Bhāskara II
முதலாம் பாஸ்கரனுடன் குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக பாஸ்கரச்சார்யா ("பாஸ்கர, ஆசிரியர்") என்றும் அழைக்கப்படும் இரண்டாம் பாஸ்கரர் (c. 1114-1185), ஒரு இந்திய கணிதவியலாளரும் வானியலாளரும் ஆவார். வசனங்களிலிருந்து, அவரது முக்கிய படைப்பான சித்தாந்த ஷிரோமணி (சித்தாந்தஷிரோமணி) இல், அவர் 1114 ஆம் ஆண்டில் விஜாதவிதா (விஜாலவிடா) இல் பிறந்தார் என்றும், மேற்குத் தொடர்ச்சி மலையின் சத்புடா மலைத்தொடர்களில் வசித்து வந்தார் என்றும் அறிஞர்களால் மஹாராஷ்டிராவின் இன்றைய காண்டேஷ் பிராந்தியத்தில் அமைந்துள்ள சாலிஸ்கானில் உள்ள பதானா நகரம் என்று நம்பப்படுகிறது. ஒரு நினைவுச்சின்னத்தில் அழியாத ஒரே பண்டைய கணிதவியலாளர் இவர் மட்டுமே. மஹாராஷ்டிராவில் உள்ள ஒரு கோவிலில், அவரது பேரன் சங்கதேவரால் உருவாக்கப்பட்டதாகக் கூறப்படும் ஒரு கல்வெட்டில், பாஸ்கராச்சாரியாரின் மூதாதையர் வம்சாவளியை அவருக்கு முன் பல தலைமுறைகளாகவும், அவருக்குப் பிறகு இரண்டு தலைமுறைகளாகவும் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளது. இரண்டாம் பாஸ்கராச்சார்யாவின் கணித நூல்களை மொழிபெயர்த்த முதல் ஐரோப்பியர் கோல்ப்ரூக் (1817) இந்தக் குடும்பத்தை கோதாவரி கரையில் வசிக்கும் மஹாராஷ்டிர பிராமணர்கள் என்று குறிப்பிடுகிறார். அறிஞர்கள், கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் வானியலாளர்கள் அடங்கிய இந்து தேசஸ்த பிராமண குடும்பத்தில் பிறந்த இரண்டாம் பாஸ்கரா, பண்டைய இந்தியாவின் முக்கிய கணித மையமான உஜ்ஜைனில் ஒரு அண்ட ஆய்வகத்தின் தலைவராக இருந்தார். பாஸ்கராவும் அவரது படைப்புகளும் 12 ஆம் நூற்றாண்டில் கணித மற்றும் வானியல் அறிவுக்கு குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைக் குறிக்கின்றன. இடைக்கால இந்தியாவின் மிகச்சிறந்த கணிதவியலாளர் என்று அவர் அழைக்கப்படுகிறார். அவரது முக்கிய படைப்பான சித்தாந்த-சிரோமணி, ("நூல்களின் கிரீடம்" என்பதற்கான சமஸ்கிருதம்) லீலாவதி, பீஜகனிதா, கிரஹாகனிதா மற்றும் கோலாத்யா என்று அழைக்கப்படும் நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது, அவை சில நேரங்களில் நான்கு சுயாதீன படைப்புகளாகக் கருதப்படுகின்றன. இந்த நான்கு பிரிவுகளும் முறையே எண்கணிதம், இயற்கணிதம், கிரகங்களின் கணிதம் மற்றும் கோளங்கள் ஆகியவற்றைக் கையாள்கின்றன. காரணா கௌதுஹல என்ற மற்றொரு நூலையும் அவர் எழுதினார். தேதி, இடம் மற்றும் குடும்பம் பாஸ்கரர் தனது பிறந்த தேதி மற்றும் அவரது முக்கிய படைப்பின் தொகுப்பு தேதியை ஆரிய மீட்டரில் ஒரு வசனத்தில் கொடுக்கிறார்ஃ இது அவர் ஷாகா சகாப்தத்தின் (கிபி 1114) 1036 இல் பிறந்தார் என்பதையும், அவர் 36 வயதாக இருந்தபோது சித்தாந்த ஷிரோமணியை இயற்றினார் என்பதையும் வெளிப்படுத்துகிறது. சித்தாந்த ஷிரோமணி கிபி 1150இல் கட்டி முடிக்கப்பட்டது. அவர் தனது 69 வயதில் (1183 இல்) காரணா-குடூஹாலா என்ற மற்றொரு படைப்பையும் எழுதினார். அவரது படைப்புகள் பிரம்மகுப்தர், ஸ்ரீதாரா, மஹாவீரா, பத்மநாபா மற்றும் பிற முன்னோடிகளின் செல்வாக்கைக் காட்டுகின்றன. பாஸ்கரா சஹ்யாத்ரிக்கு அருகிலுள்ள பதான் (சாலிஸ்கான்) அருகே அமைந்துள்ள பட்னாதேவியில் வசித்து வந்தார். அவர் விஜாதவிதா (விஜாலவிதா) அருகே ஒரு தேசஸ்த ரிக்வேதி பிராமண குடும்பத்தில் பிறந்தார். பாஸ்கரின் சித்தாந்த ஷிரோமணி பற்றிய வர்ணனையாளரான முனீஷ்வரா (17 ஆம் நூற்றாண்டு) தனது படைப்பான மாரிசி டிகா என்ற நூலில் விஜாதவிதா இருந்த இடம் பற்றிய தகவல்களை பின்வருமாறு வழங்கியுள்ளார்ஃ இந்த விளக்கம் மஹாராஷ்டிராவில் உள்ள விஜாலவிடாவை, விதர்பா பகுதிக்கு அருகில் மற்றும் கோதாவரி ஆற்றின் கரைகளுக்கு அருகில் அமைந்துள்ளது. இருப்பினும், துல்லியமான இருப்பிடத்தைப் பற்றி அறிஞர்கள் வேறுபடுகிறார்கள். பல அறிஞர்கள் பதானுக்கு அருகிலுள்ள இடத்தை (ஜல்கான் மாவட்டத்தின் சாலிஸ்கான் தாலுகா) அமைத்துள்ளனர், அதே நேரத்தில் அறிஞர்களில் ஒரு பகுதியினர் இதை நவீனகால பீட் நகரமாக அடையாளம் கண்டுள்ளனர். சில ஆதாரங்கள் விஜாலவிடாவை கர்நாடகாவின் பீஜப்பூர் அல்லது பீதர் என்று அடையாளம் காட்டின. தெலுங்கானாவில் உள்ள பசருடன் விஜாலவிடாவை அடையாளம் காணவும் பரிந்துரைக்கப்பட்டுள்ளது. இடைக்கால இந்தியாவின் முன்னணி கணித மையமான உஜ்ஜைனில் உள்ள வானியல் ஆய்வகத்தின் தலைவராக பாஸ்கரர் இருந்ததாகக் கூறப்படுகிறது. அவரது மகன் மற்றும் பிற சந்ததியினரைப் போலவே, அவரது பெரிய-பெரிய-தாத்தா ஒரு அரசவை அறிஞராக பரம்பரைப் பதவியை வகித்ததாக வரலாறு பதிவு செய்கிறது. அவரது தந்தை மகேஷ்வரா (மகேஷ்வரோபாத்யா) ஒரு கணிதவியலாளர், வானியலாளர் மற்றும் ஜோதிடர் ஆவார், அவர் அவருக்கு கணிதத்தை கற்பித்தார், பின்னர் அவர் அதை தனது மகன் லோகசமுத்திரரிடம் ஒப்படைத்தார். லோகசமுத்திரரின் மகன் 1207 ஆம் ஆண்டில் பாஸ்கரரின் எழுத்துக்களைப் படிப்பதற்காக ஒரு பள்ளியை அமைக்க உதவினார். அவர் கிபி 1185 இல் இறந்தார். சித்தாந்த-சிரோமணி லீலாவதி அவரது மகளின் பெயரால் பெயரிடப்பட்ட முதல் பிரிவு லீலாவதி (பாதிகனிதா அல்லது அங்ககனிதா என்றும் அழைக்கப்படுகிறது), 277 வசனங்களைக் கொண்டுள்ளது. இது கணக்கீடுகள், முன்னேற்றங்கள், அளவீடு, வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் பிற தலைப்புகளை உள்ளடக்கியது. பிஜகனிதா இரண்டாவது பிரிவு பிஜகனிதா (இயற்கணிதம்) இல் 214 வசனங்கள் உள்ளன. இது பூஜ்ஜியம், முடிவிலி, நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள் மற்றும் பெல்லின் சமன்பாடு (இப்போது அழைக்கப்படுகிறது) உள்ளிட்ட தீர்மானிக்கப்படாத சமன்பாடுகளை விவாதித்து, அதை ஒரு குட்டகா முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறது. குறிப்பாக, பல நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு ஃபெர்மாட் மற்றும் அவரது ஐரோப்பிய சமகாலத்தவர்களைத் தவிர்க்க வேண்டிய வழக்கையும் அவர் தீர்த்துக் கொண்டார். கிரககணிதா மூன்றாவது பிரிவில் கிரககணிதா, கிரகங்களின் இயக்கத்திற்கு சிகிச்சையளிக்கும் போது, அவற்றின் உடனடி வேகத்தை அவர் கருதினார். அவர் தோராயத்திற்கு வந்தார்ஃ இது 451 வசனங்களைக் கொண்டுள்ளது. இதற்கு அருகில், அல்லது நவீன குறியீட்டில்ஃ அவரது வார்த்தைகளில்ஃ இந்த முடிவை முன்ஜாலாச்சார்யா (அல்லது மஞ்சுலாசார்யா) மானசம், ஒரு சைன் அட்டவணையின் சூழலில் முன்பு கவனித்தார். ஒரு கிரகத்தின் மிக உயர்ந்த புள்ளியில் அதன் உடனடி வேகம் பூஜ்ஜியமாகும் என்றும் பாஸ்கரர் கூறினார். கணிதத்தில் பாஸ்கரின் பங்களிப்புகளில் சில பின்வருமாறுஃ ஒரே பகுதியை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் கணக்கிடுவதன் மூலமும், பின்னர் a2 + b2 = c2 ஐப் பெறுவதற்கான சொற்களை ரத்து செய்வதன் மூலமும் பித்தகோரிய தேற்றத்தின் ஆதாரம். லீலாவதியில், இருபடி, கனசதுர மற்றும் குவார்டிக் நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் விளக்கப்பட்டுள்ளன. தீர்மானிக்கப்படாத இருபடிமச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள் (வகை x2 + b = y2). நேரியல் மற்றும் இருபடி நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகளின் முழு எண் தீர்வுகள் (குட்டாக்கா). அவர் வழங்கும் விதிகள் (நடைமுறையில்) 17 ஆம் நூற்றாண்டின் மறுமலர்ச்சி ஐரோப்பிய கணிதவியலாளர்கள் வழங்கியதைப் போலவே உள்ளன. x2 + bx + c = y என்ற வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு சுழற்சி சக்கரவாலா முறை. இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பாரம்பரியமாக 1657 ஆம் ஆண்டில் வில்லியம் புரூங்கருக்குக் கூறப்பட்டது, இருப்பினும் அவரது முறை சக்கரவாலா முறையை விட மிகவும் கடினமாக இருந்தது. x2 − ny2 = 1 ("பெல்லின் சமன்பாடு" என்று அழைக்கப்படும்) என்ற சிக்கலின் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முதல் பொதுவான முறை இரண்டாம் பாஸ்கராவால் வழங்கப்பட்டது. 61x2 + 1 = y2 போன்ற இரண்டாவது வரிசையின் டயோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள். இந்த சமன்பாடு 1657 ஆம் ஆண்டில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பியர் டி ஃபெர்மாட் என்பவரால் ஒரு பிரச்சினையாக முன்வைக்கப்பட்டது, ஆனால் 18 ஆம் நூற்றாண்டில் ஆய்லர் காலம் வரை ஐரோப்பாவில் அதன் தீர்வு தெரியவில்லை. ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அறியப்படாத இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, எதிர்மறை மற்றும் பகுத்தறிவற்ற தீர்வுகளைக் கண்டறிந்தது. கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்பக் கருத்து. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸுக்கு குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்புகளுடன், எல்லையற்ற கால்குலஸின் ஆரம்ப கருத்து. வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபாடு குணகத்தின் தோராயத்தைக் கண்டறிந்த பிறகு, கருத்தாக்கப்பட்ட வேறுபாடு கால்குலஸ். குறிப்பிட்ட ரோலின் தேற்றம், பகுப்பாய்வில் மிக முக்கியமான கோட்பாடுகளில் ஒன்றான சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. பொது சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் தடயங்களும் அவரது படைப்புகளில் காணப்படுகின்றன. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் சூத்திரங்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுங்கள். (கீழே உள்ள கால்குலஸ் பிரிவைப் பார்க்கவும்.) சித்தாந்த-சிரோமணியில், பாஸ்கர் பல முக்கோணவியல் முடிவுகளுடன் கோள முக்கோணவியல் வடிவத்தையும் உருவாக்கினார். (கீழே உள்ள முக்கோணவியல் பிரிவைப் பார்க்கவும்.) எண்கணித பாஸ்கரின் எண்கணித உரை லீலாவதி வரையறைகள், எண்கணித சொற்கள், வட்டி கணக்கீடு, எண்கணித மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள், சமதள வடிவியல், திடமான வடிவியல், க்னோமோனின் நிழல், தீர்மானிக்கப்படாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் மற்றும் சேர்க்கைகள் ஆகியவற்றின் தலைப்புகளை உள்ளடக்கியது. லீலாவதி 13 அத்தியாயங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் கணிதம், எண்கணிதம், இயற்கணிதம், வடிவியல் மற்றும் ஒரு சிறிய முக்கோணவியல் மற்றும் அளவீட்டின் பல கிளைகளை உள்ளடக்கியது. மேலும் குறிப்பாக உள்ளடக்கங்களில் பின்வருவன அடங்கும்ஃ வரையறைகள். பூஜ்ஜியத்தின் பண்புகள் (பூஜ்ஜியத்துடன் பிரிவு மற்றும் செயல்பாட்டு விதிகள் உட்பட). எதிர்மறை எண்கள் மற்றும் சர்ட்களின் பயன்பாடு உட்பட மேலும் விரிவான எண் வேலை. π இன் மதிப்பீடு. எண்கணித சொற்கள், பெருக்க முறைகள் மற்றும் வர்க்கம். மூன்றின் தலைகீழ் விதி மற்றும் 3,5,7,9 மற்றும் 11 இன் விதிகள். வட்டி மற்றும் வட்டி கணக்கீடு சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்கள். தீர்மானிக்கப்படாத சமன்பாடுகள் (குட்டாக்கா), முழு எண் தீர்வுகள் (முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசை). இந்த தலைப்பில் அவரது பங்களிப்புகள் குறிப்பாக முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவர் வழங்கும் விதிகள் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் மறுமலர்ச்சி ஐரோப்பிய கணிதவியலாளர்கள் வழங்கியதைப் போலவே (நடைமுறையில்) உள்ளன, இருப்பினும் அவரது பணி 12 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தது. பாஸ்கரின் தீர்க்கும் முறை ஆரியபட்டா மற்றும் அடுத்தடுத்த கணிதவியலாளர்களின் படைப்புகளில் காணப்படும் முறைகளின் முன்னேற்றமாகும். அதன் முறைப்படுத்தல், மேம்பட்ட முறைகள் மற்றும் அவர் அறிமுகப்படுத்திய புதிய தலைப்புகளுக்காக அவரது பணி சிறந்தது. மேலும், லீலாவதி சிறந்த சிக்கல்களைக் கொண்டிருந்தது, மேலும் 'லீலாவதி' யின் மாணவர் இந்த முறையின் இயந்திர பயன்பாட்டில் தன்னை ஈடுபடுத்திக் கொள்ள வேண்டும் என்பது பாஸ்கரின் நோக்கமாக இருந்திருக்கலாம் என்று கருதப்படுகிறது. அல்ஜிப்ரா அவரது பீஜகனிதா ("அல்ஜிப்ரா") பன்னிரண்டு அத்தியாயங்களில் ஒரு படைப்பாகும். ஒரு நேர்மறை எண்ணுக்கு இரண்டு வர்க்கமூலங்கள் (நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை வர்க்கமூலம்) உள்ளன என்பதை அங்கீகரித்த முதல் உரை இதுவாகும். அவரது படைப்பான பீஜகனிதா இயற்கணிதத்தைப் பற்றிய ஒரு கட்டுரையாகும், மேலும் பின்வரும் தலைப்புகளைக் கொண்டுள்ளதுஃ நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை எண்கள். 'அறியப்படாத' (அறியப்படாத அளவுகளை தீர்மானிப்பதை உள்ளடக்கியது). அறியப்படாத அளவுகளை தீர்மானித்தல். சர்ட்ஸ் (சர்ட்ஸ் மற்றும் அவற்றின் சதுர வேர்களை மதிப்பீடு செய்வது உட்பட). குட்டாக்கா (நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகள் மற்றும் டயோஃபாண்டைன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு). எளிய சமன்பாடுகள் (இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது டிகிரி தீர்மானிக்கப்படாதவை). ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அறியப்படாத எளிய சமன்பாடுகள். தீர்மானிக்கப்படாத இருபடிச் சமன்பாடுகள் (அச்சு2 + b = y2 வகை). இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது டிகிரியின் நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகளின் தீர்வுகள். நாற்கர சமன்பாடுகள். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அறியப்படாத நாற்கர சமன்பாடுகள். பல அறியப்படாத தயாரிப்புகளுடன் செயல்பாடுகள். x2 + bx + c = y என்ற வடிவத்தின் நிச்சயமற்ற இருபடிம சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு சுழற்சி, சக்கரவாலா முறையை பாஸ்கர் பெற்றார். Nx2 + 1 = y2 ("பெல்லின் சமன்பாடு" என்று அழைக்கப்படும்) என்ற சிக்கலின் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான பாஸ்கரின் முறை கணிசமான முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. முக்கோணவியல் சித்தாந்த ஷிரோமணி (1150 இல் எழுதப்பட்டது) பாஸ்கரின் முக்கோணவியல் பற்றிய அறிவை நிரூபிக்கிறது, இதில் சைன் அட்டவணை மற்றும் வெவ்வேறு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள் அடங்கும். அவர் கோள முக்கோணவியல் மற்றும் பிற சுவாரஸ்யமான முக்கோணவியல் முடிவுகளையும் உருவாக்கினார். குறிப்பாக, கணக்கீட்டிற்கான ஒரு கருவியாக மட்டுமே பார்த்த தனது முன்னோடிகளை விட பாஸ்கர் முக்கோணவியல் மீது அதன் சொந்த நலனுக்காக அதிக ஆர்வம் காட்டினார். பாஸ்கராவால் வழங்கப்பட்ட பல சுவாரஸ்யமான முடிவுகளில், அவரது படைப்புகளில் காணப்படும் முடிவுகளில் 18 மற்றும் 36 டிகிரி கோணங்களின் சைன்களின் கணக்கீடு மற்றும் இப்போது நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரங்கள் மற்றும் அடங்கும். அவரது படைப்பான சித்தாந்த ஷிரோமணி ஒரு வானியல் ஆய்வுக் கட்டுரையாகும், மேலும் முந்தைய படைப்புகளில் காணப்படாத பல கோட்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. எண்ணற்ற கால்குலஸ் மற்றும் கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்ப கருத்துக்கள், முக்கோணவியல், வேறுபட்ட கால்குலஸ் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் ஆகியவற்றில் பல முடிவுகளுடன் இந்த படைப்பில் காணப்படுகின்றன. வேறுபட்ட கணக்கீட்டின் சில கருத்துக்களை பாஸ்கர் அறிந்திருந்தார் என்று சான்றுகள் தெரிவிக்கின்றன. பாஸ்கராவும் 'வேறுபட்ட கால்குலஸை' ஆழமாகப் பார்க்கிறார், மேலும் வேறுபட்ட குணகம் செயல்பாட்டின் உச்ச மதிப்பில் மறைந்துவிடும் என்று பரிந்துரைக்கிறார், இது 'எல்லையற்றவை' என்ற கருத்தைப் பற்றிய அறிவைக் குறிக்கிறது. ரோலின் தேற்றத்தின் ஆரம்ப வடிவத்தின் சான்றுகள் அவரது படைப்புகளில் உள்ளன. ரோலின் தேற்றத்தின் நவீன சூத்திரம், சிலருக்கு என்றால், பின்னர். இந்த வானியல் படைப்பில் அவர் ஒரு செயல்முறையை வழங்கினார், இது எல்லையற்ற methods.In சொற்களின் முன்னோடியாகத் தோன்றுகிறது, அதாவது அது சைனின் வழித்தோன்றலாக இருந்தாலும், வழித்தோன்றல் குறித்த கருத்தை அவர் உருவாக்கவில்லை. கிரகணத்தின் நேரத்தை துல்லியமாக கணிக்கத் தேவையான அளவு, கிரகணத்தின் நிலை கோணத்தை கணக்கிட பாஸ்கரா இந்த முடிவைப் பயன்படுத்துகிறார். ஒரு கிரகத்தின் உடனடி இயக்கத்தைக் கணக்கிடுவதில், கிரகங்களின் தொடர்ச்சியான நிலைகளுக்கு இடையிலான நேர இடைவெளி ஒரு துருதி அல்லது ஒரு வினாடிக்கு மேல் இல்லை, மேலும் அவரது வேகத்தின் அளவீடு இந்த எல்லையற்ற நேர அலகு மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டது. ஒரு மாறி அதிகபட்ச மதிப்பை அடையும் போது, அதன் வேறுபாடு மறைந்துவிடும் என்பதை அவர் அறிந்திருந்தார். ஒரு கிரகம் பூமியிலிருந்து அதன் மிகத் தொலைவில் இருக்கும்போது, அல்லது அதன் மிக அருகில் இருக்கும்போது, மையத்தின் சமன்பாடு (ஒரு கிரகம் அது இருக்கும் என்று கணிக்கப்பட்ட நிலையில் இருந்து எவ்வளவு தூரம் உள்ளது என்பதற்கான அளவீடு, அது ஒரே மாதிரியாக நகரும் என்று கருதுவதன் மூலம்) மறைந்துவிடும் என்பதையும் அவர் காட்டினார். எனவே சில இடைநிலை நிலைக்கு மையத்தின் சமன்பாட்டின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று அவர் முடிவு செய்தார். இந்த முடிவில், பகுப்பாய்வில் மிக முக்கியமான கோட்பாடுகளில் ஒன்றான பொது சராசரி மதிப்பு தேற்றத்தின் தடயங்கள் உள்ளன, இது இன்று பொதுவாக ரோலின் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சைனின் தலைகீழ் இடைக்கணிப்புக்கான சராசரி மதிப்பு சூத்திரம் பின்னர் பரமேஸ்வரரால் 15 ஆம் நூற்றாண்டில் பாஸ்கரின் லீலாவதி பற்றிய வர்ணனையான லீலாவதி பாசியாவில் நிறுவப்பட்டது. மாதவ (1340-1425) மற்றும் கேரள பள்ளி கணிதவியலாளர்கள் (பரமேஸ்வரா உட்பட) 14 ஆம் நூற்றாண்டு முதல் 16 ஆம் நூற்றாண்டு வரை பாஸ்கரின் பணியை விரிவுபடுத்தி, இந்தியாவில் கால்குலஸின் வளர்ச்சியை மேலும் மேம்படுத்தினர். வானியல் 7 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரம்மகுப்தரால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு வானியல் மாதிரியைப் பயன்படுத்தி, பாஸ்கரர் பல வானியல் அளவுகளை துல்லியமாக வரையறுத்தார், எடுத்துக்காட்டாக, பக்கவாட்டு ஆண்டின் நீளம், பூமி சூரியனைச் சுற்றி வரத் தேவையான நேரம், தோராயமாக 365.2588 நாட்கள் இது சூர்யசித்தாந்தத்தில் உள்ளதைப் போன்றது. நவீன ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட அளவீடு 365.25636 நாட்கள் ஆகும், இது 3.5 நிமிடங்களின் வித்தியாசம். அவரது கணித வானியல் உரை சித்தாந்த ஷிரோமணி இரண்டு பகுதிகளாக எழுதப்பட்டுள்ளதுஃ கணித வானியல் பற்றிய முதல் பகுதி மற்றும் கோளத்தின் இரண்டாவது பகுதி. முதல் பகுதியின் பன்னிரண்டு அத்தியாயங்கள் பின்வரும் தலைப்புகளை உள்ளடக்குகின்றனஃ கிரகங்களின் சராசரி தீர்க்கரேகைகள். கிரகங்களின் உண்மையான தீர்க்கரேகைகள். தினசரி சுழற்சியின் மூன்று சிக்கல்கள். (தினசரி இயக்கம் என்பது பூமியைச் சுற்றியுள்ள நட்சத்திரங்களின் வெளிப்படையான தினசரி இயக்கத்தைக் குறிக்கும் ஒரு வானியல் சொல், அல்லது இன்னும் துல்லியமாக இரண்டு வான துருவங்களைச் சுற்றி. இது பூமியின் அச்சில் சுழற்சியால் ஏற்படுகிறது, எனவே ஒவ்வொரு நட்சத்திரமும் ஒரு வட்டத்தில் நகர்கிறது, இது தினசரி வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிஜிஜிஸ். சந்திர கிரகணங்கள். சூரிய கிரகணங்கள். கிரகங்களின் அட்சரேகைகள். சூரிய உதயம் சமன்பாடு சந்திரனின் பிறை. ஒருவருக்கொருவர் கிரகங்களின் இணைப்புகள். நிலையான நட்சத்திரங்களுடன் கிரகங்களின் இணைப்புகள். சூரியன் மற்றும் சந்திரனின் பாதைகள். இரண்டாம் பாகத்தில் கோளத்தில் பதின்மூன்று அத்தியாயங்கள் உள்ளன. இது பின்வரும் தலைப்புகளை உள்ளடக்கியதுஃ கோளத்தைப் பற்றிய ஆய்வின் பாராட்டு. கோளத்தின் இயல்பு. அண்டவியல் மற்றும் புவியியல். கிரக சராசரி இயக்கம். கிரகங்களின் விசித்திரமான எபிசைக்ளிக் மாதிரி. ஆர்மில்லரி கோளம். கோள முக்கோணவியல். நீள்வட்ட கணக்கீடுகள். கிரகங்களின் முதல் பார்வை. சந்திர பிறை கணக்கிடுதல். வானியல் கருவிகள். பருவங்கள். வானியல் கணக்கீடுகளில் சிக்கல்கள். பொறியியல் ஒரு நிரந்தர இயக்க இயந்திரத்தைப் பற்றிய ஆரம்ப குறிப்பு 1150 ஆம் ஆண்டைச் சேர்ந்தது, அப்போது இரண்டாம் பாஸ்கரா ஒரு சக்கரத்தை விவரித்தார், அது என்றென்றும் இயங்கும் என்று அவர் கூறினார். இரண்டாம் பாஸ்கரர் யஷ்டி-யந்திரம் எனப்படும் அளவீட்டு சாதனத்தைப் பயன்படுத்தினார். இந்த சாதனம் ஒரு எளிய குச்சி முதல் வி-வடிவ ஸ்டாஃப்கள் வரை வேறுபடலாம், இது ஒரு அளவீட்டு அளவின் உதவியுடன் கோணங்களை தீர்மானிக்க குறிப்பாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. லீலாவதி என்ற தனது புத்தகத்தில், புராணங்களில் அவர் இவ்வாறு கூறுகிறார்ஃ "பூஜ்ஜியத்தை அதன் வகுப்பானாகக் கொண்ட இந்த அளவிலும், பல அளவுகள் அதில் நுழைந்தாலும் அல்லது [அதிலிருந்து] வெளியே வந்தாலும் கூட எந்த மாற்றமும் இல்லை, அதே போல் அழிவு மற்றும் படைப்பின் போது ஏராளமான உயிரினங்கள் நுழைந்து [அவரிடமிருந்து] வெளியே வரும்போது, எல்லையற்ற மற்றும் மாறாத [விஷ்ணுவில்] எந்த மாற்றமும் இல்லை". "பார்!" இரண்டாம் பாஸ்கர் ஒரு வரைபடத்தை வரைந்து, "பார்!" என்ற ஒற்றை வார்த்தையை வழங்குவதன் மூலம் பித்தகோரிய தேற்றத்தை நிரூபித்தார் என்று பல எழுத்தாளர்களால் கூறப்பட்டுள்ளது. சில நேரங்களில் பாஸ்கரின் பெயர் தவிர்க்கப்பட்டு, இது பள்ளி மாணவர்களால் நன்கு அறியப்பட்ட இந்து ஆதாரம் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. இருப்பினும், கணித வரலாற்றாசிரியர் கிம் ப்லோஃப்கர் சுட்டிக்காட்டியபடி, ஒரு கடினமான உதாரணத்தை முன்வைத்த பிறகு, இரண்டாம் பாஸ்கரா பித்தகோரியன் தேற்றத்தை இவ்வாறு குறிப்பிடுகிறார்ஃ இதைத் தொடர்ந்து பின்வருமாறுஃ ப்லோஃப்கர் இந்த கூடுதல் கூற்று பரவலான "பார்!" புராணக்கதை. புனேவில் உள்ள பாஸ்கராச்சார்யா பிரதிஷ்டானா, தில்லியில் உள்ள பாஸ்கராச்சார்யா பயன்பாட்டு அறிவியல் கல்லூரி, காந்திநகரில் உள்ள பாஸ்கராச்சார்யா விண்வெளி பயன்பாடுகள் மற்றும் புவி தகவலியல் நிறுவனம் உட்பட இந்தியாவில் உள்ள பல நிறுவனங்கள் மற்றும் கல்லூரிகளுக்கு அவரது பெயர் சூட்டப்பட்டுள்ளது. 1981 நவம்பர் 20 அன்று இந்திய விண்வெளி ஆராய்ச்சி அமைப்பு (ஐ. எஸ். ஆர். ஓ) கணிதவியலாளரும் வானியலாளரும் கௌரவிக்கும் வகையில் பாஸ்கரா II செயற்கைக்கோளை ஏவியது. இன்விஸ் மல்டிமீடியா 2015 ஆம் ஆண்டில் கணிதவியலாளரைப் பற்றிய இந்திய ஆவணப்படமான பாஸ்கராச்சார்யா என்ற ஆவணப்படத்தை வெளியிட்டது. ..