Дай мені доказ, що квадратний корінь 2 є ірраціональним.
Ось доказ за суперечністю, що квадратний корінь 2 є ірраціональним. По-перше, пам'ятайте, що ірраціональні числа - це числа, які не можуть бути написані як p / q для цілих p і q. Припустимо для протиріччя, що квадратний корінь 2 є раціональним, що означає, що sqrt(2) = p / q для деяких цілих p і q. Далі припустимо без втрати загальності, що ця фракція знаходиться в зменшеній формі, що означає, що p і q не мають спільних факторів. Ми можемо припустити це тому, що будь-яка цілісна фракція може бути написана в такому скороченому вигляді, тому існування будь-якого раціонального представлення для sqrt(2) означатиме існування одного в скороченому вигляді. Тепер ми квадратуємо обидві сторони вищезазначеного рівняння, даючи

2 = p^2 / q^2

для деяких цілих p і q не мають жодних спільних факторів. Помножити на q^2, щоб отримати

2 * q^2 = p^2

Зверніть увагу, що ліва рука навіть завдяки фактору 2, так що права рука p^2 також. Це означає, що p має бути рівним, інакше p^2 не буде рівним. Таким чином, p можна записати як 2 * x для деяких цілих x. Виходячи з вищезазначеного рівняння, ми отримуємо

2 * q^2 = (2 * x)^2 = 2^2 * x^2

Зверніть увагу, що обидві сторони рівняння мають коефіцієнт 2 ми можемо скасувати. Роблячи це, ми отримуємо

q^2 = 2 * x^2

За аргументом, аналогічним до вищезазначеного, можна зробити висновок, що q є рівним. Однак це суперечить нашій думці про те, що p і q не мають спільних факторів. Тому наше початкове припущення про те, що sqrt(2) є раціональним, було помилковим, і це те, що ми вирішили довести.