Brahmagupta's identity
இயற்கணிதத்தில், பிரம்மகுப்தரின் அடையாளம், கொடுக்கப்பட்டதற்கு, வடிவத்தின் இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் அந்த வடிவத்தின் ஒரு எண் என்று கூறுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அத்தகைய எண்களின் தொகுப்பு பெருக்கத்தின் கீழ் மூடப்படுகிறது. குறிப்பாகஃ சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் (1) மற்றும் (2) இரண்டையும் சரிபார்க்கலாம். மேலும், b ஐ −b ஆக மாற்றுவதன் மூலம் (2) ஐ (1) இலிருந்து அல்லது (1) ஐ (2) இலிருந்து பெறலாம். இந்த அடையாளம் முழு எண்களின் வளையம் மற்றும் விகிதமுறு எண்களின் வளையம் ஆகிய இரண்டிலும் உள்ளது, மேலும் பொதுவாக எந்த பரிமாற்ற வளையத்திலும் உள்ளது. வரலாறு அடையாளம் என்பது ஃபிபோனாச்சி அடையாளம் என்று அழைக்கப்படுவதன் (இங்கு n = 1) பொதுமைப்படுத்தலாகும், இது உண்மையில் டியோஃபாண்டஸின் எண்கணிதத்தில் (III, 19) காணப்படுகிறது. அந்த அடையாளத்தை இந்திய கணிதவியலாளரும் வானியலாளருமான பிரம்மகுப்தர் (598-668) மீண்டும் கண்டுபிடித்தார், அவர் அதை பொதுமைப்படுத்தி, இப்போது பெல்லின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுவதைப் பற்றிய தனது ஆய்வில் பயன்படுத்தினார். அவரது பிரம்மஸ்புதசித்தந்தா சமஸ்கிருதத்திலிருந்து அரபு மொழியில் முகமது அல்-ஃபசாரி என்பவரால் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது, பின்னர் 1126 இல் லத்தீன் மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது. இந்த அடையாளம் பின்னர் 1225 ஆம் ஆண்டில் ஃபிபோனாச்சியின் புக் ஆஃப் ஸ்கொயர்ஸில் தோன்றியது. அதன் அசல் சூழலில், பிரம்மகுப்தர் தனது கண்டுபிடிப்பை பின்னர் பெல்லின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்பட்ட x2 − Ny2 = 1 இன் தீர்வுக்கு பயன்படுத்தினார். புதிய முக்கோணத்தை உருவாக்க, x2 − Ny2 = k இன் தீர்வுகளாக இருந்த முக்கோணங்களை (x1, y1, k1) மற்றும் (x2, y2, k2) அவரால் உருவாக்க முடிந்தது. இது ஒரு தீர்வில் தொடங்கி x2 − Ny2 = 1 க்கு எண்ணற்ற பல தீர்வுகளை உருவாக்க வழிவகுத்தது மட்டுமல்லாமல், அத்தகைய கலவையை k1k2 ஆல் வகுப்பதன் மூலம், முழு எண் அல்லது கிட்டத்தட்ட முழு எண் தீர்வுகளை பெரும்பாலும் பெற முடியும். 1150 ஆம் ஆண்டில் இரண்டாம் பாஸ்கராவால் வழங்கப்பட்ட பெல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறை, அதாவது சக்கரவாலா (சுழற்சி) முறையும் இந்த அடையாளத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ..