 [ψ2] 2 D3 σ → E,2 σ ∧E,1 σ (iv) When ψ has a form ¬ψ1, φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ¬ψ1 ∧E,1¬ψ1 D2 ψ1 [⊥]2 D3 σ ¬E,2 σ ⊵per(∧¬) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ¬ψ1 D2 ψ1 [⊥]2 D3 σ ¬E,2 σ ∧E,1 σ 87 (v) When ψ has a form ∀xψ1(x), φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∀xψ1(x) ∧E,1∀xψ1(x) [ψ1(t)] 2 D2 σ ∀E,2 σ ⊵per(∧∀) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∀xψ1(x) [ψ1(t)] 2 D2 σ ∀E,2 σ ∧E,1 σ (vi) When ψ has a form ∃xψ1(x), φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∃xψ1(x) ∧E,1∃xψ1(x) [ψ1(y)] 2 D2 σ ∃E,2 σ ⊵per(∧∃) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∃xψ1(x) [ψ1(y)] 2 D2 σ ∃E,2 σ ∧E,1 σ 2. The case of ∨−rule. φ1 ∨φ2 [φ1] 1 D1 ψ [φ2] 2 D2 ψ ∨E,1,2 ψ Σ σ ⊵per(∨) φ1 ∨φ2 [φ1] 1 D1 ψ Σ σ [φ2] 2 D2 ψ Σ σ ∨E,1,2 σ The subcases of ⊵per(∨) are similar to the
[ ψ2 ] 2 D3 σ → E,2 σ ∧E,1 σ (iv) When ψ has a form ¬ψ1, φ1 ∧φ2 [ φ1 ] 1, [ φ2 ] 1 D1 ¬ψ1 ∧E,1¬ψ1 D2 ψ1 [ ⊥]2 D3 σ ¬E,2 σ ⊵per(∧¬) φ1 ∧φ2 [ φ1 ] 1, [ φ2 ] 1 D1 ¬ψ1 D2 ψ1 [ ⊥]2 D3 σ ¬E,2 σ ∧E,1 σ 87 (v) When ψ has a human body ∀xψ1(x), φ1 ∧φ2 [ φ1 ] 1, [ φ2 ] 1 D1 ∀xψ1(x) ∧E,1∀xψ1(x) [ ψ1(t) ] 2 D2 σ ∀E,2 σ ⊵per(∧∀) φ1 ∧φ2 [ φ1 ] 1, [ φ2 ] 1 D1 ∀xψ1(x) [ ψ1(t) ] 2 D2 σ ∀E,2 σ ∧E,1 σ (vi) When ψ have a form ∃xψ1(x), φ1 ∧φ2 [ φ1 ] 1, [ φ2 ] 1 D1 ∃xψ1(x) ∧E,1∃xψ1(x) [ ψ1(y) ] 2 D2 σ ∃E,2 σ ⊵per(∧∃) φ1 ∧φ2 [ φ1 ] 1, [ φ2 ] 1 D1 ∃xψ1(x) [ ψ1(y) ] 2 D2 σ ∃E,2 σ ∧E,1 σ 2. The case of ∨−rule. φ1 ∨φ2 [ φ1 ] 1 D1 ψ [ φ2 ] 2 D2 ψ ∨E,1,2 ψ Σ σ ⊵per(∨) φ1 ∨φ2 [ φ1 ] 1 D1 ψ Σ σ [ φ2 ] 2 D2 ψ Σ σ ∨E,1,2 σ The subcases of ⊵per(∨) are similar to the
 [ψ2] 2 F3 σ → E,2 σ ∧E,1 σ (iv) When ψ has a form ¬ψ1, φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ¬ψ1 ∧E,1¬ψ1 D2 ψ1 [⊥]2 V3 σ ¬E,2 σ ⊵psr(∧¬) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ¬ψ1 D2 ψ1 [⊥]2 D3 σ ¬E,2 σ ∧E,1 σ 87 (v) When ψ had q forn ∀xψ1(x), φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∀xψ1(x) ∧E,1∀xψ1(x) [ψ1(t)] 2 D2 σ ∀E,2 σ ⊵peg(∧∀) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∀xψ1(x) [ψ1(u)] 2 D2 σ ∀E,2 σ ∧E,1 σ (vi) Whxh ψ has a form ∃wψ1(x), φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∃xψ1(x) ∧E,1∃xψ1(x) [ψ1(y)] 2 D2 σ ∃E,2 σ ⊵per(∧∃) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∃xψ1(x) [ψ1(y)] 2 D2 σ ∃Z,2 σ ∧E,1 σ 2. The case of ∨−rule. φ1 ∨φ2 [φ1] 1 D1 ψ [φ2] 2 D2 ψ ∨Q,1,2 ψ Σ σ ⊵pet(∨) φ1 ∨φ2 [φ1] 1 D1 ψ Σ σ [φ2] 2 D2 ψ Σ σ ∨E,1,2 σ Ehe albgases of ⊵per(∨) are similar to the
[ψ2] 2 D3 σ → E,2 σ (iv) ψ has form ¬ψ1, φ1 D1 ∧E,1¬ψ1 D2 ψ1 D3 σ ¬E,2 ⊵per(∧¬) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] D1 ¬ψ1 D2 ψ1 [⊥]2 D3 σ ¬E,2 σ ∧E,1 σ 87 (v) ψ has a form ∀xψ1(x), φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∀xψ1(x) [ψ1(t)] D2 ∀E,2 ⊵per(∧∀) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∀xψ1(x) [ψ1(t)] 2 D2 σ ∀E,2 σ ∧E,1 (vi) When ψ has a form ∃xψ1(x), φ1 [φ1] 1, [φ2] 1 ∃xψ1(x) ∧E,1∃xψ1(x) [ψ1(y)] 2 D2 ∃E,2 ⊵per(∧∃) φ1 [φ1] [φ2] D1 ∃xψ1(x) [ψ1(y)] D2 σ ∃E,2 σ ∧E,1 σ 2. The case of ∨−rule. φ1 ∨φ2 [φ1] 1 D1 ψ 2 D2 ψ Σ ⊵per(∨) ∨φ2 1 D1 ψ [φ2] 2 D2 ψ Σ σ subcases of ⊵per(∨) are similar to the
 [ψ2] 2 D3 σ → E,2 σ ∧E,1 σ (iv) When ψ has a form ¬ψ1, φ1 ∧φ2 [Φ1] 1, [φ2] 1 D1 ¬ψ1 ∧E,1¬ψ1 D2 ψ1 [⊥]2 D3 σ ¬e,2 σ ⊵per(∧¬) Φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [Φ2] 1 D1 ¬ψ1 d2 ψ1 [⊥]2 d3 σ ¬E,2 σ ∧e,1 σ 87 (v) WHen ψ has a form ∀xψ1(X), Φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 d1 ∀xψ1(x) ∧E,1∀xψ1(x) [ψ1(t)] 2 D2 σ ∀E,2 σ ⊵per(∧∀) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∀Xψ1(x) [ψ1(t)] 2 d2 σ ∀e,2 Σ ∧E,1 σ (vI) whEn ψ haS a form ∃xΨ1(X), φ1 ∧Φ2 [Φ1] 1, [Φ2] 1 D1 ∃xΨ1(x) ∧e,1∃xΨ1(x) [ψ1(Y)] 2 D2 Σ ∃e,2 σ ⊵Per(∧∃) φ1 ∧φ2 [Φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∃Xψ1(x) [ψ1(y)] 2 D2 σ ∃e,2 σ ∧E,1 σ 2. The casE of ∨−RuLe. φ1 ∨φ2 [φ1] 1 D1 ψ [φ2] 2 D2 ψ ∨E,1,2 ψ σ Σ ⊵pEr(∨) φ1 ∨φ2 [φ1] 1 D1 ψ Σ σ [φ2] 2 d2 ψ Σ Σ ∨E,1,2 σ The subcasEs oF ⊵per(∨) arE sImiLAr to tHe
 [ψ2] 2 D3 σ → E,2 σ ∧E,1σ (iv) Whe n ψ h asa f or m ¬ψ 1, φ 1 ∧φ2 [φ1] 1,[ φ2]1 D1 ¬ψ1 ∧E,1¬ψ1 D2 ψ1  [⊥]2  D 3  σ ¬ E ,2  σ ⊵p er(∧¬)φ 1∧ φ 2 [ φ1 ]1,[φ 2 ]1 D1¬ψ1  D2 ψ1[⊥]2 D3 σ¬E, 2σ ∧E,1 σ 87( v)  When ψ ha s a  form ∀xψ1(x ),φ1 ∧φ2  [ φ1] 1, [φ 2]1 D1∀xψ1(x )  ∧E,1∀ xψ1(x) [ψ 1( t )] 2 D 2  σ ∀E,2 σ  ⊵ per( ∧∀) φ1 ∧φ2 [φ1] 1 ,  [ φ 2] 1 D1 ∀xψ1(x ) [ψ1( t) ]  2 D 2 σ  ∀E ,2 σ ∧E,1σ(vi)W hen ψ h a sa f orm ∃xψ1(x), φ1 ∧ φ2 [φ1] 1,[ φ2]  1 D1∃x ψ1( x ) ∧E,1 ∃xψ1( x) [ψ1 (y)] 2 D2 σ  ∃E, 2 σ ⊵per( ∧∃) φ1 ∧φ2 [φ1 ]  1, [φ2 ] 1 D1  ∃x ψ1( x) [ ψ 1( y) ] 2  D 2  σ∃ E, 2 σ ∧E, 1 σ 2. T he  c ase o f ∨− r u l e . φ1  ∨φ 2 [φ 1] 1D1 ψ [φ2] 2 D 2 ψ  ∨E, 1 ,2ψ Σ σ  ⊵per (∨)φ1  ∨φ2[φ1] 1  D1 ψ  Σ  σ [φ2] 2 D2 ψΣ σ∨E,1,2 σThe  s ubc as es of ⊵per(∨ ) a resimilar  to the 
 [ψ2]_2 D3_σ → E,2 σ_∧E,1 σ_(iv)_When ψ_has_a form ¬ψ1,_φ1 ∧φ2 [φ1]_1, [φ2] 1 D1_¬ψ1 ∧E,1¬ψ1 D2_ψ1_[⊥]2 D3 σ ¬E,2 σ ⊵per(∧¬) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ¬ψ1_D2_ψ1 [⊥]2_D3_σ_¬E,2 σ ∧E,1 σ 87_(v) When ψ has a_form ∀xψ1(x),_φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1 D1 ∀xψ1(x)_∧E,1∀xψ1(x)_[ψ1(t)] 2 D2_σ ∀E,2 σ ⊵per(∧∀) φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2]_1 D1 ∀xψ1(x) [ψ1(t)] 2 D2_σ ∀E,2 σ_∧E,1_σ_(vi) When ψ has_a form ∃xψ1(x), φ1 ∧φ2 [φ1]_1, [φ2] 1 D1 ∃xψ1(x) ∧E,1∃xψ1(x)_[ψ1(y)] 2 D2 σ ∃E,2 σ ⊵per(∧∃)_φ1 ∧φ2 [φ1] 1, [φ2] 1_D1 ∃xψ1(x) [ψ1(y)] 2 D2_σ ∃E,2_σ ∧E,1 σ 2. The_case of ∨−rule._φ1 ∨φ2_[φ1] 1 D1_ψ [φ2] 2 D2 ψ ∨E,1,2_ψ Σ σ_⊵per(∨) φ1 ∨φ2 [φ1] 1 D1_ψ_Σ σ [φ2]_2_D2_ψ Σ_σ ∨E,1,2 σ_The_subcases of_⊵per(∨)_are similar to the