Kinematics of the cuboctahedron
ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವು, ಅದರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೀಲುಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕಿರಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅದರ ಮುಖಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ, ರಚನಾತ್ಮಕ ಬಿಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಖದ ಕರ್ಣೀಯಗಳಲ್ಲಿ ಮಡಿಸುವ ಮೂಲಕ (ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ) ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್, ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ, ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪೈರಿಟೋಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಚಲನಶೀಲ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಬಿಗಿಯಾದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮುಖಗಳ ಚೌಕಟ್ಟು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕೀಲುಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ, ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಒಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಂತೆ, ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮುಖಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದಾಗ, ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಕೀಲುಗಳಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಟ್ಟು, ಫಲಿತಾಂಶವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಕಾಣೆಯಾದ ಮುಖಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ). ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಕೇಂದ್ರ ಶೃಂಗವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಚೌಕಾಕಾರದ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗಿ ಉಪವಿಭಜಿಸಿ, ಕೇಂದ್ರ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಕೀಲುಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆಕ್ಟೆಟ್ ಟ್ರಸ್ ರಚನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆವರ್ತಕ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳ ಮೂಲಕ ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಚಕ್ರವನ್ನು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರವು ಮೋಬಿಯಸ್ ಲೂಪ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ಇದು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್, ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್, ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ರಷ್ಯಾದ ಗೊಂಬೆಗಳಂತಹ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಗೂಡುಗಳು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಸಂಕೋಚನದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಚೌಕಾಕಾರದ ಮುಖಗಳು ಅವುಗಳ ಕರ್ಣೀಯಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಳಮುಖವಾಗಿ ಮಡಚಿ ಜೋಡಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೋಚನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಸುರುಳಿಯ 12 ಶೃಂಗಗಳು ಒಳಮುಖವಾಗಿ (ಕೇಂದ್ರದ ಕಡೆಗೆ) ಮತ್ತು ಅವು ನಿಯಮಿತ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತವೆ; ಅವು ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವವರೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತವೆ; ಮತ್ತು ಅವು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ 6 ಶೃಂಗಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸುರುಳಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಎರಡು ಮಿತಿ-ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಶೇಷ-ಪ್ರಕರಣ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಿರಂತರತೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಂಚುಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ-ಅಂಚಿನ ರೂಪಾಂತರವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ-ಅಂಚಿನ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್, ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇತರ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವು ಪರಸ್ಪರ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಅವು ಕಠಿಣವಾದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ), ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಅವು ಕೇವಲ ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ರಚನಾತ್ಮಕ ಬಿಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕಠಿಣವಾದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ (ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ) 6 ಅಂಚುಗಳು ಕಾಣೆಯಾಗಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ (ಸೂಡೊಯಿಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್), 6 ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಂಚುಗಳು ಕಾಣೆಯಾಗಿರುವ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕವಾಗಿರುವ ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯ ಕಠಿಣ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ (ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಶೃಂಗಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಅಂಚಿನ ರೂಪಾಂತರವು ಹತ್ತಿರದ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಅಂಚಿನ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಕಾರಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ಜಾರಿಗೊಳಿಸುವ ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಇದೆ. ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಅನಂತ ಚಲನಶೀಲತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರಚನಾತ್ಮಕ ಬಿಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾನ್ನಿಂದ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾನ್ನವರೆಗೆ ಆ ವರ್ಣಪಟಲದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಮಧ್ಯಮ ಸ್ಥಿರ ರೂಪವು ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಸಂಕೋಚನ ಎಂದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿಯ ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನ ಬಿಂದುವು ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ; ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಆ ಆಕಾರದಿಂದ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಂಚುಗಳು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕವಾಗಿರುವ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಬಹುದು (ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿ ಉದ್ದವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ). ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಆಕಾರದಿಂದ (ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ) ದೂರ ತಳ್ಳುವುದು ಅದರ 24 ಸಣ್ಣ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಉದ್ದದ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಥವಾ ದೂರಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲು, ಎಲ್ಲಾ ಸಣ್ಣ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಮಧ್ಯಮ ಗಾತ್ರದ ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನಿಂದ ಸಣ್ಣ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಕಡೆಗೆ ಕುಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ದೊಡ್ಡ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಕಡೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಲವನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ತನ್ನ ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಅಂಚಿನ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅಂಚುಗಳು ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ 6 ಉದ್ದದ ಅಂಚುಗಳು ಇದ್ದರೂ). ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದು ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್, ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು (ಕನಿಷ್ಠ) ಅಂಚಿನ ಉದ್ದದ ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಆದರೆ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನಂತೆಯೇ (ಗರಿಷ್ಠ) ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ (ಆದರೆ ಅಂಚುಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಉದ್ದವಾದ ನಂತರ, ಮತ್ತು ಕಾಕತಾಳೀಯ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ). ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ-ಅಂಚು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಅಂಚಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ-ಅಂಚು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಅಂಚಿನ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪರಸ್ಪರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದುವಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಅಂಚಿನ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಸಣ್ಣ ಅಂಚುಗಳು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದವಾದ ಅಂಚುಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ-ಅಂಚಿನ ರೂಪಾಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉದ್ದವಾದ ಅಂಚುಗಳು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಣ್ಣ ಅಂಚುಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮೇಲಿನ ವಿವರಣೆಗಳಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಶೃಂಗಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಲಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರದ ಕಡೆಗೆ ಚಲಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಜೆಸ್ಸೆನ್ನ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ (90° ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಮಧ್ಯಮ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಹಿಗ್ಗಿಸುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೋಚನಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿರೋಧವಿರುವ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ-ಅಂಚಿನ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಗಣಿತವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಜವಾದ ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ರಚನೆಗಳು ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಬ್ಬರು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಅಂಚುಗಳು (ಕೇಬಲ್ಗಳು) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಉದ್ದವಾದ ಅಂಚುಗಳು (ಸ್ಟ್ರಟ್ಗಳು) ಸಂಕುಚಿತ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಉದ್ವಿಗ್ನತೆಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ-ಅಂಚಿನ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಎರಡೂ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಶುದ್ಧ ಅಮೂರ್ತತೆಗಳಾಗಿವೆ, ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬದ ಎರಡು ಮಿತಿ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು 0 ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೇಬಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರಟ್ಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿ ಪ್ರಕರಣವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ, ಇದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಅವುಗಳ ನಿಜವಾದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಮಾಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುತೇಕ ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸುಮಾರು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಸ್ಟ್ರಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "ಡ್ರಮ್-ಬಿಗಿಯಾದ" ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಪರಸ್ಪರ ಸಣ್ಣ ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕತ್ವ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಜಿಟ್ಟರ್ಬಗ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಈ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳ ನಡುವಿನ ತಿರುಚುವ, ವಿಸ್ತಾರವಾದ-ಸಂಕೋಚಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಕ್ಮಿನ್ಸ್ಟರ್ ಫುಲ್ಲರ್ ಅವರು ಜಿಟ್ಟರ್ಬಗ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಿದರು. ಫುಲ್ಲರ್ ಯಾವುದೇ ಗಣಿತವನ್ನು ನೀಡಲಿಲ್ಲ; ಅವನ ಹಿಂದಿನ ಅನೇಕ ಮಹಾನ್ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳಂತೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಲಿಸಿಯಾ ಬೂಲ್ ಸ್ಟಾಟ್) ಅವನಿಗೆ ನೀಡಲು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತವಿರಲಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅವರು ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ರೇಡಿಯಲ್ ಸಮಬಾಹು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಿದವರಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು, ಇದನ್ನು ಅವರು ಆಕ್ಟೇಟ್ ಟ್ರಸ್ ಆಗಿ ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ (ಮತ್ತು ಪೇಟೆಂಟ್) ಅನ್ವಯಿಸಿದರು, ಇದು ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಮಗ್ರತೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಆಯಾಮದ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಟೆನ್ಸ್ಗ್ರಿಟಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನೊಂದಿಗಿನ ಅದರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ಪ್ರೇಕ್ಷಕರ ಮುಂದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ-ಅಂಚಿನ ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡಿದರು (ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ರೆಂಡರ್ಡ್ ಅನಿಮೇಷನ್ಗಳ ಹಿಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ). ಕ್ಯೂಬಾಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಅವರು ಕರೆದಂತೆ "ವಾಹಕ ಸಮತೋಲನ" ದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಅವರ ಪ್ರದರ್ಶನವು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿನ ಅನಿಮೇಷನ್ಗಳಿಗಿಂತ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ; "ದಿ ಬೊರೊಮಿಯನ್ ರಿಂಗ್ಸ್ಃ ಎ ನ್ಯೂ ಲೋಗೊ ಫಾರ್ ದಿ ಐಎಂಯು" ನಲ್ಲಿ ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ನೋಡಿ, ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಯೂನಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಘನವಸ್ತುಗಳು ಕ್ವಾಸಿರೆಗುಲರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಟೆನ್ಸೈಲ್ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ