Gopal Prasad
கோபால் பிரசாத் (ஜூலை 31,1945 அன்று இந்தியாவின் காசிப்பூரில் பிறந்தார்) ஒரு இந்திய-அமெரிக்க கணிதவியலாளர் ஆவார். அவரது ஆராய்ச்சி ஆர்வங்கள் லை குழுக்கள், அவற்றின் தனித்துவமான துணைக்குழுக்கள், இயற்கணித குழுக்கள், எண்கணித குழுக்கள், உள்ளூரில் சமச்சீர் இடைவெளிகளின் வடிவியல் மற்றும் குறைப்பு p-adic குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவ கோட்பாடு ஆகிய துறைகளில் பரவியுள்ளன. அவர் ஆன் ஆர்பரில் உள்ள மிச்சிகன் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதத்தின் ராவுல் பாட் பேராசிரியராக உள்ளார். கல்வி பிரசாத் 1963 ஆம் ஆண்டில் மகத் பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதத்தில் கௌரவத்துடன் இளங்கலை பட்டம் பெற்றார். இரண்டு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, 1965 ஆம் ஆண்டில், பாட்னா பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதத்தில் முதுகலைப் பட்டம் பெற்றார். இந்தியன் இன்ஸ்டிடியூட் ஆப் டெக்னாலஜி கான்பூரில் கணிதத்திற்கான முனைவர் பட்டப் படிப்பில் சிறிது காலம் தங்கிய பிறகு, பிரசாத் 1966 ஆம் ஆண்டில் டாடா இன்ஸ்டிடியூட் ஆஃப் ஃபண்டமெண்டல் ரிசர்ச்சில் (டிஐஎஃப்ஆர்) முனைவர் பட்டப் படிப்பில் நுழைந்தார். அங்கு அவர் தனது ஆலோசகர் எம். எஸ். ரகுநாதனுடன் அரை எளிய லை குழுக்களில் உள்ள லட்டிஸ்கள் ஆய்வு மற்றும் ஒற்றுமை துணைக் குழு சிக்கல் உள்ளிட்ட பல தலைப்புகளில் நீண்ட மற்றும் விரிவான ஒத்துழைப்பைத் தொடங்கினார். 1976இல் மும்பை பல்கலைக்கழகத்தில் முனைவர் பட்டம் பெற்றார். பிரசாத் 1979 இல் டி. ஐ. எஃப். ஆரில் இணை பேராசிரியராகவும், 1984 இல் பேராசிரியராகவும் ஆனார். 1992 ஆம் ஆண்டில் அவர் டி. ஐ. எஃப். ஆரை விட்டு வெளியேறி ஆன் ஆர்பரில் உள்ள மிச்சிகன் பல்கலைக்கழகத்தில் ஆசிரியராக சேர்ந்தார், அங்கு அவர் கணிதத்தின் ரவுல் பாட் எமரிட்டஸ் பேராசிரியராக உள்ளார். கோபால் பிரசாத்தின் பெற்றோர் ராம் கிருஷ்ண பிரசாத் மற்றும் லட்சுமி தேவி ஆவர். ராம் கிருஷ்ண பிரசாத் ஒரு சமூக சேவகர், பரோபகாரர், பிரிட்டிஷ் ஆட்சிக்கு எதிரான இந்திய சுதந்திரப் போராட்டத்தில் பங்கேற்றதற்காக ஆங்கிலேயர்களால் சிறையில் அடைக்கப்பட்டார். அந்தக் குடும்பம் சில்லறை விற்பனை மற்றும் மொத்த வணிகங்களில் ஈடுபட்டிருந்தது. 1969 ஆம் ஆண்டில், அவர் தியோரியாவைச் சேர்ந்த இந்து தேவியை (நீ பொடார்) மணந்தார். கோபால் பிரசாத் மற்றும் இந்து தேவிக்கு டி. இ. யில் நிர்வாக இயக்குநராக இருக்கும் அனூப் பிரசாத் என்ற மகன் உள்ளார். ஷா & கோ, மற்றும் எம்ஐடியில் நரம்பியல் பேராசிரியராக இருக்கும் ஒரு மகள் இலா ஃபீட் மற்றும் ஐந்து பேரக்குழந்தைகள். சேப்பல் ஹில்லில் உள்ள வட கரோலினா பல்கலைக்கழகத்தின் கணிதப் பேராசிரியரான ஷ்ரவன் குமார், ஆஸ்டினில் உள்ள டெக்சாஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் வானியற்பியல் பேராசிரியரான பவன் குமார் மற்றும் மும்பையில் உள்ள இந்திய தொழில்நுட்பக் கழகத்தின் கணிதப் பேராசிரியரான தீபேந்திர பிரசாத் ஆகியோர் அவரது இளைய சகோதரர்கள் ஆவர். கணிதத்தில் பிரசாத்தின் ஆரம்பகால படைப்புகளில் சில உண்மையான மற்றும் பி-அடிக் அரை-எளிய குழுக்களின் தனித்துவமான துணைக்குழுக்களில் இருந்தன. தரவரிசை 1 இன் உண்மையான அரை-எளிய குழுக்களில் லட்டிஸின் "வலுவான விறைப்புத்தன்மையை" அவர் நிரூபித்தார், மேலும் பி-அடிக் குழுக்களில் லட்டிஸின், பார்க்க [1] மற்றும் [2]. பின்னர் அவர் அரை எளிய இயற்கணித குழுக்களில் குழு-கோட்பாட்டு மற்றும் எண்கணித கேள்விகளை சமாளித்தார். உலகளாவிய செயல்பாட்டு புலங்களில் வெறுமனே இணைக்கப்பட்ட அரை-எளிய குழுக்களுக்கான "வலுவான தோராயமான" பண்புகளை அவர் நிரூபித்தார். பிரசாத் இந்த குழுக்களின் இடவியல் மைய விரிவாக்கங்களை தீர்மானித்து, எம். எஸ். ரகுநாதனுடன் இணைந்து ஐசோட்ரோபிக் குழுக்களுக்கான "மெட்டாப்லெக்டிக் கர்னலை" கணக்கிட்டார், பார்க்க [11], [12] மற்றும் [10]. பிரசாத் மற்றும் ரகுநாதன் ஆகியோர் நேசர்-டிட்ஸ் பிரச்சினையில் முடிவுகளைப் பெற்றுள்ளனர், [13]. பின்னர், ஆண்ட்ரே ராபின்சுக் உடன் இணைந்து, பிரசாத் அனைத்து இணைக்கப்பட்ட அரை-எளிய குழுக்களுக்கும் மெட்டாப்லெக்டிக் கர்னலின் துல்லியமான கணக்கீட்டை வழங்கினார், பார்க்கவும் [14]. 1987 ஆம் ஆண்டில், பிரசாத் அரை எளிய குழுக்களின் எஸ்-எண்கணித மேற்கோள்களின் தொகுதிக்கான ஒரு சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்தார், [4]. இந்த சூத்திரம் மற்றும் குறிப்பிட்ட எண் கோட்பாட்டு மற்றும் கலோயிஸ்-மதுபானவியல் மதிப்பீடுகளைப் பயன்படுத்தி, ஆர்மண்ட் போரெல் மற்றும் கோபால் பிரசாத் ஆகியோர் எண்கணிதக் குழுக்களைப் பற்றிய பல வரையறுக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளை நிரூபித்தனர், [6]. தொகுதி சூத்திரம், எண்-கோட்பாட்டு மற்றும் ப்ரூஹத்-டிட்ஸ் கோட்பாட்டு பரிசீலனைகளுடன் சேர்ந்து, கோபால் பிரசாத் மற்றும் சாய்-கீ யூங் ஆகியோரால், போலி ப்ரொஜெக்டிவ் விமானங்களை (மென்மையான ப்ரொஜெக்டிவ் சிக்கலான மேற்பரப்புகளின் கோட்பாட்டில்) 28 காலியாக இல்லாத வகுப்புகளாக வகைப்படுத்த வழிவகுத்தது [21] (மேலும் பார்க்கவும் [22] மற்றும் [23]). இந்த வகைப்பாடு, டொனால்ட் கார்ட்ரைட் மற்றும் டிம் ஸ்டீகர் ஆகியோரின் கணக்கீடுகளுடன் சேர்ந்து, போலி ப்ரொஜெக்டிவ் விமானங்களின் முழுமையான பட்டியலுக்கு வழிவகுத்தது. இந்த பட்டியலில் ஐசோமெட்ரி வரை (28 வகுப்புகளுக்கு இடையில் விநியோகிக்கப்படுகிறது) சரியாக 50 போலி ப்ரொஜெக்டிவ் பிளேன்கள் உள்ளன. இந்தப் படைப்பு போர்பாக்கி கருத்தரங்கில் விவாதப் பொருளாக இருந்தது. ஆலன் மோயுடன் குறைப்பு p-adic குழுக்களின் பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாட்டில் பிரசாத் பணியாற்றியுள்ளார். "மோய்-பிரசாத் வடிகட்டுதல்" என்று குறிப்பிடப்படும் பாராஹோரிக் துணைக்குழுக்களின் வடிகட்டுதல், பிரதிநிதித்துவக் கோட்பாடு மற்றும் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மோய் மற்றும் பிரசாத் இந்த வடிகட்டுதல்களையும் ப்ரூஹத்-டிட்ஸ் கோட்பாட்டையும் "சுத்திகரிக்கப்படாத குறைந்தபட்ச கே-வகைகள்" இருப்பதை நிரூபிக்கவும், பகுக்கமுடியாத ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய பிரதிநிதித்துவத்தின் "ஆழம்" என்ற கருத்தை வரையறுக்கவும், ஆழ பூஜ்ஜியத்தின் பிரதிநிதித்துவங்களின் வகைப்பாட்டை வழங்கவும் பயன்படுத்தினர், பார்க்கவும் [8] மற்றும் [9]. இந்த இரண்டு கட்டுரைகளிலும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட முடிவுகள் மற்றும் நுட்பங்கள் [8], [9] இந்தத் துறையில் தொடர்ச்சியான முக்கியமான முன்னேற்றங்களுக்கு உதவியது. ஆண்ட்ரே ராபின்சுக்குடன் இணைந்து, பிரசாத் அரை எளிய குழுக்களின் ஜாரிஸ்கி-அடர்த்தியான துணைக்குழுக்களை ஆய்வு செய்து, பல விரும்பத்தக்க பண்புகளைக் கொண்ட வழக்கமான அரை எளிய கூறுகளின் துணைக்குழுவில் இருப்பதை நிரூபித்துள்ளார், [15], [16]. இந்த கூறுகள் வடிவியல் மற்றும் எர்கோடிக் கோட்பாட்டு கேள்விகளின் விசாரணையில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. பிரசாத் மற்றும் ராபின்சுக் ஆகியோர் எண்கணித துணைக்குழுக்களின் "பலவீனமான-ஒப்புமை" பற்றிய ஒரு புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினர் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட அரை-எளிய குழுவில் எண்கணித குழுக்களின் "பலவீனமான-ஒப்புமை வகுப்புகளை" தீர்மானித்தனர். அவர்கள் தங்கள் முடிவுகளை பலவீனமான-சமச்சீர் மீது பயன்படுத்தி நீளம்-சமச்சீர் மற்றும் ஐசோஸ்பெக்ட்ரல் எண்கணித உள்ளூரில் சமச்சீர் இடைவெளிகளில் முடிவுகளைப் பெற்றனர், பார்க்க [17], [18] மற்றும் [19]. ஜியு-காங் யுவுடன் சேர்ந்து, பிரசாத் ஜி இன் ப்ரூஹத்-பில்டிங்கில் ஒரு குறைப்பு பி-அடிக் குழு ஜி இன் வரையறுக்கப்பட்ட தானியங்கிகளின் குழுவின் செயல்பாட்டின் கீழ் அமைக்கப்பட்ட நிலையான புள்ளியை ஆய்வு செய்துள்ளார், [24]. மற்றொரு கூட்டுப்பணியில், இது வடிவியல் லாங்லேண்ட்ஸ் திட்டத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது, பிரசாத் மற்றும் யூ ஒரு தனித்துவமான மதிப்பீட்டு வளையத்தின் (டி. வி. ஆர்) மீது அனைத்து அரை-குறைப்பு குழு திட்டங்களையும் தீர்மானித்தனர், [25]. பிரையன் கான்ராட் மற்றும் ஓஃபர் கேபர் ஆகியோருடன் இணைந்து, பிரசாத் போலி-குறைப்பு குழுக்களின் கட்டமைப்பை ஆய்வு செய்துள்ளார், மேலும் ஆர்மண்ட் போரெல் மற்றும் ஜாக் டிட்ஸ் ஆகியோரால் விரிவான சான்றுகள் இல்லாமல் அறிவிக்கப்பட்ட பொதுவான மென்மையான இணைக்கப்பட்ட நேரியல் இயற்கணித குழுக்களுக்கான இணை கோட்பாடுகளின் ஆதாரங்களையும் வழங்கியுள்ளார்; அவர்களின் ஆராய்ச்சி மோனோகிராஃப் [26] இவை அனைத்தையும் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது மோனோகிராஃப் [27] போலி-குறைப்பு குழுக்களின் முழுமையான வகைப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது, இதில் டிட்ஸ்-பாணி வகைப்பாடு மற்றும் பல சுவாரஸ்யமான எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. போலி-குறைப்பு குழுக்களின் வகைப்பாடு ஏற்கனவே பல பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. போலி-குறைப்பு குழுக்கள் குறித்த டிட்ஸ், கான்ராட்-கபர்-பிரசாத்தின் பணி குறித்து மார்ச் 2010 இல் ஒரு போர்பாக்கி கருத்தரங்கு நடைபெற்றது. பிரசாத் ப்ரூஹத்-டிட்ஸ் கோட்பாட்டில் [28] [29] தடையற்ற மற்றும் நேர்த்தியான விரிவாக்கப்பட்ட வம்சாவளிகளுக்கான புதிய முறைகளை உருவாக்கியுள்ளார். தாஷோ கலேதாவுடன் சேர்ந்து, அவர் சமீபத்தில் ப்ரூஹத்-டிட்ஸ் கோட்பாடு குறித்து ஒரு புத்தகத்தை [30] எழுதியுள்ளார், அதில் பல முடிவுகளுக்கு புதிய சான்றுகள் உள்ளன. ஹானர்ஸ் பிரசாத் குக்கென்ஹெய்ம் பெல்லோஷிப், ஹம்போல்ட் சீனியர் ரிசர்ச் விருது மற்றும் மிச்சிகன் பல்கலைக்கழகத்தில் ராவுல் பாட் பேராசிரியரைப் பெற்றுள்ளார். அவருக்கு சாந்தி ஸ்வரூப் பட்நாகர் பரிசு (இந்திய அரசின் அறிவியல் மற்றும் தொழில்துறை ஆராய்ச்சி கவுன்சில்) வழங்கப்பட்டது. இந்திய தேசிய அறிவியல் அகாடமியான இந்திய அறிவியல் அகாடமியில் பெல்லோஷிப்களைப் பெற்றுள்ளார். 1990இல் கியோட்டோவில் நடைபெற்ற கணிதவியலாளர்களின் சர்வதேச மாநாட்டில் பிரசாத் ஒரு அழைக்கப்பட்ட உரையை நிகழ்த்தினார். 2012 ஆம் ஆண்டில் அவர் அமெரிக்க கணித சங்கத்தின் உறுப்பினரானார். 2011 முதல் 2018 வரை இன்ஃபோசிஸ் பரிசின் கணித அறிவியல் நடுவர் குழுவில் பணியாற்றியுள்ளார். பிரசாத் ஒரு தசாப்தத்திற்கும் மேலாக மிச்சிகன் கணித இதழின் நிர்வாக ஆசிரியராகவும், ஆறு ஆண்டுகளாக கணிதத்தின் அன்னல்ஸ் இணை ஆசிரியராகவும் இருந்தார், மேலும் ஆசிய கணித இதழின் தொடக்கத்திலிருந்து அதன் ஆசிரியராகவும் உள்ளார். ..