 צושטעלן אַ דיטיילד דערקלערונג פון די אוילער ס פאָרמולע.
אוילער'ס פאָרמולע, געהייסן נאָך דעם מאטעמאטיקער לעאָנהאַרד אוילער, איז אַן אומגלויבלעך שטאַרקע און באַטייטיק יקווייזשאַן אין מאטעמאטיק, וואָס פארבינדט די לכאורה באזונדערע וועלטן פון עקספּאָונענשאַל פאַנגקשאַנז און טריגאָנאָמעטריק פאַנגקשאַנז. די פאָרמולע קען זיין געשריבן ווי: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x), ווו e איז אוילער ס נומער (בעערעך 2.718), i איז די ויסגעטראַכט אַפּאַראַט, און x איז קיין פאַקטיש נומער. אין די האַרץ פון עולער ס פאָרמולע איז די קאָמפּלעקס עקספּאָונענשאַל פֿונקציע, וואָס איז דיפיינד פֿאַר קיין קאָמפּלעקס נומער z = x + iy, ווי e^z = e^(x + iy) = e^x * (קאָס(י) + i* זינד (י)). די פאָרמולע קומט פון יקספּאַנדינג די עקספּאָונענשאַל פֿונקציע אין כוחות פון ז ניצן די מאַכט סעריע יקספּאַנשאַן. איינער פון די מערסט אַמייזינג קאַנסאַקווענסאַז פון דעם פאָרמולע איז ווען x איז גלייַך צו π, וואָס איז קאַמאַנלי באקאנט ווי עולער ס אידענטיטעט: e^(iπ) + 1 = 0. די אידענטיטעט קאַנעקץ פינף פון די מערסט וויכטיק מאַטאַמאַטיקאַל קאַנסטאַנץ: e, i, π, 1 און 0. אוילער'ס פאָרמולע גיט אַ באַקוועם וועג צו קאָנווערט הין און צוריק צווישן קאַרטעסיאַן און פּאָליאַר קאָואָרדאַנאַץ ווען עס קומט צו די פאַרטרעטונג פון קאָמפּלעקס נומערן. אין פּאָליאַר קאָואָרדאַנאַץ, אַ קאָמפּלעקס נומער איז רעפּריזענטיד דורך זיין מאַגנאַטוד r און זיין פאַסע ווינקל θ, אַזוי אַז ז = ר * (קאָס(θ) + i*sin(θ)). ניצן עולער'ס פאָרמולע, קען מען דאָס איבערשרייבן ווי z = r * e^(iθ), וואָס מיטל אַז די פאַקטיש און ויסגעטראַכט טיילן פון אַ קאָמפּלעקס נומער קענען זיין אויסגעדריקט אין טערמינען פון די גרייס און פאַסע ווינקל. קוילעלדיק, Euler ס פאָרמולע איז אַן עלעגאַנט און שטאַרק געצייַג וואָס בריקן די ריס צווישן עקספּאָונענשאַל און טריגאָנאָמעטריק פאַנגקשאַנז און גיט אַ פּלאַץ פון ינסייט אין די נאַטור פון קאָמפּלעקס נומערן.