History of combinatorics
பல பண்டைய சமூகங்களில் ஒருங்கிணைப்பு கணிதத் துறை பல்வேறு அளவுகளில் ஆய்வு செய்யப்பட்டது. ஐரோப்பாவில் அதன் ஆய்வு கிபி 13 ஆம் நூற்றாண்டில் லியோனார்டோ ஃபிபோனாச்சியின் பணியைத் தொடங்குகிறது, இது கண்டத்திற்கு அரேபிய மற்றும் இந்திய கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்தியது. இது நவீன சகாப்தத்தில் தொடர்ந்து ஆய்வு செய்யப்பட்டு வருகிறது. ஆரம்பகால பதிவுகள் ஒருங்கிணைந்த நுட்பங்களின் ஆரம்பகால பதிவு செய்யப்பட்ட பயன்பாடு கிமு 16 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த ரைண்ட் பாப்பிரஸின் சிக்கல் 79 இலிருந்து வருகிறது. இந்த சிக்கல் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் தொடரைப் பற்றியது, மேலும் கொடுக்கப்பட்ட மொத்தத்தின் கூட்டுத்தொகையாக 1s மற்றும் 2s இன் கலவைகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணும் ஃபிபோனாச்சியின் சிக்கலுடன் ஒற்றுமையைக் கொண்டுள்ளது. கிரேக்கத்தில், சால்ஸெடானின் ஜெனோக்ரேட்ஸ் (கிமு 396-314) கிரேக்க மொழியில் சாத்தியமான வெவ்வேறு எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டுபிடித்தார் என்று புளூடார்க் எழுதினார். வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் சேர்க்கைகளில் ஒரு கடினமான சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான முதல் முயற்சியாக இது இருந்திருக்கும். எவ்வாறாயினும், இந்தக் கூற்று நம்பமுடியாததுஃ கிரேக்கத்தில் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய சில குறிப்புகளில் இதுவும் ஒன்றாகும், மேலும் அவர்கள் கண்டறிந்த எண், 1.002 × 10.12, ஒரு யூகத்தை விட அதிகமாக இருப்பதாகத் தெரிகிறது. பின்னர், கிறைசிப்பஸ் (கிமு 3ஆம் நூற்றாண்டு) மற்றும் ஹிப்பார்கஸ் (கிமு 2ஆம் நூற்றாண்டு) இடையே ஒரு நுட்பமான கணக்கீட்டு சிக்கல் குறித்து வாதம் ஏற்பட்டது, இது பின்னர் ஷ்ரோடர்-ஹிப்பார்கஸ் எண்களுடன் தொடர்புடையது என்று காட்டப்பட்டது. ஓஸ்டோமாக்கியோனில், ஆர்க்கிமிடீஸ் (கிமு 3 ஆம் நூற்றாண்டு) ஒரு ஓடுகள் புதிரின் உள்ளமைவுகளைக் கருதினார் என்பதற்கும் சான்றுகள் உள்ளன, அதே நேரத்தில் அப்பல்லோனியஸின் இழந்த படைப்புகளில் சில ஒருங்கிணைந்த ஆர்வங்கள் இருந்திருக்கலாம். இந்தியாவில், பகவதி சூத்திரம் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு சிக்கலைப் பற்றி முதன்முதலில் குறிப்பிட்டது; ஒன்று, இரண்டு, மூன்று போன்றவற்றில் சுவைகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் இருந்து எத்தனை சாத்தியமான சுவைகளின் கலவைகள் சாத்தியமாகும் என்று கேள்வி கேட்கப்பட்டது. ஆறு வெவ்வேறு சுவைகளின் தேர்விலிருந்து (இனிப்பு, காரம், கசப்பு, புளிப்பு, உப்பு மற்றும் கசப்பு). தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடும் முதல் உரை பகவதி ஆகும். கிமு இரண்டாம் நூற்றாண்டில், பிங்கலா சந்தா சூத்திரத்தில் (சந்தா சூத்திரம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) ஒரு கணக்கீட்டு சிக்கலை உள்ளடக்கியது, இது குறுகிய மற்றும் நீண்ட குறிப்புகளிலிருந்து ஆறு எழுத்துக்கள் கொண்ட மீட்டரை எத்தனை வழிகளில் உருவாக்க முடியும் என்று கேட்டது. நீண்ட குறிப்புகள் மற்றும் குறுகிய குறிப்புகளைக் கொண்ட மீட்டர்களின் எண்ணிக்கையை பிங்கலா கண்டறிந்தார்; இது இருமக் குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு சமம். பகவதியின் கருத்துக்கள் கிபி 850 இல் இந்திய கணிதவியலாளர் மகாவீரரால் பொதுமைப்படுத்தப்பட்டன, மேலும் பிங்கலாவின் சொற்பொழிவு பற்றிய பணி கிபி 1100 இல் இரண்டாம் பாஸ்கர மற்றும் ஹேமசந்திராவால் விரிவுபடுத்தப்பட்டது. பிரம்மகுப்தருக்கு முன்பே தெரிந்திருக்கலாம் என்றாலும், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேர்வு செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடித்த முதல் நபர் பாஸ்கரர் ஆவார். ஒரு நீண்ட குறிப்பு ஒரு குறுகிய குறிப்பை விட இரண்டு மடங்கு நீளமாக கருதப்பட்டால், ஒரு குறிப்பிட்ட நீளத்திற்கு எத்தனை மீட்டர்கள் உள்ளன என்று ஹேமசந்திரா கேட்டார், இது ஃபிபோனாச்சி எண்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு சமம். பண்டைய சீன கணிப்பு புத்தகம் I சிங் ஒரு அறுகோணத்தை ஆறு வரிகளை மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் ஒரு வரிசைமாற்றமாக விவரிக்கிறது, அங்கு ஒவ்வொரு வரியும் இரண்டு நிலைகளில் ஒன்றாக இருக்கலாம்ஃ திடமான அல்லது கோடு. இந்த பாணியில் அறுகோணங்களை விவரிப்பதில் அவை சாத்தியமான அறுகோணங்கள் உள்ளன என்பதை தீர்மானிக்கின்றன. ஒரு சீன துறவியும் கிபி 700 இல் கோ போன்ற ஒரு விளையாட்டின் உள்ளமைவுகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிட்டிருக்கலாம். எண்ணிக்கை ஒருங்கிணைப்பில் சீனா ஒப்பீட்டளவில் சில முன்னேற்றங்களைக் கொண்டிருந்தாலும், கிபி 100 ஆம் ஆண்டில் அவர்கள் லோ ஷு சதுக்கத்தை தீர்த்தனர், இது மூன்றாவது வரிசையின் சாதாரண மாய சதுரத்தின் ஒருங்கிணைந்த வடிவமைப்பு சிக்கலாகும். மாய சதுரங்கள் சீனாவின் ஆர்வமாக இருந்தன, மேலும் அவை கிபி 900 மற்றும் 1300 க்கு இடையில் தங்கள் அசல் சதுரத்தை பொதுமைப்படுத்தத் தொடங்கின. 13 ஆம் நூற்றாண்டில் சீனா இந்த பிரச்சினையைப் பற்றி மத்திய கிழக்குடன் தொடர்புகொண்டது. மத்திய கிழக்கு இந்தியப் பணிகளிலிருந்து இருமக் குணகங்களைப் பற்றியும் அறிந்து, பல்லுறுப்புக்கோவை விரிவாக்கத்துடன் தொடர்பைக் கண்டறிந்தது. அல்-கலீல் இபின் அஹ்மதின் படைப்புகளில் காணப்படுவது போல் இந்துக்களின் பணி அரேபியர்களை பாதித்தது, அவர் எழுத்துக்களை உருவாக்குவதற்கான சாத்தியமான ஏற்பாடுகளைக் கருதினார். அவரது கணக்கீடுகள் வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் சேர்க்கைகள் பற்றிய புரிதலைக் காட்டுகின்றன. சுமார் 1100 ஆம் ஆண்டைச் சேர்ந்த அரபு கணிதவியலாளர் உமர் அல்-கயாமியின் படைப்பிலிருந்து ஒரு பத்தியில், இந்துக்களுக்கு இருமக் குணகங்களைப் பற்றிய அறிவு இருந்ததாகவும், ஆனால் அவர்களின் முறைகள் மத்திய கிழக்கை அடைந்ததாகவும் உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அபு பக்கர் இப்னு முஹம்மது இப்னு அல் ஹுசைன் அல்-கராஜி (c.953-1029) இரும கோட்பாடு மற்றும் பாஸ்கலின் முக்கோணம் குறித்து எழுதினார். அல்-சமாலின் அடுத்தடுத்த மேற்கோள்களிலிருந்து மட்டுமே அறியப்பட்ட இப்போது இழந்த படைப்பில், அல்-கராஜி கணித தூண்டல் மூலம் வாதம் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். தத்துவஞானியும் வானியலாளருமான ரப்பி ஆபிரகாம் இபின் எஸ்ரா (கி. பி. 1140) தெய்வீக பெயரின் குரலில் மறு செய்கைகளுடன் வரிசைமாற்றங்களை எண்ணினார். அவர் இருமக் குணகங்களின் சமச்சீர்மையையும் நிறுவினார், அதே நேரத்தில் ஒரு மூடிய சூத்திரம் பின்னர் 1321 ஆம் ஆண்டில் டால்மூடிஸ்ட் மற்றும் கணிதவியலாளரான லெவி பென் ஜெர்சன் (ஜெர்சோனைட்ஸ் என்று நன்கு அறியப்பட்டவர்) என்பவரால் பெறப்பட்டது. எண்கணித முக்கோணம்-இருமக் குணகங்களுக்கிடையேயான உறவுகளைக் காட்டும் ஒரு வரைகலை வரைபடம்-கணிதவியலாளர்களால் 10 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த கட்டுரைகளில் வழங்கப்பட்டது, மேலும் இது இறுதியில் பாஸ்கலின் முக்கோணம் என்று அறியப்பட்டது. பின்னர், இடைக்கால இங்கிலாந்தில், கேம்பனாலஜி இப்போது ஹாமில்டோனியன் சுழற்சிகள் என்று அழைக்கப்படுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை சில கெய்லி வரைபடங்களில் வரிசைமாற்றங்களில் வழங்கியது. 13 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதவியலாளர்களான லியோனார்டோ ஃபிபோனாச்சி மற்றும் ஜோர்டானஸ் டி நெமோர் ஆகியோரின் மூலம் மேற்கத்திய ஒருங்கிணைப்பில் ஒருங்கிணைப்புகள் ஐரோப்பாவுக்கு வந்தன. ஃபிபோனாச்சியின் லிபர் அபாச்சி, ஃபிபோனாச்சி எண்கள் உட்பட பல அரேபிய மற்றும் இந்திய கருத்துக்களை ஐரோப்பாவிற்கு அறிமுகப்படுத்தினார். டி அரித்மெடிக்காவின் முன்மொழிவு 70 இல் செய்ததைப் போல, முக்கோணத்தில் இருமக் குணகங்களை ஏற்பாடு செய்த முதல் நபர் ஜோர்டானஸ் ஆவார். இது 1265இல் மத்திய கிழக்கிலும், 1300இல் சீனாவிலும் செய்யப்பட்டது. இன்று, இந்த முக்கோணம் பாஸ்கலின் முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. தனது பெயரைக் கொண்ட முக்கோணத்திற்கு பாஸ்கலின் பங்களிப்பு அதைப் பற்றிய முறையான சான்றுகள் குறித்த அவரது படைப்புகளிலிருந்தும், பாஸ்கலின் முக்கோணத்திற்கும் நிகழ்தகவிற்கும் இடையில் அவர் செய்த தொடர்புகளிலிருந்தும் வருகிறது. முறையான படைப்புகள் எதுவும் வெளியிடப்படவில்லை என்றாலும், 17 ஆம் நூற்றாண்டில் பகிர்வுகளின் கணிதக் கோட்பாட்டை லீப்னிஸ் முறையாகப் படித்துக்கொண்டிருந்தார் என்பதை டேனியல் பெர்னோலிக்கு அனுப்பிய ஒரு கடிதத்திலிருந்து நாம் அறிகிறோம். லீப்னிஸுடன் சேர்ந்து, பாஸ்கல் 1666 இல் டி ஆர்ட் காம்பினடோரியாவை வெளியிட்டார், இது பின்னர் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டது. லீப்னிஸின் வாழ்வாதார ஆய்வறிக்கை டி ஆர்ட் காம்பினடோரியா 1666 இல் ஒரு புத்தகமாக வெளியிடப்பட்டது, பின்னர் மறுபதிப்பு செய்யப்பட்டது பாஸ்கல் மற்றும் லீப்னிஸ் நவீன காம்பினடோரியஸின் நிறுவனர்களாக கருதப்படுகிறார்கள். பாஸ்கல் மற்றும் லீப்னிஸ் இருவரும் பைனாமியல் விரிவாக்கம் தேர்வு செயல்பாட்டிற்கு சமம் என்பதை புரிந்துகொண்டனர். இயற்கணிதமும் ஒருங்கிணைப்பும் ஒத்திருக்கின்றன என்ற கருத்தை டி மொய்வ்ரே விரிவுபடுத்தினார், அவர் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் விரிவாக்கத்தை கண்டுபிடித்தார். டி மொய்வ்ரே சேர்க்கை-விலக்கு கொள்கையின் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி முரண்பாடுகளுக்கான சூத்திரத்தையும் கண்டுபிடித்தார், இது முன்பு கண்டுபிடித்த நிக்கோலஸ் பெர்னௌலியிலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு முறையாகும். டி மொய்வ்ரே இருமக் குணகங்கள் மற்றும் காரணி ஆகியவற்றை தோராயமாக மதிப்பிட முடிந்தது, மேலும் செயல்பாடுகளை உருவாக்குவதன் மூலம் ஃபிபோனாச்சி எண்களுக்கு ஒரு மூடிய வடிவத்தைக் கண்டறிந்தார். 18 ஆம் நூற்றாண்டில், ஆய்லர் ஒருங்கிணைப்பின் சிக்கல்கள் மற்றும் இணைப்புடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவின் பல சிக்கல்கள் குறித்து பணியாற்றினார். நைட்ஸ் சுற்றுப்பயணம், கிரேக்கோ-லத்தீன் சதுரம், யூலேரியன் எண்கள் மற்றும் பிற சிக்கல்களில் யூலர் பணியாற்றினார். கோனிக்ஸ்பெர்க் சிக்கலின் ஏழு பாலங்களைத் தீர்க்க அவர் வரைபடக் கோட்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார், இது இடவியல் உருவாக்கத்திற்கும் வழிவகுத்தது. இறுதியாக, அவர் செயல்பாடுகளை உருவாக்குவதன் மூலம் பகிர்வுகளுடன் தரையை உடைத்தார். 19 ஆம் நூற்றாண்டில், ஓரளவு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட செட் மற்றும் லட்டிஸ் கோட்பாட்டின் பொருள் டெடெகிண்ட், பியர்ஸ் மற்றும் ஷ்ரோடர் ஆகியோரின் படைப்புகளில் உருவானது. இருப்பினும், 1967 இல் வெளியிடப்பட்ட லாட்டிஸ் தியரி என்ற தனது புத்தகத்தில் கேரட் பிர்காஃப்பின் அடிப்படை படைப்பு மற்றும் ஜான் வான் நியூமனின் படைப்புகள் தான் பாடங்களை உண்மையிலேயே நிறுவியது. 1930 களில், ஹால் (1936) மற்றும் வெய்ஸ்னர் (1935) ஆகியோர் சுயாதீனமாக பொது மோபியஸ் தலைகீழ் சூத்திரத்தை அறிவித்தனர். 1964 இல், கியான்-கார்லோ ரோட்டாவின் ஆன் தி ஃபவுண்டேஷன்ஸ் ஆஃப் காம்பினடோரியல் தியரி I. மோபியஸ் செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு பொசெட் மற்றும் லட்டிஸ் கோட்பாட்டை காம்பினடோரிக்ஸில் கோட்பாடுகளாக அறிமுகப்படுத்தியது. ரிச்சர்ட் பி. ஸ்டான்லி, மேட்ராய்டு கோட்பாட்டில் தனது பணிக்காக, ஜீட்டா பல்லுறுப்புக்கோவைகளை அறிமுகப்படுத்தியதற்காக, யூலேரியன் நிலைப்பாடுகளை வெளிப்படையாக வரையறுத்ததற்காக, ரோட்டா மற்றும் பீட்டர் டூபிலெட் ஆகியோருடன் இரும நிலைப்பாடுகளின் கோட்பாட்டை உருவாக்கியதற்காக சமகால ஒருங்கிணைப்பில் பெரிய தாக்கத்தை ஏற்படுத்தியுள்ளார். பால் எர்டாஸ் இந்த நூற்றாண்டு முழுவதும் ஒருங்கிணைப்புக்கு முக்கிய பங்களிப்புகளை வழங்கினார், இந்த பங்களிப்புகளுக்காக ஓநாய் பரிசை வென்றார். ..