Gauss composition law
கணிதத்தில், எண் கோட்பாட்டில், காஸ் கலவை விதி என்பது கார்ல் ஃப்ரெட்ரிக் காஸ் கண்டுபிடித்த ஒரு விதியாகும், இது ஒருங்கிணைந்த பைனரி இருபடி வடிவங்களில் (IBQF கள்) பைனரி செயல்பாட்டைச் செய்வதற்காக. 1801 ஆம் ஆண்டில் வெளியிடப்பட்ட எண் கோட்பாடு குறித்த பாடப்புத்தகமான டிஸ்க்யூசிஷன்ஸ் அரித்மெடிகா என்ற நூலில் 234-244 கட்டுரைகளில் காஸ் இந்த விதியை முன்வைத்தார். காஸ் கலவை சட்டம் IBQF களின் கோட்பாட்டில் ஆழமான முடிவுகளில் ஒன்றாகும் மற்றும் காஸ் சட்டத்தை உருவாக்கியது மற்றும் காஸ் வழங்கிய அதன் பண்புகளின் சான்றுகள் பொதுவாக மிகவும் சிக்கலானதாகவும் மிகவும் கடினமாகவும் கருதப்படுகின்றன. பல பிற்கால கணிதவியலாளர்கள் கலவை விதியின் சூத்திரத்தை எளிமைப்படுத்தி, அதை எண் கணக்கீடுகளுக்கு பொருத்தமான வடிவத்தில் முன்வைத்துள்ளனர். இந்த கருத்து பல திசைகளில் பொதுமைப்படுத்தல்களையும் கண்டறிந்துள்ளது. ஒருங்கிணைந்த பைனரி இருபடி வடிவங்கள் வடிவத்தின் வெளிப்பாடு, அனைத்து முழு எண்களும் இருக்கும் இடத்தில், ஒரு ஒருங்கிணைந்த பைனரி இருபடி வடிவம் (IBQF) என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒப்பீட்டளவில் முதன்மையானதாக இருந்தால் இந்த வடிவம் ஒரு பழமையான IBQF என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த அளவு IBQF இன் பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு முழு எண் என்பது சில IBQF இன் பாகுபாடு என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே. பின்வரும் கூற்றுகளில் ஒன்று வர்க்கமற்றதாகவும், எங்கே வர்க்கமற்றதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே அது அடிப்படை பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் நேர்மறை திட்டவட்டமானது என்று கூறப்பட்டால்; பின்னர் எதிர்மறை திட்டவட்டமானது என்று கூறப்பட்டால்; பின்னர் காலவரையற்றது என்று கூறப்பட்டால். IBQF களின் சமநிலை இரண்டு IBQF கள் மற்றும் α, β, γ, δ போன்ற முழு எண்கள் இருந்தால் அவை சமமானவை (அல்லது, சரியாக சமமானவை) என்று கூறப்படுகிறது மற்றும் இரண்டு வடிவங்களும் சமமானவை என்ற உண்மையைக் குறிக்க குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. "உறவு" என்பது அனைத்து IBQF களின் தொகுப்பிலும் ஒரு சமநிலை உறவாகும். IBQF சேர்ந்துள்ள சமநிலை வகுப்பு இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இரண்டு IBQFகள் மற்றும் அவை முறையற்ற முறையில் சமமானவை என்று கூறப்படுகின்றன மற்றும் IBQFகளின் தொகுப்பில் முறையற்ற முறையில் சமமானவை என்ற உறவும் ஒரு சமநிலை உறவாகும். சமமான IBQF கள் (சரியாகவோ அல்லது முறையற்ற முறையில்) ஒரே பாகுபாட்டைக் கொண்டிருப்பதை எளிதில் காணலாம். காஸின் கலவைச் சட்டத்தின் உருவாக்கம் வரலாற்றுச் சூழல் பிரம்மகுப்தர் அடையாளம் என்று அழைக்கப்படும் பின்வரும் அடையாளம், இந்திய கணிதவியலாளர் பிரம்மகுப்தருக்கு (598-668) தெரிந்திருந்தது, அவர் நேர்மறை முழு எண்களின் வர்க்கமூலங்களுக்கு அடுத்தடுத்து சிறந்த பின்ன தோராயங்களைக் கணக்கிட இதைப் பயன்படுத்தினார்ஃ இந்த அடையாளத்தை எழுதுவதை எந்த வடிவத்தில் வைக்கலாம். IBQF களின் காஸ் கலவை சட்டம் இந்த அடையாளத்தை அனைத்து IBQF களும் மற்றும் தயாரிப்புகளின் நேரியல் சேர்க்கைகளாக இருக்கும் வடிவத்தின் அடையாளத்திற்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது. IBQF களின் கலவை விதி பின்வரும் IBQF களைக் கவனியுங்கள்ஃ முழு எண்களைக் கண்டுபிடிக்க முடிந்தால், பின்வரும் ஆறு எண்களுக்கு ±1 ஐத் தவிர வேறு பொதுவான வகுத்திகள் இல்லை, மேலும் பின்வரும் உறவை ஒரே மாதிரியாக திருப்திப்படுத்த அனுமதித்தால், படிவம் மற்றும் படிவங்களின் கலவையாகும். இரண்டு IBQF களின் கலவை, அது இருந்தால், தனித்துவமானது அல்ல என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டு பின்வரும் பைனரி இருபடி வடிவங்களைக் கவனியுங்கள்ஃ இந்த ஆறு எண்களுக்கு ±1 ஐத் தவிர வேறு பொதுவான வகுத்திகள் இல்லை. விடுங்கள். பின்னர் அதை உறுதிப்படுத்த முடியும். எனவே இது மற்றும் ஒரு கலவையாகும். இரண்டு IBQF களின் கலவையைக் கண்டறிய ஒரு வழிமுறை இரண்டு IBQF களின் கலவையைக் கணக்கிட பின்வரும் வழிமுறை பயன்படுத்தப்படலாம். வழிமுறை பின்வரும் IBQF களில் அதே பாகுபாட்டைக் கொண்டுள்ளனஃ கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கம்ப்யூட் கலவைச் சட்டத்தின் பண்புகள் கலவையின் இருப்பு இரண்டு IBQF களின் கலவை ஒரே பாகுபாட்டைக் கொண்டிருந்தால் மட்டுமே இருக்கும். சமமான வடிவங்கள் மற்றும் கலவை விதி IBQF களாக இருக்கட்டும், மேலும் பின்வரும் சமன்பாடுகள் இருக்கட்டும்ஃ மற்றும் மற்றும் மற்றும் ஒரு கலவையாக இருந்தால், பின்னர் ஒரு பைனரி செயல்பாடு ஒரு நிலையான முழு எண்ணாக இருக்கட்டும் மற்றும் சாத்தியமான அனைத்து IBQF களின் தொகுப்பையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள். சமநிலை உறவின் கீழ் இந்த தொகுப்பில் சமநிலை வகுப்புகளின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும் ". இரண்டு கூறுகளாக இருக்கட்டும். IBQF களின் கலவையாக இருக்கட்டும். பின்னர் பின்வரும் சமன்பாடு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பைனரி செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது. குழு ஜிடி தொகுப்பு பைனரி செயல்பாட்டின் கீழ் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அபெலியன் குழுவாகும். குழுவில் உள்ள அடையாள உறுப்பு = இன் இன் தலைகீழ். கலவைச் சட்டத்திற்கான நவீன அணுகுமுறை IBQF களின் கலவைச் சட்டத்திற்கான நவீன அணுகுமுறையின் பின்வரும் வரைபடம் டங்கன் ஏ. பியூல் எழுதிய ஒரு மோனோகிராஃபை அடிப்படையாகக் கொண்டது. மேலும் விவரங்களுக்கும், கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து அறிக்கைகளின் சான்றுகளுக்கும் இந்த புத்தகத்தை அணுகலாம். நாற்கர இயற்கணித எண்கள் மற்றும் முழு எண்கள் முழு எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கட்டும். இனிமேல், இந்த பிரிவில், கூறுகள் கீழே வரையறுக்கப்பட வேண்டிய இயற்கணித முழு எண்களிலிருந்து வேறுபடுத்துவதற்காக விகிதமுறு முழு எண்கள் என்று குறிப்பிடப்படும். ஒரு சிக்கலான எண் இருபடி இயற்கணித எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அது ஒரு வடிவத்தின் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தினால். இருபடி இயற்கணித எண்கள் எந்த வடிவத்தின் எண்கள் என்பதை திருப்திப்படுத்தினால் அது இருபடி இயற்கணித முழு எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முழு எண் இயற்கணித முழு எண்ணின் ரேடிக்கண்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருபடி இயற்கணித எண்ணின் நெறிமுறை இவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. விகிதமுறு எண்களின் புலமாக இருக்கட்டும். இருபடி இயற்கணித எண்ணைக் கொண்ட மிகச்சிறிய புலம் மற்றும் ஒரு இருபடி இயற்கணித எண் என்பது இருபடி புலத்தைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. புலத்தின் பாகுபாடு வர்க்க காரணிகள் இல்லாத விகிதமுறு முழு எண்ணாக இருக்கட்டும் (1 ஐத் தவிர). ரேடிக்கண்டின் இருபடி இயற்கணித முழு எண்களின் தொகுப்பு இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த தொகுப்பு சாதாரண கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு வளையத்தால் வழங்கப்படுகிறது. நாம் அனுமதித்தால். இருபடி புலங்களில் உள்ள இலட்சியங்கள் முழு எண்களின் வளையத்தில் ஒரு இலட்சியமாக இருக்கட்டும்; அதாவது, எந்தவொரு மற்றும் ஏதேனும் ஒன்றிற்கும் ஒரு வெற்றிடமற்ற துணைக்குழுவாக இருக்கட்டும். (இங்கே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி ஒரு இலட்சியம் சில நேரங்களில் கீழே வரையறுக்கப்பட வேண்டிய பின்ன இலட்சியத்திலிருந்து வேறுபடுத்த ஒரு ஒருங்கிணைந்த இலட்சியம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது.) ஒரு ஐடியல் என்றால், அத்தகைய எந்தவொரு உறுப்பும் தனித்துவமாக வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படுவதைக் காணலாம். அத்தகைய ஒரு ஜோடி உறுப்புகள் இலட்சியத்தின் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இதை எழுத்து மூலம் சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது. விதிமுறை என வரையறுக்கப்படுகிறது. நெறிமுறை அடிப்படையின் தேர்விலிருந்து சுயாதீனமாக உள்ளது. சில சிறப்பு இலட்சியங்கள் இரண்டு இலட்சியங்களின் பெருக்கல் மற்றும், இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, இது-நேரியல் சேர்க்கைகளால் உருவாக்கப்படும் இலட்சியமாகும். ஒரு பின்ன இலட்சியம் என்பது இருபடி புலத்தின் துணைக்குழுவாகும், இதற்கு பின்வரும் இரண்டு பண்புகள் உள்ளனஃ எதற்கும் மற்றும் எதற்கும்,. ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒரு நிலையான இயற்கணித முழு எண் உள்ளது. இது போன்ற ஒரு இயற்கணித முழு எண் இருந்தால் ஒரு ஐடியல் முதன்மை ஐடியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முதன்மை இலட்சியம் இதன் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த முக்கியமான முடிவு உள்ளதுஃ "எந்தவொரு இலட்சியமும் (ஒருங்கிணைந்த அல்லது பின்னம்) கொடுக்கப்பட்டால், தயாரிப்பு இலட்சியம் ஒரு முதன்மை இலட்சியமாக இருக்கும் வகையில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த இலட்சியம் உள்ளது". இலட்சியங்களின் தொகுப்பில் ஒரு சமநிலை உறவு இரண்டு (ஒருங்கிணைந்த அல்லது பின்ன) இலட்சியங்கள் மற்றும் ஆரேக்கள் சமமானவை, டென்ட் செய்யப்பட்டவை என்று கூறப்படுகிறது, அத்தகைய ஒரு முதன்மை இலட்சியம் இருந்தால். இன் நெறிமுறை நேர்மறையாக இருந்தால் இந்த இலட்சியங்கள் குறுகிய சமமானவை. இலட்சியங்களின் தொகுப்பில், இங்கே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளபடி சமமான அல்லது குறுகிய சமமான உறவு உண்மையில் ஒரு சமநிலை உறவு. இருபடி இயற்கணித முழு எண்களின் வளையத்தின் பின்ன இலட்சியங்களின் சமநிலை வகுப்புகள் (முறையே, குறுகிய சமநிலை வகுப்புகள்) இலட்சியங்களின் பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு அபெலியன் குழுவை உருவாக்குகின்றன. குழுவின் அடையாளம் என்பது அனைத்து முதன்மை இலட்சியங்களின் வகுப்பாகும் (முறையே, அனைத்து முதன்மை இலட்சியங்களின் வகுப்பாகும்). இலட்சியங்களின் வகுப்புகள் மற்றும் இலட்சியங்களின் குறுகிய வகுப்புகளின் குழுக்கள் வர்க்கக் குழு என்றும் குறுகலான வர்க்கக் குழு என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. பைனரி இருபடி வடிவங்கள் மற்றும் இலட்சியங்களின் வகுப்புகள் IBQF களையும் இலட்சியங்களின் வகுப்புகளையும் இணைக்கும் முக்கிய முடிவை இப்போது பின்வருமாறு கூறலாம்ஃ "இருபடி எண் புலத்தின் குறுகிய வர்க்கக் குழுவிற்கு இருபடி வடிவத்தின் பைனரி இருபடி வடிவங்களின் வகுப்புகளின் குழு ஐசோமார்பிக் ஆகும்". கனேடிய-அமெரிக்க ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் வென்ற கணிதவியலாளரான மஞ்சுல் பார்கவா, கலவைச் சட்டத்திற்கான பார்கவாவின் அணுகுமுறை, பைனரி இருபடி வடிவங்கள் மற்றும் பிற வடிவங்களின் கலவை விதிகளைப் படிக்க எட்டு முழு எண்களைக் கொண்ட பார்கவா கனசதுரம் எனப்படும் ஒரு கட்டமைப்பை அறிமுகப்படுத்தியது (படத்தைப் பார்க்கவும்). இந்த கனசதுரத்தின் எதிர் முகங்களுடன் தொடர்புடைய மேட்ரிக்ஸ்களை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி வரையறுத்து, பார்கவா மூன்று IBQFகளை பின்வருமாறு உருவாக்கினார்ஃ பார்கவா கனசதுரத்தை காஸ் கலவைச் சட்டத்துடன் இணைக்கும் பின்வரும் முடிவை நிறுவினார்ஃ "ஒரு கனசதுரம் A மூன்று பழமையான பைனரி இருபடி வடிவங்களான Q1, Q2, Q3 க்கு வழிவகுத்தால், பின்னர் Q1, Q2, Q3 ஒரே பாகுபாட்டைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த மூன்று வடிவங்களின் பெருக்கல் காஸ் கலவையால் வரையறுக்கப்பட்ட குழுவில் உள்ள அடையாளமாகும். இதற்கு நேர்மாறாக, கியூ1, கியூ2, கியூ3 ஆகியவை காஸ் கலவையின் கீழ் அடையாளமாக இருக்கும் அதே பாகுபாட்டின் ஏதேனும் மூன்று பழமையான பைனரி இருபடி வடிவங்களாக இருந்தால், கியூ 1, கியூ 2, கியூ 3 "ஐ வழங்கும் ஒரு கனசதுரம் உள்ளது. ..