Опис алгебри брехні
У математиці проста група Lie - це з'єднана не-абелійська група Lie G, яка не має з'єднаних не-тривіальних нормальних підгруп. Список простих груп Lie можна використовувати для читання списку простих алгебрів Lie і риманських симетричних просторів.

Разом з комутативною групою реальних чисел,
\mathbb {R}, а про комплексні числа одиничної величини, U(1) (одиничний круг), прості групи Lie дають атомні "блоки", які складають всі (фінітно-вимірні) пов'язані групи Lie за допомогою операції групового розширення. Багато спільно зустрічаються групи Lie або прості, або «близько» до того, щоб бути простими: наприклад, так звана «спеціальна лінійна група» SL(n) з n по n матриць з визначальним рівнем 1 є простою для всіх n > 1.

Першою класифікацією простих груп брехні був Вільгельм Убийство, і ця робота була пізніше вдосконалена Елі Картаном. Остання класифікація часто називається класифікацією Killing-Cartan.
На жаль, немає загальноприйнятого визначення простої групи брехні. Зокрема, вона не завжди визначається як група брехні, яка проста як абстрактна група. Автори розрізняються в тому, чи повинна бути пов'язана проста група брехні, чи дозволяється мати нетривіальний центр, або в тому, чи має бути пов'язана група брехні.
І
\mathbb {R} є простою групою брехні.

Найпоширеніше визначення полягає в тому, що група брехні є простою, якщо вона пов'язана, не-абелійною, і кожна закрита пов'язана нормальна підгрупа є або ідентичністю, або цілою групою. Зокрема, простим групам дозволяється мати нетривіальний центр, але
І
«Матч» не є простим.

У цій статті перераховані пов'язані прості групи Lie з тривіальним центром. Як тільки вони відомі, ті з нетривіальним центром легко перелічити наступним чином. Будь-яка проста група Lie з тривіальним центром має універсальне покриття, центром якого є фундаментальна група простої групи Lie. Відповідні прості групи Lie з нетривіальним центром можуть бути отримані як коефіцієнти цього універсального покриття підгрупою центру.

Альтернативи
Еквівалентне визначення простої групи Lie випливає з кореспонденції Lie: пов'язана група Lie є простою, якщо її алгебра Lie проста. Важливим технічним моментом є те, що проста група Lie може містити дискретні нормальні підгрупи. З цієї причини визначення простої групи Lie не є еквівалентом визначення групи Lie, яка є простою як абстрактна група.

Прості групи Lie включають багато класичних груп Lie, які забезпечують групово-теоретичну основу для сферичної геометрії, проективної геометрії та пов'язаних з нею геометрій у сенсі програми Erlangen Фелікса Кляйна. В ході класифікації простих груп брехні з'ясувалося, що існує також кілька виняткових можливостей, які не відповідають жодній знайомій геометрії. Ці виняткові групи складають багато особливих прикладів і конфігурацій в інших галузях математики, а також сучасної теоретичної фізики.

Як протиприклад, загальна лінійна група не є ні простою, ні напівпростою. Це відбувається тому, що множини ідентичності утворюють нетривіальну нормальну підгрупу, таким чином ухиляючись від визначення. Аналогічно, відповідна алгебра Lie має дегенеративну форму Killing, тому що множиться карта ідентичності до нульового елемента алгебри. Таким чином, відповідна алгебра Lie також не є ні простою, ні напівпростою. Ще одним протиприкладом є спеціальні ортогональні групи рівного розміру. У них є матриця
−
І
Я в центрі, і цей елемент шляхом пов'язаний з елементом ідентичності, і тому ці групи ухиляються від визначення. Обидві групи є редуктивними.