Netto's theorem
ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ನೆಟ್ಟೋ ಪ್ರಮೇಯವು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಿರಂತರ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು ಆಯಾಮವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಆಯಾಮಗಳ ಎರಡು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ನಿರಂತರ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ಯುಜೆನ್ ನೆಟ್ಟೋ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಿಂದ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ನಕ್ಷೆಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು 1878 ರಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬ್ ಲುರೋತ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ನೈಜ ರೇಖೆಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. 1878 ರಲ್ಲಿ ನೆಟ್ಟೋ ಮತ್ತು 1879 ರಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಇಬ್ಬರೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ದೋಷಪೂರಿತ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ದೋಷಗಳನ್ನು ನಂತರ ಗುರುತಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಸರಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ವಾಸ್ತವಿಕ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದಂತಹ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಏಕಮಾನದ ಚೌಕದಂತಹ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದಿರುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವರ್ಗಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ತುಂಬುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಸಮತಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು, ಅಥವಾ ಏಕಮಾನದ ಚೌಕವನ್ನು, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಅಥವಾ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಚಿತ್ರಣದಿಂದ ಆವರಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಪೀನೋ ವಕ್ರರೇಖೆ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ವಕ್ರರೇಖೆ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸ್ವಯಂ-ದಾಟುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೆಟ್ಟೊನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಚೌಕದ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಆವೃತವಾಗಿವೆ. ಓಸ್ಗುಡ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದ ಉಪಗುಂಪುಗಳವರೆಗೆ ನಿರಂತರ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೆಟ್ಟೋ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲ, ಏಕಮಾನದ ಚೌಕ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಒಬ್ಬರು ನಿರಂತರತೆಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಬಂಧಿಸಲಾದ ಆಯಾಮದ ಎಲ್ಲಾ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಸಮಾನವಾದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 1878 ರಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡರ ನಡುವೆ ನಿರಂತರವಾದ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳಿವೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವನ್ನುಂಟುಮಾಡಿತು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ತುಂಬುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು, ಓಸ್ಗುಡ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ನೆಟ್ಟೋ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಚೌಕದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ದಶಮಾಂಶ ನಿರೂಪಣೆಗಳ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬಿಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಏಕಮಾನ ಚೌಕದಿಂದ ಏಕಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. 1 = 0.999. ನ ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ದಶಮಾಂಶದ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಳು, ಇದನ್ನು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಬದಲಿಗೆ ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಶ್ರೋಡರ್-ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಆಯಾಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು