Ramanujan–Nagell equation
கணிதத்தில், எண் கோட்பாட்டில், ராமானுஜன்-நாகல் சமன்பாடு என்பது ஒரு சதுர எண்ணுக்கும் இரண்டின் சக்தியை விட ஏழு குறைவான எண்ணுக்கும் இடையிலான சமன்பாடாகும். இது ஒரு அதிவேக டயோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு, இது முழு எண்களில் தீர்க்கப்பட வேண்டிய ஒரு சமன்பாடாகும், அங்கு மாறிகளில் ஒன்று ஒரு அடுக்காக தோன்றும். இந்த சமன்பாடு ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது, அவர் ஐந்து முழு எண் தீர்வுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளார் என்று கருதினார், மேலும் இந்த அனுமானத்தை நிரூபித்த ட்ரிக்வே நாகலின் பெயரால் இது அழைக்கப்படுகிறது. குறைந்தபட்ச ஹேமிங் தூரம் 5 அல்லது 6 உடன் சரியான பைனரி குறியீடுகள் இல்லாததைக் குறிக்கிறது. சமன்பாடு மற்றும் தீர்வு சமன்பாடு மற்றும் n = 3,4,5,7 மற்றும் 15 ஆக இருக்கும்போது இயற்கையான எண்களில் n மற்றும் x தீர்வுகள் உள்ளன. இது 1913 ஆம் ஆண்டில் இந்திய கணிதவியலாளர் ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜனால் அனுமானிக்கப்பட்டது, 1943 ஆம் ஆண்டில் நோர்வே கணிதவியலாளர் வில்ஹெல்ம் லுஜுங்க்ரென் என்பவரால் சுயாதீனமாக முன்மொழியப்பட்டது, மேலும் 1948 ஆம் ஆண்டில் நோர்வே கணிதவியலாளர் ட்ரைக்வே நாகல் என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது. n இன் மதிப்புகள் x இன் மதிப்புகளுடன் பின்வருமாறு ஒத்திருக்கின்றனஃ-x = 1,3,5,11 மற்றும் 181. முக்கோண மெர்சென் எண்கள் முக்கோண வடிவமான 2b−1 (மெர்சென் எண்கள்) வடிவத்தின் அனைத்து எண்களையும் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல் சமமானதுஃ b இன் மதிப்புகள் n−3 இன் மதிப்புகள் மட்டுமே, அதனுடன் தொடர்புடைய முக்கோண மெர்சென் எண்கள் (ராமானுஜன்-நாகெல் எண்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன): x = 1,3,5,11 மற்றும் 181 க்கு, 0,1,3,15,4095 மற்றும் அதற்கு மேல் இல்லை. ராமானுஜன்-நாகல் வகையின் சமன்பாடுகள் நிலையான டி, ஏ, பி மற்றும் மாறி எக்ஸ், என் ஆகியவற்றின் வடிவத்தின் சமன்பாடு ராமானுஜன்-நாகல் வகையைச் சேர்ந்தது என்று கூறப்படுகிறது. சீகலின் முடிவு ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. இராமானுஜன்-நாகல் வகையின் சமன்பாடு மூன்று மோர்டெல் வளைவுகளாகக் குறைக்கப்படுகிறது, அவை ஒவ்வொன்றும் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளனஃ,,. இராமானுஜன்-நாகல் சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடைய விஷயத்தில் தவிர, சமன்பாடு அதிகபட்சம் இரண்டு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. டி இன் எண்ணற்ற பல மதிப்புகள் உள்ளன, அவற்றில் இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன. லெபெஸ்கூ-நாகெல் வகையின் சமன்பாடுகள் நிலையான டி, ஏ மற்றும் மாறி x, y, n க்கான வடிவத்தின் சமன்பாடு லெபெஸ்கூ-நாகெல் வகையைச் சேர்ந்தது என்று கூறப்படுகிறது. சமன்பாட்டிற்கு அற்பமான தீர்வுகள் இல்லை என்பதை நிரூபித்த விக்டர்-அமேடி லெபெஸ்கூவின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டுள்ளது. ஷோரே மற்றும் டிஜ்டேமனின் முடிவுகள் ஒவ்வொரு விஷயத்திலும் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் குறிக்கிறது. புகேட், மிக்னோட் மற்றும் சிக்ஸெக் ஆகியோர் இந்த வகை சமன்பாடுகளை A = 1 மற்றும் 1 ≤ D ≤ 100 உடன் தீர்த்தனர். குறிப்பாக, ராமானுஜன்-நாகல் சமன்பாட்டின் பின்வரும் பொதுமைப்படுத்தல்ஃ x = 1,3,5,11, அல்லது 181 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே நேர்மறை முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. ..