D. R. Kaprekar
தத்தாத்ரேயா ராமச்சந்திர கப்ரேகர் (17 ஜனவரி 1905-1986) ஒரு இந்திய பொழுதுபோக்கு கணிதவியலாளர் ஆவார், அவர் கப்ரேகர், ஹர்ஷத் மற்றும் சுய எண்கள் உள்ளிட்ட பல வகை இயற்கை எண்களை விவரித்தார் மற்றும் கப்ரேக்கரின் மாறிலியைக் கண்டுபிடித்தார், அவருக்கு பெயரிடப்பட்டது. முறையான முதுகலை பயிற்சி இல்லாத போதிலும், பள்ளி ஆசிரியராக பணிபுரிந்த போதிலும், அவர் விரிவாக வெளியிட்டார் மற்றும் பொழுதுபோக்கு கணித வட்டாரங்களில் நன்கு அறியப்பட்டார். காப்ரேகர் தனது உயர்நிலைப் பள்ளிக் கல்வியை தானேவில் பெற்று குவஹாத்தியில் உள்ள காட்டன் கல்லூரியில் படித்தார். 1927 ஆம் ஆண்டில், அவர் கணிதத்தில் ஒரு அசல் படைப்பிற்காக ராங்லர் ஆர். பி. பரஞ்ச்பே கணிதப் பரிசை வென்றார். அவர் மும்பை பல்கலைக்கழகத்தில் பயின்றார், 1929 இல் இளங்கலை பட்டம் பெற்றார். முறையான முதுகலை பயிற்சியை ஒருபோதும் பெறாத அவர், தனது முழு வாழ்க்கையிலும் (1930-1962) இந்தியாவின் மஹாராஷ்டிராவின் தேவ்லாலியில் உள்ள அரசு ஜூனியர் பள்ளியில் பள்ளி ஆசிரியராக இருந்தார். ஒரு இடத்திலிருந்து இன்னொரு இடத்திற்கு சைக்கிள் ஓட்டுதல், தனியார் மாணவர்களுக்கு வழக்கத்திற்கு மாறான முறைகள், மகிழ்ச்சியுடன் ஒரு ஆற்றின் அருகே உட்கார்ந்து "கோட்பாடுகளைப் பற்றி சிந்தித்தல்" ஆகியவற்றையும் பயிற்றுவித்தார். அவர் விரிவாக வெளியிட்டார், தொடர்ச்சியான தசமங்கள், மாய சதுரங்கள் மற்றும் சிறப்பு பண்புகளைக் கொண்ட முழு எண்கள் போன்ற தலைப்புகளைப் பற்றி எழுதினார். அவர் "கணிதாநந்த்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறார். பெரும்பாலும் தனியாக வேலை செய்யும் கப்ரேகர், எண் கோட்பாட்டில் பல முடிவுகளைக் கண்டுபிடித்தார் மற்றும் எண்களின் பல்வேறு பண்புகளை விவரித்தார். கப்ரேக்கரின் மாறிலி மற்றும் அவரது பெயரில் பெயரிடப்பட்ட கப்ரேக்கர் எண்களைத் தவிர, அவர் சுய எண்கள் அல்லது தேவ்லாலி எண்கள், ஹர்ஷட் எண்கள் மற்றும் டெம்லோ எண்களையும் விவரித்தார். கோப்பர்நிக்கஸ் மந்திர சதுக்கம் தொடர்பான சில வகையான மந்திர சதுரங்களையும் அவர் கட்டினார். ஆரம்பத்தில் அவரது கருத்துக்கள் இந்திய கணிதவியலாளர்களால் தீவிரமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படவில்லை, மேலும் அவரது முடிவுகள் பெரும்பாலும் குறைந்த அளவிலான கணித இதழ்களில் வெளியிடப்பட்டன அல்லது தனிப்பட்ட முறையில் வெளியிடப்பட்டன, ஆனால் மார்ட்டின் கார்ட்னர் தனது மார்ச் 1975 அறிவியல் அமெரிக்கர்களுக்கான கணித விளையாட்டுகளின் கட்டுரையில் கப்ரேகரைப் பற்றி எழுதியபோது சர்வதேச புகழ் வந்தது. இன்று அவரது பெயர் நன்கு அறியப்பட்டிருக்கிறது, மேலும் பல கணிதவியலாளர்கள் அவர் கண்டுபிடித்த பண்புகள் பற்றிய ஆய்வைத் தொடர்ந்துள்ளனர். 1949 ஆம் ஆண்டில், கப்ரேகர் 6174 என்ற எண்ணின் ஒரு சுவாரஸ்யமான பண்பைக் கண்டுபிடித்தார், இது பின்னர் கப்ரேகர் மாறிலி என்று பெயரிடப்பட்டது. ஒரே மாதிரியாக இல்லாத நான்கு இலக்கங்களின் தொகுப்பிலிருந்து கட்டமைக்கக்கூடிய மிக உயர்ந்த மற்றும் மிகக் குறைந்த எண்களை ஒருவர் மீண்டும் மீண்டும் கழிப்பதால் 6174 இறுதியில் அடையப்படுகிறது என்பதை அவர் காட்டினார். எனவே, 1234 இல் தொடங்கி, நம்மிடம் உள்ளதுஃ 4321−1234 = 3087, பின்னர் 8730−0378 = 8352, மற்றும் 8532−2358 = 6174. இந்த புள்ளியில் இருந்து மீண்டும் மீண்டும் செய்தால் அதே எண் (7641−1467 = 6174) இருக்கும். பொதுவாக, செயல்பாடு ஒன்றிணையும் போது அது அதிகபட்சம் ஏழு மறு செய்கைகளில் அவ்வாறு செய்கிறது. 3 இலக்கங்களுக்கு இதே போன்ற மாறிலி 495 ஆகும். இருப்பினும், அடிப்படை 10 இல் அத்தகைய ஒற்றை மாறிலி 3 அல்லது 4 இலக்க எண்களுக்கு மட்டுமே உள்ளது; 10 ஐத் தவிர மற்ற இலக்க நீளங்கள் அல்லது தளங்களுக்கு, மேலே விவரிக்கப்பட்ட கப்ரேக்கரின் வழக்கமான வழிமுறை பொதுவாக தொடக்க மதிப்பைப் பொறுத்து பல வெவ்வேறு மாறிலிகள் அல்லது மீண்டும் மீண்டும் சுழற்சிகளில் முடிவடையும். காப்ரேக்கரின் மாறிலியை சோதிக்க பைதான் குறியீடுஃ காப்ரேக்கர் குறியீடு பைதான் குறியீடுஃ காப்ரேக்கர் _ கான்ஸ்டன்ட் = 6174 n = 1234 அச்சு (f 'n = {n}') அதே நேரத்தில் சரிஃ வரம்பில் உள்ள i க்கான இலக்கங்கள் = [] (4): digits.append (n% 10) n/= 10 digits.sort (தலைகீழ் = உண்மை) பெரிய = 0 இலக்கங்களில் d க்குஃ பெரிய = பெரிய * 10 + d digits.sort () சிறிய = 0 இலக்கங்களில் d க்குஃ சிறிய = சிறிய * 10 + d n = பெரிய-சிறிய அச்சு (f '{பெரியஃ> 4}-{சிறியஃ> 4} = {n:> 4') என்றால் n = = = ஒரு கப்ரேக்கர் எண் என்பது ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாகும், அது வர்க்கமாக இருந்தால், அதன் பிரதிநிதித்துவத்தை இரண்டு நேர்மறை முழு எண் பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம், அதன் கூட்டுத்தொகை அசல் எண்ணுக்கு சமம் (எ. கா. 45, 452 = 2025 முதல், மற்றும் 20+25 = 45, மேலும் 9,55,99 போன்றவை) இருப்பினும், இரண்டு எண்களும் நேர்மறையானவை என்ற கட்டுப்பாட்டைக் கவனியுங்கள்; எடுத்துக்காட்டாக, 1002 = 10000, மற்றும் 100+00 = 100 என்றாலும் 100 ஒரு கப்ரேகர் எண் அல்ல. ஒரு சதுரத்தின் வலதுமுனை இலக்கங்களை எடுத்து, இடதுமுனை இலக்கங்களால் உருவாக்கப்பட்ட முழு எண்ணுடன் சேர்க்கும் இந்த செயல்பாடு கப்ரேகர் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. 9, 99, 999 எண்களைத் தவிர, அடிப்படை 10 இல் உள்ள கப்ரேக்கர் எண்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறுஃ தேவ்லாலி அல்லது சுய எண் 1963 ஆம் ஆண்டில், கப்ரேகர் சுய எண்கள் என்று அழைக்கப்படும் பண்பை வரையறுத்தார், வேறு சில எண்களை எடுத்து அதனுடன் அதன் சொந்த இலக்கங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாக்க முடியாத முழு எண்கள். எடுத்துக்காட்டாக, 21 என்பது ஒரு சுய எண் அல்ல, ஏனெனில் இது 15,15 + 1 + 5 = 21 இலிருந்து உருவாக்கப்படலாம். ஆனால் 20 என்பது ஒரு சுய எண், ஏனெனில் அதை வேறு எந்த முழு எண்ணிலிருந்தும் உருவாக்க முடியாது. இந்த சொத்தை எந்த எண்ணிலும் சரிபார்க்க அவர் ஒரு சோதனையையும் வழங்கினார். இவை சில நேரங்களில் தேவ்லாலி எண்கள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன (அவர் வாழ்ந்த நகரத்திற்குப் பிறகு); இது அவரது விருப்பமான பெயராக இருந்ததாகத் தோன்றினாலும், "சுய எண்" என்ற சொல் மிகவும் பரவலாக உள்ளது. சில நேரங்களில் இவை பிற்காலப் பெயருக்குப் பிறகு கொலம்பிய எண்களாகவும் குறிப்பிடப்படுகின்றன. ஹர்ஷத் எண் கப்ரேகர் ஹர்ஷத் எண்களையும் விவரித்தார், அதற்கு அவர் ஹர்ஷத் என்று பெயரிட்டார், அதாவது "மகிழ்ச்சியைக் கொடுப்பது" (சமஸ்கிருத ஹர்ஷா, ஜாய் + டா தத்திடா பிரத்யாயா, காரணமானவை); இவை அவற்றின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையால் வகுக்கக்கூடிய பண்புகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன. எனவே, 1 + 2 = 3 ஆல் வகுபடும் 12 என்பது ஒரு ஹார்ஷாட் எண். 1977 ஆம் ஆண்டு கனேடிய கணிதவியலாளர் இவான் எம். நிவேன் இவர்களைப் பற்றிய சொற்பொழிவுக்குப் பிறகு இவை பின்னர் நிவேன் எண்கள் என்றும் அழைக்கப்பட்டன. அனைத்து அடித்தளங்களிலும் (1,2,4 மற்றும் 6 மட்டுமே) ஹார்ஷாட் ஆக இருக்கும் எண்கள் ஆல்-ஹார்ஷாட் எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஹார்ஷாட் எண்கள் மற்றும் அவற்றின் விநியோகம், அதிர்வெண் போன்றவற்றில் அதிக வேலை செய்யப்பட்டுள்ளது. அவை இன்று எண் கோட்பாட்டில் கணிசமான ஆர்வமுள்ள விஷயமாகும். டெம்லோ எண் கப்ரேக்கர் டெம்லோ எண்களையும் ஆய்வு செய்தார், அதன் பெயர் பம்பாயில் இருந்து 30 மைல் தொலைவில் உள்ள டெம்லோ (இப்போது டோம்பிவிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது) ரயில் நிலையத்தின் பெயரிலிருந்து பெறப்பட்டது, அப்போதைய ஜி. ஐ. பி ரயில்வேயில் அவற்றைப் படிக்கும் யோசனை அவருக்கு இருந்தது. இவற்றில் மிகவும் பிரபலமானவை அற்புதமான டெம்லோ எண்கள் 1,121,12321,1234321,., இவை 1,11,1111, என்ற மறுபிரிவுகளின் வர்க்கங்களாகும்.