\section{Parties positives d'un r\'eseau\label{section positive}}

\medskip

Le but de cette section est d'\'etudier l'ensemble des parties positives 
de $\Lambda$. Nous munirons cet ensemble d'une topologie dans la section suivante. 

\def{\mathrm{tor}}{{\mathrm{tor}}}

\bigskip

\subsection{D\'efinitions, pr\'eliminaires\label{sous positive}} 
Une partie $X$ de $\Lambda$ est dite {\it positive} si les conditions 
suivantes sont satisfaites~:
\begin{itemize}\itemindent1cm
\itemth{P1} $\Lambda=X \cup (-X)$.

\itemth{P2} $X+X \subset X$.

\itemth{P3} $X \cap (-X)$ est un sous-groupe de $\Lambda$.
\end{itemize}
Nous noterons $\PC\! os(\Lambda)$ l'ensemble des parties 
positives de $\Lambda$. Donnons quelques exemples. 
Pour commencer, notons que $\Lambda \in \PC\! os(\Lambda)$. 
Soit $\Gamma$ un groupe totalement ordonn\'e et soit $\varphi : \Lambda \rightarrow \Gamma$ 
un morphisme de groupes. Posons 
$$\Pos(\varphi)=\{\lambda \in \Lambda~|~\varphi(\lambda) \mathop{\geqslant}\nolimits 0\}$$
$$\Pos^+(\varphi)=\{\lambda \in \Lambda~|~\varphi(\lambda) > 0\}.\leqno{\text{et}}$$
Alors il est clair que 
\refstepcounter{theo}$$~\label{noyau pos}
\Ker \varphi = \Pos(\varphi) \cap \Pos(-\varphi) = \Pos(\varphi) \cap -\Pos(\varphi)
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
et que 
\refstepcounter{theo}$$~\label{positif exemple}
\text{\it $\Pos(\varphi)$ est une partie positive de $\Lambda$}.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$

\bigskip

\begin{lem}\label{proprietes positives}
Soit $X$ une partie positive de $\Lambda$. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} $-X \in \PC\! os(\Lambda)$. 

\itemth{b} $0 \in X$.

\itemth{c} Si $\lambda \in \Lambda$ et si $r \in \ZM_{>0}$ est tel que 
$r\lambda \in X$. Alors $\lambda \in X$.

\itemth{d} $\Lambda/(X \cap (-X))$ est sans torsion. 
\end{itemize}
\end{lem}

\bigskip

\begin{proof}
(a) est imm\'ediat. 
(b) d\'ecoule de la propri\'et\'e (P1) des parties positives. 
(d) d\'ecoule de (c). Il nous reste \`a montrer (c). 
Soient $\lambda \in \Lambda$ et $r \in \ZM_{>0}$ tels que $r\lambda \in X$. 
Si $\lambda \not\in X$, alors $-\lambda \in X$ 
d'apr\`es la propri\'et\'e (P1). 
D'o\`u $\lambda=r\lambda + (r-1)(-\lambda) \in X$ d'apr\`es (P2), ce qui est contraire 
\`a l'hypoth\`ese. Donc $\lambda \in X$. 
\end{proof}

\bigskip


Nous allons montrer une forme de r\'eciproque facile \`a la propri\'et\'e 
\ref{positif exemple}. Soit $X \in \PC\! os(\Lambda)$. Notons 
$\can_X : \Lambda \rightarrow \Lambda/(X \cap(-X))$ le morphisme canonique. Si $\gamma$ et $\gamma'$ 
appartiennent \`a $\Lambda/(X \cap(-X))$, nous \'ecrirons $\gamma \mathop{\leqslant}\nolimits_X \gamma'$ s'il existe 
un repr\'esentant de $\gamma' - \gamma$ appartenant \`a $X$. Il est facile 
de v\'erifier que
\refstepcounter{theo}$$~\label{relation independante}
\text{\it $\gamma \mathop{\leqslant}\nolimits_X \gamma'$ si et seulement si tout repr\'esentant 
de $\gamma'-\gamma$ appartient \`a $X$.}
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
On d\'eduit alors facilement des propri\'et\'es (P1), (P2) et (P3) 
des parties positives que 
\refstepcounter{theo}$$~\label{ordre X}
\text{\it $(\Lambda/(X \cap (-X)),\mathop{\leqslant}\nolimits_X)$ est un groupe ab\'elien 
totalement ordonn\'e}
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
et que 
\refstepcounter{theo}$$~\label{X pos}
X=\Pos(\can_X).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$

\bigskip


\subsection{Cons\'equences du th\'eor\`eme de Hahn-Banach} 
Si $X$ est une partie positive de $\Lambda$, on pose 
$X^+=X \setminus (-X)$. On a alors 
\refstepcounter{theo}$$~\label{disjonction}
\Lambda = X \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm (-X^+) = X^+ \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm (-X) 
= X^+ \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm (X \cap (-X)) \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm (-X^+),
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
o\`u $\dot{\cup}$ d\'esigne l'union disjointe. 
De plus, si $\varphi : \Lambda \rightarrow \Gamma$ est un morphisme de groupes 
ab\'eliens et si $\Gamma$ est un groupe totalement ordonn\'e, alors 
\refstepcounter{theo}$$~\label{pos plus}
\Pos^+(\varphi) = \Pos(\varphi)^+.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Si $\varphi$ est une forme lin\'eaire sur $V$, nous noterons abusivement 
$\Pos(\varphi)$ et $\Pos^+(\varphi)$ les parties $\Pos(\varphi|_\Lambda)$ et 
$\Pos^+(\varphi|_\Lambda)$ de $\Lambda$. 

\bigskip

\begin{lem}\label{equivalent separant}
Soit $X$ une partie positive propre de $\Lambda$, soit $\Gamma$ un groupe ab\'elien 
totalement ordonn\'e archim\'edien 
et soit $\varphi : \Lambda \rightarrow \Gamma$ un morphisme de groupes. 
Alors les conditions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{itemize}
\itemth{1} $X \subseteq \Pos(\varphi)$;

\itemth{2} $X^+ \subseteq \Pos(\varphi)$;

\itemth{3} $\Pos^+(\varphi) \subseteq X^+$;

\itemth{4} $\Pos^+(\varphi) \subseteq X$.
\end{itemize}
\end{lem}

\begin{proof}
Il est clair que (1) implique (2) et que (3) implique (4). 

\medskip

Montrons que (2) implique (3). Supposons 
donc que (2) est v\'erifi\'ee. Soit $\lambda \in \Lambda$ tel que 
$\varphi(\lambda) > 0$ et supposons que $\lambda \not\in X^+$. 
Alors, d'apr\`es \ref{disjonction}, $\lambda \in -X$. 
Or, si $\mu \in \Lambda$, il existe $k \in \ZM_{> 0}$ tel que 
$\varphi(\mu - k \lambda)=\varphi(\mu)-k\varphi(\lambda) < 0$ (car $\Gamma$ est archim\'edien). Donc $\mu-k\lambda \not\in X^+$ 
d'apr\`es (2). Donc $\mu - k \lambda \in -X$ d'apr\`es \ref{disjonction}. 
Donc, $\mu=(\mu -k\lambda) + k\lambda \in (-X)$. Donc $\Lambda \subseteq -X$, 
ce qui est contraire \`a l'hypoth\`ese.

\medskip

Montrons que (4) implique (1). 
Supposons donc que $\Pos^+(\varphi) \subseteq X$. 
En prenant le compl\'ementaire dans $\Lambda$, 
on obtient $(-X^+)=(-X)^+ \subseteq \Pos(-\varphi)$ et donc, 
puisque (2) implique (3), on a $\Pos^+(-\varphi) \subseteq -X^+$. 
En reprenant le compl\'ementaire dans $\Lambda$, on 
obtient $X \subseteq \Pos(\varphi)$. 
\end{proof}

\bigskip

Nous aurons aussi besoin du lemme suivant~:

\bigskip

\begin{lem}\label{solutions}
Soient $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n$ des \'el\'ements de $\Lambda$ et supposons 
trouv\'e un $n$-uplet $t_1$,\dots, $t_n$ de nombres r\'eels 
{\bfseries\itshape strictement} positifs tels que $t_1 \lambda_1 + \cdots + t_n \lambda_n=0$. 
Alors il existe des entiers naturels non nuls $r_1$,\dots, $r_n$ tels que 
$r_1 \lambda_1 + \cdots + r_n \lambda_n = 0$.
\end{lem}

\bigskip

\begin{proof}
Notons $\SC$ l'ensemble des $n$-uplets $(u_1,\dots,u_n)$ 
de nombres r\'eels qui satisfont 
$$\begin{cases}
u_1+\cdots + u_n = 1, &\\
u_1 \lambda_1 + \cdots + u_n \lambda_n = 0.&\\
\end{cases}$$
\'Ecrit dans une base de $\Lambda$, ceci est un syst\`eme lin\'eaire 
d'\'equations \`a coefficients dans $\QM$. Le proc\'ed\'e d'\'elimination de 
Gauss montre que l'existence d'une solution {\it r\'eelle} implique 
l'existence d'une solution {\it rationnelle} 
$t^\circ = (t_1^\circ,\dots, t_n^\circ)$ 
et l'existence de vecteurs $v_1$,\dots, $v_r \in \QM^n$ tels que 
$$\SC=\{t^\circ + x_1 v_1 + \cdots +x_r v_r~|~(x_1,\dots,x_r) \in \RM^r\}.$$
En particulier, il existe $x_1$,\dots, $x_r \in \RM$ tels que 
$$(t_1,\dots,t_n) = t^\circ + x_1 v_1 + \cdots +x_r v_r.$$
Puisque $t_1$,\dots, $t_n$ sont strictement positifs, 
il existe $x_1'$,\dots, $x_r'$ dans $\QM$ tels que les 
coordonn\'ees de $t^\circ + x_1' v_1 + \cdots +x_r' v_r$ soient 
strictement positives. Posons alors 
$(u_1,\dots,u_n)=t^\circ + x_1' v_1 + \cdots +x_r' v_r$. 
On a donc $u_i \in \QM_{> 0}$ pour tout $i$ et 
$$u_1 \lambda_1 + \cdots + u_n \lambda_n = 0.$$
Quitte \`a multiplier par le produits des d\'enominateurs des $u_i$, 
on a trouv\'e $r_1$,\dots, $r_n \in \ZM_{> 0}$ tels que 
$$r_1 \lambda_1 + \cdots + r_n \lambda_n = 0,$$
comme attendu.
\end{proof}

\bigskip

\begin{theo}\label{hahn banach}
Soit $X$ une partie positive de $\Lambda$ diff\'erente de $\Lambda$. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} Il existe une forme lin\'eaire $\varphi$ sur $V$ telle que 
$X \subseteq \Pos(\varphi)$. 

\itemth{b} Si $\varphi$ et $\varphi'$ sont deux formes lin\'eaires 
sur $V$ telles que $X \subseteq \Pos(\varphi) \cap \Pos(\varphi')$, 
alors il existe $\kappa \in \RM_{> 0}$ 
tel que $\varphi'=\kappa \varphi$.
\end{itemize}
\end{theo}

\bigskip

\begin{proof}
Notons $\CC^+$ l'enveloppe convexe de $X^+$. 
Notons que $X^+$ (et donc $\CC^+$) 
est non vide car $X \neq \Lambda$. Nous allons commencer 
par montrer que $0 \not\in \CC^+$. Supposons donc que $0 \in \CC^+$. 
Il existe donc $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n$ dans $X^+$ et $t_1$,\dots, $t_n$ 
dans $\RM_{> 0}$ tels que 
$$\begin{cases}
t_1+\cdots + t_n = 1, &\\
t_1 \lambda_1 + \cdots + t_n \lambda_n = 0.&\\
\end{cases}$$
D'apr\`es le lemme \ref{solutions}, il existe $r_1$,\dots, $r_n \in \ZM_{> 0}$ 
tels que $m_1 \lambda_1 = - (m_2 \lambda_2 + \cdots + m_n \lambda_n)$. Donc 
$m_1\lambda_1 \in X \cap -X$ 
(voir la propri\'et\'e (P2)). Donc, d'apr\`es le lemme 
\ref{proprietes positives} (a) et (c), on a $\lambda_1 \in X \cap -X$, 
ce qui est impossible car $\lambda_1 \in X^+ = X \setminus (-X)$. 
Cela montre donc que 
$$0 \not\in \CC^+.$$
L'ensemble $\CC^+$ \'etant convexe, il d\'ecoule du th\'eor\`eme de 
Hahn-Banach qu'il existe une forme lin\'eaire non nulle $\varphi$ 
sur $V$ telle que
$$\CC^+ \subseteq \{\lambda \in V~|~\varphi(\lambda) \mathop{\geqslant}\nolimits 0\}.$$
En particulier, 
$$X^+ \subseteq \CC^+ \cap \Lambda \subseteq \Pos(\varphi).\leqno{(*)}$$
D'apr\`es le lemme \ref{equivalent separant}, et puisque 
$\RM$ est archim\'edien, on a bien $X \subseteq \Pos(\varphi)$. 
Cela montre (a). 

\medskip

Soit $\varphi'$ une autre forme lin\'eaire telle que $X \subseteq \Pos(\varphi')$. 
Posons $U=\{\lambda \in V~|~\varphi(\lambda) > 0$ et $\varphi'(\lambda) < 0\}$. 
Alors $U$ est un ouvert de $V$. Fixons une $\ZM$-base $(e_1,\dots,e_d)$ 
de $\Lambda$. Si $U \neq \varnothing$, alors il existe 
$\lambda \in \QM \otimes_\ZM \Lambda$ et $\varepsilon \in \QM_{> 0}$ tels que 
$\lambda$, $\lambda + \varepsilon e_1$,\dots, $\lambda+\varepsilon e_d$ appartiennent \`a $U$. 
Quitte \`a multiplier par le produit des d\'enominateurs de 
$\varepsilon$ et des coordonn\'ees de $\lambda$ dans la base $(e_1,\dots,e_d)$, 
on peut supposer que $\lambda \in \Lambda$ et $\varepsilon \in \ZM_{> 0}$. Mais 
il est clair que $U \cap X^+=\varnothing$ et $U \cap (-X^+) = \varnothing$. 
Donc $U \cap \Lambda$ est contenu dans $X \cap (-X)$. Ce dernier 
\'etant un sous-groupe, on en d\'eduit que $\varepsilon e_i \in X \cap (-X)$ 
pour tout $i$. D'o\`u, d'apr\`es le lemme \ref{proprietes positives} (c), 
$e_i \in X \cap (-X)$ pour tout $i$. Donc $X=\Lambda$, ce qui 
est contraire \`a l'hypoth\`ese. On en d\'eduit que $U$ est 
vide, c'est-\`a-dire qu'il existe $\kappa \in \RM_{> 0}$ tel que 
$\varphi'=\kappa\varphi$. D'o\`u (b).
\end{proof}

\bigskip

Si $\varphi$ est une forme lin\'eaire sur $V$, nous noterons 
${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ sa classe dans $V^*/\RM_{>0}$. Nous noterons $p : V^* \longrightarrow V^*/\RM_{>0}$
la projection canonique. L'application $\Pos : V^* \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$ 
se factorise \`a travers $p$ en une application $\Posbar : 
V^*/\RM_{>0} \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$ 
rendant le diagramme
$$\diagram
V^* \ddrrto^{\displaystyle{\Pos}} \ddto_{\displaystyle{p}}&& \\
&&\\
V^*\!/\RM_{>0} \rrto^{\displaystyle{\Posbar}} && \PC\! os(\Lambda)
\enddiagram$$
commutatif. D'autre part, 
si $X \in \PC\! os(\Lambda)$, nous noterons $\pi(X)$ l'unique 
\'el\'ement ${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} \in V^*/\RM_{>0}$ tel que $X \subseteq \Posbar({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$ 
(voir le th\'eor\`eme \ref{hahn banach}). On a donc d\'efini 
deux applications
$$\diagram
V^*/\RM_{>0}\rrto^{\displaystyle{\Posbar}} && 
\PC\! os(\Lambda) \rrto^{\displaystyle{\pi}} && V^*\!/\RM_{>0} 
\enddiagram$$
et le th\'eor\`eme \ref{hahn banach} (b) montre que
\refstepcounter{theo}$$~\label{pi pos}
\pi \circ \Posbar = \Id_{V^*\!/\RM_{>0}}.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Donc $\pi$ est surjective et $\Posbar$ est injective. 
En revanche, ni $\pi$, ni $\Posbar$ ne sont des bijections (sauf 
si $\Lambda$ est de rang $1$). Nous allons d\'ecrire les fibres de $\pi$~:

\bigskip 

\begin{prop}\label{fibres pi}
Soit $\varphi$ une forme lin\'eaire non nulle sur $V$. Alors 
l'application 
$$\fonction{i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}}{\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)}{\pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})}{X}{X 
\cup \Pos^+(\varphi)}$$
est bien d\'efinie et bijective. Sa r\'eciproque est l'application 
$$\fonctio{\pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})}{\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)}{Y}{Y \cap \Ker \varphi|\lambda.}$$
\end{prop}

\noindent{\sc Remarque - } 
Il est facile de voir que $\pi^{-1}(\bar{0})=\{\Lambda\}$. Nous 
pouvons aussi d\'efinir une application 
$i_{\bar{0}} : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$ 
par la m\^eme formule que dans la proposition 
\ref{fibres pi}~: alors $i_{\bar{0}}$ est tout simplement 
l'application identit\'e mais on a dans ce cas-l\`a 
$\pi^{-1}(\bar{0})\neq i_{\bar{0}}(\PC\! os(\Lambda))$.~$\SS \square$

\bigskip


\begin{proof}
Montrons tout d'abord que l'application $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est bien d\'efinie. 
Soit $X \in \PC\! os(\Ker \varphi|\Lambda)$. Posons $Y=X \cup \Pos^+(\varphi)$. 
Montrons que $Y$ est une partie positive de $\Lambda$. Avant cela, 
notons que 
$$Y \subseteq \Pos(\varphi).\leqno{(*)}$$

(1) Si $\lambda \in \Lambda$, deux cas se pr\'esentent. Si $\varphi(\lambda) \neq 0$, 
alors $\lambda \in \Pos^+(\varphi) \cup -\Pos^+(\varphi) \subseteq Y \cup (-Y)$. 
Si $\varphi(\lambda)=0$, alors $\lambda \in \Ker \varphi|_\Lambda$, donc 
$\lambda \in X \cup (-X) \subseteq Y \cup (-Y)$ car $X$ est 
une partie positive de $\Ker \varphi|_\Lambda$. Donc $\Lambda=Y \cup (-Y)$. 

\smallskip

(2) Soient $\lambda$, $\mu \in Y$. Montrons que $\lambda+\mu \in Y$. 
Si $\varphi(\lambda+\mu) > 0$, alors $\lambda+\mu \in \Pos^+(\varphi) \subseteq Y$. 
Si $\varphi(\lambda+\mu)=0$, alors il r\'esulte de $(*)$ que 
$\varphi(\lambda)=\varphi(\mu)=0$, donc $\lambda$, $\mu \in \Ker \varphi|_\Lambda$. 
En particulier, $\lambda$, $\mu \in X$ et donc 
$\lambda+\mu \in X+X \subseteq X \subseteq Y$. 
Donc $Y + Y \subseteq Y$.

\smallskip

(3) On a $Y \cap (-Y)=X \cap (-X)$, donc $Y \cap (-Y)$ est un sous-groupe 
de $\Lambda$. 

\medskip

Les points (1), (2) et (3) ci-dessus montrent que $Y$ est une partie 
positive de $\Lambda$. L'inclusion $(*)$ montre que $\pi(Y)={\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$, 
c'est-\`a-dire que $Y \in \pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$. Donc l'application 
$i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est bien d\'efinie.

\medskip

Elle est injective car, si $X \in \PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)$, alors 
$X \cap \Pos^+(\varphi) = \varnothing$. Montrons maintenant 
qu'elle est surjective. Soit $Y \in \pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$. 
Posons $X=Y \cap \Ker \varphi|_\Lambda$. Alors $X$ est une partie 
positive de $\Ker \varphi|_\Lambda$ d'apr\`es le corollaire 
\ref{pos inclusion}. Posons $Y'=X \cup \Pos^+(\varphi)$. 
Il nous reste \`a montrer que $Y=Y'$. 

Tout d'abord, $\Pos^+(\varphi) \subseteq Y$ car $\pi(Y)={\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ 
par hypoth\`ese 
et $X \subseteq Y$. Donc $Y' \subseteq Y$. R\'eciproquement, 
si $\lambda \in Y$, deux cas se pr\'esentent. Si $\varphi(\lambda) > 0$, 
alors $\lambda \in \Pos^+(\varphi) \subseteq Y'$. Si $\varphi(\lambda)=0$, 
alors $\lambda \in Y \cap \Ker \varphi|_\Lambda=X \subseteq Y'$. 
Dans tous les cas, $\lambda \in Y'$.
\end{proof}

\bigskip

\example{maximal} 
Si $\varphi$ est une forme lin\'eaire non nulle sur $V$, alors 
$\Pos(\varphi) = i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}(\Ker \varphi|_\Lambda)$.~$\SS \square$

\bigskip

Nous pouvons maintenant classifier les parties positives de 
$\Lambda$ en termes de formes lin\'eaires. Notons $\FC(\Lambda)$ 
l'ensemble des suites finies $(\varphi_1,\dots,\varphi_r)$ 
telles que (en posant $\varphi_0=0$), pour tout $i \in \{1,2,\dots,r\}$, 
$\varphi_i$ soit une forme lin\'eaire non nulle sur 
$\RM \otimes_\ZM (\Lambda \cap \Ker \varphi_{i-1})$. 
Par convention, nous supposerons que la suite vide, not\'ee $\varnothing$, 
appartient \`a $\FC(\Lambda)$. 

Posons $d = \dim V$. 
Notons que, si $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in \FC(\Lambda)$, alors $r \mathop{\leqslant}\nolimits d$. 
Nous d\'efinissons donc l'action suivante de $(\RM_{>0})^d$ sur $\FC(\Lambda)$~: 
si $(\kappa_1,\dots,\kappa_d) \in (\RM_{>0})^d$ et si 
$(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in \FC(\Lambda)$, on pose 
$$(\kappa_1,\dots,\kappa_d)\cdot (\varphi_1,\dots,\varphi_r) = 
(\kappa_1 \varphi_1,\dots,\kappa_r \varphi_r).$$
Munissons $\RM^r$ de l'ordre lexicographique~: c'est un groupe ab\'elien 
totalement ordonn\'e et $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) : \Lambda \rightarrow \RM^r$ 
est un morphisme de groupes. Donc $\Pos(\varphi_1,\dots,\varphi_r)$ est 
bien d\'efini et appartient \`a $\PC\! os(\Lambda)$. En fait, toute 
partie positive de $\Lambda$ peut \^etre retrouv\'ee ainsi~:

\bigskip

\begin{prop}\label{surjection pos}
L'application 
$$\fonctio{\FC(\Lambda)}{\PC\! os(\Lambda)}{{\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}}}{\Pos({\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}})}$$
est bien d\'efinie et induit une bijection 
$\FC(\Lambda)/(\RM_{> 0})^d \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \PC\! os(\Lambda)$. 
\end{prop}

\noindent{\sc Remarque - } Dans cette proposition, on a pos\'e 
par convention $\Pos(\varnothing)=\Lambda$.~$\SS \square$

\bigskip

\begin{proof}
Cela r\'esulte imm\'ediatement d'un raisonnement par r\'ecurrence 
sur le rang de $\Lambda$ en utilisant le th\'eor\`eme \ref{hahn banach} 
et la proposition \ref{fibres pi}.
\end{proof}

\bigskip

Si ${\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}} \in \FC(\Lambda)$, nous noterons $\bar{{\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}}}$ sa classe 
dans $\FC(\Lambda)/(\RM_{>0})^d$ et nous poserons 
$\Posbar(\bar{{\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}}})=\Pos({\boldsymbol{\varphi}}}        \def\pht{{\tilde{\varphi}})$. Comme corollaire de la proposition 
\ref{surjection pos}, nous obtenons une classification des ordres 
totaux sur $\Lambda$ (compatibles avec la structure de groupe), 
ce qui est un r\'esultat classique \cite{robbiano}. 
En fait, se donner un ordre 
total sur $\Lambda$ est \'equivalent \`a se donner une partie 
positive $X$ de $\Lambda$ telle que $X \cap (-X)=0$. Notons 
$\FC_0(\Lambda)$ l'ensemble des \'el\'ements $(\varphi_1,\dots,\varphi_r) \in \FC(\Lambda)$ 
tels que $\Lambda \cap \Ker \varphi_r = 0$. 

\bigskip

\begin{coro}\label{ordres totaux}
L'application d\'ecrite dans la proposition \ref{surjection pos} induit 
une bijection entre l'ensemble $\FC_0(\Lambda)/(\RM_{> 0})^d$ et l'ensemble 
des ordres totaux sur $\Lambda$ compatibles avec la structure 
de groupe. 
\end{coro}


\bigskip

\subsection{Fonctorialit\'e} 
Soit $\sigma : \Lambda' \rightarrow \Lambda$ un morphisme de groupes ab\'eliens. 
Le r\'esultat suivant est facile~:

\bigskip

\begin{lem}\label{sigma}
Si $X$ est une partie positive de $\Lambda$, 
alors $\sigma^{-1}(X)$ est une partie positive de $\Lambda'$.
\end{lem}

\begin{proof}
Soit $X \in \PC\! os(\Lambda)$. Posons $X' = \sigma^{-1}(X)$. 
Montrons que $X' \in \PC\! os(\Lambda')$.

\medskip

(1) On a $X' \cup (-X') = \sigma^{-1}(X \cup (-X))=\sigma^{-1}(\Lambda)=\Lambda'$.

\smallskip

(2) Si $\lambda'$ et $\mu'$ sont deux \'el\'ements de $X'$, alors 
$\sigma(\lambda')$ et $\sigma(\mu')$ appartiennent \`a $X$. Donc $\sigma(\lambda')+\sigma(\mu') \in X$. 
En d'autres termes, $\lambda' + \mu' \in X'$. Donc $X'+X' \subseteq X'$. 

\smallskip

(3) On a $X' \cap (-X') = \sigma^{-1}(X \cap (-X))$, donc l'ensemble 
$X' \cap (-X')$ est un sous-groupe de $\Lambda'$.
\end{proof}

\bigskip

\begin{coro}\label{pos inclusion}
Si $\Lambda'$ est un sous-groupe de $\Lambda$ et si $X$ est une partie 
positive de $\Lambda$, alors $X \cap \Lambda'$ est une partie positive de $\Lambda'$. 
\end{coro}

\bigskip

Si $\sigma : \Lambda' \rightarrow \Lambda$ est un morphisme de groupes ab\'eliens, nous noterons 
$\sigma^* : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow \PC\! os(\Lambda')$, $X \mapsto \sigma^{-1}(X)$ induite 
par le lemme \ref{sigma}. Si $\tau : \Lambda'' \rightarrow \Lambda'$ 
est un morphisme de groupe ab\'eliens, il est alors facile 
de v\'erifier que 
\refstepcounter{theo}$$~\label{composition}
(\tau \circ \sigma)^* = \sigma^* \circ \tau^*.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$

D'autre part, si on note $V' = \RM \otimes_\ZM \Lambda'$, alors 
$\sigma$ induit une application $\RM$-lin\'eaire 
$\sigma_\RM : V' \longrightarrow V$ dont nous noterons 
$\lexp{t}{\sigma_\RM} : V^* \longrightarrow V^{\prime *}$ l'application duale 
et $\lexp{t}{{\bar{\s}}}               \def\sigh{{\hat{\s}}}_\RM : V^*/\RM_{>0} \longrightarrow V^{\prime *}/\RM_{> 0}$ 
l'application (continue) induite. 
Il est alors facile de v\'erifier que le diagramme
\refstepcounter{theo}$$~\label{diag sigma}
\diagram
V^*/\RM_{>0} \rrto^{\displaystyle{\Posbar}} \ddto^{\displaystyle{\lexp{t}{{\bar{\s}}}               \def\sigh{{\hat{\s}}}_\RM}} && 
\PC\! os(\Lambda) \rrto^{\displaystyle{\pi}} \ddto^{\displaystyle{\sigma^*}} && 
V^*/\RM_{>0} \ddto^{\displaystyle{\lexp{t}{{\bar{\s}}}               \def\sigh{{\hat{\s}}}_\RM}} \\
&&&&\\
V^{\prime *}/\RM_{>0} \rrto^{\displaystyle{\Posbar'}} && 
\PC\! os(\Lambda') \rrto^{\displaystyle{\pi'}} && 
V^{\prime *}/\RM_{>0}
\enddiagram
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
est commutatif (o\`u $\Posbar'$ et $\pi'$ sont les analogues de $\Posbar$ et $\pi$ 
pour le r\'eseau $\Lambda'$).



\bigskip





\section{Topologie sur $\PC\! os(\Lambda)$}

\medskip

Dans cette section, nous allons d\'efinir sur $\PC\! os(\Lambda)$ une topologie 
et en \'etudier les propri\'et\'es. Nous allons notamment montrer que la 
plupart des applications introduites dans la section pr\'ec\'edente 
($\Posbar$, $\pi$, $i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}$,...) sont continues. 

\bigskip

\subsection{D\'efinition}
Si $E$ est une partie de $\Lambda$, 
nous poserons 
$$\UC(E)=\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~X \cap E=\varnothing\}.$$
Si $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n$ sont des \'el\'ements de $\Lambda$, nous 
noterons pour simplifier $\UC(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ l'ensemble 
$\UC(\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\})$. Si cela est n\'ecessaire, nous noterons ces ensembles 
$\UC_\Lambda(E)$ ou $\UC_\Lambda(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. On a alors
\refstepcounter{theo}$$~\label{u inter}
\UC(E)=\bigcap_{\lambda \in E} \UC(\lambda).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Notons que 
\refstepcounter{theo}$$~\label{u vide}
\UC(\varnothing)=\PC\! os(\Lambda)\qquad\text{et}\qquad \UC(\Lambda)=\{\varnothing\}.
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
D'autre part, si $(E_i)_{i \in I}$ est une famille de parties de $\Lambda$, alors 
\refstepcounter{theo}$$~\label{u intersection}
\bigcap_{i \in I} \UC(E_i) = \UC\bigl(\bigcup_{i \in I} E_i\bigr).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Une partie $\UC$ de $\PC\! os(\Lambda)$ sera dite {\it ouverte} si, 
pour tout $X \in \UC$, il existe une partie {\bf finie} $E$ de $\Lambda$ telle 
que $X \in \UC(E)$ et $\UC(E) \subset \UC$. L'\'egalit\'e 
\ref{u intersection} montre que cela d\'efinit bien une topologie 
sur $\PC\! os(\Lambda)$. 

\bigskip

\begin{prop}\label{connexite}
Si $\UC$ est un ouvert de $\PC\! os(\Lambda)$ contenant $\Lambda$, alors 
$\UC=\PC\! os(\Lambda)$. En particulier, $\PC\! os(\Lambda)$ est connexe. 
Si $\Lambda \neq 0$, alors il n'est pas s\'epar\'e. 
\end{prop}

\bigskip

\begin{proof}
Par d\'efinition, il existe une partie finie $E$ de $\Lambda \setminus \Lambda$ 
telle que $\UC(E) \subseteq \UC$. Mais on a forc\'ement $E=\varnothing$, 
donc $\UC=\PC\! os(\Lambda)$ d'apr\`es \ref{u vide}. D'o\`u le 
r\'esultat. 

Le fait que $\PC\! os(\Lambda)$ 
n'est pas s\'epar\'e (lorsque $\Lambda \neq 0$) en d\'ecoule~: 
le point $\Lambda$ de $\PC\! os(\Lambda)$ ne peut \^etre 
s\'epar\'e d'aucun autre.
\end{proof}

\bigskip

\example{Z} 
L'espace topologique $\PC\! os(\ZM)$ n'a que trois points~: 
$\ZM$, $\ZM_{\mathop{\geqslant}\nolimits 0}$ et $\ZM_{\mathop{\leqslant}\nolimits 0}$. Sur ces trois points, 
seul $\ZM$ est un point ferm\'e et $\ZM_{\mathop{\geqslant}\nolimits 0}$ et $\ZM_{\mathop{\leqslant}\nolimits 0}$ 
sont des points ouverts (en effet, $\{\ZM_{\mathop{\geqslant}\nolimits 0}\} = \UC(-1)$ 
et $\{\ZM_{\mathop{\leqslant}\nolimits 0}\} = \UC(1)$).~$\SS \square$

\bigskip

Il est clair que la topologie sur $\PC\! os(\Lambda)$ d\'efinie ci-dessus 
est la topologie induite par une topologie sur l'ensemble des parties 
de $\Lambda$ (d\'efinie de fa\c{c}on analogue)~: cette derni\`ere est tr\`es 
grossi\`ere mais sa restriction \`a $\PC\! os(\Lambda)$ est plus int\'eressante. 

\medskip

Nous aurons besoin de la propri\'et\'e suivante des ensembles $\UC(E)$~:

\bigskip

\begin{lem}\label{uce vide}
Soit $E$ une partie {\bfseries\itshape finie} de $\Lambda$. Alors les assertions suivantes 
sont \'equivalentes~:
\begin{itemize}
\itemth{1} $\UC(E)=\varnothing$.

\itemth{2} Il existe $n \mathop{\geqslant}\nolimits 1$, $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n \in E$ et 
$r_1$,\dots, $r_n \in \ZM_{>0}$ tels que $\displaystyle{\sum_{i=1}^n r_i\lambda_i=0}$. 

\itemth{3} Il n'existe pas de forme lin\'eaire $\varphi$ sur $V^*$ 
telle que $\varphi(E) \subset \RM_{>0}$.
\end{itemize}
\end{lem}

\bigskip

\begin{proof}
S'il existe une forme lin\'eaire $\varphi$ sur $V^*$ 
telle que $\varphi(E) \subseteq \RM_{>0}$, alors $\Pos(-\varphi) \in \UC(E)$, et 
donc $\UC(E) \neq \varnothing$. Donc (1) $\Rightarrow$ (3). 

\medskip

Supposons trouv\'es $\lambda_1$,\dots, $\lambda_n \in E$ et $r_1$,\dots, $r_n \in \ZM_{>0}$ 
tels que $r_1\lambda_1 + \cdots + r_n \lambda_n = 0$. Alors, si $X \in \UC(E)$, 
on a $-\lambda_2$,\dots, $-\lambda_n \in X$. Mais 
$r_1\lambda_1 = -r_2\lambda_2 - \cdots - r_n \lambda_n \in X$, 
donc $\lambda_1 \in X$, ce qui contredit l'hypoth\`ese. Donc (2) $\Rightarrow$ (1).

\medskip

Il nous reste \`a montrer que (3) $\Rightarrow$ (2). Supposons que (2) n'est pas vraie. 
Nous allons montrer qu'alors (3) n'est pas vraie en raisonnant par r\'ecurrence sur
la dimension de $V$ (c'est-\`a-dire le rang de $\Lambda$). 
Posons 
$$\CC=\{t_1\lambda_1+\cdots t_n \lambda_n~|~n \mathop{\geqslant}\nolimits 1,
~\lambda_1,\dots, \lambda_n \in \Lambda,~t_1,\dots,t_n \in \RM_{>0}\}.$$
Alors $\CC$ est une partie convexe de $V$ contenant $E$ et, d'apr\`es 
le lemme \ref{solutions} et le fait que (2) ne soit pas vraie, on a 
$0 \not\in \CC$. Par cons\'equent, il r\'esulte du th\'eor\`eme de Hahn-Banach 
qu'il existe une forme lin\'eaire non nulle $\varphi$ telle que 
$\varphi(\CC)\subseteq \RM_{\mathop{\geqslant}\nolimits 0}$. Posons $\Lambda'=(\Ker \varphi)\cap \Lambda$ et 
$E' = E \cap \Lambda$. Alors l'assertion (2) pour $E'$ n'est pas vraie elle aussi donc, 
par hypoth\`ese de r\'ecurrence, il existe un forme lin\'eaire $\psi$ sur 
$V'=\RM \otimes_\ZM \Lambda' \subseteq V$ telle que $\psi(E') \subset \RM_{>0}$. 
Soit $\psit$ une extension de $\psi$ \`a $V$. 
Puisque $\varphi(E \setminus E') \subset \RM_{>0}$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que 
$\varphi(\lambda) + \varepsilon \psit(\lambda) > 0$ pour tout $\lambda \in E\setminus E'$. 
Mais on a aussi, si $\lambda \in E'$, $\varphi(\lambda)+\varepsilon\psit(\lambda) = \varepsilon \psit(\lambda) > 0$. 
Donc $(\varphi + \varepsilon \psit)(E) \subset \RM_{>0}$.
\end{proof}

\bigskip

Si $\EC$ est une partie de $\PC\! os(\Lambda)$, nous noterons 
$\overline{\EC}$ son adh\'erence dans $\PC\! os(\Lambda)$.

\bigskip

\begin{coro}\label{adherence u}
Soit $E$ une partie {\bfseries\itshape finie} de $\Lambda$ telle que $\UC(E) \neq \varnothing$. Alors
$$\overline{\UC(E)} = \PC\! os(\Lambda) \setminus \Bigl(\bigcup_{\lambda \in E} \UC(-\lambda)\Bigr).$$
\end{coro}

\bigskip

\begin{proof}
Posons 
$$\OC=\bigcup_{\lambda \in E} \UC(-\lambda)$$
$$\FC=\PC\! os(\Lambda) \setminus \OC. \leqno{\text{et}}$$
Alors $\FC$ est ferm\'e dans $\PC\! os(\Lambda)$ et contient $\UC(E)$. 
Donc $\overline{\UC(E)} \subseteq \FC$. 

R\'eciproquement, soit $X \in \PC\! os(\Lambda) \setminus \overline{\UC(E)}$. 
Nous devons montrer que 
$$X \in \OC.\leqno{(?)}$$
Puisque $\PC\! os(\Lambda) \setminus \overline{\UC(E)}$ est un ouvert, il existe 
une partie finie $F$ de $\Lambda$ telle que $X \in \UC(F)$ et 
$\UC(F) \subseteq \OC$. En particulier, $\UC(F) \cap \UC(E) = \varnothing$. 
En d'autres termes, d'apr\`es \ref{u intersection}, on a 
$\UC(E \cup F) = \varnothing$. 
Donc, d'apr\`es le lemme \ref{uce vide}, il existe $m \mathop{\geqslant}\nolimits 0$, $n \mathop{\geqslant}\nolimits 0$, 
$\lambda_1$,\dots, $\lambda_m \in E$, $\mu_1$,\dots, $\mu_n \in F$, 
$r_1$,\dots, $r_m$, $s_1$,\dots, $s_n \in \ZM_{>0}$ tels que
$$r_1\lambda_1 + \cdots + r_m \lambda_m + s_1 \mu_1 + \cdots + s_n \mu_n=0$$
et $m+n \mathop{\geqslant}\nolimits 1$. En fait, comme $\UC(E)$ et $\UC(F)$ sont toutes deux non vides, 
il d\'ecoule du lemme \ref{uce vide} que $m$, $n \mathop{\geqslant}\nolimits 1$. 

Si $X \not\in \OC$, alors $-\lambda_i \in X$ pour tout $i$, ce qui implique 
que $s_1 \mu_1 + \cdots + s_n \mu_n \in X$. Cela ne peut se produire que si au moins 
l'un des $\mu_j$ appartient \`a $X$, mais c'est impossible car $F \cap X =\varnothing$. 
D'o\`u (?).
\end{proof}

\bigskip

\example{viditude} 
Le corollaire \ref{adherence u} n'est pas forc\'ement vrai si $\UC(E)=\varnothing$. 
En effet, si $\lambda \in \Lambda \setminus\{0\}$, alors $\UC(\lambda,-\lambda)=\varnothing$ mais, 
du moins lorsque $\dim V \mathop{\geqslant}\nolimits 2$, on a $\UC(\lambda) \cup \UC(-\lambda) \neq \PC\! os(\Lambda)$.~$\SS \square$

\bigskip

\subsection{Fonctorialit\'e} 
Si $\Lambda'$ est un autre r\'eseau et si $\sigma : \Lambda' \rightarrow \Lambda$ est un 
morphisme de groupes et si $E'$ est une partie de $\Lambda'$, alors 
\refstepcounter{theo}$$~\label{sigma continue}
(\sigma^*)^{-1}\bigl(\UC_{\Lambda'}(E')\bigr)=\UC_\Lambda\bigl(\sigma(E')\bigr).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
\begin{proof}[Preuve de \ref{sigma continue}] 
Soit $X$ une partie positive de $\Lambda$. Alors 
$X \in (\sigma^*)^{-1}\bigl(\UC_{\Lambda'}(E')\bigr)$ 
(resp. $X \in \UC_\Lambda\bigl(\sigma(E')\bigr)$) 
si et seulement si $\sigma^{-1}(X) \cap E' = \varnothing$ 
(resp. $X \cap \sigma(E') = \varnothing$). 
Il est alors facile de v\'erifier que ces deux derni\`eres conditions sont 
\'equivalentes.
\end{proof}

Cela implique le r\'esultat suivant~:

\bigskip

\begin{prop}\label{continu}
L'application $\sigma^* : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow \PC\! os(\Lambda')$ est continue. 
\end{prop}

\bigskip



\subsection{Continuit\'e} 
D'apr\`es la section \ref{section positive}, nous avons \'equip\'e 
l'espace topologique $\PC\! os(\Lambda)$ de 
deux applications $\Posbar : V^*/\RM_{> 0} \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$ et 
$\pi : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow V^*/\RM_{>0}$ telles que 
$\pi \circ \Posbar = \Id_{V^*/\RM_{>0}}$. Nous montrerons dans le 
th\'eor\`eme \ref{pi pos continues} que ces applications 
sont continues (lorsque $V^*/\RM_{>0}$ est bien s\^ur muni de 
la topologie quotient) et nous en d\'eduirons quelques autres 
propri\'et\'es topologiques de ces applications. 
Avant cela, introduisons la notation suivante~: si $E$ 
est une partie finie de $\Lambda$, on pose 
$$\VC(E)=\{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}\in V^*/\RM_{> 0}~|~\forall~\lambda \in E,~\varphi(\lambda) < 0\}.$$
Si cela est n\'ecessaire, nous noterons $\VC_\Lambda(E)$ l'ensemble $\VC(E)$. 
Alors
$$p^{-1}(\VC(E))=\{\varphi \in V^*~|~\forall~\lambda \in E,~\varphi(\lambda) < 0\}.$$
Donc $p^{-1}(\VC(E))$ est ouvert, donc $\VC(E)$ est ouvert 
dans $V^*/\RM_{>0}$ par d\'efinition de la topologie quotient. 

\bigskip

\begin{prop}\label{pi pos continues}
Les applications $\Posbar$ et $\pi$ sont continues. De plus~:
\begin{itemize}
\itemth{a} $\Posbar$ induit un hom\'eomorphisme sur son image.

\itemth{b} L'image de $\Posbar$ est dense dans $\PC\! os(\Lambda)$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof} 
Soit $E$ une partie finie de $\Lambda$. Alors 
\refstepcounter{theo}$$~\label{pos uc}
\Posbar^{-1}(\UC(E))=\VC(E).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
Donc $\Posbar^{-1}(\UC(E))$ est un ouvert de $V^*/\RM_{>0}$. Donc 
$\Posbar$ est continue. 

Montrons maintenant que $\pi$ est continue. Nous proc\`ederons 
par \'etapes~:

\medskip

\begin{quotation}
\begin{lem}\label{base ouverts}
Les $\VC(E)$, o\`u $E$ parcourt l'ensemble des parties 
finies de $\Lambda$, forment une base d'ouverts de $V^*/\RM_{>0}$. 
\end{lem}

\begin{proof}[Preuve du lemme \ref{base ouverts}]
Soit $\UC$ un ouvert de $V^*/\RM_{>0}$ et soit $\varphi$ une forme lin\'eaire 
sur $V$ telle que ${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} \in \UC$. 
Nous devons montrer qu'il existe une partie finie $E$ de $V$ 
telle que ${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} \in \VC(E)$ et $\VC(E) \subset \UC$. 

Si $\varphi=0$, alors $\UC=V^*/\RM_{>0}$ et le r\'esultat est clair. 
Nous supposerons donc que $\varphi \neq 0$. Il existe alors $\lambda_0 \in \Lambda$ 
tel que $\varphi(\lambda_0) > 0$. Quitte \`a remplacer $\varphi$ par un multiple 
positif, on peut supposer que $\varphi(\lambda_0)=1$. Notons $\HC_0$ l'hyperplan 
affine $\{\psi \in V^*~|~\psi(\lambda_0)=1\}$. Alors l'application naturelle 
$\HC_0 \rightarrow V^*/\RM_{>0}$ induit un hom\'eomorphisme 
$\nu : \HC_0 \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \VC(-\lambda_0)$. 
De plus, $\varphi=\nu^{-1}(\varphi) \in \HC_0$. Donc $\varphi \in \nu^{-1}(\UC \cap \VC(-\lambda_0))$. 
Il suffit dons de v\'erifier que les intersections finies de demi-espaces 
ouverts {\it rationnels} (i.e. de la forme $\{\psi \in \HC_0~|~\psi(\lambda) > n\}$ o\`u 
$n \in \ZM$ et $\lambda \in \Lambda \setminus \ZM \lambda_0$) 
forment une base de voisinages de l'espace affine $\HC_0$, ce qui est imm\'ediat.
\end{proof}
\end{quotation}

\medskip

Compte tenu du lemme \ref{base ouverts}, il suffit de montrer que, 
si $E$ est une partie finie de $\Lambda$, alors $\pi^{-1}(\VC(E))$ 
est un ouvert de $\PC\! os(\Lambda)$. De plus, 
$$\VC(E)=\bigcap_{\lambda \in E} \VC(\lambda).$$
Par cons\'equent, la continuit\'e de $\pi$ 
d\'ecoulera du lemme suivant:

\medskip

\begin{quotation}
\begin{lem}\label{image inverse}
Si $\lambda \in \Lambda$, alors $\pi^{-1}(\VC(\lambda))$ est un ouvert de 
$\PC\! os(\Lambda)$.
\end{lem}

\begin{proof}[Preuve du lemme \ref{image inverse}]
Soit $X \in \pi^{-1}(\VC(\lambda))$ et soit $\varphi=\pi(X)$. 
Par d\'efinition, $\varphi(\lambda) < 0$ et donc $\lambda \not\in X$. 
Soit $e_1$,\dots, $e_n$ une $\ZM$-base de $\Lambda$. Il existe un entier 
naturel non nul $N$ tel que $\varphi(\lambda \pm \displaystyle{\frac{1}{N}e_i}) < 0$ pour 
tout $i$. Quitte \`a remplacer $\lambda$ par $N\lambda$, on peut supposer que 
$\varphi(\lambda \pm e_i) < 0$ pour tout $i$. On pose alors 
$$E=\{\lambda+e_1,\lambda-e_1,\dots,\lambda+e_n,\lambda-e_n\}.$$
Alors $X \in \UC(E)$ par construction. Il reste \`a montrer 
que $\UC(E) \subseteq \pi^{-1}(\VC(\lambda))$. Soit $Y \in \UC(E)$ 
et posons $\psi = \pi(Y)$. Supposons de plus que $\psi \not\in \VC(\lambda)$. 
On a alors $\psi(\lambda) \mathop{\geqslant}\nolimits 0$. D'autre part, $\psi(\lambda \pm e_i) \mathop{\leqslant}\nolimits 0$ pour tout $i$. 
Cela montre que $2\psi(\lambda)=\psi(\lambda+e_1)+\psi(\lambda-e_1) \mathop{\leqslant}\nolimits 0$, et donc 
$\psi(\lambda)=\psi(\lambda+e_i)=0$, et donc $\psi(e_i)=0$ pour tout $i$. Donc $\psi$ 
est nulle et donc $Y=\Lambda$, ce qui contredit le fait que 
$Y \in \UC(E)$. Cela montre donc que $\psi \in \VC(\lambda)$, comme attendu.
\end{proof}
\end{quotation}

\medskip

Puisque $\pi$ et $\Posbar$ sont continues et v\'erifient 
$\pi \circ \Posbar = \Id_{V^*/\RM_{>0}}$, $\Posbar$ induit un 
hom\'eomorphisme sur son image. D'o\`u (a).

\medskip

L'assertion (b) d\'ecoule du lemme suivant (qui est une cons\'equence imm\'ediate 
de l'\'equivalence entre (1) et (3) dans le lemme \ref{uce vide}) et de \ref{pos uc}~:
\begin{quotation}
\begin{lem}\label{non vide}
Soit $E$ une partie finie de $\Lambda$ telle que $\UC(E) \neq \varnothing$. 
Alors $\VC(E) \neq \varnothing$. 
\end{lem}

\end{quotation}

La preuve de la proposition \ref{pi pos continues} est termin\'ee. 
\end{proof}

\bigskip

Nous allons maintenant \'etudier les propri\'et\'es topologiques des 
applications $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$. 

\bigskip

\begin{prop}\label{proprietes topologie}
Soit $\varphi \in V^*$ et supposons $\varphi \neq 0$. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} 
$\displaystyle{\bigcap_{\stackrel{\UC {\mathrm{~ouvert~de~}}\PC\! os(\Lambda)}{\Pos(\varphi) \in \UC}} 
\UC = i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}\bigl(\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)\bigr)} = \pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$.

\itemth{d} $i_{{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}}$ est continue et induit un hom\'eomorphisme sur son image.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
(a) Notons $I_\varphi$ l'image de $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$. On a alors, d'apr\`es 
le lemme \ref{equivalent separant}, 
$$I_\varphi=\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~\Pos^+(\varphi) \subseteq X\}.\leqno{(*)}$$
Si $\UC$ est un ouvert contenant $\Pos(\varphi)$, 
alors il existe une partie finie $E$ de $\Lambda \setminus \Pos(\varphi)$ 
telle que $\UC(E) \subseteq \UC$. Mais, si $X$ est dans l'image de 
$i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$, alors $X \subseteq \Pos(\varphi)$, donc $X \cap E = \varnothing$. 
Et donc $X \in \UC$, ce qui montre que 
$$I_\varphi \subseteq
\bigcap_{\stackrel{\UC {\mathrm{~ouvert~de~}}\PC\! os(\Lambda)}{\Pos(\varphi) \in \UC}} 
\UC.$$
Montrons l'inclusion r\'eciproque. Soit $X \in \PC\! os(\Lambda)$ tel 
que $X \not\in I_\varphi$. Posons $\psi=\pi(X)$. Alors ${\bar{\psi}}}             \def\psih{{\hat{\psi}} \neq {\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ 
donc, d'apr\`es la preuve du th\'eor\`eme \ref{hahn banach}, il existe 
$\lambda \in \Lambda$ tel que $\varphi(\lambda) < 0$ et $\psi(\lambda) > 0$. On a donc, 
d'apr\`es le lemme \ref{equivalent separant}, $X \not\in \UC(\lambda)$. 
D'autre part, $\Pos(\varphi) \in \UC(\lambda)$. D'o\`u (a).

\medskip

Montrons (b). 
On note $\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} : I_\varphi \rightarrow \PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)$, 
$X \mapsto X \cap \Ker \varphi|_\Lambda$. D'apr\`es la 
proposition \ref{fibres pi}, $\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est la bijection 
r\'eciproque de $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} : \PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda) \rightarrow I_\varphi$. 
Il nous faut donc montrer que $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ et $\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ 
sont continues. Si $F$ est une partie finie de 
$\Ker \varphi|_\Lambda$, nous noterons $\UC_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}(F)$ l'analogue de 
l'ensemble $\UC(F)$ d\'efini \`a l'int\'erieur de $\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)$. 

Soit $E$ une partie finie de $\Lambda$. Nous voulons montrer 
que $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}^{-1}(\UC(E))$ est un ouvert de $\PC\! os(\Ker \varphi|_\Lambda)$. 
S'il existe $\lambda \in E$ tel que 
$\varphi(\lambda) > 0$, alors $\UC(E) \cap I_\varphi = \varnothing$ (voir $(*)$). On peut 
donc supposer que $\varphi(\lambda) \mathop{\leqslant}\nolimits 0$ pour tout $\lambda \in E$. 
Il est alors facile de v\'erifier que 
$$i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}^{-1}(\UC(E)) = \UC_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}(E \cap \Ker \varphi|_\Lambda).$$
Donc $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est continue. 

Soit $F$ une partie finie de $\Ker \varphi|_\Lambda$. Alors 
$$\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}^{-1}(\UC_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}(F)) =\UC(F) \cap I_\varphi.$$
Donc $\pi_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est continue. 
\end{proof}

Nous allons r\'esumer dans le th\'eor\`eme suivant 
la plupart des r\'esutats obtenus dans cette sous-section.

\bigskip

\begin{theo}\label{theo:topologie}
Supposons $\Lambda \neq 0$ et soit $\varphi \in V^*$, $\varphi \neq 0$. 
\begin{itemize}
\itemth{a} $\PC\! os(\Lambda)$ est connexe. Il n'est pas s\'epar\'e si $\Lambda \neq 0$.

\itemth{b} Les applications 
$\pi : \PC\! os(\Lambda) \rightarrow V^*/\RM_{>0}$ et $\Posbar : V^*/\RM_{>0} \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$ 
sont continues et v\'erifient $\pi \circ \Posbar = \Id_{V^*/\RM_{>0}}$.

\itemth{c} $\Posbar$ induit un hom\'eomorphisme sur son image~; cette 
image est dense dans $\PC\! os(\Lambda)$.

\itemth{d} $\pi^{-1}({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})$ est l'intersection des voisinages de $\Pos(\varphi)$ 
dans $\PC\! os(\Lambda)$.

\itemth{e} $i_{\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}$ est un hom\'eomorphisme.
\end{itemize}
\end{theo}

\bigskip

\section{Arrangements d'hyperplans}

\medskip

L'application continue $\Pos : V^* \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$ 
a une image dense. Nous allons \'etudier ici comment se 
transpose la notion d'arrangement d'hyperplans (et les 
objets attach\'es~: facettes, chambres, support...) 
\`a l'espace topologique $\PC\! os(\Lambda)$ \`a travers $\Pos$. 
Cela nous permettra d'\'enoncer les conjectures sur 
les cellules de Kazhdan-Lusztig sous la forme la plus g\'en\'erale 
possible \cite[Conjectures A et B]{bonnafe}.

\bigskip

\subsection{Sous-espaces rationnels} 
Si $E$ est une partie de $\Lambda$, on pose 
$$\LC(E)=\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~E \subset X \cap (-X)\}.$$
Si cela est n\'ecessaire, nous le noterons $\LC_\Lambda(E)$. 
On appelle {\it sous-espace rationnel} de $\PC\! os(\Lambda)$ 
toute partie de $\PC\! os(\Lambda)$ de la forme $\LC(E)$, o\`u 
$E$ est une partie de $\Lambda$. Si $\lambda \in \Lambda\setminus \{0\}$, 
on notera $\HC_\lambda$ le sous-espace rationnel $\LC(\{\lambda\})$~: 
un tel sous-espace rationnel sera appel\'e un {\it hyperplan 
rationnel}. Notons que 
\refstepcounter{theo}$$~\label{partage espace}
\PC\! os(\Lambda)= \UC(\lambda) \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm \HC_\lambda \hskip1mm\dot{\cup}\hskip1mm \UC(-\lambda).
\leqno{\boldsymbol{(\arabic{section}.\arabic{theo})}}~$$
La proposition suivante justifie quelque peu la terminologie~:

\begin{prop}\label{topo espace}
Soit $E$ est une partie de $\Lambda$. Notons $\Lambda(E)$ le sous-r\'eseau 
$\Lambda \cap \sum_{\lambda \in E} \QM E$ de $\Lambda$ et soit $\sigma_E : \Lambda \rightarrow \Lambda/\Lambda(E)$ 
l'application canonique. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} $\LC(E)=\displaystyle{\bigcap_{\lambda \in E\setminus\{0\}} \HC_\lambda} = 
\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~\Lambda(E) \subseteq X\}$.

\itemth{b} $\LC(E)$ est ferm\'e dans $\PC\! os(\Lambda)$. 

\itemth{c} $\Pos^{-1}(\LC(E))=\{\varphi \in V^*~|~\forall~\lambda \in E,~\varphi(\lambda)=0\}=E^\perp$.

\itemth{d} $\Posbar(\pi(\LC(E)) \subseteq \LC(E)$. 

\itemth{e} $\Posbar^{-1}(\LC(E))=\pi(\LC(E))$.

\itemth{f} $\LC(E)=\overline{\Pos(\Pos^{-1}(\LC(E)))}$ .

\itemth{g} L'application $\sigma_E^* : \PC\! os(\Lambda/\Lambda(E)) \rightarrow \PC\! os(\Lambda)$ 
a pour image $\LC(E)$ et induit un hom\'eomorphisme 
$\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E)) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \LC(E)$. 
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
La premi\`ere \'egalit\'e de (a) est imm\'ediate. La deuxi\`eme 
d\'ecoule de la proposition \ref{proprietes positives} (c). 
(b) d\'ecoule de (a) et de \ref{partage espace}.
(c) est tout aussi clair. 

\medskip

(d) Si $X \in \Posbar(\pi(\LC(E))$, alors il existe 
$Y \in \LC(E)$ tel que $X=\Posbar(\pi(Y))$. Posons ${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}} = \pi(Y)$, 
o\`u $\varphi \in V^*$. Alors $E \subseteq Y \cap (-Y)$ et 
$Y \subseteq \Pos(\varphi)$. Or, $\varphi(\lambda)=0$ si $\lambda \in Y \cap (-Y)$, 
donc $X=\Pos(\varphi) \in \LC(E)$. 

\medskip

(e) D'apr\`es (d), on a $\pi(\Lambda(E)) \subseteq \Posbar^{-1}(\LC(E))$. 
R\'eciproquement, soit $\varphi$ un \'el\'ement de $\Pos^{-1}(\LC(E))$, alors 
${\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}}=\pi(\Posbar({\bar{\varphi}}}           \def\phh{{\hat{\varphi}})) \in \pi(\LC(E))$. D'o\`u (e).

\medskip

(f) Notons $\FC_E=\Pos(\Pos^{-1}(\LC(E)))$. 
On a $\FC_E \subseteq \LC(E)$ donc 
il d\'ecoule du (a) que $\overline{\FC}_E \subseteq \LC(E)$. 
R\'eciproquement, soit $F$ une partie finie de $\Lambda$ telle que $\UC(F) \cap \FC_E = \varnothing$. 
Nous devons montrer que $\UC(F) \cap \LC(E)=\varnothing$. Or, le fait que $\UC(F) \cap \FC_E=\varnothing$ 
est \'equivalent \`a l'assertion suivante (voir (c))~:
$$\forall~\varphi \in E^\perp,~\forall~\lambda \in F,~\varphi(\lambda) \mathop{\geqslant}\nolimits 0.$$
Or, si $\varphi \in E^\perp$, alors $-\varphi \in E^\perp$, ce qui implique que~:
$$\forall~\varphi \in E^\perp,~\forall~\lambda \in F,~\varphi(\lambda) = 0.$$
En d'autres termes, $F \subseteq (E^\perp)^\perp \cap \Lambda = \Lambda(E)$. Mais, 
si $X \in \LC(E)$, alors $\Lambda(E) \subseteq X$ d'apr\`es (a). Donc 
$X \not\in \UC(F)$, comme esp\'er\'e.

\medskip

(g) Le fait que l'image de $\sigma_E^*$ soit 
$\LC(E)$ d\'ecoule de (a). D'autre part, $\sigma_E^*$ est continue d'apr\`es la 
proposition \ref{continu}. Notons 
$$\fonction{\gamma_E}{\LC(E)}{\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E))}{X}{X/\Lambda(E).}$$
Alors $\gamma_E$ est la r\'eciproque de $\sigma_E^*$. Il ne nous reste 
qu'\`a montrer que $\gamma_E$ est continue. Soit donc $F$ une partie finie de $\Lambda/\Lambda(E)$ 
et notons ${\tilde{F}}}  \def\fti{{\tilde{f}}}  \def\FCt{{\tilde{\mathcal{F}}}$ un ensemble de repr\'esentants des \'el\'ements de $F$ dans $\Lambda$.
On a 
\begin{eqnarray*}
\gamma_E^{-1}(\UC_{\Lambda/\Lambda(E)}(F))&=&\{X \in \LC(E)~|~\forall~\lambda \in F,~\lambda \not\in X/\Lambda(E)\}\\
&=&\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~\Lambda(E) \subseteq X\text{ et }\forall~\lambda \in F,~\lambda \not\in X/\Lambda(E)\}\\
&=&\{X \in \PC\! os(\Lambda)~|~\Lambda(E) \subseteq X\text{ et }\forall~\lambda \in {\tilde{F}}}  \def\fti{{\tilde{f}}}  \def\FCt{{\tilde{\mathcal{F}}},~\lambda \not\in X\}\\
&=&\{X \in \LC(E)~|~\forall~\lambda \in {\tilde{F}}}  \def\fti{{\tilde{f}}}  \def\FCt{{\tilde{\mathcal{F}}},~\lambda \not\in X\}\\
&=&\LC(E) \cap \UC_\Lambda({\tilde{F}}}  \def\fti{{\tilde{f}}}  \def\FCt{{\tilde{\mathcal{F}}}).
\end{eqnarray*}
Donc $\gamma_E^{-1}(\UC_{\Lambda/\Lambda(E)})$ est un ouvert de $\LC(E)$. Cela montre la continuit\'e de 
$\gamma_E$.
\end{proof}

\bigskip

\subsection{Demi-espaces} 
Soit $\HC$ un hyperplan rationnel de $\PC\! os(\Lambda)$ et soit $\lambda\in \Lambda\setminus\{0\}$ 
tel que $\HC=\HC_\lambda$. D'apr\`es \ref{partage espace}, 
l'hyperplan $\HC$ nous d\'efinit une unique relation d'\'equivalence 
$\smile_{\!\HC}$ sur $\PC\! os(\Lambda)$ pour laquelle les classes d'\'equivalence 
sont $\UC(\lambda)$, $\HC$ et $\UC(-\lambda)$~: notons que cette relation 
ne d\'epend pas du choix de $\lambda$. De plus~:

\bigskip

\begin{prop}\label{composantes connexes}
$\HC$ est un ferm\'e de $\PC\! os(\Lambda)$ et $\UC(\lambda)$ et $\UC(-\lambda)$ 
sont les composantes connexes de $\PC\! os(\Lambda)\setminus \HC$. De plus
$$\overline{\UC(\lambda)}=\UC(\lambda) \cup \HC_\lambda.$$
\end{prop}

\bigskip

\begin{proof}
La derni\`ere assertion est un cas particulier du corollaire 
\ref{adherence u}. 

\medskip

Montrons pour finir que $\UC(\lambda)$ est connexe. Soient $\UC$ et $\VC$ deux ouverts 
de $\UC(\lambda)$ tels que $\UC(\lambda)=\UC \coprod \VC$. Alors 
$$\Pos^{-1}(\UC(\lambda))=\Pos^{-1}(\UC) \coprod \Pos^{-1}(\VC).$$
Mais $\Pos^{-1}(\UC(\lambda))=\{\varphi \in V^*~|~\varphi(\lambda) < 0\}$. Donc 
$\Pos^{-1}(\UC(\lambda))$ est connexe. Puisque $\Pos$ est continue, 
cela implique que $\Pos^{-1}(\UC)=\varnothing$ ou $\Pos^{-1}(\VC)=\varnothing$. 
Le lemme \ref{non vide} implique que $\UC=\varnothing$ ou $\VC=\varnothing$.
\end{proof}

\bigskip

Si $X \in \PC\! os(\Lambda)$, nous noterons $\DC_\HC(X)$ la classe 
d'\'equivalence de $X$ sous la relation $\smile_{\! \HC}$. Il r\'esulte 
de la proposition \ref{composantes connexes} que $\overline{\DC_\HC(X)}$ est 
une r\'eunion de classes d'\'equivalences pour $\smile_{\! \HC}$.

\bigskip

\subsection{Arrangements} 
Nous travaillerons d\'esormais sous l'hypoth\`ese suivante~:

\bigskip

\begin{quotation}
{\it Fixons maintenant, et ce jusqu'\`a la fin de cette section, 
un ensemble {\bfseries\itshape fini} ${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$ d'hyperplans rationnels de $\PC\! os(\Lambda)$.}
\end{quotation}

\bigskip

Nous allons red\'efinir, dans notre espace $\PC\! os(\Lambda)$, les notions 
de {\it facettes}, {\it chambres} et {\it faces} associ\'ees \`a ${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$, 
de fa\c{c}on similaire \`a ce qui se fait pour les arrangements 
d'hyperplans dans un espace r\'eel 
\cite[Chapitre V, \S 1]{bourbaki}. Les propri\'et\'es des 
applications $\pi$ et $\Posbar$ \'etablies pr\'ec\'edemment 
permettent facilement de d\'emontrer les r\'esultats 
analogues. 

Nous d\'efinissons la relation $\smile_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$ sur $\PC\! os(\Lambda)$ de la 
fa\c{c}on suivante~:
si $X$ et $Y$ sont deux \'el\'ements de $\PC\! os(\Lambda)$, nous \'ecrirons 
$X \smile_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}} Y$ si $X \smile_{\!\HC} Y$ pour tout $\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$. 
Nous appellerons {\it facettes} (ou {\it ${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$-facettes}) les classes 
d'\'equivalence pour la relation $\smile_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$. Nous appellerons {\it chambres} (ou
{\it ${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$-chambres}) les facettes qui ne rencontrent aucun hyperplan de
${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$. Si $\FC$ est une facette, nous noterons
$$\LC_{{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}} ( \FC) = \bigcap_{\overset{\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}}{\FC \subset \HC}} \HC,$$
avec la convention habituelle que $\LC_{{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}} ( \FC) = \PC\! os (\Lambda)$ si
$\FC$ est une chambre. Nous l'appellerons le {\it support} de $\FC$ et
nous appellerons {\it dimension} de $\FC$ l'entier 
$$\dim \FC = \dim_{\RM} \Pos^{- 1} ( \LC_{{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}} ( \FC)) .$$
De m\^eme nous appellerons {\it codimension} de $\FC$ l'entier
$$\codim \FC=\dim_\RM V - \dim \FC.$$
Avec ces d\'efinitions, une chambre est une facette de codimension $0$.

\bigskip

\begin{prop}\label{facettes}
Soit $\FC$ une facette et soit $X \in \FC$. Alors~:
\begin{itemize}
\itemth{a} $\FC=\displaystyle{\bigcap_{\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}}} \DC_\HC(X)$.

\itemth{b} $\overline{\FC}=\displaystyle{\bigcap_{\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}}} \overline{\DC_\HC(X)}$.

\itemth{c} $\overline{\FC}$ est la r\'eunion de $\FC$ et de facettes de dimension 
strictement inf\'erieures.

\itemth{d} Si $\FC'$ est une facette telle que $\overline{\FC}=\overline{\FC}'$, 
alors $\FC=\FC'$.
\end{itemize}
\end{prop}

\bigskip

\begin{proof}
(a) est une cons\'equence des d\'efinitions. Montrons (b). Posons 
$${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_1=\{\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}~|~\FC \subseteq \HC\}$$
$${\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_2={\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}} \setminus {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_1.$$
Pour tout $\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$, on fixe un \'el\'ement $\lambda(\HC) \in \Lambda$ tel que 
$\HC=\HC_{\lambda(\HC)}$~: si de plus $\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_2$, on choisit $\lambda(\HC)$ de sorte 
que $\FC \subseteq \UC(\lambda(\HC))$. On pose 
$$E_i=\{\lambda(\HC)~|~\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_i\}.$$ 
Par cons\'equent, 
$$\FC=\LC \cap \UC(E_i).$$
Puisque $\LC$ est ferm\'e, $\overline{\FC}$ est aussi l'adh\'erence de $\FC$ dans 
$\LC$. En utilisant alors l'hom\'eomorphisme 
$\sigma_{E_1}^* : \PC\! os(\Lambda/\Lambda(E_1)) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \LC$ 
de la proposition \ref{topo espace} (g), 
on se ram\`ene \`a calculer l'adh\'erence de $\sigma_{E_1}^{* -1}(\FC)$ 
dans $\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E_1))$. Mais 
$$\sigma_{E_1}^{* -1}(\FC)=
\sigma_{E_1}^{* -1}(\UC_\Lambda(E_2))=\UC_{\Lambda/\Lambda(E_1)}(\sigma_{E_1}(E_2)).$$
Or, d'apr\`es le corollaire \ref{adherence u}, on a 
$$\overline{\UC_{\Lambda/\Lambda(E_1)}(\sigma_{E_1}(E_2))} = 
\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E_1)) \setminus 
\bigl(\bigcup_{\lambda \in E_2} \UC_{\Lambda/\Lambda(E_1)}(\sigma_{E_1}(-\lambda))\bigr).$$
Par cons\'equent,
$$\overline{\FC}=\LC \cap \sigma_{E_1}^*\Bigl(\PC\! os(\Lambda/\Lambda(E_1)) \setminus 
\bigl(\bigcup_{\lambda \in E_2} \UC_{\Lambda/\Lambda(E_1)}(\sigma_{E_1}(-\lambda))\bigr)\Bigr),$$
et donc
$$\overline{\FC}=\LC \cap 
\Bigl(\bigcap_{\lambda \in E_2} \bigl(\PC\! os(\Lambda)\setminus
\UC_\Lambda(-\lambda)\bigr) = 
\bigcap_{\lambda \in E_1 \cup E_2} \overline{\DC_{\HC_\lambda}(X)},$$
comme attendu.

\medskip

Montrons maintenant (c). D'apr\`es (b), $\overline{\FC}$ est bien une r\'eunion 
de facettes. Si de plus $\FC'$ est une facette diff\'erente de $\FC$ et contenue 
dans $\overline{\FC}$, l'assertion (b) montre qu'il existe $\HC \in {\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}_2$ 
tel que $\FC' \subseteq \HC$. Donc $\FC' \subseteq \LC_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}(\FC) \cap \HC$, 
et $\dim \Pos^{-1}\bigl(\LC_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}(\FC) \cap \HC\bigr) = 
\dim \Pos^{-1}\bigl(\LC_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}(\FC)\bigr)-1$. D'o\`u (c). 

\medskip

L'assertion (d) d\'ecoule imm\'ediatement de (c). 
\end{proof}

\bigskip

On d\'efinit une relation $\hspace{0.1em}\mathop{\preccurlyeq}\nolimits\hspace{0.1em}$ (ou $\preccurlyeq_{\mathfrak A}}  \def\aG{{\mathfrak a}}  \def\AM{{\mathbb{A}}$ s'il est n\'ecessaire de 
pr\'eciser) entre les facettes~: on \'ecrit $\FC \hspace{0.1em}\mathop{\preccurlyeq}\nolimits\hspace{0.1em} \FC'$ si 
$\overline{\FC} \subseteq \overline{\FC}'$ (c'est-\`a-dire si $\FC \subseteq \overline{\FC}'$). 
La proposition \ref{facettes} (d) montre que~:

\bigskip

\begin{coro}\label{ordre facettes}
La relation $\hspace{0.1em}\mathop{\preccurlyeq}\nolimits\hspace{0.1em}$ entre les facettes est une relation d'ordre.
\end{coro}


\bigskip



