Madhava's sine table
மாதவாவின் சைன் அட்டவணை என்பது 14 ஆம் நூற்றாண்டின் கேரள கணிதவியலாளரும் வானியலாளருமான மாதவாவால் (கி. பி. 1340-கி. பி. 1425) கட்டப்பட்ட முக்கோணவியல் சைன்களின் அட்டவணையாகும். அட்டவணை இருபத்தி நான்கு கோணங்களின் முக்கோணவியல் சைன்களை 3.75 டிகிரி முதல் 90 டிகிரி வரை 3.75 டிகிரி படிகளில் பட்டியலிடுகிறது (ஒரு சரியான கோணத்தின் 1/24,90 டிகிரி). அட்டவணை காடபாயடி முறையைப் பயன்படுத்தி தேவநாகரி எழுத்துக்களின் எழுத்துக்களில் குறியிடப்பட்டுள்ளது, இது சமஸ்கிருதத்தில் ஒரு கவிதையின் வசனங்களின் தோற்றத்தை உள்ளீடுகளுக்கு வழங்குகிறது. சைன் அட்டவணையைக் கொண்ட மாதவாவின் அசல் படைப்பு கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. இந்த அட்டவணை நீலகண்ட சோமயாஜியின் ஆரியபதியபாஷ்யாவிலும் (1444-1544), சங்கர வாரியரின் தந்திரசங்கிரகத்தின் யுக்திதிபிகா/லகுவிவ்ர்தி வர்ணனையிலும் (சுமார். 1500-1560). அட்டவணை கீழே உள்ள படம் சி. கே. கணிதத்தின் கலாச்சார அடித்தளங்களில் மறுஉருவாக்கம் செய்யப்பட்ட தேவநாகரி மொழியில் மாதவாவின் சைன் அட்டவணையை வழங்குகிறது. ராஜு. முதல் பன்னிரண்டு வரிகள் அட்டவணையில் உள்ளீடுகளைக் கொண்டுள்ளன. பதின்மூன்றாவது வரியில் உள்ள கடைசி வார்த்தை இவை "மாதவாவால் கூறப்பட்டவை" என்பதைக் குறிக்கிறது. மாதவாவின் அட்டவணையில் உள்ள மதிப்புகள் மாதவாவால் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகளின் அர்த்தத்தைப் புரிந்துகொள்ள, A என்ற அளவின் ஒரு கோணத்தைக் கவனியுங்கள். அலகு ஆரம் மற்றும் மையம் O கொண்ட ஒரு வட்டத்தைக் கவனியுங்கள். வட்டத்தின் வளைவு PQ மையம் O இல் ஒரு கோணத்தை உட்படுத்தட்டும். செங்குத்தான கியூஆர் ஐ கியூவிலிருந்து ஓ. பி. க்கு எறியுங்கள்; பின்னர் RQ என்ற கோடு பிரிவின் நீளம் ஏ கோணத்தின் முக்கோணவியல் சைனின் மதிப்பாகும். பிஎஸ் என்பது வட்டத்தின் ஒரு வளைவாக இருக்கட்டும், அதன் நீளம் RQ பிரிவின் நீளத்திற்கு சமம். பல்வேறு கோணங்களுக்கு ஏ, மாதவாவின் அட்டவணை தொடர்புடைய கோணங்களின் பிஓஎஸ் அளவீடுகளை ஆர்க் நிமிடங்களில், ஆர்க் விநாடிகளில் மற்றும் ஒரு ஆர்க் விநாடியின் அறுபதாம் இடங்களில் கொடுக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, A என்பது 22.50 ° என்ற அளவின் கோணமாக இருக்கட்டும். மாதவாவின் அட்டவணையில், 22.50 ° உடன் தொடர்புடைய உள்ளீடு என்பது கோணத்தின் ஒரு ஆர்க் விநாடியின் ஆர்க் நிமிடங்கள், ஆர்க் விநாடிகள் மற்றும் அறுபதாண்டுகளில் உள்ள அளவீடு ஆகும், அதன் ரேடியன் அளவீடு sin 22.50 ° இன் மதிப்பு, இது 0.3826834; 0.3826834 ரேடியன்களை 180/ஆல் பெருக்கி 21.92614 டிகிரிகளாக மாற்றவும், இது 1315 ஆர்க் நிமிடங்கள் 34 ஆர்க் விநாடிகள் 07 அறுபதாண்டுகள் ஒரு ஆர்க் விநாடி, சுருக்கமாக 13153407. கட்டப்பயடி அமைப்பில் இலக்கங்கள் தலைகீழ் வரிசையில் எழுதப்படுகின்றன, இதனால் 22.50 ° உடன் தொடர்புடைய உள்ளீடு 70435131 ஆகும். மாதவாவின் அட்டவணையில் இருந்து முக்கோணவியல் கோடுகளின் பெறுதல் A என்ற அளவின் கோணத்திற்கு, அட்டவணையில் உள்ள ஒவ்வொரு கோடுகளும் எட்டு இலக்கங்களைக் குறிப்பிடுகின்றன. பின்னர் கேரள கணிதவியலாளர்களின் கட்டபாயடி முறையின் விதிகளின்படி மாதவாவின் பை மதிப்பு உள்ளது. மாதவாவால் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பைப் பயன்படுத்துவது பொருத்தமானது (இது 11 தசம இடங்களுக்கு துல்லியமானது). நீலகண்ட சோமயாஜி தனது ஆரியபத்தியா-பாசியாவில் இந்த மதிப்பை பின்வருமாறு வழங்கியுள்ளார்ஃ கடைசி இரண்டு வரிகளின் லிப்யந்தரணம்ஃ விபூதா-நேத்ர-கஜா-அஹி-ஹுதாஷனா திரி-குணா-வேதா-பா-வாரணா-பாஹாவா நவ-நிக்கர்வ-மைட்டே வ்ருதிவிஸ்தாரே பரிபூர்த்தி-நாம் இதம் ஜகதுர் புத்தாஹ் பல்வேறு சொற்கள் பூதாசம்க்யா அமைப்பு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு திட்டத்தில் குறியிடப்பட்ட சில எண்களைக் குறிக்கின்றன. சொற்களின் அர்த்தம் மற்றும் அவற்றால் குறியிடப்பட்ட எண்கள் (அலகுகள் இடத்தில் தொடங்கி) பின்வரும் வசனத்தின் மொழிபெயர்ப்பில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளனஃ "கடவுள்கள் (விபுத்தாஃ 33), கண்கள் (நேத்ராஃ 2), யானைகள் (கஜஃ 8), பாம்புகள் (அஹிஃ 8), நெருப்பு (ஹுதாஷனாஃ 3), மூன்று (திரிஃ 3), குணங்கள் (குணம்ஃ 3), வேதங்கள் (வேதம்ஃ 4), நக்ஷத்திரங்கள் (பாஃ 27), யானைகள் (வாரணாஃ 8), மற்றும் கைகள் (பாஹவாஃ 2)-ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் நவமாக இருக்கும்போது இது சுற்றளவின் அளவீடு என்று ஞானிகள் கூறுகிறார்கள். எனவே, பூதாஸம்க்யா முறையைப் பயன்படுத்தி கவிதையின் மொழிபெயர்ப்பு வெறுமனே "2827433388233 என்பது, ஞானிகள் சொல்வது போல், ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு அதன் விட்டம் நவ-நிக்கர்வா (900,000,000,000)". அதாவது, 2827433388233 (கவிதையின் முதல் இரண்டு வரிகளிலிருந்து வரும் எண் தலைகீழ் வரிசையில்) ஐ நவ-நிக்கர்வாவால் (900,000,000,000) வகுத்தால் அதன் மதிப்பைப் பெறலாம். இந்த கணக்கீடு மதிப்பு = 3.1415926535922 ஐ வழங்குகிறது. இது மாதவா தனது அடுத்த கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்திய மதிப்பு மற்றும் 11 தசம இடங்களுக்கு துல்லியமானது. எடுத்துக்காட்டு மாதவாவின் அட்டவணை 45.00 ° கோணத்துடன் தொடர்புடைய பின்வரும் இலக்கங்களை பட்டியலிடுகிறதுஃ இது அளவீட்டுடன் கோணத்தை அளிக்கிறது மாதவாவின் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளபடி 45.00 ° என்ற முக்கோணவியல் சைனின் மதிப்பு மேலே உள்ள வெளிப்பாடில் மாதவாவால் கணக்கிடப்பட்ட மதிப்பை மாற்றுவதாகும், பாவம் 45 ° 0.70710681 ஆகக் காணப்படுகிறது. இது 6 தசம இடங்களுக்கு துல்லியமானது. மாதவாவின் சைன் மதிப்புகளின் துல்லியம் கீழே உள்ள அட்டவணையில் இருபத்தி நான்கு கோணங்களுக்கு 3.75 டிகிரி முதல் 90 டிகிரி வரை 3.75 டிகிரி (முதல் நெடுவரிசை) படிகளில் உள்ளீடுகள் உள்ளன. இரண்டாவது நெடுவரிசையில் மாதவா தேவநாகரி மொழியில் அவர் பயன்படுத்திய வடிவத்தில் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்புகள் உள்ளன. (இவை பி. கே. பாண்டியன் எழுதிய மலையாள வர்ணனையான கரணபத்தாட்டியில் இருந்து எடுக்கப்பட்டுள்ளன. கொரு மற்றும் அவை சி. கே. கணிதத்தின் கலாச்சார அடித்தளங்களில் கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையிலிருந்து சற்று வேறுபட்டவை. ராஜு.) மூன்றாவது நெடுவரிசையில் இரண்டாவது நெடுவரிசையில் உள்ள வரிகளின் ஐஎஸ்ஓ 15919 லிப்யந்தரணங்கள் உள்ளன. இரண்டாவது நெடுவரிசையில் உள்ள எண்கள் நான்காவது நெடுவரிசையில் உள்ள அரபு எண்களில் ஆர்க்மினிட்டுகள், ஆர்க் விநாடிகள் மற்றும் ஒரு ஆர்க் விநாடியின் அறுபதாவது பகுதிகளாக டிகோட் செய்யப்படுகின்றன. மாதவாவின் அட்டவணையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள எண்களிலிருந்து பெறப்பட்ட முக்கோணவியல் சைன்களின் மதிப்புகள் ஐந்தாவது நெடுவரிசையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன, மாதவாவின் மதிப்பு 3.1415926535922 ஐப் பயன்படுத்துகிறது. 8 இடங்களுக்கான சைன்களின் உண்மையான மதிப்புகள் ஆறாவது நெடுவரிசையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. மாதவாவின் கணக்கீட்டு முறை சைன் அட்டவணையின் கணக்கீட்டிற்கு அவர் பயன்படுத்திய முறைகளை விவரிக்கும் மாதவாவின் எந்தப் படைப்பும் எஞ்சியிருக்கவில்லை. இருப்பினும், மாதவாவின் சாதனைகளைப் பற்றி ஏராளமான குறிப்புகளைக் கொடுக்கும் நீலகண்ட சோமயாஜி (தந்திரசங்கர) மற்றும் ஜ்யேஷ்டதேவா (யுக்திபாஷா) உள்ளிட்ட பிற்கால கேரள கணிதவியலாளர்களின் எழுத்துக்களிலிருந்து, மாதவா தனது சைன் அட்டவணையை சைன் x இன் சக்தி தொடர் விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட்டார் என்று ஊகிக்கப்படுகிறதுஃ