Які є деякі практичні застосування Burnside's lemma в комбінаторії на основі цього пункту?
Лемма Бернсайда, іноді також називається теоремою обчислення Бернсайда, Лемма Каучі-Фробеніуса, теоремою обчислення орбіти, або Лемма, що не є теоремою Бурнсайда, є результатом групової теорії, яка часто корисна при врахуванні симетрії при обчисленні математичних об'єктів. Його різні епоніми засновані на Вільяма Бернсайда, Джорджа Поля, Августина Луїса Каучі, і Фердинанда Георга Фробеніуса. Результат не пов'язаний з самим Бернсайдом, який просто цитує його в своїй книзі «Про теорію груп кінцевого порядку», приписуючи його замість цього Фробеню (1887). Лемма Бернсайда обчислює "орбіти", що те ж саме, що і обчислення різних об'єктів з урахуванням симетрії. Інші способи сказати це - це підрахунок різних об'єктів до співвідношення еквівалентності R, або підрахунок об'єктів, які знаходяться в канонічній формі.

У наступному випадку, нехай G є кінцевою групою, яка діє на набір X. Для кожного g в G, нехай Xg означає набір елементів в X, які фіксовані g (також сказано, що залишаються незмінними g), тобто Xg = { x ∈ X. g.x = x }. Лемма Бернсайда стверджує наступну формулу за кількістю орбіт, що позначається як G-X / G-G:

Ужгород
І
/ І
І
Ужгород
= у
1
Ужгород
І
Ужгород

І

І
Ужгород
І
І
Ужгород
..

Таким чином, кількість орбіт (природне число або +∞) дорівнює середній кількості точок, встановлених елементом G (що також є природним числом або нескінченністю). Якщо G є нескінченним, поділ по G G G може не бути чітко визначений; в цьому випадку зберігається наступне твердження в кардинальній арифметиці:

Ужгород
І
Ужгород
Ужгород
І
/ І
І
Ужгород
= у

І

І
Ужгород
І
І
Ужгород
..

Приклади застосувань до переліку
Нагірки
Існує 8 можливих бітових векторів довжини 3, але тільки чотири окремі двокольорові шийки довжини 3: 000, 001, 011 і 111, тому що 100 і 010 еквівалентні 001 за обертанням; аналогічно 110 і 101 еквівалентні 011. Формула базується на кількості обертів, що в даному випадку становить 3 (включаючи нульове обертання), а також на кількості бітових векторів, що залишаються незмінними при кожному обертанні. Всі 8-бітні вектори залишаються незмінними через нульове обертання, а два (000 і 111) залишаються незмінними через кожне з інших двох обертань, що дає:
4
= у
1
3
(від
8
+ +
2
+ +
2
)
Наприклад, якщо ви маєте 8+2+2.

Для довжини 4 є 16 можливих бітових векторів; 4 обертання; нульова обертання залишає всі 16 бітові вектори незмінними; 1-обертання і 3-обертання кожен залишає два бітові вектори незмінними (0000 і 1111); 2-обертання залишає 4 бітові вектори незмінними (0000, 0101, 1010, і 1111); даючи:
6
= у
1
4
(від
16
+ +
2
+ +
4
+ +
2
)
 Це: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111 і 1111.

Кольори кубика
Кількість ротаційно відмінних забарвлень облич куба за допомогою трьох кольорів можна визначити з цієї формули наступним чином.

Нехай X є набором 36 можливих комбінацій кольорів обличчя, які можуть бути застосовані до куба в одній конкретній орієнтації, і нехай ротаційна група G куба діє на X природним чином. Тоді два елементи X належать до однієї і тієї ж орбіти саме тоді, коли один є просто обертанням іншого. Таким чином, кількість кольорових кольорів, що ротаційно відрізняються, дорівнює кількості орбіт і може бути знайдена, рахуючи розміри фіксованих наборів для 24 елементів G.


Кубик з кольоровими обличчями
один ідентифікаційний елемент, що залишає всі 36 елементів X незмінними
Шість 90-градусних обертів, кожен з яких залишає 33 елементи X незмінними.
Три обертання обличчя на 180 градусів, кожен з яких залишає 34 елементи X незмінними.
вісім вертикальних обертів на 120 градусів, кожна з яких залишає 32 елементи X незмінними
6 обертів на 180 градусів, кожен з яких залишає 33 елементи X незмінними.
Детальний огляд цих автоморфізмів можна знайти тут.

Середній показник такої величини

1
24
(від
3
6
+ +
6
⋅
3
3
+ +
3
⋅
3
4
+ +
8
⋅
3
2
+ +
6
⋅
3
3
)
= у
57.

Таким чином, є 57 ротаційно різних забарвленнях обличчя куба в трьох кольорах. Загалом, кількість ротаційно відмінних забарвленнях обличчя куба в n кольорів дається за

1
24
(від
І
6
+ +
3
І
4
+ +
12
І
3
+ +
8
І
2
)
..

8 Квітенькі загадки
У головоломці восьми королеви є 92 рішення, з яких 12 фундаментальних рішень відрізняються до обертання і відображення дошки. Існує 8 комбінацій обертів і відображень, включаючи нульову дію. При нульовій дії всі 92 рішення залишаються незмінними. Чотири з 92 рішень є симетричними, не зміненими при обертанні на 180°. Це дає:
12
= у
1
8
(від
92
+ +
4
)

* Проблема обчислення шиї: обчислення ротаційно різних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних шийних ший. У статті обчислюються огірки завдовжки 3 і 4, а відповідь - 4 і 6, відповідно.
* Забарвлення кубичної проблеми: обчислення обертово різних забарвлень обличчя кубики. Стаття розглядає випадок, коли використовується 3 кольори і відповідь є 57.
8 королеви головоломка: класична версія проблеми полягає в розраховуванні різних способів розміщення 8 шахових королеви на дошці 8x8 так, щоб жодна королева не атакувала іншу (відповідь 92). За допомогою програми Burnside's lemma стаття підраховує кількість різних розміщень королеви до обертання і відображення, приходячи до 12 як відповідь.