Finite sphere packing
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ-ಗಾತ್ರದ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸೀಮಿತ ಗೋಳದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಇತ್ತೀಚಿನ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಿವರವಾಗಿ ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಲಾಸ್ಲೋ ಫೆಜೆಸ್ ಟೋತ್ ಹಾಕಿದರು. ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ವಲಯಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ತನಿಖೆಯ ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಿಂದ ಕೆಪ್ಲರ್ ಊಹೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಸ್ಫಟಿಕ ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿರುವ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ನಿಕಟವಾಗಿ ತುಂಬಿದ ಗೋಳಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಾಗಿ ಅನಂತ ಗೋಳದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನೀಡಲಾದ ಧಾರಕಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳ ನಡುವೆ ಗೋಳದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಉಚಿತ ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಎಂದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ, ಬಹುಶಃ ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರದ ಅಥವಾ ವಿಭಿನ್ನ ಆಕಾರದ ವಸ್ತುಗಳ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತ ಗೋಳದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ವಸ್ತುಗಳು ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಗೋಳಗಳ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಆಕಾರಗಳು ಗೋಳಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಲು ಅನೇಕ ಸಂಭಾವ್ಯ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಸಾಸೇಜ್, ಪಿಜ್ಜಾ ಮತ್ತು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್. ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಎಲ್ಲಾ ಗೋಳಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಸಾಸೇಜ್ ತರಹದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಟ್ಯೂಬ್ನಲ್ಲಿ ಟೆನ್ನಿಸ್ ಚೆಂಡುಗಳ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್, ಆದಾಗ್ಯೂ ಟ್ಯೂಬ್ ನಿಜವಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಲು ತುದಿಗಳನ್ನು ದುಂಡಾಗಿರಬೇಕು. ಪಿಜ್ಜಾ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಎಂದರೆ ಪಿಜ್ಜಾ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್. ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಅಂದಾಜು ನೈಜ-ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಿಲಿಯರ್ಡ್ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಗೋಳಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು 3ಡಿ ಜಾಗದಾದ್ಯಂತ ಜೋಡಿಸಿದರೆ, ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ-ಜೀವನದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಪದರಗಳಲ್ಲಿ ಹಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಪ್ರಕಾರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಪಿಜ್ಜಾ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪಿಜ್ಜಾ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಸಾಸೇಜ್ಗಳು" ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು, "ಸಮೂಹಗಳು" ರಿಂದ-ಆಯಾಮದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು "ಪಿಜ್ಜಾಗಳು" ನಡುವಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಗೋಳಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಸೇಜ್ ಅನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂರರಲ್ಲಿ, ಪಿಜ್ಜಾ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ (ಅದು ಸಾಸೇಜ್ ಕೂಡ ಅಲ್ಲ) ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಗಳು (ಅದು ಪಿಜ್ಜಾ ಕೂಡ ಅಲ್ಲ) ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಗೋಳಗಳ ನಡುವಿನ ಖಾಲಿ ಜಾಗವು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಖಾಲಿ ಜಾಗದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗೋಳಗಳ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಖಾಲಿ ಜಾಗವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತದೆ (ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇತರ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ). ಗೋಳಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಲು, ಯಾವ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಕೇಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಗೋಲುಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಗೋಳವು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಪದವಿನ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಗೋಳಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿರುವ ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕು. ಸಾಸೇಜ್ ದುರಂತ ಮೂರು ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ಗೋಳಗಳೊಂದಿಗೆ, ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಫಾರ್ ಮತ್ತು, ಒಂದು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು 1992 ರಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಗ್ ವಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪಿಯರ್ ಮಾರಿಯೋ ಗ್ಯಾಂಡಿನಿ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ಗಳು ಹೇಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಫಿರಂಗಿ ಚೆಂಡುಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಂತೆ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಲ್ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಹಠಾತ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತಮಾಷೆಯಾಗಿ ಸಾಸೇಜ್ ದುರಂತ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ (ವಿಲ್ಸ್, 1985). ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಆಕಾರವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಿಂದ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಇದು ಏಕೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ತೃಪ್ತಿಕರ ವಿವರಣೆಯಿಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಶಾಂತವಾಗಿದೆ; ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹಠಾತ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಸುಮಾರು 377000 ಗೋಳಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಯಾಮಗಳಿಗಾಗಿ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಸೇಜ್ ಅಥವಾ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಪಿಜ್ಜಾ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ದೇಹಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗ್ರಿಟ್ಜ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಅರ್ಹೆಲ್ಗರ್ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಕಾರವಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಹತ್ತಿರದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಪಿಜ್ಜಾ ಆಗಿದೆ. ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 455 ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಲಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುವ ವಿಶೇಷ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಹಲ್ನ ಮಧ್ಯದ ಭಾಗವು ಉದ್ದವಿರುವ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಪ್ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ ಗೋಳಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ ಅವು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಆಕಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬಿದ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಒಂದು ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಗೋಳಗಳಿದ್ದರೆ, ಗೋಳಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ಬದಿಯ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ನ ಒಳ ತ್ರಿಜ್ಯವು. ಇದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆದಿದ್ದೇವೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ನಂತರ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನೊಳಗೆ ಅನೇಕ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವು ಪ್ರತಿ ಹೊಸ ಪದರಕ್ಕೆ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪದರಗಳಿಗೆ ಬದಿಯ ಉದ್ದವು ಆಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪದರಗಳ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನಲ್ಲಿ ಗೋಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗೋಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಿಂದಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಮುಂಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಗುಣಾಂಕವು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗೆ ಸುಮಾರು 2845 ಮತ್ತು ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗೆ 2856 ಆಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಪ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇನ್ನೂ ಸ್ವಲ್ಪ ಪ್ರಯತ್ನದಿಂದ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಮೂಲೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಳೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಾಸೇಜ್ ಊಹೆ ಈ ಪದವು 1975 ರಲ್ಲಿ ಸಾಸೇಜ್ ಊಹೆ ಮಂಡಿಸಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಲಾಸ್ಲೋ ಫೆಜೆಸ್ ಟೋತ್ ಅವರಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದು ಗೋಳಗಳು, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗೋಳವು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ದೇಹವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಗಡಿ ಬಿಂದುವು ಮಧ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಫೆಜೆಸ್ ಟೋತ್ನ ಸಾಸೇಜ್ ಊಹೆ ನಂತರ ಮೇಲಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಗೋಳಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು 4 ಆಯಾಮಗಳಿಗಿಂತ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋದ ನಂತರ ಸಾಸೇಜ್ ದುರಂತವು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒಟ್ಟಾರೆ ಊಹೆ ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗಿನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಉಲ್ರಿಚ್ ಬೆಟ್ಕೆ ಉಂಡ್ ಮಾರ್ಟಿನ್ ಹೆಂಕ್ ಅವರದ್ದು, ಅವರು 42 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನಿಯತಾಂಕ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಸೇಜ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ 56 ಗೋಳಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಇತರ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಕಾರದ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ "ಸರಳ" ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ. ಬ್ರನ್-ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಅಸಮಾನತೆ, ಮಿಶ್ರ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಸಂಪುಟಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಟೈನರ್ ಸೂತ್ರದಂತಹ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಮಾಣದ ಸೂಕ್ತ ಅಂದಾಜುಗಳ ಮೂಲಕ ಆಪ್ಟಿಮಲಿಟಿಯನ್ನು (ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮಲಿಟಿಯನ್ನು) ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 1992ರಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಗ್ ವಿಲ್ಸ್ ಅವರು ನಿಯತಾಂಕ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ (ಜಾಲರಿ ಮತ್ತು ಜಾಲರಿಯಲ್ಲದ) ಗೋಳದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳೆರಡರ ಏಕೀಕೃತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕಡೆಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನ ಅಂಚುಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಹಿಂದೆ ಬಳಸಿದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗೋಳಗಳ (ಅಥವಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಯಗಳು) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಗೋಳಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಗೋಳದ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ದೇಹವನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು). ರೇಖೀಯ ಜೋಡಣೆಗೆ (ಸಾಸೇಜ್), ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಎಂಬುದು ಗೋಳಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮಿನ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಗೋಳಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಲಾಸ್ಲೋ ಫೆಜೆಸ್-ಟೋತ್, ಕ್ಲೌಡ್ ರೋಜರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ಗಳ ಏಕೀಕೃತ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸಿದರು. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ಏಕೀಕೃತ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಿಲ್ಸ್ ಸರಳವಾದ ವಾದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆಃ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ನಾಣ್ಯಗಳ ದಟ್ಟವಾದ ಸೀಮಿತ ಜೋಡಣೆಯು ಸಾಸೇಜ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅನಂತ ಜೋಡಣೆಯು ಷಟ್ಕೋಣ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವಿಲ್ಸ್ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮಾರ್ಪಾಡನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾನೆಃ ಇದು ಅಂಚುಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ (ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಪ್ಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ). ಇದನ್ನು ನಂತರ ಹರ್ಮನ್ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯ ಮಿಶ್ರ ಸಂಪುಟಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಯಾಮಕ್ಕೂ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಸಾಸೇಜ್ಗೆ ಡೆನ್ಸನ್ಸ್ಟ್ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ (ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ), ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಆಯಾಮ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಇದರಿಂದ ಸಾಸೇಜ್ಗಳಿಂದ ಸಮೂಹಗಳಿಗೆ (ಸಾಸೇಜ್ ದುರಂತ) ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿನ ಪರಿಮಾಣವು. ಏಕೆಂದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಘನ ರೇಖಾಗಣಿತ