Chakravala method
சக்ரவாலா முறை () என்பது பெல்லின் சமன்பாடு உட்பட தீர்மானிக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு சுழற்சி வழிமுறை ஆகும். இது பொதுவாக இரண்டாம் பாஸ்கரருக்கு (கி. பி. 1114-1185) காரணம் என்று கூறப்படுகிறது, இருப்பினும் சிலர் இதை ஜெயதேவருக்கு (கி. பி. 950 ~ 1000) காரணம் என்று கூறுகின்றனர். இந்த வகையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிரம்மகுப்தரின் அணுகுமுறையை பொதுமைப்படுத்த முடியும் என்று ஜெயதேவா சுட்டிக்காட்டினார், பின்னர் அவர் இந்த பொதுவான முறையை விவரித்தார், இது பின்னர் இரண்டாம் பாஸ்கராவால் அவரது பிஜகனிதா கட்டுரையில் சுத்திகரிக்கப்பட்டது. அவர் அதை சக்ரவாலா முறை என்று அழைத்தார்ஃ சக்ரா என்றால் சமஸ்கிருதத்தில் "சக்கரம்" என்று பொருள்படும், இது வழிமுறையின் சுழற்சி தன்மையைக் குறிக்கிறது. சி. ஓ. பாஸ்கரரின் காலத்திலோ அல்லது வெகு காலத்திற்குப் பிறகோ எந்த ஐரோப்பிய நிகழ்ச்சிகளும் அதன் கணிதச் சிக்கலின் அற்புதமான உச்சத்தை தாண்டவில்லை என்று செலினியஸ் கருதினார். இந்த முறை சுழற்சி முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் கணித தூண்டலின் தடயங்களைக் கொண்டுள்ளது. சமஸ்கிருதத்தில் சக்ரா என்றால் சுழற்சி என்று பொருள். பிரபலமான புராணத்தின் படி, ஒளி மற்றும் இருளால் வரையறுக்கப்படாத ஒரு சுவர் போல பூமியைச் சுற்றி வரும் மலைகளின் புராண வரம்பை சக்ரவாலா குறிப்பிடுகிறார். கிபி 628 இல் பிரம்மகுப்தர் குறைந்தபட்ச முழு எண்களான x மற்றும் y க்கான பெல்லின் சமன்பாடு உட்பட தீர்மானிக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகளை ஆய்வு செய்தார். பிரம்மகுப்தரால் அதை பல N க்கு தீர்க்க முடியும், ஆனால் அனைத்திற்கும் அல்ல. ஜெயதேவா (9 ஆம் நூற்றாண்டு) மற்றும் பாஸ்கரா (12 ஆம் நூற்றாண்டு) சமன்பாட்டிற்கான முதல் முழுமையான தீர்வை வழங்கினர், சக்ரவாலா முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வைக் கண்டறிந்தனர். இந்த வழக்கு அதன் சிரமத்திற்கு பெயர் பெற்றது, மேலும் ஃபெர்மாட்டின் சவாலுக்கு பதிலளிக்கும் வகையில் ஐரோப்பாவில் முதன்முதலில் ப்ரான்கரால் 1657-58 இல் தீர்க்கப்பட்டது, தொடர்ச்சியான பின்னங்களைப் பயன்படுத்தி. பொதுவான சிக்கலுக்கான ஒரு முறை முதன்முதலில் 1766 ஆம் ஆண்டில் லாக்ராஞ்சால் முழுமையாக விவரிக்கப்பட்டது. இருப்பினும், லாக்ராஞ்சின் முறைக்கு 61 இன் வர்க்கமூலத்திற்கு தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் 21 தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட வேண்டும், அதே நேரத்தில் சக்கரவாலா முறை மிகவும் எளிமையானது. செலினியஸ், சக்கரவாலா முறையைப் பற்றிய தனது மதிப்பீட்டில், "இந்த முறை குறைந்தபட்ச நீளத்தின் சிறந்த தோராயமான வழிமுறையைக் குறிக்கிறது, இது பல குறைப்பு பண்புகள் காரணமாக, குறைந்தபட்ச முயற்சியுடன் மற்றும் அதிக எண்ணிக்கையைத் தவிர்ப்பதன் மூலம் தானாகவே சமன்பாட்டிற்கு சிறந்த தீர்வுகளை உருவாக்குகிறது. சக்ரவாலா முறை ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக ஐரோப்பிய முறைகளை முன்னறிவித்தது. ஆனால் இயற்கணிதத்தின் முழு துறையிலும் பாஸ்கரின் செயல்திறனை விட மிகவும் பிந்தைய காலத்தில் எந்த ஐரோப்பிய செயல்திறனும் இல்லை, நமது காலத்திற்கு கிட்டத்தட்ட சமமாக இல்லை, இது சக்கரவாலாவின் அற்புதமான சிக்கலான மற்றும் புத்தி கூர்மைக்கு சமமாக இருந்தது ". ஹெர்மன் ஹான்கெல் சக்கரவாலா முறையை "லாக்ராஞ்சிற்கு முந்தைய எண்களின் கோட்பாட்டில் அடையப்பட்ட மிகச்சிறந்த விஷயம்" என்று அழைக்கிறார். முறை பிரம்மகுப்தரின் அடையாளத்திலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட N க்கு, சமன்பாட்டிற்கு, இது இரண்டு தீர்வு மூன்று மடங்குகளின் "கலவை" (சமசா) மற்றும் ஒரு புதிய மூன்று மடங்காக அனுமதிக்கிறது என்பதை நாம் கவனிக்கிறோம் பொதுவான முறையில், எந்த மூன்று (அதாவது, திருப்தி அளிக்கும் ஒன்று) எந்த m க்கும் புதிய மூன்று மடங்கைப் பெற அற்பமான மூன்று மடங்குடன் இயற்றப்படலாம். இது k ஆல் அளவிடப்படலாம் (இது பாஸ்கரின் லெம்மா): சதுரங்களுக்குள் உள்ள அறிகுறிகள் ஒரு பொருட்டல்ல என்பதால், பின்வரும் மாற்றீடுகள் சாத்தியமாகும்ஃ ஒரு நேர்மறை முழு எண் m ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது (a + bm)/k ஒரு முழு எண், எனவே மற்றவை. அத்தகைய m இல், முறை m2−N இன் முழுமையான மதிப்பைக் குறைக்கும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறது, எனவே (m2−N)/k இன். பின்னர் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மதிப்புக்கு சமமான m க்கு மாற்று உறவுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக ஒரு புதிய மும்மடங்கு (a, b, k) உருவாகிறது. மூன்று முறை கண்டுபிடிக்கப்படும் வரை இந்த செயல்முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. இந்த முறை எப்போதும் ஒரு தீர்வுடன் முடிவடைகிறது (1768 இல் லாக்ராஞ்சால் நிரூபிக்கப்பட்டது). விருப்பப்படி, k என்பது ±1, ±2, அல்லது ±4 ஆக இருக்கும்போது நாம் நிறுத்தலாம், ஏனெனில் பிரம்மகுப்தரின் அணுகுமுறை அந்த நிகழ்வுகளுக்கு ஒரு தீர்வை வழங்குகிறது. பிரம்மகுப்தரின் கலவை முறை கிபி 628 இல், பிரம்மகுப்தர் k என்பது ±1, ±2, அல்லது ±4 ஆக இருக்கும்போது அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கும் கொடுக்கப்படுவதற்கும் ஒரு பொதுவான வழியைக் கண்டுபிடித்தார். k = ±1 பிரம்மகுப்தரின் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி மும்மூர்த்தியை அதனுடன் இணைத்துக் கொள்ளலாம்ஃ புதிய மும்மூர்த்தியை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தலாம். மாற்றீடு ஒரு தீர்வைத் தருகிறதுஃ ஏனென்றால், அசல் ஏற்கனவே ஒரு தீர்வாக இருந்தது. மீண்டும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, மாற்றீடு, மாற்றீடு, k = 4 சமன்பாட்டிற்குள் மாற்றுவது மூன்று மடங்குகளை உருவாக்குகிறது. சமமாக இருந்தால் இது ஒரு தீர்வாகும்ஃ a ஒற்றைப்படை என்றால், சமன்பாடுகளுடன் தொடங்குங்கள் மற்றும். முக்கோணங்களுக்கு வழிவகுக்கிறது மற்றும். முக்கோணங்களை இயற்றுவது ஒற்றைப்படை என்றால், k =-4 போது, பின்னர். தன்னுடன் இணைத்துக் கொண்டால் விளைச்சல் கிடைக்கும். இறுதியாக, முந்தைய சமன்பாடுகளிலிருந்து, முக்கோணங்களை உருவாக்கவும், பெறவும். இது நமக்கு தீர்வுகளைத் தருகிறது (குறிப்பு, பெல்லின் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஆனால் இது எப்போதும் மிகச்சிறிய முழு எண் ஜோடி அல்ல. எ. கா. . சமன்பாடு உங்களுக்குக் கொடுக்கும், இது பெல்லின் சமன்பாடு விளைச்சலில் வைக்கப்படும்போது, அது வேலை செய்கிறது, ஆனால் அவ்வாறு செய்கிறது. எடுத்துக்காட்டுகள் n = 61 பல நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு ஃபெர்மாட் ஒரு சவாலாக வெளியிட்ட n = 61 வழக்கு (திருப்திகரமான ஒரு முழு எண் தீர்வை தீர்மானிப்பது), பாஸ்கராவால் ஒரு எடுத்துக்காட்டாக வழங்கப்பட்டது. எந்த வகையிலும் காணப்படும் எந்தவொரு k க்கும் ஒரு தீர்வுடன் தொடங்குகிறோம். இந்த விஷயத்தில் நாம் b ஐ 1 ஆக இருக்க அனுமதிக்கலாம், எனவே, நம்மிடம் மூன்று மடங்கு உள்ளது. இதை இயற்றுவது மூன்று மடங்கைக் கொடுக்கிறது, இது கீழே அளவிடப்படுகிறது (அல்லது பாஸ்கரின் லெம்மா நேரடியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது): 3 ஐப் பிரிப்பதற்கும் குறைந்தபட்சமாக இருப்பதற்கும், நாம் தேர்வு செய்கிறோம், இதனால் நம்மிடம் மூன்று மடங்கு உள்ளது. இப்போது k என்பது −4 ஆக இருப்பதால், பிரம்மகுப்தரின் யோசனையை நாம் பயன்படுத்தலாம்ஃ அதை பகுத்தறிவு தீர்வுக்கு அளவிட முடியும், இது முறையே மூன்று முறை தன்னைக் கொண்டு உருவாக்கப்பட்டது, k சதுரமாக மாறும் போது மற்றும் அளவீட்டைப் பயன்படுத்தலாம், இது கொடுக்கிறது. இறுதியாக, தீர்வு காணப்படும் வரை அத்தகைய செயல்முறையை மீண்டும் செய்யலாம் (9 கூடுதல் சுய கலவைகள் மற்றும் 4 கூடுதல் சதுர அளவீடுகள் தேவை): இது குறைந்தபட்ச முழு எண் தீர்வு. n = 67 நாம் x மற்றும் y க்கு தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எந்த வகையிலும் காணப்படும் எந்தவொரு k க்கும் ஒரு தீர்வுடன் தொடங்குகிறோம்; இந்த விஷயத்தில் நாம் b ஐ 1 ஆக இருக்க அனுமதிக்கலாம், இதனால் உற்பத்தி செய்யப்படுகிறது. ஒவ்வொரு படிநிலையிலும், k என்பது a + bm ஐ வகுக்கும் ஒரு m> 0 ஐக் காண்கிறோம், மேலும் |m2 −67 | குறைந்தபட்சம். பின்னர் நாம் a, b, மற்றும் k ஐ முறையே புதுப்பிக்கிறோம். முதல் மறு செய்கை நம்மிடம் உள்ளது. k என்பது a + bm ஐ வகுக்கும் ஒரு நேர்மறை முழு எண் m ஐ நாம் விரும்புகிறோம், அதாவது. 3 என்பது 8 + m ஐ வகுக்கிறது, மேலும் |m2 −67 | என்பது குறைந்தபட்சம். முதல் நிபந்தனை m என்பது 3t + 1 (அதாவது. 1, 4, 7, 10, போன்றவை. ), மற்றும் அத்தகைய m இல், m = 7 க்கு குறைந்தபட்ச மதிப்பு அடையப்படுகிறது. (a, b, k) உடன் மாற்றுவதன் மூலம், புதிய மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம். அதாவது, எங்களிடம் புதிய தீர்வு உள்ளதுஃ இந்த கட்டத்தில், சுழற்சி வழிமுறையின் ஒரு சுற்று முடிந்தது. இரண்டாவது மறு செய்கை நாம் இப்போது செயல்முறையை மீண்டும் செய்கிறோம். எங்களிடம் உள்ளது. k என்பது a + bm ஐ வகுக்கும் வகையில் m> 0 வேண்டும், அதாவது. 6 என்பது 41 + 5 மீட்டரை வகுக்கிறது, மேலும் |m2 −67 | என்பது குறைந்தபட்சம். முதல் நிபந்தனை m என்பது 6t + 5 (அதாவது. 5, 11, 17, முதலியன. ), மற்றும் அத்தகைய m இல், |m2 −67 | என்பது m = 5 க்கு குறைந்தபட்சமாகும். இது புதிய தீர்வுக்கு வழிவகுக்கிறது a = (41 ⋅ 5 + 67 ⋅ 5)/6, போன்றவை. : மூன்றாவது மறு செய்கை 7 90 + 11 மீ ஐ வகுக்க, நாம் m = 2 + 7t (அதாவது. 2, 9, 16, முதலியன) அத்தகைய m இல், நாம் m = 9 ஐத் தேர்ந்தெடுப்போம். இறுதி தீர்வு இந்த கட்டத்தில், நாம் சுழற்சி முறையைத் தொடரலாம் (அது ஏழு மறு செய்கைகளுக்குப் பிறகு முடிவடையும்), ஆனால் வலது புறம் ±1, ±2, ±4 இடையே இருப்பதால், பிரம்மகுப்தரின் அவதானிப்பையும் நேரடியாகப் பயன்படுத்தலாம். மும்மூர்த்தியை (221,27, −2) அதனுடன் இணைத்தால், நாம் பெறுகிறோம், அதாவது, நம்மிடம் முழு எண் தீர்வு உள்ளதுஃ இந்த சமன்பாடு சுமார் ஒரு விளிம்பிற்குள் தோராயமாக உள்ளது. ..