Rank of a partition
கணிதத்தில், குறிப்பாக எண் கோட்பாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு துறைகளில், ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணின் பகிர்வின் தரவரிசை என்பது பகிர்வுடன் தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண்ணாகும். உண்மையில், தரவரிசையின் குறைந்தபட்சம் இரண்டு வெவ்வேறு வரையறைகள் இலக்கியத்தில் காணப்படுகின்றன. இந்த கட்டுரையின் பெரும்பகுதி சம்பந்தப்பட்ட முதல் வரையறை என்னவென்றால், ஒரு பகிர்வின் தரவரிசை என்பது பகிர்வின் மிகப்பெரிய பகுதியிலிருந்து பகிர்வின் பகுதிகளின் எண்ணிக்கையைக் கழிப்பதன் மூலம் பெறப்படும் எண் ஆகும். யூரேகா இதழில் வெளியிடப்பட்ட ஒரு கட்டுரையில் ஃப்ரீமேன் டைசன் இந்த கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். இந்திய கணித மேதை ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் கண்டுபிடித்த பகிர்வு செயல்பாட்டின் சில ஒற்றுமை பண்புகள் பற்றிய ஆய்வின் பின்னணியில் இது வழங்கப்பட்டது. அதே பெயரைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் ஒரு வித்தியாசமான கருத்து, ஒருங்கிணைப்பில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு தரவரிசை பகிர்வின் டர்ஃபி சதுரத்தின் அளவாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. வரையறை ஒரு நேர்மறை முழு எண் n இன் பகிர்வு மூலம் நாம் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மல்டிசெட் λ = {λk, λk−1, என்று அர்த்தம். . . , பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் நேர்மறை முழு எண்களின் λ1}: . . ≤ λ2 ≤ λ1> 0. λk +. . . + λ2 + λ1 = n. λk என்றால், . . , λ2, λ1 தனித்துவமானவை, அதாவது, λk> என்றால். . . > λ2> λ1> 0 பின்னர் பகிர்வு λ என்பது n இன் கண்டிப்பான பகிர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. முழு எண்கள் λk, λk−1,., λ1 ஆகியவை பகிர்வின் பகுதிகளாகும். பகிர்வில் உள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை k மற்றும் பகிர்வில் உள்ள மிகப்பெரிய பகுதி λk ஆகும். பகிர்வின் தரவரிசை λ (சாதாரண அல்லது கண்டிப்பானதாக இருந்தாலும்) λk−k என வரையறுக்கப்படுகிறது. n இன் பகிர்வின் தரவரிசைகள் பின்வரும் மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கின்றன, மற்றவை அல்லஃ n−1, n−3, n−4,. . . , 2,1,0, −1, −2,. . . , − (n−4), − (n−3), − (n−1). பின்வரும் அட்டவணை எண் 5 இன் பல்வேறு பகிர்வுகளின் தரவரிசைகளை வழங்குகிறது. முழு எண் 5 குறியீடுகளின் பகிர்வுகளின் தரவரிசைகள் எத்தனை பகிர்வுகள் கொடுக்கப்பட்ட தரவரிசையைக் கொண்டுள்ளன என்பதைக் குறிப்பிட பின்வரும் குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. n, q ஒரு நேர்மறை முழு எண்களாகவும், m எந்த முழு எண்ணாகவும் இருக்கட்டும். n இன் மொத்த பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கை p (n) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. தரவரிசை m உடன் n இன் பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கை N (m, n) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. தரவரிசை m மாடுலோ q உடன் ஒத்திருக்கும் n இன் பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கை N (m, q, n) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. n இன் கடுமையான பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கை Q (n) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. தரவரிசை m உடன் n இன் கடுமையான பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கை R (m, n) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. தரவரிசை m மாடுலோ q உடன் ஒத்திருக்கும் n இன் கடுமையான பகிர்வுகளின் எண்ணிக்கை T (m, q, n) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, p (5) = 7, N (2,5) = 1, N (3,5) = 0, N (2,2,5) = 5. Q (5) = 3, R (2,5) = 1, R (3,5) = 0, T (2,2,5) = 2. சில அடிப்படை முடிவுகள் n, q ஒரு நேர்மறை முழு எண்களாகவும், m எந்த முழு எண்ணாகவும் இருக்கட்டும். 1919 ஆம் ஆண்டில் வெளியிடப்பட்ட ஒரு ஆய்வறிக்கையில் ராமானுஜனின் ஒற்றுமைகளும் டைசனின் அனுமானமும் p (n) பகிர்வுச் சார்பை உள்ளடக்கிய பின்வரும் ஒற்றுமைகளை நிரூபித்தனஃ p (5n + 4) ஷ்ணுவம் 0 (மட்டு 5) p (7n + 5) ஷ்ணுவம் 0 (மட்டு 7) p (11n + 6) ஷ்ணுவம் 0 (மட்டு 11). . . 5n + 4 இன் பகிர்வுகளை ஐந்து சமமான எண்ணிக்கையிலான துணைப்பிரிவுகளாகப் பிரிக்க முடியும் என்பதை நாம் நிரூபிக்க முடியும் என்றாலும், பிரிவினை எவ்வாறு செய்யப்பட வேண்டும் என்பது பற்றிய உறுதியான யோசனை ஆதாரங்களிலிருந்து பெறுவது திருப்திகரமாக இல்லை. செயல்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கு முறையீடு செய்யாத ஒரு ஆதாரம் நமக்குத் தேவை. . . "என்று பதிவிட்டுள்ளார். டைசன் தனக்காக நிர்ணயித்த பணியை நிறைவேற்ற ஒரு பிரிவின் தரவரிசை பற்றிய யோசனையை அறிமுகப்படுத்தினார். இந்த புதிய யோசனையைப் பயன்படுத்தி, அவர் பின்வரும் அனுமானங்களைச் செய்தார்ஃ N (0,5,5n + 4) = N (1,5n + 4) = N (2,5n + 4) = N (3,5n + 4) = N (4,5n + 4) N (0,7n + 5) = N (1,7n + 5) = N (2,7n + 5) = N (2,7n + 5) = N (2,7n + 5) = N (2,7n + 5) =. . . = N (6,7,7n + 5) இந்த அனுமானங்கள் 1954 இல் அட்கின் மற்றும் ஸ்வின்னர்டன்-டையர் ஆகியோரால் நிரூபிக்கப்பட்டன. பின்வரும் அட்டவணைகள் 4 (n = 0 உடன் 5 × n + 4) மற்றும் 9 (n = 1 உடன் 5 × n + 4) முழு எண்களின் பகிர்வுகள் ஐந்து சமமான எண்ணிக்கையிலான துணைப்பிரிவுகளாக எவ்வாறு பிரிக்கப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன. முழு எண் 4 இன் பகிர்வுகள் முழு எண் 9 உருவாக்கும் செயல்பாடுகளின் பகிர்வுகள் p (n) இன் உருவாக்கும் செயல்பாடு ஆய்லரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது மற்றும் நன்கு அறியப்பட்டதாகும். N (m, n) க்கான உருவாக்கும் செயல்பாடு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ Q (n) க்கான உருவாக்கும் செயல்பாடு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ R (m, n) க்கான உருவாக்கும் செயல்பாடு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ மாற்று வரையறை ஒருங்கிணைப்பில், ஒரு பகிர்வின் தரவரிசை என்ற சொற்றொடர் சில நேரங்களில் வேறு கருத்தை விவரிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறதுஃ ஒரு பகிர்வின் தரவரிசை λ என்பது மிகப்பெரிய முழு எண் i ஆகும், அதாவது λ குறைந்தபட்சம் i பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் i ஐ விட சிறியதாக இல்லை. சமமாக, இது இளம் வரைபடத்தில் உள்ள முக்கிய மூலைவிட்டத்தின் நீளம் அல்லது λ க்கான ஃபெரர்ஸ் வரைபடம் அல்லது λ இன் டர்ஃபி சதுரத்தின் பக்க நீளம். 5 இன் பகிர்வுகளின் வரிசைகளின் அட்டவணை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. முழு எண் 5 இன் பகிர்வுகளின் தரவரிசைகள் மேலும் வாசிப்பு தரவரிசை பகிர்வு செயல்பாட்டிற்கான அறிகுறியற்ற சூத்திரங்கள்ஃ தரவரிசை செயல்பாட்டிற்கான ஒற்றுமைகள்ஃ தரவரிசையை BG-தரவரிசைக்கு பொதுமைப்படுத்துதல்ஃ