರತೆ, ಫಲಕದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ವೇಗದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸರಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸಿದ್ದರೂ, ದಾಳಿಯ ಕೋನದ ಸೈನ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಬಲವು ದಾಳಿಯ ಕೋನದ ಸೈನ್ಗೆ ಅಥವಾ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಸೈನ್ನ ಚೌಕದೊಂದಿಗೆ ಊಹಿಸಲಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಲಿಫ್ಟ್ ಘಟಕವು ನಿಜವಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿದಿದೆ. ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ ಅಥವಾ ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಎಂದು "ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು" ಗಾಳಿಗಿಂತ ಭಾರವಾದ ಹಾರಾಟದ ವಿರೋಧಿಗಳು ಇದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಿಪರ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಸೈನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಸೂತ್ರವು ಆಧುನಿಕ ವಾಯುಬಲವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪುನರ್ಜನ್ಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ರೆಕ್ಟಿಲೀನಿಯರ್ ಹರಿವು ಮತ್ತು ಕಣಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಊಹೆಗಳು ಹೈಪರ್ಸೋನಿಕ್ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೈನ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಸೂತ್ರವು ಸಮಂಜಸವಾದ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. 1744ರಲ್ಲಿ, ನ್ಯೂಟನ್ರ ಮರಣದ 17 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ, ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೀನ್ ಲೆ ರಾಂಡ್ ಡಿ 'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್, ದ್ರವಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಆ ದಿನದ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಇದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಬಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನುಭವವು ತೋರಿಸಿದರೂ, ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಬಲವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ತನಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಡಿ 'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬೇಕಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ಡಿ 'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಾಯುಬಲವಿಜ್ಞಾನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಕ್ತಿ