Що є доказом того, що існують два ірраціональні числа, де підняття одного до сили іншого дає раціональне число?
Ось докази випадків, що існують два ірраціональні числа a і b, так що a^b є раціональним. Спочатку розглянемо a = b = sqrt(2). Згадаймо, що sqrt(2) є ірраціональним, тому якщо a^b = sqrt(2) ^ sqrt(2) є раціональним, ми робимо це тому, що ми знайшли ірраціональне a і b з a^b як раціональним числом. В іншому випадку sqrt(2) ^ sqrt(2) є ірраціональним. Нехай a = sqrt(2) ^ sqrt(2) і b = sqrt(2). Тоді a ^ b = (sqrt(2) ^ sqrt(2)) ^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2, що є раціональним. Таким чином, в будь-якому випадку, ми можемо знайти ірраціональні a і b з a^b раціональним.