NM-method
ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ನಾಸ್ಜೋಡಿ-ಮೆಂಡೋಂಕಾ ವಿಧಾನವು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ (ಬೀಜ ಕೋಷ್ಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) "ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರುವ" ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ () ಅನ್ನು ಅದೇ ಶ್ರೇಯಾಂಕದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆದರೆ ಗುರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೂ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ವತಃ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಗಾತ್ರದ ಸಾಲು ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗಾತ್ರದ ಕಾಲಮ್ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾಸ್ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಮೆಂಡೊಂಕಾ (2021) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು (ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ನಾಸ್ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಮೆಂಡೊಂಕಾ (2019) ಅವರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮತ್ತೊಂದು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಲಿಂಗಕಾಮದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಂತರ ಪೀಳಿಗೆಯ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ 1980 ಮತ್ತು 2010 ರ ನಡುವೆ ಯು. ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಮಾಜಿಕ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿನ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯು ಯು-ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ, ಇದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಾಮಾಜಿಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಥಿಕ ನೀತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಎರಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಮೀಪ್ಯವನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ ಮತ್ತು ಕುಲ್ಬ್ಯಾಕ್-ಲೀಬ್ಲರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಎರಡು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಇಕ್ಯೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಕೋಲ್ಮನ್-ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. (15) ಕೋಲ್ಮನ್ ನಲ್ಲಿ (1958). ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಅವುಗಳ ಲಿಯು-ಲು ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ "ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ". ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರಿಸಿದರೆ. 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಿ;;;;. ಕೋಲ್ಮನ್ (1958) ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು "ಗರಿಷ್ಠ ಮೈನಸ್ ಕನಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ನಿಜವಾದ ಮೈನಸ್" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೀಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರವೇಶದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ; ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲು ಒಟ್ಟು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಒಟ್ಟು ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಒಳಭಾಗವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ (ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಸಾಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನೀಡಲಾದ ಸಾಲಿನ ಒಟ್ಟು ಮತ್ತು ಅಂಕಣದ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ () ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. n × m (,) ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ, ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ನಾಸ್ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಮೆಂಡೊಂಕಾ (2021) ಅವರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ರೋ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸಾಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಕಾಲಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಡಿಚೋಟೋಮೈಸೇಶನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೂಲ, ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದು. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಗೆ (, ಮತ್ತು) ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಾತ್ರವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದರ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅದರ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪೂರೈಸಬೇಕುಃ ಮತ್ತು. ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ (ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು), ಪರಿಹಾರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ, ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಇತರ 3 ಕೋಶಗಳನ್ನು ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 2x2 ಬೀಜ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಗೆ ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಈ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. , ಮತ್ತು ಗಾತ್ರದ (,) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ, 2x2 ರೂಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸಾಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಕಾಲಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿಗೆ (ಮತ್ತು) ಜೊತೆಗೆ, ಮತ್ತು ಗುರಿ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ, ಮತ್ತು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಫಾರ್ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಮೂಹವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಉಳಿದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುರಿ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎರಡನೇ ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ, ಪರಿಹಾರವು ಸಹ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಯಾಂಕದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಲಿಯು ಮತ್ತು ಲು (2006) ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಎಲ್ಲಿ; ಚಿಕ್ಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಎನ್. ಎಂ.-ವಿಧಾನವೊಂದೂ ಇಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಬೇರೊಂದು ಜೋಡಿಗೆ ಆ ರೀತಿಯ ಜೋಡಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅದರ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಗುರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತುಃ ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನದ ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ (, ಮತ್ತು) ದಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 2x2 ಗಾತ್ರದ ಕೆಳಗಿನ 9 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗುರಿ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮುಂದಿನ ಹಂತವು 9 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಮೂಲ ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎನ್. ಎಂ.-ವಿಧಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. 2x2 ರೂಪದ 9 ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ 9 ನಮೂದುಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇದರ ಇತರ 7 ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಗುರಿ ಸಾಲಿನ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಕಣಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆಃ ಅಬ್ಬೋಟ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆ. (2019) ಅದರ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಗುರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುವ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತುಃ ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನದ ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ (, ಮತ್ತು) ದಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 2x2 ಗಾತ್ರದ ಕೆಳಗಿನ 4 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಗುರಿ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮುಂದಿನ ಹಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, (ಅಲ್ಲಿ) ಮೂಲ ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸೂತ್ರವನ್ನು 4 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎನ್. ಎಂ.-ವಿಧಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. 2x2 ರೂಪದ 4 ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ 4 ನಮೂದುಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಇದರ ಇತರ 5 ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಗುರಿ ಸಾಲಿನ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅಂಕಣಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆಃ ಅನುಷ್ಠಾನ ಎನ್. ಎಂ.-ವಿಧಾನವನ್ನು ಎಕ್ಸೆಲ್, ವಿಷುಯಲ್ ಬೇಸಿಕ್, ಆರ್, ಮತ್ತು ಸ್ಟೇಟಾದಲ್ಲೂ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಎನ್. ಎಂ.-ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಂಗಡಣಾ ಸಂಯೋಗ, ಸಾಮಾಜಿಕ ಚಲನಶೀಲತೆಯ ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿ ಅಂತರ್ಜನಾಂಗೀಯ ಚಲನಶೀಲತೆ, ವಸತಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ, ನೇಮಕಾತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಭೆ ನಿರ್ವಹಣೆ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು, ಮತ್ತು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಘಟಕಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ (ಉದಾ. ಗಂಡ ಮತ್ತು ಹೆಂಡತಿಯರು, ಅಥವಾ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಜನಿಸಿದ ಮಕ್ಕಳು ಮತ್ತು ತಾಯಂದಿರು, ಅಥವಾ ವಸತಿಗಳು ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಬಾಡಿಗೆದಾರರು, ಅಥವಾ ಸಿ. ಇ. ಓ. ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪನಿಗಳು, ಅಥವಾ ಚೆಸ್ ಬೋಧಕರು ಮತ್ತು ಅವರ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು) ದ್ವಂದ್ವ ವರ್ಗೀಕರಣದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಸಸ್ಯಾಹಾರಿ/ಮಾಂಸಾಹಾರಿ, ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಮಾಸ್ಟರ್/ಅಥವಾ ಅಲ್ಲ), ಅಥವಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಬಹುಪದೀಯ ವರ್ಗೀಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಅಂತಿಮ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಧನೆಯ ಮಟ್ಟ, ಸ್ಕೀಯರ್ಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮಟ್ಟ, ಆದಾಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ಬಾಡಿಗೆ ಶುಲ್ಕದ ವರ್ಗ, ಕ್ರೆಡಿಟ್ ರೇಟಿಂಗ್, ಫಿಡೆ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳು). ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಮುಂದೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಶಿಕ್ಷಣ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಣಾ ಸಂಯೋಗದ ಬಗ್ಗೆ ಇವೆ. ಈ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು (ಎಲ್ಲಾ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ವಿಂಗಡಣೆಯ ಸಂಯೋಗ) ಪೂರೈಸಲು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜಿಂಬಾಬ್ವೆಯಲ್ಲಿ ಗಂಡ ಮತ್ತು ಹೆಂಡತಿಯರ ಜಂಟಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯೆಮನ್ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗಂಡ ಮತ್ತು ಹೆಂಡತಿಯರ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆಯು ಯೆಮನ್ನಂತೆಯೇ ಇದ್ದರೆ, ಜಿಂಬಾಬ್ವೆಯಲ್ಲಿ ದಂಪತಿಗಳ ಜಂಟಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆಯು ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ವಲಿಂಗ ವಿವಾಹದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಬಯಕೆ (ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವೈವಾಹಿಕ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾಜಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವೈವಾಹಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸಾಮಾಜಿಕ ರೂಢಿಗಳು/ಸಾಮಾಜಿಕ ಅಡೆತಡೆಗಳು) ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೇ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ದೇಶವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ನಿರೂಪಿಸಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 2040 ರಲ್ಲಿ ಅಮೆರಿಕಾದ ನವವಿವಾಹಿತರ ಜಂಟಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗಂಡಂದಿರು ಜನರೇಷನ್ ಝೆಡ್ನಿಂದ ಬಂದವರು ಮತ್ತು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಯುವ ವಯಸ್ಕರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಜನರೇಷನ್ ವೈಗೆ 2024ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಆಚರಿಸಲಾಯಿತು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಜನರೇಷನ್ ಝಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪುರುಷರು ಮತ್ತು ಅವರ ಸಂಗಾತಿಗಳಂತೆಯೇ ವಿವಾಹಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಕೇವಲ ವಿವಾಹಿತ ಅಮೆರಿಕನ್ ಯುವ ದಂಪತಿಗಳಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವು ಜನರೇಷನ್ ವೈ ಮತ್ತು ಅವರ ಪಾಲುದಾರರಲ್ಲಿ ಪುರುಷರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರನೇ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಅದೇ ದೇಶವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ನಿರೂಪಿಸಿ. ಈ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ 2011 ರಲ್ಲಿ ಪೋರ್ಚುಗೀಸ್ ಯುವ ದಂಪತಿಗಳ ಜಂಟಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಪುರುಷ ಪಾಲುದಾರರ ವಯಸ್ಸು 30 ರಿಂದ 34 ವರ್ಷಗಳು). ಮತ್ತು ಅದೇ ಆದರೂ ಇದನ್ನು 1981ರಲ್ಲಿ ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೋರ್ಚುಗೀಸ್ ಯುವ ದಂಪತಿಗಳ ಲಿಂಗ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆಗಳು 1981ರಂತೆಯೇ ಇದ್ದಾಗ, ಅವರು 2011ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಗೆಳೆಯರಂತೆ ಮದುವೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ ಅವರ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆಯು ಏನಾಗುತ್ತಿತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಮೊದಲ ಎರಡು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸೆಟೆರಿಸ್ ಪ್ಯಾರಿಬಸ್ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜಿಂಬಾಬ್ವೆ ಮತ್ತು ಯೆಮೆನ್ಗಳಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಗಮನಿಸಲಾಗದ ವೈವಾಹಿಕ ವಿಂಗಡಣೆಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು, ಅಥವಾ ಜನರೇಷನ್ ಝಡ್ ಮತ್ತು ಜನರೇಷನ್ ವೈಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ. ವಿಭಜನೆಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರೇರಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿವಿಧ ಶಿಕ್ಷಣ ಮಟ್ಟಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಪಾಲುದಾರರ ರಚನಾತ್ಮಕ ಲಭ್ಯತೆ; ಮತ್ತು ಗಮನಿಸಲಾಗದ ರಚನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಚಾಲಕರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಟ್ಟು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆದ್ಯತೆಗಳು, ಆಸೆಗಳು, ಮಾನದಂಡಗಳು, ಅಡೆತಡೆಗಳು) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ (ಅಂದರೆ, ರಚನಾತ್ಮಕ ಲಭ್ಯತೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಂದಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಆದ್ಯತೆಗಳು/ಆಸೆಗಳು/ಮಾನದಂಡಗಳು/ಅಡೆತಡೆಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಪರಿಣಾಮ) ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕವಾಗಿ ಸಲಿಂಗ ದಂಪತಿಗಳ ಪಾಲು). ಮೂರನೆಯ ಅನ್ವಯವನ್ನು ನಾಸ್ಜೋಡಿ ಮತ್ತು ಮೆಂಡೊಂಕಾ (2021) ಅವರು ಅಸಂಬದ್ಧ ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆಃ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಮೂರು ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಪೋರ್ಚುಗಲ್ನಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಣದ ಮಟ್ಟವು ಎಷ್ಟು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ ಈ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನದ ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಅದರ ಅನ್ವಯಿಕತೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪಿದರೆ ಅದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರನೆಯ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ನಮೂದಿನೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ನೋಡಿಃ AlternativeMethod_US_1980s_2010s_age3035_main.xls ಶೀಟ್ ಪಿಟಿ _ ಎ1981 _ ಪಿ2011 _ ನಾಟ್ _ ಮೀನಿಂಗ್ಫುಲ್). ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ರೇಖೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗೆ ಊಹಿಸಲಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಸಾಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನೆರೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿಲೀನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತದೆಃ, ಗಾತ್ರದ ಸಾಲು ವಿಲೀನಗೊಳಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ; ಮತ್ತು, ಗಾತ್ರದ ಕಾಲಮ್ ವಿಲೀನಗೊಳಿಸುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ನಮೂದುಗಳಿದ್ದರೂ ಸಹ ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ನೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಇಟರೇಟಿವ್ ಪ್ರಪೋರ್ಷನಲ್ ಫಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಪ್ರೊಸೀಜರ್ (ಐ. ಪಿ. ಎಫ್.) ಸಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಅಳವಡಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ () ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಪೂರೈಸಲ್ಪಟ್ಟಂತಹ ಷರತ್ತುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಆದರೆ ಗುರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳೊಂದಿಗೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಐ. ಪಿ. ಎಫ್ ಮತ್ತು ಎನ್. ಎಂ-ವಿಧಾನದ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆ. ಐಪಿಎಫ್ ಕ್ರಾಸ್-ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಅಥವಾ ಕುಲ್ಬ್ಯಾಕ್-ಲೀಬ್ಲರ್ ವಿಚಲನದಿಂದ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಾಮೀಪ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಐ. ಪಿ. ಎಫ್ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಅನುಪಾತಗಳು (ಆಡ್ಸ್ ಅನುಪಾತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆಃ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಮಾನ ಶ್ರೇಯಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನದ ಷರತ್ತು ಮತ್ತು ಆಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯು ಐ. ಪಿ. ಎಫ್ ಮತ್ತು ಎನ್. ಎಂ-ವಿಧಾನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಆದರೆ ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ನೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆಃ ಐ. ಪಿ. ಎಫ್ ಜಂಟಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಾರನಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಜಂಟಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಅಂದಾಜು) ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಪರಿಹರಿಸಲು ಎನ್. ಎಂ-ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎನ್ಎಂ-ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಜಿಂಬಾಬ್ವೆ ಮತ್ತು ಯೆಮೆನ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಂತೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಜನರೇಷನ್ ಝಡ್ ಮತ್ತು ಜನರೇಷನ್ ವೈ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಎನ್. ಎಂ.-ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ನಡುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಐಪಿಎಫ್ನ ಸಂಶೋಧಕರಾದ ಡೆಮಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀಫನ್ (1940), ತಮ್ಮ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಅವರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತುಃ ಅವರು ತಮ್ಮ ಕ್ರಮಾವಳಿಯು "ಸ್ವತಃ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ" ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎಚ್ಚರಿಸಿದರು (ಸ್ಟೀಫನ್ ಮತ್ತು ಡೆಮಿಂಗ್ 1940 ಪುಟ 444 ನೋಡಿ). ಇದಲ್ಲದೆ, ಡೊಮೇನ್ಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಐ. ಪಿ. ಎಫ್ ಮತ್ತು ಎನ್. ಎಂ-ವಿಧಾನಗಳು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎನ್ಎಂ-ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ಶೂನ್ಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜ ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಸಿಸಿಸ್ಜಾರ್ (1975) ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎನ್. ಎಂ-ವಿಧಾನವು ಜೋಡಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ವಾಸ್ತವಾಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಎನ್. ಎಂ.-ವಿಧಾನದ (ಎರಡೂ ಅಥವಾ ಎರಡೂ) ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತು ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ಅನ್ವಯವಾಗಲು ಪೂರ್ವ ಷರತ್ತಲ್ಲ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಎನ್. ಎಂ. ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ನಾಸ್ಜೋಡಿ (2023) ರಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಸಾಲು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನೆರೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿಲೀನಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಪುಟ 10 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ನೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದ ಪರಿವರ್ತಿತ ಕೋಷ್ಟಕವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆನ್ನೆತ್ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ (2023) ಅವರು ನಾಸ್ಜೋಡಿ (2023) ಅವರ ತೀರ್ಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಐ. ಪಿ. ಎಫ್ ಮಾದರಿ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ವಾಸ್ತವಾಂಶಗಳ ಉತ್ಪಾದನೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ನಾಸ್ಜೋಡಿಯಂತೆಯೇ, ಐ. ಪಿ. ಎಫ್. ನ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಅಂಕಣ ಅನುಪಾತದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಾಮಾಜಿಕ ಚಲನಶೀಲತೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕದೊಳಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆಯೇ ಎಂದು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಪ್ರಶ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ ವಿಧಾನ (ಎಂಇಡಿಎ) (ಅಬೋಟ್ ಮತ್ತು ಇತರರು, 2019 ರಲ್ಲಿ ಫರ್ನಾಂಡೀಸ್ ಮತ್ತು ರೋಜರ್ಸನ್, 2001 ರ ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಸಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಮೆಡಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದು ಯೂಕ್ಲೆಡಿಯನ್ ಅಂತರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಎರಡು ತೀವ್ರ ಪ್ರಕರಣಗಳ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ಜೋಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಂಗಡಣೆಯ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ) ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸುವ ತೂಕವಾಗಿದೆ. ಇ. ಜಿ. ಈ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಬ್ಬೋಟ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿದೆ. (2019). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಕೌಂಟರ್ಫ್ಯಾಕ್ಟುವಲ್ ಮಾರ್ಜಿನಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳಿಗೆ () ಎಂ. ಇ. ಡಿ. ಎ. ಯು ಎರಡು ತೀವ್ರತರವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳು ಮಾರ್ಜಿನಲ್ಗಳ () ಜೋಡಿಯೊಂದಿಗೆ). ಎನ್. ಎಂ. ಮತ್ತು ಎಂ. ಇ. ಡಿ. ಎ. ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳುಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಡುವ ಮೂಲಕ ಎನ್. ಎಂ. ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ, ಎಂ. ಇ. ಡಿ. ಎ. ಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಡುವ ಮೂಲಕ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗಾತ್ರದ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ, ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳು ಅದೇ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಒದಗಿಸಿದ ಆಕಸ್ಮಿಕ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕದಂತೆಯೇ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 2x2 ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲಿಯು-ಲು ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್-ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎನ್. ಎಂ.-ಪರಿವರ್ತಿತ ಕೋಷ್ಟಕವು ಎಂ. ಇ. ಡಿ. ಎ.-ಪರಿವರ್ತಿತ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಬ್ಬೋಟ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ. (2019), ಮೆಡಾ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಕೋಷ್ಟಕವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಗಣ್ಯವಲ್ಲ. ಇ. ಜಿ. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಿಂತ ಮೆಡಾ-ನಿರ್ಮಿತ ಕೌಂಟರ್ಫ್ಯಾಕ್ಟುವಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಲಿಂಗಕಾಮಿ ದಂಪತಿಗಳ ಪಾಲು ಶೇಕಡಾ 2ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎನ್ಎಂ-ನಿರ್ಮಿತ ಕೌಂಟರ್ಫ್ಯಾಕ್ಟುವಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಇದು ಶೇಕಡಾ 3.4ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅಬ್ಬೋಟ್ ಅವರ ಉದಾಹರಣೆಯು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಮೇರಿಕನ್ ದಂಪತಿಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 2 ಪ್ರತಿಶತ ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು 3.4 ಪ್ರತಿಶತ ಅಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಂ. ಇ. ಡಿ. ಎ. ಯು ಒಂದು ಪೀಳಿಗೆಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಪೀಳಿಗೆಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಎನ್. ಎಂ. ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಾಸ್ಜೋಡಿ-ಮೆಂಡೋಂಕಾ ವಿಧಾನ (ಜಿ. ಎನ್. ಎಂ-ವಿಧಾನ) ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅಂಕಿಅಂಶ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.