Āryabhaṭa's sine table
ஆரியபதத்தின் சைன் அட்டவணை என்பது ஐந்தாம் நூற்றாண்டின் இந்திய கணிதவியலாளரும் வானியலாளருமான ஆரியபதாவால் (476-550 CE) இயற்றப்பட்ட ஆரியபதியா என்ற வானியல் நூலில் கொடுக்கப்பட்ட இருபத்தி நான்கு எண்களின் தொகுப்பாகும், இது ஒரு வட்டத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவுகளின் அரை வளையங்களின் கணக்கீட்டிற்காக. எண்களின் தொகுப்பு ஆரியபதியாவின் 1ஆம் அத்தியாயம் தசகிதிகாவில் 12ஆம் வசனத்தில் காணப்படுகிறது. இது ஒரு கணித அட்டவணையின் நவீன அர்த்தத்தில் ஒரு அட்டவணை அல்ல; அதாவது, இது வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளாக அமைக்கப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பு அல்ல. ஆரியபதத்தின் அட்டவணையும் வழக்கமான அர்த்தத்தில் முக்கோணவியல் சைன் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு அல்ல; இது ஆர்க் நிமிடங்களில் வெளிப்படுத்தப்படும் முக்கோணவியல் சைன்களின் மதிப்புகளின் முதல் வேறுபாடுகளின் அட்டவணையாகும், இதன் காரணமாக அட்டவணை ஆரியபதத்தின் சைன்-வேறுபாடுகளின் அட்டவணை என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. கணித வரலாற்றில் கட்டப்பட்ட முதல் சைன் அட்டவணை ஆரியபதத்தின் அட்டவணையாகும். இப்போது காணாமல் போன ஹிப்பார்கஸ் அட்டவணைகள் (கிமு 190-கிமு 120) மற்றும் மெனலஸ் (கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி கிபி ஆரியபதரின் மேஜை பண்டைய இந்தியாவின் நிலையான சைன் மேஜையாக இருந்தது. இந்த அட்டவணையின் துல்லியத்தை மேம்படுத்த தொடர்ச்சியான முயற்சிகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன. கேரள வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளியின் நிறுவனர் சங்கமகிராமாவின் மாதவாவால் (கி. பி. 1350-கி. பி. 1425) சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளின் சக்தி தொடர் விரிவாக்கங்களின் கண்டுபிடிப்பு மற்றும் ஏழு அல்லது எட்டு தசம இடங்களுக்கு துல்லியமான மதிப்புகளுடன் மாதவாவால் ஒரு சைன் அட்டவணையை அட்டவணைப்படுத்துதல் ஆகியவற்றில் இந்த முயற்சிகள் உச்சக்கட்டத்தை அடைந்தன. கணிதத்தின் சில வரலாற்றாசிரியர்கள் ஆரியபதியாவில் கொடுக்கப்பட்ட சைன் அட்டவணை பண்டைய கிரேக்கத்தின் கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் வானியலாளர்களால் கட்டப்பட்ட முந்தைய அட்டவணைகளின் தழுவல் என்று வாதிட்டனர். பழங்காலத்தின் துல்லியமான அறிவியலின் அமெரிக்காவின் முன்னணி வரலாற்றாசிரியர்களில் ஒருவரான டேவிட் பிங்க்ரீ அத்தகைய கருத்தை முன்வைத்தவர் ஆவார். இந்தக் கருதுகோளைக் கருத்தில் கொண்டு, ஜி. ஜே. டூமர் எழுதுகிறார், "இந்தியாவில் கிரேக்க வானியல் மாதிரிகளின் ஆரம்ப வருகைக்கு அல்லது அந்த மாதிரிகள் எப்படி இருந்திருக்கும் என்பதற்கு எந்த ஆவணங்களும் இல்லை. எனவே, நம்மிடம் வந்திருப்பது எந்த அளவிற்கு பரிமாற்றப்பட்ட அறிவைக் குறிக்கிறது என்பதையும், இந்திய விஞ்ஞானிகளிடையே அசல் என்ன என்பதையும் கண்டறிவது மிகவும் கடினம். . உண்மை அநேகமாக இரண்டின் குழப்பமான கலவையாக இருக்கலாம் ". அட்டவணை நவீன குறியீடுகளில் ஆரியபதத்தின் சமஸ்கிருத வசனத்தில் குறியிடப்பட்ட மதிப்புகள் ஆரியபதியாவில் விளக்கப்பட்டுள்ள எண் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி குறியிடப்படலாம், மேலும் குறியிடப்பட்ட எண்கள் கீழே உள்ள அட்டவணையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. அட்டவணையில், ஆரியபதத்தின் சைன் அட்டவணைக்கு பொருத்தமான கோண அளவீடுகள் இரண்டாவது நெடுவரிசையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. மூன்றாவது நெடுவரிசையில் தேவநாகரி எழுத்தில் மேலே கொடுக்கப்பட்ட சமஸ்கிருத வசனத்தில் உள்ள எண்களின் பட்டியல் உள்ளது. தேவநாகரி வாசிக்க முடியாத பயனர்களின் வசதிக்காக, இந்த சொல் எண்கள் ஐஎஸ்ஓ 15919 லிப்யந்தரணத்தில் நான்காவது நெடுவரிசையில் மீண்டும் உருவாக்கப்படுகின்றன. அடுத்த நெடுவரிசையில் இந்த எண்கள் இந்து-அரபு எண்களில் உள்ளன. ஆரியபதத்தின் எண்கள் சைன்களின் மதிப்புகளில் முதல் வேறுபாடுகள். அந்த வேறுபாடு வரையிலான வேறுபாடுகளைச் சுருக்குவதன் மூலம் சைனின் (அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, ஜியாவின்) தொடர்புடைய மதிப்பைப் பெறலாம். எனவே 18°45′ உடன் தொடர்புடைய ஜியாவின் மதிப்பு 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105 ஆகும். ஆரியபதத்தின் கணக்கீடுகளின் துல்லியத்தை மதிப்பிடுவதற்கு, ஜியாவின் நவீன மதிப்புகள் அட்டவணையின் கடைசி நெடுவரிசையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இந்திய கணித பாரம்பரியத்தில், ஒரு கோணத்தின் சைன் (அல்லது ஜியா) என்பது எண்களின் விகிதம் அல்ல. இது ஒரு குறிப்பிட்ட வரி பிரிவின் நீளம், ஒரு குறிப்பிட்ட அரை வளையம். அடிப்படை வட்டத்தின் ஆரம் அத்தகைய அட்டவணைகளின் கட்டுமானத்திற்கான அடிப்படை அளவுருவாகும். வரலாற்று ரீதியாக, இந்த அளவுருவிற்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி பல அட்டவணைகள் கட்டப்பட்டுள்ளன. ஆரியபட்டா தனது சைன் அட்டவணையை கணக்கிடுவதற்கு அடிப்படை வட்டத்தின் ஆரத்தின் மதிப்பாக 3438 என்ற எண்ணைத் தேர்ந்தெடுத்துள்ளார். இந்த அளவுருவின் தேர்வின் பகுத்தறிவு என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவை கோண அளவுகளில் அளவிடுவதற்கான யோசனையாகும். வானியல் கணக்கீடுகளில் தூரங்கள் டிகிரி, நிமிடங்கள், வினாடிகள் போன்றவற்றில் அளவிடப்படுகின்றன. இந்த அளவீட்டில், ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு 360° = (60 × 360) நிமிடங்கள் = 21600 நிமிடங்கள் ஆகும். வட்டத்தின் ஆரம், அதன் சுற்றளவு அளவு 21600 நிமிடங்கள், இது 21600/2π நிமிடங்கள் ஆகும். ஆரியபட்டா அறியப்பட்ட π = 3.1416 மதிப்பைப் பயன்படுத்தி இதைக் கணக்கிடும்போது வட்டத்தின் ஆரம் தோராயமாக 3438 நிமிடங்கள் ஆகும். ஆரியபதத்தின் சைன் அட்டவணை அடிப்படை வட்டத்தின் ஆரத்திற்கான இந்த மதிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அடிப்படை ஆரத்திற்கு இந்த மதிப்பை முதன்முதலில் பயன்படுத்தியவர் யார் என்பது இன்னும் நிறுவப்படவில்லை. ஆனால் இந்த அடிப்படை மாறிலியைப் பற்றிய குறிப்பைக் கொண்ட மிகப் பழமையான உரை ஆரியபதியா ஆகும். ஆரியபதத்தின் கணக்கீட்டு முறை ஆரியபதத்தின் இரண்டாவது பிரிவு, கணிதபாத் என்ற தலைப்பில், சைன் அட்டவணையை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு முறையைக் குறிக்கும் ஒரு சரணத்தைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வசனத்தின் அர்த்தத்தை சரியாகப் புரிந்துகொள்வதில் பல தெளிவற்ற தன்மைகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, பின்வருபவை கட்ஸ் வழங்கிய வசனத்தின் மொழிபெயர்ப்பாகும், இதில் சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்கள் மொழிபெயர்ப்பாளரின் செருகல்களாகும், ஆனால் வசனத்தில் உள்ள நூல்களின் மொழிபெயர்ப்புகள் அல்ல. "இரண்டாவது பாதி-[நாண்] பகிர்வு முதல் அரை-வளையத்தை விட குறைவாக இருக்கும்போது, இது [தொடர்புடைய] வளைவுக்கு [தோராயமாக சமம்], ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு, மீதமுள்ள [சைன்-வேறுபாடுகள்] ஒவ்வொன்றும் [முந்தையவற்றை விட] குறைவாக இருக்கும் முதல் அரை-வளையத்தால் வகுக்கப்பட்ட அளவு". சைன் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சைன் செயல்பாட்டின் எதிர்மறைக்கு சமம் என்ற உண்மையை இது குறிக்கலாம். ..