Yuktibhāṣā
கனிடா-யுக்தி-பாஷா என்றும் அழைக்கப்படும் யுக்திபாஷா, (ஆங்கிலம்ஃ வானியல் பகுத்தறிவின் தொகுப்பு), கணிதம் மற்றும் வானியல் பற்றிய ஒரு முக்கிய நூலாகும், இது 1530 ஆம் ஆண்டில் கேரள கணிதப் பள்ளியைச் சேர்ந்த இந்திய வானியலாளர் ஜெயஸ்ததேவரால் எழுதப்பட்டது. மலையாளத்தில் எழுதப்பட்ட இந்த ஆய்வுக் கட்டுரை, சங்கமகிராமத்தின் மாதவா, நீலகண்ட சோமயாஜி, பரமேஷ்வரா, ஜ்யேஷ்டதேவா, அச்சுதா பிஷாரதி மற்றும் கேரள பள்ளியின் பிற வானியலாளர்-கணிதவியலாளர்களின் கண்டுபிடிப்புகளின் ஒருங்கிணைப்பாகும். இது ஒரு சமஸ்கிருத பதிப்பில் உள்ளது, தெளிவற்ற ஆசிரியர் மற்றும் தேதி, மலையாள அசலின் தோராயமான மொழிபெயர்ப்பாக இயற்றப்பட்டுள்ளது. இந்த படைப்பில் அது முன்வைக்கும் கோட்பாடுகளின் சான்றுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன. நவீன வரலாற்றாசிரியர்கள், முதன்முதலில் கிடைத்த இந்திய கணிதப் படைப்புகளின் அடிப்படையில், வானியல் மற்றும் கணக்கீட்டில் ஆரம்பகால இந்திய அறிஞர்களுக்கு சான்றுகள் இல்லை, ஆனால் வேறுவிதமாக நிரூபிக்கின்றனர் என்று வலியுறுத்தினர். அதன் சில முக்கிய தலைப்புகளில் செயல்பாடுகளின் எல்லையற்ற தொடர் விரிவாக்கங்கள் அடங்கும்; π மற்றும் π/4 உட்பட சக்தி தொடர்; சைன், கொசைன் மற்றும் ஆர்க்டஞ்சென்ட்டின் முக்கோணவியல் தொடர்; டைலர் தொடர், சைன் மற்றும் கொசைனின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசை தோராயங்கள் உட்பட; ஆரம், விட்டம் மற்றும் சுற்றளவு. நீலகண்டாவின் தந்திர சம்கிரகத்தில் முடிவுகளுக்கான காரணத்தை முக்கியமாக வழங்குகிறது. நியூட்டன் மற்றும் லீப்னிஸுக்கு இரண்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முந்தைய டெய்லர் மற்றும் முடிவிலி தொடர் போன்ற கால்குலஸ் பற்றிய சில கருத்துக்களை வழங்குவதற்கான ஆரம்ப உரையாக இது கருதப்படுகிறது. இந்த நூல் மலையாளத்தின் உள்ளூர் மொழியில் எழுதப்பட்டதால், இந்தியாவுக்கு வெளியே பெரும்பாலும் கவனிக்கப்படவில்லை. நவீன காலங்களில், கணிதத்தில் பரந்த சர்வதேச ஒத்துழைப்பு காரணமாக, பரந்த உலகம் இந்த பணியை கவனத்தில் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழகம் மற்றும் கிரேட் பிரிட்டனின் ராயல் சொசைட்டி ஆகிய இரண்டும் தங்கள் மேற்கத்திய சகாக்களுக்கு முந்தைய இந்திய வம்சாவளியைச் சேர்ந்த முன்னோடி கணிதக் கோட்பாடுகளுக்குக் காரணம் என்று கூறியுள்ளன. முந்தைய கேரளப் பள்ளியின், குறிப்பாக மாதவ மற்றும் நீலகண்டாவின் பெரும்பாலான முன்னேற்றங்கள் உள்ளடக்கத்தில் உள்ளன. இந்த உரை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது-முந்தையது கணித பகுப்பாய்வு மற்றும் பிந்தையது வானியல் பற்றியது. இதற்கு அப்பால், தொடர்ச்சியான உரையில் பாடங்கள் அல்லது தலைப்புகளில் மேலும் பிரிவு இல்லை, எனவே வெளியிடப்பட்ட பதிப்புகள் தலையங்க தீர்ப்பின் அடிப்படையில் படைப்புகளை அத்தியாயங்களாகப் பிரிக்கின்றன. கணிதத்தின் கணிதப் பகுதியில் சிகிச்சையளிக்கப்பட்ட இந்த பாடங்களை ஏழு அத்தியாயங்களாகப் பிரிக்கலாம்ஃ பரிகர்மாஃ லாஜிஸ்டிக்ஸ் (எட்டு கணித செயல்பாடுகள்) தஷப்பிரஷ்னாஃ லாஜிஸ்டிக்ஸ் பின்னகனிதாவை உள்ளடக்கிய பத்து சிக்கல்கள்ஃ பின்னங்களின் எண்கணிதம் திரிராஷிகாஃ மூன்று குத்தகர்களின் விதிஃ துடிப்பு (நேரியல் நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகள்) பரிதி-வ்யாஸாஃ சுற்றளவு மற்றும் விட்டம் இடையேயான உறவுஃ எல்லையற்ற தொடர் மற்றும் ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் விட்டம் ஆகியவற்றின் விகிதத்திற்கான தோராயங்கள் ஞானாயனம்ஃ ரைன்களின் வழித்தோன்றல்ஃ எல்லையற்ற தொடர் மற்றும் சைன்களுக்கான தோராயங்கள். முதல் நான்கு அத்தியாயங்களில் பிரிவு, பித்தகோரியன் தேற்றம், சதுர வேர்கள் போன்ற அடிப்படை கணிதங்கள் உள்ளன. ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு குறித்த ஆறாவது அத்தியாயம் வரை புதுமையான கருத்துக்கள் விவாதிக்கப்படவில்லை. மாதவாவால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தலைகீழ் தொடுகோட்டின் சக்தி தொடருக்கான வழித்தோன்றல் மற்றும் ஆதாரம் உள்ளது. உரையில், ஜ்யேஸ்ததேவா மாதவாவின் தொடரை பின்வரும் முறையில் விவரிக்கிறார்ஃ நவீன கணிதக் குறியீட்டில், அல்லது, தொடுகோட்டுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, இது ஐரோப்பாவில் வழக்கமாக கிரிகோரியின் தொடர் என்று அழைக்கப்பட்டது, ஜேம்ஸ் கிரிகோரியின் நினைவாக, அவர் அதை 1671 இல் மீண்டும் கண்டுபிடித்தார். இந்த உரையில் மாதவாவின் எல்லையற்ற தொடர் விரிவாக்கம் π உள்ளது, இது வில்-தொடுப்பு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்திலிருந்து அவர் பெற்றார். 1673 ஆம் ஆண்டில் இதை மீண்டும் கண்டுபிடித்த காட்ஃபிரைட் லீப்னிஸின் நினைவாக ஐரோப்பாவில் இது வழக்கமாக லீப்னிஸின் தொடர் என்று அழைக்கப்பட்டது. இந்தத் தொடரின் பகுத்தறிவு தோராயத்தைப் பயன்படுத்தி, அவர் π என்ற எண்ணின் மதிப்புகளை 3.14159265359 ஆகவும், 11 தசமங்களுக்கு சரியானதாகவும், 3.1415926535898 ஆகவும், 13 தசமங்களுக்கு சரியானதாகவும் கொடுத்தார். இந்த உரை π இன் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான இரண்டு முறைகளை விவரிக்கிறது. முதலில், π இன் அசல் எல்லையற்ற தொடரை மாற்றுவதன் மூலம் வேகமாக ஒன்றிணைக்கும் தொடரைப் பெறுங்கள். அவ்வாறு செய்வதன் மூலம், எல்லையற்ற தொடரின் முதல் 21 சொற்கள் 11 தசம இடங்களுக்கான தோராயத்தை கணக்கிட பயன்படுத்தப்பட்டன. மற்ற முறை π இன் அசல் தொடருடன் மீதமுள்ள சொல்லைச் சேர்ப்பதாகும். மீதமுள்ள சொல் n = 76 ஆக இருக்கும்போது துல்லியத்தின் π முதல் 13 தசம இடங்களின் தோராயத்தை மேம்படுத்த வரம்பற்ற தொடர் விரிவாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டது. இவை தவிர, சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கத்திற்கான சான்றுகள் உட்பட பல அடிப்படை மற்றும் சிக்கலான கணித தலைப்புகள் உள்ளன. சைன் மற்றும் கொசைன் முழு எண் தீர்வுகளுக்கான கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள் (குட்டகாரம் எனப்படும் அமைப்பைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது) தொடரின் வடிவியல் வழித்தோன்றல்கள் சில செயல்பாடுகளுக்கான டெய்லர் தொடரின் ஆரம்ப அறிக்கைகள் வானியல் எட்டு முதல் பதினேழு அத்தியாயங்கள் வானியல் பாடங்களைக் கையாள்கின்றனஃ கிரக சுற்றுப்பாதைகள், வான கோளங்கள், ஏறுதல், சரிவு, திசைகள் மற்றும் நிழல்கள், கோள முக்கோணங்கள், நீள்வட்டங்கள் மற்றும் முடக்கு திருத்தம். புத்தகத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள கிரகக் கோட்பாடு பின்னர் டேனிஷ் வானியலாளர் டைகோ பிராஹே ஏற்றுக்கொண்டதைப் போன்றது. எட்டு அத்தியாயங்களில் உள்ள தலைப்புகள் கிரகங்கள், பூமி மற்றும் வான கோளங்களின் சராசரி மற்றும் உண்மையான தீர்க்கரேகைகளின் கணக்கீடு, ஏற்றம், சரிவு, தீர்க்கரேகை தொடர்பான பதினைந்து சிக்கல்கள் போன்றவை, நேரம், இடம், திசை போன்றவற்றை தீர்மானித்தல், க்னோமோனிக் நிழல், கிரகணங்கள், வியாடிபட்டா (சூரியன் மற்றும் சந்திரன் ஒரே சரிவைக் கொண்டிருக்கும்போது), கிரகங்கள் மற்றும் சந்திரனின் கட்டங்களுக்கான தெரிவுநிலை திருத்தம். குறிப்பாக, கிரஹாகதிஃ கிரக இயக்கம், பகோலாஃ ராசியின் கோளம், மத்யாகிரகம்ஃ சராசரி கிரகங்கள், சூர்யஸ்பூத்தாஃ உண்மையான சூரியன், கிரஹஸ்பூத்தாஃ உண்மையான கிரகங்கள் பூ-வாயு-பகோலாஃ பூமியின் கோளங்கள், வளிமண்டலம் மற்றும் நட்சத்திரங்கள், அயனகலானாஃ ஈக்வினாக்ஸ்களின் முன்கூட்டியே பஞ்சதாச-பிரஷ்னாஃ கோள முக்கோணங்கள் தொடர்பான பதினைந்து சிக்கல்கள் டிக்-ஞானாஃ நோக்குநிலை, சாய்யா-கணிதாஃ நிழல் கணக்கீடுகள், லக்னாஃ கிரகணத்தின் உயரும் புள்ளி, நாடி-லம்பனாஃ சமந்தங்கள் இந்த உரையின் கணிதப் பகுதி, மலையாளத்தில் உள்ள குறிப்புகளுடன், முதன்முதலில் 1948 ஆம் ஆண்டில் ராம வர்மா தம்புரான் மற்றும் அகிலேஸ்வர அய்யர் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்டது. முழு மலையாள உரையின் முதல் விமர்சன பதிப்பு, ஒரு ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு மற்றும் விரிவான விளக்கக் குறிப்புகளுடன், 2008 ஆம் ஆண்டில் ஸ்பிரிங்கரால் இரண்டு தொகுதிகளாக வெளியிடப்பட்டது. சமஸ்கிருத கணிதாயுக்திபாசாவின் விமர்சன பதிப்பைக் கொண்ட மூன்றாவது தொகுதி, 2009 ஆம் ஆண்டில் சிம்லாவில் உள்ள இந்திய மேம்பட்ட ஆய்வு நிறுவனத்தால் வெளியிடப்பட்டது. யுக்திபாசாவின் இந்த பதிப்பு இரண்டு தொகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளதுஃ தொகுதி I கணிதத்தைக் கையாள்கிறது மற்றும் தொகுதி II வானியல் பற்றி பேசுகிறது. ஒவ்வொரு தொகுதியும் மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளதுஃ முதல் பகுதி யுக்திபாஸாவின் தொடர்புடைய மலையாளப் பகுதியின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பாகும், இரண்டாவது பகுதியில் மொழிபெயர்ப்பு குறித்த விரிவான விளக்கக் குறிப்புகள் உள்ளன, மூன்றாவது பகுதியில் மலையாள அசல் உரை மீண்டும் உருவாக்கப்படுகிறது. ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பு கே. வி. சர்மாவும் விளக்கக் குறிப்புகளும் கே. ராமசுப்ரமணியன், எம். டி. ஸ்ரீநிவாஸ் மற்றும் எம். எஸ். ஸ்ரீராம் ஆகியோரால் வழங்கப்படுகின்றன. யுக்திபாசாவின் திறந்த அணுகல் பதிப்பு 2020 ஆம் ஆண்டில் சயானா அறக்கட்டளையால் வெளியிடப்பட்டது. ..