Balance of angular momentum
ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನ ಅಥವಾ ಯೂಲರ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮವಾಗಿದ್ದು, ದೇಹದ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅದಕ್ಕೆ ಟಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬಳಕೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಟದ ಮೈದಾನದ ಮೆರ್ರಿ-ಗೋ-ರೌಂಡ್. ಅದನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಅದನ್ನು ತಳ್ಳಬೇಕು. ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಮೆರ್ರಿ-ಗೋ-ರೌಂಡ್ಗೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ನೀಡುವ ಟಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬೇರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಡ್ರ್ಯಾಗ್ನಲ್ಲಿನ ಘರ್ಷಣಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಟಾರ್ಕ್ ಪ್ರತಿರೋಧಕ ಟಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಕ್ರಮೇಣ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಬಿಂದುವು ಜಡತ್ವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ದೇಹದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್ಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ, ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿರೋಧಿಸುವ ಡಿ 'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಬಲವು ಗೈರೋಸ್ಕೋಪಿಕ್ ಪರಿಣಾಮವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಕತ್ತರಿಸುವ ಒತ್ತಡಗಳ ಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಕೌಚಿ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧದಿಂದ ಅದೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ನಿರಂತರತೆಯಲ್ಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಟಾರ್ಕ್-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನ, ಕೌಚಿ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಸಂಬಂಧಿತ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದು ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯ ಭಾಗವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವು, ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ನಿಯಮಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ತತ್ವವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು 1775ರಲ್ಲಿ ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇತಿಹಾಸ ಸ್ವಿಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾಕೋಬ್ I ಬರ್ನೌಲಿ 1703 ರಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು-ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸದೆ-ಲೋಲಕದ ಆಂದೋಲನದ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಇದನ್ನು ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ 1686 ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ, ಸ್ವಲ್ಪ ತಪ್ಪಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಹೀಗೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವು 1687ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಕಟವಾದ ನ್ಯೂಟನ್ರ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿತ್ತು. 1744ರಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಳಲು ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರು. 1750 ರಲ್ಲಿ, "ಡಿಸ್ಕವರಿ ಆಫ್ ಎ ನ್ಯೂ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ ಆಫ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್" ಎಂಬ ತನ್ನ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಅವರು ಯೂಲರ್ ಅವರ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇವು ಇಂದು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯೂಲರ್, ನ್ಯೂಟನ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದಿಂದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹಕ್ಕೆ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಟಾರ್ಕ್ಗಳ ಸಮತೋಲನಕ್ಕೆ ಅನಿವಾರ್ಯವಾದ ಸಮತಲ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ನಿರಂತರತೆಯ ಅಧ್ಯಯನದ ನಂತರ, ಯೂಲರ್ 1775ರಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಕಾಯಗಳ ಚಲನೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಏರಿಸಿದರು. 1822 ರಲ್ಲಿ, ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಅಗಸ್ಟಿನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ರೇಖೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುವ ದೇಹದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನದ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿತು. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1851 ರಲ್ಲಿ ಎಂ. ಪಿ. ಸೇಂಟ್-ಗಿಲ್ಹೆಮ್ ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಬಾಹ್ಯ ಬಲವು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ವೇಗದಲ್ಲಿ (ವೇಗವರ್ಧನೆ) ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಬಾಹ್ಯ ಟಾರ್ಕ್ ಎಂದರೆ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಕೋನೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜಡತ್ವವು ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದರ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದೃಢವಾದ ದೇಹದೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಟಾರ್ಕ್ ಕೋನೀಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವು ಅನುಪಾತದ ಅಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜಡತ್ವದ ಕ್ಷಣವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷದ ಸ್ಥಾನದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲೂ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕು (ಸ್ಟೈನರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸಿದರೆ ಜಡತ್ವ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ಟಾರ್ಕ್ ಕೇವಲ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಅಥವಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿಧಾನಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು (ಪೂರ್ವಭಾವಿ) ಸಹ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಸೂತ್ರಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವು ಯೂಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವು ಕೌಚಿಯ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೌಚಿ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅದೇ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 1905 ರಲ್ಲಿ, ಆಸ್ಟ್ರಿಯಾದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲುಡ್ವಿಗ್ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್, ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಪರಿಮಾಣದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರೊಂದಿಗೆ, ಆಂತರಿಕ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಮತೋಲನಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಕೌಚಿಯ ಒತ್ತಡದ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಲದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಟಾರ್ಕ್ನ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಕೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಾರ್ಜ್ ಹ್ಯಾಮೆಲ್ ಅವರು ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು. ಈ ಸೂತ್ರವು ಕೌಚಿ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒತ್ತಡಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪರಿಮಾಣ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಟಾರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಬಲವು ಪರಿಮಾಣ ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗಬೇಕು. ಜಡತ್ವ ಬಲಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒತ್ತಡದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು σxx·dy ಮತ್ತು σyy·dx ಪರಿಮಾಣ ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಮುನ್ನಡೆಸುತ್ತವೆ. ಕತ್ತರಿಸುವ ಒತ್ತಡದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಾದ τxy·dy ಮತ್ತು τyx·dx ಪರಿಮಾಣ ಅಂಶದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಮುನ್ನಡೆಸಬೇಕು. ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ xy ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಕತ್ತರಿಸುವ ಒತ್ತಡಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಕೋಸೆರಾಟ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂಮ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನೊಂದಿಗೆ ಟಾರ್ಕ್-ಮುಕ್ತ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರಂತರತೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಟಾರ್ಕ್-ಮುಕ್ತವಾಗಿರದ ಕೋಸೆರಾಟ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂವಾ (ಧ್ರುವೀಯ ಕಂಟಿನ್ಯೂವಾ) ಅನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ನಿರಂತರತೆಯ ಒಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಚಿಪ್ಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಕೊಸೆರಾಟ್ ಕಂಟಿನ್ಯೂವಾಗಳು ಆವೇಗದ ಹರಿವನ್ನು ಸಾಗಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಹರಿವನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದೇಹದೊಳಗೆ ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಮೂಲಗಳೂ ಇರಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ನಿರಂತರ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ವಕ್ರ-ಸಮಮಿತಿಯ ಭಾಗವು ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಯುತ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಸಮತೋಲನವು ಶಕ್ತಿಯ ಸಮತೋಲನದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದ ಟೆನ್ಸರ್ನ ವಕ್ರ-ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಮೆರಿಕಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಟ್ರುಸ್ಡೆಲ್ ಇದರಲ್ಲಿ "ಯೂಲರ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದ ನಿಜವಾದ ಮೂಲಭೂತ ಅರ್ಥ" ವನ್ನು ಕಂಡರು. ಪ್ರದೇಶ ನಿಯಮವು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ನಿಯಮದ ಈ ರೂಪದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆಃ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಕ್ಷಣವು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಏರಿಯಲ್ ವೇಗದಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ m ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಕಿರಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವೇಗ ಮತ್ತು ಆವೇಗದೊಂದಿಗೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅನಂತ ಸಮಯ dt ಯಲ್ಲಿ ಪಥವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೇಲೆ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಿಷಯವು ಚಿತ್ರ, ಏರಿಯಲ್ ವೇಗ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ "x" ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಇದು ಹೀಗೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆಃ ಯೂಲರ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ ಇದು ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಸಮತಲದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ, ಕ್ಷಣ-ಮುಕ್ತ ಕೇಂದ್ರ ಬಲದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರದೇಶ ನಿಯಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವೀಕ್ಷಣೆ