Madhava of Sangamagrama
சங்கமகிராமாவின் மாதவ (மாதவன்) ஒரு இந்திய கணிதவியலாளரும் வானியலாளரும் ஆவார், அவர் கேரள வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளியின் நிறுவனராக கருதப்படுகிறார். இடைக்காலத்தின் பிற்பகுதியில் மிகச்சிறந்த கணிதவியலாளர்-வானியலாளர்களில் ஒருவரான மாதவா, எல்லையற்ற தொடர், கால்குலஸ், முக்கோணவியல், வடிவியல் மற்றும் இயற்கணிதம் ஆகியவற்றின் ஆய்வுக்கு முன்னோடி பங்களிப்புகளை வழங்கினார். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரம்பிற்கு எல்லையற்ற தொடர் தோராயங்களைப் பயன்படுத்திய முதல் நபராக அவர் இருந்தார், இது "பண்டைய கணிதத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட நடைமுறைகளிலிருந்து முடிவிலிக்கு அவற்றின் வரம்பைக் கையாள்வதற்கான தீர்க்கமான படி" என்று அழைக்கப்படுகிறது. வாழ்க்கை வரலாறு மாதவாவின் வாழ்க்கையைப் பற்றி உறுதியாகத் தெரியவில்லை. இருப்பினும், பல்வேறு கையெழுத்துப் பிரதிகளில் காணப்படும் மாதவாவைப் பற்றிய சிதறிய குறிப்புகளிலிருந்து, கேரள பள்ளியின் வரலாற்றாசிரியர்கள் கணிதவியலாளரைப் பற்றிய தகவல்களை ஒன்றாக இணைத்துள்ளனர். பரோடாவில் உள்ள ஓரியண்டல் இன்ஸ்டிடியூட்டில் பாதுகாக்கப்பட்ட ஒரு கையெழுத்துப் பிரதியில், மாதவா மாதவன் வேன்வரோஹாதினாம் கர்த்தா என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ளார். மாதவன் இலானிப்பாலி எம்ப்ரான். 'எம்ப்ரான்' என்ற புனைப்பெயர் மாதவா சேர்ந்திருக்கக்கூடிய எம்ப்ரான்டிரி சமூகத்தைக் குறிக்கிறது என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. "இலானிப்பல்லி" என்ற சொல் மாதவாவின் வசிப்பிடத்தைக் குறிக்கும் வகையில் அடையாளம் காணப்பட்டுள்ளது. இதை மாதவாவே உறுதிப்படுத்துகிறார். சந்திரனின் நிலைகள் குறித்த தனது குறுகிய படைப்பான வேன்வரோஹா என்ற தலைப்பில், அவர் பகலாதிஷ்டிதா என்ற வீட்டில் பிறந்ததாக மாதவ கூறுகிறார். . . விஹாரா. இது இலனிப்பல்லிக்கு சமஸ்கிருதத்தில் தெளிவாக உள்ளது. இலானி என்பது பசுமையான மரமான மிமுசோப்ஸ் எலங்கியின் மலையாளப் பெயர் மற்றும் அதன் சமஸ்கிருதப் பெயர் பாகுளா ஆகும். பல்லி என்பது கிராமத்தைக் குறிக்கும் சொல். சமஸ்கிருத இல்லத்தின் பெயர் பகலாதிஷ்டிதா. . . விஹாரா மலையாள வீட்டுப் பெயரான ஈரானி நின்னா பாலி பற்றிய குறிப்பாகவும் விளக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் சில வரலாற்றாசிரியர்கள் இதை மத்திய கேரளாவில் உள்ள இரிஞ்சலகுடா நகருக்கு அருகில் அமைந்துள்ள இரிஞ்சனவல்லி மற்றும் இரிஞ்சராபாலி என்ற பெயர்களுடன் தற்போதுள்ள இரண்டு வீடுகளில் ஒன்றைக் குறிக்க முயற்சித்துள்ளனர். இரண்டு பெயர்களும் ஒலியியல் ஒற்றுமையைக் கொண்டிருக்கவில்லை அல்லது "இலானிப்பாலி" என்ற வார்த்தைக்கு சொற்பொருள் சமநிலையைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதால் இந்த அடையாளம் வெகு தொலைவில் உள்ளது. மாதவனின் காலத்திற்குப் பிறகு வாழ்ந்த வானியல் மற்றும் கணிதப் படைப்புகளின் எழுத்தாளர்களில் பெரும்பாலோர் மாதவாவை "சங்கமகிராம மாதவ" என்று குறிப்பிட்டுள்ளனர், எனவே "சங்கமகிராம" என்ற வார்த்தையின் உண்மையான முக்கியத்துவத்தை தெளிவுபடுத்துவது முக்கியம். பல அறிஞர்களிடையே உள்ள பொதுவான கருத்து என்னவென்றால், சங்கமகிரகம் என்பது நீரா ஆற்றுக்கு தெற்கே 70 கிலோமீட்டர் தொலைவிலும், கொச்சிக்கு தெற்கே 70 கிலோமீட்டர் தொலைவிலும் உள்ள இரிஞ்சலகுடா நகரம் ஆகும். நகரத்தில் உள்ள ஒரு ஆரம்பகால இடைக்கால கோயிலின் தலைமை தெய்வமான கூடல்மானிக்யம் கோயில், சங்கமேஸ்வரர் என்று வணங்கப்படுகிறார், அதாவது சம்கமாவின் இறைவன், எனவே சம்கமாகிராமத்தை சம்கமேஸ்வரர் கிராமம் என்று விளக்கலாம் என்ற உண்மையைத் தவிர இந்த நம்பிக்கைக்கு அதிக உறுதியான ஆதாரம் இல்லை என்று தெரிகிறது. ஆனால் கர்நாடகாவில் பல இடங்கள் உள்ளன, அவற்றின் பெயர்களில் சம்கம அல்லது அதற்கு சமமான குடலா மற்றும் சங்கமத்தின் ஆண்டவரான சம்கமஸ்வருக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கோயில் உள்ளது. (பாகல்கோட் மாவட்டத்தில் உள்ள குடாலசங்கமா அத்தகைய ஒரு இடமாகும், இது சம்காமாவின் இறைவனுக்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்ட புகழ்பெற்ற கோயிலைக் கொண்டுள்ளது.) நிலா ஆற்றின் தெற்குக் கரையில், திருநாவாயாவிலிருந்து சுமார் 10 கிலோமீட்டர் தொலைவில், குடல்லூர் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு சிறிய நகரம் உள்ளது. இந்த இடத்தின் பெயரின் சரியான சமஸ்கிருத மொழிபெயர்ப்பு சம்கமாகிராம் ஆகும்ஃ மலையாளத்தில் குடல் என்றால் சங்கமம் (சமஸ்கிருதத்தில் சம்கம) மற்றும் ஊர் என்றால் கிராமம் (சமஸ்கிருதத்தில் கிராமம்) என்று பொருள். மேலும் இந்த இடம் நிலா நதி மற்றும் அதன் மிக முக்கியமான துணை நதியான குந்தி நதி சங்கமிக்கும் இடத்தில் உள்ளது. (இரிஞ்சலகுடா அருகே ஆறுகள் சங்கமிப்பதில்லை.) தற்செயலாக கூடல்லூர் கிராமத்திலிருந்து சில கிலோமீட்டர் தொலைவில் குட்டல்லூர் மன என்ற பெயரில் நம்பூதிரி (மலையாள பிராமணர்) குடும்பம் இன்னும் உள்ளது. இந்தக் குடும்பத்தின் தோற்றம் குடல்லூர் கிராமத்தில்தான் உள்ளது. பல தலைமுறைகளாக இந்த குடும்பம் வேதங்கத்தில் நிபுணத்துவம் பெற்ற ஒரு பெரிய குருகுலத்தை நடத்தியது. மாதவரால் எழுதப்பட்ட புத்தகமான ஸ்ஃபுடாசந்திரப்தியின் ஒரே கையெழுத்துப் பிரதி, குட்டல்லூர் மனாவின் கையெழுத்துப் பிரதியிலிருந்து பெறப்பட்டது என்பது மாதவனுக்கு குட்டல்லூர் மனாவுடன் ஏதேனும் தொடர்பு இருந்திருக்கலாம் என்ற அனுமானத்தை வலுப்படுத்தலாம். எனவே மிகவும் நம்பத்தகுந்த சாத்தியக்கூறு என்னவென்றால், மாதவாவின் மூதாதையர்கள் துளு நிலத்திலிருந்து அல்லது அதன் சுற்றுப்புறங்களிலிருந்து குடிபெயர்ந்து குடல்லூர் கிராமத்தில் குடியேறினர், இது திருணவாயாவிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள நிலா ஆற்றின் தெற்குக் கரையில் அமைந்துள்ளது, அவர் பிறப்பதற்கு முன்பு ஒரு தலைமுறை அல்லது இரண்டு தலைமுறைகளாக இருந்தார். மாதவா செழித்தோங்கிய காலகட்டத்தை சுட்டிக்காட்டுவதற்கான திட்டவட்டமான ஆதாரங்களும் இல்லை. மாதவா தனது வேன்வரோகத்தில், கிபி 1400 ஆம் ஆண்டின் ஒரு தேதியை சகாப்தமாக குறிப்பிடுகிறார். மாதவனின் ஒரே நேரடி மாணவரான மாதவனின் மாணவர் பரமேஸ்வர நம்பூதிரி, 1430 ஆம் ஆண்டில் தனது ஆரம்பப் படைப்பான திரிக்கணிதா-வை முடித்ததாக அறியப்படுகிறது, மேலும் பரமேஸ்வரரின் தேதி-1455 என தீர்மானிக்கப்பட்டுள்ளது. இத்தகைய சூழ்நிலை ஆதாரங்களிலிருந்து வரலாற்றாசிரியர்கள் மாதவாவுக்கு தேதியை ஒதுக்கியுள்ளனர். வரலாற்றாய்வு மாதவாவுக்கு முன்பு கேரளாவில் கணிதப் பணி இருந்ததற்கான சில சான்றுகள் இருந்தாலும் (எ. கா., சத்ரத்னமாலா கி. பி. 1300, துண்டு துண்டான முடிவுகளின் தொகுப்பு), இடைக்கால கேரளாவில் வளமான கணித பாரம்பரியத்தின் வளர்ச்சிக்கு மாதவ படைப்பு உந்துதலை வழங்கினார் என்பது மேற்கோள்களிலிருந்து தெளிவாகிறது. இருப்பினும், ஒரு ஜோடி தவிர, மாதவாவின் பெரும்பாலான அசல் படைப்புகள் இழக்கப்பட்டுள்ளன. அடுத்தடுத்த கேரள கணிதவியலாளர்களின் படைப்புகளில், குறிப்பாக நீலகண்ட சோமயாஜியின் தந்திரசங்கராவில் (கி. பி. 1500), சைன் θ மற்றும் ஆர்க்டன் θ உள்ளிட்ட பல எல்லையற்ற தொடர் விரிவாக்கங்களுக்கான ஆதாரமாக அவர் குறிப்பிடப்படுகிறார். 16 ஆம் நூற்றாண்டின் உரையான மஹாஜ்யநாயன பிரகரா (கிரேட் சைன்ஸைக் கணக்கிடும் முறை) மாதவாவை பல தொடர் வழித்தோன்றல்களுக்கு ஆதாரமாக மேற்கோள் காட்டுகிறது. மலையாளத்தில் எழுதப்பட்ட ஜ்யேஷ்டதேவரின் யுக்திபாஷாவில் (கி. பி. 1530), இந்த தொடர்கள் 1/(1 + x2) போன்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான டெய்லர் தொடர் விரிவாக்கங்களின் அடிப்படையில் சான்றுகளுடன் வழங்கப்படுகின்றன, இதில் x = டான் θ, போன்றவை உள்ளன. எனவே, மாதவாவின் படைப்பு என்ன என்பது வெளிப்படையாக சில விவாதங்களுக்கு ஆதாரமாக உள்ளது. ஜ்யேஷ்டதேவனின் மாணவரான சங்கர வாரியரால் இயற்றப்பட்ட யுக்தி-தீபிகா (தந்திரசங்கர-வியாக்யா என்றும் அழைக்கப்படுகிறது), சைன் θ, காஸ் θ மற்றும் ஆர்க்டன் θ ஆகியவற்றிற்கான தொடர் விரிவாக்கங்களின் பல பதிப்புகளை வழங்குகிறது, அதே போல் ஆரம் மற்றும் ஆர்க்லென்த் கொண்ட சில தயாரிப்புகளும் உள்ளன, அவற்றில் பெரும்பாலான பதிப்புகள் யுக்திபாசாவில் காணப்படுகின்றன. அவ்வாறு இல்லாதவர்களைப் பொறுத்தவரை, ராஜகோபாலும் ரங்காச்சாரியும் அசல் சமஸ்கிருதத்திலிருந்து விரிவாக மேற்கோள் காட்டி, இவற்றில் சில நீலகண்டாவால் மாதவனுக்குக் காரணம் என்று கூறப்படுவதால், வேறு சில வடிவங்களும் மாதவாவின் படைப்புகளாக இருக்கலாம் என்று வாதிட்டனர். மற்றவர்கள் ஆரம்பகால உரையான கரணபததி (c. 1375-1475), அல்லது மஹாஜ்யநாயன பிரகரா மாதவாவால் எழுதப்பட்டது என்று ஊகித்துள்ளனர், ஆனால் இது சாத்தியமில்லை. 1834 ஆம் ஆண்டு சி. எம். விஷ் எழுதிய கட்டுரையில், கரணபத்தாட்டி, அதற்கும் முந்தைய கேரள கணித உரையான சத்ரத்னமாலா, அதே போல் தந்திரசங்க்ரஹா மற்றும் யுக்திபாஷா ஆகியவை பரிசீலிக்கப்பட்டன, இது ஃப்ளக்ஸியனைக் கண்டுபிடிப்பதில் நியூட்டனை விட அவர்களின் முன்னுரிமை குறித்து கவனத்தை ஈர்த்தது (நியூட்டனின் வேறுபாடுகளுக்கான பெயர்). 20 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில், ரஷ்ய அறிஞர் ஜுஷ்கேவிச் மாதவாவின் பாரம்பரியத்தை மறுபரிசீலனை செய்தார், மேலும் 1972 ஆம் ஆண்டில் கேரள பள்ளியைப் பற்றிய விரிவான பார்வையை சர்மாவால் வழங்கப்பட்டது. மாதவனுக்கு முன்பு அறியப்பட்ட பல வானியலாளர்கள் உள்ளனர், இதில் கிண்டலூர் கிழார் (2 ஆம் நூற்றாண்டு), வரருசி (4 ஆம் நூற்றாண்டு), மற்றும் சங்கரணராயணா (கிபி 866) ஆகியோர் அடங்குவர். அவருக்கு முன்பு அறியப்படாத பிற நபர்கள் இருந்திருக்கலாம். இருப்பினும், மாதவாவுக்குப் பிறகு பாரம்பரியத்தைப் பற்றிய தெளிவான பதிவு எங்களிடம் உள்ளது. பரமேஸ்வரர் ஒரு நேரடி சீடராக இருந்தார். சூரிய சித்தாந்தா பற்றிய மலையாள வர்ணனையின் பனை இலை கையெழுத்துப் பிரதியின் படி, பரமேஸ்வரரின் மகன் தாமோதரா (கி. பி. 1400-1500) நீலகண்ட சோமயாஜியை தனது சீடர்களில் ஒருவராகக் கொண்டிருந்தார். ஜ்யேஷ்டதேவர் நீலகண்டரின் சீடராக இருந்தார். திரிகண்டியூரைச் சேர்ந்த அச்சுதா பிஷாரடி, ஜ்யேஷ்டதேவரின் சீடராகவும், இலக்கணவியலாளர் மேல்பத்தூர் நாராயண பட்டத்திரி அவரது சீடராகவும் குறிப்பிடப்படுகிறார். பங்களிப்புகள் இயற்கணிதத்தின் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்முறைகளிலிருந்து எல்லையற்றவற்றின் கருத்தாய்வுகளுக்கு கணிதத்தை ஒரு முன்னேற்றமாக நாம் கருதினால், இந்த மாற்றத்திற்கான முதல் படிகள் பொதுவாக எல்லையற்ற தொடர் விரிவாக்கங்களுடன் வருகின்றன. எல்லையற்ற தொடருக்கான இந்த மாற்றமே மாதவாவுக்குக் காரணம். ஐரோப்பாவில், அத்தகைய முதல் தொடர் 1667 இல் ஜேம்ஸ் கிரிகோரியால் உருவாக்கப்பட்டது. மாதவாவின் படைப்புகள் இந்தத் தொடருக்கு குறிப்பிடத்தக்கவை, ஆனால் உண்மையில் குறிப்பிடத்தக்கது என்னவென்றால், ஒரு பிழை சொல் (அல்லது திருத்தம் சொல்) பற்றிய அவரது மதிப்பீடு ஆகும். எல்லையற்ற தொடரின் வரம்பு தன்மையை அவர் நன்கு புரிந்துகொண்டார் என்பதை இது குறிக்கிறது. எனவே, செயல்பாடுகளின் எல்லையற்ற தொடர் விரிவாக்கங்கள், சக்தி தொடர், முக்கோணவியல் தொடர் மற்றும் எல்லையற்ற தொடர்களின் பகுத்தறிவு தோராயங்கள் ஆகியவற்றின் அடிப்படையிலான கருத்துக்களை மாதவா கண்டுபிடித்திருக்கலாம். இருப்பினும், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்த முடிவுகள் துல்லியமாக மாதவாவின் மற்றும் அவரது வாரிசுகளின் முடிவுகள் என்பதை தீர்மானிப்பது கடினம். பல்வேறு அறிஞர்களால் மாதவாவுக்குக் கூறப்பட்ட முடிவுகளின் சுருக்கத்தை பின்வருபவை வழங்குகின்றன. அவரது பல பங்களிப்புகளில், சைன், கொசைன், ஆர்க்டன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கான எல்லையற்ற தொடர்களையும், ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கணக்கிடுவதற்கான பல முறைகளையும் அவர் கண்டுபிடித்தார். மாதவாவின் தொடர்களில் ஒன்று யுக்திபாஷா என்ற உரையிலிருந்து அறியப்படுகிறது, இது மாதவாவால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தலைகீழ் தொடுகோட்டுக்கான சக்தி தொடரின் வழித்தோன்றல் மற்றும் ஆதாரத்தைக் கொண்டுள்ளது. உரையில், ஜெயஸ்ததேவா இந்தத் தொடரை பின்வரும் முறையில் விவரிக்கிறார்ஃ இது விளைவிக்கிறதுஃ அல்லது அதற்கு சமமாகஃ இந்தத் தொடர் கிரிகோரியின் தொடர் (மாதவாவுக்கு மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு அதை மீண்டும் கண்டுபிடித்த ஜேம்ஸ் கிரிகோரியின் பெயரிடப்பட்டது). இந்த குறிப்பிட்ட தொடரை ஜெயஸ்ததேவரின் படைப்பாக நாம் கருதினாலும், அது கிரிகோரிக்கு ஒரு நூற்றாண்டுக்கு முன்பே இருந்திருக்கும், நிச்சயமாக இதேபோன்ற இயற்கையின் மற்ற எல்லையற்ற தொடர்களை மாதவா உருவாக்கியிருந்தார். இன்று, இது மாதவ-கிரிகோரி-லீப்னிஸ் தொடர் என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. முக்கோணவியல் மாதவா ஒரு துல்லியமான சங்கீத அட்டவணையை இயற்றினார். மாதவாவின் மதிப்புகள் ஏழாவது தசம இடத்திற்கு துல்லியமாக உள்ளன. இருபத்தி நான்கு சம இடைவெளிகளில் ஒரு கால் வட்டத்தைக் குறிப்பிட்டு, அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் ஒத்த அரை வளையத்தின் (சைன்கள்) நீளங்களைக் கொடுத்தார். தொடர் விரிவாக்கங்களின் அடிப்படையில் அவர் இந்த மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டிருக்கலாம் என்று நம்பப்படுகிறதுஃ sin q = q − q3/3! + q5/5! - q7/7! +. cos q = 1 − q2/2! + q4/4! - q6/6! +. கணித மாறிலி பை இன் மதிப்பு குறித்த (பை) மாதவாவின் பணியின் மதிப்பு மஹாஜ்யநாயன பிரகாராவில் ("பெரிய சைன்களுக்கான முறைகள்") மேற்கோள் காட்டப்பட்டுள்ளது. இந்த புத்தகத்தை மாதவாவே இயற்றியிருக்கலாம் என்று சர்மா போன்ற சில அறிஞர்கள் கருதுகையில், இது 16 ஆம் நூற்றாண்டின் வாரிசின் படைப்பாக இருக்கலாம். இந்த உரை மாதவாவுக்கு பெரும்பாலான விரிவாக்கங்களைக் கூறுகிறது, மேலும் பின்வரும் எல்லையற்ற தொடர் விரிவாக்கத்தை வழங்குகிறது, இது இப்போது மாதவ-லீப்னிஸ் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறதுஃ இது வில்-தொடுப்பு செயல்பாட்டின் சக்தி-தொடர் விரிவாக்கத்திலிருந்து அவர் பெற்றார். இருப்பினும், மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயம் என்னவென்றால், அவர் n சொற்கள் வரை கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட்ட பிறகு பிழையின் திருத்தச் சொல்லான Rn ஐக் கொடுத்தார், அதாவதுஃ Rn = (−1) n/(4n), அல்லது Rn = (−1) n ωn/(4n2 + 1), அல்லது Rn = (−1) n ω (n2 + 1)/(4n3 + 5n), இதில் மூன்றாவது திருத்தம் மிகவும் துல்லியமான கணக்கீடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது. மாதவா இந்த திருத்த விதிமுறைகளை எவ்வாறு கண்டறிந்தார் என்பது நீண்ட காலமாக ஊகிக்கப்படுகிறது. அவை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான பின்னத்தின் முதல் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளாகும், இது n சொற்களுக்கு மதிப்பிடப்பட்ட அசல் மாதவாவின் தொடருடன் இணைக்கப்படும்போது, சுமார் 3n/2 சரியான இலக்கங்களை வழங்குகிறதுஃ அடுத்த உயர் வரிசையில் திருத்தும் வார்த்தையின் முழுமையான மதிப்பு |Rn | = (4n3 + 13n)/(16n4 + 56n2 + 9) ஆகும். முதல் 21 சொற்களைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக கணக்கிடுவதன் மூலம், அவர் 11 தசம இடங்களுக்கு (3.14159265359) சரியான மதிப்பைப் பெறுகிறார். 3.1415926535898 இன் மதிப்பு, 13 தசமங்களுக்கு சரியானது, சில நேரங்களில் மாதவாவுக்குக் காரணம், ஆனால் அவரைப் பின்பற்றுபவர்களில் ஒருவர் காரணமாக இருக்கலாம். இவை 5 ஆம் நூற்றாண்டுக்குப் பிறகு கொடுக்கப்பட்ட மிகத் துல்லியமான தோராயங்களாகும் (எண்களின் தோராயங்களின் வரலாற்றைப் பார்க்கவும்). சத்ரத்னமாலா என்ற உரை வியக்கத்தக்க வகையில் துல்லியமான மதிப்பை = 3.14159265358979324 (17 தசம இடங்களுக்கு சரியானது) தருவதாகத் தெரிகிறது. இதன் அடிப்படையில், ஆர். குப்தா இந்த உரையையும் மாதவாவால் இயற்றப்பட்டதாக பரிந்துரைத்துள்ளார். ஆர்க் நீளங்களுக்கான பிற தொடர்கள் மற்றும் அதன் விகிதமுறு பின்னங்களுக்கான தொடர்புடைய தோராயங்கள் குறித்தும் மாதவா விசாரணைகளை மேற்கொண்டார். கேரள வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளியில் அவரது வாரிசுகளால் மேலும் உருவாக்கப்பட்ட சில முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கான சக்தி தொடர் விரிவாக்கத்தை கால்குலஸ் மாதவா உருவாக்கினார். (கால்குலஸின் சில கருத்துக்கள் முந்தைய கணிதவியலாளர்களுக்குத் தெரிந்திருந்தன.) இரண்டாம் பாஸ்கராவின் படைப்புகள் உட்பட முந்தைய படைப்புகளில் காணப்பட்ட சில முடிவுகளையும் மாதவா விரிவுபடுத்தினார். இருப்பினும், அவை வழித்தோன்றல் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகிய இரண்டு ஒருங்கிணைந்த கருப்பொருள்களின் கீழ் பல வேறுபட்ட கருத்துக்களை இணைக்கவில்லை, இரண்டிற்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டவில்லை, அல்லது கால்குலஸை இன்று நம்மிடம் உள்ள சக்திவாய்ந்த சிக்கல் தீர்க்கும் கருவியாக மாற்றவில்லை. மாதவாவின் படைப்புகள் கே. வி. சர்மா மாதவாவை பின்வரும் படைப்புகளின் ஆசிரியர் என்று அடையாளம் காட்டியுள்ளார்ஃ கோலவாத மத்யமானாயனப்பிரகரா மஹாஜ்யநாயனப்பிரகரா (கிரேட் சைன்ஸைக் கணிக்கும் முறை) லக்னப்பிரகராணா () வேன்வரோஹா () ஸ்ஃபுடாசந்திரப்தி () அகனிதா-கிரஹகரா () சந்திரவக்கியானி () (சந்திர-நினைவுகளின் அட்டவணை) கேரளா வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளி தென்னிந்தியாவின் கேரளாவில் உள்ள சங்கமகிராமத்தைச் சேர்ந்த மாதவாவால் கேரள வானியல் மற்றும் கணிதப் பள்ளி நிறுவப்பட்டது மற்றும் அதன் உறுப்பினர்களில் பரமேஸ்வரா, நீலகண்ட சோமயாஜி, ஜ்யேஷ்டதேவா, அச்சுதா பிஷ் ஆகியோர் அடங்குவர். சைன், கொசைன் மற்றும் ஆர்க்டன்ட் ஆகிய மூன்று முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர் விரிவாக்கம் மற்றும் அவற்றின் முடிவுகளின் ஆதாரம் ஆகிய மூன்று முக்கியமான முடிவுகளை 14ஆம் மற்றும் 16ஆம் ஆண்டுகளுக்கு இடையில் அது செழித்தது. இந்த குழு வானியலில் வேறு பல வேலைகளையும் செய்தது; உண்மையில் பகுப்பாய்வு தொடர்பான முடிவுகளைப் பற்றி விவாதிப்பதை விட வானியல் கணக்கீடுகளுக்கு பல பக்கங்கள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. கேரளப் பள்ளியும் மொழியியலுக்கு பெரிதும் பங்களித்தது (மொழிக்கும் கணிதத்திற்கும் இடையிலான உறவு ஒரு பண்டைய இந்திய பாரம்பரியமாகும், காட்டியனாவைப் பார்க்கவும்). கேரளாவின் ஆயுர்வேத மற்றும் கவிதை மரபுகளையும் இந்த பள்ளியில் காணலாம். நாராயணியாம் என்ற புகழ்பெற்ற கவிதையை நாராயண பட்டத்திரி இயற்றினார். செல்வாக்கு மாதவா "இடைக்கால இந்தியாவின் மிகச்சிறந்த கணிதவியலாளர்-வானியலாளர்" என்று அழைக்கப்படுகிறார், இந்தத் துறையில் அவரது சில கண்டுபிடிப்புகள் அவர் அசாதாரண உள்ளுணர்வைக் கொண்டிருந்ததைக் காட்டுகின்றன ". ஓ 'கானர் மற்றும் ராபர்ட்சன் ஆகியோர் மாதவாவைப் பற்றிய நியாயமான மதிப்பீடு என்னவென்றால், அவர் நவீன பாரம்பரிய பகுப்பாய்வை நோக்கி தீர்க்கமான நடவடிக்கையை எடுத்தார் என்று கூறுகின்றனர். ஐரோப்பாவிற்கு சாத்தியமான பரவல் மலபார் கடற்கரையில் ஐரோப்பிய கடற்பயணிகளுடன் முதல் தொடர்பு ஏற்பட்ட காலகட்டத்தில், 15 மற்றும் 16 ஆம் நூற்றாண்டுகளில் கேரள பள்ளி நன்கு அறியப்பட்டது. அந்த நேரத்தில், சங்கமகிராமாவுக்கு அருகிலுள்ள முஸிரிஸ் துறைமுகம் கடல்சார் வர்த்தகத்திற்கான ஒரு முக்கிய மையமாக இருந்தது, மேலும் பல ஜெஸ்யூட் மிஷனரிகள் மற்றும் வர்த்தகர்கள் இந்த பிராந்தியத்தில் தீவிரமாக இருந்தனர். கேரளப் பள்ளியின் புகழ் மற்றும் இந்த காலகட்டத்தில் சில ஜெஸ்யூட் குழுக்கள் உள்ளூர் புலமைப்பரிசில் மீது காட்டிய ஆர்வத்தைக் கருத்தில் கொண்டு, யு. எஸ். மான்செஸ்டரின் ஜி. ஜோசப் உட்பட சில அறிஞர்கள், கேரளப் பள்ளியின் எழுத்துக்கள் ஐரோப்பாவிற்கும் அனுப்பப்பட்டிருக்கலாம் என்று பரிந்துரைத்துள்ளனர். டேவிட் ப்ரெசவுட்டின் கூற்றுப்படி, "பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டு வரை இந்தியத் தொடர்களின் படைப்புகள் இந்தியாவுக்கு அப்பாலும், கேரளாவுக்கு வெளியேயும் அறியப்பட்டதற்கான எந்த ஆதாரமும் இல்லை". ..