The Story of Maths
தி ஸ்டோரி ஆஃப் மேத்ஸ் என்பது கணித வரலாற்றின் அம்சங்களை கோடிட்டுக் காட்டும் நான்கு பகுதிகளைக் கொண்ட பிரிட்டிஷ் தொலைக்காட்சி தொடராகும். இது ஓபன் யுனிவர்சிட்டி மற்றும் பிபிசி இடையேயான கூட்டுத் தயாரிப்பாகும், இது அக்டோபர் 2008 இல் பிபிசி ஃபோர் இல் ஒளிபரப்பப்பட்டது. இந்த பொருள் ஆக்ஸ்போர்டு பல்கலைக்கழக பேராசிரியர் மார்கஸ் டு சௌட்டாய் என்பவரால் எழுதப்பட்டு வழங்கப்பட்டது. திறந்த பல்கலைக்கழக கல்வியாளர்கள் ராபின் வில்சன், பேராசிரியர் ஜெர்மி கிரே மற்றும் ஜூன் பாரோ-கிரீன் ஆகியோர் ஆலோசகர்களாக இருந்தனர். கிம் டியூக் தொடர் தயாரிப்பாளராகப் பாராட்டப்படுகிறார். இந்தத் தொடரில் முறையே நான்கு நிகழ்ச்சிகள் இருந்தனஃ பிரபஞ்சத்தின் மொழி; கிழக்கின் மேதை; விண்வெளியின் எல்லைகள்; மற்றும் முடிவிலி மற்றும் அப்பால். பூஜ்ஜியத்தின் கண்டுபிடிப்பு மற்றும் நிரூபிக்கப்படாத ரீமன் கருதுகோள் போன்ற பாடங்களை உள்ளடக்கிய கணிதத்தின் வளர்ச்சியை டு சௌட்டாய் ஆவணப்படுத்துகிறார், இது 150 ஆண்டுகள் பழமையான ஒரு சிக்கலாகும், அதன் தீர்வுக்காக களிமண் கணித நிறுவனம் $1,000,000 பரிசை வழங்கியுள்ளது. அவர் பாடத்தின் வரலாறு மற்றும் புவியியல் மூலம் பார்வையாளர்களை அழைத்துச் செல்கிறார். அவர் முக்கிய கணிதக் கருத்துக்களின் வளர்ச்சியை ஆராய்ந்து, கணிதக் கருத்துக்கள் உலகின் அறிவியல், தொழில்நுட்பம் மற்றும் கலாச்சாரத்தை எவ்வாறு ஆதரிக்கின்றன என்பதைக் காட்டுகிறது. அவர் பண்டைய எகிப்தில் தனது பயணத்தைத் தொடங்கி, தற்போதைய கணிதத்தைப் பார்த்து அதை முடிக்கிறார். இதற்கிடையில் அவர் பாபிலோன், கிரீஸ், இந்தியா, சீனா மற்றும் இடைக்கால மத்திய கிழக்கு வழியாக பயணம் செய்கிறார். அவர் ஐரோப்பாவிலும் பின்னர் அமெரிக்காவிலும் கணிதத்தைப் பார்த்து, பல சிறந்த கணிதவியலாளர்களின் வாழ்க்கைக்குள் பார்வையாளர்களை அழைத்துச் செல்கிறார். "பிரபஞ்சத்தின் மொழி" என்ற இந்த தொடக்க நிகழ்ச்சியில், பண்டைய எகிப்து, மெசொப்பொத்தேமியா மற்றும் கிரேக்கத்தின் கணிதத்தைப் பார்ப்பதற்கு முன்பு, நமது வாழ்க்கையில் கணிதம் எவ்வளவு முக்கியமானது மற்றும் அடிப்படை என்பதை மார்கஸ் டு சௌட்டாய் பார்க்கிறார். டூ சௌட்டாய் எகிப்தில் தொடங்குகிறது, அங்கு பருவங்களின் வடிவங்களைப் பதிவுசெய்கிறது, குறிப்பாக நைல் ஆற்றின் வெள்ளம் அவர்களின் பொருளாதாரத்திற்கு இன்றியமையாதது. வரிவிதிப்பு நோக்கங்களுக்காக நிலப்பரப்பு போன்ற நடைமுறை சிக்கல்களை தீர்க்க வேண்டிய அவசியம் இருந்தது. டூ சௌட்டாய் கைகளில் உள்ள விரல்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு தசம அமைப்பின் பயன்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார், இது பெருக்கம் மற்றும் பிரிவிற்கான அசாதாரண முறையாகும். அவர் ரைண்ட் பாப்பிரஸ், மாஸ்கோ பாப்பிரஸ் ஆகியவற்றை ஆராய்ந்து, பைனரி எண்கள், பின்னங்கள் மற்றும் திட வடிவங்கள் பற்றிய அவர்களின் புரிதலை ஆராய்கிறார். பின்னர் அவர் பாபிலோனுக்குச் சென்று, இன்று நாம் நேரத்தைச் சொல்லும் விதம் பாபிலோனிய 60 அடிப்படை எண் முறையை அடிப்படையாகக் கொண்டது என்பதைக் கண்டுபிடித்தார். எனவே பாபிலோனியர்கள் காரணமாக நமக்கு ஒரு நிமிடத்தில் 60 விநாடிகளும், ஒரு மணி நேரத்தில் 60 நிமிடங்களும் உள்ளன. பாபிலோனியர்கள் தங்கள் நிலத்தை அளவிடுவதற்கு இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு பயன்படுத்தினர் என்பதை அவர் பின்னர் காட்டுகிறார். அவர் பிளிம்ப்டன் 322 பற்றி சுருக்கமாக விவரிக்கிறார். பண்டைய கிரேக்க கணிதத்தின் தாயகமான கிரீஸில், பித்தாகரஸ், பிளேட்டோ, யூக்ளிட் மற்றும் ஆர்க்கிமிடீஸ் உள்ளிட்ட அதன் மிகச்சிறந்த மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட கணிதவியலாளர்களின் பங்களிப்புகளை அவர் பார்க்கிறார், அவர்கள் கணிதத்தை ஒரு கருவியில் இருந்து இன்று நமக்குத் தெரிந்த பகுப்பாய்வு பாடமாக மாற்றுவதற்கான பெருமையைப் பெற்ற சிலர். ஒரு சர்ச்சைக்குரிய நபராக, பித்தகோரஸின் போதனைகள் சந்தேகத்திற்குரியதாகக் கருதப்பட்டன, மேலும் அவரைப் பின்பற்றுபவர்கள் சமூக வெளியேற்றப்பட்டவர்களாகவும், விதிமுறைப்படி இல்லாமல் சற்று விசித்திரமாகவும் கருதப்பட்டனர். அவரது ஆதரவாளர்களில் ஒருவரான ஹிப்பாசஸ், பகுத்தறிவற்ற எண்களைக் கண்டுபிடித்ததாக அறிவித்தபோது நீரில் மூழ்கினார் என்று ஒரு புராணக்கதை சுற்றி வருகிறது. வலது கோண முக்கோணங்களின் பண்புகள் குறித்த அவரது பணியுடன், பித்தாகரஸ் இசைக் கருவிகளைக் கவனித்த பிறகு மற்றொரு முக்கியமான கோட்பாட்டை உருவாக்கினார். இணக்கமான இசைக் குறிப்புகளுக்கு இடையிலான இடைவெளிகள் எப்போதும் முழு எண்ணிக்கையிலான இடைவெளிகளில் இருக்கும் என்பதை அவர் கண்டுபிடித்தார். இது அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் ஹைபாடியாவை சுருக்கமாக விவரிக்கிறது. "கிழக்கின் மேதை" பண்டைய கிரேக்கத்தின் வீழ்ச்சியுடன், ஐரோப்பாவில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி தேக்கமடைந்தது. இருப்பினும் கணிதத்தின் முன்னேற்றம் கிழக்கில் தொடர்ந்தது. பொறியியல் திட்டங்களில் சீன கணிதத்தின் பயன்பாடு மற்றும் எண்களின் மாய சக்திகள் மீதான அவர்களின் நம்பிக்கை ஆகிய இரண்டையும் டு சௌட்டாய் விவரிக்கிறார். அவர் கின் ஜியஷாவோவைப் பற்றி குறிப்பிடுகிறார். இந்திய கணிதவியலாளர்களின் முக்கோணவியல் கண்டுபிடிப்பை அவர் விவரிக்கிறார்; பூஜ்ஜிய எண்ணுக்கான ஒரு சின்னத்தை அவர்கள் அறிமுகப்படுத்தியது மற்றும் முடிவிலி மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் புதிய கருத்துக்களுக்கு அவர்கள் அளித்த பங்களிப்பு. இது குவாலியர் கோட்டையைக் காட்டுகிறது, அதன் சுவர்களில் பூஜ்ஜியம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. இது பூஜ்ஜியம் என்ற விஷயத்தில் பிரம்மகுப்தர் மற்றும் இரண்டாம் பாஸ்கராவின் படைப்புகளைக் குறிப்பிடுகிறது. அவர் சங்கமகிராமம் மற்றும் ஆரியபதத்தின் மாதவாவைப் பற்றி குறிப்பிடுகிறார், மேலும் π (பை) ஐக் கணக்கிடுவதற்கான வரலாற்று ரீதியாக முதல் துல்லியமான சூத்திரத்தை விளக்குகிறார். டு சௌட்டாய் பின்னர் மத்திய கிழக்கைக் கருத்தில் கொள்கிறார்ஃ இயற்கணிதத்தின் புதிய மொழியின் கண்டுபிடிப்பு மற்றும் கன சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வின் பரிணாமம். அவர் முஹம்மது இப்னு மூசா அல்-க்வாரிஸ்மியுடன் ஹவுஸ் ஆஃப் விஸ்டம் பற்றி பேசுகிறார், மேலும் அவர் அல்-கரோயின் பல்கலைக்கழகத்திற்கு வருகை தருகிறார். அவர் உமர் கயாம் பற்றி குறிப்பிடுகிறார். இறுதியாக அவர் ஃபிபோனாச்சி வரிசைக்கு புகழ்பெற்ற லியோனார்டோ ஃபிபோனாச்சி போன்ற கணிதவியலாளர்கள் மூலம் மேற்கத்திய அறிவு பரவுவதை ஆராய்கிறார். அவர் நிக்கோலோ ஃபோன்டானா டார்டாக்லியாவைக் குறிப்பிடுகிறார். பதினேழாம் நூற்றாண்டிலிருந்து, ஐரோப்பா மத்திய கிழக்கிற்கு பதிலாக கணிதக் கருத்துக்களின் இயந்திர வீடாக மாறியது. கணிதவியலாளரும் கலைஞருமான பியெரோ டெல்லா பிரான்செஸ்காவின் தி ஃபிளாஜிலேஷன் ஆஃப் கிறிஸ்துவைப் பயன்படுத்தி முன்னோக்கை அறிமுகப்படுத்த டு சௌட்டாய் உர்பினோவுக்கு வருகை தருகிறார். வளைந்த கோடுகளை சமன்பாடுகளாக விவரிக்க முடியும், இதனால் இயற்கணிதத்தையும் வடிவவியலையும் இணைக்க முடியும் என்பதை ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ் உணர்ந்ததை டு சௌட்டாய் விவரிக்கிறார். அவர் டெஸ்கார்ட்ஸைப் பற்றி ஹெங்க் ஜே. எம். போஸுடன் பேசுகிறார். பியர் டி ஃபெர்மாட்டின் கோட்பாடுகளில் ஒன்று இப்போது இணையத்தில் கிரெடிட் கார்டு பரிவர்த்தனைகளைப் பாதுகாக்கும் குறியீடுகளுக்கு அடிப்படையாக உள்ளது என்பதை அவர் காட்டுகிறார். பொறியியலில் நகரும் பொருட்களின் நடத்தையைப் புரிந்துகொள்ள ஐசக் நியூட்டனின் கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் வளர்ச்சியை அவர் விவரிக்கிறார். அவர் லீப்னிஸ் மற்றும் நியூட்டன் கால்குலஸ் சர்ச்சை மற்றும் பெர்னௌலி குடும்பத்தை உள்ளடக்கியுள்ளார். இடவியலின் தந்தை லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் மற்றும் சமன்பாடுகளைக் கையாள்வதற்கான ஒரு புதிய வழியான மாடுலர் எண்கணிதத்தை காஸ் கண்டுபிடித்ததை அவர் மேலும் உள்ளடக்குகிறார். அவர் ஜானோஸ் போல்யாயைப் பற்றி குறிப்பிடுகிறார். பகா எண்கள் எவ்வாறு விநியோகிக்கப்படுகின்றன என்பதைப் பற்றிய நமது புரிதலுக்கு காஸின் மேலும் பங்களிப்பு உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் பகா எண்கள் குறித்த பெர்ன்ஹார்ட் ரீமானின் கோட்பாடுகளுக்கு ஒரு தளத்தை வழங்குகிறது. கூடுதலாக, ரீமன் பொருட்களின் பண்புகளில் பணியாற்றினார், அவை பல பரிமாண இடைவெளியில் இருக்கக்கூடிய பன்மடங்கு என்று அவர் கண்டார். ஹில்பர்ட்டின் முதல் சிக்கலான "டூ இன்ஃபினிட்டி அண்ட் பியாண்ட்" இறுதி அத்தியாயம் 20 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதவியலாளர்களை எதிர்கொண்ட பெரிய தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களைக் கருதுகிறது. ஆகஸ்ட் 8,1900 அன்று டேவிட் ஹில்பர்ட் பாரிஸில் நடந்த சர்வதேச கணிதவியலாளர்களின் மாநாட்டில் ஒரு வரலாற்று உரையை நிகழ்த்தினார். ஹில்பர்ட் கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத இருபத்தி மூன்று சிக்கல்களை முன்வைத்தார், அவை மிகவும் உடனடி முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை என்று அவர் நம்பினார். 20 ஆம் வகுப்பு கணிதத்திற்கான நிகழ்ச்சி நிரலை அமைப்பதில் ஹில்பர்ட் வெற்றி பெற்றார், மேலும் இந்த திட்டம் ஹில்பர்ட்டின் முதல் சிக்கலுடன் தொடங்கியது. 1, 2, 3. φ என்ற முழு எண்களின் எல்லையற்ற தொகுப்பை ஜார்ஜ் கேன்டர் கருதினார், இதை அவர் 10,20,30. φ என்ற சிறிய எண்களின் தொகுப்புடன் ஒப்பிட்டார். இந்த இரண்டு எல்லையற்ற எண்களின் தொகுப்புகளும் உண்மையில் ஒவ்வொரு எண்ணையும் இணைக்க முடியும் அதே அளவைக் கொண்டுள்ளன என்பதை கேன்டர் காட்டினார்; 1-10,2-20,3-30 போன்றவை. பின்னங்கள் இப்போது கருதப்பட்டால், இரண்டு முழு எண்களில் ஏதேனும் ஒன்றுக்கு இடையில் எண்ணற்ற பின்னங்கள் உள்ளன, இது பின்னங்களின் முடிவிலி முழு எண்களின் முடிவிலியை விட பெரியது என்பதைக் குறிக்கிறது. ஆயினும்கூட கேன்டரால் அத்தகைய ஒவ்வொரு பின்னத்தையும் ஒரு முழு எண்ணுடன் இணைக்க முடிந்தது 1-1/1; 2-2/1; 3-1/2. போன்றவை. மூலம்; அதாவது. பின்னங்கள் மற்றும் முழு எண்களின் முடிவிலிகள் இரண்டும் ஒரே அளவைக் கொண்டுள்ளன என்று காட்டப்பட்டது. ஆனால் அனைத்து எல்லையற்ற தசம எண்களின் தொகுப்பும் பரிசீலிக்கப்பட்டபோது, இது ஒரு பெரிய முடிவிலியை உருவாக்கியது என்பதை கான்டரால் நிரூபிக்க முடிந்தது. ஏனென்றால், அத்தகைய பட்டியலை உருவாக்க ஒருவர் எப்படி முயற்சித்தாலும், அந்த பட்டியலில் இருந்து காணாமல் போன ஒரு புதிய தசம எண்ணை கேன்டரால் வழங்க முடிந்தது. இவ்வாறு அவர் வெவ்வேறு முடிவிலிகள் இருப்பதைக் காட்டினார், சில மற்றவர்களை விட பெரியவை. இருப்பினும், கேன்டரால் தீர்க்க முடியாத ஒரு சிக்கல் இருந்ததுஃ அனைத்து பின்னங்களின் சிறிய முடிவிலிக்கும் தசமங்களின் பெரிய முடிவிலிக்கும் இடையில் ஒரு முடிவிலி அமர்ந்திருக்கிறதா? கான்டின்ம் கருதுகோள் என்று அறியப்பட்டவற்றில், அத்தகைய தொகுப்பு இல்லை என்று கான்டார் நம்பினார். ஹில்பர்ட் பட்டியலிட்ட முதல் சிக்கல் இதுவாகும். அடுத்த மார்கஸ் 'பெண்டி வடிவியல்' துறையில் ஹென்றி பாயின்கேரின் பணியைப் பற்றி விவாதிக்கிறார். இரண்டு வடிவங்களை ஒருவருக்கொருவர் வடிவமைக்கவோ அல்லது மாற்றியமைக்கவோ முடிந்தால், அவை ஒரே இடவியல் கொண்டவை. பாயின்கேர் சாத்தியமான அனைத்து இரு பரிமாண இடவியல் மேற்பரப்புகளையும் அடையாளம் காண முடிந்தது; இருப்பினும் 1904 ஆம் ஆண்டில் அவர் ஒரு இடவியல் சிக்கலை கொண்டு வந்தார், பாயின்கேர் அனுமானம், அவரால் தீர்க்க முடியவில்லை; அதாவது ஒரு 3D பிரபஞ்சத்திற்கு சாத்தியமான அனைத்து வடிவங்களும் என்ன. திட்டத்தின் படி, 2002 ஆம் ஆண்டில் கிரிகோரி பெரல்மேன் இந்த கேள்வியைத் தீர்த்தார், அவர் இந்த சிக்கலை கணிதத்தின் வேறு பகுதியுடன் இணைத்தார். பெரல்மேன் வடிவத்தின் மீது விஷயங்கள் பாயும் விதத்தின் இயக்கவியலைப் பார்த்தார். இது 3டி இடத்தை அதிக பரிமாணங்களில் மூடுவதற்கான அனைத்து வழிகளையும் கண்டுபிடிக்க அவருக்கு உதவியது. டேவிட் ஹில்பர்ட்டின் சாதனைகள் இப்போது பரிசீலிக்கப்பட்டன. ஹில்பர்ட்டின் சிக்கல்கள், ஹில்பர்ட் இடம், ஹில்பர்ட் வகைப்பாடு மற்றும் ஹில்பர்ட் சமத்துவமின்மை ஆகியவற்றுடன் கூடுதலாக, டு சௌட்டாய் ஹில்பர்ட்டின் சமன்பாடுகள் குறித்த ஆரம்பகால படைப்புகளை எடுத்துக்காட்டுகிறது, அவரை புதிய வழிகளில் சிந்திக்கக்கூடிய ஒரு கணிதவியலாளராகக் குறிக்கிறது. சமன்பாடுகளின் முடிவிலி இருந்தபோதிலும், இந்த சமன்பாடுகளை செட் போன்ற வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான கட்டுமானத் தொகுதிகளிலிருந்து கட்டமைக்க முடியும் என்பதை ஹில்பர்ட் காட்டினார். ஹில்பர்ட் அந்த தொகுப்புகளின் பட்டியலை உருவாக்க முடியவில்லை; அது இருந்தது என்பதை அவர் வெறுமனே நிரூபித்தார். உண்மையில் ஹில்பர்ட் கணிதத்தின் ஒரு புதிய சுருக்கமான பாணியை உருவாக்கினார். ஹில்பர்ட்டின் இரண்டாவது சிக்கல் 30 ஆண்டுகளாக ஹில்பர்ட், கணிதம் என்பது அனைத்து உண்மைகளையும் திறந்து, தனது 23 சிக்கல்களில் ஒவ்வொன்றையும் தீர்க்கும் அளவுக்கு சக்திவாய்ந்த உலகளாவிய மொழி என்று நம்பினார். ஆயினும்கூட, ஹில்பர்ட் கூறியது போல் நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், நமக்குத் தெரியும், கர்ட் கோடல் இந்த நம்பிக்கையை சிதைத்துவிட்டார்; ஹில்பர்ட்டின் இரண்டாவது சிக்கலைப் பற்றிய தனது ஆய்வின் அடிப்படையில் அவர் முழுமையற்ற தேற்றத்தை வகுத்திருந்தார்ஃ இந்த அறிக்கையை நிரூபிக்க முடியாது பகா எண்களை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, கோடல் மேலே உள்ளதை எண்கணிதத்தின் தூய அறிக்கையாக மாற்ற முடிந்தது. தர்க்கரீதியாக, மேற்கூறியவை பொய்யானவை அல்ல, எனவே கோடல் கணித அறிக்கைகள் இருப்பதை கண்டுபிடித்தார், அவை உண்மை ஆனால் நிரூபிக்க முடியாதவை. 1950 களில் அமெரிக்க கணிதவியலாளர் பால் கோஹன் கான்டரின் கான்டினியம் ஹைபோதீசிஸின் சவாலை எடுத்துக் கொண்டார், இது "முழு எண்களின் தொகுப்பை விட பெரிய ஆனால் அனைத்து தசமங்களின் தொகுப்பை விட சிறிய எண்ணற்ற தொகுப்பு இருக்கிறதா இல்லையா" என்று கேட்கிறது. கோஹன் இரண்டு சமமான நிலையான கணித உலகங்கள் இருப்பதை கண்டறிந்தார். ஒரு உலகில் கருதுகோள் உண்மையாக இருந்தது, அத்தகைய தொகுப்பு இல்லை. ஆயினும்கூட, கருதுகோள் தவறானது மற்றும் அத்தகைய தொகுப்பு இருந்தது என்பதற்கு பரஸ்பர பிரத்தியேகமான ஆனால் சமமான நிலையான கணித ஆதாரம் இருந்தது. கோஹன் பின்னர் ஹில்பர்ட்டின் எட்டாவது சிக்கலான ரீமன் கருதுகோளில் பணியாற்றினார், இருப்பினும் அவரது முந்தைய படைப்பு வெற்றி பெறவில்லை. ஹில்பர்ட்டின் பத்தாவது சிக்கலான ஹில்பர்ட்டின் பத்தாவது சிக்கல், எந்தவொரு சமன்பாட்டிற்கும் முழு எண் தீர்வுகள் உள்ளதா இல்லையா என்பதைக் கூறக்கூடிய ஏதேனும் உலகளாவிய முறை உள்ளதா என்று கேட்டது. வளர்ந்து வரும் நம்பிக்கை என்னவென்றால், அத்தகைய முறை சாத்தியமில்லை, ஆனால் கேள்வி எஞ்சியிருந்தது, நீங்கள் எவ்வளவு புத்திசாலித்தனமாக இருந்தாலும், அத்தகைய முறையை நீங்கள் ஒருபோதும் கொண்டு வர மாட்டீர்கள் என்பதை நீங்கள் எவ்வாறு நிரூபிக்க முடியும். அவர் பால் கோஹனை குறிப்பிடுகிறார். இதற்கு பதிலளிக்க, ராபின்சன் கருதுகோளை உருவாக்கிய ஜூலியா ராபின்சன், அத்தகைய முறை எதுவும் இல்லை என்பதைக் காட்ட நீங்கள் செய்ய வேண்டியது ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவது மட்டுமே, அதன் தீர்வுகள் மிகவும் குறிப்பிட்ட எண்களின் தொகுப்பாக இருந்தனஃ ஹில்பர்ட்டின் சிக்கலின் மையத்தில் உள்ள சமன்பாடுகளால் அதிவேகமாக வளர வேண்டிய எண்களின் தொகுப்பு இன்னும் கைப்பற்றப்பட வேண்டும். ராபின்சனால் இந்த தொகுப்பைக் கண்டுபிடிக்க முடியவில்லை. தீர்வின் இந்த பகுதி யூரி மாட்டியசேவிச்சிடம் விழுந்தது, அவர் ஹில்பர்ட்டின் பத்தாவது சமன்பாடுகளின் மையத்தில் உள்ள சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஃபிபோனாச்சி வரிசையை எவ்வாறு பிடிப்பது என்பதைக் கண்டார். இயற்கணித வடிவியல் இறுதிப் பிரிவு சுருக்கமாக இயற்கணித வடிவவியலை உள்ளடக்கியது. எவாரிஸ்ட் கலோயிஸ் கணிதத்திற்கு ஒரு புதிய மொழியை செம்மைப்படுத்தினார். எண் மற்றும் வடிவத்திற்கு மாறாக கட்டமைப்பைப் பற்றிய ஆய்வாக கணிதம் இருக்க வேண்டும் என்று கலோயிஸ் நம்பினார். சில சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வுகள் இருக்க முடியுமா இல்லையா என்பதைச் சொல்ல புதிய நுட்பங்களை கலோயிஸ் கண்டுபிடித்தார். சில வடிவியல் பொருட்களின் சமச்சீர் முக்கியமானது. காலோயிஸின் பணியை ஆண்ட்ரே வெயில் எடுத்தார், அவர் ஒரு புதிய மொழியான இயற்கணித வடிவவியலை உருவாக்கினார். வெயிலின் பணி எண் கோட்பாடு, இயற்கணிதம், இடவியல் மற்றும் வடிவியல் ஆகியவற்றை இணைத்தது. இறுதியாக டூ சௌட்டாய் கற்பனையான கணிதவியலாளர் நிக்கோலஸ் போர்பாகியின் படைப்பில் வெயிலின் பங்கையும், போர்பாகியின் வெளியீட்டிற்கு மற்றொரு பங்களிப்பாளரான அலெக்சாண்டர் கிரோதெண்டீக்கையும் குறிப்பிடுகிறார். ..