Витягніть дві властивості, які достатньо для того, щоб показати, що піднабір Євклідівського простору є компактним. Показати ці властивості в кулевому списку.
Можуть застосовуватися різні визначення компактності, залежно від рівня загальності. Зокрема, підсумок Євклідівського простору називається компактним, якщо він закритий і обмежений. Це означає, за теоремою Больцано-Вейерстраса, що будь-яка нескінченна послідовність з набору має послідовність, яка збігається до точки в наборі. Різні еквівалентні поняття компактності, такі як послідовна компактність і гранична компактність, можуть бути розроблені в загальних метричних просторах.

Навпаки, різні поняття компактності не є еквівалентними в загальних топологічних просторах, і найкорисніше поняття компактності - спочатку називалося bicompactness - визначається за допомогою покриттів, що складаються з відкритих наборів (див. визначення відкритого покриття нижче). Те, що ця форма компактності містить закриті і обмежені підсумки Євклідівського простору, відоме як теорема Гейне-Бореля. Компактність, коли визначається таким чином, часто дозволяє взяти інформацію, яка відома локально - в районі кожної точки простору - і розширити її до інформації, яка міститься глобально по всьому простору. Прикладом цього явища є теорема Дірішеля, до якої вона була спочатку застосована Гейном, що безперервна функція на компактному інтервалі є однорідною безперервною; тут безперервність є місцевою властивістю функції, а однорідна безперервність є відповідною глобальною властивістю.
Відповідно до теореми Гейне-Бореля, наступних властивостей достатньо, щоб показати, що піднабір Євклідівського простору є компактним:
- набір закритий
Серія обмежена