Shulba Sutras
சுல்வ சூத்திரங்கள் அல்லது சுல்பசூத்திரங்கள் (சமஸ்கிருதம்ஃ சுல்பஸூத்திரம்;: சரம், தண்டு, கயிறு) என்பது ஸ்ரௌதா சடங்கிற்கு சொந்தமான சூத்திர நூல்கள் மற்றும் நெருப்பு-பலிபீட கட்டுமானம் தொடர்பான வடிவவியலைக் கொண்டுள்ளன. நோக்கம் மற்றும் தோற்றம் ஷுல்பா சூத்திரங்கள் வேதங்களின் இணைப்புகளாகக் கருதப்படும் ஷ்ரௌதா சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படும் நூல்களின் பெரிய தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாகும். வேத காலத்திலிருந்து இந்திய கணிதத்தின் அறிவின் ஒரே ஆதாரங்கள் அவை மட்டுமே. தனித்துவமான நெருப்பு-பலிபீட வடிவங்கள் கடவுள்களின் தனித்துவமான பரிசுகளுடன் தொடர்புடையவை. உதாரணமாக, "சொர்க்கத்தை விரும்புபவர் ஒரு பருந்து வடிவில் ஒரு தீ-பலிபீடத்தைக் கட்ட வேண்டும்"; "ஆமை வடிவில் ஒரு தீ-பலிபீடம் பிரம்ம உலகத்தை வெல்ல விரும்பும் ஒருவரால் கட்டப்பட வேண்டும்" மற்றும் "இருக்கும் மற்றும் எதிர்கால எதிரிகளை அழிக்க விரும்புவோர் ஒரு ரோம்பஸ் வடிவத்தில் ஒரு தீ-பலிபீடத்தைக் கட்ட வேண்டும்". கணித ரீதியாக மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க நான்கு முக்கிய சுல்பா சூத்திரங்கள் பௌத்யாயனா, மானவா, அபஸ்தம்பா மற்றும் கத்யாயனா ஆகியோரால் கூறப்படுகின்றன. அவர்களின் மொழி பிந்தைய வேத சமஸ்கிருதம் ஆகும், இது தோராயமாக கிமு 1 ஆம் நூற்றாண்டின் போது ஒரு கலவையை சுட்டிக்காட்டுகிறது. கிமு 800 முதல் கிமு 500 வரை தொகுக்கப்பட்ட பௌதயனரின் சூத்திரம் மிகப் பழமையானது. அபஸ்தம்பம் அடுத்த மிகப் பழமையானது என்று பிங்க்ரீ கூறுகிறார்; அவர் காத்யாயனத்தையும் மானவத்தையும் காலவரிசைப்படி மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது இடத்தில் வைக்கிறார், வெளிப்படையான கடன்களின் அடிப்படையில். ப்லோஃப்கரின் கூற்றுப்படி, கத்யாயனா "கிமு நான்காம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் பாணினியால் சமஸ்கிருதத்தின் சிறந்த இலக்கண குறியீட்டிற்குப் பிறகு இயற்றப்பட்டது", ஆனால் அவர் மானவத்தை பௌத்யாயனாவின் அதே காலகட்டத்தில் வைக்கிறார். வேத நூல்களின் தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, ப்லோஃப்கர் எழுதுகிறார், "சமஸ்கிருதத்தை ஒரு புனிதமான உரையாக வேத வழிபாடு, அதன் தெய்வீகமாக வெளிப்படுத்தப்பட்ட நூல்கள் எழுத்தில் அனுப்பப்படுவதற்குப் பதிலாக ஓதப்பட வேண்டும், கேட்கப்பட வேண்டும், மனப்பாடம் செய்யப்பட வேண்டும், பொதுவாக சமஸ்கிருத இலக்கியத்தை வடிவமைக்க உதவியது. . இவ்வாறு நூல்கள் எளிதில் மனப்பாடம் செய்யக்கூடிய வடிவங்களில் இயற்றப்பட்டனஃ சுருக்கமான உரைநடை சூத்திரங்கள் (சூத்திரங்கள், ஒரு சொல் பின்னர் பொதுவாக ஒரு விதி அல்லது வழிமுறையைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது) அல்லது வசனம், குறிப்பாக பாரம்பரிய காலத்தில். இயற்கையாகவே, மனப்பாடம் செய்வதற்கான எளிமை சில நேரங்களில் புரிதலின் எளிமையுடன் தலையிடுகிறது. இதன் விளைவாக, பெரும்பாலான கட்டுரைகள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உரைநடை வர்ணனைகளால் நிரப்பப்பட்டன. "ஒவ்வொரு சுல்பா சூத்திரங்களுக்கும் பல வர்ணனைகள் உள்ளன, ஆனால் இவை அசல் படைப்புகளுக்கு நீண்ட காலத்திற்குப் பிறகு எழுதப்பட்டன. உதாரணமாக, அபஸ்தம்பம் பற்றிய சுந்தரராஜரின் வர்ணனை கிபி 15 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் இருந்து வருகிறது, மேலும் பௌத்யாயனம் குறித்த துவாரகநாதரின் வர்ணனை சுந்தரராஜரிடமிருந்து பெறப்பட்டதாகத் தெரிகிறது. ஸ்டாலின் கூற்றுப்படி, சுல்பா சூத்திரங்களில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள பாரம்பரியத்தின் சில அம்சங்கள் "வாய்வழியாகப் பரவியிருக்கும்", மேலும் அவர் தென்னிந்தியாவில் தீ-பலிபீட சடங்கு இன்னும் நடைமுறையில் உள்ள இடங்களையும் வாய்வழி பாரம்பரியம் பாதுகாக்கப்பட்ட இடங்களையும் சுட்டிக்காட்டுகிறார். இருப்பினும், தீ-பலிபீட பாரம்பரியம் இந்தியாவில் பெரும்பாலும் அழிந்துவிட்டது, மேலும் இந்த நடைமுறை எஞ்சியிருக்கும் இடங்கள் உடைக்கப்படாத பாரம்பரியத்தை விட பிற்கால வேத மறுமலர்ச்சியை பிரதிபலிக்கக்கூடும் என்று ப்லோஃப்கர் எச்சரிக்கிறார். சுல்பா சூத்திரங்களில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள பலிபீட கட்டுமானங்களின் தொல்பொருள் சான்றுகள் குறைவாகவே உள்ளன. கிமு இரண்டாம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த ஒரு பெரிய பருந்து வடிவ நெருப்புப் பலிபீடம் (ஷைனாசிட்டி) கௌசம்பியில் ஜி. ஆர். ஷர்மா அகழ்வாராய்ச்சியில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, ஆனால் இந்த பலிபீடம் சுல்பா சூத்திரங்களால் பரிந்துரைக்கப்பட்ட பரிமாணங்களுடன் ஒத்துப்போகவில்லை. சுல்பா சூத்திரங்களின் உள்ளடக்கம் படைப்புகளை விட பழமையானதாக இருக்கலாம். இரண்டாம் மில்லினியத்தின் பிற்பகுதியிலோ அல்லது கிமு முதல் மில்லினியத்தின் முற்பகுதியிலோ உள்ள சதபத பிராமண மற்றும் தைத்திரிய சம்ஹிதாவில், பௌத்யாயன சுல்பா சூத்திரத்தில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள முக்கோணங்களில் ஒன்றான 15 படா மற்றும் 36 படா கால்களுடன் வலது முக்கோணத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டதாகத் தோன்றும் பலிபீடங்களை விவரிக்கிறது. பல கணிதவியலாளர்களும் வரலாற்றாசிரியர்களும் கிமு 2000 ஆம் ஆண்டைச் சேர்ந்த வாய்வழி பாரம்பரியத்தின் தொகுப்புகளின் அடிப்படையில் வேத ஹிந்துக்களால் கிமு 800 இல் தொடங்கி ஆரம்பகால நூல்கள் எழுதப்பட்டதாக குறிப்பிடுகின்றனர். குப்தாவால் முன்மொழியப்பட்டபடி, சடங்கின் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்வதற்காக வடிவியல் உருவாக்கப்பட்டது என்பது சாத்தியமாகும். சில அறிஞர்கள் அதிக தூரம் செல்கின்றனர்ஃ இந்திய மற்றும் கிரேக்க வடிவவியலுக்கான பொதுவான சடங்கு தோற்றத்தை ஸ்டால் கருதுகிறார், இரட்டை மற்றும் பிற வடிவியல் மாற்ற சிக்கல்களுக்கு ஒத்த ஆர்வம் மற்றும் அணுகுமுறையை மேற்கோள் காட்டுகிறார். சீடென்பெர்க்கைத் தொடர்ந்து வான் டெர் வேர்டன், கணிதத்திற்கான ஒரு சடங்கு தோற்றத்தை இன்னும் பரவலாகக் காண்கிறார், பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் கண்டுபிடிப்பு போன்ற முக்கிய முன்னேற்றங்கள் ஒரே இடத்தில் மட்டுமே நிகழ்ந்தன, அங்கிருந்து உலகின் பிற பகுதிகளுக்கு பரவியது. சுல்பா சூத்திரங்களின் ஆசிரியர் கிமு 600 க்கு முன்பு இருந்ததாகவும், கிரேக்க வடிவவியலால் பாதிக்கப்படவில்லை என்றும் வான் டெர் வேர்டன் குறிப்பிடுகிறார். பழைய பாபிலோனிய கணிதத்தை (கிமு 2000-கிமு 1600) ஒரு சாத்தியமான தோற்றம் என்று போயர் குறிப்பிடுகையில், ஷுல்பா சூத்திரங்கள் பாபிலோன் ஆதாரங்களில் காணப்படாத ஒரு சூத்திரத்தைக் கொண்டுள்ளன என்றும் கூறுகிறார். ஷுல்பா சூத்திரங்கள் மெசொப்பொத்தேமியாவின் பித்தாகரஸ் முக்கோணங்களுக்கு முந்தையவை என்று கே. எஸ். கிருஷ்ணன் குறிப்பிடுகிறார். பழைய பாபிலோனியா இந்தியாவிலிருந்து பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைப் பெற்றது அல்லது பழைய பாபிலோனியாவும் இந்தியாவும் அதை மூன்றாவது மூலத்திலிருந்து பெற்றன என்று சீடென்பெர்க் வாதிடுகிறார். இந்த ஆதாரம் சுமேரியனாக இருக்கலாம் என்றும் கிமு 1700 க்கு முந்தையதாக இருக்கலாம் என்றும் சீடென்பெர்க் கூறுகிறார். இதற்கு மாறாக, பிங்க்ரீ எச்சரிக்கிறார், "[பலிபீடம் கட்டுபவர்களின்] படைப்புகளில் வடிவவியலின் தனித்துவமான தோற்றத்தைக் காண்பது தவறாக இருக்கும்; இந்தியாவிலும் பிற இடங்களிலும் உள்ள மற்றவர்கள், நடைமுறை அல்லது தத்துவார்த்த சிக்கல்களுக்கு பதிலளிக்கும் வகையில், அவற்றின் தீர்வுகள் நினைவகத்திற்கு உறுதியளிக்கப்படாமலோ அல்லது இறுதியில் கையெழுத்துப் பிரதிகளில் படியெடுக்கப்படாமலோ இருந்திருக்கலாம்". "தற்போதுள்ள வடிவியல் அறிவு சடங்கு நடைமுறையில் உணர்வுபூர்வமாக இணைக்கப்பட்டது" என்ற சாத்தியத்தையும் ப்லோஃப்கர் எழுப்புகிறார். சூல்ப சூத்திரங்களின் பட்டியல் அபஸ்தம்ப பௌத்யாயன மைநவ கத்யாயன மைத்ரேயனியா (மனித உரையுடன் சற்றே ஒத்த) வராஹா (கையெழுத்துப் பிரதியில்) வாதுலா (கையெழுத்துப் பிரதியில்) ஹிரண்யகேஷின் (அபஸ்தம்ப சூல்ப சூத்திரங்களைப் போலவே) கணிதம் பித்தகோரியன் தேற்றம் மற்றும் பித்தகோரியன் முக்கோணங்கள் சூத்திரங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் அறிக்கைகளைக் கொண்டுள்ளன, இவை இரண்டும் ஒரு ஐசோசிலஸ் வலது முக்கோணத்தின் விஷயத்தில் மற்றும் பொதுவான விஷயத்தில், அதே போல் பித்தகோரியன் முக்கோணங்களின் பட்டியல்களும் உள்ளன. உதாரணமாக, பௌதாயனத்தில், விதிகள் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளனஃ ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது [சதுரத்தின்] இரு மடங்கு பரப்பளவை உருவாக்குகிறது. 1. 12 ஆகும். ஒரு செவ்வகத்தின் அகலத்தின் நீளத்தால் தனித்தனியாக உற்பத்தி செய்யப்படும் [சதுரங்களின்] பரப்பளவு ஒன்றாக diagonal.1.13 ஆல் உற்பத்தி செய்யப்படும் [சதுரத்தின்] பரப்பளவுக்கு சமம். இது 3 மற்றும் 4,12 மற்றும் 5,15 மற்றும் 8,7 மற்றும் 24,12 மற்றும் 35,15 மற்றும் 36 பக்கங்களைக் கொண்ட செவ்வகங்களில் காணப்படுகிறது. இதேபோல், நெருப்பு-பல்தர்களில் சரியான கோணங்களை உருவாக்குவதற்கான அபஸ்தம்பாவின் விதிகள் பின்வரும் பித்தகோரிய முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்துகின்றனஃ கூடுதலாக, சூத்திரங்கள் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமமான பரப்பளவைக் கொண்ட ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குவதற்கான நடைமுறைகளை விவரிக்கின்றன. இரண்டு கட்டமைப்புகளும் சதுரங்களில் மிகப்பெரியது ஒரு செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டத்தில் சதுரமாக இருக்க அனுமதிப்பதன் மூலமும், இரண்டு சிறிய சதுரங்கள் அந்த செவ்வகத்தின் பக்கங்களில் சதுரங்களாக இருக்க அனுமதிப்பதன் மூலமும் தொடர்கின்றன. ஒவ்வொரு செயல்முறையும் விரும்பிய பரப்பளவில் ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குகிறது என்ற கூற்று பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் அறிக்கைக்கு சமம். மற்றொரு கட்டுமானம் கொடுக்கப்பட்ட செவ்வகத்திற்கு சமமான பரப்பளவு கொண்ட ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குகிறது. செவ்வகத்தின் முனையிலிருந்து ஒரு செவ்வகத் துண்டை வெட்டி, அசல் செவ்வகத்திற்கு சமமான பரப்பளவு கொண்ட க்னோமோனை உருவாக்கும் வகையில் அதை பக்கத்தில் ஒட்டுவது செயல்முறையாகும். ஒரு க்னோமோன் என்பது இரண்டு சதுரங்களின் வேறுபாடு என்பதால், முந்தைய கட்டுமானங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி சிக்கலை முடிக்க முடியும். வடிவியல் பௌத்யாயன சுல்பா சூத்திரம் சதுரங்கள் மற்றும் செவ்வகங்கள் போன்ற வடிவியல் வடிவங்களின் கட்டமைப்பை வழங்குகிறது. இது சில நேரங்களில் தோராயமான, வடிவியல் பரப்பளவை வழங்குகிறது-ஒரு வடிவியல் வடிவத்திலிருந்து இன்னொரு வடிவத்திற்கு மாற்றங்களைப் பாதுகாக்கிறது. ஒரு சதுரத்தை ஒரு செவ்வகம், ஒரு ஐசோசிலஸ் ட்ரெபீசியம், ஒரு ஐசோசிலஸ் முக்கோணம், ஒரு ரோம்பஸ் மற்றும் ஒரு வட்டமாக மாற்றுவது மற்றும் ஒரு வட்டத்தை ஒரு சதுரமாக மாற்றுவது ஆகியவை இதில் அடங்கும். இந்த நூல்களில் ஒரு வட்டத்தை சதுரமாக மாற்றுவது போன்ற தோராயங்கள், மிகவும் துல்லியமான அறிக்கைகளுடன் அருகருகே தோன்றும். உதாரணமாக, சதுரத்தைச் சுற்றி வருவதற்கான கூற்று பௌதயன மொழியில் பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ 2.9. ஒரு சதுரத்தை ஒரு வட்டமாக மாற்ற விரும்பினால், [சதுரத்தின்] அரை மூலைவிட்டமானது மையத்திலிருந்து கிழக்கே நீட்டிக்கப்படுகிறது [சதுரத்தின் கிழக்குப் பக்கத்திற்கு வெளியே அமைந்துள்ள அதன் ஒரு பகுதி]; மீதமுள்ள [அரை மூலைவிட்டத்தின்] மூன்றில் ஒரு பங்கு [வெளியே உள்ள பகுதியுடன்] சேர்க்கப்பட்டால், [தேவையான] வட்டம் வரையப்படுகிறது. வட்டத்தை வர்க்கப்படுத்தும் கூற்று பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளதுஃ 2.10. ஒரு வட்டத்தை சதுரமாக மாற்ற, விட்டம் எட்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது; ஒரு பகுதி இருபத்தி ஒன்பது பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பிறகு அவற்றில் இருபத்தி எட்டு பகுதிகளால் குறைக்கப்படுகிறது, மேலும் ஆறாவது பகுதி [இடது பகுதியின்] எட்டாவது பகுதியைக் குறைக்கிறது. மாற்றாக, [விட்டம்] ஐ பதினைந்து பகுதிகளாகப் பிரித்து, அவற்றில் இரண்டால் குறைக்கவும்; இது சதுரத்தின் தோராயமான பக்கத்தை [விரும்பிய] தருகிறது. 2. 1 மற்றும் 2.10 இல் உள்ள கட்டுமானங்கள் π இன் மதிப்பை 3.088 ஆகக் கொடுக்கின்றன, அதே நேரத்தில் 2.11 இல் உள்ள கட்டுமானம் π ஐ 3.004 ஆகக் கொடுக்கிறது. சதுர வேர்கள் பலிபீட கட்டுமானம் மூன்று சூத்திரங்களில் காணப்படுவது போல் 2 இன் சதுர வேர் மதிப்பீட்டிற்கு வழிவகுத்தது. பௌத்யாயன சூத்திரத்தில் இது பின்வருமாறு தோன்றுகிறதுஃ 2.12. அளவீட்டை அதன் மூன்றாவது மற்றும் இந்த [மூன்றாவது] மீண்டும் அதன் சொந்த நான்காவது குறைப்பு முப்பத்து நான்காவது பகுதி [நான்காவது] அதிகரிக்க வேண்டும்; இது ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் [அதன் பக்கம் அளவீடு] [மதிப்பு] ஆகும். இது இரண்டின் வர்க்கமூலத்தின் மதிப்புக்கு வழிவகுக்கிறதுஃ உண்மையில், வர்க்கமூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு ஆரம்ப முறையை சில சூத்திரங்களில் காணலாம், இந்த முறை தொடர்ச்சியான சூத்திரத்தை உள்ளடக்கியதுஃ x இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு, இது a உடன் ஒப்பிடும்போது r இன் மிகவும் சிறிய மதிப்புகளுக்கான தொடர்ச்சியற்ற அடையாளத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. எடுத்துக்காட்டாக, பர்க் என்பவரால் இந்த தோராயமான α2 என்பது α2 பகுத்தறிவற்றது என்ற அறிவைக் குறிக்கிறது என்றும் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. யூக்ளிடின் கூறுகளின் மொழிபெயர்ப்பில், பகுத்தறிவற்ற தன்மை கண்டுபிடிக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுவதற்குத் தேவையான பல மைல்கற்களை ஹீத் கோடிட்டுக் காட்டுகிறார், மேலும் சுல்பா சூத்திரங்களின் சகாப்தத்தில் இந்திய கணிதம் அந்த மைல்கற்களை அடைந்ததற்கான ஆதாரங்கள் இல்லாததை சுட்டிக்காட்டுகிறார். ..