Phase space crystals
ಫೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕ್ರಿಸ್ಟಲ್ ಎಂಬುದು ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ನೈಜ ಜಾಗದ ಬದಲಿಗೆ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕ-ಕಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯು ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ಐಜೆನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಅನ್ನು ಅಥವಾ ಮುಕ್ತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಲಿಯೋವಿಲಿಯನ್ನ ಐಜೆನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹು-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕವು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಘನ-ರೀತಿಯ ಸ್ಫಟಿಕದಂತಹ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಘನ ಸ್ಥಿತಿಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಹಂತದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕಟ್ಟಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಜಾಗವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಹಂತದ ಜಾಗವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಅಥವಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹುದುಗಿದೆ. ತನ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪುಸ್ತಕ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎರಡು ಸಂವಹನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸ್ಥಳಾಂತರ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಂದ ಒಂದು ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದನು, ಇದನ್ನು ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಜಾಲರಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಂತದ ಜಾಗವನ್ನು ಆವರ್ತನ-ಸಮಯದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಗ್ಯಾಬರ್ ಜಾಲರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಂತದ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಚಾರ್ಜ್ಡ್ ಕಣದ ಅಹರೊನೊವ್-ಬೋಮ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಫೇಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ ನಡುವೆ ಆಳವಾದ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಚಲನೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಂತದ ಜಾಗದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಲೊರೆನ್ಜ್-ಫೋರ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನೆರೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿರುವ ಸಮುದ್ರದಲ್ಲಿ ಪೊಯಿನ್ಕೆರೆ-ಬಿರ್ಖೋಫ್ ದ್ವೀಪಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಪಳಿ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ನಿಯಮಿತ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಲರಿ ರಚನೆಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒದೆಯುವ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ (ಕೆ. ಎಚ್. ಓ) ನ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಒದೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲರಿ, ತ್ರಿಕೋನ ಜಾಲರಿ ಮತ್ತು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಸ್ಫಟಿಕ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಕೆ. ಎಚ್. ಓ. ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳಿಗೆ (ಪಿ. ಎಸ್. ಸಿ.) ಸೂಕ್ತವಾದ ಒದೆಯುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳನ್ನು ಏಕ-ಕಣ ಪಿಎಸ್ಸಿ ಮತ್ತು ಬಹು-ದೇಹ ಪಿಎಸ್ಸಿ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಏಕ-ಕಣ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕವು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ (1ಡಿ) ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿರಬಹುದು, ಇದು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಎರಡು-ಆಯಾಮದ (2ಡಿ) ಜಾಲರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇಡೀ ಹಂತದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಮುಚ್ಚಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪ್ರಸರಣ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. Zn PSC ಹಂತದ ಜಾಗವು ನೈಜ ಜಾಗಕ್ಕಿಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಂತದ ಜಾಗದ ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಂಚರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಆಯಾಮವಿಲ್ಲದ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ಮಾಡಿದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬ್ಲೋಚ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು-ಪಟ್ಟು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಂಡ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಫೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳನ್ನು ಫೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಪಿಎಸ್ಸಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಇಡೀ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅನುವಾದದ ಸಮ್ಮಿತಿಯವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಫೇಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಫೇಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಹಂತದ ಜಾಗವು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 2ಡಿ ಜಾಲರಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅನುವಾದದ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡು ಸ್ಥಳಾಂತರ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂವಹನಶೀಲರಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂವಹನವಲ್ಲದ ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, "ಬಿಂದು" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ, ಒಂದು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳಾಂತರ ಆಪರೇಟರ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಂತದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಒಂದು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮೂರು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹಂತದ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹಂತವು ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಆವೇಶದ ಕಣದ ಅಹರೊನೊವ್-ಬೋಮ್ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಯುನಿಟ್ ಸೆಲ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಯುನಿಟ್ ಸೆಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು 2ಡಿ ಬ್ರಿಲ್ಲೋಯಿನ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬ್ಯಾಂಡ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಚೌಕಾಕಾರದ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಜಾಲರಿಯ ವರ್ಣಪಟಲವು ಹಾಫ್ಸ್ಟಾಡರ್ನ ಚಿಟ್ಟೆ ಬ್ಯಾಂಡ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಬಿಗಿಯಾದ-ಬಂಧಿಸುವ ಜಾಲರಿ ತಾಣಗಳ ನಡುವೆ ಚಾರ್ಜ್ ಮಾಡಲಾದ ಕಣಗಳ ಜಿಗಿತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಐಜೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳನ್ನು 2ಡಿ ಜಾಲರಿ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸರಣಶೀಲ ಪಿ. ಎಸ್. ಸಿ. ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಕ್ಯೂಇಡಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಜೋಸೆಫ್ಸನ್ ಜಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಬಯಾಸ್ ಅಂಡರ್-ಫೋಟಾನ್ ರೆಸೋನೆನ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಮೈಕ್ರೋವೇವ್ ರೆಸೊನೇಟರ್ ಅನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಫೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗುವ ತರಂಗ ಅಂದಾಜು (ಆರ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಎ) ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಏಕ-ಫೋಟಾನ್ ನಷ್ಟವು ಪ್ರಬಲವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಅನುರಣಕದ ಪ್ರಸರಣ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಖ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ (ಲಿಂಡ್ಬ್ಲಾಡ್ ಸಮೀಕರಣ) ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಷ್ಟದ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಲಿಯೋವಿಲಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಐಜೆನ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಜೆನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಲಿಯೋವಿಲಿಯನ್ ಕೂಡ-ಪಟ್ಟು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ನೊಂದಿಗೆ, ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯು ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಲಿಯೋವಿಲಿಯನ್ ಐಜೆನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಫೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಬ್ಲೋಚ್ ಮೋಡ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದನ್ನು ಡಿಸಿಪೇಟಿವ್ ಫೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕ್ರಿಸ್ಟಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಂತ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಘನ-ರೀತಿಯ ಸ್ಫಟಿಕದಂತಹ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹು-ದೇಹದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧ ಆವರ್ತಕ ಚಾಲನೆಗೆ (ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ) ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ಬಹು-ದೇಹ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ನೈಜ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಣಗಳ ಅಂತರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಚಾಲನಾ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವ ತರಂಗ ಅಂದಾಜನ್ನು (ಆರ್ಡಬ್ಲ್ಯೂಎ) ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಇಲ್ಲಿ, ಸ್ಟ್ರೋಬೋಸ್ಕೋಪಿಕ್ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು-th ಕಣದ ಆವೇಗ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಅವು ಚಾಲನಾ ಅವಧಿಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸ್ಫಟಿಕದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಲು, ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವರ್ತನ ಅಥವಾ ಅನುವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದೆ ಇರಬೇಕು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮುಖ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಒಂದು ಚಾಲನಾ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಯ-ಸರಾಸರಿ ನೈಜ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಂವಹನವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮಾದರಿ ಶಕ್ತಿ-ನಿಯಮ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮಯ-ಸರಾಸರಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಚಲನವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಪುನರ್ರಚನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಹಂತದ ಅಂತರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಕೂಲಂಬ್ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಇನ್ನೂ ಕೂಲಂಬ್ನ ನಿಯಮದ ರೂಪವನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಪುನರಾವರ್ತಿತ "ಚಾರ್ಜ್" ವರೆಗೆ ಇರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಂವಹನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಘರ್ಷಣೆ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಂತದ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಇಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹಂತದ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಂವಹನವು ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಅಂತರದೊಂದಿಗೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಕಠಿಣ-ಗೋಳದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ (), ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ (ಕ್ಯೂಸಿಡಿ) ಕ್ವಾರ್ಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಬಂಧನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಫೇಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಥವಾ ಭಾಷಾಂತರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಚಾಲನೆಯಿಂದ ಫೇಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಪೊಟೆನ್ಶಿಯಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಆಡಳಿತವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಣಗಳು ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಫೇಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ತಮ್ಮನ್ನು ಜೋಡಿಸಿಕೊಂಡು ಅನೇಕ-ದೇಹದ ಫೇಜ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸ್ಫಟಿಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಬಿಂದು ಕಣವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ತರಂಗ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ಲೋಕ್ವೆಟ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಗ್ನಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಕಣಗಳ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಆವರ್ತಕ ಎರಡು-ದೇಹದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಸಮಯ-ಸರಾಸರಿ ನೈಜ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಂವಹನವು ದೂರದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಂವಹನವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ಡೋಲಾಯಿಸುವ ಕನ್ನಡಿಯ ಮೇಲೆ ಪುಟಿಯುವ ವಿಕರ್ಷಣ ಸಂಪರ್ಕ ಸಂವಹನ ಹೊಂದಿರುವ ಬೋಸೋನಿಕ್ ಅಲ್ಟ್ರಾಕೋಲ್ಡ್ ಪರಮಾಣುಗಳಿಗೆ, ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಟ್ ಅವಾಹಕದಂತಹ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ತಾಣದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಣಗಳಿವೆ, ಇದನ್ನು 1ಡಿ ಬಹು-ದೇಹದ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗದ ಕಣಗಳು ಸ್ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಒಟ್ಟು ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನೇರ ಸಂವಹನ ಮತ್ತು ವಿನಿಮಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಎರಡು ಕಣಗಳ ಘರ್ಷಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿನಿಮಯ ಪರಿಣಾಮವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸ್ಪಿನ್-ಸ್ಪಿನ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಹಂತ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕ ಕಂಪನಗಳು ಘನ ಸ್ಫಟಿಕಗಳನ್ನು ನೈಜ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಮಾಣುಗಳ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಜೋಡಣೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮಯ-ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಚಾಲನೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಪರಮಾಣುಗಳು ಸಹ ಸ್ಫಟಿಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು ಹಂತ ಜಾಗದಲ್ಲಿ. ಈ ಪರಮಾಣುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಘನ ಸ್ಫಟಿಕಗಳಲ್ಲಿನ ಫೋನಾನ್ಗಳಂತೆಯೇ ಸಾಮೂಹಿಕ ಕಂಪನ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಜೇನುಗೂಡಿನ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕಂಪನ ಬ್ಯಾಂಡ್ ರಚನೆಯು ಎರಡು ಉಪ-ಜಾಲರಿ ಬ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪರಮಾಣುಗಳ ಕಂಪನಗಳನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಜೋಡಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸುವ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಂತಗಳು ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಚೆರ್ನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೈರಲ್ ಅಂಚಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಂಪನ ಬ್ಯಾಂಡ್ ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾರಿಗೆ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಭೌತಿಕ ಸಮಯ-ಹಿಮ್ಮುಖ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಮುರಿಯದೆ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಫೋನಾನ್ಗಳಿಗೆ ಕೈರಲ್ ಸಾಗಣೆಯು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು. ಸಮಯದ ಸ್ಫಟಿಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಸಮಯದ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಮತ್ತು ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಅವರಿಬ್ಬರೂ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಚಾಲಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಸಮಯದ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೈಮ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಲೇಷನಲ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿ (ಡಿಟಿಟಿಎಸ್) ಯ ಸ್ವಯಂಪ್ರೇರಿತ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮುರಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಬಹು-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಬ್ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳ ರಕ್ಷಣಾ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕದ ಅಧ್ಯಯನವು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳು ಬಹು-ದೇಹ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಏಕ-ಕಣ ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಡಿಟಿಟಿಎಸ್ ಅನ್ನು ಮುರಿಯಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಅನೇಕ-ದೇಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಹಂತದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸ್ಫಟಿಕಗಳು ಹಂತದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಉಪ-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಬಹು ಸಮಯದ ಸ್ಫಟಿಕಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮಯದ ಸ್ಫಟಿಕಗಳಲ್ಲಿ ಮಂದಗೊಳಿಸಿದ ದ್ರವ್ಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ